СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ
Допущено
Министерством высшего
и среднего специального
образования СССР
в качестве
учебного пособия
для студентов
физических специальностей
высших учебных
заведений
Издательство
«Высшая школа»
Москва —1972

530.1
C23
УДК 530.1+538.3 + 536 7@76)
С23 Сборник задач по теоретической физике. Учебн.
пособие для вузов. М., «Высш. школа», 1972.
336 стр. с илл.
На обороте тит. л. авт.: Л. Г. Гречко, В. И. Суга-
ков, О. Ф. Томасевич, А. М. Федорченко.
В «Сборнике задач по теоретической физике» представ-
представлены задачи по курсу теоретической физики: классичес-
классической механике, электродинамике, нерелятивистской кван-
квантовой механике, статистической физике и термодина-
термодинамике.
Каждому разделу этого сборника предшествует крат-
краткое изложение основных законов и соотношений, ис-
используемых для решения содержащихся в нем задач, а
также сведения о необходимом математическом аппара-
аппарате. В конце сборника приведены ответы и указаны ме-
методы решения более сложных задач. Задачи даны в
Международной системе единиц СИ.
Сборник рассчитан на студентов физических факуль-
факультетов университетов, а также студентов физических спе-
специальностей высших учебных заведений. Ряд задач пред-
предназначен для студентов, специализирующихся по теоре-
теоретической физике. Некоторые задачи могут быть исполь-
использованы студентами физико-математических факультетов
педагогических институтов.
530.1
2—3—2
54-72
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
кафедра теоретической физики ЛГУ
(зав. отделом теоретической физики академик В. А. Фок);
доц. кафедры теоретической физики
МОПИ им. Н. К. Крупской А. А. СЕНКЕВИЧ
Л. Г. ГРЕЧКО, В. И. СУГАКОВ,
О. Ф. ТОМАСЕВИЧ, А. М. ФЕДОРЧЕНКО
Научный редактор А. А. СЕНКЕВИЧ

ПРЕДИСЛОВИЕ
В «Сборнике задач по теоретической физике»
собраны задачи, значительная часть которых
предлагалась в течение ряда лет на практиче-
практических занятиях, проводимых по курсам клас-
классической механики, электродинамики, квантовой
механики и статистической физики в Киевском
ордена Ленина государственном университете
им. Т. Г. Шевченко. Содержание пособия соот-
соответствует программе этих курсов для универ-
университетов, утвержденной Министерством высшего
и среднего специального образования СССР.
При составлении этого сборника был в ос-
основном использован «Курс теоретической физи-
физики» Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, а также
другие учебники и учебные пособия, рекомен-
рекомендованные программой по курсу теоретической
физики для университетов. Некоторые задачи
были взяты из уже опубликованных сборников
задач, список которых приведен в конце книги,
но многие задачи являются оригинальными.
Авторы отмечают, что решение приводимых
в сборнике задач предполагает твердое знание
основ курса теоретической физики, которые
кратко изложены в каждом разделе данного по-
пособия. Задачи даны в Международной системе
единиц СИ.
Авторы отдают отчет в том, что первому
изданию этого сборника присущи некоторые
недостатки, а поэтому заранее благодарят тех
лиц, которые своими предложениями и заме-

чаниями будут способствовать его улуч-
улучшению.
Раздел задач по классической механике со-
составлен А. М. Федорченко, по электродинами-
электродинамике— в. И. Сугаковым, по статистической фи-
физике и термодинамике —Л. Г. Гречко, по кван-
квантовой механике—О. Ф. Томасевич.
Авторы

P A 3 Д Е Л I
КЛАССИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, ФОРМУЛЫ И ПОНЯТИЯ
Механика систем с конечным числом степеней свободы. Под час-
частицей в механике понимается материальное тело, обладающее массой
т, положение которого в пространстве можно описать тремя коор-
координатами.
Механическое состояние системы п частиц характеризуется зада-
заданием Зга координат и их производных по времени. Закон изменения
состояния механической системы со временем определяется уравне-
уравнениями Ньютона:
т^ = F,, t=l, 2, ..., п, A)
где F, — равнодействующая всех сил, действующих на ?-ю частицу,
включающая как внутренние (силы, источником которых являются
частицы системы), так и внешние силы (силы, источник которых не
включен в систему и величина которых в любой момент времени
считается заданной).
Уравнения A) с точки зрения математики представляют собой
систему Зга дифференциальных уравнений. Поэтому основная задача
механики сводится к решению системы A). Как известно из теории
дифференциальных уравнений, для отыскания однозначного решения
системы A) необходимо задать 6га величин (г°, г?) в некоторый мо-
момент времени. Другими словами, механическое состояние произволь-
произвольной системы в любой последующий момент времени определяется
начальным механическим состоянием (г°, г°) и силами, которые дей-
действуют на каждую частицу системы
Уравнения A) справедливы точько в инерциальных системах
координат. Под инерциальными системами координат понимают такие
системы координат, в которых любая частица, на которую не деист-
вуют силы, т е. изолированная частица, удаленная от других час-
частиц, движется равномерно и прямолинейно. Первый закон механики
утверждает, что такие системы координат существуют.
Силы взаимодействия между двумя частицами определяются по
формуле

в которой отражены их свойства (рис. 1):
2) Р','||г,/;
3) величина силы взаимодействия зависит только от взаимного
расстояния между частицами.
Три закона Ньютона, полученные из опытов и наблюдений над
механическим движением, представляют собой основу классической
механики. Все остальные механические зако-
а v ны и утверждения, справедливые при опре-
определенных • условиях и для определенных мо-
моделей, являются следствиями, вытекающими
из трех законов Ньютона.
В неинерциальной системе координат, т. е.
движущейся ускоренно, уравнения A), вооб-
вообще говоря, не имеют места. Однако и в этом
-у случае можно сохранить вид уравнений A),
/но при этом приходится вводить так назы-
называемые силы инерции, происхождение koto-
koto's рых уже нельзя объяснить действием каких-
рис. 1 либо частиц. Их появление обусловлено тем,
что система координат обладает ускорением.
Уравнение движения частицы в неинерциальной системе координат
имеет вид
где FH = — т (Ro + [<¦> X г] -j- [<•> х [ю х г] ] + 2 [ю х г])—сила инерции;
Ro— ускорение начала координат неинерциальной системы; to—угло-
to—угловая скорость вращения этой же системы координат [см. формулы
B3) и B4)].
Исходя из второго закона Ньютона A) и первого свойства сил
взаимодействия, можно доказать, что производная по времени от
вектора количества движений системы равна сумме всех внешних
сил FBH, т. е.
где р =
dp
•ЗГ=рвн' B)
р = У тр;, п—число частиц в системе. Величину р часто назы-
называют также импульсом.
Если система замкнута, т. е. FBH = 0, то из уравнения B) сле-
следует закон сохранения количества движения:
р = const.
Если ввести понятие координаты центра масс системы по формуле
R==' лг

где М = \ mif то уравнение B) можно записать в виде
MR-=FB, C)
Если система замкнута, т. е. FBH = 0, то из уравнения C) следует
R = const.
Другими словами, скорость центра масс замкнутой системы остается
постоянной.
На основании уравнения B) можно получить уравнение движения
с переменной массой — уравнение реактивного движения. В простей-
простейшем случае, если от массы основного тела происходит отделение
или присоединение масс с одинаковыми скоростями, уравнение реак-
реактивного движения (формула Мещерского) имеет вид
d\ „ dm, dm* ,,ч
где т^—присоединяющаяся масса; щ—ее скорость относительно
движущегося тела переменной массы; та и и2—соответствующие
величины для отделяющихся масс.
Исходя из второго закона Ньютона A) и первых двух свойств
сил взаимодействия, можно доказать, что производная по времени
от вектора момента количества движения системы равна сумме мо-
моментов всех внешних сил N, т. е.
§-^t = i>xF,] = N, E)
где L= У т^-хг,-].
Следует иметь в виду, что радиусы-векторы г,- частиц системы,
входящие в определение момента внешних сил и момента количества
движения, необходимо отсчитывать от одной и той же точки, так
как в общем случае момент внешних сил и момент количества дви-
движения системы зависят от выбора начала координат.
Третий закон Ньютона дает возможность ввести понятие потен-
потенциала сил по формуле
h/=—ViU(rtJ), F)
где функция U (ги) зависит только от расстояния между взаимо-
взаимодействующими частицами.
С помощью понятия потенциала сил можно доказать на осно-
основании законов Ньютона следующую теорему: изменение энергии
механической системы равно работе внешних сил, т. е.
(^иЛ=йА, G)
\ ч J
п п
где, по определению, Т = у ^ m,-f|; dA = ^ (FBH),- cfr>

Для замкнутых систем имеет место закон сохранения энергии:
«у
Если часть внешних сил имеет потенциал V, то формулу G)
можно записать в виде
J 1=1
где f;—непотенциальные силы.
Таким образом, для замкнутой механической системы всегда
существует семь интегралов движения (другими словами, семь функ-
функций координат и скоростей), которые при движении системы оста-
остаются постоянными. В общем случае число интегралов движения, не
зависящих от времени, для замкнутой системы равно 2/—1, где
/—число степеней свободы. Семь вышеупомянутых интегралов дви-
движения играют особую роль в физике. Можно назвать две главные
причины особой роли этих интегралов движения: 1) они существуют
всегда, независимо от количества частиц в системе (в тривиальном
случае одной частицы не все они являются независимыми); 2) их
существование можно доказать также, исходя из фундаментальных
свойств пространства-времени. Так закон сохранения количества
движения следует из однородности пространства (все точки его рав-
равноценны); закон сохранения момента количества движения следует
из изотропности пространства (все направления в пространстве
равноценны); закон сохранения энергии следует из однородности
времени (все моменты времени эквивалентны).
Уравнения движения в форме уравнений Ньютона не являются
единственной формой уравнений движения. С помощью функции
Лагранжа и обобщенных координат уравнениям A) можно придать
следующий вид:
dt
где J?—функция Лагранжа, определяемая как J? = Т—V (Т — кине-
кинетическая, V—потенциальная энергия системы); qt—обобщенные коор-
координаты, т. е. любые координаты, удовлетворяющие единственному
требованию, чтобы декартовы координаты (в которых записана
система уравнений Ньютона) могли быть однозначно выражены
в любой момент времени через них, а именно
ri = rl(qv ..., <7/, t);
где fs—непотенциальные силы, индекс / — число степеней свободы.
8

Если в системе имеются непотенциальные силы, но соответству-
соответствующую им обобщенную силу можно записать в виде
где U—¦ некоторая функция координат и скоростей, то в этом случае
уравнения Лаграыжа II рода принимают вид
где 3? = Т—V-\-U. Например, сила Лоренца
f = eE + e[rxB],
определяемая равенствами
с _ ЗА
В = rot A,
будет непотенциальной силой. Она может бытьчзаписана в виде
где
U =
Уравнения Лагранжа в виде (9) могут быть получены из вариа-
вариационного принципа, который формулируется следующим образом.
Если ввести функционал S, называемый действием, по формуле
то истинное движение будет описываться такими функциями q, (t),
которые обеспечивают минимум функционала S при условии, что
<7,- {tj) и q1 ((г) заданы.
Система уравнений Лагранжа является системой f дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка. Как известно из математики,
систему / дифференциальных уравнений второго порядка можно
свести к системе 2/ дифференциальных уравнений первого порядка.
В механике это делается с помощью введения функции Гамильтона,
которая является функцией обобщенных координат и импульсов.
Обобщенные импульсы определяются формулами:
дХ
Так как функция Лагранжа является квадратичной функцией
обобщенных скоростей, то формулы A1) дают однозначную линейную
Связь между обобщенными скоростями и обобщенными импульсами.
Ч

Функция Гамильтона связана с функцией Лагранжа следующим
образом:
Н (pt. qt. t) = j^ pfli-2 (qlt qlt t), A2)
причем в правой части формулы A2) следует заменить все обобщен-
обобщенные скорости через обобщенные импульсы по формуле A1).
Канонические уравнения Гамильтона имеют вид
• дН .
• дН
Система уравнений A2) является системой 2/ дифференциальных
уравнений первого порядка.
В некоторых случаях взаимодействие тел носит своеобразный
характер—характер связей. В этом случае связи накладывают опре-
определенные ограничения на изменение координат или скоростей. Суще-
Существует довольно широкий класс так называемых голономных связей,
т. е. таких ограничений на координаты, которые можно выразить
алгебраическими уравнениями:
f.(xlt ...,х„, t) = 0, a=l,2 s. A5)
Это уравнения связи.
В этом случае для решения задач механики можно пользоваться
или уравнениями Лагранжа II рода, если ввести такие обобщенные
координаты, при которых уравнения связей удовлетворились бы
автоматически, или уравнениями Лагранжа I рода, представленными
в виде
тй = Р,+ 2! W.» A6)
которые необходимо решать совместно с уравнениями связи A5).
Если произведение—m,-r,- назвать силой инерции, то можно сфор-
сформулировать следующий принцип Даламбера: движение системы про-
происходит так, что в каждый момент времени сумма работ всех сил,
включая и силы инерции, на виртуальных перемещениях равна
нулю, т. е.
2(F,-m,r,.Nr, = 0. A7)
При отсутствии связей из этого принципа следуют уравнения
Ньютона A); в случае идеальных связей из этого принципа следуют
уравнения Лагранжа I рода.
Если система точек покоится при наложенных на нее связях, то
принцип A7) принимает следующий вид:
10

Это выражение называют статическим принципом виртуальных
перемещений. Этот принцип является основой статики: добавив
к нему уравнения связей, можно найти условие равновесия системы
точек.
Решение системы уравнений A) дает полную информацию о ме-
механическом состоянии системы, состоящей из любого числа частиц
с произвольным законом взаимодействия. Однако практически реше-
решение даже задачи трех тел (например, задачи о движении трех частиц,
взаимодействующих по закону Кулона) представляет собой чрезвы-
чрезвычайно трудную математическую проблему. Поэтому для решения
задач прибегают к различным приближенным методам или моделям,
которые в той или иной степени отражают свойства реальной системы.
Одной из таких моделей является модель абсолютно твердого тела.
Под абсолютно твердым телом в механике понимают систему из мно-
многих частиц, взаимное расположение которых остается неизменным
в течение всего времени движения. Такое тело выступает при дви-
движении как единое целое.
Абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы, которые
можно выбрать следующим образом. Зададим положение произволь-
произвольной точки О твердого тела в какой-нибудь
инерциальной системе координат XYZ (рис.
2). Точку О называем полюсом. В част-
частности, полюс может совпадать с центром
масс твердого тела, который определяется
следующим образом:
м
A8)
I
•-у
Рис. 2
Координаты полюса (Хо, Yo, Zo) состав-
составляют три координаты, описывающие посту-
поступательное движение твердого тела. Если
закрепить полюс О, то твердое тело может
вращаться вокруг этого полюса, что выразится в изменении ориен-
ориентации координатной системых'у'г', жестко связанной с твердым телом.
Ориентацию одной системы координат по отношению к другой можно
задать матрицей поворота а,у-, с помощью которой выражается связь
между ортами двух декартовых систем координат:
A9)
Матрица поворота обладает свойством
3
B0)
П

С помощью матрицы поворота связываются компоненты любого
вектора F в разных системах координат:
Fx = auF'x + al2F'y + auF'z,
Так как между девятью компонентами матрицы поворота а,у
существует шесть соотношений B0), то ее можно выразить через три
независимых параметра. В качестве независимых параметров поль-
пользуются углами Эйлера 6, -ф, ф (рис. 3). Их области изменения будут
0 <[ 0 <Г л; Os^tJjs^ 2л; 0 ^ ф ^ 2л.
Матрица поворота выражается через углы поворота следующим
образом:
/ cos -ф cos ф — sin i|) cos в sin ф,
/ — sin ф cos 8 cos ф — cos -ф sin ф, sin ф sin 9
06,7 ~\ s'n ty cos f ~b cos ty <S ^ s'n Ф'
\ cos i|) cos 8 cos ф — sin -ф sin ф, — cos i|j sin в
\з1п6з1пф, cos <p sin в, cos 0 '
B2)
Таким образом, совокупность трех независимых координат полюса
Хо, У„, Zo, характеризующих поступательное движение твердого
тела, и совокупность трех углов Эйлера
в, ф, г|), характеризующих вращательное
движение вокруг полюса О, образуют шесть
координат абсолютно твердого тела, пол-
полностью и однозначно определяющих его
-у положение в пространстве.
Соответственно, производные по време-
времени от этих координат характеризуют ско-
скорость движения твердого тела. Однако
для характеристики скорости вращения
в механике твердого тела пользуются не
производными G, ф, ij), а вектором угло-
угловой скорости W, который вводится с по-
Рис. 3
мощью формул Пуансо:
§=[o>xi']; f = [юхГ]; ^=[«хк'], B3)
где Г, j', к' —орты системы координат, жестко связанной с твердым
телом. Можно получить выражения компонент вектора угловой ско-
скорости через углы Эйлера и их производные по времени
8 cos ф
—0 sin
sin 8 sin ф,
B4)
Это кинематические уравнения Эйлера.
12

Используя определение количества движения для системы частиц
B), можно получить следующую формулу для количества движения
твердого тела:
P = M(R04[«xRJ), B5)
где М—масса твердого тела, Rc находится по формуле A8).
Исходя из определения момента количества движения для системы
частиц E), можно получить следующее выражение для момента
количества движения твердого тела по отношению к началу инер-
циальной системы координат XYZ:
L = M[RoxR0] + M[R,xR0] + MRox[u>xRc] + Lbp, B6)
где R,,—координата центра масс по отношению к полюсу (Rc = 0,
если за полюс выбран центр масс). Последний член в формуле B6)
представляет собой момент количества движения по отношению
к полюсу О.
Если ввести понятие тензора момента инерции, определяемого
следующими интегралами:
B7)
= J*x = ~~ И $
то компоненты LBP выразятся через компоненты вектора угловой
скорости ш с помощью тензора момента инерции формулой:
3
<LBP), = 21 Jtjvj. B8)
Исходя из определения кинетической энергии для системы ча-
частиц G), можно получить следующее выражение для кинетической
энергии абсолютно твердого тела:
4). B9)
Всегда можно выбрать такую систему координат (связанную
с твердым телом и произвольным началом), в которой симметричный
тензор момента инерции будет иметь только диагональные компонен-
компоненты. Такая система называется главной системой координат. В этой
системе координат формулы B8) значительно упрощаются и записы-
записываются в виде:
L1 = J1a1; L2 = /2(o2; L3 = J3a>3. C0)
Формула для кинетической энергии вращения также принимает упро-
упрощенный вид
i) =±(JM + J*<»l + J3<»l). C1)
13

Уравнения движения для абсолютно твердого тела можно полу-
получить, используя следствия из закона Ньютона B) и E). В случае,
когда центр масс выбран за полюс, эти уравнения приобретают вид:
C2)
где индексы 1, 2, 3 означают компоненты векторов по осям главной
системы координат; Хо, Yo, Za—координаты центра масс в этой же
системе координат. Моменты сил, входящие в равнодействующий
момент сил N, берутся относительно центра масс (полюса).
Система C2) шести уравнений представляет собой полную систему
дифференциальных уравнений для нахождения шести функций X (t),
Y (t), Z(t), ф@. 9@' Ч*@- Как видно из этой системы, характер
движения твердого тела зависит не только от массы, но и от ее
распределения, так как моменты инерции Jlf J^t У3 зависят от формы
тела и распределения плотности его вещества.
Другой способ составления уравнений движения абсолютно твер-
твердого тела заключается в составлении функции Лагранжа; выражение
для кинетической энергии дается формулой B9). По заданным силам
можно найти соответствующие им потенциалы и составить функцию
Лагранжа, а затем уравнения Лагранжа II рода.
Механика сплошных сред. При изучении движения абсолютно
твердого тела предполагалось, что расстояния между частицами, из
которых состоит твердое тело, остаются неизменными. Однако, как
хорошо известно из опыта, существует довольно обширный класс
механических состояний твердого тела (деформация, распространение
звука), которые не могут быть описаны моделью абсолютно твердого
тела, и мы вынуждены учесть внутреннее движение частиц твердого
тела относительно друг друга.
Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении механиче-
механического движения жидких и газообразных тел. Основное отличие меха-
механического движения жидких и газообразных тел от механического
движения упругого твердого тела заключается в том, что частицы
жидкости и газа при своем движении могут смещаться на большие
расстояния от своего первоначального положения. Другими словами,
жидкостям и газам, в отличие от упругих тел, присуще свойство
текучести. Часто жидкости, газы и упругие тела обозначают одним
термином—сплошные среды.
14

При изучении движения жидкостей, газов и твердых тел можно
поступать двояким образом: либо описывать их как систему, состоя-
состоящую из большого числа частиц, приписав каждой частице коорди-
координату, либо рассматривать их как сплошные среды, т. е. перейти от
дискретного распределения частиц к непрерывному, как это делается
при введении таких понятий как плотность.
Одним из основных понятий механики сплошных сред является
понятие векторного поля скоростей. Под векторным полем скоростей
понимают такую векторную функцию координат и времени v (x, у, z, t),
которая дает значение скорости тех частиц сплошной среды, которые
в момент времени t проходят точку пространства, характеризуемую
координатами х, у, г. Таким образом, скорость v(x, у, г, t) не от-
относится ни к какой частице в отдельности, а характеризует движение
всей сплошной среды в целом.
Уравнения движения сплошной среды можно получить, применяя
закон изменения количества движения со временем B) к произволь-
произвольному объему сплошной среды. На произвольный объем сплошной
среды действуют силы двух видов: 1) поверхностные силы со стороны
остальных частей сплошной среды, определяемые по формуле
V, C3)
где Pij—тензор натяжений, п}—компонента внешней нормали к по-
поверхности выбранного объема; 2) объемные силы (примером которых
может быть сила тяжести), которые можно записать в виде объем-
объемного интеграла
(F«6)t=\f&M> C4)
где р—плотность сплошной среды, /,-—объемная сила, действующая
на единицу массы.
Уравнение движения сплошной среды имеет вид
C5)
Для того чтобы выполнялся закон изменения момента количества
движения со временем, необходимо и достаточно, чтобы тензор на-
натяжений был симметричным, т. е.
Pi/ — P/i-
Исходя из закона сохранения массы можно получить соотноше-
соотношение, связывающее поле скоростей с плотностью:
g + divpv=0. C6)
Это уравнение непрерывности.
Если сплошная среда несжимаемая, то из уравнения непрерыв-
непрерывности следует условие несжимаемости
divv = 0, C7)
15

которым часто пользуются при решении задач о течении жидкости
и даже газа.
Для того чтобы система уравнений была полной, к ним необхо-
необходимо добавить термодинамическое уравнение энергии
g;|C8)
где е—внутренняя термодинамическая энергия единицы объема жид-
жидкости; j= —к\Т — вектор плотности потока тепла.
Для того чтобы иметь возможность решить уравнение C5), необ-
необходимо знать тензор натяжений ри-. Для вязких жидкостей и газов
его можно записать в виде
(^|?) C9)
Подставляя это выражение в C5), получаем уравнение Навье —
Стокса:
[5 ] D0)
где г|—коэффициент сдвиговой вязкости, Z,—коэффициент объемной
вязкости. Для несжимаемой жидкости система уравнений гидроди-
гидродинамики имеет вид
[
} divv = 0.
Уравнения D1) — уравнения в частных производных. Поэтому для
решения системы D1) необходимо задать начальные и граничное
условия. В качестве граничных условий принимают условие «прили-
«прилипания» (vrp = 0) на неподвижных стенках.
Для несжимаемой жидкости уравнение C8) не связано с системой
D1). Оно служит для нахождения температуры как функции коор-
координат и времени (см. задачи 106, 108).
Из общего уравнения движения для сплошной среды C5) можно
получить также уравнение движения для упруго деформируемого
твердого тела. Упруго деформируемое тело характеризуется тем, что
даже при довольно сильных внешних воздействиях его частицы мало
смещаются из положений равновесия и при снятии внешнего воздей-
воздействия опять возвращаются в исходное положение. Поэтому можно
положить
aT + (W)v«^, - D2)
где и (х, у, г, t) — вектор смещений, характеризующий смещение ча-
частей упруго деформируемого тела из положения равновесия.
Малые деформации упруго деформируемого тела можно характе-
характеризовать симметричным тензором деформаций:
16

Связь тензора напряжений с тензором деформаций выражается
законом Гука-
з
Pu=$=hiki*u> D4)
где "Kiikl — тензор четвертого ранга упругих постоянных, обладающий
следующими свойствами симметрии:
D5)
В общем случае благодаря свойствам симметрии D5) имеется лишь
зависимая упругая постоянная. Благодаря свойствам симметрии
В общем случае благодаря свойствам симметрии D5) имеется лишь
21 независимая упругая постоянная. Благодаря свойствам симметрии
соотношение D4) можно переписать в виде
= ct,sf, S/ =
D6)
где индекс i принимает шесть значений:
i=l соответствует (хх), 1 = 2 — (г/г/),
t = 3—B2), t = 4—(г/г), i = 5—(хг), i = 6 — (xy).
Таким образом, Ххяхх = сп, Ъххуу = схг, Ххуху = сее и т. д.
Благодаря свойствам пространственной симметрии количество
независимых упругих постоянных может уменьшаться. Для кубичес-
кубического кристалла, например, число независимых упругих постоянных
равно трем и матрица си имеет вид
с„ О
•-и
-12
О
о
о
с12 сп
О О
о о
о о
44
О с.
0 1
о
о
о
о
Изотропное твердое тело характеризуется всего двумя упругими
постоянными и закон Гука для него можно записать в виде
Общее уравнение движения и равновесия упруго деформируемого
тела имеет вид
Р -z7T = -ir^ + Pfi' D8)
где pij даются формулой D4).
Поток звуковой энергии за единицу времени через единицу пло-
площадки (интенсивность) определяется формулой
-= — Ри и,.
17

Среднее по времени значение вектора S для бегущих монохрома-
монохроматических волн в изотропной среде равно
s =4-
D9)
где v3S—соответствующая скорость звука (продольная или поперечная),
р — плотность вещества, со — частота, и0 — амплитуда звуковой волны.
Для изотропного тела формула D8) с учетом D7) принимает вид
E0)
Граничные условия для задач теории упругости имеют вид
(«)i = (")»; (Pijn/)} = (Pijnj),v E1)
tij—компонента внешней нормали к поверхности двух сред I и II.
Первое условие означает неразрывность сплошной среды, а второе
выражает свойства сил взаимодействия.
• -X
§ 2. ЗАДАЧИ
1. Частица, имеющая массу m и заряд е, влетает в однородное
стационарное электрическое поле Е со скоростью v0, перпендикуляр-
перпендикулярной к направлению поля. Определить траекторию движения частицы.
2. Частица с массой т и зарядом е попадает в однородное тор-
тормозящее электрическое поле Е со скоростью v0, параллельной направ-
направлению поля. Определить время, через
которое частица вернется в началь-
начальную точку.
3. Частица с массой т и заря-
зарядом е попадает в однородное стацио-
стационарное магнитное поле Н со ско-
скоростью v0, перпендикулярной к на-
правлению магнитного поля. Опре-
Определить траекторию движения час-
частицы.
4. Частица с массой т и заря-
зарядом г попадает в однородное элект-
электрическое поле, меняющееся по закону
Е — E0cos со/ со скоростью v0, перпен-
перпендикулярной к направлению электрического поля. Определить траек-
траекторию движения частицы.
5. В некоторой области пространства одновременно имеются одно-
однородные и стационарные электрическое и магнитное поля с векто-
векторами Е и Н, угол между которыми равен а. Частица с массой т
и зарядом е, имеющая начальную скорость vu, попадает в это про-
пространство. Определить траекторию движения частицы.
6. В пространстве 0 < г/</; —oo<x< + oo; —сю<г< + оо
создано однородное стационарное магнитное поле, направленное вдоль
оси 0Z («магнитная стенка»). Частица со скоростью v0, имеющая массу т
18
/
1
0
n
/
I.
/
Рис. 4

и заряд е, влетает в магнитное поле под углом а к плоскости хОг.
Угол между осью 0Z и проекцией скорости v0 на плоскость хОг
равен Р (рис. 4).
1. Найти критерий прохождения (или отражения) частицы через
магнитную стенку.
2. Найти направление, в котором полетит частица, пройдя через
магнитную стенку.
3. Найти направление отражения частицы от стенки и определить
условия, при которых законы отражения будут совпадать с опти-
оптическими законами отражения.
7. Пучок электронов влетает в пространство между двумя парами
отклоняющих пластин, на которые поданы напряжения: Ux — U1 sin co^
U
Y
у/-1
36-,.
¦a
/
Рис. 5
на вертикальные пластины и Uy —
— U\cosat на горизонтальные. Опре-
Определить траекторию электронного луча
на экране (рис. 5), если все элект-
электроны перед влетом имели начальную
скорость v0, параллельную всем плас-
пластинам; длина отклоняющих пластин
равна /, расстояние от отклоняющих
пластин до экрана равно /.
8. Составить и проинтегрировать
уравнения движения гармонического
осциллятора, находящегося в однородном стационарном магнитном
поле Н и обладающего электрическим зарядом е (классический эф-
эффект Зеемана).
9. Составить и проинтегрировать уравнения движения частицы
при условии задачи 1, считая что на частицу действует еще и сила
сопротивления, пропорциональная первой сте-
j \м пени скорости: R =—ух.
10. Составить и проинтегрировать уравнения
движения частицы при условии задачи 3, счи-
считая, что на частицу действует еще и сила сопро-
сопротивления, пропорциональная первой степени ско-
скорости: R = — ух.
11. Груз массы М падает без начальной ско-
скорости с высоты Н на спиральную пружину
¦^ (рис. 6). Под действием упавшего груза пру-
пружина сжимается на величину h. Вычислить время
сжатия пружины, пренебрегая массой пружины
и силами трений.
12. Тело массы т падает в воздухе без на-
начальной скорости. Считая сопротивление воздуха
пропорциональным квадрату скорости: R — yv2, определить скорость
тела и его координату как функции времени. К какому пределу
стремится скорость с течением времени?
13. Цилиндр массы М, радиуса г и высоты h, подвешенный на
пружине, верхний конец которой закреплен, погружен в вЪду (рис. 7).
В положении равновесия цилиндр погружается в воду на половину
19
/
Рис. 6

своей высоты. В некоторый момент времени цилиндр был погружен
в воду на 2/3 своей высоты и затем без начальной скорости пришел
в движение по вертикальной прямой. Считая жесткость пружины
tMM равной с, а плотность воды р, найти уравнение дви-
движения цилиндра относительно положения равновесия.
14. Тело падает на Землю с большой высоты h.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти время Г,
по истечению которого тело достигнет поверхности
Земли, и скорость ь, которую оно приобретет за это
время. Радиус Земли равен R.
' 15. Тело массы т, брошенное с начальной ско-
скоростью va под углом а к горизонту, движется под
влиянием силы тяжести и сопротивления воздуха R.
Считая сопротивление пропорциональным первой сте-
степени скорости: R = — у\, проинтегрировать уравне-
уравнения движения тела, определить наибольшую высоту h, а также рас-
расстояние по горизонтали до наивысшего положения.
16. Частица массы т движется по закону x = acos(at, y — bsma>t.
Определить силу, действующую на частицу в каждой точке траектории.
17. Частица массы т движется по траектории
Рис. 7
с ускорением, параллельным оси 0Y. В момент времени t==0 частица
находилась в точке jc —0, г/ = Ь и имела скорость v0. Определить
силу, действующую на частицу в каждой точке траектории.
18. Найти уравнение вынужденных колебаний гармонического
осциллятора при наличии силы трения, пропорциональной первой
степени скорости, под действием вынуждающей силы / = /„?-"* cos со/.
19. При каких условиях график движения частицы массы т под
действием упругой силы пгса^г и силы трения —туг имеет вид,
х изображенный на рис. 8 (т. е.
частица стремится к положению
равновесия, пройдя сначала через
него)?
I
Рис. 8
Рис. 9
Доказать, что в этом случае существует одно максимальное (не
равное начальному) отклонение от положения равновесия.
20. Определить закон, по которому будет вращаться мельница
Крукса, если на середину ее лопасти падает пучок электронов с си-
силой тока /0 ускоренных потенциалом Uo (рис. 9). Колесо мельницы
состоит из 6 лопастей радиуса R, шириной /, толщиной d. Плотность
20

вещества р. Трением в подшипниках, а также отражением электронов
и вторичной эмиссией пренебрегаем.
21. Вдоль оси цилиндрического конденсатора (перпендикулярно
к плоскости чертежа) приложено однородное стационарное поле Н
(рис. 10). Какую разность потенциалов следует приложить к кон-
конденсатору, чтобы частицы с зарядом е и массой М, влетевшие во
входную щель, прошли по средней линии конденсатора? Начальная
кинетическая энергия частиц Т. Каким образом рассматриваемая
система может применяться в качестве
масс-анализатора для разделения ионов?
Указание. Поле в цилиндрическом кон-
конденсаторе равно
где rt — радиус внутреннего цилиндра, г2—
радиус внешнего цилиндра; U — разность по- Рис. Ю
тенциалов.
22. Какой диапазон масс однозарядных ионов может пройти .
через систему, описанную в задаче 21, в двух случаях: 1) ?/ = 300 в,
rt —6 см, г2 = 5,4 см, Г —1000 эв, а магнитное поле меняется от
0 до 10000 з; 2) Я- 5000 э, г1 = 6см, гг = 5,4сл<, Г = 1000э8, а по-
потенциал U меняется от 0 до 20 000 в.
23. Относительное движение двух частиц, взаимодействующих по за-
закону Кулона ( U = — ), описызается коническим сечением с параметрами
Z
/2 / 9Ff2
Р ~ ц | а | ' е - V 1 "Г" |ш2 '
где L—момент количества движения, ]\, — приведенная масса, Е —
энергия относительного движения. Доказать, что энергия Е, хотя и
может быть отрицательной, имеет такую
нижнюю границу, что всегда е2 > 0.
24. Выразить период обращения спут-
спутника вокруг Земли через различные пара-
параметры.
25. Найти траекторию частицы массы т,
движущейся во внешнем поле, потенциал
которого равен 11 = —Ь-^ •
Определить условия, при которых час-
частица может: 1) попасть в начало коорди-
координат, 2) уйти в бесконечность (рассеяться) и 3) совершать периодичес-
периодическое движение.
26. При условиях задачи 25 определить зависимость прицельного
расстояния s от угла рассеяния Ф.
27. Частица массы т с энергией Е совершает одномерное движе-
движение в потенциальном поле U{x). Определить период движения ча-
частицы (рис. 11).
21
рис

28. Определить период одномерного движения чавтицы массы
m с энергией Е в потенциальном поле вида
U = -X (-U0<E<0).
29. Определить период одномерного движения частицы массы т
с энергией Е в потенциальном поле вида U = U0 tg3ax.
30. Найти траекторию движения частицы массы т с энергией Е
в поле U = ~р (а > 0).
31. Найти угол рассеяния и эффективное сечение рассеяния час-
частицы с энергией Е в поле U = -^ (а > 0).
32. Показать, что в задаче о взаимодействии двух частиц по
закону Кулона векторная величина
есть интеграл движения; здесь v—относительная скорость, г —от-
—относительная координата, L = p.[rxv]—момент количества движения,
связанный с относительным движением, a—постоянная в законе
Кулона.
33. Определить зависимость скорости движения ракеты под дей-
действием одной лишь реактивной силы, если известен закон измене-
изменения массы ракеты со временем, а относительная скорость выброса
массы равна ut (формула Циолковского).
34. Первая космическая скорость определяется как минимальная
скорость, которую необходимо придать телу, чтобы оно стало искус
ственным спутником планеты. Вторая космическая скорость опреде-
определяется как минимальная скорость, которую должно иметь тело, чтобы
выйти из сферы влияния планеты. Найти первую и вторую косми-
космические скорости для Земли и Луны.
35. Определить конечную (при t—>-оо) амплитуду колебаний
гармонического осциллятора массы т после действия сил вида
(без учета трения):
f <*<Г и F = F0 при 7 < I <оо,
2) F = Fojr при 0 < t < Т и F = 0 при Т < / <oof
3) F = F0 при 0 <t <Т и F = 0 при Т <t <oo,
4) F = Fosma)t при 0 < / <Г = ~2- и F = 0 при Т <( <^оо
До момента действия силы осциллятор покоится в положении
равновесия.
36. Частица массы ягг с начальной скоростью vx налетает на
частицу массы гпг и рассеивается на угол 6. Найти угол рассеяния Ф
в системе центра масс, переданную часть кинетической энергии и
отношение масс, при котором передаваемая энергия будет макси-
максимальной.
22

37. Частица массы т движется под действием внешней силы
F—ktnr, где г—радиус вектор частицы Начальное положение час-
частицы г0, а ее начальная скорость v0 направлена перпендикулярно
вектору г0. Определить траекторию частицы.
38. В задаче 13 проинтегрировать уравнение движения цилиндра,
если сопротивление воды пропорционально первой степени скорости.
FTp=-av.
39. Доказать, что момент количества движения системы п час-
частиц не зависит от выбора точки, относительно которой он вычис-
вычисляется, если полный вектор количеств движения равен нулю.
40. Доказать, что момент сил, приложенных к системе п частиц,
не зависит от выбора точки, относительно которой он вычисляется,
если равнодействующая всех сил, приложенных к системе,
равна нулю.
41. Атом состоит из ядра массы М и п электронов
одинаковых масс т. Исключить движение центра масс
и свести задачу к задаче движения п частиц Найти
функцию Лагранжа рассматриваемой системы
42. В задаче 41 кинетическая энергия, входящая
в функцию Лагранжа, не имеет вида суммы квадра-
квадратов. Доказать, что кинетическая энергия, выражен-
выраженная через координаты Якоби, имеет вид суммы квад-
квадратов. Координаты Якоби определяются следующими формулами
Рис 12
Pi = ~ Г1
— Г1 Г2>
. «ЛЧ-
п*п п
43. Составить функцию Лагранжа диполя, образованного двумя
противоположно заряженными массами пг1 и т2, находящегося в од-
однородном электрическом поле Е
44. Частица массы m движется по внутренней поверхности вер-
вертикального цилиндра радиуса г (рис 12) Считая поверхность
цилиндра абсолютно гладкой, определить силу давления частицы на
цилиндр Ее начальная скорость vn составляет угол а с горизонтом
45. В предыдущей задаче найти закон изменения координат час-
частицы со временем, если в начальный момент времени частица нахо-
находилась на оси ОХ
46. Труба АВ вращается с постоянной угловой скоростью вокруг
вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол а (рис 13)
В трубе находится шарик массы m Определить характер движения
этого шарика, если его начальная скорость равна нулю и начальное
расстояние от точки О равно а. Трением пренебречь.
28

47. Тонкий прямолинейный однородный стержень длиной / и
массой М вращается с постоянной угловой скоростью ю около не-
неподвижной точки О, описывая при этом коническую поверхность
(рис. 14). Вычислить угол отклонения стержня от вертикали, а так-
также силу реакции в точке О.
Рис. 14
48. На однородную призму А, лежащую на горизонтальной плос-
плоскости, положена однородная призма В (рис. 15). Поперечные сече-
сечения призм—прямоугольные треугольники, масса призмы А в п раз
больше массы призмы В. Предполагая, что призмы и горизонталь-
горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину /, на которую
передвинется призма А, когда призма В, опускаясь по А, дойдет
до горизонтальной плоскости.
Я7»
т1
Рис. 15
Рис. 16
49. Грузы массы т1 и т2 каждый, соединенные нерастяжимой
нитью, переброшенной через блок А, скользят по гладким боковым
сторонам прямоугольного клина, опирающегося на гладкую горизон-
горизонтальную плоскость (рис. 16). Масса клина равна т. Найти переме-
перемещение клина по горизонтальной плоскости при опускании массы тх
на высоту h. Массами нити и блока пренебречь.
50. Электромотор массы М установлен без креплений на гладком
горизонтальном фундаменте. На валу электромотора под прямым
углом закреплен одним концом однородный стержень длиной 2/, на
другой конец стержня насажен точечный груз массы т (рис. 17).
Угловая скорость вала равна о>. Масса стержня Мх.
Определить- 1) уравнение горизонтального движения мотора;
2) максимальное горизонтальное усилие R, которое действовало бы
24

Рие- 17
на болты, если ими закрепить электромотор на фундаменте; 3) найти
условия, налагаемые на угловую скорость <о вала электромотора, при
которой электромотор будет подпрыгивать
над фундаментом, не будучи к нему при-
прикреплен болтами.
51. Ионный реактивный двигатель ис-
испускает ионы, ускоренные разностью по-
потенциалов U. Определить реактивную силу
тяги такого двигателя, если ионный ток
равен /. Масса иона М.
52. Может ли сложная система частиц,
энергия которой по отношению к системе
ее центра масс равна Е, разделиться на две
подсистемы с соответствующими энергиями
Ь1 и ?2?
53. Найти отклонение от вертикали свободно падающего без на-
начальной скорости тела, обусловленное вращением Земли. Сопротив-
Сопротивлением воздуха пренебречь.
54. Записать функцию Лагранжа математического маятника массы
т и длины I, точка подвеса которого движется в вертикальной плос-
плоскости по закону y = y{t) и x = x{t).
55. Записать уравнение для малых колебаний математического
маятника массы т и длины ;, точка подвеса которого колеблется
по вертикали по закону x = acos(at.
56. Механическая система, изображенная на рис. 18, вращается
с постоянной угловой скоростью со вокруг оси АВ. Тело массы тг
может двигаться вдоль вертикальной оси АВ. Найти функцию Лаг-
Лагранжа этой системы и определить положе-
положение равновесия.
57. В задаче 56 определить, какое из
двух положений равновесия устойчивое,
а какое неустойчивое.
V/////////////////M
X WWV
Рис. 19
58. Два математических маятника одинаковой длины (рис. 19)
связаны между собой пружиной с жесткостью с, укрепленной на
расстоянии а от точки подвеса. Определить частоты малых колеба-
колебаний, а также проинтегрировать уравнение движения при условии,
что в начальный момент времени первый маятник был отклонен на
угол ф0 от вертикали.
25

59. Конденсаторный микрофон состоит из последовательно соеди-
соединенных катушки самоиндукции L, омического сопротивления R и
конденсатора, пластины которого связаны
двумя пружинами с общей жесткостью
с (рис. 20). Цепь подключена к элементу
с постоянной электродвижущей силой 4>,
а на пластину конденсатора действует пере-
переменная сила p(t). Емкость конденсатора
в положении равновесия системы С„, рас-
расстояние между пластинами в положении
равновесия а, масса подвижной пластины
конденсатора т. Составить функцию Лаг-
Лагранжа для этой системы и записать урав-
уравнение Лагранжа.
60. Определить положения равновесия системы, заданной в зада-
задаче 59, и частоты малых колебаний.
61. Маятник состоит из жесткого стержня длины / и массы т
на конце (рис. 21). К стержню прикреплены две пружины с жес-
жесткостью с на расстоянии а от точки подвеса. Найти частоту малых
колебаний маятника. Массой стержня пренебречь.
•т
Рис. 20
|vwJ^ -ww-f
km
Рис. 21
у//////////////
Рис. 22
М
62. Предполагая, что маятник, описанный в задаче 61, установ-
установлен так, что масса т расположена выше точки подвеса (рис. 22),
найти частоту малых колебаний и определить
условие равновесия в верхнем положении.
63. Тело массы М, соединенное с пружиной
жесткости с, другой конец которой закреплен
неподвижно, может двигаться без трения по го-
горизонтальной плоскости. К телу прикреплен
математический маятник массы т и длины /
(рис. 23). Найти функцию Лагранжа системы
и определить частоты малых колебаний.
64. Записать функцию Лагранжа математиче-
математического маятника массы т и длины /, точка
подвеса которого движется в горизонтальной плоскости по закону
x = x(t).
65. Записать уравнения движения для малых колебаний матема-
математического маятника длины ;, точка подвеса которого колеблется по
горизонтали по закону х — acosyt.
26
Рис. 23

вв. Однородный стержень BD длины / опирается на стену, как
показано на рис. 24. Его нижний конец В удерживается нитью АВ.
Определить реакцию опор и силу натяжения нити. Сила тяжести
стержня Р.
Рис 24
Рис 25
67. Однородный стержень АВ опирается своими концами на го-
горизонтальную и вертикальную плоскости (рис. 25) и удерживается
в этом положении двумя горизонтальными нитями AD и ВС; нить ВС
находится в одной плоскости (вертикальной) со стержнем АВ. Опре-
Определить реакцию опор и силы натяжения нитей, если сила тяжести
стержня Р.
68. Шарик В массы т подвешен на нити АВ и лежит на по-
поверхности гладкой сферы радиуса г (рис. 26). Расстояние неподвиж-
неподвижной точки А от поверхности сферы равно d, длина нити / Опреде-
Определить силу натяжения нити Т и реакцию сферы N. Радиусом шарика
пренебречь.
А
Рис. 26
Рис
69. Два однородных прямолинейных стержня длины а и Ь каждый
жестко соединены под прямым углом, вершина которого О шар-
нирно соединена с вертикальным валом (рис. 27). Вал вращается
с постоянной угловой скоростью со. Найти зависимость между ю и
углом ф, образованным направлением стержня длины а и верти-
вертикалью.
27

70. На платформе весов в точке F находится груз Р. Длина
АВ -a, BC = b, CD=c, IK = d длина платформы EG = l (рис. 28).
Определить соотношение между длинами Ь, с, d и /, при котором
сила тяжести гири Рг, уравновешивающей груз Р, не зависит от
положения его на платформе; найти также силу тяжести гири в этом
случае.
It Л,
А В С П
/Л*
'//////////////////////////////////77//////,
Рис. 28
Рис. 29
71. На рис. 29 изображена схема прибора для измерения упру-
упругих постоянных твердого тела. Определить зависимость между силой F,
приложенной к образцу К, и расстоянием груза Р от его нулевого
положения О, если при помощи груза Q прибор уравновешен так,
что при нулевом положении груза Р и отсутствии усилия в образце
все рычаги горизонтальны.
72. Два стержня АВ и ОС, вес единицы длины которых равен 2р,
скреплены под прямым углом в точке С (рис. 30).
[Р,
Рис. 30
Стержень ОС может вращаться вокруг горизонтальной оси О',
АС--СВ =-а; ОС-^b. В точках А я В подвешены гири Pt и Рг.
Определить угол наклона стержня АВ к горизонту в положении
равновесия.
73. Три стержня, вес единицы длины которых равен р, скреп-
скреплены под прямым углом в точках В и С (рис. 31). Стержень АВ
может вращаться вокруг горизонтальной оси О, расположенной на
его середине AB=BC = DC = a. Определить положения устойчивого
и неустойчивого равновесия.
74. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых
компонент импульса и момента количества движения L = [rxpJ.
28

75. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент
полного вектора момента количества движения системы п частиц
76. Показать, что {ф, Lz} = 0, где ф — любая скалярная функция
координат и импульса частицы.
77. Показать, что {f, Lz\ = [nxi], где f — любая векторная функ-
функция координат и импульса, а п—единичный вектор в направлении г.
78. Составить функцию Лагранжа и функцию Гамильтона для
заряженного гармонического осциллятора в однородном стационар-
стационарном магнитном поле В.
79. Составить функцию Лагранжа и функцию Гамильтона для двух
заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Выразить
их через координаты центра масс и относительные координаты.
80. Составить функцию Лагранжа и функцию Гамильтона для
системы заряженных частиц, взаимодействующих по закону Кулона
и находящихся во внешнем электромагнитном поле.
81. Составить функцию Гамильтона для случая симметричного
волчка с одной неподвижной точкой в поле сил тяжести (случай
Лагранжа).
82. Тонкий диск массы М может скользить без трения по гори-
горизонтальной плоскости. По диску движется частица массы т. Закон
движения частицы в системе координат, жест-
жестко связанной с диском и с началом в центре
диска, задан в виде x — x{t), y=-y (t). Опре-
Определить закон изменения угловой скорости
диска, если в начальный момент времени он
был неподвижен.
83. По диску, описанному в задаче 82,
движется материальная точка с относитель-
относительной скоростью at вдоль окружности радиу-
радиуса R. Найти уравнения движения диска.
84. Вычислить тензор момента инерции
относительно центра масс следующих моле-
молекул: 1) СН4, структуру которой можно пред-
представить с помощью тетраэдра (четырехгран-
(четырехгранная призма с гранями в виде равносторон-
равносторонних треугольников), в центре которого нахо-
находится атом С, а в вершинах — атомы Н; расстояние СН равно
а--=1,07А; 2) Н2О; структура которой изображена на рис. 32, а;
3) NH3 (см. рис. 32, б).
85. Доказать, что для двухатомных молекул тензор момента инер-
инерции относительно системы координат, начало которой находится
в центре масс, определяется одной величиной J = \ia\ где ц — при-
приведенная масса двухатомной молекулы, а—равновесное расстояние
между атомами.
86. Момент инерции фтористого водорода HF относительно его
центра масс равен 1,37-10~40 г-см2. Определить расстояние между
Рис. 32
29

атомами водорода и фтора, если масса атома водорода Мн = 1 »67 -10 s4 г,
масса атома фтора М? =3,17- Ю~2г г.
87. Определить отношение моментов инерции молекул Нг, HD, Da,
а также отношение их колебательных частот, считая, что потенциал
взаимодействия атомов не зависит от изотопного состава молекулы.
88. Найти главные системы координат, связанные с центром масс,
и главные моменты инерции следующих сплошных однородных тел:
1) стержня в форме прямого параллелепипеда axbxc;
2) шара радиуса R;
3) кругового конуса высоты h с радиусом основания R-r
4) трехосного эллипсоида с полуосями а, Ь, с;
5) полого шара, внешний диаметр которого D, внутренний d;
6) тора, средний радиус которого R, а радиус поперечного сече-
сечения г;
7) полого цилиндра длины I, внешний радиус которого D, внут-
внутренний d;
8) правильной трехгранной призмы, высота которой /, сторона
основания а,
9) правильной шестигранной призмы, длина которой /, сторона
основания а.
89. Составить и проинтегрировать уравнение движения симметрич-
симметричного волчка, вдоль оси симметрии которого приложен постоянный мо-
момент внешних сил N (равнодействующая всех внешних сил равна нулю).
90. Определить компоненты угловой скорости как функции угла
собственного вращения. Найти их максимальное и минимальное зна-
значения (в собственной системе координат) для случая однородного
трехосного эллипсоида, вращающегося вокруг одной из своих осей
(ось А В на рис. 33), причем ось АВ в свою очередь вращается вокруг
направления CD, перпендикулярного к ней и проходящего через
центр эллипсоида.
Рис 33
Рис. 34
91. Решить задачу 90 при условиях, если ось А В составляет
угол а с осью CD, а эллипсоид симметричен относительно оси АВ
(рис. 34).
92. Определить закон движения однородного цилиндра радиуса а,
катящегося по внутренней стороне цилиндрической поверхности
радиуса R (рис. 35).
30

93. Прямой однородный цилиндр массы М, длины / и радиуса г
вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной
оси 0Z, проходящей через центр тяжести цилиндра (рис. 36). Угол
между осью симметрии цилиндра и осью OZ [сохраняет при этом
постоянную величину а, расстоя-
ние между подпятником и подшип- «_
ником равно h. Определить боко-
боковое давление на подшипник и под-
подпятник.
¦К
Рис. 35
94. Записать уравнение движения тяжелого симметричного волчка
(случай Лагранжа) в форме уравнений Эйлера.
95. Найти углы Эйлера как функции времени в задаче об инер-
инерционном вращении симметричного волчка.
96. Найти элементы матрицы поворота, получающегося из трех
последовательных поворотов в положительном направлении (почасо-
(почасовой стрелке). На угол Э вокруг оси ОХ,
На угол -ф вокруг новой оси OY' и на
угол ф вокруг новой оси OZ".
97. Выразить компоненты угловой ско-
скорости через углы, определенные в задаче
96, и их производные по времени.
98. На рис. 37 изображена схема одно-
однорельсовой железной дороги: К—сечение
кузова вагона массы Мх, который движется
равномерно и прямолинейно по одному
рельсу; R — рама, свободно поворачиваю-
поворачивающаяся вокруг горизонтальной оси АХА2.
С рамой жестко скреплен противовес М3.
Маховик М2 на оси BtB2 свободно вра-
вращается в подшипниках. Центр массы махо-
маховика лежит на пересечении осей АХА%
и В1В2.
Доказать, что решения ф = (оо?, 9-=-\|) = 0 являются устойчивыми
решениями уравнения движения однорельсовой дороги (9—угол вра-
вращения маховика М2, \|>—угол поворота рамы с противовесом М3
относительно кузова, <р—угол наклона оси кузова по отношению
к вертикали). Центр тяжести маховика находится на расстоянии hlt
а центр тяжести кузова на расстоянии / от точки О; центр тяжести
противовеса М3 находится на расстоянии h2 от центра тяжести махо-
маховика.
Рис. 37
31

99. Эллиптический неоднородный цилиндр длиной h, состоящий
из двух материалов с плотностями pt и р2, находится на плоской
поверхности (рис. 38). Определить устойчивое и неустойчивое поло-
положения равновесия. Большая и ма-
малая полуоси эллипса основания ци-
цилиндра а и b соответственно.
100. Найти компоненты тензора
деформаций в сферических и ци-
цилиндрических координатах.
101. Определить деформацию
цилиндра, равномерно вращающе-
вращающегося вокруг своей оси с угловой
скоростью ю.
Указание. За плотность силы f необходимо принять плотность центро-
центробежных сил.
102. Найти дисперсионное уравнение для распространения упру-
упругих волн в монокристалле кубической симметрии. Найти фазовые
скорости для упругих волн в двух случаях: распространяющихся
параллельно и перпендикулярно боковым поверхностям куба.
103. Плоская продольная монохроматическая волна падает под
углом 0О на границу изотропного твердого тела и вакуума (рис. 39).
Найти законы отражения и определить отношение перпендикулярной
к поверхности среды компоненты плотности потока энергия в отра-
отраженной продольной волне к такому же потоку в падающей волне.
Рис. 39
Рис. 40
На рис. 39 введены обозначения: и\—смещение продольной падаю-
падающей волны; и\—продольной отраженной волны; urt—поперечной от-
отраженной волны.
104. Решить задачу 103 при условии, что падающая волна — попе-
поперечная и направление колебаний в ней лежит в плоскости падения
(рис. 40).
105. Вязкая несжимаемая жидкость под действием перепада дав-
давления Др = р2—pj течет между двумя бесконечными параллельными
плоскостями, находящимися на расстоянии d друг от друга. Опре-
Определить поле скоростей и давлений в пространстве между плоскостями.
106. Исходя из условий предыдущей задачи, определить распре-
распределение температуры и поток тепла на стенки при условии: 1) ниж-
нижняя и верхняя плоскости поддерживаются термостатом при постоян-
38

Ной температуре То; 2) нижняя стенка адиабатически изолирована,
а температура верхней поддерживается постоянной.
107. Вязкая несжимаемая жидкость находится между двумя коак-
коаксиальными цилиндрами, радиусы которых г1 и гг каждый. Определить
ноле скоростей, в трех случаях: 1) внешний цилиндр вращается
с \ гловой скоростью со1; 2) внутренний цилиндр вращается с угловой
скоростью ©2; 3) оба цилиндра вращаются соответственно с угловыми
скоростями w1 и (о2.
108. При условиях задачи 107 определить поле температур,
если внутренний вращающийся цилиндр теплоизолирован, а внеш-
внешний неподвижный цилиндр поддерживается при температуре То.
109. Записать правую часть уравнений Навье—Стокса в цилин-
цилиндрических и сферических координатах.
110. Безграничная пластинка толщиной d с одной стороны огра-
ограничена жидкостью, с другой — вакуумом (рис. 41). Найти собствен-
собственные значения частоты ю для продольных
звуковых колебаний, считая, что все величины
зависят только от поперечной координаты х.
111. Найти дисперсионное уравнение для Вакуум
распространяющейся в изотропном твердом ....
теле упругой волны вида u = f (г) е'<ш( - **>, \\'.\
гдеЦг)—затухающая функция (волна Рэлея). '.'.'.'.
Исследовать структуру этой волны.
'//////////////у/, i
112. Определить частоты радиальных соб- Жидкость
ственных колебаний упругого шара радиуса Рис. 41
R, помещенного в вакуум.
113. Определить частоту радиальных колебаний сферической по-
полости в неограниченной упругой среде.
114. Определить собственные частоты звуковых колебаний газа,
заполняющего закрытый участок прямолинейной трубы с линейными
размерами a, b, d. Считать трубу абсолютно жесткой.
115. Составить волновое уравнение и найти дисперсионное урав-
уравнение для звуковых волн, излучаемых источником звука, движущимся
с постоянной скоростью v0 относительно жидкости (газа). Найти
частоту, воспринимаемую неподвижным относительно жидкости (газа)
приемником звука.
H6U Какую частоту будет воспринимать приемник звука, движу-
движущийся в жидкости (газе) относительно неподвижного источника звука
(эффект Доплера)?
117. Определить течение жидкости по трубе с кольцевым сечением
(внутренний и внешний радиусы равны гг и г2 соответственно).
118. Вязкая несжимаемая жидкость под действием перепада дав-
давлений Др = р2—pt течет в трубе эллиптического сечения длиной /.
Определить поле скоростей и количество жидкости, протекающей за
единицу времени через поперечное сечение трубы.
119. Вязкая несжимаемая жидкость течет под действием перепада
давления Ар = р2 — рх в трубе круглого сечения. Определить распре-
распределение температуры в жидкости, если стенки трубы поддерживаются
при постоянной температуре То.
2 № 2500

