Text
Ст.пенческое » здателыкое О4и*ест»о
при Императорское Москбвсисмъ Т^ническомъ Училищ-»,
РНСЧЕТЪ
НРОКЪ и сводовъ.
ГУМОВОДСТЮ
•ъ «шлитичес-.ому графическому расисту >,.очнмр. и сводчаты?»» перекрыли
ст» 290 черт. *- текст! и 8 т»1диц*ми
Н. К Лзлтинъ.
’•женеръ пут.й сп,|бщеН1 преподаватель ИнпепаторсчзГо Моско» го Те ничес» го Уч. .яг., и У илищ. )Кивойиси, Ва*ш < и Зодчеств
M0CK8R
1У11
К. Паутину.
MOCKBR,
НЪмецкая улица, Императорское Техническое училище,
М-Ьсго для почтовой марки
Студенческому Издательскому Обществу.
Студенческое Издательское Общество
при Императорскомъ Московскомъ Теуническомъ УчииищЪ.
РНСЧЕТЪ
НРОКЪ и сводовъ.
РУКОВОДСТВО
къ аналитическому и графическому расчету арочны^съ и сводчатыр» перекрыли.
съ 290 черт, въ те'кстЪ и 8 таблицами
Н. К. Ла^тинъ.
Инженеръ путей сообщен1я, преподаватель Императорскаго Московскаго Техническаго Училища и Училища Живописи Ваян1я и Зодчества
москвн.
1911.
ПОКОРНЪЙШНЯ ПРОСЬБА:
отметить зд^сь замеченный серьезный опечатки и мЪста, который было бы желательно развить болЬе подробно въ слЪдующемъ издати Расчета арокъ и сводовъ, и затЪмъ вернуть настойщш листокъ въ Студенческое Издательское Общество.
Издашемъ зав'Ьдывали студенты Императорскаго Техническаго училища
Ф. В. Тицнеръ и А. В. Назиыовъ.
Типолитография Т-ва И. Н. КУШНЕРЕВЪ и К0, Пименовская ул., соб. д.
Москва—1911.
'мцмтяя
1
жмш/ мшммшя ш
'•Ъ
и
Оглавление
Стр.
Предислов1е.................................................................. хп
Литература сводовъ................................XIII
I. Основный положеюя................................. 1
А. Арки, своды и ихъ части.................................................. 1
Принятия обозначения.........................* • • 4
В. Подразд-Ьлешя сводчатыхъ покрытш ................................... • 5
С. Эмпирически формулы для проектирования сводчатыхъ покрытш................ 8
1. Арки................................................................. —
Таблица № 1......................................... 9
2. Своды............................................................... Ю
а. Цилиндричесюе своды............................................... И
I. Собственно цилиндричесюе своды........................• . . . . —
А) Полуциркульные возвышенные, сжатые своды..................... 12
В) Плосюе своды................................................ 13
II. Сомкнутые и парусно-сомкнутые своды........................... 14
III. Лотковые своды................................................
IV. Зеркальные своды..............................•...............
V. Крестовые своды................................................
VI. Готичесюе своды ............................................... 16
Ь. Сферичесюе своды....................................................
I. Купольные и полные парусные своды . ............................ —
II. Парусные полопе своды .........................................
III. Бочарные своды................................................
IV. Паруса......................................................... 17
Прим-Ьчаше .......................................
3. Размеры выполненныхъ сводовъ.........................................
D. О расчет^ сводчатыхъ покрытш............................................ 19
1. Коэффишентъ устойчивости............................................ 20
2. Методы расчета............•........................................... 21
3. Данный для расчета ................................................. 22
а. Собственный в'Ьсъ матер!ала и засыпки сводовъ.....................
Таблица № 2.......................................
Ь. В-Ьсъ церковныхъ главокъ........................................... 23
с. Временная нагрузка................................................ ’
VI
Стр.
d. Коэффищентъ и уголъ трежя.............................................. 23
е. Прочное (допускаемое) сопротивлеже и коэффищентъ прочности............. 24
Таблица № 3........................................... —
f. Действительный наибольлпя напряжежя въ возведенныхъ постройкахъ ... 25
Таблица №4........................................... —
д. Величина осадки при раскружаливажи....................................... —
4. Приведение нагрузокъ къ матер1алу свода.............................. . 29
5. Определеше площадей грузовыхъ полосокъ и клиньевъ свода.................. 30
Базисъ............................................... 35
6. ОпредЪлеже центровъ тяжестей сЬчежй разрезовъ сводовъ.................... 39
7. Опред'Ьлеже объемовъ частей сводовъ и положеже центровъ ихъ тяжести . . 43
а. Объемы и центры тяжести частей собственно цилиндрическихъ сводовъ . . —
Ь. Объемы и центры тяжести частей крестовыхъ и сомкнутыхъ сводовъ ... —
с. Объемы и центръ тяжести частей купольнаго свода............... 45
d. Определен1е объемовъ и центровъ тяжести парусовъ................ 48
1) Объемъ остраго шарового паруса.................................. 49
2) Объемъ остраго односторонне притупленнаго паруса ............... 50
3) Объемъ остро-притупленнаго паруса................................ —
4) Объемъ остроконечно-притупленнаго паруса......................... —
5) Объемъ всесторонне-притупленнаго паруса......................... 51
6) Объемъ эллиптическаго паруса..................................... —
7) Объемъ коническаго паруса........................•................ —
8) Объемъ части остроконечнаго паруса............................... 52
Таблица №5..................................... • • 54
•
9) Для тупого паруса.................•............................... —
10) Объемъ перемычнаго паруса.................•...................... 55
11) Центръ тяжести перемычнаго паруса...........• . •..................—
12) Центръ тяжести сферическихъ парусовъ.............................. —
II. Расчетъ сводовъ................................. 58
А. Расчетъ цилиндрическихъ сводовъ................................................ —
1. Расчетъ цилиндрическихъ сводовъ нормальной кладки по способу пред'Ьльнаго равнов^ая..................................................................... 60
а. Основаже расчета........................................................ —
I. Опорная лижя..........• . . . . •................................. —
II. Лижя давлежя........................................................ 64
III. Зависимость между опорной лижей давлежя, редукщя швовъ...............—
IV. Условие прочности и устойчивости сводовъ.......................• . 67
а) Проверка прочности матер!ала..................................... 69
Ь) Проверка устойчивости на вращеже (раскрьте шва)................... —
с) Проверка устойчивости на скольжеже ..........................• . —
V. Распоръ свода...............................• • • '................—
VI. Нахождеже точки раздала грузовъ и опред'Ьлеже фокальныхъ точекъ . 73
VII. Опред’Ьлеже величины распора свода................................. 76
Ь. Построеже опорной лижи въ симметричномъ цилиндрическомъ свод'Ь съ симметричной вертикальной нагрузкой................................... 78
I. Построеже опорной лижи при помощи maximum’a распора изъ распора прочности и устойчивости .............................................. —
а) Распоръ прочности................................................ 80
Ь) Распоръ устойчивости............................................. 81
VII
Стр.
с) Расчетный распоръ и опорная ..................................... 83
II. Построеше опорной линти свода при помощи трехъ ея точекъ, выбран-ныхъ на основаны метода пред'Ьльнаго равнов'Ьшя свода.................. 84
с. Построеше лиши давлешя въ несимметричныхъ цилиндрическихъ сводахъ, нагруженныхъ несимметричной вертикальной нагрузкой.......................... 85
d. Построен!е опорной пиши симметричныхъ цилиндрическихъ сводовъ, несимметрично нагруженныхъ, при помощи фокальныхъ точекъ......................... 88
е. Построеше опорной лиши симметричныхъ цилиндрическихъ сводовъ, нагруженныхъ симметрично вертикальной и горизонтальной нагрузкой .... 90
f. Построеше опорной лиши цилиндрическихъ сводовъ по способу мгновеннаго
равнов'Ьс1я................•........................................ 91
д. Построеше лиши давлешя произвольныхъ цилиндрическихъ сводовъ, произ-
вольно вертикально нагруженныхъ..................................... 93
h. Построение лиши давлешя сводовъ при помощи преобразовашя Фуллера . . 95
2. Расчетъ цилиндрическихъ сводовъ нормальной кладки по способу наименьшей работы деформащи..............................................................102
а. Основашя расчета....................................................... —
Ь. ОпредФлеше реакцш опоръ и распора для несимметричнаго цилиндрическаго
свода, нагруженнаго произвольной вертикальной нагрузкой...........104
с. Опред'Ьлеше реакцш опоры и распора для симметричнаго цилиндрическаго
свода, нагруженнаго симметричной вертикальной нагрузкой ...........114
d. Построеше опорной лиши произвольныхъ цилиндрическихъ сводовъ, про-
извольно вертикально нагруженныхъ...................................116
Таблица №6..............................*.............ИЗ
Таблица .............................................П-9
е. Опред-Ьлеше прочности и устойчивости свода............................120
3. Расчетъ пологихъ цилиндрическихъ сводовъ нормальной кладки по способу ин-
флуэнтныхъ линш .... 121
Таблица № 8..........................................
Таблица № 9 . • ...................................135
4. Расчетъ пологихъ цилиндрическихъ сводовъ при помощи общихъ уравнешй распора ........................................................................ 136
а. Трехшарнирные своды..........................•......................... —
Ь. Двухшарнирные своды...................................................137
с. Своды безъ шарнировъ..................................................140
d. Сравнеше результатовъ . ..............................................145
Таблица № 10.................................... • • 146
5. Расчетъ пологихъ цилиндрическихъ сводовъ по способу Schbnhofer’a..........147
а. Расчетъ сводовъ безъ шарнировъ........................................150
Таблица №11..........................................155
Ь. Расчетъ сводовъ съ двумя шарнирами..................................... —
Таблица № 12.........................................157
6. Аналитически расчетъ цилиндрическихъ сводовъ, сложенныхъ въ елку .... —
7. Приближенный способъ расчета цилиндрическихъ сводовъ на основаны эмпири-ческихъ формулъ.......................................................... . 174
I. Приближенный расчетъ круговыхъ слабо нагруженныхъ цилиндрическихъ
сводовъ.........................................................175
II. Приближенный расчетъ круговыхъ сильно нагруженныхъ цилиндрическихъ сводовъ...............................................................180
III. Приближенный расчетъ круговыхъ цилиндрическихъ пологихъ сводовъ . 182
VIII
Стр.
[V. Приближенный расчетъ сводовъ неравныхъ пролетовъ, опирающихся на арки или балки при разныхъ пролетахъ..........................182
8. Разные способы устройства и закреплешя опоръ сводовъ......................184
9. Вл1ян1е температуры на своды..........................................186
Таблица № 13................................ .... 187
а) Сводъ безъ шарнировъ.............................................191
Ь) Сводъ съ двумя шарнирами въ пятахъ...............................193
с) Своды съ тремя шарнирами.........................................194
d) Сравнеше величинъ распоровъ и дополнительныхъ напряженш отъ вл!ян1я температуры на своды.................................. —
Таблица №14......................................... 195
В. Расчетъ крестовыхъ сводовъ..................................................196
1. Расчетъ крестовыхъ сводовъ нормальной кладки и кладки по способу Моллера . —
а) Аналитически расчетъ............................................... —
Ь) Графическш расчетъ................................................203
2. Расчетъ крестовыхъ сводовъ при кладке въ елку............................206
а) Аналитически расчетъ............................................... —
Ь) Графическш расчетъ................................................220
3. Сравнеше распред'Ьлен!я усилш въ крестовыхъ сводахъ нормальной кладки и въ елку....................................................................226
Таблица №45...........................................227
4. Опред'Ьлеше толщины крестовыхъ сводовъ и проверка ихъ прочности и устойчивости.............................................................. .... 227
С. Расчетъ сомкнутыхъ сводовъ..................................................229
1. Расчетъ сомкнутыхъ сводовъ нормальной кладки............................... —
а) Аналитически расчетъ.................................< . . . . —
Ь) Графический расчетъ......................................... . . 235
2. Расчетъ сомкнутыхъ сводовъ, сложенныхъ въ елку............................236
а) Аналитически расчетъ............................................ —
Ь) Графическш расчетъ..............................................261
3. Сравнение распред^лешя усилш въ сомкнутыхъ сводахъ нормальной кладки и въ елку....................................................................262
Таблица № 16..........................................263
4. Расчетъ открытыхъ сомкнутыхъ сводовъ . ................................ 266
5. Определеше толщины сомкнутыхъ сводовъ и проверка прочности и устойчивости..................................................................... 268
D. Расчетъ парусно-сомкнутыхъ лотковыхъ и зеркальныхъ сводовъ..................269
Е. Расчетъ купольныхъ сводовъ..................................................270
1. Аналитически расчетъ купольныхъ сводовъ...................................273
а. Сомкнутый сферический купольный сводъ................................ 279
1) Аналитическое изслЪдоваше............................................ —
а) Поперечный и продольный усил!я............................... —
Ь) Шовъ перелома....................................................282
с) Равнодействующая поперечныхъ усилШ ............................... —
d) Распоръ купольнаго свода................................ .... 283
е) Точка приложешя распора купольнаго свода.........................286
f) Толщина купольныхъ сводовъ.......................................287
2) Графическое изследоваше.............................................288
Ь. Куполъ съ отверст!емъ въ шелыгЬ безъ нагрузки въ верхнемъ кольце . . . 295
Таблица № 17....................................... 296
Стр.
с. Куполъ съ отверслемъ въ шелыгЬ съ нагрузкой въ верхнемъ кольца . . . 296
d. Параболически куполъ......................................., . . . 298
е. Коническы куполъ...................................................300
f. Сравнеюе покрыли одного и того же пространства тремя куполами полусферой, параболическимъ и коническимъ.................................301
Таблица №18........................................ —
д. Вл1ян1е вЪтра и несимметрическихъ нагрузокъ на сферичесюе купольные своды................................‘................................302
h. BniHHie забутки.................................................. 304
i. Боковыя отверсля въ купольномъ свод'Ь............................... —
2. Графически расчетъ купольныхъ сводовъ................................305
3. Графически расчетъ купольнаго свода по способу Виттмана..............314
4. Особый случай, встречающийся при расчете куполовъ....................317
5. Расчетъ двойныхъ куполовъ ...........................................318
F. Расчетъ шатровыхъ каменныхъ покрыты . . . ..............................319
G. Расчетъ парусовъ........................................................332
1. Расчетъ сферическихъ парусовъ...................................... 333
2. Расчетъ перемычечныхъ парусовъ.......................................339
Н. Расчетъ парусныхъ сводовъ...............................................340
I. Расчетъ сводныхъ (надпарусныхъ) колецъ...................................341
J. Расчетъ перекрещивающихся арокъ..........................................343
1. Опред’кпеше нагрузки на перекрещиваклщяся арки........................ 344
2. Расчетъ перекрещивающихся арокъ, подверженныхъ вертикальной нагрузке . . 348
3. Расчетъ перекрещивающихся арокъ, подверженныхъ вертикальной нагрузке и распору сферическаго паруса..............................................350
4. Расчетъ перекрещивающихся арокъ, подверженныхъ вертикальной нагрузке и распору отъ перемычечнаго паруса.........................................353
5. Расчетъ перекрещивающихся арокъ особой конструкцы....................355
6. Расчетъ перекрещивающихся арокъ, находящихся подъ дЪйств1емъ вертикальной нагрузки, приложенной ближе къ одной изъ щековыхъ поверхностей арокъ....................................................................357
7. Расчетъ перекрещивающихся арокъ, находящихся подъ дЪйств!емъ горизонталь-ныхъ силъ, приложенныхъ нормально къ щековой ихъ плоскости........359
К. Расчетъ подпружныхъ арокъ...............................................360
L. Расчетъ бочарныхъ сводовъ...............................................361
1. Нормальная кладка................................................. —
2. Кладка въ елку.......................................................365
3. Расчетъ бочарныхъ сводовъ распред'Ьлешемъ нагрузки пропорцюнально косину-самъ угловъ швовъ ... *...........................................366
М. Расчетъ обратныхъ арокъ.................................................368
N. Расчетъ упорныхъ арокъ..................................................370
О. Готичесюе своды.........................................................371
III. Расчетъ связей............................ 372
А. Г ч тъ связей въ неболыиихъ сводикахъ по балкамъ........................378
. । лсчптъ двутавровыхъ жел'Ьзныхъ балокъ, положенныхъ на пяты свода, и связей м»’жду ними......................................................... —
. Глсч< » спязей въ цилиндрическихъ сводахъ большихъ пролетовъ...........380
1) С, язи, расположенный въ уровнЬ пятъ............................. —
) асчетъ связей, расположенныхъ выше пятъ..........................381
Г счетъ KpyiODon связи въ купольномъ свод-Ь .............................. —
Расчетъ сняэ й барабана или купольнаго свода въ предположены размФ>щешя ихъ по многоугольнику................................................ 382
X
Стр.
F. Расчетъ связей парусовъ...................................................383
G. Расчетъ укр-Ьплешя конца связи въ ст-Ьн-Ь.................................385
Н. Расчетъ связей, принимая во вниман!е вл1ян!е изм-Ьнен1я температуры.......388
I. Расчетъ отд'Ьльныхъ частей связей и ихъ деталей...........................389
1) Расчетъ винта, гайки и головки связей..............................—
2) Расчетъ головокъ связей съ чеками................................. —
3) Расчетъ анкерныхъ плитъ подъ головками связей на каменныхъ стЪнахъ . 390
4) Расчетъ длины штырей, на которые насаживаются связи..............391
J. Опред^леше места закладки связей, направленныхъ нормально къ распору .... —
IV. Расчетъ кружалъ ...........................394
А. Системы кружалъ ........................................................... —
В. Нагрузка на кружала..................................................397
С. Расчетъ кружальной фермы.......................................... .... 399
D. Меры для устранешя трещинъ въ сводахъ....................................402
1. Особые пр1емы кладки сводовъ........................................... —
а) Кладка сводовъ кольцами.....................................403
Ь) Пустые швы.................................................... —
с) Кладка сводовъ сегментами....................................404
2. Раскружаливаже сводовъ.............................................. —
V. Расчетъ опоръ сводовъ......................406
А. Расчетъ крайней опоры цилиндрическаго свода................................—
В. Расчетъ промежуточной опоры цилиндрическихъ сводовъ......................413
С. Расчетъ контрфорсовъ.....................................................416
1) Расчетъ контрфорсовъ, усиливающихъ стену, не испытывающую сосредо-точенныхъ грузовъ.........................................•...........—
2) Расчетъ контрфорсовъ, усиливающихъ стену въ мЪстахъ сосредоточен-ныхъ распоровъ...............................................417
3) Расчетъ углового контрфорса.....................................419
4) Расчетъ контрфорсовъ крестовыхъ и готическихъ сводовъ, подвержен-
ныхъ действ!ю ветра........................................... —
5) Расчетъ опоръ, поддерживающихъ своды и укр'Ьпленныхъ упорными арками. 420
D. Расчетъ опорныхъ стЬнъ сомкнутыхъ сводовъ................................421
Е. Расчетъ опоръ купольныхъ и парусныхъ сводовъ.............................423
F Определеше направлен5я нулевой пиши въ пилонахъ, подверженныхъ сжимающей силе, и построеше ядра сЬчешя пилона....................................424
1) Нахождеше положешя главныхъ осей и направлешя нулевой оси .... 426
2) Построеше ядра сЬчешя............................................428
3) Расчетъ прочности пилона.........................................429
а) Расчетъ прочности пилона въ случай, если вся площадь его с*Ьчешя подвержена только сжимающимъ усшпямъ.............................. —
Ь) Расчетъ прочности пилона, не принимая во внимаше растягивающихъ усил1й, проявляющихся въ части его сечешя. Лишя Мора .... 430
с) Определеше положешя лиши Мора построешемъ.....................434
d) Построеше лиши Мора и нулевой лиши безъ предварительнаго опре-
д-Ьлешя нейтральной лиши...................................436
4. Построеше д!аграммы напряжешя въ пилонахъ............................440
а) Случай, когда нулевая лишя лежитъ вне сечешя или касается сечешя пилона......................................................... —
Ь) Определеше д!аграммы напряжешя, когда нулевая лишя лежитъ внутри сечешя пилона и положеше ея определено, не принимая во внимаше растяжешя................................................442
XI
Стр.
G. Виды отд'Ьльныхъ опоръ................................................443
Н. Общее замЪчаже относительно опредЪлеыя прочности кладки сводовъ и опоръ. . 444
I. Общее зам^чаше относительно опред^лешя коэффищента устойчивости опоръ . . —
VI. Общ1я замЪчашя о проектированы и расчет^ сводчатыхъ покрыты ...............................................................452
VII. Добавлен1я...............................453
А. Опредкпеше центра тяжести вертикальныхъ полосокъ свода................. —
В. ОпрсдЪлеше центра тяжести горизонтальныхъ трапещй.....................454
G. Опред'Ьлеше площадей вертикальныхъ полосокъ, приведенныхъ къ матер1алу свода. —
D. Расчетъ каменной трубы подъ железнодорожной насыпью...................455
Е. Расчетъ церковныхъ сводчатыхъ покрыпй.................................459
1. Расчетъ купола....................................................... —
2. Расчетъ цилиндрическаго свода по способу Фуллера....................462
3. Расчетъ паруса......................................................465
Предисл oeie.
Начало примФ>нен!я сводчатыхъ каменныхъ покрыты въ зодчестве и въ инженерномъ искусстве относится къ самой глубокой древности. Сводчатыя покрыт1я находили постоянно широкое применеюе въ строительномъ д’Ьл'Ь; последнее время съ сильнымъ распространешемъ бетона и железобетона сфера примФ>нешя сводчатыхъ покрыты еще более расширилась, вследств!е легкости выполнешя работъ изъ железобетона и податливости самого этого матер!ала.
Строительная механика, изучающая распределеше внутреннихъ усилы въ частяхъ конструкцы и методы определешя размеровъ этихъ частей, даетъ для сплошныхъ и сочлененныхъ балочныхъ конструкцы много пр!емовъ, про-стыхъ и сложныхъ, приближенныхъ и точныхъ. Сводчатыя же конструкцы, отличаюгщяся своимъ чрезвычайнымъ разнообраз!емъ, разработ^Ьы въ отношены ихъ расчета сравнительно слабо. Имеющееся въ руководствахъ по строительной механике и статике сооружены отделы о сводахъ страдаютъ неполнотой и схематичностью, а разбросанный въ перюдической литературе отдельный журнальный статьи о расчетахъ сводовъ не даютъ надлежащаго освещеыя этого вопроса; полнаго же курса расчета сводовъ совершенно не имеется ни въ иностранной, ни въ русской литературе.
Занимаясь чтешемъ курса конструкцы и расчета сводовъ, я задался целью собрать и систематизировать сказанный разбросанный матер!алъ и дать руководство къ аналитическому и графическому расчету арочныхъ и сводчатыхъ перекрыты, которое являлось бы пособ!емъ какъ при изучены вопроса, такъ и при практическомъ выполнены расчетовъ сводовъ; при этомъ я имелъ въ виду привести методы какъ более сложные и точные, такъ и приближенные, необходимые иногда для предварительныхъ подсчетовъ.
Привожу литературные источники, послужившие при составлены настоящая курса.
XIII
Иностранная литература.
Prof. Culm an п. Druck kreisformiger Tonnengewolbe auf ihre Lehrgeriiste.
P. D u f f a u d. Mesurage des voutes d’arete et en arc de cloitre. 1865.
A. F о ep pl. Theorie der Gewolbe. 1880.
K. v. О 11. Vortrage uber Baumechanik. 1888.
G. Wanderley. Die Konstruktion im Stein. 1895.
L D e b o. Beitrag zu den Gewolbekonstruktionen. 1899.
M. H । , Der Gewolbebau. 1900.
С. К b r n e r. Gewolbte Decken. 1901. (Handb. d. Architek. Ill, 2. III. b.)
O. W rth. Die Konstruktion in Stein. 1903. (G. Breymann. Allgemeine Baukonstruktions-lehre. В. I.)
G. Ungewitter. Lehrbuch der Gotischen Konstruktionen neu bearbeitet v. K. Mohrmann. 1903.
L. Bonneau. Etude sur les voutes et viaducs. 1908.
R. Schonho f er. Statische Untersuchung von Bogen und Wolbtragwerken. 1908.
M. Ritter. Beitrage zur Theorie und Berechnung der vollwandigen Bogentrager ohne Scheitel-gelenk. 1909.
T. Landsberg. Die Statik der Hochbaukonstruktionen. 1909.
Русская общая ит ература.
Профес. С. Б. Лукашевич ъ. Приложение къ строительной механик^. Расчетъ сводовъ. 1889.
Г. Е. П а у к е р ъ. Строительная механика. 1891.
W. Keck (переводъ П. С. Страхова). Основы расчета строительныхъ сооружены по мето-дамъ TeopiH упругости. 1896.
W. Keck (переводъ П. С. Страхова). Графическая статика въ приложены къ расчету строительныхъ сооружен^. 1896.
Профес. Н. А. БЪлелюбск1й. Строительная механика. 1897.
Н. А. Житкевичъ. Графическш расчетъ цилиндрическихъ сводовъ на основаны теорш упругости 1898.
Профес. Ф. С. Я си нс к i й. Собраше сочинеый. 1902.
Профес. В. Л. Кир п и ч евъ. Основашя графической статики. 1902.
Р. Лауэнштейнъ. Графическая статика. 1902.
Профес. Е. О. П а т о н ъ. Примеры расчета каменныхъ мостовъ. 1903.
Г. Толкмиттъ (перев. С. А. Прокофьева). Руководство къ проектирована каменныхъ арочныхъ мостовъ. 1903.
С. И. Б е л з е ц к i й. Ращональныя формы сплошныхъ упругихъ арокъ. 1905.
Г. П. П е р е д е р i й. НовФ>йш1е прнемы постройки каменныхъ мостовъ. 1908.
Г. П. П е р е д е р i й. Каменный в!адукъ пролетомъ въ св^ту 50 м. 1908.
Профес. Л. Д. Проскуряков ъ. Сопротивлеше матер!аловъ I, II и задачи 1902—1910.
Литографированныя записки.
А. А. Пол'Ьщукъ. Расчетъ и кладка сводовъ. 1898.
П. И. Д м и т р i е в ъ. Конспектъ лекщй по статикЪ сооружены. 1904.
С. К. Куницк1й. Конспектъ по расчету сводовъ. 1907.
М. Я. Аптеи В. М. Ельчиковъ. Своды. Пособ1е Юев. Полит. 1908.
Русская специальная литература.
А. М. Салько. Руководство къ устройству каменныхъ и деревянныхъ церквей. 1899.
В. А. К о с я к о в ъ. Постройка храма подворья К1ево-Печерской Лавры въ Петербург^. 1900.
П. И. Д м и т р i е в ъ. ИзслЪдоваше причинъ обрушешя церкви города N путемъ статическаго расчета. 1909.
Р. Б. Бернгардъ. Teopin устойчивости сводовъ. Лекцш, читанный въ Императорской Академии Художествъ въ 1881—1882 г., дополненный по лекщямъ предше-
XIV
ствовавшихъ лЪтъ (были любезно предоставлены академикомъ С. У. Соловьевымъ въ рукописи).
В. Р. Бернгардъ. Церковные паруса. 1892.
В. Р. Бернгардъ. Переводъ Э. Ауте ирита. Статический расчетъ купольныхъ сводовъ. 1898.
В. Р. Бернгардъ. Арки и своды. 1901.
А. Арнольд ъ. Устойчивость церковныхъ сооруженш византшскихъ и славянскихъ школъ. 1910.
Журнальная литература.
Журналъ „Строитель".
1899. № 1—14. А. В. Кузнецовъ. Теор1я упругости цилиндрическихъ сводовъ.
1899. № 5, 6. Б. Правдзикъ. Устройство сводчатаго покрыли изъ полыхъ бетонныхъ камней.
1899. № 21—22. В. Р. Бернгардъ. Реконструкщя лютеранской церкви св. Петра въ С.-Петербурге.
„Инженерный журналъ".
1906. П. Соколовъ. Расчетъ куполовъ.
„Журналъ Мин-ва Путей Сообщен1я“.
1909. №5. В. М. Пашковск1й и С. В. Козерск1й. Графо-аналитичесюй способъ расчета упругой арки.
Журналъ „3 о д ч i й “.
1875. № 10, 11, 12. М. Арнольдъ. Храмъ св. Владим1ра въ Херсонесе.
1876. № 1. М. Арнольдъ. Поверка устойчивости храма св. Владим1ра въ Севастополе.
1876. №2, 3. М. Арнольдъ. Паруса храма св. Владимира въ Херсонесе.
1876. № 5. М. Арнольдъ. Железныя связи въ храме св. Владимира въ Херсонесе.
1876. №4,6. 1 П. А. Сальмановичъ. Данныя, служаиця къ облегчешю проектирования
1877. № 5, 6. / сводовъ.
1876. К° 8, 9. 1
1877 № 12 3 / Р* Б* Бернгардъ. Куцо^ъ храма св. Петра въ Риме.
1878. № 11. 1
1879. № 2, 5, 9, 10, 12. ? М. Арнольдъ. О равновесш клина.
1880. № 5, 6, в’ 9. J
1888. № 9, 10. Расчетъ сводовъ по Ландсбергу.
1899. № 12. В. Р. Бернгардъ. Подпружныя арки или металличесюя балки для подваль-ныхъ сводчатыхъ покрыли.
1900. № 1—10. В. Р. Бернгардъ. Расчетъ устойчивости и прочности церкви во имя св. Александра Невскаго на ст. Конотопъ.
1903. № 10—21. А. В. Кузнецовъ. Изследовашя купола по принципу наиблагопр!ятней-нейшаго распределешя усшпй.
1908. № 6—11. П. Соколовъ. Элементарный статическш расчетъ куполовъ.
1909. — П. И. Дмитр1евъ. О коэффищенте статической устойчивости каменныхъ стол-бовъ, устоевъ и церковныхъ пилоновъ.
1908. — Н. К. Лахтинъ. Аналитически расчетъ цилиндрическихъ сводовъ, сложен-ныхъ въ елку.
1909. — Н. К. Лахтинъ. Построеше лиши давлешя сводовъ при помощи преобразовашя Фуллера.
1910. — Н. К. Лахтинъ. Расчетъ шатровыхъ каменныхъ покрытш.
Считаю долгомъ принести мою признательность студентамъ Императорского Московскаго Техническаго Училища А. В. Назимову и Ф. В. Т и ц н е р у, завФ>дывавшимъ печатажемъ настоящаго курса по поручен!ю Сту-денческаго Издательскаго Общества при Императорскомъ Московскомъ Техни-ческомъ Училище. Особенно выражаю мою искреннюю благодарность Ф. В. Тицнеру за понесенные имъ значительные труды по корректирование курса, по детальному просмотру выкладокъ и формулъ и по составлена чертежей, которые все были выполнены заново для настоящаго курса. Наконецъ высказываю признательность учащемуся Училища Живописи, Ваяжя и Зодчества А. А. Ал ад ь и ну за участ!е при выполнены графическаго расчета въ приво-димомъ въ конце курса примФ>рномъ расчете храма.
Приступивъ къ составлена курса расчета сводовъ, я поставилъ себе вопросъ: не является ли онъ запоздавшимъ, имея въ виду почти исключительное примФ>нен!е въ строительномъ деле монолитныхъ желФ>зобетонныхъ сводовъ? ИмЪя однако въ виду, что при расчете жел'Ьзобетонныхъ сводовъ опре-дЪлеше внутреннихъ усилш ведется обычнымъ способомъ и что отлич!е расчета этихъ посл'Ьднихъ отъ расчета кирпичныхъ сводовъ заключается лишь въ определены ихъ размЪровъ и прочности, нельзя не придти къ заключешю, что предлагаемый курсъ, который также можетъ служить подспорьемъ и при расчете железобетонныхъ сводовъ, нельзя считать запоздавшимъ.
Выпускаемое руководство считаю за матер!алъ къ курсу расчета сводовъ; въ этомъ курсе новые методы строительной механики должны сделать обобщежя и упрощешя при достижежи наибольшей точности расчета. Принимая сказанное во внимаже, прошу не отказать все замеченные промахи и пробелы сообщить автору настоящаго труда. Все замечажя будутъ приняты съ признательностью и послужатъ для более детальнаго и правильнаго осве-щежя интересующаго насъ вопроса.
Н. Лахтинъ.
Москва. Декабрь 1910 г.
I. Основныя положена.
fl. Арки, своды и и?сь части.
Отверстия въ стЪнахъ, а также пространства, ограниченный стенами, балками, или столбами, могутъ быть перекрыты: а) каменными конструкщями, состоящими изъ клинообразныхъ камней, расположенныхъ по кривымъ поверх-ностямъ и удерживающихся въ своемъ положены лишь вслЪдств!е производимая ими давлешя другъ на друга и на поддерживающая ихъ опоры и Ь) бе-тономъ или желЪзобетономъ, расположеннымъ тоже по кривымъ поверхностямъ.
Такое перекрьте отверсты въ ст'Ьнахъ называется аркой; а перекрьте пространства, ограниченнаго стенами, балками или столбами, называется с во д о м ъ.
Арки и своды называются вообще сводчатыми покрыт!ями или сводчатыми перекрытии.
Въ сводчатыхъ покрьтяхъ различаютъ:
1) Т±>ло свода или арки, это совокупность матер!ала, входящая въ составъ сводчатая покрьтя и положенная на мФ>сто.
2) Кривыя поверхности, ограничивайся сводчатое покрьте сверху, называются наружными поверхностями, а кривыя поверхности, ограничивающ!я сводчатое покрьте снизу, называются внутренними поверхностями; ткпо свода заключается между этими поверхностями.
3) Внутренняя и наружный поверхности имЪютъ направляющ!я и I । уюищя; какъ тЪ, такъ и друпя могутъ быть прямыя и кривыя. Въ II и им сти отъ вида направляющихъ и образующихъ лины ограничиваются п р и ги могутъ быть одинарной и двойной кривизны.
4) порами и опорными стенами называются т£> части конструкция, кс орыя, поддерживая сводчатыя покрытяя, сопротивляются вс'Ьмъ развивающимс i въ нихъ усил!ямъэ какъ вертикальнымъ, такъ наклоннымъ и горизонтальнымъ
5) Щековыя стЪны, это тЬ стЬны, который также ограничиваютъ перекрываемое сводчатымъ покрьтемъ пространство, но который не подвергаются усил!ямъ со стороны этихъ покрыты.
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ.
1
— 2 —
6) Щекою сводчатаго покрьтя называется такая боковая поверхность щековыхъ стiнъ, которая давлешя на опоры не производить и потому мо-жетъ оставаться свободною—не закрытою стеною; сводчатое покрьте при от-сутств1и щековыхъ стЬнъ называется открыт ымъ.
7) Пятой сводчатаго покрьтя называется верхняя поверхность опоръ, о которую опирается покрьте.
8) Началомъ сводчатаго покрьтя называется нижняя горизонтальная или наклонная поверхность покрьтя, которою оно опирается на пяту.
9) Раменами, или плечами, сводчатаго покрьтя называется часть покрьтя, отстоящая отъ пятъ на разстояши отъ 30 до 50 градусовъ.
10) Пролетомъ, или отверст!емъ, сводчатаго покрьтя называется разстоян1е между противоположными опорами покрьтя.
11) Подъемомъ, стрелою или высотою сводчатаго покрьтя называется вертикальное разстояше наивысшей точки внутренней направляющей покрьтя отъ лиши, соединяющей точки перес’Ьчешя пятъ съ той же внутренней направляющей.
12) Каменное сводчатое покрьте, согласно общимъ правиламъ разрезки каменныхъ сооружена, разрезается системой взаимно-перпендикулярныхъ поверхностей на отдельный части, называемый клиньями.
13) Лиши, разграничиваются клинья на разрезахъ сводчатаго покрьтя,. называются швами. Различаютъ: швы сопрягаюине, или постельные,, и швы поперечные или стыковые. Сопрягающ!е швы нормальны къ образующей внутренней поверхности покрьтя, черезъ нихъ передается давле-ше на опоры. Поперечные швы нормальны къ сопрягающимъ, черезъ нихъ давлеше распределяется въ теле свода.
14) Длина сопрягающаго шва выражаетъ толщину тела свода и называется потому толщиною сводчатаго покрыт!я.
15) Срединной лин!ей называется лишя, соединяющая средины (половины) сопрягающихъ швовъ одного сечешя; третными л и н i я м и называются лиши, соединяющ!я трети этихъ швовъ; пространство, заключенное между двумя третными лишями одного вертикальнаго сечешя, называется среднею третью тела сводчатаго покрьтя.
16) Наивысппя клинья называются ключевыми или замковыми, а лежагще на опорахъ — пятовыми; первые образуютъ ш е л ы г у, а вторые начало сводчатаго покрьтя.
17) Утолщешя въ теле сводчатаго покрьтя, выступающ!я на внутренней или наружной его поверхности, носятъ назвашя подпружныхъ арокъ,. подпружинъ (подпруг ъ), гуртъ и нервюр ъ. Подпружными арками называются, выступающ!я съ внутренней поверхности покрьтя, утолщешя, сложенный независимо отъ кладки самаго покрьтя и служащ!я для его поддержашя. Подпружинами (подпругами) называются, выступаю-тщя съ внутренней поверхности покрьтя, утолщешя, сложенный въ перевязь (совместно) съ кладкою покрьтя и служащая для усилешя сводчатаго покры-т!я. Гуртами называются, выступающ!я съ внешней стороны покрьтя, утолщешя, сложенный совместно съ кладкою покрьтя и служащ!я для усилешя сводчатаго покрьтя. Нервюрами (иногда гуртами) называются, выступаю-
— 3 —
щ!я съ внутренней или внешней стороны покрыпя, утолщешя, сложенный независимо отъ кладки всего покрыпя и служапця для поддержашя отд’Ьльныхъ частей покрьгпя Bcfe нервюры въ совокупности, принадлежащ]‘я одному сводчатому покрыпю, составляютъ самостоятельную, болЪе или менф>е сложную систему арокъ, служащую опорой для промежуточныхъ сводчатыхъ заполненш между арками; система нервюръ и сводчатыя между ними заполнен1я составляютъ въ цкпомъ сводчатое покрыпе. Различаютъ: нервюры поперечный, расположенный въ плоскостяхъ нормальныхъ къ продольной оси здашя; продольный, расположенный въ плоскостяхъ параллельныхъ продольной оси здан1я; д1агональныя, расположенный въ д!агональныхъ плоскостяхъ и, притомъ, доходяиия до опоръ сводчатаго покрыпя; сНнныя, расположенный вдоль опорныхъ долевыхъ или поперечныхъ стЪнъ; в ершин ныя или к л ю-ч ныя, расположенный въ плоскостяхъ, параллельныхъ долевымъ или по-пср<чнымъ стЬнамъ и проходящихъ черезъ шелыгу сводчатаго покрыпя но доходящихъ до опоръ; крестовыя нервюры, расположенный между прочими нервюрами и не доходялця до опоръ покрыпя.
Изъ перечисленныхъ нервюръ (гуртъ) поперечный, продольный, т t> н н ы я и д!агональныя называются главными нервюрами (главными гуртами), а остальныя—второстепенными или боковыми нервюрами. Второстепенный нервюры гуртами никогда не называются, между тЪмъ какъ главный нервюры иногда называются и гуртами.
18) Въ сводахъ различаютъ части, именуемыя: лотками, распалубками и запалубками.
Чтобы яснЪе представить себФ> эти части, предположимъ, что цилиндри-ческш сводъ, им^ющш видъ половины кругового прямого цилиндра, перекры-вающаго прямоугольное пространство, разсЪченъ по д!агоналямъ прямоугольника двумя вертикальными плоскостями; сводъ при этомъ разоряется на четыре части, изъ которыхъ двР накрестъ лежалця части, примыкаклщя къ опор-нымъ стРнамъ (къ пятамъ), называются лотками, и двР остальныя части, примыкаклщя къ щековымъ стРнамъ и заключающая замковые клинья, называются распалубками. Части сводчатаго покрыпя, опираюгщяся на нервюры, называются запалубками.
19) Пространство у пятъ, заключающееся или между сходящимися сводчатыми покрыпями, или между сводчатымъ покрыпемъ и, возведеною рядомъ съ нимъ на общей опорр, стРною, называется пазухой.
20) Пазухи на большую или меньшую высоту бываютъ заполнены каменной кладкой, называемой забуткой.
21) Образуюпця сводчатаго покрыпя могутъ быть прямыя линш и плосюя кривыя. Своды съ прямыми образующими называются цилиндрическими, а своды съ плоскими кривыми образующими называются сферическими.
. . ') Р а 3 г Р У 3 н 0 й аркой называется арка, перекинутая надъ покрытым уже отверспемъ и служащая для ослаблешя давлен!я на первое пере-крыпе отв^рспя.
23) Об ратной (опрокинутой) аркой называется арка, обра-щсннля шел iro.: внизъ и служащая для восприняпя давлешя, направленнаго спи «у виерхъ. ч
1
— 4 —
22) Упорной аркой называется поставленная вертикально или наклонно арка, служащая для восприняли горизонтальнаго или наклоннаго давлешя, действующаго на верхнее начало арки.
Въ дальн^йшемъ придется очень часто встречаться съ некоторыми вели
чинами, который будемъ обозначать следующимъ образомъ:
L, I . . f. . . к. - • \ . 2(р . . d . . . D . . . е . . . Е . . . г . . . Я . . . т1 . .
[I . . . 0 . . . б .. . It . . . К. . . Q . . . N. . . Т . . . я. . . m, mtr . т2, mtr2 ст . . ст2 . . t, tn . . kg . kgmtr kg/ст2
. пролетъ свода.
г подъемъ
. высота опоръ ниже пятъ свода.
. „ стенъ выше пятъ
. уголъ при центре.
. толщина въ ключе свода.
. „ въ начале „
опоръ у пятъ свода.
„ „ у основашя.
. рад!усъ внутренней направляющей.
внешней
. коэффищентъ прочности.
„ устойчивости.
„ трешя.
. уголъ трешя.
. величина осадки свода.
. коэффиц ентъ прочнаго сопротивлешя сжат!ю.
„ „ „ растяжешю.
. распоръ свода.
. нормальная составляющая давлешя.
. тангенщальная составляющая давлешя.
. полярное разстояше.
. метръ.
. квадр. метръ.
. сантиметръ.
. квадр. сантиметръ.
. тонна.
. киллограммъ.
. киллограммометръ.
. киллограммъ на квадр. сантиметръ.
В. ПодраздЪлеже сводчатыхъ покрылй.
Все разнообраз!е встречающихся въ зодчестве сводчатыхъ покрылй мо-жетъ быть приведено черезъ ихъ расчленеше къ сочеташю двухъ основныхъ РОДОВЪ СВОДОВЪ, 0браЗуЮ1ЩЯ КОИХЪ СУТЬ Либо ПрЯМЫЯ ЛИШИ, ЛИбо ПЛОСК1Я кривыя.
Эти основные роды сводчатыхъ покрылй суть:
1) Цилиндрическ1е арки и своды, имеющ!е образующими пря-мыя лиши.
2) Сферическ1е своды, имЪюцце образующими плосюя кривыя лин1и.
Те и друпе своды разделяются еще на несколько видовъ, которые въ свою очередь имеютъ еще производныя формы.
Комбинащи родовъ, видовъ и ихъ производныхъ формъ даютъ богатое разнообраз!е сводчатыхъ покрылй, для расчета которыхъ необходимо уметь разобраться во всемъ покрыли и расчленить его на элементы, поддаюгщеся более или менее точному расчету.
1. Цилиндричесше своды.
Къ нимъ относятся:
а. Собственно цилиндричесюе своды и арки.
Эти последше въ свою очередь подразделяются на:
1) Полные полуциркульные.
2) Сжатые (лучковые) полопе.
3) Сжатые (лучковые) плосюе.
4) Плосюе или перемычки.
5) Коробовые.
6) Овальные.
7) Овоидальные.
8) Эллиптичесше.
— 6 —
9) Параболичесюе.
10) Ползуч1е (косуля).
11) Стрельчатые, ланцетные, англшсюе, нюренбергсюе.
12) Сходялце.
13) Вспарушенные.
14) Кольцевые.
15) Косые.
16) Коничесюе.
17) Винтовые.
Ь. Сомкнутые (монастырсюе) своды.
Эти своды подразделяются на:
1) Цилиндрическ1е или простые.
2) Плосюе.
3) Готичесюе.
4) 1езуитск1е.
5) Сложные. •
с. Парусно-сомкнутые своды.
d. Лотковые.
е. Зеркальные.
f. Крестовые своды.
Эти виды сводовъ подразделяются на:
1) Цилиндричесюе или простые.
2) Сложные.
3) Готичесюе.
4) Ползуч1е.
5) Вспарушенные.
д. Готичесюе крестовые на нервюра?сь.
h. ЗвЪздчатые своды.
i. СЬтчатые своды.
j. Веерные своды.
— 7 —
2. Сферичесюе своды.
Къ этому роду сводовъ относятся:
а. Купольные своды.
Эти своды въ свою очередь подразделяются на:
1) Шаровые.
2) Эллиптическ1е.
3) Плосюе.
Ь. Парусные своды.
Эти своды разделяются на:
1) Полные
2) Плосюе-богемсюе.
с. Бочарные своды.
d. Паруса.
е. Полукупопа.
Оставляя безъ разсмотрешя образоваше сводовъ, производство работъ и ихъ кладку, какъ относящееся къ курсамъ архитектуры и строительнаго искусства, дадимъ ниже эмпиричесюя формулы и расчеты главныхъ типовъ арокъ и сводовъ.
С. Эмпиричесшя формулы для проектирования сводчатыхъ покрыты.
Для начертажя сводчатыхъ покрыли и придан!я имъ необходимыхъ раз-мЪровъ служатъ эмпирически формулы, выведенныя по существующимъ со-оружешямъ. Когда главные размеры сводчатыхъ покрыты (пролетъ и подъемъ свода, а также высота стФ>нъ) и характеръ ихъ установлены и контуры нанесены на бумагу, тогда по эмпирическимъ формуламъ опредЪляютъ толщину покрыли и размеры ихъ опоръ.
1. Ярки.
Въ полу-
Подъемъ арокъ f дФшаютъ въ зависимости отъ ихъ пролета L.
циркульныхъ: f=^ въ пологихъ отъ f~^L до f=^-L и въ возвы-шенныхъ:
дугъ окружностей, по которымъ очерчены арки, определяюсь по формуламъ:
Радтусъ г
Черт. 1.
г
— точно
приблизительно,
8
п
и г = -
2
. L .
где п = у обратное отношенте подъема къ пролету.
Определенное по приведеннымъ форму-f 1 т
ламъ г, при — = —-, почти равно откуда JLi 15
заключаемъ, что для очертаюя пологихъ арокъ необходимо построить на пролете подъ пятами равностороннш треугольникъ (чер. 1) верши-нижней вершины рад!усомъ равнымъ пролету, какъ изъ
ной, внизъ, и изъ центра, описать дугу.
— 9 —
Подъемъ дуги
и длина дуги*)
Для плоскихъ перемычекъ, не имФ»ющихъ подъема, по правилу профессора
Крейтера *) (чер. 1) толщина и воображаемый подъемъ берутся по формуламъ.
t d
—-—- и т = —
10 2
т.-е. воображаемый подъемъ арки делается равнымъ половин^, толщины плоской перемычки.
Арки делаются длиной во всю толщину стФ>ны, толщина же кирпичныхъ арокъ въ ключЪ делается, следуя ниже приведенной таблиц-Ь.
Таблица № 1.
Пролетъ L въ метр. Толщина кирпичныхъ арокъ въ ключе и въ пятахъ. ПримкчаИй.
Арки полуциркульный. Арки возвышенный и стрельчатый. Арки полопя до ^=‘/8 L.
до 2 mtr 1—кирп. 1 кирпичъ. d = У2 кирп. Размеры въ кирпичахъ.
2—3,5 mtr I1/2—2 кирп. 1—V/gKHpn. > кирп. Р = 2 J d — 2 1 Для арокъ при L > 8,5 метр, но < 11,5 метр, толщину бе-
3,5—5,5 mtr 2—2!/з кирп. 1^2—2 кирп. а. Ь II II ю ю гс" Я S □ рутъ въ зависимости отъ ве- личины нагрузки отъ до Vlo
5.5—8,5 mtr 21/2 кирп. 2—21/2 кирп. > кирп. л = з I отъ пролета.
Толщина арокъ изъ тесаннаго камня твердыхъ породъ делается равной :|/4 отъ размФ>ровъ кирпичныхъ. Приведенные размеры можно принимать, какъ максимальные; при небольшой нагрузкФ», а также при хорошей кладкФ» на це-ментномъ раствор^» размеры можно уменьшить.
Размеры нагруженныхъ арокъ при высоте. опоръ \ не более 2,5 метровъ принимаютъ для:
‘) Wanderley. Die Konstruktion in Stein.
10 —
Стр'Ьльчатыхъ и возвышенныхъ арокъ
1
Полуциркульныхъ
°ТЪ 54, Д° 6
1 отъ — до о
5‘А
2
Пологихъ при
Плоскихъ
F не менее 4 L .
4
F не менее i L.
1
отъ — до 4
отъ
до
отъ
1
з до
1
2
1
mtr необходимо найденную
При высота опоръ ht более 2,5 1 величину пятъ свода увеличить на — ея. При нагруженныхъ опо-6
рахъ или выпускныхъ пятахъ арокъ указанные размер можно уменьшить.
Примечание. Эмпирически формулы для арокъ могутъ быть приложены и для сводовъ и, наоборотъ, эмпирически формулы цилиндрическихъ сводовъ могутъ быть приложены и для арокъ.
2. Своды.
Для определения размЪровъ различныхъ сводовъ и ихъ опоръ служатъ эмпирически формулы, составленный преимущественно для цилиндрическихъ сводовъ и притомъ, главнымъ образомъ, для полуциркульныхъ; величины нагрузки сводовъ имЪютъ существенное значеше.
Различаюсь: а) своды ненагруженные, т.-е. своды, несулце лишь свой собственный в'Ьсъ; своды эти не испытываюсь дф>йств!я временной посторонней нагрузки; къ категорш этихъ сводовъ относятся церковные своды и своды верхнихъ этажей зданш; Ь) своды слабо нагруженные, несущее свой собственный вФ>съ и испытываюгще нагрузку половъ жилыхъ помФ>щенш; сюда относятся междуэтажный покрыпя; с) своды сильно нагруженные, подверженные большимъ нагрузкамъ и сотрясешемъ; сюда относятся крепостные и мостовые своды.
Изъ всехъ сводовъ наиболее изучены мостовые; составленный для нихъ таблицы и эмпирически формулы послужили основажемъ для составлешя фор-мулъ и для менее нагруженныхъ сводовъ.
Приведемъ эмпирически формулы и правила для проектировали сводовъ, следуя приведенному выше перечню типовъ сводовъ.
а. Цилиндричесюе своды.
I. Собственно цилиндричесше своды.
Толщина свода въ ключе можетъ быть определена по формуле Шварца*), которая даетъ эту величину въ зависимости отъ пролета и подъема свода, отъ нагрузки на сводъ и прочнаго сопротивлешя сжат!ю матер1ала свода.
Пусть L — пролетъ f — подъемъ d —толщина
свода въ метрахъ, свода въ метрахъ, въ ключе въ метрахъ,
Р— нагрузка и собственный весъ, приходягщеся на площадь:
-2 XI mtr,
т.-е. на прямоугольникъ, одна сторона котораго
есть одинъ метръ, а другая — полпролета.
к — прочное сопротивлен1е сжат1ю матер!ала свода въ килограм-махъ на одинъ квадратный метръ.
Формулы Шварца имеютъ следуюпий видъ:
L,
и
где а — коэффищентъ, зависяпцй отъ услов!я нагрузки сводовъ, при чемъ:
а —0,05 — для сводовъ слабо нагруженныхъ (церкви и потолки верхнихъ этажей),
а — 0,10 — для сводовъ средне нагруженныхъ (жилыя помещешя),
а = 0,20 — для сводовъ сильно нагруженныхъ (склады и пр.).
Къ пятамъ толщина тела свода увеличивается, следуя формуле:
। д / длина любого шва* наклоненнаго къ вершинамъ подъ угломъ <рп.
II । (|. рмуламъ Ронделе при пролете отъ 1 до 40 mtr толщина d свода • । i>'*il. 1вна:
d = а (0,01 L 0,08) mtr, ini < к »ффиц1ентъ, зависяпцй отъ услов1я нагрузки сводовъ: < 1 in I I довъ ненагруженныхъ,
< „ „ средне нагруженныхъ,
а I „ „ сильно нагруженныхъ.
’) Wml iL y. । I Коп truktion in Stein.
— 12 —
По формуле Лескилье: _____
d~ (0,2]/Z-[-0,l) mtr,
По формуле Ранкина: 0,346]/r mtr,
По формуле Кёрнеръ: 7_____________________________ 2г
d~ 17?544
или г d=- mtr.
Толщина пять цилиндрическихъ сводовъ можетъ быть определена по формуле въ метрахъ:
\Ll3>L-f\
е = \8^+Л+0’3 + т/+^
где \ высота опоръ свода, а
/? — 0 при \ < 3 mtr,
h *
& = ~ при 8 mtr > \ > 3 mtr, 8
1г
при h± > 8 mtr.
Если опоры ненагружены сверху, то необходимо ставить связи и делать укреплешя опоръ; въ обратномъ случае, когда опоры сильно нагружены и надъ ними имеется несколько этажей, опоры можно делать тоньше. Забутка дово-
2 1
дится обыкновенно до - а выпускныя пяты делаются около - f.
о О
Н) Полуциркульные (полные), возвышенные (коробовые и стрельчатые) своды и сжатые— t 1 । полоне своды до т= - L.
э
Толщина такихъ сводовъ въ ключе d и въ начале D делается
7 1 т I
d ~ — -L \
36 I при забутке
— — L I до П0Л0ВИНЬ1 свода по высоте.
32 I
d = D = L при забутке всего свода по высоте.
48
Толщина пятъ делается равной:
для полуциркульныхъ сводовъ
отъ е = д L до e — d- L , 6 5/2
— 13 —
для возвышенныхъ сводовъ
р 1 т г 1 т отъ e~o-—L до е = о • — L , 7 6
для пологихъ сводовъ
отъ е = д L до р — д • ^-L , 5 4
9 7
зд'Ьсь d— 1 при 7ц < 3 mtr и отъ d =— до д ~ & при 7ц > 3 mtr.
Для ненагруженныхъ сводовъ обыкновенно берутъ:
при L < 4 mtr d~ D кирпича,
„ L = 4 „ d — D = 1 кирпичъ,
„ 8 mtr > L > 4 mtr d = 1 кирп. и D = 2 кирп. или d = D = 1 кирпичъ,
но при этомъ черезъ каждые два метра устраиваютъ гурты вверхъ, возвы-
шая ихъ
1 О 1
на — кирпича, ширина гуртъ Ъ — 1 кирпичу.
Для нагруженныхъ сводовъ принимаютъ
при L < 4 mtr d — D = 1 */2 кирпича,
„ Z —5 „ d=D= 1т/2 кирп. и гурты,
„ L — 6 „ d ~ D —2 кирпича,
„ L = 7 „ d — D=^2 кирп. и гурты.
Вообще гурты делаются другъ отъ друга на разстоянш 2\2 до 372 mtr и имъ даютъ ширину и высоту отъ Р/2 до 3 кирпичей.
В) Сжатые плоские своды (npyccxie).
При пролетЪ L < 3 метровъ подъемъ этихъ сводовъ берутъ отъ
/ L до f= \ L, при чемъ подъемъ въ } L дЪлаютъ рФ>дко, но чаще отъ 12 6 6
1 , 1 т 1 т
I до Z и обыкновенно берутъ около - L. 1'10 о
И| и 7 3 метровъ берутъ подъемъ при обыкновенной нагрузкФ» комнатъ
। 1 7 до при большой нагрузка f=^-L.
6 6
11ри 1t mtr > L > 1 mtr подъемъ берутъ отъ f ~ -- L до F ~^-L .
пцин г 1-усскихъ сводовъ обыкновенно делается:
при / 2'Л mtr d = D = кирпича,
и /. 3 и <7 = JD = У2 кирпича и гурты,
и L 4 1» <1 = 72 кирп. D — 1 кирпичъ,
L- 5 II (!= D = 1 кирпичъ.
— 14 —
Гурты делаются черезъ разстояже: отъ 2х/2 до 3\2 mtr, при чемъ ширина и толщина гуртъ делается:
при 3,5 mtr>L>2 mtr отъ до 2 кирпичей, „ 6 mtr > L > 372 mtr отъ 2 до 2У2 кирпича, „ 8,5 mtr > L > 6 mtr отъ 2У2 до 3 кирпичей.
При ненагруженныхъ прусскихъ сводахъ толщина ихъ можетъ быть доведена до У4 кирпича.
Толщина опоръ прусскихъ сводовъ делается не менФ>е Р/2 кирпичей и находится въ зависимости отъ пролета и подъема.
Пролетъ этихъ сводовъ обыкновенно делается редко больше 3 метровъ.
II. Сомкнутые и парусно-сомкнутые своды.
Размеры въ ключе и въ начале этихъ сводовъ берутъ по формуламъ для цилиндрическихъ сводовъ тФ>хъ же пролетовъ. Толщина опоръ при перекрытш квадратнаго пространства делается одинаковая и равная 2/3 отъ толщины опоръ цилиндрическихъ сводовъ того же пролета, если же перекрываемое пространство прямоугольное, то толщина опоръ берется т^же кругомъ одинаковой и равной 3/4 толщины опоръ цилиндрическаго свода, соответствующая большей изъ двухъ сторонъ прямоугольника.
Въ этихъ сводахъ при пролете
L < 5 mtr берутъ d = 72 кирпича, при L > 5 mtr „ d = 1 кирпичъ.
Пролеты свыше 6 метровъ рЪдко перекрываются этими сводами.
III. Лотковые своды.
Размеры этихъ сводовъ опредФляютъ согласно правиламъ для цилиндрическихъ и сомкнутыхъ сводовъ.
IV. Зеркальные своды.
Размеры этихъ сводовъ опредФ>ляютъ также по правйламъ цилиндрическихъ сводовъ.
1 1
Подъемъ зеркала f = — L и толщина зеркала d ~ — L делается обык-Зи 1 о
новенно въ 72 кирпича, где L пролетъ зеркала, который д'Ьлаютъ не бол£>е З1/^ метровъ. Нагрузка на эти своды не допускается.
V. Крестовые своды.
Своды эти устраиваютъ съ гуртами и безъ гуртъ, прямые и вспарушен-ные, полуциркульные, сжатые, стрельчатые и возвышенные.
— 15 —
Гурты бываютъ кирпичные и изъ камня твердой породы; въ первомъ случай ихъ дЬлаЮТъ отъ 1 до 2 кирпичей шириной и отъ Р/2 до 2 кирпичей высотой; к 1мнимъ же придаютъ размеры отъ 30X15 ст до 50X60 ст. При гурт.чхъ си । 1 (столбы) делаются тоньше.
« 1 1 п.г /шенность делается для возвышенныхъ сводовъ отъ — до — Д1а-
1 1
। ли, j дл' сжатыхъ отъ — до - - д!агонали; при перекрыты многоугольника .ZU 1 О
11 .
। zn.ipyin ни ь крестоваго свода берется отъ — до — половины наибольшей
дЬп и * и
Пр । и,! крестовыхъ сводовъ бываютъ отъ Р/2 до 18 mtr, но обыкно-। in и| г |Ъ дЪлаютъ не больше 3 mtr.
пщин । свода делается: у полуциркульныхъ и возвышенныхъ кривыхъ
। I I I (I
1
40
r 7 1 т
L , у плоскихъ крестовыхъ сводовъ d = •— L .
ии
л шина опоръ (столбовъ) крестовыхъ сводовъ делается: при высота опоръ //f Мптровъ,
полуциркульныхъ сводахъ • 1 е= е = -L для ненагруженныхъ, 1
5L для нагруженныхъ,
е — '-L для ненагруженныхъ,
въ сжатыхъ сводахъ < 1
с — р для нагруженныхъ,
въ возвышенныхъ сводахъ J « = для ненагруженныхъ,
1 т
е = р для нагруженныхъ,
гдГ L длина д!агонали перекрываемаго пространства.
При высота опоръ \ > 3 метровъ толщина опоръ определяется по тФ>мъ.
ж 1 1
•к пр .виламъ, но размъры увеличиваются на или — наиденои величины.
10 о
I шина ненагруженныхъ крестовыхъ сводовъ делается въ У2 кирпича при iif । т I не более 6 метровъ и при гуртахъ, сложенныхъ на цементе,- гурты д! И4Ю1 । н I кирпичъ толще самаго свода.
11 nt пролете Z<6 метровъ толщина свода d — D~ 1/2 кирпича, и coil । и in । юлщина гуртъ 1 кирпичъ.
При ' mtr L >6 mtr толщина свода d^1^ кирпича, D~1 кирпичъ, при < м лщина гуртъ t = 1 кирпичъ, Т— Р/2 кирпича. Въ техъ случаяхъ, когд д 1ин пролета увеличивается до пределовъ 18 mtr > L > 9 mtr, толщина свод । достиг тъ следующихъ величинъ d — 1 кирпичъ, В - Р/2 кирпича, для гур । t Р/. кирпича, Т=2 кирпича, где t и ^высота гуртъ у ихъ вершины и начала.
VI. Готичесше-крестовые своды на нервюра^ъ. СЬтчатые, звЪздчатые, вЪерные своды.
Своды эти делаются на гуртахъ, размеры ихъ берутъ по правиламъ кре-стовыхъ сводовъ, при чемъ гурты разделяются на главные^>(начиная отъ 1X1 кирпича) и боковые (начиная отъ 1 X У2 кирпича и сильнее); запалубки этихъ сводовъ делаются въ У2 и 3/4 кирпича. Толщина опоръ е = / отъ Л- до
Ь. Сферичесюе своды.
I. Купольные и полные парусные своды.
При пролете L < 5 mtr d = D — У2 кирп., при 8 mtr > L > 5 mtr d = 1/2 кирп. D = 1 кирпичъ, при 12 mtr > L > 8 mtr d=l кирп. кирпича.
Опоры по Ронделе делаются:
1 г 1
отъ е = — L до е = — о о
L.
Парусные полные своды делаютъ пролетомъ не более 6 mtr.
II. Парусные-nonorie (богемсюе) своды.
Своды эти делаютъ съ подъемомъ
отъ f = ^~L до f=^—L и выше. 1 £ о
Своды съ подъемомъ
f<
— L зазываются плоскими богемскими.
Наибольлнй
пролетъ этихъ сводовъ вообще не более 6 mtr.
При L < 3 mtr d = D = % кирпича,
„ L > 3 mtr d — У2 кирп. D — 1 кирпичъ.
При L < 3 метровъ и при отсутствш нагрузки можно делать d = У4
кирпича.
Опоры делаютъ кругомъ одинаковый отъ е = — L до — L.
III. Бочарные своды.
Подъемъ ихъ делаютъ
отъ f=—L f = —L\ при L > 3 mtr. 7 О
Подъем!, делается не мгнЬе Л и толщина свода
кирпич ь.
1
I Н1НИН.1 I I прИНИМ I' I »l p.JHH'il ОТЪ < /.до
о
кирпича и D — 1
\ L, но дЪ-4
Н.’1Г | • Н II»' hr 11 21 , кирпич.I
IV. Паруса.
II . п| ikihkI юлщину парусовъ берутъ равную толщине барабана, делая
Имог ДА
немного более этой последней, иногда меньше ея, расчитывая при
Черт. 2.
ность и устойчивость
этомъ на запарусную забутку или, возлагая надежды на железныя связи, закладываемый въ толще паруса.
Кроме того, применяется слЪдующ!й графически пр!емъ, дающ!й, какъ толщину паруса, такъ и размеры надпаруснаго кольца. На д!аго-нальномъ разрезе паруса ааг (чер. 2), описан-номъ рад!усомъ г изъ центра 0t показана стена барабана толщиной /9; изъ точки а пересечешя внутреннихъ поверхностей паруса и барабана проводимъ горизонталь ab до пересечешя съ внешней стеной барабана въ точке 6. Затемъ проводимъ ОЬ и отмечаемъ точку с, изъ которой проводимъ вертикаль cd и откладываетъ cd -ef ab = /9; длина be есть искомая толщина паруса, а фигура cbfea — разрезъ надпаруснаго кольца.
Примечание. Приведенными эмпирическими формулами и правилами должно пользоваться лишь для предварительнаго начерташя сводчатаго покрьтя; проч-какъ отдельныхъ элементовъ, такъ и всего свод-
чатаго покрьтя въ совокупности должны быть проверены расчетомъ въ каждомъ отдельномъ случае * **)).
5. Размеры выполненные сводовъ *♦).
1) Соборъ въ Шпейре — въ романскомъ стиле; полуциркульный крестовый сводъ, пролетъ 12 mtr, высота собора внутри 28 mtr, толщина свода 28 ст.
*) Это примЪчаже относится ко всему отделу объ эмпирическихъ формулахъ
**) Debo. Beitrag zu den Gewolbekonstruktionen.
Расчетъ сводовъ.
2
— 18 —
2) Майнцкш соборъ—въ романскомъ стиле: полуциркульный крестовый сводъ, пролетъ 14,4 mtr, высота собора внутри 35,5 mtr, толщина свода 60 ст.
3) Кельнскш соборъ—въ готическомъ стиле: пролетъ 13,2 mtr, высота собора внутри 48 mtr, подъемъ свода 10,5 mtr.
Гурты изъ штучныхъ камней, размерами въ видимой части: ширина 54 ст, высота 49 ст.
4) Страсбургский соборъ—въ готическомъ стиле: пролетъ 14,5 mtr, высота собора внутри 31 mtr, подъемъ свода 9,8 mtr.
5) Ульмскш соборъ — въ готическомъ стиле: полуциркульные сетчатые своды, пролетъ 15 mtr, высота собора внутри 41 mtr, подъемъ 9,4 mtr, толщина свода 15 ст.
6) Соборъ Санта Mapin дель Фюре во Флоренщи построенъ въ 1296 году: готичесюе крестовые своды, въ средней части съ пролетомъ 18 mtr и съ подъемомъ въ 11 mtr, высота собора внутри 37 mtr; куполъ, построенный въ 1420 году, д!аметромъ въ 43 mtr, высота до замка купола надъ фонаремъ 8,3 mtr.
7) Церковь Св. Марка въ Ганновера построена въ 1359 году: готичесюе крестовые своды; средняя часть имФ>етъ пролетъ 8,25 mtr, и высота внутри 19,37 mtr, две боковыя части имЪютъ пролетъ 6,07 mtr; средняя часть отделяется отъ боковыхъ круглыми колоннами д!аметромъ въ 1,97 mtr. Пролетъ дугъ вдоль здан1я 7,30 mtr. Высота поперечныхъ гуртъ средней части 6,13 mtr, а высота нервюръ отъ 7 до 7,6 mtr при пролет^ въ 11,20 mtr. Гурты изъ фасоннаго кирпича 31 ст высотой, 21 ст шириной и 8,3 ст толщиной; нервюры изъ такихъ же кирпичей 28 ст высотой, 18 ст шириной и 8,3 ст толщиной. Распалубки сводовъ кирпичныя съ подъемомъ въ 1,20 mtr. Толщина лотковъ 12,5 cm отъ начала до 2/3 высоты (до забутки), а далее до вершины 8,3 ст.
8) Церковь Христа въ Ганновере: готическш крестовый сводъ, пролетъ .8,82 mtr, подъемъ 5,74 mtr. Распалубки толщиной 13 ст изъ пори-стаго кирпича.
9) Церковь Св. Павла въ Ганновере: готическш крестовый сводъ, пролетъ 11 mtr; распалубки 12 ст изъ пористаго кирпича.
D. О расчет^ сводчаты^ъ покрыли.
К гда сооружеше съ сводчатыми покрытиями скомпановано и необходимы разрезы его выполнены то, опредФ>ливъ размеры арокъ, сводовъ и ихъ пирь по эмпирическимъ формуламъ, приступаютъ къ пров'Ьрочнымъ расче-। IM । Все покрыт1е расчленяютъ на элементарный сводчатыя покрыпя и опре-* 1 ляютъ внЪшшя силы: собственный вФ>съ всФ>хъ частей и временный нагрузки I ! ветра и снега, отъ толпы людей и т. д.
Самый расчетъ можно вести аналитически и графически; во второмъ случай все временный нагрузки приводятъ къ матер!алу свода, т.-е. вычисляють, выполненные изъ матер!ала свода, объемы, B'fecd которыхъ были бы эквивалентны даннымъ нагрузкамъ; приведенный нагрузки предпологаютъ распределенными по поверхности свода такъ, чтобъ дф>йств1е ихъ было бы одинаково съ де>йств1емъ самихъ нагрузокъ. Точно такъ же веса частей зданш, вы-полненныхъ изъ матер!ала иного, чЪмъ сводъ, приводятся тоже къ объемамъ, выполненнымъ изъ матер!ала свода, веса которыхъ были бы тоже эквивалентны вЪсамъ самихъ частей. Въ последнемъ случае можно при графическомъ расчете ограничиться лишь действ!ями надъ площадями, выражающими на чертеже какъ сводъ, такъ и нагрузки, приведенные къ матер!алу свода, не переводя ихъ на объемы и на веса; переходъ отъ площадей къ объемамъ и весамъ необходимо сделать, только одинъ разъ по получены результата графическая расчета,—для окончательнаго выяснен1я прочности и устойчивости какъ элемен-тарныхъ сводчатыхъ покрыты, такъ всего сводчатаго сооружежя.
Наблюдешя надъ разрушившимися сводчатыми покрыпями устанавливают^ что:
1) существуютъ опасные швы или плоскости, по которымъ чаще всего происходитъ разрушеше;
и 2) разрушешя эти происходятъ, будучи вызваны:
а) дроблешемъ матер1ала свода,
Ь) вращешемъ одной части около другой, с) скольжешемъ одной части по другой.
Для выяснешя произойдетъ ли разрушеше свода или нетъ, необходимо проверить прочность и устойчивость свода въ опасныхъ швахъ, имея въ виду, во-первыхъ, надлежащш запасъ прочности матер!ала свода и, во-вторыхъ, вполне устойчивое равновес1е своца.
Проверка прочности въ опасныхъ швахъ производится по формуламъ со-
2*
— 20 —
противлешя матер!аловъ, какъ въ опасныхъ сЪчешяхъ, а проверка устойчивости заключается, во-первыхъ, въ определены момента устойчивости частей-свода въ опасныхъ швахъ и, во-вторыхъ, въ сличены величины силъ сдвигаю-щихъ и удерживающихъ въ тЪхъ же швахъ.
1. Коэффиц1ентъ устойчивости.
Устойчивость равновес!я характеризуется коэффиц!ентомъ устойчивости, введеннымъ въ Teopira сводовъ впервые французскимъ инженеромъ-Оду а въ 1820 году.
ОднФ> изъ силъ, приложенный къ частямъ сводчатаго покрьтя будутъ способствовать устойчивости сооружешя, а друпя силы будутъ, наоборотъ, стремиться вывести его изъ равновес!я.
Назовемъ равнодействующую разрушающихъ (опрокидывающихъ или сдви-гающихъ), иначе активныхъ, силъ черезъ А, а равнодействующую сопротивляющихся, иначе пассивны хъ, силъ черезъ Р.
Означимъ черезъ [t коэффищентъ трежя матер!ала свода; черезъ F и Ж плечи силъ А и Р относительно точки, вокругъ которой можетъ иметь место вращеюе одной части свода относительно другой.
Для мгновеннаго равновес1я необходимо: 1) чтобы моментъ пассивных'ь силъ, или, такъ называемый, сопротивляются моментъ
Мс^ Р. W
былъ равенъ моменту активныхъ силъ или, такъ называемому, опрокидывающему моменту
Мо^ A.V, т.-е. чтобы откуда Р . W А V
и 2) чтобы сила треюя равнодействующей пассивныхъ силъ P/z была равна равнодействующей активныхъ силъ А, т.-е. чтобы
Р^ А.
Для устойчиваго же равновеая необходимо существоваше неравенствъ*
где коэффищентъ устойчивости, который во всякомъ случае дол-женъ быть больше единицы
При этомъ необходимо заметить, что коэффищентъ устойчивости служитъ не только для того, чтобы сообщить сводчатому сооружешю известный избы-токъ устойчивости, но и для того, чтобы ослабить вл!ян!е некоторой неточ-
— 21 —
•ности, могущей иметь место при проверке прочности и устойчивости сводовъ, • не подчиняющихся безусловно точнымъ расчетамъ.
Инженсръ Оду* нычислилъ коэффищенты устойчивости для сводовъ, надежность кот । док.мана ихъ долговечностью, и нашелъ, что величина коэффиш нм у< ичин-сти для такихъ сводовъ колеблется между 1,5 и 2.
При »т мн для । д в мостовыхъ и подверженныхъ непосредственному д‘ нс ri-« <р<м«ннихъ нагрузокъ
т2 = 1,8 до 2,
ди । юдон гражданскихъ сооружена, несущихъ въ большинстве случаевъ лиш н й собственный весъ и защищенныхъ отъ действия временныхъ нагрузокъ
= 1,4 до 1,8.
2. Методы расчета.
Что касается до расчета сводовъ, то до послЪдняго времени н-Ьтъ точ-наго метода расчета, темъ более, что до сихъ поръ неизвестенъ законъ рас-пределешя напряжентй въ теле свода.
По справедливому замечание М. Ю. Анрольда *): хотя и прошли тысячи-лет!я съ техъ поръ, какъ строители стали употреблять своды для перекрьтя пролетовъ, при чемъ формы применяемыхъ сводовъ и арокъ разнообразны до безконечности и общеупотребительность ихъ повсеместная, темъ не менее и по настоящее время нетъ части постройки, которая такъ мало была бы наследована теоретически и такъ упорно ускользала бы отъ строгаго и точнаго ма-. тематическаго изследовашя какъ сводъ. Несмотря на множество предложен-ныхт^теорш сводовъ, до сихъ поръ, точное и положительное распределен!е усишй въ сводахъ не известно.
Каждый новый изследователь начинаетъ съ того, что обнаруживаетъ несостоятельность теорш своихъ предшественниковъ и предлагаетъ свою, въ основаше которой положена, опять-таки, какая-либо произвольная гипотеза или неопределенность. Притомъ, не редко, полученные при помощи новой теорш, выводы поражаютъ самихъ же изследователей, которые вследств!е этого принуждены бываютъ исправлять свою теор1ю какою-либо поправочною более или менее вероятною гипотезою для согласовашя предложенной теорш съ практикою.
Изъ всехъ методовъ расчётовъ сводовъ наиболее заслуживаютъ внимашя два. Одинъ более элемантарный и менее точный: способъ предельнаго равновес!я, и другой наиболее научно-обоснованный и наиболее верный: способъ наименьшей работы деформац!и, основанный на законахъ упругости.
Авторы научно-обоснованныхъ методовъ расчета, выведенныхъ при помощи закона упругости и въ частности закона Гука, предполагаютъ, что сводъ вы-полненъ изъ упругаго монолита.
9 „Зодч1йи, 1878 г., № 11. Статья „О равновесии клина“ М. Ю. Анрольда.
— 22 —
Но авторы, пытающиеся решить задачу элементарнымъ путемъ на основами наблюдеМй надъ возведенными постройками (уцелевшими и разрушившимися), а также на основами опытовъ надъ моделями, указываютъ, что пред-положеМе о монолитности не верно и что сводъ нельзя разсматривать какъ однородное упругое тело; т’Ьмъ не менее авторы эти въ свои расчеты совершенно не вводятъ вл!яМе указываемой ими неоднородности (немонопитности) сводчатыхъ покрыты.
Однако послФ»дМя лабораторный изслЪдоваМя, а также произведенные Обществомъ австршскихъ инженеровъ архитекторовъ болыше опыты въ 1891—92 годахъ указываютъ, что къ матер!аламъ сводовъ вполне приложимы законы упругости; вслФ>дств!е этого теор!я сводовъ, основывающаяся на теорш упругости, рЪшаетъ вопросъ съ достаточной степенью точности и для согла-соваМя съ действительностью въ поправкахъ и гипотезахъ не нуждается.
3. Данныя для расчета.
а. Собственный вЪсъ матер!апа и засыпки сводовъ *),
Въ приведенной ниже таблице указаны веса матер!аловъ, чаще всего применяющихся при кладке сводовъ.
Таблица № 2.
МАТЕР1АЛЪ. В-Ьсъ 1 куб. метра въ килограммахъ.
1600
Земля и глина
Песокъ
Инфузорная земля (трепелъ, кизельгуръ)
1800
430
Кирпичная
кладка
изъ
сплошного
кирпича
1600—1800
»
»
пористаго
полаго
1000—1200
1300
Кладка
изъ
пористаго
известняка
полаго кирпича
900
2600
песчаника
2400
У)
мрамора или гранита
2700
Бетонъ
въ
зависимости отъ матер!ала щебня
1800—2400
п
*) Изъ постановлена прусскаго министерства публичныхъ работъ 16 мая 1890 года.
Въ России нормъ для нагрузокъ пока нЪтъ.
— 23 —
b. ВЪсъ церковные главокъ.
ВЪсъ церковныхъ главокъ (стропила, кровля и крестъ), включая вФ>съ сн^га и давлеше вЪтра на квадратный метръ горизонтальной проекщи площади барабана (по наружному его д!аметру) равенъ:
180 килогр. по даннымъ М. А^фольда (Зодчш 1876) и проф. В. Бернгарда (Зодчш 1900).
325 килогр. по даннымъ В. А. Косякова.
(Постройка храма подворья Юево-Печерской лавры въ Петербург^).
Въ среднемъ можно принять 250 kg/mtr2.
с. Временная нагрузка.
За временную нагрузку принимаютъ, какъ и для прочихъ сооружена: давлеше в^тра, сн^гъ, толпу людей, в'Ьсъ товара для складовъ и т. д.
d. Коэффищентъ и уголъ тремя.
Коэффищентъ трешя р сухого камня по камню по опытнымъ даннымъ:
4и<0,75, что соотвк>тствуетъ углу трешя
е <37°,
но имЪя въ виду, что при раскружаливанш растворъ свода можетъ быть еще мягкимъ и играть роль смазки, необходимо для осторожности уголъ скольжения считать меньше, а именно:
0<ЗО°,
чему соотв-Ьтствуетъ коэффищентъ трешя
= 0,57735.
MHorie авторы совФ>туютъ считать
е <25°,
М исъ Леви рекомендуетъ вводить въ расчетъ
0<15°.
1 ф ссоръ Ясинсюй вводилъ въ расчеты
0<22°,
чему соотв I тст уетъ коэффищентъ трешя
= 0,40.
Эту последнюю величину и будемъ принимать при нашихъ расчетахъ.
— 24 —
е. Прочное (допускаемое) сопротивление и коэффищентъ прочности.
Имея въ виду неоднородность матер!ала сводовъ и не вполне научно-
поставленную ихъ теор!ю, принимаютъ
1
для матер1ала сводовъ равнымъ отъ -
или двадцати-кратную надежность.
коэффиц!ентъ прочности
1
до —, т.-е. принимаютъ тридцати-
Кроме того, необходимо принять во внимаше прочность покрыпя, какъ при полной нагрузка собственнымъ весомъ и внешней нагрузкой (постоянной и временной), такъ и прочность покрыпя при раскружаливаши, когда растворъ можетъ быть еще не вполне» окрЪпшимъ. Въ помещенной ниже таблице въ
первомъ столбце приведены коэффищенты прочнаго сопротивлешя согласно постановлешямъ Прусскаго Министерства отъ 16 мая 1890 года, каковые вполне
подходятъ и къ нашимъ услов!ямъ.
Напряжешя эти могутъ быть допущены при условш, что полная нагрузка раскружаленнаго свода произведена будетъ не ранее, какъ черезъ 3 месяца после того, какъ покрыпе было сведено, что большею частью имеетъ место на практике. Въ томъ случае, когда полная нагрузка свода ожидается раньше чемъ черезъ 3 месяца после раскружаливашя свода, то коэффищенты прочнаго сопротивлешя должны быть приняты меныше, такъ какъ растворъ кладки въ это время еще не вполне окрепъ.
Хотя опытами не установлена степень сказаннаго уменьшешя, темъ не менее можно принимать при расчетахъ числа, помещенный во второмъ столбце таблицы.
Таблица № 3 *)
допускаемыхъ напряжены **) въ сводахъ въ kg/cm2.
№№ МАТЕР1АЛЪ СВОДА. I. II.
1 Известковый бутъ на известковомъ раствора ....... 5 2-31/2
2 Кирпичъ на известковомъ раствор^ 7 31/2—5
3 „ „ цемент^» 12 6—8
4 Лучипй клинкеръ на цемент-Ь 14—20 6—8
5 Пористый камень 3—6 2V2-4
6 Гранитъ штучный 40 25—30
7 Песчаникъ 15—30 8—16
8 Лучили известнякъ 25 9—13
*) Debo. Beitrag zu den Gewolbekonstruktionen.
**) Допускаемое напряжете к въ kg/cm2 можно заменить коэффищентомъ 8, выражен-нымъ въ квадратныхъ мърахъ, что вполн'Ь можетъ быть применено къ расчетамъ, когда грузовыя площади приведены къ матер!алу свода и весь расчетъ ведется въ квадратныхъ единицахъ. Если к допускаемое напряжете въ kg/cm2, а у в^съ въ kg одного ст3 матер!ала свода, то к коэффищентъ .
7
— 25 —
f. Действительный наибольшая напряжешя въ возведенные постройкае-
Для суждешя о наибольшихъ напряжешяхъ, вызываемыхъ въ матер!але возведенныхъ сводчатыхъ покрьтй, приведемъ слЪдуклщя данныя:
Таблица № 4 *)
наибольшихъ напряжены въ существующихъ сооружеюяхъ въ kg/cm2.
HA3BAHIE СООРУЖЕНА Напряжешя.
Пилоны собора Св. Петра въ РимЪ
16
собора Св. Павла въ ЛондонЪ
Колонны церкви Св. Павла въ Рим-Ь
19
19
Пгпоны
башни церкви въ St. Магу
28
Пантеона въ Париж'Ь
дворца инвалидовъ въ Парижа
Колонны церкви Вс'Ьхъ Святыхъ въ Angers Лпоры акведука въ Spoleto.................
Арки
моста въ Kannstadt
29
29
43
45
10
я
Neuilly
я
Dora въ Турина
16
25
g. Величина осадки при раскружаливанш.
Согласно наблюдешямъ установлено, что своды при раскружаливанш даютъ осадку, величина которой можетъ быть выражена формулой *):
г ° ~ 400 ’
гдЪ г—рад!усъ внутренней направляющей у вершины свода. Величина осадки б зависитъ конечно отъ тщательности работъ, отъ матер!аловъ свода (камень, кирпичъ и растворъ), и отъ того, начинаютъ ли раскружаливать сводъ немедленно посл£ его замыкашя, или недели черезъ дв^-три, въ течете которыхъ растворъ прюбрЪтаетъ необходимую крепость.
• *) Ott. Vortrage iiber Baumechanik.
— 26 —
Раскружаливаше должно производиться равномерно, плавно — безъ сотрясены.
Что касается раствора, то онъ во время раскружаливашя хотя и дол-женъ быть затвердевшимъ, но еще достаточно пластичнымъ для того, чтобы изменяющееся во время раскружаливашя давлеше могло передаваться между клиньями безъ раздроблешя раствора въ швахъ. Полное давлеше и нагрузка должны быть произведены не ранее двухъ-трехъ месяцевъ, какъ это уже было сказано выше.
4. Приведете нагрузокъ къ матер!алу свода.
При расчетахъ сводовъ предпологаютъ ихъ, вместе съ приходящейся на нихъ нагрузкой, разсеченными вертикальными плоскостями, проведенными по определенной системе, а именно:
1) Цилиндричесюе своды разсекаются параллельными вертикальными плоскостями, при чемъ:
а) Собственно цилиндричесюе своды разсекаются двумя вертикальными взаимно-параллельными плоскостями, перпендикулярными къ оси свода и проведенными на разстояше одной принятой погонной единицы.
Ь) Своды сомкнутые, крестовые и друпе разсекаются целой системой вертикальныхъ плоскостей, которыя проводятся, какъ это будетъ указано ниже при расчетахъ.
2) Сферичесюе своды (за исключешемъ бочарныхъ) разсекаются проходящими черезъ вертикальную ось меридюнальными вертикальными плоскостями, делящими 360° окружности на определенное число равныхъ частей.
Бочарные своды разсекаются какъ цилиндричесюе.
Разрезъ свода, а равно и разрезъ некоторыхъ постоянныхъ нагрузокъ секущею плоскостью вычерчивается въ масштабе длинъ, а проч!я постоянный и временный нагрузки (давлеше ветра, толпа людей и т. д.) показываются схематически; последшя при этомъ распологаются наиболее для свода невы-годнымъ образомъ.
Пусть (чер. 3) abode—есть разрезъ свода, лишя kdl—забутка, топ—граница постоянной нагрузки, а лишя РР—временная нагрузка, показанная схематически; положимъ, что:
весъ единицы объема свода равенъ / » „ „ забутки „ /'
» » „ нагрузки „ /"
Весъ временной нагрузки, переменной по длине пролета и приходящейся на квадратную единицу горизонтальной проекщи покрьтя равенъ qv q^ q3.
Затемъ делятъ разрезъ самого свода, начиная отъ замка (вертикальной оси, проходящей черезъ шелыгу свода), либо лишями нормальными къ внутренней поверхности свода (слева чертежа), на клинья, равные по ширине, либо вертикальными лишями (справа чертежа) на вертикальныя полоски оди
— 27 —
наковой ширины. Далее проводятъ во всю высоту забутки и нагрузокъ вертикальный линш черезъ точки, получивлиеся на наружной поверхности свода отъ деления его либо на равные клинья, либо на равныя вертикальный полоски.
Такимъ образомъ черезъ точки (слева)
а, А 7, е
проведены вертикали, который разделили забутку и нагрузку на разный по ширина вертикальный полоски а черезъ точки (справа)
i, х, 2, /z, vt с
проведены вертикали, который разделили забутку и обе нагрузки на
1
Черт. 3.
равныя по ширине вертикальный плоскости. На черт. 3 выполнены оба эти построешя.
Полоски эти по высота им'Ьютъ разные веса, такъ какъ разныя части ихъ по высота выполнены изъ разныхъ матер!аловъ, имЪющихъ не одинаковый в'Ьсъ единицы объема.
• Для удобства расчета необходимо вычислить, такъ называемый, приведенный нагрузки, т.-е. определить таюя грузовыя полоски, который, будучи выполнены изъ матер!ала свода, были бы эквивалентны данны мъ нагрузкам ъ. Для этого въ масштабе длинъ изме-
— 28 —
римъ вертикальный стороны полосокъ для каждаго рода нагрузокъ отдельно; для забутки пусть:
= v\ и ' = у"
ту' а’
= жх' — v3
для нагрузки do =
а7 и\ и — ft'2 — и\ i'2' и2"
у'З ™ и\ х'З' = u?t"
Пусть искомыя высоты полосокъ приведенныхъ нагрузокъ будутъ:
✓У» /у» /р' I
«Л/ 4 <л/ О <Л/ о • ••••!
J ,/ „ ’ для забутки.
w । «Л/ (£ <Л/ •••••» J
J, ( для нагрузки.
У 1 У 2 У 3.............)
#"2 #"3................ для временной нагрузки.
Величины всФ>хъ х, у и z могутъ быть найдены и вычислешемъ и по-•строешемъ. Имея веса единицы объема свода, забутки и нагрузки /, /' и у ",
можемъ написать, что
где подъ u, v и q безъ значковъ подразумеваются все разныя значен!я этихъ величинъ.
Графически это вычислеше выполнено на черт. 4, где взяты три произволь-ныхъ угла АОВ, FOG и KOL; на сторонахъ ихъ въ масштабе силъ отложены
Оа = у, Ое = у, 0! =z у
ОЬ = у', Ot = уп, Ok— I (единица силы)
на стороне же ОА угла АОВ отложены въ масштабе длинъ отрезки 0с<^ 0c.v 0ci..........равные v\t v"2 .... ;на стороне OF угла FOG
отложены въ масштабе длинъ отрезки 0gQ, 0gv 0д2, 0д3 .... равные
u • • • • » на стороне 0L угла KOL отложены въ масштабе силъ
отрезки От^ От^ 0m^t 0ms .... равные qv q2, q3 . . . .
- 29 —
Х^алЪе соединяютъ точки а съ 6, е съ f и / съ к прямыми, а изъ точекъ
С2» С3 С4 • • • •
91 д*- . • •
/По, /77р /П2. . . . .
проводятъ прямыя, параллельный прямымъ ab, et и !к. Полученные на сторо-нахъ угловъ отрезки OB, 0G и ОК, измеренные въ масштабе длинъ, дадутъ все искомыя величины х, у и s.
Такимъ образомъ отрезки 0dv 0d3, 0di . . . . дадутъ величины
#'2, х"ъ • • • • отрезки Of., Of., 0f2 . . . . дадутъ величины у., у\, у'\, у\,. у\ . . . . , и отрезки On., 0nv 0п2 . . . . дадутъ величины.
Все величины xf у и z откладываются въ масштабе длинъ на соответ ственныхъ вертикаляхъ, разграничивающихъ грузовыя полоски.
Такъ будемъ иметь (черт. 3):
^" = 9^ аап =^у\, №"= у'^, ууп^у\ . . . . 0^ = у\, у\, ^'^у\ ....
— 30 —
= <W" = x'v 8иг,п = х\. . . . .
х''х''г = #%, 1нЦ''=х'\, = х'\. . . . .
o"o"" = q„ &"&”" = qt ;“i""=: zV" = ^. . . .
Соединяя о" съ а", /?"... . е" и съ &" i" . . . .с", получаемъ контуръ приведенной нагрузки; соединяя о" съ s'* , . . . е'" и съ х'", .... с1'', получаемъ контуръ приведенной забутки; соединяя о,п съ /"" .... с”", получаемъ контуръ приведенныхъ всЪхъ нагрузокъ q.
Верхняя лин!я с"" о"' о" е"' дастъ контуръ всей приведенной нагрузки въ совокупности, которая и принимается при всемъ дальнЪйшемъ расчет^» свода. Доказательство построен!я видно изъ чертежей.
Когда приведенный грузовыя площади получены, тогда можно всЬ вы-числешя по расчету сводовъ вести не въ в’Ьсовыхъ единицахъ, а въ квадра-тахъ линейныхъ, что значительно упрощаетъ рФ>шеже вопроса.
5. Опред-клеже площадей грузовы^ъ полосокъ и клиньевъ свода.
полоски исполнена, и также всФ> нагрузки приведены къ матер!алу свода, тогда необходимо вычислить площади клиньевъ свода и грузовыхъ полосокъ.
— 31 —
Въ томъ случай, если разрезъ свода раздЪленъ на клинья швами нормальными къ внутренней поверхности, то площади клиньевъ вычисляются особо отъ грузовыхъ полосокъ. Когда же разрезъ свода раздЪленъ совместно съ грузовой площадью на полоски вертикальными лишями, то тогда сводъ не отделяется отъ грузовыхъ полосокъ, а площади полосокъ вычисляются во всю ихъ высоту (сводъ и нагрузка вместе). На черт. 5 показано то и другое дЪлен1е разреза свода.
Въ случае, если на сводъ действуютъ отдельные сосредоточенные грузы, то тогда делеше грузовой площади совершается такъ, чтобы границы полосокъ совпадали съ точками приложения сосредоточенныхъ грузовъ.
. Въ расчетъ вводятся веса полосокъ и грузовъ въ полной и строгой ихъ последовательности по пролету свода. При этомъ какъ полоски, такъ и сосредоточенные грузы приводятся къ матер!алу свода. Площади сквозныхъ полосокъ, въ составъ которыхъ входятъ какъ сводъ, такъ и нагрузки, вычисляются какъ трапещи, у которыхъ высоты согласно построена равны между собою.
При‘деленж свода на клинья площади, этихъ последнихъ, вычисляются или какъ площадь трапещй, у которыхъ за параллельный стороны принимаются кривыя свода а за высоту берутъ среднюю толщину клина, или какъ сумма площгдей двухъ треугольниковъ; площади же грузовыхъ полосокъ попрежнему считаются какъ трапещи, но съ разными высотами.
Напримеръ обозначивъ Лющадь л' полоски (справа) черезъ со”пг имеемъ
ю — 2 ’ * »
где и । । высоты, а 2 ширина полосокъ.
Площадь п го клина (слева) — соп
какъ площадь трапещи, где
есть средняя толщина клина
2
или соп
°п • + Un •
2
какъ сумма площадей двухъ треугольниковъ, где оп и ип размеры л-го клина по кривымъ свода, a dn и + i толщина свода.
Площадь л ой грузовой полоски (слева) со'п:
со
п
гдЪ zn и Zn+i высоты, а 2И ширина полоски.
— 32 —
Сумма площадей клиньевъ должна равняться всей площади разреза свода.
Въ случай кругового концентрическаго очерташя кривыхъ свода при центральномъ угле 2г/ (черт. 6)
2®°
площадь 22 = ; - л (Я2 — г2),
оси
где R и г рад1усы кривыхъ свода.
Въ случай круговыхъ не концентрическихъ кривыхъ свода при центральномъ угле 2g) (черт. 7)
£2 = 2 (сектор, оас— сектор. о'6*/-[-треугол. dee —треугол. oo'd) =
= 2{з^0 9¥’а) + 2 (я~—fA)— 2 rRsin(<P —
при чемъ съ н-Ькоторымъ приближешемъ принято, что се прямая и dc = R — г.
Коробовые своды могутъ быть для практики съ достаточною точностью разсмотрЪны какъ эллиптическ1е своды, а эти последи! е, какъ п р о-екц1 и кругового свода на некоторую наклонную плоскость.
Действительно, веяюй эллипсъ можно разематривать какъ проекщю круга на наклонную плоскость и, наоборотъ, кругъ можетъ быть раземотренъ какъ проекщя эллипса. Обозначивъ большую и малую полуоси эллипса черезъ а и Ъ, рад!усъ круга — г, и уголъ наклона плоскости проекщи — а, можемъ написать (черт. 8), что:
А Г Г
г—Ь и а =--------или cosa — — •
cosa а
Проектируя концентрическш круговой сводъ efgk, у котораго ef = gk на плоскость АВ, получимъ неконцентрическш эллиптически сводъ efmn, у котораго въ ключе и въ пятахъ толщина разная ef < тп (черт. 8).
Для того, чтобы получить концентрически эллиптическш сводъ, необхо
— 33 —
димо проектировать наружную и внутреннюю кривыя концентрическаго кри-о свода на плоскости АВ и А'В, наклоненный подъ разными углами и <х2 (черт. 9).
Величины угловъ получаются изъ выражешй:
г
— и
cosc^
cosa%
a-[~d f
а
где d есть постоянная толщина Площади эллиптическихъ
свода, ef—gk= тп въ ключе и въ начала.
секторовъ получаются отъ дЪлешя площадей
Черт. 8.
Черт. 9.
круг» ин кюровъ на косинусы соотв'Ьтственныхъ угловъ. Действительно, iii iiju’i. i<pyi него сектора (x/4 окружности) равна —; площадь соотвФ>тствен-лаЪ „
ил лнишическаго сектора будетъ составлять-^—- Принимая во внимаше,
। / > и (М. = - , т.-е. а —--------, получимъ, при подстановке значешй
1 a cosar
и 1 / । 11| »ж Hie площади эллиптическаго сектора, что
лаЪ л. г. г ____ яг2
4 4 cosat 4 cosax
Пл'ЩЩ|. р 'р1.за готическаго свода (черт. 10), для котораго пролетъ /, под * м; /, и /1пы дугъ и <р2 центральны, рад!усы же поверхностей В и г, определяете тю формуле:
— 9’1------2 (а2 5г7г^9о2 — где а ~ .
Н. К. Лахтин . Расчет оодовъ
3
— 34 —
На самомъ деле площадь отверст1я свода
где
==2|4/’29’1 — 4 f(r ~ ~f(r~4) ’
, / /\
т = г sincp^ и I г — — ) = r C0S<Pi >
откуда
со1 = г2фг — г2 sinq^ cosg\ = r2cpi
~ г2 sin2(p.
Точно такъ же площадь внФ>шняго очерташя свода
со2 — R2cp2 — R2 sin2cp2.
Площадь разреза свода 32 = со2 — a>t следовательно
<2 = №ср2 — ~ (/?2 sin2^p2 — г2 sin2cpi).
Вынося г2 за скобку и заменяя — черезъ а потому что
R
-~ = а, г
получимъ приведенное выше выражеше для £2.
Можно произвести также все действ1я по определена площадей полосокъ
*) Принимая, что <jpt выражено въ линейныхъ единицахъ при рад!усФ> = 1 им'Ьемъ, пло-
4, д. 1 9
щадь сектора въ видЪ формулы -
— 35 —
и приведена сосредоточенныхъ грузовъ къ матер!алу свода и опред^летю за-тЬмъ величинъ графически.
Положимъ (черт. 11), что мы им^емъ полусводъ съ двумя сосредоточенными грузами /\ и данными по величине и месту ихъ дЪйств!я, и приведенную сплошную н грузку ак. делимъ промежутокъ между грузами Р1 и Р2 (нагрузку и Ci Д|) на две равныя полоски и промежутокъ между грузомъ Р2 и опорой тоже н две равныя полоски, ширина которыхъ будетъ меньше первыхъ двухъ;
кроме того, отдЪтяемъ швомъ th фигуру Ihm, которую можно съ достаточною точностью принять за треугольной^Проводимъ затЬмъ средшя лижи op, qr, st и uv полосокъ, который принимаемъ за трапецш, и изм'Ьряемъ эти средшя линш, а также основаше и высоту
Для опред'Ьлешя величины приведенныхъ нагрузокъ беремъ въ линейномъ
масштабе произвольную горизонтальную длину 0Z, какъ базисъ /? (напр., 3 mtr, 5 mtr); проводимъ две вертикали ОН и ZB изъ концовъ базиса /9. Грузъ Д, приложенный въ замке, вслФ>дств!е симметрш разложится на обе опоры по-
р ровну Зам'Ьняемъ грузъ призмой,
выполненной изъ матер!ала свода, весъ
единицы объема котораго пвадратная единица меры делится изъ уравнешя
/; пусть основаше призмы есть 1X1, т.-е. одна (1 mtr2) и высота ея неизвестное х, которое опре-
хХ1X1X/— 2.
откуда
х — —- mtr.
2Z
3*
— 36 —
Откладываемъ на базисе въ масштабе длинъ Оа — 1 длины, а на вертикали
ZB длину ZC — x; соединяемъ С съ 0 и на вертикали, проведенной черезъ а, находимъ точку s въ пересечении лиши as и ОС; черезъ точку s проводимъ
DsG горизонтально. Длина 0D — as = ZG, умноженная на длину базиса, вы-Р
разитъ высоту х призмы, заменяющей собою грузъ ~ • Действительно изъ по-
доб!я треугольниковъ имеемъ:
as аО as ZC
ZC 0Z аО 0Z
такъ какъ:
а0 = 1 , ZC = x, OZ=fi,
р то произведете as.fi, умноженное еще на /, выразить грузъ , т.-е.„
. ае . /?.
Далее на лиши ZB откладываемъ въ масштабе длинъ отъ точки G среднюю линю трапещи abed, а отъ точки D по лиши DG откладываемъ тоже въ масштабе длинъ высоту трапещи abed: после отложешя будемъ иметь GN ~ ор и Dl~ab. Соединяемъ прямою точки D и N и находимъ точку на пересе-чеши съ вертикалью, проведенной черезъ точку 2; черезъ точку // проводимъ горизонталь и находимъ длину
DL = 1р = GM , произведете которой на базисъ fi даетъ площадь грузовой полоски abed.
На самомъ деле площадь abed равна произведение ab на ор; по построена и вследств!е подоб1я треугольниковъ имеемъ:
01___1р.
dg = 1Tn'
где:
DI = ab ,
DG = fi, GN = op .
Следовательно:
. fi~ ab . op
произведете lp,.fi, умноженное еще на даетъ весъ грузовой полоски abed. Далее откладываемъ
1
— 37 —
соединяемы L съ W прямой LYY и находимъ точку т на пересЬченш LW съ вертикалью, проведенной отъ лин1и ОН на разстояши
eb - ab ,
черезъ т проводимъ горизонталь QiR. Длина
iir . (3 be . qr,
а произведете fii .fl .7 дастъ вЪсъ грузовой полоски beet.
Подобно тому, какъ и раньше, определяемы высоту у призмы, заменяющей грузы _Р2, который цЪликомъ будетъ приложены въ точке е
Р, и - — - mtr.
Для сокращешя размЪровъ чертежа откладываемы въ масштабе длинъ на QR длину Qr, равную двумъ единицамъ длины:
Q.T = 2 .
На вертикали ZB откладываемы тоже въ масштабе длинъ
Соединяя S съ Q находимъ точку на вертикали, проведенной черезъ точку .т; черезъ d проводимъ 1УХ; длина QX- —RX и будетъ искомая.
Изъ подоб!я треугольниковъ Огд и QRS имеемъ:
rd Qr RS = QR ’
где: RS = 2 ,
Qr = 2,
QR = {3, следовательно:
зтд . ,3 = у, и
л-d . д. Z = «/Z^ Р,2.
Отложивъ = eg и ХА = st, проводимъ Сл и YA, находимъ точку ц, черезъ которую проводимъ лишю EqT. Такимъ образомъ находимъ
£11.13= eg. sf
£4.13.7= eg. st.7.
— 38 —
ЗатЬмъ откладываемъ ТВ = uv, проводимъ ЕВ и находимъ на пересФ>чеши съ £t точку В, черезъ которую проводимъ F&U', такимъ образомъ находимъ:
цВ . ft = дк. uv, и гр), fl. у ~дк. uv .у .
Для опредкпешя площади и веса треугольника m!h откладываемъ
UV = !т,
и проводимъ VF, тогда на вертикали проведенной на разстоянш Y£ = де = дк, найдемъ точку I, черезъ которую проводимъ параллель iH. Длина ,9 ч = FH бу-детъ искомая и площадь треугольника mlh будетъ равна
2 а в*Ьсъ
т/. kq
—^-.7=»t.p.7.
Въ самомъ деле, изъ подоб!я треугольниковъ имФ>емъ:
F& __ Bl
Tu ~ uv’
где Ff) ~. кд— высота (треугольника mlh), FU = ft, UV=~ml по отложешю, откуда
. £ = кд • ml.
Такимъ образомъ определены отрезки *) OB, BL, LQ, QY, YE, EF и FH. длины которыхъ пропорцюнальны вЪсамъ узловыхъ полосокъ и сосредоточен-нымъ грузамъ. Все остальныя действ!я по расчету свода выполняются съ этими отрезками; для получешя результата, выраженнаго въ весовыхъ единицахъ, необходимо полученный результатъ умножить на длину базиса ft и на весъ единицы объема у.
*) Отрезки эти, отложенные последовательно на одной вертикали, даютъ многоугольникъ силъ (площадей или имъ пропорщональныхъ длинъ); этотъ многоугольникъ непосредственно служить для расчета свода графическимъ путемъ.
— 39
б. ОпредЪлеже центровъ тяжестей сЪчежй разрЪзовъ - сводовъ.
После того, какъ грузовая площадь и разрезъ свода разбиты на части, необходимо для расчета определить положежя центровъ тяжести фигуръ, который въ большинстве случаевъ бываютъ трапецш и четыреугольники.
На черт. 12 сделано согласно пр!ему Роберта Ланда nocTpoenie центровъ тяжести трапецш abed, abef и ghk/. Делимъ лиши д/ и kh пополамъ, получаемъ точки тип. Проводимъ д!агональ !h и соединяемъ точки тип; проводимъ
до || /А до пергсечежя съ лишей тп въ точке о; делимъ лишю по на три равный части; точка лежащая въ конце трети ближащей къ большему осно-вашю трапещи kh, и будетъ центромъ тяжести ея.
На томъ же чертеже сделано построеше положешя центра тяжести $2 * трапещи abef, для чего средины сторонъ р и q соединены прямою, изъ f проведена fr || be и рг разделена на трети.
Клинъ abed, принимается тоже за трапещю съ параллельными сторонами ab и кот*орыя съ небольшой погрешностью можно считать прямыми; проводимъ д!агональ be и лишю dv ей параллельную; затемъ осевую лишю tv до
— 40 —
пересФ>чен!я въ точке v съ лишей dr, дф>лимъ tv на три равныя части, центръ тяжести клина будетъ въ конце верхней трети лиши tv въ точке
Въ томъ случай, если клинъ
abed (черт. 13) нельзя принять за трапещю* центръ тяжести его определяется какъ для четыреугольника. Проводимъ д!аго-нали ас и bd, и намечаемъ середины сто-ронъ е, /, д, h; соединяемъ а съ д и с съ f, тогда точка центръ тяжести Д abc', соединяемъ а съ е и с съ h, точка S2 есть центръ тяжести Д acd\ соединяемъ b съ h и d съ f, точка 53 будетъ центромъ тяжести Д abd\ соеди-нивъ d съ д и b съ е, найдемъ точку — центръ тяжести Д bed. Наконецъ соединяемъ точки съ S2 и съ S точка пересФ>чешя линш 5t52 и будетъ искомымъ центромъ тяжести че-
тыреугольнаго клина свода. Нахождеше площади грузовой полоски abet и клина abed (черт. 14) и нахожден!е общаго центра тяжести клина, вместе съ приходящейся на него грузовой полоской, легко можетъ быть выполнено графически
(черт. 15).
Проводимъ (черт. 14) какъ и раньше диагонали be и be и параллельно къ нимъ gf || be и dh || cb до пересФ»чен1я съ продолжен!ями стороны грузовой полоски ае въ точке д и стороны клина ас въ точке h.
Соединяемъ b съ д и h, получаемъ Д abg равновеликш трапещи abet и Д abh равновеликш трапещи abed.
Докажемъ справедливость этого построешя:
трапещя abed = Д abc Д cbd и Д abh — Д abc Д ebh .
Но Д ebh = Л cbd, такъ какъ у нихъ основаше cb общее, а вершины d и h лежатъ на параллели основашю; следовательно действительно
трацещя abed = Д abh .
Точно такъ же:
трапещя abet = Д abe-]- Д еЬт
и Д abg — Д abe -J- Д ebg ,
но &ebf — kebg, такъ какъ у нихъ основаше eb общее, а вершины h и f лежатъ на параллели основашю; след, действительно
трапещя abef= Д abg .
Найдемъ теперь положеше общаго центра тяжести 5 (черт. 15) двухъ
трапещй abed и abet вместе. Для этого проводимъ !ак перпендикулярно къ
— 41 —
ab общему основание обоихъ треугольниковъ abg и abh, и$ъ ихъ верщинъ д и h проводимъ, параллельно тому же общему основашю а* лииш fg и hm9 который дадутъ съ лишей /ак точки пересЪчешя / и к; лиши а/ и ак высоты треугольниковъ abg и abb. Соединяемъ, найденные обычнымъ построежемъч центры тяжести и $2 трапецш прямою 5Х52 и черезъ точку а проводимъ прямую zam параллельно 5t52 и отмЪчаемъ точки z и т пересЪчешя линш съ параллелями hk и д/ къ общей сторонЪ ab обЪихъ трапецш. Соединяемъ прямыми точки z съ и т съ $2 и находимъ точку N взаимнаго перес^>чен!я этихъ прямыхъ. Точку N соединяемъ прямою съ точкой а и находимъ точку О перес-Ьчешя прямыхъ aN и Sr52. Наконецъ откладываемъ на
Черт. 15.
прямой отр±>зокъ равный OS^ точка 5 и есть положеше общаго центра тяже и двухъ трапецш.
Докпксмъ теперь это. Если 5, действительно, искомый центръ тяжести, то м I мож< мъ приравнивать нулю сумму статическихъ моментовъ двухъ пло-щад и о но ительно точки 5 и тогда,
*
площадь abedy^ S2S — площади abef X или
ъ площадь abed S^S
площади abef S^S ’
— 42 —
съ другой стороны такъ какъ площадь abed = £\abh и площадь abef -t\abgT
площадь abed Д abh то ------------=-------.
площади abef Д abg
Заменяя площади треугольниковъ черезъ ихъ выражежя
л ,, ab . ак . . ab . а/
Д abh = —-— и Д abg = —-— ,
и дЪля одно равенство на другое, получаемъ:
Д abh ак Д abg а/ ’
ВслФ>дств1е того, что прямая StS2 || zm можемъ написать:
az am aN az OS.
_ — — ~~ ИЛИ ------““ ,
OS. 0S„ ON am OS*
1 A A
а изъ подоб!я треугольниковъ amk и !za им^емъ
a! __az
ak am'
Изъ послФ>днихъ двухъ пропорщй находимъ:
ак 0S2 а/ ~ 0St ’ а такъ какъ по отложетю
OS^ >
ак SS.
Т° ““ $$2
и следовательно /\abh SSX Д abg SS2’
откуда им-Ьемъ доказательство справедливости предположешя, что S есть, д-Ьй-ствительно, общш центръ тяжести, потому что
площадь abed Д abh SSX
площадь abef Д abg SS^ *
г
— 43 —
7. ОпредФлеже объемовъ частей сводовъ и положение центровъ и^ъ тяжести.
а. Объемы и центры тяжести частей собственно — цилиндрическихъ сводовъ.
Объемы частей сводовъ собственно-цилиндрическихъ и нагрузокъ на нихъ получаются черезъ умножен!е площадей клиньевъ и площадей поперечныхъ разрЪзовъ сводовъ и нагрузокъ на ихъ толщину, которая при расчетахъ обыкновенно принимается равной единицф».
Центры тяжести находятся по способу, приведенному выше.
Ь. Объемы и центры тяжести частей крестовыхъ и сомкнутыхъ сводовъ.
довъ
cd и ab щековыя стФ>ны; разрФ>-двумя вертикальными плоскостя-соЬ. Части аос и bod будутъ лотки, aob и cod будутъ распалубками.
полураспалубки, взятыя по обозначимъ, дал4>е, черезъ объемы клиньевъ длиною
Объемы частей к^естовыхъ, сомкнутыхъ и прочихъ цилиндрическихъ сво-могутъ быть получены на основаши правилъ для расчета объемовъ лотковъ и рггпалубокъ, какъ частей собственно— цилиндрическаго свода. Положимъ, что въ планФ, имеемъ, перекрывающш прямоугольное пространство abed, (черт. 16) цилиндри-ческш сводъ, у котораго ас и db опорный стФ>ны, а жемъ его ми aod и части же
Проведемъ осевыя линш eof и goh, дф>лящ!я лотки и распалубки на полулотки и полураспалубки.
Разобьемъ разрЪзъ свода eof (черт. 16) на клинья и опредФшимъ положеше центровъ тяжести клиньевъ; въ планФ» проведемъ сплошныя лиши, дф>ля!щя сводъ на клинья, и пунктирныя лиши, соединяющая центры тяжести клиньевъ, лежащихъ на одной высотЪ.
Обозначимъ черезъ а и /9 полупролетъ и полудлину свода, а черехъ хп разстоя-н!е центра тяжести клина п отъ оси 00, черезъ уп и длины клиньевъ полулотка и
направлешю параллельному опорнымъ стФнамъ; соп площадь клина п, а черезъ Vn и Wn у и яп полулотка и полураспалубки, гдФ>
— 44 —
длины клиньевъ полулотка и полураспалубки по лиши центровъ ихъ тяжести будутъ:
Уп=—Хп И
г
~;л = —(«—«»)•
Зная С9П> уп и можно принять, что
УП = С°ПУп Wn=mnZn-
Принимая же во внимаше значетя у'п и длинъ сторонъ клиньевъ полулотка и полураспалубки, найдемъ объемы клиньевъ полулотка и полураспалубки по слЪдующимъ формуламъ:
тг -- Т7- --- .Уп + 1~\~Уп тл ~ и
— Чг • -----2---- ' Г^ + 1 “ 'n + 1-------2----* ” Д>
ТТЛ _ гп п~\~ п-l ТТГ ---------- гп . п + 1~Ь п тл т п
— СОп*------Y----’ + ^п + 1----------2~---”* ’ Д*
i
Черт. 17.
При вычислены объема всего полулотка или всей полураспалуб-ки, отрезки у\, у\ .. .у'п.. .у'кл , иУр/2. . .Уи.. .УА;_1,всЪ войдутъ по 2 раза за исключешемъ у’0~ О, У'к — — & и z\ — 0» которые
встретятся лишь одинъ разъ. Принимая во внимаше происходящая сокращешя, можно съ достаточной для практики степенью точности принять, что:
Vn = №пУ'п wn = a>nz'n-
Сумма всЪхъ Fn, умноженная на два, дастъ объемъ ка-ждаго изъ лотковъ аос и bod, потому что аос ~ bod, а удвоенная сумма Wn — объемъ каждой изъ распалубокъ aob и cod, а потому имЪемъ что
аос — bod = 22 Vn и
aob = cod=22W„ .
— 45 —
Центры тяжестей отдф>льныхъ клиньевъ, а также группы клиньевъ находятся по правиламъ статическихъ моментовъ.
с. Объемы и центры тяжести частей купольнаго свода.
Объемъ шарового купольнаго свода по приближенной формуле *) будетъ:
V = ,
О
где R й F рад!усъ и подъемъ для внешней поверхности купольнаго свода, а
г и f для внутренней его поверхности (черт. 17).
Объемы отдФльныхъ колецъ свода, по правилу Гюльдена (Паппуса) равны:
К - - 2.ТГ () со ;
где р разстоян!е центра тяжести площади сферическаго клина на разрФзФ свода отъ вертикальной оси, а со—площадь того же клина на ьтомъ разрФзФ. Объемъ одного сферическаго клина будетъ:
V 0
w= - или ТК— F— п 360
’ где п число клиньевъ въ кольцахъ, а 0 число градусовъ, соответствующее клиньямъ, на которые разделены кольца.
.Величины Q могутъ быть определены какъ аналитически, такъ и графически; что касается положежя центра тяжести сферическихъ клиньевъ, то для расчета сводовъ достаточно знать только разстоя-шя центровъ тяжести отъ вертикальной оси свода. Разстояшя эти можно определить по правилу статическихъ момен-
товъ, взявъ отношен!я момента объема сферическаго клина къ самому его объему.
Положимъ, что некоторый клинъ свода (черт. 18) заключается между а* и ал градусовъ, считая отъ замка, и что уголъ при центре для этого клина есть Д тогда элементарный объемъ клина будетъ равенъ:
dW = ab . cd . ef,
*) Принимая, что R и F, а также г и f отличаются незначительно другъ отъ друга.
— 46 —
—- cd = Р da , ef=Qdp~ Р sina dp,
где P = SO (въ разрезе)—разстояше центра тяжести элементарнаго клина отъ центра сферы.
а—уголъ между вертикальной осью свода и рад!усомъ, приведеннымъ къ центру тяжести элементарнаго клина.
da и dp—элементы дугъ.
Sfl—разстояше центра тяжести элементарнаго клина отъ вертикальной оси свода д = Р sina,
В и г—рад!усы свода.
Подставивъ въ выражеже dW значежя аб, cd и е/, получимъ:
dW = Р* dP dp sina da .
Взявъ междупред*Ьльный интегралъ, получимъ:
Следовательно объемъ клина
р$ -
W — —-— P(cosal — cosa2).
Элементарный моментъ будетъ:
dM=dW.Q.
Подставляя выражеже q и dW, получимъ:
dM = Р3 dP sin2a da dp.
— w —
Взявъ междупредФ>льный интегралъ, найдемъ;
Следовательно:
1 Г 1
М = —-— • /5 • —< «2 — а, — - (sm2a2 — sin2a^
ТГ Zj I
*
Обозначивъ черезъ Z искомое разстояше центра тяжести клина отъ вертикальной оси свода, можемъ написать;
М = W. Z, откуда Z = .
Подставивъ величины М и TF, получимъ выражеше Z
а2 — ai — 2 (,9гп2^2 — ) I
(cosat — cosa2)
и изменяя углы а и /9, получимъ для всехъ тяжести вертикальной оси, а равно и объемы
Имея выражен 1я W и Z клиньевъ разстояше центровъ самихъ клиньевъ.
Съ меньшей точностью, но темъ не менее съ точностью вполне достаточной для практики, можетъ быть выполнено определеше положешя центровъ тяжести клиньевъ купольныхъ сводовъ, а также вычислеше объемовъ .этихъ клиньевъ.
♦
ч т, х • о 1“cos2a
) Интегрируется замънои =-------------
— 48 —
Положимъ, что мы им^емъ въ планЪ и разр'кз’Ь (черт. 19) вырФ.зъ купольнаго свода; проведемъ срединныя лин!и ab, cd, ef, делимъ ихъ на равный части, проводимъ сопрягаютще швы и проектируемъ на планъ выреза, на лишю а’о", точки пересЬчешя срединныхъ лишй свода съ сопрягающими швами; черезъ полученный проекщи точекъ проводимъ лиши перпендикулярный къ оси а'а" плана выреза. Проведенные перпендикуляры разд^лятъ планъ вырЪза купольнаго свода на рядъ трапецш и одинъ треугольникъ
а‘
а'к&-
Находимъ изв'Ьстнымъ спо-собомъ положешя центровъ тяжести фигуръ трапецш и треугольника 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и проектируемъ ихъ на срединныя линш разреза свода въ точки 2', 3', 4', 5\ 6', 7', <$'; эти послФ>дн!я точки и будутъ центрами тяжести клиньевъ.
Объемъ клиньевъ можетъ быть принятъ равнымъ произведена площадей ихъ на верти-кальномъ разрЪз'Ь на длины от-Р'Ьзковъ лишй, проведенныхъ черезъ центры тяжести фигуръ на планФ> вырЪза. Такъ объемъ пер-ваго клина будетъ равенъ площади pqrs умноженной на отр'Ьзокъ сш, объемъ четвертаго клина будетъ равенъ площади uvwt на отрф>-зокъ дд.
d. ОпредЪпеше объемовъ и центровъ тяжести парусовъ *).
ОпредЪлеше частичныхъ объемовъ парусовъ, а также на-хождеше центровъ ихъ тяжести
Черт. 19. очень сложно и мало изучено,
принимая, особенно, во внимаше чрезвычайно большое разнообраз!е, допускаемое конструкщями парусовъ. При-томъ величина вл!яшя парусовъ на распредФшеше усилш во всемъ сооружены, сравнительно съ вл!яшемъ главныхъ подпружныхъ арокъ, незначительна, а вФ>съ парусовъ, сравнительно съ в4>сомъ частей сооружешя, ими поддержи-
*) Пояснен1е понятш разныхъ парусовъ не приводится, желающее могутъ найти подробности въ указанномъ ниже сочинении: Бернгардъ „Церковный паруса".
— 49 —
ППСМ1.1Х1 . прямо ничтоженъ. Вследств1е сказаннаго практически либо пренебре-। поп. совершенно вЪсомъ парусовъ, либо принимаютъ, что весъ парусовъ приложенъ къ внутренней щековой поверхности подпружинъ *).
Не приводя выводовъ для нахождежя объемовъ и положешя центровъ тяжести н-Ькоторыхъ парусовъ, укажемъ окончательный формулы, помещенный въ труде В. Р. Бернгарда „Церковные паруса".
1) Объемъ остраго шарового паруса (черт. 20) равенъ:
4-4
О о ' Q
или:
F= Q,012348ЯО®,
гд Г» R—рад!усъ сферы паруса т.-е. ОА OB~OC~Ro,
/ пролетъ подпружины или сторона квадрата, перекрываемаго сводчатымъ перекрьтемъ,
/. подъемъ отсутствующихъ частей сферы паруса.
Коу»ф(|)иц1ентъ 0,012348 можетъ быть принять равнымъ ; въ такомъ
80
случ.|1. выражение объема остраго шарового паруса будетъ:
80 ‘
*) Бёрнгардъ. „Церковные паруса".
Н. К. Лахт*йнъ. Расчетъ свидовъ.
4
— 50 —
2) Объемъ остраго односторонне-притупленнаго паруса (черт. 21).
гд*Ь а и b стороны прямоугольника, перекрываемаго сводчатымъ перекрьшемъ^ f± и /2 подъемы отсутствующихъ частей сферы.
3) Объемъ остро-притупленнаго паруса (черт. 22).
v=(aXb
\2/ 2
гдЪ а и b стороны квадрата перекрываемаго сводчатымъ покрьгпемъ, а и /2 показаны на чертежЪ, (b = cG=aB).
4) Объемъ остроконечно—притупленнаго паруса (черт. 23).
гдЪ 4 и / показаны на чертежЪ.
51
Черт. 24. Черт. 25.
гдф»-^, /2 и / показаны на чертежЪ, а = 0rD = О±Р.
6) Объемъ эллиптическаго паруса (черт. 25).
гд-b f, f{, /2 показаны на чертежЪ; а = АО, Ь ~ ВО = ОС, равны полуосямъ эллипса.
7) Объемъ коническаго паруса (черт. 26).
гдф> х, h0, fx, q доказаны на чертежФ», при чемъ х~0С, a q=OB=OA. Зд'Ьсь Lg взять по Непперу, потому—Lg 10 = 2,3025851.
— 52 —
8) Объемъ части остроконечнаго шарового паруса (черт. 20 и 27).
V=^^tg0 (1 — 1 |/ 1 — tg2 0 j — ~2^~ arcs'‘n +
4- ~ arcsin (]/ 2 sin0), О
гдф> 0 уголъ при центра, въ планФ>, части паруса.
Формула эта, неудобная для вычисле-шя, преобразуется въ другую, принимая:
tg0 (1-1 р/1 — tg2 0^=А,
— arcsin (]/ 2 sm0) — В;
—(0 arcsintg 0) = С,
Черт. 27.
v~a~\-b—c.
Члены А, В и С вычисляются особо, при чемъ членъ А для логарие-мирован!я преобразуется подстановкой:
— tg2 0 = cosft
1 -41/1 -=1 - =
г .3 cos®
=/2^(45°-g)
COSty
— 53 —
i дЪ
± 11/ COS20
tqg) = — F---- —
3 cosG
послЪ чего получаемъ
1 , „ sm(45° — ж) — - tg0 -------------~ ,
4 cosg)
гдф» какъ А, такъ и g) выражены въ удобномъ для логариемическихъ вычислены вид4>:
- lg cos2 0 — lg cosO — 1дЗ
и
IgA = lg tgO -j- lg sin(№ — cp) —lg cosg) — lg 4
Членъ В преобразуется подстановкой: (j/2 sin0) == simp, тогда arcs/н (]/2 sin0) = g).
' Гпенъ В = — гр принимаетъ удобный для логариемировашя видъ О
1
lg simp — ~ lg 2 -/ lg sin0
lgB=lgip—lg3.
Члснт. <"’тоже преобразуется подстановкой, при чемъ обозначаемъ черезъ 2 такой уголъ, у котораго
sinl = tg0, а следовательно:
2 — arcsin tg0 .
Для этого полагаемъ
тогда
24
и получается удобная для логариемическихъ вычислены формула: lg sinl = lg tg0 ;
lg С = lg 5 +1 lg 2 — lg 2 4 lg G
At
или полагая, что G выражено въ секундахъ:
lg('- lg5-\- lg2 — lg24 — lg6480Q0-\-lgjr-{-lgG, или окончально
lgС = lg G 4- 6,1548486.
— 54 —
Если применить вычисления по этимъ формуламъ къ остроконечному ша* ровому парусу, рад!усъ котораго единица, разделенному въ плане на двадцать равныхъ частей, по 4° 30' каждая, то получимъ приведенную въ цитируемомъ труде Бернгарда таблицу.
Таблица № 5.
в V д» - ПримЪчан1я.
4” 30' 0,000000 0,000000
9» 0,000001 0,000001 У — уголъ элемента паруса.
13« 30' 0,000006 0,000005
180 0,000034 0,000028 *
22® 30' 0,000098 0,000064 Д v—объемы элементовъ паруса.
27» 0,000265 0,000167
31« 30' 0,000630 0,000365
36» 0,001397 0,000767 v — суммы объемовъ элементовъ
400 30' 0,002967 0,001570 паруса.
45® 0,006174 0,003207
Для получешя всего объема паруса
при рад!усе единица необходимо:
V — 0,006174 умножить на 2, получаемъ
v — 0,012348 =
1
80
Объемъ паруса при pafliyce Во будетъ
V
80
Объемъ же паруса при рад!усе въ 5 саж., купола 10 саж., имеемъ.
что соответствуетъ д!аметру
F = 0,006174Х2Х53 = 1,544 куб. саж.
9) Для тупого пар^ за, по мнен!ю Р. Б. Бернгарда, можно допустить, что объемъ элементарнаго паруса при делеши полупаруса на 10 частей будетъ:
V.n
V«“2.55’
— 55 —
। И п померь взятаго элемента отъ 1 до 10, V объемъ всего паруса, а .'!» сумме чиселъ отъ 1 до 10, делитель 2 введенъ для получешя объема полу-наруса.
10) ОпредЪлеше объемовъ перемычечныхъ парусовъ производится по формуламъ для дугъ.
11) Определение центровъ тяжести перемычечныхъ парусовъ тоже не представляетъ затруднешй и совершается по правиламъ какъ для дугъ.
12) ОпредЪлеже центровъ тяжести сферическихъ парусовъ очень мало изучено, почему при расчетахъ церковныхъ сооружена вопросъ этотъ или вовсе игнорируется *), или применяется приближенный способъ; происходящая отъ такого допущешя погрешности не имеютъ большого вл1ян!я на ре-зультатъ и направлены притомъ, въ пользу устойчивости. Приближенный способъ определен1я центра тяжести парусовъ заключается въ томъ, что полупа-русъ делятъ въ плане на десять частей и на глазъ намечаютъ центры тяжестей каждой части, затемъ по вышеуказанному определяютъ частичные объемы, •составляютъ уравнеше статическихъ моментовъ:
VZ=22vz,
и определяютъ Z—разстояше центра тяжести въ плане:
л ~ у ;
где
V— весь объемъ паруса,
v — частичные объемы,
z — измеренный по чертежу разстояжя центровъ тяжести частич-ныхъ объемовъ.
Согласно приведеннымъ выводамъ и вычислешямъ, въ цитируемомъ со-чинеш’и Бернгарда центръ тяжести остраго шарового паруса (черт. 28) находит < । въ точке а, координаты которой суть:
Жо = 3/о==^==0-60П5
гд1 /»\ р.|Д|усъ паруса.
Для практики предпочтительнее знать разстояше которое равно:
//Г= OF— О0=Во — уо ]/2 = Д,(1—0,60115 j/2)
или = 0,149846 Ro.
Изъ чсртся I видно также, что:
IF= OF-01 = Б, - -Л = R (1 _ }/2 \ 2 /
'или ’ IF =0,292894 Пв.
*) Бернгардъ, „Церковные паруса".
— 56 —
Следовательно, съ достаточною для практики точностью можно принять что центръ тяжести остраго шарового паруса лежитъ на разстояши:
зная же положеше центра тяжести всего паруса, можно легко найти положе Hie центра тяжести полупаруса съ помощью статическихъ моментовъ.
Черт. 28.
Выполнивъ вычислешя, находимъ:
я/= 0,668124 JR0
< = 0,545190 Во.
Изъ чертежа видно, что:
/F EF— vE=^ — 0,668124
<2
или
/F= 0,038982 JR0;
— 57
и
/О = ГЛ = FD- AD = - 0,54519 Во,
или
ze = 0,161916 Во.
Съ достаточной для практики точностью можно принять:
1 т>
и
съ
Такимъ образомъ центръ тяжести полупаруса опредЪленъ; онъ совпадаете ТОЧКОЙ Q.
II. Расчетъ сводовъ.
fl. Расчетъ цилиндрическихъ сводовъ.
Для расчета цилиндрическихъ сводовъ воображаютъ выделенной изъ всего свода часть, заключающуюся между двумя взаимно параллельными плоскостями, нормальными къ оси свода и отстоящими на раз стоя ши „единицы" (1 cm, 1 mtr, 1", 1', 1 саж.), т.-е. ведутъ расчетъ цилиндрической арки, шириной „единица", и предполагаютъ, что на нее действуютъ все приходяпцяся нагрузки, постоянный и временный, при чемъ последшя располагаютъ самымъ невыгоднымъ для арки образомъ.
Положимъ, что имеемъ (черт. 29) такую арку, вычерченную въ масштабе длинъ, съ приходящимися нагрузками, которыя, согласно сказанному выше, приведены къ матер!алу свода. Делимъ арку либо на клинья, либо на вертикальный части, затемъ делимъ и грузовую площадь вертикальными лишями на полоски; находимъ центры тяжести либо клиньевъ и грузовыхъ полосокъ особо, либо грузовыхъ полосокъ вместе съ вертикальными частями арки; наконецъ, определяемъ площади клиньевъ и вертикальныхъ полосокъ. На черт. 29 показаны оба эти делешя.
Если арка разделена на клинья, а грузовая площадь на полоски, то на-ходятъ общш центръ тяжести площади клина съ приходящейся на него грузовой полоской. Во всямъ случае каждая часть арки (клинъ или вертикальная часть) будетъ подвержена своей определенной нагрузке. Все нагрузки передаются отъ вершины къ началамъ свода на его опоры и вызываютъ давлен!я между отдельными частями свода. Такимъ образомъ каждый клинъ или вертикальная часть свода (черт. 29) находится подъ действ!емъ трехъ усшпй: 1) вертикальной силы (вЬсъ разсматриваемой части свода съ приходящейся на нее нагрузкой) и 2) двухъ боковыхъ давленш отъ соседнихъ частей свода.
Вследств1е, во-первыхъ, невозможности учесть силу крепости раствора, во-вторыхъ, неопределенности осадки кружалъ и, въ-третьихъ, трудности установить время начала раскружаливашя свода, растворъ кладки котораго можетъ быть еще не вполне окрепшимъ, принимаютъ, что растворъ никакого с в я-.зующал вл!ян1я на матер!алъ свода не о к а з ы в а е т ъ, вследств!е
— 59 —
*
чего отдельный части свода могутъ передавать одни лишь сжимающ1я усил!я, нисколько не выдерживая растягивающихъ усилш (у с и л i й, р а с к р ы-вающихъшвы свода).
Давлешя во всФ>хъ вертикальныхъ или наклонныхъ швахъ свода отъ ключа до пятъ, неизвестный ни по величине и направлешю, ни по распред'Ь-лешю ихъ по плоскости шва,—передаются на обе опоры, гдЪ равнодействующая давлешй должны уравновешиваться реакщями двухъ опоръ свода, величины, направлешя и точки приложешя которыхъ необходимо определить.
Такимъ образомъ расчетъ свода приводитъ къ определешю шести не-известныхъ (для каждой изъ двухъ опоръ по три неизвестныхъ) (черт. 29):
Черт. 29.
координатъ точки приложешя реакщй опоръ #2, угловъ наклона направлешя реакщй опоръ <q, «2 и самихъ величинъ реакщй опоръ Wt и W2, между темъ какъ статика для решешя вопросовъ даетъ, какъ известно, лишь три уравнешя:
УХ=О,
где Хи) суть проекщи силъ на оси координатъ, a М—моменты силъ.
Следовательно, задача является тройной неопределенности, если при решены ея Ъграничиваться лишь статикой; поэтому приходится прибегать либо къ решешю задачи при помощи теорш упругости, либо вводить въ расчетъ каюя-либо гипотезы и допущешя.
Выше было указано на характеръ существующихъ до сихъ поръ расче-товъ, изъ которыхъ наиболее внимашя заслуживаютъ: одинъ—элементарный, менее точный способъ предельнаго равновес!я и другой—научно
— 60 —
обоснованный и наиболее верный способъ наименьшей работы дефо р м а ц i и, опирающыся на законы упругости.
Цилиндричесюе своды могутъ быть сложены нормальной кладкой и въ елку.
Разсмотримъ сначала расчетъ цилиндрическихъ сводовъ нормальной кладки.
1. Расчетъ цилиндрически^ сводовъ нормальной кладки по способу пред^льнаго равнов%с1я.
а. Основания расчета.
Расчетъ этотъ, названный такъ Морисомъ Леви и основанный на наблю-дешяхъ надъ разрушившимися сводами и на произведенныхъ опытахъ надъ существующими, заключается въ томъ, что въ опредЪленныхъ наклонныхъ или вертикальныхъ швахъ свода намЪчаютъ на основаны опытныхъ данныхъ точки приложешя равнодействующихъ давлены этихъ швовъ и затЬмъ опред'Ьляютъ остальныя неизвестный величины, который безъ этого, при помощи однихъ лишь законовъ статики, не могли быть найдены, и затЪмъ находятъ точки приложешя равнодействующихъ давлены во вс*Ьхъ остальныхъ швахъ.
Если соединить точки приложешя равнодействующихъ давлены во всЪхъ швахъ прямыми, то получимъ ломаную лишю, которая при увеличены числа клиньевъ или вертикальныхъ частей арки и при уменьшены ихъ размеровъ превратится въ непрерывную кривую; кривая эта выражаетъ характеръ рас-пределешя давлешя въ своде.
Смотря по тому, разделенъ ли сводъ наклонными швами на клинья или вертикальными швами на вертикальный части, имеемъ: либо опорную л и-н i ю, либо л и н i ю давлен} я, который, какъ это увидимъ ниже, легко могутъ быть преобразованы одна въ другую.
Когда для свода построены опорная лишя или лишя давлешя, тогда при помощи особаго построешя, которое будетъ указано .ниже, представляется возможнымъ легко определить величину равнодействующей давлешя для каждаго шва.
Точки пересечешя опорной лиши или лиши давлешя съ каждымъ изъ швовъ даютъ точки приложешя равнодействующихъ давлены въ швахъ, а на-правлешя сторонъ опорной лины или лиши давлены (касательной къ опорной кривой или кривой давлешя) являются направлешемъ равнодействующихъ давлены въ швахъ.
Такимъ образомъ видимъ, что если опорная лишя или лишя давлешя въ своде построена, то вопросъ о распределены давлешя въ своде решенъ, остается определить прочность и устойчивость свода.
I. Опорная лишя.
По.^^кимъ, что сводъ разделенъ на клинья, швы которыхъ нормальны къ внутренней направляющей свода, и пусть точки приложешя равнодействую-
цихъ взаимныхъ давлены клиньевъ, иначе, опорный точки каждагс клина, намечены. Ломаная лишя, соединяющая опорный точки швовъ, называется опорной л и Hi ей; въ случай уменьшен1я клиньевъ и увеличешя ихъ числа она превращается въ опорную кривую. Положеше опорной кривой въ тЬлЪ свода характеризуетъ распредЪлеше напряжены въ немъ, а
ближайшее къ чначаламъ свода участки опорной кривой опредФляютъ точки приложешя и направлеше опорныхъ реакцш свода.
Изъ теорш неравномЪрнаго сжаЛя известно, что точка приложешя давлешя должна находиться въ средней трети оси прямоугольнаго обчеши, для того чтобы все сФ>чеше было подвержено лишь сжатпо. Выходъ опорной лиши
— 62 —
изъ средней трети тЪла свода указываешь на такое распред,Ьлен1е напряжены въ своде, при которомъ въ нЪкоторыхъ швахъ имеются элементы чрезмерно
сжатые, а равно и элементы, подверженные растяжеюю. Такое распределеше
напряжены будетъ, именно, въ т*Ьхъ швахъ, въ которыхъ опорная лишя вышла изъ средней трети; въ нихъ произойдетъ
разрушеше матер!ала въ частяхъ чрезмерно сжатыхъ и такъ называемое раскры-
Tie шва въ частяхъ растянутыхъ, такъ какъ
по принятому выше, сводъ растя-гивающимъ усюпямъ сопротивляться не можетъ. Явлеюя эти должны очевидно указывать на разрушеше всего свода. Следовательно, въ правильно выполнен-номъ своде опорная лишя выходить изъ средней лиши не должна, иначе своду грозитъ разрушеше.
Изъ приведенныхъ чертежей (черт. 30) видны характеры наблюдающихся разрушены; одни даютъ поняпе ч о разрушены сводовъ. полуциркульныхъ и пологихъ, дру-rie—о разрушены сводовъ возвышенныхъ и стрельчатыхъ.
Черт. 30 m.
— 63 —
’ «ирушен! । сводовъ происходить:
свода около другой, при чемъ ребро
а) вращен!емъ одной части
Черт. 30 о.
вращежя лежитъ то на внутренней, то на наружной направляющей свода;
Ь) скольжешемъ одной части свода по другой, при чемъ скольжеше происходить то внаружу, то вовнутрь свода;
с) скольжешемъ и вра-щен!емъ вмФ>стЪ.
Изъ разсмотрЪшя видовъ разрушешя заключаемъ, что раз-pymeHie происходить главнымъ образомъ по пяти опаснымъ
ш в а м ъ: по двумъ пятамъ, двумъ швамъ, наклоненнымъ къ горизонту примерно подъ угломъ въ 30°, и по замковому шву. Швы, наклоненные подъ угломъ въ 30°" къ горизонту, называются ш в а-ми перелома.
КромФ» того, характеръ раз-рушешя указываетъ на то, что: а) въ полуциркуль-ныхъ и пологихъ сводахъ опорная лин!я въ замко-вомъ шв!> и въ пятахъ проходить ближе къ наружной направляющей, а въ швахъ перелома она подходить къ внутренней направляющей;
Ь) въ стрФ>льчатыхъ и возвышенныхъ сводахъ опорная лин!я въ ключФ> и у опоръ подходить къ внутренней направляющей, а въ швахъ перелома приближается къ наружной направляющей.
Когда сводъ еще на кружа-лахъ, тогда въ т!>лФ> его н Ътъ напряжены, но какъ только на-
чинаютъ сводъ раскружаливать, то опорная кривая появляется и при прочномъ и устойчивому сводк варьируетъ до того своего положешя, которое только
— 64 —
и можетъ соответствовать именно прочному* и устойчивому своду. При этомъ крайнее возможное положеше опорной кривой таково, что вся она непременно вмещается въ средней трети тела свода, подходя и лишь въ крайнемъ случае касаясь то внутреннихъ, то наружныхъ третныхъ лишй въ пяти опасныхъ швахъ, смотря по тому, какой сводъ разсматривается (черт. 31). Если бы опорная лишя вышла изъ средней трети, то сводъ не устоялъ бы и разрушился бы.
Черт. 31 а.
Черт. 31 Ь.
Построенное предельное положеше опорной кривой, соответствующее прочному и устойчивому своду, является въ то же время промежуточнымъ по~ ложешемъ опорной кривой, которое она должна на одно мгновеше занять, прежде чемъ перейти въ положеше, соответствующее разрушешю свода, въ томъ случае, если сводъ не выдерживаетъ и разрушается. Если, сводъ при определен-
Черт. 31 с.
номъ положены опорной кривой окажется вполне прочнымъ и устойчивымъ, то въ такомъ случае никогда не наступитъ поло-жешя опорной кривой, пагубнаго для свода и всего сооружешя, и имеющаго своимъ следств!емъ его разрушеше.
Отсюда и выведешь методъ расчета сводовъ на основами пре-дельнаго ихъ равновес!я.
II. Лишя давлешя.
При расчете цилиндрическихъ сводовъ на практике, обыкновенно, не производятъ
делешя свода на клинья, а проводятъ одни вертикальные разрезы, т.-е. про-
водятъ вертикальные швы, на которыхъ по теорш предельнаго равновес1я на-мечаютъ на опасныхъ швахъ предельный точки и строятъ такъ называемую л и н i ю давлен! я, которая имеетъ то же значеше для вертикальныхъ швовъ, какое опорная лишя имеетъ для наклонныхъ швовъ клиньевъ.
III. Зависимость между опорной лишен и лишен <авлешя, редукщя швовъ.
Положеше лиши давлешя мало отличается отъ положешя опорной лиши, которая легкоЖожетъ быть построена, если положеше лиши давлешя получено.
— 65 —
Iu'iil i ii< । же, если известна величина равнодействующей давлешя въ верти-кальномъ швЕ, то легко можно найти величину равнодействующей давлешй иь соотнетствующемъ наклонномъ шве, нормальномъ къ внутренней направляющей свода.
Положимъ (черт. 32), что имеемъ сводъ съ построенной лишей давлешя $$ и хотимъ въ точке А определить давлеше, соответствующее опорной лиши. Проводимъ черезъ точку А вертикаль ВС и, указаннымъ далее способомъ, находимъ усил!е Р, соответствующее вертикальному шву ВК\ затемъ проводимъ черезъ точку А шовъ ЕЕ, нормальный къ внутренней направляющей, и опреде-ляемъ весъ G разности площадей AEDCA и ABF^ последняя вычитается, какъ не производящая действ!я на шовъ EF, Строимъ параллелограмъ силъ Р и G и
Черт. 32.
Черт. 33.
находимъ по ихъ величине и направлешю равнодействующую усилш въ шве //', которая будетъ замыкающей Рх; наконецъ, проводимъ черезъ точку А линии параллельную силе Р±. Такимъ образомъ находимъ положеше и направлена ..... усил!я въ теле свода.
Зам lain псртикальныхъ границъ, разделяющихъ сводъ на полоски, наклонными швами, разделяющими сводъ на клинья, и обратное действ1е, или iai । по «иП1--М11Я редукц!и швовъ, легко выполняются при помощи сле-дующаго ио( гроен1я. Положимъ, что (черт. 33) мы имеемъ сводъ bb^s^^ и лиши; приведенной нагрузки ао. Требуется определить шовъ, соответствующш nrpiикальному разрезу ef. Пусть искомый шовъ есть Л/, въ такомъ случае bafob нагрузка, соответствующая вертикальному разрезу ef, a bapklb эквива-г.ентна । нагрузка, соответствующая шву kl. Эти две площади представляютъ суммы двухъ площадей.
Площадь i\afob площади bafqlb -j-площадь Iqel и площадь bapklb = площади bafqlbплощадь fqkpf.
Такъ какъ нь обоихъ равенствахъ площадь bafqlb общая, то равенство
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводоыъ.
5
— 66 —
эквивалентныхъ нагрузокъ и равенство площадей bafeb и bapklb будетъ справедливо въ томъ случай, если будетъ существовать равенство: площадь Iqel = площади fqkpf. Прибавляя къ об'Ьимъ частямъ этого послФщняго равенства по площади eqkne и, им-Ья въ виду, что площадь Iqel-|~ площадь eqkne =- площади Iknl и площадь fqkpfплощадь eqkne площади efpne, получимъ, что площадь efpne — площади Iknl. Проведя fg горизонтально, находимъ точку 7 пересЪчешя лиши fg съ продолжешемъ линш рп. Площадь efpne узкая и длинная трапещя можетъ быть принята за параллелограмъ съ основашемъ ef и высотою fi. Площадь Iknl можетъ быть принята за площадь треугольника съ основашемъ п! и высотою к!. Въ такомъ случай последнее равенство площадей можетъ быть написано въ вид'Ь:
Это равенство преобразуемъ въ пропорщю:
rd fi ef = 0,5Tl ’
Проводя теперь изъ с, точки пересЪчешя лиши ef съ внешней кривой свода, шовъ cd и принимая съ достаточною точностью, что
cd — к! и ed = nl,
можемъ последнюю пропорщю написать въ вид^>:
ed fi , ef. fi
— = ———- или ed = л ~
ef 0,5 cd 0,5 cd
Откладываемъ на fe длину fh — 0,5 cd, соединяемъ точки 7 и h прямою и изъ точки е проводимъ eg || hi до перес’Ьчешя въ точкЪ д съ прямою fg.
Изъ подоб!я треугольниковъ gef и ihf пишемъ:
М fi ef~fg'
, fi. ef или fg =
- ef. fi
9 0,5 cd ’
И
такъ какъ fh = 0,5 cd.
Сравнивая выражешя ed и fg, заключаемъ, что:
fg=ed.
На основаны сказаннаго ясно, что редукщя вертикальной лиши, разграничивающей сводъ на вертикальный части, на шовъ наклонный производится такъ: въ случай, если дана вертикальная лишя 1 (черт. 33), то проводятъ вспомогательный шовъ cd, и горизонталь fg, откладываютъ fg~edvL fh = 0,5 cd, соединяютъ о^Ьъ е и проводятъ изъ точки h лишю hi || де, а изъ точки 7
— 67 —
проводятъ вертикаль ipkn, которая дастъ на внешней кривой свода точку к;
•i d о. точку к проводить искомый шовъ Л/, давлеше на который будетъ производить площадь bafpklb.
Обратная редукщя наклоннаго шва cd (черт. 34) на вертикальную разграничивающую лишю производятъ такъ: черезъ точку f проводятъ вертикаль
fe и горизонталь fg, откладываютъ fg = ed и fh = 0,5 cd. Соединяюсь д съ е и проводятъ hi || ед\ черезъ 7, точку пересФ>чешя лишй hi и Ту, проводятъ вертикаль piqn^ которая и будетъ искомой вертикальной разграничивающей лишей; bapiqnb будетъ соответствующая ей нагрузка.
Справедливость того и другого построешя ясна изъ доказательства, приведеннаго выше.
IV. Услов1е прочности и устойчивости сводовъ.
Изъ разсмотрф>шя характера разрушешя сводовъ мы приходимъ къ заключешю, что разрушеше сво-
довъ можетъ произойти черезъ: 11 раздроблеше матер!ала свода, Ь) вращеше одной части свода около другой, чг । сражается раскрыт1емъ швовъ, с) скольжеше одной части свода по другой.
Для прочности и устойчивости сводовъ необходимо, чтобъ ни одно пап пгрсчисленныхъ разрушены не могло произойти.
Кроме того, изъ разсмотрЪшя разрушены видимъ, что разрушеше сво-до1П, происходить обыкновенно въ определенныхъ швахъ, называемыхъ опасными швами, въ каковыхъ именно и необходимо произвести проверку въ • Гн»’икчпп трехъ перечисленныхъ разрушены.
Им’Ья bi виду внецентренность точки приложешя равнодействующей да-п)1сн1я нп опасныхъ швахъ, определяютъ, для проверки прочности матер!ала, в' личин; p iнподЬйствующей давлешя въ нихъ и применяюсь теор1ю и формулу неравномl.pn.iro сжат!я, для чего находятъ разстояше точки приложешя равно-д1.И( гнующсй давлешя отъ центра шва, и смотрятъ, находится ли точка припомним ранне (Действующей давлешя въ средней трети шва или нетъ, и определяю г i, з.ы1.мп наибольшее давлеше въ шве, которое сличаютъ съ коэффи-цщпгомъ прочнаго сопротивления кладки на сжат!е. Для проверки относительно скольжеи1я пр'-дКляютъ уголъ, образуемый направлешемъ равнодействующей давлен1я с в нормалью къ шву, и сличаютъ этотъ уголъ съ угломъ скольжешя.
Когда опорная лишя свода построена, тогда для опасныхъ швовъ, где опорная лишя/наиболее удаляется отъ срединной лиши свода, а также имеетъ къ ней наибольшш наклонъ, определяютъ: величину равнодействующей давлешя, разстояше отв центра шва и уголъ между направлешемъ давлешя и
5*
— 68 —
нормалью къ шву и приступаюсь къ проверке, согласно сказанному дальше*
Если же построена лишя давлешя, то предварительно въ сЬхъ же точ-кахъ делаюсь переходъ отъ лиши давлешя къ опорной лиши т.-е. дЪлаютъ редукщи швовъ и определяюсь указанный выше три величины.
Положимъ, что имЪемъ какой-либо шовъ АВ (черт. 35) и действующее на него въ точке С давлеше; пусть точки т и п ограничиваютъ трети шва, а
точка 0—половина его; находимъ величины: и—длину шва АВ, z—разстояше точки С отъ О, <р—уголъ PCN давлешя Р съ нормалью N къ шву, и Р — величину давлешя.
Тогда площадь шва будетъ:
со = и. 1 = г/,
такъ какъ мы разсчитываемъ арку шириною единица, то моментъ инерщи шва будетъ:
1. и3 и 3 = “12“=12*
Нормальное давлеше N къ шзу выразится такъ:
N = Р cos ср ,
а тангенщальное, действующее въ его плоскости, будетъ равно:
Т = Р sin ср ;
но эта величина, вследств1е обыкновенно небольшой величины угла ср, не существенна и въ расчетъ не принимается.
На томъ же чертеже показанъ уголъ трешя 0,
aCNz=bCN=6.
— 69
а) Проверка прочности матер!ала свода.
Наибольшее напряжете въ крайнемъ ребре В неравномерно сжатаго прямоугольнаго сечешя будетъ:
Л Ми
Птих —• ~ ~Г 2 J ’
где моментъ M~N.z.
Подставляя значеше М и найденный выше величины со и J, получимъ:
Для услов!я прочности необходимо, чтобы птах<^К, где К—прочное со-противлеше матер!ала свода сжапю.
Ь) Проверка устойчивости на вращеже (раскрыт шва).
Согласно теорш неравномернаго сжат!я растягивающее усил!е въ край-немь ребре Л не появляется лишь тогда, когда
1
2 -U .
6
( л Г.довательно, для услов1я устойчивости на раскрьте шва необходимо, 47 >и >то последнее неравенство было удовлетворено.
с) Проверка устойчивости на скольжеше.
(Согласно теорш трешя, скольжеше не можетъ произойти лишь въ томъ случае, если уголъ между усил!емъ Р и нормалью 2V къ плоскости шва М'чп.Щ'* угла трешя 0, т.-е. если ?/?<^0. Следовательно, для устойчивости на < Коль । нп необходимо, чтобы это неравенство существовало.
Величины /1 и 0 даны въ первомъ отделе въ таблице № 3, на стр. 24.
H i черт. 36 показано положеше давлешя Р, вызывающее разрушеше ма-. repie ла hi. ребрЪ Л, раскрьте шва у ребра В и скольжеше по плоскости АВ по п.1нр.1вл< п1ю отъ В къ Л, такъ какъ:
АВ
0С>— и /_PCN> ^bCN.
V. Распоръ свода.
Для удобства расчета сводовъ разлагаютъ давлеше въ швахъ на две составляющая: одну вертикальную Г и другую горизонтальную Q, которая назы-
— 70 —
вается распоромъ свода. Распоръ свода и вертикальная составляющая давлен!я обладаютъ следующими свойствами:
а) Для в с е х ъ цилиндрическихъ сводовъ (симметричныхъ и несимметричныхъ), произвольно вертикально нагруженныхъ, распоръ постояненъ по всему пролету, т.-е. горизонтальный слагающая давлешя (распора) вс^хъ швовъ свода равны между собою.
Ь) Въ цилиндрическихъ сводахъ, несимметрично вертикально нагруженныхъ, имеется шовъ, давлеше котораго горизонтально и равно распору;
вертикальная же составляющая давлешя этого шва равна, конечно, нулю; шовъ этотъ соответствуем точке раздела грузовъ по пролету, которая делить вертикальную нагрузку свода на две части, равныя вер-тикальнымъ составляющимъ реакщй соответствующихъ опоръ свода.
с) Въ цилиндрическихъ сводахъ, симметрично вертикально нагруженныхъ, точка раздела грузовъ соответствуем замковому вертикальному
шву, давлеше котораго горизонтально и равно распору.
d) Вертикальный составляюиця д а в л е н i й швовъ ци-
линдрическихъ сводовъ, произвольно, но вертикально, нагруженныхъ, равны нагрузкам ъ, находящимся между точкой
раздела грузовъ и этими швами.
Докажемъ справедливость четырехъ перечисленныхъ свойствъ; поло-
жимъ, что имеемъ (черт. 37) какой угодно, произвольно, но вертикально, на-
Черт. 37.
груженный, цилиндрически сводъ, пролетъ котораго Z; часть пролета длиною т имеем единичную нагрузку а другая часть пролета длиною п имеем единичную нагрузку q.
Пусть L = т п , и Gm = m .р, и Gn = n .q.
Тогда вся нагрузка на сводъ G=Gm-\-Gn.
Разложимъ реакщй опоръ Л и В\ на горизонтальный составляющая и и вертикальный составляющая и К2.
Возьмемъ въ части пролета т на разстоянш х отъ опоры А произволь-
ное сечеше свода въ точке Д, въ которой давлеше Рж разложимъ на составляющая: вертикальную Vx и горизонтальную Qx.
Нагрузка на эту часть свода будетъ:
&Х=Р х.
Определимъ вертикальную составляющую « х; приравнявъ нулю сумму проекщй всехъ силъ на вертикальную плоскость, будемъ иметь:
— 71
о i куда
Теперь опред^лимь вертикальную силу Wx въ сФ>чеши D, зная изъ курса опротивлешя матер!аловъ, что вертикальная сила въ сФ>чен!и равна первой производной момента.
Напишемъ выражеше момента для сФ>чен!я О:
Производная будетъ равна:
1^= = V\ — px,
х ах 1
или:
Wx = V1—Gx = Vx,
откуда видимъ, что для даннаго сФ>чен1я вертикальная составляющая давлен!я шва равна вертикальной силе.
Зная выражеше вертикальной составляющей давлешя шва, можемъ найти
то сЪчеше, где V — 0 и где — Q, т.-е. найти точку раздала грузовъ.
Приравнявъ нулю выражеше вертикальной силы Wx получимъ:
Wx= — рх — 0 .
Откуда координата точки раздала грузовъ:
Положимъ теперь, что точка В есть точка раздала грузовъ, где давлеше свода горизонтально и равно распору Q. Взявши проекщи силъ для каждой части свода на вертикальную и горизонтальную плоскости и приравнявъ нулю суммы проекций силъ, находящихся въ равновЗъсш, получимъ:
— + Gx = 0 и — Q, + Q = 0 ,
а -также
— r„+G2 = O и — О,
откуда находимъ:
I .( и.мемъ затФ>мъ снова на разстояши х отъ опоры А произвольное cb-чсн1е in гочкЪ 0, въ которой давлеше свода Рх и составляюцця его Рх и Qc. * Нагрузка на часть свода между точкой раздала грузовъ В и сЪчешемъ въ точке О будетъ:
Gi —G. = 9г •
*
ВыдЬлимь часть свода между сЪчешями, проведенными черезъ точки В и Р, и напишемъ ycnoBie равновФ>с!я силъ въ выделенной части свода:
+ и -^+<2 = 0, откуда находима, что:
= и Q = QX.
— 72 —
Изъ всЪхъ полученныхъ выражены заключаемъ, что действительно для вс^хъ швовъ:
а) вертикальная составляющая давлен!я равна нагрузке свода между этимъ швомъ и точкой раздела
г р у з о в ъ,
и Ь) распоръ постояненъ по всему пролету свода и равенъ горизонтальной составляющей давлен!я свода. Изъ доказанныхъ свойствъ вертикальныхъ составляющихъ давлены въ швахъ и свойствъ распора произвольнаго цилиндрическаго свода, произвольно вертикально нагруженнаго, можно придти къ следств!ямъ:
а) Чемъ въ своде распоръ больше, темъ точки приложешя давлешя лежатъ въ швахъ выше и, наоборотъ, чемъ распоръ меньше, темъ точки
приложешя давлешя въ швахъ лежатъ ниже.
Ь) Большему распору соответствуем большее давлеше въ швахъ.
с) Зная точку приложешя давлешя въ одномъ изъ швовъ свода и точку приложешя распора въ шве, состветствующемъ точке раздела гру-зовъ, можно найти величину распора и давлешя въ шве, точка прило-
жешя давлешя котораго известна.
На самомъ деле: положимъ, что мы имеемъ часть свода аоЬоатЬ)п (черт. 38), на которую приходится вертикальная нагрузка Gm; по выведенному вертикаль-
ная составляющая шва атЬт
V G . т т
Пусть шовъ а0Ь0 соответствуем точке раздела грузовъ; давлеше его равно пока неизвестному распору, точка приложешя котораго, положимъ, есть к.
При некоторой величине распора Q' давлеше въ швЪ апЬт будетъ Р'т, величина котораго будетъ получена построешемъ па-
раллелограма Ocd^ и точка приложешя давлешя P'w будетъ $; она определится, если провести распоръ до пересечешя съ нагрузкой Gm въ точке А и изъ этой точки провести АР'т || Od.
Если же распоръ будетъ Q", при чемъ Qn'^>QJ't то построеше, подобное предыдущему, даетъ величину давлешя Р"т и точку его приложешя t. Изъ построешя видимъ, что давлеше Р"ж, соответствующее большему распору Q"m, лежитъ выше и имеем величину большую, т.-е. мы получимъ:
г"т>р’т и V>V-
Изъ же построешя легко видеть, что если к точка приложешя распора въ шве, соответствующемъ точке раздела грузовъ, точка приложешя
73
давлешя въ произвольномъ шве 7, а также нагрузка на сводъ Gni намъ известны, но величины распора Q" и давлешя Р”т не известны, то таковыя могутъ быть найдены простымъ построешемъ. Для этого достаточно продолжить горизонтальный распоръ, проведенный черезъ точку к до пересечешя съ усшпемъ Gm въ точке Л, и эту точку соединить съ точкой 7, и изъ конечныхъ точекъ 0 и с усил1я Gm провести лиши:
се || кА и Ое || At9 тогда найдемъ:
се = Q" и Ое = Р"ш .
Необходимо заметить, что чертежъ части свода съ направлешемъ силъ вычерчивается въ масштабе длинъ, а построеже параллелограма выполняется въ масштаба силъ или въ масштаба квадратныхъ мФ>ръ.
VI. На^ождеже точки раздЪла грузовъ и определение фокальны^ъ точекъ.
Положимъ, что имФ>емъ произвольный цилиндрическш сводъ пролетомъ /, нагруженный равномерно-распределенными нагрузками (черт. 39): на части пролета длиною а нагрузкой у? на погонную единицу, на части пролета нагрузкой q на погонную единицу и на части пролета / нагрузкой г на погонную- единицу; означимъ все нагрузки на части a, fi и 7 черезъ 7, 2, 3 такъ что:
р . а — 1
g .0=2
г .7 = 3
а -|- fi 4~ 7 — / •
Нагрузки 7, 2 и 3, какъ равномерно-распределенный, приложены къ срединамъ отрезковъ a, fi и /. Для определешя точки раздела грузовъ стро-имъ многоугольникъ силъ о, 7? 2, 3 съ произвольнымъ полюсомъ 0 и веревочный многоугольникъ acdeb съ замыкающей ab’, определяемъ реакщй опоръ 3—t и t—o и, наконецъ, строимъ эпюры вертикальныхъ силъ, для чего изъ когщовъ отрезковъ a, fi и у проводимъ вертикали, а изъ точекъ о, 7, 7, 2 и 3 многоугольника силъ ведемъ горизонтали до пересечешя первыхъ лишй со вторыми въ точкахъ 41, 7, у, В2, а} и Ь{ и соединяемъ эти точки между со-бои прямыми. Полученная д!аграмма alAlizi и zJB2b^ представляетъ собою д1аграмму вертикальныхъ силъ, а точка zr есть искомая точка раздела гру-зовъ, черезъ которую проходитъ направлеше равнодействующей:
ч G = ар fiq 4- 7Г •
а
Найдя точку раздела грузовъ, определимъ положеше фокальныхъ точекъ 'Г, и Г2, !сиой( тва которыхъ будутъ затемъ указаны и применешя которыхъ при расчете сводовъ будетъ приведено ниже.
Сперва найдемъ равнодействующая нагрузокъ, лежащихъ особо по правую и по лев>ю стороны относительно точки раздела грузовъ и точки ихъ пр:т-
-ожен1я. Прямая zyzz2 делить отр-Ьзокъ /? на две части /?f и/?2, нагрузки которыхъ будутъ:
<71 = .^15 ,
<72 = Л*/ ,
а точки приложешя которыхъ лежатъ на половинахъ и (?2. Достроивъ шарнирный многоугольникъ acmneb и продолживъ сторону его тп до пересЪчешя съ af и bf, найдемъ и и v точки приложешя искомыхъ нагрузокъ Gx и G., по разныя стороны отъ точки z.
при чемъ
G'1=pa-|-^1 = 7 =9^2+г7 = .% + -? ,
G = Gr + G,.
Проводимъ черезъ точку z произвольную прямую у2и2 до пересечения съ направлешемъ силъ Gt и G2 въ точкахъ и2 и к2; соединяемъ точки А1 съ w2 и BL съ и2 и продолжаемъ эти прямыя до пересЬчешя съ направлешемъ G въ точкахъ А и к; наконецъ, соединивъ точки к съ и2 и А съ и2 прямыми лишями находимъ точки Fx и Г2 перес-Ьчешя лишй «2А и v2k съ прямой А1В1. Точки F{ и Г2 будутъ искомыми фокальными точками. Он-fe обладаютъ темъ свой-ствомъ, что черезъ нихъ пройдутъ все прямыя, положешя которыхъ определяются, такъ же какъ и прямыхъ kv2 и Aw2, произвольной прямой, проведенной черезъ точку z.
Для доказательства разсмотримъ выделенный чертежъ (черт. 39) по-строешя точекъ Fx и Г2, где особыми буквами обозначены разстояшя между различными точками. Изъ числа этихъ разстояшй g, i], д, е, Д, 1к получены при помощи предыдущаго построешя, разстояшя q, г2, 4t, ч., пока неизвестны, но вполне определяются положешемъ точекъ Ft и и, наконецъ, разстояшя
//2, V точекъ А, к и и2 отъ прямой AiB1, тоже неизвестны и при-томъ случайны, такъ какъ величина ихъ зависитъ отъ случайно взятаго положешя прямой ы2к2. Найдемъ выражешя отрезковъ г2, С,, ч2, определяю-щихъ место точекъ Fx и Г2.
Изъ ряда подоб!я треугольниковъ (большой чертежъ 39):
A i/ju2z v Д k2z; A u,«2F, A Ftzh; А и, v2F2 20 A F2zk-, Atzk w(и, и A BAzh >0 А ВхKjи2 ;
пишемъ пропорши:
Сопоставляя пропорщи (1), (2), (5), имеемъ:
г
— 75 —
откуда:
ног — /] [-/у, 11 Д1 пая эту подстановку получаемъ наконецъ:
— 76 —
Сопоставляя теперь пропорщи (1), (3), (4), имеемъ:
е ‘ Ч,
значить
•откуда
и наконецъ
.£= #_
Si е s
£ 1 ~ ’
л — _ =_5 л
+ ь2
(1g2
~р §ё
Такимъ образомъ мы нашли отрезки гх и s2, £х и £2, определяющие по-ложешя фокальныхъ точекъ F± и Г2. Изъ разсмотр4>н!я полученныхъ формулъ заключаемъ, что величины этихъ отрезковъ постоянны для даннаго свода и его нагрузки и выражаются какъ функщи величинъ rf, s, f, #, g и но они не зависятъ отъ величинъ 2, и г, который изменяются въ зависимости отъ положешя прямыхъ £/2и2, uji и v2k. Изъ сказаннаго действительно видно, что положеше фокальныхъ точекъ зависитъ, для даннаго свода, только отъ распределешя на немъ нагрузки и следовательно отъ положешя точки раздела грузовъ.
При помощи приведеннаго построен!я отыскиваются точка раздела грузовъ и фокальный точки, который облегчаютъ расчетъ несимметричныхъ и не
симметрично нагруженныхъ сводовъ.
VII. OnpefltneHie величины распора свода.
Величина распора произвольнаго цилиндрическаго свода, произвольно вертикально нагруженнаго, легко можетъ быть определена, если задаться, на основаны способа предельнаго равновешя, положешемъ лиши давлешя въ сре-динномъ и двухъ опорныхъ швахъ и определить въ средине пролета моментъ вертикальной нагрузки свода.
Положимъ, что мы имеемъ сводъ (черт. 40), нагруженный на каждую половину нагрузками Gx и 6?2, при чемъ Gr можетъ быть и не равна 6?2. Въ эти нагрузки можетъ входить какъ постоянная, такъ и временная, распределенная и сосредоточенная сила. Пусть точки Z?, А и В—точки линш давлешя, намеченный на швахъ срединномъ и двухъ опорныхъ на основаны способа предельнаго равновес!я. Соединяемъ А съ В прямою, а изъ точки В проводимъ вертикаль BCD'} точки В и С лежать на полупролете. Предположимъ, что неизвестное давлеше въ точке В разложено на две составляюцця силы: Т, параллельную хорде АВ и вертикальную F; а неизвестный реакщй опоръ и W2 разложены на составляющая Fj и Т± и F2 и х2 вертикальный и направленный по хорде АВ. Силы W± и Т пересекаются на направлены силы Gv а силы TF2 и Т на н^фавленш G2.
— 77 —
СдЪлаемъ ct>4enie свода плоскостью CD и напишемъ уравнеше моментовъ силъ внЪшнихъ и внутреннихъ для какой-либо половины свода; возьмемъ мо-
Черт. 40.
ментъ относительно точки С, чтобы устранить силы Т2 и F изъ урав-нен1я моментовъ.
Моментъ силъ Vv и бгр равный моменту силъ F2 и Сг2, равенъ моменту внФ>шнихъ силъ для сЪче-н!я CD\ обозначимъ этотъ моментъ черезъ Л/. Моментъ силы Т будетъ: Т. S, гдФ> S—длина перпендикуляра, опущеннаго изъ С на направление силы Т.
Обозначивъ далФ>е черезъ: а—уголъ наклона хорды АВ и f — стрелу свода, можемъ написать:
S — f cosa .
Уравнеше моментовъ будетъ:
Ъ1 = Т. S — Т. f cosa.
Обозначивъ черезъ Q распоръ, можемъ написать:
Q= Т cosa , откуда
cos а
и выражеше момента будетъ:
Если построимъ при г.роизвольномъ попюсномъ разстоянш Н многоуголь-нйкъ силъ, hi i I м I. веревочный многоугольникъ для свода, проведемъ замыкающую этого нсревочнаго многоугольника ху и опрец'Ьлимъ по срединЪ пролета моментный ЬтрЪзокъ D'D" равный t, то, какъ известно,
Подставив ! личину М въ величину распора Q, получимъ:
— 78 —
Выражеше это применимо для произвольныхъ цилиндрическихъ сводовъ, произвольно, но вертикально, нагруженныхъ. Величину распора Q можно определить графически, для чего въ многоугольнике силъ проводимъ ob || лу—замыкающей, изъ точки b — горизонталь bd, а изъ точки о вертикаль и откладываемъ; de = f, точку е соединяемъ съ b и прямую продолжаемъ дальше. На направлены силъ откладываемъ: bn = t, и изъ точки п проводимъ горизонталь пт до пересечеюя въ точке т съ лишей ebm\ длина тп, измеренная въ масштабе силъ или квадратныхъ единицахъ, даетъ искомую величину распора:
Q = тп.
.Построеше понятно изъ чертежа, а доказательство основано на подобш треугольниковъ mnb и bde.
Построеше это применимо для в с е х ъ цилиндрическихъ сводовъ, произвольно вертикально нагруженныхъ.
Ь. Построеше опорной лиши въ симметричномъ цилиндрическомъ сводЪ съ симметричной вертикальной нагрузкой.
1. Построеше опорной лижи при помощи majdmum'a распора изъ распоровъ прочности и устойчивости.
Положимъ, что мы имеемъ симметричный цилиндрическш сводъ (черт. 41) оъ симметричной вертикальной нагрузкой, ограниченной горизонтальной ли-шей Л0Л8; вследств!е полной симметрш вычерчена только половина свода вместе съ нагрузкой. Делимъ тело свода на равные клинья и проводимъ третныя лиши свода. Черезъ вершины швовъ проводимъ вертикали, который делятъ нагрузку на полоски; делаемъ приведение нагрузки къ матер!алу свода и опре-деляемъ площади полосокъ нагрузки и со площади клиньевъ.
Далее, определяемъ центры тяжести полосокъ и клиньевъ и находимъ общ!е центры тяжести клиньевъ съ приходящимися на нихъ нагрузками, совокупные веса ’) которыхъ равны соответственно gv д2, #3, gv.$8. Строимъ
затемъ многоугольникъ силъ АВ и, взявъ произвольный полюсъ Р, строимъ веревочный многоугольникъ СВ и находимъ точки приложешя s'2, s'33....s'8, последовательныхъ суммъ грузовъ:
21 =214-22
22 =214-22+23
2з = 21 4-2г 4" 23 4" 2»
до
G = 2s = 22-
J) Можно ограничиться опредЪлен!емъ площадей и не находить весовъ.
q,
q I is:
ПослФ> этого приступаемъ къ опредФлешю положешя опорной лиши и величины распора свода, исходя изъ основашя способа пре-д-Ьльнаго равновФ>с!я свода. Согласно этому способу, необходимо выбрать точку приложешя распора въ ключФ> и найти такую величину распора, при которой опорная лишя вмещалась бы въ средней трети свода и направлеше сторонъ опорной лиши составляло съ нормалями къ швамъ уголъ менышй угла трешя.
Распоръ, соотвЪтствующш по-ложешю опорной лиши въ средней трети, при которомъ раскрьте швовъ не происходитъ, обозначимъ черезъ QA и назовемъ распоромъ прочности, а распоръ, соответствующий положешю сторонъ опорной лиши, при которомъ скольже-Hie не происходитъ, обозначимъ черезъ и назовемъ распоромъ устойчивости. Изъ двухъ рас-поровъ необходимо выбрать, на основаши второго слЪдств!я изъ
b,
с,
С
с
С,
с,^
Sttio
a0
n0
bc c0
ь, с2
b, b. b„ b, b3
/// '
п. /
s’.
kJ
K5
K6
---max Qr~t-
— 80 —
< Шни i । р.к nop.i, паиболышй и построить дпя него опорную лишю, а затЪмъ iipoiil.piin. сводъ на прочность и устойчивость.
На основами типовъ раз£ушен!я сводовъ, точкой приложения распора для нашего свода, при предельномъ равновесш его, будетъ верхняя точка средней трети замковаго шва, которая вместе съ темъ, всл-Ьдств!е 3-го свойства распора, соотвФ>тствуетъ точке раздала грузовъ.
Выбравъ точку приложешя распора тп, проводимъ черезъ нее горизонтальную лин1ю, на которой находимъ точки пересечения ея s,, s2, s3,.......ss
съ вертикальными лишями, проведенными черезъ точки приложешя s',, s'2> s'.,,.....s's равнодействующихъ силъ qt, q2, (/.t.....qs.
Черезъ найденный точки s,, s2, s3,......s8 проходятъ опорныя давлешя
швовъ, направлешя и величина которыхъ, однако, зависятъ отъ величины распора.
а) Распоръ прочности,
Такъ какъ на основаши метода предЪльнаго равновес(я свода необходимо, чтобы ни одно изъ опорныхъ давленш швовъ не выходило за пределы среднихъ ихъ третей (для того чтобы не происходило раскрьгпя швовъ), то, следовательно, направлешя опорныхъ давлешй швовъ, проведенный изъ ука-занныхъ выше точекъ s15 s2, s3,.......s8, черезъ третныя точки швовъ, бу-
дутъ предельными.
На основаши данныхъ и наблюденш надъ разрушившимися сводами, можно установить для разечитываемаго свода наиболее вероятную сторону (наружную или внутреннюю) открьтя швовъ, что даетъ указаше, черезъ какую изъ двухъ третныхъ точекъ швовъ необходимо провести сказанный предельный направлешя опорныхъ давлешй швовъ, такъ какъ, очевидно, направлешя эти не могутъ одновременно проходить для каждаго шва черезъ обе третныя точки ихъ.
Выбравъ третныя точки всехъ швовъ свода, проводимъ черезъ нихъ предельныя направлешя опорныхъ давлешй, для чего соединяемъ эти выбранный третныя точки швовъ съ соответствующими этимъ швамъ точками Sl J S2> ®з>..58"
Имея для каждаго шва свода положешя нагрузокъ qt, q2, q3,.........qs и
проведенный направлешя опорныхъ давлешй, можно на основаши теорш распора сводовъ найти соответственный величины распоровъ и отвечаюцця имъ величины опорныхъ давлешй.
Такимъ образомъ будетъ определено столько разныхъ величинъ распоровъ, сколько имеется швовъ, такъ какъ для каждаго шва будетъ определена своя величина распора; но изъ всехъ этихъ распоровъ будетъ удовлетворять методу предельнаго равновеш’я сводовъ только одинъ распоръ — наиболышй, такъ какъ при всехъ меньшихъ распорахъ въ шве, которому соответствуетъ наиболышй распоръ, на основами теорш распора, опорное давлеше не будетъ проходить въ средней трети, но выйдетъ за пределы ея.
Наиболышй изъ найденныхъ распоровъ, при которомъ только и не происходить раскрьте ни одного изъ швовъ, называется распоромъ прочности и обозначается черезъ тал Qt.
— 81 —
Въ нашемъ своде (черт. 41) предельный опорный давлешя швовъ должны пройти не ниже точекъ л(, п3,......пя — внутреннихъ третныхъ точекъ
швовъ.
Если бы были лыбраны точки выше указанныхъ, то распоры были бы болыше (первое слЕдстп1о изъ свойстпь распора) и раскрыт!е швовъ не произошло бы. Если, паобброть, точки были бы выбраны ниже указанныхъ, то это не согласовалось бы съ методомъ пред1ян>паго рапнов-Ьня, такъ какъ такой сводъ нс устояль бы,
Соединяемъ выбранный третныя точки п швовъ (3-е слЬдств1е изъ свойствъ распора) съ точками s, и такимъ образомъ получасмъ предельный налравлеН1Я опорныхъ давлен!й. ДалЬе, вм-Ьсто того, чтобы на направлшйяхъ q3, д3,......г/я отъ точекъ s1? s3.........s8 откладывать величины нагрузокъ д
и затЬмъ на томъ же чертеж-Ь строить параллелограмы, которые дали бы величины распоровъ и опорныхъ давленш швовъ, построеше это выполняется на многоугольнике силъ, что проще и не затемняетъ чертежа.
Для этого въ многоугольник-b силъ изъ нижняго ибщаго конца всЬхъ силъ д1ъд^д3.........д$, т.-е. изъ точки Л проводимъ лиши:
|| nls1, ДК,2 || л2$2, АК3 || л3$3,..АК3 || ngs8,
а изъ верхнихъ концовъ силъ д^, д%, д3,........д3 проводимъ горизонтальный
лиши до перес-Ьчешя съ первыми. Полученные отр-Ьзки д^, д3К2, дгК3,.....д^,
BKt, горизонтальныхъ пиши и будутъ величины распоровъ при предположена, что опорный давлешя швовъ проходятъ последовательно то черезъ точку п1, то черезъ л2, то черезъ п3 и т. д., то, наконецъ, черезъ точку п3, другими словами, при предположена, что последовательный равнодействующая силъ д и соответствующихъ распоровъ пройдутъ черезъ эти точки п. Намъ остается выбрать наибольшш изъ полученныхъ распоровъ, для чего соединяемъ концы ихъ кривою лишей, къ которой проводимъ вертикальную касательную. Длина ординаты точки касашя даетъ искомую величину распора прочности max Qt.
b) Распоръ устойчивости.
Такъ какъ на основанж метода предельнаго равновЬшя свода необходимо, чтобы ни одно изъ опорныхъ давленш швовъ не образовывало съ нормалями къ швамъ угловъ, большихъ угла трешя, принимаемаго въ 22°, дабы не происходило сксльжеше въ швахъ, то, следовательно, направлешя опорныхъ давленш швовъ, проведенный подъ угломъ въ 22° къ нормалямъ, должны быть предельными.
На основанш данныхъ наблюденж надъ разрушившимися сводами можно установить для разечитываемаго свода наиболее вероятное направлеше сколь-жешя (внаружу или вовнутрь), что даетъ указаше, по какую сторону отъ нормалей, къ швамъ откладывать уголъ 22°, такъ какъ очевидно скольжеше не можетъ одновременно происходить въ обе стороны.
Выбравъ сторону нормалей къ швамъ, въ какую необходимо откладывать уголъ въ 22°, бтроимъ эти углы и изъ указанныхъ выше точекъ s2, ss,......s8 (черт. 41) проводимъ лиши параллельный построеннымъ сторонамъ
H. К. Пахтинъ. Расчетъ сводовъ. б
— 82 —
соответствующихъ угловъ; это будутъ предельный положенёя опорныхъ давлешй швовъ, при которыхъ только и не произойдетъ скольжеше въ швахъ.
Имея для каждаго шва £вода направлешя опорныхъ давлешй, можно на основаши теорш распора сводовъ найти соответственныя величины распоровъ и опорныхъ давлешй.
Такимъ образомъ будетъ определено столько разныхъ величинъ распоровъ, сколько имеется швовъ, такъ какъ для каждаго шва будетъ определена своя величина распора; но изъ всехъ этихъ распоровъ будетъ удовлетворять методу предельнаго равновесия сводовъ только одинъ распоръ — наибольшей, такъ какъ при всехъ меныпихъ распорахъ въ шве, которому соответствуетъ наиболышй распоръ, на основаши теорш распора, опорное давлеше выйдетъ изъ предельнаго угла въ 22°. Наиболышй изъ найденныхъ распоровъ, при коч торомъ только и не происходитъ скольжеше ни въ одномъ изъ швовъ, называется распоромъ устойчивости и обозначается черезъ max Q,2.
Для определенен величинъ распоровъ необходимо изъ всехъ точекъ si» ^35.......(черт. 41) провести линш, нормальный къ соответствуеоедимъ
швамъ и при нихъ построить въ надлежащуео сторону углы въ 22°, затемъ на направленёяхъ qi} q2, qg,....qs отложить силы gif д%, д3,......gs и, нако-
нецъ, построить параллелограмы, которые дали бы величины распоровъ и опорныхъ давлешй швовъ.
Чтобы не затемнять чертежъ 41, построеше это выполнено особо (черт. 42) для шва а1ЪЬп, которому соответствуетъ направленёе qa силы дп, проведенное черезъ точку 8п. Изъ точки Sn, лежащей на пересеченёи направленёя q съ направленёемъ распора, проведеннаго черезъ точку т0, выбранную выше, проводимъ линёю Snrn подъ угломъ 22° къ линш S Nu, нормальной къ шву а b ; на вертикальной лиши $нди отложена сила дп и изъ нижняго конца этой силы проведена горизонталь до пересечешя съ лишей Snrn.
Въ треугольнике 8пРпдп стороны равны соответственно; Sitgn — дп — равнодействующая нагрузки, SnPn~Pn—давлеше въ шве, gnPn = Qz — распоръ.
Изъ чертежа видно, что величина распора
Qi = ^„^(а„ + 22’),
где ап есть уголъ шва я{!6и съ вертикалью.
Эти построешя затруднительно проделывать для всехъ швовъ, величины же искомыхъ распоровъ могутъ быть получены при помощи следующаго более простого построешя.
Берутъ две оси прямоугольныхъ координатъ Ох и Оу (черт. 42), проводить къ оси х изъ начала координатъ 0 линёю Ои подъ угломъ 22°; кроме того, изъ начала координатъ проводить параллели ко всемъ швамъ свода; эти лиши составить съ осью Оу углы «15 сс2, «3, ........ сс8. На лиши Ои
отъ точки 0 откладываютъ силы ду, д2, д3, . . . . . д8 и изъ концовъ ихъ возставляютъ перпендикуляры къ лиши Ои. Отмечаютъ точки пересечешя этихъ перпендикуляровъ съ линиями направленёя швовъ. Отрезки перпендику-ляровъ и дадутъ величины распоровъ:
^i^i’ ^2^2» .....9%h3 •
— 83 —
Такъ какъ углы между лишей Ои и направлешями швовъ равны
{9О° — (а22°)},
то длины 11срин|дикуляровъ действительно равны распорамъ:
= 9п 190" — (« + 22°)} = ди cig (а + 22°).
Концы нерпендикуляровъ соединяемъ кривою, къ которой проводимъ ка-сагсльпую параллельно оси Ои; касательная эта отметить распоръ устойчи-У.
Черт. 42.
4
вости inax Q2, равный длине перпендикуляра, опущеннаго изъ точки касажя на лишю Ои.
с) Расчетный распоръ свода и опорная пижя.
Выше мы нашли два распора max Qv и max Q2; оба они соответствуютъ такимъ положешямъ опорныхъ лишй въ своде, при которыхъ еще не произойдетъ либо открыли швовъ, либо скольжешя въ швахъ. Однако опорная лишя, отвечающая большем/ изъ двухъ распоровъ max Qi и max Q2, будетъ соответствовать такому распределена усил!й въ своде, при которомъ не произойдетъ ни открытие швовъ, ни скольжеше, и притомъ наибольшей изъ этихъ двухъ
6
— 84 —
распоровъ вызоветъ и наибольшая напряжешя въ матер!але свода, следовательно, онъ будетъ наиболее опасный по отношешю раздроблешя матер!ала свода.
Изъ найденныхъ двухъ распоровъ max и max Q2 выбираютъ наиболь-Ш1Й, принимаемый окончательйо за расчетный распоръ свода, обозначаемый черезъ max Q, при которомъ строятъ опорную лин!ю. Для этого въ многоугольнике силъ на горизонтальной прямой, проведенной изъ нижняго конца силы ду, берутъ полюсь 0 (черт. 41) при полюсномъ разстояши равномъ max Q, проводятъ лучи и строятъ второй веревочный многоугольникъ на разрезе свода, начиная съ точки т0, приложешя распора. Полученный новый веревочный многоугольникъ (на чертеже этотъ многоугольникъ не построек ь, чтобы не затемнять построешя) и будетъ опорной лишей. ЧЪмъ клинья были мельче взяты, тЬмъ ломаная лишя ближе подходить къ опорной кривой.
Когда опорная лишя построена, тогда остается проверить прочность и устойчивость свода. Лучи второго многоугольника силъ даютъ по величине и направлешю давлешя во швахъ.
Весь чертежъ разреза свода исполняется въ масштабе длинъ, а многоугольникъ силъ и все къ нему относяицяся построешя выполняются въ масштаба силъ или масштабе квадратовъ линейныхъ единицъ меры.
Направлешя сторонъ опорной лиши даютъ направлешя давлешй, а точки пересФ>чешя швовъ съ опорной лишей даютъ точки приложения давлешй въ швахъ; измеренный въ масштабе длинъ разстояшя, отъ точекъ пересечения опорной лиши со швами до срединъ швовъ, дадутъ плечи z для определения величины неравномернаго давлешя.
Если: 1) во всемъ своде опорная лишя не выходить изъ средней трети тела свода, 2) давлешя въ ближайшихъ крайнихъ ребрахъ клиньевъ не больше прочнаго сопротивлешя сжат1ю матер!ала свода и 3) углы, составленные сторонами опорной лиши съ нормалями къ швамъ, не больше 22°,—то сводъ проченъ и устойчивъ; въ противномъ случае необходимо изменить либо толщину свода, либо очерташе направляющихъ, либо то и другое вместе и снова произвести все построеше. Въ некоторыхъ случаяхъ представляется воз-можнымъ достигнуть устойчивости и прочности запроектированнаго свода, устроивъ забутку или поставивъ связи; то и другое должно быть подсчитано такъ, чтобы были удовлетворены услов!я прочности и устойчивости.
II. Построеше опорной линш свода при помощи тре^ъ ея точекъ, выбранными на основами метода предельнаго равновеая свода.
Построеше опорной лиши симметричнаго свода съ вертикальной симметричной нагрузкой можно выполнить более просто, чемъ уже было разсмотрено, хотя, впрочемъ, менее точно; способъ этотъ применяется въ техъ случаяхъ, когда особой точности не требуется.
Положимъ, что мы имеемъ какой-либо симметричный (черт. 43) цилиндрически сводъ съ симметричной вертикальной нагрузкой. Вследств1е полной сим-метрш чертимъ только половину свода, делимъ его на клинья, проводимъ черезъ верхняя точки швовъ вертикали и делаемъ приведеше нагрузки къ матер!алу
— 85 —
• иода ОиредЪляемъ положеше центровъ тяжести и площади клиньевъ и гру loiiuxb площадокъ, находимъ также положеше центровъ тяжести весовъ клиньевъ вместе съ приходящимися на нихъ нагрузками. Пусть совокупные в tea (или площади) будутъ: gt, д2, и gi и положения центровъ тяжести ихъ отменены черезъ /, //, ///, IV.
При произвольномъ полюсномъ разстоянш строимъ многоугольникъ силъ и веревочный мн.огоугольникъ т'Г И' ИГ IV п' и находимъ, затЬмъ
положеше общей равнодействующей G, проходящей черезъ 8, точку nepect-чешя крайнихъ сторонъ т'Г и n'lV' веревочнаго многоугольника.
На основаши способа предЬльнаго равновейя задаемся въ опасныхъ швахъ (ключе и шве перелома, который случайно совпадаетъ съ началомъ свода) точками а и Ь *). Исходя изъ третьяго. следствия свойствъ распора, проводимъ черезъ точку а направлеше горизонтальная распора до пересечешя и ь точке 8 съ направлешемъ равнодействующей 6г и точку 8 соединяемъ съ Точкой 6; въ многоугольнике силъ проводимъ ВО || 68, и получаемъ распоръ (,> О А и реакшю опоры К = ОВ .
Принявъ точку 0 за новый пстюсъ, проводимъ лучи и строимъ, начиная съ точки а или 6„ веревочный многоугольникъ Q a IIIIHIVb V, который даетъ по-ложгн1 опорной лиши. Прочность и устойчивость свода проверяются такъ же, k.iki, уж пню изложено.
с. Посгроеше лижи давлешя въ несимметричные цилиндрические сводахъ, нагруженные несимметричжяг вертикальной нагрузкой.
Прим I'.hhm ь къ этому случаю второй более простой способъ расчета. Действ1е временной нагрузки можетъ оказаться для свода более невыгодной
•) Въ сиуча!> ‘песиммстричнаго свода необходимо было бы задаться тремя точками, а не двумя.
— 86 —
въ томъ случай, если нагрузка эта занимаетъ не весь пролетъ, а только часть его. Точное опред'Ьлеше самаго выгоднаго расположен1я временной нагрузки для каждаго случая можетъ быть определено при помощи расчетовъ однако довольно затруднительныхъ; для практическихъ же целей оказывается вполне достаточнымъ предположеше, что временная нагрузка занимаетъ половину
пролета.
Положимъ, что мы имеемъ несимметричный сводъ, нагруженный вертикальной, симметричной постоянной нагрузкой и односторонне временной, доведенной до средины пролета (черт. 44). Вертикальными лин!ями, проведенными на равныхъ между собою разстояшяхъ, делимъ, начиная съ замковаго шва, какъ сводъ, такъ и нагрузки на вертикальный полосы, делаемъ приведете къ матер!алу свода постоянныхъ и временныхъ нагрузокъ и определяемъ площади и центры тяжести приведенных о полосокъ.
Черт. 44.
Въ масштабе силъ или площадей строимъ многоугольникъ силъ при произвольномъ полюсе Р. ЗатФ.мъ, смотря по очертан!ю свода, согласно способу предепьнаго равновесия отм’Ьчаемъ три точки a, ft и у, черезъ которыя должна пройти лишя давлешя. Предполагаемъ по очереди, что нагружена то правая, то левая часть свода всею приходящеюся на каждую изъ частей нагрузкою; при этомъ предполагается, что другая часть свода въ это время совершенно не нагружена. Нагрузка на правую часть будетъ (?2 = ВС, а на левую = АВ. Черезъ цечтры тяжести полосокъ проводимъ вертикали и строимъ веревочный многоугольникъ всей нагрузки для всего свода, а зат’Ьмъ определяемъ поло-жеше равнодЪйствующихъ (q и (?2 нагрузокъ на правую и на левую части свода отдельно, для чего продолжаемъ соответствуюпця стороны веревочнаго многоугольника до взаимнаго пересечения. Такимъ образомъ определены какь точки Т\ и Т\, такъ и направлешя и Сг2. Направлешя реакщй опоръ не-нагруженныхъ частей свода вполне определены положешемъ прямыхъ, прозе-
87
дгнныхъ черезъ точки давлешя, который отмечены на замковомъ и пятовыхь швахъ.
При нагруженной левой части свода направлеше реакщи правой опоры определено лишей (fy, а при нагруженной правой части свода направлеше реакцш левой опоры определено лишей а/, такъ какъ, при отсутствш нагрузки, направлеше реакщи опоры ненагруженной части свода ничемъ не отклоняется и должно проходить, именно, черезъ намеченныя точки пятоваго и замковаго швовъ. ненагруженной части свода на томъ основаши, что при прохождении лиши давлешя лишь черезъ намеченныя точки, хотя бы и при односторонней нагрузке, сводъ не подвергнется разрушению. Согласно третьему следствию изъ свойствъ распора для нахождешя реакцш обеихъ опоръ и распоровъ при на-грузкахъ одной правой и одной левой части свода, необходимо продолжить линш а/ и до пересечения *съ направлешями частичныхъ равнодействую-щихъ С?2 и Cq въ точкахъ Г8 и 7J, эти последняя точки соединить съ точками /? и а, а въ многоугольнике силъ провести линш
О^А ||аТу 0гВ || и 02В || ауТ2, 02С || /?Т2.
Исполнивъ указанное построеше получимъ реакцш опоръ:
левой lt = 0{А при нагрузке левой части
Z2 = 02fl „ „ правой „
правой г, = 0гВ „ г2=020 „ „ левой
и распоры и Q2, которые будут ь равны полюснымъ разстояшямъ полюсовъ О, и 02.
Вследствие закона совокупнаго действ1я силъ искомыя реакцш опоръ при нагрузке обеихъ частей свода будутъ равны равнодействующей частичныхъ реакцш опоръ Z, и Z2, г, и г2, а распоръ свода при нагрузке обеихъ частей его равенъ будетъ сумме распоровъ Qr и ()2.
Для определения этихъ величинъ необходимо построить параллелограммы реакцш опоръ, для чего проводимъ:
00. II 02В и 002 II о.в.
Точку 0, взаимнаго пересечешя проведенныхъ параллелей, соединяемъ съ точками А и 0. Полученные отрезу ОА и ОС дадутъ по величине и напра-влен!ю искомыя реакцш опоръ, а полюсное разстояше точки 0—искомый распоръ 9 всего нагруженнаго свода.
Справедливость этого построешя следуетъ изъ того, что:
002 = 0хВ = 00, = 020 = г2,
а отрезки 0А = 1 и 00 = г
представляютъ диагонали параллелограмовъ, построенныхъ на силахъ Z, и l2, rt и г2, а новое полюсное разстояше Q равно сумме и Q2.
— 88 —
Проводимъ наконецъ изъ новаго полюса 0 лучи и строимъ начиная съ точекъ а или fi новый веревочный многоугольникъ, положен!е котораго даетъ искомую лишю давлен1я свода.
Новое полюсное разстояше—это распоръ свода, а длины лучей второго многоугольника силъ дадутъ давления въ швахъ свода. Остается по получен-нымъ даннымъ произвести проверку прочности и устойчивости свода.
d. Построеже опорной лижи симметричные цилиндрические сводовъ, несимметрично вертикально нагруженные^ при помощи фокальные точекъ.
Положимъ, что мы им-Ьемъ (черт. 45) сводъ съ показанной несимметричной нагрузкой. Согласно известному построешю находимъ точку раздела грузовъ z и фокальныя точки Fr и Fv затемъ намечаемъ шовъ С и на немъ, и на пятовыхъ швахъ точки А, В и С, черезъ который опорная лишя должна пройти на основанш теорш предельнаго равновеш'я. Соединяемъ точку А съ С и В съ С и на продолжешя линш АС и ВС проектируемъ фокальныя точки въ и Г'2, затТмъ соединяемъ точки А съ F\ и В съ Г'2; продолжешя этихъ прямыхъ пересекутся въ точке z2 на направлении равнодействующей G всей нагрузки. Проектируемъ на лин1и Az2 и Sz2 точки е и f приложешя равнодействующихъ и 6?2 нагрузокъ, расположенныхъ по разныя стороны точки раздела грузовъ. Проекщи этихъ точекъ е2 и соединяемъ прямою, которая прой-детъ черезъ точку С и будетъ горизонтальна. Такимъ образомъ мы получили новый веревочный многоугольникъ, проходящш черезъ три заданный точки А, С и В. Проведя въ многоугольнике силъ черезъ точки о и я— Со || Л/2 и Оя || Z?Z2 пересекающаяся въ точке 0, получимъ горизонталь Ot, проведенную параллельно е2/2 и равную искомому распору свода Q, следовательно Ot = Q.
Выяснимъ правильность построешя следующимъ разсуждешемъ. Для определения положения фокальныхъ точекъ Ft и f2 (черт. 45) было выполнено вспомогательное построеше а3и$к, b^v^h, uliFlh, viF^k, u^zv^ не на самомъ разрезе свода, а отдельно, и притомъ лишь для того, чтобы не затемнять главнаго чертежа; при этомъ точка а3 соответствуетъ точке А, точка 62— точке В. Лин1и вспомогательнаго построения, будучи связаны взаимно при помощи последовательности построешя, въ то же время могутъ занимать разныя произвольный положешя, отъ которыхъ изменится лишь взаимное распо-ложеше этихъ лишй, но некоторый соотношешя между отрезками этихъ лишй не изменятся, какъ равно не изменятся длины горизонтальныхъ проекщй некоторыхъ отрезковъ; другими словами: точки пересечешя некоторыхъ лишй, перемещаясь по высоте съ изменешемъ положешя самыхъ лишй, будутъ всегда оставаться на однихъ и техъ же вертикаляхъ. Такъ, когда лишя aazF^ будетъ вращаться около точки А (соответствующей точке я3) и займетъ положеше ACF '2, лишя b^zF^, вращаясь около точки В (соответствующей точке 62), должна будетъ занять положеше BCF'^, съ темъ чтобы точка С пересечешя этихъ лишй, соответствующая точке z, осталась на вертикали, проведенной черезъ точку С.
— 89 —
Зат+.мъ лин1и a3Fxz и bj^z, вращаясь при тЪхъ же обстоятельствах^ лаймутъ положешя ЛГ/л, и BF^z^ и точки на нихъ et и совпадутъ съ точками е2 и f2. Прямая elzfl переместится въ положеше е2СУ2. Такимъ образомъ мы убедились въ вер
ности новаго соетно-шен!я всехъ точекъ. Продолжаемъ Лг2 и az3, а также Bz* и bz3 до взаимнаго пересечешя въ точкахъ т и п и соединяемъ эти последшя точки прямою. Эта прямая тп будетъ параллельна полярной оси ОР, проведя которую и до-строивъ многоугольникъ силъ, будемъ m иметь новый полюсъ съ новыми лучами Для того, чтобы закончить построеже опорной лиши, необходимо нагрузки Gt и Ga разделить на полоски, провести швы и выполнить
О*.
%
п
Черт. 45.
— 90 —
уже известное построение. Многоугольникъ опорной пиши впишется, очевидно, въ ломаную Ae^Cf^B, пройдя черезъ точки А, С и В. Построеше это не выполнено, чтобы не затемнять чертежа изъ него однако видно, что въ шве, про-ходящемъ черезъ точку раздала грузовъ, давлен!е горизонтально и равно распору, что уже известно изъ предыдущаго.
Доказательство всего этого построешя при помощи проективной (высщ^й) геометрш можетъ быть выполнено проще, короче и точнее.
е. Построение опорной лиши симметричныхъ цилиндрическихъ сводовъ, нагруженныхъ симметрично вертикальной и горизонтальной нагрузкой.
Положимъ, что мы имеемъ симметричный цилиндрическш сводъ, нагруженный симметричной вертикальной и горизонтальной нагрузкой. ВслЪдствш полной симметрш вычерчи-ваемъ половину свода и вертикальной нагрузки, дЪ-лимъ фигуру на клинья и вертикальный полоски; д'Ь-иаемъ приведете вертикальной нагрузки къ мате-piany свода, опред'Ьляемъ площади и центры тяжести клиньевъ вместе съ приходящимися на нихъ грузовыми полосками; затЬмъ, опредф.ляемъ при помощи другихъ отд-Ьловъ курса строительной механики величины горизонтальныхъ нагрузокъ, приходящихся на каждый изъ клиньевъ. Пусть (черт. 46) qv q2, q3, ql будутъ направлешями верти-кальныхъ силъ gY, д2, д3, gv а направлеше горизонтальныхъ силъ Д, Д, f., со-отвЪтствующихъ вертикаль-нымъ, будутъ Fv F2, F3, Fv последовательно величины
вертикальныхъ и горизонтальныхъ силъ gv flt д2, д3, fs, gv fv
Частичный равнодействующая силы для клиньевъ будутъ по величине и направлешю r2, r3, rt, а точки ихъ приложешя kv kv к3, ki получатся въ пересечешяхъ направленш силъ д и F.
Проводимъ черезъ все точки к параллели частичнымъ равнодействую-щимъ т и определяемъ направление В, равнодействующей всехъ силъ г. Бе-
»
— 91 —
ремъ произвольный полюсъ Р, проводимъ лучи и строимъ шарнирный многоугольникъ а'с'Ь'; продолжаемъ крайшя его стороны до взаимнаго пересечешя, и находимъ точку S', черезъ которую проводимъ лишю Р, параллельную лиши АВ, и равную по величине и направлению равнодействующей всЬхъ нагрузокъ.
Наметивъ на опасныхъ швахъ по способу предельнаго равновеая точ^и а и Ь, проводимъ черезъ а горизонталь до пересечешя съ направлешемъ Р въ точке S; соединяемъ эту последнюю съ b и проводимъ АО || aS и ВО || bS. Изъ новаго полюса О проводимъ лучи къ кониамъ силъ г и строимъ, начиная съ а или Ь, второй шарнирный многоугольникъ, который даетъ положеше опорной лиши.
Такимъ образомъ находимъ распоръ Q, реакцию опоры V и давлешя въ швахъ свода, остается по известному пр1‘ему проверить прочность и устойчивость свода.
f. Построенie опорной пиши ципиндрически^ъ сводовъ по способу мгновеннаго равнов^ая.
Положимъ, что мы имеемъ цилиндричесюй сводъ (чер. 47), нагрузка ко-тораго известна; сводъ разделенъ на клинья, центры тяжести ихъ определены, веса клиньевъ и нагрузки на нихъ вычислены.
Проводимъ третныя лиши свода, отмечаемъ точки 1r, 2Т, 3Z, 4р 5r, пересечешя швовъ съ нижней третной лишен; строимъ многоугольники силъ при произвольномъ полюсе 0 и шарнирный k!mnopq\ затемъ находимъ точки «, /?, / и д пересечешя сторонъ шарнирнаго многоугольника съ первой Сто стороною; черезъ эти точки проходятъ частичный равнодействующтя.
Проводимъ черезъ верхнюю треть а замковаго шва горизонтальнук\лйшю «Q и на нее проектируемъ точки к, а, р, у, 6 и q въ точки 1П, 2П, Зп, 4П, 5Ц, 6/т, черезъ нихъ проходятъ силы: 1, 1 -[-2, J2-[-3-[-4, 7 4* 4~
4-54-4-4-5, 74-^4-54-44-54-6.'