РАЗДЕЛ II
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ, ФОРМУЛЫ И ПОНЯТИЯ
Основными величинами, характеризующими электромагнитное
поле, являются векторы напряженности электрического поля Е и маг-
магнитной индукции В. Напряженность электрического поля определяется
по силе, действующей на некоторый пробный заряд е, из соотно-
соотношения
F-eE; (I)
магнитная индукция—по силе, действующей на элемент проводника d\,
по которому течет ток /:
dF = /[dl, В]. B)
При рассмотрении электромагнитных полей в диэлектриках или маг-
магнетиках, когда поле создается как внешними источниками, так и
электрической поляризацией и намагничиванием среды, удобно ввести
еще две характеристики электромагнитного поля — вектор электриче-
электрической индукции
D = e0E+P C)
и вектор напряженности магнитного поля Н
Н = ——М, D)
где Р — дипольный электрический момент единицы объема, М—маг-
М—магнитный момент единицы объема, е0 и ц0—соответственно диэлектри-
диэлектрическая и магнитная постоянные. Их численные значения равны
^ = 8,85.10-»^-,, E)
[ie = 4n.l0-'^, F)
еоA, = т, где с—скорость света.
Связь между векторами Р и Е, М и Н определяется свойствами
среды. В линейном по полю приближении в общем случае анизотроп-
анизотропной среды имеют место соотношения:
^=eoa,*?*. G)
М, = *лНк. (8)
34

Индексы ink принимают значения 1, 2, 3 и обозначают проек-
проекции вектора на оси х, у и г. В тех соотношениях, где некоторый
индекс встречается дважды, имеет место суммирование по этому ин-
индексу. Здесь alk называется тензором поляризуемости вещества,
%ik—тензором магнитной восприимчивости.
В силу соотношений C), D), G), (8) можно написать выражения,
связывающие векторы D и Е, В и Н:
О^г,кВк, (9)
e,-ii,A, (
где
E« = eoF
— тензор диэлектрической проницаемости,
— тензор магнитной проницаемости.
В изотропной среде соотношения G) — A0) упрощаются к виду
Р = еоссЕ, (Л)
М-хН, A2)
D = eE, A3)
В = цН, A4)
где е = е„A+а)—диэлектрическая проницаемость среды, ц —
~ 1^о A+х) — магнитная проницаемость среды; часто пользуются отно-
относительными проницаемостями e,. = e/e0, nr-=-\iJ\i0.
Исходной системой уравнений электродинамики являются уравне-
уравнения Максвелла, которые в интегральной форме имеют вид:
dS, A5)
A7)
A8)
где j—плотность тока проводимости, р—объемная плотность зарядов.
В дифференциальной форме уравнения Максвелла записываются так
rotH=j+f, A9)
rotE = -§> B°)
divD-p, B1)
divB = 0. B2)
2* 35

На границе раздела двух сред выполняются граничные условия:
D2n-Dla = a, B3)
Еи = E2t, B4)
Вгп=В1а, B5)
[п, Нг —H,l =i, B6)
где п —нормаль к поверхности, проведенная из среды 1 в среду 2.
о—плотность поверхностных зарядов, i — плотность поверхностного
тока, Et—тангенциальная составляющая электрического поля на гра-
границе раздела, Dn и Вп— нормальные составляющие электрической
и магнитной индукции на границе раздела.
В электростатике изучается область электрических явлений, в кото-
которых все величины не зависят от времени и, кроме того, отсутствует
движение зарядов. В этом случае из уравнений A9)—B2) следует
система уравнений электростатики:
rot E = 0, B7)
divD = p. B8)
Уравнению B7) можно удовлетворить, если ввести потенциал элек-
электростатического поля по соотношению
Е = — Щ. B9)
В однородной среде потенциал удовлетворяет уравнению Пуас-
Пуассона:
в случае отсутствия зарядов — уравнению Лапласа
Дср^-0.
На границе раздела двух сред с диэлектрическими проницаемо-
стями et и е2 справедливы следующие граничные условия:
1 = Ф«. C1)
В случае электростатики электрическое поле не проникает внутрь
проводников. Отсюда из соотношения B9) следует, что внутри про-
проводника потенциал постоянен.
Поскольку §^- = 0 внутри проводника, из граничного условия C2)
найдем связь между плотностью поверхностных зарядов на поверх-
поверхности проводника и потенциалом у проводника:
()s- C3)
36

Полный заряд проводника равен
d?dS, C4)
где интегрирование проходит по поверхности S проводника.
Для системы проводников наиболее распространены следующие
постановки задач. Найти потенциал в любой точке системы, если
1) заданы потенциалы проводников ф,:
ф(г)к = Ф,; C5)
2) ?аданы заряды проводников qt. Тогда
q>(r)|s -const.
Si
Большое количество задач электростатики, обладающих цилиндри-
цилиндрической симметрией, решаются с помощью функций комплексного
переменного. Действительная и мнимая части аналитической функции
W (г) = g>-f/У комплексной переменной z — x-^iy являются реше-
решениями, уравнения Лапласа: Л<р = О и AY = 0. Кроме того, выпол-
выполняется соотношение
ftp д? <3ф дЧ> _ п
дх дх + ду ду ~ '
т. е. линии ф — const и W — const ортогональны друг к другу. Таким
образом, ф и Ц> могут быть решениями электростатической задачи.
Если ф (х, у) — потенциал, то линии ? = const — силовые линии,
ортогональные к эквипотенциальным поверхностям. Положим ф = 0
на плавном контуре L. Для того чтобы найти эквипотенциальные
поверхности ф = const, нужно представить уравнение контура L
в параметрическом виде
x = f(P), y = F(P), C7)
где / и F — однозначные функции, и вся область изменения действи-
действительного параметра Р отвечает движению точки вдоль заземленного
проводника. Потенциал ф следует искать в виде
Ф = 1тГ, C8)
a W находится из уравнения г = f(W)-\-iF (W).
Если задано распределение объемных и поверхностных зарядов,
потенциал в точке г равен
На расстояниях, намного превышающих размеры системы, потен-
потенциал зарядов можно представить так
Ф (г) = ф(°> (г) + <р«> (г) + фB' (г) + ..., D0)
37

где ср<0)(г)—потенциал точечного заряда, равного заряду системы:
фA) — потенциал диполя с дипольным моментом р = J p (r) r dV, равный
D3)
?. 1 НАj иЛ Jfc \ f J
i, k
— потенциал квадруполя.
Компоненты тензора квадрупольного момента определяются так:
D4)
Энергия электростатического поля равна
Энергия взаимодействия двух систем зарядов с плотностями за-
зарядов рх и р2 каждая определяется соотношением
4neJ |r,— r2| l '
Явления магнитостатики описываются следующей системой урав-
уравнений:
rotH = l, D7)
divB = 0 D8)
с граничными условиями B5), B6). Уравнению D8) можно удовлет-
удовлетворить, если ввести векторный потенциал
В = rot A. D9)
В однородной изотропной среде векторный потенциал А удовлет-
удовлетворяет уравнению
ДА = -цЬ E0)
При заданной плотности тока j решение этого уравнения имеет вид
^Л". ««>
На расстояниях, намного превышающих размеры системы,
где m—магнитный момент системы, равный
m=4j[r. HOJdV. E3)
36

Энергия статического магнитного поля равна
2
~ 8я J 1г-г'| ' *0*'
Для системы проводников энергию магнитного поля можно пере-
лисать в следующем виде:
W = — V L J К (Ь5)
Коэффициенты L,k при [фк называются коэффициентами взаим-
взаимной индукции, при i-=k—коэффициентами самоиндукции.
В случае медленно меняющихся во времени полей, когда выпол-
выполняются условия
ю<й§—, /<^Х, E7)
где о*—проводимость среды, ю и %—соответственно частота и длина
волны электромагнитных колебаний, / — линейные размеры системы,
система уравнений Максвелла принимает следующий вид:
rot Н = i, rot E = — 5г , /со\
Jl dt ' E8)
divB = 0, divD —p.
В общем случае переменных полей следует решать систему урав-
уравнений A9)—B2). При отсутствии токов проводимости и зарядов эта
система описывает свободное электромагнитное поле. Частным реше-
Иием уравнений Максвелла для свободного поля являются плоские
монохроматические волны, у которых
— «-о с , v-*'-')
H = Hee""-1»'; F0)
=щесь ©—частота электромагнитных колебаний, к — волновой вектор.
В изотропной среде его направление совпадает с направлением рас-
распространения энергии, а по модулю он равен k — — , где v = 1/v— —
фазовая скорость распространения электромагнитных волн.
Поток энергии электромагнитного поля определяется вектором
Умова — Пойгинга :
S = [E, H]. F1)
В случае переменных электромагнитных полей связь между по-
потенциалами и напряженностями электрического и магнитного полей
39

имеет следующий вид:
E = _V<p-f, F2)
В = rot A. F3)
В случае калибровки Лоренца
divA + ец^-О F4)
потенциалы ф и А удовлетворяют уравнениям:
Лф-в|^ —?. F5)
АА~ е^Ж = —М- F6)
Решения уравнений F5), F6) в виде запаздывающих потенциа-
потенциалов записываются так:
1 1 p
F7)
F8)
На больших расстояниях от системы зарядов, значительно пре-
превышающих длину излучающей электромагнитной волны (г^>к),
в вакууме имеют место соотношения:
В =4-[А, п], F9)
Е = с[В, п] = [[А, п], п], G0)
где
fej(^)r. G1)
n — единичный вектор в направлении излучения.
Если, кроме того, длина волны намного больше размеров излу-
излучающей системы зарядов, то электромагнитное поле н-з больших
расстояниях можно представить как сумму полей, излучаемых ди-
диполем, квадруполем и прочими мультиполями. Максимальным по
интенсивности является дипольное излучение. Соответствующее ему
роле определяется соотношениями
В
E=i^ [[p, п], п],
где р — дипольный момент системы.
40

Интенсивность излучения диполя определяется формулой
Магнитная гидродинамика изучает поведение проводящей жидкости
(или газа) в электромагнитных полях. В гидродинамическом при-
приближении движение системы описывается переменными: плотностью,
скоростью, давлением. При низких частотах электромагнитное поле
удовлетворяет уравнениям E8). Уравнения магнитной гидродинамики
записываются так:
^ G4)
§f + pBg, G5)
rotE = -f, G6)
rotH=j, G7)
j=o*(E+[v, B]), G8)
где р„ — плотность вещества, р—давление, г| — вязкость, g—ускоре-
g—ускорение силы тяжести, о*—проводимость, v—скорость.
Сравнения G4—78) следует дополнить уравнениями состояния
жидкости.
Переходим к краткому изложению специальной теории относи-
относительности.
Основные положения специальной теории относительности:
1) скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных
системах координат и равна с = 2*99793 10а м/сек;
2) физические законы одинаковы во всех инерциальных си-
системах.
Применение этих постулатов приводит к следующим следст-
следствиям.
Пусть событие в системе К имеет координаты: хх — х, х%=у,
ж3 = 2, хА = Ш, в системе К': х\ — х', х'а=у', x'3 — z', x\ = ict'. Если
система К' движется относительно системы К в направлении оси х
со скоростью v, то связь между координатами события в разных
системах дается преобразованиями Лоренца:
у' — х
Л3 3 ¦
. _ X, — фх,
G9)
где р ^ у/с.
41

Пусть тело движется относительно системы К со скоростью и.
Тогда его скорость относительно системы К' равна
ux-v
1^иХ i ^UX
С . ^7-Si C (80)
Дифференциальный закон движения частицы под действием силы F
имеет вид
?«F. (81)
где
p = -^L= (82)
— импульс релятивистской частицы, т0 — масса покоящейся час-
частицы.
Совокупность четырех величин, которые преобразуются как коор-
координаты, называется компонентами четырехмерного вектора. Приме-
Примерами 4-мерного вектора могут сложить 4-мерный вектор импульса
f Е \
с компонентами р, i— , где р—импульс, Е—энергия частицы;
волновой вектор и частота в плоской электромагнитной волне, рас-
распространяющейся в вакууме (к, i — ); 4-мерный вектор плотности
тока (j, icp); 4-мерный вектор потенциала (A, i —
Компонентами четырехмерного тензора второго ранга называется
совокупность шестнадцати величин, которые преобразуются к другой
инерциальной системе отсчета путем двукратного применения преоб-
преобразования координат G9). Примерами четырехмерного тензора яв-
является тензор электромагнитного поля, который можно представить
в виде
О сВг —сВу
—cBz О Ш сВх
сВу сВх О
iEx iEy iEz
и тензор энергии-импульса
(а, р, ц, v-1, 2, 3, 4).
42

§ 2. ЗАДАЧИ
Векторный анализ
1. Показать, что
div rot А э= 0, rot grad ф == 0;
Где А и ф произвольные.
2. Доказать векторные соотношения:
а) gradф/ = фgradf+/gradф;
б) div фА = ф div A + A grad ф;
в) rot фА = ф rot А + [gradф, А];
г) div [А, В] = В rot A—A rot В;
д) gradA-B-[A, rotB] + [B, rot A] + (B-V) A + (A-V)B;
е) grad div A = rot rot A + ДА.
3. Вычислить градиент функции /(г), зависящей только от мо-
модуля радиуса-вектора г.
4. Вычислить div r, rot r, rot ф (г) г.
5. Вычислить grad(p-/-), grad-p^, (p?)r, div [p, r], rot [r, p], где
р—постоянный вектор.
6. Вычислить grad А (г) • В (г), div ф (г) А (г), rot ф (г) А (г). Функ-
Функция ф {/¦) и векторы А (г) и В (г) зависят только от модуля радиуса-
вектора г.
7. Записать проекции вектора АА на оси:
а) сферической системы координат; б) цилиндрической системы
координат.
8. Пользуясь теоремой Остроградского—Гаусса, вычислить ин-
интегралы:
= (fr(A-n)dS, l = (f(A-r)ndS,
если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V;
А—постоянный вектор.
9. Показать, что \AdV = 0, если div А —0 внутри объема V,
V
а Ап = 0 на границе объема.
10. Показать, что дивергенция вектора
равна нулю.
11. Найти решение уравнения Лаптаса в сферической системе
координат, зависящее лишь от одной координаты г.
43

Электростатика
12. Определить напряженность электрического поля внутри и
снаружи равномерно заряженного шара. Объемная плотность заряда
равна р, радиус шара R.
13. В равномерно заряженном шаре с объемной плотностью за-
заряда р имеется шарообразная полость, центр которой расположен
на расстоянии а от центра шара. Найти напряженность электриче-
электрического поля внутри полости, внутри шара и снаружи шара. Радиусы
шара и полости равны соответственно R и R'.
14. Определить напряженность электрического поля внутри и
снаружи шара, объемная плотность заряда которого меняется по
закону
где п >—2. Радиус шара R.
15. Найти напряженность электрического поля внутри и снаружи
равномерно заряженного цилиндра радиуса R. Заряд единицы длины
цилиндра равен к.
16. Слой непроводящего вещества, ограниченный двумя парал-
параллельными плоскостями, заряжен до объемной плотности р. Толщина
слоя равна d. Найти напряженность электрического поля внутри
и снаружи слоя.
17. Определить емкость конденсаторов: а) сферического, б) пло-
плоского, в) цилиндрического. Между обкладками конденсаторов нахо-
находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью в.
18. Два длинных цилиндрических проводника с радиусами R1
и /?2 каждый расположены параллельно друг другу на расстоя-
расстоянии d. Рассчитать емкость единицы длины такой системы при усло-
условии, что d^>Rx и d^>R2.
19. Найти уравнение силовых линий двух точечных зарядов е
и —е, расположенных на расстоянии d друг от друга.
20*. Записать комплексный потенциал W однородного электри-
электрического поля с напряженностью Е. Рассмотреть частный случай
поля плоскости с поверхностной плотностью заряда о.
21. Определить потенциал вблизи заземленного угла, образован-
образованного плоскостями X-—Q, у = 0.
22. Определить какой вид имеют эквипотенциальная поверхность
и силовые линии, если потенциал равен
Потенциал какого заземленного контура дается этой формулой?
23. Определить потенциал и вид эквипотенциальных поверхно-
поверхностей, если комплексный потенциал W = lnz.
* В задачах B0)—B7) речь идет о двумерном распределении потенциала.
44

24. Определить, какой физической задаче соответствует по-
потенциал
Найти эквипотенциальную поверхность и силовые линии при а—4).
25. Найти потенциал вблизи заземленной параболы, уравнение
которой
26. Найти потенциал вблизи заземленного эллипса, уравнение
которого
—- + — = 1
fl2 ^ ft2
Рассмотреть предельный случай поля вблизи окружности (в про-
пространственной задаче цилиндра), положив Ъ~а.
27. Найти эквипотенциальные поверхности и силовые линии
вблизи заземленной гиперболы, заданной уравнением
28. Найти потенциал и напряженность электрического поля на
оси плоского кольца равномерно заряженного с поверхностной плот-
плотностью а (внутренний радиус кольца Rlt внешний R2). Рассмотреть
предельные случаи: а) поле плоского диска (/?х—>0) и б) поле
заряженной плоскости (Rx—>-0, R2—>-оо).
29. Определить потенциал, создаваемый электроном атома водо-
водорода, считая, что заряд электрона в основном состоянии распреде-
распределен с объемной плоскостью р =—^е~гг1а, где а—постоянная.
30. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного
заряда в интеграл Фурье.
31. Найти дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет
потенциал
е-г/а
32. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным
в бесконечной среде по закону
р = р0 sin ax sin by sin cz.
33. Точечный заряд е расположен на расстоянии d от проводя-
проводящей заземленной плоскости. Определить потенциал и напряженность
поля такой системы. Найти плотность поверхностных зарядов, инду-
индуцированных на плоскости. Показать, что полный индуцированный
заряд равен —е.
34. Методом изображений найти потенциал электрического поля
заряда q, находящегося внутри прямого угла, образованного двумя
проводящими плоскостями.
45

35. Точечный заряд е находится на расстоянии d от центра за-
заземленной проводящей сферы радиуса R. Определить потенциал
системы методом изображений.
36. Найти потенциал точечного заряда е, находящегося вблизи
изолированного проводящего шара радиуса R.
37. Точечный заряд е находится на расстоянии d от центра сфе-
сферического выступа радиуса R проводящей плоскости напротив той
точки, где выступ наибольший. Центр сферического выступа лежит
на проводящей плоскости. Определить потенциал этой системы.
38. На расстоянии d от центра проводящей заземленной сферы
радиуса R находится диполь р, направленный положительным заря-
зарядом к центру сферы. Найти потенциал системы.
39. Заряд е расположен на расстоянии d от плоской поверхности
бесконечного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью еа.
Среда, в которой находится заряд, имеет диэлектрическую прони-
проницаемость Ej. Определить потенциал ф и вектор электрической индук-
индукции в обеих средах.
40. Центр проводящей сферы радиуса R находится на плоско/;
границе раздела двух диэлектриков с диэлектрическими проницаемо-
стями г1 и е3 каждая. Заряд сферы е. Найти потенциал системы,
вектор электрической индукции и распределение поверхностного
заряда на сфере.
41. Решить задачу 35 при помощи разложения потенциала по
решениям уравнения Лапласа в сферических координатах. Опреде-
Определить плотность поверхностного заряда и полный заряд, наведенный
на сфере.
42. Точечный заряд е находится на расстоянии d от проводящей
сферы, имеющей потенциал V. Найти потенциал вне сферы и поверх-
поверхностную плотность заряда на сфере.
43. Определить потенциал заряженной сферы радиуса R. Поверх-
Поверхностная плотность заряда меняется по закону a = a0cos#.
44. Определить потенциал и напряженность электрического поля
равномерно поляризованного шара радиуса R. Удельный дипольный
момент шара равен Р.
45. В заданном неоднородном электростатическом поле помещена
проводящая сфера радиуса R. Определить потенциал в окрестности
сферы.
46. Диэлектрическая сфера радиуса R находится в однородном
электрическом поле напряженностью Ео. Определить потенциал
электрического поля внутри и снаружи сферы.
47. Проводящая заземленная сфера помещена в однородное элек-
электрическое поле напряженностью Ео. Найти потенциал системы
и плотность поверхностных зарядов на сфере.
48. Сфера равномерно заряжена с поверхностной плотностью сг,
за исключением сегмента у полюса, ограниченного окружностью ft = а.
Найти потенциал внутри и снаружи сферической поверхности.
49. Одна грань прямоугольного параллелепипеда находится под
потенциалом V. Все прочие грани имеют нулевой потенциал. Найти
распределение потенциала внутри параллелепипеда.
46

50. У прямоугольного параллелепипеда со сторонами а, Ь и с
две противоположные грани 2 = 0 и г —с имеют потенциалы Vt и У3.
Остальные грани заземлены. Определить потенциал внутри задан-
заданного параллелепипеда.
51. В полом цилиндре радиуса г0 с проводящими стенками нахо-
дится диск радиуса R, заряженный с поверхностной плотностью а.
Ось диска совпадает с осью цилиндра. Определить потенциал внутри
проводника. Рассмотреть предельный случай точечного заряда внут-
внутри проводника, когда R—>-0, но величина nR2a — e (заряд диска)
остается конечной.
52. Определить потенциал поля, созданного точечным зарядом е
и расположенной на расстоянии d от него однородной плоскопарал-
плоскопараллельной пластинки толщиной а с диэлектрической проницаемостью в.
Рассмотреть частный случай, когда точечный заряд расположен на
поверхности полубесконечного кристалла, и сравнить с решением
задачи 40.
53. Найти квадрупольный момент эллипсоида, равномерно заря-
заряженного по объему с объемной плотностью заряда р.
54. Определить" потенциал точечного заряда е, находящегося
в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектри-
диэлектрической проницаемости.
55. Найти напряженность электрического поля внутри анизот-
анизотропной диэлектрической пластинки, помещенной в однородное
поле Е„.
56. Вычислить энергию взаимодействия электронного облака
атома водорода с протоном. Плотность заряда электронного облака
равна
п = -$— о- zr/a
г ля3
57. Вычислить энергию взаимодействия двух шаров, заряды ко-
которых ех и е% распределены сферически симметричным образом. Рас-
Расстояние между центрами шаров равно а.
58. Если сфера не заряжена, то она погружается в жидкость
меньше, чем наполовину. Какой должен быть нанесен на сферу
заряд, чтобы она погрузилась в жидкость наполовину? Масса
сферы М,-радиус R, плотность вещества ц, диэлектрическая прони-
проницаемость в.
59. Для получения напряженности Е' микроскопического поля,
действующего на молекулу в кубическом кристалле, обычно все
заряды разделяют на две части: заряды внутри некоторой сферы
микроскопических размеров с центром, совпадающим с коорди-
координатой молекулы, и заряды вне сферы. Найти микроскопическое
поле, действующее на молекулу, если заряды разделить не сферой,
а кубом.
60. Найти потенциал заряда е в полностью ионизированной
Плазме. Положительные ионы создают однородный фон, а электроны
находятся в тепловом равновесии с электростатическим потенциалом.
Функция распределения электронов пропорциональна множителю
47

Больцмана e~e^ikT\ число электронов в единице объема равно
где ф — потенциал электростатического поля. Решить задачу для
высоких температур.
Постоянный электрический ток. Магнитостатика.
Квазистационарные явления
61. Обкладки шарового конденсатора, между которыми располо-
расположена проводящая среда с удельной электропроводностью о*, нахо-
находятся под потенциалами фх и <р2 каждая. Вычислить ток через кон-
конденсатор. Найти сопротивление R шарового слоя между обкладками.
Радиусы обкладок гх и г2.
62. Найти закон преломления линий тока на плоской границе
раздела двух проводящих сред с проводимостями а\ и а%.
63. Разность потенциалов между плоскими электродами равна V.
Расстояние между электродами d. Из одного электрода вырываются
электроны до тех пор, пока образовавшийся объемный заряд не
скомпенсирует действие внешнего поля. Найти зависимость плотности
тока от приложенной к электродам разности потенциалов.
64. Найти напряженность магнитного поля внутри и снаружи
цилиндрического проводника, по которому течет ток, равномерно рас-
распределенный по его сечению с плотностью /. Радиус проводника R.
65. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндриче-
цилиндрической полости цилиндрического проводника, по которому течет ток,
равномерно распределенный по его сечению с плотностью /. Оси
цилиндра, образующего полость, и цилиндрического проводника па-
параллельны и находятся друг от друга на расстоянии а.
66. В бесконечном прямом проводнике радиуса R течет ток,
плотность которого равна — при p^?J, где р — расстояние от оси
проводника. Найти векторный потенциал и напряженность магнит-
магнитного поля внутри и снаружи проводника.
67. Найти магнитпае поле плоскости, по которой течет ток
с поверхностной плотностью i, одинаковой в любой точке плоскости.
68. По двум параллельным плоскостям текут поверхностные
токи с плотностью i. Найти напряженность магнитного поля в двух
случаях: а) токи параллельны, б) токи текут в противоположных
направлениях.
69. Вдоль бесконечной прямолинейной полосы, имеющей ширину а,
течет ток, равномерно распределенный по ее ширине с плотностью
поверхностного тока i Найти магнитное поле. Рассмотреть предель-
предельный случай, когда ширина полосы стремится к бесконечности. Срав-
Сравнить с решением задачи 67.
70. По двум бесконечным линейным проводникам, расстояние
между которыми d, текут в противоположных направлениях токи
силой /. Вычислить векторный потенциал системы.
48

71. Найти векторный потенциал и напряженность магнитного
поля, создаваемого током /, текущим по кольцу радиуса R. Иссле-
Исследовать частный случай, когда точка наблюдения находится на оси
кольца.
72. Найти векторы напряженности и магнитной индукции маг-
магнитного поля, создаваемого однородно намагниченным шаром с маг-
магнитным моментом единицы объема М. Радиус шара R.
73. Сферическая оболочка, имеющая внутренний радиус Ru внеш-
внешний R2 и состоящая из вещества с магнитной проницаемостью \i,
помещена в однородное магнитное поле Но. Найти результирующее
магнитное поле.
74. Найти магнитный момент шара, равномерно вращающегося
с угловой частотой Q. Заряд е равномерно распределен по объему
шара. Показать, что гиромагнитное отношение равное—, где т —
масса шара.
75. Сфера радиуса R вращается с угловой скоростью Q вокруг
оси 02. Ее поверхность заряжена с постоянной поверхностной плот-
плотностью заряда а. Найти векторный потенциал и напряженность
магнитного поля внутри и снаружи сферы.
76. Вычислить силу, с которой взаимодействуют два бесконечных
параллельных провода, находящихся на расстоянии d друг от друга,
по которым текут токи 1г и /2. Магнитная проницаемость среды \у.
77. Вычислить силу взаимодействия двух коаксиальных кольце-
кольцевых проводников с радиусами R± и i?2, центры которых находятся
на расстоянии d друг от друга и по которым текут токи /х и /2
^ одинаковых направлениях Проводники находятся в среде с маг-
магнитной проницаемостью \i.
78. Найти самоиндукцию L единицы длины линии, состоящей из
двух коаксиальных цилиндров с радиусами R1 и i?3 (R1 < R2), про-
пространство между которыми заполнено веществом с магнитной прони-
проницаемостью (X.
79. Внутри цилиндра радиуса ??3 находится провод радиуса Rlf
магнитная проницаемость которого равна щ. Между проводом и ци-
цилиндром—среда с магнитной проницаемостью \i2. Определить само-
самоиндукцию единицы длины контура.
80. Диамагнитная восприимчивость единицы объема определяется
формулой
где Ze—заряд ядра атома, е и т—заряд и масса электрона,
JV — число атомов в единице объема, г2—средний квадрат радиуса,
определяемый по формуле
р (г)—плотность заряда в атоме. Определить к для атома водорода,
49

в котором
где а = О,528.1О-1Ол«.
81. Показать, что постоянное однородное магнитное поле В можно
описывать векторным потенциалом А —-^-[Вг].
82. Найти распределение электрического и магнитного полей
внутри цилиндрического проводника, по которому течет периодиче-
периодический ток с частотой со. Проводимость проводника а*.
83. Под действием постоянного магнитного поля Но в магнетике
устанавливается магнитный момент единицы объема Мо параллель-
параллельный Н0.'К системе кроме постоянного поля приложено переменное
магнитное поле перпендикулярное Но и вращающееся с частотой со.
Амплитуда h вектора напряженности переменного поля удовлетво-
удовлетворяет условию /г<^Я0. Определить магнитный момент, созданный
переменным полем в единице объема магнетика.
84. Шар из магнетика находится в постоянном магнитном поле,
напряженность которого внутри шара равна Но. Предполагая, что
размеры шара намного меньше длины волны собственных колебаний
магнитного момента, найти частоту этих колебаний.
85. Найти собственные частоты двух индуктивно связанных кон-
контуров с коэффициентами самоиндукции Lx и L3, коэффициентом взаим-
взаимной индукции Ll2, емкостями Сх и С2 и с равными нулю активными
сопротивлениями.
Распространение электромагнитных волн. Волноводы.
Резонаторы. Магнитная гидродинамика
86. Две плоские монохроматические линейно поляризованные во
взаимно перпендикулярных направлениях волны, имеющие одинако-
одинаковую частоту, распространяются в одном направлении. Амплитуды
первой и второй волн равны Ео1 и Ео2 соответственно. Разность фаз
у волн %. Определить поляризацию результирующей волны
87. Определить затухание электромагнитных волн в среде при
полном внутреннем отражении.
88. Плоскополяризованная волна падает нормально на поверх-
поверхность немагнитной среды, имеющей диэлектрическую проницаемость
е и проводимость сг*. Найти коэффициент отражения R. Рассмотреть
предельный случай хорошего проводника.
89. Определить амплитуды волн, отраженной от плоскопараллель-
плоскопараллельной пластины и прошедшей через нее Толщина пластины d, диэлек-
диэлектрическая проницаемость в. Найти условия, при которых отражение
электромагнитных волн от пластины минимально.
90. Вдоль плоской границы раздела двух диэлектриков, имеющих
противоположные по знаку диэлектрические проницаемости г, и
— |еа|, распространяется поверхностная волна, у которой напря-
60

женность магнитного поля перпендикулярна направлению распрост-
распространения (Я-волна). Определить закон дисперсии такой волны.
91. Электромагнитная волна падает под углом -91 на плоскую
поверхность полубесконечного кристалла, оптическая ось которого
перпендикулярна поверхности кристалла Определить направление
распространения обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле.
92. Среда состоит из упруго связанных заряженных частиц, коэф-
коэффициенты упругости которых различны в трех направлениях. Кон-
Концентрация частиц N. Найти тензор диэлектрической проницаемости
среды.
93. Показать, что если е (га) является аналитической функцией
в верхней полуплоскости комплексного переменного со и стремится
к е0 при больших значениях ]ю], то действительная е'(со) и мнимая
е" (со) части удовлетворяют следующим соотношениям:
, , . 1 n f в"(ш') , ,
е (й))=е„Н—Р \ ¦ , da ,
где Р — главное значение интеграла.
94. Диэлектрическая проницаемость среды, состоящей из сово-
совокупности упруго связанных электронов, равна
, . , Ne9
где N — число электронов в единице объема, е, т—заряд и масса
электрона, fk и соА — постоянные. Показать, что эта формула удовлет-
удовлетворяет дисперсионным соотношениям, приведенным в предыдущей
задаче.
95. Вещество состоит из квазиупруго связанных электронов (кон-
(концентрация N), находящихся в однородном магнитном поле с магнит-
магнитной индукцией Во. На вещество падает линейно поляризованная
монохроматическая световая волна, волновой вектор которой направ-
направлен вдоль магнитного поля. Найти поворот плоскости поляризации
электромагнитной волны, если волна прошла в веществе расстояние /.
96. Система заряженных ангармонических осцилляторов нахо-
находится в переменном электромагнитном поле с частотой со. Потен-
Потенциальная энергия осцилляторов как функция смещения частицы
имеет вид
икг'+
Считая коэффициенты рг;( малыми, найти дипольный момент единицы
объема с точностью до членов, линейных по $i;l и квадратичных по
напряженности электрического поля. Показать, что в дипольном
51

моменте имеются колебания с частотой, удвоенной по отношению
к частоте падающей волны.
Масса осциллятора т, заряд е, собственная частота co0, концент-
концентрация осцилляторов N.
97 Найти нелинейную поляризацию системы, рассмотренной в
предыдущей задаче, если электромагнитное излучение состоит из
двух монохроматических волн с частотами cox и со2.
98. Среда представляет собой систему параллельных цепочек,
состоящих из периодически расположенных осцилляторов с собствен-
собственной частотой со0. Ближайшие соседи в цепочке связаны законом Гука.
Рассмотреть распространение электромагнитных волн вдоль цепочек,
предполагая, что длина электромагнитных волн намного больше рас-
расстояния между осцилляторами. Найти показатели преломления элек-
электромагнитных волн.
99. Найти напряженность, закон дисперсии и граничную частоту
для ТЕ- и ТН-волн в прямоугольном волноводе с идеально прово-
проводящими стенками, имеющими размеры а и Ь.
100. Определить затухание ТН-волн в прямоугольном волноводе
с размерами стенок а и Ь. Проводимость стенок волновода о*, маг-
магнитная проницаемость \х.
101. Наши закон дисперсии электромагнитных волн для волно-
волновода круглого сечения с идеально проводящими стенками. Радиус
сечения R.
102. Показать, что число колебаний в интервале Асо в прямо-
прямоугольном резонаторе с идеально проводящими стенками равно
LLL2A
103. Рассмотреть распространение электромагнитных волн вдоль
круглого цилиндрического диэлектрического волновода с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью е. Радиус волновода R.
104. Определить напряженность электрического поля и собствен-
собственные частоты ТН-волн в прямоугольном резонаторе. Считать, что
стенки резонатора идеально проводящие. Размеры стенок а, Ь и с.
105. Определить электромагнитное поле и собственные частоты
электромагнитных волн в круглом цилиндрическом резонаторе. Ра-
Радиус цилиндра R, расстояние между торцами d.
106. Несжимаемая вязкая проводящая жидкость движется в про-
пространстве между двумя параллельными бесконечными плоскостями,
расстояние между которыми d. Постоянное магнитное поле Но пер-
перпендикулярно плоскостям. Определить распределение скоростей в
жидкости, если течение жидкости стационарно.
107. Проводящая вязкая несжимаемая жидкость находится между
двумя проводящими плоскостями z =0 и z=d. Плоскость с коорди-
координатой z — d движется со скоростью vg в направлении оси ОХ. Одно-
Однородное магнитное поле Но направлено вдоль оси OZ, электрическое
поле Ео направлено вдоль оси OY. Определить распределение ско-
скоростей в жидкости.
108. Ионизированная плазма состоит из ионов и электронов.
Считая, что отклонение средних значений плотности заряда мало,
52

рассмотреть колебания плотности заряда и найти частоту плазменных
колебаний, если частота колебаний настолько велика, что ионы не
успевают двигаться за полем и остаются неподвижными. Магнитными
взаимодействиями и градиентом давления пренебречь.
109. Записать уравнения магнитной гидродинамики в приближе-
приближении, когда малыми величинами являются отклонение плотности ве-
вещества от средней р„ и скорость движения жидкости v. Показать,
что в этом случае существует решение в виде связанных магнито-
гидродинамических волн. Найти скорость распространения волн для
случая, когда скорость движения волны перпендикулярна и парал-
параллельна внешнему магнитному полю Но.
Специальная теория относительности.
Релятивистская электродинамика
ПО Показать, что два последовательных преобразования Ло-
Лоренца в одном и том же направлении перестановочны и эквивалентны
одному преобразованию Лоренца для относительной скорости.
111. В среде, движущейся со скоростью v относительно некото-
некоторой системы К, распространяется плоская электромагнитная волна.
Найти скорость распространения волны в системе К, если показа-
показатель преломления среды равен п. Рассмотреть случай о<^с.
112. Считая, что при малых скоростях частицы выполняется
условие р2<^т2сг, где р— импульс частицы, найти приближенную
зависимость энергии частицы от импульса с точностью до члена
/ ГJ \2
порядка
113. Найти траекторию движения заряженной частицы в одно-
однородном электрическом поле с напряженностью Е„. Рассмотреть пре-
предельный случай малых скоростей.
114 Рассмотреть траекторию движения заряженной частицы в
однородном магнитном поле с напряженностью Но.
115. Найти траекторию движения релятивистской частицы с за-
зарядом ех и массой т в поле неподвижного точечного заряда е2.
116. Частица массы М распадается на две с массами тх и т2.
Найти энергию распавшихся частиц в системе центра инерции.
117. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, найти
кинетическую энергию ^i-мезона с энергией покоя 105,7 Мэв и кине-
кинетическую энергию нейтрино, образовавшихся после распада покоя-
покоящегося n-мезона с массой покоя 139,6 Мэв.
118. Найти закон преобразования энергии и компонентов им-
импульса частицы при переходе к системе, движущейся со скоростью
v относительно первоначальной.
119 Частица, движущаяся со скоростью о, распадается на две час-
частицы, энергии которых в системе центра инерции равны Е1 и Е2. Найти
связь между углом вылета и энергиями частиц в лабораторной системе.
120. Найти связь между направлениями скорости частицы в си-
системах, движущихся с относительной скоростью ь.
53

121. Две частицы с массами покоя т1 и т2 и энергиями Ео1 и Ем
упруго рассеиваются друг на друге. Считая, что вторая частица
покоится, найти связь между углами рассеяния частиц в лаборатор-
лабораторной системе и их энергиями после столкновения Ех и ?3.
122. Определить зависимость частоты фотона, рассеянного на
покоящемся электроне, от угла рассеяния (эффект Комптона).
123. Найти частоту 7"KBaHTai излучаемого покоящимся возбуж-
возбужденным ядром с массой т, если энергия возбуждения ядра равна А?.
124. Показать, что аннигиляция электронно-позитронной пары
с излучением одного ^-кванта запрещена законом сохранения энер-
энергии-импульса.
125. Зеркало движется со скоростью v в направлении, противо-
противоположном собственной нормали. На зеркало падает луч света под
углом #. Определить направление отраженной волны и изменение
частоты света при отражении.
126. Доказать, что если Е и Н перпендикулярны в одной системе
отсчета, то они перпендикулярны и во всех других инерциальных
системах отсчета.
127. Найти систему отсчета, в которой электрическое и магниг-
ное поля параллельны.
128. Получить потенциалы равномерно движущегося заряда по-
посредством релятивистского преобразования статического кулоновского
поля.
129. Найти формулы преобразования для компонент тензора
энергии-импульса.
130. Найти закон преобразования компонент электрического и
магнитного полей в вакууме при переходе к системе, движущейся
со скоростью v.
131. Показать, что волновое уравнение не является инвариант-
инвариантным относительно преобразований Галилея и инвариантно относи-
относительно преобразований Лоренца.
132. Показать, что величина Е3 — Н2 инвариантна относительно
преобразований Лоренца.
133. Показать, что если магнитный момент ц движется со ско-
скоростью v(v<^c), то появляется электрический дипольный момент
Излучение и рассеяние
электромагнитных волн
134. Получить уравнение для потенциалов, создаваемых зарядами
и токами в вакууме при условии div A = 0 (кулоновская калибровка).
135. В тонкой линейной антенне длины d возбуждается ток,
плотность которого равна
j (г,0 - / sin (j~k\г l) 6 (*) s (У) «У""".
54

Вектор е3 направлен вдоль антенны. Определить среднюю за
период интенсивность электромагнитного излучения антенны. Иссле-
Исследовать частный случай, когда в антенне укладывается несколько
полуволн.
136. Найти интенсивность излучения линейной антенны, вдоль
которой бежит волна тока /0 cos (со/ — kz) от точки z — —1/2 до
точки г = 1/2, где она полностью (без отражения) поглощается.
137. Рассмотреть распространение плоских волн в однородном
изотропном диэлектрике, считая, что каждый элемент объема излу-
излучает сферическую волну, которая распространяется со скоростью с.
Определить скорость распространения волн в среде.
138. Плоская электромагнитная волна падает на проводящий
цилиндр радиуса R. Ось цилиндра перпендикулярна волновому век-
вектору электромагнитной волны и параллельна вектору напряженности
магнитного поля. Найти напряженности электрического и магнитного
полей рассеянной волны. Вычислить поток энергии, рассеянной еди-
единицей длины цилиндра.
139. Показать, что дипольное излучение при столкновении двух
одинаковых частиц отсутствует.
140. Найти интенсивность излучения частицы массы т, движу-
движущейся по круговой орбите радиуса а под действием кулоновских
сил. Выразить ответ через энергию частицы.
141. Определить время, в течение которого частица, движущаяся
по круговой орбите, упадет на заряженный центр вследствие потери
энергии на электромагнитное излучение.
142. Определить интенсивность дипольного.излучения двух заря-
заряженных взаимодействующих частиц с зарядами ех и е2, движущихся
по эллиптической орбите. Рассмотреть предельный случай круговой
орбиты и сравнить с результатами задачи 140.
143. Атом излучает электромагнитные волны и находится в воз-
возбужденном состоянии в течение времени т. Зависимость напряжен-
напряженности электрического поля атома ог времени дается формулой
Определить ширину линии, излучаемой атомом.
144. Найти эффективное сечение рассеяния эллиптически поляри-
поляризованной волны с частотой со связанным осциллятором, масса кото-
которого т, заряд — е, собственная частота соо.
145. Исследовать электромагнитное поле, создаваемое плоскостью
г=0, по которой проходит ток с поверхностной плотностью
146. Диполь с моментом р, расположенный в начале координат,
колеблется с частотой со. В точке с радиусом-вектором d (д _]_ р)
находится частица с поляризуемостью р. Найти интенсивность излу-
излучения электромагнитных волн такой системой, предполагая, что
d^% где X—длина волны излучения.
55

147. Диполь с моментом р, колеблющийся с частотой со, нахо-
находится в среде с диэлектрической проницаемостью ех на расстоянии d
от плоской границы двух диэлектриков с диэлектрическими прони-
цаемостями в1 и е2. Найти напряженности электрического и магнит-
магнитного полей, излученных диполем. При вычислении положить d^>K.
148. Частица с зарядом е движущаяся со скоростью v, упруго
отражается от некоторой плоскости. Определить длинноволновую
часть спектра излучения в момент удара.

Р А а Д Е Л III
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ
Состояние микрочастицы, находящейся в потенциальном поле
У (г, t), описывается комплексной волновой функцией ^(r, t), кото-
которая определяется из временного уравнения Шредингера
-fU^r, t) + V{r, t)W(r, 1) = 1%д-Ц^- A)
(m—масса частицы). Если умножить это уравнение на комплексно
сопряженную функцию ^(г, /), а такое же уравнение, написанное
для 4F*(r, t)—на ^(г, t) и вычесть из первого второе, то в резуль-
результате получим так называемое уравнение непрерывности
=0. B)
Это уравнение является дифференциальной формой закона сохранения
величины С14я ja dx и позволяет заключить, что ^(r, t) |2 имеет
смысл плотности вероятности найти частицу в точке г в момент вре-
времени t (вероятность обнаружить частицу в элементе объема йт равна,
следовательно, \~?{r, /)|2dx). Тогда вектор
J = ^OFV4«—WP) C)
представляет плотность тока вероятности.
Из такой трактовки l^i2 вытекают требования, которым должна
удовлетворять функция Чг(г, t): она должна быть однозначной, ко-
конечной во всех точках пространства и непрерывной вместе со своими
первыми производными. Последнее требование (непрерывность про-
производных) может нарушаться только в точках, где потенциальная
энергия имеет разрыв II рода.
Если потенциальная энергия явно не зависит от времени, суще-
существует так называемое стационарное решение уравнения Шредингера,
при котором р = [ W[2 и j не зависят от времени. Это решение имеет вид
-±Bt
W(r, *) = ф(г)-в fc .
Подстановка его в уравнение A) дает стационарное уравнение Шре-
57

дингера
[|! ] . D)
Решения этого уравнения, удовлетворяющие сформулированным
выше условиям, существуют вообще говоря не всегда, а при опре-
определенных значениях параметра Е, имеющего смысл энергии микро-
микрочастицы. Функция т|> удовлетворяет требованиям конечности, одно-
однозначности и непрерывности в некоторых задачах в целом интервале
значений Е (случай непрерывного спектра), в других—только при
определенных дискретных значениях этой величины (дискретный
спектр)
Для состояний в дискретном спектре ^-функция может быть нор-
нормирована на единицу, т е.
»Л=1. E)
Собственные функции состояний с различными энергиями ортогональны
друг к другу.
Для непрерывного спектра условия ортонормировки могут быть
записаны с помощью б-функции Дирака
г, ?')dx = 6 (?-?'), F)
где б-функция определяется, как всегда, тем, что для произвольной
функции f (х) должно быть верным условие-
В ряде задач решение стационарного уравнения Шредингера можно
-j-S(r)
искать в виде о}) = 6" (метод ВК.Б), причем S(r) удовлетворяет
уравнению:
^ ^ (r) = ?. G)
Разлагая функцию S в ряд по степеням параметра ifv.
получают в нулевом приближении для S0 стационарное уравнение
Гамильтона — Якоби.в первом и следующих приближениях — поправки
разного порядка.
В случае разделения переменных решение уравнения Гамильто-
Гамильтона— Як"оби имеет вид
где pt—канонический импульс, сопряженный обобщенной коорди-
координате <7;. В частности, для одномерной задачи
—V(x)]dx. (8)
58

Если V (х) изображает потенциальный барьер (т. е. V{х) ^ Ь в об-
области а^.х^Ь), то внутри барьера функция S оказывается мнимой
и г|>функция приобретает множитель
ехр{
Определяя коэффициент прозрачности (или прохождения) барьера
как отношение плотностей токов, соответствующих прошедшей через
барьер и падающей на него волнам, можно получить для него,
пользуясь методом ВКБ, выражение
D-
/прош
/па
(9)
где Do—константа
Если микрочастица может совершать циклическое движение в по-
потенциальной яме, то условие однозначности 'ф-функции в нулевом
приближении метода ВКБ приводит к условиям
§
§ t = n,A, A0)
где п, -О, 1, 2,. .. .
Это так называемые условия квантования Бора — Зоммерфельда.
Исторически в этой форме постулаты теории Бора были сформули-
сформулированы Зоммерфельдом A916 г ) и служили для отбора «разрешен-
«разрешенных» орбит среди решений классической задачи. Интеграл в этой
формуле берется вдоль орбиты.
Согласно Бору, движение по орбите, удовлетворяющей условию
A0), не сопровождается излучением, частота же, излучаемая или
поглощаемая системой при переходе с одной разрешенной орбиты
на другую (с энергиями Ет и Еп), определяется равенством:
<»mn=j(Em-En). A1)
Если средний импульс частицы определить через плотность тока,
как <р> = \ щ dx, и, подставив сюда C), второе слагаемое про-
проинтегрировать по частям, то, учитывая, что j \Р" ja =г- 0 на границах
области интегрирования, получим
A2)
Аналогично можно записать <х> = \ WxW dr.
В этом смысле говорят, что классическому импульсу частицы
в квантовой механике соответствует оператор р=—ih\, а коорди-
координате х—оператор х — х, имея в виду, что
<р> = J W*p4 dx и <а-> = J W*xW dr.
59

Согласно этому правилу, в квантовой механике любой физической
величине X сопоставляется линейный самосопряженный оператор L,
выбираемый так, чтобы среднее из многих измерений этой величины
Я в состоянии, описываемом функцией гР(г, t), было равно
=$?• (г, ObP(r, t)dx. A3)
Функция W (г, t) является вектором пространства Гильберта и удов-
удовлетворяет условию нормировки
*-Wdx=\. A4)
Условие самосопряженности оператора L записывается таким
образом:
J WILW2 dx = J ?2 (LW.y dx A5)
для любых Wlt ^?2, принадлежащих пространству Гильберта.
Согласно этому определению, могут быть введены операторы
энергии: кинетической Т = ~, потенциальной V и полной Н (гамиль-
(гамильтониан). Они имеют вид:
^-ЦгдТ?=У(О; H = t+v=-^b+V(r). A6)
Составляющим момента^ количества движения и его квадрату приво
дятся в соответствие операторы:
1-х =УРг—гру-> Ly =zpx—xp*l ^г = хру—урх; A7)
/2 ?2_|_?2 1?2
U L,x -|- U у -(- ^г.
В сферических координатах эти операторы запишутся в виде
L*;
Определяя средний квадратичный разброс величины I около
как
и пользуясь выражением A5) для оператора L—<%.)>, можно пока-
показать, что
Следовательно, чтобы величина % не имела разброса в состоянии i|\
т. е. чтобы <АЯ,2> = 0, необходимо выполнение условия
Lil> = a>4>. A9)
60

Таким образом, это состояние должно описываться собственной
функцией оператора L, удовлетворяющей условию A9) и требованиям
однозначности, конечности и непрерывности.
Числа кп, при которых функция tyn будет удовлетворять этим
условиям, называются собственными значениями оператора L. Соб-
Собственное значение кп называется простым или а-кратно вырожден-
вырожденным в зависимости от того, соответствует ли ему одна или несколь-
несколько (а) линейно независимых собственных функций.
Важный физический смысл имеет факт коммутативности операто-
операторов. Если LM — ML=^0, т.е. действие оператора LM— ML на любую
функцию if дает нуль, то операторы L и М имеют общие собственные
функции и, следовательно, соответствующие им физические величины
к и (х могут одновременно принимать точные значения. В противном
случае, если L М — МЬфО, для величин к и (х получаются соотно-
соотношения неточностей.
В частности, если частица находится в сферически симметричном
поле V (г), то оператор Н коммутирует с L2 и Lz и его собственные
функции можно искать в виде
Ф(г, 8, <р) = Я(г)У(е, ф),
причем
— й2Д,,У = АУ и — i%df- = aY. B0)
(Легко убедиться, что Lz и L2 коммутируют всегда.) Решениями этих
уравнений, удовлетворяющими всем условиям для собственных функ-
функций, являются сферические функции
B1)
При этом к = %4A+1), a = km\ числа 1 = 0, 1, 2,..., а /п —О,
±1, ±2, ..., ±1; Рш(х)— присоединенные полиномы Лежандра
//п-порядка.
Для жесткого плоского ротатора, т. е. частицы свободно движу-
движущейся в плоскости 8 = я/2 на расстоянии г0 от центра, оператор
Н = - — ;
его собственными функциями являются ^т = Се1т'с и собственными
значениями Ет — —%¦, где /п = 0, ± 1, ±2, ... .
Дифференцируя по времени выражение A3) и используя времен-
ное уравнение Шредингера HW — iJi-QT , можно показать, что про-
производной по времени физической величины к соответствует оператор
€ ^Й11Й^ B2)
61

В случае, если -зг = О> величина к является интегралом движения.
Если L явно не содержит времени, то признаком этого является
условие коммутативности Я и L.
Используя выражение B2) для -jr, можно составить квантовые
уравнения движений, т. е. получить операторы —— и —^- .
Система собственных функций самосопряженного оператора являет-
является ортонормированной и полной, т. е.
для дискретного спектра и
r, k')dx-b(k—k')
для непрерывного спектра, и любая функция ij>(r) может быть раз-
разложена по собственным функциям L:
К
Ч> (г) - 2 сЛ (г) + \ с (к) Ц (г, к) dk. B3)
Пользуясь написанными выше условиями ортонормировки, можно
определить
с« = J € (г) 4 (г) dx и с (к) - J Г (г, к) ф (г) dx, B4)
причем
S
Из равенства
<Ъ> = %\сп\*кп+\к\с(к)\Ык B5)
следует, что | сп \2 и | с (к) \2 dk равны соответственно вероятностям
найти в состоянии \р (г) значение величины к = кп (в дискретном
спектре) или значение величины к в пределах от к д,о к-{-dk (в слу-
случае непрерывного спектра).
Следовательно, такое разложение заменяет ^-функцию ее коэффи-
коэффициентами сп или с (к), а величину х—величиной к, т. е. совершается
переход к новому Я-представлению. Если в координатном представ-
представлении оператор М связывал функции ф и ty таким образом:
то, если ф (г) = 2 Ь„1]з„ и i|j(r) = ]?]cna|)n, в ^-представлении оказы-
п п
62

вается, что
где ф\ М | ft> — \ i]3fcMi[5ndx—матричный элемент оператора М. При
переходе к ^-представлению оператор заменился матрицей.
Оператор L в собственном представлении сводится к диагональ-
диагональной матрице, так как
и диагональными элементами являются его собственные значения.
Это относится к оператору с дискретным спектром. Оператор с не-
непрерывным спектром собственных значений в собственном представ-
представлении сводится к умножению на независимую переменную (в импульс-
импульсном представлении оператор р равен р)
Из условия самосопряженности оператора М следует, что его
матричные элементы удовлетворяют условию
<k | М | пу ¦= <п | М \ k>*.
Чтобы обобщить уравнение Шредингера для частицы в произ-
произвольном электромагнитном поле, в котором напряженность электри-
электрического поля Е и индукция магнитного поля В, выражаются через
потенциалы А (г, /) и f (r, t) как
(ЗА
В = rot A, E = — V<p—-§f,
следует оператор импульса в гамильтониане Н заменить оператором
р—е\ и потенциальную энергию записать как еср, т. е. при нали-
наличии полей
(Это совпадает с обобщением функции Гамильтона для частицы в маг-
магнитном поле в классической механике.) Выбрав вектор-потенциал А
так, чтобы divA = 0, можно написать волновое уравнение квантовой
механики, пренебрегая членом е2А2, в виде
-2^A4f+t<A VY) + evY=-4ft2* . B6)
Опыты Штерна и Герлаха и дублетность уровней Ent для элек-
электрона в атоме показали, что электрон кроме орбитального момента
количества движения L = rxp, упомянутого выше, обладает еще спи-
спиновым моментом, составляющие которого Sx, Sy и Sz способны при-
принимать всего два значения +Й./2 и —%j2.
Вводя безразмерные операторы спина oxyz таким образом, что
Sx = y°x' Sy = ~2°y Sz=y°z и УД°влетВ0Ряя соотношениям анти-
антикоммутации охау — — ауах — юг, можно представить эти операторы
63

в виде матриц Паули, выбрав ^-представление:
1 0\ - /0 1\ /О —
-lj. а* = \\ О)' b = [i о
Волновая функция должна тогда зависеть от спиновой перемен-
переменной о = ± 1, и эту зависимость изображают в виде матрицы
(спиновая переменная принимает всего два значения). Физический
смысл |^i(r)|2, |'Фг(гI'!—соответственно плотности вероятностей
найти электрон в данном месте пространства с ст= ± 1, т. е. с S2 =
= + &/2 и Sz = — t/2.
Если пренебречь малым взаимодействием спина с орбитальным
движением, то if (r, o) = iJ)o(r)-X@')-
Благодаря наличию спинового магнитного момента с оператором
\ь = -х—о электрон взаимодействует с магнитным полем, и энергия
этого взаимодействия равна—(Ц'В), где В—индукция поля. Таким
образом, для электрона с учетом спина верно уравнение Паули:
2^-(р-е АJ ?(г, а, /)-0».В)Т(г, a, t) +¦ еф^(г, а, 0 =
которое можно упростить подобно уравнению B6), если раскрыть
{ - А V
выражение (р—eAJ .
Аналогично может быть написано стационарное уравнение.
В тех случаях, когда уравнение для собственных функций и
собственных значений оператора (в частности, оператора энергии)
не удается решить точно, можно применять приближенные методы.
Одним из них является метод стационарной теории возмущений.
Если известны собственные функции и собственные значения опе-
оператора #0, определяемые уравнением
то собственную функцию оператора Н — Но-} W, являющуюся реше-
решением уравнения
ищут в виде разложения по собственным функциям г|з?:
п
В полученном для коэффициентов скп уравнении
64

разлагают ckl и Ек по степеням малой величины, входящей в энер-
энергию возмущения W — et^. Пользуясь методом последовательных при-
приближений, для простых уровней невозмущенной задачи получают
волновую функцию и энергию уровня в виде:
B9)
Если уровень Е\ а-кратко вырожден, то в нулевом приближении
^-функция возмущенной задачи представляется в виде суперпозиции
вырожденных функций невозмущенной задачи, отвечающих одному
значению энергии Е\\
причем
Й Шк (Р = 1, 2, ...,
Для коэффициентов с получается система а однородных линейных
уравнений вида
при р, v = 1 > 2, ..., а. Условием существования решений этой сис-
системы отличных от нуля, является равенство детерминанта системы
нулю:
ky>\ = 0 (P, 7-1, 2, ...,а). C0)
Это уравнение определяет, вообще говоря, а значений Е, а выше
написанные уравнения дают возможность вычислить соответствующие
коэффициенты с„ и, следовательно, if>ft.
Другим приближенным методом решения операторного уравнения
является прямой вариационный метод (метод Ритца), основанный на
вариационном принципе квантовой механики. Можно показать, что
экстремумом функционала <Я> [if>] = \ о|)*Я11з dx при условии, что
|3с2т= 1, является функция, удовлетворяющая уравнению Н\\> = Щ,
\
т. е. собственная функция Н, отвечающая самому нижнему уровню
Г* Л
энергии. Поэтому, если вычислить <Я> [ф] — \ (p*Hydx на произволь-
произвольной функции ф = ф(г, А, а, ...), удовлетворяющей условию норми-
нормировки С | ф |2 dx = 1, то максимально приблизиться к точному значе-
значению Еи можно выбирая параметры А, а, ... так, чтобы <Я> было
минимально.
3 jsTg 2500 65