Расчетъ свода по принципу мгновеннаго равновеая заключается въ опре-делеши такой величины распора, при которой не можетъ иметь места открытие
внаружу ни одного изъ швовъ свода.
Для этого сперва предполагаемъ, что равнодействуюпдя изъ силъ рав-
ныхъ соответственно 7, 7 4~ 2, 4“ % 4“ 5, 7 -|-25 4, / |-,2 4-54 4-5,
1 | 2 | 5 -|- 4 4- 5 -|“ 6 и пока- неизвестныхъ соответственныхъ распоровъ,
прпложенныхъ къ верхней трети замка, проходятъ черезъ отмеченныя точки пересЪчс1ля нижней третной лиши со швами свода; затемъ определяемъ величины зтихъ неизвестныхъ распоровъ и, наконецъ, при наибольшемъ изъ
найденннхъ распоровъ строимъ опорную кривую.
Равнодействующая изъ силъ 7, 7-}-Д 74-Д 4~3 и т. д. и неизвестныхъ распоровъ должны быть приложены къ найденнымъ выше точкамъ 1 п, 2П, Зп, 4П, 5П, 6Ц и проходить черезъ точки 7Z, 2Г 3r, 4r, 5Jt 6Jt для того, чтобы раскрыпе швовъ* внаружу не имело места; поэтому соединяемъ прямыми ли-шями попарно точки 7/ и 1П, 2Т и 2и, Зг и Зп и т. д.
92
— 93 —
Черт. 48.
Для опредФ>лешя величинъ распоровъ проводимъ въ много-угольникЪ силъ лин!и 1-1 2~2\\
Ь~2и- 3-3\\3t-Зц и т. д.
ОтрЪзки о — 1, о — 2, о — 3, о — 4, о — 5, о — 6 и будутъ найденными величинами распоровъ. Изъ нихъ распоръ о — 3 будетъ наиболышй, который и долженъ быть принять при дальн'Ьй-шемъ расчет^.
Точку 3считаемъ за новый полюсъ Р, проводимъ изъ нея лучи и строимъ изв-Ьст-нымъ способомъ опорную лин1ю abcdefgh, проводя лин!и 1п—с || Р—1, cd || Р—2, de || Р — 3, ef || Р — 4, fg\\P—5n9h\\P—6 до пересЬчешя съ вертикальными ЛИНИЯМИ 1—1V 2—2г 3~31< 4 — 4T, 5 — 5v 6 — 6г Что касается до проверки прочности и устойчивости разсчи-тываемаго свода, то таковая проверка совершается, следуя при-нятымъ пр1емамъ.
д. Построете пиши давлешя произвольныхъ цилиндрическихъ сводовъ, произвольно вертикально нагруженныхъ.
Покажемъ еще построеше лиши давлешя произвольныхъ цилиндрическихъ сводовъ, произвольно вертикально нагруженныхъ, пользуясь опред-Ьлешемъ
— 94 —
распора при помощи приведенной выше формулы:
0=
где ff—-полярное разстояя!е перваго шарнирнаго многоугольника, s—моментный отр-Ьзокъ въ средине пролета, f—стрела подъема свода.
На
чертежахъ 48 и 49 имЪемъ два свода
съ показанными приведенными
нагрузками, разделенными вместе со сводами на вертикальный полоски. Строимъ многоугольники силъ и первые шарнирные многоугольники съ полюсами Р. Намечаемъ точки А, В и С по способу предель-наго равновешя и проводимъ хорды АВ и замыкаюгщя А' В1, измеряемы *) длины: f, s и Нг потомъ либо вычислешемъ, либо графическимъ построешемъ определяемы распоры Q и проводимъ, на разстояши Q отъ лиши силъ, въ много-угольникахъ силъ вертикали ST. Проведя изъ полюсовъ Р лиши PF параллельно за-мыкающимъ А'В', находимъ точки F, изъ которыхъ проводимъ параллели хордамъ АВ до пересечешя съ вертикалями ST въ точкахъ 0; эти точки 0 будутъ новыми полюсами и должны тежать на одной вертикали съ точками и, полученными при известномъ **) графическомъ построеши величинъ распоровъ. Проводимъ изъ полюсовъ 0 лучи и строимъ, начиная съ А или В, вторые шарнирные многоугольники, которые и являются иско-
мыми лишями давлешя.
*) Длины fas измеряемы въ масштаба длинъ, а длину Н—въ масштаб^ силъ или площадей.
**) Проводятъ (черт. 49) изъ полюса Р горизонталь РК и вертикаль Pi, откладываютъ на последней длину f\ точку / и К соединяютъ прямой, которую прпцопжаютъ цал'Ье На лиши
— 95 —
h. Ilocipoeiiie пиши давлешя сводовъ при помощи преобразована Фуллера,
Графически решешя часто чрезвычайно упрощаются при помощи особаго рода построена, носящихъ назваше анаморфозы. Подъ эуимъ назвашемъ въ строгомъ и буквальномъ смысле этого слова должно понимать искаженное или измененное изображен!е. Такъ какъ изучен!е и изслЪдо-ван!е какой-либо функщи несравненно проще, если она изображена въ виде прямой, чЪмъ въ виде кривой, то въ большинстве, случаевъ при помощи анаморфозы преобразуютъ данную кривую въ прямую,
Къ преобразовашямъ такого рода принадлежите и преобразован!е Фуллера, применяемое съ большимъ усп^хомы къ опред-Ьлешю величины распора свода а следовательно и къ построешю лин!и давлешя.
Покажемъ сперва преобразоваше Фуллера*), а затемъ применимы его къ интересующему насъ вопросу.
При помощи этой анаморфозы шарнирные многоугольники преобразуются въ прямыя лиши и обратно прямыя лиши преобразуются въ многоугольники и кроме того отыскиваются видоизмененный положешя лежащихъ вблизи нихъ точекъ.
Положимъ, что мы имеемъ (чер. 50) систему силъ: 1, 2, 3 и 4, и построенные для нихъ многоугольники силъ и шарнирный. Преобразуемы при помощи npiena Фуллера шарнирный многоугольникъ WABtCDE въ прямую и определимы видоизмененный положешя точекъ М и U.
Предположимъ, что по ходу всего графическаго расчета выгодно данный шарнирный многоугольникъ преобразовать въ прямую &], которую мы для этого и проводимъ; намъ необходимо найти на проведенной анаморфозе вершины даннаго шарнирнаго многоугольника. Согласно преобразовашю Фуллера проводимъ изъ веошинъ и произвольныхъ точекъ крайнихъ сторонъ шарнир-наго многоугольника горизонтальный взаимно параллельный прямыя до пере-г|-.чешя съ проведенной прямой Такимъ образомъ получимъ точку а, эквивалентную точкамъ И' и Л, и точки t>1, с, d и е, соответственный точкамъ Вх С, О н Е. Гакимъ образомъ все точки даннаго многоугольника какъ бы смещать я (сдвигаются) по взаимно параллельнымъ прямымъ на данную прямую ёт/. При »гом если бы мы вообразили вертикальный прямыя, проведенный череп. н< I. точки сторонъ шарнирнаго мноугольника и наложили бы ycnoBie, что при псреднн>ксши, проведенный вертикальный прямыя, передвигаются неразрывно со виими точками шарнирнаго многоугольника, то получили бы рядъ анаморфозы in-piпкал<ч1, проведенныхъ черезъ соответственный точки данной прямой §2/.
Таким I, образомъ вертикальный прямыя, на которыхъ лежатъ данныя для
силъ отъ точки К до точки L откладываютъ длину s; изъ точки L проводятъ горизонталь Lu до перес,Ьчен1я съ нродопжсн1омъ лижи iK.
Найденная линии «I и будетъ искомымъ раслоромъ, что видно изъ подо61я треугопь-никовъ uLK и KiP.
*) Основажя графической статики В. Л. Кирпичева, 1908 г.
— 96 —
преобразовали точки М и U, линш MN и UV переместятся въ положеше тп и w. Преобразованное положеше данныхъ точекъ найдется, проведя горизонтали черезъ точки М и U до пересЬчешя съ преобразованными прямыми.
Отсюда правило для опредЬлешя преобразованнаго положешя точекъ: че-
резъ данную преобразуемую точку проводить вертикаль до пересЬчешя со стороной шарнирнаго многоугольника; изъ этой найденной точки пере-сЬчешя проводить горизонталь до пересЬчешя съ прямою видоизмЬненнаго шарнирнаго многоугольника и изъ этого послЬдняго пересЬчешя проводить опять вертикаль, на которой отыски-ваютъ точку пересЬчешя съ горизонталью, проведенной черезъ данную для преобразовашя точку.
Такимъ образомъ, если намъ необходимо преобразовать положеше точки 0, то мы проводимъ черезъ нее вертикаль OR и горизонталь
Оо; отыскиваемъ точку R пересЬчешя вертикали
OR со стороной AW шарнирнаго многоугольника; изъ точки R проводимъ горизонталь Ra до пересЬчешя въ точкЬ а съ прямой д//; наконецъ изъ точки а
проводимъ вертикаль ао до взаимнаго пересЬчешя съ проведенной горизонталью Оо въ точкЬ о. Точка о и есть искомое преобразованное положеше данной точки О. Точно такъ же найдена точка служащая преобразован-нымъ положешемъ точки Klf черезъ которую проходить равнодЬйствующая G данной системы силъ 1, 2, 3 и 4.
— 97 —
II к JlnxTiuih I »C‘inih (h(>A«iiti
Теперь, наоборотъ, если дано видоизмененное положение точки s и необходимо найти настоящее положение точки 5, то описанное построеше выполняется строго въ обратномъ порядке. Для этого проводимъ вертикаль я/, определяемъ точку t пересечен!я вертикали st съ прямой изъ точекъ s и t проводимъ горизонтали sS и tT и находимъ точку Т пере-сечешя горизонтали tT съ шарнирнымъ много-угольникомъ; изъ точки Т проводимъ вертикаль TS до пересечешя съ горизонталью sS. Точка S, пересечешя горизонтали sS и вертикали ST, и будетъ искомое невидоизмененное положеше точки S.
7
— 98 — •
Теперь покажемъ, какъ по данной прямой, служащей анаморфозой какого-либо шарнирнаго многоугольника, найти его действительное положеше.
Положимъ (чер. 51), что предыдущее построеше выполнено и для данной системы силъ и при данномъ полюсномъ разстояши построены шарнирный многоугольникъ и его анаморфоза, и предположимъ, что дана прямая Ик, служащая преобразовашемъ какого-то другого шарнирнаго многоугольника; требуется найти действительное положеше этого новаго шарнирнаго многоугольника и его полюсное разстояше.
Такъ какъ вершины всехъ шарнирныхъ многоугольниковъ лежатъ на вертикальныхъ направлешяхъ данныхъ силъ и преобразованный положешя этихъ направленныхъ силъ должны пройти черезъ точки a, b, с, d и т. д., служагщя преобразованнымъ положешемъ вершинъ шарнирнаго многоугольника, то мы и проводимъ черезъ эти точки a, b, с, d и еп вертикали и определяемъ точки «, /?, 7, с!' и е пересечешя этихъ вертикалей съ данной лишей Изъ точекъ а, ft, у, д и е проводимъ горизонтали до пересечешя съ вертикальнымъ направлешемъ силъ и съ вертикалями, проведенными черезъ точки I/V и Ец на сторонахъ стараго шарнирнаго многоугольника. Точки 21, Л, fi, Г, J и £ и суть искомыя неизмененный положешя точекъ a, ft, у, 6 и е; соединивъ найденный точки прямыми, получимъ искомый новый шарнирный многоугольникъ, анаморфозой котораго служитъ данная прямая
Продолжая крайшя стороны ХА и £1 до взаимнаго ихъ между собою пересечешя, найдемъ точку К, лежащую, конечно, на направлеши равнодействующей G.
Новое полюсное разстояше можетъ быть найдено обычнымъ пр!емомъ. Для этого изъ конца многоугольника силъ приводимъ лишю 40 || ЛК, до пересечешя съ оР; точка 0 и есть новый полюсъ, а длина оО—новое полюсное разстояше.
Въ томъ случае, если новый шарнирный многоугольникъ получился бы въ виде одной прямой hnpno, то это означало бы, что полюсъ переместился по направлению лиши о/ въ безконечность, такъ какъ лучи, проведенные параллельно отдельнымъ отрезкамъ лиши о/, были бы взаимно параллельны и пересекались бы другъ съ другомъ только въ безконечности.
Покажемъ теперь применеше преобразовашя Фуллера къ определена величины распора сводовъ. Лишя давлешя, соответствующая прочному и устойчивому положешю свода, представляетъ изъ себя шарнирный многоугольникъ, вмещающшся между третными лишями свода; полюсное разстояше этого многоугольника равно распору свода; поэтому для проверки прочности и устойчивости разсчитываемаго свода необходимо определить, возможно ли при данномъ очертанш свода и приходящейся на него нагрузки построить такой шарнирный многоугольникъ, который бы действительно вмещался полностью въ средней трети свода?
Решеше этого вопроса очень просто выполняется при помощи преобразовашя Фуллера. Имея въ виду, что искомая кривая давлешя есть одинъ изъ шарнирныхъ многоугольниковъ, построенныхъ для данныхъ силъ, и притомъ
— 99 —
Iокон, который вмещается въ средней трети, а при преобразовали Фуллера нс I шарнирные многоугольники изображаются прямыми лишями, то поэтому при помощи названнаго преобразовали необходимо сперва преобразовать третным лиши свода, а затЪмъ провести надлежащимъ образомъ прямую ли»ю,
। , । iMhiitanncb бн между преобразованными третными линшми и которая
ниц I к Си шлморфозой искомой лиши давлешя, вмещающейся следовательно рсднпй ipriii свода.
Ih in iiiiBiiiih спмметричнаго и симметрично нагруженнаго свода ABCD (чгр ’) приходимь шпы: 0, /, //, ///, IV и V; отм-кчаемъ трети ихъ и проводим Г[и пищ iiiiniii ч .(/</ и bdfhkm Строимъ многоугольникъ силъ 0, о 1, 2, 3, 4, ' и |>|ц|,| fnyiomlH ему шарнирный многоугольникъ HEKLMNV.
11|><>||<>дим с ось под,. ABEF и лишю EEV принимаемую за преобразованный Шарнирный мши уют никь, при этомъ для простоты и удобства построешя ныбнрпемт. полюсь Miioroyi одышка силъ на горизонтали, проведенной изъ на
100 —
чала первой силы, а лижю ЕЕ1 проводимъ именно изъ точки пересечешя осевой лижи ABEF съ первой стороной шарнирнаго многоугольника HEKR.
Далее, изв-Ьстнымъ пр!емомъ находимъ преобразованный положешя третей швовъ: a, b, с, d, е, f, д, h, i, к, /, т. На чертеж!, показано полностью необходимое построеше лишь для н!сколькихъ точекъ.
Найденныя точки соединяемъ кривой лишей и такимъ образомъ находимъ преобразованное положеше третныхъ линш свода: aysrgj. и fid'^D/.g.
Зат!мъ пытаемся провести прямую лишю вмещающуюся полностью между преобразованными третными лишями.
Если нельзя провести ни одной прямой, которая бы уместилась въ на-меченныхъ границахъ, то это обстоятельство указываетъ на то, что данный сводъ при данной нагрузке не можетъ быть признанъ прочнымъ и устойчи-вымъ. Необходимо либо видоизменить очерташе свода, либо изменить нагрузку; въ некоторыхъ случаяхъ сводъ можно привести въ прочное и устойчивое состояше при помощи связей или забутки.
Если между преобразованными третными лишями можно провести лишь одну прямую (чер. 52), то вопросъ разрешается просто; если же провести та-кихъ линш можно две или более, то придется выбрать одну изъ всехъ, и притомъ ту, которая являлась бы преобразовашемъ именно искомой лиши давлешя.
Положимъ, что описанныя выше постриешя выполнены и анаморфозы третныхъ линш свода будутъ «2 и fig (чер. 53); между ними можно провести две прямыя: av и /92; спрашивается, которую изъ этихъ двухъ прямыхъ должно-считать за анаморфозу искомой лижи давлежя?
При выборе необходимо не упускать изъ виду основашя расчета сводовъ при помощи npieMa предельнаго равновеНя. На основажи этого npieMa распоромъ свода, вводимымъ въ расчетъ, будетъ считаться наименышй распоръ, но достаточный для удержажя лиши давлешя въ пределахъ средней трети.
Изъ теорш же распора свода известно, что более пологому положенно лиши давлешя соответствуетъ болышй распоръ, и наоборотъ, более крутому— менышй распоръ.
Не трудно видеть, что более крутому положешю изъ проведенныхъ двухъ прямыхъ линш av и /92 соответствуетъ более крутой шарнирный многоугольникъ съ меньшимъ, следовательно, полюснымъ разстояшемъ, а более пологой прямой изъ двухъ av и /?2 соответствуетъ более полопй шарнирный многоугольникъ съ большимъ полюснымъ разстояшемъ.
Въ сказанномъ легко убедиться, если построить действительный положешя двухъ шарнирныхъ многоугольниковъ, соответствующихъ двумъ прове-деннымъ прямымъ av и /92. Для этого достаточно найти действительный положежя точекъ 2 и V.
На чертеже выполнены необходимый для этого построежя; искомыми точками оказываются точки / ил, черезъ который должны пройти одне крайжя стороны двухъ шарнирныхъ многоугольниковъ; друпя крайжя стороны техъ же многоугольниковъ пройдутъ черезъ точки а и Ь, который соответствуют и совпадаютъ съ точками а и fi; при этомъ эти крайжя стороны двухъ шарнир-
101
ныхн многоугольниковъ будутъ горизонтальны вследств!е выбраннаго положешя НОЛЮ* .1 о.
Согласно известному свойству шарнирнаго многоугольника первый и поел 1.ДШЯ стороны этихъ многоугольниковъ должны взаимно пересекаться на на правивши равнодействующей HG всехъ силъ, действующихъ на сводъ, а полюсное разстояше измеряется длиной отрезка перпендикуляра къ направлению силъ въ многоугольнике силъ между лин1ей силъ и точкой пересечешя нерваго и последняго луча.
Вследств1е этого, для определешя искомыхъ распоровъ (они же полюсныя
Черт. 53.
pa.icioiiiibi) дос, точно провести черезъ а и Ь одни крайшя горизонтальный стороны 111.|рпир|п.1хъ многоугольниковъ аг и bs до пересечешя съ направле-iiIcmi. НИ |>.111нод1>нствующей G и соединить затемъ прямыми лишями точки / съ s и л /•, прямыя Is и аг будутъ другими крайними сторонами шарнирныхъ Miioi oyi <>Л1 пиковъ, далее проводимъ лучи 5Р || аг и 5Р' || si и опреде* ляемъ положенк двухъ искомыхъ полюсовъ Р и Р', изъ которыхъ полюсу Р, соответствующему более крутымъ направлешямъ шарнирнаго многоуголь
102 —
ника, а также и его анаморфозы прямой ат, отв-Йчаетъ меньшее полюсное разстояше, а следовательно, и искомый меныгпй распоръ,
Наконецъ, остается провести изъ полюса Р всЬ лучи и достроить шарнирный многоугольникъ arm, который и будетъ искомой лишей давлешя; после этого определяемъ прочность и устойчивость даннаго свода.
2. Расчетъ цилиндрическихъ сводовъ нормальной кладки по способу наименьшей работы деформацш.
а. Основаше расчета.
Положимъ, что сводъ находится подъ действ!емъ несколькихъ силъ Fv F2, F3...... F , приложенныхъ къ разнымъ точкамъ. Обозначимъ черезъ X., У., Zt, Х2, К, Z2, Х3, У3, Z3........X,Y,Z проекщи этихъ силъ
на оси координатъ.
Подъ действ!емъ этихъ внешнихъ силъ происходитъ некоторая дефор-мащя свода, вследств!е чего точки приложешя внешнихъ силъ перемещаются, а сами внешшя силы производятъ работу.
Внешняя силы произведутъ перемещеше не сразу, а постепенно; обозначимъ проекщи на оси координатъ этихъ неполныхъ, промежуточныхъ и элементар-ныхъ перемещешй черезъ dxlt dyt, dzlt dx,,, dy2, dz2, dx3, dy.,, dz3.
dy , dz . Работу внешнихъ силъ можно выразить формулой:
= X I (X dx 4- У dy + Z dz), где знакъ суммы распространенъ на все внешше силы, а знакъ интеграла на все перемещеше каждой силы отъ нуля до полной величины соответствующей деформащи.
Подъ действ!емъ силъ внешнихъ въ теле свода вызываются внутреншя напряжешя. Обозначимъ черезъ §, у, со значками проекщи на оси координатъ внутреннихъ напряжешй въ разныхъ точкахъ тела. Эти внутреншя напряжешя, какъ известно изъ теорш упругости, будутъ функщями координатъ точекъ напряженнаго тела:
S = Ф^х, у, z),
7 = Ф^х.у.г),
Л £ = Ф-,(х,у, z).
Положивъ, что промежуточный элементарныя деформащи, вызванныя внутренними напряжешями, будутъ dx, dy, dz, можемъ написать выражеше работы внутреннихъ напряжешй:
7’2 = X [ (g dz + у dy 4- dz),
103 —
uib on-til., какъ выше, знакъ суммы распространенъ на весь сводъ, а знакъ пи lei рала на все перем’Ьщеше каждаго изъ внутреннихъ напряжен!й.
Изъ математики известно, что при сказанныхъ обстоятельствахъ Т2 есть особая силовая, или потенщальная, функция, обозначаемая черезъ U.
Если подъ д-Ьйств!емъ внЬшнихъ силъ сводъ находится въ прочномъ и устойчивомъ положена, то этому последнему соответствуетъ форма покоя де-формированнаго свода, которую онъ принимаетъ после того, какъ внешня силы подействовали и вызвали внутренн!я силы и когда работы какъ однеми, такъ и другими силами уже произведены. Въ такомъ случае работа внешнихъ силъ должна равняться работе внутреннихъ силъ: т.-е.
, откуда
72 = 2' f(X dx -j- Y dy Z dz),
или
72 — 2’ I (X dx -|- Y dy -|- Z dz) = 0.
Если возьмемъ производную выражешя T.z по каждой проекщи каждой изъ внешнихъ силъ, то получимъ:
dX
С, dTo d'J'., \‘,г = х’ = .и '’
где х, у, г—полныя перемещения, вызываемый проекц1ями на оси координатъ, внешней силы.
Если возьмемъ производныя выражешя Т2 по моментамъ Мх, 717^, внЬшнихъ силъ относительно осей координатъ х, у, z, то получимъ:
dT2 _ а _ а _ а
d.niT dMit 2’ амг ’3
|де , //., и /А,—углы вращеюя, которые производятъ моменты Производныя выражен!я Т2 по деформащямъ будутъ:
ОТ* , dT., dT2 dx ’ dy ’ dz
i/ll. \, ), Z проекщи на оси координатъ силъ, который производятъ пере-м kim'iil । Но направленно осей, а следовательно производятъ работу.
Но i.ik какъ въ прочномъ и устойчивомъ своде перем'Ьщежя и вра-iHi'iii । н< допустимы и сооружен!е такъ должно быть устроено, что возможность этихъ । ид<лч. днижс1пя устранена, то и перемещен!я и углы вращения должны быть раины- нулю; а поэтому наши уравнегпя принимаютъ видъ:
</У2 гЩ
dX ~ dY ~ dZ
dl\ dTo dT2 n dMr dMu dMz
— 104 —
Эти уравнешя даютъ у с л о в i е наименьшей работы деформа ц i и.
Вообще подъ Т2 подразумевается работа деформацш внутреннихъ силъ, действующихъ въ Tint во всЬхъ направлешяхъ; въ цилиндрическихъ сводахъ, при обычныхъ услов!яхъ ихъ нагрузки, имеются лишь силы, действуюцця на своды подъ разными углами къ горизонту, но находящ!яся въ плоскостяхъ, нормальныхъ къ оси свода; силъ же, действующихъ въ плоскостяхъ параллельныхъ оси свода, н^тъ, такъ какъ всЬ вн^штя силы сводовъ принимаются действующими въ плоскостяхъ, нормальныхъ къ оси свода.
Изъ курса сопротивлешя матер!аловъ знаемъ, что въ подобныхъ случаяхъ все внутреншя силы сводятся къ нормальнымъ и тангенгральнымъ внутрен-нимъ силамъ: пх и Д; следовательно, работа внутреннихъ силъ является функ-ц!ей только: пх и tz. К именно:
Напряжешя пх и tz въ свою очередь суть функцш внешнихъ силъ, действующихъ на сводъ.
Для нахождежя работы Т2 разобьемъ весь объемъ свода Тгна безконечно малые объемы:
d\r = <lx dydz,
каждому изъ которыхъ соответствуетъ элементарная работа dT2, а всему объему будетъ соответствовать работа:
j‘dT2
Каждая элементарная работа dT2 есть въ свою очередь сумма работъ напряжена пс и Д.
Напряжете пх соответствуетъ единице площади, а площадке dy de будетъ соответствовать усил!е:
nxdyde.
Деформац1я единицы будетъ г’,., деформац1я длины dx будетъ ix dx, но эта деформащя происходитъ не сразу, а постепенно, такъ что элементарная дефор-мац!я будетъ:
d (ix dx) = dx dix.
JloaToMy элементарная работа нормальныхъ напряжешй пг будетъ:
пт dy de d(ixdx) = Jnxdx dy de dix — d vj'nxdir.
Точно такъ же для тангенщальныхъ напряженш Z. будемъ иметь:
Сt.dx dy d(6: de) = dV Cf.dO.,
где —уголъ сдвига.
— 105 —
Вся работа деформащи всего объема V свода будетъ:
Т2 = dV l'\пх dir -}- tz .
Изъ курса сопротивлешя матер!аловъ известно, что
пс = -Е- гх И tz = G.0Z,
откуда
Я г*~ Е и
и di ~ аг*~ Е и 7 Л м-=~а-
Подставивъ величины dix и dQ. въ выражеше Т2, получимъ
fl / 49 f \
dV\[^dnx-^-^dtz), откуда
При расчете сводовъ, по этой общей формуле для каждаго отдЪльнаго случая, необходимо выразить напряжешя нх и £_ въ функщи вн’Ьшнихъ силъ, подставить эти выражеюя въ последнюю формулу работы напряжешй, взять три производчыхъ и, приравнявъ ихъ нулю, составить три уравнешя наименьшей работы деформащи свода.
Выше было указано, что расчетъ сводовъ является задачей тройной неопределенности, такъ какъ необходимо определить шесть неизвестныхъ, между темъ какъ статика даетъ для решешя вопросовъ только три уравнешя. Если же къ тремъ уравнешямъ статики присоединить еще три уравнешя наименьшей работы, то будемъ иметь систему шести уравнешй, дающихъ возможность найти все шесть неизвестныхъ и, следовательно, расчитать сводъ.
Ь- Опред%л₽ше реакщй опоръ и распора для несимметричнаго цилин-дрическаго свода, нагруженнаго произвольной вертикальной нагрузкой.
Положимъ, что мы имеемъ какой-либо цилиндрически сводъ, нагружен-III tn произвольной вертикальной нагрузкой; отнесемъ сводъ къ прямоугольнымъ осямь координатъ ох и oz (черт. 54) и разсечемъ его наклонной плоскостью, проход иней черезъ какой-либо шовъ cd, длина котораго равна разсмотримъ услов1я p.iiuioBl.ciH части свода abed подъ действ!емъ какъ нагрузки Ри, приходящейся на эту часть, такъ и внутреннихъ силъ, действующихъ въ швахъ ab и cd. Положимъ, что опорная лишя въ разематриваемой части свода найдена и показана на чертеже тонкой, сплошной кривой. Проведемъ въ своде срединную лип1ю, показанную на чертеже пунктиромъ, обозначимъ уголъ шва cd съ вертикалью черезъ </>ц и положимъ, что по другую сторону оси х, проведенной черезъ замокъ, уголъ <р имеетъ отрицательное значеше.
— 106 —
Пусть координаты точки Д служащей
Черт. 54.
точкой приложен!я опорнаго да-влен!я шва cd, будутъ'.г и и s,', обозначимъ далЬе черезъ рл плечо нагрузки относительно средины шва cd. Положимъ что Ро и Вп выражаютъ величины давлешй въ швахъ ab и cd; проведемъ черезъ средину пятоваго шва, длина котораго пусть будетъ д0, вертикаль и отмЪтимъ точку t пересЬчешя этой вертикали съ направле-шемъ давлешя пятоваго шва В-о; пусть координатами точки е будутъ -|- X и Ц- Z.
Разложимъ давлеше 11о на составляются: вертикальную V и горизонтальную Q, а давлеше Ви—на составляющая:
нормальную Nit, и Ки касательную къ шву cd. Вообразимъ, что въ срединФ. шва cd приложены двЬ, равныя и прямопротивоположныя силы Nn, тогда сила Nu, приложенная къ срединЬ шва cd и направленная вовнутрь отрезка свода, будетъ его сжимать, а двЬ друпя силы Хв, приложенный на разстояши ен
и направленный въ разный стороны, дадутъ пару съ плечомъ еп, моментъ которой означимъ черезъ 37в.
Такимъ образомъ мы нашли, что нашъ отрЬзокъ свода подвергнутъ д-Ьйств1ю: 1) вн-Ьшней силы Рв съ плечомъра; 2) внутреннихъ силъ V, Q, Na и X; 3) момента М,..
Для разсматриваемой части свода мы можемъ написать три уравнешя статики, принявъ за оси проекцш направлеше силъ Nn и Кп, а за точку мо-ментовъ средину г шва cd.
Три уравнешя статики дадутъ:
» — Q C0S(Pn ~ V siwj п 4- Рл sincp№ = 0 , кп 4- Q sin'p,. — v ™s<pn + Л c°wп = ° > \ - Q - Z) + v (X - ж„) - рп .Рп = о.
Заменяя X .е черезъ Ма, находимъ значешя 2УВ, Кп и Д/в:
Х; = (,/ со8<рл + Vsin<pa — Рл siwpn, Kn^ — Q sincpa -р Vcos<pn — P:l cos(pu, HP = Q^-Z)-V(X-X,) + P,lPil.
- W
а мы имЬемъ шесть неизв'Ьстныхъ:
N„, К. HI,,, Q, V и Z, n1 n’ 11* ’
слЬдовательно, наша задача тройной неопределенности.
107 —
Для составлешя недостающихъ трехъ уравнешй, необходимо прибегнуть къ составлена уравнешй, выражающихъ услов!я наименьшей работы деформа-щи пользуясь при этомъ формулой:
2'=2eJ“-,'2’' + M'-4F'
Нормальное напряжен!е пг въ произвольной точке шва, отстоящей отъ его средины на разстояши у, будетъ:
где сои — асЧл—площадь шва, a Ja — ---моментъ инерщи, и где въ свою
очередь а—ширина свода по направлению его оси (обыкновенно единица).
Тангенщальныя напряжения t„ въ произвольной точке шва, отстоящей отъ его средины на разстоян!и у, будетъ:
где статическ!й моментъ будетъ:
Объемъ свода dV можно замениить произведешемъ
d V = dm de,
где do—диференщалъ срединной лиши свода.
Подставляя величины Jtl и Sn въ выражеше tr, найдемъ:
ИмЬя въ виду, что G 0,4.Е и подставляя въ выражеше работы зна-iciife и , I и d К, найдемъ:
0, 4 |
б/С, -"а
' 1
4J'
II
где одинъ изъ иптеграловъ, взятый по площади со, двойной, а другой, взятый по дуге о, простой; интегрироваше распространено на весь объемъ отрезка
108 —
свода. Разсмотримъ отдельно каждый интегралъ выражешя работы, при чемъ
выполнимъ въ нихъ предварительно интегрирован!е по clco Первый интегралъ:
Л »,* -Лл /
М 2 ГД7 2 Г2М N
If 2 С N 2 Г 21\Г X Г
fi + \^ + -^г\у^ =
и J п J ''п и J
ЗдФ>сь
_Л^2 л;2
’ Л +
М 2 Г 2)f 2
A7l ^n2.’
d«> =
м„‘г
Jnan
у с!сл = 0,
такъ какъ известно, что
J у2 da = J, у dm = 0 и скч = аду .
Второй интегралъ:
109 —
Производя интегрироваше, вынося въ знаменателе d за скобку и заменяя «.*>„ черезъ сои, получимъ второй интегралъ въ следующемъ виде:
(' 1 1/ 1 ПГ
J 0,41 4dB гУ/) | da)~
= 180Л?Г У 4 — — 1 -/3 Т-ф 1мЛ5<и* 2 3d,/J0
К 2
= 3
Такимъ образомъ выражеше работы внутреннихъ силъ въ своде будетъ:
Л! I
- 2Е\ \ ,тп + ша '
К 2
3- "
Юп
<16.
При а=1 будемъ иметь:
о
со =-.<1 J =2>l.
п П п J2
Принявъ за независимый Q, меньшей- работы:
V и Z, напишемъ уравнешя условш наи-
(ZT dQ
= 0,
Г=0, ^1о, (IV ' dZ ’
(В}
который вместе съ предыдущими тремя уравнен1ями:
= Q cos <pn 4- Vs in <pa — Рл sin <pa j
= — Q sin <д/г4- Vcos <pn — P№ cos <pt J.......(Л)
mu= Q^a-Z)-V(X-^pnPl)
цадутъ возможность найти все шесть неизвестныхъ
Q, V, Z, N , Ки, А *
*) Производная работы взята по деформацш пятъ,т.-е. въ предположеши, что пяты свода ip 11<>с I и>пиI ы по высотЪ, а вслЪдств!е нагрузки измЪняютъ свою высоту, другими словами, пред-полпгнотси )|сформац!я (измЪнеше) величины координаты Z.
I'.1.Ш10 было приведено, что
ЛТ г7 ! 4.1
— = z (силе),
но такъ какъ ни пяты д+.йствуютъ силы равный и прямо противоположный, а именно давлен!е на пяты и рсакц1и опоры, то равнодействующая силъ въ пятахъ равна нулю, всле>дств1е чего-
110 —
Составимъ три диференщальныя уравнешя. Начнемъ съ третьяго изъ нихъ:
ат cZZ
1 f I dM» - 3 С^Л е ) \сои az ' ,та az <эи ат /
а» —. о.
Производныя, входяпця въ
это выражеже, получимъ изъ уравненш (Л)
az
= о,
^-0
az '' ат,
Подставляя эти значежя, получимъ:
ат az~
2РЛ,
я}J»
q do = о.
Такъ какъ Q не зависитъ отъ <>, то равенство перепишется такъ:
Q ^1, 7
<"“=°
Но такъ какъ ни Q ни Е не равны нулю то
f do = 0 .
J
Подставляя сюда вместо Ju — , находимъ:
г м с м
12 -" ао = о, или А ас, = о.
<L8 <L3
Подставляя въ настоящее равенство выражеже Ми изъ уравненш (Л), получимъ:
J » J " .) J'
Г7 X Г.
Составимъ затъмъ выражеже — = 0 .
г ат aQ
1 С (। з акЛ E^\wndQ' Jn dQ r (on dQ )
a<> = о.
Производныя, входягщя въ это выражеже—получимъ изъ уравненш (Л):
ам„ 1q=ccscp- ~7^ = ^
ак^ dQ
---81П(р
Ill
llocnb подстановки найденныхъ выражен!й и принявъ во внимаше, что
Ис равно
„ dT
нулю изъ уравнешя производной -- получимъ: У
| C0SfPu _ Z) — 3 sintpu I de = О
,1 I ,9« ’Р 0}а J
ИЛИ
I " coscp de 4- I de — I Z de — 3 I sintp de - 0 , J< • J J« Jw«
гд-Ь по найденному выше:
СМ
do = 0,
откуда
do - 3
—" sintp do = 0 .
го "
- (а)
Подставляя выражеше для ./„ и сон и значеше Аг„, Ми и К изъ уравнешй Л, найдемъ:
fl I* 1 СР
О 1 „ aos-ff „ cfo-f-l7 I .у. sintp u cos<pa do — I у sintpn co>t(pu do -1-
" J n J
+ 12 Q Г do — 12 QZ | fZo - 12 V I do 4- 12 do 4-
«,.3 4,3 <1 •'
4~3<2
sin‘2<pudo — 3 V (у sintpH cos<pi
do -J- 3 I sintpn eostpH do = 0,
откуда д-Ьля на 12 и группируя получимъ:
. ,.;zP- *-г Л * 1+
.И/ I6,) dn I <,=» f
+ * * + J’ = о......................(«)
Наконец в, составимъ третье уравнеше:
dT d I
1 l7'V»f/Y» i , / dP^Jit dF^
3^t?M
4t dV)
do = 0
112 —
Производный, входящ1я въ это выражеше, уравненш (Л):
получимъ, опять-таки, изъ
<гх_ . «щ, . лк.
После подстановки этихъ выраженш можно
производную
(IT dV
написать
въ сл’Ьдующемъ виде:
или
\ siwpn — --±(X — xit) + 3 —5 cos(pa I do = 0 , I ll n I
cos(p do = 0.
[ siwpn do — (X—x) do-1-3 I
’ “я J Jn n J
Подставляя выражешя для соп Jn, Хп, Мп, Кп, получимъ:
Q Г (h+v Csin^ do_
J ^я J J
- 12<21 -“Д, do + 12 QZ (x *n do + 12 V f (X 8Жи)8 do —
I f) " I о A I о 3
J »i J л J n
_I2 Г Лл (*-*.> _ 3Q Г_!*у^».. *+3F*.
Id 17 «7 tJ П
J d»
откуда, какъ и раньше д-Ьля на 12 и группируя, получаемы:
Q । с *+‘ ,,д _ QX <:х=±. * _
IJ 6п 6J «’я / J <г8
_ v / d0 I 1 f "£я (10 , 1 ГС08^ d61 ,
I ^п8 '12 д„ ^4 cl, Р
*е' J И л) Il I
(X- а.,+1 (' С. * + * fZA ,,б = о.. w
»у «у Ч ,} Ч
Въ уравнешяхъ (/), (//) и (///) интегрироваше распространено на всю дугу средней лиши отъ о=0 до о, соответствующее другой onopt, т.-е. во всю длину срединной лиши свода.
Практически это интегрироваше можно произвести, заменивъ интегралы ' безконечно малыхъ суммами (X) конечныхъ величинъ, для чего весь сводъ разбивается на клинья, для которыхъ подсчитываются грузовыя полоски.
113 —
Ингла, г, для краткости письма обозначешя суммъ:
1 cos2^,, 12 <1. ’
1 sin*y> >. & = 1 у sintPn C0S,P‘>
, _ у te — J 3 X = И(Х~О2 d3 ’
п
2==з?ъ
1 Р„ sin<pncoscpn Рпрп(Х—
I — - -----„------, о f—Б
6
1 уРп^<рп 1 Pneos\
т~р-
V PnP,^n b J 3 ’ II A = • 6nS
в— 2-1' д3’ n Г- У X~Xn C X $ 3 n
в^Е-^-ёЛ-‘>1 > E = & -|-1,
/г=х + 2 + 1</, rl - V РпРП л V'
!) t = v ’ 5f3 = ° + (’ + T.
1д1 Г нагрузка на клинъ вместе съ его вФ>сомъ, р пл чо этой силы отъ средины шва, <1(1 длина шва, ч уголь шва съ вертикалью,
"и 11 *п‘ координаты средины швовъ, который определяются изъ чертежа для каждаго шва.
I l«w 1пшШ» обозначешя эти въ уравнешя (/), (//), (///), пойучимъ три У||ЦЦ||<н|1и дли опр‘-дЬлешя трехъ неизвестныхъ Q, V и Z.
-PQ + A(QZ)+CV = ffl, — DQ-\-В {QZ)EV~ д2, — EQ-\-C(QZ)-\-FV=g3.
in iiiiiHiu nt । -рмннанты, получимъ:
— В, А, С — В, В, Е — Е, С, F
fl К Л.игниэ. Pic>ian сполот.
8
114 —
Q = 9ц 9-2, А, С Б, Е : Л,
9з, С, F
— в, 9ц С
— в, 9ц В : J,
— в, 9з, В
— В, Л, (Jt
v= — Б, В, 9ч : zl.
— В, В, 9з
Z=(QZ) : Q.
Такимъ образомъ определены: величина распора, вертикальная составляющая реакцш одной изъ опоръ и точка приложешя этой реакщи при помощи координатъ X и Z.
Въ случай симметричнаго свода = 0.
с. ОпредЪпеже реакщи опоры и распора для симметричнаго ципин-дрическаго свода, нагруженнаго симметричной вертикальной нагрузкой.
При симметричномъ своде, симметрично вертикально нагруженномъ,
имеемъ:
V — Р и
cos<pn ’
где Р—нагрузка на полусводъ и Nn—нормальная составляющая давления шва.
Такъ какъ тангенщальныя составляюгщя давлешя въ швахъ, введенный въ предыдущемъ выводе, не имеютъ существеннаго значения, то обыкновенно принимаютъ, что Кп = 0. Въ такомъ случае уравнешя (/), (//), (///) примутъ нижеследующш видъ:
Первое уравнеше будетъ:
Обозначу
Р(Х — хп) — Р„Рп = 7.п> получимъ:
О
видоизмененнаго
Второе уравнеше составляемъ изъ выражешя
dT dQ
— 115 —
in yp Io (л) стр. (Ill), положивъ въ немъ Kn = 0, получимъ:
п
'M, 7 „
-=Л e da = 0
подставляя сюда
,т Q
Nu = -^—
coscp
12
получимъ:
^d6-|-12 ® znd6=O о»3
М,
п
Подставляя сюда выражеше Mn, найденное изъ уравнешй (4), и им'Ья въ виду, что V—P, найдемъ:
Vfy+12Q Г.**/-1 ,.<?«+
J « J » J “ J »
4-12 f—da=o,
откуда легко получить:
9 {[ б} d6+Т2 f i йб}- QZ J 47 йб - f-jм d6=0
| дЬ, какъ и раньше,
Xn = Р ( X— хп) — Рпрп .
(If) bis
Грстьяго уравнешя производной работы составлять не нужно, такъ какъ I уж ii inl'.CTHo и равно по предыдущему Р.
Нпсдя для краткости снова обозначешя:
—, В -= X Zn а = — X —
48 48' 12 4’
в S ..
^.п-, H=₽4-«, =
'hr' 1 (V
f -Г1 Хн
н п<>Д| । цини, ихъ въ уравнеши (Г) bis и (//) bis, получимъ-
BQ — A(QZ)=Gl, HQ — B(QZ) = G*.
Дин pKinciilH этой системы составимъ детерминанты:
1 Б, н, Ч «i 1 1 = — В^-\-АН,
1.7 — А, — В. = - BG, + G2A ,
I.G.Z ч, Gt, g2. = BG2 — HGif
8“
116 —
откуда
AGi — BGl
ъ АН—В*
m 7\ — -^fi— fi д
(QZ)~ AH-B* ’
Z = -(^, F=j
У
Такимъ образомъ get неизвестный величины определены.
d. Построеше опорной пиши произвольны^ цилиндрическихъ сводовъ, произвольно вертикально нагруженныхъ.
Когда сводъ вычерченъ и внешшя нагрузки определены и приведены къ материалу свода, проводятъ срединную лишю, делятъ ее на равныя части и въ точкахъ делешя проводятъ къ ней нормальные швы, а изъ верхнихъ концовъ швовъ проводятъ вертикали, который делятъ грузовую площадь на полоски.
7п-,
Черт. 55.
полоски, отъ оси — длину шва, е — длину равныхъ
лиши, ё'п — ширину грузовой полоски, 7г„ — длину Тогда имеемъ рядъ следующихъ соотношешй:
Затемъ определяютъ центры тяжести, веса или площади клиньевъ и грузовыхъ полосокъ, а потомъ центры тяжести клиньевъ вместе съ приходящимися на нихъ нагрузками.
Положимъ, что мы имеемъ чертежъ свода (черт. 55), на которомъ все сказанное выполнено. Обозначимъ черезъ: q'„ — веса клиньевъ, q"n — веса грузовыхъ полосокъ, qn — веса клиньевъ вместе съ грузовыми полосками, 7 — весъ единицы объема свода, и'п— разстояше центра тяжести клина отъ оси zz', и"п—разстояше центра тяжести грузовой полоски отъ оси zz', ип—разстояше центра тяжести фигуры, состоящей изъ клина и грузовой отрезковъ средней
стороны грузовой полоски.
Чп
Ч и—1 --
d«_ j -|- dn—2 тГ
еу и т. д.
е»=- 2
e"H-i
7?'я—1 Лц—2 ,
- —2
и т. д.
117 —
'/n = </»' + Q""’ ff«-i = e'n-i + ff"»-i И t. д.
Qn • W'n — Qn • + Qn ‘ 1
Q_n~1 W'n-1 —— 3 si — l • W и—1 ““[“ 2 71—1 • »—1 И T. Д.
откуда
___ Qn ^11 4“ Qn Wn
q n—i . и „_] -f- q и-i и n—i ?fn-l = —---------------------------И T. Д.
<7n-i
Последовательный равнодействуклщя Pn в-Ьсовъ отдельныхъ клиньевъ и 1рузовыхъ полосокъ будутъ:
-Pi = <71,
А = <71+За
рз ~ 31 + 32 + З3.
Рп — 31 ~Ь 32 ~Ь Зз 4“.....4- Зя-i + 3»
Обозначивъ, какъ выше (черт. 54), черезъ хп разстояшя средины швовъ oil. вертикальной оси свода zz и находя при помощи статическихъ момен-loiii гочки приложешя равнодействующихъ Рп, получимъ плечи рп этихъ ра1111одЬнс1иующихъ относительно срединъ швовъ. Они будутъ равны:
А = м1~ Ж1
„ -ЗЛЧ + ЗЛ
1. + Л •
__31^1 4~ Зам2 4~ Ззмз
3 31 + 32 + 3з
7.". + 32и2 4- Зз^з +...............+ 3„-1 ^>,-1 + 3A
'/| + 32 “Г Зз 4"...............+ 3»-1 + 3,(
Пусть координаты срединъ швовъ х и z и углы гр швовъ съ осью zz измерены „о чертежу. Все определенный величины Р, р, <р,х,я и д распола-гаютъ въ особой таблицЬ, въ которую вносятъ также и все остальныя вычисленный величины, найденныя изъ предыдущихъ.
118 —
Таблица № 6 *).
Таблица 6-я составляется для несимметричнаго свода, а таблица 7-я для симметричнаго. Зат-Ьмъ суммируютъ некоторые вертикальные столбцы и определяютъ коэффищенты, необходимые для опред-Ьлен!я Q, V и Z. Наконецъ, им^я значешя коэффищентовъ, определяютъ по формуламъ искомые: распоръ Q, вертикальную составляющую реакщй опоры V и координаты Хи/, точки приложешя реакщй опоры. Зная эти величины, можно определить координаты Хо. точки при^ожеыя распора въ ключе.
Обозначивъ черезъ G (черт. 56) нагрузку на часть свода отъ пятъ до ключа и черезъ д плечо этой нагрузки относительно ключевого шва, можемъ написать уравнеше моментовъ относительно точки т.
) П р и м Ъ чан ie. Въ таблицахъ колонки суммируются, полученные результаты даютъ вепичины коэффищентовъ.
119 —
Таблица № 7.
и
Хв = 0 по построешю .
Им1.я дик точки /пил*) опорной лиши и направлеше давлешя 7?0 и рас-и<||| 9. moikiio построить всю опорную лишю.
Дни зпчо строимъ многоугольникъ силъ АВ (черт. 56), на разстояши рас-т>1>.| Q nil. iiniilii АВ проводимъ вертикаль А1В1, отъ точки В вверхъ по лиши АВ, оиашдп иь силу К, изъ точки С проводимъ горизонталь, которая на лин1п А^, 1>|м1иимь полюсъ 0. Длина ВО равна по величин'Ь и направлешю 1>< ||<ц|и опоры /тл.
Oct 1'1, ч пр' песен лучи и построить, начиная съ точекъ т или п, шар-inipin.ni мпо| oyi (лп.пнкi>, который и даетъ положеше искомой опорной лиши.
) Koopniiu.i ।i.i 1ОЧКП in -х и z и точки п — х„ и z„ найдены.
— 120 —
е. ОпредЪлеже прочности и устойчивости свода.
Для опредЬлешя прочности и устойчивости смотрятъ, вмещается ли опорная лин!я въ средней трети тела свода или нФ.тъ; въ опасныхъ швахъ, т.-е.
тамъ, где опорная лишя подходитъ наиболее близко къ направляющимъ (внутренней или наружной) или где опорная лишя имеетъ наиболышй наклонъ къ
нормалямъ къ швамъ, определяютъ: 1) разстояше опорной лиши отъ срединной лиши, 2) уголъ ея съ нормалью къ шву.
Наиболышя (черт. 57) напряжешя въ шве будутъ:
где:
Л . Му N п =---------- = —
ям“ со ~ J СО
Муса \ — NJ /
N—нормальная составляющая
опорнаго давлешя шва, определяемая по
многоугольнику силъ,
М = N .е моментъ силы N,
е — разстояше опорной лиши отъ срединной,
, d
у = Ч- — разстояше отъ средней лиши наиболее удаленныхъ реберъ
клиньевъ, d —толщина шва, со = d. 1 — гЯЬщадь клина, т l.d3 J = -—г------моментъ инерщи клина.
Подставивъ эти величины въ выражеше п , получимъ:
п
max
сЦ d j
— 121 —
Для прочности свода необходимо, чтобы
1 д к К—прочное сопротивлеше кладки свода сжат!ю.
Для устойчивости свода необходимо, во-первыхъ, чтобы:
т.-е. чтобы не было растягивающихъ усил!й, раскрывающихъ швы свода, и, во-вто-рыхъ, чтобы углы опорной лиши съ нормалями къ швамъ были бы меньше 22°.
3. Расчетъ пологихъ цилиндрическихъ сводовъ нормальней кладки по способу инфлуэнтныхъ лиши.
Согласно изслЪдовашю инженера П. И. Дмитр1ева ’) способъ предельнаго равновЪшя для пологихъ сводовъ не даетъ надежныхъ результатовъ, а для f 1 1 „
сводовъ съ отношешемъ < —------— названный способъ совершенно не
пр и годен ъ; своды эти необходимо расчитывать по способу наименьшей работы. Всл-Ьдств1е небольшой величины угловъ, образуемыхъ направлешемъ
швовъ съ вертикалью, а равно вслЪдств1е возможности игнорировать въ нихъ тангоши >льныя напряжешя, расчетъ по способу наименьшей работы можетъ быть значительно упрощенъ. По даннымъ профессора Ясинскаго погрешность
отъ припуска тангеншапьныхъ напряжешй въ пологихъ сводахъ не превосхо
дить 10% 15°/0-
ДалФе, значительное упрощеше въ расчете получается, если кромЬ того, методъ инфлуэнтныхъ лишй 2).
применить.
Выше (стр. 109) было выведено выражеше
работы внутреннихъ силъ ьъ
своде:
Т = ^Ё Ь'
f М 2 N 2
Г "I-'5
dc>,
К 2 п
гд1 <1/и -моментъ внешнихъ силъ, /V нормальное усил!е, Аи гангвнщальное усил!е, • модуль упругости,
•/„ моментъ инерщи,
') II 1' Дм11тр1гиъ. ИзслЬдоваше причинъ обрушешя церкви города N путемъ статического расчета. 1909 г.
2) Иифлудлтиой niiuletl называется такая лишя, ординаты которой равны по величин^ либо моменту, либо распору, либо вертикальной силе, и т. д., вычислениымъ для данной определенной точки пролета, для ||>уза „единица", перемещающегося по пролету; абсциссы инфлуэнт-ной лиши суть BMici Ь съ т!мъ и абсциссы положешй груза „единица" на пролетЬ.
122 —
<an — площадь шва, do — элементъ срединной лиши свода.
Принимая сказанное допущеше, что Кп — 0, будемъ им^ть:
Предположимте, что мы им’Ьемъ полопй сводъ пролета I и подъема f; возьмемъ срединную лишю свода (чер. 58) и разсмотримъ ее, отнеся къ
Черт. 58.
прямоугольнымъ координатамъ х и у съ началомъ координатъ въ лФ>вой опор-Ь. Назовемъ черезъ:
VB — вертикальную слагающую лФ.ваго опорнаго давлешя;
Vt—то же для правой опоры;
Мп — моментъ всФ.хъ силъ по данное сЬчен1е свода, отстоящаго на х отъ л^Ьвой опоры;
Лгю — нормальное напряжете въ той же точк’Ь;
J\I0— моментъ зад-Ьлки лФ.вой опоры;
— то же для правой опоры.
Напишемъ выражеше усил!я Nn согласно найденной формулы (Л) на стр. 109 и момента Мп по черт. 58.
К = КА Vox — SBP(x — a) — Qy,
Nn = Q cos -|- Vsindn — P sindn;
гдЪ Q — распоръ свода,
дп—уголъ шваЖъ вертикалью,
Р — нагрузка клина,
а — разстояшя нагрузки отъ л^Ьвой опоры.
При х = I будемъ им^Ьть:
Мг = М0-[-У01-2вР(1-а),
123 —
откуда
у — ~ I 2
° I ' I
Подставляя значеше Vo въ выражеше Мп, находимъ:
717 _____ 7\Г ( г а ч
Въ этой формуле выражен!е, стоящее въ скобкахъ, равно моменту балки, свободно лежащей на двухъ опорахъ; обозначимъ этотъ моментъ черезъ ййп:
су I л
Жв = т 20 Р (1—a)- so р (Ж - а).
Выражеше момента Мп можетъ быть представлено въ видф.:
Мп = К + у-<0 *+- Q.y...........................................................(1)
и
Выражеше нормальнаго усил!я можетъ быть представлено въ упрощенномъ вид-t; углы <УВ не велики, а потому примемъ что 8т<Уи = 0; въ такомъ случай:
Nn =Q cos .......................................(2)
Им tn въ виду пологость свода, можемъ принять, что уравнеше срединной лиши, отнесенной къ прямЬугольнымъ координатамъ съ началомъ въ лЪвой пятЪ, будетъ:
т.-е. можемъ принять срединную лишю за параболу.
Въ виду пологости срединной лиши можемъ допустить еще, что do = dx, a ecntflCTBie допускаемаго постоянства толщины свода можемъ написать, что <'>„ = «, и Jn = J = г2со, т.-е. можемъ принять, что какъ площадь со, такъ и моментъ инерцш J постоянны и г—рад!усъ инерщи—тоже постояненъ.
Известно, что расчетъ сводовъ представляетъ изъ себя задачу тройной неопределенности, поэтому необходимо для р-Ьшешя ея написать три уравнешя услопш наименьшей работы деформащи; для этого возьмемъ производныя работ /' но Л/и, и Q и приравняемъ ихъ нулю:
dT п — — о
dM0 ’ dMl ~ ° ’ dQ ~ ° ’
Эти уравнан1я’ будутъ:
(MndM N^dN^} diMa h I J dM^ co dM0)
124 -
dT 1 (МясШ . NdN„\ y
___—____ I <__»___ » _1_«___« \ r7'i-0
dMr E I J dM. ' co dMj
dT dQ
^ + ^U = 0.
J dQ 1 co dQ f
Найдемъ теперь частныя производный Мп и Nn и подставимъ ихъ въ выра-жежя полныхъ производныхъ.
Частныя производный выражаются слЪдующимъ образомъ (см. уравнен!е (1) и (2)):
dMu_ _x dMa I ’ dMn x dMj ~ 1 ’ dMn dQ = —y>
^ = 0 l^Tn — " = 0 , dM, dN dQ cos dn
Подставивъ ихъ въ выражешя производныхъ работъ, найдемъ nocni сокра-щен!я и упрощен!й:
и, наконецъ, заменяя Nn черезъ Qcosdn (ур. 2, стр. 123), найдемъ:
fl pl
Mndx — 0....{a) I Mnxdx = 0.... (b)
o J в
1
Млу dx — Q cos* 6ndx = 0.. .. (c) Jo Jo
Подставляя въ эти уравнеыя значеше Мп изъ уравнешя (1), найдемъ наконецъ: *
71/__ 71/ С1 С1 С1
Mol dx-\-----=------I xdx-[-i %ftndx— QI у dx = 0. . . . (a)
Jo V J О Jo Jo
f~"l ~Я/Г ~П /Г C'l
I ___J\/[ II I
I x dx -|- ——j—-1 x2dx -|- I dx — QI x ydx = 0.. .. (b)
Jo Jo Jo Jo
— 125 —
Го , , Л/, —Л/ | л 1 ‘ ,
S ydx-д------| Wnydx —
Jo ’ 1 Jo ’ Jo
— Q f cos2dndx — y'2d,x = 0.... (c) .
Jo 2 J 0
Подставимъ въ эти уравнешя значеше у, и получимъ интегралы особо, а по-томъ найденный ихъ величины подставимъ въ наши три уравнешя:
dx=l ,
Г 7 Р 27 13
Jo 2’ Jo 3
rl 4/7 7s 73
(lx-x*)dx =
л Af
У dx-~n
•2 — ж3) dx —
Р\3 4/ З7 ’
16Р Г
у‘У1г = ——- I (72ж2 — 27ж’-|-ж4) dx
I J л
\ьр /Р
3*
=Г^'-
КромЬ того, обозначимъ для краткости:
cos26'ndx.
ПослЬ подстановки вели*чинъ найденныхъ интеграповъ и 2 наши три уравнешя буДу гь 1!м1>ть слГдующш видъ:
М__ Г1 7
+ ^5"—° I + J ^ndx ~^Qfl = O,
М'Ч-
2
м____ м Сг 1
1---I2 + dx - ~ Qfl* = 0 ,
Jo 15
3 г» 7 ' Зг2 7^r2J
(^Р1 = 0,
О
3 2
или
2 (l 4
^+Mo + TJ ^lndx-±Qf^Q,
+ 4+ f dx - 2Qf= 0 ,
Полученный три уравнешя даютъ возможность найти три неизвГ>стныхъ: Л/е, jl/, и Q. Определяя изъ перваго изъ этихъ трехъ уравненш сумму Л/, -|-М0
— 126 —
и подставляя ее въ третье уравнеше легко найдемъ Q. Такимъ образомъ и
1{ + & ~ й5С=0’
ИЛИ
4 р/ Р /‘27 2f С1 1
Зг* P dx=°>
*J 0 v’ 0
И
I 4 Pl \ 1 Cl 2f Cl
45^ + 2Wnydx- A Wndx.
' / A о Jo
Наконецъ:
Изъ перваго и второго изъ трехъ нашихъ уравненш легко находимъ:
Когда найдена величина распора Q изъ уравнения (/), находимъ Мо и Mt изъ уравненш (//.)
Опред’Ьлимъ теперь выражеше 2.
2 = f cos2dndx.
J о
Имея въ виду малость величины угловъ д при пологихъ сводахъ, можемъ применить следующее приближенное определеше величины искомаго интеграла. При малыхъ углахъ имеемъ:
cos2d—l и cos2d = 1—stn2d'= 1 — tg2d.
Взявъ среднее изъ иайденныхъ величинъ, найдемъ:
cos2d= 1 (2 - tg2<5) = 1 - 1 tg2d.
Но такъ какъ уравнеше средней лиши свода
у = ^^х—х‘2), т° ^c’ = ^==^(z—2ж)-
— 127 —
11аидемъ теперь выражеше для вертикальной составляющей Vo лЪваго опор-ши о давлешя. Выше мы нашли
Мг — Мп
I_____о
~20Р(1~а).
V
К
ЗамЬчдемъ, что второй членъ правой части этого выражешя равенъ реакцш ill.noii опоры свободно лежащей балки на двухъ опорахъ; обозначивъ ее черезъ 2?о:
a?0 = 4X^(« — «).
кидя поел К замЪны получимъ:
у Щ-М,
1 Iniiju mi । 'tt pi. выражеше перваго члена второй части, только что написаннаго in ipniKcnbi I Изъ двухъ уравнешй (//) находимъ:
21-К
I
( 12 Г
; I 9)l„ dx — -г- I 9)i„ X dx .
•Jo J 0
Подеi mu in io пыражеше въ формулу F, находимъ:
11=
Найдемъ теипр! координаты z0 и точекъ у опоръ, черезъ который должна проходить крипа I дапнеши. Разсматривая опоры свода (чер. 59) 2) и ихъ моменты, можем!» ii.iniiciiiъ уравнеше моментовъ относительно точки А пересЪ-
*) П. И. Дмш |11лп >. 11 ten hiiGBUHle причинъ обрушешя церкви города N путемъ статиче-скаго расчета. 1909 г., cip, 30.
-) На чертежихь toiiciuii iiiiiiIh—опорная.
128
чешя срединной линш съ пятовымъ
швомъ. Уравнешя моментовъ будутъ:
откуда
M0=Q-z0
, - ** °~ Q
И
Q
Въ случай симметричнаго симметрично нагруженнаго цилиндрическаго
свода будемъ им-Ьть:
V^V^V, = $во = жг = 2?.
лг= ^+^0 = j Qf_ 2 f ,
e7 О
,, M, — „ M
V=-L-l--A = vy-
Величины Q и 1 имЪютъ прежшя значешя.
Bcfe выражешя координаты z могутъ им-Ьть знаки и и — сообразно со знакомъ опорныхъ моментовъ.
Дал-fee, для того чтобы перейти къ р-Ьшенпо задачи при помощи инфлуэнт-ныхъ лин1й, необходимо найти выражешя распора и опорныхъ моментовъ подъ
д-Ьйств!емъ груза „единица", такъ какъ изъ теорш инфлуэнтныхъ линш известно, что вл!яюе груза въ Р единицъ будетъ въ Р разъ бол-fee вл!яше груза въ единицу.
Обозначимъ черезъ тп, тс и моменты отъ груза „единица", черезъ v0 и — вертикальный составляюгщя опорныхъ давленш отъ груза „единица" и Qe—распоръ того же груза.
Выведемъ сперва з^чешя:
г-1
I dx, | nt, xdx, I у dx
I n ’ I П ' 1 «
J • Jo J 0
гд-fe nt,—моментъ отъ груза „единица" балки на двухъ опорахъ; выражетя эти намъ будутъ необходимы для подстановки въ выражешя тп, т0, mlt v0 и Qe.
129 —
Bi<ipa>i<cnie написанныхъ трехъ михъ (черт. 60) для 0 < х < а и для Гакимъ образомъ будемъ им-Ьть
интеграловъ разобьемъ по два слагае-а < х < I и возьмемъ ихъ суммы.
Въ этихъ выражен1яхъ для груза „единица'1
, , (1—а)х „ . а (I — х)
in,/ = 1 z и щ„" = 1 • - - т- .
Черт. 60.
Плчпсмъ подстановку съ перваго выражен!я, будемъ имЪть.
II1III ЦП. Ill П|»ИПСД'Ч|1я рт „ .
.......................W
Дип hiupoio ураинен!я найдемъ такимъ же образомъ:
I I. К. Лих I НН I |'11<ЧГ|1 riuUH’Ml
— 130 —
а (а21 а3 Iя а21
т-^г=Т( 3—3-+V--2
I3 а21
6 Г
(е)
о
И, наконецъ, для третьяго получимъ:
'•а
о
mJ' у dx, а
4 f
гдФ> у = -ft- (lx — х2), а величины тв' и т„" прежшя.
тп'(1х—х2\
mJ' (1х — ж2) dx а
Опред'Ьлимъ теперь каждый изъ написанныхъ интеграловъ въ от дальности, затЪмъ сложимъ полученный величины.
Такимъ образомъ будемъ имЪть:
(1х2— х3) dx =
Z — а / (а3
1“з'
(Z— х) а
а
(Z2 х— 2 lx2 хя) dx = а
= (Z4 — 6 а2 I2 8 ая I — 3 а4).
1 л V
Складывая оба полученный выражешя, находимъ:
mnydx =
Т5Т^(4 аЧ~ 3r3) + 4?1 (Z4—6a2Z24-8a3Z —3<
1 Л V 1/, V
И, наконецъ:
^-(z3-2«4+a3)
(Г)
Подставляя выражешя (tZ) и (f) въ формулу (/) для Qe, получимъ величину распора для груза единица
“д'
г \ 2 ).
45
131
Обозначая
а
— = т найдемъ:
V
q-^-L
“ 4 f
Т2(1 _„)« “45 /М2 2 т 1т / 7
Принимая толщину свода равной d npti ширинЬ разсчитываемой полоски снода въ единицу длины, найдемъ:
со - - d . 1 , / = .
Въ такомъ случай:
15 Z г2(1—т)2
’ T~f “15 ( d ylT
1 + 16 \~f) I
• (Ю
ДЬлая для краткости сл-Ьдующ!я обозначешя:
у Л' мл нмЬть:
с 1+15Ь 161 f
и h = ~ v2 (1 — v)2........(VII)
Qe=jh.c...............(УШ)
HtjpiDi<eiiie с (форм. VI) постоянно для всего свода и легко вычисляется
для кпждлго частнаго случая.
Чш же касается до выражения h, то оно зависитъ лишь исключительно и
«•it. г . которое въ свою очередь зависитъ отъ перемЪннаго а.
Ilinuii мь теперь выражешя для опорныхъ моментовъ отъ груза „единица", инн буду 11. найдены изъ выражены (//), если въ нихъ замЪнимъ Q черезъ Qe Н Н1'11 >| р II, |||((.
Гдкнмъ образомъ будемъ имЪть:
2 z
1
12 '
<
1 ||>дгlaniiHM найденное значеые интеграловъ, будемъ имЪть:
"'I , ’1* I 'fi )+« ~| Qef—a'1’^ —1’)-
9*
ПослТ внесешя Qe въ написанное выражеше, получимъ:
2 15 Г 5 1
= — — 7ст2(1 —у)2 — ат(1 — т) — Zt2(1 — т) — с(1 —г) — 1 > «4 L 2 ।
ml= Zt2(1 —с U — ”) — ij......................(/X)
Точно такъ же:
2 15 7 „. 7, а2 \ / а\
»г0=у — Zcr2(i—т)2-1-б{1 1 — — l—2ai 1---------^-1 ,
5
т0 = — -1 с т2 (1 — ?’)2 -|- / v (1 — г>2) — 21 т (1 — г)
и, наконецъ, m0=rl(l —7>)2^-|-сг—1J.......................(X)
Найдемъ еще выражеше для т0, и для этого внесемъ въ уравнеше выражающее VB найденный значешя (см. стр. 127)
6 а (I — а) v° ~ /Г2 2
12 “ /72 2, 1 ч
6 Р-«8) + Ч
гд'Ь ро выражаетъ силу для груза „единица".
v0 = 3 т (! — 7>) — 2 л (1 — v2)
и
то = ?,(1- т)(1-2т)4-1)р..........................(X/)
Заменяя же й0 его значешемъ, взятымъ со стр. 127, получаемъ окончательно посл'Ь упрощешй
т0 = (1-т)2(1+2т)...................(X//)
Въ случа-Ь если сводъ симметричный съ симметричной нагрузкой, то:
2 /, /• 1 « (Z «) 2 /1 т ,л X Л
т = Т Qef~T~ 2~’ т = Т Т?’(1 ~ г)’
что nocnt, соотв'Ьтственныхъ подстановокъ даетъ:
т = [5с,и2 — jw]...................(X///)
гд-Ь
л = (!_,)>. с=^1
‘ + 16 {Т) Т
,а = (1 — ?>) т.
Вычислеше вышеприведенныхъ величинъ значительно упрощается, если воспользоваться данными приведенной ниже таблицей № 8.
— 133 —
Дня того чтобы применить найденный формулы къ расчету свода (черт. 61), необходимо разбить сводъ на клинья, а приведенную къ матер!алу свода на-। руку на полоски; найти точки приложешя равнодействующихъ вЪсовъ кли-ш.спъ съ приходящейся на каждый изъ клиньевъ нагрузкой, измерить разстояшя отъ этихъ точекъ приложешя до левой опоры (точка пересечешя срединной лиши свода съ пятовымъ швомъ) — это будутъ величины а; определить площади или веса равнодействующихъ — это будутъ Р. Затемъ необходимо все величины а разделить на пролетъ I (разстояше между двумя опорами) — это будутъ величины v . Далее, надо определить величины Qe, т0, mv v0 и гг V
для каждой величины т, т.-е. въ предположен^, что грузъ „единица" находится отъ левой опоры, то на разстояши av то на разстояши а2, то на раз-стояши аа и т. д.
Таблица № 8.
F ,«2 h (1 — ”j2 1
0,05 0,0475 0,00226 0,00856 0,9025 1,10
0,10 0,0900 0,00810 0,03037 0,8100 1,20
0,15 0,1275 0,01656 0,06096 0,7225 1,30
0,20 0,1600 0,02560 0,09600 0,6400 1,40
0,25 01875 * 0,03516 0,13183 0,5625 1,50
0,30 0,2100 0,04410 0,16537 0,4900 1,60
0,35 0,2275 0,05176 0,19408 0,4225 1,70
0/0 0,2400 0,05760 0,21600 0,3600 1,80
0,45 0,2475 0,06125 0,22971 0,3025 1,90
0,50 0,2500 0,06250 0,23437 0,2500 2,00
0.1S 0,2475 0,06126 0,22971 0,2025 2,10
О.бО 0,2400 0,05760 0,21600 0,1600 2,20
0,65 0,2275 0,05176 0,19408 0,1225 2,30
О.Ш 0,2100 0,04410 0,16-537 0,0900 2,40
0,7, 0,1875 0,03516 0,13183 0,0625 2,50
О,НО 0,1600 0,02560 0,09600 0,0400 2,60
0.85 * 0,1275 0,01656 0,06096 0,0225 2,70
0,90 <1,0900 0,00810 0,03037 0,0100 2,80
0,95 0,0475 0,00226 0.00856 0,0025 2,90
1,00 0,0000 0,00000 0,00000 0,0000 3,00
— 134 —
Найденныя величины надо будетъ зат-Ьмъ помножить на соотв4>тствующ1я имъ величины Pv Р2, Р3 и т. д.
Все вычиспетя располагаются въ таблицахъ, вертикальные столбцы ко-
торыхъ суммируются; найденныя суммы дадутъ значения искомыхъ величинъ: распора, опорныхъ моментовъ и т. д.
Сказанное можно выразить формулами:
Q = X0QeP.
Мо = ^ото
Р, Mj = т1 Р,
И Го = ^0 Vo Р
Далее приводится таблица *) (см. стр. 135), изъ которой можно вывести заключеше, какъ выполняется сказанное выше.
Такъ какъ въ таблице приведена только половина свода, то весь распоръ равенъ Q= 1356.023.2 = 2712.046.
Въ случай, если как!я-либо величины (это бываетъ съ опорнымъ момен-томъ) инфлуэнтныхъ ординатъ выходятъ разныхъ знаковъ, то тогда необходимо сделать расчетъ въ трехъ предположешяхъ, для чего придется найти суммы:
а) всЬхъ и положительныхъ и отрицатепьныхъ слагаемыхъ;
Ь) однихъ положительныхъ;
с) однихъ отрицатепьныхъ, для нихъ определить Q, Мо и и выбрать наиболее невыгодный величины.
) Изъ упомянутаго сочинения П. И. .Дмитр!ева.
135 —
Таблица №9.
клиньевъ. Силы Р. Распоръ
Qe- Qc-P-
1 303 0.015 4.550
2 305 0.160 48.800
3 298 0.405 120.690
4 293 0.689 201.877
5 289 0.970 280.330
6 284 1.186 336.824
7 284 1.278 362.952
1356.023
Для найденныхъ величинъ Q, Мо и Мг необходимо определить 0О и zt, а также Vo и Vv затемъ построить многоугольникъ силъ или площадей, разбить его на двЪ найденный слагаюгщя Vo и Vt, такъ какъ
^P=VB+tVr
и изъ точки между отрезками Vo и Уг провести горизонталь, на которой отложить Q, изъ полученнаго такимъ образомъ полюса провести лучи.
Далее, надо (черт. 61) на вертикаляхъ отъ опорныхъ точекъ Л и 4, свода отложить ординаты z0 и gt соответственно ихъ знакамъ; исходя изъ найденныхъ точекъ о и Oj, принадлежащихъ опорной линш, надо построить обычными пр1емомъ полную опорную лишю, затемъ проверить сводъ въ отношети прочности и устойчивости.
Найденный величины для груза „единица1, Qe, то, тг и т. д. могутъ быть отложены отъ одной горизонтали въ масштабе на вертикаляхъ, проведенныхъ изъ точекъ, къ которымъ относятся соответственный величины а; если соединить лин!ею концы полученныхъ вертикальныхъ отрезковъ, то получимъ такъ называемый инфлуэнтныя кривыя распора, опорныхъ моментовъ и т. д. Эти кривыя показываютъ характеръ вл!ян1я груза „единица", помещаемаго поочередно во всехъ точкахъ.
Более подробное понят!е о расчете сводовъ при помощи инфлуэнтныхъ линш помещено въ труде гражданскаго инженера П. И. Дмитр1ева „Изследо-ваше причины обрушенш церкви города N путемъ статическаго расчета", 1909 г. Въ этомъ обстоятельномъ труде детально приведенъ расчетъ сводовъ при помощи инфлуэнтныхъ линш на многихъ примерахъ.
136 —
4. Расчетъ пологихъ цилиндрическихъ сводовъ при помощи общихъ уравненш распора.
Разсмотримъ еще расчетъ сводовъ трехшарнирныхъ, двухшарнирныхъ и безъ шарнировъ, нагруженныхъ какъ сосредоточенными грузами, такъ и равно-м-Ьрной нагрузкой при помощи общихъ уравнений распоровъ.
а) Тредшарнирные своды.
При симметричной формФ, свода пролетомъ I и при подъемФ f нагру-женномъ однимъ сосредоточеннымъ грузомъ Р, пом-Ьщеннымъ на разстояши
а отъ лФ>ваго шарнира (чер. 62), будемъ им-Ьть сл1ьдующ1я формулы для реакщй опоръ:
и Vl=Pj........................(?)
а для распора
Q = f“.............................(2)-
Въ случай н4.сколькихъ грузовъ
необходимо взять сумму частичныхъ
реакщй опоръ и распоровъ.
При равном-Ьрной нагрузк-Ь q (чер. 63) на погонную единицу длины,
расположенной на разстоянш х отъ л4.ваго шарнира, будемъ имЪть величину
реакщй опоръ
1 при ж< — •
о
qx
Г
.2
(3)
и распоръ:
0-^
со-
При х > — реакщй опоръ
будутъ гЬ же, а распоръ будетъ равенъ:
g(41х — 2 ж2 — Z2)
137 —
При загрузкЪ всего пролета реакщи опоръ и распоръ будутъ:
= ........и (?=g..............(7).
z о/
Ь) Дву^шарнирные своды.
Предположимъ, что мы им-Ьемъ сводъ съ двумя шарнирами въ пятахъ, расположенными на одномъ уровнЪ, и примемъ, что сводъ пологш параболи-ческш; уравнеше оси такого свода будетъ:
4/’
т/-- /2 (Z — х)х,
гдЪ I—пролетъ и /"—подъемъ свода.
Въ предыдущей статьЪ этого же отдЪла (стр. 124) была найдена общая формула производной работы деформащи по распору:
\MndM NndN\ dQ Е | J dQ о dQ f
dx = О,
гдЬ Мп — моментъ всЪхъ силъ для даннаго сЪчешя,
Nn — напряжете въ этомъ же сЬчеши,
J — моментъ инерщи с-Ьчен1я, ,
со — площадь сЬчен1я,
Е — модуль упругости матер!ала.
Заменяя моментъ инерщи черезъ рад>усъ инерщи т (J — г*со) и предполагая, что площадь со и рад!усъ инерщи постоянны по длинЪ свода, выно-симъ г2 за знакъ интеграла и множимъ все на Е, г* и со.
Такимъ образомъ будемъ имЪть:
л , ef' dN , ,b+’ J5 7ад <ь=°-
Найдемъ теперь частныя производныя 3/.и и Аг)( по распору Q и подста-вимъ ихъ значешя въ полученное уравнеше.
Напишемъ сначала общее выражеше для Мп и ТУ ; они будутъ;
М» = 5ЛИ — QyaЕп = Q cosdn, гд-fe
3)i„ — моментъ для даннаго сЬчешя свода какъ для балки на двухъ огторахъ,
— уголъ даннаго шва съ вертикалью.
Производныя будутъ им-Ьть видъ:
dQ=~y‘
И
= COSd dQ
— 138 —
Подставивъ найденный частныя производный и выражения Мп и N въ наше уравнеюе, будемъ имФ.ть:
(Ж« — ОУп\Уп dx + ’’2 ( Q cos4ndx = 0.
о Jo
Принимая въ этомъ выражеюи вслФ.дств1е малости углов!, ей, что cos2 дп = 1 и вынося постоянное Q за знакъ интеграла, получимъ:
Стояний въ знаменателе, интегралъ J y2dx можно разематривать какъ двойной статический моментъ площади, заключающейся между дугой параболы и осью х, относительно оси х:
I 9 д о й
= = - ° /р,
е/ о О «3 10
. 2.
гдъ уо=—f — разстояше центра тяжести рассматриваемой площади отъ оси ж.
Заменяя въ числителе, дроби, выражающей Q, стоящее подъ интеграломъ уп черезъ его значеше, получимъ
или
139
Теперь найдемъ выражен!е распора въ предположены одного сосредото-ченнаго груза Р, приложеннаго на разстояши а отъ леваго шарнира (чер. 64).
Въ такомъ случае моментъ по левую сторону отъ груза будетъ равенъ:
а по правую сторону
= Ж,
9V = Pf‘(Z-^).
При этомъ интегралъ числителя приметъ видъ:
pi
^tnx(1—x)dx = I 9JZH'«(Z— x)clx -j- j 9)?„" x (I — x)dx
o «Jo a
или
a , ra rl
I 3)iH»(Z— x)dx = P— — I x2(l — xjdz-^-P^- I x(l— x)2dx —
। о "Jo J a
1 1 / n a‘^\
= - Pa(P - 2IcP + a«) = - PaP(l - a) 1 + “ - .
1Z, X zS \ v ( /
Второй стоящш въ скобкахъ множитель, осложняющш выражеше интеграла числителя, изменяется однако очень незначительно съ переменой а 6 ..
и можетъ быть принятъ равнымъ —*); такимъ образомъ принимаемъ, что О
a
(р 6
Г Р~ 5
Въ такомъ случае имеемъ:
9)iJ(«(Z — x)dx = Ро(/ — a)Z2
и выражеше распора будетъ:
2 f
Q = r-------д---7’« (? — «),
^’2+TV2)
1 о
или
(®).
При равномерной нагрузке q, расположенной на части пролета х, (черт. 65)
*) Еекъ. Основы расчета строительныхъ сооружешй по методамъ упругости. Переводъ П. С. Страхова.
140 —
будемъ имФть нагрузку на протяженш dx равную qdx', обозначая черезъ dQ распоръ отъ этой нагрузки, можемъ написать:
Интегрируя между пределами х = 0 и х = х, будемъ имЪть:
или
При загрузкФ
половины пролета будемъ имФть
а потому
0 = ^1____1
1 16/ 15
' 8
Для загрузки всего пролета распоръ будетъ равенъ:
0=9* - 1
вп+и(;
8 V
При ’' = -100f
1
8 V/
2
= 1,019,
откуда заключаемъ, что при малыхъ значен!яхъ pafliyca инерц1и сравнительно съ подъемомъ арки коэффищентъ въ выражении распора очень незначительно отличается отъ единицы.
Реакщи опоръ для свода съ двумя шарнирами будутъ имФть выражешя таюя же, какъ и для свода съ тремя шарнирами.
с) Своды безъ шарнировъ.
Предположимъ, что мы имФемъ сводъ совершенно безъ шарнировъ и съ пятами, расположенными на одномъ уровнФ и примемъ, что сводъ полопй параболический, уравнеше осевой лиши котораго будетъ:
141
ВслЪдств1е тройной статической неопределенности сводовъ безъ шарни-ровъ необходимо воспользоваться тремя уравнен!ями производныхъ работы де-формащи.
Выше (стр. 122) мы имели выражеше работы:
1 f Ж2 । Л7Л 2^11577 coj
Т
г]б ,
заменяя моментъ инерцш J черезъ и разсматривая сводъ постояннаго сЪчешя,
рад!усъ инерцш г.г можемъ написать:
и площадь сов
Т~- -1-
2Лсов
da.
Составивъ три уравнешя производныхъ работы деформащи—по моменту на левой опоре ТИ0, по реакщи левой опоры VB и по распору Q, будемъ иметь:
dT _ 1 1 ol 1 3/“ ' 0 dd\f | 1 0 d cfo - - 0 , сШ0
dT 1 1 cZJY , , I d,N
i J\f i TV n do — 0 ,
d] 0 ?’2e ' 0 c/F 0 v L B c/Fo
dT 1 ( ^7 d ]J , ( I di\T
dQ ,.2 J 1 0 c^^ + J 1 1 0
Въ прошлой статье этого же отдела (стр. 122) были найдены выражешя момента 71ТВ и усил!я Nn, каковыя вполне соответствуютъ и настоящему случаю:
Л/В = И1в 4- Vox — 2охР(х — а) — 0у,
_Vn = Q cosdn 4- Fo sindn — S* P sindn.
Здесь J\lo — моментъ закреплешя левой опоры,
k0—вертикальная составляющая усшля левой опоры,
<>д уголь швовъ съ вертикалью,
4, /‘It — а) и 2ВР sind выражешя одинаково соответствующая какъ сосредоточеннымъ грузамъ, такъ и равномерной на- грузке.
Имея въ виду малость угловъ сГ}1 вследств!е малой кривизны свода, можемъ принять, что smdn = 0, а въ такомъ случае выражеше усшпя j\ будетъ:
Nn= Qcosdn.
— 142 —
Теперь можемъ найти величины частныхъ производныхъ Мп и Nn по и Q; производныя эти будутъ:
^4-1 dV.-^ г/Л/, dQ ~У,
—— 0, d^ — cos д
dh dQ п
Подставляя найденныя выражешя въ уравнешя производныхъ работы де-формащи, найдемъ.
1 1 С*
М, do — О, „I Мх do=0,
it у I Л '
О ‘ J о
I р I
Mtly do + Nn cosdn do = G.
Сокращая первые два уравнешя
1
на 2 и подставляя въ третье уравнение
вместо Nn его выражеше и им"Ья въ виду, что, всл,Ьдств]‘е пологости
свода и
Черт. 67.
малости угловъ дп, cossdn=l и do = dx, уравнешя производной деформа-
ц!и работы получимъ въ видЬ:
или окончательно:
Qlr2 — J Мпу dx = О
Теперь найдемъ выражеше распора въ предположена одного сосредото-ченнаго груза Р, приложеннаго на разстояши а отъ л^вой пяты (чер. 66).
143 —
Въ такомъ случай выражеше момента Мп для сЬчешя между nt вой пятой и грузомъ напишется:
AIn'— Vo х — Qy — Ми;
для сЪчешя между грузомъ и правой пятой
к:' =v0^- Qy- -«)- к
Подставляя выражен!я моментовъ въ уравнешя (Л), будемъ имЪть:
Найдемъ величины интеграловъ, входящихъ въ эти уравнешя:
2
ydx = ~fl, какъ площадь параболы, о 3
2 1 1
/ fl -fl2, какъ статичесюй моментъ площади параболы*
О -j о
относительно хорды,
Q
согласно найденному выше. 15
Л кромЬ того:
и
Прин поди ипгсгрироваше въ уравнешяхъ (5), найдемъ:
i',? J.V7
3 ' Г ' Q/T4 2 = О
• • (С).
। /7ы |
*5
, '.'И 1-|чЛ+^(?-«)3(г + «) = о
— 144 —
РЪшая совместно эти три уравнешя, находимъ:
Для равномерной нагрузки q, расположенной на части пролета равной х, будемъ иметь на протяжеши dx нагрузку равную qdx (черт. 67), при этомъ можемъ написать:
dvo = q-----/3 - dx,
— 4
Выполняя интегрироваше между пределами отъ х = 0 до х = х, получимъ:
г.=9^-2?^...............(«),
^С10 Р “ 15 6
2
(6 ?2 — 8 1х-\- 3ж2) —
К = 7
а;3(1о/2—15/-|-6ж2)1
Ч1+Ш|
• (»)
Для нагрузки лФ>вой половины пролета имЪемъ:
13 3
П = F’ = <?32Z.......................
145 —
При загрузке всего пролета имеемъ:
г.-г,-*...............<»>
При ’ = й>о'’
откуда заключаешь, что при малыхъ значетяхъ рад>уса инерц!и сравнительно съ подъемомъ арки коэффищентъ въ выраженш распора незначительно отличается отъ единицы; но тЪмъ не менее въ сводахъ съ двумя шарнирами указанный коэффищентъ ближе къ единице, чЪмъ въ сводахъ безъ шарнировъ.
d) Сравнеше резупьтатовъ.
Сравнивъ результаты, полученные въ предыдущихъ статьяхъ, приходимъ Ki пслючснпо, что распоръ въ своде безъ шарнировъ больше, чЪмъ въ своде । > двумя шарнирами въ пятахъ, а распоръ этого послЪдняго более, ч-Ьмъ въ иг 111од1 съ тремя шарнирами.
Принимаемая зачастую формула распора свода при равномерной на-\ ГруцкЬ in. нидЬ
Q =
< tiptim дани ктько для сводовъ съ тремя шарнирами; пользование же этой <|i<|рмуип11 при иоцдхь съ двумя шарнирами или безъ шарнировъ равносильно |нму, 'и 1 iПодахь безъ шарнировъ предполагается существование 3 шар-IHipoill
Дим он । uiii 'iiln значешй реакщй опоръ, опорныхъ моментовъ и распором. дня грсхь видонi, арокъ при разныхъ нагрузкахъ приведемъ все най-Д''11Н1 1 И1.1Шв формулы пЪ Таблице:
11 К ЛпХПНП PlU ЧЛ) k I Я11ДШ11.
10
Таблица 10.
Число шарнировъ Усил1е и моментъ Сосредоточенный грузъ Р на разстоянш а отъ левой пяты. Равномерная нагрузка q
на л^вой половин^ пролета на всемъ пролете
То*) Р^1- -a)2(?J-2a) Р 13 7 S’32Z 1 е-2
0 Д,**) a[l—a)'i ~21 -- 5а 1 р 1
2Р / 1+Ж ’«1+¥г?)- ’12
Q п 55 а-(1— а)2 I2 р 1
4fl3 [-+“(?)'] "8f
т0*) 7 1 — а ’ ~~Г со: ы
2 Д,**) 0 0 0
Q р. 5а (1 — а) I2 1 р 1
4fl\ ’•+¥(/)' ,ef '+W
К*) 7 1 — а т~ СО со 1 5-2
3 Д**) 0 0 0
<2 Р- — 2/ р q-16f Р q' 8f
*) Vo — реакщя левой опоры.
**) Мо — моментъ заделки левой опоры.
— 147 —
5. Расчетъ пологи^ъ цилиндрически^ сводовъ по способу Schonhofer'a *).
Способъ этотъ очень простой и удобопримЪнимый, данный Шенхеферомъ иъ Австрии и американцемъ Саш’омъ, а затемъ еще нисколько видоизмененный авторами, указанными въ подстрочномъ примЪчаши, заключается главнымъ образомъ въ особой разбивке арки на клинья; вследств!е этой особой разбивки обычный расчетъ сводовъ по методу упругости чрезвычайно упрощается.
Выпишемъ сперва приведенное на стр. 122 уравнение работы деформащи:
со, I
и попытаемся сделать въ немъ дальнейпля упрощешя.
Иредположимъ, что мы имеемъ сводъ переменной толщины и пусть пяты его лежатъ не на одной высоте; лишя, соединяющая центры тяжести пятъ, со-станляетъ съ горизонтомъ уголъ а.
Введемъ некоторую среднюю площадь поперечнаго сечешя арки <оо, ко-юрая будетъ равна
а = = + + + • • • • • • +%» ° т т ’
днсму ариеметическому изъ всехъ т площадей. Имея въ виду, что второй •им и ныражешя работы сравнительно съ первымъ весьма малъ, можемъ съ дне।aIO4IIOH для практики точностью написать, что Nn—нормальное усшйе nt, сГ.ч н111хъ арки—-постоянно и равно распору арки Q, деленному на косинусъ угла it и.псиона лиши, соединяющей центры тяжести пятъ, т.-е.
; п cos а
иг <11y4.1l, если центры тяжести пятъ лежатъ на горизонтальной лиши, тогда V будем । нмкп., что
лт„. = Q.
• и Ч1Н i n упрощешя, получимъ
„ 1 Г /312, . Q2 \ ,
1 - I 1 г— *~t-------о— I (It).
. 2 _Е | [ Jn соо cos* а)
•) Жу|»1Пп>> Министерства Путей Сообщешя 1909 г., книга пятая, статья инжеиеровъ В. М. Пашкоиска! о и С. В. КотЬрскаго.
10;
— 148 —
Производя интегрировашя на протяжеши всей дуги отъ 0 доз, найдемъ
Упростимъ еще выражеше оставшагося интеграла, п л
Для этого разсмотримъ сперва выражеше — , гдъ аб произвольный эле-
ментъ дуги средней лиши арки, a JH моментъ инерщи сечешя арки, взятаго у этого произвольнаго элемента. Далее замЪнимъ интегрироваюе безконечно-малыхъ суммировашемъ малыхъ конечныхъ величинъ, для чего разд-Ьлимъ среднюю лишю арки перем^ннаго сечешя на неравный между собою отрезки длиною бг б2, о3 бв, <7„ + 1........бт, длина которыхъ однако подчиняется
нижеследующему закону:
°i _ _ V — _ — _ 1
'Л 'Л Л ’^п 'Al+l Jm
где Jp J2, J3,....Ju, J„ + 1........Jm моменты инерщи средняго сечешя ка-
ждаго отрезка, а к некоторый постоянный коэффищентъ.
Заменяя знакъ J знакомъ 2 и подставляя найденное соотношеше, мо-жемъ написать выражешя работы въ виде:
1 11’" Q*s I
= ®oCOS2«| ... (2)
Прежде чемъ перейти къ решешю интересую-щаго насъ вопроса, покажемъ какъ производится де-леше средней лиши арки на отрезки, длина которыхъ подчиняется указанному выше соотношешю.
Выделимъ произвольный отрезокъ арки длиною б (черт. 68), для крайнихъ сеченш котораго пусть моменты инерщи будутъ Jn' и Jn+i, а средшй его. моментъ инерщи будетъ равенъ
т _ с7«' + с7»+/ .
' " 2
Развернемъ на плоскость среднюю лишю арки «„«„4-1, пусть она выразится отрезкомъ ап' ап ^'; от-ложимъ на перпендикупярахъ къ ней отъ точекъ а' и
«„4-1' отрезки
ап А = < С = И “«+1 В = “»+1' D = J«+l' ’
и соединимъ точку А съ В, точку С съ В и съ В, а изъ точки С проведемъ СЕ || «„'«„4-/.
149 —
II и. чертежа видимъ, что:
— firjt-f-i' -[- «п+i В — Jn' —|— — “2.Jn.
Обозначивъ уголъ ВСЕ черезъ <р, будемъ имЪть
ВЕ= CEtg<p = 6atg<p.
Сравнивая два значешя BE, получимъ
2'Л = 6J9T-
Обозначая tgtp 2 к найдемъ:
Указанное построеше даетъ способъ разделить сЪчеше нашего свода на клинья, подчиняющееся закону, выраженному формулой (7).
Черт. 69.
Дим этого дклпмь срединную лишю (черт. 69) на н-Ькоторое число рав-ныхъ клины-ш. и для каждаго шва опред-Ьляемъ моментъ инерщи сЪчешя арки; пусть эти ШШ.1 буду! л. 7, 2, 3....17. Проводимъ прямую KtKv на которой откладываема. длнш.! i tail дсп п 1 |хъ равныхъ отр-Ьзковъ и на перпендикулярахъ къ
— 150 —
лиши К}К2, проведенныхъ изъ концовъ этихъ отрЪзковъ, откладываемъ въ произвольномъ масштабе найденные моменты инерцш Jv, Jlt Jv J3.......J
вверхъ и внизъ отъ лиши КГК3, соединяемъ концы кривою (можно и ломаною) лишею. Такимъ образомъ получимъ две симметричныхъ кривыхъ, обращенныхъ выпуклостями къ лиши KVK2.
Беремъ произвольную пока длину rtj на лиши К±К2 отъ точки Кг и черезъ другой конецъ этого отрезка проводимъ перпендикуляръ къ отмЪчаемъ точки С и О пересечешя этого перпендикуляра съ обеими кривыми моментовъ инерщи и соединяемъ точки Во съ С, а изъ точки D проводимъ DE || ВОС. Изъ точки Е опускаемъ перпендикуляръ на КгК2 и отм-Ьчаемъ его пересЬ-чеше съ нижней лишей моментовъ инерцш въ точке F, изъ которой снова проводимъ лишю, параллельную ВоС-, такимъ образомъ продолжаемъ до конца лиши ATjAfg. Построеше будетъ выполнено удачно, когда послЪдшй перпендикуляръ къ пройдетъ черезъ точку К2; въ противномъ случае, необходимо варьировать длину <JX, и въ концф>-концовъ добиться требуемаго со-впадешя.
Все наклонныя лиши будутъ взаимно параллельны, и наклонены къ лиши KtK2 подъ угломъ
Длины tfj, <Jg, б3.. измеряются по чертежу, а значеше к находится
по формуле (7), при чемъ необходимо определить величину к для многихъ отрезковъ и взять среднюю изъ нихъ величину.
Найденные отрезки olt о2, б3...... наносятся на средней лиши разреза свода, черезъ отмеченный точки проводятъ швы, нормальные къ средней лиши и определяютъ центры тяжести ct, с2, с3....полученныхъ такимъ образомъ
клиньевъ, удовлетворяющихъ требованию npieMa Шенхефсра *).
Авторы упомянутой выше статьи рекомендуютъ не задаваться слишкомъ мелкой и утомительной работой и ограничиваться 25—27 делешями.
Выполнивъ депеше арки, перейдемъ снова къ расчету свода, имея въ виду уравнеше (2).
а) Расчетъ сводовъ безъ шарнира.
Положимъ, что мы имеемъ КгспК2 (черт. 70) среднюю лишю несимметрич-наго свода; лишя КгК2 , соединяющая центры тяжести пятъ, наклонена къ горизонту подъ угломъ а. Примемъ горизонтальную лишю К1х' за ось х', а вертикальную лишю, проходящую черезъ точку за ось у'.
Обозначимъ черезъ xt', у^\ \ х3, у3..... координаты центровъ
тяжести клиньевъ сп с2, с3....с„, удовлетворяющихъ пр!ему Шенхефера;
координаты центровъ тяжести могутъ быть измерены по чертежу.
Затемъ возьмемъ друпя оси ж-овъ и ^/-овъ, параллельный первымъ и проведенный такъ, чтобы координаты новаго начала координатъ хо и у0 по отношешю къ старымъ осямъ были равны **):
*) Въ случай свода постоянной толщины каждое любое дьпеше арки на равные клинья удовлетворяетъ npieny Шенхефера.
**) Згихъ осей на чертеж-fe 70 не имеется; для того, чтобы не осложнять чертежъ, проведены оси уже повернутый (см. ниже).
151 —
т Ssi
1
т
и
т
Новыя координаты точекъ сп будутъ:
я'„. = < — Ч и Уп = У'— У о •
При этомъ, благодаря значешямъ, приданнымъ <0 и у0, можемъ написать для новыхъ осей: т зп
2х = 0 и 2у = 0 1 1
и приблизительно
т
— ху = 0.
1
Это последнее уравнеше, вполне верное для симметричной арки, применимо и для несимметричной арки путемъ поворота новой оси х около на
чала коордннн 11 W ил ничтожный уголъ, определяемый по формуле Мюллеръ— Ьреслау
Однако iinropi.i цитируемой статьи находятъ, что достигнуть равенства
т
Д’ ху = 0 , ।
легче путемъ попыIOKI попорота осн г и суммироватемъ произведена измерен-
152 —
ныхъ координатъ хп и уп\ обыкновенно одна проба приводила къ совершенно удовлетворительной малости выражен1я Хху.
Положимъ далее, что мы уже получили кривую давлежя въ своде, и пусть эта кривая выражается лишей 0tA02 (черт. 70). Пусть для какого-либо центра тяжести св эксцентрицитетъ усил!я Хн равенъ отрезку cnL.
Моментъ Мп внешнихъ силъ въ точке сн, равный по услов1ю моменту внутреннихъ силъ, будетъ выражаться формулой
Л,г = где внутреннее усшпе
согласно сказанному въ начале этой статьи.
Длина cnL можетъ быть выражена формулой:
citL = RL — (y-\-e) и Jf, = Q.RL-Q(y-|-е), гдф RL длина ординаты шарнирнаго многоугольника (кривой давлежя) 0iL0i для точки, соответствующей точке с)( при полюсномъ разстояжи Q.
Въ то же время ордината cHL выражаетъ собой моментный отрезокъ для балки на двухъ опорахъ пролетомъ 1 (пролетъ свода) при томъ же полюсномъ разстояжи Q.
Въ такомъ случае этотъ моментъ будетъ равенъ
ЖВ = /?А Q
Изъ чертежа видимъ, что
Подставляя дьа найденныхъ выражежя въ формулу М , получимъ:
-К = - Q-y-Q-e-^^x-Q.e0.
Сделаемъ въ дальнейшемъ следуюгщя обозначешя:
тогда имеемъ
X- Q
61______
I
Z= Q.e0,
................................(3)
Мп ^,-Qy-Xx-Z,
где X означаетъ некоторую силу, a Z некоторый моментъ силы.
Составляя производныя работы деформащи и приравнивая ихъ согласно принципу наименьшей работы нулю, получимъ:
153 —
dQ ~ 1 - п dQ Qs (о0 cos'1, а = о,
dT _ (IX ~ т 1 (ПГ * = о (IX ’
dT dZ ~ т (Ш „ —0 dZ
Найдемъ теперь частныя производная; они будутъ:
dK, _ dQ (ГМп (Ш, - >’ dX<= <1Z = '•
Подставляя значен!е формац!и, получимъ: момента Afit и частныхъ производныхъ въ уравнеже де-
1 \--QXy'2 Н ZXy + ’ % =0, 1 к 1 1 к 1 J 1 к 1 1 Wocos2f<
/.•
т т т т js Э)см^ 4 Q — ху 4~ %2+z 2? х - о, 1 ill
— ш т 7п т ХЗХ + QXy 4- XXх 4- Z X 1 = 0. 1111
ИмЪи вь виду, что согласно построешю
будемь имtrii! т Хх = 0 т Ху = 0 1 1 711 к 7)1 и 2/ л г/ = 0 , 1 - =0, w0 cos ‘ а
1 1 I 9П 1
т т
1 = 0, 1
»» 7)1
-^„ + ^1=0.
1 1
Откуда находимъ:
т Q = 1 £ , ks Л у-4 —I— г ' ciscos'2а 7П
* Л = 1 ш 2,’ х2 1 (^)
1)1 V 1 /= 1,1
— 154 —
Найдемъ еще выражеюя для величинъ et и е„ (черт. 70):
—Г^1— >о)-
Подставляя сюда значен!е е0 и
е< — еч
— — изъ
формулы (3), найдемъ:
При симметричномъ сводф
У»
Я = 0
И
т хМу
Выражешя X и Z остаются тФ же
2Z — IX 2Q
Для примФнешя способа Шенхефера должно поступать такъ: сначала должно вычертить сводъ, задавшись по эмпирическимъ формуламъ толщиною свода въ пятахъ и въ ключФ: затФмъ должно провести среднюю пишю и согласно описанному способу разбить сводъ на клинья и определить ихъ центры тяжести.