Задача системы частиц в квантовой механике сводится к реше-
решению уравнения Шредннгера с гамильтонианом
равным сумме операторов кинетической энергии всех частиц и их
потенциальной энергии. В случае системы тождественных частиц,
исходя из тех соображений, что перестановка двух частиц не должна
сказаться на величинах вида |i|>|2, \ \|)*LiftiT, можно утверждать,
что -ф (г, olf г2, а,) и г|з(г2, о2, г,, а,) могут отличаться только множи-
множителем вида е'а. Совершая дважды такую перестановку, находим
•ф(г2, аг, г„ оО-е'*-!!:^, о„ г», о,) =е'»а.ф(г2, о2, г, oj,
т. е. е'а— ± 1. Таким образом, системы тождественных частиц могут
описываться либо симметричными функциями (е!'а=4-1 в случае
целого спина частицы), либо антисимметричными (е'а = —1 для час-
частиц с полуцелым спином). Это свойство относится к функциям про-
пространственных и спиновых координат.
Если для одного электрона ввести спиновые функции а (о) и
Р (а), определяемые равенствами
а(+1)=1, а(-1) = 0 и Р(+1)-0, Р(-1) = 1, т. е.
то для системы двух электронов, спины которых не взаимодействуют,
спиновые функции можно строить, как произведения вида а,а^, а,рг
и т. д., при этом аг относится к первому электрону, а.г — ко вто-
второму.
Если внешнее возмущение W (г, t) служит причиной перехода
невозмущенной системы (с оператором энергии Но) из ддного ее
стационарного состояния я|^ в другое if?' то эта задача решается
при помощи теории возмущения, зависящего от времени (теории
квантовых переходов).
Обозначая собственные функции оператора невозмущенной задачи
а|)° (они удовлетворяют уравнению Йй^°п = Е°п^), ищем решение
уравнения
в виде
При этом ctt@) = 8nfe (в начальный момент Ч1" —о|)?), а для cn(t)
получается уравнение вида
66

где Wln(t) = \ \|)?* W (г, ОС^Т — матричный элемент энергии возму-
L? — ?°
щения, a co^, = -L-r—-'.
Это уравнение решают в первом приближении, подставляя в пра-
правую часть вместо коэффициентов cn(t) их начальные значения и
считая, что W (г, /) = 0 при /<0 и t>T. Тогда
г
Так как вначале система находилась в состоянии \|э2, то вероят-
вероятность ее перехода в \р° определяется как j гг (Г) J2, т. е.
= ^|И^(<%I2. C1)
где Wlk (<alk) = 2^ f 1^гА(/)е'Ш№'^ — коэффициент Фурье матричного
— да
элемента энергии возмущения, отвечающий боровской частоте.
Если возмущение вызвано действием излучения (поглощение или
излучение света) и длина волны этого излучения гораздо больше
размеров атома (Х^>ав), то можно энергию возмущения записать
в виде
где Е (t) — напряженность электрического поля излучения, D = er —
дипольный момент системы (дипольное приближение), и тогда
Это выражение показывает, что система может под действием
излучения перейти из &-го в 1-е состояние только, если Е (и>1к) Ф О
(т. е. в излучении имеется боровская частота, соответствующая этому
переходу) и если
(Df)№#0. C3)
Это условие определяет правила отбора.
§ 2. ЗАДАЧИ
Теория Бора
1. Свободная частица находится в потенциальной яме с бесконечно
высокими стенками, расположенными при х — 0 и х = а (одномерная
задача). Определить уровни энергии частицы, пользуясь постулатом
Бора—Зоммерфельда.
3* 67

2. Пользуясь постулатом Бора—Зоммерфельда, проквантовать
движение одномерного гармонического осциллятора.
3. Пользуясь постулатом Бора—Зоммерфельда, найти уровни энер-
энергии частицы, совершающей малые колебания в трехмерной потенциаль-
потенциальной яме вблизи положения равновесия, находящегося в начале коор-
координат. Потенциальная энергия равна V(х, у, г) и V@) = 0.
4. Под действием центральной силы частица массы т свободно
вращается на расстоянии г от центра (плоский жесткий ротатор).
Найти уровни энергии при помощи постулата Бора — Зоммерфельда.
5. Найти уровни энергии электрона, движущегося по круговой
орбите в атоме водорода, пользуясь постулатом Бора — Зоммер-
Зоммерфельда.
6. Найти уровни энергии электрона, движущегося по эллиптичес-
эллиптической орбите вблизи ядра с зарядом Ze, пользуясь постулатом Бора —
Зоммерфельда.
7. Используя постулат Бора — Зоммерфельда, определить уровни
энергии атома водорода, свободно движущегося в объеме. О < х < о,
0<у<Ь, Ъ<г<с.
8. Частица массы m вертикально падает на горизонтальную пла-
пластину и упруго от нее отражается Проквантовать движение частицы,
используя постулат Бора—Зоммерфельда, определить допустимые
высоты Нп и вычислить уровни энергии.
Операторы
9. Возвести в квадрат оператор ^--L^-
10. Возвести в третью степень операюр -г--|—.
11. Сравнить операторы \x-j-) и I j- x ) .
12 Возвести в квадрат оператор tUV-j А (г).
13. Найти коммутатор -т-х—х~т ¦
14. Найти коммутатор оператора х и оператора Лапласа.
15. Найти оператор, переводящий ¦ф (х) в i|>(v + a).
16. Найти оператор, переводящий if (г) в гр (г -J- а).
17. Найти оператор, переводящий \?(ср) в if (<p + a), где ср—угло-
ср—угловая переменная (оператор поворота пространства на угол а).
18. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору -г-.
19. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору ^-j.
20. Проверить самосопряженность оператора i^-.
21. Проверить самосопряженность оператора Лапласа.
22. Найти оператор, эрмитово-сопряженный оператору смещения
пространства на вектор а из задачи 16.
д
23. Найти оператор эрмитово-сопряженный оператору е df.
66

24 Доказать, что оператор умножения на вещественную функцию
является самосопряженным
25. Найти оператор, эрмитово-сопрнженный произведению опера-
операторов Лив.
26. Показать, что среднее значение квадрата физической величины
является положительным.
27. Для операторов L и М, удовлетворяющих соотношению
LM — ML=*l, найти LM* — M2L.
28. Для операторов L и М, удовлетворяющих условию LM—ML — 1
(см. задачу 27), найти
f(L)M~Mf(LJ.
29. Найти коммутатор оператора ^- и f(x,y,z).
30. Перемножить операторы L— М и L + M.
31. Найти собственные функции и собственные значения опера-
А . d
Ұа й и 1Й-
32. Найти собственные функции и собственные значения опера-
оператора х f й.
33. Найти собственные функции и собственные значения опера-
т°Ра ^>
34. Найти собственные функции и собственные значения опера-
оператора sin^.
35. Найти собственные функции и собственные значения оператора
36. Найти собственные функции и собственные значения опера-
d
Тора е df.
37. Найти собственные функции и собственные значения опера-
d2 , 2 d
т°Ра d? + 75-
38. Перейти от классической скобки Пуассона к квантовой, счи-
считая, что ее свойства, в частности соотношение
(где /, g и ф—функции, представляющие физические величины, (/, g) —
скобка Пуассона), сохраняются и для операторов f, g, ср.
39. Доказать самосопряженность оператора момента количества
движения L = rxP-
ь ь
40. Уравнение \ u*k — -^-dx= \ ul (—-g^) dx должно быть спра-
й а
ведливо для эрмитового оператора. Каким условиям должны удовле-
69

творять функции ик, ип чтобы границы интегрирования a, b были
конечны?
41. Доказать справедливость перестановочного соотношения
[LxL] = t^L для момента количества движения.
42. Доказать, что оператор квадрата момента количества движе-
движения L2 - L J-f-L| + Li коммутирует с любой его составляющей (исполь-
(использовать результаты задачи 41).
Решение уравнения Шредингера.
Вычисление средних величин и токов
43. Найти общее решение одномерного временного уравнения
Шредингера для свободной частицы.
44. В момент времени / = 0 свободная частица описывается функ-
функцией
Определить коэффициент А и область, где локализована частица.
Найти плотность тока j.
45. Найти коэффициенты Фурье для функции, приведенной в за-
задаче 44, и определить ширину волнового пакета в ^-пространстве.
46. Рассмотреть поведение пакета воли во времени, если в t = О
он представляется функцией
Определить х? (х, t), плотность вероятности р (х, t) и плотность тока
\(x,t).
47. Для частицы, состояние которой описывается функцией ty(x) =
= Ае а' , найти средние координату и импульс.
48. Для условий задачи 47 вычислить <Лх3>, <Др2> и проверить
соотношение неопределенностей.
49. Частица находится в одномерной потенциальной яме 0 ^ х ^ а,
внутри которой V = 0, а вне V = oo. Найти решение стационарного
уравнения Шредингера для этого случая.
50. Найти волновую функцию и разрешенные значения энергии
частицы, находящейся в потенциальном поле, определяемом следую-
следующим образом:
( 0 при 0<*<а, 0<t/<&, 0<z<c;
\ оо при х < 0, х > а, у <0, у > Ь, г < 0, г>с.
51. Найти уровни энергии и волновые функции для частицы в пря-
прямоугольной потенциальной яме конечной глубины (одномерный слу-
70

чай). Поле V(x) задается следующим образом:
(О при х <,—а (I область);
Уо при —а<х<а (II область);
О при х > а (III область).
52. Найти уровни энергии трехмерного гармонического осцилля-
осциллятора с потенциальной энергией
1/ _ М2 , КУ2 | V8
53. Найти уровни энергии и волновые функции одномерного гар-
гармонического осциллятора, помещенного в постоянное электрическое
поле Е. Заряд частицы е.
54. Одномерный гармонический осциллятор находится на n-м уров-
уровне энергии. Найти для него <х2} и среднюю потенциальную энергию.
55. Для одномерного осциллятора, энергия которого равна -z-fm,
вычислить среднюю кинетическую энергию.
56. Решить уравнение Шредингера для частицы, находящейся
в потенциальном поле V~Vn(e-2ax — 2е~ах).
57. Найти уровни энергии и волновые функции частицы в одно-
одномерной кулоновской потенциальной яме, задаваемой потенциалом
58. Решить уравнение Шредингера для сферически симметричного
трехмерного осциллятора с потенциальной энергией V(r) = ^-r2.
59. Решить задачу Кеплера в двухмерном случае, т. е. найти
значения энергии и волновые функции частицы в потенциальном поле
V — , где р = У х1 + У2 ¦ (От координаты г функция не зависит.)
60. Решить уравнение Шрединтера для частицы в бесконечно-
глубокой сферически симметричной потенциальной яме, задаваемой
потенциалом
@ при г<а,
\ оо при г > а.
61. Решить уравнение Шредингера для электрона в атоме водо-
водорода (в сферических координатах).
62. Найти составляющие плотности тока для электрона в атоме
водорода.
63. Электрон находится в атоме водорода в основном состоянии.
Определить для этого случая <г>, <г2> и наиболее вероятное значе-
значение г0.
64. Частица находится в потенциальном поле
Найти уровни энергии частицы и соответствующие им волновые функ-
функции.
71

65. Решить уравнение Шредингера для частицы в потенциальном
поле V (г) = Аг2 + ~г ¦
66. Частица свободно движется в плоскости Oyz в пределах пря-
прямоугольника О^у^а и 0^2^.Ь. Остальная часть этой плоско-
плоскости недоступна для частицы. При движении же вдоль оси ОХ на
нее действует квазиупругая сила F—- — kx. Найти уровни энергии
частицы в таком поле и соответствующие им волновые функции. Вы-
Вычислить нормировочный коэффициент.
67. Решить уравнение Шредингера для электрона в атоме водо-
водорода в параболических координатах.
68. Решить уравнение Шредингера для частицы с моментом, рав-
равным нулю (/ = 0), в поле V — — V0-e-rJa.
69. Определить значения энергии, которые может принимать час-
частица, помещенная в периодическое поле, задаваемое следующим об-
образом:
@ при nl^x^nl + a {п = 0, ±1, ±2, ...},
\ Vo при nl—Ь^^1
Периодом потенциала является 1 — а-\-Ь.
70. Рассмотреть задачу 69 в случае, если У —0 всюду, кроме
точек x = nt, в которых У0=оо. При этом ширина барьера b—^0
так, что
lira ^j~- = const
(модель Кронига—Пенни). Определить зависимость энергии Е от
волнового вектора к вблизи границы разрешенных полос энергии.
71. Рассмотреть полубесконечный кристалл с периодическим по-
потенциалом в области х > 0, определяемым так же, как в задаче 70;
в области х < 0 потенциальная энергия V~W0. Ограничиться значе-
значениями Е < Wo (поверхностные уровни Тамма).
72. Операторы А и В удовлетворяют перестановочному соотно-
соотношению АВ— ВА = С и являются самосопряженными. Рассмотрев
Т (ч\) =
где vi—вещественный параметр, получить соотношение, связывающее
<ДЛ2> и <ДВ2>.
73. Применив полученное в задаче 72 соотношение к операторам
р и х, оценить нижний уровень энергии одномерного гармонического
осциллятора.
74. Две частицы, связанные друг с другом упругой силой
F = k(x1—х2) (одномерная задача), свободно передвигаются вдоль
оси ОХ. Найти волновую функцию и спектр энергии.
75. Найти волновую функцию и спектр энергии атома водорода,
учитывая движение ядра.
72

76. Две частицы массы т, движущиеся только вдоль оси ОХ,
связаны друг с другом упругой силой. Кроме того, каждая из них
связана с точкой х = 0 такого же рода силой, но с другим коэффи-
коэффициентом упругости. Определить уровни энергии и волновые функции
системы.
Теория представлений.
Матрицы
77. Частица находится в бесконечно глубокой одномерной потен-
потенциальной яме (см. задачу 49) в состоянии, отвечающем энергии
E ¦ Определить для нее распределение по импульсам.
78. Найти оператор х в импульсном представлении и определить
его собственные функции и спектр собственных значений.
79. Для частицы, находящейся в однородном потенциальном поле,
определить собственные значения и собственные функции оператора
энергии в импульсном представлении.
80. Определить матричные элементы дипольного момента, х2 и р
для частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме,
расположенной в области —у^х^Су.
81. Найти собственные функции оператора энергии для одномер-
одномерного гармонического осциллятора в импульсном представлении.
82. Найти собственные значения энергии одномерного гармони-
гармонического осциллятора и матричные элементы координаты и импульса
в энергетическом представлении, используя только перестановочные
соотношения р и q.
83. Используя перестановочные соотношения составляющих мо-
момента количества движения, найти собственные значения квадрата
момента количества движения (L2), его составляющей по оси OZ
(Lz) и матричные элементы Lx и Ly в (L2, /^-представлении.
84. Состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме,
стенки которой расположены при х = 0 и х—.а, описывается функ-
функцией ip = Ax(a—х). Найти для нее распределение по энергиям, сред-
среднюю энергию <?> и <A?2>.
85. Плоский ротатор находится в состоянии, описываемом функ-
функцией г|з = у4 sin8 ф. Определить для него вероятность найти различные
значения составляющей момента количества движения Lz и средние
<1г> и <L!>.
86. Найти волновые функции в х- и /j-представлениях для частицы,
локализованной в точке х0, и для частицы, движущейся с определен-
определенным импульсом р0.
87. Найти оператор — в р-представлении.
88. Вычислить углевую часть матричных элементов дипольного
момента для частицы в центрально-симметричном поле.
73

Изменение операторов во времени.
Потенциальные барьеры. Интегралы движения
89. Составить операторы —~ и -~ .
90. Определить, при каких условиях квадрат момента количества
движения Z2 и его проекция Сг могут быть интегралами движения.
91. Найти уравнения движения, если гамильтониан задается вы-
выражением
^^ , 0. где А-А (г, t).
92. Найти —~ и ~гг(р,—е^,)) если гамильтониан частицы имеет
вид
з
Я = 2 cak(Pk — Л
где аА, а4 — матрицы, подчиняющиеся условиям:
alak + aka,--=28lk; A = A(x1( хг> х3, ().
93. Показать, что для системы частиц при отсутствии внешних
сил импульс системы б>дет интегралом движения.
94. Частица, двигаясь в положительном направлении оси ОХ,
встречает потенциальный порог (потенциальная энергия задается
следующим образом: V = 0 при х < 0 и V-~V0 при х>0.) Опреде-
Определить волновую функцию при Z? > Vo и Е <У0, вычислить плотности
тока падающей, отраженной и прошедшей волн и найти коэффици-
коэффициенты прохождения и отражения частиц в обоих случаях.
95. Вычислить коэффициенты отражения и прохождения частиц
сквозь прямоугольный потенциальный барьер ширины a(V = V0 при
0^.г^a, V^O при .v^O, x^a), вычислив их как отношения
соответствующих плотностей токов.
96. Рассмотреть поведение частицы в следующем потенциальном
поле:
(оо при х ^0,
0 при 0<х<а и x^zb,
Va при as^x ^b.
Ограничиться случаем Е < Vo. Исследовать 'ф-функцию, когда ампли-
амплитуда во внутренней области @ ^ х ^ а) гораздо меньше, чем во
внешней (х^Ь).
97. Вычислить коэффициент прохождения и плотность тока, обу-
обусловленного выходом электронов из металла, к которому приложено
74

постоянное электрическое поле Е. Граница металла расположена
при х = 0.
98. Считая, что постоянная а-распада К и коэффициент прозрач-
прозрачности барьера D связаны соотношением K — nD, вычислить к, если
модель потенциала задается следующим образом:
V=—Vn при г <г0,
а при г^г0 а-частицы взаимодействуют с ядром, заряд которого
2Ze2
Ze, по закону Кулона. Принять, что га<^—р- .
Частица в магнитном поле. Спин
99. Определить уровни энергии свободного электрона в однород-
однородном магнитном поле с индукцией В, направленной по оси OZ.
100. Показать, что замена в волновом уравнении квантовой меха-
механики вектора-потенциала А и скалярного потенциала ср на А' = A-f-V/
Иф' = ф—Л. t приводит к несущественному изменению ?-функции.
101. Составить вектор плотности тока для частицы в магнитном
поле.
102. Доказать, что операторы ох, оу, az, определяемые равен-
равенствами:
ax\i = a, ay\i=— la, o? = — ji,
удовлетворяют тем же соотношениям, что и матрицы Паули.
103. Составить оператор -~-, используя Н для частицы со спи-
спином, помещенной в магнитное поле с индукцией В.
104. Для системы двух слабо взаимодействующих различных час-
частиц ft и р со спином &/2 найти собственные функции составляющей
Ss и квадрата вектора суммарного спина S2, если S-— ап-\-ар. Опре-
Определить соответствующие собственные значения операторов §г и S2.
105. Вычислить скалярное произведение спинов двух частиц в
триплетном и синглетном состояниях. Спин частицы л/2.
106. Показать, что оператор {onap)k можно линейно выразить
через (апар).
107. Найти собственные функции и собственные значения опера-
операторов
0 1\ - /0 —i\
О) и °y = \i 0j-
108. Вычислить квадрат проекции спина %/2 на произвольное
направление.
75

Приближенные методы решения
квантово-механических задач
109. Применяя стационарную теорию возмущений, найти в первом
и втором приближениях уровни энергии и волновые функции частицы
в поле
(ангармонический осциллятор).
110. Частица без спина находится в сферически симметричном
поле (невозмущенная задача) и уровни ее энергии равны Еп1. При-
Применяя теорию возмущений, найти в первом приближении ее энергию
и волновую функцию при наличии магнитного поля, направленного
по оси OZ.
111. Жесткий плоский ротатор помещен в слабое электрическое
поле Е, направленное по оси ОХ. Заряд частицы равен е, расстояние
от начала координат а. Вычисли 1Ь поправки к энергии ротатора
в первом и втором приближениях.
112. Атом водорода помещен в электрическое однородное поле Е,
направленное по оси OZ. Найти расщепление уровня энергии, отве-
отвечающего главному квантовому числу п — 2.
ИЗ. Показать, что для атомов первой группы, у которых уровни
энергии Е„, определяются числами пи/, линейный эффект Штарка
отсутствует. (Эффект Штарка — расщепление линий во внешнем одно-
однородном электрическом поле )
114. Рассмотреть эффект Штарка в водороде (вычислить расщеп-
расщепление я-го уровня в электрическом поле Е, направленном по оси OZ),
используя решение невозмущенной задачи в параболических коорди-
координатах.
115. Система, стационарные состояния которой описываются функ-
функциями ?„ и Wu находится в состоянии ?„. В момент времени ?-=0
включается возмущение, не зависящее от времени. Определить зави-
зависимость от времени функции W (t), описывающей возмущенную систему.
116. Вычислить вероятность ионизации атома плоской монохрома-
монохроматической волной, вектор-потенциал которой имеет составляющие:
Ах — A cos ((at — kr), Ay=--0, Az-=0.
До включения возмущения электрон находится в ls-состоянии
вблизи ядра Ze; в конечном состоянии его можно считать свободным.
117. Две тождественные частицы находятся во внешнем поле V (г).
Кроме того, между ними существует взаимодействие Я12. Считая, что
решение уравнения Шредингера для одной частицы найдено, построить
решение для системы двух частиц.
118. Используя решение задачи 117, рассмотреть изменение во
времени вероятности того, что обе частицы останутся в первоначаль-
первоначальном состоянии, если в начальный момент (? = 0) они находились в
г-ом (первая) и s-том (вторая) состояниях одночастичного гамильто-
76

ниана. Определить время, которое понадобится для того, чтобы они
обменялись состояниями.
119. Применяя прямой вариационный метод, найти нижайший
уровень трехмерного осциллятора, выбрав в качестве приближенной
функции
ф = А A +аг)е-*г.
120. Рассмотреть прямым вариационным методом задачу дейте-
рона. Взаимодействие между протоном и нейтроном задается как
V{r)——Ae~r/a. В качестве приближенной функции взять
Ф = Ве-аг/2а.
121. Сравнить энергию основного состояния электрона в атоме
водорода Ев, вычисленную вариационным методом с использованием
двух приближенных функций: 1) фх = А A -\-аг)е~аг; 2) ф2 = Ве~аг2/2.
122. Вычислить ионизационный потенциал основного состояния
атома гелия, используя метод теории возмущений и варьируя посто-
постоянную s, характеризующею экранировку. В невозмущенной задаче
следует положить энергию взаимодействия каждого электрона с ядром
равной — —, включив компенсирующий член — f — в энергию
возмущения.
123. Рассмотреть упругое рассеяние частиц некоторым центром,
считая их взаимодействие с этим центром V (г) малым возмущением.
Составить дифференциальный поперечник рассеяния, определив его
как отношение тока частиц через элемент площади dS, находящийся
на большом расстоянии от центра, к плотности тока падающих
частиц:
124. Используя результат задачи 123, вычислить дифференциаль-
дифференциальный поперечник рассеяния частиц кулоновским полем (формула
Резерфорда).
125. Определить дифференциальный поперечник упругого рассеяния
положительно заряженных (заряд et) частиц атомом. Атом рассмат-
рассматривать как неподвижный центр с зарядом Ze, окруженный отрица-
отрицательно заряженным непрерывным облаком, плотность которого равна
—ер (г). Вычислить qdQ для
126. Вычислить дифференциальный и полный поперечник упру-
А
гого рассеяния частиц полем V = — е~ш'.

РАЗДЕЛ IV
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И ЗАКОНЫ
Для описания состояния систем, состоящих из большого числа
частиц, применяются два метода: статистический и термодинамический.
Первый метод позволяет не только получать общие соотношения
второго метода, но и вычислять конкретные значения термодинами-
термодинамических величин для данной системы.
Постулаты классической статистической механики. Пусть система
состоит из N частиц, находящихся в объеме V. Движение частиц
подчиняется уравнениям классической механики. Состояние такой
системы полностью определяется заданием обобщенных координат и
импульсов qlt 9г. • • • > 4n'< Pu Ра» • • •» Pn (фазовая точка в 2Лг-мерном
фазовом пространстве), а динамика — гамильтонианом Н — Н (рп q,),
который позволяет найти /?,-, qt в любой момент времени с помощью
уравнений:
Р Ъ tl 2 N A)
Для системы с большим числом частиц Л' невозможно определить
ее состояние в любой момент времени, да в этом и нет надобности.
При изучении таких систем обычно интересуются некоторым неболь-
небольшим числом макроскопических величин. Например, потребуем, чтобы
число частиц в системе было N, объем V, а значения энергии лежали
в интервале [Е; Е + АЕ]. Этим условиям, очевидно, удовлетворяет
большое число состояний системы. Поэтому при вычислении для
данной системы любых средних макроскопических величин
г
F*=lim±\F[Pi(t),qt{t)]dt B)
и
встаем на следующий путь.
Введем бесконечно большое число копий данной системы (один
гамильтониан Н(рп </,-). но разные начальные условия р", qat) в ка-
какой-либо момент времени t. Такой «ансамбль» систем будет распре-
распределен в фазовом пространстве с некоторой плотностью p(qt, pn t).
В случае системы, изолированной от внешней среды, энергия ее
78

будет постоянной величиной, т.е.
mphqt) = E, C)
а фазовые точки «ансамбля» будут распределены по гиперповерхности
постоянной энергии C).
Плотность вероятности определяется в этом случае следующим
соотношением, называемым микроканоническим распределением:
D)
где 8(х)—дельта-функция Дирака [см. формулу D9)];
. E)
Среднее по такому ансамблю для любой физической величины
теперь будет равно
I i I¦F {p"qi) dNp dNq- F)
Реальные физические системы находятся в контакте с окружа-
окружающей средой. Например:
а) механическое взаимодействие с источником работы, оказыва-
оказывающим силовое воздействие на систему. Такое состояние системы
может быть описано Я (pit qit as), где as — обобщенные координаты
внешних тел, рассматриваемые как переменные системы. Тогда вели-
чина А. =-—-5— будет представлять силу, с которой система деист-
вует на внешнюю среду;
б) тепловой контакт между системой, описываемой гамильтонианом
Я (pi, qh as), и термостатом (другая система) с Яо (р\, q[). Общий
гамильтониан будет
qh p'i, q\, as)-^H(pn qh as)-\-H^(p'i, q-)^H'(pt, q., p., q\).
Эти системы находятся в равновесии, если энергия Н' мала и она
позволяет системе обмениваться с термостатом энергией достаточно
быстро, чтобы любое состояние составной системы по истечении боль-
большого промежутка времени реализовалось с равной вероятностью;
в) материальный контакт между системой и термостатом, состо-
состоящий в обмене частицами. При равновесии энергия Н' должна удов-
удовлетворять прежним требованиям.
В случае б) плотность вероятности для «ансамбля» имеет вид
(каноническое распределение Гиббса)
р (Я) = Се-й <*<.«•".>/<», G)
где С — постоянная нормировки, а
в — модуль распределения (при равновесии двух систем их модули
совпадают).
79

Обозначив Cse^0' fl8)/e, получим
f (в, с,) = — в In f .Г. J е~я (w- "'• «.)/в^р d^. (9)
— СО
Величина
Z == J .?. J е-я <"•• «• а«'/0 dNp dNq A0)
— ар
получила название статистического интеграла системы Она является
основной величиной при расчете физических свойств системы.
Исходя из формулы G), можно показать, что
A1)
а энтропия определится как
--(?),•
Физический смысл в можно выяснить, например, рассматривая иде-
идеальный газ Оказывается, что Q — kT, где k—постоянная Больцмана,
а Т — абсолютная температура системы Величину F можно отожде-
отождествить со свободной энергией системы.
Итак, зная гамильтониан системы Н, по формуле A0) можно
найти Z, а затем
F(Q, as)r=.—kT\nZ. A2)
Все другие величины находим из F простым дифференцированием:
4"(^7)г, например ^-(g^, (l3)
S=-D^ итд.
V ОТ у а,
Термодинамическое описание состояния системы. Исходя из соот-
соотношении, приведенных выше, можно получить основные положения
термодинамики.
1 Первое начало термодинамики' количество теплоты, полученное
системой, (убыль средней энергии термостата) идет на изменение
внутренней энергии системы и работу, совершаемую системой над
внешними телами:
dQ = -dH0(P;,q:).
80

2. Второе начало термодинамики:
^ ~sdas. A5)
Знак равенства соответствует равновесному состоянию системы.
3. Третье начало (постулат Нернста): энтропия системы S(T, a,)
при Т—*0 перестает зависеть от ast т. е. является постоянной ве-
величиной для всех веществ.
Метод термодинамики базируется на этих трех началах, исполь-
используя факт, что S и Е являются функциями состояния системы, для
которых
§йЕ^Ъ; <?dS = 0, A6)
т. е. dE и dS—полные дифференциалы.
Условие полноты дифференциала dZ = X dx + Ydy состоит в равен-
равенстве смешанных производных второго порядка:
дХ\ =(дУ\
ду)х~\дх]у '
Приведем соотношения для других термодинамических потенциалов.
1. Свободная энергия F^E—TS:
2. Энтальпия H =
дА,)а,-\Ж)А,- A8)
3. Потенциал Гиббса Ф — F+ ^ Asas:
s
A9)
Используя еще дополнительно уравнение состояния As= AS(T, as)
получаем ряд соотношений, которые проверяются на опыте. Числен-
Численное же значение величин, входящих в эти соотношения, в термоди-
термодинамике не находятся. (В формулах A7)—A9) черта над As опущена )
Большое каноническое распределение Гиббса. В случае контакта в)
при наличии в системе т сортов частиц имеем
Г -& 1
Р-Се1- /=1 J , B0)
81

где С — постоянная нормировки,
в — модуль распределения, а
1 = д1п«(?, ЛУ .... Nm)
в Ш
jj/_ainQ(?,'g1 Nm)
е йЛ'у
(\ij—химический потенциал /-го сорта частиц).
С учетом правильного подсчета числа состояний (парадокс Гиббса)
находим
т
2
_ V у _
— Z^ •¦¦ Lu. NANJ ... М.
л/т=о > - т
Н (pi. g,, оО
N-[e в dr(Nj). B2)
Е F,
Определяя С = е в , получаем для термодинамического
потенциала S выражение
S = — feTlnZ, B3)
; V Ф/ /Г, a.,
Отсюда
S = —SdT —2^4da.—.2^/dl*/. B5)
S -1 fd? + 2 4, ^.- 2 Ц/diV Л ; B6)
V S 1=1 /
dF=- — SdT—'Z'Asdas + ^l\i/dN/; B7)
m _
2W/. B8)
0 = —Sdr + 2a*di4s —2^/d(i/. B9)
Как видно из последнего соотношения, ц;-, As и Т являются
зависимыми величинами.
Условие равновесия двух систем имеет вид:
рх — р% (механическое равновесие); C0а)
Т1 = Га (тепловое равновесие); C06)
Ъ. = bt (равновесие по отношению к обмену ча-
TTi стицами). (ЗОв)
82

Квантовая статистика. Стационарное состояние квантовомехани-
ческой системы из N частиц описывается волновой функцией
4?k(q)=--W(rx, гг, ..., Гц), которая определяется из стационарного
уравнения Шредингера
д) = Ек?к(д), C1)
где
Значение физической величины / в состоянии k (в квантовой меха-
механике ей соответствует оператор '/) находится по правилу
lf\kdq. C2)
Но в статистической физике каждому состоянию Ек приписывается
определенная вероятность его реализации, обусловленная макроско-
макроскопическими состояниями системы.
Отсюда для среднего статистического в квантовой статистике
имеем
S 6(<7-<7')?(<7)p(<7, q')dqdq', C3)
ч ч'
где
Р(<7, Л^ЩМЮЫЯ) C4)
— матрица плотности в координатном представлении.
По аналогии с классической статистической физикой, wk выбирают
в виде
C5)
Отсюда
F = — kT In Z, C6)
где статистическая сумма Z равна
Ек_ Ej
кт ^е ктп{Е) C7)
j) — кратность вырождения /-го энергетического уровня системы.
Под суммированием по / следует понимать суммирование по ди-
дискретным уровням системы и интегрирование по непрерывному спект-
спектру системы.
Все последующие соотношения полностью эквивалентны соотно-
соотношениям классической статистической механики.
83

При наличии материального контакта
* Г / т \1
1 = E ••• Z Sexp -^(^.--Z^/ . C8)
где .Ejv, л — энергия я-го квантового состояния.
Термодинамический потенциал определяется аналогично B3) по
формуле
Н = — JfeTInZ. C9)
В случае невзаимодействующих частиц выражение C8) значительно
упрощается, ибо из-за неразличимости частиц состояние такой системы
задается числами заполнений п(. Тогда
,-; D0)
,'—энергия t'-ro одночастичного состояния;
где суммирование ведется по числу частиц в одночастичных состоя-
состояниях е,-.
Общие принципы квантовой механики налагают строгие правила
на числа заполнений я,. Возможны лишь два случая:
1) яг- = 0 или 1 (частицы с полуцелым спином);
2) п,- = 0, 1, 2 ... (частицы с целочисленным спином).
Используя теперь выражение D1), получим для средних чисел
частиц в состоянии с энергией е следующие соотношения:
(статистика Ферми); D2)
e-H
ekT +1
~ 1
л = -—j—(статистика Бозе). D3)
Энергия и число частиц определяются стандартными формулами:
:п,; D4)
(условие для нахождения ji).
Предел применимости квантовых распределений для идеального
газа определяется неравенством:
^)"'!. D5)
Флуктуации и кинетическая теория. Статистическая механика
позволяет вычислить флуктуации физических величин, ибо вероят-
вероятность флуктуации макроскопических величин может быть выражена
через Т, as.
84

Вероятность флуктуации физической величины х (равновесное
значение которой х0) дается соотношением
р (х) = Се кТ° ,
где Wmn(xa, x) — минимальная работа, необходимая для перевода
системы из х0 в х\ То — равновесная температура.
В случаях малых отклонений от положения равновесия для ве-
вероятности флуктуации термодинамических величин, получим
Ap-AV-ATAs
р = Се 2"'° . D7)
Эта формула позволяет находить флуктуации любых термодинами-
термодинамических величин, если при этом выбрать соответствующим образом
независимые переменные.
При изучении различных кинетических явлений необходимо знать
число частиц, имеющих в момент времени t радиус-вектор, лежащий
в интервале [г, r + dr], и скорость—в интервале [v, v-|-dv], т. е.
/(г, v, t)-drdv.
Для функции распределения / можно получить интегро-дифференци-
альное уравнение вида
д , д , F д
= JdQSdvto(Q)|v1-vs|[Ar, vi, t)f(r, v;, 0-
-/(r, vs, t)f(r, Vl, t)}. D8)
Здесь: vx, v2 — скорости первой и второй частиц до столкновения,
vl, Vj — то же после столкновения; о{Щ—дифференциальное эффек-
эффективное сечение рассеяния, dQ, — элемент телесного угла.
Уравнение D8) получено в приближении при следующих условиях:
1) учитываем только бинарные столкновения; 2) пренебрегаем дейст-
действием стенок сосуда; 3) пренебрегаем действием внешних сил на
о (У); 4) учитываем независимость скорости частицы от ее положе-
положения в пространстве.
Определенная из уравнения D8) функция / позволяет подсчитать
различные кинетические коэффициенты: тензор электропроводности,
коэффициенты теплопроводности, вязкости, диффузии и т. д.
Математическое дополнение
Дельта-функция Дирака. Пусть f (х) — непрерывная вместе со всеми своими
производными функция на интервале (— оо, оо), то 6-функцию определяют при
помощи следующего операторного соотношения:
J f(xN(x-a)dx = f(a), D9)
причем f (х)—*-0 при х—*¦ ± со.
85

Из данного определения следует:
3) 6" (*) = ( — l)nS(jc);
4) д(х)=1г— \ в х dk (разложение Фурье);
со
2 «<*-**)
— со
к
где *9— простые корни уравнения ф(*) = 0.
Гамма- и бета-функции Эйлера Гамма- и бета-функции Эйлера определяются
посредством следующих интегральных равенств
Г(ос)= \е-*х'-Мл (се>0); E0)
о
1
о
Интегрируя равенство E0) по частям, получаем
Г(«+1)=«Г(о). E2)
При сс=1 н а = 1/2 равенство E2) дает
ГA) = 1; <53)
е-Уг,1у=Уп. <54)
о
Используя эти соотношения, можно определить Г (а) для значений a = ^-t-,
где п = 0, 1, 2 ... . Для других значений следует пользоваться специальными
таблицами.
Объем сферы радиуса R в пространстве «-измерений. Объем, ограниченный
поверхностью х\-\-х\+...-\-x*l = R2 (уравнение сферы в пространстве п измере-
измерений), будет
vn{R)=\...\dxl...dxn. E5)
Сделав замену переменных xt = y,R, получим
Vn(R) = R»Vn(\), E6)
где
УлA>=$ . .\dyx...dyn, E7)
причем интегрирование проводится по области, ограниченной поверхностью
86

Учитывая соотношение E7), E1), E2), можно легко вычислять Vn(l) Дей-
Действительно,
= 5^i J ... \dyi...dyn= J (i_yj) 2
Используя теперь это рекуррентное соотношение, получаем окончательно
так как Vx(l)=l. Отсюда
Вычисление интегралов вида:
со
/(а)= jj xne-ax"dx (Ш)
— СО
/я = 0, 1, 2 ... ;
п = 2, 4, 6 ... .
В случае нечетных т /(а) = 0, в случае четных
со
/(а) = 2 \>хте-ахПйх.
о
Полученный интеграл сводится к гамма-функции заменой у = ахп:
Заметим, что равенство
со
справедливо при значениях /п^О и я5^0, не обязательно целочисленных.
F2)
87

Воспользовавшись соотношением F2), можно получить
2) |л-<
3)
л1'2
Интеграл ошибок. Интеграл ошибок определяется по формуле
2 С
ф (#) = erf (x) = -7= \ г-
о
F3)
В случае х<^.\ в формуле F3) можно разложить подынтегральную функцию в
ряд. Тогда
Используя определение, легко доказать следующие соотношения:
2
h
1
ФA) = -|= Г е-'1 Л «0,84.
F4)
F5)
F6)
Некоторые интегралы квантовых статистик. При расчете физических свойств
квантовых ферми-систем часто встречается интеграл следующего вида:
f(e)de
гае функция / (е) такова, что интеграл сходится.
Делая замену s~l^=y и ограничиваясь слу
К 1
вычисление данного интеграла к вычислению следующего асимптотического ряда:
Делая замену —~=^У и ограничиваясь случаем низких температур, сведем
К 1
S / (е) de
88

Отсюда
f {z)dz-\-2hT ^ i—I f^rt**^Vii) \ ~ -dy. (^7)
о n=1 " о
Ho
-=гBл)A—г1-2
где ?Bя) — ^ —^— — дзета-функция Римана.
Приведем значение ^-функции при некоторых значениях п:
СC/2)=2.612; Е(Б/2) = 1.341; ZB)=j?; С D)==^!
gC)= 1,202; ^ E) = 1,037 и т. д.
Итак, окончательно:
IX «О
/i(H)=-j/(e)dE + 2AT? j|D!^./:Bre-i)()x)rB«)[l-21-2"]5Bn). F8)
о я=1
При изучении физических свойств бозе-систем приходится часто встречаться
с интегралом другого вида:
о
Вычисления, аналогичные предыдущим, даюг для него следующее значение:
* = r (я)Е(п). F9)
Если в интеграле/].(|х) функция f (е) —у/¦ i |Т - то он носит название ин-
интеграла Ферми:
F){4) ^ ПТПУ ) ехр (е-т,8)+ 1 * G0)
о
Ввиду широкого использования этого интеграла в теории твердого тела функ-
функция F;(t\) численно протабулирована для большого числа значений /. В прос-
простейшем случае (/=1/2) можно указать некоторые экстраполяционйне оценки для
этого интеграла:
f I/a (Ц) Ъ> е) прн т) -* — оо G1)
^W !> при 13
)=jy^[l+1ir)при Tl^L щ
89

Условие полноты дифференциала функции двух переменных. Полным диффе-
дифференциалом функции /=/(*, у) называется тинейная часть ее приращения, т. е.
Условием (необходимым и достаточным) полноты дифференциального выражения
dF(x, ij) = Q(k, y)dx+P(x, y)dy
в случае существования и непрерырности функций Q (х, у), Р (х, у) и их про-
'dQ\ fdP_\
изводных
кдх)у
В случае выполнения условия G3)
есть равенство:
dQ\ (дР\
д) дх )у
G3)
Функциональные определители двух переменных н их свойства. Функциональ-
Функциональным определителем двух функций и — и(х, у) и v=v(x, у) называется опреде-
определитель вида:
[ди\
D (и, у)
D(x,yY
до
)у
G4)
Используя это определение и свойства определителей, легко доказать следую-
следующие свойства якобианов:
Р(и, о) (ди^
D{x, v)
D(u, v)
ди
dx)v
Если
D (v, х)
Р(и, v)_D(u, у) D(p, q)
Р(х, у)~Р{р, д)' Р{х, у) '
i — u(p, q, I), v~v(p, g, ly, a p = p(x, y), q = q(x, y), l = l(x, у), то
P{u, v)_P(u% v) P(p, q) | Д(и, v) P(q, I) , P (Ы, v) P (/. p)
~ ' ' "'(x, У) '
G5)
G6)
G7)
G8)
P(x, y) P(p, q) P(x, y) ' D(q, I) P (x, y) ' P(l, p)
Подсчет числа состояний в модели Дебая. В случае малости амплитуд коле-
колебаний атомов в приближении упругого континиума смещения точек твердого
тела удовлетворяют следующим волновым уравнениям:
С1
=0;
G9)
» -\ tt '—^*
Здесь С[ и ц — скорости продольной и поперечной звуковых волн в твердом теле.
Существует две поперечные волны, отличающиеся друг от друга лишь поляриза-
поляризацией. Частоты этих ноли связаны с волновым вектором соотношениями:
(Of = Cih* /ол\
и @0)
к—модуль волнового вектора. Если твердое тело имеет форму параллелепипеда
со сторонами Lx, Ц, L3, то из частного решения уравнений G9)
> = ijjo cos (со/ —ф) sin (kx-x) sin (ky-y) sin (kz-z)
90

и граничных условий
i|)@, у, z) = $(L, у, г); ф (*, 0, z)«i|>(*, L, г); ij? (х, г/, O) = i|>(*. у, L)
следует, что
kxLl=^nxn; ky L2 = iizn; kz Ls = nsit,
здесь rii, «a, rt3 — иелые положительные числа. Отсюда для сферы радиуса k = со/с,
число возможных значений волнового вектора
1 4 лсо3
(81)
где V^sLxLjLg^rобъем кристачла.
Учитывая теперь наличие двух типов волн, получаем окончательно
с- • (82)
где
с3 с% с! *
§ 2. ЗАДАЧИ
1. Некоторая система может с равной вероятностью находиться
в N состояниях. Какова вероятность нахождения системы в одном
из этих состояний?
2. Математический маятник совершает гармонические колебания
по закону
_ 2л, т_ n i/~Z~
Найти вероятность того, что при случайном измерении отклонения
Ф маятника это значение будет лежать в интервале [ф, ф + ^ф].
3. Вероятность того, что для некоторой системы значения вели-
величин х и у лежат в интервалах [х\ x-\-dx] и [у; y-{-dy], дается вы-
выражением
UW \Л, у) ^= Ut
Считая, что областями изменения переменных х и у являются
[—оо; оо] и [ — оо; оо], нанги нормировочную постоянную С.
4. Определить для предыдущего случая вероятность того, что
значение величины х будет лежать в интервале [х; x-'rdx].
5. При термоэлектронной эмиссии происходит вылет электронов
с поверхности металла или полупроводника. Предполагая, что а) вы-
вылеты электронов статистически независимые события, б) вероятность
вылета одного электрона за бесконечно малый промежуток времени dt
равна Xdt (К — постоянная величина), определить вероятность вылетал
электронов за время t.
91

6. Определить для предыдущего случая
если в единицу времени в среднем вылетает п0 электронов.
7. Идеальный газ, состоящий из N молекул, находится в сосуде
объемом V. Определить вероятность того, что в заданном объеме
Vo{V»<^V) будет содержаться в данный момент п молекул. Рассмот-
Рассмотреть предельные случаи:
а) п -^ N;
б) п^>1; S.ti — n—п<^п.
8. Доказать, что для случайной величины х вероятность события,
при котором х окажется больше некоторой величины а, удовлетворяет
неравенству Чебышева:
w (х > о)< — .
9. Частица, находящаяся в исходный момент в начале координат,
делает в следующий момент скачок на единицу либо вправо, либо
-4 -5 -г -1
2 3
Рис 42
влево с вероятностью 1/2. Определить вероятность Pt(l) того, что
после t шагов частица окажется в точке / данной одномерной ре-
решетки (рис. 42).
10. Определить вероятность Pt(l) подобного случайного блуждания
частицы по двухмерной (квадратной) и трехмерной (кубической) ре-
решеткам, если данная частица может переходить в любую из своих
смежных точек D—для квадратной и 6 —
для кубической) с вероятностями 1/4 и 1/6
соответственно (рис. 43).
П. При рассмотрении задачи 9 воз-
~ никает следующий вопрос (впервые постав-
поставленный Д. Пойа): всегда ли частица может
вернуться в начальную точку, случайно
~ перемещаясь в смежные точки решетки.
Если нет, то определить для рассмотрен-
рассмотренных выше случаев вероятность невозвра-
невозвращения частицы в начальную точку.
12. Начертить в пространстве р, q фазо-
фазовую траекторию частицы, движущейся
с постоянной скоростью в направлении,
перпендикулярном зеркально отражающим стенкам ящчка. Размеры
ящика вдоль направления движения 2а
13. Определить фазовую траектори о тела массы т, которое дви-
движется в постоянном гравитационном поле из точки z0 с начальной
92
I
Рис 43

скоростью v0, направленной вертикально вверх. Начертить эту траек-
траекторию.
14. Определить и начертить фазовую траекторию для частицы
массы т с электрическим зарядом —е, движущейся под действием
кулоновской силы притяжения к неподвижному заряду -\-е. Началь-
Начальное расстояние г„, начальная скорость уо = О.
15. Определить и начертить фазовую траекторию для линейного
гармонического осциллятора, описываемого уравнением
/~~k~
при условии v^'V Найги изменение фазового объема с течением
времени.
16. Определить и начертить фазовую траекторию для физического
маятника массы т, момент инерции которого равен / и приведенная
длина L Рассмпреть гри случая:
1) Hn>2mgL;
2) H0 = 2mgL;
3) Н„ с. 2mgL (#0 — начальная энергия маятника).
17. Проверить выполнимость теоремы Лиувиля для следующих
случаев
1) упругое столкновение двух шаров (удар центральный);
2) движение трех частиц в постоянном поле тяжести, начальные
состояния которых определялись фазовыми точками:
Л(ро,г0); В (ра, го + а); С(ро + Ь, г0).
18. Определить нормировочный делитель Q (Е) микроканонического
распределения Г иббеа дчя следующих систем" а) совокупность N
частиц идеального одноатомного газа; б) х независимых линейных
осцилляторов.
19. Вывести распределение Гиббса (каноническое), взяв в качестве
модели термостата примеры предыдущей задачи.
20. Гамильтониан идеального газа можно представить в виде:
Н = ^ ЖI,
где Ж[—функция Гамильтона отдельной молекулы. Выразить стати-
статистический интеграл всего газа через статистический интеграл отдель-
отдельной частицы. Определить среднюю энергию Е, энтропию S и давле-
давление р.
21. Определить Е, S, р и Cv (молярную теплоемкость при посто-
постоянном объеме) для следующих систем, состоящих из N невзаимо-
невзаимодействующих частиц, находящихся в объеме V:
1) одноатомный газ;
2) двухатомный газ при заторможенных колебаниях атомов (жест-
(жесткий ротатор);
3) двухатомный идеальный газ с учетом колебаний атомов в мо-
молекуле (рассмотреть случай низких температур).
93

22. Определить энергию и давление для идеального газа, состоя-
состоящего из N частиц и находящегося в сосуде объемом V, при следую-
следующих зависимостях энергии отдельной частицы от импульса р:
а) Н — ар1, а>0 (I — положительное число);
б) U = с V т2с2 + ръ (с—скорость света).
23. Для некоторой системы известно, что ее статистический ин-
интеграл равен
Определить Q (Е).
24. Система, как целое, вращается с угловой скоростью Q. Запи-
Записать распределение Гиббса во вращающейся системе координат.
25. Цилиндр высотой h с основанием радиуса R заполнен иде-
идеальным газом. Цилиндр вращается с угловой скоростью ft, относи-
относительно оси вращения, перпендикулярной основанию и проходящей
через его центр. Определить давление газа на боковую поверхность
цилиндра, если общее число частиц газа N, а масса отдельной ча-
частицы т.
26. Вывести теорему вириала для макроскопического тела, у ко-
которого потенциальная энергия взаимодействия частиц есть однородная
функция координат п-го порядка.
27. Определить среднее значение Я"(д>0) для одноатомного
идеального газа, состоящего из N частиц. Пользуясь полученным
результатом, найти среднюю квадратичную а = у (Н—ЯJ и среднюю
относительную 6 = — флуктуации энергии.
н
28. Используя распределение Гиббса, получить следующие рас-
распределения (различные формы распределения Максвелла):
1) вероятность того, что скорость любой частицы заданной системы
лежит в интервалах
[vx, vx + dvx], [vy, vy+dvy]; [vz, vz + dv2];
2) вероятность того, что абсолютная величина скорости любой
частицы заданной системы лежит в интервале [v, v-\-dv\;
3) вероятность того, что кинетическая энергия любой частицы
заданной системы лежит в интервале [е, ъ-\-йв\.
29. Используя результат предыдущей задачи, найти следующие
величины:
а) v" при п > — 2;
б) v, у5;
в) v0 (наиболее вероятное значение величины скорости частиц).
30. Найти е и наиболее вероятное значение кинетической энергии
частиц е„. Объяснить причину их несовпадения.
31. Энергия частицы релятивистского газа связана с импульсом
соотношением е = с]/w?ti-\-pi. Записать распределение Максвелла в
данном случае.
94

32. Как изменится распределение Максвелла, если система будет
совершать движение как целое со скоростью и?
33. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютную
величину скорости относительного движения v' = vt — v_, в интервале
от v' до v' -\-dv'. Определить v'.
34. Найти полное число соударений, испытываемых отдельной мо-
молекулой в единицу времени со всеми остальными. Молекулы считать
абсолютно упругими шариками радиуса Rtt. Определить среднюю
длину свободного пробега к.
35. Определить отношение чисел частиц, имеющих энергию меньше
и больше заданной энергии e^ — kT.
36. Определить зависимость полного эффективного сечения рас-
рассеяния частиц от температуры, ecin потенциал взаимодействия между
частицами имеет следующий вид:
f оо; г<Яп;
37. Определить среднее число столкновений, испытываемых отдель"
ной молекулой с другими молекулами в 1 сек в двухмерном случае
(случай поверхности).
38. Каждый атом газа излучает монохроматический свет длиной
волны Ко и интенсивностью Ji-t. Найти интенсивность излучения газа,
состоящего из N атомов, как функцию X.
39. Допуская, что потенциальная энергия электрона внутри ме-
металла меньше его энергии вне металла на величину W -*<р, опреде-
определить плотность тока термоэлектронной эмиссии. Концентрация элек-
электронов п0, масса электрона т.
40. Показать, что для идеального газа с известным законом
е = е(р) давление дается следующим соотношением:
СО
4я Л' Р де . ,, г / \ i i i
Щ^\ 3f(P)d\9\,
где /(р) —функция распределения частиц по импульсам (т. е. веро-
вероятность того, что частица имеет импульс р).
41. Используя распределение Гиббса, найти для идеального газа,
помещенного во внешнее потенциальное силовое поле и(х, у, г), ве-
вероятность того, что координаты любой частицы газа будут лежать
в интервалах [х, x + dx]\ [у, y + dy]; \z, z + dz].
42. Найти центр тяжести столба идеального газа в однородном
поле тяжести, если ускорение поля тяжести g, масса молекулы т,
температура Т.
43. Смесь / идеальных газов, состоящих из одинакового количества
частиц, но с различными массами атомов ти . . ., тк, . . ., т,, заклю-
заключена в цилиндр радиуса R и высоты h и помещена в поле тяжести
Земли. Определить центр тяжести данной системы.
95

44. Определить количество атомов, теряемых атмосферой планеты
радиуса R и массы М. Масса атома т, а температуру атмосферы
считать постоянной по высоте и равной Т.
45. Два сосуда, в которых поддерживаются температуры и дав-
давления plt 7\ и р2, Т2 соответственно, соединены между собой короткой
трубкой сечением S. Определить массу газа, протекающую из одного
сосуда в другой, если масса молекул газа т, рх = 2/?2 и Т1 = 2Т2.
46. Сфера радиуса Ro движется со скоростью и в сильно разре-
разреженном идеальном газе (температура газа Т, плотность п0). Предпола-
Предполагая, что столкновения частиц газа со сферой абсолютно упругие, опре-
определить силу сопротивления, испытываемую сферой при ее движении.
47. В сосуде, содержащем идеальный газ, проделано небольшое
круглое отверстие сечением S. Найти число частиц, попадающих на
круглый диск радиуса R, расположенный на расстоянии h от щели.
Плоскость диска парал-
параллельна плоскости отверс-
отверстия (рис. 44). Центры сече-
сечения S и диска лежат на
•-Z прямой, перпендикулярной
плоскости сечения. Моле-
Молекулы газа подчиняются
максвелловскому распреде-
распределению по скоростям.
48. Разреженный газ
находится в сосуде при дав-
давлении р. Определить скорость истечения vH газа в вакууме через
небольшое отверстие So при максвелловском распределении молекул
газа по скоростям.
49. Определить диэлектрическую постоянную для идеального газа,
состоящего из N дипольных молекул с постоянным моментом р0,
находящихся во внешнем однородном поле напряженностью Е.
50. Проделать расчет, аналогичный предыдущему, учитывая по-
поляризуемость а молекул, не зависящую от величины внешнего поля.
51. Доказать, что произвольная классическая система взаимо-
взаимодействующих электрических зарядов не может находиться в равно-
равновесии во внешнем магнитном поле.
52. Некоторое тело, заряженное до потенциала <р0, помещено
в плазму, состоящую из электронов (заряд—е) и ионов (заряд + е).
Определить дебаевский радиус экранировки, считая температуру
электронов Те и ионов Ти различной, а плазму квазинейтральной.
Число частиц в единице объема равно п0.
53. Идеальный газ заключен в сосуд, который закрыт подвижным
поршнем, нагруженным массой М. Определить уравнение состояния
газа в данном случае.
54. Вывести закон Дальтона для смеси п идеальных газов:
Рнс'
где
96
(—парциальное давление.