ДалФе опредФляютъ нагрузку на сводъ, при чемъ распределенную нагрузку заменяютъ сосредоточенными грузами, соответствующими клиньямъ. ЗатФмъ при помощи произвольнаго полюснаго разстояшя Нв строятъ многоугольникъ силъ ОР и предварительный шарнирный многоугольникъ mqn, про-водятъ въ немъ замыкающую тп и опредФляютъ реакщи опоръ, какъ для балки на двухъ опорахъ (черт. 70). Они будутъ 0W и WPm. ЗатФмъ проекти-руютъ на построенный шарнирный многоугольникъ положешя центровъ тяжести клиньевъ, проводятъ моментные отрФзки въ этихъ точкахъ, измФряютъ эти моментные отрФзки и, помноживъ ихъ на полюсное разстояше, опредФляютъ величины моментовъ ДалФе указаннымъ выше способомъ находятъ положеше координатныхъ осей х', х и у', у и измФряютъ по чертежу координаты ж', ж и у', у центровъ тяжести клиньевъ. При чемъ всФ а-' будутъ положительны, х влФво будутъ положительны, а вправо—отрицательны, у' будутъ всФ положительны, а у—положительны вверхъ и отрицательны внизъ.
155 —
Все измеренный величины вписываются въ таблицу, далее вычисляютъ проч1Я числа таблицы, подытоживаютъ колонки и по приведеннымъ формуламъ определяютъ величины е15 е2, X, Z и Q.
Сделавъ указанный вычисления и имея новое положен!е координатъ, на вертикаляхъ, проведенныхъ черезъ точки /Q и Л"2 отъ оси х откладываютъ внизъ величины е1 и е2 и получаютъ такимъ образомъ точки 0х и 02, черезъ который должна пройти кривая давлешя свода.
Далее на разстояши отъ лиши силъ 0Рт многоугольника силъ проводятъ вертикаль, а изъ точки W проводятъ лишю WT\\ 0t0^. Проведя затемъ изъ точки Т лишю TV || хх, найдемъ на лиши силъ отрезокъ W, равный силе х, составляющей разницу между реакщей опоры балки съ заделанными концами и свободно лежащей на опорахъ. Наконецъ соединяемъ полюсъ Т съ концами силъ Pl...Pm и строимъ полностью всю кривую давлешя, исходя изъ точекъ 0г или 02. Найдя положеше кривой давлешя, можемъ иметь давлеше въ любомъ шве свода и затемъ проверить сводъ на прочность и устойчивость согласно известнымъ общимъ пр!емамъ.
Ь) Расчетъ сводовъ съ двумя шарнирами.
Когда разбивка на клинья свода съ двумя шарнирами, согласно описанному способу Шенхефера выполнена, тогда, пользуясь найденной формулой работы деформащи
1 I 1 m / ]
7’ = - < — X М2 ч--------v - >
21ЦА о 11 ш0со.Ра)
• • (2)
можно перейти къ разсчету, для чего достаточно будетъ составить лишь одно уравнеше производной работы:
,/7’ = 1 v М + Qs . tUj к'а л 11 dQ 1 соо cos2 а
— 156
Напишемъ теперь выражеше Мп и возьмемъ частную производную по распору.
Для свода съ двумя шарнирами (черт. 71) мы уже имФли въ предыдущей статьФ (стр. 137) выражеше:
Подставляя въ выражеше производной найденный значешя, получимъ:
Въ случай шарнировъ, лежащихъ на одной высотФ будемъ имФть:
т
Для примФ>нен!я этого способа къ разсчету необходимо вычертить сводъ по эмпирическимъ формуламъ, разбить его по способу Шенхефера на клинья,
157 —
определить ихъ центры тяжести, измерить координаты найденныхъ центровъ тяжести и определить нагрузки.
Затемъ определяютъ нагрузки и строятъ многоугольникъ силъ и предварительный шарнирный, проводятъ въ немъ замыкающую лишю, находятъ реакщй опоръ и определяютъ величины моментовъ ЭЛН . По найденнымъ величинамъ координатъ и моментовъ, составляютъ таблицу № 12:
Таблица 12.
По выведенной формуле определяютъ распоръ и на разстоянш Q отъ лип!и силъ проводятъ вертикаль. Изъ точки W, делящей многоугольникъ силъ на двЬ реакщй опоръ, проводятъ параллель лиши, соединяющей шарниры свода. Точка Т пересЬчешя этой последней лиши съ вертикалью, проведенной на разстояп!и <,> отъ лиши силъ, и будетъ искомымъ полюсомъ. Остается провести лучи и построить изъ шарнировъ свода шарнирный многоугольникъ, который и будетъ искомой кривой давлешя, решающей вопросъ о прочности и устойчивости разечп гываемаго свода.
6. /Аналитически расчетъ цилиндрическихъ сводовъ, сложенныхъ въ елку *).
При расчет!', цилиндрическихъ сводовъ, сложенныхъ въ елку, необходимо принимать в ь соображение и длину свода; поэтому раземотримъ цилиндрическш сводъ, перскрывающш пространство 2а-Х2(< (черт. 72), ограниченное щековыми стенами или подпружными арками, вместо щековыхъ стенъ. Пусть лишя М ось свода, I 2Ь пролетъ свода и стрела свода.
Предположимте что кладка въ елку исполнена по нормалямъ къ д!аго-налямъ АС и BD, псрекрываемаго пространства.
) См. Зодч!й 1908 г. №1*6 36, 37.
158 —
Имея въ виду, что въ елку складываются лишь цилиндриче ск!е своды гражданскихъ построекъ, н е с у щ i е вертикальную равномерную и при томъ небольшую нагрузку, мы можемъ принять, что нагрузка вместе съ вФ>сомъ самаго свода равна g на квадратную единицу пере-крываемаго пространства.
Для выполнешя расчета свода разрф>жемъ его системой вертикальныхъ плоскостей, нормальныхъ къ д!агоналямъ АС и ВО, на элементарныя безконечно узюя полоски. Выполнивъ такую разрезку, напр., въ части OIFC, увидимъ, что въ своде будутъ три вида полосокъ. У однФ>хъ изъ полосокъ, помещающихся въ пространстве LOF, ихъ замки расположены по линш 0L — замка самаго свода и пяты OF, опираются въ пяты симметричныхъ полосокъ; вторыя, помещающаяся въ пространстве ILFM', имеютъ какъ замокъ U, такъ и пяты M'F самаго свода; наконецъ, третьи, расположенныя въ пространстве !М'С, имеютъ пяты М'С самаго свода и замки, расположенные по лиши !С щековой стены свода или подпружной арки. Длина полосокъ перваго вида неодинакова, она увеличивается отъ нуля до длины LF\ длина полосокъ второго вида постоянна и равна LF = !М' (отрезки параллельныхъ между параллельными) и, наконецъ. длина полосокъ третьяго вида тоже неодинакова, она уменьшается отъ !М' до нуля.
Въ дальнейшемъ будемъ вести расчетъ только для четверти перекрывае-маго пространства OFDJ, распространяя выводы на весь сводъ.
Обозначимъ (черт. 72 а и Ь) черезъ х и у координаты точекъ пересечения полосокъ съ диагональю 00, черезъ го разстояше этихъ точекъ отъ начала координатъ; пусть § и у — отрезки на осяхъ координатъ, отсекаемые элементарными полосками; гр и /—отрезки, отсекаемые теми же полосками на лишяхъ DJ и DF отъ точки D; пусть, далее (черт. 72 с), е — горизонтальная проекщя длины полосокъ второго вида; и — горизонтальный проекцш длинъ полосокъ перваго и третьяго вида и пусть с обозначаетъ длину fliaro-налей., а а уголъ ихъ съ подпружной аркой.
Напишемъ несколько необходимыхъ для вывода соотношенш между величинами, обозначешя которыхъ мы только что привели:
а у cly b х dx?
а
sina = -с
Ъ cosa = -с
.. _____ же с
с — Jа2-?-Ъ2 \ го — —— = —х; dw — dx\
' 1 cosa b b
b
c — w = ip cosa = - ip;
7 b I л j b C 7
dw =-----dip', — dip = div : - = ra;
c co2
O, U 7 7 C2 7
<p = z^a = -Z; dii>=bdx', — dip = -^dy
c2
— = Lb
w c c c?
cosa b bX biX’
w
1] = —.— sina
c c c2 a'bX"ab
159
,4>+," = «»/^4
1 ___ сл
Ъ Ъс ip с */-’
- « --- j —' --- " •
sma a sina а
— 160 —
Имея въ виду, во-первыхъ, незначительность толщины т-Ьла свода сравни тельно съ рад!усомъ кривизны его направляющей и, во-вторыхъ, упрупя свойства матер!ала можно, съ достаточной для практики точностью, принять, что напряжения по толщине тФла свода распределены равномерно, а потому въ расчетъ распора и давлешй швовъ не будемъ вводить толщину свода. Изъ этого положения следуетъ, что кривая давления въ элементарныхъ аркахъ имеетъ очертание весьма близкое къ направлешю средней линш свода, принимается безъ особой погрешности за параболу.
На BepxHie концы полосокъ всехъ трехъ видовъ будутъ действовать горизонтальные элементарные распоры dQ', dQ" и dQ'", а на нижн!е концы техъ же полосокъ будутъ действовать сказанные элементарные распоры, а также элементарный вертикальный усилш dV, dV" и dV'" (черт. 72 с).
Нагрузки, приходящаяся на элементарный полоски, будутъ:
dgt — q^div; dg^ = qe dw; dg3 — qz3dw;
где q — нагрузки на квадратную единицу е и z3— длины полосокъ, a dw~ ихъ ширина.
Подставляя въ выражешя нагрузокъ значешя е, z3 и div, найдемъ.
Ъ dgl~q-—xdx; dg2 = q—dx; dg3 = q —ip dip; ClU (1 (I
где передъ dip опущенъ знакъ минусъ, такъ какъ онъ означаетъ только то, что съ увеличешемъ w уменьшается ip; на величину dg3 знакъ вл!ян!я не имеетъ.
Составимъ относительно пятъ полосокъ уравнешя моментовъ всехъ дей-ствующихъ силъ и изъ этихъ уравненш найдемъ значения элементарныхъ распоровъ. Уравнешя моментовъ будутъ:
dQ' f\ = dgY 2 dW’ dQ" fo = dg2 . e2~ — div; d<?"-f9 dg3.^=q^dw;
где черезъ /j и f3 обозначены переменные подъемы полосокъ перваго и третьяго вида, а черезъ f3 — постоянный подъемъ полосокъ второго вида, равный подъему цилиндрическаго свода.
Изъ трехъ уравненш моментовъ определимъ величины элементарныхъ. распоровъ, который будутъ равны:
Z/1
161
<7C/' = ^c7w; z/o
dQ'"
Опред-Ьлимъ теперь величину перемФ>ннаго подъема какъ координату кривой давлешя, для чего примемъ, безъ особой для практики погрешности, что кривыя давлешя полосокъ перваго вида им^ють очерташе параболъ, уравнешя которыхъ относительно прямоугольныхъ осей, проведенныхъ черезъ вершины, будутъ: где С—постоянный неизвестный параметръ, величина
котораго определится изъ того услов!я, что последняя полоска перваго вида есть въ то же время первая полоска второго вида, уравнеше кривой давлешя которой будетъ то же самое; для опредФ>лен1я параметра подставимъ въ это уравнеше вместо значешя переменныхъ z и f соответственно е и fB.
z = e и
получимъ. е2=С/’о, откуда 0=
/о
Такимъ образомъ, общее уравнеше параболы будетъ:
Для переменныхъ координатъ полосокъ перваго вида и /j будемъ имГ.ть
<л f
откуда найдемъ:
1о е
Подставивъ значеше въ выражеше dQ', найдемъ величину элементарного распора полосокъ перваго вида:
/ Ч,л , dQ — div.
Z/(J
Такимь образомъ, мы нашли, что распоры полосокъ перваго и второго видонъ HMhioi i. одно и то же выражеше, при чемъ оказывается, что элементарные рл поры эти зависятъ только отъ постоянныхъ величинъ, и не зави-сятъ огь перем1>||пыхъ.
Обозпачивь равные распоры полосокъ перваго и второго вида черезъ dQt, будемъ им Ln..
dQt = $~dw.
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ 11
— 162 —
Подставляя вместо е и dw ихъ значешя, получимъ:
‘‘^ = ‘‘2^-
Для опредф>лен!я величины переменнаго подъема f3 полосокъ третьяго вида будемъ разсуждать такъ: элементарные распоры dQ'" д'Ьйствуютъ на про-тяженш JD (черт. 72 а) либо на щековую стену, либо на подпружную арку, разграничивающую два смежныхъ свода, сложенныхъ въ елку. Эти горизонтальные распоры dQ"', раскладываются на две горизонтальный же слагающая: одне, действующая нормально къ линш JD — dQ'" cosa, и друпя, действующая вдоль линш JD — dQ'" since.
Первыя уравновешиваются съ подобными же, но направленными имъ навстречу отъ смежнаго свода, а вторыя действуютъ на половину JD подпружной арки AD подобно внешней силе. Так!я же силы dQ'" sina будутъ действовать и на другую половину AJ той же подпружной арки AD.
Половину JD подпружной арки AD, нагруженную горизонтальными силами dQ'" sina можно разематривать какъ арку съ замкомъ въ точке D, по-лупролетъ которой есть f0, а подъемъ—Ъ, нагруженную переменными силами dQ'" sina. Силы эти вызываютъ въ арке распоръ, который въ данномъ случае будетъ имФть вертикальное направлеше, и кривую давлешя, которую можно принять за параболу съ вершиной въ точке D. Уравнеше параболы относительно осей, проведенныхъ черезъ вершину, будетъ
/з2 = с^>
где f3—искомый подъемъ полосокъ третьяго вида, a i[>—отрезки, отсекаемые этими полосками на лиши DJ отъ точки D.
Подставивъ въ уравнеше параболы взаимно соответственный значешя координатъ
fi = fo и Ф=Ь,
получимъ параметръ с; такимъ образомъ, будемъ иметь:
f * /й2 = с.Ъ, откуда с — —--.
Уравнеше параболы выразится такъ:
откуда
и л/ п
— 163 —
Поде гании ь теперь въ выражеше dQ3" значешя f3, z3 и dw, получимъ: или
Ъ 41 dQ^" = q /з dip.
х/qU
Такимъ образомъ, мы нашли значеше элементарнаго распора полоски третьяго вида; распоръ этотъ зависитъ отъ величины ip, следовательно онъ для разныхъ полосокъ различный.
Перейдемъ теперь къ вертикальнымъ усил!ямъ dV', dV", dV'"; величины ихъ найдутся на основанш теорш распора и значен1я вертикальной составляющей давлежя въ каждой точке кривыхъ давлен!я, построенныхъ для элемен-тарпыхъ полосокъ всехъ трехъ видовъ.
Гакъ какъ вертикальная составляющая давлешя въ каждой точке равна нлгрупкЬ, расположенной выше данной точки до замка, то значешя искомых । вертикальныхъ усилш будутъ равны найденнымъ выше нагрузкамъ </-/,. dg3 и dg3.
Величины вертикальныхъ усилш будутъ на протяженш OF:
dV' = 2dq. = 2q -^хdx.
1 ab3
Hi протяжении FM:
гл dV" = dg2 = q dx.
Ila протяженш MO:
dV'" = dg3 — q— ip dip.
II.iii bn.ip окенш вертикальныхъ усилш заключаемъ, что на протяженш FM 'Г-Ш1ЧШШ ичртикальныхъ усилш постоянна, а на протяженш МО уменьшается и гички М 1д1-> dV'" равно dV", къ точке О, где вертикальное усил!е pdliilli нулю,
II.। пр<'1яжс111И OF величина вертикальныхъ усилш тоже переменная, будучи пулом। у ючки 0, достигаетъ наибольшей величины у точки F, где dV' р.чино d I " ('пргд1,лимъ теперь пределы w и х, между которыми расположи II 1.1 полоски р.1 нихъ видовъ.
Ь2
Дл । пиринги вида полосокъ пределы будутъ: отъ w ~ 0 до w = Ъ соза — — с
Ь3 откуда iiMhoMir пределы х: отъ х — 0 до x = -s-с3
*) 3n.i«ii мипусъ, riouuilll передъ dip, здЪсь опущенъ, такъ какъ онъ означаетъ только то, что съ волрас1ди1оиъ го умоиьшастся 1/>; на вепичин-Ь и направивши распора dQ'"3 это не отзывается.
11
164 —
Для второго вида полосокъ пределы будутъ: отъ го = Ь cosa до а2 , Ь3 а-Ь
w — asina=—, откуда имеемъ пределы ж: отъ ж = — до х =— • с с2 с2
п . й .а2
Для третьяго вида полосокъ предълы будутъ: отъ w = asim =— до-c.
го = с, или отъ гр = 0 до у> -= Ъ.
Распоры dQr и dQ'", действующее подъ угломъ а къ сторонамъ OF, FD, DJ и J0, разложатся на составляющая: clQlcosa и dQ^sina, а также dQ'"cosa. и dQ'" sina.
Подставляя значешя dQt, dQ", cosa и sina, получимъ:
Ъс3 b Ъ2 с2 7 cosu = = q 2^2 dx;
Ъся dQr sina = q z/oa
а , bc° ,
— dx = q „ „ dx :
с ^foa
7П,„ Ъ 2с b * ““ = ’24?'7
з/ tft2 З'о
z/<,a
з/ з/„
С а % 7 3/ 7
dQ'" sina = q — d4> = Ч Q d У
лТоа с ^h,1-
Изъ числа найденныхъ составляющихъ распоровъ по лиши OF действуютъ: во-первыхъ, съ двухъ противоположныхъ сторонъ, две системы силъ dQx cosa,. направленный нормально къ лиши OF и прямопротивоположно; эти две равныя системы взаимно уравновешиваются; и во-вторыхъ, действуютъ две системы силъ dQt sina, направленный отъ 0 къ F; эти две равныя направленный въ одну сторону системы силъ складываются и даютъ одну систему силъ распоръ которой будетъ:
О 7/А ^С’2 7
2 dQ, s^na = q dx.
/ой
По лиши MF действуютъ силы: во-первыхъ, система силъ dQt cosa, направленная вдоль продольной опорной стены цилиндрическаго свода и ею воспринимаемая; этой системе будетъ соответствовать равная и прямо противоположная система силъ, приложенная по линш FM' и направленная тоже вдоль продольной опорной стены свода; вследств!е значительной прочности и устойчивости продольныхъ стенъ взаимно уравновешивающаяся системы силъ могутъ быть не приняты во внимание; во-вторыхъ, по той же лиши MF действуешь система силъ dQ1 sina, направленная внаружу свода; обозначимъ эти силы черезъ dQ" оне будутъ равны:
165 —
’umIiihih. здесь dx черезъ dy, получимъ:
„ Z>c2 b
dQx = q^F~ • — ty, x 2f a a
или
7>2/>2
На протяжеши MF на единицу длины будетъ действовать распоръ:
d0 »_ W" Wc*
l<® dy 20/1-
который оказывается на всемъ указанномъ разстояши постояннымъ по вели-iiinh и направлен!ю.
По лин!и DM будутъ действовать: во-первыхъ, система силъ dQ'" cosa, направленная вдоль опорной стены свода отъ D къ М\ эта система силъ, подобно разсмотренной выше, направленной отъ М къ F вдоль опорной стены своде, можетъ быть не принята во внимаше; во-вторыхъ, по лиши DM будетъ дГ.11. гневать система силъ dQ"' sina, направленная внаружу свода; обозначимъ >|П силы черезъ dQx", оне будутъ равны:
7/V2 з/
z/oa
Подставляя сюда вместо и dip величины / и , получимъ:
%
z /о
uimImih >дГ.с'|. <// черезъ dy, получимъ:
z>2 « *2 •>,
3;,
На единицу дг)Ины на разстояши MD будемъ иметь распоръ:
*"с dy ^оТъ'*
166 —
Въ точке Д, где / = 0 распоръ (dQJ"')D = 0. и въ
точке М, где у — — т
будемъ иметь:
с2а^2 / fe2\8^2 ла nr — с а I_\ uVex — ” о -С „ я z, I ) 1
2foa2b\ а )
или
с2 Ъ2 {dQex'")3[=q^.
Такимъ образомъ, мы убедились, что въ точке М оба распора на еди
ницу длины равны, т.-е. для точки М имеемъ:
(dQex")j[— (d^ex") ц.
Изъ разсмотрешя выражен!я dQex" видимъ, что распоръ на протяженш DM сл-Ьдуетъ по полукубической параболе.
Продолжая разсмотр-bHie увидимъ, что по линш 0J дФ.йствуютъ: во-пер-выхъ, две равныя и прямопротивоположныя нормальный къ 0J, взаимно уравно вФ>шивающ!яся системы силъ dQt since, и, во-вторыхъ, две равныя, направленный по линш 0J отъ точки 0 къ J системы силъ dQv cosa} обозначимъ эти силы черезъ dQ', онФ. будутъ равны:
Ь2с2 dQ' — 2dQ. cosa = а -—F dx.
* 1 “ Да2
По линш JD будетъ действовать: во-первыхъ, система силъ cZQ'" sina, направленныхъ въ плоскости JD отъ точки D къ «/; этой системе силъ будетъ соответствовать равная и прямо ей противоположная, действующая по линш AJ отъ точки А къ J.
Эти две системы силъ будутъ действовать на подпружную арку AJD, какъ внешшя силы, и вызовутъ въ ней усил1я, о которыхъ будетъ упомянуто ниже. Обозначимъ силы эти черезъ dQp', оне будутъ равны:
bl2 з/
dQ ' = dQ'" sina — q—— ib '2dm.
‘ 2foa
Во-вторыхъ, по линш JD будетъ действовать система силъ dQ'" cosa, направленныхъ нормально къ линш JD внаружу свода; эти силы будутъ уравновешиваться такими же силами, направленными прямопротивопопожно разема-триваемымъ, происходящими отъ распора соседняго свода.
Въ случае, если расчитываемый сводъ примыкаетъ къ щековой стене,
167 —
ю ки ли система силъ dQ'" cosa воспринимается поперечной (щековой) стеной. Обозначивь этотъ распоръ черезъ dQ", будемъ иметь:
Л з/ dQy' = q2f0^
Заменяя здесь dtp черезъ dx*), получимъ:
z>2 7, 2 о»
z/оа
На единицу длины разстоян1я JD будемъ иметь распоръ:
с'ь‘к ч,
Въ точке D, где tp = 0 распоръ {d,Qe^')D — О, а въ точке J, где tp = b, будемъ иметь:
62с2
(dQe^j^q^,-
11 ь разсмотрф>н1я выражешя dQ" видимъ, что распоръ на протяженш JD слЬдуст по полукубической параболе.
Для определения величины равнодействующихъ распоровъ необходимо проннкч рпровать приведенный ниже выражен1я элементарныхъ распоровъ между соотЬтствующими пределами:
</М. ч . dx, Ьс2 Ъ3/2 3/2 d4" = q2fQa dx^ d(K" = q^^ dl,)'
А’с2 , dQ" — 9 2fVl} /2dV> dQ' — q- tp^dtp. z/oa z / 0 a
I ’|Н1П(>д1 нствующая распоровъ, действующихъ вдоль OF, будетъ равна:
,, > Ь*
или
*) Здксь, или 1 и nUiii', ми оторасываемъ знакъ минусъ, который на величину clw не вл1ястъ.
— 168 —
Распоръ этотъ будетъ действовать на продольный стены свода въ средине ихъ длины внаружу свода (черт. 72 е).
Равнодействующая распоровъ, действующихъ нормально къ линш MF, будетъ равна:
Ь2
= (a2-fe2).
или
Этотъ распоръ действуешь на продольный стены внаружу свода (черт. 72 е).
Равнодействующая распоровъ, действующихъ нормально къ линш МО, будетъ равна:
или
lx -q5foa'
Распоръ этотъ также будетъ действовать на продольный стены внаружу свода (по полукубической параболе.)
Равнодействующая распоровъ, действующихъ вдоль 0J, будетъ равна:
или
Распоръ этотъ будетъ действовать на поперечныя стены свода въ средине ихъ длины или въ шелыгахъ подпружной арки внаружу свода (черт. 72 е).
Равнодействующая распоровъ, действующихъ нормально къ лиши JD, будетъ равна:
= 2
dtp,
или
Qy" q5fBa?
169 —
Этотъ распоръ будетъ действовать на поперечныя стены или на подпружный арки внаружу свода (по попукубической параболе.)
Равнодействующая распоровъ, действующихъ вдоль лин!и JD, будетъ равна:
Ч>' - f <4 - ® 2 foa J L d'r '
ИЛИ n, _ 1 & ~ 5
Распоръ этотъ нагрузка и вызоветъ будетъ действовать на подпружную арку какъ внешняя въ ней свой распоръ; определимъ точку приложешя силы
9 ' и затемъ величину распора подпружной арки.
Для определения точки приложен!я силы Q? (черт. 72 d) найдемъ предварительно сумму моментовъ силъ dQ$, а затемъ, разделивъ сумму моментовъ на величину Q' получимъ плечо этой последней силы.
Моментъ dQ? относительно пятъ подпружной арки будетъ равенъ:
dMv = dQJf,
где /’— разстояше точекъ приложения силъ отъ пятъ подпружной арки.
Подставляя въ приведенное уравнеше значен!е dQ ' и найденную выше
формулу: /=4=)/ф, рб
получимъ: 7ч / 2 Р g 1 = Ч' 'd,p’ ]/b
или
Интегрируя между пределами у? = 0 и tp = Z> получимъ:
или 6s
Плечо р силы 9/ относительно пятъ подпружной арки будетъ равно:
/ ,, 1 5* 1 »• r 1,1
— 170 —
или
5 /
Распоръ Q подпружной арки получится по правилу нахождешя распоровъ; для этого составимъ уравнеше моментовъ силъ, д-Ьйствующихъ на под* пружную арку.
Уравнеше моментовъ относительно шелыги подпружной арки будетъ:
откуда:
Подставляя и р, получимъ:
„ Ь3
v = а-----
р 430а
Этотъ распоръ будетъ приложенъ къ пятамъ подпружной арки и напра-вленъ вверхъ, такъ какъ сила Q ' горизонтальна и направлена къ шелыгЬ подпружной арки.
Такимъ образомъ мы нашли все величины распоровъ, д-Ьйствующихъ на цилиндрическж сводъ, сложенный въ елку.
Если возьмемъ сумму равнодф>йствующихъ распоровъ, приходящихся на всю продольную стену цилиндрическаго свода, сложеннаго въ елку, то получимъ:
А4 Л2 L4 7)4
lo11 z7oM’ 'Ч/о11 '3!ou /о
Сумма же распоровъ на продольную стену цилиндрическаго свода нормальной кладки будетъ равна:
_ ab2 аЛ
Изъ найденнаго заключаемъ, что сумма распоровъ на продольный стены цилиндрическаго свода не зависитъ отъ того, какъ сложенъ сводъ, въ елку или нормальной кладкой.
Распоръ же отдфльныхъ полосокъ, по которому надлежитъ определять толщину свода, сложеннаго въ елку, будетъ полученъ изъ выражешя:
... Ъс3
dx,
въ которомъ необходимо dx заменить черезъ dw, а затемъ разделить на dw
171 —
Наполнит, эго и обозначивъ искомый распоръ черезъ Qt, получимъ:
Q
dw l2foa'i
Заменяя здесь с2 черезъ as-j-b2, получаемъ:
п
Выражен1е распора Qo цилиндрическаго свода того же пролета 26, нс сложеннаго нормальной кладкой будетъ:
Qo~q2fo'
Сравнивая Qf и Qo, эти два распора свода одного и того же пропета, но различно сложеннаго, закпючаемъ, что всегда Qe > Qo. При а=Ъ имЪемъ:
4= 2 Vo-
ila черт. 72 е представлена эпюра распредФ>лен!я распоровъ въ цилиндрическом!. снод1., сложенномъ въ елку.
Для опредЬлешя величины равнодействующихъ вертикальныхъ усилш необходимо проинтегрировать приведенный ниже выражешя эпементарныхъ вертикальныхъ усилш между соответствующими пределами:
г1 ги п
dl ' 2q—..xdx; dV" = q— dx- dV"'~q—ipdip.
air a a
РавнодГ.нстпующая вертикальныхъ усишй, действующихъ по лиши OF, будетъ.
или
Это усил1е дЬйствуетъ па продольный стены вертикально внизъ въ ихъ середине (черт. 72 f).
— 172
Равнодействующая будетъ:
вертикальныхъ усилш, д-Ьйствующихъ по линш FM,
= (а2—fe2).
G
или
Это усил1е д-Ьйствуетъ вертикально внизъ.
Равнодействующая вертикальныхъ усилш, действующихъ по линш MD, будетъ:
V" = q
или
Ъ3
2 а
И это усил1е действуетъ также вертикально внизъ.
Если возьмемъ сумму всехъ вертикальныхъ усилш, приходящихся на одну продольную стену, то получимъ:
Ья b Ь3
Р' + 2Р''4-2К"' = д-+2</^ (й2 —b«)4-2g^- = 2gab.
G Gj jLGj
На обе стены сумма усилш будетъ равна 4qah. Нагрузка же на весь сводъ равна
q. “2а. 2Ь = 4qab.
Отсюда заключаемъ, что все сделанныя соображешя относительно распре-делешя усилш въ своде справедливы.
На черт. 72 f показано распределение вертикальныхъ усилш въ цилиндри-ческомъ своде, сложенномъ въ елку.
Разсмотримъ еще усил!я, действующая на подпружныя арки разсматри-ваемаго цилиндрическаго свода*). Выше были определены усил!я, действующий на подпружную арку; усил!я эти равны:
^3/г 8/
z/oM
*) Кроме этихъ усшпй, на подпружныя арки дЬйствуетъ вЬсъ т-Ьпа арки и нагрузка, на нихъ приходящаяся. Въ томъ случае, если къ подпружной арке примыкаютъ своды съ обЬихъ сторонъ, то будетъ действовать 2Qp и 2Qp.
173 —
ни дЬиствуютъ на арку горизонтально по направлен!ю отъ пятъ цилиндри-чо1 кд го свода къ шелыгЬ его.
Равнодействующая этихъ усил!й, равная:
z. , _ 1 “4
Р ~ 5 C1 f oa ’
• 5 Г
приложена на разстоян1и — Д отъ пятъ цилиндрическаго свода.
Усил!е Н' вызываетъ вертикальный распоръ въ пятахъ равный
. Ь3
(J — в----------
1р у 30 а
Согласно известному распределен^ силъ въ цилиндрическихъ сводахъ два горизонтальныхъ усил!я Q а равно и два вертикальныхъ распора Qp, дЬйствующ1я на обе половины подпружной арки, уравновешиваются такими же горизонтальными усил!ями Q' и двумя вертикальными распорами Qp, приложенными въ шелыге арки. На черт. 72 d показана эпюра действующихъ усилш на подпружную арку.
Когда определены все вертикальный усил!я и распоры, тогда остается по нрайиламъ прочности и устойчивости проверить сводъ во всехъ опасныхъ м Ьстахъ.
Черт. 72 g.
Черт. 72 h.
въ цилиндрическомъ своде простой кладки, перекрывающемъ то же пространство при той же нагрузке, приходимъ къ следующимъ заключешямъ:
1) Элементарные распоры въ своде въ елку всегда больше, чемъ 'въ своде нормальной кладки; какъ было показано выше Qe^> QB‘, вследств!е этого толщина свода въ елку должна быть больше, чемъ — свода нормальной кладки.
— 174 —
2) Вертикальный усил!я на продольный стены въ своде нормальной кладки постоянны, между темъ какъ въ сводЬ въ елку усил!я эти н е-постоянны; будучи на нф.которомъ протяженш продольной стены постоянны по величине и притомъ больше усилш свода нормальной кладки, они убы-ваютъ до нуля къ подпружнымъ аркамъ; кроме того, ровно на половине разстояшя между подпружными арками имеется еще сосредоточенное усилие. Т-Ьмъ не менее сумма вертикальныхъ у с и л i й не зависитъ отъ кладки свода.
3) Распоръ въ своде нормальной кладки постояненъ, между тФ.мъ какъ распоръ въ своде въ елку непостоянен ъ; будучи на н'Ькоторомъ протяженш продольной стены постояненъ по величине, онъ убываетъ до нуля къ подпружнымъ аркамъ; но, кроме того, ровно на половине разстояшя между подпружными арками имеется еще сосредоточенный распоръ, но сумма распоровъ на продольный стены не зависитъ отъ кладки свода.
4) Кроме указанныхъ распоровъ, въ своде въ елку имеются еще распоры на поперечный стены или подпружныя арки, чего н-Ьтъ совершенно въ своде нормальной кладки, который вполне можетъ существовать безъ поперечныхъ стФ.нъ и подпружныхъ арокъ.
Обыкновенно въ цилиндрическихъ сводахъ въ елку на половине разстояшя между подпружными арками устраиваются контръ-форсы для восприняли сосредоточенныхъ вертикальныхъ усилш и горизонтальныхъ распоровъ.
Изъ сдф.ланныхъ заключешй сл'Ьдуетъ, что, когда продольный стены, огра-ничивающ!я пространство, перекрываемое цилиндрическимъ сводомъ, неодинаково устойчивы на всемъ протяженш, а сводъ можетъ быть сд’Ьланъ изъ более прочнаго материала, тогда предпочтительна кладка въ елку, при чемъ въ наиболее прочныхъ и выгодныхъ местахъ сл’Ьдуетъ располагать контръ-форсы, а въ наименее прочныхъ местахъ—посредине между контръ-форсами возводить подпружныя арки и пространство между ними покрывать въ елку. Къ этому следуетъ добавить, что разстояше контръ-форсовъ другъ отъ друга должно быть по возможности не более, чемъ длина пролета свода; но лучше располагать ихъ на более близкомъ разстояши, такъ какъ начиная уже съ разстояшя равнаго пролету участокъ продольной стены съ постоянными вертикальнымъ давлешемъ и распоромъ отсутствуетъ, сохраняются же только части продольной стены съ убывающими до нуля вертикальнымъ давлешемъ и распоромъ.
7. Приближенный способъ расчета цилиндрическихъ сводовъ на основами эмпирически^ формулъ.
После того какъ эмпиричесшя формулы для определения размеровъ сводовъ даны и распределешя напряжешя въ сводахъ изучены, можно привести приближенный способъ расчета цилиндрическихъ сводовъ, основанный на эмпи-рическихъ формулахъ.
Разсмотримъ при этомъ несколько случаевъ:
175 —
I. Приближенный расчетъ круговыхъ, слабо нагруженныхъ цилиндрическихъ сводовъ.
Положимъ, что мы имЪемъ сводъ (черт. 73), длиною единица съ нагрузкой
приведенной къ материалу свода, для котораго согласно приведенному раньше
распоръ:
Q=
х
гдЪ G—вся нагрузка вм-ЬстЬ со сводомъ, выраженная въ квадратныхъ едини-цахъ м-Ьры, такъ какъ нагрузка приведена къ матер!алу свода.
Принимая площадь G за часть круговаго кольца, имЪемъ
7?2.____
G — ---------------a mtr'2',
2
плечо нагрузки:
д ~г вгпа — SO sin — ;
гдГ. SO разстояше центра тяжести части круговаго кольца отъ центра окружности какъ известно равно:
. а
SO^LW-T3. 2
3 7?2 — г'1 а ’
2
Сл1допательно:
s а
2 П‘ — г’ 2 = ~ m/r-
2
Обозначая черезъ х плечо распора Q найдемъ:
х — И — г cosa mtr.
ЙдЬсь уголъ
а выраженъ въ дуговыхъ единицахъ; заменяя:
. о а 1 — cosa sin1 - - =----
2 2
и подставляя нмЬсто G, д и х ихъ значешя въ формулу Q — — , получимъ:
ОС
9
z .... . 2\ г a sina 1—cosa
(/•' — ----2-------Г ------------3-----
R — г cosa
mtr2.
Для угла перелома = 60° находимъ величины:
а =1.0472, sina = sin 60° = 0.866 , cosa = cos 60° = 0.500.
— 176 —
Подставляя эти величины въ полученное выше выражеше Q, получимъ:
0.4534 CR2 — r2)r —0.166 (Б3 —г ~В — 0.500 г
Если найденное Q, выраженное въ квадратныхъ метрахъ, умножить на /—вЪсъ одного кубическаго метра кладки, то получимъ Q.y въ килограммахъ.
Черт. 73.
Обозначивъ черезъ d толщину свода въ ключ-fe и раздЪливъ Q./ на d Q.7 получимъ: —- —среднее давлен!е въ кпючк (л
Для любого шва (черт. 74) пусть давлеше равно Р, разложимъ его на нормальное къ шву N и тангенщальное Т.
N — Р cos/Э = Р cos(cp — а),
гд-fe ср уголъ давлежя Р съ горизонтальнымъ распоромъ Q.
Преобразуемъ дал-fee выражеже величины N раскладывая cos(y>—а)
Лт = Р (coscp cosa -j- sincp since).
Замечая, что:
Q . G
COStp — И S77?99 = -p- ,
гд-fe G в-Ьсъ части свода, получимъ:
N = Q cosa -J- G sina.
При a — 60° будемъ им-Ьть:
.У = (0.5 Q + 0.866 G) mtr2.
Точно такъ же будемъ им-Ьть в£съ кладки: N.y Icgr, и среднее л. ^-7 д а в л е н 1 е въ ш в ъ • d
177 —
Шеффлеръ произвелъ расчетъ для многихъ сводовъ и опред-Ьлилъ со-oTiioiueiiie , которое принялъ за высоту н-Ькотораго столба кладки; доста-(</
Точно эту высоту -умножить на в-Ьсъ /, чтобы получить величину распора въ к илограммахъ.
Для каменныхъ
сводовъ Шеффлеръ нашелъ:
для
малыхъ пролетовъ
Q
= 3 mtr; а
большихъ
(J
-v ~6О mtr. а
Кром-fe того, найдено, что отношеше
растетъ не пропорцюнально длин-Ь
пролета, а быстр-fee.
Дал-fee Шеффлеръ нашелъ, что для пятъ высота столба кладки отъ 3 до
4 раз ь б о л -fe е, чЪмъ для ключа.
Обозначивъ черезъ No давлеше въ пятахъ шва, будемъ им-Ьть высоту столба кладки:
NQ
для малыхъ пролетовъ —~ = отъ
и черезъ D длину пятоваго
9 до 12 mtr,
большихъ
= отъ 80 до 180 mtr.
ИмЬя въ виду, что д-Ьйствительное давлеше бол-fee средняго, и что въ клади I могутъ быть некоторые недостатки, принимается, что высота столба кладки ис должна быть бол-fee 86 mtr.
~ «С 86 mtr.
Им-Uh <ь виду пред-Ьльное давлеше при высот-fe. столба въ— 60 mtr, а
Шеффнер ь составилъ таблицы для разныхъ высотъ столбовъ кладки и указал!., что, если при прямоугольныхъ осяхъ координатъ откладывать по оси абсцнссъ рясноры (,), а по оси ординатъ длины замковъ d и соединить точки, то получимъ кривую очень близко подходящую къ эллипсу, у котораго большая полуось и 90 mtr, а малая полуось Ь — 1,5 mtr.
Согласно указанному выше:
-у = — — = 60 mtr
а 1,5
что равно пред-Ьльнои высот-fe столба.
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ.
12
— 178 —
Уравнеьпе эллипса, отнесеннаго къ осямъ, съ началомъ координатъ въ вершине кривой, будетъ:
2/ = ^-]/(2« — ж) ж,
где у — d и ж — Q.
Въ такомъ случае:
ИЛИ
^>80-Q.
Формула эта справедлива только при Q < 90 mtr2. Въ случае же Q > 90 mtr2
d=^.,
60 ’
но этотъ случай въ архитектуре встречается редко.
Для кирпичи ыхъ сводовъ высота столба будетъ равна не 60, а 50
Q mtr, т.-е. -j — 50 mtr, что соответствуетъ:
Q =. 90 mtr2 и <7= 1,8 mtr, 0 90
^=1^ = 50 mtr.
При этомъ уравнеые эллипса будетъ:
ИЛИ
d = 50 /(iso — Q)Q
Формула эта справедлива только для: Q «С 90 mtr2. Въ случае же Q > 90 mtr2:
Подобный же формулы можно составить и для пятъ свода, при чемъ для каменныхъ сводовъ:
N
-^ = 60X3 = 180 mtr,
а для кирпичныхъ:
N
—^ = 50X3 = 150 mtr.
179 —
Для к аменныхъ сводовъ будемъ имЪть:
млн
я=^(2-3-90-ад,
Я=^/(540-Х)’>0-
JV
Эта формула справедлива только при-^<86 mtr.
N
ИмЪя въ виду, что при -jj < 86 mtr въ существующихъ сводахъ, iV0< 114
•iilr2, можемъ сказать, что формула:
D = 1^0 1/(540 ~N°)N°
справедлива только при No <114 mtr2.
N
Въ случаЪ, если Лг0 > 114 mtr2, D опред-Ьляютъ по формуле _D = —
Величине 2\ГО=114 mtr2 соответствуетъ:
114
D = = 1,34 mtr.
86
Для к и р и и ч н ы х ъ сводовъ необходимо въ тЪхъ же формулахъ принять не
I 1 1
, а какь для ключа - Въ такомъ случае:
1 ill J 1OLJ
/1 = ^/(640 — No) No при Лг0<114 mtr2, и
N
JD = -% при Ng > 114 mtr,
X
50 гдЬ 72 получилось изъ расчета 86- - 72.
60
Для рк. чгы свода по приведеннымъ формуламъ необходимо вычислить иродиирш ’Л1 но; । Ьсъ свода
JR2-r2 G = ~ 2 а’
распорь спида
, /Ж ‘2\ Га S^na /7ЭЧ ЧХ 1 “ C0Sa
{It г2) —---------(Hs — rs) у —
I/-----------------------------------_— •
• В, — г cosa
и давление вь iisii ixi»
jV„ 9 cosao G sincce.
12*
— 180 ~
Въ этихъ фурмулахъ г рад!усъ внутренней направляющей данъ, а ра-д!усомъ внешней направляющей задаются приближенно, им-Ья въ виду взятую толщину свода въ кпюч-fe по эмпирическимъ формуламъ; ав есть уголъ, обра
зуемый пятой съ вертикалью.
По найденнымъ величинамъ Q и No, находятъ по формуламъ Шеффлера, толщину свода въ ключ-Ь d и въ пятахъ D.
Въ случай, если окажется, что No < Q или N = Q, то дЪлаютъ D = d, т.-е. д’Ьлаютъ сводъ безъ утолщен!я въ пятахъ.
Что касается допускаемыхъ напряженш, то таковыя можно также вы-
вести изъ формулы Шеффлер
Q 90 d 1,5
А именно, для каменныхъ сводовъ
им-Ья в-Ьсъ 1 mtr3 каменной кладки у = 2200 кд, получимъ
Q'/ 90.2200
—7- = —7-=— = 132000 kgimtr*
а 1,5
или
^=13,2 кд Jem*.
Для кирпичной кладки, гдЬ для
1 mtr3 в-Ьсъ у — 1600 kg, получимъ:
Q./ 90.1600
• , = —т _— = 80000 кдmtr2
d 1,5
или
-~ = 8 кд/ст?.
Такимъ образомъ мы нашли допускаемый напряжешя:
для камня. .
„ кирпича
К= 13,2 кд!ст?', К=8 кд/ст?.
11. Приближенный расчетъ круговыхъ сильно нагруженныхъ цилиндрическихъ сводовъ.
При нагруженномъ свод-fe (черт. 75), длиною единица, можемъ, принимая приближенно дугу круга за дугу параболы, написать для любого шва слЬдую-гщя выражешя нагрузокъ:
для площади /IDEE' . . . . Р = (d h) s , ДВЕ .... P'=V-fS,
„ „ KJBE ....
181
I lo такъ какъ изъ подоб!я треугольниковъ JNB и BFM слЪдуетъ, что
/• , гд'Ь d. длина этого любого шва, то
г
Р"=(й+/г+/йч_.
Вся нагрузка будетъ:
G = Р + Г' + Р" = s [d + h + + (cZ-f-7tj
Моментъ нагрузки относительно пятъ В будетъ:
М=Р^-\-Р' или
ИЛИ
s2 ( I
^=I^Vw+Zi)+f]-6(</+A+n</1 (
Изъ чертежа видимъ что s = г sina;
сс
f=r — t = r(l — cosa) — 2r sin2 -- ,
и такъ какъ, съ другой стороны,
M=Q(d + f),
ю по подстановка всЪхъ величинъ найдемъ:
Sin‘2CC 2 Г-5/Л I 7\ I • 2«1
9 = —г---------- —--------ч V'2 3 (а -)- h) г sm2-- —
61 d -|- 2 г sin2 тН
— 3 ^d -ф- 7г -|-2 г sin2 <Zt2 |;
(< г sina V7 -|- 7г -|-1 г sin2 -|- Гd -|- h -|- 2r sin2 -^1
I «5 I Z I I*
Cot и.и по прежнему можемъ написать давлеше любого шва
N = Q cosa G sina.
Fji> i их i. формулахъ величинами d и dx задаются по эмпирическимъ формулами ипп бсругь ихъ приближенно и опредЪляютъ величины Q и N. Зная иг ||Ьдн1ц ощ> цЬляютъ по формуламъ Шеффлера, окончательно размеры tl п г/.
Допуск.- мыя и П1рлжс1ня здЪсь, какъ и выше для
Каменных I. СВОДОВI' . Kllplill'IIII.IX ь сводовъ
К~ 13,2 kg fem2 К - 8 kgjст2.
— 182 —
III. Приближенный расчетъ круговыхъ цилиндрическихъ пологихъ сводовъ.
Положимъ, что мы имеемъ полопй цилиндрическш сводъ (черт. 76), для котораго можетъ быть применена формула, выведенная въ предыдущей статье; но им-Ья въ виду незначительность площади JKEB, соответствующей нагрузке F, можемъ написать величины Q и G въ виде:
и
<?в
Для вычислеюя по этимъ формуламъ задаются величиной d и опредЬляютъ затемъ Q и G, согласно которыми по фор-окончательно толщину свода d.
муламъ Шеффлера и определяютъ
При этомъ необходимо иметь въ виду, что въ пологихъ сводахъ кривая
давлешя идетъ въ средней части пролета довольно высоко, поэтому утолщеюе этихъ сводовъ необходимо делать постепенно или небольшими уступами, иначе кривая давлешя можетъ выйти не только изъ средней трети, но и вна
ружу свода вверхъ.
IV. Приближенный расчетъ сводовъ неравныхъ пролетовъ, опирающихся на арки или балки при разныхъ пролетахъ.
При перекрытш пространства пологими, цилиндрическими круговыми сводами, опирающимися на арки или балки при устройстве неравныхъ пролетовъ, пяты этихъ сводовъ, темъ не менее, устраиваются на одной и той же высоте.
При этомъ высота пола надъ такими сводами тоже постоянная, поэтому нагрузка на разные пролеты будетъ тоже разная, а въ такомъ случае и распоры будутъ неравны.
Но для правильной нагрузки на арки или балки, поддерживающая своды, необходимо, чтобы распоры были равны, что можетъ быть достигнуто устрой-ствомъ неодинаковыхъ подъемовъ разныхъ сводовъ.
Положимъ, что мы имеемъ два такихъ свода (черт. 77). Для свода I по формуле, приведенной въ предыдущей статье, распоръ будетъ равенъ:
Для другого пролета распоръ свода II будемъ иметь:
1 2 1 2 4 d-r-x
где х — неизвестный подъемъ этого свода.
— 183 —
Величины 1\ и Gl будутъ:
Р, = (t — ж) W, Gt = у Wx , где । дЬ t = d-\-h.
Подставивъ въ выражеше Qt значеше Pt и Glt получимъ
W2 П72
(«-») 2^~Х~12
Ql = ~ d^x~
Выше было сказано, что при правильной нагрузке опоръ сводовъ должно существовать равенство распоровъ Q = Qt или
Черт. 77.
ткудд находимъ подъемъ свода II
6 (ПУ2— 2Qd)
ч Ж— 12^-1-517^ ‘
l.aii i приложешя равнодействующей R нагрузокъ на два смежныхъ свода он, д1кЛ1П я И уравнешя:
Rs = (P1-|-G!1)b,
1Д|
R^P+G + Pt + Gt,
откуда
(Pt+ <?,)?>
Расчет!, арок ь, ноддерживающихъ пяты сводовъ, ничЪмъ особенно не отличается 6i > обичнпго расчета. Если распоры сосЪднихъ арокъ уравновешены, то iiai рузкоп i.iKoii поддерживающей арки будутъ служить реакщи опоръ опирающихся сводокь.
184 —
8. Разные способы устройства и закрепления опоръ сводовъ.
Выше въ отделе II, А (стр. 59) было указано, что цилиндричесюе своды при обычномъ способе ихъ конструкцы являются сооружешями, расчеты коихъ представляютъ собою задачи тройной неопределенности, и для возможности вы-полнешя таковыхъ расчетовъ приходится либо прибегнуть къ особымъ гипоте-замъ и допущешямъ, либо вводить формулы и методы теорш упругости. Мы видели, что реакщй, действующая въ каждой изъ двухъ опоръ (черт. 78) цилиндрическихъ сводовъ, неизвестны ни по величине, ни по направлешю, ни по точкамъ ихъ приложешя. Такимъ образомъ для двухъ опоръ оказывается всего шесть неизвестныхъ, между темъ какъ статика даетъ лишь три уравнешя для определешя упомянутыхъ шести неизвестныхъ; такимъ образомъ задача эта, и следовательно и расчетъ цилиндрическаго свода являются тройной
неопределимости. Кроме того, вследствие вл!ян1я колебаний температуры тело свода изменяетъ свой объемъ, что при неподвижности опоръ свода вызываетъ какъ новыя затруднешя въ расчете, такъ и дополнительный напряжешя.
Для устранешя этихъ обстоятельствъ применяютъ въ цилиндрическихъ сводахъ такъ называемый шарнирныя опоры (черт. 79); при этомъ уже самой конструкщею намечаются точки приложешя усилш, такъ какъ реакщй обеихъ опоръ свода имеютъ свои точки приложешя въ шарнирахъ свода.
Такимъ образомъ, вместо указанныхъ шести неизвестныхъ остается для двухъ опоръ всего четыре неизвестныхъ, а именно: величина и направлеше реакщй той и другой опоры. Имея въ виду три уравнешя статики, замечаемъ, что задача расчета свода съ шарнирами въ пятахъ становится уже статически одинарной неопределимой. При этомъ и вл!ян!е температуры вноситъ менее затруднены какъ по отношешю самаго расчета, такъ по отношешю величины дополнительныхъ напряжешй, такъ какъ степень заделки опоръ свода уменьшилась, появилась несколько облегченная подвижность свода а следовательно уменьшилась и его деформащя. При расчете такого свода, упомянутый выше гипотезы и допущешя становятся менее сложными и сводятся къ намеченйо лишь на замковомъ шве точки, черезъ которую согласно методу предельнаго равновес!я свода должна проходить лишя давлешя, между темъ какъ при за-крепленныхъ пятахъ свода приходилось либо задаваться такими же точками
185 —
въ опорныхъ швахъ, либо устанавливать величину необходимаго и достаточна™ распора, соответствующего предельному равновешю свода.
Что же касается до расчета свода съ шарнирами въ пятахъ, то таковой расчетъ можетъ быть выполненъ по указанному выше методу наименьшей работы деформацш свода, при чемъ необходимо будетъ составить не три, какъ для свода съ закрепленными опорами, а лишь одно уравнеше производной работы деформащи. Наконецъ, если поместить, кроме шарнировъ въ пятахъ свода, еще шарниръ въ замке его (черт. 80), то тогда задача расчета цилиндрическихъ сводовъ становится вполне статически определимой, вследств!е определенности направлешя опорныхъ усилш, такъ какъ таковыя должны проходить черезъ каждый изъ опорныхъ шарнировъ и черезъ ключевой шарниръ.
Для ненагруженной половины свода неизвестная опорная реакщя вслед-ств!е отсутств!я силъ въ этой половине должна проходить черезъ ея опорный и замковый шарниры, следовательно реакщя эта определена по направлешю
и точке приложешя, но только неизвестна по величине; а для нагруженной половины свода опорная реакщя неизвестна по величине и по направленно, точка же его приложешя дана положешемъ шарнира, черезъ который она про-ходитъ. Такимъ образомъ оказывается всего три неизвестныхъ, вполне опре-дьляемыхъ тремя уравнениями статики.
^Каждая половина свода по определена опорныхъ реакцш можетъ быть разсматриваема какъ простой стержень, закрепленный шарнирами въ концахъ, а следовательно весь трехшарнирный сводъ можетъ быть разсмотренъ какъ совокупность двухъ стержней, соединенныхъ въ верхнихъ ихъ концахъ шар-ниромъ и укрЬпленныхъ также шарнирами въ нижнихъ ихъ концахъ на опо-рахъ. Такимъ образомъ расчетъ трехшарнирнаго свода сводится къ определенно при помощи трехъ уравненш статики опорныхъ реакцш свода и къ расчету по формуламъ сопротивлешя матер!аловъ двухъ сжатыхъ изогнутыхъ стержней.
Температура при устройстве трехъ шарнировъ въ своде уже не вызы-ваетъ никакихъ дополнительныхъ напряженш въ томъ случае, если замковый шарниръ. имеетъ необходимую подвижность.
Сопоставляя распределеше усилш въ трехшарнирномъ своде и пр!емъ его расчета съ расчетомъ свода совершенно безъ шарнировъ, выполненнымъ
— 186 —
по методу пред’Ьльнаго равновейя, заключаемъ, что этотъ посл-Ьднш расчетъ въ сущности сводится къ предположение существовали фиктивныхъ шарни-ровъ, положеше которыхъ въ пятахъ и въ замке намечается, исходя именно изъ метода пред-Ьльнаго равновешя свода.
Шарниры въ цилиндрическихъ сводахъ устраиваются либо железные, либо чугунные, либо гранитные, при чемъ допускаемое сопротивлеые принимается:
для чугуна Kd = 250 kg/cm? на сжат!е;
„ „ -Щ,= 125 kg/cm? на изгибъ въ опорныхъ подушкахъ, въ ко-
торый опираются шарниры;
для гранита Кл = 140 kg/cm? на сжат!е.
Для большей подвижности гранитныхъ шарнировъ вкладываются между этими шарнирами и ихъ опорами свинцовые листы, помещенные между мед-
Черт. 81.
ными листами; эти последше имеютъ то назначение, чтобы свинецъ при сплю-щиванш не вдавливался бы въ поры гра-
нита; толщина свинцоваго листа берется въ 3 мм., а медныхъ листовъ въ 0.1 мм.
Шарниры устраиваются преимущественно въ большихъ мостовыхъ цилиндрическихъ сводахъ. На черт. 81 показана кон-струкшя железнаго, на черт. 82—конструкщя чугуннаго, а на черт. 83—конструкция гранитныхъ шарнировъ въ пятахъ и въ замке.
9. Вл!яже температуры на своды.
Вследств1е колебашя температуры матер5алъ свода изменяется въ объеме, что при отсутствш свободныхъ деформацш свода вызываетъ дополнительный усил1я въ теле свода. Задача определешя вл!яшя температуры на своды безъ шарнировъ, какъ уже было сказано выше, является задачей статически неопределимой, а потому при разрешены ея приходится прибегать къ методу наименьшей работы деформацш и ввести въ расчетъ напряжешя, вызванный колебашями температуры; эти напряжешя совершенно не зависять отъ на-пряженш, вызываемыхъ внешней нагрузкой на своды.
187 —
I l.i основами закона Гука можно написать, что измФ>нен1е въ длинЬ осе-нон jiiiiiih свода равное do вызываетъ напряжете, выражающееся формулой
Ecttdo,
гдЬ Е—модуль упругости материала свода, а—коэффищентъ линейнаго расши-ретя матер!ала свода на 1° С, a t—колебаше температуры.
Числеиныя значешя этихъ величинъ приведены въ нижеследующей таблицЬ.
Таблица № 13.
Матор1алъ. Модуль упругости въ кд/ст2. F, Коэфф, линейнаго расширена. « ПримЪчаюе.
Кирпичная кладка на ценен пюмъ растлорЬ. 300000 0.000009 Колебаюе температуры принимается по мЪст-нымъ услов1ямъ отъ 30» С до 50° С и 80° С
Кладка изъ тесаного камня на цемент, рост. 600000 0.000007
Бетонъ съ гранитным в щебнемъ 246000 0.00С0125 и даже до 100° С.
— 188 —
Усил1е отъ колебашя температуры вызываетъ въ своде, какъ и всякая другая нагрузка, нормальныя и касательный усил!я въ сЬчешяхъ нормальныхъ къ осевой линш rfana свода.
Предполагая, что опоры свода не измЪняютъ своего положешя, и сл-Ьдо-вательно сопротивляются деформац1ямъ свода отъ вл!ян!я температуры, при-ходимъ къ заключешю, что колебашя температуры вызываютъ некоторый реакции опоръ, горизонтальной вл!ян1я температуры; распоръ
Черт. 84.
составляющей которыхъ и будетъ распоръ отъ этотъ вызываетъ въ случай опоръ безъ шарнировъ моментъ закреплешя опоръ. Обозначимъ черезъ:
(У—распоръ отъ вл!ян!я колебашя температуры;
55—вертикальную составляющую опорнаго давлешя;
ЭК—моментъ заделки опоръ,
91—нормальное усшпе;
Я—’Касательное усил!е.
Касательное усил!е отъ вл1ян!я колебашя температуры очень незначительно, а’ потому мы его принимать въ расчетъ не будемъ.
Величина SB вертикальной составляющей опорнаго давлешя можетъ быть определена изъ уравнешя моментовъ, написаннаго относительно шелыги свода (черт. 84) для сечешя, проведеннаго черезъ замковый шовъ свода. Это уравнеше будетъ:
25.-| —®./“=0,
откуда
8! =
I ’
где I — пролетъ свода, a f—подъемъ его.
При пологихъ сводахъ большаго пролета и малаго подъема, для которыхъ вл!яше температуры вызываетъ усшпя, пренебрегать которыми не представляется возможнымъ, ycnnie 25 не велико, такъ какъ въ выражеше этого усшпя величина пролета входитъ въ знаменателе, а величина подъема—въ числителе; полуциркульные и подъемистые же своды не делаютъ большихъ пролетовъ, почему усшпе для нихъ тоже не велико.
Вследств1е всего сказаннаго разсмотрешемъ вертикальной составляющей 25 опорныхъ реакцш и касательныхъ усилш Я мы заниматься не будемъ, а ограничимся определешемъ значешя величинъ распора (У и нормальнаго уси-л!я 91. Имея въ виду, что выражешя этихъ усилш зависятъ отъ формы направляющей кривой цилиндрическаго свода, примемъ для большей законченности выводовъ и получаемыхъ формулъ, что сводъ очерченъ по параболе, уравнеше которой можетъ быть представлено въ виде:
Z7
— 189 —
Парабола эта отнесена къ прямоугольнымъ осямъ координатъ, начало которыхъ взято въ одной изъ опоръ, а другая опора находится тоже на оси ж-овъ, направлен!е которой горизонтально; I—пролетъ свода, /'—подъемъ его (черт. 85).
ВслФ>дств!е Г1ов1.1111сн1я температуры при неподвижныхъ опорахъ шелыга свода должна подняться, а при понижении температуры — опускаться, а из-
вестно, что при одпомъ и томъ же
пролетЪ распоръ и нормальное ycHnie будетъ меньше, если подъемъ увеличивается, и, наоборотъ, они возра-стаютъ по величине при понижегаи шелыги.
Но при повышеши температуры появляются сжимаюгщя усил!я, а при понижении температуры растягиваюгщя усил1я, т.-е. при повыш eHi и температуры вл1ян1е увеличивающегося распора и нор-
мальнпхъ усил!й ослабляется, а при понижена вл!ян!е уменьшающегося распора и нормальныхъ усил!й увеличивается. Другими словами нормальный усил!я 91 и распоръ (У должны быть введены съ однимъ знакомъ, а усил!я отъ колебан!я температуры Eatde съ обратным!, знакомъ.
Выше нъ отделе II, 2, Ъ (стр. ПО) при выводе формулы производныхъ работы деформацш свода мы нашли выражешя:
ат _ 1 cMtl OZ~E} Jn
йб ~ О
а',> = е [JiTcos rpndCj + s>‘(l6~3 J «гsin ] = °
dT 1 d\ ” /-;
sin de — X — de -I- 3 C—" " J J \ ’7 1 J co
cos qndo
/Въ нашемъ случае;
Л ,, 9} переменное,
3/|( W -]- (М. у — Ж. ж ’) переменное, или при 2? =0... Л1п = — 5И?®.у, йп — у — переменное, ю- = t" — постоянное, it *
*) Это ypaniicHir можетъ- быть написано изъ разсмотр-Ьыя чер. 86. Взявъ произвольную точку А свода, действительно приходимъ къ написанному уравнешю; при этомъ направлеше стр-Ьлки момента зависитъ отъ того, что температура падаетъ или поднимается; соответственное направлеше имЪютъ и усяшя SJJ и (S) какъ это было уяснено выше. При этомъ— кромЪ того знакъ момента (S)y принятъ за положительный, такъ какъ таковой знакъ былъ принятъ при вывод-L общей формулы.
Ja—J — co.г2 — постоянное, г — рад!усъ инерцш сФ>чен!я свода, Кп = Й = 0 по принятому, X = 0 — координата опоры, хп = х — переменное, de = dx — вслЬдств1е пологости арки, cos ср = 1 BcnfeflCTBie малости угла между касательной къ осевой свода и осью ж-овъ.
sin ср = О — по той же причине.
Вследств!е этого написанныя выше три формулы примутъ видъ;
clT £ ^й — ®у dZ~ Е
dx = 0. cor2
dT _ d®~ Ё
Эй — &у 1 , у dx = 0.
со со г2
1 IT91
dT_ 1 Г Эй — & у d% ~ Е
~~ xdx = 0. со г2
Интегралы все распространены отъ х = 0 до х — I, т.-е. по всему пролету и на весь объемъ свода.
Между значешемъ нормальнаго усилия 31 и распоромъ ® существуетъ со-отношете: ® = 31 coscp, такъ какъ известно, что распоръ есть горизонтальная слагающая нормальнаго усилия.
Въ нашемъ случае при малости угла ср и принятомъ допущеши, что coscp—имеемъ, что 31 = ®.
Во второе уравнеые необходимо ввести еще величины напряженш отъ температуры Eatdx. Вводя влГяше температуры и заменяя 31 черезъ ®, будемъ иметь;
dT dl$
1 ГТ®
7;Jl«
эй
cor2
?/ -j-5 у2 — Eat
dx = 0,
— 191 —
Во второе уравнеше вл!яше отъ температуры не вводили, такъ какъ оно выражаетъ производную работы деформаши по координате опоры, которую принимаемъ неизменяемой въ зависимости отъ колебания температуры, между тЪмъ какъ производная работа деформаши по распору W не можетъ не зависеть отъ вл!ян1я колебан(я температуры. Третье уравнеше:
dT г. d'X “ °
въ нашем ь случае не имеетъ места, такъ какъ мы приняли, что $ = 0.
Разсмотримъ далее три случая: сводъ безъ шарнировъ, съ двумя шарнирами въ пятахъ и сводъ о трехъ шарнирахъ.
а) Сводъ безъ шарнировъ.
Подставляя въ найдемъ:
уравнеше значеше у изъ формулы направляющей свода
1
о
(о
4ГЗЛ 4/ЭЛ 8 . 16f2® 2 16Р® .
, -,ж--- ж2—-„—-х2+ - ж4—
Ito г2 12сог2 l2cor2 1 Z4ror2
12сог2
1
to
32 Р® . 13ю^Х'
Г ЗЛ
а— Eat dx = 0;
4/W го г2 Zror2
,.2
4fS
Z2ror2
ж2 dx = 0.
ПослЬ нпгегрировашя
и сокращешя
1 на ,,
находимъ:
® ; _ ЭЛ 41 сот2
2
3
го г2
ЭЛ 7 2
И-------2 Z т
CDY2 3 СОТ2,
1^=0,
2 откуда ЭЛ = - ® f
(О
Подставляя это выражеше въ первое изъ двухъ последнихъ уравненш, находимъ:
Ml 4
(-» 9
со г
Д — ^Pl-Eatl = 0, 15 го г2
или
W 4 б)
,-Pl-Eatl = 0, го 45 гог2
— 192 —
и наконецъ
Eat со
д л 45 г2
(//)
Наибольшее напряжен!е въ свод-fe отъ вл!ян!я температуры будетъ въ крайнихъ элементахъ замковаго шва. Обозначая толщину свода въ замкФ. черезъ с! и принимая, что распоръ ® будетъ приложенъ посредин-fe замкового шва, будемъ имф>ть значеше напряжешя въ шелыг-fe свода:
Заменяя зд-Ьсь М черезъ его выражеше равное:
и J черезъ со г2 будемъ имф>ть:
п =
или
Подставляя сюда значеше
п.
раствора w, получимъ;
Пренебрегая величиною >л малой сравнительно съ {*, находимъ:
п~ Eat ~..........................(Ш)
16 f
Эту величину напряжения необходимо добавить къ найденному напряжению въ замкф. отъ нагрузки на сводъ и сумму этихъ напряжена сравнить съ величиной допускае-маго напряжен!я.
193 —
Ь) Сводъ съ двумя шарнирами въ пятахъ.
При устройств!’, шарнировъ въ пятахъ моментъ заделки 3JJ будетъ равенъ нулю всл-Ьдств1с подвижности опоръ. Въ такомъ случае найденныя выше уравнешя производныхъ работы деформащи свода будутъ иметь слЪдующш видъ:
1 (TW , Й о _ 1 7 п ,, и-----.>У“ — Eat\dx=O
</С» EJLw J
dT clZ
0.
Первис уравненш рЪшаетъ вопросъ о нахождеши распора а второе ypauitciiie принодитъ къ нелепости, такъ какъ ни одна изъ всехъ величинъ,
стоящих ь подъ интеграломъ, не равна нулю и не равна безконечности.
cZ7’
уравненш = показываетъ, что при шарнирахъ въ пятахъ коорди-н.иа точки приложешя опорнаго усшпя не можетъ меняться отъ колебашя температуры, какъ при закр-Ьпленныхъ безъ шарнировъ пятахъ, а сл’Ьдова-|| нпю работа деформащи не зависитъ отъ Z— координаты опоры. Кроме ioi'o, въ прошломъ отделе мы видели, что при шарнирахъ въ пятахъ свода нм! тся лишь одно лишнее неизвестное, для определешя котораго, кроме ipexi. уравнен1й статики, необходимо и достаточно лишь одного уравнешя, ка
ковым!. и можетъ служить уравнеше производной работы деформащи по распору 11одставляя въ это уравнеше выражеше у изъ уравнешя направляющей
криво» свода и сокращая его на , имеемъ:
М . 16р® 2 16 р (У го Ж Z*cors
^-Ecd\dx = O. 1лсогл
ПослЬ интегрирования имеемъ:
со
8
15 со г1
PZ — Eatl = О,
откуда
E cd со
24 Р
45 г2
W-
Наибольшее напряжеюе въ своде отъ в л i я н i я температуры будетъ въ крайнихъ элементахъ замковаго шва. Обозначая попрежнему толщину свода въ замке черезъ d и принимая, что распоръ (
13
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ свсдовъ.
194 —
W будетъ приложенъ вь срединф замковаго шва, будемъ имФть значен!е на-пряжешя въ шелыгф свода:
п —
М • | d
J
Подставляя сюда такъ какъ для даннаго
вмФсто М его выражеше равное М = (S) . f—ЭЛ — случая ЭЛ = О и заменяя J черезъ со г2 будемъ имФть:
п =-----г
со 1 2 сот1
или:
п = — со
Подставляя сюда
значеше распора в, найдемъ:
_Eat(fd-\-2r*)
П-- ------------
Ц/"2 + 2^
Пренебрегая величиной г2 сравнительно съ f2, находимъ:
n^~Eatdf.......................• w-
Эту величину напряжешя необходимо добавить къ найденному напряжен!ю въ замк-Ь отъ нагрузки на сводъ и сумму этихъ напряжена сравнивать съ величиной допускаемаго напряжен! я.
с) Сводъ съ тремя шарнирами.
При устройств^» трехъ шарнировъ согласно указанному въ предыдущей статьф нФтъ ни распора отъ вл!ян!я температуры, а равно н-Ьтъ и дополни-тельнаго напряжешя, кромф. того, сводъ вполнф, статически опредф>лимъ. Однако сложность устройства шарнировъ ограничиваетъ примЬнеше трехшарнирныхъ сводовъ.
d) Сравнение величинъ распоровъ и дополнительны^ъ напряжена отъ вл!ян!я температуры на своды.
Мы нашли величины распоровъ и напряжешй отъ температуры въ сво-дахъ; расположимъ ихъ въ таблицЬ.
— 195 —
Таблица № 14.
Успл1о
Число UIMpllHpOU I
Распорь
(Ч
Напряжете
П
30 „ d
16 EKt~f
15 „ cl
Илъ таблицы заключаешь, что въ сводЪ безъ шарнировъ распоръ зна-чивчн.по больше, чЪмъ распоръ свода съ двумя шарнирами, и напряжете вдвое больше въ первомъ сводЪ, чЪмъ во второмъ.
13'
В. Расчетъ крестовыхъ сводовъ.
Крестовые своды можно разсматривать какъ систему перекрещивающихся цилиндрическихъ сводовъ, у которыхъ сохранены одни только распалубки, а лотковъ н'Ьтъ. BcntflCTBie этого расчетъ крестовыхъ сводовъ основанъ на расчете цилиндрическихъ сводовъ, а потому все сказанное относительно цилиндрическихъ сводовъ приложимо и къ крестовымъ.
Нагрузка на крестовые своды бываетъ обыкновенно равномерная по всему перекрываемому ими пространству; обозначимъ черезъ q нагрузку на квадратную единицу площади, считая при этомъ и собственный в-Ьсъ свода. Что касается кладки крестовыхъ сводовъ, то таковая главнымъ образомъ бываетъ двоякая:
1) Кладка нормальная и по способу Моллера, въ которыхъ кирпичи располагаются рядами параллельно щекамъ свода, при этомъ въ д!агональныхъ ребрахъ свода ряды сходятся подъ угломъ; въ случае прямоугольнаго пере-крываемаго сводомъ пространства углы эти прямые.
2) Кладка въ елку, когда кирпичи располагаются рядами нормально къ д!агональнымъ ребрамъ свода, при этомъ въ шелыгахъ распалубокъ ряды сходятся подъ углами; въ случае перекрьтя прямоугольнаго пространства углы эти прямые.
Способъ кладки существенно вл1яетъ на ходъ расчета и на распределе-Hie силъ въ своде, а потому разсмотримъ особо расчеты обоихъ способовъ кладки.
1, Расчетъ крестовыхъ сводовъ нормальной кладки и кладки по способу Моллера.
а) Ннапитическ1й расчетъ.
Разсмотримъ крестовый сводъ, перекрываюнцй пространство 2а X 26 (чер. 87). Части перекрьтя ABS, ADS, DSC, BSC суть четыре распалубки: MS и SN—горизонтальный шелыги, расположенный на одной высоте, АС и DB— д!агональныя ребра; точка S—вершина крестоваго свода. Возьмемъ оси координатъ х и у, вырежемъ изъ свода, вертикальными плоскостями, параллельными осямъ координатъ и отстоящими отъ вершины 5 на разстояши хну, элементарный полоски GE и EF, ширина которыхъ будетъ dy и dx. Имея въ
— 197 —
виду, во-первыхъ, незначительность толщины свода сравнительно съ рад!усомъ кривизны его направляющей и, вообще, съ размерами самого свода, и во-вто-
Въ пятахъ элементарныхъ
рыхъ, упрупя свойства матер!ала, можно съ достаточной для практики точностью, принять, что напряжешя по толщин^. свода распределены равномерно, почему при определена величины распора толщину свода можно въ расчетъ не вводить.
Пролеты элементарныхъ полосокъ (вырезовъ изъ свода) будутъ 2х и 2г/, подъемы ихъ обозначимъ черезъ fx и f , ширина этихъ полосокъ будетъ dx и dy, нагрузка на элементарный полоски будетъ равна:
dGx — q 2у dx — 2qy dx, и dGy — 2qx dy.
Распоръ цилиндрическаго свода (чер. 88), имеющаго про-летъ I, подъемъ f и нагрузку G, равенъ:
Ч' 4f
Обозначивъ элементарные распоры полосокъ черезъ dQx и dQy, можемъ на основаши приведенной общей формулы распора написать:
2/-
полосокъ действуютъ опорный усил1я, вертикальный составляющая которыхъ всл'Ьдств!е симметрш нагрузки будутъ равны нагрузкамъ на половину пролета полосокъ, а горизонтальный ихъ составляющая на основаши теорш распора равны найденнымъ выше элементар-нымъ распорамъ.
Обозначивъ элементарныя вертикальный составляющая усшпя, черезъ dVx и
— 198
будемъ иметь:
dVx = qy (lx, и dVy — qxcly,
заменяя въ этихъ выражешяхъ ж черезъ у и наоборотъ *), получимъ:
dV' — q 11 xdx и dV = q — у dy. a b y a
Разложимъ, направленные горизонтально вдоль полосокъ, элементарные распоры dQx и dQy на составляющая, действу ющ!я нормально къ д!агональ-ному ребру и вдоль его.
Горизонтальный составляющая, действующая вдоль ребра, будутъ:
dQxsina и dQycosa,
а горизонтальный составляющий, действующая нормально къ ребру, будутъ:
и dQySina.
Первыя две составляющая направлены въ одну сторону вдоль ребра отъ вершины къ опорамъ; ихъ равнодействующая, которую означимъ черезъ dQz, будетъ равна:
dQ2 = dQrr since dQy cosa.
Вторыя две составляющая направлены нормально къ ребру, но въ противоположный стороны; предполагая, что dQxcosa<dQysina, и обозначая равнодействующую этихъ двухъ составляющихъ черезъ du, можемъ написать, что:
du — dQy sina — dQa cosa.
Для изеледовашя величины равнодействующихъ du разложимъ ихъ на
Черт. 89.
составляющая duv действующая вдоль д!агональнаго ребра, и на составляющая dun, действующая нормально къ боковому ребру (чер. 89). Эти составляющая будутъ равны:
dut = du etga, и dun = —— .
SWICL
Последтя составляющая могутъ быть представлены въ следующемъ виде:
, du .
dun = sina = ~ dQ- Ct9a '
, qx*du qq^dx , или duu = —-------------- etga,
*) Не трудно н для крестоваго свода получить рядъ соотношений, подобныхъ найден-нымъ на стр. 158 для цилиндрическаго свода.
199
qx*dx , (dy 1 / у V , , 1 1
и dun= 2 tga IfaCtga ? — ) ctgsa-^\ .
Но такъ какъ: dy у
~ = tga. и y = <S«.
qx^dx / 1 1 \ ,
—(r~t) 3“
При f =fx им-Ьемъ dun — 0. Отсюда находимъ, что:
duT =0 и du — 0.
Изъ полученнаго приходимъ къ заключешю, что когда стрелы распалу-бокъ попарно равны, тогда силы, действующ!я нормально къ д!агональнымъ ребрамъ, равны и взаимно уравновешиваются. Въ такомъ случай:
du — dQtj sina — dQx cosa = 0
откуда
dQv
— ctga.
л , b dQ b
А гакъ какъ: ctqa = — , то = — , т.-е. элементарные распоры полосокъ a dQx и
двухь распалубокъ крестоваго свода относятся между собою, какъ полупролеты того же свода.
Разсмотримъ далее встречающшся главнымъ образомъ на практике случаи, когда
fx = ftJ = f-
где / переменная стрела парныхъ элементарныхъ полосокъ, имеющихъ общее начало и шелыги которыхъ лежатъ на одной высоте.
Въ разематриваемомъ случае найденные выше элементарные распоры будутъ иметь выражешя:
Постараемся тГь этихъ двухъ последнихъ формулахъ переменную величину /’ выразить въ функщи координатъ х и у\ для этого напишемъ уравнения опорныхъ лиши давления элементарныхъ полосокъ; имея въ виду, что при равномерной нагрузке опорная лишя давлешя въ своде безъ большой погрешности можетъ быть принята за параболу, мы можемъ написать уравнешя опорныхъ кривыхъ, который относительно оси координатъ, проведенныхъ черезъ вершину параболы, будутъ:
^ = CtJ.f и y*=Cx.f,
где Сх и С—неизвестные параметры параболъ, значешя которыхъ необходимо определить.
— 200 —
Имея въ виду, что все элементы распапубокъ являются большими или меньшими частями одного и того же цилиндрическаго свода, можно придти къ заключенно, что и опорный кривыя ихъ представляютъ собою бблыше или меныше отрезки одной и той же опорной кривой, одной и той же параболы. Всл"Ьдств1е сказаннаго, величины неизв-Ьстныхъ параметровъ могутъ быть определены изъ разсмотрешя щековыхъ элементовъ свода и принадлежащихъ имъ опорныхъ кривыхъ (опорныхъ параболъ); для общей опорной точки Л (черт. 87) обеихъ этихъ параболъ координаты будутъ:
х = Ъ, у —а и f=^f0,
где f0—подъемъ щековыхъ арокъ и д!агональныхъ реберъ свода.
Подставляя эти значения переменныхъ въ уравнения параболъ, получимъ:
и a*=Cxfo, откуда
уравнешя же параболъ будутъ: „ г 2 г
Подставляя въ выражешя элементарныхъ распоровъ найденный величины х и у, будемъ иметь
dQy=^dy и dQx~q^ dx. ^1о о
Такимъ образомъ, мы нашли выражения элементарныхъ распоровъ и элементарныхъ вертикальныхъ составляющихъ опорныхъ давлешй только въ функ-
щи координатъ х жен!я следуюгщя: и у и постоянныхъ размеровъ крестоваго свода. Эти выра- dQx — ^dx-, dQ dy; dv* = Чх dx\ dVv = 4 1 У dy'
Обозначивъ черезъ Qex, Q , V\x и V распоры и вертикальный составляющая опорныхъ давлешй полосокъ, ширина которыхъ равна единице длины,
будемъ иметь: , dQ„ qa2 „ dV а о =^,=^. г =^, = . 6 „ v dy 2fe' е» dy 1 а у
— 201
Изъ этихъ выражений заключаемъ, что распоры постоянны въ распалуб кахъ, а вертикальный составляклщя опорныхъ давленш полосокъ зависятъ отъ координатъ въ первой степени и растутъ отъ вершины крестового свода къ опорамъ пропоргдонально разстоян!ю полосокъ отъ вершины свода, где онф> равны нулю, а у опоръ оне достигаетъ наибольшей величины.
Найдемъ теперь для полныхъ распалубокъ равнодействующая элементарныхъ вертикальныхъ составляющихъ опорныхъ давленш и равнодействующая элементарныхъ распоровъ, для чего проинтегрируемъ выражен1я элементарныхъ вертикальныхъ усилш и распоровъ между пределами 0 и а, 0 и Ь.
Равнодействующ1я вертикальныхъ давленш для всей распалубки будутъ:
л , ь ,
г.= | « о и ' о х
К Г 71^ ^аЬ
V,= clhl=Sa \ У dy = 2“-
. о “.'в z
и рапнодЬйствуюцця распоровъ будутъ:
1 dQT = 0 1 2/0J b, ,b^ 2f ' 0 Io
I x,= 0 qb2 1 n, qab2 to 10
Ид черт. 90 показано положеше равнодействующихъ распоровъ.
ОпредЬлпмъ теперь усил1е въ д!агональномъ ребре. Въ каждой точке д!агоиалы1аго ребра свода, отстоящей отъ центра свода S (чер. 90) на раз-
(4
Черт. 90.
п sma == — и
j/«a |
стояыи z будемъ иметь нижеследующая усил!я: вертикальное, равное сумме вертикальныхъ элементарныхъ давленш:
ЙТР2 dl'^dV^, и горизонтальный распоръ, найденный выше:
dQ, = dQx sina dO cosa. Подставляя значения dVx,dlr, dQx и dQ , а также
x = z cosa и у = z sina, dx — cosa dz, и dy — sina dz,
b
cosa = - - ,
y/«2 b2
— 202 —
найдемъ:
dW = q(a, cos‘la -|- sinPa 'j z dz, 3 \b 1 a )
и dQs= q ( °2 5*ИГ£ cosa Ч- ^2 cosa s^a ) d# •
или
dW^ = al^SdS’ И ^=2Zffe‘ a "T 0 z7 a
Обозначая черезъ с длину полуд1агонали, будемъ иметь: с2 = а2 ~|~ 62, а подставляя с въ выражеше dW„, получимъ:
dW = 2q „ zdz.
3 1. CZ
Изъ разсмотрф>н1я полученныхъ выражены элементарныхъ распоровъ и вертикальныхъ составляющихъ давлены въ д!агональныхъ ребрахъ крестовыхъ сводовъ заключаемъ, что усил1я растутъ отъ вершинъ къ опорамъ пропорционально первой степени Z, а распоръ постоянен ъ, какъ и въ цилиндрическихъ сводахъ. ОпредФ.лимъ теперь сумму найденныхъ вертикальныхъ усилш и распоровъ реберъ.
Взявъ интегралы между пределами z = 0 и z — с получимъ выражешя:
W=\ dWa=2q<^\ zdz, или Ж -=даЪ.
Jo с J о
Q,= { ~ \ dz, или Qs=qa^-,
Jo J о ^7 о
где Qz—распоръ д!агональнаго ребра крестоваго свода, a W2—вертикальная составляющая опорнаго давлешя того же ребра. Этой же величине равно вертикальное давлеше, которое производитъ крестовый сводъ на свои опоры. То же выражеше распора Qs можетъ быть получено, какъ равнодействующая распоровъ распалубокъ Qx и Q , действующихъ другъ къ другу подъ прямымъ угломъ:
Q, = VV+V=т/(W+ ( W= I' 1/
\ ^“1 о / \ о / о у
Распоръ Qz д1агональнаго ребра можетъ быть такъ же точно найденъ графически (черт. 90), если при помощи параллелограма сложить распоры Qx и Qy. Мы нашли, что равнодействующая вертикальныхъ давлены на каждую
— 203 —
половину д!агональнаго ребра равна: Wz = qab. Такихъ четыре давлешя передаются на четыре опоры, поддерживаюгщя крестовый сводъ. Все давлен!е свода на опоры будетъ: 4WZ = 4qab. Нагрузка одной четверти свода равна G = qdb, нагрузка же на весь сводъ будетъ:
4 G = 4qab.
Такимъ образомъ, мы нашли ту же величину вертикальной нагрузки, откуда закпючаемъ о справедливости сдГланнаго вывода.
Давлешя на пяты д!агоналей будутъ равны:
л=1Ча4- и;2.
Выражеше это тоже можетъ быть найдено построешемъ параллелограма (чер. 90).
Въ случай крестоваго свода, перекрывающаго квадратное пространство, a=rb следовательно,
W3 = qa* и Qz = q
2f,
Им Ия выражешя Qex, Qes/, Vex, V , Qz и Wz, можно определить размеры крестоваго свода, а затемъ по правилами метода предельнаго равновф>с1я сводовъ построить опорный кривыя и определить прочность и устойчивость свода.
Ь) Графически расчетъ.
Графически крестовые своды расчитываются какъ цилиндрическ!е; при этомъ сначала разделяютъ крестовый сводъ (черт. 91) взаимно параллельными
вертикальными плоскостями, проведенными параллельно щековымъ плоскостями. Проведенный плоскости разделятъ сводъ на две системы арокъ, при чемъ плоскости параллельный одной щековой плоскости разделятъ систему арокъ параллельныхъ другой щековой плоскости на рядъ вертикальныхъ частей: 7; 7, 2; 7, 2, 3; 7, 2, 3, 4; /; 7, //; /, И, ///; /, И, ///, IV.
ЗатЬмъ расчитываютъ крайшя (щековыя) арки согласно методу предельнаго равнов!>с1я, определяютъ ихъ распоры и и строятъ две ихъ лиши давлешя (ч--рт, 91 а и 6).
Въ аркахъ одной изъ системъ будутъ действовать распоры а въ аркахъ другой системы — распоры Q2; распоры эти согласно найденному и поясненному на с гр. 177 постоянны въ обеихъ распалубкахъ. Складываясь по параллелограмму эги найденные уже горизонтальные распоры Q, и для каждой пары сходящихся по ребру полосокъ дадутъ постоянный горизонтальный равнодействующ1я Q, который, кроме того, будутъ складываться еще съ вертикальными силами, передаваемыми на ребро упомянутыми сходящимися вместе полосками. Вертикальный силы эти будутъ равны суммамъ: 1 -1—/, 1-f-//, 1 4-7-|-2-j /7-1-34 '"Л + 2-j- И 4-3-]-/// 4- 44- IV и т. д. Назвавъ эти равнодействуюгщя черезъ д{, gs, д3 и построимъ многоугопь-
— 204 —
никъ силъ, для чего проведемъ лин)ю 00 черт, (с), параллельную ребру, и на ней отложимъ распоръ Qt, изъ одного конца отложеннаго отрезка возставимъ пер-пендикуляръ, на которомъ отложимъ другой распоръ Q,2 и соединимъ прямой лин!ей другой конецъ отрезка Qt съ вершиной отложеннаго распора Qa, полученный отрЪзокъ и будетъ искомая равнодействующая Q. Далее изъ точки 0 рад1усомъ Q описываемъ четверть окружности и проводимъ изъ полученной
Ci о
засечки на прямой 00 лин!ю, перпендикулярную къ этой последней; на прове-денномъ перпендикуляре откладываемъ отрезки, равны g1f д^, д3 и gt, и соединяет, концы отложенныхъ отрезковъ съ точкой 0; такимъ образомъ полу чимъ равнодействующая д3 и д4, силъ Q и gt, д.,, да и gt и приложенный въ центрахъ тяжести клиньевъ д!агональнаго ребра. Проводимъ черезъ
— 205 —
эти центры тяжести на разрезе д!агональной арки (черт, cl) лиши параллельный силамъ z, и, кром-fe того, строимъ многоугольникъ O'z^z^z^z^C этихъ силъ взявъ для сего уменьшенный масштабъ. Беремъ зат'Ьмъ произвольный полюсъ проводимъ лучи и строимъ соотвФ>тствующ1й шарнирный многоугольникъ; такимъ образомъ найдемъ величину, направлеше и положеше силы В равнодействующей силъ z. действующихъ на д!агональную арку.
Величину распора (Jg, вызваннаго въ д!агональномъ ребре силами z, можно найти какъ для цилиндрическаго свода; для этого на основанш теор!и предель-наго равновешя отметимъ точки а и 6 въ замковомъ и пятовомъ швахъ и изъ точки b опустимъ перпендикуляры какъ на горизонтальное направлеше распора <Р3, приложеннаго въ точке а, такъ и на направлеше равнодействующей Л. Обозначивъ длины этихъ перпендикуляровъ черезъ z и у, можемъ составить уравнеше моментовъ силъ В и Qs относительно точки 6.
Изъ этого уравнешя найдемъ величину распора Qs, вызваннаго силами z
Q3=B. У 3 z
Для графическаго построешя распора Q3 проводимъ изъ точки О' лишю 0'0, перпендикулярную Д1агональному ребру, и на ней откладываемъ отр'Ь-зокъ О'В у, а на направивши В откладываемъ отрезокъ О' Л - z, соединяемъ А съ Е прямою лишей, а изъ точки С проводимъ СО || АВ.
Полученный отрезокъ 0'0 =Q3, что следуетъ изъ подоб!я треугольниковъ О'АВ и О'СО.
Полный распоръ д1агональнаго ребра Qo получится, если провести изъ точки С лишю CD параллельно д1агонали, изъ точки 0 черт, (ф, опустить перпендикуляр ь па лишю СО, тогда длина CD будетъ равна величине распора Qo, a 0D даетъ величину вертикальной силы V въ опоре крестоваго свода. Когда величина распора Qo найдена, тогда обычнымъ пр!емомъ можно будетъ построить кривую давлешя д!агональнаго ребра.
Построив ь все три лиши давлешя, определяемъ известнымъ способомъ прочность и устоичивость трехъ арокъ: двухъ элементарныхъ щековыхъ край-нихъ и диагональной; проч1я элементарный арки, составляются распалубки крестоваго свода, будутъ подавно прочны и устойчивы, если прочность и устойчивость щековыхъ будетъ обезпечена.
Пяты д)а1 опальнаго ребра представляютъ изъ себя либо два прямоуголь-ныхъ треугольника, лежагще въ двухъ плоскостяхъ и имеюпце общую гипотенузу, либо две трапецш, тоже лежагщя въ двухъ плоскостяхъ и им-Ьюися общую сторону, наклонную къ параплельнымъ сторонамъ трапецш. Обозначимъ площади треугольниковъ или трапецш черезъ со, черезъ d уголъ образуемый направлешемъ усил!с 11 съ пятовымъ швомъ и черезъ N—усил!е нормальное къ пятовому шву д1агональной арки.
Усил1е это Л равное В. cos d, разложится на составляются S нормальный къ двумъ плоскостямъ <•>, Усил(я >8' будутъ равны:
5= - = X
cos45° V 2
— 206 —
и условия прочности пятъ будутъ:
li cos
со/2
где к прочное сопротивлеше кладки сжат!ю.
Въ случае, если площади со малы и напряжение оказывается более к, то тогда устраиваютъ вр-Ьзныя въ стену щековыя арки. Для большей прочности устраиваютъ выпускныя пяты, д!агональные гурты и, наконецъ, въ углахъ устраиваютъ выступающая части.
2. Расчетъ крестовы^ъ сводовъ при клади! въ елку.
а. Нналитичесюй расчетъ.
Положимъ, что имеемъ крестовый сводъ (черт. 92), перекрывающей пространство 2аХ2Ь, сложенный въ елку. Разсечемъ его вертикальными плоскостями, нормальными къ д!агональнымъ ребрамъ, на элементы. Элементы эти будутъ принадлежать къ тремъ видамъ; одни изъ нихъ лежатъ внутри ромба OLMN, друпе внутри параллелограмовъ LL'MM', NN'MM' и третьи внутри треугольниковъ AL'M' и BN'M' (если расзматривать только часть свода ABNL). Разсмотримъ сначала отдельно элементы, принадлежащее къ каждой изъ этихъ трехъ группъ вырЪзковъ, а затемъ разсмотримъ д-Ьйствёе всехъ элементовъ трехъ видовъ въ совокупности и, наконецъ, выяснимъ распределеше усилш въ д!агональныхъ ребрахъ и въ подпружныхъ аркахъ, безъ которыхъ крестовые своды въ елку сложены быть не могутъ.
Обозначимъ черезъ w, разстояше по д!агонали SB, отъ точки В до точки пересЬчешя упомянутой д!агональю, какой-либо изъ разсматриваемыхъ элементарныхъ полосокъ крестоваго свода, а черезъ и / обозначимъ отрЬзки, отсЬкаемые элементарными полосками на горизонтальныхъ проекщяхъ подпружныхъ арокъ АВ и ВС; пусть д со значками обозначаетъ длину горизонтальныхъ проекцёй элементарныхъ полосокъ, при чемъ поставленные при g внизу указатели ,, 2 и 3 будутъ обозначать полоски перваго, второго и третьяго вида, а указатели ' и ", поставленные надъ г, будутъ обозначать левый или правыя части элементарныхъ полосокъ.
Въ замкахъ элементарныхъ полосокъ будутъ дЬйствовать распоры '» dQt", dQ%, dQ^", dQar, dQa", гдЬ. указатели, поставленые вверху и внизу, имЬ>ютъ указанный выше значешя; на начало сходящихся попарно въ д!аго-нальномъ ребре крестоваго свода, элементарныхъ полосокъ будутъ действовать, кроме техъ же распоровъ, еще вертикальный усил!я dVv dV^ и dVa, равныя нагрузкамъ на обе сказанный элементарный полоски.
Одне полоски имеютъ замки, упирающ!еся въ подпружныя арки, а дру-пя полоски упираются въ замки полосокъ той же распалубки крестоваго свода.
Распоры, действуюпйе въ замкахъ элементарныхъ полосокъ, упирающихся
Черт. 92
Черт. 93.
въ подпружныя арки, разложатся на две составляюлйя; одне будутъ направлены нормально къ подпружной арке, а друпя будутъ действовать въ плоскости упомянутой подпружной арки. Эти посл-Ьдн1я составляюпйя можно разсматри-вать какъ внешшя горизонтальный нагрузки подпружныхъ арокъ ВИ и ВМ', въ которыхъ въ такомъ случае точку В можно разсматривать какъ замокъ, а точку N и М',— какъ горизонтальный проекши пятъ. Вследств1е указанной нагрузки этихъ арокъ въ нихъ появятся опорный кривыя давлешя, который безъ особой для практики погрешности можно принять за параболы съ горизонтальною осью, совпадающею съ лишен начала крестоваго свода. Не трудно видеть, что уравнешя этихъ параболъ относительно осей, проходящихъ черезъ вершину будутъ:
^=4* и
Г2 f _ f
fb~l У- или = и =
° У ar ' уЪ r у
где fa и fb—вертикальный ординаты параболъ, a f0—общая стрела крестоваго свода и обеихъ подпружныхъ арокъ.
Изъ чертежа имеемъ:
а Ъ . а
гр= '/tga— %, w = ip cosa =-ip, w = %sina = ~ 0 c c
c c
X = —w и --- iv.
a b
где
, a . а Ъ
tqa = —; sina = —; cosa — —.
J b с c
Подставляя значен1я / и въ уравнешя параболъ, получимъ:
fa = “ 1/C ]/w, fb = f° У С УТО. И и
Взявъ отношешя fa къ /ь, находимъ:
fb а '
Определимъ длины горизонтальныхъ проекщй полосокъ трехъ видовъ и напишемъ пределы переменнаго w, между которыми заключаются эти три вида. Длины полосокъ будутъ:
, Ъ . .. „ а , .
= -(с— w), - (с — щ);
, Ъ , . „ Ъ
, а „ Ъ
— ~w, z’ — — w,
3 Ъ 3 а
— 209 —
а пределы перемФ>ннаго разстояшя го будутъ: для полосокъ перваго вида:
отъ W — с до
для полосокъ второго вида: ft2
ОТЪ ZV -- — ДО W — — с с
и для полосокъ третьяго вида:
№ *
отъ го = — до го = О.
Для опредф>лен!я элементарныхъ распоровъ будемъ разсматривать полоски крестоваго свода какъ части полосокъ двухъ сложенныхъ въ елку цилиндрическихъ сводовъ, части которыхъ составляютъ разсматриваемыя распалубки, образуются крестовый сводъ.
Для части крестового свода SNB элементарный полоски цилиндрическаго свода будутъ имЪть пяты на лиши Z"B, а замки расположены по лишямъ SN и NB; элементарный полоски цилиндрическаго свода для части SM'B крестоваго свода будутъ имЪть пяты на линш BZ', и замки по лишямъ SM' и М'В.
Изъ теорш распора известно, что по длин-h пролета цилиндрическаго свода распоръ постояненъ и равенъ:
dQ = ~ dw,
гд!, для сводовъ вообще q—нагрузка на квадратную единицу площади, I—полу-пролетъ, /-—подъемъ, dw—ширина свода. ОпредЪпимъ указанный величины для разсматриваемыхъ элементарныхъ полосокъ.
Для полосокъ перваго вида получимъ изъ чер. 92 й.
1'=*
1 а
ас
Ъ’
для полосокъ втораго вида (92 с):
7 , _ ftf 7 cy
2 ~ a ’ 2 ~ ft ’
а ’
и для полосокъ третьяго вида (92 cf):
, / _ с7. iC7.
3 ~ ft ’ 3 ~ ft ’
f3'=fb'
а ’
гдЬ 4—подъемъ крестоваго
свода, a fa
и fb по
выше найденному равны:
fb —
ip, или
f — {/у
h b VI-
I «
H. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ.
14
— 210 —
Зная полупролеты и подъемы цилиндрическихъ элементарныхъ полосокъ и предполагая, что нагрузка на нихъ постоянная и равна q, мы можемъ написать выражен1е распоровъ, которые будутъ служить распорами элементарныхъ полосокъ крестоваго свода, такъ какъ эти последн!я являются частями иервыхъ, примыкающими къ замкамъ.
Подставляя найденныя выше величины, получимъ значешя распоровъ. Для части SM'B крестоваго свода они равняются:
dQ^dQ^q—^dw,
z>2y2 С^У^Ъ $/_
И dQ' — q dw — q------------------------ div = q-------------------— 7 div.
Подставляя, w вместо /, найдемъ:
(R
dQ^=1~ -
3.2
C 3/2 7 —.T w dw, a1*
’/2
C ' * 8 /
или dQd = q w 12dw.
2a bfo
Для части же SNB крестоваго свода распоры получатъ сл'Ьдуюлця значешя:
/>2у2
и dQ^ = d^=q^dw = q
* dw-„C*V“
7 * 2&У/
подставляя сюда w вместо /, получимъ:
= 2’8/.
Л 3/a 7
w div, a1*
и, наконецъ, после упрощешя:
’/2 3
cZQ2" = d(^' = q ~ w'2div.
&2
Подставивъ въ выражен1е распора dQ3' значен!е w = —, получаемъ найденное выше выражеше распора dQ^\ точно такъ же подставивъ въ выражеше о2
распора dQ£ значеше w= —, получаемъ найденное выше выражеше распора с/Ц"; отсюда заключаемъ, что всФ> выражешя элементарныхъ распоровъ правильны и изменяются последовательно.
— 211 —
Сравнивая распоры попарно сходящихся въ ребре крестоваго свода эле-ментарныхъ полосокъ, приходимъ къ заключешю, что:
dQ^dQ^', d(^'<dQ2", dQ3'<dQ3".
Отсюда сл^дуетъ, что арка д!агональнаго ребра крестового свода будетъ подвержена не только вертикальнымъ силамъ, равнымъ нагрузкамъ элементарныхъ полосокъ, но будетъ испытывать и боковыя горизонтальный усил!я, изм,Ьняющ1яся пропорщонально длине пролета. Такъ какъ д!агональная арка не въ состояши противостоять горизонтальнымъ, перпендикулярнымъ къ ней усил!ямъ, то превышеше одного, большаго, распора надъ другимъ, меньшимъ передастся отъ полоски одной распалубки къ парной ей полоске соседней распалубки и сложится съ меньшимъ распоромъ этой второй полоски; сумма меньшаго распора съ превышен!емъ большого распора надъ меньшимъ, равная большему распору, будетъ служить въ сущности распоромъ и другой полоске, съ меньшимъ своимъ распоромъ. Такимъ образомъ, мы приходимъ къ выводу, что въ о б 1 и хъ сосЪднихъ парны хъ элементарныхъ полос-кахъ распоръ будетъ одинъ и тотъ же и притомъ онъ будетъ равенъ большему распору изъ двухъ найденныхъ распоровъ смежныхъ полосокъ; вместе съ т'Ьмъ д!агональная арка испытываетъ боковыя деформирующая переменный усил!я.
Последнее обстоятельство можетъ быть устранено темъ, что распалубку съ меньшимъ своимъ распоромъ мы нагрузимъ нагрузкой большей и притомъ такой, которая произведетъ распоръ равный большему распору смежной полоски, Т'.-е. нагрузимъ обе полоски такъ, чтобы распоры сравнялись.
При такомъ увеличении нагрузки, величина распоровъ полосокъ въ сущности не увеличится, такъ какъ распоръ обеихъ полосокъ, сходящихся въ д!агональномъ ребре крестоваго свода, будетъ попрежнему равенъ большему изъ двухъ ранее найденныхъ неравныхъ смежныхъ распоровъ; но зато д!а-гональная арка уже не будетъ подвергаться горизонтальнымъ боковымъ уси-л!ямъ. При этомъ, однако, вертикальная нагрузка на д1агональную арку воз-растетъ на величину, равною увеличешю нагрузки на распалубку. Это обстоятельство, впрочемъ, имФ>етъ меньшее значеше, чемъ бывшая ранее несимметричность нагрузки на д!агональную арку.
Такъ какъ распоръ распалубки M'SB меньше, то ее-то и должно сильнее нагрузить. Обозначимъ черезъ pv р2 и р3 новыя, пока неизвестный нагрузки на квадратную единицу полосокъ перваго, второго и третьяго вида; величины этихъ повыхъ нагрузокъ получимъ, если возьмемъ отношешя смежныхъ распоровъ полосокъ распалубки NBS, нагруженныхъ нагрузкой q, и полосокъ распалубки M'SB, нагруженныхъ нагрузками pv р2, р3 нагрузокъ, и приравняемъ эти отноше1Йя единице.
Такимъ образомъ будемъ иметь:
< dQ2 _ dQ3^ __ d<t>t" ’ dQ/‘ ’ dQ3"
v (<•
— 212 —
Подставляя значешя элементарныхъ распоровъ при упомянутыхъ выше нагрузкахъ, получимъ:
dQ' VW , aW 1 р, dQ/ ~ P1 2аУ„dw : q dW ~ Q.
dQJ bW c’li з/ pr dw: i 2< « ‘da = f'
dQ' dQ‘
*•=1.
а4
_2L_=1. ac^
' c‘'2 з/ j 3/ p. b
;" = P*2a*bf0 W /2 dW ' q w^dw = ^~=l.
Изъ написанныхъ соотношенш легко определить:
a* acl^iv3!^ a
Р1 = Ч^’ 1\ = 4---p’ ^=ffy
Полученный такимъ образомъ величины новыхъ нагрузокъ оказались неодинаковы, при чемъ нагрузки полосокъ перваго и третьяго вида постоянны, а нагрузка полосокъ второго вида имеетъ переменную величину, следующую закону полукубической параболы; если въ выражеше нагрузки подставить а2 &2
значешя w = — и w = —, то получимъ выражешя нагрузокъ pt и р3, откуда С С
заключаемъ о последовательности изменешя величины нагрузокъ, а равно и о правильности вывода.
Принимая во внимаше вышесказанное, мы найдемъ, что элементарные распоры полосокъ будутъ:
.<2 «'2 _
dQi = q?Wf dw< d^ = 4nniflf w^dw, dQ3 = dQ2.
Io Auu Io
При найденной единичной нагрузке, приходящаяся на элементарный полоски нагрузка разсчитываемаго свода будетъ:
Ь Cl
iffft — dw = (c — w) d™ —Ч.ьз^с~ dw •
Ъ я/
dffs dw — 4-------------------------— (c — w) div = q -^3 (c — w) w dw ;
dffs — Рз2з dw = 4^YW dw = qWW dW ’
и dg/ = qz/ div = q/^-(c — w) dw;
dg/ = qz/' div = q — w dw;
dg3" — qz3" div =q- ги div.
— 213 —
Вертикальный давлешя элементарныхъ полосокъ на д!агонапьную арку крестоваго свода по величин^. равны:
г/I, сЛ/,' | dg," — q (c — w) dw = q-^-(с—w) dw
ИЛИ
сю^
dVx= q -р- (с — iv) dw;
dV2 — dg^ dg." — q J__SA. (c — w) iv^— Mildw ; lb® a I
/ о % Ti dF8 = ^3'+^' = <z(^r+-£
iv dw,
или d v„ = q - ' -ivdw .
8 * ab2
Полный давлешя получимъ, произведя интегрироваше полученныхъ элементарныхъ давленш:
(.С л с
ттг аС I / \ 7 аС* I 9 С‘2 9 1 а1\
1 ^=^J/c-^t7w = ,zb4c Т~“ + ^) =
С с
= q (т ~ “2+ = 2 2р (С* “ 2“2с2 + a<) = q (с2 — а2)2
тг ab или Vx=~-q—.
Г 2 а» 2 а1 а3Ъ 2 bs .2 bl bs 1
I 5 b:C~ T bW ' 2c2-TF ' Tc^~ 2a?J
И"» Г, = [A («•-!,>) - -Д-, («’ - »’) + («. - (,.)].
Ъ- Ifl
тл ( c 7TZ a3-|-Z)3 I c
F8 dV3 = q | iv dw.
тл a3 -I- b3 b2
vs = 4—^-----r-
2a c2
Все вертикальное давлеше на опору, которое производитъ крестовый сводъ, сложенный въ елку, будетъ:
т. {ab , 2
или J =5^ —+ -
as—b5 ~ТГ~
2 a-i — W b(al — b1') , b2(a3 + bs)l
7 b3c2 + 2ac2 “Г 2ac® I
— 214 —
Въ случае перекрыпя квадратнаго пространства при а = Ь будемъ иметь
с2 = 2а2, и
V-n\a* 1 aa(«3 + a3)]
1 | 2 2а . 2а2 /
или V=qa2.
Ha четыре опоры будемъ иметь:
4 F= 4д'а2-- q . 2а . 2а .
Полученный результаты подтверждаетъ справедливость вывода для квадратнаго пространства.
Обозначивъ распоры элементарныхъ полосокъ шириною единица черезъ фе1, Qe2, Qe3 и разделивъ найденный выше величины элементарныхъ распоровъ на dw, получимъ:
dQt а2с2 , _ t?Q2 е.‘« 3/о
Qe'~dw '~q2b2fo’ И Qei~ dw ~q2ab‘YBW ’
Определимы теперь элементарные и единичные распоры, а также суммарные распоры, действующие въ плоскостяхъ, ограничивающихъ разсматри-ваемую часть крестового свода (черт. 92). Элементарные распоры полосокъ разложатся на усил!я, действующая нормально къ указаннымъ плоскостямъ, и на усил!я, действующая въ тЬхъ же плоскостяхъ.
Въ плоскостяхъ SfJ будутъ действовать две системы силъ: одна система, действующая нормально къ плоскости S/V и равная dQt cosa, можетъ быть не принята во внимаше, такъ какъ ей навстречу действуетъ равная и прямопротивоположная система силъ, уравновешивающая разсматриваемую. Другая же система, действующая въ плоскости SN горизонтально по направлешю отъ S наружу свода, будетъ:
7Z.» л/. • а 7 «Зс 7
dQx = dQt sina = q — dw = q dw .
Суммарный распоръ будетъ:
dw
ЗдЬсь коэффициенты два поставлены потому, что съ двухъ сторонъ плотное i и S/V будетъ действовать по равной системе указанныхъ элементарныхъ у* и/Нй
1 |[>о||.|недя интегрироваше, получимъ:
— 215 —
Въ плоскости SM' будутъ действовать тоже две системы усилш: одне, действуюипя нормально къ разсматриваемой плоскости, не подлежатъ разсмо-тРен!ю, какъ уравновешивающ!яся равными и прямо противоположными уси-л1ями; друпя же, действующая вдоль плоскости SIW', равны соответственно:
(1 7) 67
dQt cosa = q— dw = q— -dw, io ° i)
5 3/ C5 2 3/
и dQ, cosa — q -— го /2 div — q w 2 dw
I 2ab2fnc 2abf 0
Две системы такихъ усилш будутъ действовать, подобно предыдущему, ио одной по каждую сторону плоскости SM'. Суммарный распоръ будетъ:
а2
(.с г*—
I с
s dQt cosa —|— 2 I dQ2 cosa,
С с
с —
или Q ' = (W-A f dw \-q-C-lx. ( w3,/-dw = v bf0 abf 0 J*!
c c
a2c I a2\ , 2 c?lz ar‘— b*
q i eAc-----+ 9 г------------з7—
bf„\ с/ 5 abfB c^i
, a2b или Qa =i-f-i о
2 as — b-‘
5 q abf'n
Въ плоскости FB будутъ действовать две системы силъ: одне силы, действующая наружу свода, нормально къ разсматриваемой плоскости обозна-чимъ черезъ dQx" и друпя, направленный горизонтально въ плоскости FB по направлен^ отъ В къ F, назовемъ черезъ dHu.
dQx" = d(^ sina = q dw = q
• о л
Обозначивъ черезъ Qe" распоръ, приходящшся
на единицу, будемъ иметь:
n " _ _ cS/2 =
^cx dw q 2blfoW
Отсюда мы заключаемъ, что распоръ этотъ следуетъ по полукубической ппрабол'И. Сум.и ipiii ш распоръ будетъ равенъ:
dQ"
Ч
с^г 1 с г „ 1
I w </w = -
5
''id/:
— 216 —
ilti, д1.|1<'|ную|ц1я въ плоскости NB, будутъ:
dH,,— dQti cosa = з
2«//2/ос
3/2 7 С 3/2,
w ‘dw = q~ -,rw “dw.
2«¥„
уммдрное усил1е имеетъ слТдующш видъ:
°5 5/ Л
= {dH=q^\^
।, 1а4
*’=5
BniHuie этого усилия, д-Ьйствующаго на подпружную арку, разсмотримъ ниже.
Въ плоскости М'В будутъ действовать тоже две системы. Одне напра-илсии наружу свода, нормально къ разсматриваемой плоскости, ихъ обозначим ь черезъ dQ”-, друпя же, действующая горизонтально въ плоскости М'В по иаправлеыю отъ В къ №', обозначимъ черезъ dHb. Тогда
c7s 3'
dQ”= dQa cosa — q w l2dw.
Обоэпачивъ черезъ Q распоръ, приходящшся на единицу, будемъ иметь:
о "=«'=0А„ч>
lcv dw ^2abfQ
Рдсиоръ этотъ следуетъ по полукубической параболе. Суммарный распоръ будетъ;
Л 5/ Г-
Н7П„ с2 Р % 7 1 Ь4
*=s<-
У' luil i, дЬйствующ1я въ плоскости да'В, будутъ:
dHb = dQ% sina = q
’/2 7
w dw.
2bV0
A < уммарн ycnnle равно:
/4 =
&
| °dllb = q
6’
C’/2 P 3/2 7
* О « 0
1 b3 .
IT a7’ • о
Hnlniilt •) no yciuilH, д1 нствующаго на подпружную арку, разсмотримъ ниже.
uulu // и //h уранковкшиваются такими же усшпями, действующими ИМ), и 1|1>чу hi другихъ половинахъ подпружныхъ арокъ.
— 217 —
Разсмотримъ теперь усил!я, д-Ьйствуюпйя на д!агональную арку (чер. 93). На эту арку, какъ уже было указано выше, д-Ьйствуютъ вертикальный, направленный впизъ, усилия dlt, dl'7, dVs, равнодействующая которыхъ V найдена выше и равна:
. | ah 2 а8 — Id 2 а7 — Ь1 Ь(а4— Ъ1) Ь2(а3 -j- Ъа)\
4) 2'5 Id ~ 7 п 2ЙС2 г 2ас2 /'
Для нахождешя точки приложешя этой силы или плеча ея р относительно начала д!агональной арки составимъ выражеше момента вертикаль-ныхъ усилш относительно указанной точки и затемъ разд-Ьлимъ полученное выражеше момента на величину равнодействующей V. Выражеше момента будетъ: п‘ 6’
С ., , —
| dvr w -|-| с <ZK2w-|-| с dV3w.
С с о
Подставляя сюда значеше dV±, dK2 и <7К3, получимъ:
IV
«/2
с'2 7/г Ъ
т- W -4-------ОТ
b3 a
div -|-
аз_|_Ьзр-
I ’
г-ь'
u^dw
Произведя интегрироваше найдемъ:
4=7-
a4 j ав "1 . Г2 2с 1 3c®J ' I ?
с а1 2 с а® 1 Ъ ав
Т3' ~ 9 br
2 е''2 Ь7 2 с3/2 й®
7 Ь3 7/2 + 9 Ь® ’ ®/2
1 Ъ 6е j 1 а3-)-6®
3 а с® 3 ab2 с3
или
1/ |mc'zI 1 3 а4 а® , 2 а7 — Ь7 2 а® — &® L
" | Id j 6 2с Зс® 7 6®с 9 Ide3 '
1 l>(ah— b6) , 1 Ь4(а® -1-&®) I
3 ас3 3 ас® |
Плечо равнодействующей нгртикальныхъ усилш V будетъ равно: =
Вследств1е сложности формулы по приводимъ конечнаго вывода; въ случае применешя этого вычислсн1и кт. числовымъ даннымъ придется получить величины действитсльпыхъ значен1й момента и равнодействующей вертикаль-ныхъ усилш и по раздклеши первой величины на вторую будетъ найдена числовая величина пл.еча у».
218 —
tlMHlliими усилш, д1.йс1пуклц1я hi д1агональную арку, вызовутъ въ
I । |,.п'|и>|>|, 9И,, величина котораго будетъ найдена, когда со-
•prthii. н1г мом ’нюпъ относительно начала д!агональной арки (чер. 93). v ||«|нин||< км будятI,:
(.) Г = V.-р = М .
* IV* f о J V V
По I.Hinn I Hi.iMciile момента Mv и разд-Ьливъ на f получимъ выраже-iilr prt< норд Д1.1ГОППЛЫ1ОИ арки:
у (нс2 1 3 а4 а6
I ( Ь'л 6 С “ 2с “Г Зе3
2 а1— 2 а9 — Ь9
7 Ь3с 9 63с3
1 Ь(а6 — //’) ( 1 Ы(а9-1- Ь8) | ‘ 3 ас9 "Г” 3 ас8 J
Выше были найдены горизонтальный усилия На и Нь, действующая на подпружныя арки крестоваго свода. Эти усил!я можно разсматривать какъ горизонтальную нагрузку на арки (чер. 93 и чер. 94), замки которыхъ будутъ пъ начале д!агональныхъ арокъ В, а начала—въ шелыгахъ S подпружныхъ лрокь; усил!я Ни и Нь вызовутъ въ подпружныхъ аркахъ вертикальные распоры, которые обозначимъ черезъ Qa*) и Qb *). Величина этихъ распоровъ и.шлется, когда составимъ уравнешя моментовъ усилш, действующихъ на подпружныя арки относительно ихъ шелыгъ. Для этого сначала опредФ>лимъ плечи 11 I'h Усилш На и Нь, относительно начала д!агональной арки.
Плечи ра и рь найдутся по разделенш моментовъ Л/а и Мъ, составлен-иыхъ для действующихъ на подпружныя арки усигай с7На и dHb относительно начала д!агональной арки (чер. 94 и 95), на усил!я На и Нь. Моменты будутъ раины:
-o’ -.Ь’
^а= « М„ = | “ dHь fb .
'?о
НодсТа,,|ц1ъ сюда значешя dHa, dHh, fa и fb (черт. 208 и 216), получимъ:
= Ч \ °w4lw' п " * о
Мь
II >п 1Гди пи 1 > I pnponnulc, найдемъ:
и»
Ч Гм "I >| ы ити имкииь iii'jiTHKMtii.uoe направлеше и д-Ьйствуютъ въ каждой поповин-Ь o6t: ч 11ПЦП1 Ш11М) tpiiiik I*'<г’11<>|и.| out должны уравнов’Ьшиваться такими же двойными itcpiilliaiH.iil 41 । ЙШ1НН, |<»*ИЫМ|| I/ и 9,„ ипприилснными внизъ.
219 —
Плечи ра и рл относительно начала д!агональной арки будутъ равны:
Л/ а1 1 а1 5 ,.
1>а ~ 11а ~ q ьь : У Q bf0 = бЛ
Плечи усил1й Нп и Hh относительно шелыгъ подпружныхъ арокъ будутъ:
_ г. 5 1 5 „ 1
Va I о b 0 6 ' °’ " Ь г' ' — 6
Наконецъ, искомые вертикальные распоры Qa и (,)» подпружныхъ арокъ будутъ найдены, когда составимъ уравнешя моментовъ дЬйствующихъ на под-лружныя арки усилш относительно ихъ шалыги. Уравнешя эти будутъ:
Подставимъ въ нихъ значешя Нп и Нь, получимъ:
_ 1 я3 1
’• = ЗО«» и <'•=30*’-
Такимъ образомъ, мы нашли величины распоровъ; Qel, Q^, Qx', QeT", QJ, Qrn"' Qw’ Qa’ Qb и величины усилш V, Ha и Нь.
Изъ нихъ распоры Qef, Q& действу ютъ въ распалубкахъ, сложенныхъ гп> елку; распоры Qr', Qn", Q,', Q" д'Ьйствуютъ нормально къ плоскости под-нружныхъ арокъ наружу свода и воспринимаются либо стенами, ограничивающими сложенный въ елку крестовый сводъ, либо уравновешиваются такими же усил!ями, производимыми соседними сводами. Распоры Qw, Qa и Qb д!'новуюi ь въ д1агональной и подпружныхъ аркахъ.
У< uulu //я и ТТЬ дЬйствуютъ въ подпружныхъ аркахъ и вызываютъ упо-мчнугып рп поры /,>и и Qb\ усил!е же V дЬйствуетъ совместно съ распоромъ VIf пп споры крестоваго свода.
1'(ц|ц>|п1 '< 9,> служатъ для определены толщины распалубокъ кресто-
ваго <‘иодп, • ihdkciiiuuo въ елку; распоры Qu и Qb, вызываемые усил!ями Лп п // гнуж иг ли । о|1рсдЬле1пя размеровъ д1агональной арки.
Когда в, h рисцорп и уснл!я определены и все размеры крестоваго свода намечены, ш ш|лпци п нраиилпмъ метода предельнаго равновешя построить опорный iiiiiiiii н uiipeiil пни. прочность п устойчивость расчитываемаго свода во всехъ ч.н 1 мх I
— 220 —
b. Графический расчетъ.
Графический расчетъ крестовыхъ сводовъ, сложенныхъ въ елку, можетъ быть выполненъ на основаши приведеннаго выше аналитическаго расчета т'Ьхъ же сводовъ. Намъ уже известны какъ величина распоровъ въ распалуб-кахъ разсматриваемаго свода, такъ и формулы, опред-Ьляклщя величины нагрузки на меньшую распалубку, при которой распоры большей и меньшей распалубки равны между собою; при графическомъ расчете намъ придется, пользуясь упомянутыми формулами, найти графическимъ путемъ величины этихъ нагрузокъ и при помощи обычныхъ пркемовъ графическаго расчета сводовъ найти величины вертикальныхъ усилш и всехъ распоровъ, имея притомъ въ виду, что на изв-Ьстномъ протяженш величина распора распалубокъ слЪдуетъ по кубической параболе.
На черт. 96 изображенъ въ плане крестовый сводъ, пролеты котораго равны 2а и 2Ь, а подъемъ равенъ f0, а потому линш ASC и BSD—д!агональ • ныя ребра, a LSN и 0SM—горизонтальный шелыги.
Проводимъ изъ точекъ N и М линш NKF и MJ, перпендикулярный къ fliaro-нальному ребру SD-, эти линш разделятъ четверть свода SIVDM съ двумя соседними полураспалубками на три части, въ которыхъ, какъ известно изъ
аналитическаго расчета, распоры и нагрузки разные. А именно во всей полураспалубке SND нагрузка одинакова постоянна и равна q на квадратную единицу, а въ полураспалубкахъ ASM и SMD нагрузка не одинаковая, а именно:
въ треугольнике SKy
постоянная нагрузка равна — q -^4
въ треугольнике
MDx нагрузка тоже
постоянная, и равна р3 — q — ,
а въ трапещи КМху на-
а
грузка переменная, меньшая pv но большая, р3, величина ея изменяется, следуя по закону полукубической параболы.
Что же касается распоровъ, то въ треугольнике KSN распоръ постоя-
ненъ и равенъ распору цилиндрическаго свода, полупролетъ котораго равенъ длине FN а подъемъ равенъ подъему крестоваго свода пяты этого цилиндрическаго свода расположены по линш AM, а шелыга совпадаетъ съ шелыгой SN крестоваго свода.
Въ трапещи KNDM распоръ переменный, онъ отъ величины распора въ треугольнике KSN уменьшается до нуля, следуя по полукубической параболе.
Начнемъ съ нахождешя графическимъ путемъ величинъ нагрузокъ д и р Для этого (черт. 97) на двухъ взаимно перпендикулярныхъ лишяхъ откла-дипаемъ въ масштабе длинъ полупролеты а и Ь, и также единицу длины; соединяемъ концы отложенныхъ длинъ прямыми и къ проведеннымъ лишямъ /л н fb возстанавливаемъ перпендикуляры, которые продолжаемъ до пересе-I'liHi Ci. ।оризонтальной прямой; въ точкахъ а2 и возстанавливаемъ перпендикуляры къ лишямъ аа2 и ЬЬ^, которые продолжаемъ до пересечешя съ н piHK.iiii.iion прямой; черезъ точки а8 и Ь3 снова проводимъ линки перпенди-
Ч *1 |>|он<1.| Ю/исключая 101 пом-Ьщены на отдельной таблиц-Ь въ конц-b нАтоящей
dinikll,
— 221
кулярныя я2я3 и Ь2Ь3 до перескчешя съ горизонтальной прямой. Наконецъ, изъ точки о, перес-Ьчешя горизонтальной и вертикальной линш, проводимъ произвольно наклонную прямую ор', и на ней въ масштабе силъ откладываемъ отрЪзокъ oq, равный нагрузке q.
Соединяемъ точку q съ точками b и bt, а изъ точекъ а и я4 проводимъ лин!и ар" и а,.р параллельный лишямъ bq и b^q. Отрезки ор и ор", измеренные въ масштабе силъ, дадутъ искомыя величины нагрузокъ рх и /),.
Построеше это основано на графическомъ возведеши въ степень и на графическомъ умножеши. На самомъ деле, такъ какъ въ точкахъ а, Ь, а.2, Ь2, а3, 63 углы прямые, то
откуда
(об)2 = 7.об2, и (оя)2 = 7.оя2, (об2)2 = об.об;1, и (оа2)2 = оа. оа3, (об3)2 = ob2 .obit и (оя3)2 — оа.г. oai;
(об,)2 (оя,)2
об, - - ' 4 , и оа. = \ ,
4 °б2 4 о«2
, (об2)‘ (оаоу
"™ ' " га‘=м«х-
далЬе «‘.=(T^4y, = («<>* = » (оя)8
Ойа = 7 Аг = (°а)‘ = а‘> (оя)2.(оя)2 '
ор' оа. ор" оа
и наконецъ: — = - 4 и — = — oq оЬц oq ob
Следовательно действительно:
, а4 р1=оР = q~t, и
,, а А ~ор = q ъ .
Теперь, когда все нагрузки q, рг и р3 известны, необходимо начертить д!аграмму нагрузки на распалубки; для этого (черт. 98) проводимъ лишю оо параллельно д1агонали свода SD, проектируемъ на нее точки S, у, х и Д, въ точки s, п, j, d, черезъ эти точки проводимъ лиши перпендикулярный оси оо. Откладываемъ на проведенныхъ перпендикулярахъ отъ оси оо вправо отрезки sq = q и dq = q, а влево spl=np1=pl и jp3 = dp3 = р3. Соединяемъ точки q и q, а также точки pi к plt р3 к р3 прямыми лишями. Между точками р, и р3 следовало бы провести полукубическую параболу, но вследств!е незначительности разстояшя и, имея въ виду, допустимое для практики приближеше, соединяемъ точки pf и р3 прямою лишей. Такимъ образомъ получимъ фигуру которая служитъ д!аграммой нагрузки на обе распалубки.
— 222 —
Для того чтобы найти величину нагрузки на сводъ въ любой точке, стоитъ только спроектировать на ось оо данную точку и черезъ полученную проекщю точки провести къ ней перпендикуляръ, отрезки перпендикуляровъ справа и слева отъ оси оо до контура д!аграммы нагрузокъ дадутъ величины искомыхъ нагрузокъ.
Для определешя распоровъ делимъ отрезки Sy, ух, хВ д!агонали SB на части, по возможности, равныя между собою; черезъ точки делешя и черезъ средины отрезковъ д!агонали проводимъ лиши параллельный лиши NK.
Лиши, проведенный черезъ точки делешя разстоянш Sy, ху, хВ, разде-лятъ полураспапубки на полоски, а лиши, проведенный чрезъ средины техъ же отрезковъ, будутъ служить осями этихъ полосокъ.
Для определешя постоянной величины Q распоровъ треугольника SKN (черт. 96) возьмемъ разрезъ свода по лиши FN. Пусть черт. 99 будетъ этимъ разрезомъ. Нагрузкой этой полоски будетъ служить нагрузка полураспалубки SND, т.-е. q. Разделимъ арку (черт. 99) на произвольное число частей и, следуя методу предельнаго равновесия, определимъ распоръ этой полоски,— это и будетъ искомый распоръ полосокъ, лежащихъ въ треугольнике SKN. При этомъ, конечно, необходимо иметь въ виду ширину полоски, для которой былъ определенъ распоръ Qr
Когда распоръ полученъ, то легко уже найти попарно равные между собою, но переменные по длине уВ распоры ’) остальныхъ частей 1/lKyD и DyN обеихъ полураспалубокъ.
Эти распоры равны: 2) = Cw Ч где параметръ полукубической пара-с7/2 ______
болы C=q е. Здесь q — нагрузка, с = j/a2-|-Ъ'1, а е — ширина полосокъ. fv
Для получешя д!аграммы распоровъ проведемъ (черт. 100) ось 030а параллельно полуд1агонали SD (черт. 96) и на нее спроектируемъ точки S, у и D соответственно въ точки 0v О' и 0а, черезъ эти последшя проведемъ перпендикуляры къ лиши 030а, а на нихъ отложимъ:
O'Q^Q,.
Точки Qt и соединимъ прямою, которая будетъ параллельна а черезъ точки 01 и os проведемъ полукубическую параболу.
Фигура OlQlQl03 и будетъ д!аграммой распоровъ; для определешя величины распора въ любой точке крестоваго свода достаточно спроектировать эту точку на ось 0г03, провести черезъ проекщю точки перпендикуляръ къ оси 030а и измерить въ масштабе отрезокъ этого перпендикуляра между ли-Н1ями, ограничивающими контуръ д!аграммы распоровъ.
Такимъ образомъ, мы нашли величины распоровъ распалубокъ. Распоры эти, приложенные по направлешю осей полосокъ, на который разделены полу-распалубки, разложатся по лишямъ (черт. 96) ND и MD на составляющий нормальный къ этимъ лишямъ и направленный вдоль нихъ.
*) КрлмЪ того, распоры будутъ завис-Ьть отъ ширины полосокъ. '*) См. пиша выражеше распора <?,2.
— 223 —
Разложеше это, показанное на черт. 96, выполнено на д!аграмме распоровъ (черт. 100). По лишямъ же SA и SM распоры эти сложатся по параллело-граму и дадутъ въ сумме распоры Qx' и Q ОпредЪлимъ теперь распоръ д1а-гонапьной арки крестоваго свода и вертикальное давлеше на опоры свода. Пусть черт. 101 изображаетъ собою д!агональный разрезъ свода; проведем ь вертикальный лиши, разграничивающая полоски. Намъ надо теперь определить вертикальный давлешя, который производятъ на Д1агональную арку полоски полураспалубокъ; давлешя эти будутъ равны нагрузкамъ, приходящимся на указанный полоски.
Опред-Ьлеше величины нагрузокъ полосокъ полураспалубокъ произведено на черт. 98. Назвавъ нагрузки эти попрежнему черезъ дг' и д^', и д.”, д3' и Уз "’ найдемъ ихъ значеше сл-Ьдующимъ образомъ:
fJi"= 9s" <\ <
Уч — Рч&ч Уч = ’
Уз — Рз^з ез > Уз ~ yz3 ез •
где постоянный jOj и р3 и переменный р.2 известны изъ построешя (черт. 98), длины левыхъ полосокъ 2г’, 2^ и 23, правыхъ г", и , а также ширины ev е3 и е3. получаются изъ чертежа 96.
Для определешя вепичинъ нагрузокъ поступаемъ следующимъ образомъ: На оси оо (черт. 98) *) отъ точекъ s, и, wt и d, откладываемъ въ масштабе длинъ единицу длины и соединяемъ полученный точки 1 съ точками q, plt р3, и', и^, и" и t/j". Отъ точки s на той же оси оо откладываемъ длины z^, z^" полосокъ, относящаяся къ отрезку Sy д!агонали SD\ отъ точекъ иу и i/2 откладываемъ z2' и z2" длины полосокъ принадлежащихъ отрезку jjt д!агонали SD; и отъ точки d откладываемъ z3 и z3" длины полосокъ относяпцяся къ отрезку xD д!агонали SD. Черезъ полученный точки, отмеченныя (черт. 98) черезъ z со значками, проводимъ лиши параллельный лишямъ 1рх, 1q, 1и, 1и", 1р3 и 1q. Параллели эти встретить въ точкахъ ду', д^', д2, д2", д3, д3" лиши, проведенный черезъ точки s, и и d нормально къ оси оо.
Полученные такимъ образомъ отрезки sg^, sg", ид2', ид2', dg3 , dg3' и будутъ искомыми нагрузками на полоски полураспалубокъ, а отрезки д^д^', 9ч9‘"> 9з9"з будутъ равны давлешямъ, который производятъ полоски на диагональную арку. Отрезки эти должны быть измерены въ масштабе силъ; на черт. 98 найдены величины нагрузокъ лишь для несколькихъ полосокъ съ темъ, чтобы излишне не затемнить чертежъ.
Въ центрахъ тяжести элементовъ д!агональнаго разреза (черт. 101) будутъ приложены определенный величины давленш полосокъ на д1агонапьную арку. Построивъ многоугольникъ силъ и, определивъ по методу предельнаго равновешя, свода распоръ, получимъ величину V вертикальнаго давлешя д!а-гональнаго ребра, а следовательно и величину давлешя крестоваго свода на опоры, а также величину распора Qu д!агональной арки.
•) На черт. 98 точки, полученный отъ отложешя одноименныхъ разныхъ величинъ, отмечены одиЬми и тЬми же буквами; кром-fc того, для ясности чертежа проведены не всЪ jihmJij
— 224
Черт. 101.
— 225 —
Выше было указано, что распоры полосокъ по лишямъ SN и SM складываются по параллелограмму и даютъ въ сумме распоры Qx' и Q приложенные въ шелыгахъ подпружныхъ арокъ и действующая внаружу крестоваго свода. Для опред"Ьлешя распоровъ Qx' и О ' выполняемъ следующая крайне простыя построешя; на прямыхъ и 0Qy', параллельныхъ SN и SM (черт. 102 и 103) беремъ произвольный точки Q ' и 0 и изъ нихъ проводимъ лиши параллельный осямъ полосокъ свода, на этихъ лишяхъ откладываемъ величины распора Qj, а изъ концовъ отложенныхъ отр'Ьзковъ проводимъ параллели осямъ полосокъ сосЬднихъ распалубокъ и снова откладываемъ тотъ же распоръ Qlt полученные отрезки своими концами попадутъ х) очевидно на проведенный прямыя параллельный соответственно SNи SA7; другими словами, строимъ параллелограммъ и находимъ равнодействующая двухъ распоровъ Q.., действующихъ въ шелыгахъ крестоваго свода подъ углами CSD (черт. 102) и ASD (черт. 103), затемъ откладываемъ длину полученной д!агонали (черт. 102) столько разъ, сколько полосокъ сходится на протяжеши SN. Полученная длина 0CL', измеренная въ масштабе силъ, даетъ величину распора Qxr. Для нахождешя величины распора ' откладываемъ на лиши (черт. 103), параллельной SM, полученную д!агональ столько разъ, сколько полосокъ сходится на протяжеши длины SK-, затемъ, имея въ виду, что сходягщяся полоски на протяжеши КМ имеютъ переменный распоръ, строимъ параллелограммъ подобно предыдущему, но откладываемъ соответственный величины распоровъ Q2, измеренный по д!аграмме распоровъ (черт. 103). Такимъ образомъ получимъ лишю OQ.J, длина которой, измеренная въ масштабе, даетъ распоръ Qy'.
Для определешя величины распоровъ Q” и Q", приложенныхъ къ под-пружнымъ аркамъ и действующихъ внаружу крестоваго свода, строимъ многоугольники силъ и веревочные многоугольники (черт. 104 и 105), причемъ разстояше между силами взято изъ чертежа 96, а величина самыхъ силъ получена изъ д!аграммы распоровъ (черт. 100), въ которой распоры Q„ разложены на две составляющий, направленный нормально и вдоль подпружныхъ арокъ. Точки приложешя равнодействующихъ переносимъ съ черт. 104 и 105 на черт. 96, равнодействующий многоугольниковъ силъ, измеренный въ соответствующемъ масштабе, дадутъ по величине распоры Q" и Q”.
Намъ остается еще определить распоры Qa и Qb, действующие въ подпружныхъ аркахъ, подверженныхъ горизонтальнымъ усшлямъ, равнымъ соста-1 ляющимъ распоровъ Q2, который действуютъ вдоль вышеуказанныхъ подпружных I. арокь. Величина этихъ составляющихъ получена разложешемъ распоровъ нъ пхь д!аграмме (черт. 100).
Нуги, имеемъ разрезы подпружныхъ арокъ (черт. 106, 107), разделенныхъ на чнсм нты согласно делешю распалубокъ на полоски. Строимъ многоугольники сил!, и, следуя методу предельнаго равновешя, находимъ распоры Qa и (X, которые будутъ направлены вертикально и вверхъ, такъ какъ усил!я, вызы-вающ!я эти р.г поры, горизонтальны. Измеренный въ масштабе силъ равнодействующ! я мио! oyi ольниковъ силъ дадутъ величины На и Нь, равнодействую-
*) Пало нм! и. тп. пилу, что распоры полосокъ сосЪднихъ распалубокъ равны между собою по величин!).
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ ldoaoul
15
— 226 —
щихъ (направленныхъ вдоль подпружныхъ арокъ) составляющихъ распоровъ, а измеренные въ масштабе отрезки Qa и Qb дадутъ величины этихъ распоровъ.
Черт. 108.
схематически показано распределеше нагрузки
Такимъ образомъ найдены все распоры и усшпя, действующая въ крестовомъ своде, сложенномъ въ елку, остается только, согласно известному, построить кривыя давленш и определить во всехъ частяхъ прочность и устойчивость разсчитываемаго свода.
На приведенныхъ черте-жахъ и деаграммахъ наглядно видно распредепен1е усилш въ крестовыхъ сводахъ, сложен-ныхъ въ елку, а на черт. 108 въ распапубкахъ разсматрива-
емаго свода. Въ случае перекрыли квадратнаго пространства крестовымъ сво-домъ нагрузка всюду однообразна и равна д.
3. Сравнение распредЪлежя усип(й въ крестовымъ сво-дамъ нормальной кладки и въ елку.
Вследств1е сложности формулъ распоровъ и вертикальнаго опорнаго давлешя въ крестовыхъ сводахъ, сложенныхъ въ елку, ограничимся сравнешемъ крестовыхъ сводовъ, перекрывающихъ квадратное пространство, при устройстве кладки нормальнымъ способомъ и въ елку.
Выпишемъ сперва величины вертикальнаго опорнаго давлешя и распоровъ въ предположешяхъ двухъ видовъ кпадокъ и расположимъ эти величины въ таблице № 15.
Изъ разсмотрешя таблицы видимъ, что число родовъ усилш, действую-щихъ въ своде, сложенномъ въ елку, значительно больше; при этомъ изъ су^ ществующихъ только трехъ усилш въ своде, сложенномъ нормально, распоръ распалубки вдвое меньше въ своде нормальной кладки противъ кладки въ елку, остальныя же усил!я, распоръ деагональной арки и вертикальное опорное давлеше, имеютъ одну и ту же величину въ сводахъ обоихъ видовъ кладки. Кроме того, крестовый сводъ въ елку не можетъ быть сложенъ безъ подпружныхъ арокъ и нуждается либо въ сильныхъ щековыхъ стенахъ, либо въ томъ, чтобы соседше своды уравновешивали распоры QJ и Q,", действующее внаружу свода.
Преимущество применешя крестовыхъ сводовъ, сложенныхъ въ елку, можетъ заключаться разве только въ самомъ производстве кладки сводовъ, но вопросъ этотъ не входитъ въ нашу задачу.
3
2 I -О
— 227 —
Таблица 15.
РОДЪ УСИЛИЙ. Обозначение. К Л А Д К A
нормальная въ елку.
Вертикальное опорное да-влеьпе г qa2 да2
Распоръ распалубки . . . Qe 1 a2 a2 qT Io
Распоръ д!агонапьной арки.. Qw 1 a3 Y^qT0 1 a3 12 Co
Распоръ подпружной арки.. Qa — 30 зй
Распоръ въ шепыгЪ нормальный къ подпружной . . Qx — a3 qT • о
Распоръ нормальный къ подпружной арк-Ь Q" — 1 a3 5q To
Горизонтальное усилие въ подпружныхъ аркахъ .... Ha — 1 a3 SqF
4. ОпредЬлеже толщины крестовыхъ сводовъ и проверка ихъ прочности и устойчивости.
Иъ приведенной выше таблицк век дкйствуюпця въ крестовыхъ сводахъ УСИЛ1М, какъ мы видкли, суть функщ’и g, нагрузки на квадратную единицу гори-.1011 riuii ной проекщи перекрываемаго сводомъ пространства, но век выведенный формулы усил|й, точнке сказать напряжешй, не даютъ величины толщины спод.1 1 ин обозначить век напряжешя черезъ N, а черезъ 7с коэффищентъ, in. состоит. котораго входятъ какъ постоянные числовые множители, такъ и р.|1м1.)>1.| (пролетъ и подъемъ) свода, то век напряжешя (вертикальный и распоръ) можно выразить въ видк общей формулы:
N= 7с. q.
15
— 228 —
Умноживъ об-fe части формулы на d—толщину крестоваго свода, будемъ имФть
N.d = k.d.q.
Обозначивъ далЪе черезъ:
7 — в-Ьсъ кубической единицы матер!ала свода,
р— нагрузку на квадратную единицу свода, можемъ написать, что,
g. d — у. d -\-р-
Подставляя затЬмъ величину q.cl въ полученную выше формулу, будемъ им-Ьть: N.d = k(y.d-\-p), откуда и найдемъ выражения для толщины свода:
Опред-Ьливъ напряжете N (вертикальное напряжение или распоръ) по приведеннымъ формуламъ, можемъ найти толщину свода въ замкЬ. и въ пятахъ, а сл-Ьдуя методу пред-Ьльнаго равнов-Ьшя, и построить кривыя давлешя въ соотвЬтственныхъ частяхъ крестоваго свода и по изв-Ьстнымъ правиламъ проверить прочность и устойчивость крестоваго свода.
С. Расчетъ сомкнутыхъ сводовъ.
Сомкнутые своды можно разсматривать какъ систему перекрещивающихся цилиндрическихъ сводовъ, у которыхъ сохранены одни только лотки, распалубокъ же нФ>тъ.
Всл-Ьдств1е сказаннаго, расчетъ сомкнутыхъ сводовъ основанъ на расчете цилиндрическихъ сводовъ и все относящееся къ нимъ приложимо также и къ сомкнутымъ.
Кладка сомкнутыхъ сводовъ бываетъ главнымъ образомъ двоякая: 1) нормальная, где кирпичи располагаются параллельно опорнымъ стЬнамъ, и 2) въ елку, где кирпичи располагаются рядами нормальными къ д!агональнымъ ребрамъ свода.
Нагрузка на сомкнутые своды бываетъ обыкновенно равномерная по всему перекрываемому ими пространству; обозначимъ нагрузку на квадратную единицу горизонтальной проекщи свода черезъ q, считая въ томъ числе и собственный в-Ьсъ свода.
Способъ кладки существенно вл!яетъ на распределен'^ усилш въ своде, почему и разсмотримъ расчетъ каждаго изъ этихъ двухъ способовъ кладки въ отдельности.
1. Расчетъ сомкнутыхъ сводовъ нормальной кладки.
а. Лналитичесюй расчетъ.
Положимъ, что мы имеемъ сомкнутый сводъ (черт. 109), сложенный нормально, псрекрывающш прямоугольное пространство 2аХ2Ь и имеющш подъемъ
Возьмемъ оси координатъ х и у параллельно опорнымъ стенамъ, а начало координатъ примемъ въ одномъ изъ угловъ свода. Разрежемъ сводъ вертикальными плоскостями, параллельными осямъ координатъ, на элементы шириною </,г и dy.
Имея въ виду какь незначительность толщины свода сравнительно съ рад!усомъ кривизны его направляющей, такъ и упрупя свойства матер1ала, можно съ достаточной для практики точностью принять, что напряжен!я въ толщине свода распределены равномерно, а потому при опреде-
— 230 —
лежи распоровъ и вертикальныхъ усилш, д-Ьйствующихъ въ немъ, толщину свода въ расчетъ можно не вводить.
Въ каждой точк-fe д!агональныхъ реберъ упираются попарно элементарный полоски цилиндрическихъ сводовъ, длина горизонтальной проекцш которыхъ будетъ х и у, а ширина dx и dy. Обозначивъ длину полуд!агонали свода черезъ С
и черезъ z разстояше, по этой полуд!агонали до общей точки двухъ элементарныхъ полосокъ, отъ начала координатъ, можемъ изъ чертежа написать сл’Ь-дуюЩ1я соотношешя:
а _ у _ dy b х dx
Z X у
с I) а’
а sina -- —, с
Ъ
COsa = , С
dx~ - dz , dy = — dz . с с
Нагрузки на элементарный полоски будутъ равны:
dgx=qy(lx и dgu = gxdy.
— 231 —
11.1 шслыги этихъ полосокъ будутъ действовать горизонтальные распоры </»,» и d<t , которые на основаши выведеннаго раньше можно выразить формулами:
dQ№ = jq^dx и dQB= ?q — dy,
где f переменный подъемъ элементарныхъ полосокъ.
Въ шелыгахъ элементарныхъ полосокъ вертикальныхъ усилш не будетъ, такъ какъ вся нагрузка расположена ниже ихъ. Въ начале элементарныхъ полосъ будутъ действовать те же распоры dQv и dQg и кроме того еще и вертикальный усил1я dV№ и dVtJ, который будутъ равны:
dVx = dyx — qydx, dVy = dgg = qx dy .
Приводя выражешя элементарныхъ распоровъ и вертикальныхъ усилш къ одному переменному, получимъ:
о2 Ь2
= 72Ь2^ хЧх , dQtJ = q 2a^dy ,
dV = q^xdx , dV — q~у dy . b ' d
Найдемъ теперь выражеше переменнаго подъема f въ функцш координатъ х и у.
Элементарные распоры dQr и dQ , действуя на каждую точку д(агональ-наго ребра сомкнутаго свода, складываются въ горизонтальный усшпя, который обозначимъ черезъ dH^, эти усшпя, равныя:
будутъ действовать на д!агональную арку какъ внешняя горизонтальная нагрузка, которая вызоветъ въ названной арке вертикальный распоръ,, при ыомъ опорную кривую этой арки безъ особой для практики погрешности можно принять за параболу съ горизонтальною осью, и съ касательной въ вершин Ь, совпадающей съ началомъ д!агональной арки.
Уравнение такой параболы будетъ:
где <’ неизвестный постоянный параметръ, величину котораго найдемъ изъ того услоп1я, чго при
= с , f=f0-
Подставивъ атн значешя переменныхъ въ уравнеше параболы, получимъ:
Г2
/’/ - откуда ,
— 232 —
и уравнен!е параболы въ окончатепьномъ вид-fe будетъ:
С
Отсюда находимъ выражен!я перем-Ьннаго подъема элементарныхъ арокъ
' с
Заменяя зд-Ьсь z черезъ х и у, получимъ
' b ‘ а
Подставляя найденное такимъ тарныхъ распоровъ, будемъ им^ть:
образомъ значение f въ выражешя элемен-
(Ю. — Q —V/— ,
2b^f
7Г. № 31
^(12а^вУ ‘ !J '
элементарныхъ распоровъ на dx и dy, получимъ
Разд'Ьливъ выражеюя
Черт. 110.
выражен!я для распоровъ полосокъ, ширина которыхъ равна единиц-fe. Назовемъ ихъ черезъ Qex и QetJ.
Такимъ образомъ будемъ им’Ьть:
“ 2bs/2/0
Q — q —~— у 12
" 1 2ahfoy
Изъ разсмотрф>шя этихъ выражений видимъ, что единичные распоры лотковъ сомкнутаго свода сл-Ьдуютъ закону полуку-бической параболы. При х — 0 и у — 0 единичные распоры равны нулю, а при х = Ъ и у = а единичные распоры равны:
и2
s = Ь = Q 2 у ’ !/ = а — Q 2
На черт. ПО представлена эпюра распред-кпенш единичныхъ распоровъ лотковъ сомкнутаго свода.
— 233 —
ГавподЬйствуюгщя распоровъ будутъ:
('ь о2 С'ъ .
Qx = 2 I dQ ~д - я— I x^dx х Ъ
Vo v ! о V о
гд£> множители 2 поставлены передъ интегралами потому, что каждый лотокъ состоитъ изъ двухъ половинъ, сумма распоровъ которыхъ выражена написанными интегралами.
Выполнивши интегрировали, получимъ:
2 аЧ ^2 а№
='ул. " e"=s»7;-
Выше мы нашли элементарный вертикальный усил!я dVx и dV а единичный вертикальный усшпя, который обозначимъ черезъ Усг и V , получимъ, раздФшивъ элементарный на dx и dy. Такимъ обра-
Черт. 111.
зомъ будемъ имЬть:
TZ а тг а
Ус = (1ьх и ус,, = чьу-
Эти вертикальный усил!я слЪдуютъ закону прямой лин!и и при х -- 0 и у — 0 единичный вертикальный усилия равны нулю, а при х — Ъ и у — а они равны:
— Qfli, (Т еу)у~а —
На черт. 111 представлена эпюра распред’Ьлешя единичныхъ вертикальныхъ усилш. РавнодЬйствую-щ!я элементарныхъ вертикальныхъ усилш будутъ:
гЛ> rJi
Гс = 21 dVx = 2q ” I xdx,
О V о
fa pft
dV«=2qa\ ydy'
” О V Q
гд-fe множитель 2 поставлснъ согласно
объясненному выше.
По интегрнрованш получимъ:
1 ЧаЬ> Vy = qab.
Сумма давленш па всЬ четыре
опорныхъ стЪны сомкнутаго свода бу-
детъ равна:
/• 2Г„ | 2^ = 47«&.
— 234 —
Нагрузка на все перекрываемое сводомъ пространство равна:
G = q.2a.2b = 4qab.
Такимъ образомъ мы нашли, что сумма давленш на стены действительно равна нагрузке на сводъ.
Определимъ теперь усип1я, действуюпйя въ д!агональныхъ аркахъ. Выше было указано, что на каждую точку д!агональнаго ребра действуетъ горизонтальное усил5е:
= /ж?
Взявши отношение элементарныхъ распоровъ, получимъ:
dQx_a dQ„~b’
откуда заключаемъ, что равнодействующая dHz будетъ направлена по диагонали свода. Подставляя выражения элементарныхъ распоровъ и заменяя переменный х и у черезъ в, получимъ:
ab
и наконецъ:
/Ж
Равнодействующая этихъ усилш будетъ:
/.о
Н = dH = q 3 1 3
J о
аЪ 2?T.fo
„ 1 abc
H'=s’4
Найденное ycnnie H., направленное горизонтально внутрь свода, будетъ действовать въ д!агональной арке.
Определимъ теперь точку (черт. 112) приложешя этой равнодействующей Н., для чего найдемъ выражеше момента йЛ/ усилш dHz, который будетъ равенъ:
cTMz = dHz.f.
Подставляя въ это выражеше найденный для dHz и f значешя, получимъ
или
— 235 —
или
Сумма моментовъ будетъ:
Взявъ отношеше момента Mz къ
Черт. 112.
нальную арку. Моментъ указанныхъ силъ
равнодействующей Hz, получимъ ея плечо отъ начала д!агональной арки. Такимъ образомъ будемъ иметь:
,3 Н. 6/о
Найдемъ теперь распоръ Q. д!агональной арки, который определится изъ уравнешя моментовъ силъ, действующихъ на д!аго-относительно шелыги д!агональной
арки будетъ:
1 , J.U „ — QQ.bc.
Q3.C-/T(4-/-) = 0.
Подставляя значеше Нг и /' и определяя Q, изъ уравнешя моментовъ, будемъ иметь:
Q:=^b.
Такимъ образомъ мы определили величины Qex, QCi/, Vex, VC1), Qz иН., имея который можемъ найти размеры свода; далее, пользуясь методомъ предельнаго равновеНя, построимъ кривыя давлешя въ своде и затемъ определимъ прочность и устойчивость всего сомкнутаго свода.
Ь. Графически расчетъ.
Сомкнутые своды, сложенные нормальной кладкой графически, расчитываются какъ цилиндричесюе своды, при чемъ расчитываютъ арку длиною „еди-ница“, пролетомъ равными наибольшей стороне перекрываемаго сомкнутыми сводомъ пространства; найденные размеры сохраняются для всего свода. Когда лин!я давлешя построена и усил!я найдены, тогда остается определить устойчивость и прочность сомкнутаго свода, пользуясь известными правилами. При расчете сомкнутаго свода нормальной кладки необходимо проверить прочность и устойчивость д!агональныхъ арокъ, для чего должно построить кривую давлешя этихъ арокъ.
— 236 —
2. Расчетъ сомкнутыхъ сводовъ, сложенныхъ въ елку.
а. Аналитический расчетъ.
Положимъ, что мы имеемъ сомкнутый сводъ, сложенный въ елку (черт. 113) съ подъемомъ f0, перекрывающш прямоугольное пространство 2аХ2Ь. Возьмемъ оси координатъ х и у параллельно опорнымъ -стЬнамъ и начало координатъ въ центра свода. РазрЬжемъ сводъ вертикальными взаимно параллельными плоскостями, нормальными къ д!агоналямъ свода и отстоящими другъ отъ друга на разстоянш dw. Обозначимъ черезъ с длину полуд!агонали свода, а черезъ w—разстоян!е по д1агонали отъ начала координатъ до любой точки д1агонали. Плоскости эти раздЬлятъ сводъ на рядъ элементарныхъ полосокъ, который по характеру своихъ началъ будутъ принадлежать къ тремъ видамъ.
ВсЬ полоски им'Ьютъ видъ стрЬльчатыхъ арокъ, шелыги которыхъ расположены на д1агональномъ ребр-Ь сомкнутаго свода. Элементарный полоски, относящ1яся къ первому виду и расположенный въ ромбЬ LM'MN, будутъ имЬть оба начала, упираюцдяся въ начала же парныхъ подобныхъ полосокъ; полоски, входягщя въ составъ второго вида, им'Ьютъ оба начала разный; начала одной стороны подобны началамъ полосокъ перваго вида, а друпя начала опираются на опорную стЬну свода; эти полоски расположены въ параллелограмм^. MM^N *); полоски третьяго вида, составляются часть сомкнутаго свода, заключающуюся въ треугольникахъ им'Ьютъ оба начала одинаковый и распо-
ложенный на опорныхъ ст'Ьнахъ свода. Несмотря на различ1я полосокъ трехъ указанныхъ видовъ, ихъ можно разсматривать какъ бы составленными изъ разныхъ отр'Ьзковъ двухъ кривыхъ, расположенныхъ въ вертикальныхъ плоскостяхъ, нормальныхъ къ диагонали свода.
Эти кривыя (черт. ИЗ), выпуклый вверху, симметричныя относительно вертикальной оси и обращенный вершиной вверхъ, движутся такъ, что вершины ихъ перемЬщаются по лишямъ, параллельнымъ осямъ координатъ и расположеннымъ надъ ними на растояши fo; нижше концы одной кривой слЬ-дуютъ по направлешю продольныхъ опорныхъ стЬнъ, а концы другой кривой по направлешю поперечныхъ стЬнъ.
Кривыя эти при своемъ движенш взаимно пересЬкаются въ точкахъ, проектирующихся на д!агональ свода и расположенныхъ на д!агональномъ ребр^Ь его; эти точки совпадаютъ съ шелыгами элементарныхъ полосокъ. Начала полосокъ составятъ точки перес-Ьчешя этихъ кривыхъ съ вертикальными плоскостями, проведенными черезъ оси координатъ и черезъ опорный стЬны сомкнутаго свода.
Обозначимъ черезъ я со значками наверху и внизу горизонтальный проекции дугъ, составляющихъ двЬ> в-Ьтви каждой элементарной полоски, при чемъ будемъ обозначать цифрами внизу ,, 2 и 3 виды полосокъ, а одной и двумя черточками наверху—лЬвую и правую вЬтви полосокъ; далЬе означимъ черезъ £ со
*) И другихъ параппепограмахъ, ему подобныхъ.
237 —
Черт. 113.
значками одинъ и два наверху горизонтальную проекщ'ю длины отрЪзковъ кривыхъ отъ взаимнаго ихъ перес Ьчен!я до начала; черезъ /’—вертикальную
— 238 —
проекщю тЬхъ же отрезковъ; черезъ у со значками наверху—длины горизон-тальныхъ проекщй отрЬзковъ кривыхъ отъ вершинъ до ихъ взаимнаго пере-сЬчен1я; черезъ со значками —вертикальную проекщю посл'Ьднихъ отр'Ьзковъ.
Напишемъ некоторый значешя и соотношешя, полученный изъ чертежа (черт. 113), который намъ будутъ необходимы въ дальн'Ьйшемъ:
у с ас а
cosa b Ъ2 b
— х = —ю. а а
„ Ъ—х с Ъ
«о — —--=—(Ь — х)=-(с— гс),
sina а а
, а — у с а \ ас х а. . д3 —------ =т [а—тх _- (/) — ,г)=-(с — «А,
3 cosa b\ b I b*x b
V = Cfl Ф — = — w),
Cv CL
ac a
< = ('> — «) = b(c — tv),
C" = — (b — x)—^(c — w), a a,
= 7." = S".
Обозначимъ еще черезъ yo' и у" тЪ величины / и у”, который соотв^т-ствуютъ положена кривыхъ съ вершинами, совпадающими съ центромъ свода, т.-е. при w — 0, эти величины будутъ:
Хо/= ь и Zo"
Ъс
а '
Пределы изм-Ьнежя перемЪнныхъ х, у и го для трехъ видовъ элементарныхъ полосокъ нижесл'Ьдуюпп’е:
*) Изъ черт. 113 видно, что So = w, от.2 = /', ov = Sm., и Sr пересекаются подъ пря-мымъ угпомъ, So перпендикулярно къ »»2ог; следов., w средне-пропоршональное между /' и
239 —
ДЛЯ перваго вида: ОТЪ IV = 0 до W = с ’
ч X = 0 ,, X = bs с‘2’
п У = 0 ,, У = ab‘\
для второго вида: ОТЪ IV Ь2 До с ZV — а2 с ’
и X = Ь3 с2 X = _ а2Ь с2'
W У^ «62 а3
Наконецъ для третьяго вида:
«2 отъ «| = до w - - с, с
(М>
„ ж = „ х = Ь,
а3 ” у = » у = а-
Нагрузка на элементарный полоски будетъ равна: dgt qz^dw q^wdtr,
dg" qz" div - q^w dw,
dg2'- qz^dw q wdw,
Cl
dg^' - qz^'dw qb (c — w) div,
CL
dgs' — Q.^3dw = qU^{c — iv) dw,
dg." — qg^'dw = q - (c — w') div. CL
H 11 ii‘ iiiniii itopln, распоры, д-Ьйствуюпйе въ стр-Ьльчатыхъ элементарныхъ полоскахь, могутъ быть выражены формулой:
</«„ 7 , • dw^-q^ ’-clw.
— 240 —
Постараемся входящую въ эту формулу величину /’выразить въ функц!и Для этого безъ особой для практики погрешности примемъ: во-первыхъ, что не только элементарный полоски составлены изъ частей полныхъ арокъ, но и кривыя давлешя полосокъ состоятъ изъ частей кривыхъ давлешя указанныхъ полныхъ арокъ, и, во-вторыхъ, что эти последшя им'Ьютъ очерташе параболъ съ вертикальной осью и горизонтальной касательной въ вершине.
Пусть уравнешя этихъ параболъ относительно касательной и оси будутъ:
(%")*= С", у.
где С и С" — неизвестные, постоянные параметры, которые будутъ определены изъ услов1я, что когда
>1 = 1*, тогда = и z" = z0".
Подставляя эти значешя въ уравнешя параболъ, получимъ:
(Zo')2=C7o, (zfl")‘2-C70, откуда
и _vw
f0 ~ k
Такимъ образомъ уравнешя параболъ будутъ:
Перемноживъ эти два уравнешя, найдемъ:
(z')2-(z")2
или
а2с2 62с2 _ с4
W0'W0’] -f^'
с2
?
/о
г
Сопоставляя это уравнеше
съ написаннымъ выше равенствомъ:
z'z"= ^2,
получаемъ:
w2 = ?/,
К h
откуда:
Изъ чертежа имеемъ:
7=^г2.
откуда получимъ выражеше для f:
f=A(e2 —w2).
— 241
Подставляя теперь въ выражеже распора dQ№ значеше /, $' и £
получимъ: «24(е’—«^){(ь) +(а)
ИЛИ
и наконецъ: d(Jm — а' ' „/ —:— dw. ю 1 2а1Ъ^й <:-\-го
Таюе распоры будутъ действовать какъ въ шелыгахъ, такъ и въ нача-лахъ вс^хъ элементарныхъ полосокъ.
Разделивъ dQ№ на dw, получимъ распоръ полоски шириною въ единицу; обозначивъ распоръ этотъ черезъ Q6K, будемъ иметь:
= («*-|-Ь4)с2 c — w
*сю 1 2a8Z>% ' с-[-го
Изъ разсмотрен1’я этой формулы видимъ, что распоръ этотъ следуетъ закону гиперболы, при
го = О (Qetl)l"=o = Q--2a'^~, а при w = c (Qe№)№==c — 0.
Въ промежуткахъ величина распора колеблется между приведенными величинами, почему выражеше распора для го = 0, какъ наибольшее, можетъ служить для определешя толщины свода.
Определимъ теперь вертикальный усил(я въ началахъ элементарныхъ полосокъ; обозначивъ ихъ черезъ dVlt dV2 и dV3, будемъ иметь:
1~ 2
v __dg,'-\-dg^' 2~ 2
г _ Фз' + ^з"
’ з — о
Подставляя сюда выражешя элементарныхъ нагрузокъ, получимъ:
dir‘=U'a
+ q2ab{C-lV)dlC'-
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ.
16
— 242 —
Разд-Ьливъ на dw выражешя элементарныхъ опорныхъ усилш, получимъ опорный усил!я полосокъ шириною единица; обозначивъ ихъ черезъ V^' и VC№"', будемъ иметь:
Х- =«2«4“’
л2
Все три выражешя единичны хъ опорныхъ усил1й, будучи первой степени относительно перем-Ьннаго, показываютъ, что у сил! я эти изменяются, следуя закону прямой лин1и, при чемъ: ycwrie V'm изменяется съ изменешемъ w
отъ w = 0 до го = — между пределами
__ J)(2
( Fr«/)<o=o = 0 и (Кю')|(!=^ = Tzel„ =q--;
усил!е Ve" постоянно на всемъ протяженш
а1 отъ w = — до w = —. с с
Усил1‘е Ксю'" изменяется съ изменешемъ го
а* отъ w = — до w — с между пределами
(V = и (Г =0.
к его ) w—— ею *- 2а \ ew Jto=c
Наибольшее значеше единичнаго опорнаго усил!я равно величине V"ac.
Найденные выше элементарные распоры dQa, действуя въ началахъ полосокъ, раскладываются на составляющая, одне изъ которыхъ нормальны къ плос-костямъ, ограничивающимъ четверть перекрываемаго сводомъ пространства, а друпя составляющая совпадаютъ съ упомянутыми плоскостями.
Такъ, на протяженш линш SN действуютъ, во-первыхъ, нормально къ ней навстречу съ двухъ сторонъ, составляющая dQwcosa, которыя взаимно уравновешиваются, и, во-вторыхъ, по направлению отъ S къ N пЫлствуютъ усшпя, заключающаяся въ вертикальной плоскости, проходящей черезъ лишю SN, и равныя 2dQwsina\ здесь множитель 2 поставленъ потому, что съ обеихъ сторонъ указанной плоскости действуютъ равныя между собою усил!я-.
Обозначивъ эти последшя составляющая черезъ dQ', букемъ иметь: dQx' = 2dQw.sina.
— 243 —
Подставляя сюда значешя dQ№ и since, получимъ:
dQx'
_Аа*+ъ*)с q <*&f0
с — tv с -| - w
dw.
На протяжении лиши SMl будутъ действовать, во-первыхъ, усил!я dQ№sina, которыя, будучи приложены съ обеихъ сторонъ названной линш и навстречу другъ другу, взаимно уравновесятся; во-вторыхъ, действуютъ усил(я, которыя обозначимъ черезъ dQJ; усшпя эти, действуклщя по направлешю отъ S къ Mt, будутъ заключаться въ плоскости вертикальной, проходящей черезъ лишю SM, и будутъ равны:
dQif' - - 2dQwcosa.
Подставляя сюда значеше dQw и cosa, получимъ:
a4f0
с — w с-\-го
dw.
По лиши NB будутъ действовать: во-первыхъ, усил!я dQwcosa, которыя могутъ быть не приняты во внимаше, такъ какъ направлены вдоль опорныхъ стенъ и уравновешиваются подобными же усшпями, направленными навстречу и действующими на протяженш CN\ во-вторыхъ, на томъ же протяжеши NB будут ь действовать горизонтальный усил!я, направленный нормально къ лиши NB внаружу свода; усил!я эти, равныя dQwsina, обозначимъ черезъ d.Q."\ подставляя значеше dQw и sina, будемъ иметь:
dQ”
Г M>sf0
С — W c-\-w
dw .
Заменивъ въ этомъ выраженш w на у, получимъ:
dQ"
(а* //*) с2
11 ~ ~2aWf0 ~
а — у 7
—г dy .
По лиши MfB будутъ действовать, во-первыхъ, усшпя dQmsinar, они мо-iyii. быть нс приняты во внимаше, такъ какъ направлены вдоль опорныхъ ciliii. и уравновешивающихся подобными же усил1ями, направленными имъ папе|р!.чу и действующими на протяжеши во-вторыхъ, на протяжеши М,В будуii. действовать горизонтально, направленный нормально къ лиши М{В внаружу свода, усил!я dQwcosa; обозначивъ ихъ черезъ dQ” и подставляя значент г/н и e.osa, получимъ:
' 2a2bfc c-[-w
16
— 244 —
и, заменяя w черезъ х, будемъ иметь:
dQ,,
„ ___ (а4 Ь4) с2 Ъ — х
Изсл'Ьдуемъ теперь найденныя
Распоры dQ; действуютъ равнодействующая ихъ будетъ:
величины dQ', dQ" dQ dQ ".
’-Л' *Л v у ’ V у
на протяженш SN и направлены внаружу свода;
<?;= с<'-
J о
Здесь интегрироваше должно быть произведено между пределами го, соответствующими крайнимъ точкамъ указаннаго протяжешя. Подставляя зна-чен!е dQQ и выполняя интегрироваше, получимъ;
или
= q )C[2cZ^« (с + «Р)~w] C ’
где Lgtl есть натуральный (Непперовъ) логариемъ.
Подставляя пределы и вынося с за скобку, получимъ:
Распоры dQy действуютъ на протяжении SMr и направлены внаружу свода; равнодействующая ихъ будетъ:
&
Q'
dQ;
Здесь интегрироваше должно быть произведено между пределами го, соответствующими крайнимъ точкамъ указаннаго протяжешя.
Подставляя значеше dQw и произведя интегрироваше, получимъ:
q; = (1
или
(а'‘ Ъ1) с
~^bf~
с — гю ,
—; dw с - - W
— 245 —
Распоры dQ" будутъ действовать на протяженш NB внаружу свода. Обозначивъ черезъ Qe" распоръ, приходящшся на единицу, и разделяя выражение dQ" на dy, будемъ иметь:
dQ" (а* А-Ъ") с* а —у dy ~(1~ 2<№fc а-[-у •
Изъ разсмотрешя этого выражешя заключаемъ, что распоръ 'Qe" слЪ-дуетъ закону гиперболы*), проходящей черезъ точку В и имеющей ассимптотой продолжеше лиши DC.
При у = О
(uxb-o Ч 2asbsfo
а при у — а
(Q ") — 0 .
\ I ел / У— и
*) Обозначая для краткости Qcx'' черезъ X, а постоянный коэффищентъ въ выражеши 2„" черезъ к, будемъ иметь уравнешя:
X=ka~Y , a + Y' которое преобразуется къ виду:
»Х-|-ХУ=й-1У или
ХУ + «Х-f- kY- ка — О.
Сопоставляя это уравнеше съ уравнешемъ второй степени съ двумя неизвестным^-:
Л№-|- J3XY + СХ2 + ЛХ+.ЕУ+ F=0 , и составляя выражеше дискриминанта:
В2 — 4.4С, находимъ, что, такъ какъ
Л — О, В = 1 , 0 = 0, то
£2 —4ЛС= + 1 >0,
<>|кудп апключаемъ, что разсматриваемое уравнеше представляетъ гиперболу:
для У — О им-Ьемъ и X = к ,
„ Y— + а .
я Y=-a.
Х=0,
2а
+ а—а
сю •
Х = к
Otrionn апключаемъ, что уравнеше
7^Г, а-\~ X
где
т.-„(«* + ь|И
k~q 2aWf0 '
представляетъ гиперболу, нмЬюшую ассимптотой продолжеше лиши DC.
— 246 —
Распоры dQ” будутъ действовать на протяженш МуВ внаружу свода. Обозначивъ черезъ Qe" распоръ, приходящшся на единицу, и разделяя выра-жен!е dQy на dx, будемъ иметь:
о»_£<?;'_„ («ч-^чъ-х dx 1 2a‘^f0 Ъ-[~а
Отсюда заключаемъ, что и распоръ Q” следуетъ закону гиперболы, проходящей черезъ точку В и имеющей ассимптотой продолжеше лин!и ОА.
при «=°, (Qe!l") *=o=q ~^ъч~ ’
а при
х — Ъ, (Qe,, ) х = ъ — о .
Найдемъ теперь равнодействующую воспользуемся выражениями:
и
распоровъ dQ” и dQ”, для чего
г — w
С —|— IV
(а5 ; Ь‘)с
die
(я*+ Ь*) с
7 ^lfo
С--W-,
—,— div
С - - IV
которыя проинтегрируемъ между соответственными пределами, первое между:
Ь®
w = — и w = с , с
а второе между:
а?
w — — и го — с . с
Обозначивъ равнодействующая черезъ Q" и Q,”. будемъ иметь:
&
С-IV
—i— dw
и
С)" — п (“’ + q 2a^f0
С---W
—, аги . o2c + w
Произведя интегрировате, получимъ:
„„ (а4-|-Чс|\ т , г х Т
& = q — 2аъ^-—\^cLcJn (с + — ^J6S
— 247 —
и
или
Q" = 2 (а 2^ е [2с£^ (с + «О — w ’
С
Точно такъ же получимъ:
п „ _ „ i»1_+ь*)^
а 2aibfB
[2 {Lg,f2-Lgn
Им^я въ виду разложете натуральнаго логариома въ рядъ:
(!-; «)=«
Л/ । «л/ <л/ j
Т 1 3 4 “Г Т '
получимъ дпя
Oi раиичиваясь однимъ членомъ ряда для QJ и QJ и двумя членами ряда
дли <!* " и 7/', будемъ им-Ьть:
— 248 —
Подставляя Lg 2 = 0.6931, будемъ имЪть:
п„_ п (а’+_^)с2
Q 2ab*f0
0,3862 —
q 2a2bf0
ьу , 1-
0,3862 —
На чертеж'Ь 114 представлена эпюра распоровъ, д'Ьйствующихъ на сомкнутый сводъ, сложенный въ елку.
Составимъ теперь величины элементарныхъ опорныхъ усил!й. Выше были найдены выражешя:
dV, =п - w dw ,
1 1 2ab
dV =g^-dw 2 2а
с2
dV„= а д , (с — iv) dw .
л 2аЬ
— 249 —
На протяжеши линш SN будутъ действовать усил1я dVt, которыя обозна-чнмъ черезъ d Гх', они будутъ равны:
£>2 dF ' — dJ, = q - -wdw . x 1 2a0
Так1я же усилия dT\ будутъ действовать и на протяжеши лиши SM, ихъ обозначимъ черезъ dV' и получимъ:
г
dV9' = dV}=q^ wdw.
Далее, на протяжеши линш ММ1 будутъ действовать усшпя dT2, которыя обозначимъ черезъ d I ", тогда
Ъс dV" = dTx=q~dw .
И на протяженш линш NNX будутъ также действовать усшпя dV^, которыя обозначимъ черезъ dVx, они будутъ равны:
dV^dW^q^dw,
Затемъ на лиши NJJ будутъ действовать усил!я c?F3, которыя обозначимъ черезъ dV"'\ тогда получимъ, что:
л2 dVJ" = d rs = q —, (C - W) dw. s 2ab
И наконецъ на протяженш линш МгВ будутъ опять действовать усшпя dTr3, который обозначимъ черезъ dV"'-, они дадутъ:
л2
d V'" dV3-.= q-~ (с-w) dw. ,J . 2ab4
Заменивъ въ некоторыхъ выражешяхъ вертикальный усил!я w черезъ х или у, будемъ иметь:
Ьс2 dV”- qQ.di/-, х 2а2
и аV" = q- — \c----« | — dy,
ж 12ab \ a J) a J
или d Vx"' = q -u^b (а — у) dy;
а также til "'= q^\ (c— S ж)-? dx,
" L2ab\ b j b
тогда di (t 7,(Ъ—x)dx.
1 2аЬл
— 250 —
Проинтегрируемъ усшпя, д'Ьйствуюи^я на протяженш SN и SM въ пре-дЪлахъ
№
ОТЪ IV - О ДО IV — —
с
и усшпя, д-Ьйствующ1я на протяженш между пределами
/F а2
W = — И W = — ) с с
и возьмемъ сумму полученныхъ интеграловъ усилш, Д"Ьйствующихъ на протяжен ш SM и Л7Л7Г
Назвавъ сумму усилш, д'Ьйствующихъ на протяженш SIV, черезъ К и сумму усилш, дФ.йствующихъ на протяженш SMt, черезъ V и имЪя въ виду, что по лишямъ S/V и SMi сходятся равныя вертикальный усшпя отъ двухъ со-сЬднихъ половинъ лотковъ, напишемъ выражешя Vx и V въ видЪ:
и
О
С
Подставивъ значешя dVx', dV'
и dVy и выполнивъ интегрироваше,
получимъ:
или
+ --а--=q—2a
и
Обозначивъ дал-Ье черезъ Vc", Ve"' и F вертикальный опорный давлешя, дЬйствующ!я на протяженш NNt, NtB и въ полоскахъ, ширина которыхъ равна единиц^, и раздЪливъ выражеше сП7^' и dV"' на dy, а выражеше dVy"' на dx, будемъ имЪть:
dV” be2
V " — ' — п
ех dy ' 2а2 ’
— 251
jz
ex
dV”' _ e‘ .
dy 2a3b Я ’
v ед
dV'" _ ci
® dx ® 2dbs
(b — x).
Изъ раземотрЪшя выраженш Ve”, VJ" и V^" заключаема что они сл-fe-дуютъ закону прямой линш, при чемъ величина Vcx" можетъ быть охарактеризована прямой линией, проведенной параллельно лиши NN на разстояши be’2,
Ч а >'< что же касается величинъ V'" и V'", то ихъ изм-Ьнеше можетъ быть охарактеризовано прямыми лишями, проведенными черезъ точку В и от-
секающими на осяхъ х
Ъс2 Ъ-
и у отъ точекъ Nr и отрезки д—-- и q — , такъ
Cl €1
какъ при:
а3 аЧ)
у = -о и ж = ——
у с2 ti2
им1>емъ:
(F'") = д
Ъс^
2 а2 ’
и
Возьмемъ теперь сумму вертикальныхъ элементарныхъ усилш, действующихъ на протяжеши NN± и N^B, а также на протяженш МХВ.
Суммы эти будутъ выражены интегралами:
— 252 —
или
Производя интегрироваше, получимъ:
х 7 2а ’
Точно такъ же:
Ъа
'=а---------------
" 1 Аа
Сумма равнодействующихъ вертикальныхъ опорныхъ усилш по всему периметру опорныхъ стЪнъ будетъ равна:
К = 2 V -к 2 V 4- 4 V" -4- 4 V'" 4- 4 V
33 I у I £С 1 33 I у
Подставляя найденныя значешя обозначенныхъ
равнодействующихъ, по-
лучимъ:
Ъа
2а 2а ' 7
Ъа . . ba л . — ~±Aq~ = Aqab.
4а 4а
Съ другой стороны вся нагрузка на сомкнутый сводъ будетъ
являются составляющими
G = q . 2а . 2Ъ — АдаЪ.
Такимъ образомъ мы получили, что действительно
G=V, откуда и заключаемъ о справедливости сделанныхъ выводовъ.
На черт. 115 изображена эпюра р спределешя вертикальныхъ опорныхъ усилш.
Во всехъ точкахъ, расположенныхъ въ сомкнутомъ сводЪ, на лишяхъ, по которымъ сходятся попарно начала элементарныхъ полосокъ полупотковъ раз-считываемаго свода, действуютъ по две системы силъ.
Силы одной системы горизонтальны и направлены внаружу нормально къ опорнымъ стенамъ свода; силы эти элементарныхъ распоровъ полосокъ лотковъ сомкну-
— 253 —
таго свода и, согласно найденному выше, равны:
4 6 )Л С -W 7
dQx =Q— bv'--------i— dlv
atff c-\-w
dQ,i = 2
(a*- &4)cc — w a*bfB c w
dw.
Силы другой системы вертикальны и направлены внизъ, онФ. равны эле-ментарнымъ опорнымъ давлешямъ полосокъ лотковъ сомкнутаго свода и согласно найденному выше, выражаются формулами:
4 44 = 2г? 4 = 1 wdw ,
4 4/] — 2dVt — g wdw ,
Ъс
4 K/"J = 2<?Tr2 = (Z— dw.
YcHnindQ^ и d[V!C'] относятся къ лиши SN, усил!я dty’, 44/]—кълиншХА/, наконецъ, усил!я dQJ и d\ VJ'J—къ линш Такъ какъ разсматриваемыя уси-л!я д-Ьйствуютъ на начала элементарныхъ полосокъ, то для дальн'Ьйшаго вывода
будетъ значительно
444- и
проще, если мы преобразуемы выражешя усилш d\ J^'], такъ, что независимыми переменными будутъ входить координаты началъ элементарныхъ полосокъ, которыя обозначимъ черезъ и ун (черт. 116).
Координаты началъ, расположенныхъ по линш SN, будутъ: хп и уп — О, при чемъ хп изменяется
отъ хн — О' до Ъ •
Координаты началъ, расположенныхъ на лин!яхъ SM и MMt будутъ хн — 0 и ун, при чемъ у.п изменяется.
отъ Уп = 0
V2 и отъ У„ = -
Ь2
«о ?Л=а->
До у„ = a •
Определимъ теперь зависимость между переменными: прежнимъ w и новыми ./•, и и .
Изъ чертежа 116 имеемъ:
= w2-|-(^")2 и у,* = ил-|-(.г/)2 ;
подставляя значешя а" и получимъ:
х.:1 ,,,'i
и yt^wn-^ ^w1
— 254 —
или
2 «2-р2 .
! Ъ2
,2
И
2
+ Ь2 2
-»— w2, а2
откуда:
и наконецъ
с2
И
е2
= - w
п Ъ
и
с у„ — - iv, Jn а ’
ъ
w = ~xn = -yil. с л с '
а
с
Подставляя эти значен1я
въ выражен1я усилш, получимъ:
dQx'^q-^
х abf0
с2
ъ х" 1
- dxn;
с2
'Ъ 1
.2
dQ‘>'~q abfo
а
И
а
$уп;
Cv
4^/]= (i аьУп^ут;
dLvy'\=^dyn-
Начнемъ съ разсмотрешя усилш, действующихъ въ арке, проектирующейся горизонтально по линш LSN (черт. ИЗ).
Обозначивъ вертикальный усил!я, приходягщяся на единицу, черезъ Vex и разделивъ выражеше dfK/] на clxn, получимъ:
ех dxn 1 а 1
При жя = 0, что соответствуетъ точке S, имФ.емъ:
(^к=о = °>
при хп = Ь, что соответствуетъ точкамъ L и N, имеемъ:
Ъ2
I
— 255 —
М< жду точками L и S, а также S и N вертикальное усил!е изменяется по нрммоп лиши. На черт. 115 представлена эпюра измененш усилш ^'.равнодействующая ихъ будетъ равна площади треугольника эпюры:
1 Ь2 7 Ь3 q— . b = q—--
21 а 12а,
Такимъ образомъ мы опять подошли къ найденному уже выше значешю равнодействующей Тх. Точка приложешя ея будетъ лежать на лиши центра тяжести треугольника; обозначивъ плечо равнодействующей отъ продольной опорной стены свода черезъ рп:, будемъ иметь:
3 ъ'
Определимъ теперь равнодействующую распоровъ, действующихъ въ раз-
сматриваемой арке
с2
а1-\-Ъ' Ъ ~Хп .
q abf (Х“’
° ь
и плечо этой равнодействующей относительно опорной стены. Равнодействующая распоровъ будетъ:
(X4 = С2 Г ( г Iс2 , \ т с21
с я* — Q —т~7>— * 2 \ L(t I 7 -4- b I — L(j„ — У
х abf0 b | \Ъ 1 / Jn b )
S2’
е,2
П' «5 + Ь4
ь2'.
с2 ’
раскладывая натуральный логариемъ и останавливаясь на первомъ числе ряда, будемъ иметь:
_ + 6s с2 ?>2
1ж al>f0 Ь °2
или
и* 4-Ь*
— 256 —
Такимъ образомъ мы инымъ путемъ получили выражеше, найденное уже нами выше.
Определимъ теперь плечо этой равнодействующей сперва относительно вершины свода, а затемъ получимъ плечо относительно опорной стены. Для нахождешя плеча относительно вершины свода составимъ выражеше момента слагающихъ, найдемъ затемъ сумму моментовъ и разделимъ, наконецъ, ее на величину равнодействующей.
Обозначивъ моментъ составляющихъ черезъ будемъ иметь (черт. 113):
- ли; =
где знакъ минусъ поставленъ потому, что съ возрастан!емъ плеча >/, моментъ составляющей убываетъ.
Выражеше ?/ определится, принявъ согласно упомянутому выше, что точки приложешя составляющихъ расположатся по параболе, уравнеше которой будетъ:
f f
?/=-"- ПЛ ИЛИ W =Ж2 .
С2 Ъг п
Въ справедливости приведенная уравнешя параболы убеждаемся, замечая, что при
«я = 0..........'/ = 0,
^п = ь..........ч = К-
Подставляя въ выражеше <1М;' значеше clQx' и //, получимъ:
a1 I 1)11) "
I, +“
или
— 257 —
Раскладывая натуральный логариемъ въ рядъ и ограничиваясь вторымъ члепомъ, будемъ иметь:
или
наконецъ:
пг, а^А-Ъ1
3.,
Плечо равнодействующей относительно вершины будетъ равно
Рх QJ з
а плечо относительно опорныхъ стЪнъ будетъ равно:
Р = f — ~ = 2f -
J.X • Г> 3*°
Разсмотримъ теперь усил!я, действуюгщя въ арке, проектирующейся горизонтально по лиши (черт. ИЗ).
На протяженш разстояшя отъ $ до М, где у изменяется отъ уп — О до
А2 л, -
ул = — , вертикальный усилш выражаются формулой:
с1р,уА-
J и
ft2
На протяженш отъ И/1 до , где у изменяется отъ у* = — до уп = а , вертикальный усил!я выражаются формулой:
Обозначая черезъ Ve)J и V а" вертикальный ушнля, приходягщяся на единицу и разделяя выражешя Я[Й'] и </[/•"] на dyn, получимъ:
I. и еу У [) Ум ’
1V = й •
11одг г шлня въ выражеше V ' и разделяя значешя ун, получимъ:
"Р’1 0 (Х,')_ 0 = °.
vn—и
/>2
ПР" /А. „ ^уГ^Геу"^-
11 Vn
Н К. Лахтиич. Рпгчптъ гполпш
17
— 258 —
Частный равнодействующ1я этихъ усилш будутъ равны площадямъ тре
угольника и прямоугольника эпюры:
т7
и
/ Ъ*\ Ъ
V" = []ЪЛа— - -=<?-(н2 — Н -
•' \ а / а
Равнодействующая же будетъ равна:
63 , b
2а 4 а
или
„ (2н2 — Ь*)Ъ
Т 9 = (7 -
2а
Такимъ образомъ, действующей V. Для опорной стены найдемъ сумму моментовъ слагающихъ и разделимъ ее на величину равнодействующей.
Зная, что две частныя равнодействующ!я Г' и V” приложены къ цент-рамъ тяжести площадей треугольника и прямоугольника, можемъ написать сумму моментовъ ТУ слагающихъ относительно поперечной опорной стены свода въ виде:
мы получили найденное уже выше выражеше равно-определешя плеча ея р относительно поперечной
2 62 о — --
3 а
Ъ* а-----
а 2^
или
Подставляя значение V ' и I ”, получимъ:
&з 3г(2_262 ъ
За
о2 — 62
2й—
j]frs = q. 7-2(Зн262 — 264 За* — 6я262-|- ЗЛ4),
Плечо равнодействующей Г отъ опорной стены будетъ равно:
J/,, 1 Зо‘ —3«27>24-65
3 (2н2 —62)й
Определимъ теперь равнодействующую распоровъ:
abf0
с2
а ~ Ун
с2 (>У-
а ~^Уп
и плечо ру равнодействующей распоровъ относительно опорной стены.
— 259 —
Равнодействующая распоровъ будетъ:
BcntjxcTBie полной аналопи съ подобнымъ же выражешемъ можемъ
написать, что:
*" 1 %
Мы опять получили выражеше, найденное уже нами выше. Плечо р определимъ точно такъ же, какъ и плечо рг. Выражеше момента составляющей относительно вершины свода будетъ:
где знакъ минусъ поставленъ потому, что съ возрасташемъ ц величина dM и убываетъ; подобно предыдущему, равно:
При г/„ = 0 . . . . (/ = 0, а при = » . . . . ?/ = £.
Такимъ образомъ, после соответственныхъ подстановокъ получимъ:
о4 h4 a
-y\iya,
„+уп
и тоже вслЬдств1е полной аналопи съ выражешемъ ЛГ' можемъ написать, что:
4- Id
11п1(опецъ, плечо ю ' относительно вершины свода будетъ равно:
, М,,' 1
Р» ~~~Q' ~ 3 /о’ *?/
а плечо /> oiносиггльно опорной стены будетъ равно:
_2 ,
3 4 •
17
— 260 —
На черт. 117, 118, 119 и 120 показано положено усил!й 1"х и 9/, а также усилш Vy и Q
Въ Д1агональныхъ аркахъ особыхъ распоровъ и вертикальныхъ усилш не будетъ, такъ какъ по нимъ размещаются шелыги стрельчатыхъ элементарныхъ полосокъ, съ вполне уравновешенными между собою внешними и внутрен
Черт. 117.
ними силами. Въ замкахъ стрель-чатыхъ арокъ действуютъ: во-пер-выхъ, горизонтальные элементарные распоры, нормальные къ д!агональ-ному ребру сомкнутаго свода; во-вторыхъ, элементарный вертикальный усил!я, равныя половине превы-шешя вертикальной нагрузки одной ветви элементарной стрельчатой полоски надъ нагрузкой другой ветви той же полоски. ВследCTBie существовали указанныхъ вертикальныхъ элементарныхъ усилш въ замкахъ полосокъ, оба опорныхъ давлешя каждой полоски равны между собой и въ то же время въ сумме уравновешиваютъ вертикальный нагрузки, приходяицяся на эти въ замкахъ элементарныхъ полосокъ указанный внутреншя силы
полоски. Такимъ образомъ, действуюцдя
вызванный нагрузками наз-ванныхъ полосокъ и ими вполне уравновешиваемый, иметь вл!ян|'я на Д1агональ-ныя арки сомкнутаго свода, конечно, не могутъ, вслед-ств!е чего въ д!агональныхъ ребрахъ свода, какъ не под-верженныхъ действто внеш-нихъ силъ, внутреннихъ силъ не будетъ.
Когда вертикальный усишя Vx, Vv, Ve„', Vew", у у Ч у Ш у ею ’ ex ’ ех ) су распоры Qcw, Qx', QJ, QJ'-, Q" найдены, тогда остается определить размеры тол-
щины сомкнутаго свода и. следуя методу предельнаго равновешя, построить опорный кривыя и, наконецъ, согласно известнымъ правиламъ проверить проч
ность и устойчивость сомкнутаго свода въ опасныхъ швахъ.
— 261
Ь. Графически расчетъ.
Сомкнутые своды, сложенные въ елку, разсчитываютоя графически на основанш разсмотр'Ьннаго аналитическаго расчета этихъ сводовъ.
Положимъ, что имеемъ сомкнутый сводъ (черт. 121) ABCD, въ которомъ проведены д1агонали ASC и BSD и черезъ вершину котораго S проведены еще лиши SN и S7t нормально къ опорнымъ стЬнамъ АВ и ВС. Черезъ точки N и Г, пересЪчешя опорныхъ ст’Ьнъ съ нормалями къ нимъ, проходящими черезъ вершину свода, проводимъ лиши NT и Nx Тх нормально къ д!агонали SB; эти линш пересекаются съ диагональю SB въ точкахъ В и Rt. Разд-Ьлимъ отрезки д1агонали SR, RR{ и RtB на равныя части и черезъ точки д-Ьлен1я проведемъ лиши нормальный къ д!агонали SB; эти посл-Ьдшя лиши разделятъ лотки ASB и BSC на элементарный полоски. Проведемъ черезъ средины полосокъ осевыя ихъ лиши и разсмотримъ сперва полоску ESK. проходящую черезъ вершину S свода. Поперечное ея сЬчеше (несимметричная стрельчатая арка) будетъ иметь видъ двухъ пересекающихся дугъ £tS3 и S.jK\ и принадлежащихъ двумъ разнымъ цилиндрическимъ сводамъ, составляющимъ два смежныхъ лотка ASB и BSC разсчитываемаго сомкнутаго свода.
Обозначивъ черезъ и G% нагрузки на две дуги центральной полоски, можемъ графически известнымъ способомъ (черт. 121) определить распоръ Qo этой полоски; распоръ этотъ Qn, согласно разсмотренной выше теорш, будетъ действовать въ центре сомкнутаго свода. Къ угламъ перекрываемаго простран-сгва найденный распоръ будетъ уменьшаться до нуля, следуя закону гиперболы, и будетъ выражаться формулой:
.. (а4 Ь’)с2с — w
На черт. 122 изображенъ законъ изменешя распора лотковъ и выполнено р >ложеше распоровъ полосокъ, происходящее въ плоскостяхъ опорныхъ стенъ, о) раппчивающихъ четверть всего сомкнутаго свода. Для этого проведена лишя
ВВ на эту лишю спроектированы точки В, S и В и изъ точекъ Pt и S, проведены нормали РХР2 и S(S2 къ д!агонали DSB-, на лиши S^ отложенъ распорi ЕЪ центре сомкнутаго свода, построена гипербола, проходящая ч< р . точки В, и Sg и имеющая ассимптотой лишю РГР^.
1 ли мы па лишю SjB, спроектируемъ оси полосокъ *) и изъ этихъ lo’irrti. пропсдсмъ ординаты гиперболы, то получимъ величины распоровъ по-hoCoki, I'.irii'ipH эти разложены на составляюнця параллельный опорнымъ стеши I., дли что изъ концовъ ординатъ гиперболы проведены до взаимнаго между собою персе 1,чен1я лиши, параллельный опорнымъ стенамъ АВ и ВС.
Дп । по । росши эпюры вертикальныхъ опорныхъ усилш полосокъ, величина которых!, пл протяженш отъ S до N равна отъ N до -— Vcw" и отъ /V] до В ранил I u'"t проводимъ лишю S!lBl || SB и проектируемъ на нее
*) На чорт. 121, дин не.(.тгемпен1я чертежа, проведены однЬ лишь оси полосокъ, пишй же, ихъ разграничшнпотихъ, но имЬотся.
— 262 —
точки S, N, Nt и В въ S., N4, Tv и В., проводимъ лиши //„//„ и Т„Т„ нор-мально къ и на нихъ откладываемъ отр-Ьзки равные:
тг и Ъс
п° ~q2a'e
гдъ g, Ь, с и а—величины извЪстныя, а е ширина полосокъ на который раз-д-Ьленъ сомкнутый сводъ. Въ точкахъ S и В вертикальный усил!я равны ну-лямъ, а на промежутка между этими точками и точками /1/, и N вертикальный усшпя возрастаютъ по закону прямой лиши съ отложенной величины между точками же Nr и N вертикальный опорный усил!я полосокъ постоянны. Поэтому необходимо точки S4, В.л, Ts и соединить прямыми. Контуръ (чер. 123) S^.j T3BiSi и есть эпюра вертикальныхъ опорныхъ усилш; проектируя на эту д!аграмму средины полосокъ, найдемъ величины опорныхъ давленш разсматриваемыхъ полосокъ.
Проектируя на два поперечныхъ сЬчешя свода, проведенныхъ черезъ вершину параллельно опорнымъ стЪнамъ (черт. 124 и 125), средины полосокъ, получимъ точки приложешя усилш, д4>йствующихъ въ этихъ двухъ поперечныхъ разр4>захъ. Построивъ для того и другого разреза по два многоугольника силъ и по два веревочныхъ—отдельно для вертикальныхъ усилш, полученныхъ изъ д1аграммы усилш и отдельно для горизонтальныхъ, полученныхъ изъ раз-ложешя распоровъ на д1аграмм-Ь распоровъ, получимъ какъ величины двухъ вертикальныхъ и двухъ горизонтальныхъ равнод4,йствующихъ въ двухъ поперечныхъ разрф.захъ, такъ и точки приложешя этихъ четырехъ равнодФ.йствую-щихъ. На чертежахъ 124 и 125 выполнено указанное построеше. ИмЪя усилхя въ двухъ поперечныхъ разр-Ьзахъ и описанныя построения, легко найти распоры, которые эти усшпя вызываютъ въ данныхъ поперечныхъ сЬчешяхъ, и построить кривыя опорныхъ давленш обоихъ поперечныхъ разр'Ьзовъ свода. Имфя распоры и опорный давлешя всЬхъ полосокъ лотковъ, можемъ для всЬхъ нихъ построить извЬстнымъ пр4емомъ опорный давлешя.
Такимъ образомъ, сомкнутый сводъ будетъ разсчитанъ во всЬхъ своихъ частяхъ, остается проверить прочность и устойчивость въ опасныхъ мЬстахъ.
3. Сравнено распред-Ьлешя усилш въ сомкнутьцсь сводахъ, сложенныхъ нормально и въ елку.
ИмЬя въ виду сложность формулъ усилш въ сомкнутомъ СВОдЬ, выпол-ненномъ въ елку, ограничимся сравнешемъ распредЬлешя усилш въ сомкну-тыхъ сводахъ, перекрывающихъ квадратное пространство 2а X 2а при подъемЬ сложенныхъ какъ нормально, такъ и въ елку.
Сначала размЬстимъ въ таблицЬ выражешя распоровъ и вертикальныхъ усилш.
t
— 264 —
Въ этой формулъ:
таблиц^ сумма распоровъ на опорный стены 27Q найдена
изъ
и
причемъ
такъ какъ на
Положивъ въ
найдемъ:
откуда
Л' «4 + Ь4
2ab^f0
0,3862 —
^Q=Qx'-\-2Q'',
одну стену д-Ьйствуетъ одинъ распоръ QJ и два распора этихъ выражешяхъ
Ъ = и и с2 — 2d2,
vn о qS । о 2а*2«® I
0,3862-1 + -!
QA-
и нанонецъ
V7) Э/Л3 I о 2а3 1
Л<, = 2’4 + 2,г^Г'8
3 5 tt3
q~f'
О I о
Сумма формулъ
вертикальныхъ давленш
на опорный стены 27 V найдена
изъ
17 _ 63
х q2a’
Ъ3 V "' = q х
и
При Ъ = а будемъ иметь:
27 V = qa 8.
Наибольшш распоръ
Qc найдемъ изъ формулы:
о
и,в 1 2a'ib‘2f0
с — w
при
w = 0, Ъ = а и
с2 = 2аа
получимъ
f 2 а2
Qe = ^-f • О «0,
Наибольшее вертикальное опорное давлеше въ лотке определяется по формул^
V " = q — , ew 12а
где при Ь = а и с — j/2 а будемъ иметь
и а
° V2
— 265 —
Сосредоточенный распоръ въ поперечной арк-fe (,/' найдется изъ формулы
af
• о
изъ которой при 1> = а будемъ им^Ьть
п> 2 °8 Q. = ч t
' о
Наконецъ Г, сосредоточенное вертикальное опорное давлеше въ поперечной аркЪ, получимъ изъ формулы:
V _ 63
® 112а’
что при b — а даетъ написанную въ таблиц-fe формулу
а2
Изъ разсмотр-Ьшя таблицы усилш приходимъ къ заключению, что въ суммЪ Bet опорный стФны испытываютъ одинаковое вертикальное усил!е, различ!е же заключается въ группировк-fe этихъ усилш. Сумма распоровъ на опорный стЕны при клад к-fe въ елку значительно больше, чЪмъ при нормальной кладкЪ. Въ сомкнутомъ сводЪ, сложенномъ въ елку, распоръ, д-Ьйствующш на опорный стЪны внаружу свода, увеличивается отъ нуля у угловъ къ средин-fe медленнее и вообще им-Ьетъ величину меньшую, ч'Ьмъ въ сомкнутомъ сводЪ, сложенномъ нормально, но зато въ сводЬ въ елку въ средин^ опорныхъ ст-Ьнъ приложены сосредоточенные распоры, направленные внаружу свода. То же должно сказать и относительно вертикальныхъ опорныхъ давленш на сгЬны: въ свод-fe, сложенномъ въ елку, усил!я эти меньше, но въ срединФ. опорныхъ стЬнъ этого свода имеются сосредоточенный усшпя, чего нктъ въ сводф. нормальной кладки. Распоръ въ лоткФ. свода въ елку больше, чЪмъ распоръ въ свод-fe нормальной кладки.
Въ д!агональномъ ребрф. свода, сложеннаго въ елку, н-Ьтъ особыхъ усилш, по зато въ поперечныхъ срединныхъ аркахъ д-Ьйствуютъ горизонтальные распоры п вертикальный усил1я, между тЬмъ какъ въ сомкнутомъ сводЪ нор-м чп.пои кладки въ поперечныхъ срединныхъ аркахъ н-Ьтъ особыхъ усилш, но пч in. Д|агональныхъ аркахъ имеются усил!я.
BciilvicTBie сказаннаго можно придти къ заключешю, что толщина лотка сомкну пн <> свода въ елку больше толщины лотка свода нормальной кладки. Сноды кладки пъ елку могутъ нуждаться въ усилешяхъ поперечныхъ срединных ь арках I. и и ь устройств^, противъ нихъ контрфорсовъ. Опорный ст4ны сводов ь вт. елку могутI. быть выполнены, вообще говоря, тоньше, ч'Ьмъ у сводовъ нормалы.он кладки.
Изъ этого заключен!» видимъ, что въ томъ случаЪ, если въ средин-fe опорныхъ стЬиъ сомкпутаго свода должны быть устроены отверст1я, то предпочти-
— 266 —
тельн-fee применять для сомкнутыхъ сводовъ нормальную кладку; въ случай же если отверстш въ стЬнахъ оставлено быть не должно, а стены не могутъ быть сделаны массивными, тогда предпочтительнее остановиться на кладке въ елку съ устройствомъ въ средине стенъ контрфорсовъ.
Если необходимо иметь сомкнутый сводъ, открытый въ средине, то тогда следуетъ устроить сомкнутый сводъ въ елку, который, подобно купольному своду, можетъ оставаться незамкнутыми такъ какъ въ д!агональныхъ ребрахъ усилш нетъ, въ стрель-чатыхъ аркахъ, обрамляющихъ отверстие, усил!я направлены лишь въ плоскости этихъ арокъ, а въ пятахъ ихъ усил!я направлены къ опорамъ, т.-е. въ сторону, противоположную относительно отверстия.
Сомкнутые же своды нормальной кладки оставлены незамкнутыми быть не могутъ, такъ какъ распоры частей свода про-тивъ отверстия въ вершине ничемъ не будутъ уравновешиваться.
При устройстве открытаго сомкнутаго свода верхшя стрельчатыя полоски его несутъ нагрузку барабана, которую необходимо принять во внимаше при расчете свода.
Когда при большомъ вертикальномъ распоре, приложенномъ въ начале д!агональной арки сомкнутаго свода, сложеннаго нормальной кладкой, кривая давлешя названной д!агональной арки приближается внаружу этой арки, въ части ея, ближайшей къ ея началу, тогда бываетъ выгодно нагрузить *) сомкнутый сводъ вблизи угловъ перекрываемаго пространства сосредоточенными нагрузками. Усшпя въ лоткахъ сомкнутыхъ сводовъ, сложенныхъ нормальной кладкой, у угловъ перекрываемаго пространства, значительно меньше, чемъ вблизи шелыги этихъ сводовъ, но толщина тела лотковъ одинаковая какъ у угловъ, такъ и вблизи шелыги, поэтому увеличеше усилш лотковъ вблизи угловъ вследств!е добавочной нагрузки у начала д!агональныхъ арокъ не вызываетъ въ лоткахъ невыгоднаго возрасташя напряженш, но зато оказываетъ очень благопр!ятное вл!яше на распределеше усилш въ д!агональной арке и приближаетъ въ ней кривую давлешя къ средине ея.
Въ сомкнутыхъ сводахъ, такъ же какъ и въ цилиндрическихъ, для предупр^-ждешя раскрыпя швовъ внаружу и для устойчивости опорныхъ стенъ устраиваютъ забутку пазухъ свода.
4, Расчетъ открытые сомкнутыхъ сводовъ.
Расчетъ открытыхъ сомкнутыхъ сводовъ (черт. 126) сводится къ расчету гуртовъ: а) нормальнаго къ стенамъ и Ь) д!агональнаго. Первыхъ и вторыхъ гуртовъ по четыре, они сходятся и упираются въ кольцо (родъ своднаго кольца), на которомъ помещенъ барабанъ; кольцо въ плане имеетъ очерташе снаружи восьмиугольника, а внутри либо круга, либо тоже восьмиугольника; барабанъ въ плане можетъ снаружи и внутри иметь очерташе какъ круга, такъ и восьмиугольника. Промежутки между гуртами заполнены въ елку. Гурты нормальные
*) Въ церковныхъ здашяхъ вблизи угловъ располагаютъ небольшая массивныя главки.