55, Доказать, что для любой системы с гамильтонианом Я
56. Доказать, что для любой физической величины F(qu ..., qN\
Pi> ¦¦¦,Pn) справедливы равенства-
3?/ 59/ ' dpi dpi
57. Частицы разреженного газа взаимодействуют по закону
(рис. 45):
( оо, если г^г0;
^l-^of^y. если г>г0.
Определить теплоемкость Cv такого газа.
58. Доказать,, что для всех газов и жидкостей уравнение типа
Ван-дер-Ваальса может быть представлено в виде:
(приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса), где
_ р —JL- >v
Ркп ' кр »кр
(/7кр, Т^,, VKp—критические давления, температура и объем соот-
соответственно).
59. Определить среднюю энергию и теплоемкость Cv идеального
газа, состоящего из N двухатомных молекул, с учетом энгармонизма
колебаний атомов в молекуле. Рассмотреть и
случай низких температур.
80, Атомы в двухатомной молекуле взаимо-
взаимодействуют по закону.
^{r) = ^—~s (В, Л>0).
Определить «коэффициент линейного рас-
расширения» такой молекулы.
61. Для некоторой системы, состоящей из ,.
большого числа частиц, теплоемкость °
Cv = aT" (а>0, п> 1).
Определить Щ?) для такой системы.
62. Иногда энтропию определяют как S = ^lnr(?) или как S =
= k\nQ(E). Показать эквивалентность этих определений для систем
с большим числом частиц.
63. Используя общие свойства энтропии и вероятности и предпо-
предполагая, что между энтропией и вероятностью существует функцио-
функциональная зависимость, доказать соотношение Больцмана:
Рнс. 45
= klnw.
4 № 2500
97

64. Определить работу поляризации единицы объема изотропного
диэлектрика.
65. Доказать, что для всякой средней обобщенной силы А, соот-
соответственной сопряженному внешнему параметру а, имеет место тож-
тождество:
,дА)а\да}т\дТ)А- '•
66. Установить связь между термическими коэффициентами:
где Vo, р0—соответственно средний объем и среднее давление в про-
произвольной термодинамической системе.
67. Записать уравнение реального газа типа Дитеричи в приве-
приведенных переменных (см. задачу 58):
1) p(V~-b) =
2)
68. Определить температуру Бой ля для реальных газов (т. е.
температуру, при которой обращается в нуль первый вириальный
коэффициент) при заданных а и Ъ, исходя из уравнений Ван-дер-Ваальса
и Дитеричи.
69. Определить скорость звуковой волны, распространяющейся
в реальном газе, который подчиняется уравнению типа Ван-дер-Ва-
Ван-дер-Ваальса.
70. Найти уравнение адиабаты для идеального парамагнетика
(см. задачу 49).
71. Определить уравнение адиабаты реального газа.
72. Вычислить разность между теплоемкостями диэлектрика нри
постоянном Е и при постоянном D, т. е. СЕ—CD.
-73. Показать, что
\ dV )т~ 1
74. Определить к. п. д. тепловых двигателей, работающих по со-
соответствующим циклам, изображенным на рис. 46 и рис. 47, если
заданы параметры циклов & = тг и р = ^, а горючую смесь считать
идеальным газом.
75. Используя первое и второе начала термодинамики, доказать
следующие соотношения:
Т-У0-а*
98

где а = ¦—- [ — ] — коэффициент
теплового расширения,
= UdZ\ _.
=—тг-1 -^- ) —изотермическая сжимаемость, о = ——( ^ ) — адиа-
адиабатическая сжимаемость.
76. Определить в дифференциальном виде зависимость э. д. с. галь-
гальванического элемента от температуры.
77. Доказать соотношение [см. формулу G3)]:
*L\ -
78. Найти среднюю энергию разреженной плазмы, которая зани-
занимает объем V. Плазма представляет собой систему, которая состоит
Pi
Р
2^3
Рг
А
Pi
| JSL _!^=^.Л
Рис. 46
Рис. 47
из двух сортов противоположно заряженных частиц (N частиц каж-
каждого сорта с зарядами -\-е и —е).
79. Используя результат предыдущей задачи, определить р, S и
Су для плазмы.
80. Найти Ср—Су в переменных: а) V, Г; б) р, Т.
81. Показать, что
г -г -.\у-(дЛ\ Мдл\
где Я = Е + /^—энтальпия системы.
82. Показать, что для изотропного диэлектрика, помещенного во
внешнее поле Е:
dF = — SdT~ pdV— p-dE,
где р—вектор поляризации единицы объема диэлектрика.
83. Найти Ср—Cv для газа, подчиняющегося уравнению состоя-
состояния типа Ван-дер-Ваальса.
84. Какое количество теплоты надо подвести к одному молю ре-
реального газа, чтобы при постоянном давлении р он расширился от
объема Vx до объема V2. Уравнение состояния газа:
99

85. Процесс, происходящий в системе, называется политропиче-
политропическим, если в результате его теплоемкость системы С = ^_- не изме-
изменяется. Используя это определение, найти уравнение политропы для
одноатомного идеального газа.
86. Определить энтропию газа, который подчиняется следующим
уравнениям:
V = V0[l+a(T-Te)]; {%)т = ^ С, = const.
87. Найти уравнение адиабаты для газа, уравнение состояния
которого дается в виде
p = po(l-{-aT~ pV); Cv = const.
88. Определить, на сколько отличается тепловой эффект реакции
образования одного грамм-моля водяного пара при постоянном дав-
давлении от теплового эффекта той же реакции, если она проходит без
совершения внешней работы.
89. Определить к. п. д. тепловой машины, работающей по циклу
Карно, если уравнения состояния рабочего тела имеют вид
V=Voll+a(T-To)],
90. Показать возрастание энтропии при передаче тепла от более
нагретого тела менее нагретому телу. Считать, что температуры тел
выравниваются, а теплоемкости не зависят от температуры.
91. Найти изменение энтропии тела в случае его расширения при
постоянном давлении.
92. Доказать, что изотерма не может дважды пересечь адиабату.
93. В интервале температур 0 < t < 4°C коэффициент объемного
расширения воды отрицательный. Доказать, что в этом интервале
температур при адиабатическом сжатии вода охлаждается.
94. Может ли для воды выполняться соотношение С = Cv?
95. Основной причиной понижения температуры с высотой в ат-
атмосфере является адиабатическое расширение восходящих потоков
воздуха. Используя уравнение адиабаты идеального газа, найти из-
изменение температуры с высотой.
96. Используя первое начало термодинамики показать, что атмо-
атмосфера с температурным градиентом, меньшим или большим градиента,
найденного в предыдущей задаче, будет соответственно устойчивой
или неустойчивой относительно конвекции.
97. Определить тепловой эффект поляризации единицы объема диэ-
диэлектрика, пренебрегая изменением его удельного объема и предполагая,
что
Е-
98. Показать, что для магнетика, помещенного во внешнее маг-
магнитное поле Н, при условии независимости Ео от Н (Ед—внутренняя
энергия магнетика в вакууме без энергии поля там же) справедливо
100

следующее выражение для намагниченности:
99. Стержень длины I, расположенный вдоль внешнего магнит-
магнитного поля Я, растягивается силой F. Из опыта известно, что на-
намагниченность стержня в этом слУчае дается формулой
~ .
Вычислить относительное изменение длины стержня при такой
магнитострикции.
100. Определить для равновесного излучения величины Cv, F,
S, /У. Ф, Ср.
101. Используя большое каноническое распределение Гиббса, по-
получить для одноатомного идеального газа значения \i, р и S.
102. С помощью большого канонического распределения Гиббса
показать, что вероятность того, что система содержит N частиц, не
взаимодействующих между собой, дается распределением Пуассона.
103. Найти химический потенциал идеального газа, находящегося
во внешнем потенциальном поле U = U(x, у, г).
104. Частицы, обладающие спином, находятся во внешнем одно-
однородном магнитном поле Н. Определить отношение числа частиц с про-
проекцией спина параллельно Н к числу частиц с проекцией спина
антипараллельно Н.
105. Используя общие свойства большого канонического распре-
распределения Гиббса, показать, что
pV^k Tinz,
где г—большая статистическая сумма.
106. Показать, что
)SrV\dN )sy
107. Найти Cv в переменных Г, ц, V.
108. Считая теплоту перехода К постоянной, определить зависи-
зависимость давления насыщенного пара от температуры, если пар нахо-
находится в равновесии с твердым телом.
109. В растворе находятся N молекул растворителя и п молекул
растворяемого вещества (n^N). Определить химические потенциалы
раствора ц и растворенного вещества \ьи если химический потенциал
растворителя р.о.
110. Раствор с концентрацией с<^1 растворенного вещества на-
находится в однородном поле тяжести. Определить изменение концентра-
концентрации с с высотой.
111. Показать, что химический потенциал равновесного излучения
равен нулю.
101

112. Используя условия устойчивости равновесия, доказать, что
всякий процесс, вызванный в равновесной системе внешними воз-
воздействиями, направлен так, чтобы ослабить эти воздействия (принцип
Ле-Шателье—Брауна).
113. Определить условие механического равновесия между жид-
жидкостью и паром при наличии поверхности раздела (формула Лапласа).
114. В реакции
Н2О + СО±^ СО2 + Н2
равновесие наступило при температуре То и равновесных составах
(в молях): СО2—ти СО — т2, Н2О—т3, Н2—т4. Определить кон-
константу химического равновесия К(р, Т).
115. Вычислить критический радиус капли жидкости при конден-
конденсации пара.
116. Доказать, что заряженная капля жидкости будет расти даже
в ненасыщенном паре.
117. В системе происходит равновесная реакция Ат?-1+-\-е~ (тер-
(термическая ионизация). Считая температуру ионов и электронов одина-
одинаковой, определить степень однократной ионизации как функцию р
и Т. Газы считать идеальными. Энергия ионизации равна е0.
118. Выполнить аналогичный задаче 117 расчет, но температуру
ионов—атомов и температуру электронов считать различными.
119. Вычислить количество теплоты, выделяющейся при хими-
химической реакции, идущей при постоянных р, Т. Константа равнове-
равновесия Кр известна.
120. Определить Кр и AQp на одну частицу (см. предыдущую
задачу) для реакции диссоциации двухатомного водорода
H25^H + H.
Энергия диссоциации молекулы водорода Ае = 2ео1—еоЧ
121. Найти осмотическое давление между растворами с различными
концентрациями, которые разделены полупроницаемой мембраной.
122. Система может находиться в двух квантовых состояниях
с энергиями 8t и е2. Кратности вырождения состояний g1 и g2. Полу-
Получить зависимость S от Е и проанализировать эту зависимость.
123. Определить теплоемкость системы, состоящей из N незави-
независимых двухмерных гармонических осцилляторов, каждый из которых
обладает (га+1) кратко вырожденными уровнями энергии
124. Система имеет невырожденный энергетический спектр е/ = /е
(/ = 0, 1,2, ..., п—1). Определить среднюю энергию такой системы.
125. Представляя упругие колебания твердого тела в модели
Дебая как фононный газ, подчиняющийся статистике Бозе, найти
его энергию. Объем тела V, скорость распространения продольных
и поперечных колебаний с, и ct соответственно. Рассмотреть случай
низких температур.
126. Определить теплоемкость вырожденного электронного ультра-
ультрарелятивистского газа (е = с-р).
102

127. Определить ток термоэлектронной эмиссии, когда электроны
подчиняются статистике Ферми, а работа выхода электрона из ме-
металла W. Считать, что
W—\
(ц — уровень химического потенциала).
128. Определить давление в электронном газе при Т = 0, поль-
пользуясь распределением Ферми.
129. Определить давление вырожденного электронного газа при
ьт
условии — <^ 1.
130. Пользуясь большим каноническим распределением Гиббса,
найти зависимость энтропии S от п1 для идеальных газов, подчи-
подчиняющихся статистикам Бозе—Эйнштейна и Ферми—Дирака.
131. Пусть g(e) — одночастичная плотность состояний. Показать,
что теплоемкость газа, подчиняющегося статистике Ферми—Дирака,
при &T<^;jj,0 дается формулой
132. Возможно ли существование Бозе-конденсации идеального
одноатомного газа в двух измерениях?
133. Известно, что в простейшем случае для спиновых волн в фер-
ферромагнетиках имеет место следующий закон дисперсии: со = Л-й2,
где к—волновой вектор спиновой волны, А — постоянная величина.
Определить, какой вклад вносят эти возбуждения в теплоемкость
кристаллов при низких температурах.
134. Показать, что для кристаллов справедливо соотношение Ми-
Грюнейзена:
=7/e Cv,
Где a — -oyigf) —коэффициент линейного расширения, р =
1 fdV\ P dlnv,
= —у ( ^— I — изотермическая сжимаемость, а величина 7= — д, (,
предполагается постоянной для всех нормальных частот v^.
135. Определить Q (Е) для твердого тела при Т <-с:—-р5-.
136. Найти положение уровня Ферми в собственном невырож-
невырожденном полупроводнике, если ширина запрещенной зоны с измене-
изменением температуры изменяется по закону
137. Определить концентрацию электронов в германии, если за-
зависимость их энергии от волнового вектора (закон дисперсии) имеет
вид
Е , И**-*) ¦
2mt ' 2m, '
где а=1, 2, 3, 4 — число эквивалентных минимумов в зоне прово-
103

димости, пц и т1—поперечная и продольная эффективные маееы
электрона.
138. В зоне проводимости арсенида галлия закон дисперсии
имеет вид, показанный на рис. 48. Определить положение уровня
Ферми в этом полупроводнике в двух
предельных случаях:
а) невырожденного электронного
•/ газа;
б) сильно вырожденного электрон-
электронного газа.
———————— z Влиянием остальных зон пренебречь.
Рис 48 139. Найти концентрацию электро-
электронов в полупроводнике, если известно,
что при малых значениях волнового вектора к закон дисперсии
имеет вид
у—постоянная.
140. Определи^ концентрацию электронов в полупроводнике
гс-типа с узкой запрещенной зоной (антимонид индия). Закон дис-
дисперсии имеет вид
где Eg—ширина запрещенной зоны, т@)—эффективная масса элек-
электрона вблизи края зоны fm@)<^mo].
141. Ширина запрещенной зоны в полупроводнике Eg, донорный
и акцепторный уровни отстоят от нижнего края зоны проводимости
на величины Ег и ?2 соответственно. Считая, что электроны в зоне
проводимости и дырки в валентной зоне подчиняются классической
статистике, определить химический потенциал для этого полупровод-
полупроводника. Концентрация акцепторов щ, доноров nx. Эффективная масса
электрона тп, дырки тр. Рассмотреть случай донорного полупровод-
полупроводника (гс2 = 0; Е^Ег).
142. Показать, что для примесного полупроводника произведение
концентрации дырок на концентрацию электронов равно квадрату
концентрации электронов (дырок) в собственном полупроводнике.
143. Определить теплоемкость электронов и дырок в собственном
полупроводнике с шириной запрещенной зоны Еа.
144. Найти уравнение состояния релятивистского полностью вы-
вырожденного электронного газа с энергией г — Ур2сг-{-т*с*.
145. Каково равновесное отношение концентрации орто- и пара-
водорода при температуре Т <<с;Гс = g а. , где J — момент инерции
молекулы водорода?
146. Вывести распределение Ферми—Дирака из рассмотрения
столкновения частиц с учетом принципа запрета Паули.
104

147. Определить для кристалла в дебаевской модели среднее от
квадрата смещения атома решетки. В элементарной ячейке кристалла
содержится 1 атом.
148. Как преобразуются термодинамические параметры — плот-
плотность и температура при переходе от одной инерциальной системы
отсчета К к другой К'?
1491. Получить формулу Планка для теплового излучения в среде
с дисперсией, где п = п(\) (п—показатель преломления).
150. Найти спиновую парамагнитную восприимчивость системы
свободных электронов, если одноэлектрэнная плотность состояний
на единицу объема равна g{E). Рассмотреть случай слабого поля.
151. Определить магнитную восприимчивость невырожденного
электронного газа. Энергетические уровни электрона, движущегося
в магнитном иоле Н — Нг, описываются формулой
где тп — эффективная масса электрона, Ио = ~2т магнетон Бора.
152. Определить орбитальную магнитную восприимчивость вырож-
вырожденного электронного газа в слабом магнитном поле (щ#<<^kT).
153. Определить предел чувствительности зеркального гальвано-
гальванометра с модулем упругости кручения нити а.
154. Найти флуктуации давления в однородной системе, находя-
находящейся в термостате, и показать, что для устойчивости состояния
системы необходимо, чтобы
155. Определить убыль энтропии, возникающую при самопроиз-
самопроизвольных колебаниях математического маятника.
156. Найти корреляции АГ Ар и ASAV-
157. Показать, что AS* = kCp\ AS Ар = 0.
158. Вычислить флуктуацию энергии в двухуровневой системе.
159. Определить флуктуацию числа частиц для идеальных газов:
а) Больцмана; б) Ферми—Дирака; в) Бозе—Эйнштейна. Проанали-
Проанализировать полученные результаты.
160. Показать, что в большом каноническом ансамбле справед-
справедливо соотношение:
dN
161. Вычислить флуктуацию положения центра масс для идеаль-
идеального однородного газа, заключенного в сферический сосуд радиуса ^0.
162. Пусть q,, ^ — обобщенные координаты частиц, a anak—до-
anak—дополнительные обобщенные силы, включаемые в начальный момент
и действующие вдоль направлений q, и qk. Доказать, что
105

163. Определить среднее квадратичное смещение броуновской час-
частицы массы т, движущейся в вязкой среде с коэффициентом вязкости ц.
Радиус частицы а.
164. Определить число Авогадро, если среднее квадратичное сме-
смещение броуновских частиц массы т и радиуса а за время t равно Дха.
165. Определить (z—г0J для броуновской частицы, находящейся
в поле тяжести.
166. Частицы диффундируют в стационарном режиме через одно-
одномерный потенциальный барьер U (х). Найти плотность потоков частиц,
если известна плотность числа частиц в сечениях хх и х2 (соотноше-
(соотношение Крамерса).
167. Считая, что уравнение Больцмана для сильно вырожденного
газа имеет вид
dt ~r dr dp x '
где т—время релаксации, определить электропроводность металла
при низких температурах.
168. Определить для невырожденного электронного газа коэффи-
коэффициенты электропроводности и теплопроводности металла, если вдоль
оси ОХ существует стационарный градиент температуры fe^- = const
и приложено поле Е, а т = Луг(Л>0, />—7).
169. Определить тензор электропроводности для электронов в ме-
металле в однородных электрическом и магнитном полях. Электроны
считать вырожденными.
170. Определить коэффициент вязкости для потока газа, имею-
имеющего градиент скорости (J вдоль оси ОХ Газ подчиняется классиче-
классической статистике.
171. Внутри шара радиуса R с постоянной плотностью распреде-
распределены частицы массы т при температуре Т. В момент времени t = 0
оболочка шара исчезает и начинается свободный разлет частиц.
Пренебрегая столкновениями частиц, определить плотность частиц
как функцию времени и координаты.

ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ И УКАЗАНИЯ
КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
1. Парабола с параметром —g .
2. Т = '-
2mv0
еЕ ¦
3. Окружность с радиусом 1»0/соя, где ыя = — электронная
(циклотронная) частота.
4. 2 = —»( 1—со& —| Ось OZ направлена вдоль поля.
tmP \ va) *
5. ^-^(l-
eEt2
2Sr
z = ?2? sin at + ( ^ 4-Дi sin a^ A —
(в момент времени t = 0 частица находилась в начале координат).
6. 1) 2>-r^jKco ^
Указания к вопросам 2 и 3: уравнение проекции траектории
на плоскость хОу имеет вид
-f ^- sin a V + (х — ^- cos a sin Р У = -^7 (sin2 a + cos2 a sin2 0).
С помощью этого уравнения находим точки выхода частицы из
«магнитной стенки» и строим касательные к найденной траектории
в этих точках.
7. Указание. Следует найти координаты электрона как функ-
функции времени t и времени влета электрона в конденсатор t0 Затем
Необходимо найти время попадания электрона на экран Э и значение
координат электрона в этот момент времени как функции параметра t0,
что дает уравнение траектории луча на экране в параметрическом виде:
= A cos d3t№ + В sin
= С sin at0 -j- D cos atB;
здесь ax — ^—^\ a2 = ~ ; d—расстояние между пластинами.
107

Траекторией электронного луча будет эллипс, уравнение которого
(Ay — Dx)* + (By-Cxf = (AC — BDf.
8. х = Ae'mt + Ве'ш*1 + Се''^1 + De~l<mt;
г = А соз(й)
где со0—собственная частота осциллятора,
(ось OZ выбрана вдоль направления магнитного поля),
n m m
где р.о —магнитная постоянная.
9. х = С1
¦у т <
Постоянные интегрирования Сг, С2, ..., С6 определяются из на-
начальных условий. Ось ОХ направлена вдоль электрического поля.
-It
10. х = С, + Ле т cos
-¦^*
у — Сг—Ае т sin(coH
Ось OZ направлена вдоль магнитного поля.
п. г= h
Л .
13. x = 4cos< где ш=
._mo0sina m'g. Л
2a
108

16. F = —
17. FX = O;FV = -^
x ' у ay3
18. x = be~at соь(со<4-ф), где
V (coj + a2 — со2 - 2сшJ +4со2 (со —aJ
, 2co (w — a)
° * со2—w2 + a2 —2ao>
19. При условии хо-л:о<О, т. е. если начальная скорость х„
направлена противоположно начальному смещению ха; кроме того,
должны выполняться условия:
7—VV—
20. ф = ^-р? у Щ^-1\ где / = 2pdlR3—момент инерции лопасти.
21. На средней линии конденсатора будет выполняться условие
з/
24. ~ -¦ - - ¦
. #з — масса и радиус Земли, т — масса спутника.
25. В полярных координатах уравнение траектории частицы будет
2Е
где о— у 1—-А- (/—отношение момента количества движения
к массе).
I. Частица будет «падать» на центр, если 2{i > I1, т. е. а мни-
мнимое. Тогда уравнение траектории будет
2. Частица будет рассеиваться, если е^1.
3. Движение будет периодическим, если а = ^-, где m и п—це-
п—целые числа.
2 1
26. Ф —л arccos(—-); / = 51»«>.
Эти формулы вместе с формулой е= 1/ 1 +-г-(?1—2^) дают
связь между прицельным расстоянием s и углом рассеяния Ф.
109

с*
27. Т =У~2т \ ¦..„, _ * =-, где хг и х,— точки, между которыми
J У Е — U (х)
происходит движение («точки возврата»), являющиеся корнями урав-
уравнения U (х) = Е.
29. Г =
30. у— у jriri—cosa<p, где a= l/l -f "тг(^—момент коли-
количества движения, s= — — прицельное расстояние).
V 2rn? /
41. И = Л i —
а(9) = ад2 п~е
Е В2Bя — 6) sin В"
33. i> = yo-f-Wiln—^- где тй и у0 — начальные массы и скорость
соответственно.
. Для Земли v1 = Y gR3& 8 км/сек,
для Луны i»! = у -п— = 1,7 км/сек,
и8 = 1/2о1 = 2,4 км/сек,
где Мл = 7,3310а6 г —масса Луны, /?л == 1738 кж — ее радиус;
= 6,67-10"8 сл!3/г-сек3 — гравитационная постоянная.
35.
^
3) Л = ^-3Кй2Г^~2o)rsino)T-b2(l—coscoT);
36Лё9^-5'пФ
BlSmaT;
37. (—) —k (—) = I —гипербола, если внешняя сила есть сила
отталкивания (fe>0); эллипс, если—сила притяжения (д < 0).
110

38. x~-g- |/ bi—nie-ai s'm(V k?—аЧ + ср), если k > а,
~ M^ M
tg<P= j/
Y P/> где
2],
43. ^^^-4-^(ip2 + sinse-e2)—fdcosG, где 9 —угол между
направлениями диполя и внешнего электрического поля.
2 2
44. R — тх>й cos g n, где n—нормаль к поверхности цилиндра.
45. x==rco
gcosa
«•'-JS-
h(mlcosa+m2sins)
Г——
en 14
50. 1) x=
2) R =
3)
52. Распад возможен при условии Е^ Е1 + Е2.
111

53. л: = 0; у = 8о>с~* t3; z =— ^5-, если время удовлетворяет не-
равенству
t ¦ 2<о sin 1]? <^ 1
(ф—географическая широта места).
54. ?? — %f- ф2 + mglcos ф—тх it) I cos ф—ту (t) I sin ф.
55. ф-j-wg(l+acos(oi) 81пф = 0, где а>1 = ~-> « = -^-; при ф^1
Ф + ш2A -f асо8сог;)ф = 0.
56. 3 = тхо? (G2 + оJ sin2 9) + 2от2а292 sin2 6 + 2 (mx + ma)ga cos G,
где 0 < 9 < л/2; если 6 = 0, то
57. Если cosG0 = j|2 " ~^—1> 1> то устойчивое положение будет
при 0 — 0; если cosG0<l, то устойчивое положение будет опреде-
определяться из условия cos 90 = -^-5 • Wl
EC l / 2 i Ca ¦%/ 1 cu~
фх = ^° (cos att + соч са3?); ф2 = ^ (cos са^ —cos a2t).
59. Указание. Согласно закону Кирхгофа для электрической
цепи с э.д.с. можно записать
L^ + Rq + ? + ?=O, q = I, A)
где q—заряд конденсатора.
Так как уравнение A) совпадает по форме с уравнением для
механического осциллятора в поле постоянной силы с учетом сил
трения, то можно записать функцию Лагранжа в виде
где /—длина пружины в нерастянутом состоянии. Тогда уравнение
A) можно получить с помощью функции Лагранжа B), используя
уравнение Лагранжа II рода при наличии диссипативных сил:
)-^=|/ ~
60
112

Положение равновесия находится из уравнения B) решения
задачи 59:
dv dv n
0; 0
где
• - /f+f
«
Масса m в верхнем положении будет в устойчивом равновесии,
если
63. Собственные частоты определяются из уравнения
64. Координаты тела массы т в инерциальной системе записы-
записываются в виде
функция Лагранжа
от/2 ¦
2 + 'с03 Ф—тл-'sin Ф*
65. dp + aly^acosyt, где cog = -|-, a = ^-.
66. tfc = ^sin2a; /?S = P fl — ^sinasi
67. ^S-P; Ts = y
PI
Т = кг cos2 a sin a.
sinpctga; Гл = -|- cos 0 ctg a.
68. Т =
71. F = XjfP-
72. tg Ф = у 2
113

73. Положение равновесия определяется из условия fg <р = 3;
устойчивое положение равновесия — условием cosqp>0.
74. \LX, ру)=—рг, \Ly, р,\=--—рх; [1г, рх\=~ру;
\LX, px\ = 0; {Ly, py\~0\ {L2, рг} = 0;
\
{Lx, p} = [ixp]; {Ly, p} = [jxp]; {L2, p} = [kxp].
75. \LX, Lv) = -L:; {Ly, L?)^-Lx; \LZ, Lx)=^-Ly.
76. Указание. Так как tp есть скалярная функция, то она
может зависеть только от скалярных комбинаций г и р: г2, р2, рг.
Следовательно,
Затем требуемое соотношение проверяется прямым вычислением.
77. Указание. Произвольный вектор f (г, р) может быть пред-
представлен в виде
где фг, tpj, ф3—скалярные функции. Затем искомое соотношение
доказывается прямым вычислением.
78. Если В не зависит от координат, тогда вектор-потенциал
можно записать A = -g-[rxB]; поэтому
79. ^ = ^|l + f-^; ^ = ^+g + ^, где
" M
80. & =
—приведенная масса.
п
ill !_ Ч
2 &ю0 ij-
82. [J + Р (х* + «/а)]ф + f* (ху~ух) = ц (хог/о —у0х0), где J —момент
инерции диска, ц = :
114

83. ф =
55т'1;
Ra>X
I t2-
/И
где tp — угол поворота диска, | и т| —декартовы координаты центра
тяжести диска относительно центра масс системы.
84.
2mHm0
a2 cos2 a, 72 = 2mHa2sin2a,/3 = ^!
м
где М — полная масса молекулы.
85. В системе координат, с осью Ог, проходящей через оба атома,
тензор момента инерции имеет вид
У,у —
\х а2 О О
О ца2 О
0 0 0
86. а = 0,8 А.
1 2
87. Моменты инерции относятся как у: -я-: 1; отношение колеба-
— /~~з~
тельных частот V 2: у -^'Л.
88.
2)
2М
T -J _
4) Jxx = ^
20
10
_7 _ / 2M
гг — 5 ?)з —
6) jxx
7) J«
8) ^
9) /„
24
115

89. J3^ = N; w, = 4-
3 at J з
(J ,— J)N ,
где а> = a, ,—, w0, ф, А — постоянные интегрирования.
90. При таком закреплении твердого тела угол G = -^, тогда по
формулам B4) находим
co^tp sirup; uJ = ^cosq); й3 = ф-
Запишем формулу кинетической энергии [см. формулу C1)]
l -g-/,«p1. A)
Координата i|> циклическая, поэтому
—- = —- = (/, sina ф + J-i соьа ф) ib = с = const. B)
Так как Т = const, то из соотношений A) и B) находим ф и \р
как функции угла ф, параметров системы и двух интегралов движе-
движения Тис.
91. T = y/ijJ2sir
92. L = -^M(/?—aK(f>2-~Mg(R—а)соБф. Движение такое же,
о
как и у математического маятника длиной ? = -=- (R—а).
93. Так как а^=0, ф = 0, то из кинематических уравнений
Эйлера B4) находим
Из динамических уравнений Эйлера находим
Используя формулу B1), получаем
Nx = L'x cos if; Л^у = L'y sin a|).
Так как момент сил является суммой моментов равных сил инер-
инерции, приложенных в точках О и В, то
116

Откуда, воспользовавшись ответом к задаче 88 для моментов
инерции, находим
:= — -2fTSm 2a ll2~*Tj C0S °"'
n Mw2 . fl2 R2\ .
94. J ~aTjt\J) — <')С02С0з-
J -jif + (J — 73) Wjcoa = —mg/sin 9 sin ф,
Js-df = °-
95. Воспользовавшись ответом к задаче 94 (положив /^0), за-
запишем
dt
oo = 0, uK = co0 = const,
откуда находим
0)! = A cos (со^ + а),
со2 = Л sin (Ш-\-а), где са — - 3~" са0.
Так как внешние силы отсутствуют, то момент количества дви-
движения L == const. Для нахождения углов Эйлера как функции
времени удобно воспользоваться системой координат, ось Ог которой
совпадает с направлением вектора L. Пользуясь формулой B1),
получаем
L sin G sin ф = Lt — Jcoj = J A cos (at + a),
L sin G cos ф = L2 = Jco2 = J Asm (at + a),
Lcos6 = L3 — J3u>a.
Из последнего равенства находим
9 = arccos^.
Из двух первых выражений определяем
; A = ±-
"ф == (соо—со cos 9)
96. х = cos if cos ф #'—'Sin фсоз'фг/' + sinifz';
г/= (cos 9 э!пф — sin 9 sin ip cos ф) х' -\-
-\- (cos 9 cos ф -f sin 9 sin if sin ф) у' -j- sin 9 cos a|) г';
г= (— sin 9 sin ф — cos 9 cos if cos ф) х' -f
¦*}- (— sin 9 cos ф + cos 9 stn if sin ф) г/' -j- cos 9 cos tp г'.
117

97. В системе координат, связанной с твердым телом:
(?>'х = tp sin ф — 9 cos \|э cos ф,
у фф +
а»г = Ф — 9 sin if.
98. Кинетическая энергия кузова
где /' — момент инерции кузова относительно оси, проходящей через
точку О перпендикулярно чертежу;
кинетическая энергия маховика
Га - М2Л?фа +1 J W + 92 cos2 ф) + ^(Ф — ё sin ЦУ;
кинетическая энергия противовеса, координаты центра масс кото-
которого в инерциальной системе координат с началом в точке О опре-
определяются по формулам
#3 = Нг sin 1|з; j/3 = ('
га — (/гх + h2 cos я|)) cos 0,
равна
^ i & = ^ [Л5Ф* + (Л, + К
Потендиальная энергия кузова в поле силы тяжести
Vr1=M1gi cos в;
потенциальная энергия маховика
Va = M^ht cos 6;
потенциальная энергия противовеса
cos (h± + fta cos
Составив функцию Лагранжа, а затем уравнение Лагранжа,
убеждаемся, что (p = a>ot, 6 = i|j = 0 являются решениями этих урав-
уравнений. Для решения вопроса об устойчивости составим функцию
Лагранжа для малых отклонений этих решений:
где
an = J' + MJi\ + J + М3 (h, + ft,)\
Си = g[M1l + MJil + M3 (At + K)\, c22 =
Движение ф = соо^, G =-ф = 0 будет устойчивым, если выполняется
неравенство
118

99. Центр тяжести находится от точки О на расстоянии
Положение равновесия находится из уравнения
Тде е—эксцентриситет эллипса. Это уравнение имеет решение, если
ег~^о. Кроме того, всегда имеется одно устойчивое положение рав-
п и Зя
новесия ф = у и неустойчивое ср = -у-.
100. В сферических координатах г, 9, ср:
_диг _ 1 ди иг
Urr-~d7' "<» - 7 Ж + л '
ди.
4
в цилиндрических координатах г, <р, г:
иг
"" ~ дг ' ги™ ~ г Эф + дг '
диг диг ди ио 1 диг
101. В уравнение E0) необходимо добавить центробежную силу
инерции poa2r. Очевидно, что эта сила будет вызывать смещение ча-
частиц только в радиальном направлении, зависящее только от г.
Спроектировав уравнение на орт ег [см. формулы D), A8), B5),
B7) приложение 3], получаем уравнение
?A — о) d Г1 . .1
с)A-2о) Тг [Т С"') I ^-Рш'г.
которое имеет решение, удовлетворяющее условию огг — 0 при r =
и 2
Ur~ 8?A —а) ^Ц-э—^)К Г J,
где Е—модуль Юнга и о—коэффициент Пуассона, связанные с упру-
упругими постоянными % и р. следующими соотношениями:
119

102. Одна поперечная волна с фазовой скоростью *=)/%|
и две поперечно-продольные волны, фазовые скорости которых удо-
удовлетворяют уравнению
sin2 29]
где cu, cl2, c44—упругие постоянные кубического кристалла; G—угол
между волновым вектором и осью симметрии четвертого порядка.
При 0 = 0 или 0 = ir волны распространяются перпендикулярно
боковым поверхностям куба.
103. 9j = G0, sin 6t = — sin 90;
cf sin 26f sin 260—cf cos2 26f
c?sin 28/ sin 2Q0-\-cf cos2 26,
d _ c/cos 8, |2cy/sin 280 cos 29,/2
' c,cos 00|c2sin26, sin290+e/cos228,|2'
причем Rt-{-Rt, 0, — угол отражения продольной волны, G( — угол
отражения поперечной волны, ct и с,—скорости распространения
поперечной и продольной волн соответственно.
Указание. Граничные условия имеют вид E1).
104. 90 = 9„ sin 9, = -^- sin 90;
ct sin 28, sin 280 — cf cos2 290
cf sin 29( sin
2CfC/ sin 480
cl sin 28, sin 2B0 + cf cos2 2S0
здесь, как и в задаче 103, Rl + Rt = l.
cos2 280
2 с, cos 9,.
ct cos Bo'
105. 2L = -
dy
(
Ар
(здесь -р—перепад давлений на единицу длины] .
/Ару l /d*
12Г|>4 ^1б~
2>Ит ?¦; г-г»+ т
12ит|
у
Указание. Воспользоваться уравнением C8), показав, что
в данном случае de/dt - 0.
120

d-)V4>— _2 ,t [ ' f
r 4. vfizi^iiliil. _ • и — v — 0
,2 ,2 ' Т о , » fZ — ur "•
Al—~^2 ^1 — ^2 ^
108. Г=--Го + ^
109. В цилиндрических координатах:
dv \ I dp [d^Vr 1 д*1>. d*-vr 1 dvr 2
dv\ 1 1 Эр Г5Ч , ' Л.,й,, 1 3?- 2 диг щ
\dt )ег~ р 5г + v L бл2 "т" Г2 5фг + дг2 + r dr J •
В сферических координатах:
dv_\ 1 аР . г 1 а*ю 1 дч !_^V,
d^ Jer ~ р 5г "Г" L r W г2 ^e2 "т" г2 sin» в 5ф2 "!"
ctg в*г 2 ^ 2 5у? 2vr 2 Ctg О
ачп>8) i ^ 1 д\
"
I ctgea«T 2 ay, у,
/rfv_\ _ 1 ' dp Г 1
V dt )t p г sin 9 d(p +V [ т
2 (m.) 1
dr* + л^
ctge aa? 2 a», 2coseaue
у*'Т~~г* W "T"/-2 sin 9 Э1р + A2s
ПО. Частоты определяются из уравнения
где PjC—произведение плотности жидкости на скорость волны в ней,
рс(—то же для твердого тела. Так как обычно cpi^c^p, то реше-
решение уравнения A) можно приближенно записать в виде
«W-^ + i'j^Wn-l, 2 »¦
Комплексность частот означает, что звуковые колебания в твер-
твердом теле со временем затухают. Физически это объясняется тем, что
звуковая энергия излучается в безграничную жидкость.
121

1M. <x> — xctk, где х—действительный корень уравнения
—2-ji) —16 (l—-?[¦)=<).
Волна Рэлея содержит как поперечную, так и продольную ком-
компоненты, причем их отношение равно
2 )АГ=
112, Так как радиальные колебания продольные, то rotu = 0.
Следовательно, и можно представить в виде u=-Vq>. Тогда ф будет
удовлетворять уравнению ф=сг2Дф. Для радиальных монохромати-
монохроматических колебаний уравнение примет вид
(r
г* dr\ dr
Решением этого уравнения будет
Граничное условие arr (R) — О дает
Корни этого уравнения определяют собственные частоты колеба-
колебаний упругого шара.
ИЗ. Решение ищем в виде расходящейся сферической волны
С помощью граничного условия получаем
Колебания будут затухающими, так как энергия расходуется на
излучение звука.
114. со2 = с2зг2 f-g + p-+ jt) > где п, т, I—целые числа, меняю-
меняющиеся от 1 до сю, с—скорость звука в газе.
115. Указание. Следует перейти в систему координат, связан-
связанную с источником звука. В этой системе координат поле скоростей
имеет вид v — vo + v'. Тогда волновое уравнение получаем из урав-
уравнения движения
Ы tW'V po '
122

уравнения непрерывности
и термодинамического уравнения р = /?(р), связывающего давление
с плотностью.
Дисперсионное уравнение имеет вид
(со—kvoJ = с2?3,
где с2 = ( -р) — квадрат скорости звука.
Частота, воспринимаемая приемником звука, равна
со' = со ( 1 -f- — cos
где 6 — угол между векторами к и v0, со—частота, излучаемая дви-
движущимся источником.
116. co' = co(l-f
Смысл обозначений тот же, что и в задаче 115.
117- V'==w\rl~rt+Ir^
где а и 6—полуоси эллипса.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
4. divr = 3, rot г = 0, rotq>(r)r = 0.
5. gradP-r = P; grad^ = y3—^r; (Pv)r=:P; div[P, r] = 0;
rot [r, P]= — 2P.
6. gradA(r)B(r)=-(AB + BA);
divV(r)A(r)=i.(r.A)+-i(r.\),
rotq>(r) A (r) = —[r, A]-f — [r, A],
где А = ^,В=^.
123