— 267 —
(черт. 127) къ стЬнамъ несутъ нагрузку отъ половины запалубокъ: abba и
производятъ на кольцо распоры Q", а на стены вертикальный давлешя V" и распоры 9"; в'Ьсъ гурта вместе съ запалубками равенъ G". Гурты д(аго-
нальные (чер. 128) несутъ нагрузку отъ половинъ запалубокъ: cddc и производятъ на кольцо распоры (/, а на стены (собственно углы) вертикальный давлешя V и распоры в-Ьсъ гуртъ вместе съ запалубками равенъ G'. Такимъ образомъ кольцо сжато четырьмя распорами Q', чередующимися съ четырьмя распорами </' (черт. 126). ВФ.съ барабана, разделенный на восемь’ частей, входитъ въ величины G' и G".
Необходимо извЪстнымъ какъ для простыхъ цилиндрическихъ сводовъ пр!емомъ найти распоры гуртъ и Q". Распоры эти разложатся (черт. 129) на составляюцця А7' и А",
нормальный сопрягающимъ швамъ, разграничивающимъ кольцо на восемь
клиньевъ.
При этомъ можетъ быть,
вообще говоря, два случая:
ИЛИ 9" (/
и въ связи съ этимъ и
N’>N"
или N" > А7'.
Въ случае N'y>N" (чер. 130) кольцо будетъ сжато силой А7' и два пре-вышетя А7' надъ А" передадутся Съ двухъ сторонъ къ клину кольца, распо-
ложенному пропить стенного гурта; эти две силы, равныя А7' — А7", сложатся въ одну равнодействующую q, которая увеличитъ распоръ Q" до величины распора т.-е. распоры уравняются такъ, что въ гуртахъ нормальныхъ къ стенамъ и вь д)агонапьныхъ гуртахъ будутъ одинаковые распоры Q'
— 268 —
Въ случае (чер, 131) кольцо будетъ сжато силой 2V" и два пре-
вышен!я X" надъ X' передадутся съ двухъ сторонъ къ клину кольца, расположенному противъ д1агональнаго гурта; эти две силы, равныя X" — X', сложатся въ одну равнодействующую q", которая увеличитъ распоръ Q' до величины распора Q", т.-е. распоры опять уравняются во всехъ гуртахъ и будутъ равны Q".
Такимъ образомъ кольцо всегда будетъ сжато наибольшей
Черт. 130.
Черт. 131.
силой изъ X' и X", все гурты будутъ иметь равный наибольшш распоръ изъ Q' и Q", усил!я q'— Q'— Q1' и q" = Q"— Q'.
Наконецъ, останется построить кривыя давлешя для гуртъ какъ нормальнаго къ стенамъ, такъ и д!агональнаго при ихъ соответствующихъ нагрузкахъ G" и G' при одномъ общемъ распоре Q" или Q', смотря по тому, который окажется больше. По найденному наибольшему усшпю X' или X" необходимо проверить прочность кладки кольца, а по общимъ правиламъ, имея въ виду кривыя давлешя и величины давлешя въ швахъ гуртовъ, проверить ихъ прочность и устойчивость *).
5. ОпредЪлеже толщины сомкнуты^ъ сводовъ и проверка и£ъ прочности и устойчивости.
Въ приведенной выше таблице все действующая въ сомкнутыхъ сводахъ усил!я, какъ мы видели, являются функциями q, нагрузки на квадратную единицу горизонтальной проекщи перекрываемаго сводомъ пространства, но все выведенный формулы усилш, точнее сказать—напряжешй, не даютъ величины толщины свода.
Обозначимъ все напряжешя (вертикальный и распоры) черезъ X, а черезъ к постоянные коэффищенты выраженш упомянутыхъ напряжений, при чемъ въ
*) Можно yCHnie д' или д'' погасить двумя взаимоперпендикулярными связями противъ гуртъ въ пролетЬ кольца расположенными по направпешю меньшаго распора.
— 269 —
составь коэффициента к входятъ какъ постоянные числовые множители, такъ и pn.iMJ.pu (пролетъ и подъемы) свода. Введя сказанный обозначения, можемъ всЬ напряжения (вертикальный и распоръ) выразить въ виде общей формулы:
X=kq.
Умноживъ обе части этой формулы на d— толщину сомкнутаго свода, будемъ иметь:
X d = kdq.
Обозначивъ дал-fee черезъ
у-—вЪсъ кубической единицы матер!ала свода,
р— нагрузку на квадратную единицу свода, можемъ написать, что
qd = ~fd-\-p.
Подставляя зат-Ьмъ величину qd въ полученную выше формулу, будемъ им-Ьть:
Л d = к (у d -|j>).
Откуда найдемъ выражеше для толщины свода:
ОпрсдЬливъ направлеше Л' (вертикальное напряжете и распоръ) по приведен-нымъ формуламъ, можемъ найти величину толщины свода въ замке и въ пятах ь, а сл-Ьдуя методу предЬльнаго равновЪшя, построить кривыя давлежя въ спо 1 г»Ь1 ственныхъ частяхъ сомкнутаго свода и по изв-Ьстнымъ правиламъ про-l-.piiii. прочность и устойчивость сомкнутаго свода.
D. Расчетъ наружно-сомкнутыхъ, лотковыхъ и зеркальныхъ сводовъ.
Споли •тп разсчитываются на основаши теорш сомкнутыхъ сводовъ, такъ какъ in речной иные въ заглавш своды суть производные отъ сомкнутыхъ СПОДО1П..
При чом1. н -обходимо им-Ьть въ виду, что парусно-сомкнутые своды въ смысл1 р и нргдГпгчпя давлешя на опоры выгоднее устраивать въ елку, такъ какъ при loMi. Ль с।рЬльчатыхъ аркахъ, ближайшихъ къ сторонамъ перекры-ваемаго и.чрусн "-сомкну гымь сводомъ пространства, будутъ действовать усил!я, направленный лишь ш. плоскости упомянутыхъ арокъ; давлеше будетъ ц-Ьли-комъ iK'P' Hiuiii ri.c । ii.i угловые опорные столбы, а ограничиваюгщя же стены не испытываю!i никакого данлшпя.
Е. Расчетъ купольныхъ сводовъ.
Купольные своды ограничены снизу и сверху поверхностями вращешя, образующ!я которыхъ—плосюя кривыя *) и ось вращешя которыхъ—одна общая вертикальная прямая лин!я; образующая купольныхъ сводовъ могутъ быть кру-говыя, эллиптичесюя и параболически.
Разрезка купольныхъ сводовъ, а равно и кладка ихъ, производятся по двумъ системамъ поверхностей, соответственно которымъ различаютъ два рода швовъ.
Одна система поверхностей разрезки купольныхъ сводовъ—это система вертикальныхъ, обращенныхъ вершиной внизъ конусовъ вращешя, общая ось вращешя которыхъ совпадаетъ съ осью купольнаго свода. Эта система поверхностей делить купольный сводъ на рядъ горизонтальныхъ колецъ. ограниченныхъ сверху и снизу коническими поверхностями, а съ боковъ—внутренней и внешней поверхностями купола. Коничесюя поверхности колецъ называются сопрягающими поверхностями, а уголъ между осью и образующею конуса называется соп рягаю щимъ угломъ.
Другая система поверхностей разрезки купольныхъ сводовъ—это система вертикальныхъ меридюнальныхъ плоскостей, проходящихъ черезъ ось свода. Эта система плоскостей делить сводъ на рядъ такъ называемыхъ м е р и д i о-нальныхъ купольныхъ вырезовъ, или просто вырезовъ. Вертикальный боковыя плоскости вырезовъ называются поперечными плоскостями, а уголъ между двумя ближайшими поперечными плоскостями называется угломъ выреза. Система меридшнальныхъ плоскостей делить все кольца свода на клинья, ограниченные сверху и снизу коническими поверхностями, съ двухъ боковыхъ сторонъ меридшнапьными плоскостями и съ двухъ остальныхъ сторонъ поверхностями купола.
Пространство между внутренней и внешней поверхностями купола называется теломъ свода, толщина котораго измеряется на меридюнальномъ разрезе свода.
На вертикапьномъ разрезе свода (черт. 132) видны лиши пересечешя меридшнальныхъ плоскостей коническими поверхностями; эти линш называются сопрягающими швами. Въ плане (черт. 133) видны круговыя очерташя сопрягающихъ поверхностей и линш пересечешя колецъ свода меридшналь-ными плоскостями; лиши эти называются поперечными швами. Такимъ
*) Какъ частный случай образующая можетъ быть и прямая.
— 271 —
обрл.юмъ клинья разграничены: на вертикальномъ разрезе сопрягающими швами, м иь плшЬ свода—поперечными швами.
Для расчета предполагают!,, что вертикальный меридиональный плоскости
ироходятъ непрерывно отъ вершины до пятъ свода, т.-е. предполагаютъ, что
Черт. 133.
каждый вырФзъ сложенъ изъ ряда убы-вающихъ по толщине отъ пятъ къ вершине клиньевъ, наложенныхъ другъ на друга; при этомъ въ плане поперечные швы разныхъ колецъ располагаются по сплошнымъ рад!альнымъ прямымъ лишямъ. Въ действительности же для большей перевязи поперечные швы въ смежныхъ кольцахъ не составляютъ взаимнаго между собою продолжения (черт. 132, левая половина).
Разрушеше купольныхъ сводовъ, какъ известно изъ опытовъ и наблю-денш, происходить такъ, что верхняя часть свода до нФкотораго сопрягаю-щаго шва, называемаго швомъ перелома, проваливается внизъ, а остальная, нижняя часть свода, опрокидывается или отодвигается внаружу; при этомъ нижняя часть свода разделяется на ме-ридюнальные вырезы. Такимъ образомъ при разрушеши купольнаго свода верхняя его часть стремится вся целикомъ
провалиться внизъ и вместе съ тФмъ разорвать при своемъ падеши нижнюю часть свода на отдельные вырезы; нижняя часть свода, разделившись на вы-pl'.ji.i, либо раздвигается въ разный стороны, либо опрокидывается внаружу. И сказаннаго ясно, что верхняя часть купольнаго свода производить на ппжпкно часть распоръ, направленный отъ центра свода внаружу во все стороны, Вь нижней части свода замечаются опасный поперечный плоскости, по
11<1]н.|М1| и происходить разделеше ея на вырезы. Такими опасными попереч
ин‘и плоскостями служатъ плоскости, проходягщя либо черезъ средины отверни rtp.i6;iua, расположеннаго ниже обрушивающагося купола, либо черезъ углы йнкой но камня пеустоявшаго купольнаго свода; при этомъ углы эти какъ бы ппмЬчйъп н|н‘д1,)нл дФйстшя частичныхъ равнодействующихъ распоровъ верх-П' и чй( hi купола, расположеннаго выше шва перелома. Следовательно, число nijph ни. или р<имЬры ихъ находятся въ зависимости отъ числа оконъ баранина min nt i mu пл сторонъ замковаго камня *).
IIrriiiniiM oil. нчгъ свода до сопрягающаго угла въ 53° (равнаго допол-
) Н|>. ОпучяЬ, и пн купольный сводъ опирается на темный (безъ оконъ) барабанъ и til i 0( о<>м! ынкиншО кпмпн, югда принимаютъ, что сводъ разделяется на 8 или 16 выр-Ьзовъ, пни гпруи. кы|>1«1ь пь IйЛО', । >. дЪлятъ весь куполъ на 80 частей.
— 272 —
нен!ю до 90° угла трен!я 37°), отдельные клинья, въ предположена отсут-ств!я действия строительнаго раствора, будутъ удерживаться на своихъ посте-ляхъ силой трен!я; выше же этого сопрягающаго шва клинья будутъ стремиться сдвинуться внизъ подъ д-Ьйств!емъ силы тяжести.
Въ случае замкнутаго кольца падеше клиньевъ, стремящихся одновременно сдвинуться внизъ, будетъ задержано развивавшимся въ поперечныхъ швахъ давлешемъ между клиньями, называемымъ кольцевымъ или по-перечнымъ давлением ъ. Если соединить точки приложения равнод-Ьй-ствующихъ кольцевыхъ давленш, д-Ьйствующихъ на поперечные швы одного и того же кольца (опорныя точки клиньевъ кольца) прямыми лишями, то получимъ л и н i ю сжапя купольнаго свода. Вследствие равенства между собою клиньевъ одного и того же кольца, а также полной симметрш купола и его нагрузки кольцевое давленie постоянно въ каждомъ кольце, совпадаетъ съ нормалями къ поперечнымъ вертикальнымъ швамъ и им-Ьетъ следовательно горизонтальное направлеше.
Обозначимъ поперечное давлеше черезъ и. Равнодействующая двухъ поперечныхъ давленш, относящихся къ двумъ поперечнымъ швамъ одного клина, вслед-ств1е сказаннаго выше будетъ иметь направлеше горизонтальное и будетъ лежать въ плоскости, делящей пополамъ уголъ клина при центре кольца. Равнодействующая эта, которую обозначимъ черезъ 7г, называется рад! альной силой.
Такимъ образомъ на каждый клинъ действуетъ: во-первыхъ, сила </, равная весу клина съ приходящейся на него нагрузкой и, во-вторыхъ, рад!аль-ная сила 7г. Равнодействующая этихъ двухъ силъ д и 7г производить между двумя смежными клиньями одного выреза давление, называемое м е р и д 1 о-нальнымъ или продольны мъ давлен!емъ, которое обозначимъ черезъ V. Если соединить точки приложения равнодействующихъ продольныхъ давленш, действующихъ на сопрягаюнце швы одного мерид!ональнаго сечешя (опорныя точки клиньевъ вертикальнаго сечен!я), прямыми линиями, то получимъ л ин i ю д а в л е н I я купольнаго свода.
Изъ сказаннаго заключаемъ, что каждый клинъ купола находится подъ действ!емъ следующихъ пяти силъ: собственнаго веса клина съ приходящейся на него нагрузкой <у, двухъ равныхъ поперечныхъ давленш и и двухъ неравныхъ продольныхъ давленш v. •
На весь вырезъ купола будутъ действовать следуклщя четыре силы: весь выреза, съ приходящейся на него нагрузкой, два равныхъ горизонтальныхъ поперечныхъ давлешя, который являются равнодействующими горизонтальныхъ поперечныхъ давленш и, наконецъ, реакц!я опоры выреза, равная самому ниж-нему продольному опорному давлешю. Два горизонтальныхъ по.гёречныхъ да-влешя дадутъ одну горизонтальную равнодействующую, называемую р а с п о-ромъ выреза.
Такимъ образомъ, все силы, действующая на вырезъ, приводятся къ тремъ силамъ, который вследств!е полной симметрш всего купола и нагрузки на него будутъ лежать въ одной вертикальной плоскости, делящей пополамъ разсма-триваемый вырезъ. Изъ этихъ трехъ силъ одинъ только собственный весь выреза, съ приходящейся на него нагрузкой, вполне определенъ, такъ какъ величина, направлеше и точка приложения этой силы известны вполне; что же
— 273 —
кпс.нчся двухъ прочихъ силъ, то величина и точка приложешя горизонтального распора выреза и величина, направлеше и точка приложешя реакщй опоры inipl за неизвестны. Для определешя же этихъ пяти неизвестныхъ величинъ на основаши законовъ статистики можно составить лишь три уравнешя. Отсюда следуетъ, что определеше силъ, действующихъ на вырезъ купола, пред-сгавляетъ задачу двойной неопределимости.
Точной Teopin купольныхъ сводовъ пока не существуетъ, известные же способы расчетовъ основаны на практическихъ пр!емахъ проверки прочности и устойчивости, подтвержденныхъ наблюдешями надъ существующими соору-жвшями. Между прочимъ принимаютъ, что нагрузка на купольный сводъ вертикальная и равномерная и во всякомъ случае каждое кольцо либо нагружено все, либо все не нагружено.
1. /Аналитически расчетъ купольныхъ сводовъ.
Разсмотримъ распределеше внутреннихъ силъ въ теле произвольнаго купольнаго свода, предполагая, что сводъ, нагруженный вертикально и равномерно, находится въ равновесш; при этомъ съ достаточной для практики точностью примемъ, что напряжешя въ толщине тела свода распределены равномерно; это предположеше вполне допустимо, такъ какъ толщина свода срав-
Черт. 134,
нительно съ рад)усомъ кривизны образую-щихъ купола незначительна и матер!алъ свода обладаетъ упругими свойствами. Это допущеше равнозначуще съ предположеп,емъ Швеллера, что кривяя давлешя купольнаго свода проходитъ черезъ средины сопрягаю-щихъ швовъ.
Для выяснешя положешя точки приложешя равнодействующей давлешя, въ какомъ-либо сопрягающемъ шве купольнаго свода, предположимъ, что мы имеемъ (черт. 134) *) клинъ abed разреза свода, и положимъ, что подъ действ!емъ внешнихъ силъ шовъ ab переместился въ положеше
«7/ коюрое можемъ разематривать какъ результатъ двойной деформащи: сна-•1лп- Ч10НI. переместился изъ ab въ положеше а'Ь', повернувшись на безконечно M'liinii уголъ у, а затемъ въ положеше а'Ь1', повернувшись еще на безконечно мини» yieni. /. Обозначивъ черезъ q рад!усъ кривизны направляющей свода и чпроэ'1. .. Чшпцпну свода, можемъ линейныя изменешя отрезковъ направляющих/^ < нод/j гш' п ЬЬ" выразить формулами:
-/<1 и ЬЬ" = ЬЬ'Ь'Ь" — сТ).
) Cokoiiohi.. I'<ючо1 ь куполовъ. Инженерный журналъ 1906 года.
II. К. Лик I Hill I'ilC'irii СЦОДОПЬ.
18
— 274 —
Напряжешя въ разныхъ точкахъ шва можно на основаши закона Гука выразить въ функши деформаши, а следовательно точку приложешя равнодействующей напряжешя можно принять въ центре тяжести фигуры, выражающей законъ деформаши. Принимая фигуру aa'bb" за трапещю, можемъ написать выражеше разстояшя центра тяжести трапещи отъ лиши bb', принимаемой за ея основаше, и такимъ образомъ вследств1е сказаннаго выше найти разстояше точки приложешя равнодействующей давлешй сопрягающаго шва отъ внутренней направляющей купольнаго свода.
Разстояше центра тяжести трапещи отъ внутренней направляющей свода будетъ:
ab bb" -|- 2аа'
*0== У Тб7'4- аа' ‘
Подставляя значеше ab, аа' и bb", получимъ:
d d е 4- — d) -J- 2/ у
— з ’
или t
d de-\-7y— yd-y-2-уу 0 3 tZe-J-zi’— Z^“FZC ’
и
_ d 3/p d (e —
~ 3' 27Q-\-d(e — 7) ’
ИЛИ
/. । d(e — 7} X
rf 1 3/p )
I 1 2Z? )
Въ найденномъ выраженш разность безконечно малыхъ деформащй е и / можно принять сравнительно съ произведешемъ большихъ величинъ, какъ Зр и 2р на ту же деформащю /, за безконечно малое высшаго порядка и, какъ таковое, безъ особой для практики погрешности отбросить.
Въ такомъ случае получимъ, что:
d
2'
Такимъ образомъ, мы нашли, что равнодействующая давлешй сопрягающаго шва совпадаетъ съ срединой оси, или что кривая давления проходить черезъ средину тела свода.
Вследств1е вышесказаннаго при определен^ распределешя усилш въ теле свода толщину купола въ расчетъ вводить не будемъ.
Пусть мы имеемъ некоторый произвольный купольный сводъ (черт. 135) меридюнальное сечеше котораго разсмотримъ по отношешю къ прямоуголь-нымъ осямъ координатъ, начало которыхъ принято въ вершине свода, ось х - овъ горизонтальна, а ось у - овъ направлена внизъ и совпадаетъ съ осью купола.
— 275 —
Нозьмсмъ произвольный элементъ свода (черт. 136), заключающийся между дпумя сопрягающими швами, проведенными на разстоянш ds, и двумя поперечными швами, между которыми уголъ пусть будетъ d&, рад!усы центровъ сопр41ающихъ швовъ будутъ х и хdx, длина верхней стороны элемента бу-ДС1Ъ .< //67, а длина нижней стороны элемента будетъ (ж dx) dfd.
Площадь элемента будетъ равна:
ds,
или
d(~) ds.
Пренебрегая безконечно малыми выше второго порядка, имЪемъ:
dco = х dfd ds.
Обозначивъ черезъ q в-ьсъ единицы объема нагрузки купольнаго свода нм! г 11. съ собственнымъ его в'Ьсомъ, раземотримъ услов!е равновес1я элемента подцщпкеппаго слЪдующимъ пяти силамъ, который примемъ направленными ниаружу пигмента растягивающими и при этомъ направленш положительными; In, луч J , ли выводъ дастъ величину какой-либо силы со знакомъ минусъ, I" буд' | I. 1начить, что предположенное направлеже силы внаружу эле-Mc’iii । ii-u^niuini.iio и что сила направлена въ действительности внутрь эле-M' lnn, т • < ила оказывается сжимаюшей.
Jin пин. с.нлъ слЬдующ!я:
I) Cofx ।пенный вЬсъ элемента вм-fecpfe съ нагрузкой:
// _= q dсо = qx d(-) ds ;
18:
— 276 —
2) два равныхъ поперечныхъ давлешя и ds, действующихъ въ поперечныхъ швахъ;
3) два продольныхъ давлешя 'r.x.dQ и (т -|-oT)(x-|- dx) dQ, действующая въ сопрягающихъ швахъ.
Два усшпя и ds складываются въ одну горизонтальную равнодействующую Ъ, направленную внутрь свода, которую назовемъ рад!альнымъ усил!емчъ.
Она будетъ равна:
7 о 7 f/6>
n—-2udssin
2
Принимая вследств1е малости угла dQ, что
. dQ dQ . . 7 7 771
sin — = > будемъ иметь h = и ds. dQ.
Такимъ образомъ мы нашли, что разсматриваемый элементъ свода находится подъ действ!емъ четырехъ усилш, действующихъ въ одной вертикальной плоскости.
Для нахождешя зависимости между этими усил!ями разсмотримъ проекщи ихъ на оси координатъ и на нормаль къ элементу въ центре его тяжести. Вследств1е равновеая элемента суммы проекщй усилш будутъ равны нулю.
Обозначивъ черезъ т уголъ между касательной къ меридиональному се-чешю купола и осью ж-овъ въ верхнемъ сопрягающемъ шве клина, будемъ иметь тотъ же уголъ въ нижнемъ сопрягающемъ шве равнымъ т -4- dr.
Сумма проекщй усилш на ось х—овъ будетъ
vxdQ cost — ()>-[ dr)(x- dx)dQ cos(t - dr) \-uds.d6 — Q, или
vxdQ cost — vx dQ cost cosdt — x dr dQ cost cosdx — v dx dQ cost cosdT — do dx dQ cost cosdT vx dQ sin.T sin dt -|- x do dQ sin т sin dr ' -
-J- v dx dQ sin т sin dT dr dx dQ sin т sin dr -j- n ds dQ 0.
Имея въ виду, что
cosdt =1 и sin dr = dT , 3 i
сокращаемъ на dQ и, отбрасывая безконечно малые члены второго порядка, получимъ:
vx cos т — vx cos т — х dr cos т — т dx cos т vx si пт dT и ds = 0, или
vxsiiiTdT — xcoszdr—vcosrdx cfe-—0. e
Но такъ какъ
d(cx cost) = — vx sin т dt -|- x cost dr —| - г? cost dx, то наше уравнеше можно написать въ виде:
— d(txcost) -j- и ds = 0, откуда:
и ds = d(vx cost)......................(/).
— 277
Сумма проекций усилш на ось у-овъ будетъ:
</ х ds dQ — их dQ siiit -p (v - - du) (x -j- dx) dQ sin(x dx) = 0,
подобно предыдущему получимъ:
— q x ds = d(vx sinx)...........................(//).
Сумма проекцш на нормаль *) будетъ:
Ч
х ds dQ cos
-ф- (v -ф- dv) (х -ф- (Iх) dQ cos 190е----------— 0.
ВслЪдств1е малости угловъ можемъ входягще въ составъ этой формулы sin и cos представить въ видЬ:
dx . Лт , . dx
— COST COS --=-SUIT sin — = COST. 1 — SUIT---
2 2 2
sin
dr . . <1т ... dr
suit cos ---j - cost sin — — suit. 1 [-cost —
cos (90°
. dx dx
= sm — — — .
2 2
Тогда, сокращая на dQ и производя въ формул^ суммы проекцш на нормаль указанныя въ ней flificTBin, получимъ:
, dx , ... dT ,
q х cost ds — qxsuit — - ds - и sine ds -[ - и cost — ds -ф-
dx dx dT . 1 dx , . 1 dx
vx — -\-vx - x de -y -|- « dx — ф- dx dv — = 0.
Отбросивъ въ посл-Ьднемъ выраженш члены съ произведешями дифференты новь, какъ безконечно малые высшаго порядка, получимъ:
qх cost ds-ф- и sinx ds -j-vx dx = 0
'ЧКУД1|| |>л:1д1.ляя все уравнеше на xds, будемъ им^ть:
dT , siiiT ,
V ds + U + q C0ST = °..............................
•) II imhuriilo угла i при- центр! на протяженш ds равно dr, а на половин! ds изм!нен!е ./>
унт 1 pltnun , ион ноличин! равенъ уголъ между касательными въ средин! элемента ds
иOlli КОИЦОХЪ.
— 278 —
Имея въ виду, что
ds
- — (> — рад1усъ кривизны
и
SC
—.— = т — длина нормали, SUIT
можемъ уравнение (///) написать въ виде:
(///) bis.
Полученный три уравнения р-Ьшаютъ вопросъ въ томъ смысла, что если видъ и уравнеше образующей купольнаго свода даны и величина q известна, то тогда изъ этихъ уравнений величины усилш и и v могутъ быть определены и распределеше внутреннихъ силъ въ теле свода найдено.
Если мы умножимъ обе части уравнешя (//) на 2ml, где d — толщина купольнаго свода, то получимъ
— q.2ml.x. ds = 2ml. d(v xsinr).
Въ этомъ уравнеши левая часть q.2ml.x.ds выражаетъ всю нагрузку, приходящуюся на поясъ купола шириною въ ds. Если мы проинтегрируемъ это уравнеше между какими-либо пределами, то получимъ, съ одной стороны, всю нагрузку, приходящуюся на всю взятую поверхность купола, а съ другой стороны—выражеше продольнаго усил!я, вызываема™ данной нагрузкой, которое обозначимъ черезъ Р.
Такимъ образомъ, будемъ иметь:
(
— 2ml.xq | ds = 2 ml I d(y xsinr). J si J
Такъ какъ г- и х—функцш т, то интегрирование дастъ:
— Р = 2.тгг?(г2 «2 sinr2 — г\ xt sinrt).
Въ случае полнаго купола г, — 0 и sin т, — 0, а въ случае же открытаго купола = 0, поэтому наше уравнеше всегда имеетъ видъ: 6
— Р = 2mlvx sin т ,
где г-, х ит соответствуютъ разсматриваемому сопрягающему шву; въ выра-жеше Р входитъ какъ собственный весъ, такъ и внешняя нагрузка, а равно и нагрузка на верхнее кольцо открытаго свода.
Изъ полученнаго выражения имеемъ:
Р
— v
2ml х sin т
— 279 —
И n> уравнешя (/// bis) находимъ значеше n
xr i , — и — —;---I- q xctq т.
QSIHT '
Подставляя сюда величины v, будемъ имФ/гь значен!е и для каждаго по-ik речпаго шва. Въ каждомъ частномъ случай необходимо въ двухъ посл-Ьднихъ формулахъ, который рЪшаютъ вопросъ о нахождение величины усилш въ ку-иольнпхъ сводахъ, подставить величины Р, х, т и р изъ уравнения направляю-шнхъ разсчитываемаго свода.
ДалФ>е разсмотримъ подробнее купольный сводъ въ предположешяхъ:
а) сомкнутаго купола,
Ь) купола съ отверсттемъ въ вершинЪ, но безъ нагрузки въ верхнемъ кольцЪ,
с) купола съ отверст!емъ въ вершинЪ и съ нагрузкой въ верхнемъ кольцф>.
а. Сомкнутый сферичесюй купольный сводъ.
1) Ннапитическое изслЪдоваше.
а) Поперечный и продольны я у с и л i я.
Въ случай сферическаго сомкнутаго купола *) въ найденныхъ выше трехъ уравнешяхъ надо величины cis и х выразить въ круговыхъ функщяхъ, а именно:
х = Rsinr, ds Шт, р r = R pafliycy сферы.
Подставивъ эти величины въ уравнешя /, //, ///, получимъ: uRdT = d(rR siitT cost) .............................................{IV)
— gIP sii) tcIt - d (rR sIiPt)...................(V)
r _| -= — qR cost .........................(V!)
Возьмемъ интегралъ уравнешя (V) между пред-Ьпами т0 и г, получимъ:
— qPP simch — d(cRsin2T).
Нъ 'лучаЬ сомкнутаго купола т0 = 0, и интегрироваше дастъ выражеше:
rR sinlT = qR\cosT)^,
или
г si/Рт = qR,(cosr — 1), "Iкудй
) llominro пр» измЬненш т отъ 0 до 90°, такъ и неполнаго при измЪнеши т отъ 1*5?п I Ч()«
— 280 —
,, 1 — cost v=—qR ------—
1 — cos2t
и наконецъ
qR
1 -1 COST
(VH).
Подставивъ въ уравнеше V! найденное значеше v, получимъ:
w
или
- ----------COST
1 cost
•' (УШ)>
откуда
,, (1 — cost — cos2t) (1 I-cost)
u = <2 R -----m-------ЧН---------
(1 -ф- cost)2
1 -I- cost — cost — cos2t — cos2t — cos3t
It = qR, -1- — —
далее
(1 -|- cost)2
или
_ 1 — 2 cos2t — cos3t
-p—_
и наконецъ
_ 2 cos2z 1 -I- cos3t и — — qR
(1 COST)2
_ cos 2т cos Зт u = — qR- —
(1 cost)2
(У///) bis.
Найдя выражеше усилш и и v въ функцш угла т, определимъ значеше этихъ усилш для вершины и для пятъ купола, предполагая его полусферой.
Для вершины т = О имеемъ:
qR ”2~
«о =
qR ~2 ,
(//)
а для пятъ г — —, откуда
v- = —qR
2
и* = -1 - qR
2
(X).
При определены усилш въ плоскихъ куполахъ, въ которыхъ сопрягаюгше входящш въ фор-поперечное, такъ
углы т изменяются между небольшими пределами, почему мулы cost изменяется незначительно, можно считать какъ qR и продольное усил>е постояннымъ и равнымъ
Изъ разсмотрешя выражения усилш для вершины купола
чаемъ, что въ вершине усил!я, какъ продольное, такъ и поперечное, будучи равны по величине, даютъ сжат, такъ какъ вы-
и для пять заклю-
и
о
&
— 281 —
рПЖГМНе ихъ получилось съ обратнымъ знакомъ противъ предположеннаго ихъ u tup >Е«И'*п1я нпаружу элемента свода, т.-е. они оказались направленными внутрь шсмснта, другими словами, они оказались сжимающими усшпями для элемента гнида, взятаго въ его вершинФ. Усил1я въ началф, свода, будучи тоже равны по вспнчинЬ, однако неодинаковы по знаку; вслФ.дств!е вышеприведеннаго со-оир,1жен1Я заключаемъ, что у пятъ свода продольное ycnnie есть гжппе, а поперечное ycnnie— вытягиваюе.
Итакъ выяснилось, что продольное усил!е по всей высотФ свода отъ пятъ ло вершины — сжимающее, будучи въ пятахъ вертикальнымъ, а въ вершинФ, ।орнзонтальнымъ; поперечнсе усилие въ нФкоторомъ сопрягающемъ швф, мФ-иистъ знакъ, переходя черезъ нуль отъ вытягиван1я у пятъ въ сжапе у |< ршины.
Суммируя продольное давлеше экватор1альнаго сопрягающаго шва (пяты полусферы), найдемъ
— V-. 2лR = 2длН2...................
2 2
гдф 2л.1.1 есть длина окружности пятъ, а 2.тг7?‘2 есть поверхность полусферы, а 2д.т II.2 вФсъ всего купола съ нагрузкой.
Изъ разомотрФшя выражешй лродольныхъ давлешй (//), (/), (АТ) мы ви-димъ, что это послФднее зависитъ исключительно отъ вФса единицы объема кладки свода и рад!уса сферы.
Предполагая, что давлеше распредФлено равномфрно по толщинФ свода и что мы имФ>емъ купольный сводъ изъ кирпича, вФсъ 1 mtr3 котораго </= 1600 кд и допускаемое напряжение кладки изъ кирпича равно 7 кд/ст2 ,
или 70000 kg/mtr2, будемъ имФть изъ уравнешя (X), гдф «’<70000 kg[mtr2.
v = 70000 = 1600 72, откуда
„ 70000 _ „
7, = “1боо =43’75 или
79 = 43,75.2 = 87,5 mtr,
nils /> есть д!аметръ купола.
Bi, случаф бетоннаго купола, вФсъ котораго въ 1,25 разъ болФе кирпич-iinio, а прочность бетона въ 2,86 раза болФ>е кирпича (20 кд]ст2), будемъ им h II,
D = 87,5-?’ =200 mtr.
Я, 1,25
Опила дключаемъ, что наиболышй и притомъ прочный куполъ изъ
1 ••тин Mtniirii. быть сооруженъ съ д!аметромъ въ 200 метровъ*).
I I IpiiMlipn uiiiMCiвованы изъ статьи А. В. Кузнецова. „Зодч(й“ 1903 г.
— 282 —
b) Шовъ перелома.
Для определешя сопрягающаго шва, съ котораго происходитъ перемена знака въ поперечномъ давленш и где это последнее равно нулю, достаточно приравнять нулю выражеше г< въ формуле {VIII) и определить соответственный сопрягающш уголъ, который обозначимъ черезъ т0.
Выполнивъ сказанное, будемъ иметь:
1
1 - сдат0
и = qlt
— COSTQ
= 0.
откуда
1
—, ---------cost. — О
1 cost0
или
coshQ -|- cos т0 — 1 — 0.
СО8Т0 =
- 1=0,618,
откуда
т9 = 51 "50'.
Сопрягающш шовъ, въ которомъ w = 0, т.-е., въ которомъ поперечное давлеше равно нулю, называется швомъ перелома купола или ней-тральнымъ швомъ.
Дополнеше до 90° этого угла, или уголъ наклона къ горизонту шва перелома равенъ 38°10\ каковой уголъ очень близокъ углу трешя.
Итакъ мы нашли, что поперечное усил!е выше шва перелома вызываетъ сжаДе, а ниже шва перелома — растяжеше, т.-е. клинья колецъ купола выше шва перелома сжаты, а ниже шва перелома растянуты, и для того чтобы сводъ былъ проченъ и устойчивъ ниже шва перелома, необходимо произвести вспомогательный укр-Ьплешя свода при помощи забутки или связей, о чемъ будетъ сказано въ отделе о связяхъ.
с) Равнодействующая поперечныхъ усип!Й.
Опред’Ьлимъ величины равнодействующей поперечныхъ усилш, д-Ьйствую-щихъ въ одномъ вырезе сверху до низа; такъ какъ въ этомъ сеченш дей-ствуетъ найденное выше поперечное усил!е:
ё>
п/ 1 н = — <iJi ( — cost
\ 1 -f cost
а на высоту els будетъ действовать усил!е и (Is, где cis = II ch, то подставляя и и tls и производя интегрироваше между произвольными пределами т, и т2, находимъ:
fT2
( , — созт^ ch ,
\ 1 —cost j
4
— 283 —
|д! черезъ и обозначена искомая равнодействующая поперечныхъ усилш между сопрягающими швами, углы которыхъ суть и т2.
Производя интегрироваше, найдемъ:
-по Г Г - Т!
qti'-ltg %—......................... . {XII).
Возьмемъ сначала пределы между вершиной и экваторомъ, т.-е. положи мъ, что
тл = 0 и тг =- .
Тогда будемъ иметь
«о = °>
что и естественно, такъ какъ по разныя стороны отъ шва перелома усил!я и направлены въ противоположный стороны.
Далее возьмемъ пределы между вершиной и швомъ перелома, т.-е. по-ложимъ, что
7^=0 и т2 = 51°50'.
Въ такихъ случаяхъ будемъ иметь:
tg = 0,486 и s?/?rg = 0,786 и
«, = 7 IZ2[0,486 — 0,786] = — 0,3 q R\........{XIII),
где «! сжимающая сила.
Наконецъ возьмемъ пределы между швомъ перелома и экваторомъ, т.-е. положимъ, что
Т. - :51°50' И То = Л . 1 2 2
Въ этомъ случае будемъ иметь;
«2 = gjR2[— (0,486 — 0,786)] — 0,3 q R\.........{XIV),
। д1 na растягивающая сила.
Въ сумме конечно "o=Mi+M2 °, ‘•io и было найдено выше.
Vciuiie «2 необходимо знать для подсчета связей купола.
d) Распоръ купольнаго свода.
<н ну, можно найти распоръ у купола. Положимъ, что <16 изображаете нь нлпн1 yio/u выреза свода, тогда распоръ (черт. 137) будетъ равенъ:
„ о •
Q = 2н sin
пин и малое i n угла <16 можемъ написать:
Q и d&.
— 284 —
Взявъ дугу кольца на экваторе равной единице, будемъ иметь:
1 = J? dQ, откуда: dQ = 4,.
Подставляя значеше dQ въ выражеше распора Q, получимъ;
Q = l......................................(XV).
Для шва перелома, где их —0,3 д Л.^, будемъ иметь Q =—0,3 q II, а для пятъ свода, где ио= 0, находимъ, что (1 = 0; такимъ образомъ мы
и
Черт. 137.
нашли, что для всего выреза распоръ равенъ нулю.
Но это было бы верно лишь въ томъ случае, если бы кладка свода была въ состояши передавать растягиваю-щ!я усил!я, действующая въ части свода ниже шва перелома. Но такъ какъ принимается, что растягиваюнця усшпя не передаются кладкой, то распоръ выреза будетъ равенъ найденному распору для части выше шва перелома, каковой распоръ сохранится до пятъ свода. Такимъ образомъ мы нашли, что распоръ Qc выреза будетъ
Q0 = Q = — O,3qE, ,.....................(XVI),
где знакъ минусъ обозначаетъ, что распоръ действуетъ въ направлены обратному чемъ показано на черт. 137, т.-е. внаружу свода. Это выражеше необходимо для определешя величины забутки купола.
Найдемъ величину забутки для предельнаго кирпичнаго купола, рад!усъ котораго равенъ 43,7 mtr. распоръ его будетъ:
Qo = 0,3 2-43,7 = 13,11 2 = 13,11.1600 = 20976 кд.
Величина наименьшей забутки будетъ:
Р = Qq — qah = 13,11 q, где а — ширина забутки, а 7г — ея высота.
П , 13,11 13,11
Положивъ, что а = 0,5 mtr, находимъ: 7г =----=--------= 26,22 mtr.
а 0,5
Высота 7г, отъ экватора до шва перелома равна:
7г, = Л cost = 43,7.0,618 = 27 mtr,
4
— 285 —
i l, при данпомъ своде забутка толщиной въ 0,5 mtr доходитъ до шва переломи, какъ это обыкновенно и делается.
Величина распора Qo можетъ быть также определена при помощи следующего вывода. Выше была получена формула (/):
гд1
uds = d {vx cos т),
x — Rsitir, и -г = c/R -----------.
1 COST
Подставляя эти величины въ выражеше uds, получимъ:
uds = qR-d
sinr cost
1 - COST
Подобно предыдущему, можемъ написать, что рад!альное усил!е равно:
h = udf),
где df) = - согласно найденному выше. XL
Въ такомъ случае рад!альное усил!е равно:
и
R'
Умножимъ обе части этого равенства на ds и подставляя величину и, получимъ:
Обозначая распоръ черезъ Qv и интегрируя между пределами
г = О и т = 51°50',
т.-е. между вершиной и швомъ перелома, получимъ: .
инн
при
sin 51° 50' = 0,78622 cos 51° 50' = 0,61725
кипучим I
Qo = O,3.q.R,
личину, уже найденную выше.
— 286 —
е) Точка приложена распора купольнаго свода.
Определимъ теперь еще точку приложешя распора, найдя моментъ распора относительно вершины свода и раздЪливъ его на величину распора.
Моментъ рад!альныхъ силъ относительно вершины свода будетъ:
= h dsR( 1 — cost) .
Подставляя сюда значеше lids, получимъ:
или
— cost)c!
suit cost
1 cos т
/SUIT COST — cost d I
\1 —[-COST
Моментъ равнодействующей рад!альныхъ силъ между пределами т = О и т = 51°50', другими словами, моментъ распора купольнаго свода будетъ:
Произведя интегрироваше по частямъ и выполнивъ соответствуюпця пре-
образовашя, получимъ:
sillTCOST >,1111 cos'2t l-|-co.sr 1-\-cost
или
'К ^[2
siu2T lg2
51» 50'
sin^T cost — sin2T -|- slicer
1 -1-cost
О
dT
A ; qB?
. _ „ т
sin 2т tg* l
51" 50'
sin2T(l -1 cost) — siit^ ,
. ,—--------------ат ,
1 j cost
I
— 287 —
Выполняя пптегрироваже, получимъ:
при i 51n50', J=25°55' и 2т = 103° 40' имЪемъ:
shir 0,786 sinlz = $ш(180 — 2т) = sin76° 20' = 0,973 ,
Л/ = 0,486 | = 0,452 .
11одс1.1Ш!Яя эти значешя, получимъ:
И ИИ
J/h = qH2l~ 0,973 (0,4862+ 0,500) -|-0,452 — 0,786
0,024 =
Веря отношеше J/); къ ф0, получимъ плечо р0 распора относительно вершины купола:
J/., 0,024д7?2 „ 2
Л - 0,3qR — °-08 -К - 25 Ь.
Такимъ образомъ точка приложешя распора сферическаго купола най-2 „
доил: распоръ полнаго сферическаго купола приложенъ въ — К отъ вершины ода.
f) Толщина купопьныуъ сводовъ.
11аиденное выражеше продольнаго усил!я:
1 - - cost
u| II «личины (I толщины купольнаго свода.
Лин | го, чтобы получить формулу, по которой можно было бы найти *>*1,чпну </ под.г, умножимъ об4> части выражен!я на d и преобразуемъ про-н •«л«Ш- i/f/, II, которомъ g означаетъ в-Ьсъ кубической единицы нагрузки •у .111(1(1 пл. в-feca самого свода и приходящейся на него нагрузки.
> и mi черезъ /—в-Ьсъ единицы объема свода, р—нагрузку на ква- шу lunniiiy горизонтальной проекции свода, можемъ полную нагрузку на । чпу " чипу перекрываемаго сводомъ пространства дс/ написать въ
— 288 —
Подставляя это выражеше въ найденное выше, будемъ имЬть:
l-|-ro.sr ’
откуда находимъ выражеше толщины свода d, которое будетъ равно:
г( L -|- cos т) — Л/ '
При выводЬ этой формулы знакъ минусъ передъ
опущенъ потому, что знакъ этотъ показываетъ только
продольнымъ усшпемъ
направлеше усил!я.
2) Графическое изслЪдоваше.
Вагнеръ *) предложилъ особое графическое построеше, которое назовемъ
д!аграммой Вагнера, показывающее наглядно распред-Ьлеше продольныхъ и
равной единицЬ, будетъ:
поперечныхъ усилш въ Tint, купола и дающее возможность легко находить положеше шва перелома купольныхъ сводовъ.
Положимъ, что мы имЬемъ куполъ (полусферу) (черт. 138), рад!усъ котораго есть Н и нагрузка на квадратную единицу вмЬстЬ съ вЬ-сомъ самого свода есть (/**)
Вся поверхность купола 8 = 2.тг7>2, и полный вЬсъ его съ нагрузкой G'= g S' =
Поверхность вырЬза съ дугой на экваторЬ,
и вЬсъ его будетъ:
Поверхность части этого выр-Ьза ***) между вершиной и какимъ-либо со-прягающимъ швомъ на основанш свойствъ шара выразится отрЬзкомъ вертикальнаго pafliyca между вершиной и рад!усомъ сопрягающаго ш £>..
Пусть уголъ какого-либо сопрягающаго шва будетъ -г, тогда поверхность части выр-Ьза до этого шва будетъ;
= PL', и вЬсъ его go' = q. PL'.
*) Статья А. В. Кузнецова. „Зодчш11, 1903 г.
**) Принимая толщину свода, равную d, будемъ им-Ьть q — dq^, гдЪ гц есть в-Ьсъ единицы объема.
*'*) Съ дугою на экватор-b, равной единицЬ.
— 289 —
Поверхность части выреза между двумя швами, сопрягающее углы которых ь равны г, и т2, будетъ:
= L’L",
и н1съ его д~' —(j.LL".
Преобразуемъ найденное выше выражение {VII).
>=—.
1 '-COST
(VII).
Умноживъ и разделивъ вторую часть выражешя на BPsin^T, получимъ:
или
</Л‘ B2sin2T
1-|- cost B^sin^r
siiit
1 COST
siitT
В
В si пт
« — —дВ lg 2 sinr
Обозначивъ черезъ г рад!усъ кольца, будемъ иметь:
Подставивъ въ последнее выражеше v величину ?•, получимъ:
v = gl{tg
(Vll)ci.
Изъ того же выражения найдемъ:
Г - qlltgT-(B хгпт) ,
или
{Vll)b.
Для построешя диаграммы Вагнера примемъ масштабъ силъ такой, чтобы q выражалось от-рЪзкомъ прямой, равнымъ линейной единице, т.-е., чтобы д единицъ веса соответствовали 1 единице длины.
ч рг. 139. Въ такомъ случае (черт. 138) отрезки PL'
и L'L'' выразятъ веса частей выреза, а рад!усъ П ' ры ^будетъ соответствовать весу купола Положимъ, что (черт. 139) мы нм!.<М1 срединную лишю мерид!ональнаго сечешя купола, возьмемъ на ней точку Л, соответствующую сопрягающему шву, уголъ котораго есть т. Про н’ДГ'МЪ к.н цельную къ окружности въ точкахъ Л и Р и отметимъ точку Л1 персе 1>ч<ч11я iiixi. касательныхъ; соединимъ точки А и Л, съ центромъ сферы О и проведемъ /кипи А{К\\АО, AL || Л(|0, AtAf || РО.
II К Jhix 1 ни । Piifirt । < нодовъ.
19
г = Л sin т.
2
— 290 —
Изъ подоб!я треугольниковъ и ALO, AAtA.j и ALO имеемъ:
откуда
где
АА. А. А, А А, А.А„
AL ~ АО ’ Т0~ AL ’
АА — ААХ и АА = АА
AA^Btg^,
А А = 0К, АО = It, AL = r,
PL = AtA3 = AAt si n t = II tg ? sinr.
ИмЪя въ виду масштабъ силъ (</=1), заключаемъ, что длина PL выра-жаетъ графически в-Ьсъ части выреза отъ Р до А и длина РО—весъ всего выреза РАоО.
Подставляя найденныя величины въ выражеже AtA,t, получимъ:
ОК — It tg sin т
ОК -~= It tg J 2
и наконецъ
OK = PL
Изъ сравнешя полученныхъ выраженж съ формулами (VII) а и (VII) b заключаемъ, что
ОК —г
и что
где д—весъ части выреза.
Такъ какъ:
д^ = ~ Л
2
что согласуется съ формулой (X), въ которой согласно масштабу q—1.
Такимъ образомъ мы нашли способы определять графически продольное давлеше любого сопрягающаго шва. Для этого необходимо черезъ взятую точку А провести касательную ААУ до пересечешя въ точке Ах съ касательной въ вершине, затемъ изъ точки провести лишю АХК параллельно рад!усу О А до пересечешя въ точке К съ осью свода, тогда отрезокъ ОК и есть искомое поперечное давлеше v даннаго сопрягающаго шва.
— 291
Нише ми нашли, что:
и -|- V = — qR cost, . {VI),
о । куда имЪемъ выражеше для поперечнаго усил!я:
И = — V — qR cost.
II ъ черт. 139 им-Ьемъ, что OL — Rcost. Пегому можемъ написать:
U — — V — q.OL.
Имея въ виду, что </= 1, и заменяя — о черезъ ОК, получимъ графическое ппражеше поперечнаго усилия:
и = OK— 0L - KL.
Такимъ образомъ мы нашли способъ определять графически поперечное yeiuiie въ любой точке купола, для этого необходимо выполнить построеше.
какъ при определена продольнаго давлешя, и провести рад!усъ AL кольца; отрЪзокъ KL и будетъ искомымъ поперечнымъ давлешемъ. На черт. 139 точка L получилась выше точки К, но могутъ быть случаи, когда L окажется ниже точки К и когда обе точки совпадутъ.
На черт. 140 изображенъ случай, когда точки L и К совпадаютъ, при iomi. KL u^=Q, что соответствуетъ шву перелома.
Па черт. 141 изображенъ случай, когда точка L получилась ниже точки А"; пм1 । пт. виду, что выше шва перелома поперечный усилгя отрицательны, а ниже ниш перелома положительны, мы должны принять направлеше отрезковъ KL инерхь огь точёкъ К за отрицательное направлеше, а направлеше отрез-шип. KI пнн.и> отъ точекъ К за положительное направлеше.
!' п< ргх иосл1’, предварительныхъ пояснешй, остается показать построеше дйн'рпммы Нш игра.
I hj'iiip 1«мч- линейный масштабъ и чертимъ среднюю линю (черт. 142) MrpiialoiiiiHi и но разреза купола, t.-q. принимаемъ, что п метровъ заключается и I т, ли) пуд, гъ соответствовать линейному масштабу 1 : it. 100 натураль-iiiiii । niiHiiiiia; и'мь, зная весъ q килограм. и нагрузку 1 квадратнаго метра Ч 19*
— 292 —
свода, принимаемъ за масштабъ силъ g кд въ 1 ст. Этотъ же масштабъ будетъ и для напряжешй въ тклФ. свода.
Д-Ьлимъ срединную лин!ю на равныя части въ точкахъ Л, проводимъ касательный въ точке Р и въ точкахъ А и опредЬляемъ точки А', черезъ который проводимъ линш А'К параллельно рад!усамъ ОА.
Такимъ образомъ найдемъ отрезки ОК = ?>.
Такъ какъ известно, что въ вершине
1 р , 1 р
ИЛИ при 7=1, г?0=-й,
то для вершины точка К будетъ лежать на половине отв^снаго рад!уса.
Затемъ проводимъ пиши AL горизонтально и получаемъ точки L, такимъ образомъ найдемъ отрезки ± KL = и.
На каждомъ изъ рад1усовъ, проведенныхъ черезъ точки А, отъ окружности къ центру откладываемъ соответственные отрезки ОК.
РО^ОК. = 1-В,
Ao°io = °*io и т. д. до Aw0=0P=I{.
Такимъ образомъ получимъ кривую DtiDl0......характеризующую
законъ изменешя продольныхъ давленш.
Далее на техъ же рад!усахъ отъ окружности откладываемъ отрезки KL. при чемъ отрицательные отрезки KL откладываемъ отъ точекъ А по продолжение рад!усовъ внаружу свода, а положительные отрезки KL откладываемъ отъ точекъ А по рад!усамъ внутрь свода къ центру.
Такъ: PBV = КР = — 1 Л ,
Ао®ю = ^1(Л1о и т- я- А)<>0»
^80^80 = ^80^80 И ~
и
Такимъ образомъ получимъ кривую б0510 .... Вм0, характеризующую законъ изменешя поперечныхъ усилш.
Кривая эта пересекаетъ окружность въ точке, которая дастъ шовъ перелома, такъ какъ въ ней и — 0, что видно изъ чертежа. Сопрягающш уголъ шва перелома равенъ 51° 50'.
Найдемъ теперь величину распора свода. Выше мы нашли формулы (ХП) и (XV), изъ которыхъ можемъ написать, что величина распора для любого шва будетъ:
Q = qTtl tg — sinт j..................(XVh),
— 293 —
иль чертежа (139) имеемъ:
BsIht = AL,
>1 такъ какъ по построен!ю q=l, то величина распора будетъ:
Q = A3L — AL = — AA3.......................{XVIII).
Изъ чертежа имеемъ:
АА3 = AlA.ict(jT. — PLctgr, и длина
PL—11 — В cost , i u< ь что величина распора будетъ:
Q — — 7i(l — С08т)с1дт,
пли
Q = — Л 1д т cost..................................{XIX).
На д!аграмме Вагнера распоръ определится следующимъ построен!емъ. Проводимъ изъ шелыги Р линш PCi3, РС2п........PCS0 параллельно касательнымъ
Лц|/1', А20 А' ...Л80 А' до перес-Ьчешя съ лишями 41(| £(0, A20L.i3 .......
въ точкахъ С10, С2(1....С80. Отрезки CIOZ.1O, С20£2(|....^8 о ^во Дадутъ
иеличины распоровъ для разныхъ колецъ, что видно изъ сравнен!я чертежей 139 и 142. Соединяемъ точки С съ 7 и С кривою, которая даетъ законъ нзмЪнегпя величины распора купольнаго выреза.
Такимъ образомъ мы нашли, что распоръ, такъ сказать, самъ собою погашается. Распоръ для шва перелома будетъ наиболышй:
Qinnx — Qi2 = ^2^82 =
Mid. какъ точки L.2 и Л'В2 совпадаютъ.
Величина <|>шах найдется изъ формулы {XIX), где
т.= 51°50', lg | = 0,486, cost = 0,618,
952 = — В. 0,486.0,618 = — 0,3 В.
Mu iiniiiini, чго распоръ отъ шва перелома къ пятамъ убываетъ, но это |»очмнж1н» ........ fti.i лишь въ томъ случае, если бы кладка свода передавала
I I пи >*ouil»i ycinini. Въ теорш сводовъ принимается, что кладка свода мо->кг| । нгргдлнлн. одно сжат!е, почему величина наибольшаго распора сохра-•^>11' « Ло пч 11
— 294 —
Проведя касательную къ кривой распора въ точкЪ получимъ точки SQ> G0” ^'so и С'до, который дадутъ вм-ЬстЪ съ точками С,1(|, С30, С20, С10 и Р кривую распоровъ
Если опустимъ перпендикуляры изъ точекъ С на линш CL, то получимъ рядъ точекъ Е. Отрезки С20 Ем, СМЕЗО, С40£40, Сво £s0 (выше шва перелома)
Черт. 142.
и отрезки С60 Е60, С.д Е~п, С80 £so, Сд0 Ед0 (ниже шва перелома) имеюсь направлеше относительно кривой распора въ разныя стороны. Отрезки СЕ указываюсь на измЪнеше величины распора при переход^. отъ одного кольца къ другому и являются элементарными распорами. Отъ вершины до шва перелома элементарные распоры h уменьшаются по величин^., оставаясь положительными, а отъ шва перелома до пятъ распоры h растутъ по величин-Ь, оставаясь
— 295 —
i рпцжтспынши; перемЪна знака распоровъ происходитъ въ шв-fe перелома, f д1. м1.нястъ знакъ и поперечное усил!е, переходя изъ сжапя въ растяжеше.
I акъ какъ растяжен!е въ кольцахъ не можетъ быть допущено, то и по-Hiuiciiie отрицатепьныхъ распоровъ h также недопустимо, почему получившшся имибольипй распоръ Qsi долженъ остаться на всю остальную высоту свода отъ niuu перелома до пятъ.
Въ случай, если куполъ не полуциркульный, то можно пользоваться । >ii же д!аграммой Вагнера до сопрягающаго угла, совпадающаго съ пятами даннаго купола.
Ь) Куполъ съ отверспемъ въ шелыгЬ безъ нагрузки въ верхнемъ копьцк
Выше мы нашли уравнеше
— gJi? suit ch — d(iJ{ sinh).........................{I/),
из ь котораго можемъ получить выражеше меридюнальныхъ усилш открытаго купола. Положимъ, что сопрягающш уголъ верхняго открытаго не нагружен-паго кольца есть то, въ такомъ случа-fe будемъ имФ.ть посл-fe интегрировашя уравнешя (Г) между пределами то и произвольнымъ т:
откуда
— q.R? I siitTih — rR. sinh, J -о
cos т0 — cost sinh
W-
(F/)
Дал-fee изъ уравнешя (l/l): v-\-u = —qRcosr . . ........................................
11.1ходимъ выражеше поперечныхъ усилш, для чего подставимъ въ него най-Л( иное выражеше v. Выполнивъ сказанное, получимъ:
1НШ
/ eosra—cost\ ,VVIx
и — — qli I cost — -----I................(XX/).
\ sinh /
I Ьшученныя выражешя и и v для открытаго ненагруженнаго въ верх-нп । ш ц! купола показываютъ, что усил!я поперечное и продольное зави-с»п । п< (опрчгающихъ угловъ отверспя въ вершин-fe и изслФ.дуемаго кольца, I > |»VI1 1, (Ч Ъ Г И Т.
При I , 1. е. на краю купольнаго отверспя изъ уравненш (XX) и (XX!) нм Ь>« мь
— 0 , и-а = — qR cost .
। с у пятъ купола изъ уравненш (XX) и (XX!) будемъ
•'ll — Ч 1< <‘Ол-т0 г<0 = ql( COST0.
— 296 —
Изъ посл’Ьднихъ четырехъ выражений заключаемъ, что продольное усил1е меняется отъ нуля на краю отверстия до — jRcosto у пятъ, оставаясь постоянно сжат!емъ; а поперечное усил!е, будетъ одинаково по абсолютной величин^ на краю отверст1я и у пятъ, но противоположно по знаку; это последнее усил!е въ открытомъ куполФ., какъ и въ сомкнутомъ купол-b, есть сжат!е отъ верха до шва перелома и растяжение отъ шва перелома до пятъ.
Приравнивая нулю выражеше кольцевого усилия:
и = — qll
COST — COSTn \
—.--5----- + COST =0
Slll-т /
находимъ изъ уравнения:
cost — cost., .
-----------0 \-cost — O
зги.-т
то значеше т, при которомъ и — 0.
Не выполняя рЪшешя этого уравнешя, дадимъ таблицу, заимствованную изъ труда А. В. Кузнецова („Зодч1й“, 1903), въ которой указывается зависимость между величиной т, при которой и = 0 отъ значешя то; таблицу дополнимъ для наглядности столбцомъ, относящимся къ замкнутому куполу.
Таблица 17
угловъ шва перелома купольныхъ сводовъ.
При углЪ купольнаго от- верстия т0 0» 10» 200 300 400 500
Уголъ шва перелома т . . ' 1 51° 50' 530 0' 560 15' 60»35' 65020' 70001'
Изъ разсмотрЪшя таблицы заключаемъ, что ч i м ъ болЪе о ткрытъ к у п о л ъ, тЪмъ шовъ перелома лежитъ ниже ит’Ьмъ у с и л i я въ свод-Ь вмЪст’Ь съ тЪмъ будутъ уменьшаться.
Что касается д!аграммы Вагнера, то она можетъ быть построена такъ же, какъ и для замкнутаго свода; отлич!е д!аграммы для открытаго ненагруженнаго въ отверстш свода отъ д!аграммы сомкнутаго купольнаго свода будетъ заключаться лишь въ томъ, что верхняя горизонтальная лишя, которая проводилась въ сомкнутомъ купола касательно въ вершин^ купола съ нена-щуженнымъ отверст!емъ, проводится горизонтально черезъ верхнее кольцо. {
с) Купопъ съ отверспемъ въ шепыгЬ съ нагрузкой въ вер^немъ копьцк
Положимъ, что на верхнемъ колы it, открытаго въ шелыгЬ купола имеется нагрузка р, и пусть сопрягающш уголъ верха есть то и рад1усъ кольца г0 = RsinT0. Уравнеше (I/) при такой нагрузкФ. будетъ;
— qB^simdr = d(rR sinh; -\-pR siiiT0),
— 297 —
откуда nocnt. интегрировашя
ill sin2T -\-pIl sin т0 = qll^icosT — cosr0),
и наконецъ:
p sincn ,, cosтп — cos т
v = — qH-------- -
sun sm‘r
(XX//).
Поперечное ycnnie можетъ быть найдено изъ формулы (VI), которая при-
метъ видъ:
_ р S> II тп г, cos т — cos тп
и = — q.R cost — qJi- . о -
sun sun
или
, р suit. cosт — cosт
и = 4~ - — „ ~ — qll cost----------v ; -
1 Sin-T \ SUllT
. (ХХШ).
Полученный выражен!я (ХХП) и (XXIII) для v и и отличаются отъ та-ковыхъ же выраженш (XX) и (XXI) для открытаго купола только членомъ, представляющимъ вл!яше нагрузки р.
Въ формулФ продольнаго усил!я v, которое, какъ и въ выше приведен-ныхъ случаяхъ, есть сжат1е, вл!ян1е нагрузки р входитъ съ отрицательнымъ знакомъ, т.-е. оно выражается добавочнымъ сжапемъ.
Въ формулФ поперечнаго усил!я и вл!ян1е нагрузки р входитъ съ поло-жительнымъ знакомъ, т. е. добавочнымъ поперечнымъ растяжешемъ, равнымъ численно добавочному продольному сжат1ю того же шва; оно понизитъ сжат!е выше шва перелома и повыситъ растяжеше ниже шва перелома. Величины усилш и и v зависятъ для одного и того же купола только отъ значешя угла т. При т = ти, т.-е. на краю отверст!я:
U«= + wt ~qlt d f/6 t q /
.7Г
I tpii r 2 j т-'е- въ пятахъ свода:
»к = — р si»Ta — qji cost0 I
2 I........................(XXV)
ил = -)-p sin тв - - cost0 । 2 '
Hriiii’iiiiui XXIV имФютъ особенное значеше при расчетФ своднаго кольца, ч< мь буд. гл. указано ниже.
И обходимо обратить внимаше на то, что поперечное ycnnie w0 (XXIV) i. iinipyiKciiiioMb открытомъ кольцф можетъ быть и сжапемъ въ случаФ, если
II |1>к I И1КЛП1< М 1>, седи
qll costb
q II cost0
I
sin t0
— 298 —
Для случая нагруженнаго кольца открытаго купола можетъ быть также построена д!аграмма Вагнера, которую мы однако вслФ.дств1е разнообразности возможныхъ случаевъ здФсн не приводимъ, но интересующихся обращаемъ къ труду А. В. Кузнецова.
По мФ>рФ> возрастан!я нагрузки на край отверст1я шовъ перелома повышается.
d) Параболически купопъ *),
Въ случай параболическаго купола въ найденныхъ выше двухъ основ-ныхъ формулахъ:
Р --2) = — —---— 2.тг(/ ,с siitr ’
и
v . siitr
----\-и- —cost—О, р ' Ж
необходимо выразить величины х, q и т въ функщи координатъ, удовлетворяю-щихъ уравнешю параболы, которая будетъ, служить направляющей купольнаго свода.
Уравнен1е параболы, имеющей вертикальную ось, совпадающую съ осью свода, и касательную въ вершинФ, будетъ:
ж2 — 2су,
гдФ. с параметръ параболы, величина котораго будетъ найдена, какъ только пропетъ и подъемъ свода будутъ даны. Для разсматриваемаго свода будемъ имФть:
, ж . ж с
Гот — — , згпт = - - -------, cost = —- ,
с ]/с2-|-ж2 |/с2-|-ж2
с suit
X = :-----,
cost
с
cos9t'
КромФ того изъ аналитической геометрш извФ>стно, что поверхность параболоида вращешя ,8' выражается формулой:
О ч <
s = g[(C2+*2)/2-^, 10
а поверхность пояса между параллелями ж и ж0 того же параболоида будетъ: Т
S - -S„ = U [(с2 + ж2)3/г - (л2 + ж02)3/з]. 06
') Элементарный статистический расчетъ куполовъ. Соколовъ „Зодч1Й“, 1908 г.
— 299 —
ВЬсъ итого пояса вм'Ьст'Ь съ приходящейся на него нагрузкой будетъ:
2‘з'— К*2+^2)3/2 - + *о2)3'2] + ,
оо
гдЪ d — толщина свода,
ц — вьсъ единицы объема, включая и нагрузку, Qo — нагрузка на верхнее кольцо открытаго купола.
Предполагая т0 = О, т.-е. разсматривая сводъ сомкнутымъ, будемъ им-Ьть:
х0 = 0 и Qo = 0;
въ такомъ случай, нагрузка Р будетъ:
Р —J-'7- [(с2 + ж2)3/2 — с3] •
Подставляя это выражен1е въ формулу продольнаго напряжетя, получимъ:
Зсх sin т
^2)S/2_ C8J.
Заменяя въ посл"Ьднемъ выраженш х и вынося с за скобку, получимъ:
_ 4е
1,~ 3
или
— v =
COST
shPr
qc
3
sdPt j 7 ’
qc COST / 1
— « = -x- • — -9-’ I — - - — 1 ;
3 Sl1pT \COS°T /
дальн-Ьйппя упрощен!я дадутъ
qc 1—cos^r______qc siiPr -|-cos2t — cosst qc sin2rcos2r(l—cost)
3 sin2Tcos2r 3 sin2T соз'гт 3 sin'2T <-<>s2r
qc Г 1 , 1—cost"! qcV 1 . 1—cost 3 Leos2!? ' sin2r J 3 [ cos2t * 1 — cos'2t
и наконецъ
_ W Г 1 I 1 1
— ъ — “T I “—2 1 "i—i----I •
3 1 -|- COST J
1
,. qc
При г О имъемъ — .
Подстаиляя далЬе въ выражен!е:
v . изгпт .
------------ -L. q COST — Q
О 1 X
— 300 —
значешя (», величину поперечнаго
Такимъ образомъ
х, smr и cost, и выполнивши рядъ преобразованш, получимъ напряжешя и въ функцш продольнаго напряжешя о. будемъ им±>ть:
откуда
L40SST . и suit „
--------------\-qcosT = 0, C X
или
CXCOS^T .
--и — : --;-----k- qx CIOT esmr
гх cos-г
--U=: ------------1- qx слдт
откуда
Подставляя сюда
значеше:
получимъ
с/с 3
COST?
и наконецъ
г/с w--3
cos-т
1 (;osr
qc
При т = 0 имЪемъ — и — —.
Въ случа-Ь пологихъ сводовъ, усил1я, какъ продольный, такъ и поперечныя . 4е
для всего свода могутъ быть приняты равными •
Изъ разсмотрФжя выражешя поперечнаго напряжешя заключаемъ, что въ параболическихъ купольныхъ сводахъ вс-Ь кольца отъ вершины до опоръ сжаты.
е. Коничесшй иупопъ *).
Въ случай коническаго купола объемъ кладки будетъ-
nxld cost ’
гд-fe d—толщина купола,
т — дополнеше половины угла при вершинЪ конуса до прямого. Нагрузка купола съ собственнымъ его в-Ьсомъ будетъ:
.TX^dq
cos г
Подставляя величину нагрузки въ формулу продольнаго на^яжешя, получимъ.
qx
— v —
2 sui t cost ’
или
qx
— v = —. 81П2т
') Элемент, стат, расчетъ. Соколовъ „Зодч1й“, 1908 г.
— и =
1
— 301
Поперечное напряжете въ коническомъ куполФ будетъ найдено изъ извФ>стнаго уравнешя:
v . sinr .
—и---------Ф 7 cost = 0,
o' x '
въ которомъ мы должны положить для образующей купола
0 = 00,
въ такомъ случаФ имФемъ
— и =
qx tCJT'
’f. Сравнеже покрытия одного и того же пространства тремя куполами — полусферой, параболическимъ и коническимъ.
Приведемъ изъ указанной и цитируемой статьи П. Соколова въ „Зодчемъ" за 1908 г. интересную таблицу, въ которой сопоставлены напряжен(я въ трехъ куполахъ, перекрывающихъ площадь д1аметромъ въ 25,4 mtr при подъемФ. въ 12,7 mtr, при расчетФ принятъ вФсъ кубическаго метра кладки въ г/ = 2000 !;д.
Таблица № 18.
ПОКРЫТИЕ. Полусфера D — 25,4 м. f0 = 12,7 м. Параболическое D —25,4 м. £, = 12,7 м. Коническое 1) .= 25,4 м. h = 12,7 м.
Высота коле цъ отъ вершины въ mtr. X рад!усъ кольца ВЪ mtr. 1) про дольное напряж. въ кд/ст.2 и поперечное напряж. въ кд/ст.2 X рад!усъ кольца въ mtr. V продольное напряж. въ кд/ст.2 и поперечное напряж. въ кд/ст.2 X рад!усъ кольца въ mtr. V продольное напряж въ кд/ст2 и поперечное напряж. въ кд/ст*
0,00 0,00 —1,27 —1,27 0,00 —0,63 —0,63 0,00 —0,00 —0,00
1,27 5,54 1,32 0,94 4.02 0,84 0,69 1,27 0,25 0,25
2,54 7,62 1,42 —0,61 6,01 1,04 0,71 2,54 0,51 0,51
3.81 9,07 1,50 —0,28 6,96 1,22 0,74 3.81 0,76 0,76
В,08 10,16 1,60 —0,08 8,03 1,37 0,74 5,08 1,01 1,01
е.м 11,00 1,70 +0,43 8,91 1,55 0.76 6,35 1,27 1,27
7.62 11,61 1,80 +0,79 9,83 1,73 0,76 7,62 1,52 1,52
12,12 1,96 +1,19 10,36 1,88 0.76 8,89 1,78 1,78
|(|< ' 12,45 2,И +1,60 11,36 2,06 0,78 10.02 2.03 2,03
11,11 12.63 2,31 -1-2,06 12,05 2,23 0,78 11,43 2,23 2,23
11,70 12,70 2,54 +2,54 12,70 2,41 0,78 12.70 2.54 2,54
— 302 —
Въ таблице знакомъ минусъ отмечено сжатие, а знакомъ ппюсъ — растя-жеше. При расчете пользовались формулами:
1) для сферическаго купола:
qll
1 COST
и = qll (cost-------
\ 1-cost
2) для параболическаго купола:
3 \ 1 —|— cost cos-t
cos-t
1 -[-cost
и 3) для коническаго:
qx sin~T
Изъ таблицы усматриваем^ что параболически куполъ наиболее выго-денъ въ отношенш распределешя въ немъ усилш, такъ какъ въ немъ-—однЪ сжимающ1я; наименее выгоднымъ является куполъ сферичесюй, требующш укрФ>плен!я железными связями въ частяхъ, подверженныхъ растяжешю.
д. Вшяже вЪтра и несимметричны^ нагрузокъ на сферичесме купольные своды *).
Выше были разсмотр-Ьны случаи равномерной вертикальной нагрузки на купольные своды, разберемъ теперь случаи действ!я на куполъ наклонныхъ параллельныхъ силъ, напримЪръ, случай дф.йств!я на куполъ силы ветра.
Обозначивъ давлеше ветра на квадратную единицу, нормальную къ направлешю ветра, черезъ го, будемъ иметь все усил!е на сводъ:
Р — rrJPw.
Подставляя эту величину вместо Р въ выражеше продольныхъ силъ
2.тс/. х. sin т
и замечая, что х= Hsinr, будемъ иметь:
Изъ разсмотрешя этого выражешя заключаемъ, что оно, какъ не зависящее отъ переменныхъ величинъ, постоянно для всего купола, следовательно продольный усил1я, вызываемый ветромъ, постоянны во всемъ куполе.
) ,,3одчш“ 1908, статья П. Соколова.
— 303 —
Подстиляя вь уравнеше: г и [-QCOST = О ' Т 1 о _ г = Ц и </ = у *), (v
будемъ имкть: W . U . W -2rf+r;+s‘“r=0-
о । куда IV11 / 1 \ — и — —г-1 COS Т 1, d \ 2 / ’
или
wTl, , 2ivli . /т _ . /т
— и = —r (cost — cos6O") =----------=— sin I ---1 - 30a I sin I — — 30°
d ' d \2 1 / \2
и наконецъ 2wR . Т . . /т Л а , sin „ - 30° ) sin | — 30° I. d \2 1 / \2 /
Такимъ образомъ знакъ поперечнаго усил!я и будетъ зависать отъ знака члена sin — 30°Y
При -^-^>30° (или г >60°) м^>0,
W т = 60° и = 0 ,
1» т 60° и 0 . „ wit
» т — 0 U = — 2 г/ л tv И
» = -7; и = ~ . 2 2d
Здесь уголъ т направленнымъ къ ветра. составляется направлен1емъ ветра и рад!усомъ купола, месту свода, где определяется поперечное yewnie отъ
Углу т=0 соответствуетъ то место свода, где направлеше ветра встре-чаетъ центръ купола; здесь имеемъ сжат4е:
tvll — • 2d
*) Въ предыдущей формуле v и и суть напряжешя, т.-е. силы, д-Ьленныя на квадраты длины, а ч нКсь единицы объема, т.-е. сила, деленная на длину въ куб-Ь; сила ветра w есть тоже нанряжсн1о, Т.-с. сила, дЬленная на квадратъ длины. Следовательно, для того, чтобы все члены формулы были одного измерен1я, когда на место q подставимъ го, необходимо гс разделить на длину, которая дъ ланномъ случае должна быть толщиной свода, при этомъ мы приводимъ силу в1тра какъ бы кь матер(алу свода.
— 304 —
Углу т = 90° соотв4.тствуетъ поясъ купола, ifli направлен!е в-Ьтра только касается купола; зд-Ьсь имЪемъ растягивающ!я усилия:
wl\
и — ~ , -2г/
Нейтральный по отношешю къ вЪтру поясъ будетъ въ томъ м^стЪ, гдф рад!усъ образуетъ съ направпегаемъ в-krpa уголъ т = 60°, такъ какъ:
при
cost = cos 60° = |-
w II / 1 \
— u~ —г cost — „ \ 2/
- 0.
По Mi р-Ь возрастания нагрузки на край отверспя шовъ перелома повышается.
h. Вгняше забутки.
Д1аграммы Вагнера могутъ
по а-Ь
Черт. 145.
быть построены и для разныхъ случаевъ забутки купольныхъ сводовъ; авторъ неоднократно цитированнаго труда о примЪненш д!аграммъ Вагнера къ расчету купольныхъ сводовъ приходитъ къ тому закпючешю, что характеръ кривой диаграммы указываетъ на пользу забутки въ томъ случай, если она въ верхнихъ кольцахъ ничтожна, а въ пя-товыхъ кольцахъ достигаетъ значительныхъ разм-Ьровъ, быстро увеличиваясь отъ кольца къ кольцу. Поэтому, желая избежать связей при нагрузк-fe. фонаремъ, необходимо въ пя-товыхъ кольцахъ дЪлать забутку въ видЬ высокой каменной кладки. Въ верхнихъ же кольцахъ достаточно сделать обычную смазку.
Въ каждомъ отдЪльномъ частномъ слу-' ча-fe слЪдуетъ выяснить необходимую форму забутки. Иногда укр-Ьпляютъ купольный сводъ при помощи, такъ называемыхъ, шпоръ (чер. 143). Это невысоюя каменныя стЬнки S, который располагаются по рад!усамъ на н-Ькоторыхъ между собою разстоян1яхъ и слу-жатъ своду С упорками въ окружающее его кольцо К изъ каменной кладки. И
i. Боковыя отверспя въ купольномъ сводЬ.
Мы уже знаемъ, что въ купольномъ свод-fe, сложенномъ изъ упругаго, опускающаго растяжеше матер1апа, распоръ изм-Ьняется по высот-Ь купола,
— 305 —
при чемъ у вершины распоръ равенъ нулю, ниже распоръ растетъ и дости- I н1,котораго Diii.rimum’a, а далее распоръ убываетъ и у пятъ снова обра-Ш.1 1ся нъ нуль: соответственно такому изменешю величины распора происходи и распределена въ теле купола продольныхъ и поперечныхъ усил!й.
Въ действительности же купольные своды бываютъ выполнены изъ ма-
n'piuiia, обладающаго незначительной упругостью и небольшимъ сопротивле-п1емъ растяжешю, почему подверженный растяжешю части купола разематри-n.iio।ся, какъ не имеюгщя никакого напряжешя. Въ такомъ случае распределите поперечныхъ усилш, а главное, ихъ величины должны быть иныя, чемъ ио было обнаружено изеледовашемъ.
Въ верхней части купола (до шва перелома) распределеше усилш и величина останутся, впрочемъ, прежшя, изменеше произойдетъ лишь ниже шва перелома, где поперечный усилия (по изеледовашю—растяжение) будутъ равны нулю, а продольный давлешя вследствие принимаемаго постояннаго наибольшего распора увеличатся, оставаясь сжат!емъ. Это обстоятельство должно вы
шли утолщеше тела свода ниже шва перелома.
Для совершеннаго уничтожешя поперечныхъ растягивающихъ усилш хо
роню делать поперечные швы, разрезающ!е кольца отъ пятъ до шва перелома,
и кроме того, устраивать забутку, которую доводить по высоте несколько выше шва перелома (черт. 144).
Имея въ виду сказанное, а также и то, что выше шва перелома поперечное усил1е есть сжат!е, приходимъ къ заключена, что боковыя отверст!я въ куполе делать выше шва перелома не следуетъ; если обстоятельства однако требуютъ устройства просветовъ выше шва перелома, то отверспя надо перекрывать прочными
1|>ками или перемычками и во всякомъ случае устраивать так!я приспособлена и конструкцш, которыя могли бы передать все усилие, которое приходится на oTisepcTie.
Въ случае, если бы надо было поднять отверст!я выше шва перелома, io необходимо устроить и подсчитать боковыя оконныя стенки, какъ верти-к.ип.пыя балки, горизонтально нагруженный поперечными усил!ями, суммиро-II.отыми па протяжеши половины разстояшя между окнами, и кроме того, усилии и подсчитать часть купола непосредственно выше и ниже отверстш, имея in иду, кроме приходящагося поперечнаго усил!я, еще усил1я, переданный Ло|<11Н1 (мп окопными стенками.
2. I рафическш расчетъ купольны^ъ сводовъ.
AiHiimilVli-cKor пзел Ьдоваше распределешя усилш въ купольныхъ сводахъ прицеп и.к I. кп । и I. дующим ь заключешямъ: а) во всехъ сопрягающихъ швахъ oil., ipimmii до ним существуетъ продольное сжат!е, величина котораго убы-ii.ii ii> (но и и ь Ki вершин l>; b) въ каждомъ своде существуетъ шовъ пере-
II, К .1п К Г И Hi,! PtH’lfli < Ичдоп 1
20
— 306 —
вающ!е клинья отъ падешя внутрь; ниже
лома, сопрягающ!й уголъ котораго въ случай, сомкнутаго свода равенъ 51° 50', каковая величина изменяется въ зависимости отъ отвергли въ вершине и отъ нагрузки этого отвергли. По мере увеличешя отверсля, уголъ шва перелома становится больше, а съ возрасташемъ нагрузки на край отверсля уголъ шва перелома уменьшается; с) выше шва перелома въ поперечныхъ швахъ суще-ствуетъ поперечное шкале, которое возрастаетъ отъ вершины къ шву перелома; ниже шва перелома въ поперечныхъ швахъ напряжение равно нулю; d) ниже шва перелома клинья кольца удерживаются въ равновесш на своей нижней постели сами собой, а выше шва перелома клинья удерживаются лишь подъ дФ.йств!емъ поперечнаго усилг’я, сжимающаго клинъ съ обоихъ поперечныхъ швовъ одинаково; е) равнодействующая этихъ двухъ сжимающихъ клинъ усилш, называемая радгальнымъ усил!емъ, увеличивается отъ вершины до шва перелома, ниже котораго сохраняетъ свою наибольшую величину. Эти рад1’альныя силы могутъ быть названы распорами колецъ.
Къ этимъ заключешямъ присоединимъ еще два положения, принятый въ расчетахъ сводовъ вообще: а) растягиваются усилгя не допускаются въ сводахъ и Ь) действ1е раствора и треше въ расчетъ не принимаются и опускаются въ виде запаса прочности.
Сказанныхъ положенш достаточно, чтобы выполнить расчетъ купола графически.
Пусть мы имеемъ (черт. 145) половину меридюнальнаго разреза купола. Разделимъ его на клинья и определимъ ихъ центры тяжести, проведемъ подъ угломъ шовъ перелома. Къ каждому клину выше шва перелома приложены силы: 1) известиыя — вертикальный, равныя собственнымъ весамъ съ нагрузкой, каковыя обозначены черезъ д, и 2) неизвестная — горизонтальные распоры 7г., удержи-шва перелома приложены лишь вер
тикальный силы д.
Въ пятахъ действуетъ реакщя опоры W, для которой неизвестны ни величина, ни точка приложешя, ни уголъ. Равнодействующая всехъ вертикальныхъ силъ д пусть будетъ G, которая можетъ быть полностью определена графически при помощи многоугольниковъ силъ и веревочнаго, а равнодействующая всехъ неизвестныхъ горизонтальныхъ распоровъ пусть будетъ Q. Такимъ образомъ мы нашли, что разсматриваемый вырезъ находится подъ действ!емъ двухъ силъ Q, и G, равнодействующая которыхъ будеттф$/ и, очевидно, пройдетъ черезъ точку М взаимнаго пересечешя силъ G и Q.
Для выяснешя метода нахождешя продольныхъ и поперечныхъ сжимающихъ усилш, а также величины распора разсмотримъ особо разные клинья и
Р
Черт. 145.
npiiToMii обрагпмъ внимаше на то, что существуютъ три типа клиньевъ въ смь1 п1'. дкиствующихъ на нихъ усилш, а именно:
<0 къ первому типу относится самый верхнш, принадлежащш или къ вер-niiiirh, вь случай сомкнутаго свода, или къ верхнему крайнему кольцу, въ лучи I. открытаго купола, безразлично съ нагрузкой фонаремъ или безъ таковой; и i пнца будетъ лишь въ величин!, силы д, действующей на самый верхнш к Линь. Въ случае сомкнутаго свода д будетъ равно только собственному весу клина еь приходящейся нагрузкой, въ случае открытаго купола съ фонаремъ д нуде г ь равно собственному весу клина съ нагрузкой, сложенному съ весомъ фонаря. На этотъ первый типъ, такъ сказать, начальныхъ клиньевъ д!йствуетъ лишь данная сила д и неизвестный распоръ 1ъ.
Ь) Ко второму типу относится целый рядъ клиньевъ, расположенныхъ между самымъ верхнимъ клиномъ и швомъ перелома. Эти клинья находятся под дЬйств1емъ техъ же силъ, что и клинъ перваго типа, т.-е. на нихъ д!й- (иуютъ данныя вертикальный силы д и неизвестные распоры 7г; кроме этихъ t.’
1 илы д даны, а силы г неизвестны ропъ 1|1лъ.
---<ло, Лк:
9,
силъ, клинья второго типа подвер жены силамъ v, который предста-вляютъ собою продольный давлешя, передающаяся отъ выше лежащаго клина. Эти силы w тоже неизвестны.
с) Къ третьему типу относится тоже целый рядъ клиньевъ, расположенныхъ между швомъ перелома и пятами. Эти клинья подвержены действ!ю силъ д и v, изъ которыхъ ; но въ этихъ клиньяхъ своихъ распо-
I ’лзсмотримъ последовательно и особо все три типа клиньевъ и определим ь нсн чгЬстныя h и V.
На чг|п 146 изображенъ въ плане и въ меридюнальномъ сеченш клинъ nt |ш<|Ц| null, in. центре его тяжести С приложена данная вертикальная сила gv '‘utbMoMh иь. масштабе силъ на особомъ чертеже приточке силу дг и раз-п iiimi. । m р шкальной плоскости на два направлешя; одно—п1? нормаль-'| кь ппжпгму сопрягающему шву разсматриваемаго клина и другое на-npaniii i-пп. ПДПП1. storo шва*). Усилие будетъ прижимать разсматриваемый
1 Какь пи । |<>мь, типъ и на сл’Ьдующихъ чертежахъ построения выполнены схематично.
— 308 —
клинъ къ нижележащему клину, a ycnnie 1Л будетъ сдвигать клинъ къ центру свода, заставлять скользить его по его нижней постели.
Не принимая во внимаше трешя, а относя его въ запасъ прочности, по-смотримъ, какое ycnnie должно быть приложено къ клину съ тЪмъ, чтобы удержать его отъ сдвижешя и падешя подъ дЪйств!емъ силы tr
Bet клинья разематриваемаго кольца будутъ находиться подъ дЪйств4емъ лежащихъ въ вертикальныхъ плоскостяхъ равныхъ, наклонныхъ между собою, силъ Zjj отъ падешя они будутъ удержаны поперечнымъ давлешемъ между со-ctflHHMn клиньями, усилиями их. Клинъ произведетъ на два сосЪдн!е клина усшпя ut, которыя вмЪстЪ съ силой ij будутъ находиться въ одной наклонной плоскости; эти усшпя ut, какъ нормальный къ вертикальнымъ швамъ (плоско-стямъ) будутъ горизонтальны.
CoctflHie клинья окажутъ на разематриваемый клинъ противодЪйств!я равнодЪйствующая этихъ силъ будетъ тоже горизонтальна; эта равнодействующая, удерживающая клинъ отъ падешя, равна распору ht клина.
Съ другой стороны удержать клинъ въ равновФ.сш можно, приложивъ къ нему воображаемую силу 7/, равную но прямо ей противоположную. Разло-
Черт. 147.
жимъ силу 7/ на нормальную сопрягающему шву и/ и горизонтальную 7^', которая, очевидно, должна быть равна упомянутой выше ennt 7г1.
Наклонная сила 7г't есть равнодействующая двухъ горизонтальныхъ силъ и.', а сила есть равнодействующая двухъ горизонтальныхъ реакцш и,. Такимъ образомъ отъ введешя силы обстоятельства не изменились, но мы получили возможность въ многоугольникъ силъ найти величину распора ht. Складывая затЪмъ на томъ же чертеже силы и nv находимъ продольное давлеше перваго сопрягающаго шва. Проведя въ мершронал'Лчомъ разрЪзе (черт. 146) черезъ центръ тяжести клина направлешя и vlt on ^Ьляемъ окончательно эти две силы.
Для определен!я величины и точки приложешя поперечнаго сжат in г< откладываемъ въ плане клина (черт. 146) распоръ 1^' и, проведя изъ центра
— 309 —
1 1ЖССТП клина нормали къ поперечнымъ и'вамъ, по закону параллелограмма, оир. д1.ляемъ окончательно силы
Такимъ образомъ мы теперь имеемъ усил!я </2 и tl, действующая на горой клинъ, уже какъ данныя; остается определить распоръ Л2 и г?2—продольное давлен|е второго клина на трепй.
На черт. 146 изоЬоаженъ въ плане въ мерид!ональномъ сечеши клинъ горого типа, въ центре его тяжести с приложена данная сила </2, а къ верхнему сопрягающему шву приложено продольное давлеше v±, величина, напра- nciiie и точка приложешя котораго были уже определены выше.
Продолжаемъ силы г\ и <у2 до взаимнаго пересечешя въ точке е; строимъ
многоугольникъ силъ о2^2 и о2к17 откладываемъ силы i\ и </2 и находимъ равнодействующую s2 по величине и направлешю, а черезъ точку е проводимъ е&,2 ,| o2s2.
Выполнивши это построеше, находимъ, что раз-сматриваемый клинъ находится подъ действ!емъ одной лишь силы s2, вполне определенной.
Раскладываемъ въ многоугольнике силъ силу s2 такъ, какъ выше силу д± въ первомъ клине, на две слагающихъ: я2—нормальную ко второму сопрягающему шву и силу/2, направленную вдоль этого шва. Сила л2 будетъ прижимать данный клинъ къ нижнему следующему, а сила 72 будетъ двигать данный клинъ внизъ.
Таюя силы /2 будутъ во всехъ клиньяхъ второго кольца, оне дадутъ кольцевое сжат!е, которое вызоветъ распоръ 7»2.
Для определешя этого распора поступаемъ, какъ выше: на направлеши f2o2 (черт. 147), параллельномъ второму сопрягающему шву, откладываемъ o2f2' = o2f2, продолжаемъ л2о2 нормальную къ тому же шву, проводимъ горизонталь о2А2 и раскладываемъ 72' на силы /г2' и 7j2. Выполнивши это построеше, находимъ величину распора 7j2; затемъ складываемъ въ многоугольнике силъ силы 7г2 и s2 и находимъ продольное давлеше г>2. Затемъ въ мерид!ональномъ сечеши клина изъ центра тяжести клина с проводимъ горизонтальный распоръ //2, а изъ точки f взаимнаго пересечешя силъ s2 и 7г2 проводимъ «2.
Для определешя кольцевого сжапя изъ точки с (чер. 148) проводимъ сА2' и лиши cw2' и cw2' нормально
ш pir lOii.dii.iiijMb вертикальнымъ швамъ второго клина, откладываемъ вели-
1 (Пир /< < и раскладываемъ распоръ на два данныя направлешя,
И-Р к ши -nipt тяжести въ плане второго клина—проводимъ cw2' и cw2', II II . и,
обраломъ мы вполне определили продольное давлеше г2, рас-। 1 А- II 11п||Р|М ЧИО’ давлеше г/2 по величине и направлешю и нашли точки •ipiui uln ишь Гц и к... Продолжая то же построеше, дойдемъ до клиньевъ
— 310 —
третьяго типа, где необходимости въ припоженш горизонтальныхъ распоровъ къ центрамъ тяжести клиньевъ более не ощущается, такъ какъ клинья эти вполне удерживаются на своихъ постеляхъ при помощи однихъ продольныхъ давленш предыдущихъ клиньевъ.
клинъ
сила д6
ниже шва перелома. На разсматриваемый (черт. 149), приложенная къ центру с тяжести клина, и найденное ранее продольное давлеше г>в. Продолжаемъ на-правлешя дв и до ихъ взаимнаго пересечешя въ точке е и строимъ много-угольникъ силъ о3 rg и о3де, находимъ о3г6— равнодействующую силъ и 96-
Затемъ проводимъ о3к параллельно нижнему шву разсматриваемаго клина и изъ точки и, опускаемъ на о3к перпен-дикуляръ г(. /(., другими нормальную къ шву, и t6, на-
Разсмотримъ первый клинъ д’Ьйствуютъ данная
Черт.
149.
t6 направлена вверхъ, а не внизъ, силы t, т |е. оказалось, что клинъ подъ действ!емъ
словами, раскладываемъ силу г6 на силы: правленную вдоль шва. Оказалось, что сила какъ все предыдущ1я приложенныхъ къ нему силъ не сдвигается внизъ, какъ предыдущие.
Следовательно, поперечнаго сжат!я не будетъ, а стало быть измЬнен1я величины распора не произойдетъ. Распоромъ для разсматриваемаго клина будетъ служить распоръ h,. предыдущаго клина, которому равна горизонтальная сла1ающая найденнаго продольнаго давлсшя г0.
Проведя черезъ с—центръ тяжести мери-дюнальнаго сечешя клина — пижю си6 || osv6, опредЬлимъ окончательно продольное давлен1е разсматриваемаго клина на сп-Ьдующш, ниже лежаний.
Продолжая то же построеше далее, дой-демъ до пятъ свода, где получимъ последнее продольное давлеше »3 (черт. 145), равное и прямо противоположное реакцш опоры JF. по частямъ необходимо
Выполненное построеше одномъ общемъ чертеже, но предварительно на черт, строешя, котораго будемъ придерживаться въ полномъ
Положимъ, что для второго клина дана сила д2,
делать для расчета на 150 укажемъ ходъ по-графическомъ расчете, а сила Vj р.ке найдена
и точка с есть центръ тяжести клина; пусть далее построеше (черт. Ij^gi уже выполнено и распоръ //2 второго кольца найденъ. Проводимъ черезъ центръ
— 311
I ИЖвСТп с (черт. 150 и 147) лишю cd || se2, которую назовемъ г2; находимъ точку d игре» Т.чешя направлешя силъ /2 и черезъ ту же точку d пройдетъ и [>нд1о1!.1лы1ое давлеше д2, почему проведемъ черезъ нее dv^ || о2к2. При этомъ 1|'>стросН1И н4>тъ необходимости проводить лишю сй2. На посл’Ьднемъ чертеже in пюппено и построен!е, приведенное выше; точки е и f определены и напра-iniriiic силы s2 проведено; изъ чертежа видно, что оба построешя (новое и пр--жнее) приводятъ къ однимъ и т4мъ же результатамъ, но отлич!е между ними заключается лишь въ последовательности сложешя силъ.
Покажемъ теперь полный графическы расчетъ купола съ фонаремъ. Пусть ми пмЬемъ мерид!ональный разрезъ (черт. 151) купола съ фонаремъ, проводим ь третныя линш, делимъ куполъ на клинья, определяемъ весъ фонаря до и икса клиньевъ съ нагрузками д±, д% и т. д.
Определяемъ по известнымъ пр!емамъ положеше равнодействующей д Но 9i и строимъ многоугольникъ силъ. Черезъ точку 0 проводимъ параллельно швамъ 7, 2, 3, 4 лиши 1—7, 2—2, 3—5, 4—4*). Изъ точки кг— конца силы г/ опускаемъ перпендикуляръ на направлеше 7—7, находимъ отреши ь 0/|( равный силе, сдвигающей верхнш клинъ внизъ. Откладываемъ 0\' = 0t[ и проводимъ I, к^-, отрезокъ горизонтали, проведенной черезъ точку 0, Р 'i4ii.ni 0ht, будетъ искомымъ распоромъ перваго кольца 7г(. Доказательство м< но изъ предыдущихъ построены.
Проводимъ черезъ концы отложенныхъ силъ gt, д2, gs, gt, g:j, gf. гори-•>|ц||льныя прямыя.
Далее, изъ точки 0 проводимъ лишю O/i t || t1'hl до пересечешя съ гори-.кинальной лишей, проведенной черезъ конецъ силы д. Выполнивши это по-< ipoenle, мы нашли равнодействующую г’, силы д и распора hv Проводимъ и 1'.мъ лишю AjA2 отвесно до пересечешя съ горизонтальной лишей, прове-деннон черезъ конецъ силы г;2; лишя = gv Соединяемъ точку к2 съ 0 (hi чертеже этой лиши нетъ, чтобы не затемнять построешя) и получаемъ рлн||од1.нству1ощую силъ rL и дй- изъ точки Л2 опускаемъ перпендикуляръ на ннШю 2 2 и отрезокъ 0f2 откладываемъ по линш 2—2 отъ точки 0 вверхъ; пп точки 7./ проводимъ f2'/?2 || й272 и находимъ отрезокъ 0Л2, равный распору второго кольца купола. Откладываемъ на продолжены лиши д^к^ лишю АцЛ], 0й2 и соединяемъ точки /)( и />2, /)2 и 0 прямыми. Такимъ образомъ пс)луч««м'1> А,/>а — г2—равнодействующую силъ тг (равную и г2.
Дал Ise изъ точки Л2 проводимъ отвесную лишю Ь3к3 до пересечешя съ н.п. точки к., опускаемъ перпендикуляръ на 3—3, откладываемъ 0fa вверхъ и 1041111 0 и изъ 73' проводимъ лишю ts'h3 || k3t3, после чего находимъ рас-и it. iprn.iiro кольца к„. Откладываемъ на продолжены к3д3 лишю k3h3 = h3 н < шишом i точки />2 съ Л3 и Л3 съ 0 прямыми. Лин1я /»2й3 г3 есть равно-I ill iiiynHUn i силъ (равной i2 и г9 или, все равно, силъ v3 и т3.
ь нроподимъ отвесную лишю h3h3 до пересечешя съ лишей, про-«цций ЧРрил! конецъ силы д,^ изъ точки /?3' опускаемъ перпендикуляръ на пл.,.пил п1. ♦ z; оказывается, что подошва его упала выше точки 0**), стало-
• *. II. ii.pi 1 > иыполисно построен!е въ бол-fee крупномъ масштаб-Ь, а иа черт. 153 » " (НК к ins in ro'iKH I па параллеляхъ швовъ.
••| «1 iM'<"iitiiail ||лр|||-||дцкуляръ на настоящемь чертеж-fe. не показанъ; см. черт. 152.
— 312 —
быть, четвертое кольцо не будетъ уже иметь своего распора. Соединивъ точку А3' съ 0, получимъ силу vi—равнодействующую rt, г2, г3 и </4, такъ какъ
Черт. 151.
Далее, изъ точки Л,/ проводимъ вертикаль и находимъ пересечете ея съ горизонтальными лишями, проведенными черезъ концы сил^^/.. и д(..
— 313 —
Соединивъ точки/»3''и Л3'" съ 0, получаемъ равнодействуюнця и v6, значение которыхъ понятно изъ чертежа.
Для построешя лиши давлен1я въ мерид!ональномъ разрезе проводимъ
Черт. 152.
влен1ю силы с6. Эта последняя параллель опоры выреза.
черезъ центры тяжести с., и с3 клиньевъ линш, параллельный направлешямъ силъ г2, »3; параллель г4 проводимъ изъ точки dt, находящейся на пересЬче-ши горизонтали, проведенной черезъ центръ тяжести с, съ на-правлешемъ силы у—равнодействующей д0 и д1; черезъ центры тяжести с2, с3, с4, с_, се проводимъ силы д3, gt, д. и <у6.
Находимъ точку </2 пересечения параллели г4 съ силою г2; черезъ точку d2 проводимъ лишю, параллельную направлен(ю силы г2, до пересечешя въ точке съ силою /3; черезъ точку d3 проводимъ лишю, параллельную направлешю силы ?;3, до пересечешя въ точке du съ вертикальною силой дл; черезъ точку dt проводимъ лишю, параллельную направлешю силы г4, до пересечешя въ точке d- съ силою д.; въ свою очередь черезъ точку </.. проводимъ лишю, параллельную направлешю силы г-, до пересечешя въ точке de съ силою дв; наконецъ, черезъ точку df. проводимъ лишю, параллельную напра-и определитъ вполне реакщю Пг
Лишя dldid^d^di.dGd. дастъ положеше лиши давлешя въ разсматри-втемомъ вырезе. Величины силъ vu i\2, г3, г щ, rc, измеренный въ масштабе силъ, дадутъ величины продольныхъ сжимающихъ усилш.
Для определешя поперечныхъ сжимающихъ усилш поступаютъ такъ: въ luinirh разсматриваемаго выреза определяютъ положеше центровъ тяжести с4, Cj, с3 клиньевъ трехъ верхнихъ колецъ, где были определены величины растворовъ ha) 7is; затемъ откладываемъ въ плане выреза въ масштабе гиль эти распоры /q, 7»2j h3 отъ центровъ тяжести с4, с2. с3 по направленно къ центру свода и раскладываемъ ихъ по закону параллелограмма на < инн z/j, н,н:|; измеренный въ масштабе силъ, оне дадутъ величины itoiK'pc'iniJXb сжимающихъ усилш; точками приложешя ихъ будутъ центры • А
— 314 —
тяжести клиньевъ, а направлен!е ихъ будетъ горизонтальное, нормальное къ вертикальнымъ швамъ
Величина Q распора выреза определится по измереши отрезка h3gs, равнаго сумме частичныхъ кольцевыхъ распоровъ ht Д2, h3.
Для проверки всего построешя и для определешя точки приложешя распора Q находимъ при помощи многоугольниковъ силъ и веревочныхъ равнодействуюнйя силъ д и распоровъ h. Имеемъ такимъ образомъ два многоугольника силъ: одинъ—вертикальный съ полюсомъ и другой—горизонтальный съ полюсомъ ; этимъ двумъ многоугольникамъ силъ будутъ соответствовать два шарнирныхъ многоугольника, которые дадугъ положеше равно действу ющихъ:
G = Sg и Q=Xli.
пересечен1я направлен^
Величина G есть весъ всего выреза, a Q есть распоръ его. Точка Л7 G и Q должна лежать на продолженш реакцш опоры выреза ТУ, такъ какъ эта последняя есть равнодействующая двухъ первыхъ. Построеше это служитъ проверкой построешя и вместе съ темъ даетъ положеше распора Q выреза.
Когда положеше лиши да-влешя определено и величины меридюнальныхъ сжатш v и кольцевыхъ сжатш найдены, остается, по известнымъ правиламъ, подсчитать прочность и устойчивость купольнаго свода.
Въ заключеше должно обратить внимаше на то, что пбло-жеше шва перелома получилось непосредственно построешемъ.
3. Графически расчетъ купольнаго свода по способу Виттмана.
Графически купольный сводъ можно разсчитать еще и следующимъ спо-собомъ. Положимъ, что мы имеемъ разрДзъ abed купольнаго свода (черт. 154); делимъ его на клинья, определяемъ центры тяжести ихъ к, /, т, и, о и р. проводимъ третныя лишя свода ее и ff, проводимъ еще лиши, делятщя клинья пополамъ, и отмечаемъ точки a, t3, у, 4 и е пересДчешя швовъ съ внутренней третной лишен ff и точки £, д, f), t, % и 2 пересечешя осей клиньевъ и верхней третной нишей ее; определяемъ веса д1, дг, gs, gi, д,., д6 клиньевъ съ приходящейся на нихъ нагрузкой и строимъ многоугольникъ силъ.*^
Построимъ кривую давлешя купольнаго свода и найдемъ расп его, имея въ виду, что кривая давлешя не должна выходить изъ средней трети и
— 315 —
направлеше лиши давления не должно съ нормалями къ швамъ составлять угловъ, большихъ угла трешя (-).
Равнод-Ьйствующ1я двухъ горизонтальныхъ поперечныхъ кольцевыхъ усилш, сжимающихъ каждый клинъ съ двухъ сторонъ, будутъ, какъ уже известно, горизонтальны и будутъ равны отдельнымъ распорамъ qiy q2, q3, колецъ; для колецъ, лежащихъ выше шва перелома, они будутъ направлены внаружу свода.
Определен!е положешя кривой давлешя начинаемъ съ перваго клина и разсуждаемъ такъ: распоръ qt, будучи горизонталенъ, долженъ проходить не выше точки £ верхней третной лиши перваго клина, а равнодействующая этого пеизвестнаго распора у, и силы д±, во-первыхъ, не должна проходить ниже точки « нижней третной лиши шва между первымъ и вторымъ клиньями и, во-вторыхъ, не должна составлять съ нормалью къ этому шву угла, большаго
угла трешя Н. Для определешя распора q1; удовлетворяющаго сказаннымъ усло-в1ям ь, проподимъ черезъ точку а лишю се, составляющую со швомъ уголъ 90fl—<-)i} и опр д!лясмъ точку г пересечешя этой линш съ лишей кд{—направлешя nlr.i </, перваго клина; черезъ точку г проводимъ горизонталь rqr — направлен! j рпспора у,. Для определешя величины^ проводимъ въ многоугольнике иль jiiiiiIk) r/jO, ||иг; отрезокъ оо1, отсекаемый этой параллелью на горизон-। inn. iiponchi иной черезъ точку о — начало многоугольника силъ — и даетъ величину рш nnp.i у( Если бы въ сеченш свода полученное положеше распора <>|<>11 in<>'। иыш 1ОЧКИ С, тогда положеше перваго клина не было бы прочно, и нешбхо-1НМП (шли бы пони ить положеше распора qv до точки f; этому новому и 1ЛожгiiIhi p.triiopi у, . оо 1'|г|.тствовало бы другое положеше точки г пересе-чеш»| n.iiipiiinii и) । у( < i, папр.111ле1п'емъ силы д.', соединивъ новую точку г съ а
— 316 —
и проведя въ многоугольникЬ силъ новую лин!ю д1о1 параллельно новому по-ложежю «/•, получили бы новую величину распора qv удовлетворяющую всЬмъ услов!ямъ, такъ какъ новое направлеше аг проходило бы также черезъ точку а и лежало бы внутри построеннаго угла трешя 0, такъ какъ новое положеше точки г ниже прежняго ея положешя, а не выше. Когда направлеше аг установлено и распоръ qx найденъ, тогда проводятъ лишю аг до пересЬчешя въ точкЬ v съ лишей 1д2 и соединяютъ въ многоугольникЬ силъ точку д2 съ о4, а въ разрЬзЬ свода проводятъ vs || д2о1. ДалЬе отмЬчаютъ точку s пересЬ-чешя направлешя распора (/2, проведеннаго черезъ точку д съ лишей vs, точку $ соединяютъ съ точкой и въ многоугольникЬ силъ проводятъ д2о2 l| (1s.
Найденная длина оо2 будетъ равна распору q2 въ томъ случай, если направлеше tjs составляетъ со вторымъ швомъ уголъ болышй или равный углу 90° — 0. Если это успов1е не выполнено, тогда проводятъ новое положеше распора q2 ниже »/ и повторяютъ то же положеше. Соединяютъ окончательно найденную точку о2 съ д.,, проводятъ s/9 до пересЬчешя въ точкЬ w съ на-правлешемъ тд3 и изъ точки w проводятъ wt '| д.,о,,, опредЬпяютъ точку t пересЬчешя wt съ qa, проведеннымъ черезъ 9-, и эту точку t соединяютъ прямой съ точкой /. Сличаютъ съ угломъ 90° — 0 уголъ, образуемый направле-шемъ yt съ третьимъ швомъ и, если этотъ уголъ окажется больше или рав-нымъ 90° — 0, тогда продолжаютъ построеше. Въ противномъ случаЬ проводятъ q3 ниже >9- и повторяютъ построеше. Продолжаютъ ty до пересЬчешя въ точкЬ х съ направлешемъ ngi и проводятъ дйо3 || ху и опредЬляютъ такимъ образомъ величину оо3, равную распору qs. ДалЬе проводятъ въ многоугольникЬ силъ лишю <74о3, а на разрЬзЬ свода проводятъ лишю хи || д3о3 и соединяютъ точки (Гии прямой, а въ многоугольникЬ силъ проводятъ лишю </4о4 || <)'ы. Оказывается, что точка о4 получилась лЬвЬе точки о3, что показываетъ, что распоръ четвертаго клина меньше распора третьяго клина; это указываешь, что четвертое кольцо можетъ держаться безъ поперечнаго давлешя. СлЬдова-тельно четвертое кольцо лежитъ ниже шва перелома купольнаго свода. Даль-нЬйшее построеше производить не требуется, а остается, имЬя полученные распоры q{, q2 и qa, построить кривую давлешя. При этомъ распоры qt, q2—qi и q3—q.2 являются частичными (слагающими) распорами, принадлежащими коль-цамъ первому, второму и третьему; нижележащая кольца своихъ распоровъ не имЬютъ, такъ какъ своихъ поперечныхъ усилш не испытываютъ.
Такимъ образомъ, мы нашли, что первый клинъ находится подъ дЬй-ств!емъ усилш дг и qy, на второй клинъ дЬйствуютъ </2 и q2— qt; на третш д3 и г/3—г/2; въ четвертомъ и слЬдующихъ клиньяхъ горизонтальный распоръ отсутствуетъ, а имЬются лишь силы дг, д.. и де и т. д. смотря по числу клиньевъ. Для опредЬлешя положешя кривой давлешя строимъ многоугольникъ силъ черт. 155) *) д^д^д^', ИЗЪ концовъ этихъ силъ проводимъ горизонтали и откладываемъ
= = 9з9з —ff.ffi =gsg's= g^gf' = ^
а также
дз gf и дз д3" = дз~9з- л
*) Для ясности построеше выполнено особо и притомъ для большеГ^итгпядности лишь схематически.
— 317 —
Сосдиняемъ последовательно точки 0, ду', д2' и д3 прямыми, а изъ точки д3 проводимъ вертикаль, на которой откладываемъ д3'д.' = glt д,'дя' = д~, и Va’.'7l/ <Z«; полученные отрезки Од^, д/д3', д*'д3', д3'д^, д'д^ и д.'д0' да-
дутъ по направлешю и по величине равнодействуюнця силъ клиньевъ. Проводимъ на разрезе полученный выше положешя распоровъ qt, q3 и опре-лйляемъ точки г1} г2 и г3 пересечешя этихъ направлен™ съ направлешемъ силъ gt, д2, д3 и черезъ найденныя точки г15 г2, г3 проводимъ лиши || Од^, rz II 9\ 9% и гз || gj д-ц' Выполнивши это построеше, видимъ, что клинья купольнаго свода находятся подъ действ(емъ силъ: Д2, 7/3, gt, д.. и д6.
Въ этомъ построен™ равно, какъ и въ предыдущемъ (черт. 154), для
проверки всего построешя необходимо найти положешя равнодействующей всехъ распоровъ: оо1, о^, о2о3, и равнодействующей всехъ весовъ д. При верности всего построешя эти две равнодействуюгщя должны пересечься на направлении лиши давлешя на пятахъ выреза свода.
Проводимъ въ многоугольнике силъ лучи од^, од,,', од3, од^, од3 , одв и строимъ шарнирный многоугольникъ л1у2у3/4у..уиу7, который и дастъ поло-Meiiie кривой давлешя /0 ЛУаУзУйУзУвУ? выреза купольнаго свода. Остается опрел Ijiiiii, известными способомъ прочность и устойчивость свода.
J
4, Особый случай, встрЪчающшся при расчет^ куполовъ,
Когда при дпухь предыдущихь построешяхъ при данной нагрузке шовъ itcpi-noMa получ.п гея очень высоко—после второго или третьяго клина сверху (особенно ч.п го при о|крыгыхъ куполахъ съ барабаномъ), тогда пргг получен-
— 318 —
номъ распоре купольнаго свода кривая давлешя выходить черезъ сл-Ьдуюгще одинъ, два клина не только изъ средней трети, но и изъ самого тЪла свода. Это показываетъ, что найденный распоръ для даннаго свода излишне вели к ъ. Для нахождешя необходимаго и достаточнаго распора и для построешя действительной кривой давлешя расчитываемаго свода необходимо со шва перелома применить методы расчета цилиндрическихъ сводовъ, уменьшивъ, руководствуясь этимъ последнимъ расчетомъ, найденный уже распоръ купольнаго свода настолько, чтобы кривая давлешя удерживалась бы въ пределахъ средней трети купольнаго свода на всемъ протяженш отъ замка до пятъ.
5. Расчетъ двойны^ъ куполовъ.
Черт. 156.
При перекрытии пространства д в о ft-ным ъ куполомъ пяты обоихъ сводовъ устраиваются общ!я. Расчетъ об-Ьихъ частей двойныхъ купольныхъ сводовъ ведется особо, а при переходе къ общимъ пятамъ продольный давлешя складываются.
Положимъ, что мы имеемъ двойной ку-полъ (черт. 156) съ двумя общими обоимъ куполамъ клиньями; пусть оба продольный давлешя i\ и г2 определены вполне; центры тяжести с, и с„ и веса клиньевъ д{ и <]., тоже известны.
Находимъ равнодействующую г двухъ продольныхъ давленш у и у2 и затемъ складываемъ последовательно v сначала съ //, и получаемъ равнодействующую ихъ Т1 ±, а затемъ Wt съ д2 и получаемъ равнодействующую W2, которая будетъ равна реакцш опоры выреза двойного купольнаго свода.
F. Расчетъ шатровы^ъ каменныхъ покрыли ).
Въ составъ многихъ каменныхъ покрытш, главнымъ образомъ церков
ныхъ сводчатыхъ, входитъ шатровыя покрыли, при чемъ таковыя могутъ быть граненыя и коническ!я, полный и открытыя (усеченный). Посл-Ьдн1я въ свою очередь зачастую несутъ на ce6t либо призматическую, либо цилиндрическую часть. Несмотря на давность прим!.нен1я въ зодчеств!. этого рода покрытш, расчетъ ихъ, насколько намъ известно, отсутствуетъ въ технической литера-тур!, между тФ>мъ какъ сказанное покрьте обладаетъ, подобно сводчатымъ покрьтямъ, своимъ собственнымъ распоромъ, вл1ян!е котораго на проч!я части всего сооружежя можетъ быть въ нЬкоторыхъ случаяхъ значитепьнымъ и пре-
горизонтальной
KlhUlp.i I цую единицу
небрегать которымъ не представляется возможнымъ.
Задачей настоящаго отдела служить расчетъ шатровыхъ граненыхъ полныхъ и открытыхъ покрытш; конически покрыли относятся къ куполь-нымъ сводамъ, частный случай которыхъ они въ сущности изъ себя и представляютъ.
На чертеж!. 157 показано полное шатровое граненое покрьте, а чер-тежъ 158 представляетъ изъ себя видъ открытаго граненаго шатра съ призма-тическимъ (граненымъ) барабаномъ.
Им!я въ виду, что шатровыя покрьтя несутъ лишь свой собственный грузъ, представляющш небольшую вертикальную нагрузку, мы можемъ принять, что нагрузка вмФ.иг'Ь съ вЪсомъ самаго покрьтя равна q на
проекцш боковой поверхности граней
ньира
') См. ,,3011'1111", 19Ю г.
— 320 —
Всп-Ьдств1е незначительности толщины стенокъ шатра сравнительно съ прочими его размерами и вследств1е упругихъ свойствъ его матер1ала можно съ достаточной для практики точностью принять, что напряжен!я по толщине тела шатра распределяются равномерно, а потому въ расчетъ толщину его можно не вводить.
Разсмотримъ сперва полный шатеръ, а предварительно введемъ некоторый обозначешя и выведемъ необходимый для дальнейшаго разсчета формулы.
Обозначимъ (черт. 159, 160 и 161) черезъ
h...... высоту шатра;
т..... разстояше по высоте средины некотораго элемента грани рЛ,»?-
шатра отъ его вершины;
у...... разстояше средины элемента грани шатра отъ вертикальной оси;
И......рад!усъ окружности, вписанной въ многоугольникъ основашя шатра;
5......длину высоты боковой грани шатра;
г...... длину реберъ шатра;
а...... половину центральна™ угла многоугольника основашя шатра;
..... уголъ между осью и высотою грани шатра;
<)'.... уголъ между высотою грани шатра и ребромъ его.
Изъ чертежа ясно, что:
длина сторонъ многоугольника основашя равна:
ab = 2h tga lg/3,
такъ что:
или
— 321
Дли элементарной площади (ifyir ~ (ко, взятой на поверхности aSb, длину кпшло|'1 изъ боковыхъ сторонъ обозначимъ черезъ dr, высоту—черезъ ds. На с iion.iiihi предыдущаго получаемъ:
dr —------- г tg^a sin*ft -I 1 dx.
cos ft J 1
Размеры двухъ прочихъ сторонъ элемента gtyr, параллельныхъ основанию, получим ь сл'Ьдующимъ образомъ:
/ dx
длина верхняго : 21 x--
а нижняго : 2/— j tgatgp.
•лсментарная площадь выразится такъ:
или
dco = 2ж tga tgf) ds;
но такъ какъ:
, dx
ds =------
COSfi
, . Sllld
to: dco = 2x dx tga —
J cos*d
или
Вся площадь грани:
Г ‘ sin d
со = I dco = 2 tga ' ж dx, e.osyd о
J о J
, sin id co = tga vri J COS*0
№.
В1зсъ dg элемента грани dco, наклоненнаго къ горизонту подъ угломъ 90" — d, будетъ:
dg = clco q sind = 2g tga
sin*d ,
— Л(^хс/х = 2д tga tgidx dx .
Черт. 162.
Весь в-Ьсъ грани:
д -qtgatg^dhd-
Обозначимъ черезъ:
-кх.....нормальное напряжение
въ горизонтальныхъ сторонахъ элемен-товъ,
г’ж....нормальное напряжете
въ наклонныхъ боковыхъ сторонахъ элементе въ.
ИмЬн въ виду, что при толщин^ элемента (черт. 162), равнаго единив ,
II. К. Лнхппп. Рпсчот». « водовъ.
21
— 322 —
ширина его наклонныхъ боковыхъ граней будетъ , длина этихъ послЪд-' cosa
, , d'~
нихъ с/г, т.-е. площадь ихъ (черт. 162) равна найдемъ, что все ycnnie
(черт. 163), приходящееся на нихъ, будетъ:
* 1) -— — — —•--
—Z—-dr или-----------—-1/tg*a sintp 1 dx.
cosa cos a cos p’
Плоскости боковыхъ сторонъ элементовъ расположены въ вертикальныхъ плоскостяхъ, почему найденный усил!я, нормальный къ этимъ плоско-
Черт. 164.
стямъ, будутъ горизонтальны, а следовательно, и равнодействующая ихъ (черт. 163) равная’
1/tqla sin?Я - - 1 2rx.tga^------d-----(ix
* cos ft
будетъ тоже горизонтальна.
На верхнюю сторону элемента будетъ действовать ycnnie:
Ч = мх •
а на нижнюю сторону того же элемента будетъ действовать ycnnie:
S = Ч + <Ч) 2 (ж + у ) № fffd
Эти оба усил!я будутъ направлены въ плоскости граней вдо
высоты ихъ.
— 323 —
11редиолагая согласно общему методу, что напряжешя иж и vx направлены внаружу элемента, будемъ имЬть (черт. 164) схему усилш, дЬйствующихъ на р.осматриваемый элементъ. Для опредЬлен!я величины и дЬйствительнаго направлена напряжешй их и vx напишемъ два уравнешя статики, взявъ за оси проекщй силъ высоту грани и лишю перпендикулярную къ ней.
Сумма проекщй всЬхъ силъ, дЬйствующихъ на злементъ грани шатра, нзягыхъ на направлеше высоты грани, будетъ:
»а-2(ж — 2 ) tgatgfi— Од- tg“tg&-,
-]~2txtgay ----- Д- dxsin{i—2qtgatg'il3xdxcosp = 0 .
Откуда, отбрасывая члены второго порядка ducdx, получимъ:
d(uxx) = (rj/tg^asin2/?-]- 1 —gxsinff) dx..................(/)
Сумма проекщй всЬхъ силъ, дЬйствующихъ на элементъ грани шатра, взятыхъ на нормаль къ высотЬ грани, будетъ:
2vxtga’--- ——'—dr. cos ft2qxdxlyalg'l[i smp ,
откуда
l(i2d sin/3
— g——' - - — - x
]/ tg*a sinl(j -|- 1
........................(2).
Подставляя значение усил!я vx въ выражеше усил!я их, получимъ:
— d (ихх) q 4~ 1) sin & х dx,
или
sinff
— d(Uax) = g adx.
Производя интегрироваше отъ 0 до х, получимъ для произвольнаго х:
sin/J
-U^q2eo^
при
а дл I
х = 1г,
~и1, -
qsind 2Fos^ 1 ’
х - 0, и0 = 0.
I iiirniiiij, какъ ?, такъ и и, получились съ отрицательнымъ знакомъ, чк> и >ка MjBiioi i>, что усшпя эти направлены внутрь элемента, другими слонами, I и и суть сжнмаюиия усил!я.
21*
— 324 —
Для всей длины подошвы грани, равной 27г. tgatgft, усил!е будетъ:
q№ tgatgft sin ft cos^ft
Вертикальная проекщя усил!я Uh должна быть равна вЪсу грани.
Вертикальная (черт. 165) проекц!я Fb усил1я Uh будетъ равна:
'У = cosl3 = Q. ......................................(5)
Выше мы нашли, что:
G = q № tga tg^ft.
Следовательно, действительно Vlt = G.
Горизонтальная лроекщя усил!я Ult будетъ равна величине распора грани Q':
Q'=-Q'n= Uhsinft = qlfttga tg3ft..(4).
Найдемъ теперь точку приложешя распора Q'. Для этого составимъ выражеше момента распора относительно вершины шатра; частное отъ дЪлешя момента распора на его величину и дастъ искомое разстояше точки приложешя распора отъ вершины шатра.
Назвавъ элементарный распоръ черезъ dQr, можемъ легко написать, что:
clQ' — 2</ tga tg3ftx dx.
Моментъ всего распора будетъ:
fh р 11
xdQ'~ 2qtga tg3ft I x*dx,
do Jo
или:
2
Д1 =~qh3tgatg3ft.
Искомое разстояше x отъ вершины шатра будетъ равно:
х
Q'
7г.
- Такимъ образомъ мы видимъ, что распоръ шатра приложенъ на раз-стояши У3 его высоты, считая отъ его основашя, т.-е. въ центра тяжести грани шатра, что, впрочемъ, можно было и ожидать.
Найдемъ теперь величину горизонтальныхъ силъ, д-Ьйствующихъ на грани шатра. Выше мы нашли выражешя усил!я v :
ttftftsinft
vx = q -~r- -_== х. Лб’
\/tg-a sin^ft-\ 1
— 325 —
Усшпя эти, действующая нормально къ вертикапьнымъ боковымъ плоскости ь 1 раней шатра (черт. 166), раскладываются на две горизонтальный со-стппляюпйя 11х и 7’j,.
Изъ этихъ двухъ усилш первое:
= vxcosa = q
tg'Zfl sinfi cosa j/tg^a sin^S -|-1
x
дКНствуетъ въ горизонтальномъ сеченш грани шатра на подоб!е распора въ круговыхъ аркахъ.
При х = h будемъ иметь:
Друпя слагаюиця:
77 7 cosa tg2/3 sin3
Нъ = q It - -
j/(92c: sintp
(5)-
Tx — Vx S^na —- 4
sina tg-p sinfi
]/tg‘*a sintp - 1
x,
лЬйствующ1я въ двухъ соседнихъ граняхъ, слагаясь въ одну равнодействующую 9 ", равную:
2ТХ cosa = 2д
tg^fi sinfi sina cosa
]/ tg*a snPft ' 1
X J
будутъ действовать, какъ распоры на ребра граней шатра.
Распоръ Q " при х = h будетъ:
О" ~2 1 Sina C°8Ci
\/ tg^a sin^P \
{6).
Для расчета прочности и устойчивости шатра необходимо принять во внимание величины усилш F,, [форм. (5)], и по нимъ определить прочность основашя шатра; по усилю Нп [форм. (5)], определится прочность стенки шатра, имея въ виду, что усил1е Hh соответствуетъ единице высоты.
Величины же распоровъ Ц/ [форм. (4)] и Qh" [форм. (6)] должны быть приняты во внимате при определена услов!я устойчивости шатра
и нижележащихъ частей сооружешя.
. Пи. р.<iCMoipl.niH выраженш Нк, Qh' и Qh" заключаемъ, что они зависни. i 11, п;иты iii.np.-i h, отъ центральнаго угла к многоугольника основашя
iiiaipi и oil. yum t! между осью шатра и высотою грани его.
— 326 —
ЗамЪнимъ высоту h черезъ величину рад!уса круга, вписаннаго въ основаше, и посмотримъ, при какомъ угле (3 будемъ max и min Hlt, Q'z, и Q"h.
„ 7
Подставляя 1г = —— ,
№
найдемъ:
,г „ cosasint3 tg,3
11 h =-- fill ~— - - ——— j/ tgia sinPfi -4-
(5) bis
9/ = qffltga tg[3...........................(4) bis
„ „ „ sina cosa tqв sin,3
I,," = 2<y/? ___*?
|/ tg2a sin*ft - - 1
Подставляя въ эти уравнешя значешя р* = О и ,9
90°, найдемъ:
(6) bis.
при /9=0, Яд=0, Q/ = 0, Qh" = O,
при /9=90°, Hh = co, С^' — со, Qj'' — СО.
Полученный результатъ показываетъ, что при р’=0, т.-е. при отв-fec-ныхъ граняхъ шатра, ни распоровъ, ни горизонтальнаго усил!я нЪтъ: при /9 = 90°, т.-е. при условш, что шатеръ обращается въ плоскость, и въ предположена, что кладка не выдерживаетъ ни растяжешя, ни изгиба, равнов-bcie только и возможно, что при безконечно большихъ распорахъ и усил!яхъ Нк.
Разсмотримъ теперь открытый шатеръ, нагруженный сверху вертикальной нагрузкой. Положимъ, что мы имеемъ (черт. 167 и 168) открытый шатеръ, нагруженный равномерно сверху по У на каждую грань, уголъ при центре равенъ 2а, уголъ боковой грани съ высотою /9, высота отъ в^бражаемой вершины до верха открытаго шатра х0 и высота шатра 1г0, положш-Хичто лопреж-
— 327 —
nt му i изображаете разстояше отъ воображаемой вершины до произвольна™ < 1.ЧСШЯ и /?—вся высота.
На основами выведенныхъ выше формулъ можемъ написать:
qsinfl
2 cos2/? ‘
(j sinfi
И 2сд^Хй ’
q tg2p sinfl , q Ig^p sm/3
]/1д2а ° j/#<72<€1 *
Длина стороны верхняго основашя равна 2х01да1д^ и длина стороны нижняго основан1я равна 27» tga tgff.
Нагрузка, приходящаяся у нижняго основания, будетъ:
«л • 27» tga tg/3— uXg. 2.i’0 tga tgf) и — vXg.
Подставивъ выражен!е м, найдемъ:
qvnp / 07 » , □ qsin.S
- п и. 27» t па ici.i — -— „ - х,, 2ж„. tqa tqtt,
2cos\3 j j 2cos2ti ° 0 J J ’
или
q tga 'J (IP — xP). 1 J cosfP 0 ’
Вертикальная составляющая этого усил!я будетъ:
qfgatg^QP — ж02),
и горизонтальная его составляющая:
qtgalg^QP — ж,,2).
Усил1е Р, действующее на верхнее основаше шатра, разлагается на уси-
nie, действующее вдоль грани ------
COS/?
внутрь шатра Ptgt3.
и распоръ, направленный горизонтально
Р
CO-'i/J
Усил!е
у нижняго основан!я снова разлагается на вертикальную
сосганияютую 7’ и горизонтальную составляющую—распоръ Ptgft, направленный пнаружу шатра.
I ikiimi. образомъ на нижнее основан!е неполнаго нагруженнаго сверху iiiit'ip.i будут ь действовать сипы:
epi 1И<1П1Ы11.|я
|<>ри: >1Т<1Л1.П1.1Я
Г = qtgatg^i^li2 -ж02)Ц-Р, и Ц/ = <1 tga tg3g(Ji2 — ,r2) - Ptgfi.
У подишиы in гра нп боковыя стенки его граней будутъ действовать
пормпш in iti Ki ними успл1я
'/ tg ’a х'it,>
| 1д~а sin'2,/ 1
(Л—
— 328 —
которыя даютъ усил!я:
г _ q cosa tg2/i sin/i h ]/lg2a sin2,?1
(/i — x0),
и
n „ sina cosa tg^[isinii |/ tg2asm^(i-\- 1
Найденныя выражешя V, Qh', Hh, (?," ркшаютъ вопросъ о подсчетк прочности и устойчивости неполнаго шатра.
Опредклимъ еще величину давлешя вктра на шатеръ. Имкя въ виду крутой наклонъ граней шатра, принимаемъ направлеше вктра горизонтальнымъ, а сами грани расположенными вертикально *). Это допущеше не су
щественно, такъ какъ величина давлешя вктра и распред клеше его по поверхностямъ сооружений точно не установлены.
Обозначивъ черезъ 1Г давлеше вктра на квадратную единицу, нормальную къ направпе-шю вктра, найдемъ, что давлеше вктра П * на грань шатра, нормальную къ направлешю вктра, будетъ (черт. 169):
~ TF 2 • 22? tga h или IFj = TF li В tga.
Давлеше вктра W2 на слкдуюцця грани будетъ:
JF2 = Hrcos22a • - 2В tga.li, или
П 2 = ll'fc В tga cosi2a.
Такихъ давлешй на шатеръ будетъ два; дайке можетъ быть еще два давлешя:
IF2 = Wh В, tga cos* 4а и т. д.
смотря потому, о сколькихъ граняхъ шатеръ и сколько граней помкщается по одну сторону прямой, проведенной въ планк черезъ вершину шатра перпендикулярно къ направлению вктра.
Все давлеше вктра TF на шатеръ будетъ
TF = п; + 2 Ж2 + 2 TF3 + 21F, +...........
или
IF — Wh В tga(l 2 cosa -] 2 cos22« 2 cos24a -j-.........).
___________ to
) Teodor Landsberg. Die Statik der Hochbaukonstruktionen, 190'
— 329 —
Въ случай восьмиграннаго шатра имеемъ:
а -- 22" 30'; tga = tg22° 30' = 0,414; cos'*2a = cos245 = 0,500,
и
TFg = IF.7i.7t .0,414. (1 -f-2.0,500) = 0,828 W.Il.J,.
Въ случае шестнадцатиугольнаго шатра имеемъ:
11° 15'; tga=ztg 11° 15' = 0,199 = 0,200; cos2 2с: = cos* 22" 30' = 0,854;
cos24с = cos2 45° = 0,500; cos2 6c = cos2 67° 30' = 0,147;
TF16 = IF. h. II. 0,2. (l-|-2.0.854Ц-2.0,500-{-2.0,147)
TF16 =0,800 W.R.h..
Точка приложения давлешя будетъ на разстояши ’/з отъ подошвы шатра (черт. 170).
Для определения устойчивости шатра необходимо определить коэффищентъ
устойчивости т2, который будетъ равенъ отношешю момента вертикальной постоянной нагрузки къ моменту ветра:
n.G. И
= 1------•
IF .h
3 ’*
где п число граней, a G весъ одной грани, равный q II? tga. Принимаемъ, что
\Vn = g.W.R.h,
где д численный коэффишентъ согласно
найденному выше 0,800 или 0,828 и т. д.
Вь такомъ случае коэффищентъ устойчивости будетъ равенъ:
Зп /В\‘*
да2= -ppg I j I tga >2 до 1,50,
гд1 2 и 1,5 коэффициенты устойчивости.
Для определешя услов!я прочности кладки шатра въ его основаши найдем:. точку приложешя равнодействующей двухъ силъ: собственнаго веса G и i»V.।p.i II и на основаши теор!и неравномернаго сжат!я найдемъ наибольшее плнря>кгн1о кладки.
I । и;тохп1(5 .г отъ центра тяжести площади основашя шатра до точки при-ложсн1я р.||.|11(>дГ.11стпующей силъ G и TF можно найти, разсматривая подобные rpcyioHi.iiiiKH (черт. 171) abc и ade\ для нихъ мы имеемъ пропорщю;
Ac ab 1
; гд1. Ас г, ab = — 7: </e=IF, ad — G.
<ia ad 3
— 330 —
Такимъ образомъ найдемъ, что
Равнодействующая, приложенная въ точке с, разложится снова на вертикальную сипу G, производящую сжатие матер!ала подошвы шатра, и горизонтальную сипу W, производящую сдвигъ шатра по его основашю.
Напряжеше въ основами шатра по формуле неравномернаго сжат!я будетъ:
где для
сила;
восьмиграннаго шатра:
— вертикальная сжимающая
= 3,311 7?01 —
пло-
щадь основами шатра;
х — найденное разстояше точки приложения силы G отъ центра тяжести площади основами шатра.
11—рад1усъ круга, вписаннаго въ наружный периметръ площади основа-н!я шатра;
г—рад!усъ круга, вписаннаго во внутреннш периметръ площади осно-ван1я шатра;
(R — г) — толщина кладки ст-Ьнокъ шатра у его основами;
.7 = 0,875 I?4 / 1
— моментъ инерц!и площади основами шатра.
Подставляя данный для восьмиграннаго шатра величины, будемъ иметь величину напряжешя:
з.зил«{ = (0)’}
1±-------р-
0,2641?1 -|-
1 7 1Г
1
Наибольшее сжат!е и услов!е прочности кладки будетъ:
<> =-----—-—
3,3111?2] 1
х
1
2
2
где 7\ коэффищентъ прочцаго сопротивлешя кладки сжаи “ •
— 331 —
Для того, чтобы не было растяжешя въ кладке основашя шатра, необходимо, чтобы сила G была приложена въ ядре сечешя шатра, которое будетъ нмЪть видъ, представленный на черт. 172, где для восьмиугольнаго ядра сЬ-чешя рад!усъ круга описаннаго будетъ:
Р = 0,2647? j 14-
а рад!усъ круга вписаннаго:
р = 0,2267?/1
I \ /< / I
Въ случай, если точка приложе-н!я силы G падаетъ вне ядра с-Ьчешя, тогда необходимо построить лин!ю Мора и найти положеше нулевой линш въ предположении, что некоторая часть сечешя подвергается сжат!ю, а другая часть сечешя не воспринимаетъ ни сжимающихъ, ни растягивающихъ на-пряженш.
Опасны мъ сЬчен1емъ шатровъ какъ въ отношенш прочности, такъ и въ отношенш устойчивости является ихъ основан!е, где начинаются ихъ наклонныя стены.
При недостаточной прочности ст-Ьнъ шатра у его основашя необходимо произвести соответствующее имъ утолщен!е, причемъ стЪнамъ шатра можно придавать также разную толщину, какъ въ сводахъ: большую у основашя и меньшую къ вершин^,• въ некоторыхъ случаяхъ ребра шатровъ могутъ иметь, кроме того, еще особый утолщешя, который сохраняются во всю ихъ высоту.
При недостаточной устойчивости шатровъ, а также при желанш уравно-вЬсить распоръ шатра такъ, чтобы часть всего здашя, несущая на себе ша-теръ, испытывала бы лишь вертикальную отъ него нагрузку безъ горизонтальныхъ распоровъ, необходимо заложить железныя связи; связи эти располагаются въ виде замкнутаго многоугольника; ихъ достаточно расположить только у основашя шатра, закладывать же связи въ стенахъ шатра выше его ч:ноип11!я иктъ надобности, такъ какъ усил!я въ стенахъ шатра направлены
ндол1. ихъ, а не подъ угломъ къ ихъ плоскости, когда заложенный въ нихъ < пи. и могли бы принести требуемую отъ нихъ пользу.
При угл1. // между высотою шатра и высотою его грани, меньшимъ угла ||>- н1»1 о въ сущности нетъ основашя опасаться недостаточной устой-
чив .ч и, нч дня уравновешивашя распоровъ шатра применеше связей темъ н Mi-iil мои--jii быть необходимо.
G. Расчетъ парусовъ.
При перекрыли пространства, имЬющаго въ планЬ очерташе квадрата, прямоугольника или многоугольника, купольнымъ сводомъ, опирающимся непосредственно на ограничивакдщя пространство стЬны или арки, а равно при перекрыли того же пространства купопомъ, поддерживающимся цилиндриче-скимъ, четыреугольнымъ или многоугольнымъ барабаномъ, опирающимся на ограничивающая пространство стЬны или арки, приходится устраивать особые переходы или сопрягаюгщя части сводчатаго покрьтя, называемый парусами. На черт. 173 показанъ примЬръ перекрытая квадрата abed купопомъ К, поддерживаемымъ цилиндрическимъ барабаномъ В. Промежуточный части
сводчатаго покрьтя р суть паруса, каковыя можно разематривать, какъ части купольнаго свода N, полученный отъ сЬчешя этого посл’Ьдняго четырьмя вертикальными плоскостями abf, асе, dbh, deg, проведенными черезъ стороны перекрываемаго квадратнаго пространства abed и горизонтальной плоскостью efgh, проведенной черезъ шелыги е, f, д, h арокъ abf, асе, dbh и deg.
На кругъ efgh опирается барабанъ В, на который въ свою очередь опирается куполъ К. Оставлялся части р нижняго купола N и составляютъ паруса. Въ данномъ случай паруса въ планЬ им’Ьютъ видъ треугольниковъ (черт. 174) съ двумя прямыми сторонами и одной очерченной по дугЬ круга. Изъ сказан-наго ясно, что паруса составляютъ часть купола, почему они обладаютъ сво-
имъ самостоятельными распоромъ.
Паруса раздЬляются на двЬ главный группы: а) сферичесюе паруса и Ь) перемычечные паруса.
Къ посл’Ьднимъ относятся конические и кронштейные.
— 333 —
1. Расчетъ сферическихъ парусовъ.
Сферические паруса могутъ быть чрезвычайно различны по своей форме въ зависимости, какъ отъ очертания въ плане перекрываемаго пространства, такъ и отъ формы купола, часть котораго они составляютъ. При томъ все эти паруса могутъ быть притуплены въ своихъ углахъ.
Разсмотримъ лишь расчетъ такъ называемаго остраго сфериче-скаго паруса (черт. 173) и (черт. 20, стр. 49).
Имея въ виду, что собственный в-Ьсъ частей парусовъ и распоры, производимые ими, сравнительно съ лежащею на нихъ нагрузкою незначительны, можно съ достаточною для практики точностью принять формулы и пртемы расчета острыхъ сферическихъ парусовъ также въ основаше расчета осталь-ныхъ видовъ сферическихъ парусовъ.
Для построешя лиши давлешя въ сферическомъ остромъ парусе опредФ.-лимъ сперва распоръ этого паруса.
Положимъ, что мы имеемъ пространство, ограниченное въ плане квад-
ратомъ и перекрываемое сводчатымъ покрьтемъ съ парусами. Пусть площадь mebdfncam (черт. 175) составляетъ пяты четверти купола или барабана, опирающихся на парусъ slfdbeks и на подпружныя арки sHnT и skemT.
1 ’аздЪпнмъ парусъ мерид!альными вертикальными плоскостями на вы-ph.iu. Пусть разрезы abo и cdo будутъ те, для которыхъ швы ab и cd делятся внутренними плоскостями стЬнъ se и sf въ точкахъ / и к пополамъ.
IV'Hipu тяжести вырезовъ паруса между швами те и об, а также между швами nf и cd лежать надъ подпружными арками, почему эти поштЬдше вырезы паруса Ак.*жду названными швами будутъ находиться въ устойчивомъ положен1н, а потому распора иметь не будутъ. Иначе обстоитъ д-Ьло съ вырезами между HHuiMii и cd; центры тяжести ихъ находятся надъ перекры-ваемымъ нрос |ранстномь, почему эти вырезы и будутъ обладать распоровъ.
Для опредЬлен1я распора этихъ вырезовъ и равнодействующей распора
— 334 —
всего паруса, предположимте, что сФ.кущ1я меридюнальныя плоскости проведены другъ отъ друга на разстоянш 4,5° градусовъ, т.-е. что полупарусъ (черт. 176) разд-Ьленъ на десять выр-Ьзовъ. Въ такомъ случа-fe, называя черезъ Gj в4>съ всего купола и барабана, будемъ им^Ьть нагрузку отъ купола и барабана на одинъ вырЪзъ въ 4,5° градусовъ равною:
Нагрузка эта приложена въ поверхностяхъ, ограничивающихъ вырезы паруса сверху.
Обозначая черезъ п номера выр'Ьзовъ, можемъ назвать в^са выр-Ьзовъ паруса черезъ (г/2)в, при чемъ всЬ вЬса эти будутъ разные.
Положимъ, что на черт. 177 изображено осевое сЪчеше одного изъ раз-
рЪзовъ паруса; лин1я ab представляетъ ребро перес4.чен!я осевой плоскости разсматриваемаго вырЪза паруса съ внутренней поверхностью ст^Ьны перекры-ваемаго парусомъ пространства; Ксе изображаетъ cfeneHie барабана разсматри-ваемымъ сЬчешемъ; се представляетъ шовъ, отд-Ьляющш барабанъ отъ паруса.
Проведемъ въ т4>л4> въ данномъ с-Ьчен1и паруснаго выреза третныя лиши Wj/jj и Л7,,п2. Согласно известной теорш пред^льнаго равнов4.с!я опорная лин!я паруса должна пройти черезъ точки и п2 — нижнюю треть пятоваго шва ab и верхнюю треть верхняго шва cd; черезъ ту же точку по теорм пред^льнаго равнов4.с!я долженъ проходить распоръ выр-Ьза Qa (черт. 178).
Проведемъ черезъ точку горизонтальную лин!ю Q и обозначимъ черезъ hn плечо этого распора относительно точки mt, и черезъ (7Д, и (/,2)„ плечи нагрузокъ д1 и д„ относительно точки а. Зная величины </,, (fZ2)„, (7J,, и (72)„,
гд-Ь значекъ п внизу обозначаетъ номера разныхъ выр-Ьзовъ, можемъ написать величину распора выреза:
— 335 —
Величины распоровъ Qn разныхъ выр’Ьзовъ зависятъ отъ постоянныхъ вЬсовъ выреза барабана и переменныхъ весовъ вырезовъ, ибо для каждаго выреза паруса (<72)„, (?2)„ и /iK различны.
Обозначивъ (черт. 176) уголъ между сечешемъ so и срединой вырезовъ черезъ можемъ написать величину распора всего паруса:
Q = % Q„ costi,,.
Величины (gj„, Л„ и /Ув могутъ быть определены для каждаго
выреза, а написанная сумма даетъ величину распора паруса.
Обозначивъ черезъ qH переменные распоры вырезовъ паруса при ихъ центральномъ угле „единица", можемъ написать распоръ Q всего паруса въ виде:
Q = \ Jn cosj dj,
где —ди Ц-r: (черт. 175) — пределы угла /?, а уголъ при центре безконечно малаго выреза.
Имея въ виду, что веса и распоры паруса очень невелики сравнительно съ лежащею выше парусовъ нагрузкою, можно съ достаточной для практики точностью принять, что все элементарные распоры дп разематриваемаго паруса постоянны и равны элементарному распору д0 средняго элемента, совпа-дающаго съ д!агональю os.
Если мы далее назовемъ черезъ ф(1 распоръ средняго выреза паруса при упомянутомъ выше центральномъ угле въ 4,5°, то тогда обозначенный черезъ д0 элементарный распоръ центральнаго выреза будетъ:
180
Распоръ можетъ быть полученъ по приведенной выше формуле:
въ которой необходимо положить: ч
= (/!)„, (Q„ = (U, = (&)<>, ''„=*<>•
Такимъ образомъ распоръ Qv будетъ:
%- к—
и распоръ ди получится равнымъ:
7^12,8^.
Величины (7а)0 и h0 въ формуле, дающей величину 90, определяются на основажи чертежа по масштабу длинъ, величина известна изъ подсче-товъ вЪсовъ вышележащихъ конструкцж; что же касается до величины — веса средняго выреза паруса, то она можетъ быть определена съ достаточной для практики точностью. Весь объемъ паруса согласно приведеннымъ въ первомъ отделе формуламъ равенъ:
/,*з
Г = 0,012348 /.'3 или Г= . ’ 80
где Н рад!усъ сферы паруса.
Принимая, приближенно, все вырезы паруса равными между собою по объему и имея въ виду, что вырезовъ въ 4,5 градусовъ во всемъ парусе 20 штукъ, можемъ написать, что объемъ vo элементарнаго выреза паруса будетъ равенъ:
1 Л'3 /,'3
'°- 20 — 20.80 ~ 1600
Весъ ди элементарнаго выреза паруса будетъ:
где у весъ единицы объема кладки паруса.
При необходимости произвести определеже величины ди съ большей точностью, должно воспользоваться данными и формулами, приведенными въ первомъ отделе о парусахъ (стр. 54).
Подставляя значеже >/0 въ выражеже распора всего паруса Q, получимъ:
9= 12,8 j Qucoxt:(l,i = 25,6 |
Такъ какъ Qo постоянно и отъ угла J не зависитъ, то
Q — 25,6 9, | или
9 ~ 25,6 9„S'»^**)-
Найденный распоръ 9 действуетъ въ плоскости д!агонали os.
Если разложить этотъ распоръ на составляюцця 9 нормальный къ сте~ намъ (черт. 176), то будемъ иметь:
9 *** |/2
Распоръ 9„ будетъ действовать на подпружныя арки.
Распоры 9>, можно определить и графически, для этого (черт. 179) на соответственномъ разрезе находятъ положеже весовъ gt и (д2)н ****) проводятъ
*) Им-t я въ виду, что 7 = 1600 кдг, находимъ д0 = К3 кдг.
** ) Дпя остраго сферическаго паруса а = 22°30' и Q = 9,8 Qo.
*• *) Церковные паруса. В. Р. Бернгардъ.
“"*) См. стр. 53. Положеше центровъ тяжести парусовъ.
9р= 9еоч45« —
— 337 —
трстныя лин1и, отм-Ьчаютъ точки т1 и л2, строятъ многоугольникъ силъ дг и (.</»)„ — при полюсе Р, и находятъ при помощи извЪстнаго построешя положеше равнодействующей G! = ^1 (<zs)K.
Далее проводятъ направлеше горизонтальнаго распора QH черезъ точку п„ и отмечаютъ точку к пересечешя направивши (г и Qn, соединяютъ точки т1 и к прямою; а въ многоугольнике силъ проводятъ лишю (д2)„0 || тгк, и изъ точки о горизонталь оО. Пересечете этихъ пиши даетъ величину распора Qn = оО.
Положимъ, что кроме и имеется еще нагрузка р на ограждаюгщя стены. Добавляемъ нагрузку въ многоугольнике силъ и проводимъ лучи gt0 и рО; величины t\, /:2 и г3 будутъ последовательный равнодействуюпря
силъ .9р (/?«)» и Р- Для построешя опорной линш вырезовъ проводимъ черезъ точку t пересечешя и Qn лишю, параллельную до пересечешя съ иаиравлешемъ ($2)н (чтобы не затемнить чертежа, построеше не выполнено), да-л1.в черезъ полученную точку проводимъ параллель v2 до пересечения съ на-up.пи>Ч|1смъ />, и наконецъ черезъ эту точку пересечешя лишю, параллельную Полученная ломаная лишя пройдетъ черезъ точку mv такъ какъ распоръ <,i oupejil'.ir’iiv проведешемъ пиши mik. На черт. 180 выполнено построеше Элиме!полипное изь труда В. А. Косякова (постройка храма подворья Юево-Печсрской ллиры), где взято четыре выреза и для нихъ показано построеше раснороп!, 1
Для кнждпго изъ четырехъ вырезовъ определены приходяццеся на нихъ вЬса:
/\ иЪсъ ча< in барабана съ вышележащими частями (постоянный для BCbXb В11р1..1О11Ъ).
II. К. JluXTIIIil- Put чей. С ПОДОМ!..
22
— 338 —
К — веса части кольца и надбутки надъ нимъ (постоянные для разныхъ вырезовъ).
Р — веса вырезовъ парусовъ.
.Л — веса надбутки надъ парусами (переменные для разныхъ вырезовъ).
Определены точки приложешя всехъ четырехъ весовъ и для перваго выреза выполнено определеше равнодействующей Rt весовъ К, /ц и Р, действующихъ на парусъ, и найдена точка ея приложешя.
Затемъ согласно указанному выше построешю проведенъ горизонтальный распоръ черезъ верхнюю треть, и затемъ соединены прямой точка нижней трети т1 съ точкой t пересечешя направлен^ распора и равнодействующей
j? ; изъ точки Р въ мноугольнике силъ проведена лишя P0r || m^t и такимъ образомъ найденъ распоръ для перваго выр+>за паруса. Для прочихъ вырезовъ такое построеше вследств!е мелкости чертежа и простоты самого построешя не приведено.
Распоръ всего паруса можетъ быть найденъ тоже графически въ томъ случае, если распоры вырезовъ получены. Для этого достаточно провести черезъ средины вырезовъ меридюнальныя прямыя и параллельно имъ построить многоугольникъ силъ, откладывая величины распоровъ вырезовъ.
На черт. 180 выполнено и это построеше. Замыкающая Q многоугольника Q1Q3Q2Q1Q1Q2Q3QS и будетъ изображать распоръ паруса Въ многоугольнике все распоры проведены и отложены по два раза, такъ какъ въ плане паруса показана только половина его съ четырь^! частичными распорами; по другую сторону оси 0S будутъ еще четыре элемента съ соот-
— 339 —
uh ми нующими распорами; для получешя равнодействующей распоровъ всехъ hoci.mii элементовъ необходимо принять въ расчетъ все восемь элементарныхъ распоровъ,
Распоръ Q можетъ быть найденъ еще следующимъ способомъ:
'? = 2 {<?, cos 2° 15'(?2 cos 6° 45' Q3 cos 11015' -|- cos 15°45' }.
Распоры парусныхъ вырезовъ увеличиваются отъ д!агонали os (черт. 175) къ линии ode, такъ (черт. 180):
Qi Q3 > Q> Qi >
а на протяженш длины df (черт. 175) распоры равны нулю. Справедливость роста распоровъ можно видеть изъ формулы:
q __ fft ft)» 4~(#а)» ft)»
гдЬ съ возрасташемъ номера п выреза — постояненъ, — возрастаетъ
Черт. 181.
слабо, (/72)и—уменьшается, (ZS)H — слабо возрастаетъ, а плечи hn чрезвычайно быстро убываютъ съ возрасташемъ номера п паруснаго выреза.
Равнодействующая Q распоровъ парусныхъ вырезовъ, нормальная къ плоскости подпружныхъ арокъ sf (черт. 175) будетъ:
21'?, co.s29"15'-|- Q3 cos 33" 45' -|-cos 38015' Ц-(1 cos 42° 45'} .
Величина необходима при подсчете связей паруса.
2а Расчетъ перемычечныхъ парусовъ.
Ila "ttii H.uiiii конегруюци перемычечныхъ парусовъ (черт. 181) ясно, въ чемь должен I. опклк>ч.111.сч расчетъ ихъ. Каждая перемычка расчитывается, клкъ !|И>н111лрпчг>'|(|1| слод). и распоръ ея Q (черт. 182) определяется известным! способом) н лниси । , коп *чио, отъ приходящихся на нее нагрузокъ.
22*
— 340 —
Пяты отд-Ьльныхъ перемычекъ 1—2—2, 2—3, 3—4, 4—5 (черт. 183) расположены по наклонной прямой лин1и а'Ь'с, проведенной на внутренней стЬнЬ sa; когда определены распоры Qs и Qg отд-Ьльныхъ перемычекъ, то ихъ равнодействующая Q можетъ быть найдена при помощи построен1я многоуголь-никовъ силъ и шарнирнаго, а точка приложешя распора Q определится, проектируя точку к въ к' на лишю а'Ь'с'.
Равнодействующую распоровъ Q раскладываемъ на две составляющ!я,
Черт. 183.
одна изъ которыхъ Q будетъ действовать въ плоскости подпружныхъ арокъ, а другая Q будетъ действовать внаружу подпружныхъ, нормально къ нимъ.
Кроме распора Q перемычки будутъ производить на подпружныя арки вертикальный давлешя V, величина которыхъ определяется также известнымъ способомъ и зависитъ отъ нагрузокъ на перемычки, а следовательно и отъ
техъ давлешй, которыя производятъ на перемычки поддерживаемый ими части
Черт. 184.
всей конструкщи.
Такимъ образомъ перемычки на подпружныя арки передаютъ горизонтальный усил!я Qp и Qn и вертикальный V.
Усшпя Q и V должны быть приняты во внимаше при расчете подпружныхъ арокъ, а усил!я Qn воспринимаются частями здашя, примыкающими къ подпружным-ь аркамъ съ внешней ихъ стороны.
Обыкновенно распоры перемычекъ паруса уравновешиваются прокладываемыми въ перемычкахъ связями; въ последнемъ случае подпружныя арки производятъ на ихъ опоры лишь одни вертикальный усшпя V.
Распоръ коническихъ и кронштейныхъ парусовъ abc (черт. 184) опреде-
ляется, какъ распоръ сферическихъ.
— 341
Н. Расчетъ парусныхъ сводовъ.
Такъ какъ парусные свсды
(черт. 185) представляютъ собою совокупность купола efhgO (скуфьи) и парусовъ eaf, fbg, gdh и hce, то весь расчетъ парус-ныхъ сводовъ сводится къ двумъ расчетамъ:
1) къ расчету купола и 2) къ расчету парусовъ.
При этомъ, однако, необходимо им4.ть въ виду, что паруса и подпружный арки нагружены отъ скуфьи не вертикальной нагрузкой, а наклонными давлен!ями. Впрочемъ, это, обстоятельство можетъ лишь незначительно отразиться на ход-fe графическая
расчета.
I. Расчетъ сводны^ъ (надпарусны^ъ) колецъ.
Паруса, входяцде какъ самостоятельный элементъ сводчатаго перекрытая,
Черт. 1Н/.
а равно составляющие часть паруснаго свода, перекрываются особой кладкой *), называемой своднымъ или надпаруснымъ кольцомъ. Кольцо это служитъ для передачи и распред-Ьле-н!я давления на паруса и подпружныя арки: либо отъ скуфьи паруснаго свода, либо отъ барабана.
• Сводное кольцо ничЪмъ не отличается отъ колецъ обыкновенная купольнаго свода, такъ что приводить особыхъ указан:'й для расчета сводная кольца въ сущности особенной надобности нЪтъ. Сводное кольцо подвергается сл4>-дующимъ усил!ямъ: а) сверху (въ верхнемъ сопрягающемъ его шв-fe) наклонной или вертикальной нагрузкЪ; Ь) снизу (въ нижнемъ сопрягающемъ его шв^) наклонному давление, аналогичному продольному давление: колецъ купольныхъ сводовъ; с) поперечному сжат!ю въ поперечныхъ вертикаль-ныхъ швахъ, тоже аналогично поперечному сжат!ю колецъ купольныхъ сводовъ.
Л
*) kitiutKA uniDKiin бнп. особенно тщательная Г I. СО nnuinllll'MI. принцип перевязи [ЧВОВЪ (черт. 186).
— 342 —
Въ отд-ЬлЪ о купольныхъ сводахъ (стр. 297) были выведены формулы (ххп и ххп/у
р sin т, cost — cos т
- — qB-----. s
sirPi suPt
и
it — —j—
РВ1ПТО_ , sivpT '
COST — cos to sin^T
COST
гдф> v—продольное, а и поперечное давлеше купольнаго свода съ отверст!емъ въ шелыгЬ и съ нагрузкой въ верхнемъ кольцф.
ЗдЪсь р .... нагрузка, только вертикальная (имФя въ виду, что горизонтальная составляющая наклоннаго давлешя, въ случай если таковое было не вертикально, а наклонно, была бы поглощена желФзными связями), q .... вФсъ единицы кладки свода, В.. . . рад!усъ паруса, т . ., . сопрягающш уголъ любого кольца, тп.. . . уголъ между вертикалью и рад!усомъ, соединяющимъ центръ свода съ центромъ тяжести поперечнаго сЬчешя кольца.
Для своднаго кольца (черт. 187) имФемъ:
откуда находимъ;
vo —Р • (0> г =-----. . (2) и~ Р —qBcosr (3),
suit 1 suit 0
О о -
гд-Ь v0 есть давлеше на верхъ кольца, v — давлеше на нижшй сопрягающш шовъ кольца и и поперечное давлеше надпаруснаго кольца. Направление ve— вертикальное, а точка его приложешя будетъ известна, зная распределяете усилш въ скуфыЬ паруснаго свода или барабана. Направлен1е v — при-— нимается нормальны мъ къ нижней постели кольца, и про-ходящимъ черезъ центръ тяжести м е р и д! о н а л ь н а го сФ.чен!я кольца. Направлеше и горизонтальное, приложенное къ тому же центру тяжести и направленное нормально къ поперечному шву. Поперечное напряжете и можетъ быть, вообще говоря, и сжат!емъ и вытягивашемъ въ зависимости отъ того, будемъ ли мы имФть:
S'/пт,
или qBcosTo,
и наконецъ поперечное напряжение будетъ отсутствовать въ случай, если
Р
= qB costo.
&
— 343 —
Следовательно, въ каждомъ отдельномъ частномъ случа-fe будемъ им-Ьть соответственно поперечное напряжете v.
Когда величины vB, v и и найдены, тогда остается определить по известному раньше прочность паруснаго кольца.
Горизонтальная проекщя усил!я v входитъ въ величину распоровъ Qn (черт. 179) вырезовъ паруса, приложенныхъ къ точке м2, а вертикальная составляющая усил!я v входитъ въ величину дА (черт. 179).
]. Расчетъ перекрещивающиеся арокъ.
Перекрьте сводами большихъ пространствъ безъ промежуточныхъ опоръ
представляется возможнымъ выполнить при
помощи, такъ называемыхъ, пере-
Черт. 188.
нымъ образомъ сводится къ определена
крещивающихся арокъ.
Для этого четыре арки, изъ которыхъ одна пара взаимно-параллель-ныхъ арокъ пересекается подъ пря-мымъ угломъ съ другою парою также взаимно параллельныхъ арокъ, располагаютъ въ плане такъ, чтобы пяты ихъ не сходились въ углахъ перекрываемаго пространства, а заходили другъ за друга и отстояли другъ отъ друга на некоторомъ раз-стоянш; тогда арки пересекаются попарно значительно выше пятъ,
но однако ниже ихъ шелыги.
На перекрещиваюгщяся арки а (черт. 188) въ среднемъ квадрате опираются четыре паруса р, не-сущ!е надпарусное кольцо и бара-банъ Ъ.
Образующаяся въ плане пере-“ сечешемъ четырехъ перекрещивающихся арокъ четыре боковыхъ *) и четыре угловыхъ прямоугольныхъ пространства перекрываются сводами различной конструкщи.
Расчетъ самихъ перекрещивающихся арокъ ничемъ не отличается отъ расчета простыхъ цилиндрическихъ арокъ. Задача глав-нагрузокъ на перекрещивающаяся арки
*) Согласно указашю проф. Р. Б. Бернгарда перекрывать эти пространства бочарными сводами не сЛ'Ьдуетъ.
— 345 —
отъ парусовъ барабана съ приходящеюся на него нагрузкою и усилш отъ бо-ковыхъ сводовъ, при чемъ наибольшая нагрузка, очевидно, сосредоточивается вблизи шелыгъ арокъ, между точками взаимнаго ихъ пересф.чен!я. Участки же арокъ отъ этихъ точекъ до пятъ нагружены сравнительно меньше, такъ какъ въ этихъ частяхъ имеется лишь нагрузка отъ боковыхъ сводовъ.
BcniflCTBie такого распредФ>лен1я нагрузокъ на перекрещивающаяся арки, равнодействующая нагрузка проходитъ ближе къ шелыгЪ свода, распоръ ихъ получается большой и шовъ перелома располагается высоко надъ пятами. Для ослаблешя этого обстоятельства приходится: либо искусственно и непроизводительно нагружать арки вблизи пятъ, либо для предотвращешя последствш указаннаго расположешя шва перелома ставить проемныя связи, хотя бы на время работъ.
1. Определение нагрузки на перекрещивающ!яся арки.
Поддерживаемое перекрещивающимися арками сводчатое покрьгпе можетъ быть выполнено крайне разнообразно. Среднш квадратъ между перекрещиваю-
щимися арками можетъ быть перекрыть купольными и сомкнутыми сводами, опирающимися на цилиндричесюе, квадратные или граненые барабаны; барабаны, въ свою очередь, могутъ сопрягаться съ перекрещивающимися арками при помощи парусовъ самыхъ разнообразныхъ конструкцш. Крайше прямоугольники и квадраты между перекрещивающимися арками и опорными стенами могутъ быть перекрыты сводами различныхъ конструкцш; въ этихъ частяхъ могутъ быть применены лотки сомкнутыхъ сводовъ, вспарушенные крестовые своды, бочарные своды, сложные сомкнутые и сложные крестовые своды.
Для опредЪлеюя характера и формы нагрузки на перекрещиваюицяся арки разсмотримъ нисколько отд-Ьльныхъ частныхъ случаевъ. Положимъ, что мы имеемъ квадратное пространство 4BCD (черт. 189), перекрытое перекрещивающимися арками ab, cd, ef и gh, на который при помощи четырехъ сфе-рическихъ парусовъ Р опирается куполъ 5, поддерживаемый цилиндрическимъ барабаномъ. ►Распоры Q отъ парусовъ раскладываются на составляются Q который въ точкахъ /, т, и и о дЪйствуютъ на арки.
Для определешя вертикальной нагрузки на перекрещивающаяся арки отъ барабана съ куполомъ и отъ парусовъ возьмемъ четверть EBFS (черт. 190) уже разсмотрЪннаго квадратнаго пространства. Обозначимъ нагрузку на единицу длины окружности барабана, рад!усъ котораго въ плане равенъ В, черезъ
— 346 —
q, и напишемъ выражеше нагрузки на одну восьмую долю окружности барабана,
т.-е. на дугу «/.?£; нагрузка эта будетъ равна - q. Напишемъ еще вЪсъ по-8
ловины паруса, поддерживающей разсмотр-Ьнную одну восьмую часть барабана.
JR3
На основаши извФ>стныхъ формулъ вФ>съ всего паруса будетъ равенъ 7—-, а
80
вФ>съ упомянутой половины паруса будетъ равенъ 7——- Обе написанныя
2 21 JR, у Л з
нагрузки —q и у — воспринимаются аркой aat (черт. 190) въ части ея При этомъ обе нагрузки распределяются на указанномъ разстояжи не равномерно. Въ точке £ нагрузка отъ барабана на единицу длины равна q, а отъ паруса нагрузка равна нулю. Определимъ величины нагрузокъ въ точке д и примемъ съ достаточною для практики точностью, что законъ распреде-лешя нагрузокъ между точками £ и д выражается прямой лишей. Для определешя величины нагрузки отъ барабана въ точке д, проведемъ рад!усъ S/Зе (черт. 190), составляющей уголъ q съ рад!у-сомъ S77; изъ чертежа видимъ, что нагрузка отъ барабана, приходящаяся на дугу а/З, распределяется на часть де перекрещивающейся арки.
Принявъ, что at3~ 1, определимъ величину нагрузки на единицу длины въ части <fe; проводимъ черезъ точку /? секущую 7/?г, параллельно dpf и раз-сматриваемъ треугольникъ а/?/ какъ прямолинейный и прямоугольный, катетъ котораго «/?=1.
Въ этомъ треугольнике гипотенуза
1
cosg> COS (ft
Изъ подоб!я треугольниковъ и можемъ написать:
Л? _ $£
7,У Sv
Подставляя сюда значеше S^--H и vSllcostp, найдемъ, что
de = 1
COSZ (/'
-С
— 347 —
Приходящаяся отъ барабана нагрузка q на длину а/? распределяется на длину del поэтому, обозначая черезъ р нагрузку на единицу длины отрезка de, можемъ написать, что
q
Р = ~4- — qcos-(p.
Найденная величина р и есть искомая величина нагрузки отъ барабана на единицу длины у точки d.
Для определешя величины нагрузки у той же точки d отъ паруса, при-нимаемъ во внимаше, что в-Ьсъ половины паруса,
равный
Черт. 191.
160
распределяется на длину df — В такъ, что въ точке £ нагрузка равна нулю, а въ точке d эта неиз вестная нагрузка равна /, а между точками £ и d нагрузка распределяется, какъ было упомянуто выше,
по прямой лиши;
поэтому можно изобразить нагрузку G въ виде прямоуголь-
наго треугольника (черт. 191), въ которомъ
Черт. 192.
основаше равно В, высота равна /, а площадь равна G. Въ такомъ случае:
1 2G
G = -B'jf, откуда /= •
2 h
Подставляя сюда значеше G, найдемъ:
В2
7 80'
Такимъ образомъ распреде-леше нагрузокъ отъ барабана и
паруса на перекрещивающуюся арку найдено, остается еще определить нагрузку д на часть той же арки 5?/d (черт. 190) отъ перекрьтя пространствъ М и N и на часть арки d£, нагрузку дг отъ перекрьтя пространства Мг. Когда эти величины найдены, тогда можно начертить д!аграмму нагрузки на разсматри-ваемую арку. Кроме того должно ввести собственный весъ самой перекрещивающейся арки.
На горизонтальной прямой DC, (черт. 192) откладываемъ въ масштабе длинъ отрезки, равные участкамъ перекрещивающейся арки и на вертикаляхъ, проведенныхъ изъ концовъ отрезковъ прямой откладываемъ въ масштабе силъ величины: q, qcosBp, %, д и дА. Такимъ образомъ получимъ д!аграмму, изображенную па чертеже 192.
Теперь необходимо еще эти нагрузки привести къ матер!алу арки, принимая во ппимаше и ширину I (черт. 193) перекрещивающейся арки. Пока-жемъ это для нагрузки д, остальныя же нагрузки:р, ди будутъ приведены
какъ и нагрузка д.
Обозначивъ черезъ Л (черт. 193) приведенную высоту нагрузки д и черезъ 7 вЪсъ кубической единицы кладки арки, можемъ написать:
</. 1 — y.l.h. 1, откуда h
•/
1аюя же величины h могутъ быть найдены и для прочихъ нагрузокъ.
Теперь, когда приведенныя нагрузки известны, можно на чертеж^ арки,
. 1
Черт. 193.
приготовленномъ дпя ея расчета (черт. 194), отложитъ высоты ab, cd, се и fg, равныя найденнымъ h приве-денныхъ нагрузокъ, взятыхъ въ масштаб^ длинъ; такимъ образомъ будемъ им^ть приведенную д(аграмму нагрузки на перекрещивающуюся арку.
На чертежЪ заштрихованный прямоугольникъ с1сее( изображаетъ сЬчен1е другой парной пересекающейся арки; въ этомъ же MtcTt приложенъ и распоръ Q отъ паруса. Если распоры парусовъ (черт. 189) уравновешены связями, заложенными въ парусахъ, то перекрещивающаяся арки будутъ подвержены только однимъ вертикальнымъ нагрузкамъ, согласно той же Д1аграммы (черт. 194), но только распоровъ 9,, нс будетъ
Разсмотримъ теперь еще квадратное пространство
ABCD (черт. 195), перекрытое перекрещивающимися арками ab, cd, ef. gh. на
который при помощи перемычечныхъ парусовъ опирается куполъ S, поддержи.
Черт. 194.
Чеэт. 195.
ваемый восьмиграннымъ барабаномъ и парусами ct, ,i, 4, л. Z, »/, />. устроен-
ными между куполомъ и барабаномъ. При описанномъ покрыпи однЪ грани
— 349 —
барабана съ приходящеюся на нихъ нагрузкою будутъ поддержаны непосредственно перекрещивающимися арками, а друпя грани барабана будутъ поддер
жаны перемычками парусовъ.
Перемычки парусовъ дадутъ, во-первыхъ, распоры Q и, во-вторыхъ, вертикальный усилия Р, равныя половинамъ нагрузокъ на нихъ отъ граней барабана. Распоры Q разложатся на составляющая Q , параллельный стЪнамъ, и перпендикулярный стЬнамъ. Такимъ образомъ отрезки арокъ mn,pq, st, w будутъ иметь нагрузки отъ барабана, который можно считать какъ равномерно распределенный; въ точкахъ т, п, р, q, s, t, v и w, будутъ действовать распоры Q и вертикальный усил!я Р, а на отрезки арокъ al, el, до, bo, dr, hr, fu и си будутъ действовать нагрузки отъ сводовъ, перекрывающихъ квадраты и прямоугольники между перекрещивающимися арками и стенами.
Распоры Q будутъ уравновешиваться распорами сводовъ, перекрываю
щихъ пространства между перекрещивающимися
арками и стенами.
Распоры Q перемычечныхъ парусовъ предпочтительно уравновешивать связями, уложенными въ перемычкахъ парусовъ, такъ какъ распоры Q даютъ очень неблагопр!ятное распределено усилш въ перекрещивающихся аркахъ, какъ это будетъ видно изъ даль-нейшаго.
На черт. 196 показана д1аграмма нагрузки на перекрещивающийся арки, поддерживающая перемычные паруса, распоры которыхъ не уравновешены связями; въ случае же устройства связей, д!аграмма нагрузки будетъ та же, но только усил!я Qp не будетъ; при начертанш д!а-граммы нагрузки все нагрузки приведены, конечно, предварительно къ матер!алу свода. Ограничиваясь показанными случаями нагрузокъ на
перекрещивающаяся арки, необходимо указать, что въ каждомъ отдельномъ случае приходится разобраться въ распределены на
грузокъ и затемъ определить какъ вертикальный силы и нагрузки, такъ и
горизонтальный силы, который будутъ равны либо распорамъ, либо ихъ со-ставляющимъ. Кроме того, необходимо иметь въ виду, что зачастую верхн1я
коиструкцш могутъ дать нагрузку, приложенную не посредине ширины пере
крещивающихся арокъ.
2. Расчетъ перекрещивающиеся арокъ, подверженныеъ вертикальной нагрузкк
На черт. 19/ представлена половина перекрещивающейся арки, упирающейся въ стЬпу съ контрфорсомъ /С; арка abed имеетъ выпускныя пяты, противъ (<///4 приходился другая арка, перекрещивающаяся съ разечитываемой.
— 350 —
На чертежФ, показана уже приведенная нагрузка; арка вмЬстЬ съ грузовой площадью раздЬлена на вертикальный полоски. На часть арки efcd опирается стЬна или парусъ съ барабаномъ и съ куполомъ, часть же арки abet несетъ лишь нагрузку отъ сравнительно легкихъ сводовъ.
Положимъ, что распоры паруса и верхней конструкции уравновЬшены связями такъ, что перекрещивающаяся арки подвержены только вертикальной нагрузкЬ. Такимъ образомъ мы имЬемъ д!аграмму нагрузки, дЬйствующей на
перекрещивающаяся арки. Обычнымъ пр^емомъ находимъ центры тяжести по-лосокъ, ихъ площади, строимъ многоугольники силъ и веревочный при произ-вольномъ полюс-fe Р и находимъ точку приложешя равнодЬйствующей всей нагрузки G. ЗатЬмъ намЬчаемъ трети швовъ и строимъ кривую давлешя въ ней, а затЬмъ извЬстнымъ пр1емомъ провЬряемъ прочность и устойчивость перекрещивающихся арокъ.
- 351
3. Расчетъ перекрещивающиеся арокъ, подверженные вертикальной нагрузкЪ и распору отъ сферическаго паруса.
Разсмотримъ случай расчета перекрещивающихся арокъ, когда въ под-держиваемыхъ ими сферическихъ парусахъ распоры не уравновешены связями, а оказываютъ свое действ!е на расчитываемыя арки.
Положимъ, что мы имеемъ (черт. 198) половину перекрещивающейся арки
АВ, нагрузка на которую равна G, а действующая на данную арку составляющая распора поддержи-ваемаго ею сферическаго паруса равна Qp.
Означимъ черезъ Qi распоръ арки отъ пятъ до точки С—приложешя распора Q и черезъ — распоръ арки отъ точки С до шелыги, черезъ ТГ обозначимъ вертикальную составляющую опорнаго давлешя.
Изъ равенства нулю суммы проекцш силъ, действующихъ на половину перекрещивающейся арки
на вертикальную и горизонтальную оси, получимъ:
Такъ какъ согласно теорш распоръ симметрично-вертикально нагруженныхъ арокъ постояненъ, то въ разсчитываемой арке отъ шелыги В до точки С действуетъ постоянный распоръ Q? и только ниже точки С суммируется съ распоромъ Q. Величину распора можно написать *) на основании известной формулы:
где у— плечо силы G относительно точки A, a f—подъемъ арки.
Распоръ отъ точки С до пятъ будетъ найденъ, согласно написанному выше урапнешю:
Q = •
Графически перекрещивающуюся арку при указанныхъ услов(яхъ можно ралсчш in. на основанш общихъ пр!емовъ графическихъ расчетовъ сводовъ.
Положимъ (черт. 199), что мы имеемъ арку съ показанной на чертеже приведенном н друзкой и распоромъ Q величина и точка приложешя т ко-тораю диш.!.
Д1.ЛИМ1. нагрузку и арку на полосы, определяемъ центры тяжести фи-гуръ, строимъ Мносоуголишкъ силъ и находимъ положеше равнодействующей всехъ верп1кад|.пых1. снят. <?.
) I IpCflllOIIIII ЛИ ЛИИ сото ptictiopi. отсутствующим!..
— 352 —
Не обращая пока внимашя на распоръ Qp, опред"Ьляемъ согласно извЪст ныхъ построенш полюсъ Р и величину распора , затЬмъ отъ точки 6 *) многоугольника силъ проводимъ горизонтальную лин1ю и на ней откладываемъ распоръ Qp.
Изъ конца отложеннаго отрезка проводимъ вертикаль и откладываемъ силы 7 до 10. Наконецъ соединяемъ найденный выше полюсъ Р съ точками 1, 2, 3, 4, 5, 6, Qp, 7, 8, 9, 10 и обычнымъ способомъ проводимъ ломаную ----------- Ъ
*) Распоръ Q„ лриложенъ вслЪдъ за силой 6, поэтому въ многоугольник^ силъ онъ проводится изъ конца силы 6.
— 353 —
лишю abcdefghklmno. Составляя указанный графически расчетъ и приведенное выше аналитическое опредФшеше распоровъ Qt и ф>2, ясно, что исполненное графическое построеше вполне правильно.
Изъ многоугольника силъ (черт. 199) видно, что горизонтальный проекцш усилш швовъ, лежащихъ выше точки приложешя Q , постоянны и равны Q2, горизонтальный же проекции усилш швовъ, лежащихъ ниже точки приложение тоже постоянны и равны Q1; между величинами Qlt и Q действительно существуетъ приведенное выше соотношеше: Ц = -J- Q2-
Хотя кривая давлешя и получилась съ зигзагомъ fghk, тЬмъ не менее при ея помощи можно определить величины давленш во швахъ и положеше ея относительно тре.тныхъ линш свода, а следовательно и проверить прочность и устойчивость свода.
Въ многоугольнике Poi23 45eQp7i8i9i Ю1 10Р имеются лучи, параллельные отрезкамъ кривой давлешя: ab, be, cd, de, е/, fg, hk, kt, mn, no, по направлена давления въ швахъ арки. Такъ шву V будетъ соответствовать лучъ Р$, шву VI -лучъ PQp, шву VII—лучъ Pi и т. д.
4. Расчетъ перекрещивающиеся арокъ, подверженныеъ вертикальной нагрузкЬ и распору отъ перемычечнаго паруса.
Разсмотримъ случай расчета перекрещивающихся арокъ, когда въ под-держиваемыхъ ими перемычечныхъ парусахъ распоры не уравновешены связями, а оказываютъ свое действ!е вместе съ вертикальными усшпями отъ на-званныхъ парусовъ на разсчитываемыя арки.
Положимъ, что мы имеемъ (черт. 200) половину арки АВ, нагрузка на ко-
арки, н.i
торую равна G, и действующая на данную арку составляющая, отъ давлешя поддерживаемаго ею перемычечнаго паруса, равны Q и Р.
Обозначимъ черезъ Qt распоръ арки на протяженш отъ пятъ до точки С (приложешя распора Q ) и черезъ Q2—распоръ арки на протяжении отъ точки С до шелыги и черезъ F— вертикальную составляющую опорнаго давлешя. Изъ равенства нулю суммы проекцш силъ, дей-ствующихъ на половину перекрещивающейся
вертикальную и горизонтальную оси имеемъ:
И=С?+Р и = Q,+ <?„.
Такь какъ, во-иерпыхъ, согласно теорш распоръ симметрично вертикально нагруженцыхъ арокъ постояпенъ и, во-вторыхъ, въ разсматриваемой арке отъ пятъ до точки С дЬйсгиустъ постоянный распоръ Q, и только выше точки С Н. К. Лахтииъ. Рпсчеп. смолой».. 23
— 354 —
суммируется съ распоромъ Q , то величину распора Qt можно написать *) на
основаши известной формулы:
о _P.p-\~G.g
11 Г
гд-fe д и р— плечи силъ G и Р отъ точки A, a f—подъемъ арки.
Черт. 201.
Распоръ отъ точки С до шелыги будетъ найденъ согласно написанному выше уравнен!ю:
Q% — Qi + QP чв
) Предполагая дпя этого распоръ Qp отсутствующимъ.
— 355 —
Графически перекрещивающуюся арку при указанныхъ услов(яхъ можно расчитать на основаны общихъ пр!емовъ графическихъ расчетовъ сводовъ.
Положимъ (черт. 201), что мы имеемъ арку съ показанной на чертеже приведенной нагрузкой и силами Q и /’, величины которыхъ даны.
делимъ нагрузку и арку на полосы, опредфляемъ центры тяжести фи-гуръ, строимъ многоугольникъ силъ и находимъ положешя равнодействующихъ всЬхъ вертикальныхъ силъ.
Изъ точки Р многоугольника силъ проводимъ горизонталь и откладываемъ распоръ Q ; изъ конца отложеннаго отрезка проводимъ вертикаль, на которой откладываемъ силы I до 10. Далее, согласно извЬстнымъ построешямъ, опре-дЪляемъ полюсъ т и величину распора. Найденный полюсъ л соединяемъ лучами съ точками 1, 2, Р, Qjlt 4t, 5Р 6Р 7,, 8Р Ю1 и строимъ кривую давлешя abcdefghiklm.
Составляя указанный расчетъ и приведенное выше аналитическое опре-дЬлеше распоровъ Qi и видимъ, что исполненное графическое построеше вполне правильно.
Изъ многоугольника силъ (черт. 201) видно, что горизонтальный проекщи усилш швовъ, лежащихъ выше точки приложешя Q тоже постоянны и равны Qp горизонтальный же проекщи усилш швовъ, лежащихъ ниже точки приложешя Qp, тоже постоянны и равны Q2; между величинами Qt, и Qp действительно существуешь приведенное выше соотношеше:
9, + ^=^.
Построенная кривая давлешя далеко вышла изъ свода, откуда, хотя и по схематическому чертежу, можно заключить, насколько невыгодно распре-д^леше усилш, когда на арку действуешь сила Q приложенная въ сторону замковаго шва Поэтому распоры перемычечныхъ парусовъ предпочтительнее уравновешивать связями.
5. Расчетъ перекрещивающиеся арокъ особой кон-струкц'ш.
Для сильнаго освЬщешя подсводнаго пространства и стенной живописи представляется нозможнымъ такъ разместить отдельныя покрьтя, что они представятъ изъ себя какъ! бы открытый, сомкнутый сводъ съ барабаномъ, прорезанный по дпумъ взаимно перпендикулярнымъ направлешямъ двумя парами взаимно параЙлельныхъ стЬнъ, между которыми можно поместить окна *). Квадратное пространство (черт. 202) для этого перекрывается перекрещивающимися
*) Храмъ Всемилостивей шато Спаса на сЪняхъ въ РостовЪ (1675 г. Митрополитъ 1она) и Церковь во Флоренсии (конецъ XIX вЬка академикъ М. Т. Преображенск1й.)
23’
— 356 —
арками, на нихъ помещены стенки С (черт. 202 и 203); пространство между
ними перекрыто пологими сводами d,
а углы S перекрыты частями сомкнутыхъ сводовъ нормальной кладки. На срединный квадратъ bbbb опираются паруса р, несущ1е барабанъ с. Между стенками С можно поместить окна О.
Расчетъ такого сложнаго покрыли сводится къ расчету пологихъ сво-диковъ d, устойчивости стЬнокъ S, расчету парусовъ р и сомкнутыхъ сводовъ и къ расчету перекрещивающихся
Черт. 202.
Черт. 203.
арокъ (черт. 204). Сомкнутые угловые своды нормальной кладки производятъ давлеше и распоръ на ограждаклщя стены; по ребру 8 сходятся парные рас-
поры, которые на всей длине Д1агонали дадутъ въ сумме ^гспоръ Qs. На встречу этому распору будутъ действовать распоры парусовъ Q Равнод-Ьй-ствующ!я этихъ двухъ распоровъ Qs— Qp разложатся на составляющая Q', вое-
— 357 —
принимаемый перекрещивающимися арками. Такимъ образомъ поддерживаются
РР'
Черт. 205.
всю конструкцию псрскрещиваюпСяся арки будутъ подвержены: 1) горизонтальной силе </, 2) весу барабана />, 3) вДсу паруса Р и 4) весу стены Р со сводомъ /).
Для расчета этихъ арокъ, какъ и выше (черт. 201), строимъ многоугольникъ силъ (черт. 205) и выполняемъ до конца все построеше и проверку прочности и устойчивости.
На протяжении средней части перекрещивающихся арокъ распоръ будетъ равенъ Q, а въ крайнихъ частяхъ этихъ арокъ распоръ будетъ меньше и будетъ равенъ Q — Q'; этотъ послЪднш распоръ будетъ действовать и въ пятахъ перекрещивающихся арокъ.
б. Расчетъ перекрещивающиеся арокъ, находящиеся подъ дЪйств!емъ вертикальной нагрузки, приложенной ближе къ одной изъ щековыеъ поверхностей арокъ.
Въ большинстве случаевъ вертикальная нагрузка действуетъ на пере-крещиваюгщяся арки въ стороне отъ вертикальной плоскости, проведенной параллельно щековой поверхности этихъ арокъ черезъ половину ихъ ширины; здесь могутъ быть три главныхъ случая:
а) вертикальная нагрузка приложена по одну сторону указанной плоскости;
Ь) вертикальная нагрузка приложена по разныя стороны этой плоскости, и с) действующая на арку нагрузка, неравномерная по величине, приложена, кроме того, не симметрично относительно вертикальной плоскости, параллельной щеке перекрещивающейся арки, проведенной черезъ средину ширины ея.
Разсмотримъ эти три случая отдельно.
Первый случай. Положимъ, что мы имеемъ арку, при чемъ abed (черт. 206) изображаетъ половину фасада арки, a efgh—ту же часть арки въ плане. Арка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q и сосредоточенной нагрузкой Р, приложенной въ стороне отъ вертикальной плоскости тп, проведенной параллельно щековой плоскости арки черезъ средину ея ширины. Опредёлимъ обычнымъ пр!емомъ распоры Qq и Q отъ нагрузокъ д и Р. Распоръ ft)q пр’иложенъ въ плоскости тп, а распоръ Qp заключается въ плоскости, въ которой находится сила Р. Равнодействующая Q распоровъ Qq и Qfi будетъ приложена на разстоянш х отъ линш hg; это разложен!е получится изъ уравнешя моментовъ:
— 358 —
гд-fe xlL и x—плечи распоровъ и относительно той же линш hg. Изъ написаннаго уравнешя находимъ:
х =
По найденному распору Q = строится кривая давлешя, распо-
ложенная эксцентрично на разстоянш х отъ щековой поверхности hg. Услов1е прочности опред-Ьляется по формул-fe неравномф>рнаго сжат!я, при чемъ точка приложения давлешя въ какомъ-либо разсчитываемомъ шв-fe можетъ быть расположена двояко эксцентрично. Положимъ, что rstu (черт. 207) изображаетъ
такое сФ>чен1е свода, «.-? и /4—оси этого сф>чешя, R—точка приложешя усил!я въ этомъ шв-fe. Пусть хв и у0— эксцентрицитеты давлешя, а с? и h— разм-Ьры
Черт. 209.
с-Ьчешя; въ такомъ случа-fe наибольшее ности выразится изв-Ьстной формулой:
напряжеше въ с-Ьченш и yc<gOBie проч-
П ed
(1 +
6ж» , 6уД h ' d /
— 359 —
Второй случай. Положимъ, что на арку (черт. 208) дф>йствуютъ двФ. силы /" и приложенный по разный стороны осевой ея плоскости тп. Въ такомъ случаФ. опредф,ляютъ три распора Q, и Ц" и ихъ плечи ж,, ж,, ж2 и изъ формулы моментовъ находятъ попрежнему плечо ж равнодф»йствующаго распора 9. Проверка прочности выполняется по приведенной выше формулФ».
Трет1й случай. Положимъ, что на арку abed (въ планФ. efgh) дф»йствуетъ равномФ.рная нагрузка </, показанная на разрФ.зФ. (черт. 209) лишей а/3, имФютная нагрузка yd (,ы2ж). Для опредфлешя распоровъ и точекъ ихъ приложешя дф.-лятъ арку въ планф, на полосы и опредФляютъ, во-первыхъ, для каждой полосы распоры отъ частичныхъ нагрузокъ и распоръ для всей арки отъ равно-мФ>рно распредФленной нагрузки; далф,е, согласно найденному выше, находятъ величину и точку приложешя равнодФлствующей всФ>хъ распоровъ и при помощи приведенной формулы опредФляютъ прочность кладки.
7. Расчетъ перекрещивающиеся арокъ, находящиеся подъ д£йств!емъ горизонтальныеъ силъ, приложенныеъ нормально къ щековой иеъ плоскости.
Въ томъ случаф», если на перекрещивающаяся арки дф.йствуютъ силы го-
ризоп1.и1Ы|О н нормально къ ихъ щековой плоскости, то тогда разрушение такой арки (кромЬ обычныхъ для арокъ) можетъ выразиться:
а) опрокндынлш’вмъ арки около плоскости пятъ,
б) ск(»4ьж<чйгм ь т. сторону по плоскости пятъ, , W
с) скольи iH'Mi вь плоскости пятъ вокругъ центра тяжести и площади сФчсшя пять.
Обозначим ь черг.и. , /*2, 1',... горизонтальный силы, дФ.йствуюЩ1я на арку abed {a'd'a/d/} (черт. 210); черезъ Л,, Л2, Л,(...— ихъ плечи относительно горизонтальной miiiln, соединяющей центры тяжести сф.ченш пятъ; черезъ м2, us— плечи г!'.хъ же синь относительно оси, нормальной къ плоскости
— 360 —
пятъ и проведенной черезъ центръ тяжести о площади сЪчешя пятъ, и черезъ п— плечо силы 2V, приложенной въ точке R и нормальной къ плоскости пятъ относительно той же оси, где сила N есть нормальная составляющая давлешя арки на ея пяты, и наконецъ обозначимъ черезъ г разстояше точки R отъ ребра пятъ ab, наиболее удаленнаго отъ щеки свода, на которую дф>й-ствуютъ силы JP.
Въ такомъ случай услов!я устойчивости выразятся формулами:
2’ 2) 3) >т‘
где ц—коэффищентъ трешя и т2—коэффищентъ устойчивости. Первое уравнеше есть условие устойчивости на опрокидываше (раскрыве швовъ), второе уравнеше выражаетъ ycnosie устойчивости на скольжеше въ плоскости пятъ (сдвигъ), а третье—услов!е устойчивости на скольжеше при вращенш въ плоскости пятъ (вращеше).
К. Расчетъ подпружны^сь арокъ.
Подпружныя арки, на который опираются паруса и барабанъ, несущш куполъ, расчитываются обычнымъ пр!емомъ какъ цилиндричесше своды.
Нагрузка на нихъ определяется точно такъ же, какъ на перекрещиваю-ццяся арки въ средней ихъ части; такимъ образомъ сказанное на страницахъ 345—354 (черт. 189—201) относится и къ подпружнымъ аркамъ; отлич!е ихъ отъ перекрещивающихся заключается лишь въ томъ, что у подпружныхъ арокъ, распоры парусовъ приложены въ пятахъ.
L. Расчетъ бочарныхъ сводовъ.
Бочарные своды могутъ иметь внутренн!я поверхности, образованный двумя способами: 1) вращешемъ плоской кривой вокругъ горизонтальной оси, 2) поступательнымъ движеюемъ плоской производящей кривой, расположенной въ вертикальной плоскости, при чемъ вершина кривой при своемъ движенш сл-Ьдуетъ по другой кривой направляющей, расположенной тоже въ вертикальной плоскости, перпендикулярной къ первой.
Производящая кривая можетъ какъ сохранять при своемъ движенш свою кривизну, такъ и изменять ее; въ зависимости отъ этого образуются бочарные своды простые и сложные. Бочарные своды по своему виду почти не отличаются отъ плоскихъ парусныхъ сводовъ, но по своему образована они настолько разнятся отъ этихъ послФ.днихъ, что расчетъ парусныхъ сводовъ совершенно неприложимъ къ бочарнымъ сводамъ. Точно также къ нимъ не можетъ быть приложены и расчетъ цилиндрическихъ и сомкнутыхъ сводовъ, такъ какъ въ бочарныхъ сводахъ давлеше передается на все стены периметра перекрываемаго пространства, какъ въ сомкнутыхъ сводахъ, отъ которыхъ бочарный сводъ отличается отсутств!емъ д!агональныхъ реберъ и устройствомъ подпружныхъ арокъ въ опорныхъ стЪнахъ, какъ въ парусно-сомкнутыхъ сводахъ, въ которыхъ имеются ребра.
Кладка бочарныхъ сводовъ можетъ быть нормальная и въ елку.
ВслЬдств1’е большого разнообразш и неопределенности образовашя бочарныхъ сводовъ дать общую теор!ю затруднительно; кроме того, вследств!е возможности распределешя усилш въ двухъ направлеюяхъ къ продольнымъ и поперечнымъ стенамъ, расчетъ бочарныхъ сводовъ статически неопределимы *). Темы не менее попытаемся дать некоторый расчетъ бочарныхъ сводовъ и разсмотримъ отдельно кладку нормальную и кладку въ елку.
1. Нормальная кладка.
При кгидкГ. на портландъ-цементе можно разсматривать своды почти какъ монолитъ, а матер1алъ ихъ подчиняющимся законамъ упругости.
*) ВслЪдств1е суще.стпован1я распора въ бочарныхъ сводахъ, какъ по направлешю однЬхъ опорныхъ стЪнъ, такъ и по направленно другихъ, представляется возможнымъ въ случай на-
— 362 —
Разр'Ьзавъ бочарный сводъ (черт. 211) двумя системами взаимно перпен-дикулярныхъ плоскостей, нормальныхъ къ направляющей и образующей, полу
чимъ отдельные столбики высотой въ толщину свода. Обозначимъ площади одн'Ьхъ
боковыхъ граней черезъ
тер!аловъ известно, что,
tOj, а площади другихъ боковыхъ граней, перпендику-
Черт. 211.
Черт. 212.
лярныхъ первымъ, черезъ и2; нормальное напряжете въ этихъ гра-няхъ обозначимъ черезъ пА и п,2.
Такъ какъ эти столбики одновременно принадлежатъ какъ къ аркамъ параллельнымъ продольнымъ ст'Ьнамъ, такъ и къ аркамъ параллельнымъ поперечнымъ ст-Ьнамъ, то во взаимно перпендикуляркыхъ гра-няхъ столби ковъ будутъ существовать нормальный различный напряжения п2 и п,2, тангенщальныя на-пряжешя, какъ сравнительно незна-чительныя въ сводахъ, опускаемъ изъ разсмотрТщя.
Изъ теории сопротивлешя ма-
когда тело подвергается сжаНю въ продольномъ на-
правлеши, то оно испытываетъ растяжете въ направлети нормальномъ къ направлешю давлешя (черт. 212).
Полная деформащя столбиковъ на основаши закона Гука и вл!ян1я поперечной упругости можетъ быть выражена, какъ известно, следующими фор
мулами:
Аи и, въ одномъ направлети: - = * — *-
и Е uiE
и въ другомъ направлении 1 = — П\
v Е тЕ
где и и г— горизонтальные размеры сторонъ столбиковъ, А и и Av — полная деформащя техъ же сторонъ, Е— модуль упругости материала свода и
т — число Пуассона, равное по теоретическимъ соображешямъ для изо-тропнаго матер!ала 4.
По даннымъ Баушингера для песчаника число Пуассона переменное: для малыхъ напряжений: т = 10, для большихъ напряженш: т = 4,2 и т = 4.
Въ сопротивлеше матер!аловъ вводится такъ называемое приведенное напряжете *), которое будетъ эквивалентно напряжешю, производящему ту же полную деформащю, вызванную двумя взаимно перпендикулярными
•ft добности въ окрЪпшемъ своде вырезать некоторую его часть даже на всемъ протяжеыи Между двумя противоположными стЬнами; оставшаяся часть бочарнаго свода удерживается въ paBHOBtcin распоромъ по направлешю къ двумъ другимъ стЬнамъ.
*) По другимъ источникамъ оно же называется идеальны мъ.
363 —
напряжшнями. Обозначимъ эти приведенный напряжен!я черезъ и ,т2. По закону Гука они будутт. равны:
Подставляя въ эти выражешя значеше деформацш, получимъ'
Умпоживъ первое уравнеше на <о1, а второе на <->2, и умноживъ, кром-fe того, числителя и знаменателя второго члена перваго уравнешя на о>2, а числителя и знаменателя второго члена втораго уравнешя на с»,, получимъ:
= П, (•).
п.2ю2
-,oi то
= п.у о., —
4 г 1 z moi
'2
Въ этихъ выражешяхъ произведешя напряжешй на площади суть усилТя, при-ходягщяся на Bet грани столбиковъ; обозначимъ ихъ черезъ
t.Wi 9ц, л2<ч2 = 912,
Заменяя въ полученныхъ выражешяхъ напряжешя усил!ями, получимъ:
Лш, т (о2 ’
= а;
-)12 = ДГ2 —
,',2-т ы1
ИмЪя въ виду, что столбики им'Ьютъ одинаковую высоту граней и что ширины граней равны между собою, такъ какъ обФ. системы разсЬкающихъ сводъ плоскостей могутъ быть проведены на равныхъ между собою разстоя-шяхъ, можемъ придти къ заключешю, что Въ такомъ случай будемъ
им^ть окончательный формулы приведенныхъ усилш въ граняхъ столбиковъ, на которые разд-Ьленъ бочарный сводъ въ двухъ взаимно-перпендикулярныхъ направлешяхъ. Эти приведенный усил!я будутъ:
лг
91. =uV. % т
Теперь можно выбрать значеше для Пуассонова числа т. На основанш опытовъ Bayiuuftfrepa
Примемь изъ осторожности и въ пользу прочности большее значеше т. Положивъ nt 10, окончательно получимъ величины приведенных-^ усилш въ граняхъ столбиковъ:
\ А
ч; \ ? 'V ту_________ 1.
1 1 10’ ‘2 2 10
— 364 —
Теперь, имея формулы приведенныхъ усил!й, покажемъ применение ихъ къ расчету бочарныхъ сводовъ.
РаздКпимъ бочарный сводъ въ планЬ вместе съ нагрузкой двумя взаимно перпендикулярными системами плоскостей, изъ которыхъ каждая состоитъ изъ ряда взаимно-параплельныхъ вертикальныхъ и равно отстоящихъ другъ отъ друга плоскостей, такимъ образомъ сводъ и нагрузки разделятся на рядъ вертикапь-ныхъ квадратныхъ въ плане столбиковъ. Каждый столбикъ будетъ принадлежать къ арке, параллельной одной стороне свода, и къ арке, параллельной другой стороне свода; у одной арки пролетъ будетъ равенъ длинЬ продольной стены свода, а у другой-—поперечной стЬны свода. СдЬлаемъ на основами общихъ извЬстныхъ правилъ расчеты той и другой системы арокъ, принимая каждый разъ нагрузку на каждую изъ нихъ полностью,, т.-е. предполагаемъ, что когда арка одной системы испытываетъ всю нагрузку, приходящуюся на нее полностью, тогда перпендикулярный къ ней арки, въ составъ которыхъ входятъ столбики, образующее разсчитываемую арку, нагрузокъ совершенно не испытываютъ.
Такимъ образомъ расчитываемъ цЬлый рядъ арокъ, параллельныхъ продольной стЬнЬ, и цЬлый рядъ арокъ, параллельныхъ поперечной стене.
Вычертимъ для обеихъ системъ арокъ кривыя давлешя, которыя будутъ пересекать подъ разными углами грани, ограничивающая столбики, на которые разделенъ бочарный сводъ.
Выполнивъ въ наиболее опасныхъ местахъ редукщю вертикальныхъ швовъ на наклонные, определяемъ согласно извЬстнымъ пр1емамъ величины давлешй на наклонные швы; давлешя эти могутъ быть наклонены къ этимъ швамъ подъ разными углами.
Раскладываемъ затЬмъ найденный наклонныя усшпя на усил!я, нормальный къ швамъ, и на усил!я, совпадающая съ ними, направленный вдоль швовъ.
Полученныя такимъ образомъ усил!я, нормальный къ швамъ, принадле-жащимъ къ аркамъ двухъ взаимно-перпендикулярныхъ системъ, но относящаяся къ одному и тому же какому-либо столбику бочарнаго свода и будутъ искомыми усил1ями Nt и 2V2, которыя необходимо вставить въ формулы приведенныхъ усилш. Усилия эти Nt и jV2 будутъ разныя для разныхъ арокъ и для разныхъ месть самихъ арокъ.
Выбравъ комбинащю наибольшихъ усилш и можемъ найти по по-лученнымъ формуламъ значешя наибольшихъ приведенныхъ усилш и 912, которыя и будутъ действительными усшпями въ швахъ.
Имея величину действительныхъ усилш въ аркахъ, можемъ произвести проверку прочности и устойчивости наиболее опасныхъ арокъ, составляющихъ въ своей совокупности бочарный сводъ.
Условие прочности будетъ выражено неравенствами:
max
и
max —-С. к со
•е
где А’ прочное сопротивлеше кладки свода. При этомъ необходимо иметь въ виду увеличенное напряжеше вследств!е неравномернаго сжаНя.
— 365 —
Условг устоПчнности будетъ выражено положешемъ кривых-^ давлешя въ аркахъ, а также нанравпешями и величинами усилш, испытываемыми опорами бочарнаго спода.
Въ бодынипствЬ случаевъ нЪтъ основан1я расчитывать буквально все арки об tuxь системъ, достаточно ограничиться расчетомъ арокъ съ наибольшими усшнями, о чемъ можно судить, разсматривая бочарный сводъ, какъ две самостоягельныхъ системы цилиндрическихъ арокъ.
2. Кладка въ елку.
Разр-Ьзавъ бочарный сводъ (черт. 213) двумя системами вертикальныхъ
параллельныхъ плоскостей, проведенныхъ нормально къ д!агоналямъ перекры-
ваемаго пространства, получимъ арки, подобно какъ въ сомкнутомъ свод!, въ елку; арки эти отъ арокъ сомкнутаго свода будутъ отличаться лишь темъ, что они не будутъ стр-Ьльчатыя, а будутъ иметь очерта-шя по некоторымъ кривымъ разнаго пролета и раз-наго подъема. Арки эти будутъ производить вертикальный давлешя и горизонтальные распоры на лиши АН, HD, OF, FC, CG, GB, BE и ЕН, им!.ющ1я кривое очерташе въ вертикальныхъ плоскостяхъ.
По лишямъ GS, SH, ES и SF, расположеннымъ на поверхности свода, арки будутъ попарно упираться своими началами и будутъ производить вертикальный давлешя и горизонтальные распоры; посл!дше разложатся на составляюцця, нормальный къ лишямъ GH и EF, которыя взаимно уравновесятся, и на составляюцця, направленный вдоль линш GH и EF, которыя вместе съ
опорными усшпями будутъ действовать въ срединныхъ аркахъ ESF и GSH бо-
чарнаго свода.
Построешя для определешя величинъ распоровъ и вертикальныхъ давлешй
произведутся аналогично, какъ для сомкнутаго свода, сложеннаго въ елку.
Распоры вдоль линш SH, SG, SE и SF будутъ действовать отъ точки S внаружу свода; въ отдельныхъ аркахъ нормальныхъ усилш къ ихъ щековымъ плоскостямъ не будетъ, откуда заключаемъ, что бочарный сводъ, сложенный въ елку, можетъ оставаться, подобно сомкнутому своду, сложенному въ елку, от крыты мъ.
Изъ сказаннаго следуетъ, что расчетъ бочарныхъ сводовъ, сложенныхъ въ елку, сводится къ расчету близкому къ расчету сомкнутыхъ сводовъ, сложенныхъ въ елку. Когда распоры и опорный давлешя для несколькихъ арокъ определены, *< равно найдены усил!я, действующая въ срединныхъ аркахъ, тогда необходимо проверить прочность и устойчивость въ опасныхъ швахъ бочарнаго свода. v
г
— 366 —
3, Расчетъ бочарны^ъ сводовъ распредЪлежемъ нагрузки пропорцюнапьно косинусамъ угповъ швовъ *).