7. а)
2 дАг 2 cos ft <ЗЛФ
8. Умножим искомый интеграл на постоянный вектор р:
р I = p<f"r(A n)dS - ф (р г) Ап dS = [ div (p r)AdV —
= f A grad (р г) dV ^ С А р iV - А рУ.
Так как вектор р произволен, то
UAV,
Аналогично показывается, что
<f (А г) n dS = XV.
11. q> = i + *-
при г <R,
при г > /?.
13- Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая на-
напряженность поля равна разности напряженности электрического
поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля за-
зарядов, заполняющих при этом полость
Поле внутри полости
р 1
Е=д^ра,
поле внутри шара (но вне полости)
~~~ Зе0 Зь0 " | г—al3*1 ''
поле снаружи шара
I Г/?з r>'s
Зёо 1_а3 I г—а |
124

где а—радиус-вектор, проведенный из центра шара к центру полости.
г-^г при г < R.
Id р ) e0n + 3 F ^
14. Е = { а Rn+i
при r>R.
? при r<R.
15. Е = {2тох°*
где г—расстояние от оси цилиндра
16. Ось 0Z направим перпендикулярно поверхности слоя, начало
координат расположим посередине слоя Тогда
Е = ~—^т снаружи слоя,
Е — — внутри слоя.
ео
17. а) С =3—^-~ , где 7?х и 7?г — радиусы обкладок конденсатора
\R,>Ri\,
б) C — -j, где 5—площадь обкладки конденсатора, d—рас-
d—расстояние между обкладками;
в) С = —к-, где /—длина цилиндрического конденсатора, R1
и R2—радиусы обкладок
18. Предположим, что заряд единицы длины первого проводника
равен х, второго—равен — х Потенциал каждого проводника сла-
слагается из потенциала фх, создаваемого собственными зарядами про-
проводника, и потенциала ср2, создаваемого соседним проводником, ко-
который при большом расстоянии между проводниками можно считать
одинаковым в любой точке рассматриваемого проводника Тогда для
первого проводника получим
для второго
Емкость единицы длины системы равна
„ х 2леп Л d \-i
где R — У RjRs—среднее геометрическое обоих радиусов проводников
19. В цилиндрической системе координат с осью 0Z, направлен-
направленной вдоль прямой, соединяющей заряды, уравнение для силовой ли-
125

нии записывается так
В данной задаче
/•dtp dz
'Et '
A)
er
3/2
1 3/2 •
B)
Соотношения B), определяющие электрическое поле, подставляем
в уравнение A). Затем вводим новые переменные и и и вместо гиг;
г=4^, r=_iL. C)
2м — и' и — v v '
Тогда уравнение A) приводится к виду
da du , лч
— т-. D)
Интегрируя уравнение D), получаем
*-Z
или
1/2
Рис. 49
Картина силовых линий представлена на
рис. 49.
20. Пусть поле направлено вдоль оси ОХ.
Тогда
Такое поле создается в частности равномерно заряженной пло-
плоскостью г/ = 0. Тогда |Е| = 2^-.
21. Конформным преобразованием W — Агг1 преобразуем угол
в полуплоскость, решение вблизи которой найдено в задаче 20.
Комплексный потенциал равен
W = ф + (V = AzH = Л (х + iy)H.
Отсюда
Ф = — 2Аху,
126

Эквипотенциальные поверхности и си-
силовые линии приведены на рис. 50.
22. Комплексный потенциал равен
$г = ф-^ iW — У г. Отсюда
%
Исключая ф и
У2 2
получаем
V///////////////////////////:
Рис 50
Найдем линии ф = const. Положив ф = С, получим уравнение па-
параболы
повернутой в сторону отрицательных значений оси ОХ и с вершиной
в точке л: = С. При С = 0 она вырождается в полуось
у — ^i -^ *^ ¦-'¦
Таким образом, ф = Re V~z дает потенциал вблизи заземленной
полубесконечной прямой # = 0, х < 0, эквипотенциальными поверх-
поверхностями является система парабол.
23. Записав г в виде г = re'1*, получим ф = In г.
Эквипотенциальными поверхностями являются окружности ради-
радиуса г - const. В трехмерной задаче такой потенциал создается заря-
заряженной прямой, расположенной вдоль оси OZ.
24. Согласно задаче 23, такой потенциал создан двумя противо-
противоположными зарядами в точках а и —а (в трехмерном пространстве
двумя заряженными прямыми, параллельными оси OZ). При а—>0
I
В полярных координатах
iW = у (cos ft—t si
sin
Отсюда
Положив ф = const, получим эквипотенциальные поверхности
1
X " 7Z
Они имеют вид окружностей (в объемной задаче это цилиндры).
Силовые линии—окружности, уравнения которых имеет вид
127

Такой потенциал создает диполь, расположенный на оси ОХ.
25. Запишем уравнение параболы в параметрическом виде
х = ар2 — а, у =
где р изменяется от —оо до +оо. Тогда согласно соотношению C8)
z
Отсюда
Потенциал дается мнимой частью этой функции.
26. Записав уравнение эллипса в параметрическом виде х = a cos Ф,
= bsinrd и положив a = Ccha, b = Csha (a2—62 = С2), получим
г = a cos W + ib sin W = С cos [W + i (ф—a)].
Отсюда
qp—a),
—a). A)
Исключив W и положив ф = const, получим эквипотенциальные
поверхности, заданные уравнением
С2 ch2 (ф—a)^С2 sh2 (<p —a)
1
Это система эллипсов, фокусы которых совпадают с фокусами
заземленного эллипса.
Исключив ф из соотношений A) и положив Т = const, получим
уравнение для силовых линий:
х2 у2 _ ,
Это система гипербол, фокусные расстояния у которых такие же,
как и у эллипсов. При а = Ь
2 = a (cos W -И sin W) = aei<v+l<c\
у — ae~f sin W,
откуда
е~ч ~ Х~~Ф~ ' У~—2 In г/а.
28. Пользуясь соотношением C9) для потенциала зарядов, рас-
расположенных на поверхности в цилиндрической системе координат,
получим
2я Д2
ОГ dr О /t/'V^—; 5
4яео|//-2 + г2 2е0- " '
о Р,
где z—координата точки на оси, в которой определяется поле.
128

Компоненты напряженности электрического поля равны
Для частных случаев имеем
> р. а / г г
29. Потенциал системы, обладающей1 сферической симметрией,
равен
Подставив сюда плотность заряда, указанную в условии задачи,
получим
30. Потенциал точечного заряда является решением уравнения
д<р = --?-5(г). A)
Представим <р (г) и б (г) в виде разложений в интеграл Фурье:
ф (г) =
Подставив соотношения B) в уравнение A) и приравнивая в под-
подынтегральных выражениях коэффициенты при eikr, получим
31. Д<р—J-—
32- ф = ео(а2+Р6°2+с2) sin ах sin &</ sin cz.
33. Решение, удовлетворяющее уравнению Лапласа и граничному
условию (ф = 0 на проводящей плоскости), имеет вид
4я v 4яе0г''
ее ег'
~4ле0л'3 '
где г =V{x-dy + y* + z\ г' =
Предполагается, что заданная плоскость совпадает с плоскостью
х-=0. Радиус-вектор г проведен от заряда, —г' от его изображения,
т. е. от точки с координатами х= —dt t/ = z = Q, в точку наблюдения.
5 № 2500 129

Поверхностный заряд равен
ed
Полный индуцированный заряд равен
ed dx dy
34. q> = -
= —е.
— jr + p —), где rx—расстояние от заряда
к точке наблюдения Р (рис. 51).
35. Потенциал на сфере и внутри
сферы равен нулю. Потенциал вне сфе-
сферы должен удовлетворять уравнению
Аф = ——б (г).
Начало координат совпадает с положени-
положением заряда. Удовлетворяющее этому урав-
уравнению решение ищем в виде
A)
Вектор г' проведен от точки наблюдения
к точке внутри сферы, положение кото-
которой определяется из граничного усло-
условия: ф = 0 на поверхности сферы. Пос-
Последнее слагаемое в выражении A) мож-
можно представить как потенциал заряда ь'
(изображения), находящегося внутри сферы. В действительности та-
такого заряда нет, но заряд, индуцированный на поверхности сферы,
действует так, как действовал бы некоторый заряд, а сфера отсут-
Рис. 52
ствовала. Из симметрии задачи следует, что заряд е' должен нахо-
находиться на прямой, соединяющей центр сферы с зарядом е на расстоя-
расстоянии dt от центра сферы. Из граничных условий следует (рис. 52)
130

Чтобы это условие выполнялось при любом угле ¦&, необходимо
определяет положение заряда изображения, е'—его величину.
\ ( е е' е'\ ,
\7"—~Р"^т)'' где г и г —те же
(Р = 4яГ\7"—~Р"^т)'' где г и г —те же величины, что и в
задаче 35, г0—расстояние от центра сферы к точке наблюдения.
Два первых слагаемых дают нулевое
значение потенциала на поверхности сфе-
сферы, а последнее—постоянное значение.
При этом сфера остается нейтральной.
Потенциал можно интерпретировать как
потенциал трех зарядов: заряда е, заря-
заряда —ё в сопряженной точке и заряда
ё, расположенного в центре сферы.
53); здесь
e'=e
d Ri
Рис- 53
Положения отрезков d и dx указаны
на рис. 53; точка Р—точка наблюдения.
38. ^Каждый из зарядов, образующих диполь, индуцирует отобра-
отображенный заряд. Поскольку расстояния зарядов от сферы разные, то
будут разными и величины наведенных зарядов. Поэтому в сопря-
сопряженной точке, расстояние до которой d' = ^-, следует поместить ди-
диполь р', ориентированный так же, как и р, и заряд ё, и требовать,
чтобы потенциал системы
рг
4яе0г'3
A)
равнялся нулю на поверхности сферы. На поверхности сферы (см.
задачу 35):
г =
г' ^
2—2dR
'-г'^p'{d' —
Из условия tp = 0 при г = R получим
Это условие должно выполняться при любом угле р. Отсюда
131

следуют равенства:
pd~\-~p~ p' ^
d3
Решение этих уравнений имеет вид
Эти соотношения вместе с формулой A) определяют потенциал
системы.
39. Ищем потенциал в среде, где находится заряд, в виде
Вектор г' проведен из точки, которая является зеркальным от-
отражением координаты заряда в плоскости границы раздела.
В другой среде
* B)
Векторы электрической индукции в обеих средах определяются
соотношениями
Из условий непрерывности потенциала (фх = ф2 при г— г') и нор-
нормальной составляющей вектора электрической индукции (Dth — Dni
при r = r') получим
е—е' е" , .
—— = — ; е' +
Отсюда
в e -
e
Подс1авив е' иг" в формулы A) — C), найдем потенциал и элект-
электрическую индукцию в любой точке пространства.
40. Ищем потенциал в виде
¦-7-
удовлетворяющем граничным условиям фх = ф2 и в, U5- = е2 Ьр-)
на границе диэлектрик—диэлектрик. Постоянная а может быть свя-
связана с зарядом сферы
Здесь е = 8! в среде I и « = еа в среде 2.
132

Интегрируя, получаем
а_
Отсюда
ег
41. Выберем начало координат в центре сферы, а полярную ось
направим вдоль прямой, соединяющей центр сферы и заряд. Решение
уравнения
Аф = —f8(r-d)
Ео
(d—координата заряда), нулевое на бесконечности, имеет вид
1 = 0
где Рг(созФ)—полиномы Лежандра, 6г—числа, значение которых
нужно найти из граничных условий.
Воспользуемся разложением
t^?t=i:^p<(cos§) при г<г'< B)
где ¦&—угол между гиг'.
Из граничных условий (ф = 0 при r*=R) следует
/ ' Л. + Ji-\ P[ (cos ti\ - 0.
Так как полиномы Лежандра—ортогональные функции, то это
равенство может выполняться только в том случае, если коэффици-
коэффициенты при полиномах равны нулю. Отсюда
ъ ^ е g"+i
' 4яе0
___? y
^~" 4лЁ|)|г—d| 4ns0dZj
1=0
Пользуясь соотношением B), последнее слагаемое в формуле C)
можно записать как потенциал точечного заряда е' = —е-^-, нахо-
дящегося на расстоянии  = -^- от центра шара на линии, соединяю-
соединяющей центр шара и заряд. Таким образом,
___?
^ 4яе0 | г—d | 4яео)т —dil '
что совпадает с решением задачи 35 методом изображений.
133

Плотность поверхностного заряда на сфере равна
(Г(Я, *) = -?-'
1 = 0
Полный заряд, наводимый на сфере, равен
42 с
4лео|г—d| т г 4n80dZ-i
t-o
43. Потенциал внутри сферы может быть представлен так:
снаружи сферы
Граничные условия C1), C2) на сфере имеют вид
дф1 дф2 а
дг дг е0
Подставив сюда фх и ф2, получим
^^1 On У 1 Од ^ >
А1 = В1 = д при
Таким образом,
44. Через удельный дипольный момент Р можно выразить по-
поверхностные а' и объемные р' связанные заряды.
Для равномерно поляризованного шара р' = 0, a ct' =
Согласно решению задачи 43 имеем
ф! = з—PrcosO при г < R,
ое0
з—
pS& при
134

45. В отсутствие сферы потенциал внешнего поля в области вне
зарядов удовлетворяет уравнению Лапласа:
Фв„ = 2 2 Almr'Plm{cosb)e!™, A)
l l
где г, ¦& и а—координаты точки наблюдения в сферической системе
координат. Для заданного поля коэффициенты Аш считаются извест-
известными. Если в электрическое поле помещена проводящая сфера, то
его потенциал равен
Ф = Фсф+Фвн. B)
где фСф—потенциал поля, созданного зарядами, индуцированными
иа сфере, равный (Pci, = 2^/"!^(/mi' ^з условия ф = 0 приг = #
определим коэффициенты В1т:
Blet = -AlnR«". C)
Формулы A)—C) полностью определяют потенциал в окрестности
сферы.
46. Внутри сферы потенциал равен
вне сферы—
CD
10
2
1=0
Из условия задачи следует, что на больших расстояниях от сферы
ф21 т* » —+ — Еог — — Eor cos ¦& — — ?(/^1 (cos #)•
Отсюда
а'0 = 0, а[ = —Е0.
Накладывая граничные условия на поверхности сферы при r = R,
получаем
2 alRlPl (cos Ь) = 2 blR-l~1Pl (cos b)—E0RP1 (cosd),
e, JiallRl-ipi (cosd) = — 2&, (J + 1) ^-'-2-P((cos^)—^PJcosd),
где er—относительная диэлектрическая проницаемость ег = е/б0.
Из этих равенств следует, что
_ 3?0 , _ вг—1 г- рз
а1~ ег+2* Ol^Ef+2 оК '
а( = Ьг = 0 при /
Окончательно
Фа = - ?or cos d + !-Ь4 ^г-cos d.
135

Потенциал, создаваемый поляризованной сферой, можно предста-
представить как потенциал диполя D2) с дипольным моментом
р = 4ле„ g . g EqR •
47. Внутри и на поверхности сферы ф = 0, снаружи сферы ищем
потенциал в виде
Ф - 2 bir~l ~ipi (cos *) — Е°гР* (соь *)•
Накладывая граничные условия, получаем
6, = ?„/?»,
6/ = 0 при
Отсюда
q> = — Ейг cos ^ -f ^
а = Зео?о cos ¦&.
48. Внутри сферы
вне сферы
Из равенства Ф1 = ф2 следует
bt=a,Rtl+1.
Из условия
получим соотношение между плотностью зарядов а и неизвестными
коэффициентами at:
Умножим это соотношение на Рт (cos Ь) sin Ь и проинтегрируем в
пределах от 0 до я. Так как а = 0 при 0<#<а, то
или
где Р(+1—полиномы Лежандра, а P(_1(cosa) = —1 при / = 0.
49. Задача допускает разделение переменных в декартовой системе
координат:
Ф(г)»ВДК@2(г).- A)
136

Подставляя A) в уравнение Лапласа, получаем
B)
±t*. a.
где a*$?
Пусть а, 6 и с—длины ребер параллелепипеда.
Предположим, что грань параллелепипеда z = с имеет отличный
от нуля потенциал. Тогда частное решение уравнений B), удовлет-
удовлетворяющее нулевым граничным условиям, на всех прочих гранях
имеет вид
Ф»т = sjn a«* sin pmy sh ymn г,
где
пп а пт
a Р
(«ЛИ '
п и т—целые числа.
Общее решение можно представить в виде линейной комбинации
частных решений:
со
ф(г) = 2 4mSin<v:sinPIBi/shYI,IBz. C)
/t, /71 х; 1
Коэффициенты Апт находятся из условия ф(г) = У при z = c:
а Ь
А™ = abshv с \dx\liilSin an X Sin pmt/ =
A6V
-s г при пит нечетных,
я2 пт sh ymnc F
О при пят четных.
Подставив Апт в соотношение C), получим значение потенциала
в любой точке внутри параллелепипеда.
се
50. ф(г)- Zi sin а„ х sin 8_u Г А „ sh v««, z 4- В -chv zl
X \ / #d П * IJtU L ЛЛ1 I ГСЛ» 1 Off* 1 tan J *
П, ТП~ 1
где
—-—Bnmcthymnc при нечетном m либо я,
А = (
I 0 при четных тип,
Я - J дЛт^1 при неЧетных тип,
°пт Л
{ 0 при четных тип;
ап — — . Рт — -Г" .
/Пг . т2
137

51. В цилиндрической системе координат решение уравнения
Лапласа можно представить следующим образом:
q»(p, z)-/?(p)Z(z),
где R (р) и Z (г) удовлетворяют уравнениям:
Честное решение этих уравнений имеет вид
e^J0(kl9) при г <О,
> ' \e-**J(fep)npH г>0,
где Jo—функция Бесселя, kt определяется из равенства нулю по-
потенциала на поверхности цилиндра:
J0(Vo)=0.
Общее решение уравнения для потенциала представляет собой
суперпозицию частных решений:
со
«Pi-jS Ae*"-MfejP) ПРИ г<°>
kfi) при г>0.
Коэффициенты Л, находятся из граничного условия на поверх-
поверхности заряженного диска. Использовав условие C2) и условие орто-
ортогональности функций Бесселя, найдем
R
л _?
1
_?_
280fe,
Для вычисления потенциала точечного заряда в цилиндре исполь-
используется условие предельного перехода: R—>(), nR2a=-e — const. Тогда
7.
J Jl (ад р dp
о
Далее, воспользовавшись формулой /0@)=1, найдем
е 1
52. Выберем систему координат так, чтобы в ее начале находился
заряд, а ось Ог была направлена вдоль нормали к пластинке. По-
138

тенциал системы состоит из потенциала точечного заряда и потен-
потенциала, создаваемого поляризованной пластинкой. Последний удовлет-
удовлетворяет уравнению Лапласа. Используя общие решения уравнения
Лапласа в цилиндрической системе координат, можно записать.
\\k (d<z<d + a), A)
о о
да
Фз - ) Аа (k) e~k*J0 (kp) dk (d + a < z < oo).
о
Первое слагаемое в (ft можно представить в виде интеграла от
функции Бесселя:
B)
Используя граничные условия для потенциала при z = dviz — d-\-a,
находим
_
4ЯВоA —p»e-««") f
^lifi)C)
2K ' 4яеоA —
A (k\ - eV
где
Формулы A) вместе с соотношениями C) дают решение данной
задачи.
Если заряд расположен на поверхности полубесконечной плас-
пластинки, то в общих соотношениях следует положить d—>-0, а—>оо.
В этом случае
Вг = -&., В2 = 0, А2 =
гавив эт
получим
е
0'  "'  2яео(ег+1)-
Подставив эти соотношения в A) и использовав разложение B),
е
где г = (р2 + г2)^2 — расстояние от заряда к точке наблюдения Фор-
Формула D) совпадает с соответствующим выражением задачи 40.
139

53. Из симметрии задачи следует, что оси эллипсоида будут глав-
главными осями тензора квадрупольного момента, В системе главных осей
Заменой х = х'а, у = у'Ь, г = г'с интегрирование по объему эллип-
эллипсоида в формуле D4) сводится к интегрированию по объему сферы,
заданной уравнением
Вычисление по <рормуле D4) дает
где e = -^-abcp—заряд эллипсоида.
54. Предположив, что заряд расположен в начале координат,
решим уравнения
rotE = 0. A)
Направим оси декартовой системы координат по главным осям
тензора диэлектрической проницаемости. Тогда
х — ьхпх " хдх '
B)
Подставим соотношения B) в уравнение A):
о ср и w о ср г,
g —— L_ g I...I. . _4— g и. Т. —— —— go (Г) I j I
Заменой л:'==—?=•, y' = -~, г' = -Д=- уравнение C) приводится
У 8ж У е_у У s?
к виду
Здесь использовано свойство 6-функции:
6(а*)=4б(*).
Решение уравнения D) имеет вид
140

где
55. Направим ось OY no нормали к поверхности. .Из граничных
условий Еи=*Е*, Dln = D2n следует
oH 1 ~ n»
где n—нормаль к поверхности.
4ле0а '
57. W= че*-
4яеоа
58. Воспользовавшись ответом задачи 40, запишем
= R
где g—ускорение силы тяжести, гг—относительная диэлектрическая
постоянная.
59. Мысленно выделим в диэлектрике куб с центром, совпадаю-
совпадающим с положением молекулы. Полное поле, действующее на моле-
молекулу, можно представить в виде суммы двух полей: поля зарядов,
находящихся вне куба, и поля зарядов внутри куба. В последнем
случае поляризованные молекулы расположены близко к централь-
центральной молекуле и поэтому их поле следует вычислять микроскопиче-
микроскопически. В кубическом кристалле микроскопическое поле отдельных мо-
молекул в центре куба равно нулю. Остается вычислить напряженность
поля всех зарядов вне куба. Так как эти заряды расположены да-
далеко, их поле можно вычислить макроскопически. Поле в центре
куба можно представить как макроскопическое поле Е минус Ej —
поле поляризованного куба, имеющего объемные связанные заряды
р'= — divP = 0 (при однородной поляризации) и поверхностные
о' = Р„, которые отличны от нуля на двух противоположных гранях,
где Рл^=0. Таким образом, поле Ег равно
а/2
F Ра Г dxdy Р_
1~ *"• Х
где с—ребро куба.
Макроскопическое поле в центре куба равно
60. Пусть заряд находится в начале координат. Потенциал опре-
определяется из условия
141
в(г)(е—1).

При условии
Аф — яаф — — -j- б (г), A)
где и2 = ^rk . Решение уравнения A) имеет вид
fil /_<Fi—Фг п__.
ы. у- ^ , *-
4ла*
62. Д^ = -^т, где аг и а2—углы между линиями тока и нор-
малью к поверхности в среде / и среде 2 соответственно.
63. Потенциал между электродами удовлетворяет уравнению
Пуассона:
АФ—?¦• A)
где р ==-?-, / — плотность тока, в стационарном случае не зави-
зависящая от х, если ось ОХ — направление движения зарядов. Ско-
Скорость v найдем из закона сохранения энергии:
Уравнение A) можно переписать так
«** g0 у 2 | е | <р
Интегрируя его при условиях: ф=0 при х — 0 и ф = — V при
x = d, -^- = 0 при х = 0 (условие равенства нулю электрического
поля у первого электрода), получаем
4е„
64. H=y[j, г] при r<R,
H=g;[j,r] при r>R,
где г—расстояние от оси цилиндра.
65. H=i-[j, a].
[j, ]
66. Пусть ось OZ направлена вдоль оси проводника. Из симмет-
симметрии задачи имеем
Ах = Ау = 0,
АЛ1г = —ц0/ при p<R,
АЛ8г = 0 при p> R.
142

Компонента Аг зависит лишь от расстояния от оси. В цилиндри-
цилиндрической системе координат
1 d ( dAx~ \ а
Интегрируя эти уравнения, получаем
A)
B)
Учитывая, что-j^—>оо при р—»-0 и магнитное поле становится
бесконечным, следует Ct положить равным нулю. Из условия не-
непрерывности величин Az и -— (при отсутствии поверхностных токов)
следует
C)
Соотношениями A)—C) векторный потенциал определится с точ-
точностью до постоянной.
Магнитное поле определится формулами:
Н1х = — asintp, Н1у = асоьу, Я1г = 0,
или
Hi = | [а, Р].
Вектор а направлен по оси цилиндра, а по величине равен а.
По абсолютной величине Нг~а не зависит от точки внутри про-
проводника.
Вне проводника имеем
или (по модулю)
67. Выберем систему координат так, чтобы ось OZ была направ-
направлена вдоль тока, а нормаль к поверхности—вдоль оси ОХ. Тогда
из граничного условия B6) следует
!—Y при х < О,
-1 при*>0.
68. а) Я = 0 между плоскостями,
Я — i вне плоскостей,
б) H — i между плоскостями,
Я = 0 вне плоскостей.
143

69. Расположим начало координат в середине полосы, ось OZ
направим вдоль полосы, а ОХ—перпендикулярно полосе. Магнитное
поле не зависит от z. Разобьем полосу на полоски, параллельные
оси OZ, настолько узкие, что ток в каждой можно считать линей-
линейным. Пусть координата какой-нибудь полосы равна у', ширина dy'.
Такая полоска согласно задаче 64 создает в точке с координатами
х, у магнитное поле d\i, определяемое соотношениями:
dHy =
Интегрируя эти соотношения в пределах от—а/2 до а/2, получаем
а
у~т
НУ= 2п\ afCtg
При а —>¦ оо (для плоскости)
у, х>0,
4-, х<0,
2
что совпадает с ответом задачи 67.
70. Для проводников конечной длины /, параллельных оси 0Z,
запишем
йг
где
/*! и гг — расстояния от точки наблюдения к первому и второму про-
проводнику соответственно.
После вычисления интегралов и перехода к пределу I—> оо по-
получим
¦^г=2л"
144

71. Направим ось OZ перпендикулярно плоскости рамки (рис, 54).
Так- как система имеет цилиндрическую симметрию, для нахождения
.магнитного поля достаточно предположить, что точка наблюдения Р
расположена в плоскости xz. Векторный потенциал направлен по
оси OF, т. е. имеет одну, отличную от _
нуля составляющую Л?, равную
2я
R cos ф' dtp'
где р—расстояние от точки наблюдения Р
до оси кольца. Положим ф' = л + 2Ф. Тогда
Я/2
/
я J
Обозначим
Рис. 54
Далее путем несложных преобразований получим
где
я/2
Г
^
Г-—,а^.п21/а—эллиптический интеграл I рода, E(k)
п/2
= \ A — fe2sin2/&)x/2 d$—эллиптический интеграл II рода.
о
Между эллиптическими интегралами I и II родов существуют
следующие соотношения:
dK_
dk
К_ dE_ E__K_
k ' dk ^ k к '
Используя их, получаем
н _ •
2 2п
На оси симметрии р —> О
14В

72. Снаружи шара В2 = ц,0Я3 и rot H2 = 0, div Н2 = 0.
Отсюда следует, что напряженность магнитного поля можно пред-
представить как градиент некоторой функции фя, удовлетворяющей урав-
уравнению Лапласа:
Общее решение для потенциала, дающее нулевое магнитное поле
иа бесконечности, имеет вид
Фт = Zl й1 '*?+{ ¦ B)
Внутри шара векторы Нх, В1т и М параллельны. Пусть они
направлены вдоль оси 0Z. Применяя граничные условия (непрерыв-
(непрерывность Вг и Яа при r = R), получаем
1 = 0
Отсюда следует, что отличными от нуля являются коэффициенты
at с 1 — \.
Подставим ——М вместо Нх. Тогда для ау и М получим уравнения:
В 2а, ., В, я,
х ~ Но дз . Л1 ^ - ^з •
Решая их, находим
a^^MR*, B1==^M. C)
Из соотношений A)—C) для поля вне шара получаем
„ _R3 ГЗг-Мг м ] R _„ н
П2 — 3 I 7* Г~г ' °2 — Г0П2-
Таким образом, вне шара поле совпадает с полем диполя, имею-
имеющего магнитный момент
= — R3M,
а внутри шара
74. Мх^Му = 0; M2=~R2.
75. Вращательное движение создает поверхностный ток, который
в сферической системе координат с полярной осью, направленной
вдоль оси вращения, равен
i? = aQ#sinft. A)
146

Поскольку внутри и вне сферы токи отсутствуют, можно ввести
потенциал магнитного поля
Н = J ~~У^ при Г < Rt
\—\ty2 при г > R
где
B)
О- C)
Граничные условия B5), B6) в применении к данной задаче
имеют вид при г — R
Подставляя разложения B), C) и формулу A) в граничные
условия, а также учитывая, что
) dP1 (cos ¦&)
находим
Al = Bl = 0 при 1ф\.
Таким образом,
H=ycrQ/? при г < R
(внутри сферы поле направлено вдоль оси OZ),
Ч— —i 3—s ПРИ r > R>
— ifip* о-
вне сферы магнитное поле равно полю системы с магнитным момен-
моментом т.
76. Сила взаимодействия токов на единицу длины провода равна
F — a- JLJLlIjl
Знак « + » берется, если направления токов совпадают, и «—»,
если противоположны.
77. Из симметрии задачи следует, что сила взаимодействия токов
является силой притяжения. Вклад в эту силу даст радиальная
компонента магнитного поля, которая одинакова во всех точках
контура. Тогда
2Я
F = [i/1/fp(/?2, Rlt d) j R1d$ = 2n\iRlIlH9(Rl, R2, d).
147

где Яр—радиальная компонента магнитного поля, созданного токами
контура II в точках контура I.
Пользуясь данными задачи 71, получаем
где йг = -п
78. Магнитное поле между цилиндрами при силе текущего по ним
тока / равно
Энергия магнитного поля равна
с другой стороны,
W — — 7 /2
Сравнивая два последних равенства, находим
L==!rln-fr-
82. E =
где ? = —^—, 0=^*^ j » 5о и 5Х—функции Бесселя.
83. Зависимость магнитного момента от времени удовлетворяет
следующему уравнению:
^- = ^oY[M,Hj, A)
где у—гиромагнитное отношение.
Напряженность магнитного поля заданной системы можно запи-
записать так
Решение уравнения A) ищем в виде
где m—магнитный момент, индуцированный полем.
148

Поскольку h<^.H0, то m<^M0. Пренебрегая малыми величинами
порядка hm, из уравнения A) получаем
—штх — —
Решая эти уравнения, находим
—ivhy,
B)
mx~vhx—ivhy,
ГДе
* «*«• • v
При частотах со да оH наблюдается явление магнитного резонанса.
84. Если длины волн намного больше размеров образца', то при
описании колебаний магнитного момента можно воспользоваться
магнитостатическим приближением. В этом случае для переменного
поля h и магнитного момента т, возникающих при колебаниях,
можно записать
roth = 0,
Для шара эти уравнения решены в задаче 72.
В частности, из этого решения следует, что внутри шара
С другой стороны, h и ш связаны между собой соотношением B)
задачи 83. Поэтому
Эта система имеет решение, если ее определитель равен нулю,
что накладывает условие на частоту колебаний со. Нетривиальные
решения существуют, если
где Мо—статическая намагниченность, созданная в шаре полем Но.
86. Конец вектора напряженности результирующего электри-
электрического поля описывает эллипс с полуосями, равными
а = УЕЪ cos»g + ?g3 cos» (a—xT,
Ь = У Е*01 sinaa + E*Qi sin2 (a—%),
149

где
Главные оси эллипса повернуты относительно векторов ?х и ?2
на угол а.
87. Связь между углом падения ^ и углом преломления ^
дается формулой
п sin О, ml
SinO2=——!-, A
«12
где п12 = |/е2/8х—показатель преломления второй среды относительно
первой. Если е2 < е1( то условию A) можно удовлетворить, выбрав
комплексное значение $2. Электромагнитная волна внутри среды,
от которой происходит полное внутреннее отражение (при е2 < ех),
описывается формулой
р pikr — Mat •
2 — L2t; >
здесь k = a>\ 82ji0, со—частота колебаний.
Если выбрать систему координат так, чтобы граница раздела
лежала в плоскости ху, а волновой вектор k — в плоскости хг, то
if ^jj B)
где vi — —==—фазовая скорость волны.
Исключим отсюда Ф3 через угол падения ^ по условию A):
cos«,= ±Kl —sin^.-dhi j/^TT"-!- C)
Чтобы поле оставалось конечным при г—юо, следует взять
данное выражение со знаком «—». После подстановки соотношения C)
в выражение B) получим
где
Таким образом, при полном внутреннем отражении поле внутри
среды, от которой происходит отражение, представляет собой волну,
бегущую вдоль поверхности раздела и затухающую вглубь среды
с показателем и. Глубина проникновения волны во вторую среду
равна
' «12
150

где 6r-=e/e0.
В случае хорошего проводника (—;
89. Напряженность электрического поля находится из уравнения
где k = (оУщо — внутри пластины и k = k0 = -^ вне пластины. Ось 0Z
направлена перпендикулярно поверхности пластины.
Решение уравнения A) вне пластины со стороны падающей волны
имеет вид
где Ей—амплитуда падающей волны, А—отраженной.
Внутри пластины
E Ef
за пластиной—только прошедшая волна с амплитудой D
Граничные условия (непрерывность тангенциальных составляю-
составляющих напряженностей электрического и магнитного полей) дают сле-
следующую систему уравнений для определения напряженности поля:
E+etM + E.e~lkd = Delk«*,
Еа — А = пЕ+—пЕ_,
nE+eiM—tiE_e-ikd = Deik°d,
где п — ]/?г—показатель преломления пластины.
Решая эту систему уравнений, находим
л _
Е 2 Е
? 2Ро Р
Aп)(е-Ы*р) •'
151

где Po=(yt^J > &о — (i +nf —соответственно коэффициенты отра-
отражения и прохождения для полубесконечной среды.
Используя полученные соотношения, находим коэффициент отра-
отражения электромагнитных волн от плоскопараллельной пластины
IА |» __ 4Ро sin2 kd
Отражение равно нулю, если
. _ лот тпХ
где m—целое число, Я—длина световой волны в пластине.
90. Пусть граница раздела совпадает с плоскостью ху и волна
распространяется вдоль оси ОХ, а магнитное поле в волне направ-
направлено по оси OF. Предположим, при г > 0 находится среда с диэлек-
диэлектрической проницаемостью ех, при г < 0—с диэлектрической прони-
проницаемостью— |е, |. Решение уравнения
описывающее волну, бегущую вдоль границы раздела и затухающую
вдали от границы, имеет вид
Н1у + Hrf***-", к, - lAs —5 elr при г > О,
5Г
+^\eir\ при 2<0.
Из граничных условий Н1у = Я^ и Е1х = ?2Л. при г~0 следует
Ям = Яв2, J-^f. B)
Последнее может выполняться только при условии et < es. Исключая
иг и х2 из последнего равенства B) по формулам A), получаем
, а _
91. Из равенства проекций волновых векторов на границу раз-
раздела следует, что
для обыкновенной волны и
1/2
(
для необыкновенной волны; здесь ko = ^, Щ—угол между волно-
волновым вектором в кристалле ка и оптической осью. Отсюда

Направление распространения луча & связано с направлением
вектора ка соотношением
Поэтому
|—Sin*d,)
92. Уравнения движения электроиа под действием электрического
поля ?ое~'ш' имеют вид
тх = —
mz — — kzz -+- еЕоге~ш.
Ищем решения в виде
где х0, уй и гй находятся из уравнений:
еЕ„
о у
т )
т' ~ ¦ \т J \т
Проекции дипольного момента единицы объема, индуцированного
электрическим полем, равны
Е'х>
т ——с
m
(!-") "
Компоненты тензора диэлектрической проницаемости определяются
следующим образом:
95. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси 01. Движение
электронов в переменном электрическом и постоянном магнитном
153

полях определяется уравнениями:
где со0—собственная частота колебаний электрона. Введем новые пе-
переменные:
Учитывая монохроматичность световой волны (Е.± ~ е'щ), получаем
, _ е
til л п есо _
ш2 — ш2 Bo
- m
Система уравнений Максвелла дает решение для ?+ и ?_ в виде
плоских волн
где
.оз < , Ne1 1
Предположим, что при г = 0 вектор напряженности электрического
поля внутри среды направлен по оси 0Y и по абсолютной величине
равен Ей. Тогда
fj,. = Еое 2 cos —g— z,
Из полученного решения видно, что вектор Е вращается. Угол вра-
вращения на пути / равен
96. Напряженность электрического поля монохроматической волны
имеет вид
Е = Еое*п' + Еое-"п'. A)
Уравнение движения ангармонического осциллятора в электрическом
поле записывается так:
т ^t + mcofc,. + Ц pl7J XjXi = е?,. B)
/. «
154

Считая коэффициенты E,-^ малыми, положим
где х^ — величина первого порядка малости разложения х{ по p\77.
В нулевом приближении в уравнении B) слагаемое, содержащее
малые коэффициенты, выбрасываем. Тогда
„@) _
Л/ ¦
о—со2) '
В следующем приближении
' 2 f^ m3(w2 — со2K [ш2 ш2 —4со2 J
Дипольный момент единицы объема равен
где
pw> = ___?
„ —tos)
Ne3 у hu
2 Ti m? '
2 . г т3 (шо — 4сааДсоо—or г
(i=x, у, z)
97. РA) = Р(х) (их — wj + Р(Х) Bсох) + РA> К—юа) + Р A) Bа>а) +
+ 2РA) К + со,) + 2РA> (сох — со2).
Первые четыре члена совпадают с Рш@) и РA)Bсо), рассмотрен-
рассмотренными в предыдущей задаче, а проекции векторов Рш (сох -f- co2) опре-
определяются соотношением
j COS (С0х ± С02) t
у
2 f- m» [со?-(со! ± Ш,)«] (cog-о,?) («,»_«,}) '"
(/=*. 2/. г)
98. Пусть ось OZ совпадает с направлением цепочки. Б этом же
направлении распространяется волна. Уравнение движения я-го
осциллятора в цепочке имеет вид
тхп + т<л\ г„—q [ (г„+х — г„) + (г„-1—г„)] = еЕ (п),
где q—упругая константа.
Умножим это соотношение на e/v0, где у0—объем, приходящийся
на один осциллятор. Величина erJvo = Pn представляет собой диполь-
дипольный момент единицы объема. Тогда уравнение движения принимает
вид
155

Если длина волны намного больше периода цепочки, то удельные
дипольчые моменты Рп являются медленномеяяющимися функциями.
В этом случае уравнение можно переписать так
тР (г) -f-ttuojP B)—уа" , I = — Е(г), A)
где а—период цепочки.
Это уравнение следует решить совместно с уравнением для элек-
электрического поля
<Э2Е [_^Е_ д*р 'Лч
аг2 с2 з/2 :
Иодем решение уравнений A), B) в виде
Р = Рое+гйг-'ю(,
Е = Еое+'*г-'и(. C)
Подставляя формулы C) в уравнения A), B), получаем
Где "-да;- Отсюда
т
^ш2а2 , ,\2 , . ?а2\х/г
2-= Щ +co2 -f4a-— \
1 , \ С~ГП Г \ С tfl I tfl J
к = ±\ 2qa*/m J '
Таким образом, при данной частоте существуют четыре волновых
числа (а, следовательно, и четыре показателя преломления, связан-
ные с k соотношением n = ~kj. Две волны движутся в одном на-
направлении, две—с теми же показателями преломления, в противо-
противоположном. В одном и том же направлении при зафиксированной
частоте в изотропной среде могут распространяться волны с разными
показателями преломления. Это возможно в средах, характеризую-
характеризующихся так называемой пространственной дисперсией, когда диэлек-
диэлектрическая проницаемость зависит не только от частоты, но и от вол-
волнового вектора света.
99. Направим ось 0Z вдоль волновода. Тогда для бегущей волны
E~etkzt H~ekz. Компонента магнитного поля вдоль направления
движения волны ТЕ-волн удовлетворяет уравнению
где у*=——№, с граничными условиями
дп
при х — 0 и х=а, 1/«=0 ъу^Ь:
156

Решение этого уравнения имеет вид
(X, У) = Яо COS —- COS -f- ,
где п и т—целые числа,
При а > b граничная частота равна ю01 = — , при а < b wox = —
Для ТН-волны
100. Коэффициент затухания равен
яг2 , п2
101. Для ГЯ-волн
sm j
где 3—функция Бесселя, п—целое число; у определяется из условия
Для Г?-волн
"г
где y находится из условия
Закон дисперсии для ТЕ- и ТЯ-волн определяется так
у/2
103. решая уравнение Максвелла вне
и внутри волновода и связывая эти два
решения на границе, получаем условия
Г = 0, A)
г, B)
На рис. 55 приведено графическое ре-
решение уравнений A) и B). При частоте ю,
меньшей некоторой величины, кривые A)
и B) не пересекаются. Отсюда находится
Рис. 55
157

граничная частота. При более низких частотах р становится мнимым
и волны не распространяются вдоль волновода, а излучаются в ок-
окружающее пространство.
104. Ех = Ех0 cos a x sin $ysmyze-C(iit,
Еу = ?у0 sin ад; cos f>y sin уге~ш,
Ег = Ez0 sin ад; sin f>y cos уге~ш,
где
лгл о ял л;/
а ' " b ' С '
соа = сгя2 ^ + р-
(m, n и /—целые числа).
Минимальная частота
где L,-—максимальная сторона параллелепипеда.
105. Из условия, что Et = 0 на торцах резонатора, следует, что
решение имеет вид
Ez= Af (p, (f)coskze~i(i>t,
гДе /(р. ф) удовлетворяет уравнению
р ар vpdp/ + p2a<p2 + v' и> v с2 я> iU
k=—r , n — целое число.
Разделение переменных в уравнении A) приводит к уравнению
Бесселя для радиальной координаты
Ег = Е0Зт Gгр) е'тч> cos kz ¦ е~ш
(т—целое число, Эт—функция Бесселя), yt находится из условия
Собственные частоты колебаний резонатора равны
Для ТЕ-волн частоты определяются условием
106. Пусть жидкость движется вдоль оси ОХ. Скорость жидкбсти
зависит лишь от положения точки между плоскостями (координата г).
Аналогично лишь от z зависит магнитное поле.
Следует решить систему уравнений G4), G5) с граничными усло-
условиями v — 0 и Нх — 0 при z — ±d/2. Из уравнения divH = 0 сле-
следует
Ht — const = Яо.
158

Из уравнения G5) запишем г-компоненту
-?- — — = const из-за стационарности течения. Тогда из уравнений
G5) —G7) получим
„ dv с*го&Нх_п
dHx dp
=
Решения этих уравнений, удовлетворяющие граничным условиям,
имеют вид
ch уг-т- — ch -j-
v = v°—T
2г , d , г
где da = T7- у ~v-, v0—скорость жидкости при г = 0.
При слабых полях (d <<L d0)
4г2
Такой результат получается в обычной немагнитной гидродинамике.
В случае сильных полей (dd)
107. Уравнение G5) дает
уП -. _ -_ Л% jj
— - -7Г7 II О"/7 1 ? ~~"~ IX G У 1 "Г" Т1 ~~~~* ( \\
ду~= ' B)
Из условия отсутствия градиента давления вдоль оси ОХ следует
159

Решение этого уравнения с граничными условиями f = 0 при 2 =
ис = 11, при г —А имеет вид
[i0
1 —
*f
о
Из уравнения C) получим
<Jdvodo fch « ch (—- -4Л]
При du^>d (слабые поля)
при d0 <^ d
108. Уравнение непрерывности можно записать через концентра-
концентрацию электронов п так
tr? + divnv = 0. A)
Уравнение движения электрона без учета градиента давления имеет вид
Из уравнений Максвелла следует
где пв~-концентрация ионов и средняя концентрация электронов.
Предположим, что движение зарядов таково, что изменение кон-
концентрации мало, т. е.
п—по = Аи<^га„.
В этом приближении уравнения A) — C) перепишутся так
divE = —Дп,
ео
Применим операцию дивергенции к левой и правой частям послед-
последнего уравнения. Исключив divv и divE из двух предыдущих урав-
уравнений, получим
д*А 2
№

Решение этого уравнения имеет вид
, /ге2пп *
где со„= 1/ -—-—плазменная частота колебании.
111. Согласно закону сложения скоростей в специальной теории
относительности
'+?
При v <^. с
112. Е = гпс2 + ?— 4-
113. Предположим, что поле направлено вдоль оси ОХ, а ось OF
выбираем так, чтобы движение частицы проходило в плоскости ху
при 2 = 0. Тогда уравнения движения частицы записываются так
Интегрируя уравнения движения, получаем
px = e\E\t, pv = p0.
р С2
Из соотношения vx = ^-, где ? — энергия частицы, следует
dxе 1 Е | tc*е [ Е 11&
dy
здесь Е0 = тсг, E01 = c(rn2c2 + plI'i. Отсюда
При условии
0, y t.
6 JV« 2500 161

115. В цилиндрической системе координат уравнение движения
частицы имеет вид
d ! тг \ тгф t^,r ...
~dt \ Yl—v*/c*)~~ Y~\—v2/c* '" (/-2+г2K/8 ' ^ '
Уравнению C) можно удовлетворить, положив z = 0. Это соответст-
соответствует движению частицы в плоскости г = 0. Оставшиеся уравнения
можно переписать так:
d ! тг \ тг& е,е„ d / тг2ф \ Л
= и,
Из уравнения B) следует один интеграл движения—закон сохране-
сохранения момента количества движеяия:
= L = Const;
2
из уравнения D)—закон сохранения энергии:
тс? ехе2
Исключая t из первого уравнения, получаем
где р = -J-*-.
После интегрирования уравнения получим
,_ Р
l-f-ecos^l—Р2 (ф — Фо)
где р = pf-2-, е и ф0 — постоянные интегрирования. Выбрав со-
ответствующим образом начало отсчета, <р0 можно положить равным
нулю.
Траектория движения частицы незамкнута. Ее можно получить
медленным вращением эллиптической траектории в своей плоскости.
l 1
117. ^ = 4 Мэе; Т, = 29,8 Мэв.
162

118. Пусть системы движутся в направлении ОХ. Учитывая, что
Рх, Ру, Рг и i— представляют собой компоненты 4-вектора, из за-
закона преобразования векторов G9) получаем
Рх 2-Е,
Рх~ Vl-pVc*"' Р'"^РУ Р*=Р"
119. Пусть распадающаяся частица движется вдоль оси ОХ, ча-
частица с энергией Ех — под углом Ох к оси ОХ. Тогда из решения
предыдущей задачи следует
где ?01—энергия частицы в лабораторной системе, гп1—масса частицы.
Аналогичная зависимость получается для #г.
120. tgu — — ti+u'cosd ' Где ^—Угол междУ направлением
движения частицы и осью ОХ.
Ul. COSW!-
COS v, =
где Ро = — (C5i—
122. со = з
где coo—частота фотона до столкновения, %—постоянная Планка.
123. Ю = -
125. Рассмотрим систему координат, движущуюся вместе с зерка-
зеркалом. Предположим, что оСь ОХ направлена по скорости движения
зеркала (противоположно нормали). В этой системе выполняются
законы отражения для неподвижной среды, т. е. частота не меняется
при отражении. Запишем законы отражения:
ь' и. Ь'—Ь' Ь' — Ь'
где к' и со'—соответственно волновой вектор и частота падающей на
зеркало волны, ki и щ—то же для отраженной. Так как четыре
числа kx, k , kz и t — представляют собой компоненты 4-вектора,
то воспользовавшись законом преобразования 4-векторов, получим
6* 163

соотношения, справедливые в системе, в которой зеркало движется
k A-k
х
X 1JC~
ft,
к
Решая эти уравнения, находим
2Р
В
с
_ 1 , .
"а ' "'
, = *1У.
hPa — 2Pcosft
1 —Р2 '
где 'ft и Фх—углы между направлением движения зеркала и соот-
соответственно направлениями распространения падающей и отраженной
волн.
127. Если одна такая система найдена, то любая другая, дви-
движущаяся по отношению к ней вдоль Е и Н, также будет обладать
этим свойством. Поэтому достаточно найти одну из систем, скорость
которой перпендикулярна к обоим полям и, предположим, направ-
направлена вдоль оси ОХ. В этой системе из параллельности полей следует
Е'Х = Н'Х — О, Е'уН'г—Е'гН'у = 0. Из закона преобразования полей найдем
у/с _ [ЕН]
. I хх— j__y2/c2^ хх с 1 ix С2 ' и)<
1 УУ — уу Уг —
1
)/ \ У
'41+ с l*V)>
1 44— 1_ц2/с2
lou. С<||=С||, Пц — П[[,
Е', =-
4^9—Г' —-Т' )
, Hx-80[v,E]
М i ^^
Х Ц 02/c2U/2
Здесь индексы «Ц» и «_]_» означают параллельность и перпендикуляр-
перпендикулярность к скорости v.
164

134. АФ = —?-,
где jx — поперечная составляющая вектора плотности тока, равная
135. Векторный потенциал равен
В случае больших расстояний от антенны получим
j
-d/г
где Ф—угол между направлением излучения и направлением антенны;
после интегрирования получим
kd „ kd
cos 2-cosfl-cos-
2лг
со
средняя во времени мощность, излучаемая в единицу телесного угла
йп, равна
(kd Л kd
cos I -^ cos О — cos -5-
sin О
В частном случае, когда в антенне укладывается несколько полуволн,
L
du
"»• ^ = 4
cos81 у cos О
4 cos* ( — cos# )
sin2d
(kd^n),
2kl 2kl ^
о J
о о
138. В цилиндрической системе координат напряженность маг-
магнитного поля падающей волны можно записать так:
165

Плоскую волну можно представить в виде разложения по функциям
Бесселя:
Ре* <«?-«">.
Из симметрии задачи следует, что в рассеянной волне напряжен-
напряженность магнитного поля также направлена вдоль оси цилиндра. Будем
искать ее в виде ряда по таким цилиндрическим функциям, которые
обеспечивают асимптотическое поведение рассеянной волны при боль-
больших значениях р:
Я ~ p
Такими функциями являются функции Ханкеля Нт (&р) Тогда для
рассеянной волны
Граничным условием является равенство Нг = О на цилиндре, для
данной задачи оно эквивалентно условию ?, = 0.
., , „ дЕ
Из уравнения rotn = e0-^— следует
Е = %—^Ил,
Из граничных условий получаем
При больших значениях р
__ , р_ ат+1)_.
Тогда
/"Т" , »-- (тф—Г^4)
Средний во времени поток энергии в рассеянной волне равен
Интенсивность излучения на единицу длины цилиндра
2JI
166

139. В системе центра инерции дипольный момент системы равен
р = еЛ + е2г2 = ц [-— — ~) г,
где т1 и т2—массы частиц, \и—приведенная масса, г—относительная
координата частиц.
Для одинаковых частиц е1 — е2, т1 = тг, тогда р = 0, и следова-
следовательно, отсутствует дипольное излучение, пропорциональное | р |2.
140. Интенсивность дипольного излучения вычисляется по фор-
формуле G3), где р = ег. Исключаем г, пользуясь уравнением движения
Отсюда
е»64яе0 | ? |*
" 96я3е3с3а*т2
где Е—энергия частицы.
141. Если в течение периода энергия частицы меняется незначи-
незначительно, то из задачи 140 следует
d?__64ne0 ]f 1*
dt ~ 3 т'сЧ*'
отсюда
_
4яе0 48|?|»*
142. Интенсивность излучения равна
6яс3е V т т J
(J_ _
яс3е0 V тх т2 J Dяе0K Зс3
где |х—приведенная масса.
Усредним интенсивность по времени, испочьзуя уравнение траек-
траектории частицы г (ф).
г=^ а A-е»)
1 + 8 COS ф '
где а — я. ^1" большая ось эллипса, е —эксцентриситет эллипса,
определяемый по формуле
- У '
Здесь \Е\—энергия частицы, М—момент количества движения.
После усреднения получается
167

143. Зависимость электромагнитного поля от времени t можно
записать так:
О при t < О,
Разложим электромагнитное поле в интеграл Фурье
со
Е@= S Е (со) е~ш dco,
— ш
где.
Интенсивность излучения пропорциональна модулю квадрата компо-
компоненты Фурье:
У (*>) = — Jn
JIT
где
Полуширина линии определяется из условия
_ / ДсоД 1 • / *
" i о ^- о / "9~ V о/*
Отсюда
2
Ли = —.
т
144. Эллиптически поляризованную волну запишем так
Е = A cos cctf -f В sin at,
где A J_B. Тогда дифференциальное эффективное сечение рассеяния
равно
где п — единичный вектор в направлении рассеяния.
145. Напряженности электрического и магнитного полей данной
системы ищем в виде:
E EeieW \
Е — P
H = Hoge»^ / при z>0'
168

где
Выберем систему координат так, чтобы ось 0Y была направлена
вдоль i. В этом случае пользуясь граничными условиями B5), B6),
а также связью между полями Е и Н в плоской волне, можно по-
получить
Ь F —
Излучение электромагнитных волн в окружающее пространство
происходит, если ~т>д1Л ц\- В противном случае электромагнитное
поле существует лишь вблизи плоскости и сопровождает ток.
146. Электрическое поле колеблющегося диполя индуцирует в час-
частице дипольный момент, который также излучает электромагнитные
волны. При условии d-^сХ напряженность электрического поля, со-
созданного в точке с радиусом-вектором d, равна
При условии р J_ d
Ei(d) = — 5Н^35-
Это поле создает в частице диполь, равный
р1 = еорЕ1.
Результирующее поле состоит из полей, созданных диполями р и рг
На больших расстояниях от системы (г^>%):
E^Ej + E,, H==Ht+H2,
где
здесь n = r/r.
Интенсивность излучения электромагнитных волн равна
6Я80С3
147. Пусть диполь расположен в начале координат. Ищем поле
диполя в следующем виде;
169

в среде /
И _1р»  | Ip'i» "il
1 Ancr ' 4mrt '
4л8 у j" c2r
4л80 у gj" c2r 4яе0
и в среде 2
~ Ancr '
с _ [foil"]"]
P I/ Г r2r '
0 f P>
где r—расстояние от диполя до точки наблюдения, п—единичный
вектор к точке наблюдения, rj = r—2d, n^— , pt и р2 находятся
из граничных условий:
[р, n|t + LPi, ni]t = [p2, n]t,
[[p2ln], n] t _ [[p, n], n]t , [[p'l.ni
где t—единичный вектор в плоскости границы раздела. Пусть по-
последняя совпадает с плоскостью ху. Решая эти уравнения относи-
относительно р1 и р2, находим
„ Уъ-Уъ _ У г,-У г,
Plx~ УчJ P Р
148. При вычислении длинноволновой части спектра можно считать,
что отражение происходит мгновенно, и для определения поля до-
достаточно воспользоваться формулами G2) и G3).
При мгновенном изменении скорости зависимость скорости от вре-
времени записывается так:
y при ^ < О,
v = vx\ + vy)—v^k при t > 0.
Поэтому
р _= е\ — 2evzb (t) k,
где k—орт в направлении, перпендикулярном плоскости. На больших
расстояниях от заряда согласно G3)
Е(г. 0=sBU[[k, л]п].
Поскольку
170

находим
E(r, 0» = ^
Энергия, излученная в единицу телесного угла в единичном интер-
интервале частот, равна
_______ Qin2 ft
~ 4я3с3е '
dJ (со)
dQ ~ 4я3с3е0
где ft—угол между направлением излучения и нормалью к поверх-
поверхности.
Максимум излучения лежит в плоскости, от которой происходит
отражение. Излучение отсутствует в направлении, нормальном к этой
плоскости.
Энергия, излученная в единичном интервале частот по зсем на-
направлениям, равна
J (CO) = о « - .
Эта энергия в области малых частот не зависит от частоты.
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
1. При движении частицы ее импульс р остается постоянным и
равен —р при отражении частицы от стенки. Следовательно, условие
Бора—Зоммерфельда дает
т. е.
2.
§pdx = 2p\
0
Pn 2a ' "
Воспользовавшись интегралом
D ftldjJC
2т ' 2
dx = nh,
п2Л2
8maa '
энергии
2
где со = у ——частота колебаний осциллятора, А — амплитуда его
колебаний, находим
р = К"т2со2(Л2—х1),
и из условия квантования Бора — Зоммерфельда, подставляя х =
= A cos ф, получаем
г 2я
(р pdx — тЛсо (р у 1 —j$dx = тЛ2со J cos2 ф dy — тЛ2соп = nh.
о
171

Следовательно, разрешенные амплитуды и энергии будут
" шла " 2
3. Для малых колебаний разложим V (хг, ха, х3) в ряд, ограни-
ограничиваясь членами второго порядка малости.
Переходя к нормальным координатам, можно написать функцию
Гамильтона Щр(, q,) в виде
*<»¦..*>=i (?+=4
Задача сведена к трем независимым осцилляторам, движение которых
может быть проквантовано так же, как в задаче 2, но будет три
условия Бора — Зоммерфельда:
Выразив <7, и р1 как функции времени, т е.
q, = 4(sin(co,? + a;) и pi = mql, dq
подставим эти выражения в интеграл и получим
§ p, dqt - m,A?a>? J cos2 (со,* f a,) dt = m^ A}; T, =
о
Отсюда
и уровни энергии частицы
з . з
4. Частица характеризуется одной координатой ц>. Ее обобщенный
импульс в поле центральных сил
1 д (mrW) „ ¦ ,
= -s- ——^ = тг2ф = const
<?ср
и условие Бора—Зоммерфельда дает
где J = mr2 — момент инерции частицы.
172

5. Аналогично задаче 4
Подставляя и = гф в уравнение— — —> получаем
«2я2 р _ ти2 е2 те*
6. Движение электрона характеризуется двумя обобщенными ко-
координатами г, ф и импульсами рг — тг, р?— тг2ф. В поле централь-
центральных сил существуют интегралы площадей
рф = тг2ф = L
и энергии
Из последнего соотношения находим
Так как в экстремальных для г точках г = 0, то гшп и rmax опре-
определяются как корни подкоренного выражения. Условия Бора — Зом-
мерфельда дают
(ftp<.dy = L-2n = n.h, 2
шах
mm
S/ IB С
1/ A-\ \- — dr, где]/ A = -\-iy—2mE
(E < 0) и Kc = — iL= — m,^, вычислен в приложении 4 [см фор-
формулу (II)]-
Вводя п — пч + пг, после подстановки получаем
2га ( —¦ те ¦¦ 4-m.h) = nJi
те4
7. Обозначив координаты и массу ядра rlt m1, а электрона г2,
т„, можно разделить переменные, вводя r=rj — г2 и R = miri , т2Г^ .
Центр тяжести, радиус-вектор которого R, движется как свобод-
свободная частица с массой Ai = m1-fm2 в объеме 0<х<а, 0<у<6,
О < г < с. Задача об относительном движении электрона сводится
к задаче, в которой массу электрона т2 следует заменить его при-
173

веденной массой \i — —h~ • Импульсы центра тяжести Рх, Ру, Рг
квантуются так же, как в задаче 1. Следовательно,
- (
тн — 2М \ а

8. Координата г и импульс р связаны интегралом энергии ? =
— 7^iJrmgz = mgH, из которого находим
р = ± V2m(E—mgz).
Условие квантования
н
i(E-mgz) dz = nh
о
позволяет получить
""-
9. Применяя двукратно оператор к произвольной функции 1|з, по-
получим
и, следовательно,
12. Очевидно, что
[iifcv+ A]si|) = (iAv+A)(i^V'lf)+Aij)) = —«2Ai|)-M'^.(V- A + A ¦
Учитывая, что V-Ая|) = A-Vt + div А-^|з, можем написать
(i^V + AJ = — Й.2А -\-2ifi (A-V)-{-ih div A + A2.
13. Действуя оператором -г х—Xj- на произвольную функцию,
имеем
dx d-v/ dx
т. е.
14. Ах — хА — 2j- .
174

15. Определим оператор fa равенством
и представим ty(x-ra) в виде ряда по степеням а:
Замечая, что 2^~пГ~еХ> можем записать
d
16. Подобно задаче 15, определяем Та равенством
T.i|)(r)=i|?(r + a)
и, разлагая г|)(г + а) в ряд вблизи точки г, получаем
ta=ea v.
17. По определению, 7\ijj(cp) — г|э(ф -f-a), и, представляя
d Y
d )
замечаем, что
со d
18. По определению эрмитово сопряженного оператора, запишем
Ity^dx n \ |iJj2Ydx существуют. Следователь-
но, ^ и ijJ при х —>¦ ± оо равны нулю Проводя в левой части на-
написанного равенства интегрирование по частям, получаем
__d_
19. Аналогично задаче 18
175

20. Указание: см. задачу 18.
21. Для доказательства следует рассмотреть \ ty\ Дгр2 dx, в кото-
котором ^ и i|j2—функции, интегрируемые с квадратом модуля (см. за-
задачу 18) и равные, следовательно, нулю на границах области инте-
интегрирования. Используя равенство
Ф div В == div (фВ) —
можем написать
ф, dx = J т|>* div (V*M dx = J div [ift Щ2] dx—
= — J {div[^2v^]—4JdivV^M^
При этом учтено, что интегралы от дивергенций могут быть преобразованы
в поверхностные, которые обращаются в нуль в силу граничных условий, нало-
наложенных на функции ifj и г|э„.
22. Оператор 7ь определяется равенством
S Ч>Г (г)f ья)>2 (г) dt = J ф, (г) (fiTik (г)] * dt.
Чтобы найти его, произведем в выражении
/ = J Гг (г) Тъ^2 (г) dx = ^*г (г) ф, (г + Ь) dx
замену переменной r-|-b = r'. Так как интегрирование ведется по
всему пространству, то замена не скажется на пределах; после замены
получим
и, поскольку ij?! (г—b) = T_b^i(r), то можно написать
т. е. П=Т_Ь.
23. По определению, е a4i=V-—-р-^ ¦ Как было показано в за-
дп дп
даче 19, оператор, эрмитово-сопряженньш ^-^ , есть (—1)Л5-^ и, сле-
следовательно, для оператора
удовлетворяется условие самосопряженности. Таким образом, и
г—\+ га —
tad<t) _=e' o<p (если a==a*)-
24. Так как условием вещественности f(x, у, г) является равен-
равенство f — /*, то доказательство очевидно.
176

25. Согласно определению,
Рассмотрим первый интеграл; обозначив 5^2 —ij>3 и вводя Л+, мо-
можем написать
Обозначая Л+г|з1 = /ф4 и возвращаясь к г{з2, перепишем последнее вы-
выражение в виде, удобном для преобразования с помощью S+:
Итак,
26. Оператор, при помощи которого вычисляется среднее значение
физической величины X, должен быть самосопряженным, т. е. L = L+.
Квадрату К таким же образом сопоставляется квадрат L, т. е. опе-
оператор L1:
(Обозначая Z.i|) = ty, и пользуясь условием самосопряженности, имеем
так как | i
27. Дополнив выражение L Мг — M*L членами ±MLM и вы-
вынося в разностях общий множитель М слева и справа за скобку,
получим
L М — М L М = (L М — М I) М + М (L М —
так как LM — ML=\.
28. Используя результаты задачи 27, докажем, что полученное
при п — 2 соотношение верно и для п-\-\. Пусть
М Ln — L"M = — tiL"-1.
Используя его, составим
177

Следовательно, соотношение М L" — Z"/W = —nL"'1 доказано для лю-
любого п. По определению,
/1 = 0
Следовательно,
п =0
Но, если положить п—1=п1, то
и, таким образом,
29. По общему правилу
[?/<*. У, г)-/(,,
т. е.
3 ,, . г . .5 df (х, у, г)
Txf{x, у, z)-f(x, y,z)Tx = -L±J!-l
30. (I— M)(L+ M)-L2 — M* + (LM — M L).
31. Составляя уравнение для собственных функций, имеем
з? = ЭД> и г|>-=<
Из условия конечности ty(x) при х—>¦ ± °о следует, что %— ф, где
8—любое вещественное число. Аналогично для iTl очевидно, соб-
иХ
ственная функция
где X—любое вещественное число (спектр непрерывный).
32. Разделяя переменные в стандартном уравнении ( x-\-j-) i|> = Ь|\
приходим к равенству ~ = (к—x)dx, интегрируя которое, получаем
Это решение удовлетворяет требованиям конечности, непрерывности
и однозначности при любых %, как вещественных, так и комплексных
(спектр непрерывный).
178

33. Решение уравнения -р = А/ф ищем в виде
и в силу однозначности собственной функции должны требовать
справедливости равенства:
Подставляя сюда полученную выше функцию, находим X из условия
^¦2я = 1. Следовательно, X=-im, где т = 0, ± 1, ± 2, ... .
34. Чтобы найти решение уравнения
sinA^M,, A)
. d
представим оператор sin-т- в виде степенного ряда:
Решение уравнения A) с учетом B) следует искать в виде ty = e'x't
и из требования однозначности функции запишем a = im, где т = 0,
±1, ... (см. задачу 33). Подставляя это решение в уравнение A),
получаем собственные значения
(fm)*= sin (/m)-
35. Аналогично задаче 34
ty = eim'f; X = cosm.
36. Аналогично задаче 34
1]) =¦ е'т"?; X = а~ат.
37. Вводя новую функцию f/ = jci|5, получаем уравнение
решением которого являются
Для Х = — Р2 < 0 эти функции будут конечными при х—>±оо.
Однако, чтобы обеспечить конечность \f> (л:) в точке х — 0, нужно
очевидно, взяв линейную комбинацию обоих решений
потребовать обращения числителя в нуль вместе со знаменателем
(при х — 0). Следовательно,
Сх + С2 = 0 и гИ*) = С^-^,
где р—любое вещественное число.
179

38. Воспользуемся правилом, указанным в условии задачи, один
раз считая произведением первый член скобки, другой раз—ставя
произведение на второе место. Получим два равенства:
Lgh A)
(Л ft ft) = (f. ft )A+ft (f. г.)- B)
Положим в этих равенствах f—fj2 и g = gxgb и согласно тому же
правилу, соблюдая порядок множителей, получим одинаковые левые
части равенств, а их правые части будут выражены двумя способами:
из равенства A)
Chh, gik)=ft (fi. g2) h + (fv ft)ёг f, + fii (ft, ft) + h (f,, ft)ft;
из равенства B)
(fif2. ftir.) = fi (fi, ft ) ft + (h, gi ) f2g2 + ft?i (?«, ft ) + ft (fi, ft
ft )fi-
Сравнивая правые части, из которых вычеркнуты тождественные вы-
выражения, получаем равенство
(fi. ft ) [fA—?Jt] = [fift-iifj (f2, ft).
справедливое для любых операторов Jx, gx и J2, g2. Ввиду произ-
произвольности выбора этих операторов, можно утверждать, что для лю-
любых } и g
Требуя, чтобы (f, g)+ = (f, g) при f+ = f,g+=g (условие самосо-
самосопряженности), получаем С* = — С, т. е. С = ^г . Размерность С долж-
п
на быть обратной размерности действия по аналогии с размерностью
п
классической скобки Пуассона (f, g) = X ( лТГS^-^S ) • Следо-
(-_j \uPi°4i a4i°PiJ
вательно, Й- — произвольная величина, имеющая размерность действия,
и квантовая скобка Пуассона
«.—*(»S-'5)-
39. Ограничимся доказательством эрмитовости оператора
Требуется доказать, что
-
180

После переноса влево всех членов равенство имеет вид
Ь
или
Но
QO СО
-о,
так как, в силу условия нормировки, функции tyu tp2 на бесконеч-
бесконечности равны нулю. Аналогично доказывается равенство нулю второго
слагаемого.
ь ь
40. Из равенства —\ ukirijrLdx=\ иА-т-^- ) dx вытекает, что
J "X J \ I OX J
а а
b
а
Для случая ик = и1 = и получаем
т. е. иф) = е'6и(а), и в общем случае
ик ф) = е«* ик (а); щ (Ь) = е'6< щ (а).
Тогда, согласно равенству A), е'(*<-*&)= I, т.е. фазовый множитель
б один и тот же для всех функций uk:
бд = бг и uk(b) = eil> uk(a).
41. Воспользовавшись тем, что
докажем справедливость х-составляющей указанного в условии со-
соотношения, а именно
y yy y
= (гру—ур2) (рхх— хрх)«i% (ург— гру) = i%Lx.
Применяя циклическую перестановку индексов, можно получить
остальные составляющие равенства
42. Для доказательства коммутативности L2 и Lx напишем
L2LX LXL = LyLx—LxLy -\- LZLX LL
x
ZLX L
181

J4 *Ч -Ч -Ч Л Л
Прибавляя и вычитая из написанного выражения LyLxLy и LZLXLZ,
вынося за скобки общие множители, расположенные с одной и той
же стороны, и используя результаты задачи 41, получаем требуемое.
43. Ищем решение уравнения in —^~- = — -^ -^ в виде
? (х, t) = U (х) • ф (t) (частное решение, уравнение допускает разде-
разделение переменных). Тогда
Ф dt ~ 2mU dx2 ~°"
Чтобы U (x) было конечным при ) х | —>¦ оо должно быть а > 0. Обо-
Обозначая -?^ = fe2, получаем
y(t)-=e im ; U(x) = etkx,
где fe — любое вещественное число. Общее решение имеет вид
Si*a:-i —— t
C(k)e 2m dk.
44. Нормировочный коэффициент А определяется из условия
[ ? (хУ 0) |а dx= I, Подставляя заданную Ч'-функцию, имеем
-^°3^ = |Л|га]/'"п = 1, откуда
Чтобы определить область локализации частицы, следует найти
, 0)|2 = | Л I'e-*'/"'.
Эта функция имеет максимальное значение в точке х = 0 и быстро
убывает при |я|>а. Ширина пакета, задаваемого такой функцией,
порядка а. Плотность тока вероятности
дх дх J ' ' т
Конечное выражение \х совпадает с классическим. Множитель р
определяется только вещественной частью показателя Ч'-функции, а —-
о
т
(аналог классической скорости частицы) — мнимой частью.
45. Представим, согласно решению задачи 43, W (х, 0) в виде
пакета волн: W(x, 0)= ^ С (k) e'kx dk.
— да
182

Отсюда
~
Дополняя выражение в показателе экспоненты под интегралом до
полного квадрата, получаем
Значение С (ft) отлично от нуля вблизи k = ft0. Выражение
пропорционально вероятности найти у частицы квазиимпульс в ин-
интервале ft — (ft-j-dfc); Aft ~ — определяет ширину пакета в fe-npo-
странстве.
46. Взяв из задачи 43 решение ? (х, t)— j C(ft)e 2m -dfe
— 00
и подставив С (k) из решения задачи 45, получим
Выделив в показателе полный квадрат, приведем этот интеграл к ин-
интегралу Пуассона:
Аа _—т-
ехр
L
хехр
а* 1 а*
•ехр
m
dkx
t
l_ ma J ' та*
По определению, плотность вероятности равна
2A+—Ja
v ma2 J _
г
ехр
х — ¦
L
+
т2а4/
! j
Это выражение показывает, что максимум кривой вероятности пере-
передвигается со скоростью -—, а ширина этой кривой растет со вре-
18,3

менем как
Плотность тока можно представить в виде:
X X ¦
'* 2т \? дх ) ^ +
\ та* * та2
, ^*
47. <х>= $ л; | г|з р d« = | Л Iя \ хе~х*'а* dx = 0;
— 00
= J **(-Ag)dx= J
48. Так как <л:> = 0 (см. задачу 47), то
Ах = х—<,х> — х;
следовательно,
2 (о|> [2 rfx = | А |2 С x2e-j;2/a2
Из условия нормировки |Л|а = 1/|/яа и
Для определения <A/?a> = ft2<(&—&0J > можно воспользоваться
выражением \C(k)\*dk из задачи 45, пронормировав его. Записав
dW (/г) = Вехр [ — (k—kof a2] dk,
сс
из условия 1= I В ехр [—а2(&—&0J] dk—В у ~ найдем В —
=а/]/ л. Теперь можно написать
СО | OD |
J ° I д (a2) J
-оо l_ -a J
= lo3" ~ '2аг
184

и непосредственно убедиться в справедливости соотношения неопре-
неопределенностей:
49. Рассмотрим области I (х < 0) и III (х>а), где V = oo. За-
Записав уравнение Шредингера в этих областях как
_ 2т
dx2 п,2
видим, что при V = оо функция ij)[ должна обращаться в нуль (более
строго это можно показать, используя решение задачи 51).
В области II @^х^.а) уравнение Шредингера сводится к виду
dx2 %* "
Вводя обозначение —r^- — k2, можно написать его решение в виде
if,, = A sin (kx + a). В силу требования непрерывности функции во
всех точках, и в частности, при переходе из области I в II (л; = 0)
и из II в III {х = а), мы должны положить: 1|з, @) = i|)n@); 1|з„ (а) =
= г|IП (а), т. е.
A sin а = 0 и Л sin (/га + а) = 0.
Таким образом, а = 0 и & может принимать только дискретные зна-
значения, равные &„ = —, где п = 1, 2,... . Уровни энергии частицы
определяются формулой:
Из условия нормировки
находим А — К2/а. Окончательно волновая функция во всем про-
пространстве задается в виде равенств:
, = 0; %=y ±s\
50. В области, где V=oo, функция ty — О (см. задачу 49). Там
же, где V = 0, имеем уравнение
допускающее разделение переменных: ар (х, у, z) = tyl (x)-ty2 (y)-tys(z).
Для функций \|з, (х), г|з2 (г/) и ^(г) получаем уравнения такие же,
185

как и в задаче 49 с аналогичными граничными условиями:
4,@) _ф,(а) = 0;
После удовлетворения этих граничных условий и условия норми-
нормировки в области, где V = 0, волновая функция примет вид
1„ (х, у, г) = 1/ -г- sin-5— -sin-4-2-sin -*—.
тл,лала v ' =' ' у abc a b с
В остальной части пространства ^ = 0. Этой функции соответствует
энергия
2т V а2
nl.nl
51. Ограничимся здесь решением задачи для Е < 0 (случай ? > 0
будет рассмотрен в задаче 95).
В областях I и III после введения обозначения ха = т->0
л2
уравнение Шредингера приобретает вид
и следовательно,
Из требования конечности т^,, ij),,, при х—> ± оо следует, что
B = D=0;
В области II уравнение записывается как
^+ *'*„ = 0,
где k? = т^ (Vo + Е) и ojjj, = ot sin fejc + Р cos fejc. В точках л:=— а и
х = а требуем непрерывности функции и ее производной (это можно
сделать, так как разрыв потенциальной энергии в этих точках ко-
конечный):
ф,(—а)=а|)„(—а); ^\\(Р) = ^\\Ла)\
dx
Для коэффициентов А, С, а, р получаем четыре однородных
линейных уравнения:
Ае~ха + « sin ka — р cos ka = 0;
Лхе~ха—ak cos to—p& sin ka = 0;
Ce~w — asinte—pcosfea = 0; A^
Cxe~xa 4- ak cos fea—pfe sin ka = 0.
186

Из равенства нулю детерминанта этой системы вытекает условие ее
разрешимости:
х2 —^ + 2foc ctg 2/sa = 0. B)
Решая уравнение B) относительно к, получаем два корня:
1) x = /stgfex. Подставляя в систему A), получаем
а = 0; С = М P-^e--
т.е. ty(л;) = ty(— х)—функция четная;
2) и = —kctgka. Тогда из системы A) имеем
-v л е . а п- С А
sm ka
и решение представляется нечетной функцией
.. , л __.„ sin kx . ...
t,=
sin
т.е. г|>( — х) = — ф(х).
Коэффициент А определяется из условий нормировки. Например,
для первого случая получаем
оо г*—а а ся -1
\ |i|)|2dx = | А \Л\ е*хх dx + ^j^ \ cos2kxdx + \ e~2*xdx =
—со L — • —а " J
- I А 12 е-»*« Г— + д + sin2te 1 - 1
~1Л1 е L * +cos2te + 2Acos2 fea| ~
Используя значение корня jc = ?tgfta, находим окончательное
выражение для А, справедливое и во втором случае:
1 ( 1 X2 К \
Для определения уровней энергии воспользуемся тем, что
С2
ьг _
ft2 a2
где С],—безразмерная константа, характеризующая глубину потен-
потенциальной ямы. Отсюда
и выражения A) и B) приводятся к виду
tgka"
187

Задаваясь различными значениями константы Clt можно графически
найти корень этих уравнений. Начертив графики функций
C'\—k2a2 ,
-^а И /»==
и ft=-tgka,
легко убедиться, что для значений Ct<Y существует всего один
уровень (одна точка пересечения кривых y = ft и y = f2; кривые
J/ = /a и У = /4 вообще тогда не пересекаются), отвечающий четной
волновой функции.
С увеличением значения величины С! число уровней будет по-
постепенно возрастать.
52. Уравнение Шредингера для трехмерного осциллятора
допускает разделение переменных
i|)(x, у, г) - tyi(x)-tyz(y)-%(г).
Подставляя эту функцию в уравнение (I) и деля все члены на
нее, получим, вводя ш2 = -' (?=1, 2, 3):
т
\ 2т йхг Ф1 2
; _
2m dy* ' ора 2
В силу независимости х, у, г, каждая скобка должна быть равна
соответственно постоянным Е1г Ег, Es, и задача сводится к трем
уравнениям одномерного осциллятора, имеющим вид
причем Е — Ех2 3
Достаточно рассмотреть решение одного уравнения C). Введя
новую переменную | = —, выбрав а так, чтобы т "lQ = 1, и обо-
а W
значив тг^ = л1г получим уравнение в простом виде
^1 + ^-^)^ = 0. D)
При \—у оо решения уравнения D) можно написать в виде
168

(Можно убедиться, что эти решения удовлетворяют уравнению, если
пренебречь единицей и К1 по сравнению с |2.) Требованию конеч-
конечности функции удовлетворяет только первое решение.
Совершив подстановку. г|з, = i|>1»-/:' (|) = e-^/2-f (?) будем искать
решение полученного для F (|) уравнения
^^ -1)^ = 0 E)
в виде степенного ряда:
F{l) = ±aklK F)
Подставляя F) в уравнение E) и приравнивая нулю коэффициенты
при каждой степени |, получаем ряд соотношений:
ko(ko-\)ako = 0 при |*.-«; G)
ko(kn+l)aK+i = O при 6*.-»; (8)
(k + 2)(k+l)ak+2 + (ll — I — 2k)ak = Q при ?*, если fe>&0. (9)
Уравнения G) и (8) удовлетворяются, если положить &0 = 0;
из (9) получаем рекуррентное соотношение
2/M-I— Xj
(fc = 0, 1, 2, ...). При помощи соотношения A0) все четные агк оп-
определяются через а0, а нечетные a2ft+1—через ах.
Исследуем частное решение при ^ = 0. Для ak с номерами k^>\,
которые определяют поведение F (|) при растущем %, соотношение
A0) дает
аь+, 2
~——— /*^s ш
ак k
Это отношение коэффициентов у двух последовательных членов сте-
степенного ряда F) такое же, как у ряда
II
1=0
Таким образом, F (I) при больших ? ведет себя так же, как е&,
и следовательно, выражение ^1 = e-^-/2/7(g) превращается в e+6Vs и
не удовлетворяет требованию конечности при ?—> оо. Поэтому сле-
следует требовать обрыва ряда для F (?) на некотором номере пи а для
этого необходимо, чтобы а„1+2 = 0. Согласно соотношению A0), это
возможно при Х1 = 2п1+1. При этом уравнение E) переходит в
уравнение
?^^ = 0, (П)
определяющие полиномы Чебышева—Эрмита. (Взяв ао = О, можно
рассмотреть решение с нечетными степенями и прийти к тем же
189

результатам.) Следовательно, Ех= (ni4--jr) ^°ih ^i = Cnie~^hHnt (?),
а общее решение для трехмерного осциллятора дается формулами:
2;—iTi"»T 2
W,». (I. П. S) = Се 2 Я„, (I) Я„г A1) Я„3 (?).
При этом п„—полином Эрмита, т\ == Т/ -г-у и с,— V ~Гг- Кон-
Константа С определяется из условия нормировки.
Пронормируем ipn = Cne~?/*Hn(%). Продифференцировав (га+1) раз
тождество -jg- 4- %е~^г — 0 и введя
Я. = (-1)-*'т??. A2)
можно убедиться, что выражение A2) действительно обращает в
тождество уравнение A1) при пх = п. Кроме того, ясно, что Нп
может быть записан в виде: НпA) = 21%п-1Гап-201~2+ ¦ • ¦ • Заменяя в
нормировочном интеграле
00 CD
f |«) ia dx = l/ A Cl f e-v H\ (S) dg = 1
—» * —00
один из полиномов Нп выражением A2) и проводя гс-кратное интег-
интегрирование по частям, получаем
так как
Очевидно, для трехмерного осциллятора нормированное решение
можно представить в виде
е 8 • /У«, (i) ^п, (л) tf«. (С)
-
7 ¦ V2п<+п*+п>-п1)-пг!-п3\
53. Для этого случая уравнение Шредингера
190

может быть сведено к задаче гармонического осциллятора выделе-
выделением полного квадрата в выражении потенциальной энергии. Вводя
- в| Е | ?_ ,/"Т р _ F е21 Е |2
приходим к уравнению
Р dH , тш2
и можем (см. задачу 52) написать собственные функции
Ъп = Спе-^НпA)
и собственные значения оператора энергии
2mco2 "
54. Согласно задаче 52, осциллятор в л-м квантовом состоянии
характеризуется волновой функцией
По общему определению
CD
/пт\ -3/2
Заменяя один из полиномов Нп выражением A2) из решения зада-
задачи 52 и интегрируя п раз по частям, имеем
3/2
— »
Очевидно,
При этом ая = 2", а а„_2= —а" ^~~ [см. формулу A0) в задаче 52].
Подставляя в <х2>п входящие туда интегралы:
191

получаем
Следовательно,
\ ' 'n — 2 s '" — 2 2 '
55. Так как для одномерного случая оператор кинетической
энергии Т =—9~j-2. то
2
dx.
1 f^fi^?!
2m J^ dx* aX~2m) \ dx
В заданном случае п = 3и^ = ^3 — С3е^'^ Н3 {I), где Н3 = 8|3—12|.
Производя замену переменной х= у ^ ? и подставляя из задачи 52
У я 'З! J
— »
Встречающиеся здесь интегралы берутся просто, если применить
дифференцирование по параметру. Так как \e-a^dl— у — , то
56. Для решения уравнения
192

удобно ввести новую переменную у = е~ах. Обозначая
0)
2тЕ -Р (9\
получаем уравнение вида
Исследуем его предварительно в точках
у—>-оо (х —* — оо) и у—>-0 (х—> оо).
В первом случае уравнение примет вид
и решение его будет
(второе частное решение i])e=e+fe' обращается в оо при у—>-оо).
Вблизи у = 0 подстановка ^ = yft дает для k (в уравнении оставляем
члены только с наименьшей степенью у) уравнение
= 0, т. e. k = ±V^&.
При е>0 будут пригодны оба решения (tyo = y±v-E=
остается конечным, если V — е — мнимая величина); спектр энергии
непрерывный.
Для е = —V- < 0 требованию конечности удовлетворяет только
-ф0 = ?/Х при ^>0.
Для отыскания общего решения после подстановки -ф = у ¦ е ~$у • F(y)
приходим к уравнению для F (у) следующего вида:
Подставляя F (у) в виде степенного ряда F(y)= 2 акУк и прирав-
fe = O
нивая нулю коэффициенты при любой степени у, получаем для ak
рекуррентное соотношение:
Так как при больших k оно превращается в а-^±±ж-~ и, следова-
тельно, Fy ^ о, ж е2^, условию конечности при у —> оо будет отве-
отвечать только решение, представляемое обрывающимся рядом, что
может получиться, если при некотором k = n будет р — п — у = ^ и,
^ Ш 2500 193

кроме того, X должно быть неотрицательным. Подставляя в это
условие р и X из A) и B), получаем дискретные уровни энергии
?„ = —V0[l — |/|^-(n-f-i)] при я = 0, 1, 2 Число их
ограничено условием
и, очевидно, зависит от глубины ямы Vo. В частности, при р<-н
дискретных уровней нет.
57. Уравнение ~~~2^^2 пл'Ф ~^''Ф ЛЯЯ ?> О будет иметь не-
непрерывный спектр. Рассмотрим Е < 0. Вводя обозначения -^х~~~— Y8
л2
те «, <-, ,
и гр = * и новую переменную ? = 2у#, запишем уравнение в без-
безразмерных переменных
Сначала рассмотрим только область \ > 0.
При \—> оо уравнение переходит в -^ --г-1!3» =° и решение, удовлет-
удовлетворяющее требованию конечности, определяется как т!рх—е~^*.
При помощи подстановки -ф = е~^/2-/(|) вводнм новую функцию / (|), удов-
удовлетворяющую уравнению \ тр- —I тгН-и/ =0. Для исследования поведения / (|)
вблизи | = 0 подставляем /^=|а и, сохраняя члены с наименьшей степенью §,
получаем, что а(а—1)=0, т. е. существуют два решения:
) Ш=1; 2) f(l) = t
Однако первое решение не может быть использовано, так как конечность -ф (|)
в точке| = 0 приведет к тому, что !Л|з== ^- —*- оо, а следовательно, и -^~ —>¦ оо.
Таким образом, в этом случае и я|) (|) станет бесконечным. Поэтому годится только
второе решение.
Подстановка / (|) — У afe g* приводит обычным путем к рекуррент-
ному соотношению для коэффициентов
aa (й1 2 )
Из предела этого отношения при k ^> 1 следует, что в этом случае
/ (|) обратится в ё-, ряд для которого характеризуется таким
же отношением коэффициентов. Следовательно, для конечности
1|э^=е-?/а-/(?) необходимо, чтобы / (?) становилось бы полиномом,
а это возможно при обрыве ряда на n-м члене.
194

Условием того, чтобы ая+1 = 0, является, как видно из рекуррент-
п те2 %
ного соотношения, условие у, = п. Подставляя к = -х— ¦¦ ¦ л по-
Р V —2тЕ
лучаем дискретный спектр энергии
р — те*
и соответствующие собственные функции
Чтобы получить решение для ? < О, вводим переменную ц =— ?.
Уравнение примет точно такой же вид, как и для | > 0:
и решение его, непрерывным образом продолжающее ^ (?-)t при ? > О,
будет
"" *+i(-S)*.
58. Волновую функцию для сферически симметричного осцилля-
осциллятора, как для всякой центрально-симметричной задачи, следует искать
в виде
¦ф(г, Э, ф) = / (г) Рш (cos 6) eimf,
где Plm(cosQ) — полином Лежандра, 1 — 0, 1, 2 . .., т = 0, ±1,.. .,±Л
Тогда / (г) должна удовлетворять уравнению
_Ь_ ~d2f 2 df 1A+1) Л М-ша 2f_/7f
Если ввести новую функцию U—rf и, как в задаче 52, перейти
к i= l/^r и Я, = т—, то уравнение приобретет вид
Очевидно (см. задачу 52), при |—>¦ со Ux=e~^!s, а при |—>-0, если под-
подставить t/0 = l!". то для а получим уравнение а(а—1) = ^(/+1). Следовательно,
а,= /+1 и а2 = —', и конечную при |—>-0 функцию дает только а,, т. е.
Используя эти результаты, будем искать U (%) в виде
После подстановки для v (|) получаем уравнение
195

решение которого ищем в виде ряда и— "? аА?А. Приравнивая
нулю коэффициенты при каждой степени |, получаем рекуррентное
соотношение для коэффициентов
¦§-- Л
—оо) A)
и определяем наименьший показатель степени kn: из &„(&„+1) —
— 2{l-\-\)k0 — О следует, что конечными в нуле остаются только
решения с &0 = 0. Из соотношения A) следует, что при \—> оо этот
ряд превращается в е? и V •—>^!/!, Чтобы избежать этого, ряд
нужно обрывать, что возможно только при Х = р + / + —. Если
учесть еще, что ряд может начинаться только с ko=0, то р в этом
выражении может быть только четным, т. е.
р — 2п, где п. = 0, 1, 2
Тогда
Этому уровню энергии отвечает функция
\ l
= С-? \ ln(l) Plm(cosв)
Очевидно, уровень вырожден: при заданном N^2п + 1 четном имеем
/ — О, 2, 4, ..., N, при Л^ нечетном /=1,3,5, . ., Л^. Кроме того,
при заданных п и I существует еще B/+1)-кратное вырождение по
числу т.
59. В двухмерной задаче
и, если V = V (р) и не зависит от угла ср, переменные разделяются;
волновую функцию можно искать в виде
1]з(р, ф) = е""ф ц (р)
(Я и /^ коммутируют в таком поле). Для U получаем уравнение
Будем рассматривать Е < 0 (для ? > 0 получится непрерывный
спектр). Заменяя р = а? и вводя новую функцию f = Kp-t/, находим
196

для нее уравнение
а 1^
а 4
-О
2
Выбрав а = 7 а и обозначив
О)
упростим это уравнение и запишем его в следующем виде:
При t -> оо получаем fa>=e-ff, отбрасывая решение е+т*.
При Е > й из формулы (I) следует, что у = Ф Тогда оба решения e±yt —
а конечны и спектр для Е оказывается непрерывным.
При t—>-0, полагая fu = ta, получаем а (а—1) — т% j- , т. е.
а! = т-|--^ и аа = — (т — тА- ВвиДУ того' что т = °. ±1. ±2, • . .
следует выбрать a=\m\Jr-j и искать общее решение как
Для функции v (t) в результате получаем уравнение
со
и ищем ее в виде ряда w= 2 aJk- Приравнивая нулю коэффи-
циент при наименьшей степени t, т. е. при tk«-x, получаем
откуда
ko = 0 или йо = —2\т\.
Второе решение при t—>0 дает функцию, обращающуюся в беско-
бесконечность. Коэффициенты при tk, где & = 0, 1, ..., будучи прирав-
приравнены нулю, дают рекуррентное соотношение
т

из которого для fe5>>I ^^i—»-^ (отношение, характеризующее функ-
цию e2V'). Чтобы v(t) с ростом ^ не превращалось в elvi, нужно,
чтобы ряд оборвался на члене k — n, т. е. чтобы
[см. соотношение B)]. Согласно формуле (I), находим, что энергия
частицы в двухмерной задаче Кеплера может принимать значения
(п = 0, I, 2, ..., |т| = 0, 1, 2, ...)•
Такой энергии будет соответствовать функция
_., р. / - v I т 1+4- "
60. Для частицы в центральном поле
Ее радиальная часть /(г) удовлетворяет уравнению
при г < R и / = 0 при г > R (см. задачу 50). Таким обраЗом,
для /, являющейся решением написанного выше уравнения, гранич-
граничные условия будут: /(/?) = 0.
После введения k% — -~- и %{r) = Vr-f(r) для %(г) получается
уравнение Бесселя:
Так как при г—>0 функция % — 3 / j_\(Ar)—*r \ 2 /, то удов-
летворять требованию конечности будет только
3 х (kr) —* -р=-sin kr (если Z = 0).
Уровни энергии, соответствующие этим функциям, получатся из
условий непрерывности функции при r — R, т. е. из условия
3 j (kR) — 0. Обозначая корни этой функции Бесселя через Ь%},
198

п "
запишем уровни энергии
Очевидно, при 1 = 0
61. Аналогично задаче 59 получаем
(п — 1 9 ¦>
Уыт = ^ (Р) Л
где /^0, 1, 2, ..., ft —I, m = 0, ±I ±/ и
а__ (
* fe(*+i)-/(/+i) '
Переменная р = г /а, где а = —г .
Степень вырождения уровня ?„ равна па.
62. Так как составляющие вектора V в сферических координа-
координатах равны
д_ \_д_ 1 д
дг1 г ао * /-sineаф'
а вектор плотности тока
где
(см. задачу 61), то ввиду вещественности Оп1(р) и полинома Ле-
жандра P,CT(cos0)
/, = 0 и /, = 0.
Для /ф, подставляя написанные выше выражения, получаем
63. Для электрона, находящегося в атоме водорода на уровне
с наименьшей энергией, п—\, / = 0, т~0. Согласно задаче 61,
этому состоянию соответствует функция %ао = Се~г'а. Константа С
определяется из условия нормировки:
J 14>юо I1 di = 4пСа J е- ir'a гЧг = пС*а3 = 1.
о
199

Интеграл берется как ] е~хх" dx = n\. Тогда | г|>10012 йт выражает
о
вероятность найти частицу в йт, и с ее помощью вычисляем
со
4 Г _
г~~3 )е г *"" а •
о о
Наиболее вероятное значение г0 находим, приравнивая нулю
производную выражения |a|)loop г2— С1е~гг1а г2, определяющего веро-
вероятность найти электрон на заданном расстоянии от начала коор-
координат:
Отсюда го = а.
64. Так как потенциальная энергия от углов не зависит, то
t(r, 6, ф)-1/(г)Р,я(со8в)е"»«Р,
и радиальная часть функции U (г) удовлетворяет уравнению •
0)
Переходя к безразмерной координате р = г/а (где а=—г] и
энергии е = —:-г =—Ya (исследуем только дискретный спектр энергии
при ?<0), объединяя в уравнении A) члены вида 1/г2 и обозначая
/(/+1) — —г—= s(s+l), можем переписать его в виде
Л2
&ги 2 dU s(s+l) n ( 2
Это уравнение совпадает с тем, которое решалось в задаче 61 с за-
заменой / на s. Его можно решить и несколько иначе. Введем функ-
функцию % = rU; для нее получается уравнение
Обычным методом находим x«*~e"vp и xo = Ps+1 (второе решение
Xo^p~s при s>0 не годится). Подстановка х (p)^=e~vpPs+l-/ при-
приводит к ) равнению для /
решение которого ищем в виде степенного ряда
ее
200

Приравнивая нулю коэффициенты при р'% получаем
Чтобы f при р—>оо не обращалась в esyp (что видно из предель-
предельного отношения -^ii = -?), необходимо оборвать ряд, т, е. нужно,
ak ft» й /
чтобы
Таким образом, уровни энергии частицы определяются формулой
ks
-т-<^/-1—. Если ввести
=n—главное квантовое число, то
оказывается зависящим от п и /, а собственные функции, соответ-
соответствующие эгим уровням,
в, 9)=
(cos9)e'm(P
зависят от чисел п, / и т. Таким образом оказывается, что Еп1 вы-
вырожден Bt -f- 1) раз (так как т —0,±1, ••-, ±0-
65. Как обычно полагаем гр(г, 0, ф)=. (У (г)Ргш(со5 9)е'т1* и для
функции F — rU получаем задачу, аналогичную задаче 58. Ее реше-
решение дает
где ? =
^O, 1, 2,
801

66. Используя решения задач 49 и 52, можно написать решение
в виде
у, z) =« де-
при 0 ^ г/ ^ а; 0 ^ г ^ Ь; в остальной части пространства i]j = 0 и
соответствующие этой функции уровни энергии
(n + y
Из условия нормировки
аЬ V
2«-я1 '
67. Обычную координату обозначим через г' и оператор Лапласа,
взятый по г',—через А'. Переходя к безразмерным переменным
заменой г' — аг, Д' = —^ (где а = —s—боровский радиус ) и к без-
а \ ш j
размерной энергии, полагая ?=е—— е-|—, напишем в этих пе-
переменных уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода:
В параболических координатах (см. приложение 4) оно примет вид
2 Г д Г. с»ф \ , д / д*\ , ! / 1 , П 34 I , 2
Очевидно, можно разделить переменные
ф(и, v, ф) = (/(«)У
При этом Ф(ф) удовлетворяет уравнению
откуда
^-^- const ^-««,
где т = 0, ±1, ±2 ....
202

Подставляя -g^-~—/игф и умножая всё уравнение на -~5~~
получаем однотипные уравнения для U (и) и V (v):
* 0)
я{ъ)?% , B)
причем
a-t-|S = l. C)
Ищем решение уравнения A), исследуя U (и) при и—> «о н и—>-0. Очевид-
Очевидно, С» определяется из уравнения
=0T. е.
Т/ —%-и
При е > 0 оба решения конечны, и спектр энергии непрерывен: при 8 < 0
конечным остается только UM=e '2 и ¦ Найдем спектр е < 0.
При и—j-0 ищем иа = Ш и, приравнивая нулю коэффициент при наимень-
шей степени и, получаем -у2 Г~=^' или V=±m/2. Для конечности i/0 сле-
следует положить v = |/«l/2 •
Общее решение ищем в виде
2e-y -т
./г(ц)) где f =
Уравнение для F (и) в виде
приводит к рекуррентным соотношениям для ак, которые получаем,
приравнивая нулю коэффициент при и* (k — 0, 1, 2, . ..):
Для больших и, когда определяющую роль в F играют члены с
..^ ., . х.ч ~ ~T"f так как еР*=
к ? Щ и в этом ряду от-
ношение коэффициентов при xk+1 и хк равно /Г, пГ-тг да т
довательио,
и будет етремиться к бесконечности при w—>oo.
203

Таким образом, ряд для F (и) должен обрываться, а это возможно,
если при некотором k — n^ будет справедливым равенство
а= |/_±
Тогда F (и) — 2j akuk = Fni (и) станет полиномом степени /^ и U будет
всюду конечно.
Аналогично решая уравнение B), получаем для V (v):
и уп =е-/-т-\г
а из условия C) вытекает, что
Вводя число п = П1 + иа + ]т| +1 (главное квантовое число), ко-,
торое, очевидно, может принимать значения п=1,2, ... , имеем
е» = ~2ЙГ и ЧЧ».™ ("- и- Ф) =
= Се~^г¦ и}т I/2 • ylm i/2Fn, (и) • Frt3 (и) ¦ ешч.
68. При / — О функция в поле центральных сил сводится к ее
радиальной части if> = R (г), удовлетворяющей уравнению
Ограничимся значениями ? < 0. Введем новую функцию x = Rr n
перейдем к переменной у = е~г/2а. Тогда % будет удовлетворять
уравнению
причем
Это уравнение Бесселя, общее решение которого
При у^О (т.е. при г-^оо) 1 должно оставаться конечным,
а при этом 3_9~у-9 обращается в бесконечность, следовательно,
С2 = 0. При г-—>0 (у—> 1) % = rR должно также быть равным нулю,
следовательно, 3q(C)—Q, т.е. С должны быть корнями функции
Бесселя q-ro порядка. Так как с возрастанием q значения корней
Зд растут, а первый корень 30 приблизительно равен 2,4 ... , то
можно получить оценку С > 2,4, т. е.
*%>|1--2,4'=?. 0.72.
204

Это условие того, чтобы в потенциальной яме глубиной порядка У„
и шириной порядка а был хотя бы один уровень энергии. При г У-а,
когда у—>0 можно получить более простой вид волновой функции:
гц
69. Прежде всего свяжем решения ty(x) и 1|э (д: -j~ /). Из уравне-
уравнений Шредингера для х и х + 1:
d2 d2
видим, что в силу V (х -f 0 = V (х) и d(jc+lp = rfji > одному уровню
Е отвечают ty(x) и ty(x-\-l). Считая Е простым собственным значе-
значением, получаем, что эти функции могут различаться лишь постоян-
постоянным множителем, т. е.
В общем случае очевидно можно получить
1|;(*-|-л/)-=рвф(*) (п-0, ±1, ...)¦ A)
Тогда из требования конечности ¦ф(х) следует, что [р| = 1, т.е.
p — elkl, где k—произвольное вещественное число, и
•ф(х + /) = е'-*Ч>(л:). B)
Решив уравнение Шредингера при —Ь^х^О (область I), при
0<1х<;а (II) и a^ix^il (III) и воспользовавшись условием B),
очевидно, будем иметь решение при всех х.
I область. Уравнение имеет вид
Обозначая ^ °~ ' = X2, можем написать
ft2
II область (У = 0). Уравнение
имеет решение
где нг = \
III область (V = V0), Уравнение такое же, как в области I, т. е.
205
2ц dx2 т »оЧ-[ц —-

его решение
Если х лежит в области I, то х + l попадает в III и, согласно
формуле B), решения будут связаны условием
Следовательно, Сь=Схе1к1-Х1; Сь-=С/к1+и, т.е.
%i=eikl (C^-h + Cj-"*-»).
Решения if>,, \|зп, фш должны быть непрерывны при переходе из
области I в II (л; = 0) и из II в III (точка х—а) вместе с их пер-
первыми производными. Это приводит к равенствам:
dx
1
, /
I V
a
dx
d
•I'm
dx
и L3e
и Ы I
Получена система четырех линейных однородных уравнений отно-
относительно коэффициентов Cv C2, Cs, C4. Для существования решения,
отличного от нуля, необходимо, как известно, чтобы детерминант
этой системы был равен нулю:
1
%
gikl-l
1
—X
__ j
— ix
ib pita
— 1
ix
л—ixa
Вычисление этого детерминанта приводит к уравнению, определя-
определяющему энергию частицы, находящейся в периодическом поле:
f(E) =
cosxa
C)
Слева энергия входит через величины х и I. Чтобы это равенство
было возможным, необходимо, очевидно, чтобы |/(?)|^1. Можно
убедиться, что при на—пп оно нарушается, так как f{E) — ±ch Kb
и |/(?)|> 1. Таким образом, энергии
оказываются запрещенными для электрона в периодическом поле
(кристалле).
70. Полученное в задаче 69 уравнение C) в предельном случае,
когда Vo—>-оо и Ь—*0 так, что lb—>0 и Ц^ >1, переходит
206

в уравнение
^ A)
где Р — lim —к- ¦ Если обозначить —г = te В, то оно примет вид
cos р
Очевидно, границы энергетических зон будут лежать вблизи
cos(х/ — P)-dhcosp, т. е. при у.1 = пл или xl—2^ — пл. Подставив
к/ —ля— е, получим
(— 1)" (cos e— tg p sin e) = cos kl.
Для 0 < е <^ 1 стоящее слева выражение меньше 1. Следовательно
yd — ля являются точками, в которых начинаются запрещенные
полосы энергии. Таким же образом можно убедиться, что и/ == пп + 2р —¦
нижние границы разрешенных полос энергии (начала). Полоса энергии
с номером п определяется у.1, лежащими в пределах:
(п— l)jt + 2p<x/<mt.
Р Р
Если х/^>1, то р — arctg —^ ж — и ширина запрещенной полосы
между n-ой и (п4-1)-ой разрешенными полосами равна:
Если рассмотреть значение х = х0, которому отвечает kl = 0, и раз-
разложить вблизи этой точки левую и правую части равенства A) как
/ (Е) = А (х0) + В (к—х0) и cosA/—1 2~ , то из уравнения
можно получить
Поскольку
х = -|/ -—- .TOf^fp + F-fe-5. Коэффициенты С, D, ?"„
А В
могут быть выражены через А, В и и„.
71. Введем Ы — \ и запишем уравнение A) задачи 70 как
В задаче 70 было показано, что правой границей разрешенной зоны
является | -=пл и в этой точке /(?) = (—IL. В запрещенной зоне,
где| > пп, | /1 > 1 и равенство возможно для комплексных значений kl.
Если / (?) > 1, то cos /г/ =^ ch ц > 1; ft/ — i|i. Если / (|) < — 1, то
cos ft/ — — ch ja < — 1; kl — i\x,+-n.
2П7

Функция f{l)> 1 при ?>2шт, когда sin? > 0, и /(?) < — 1 при
\~^ Bп + 1) я и sin?<0. Таким образом, если ввести е —±1 так,
чтобы e-sin|>0, то cos kl = г ch \x, и в запрещенной зоне может
быть записано условие
(I)
Найдем решение уравнения Шредингера для полубесконечного
кристалла. Условие A) задачи 69 теперь будет справедливым только
для п > О (так как при х < 0 потенциал уже не периодичен),
и, следовательно, |р| может быть и меньше единицы. Если ввести
p = eikl, то это значит, что возможны решения с комплексным k
при условии, что Im (k) > 0.
При х < 0 уравнение
имеет решение
где введены обозначения 1л/ -~—° = q, 1л/ ~— =xl = t,. При этом
(/л2 у п.2
При л; > 0 (внутри кристалла) рассмотрим область 1: 0
в ней
В области II /<х<2/ и
B)
C)
Но если выбрать х —0, то х = / лежит еще в области I, а поэтому
можно считать С3 = С1 и С4 —Са и в силу формулы A) задачи 69
получить условие:
т. е.
где, по-прежнему, l = xl. Таким образом, при х > 0 функция опре-
определена формулой B) при условии D).
Условие непрерывности о|) и ~- в точке х - 0 дает
~-
1 —С,).
208

Откуда
Рассмотрим это равенство для комплексных значений k. Тогда
1 = ге~* (где esin^^O) и условие E) дает
i?
F)
Кроме того, условие A) тоже должно выполняться. Беря разность
равенств A) и F), получаем
. G)
Так как sin i, и е имеют одинаковый знак, а V Цг—V1, |иц больше
нуля, то отсюда получаем
т. е.
q* — Р2 <l*<q\
Только при этом условии возможно существование дополнительных
уровней, отвечающих комплексному k. Возводя в квадрат и вычи-
вычитая выражения G) и A), получаем уравнение, определяющее уровни
энергии (?):
g (8)
Покажем, что этим лежащим в запрещенной зоне значениям
энергии отвечает функция, убывающая с ростом \х\ по обе стороны
границы кристалл-вакуум (плоскость х = 0).
Действительно, при х < 0 решение ^х<0 = Ле а обладает
этим свойством. При х > 0 решение удовлетворяет условию \|з(х + 0 =
= eiktty(x) (периодическое поле), которое можно переписать в виде
где и(х) является периодической функцией. Следовательно, для комп-
комплексного к
а]5 (х) = eikx и {х) - ее~ »¦*" -и(х).
Таким образом, найдено состояние с энергией, лежащей в запрещен-
запрещенной зоне, и вероятность обнаружить частицу убывает экспоненциально
по обе стороны от х — 0 (от поверхности кристалла). Значение |,
т. е. положение уровня энергии, можно найти, решая графически
уравнение (8).
'209

72. Так как подынтегральная функция | А$ + щВ^ |2 неотрица-
неотрицательна, то и
J > х = 1 (п) > 0.
Он можег быть представлен как I (ri) = arf + br] + d. При этом
Обозначая S"tj3 = -ф^ и пользуясь самосопряженностью В, получаем
а=- ^ilv(BiJ))* dx = f i^B^dx^ С il>*B2tdx = <B2>.
Таким же образом можно показать, что
Ь = i J [Bip (Л^)* — (flip)* (Л^)] Л = i J t* (^B — бЛ) vj) dt = i <C> = С;
Уравнение 7(т]) —0 не итиеет вещественных корней (различных),
условием чего является Ьг — 4ad^0, т. е.
Так как оператор, сопряженный С,
антиэрмитов, то <С> мнимо, а С = ? <С> вещественно и (СK > 0.
Вводя ДЛ = Л — <Л> и ДВ = В — <В>, можно убедиться, что
ЛЛДВ- ДВДЛ=С и
Например, если А = рх, В~х, то
73. Так как рх — — ik-g- и х — х, то (см. задачу 72)
<pj>a2>^~. A)
Рассмотрим оператор энергии одномерного гармонического осцил-
осциллятора:
Очевидно <Я>=^ + -^<л-2>. Заменяя </?3> величиной—^
имеем
210

Выберем <х2>, соответствующее минимуму /, т. е. из условия
Подставляя в /(<л;г>), получаем
74. Вводя координату центра тяжести Хс и относительную коор-
координату х — Xj—х2, разделяем переменные и получаем
где
75. Разделяя переменные, как в задаче 74, можно искать функ-
функцию в виде
н Ф = Фп1а(г, v, ф)- ?/„, (г) Р/я>(cos0) е1**. Здесь
я- 1
ak(—\ такое же, как в задаче 61, и
F
Р непрерывно, ц — "V м; m и Л1—соответственно массы элект-
электрона и ядра).
76. Очевидно, общая потенциальная энергия в этой задаче
где k и kt—упругие постоянные, характеризующие связь частиц
с точкой х—0 и друг с другом. Вводя координату центра тяжести
у -V- х
Xc = -L-~—- и относительную координату х — хх—хг, получаем урав-
уравнение
A-2 dz\b %* d?y , М
где М — 2т—общая масса, ц = -у — приведенная масса системы,
211

Переменные разделяются, и, подставляя ty~f (Xc)-F (х), получаем
два одномерных уравнения для гармонического осциллятора с час-
частотами со и со1:
_Р_ <Р]_ Мш* 2 _
2 2 •
Вводя |= у _А_ХГ и и= 1/ _а:, можем, сравнивая с задачей
52, написать решение
где #„—полином Эрмита, и соответствующий этой функции уровень
энергии
77. Частице в такой потенциальной яме с энергией ?„ = ¦ а-
в дг-представлении отвечает функция ^„=1/ —sin— в промежутке
; при л: > а и л: < 0 она равна нулю (см. задачу 49).
¦Распределение по импульсам определяется волновой функцией в
р-представлении, к которой можно перейти от ^ (х) по обычному
правилу:
— со
где tyD(x)=-y=elPx/b-—собственные функции оператора импульса в
F У h
х-представлении, нормированные так, что
Подставляя для данного случая п —2, ф2 (х), получаем
/
. 4ла^ ^т ,
2ah 4я2Аа—р*а*
и, следовательно, вероятность найти эту частицу с импульсом, ле-
лежащим в интервале р, p-\-dp, равна
dW (p) = | ф (/?) I2 d/? = ¦+- ?^J- ¦ dp.
212

78. В ^-представлении х = х. Чтобы перейти к новому представ-
представлению, воспользуемся выражением для среднего значения К через
оператор:
<Х> = I ф*?ф dr.
Подставим в <Х> -ф (л:) через ф(р):
Тогда
да да
<х> = Г ф* (х) ¦ х — Г ф (р) elPx'k dp-dx.
— 00 — СО
Меняя порядок интегрирования по р и х, замечая, что
~Тдое'рХ>к и ПРОВ°ДЯ интегрирование по р по частям (причем
Ф (р) — 0 на границах интеграла в силу требования интегрируемости
(ф(Р) Г), получаем
\
Так как Г ар* • —^= е''^/^ rfx ^ ф* (р), то
т. е.
Х„ = Ш v .
' dp
Собственные функции хр ищем по общему правилу. Это функ-
функции, удовлетворяющие уравнению
и условиям конечности, однозначности и непрерывности. Решение
Этого уравнения
q>(p) = Ce-txP'h
будет удовлетворять всем условиям при любом вещественном х;
спектр х непрерывный.
213

79. Для частицы в однородном потенциальном поле V = Ах =
— A'ihj- (см. задачу 78). Уравнение для собственных функций опе-
оператора энергии в импульсном представлении имеет вид
Разделяя переменные, напишем
? ft _L /Pi
Йв 2»^, откуда ф-сМ8""
Ф ША
Конечность ф (р) обеспечена при любом вещественном ?, т. е. спектр
энергии непрерывный. Постоянную С определяем из условия нор-
нормировки:
J-(E'-E) p
A dp.
Так как &(?—Е') = ± \ г1^~^Ыу, то
80. Определим волновые функции для указанного в условии за-
задачи вида потенциала (см. задачу 49).
При х>-~- и х<—у i|j(x)=O, на отрезке — j<x< j
где * = |
Требования непрерывности в точках л; — ± а/2 дают
/2 = 0; ф (-J j = Ле!*а/2 +- Ве-'ка'2 = 0, A)
откуда kna — nn, и условие A) сведется к (Л + В)соз~^ = 0 или
(Л—В) sin ^ = 0, т. е. для п четных получим
для п нечетных
(функции пронормированы обычным путем).
214

all
Матричный элемент <n|ex|m>=e \ "§*пх$тйхф§, очевидно,
An
только тогда, когда и и т имеют различную четность, в противном
случае под интегралом будет нечетная функция и он обратится в
нуль. Пусть п—четное, а т—нечетное число. В силу четности подын-
подынтегральной функции, вводя у — —, можем написать:
2 "с
<.п\ех тУ—2е-— \ sin —cos ^^
1 a J a a
я/2
= •^2" \ [sin(n-fm)# + sin (n—т)у] ydy,
о
Я/2 , я п + т—1
J ysin(n
и так как J ysm (n + /n)ydy = -,„, m4l = \„'^„л2 , то
о
п + т—1 п — т~\-
а/2
Из аналогичных соображений выражение <и|д:2|т>= \ л;2^^ dx
-а'2
отлично от нуля только, если пит одинаковой четности. Если п
М т четные, то
0/2
О
О
так как
я/2
О
Для нечетных пит
Матричный элемент импульса
0/2
= ^- f ^^
-а/2
215

если пят различной четности, и равен (для четного п и нечет-
нечетного т):
а/2
<я р т> = \ sin — -j- cos )dx =
-а/2
я/2
= -77 J
о
n-m-1 n + m— l-
[n-m-1 n + m— l-i
(-') 2 M)^~ =/_
ia n2—m2
Если пит поменяются четностью, результат для <n | p | ту оказы-
оказывается такой же.
81. Уравнение для собственных функций одномерного гармони-
гармонического осциллятора в р-представлении имеет вид
Вводя безразмерную переменную rj = гр и полагая т— = X, при-
ходим к уравнению, совпадающему с безразмерным уравнением для
этой же задачи в ^-представлении. Ссылаясь на задачу 52, можем
написать
ф;г(р) = С-1г1а''2.я„(т1) (Я„—полином Эрмита);
Таким образом, для гармонического осциллятора распределение
по координатам и импульсам однотипно.
82. Для гармонического осциллятора
Следовательно, оператор Н не имеет отрицательных собственных
значений, т.е. #„^0.
Введя
A)
B)
и учитывая, что pq — qp=—ih, можем представить
216

ИЛИ
Составим коммутаторы Н с X и Х+:
НХ-ХН = ( JL ХХ+ +|) Х-Х (± Х+Х-^) =
аналогично получим
ЯХ+ — Х+Я= —
Записав эти равенства в собственном представлении Я, где
<п | Я | п'у = НпЬпп., получим
Й.со <п | X | п'у = <п | ЯХ | п'>—<« j ХЯ | п'> =
| Я | п"> <п" | X | п'> — <п | X | п"> <п" | Я | п'>] -
= {Нп-Нп.)<п\Х\п'>.
Отсюда следует, что
<п\Х\п'у (Яя-Яя,-А(о) = 0,
т.е. что <п | X | n'J> может быть не равным нулю только, если
Нп, = Нп—%и>. Аналогично <,п\Х+ \п'уфО, если Нп. = Нп-\-%(й.
Написав равенство
в этом же представлении (диагональный член), получил
n
В сумме может быть отличен от нуля член с <n | X+ | п'у только,
если Я„- = Я„ + Й'(в есть тоже собственное значение Я; если же это
не так, то сумма будет равна нулю и Ял=—^-, что невозможно,
в силу сказанного раньше. Следовательно, должно быть верным
первое предположение, т. е. если Я„—собственное значение Я, то и
#„-= Я„ + «а» является тоже его собственным значением.
Рассматривая выражение C), тем же путем получим, что
Нп = ±<п\Х\п'у<п'\Х+\пу + ^, D)
где Нп, = Нп—ha* и либо Я„, — тоже собственное значение Я (т.е.
Ип—не наименьшее собственное значение), либо, если это не так,
то <я|Х|я'> = 0 и Яп = -2—нижайший уровень энергии, а следую-
следующий от него отстоит на km. Таким образом, найдено, что
<B, E)
217

a <n]X|n—1> и <«]Х+|л+1>, отличны от нуля. Теперь из ра-
равенств D) и E) можно получить, учитывая, что (<п|Х|п— 1»* =
= <«—1|Х+|п>, равенство
Отсюда
<п|Х|я — 1> = «п|Х+| п— \»* =
Возвращаясь к A) и B), получаем (выбирая
83. Основываемся на перестановочных свойствах момента коли-
количества движения:
LxLy — LyLx = ifiL2 и IJj — L3 Lx = 0,
где Ь = Ц + Ц+Ц. Введем
X = Lx + iLy и Х+ = Lx— tly.
Очевидно, Lt, X и Х+ коммутируют с L2. Записав равенство
ЬгХ — XL2 = 0 в том представлении, где L1 и L0 диагональны, т.е.
</]L2)/'>==L|6w,, получим
при этом отличными от нуля будут только диагональные по I мат-
матричные элементы X, а также Х+ и 1г. Поэтому в дальнейших соот-
соотношениях между этими операторами величину La можно просто счи-
считать ее собственным значением L\.
Представим L2 в виде:
Ь = (Lx + ily) (Lx-ily) + i (lxly-lylx) + U =
(f-^. A)
С другой стороны,
L*=--X+X+D+4J-^-. B)
Составив коммутаторы Lz с X и с Х+, можно убедиться, что
1гХ - Х1г = Lz {lx + ily) - (Lx + ily) 1г = i%L, + i (-*?*)
и аналогично
218

Записав эти соотношения в (La, L2)-представлении и обозначив
<//п | Ьг \ Im'y = т%Ьтт-, находим
| X | Im'y = У [<1т 11г 11т"> <.1т" \ X \ Im'y — <lm \ X \ Ш"> х
X <1т" | Ъг | Zm'>] = </m ] X \lm'y ¦ (т—т') %,
т. е.
<:1т\Х\1т'у-(т—т' — 1)% = 0.
Следовательно, </m| X| Im'y ф 0 только, если т' — т—1. Точно
так же <lm \ X+ \ Im'y Ф 0 лишь, если т' = т + 1 •
Написав диагональный (mm-ый) матричный элемент равенства A),
получим
т'
В сумме может быть отличен от нуля один член, тот, для которого
т' = т—1. Если такое т'% не является собственным значением Lz,
то вся сумма равна нулю и
В противном случае
Следовательно, для каждого Ц существует некоторое минималь-
минимальное собственное значение Lz, равное та%, такое, что
и любое другое собственное значение Lz может отличаться от moh
на целое кратное %.
Запишем диагональный элемент равенства B):
т'
Здесь <1т\Х+ \1т'у ФО только, если существует собственное зна-
значение Lz, равное m'fi = (m+l)fl. Если его нет, т. е. если tnfi — mjl
представляет наибольшее собственное значение Ьг при данном Ц,
то
Очевидно, что
219

— наибольшее собственное значение Lz;
1+т- D)
— наименьшее собственное значение Lz.
—w
L\-\-~ % должна быть, очевидно,
равна 21%, где 21—целое число (так как все собственные значения Ьг
должны отстоять друг от друга на К). Отсюда
и L) =
где / может быть либо целым (если 21 четно), либо полуцелым чис-
числом, и притом, как видно из самого введения 21, неотрицательным,
т. е. / = 0, 1, 2, ... или /=1/2, 3/2 Подставляя l/ L\-\-~
в C) и D), получаем
Так как <tm"> \X+ \lm> = «tm\ X\ 1т'»*, то
L\ = \<lm\X\l, m—1>|2-
и отсюда
, т— l|X + |fm»* = <Zm|X|J, m—1> =
Из определения X и Х+ следует, что
?* = —2—' Ьу = ~1Г
и, следовательно^
<.lm\Lx\ I, т—1> ~-
причем т = — /, —/ —f— 1, ,.., /—1, I.
84. Чтобы найти распределение по энергиям, <?> и <?а>, сле-
следует, пронормировав функцию ty = A(a—х)-х, разложить ее по нор-
нормированным собственным функциям оператора энергии, равным (см.
задачу 49):
, -, Г а . плх / 1 о s
ф„= 1/ -o-sin (п=1> 2, ...).
220

a
С 30
Из условия 1 = ЛМ х* (а—х)г dx находим Аг = -^. Определим сп:
о
о а
сп = ] 'Ф (х) ¦ 'Фп (*) ^ = ^ ]/ у ] х(а—A;)sin^-dx =
и получим
только для п— 1, 3, 5, .... Для четных п функции 1|з и -ф„ оказы-
оказываются различной четности по отношению к х —|-. Для п = 1 ( ?\ =
2 2
¦=-^5 J оказывается
0.999,
т. е. с подавляющей вероятностью в этом состоянии частица будет
иметь энергию Ег.
Среднюю энергию можно вычислить как <?> — 2 W (Еп) ¦ Е„ и как
(хотя при х > а, х < 0. V= оо, но Уф = 0).
Можно проверить, что <?"> = У, б е • -^—г дает тот же ре-
га= 1,3,5
.п. 10 _
зультат <c> = -j?:1.
Так как У2ф уже нельзя считать равным нулю, величину <?2>
можно вычислить как
<?'>= J Ф*Я2ф dx =
или
/г,ч_ V 960 Й:*я*я* ^ 240 V1 1
j л I t W V S LAJ ** *Д* L* lit it
221

Отсюда
Jl
85. Нормированную исходную функцию запишем в виде
из которого ясно, что при измерении момента можно получить зна-
значения Ьг = 0, +2h, —2h с вероятностями
86. Для частицы, локализованной в точке х0, надо написать
волновую функцию как собственную функцию оператора х. В х-пред-
ставлении х — х и уравнение сводится к х\р~х0^, т. е. (х—х0) -ф = О
и \|j(a,-)=5^O при х = х0. Таким образом т(з(х) = Лб(х-—хв); спектр
непрерывный. Условие нормировки
А%
дает А = 1, т. е. t|)*e (х) =¦ б (х—х0).
В ^-представлении x^ih-g- (см. задачу 77) и его собственные
функции получаются из уравнения
ih^=xllip, откуда ц>х,,(Р) = Се~'х'р/к-
CD
Постоянная С определяется из ^4>x,(p)lfxl(p)dp—б(х1—ха), откуда.
1
fnt/ VJ31/ А /у 1*1 ~—~ ~—•
Аналогично собственные функции импульса равны:
87. Чтобы написать соотношение, аналогичное связи
4>(r)=-7*i(r)
в ^-представлении, следует обе функции преобразовать к этому пред-
представлению. Пусть
222

и
Подставим в первый интеграл -ф (г) = х^У2 и запишем — в виде раз-
разложения по плоским волнам. Пусть
Чтобы найти а (к), применим к этому равенству оператор Лапласа:
Д~ = f a (k) Ael <kf> dk = — Г а (к) kV <kf> dk.
С другой стороны,
и, следовательно, а (к) —
Заменяя к = ^ , dk = -J&-, окончательно напишем
1 1
Pi
Тогда
грг
и так как выражение, стоящее в скобках, есть по определению
<Pi(P—Pi), то
или, после замены р—рх = р\
Оператор — в р-представлении является интегральным оператором.
88. Волновая функция для частицы в поле центральных сил
имеет вид
Вычислим матричный элемент Dz = ez:
<nlm | D-2\ n'l'm'y = J т|з^
Очевидно его можно представить в виде произведения интегралов
по г, 6, <р:
223

Вид угловой функции одинаков в любом сферически-симметричном
поле и поэтому вычисление /в и /„, может быть произведено без
конкретизации V (г). Так как
z = rcosG, йх = г* sin®drdQdy,
то, относя к /9 все множители, зависящие от <р, получаем
/, = J е-1тч> ¦ еш'ч> dy = 2л6шт<
о
и, следовательно,
<nlm | Dz \ n'l'm'y = 0 при т'Фт.
При т = т' вычисление /9 дает
/д = ^ Р,й (COS 6) COS QPl'm (COS 6) ЗШ
Вводя x = cos0, запишем
i
h = \ Pim (X) xPrm (X) dx.
-1
Полиномы Лежандра удовлетворяют такому равенству
где
г
В силу этого
1
- i
и отличен от нуля только при V — I ± 1.
Для вычисления матричных элементов Dx и Dy удобнее ввести
D± — Dx ± Юу = гг sin i
Составив
n'l'm'y = J t;/m r sin 9 • e-t "Pt«'
можно вычислить /ф и /е. Так как
2Я
224

то матричный элемент Z>+ отличен от нуля только при m' = m—1,
a D_—при т' = т-\-\. Вычислим 7в для D+, полагая т'—т~\:
л
К =» S Рш (cos 8) • sin 6 • Pi; „. i (cos 8) sin 9 Од.
Вводя снова x = cosQ; sin в—У 1—х2, получаем
Но из теории полиномов Лежандра имеем
Vl —х2 ¦ Pi'. m- i = ct^r+1,«+KPv-1. m,
где
и следовательно,
и не равен нулю при /' = / ± 1 •
Для D_, считая т' = т -J- 1, получаем
/в = J Рш (х) ¦ VT=x~2 Pe. m+i(x)dx.
-1
Заменяя Vl—xaPtm = aiPi+i,m+i + baPl-l,m+1, где
- h -—
' 2~
4(/+iJ—1 ' 2~ У 4га—1 •
имеем
/в = аабг+1, v -\- &4бг_ t> i>.
Выражения для матричных элементов Dx и Dy получаются оче-
очевидным путем:
<nlm | Dx | n'l'm'y = -i. [<«/m | D+ | n'/'m'> + <nlm | D_ | n'/'m'>];
<n/m | Dy j n'/'m'> = — [<nlm \ D+ \ n'l'm'y — <nlm \D_\ n'l'm'y].
Ясно, что они отличны от нуля, если /' = /±1 и m' = m±l-
89. Воспользуемся общим определением
Так как & = fn; + ^(r)> ^—^ и Для любых двух составляющих г
верно: ху—ух = О, то rV—Vr — 0 и
8 № 2500 225

Записывая т = \х + ]у + кг, а Р2 = р| + р? + р1 и используя основные
перестановочные соотношения квантовой механики рху—ypx=i%8 ,
получаем
4г=i^; t' (&*- *р$+i Ср1у-ур1) + k (piS- Spi)].
Ho p|x—xp% = plx—pxxpx-\-pxxpx—xp*, и соединяя попарно члены,
можно из первой пары вынести за скобки слева, а из второй —
справа общий множитель рх. Тогда р|х—хр\ — — 2i%px и, следова-
следовательно,
Оператор р тоже явно не зависит от времени и
В силу того, что рхру—рурх = О, это выражение сведется к
Вычислим его в х-представлении. Тогда р = — iky, V— V (х, у, г) и
вычисляя выражение
(Vp—pV) ^ (г) = — iA(V- V*—V (V*)] = ih (VV) • -ф,
получаем
Так как коммутационные соотношения при переходе к другим пред-
представлениям не изменяются, то это соотношение справедливо всегда.
90. Согласно обычным правилам коммутации
dt, - dV ~3V
dt ~ ду у дх
и Lz является интегралом движения в поле с осью симметрии OZ;
dt
в поле центральных сил, когда V = V(r).
91. Используя правила коммутации координат и импульсов:
РхУ~~УРх~ — ?л6лу составим сначала-J7-. Для простоты обозначим
Рх — рх—еАх. Так как х коммутирует с Ру и Р2 (и тем более
226

с е<р), то
p
Составим ¦~^- = jt(px—eAx). Так как \(r,t) может зависеть от t,
дРх дАх
йРх =
Очевидно,
Обозначим
ь=р^ ^-
Составим сначала
РуРх—РхРу = (ру-еАу) {рх—еАх)-{рх—еАх) (ру-еАу) -
= —e(pj, Л,.—Ах ру + Ау рх—рх Ау);
так как руАх — Ахру=— ill-щ^, то
РУРХ-РХРУ - - Йе (^-^) = - «*е (rot A),
и
b = -iie(PyB2 + BzPy), где В = rot A.
Таким образом:
и так как —gp—^ = ЕХ, то получена сила Лоренца в оператор-
операторном виде
где Е — напряженность электрического поля, В — индукция магнит-
магнитного поля.
92. Оператор хх явно от времени не зависит, коммутирует с ah
ait А и ец>; пользуясь обычными правилами коммутации импульсов
8* 227

и координат:
Pi**
получаем
Обозначив Pi—eil^Pj, вычислим -jf
I
Операторы Р{ коммутируют с a(., кроме того (см. задачу 91), выра-
выражение
P1P%~PiP1^i%~Bu, где В = rot А,
С
Окончательно
С учетом того, что coil = xh снова получена сила Лоренца в опера-
операторной записи.
N
93- Для системы частиц оператор импульса системы Р = 2р» и
t=i
оператор энергии
N
где S^t(r<)—потенциальная энергия во внешнем поле,
2?/rt(r,-A)—энергия взаимодействия частиц, входящих в систему.
i>k
Применяя коммутационные правила, находим
k=l
228

94. Так как V(x) имеет разрыв в точке * = 0, то, обозначая
область х < О как область 1 (V = 0), а область, где х> 0, — обла-
областью II (V = V0), следует, решив уравнение Шредингера в этих
областях, «сшить» решения, т. е. приравнять функции и их первые
производные в точке х = 0.
В области I уравнение Шредингера принимает вид
и его решения
В области II уравнение Шредингера сводится к виду
A)
причем k\ > 0 для Е > Vo, fe|< 0 при Е < Vo. Его решение
Условия «сшивания» дают:
B)
Сх + С2 = Сэ + С4; ikl (С.-С,) = ife3 (C3-C,).
Четыре постоянные должны удовлетворить двум уравнениям. Ввиду
того, что одной постоянной можно распорядиться произвольно и
что в области II из физических соображений можно ожидать найти
только частицу, движущуюся в положительном направлении оси,
т. е. обладающую px = Kk% > 0, нужно положить С4 = 0. Если Е < Уо,
тогда k2 = ia и e-'*«* = g+«*—> оо при л;—»-оо. Тогда необхо-
необходимо С4 = 0, чтобы гр„ было всюду конечным. Уравнения дают:
Определим коэффициенты отражения и прохождения частицы как
отношения соответствующих плотностей токов:
Для Е > Vo
/отр
/пад
; D-
/прош
/пад
(прош '
В выражении A) первое слагаемое представляет частицу, движу-
движущуюся в положительном направлении оси ОХ («падающую» на
барьер), а второе—отраженную. Составляем с помощью этих функ-
функций плотности соответствующих токов:
. _|fel|/-. |2 • __
Упад—^plWI и /отр—
т
229

и получаем
(*!
В том случае, когда ?" < Vo, k2 = ta и функция грц = С3е~ах вещест-
вещественна и убывает с удалением от х — 0. Очевидно, для этого случая
/прош = 0 И D = Q. В согласии с этим
R= ?
.—ta 3
= 1.
95. Так же, как в задаче 94, R =
/отр
/пад
и D =
прош
/пад
. Найдем
функции, характеризующие падающую, отраженную и прошедшую
через барьер частицы.
Обозначая I —область х<0 (V = 0) и вводя kl~-j—, II —об-
2m(f ~
ласть
fe| =
и III—область х > a
(У = 0), запишем уравнение Шредингера и его решение в каждой
области:
M>, = 0,
= 0;
Полагаем Св = 0, так как в области III есть только прошедшая
волна (см. задачу 94). Требуя непрерывности фи— при х — 0 и
х~а, получаем четыре уравнения для Сг
dx
iftj (C/! C2) = ik2 (G3— C4);
Q
Отсюда можно определить отношения коэффициентов — (i = 2, 3,
4, 5) Составляя / = s—(^"Т ^*"^")' нах°Дим
/пад^"^" I ^1 I > /отр = Jj^ I '"•i I > /прош= ~j^ I ^
U
А =
П ^5
230

с с
Определим из уравнений отношения -^- и уг-:
где
1
— 1
0
0
A
2
0
0
-1
у-
-1
1
1
к
j
elkaa
«*.
A,=
e
-e-
-l
0
0
0
0
1
-ik2a
-ik2a _
~~k
-V-
0
0
—e»*ia
f ^
i _
"a cos A
-1
0
fl 0
——
t(fe? + fe|)smfe2al
2fejfe2 J '
l —fej
Подставляя вычисленные A^ A2, As в выражение для R и D,
считая ?" > Уо (fe2 вещественно) и производя некоторые упрощения,
получаем
D (ft| — fe2J sm2 fe2a (&|—ft?J
|—A?)' sin2 /fe2a '
D-
Легко видеть, что D-f/?=l и что для k2a = nn барьер прозрачен,
т. е D=l, i? = 0. Решение годится для Vo > 0 и 1/0 < 0 (когда
частица проходит над потенциальной ямой).
Обращаясь к случаю Vo > 0 и Е <V0, получаем мнимое /г2 = ф.
Тогда sm fe2a — t sh $a, и мы находим выражения для R и D в виде
При ра^>1 можно получить
D = -
96. Пусть область I содержит точки с координатами
II -с а<х<Ь и III—с х^Ь.
231

Заметим, что при х<0 V— со и, следовательно, if» = 0. Выбрав
гр, так, чтобы непрерывность при х = 0 была обеспечена, можно на-
написать решения уравнения Шредингера в областях I, II и III:
^ = 0, где k* = ~ и !]>, = Л sin ftx;
¦- хЧ)п = 0, где х» = -^-G,-?) и ф„ =
^ >Hi = 0; фп^е** «*-»> +Се-'* (*-«.
Решение нормировано таким образом, что амплитуда волны, выхо-
выходящей из потенциальной ямы, принята за единицу. Это не ограни-
ограничивает его общности, так как все уравнения однородны и определяют
только отношения коэффициентов.
Условия непрерывности на границах х — а и х = Ь самой функции
и ее первой производной запишутся так:
A sin ka = Bt + В2; A)
kA cos ka = у, (В1 — В2); B)
B^' + S^-^-l+C; C)
% (B^—B^e-^1) = Ik A —С). D)
При этом введено обозначение /— Ъ—а—ширина барьера. Складывая
и вычитая уравнения A) и B), находим В1 и Ва и, подставив их в
формулы C) и D), с которыми произведем те же операции, получаем
уравнения, определяющие амплитуду А волны во внутренней области
и амплитуду С падающей на барьер волны:
[s
[sh и/+Jch
4 |sinAa [ch kI—-g-sh к/1 + ¦?- coska [sh xl—? ch jt/] I =C.
Отсюда
sin fea chx/ rr
shxf
г ^
sin to chx/ -(- ТГ-
А: Г x 1
-j— cos fca sh x/ —rr- ch к/
-f
k Г x 1 '
cos ka shx/-|-— chx/
Замечая, что числитель и знаменатель являются комплексно сопря-
сопряженными числами, видим, что |С|2=1. Падающая волна полностью
отражается в jf = O. Записывая выражение для А в виде
е
видим, что при вещественном к (Е < Vo) второе слагаемое всегда
гораздо меньше первого (е~2к'<^1) и, следовательно, отбрасывая его,
получаем, что |Л|2~е-2к', т.е. |Л|а<§1—амплитуда волны во
232

внутренней области гораздо меньше, чем во внешней. Это справед-
справедливо при всех значениях энергии, кроме тех, при которых
к k
— cos?a = 0 или tgkaa= -.
х0
(Сравнивая с задачей 51, можно убедиться, что это условие дает
уровни энергии в потенциальной яме ограниченной глубины.) Тогда
член с e~iKt играет определяющую роль и А значительно возрастает:
е и С=-
Щ—ik
т. е.
\А\* = Ае>«°1 и fCf =1.
Таким образом, вблизи собственных значений энергии для потен-
потенциальной ямы конечной глубины амплитуда волны во внутренней
области скачком изменяется с е~2к°1 до е+2ио'.
97. Если расположить начало координат на границе металл—
вакуум, то для характеристики сил, не дающих электронам выйти
из металла,-полагаем, что потенциальная энергия электронов в металле
ниже их энергии в. вакууме на Vo, т.е. полагаем V = 0 при х < 0
(в металле) и V — Vu при х > 0.
Пусть ОХ является нормалью к поверхности металла. Если в
этом направлении приложено внешнее электрическое поле Е, то при
х > 0 потенциальная энергия станет равна V(x)=V0—е|Е|х и веро-
вероятность выхода электрона сквозь такой барьер будет определяться
коэффициентом прохождения
Дело сводится к вычислению интеграла, стоящего в показателе
стецени..
Задача рассматривается как одномерная. Существенно только
движение вдоль оси ОХ и Ех = ~ означает энергию, связанную
с этим движением. Точки хх и хг определяются из условия V (xx) =
= V (х2) = Ех. Для нашей задачи ^ = 0, а х% находим из равенства
Тогда
233

т. е. D растет с ростом | Е | и Ех.
Если обозначить dn — число электронов внутри металла (отнесен-
(отнесенное к единице объема), обладающих импульсами в пределах р—p + dp,
то плотность электрического тока, выходящего в направлении оси
ОХ из металла, равна
^
j = e^vx-dn-D, где и* = ¦*¦*¦;
интегрирование распространяется по всем значениям ру и рг и по
рх > 0. Считая, что электронный газ крайне вырожден (т. е. ведет
себя так же, как при Г —0), получаем
"'--* h3
(среднее заполнение состояния равно 1) приу-^?, где Z,—макси-
Z,—максимальная энергия, т. е. уровень химического потенциала, и
dn = 0 при -~>t
Следовательно, переходя к цилиндрическим координатам в про-
пространстве импульсов и полагая py = pcosq>, pz = psincp, можем напи-
написать
Yim%,-p\ 2л
dpx j рф
Подставляя ti = ?—Ex, dr\=—vxdpx и проводя интегрирование по
Ф и р, получаем
t
4пет
Так как D(r\) с ростом ti очень быстро убывает, то главную роль
будут играть члены с малыми г\. Поэтому разложив показатель сте-
степени в ряд по -л, обозначив *? 2* (V0 — Qs^ =q и y^ = S. м°жно
распространить пределы интегрирования по I до бесконечности и
234

получить
98. Альфа-частица в ядре находится в глубокой потенциальной
яме; можно приближенно считать, что V= —VQ при r^.r0; rQ харак-
характеризует радиус действия ядерных сил. При г ^ г0 (вне ядра) V—
2Ze2
= —р—. Коэффициент прохождения частицы через барьер, ограни-
ограниченный при г = г0 вертикальной прямой, а при г > г0—гиперболой
V = -—, определяется как
A)
где Е — энергия частицы, падающей на барьер, г0 и гг—точки пово-
поворота, в которых V — E, т.е. г2 = —^-.
Для вычисления интеграла в формуле A) введем cos2u = —;
очевидно, при г = г2 « = 0 и, обозначая — = cos3 м0, можем написать
В предположении, что у — <^ 1, разложим в ряд
«0 = arc cos y -T- ———V —.
Тогда
sin 2и0 «2
Таким образом,
235

где v3) — \r2mE—скорость вылетевшей а-частицы, измеряемая вдали
от ядра, где V — 0 и
99. Выбирая ось OZ в направлении магнитной индукции и запи-
записывая составляющие вектора-потенциала в виде Ах——By, Л =
= Лг = 0, можно свести уравнение
к виду
Так как коэффициенты его не зависят от х и г, то можно искать
¦ф в виде
и после подстановки гр в A), получим уравнение для f:
где введены обозначения ю0 = —; е = ?„ —^-; У1
Получено уравнение для одномерного гармонического осциллятора.
Вводя безразмерную координату |= j/ ^f-i/i, можно, согласно за-
задаче 52, написать решение
(#„—полиномы Эрмита) и
или для полной функции и энергии электрона в магнитном поле
Из условия нормировки находим
С =—
" h
%п У~2"-п\
Спектр энергии непрерывен для движения вдоль оси OZ—по на-
направлению магнитной индукции, и дискретен по отношению к дви-
движению в перпендикулярной к В плоскости.
100. Сравнивая временное уравнение для частицы в электриче-
электрическом и магнитном полях, которые характеризуются вектором-потен-
236

циалом А и скалярным потенциалом ф:
с уравнением, в которое входят измененные потенциалы А'
ф' —Ф—57, и, следовательно, измененная функция W:
ot
можно увидеть, что действие оператора V на W эквивалентно дей-
действию (\—yVf4) на f' и -S- на ? эквивалентно действию опера-
тора 1=7—т^т 1 на W. Это показывает, что ? отличается от W
г \д( %dt)
JjL
на множитель е h :
JlL
? = We" * .
Действительно, дифференцируя ? по х, у, г или t, получаем
ief ~ -Г" г<
dt~dte +* dt -е \Ш 1 %
При таком изменении функции выражения вида
?*??Л не меняются.
101. Написав временное уравнение и раскрыв (р—еАJ, имеем
О>пряженное ему уравнение выглядит так:
B)
Составим выражение щ \ ? |» = ?* • -=т + -gp¦ ?, вычитая из урав-
уравнения A), умноженного на ?*, уравнение B), умноженное на Ч'.
Разделив полученную разность на i%, напишем
^ -?*?). C)
Так как
= di v (?* ¦ v?—v?* • ?),
237

то выражение C) можно представить как
am»
—sr- + divi = O,
где
: _- l" (yip1* .ip 4JT* .yijl") — Д. I 1JT ja
Можно проверить, что при переходе от <р, А к <р' = <р—-^- и
if/,
A' = A-f-V/» сопровождающемся заменой W на тр'^Ч'е^ (см. зада-
задачу 100), j' = j.
102. Из равенств ага = а и агР = — Р следует, что оператор ог
имеет два собственных значения, равных +1 и —1» и, следователь-
следовательно, отвечает составляющей вектора спина (в единицах %12). Собст-
Собственные функции для аг: а и р, очевидно, не будут собственными для
ах и ау, но складывая и вычитая равенства
ауа=ф, а^р = — »а, B)
получаем
ах (об-р) = - (а-р), ау (a-tp)= - (a—ip).
Эти уравнения показывают, что ах и ау имеют такие же собствен-
собственные значения, как и аг, равные ± 1. Составляя выражение
убеждаемся, что axoz — azax — — 2ioy. Кроме того, применяя к ра-
равенствам A) оператор ау, получаем
откуда следует, что
Запись "жОу (р) =г"ог(р) означает,
ауох =—юг.
= ia2a и
и, поскольку это справедливо для всех собственных функций (их всего две), то
верно и для любой функции, а следовательно, можно просто написать равенство
операторов.
238

Таким образом, доказано, что вектор у о удовлетворяет пере-
\% - %~~\ . А - ,
становочным соотношениям уо-уа =iyo, как и орбитальный
момент количества движения.
Кроме того, так как ах, ау, аг имеют собственные значения ±1,
то их квадраты имеют все собственные значения равные 1, и при
действии на любую линейную комбинацию функций аир получим
аНр) ==ох\а) = (р).
т. е. а?= 1, и, "следовательно,
103. Так как ох коммутирует с р, г, то составляя -— по об-
общему правилу, имеем
так как axoy = iaz.
104. Пусть а и fi—функции, действие на которые операторов
аж, ау и а2 определено в условии задачи 102. Будем обозначать
функцию а для нейтрона (п) a(Sn) = an и для протона (р)—a(Sp)=ap.
Очевидно, для системы слабо взаимодействующих частиц общую
функцию надо искать в виде произведения одночастичных функций.
В частности, собственную функцию оператора Sz = anz-\-apz будем
искать в виде
X (Sn, Sp) = Аапар +
Действуя на нее S2, получаем
5Д = (o« + V) 1 - Аааар
V р pp
Аапар-Ва$р + С$пар - D$,$p = 2Аапар -
Таким образом, оказывается, что все четыре произведения апа ,
anPp> a,)Pn и РрРп являются собственными функциями Sj, отвечаю-
отвечающими соответственно собственным значениям: 2, 0, 0 и —2. В еди-
единицах ft это отвечает значениям 1, 0 и —1. Составим теперь
S2 = {ар -\- апJ и определим его действие на х- Очевидно,
), так как а*«=...= I,
239

S2X = 6Х + 2 (Snop) (Аапар + Ва?р ,
Непосредственно вычислим
А {опхарх + anyhpy + апгарг) а„ар = А фп$р — р„ р, + апар) = Аапар.
Таким же образом
В (опх орх + опуару + спгарг) ап$р = В [$пар + фп (—iap) —
?р] рр
С (onxipx + опуару + опгарг) $пар = С (aJp + а„рр—рвоя)
СBрР)
D (anxapx + anyapy + °nz°pz) P«P/> = D (<xnap~ana't
Следовательно,
S2x = 8Аа„ар + 8D^P -f- 4 (B + Q (ajp
(Отсюда следует, что а„сср и Р„рр являются собственными функциями
оператора S3, отвечающими одному собственному значению 8, т. е.
'2
Написав равенство
S^ (Ба^Р^ + Ср„ар) = 4 (В + С) (aj, + Рл<х„),
нужно отыскать такие В а С, чтобы функция BccJJp + Ср„ар была
собственной функцией S2. Для этого приравняем
4 (В + С) КР, + $пар) = 4Х (BaJp + Срлая),
тогда
и условием разрешимости этих двух однородных уравнений для В
и С является равенство нулю определителя системы
1—А, 1
1 1-
= A —Я.K — 1 =0.
Следовательно, есть два решения:
1) "к — 2, В = С. Тогда собственная функция ап$р -f- рла„ отвечает
собственному значению S3, равному 8, и собственному значению Sz,
равному 0;
2) Х = 0, В = — С, и собственная функция оказывается антисим-
антисимметричной, а„Рр—$па.р. Она отвечает собственным значениям S2 и S ,
равным нулю.
240

/ -h \ 2
Таким образом, собственному значению \ -^- S ] — 2Й-2
соответствуют три
симметричные функции апар, $пар + ап$р, Р«РР, описывающие состоя-
состояния со значениями -- Sz, равными %, О, —А. Это состояние является три-
плетным Собственным значениям S2 и S2 равным нулю, отвечает одна антисим-
антисимметричная собственная функция — синглетное состояние системы.
105. Пусть S1 = -|o1 и S2 = |-(T2 (причем ог2- = 3; о^= ... = 1).
Рассмотрим квадрат суммы этих операторов:
Как в триплетном, так и в синглетном (см. задачу 104) состоянии
S2, Si и S2, имеют определенные значения: собственное значение
S2 = ^2s(s+ I) (s=l для триплетного и s = 0 для синглетного со-
состояния);
С2сг fj2 ' 3 3 jj2
Следовательно, значения скалярного произведения спинов двух
частиц можно записать
(S1-S2) = -2- в триплетном состоянии,
(St-S2) = —j-fl2 в синглетном »
Соответственно в этих состояниях (в1-в^ = 1 и (в1-вг) = — 3.
106. Согласно задаче 105, обозначив собственные функции три-
триплетного и синглетного состояний через %t и Xs, можно написать
(о А) ¦ It = 1 • Xt, (^о'г) • Xs = — 3%s.
Так как три триплетных и одна синглетная функции образуют пол-
полную систему спиновых функций для системы двух частиц, то сле-
следует сначала определить действие {о^У на %t и %,. Очевидно,
(<*ЯJХ( = (яЯ) • (<*Я) Ъ = I2 • X*
и, следовательно,
Таким же образом
Допустив, что
241

покажем, как подобрать Л и б, чтобы это равенство было справед-
справедливо при действии на %t и %т, а следовательно, и на любую спино-
спиновую функцию двух частиц. Так как
то
С другой стороны
и
т. е.
Отсюда
Л — ЗВ = (-3)*.
Следовательно,
например для ? =
107. Записав обычное уравнение для собственных функций и соб-
собственных значений оператора: ах%~-МС, представим искомую функ-
v ( а\ „ „ „-/0П
цию в виде матрицы X = , . Действуя на нее матрицей ох = , п
приходим к равенствам
т. е.
и, следовательно, К2 — 1; Я = ±1. Подставляя ^х=1 в равенство
Ъ - Яй, получаем собственную функцию Xj =¦ а ( ], отвечающую этому
собственному значению. Таким же образом для Яа = — 1 имеем Х2 =
Г
= a
Из условия нормировки
следует, что a = (V'2)~1.
242

Аналогично для а =( . L] из равенства
=( . L
получим
— ib = Xa; ia — Kb;
откуда
7i = dzl; b = ±ia; X+1 = —=
108. Выразим оператор спина частицы S через о:
где 0Л, ay> аг—матрицы Паули, удовлетворяющие условиям: 0* = 0| =
= сг|== 1 и 0^0» = — оуох и т. д. Составляя проекцию S на а, равную
S-a\
—), и возводя это выражение в квадрат, получим, пользуясь
свойствами матриц ах, ау, аг\
а,
109. Так как решение невозмущенной задачи при е1 = е2=0
(гармонический осциллятор; см. задачу 52) дает невырожденные соб-
собственные значения оператора Но, равные
то для отыскания собственных значений и функций оператора Н —
= Но -|- W следует воспользоваться формулами
Zl2p$S. A)
кфп Ь"
B)
где Ц0П-^Спе-^2-НпA), Я„—полином Эрмнта, п = 0, 1,2, ...,
1=]/ тх.
Задача сводится к вычислению матричных элементов
243

где W1 = e1xi и W2 = 62x4. Воспользовавшись вычисленными в задаче 82
матричными элементами координаты
(остальные <n\x\ky = 0) и записав эти результаты более компактно:
можно <п | W, | k} вычислить, пользуясь правилом умножения матриц:
В свою очередь,
<n I x21 /> = ^j <ft I x I p> <p I д; I Z> =
p
р
Очевидно, в произведениях вида Vpbp,l+1 можно У р заменять на
J//+1 и бП|Р+1 на бя,„_1. В силу этого
и, например, первое слагаемое будет равно
= 6ntl+tVn(l+l)=batt+tVn(n-l);
так как S(A является единичной матрицей, то 62 = б.
Проделав эту операцию со всеми членами, получим
+ Bп+ 1) 6п1 + У(п+1)(п + 2) б„, ,_J.
Подставив это выражение в <n | x31 k> и проделав аналогичные рас-
расчеты, можем написать
244

Таким образом, <л | W11 пу = 0 и <n | Wx | Jfe> при заданном п отли-
отличен от нуля только в четырех случаях: при k = n±\ и ? = п±3.
Следовательно, этот член дает поправку в формуле A) только во
втором приближении, а в формуле B) — в первом, и можно ограни-
ограничиться только ими Учитывая, что знаменатели формул A) и B) при
k — n ± 1 обращаются в Е>—Е°п + 1 = Т^со и при /е = /г± 3 — в ?» —
— ?° ± а — =F 3/ш, можно написать
При вычислении энергии следует учесть вместе с поправкой второго
порядка от Wt поправку первого порядка от W2, т. е. вычислить
<п | W21 пу = г% <п | х41 пу. Аналогично получаем
<п |
4 \пу ~ У
~ У <п | ха
(й-2) 8„
(Отличные от нуля результаты получаем только при умножении
bn,k+f$n,k+i и ^n,ft-i*^n,*-i- ^ остальных членах получаются нули,
например ^б„1А+^вв,А+'1 = вв_,111_1 = О.)
Окончательно
+ А» + -Am J '
и после подстановки вычисленных матричных элементов находим
110. В отсутствии магнитного поля невозмущенное уравнение
имеет решение
= ^»*« (^ е- Ф) = Rm (г) р
ш
245

В присутствии магнитного поля оператор Гамильтона Н — Яо +
+ — A-V (если пренебречь А2). Считая второе слагаемое энергией
возмущения, можно найти поправку к Еп, в первом приближении
Е'п1 = Е-Еп1 = <п | W | ny = J ф;/в,^ А ¦ V-Ф™/- ^-
Если ось OZ направлена по магнитной индукции В, то можно
выбрать вектор-потенциал А таким образом:
Тогда
**-»-Т*(*5-
и так как Z"ш = itw!pnlm (т|зп/я, является собственной функцией опера-
оператора Lz — i%^r-\, то поправка к энергии
Для определения собственной функции возмущенной задачи и
поправки к энергии во втором приближении, надо вычислить недиа-
недиагональные матричные элементы
равные нулю при тфт'.
Таким образом, магнитное поле не изменяет собственных функ-
функций невозмущенной задачи (ipnfm ='Фигт) и поправка во втором приб-
приближении равна нулю, а уровни энергии расщепляются в зависимо-
зависимости от т:
Enlm = Enl-f--km.
nlm nl 2[X
111. Вычислив матричные элементы энергии возмущения $ =
= e|E|acos(p на функциях невозмущенной задачи Uum — —F=.eimf
У 2л '
получаем, что отличны от нуля только
<т I W \т—1> = <m I W \m-\-1> =- —±—'-
it it 2
и, следовательно,
Г! _ J е/да.. F'4EI"
Я» iA(C ' i о -i/"KT I 9m 1 1m_LI I >
г _ %гтг e | E |2 a4 1
2ji?7 Д2 4ff22- 1
246

112. В отсутствие поля невозмущенная задача (атом водорода;
см. задачу 61) имеет пг кратно вырожденные собственные значения,
следовательно, числу я---2 отвечают четыре собственные функции,
определяемые уравнением
Выпишем их подробно:
Vi = %оо = R-zo (г); 4>S = Фш = Ли (г) Plo (cos 9) = Rtl cos 9;
Ф1 = *Bii ^ Л»1 sin 9e'»; ipS = -*2i-i = ^«i sin 9 в"'?; A)
(Рп (cos 9) = sin 9).
Выбирая ось OZ вдоль направления внешнего электрического поля Е,
в которое помещен атом, можно написать Н возмущенной задачи
в виде:
Н = Й° — е\Е\г; очевидно, W ^ — е\Е\г .
Собственные функции этого оператора, соответствующие ?°, сле-
4
дует искать в виде линейной комбинации функций A): 1|э = 2с/ф?.
i=X
Энергетические уровни вычисляются из условия равенства нулю детер-
детерминанта:
\(Et-E)8ik + <i\W\ky\ = 0 (i, k=l, 2, 3, 4). B)
Очевидно, <i | W \ k> может быть представлен в виде произведения
интегралов по г, 9 и ф
Так как z — r cos 9 от ф не зависит, то
2я
> = и для тфт .
б
Таким образом,
<1 | W 13> = <11 W 14> = <2 ] W 13> == <21 W 14> = <31 W 14> = 0.
Кроме того, если т = т' и / = /', то
я 1
/9 = 5 P,ffl (cos 9) • cos 9 • Plm (cos 9) sin 9 dQ = $ | P/m (jc) |2 ¦ x ¦ dx = 0
о -l
в силу четности |Ргт(*)|2 и, следовательно, нечетности подынтеграль-
подынтегральной функции. По этой причине все <? | W \ k> равны нулю. Отличными
от нуля могут быть только <1 | W 12> и <,2 | W \ 1>:
сю Л 2л
2> = — е | Е | Г R20 ¦ Rn ¦ ra dr ¦ Г cosa 9 sin i
о о
247

Для вычисления Ir — J R^Rnru dr следует явно записать нормирован-
о
ные радиальные функции для водорода. Из задачи 61 известно
k-l
где а = -р—боровский радиус, а ак связаны рекуррентным соотно-
соотношением
Следовательно, Яц = а1е~г/2а-^- (в этом случае 1 = п—1 = 1 и вся
сумма вырождается в одно слагаемое аг-—) и Rw=a'oe~r/2a( 1—^-) .
Здесь /т—1 = 1 и / = 0, а[= v 2. о ^— = _ ?а. /. Коэффициенты
а0 и аг определяются из условий нормировки
|i|5s!io|adr= \ | яр? |2 dx = а| • 2я f е~г/а-^—^ С cos3 6 sin 6 dQ = 1.
8 а 8
Так как ^ rne~ria dr = n\ an+1, получаем
о
Подставляя их в 1 r, можно написать
QO
Л f 1 — f
V 2a
i
J V У 4л
О
и, следовательно,
<1|№|2> = <2|Г |1> = Зв|Е|а.
Из уравнения B) получаем
?' = ?» + 3e|E|a; Е" = Е\—Зе| Е|с; Е'" = Е""
Соответствующие им функции равны
248

Из условия нормировки
Расщепление ) pjBHen энергии атома водорода в электрическом поле
оказывается пропорциональным величине приложенного поля,
113. В отсутствии поля уравнение Шредингера (для невозмущенной
задачи)
имеет вырожденные собственные значения — каждому уровню энергии
Еп1 отвечают 2/+1 собственные функции ^>п1т, отличающиеся различ-
различными т при одних и тех же п и /. Следовательно, волновую функ-
функцию возмущенной задачи надо искать в виде
2
т=-1
Для атома во внешнем электрическом поле Е уравнение имеет вид
и роль возмущения W играет член е | Е ' z (поле направлено по оси 0Z).
Уровни Е получаем, приравнивая нулю детерминант
Очевидно
Для тфт'
'>- — e|E| J
,dx = — е\Е \-lr-IrI
2Я
для т =
1
= \
-1
в силу нечетности подынтегральной функции.
Таким образом, уравнение- для ? сведется к
(п() = 0, т. е. Е = ЕП1.
Расщепление (в этом приближении) уровня энергии во внешнем
электрическом поле отсутствует.
114. Так же, как в задаче 67, обозначая обычные координаты
и энергию через г', Е', а безразмерные ^-=г (а=^г) и ^ = 6>
можем написать уравнение Шредингера для атома водорода, поме-
249

щенного в электрическое поле Е, параллельное OZ, в виде
— у Дт|з—- т|5 — gzi|) = е-ф.
При этом энергия возмущения —е|Е|г =— gz, где g = ±—?
безразмерное внешнее электрическое поле.
В параболических координатах « = r-f-z, и = г — г, <р это уравне-
уравнение приобретает вид (см. приложение IV):
du \Udu ) ^dv [V до ) + 4 V м + а
Оно допускает разделение переменных:
ty = U(u)V(v)-eim* (m = 0, ±1, ±2, ...),
причем t/ (и) и V (и) удовлетворяют уравнениям:
при STOMaj-j p!= 1. Сравнивая их с соответствующими уравнениями
при g=0, решенными в задаче 67, в которой было получено
(для первого уравнения), можно искать решение A) при помощи
теории возмущений. Собственное значение а является простым,
а поэтому поправку Да = аг—а, следует искать в виде
При этом
Полином Fl^ удовлетворяет уравнению
250

Если подставить сюда значение а и ввести новую переменную
*=2м|/—g-, C)
оно примет вид
dx
Записав Fl™l= 2 bkxk, найдем рекуррентное соотношение для коэф-
коэффициентов bk:
и «
(й = 0, 1, ...). D)
Можно непосредственно проверить, что если выбрать
то
Л?' = ^й ¦ "^^Ч^ = (-1)Л1^1 + ¦ • • • E)
Остальные коэффициенты можно вычислить по формуле D).
Для произвольной функции f (x) вычислим интеграл вида
/=
о
Подставляя E) и интегрируя полученный интеграл по частям, находим
ех
/ = \ rim \р~х .
1 J
. i
х>«ч dx'
Пользуясь этим результатом, вычислим интеграл нормировки и мат-
матричный элемент. Вводя замену C), запишем
Тогда
251

и, так как dxn"' = (—1)"'• ДJ. то
Г2 ___J
Таким же образом
во
0
Так как
и Ъщ— (—I), а из формулы D)
то
[ 2!
, ni(ni-I)(ni + 1m
и после упрощений получаем
Если обратиться к уравнению B), в котором роль энергии возмуще-
возмущения играет член ——-, а собственное значение—величина (—Pi), то
(так как невозмущенные уравнения A) и B) идентичны). Значение
энергии е определяется из условия
252

Так как пх —{- гг2 Н- [ ?тг | —{- 1 == /г и в поправочном члене, пропорцио-
пропорциональном g, можно заменить е его значением ео=—^ из невозму-
невозмущенной задачи, то окончательно это условие записывается как
y"=ten [l -jgn* К-л,)] = 1,
откуда
Так как при заданном п числа nt и пг могут принимать значения
от 0 до п—1, то максимальное значение пг — п2 равно п—1, а ми-
минимальное равно —(п—1). Следовательно, поправка к е0 может
принимать 2п—1 значение.
Таким образом, под влиянием поля уровень энергии в атоме
водорода расщепляется на 2п—1 уровень и величина расщепления
пропорциональна полю (g ~ | E |).
115. Функции Чо и Ч^ удовлетворяют уравнению
-— ? t
НЧп = йЦ± и Уп = ип(г)е~Ь "; ^WV?mdx = 8nm (n, m = 0,l).
После включения возмущения W уравнение приобретает вид
Решение его следует искать как
где | ай |2 -|-1 ах |2 = 1 и начальные значения коэффициентов а0 @) — 1;
а!@) = 0. Подставляя Ч1" в уравнение, обычным методом находим
где Wik=\j u?Wukdx—матричные элементы W. Если ввести ao(t)
??)
— ao(t) и о^(г) — е h • ^{t), то уравнения для a,-:
1—?„]
являются однородными линейными уравнениями с постоянными коэф-
коэффициентами и а,- можно искать в виде ao= Ae~iat; at = Ве~ш. Коэф-
Коэффициенты Л и В находятся из уравнений:
iA + [Wn + Е^—Еь—Щ В = 0,
253

условием разрешимости которых является равенство нулю детерми-
детерминанта, приводящее к определению Q:
где
y=W11-Weo + E1-Eo.
Отсюда
причем
д ^«-^о,Л| (i==lf 2)_ A)
w 10
Из начальных условий имеем
A^A^l; Вх + Ва = 0; B)
и, следовательно,
Подставив выражение A) в формулы B), получим
1 МОй)'
д (А0
1
Задача решена полностью
Оиеним поведение | а,-12 = | а,- (<) |2 во времени.
Вычисляя обычным путем модуль, находим
где
ст
2 А
Используя выражения Qx и Я2> можно показать, что
так как 4о2— у2 = 4 | Wlo |2 и, следовательно,
^01* sin* at.
Возмущение приводит к переходу системы из состояния f, в f i с частотой
254

116. Вероятность перехода из состояния -фх в typ под влиянием
возмущения W (г, t) определяется в первом приближении коэффи-
коэффициентом ср(Т), равным
Ер-Б,
t
где
Wpl — \^*PW (r, t)^xdx, а ?,и Ер—энергии соответствующих состоя-
состояний. Для начального состояния надо написать функцию с п=1,
/ = 0, т = 0 для электрона в кулоновском поле с зарядом Ze. Эта
функция найдена в задаче 61 и равна ijj, — ^\00 = Ce~rZia, где
а = —г • ^з условия нормировки имеем С—у —-. В конечном со-
софт
стоянии электрон описывается плоской волной typ = —г= ? h , где V—
объем области, в которой находится атом. Для определения числа
состояний с данным импульсом накладываем, как обычно, требование
периодичности: typ (х + L) — typ (x) (причем L3 — V) и получаем разре-
разрешенные значения
hn
Отсюда число состояний с импульсами, попадающими в интервал
dpx dp у dpz
р — (p-fdp), равно pdpxdpydp!,= 2 -^f V (множитель 2 ука-
указывает число возможных проекций спина). Переходя к сферическим
координатам в пространстве импульсов, можем написать число со-
состояний с энергией в интервале Ер—(Ep + dEp) f где ?"р = ^— )
и с направлением импульса в угле dQ:
Для данного случая вектор-потенциал задан как
AK=Acos(wt — kr); Ау = Аг = 0 (k||OZ).
Следовательно,
W = —1 (А • р) = -^ cos («tf-kr) • рх.
Из того, что W/,1=Ji|j;W'ijIdT= WlP=[fal&%dx]* и что
= px-Vpp, следует, что матричный элемент возмущения Wn может
быть записан в виде
|3р cos (со^ — кг) • 4ч dx.
255

Представляя
cos (Ы— кг) = y [e{ («<-kr)+e-' «<>'-kr>],
можем написать
dt+
4-(?p-?i-*®)
Так как
I
dt =
то из двух слагаемых, входящих в ср (Г), главную роль при фото-
фотоэффекте (Ер > Ej) играет то, в котором знаменатель содержит
Ер—Ег—^ю~'О. Пренебрегая вторым членом и подставляя it^HT^
имеем
— 1
где
2Я
= J e-zr(a.e \ h ) dx = J e-zr/ar2.dr J g-,>cos8sjnedd) dip;
0 0 0
при этом -j—k = q и ось OZ выбрана вдоль q, так что qr = i7rcos8.
m I 1
Тогда, так как \ e~arr dr = —^, то
le ^a ) rdr—\e ^a
о о
rdr
Lo о
Вероятность перехода в интервал состояний АЕр, равная
dW = j \c,{T)\*P(E,)dE,dQ,
256

содержит рядом с плавной функцией от Ер выражение
т
Т *in2
— 1
<Ep-Ex-i
p—Et—1w) dEp,
p—Et—1w) dEp,
и поэтому вероятность вылета фотоэлектрона за 1 сек в угол
равна
причем ^ = ?х + fm = %а> — J, так как Ег = —J = —^vj- , где /—энер-
/—энергия ионизации атома.
Если подставить q2 в знаменатель, то
2pk 2u(D (, v \
— -j-cosa »-v- 1 cosa ,
11,- % П V с J
„2
если пренебречь fe2<^77.
n.
Если направить k по оси OZ, то рх = psmacosf, и окончательно
dW _ e
117. По условию задачи уравнения
^^ )uB = Enua(Tl) (i=l, 2)
решены w требуется найти собственные функции и собственные зна-
значения оператора Н = #1 + #2 + #i2> считая, что Й12 = Йп. Рассмат-
Рассматривая Я13 как возмущение, решаем сперва невозмущенную задачу:
Я0?01 (г1( г,) = (Й1 + Я,) Т01 (rlf г,) - ?0?01 (rlt r2).
Очевидно, можно написать
Этой функции отвечает уровень энергии E0 = Er-\-Es, которому
можно, однако, привести в соответствие и другую функцию
^.•(ri, г,) = и,(г1)и#.(г,)
(частицы поменялись состояниями: теперь первая находится в s-tom,
а вторая—в г^том состоянии). Так как уровень Еа оказался дву-
9 № 2500 257

кратно вырожденным, то собственную функцию возмущенной задачи
будем искать в виде
иг __ „ш 4- bW
Подставляя ее в уравнение (#ia Я2 | Я12 — ?)lF —О, обозначая
Е--Ег-\-Е,-\-ъ, получаем упрощенное уравнение
Умножая его по очереди на Ч^ и W%t и интегрируя по переменным
dr1 и <?г2, приходим к двум уравнениям для а и Ь:
(Си-е)а + С14Ь-0; A)
С21а-г(С„-е)Ь-0. B)
В силу симметричности Я12 коэффициенты Сп — С22 и C12 — Csl. Дей-
Действительно, замена гх на г.2 и г2 на ^ переводит Фщ в Ч1",,;, и, следо-
следовательно, коэффициент
Сп - J J ЧЪЯЛ'Мт, =-- 5 J и? (г,) иГ (г,) Й12иг (Г1) и, (г,) Л, ¦ dx2
только наименованием переменных отличается от
#иТ0,?Мт, - S S «; (r2) «s (i\) Я12иЛ (г,) и, (О dttrfTa
Точно так же
так как Hlt — Htl. Обозначая Си~С!12 =/( н Схг-=Сг1~А, записы-
записываем уравнения A) и B) в виде
(К—г)а + АЬ-0, Аа + {К—е)Ь = 0
и из условия разрешимости этой системы получаем
1-й случай1 е = К-^А; а — b. Таким образом, уровню Е'=Ег-\-
Er -f- К Н- А отвечает функция
2-й случай е — /С—^4; а = — Ь. Уровню Е" = Ег-\-Е„ ~К—А
соответствует функция
?" = а (Ч'о1 -?02) - а [и, (г,) м, (г2)-ы, (гх) и, (г,)].
Из условия нормировки находим а= у— , так как
WUW^idh = ( J и* (гО «9 (г,) dx,J = 0.
25й

Если рассматриваемые частицы—электроны, то полная функция —
пространственная и спиновая Ф(тх, г,, ov о\)—должна быть анти-
антисимметрична, и следовательно, уровню
отвечает одна функция
(имеется только одна антисимметричная спиновая двухэлектронная
функция; см. задачу 104). Следовательно, это синглетный уровень.
Второе собственное значение
будет триплетным, так как с антисимметричной прос1ранственной
функцией W — ,— (WB1—Ч1",,.) можно комбинировать три симметрич-
симметричные спиновые функции
х;«л; Х PP; X" (a^P^)
118. Волновая функция системы в начальный момент задана
в виде (см. задачу 117)
Чтобы определить изменение ее во времени, представим W (t) как
результат действия некоторого оператора S на W(Q). W (t)
Подставляя эту функцию во временное уравнение Шредингера
и проводя формально интегрирование по t, находим
Если W @) разложить по собственным функциям Н, удовлетворяющим
уравнению Н^п = Ejp,,, то
так как действие любой функции от оператора f (Й) на собственные
функции Н равно
Таким образом, чтобы определить xY(t), надо сперва разложить
ее начальное значение 'W(O) по собственным функциям Н — по tJ),_.
9* 250

В задаче 117 были найдены в нулевом приближении собственные
функции Н:
} ровню Е' = Er + Es + К + А соответствовала
* = y~o ' 01
уровню E" =
Отсюда можно найти
и согласно доказанному раньше
1ТГ /1\ *
T
Подставляя сюда Е' и Е" и переходя снова к Wol и Ч?02, находим
f.i-T.2)e* J=.
—l-(ET + Es+K)t Г ——At
где
MO = exp [ - jr (Er + ?, +/О'] cos у-
т. е. вероятности найти систему в состояниях Wol и Y^ равны соот-
соответственно - ¦
Vff —\r |2_rnc2jll.. W7
1 I 61 I — COi> ^^ > ™ 0?
Bpe\fH, необходимое для того, чтобы частицы обменились состоя-
состояниями, т. е. Wol = «,(rt)и,(г2) перешло в 4foa = ur('"a)«J(»"i)» опреде-
определяется тем, чтобы с1(х) = 0, т. е. тг ==•?¦> откуда
ft *
119. Параметры выбранной для применения вариационного метода
функции <р = A (I[-\-ar)e-"r определяются таким образом, чтобы вы-
вычисленный на этой функции средний гамильтониан
260

имел бы минимум при условии нормированное!?! ф. Последнее дает
J | Ф |2 dx = 4я Л2 J(l+ arf е~™гЧг =
о
7пА2
т. е.
Оператор энергии для трехмерного изотропного осциллятора
В силу самосопряженности р можно удобно преобразовать <Т>:
и так как <р от углов не зависит, то
IF
= gj Л 2а* • 4я
3 Ра?
14 т '
Вычисление <У> дает
таJ
= 4яЛ8
81
и, следовательно,
Условие нормировки учтено непосредственно и следует искать
минимум Я (а). Очевидно, а0 определяется из уравнения
д ! 3 Ра? , 81 та2
= 0
и равно
„2_o -,/3 mm
Я (a0) =
261

что всего на 5% больше точного значения наименьшего уровня энер-
энергии этой задачи ?0 = у&а>.
120. Условие нормировки функции ф = Ве-а'/2'1 дает
№
Пф|2йгт = 4яБ3 j
e-ar/a.r2dr=:4nfi3~=l
~ 8яа3 '
Аналогично задаче 119, составив -т-— — В~е~'хг12а, вычислим
иг ZU
Из условия минимума функции
получим
Решить это уравнение четвертой степени относительно а„ можно
только численным методом, для чего нужны конкретные значения
параметров задачи. Тогда основной уровень энергии дейтерона будет
равен <#>(«„).
А2 ё1
121. Для атома водорода Н = — ^Л—~. Проводя вычисления
аналогично задаче 119 на обеих функциях, получаем
те1
Очевидно, фх является лучшим приближением, чем ф2, так как
122. Представим гамильтониан задачи двух электронов вблизи
ядра
h2 iil 2e3 2е2 е2
262

в виде Я — Нх i H,_J II п, причем
—s)e
ii 1 /
— -- Л
1
2/n
Уравнение /?: u (rx) — E^u irx) является уравнением Шредингера для
водородной задачи с зарядом ядра B—s)e (параметр s будем опре-
определять таким образом, чтобы вычисленное Е было минимальным).
Следовательно,
и соответствующая нормированная собственная функция (см. задачу 61)
и-Ще-^, где Т^B-Ь).
Основное состояние гелия в нулевом приближении (невозмущен-
(невозмущенная задача) описывается функцией
Y(rlf ri) = H(r1) и (г,).
Поправку к энергии г=-Е—2?0 следует вычислять как
^^ х
.-^-J-). A)
Интегрирование легче всего провести в эллиптических координатах,
помещая ядро и первый электрон в фокусы и обозначая
dta ~ с3 (g2 — if) d
Координаты I, г\, ф меняются в пределах
Тогда
оо 1
^ J v J
'О- B)
\ ( n) x
1 -1
263

Интегрируя по g и т], вычисляем интегралы:
00
I
да
Л,- ^ 1Т1 ат1[1 ^J + +
Эти интегралы входят в I (г^ следующим образом:
После подстановки вычисленных Ik и Ak получаем
= ~ [1 -s
и, вводя его в выражение B), производим интегрирование по гх:
о
[A — s)/yr2if'—sYrfe-^i — г1е-4т'''-
— yrle-^] dry =««y (j—2s) .
Следовательно, так как егу = -г- B — s), то
264

Из -g^ = 0 получаем
Следовательно, энергия основного состояния гелия
'27\ а те*
Потенциал ионизации атома равен разности полученного значения
)?(so)| и энергии однократно ионизированного гелия
gy-2] =0,8477^ = 23,0..
(Экспериментальное значение У = 24,46 да.)
123. Согласно условию требуется найти приближенную волновую
функцию, удовлетворяющую уравнению
где fe2 = -i— >0 (задача рассеяния) и XU = —т~-^ считается малым.
п.2 %г
При А, = 0 уравнение Дг^0 + k?$0 = 0 имеет решение г|эо = е'кг (падаю-
(падающая частица).
В первом приближении будем искать ty = ty0 + h^ и, собирая
члены с X в первой степени, получим уравнение для tpt:
A^1 + /fe2i)I = f/e'kr. A)
Чтобы найти его решение, сравним (I) с уравнением для запазды-
запаздывающих потенциалов:
fp( t
и Ф(г, 0 = J V '
когда р = Рое~'ш< и ф(г, t) = y9(r)e-lu>t. Тогда q>0(t) удовлетворяет
уравнению вида
и равно
Уравнение B) при ~=k и Ро = — — совпадает с уравнением A)
и, очевидно, можно написать для рассеянной волны

При r^>r' приближенно |r-—r'| = r —r'cosa, и, пренебрегая в зна-
знаменателе г' по сравнению с г, обозначая kr' cos a— к, г' (к, имеет
направление распространения рассеянной волны) и вводя |к — ki\ —
=Л'-= 2/г sin -g-, где 9—угол рассеяния, получаем
= —Ц- ^L f у (г') г'2 dr' ¦ 2я f e'fr'cos 8' • sin 9' <ffi\
4лЛ2 r J J
о о
При этом предполагаем, что V(r') от углов не зависит. Окончательно,
так как
g/Ki" со, 9'. si IL^ll
as
то, обозначая f (9) = — ~\dr' ¦ r'2V (r') • -^^— . можно записать для
о
рассеянной волны
Составляя плотности токов с использованием функций % = ёкг
и г|)рас, получим
124. Используя задачу 123, вычислим qdQ для V(r') = -4-. Для
сходимости интеграла введем временно множитель е~аг', т. е. поло-
положим V(/•')-= ^ -е-аг'. Тогда
0
и при a=0, подставляя К, получаем
125. Напишем потенциальную энергию взаимодействия падающей
на атом частицы с его ядром (заряд Ze) и с электронами, распреде-
распределенными с плотностью р (г):
266

Следовательно, согласно задаче 123, запишем
mZeel . meex .
где
JKr'
Г efKr' dx'
Чтобы вычислить / (г") = ] if._pj 1 заметим, что этот интеграл удов-
удовлетворяет уравнению Д/(г") =— 4ле'Кг" и, следовательно, положив
/ (г")= Ле'Кг", получим —КгАе'Кг" — — 4ле'Кг", т. е. А — -^-. Таким
образом,
К? J К
и
/(в)=-
где
F F) = 4л С р (/") -™^' r"! dr" — атомный фактор. A)
о
Положив р = рое-г/", из условия нормировки
о о
можно вычислить р0:
Подставляя в формулу A), получаем
F (8) = 4яРо J
Вводя сюда /C = 2fesin-^-, ~hk = mv, находим
2G7

Для быстрых частиц, рассеивающихся на большие углы в, аК^>\ и
<?(в) я
Для малых аК имеем 1—
2 -
1
,. , ад-г
т. е. ^ (9) конечно.
126. Согласно задаче 123 q (9) dQ = J / (9) \4Q, где/(9)—ампли-
где/(9)—амплитуда рассеянной волны, определяемая в виде
Л
а /С = 1 к—к1| = 2/г$Щу, 6 угол рассеяния.
Подставляя в выражение A) V — A , получаем
2тА 1
—[
о
и, следовательно,
qdQ = ¦. 4mM2 2л sin 9d9.
Полное сечение
л
sin 9d9
4я
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
И ТЕРМОДИНАМИКА
1 = —
268

4. dw(x)= y ~e~"xidx.
5. Обозначим через Рп (t) вероятность вылета п электронов за
время t, а через P0(t) — вероятность невылета ни одного электрона
за это же время. Используя допущение а) и учитывая правило под-
подсчета вероятности двух последовательных событий, получим
Fi). (l)
где Р1 — вероятность вылета одного электрона за бесконечно малое
время dt. Эта вероятность по условию б) задачи равна
Р, = Ш. B)
Раскладывая теперь левые части уравнений A) в ряд по степеням
dt и устремляя потом dt —+0, найдем
—^—-^[Pn-l(t) — Pn(t)h C)
dP0 = Kp ,„
К полученной системе дифференциальных уравнений C) для
Р„ @ следует еще добавить начальные условия, которые можно задать
так:
1, когда п = 0; ...
), когда "^л к '
Решение системы C) с начальными условиями D) легко находится
и имеет вид
f«@ — ^—j—e~lt (распределение Пуассона).
6. Используя распределение, полученное в предыдущей задаче,
имеем
» Г со 2
п=0 ' L1=0
11 \ кt У {%t)n~*
У (Ц)И с-
ибо
/1 = 0
269

№
Но М= 2) лР„ @ ^ п -" not. Итак,
п=д
An2 —not.
7. Вероятность того, что в объеме Vo находится одна молекула,
равна Р = -у-. Ясно, что вероятность того, что произвольные п моле-
молекул из общего числа N попадут в Vo, будет
где С". = , (ю'_п\\—число способов, которыми можно выбрать п про-
произвольных молекул из общего числа N. Полученное выражение
носит название биноминального закона.
Рассмотрим теперь два предельных случая:
а) поскольку п = PN, то
р _ Um(It.(l-I.Y-(Ite-n (О)
Um(It
что совпадает с конечной формулой задачи 5, если помнить, что
М = п;
б) используя в этом случае формулу Стирлинга Inn! « п\пп — я,
находим из выражения B)
i—n — Inn! = —(n — Ля) In A + -JZ- j+ An.
Учитывая теперь, что Ап<^.п, получаем с точностью до 0 (—- ) 1
для Рп следующее соотношение:
2я
Отсюда
_ (п-п)'
Р =-Се 2"
Теперь нормируя эту вероятность ^ Pndn=\, находим, что
г> 1
V:
2пп
Полученное выражение для Рп носит название распределения
Favcca.
270

8. Данное неравенство следует из простых свойств интеграла
и функции p(v):
X ос
w {х > а) = { р (х) dx < ( р (х) --т
Здесь p(x) — вероятность того, что значение случайной величины к лежит
в интервале [х\ x-\-dx\
9. Введем в рассмотрение следующее выражение:
¦j(e1' f c~il), где —л<ф<л.
В этом выражении коэффициент при е" можно интерпретировать
как вероятность шага на одну единицу вправо, а коэффициент при
е~'- — как вероятность аналогичного шага влево. Очевидно, что вероят-
вероятность того, что частица после t шагов окажется в точке /, будет
равна коэффициенту при е'л в разложении бинома:
Умножим выражение A) на у-е~ы и полученное равенство про-
проинтегрируем по ф от —я до я:
так как
Таким образом, искомая вероятность будет равна
10. По аналогии с задачей 9 получим результаты:
1) для квадратной решетки вероятность того, что частица
после t шагов попадет из начала координат в точку 1AХ, /,), равна
i * ¦ ¦ '|
-к я
271

2) для простой кубической решетки эта же вероятность будет
п п п
1 ? С С Г 1
*1 w == 'f Vli> l2> li) —~ BлK ) ) 13
j J j
-я -я -я
+ cos фа + cos ФзI * е~1 <<р.'.
11. Рассмотрим совокупность всех траекторий, оканчивающихся
в точке 1, и введем для них следующую производящую функцию:
л я
р Г
• +ФЛ)
Здесь s — размерность пространства.
Теперь покажем, что через эту функцию выражается вероятность
невозвращения частицы в начало координат. Пусть: А — некоторое
событие, которое может осуществляться повторно; f,-—вероятность
того, что событие А осуществляется впервые в /-М испытании;
и;—вероятность того, что событие А осуществляется в /-м испытании
независимо от того, осуществлялось ли оно раньше.
Положим к,= 1 и построим полиномы:
2
/=0
Легко сообразить, что
«/= «of/+ «i//-i + • • • + «/-ifi-
Умножая теперь обе части этого равенства на г' и суммируя по /
от 1 до с», получим
u(z)~l=F(z)u(z),
F(z) = \-[u(z)}-\
Но F {I) =/i + /s+ • • • есть вероятность того, что событие А когда-
либо произойдет.
Отсюда возникают две возможности:
а) если иA) = оо, то Т7A) = 1 и событие А достоверно;
б) если иA)<оо, то /7A)< I и существует положительная ве-
вероятность неосуществления события А.
В нашем случае и{\) (вероятность того, что частица когда-либо
вернется в начало координат) совпадает с
1 ' J _,J 1
272

Эти интегралы для одномерного и двухмерного случаев расхо-
расходятся при малых значениях углов ср(-—>-0. Для одномерного случая
это очевидно, а для двухмерного это можно получить, перейдя к
полярной системе координат. Таким образом, в одномерном и двух-
двухмерном случаях частица, блуждающая случайным образом в смеж-
смежные точки, всегда возвращается в начало координат. Для трехмерного
случая интеграл может быть оценен численно:
1,52,
-я
т. е. существует вероятность @,34) невозвращения частицы в начало
координат.
12. Поскольку р сохраняется, то фазовая траектория имеет вид,
показанный на рис. 56.
Р\
-а
Ч _^Рс
->-г
Рис. 56
Рис. 57
Рис. 58
13. Закон сохранения энергии сразу дает в данном случае урав-
уравнение фазовой траектории:
Траектория представляет собой параболу, показанную на рис. 57.
14. р = ± 1/ 2meet ( ). Первая ветвь соответствует движе-
нию заряда от г0 до еи а вторая—от ех до гй (рис. 58).
15. Считая, что в начальный момент скорость и координата ос-
осциллятора равны t'o и х0 соответственно, имеем
Так как
х — е
то
—
2
v 1
— sin con.
v
—
I
— COS СО/ — XnS\n (Sit
]•
27?

Отсюда
Уравнение траектории представляет собой эллиптическую спираль
(рис. 59). Изменение объема со временем будет происходить по за-
закону Г (t) = ^[dp dx -=
dp0 dx0 =
С GQ
cos (at; — sin at
—/nusinco; cvs
j_
Рис. о9
()
16. Из закона сохранения энергии
следует, что
—COS q>) = Яо>
где /—момент инерции, р„—обобщенный импульс. Отсюда
Р?— ±.V 2/(Я0—nigL)-{-2Jmgcos ц>.
1-й случай. Фазовая траектория показана на рис. 60. Она
отвечает вращательному движению в двух различных направлениях.
Рис. 60
2-й случай. Фазовая траектория показана на рис. 61. Из ри-
рисунка следует, что в точке ср = я соприкасаются две ветви фазовой
траектории. В этой точке возникает неоднозначность. Но если под-
подсчитать время, необходимое для достижения точки ф = л, то оно
равно ее. Действительно, так как p^ — J-—, то
t —
у 4mgW-cos2-|-
¦=• оо.
274

В 3-м случае возможные значения угла будут лежать в преде-
пределах —ф„<ф<ф0, где ф0 —определяется из условия рФо = 0. Фазо-
Фазовая траектория будет иметь вид, показанный на рис. 62, и описывает
колебательное движение маятника.
Рис. 61
Рис. G2
17. 1. Законы сохранения энергии и импульса дают связь между
импульсами частиц до и после столкновения:
"* Ш! + та'
т,
Отсюда
Ра.
т. е. фазовый объем сохраняется.
Р
ГРг + \
q'u
x -f
¦Pi-'
B(po,zo±a)
Рис. G3
2. Вершины треугольника Л (р0> г0), B(pQ, zo + a), C(po + b, г0)
через некоторый промежуток времени t займут положения (рис. 63);
A'(Pi, Zi). где P^Po—mgt, Zl^z0 + ^t—^-
5'(ps, zg), где Pz-=po—
С'(Рз, z»), где р3 =
275

Как видно, при этом площадь нового треугольника будет равна
Таким образом, форма области, занятой фазовыми точками, измени-
изменилась, но величина площади осталась прежней,
18. Вероятность того, что энергия Н замкнутой системы лежит
в интервале [Е, E + dE], дается микроканоническим распределением
Гиббса (см. формулу D)];
Здесь б (Я—Е)—дельта-функция Дирака D9), a Q(E)—нормиро-
Q(E)—нормировочный множитель распределения, который равен
где Г—фазовый объем, ограниченный гиперповерхностью постоянной
энергии Н (р„ д,) = /7. Исходя из этого, находим
зЛ/
2
2 т
где интегрирование проводилось по гиперповерхности, определяемой
условием ——^—-^# [см. формулу E9)]. Отсюда.
2т 2л 4
где интегрирование проводилось по гиперповерхности, определяемой
условием —Ц; + .. .+~N 2 ^.Н [см. E9)]. Отсюда
19. При наличии теплового контакта между системой с энергией
Н(pt, q) {i~\, . , п) и термостата с энергией Н0(р'(, q't) (i—1,
..., N^>n), которые вместе образуют общую замкнутую систему с
энергией Н-\-Но = Е, плотность вероятности для «ансамбля» можно
легко найти из микроканонического распределения. Действительно,
согласно правилу сложения вероятностей, получаем
$(Я, H0)dp'tdqt.
276

Но р (ff, Яо) дается микроканоническим распределением
Поэтому
где Qo(? —Я)=-
а Го — объем, ограниченный гиперповерхностью постоянной энергии
термостата H0{p't, q',) = const. Используя теперь результаты преды-
предыдущей задачи, имеем
Г 1~2~
Устремим N—>-оо, но при эгом положим
1 Е 3 Л
hm -jj- = y '
где 0—модуль распределения. Тогда
--Bтп)тЕ~т J H
lim /l—о—
Первый предел конечный, ибо
дГ
Н + Н„ = Е
есть полная нормировка Поэтому
г sNe~\H/e
I / 2Я \ 2fi I
р(Я)^=соп51- lim I ( 1 — ?щ) I =const е~н1в;
б) решение в этом случае аналогично решению а), но требуется,
чтобы
Hm 4 = ©-
Полученные формулы совпадают с формулой G), которая может
быть выведена в общем виде, без учета конкретной модели термо-
термостата
20. Для идеального 1аза
2[
277

где е(р()—кинетическая энергия частицы, U (г,)—потенциальная
энергия «взаимодействия» частицы со стенками сосуда, равная
Тогда
N
,.|N = V" (г,)".
Z =
Обозначая г,^=/(в), находим свободную энергию
F = — yveinV — 7VO In f (в)
и затем энтропию, давление и среднюю энергию соответственно:
P- у , --,.- — -^
2
21. 1. Считая, что Н{ = ~, получаем [см. формулу F1)]:
Z, = Bпт0)'/г;
p = Ny-; S~~-jN [InBnm0.V)-f 1]; ?=4
2. Энергия системы имеет вид:
г; = BпМвK'* 8л Vgj.i0 = Л • 0s/s
где Л ^ 8лаГоН-BяМK/2, го — равновесное расстояние между атомами
в молекуле. Тогда
p=Y', S = N\nV-A + jN\nVe + jN;
5
Cv = g- kN.
3. В приближении малых колебаний имеем
И ~?L,±
"' ~ 2М + 2ц
где потенциальная энергия атомов представлена в виде
(г- /-.)«+....
г-г.
дг*
278

При низких температурах оценку интеграла состояний можно
легко получить, учитывая тот факт, что подынтегральная функция
имеет резкий максимум в точке г„. Отсчитывая энергию от U (г0),
находим, что
Z;
где
Тогда
'/. 4jt
22. В обоих случаях р = -~-, так как газы идеальны, и Н =
а) г(. =
ар'-
' a 'J
Отсюда
В данном случае р — ^-Е;
б) г,- = 4я [ е в /7г dp.
о
Делая замену р -mesh/, приводим г,- к виду
се
г,- = 4згт3с3 Се"г»ch' sh4 ¦ ch t ¦ dt,
0
где г0 =з ^-. Отсюда
где /C0{z0) и ^(г,,) — функции Ханкеля мнимого аргумента. Средняя
энергия системы равна
К,
1+2-
Используя асимптотику функций Ханкеля, легко получить, что при
kT^2
279

23. Пусть минимальное значение энергии системы равно нулю,
тогда
\-f>EQ(E)dE. A)
Если предположить, что ?>0 и Q(?) = 0 для Е < О, то Q{E)
находится по следующей формуле:
a-ix
ибо из формулы A) следует, что Z и Q(E) связаны преобразова-
преобразованием Лапласа. Отсюда, используя теорему Коши для производной,
находим
С+(оо
4. р = Сехр { — НAт Г° + Ш S
24. р = Сехр { — НAт Г° + Ш Sm [йгЯа| . гДе v*» rj—соответ-
rj—соответ* rj
ственно скорости и координаты частиц относительно вращающейся
системы координат.
25. Используя результат предыдущей задачи, получаем
-1)].
Отсюда, учитывая, что dV = 2nhRdR, находим
_ NkT (/(/?) e~ulkT ,,_
26. Рассмотрим полную производную по времени от следующей
суммы по всем частицам тела:
Усредним это выражение по времени:
(t')dt'. B)
Тогда, если частицы совершают движение в конечной области и со
скоростями, не обращающимися в бесконечность в этой области, то
для левой части равенства A) усреднение по времени даст нуль
(t—*<x>). Для слагаемых правой части, учитывая теорему Эйлера
гао

об однородных функциях, находим
То—средняя кинетическая энергия частиц системы;
N _ N
2r,P,= Sr,F|t
i=i 1=1
где F,—сила, которая действует на ?-ю частицу. Выражение 4?lr1 F,-
в механике называют вириалом.
Пусть частицы системы движутся а объеме V. Тогда со стороны
единицы площади поверхности на частицы системы будем действо-
действовать сила—n p(t) (n—внешняя нормаль к поверхности, ограничи-
ограничивающей объем V, a~p(t)—давление в данный момент времени, ока-
оказываемое частицами системы на данную единичную площадку). По-
Поскольку, кроме того, между частицами системы существуют силы
взаимодействия F(y = — Fy/, то
п r'plf) dS =7@ ИS dlvг dV = 3P°V'
V
так как
где pQ—среднее давление в системе, a Uo = -j ^ U (г„ г;) — средняя
потенциальная энергия взаимодействия частиц системы между собой.
Итак, окончательно получаем, что давление в системе
2 То nUu_ 2 Ne0 , nUa
р~ з Fi"Tr~f~'t' зк '
где е0—средняя кинетическая энергия движения отдельной частицы.
- D)
27. Н" = @"—>- ,iN '- [см. F2)]. Исходя из полученных резуль-
г W)
татов
28. Пусть
Тогда, пользуясь теоремой сложения вероятностей, можно опреде-
определить вероятность того, что скорость частицы будет находиться
281

в интервале [v, v-J-tfv]:
V
x ^ ... J e kT d^'rdvxdvvdvc = Ce-m'J%i'2kT dvx dvy >
s/a
находится из условия нормировки
dp(v) = l.
-|2
Учитывая, что dy, dyy ^уг = v1 sina 6 dc d9^ и e = ^-t получаем
3) ф (e) 2
29. По общему правилу нахождения среднего имеем
ос tnv2
J V.t V m У \ 2 /
Используя значения гамма-функции [см. формулы E3), E4)J, находим
- /SfcT /= /чьт
0== 1/ S*i, "I/ У2 = у «L,
Г пт V Г т '
а из условия ~(e-mv^2kTv2) = 0 определяем
30. Из формулы предыдущей задачи имеем
— mvl 3 ,rp __ mt>jj _kT
Как видно, е=?^е0> хотя для энергии всей системы справедливо сле-
следующее соотношение:
Последнее может иметь место лишь в случае большого числа частиц
в системе.
31. Записав распределение Максвелла по импульсам частиц, по-
получим
с 1 т'е2-ьрг
dp(p) = Ce~ кТ dpxdpydpz.
282

Из условия нормировки J dp (p) = 1 определяем С:
-1
где K0(z) и /Ct (г)—функции Ханкеля мнимого аргумента.
32.
33. Определим вероятность того, что первая молекула имеет ско-
скорость \v а вторая v2. Из распределения Гиббса получим
m^\ + mtv\
. v2)=ce 2*r dv1dvi.
Используя условие нормировки, получаем
dp(Vl, »,) =
Переходя к новым переменным \' — \1—v2 и v0 — '"^Т,^"' и учи-
учитывая, что т1тг = \хМ, получаем
Ми'* / \х \ t о
+
Проинтегрировав это выражение по скорости центра масс у„, нахо-
находим распределение частиц газа по величине относительной скорости:
м
ар (V )=*1П{^,
Отсюда
где v—средняя скорость движения частиц газа.
34. Для характеристики столкновения частиц вводится полное
эффективное сечение рассеяния сг—величина, определяющая отноше-
отношение вероятности данного столкновения в единицу времени к плот-
плотности потока частиц. Если в единице объема среднее число частиц п,
то среднее число столкновений, испытываемых данной молекулой со
всеми остальными в единицу времени будет
v=
Для нашего случая о = 4л/?^. Тогда
283

Отсюда
35. ?= -7^- -j=^ , где erf (jc) = -?=, \e-*dt [см. фор-
x
= -—- \е
V я J
2 e 2 v ' c
мулы F3)—F6)]. Ho erf(l) = 0,84. Поэтому ^ = 0,4.
36. Сечение рассеяния в данном случае равно
D"m о'2
где D = 2R0, v' — относительная скорость движения частиц. Усредняя
теперь это выражение no v', получаем формулу Сюзерленда:
37. v — nBov-\r2. Здесь ^о—'с'» v—средняя скорость в двух-
двухмерном случае, N — общее число частиц на поверхности, S—площадь
поверхности.
38. Поскольку атомы движутся с различными скоростями, то бла-
благодаря эффекту Доплера наблюдатель будет воспринимать свет всех
длин волн. К примеру, от атома, который удаляется со скоростью vz
от наблюдателя, находящегося на оси Ог, свет будет восприниматься
и 1 с длиной
Поэтому интенсивность света, воспринимаемая наблюдателем в ин-
интервале длин волн от Я, до "k-^dk, будет
где dn(k) — число атомов во всем объеме, излучающих свет с длиной
волны, лежащей в интервале [К, K + d%], a—постоянная величина,
определяемая из условия
Если принять распределение скоростей атомов по Максвеллу, то
284

так как
Тогда
J (X) dl=aN-
—j-2 — доплеровская полуширина спектральной линии.
Найдем теперь а:
яба )е
Г
J
При вычислении интеграла нижний предел был заменен на —оо,
так как подынтегральная функция при % < 0 практически равна нулю.
Итак, для спектральной плот-
плотности излучения получаем следую-
следующую гауссову кривую (рис. 64):
39. Допуская, что энергия сво-
свободного электрона внутри металла
меньше его энергии вне металла
на величину работы выхода ец>,
и считая, что электроны подчи- Рис 64
няются распределению Максвелла,
получаем для плотности тока вдоль оси ОХ, перпендикулярной
поверхности металла:
[ т
а/а
dvy dvz.
Величина vox определяется из условия выхода электрона из металла:
Тогда
Это классическая формула Ричардсона.
285

41. Интегрируя распределение Гиббса по импульсам, получаем
вероятность того, что координаты частицы лежат в интервале [х, x~\~dx],
[у, y + dy], [z, z + dz], равную
U (X, Q.z)
dp(r) = Ce kT dxdydz.
Число таких частиц в единице объема
dn(f) = nodp(r),
гдг п0—среднее число частиц в единице объема. Это формула Больц-
мана.
42. По определению, имеем
со mgz
ze~TTdz
kT_
00 JJ13L emg'
О
так как по формуле Больцмана
mgz
43. Центр тяжести для одного сорта частиц
h m\,gz
f ziTrdz
kT
h j^
kT dz ez°« — 1
Общий центр тяжести будет
i
2 Ыгпцгь i
, _* = i tkT 1 V hmk
44. Считая, что скорости молекул распределены по Максвеллу,
получаем
]/"бл У т kT-R0
где у—постоянная всемирного тяготения.
45 М ^
286

46. Введем сферическую систему координат, направив ось г вдоль
вектора и (рис. 65). Если столкновение молекулы со сферой проис-
происходит в точке А с относительной ско-
скоростью v, то |vi| = [v'| и y = y' (столк-
(столкновение .упругое). Отсюда следует, что
сфера будет испытывать «сопротивление»
от удара одной молекулы, равное
-2mv' cos у cos a,
A)
так как сфера получает импульс 2mv' cos у,
направленный вдоль прямой ОВ. Но
cos a = cos 9 cos у + sin 9 sin у cos В B)
Рис 65
(соотношение для сферического треуголь-
треугольника ABC).
Распределение Максвелла в данной системе координат будет
иметь вид
т. \з/а
)
X exp { —
C)
а число столкновений в единицу времени, при которых точка В (у, C)
лежит в элементе телесного угла smydydfi, равно числу молекул
в объеме
2 sin у dy dB • v' cos у
D)
(элемент поверхности, умноженный на путь в единицу времени).
Учитывая симметрию и используя соотношения A) — D), полу-
получаем для полной силы сопротивления
30 Я
F = —2тп ( з^K/2 R2§ V* dv' j 2я sin в d6 x
о о
X exp jj— -?— (и'2 + и2 — 2v' a cos 9) \ cot2 у sin у dy x
о
2Я
X I dp (cos 9 cos у 4- sin 9 sin y cos fi) =
т \5/г
/ mu , Д1 , ,
287

Используя соотношения для интеграла ошибок {см, формулы F3)—
F5)], можно найти окончательный вид для
где
и
0 =
г...
Vm/2kT
е.
47. N = $dN(9) = S-± }/^-^ (см. рис. 43).
Ь
48. Используя распределение Максвелла, находим число моле-
молекул, вылетающих через отверстие So за время dt:
—dJV = dto0S0 J о, dvx ) \е *kT dvy dvz x
скорость же истечения газа будет
49. Учитывая соотношение As = kT (~-^— J , имеем для среднего
дипольного момента всего газа
~ \ дЕ )т' ~\ ') >
где Яо,—энергия отдельной частицы без поля. Отсюда (см. за-
задачу 21)
? соз 9
kT sin6d9,
о
Ф (Г) — известная функция от температуры. Тогда
где L{x) — o.ihx—-—функция Ланжевена.
В случае высоких температур или слабых электрических полей
kT ^1-

Тогда раскладывая функцию L f^f J в РЯД:
L\WJ~ 3 W7"" [\kT ) J '
получаем линейную зарисимость Р от Е (рис. 66):
P — J-Mn В$Ё.
Рис. 66
Для единицы объема газа дипольный момент равен
а \ N п\ „
где Р='зг?т есть, по определению, поляризуемость газа. Диэлек-
Диэлектрическая проницаемость будет равна
N
50. e=l + 4
51. Пусть внешнее поле (магнитное поле с индукцией Во) на-
направлено вдоль оси 01, т. е. В = 0 i + 0-j + Bo-k. Векторный потен-
потенциал в этом случае будет
а функция Лагранжа
Отсюда
10 № 2500
289

где
dvXx ' " * -' dvN.
d2L
dvix dvlx • • • • • dvl
Определитель Dlk не зависит от В, ибо L линейно по v в тех членах,
где содержится В. Показатель ехр также не зависит от В, ибо
члены с В сократятся. Поэтому вектор намагниченности вдоль поля
т. е. классическая система не может быть равновесно намагничен-
намагниченной. Это кажется очень пародоксальным, ибо часто дается «класси-
«классическое» объяснение пара- и диамагнетизма. При таком «классиче-
гком» объяснении предполагается существование устойчивых электри-
электрических систем со стабильными орбитами. Но ведь именно это не
объяснимо с точки зрения классической физики.
53. Функция Гамильтона в данном случае имеет вид
где Рм, г—соответственно импульс и координата поршня массы М.
Поскольку всегда должно выполняться соотношение Mg = pS, то
распределение Гиббса принимает вид
Найдем в этом случае статистический интеграл:
Z= J e
3/V+l
3/V+l /—
= N\ Bnm) 2 • у -jjj- 0
и средний объем системы
5JV+3
Это соотношение и определяет уравнение состояния в случае непосто-
непостоянства объема.
54. Указание. Воспользоваться аддитивностью гамильтониана.
55. Рассмотрим произвольную механическую величину U (phq;, as).
Дифференцируя среднее значение U этой величины по Q = kT, по-
290

лучаем
Полагая U — H, находим
F-Н
56. F^i= — BFe «
— со
F-H
dqt"
Аналогично доказывается и второе равенство.
57. В приближении малой плотности статистический интеграл
реального газа равен
где р = -8о0 + ^-9, vo = ^1—объем молекулы.
дг
Обозначая п = -у- и 6 = 4Л/у0, получаем
Е = Е — nbU° •
kT
l
С понижением температуры теплоемкость падает.
58. Критическая точка определяется из трех уравнений:
Находя отсюда /зкр, Гкр и FKp, получаем требуемое соотношение.
59. Статистический интеграл системы равен (см. задачу 21):
r*e~u'kTdr.
0
Учитывая энгармонизм колебаний, имеем
^ 24 дг*
где а, р, v — соответствующие производные. Если считать ангармо-
ангармоническую добавку малой, то интеграл можно вычислить прибли-
10* 291

женно, раскладывая экспоненту с ангармоническими членами в ряд:
Отсюда
Итак, поправка к теплоемкости равна C'v = 2Nk%T-B, т. е про-
пропорциональна температуре, и поэтому существенна при высоких тем-
температурах.
60. Атомы в молекуле находятся на некотором среднем расстоя-
расстоянии г0.
Определим коэффициент линейного расширения следующим
образом:
где х—среднее смещение атома из положения равновесия. Но
' dx
e-U<kTdx
j
- СО
причем
где равновесное расстояние между атомами r0 = VB/2A определяется
Hi условия ^7 = 0 Поскольку в точке минимума -j-j- > 0, то
13Л 2В °
отсюда следует, что коэффициент —^ г > Q. Тогда
Го" г0
та .
Л_ 28 /13Л 2S N . 3 /26Л 7В\
° — тг I "дт—"г ) > V—г ( "тт—г)«
'О V '0 '0- / ^0 \ '"о '"О /
292

Окончательно
___? J3_^ k_
61. Q(?)~exp
kn"
63. Согласно допущению запишем S = f{w). П>сть система состоит
из двух независимых подсистем. Тогда, согласно общим свойствам
энтропии и вероятности, имеем
Отсюда
S = f(w) = const • In w.
Для определения постоянной следует это соотношение применить к
идеальному газу. Она оказалась равной постоянной Больцмана k.
64. dQ = dE + pdV—E-dp
65. Все макроскопические величины для равновесного состояния
системы являются функциями температуры и внешних параметров.
Поэтому
А = Л(а,Т),
При dA=0
д_А\ (да\ (д_А\ _
д)\дт) + [дт)-
ИЛИ
(дА\ (да\ (дТ\ __
\да)т\дТ)А\дА)а
66. Выбирая в качестве А — Р и a = V, на основании тождества
предыдущей задачи, находим
67. Указание. Определяя /7кр, VKV и Гкр аналогично задаче 58
и вводя переменные
р Т V
— , г = —- и а> = у-
Утр ' кр vKp
получаем
1) лBм— \) = хе
( ^)
fto T -- a
293

69. Скорость распространения звуковых волн в газе равна
-/id:
Учитывая соотношение Реша,
dVjs~Cv\dVJT
(см. задачу 75) и связь У-р = ц (ц—молекулярный вес), получаем
Но для реального газа
Гдр_\ ^2а RT
Тогда
С?
-\i[(V-bf V*\~V-
Cv\i
70. ЯМ-»«const, У^^~-
т
71. (V —
Указание. Воспользоваться соотношениями:
= — ^jE dD, D = e(T)E.
73. По определению Cr = rf-^rj . Отсюда
Для реального газа, подчиняющегося уравнению Ван-дер-Ваальса,
т. е. Сг не зависит от объема.
74. Для теплового двигателя, работающего по циклу, изображен-
изображенному на рис. 46,
294

Q
где у = ~-; по циклу, изображенному на рис. 47,
р—
y р
Указание. Воспользоваться уравнением адиабаты TV1'1 = const
и выражением для к. п. д. двигателя
где Л — работа за цикл, Q —количество теплоты, выделяющееся
в цилиндре за тот же цикл.
75. Указание. Воспользоваться свойством якобианов [см. фор-
формулу G4)] и соотношением (см. задачу 80)
Т-йТ
\дР1т
76. Рассмотрим обратимый гальванический элемент и проведем
с ним цикл Карно (рис. 67). Элемент сначала работает изотермиче-
изотермически (участок 1—2) при постоянном э. д с $, затем адиабатически
B—3). После этого через него про-
пропускается ток от внешнего источника **
и при этом совершается работа сна- '
чала изотермически C—4) при по- ^
стоянной э. д. с. ?—А?, а потом
адиабатически D—1). 6-ЛВ
На участке 1—2 элемент полу-
получает от нагревателя количество теп- """
лоты Q1 = E2 — E1 + W1, где W\ =
= е<§—работа по изотермическому
переносу заряда, а (?2—Ej)—изме-
(?2—Ej)—изменение внутренней энергии элемента. Это изменение равно тепловому
эффекту химической реакции — qe {q—тепловой эффект химической
реакции на единицу прошедшего заряда). Таким образом,
— ta J3 . _.,„. ft a
J ~— Сф UCi
На участке 2—3 э. д. с. элемента уменьшится на величину А<§
(а температура — на Д7). Поэтому
Qi (© —41е-
где АЛ =е&<§—работа за цикл, равная площади цикла 1—2—3—4—1.
Но для цикла Карно
Г-(Г-АГ) АГ
1 т ~ т •
295

Решая совместно два последних равенства, находим
'-'+*{%),¦
Это уравнение Гельмгольца — Гиббса для гальванического элемента.
77 (д1\ D<T<E) Р(Г. V)
\dVjE~~ '
1\
\dVjE~~ D(T,V)' D{V, E) Cv
78. Внутренняя энергия плазмы равна
где ЕяЯ = Су-Т—средняя кинетическая энергия движения частиц
плазмы (внутренняя энергия идеального газа);
?, = -j Л/еф+ @) — у Л/еф_ @) —средняя энергия электростатиче-
электростатического взаимодействия частиц плазмы между собой;
Ф+ @), «р_ @) — потенциалы, создаваемые всеми зарядами, кроме
данного положительного (отрицательного) в месте нахождения этого
заряда. Определим эти потенциалы. На некотором расстоянии г от
фиксированного заряда плотность зарядов будет
р(г) = е(п+—п_).
Потенциал ф определится из уравнения Пуассона с учетом распре-
распределения Больцмана:
где na = Y~' N—число частиц одного сорта в объеме V.
В случае высоких температур —г <^ 1, и поэтому
Решение данного уравнения имеет вид
Здесь ф(г) — потенциал в точке на расстоянии г от данного заряда,
создаваемый всеми зарядами (в том числе и данным). Требуя конеч-
конечного значения потенциала ф на бесконечности и в местах нахожде-
нахождения самих зарядов, получим С,=е и Са = 0. Отсюда
Ф+@) = — ех, ф_@) = ек;
F-F мс* i/to^F
"- ^ид '*с у V-kT '
79. Используя общее соотношение Е— ~^2^р[у) « находим
296

Отсюда
ZkTV
TD(S' p) D(T'V) Г
-i D(r> V)' D(T>P)~Lv~
\dVjT
(
ЩГГТ = C + T JWY
= C, + T JWY ICM- *°P W G7)] •
81. Указание. Воспользоваться первым началом термодина-
термодинамики в переменных р и Т.
82. Указание. Воспользоваться результатом задачи 64.
ов. ^p—^v— 2a(V—bJ'
RTV*
84. Q = jf\(p + Tn)(V2 — b)-
85. pV" —const, где n — J_„—показатель политропы.
86. S = SB + Cp\nT—aVop = const.
87. Су\пТ-\-ар,У= const.
88. Из первого начала термодинамики dQ = dE -\- p dV следует,
что в первом случае dQp = d(E-\- p0V), во втором dQv = dE. По-
Поэтому
Отсюда
где nt и п2—число молей реагирующих веществ до и после реак-
реакции. Для реакции Н24--н"Оа^ Н3О имеем ^ = 3/2, иг=1 и
СП », ' t J2
90. Указание. Воспользоваться вторым началом термодина-
термодинамики для обратимых процессов.
дт)Р
297

92. Пусть изотерма дважды пересекает адиабату в точках А я С.
Рассмотрим замкнутый цикл ABC [(рис. 68). Для него <р pdV=?0.
С другой стороны, энтропия системы в состояниях Л и С одина-
р кова, т.е. SA = SC. Поэтому
ABC
Разрешение данного противоречия и со-
состоит в том, что изотерма не может дважды
пересекать адиабату. Из этого следует прин-
принцип: термодинамические состояния, дости-
1 *"V жимые из первоначального состояния изо-
Рис. 68 термически, не достижимы из этого состоя-
состояния адиабатически.
93. Указание. Следует воспользоваться первым началом
термодинамики.
94. С„ = Су при температуре t = 4°C.
95. Изменение давления идеального газа с высотой будет опре-
определяться соотношением
(\l = 29 кг/кмоль—молекулярный вес, g= 9,80 м/сек2). Поскольку рас-
рассматриваемый процесс адиабатический, то
dp_ у—1 dT
Р~ Y Т *
Из этих двух равенств находим
Так как у—1А; i? = 8,2 103 дж/град-кмоль, получим
—¦ж —10 град/км
(фактический средний градиент приблизительно равен 8 град/км).
96. Найденное в предыдущей задаче условие механического рав-
равновесия имеет место при непостоянной температуре. Возникает воп-
вопрос, будет ли это состояние атмосферы устойчивым по отношению
к процессу выравнивания температур путем конвекции. Чтобы от-
ответить на этот вопрос, рассмотрим два объема газа единичной массы,
находящихся на высотах h и h + dh. Пусть теперь эти два объема
поменяются местами. Если при этом их общая энергия увеличится,
то полученное ранее состояние системы будет устойчивым по отно-
отношению к перемешиванию атмосферы (конвекции).
Это изменение энергии будет
298

так как с высотой меняются и температура, и давление. Таким об
разом, условие устойчивости будет иметь вид
dE , dV _ Л
-JJ-4-0-77-^0.
dh { ^ dh '^
Но
Р dh ~ yi dh dh ' dh~ Pg'
F — C T— pV
Отсюда условие устойчивости атмосферы относительно конвекции
получим в виде
dT ^ l»g(V-l)
Ai _ , Я2
а». — ——const- 2f2
100. Для равновесного излучения с плотностью энергии и дав-
давление р = ~. Применяя теперь к равновесному излучению соотно-
соотношение TdS = dEJr pdV, которое легко представить в виде
др\ _(дЕ
получим
где а—постоянная величина, не определяемая термодинамически
(о = 7,64-108 дж/градА-м*). Все другие термодинамические функ-
функции теперь определяются легко. Действительно, поскольку Е — VaT*,
•то ,-"
S |aT3V FaT*V {
+ p = Q и H =
Находим теплоемкости:
поскольку для равновесного излучения изобарный процесс есть
одновременно и изотермический (р — ?-—\, то
С, = +00,
а значит и y=oo> ХОтя уравнение адиабаты для излучения будет
pV*/3 = const (S = const).
299

101. Так как
S
где л,= ,—z=—длина «тепловой» волны де-Броиля, то
,_, NK3 NkT
(e—основание натуральных логарифмов).
102. Искомая вероятность равна
1 / v \м ^^-^—
Но поскольку
гп V — V
то
т. е. получено распределение Пуассона.
103. Зависимость \i от U может быть найдена из соотношения
В частности, в однородном поле тяжести имеем
104. Вводя среднее число частиц со спином, направленным вверх,
N-l и вниз — N2, можно получить (см. задачу 103)
Используя теперь условие равновесия }хх =^= и-а» находим
105. Pv = — a.
106. Указание. Следует использовать соотношения:
300

107.
(д-*) _.
(d_N_\
L
108. Из уравнения Гельмгольда — Гиббса имеем
dp л
Вдали от критической точки можно считать, что Vi^>V1 (Vlt V% —
молярные объемы пара и твердого тела соответственно) и газ подчи-
подчиняется уравнению Клапейрона—Менделеева. Отсюда
р= const-e RT.
109. Пусть концентрация заданного раствора с = -^-<с;1, а Ф—
= Л^0(р, Т)—термодинамический потенциал Гиббса чистого раствора.
Обозначим через (J изменение Ф при добавлении к растворителю
одной молекулы растворенного вещества. Тогда в силу соотношения
с<^1 можно считать, что частицы растворенного вещества не взаимо-
взаимодействуют между собой. Учитывая теперь тождественность частиц
растворенного вещества, получаем для термодинамического потенциала
всей системы следующее значение:
/ _L\
G> = Niio + n$ + kT\nn\ = N\x,o + nkT\nl^ekT j,
ибо Inn! №п\п~. Учтем теперь, что Ф должно быть однородной
функцией первого порядка по отношению к п и N. Из этого сле-
следует, что
ekT = N
(для того чтобы под логарифмом была функция нулевого порядка
по отношению к л и I), a
?р, Т),
где ф(р, T) = kT\nf(p, Г). Используя полученное выражение для Ф,
находим химические потенциалы соответственно раствора и раство-
растворенного вещества:
1* = Ш = Po-kTc; (i1=^ =ЙТ InC+kT+Ф (р,Т).
ПО. Для растворенного вещества и растворителя условия равно-
равновесия в поле тяжести имеют вид (Т = const):
kT In с + ф (р, Т) = — mgz -\- const; ^—kTc + tngz = const.
Дифференцируем эти равенства по z и, учитывая, что объем раствора
301

получаем
где М—масса молекулы раствора, т—масса растворенного вещества,
Va — (-^) и ^=(г-| = —^—5 — объемы, приходящиеся на одну
молекулу раствора и растворенного вещества соответственно. В пер-
первом порядке по с получаем решение
Это барометрическая формула, исправленная на закон Архимеда.
111. Легко показать, что для равновесного излучения потенциал
Гиббса Ф = ?—TS-}- pV = 0 (см. задачу 100). Следовательно, и [х = 0.
112. Рассмотрим систему, состояние которой описывается пере-
переменными пг, аа, а Л! и Л2—обобщенные силы. Если у(а1} аа) — не-
некоторая функция состояния системы, то
ибо/ = ф—atA2—а2Л2 также будет функцией состояния системы.
Используя эти соотношения, находим
дАт_)аг D(i41ra2) \^х/л, \5Ла
Отсюда следует, что
так как (-~—-) > 0 из условия устойчивости. Это неравенство вы-
ражает следующий физический факт: внешнее воздействие Аг изменяет
параметр аи а значит, и параметры аа, Л2, причем мерой воздей-
воздействия будет величина ~-. Сначала, очевидно, Л2 практически не бу-
будет изменяться, и приложенное воздействие будет характеризоваться
(а/Г") ' н0 потом в системе установятся новые а2, и внешнее воз-
воздействие уже будет характеризоваться (-о1) . которое оказывается
уменьшенным.
113. Условие равновесия системы пар—жидкость при наличии
поверхности раздела имеет вид (\х и р пара и жидкости соответст-
соответственно равны):
dF=—pjdVi—р2бУ2 + adS,
302

где Рх—давление в капле жидкости, р3—давление пара, о—коэф-
о—коэффициент поверхностного натяжения, dS—элемент поверхности. Учи-
Учитывая постоянство объема Vt-\-Vt = const и сферичность поверхности
раздела, получаем
P P+
(R—радиус кривизны сферической поверхности).
114. Поскольку в данной реакции 2V< = 0' T0
is
А
т. е. константа не зависит от р.
115. Пусть в паре образовалась капля жидкости радиуса R. Тогда
при этом свободная энергия изменится на величину
где N—число частиц в капле, цх и [ла—химические потенциалы пара
и жидкости соответственно. Но
где v—объем, приходящийся на одну частицу в жидкости.
Если щ < щ, то легко показать, что AF в точке #кр =
имеет максимум. Отсюда следует, что если зародыш-капля будет
иметь R > /?кр, то капля будет расти, в противном случае она ис-
испарится.
116. Пусть капля радиуса R приобретает ион с зарядом q и ра-
радиусом Ro. Изменение свободной энергии в этом случае будет равно
где е—диэлектрическая проницаемость жидкости. Последнее слага-
слагаемое в этой формуле всегда отрицательно и растет с увеличением R,
т. е. AF уменьшается. Следовательно, капля может расти даже при
условии щ > \х,г, т. е. даже в паре, не достигшем насыщения.
117. Учитывая результаты задачи 101 и применяя к данной ре-
реакции условие химического равновесия, получаем
303

kTln
c,ph3
Bляг
ceph?
BттА kT)'f'kT r
Обозначая первоначальное число атомов N и вводя степень одно-
однократной ионизации а, для числа частиц реагентов и их концентра-
концентраций имеем соотношения:
ne = aN; ns = aN\ пА — (\—<x)N\
1—а
Отсюда окончательно получаем
п— \\ Л- Р
i P
Сл~-
/. &
118. а =
V.
Указание. Следует воспользоваться формулой C0).
119. Из первого начала термодинамики при постоянных р и Т
можно получить, что
где Ф—потенциал Гиббса. Но изменение химического потенциала
при химической обратимой реакции, идущей при постоянных р и Т,
равно
АФ - ^ ц,ДЛГ, = ^ |*,v, = ^Г In KP (Г).
Отсюда
120. Для реакции
имеем
1п/Ся(Т) = ?
где х(Л = 1*а,-*Г1п/7а„ х'(Л = 1*а-*
Химический потенциал [хд определен в задаче 101, а Ца2 находим
из большой статистической суммы для двухатомного идеального газа:
Z-Y ±-
лг=о
= Z
лг=о
JV!
) *>
1-е1
кТ
N
304

"где М — приведенная масса, -/—момент инерции. Отсчет энергии ко-
лебаний e,, = ftv ( n-f--g-) идет от энергии нулевых колебаний; у—
коэффициент, учитывающий симметрию молекулы, для двухатомной
молекулы 7 = 2—двукратное выражение.
Но
= е* и PV = kT\nZ,
N=o
тогда
, _ehv/kT '
u, = kT\np—^-feT Infer—feTln
n
Отсюда при kT^>hv имеем
kT
{m—масса атома А),
= е*"'*т, a AQ =
где Дб = 2|д,а—2цдг—энергия диссоциации молекулы.
121. Ap = (N*~Nl)kT.
Данная зависимость пр11дставлена на рис. 69, откуда видно, что
в области энергии от —~^- до е2 производная Up , которая, по
Si +S2 \ос- J as
определению, равна 1/Т, отрицательна, т. е. в этой области и тем-
температуру следует считать отрицательной. Заметим, что отрицатель-
отрицательные температуры соответствуют более высоким энергиям, чем поло-
положительные. С подобным понятием мы всегда будем сталкиваться
305

в случае квазиравновесных систем со спектром энергии, ограни-
ограниченным сверху.
2kf
_ j
125. Среднее число фононов с энергией hv равно п= hvkT—.
В ¦ 1
Число состояний с энергией в интервале частот [v, v-f dv] [см. фор-
формулу (82)] равно
3V
Q (v) dv == Anv2 dv -? ,
С
где
_з___2_ , j_
С Ct Cl
Отсюда
п 121/ (kry. Г ж3 их
Е=—п\т)н ) ^=т;
о
vmax—максимальная дебаевская частота, определяемая из условия
V
шах
\ Q(v)dv — 3N (сохранение числа степеней свободы системы),
о
В случае низких температур верхнюю границу можно положить с».
Тогда [см. формулу F9)]
„ 4 V
5 с3 /г
127. / =2еп\ —
— CD
Г
Величина е kT для металлов порядка е~10 при Т ~ 1Ог °К, по-
поэтому, используя, что при д;<^1 1пA+*) «я, получаем
Здесь ai = W — [х—эффективная работа выхода. Это и есть квантовая
формула Ричардсона.
306

2 E 2 Л' Г, . 5яг (kTy\ Р
уровень Ферми для электронов в металле при Г=0.
{—й2["Aп?гг + A —«,IпA—я,)] для фермионов,
'
— k^Yn'ilnrii—A -\-n't) In A + «,')] для бозонов.
«¦
Здесь
— 1 — 1
е *1 +1 е *' —1
СО
131. Су=['^'\ , Е= Г ЕЯ/^Л , где ^ находится из условия
^ J ехр
г (в)
В случае низких температур эти интегралы могут быть представ-
представлены в виде
и
о
Е = J eg (г) йг + -? ft»rjg (ц) + ^ fe^T>g' (ц) + ...
о
[см. формулу F8)]. Но при Т = 0
Но
$
a \i — цо<^[х0, [х при Г—>0. Поэтому, с точностью до квадратичных
членов по Т, находим
Мо
307

Используя найденное значение ц, с той же точностью получаем
Mo
j +
о
Е = j eg(8) (к + Ох-ц0)
Отсюда
132. Невозможно, ибо уравнение для определения химического
потенциала N частиц, занимающих область LxxLy,
т Г de 2n(LxxLy)mkT ™
n=l
не имеет решений порядка 1/JV.
а Г V% /*\ь/%Тш[х*1Чх\_15
о
[см. формулу F9)].
134. Состояние твердого тела в гармоническом приближении оп-
определяется объемом V и набором осцилляторов (п1 = 1, 2, ...^Энер-
...^Энергия кристалла в этом приближении равна
3JV-6
где ?0 A/) —энергия взаимодействия неподвижных iV частиц кристалла.
Зная Е, можно найти давление p=kT (-—) ; здесь
тогда
п_ (дЕ,\ 1_ у A . . ftv,- \ (д In уЛ _ дЕ0 , уЕ
P-~\~W)t V ?{ \2 пу'1~ J[ ^
Отсюда
дТ )v~ V '
Далее, воспользовавшись тождеством задачи 65 и определениями а и
(J, получаем требуемое соотношение.
I t>*J* йы \*-'I '^ С? "^ ** » А М^ * 0 ?" " •
308

136. Пусть значения энергии нижнего края зоны проводимости Ес,
а верхнего края валентной зоны—Ev. Тогда из условия нейтраль-
нейтральности полупроводника (п = р) для простейшего закона дисперсии
получим
(ртсюда
137. п = ^|(8т?т/)»/«(А7'K/2^1/. [^(^-?с)] [см. формулуG0)].
При интегрировании по к были взяты бесконечные пределы, что,
очевидно, возможно лишь тогда, когда эти пределы лежат вне обла-
области занятых состояний. В практически интересных случаях это всегда
выполняется.
138. Полная концентрация п равна сумме концентраций в ниж-
нижней (пг) и верхней (и2) зонах, т. е.
Р k I2 ft2 I к 2
Здесь Ег(к) = - 2т ; ?2 = —^ \-Е0. Энергия отсчитывается от
й Т
нижнего края первой зоны. Тогда
1—Ео
Используя предельное значение интеграла Ферми [см. G1), G2)],
находим
a) \i = kT\n n
где
\ 0, х
139. п^-тД
о
ность состояний. В случае малых значений энергии, легко пол1.,-
309

2myE\
а« у
чаем
Отсюда
140. Если выбрать за начало отсчета энергии край зоны прово-
проводимости, то
В вырожденном случае имеем
141. Условимся отсчитывать энергии от нижнего края зоны про-
проводимости 1 (рис. 70). Вероятность того, что квантовое состояние
• " с энергией е не занято электроном, т. е.
fT t по определению является дыркой, равна
/т\
Рис. 70
Энергия электрона в зоне проводимости
е„ = -j-j^—, на донорном уровне е = —Elt
-2 на акцепторном уровне 8=—Е2, в ва-
валентной зоне B) е= — Е„ — е'р, где ер =
— -= «кинетическая» энергия дырки.
Запишем теперь условие электронейтральности полупроводника:
2?(e)de , у 1
\
по
зоне /
акЦ.ехр
2g' (e) de,
kT J
1
зоне 2
Считая, что электроны в зоне проводимости /, а дырки в валентной
зоне 2 подчиняются статистике Больцмана, получаем для х =
= ехр(|Д./&Т) следующее уравнение:
Л3''2 „ , по BnmpkT)i/a -E./kT i , n,
х '
где п1 и пг—концентрации доноров и акцепторов соответственно.
310

Отсюда видно, что концентрации электронов в зоне проводи-
проводимости п и дырок в валентной зоне р равны:
п
¦ т
4яФ
Это уравнение 4-го порядка относительно х. Поэтому рассмотрим
его решение в частном случае: яа = 0 при условии ?Т^>?1( тогда
и и « «ц т. е. все доноры ионизированы.
Аналогично можно рассмотреть и полупроводник акцепторного
типа.
142. Указание. Следует воспользоваться результатами преды-
предыдущей задачи.
143. Энергия электронов и дырок, находящихся в 1 см9, равна
ее ж
Е = 2 ] г! F) g F) dE + 2 $ (?0 -Ь e')f(e)g' (a) de = п {ЪкТ + ?„).
о о
Здесь
Bд
п. =
Отсюда
Формула справедлива при E0^>kT (электронный газ невырожден).
144. Р = ^г[р«(тР*-т^) VPi + т^ + (тсуarcsh^\, где
)= (Зл2) lls% (-п) 3—граничный импульс для ферми-частиц.
145. -г,— = ¦
Лпар
где Tc = zjl- Учитывая, что Т<^.ТС, получаем
146. Пусть W (Ек) — вероятность нахождения частицы в состоянии
Ек. Ясно, что для того, чтобы две частицы с энергиями Ег и ?3
соответственно могли после столкновения перейти в состояния Е3 и
311

?4, необходимо, чтобы последние были не заполнены {принцип за-
запрета Паули)
Используя теперь гипотезу о молекулярном хаосе, получаем для
процесса
следующее функциональное уравнение:
W (Et)
Вводя функцию /(?) = W~l(E) — 1, получаем
Решением данного уравнения при условии E1-{-Et = E3-\-Ei служит
функция
Поэтому
147. Рассмотрим кристалл как совокупность 3N (точнее 3iV— 6,
но при больших N это несущественно) нормальных колебаний с ча-
частотой й;. Средняя энергия, связанная с каждым колебанием, будет
п;-\--у-) fi(?>j. Энергия, приходящаяся на /-й осциллятор, равна
где М—масса атома, г,—вклад от /-го нормального колебания
в смещение атома
Разделив равенство на NMtf и просуммировав по /, получим
MN *-*
i
Заменяя суммирование интегрированием—и учитывая дебаевский
характер спектра, находим
* max t,
"—*- Г cth^
(О
6
9W(o
где g(co) = —-— (см. задачу 125), «max определяется из сохранения
wmax
<°max
числа степеней свободы системы. f g((?>)d(o = 3N.
312
2

Определяя дебаевскую температуру TD — - "ша-, в случае
получаем
4MkTD
148. T' = ~ = T V 1—152 , р' = рA_ра;
150. Энергия электрона со спиновым моментом ц,0 в магнитном
поле равна
8 =
Отсюда магнитный момент единицы объема будет
Определим теперь магнитную восприимчивость в некоторых частных
случаях
а) при Т = 0°К
М
где \i0—химический потенциал электронов при абсолютном нуле;
б) сильное вырождение (kT ^)
[см. формулу F8)];
в) отсутствие вырождения (kT ^> \ia)
А kT '
Ц-8
так как f — ekT (n—число электронов в единице объема).
151. В случае больцмановскои статистики статистический интеграл
системы равен Z = -jjjZ^. Если система электронов находится в кубе
с ребром L, а поле Н направлено по оси 0Z, то
Lr--iL
11 — 09 <
313

Здесь pl^j^j, ^0 = ^:. Q(E,)—кратность вырождения /-го
уровня, равная
где интеграл берется в области
так как в уровень 2ц,*0Н (I 4-у) в магнитном поле If объединяются
все уровни, лежащие в области интегрирования при Н~0.
В случае слабых полей
NH ( g I ,*
^° 3 ^°
Указание. Следует определить свободную энергию системы,
воспользовавшись формулой суммирования Эйлера:
/'(О) + /"'(О)
153. А = l/— •
Г OS
154. Д^^-*
155. AS = -
156. Решение задачи аналогично решению задачи 154. В пере-
переменных V, Т имеем
157. Соотношения, приведенные в условии, следуют из решения
задачи 154.
158.
314

159. Используя соотношение ДМг = ?Г (-g— j^ 0 , получаем для
идеальных газов:
а)
в) Аи? = Я;A +«,•), ^~
Как видим, для Ферми-газа (случай б) флуктуация числа частиц
обращается в нуль при гс,- = 0,1, хотя в случае «, = 0 относительная
флуктуация равна оо. Для Бозе-газа флуктуация остается конечной
(равной единице) и при очень больших щ.
160. Указание. Следует воспользоваться соотношениями:
В f
дт Д/г~1ф )т[т
161. (\гсу = ф- j r2 dx dydz = ~ Rl, где Ra - радиус сферы,
р (г) — плотность.
162. В силу однородности времени и обратимости уравнений ме-
механики, имеем
Найдем теперь:
Но среднее значение физической величины F = F(p, q) по неравно-
неравновесному ансамблю Н0(р, q)—aQ будет
(p, q, a)-e kT dT,
где a—дополнительная сила, включаемая в момент ( = 0 в направ-
направлении координаты Q.
Дифференцируя это выражение по а и устремляя потом а—>-0,
получаем
Отсюда
315

В частном случае, при q, = qk = q и а(. = ай = а
163. Допустим, что уравнение движения броуновской частицы
можно представить в виде
тх — — бяаг^л: + а.
Здесь: первый член — сила сопротивления (формула Стокса), а а —
дополнительная сила, включенная в t — 0. Решая это уравнение при
начальных условиях:
а ., , am { _—— t
получаем
xtt)=J±-t +
v ' ояат)
При больших t (t>-^
соотношение Эйнштейна (здесь D=^-—\ .
164. N= RT'L^ .
Зпат) -Ах2
165. Если поле тяжести направлено вдоль оси OZ, то
166. Уравнение диффузии при наличии внешнего подя U — U(x)
имеет вид
дп j-. д \_п_ 9U . дпЛ
~дГ~ die [kf ~дх"^"дх \ '
где D—коэффициент диффузии, п (х) — концентрация часгиц.
В случае стационарного режима п = п(х)
д!* — п
дх '
где поток частиц вдоль оси ОХ равен
+ ) De~u/kT
; _ Г) ""
\ ил KI ил J ОХ
Интегрируя это выражение в пределах от хх до х2, получаем
/ * [?М*гI , , U(x,)]
; L Kl I L "¦' J
(-D).
j exP |-l^F-| ^
316

167. <х,? = 80?^т(,л), где
„_Bт„у,у/* о __( 1, если а =
если
В данном случае не делалось никаких предположений о зависимости
т от скорости.
168. Определим для данной задачи плотность тока j1 и поток
тепла /а вдоль оси ОХ:
к = S
тиа
Функция f находится из кинетического уравнения:
' '° \ т dvx х дх ] '
Примем, что
_ 39 х
а поле ? и -г- мало изменяют }а.
Тогда
Отсюда [см. формулу E1)]
2
2 JUJ L \2+2)dX\'
Представим j± и j, в виде
" — L E + L — •
; _ j р\т дв
Из этих соотношений следует, что коэффициенты электропровод-
электропроводности и теплопроводности равны:
(теплопроводность измеряется при ;г = 0).
317

Рассмотрим некоторые частные случаи:
1) 1 = 0 (время релаксации T = i4 = const), тогда
леМ
m ' *ч ~ 2 IWV
2) т = -^- (Х,о—средняя длина свободного пробега электрона),
тогда
169. Стационарное уравнение Больцмана при наличии постоян-
постоянных ? и Я имеет вид
Если е (р) = ^-, то при замене f в левой части на /0, член с Н
обращается в нуль. Поэтому
су Е dfo е a(fMff
Ищем решение данного уравнения в виде
f—t _v д dfo
Т —h va
где а (е) — неизвестный вектор.
Подставляя предполагаемое f в уравнение Больцмана, получаем
для вектора а уравнение
-ev.E + (vXG)).a=+J^-; ш=~.
Отсюда
Умножая поочередно обе части этого уравнения на ш сперва ска-
лярно, а потом векторно, получаем два уравнения, из которых и
находим вектор а:
Отсюда
х
J
о
X [6я? + т»й)ав)р ±
318

В последнем выражении берется знак «плюс» или «минус» в зави-
зависимости от четности или нечетности перестановки а, р, у по отно-
отношению к х, у, z.
Если поле направлено по оси OZ, то
_ _
пе2 сот2
170. Уравнение Больцмана имеет вид
Wr/(r, v) = —?=&-.
где
так как поле скоростей для данного потока vx = $y; vy = 0; Уг = 0.
Отсюда
д
fff/p;/:(;; i)
где у^ = ух — рг/, y^ = fy, «г = уг—скорости молекул относительно по-
потока жидкости. Определим теперь количество движения, переносимого
вдоль оси OY через перпендикулярную единичную площадку в еди-
единицу времени (это будет напряжение сдвига Ху):
Ху = mxp j dv%*f0 = nxkT ^ = Л ^.
Величина т1 = пйГ-т и есть коэффициент вязкости.
171. Функция /(г, v, tf) удовлетворяет уравнению
В момент времени t = 0
/(г0, ve, O=Po(ro)fo(v).
Поскольку частицы движутся по инерции, то ro = r—vt и
/ (г, v, t) = р0 (г—vt) /0 (v)
будет решением уравнения Больцмана.
Отсюда
Г . , .. , ( т \i/2 1
X
о
319

Учитывая теперь, что
; га>а,
получаем
р(г, О—Щ-,
где

ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложен
Основные формулы векторного анализа
*Ф~ дх ду дг '
\q>ndS—\ \/(fdV (п — внешняя нормаль);
dax . fay , daz _
дх ду дг '
(an) dS = \ divadV;
rot a =
1 j k
д д д
дх ду дг
ах ау аг
ду дг
°аУ дах , ,
дх ду / '
nxa]dS=f rotadV;
rot уф=0;
divrot a = 0;
rot rot a = у div a — Да;
y
diva + a-уф;
rot (фа) = фго1 а + [уфХа];
div [axb) = b rota—a rot b;
X rotb] + [b x rota];
а (ау)а + [а X rota];
rot (а х b| = (by)a—(ay) b + a div b — bdiv a;
ф a,dl =\ rotna dS\
L S
ф ф dl = \ |n x уф] dS,
J J
ие 1
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
О)
A0)
(И)
A2)
A3)
A4)
A5)
A6)
A7)
A8)
A9)
B0)
B1)
11 № 2500
321

П р иложе н ие 2
Криволинейные координаты
Многие задачи решаются гораздо проще при использовании вместо декарто-
декартовых координат других систем координат, более естественным образом связанных
с данной задачей. Например, для задач с осевой симметрией удобно пользоваться
цилиндрической системой координат; если задача имеет шаровую симметрию —
сферической системой координат и т. д. Такие координатные системы называются
криволинейными системами координат.
Поскольку обычно векторы и операции над ними (например, div, rot и др.)
определяются по декартовой системе координат, то необходимо иметь формулы,
выражающие эти операции в произвольной системе координат.
Рассмотрим проекции вектора в криволинейной системе координат. Пусть
задана некоторая криволинейная система координат:
* = *(<7i. <7в. 9з).
t/ = y(qv 9а. 9з). 0)
Z = 2(q1, q2, q3),
или в векторном виде
Производные
дг дх . . ду . дг ,
A__=_^_ j 4. Jt. j +— k;
в общем случае образуют тройку линейно-независимых векторов, так как яко-
якобиан перехода A) отличен от нуля.
Модули этих векторов соответственно равны:
дг\*
Нь=У Ws) +Ws
они называются параметрами Ламэ.
Если тройку векторов B) разделить на модули C)
е = — — • е =— — • е =— — D)
то получится тройка единичных векторов, которые можно выбрать за базис.
В общем случае этот базис не ортогональный, но в дальнейшем будут использо-
использоваться такие специальные криволинейные системы координат, для которых базнс,
определяемый формулами D), будет ортогональный. Базис ортогональной криво-
криволинейной системы координат обладает следующими свойствами:
е1 = [еахее3];г ej^fesXeV e, = '"-v..i E>
Связь между декартовым базисом i, j, k н базисом е1( е2, е3 дается форму-
формулами B) и D).
322

Рассмотрим частный случай цилиндрической системы. Формулы A)
в этом случае имеют вид
ф
(/ = psinq>,
г—г,
или, если принять q1-—p\ ^а = ф; <7S —z, т°
r = p cos cpi-j-p sin
Вычисляем по формулам C) параметры Ламэ:
По формулам D) находим связь между декартовым базисом и цилиндрическим,
который обозначим ег, е?1 ег:
дт ....
еГ = д— = cos rpi + sm ф/;
ef="p~ a47=~si
_ дг _
Непосредственной проверкой убеждаекзся, что базис ортогональный, т. е. ег-е„=
=ег-ег = ес-ег = 0.
Формулы F) нетрудно обратить
i = — e?sin 9 + ercos ф;
j=e?cos<p + e/.sincp; G)
к = ег.
Теперь можно найти составляющие некоторого вектора а на базис криволи-
криволинейной системы координат:
а = ахЦ-ауЛ-а^к = а/.е,+а?е? + агег. (8)
Подставляя F) в (8), находим
ax = ar cos ф—a9sin ф;
ау =. ar sin ф + a? cos ф; (9)
Аналогично находим связь между декартовым базисом и базисом для сфе-
сферической системы координат:
x = r sin 6 cos ф;
y = r sin 6 этф;
г = г cos 6.
Приведем для справок готовый результат:
er = sin 6 cos ф! + эт 0 sin фj -]- соs 8 k;
e =cos Э cos ф!-)-соз 0 sin ф]—sin 8 k; A0)
e<p = — sin ф|-|-со8 ф].
Легко проверить, что этот базис ортогональный, т. е.
ег.е? = ег-е9 = е?-е9 = О.
11* 323

Проекции вектора связаны между собой следующим образом:
ax = ar sin 6 cos ф+а8 cos 9 cos q>—af sin q>;
ay — ar sin 0 sin ф + а„ cos Э sin <р + аф cos q>;
аг~аг cos 9—a. sin 0.
В том случае, когда в задаче встречаются вместе гиг (см. задачу 114),
удобно пользоваться параболическими координатами:
v = r—г; q> = arctg-^-.
Их наименование связано с тем, что поверхности
и = const и v = const
представляют параболоиды вращения. (Чтобы убедиться в этом, следует возвести
в квадрат выражения /¦ = « — г и r=v-\-z. В результате получаются равенства
которые являются уравнениями параболоидов, если положить и = const и v = const.)
Если обозначить u — qlt v = q2 н ф = <7з> то получим
n q3; г = ^^-а.
Вычисляя по формулам C) коэффициенты Ламэ, получаем соответственно:
Приложение 3
Дифференциальные операции в криволинейных координатах
Операция у в ортогональной криволинейной системе координат. Операция у
декартовой системе координат определяется следующим образом:
\dq1 dy^dq^ ду + dqs dyI+\dq1 дг ^dq^ дг +'dq3 дг )
Рассмотрим вектор V7i- Скалярные произведения его на орты ех еа, е3 соот-
соответственно равны:
-e W-L (dq1dx_,dq1dy,dq1dz_\_±dq1_J_-
l) Нг \Sxdql'i'dydq1't'dzdqlJ~Hldql~Hlt
х dq^dy a?2+ дг d
Отсюда заключаем, что вектор y<?i направлен вдоль е, и модуль его равен тт-

следовательно,
\/ql^~el. B)
"i
324

Аналогично находим
jf es.
Подставляя полученные формулы в A), находим
Для цилиндрической системы координат
Для сферической системы координат
у/=Л е^+1^1 | " 1 3/'с _ E)
Операция div a s криволинейной системе координат. В декартовой системе
операция div определяется следующим образом:
да* . day йа.
div a~~^r-r~--\—^
0JC dy ' Зг
Разлагая вектор а по ортам криволинейной ортогональной системы коорди-
координат, запишем [см формулу A4) приложения 1]:
i=at div в! +a2 div e2 + as dives-j-
Чтобы довести вычисления до конца, необходимо вычислить dive!, div e^)
dive3 Для этого к формуле B) применим операцию rot:
Воспользовавшись формулами приложения 1, находим
' rotei—i-3lv^1Xe1]=0,
откуда
rote1 = ^-v^iXe1. (8)
Согласно формуле C)
1 дН1 . 1 дНг .1 дН,
^=т^+7г^^+н1-щ7ез- (9>
Подставляя (9) в (8) и используя формулу E) приложения 2, получаем
325.

Аналогично находим
1 дН2 1 дНг
1 дН3 1 dHs
rot е3= „ ,. -r-^Ci-,, ., -к~^еч. A2)
3 Н3Н2 dq2 1 HsHj дЯ1 s y >
Так как, согласно формуле E) приложения 2, ^= [егхе3], то, воспользовав-
воспользовавшись формулой A6) приложения 1, получаем
div e! = div [e2Xe3] = e3 rot ег—еа rot es. A3)
Подставляя A1) и A2) в A3), находим
,. 1 дН2 . 1 дН3
аналогично получаем
1 дН3 , 1 дН,
Подставляя A4)—A6), а также выражения для yalt ya2> Vas согласно фор-
формуле C) в выражение F), после алгебраических преобразований имеем
Подставляя в A7) параметры Ламэ для цилиндрической системы координат,
получаем
1 д 1 сЦр daz
аналогично находим в сферической системе координат
1 д 1 д 1 дао
Операция rot s криволинейной системе координат:
rot a = rot (a1e1 + aaea-J-a3e3) = a1rot e!+a2 rot e2 + a3 rot e3 +
B0)
Подставляя A0)—A2) в B0), а также подставляя v^i, V^, V^s согласно
формуле (З), после алгебраических операций имеем
rot *=нЖ [ът {a^-W(йаЯ
Приводим для справок выражение для rot а в цилиндрических координатах:
1 да, да„\ (да даЛ (\ д 1 да.
*; B2)
326

в сферической системе координат:
1 ( д да
Э
Операция А{ в криволинейной системе координат. Так как Д/ = div Vf. то,
подставляя у/ согласно формуле C) в формулу A7), получаем
г /ад
' HXH*HZ L a?
В цилиндрических координатах имеем
в сферических координатах
в параболических координатах
4)A)"±|}
Операция Да в криволинейной системе координат. Операция
дЧ дЪ_ дЧ
в криволинейной системе координат находится с помощью формулы A2) прило-
приложения 1:
Aa = V div a—rot rot a.
Ввиду громоздкости общей формулы приведем для справок выражение для Ла
в цилиндрической системе координат
аг 2 да \ 1 / а 2 даД
^ег+т^--1+^— ^е? + Дагег; B7)
в сферической системе координат
\ 2 f 1 д i \ l йа_\
Да= Даг S-I аГ+^—J-5JJ sin 6а. И—^-q-з^ ег+
[ г \ sm 6 йб \ V ' sin 9 дц> / J
ду
Операцию Д в формулах B7) и B8) следует понимать в виде B4) и B5)
соответственно.
327

Приложение 4
Дополнение по квантовой механике
Вычисление интеграла
/= l/ A+—+^dr. (I)
где 0 < rx < г2, /4, S, С—вещественны. Значения rt и г2 обращают в нуль под-
подкоренное выражение; оно положительно при г1 < т < г2 и, следовательно, /1 < О
и С < 0, так как
2В С _ А (г—r^jr—ra) _
25 С~
А -\ 1—2-, где г—комплексная переменная. Оче-
Очевидно, г = гх и г = га—точки ветвления этой функции.
Для вычисления / проведем разрез по линии гх—г2. Пусть на нижнем бе-
берегу разреза / > 0, на верхнем f < 0 Вычислим интеграл по контуру разрева
в положительном направлении (по нижнему берегу от г1 до г2) по верхнему—от
га до /-j). Обозначая этот контур /, будем, очевидно, иметь
Полюсом /(г) является точка г = 0. Следовательно, / можно деформировать лю-
любым образом, лишь бы внутри контура оставались точки г = гу и г = г2 и не со-
содержалась точка г = 0. Если рассматривать контур L в окрестности г = оо и
контур X вокруг точки г = 0, то по теореме Коши
причем все контуры следует обходить в положительном направлении (против
часовой стрелки).
Для вычисления интегралов по L н X разложим f (г) вблизи г = оо и г = 0.
При г= оо имеем
При переходе от точек г < гг, лежащих на нижнем берегу разреза (где f —
= — (г~/'1"г г*' >0и arg/ = Oj,K точкам г > лг аргумент разности г—г2
увеличивается иа п н следовательно, arg / от 0 возрастает до я/2. Таким обра-
образом, в написанном выше выражении надо считать jA^=-|_i| |/л|, так как
Вблизи г = 0
328

Теперь при переходе от г > л, на нижнем берегу разреза к г < гг аргумент
г — г, уменьшается на п (переход происходит по часовой стрелке) и, следова-
следовательно, V~C = —i\ YС\.
Применяя теорию вычетов, имеем
к
и окончательно
(И)
Приложение 5
Полиномы Лежандра
Урапненне
имеет решением полиномы Лежандра
Составляя для Z = (*2—II тождество (х—\)-r- — 2lxZ = Q и дифференцируя
r-
его / раз по х, можно в этом убедиться.
Согласно выражению B) можно составить
1 а *
и т. д. и убедиться в том, что Рг (—х) — (—\IРг(х).
Производящей функцией для Рг (х) является фу]
и • < 1. Обозначая угол между гиг' как arccos*, записываем
Fir, *)= . ' ,===У Р,(*)г*.
Производящей функцией для Рг(х) является функция j—, г- при r'=
Очевидно, что при г> 1, вводят, = —, можно получить разложение
Pt(x) может быть определен также следующим образом:
'г, D).
329

где L—произвольный замкнутый контур, охватывающий точку z=x, являющуюся
полюсом подынтегральной функции. Разлагая f(z) — (z2—1)' в ряд по степеням
г—х и применяя теорию вычетов, можно убедиться, что определение D) согла-
согласуется с выражением B). Производя в D) замену -^—г = -77 . причем
2 1 Z
1 /
г=у A — У 1—2л:? + ?2) (выбирается только г, переходящее в х при Z,—<¦ 0),
получаем
_ j_
что показывает эквивалентность определений D) и C).
Пользуясь формулой C), легко получить рекуррентные соотношения между
полиномами Р1 (х) и их производными.
dF
Составляя A—2л:л + ла) ^—, приходим к соотношению
^ ()Р()* ^(\2 + *)lP('i E)
и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г1, получаем
(l+\)Pl+1(x)— 2(t+\)xPl(x) + tPl.1(x) = 0, F)
Составим выражение
яр I ,а J!L
С другой стороны
и, складывая E) и (8), получаем
X Г . Г ХГ2 Х{\ Г2) ^ ( ¦г-ч {_
Сравнивая с G), находим, что
B/+ l)xP,(x) = (l+ \)P[+1(x) + lPl.1 (x).
dF
Составляя A—2;t/-+ г2)-г— , находим соотношение
pi (*) = Р'и 1 W—2* Р\ W+Pj_ 1 (*)• (9)
Подставляем в (9) P'l+ t из F) и полученное выражение Pi (х) = х?\ (х)—Р\_1(х)
умножаем на 2 и складываем с (9). В итоге имеем:
Используя определение B), вычислим ортонормировочный интеграл для по-
330

линомов Лежандра. Предполагая, что l^k, производим в следующем ниже вы-
выражении интегрировании по частям с учетом того, что на границах при x = J^l
функция {хг—1) обращается в нуль. Тогда
I 1
-1 -1
1 , .
2гЛ2*А!
-1
Приложение 6
Полиномы Чебышева—Эрмита
Полиномы Чебышева—-Эрмита Нп (х) могут быть определены на промежутке
при помощи производящей функции
1 уЛ у IJ К С
Отсюда непосредственно получаем
(х п\ dn(e~x*\
{ '
м"(х>-{ дх" )t=a~{ ' dx" '
Равенство — ' =2t —^~—- после использования A) приобретает вид
откуда, приравнивая коэффициенты при /" слева и справа, получаем
—fa —intia-\ W- W)
Аналогично, из равенства —W—--\-2(t—х) F (x, t)=Q вытекает соотношение
п_1(х) = 0 (л3*1) D)
Комбинируя C) и D), приходим к линейному однородному уравнению для Нп(х):
Н"п (х)—2хН'„ (х) + 2пНп (х) = 0. E)
Свойство ортогональности полиномов Нп (х) получается из соотношения
00 00
С С
J Нт(х)Нп(х)е-х° dx = (-l)n ^ Hm(x)
dn(e~x )
(используется формула B), п > т). Производя интегрирование по частям и за-
замечая, что при x = zb °° обращаются в нуль все производные от е~х%, находим
331

[согласно формуле C)]:
СО 00
Нт{х) Нп(х)е-*г dX = (-iy~l2m J Яя_, (х)
= (_!)»—2«-ml
00
Г
j tfo
Полагая в этом равенстве п = т, можно для нормирования Нп(х) вычислить
00
— се
Ортонормированными функциями являются
(п = 0. 1, 2, ...)•
Общее выражение для Нп (х):
позволяет вычислить любой из них. В частности
Кроме того, Яп (— х) = (— 1)" На (х).
Приложение 7
Вырожденная гнпергеометрнческая функция
Эта функция для всех конечных г и а и при произвольном с, не равном
О, —1, —2 определяется следующим рядом:
±± + ^±$-%+...(Р(а,а;г) = е*). A)
Вырожденная гипергеометрическая функция является частным решением
уравнения:
Sc~z)^—аф=о- B)
Если с—не целое число, то вторым частным решением B) есть функция:
z1~cF(a— с+\, 2—с; г). C)
Функция F (а, с; г) удовлетворяет ряду соотношений, которые следуют из фор-
формул A) и B):
- F (а, с; z) = ezF (с—а; с; г);
(с—а)Р(а— 1, с; г)+ Bа — с+ г) F (а. г; г)=аР(а+1. ^ г);
332
— F (а, с; г) = — Fia+i, c-f 1, г);
dz ' с '

Если а равно нулю или целому отрицательному числу а — —п, то F (а, с; г)
сводится к полиному п степени:
Fl-n с г)-1--г+ И 1)"(с~1)! =" -»'-'«* Г (с) d" „_,
Асимптотика функций:
Rez-^co; F(a, С;г) = ^г«-^.ег.[1 + 0(|г|-1)];
Г (с) F)
Rec—> со; F (а, с; г)= 1 +0 (| с|-1) при конечном г, а.
Любое уравнение вида:
^ ^+(ааХ + йг)Ф = 0 G)
может быть приведено к B) следующей заменой.
ф = ^йгф, * = Аг + ц,
где величины v, Л, |г определяются из системы уравнений:
O; (8)

ЛИТЕРАТУРА
И. В. Мещерский. Сборник задач по теоретической
механике. М., «Наука», 1968.
Л. Г. К от к и н, В. Г. Сер б о. Сборник задач по
классической механике. М., «Наука», 1969.
В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин. Сборник
задач по электродинамике. М., Фияматгиз, 1962.
О. Ф. Т о м а с е в и ч. 36ipHHK задач з теоретично!
ф1зики. Киев, Изд. Киевского университета, 1958.
Fliiqqe i H. Marschall. Metody racbunkowe
teorii kwantow. Warszawa, 1958.
И. И. Гольдман и В. Д. Кривченков.
Сборник задач по квантовой механике. М., Гостехтеоре-
Гостехтеоретиздат, 1957.
В. И. Коган и В. М. Галицкий. Сборник
задач по квантовой механике. М., Гостехтеоретиздат, 1956.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Предисловие
Раздел I. Классическая механика 3
§ 1. Основные законы, формулы и понятия . . 5
§ 2. Задачи 18
Раздел П. Электродинамика
§ 1. Основные законы, формулы и понятия . . 34
§ 2. Задачи 43
Раздел III. Квантовая механика
§ 1. Основные понятия, законы и формулы , . 57
§ 2. Задачи 67
Раздел IV. Статистическая физика и термодинамика
§ 1. Основные положения и законы 78
§ 2. Задачи 91
Ответы, решения и указания
Классическая механика 107
Электродинамика . , 123
Квантовая механика 171
Статистическая физика и термодинамика . . . 268
Приложения
Основные формулы векторного анализа .... 321
Криволинейные координаты 322
Дифференциальные операции в криволинейных
координатах 324
Дополнение по квантовой механике 328
Полиномы Лежандра 329
Полиномы Чебышева— Эрмита 331
Вырожденная гипергеометрическая функция . . 332
Литература 334

СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Редактор Е. С. Гридасова
Художественный редактор В И Пономаренко
Технический редактор Н. В. Яшукоиа
Корректор Г А. Чечеткнна
Сдано а набор 20/Х-71 г. Подп. к печати 7/111-72 г. Фор-
Формат 60x90/16. Объем 2 1 печ. л. Уч.-изд. л. 17.10.
Изд № ФМ-436 Заказ № 2500 1Тнраж 50.000 экз. Цена 64 коп
План выпуска литературы для вузов и техникумов
изд-ва «Высшая школа» на 1972 г. Позиция Лг 54
Москва, К-51, Неглинная ул., д 29/14
Издательство «Высшая школа»
Ордена Iрудового Красного Знамени
nepBja Образцовая типография имени А А Жданова
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, М-54, Валовая, '28.