Положивъ, что мы имеемъ бочарный сводъ, перекрывающш прямоугольное пространство, разд-Ьпимъ верхнюю поверхность свода сеткой квадратовъ и определимы нагрузки, приходящ!яся на все квадраты; затемъ будемъ делить сводъ на арки проходящими черезъ стороны квадратовъ вертикальными плоскостями, параллельными то продольнымъ, то поперечнымъ стенамъ; каждую систему арокъ разобьемъ на клинья наклонными плоскостями, проходящими черезъ стороны квадратовъ и разсекающими все арки разомъ, безъ перерыва отъ одной стены до другой, ей противоположной; такимъ образомъ весь сводъ разобьется на две системы длинныхъ клиньевъ, параллельныхъ то продольнымъ стенамъ, то поперечнымъ.
Обозначимъ углы швовъ клиньевъ одной системы черезъ а ' ctg', а3', с/...... и углы швовъ клиньевъ другой системы черезъ а/', а,л", а3", а".
Такимъ образомъ нагрузки, приходягщяся на квадраты, будутъ передаваться при помощи клиньевъ, наклоненныхъ подъ углами с! на одни стены, а при помощи клиньевъ, накпоненныхъ подъ углами на друпя стены.
Намъ необходимо решить, какая доля каждаго изъ грузовъ, приходящихся на квадраты, передается на те и на друг! я стены черезъ посредство плоскостей, наклоненныхъ къ горизонту подъ углами «' и
Известно, что если какой-либо грузъ Р поддерживается двумя плоскостями, наклоненными къ горизонту подъ двумя разными углами и <)2, то вертикальный составляющая Pt и _Р2, приходягщяся на две данныя наклонный плоскости, пропорщональны синусамъ угловъ, образуемыхъ съ горизонтомъ нормалями къ этимъ двумъ плоскостямъ.
Такимъ образомъ мы имеемъ уравнения:
р = Л + Л,
Р, зги (90—J) Р. cos<L
И ИЛИ ’ /•
Р2 sm(90 — <>2) Р2 cosd2
Ясно, что уголъ наклона къ горизонту нормали къ плоскости равняется дополнен1ю угла наклона къ горизонту самой плоскости.
Решая оба уравнен1я, находимъ:
р = р e0S(i\ и р =р .
1 cosrfj- -ro.s(!2 2 cosrf, 1 сояб2
p
При dj = ()g...... Pi — 2 ’ т-'е- когда °бе плоскости равно Ha-
д. «
клонены, то грузъ распределяется поровну.
*) А. А. ПогтЬщукъ. „Расчетъ и кладка сводовъ", пекши по строительному искусству 1899 г. Литограф, издаше.
367 —
При «>, О’* и (>,4 = 90n 1\— Р и Р2 — 0, т.-е. когда одна плоскость
ncp'iiiKiiiii.ii.i, а другая горизонтальна, тогда эта последняя несетъ весь грузъ ц Гликом п, а вертикальная не нагружена совершенно.
Вь плшемъ случае грузы Р являются нагрузками на квадраты, на ко- орн р |д|п|С1П> бочарный сводъ; каждый изъ грузовъ этихъ поддержанъ двумя циклонными вшами. Поэтому углы и ничто иное, какъ углы с' и «" наклона швовъ арокъ двухъ системъ къ горизонту. Разные грузы поддерживаются швами разныхъ наклоновъ, при чемъ необходимо предвидеть все сочетан!я:
а/ съ a'', cP', а".................
i съ < i'..........................
Расчетъ надо начать съ подразделен1я всехъ грузовъ Р1г Р2, Р3.... на две системы составляющихъ, одне изъ которыхъ будутъ относиться къ аркамъ параллельнымъ продольнымъ стенамъ: Р^, Р2', Р3'...., а друпя будутъ относиться къ аркамъ параллельнымъ поперечнымъ стенамъ: Р^", Р^',
Далее разсчитываютъ обычнымъ пр!емомъ две системы арокъ: одне изъ нихъ нагружены грузами Р', а друпя грузами Р". Затемъ определяютъ услов!я прочности и устойчивости арокъ обеихъ системъ.
Стены будутъ нести рядъ нагрузокъ, передаваемыхъ отъ опирающихся на нихъ арокъ и испытывать рядъ соответственныхъ распоровъ.
Показанный выше расчетъ, при помощи определен!я приведенныхъ напряжешй, можно применить и къ этому последнему расчету, что будетъ вполне правильно, при этомъ получатся менышя усшпя, и сводъ можно будетъ выполнить более тонкимъ.
М. Расчетъ обратны^ арокъ.
Согласно указан1ю профессора Р. Б. Бернгарда, обратный арки начали особенно широко применяться съ 1850—1860 годовъ, но употреблеше этихъ арокъ должно быть очень осмотрительнымъ, въ противномъ случае обратный арки могутъ оказаться по меньшей мере безполезными.
Для правильности устройства обратныхъ арокъ необходимо, чтобы да-
влеше на грунтъ было всюду одинаковое, что можетъ быть выражено черезъ равенство:
р р р
— = —=:J'3 =
®1 ~ ~ ®3
где Pj, Р2, Р3 (черт. 214) давлешя на площади подошвъ tOj, со2> го3 стол-бовъ: ab, cd и ef.
Кроме того, при расчете обратныхъ арокъ необходимо иметь въ виду вл!яше ихъ распора на устойчивость столбовъ; это особенно важно для край-нихъ столбовъ, такъ какъ при недостаточной нагруженности столбовъ можетъ последовать ихъ сдвижеше, а затемъ и разрушеше арки давлешемъ на нее земли снизу вверхъ при нарушившемся равновесш давлешя на землю подъ столбами и подъ аркой. Услов1е устойчивости такихъ столбовъ сдвижешю вы-разится уравнешемъ:
Р.и.
^r>W2’
— 369 —
гд-fe d> — коэффищентъ устойчивости,
/I 0,7 - коэффищентъ трен1я камня по песку,
[I 0,4 ко.чффиц!ентъ тремя камня по глин-fe,
/’ давление столба,
9 — распоръ обратной арки.
Дня достижешя равном-Ьрнаго давлешя и, сл!,довательно, для равном-Ьрной осадки при устройств! обратныхъ арокъ у наружныхъ ст!нъ придаютъ этимъ аркамъ въ план-fe одинъ изъ двухъ (показанныхъ на черт. 215 и черт. 216)
видовъ, либо устраиваютъ въ фундамент-fe противъ арки контфорсъ шириной равной ширин!, арки и длиной отъ оси ст!ны равной длин-fe отъ оси стЪны до оси арки, т.-е. д!лаютъ а = Ъ при с= ct (черт. 215). Въ такомъ случай давлеше на площадь а.с будетъ равно давлен!ю на площадь b.q.
Устраиваютъ также арку трапецеидальную въ план-fe такъ, чтобы центръ тяжести грапещи abedef приходился подъ срединой ст!ны.
Что касается м!ста прим!нешя обратныхъ арокъ, то при скапистыхъ и крЪпкихь (ирочныхъ, надежныхъ) грунтахъ арокъ этихъ не д-Ьлаютъ, при искусственно ^уплогпенныхъ грунтахъ устраивать обратный арки тоже безпо-лезно: наибольшее примЪнеше он! им!ютъ при мягкихъ, равном!рно-сжимае-мыхъ грунтах!..
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводопъ.
24
П. Расчетъ упорныхъ арокъ.
Расчетъ упорныхъ арокъ въ сущности нич'Ьмъ не отличается отъ расчета цилиндрическихъ арокъ; въ этомъ отделе приходится сказать нисколько словъ относительно размещения упорныхъ арокъ и ихъ очерташя.
Необходимо, чтобы вЪсъ упорной арки и нагрузка ея передавались бы преимущественно на наружную стену, на которую опирается нижняя пята упорной арки, и возможно меньше на средшй столбъ, въ который упирается верх няя пята арки, такъ какъ этотъ столбъ не всегда можетъ допустить на себя добавочную нагрузку.
Для выгоды дЪйств1я упорной арки необходимо, чтобы:
1) арка была несимметричная, съ значительно приподнятой одной пятой, упирающейся на внутреншя стены или столбы;
2) арка имела бы либо большой рад1усъ, т.-е. была бы достаточно плоской, либо была бы сама значительно нагружена.
3) центръ арки лежалъ бы не на одной высоте съ центромъ главной, подпираемой ею арки, но лежалъ более или менее значительно ниже; это необходимо для того, чтобы распоръ главной арки передавался бы на наружный стены не высоко, иначе стены эти для своей устойчивости должны быть толще.
4) верхняя пята арки помещалась бы противъ точки пересечения кривой давлешя главной арки съ осью столба; это необходимо для того, чтобы распоръ упорной арки по возможности проходилъ черезъ упомянутую точку пересечешя кривой давлешя главной арки съ осью столба.
Упорныя арки иногда маскируются снизу декоративными ненагруженными арками и сводами, при чемъ пространство между упорной аркой и декоративной остается свободнымъ. Нижняя пята этихъ арокъ на наружной стене можетъ быть сделана общею выпускною, а верхняя пята упорной арки съ внутреннимъ стол-бомъ совершенно не перевязывается, а входитъ въ вертикальный пазъ для того, чтобы более нагруженный внутреншя стены при большей осадке не нарушили бы целости сравнительно легкой наружной конструкцш, предназначенной главнымъ образомъ для воспринята горизонтальныхъ силъ.
Точно такъ же кладка надъ упорными арками, возводимая исключительно для увеличешя ихъ нагрузки, не перевязывается съ кладкой главиыхъ^сгенъ, а входитъ также въ вертикальный пазъ.
О. Готичесюе своды.
Къ этимъ сводамъ относятся: а) готичесюе крестовые своды, Ь) звездчатые своды, с) сетчатые своды и d) веерные своды; отличительная особенность этихъ сводовъ отъ вс^хъ прочихъ видовъ заключается въ томъ, что готичесюе своды состоятъ изъ скелета гуртъ и нервюръ, несущаго весъ и нагрузку запалубокъ.
На черт. 217 изображенъ готическ!й сводъ въ перспективномъ виде снизу. Несущая система гуртъ стенныхъ, д!агональныхъ и поперечныхъ, а также нер-
Черт. 217.
вюръ ключевыхъ и крестовыхъ поддерживаетъ заполнение между ними—запа-лубки. Расчетъ готическихъ сводовъ заключается въ опрсделенш веса запалубокъ, толщипофикоторыхъ задаются по эмпирическимъ формуламъ, и въ подсчете прочности и устойчивости нервюръ и гуртъ; подсчетъ этотъ начинаютъ съ второ-степенныхъ нервюръ, затЬмъ переходятъ къ главнымъ нервюрамъ и кончаютъ подсчетомъ гуртъ, которые несутъ на себе грузъ нервюръ и запалубокъ и опираются самостоятельно па колонны или стены.
24]
III. Расчетъ связей.
Когда согласно выполненному расчету сводовъ оказывается, что само сооружен!е или отдельный части его не обладаютъ должной устойчивостью, тогда прибЪгаютъ либо къ необходимымъ изм4.нен1ямъ въ общей компановке всего сооружешя, либо къ изм^нен1'ямъ въ отдельныхъ его частяхъ; въ н!ко-торыхъ случаяхъ удается придать должную недостающую устойчивость изме-нешемъ существующей нагрузки, введешемъ новой, иногда даже, искусственной нагрузки; для достижешя устойчивости часто бываетъ достаточнымъ устроить на сводахъ большую или меньшую забутку; нередко только постановка жел-Ьз-ныхъ связей можетъ обезпечить вполне, должную устойчивость сооружешя и его части и устранить все невыгодный посл,Ьдств!я неудачно сгруппировавшихся силъ и распоровъ, передаваемыхъ одними частями сооружешя на остальныя.
Въ н-Ькоторыхъ случаяхъ жел'Ьзныя связи*) бываютъ неизбежны и постановка ихъ вызывается выбранной конструкщей.
Очень невыгодно отражается на устойчивости сооружешя располо^еше на неодинаковой высота нЪсколькихъ пятъ сосЬднихъ сводовъ, такъ какъ при этомъ приложенный на разныхъ высотахъ и направленные другъ къ другу, иногда подъ разными углами, горизонтальные распоры отдельныхъ примыкаю-щихъ къ одной onOpi сводовъ вызываютъ невыгодные для сооружешя моменты силъ; это особенно существенно при устройстве тонкихъ высокихъ колоннъ и опирающихся на нихъ съ разныхъ сторонъ сводовъ.
ВслФ>дств1е сказаннаго, необходимо по возможности стремиться располагать начала всЬхъ смежныхъ сводовъ на одномъ уровне; въ этомъ случае сосЪдше, встречные горизонтальные распоры будутъ либо взаимно уравновешиваться, либо только уменьшаться. Это обстоятельство особенно необходимо иметь въ виду при перекрыли большихъ пространствъ крестовыми, сомкнутыми и парусно-сомкнутыми сводами, опирающимися на ряды колоннъ.
Связи делаются смотря по размерамъ и характеру сводчатаго покрыля и соответсвенно силамъ, который оне должны на себя воспринимать; связямъ поэтому придаютъ сечешя и жесткое, и круглое и плоское; въ первомъ случае •е
*) Связи, вообще говоря, нежелательны: 1) непр1ятны для вида; 2) пороки жепЪза незаметны для глазъ; 3) ржавЪютъ въ кладк-Ь; 4) вспЪдств1е колебания температуры и усил:й желЬзо можетъ менять свою структуру.
— 373 —
связи выполняются изъ дву гавровыхъ и швеллерныхъ балокъ и изъ углового железа, а во второмъ и третьемъ случай, изъ полосоваго и квадратнаго железа 75X1(1 ш/т, 60 60 iii/nt и друг., и изъ круглаго железа до 50 т/т
и бол’Ье.
Что касается до профиля сечешя железа, применяемаго какъ связи въ парусахъ, то В. Р. Бернгардъ сов’Ьтуетъ делать эти связи не плоскими или круглыми, а непременно жесткими, им^я въ виду, что связи въ парусахъ располагаются нормально къ направлешю распора, который будетъ изгибать ихъ, какъ балку на двухъ опорахъ, однимъ сосредоточеннымъ посредине грузомъ.
По отношешю къ месту укладки связи могутъ быть подразделены: на связи проемныя (видимыя) и связи закладныя (скрытыя въ стене или въ теле свода). Связи могутъ быть помещены въ конструкщю также и на время. Эти последшя, временный связи применяются въ томъ случае, когда до окончашя всей намеченной нагрузки выполненный сводчатыя части сооружешя временно
Черт. 218.
Черт. 219.
не находятся въ полной расчетной устойчивости; при удалеши временно по-ставлениыхъ связей необходимо иметь въ виду не только выполнеше всей запроектированной конструкцш, но и надлежащее затвердеше строительнаго раствора
Связи по >ще укладываются не ближе, какъ за одинъ кирпичъ отъ наружной поверхности стены для того, чтобы оне находились въ возможно более постоянной температуре, такъ какъ колебаше температуры вредно отражается на связяхъ, что въ свою очередь вл!яетъ на сооружена: связи при колебанш
— 374 —
температуры изменяются въ своей длине (то удлиняются, то сокращаются) и ржавеютъ. При расчете связей необходимо принимать во внимаше напряжешя въ нихъ отъ колебашя температуры. Предпочтительнее помещать связи заклад-ныя, такъ какъ проемныя связи не особенно пр!ятны для глаза.
При уравновешиваши связями горизонтальной составляющей (распора)
наклоннаго усил!я, действующаго на каменный вертикальный массивъ. должно помещать связи такъ, чтобы вертикальная составляющая этого наклоннаго усшпя проходила возможно ближе къ вертикальной оси массива.
Въ цилиндрическихъ сводахъ связи закладываются на уровне пятъ или на высоте шва перелома (черт. 218 и 219), въ теле свода (черт. 220) и выше шелыги свода (черт. 221). Две последнихъ конструкцш связей,Применяемый для того, чтобы не устраивать проемныхъ видимыхъ связей, не особенно ра шональны, такъ какъ они подвергаются не только растяжешю, но и изгибу, что не соответствуетъ самому характеру связей вообще, делаетъ ихъ менее
продуктивными и вызываетъ значительное осложнение всей конструкцш связей; при этомъ ихъ приходится делать жесткими и ставить двутавровый балки.
Когда желательно не прибегать къ постановке въ цилиндрическихъ сводахъ связей выше пятъ или, по крайней мере, желательно избегнуть большое ихъ количество по длине свода, тогда уклады-ваютъ на пяты свода на ту
и на другую стены двутавровый балки плашмя и соединяютъ ихъ связями (черт. 218) на поперечныхъ стенахъ, и въ крайнемъ случае черезъ определенные промежутки по длине свода.
Въ томъ случае, если устраиваютъ подвесныя пяты перемычекъ и арокъ (черт. 222, 223 и 224), или сводовъ (черт. 225) (веерные своды), тогда эти пяты
— 375 —
подвешиваются на >ксл1 jhi.ixi. струнахъ къ разгрузнымъ аркамъ или къ инымъ конструкшямъ. С труни эти расчитываются на растяжеже поддерживаемымъ ими грузомъ.
Черт. 225.
Въ купольныхъ сводахъ
связи
закладываются, какъ
въ плоскости пятъ,
такъ и выше и ниже шва перелома. Въ плоскости пятъ закладывается иногда
жесткое железное кольцо (черт. 226); связямъ изъ плоскаго или круглаго железа даютъ въ плане видъ многоугольника о 8 или 16 сторонахъ, въ углахъ котораго помещаются вертикальные штыри (черт. 227, 228, 229).
Располагаемое въ начале купола жесткое кольцо укрепляется въ кладке пятъ и служитъ для воспрепятствовали не только растяжешю въ
Черт. 226. нижнихъ кольцахъ купола, но и сдвигу ихъ вна-
ружу по плоскости пятъ.
Многоугольный связи служатъ для восприняли растягивающихъ попереч-
Чврт. 227. Черт. 228.
ныхъ кольцевыхъ усилш и устраиваются изъ плоскаго или круглаго железа, при чемъ иногда концамъ зноньсвъ придаютъ форму проушинъ, надевающихся
— 376 —
на штыри, иногда же концы звеньевъ загибаютъ вдвое вплотную и закрЪпля-ютъ хомутиками.
Въ барабанахъ пом'Ьщаютъ связи надъ парусами и надъ оконными пере-
Черт. 229. Черт. 230.
мычками (черт. 230) въ вид-b одного многоугольника или двухъ расположенныхъ въ^план'Ь рядомъ многоугольниковъ.
Черт. 231.
Черт. 232.
— 377 —
Въ парусахъ и парусныхъ сводахъ связи закладываются въ видъ много
угольниковъ подъ парусами (черт. 231,
Черт. 233.
232, 233, 234, 235 и 236). Кроме связей, расположенныхъ вокругъ парусовъ, иногда помЪщаютъ добавочный связи въ тЬл Ь парусовъ ближе къ ихъ внутрен-неи поверхности; эти послЪдшя связи,
Черт. 234.
расположенный по высоте въ одинъ или два ряда сообразно съ размерами парусовъ и им4.ющ1я въ плане видъ ломаныхъ лин!й со штырями въ угпахъ,
соединяются въ свою очередь связями съ упомянутыми выше связями, располо-
связями, расположенными вокругъ парусовъ, къ окружающимъ ихъ стЪнамъ.
Для восприняли обыкновенно очень большого распора перекрещивающихся арокъ размещаются солидныя связи въ плоскости пятъ этихъ арокъ; связи эти заделываются въ полъ перекрываемаго перекрещивающимися арками пространства (черт. 237) *).
Въ зер!&льныхъ сводахъ устраивается иногда целая сложная железная конструкция, которая несетъ весь весъ свода такъ, что самъ зеркальный сводъ является лишь а.И1Олнс1пемъ и нагрузкой.
Выяснивши нндъ связей сводовъ и места ихъ укладки, покажемъ ихъ расчетъ.
*) В. А. Косяковъ. Храмъ подворья Юево-Печерской лавры въ Петербург^.
— 378 —
Л. Расчетъ связей въ небольшие сводикае по балкамъ.
Положимъ, что мы имеемъ (черт. 238) сводики по балкамъ, пролетомъ 7, подъемомъ /' и длиною 2 съ равномерной нагрузкой q на квадратную единицу.
Распоръ всего такого свода будетъ:
г/722
8Г’
Предполагая поставить по длине 2 всего свода п штукъ, связей, каждая площадью со, будемъ иметь уравнение:
к,п со = Q,
где 7ь, прочное сопротивлеше железа растяжешю.
Отсюда задаваясь числомъ связей п или ихъ площадью со, подсчитаемъ
Черт. 237.
связи. Расчетъ этотъ применяется для уравновешивали распора въ балкон-ныхъ сводикахъ, въ крайнихъ сводикахъ междуэтажныхъ покрыты, когда не желаютъ или опасаются воздейств!я распора на стены.
В. Расчетъ двутавровые железные балокъ, положенные на пяты свода, и связей между ними.
Для укреплешя стенъ, какъ это было указано выше, укладываются на опорныя стены двутавровый железныя балки, который по длине соединяются между собою связями. Расчетъ ихъ сводится къ расчету балки на двухъ опорахъ, нагруженной равномерной нагрузкой, равной распору цилиндрическаго свода (черт. 239).
Предполагая, что длина всего свода 2, пролетъ его J и подъемъ f. на
— 379 —
грузка на квадратную единицу псрекрываемаго пространства равна q, распоръ Qe па единицу длины будетъ равенъ:
Величина распора Q можетъ быть также получена аналитически или графически.
Распоръ разсматриваемый какъ равномерная горизонтальная нагрузка
на положенную плашмя двутавровую балку на пяты цилиндрическаго свода и принимаемую за
Черт. 239.
балку, свободно положенную на две опоры, вызоветъ въ ней напряжете », равное
'.V-8
8
Пг,
где II моментъ сопротивлетя балки стенке.
Урлинегне прочности такой балки
относительно оси, нормальной къ ея
будетъ:
8
где /г6 прочное сонро пишете жслВза изгибу.
— 380 —
Опорный реакц1и балокъ этихъ будутъ равны
Р=
2
Реакщи эти воспринимаются связями, помещенными въ обоихъ концахъ бапокъ на поперечныхъ стенахъ.
Р
Площадь ихъ будетъ равна со = -— , где прочное сопротивлеше же-% леза растяжешю.
Въ томъ случае, если связи располагаются и по длине балокъ, тогда длину 2 должно принять равной разстояшю между связями.
Балки расчитываются по той же формуле, а связи должны быть расчи-
таны по формуле: 2Р к.’
такъ какъ каждая связь будетъ уравновешивать две реакщи опоръ двухъ смежныхъ промежутковъ длиной 2, предполагая для простоты расчета, что балки уложены не сплошныя во всю длину свода, а разрезныя.
С. Расчетъ связей въ цилиндрическихъ сводахъ боль-шихъ пролетовъ.
1) Связи, расположенный въ уровн% пятъ сводовъ.
Когда распоръ цилиндрическихъ сводовъ или арокъ на единицу длины Qe определенъ, тогда площадь связей можетъ быть найдена по формуле
где 2 — длина арки или свода,
7г2 — прочное сопротивлеше железа растяжешю.
По этой формуле определяются размеры связей и перекрещивающихся арокъ.
Предполагая связи круглыми, и имея въ виду поставить п штукъ, будемъ иметь уравнеше:
4 г - ’
где d0 д!аметръ связи.
Изъ этого уравнешя, задаваясь числомъ связей п, можно найти д!аметръ ихъ, который обыкновенно не делается больше 25 или 30 т/т и никакъ не больше 50 т/т. Разстояше между связями въ пологихъ и плоскихъ сводахъ не должно превышать 4 метровъ, такъ какъ иначе въ тонкихъ опорныхъ сте-нахъ появляются выпучины и даже трещины въ средине между связями.
— 381 —
Такимъ образомъ, имея въ виду предельное разстояше между связями или размещеше ихъ, указываемое требованиями конструкции или планомъ зда-Н1я, выясняемъ число связей въ длине свода и определяемъ Д1’аметръ связей,
который будст-ь равенъ
Въ случае неравныхъ разстоянш между связями д!аметръ ихъ определяется по наибольшему между ними разстояжю.
п
2) Расчетъ связей, расположенные выше пятъ.
Усил(е N, испытываемое такой связью, можетъ
быть определено при по-
мощи уравнешя моментовъ.
Пусть мы имеемъ цилиндрически сводъ (черт.
240), распоръ котораго Q
при отсутствш связи известенъ. Разсечемъ сводъ. со связью черезъ шелыгу, тогда уравнеше моментовъ относительно левой пяты будетъ:
-\-N.s-Q.f-\-Gli~A =0,
Черт. 240. где N неизвестное усшйе связи,
s—разстояше связи отъ пятъ, Q — распоръ, G равнодействующая нагрузки на половину пролета I, Р сопро-тивлеше опоры свода, t разстояше силы G отъ шелыги.
Изъ уравнешя находимъ усил!е связи:
£ I О f— g( / V s р7 \2
Эта формула справедлива при постановке связей и выше шелыги свода.
Въ случае нахождешя связи ниже шелыги, распоръ на промежутке между началомъ свода и связью будетъ равенъ Q—N, а въ случае применешя связи выпк шелыги распоръ во всемъ своде будетъ равенъ Q — N, но при этомъ необходимо иметь въ виду -не вполне надежное натяжеше связей.
D. Расчетъ круговой связи въ купольномъ сводЪ.
V
Въ статье о расчете купольныхъ сводовъ мы нашли выражеше
= 0,3 qll*,
где растягивающее кольцевое усил!е въ плоскости пятъ купола.
— 382 —
Площадь желЪзныхъ кольцевыхъ связей будетъ:
/.•_ ~ 10/;. ’
где /,_ прочное сопротивлен!е растяженпо железа, принимаемое равнымъ 1000 кд i cut?.
Найдемъ площадь связей для предкпьнаго кирпичнаго свода, у котораго найденный выше предельный рад!усъ R — 43,7 mtr при нагрузке д — 1600 кд mtr3. Для нашего случая будемъ иметь:
или
?У2 = 0,3 X 1600 Х(43,7)2= 916800 кд,
= 917000 кд.
Откуда площадь кольцевой предельной связи:
917000
1000
ст3.
Е. Расчетъ связей барабана или купольнаго свода въ предположены размещена иуъ по многоугольнику (восьмиугольнику и шестнадцатиугольнику).
Когда определенъ распоръ Q купольнаго свода для выреза, тогда необходимо найти равнодействующую распоровъ для вырезовъ, помещающихся въ
или всего купола. На 8 16
чертежахъ 180 и 241 выполнено нахождеше подобной равнодействующей графически.
Покажемъ еще способъ определить ту же равнодействующую аналитически.
Взявши (черт. 242) про-екцш распоровъ Q вырезовъ на направлеше иско-маго равнодействующаго распора Qi . или , по-
фн —2 ^Qeosa или Qt =2 2 О cosit, /16
где с. углы между срединами вырезовъ купольнаго свода и направлешемъ равнодействующаго распора g или
Знакъ суммы распространены на всё а между пределами въ обе стороны отъ равнодействующаго распора до средины сторонъ многоугольника связей. Множитель 2 поставлены потому, что имеются две половины съ одинаковыми углами и распорами.
— 383 —
Гакъ какъ распоръ 9 постояненъ для всего купольнаго свода, то напи-
санныя формул! I могутъ быть выражены въ виде:
91 s 2 9 Л’ co s а и 9> /1С — 2 Q — cos а.
Заложив ь распоры 9i/„ и 91/. по направлешю связей и обозначивъ усилю Связей черезъ lYi и Afy . будемъ имЪть:
V, Ql^ = V,, _ ^‘/10 £*/1С
« . 180 2 sin 22°30' ' Vie 180° 2 sin 11° 15'’
2 sin 2вгп r
8 „ 16
Подставляя въ эти выражен!я
sin 22°30' = 0,383, sin 11° 15' = 0,195,
а также значен|я 9i g и 9i/[c> получимъ:
у Q-Scosn Q 2 cosa
ZVs~ 0,766 ’ "'Vie' 0,390 ’
гд I 9 есть распоръ выреза купольнаго свода, а сумма распространена на все углы < оть 0 до 11°15' или отъ 0 до 5°37'30".
Площадь связей определяется изъ уравненш:
И С01/ 1G
где / до11ускцсь№ сопротивлеше железа растяжешю.
Г. Расчетъ связей парусовъ.
Въ парусахъ «ищется, и сущности говоря, два вида распоровъ, действующихъ на разный часы! копс1рукц1й, которыя поддерживаютъ парусъ
— 384 —
Внизу паруса по д!агонали перекрываемаго имъ квадранта, д-Ьйствуетъ распоръ Q (стр. 336), который воспринимается либо пилонами, либо углами стФнъ всего квадрата; наверху паруса по нормалямъ къ подпружнымъ аркамъ или стЬнамъ дФйствуетъ распоръ Q (стр. 339), который долженъ быть уравно-в-Ьшенъ связями, такъ какъ распоръ этотъ приложенъ высоко и не имФетъ въ большинства случаевъ прочной опоры, какъ распоръ Q (черт. 243).
При недостаточной устойчивости пилоновъ или стФнъ закладываются параллельно сторонамъ квадрата нижн!я связи, имФющ1я въ планФ. видъ квадрата; въ случаФ. устройства нижнихъ связей парусовъ, опирающихся непосредственно на подпружныя арки и пилоны, связи эти будутъ проемныя (видимыя).
Усил1е, воспринимаемое нижними связями, будетъ равно:
/2 1,414’
и площадь связей будетъ:
Связи эти дф.лаются круглыми и въ углахъ ставятся штыри.
Верхн1е связи закладываются въ тЬлФ. паруса или въ надпарусномъ
кольцф., и имФютъ въ планФ> видъ восьмиугольника, который либо располагается
Черт. 243.
своими сторонами (черезъ одну) параллельно сторонамъ квадрата, либо располагаются такъ, какъ показано на черт. 243.
Въ первомъ случай распоръ Qq направленъ нормально къ звеньямъ связей, параллельнымъ сторонамъ квадрата; так!я связи слФдуетъ дФлать жесткими и раз-считывать ихъ, какъ балку, подверженную изгибу сосредоточен-нымъ грузомъ и растяжение. ВслФ>дств1е громоздкости такихъ жесткихъ связей предпочтительно располагать восьмиугольникъ связей по черт. 243; связи эти всф. только растянуты и будутъ легкими круглыми или плоскими; въ
углахъ ставятся штыри.
Усшпе, воспринимаемое такими верхними связями, будетъ равно:
— Q<i _ Q<i
9 2§ш22°30' 0,766
и площадь связей будетъ:
9 К
— 385 —
Усил(я uVp перелапаем! 1я штырямъ, расположеннымъ въ парусе по д!агона-лямъ квадрата, сложатся снова въ усил1я, равныя распорамъ Qq; эти четыре усилия V,, (черт. 243), направленный къ центру, будутъ восприниматься щаго-нальными слизями, надетыми на штыри, закрепленные вверху толщиной пилона паи угла сходящихся подъ прямымъ угломъ двухъ стенъ квадрата. Штыри, заложенные вверху пилона, укрепляются въ свою очередь связями, идущими къ наружнымъ стенамъ сооружения, где скрепляются съ закладываемыми стенными проходящими связями *). Штыри же, заложенные вверху угла стенъ, въ особомъ укрепленш не нуждаются, такъ какъ действующее на нихъ усил!е раскладывается на две составляющ!я, направленныя вдоль стенъ къ ихъ средине.
Такимъ образомъ въ д!агональной плоскости квадрата действуютъ две силы: Q внизу паруса внаружу квадрата и Qq вверху паруса къ центру квадрата. Изъ нихъ Qq < Q; первая сила Q воспринимается либо пилонами и стенами, либо четырехгранными нижними связями, а вторая сила Q верхними д(агонапьными связями, прочно закрепленными вверху пилона или угла квадрата.
Q. Расчетъ укрЪплежя конца связи въ стЬнк
Для укреплешя конца связи пологихъ цилиндрическихъ сводовъ, а главное для укрепления части стены, окружающей такую связь, прибегаютъ иногда къ закладке полосового железа размерами 25 X 1 т/т на всемъ протяжении между связями, при чемъ это железо размещается вблизи наружной поверхности стены въ швахъ между кирпичами (черт. 244).
Обозначивъ разстояше между связями черезъ 2, пролетъ свода черезъ 1, подъемъ его черезъ /, имеемъ распоръ Q, соответствующей разстояшю между связями:
_ 9^ “ 8f’ где с[ нагрузка на сводъ.
Разсматривая каменную кладку между связями, какъ балку пролетомъ 2, высотою а (толщина стены) и шириною Ъ (пока неизвестная величина), нагруженную равномерно распоромъ Q, можемъ написать уравнеше прочности изгибу такой балки: или откуда п
где к—коэффищентъ прочнаго сопротивления изгибу.
*) В. В. Берпгардъ. Церковные паруса.
JZ = ^ = к. м = к.~ о 6
______ ba2 64f~k'~6~
о /222
& = o,o9f
к а2/
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сисдовъ
25
— 386 —
Изъ этого сравнешя находимъ:
2 = 3,27
Принимая Ъ = 2а, находимъ:
Изъ последняго уравнешя можно определить необходимую толщину стены а по данному разстояшю 2 между связями:
Что касается до величины к, то могутъ быть три предположешя *):
а) стена сложена изъ кирпича на известковомъ растворе; въ э-вомъ случае прочное сопротивлеше изгибу к каменной балки приближенно можно приравнять давлешю, которое производитъ каменная стена на квадратную единицу горизонтальной поверхности,
к = 1,6 кд/ст*-,
Ь) при кирпичной стене, сложенной на цементе,
к = 3,0 кд/ст?,
при чемъ нагрузка отъ веса въ 1,6 кд/ст2уже не принята во внимаше; с) при предположена укладки железныхъ полосокъ, >
А'= 15,0 кд/ст*.
*) Otto Koniger. Die Konstruktion in Eisen. 1902, стр. 180.
4
— 387 —
Возьмемъ для примера у 0.12 кд/ст, I = 120 cm, f= 12 ст, а = 51 ст, I = 250 ст.
Высота сопротивляющейся кладки будетъ:
Для перваго случая:
/» 0,09
Z2;.2 "7''
Ь = 0,09.°’‘2
1,60
1202.250‘2
512.12
195 ст.
Для второго случая:
Ъ = 0,09
0,12
3,00
1202. 250‘2
5 Г2.12
= 104
ст.
Наконецъ для третьяго случая:
^0,09-А12-
’ 15,00
1202.2502
— =21
512.12
ст.
Въ первомъ и второмъ случаяхъ высота Ъ получилась больше чф.мъ 2а = = 2.51 = 102; въ такомъ случай необходимо прибегнуть къ усилен!ю же-лезомъ.
Наименьшая толщина стены получилась бы по формуле:
Для перваго случая:
а = 0,36
q
/< ' f
0,36
0,12 120‘2.250‘2
1,60 12
а
ст.
Для второго случая:
</==0,36
0,12 120‘2.2502 _
3,00 12
ст.
Для третьяго случая:
// = 0,36
3 / 0,12 1202.250‘2 I/ 15/10 12 -
30 cm.
Въ третьемъ случае усилегпе железомъ пришлось бы исполнить на высоту
Ъ = 2 а = 2.30 = 60 ст.
Въ случае, если толщину стены менять нельзя, то тогда изъ вышепри-веденныхъ формулы можно найти разстоян1е между связями:
). = 4,62
A _/h3
У q 1г
25*
— 388 —
Для
перваго случая:
Для
2 = 4,62
1,6012.51s
— — —____— = 176 ст.
0,12 1202
Для
второго случая:
2 = 4,62
3.00 12.513
- о ~ ~ 242 ст.
0,12 1202
третьяго случая:
2 — 4,62
15,0012.51s
0.12 “12b« = 542
Необходимо остановиться на такой длине 2, которая соответствуетъ при-нятымъ на практике разстояшямъ между связями.
Н. Расчетъ связей, принимая во внимаже вшяже измЪ-нежя температуры.
При колебании температуры происходитъ укорочеше связей, которое отражается увеличешемъ растяжешя ихъ.
Положивъ падете температуры равнымъ t градусомъ, будемъ иметь, что длина связи 2 изменится на А2 = 2«£, где а—коэффиц1ентъ изменешя длины железа на 1° равный 0,0000125.
Мы знаемъ, что напряжете по закону Гука равно n=Ei, где.Е=2000000— , . А2 .
модуль упругости железа, ъ= относительный изменешя длины; откуда, зная
А 2 и 2, будемъ иметь:
. А2 г= =
а потому п выразится следующимъ образомъ:
п = Ei = Eat = 2000000 X 0,00001251.
или
п = 24,25t.
Колебаые температуры I берется въ зависимости отъ условш местности и назначения сооружешя.
Принимая t — 25° С,
будемъ иметь: п = 24,25.25,
или п = 625 kg/cm2.
Следовательно, имея
въ виду, что прочное сопротивлен!е железа -растя-жен!ю равно кг — 1000 kg/cm2, будемъ иметь, что допускаемое напряжение связей для восприняли усилш должно быть не более
1000—625 = 375 kg/cm2.
— 389 —
i. Расчетъ отдЪпьны^ъ частей связей и и^ъ деталей *).
1) Расчетъ винта, гайки и головки связей.
Обозначивъ
<1
черезъ Р силу тяги въ килограммахъ и въ сантиметрахъ и черезъ:
<1" — д!аметръ тФ.ла круглой связи,
сТ — „ вн-Ьшней части нар-Ьзки,
й — , „ внутренней „ „ ,
выпишемъ формулы въ ст для необходимыхъ разм-Ьровъ винта, не вдаваясь въ выгоды приведенныхъ формулъ:
Й'=0,2 0,046/Р,
й" = 1,173 Й'0,128, й= 1,39 й'4-0,103.
При этомъ однако изгибъ болта подъ дф>йств!емъ соб-ственнаго вЪса не принятъ во внимание.
Головка болта обыкновенно делается квадратная, при чемъ берутъ сторону Р квадрата равной:
11 = 0,54-1,4 й.
Высота Н головки болта берется равной:
£Г=0,45_Р.
Черт. 245. 2) Расчетъ головокъ связей съ чеками.
Въ томъ случай, если болтъ оканчивается утолщеыемъ съ щелью для закладки чеки (черт. 245), концу болта придаются размеры въ ст.
*) Georg Barkhausen. Constructions-Elemente in Eisen. Handbuch der Architektur, HI Theil, 1 Band, 3 Abschnitt.
— 390 —
<=1,13
гдЬ значен!е буквъ d, Ь, Л, (1о ясно
видно изъ чертежа, а
/ = 800 кд ст-—допускаемое сопротивлеше желЬза растяжению,
ка — 640 kqlcrn2—допускаемое сопротивлен!е желЬза перерЪзывашю,
£,/ = 1200 кд'ст2— допускаемое сопротивлеше железа смят!ю въ стык-h между клиномъ и стЬнкой и ушкомъ болта.
Длина клина д-Ьлается равной 2d, гд-Ь <1 есть д!а-метръ утолщен!я болта, гд-Ь продЬлано ушко.
Если тяга плоская толщиною 4 и ушко исполнено согласно чертежу 246, то ему придаютъ слЪдуюгше размеры въ ст.'.
1г- ‘‘
2 к, ' ~ д’к, ’
д'к
гд-Ь знамен !я буквъ
тивлешй к , ке, кл уже указаны выше.
ясно видны изъ чертежа, а величины допускаемыхъ сопро-
Z-' ’ '• л з ’ А d
I к
х —
3) Расчетъ анкерны^ъ плитъ подъ головками связей на каменными стЪнагсь.
Обозначивъ черезъ F площадь анкерной плиты въ ст2 и попрежнему силу связи черезъ Г въ кд, имЬемъ площади плитъ при разныхъ матер>алахъ стЬны:
при обыкновенномъ кирпичЬ F , при клинкерЬ на портландъ-цементЬ
Р „ й ж Р
х — , при хорошей бутовой кладкЬ J- — при правильной тесовой
1 2и
кладкЬ F = -45
Толщина анкерныхъ плитъ дЪлается при квадратной плитЪ <> — 0,055 | /', при круглой плитЬ д 0,051 Р. Для трапецевидной плиты (черт. 247) дЬ-лаютъ въ ст:
0,1.г.
, <»! 3 I----2 .Г,
|7 3 ’ l — 2xt
— 391
<>а = ОД.г-j
31 — 2 х.2 L — 2х^
(Для />' были уже приведены формулы выше).
Необходимые размеры плиты найдутся по формуламъ:
для прямоугольной плиты to = 1.Ъ = F-\-г,
для квадратной <о — Ъ2 = F-\- i, nd* , . и для круглой г,
где i площадь отверсля въ плите для пропуска связи, I и Ъ размеры прямоугольной плиты, Ь— размеры квадратной прямоугольной плиты, a d—д!аметръ круглой плиты.
Толщина плиты у краевъ делается въ 2 ст.
4) Расчетъ длины штырей, на которые насаживаются связи.
Штыри делаются изъ круглаго железа д!амет-ромъ до 75 тт. Обозначимъ попрежнему черезъ Р силу связи, черезъ d — д!аметръ штырей, черезъ х длину ихъ и черезъ т число штырей, имея въ виду, что связи делаются часто изъ н^сколькихъ полосъ, наса-женныхъ на разные штыри.
Предполагая, что давлеше черезъ штыри передается на стену неравномерно, можемъ приближенно принять въ данномъ случае формулу неравномернаго сжатия, когда сила приложена въ трети; тогда будемъ иметь наибольшее напряжете п равнымъ:
2Р=7
mxd “
откуда получимъ длину штырей:
2Р х= — , , m.d. кл
где допускаемое сопротивлеше сжатию кладки.
]. Определение м^ста закладки связей, направленны^ нормально къ распору.
Ьвязн ли закладываются въ зависимости отъ конструктивныхъ особен-ностеи сооружен^! и, кроме того, не ближе какъ за кирпичъ отъ наружной поверхности стены.
— 392 —
Если необходимо уравновесить горизонтальную составляющую <2 < черт. 248) наклоннаго усил!я Р и передать на нижележащ!я части сооружены одну вертикальную составляющую 11, то казалось бы, что точка Т пересечешя напра-влен4я наклоннаго усил1я Р съ осью стены или столба была бы самой выгодной для помещешя связи, такъ какъ связь эта поглотитъ силу Q, а сила 11 будетъ равномерно сжимающей для сечен1я АВ. Разсмотримъ это сечеше и представимъ отдельно равномерную Д1аграмму наклонныхъ напряжены, равнодействующей которыхъ и будетъ сила Р, приложенная въ центре тяжести сечешя АВ.
Если бы принималось въ расчетъ, что кладка можетъ сопротивляться растягивающимъ усшлямъ, то действительно точка Т была бы правильно выбранной; но такъ какъ принято, что кладка выдерживаетъ одни сжимаюцця усил!я, то помещенная въ точке Т связь восприметъ на себя горизонтальный
составляющ1я усилш на протяженш лишь длины ТВ, а горизонтальный соста-вляюцця усилш на протяженш ТА ускользнут ъ и связь въ Т не выполнитъ своего назначены. Остается поместить связь въ томъ же сеченш АВ въ точке А, съ темъ чтобы захватить все горизонтальный слагаюцця сечешя АВ. Въ этомъ случае связь уравновеситъ весь распоръ V и сечеше АВ будетъ равномерно сжато вертикальной силой.
Но такъ какъ по конструктивнымъ соображешямъ и по причинамъ изло-женнымъ выше связи расг олагать представляется возможВымъ не ближе, какъ за кирпичъ отъ наружной поверхности стены и, кроме того, въ действительности кладка все же сопротивляется и растягивающимъ усил!ямъ, то связь наиболее выгодно и возможно поместить въ точке S того же сечешя АВ, за кирпичъ отъ точки А.
— 393 —
Если бы по конструктивнымъ соображешямъ надо было поместить связь въ сечеши CD (черт. 249), то место ея будетъ очевидно въ U, тоже за кирпичъ отъ точки С, по только что объясненной причине.
Посмотримъ, каково будетъ распределение напряженш въ сечеши CD. Пусть У—ycnnie отъ свода, IV—вертикальное ycnnie отъ частей сооружения выше лиши £Е, сложенное съ в-Ьсомъ кладки EFAB. Находимъ точку К пересечения силы jV съ сечешемъ CD\ раскладываемъ въ этой точке усшпе N на горизонтальную Q, уравновешиваемую связью U, и вертикальную К Склады-ваемъ силы TF и К; ихъ равнодействующая Н проходитъ въ крайней трети сечешя АВ. Если бы мы взяли не весь объемъ кладки EFAB, а только часть его EFCD, то положеше силы R было бы еще менее выгодно.
Тавимъ образомъ мы нашли, что наиболее выгодное место нормальной къ распору связи будетъ, за кирпичъ отъ наружной поверхности стены въ сечен!и, въ которомъ наклонное ycnnie пересекаетъ вертикальную ось стены или столба.
к
IV. Расчетъ кружалъ.
R. Системы кружалъ.
Кружала, устанавливаемый для возведешя сводчатыхъ покрыпй, предста-вляютъ собою временный деревянный сооружен!я довольно сложной конструкцш. Расчетъ ихъ статически вполне не опред-Ьлимъ, такъ какъ кружала представля-ютъ собой сложный многоопорныя фермы съ зна^ительнымъ избыткомъ стержней; кроме того, узловыя сопряжешя нельзя разсматривать, какъ шарнирныя.
BcniflCTBie сказаннаго расчетъ кружалъ только на основанш законовъ статики выполнить невозможно; вводить же расчетъ, основанный на теорш упругости и на деформацш, безц-Ьльно, такъ какъ, во-первыхъ, упрупя свойства дерева недостаточно изучены; во-вторыхъ, подъ вл!ян1емъ кладки (сырость отъ строительнаго раствора) дерево постоянно м^Ьняетъ свои сопроти-влеше и упругость; въ-третьихъ, сопряжения и врубки кружалъ не могутъ быть выполнены настолько тщательно, чтобы можно было ввести въ расчетъ ихъ деформащю, и наконецъ,структура строительнаго леса настолько неоднородна, что признать этотъ матер!алъ за изотропный не представляется возможнымъ. Имея въ виду сказанное, приходится ограничиваться приближеннымъ расче-томъ кружалъ и во всякомъ случае делать ихъ съ'такимъ запасомъ прочности, чтобы вся система кружалъ была не тольм* .рочна, но и не подвергалась бы заметной деформацш, другими словами, кружала должны быть вполне жестки.
При расчете кружалъ можно {^^Ийрво^Ртвоваться отчасти расчетомъ дере-вянныхъ стропилъ, съ которыми 'жала имФютъ- много общаго.
Вопросъ конструировали и гл-чета кружалъ—вопросъ первой важности, и считать его второстепеннымъ, какъ это склонны считать мнопе строители— большая ошибка. Отъ жесткости и прочности кружалъ въ значительной мФ.р’В*' зависитъ и прочность самого свода, такъ какъ возводимые своды слФдуютъ неизбежно за осадкой и деформащей кружалъ, и по^влеше трещинъ въ закончен-ныхъ (сведенныхъ) и возводимыхъ сводахъ—^влен!е далеко не редкое и зачастую объясняемое лишь ненадлежащею жесткостью кружалъ.
По мере возведешя сводовт^^ чиная со шва, проведеннаго къ горизонту подъ угломъ трешя, кладка свода начинаетъ оказывать давлеше на кружала;
ч
ъ
— 395 —
при этомъ происходитъ опускание опалубки на раменахъ, сопровождаемое подъ-емомъ ея въ замкЬ; при продолженж кладки опалубка постепенно возвращается на свое мЬсто. При этомъ если кладка возводится на медленно твердЬющемъ раствор-fe, то явлен!е это не опасно, такъ какъ растворъ еще пластиченъ; но если кладка возводится на быстро-твердФющемъ растворЬ, то явление деформащи свода подъ вл1ян!емъ осадки кружалъ недопустимо, такъ какъ затвердЬ-вающш растворъ уже не можетъ следить за деформащей свода и подвергается растрескиван1ю. При значительной деформащи можетъ произойти временное или остающееся раскрыпе швовъ.
Осадка кружалъ можетъ происходить отъ многихъ причинъ, который должны быть устранены; осадка кружалъ зависитъ: отъ осадки (погружешя) опоръ кружалъ, отъ обмятая врубокъ кружальныхъ косяковъ и прочихъ частей и отъ деформащи самого матер!ала кружалъ, вызваннаго напряжен!емъ, появляющимся
Черт. 250.
отъ дЬйствующихъ на нихъ усилш и отъ усушки дерева кружалъ. Необходимо имЬть въ виду, что сосновые брусья, поставленные другъ на друга торцами, подъ большимъ давлеюемъ всегда нисколько проникаютъ другъ въ друга; это же явлеше происходитъ въ большей степени, когда одинъ брусъ упирается въ другой поперекъ его вопоконъ.
Упоминая о необходимости расчета кружалъ, французски инженеръ Де-гранъ совЬтуетъ остерегаться эмпирическихъ системъ кружалъ, такъ называе-мыхъ, испытанныхъ на опьТгЬ, представляющихъ зачастую излишне сложная конструкщи, въ которыхъ трудно разобраться и въ которыхъ за избыткомъ частей иногда нельзя усмотреть, что въ нихъ недостаетъ изъ необходимыхъ элементовъ для приведения всей системы въ треугольную связь; такимъ образомъ, избытокъ частей только маскируетъ слабость всей системы.
Наиболее ращональными конструкщями кружалъ должно признать а) п о fl-ко с н у ю систему кружалъ (черт. 250), гдЬ. подкосы не должны быть слишкомъ наклонены къ горизонту (предЬльнымъ угломъ считается 45°), и въ которой раз-стояще между опорами зависитъ отъ допустимой нагрузки на каждую отдельную
— 396 —
опору; b) веерообразный кружала (предложены Сежурнэ) (черт. 251), въ которой все подстрЪлины нормальны къ опалубке.; система эта проста и поддается довольно точному статическому расчету; с) а р о ч-н ы я кружала (Сежурнэ) (черт. 252), въ которыхъ подстр^лины тоже нормальны къ опалубке; система эта особенно применительна въ томъ случае, если поставить опоры въ пролете не представляется возмож-нымъ.
Во врубкахъ и подъ торцы брусьевъ рекомендуется прокладывать железные листы до 3 т т толщиной, которые лучше, однако, заменять цинковыми, какъ более пластичными.
Применен4е железныхъ кружалъ нельзя считать особенно выгоднымъ, такъ какъ они дороже деревянныхъ, больше этихъ последнихъ деформируются отъ колебашя температуры и, наконецъ, не представляютъ выгоды въ смысле жесткости и прогиба ихъ; последнее обстоятельство усматривается изъ следующаго расчета *).
Принимая коэффищентъ упругости железной клепанной конструкщи Ллк— 1600000 kg/<mi и прочное сопротивлеше железа к = 800 кд/ст2, будемъ иметь по закону Гука деформащю железной конструкщи равной:
А = 800_
ЕЖК 1600000 ’
и, принимая коэффищентъ упругости деревянной конструкщи Е6.к = 120000 kg/cm2 и прочное сопротивлеше дерева к, = 80 кд ст2, будемъ иметь деформащю деревянной конструкщи:
к _ 80
>6 ' Е„К ~ 120000’
') Г. П. Передерш. Hostfimie пр1емы постройки каменныхъ мостовъ. 1908 г.
— 397 —
Отношение этихъ двухъ деформац1й буд< 11
im 800 80 3
Тд ~ 1600000 ' 120000 4 ’
откуда действительно убеждаемся, что железная конструкц!я првдппч! н1п к смысле жесткости передъ деревянной совершенно не имЬсть.
В. Нагрузка на кружала.
Прежде чемъ приступить къ расчету кружалъ, необходимо предвари ьчи,и определить нагрузку, действующую на нихъ. Обыкновенно сводъ кладу! i. сим метрично съ обеихъ сгорели и
ведутъ кладку постепенно до эпм-ка, который плотно и тщаг чьи закладывается. До замыкашя спида въ возведенной кладкЬ и! ii распора и вся тяжесть кладки поддерживается кружалами. Но, СЪ Другой СТОРОНЫ, известно, 41 о до шва, наклоненнаго къ гори зонту подъ угломъ трен!я, камни удерживаются на своей постели и безъ помощи кружалъ, слЬдо-вательно, до указаннаго шва кружала не испытываютъ вовсе давлешя отъ кладки; наоборот!,, вблизи замка, где уголъ ш i значительно больше угла треи1я, тамъ кладка целикомъ давить на кружала. Между упомянутым ь
раньше швомъ и замкомъ давленie кладки на кружала растетъ постепенно оть нуля до полнаго своего вЬса. Какъ только сводъ замкнуть, такъ сейчасъ же
появляются въ немъ внутреншя усилия, ослабляклщя давлеше кладки на кру жала, который, следовательно, несутъ грузъ только во время кладки.
Для того, чтобы определить давлеше кладки на кружала, раземотрнмъ какой-либо шовъ ab свода (черт. 253), наклоненный къ горизонту подъ углом. «, и клинъ, положенный на немъ, весь котораго пусть будетъ д. Разложим! весь д на две составляюнця: одну Т, направленную вдоль шва, и другую V,
направленную нормально къ шву.
Эти составляюгщя будутъ равны:
N= д cosa и Т — д since.
— 398 —
( ила /' будетъ стремиться сдвигать клинъ и прижимать его къ опалубк-Ь . ружалъ, а сила \ будетъ придавливать клинъ къ его нижней постели; сила \ пызовстъ силу трен1я F, которая будетъ равна
F -- д X,
гдЪ it коэффишентъ трешя, равный 1д0 (уголъ 0 равенъ углу трешя, который принимаютъ обыкновенно для камня по камню на раствор-Ь равнымъ 26°40', а потому it -tg0 = 0,50).
Сила трешя F будетъ уменьшать силу Т, такъ что давлеше на кружала, которое обозначимъ черезъ U, будетъ равно: •
U= T — F.
Заменяя Т и F ихъ выражешями, получимъ,
U = G (sina — tg& cosa),
т sina cos0 — cosa sin0
или U = g — .. ,
cos0
откуда окончательно:
„ sin (a — 0)
I/ = 9-----—z;—- ,
J COS 0 ’
Найдемъ теперь в’Ьсъ клина д. Обозначивъ толщину свода черезъ cl, вЪсъ единицы объема матер!ала свода черезъ / и взявъ клинъ шириною „единица “, будемъ имЬть:
9 =? 7d-
Подставляя это значеше д въ выражеше {.ч окончательн^ получимъ: sin (а — 0)
} ' cost-) ф
Если мы на чертежЪ 253 проведемъ изъ нижняго и верхняго конца шва ab вертикальную лишю Ьс и горизонтальную ас, изъ центра свода лишю of подъ угломъ (къ горизонту), равному углу трешя (-), а изъ верхняго конца, а шва ab лишю се, параллельную лиши of, то получимъ треугольникъ abe, углы котораго будутъ
abe - 90° — а и Ьае = а — 0.
V.
Изъ треугольника abe имЪемъ соотношеше:
be sin (а — 0)
ab cos 0
или л be sin (а — 0) ч
cl COS0 ’
— 399 —
откуда имеемъ;
sin (а — &) а -- z. — be.
cos г)
Подставивъ найденное выражен!е въ формулу, определяющую U, окончательно будемъ име^ь:
U-- у be.
Давлен1е это будетъ наклонное и будетъ направлено вдоль шва къ центр} свода, а по величине оно, какъ видимъ, равно отрезу be, умноженному на весъ
единицы объема матер!ала свода Если мы бы выполнили подобное построеше для всехъ швовъ и верх-Hie концы лиши be соединили бы кривой лишей, то получили бы некоторую кривую, представленную на черт. 254, выражающую законъ распределешя, давлешя кладки не-сомкнутаго свода на кружала, или такъ называемую эпюру давлешя
свода на кружала.
Зная величину давлешя въ каждой точке кружалъ и помня, что эти давлешя направлены къ центру свода, можно подвергнуть кружала приближенному статическому расчету, для практики вполне достаточному, такъ какъ обыкновенно приходится спроектировать кружала по практическимъ и кон-структивнымъ соображешямъ и по выполненнымъ удачно конструкщямъ, а затемъ проверить удовлетворительность конструкщи и размеровъ отдельныхъ частей ея на основаши теорш сопротивлешя матер!аловъ.
С. Расчетъ кружальной фермьь
Положимъ, что мы имеемъ схему кружала (черт. 255) *), состоящую изъ затяжки аое, подстрелинъ ob и od, стойки ос, подкосовъ ab и ed и ригелей Ь\ и de; кружала опираются ija три стойки ah, од и ef; стойки связаны схватками к! и тп и, наконецъ, внизу помещены раскосы кд, hi, д! и ft.
На чертеже 256 для большой наглядности показаны те же кружала полностью.
Вычертимъ эпюру нагрузки на кружала и разделимъ нагрузку, приходящуюся на ригель Ьс, положимъ, на четыре части лишями а/У, /4, Зщ и №, проведенными къ иентру свода, определимъ центры тяжести полученныхъ площадей и изъ нихъ проведемъ лиши силъ 1, 3, 4 тоже къ центру свода.
') Чертежъ кружала заимствованъ изъ труда В. Р. Бернгарда. ,,3одч1й“, 1900 г.
— 400 —
Определимы грузовыя площади и въ нЪкоторомъ масштаба силъ (или площадей), построимъ многоугольникъ силъ Р01234, а затемъ, построивши веревочный многоугольникъ, найдемъ положен1е равнодействующей 5, величина которой получена въ многоугольнике силъ, какъ замыкающая сторона.
Силу раскладываемы въ многоугольнике силъ на X, нормальную къ ригелю Ьс, и т, действующую вдоль указаннаго ригеля.
Сила \ будетъ изгибать ригель, а сила т будетъ его сжимать. Сила .V разложится на две реакцш 1 и ТТ опоръ с и Ь, величины которыхъ найдены произведеннымъ обычнымъ построешемъ: проведены лучъ Р II и линш xz и zy.
Черт. 255.
параллельный лучамъ Р ТТ и РО, затемъ проведена замыкающая ху и параллельный ей лучъ Р I, который разделилъ силу S на две реакцш опоръ Т и И.
Сила Т раскладывается по закону параллелограмма на силы: ITT, сжимающую стойку сд и /Г, сжимающую ригель cd. Въ стойке сд будетъ еще сила III отъ нагрузки ригеля cd нагрузкой аналогичной той, которая раз-считывается.
Далее сила IV разложится на силы: X, сжимающую подкосы de и IX, растягивающую подстрелину od. Затемъ сила X разложится на силы: XI, распирающую стены или растягивающую затяжку ое, и Х1Г, сжимающую стойку ef. Вернемся къ другой силе II, которая разложится на силы: V, сжимающую подстрелину Ьо, и VI, сжимающую подкосы ab. Затемъ сила V сожметъ подкосы о/ и разложится на силы: VII, распирающую стены или растягивающую схватку к!, и f III, сжимающую стойку Н.
— 401
Сжимающая ригель сила т разложится на силы: XIV, растягивающую подстрЪлину ob, и ХШ, сжимающую подкосъ ab. Силы VI и XIII сложатся вместе и сожмутъ подкосъ ab, далее разложатся на силы: X VI, распирающую стЬны или растягивающую затяжку ао, и XV, сжимающую стойку ah.
Выполнивши все подобный разложешя силъ въ обеихъ по-
Черт. 256.
ловинахъ кружалъ и взявъ суммы совпадающихъ силъ, при чемъ въ пользу прочности и для простоты можно отбрасывать растягиваю-нця силы въ подстрЬлинахъ, необходимо составить табличку, въ которую вписать назван!е эле-ментовъ (частей или стержней) кружалъ и противъ нихъ посте вить действующая въ нихъ силы. Когда это будетъ выполнено, тогда остается подобрать сЬ-чеше по формуламъ сопротивле-
н!я матер!аловъ, имЬя въ виду части растянутый, сжатыя, и вместе съ тЬмъ изогнутый и, наконецъ, сжатия длинЛяя стойки.
Въ разсмагриваемой системе кружалъ подкосы ab и de и ригеля будутъ сжаты и изогнуты: подстрЬлины ob и od будутъ сжаты; затяжки к! будутъ растянуты; стойки ah. од и ef будутъ сжаты; проч!е же стержни введены только изъ конструкгивныхъ соображенш, т. к. въ нихъ особыхъ усилш нЬтъ.
Площади растянутыхъ стержней проверятся по формуле:
Площадь
короткихъ сжатыхъ частей проверится по формуле:
F
ш
Площадь короткихъ
сжатыхъ и согнутыхъ частей проверится по формуле:
А
8 IP < 6
Площадь длинныхъ сжатыхъ стоекъ проверится по формуле Эйлера-
F г V
<’> ' s \ / /
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ.
26
— 402 —
или по формуле Навье —<9’^й> гд^ </>==
14-0,00016
или, наконецъ, по формуле Ронделе
F _
где
<Г =
1
Въ приведенныхъ формулахъ введены обозначешя:
F — сила, действующая на стержень;
со — площадь стержня;
7 — длина стержня;
д — нагрузка на ригель или подкосъ изъ эпюры, при чем^подъ д понимается проекщя силъ нагрузки на нормаль къ стержню;
cl — наименьплй поперечный размерь стержня:
1-К— моментъ сопротивлешя площади поперечнаго сечешя стержня;
г — наименышй рад5усъ инерщи площади поперечнаго сечешя стержня;
7? = 120000 кд^/ст*—модуль упругости дерева;
к. — допускаемое сопротивлеше дерева растяжешю;
кй— „ „ „ сжат1ю;
кь — „ „ „ изгибу;
s = 10 —коэффищентъ надежности;
зг2= 10.
При проверке сечешй необходимо иметь въ виду ослаблеше врубками, почему надо вводить въ расчетъ площади стержней въ о * «бленных1 врубками местахъ. , .
_____
D. МЪры для устранена трещинъ въ сводясь.
1, Особые npiembi кладки сводовъ.
Выше было указано значение жесткости кружалъ въ отношеши прочности свода и обезпечешя отсутств!я .въ немъ трещинъ. Здесь следуетъ еще упомянуть, что въ видахъ предупреждения появлешя трещинъ въ».сводахъ можно производить особымъ образомъ кладку и принимать особыя меры предосторожности при раскружаливаши сводовъ.
Что касается пр!емовъ кладки сводовъ, обезпечивающихъ уменьшеше деформащи кружалъ и отсутсттле трещинъ, то необходимо указать, а) на кладку сводовъ кольцами (перекатными арками); Ь), шгадку съ особыми пустыми швами, заполняемыми растворомъ лишь по смыкаюи всего свода и с) клерку сводовъ сегментами. ж
Разсмотримъ вкратце особенности указанныхъ кладокъ.
— 403 —
а) Кладка сводовъ кольцами.
При такси кладке достигается не только уменьшеше тески кирпича или камня для нридашя имъ клиновидной формы, особенно при толстыхъ рродахъ, но и уменылеше нагрузки на кружала, такъ какъ первое сомкнутое кольцо ноддсрживаетъ слЪдуюпця кольца; при такомъ способе кладки кружала нагружаются лишь половиной или третью всего в’Ьса свода. Еще римляне, crfec-' ценные въ л-Ьсномъ строительномъ матер1алФ>, применяли способъ кладки сводовъ кольцами; по той же причине и въ Перши издавна былъ принятъ этотъ способъ кладки сводовъ.
Способъ концентрическихъ слоевъ имЪетъ, однако, противниковъ, которые считаютъ его неращональнымъ, а при значительной нагрузке сводовъ даже небезопасными Нижн1я кольца получаются перенапряженными вслф>дств!е того, что вступаютъ въ работу въ то время, когда верхюя еще не замкнуты и вслФ>д-ств1е более затвердЬвшаго раствора, представляютъ более жесткую часть свода, которая сильнее работаетъ. Число сопрягающихъ швовъ въ наружныхъ кольцахъ больше, ч’Ьмъ во внутреннихъ, а поэтому и осадка первыхъ должна быть больше осадки вторыхъ, въ виду чего каждое следующее наружное кольцо, покоющееся на предыдущемъ внутреннему не будетъ въ состояли полностью осесть, какъ во время клад^, такъ и по его замыкаши. Вследств1е указаннаго обстоятельства, въ неосЬвшихъ кольцахъ не получится полнаго распора, а потому часть ихъ веса не передастся черезъ ихъ пяты на опоры, а будетъ давить непосредственно на нижележащ!я кольца. Такимъ образомъ, давлен!е въ швахъ у разныхъ колецъ будетъ разное и притомъ въ нижнихъ кольцахъ будетъ большее, чФ.мъ въ верхнихъ; въ концЬ-концовъ, въ самомъ нижнемъ кольце можетъ такимъ образомъ появиться yennie, превосходящее прочность кладки, а за на-чаломъ разрушешя нижняго кольца можетъ наступить последовательное разру-шен!е посл-Ьдующихъ колецъ.
Кроме того, указываютъ, что при недостаточной твердости опоръ самое нижнее кольцо можетъ раскрыться; при этомъ оно можетъ быть удержано только сцеплен!емъ кладки со следующимъ за нимъ по высоте кольцомъ, а потому легко можетъ упасть и повлечь крушеюе всего свода.
Для устранешя указанныхъ недостатковъ необходимо устраивать связь между разными рядами при помощи прокладныхъ рядовъ или при помощи зуб-. чатой кладки.
* Ь) Пустые швы.
Для устранешя трещинъ, вызываемыхъ деформащей кружалъ, швы, въ ко-торыхъ наиболее часто наблюдается появлеше трещинъ, оставляются пустыми (безъ раствора) до момента замыкан!я свода; къ этимъ швамъ относятся: швы пятовые, швы перелома, а въ большихъ сводахъ еще швы, лежацце надъ опорными точками хорошо установленныхъ многоопорныхъ кружалъ.
Для удержаны камней безъ раствора на своемъ месте применяется много способовъ. Такъ, въ нЬкоторыхъ случаяхъ часть шва, ближайшая къ опалубке, закладывается деревянной планочкой, которая подъ конецъ вынимается и шовъ 26*
r~---------—------------—-----------.
I1 — 404 —
I
расшивается; надъ планкой укладываютъ свинцовую полосу, которая остается въ кладке, а верхъ камней временно удерживается деревянными или железными клиньями, которые по заполненш шва растворомъ при замыканш свода , вынимаются. Въ другихъ случаяхъ швы временно заполняются песком',, кото-
' рый при замыкаши свода заменяется растворомъ.
J Пустые швы следуетъ сверху затыкать паклей и не давать имъ засорятьс^к
лучше оставлять ихъ пошире, делать ихъ правильными и передъ заделкой хорошо промывать водой. Пустые швы заливаются либо густымъ чистымъ це-ментнымъ растворомъ такой густоты, чтобы онъ не протекъ внизъ, но, однако, । действ!емъ своего веса хорошо заполнилъ шовъ, либо втрамбовашемъ почти
' сухого чистаго цементнаго раствора, при чемъ воды, темъ не менее, должно
1 быть взято столько, чтобы цементъ могъ затвердеть. Трамбоваше производится *
небольшими слоями посредствомъ сильныхъ ударовъ маленькой плоской трамбовкой, внизу шва железной, а на верху шва дубовой; трамбоваше считается законченнымъ, когда подъ трамбовкой выступаетъ вода.
Профессоръ Резаль указываетъ, что почти во всехъ с*ранахъ, где при-। менялись пустые швы, трещинъ не наблюдалось; напротивъ, были редки случаи,
где не было трещинъ, когда пр1емъ пустыхъ швовъ не применялся.
।
с) Кладка сводовъ сегментами.
I
Способъ этотъ применимъ только при очень болыиихъ сводахъ и заклю-1 чается въ томъ, что кладка свода начинается въ несколькихъ местахъ по про-
1 лету одновременно. 4,
При кладке сводовъ не должно допускать часто практикуемую забивку замка, сопряженную съ вредными для кружалъ и свода сотрясешями, которыя могутъ вызвать образована трещинъ. .
2. Раскружаливаже сводо
। При раскружаливанш сводовъ необходимо иметь въ^кду: а) состоите
работъ, т.-е. следуетъ ли сводъ раскружаливать безъ кладки надсводныхъ ча-) стей сооружешя или, наоборотъ, по окончаши всей кладки и Ь) состоите за-
1 твердешя раствора.
1 Что касается состояшя нагрузки при раскружаливан!и, то необходимо, строго
| говоря, установить этотъ моментъ проектнымъ расчетомъ, такъ какъ общихъ 4
указашй дать нельзя; необходимо иметь въ виду лишь разнь я обстоятельства последовательности хода работъ и т. д. Л
, Относительно срока выдержки свода на кружалахъ, въ зависимости отъ
затвердешя раствора, необходимо указать, 'Что въ этомъ отношении главное значеше имеетъ свойство раствора, на которомъ возведенъ свод^. При извест-
1 ковомъ— медленно твердеющемъ растворе—вопросъ этотъ совершенно не су-
щественъ, такъ какъ твердеше извести, имеюще^своимъ основан1емъ высы-хаше раствора, происходить, особенно въ толстыхъ рводахъ, крайне медленно; поэтому при известковыхъ растворахъ раскружаливаше вскоре после замыкашя
1 Л' '
— 405 —
рацюнальнЪе, такъ какъ при осадке происходитъ уплотнеше мягкаго раствора и лучшее имъ заполнение промежутковъ между камнями. Другое дело при кладке сводовъ на растворе изъ портпандъ-цемента, который твердФ>етъ быстро. Дюпюи рекомендуетъ больлпе своды держать на кружапахъ одинъ мЪсяцъ после ихъ сомкнули; для малыхъ пролетовъ срокъ можетъ быть сокращенъ, а очень малые своды можно раскружаливать немедленно.
Остается еще упомянуть о пр!емахъ и приспособлешяхъ раскружаливашя сводовъ. Известно, что динамическое приложеше нагрузки (внезапное, съ уда-ромъ) вызываетъ вообще напряжешя вдвое болышя сравнительно съ напря-жен1ями, вызванными постепеннымъ приложеюемъ нагрузки. Отсюда понятно, что если раскружаливать сводъ внезапно, то въ немъ могутъ проявиться напряжешя вдвое противъ расчитанныхъ; при этомъ могутъ образоваться трещины, и сводъ можетъ даже разрушиться.
ПримЪнявшшся еще въ 1805 году способъ раскружаливашя при помощи подрубашя опоръ, способъ, совершенно справедливо названный варварскимъ, не долженъ, конечно, ни въ коемъ случай, применяться.
Немного лучше этого способа —способъ раскружаливашя при помощи ослаблешя клиньевъ, на которыхъ устанавливаются кружала. Бывають случаи, когда клинья, уложенные при установке кружалъ, со временемъ такъ плотно сплачиваются подъ давлешемъ, что подъ ударами молота разбиваются, но не раздвигаются. Наоборотъ, когда клинья не потеряли способности скользить другъ по другу, тогда всегда есть рискъ, трогая клинъ съ места и усиливая удары, выбить его совсемъ. Поэтому между клиньями, подъ ними и надъ ними рекомендуется подкладывать цинковые листы.
Предпочтительна раскружаливаше сводовъ вести при помощи винтовъ, песочницъ, эксцентрикевъ, домкратовъ и другихъ механическихъ приспособле-н!й, дающихъ возможность постепенно и осторожно производить самый про-цессъ раскружаливашя; при этомъ сводъ не получаетъ толчковъ и сотрясешй.
V.
Расчетъ опоръ сводовъ.
Опоры сводовъ могутъ им^Ьть видъ устоевъ, ст-Ьнъ ровныхъ или съ кон-трофорсами, барабана, а также состоять изъ отдЪльныхъ столбовъ или пило-новъ. Покажемъ расчетъ опоръ на н-Ьсколькихъ частныхъ случаяхъ.
Я. Расчетъ крайней опоры цилиндрическаго свода.
1) Положимъ, что мы имЪемъ цилиндрически сводъ (черт. 257), распоръ и давлеже на пяты котораго вполнЪ известны. Пусть
Черт. 257.
G — вЪсъ свода съ приходящейся на него нагрузкой;
Gt— вЪсъ устоя съ нагрузкой;
— 407 —
V — вертикальное давлеше свода на устой;
Q — распоръ свода;
6' — давлеше земли или какой-либо части конструкщи н| устой;
// и Т — горизонтальная и вертикальная составляющая давлешя 8;
Е ширина устоя у его подошвы;
а — высота точки приложешя распора надъ точкой приложешя опорнаго давлешя въ пятахъ;
b — высота этой последней точки надъ подошвой устоя;
с — разстояше точки приложешя груза Gt отъ передней стенки устоя;
I — разстояше груза V отъ точки приложешя опорнаго давлешя въ пяте свода;
7г — разстояше усил!я G отъ передней сгЬнки устоя;
Z — разстояше точки приложешя силы $ отъ подошвы устоя;
s — разстояше той же точки отъ передней станки устоя.
Равнодействующая силъ Q, V, Gj и 8 и точка ея приложешя у подошвы устоя могутъ быть найдены какъ аналитически, такъ и графически.
На черт. 257 выполнено графическое построеше, для чего изъ произвольной точки О проведена горизонтальная лишя Оо и отпоженъ распоръ Q, затемъ проведена вертикаль и отложены грузы V и G)( а на лиши, парал лельной направлешю 8, отложена величина этой силы.
Соединивъ точку 0 съ концами силъ V, Gt и 8, получимъ частичный силы Р' и Р", а также общую искомую равнодействующую Р.
Проведя изъ точки а, взятой согласно теорш сводовъ, горизонтальный распоръ Q до пересечешя съ G въ точке /9, проводимъ изъ точки ихъ пересечешя лишю параллельную Р' до встречи съ^б^ въ точке у, а изъ этой точки параллель Р" до пересечения съ >8 въ точке t и, далее, параллель Р. При этомъ лишя /?у пересекла пяты свода въ точке 4, положеше которой дается въ теорш сводовъ.
Точка В пересечешя последняго направлешя Р съ подошвой устоя и будетъ точкой приложешя общей равнодействующей. Получившаяся ломаная лишя a ft dye В есть шарнирный многоугольникъ. Разложивъ равнодействующую Р на горизонтальную и вертикальную составлякищя, равныя Q—Ни G [ Gv -1- Т, можемъ определить силу, производящую сдвигъ устоя ло его подошве или опро-кидываше его около точки А, а также сипу, вызывающую неравномерное давлеше на подошву устоя.
Такимъ образомъ разстояше х точки приложешя равнодействующей В отъ наружнаго ребра А получено графически.
Это разстояше можетъ быть определено и аналитически, для чего составимъ уравнеше моментовъ всехъ силъ, действующихъ на устой, относительно точки В.
Уравнеше моментовъ будетъ:
— Q (а |- Ь) V(E— к — я) Gr(E— с — х) -|- Hi — Т{х — _7?-|- «) = 0,
Отсюда найдемъ разстояше х:
V(E—k) + G, (Е— с) -j- Ht Т{Е—s) - Q (« + Ъ)
х~ - ЙЧ-cfi т
— 408 —
Въ томъ случай, если н-Ьтъ сипы S', то члены, содержания выражения съ Н и Т будутъ отсутствовать.
Длина у—разстояше отъ средины устоя С до точки В приложешя сипы— будетъ равна у = - ---х.
Разрушеше устоя можетъ произойти путемъ вращешя около ребра А.
Услов5е устойчивости выразится уравнешемъ:
К
К
гд-fe Лс—моментъ пассивныхъ силъ, сопротивляющихся опрокидывашю, J/(, -моментъ активныхъ силъ, вызывающихъ опрокидываше, а ms — коэффищентъ устойчивости.
Разрушеше устоя можетъ произойти также путемъ сдвига его по плоскости АВ. Въ этомъ случай ycnoeie устойчивости выразится уравнешемъ:
= т2,
гдЬ Р—пассивный силы, удерживаклщя устой на мЬстЬ силой трешя, А—силы активный, стремянцяся сдвинуть устой, т2 — коэффищентъ устойчивости.
Въ нашемъ случа-Ь
Р = G-f-Gi-j- Т и A = Q — H.
Наконецъ, разрушеше устоя можетъ произойти раздроблешемъ матер!ала его. Условие прочности выразится уравнешемъ неравн^мЬрнаго сжат!я:
N . Ми. 5г»!Их —— + 2 J
Въ нашемъ случай, предполагая, что мы имЬемъ устой шиотною ница*’, будемъ им-Ьть:
ы = и = — ,
12 ’
ИЛИ
>
К — допускаемое сопротивлеше сжат!б.
Когда точка приложешя В силъ Q — Н и G -f- -j - Т найдена графи- ’ чески, тогда величина х определяется изъ чертежа по масштабу; остальной расчетъ остается тотъ же.
*
— 409 —
Черт. 258.
Въ томъ случаЬ, если бы устой имЬлъ уступы и тонурина его мЬнялась не постепенно, то подобный провЬрки надо было бы продЬлать въ плоскости каждаго уступа.
КромЬ того, необходимо провЬрить давлеше на грунтъ и устойчивость устоя вмЬстЬ съ фундаментомъ, что выполняется тЬмъ же ука-заннымъ пр!емомъ, надо только опредЬлить вЬсъ фундамента Gn и достроить многоугольники силъ и шарнирный, а затЬмъ выполнить опредЬлешя точности и устойчивости устоя въ плоскости его заложешя.
2) Тотъ же расчетъ можно выполнить еще нижеслЬдующимъ пр!емомъ.
Положимъ, что мы имЬемъ цилиндрическш сводъ и опору (черт. 258), гдЬ:
Q — распоръ свода;
G — вЬсъ свода съ приходящейся на него нагрузкой;
Е — ширина устоя внизу;
z0 — разстояше по вертикали отъ подошвы стЬны до точки А пересЬчешя опорнаго давлешя свода на устой черезъ середину стЬны:
точки М отъ подошвы устоя;
по горизонтали той же точки М отъ передней грани
точки приложения давления на подошву стЬны отъ ея
съ вертикалью, проведенною
z — разстоян!е по вертикали отъ той же точки А до точки Л7 приложешя опорнаго давлешя къ пягамъ свода;
« — разстояше < — разстояше стЬны;
у — разстояше средины;
(>'— вЬсъ устоя;
110— высота, приведенная къ материалу свода;
у — вЬсъ кубической единицы матер!ала свода;
/*’—опорное давлеше свода на пяты его;
I’ — давлеше стЬны на подошву;
<( — уголъ, образуемый этимъ послЬднимъ давлешемъ съ вертикальной нсью стЬны.
— 410 —
Отложимъ отъ точки А стены отрезки:
пересечешя давлешя Р съ вертикальной осью
АК — BD ~ Q, KO=CD= G,
0А = Р', АС = G',
АВ = Р, ВС = Р'.
Изъ подоб1я треугольниковъ AST и ABD имеемъ:
У Q
®’о ’
откуда
Изъ чертежа имеемъ: AMN получимъ:
_ Q
у g'+g °'
z0~ а — 2, а изъ подобия треугольниковъ АКО и
2
рГ
2 С
G
Q ’
откуда:
2 =
Е \ G Е—2с G
— __с ।
2 /у 2 Q
Подставляя
значеше 2
въ выражение 20, будемъ иметь:
Е-— 2 с G 2 aQ — (Е — 2 с) G
2 Q = ----- - -
Заменяя 20 въ выражеши у найденнымъ его значешемъ, получимъ:
2 aQ — (Е— 2 с) G
Весъ устоя G' можетъ быть выраженъ въ виде:
G' = EHo7.
Подставляя это значеше G' въ выражеше у, получимъ окончательно
разстояше отъ точки приложешя давлешя на подошву стены до ея средины:
2aQ— (Е—2с) G 2(G^~EH^T
Если для разсчитываемой опоры свода оказалось, что у , то стена
неустойчива, и въ частяхъ, ближайшихъ къ внутренней грани ея, будетъ рас-тяжеше (раскрьте шва или отрываше отъ фундамента), что въ кладке не
— 411 —
/ допускается. Если g n , to всякомъ случай, въ наружномъ наго сжатш, имЬется давлеше, въ четыре раза превосходящее то давлеше, ко-
торое получилось бы, если бы сипа Р была приложена по оси стЬнъ, а у вну-
положеше можетъ быть и устойчивое, но, во
ребрЬ стЬны, на основаши теорш неравномЬр-
тренней грани стЬны будетъ растяжеше кладки. Если у = , то, по теорш
6
неравломЬрнаго сжаыя, у наружной грани стЬны будетъ двойное напряжеше, а у внутренней напряжеше будетъ равно нулю. Отсюда мы замЬчаемъ, что
при у необходимо либо уширить подошву стЬны, либо поставить
уравновЬшивающ!я дЬйств!я распора на стЬну *).
ДалЬе изъ чертежа имЬемъ:
9 и
связи,
#0
ЗамЬняя опять G' черезъ его выражеше, получимъ:
и
-i-77
Изъ теорш устойчивости сооружений известно, что скольжеше стЬны подошвЬ не произойдетъ, пока
tg^<i(j0,
по ея
гдЬ 0—уголъ трешя,
согласно принятому выше, равный 22", откуда
^0 = 0,40.
Если tg0 >• tga, нераушствомъ:
то написанное выражеше tga можетъ быть заменено
или
G-\-EHe
и
Gtg0-]-EHo7.g0>Q,
откуда
EHo7tg0>Q-Gtgfi,
Q— G fg& > Ho7tg0~’
замЬняя 1д0 чисповымъ его значешемъ, получимъ:
9-0,4 G
или
2,5 Q
Я
*) Такъ какъ именно'вслЪдстшс дЪйств!я распора точка припожешя равнодействующей Р удалилась отъ оси устоя.
— 412 —
Такимъ образомъ, мы нашли неравенство, которому должна удовлетворять ширина стЬны у подошвы съ тЪмъ, чтобы не было скольжешя.
СлЬдуетъ обратить внимание на то об
Чер. 259.
стоятельство, что если даже
2,5 Q —
то стЬна не будетъ устойчивой,такъ какъ имЬетъ место скольжешя.
Найдемъ теперь еще выражение для ширины стены у ея подошвы въ зависимости отъ разстояшя у.
Положимъ, что: у — тЕ, гд-fe т есть правильная дробь; въ такомъ случае
2aQ — (E—2c)G
-~2(G^EHp7) ~Г-
f откуда получимъ:
2 Gr 7? рЯ„ 7 г/,;2 = 2 aQ — GE-\- 2 Gc,
или
2 Но }' гЕ1 (2 г - l)GE — 2 (aQ cG) = O.
Решая это уравнеше относительно Е, получимъ:
Зд-Ьсь передъ корнемъ знакъ минусъ не поставленъ потому, что величина Е отрицательною быть не можетъ.
Полученное выражеше рЬшаетъ вопросъ, такъ какъ въ немъ все величины известны, какъ скоро сводъ разсчитанъ.
_ 1
Если мы примемъ, что да = —, то будемъ иметь выражеше для ширины стены въ вид-Ь:
= (- 2 + j/6(a9 + cG)HD7 + 4 G5
J о i '
Следовательно, мы должны придать стЬн'Ь ширину, полученную по этой •формуле съ темъ, чтобы давлеше Р прошл<У на разстояши одной шестой.
3) Разсмотримъ еще построеше лиши давлешя въ стене, усиленной контр-форсомъ. Положимъ, что имеемъ сводъ (черт. 259), упиравшейся въ стену, усиленную контрфорсомъ; стена продолжается выше и поддерживаетъ карнизъ и мауэрлатъ со стропилами; требуется построить линш давц^шя въ стене съ
— 413 —
тЬмъ, чтобы убедиться въ прочности и устойчивости всей конструкщи. РаздЬ-лимъ стЬну вмЬстЬ съ контрофорсомъ горизонтальными лин1ями на части и опредЬлимъ центры тяжести и вЬса: карниза, час-^и стЬны, имеющей постоянную ширину, а также всЬхъ частей стЬны ниже пятъ свода.
Когда распоръ и опорное вертикальное усил!е свода найдено, тогда для построешя линш давпен!я, служащей въ стЬнЬ продолжешемъ опорной линш въ сводЬ, необходимо построить многоугольникъ силъ и шарнирный многоугольникъ, ^рлЬдуя обычному npieMy. Проводимъ горизонтальную и вертикальную линш и ' откладываемъ на нихъ въ масштаба силъ распоръ Q и вЬсъ свода съ приходящейся на него нагрузкой G. ЗатЬмъ откладываемъ силу IV—вЬсъ части стЬны, далЬе силы: I—вЬсъ карниза, II—опорное давлеше стропилъ, III— «Ьсъ верхней части стЬны и, наконецъ, силы V, VI, VII, VIII и IX-— равныя вЬсамъ частей стЬны; беремъ произвольные полюсы о1 и о и проводимъ лучи Оо, 0G, 0IV, ОШ, 0V, 0W, ОНИ, own и О/Х и, кромЬ того, лучи oJV, oj, ojl, о}//1, строимъ шарнирный многоугольникъ, соотвЬтствующш полюсу 0р и находимъ положеше равнодЬйствующей силъ 7, // и III. ЗатЬмъ строимъ шарнирный многоугольникъ для силъ Р, II и I II-\- III, послЬ чего находимъ положеше равнодЬйствующей силъ 7’, П и I II-| III. Для построешя лиши давлешя проводимъ изъ точки 0—конца распора Q—лучи ко всЬмъ концамъ силъ: G, I-\-II III--IV, V, VI, VII, VIII, IX, а на чертежЬ, изображающемъ разрЬзъ свода и стЬны, строимъ соотвЬтственный шарнирный многоугольникъ, стороны котораго, составляющая продолжеше опорной лиши свода, дадутъ положеше линш давлешя въ разсчитываемой стЬнЬ. Когда эта лишя получена, тогда обычнымъ пр!емомъ опредЬляютъ прочность и устойчивость всего со-оружешя.
В. Расчетъ промежуточной опоры цилиндрические сводовъ.
Положимъ, что мы имЬемъ промежуточную опору (черт. 260), на которую
опираются два свода разнаго пролета и разной нагрузки; на чертежЬ лишя abcdefgh обозначаетъ нагрузку, уже приведенную къ матер!алу свода. ДЬ-лимъ своды и забутку пазухи съ нагрузкой на вертикальный полосы и от-
дЬльныя фигуры, опредЬляемъ центры тяжести фигуръ и вЬса ихъ, проводимъ черезъ центры тяжести вертикальный лиши 1—1, 2—2, 3—3, 4—4, 5—5, 6—6, 7—7, 8-—8 и G3 для опоры.
Строимъ многоугольникъ силъ: 01234 5 67 8, беремъ произвольный полюсъ О и, проведя лучи въ многоугольникЬ силъ, строимъ шарнирный многоугольникъ I’.-tp'yd/ £ д f) 2; продолжаемъ стороны av и yd, yd и +, /72 до ихъ взаимнаго пересЬчешя въ точкахъ т, д и 2, который будутъ лежать на лишяхь р.пшодЬйствующихъ:
V
7 I ? I 1 I 5 G'„
— 414 —
Проводимъ черезъ точки 2, (« и v вертикали и определяемъ точки >» и г пересечешя линш G± и G2 съ направлен!емъ распоровъ и Qz, приложен-ныхъ въ замковомъ шве на основаши метода предельнаго равновес!я; на
«
основаши того же метода, свода и соединяемъ точки s водимъ въ многоугольнике
швахъ
отмечаемъ точки s и t въ начальныхъ и G, t и т прямыми, параллельно котв^ымъ про-сипъ изъ концовъ силъ 3 и 5 лиши и Р2 до
— 415 —
пересечения съ горизонталями, проведенными изъ начала силъ / и 8. При помощи этого построешя получены величины распоровъ и опорныхъ давленш Pj и Р2 въ начальныхъ швахъ.
Для получен!я направлешя усилш въ опоре и точекъ приложешя этихъ усил!й соедипяемъ точку о, начала распора съ концомъ силы 5 и распора <22, а на фигур-L опоры проводимъ линш os до пересечешя съ вертикалью Gs въ точке Ji; изъ этой точки проводимъ лин1ю || Р3 до пересечешя съ напра-влешемъ /’2 въ точке у, изъ этой точки проводимъ лишю у || Р4; лишя Р4 встречаетъ пин!ю /у, отделяющую своды отъ опоры, въ точке и.
Такимъ образомъ, мы нашли точки приложешя давленш сводовъ на ихъ ..начала—точки 5 и t и точку приложешя давлешя сводовъ вместе съ забуткой и нагрузками на опору — точку и.
Для определешя точки приложешя равнодействующей G= C^-j- G2-'r6r2- -Сг4 всехъ весовъ на подошву опоры, необходимо изъ конца распора Q2 провести вертикаль и отложить — весъ опоры, соединить конецъ силы (?4 съ начальной точкой о1 и найти положеше равнодействующей Рк всехъ силъ на фигуре опоры.
Вследств1е остраго пересечешя направпенш и Gt положеше искомой равнодействующей Р,. найдено при помощи второго произвольнаго полюса 0,. Проводимъ лучи 0loi, 0lQ2 и 0iGi къ концамъ силъ Р4 и Gx, соединяемъ о( и Gi прямою, которая дастъ по величине и направлешю силу Р., положеше ея на фигуре опоры найдется, когда построимъ второй шарнирный многоугольникъ ет.тр; точка гг пересечешя параллелей крайнимъ лучемъ второго многоугольника силъ есть точка, черезъ которую должна проходить равнодействующая Р... Проведя лишю xwP.. || Р,., получимъ точку w приложешя равнодействующей jPs всехъ силъ къ подошве опоры.
Когда направлешя и точки приложешя опорныхъ давленш въ необходи-мыхъ швахъ найдены, тогда остается определить прочность и устойчивость опоры въ указанныхъ швахъ. Прочность будетъ обезпечена, когда точки v и ш будутъ лежать внутри средней трети швовъ; наибольшее давлеше въ этихъ швахъ, найденное по формуле неравномернаго сжатия, будетъ не больше проч-наго сопротивлешя кладки опоры. Устойчивость будетъ обезпечена, если опорныя лиши будутъ лежать внутри угла трешя и моментъ сопротивляющейся будетъ въ т2 разъ более опрокидывающаго момента около ребра, ближе къ которому проходитъ разсматриваемая равнодействующая.
Для определешя сжимающихъ, сопротивляющихся и опрокидывающихъ усилш необходимо разложить усил!я Р4 и Р. ifa горизонтальный и вертикальный составляющ1я, что также исполнено на черт. 260.
— 416 —
С. Расчетъ контрфорсовъ.
Контрфорсы могутъ быть устроены какъ для укрепления стены, подверженной равномерному распору, такъ и для противодействуя сосредоточеннымъ распорамъ, действующимъ къ ограждающимъ пространство стенамъ нормально или подъ некоторымъ къ нимъ угломъ. Контрфорсы, усиливаюгще стену, ставятся при сравнительно тонкой стене между окнами. Контрфорсы, противодействующие сосредоточеннымъ распорамъ, ставятся противъ подпружныхъ арокъ и гуртъ.
Разсмотримъ сперва расчетъ контрфорсовъ, усиливающихъ стену при по-стоянномъ распоре.
1) Расчетъ контрфорсов^ усиливающие сгЬну, не испытывающую сосредоточенные распоровъ’.
Положимъ, что для противодействуя постоянному ПО длине стены распору необходима стена толщиной w у ея подошвы (черт. 261), но по некоторымъ соображешямъ желательно сделать стену тоньше, толщиной 6, и усилить ее контрфорсами, размерами а и размещенными на разстоянш с другъ отъ друга.
Для того, чтобы тонкая стена съ контрфорсами была одинаково устойчива и прочна, какъ и сплошная толстая стена, необходимо, чтобы статическш моментъ прямоугольной фигуры Zfirg относительно ребра 2g былъ равенъ ста-
Черт. 261.
тическому моменту соответственной фигуры относительно ребра к#,
другими словами, должно существовать равенство:
или
откуда
и I 8 \
+ = (« + е) 2 ’ + ^ (6+ 2J ’
, w2 . Ъ* az*
=(а-|-е) + >
#2 4 2 zb 4- (/,2—— о.
d
— 417 —
Решая это квадратное уравнеще относительно z, получимъ:
я = — h 4 |/ /Л Ц ® С (w2 « Ь2).
Такимъ образомъ, имея толщину ровной стены w и стены съ контрфорсами 6, установивъ разстояше между контрфорсами е и толщину контрфорсовъ «, получимъ выступъ контрфорсовъ z у подошвы стены, при чемъ полученная тонкая стена, усиленная контрфорсами, будетъ одинаково устойчива съ толстой ровной стеной. Кроме того, слФдуетъ еще сделать проверку па скольжеше въ виду того, что измененная площадь подошвы стены меньге площади первоначальной.
2) Расчетъ контрфорсовъ, усиливающие стЪну въ мЪстае д£йств1я сосредоточенные распоровъ,
Въ сводахъ цилиндрическихъ, усиленныхъ подпружными арками (черт. 262) и сложенныхъ въ елку, а также въ крестовыхъ, готическихъ и некоторыхъ сомкнутыхъ сводахъ (черт. 263) необходимо бываетъ устраивать контрфорсы, которыми усиливаются стены въ местахъ, где подходятъ къ опорнымъ стенамъ
Чорт. 262.
Черт. 263.
Черт. 264.
подпружный арки и гурты; въ углахъ контрфорсы располагаются иногда напро-тивъ сходящихся стенъ (черт. 264), иногда ставятъ ихъ по биссектрисе угла (черт. 264) или по направлешю равнодействующей распоровъ.
Расчетъ контрфорсовъ, устраиваемыхъ у опорныхъ стенъ цилиндрическихъ сводовъ, усиленныхъ подпружными арками (черт. 265), выполняется
H. К. Лахтин ь. Расчетъ сводовъ. 27
— 418 —
графически очень просто. Когда
распоръ Q подпружной арки изв’Ьстенъ и
тогда определяютъ весъ части стены про-
размеры контрфорса определены,
тивъ контрфорса и весъ его самого, строятъ многоугольникъ силъ и определяютъ точку приложешя веса стены и контрфорса, находятъ точку с пересечения распора Q и найденнаго положешя равнодействующей. Изъ этой точки проводятъ лин!ю cP параллельно равнодействующей распора Q и ве-совъ стены и контрфорса. Проведенная параллельная Р не должна выходить изъ средней трети подошвы контрфорса и подошвы его фундамента.
Кроме того, необходимо прове
рить, согласно известнымъ пр!емамъ, прочность и устойчивость на скольжеше и вращеше части стены, усиленной разсчитываемымъ контрфорсомъ.
Тотъ же расчетъ легко выполнить также аналитически, если составить уравнеше моментовъ всехъ силъ относительно ребра Ь.
— 419 —
3) Расчетъ углового контрфорса, к
Когда распоры Ц (черт. 266) двухъ сходящихся подъ угломъ арокъ определены, тогда при помощи параллелограмма находятъ равнодействующш распоръ (,> и опредЬляютъ при помощи многоугольника силъ и шарнирнаго многоугольника равнодействующую силъ 2Gt-j- G2, где 26^—сумма двухъ равныхъ вертикальныхъ опорныхъ давлешй арокъ, а 6г2 весъ углового контрфорса. Сила 2Gt будетъ приложена на равныхъ разстояшяхъ отъ точекъ приложешя равныхъ силъ G^, въ случае, если бы силы Gt были не равны, то точку приложешя нашли бы тоже при помощи вспомогательныхъ многоугсльниковъ силъ и шарнируиго. Направлеше равнодействующей 2Gr G2 продолжаемъ до пересечешя cj распоромъ ()< въ точке С, изъ которой проводимъ лишю Р параллельно равнодействующей Р силъ Q и 2G1A-GS.
Дальне^шш расчетъ и проверка прочности и устойчивости выполнится согласно изложенному выше.
4) Расчетъ контрфорсовъ крестовы^ъ и готически^ъ сводовъ, подверженны^ъ дЪйств'по вЪтра.
При высокихъ здашяхъ съ готическими сводами необходимо вводить въ
расчетъ действ!е ветра. Положимъ, что мы имеемъ часть стены (черт. 267) съ
Черт. 267.
&
контрфорсомъ и съ опирающимися двумя стенными гуртами PJ и F, однимъ попереч-нымъ гуртомъ Р и двумя д!агональными гуртами Л и С\ межку этими гуртами выполнены запалубки.
Въ гуртахъ и запалубкахъ действуютъ распоры, показанные на чертеже стрелками. На столбъ между окнами вместе съ контрфорсомъ будутъ действовать силы: распоры А, В и 0 отъ гуртъ, отмеченныхъ теми же буквами, затемъ распоры запалубокъ ДНЕ и CHF и вертикальное давлеше В. Распоры стенныхъ гуртъ Е и F не показаны на чертеже, какъ взаимно уравновешивающееся.
Кроме того, на столбъ действуетъ сила ветра Ж, приходящаяся на всю площадь между осями соседнихъ контрфорсовъ. Столбъ вместе съ контрфорсомъ можно разсматривать какъ промежуточную опору, на которую съ одной стороны действуетъ равнодействующая распоровъ, а съ другой стороны—распоръ, равный действ!ю ветра. Поэтому расчетъ такого столба можетъ быть произведенъ какъ промежуточной опоры, согласно показанному выше.
27
— 420 —
5) Расчетъ опоръ, поддерживающие своды и укрепленные упорными арками.
При готическихъ сводахъ съ системой гуртъ, образующихъ систему со-средоточенныхъ распоровъ, приложенныхъ къ опорнымъ стенамъ на значительной высоте, приходится прибегать къ устройству упорныхъ арокъ, распоръ которыхъ искусственно уравновешиваешь отчасти равнодействующую распоровъ
гуртъ готическихъ сводовъ, отчасти отклоняетъ кривую давлешя въ желательную сторону для обезпечешя прочности и устойчивости всего сводчатаго готи-
ческаго покрьтя вместе съ поддерживающими его опорными стенами.
Положимъ, что мы имеемъ здаше съ тремя нефами (черт. 268): средшй нефъ высоки, перекрытый готическими сводами, укрепленный упорными ар
Черт. 268.
равнодействующая силъ г и
ками, опирающимися на промежуточный стены; боковые нефы, более низкие, тоже перекрыты готическими сводами; наружный опорныя стены усилены контрфорсами и загрузными башенками.
Въ своде средняго нефа действуешь распоръ а, весъ Ъ и опорное давлеше с. Упорная арка, нагрузка которой равна f, производить на среднюю и крайнюю опоры давлеше е и д.
Наверху средней опоры действуютъ силы: давлешя сводовъ и арки с и е и весъ кладки верха стены съ нагрузкой стропилъ и кровли d.
Равнодействующей силъ с, d и с будетъ сила г, которая действуетъ въ средней части опоры, весъ которой равенъ S.
На наружную стену наверху действуютъ силы: давлеше упорной арки д и веса верха стены и башенки i и Ъ. Равнодействующая этихъ трехъ силъ, равная к, сжимаетъ среднюю часть наружной стены.
Сводъ, перекрывающей боковой нефъ, имею-щш весъ 2т, производить на свои опоры давлеше, равное п. Въ средней опоре это давлеше п складывается съ силой t, которая есть S. Равнодействующая силъ t и п, равная v,
складывается далее съ весомъ w нижней части средней опоры и даетъ равнодействующую z, производящую давлеше на фундаментъ средней стены. Сила я раскладывается на две силы Н1 и G1; первая, горизонтальная, есть равнодействующая распоровъ, а вторая, вертикальная, равна весу той части сводчатаго покрьтя, которая передаешь свое давлеше на фундаментъ средней опоры. Въ крайней опоре равнодействующая к складывается съ давлешемъ п свода, перекрывающего боковой нефъ, и съ весомъ р нижней части крайней опоры. Равнодействующая этихъ силъ д производить давлеше на фундаментъ крайней опоры. Сила д раскладывается на две силы Н и G; первая, горизонтальная,
— 421 —
есть равнодействующая распоровъ, а вторая, вертикальная, равна весу той
части сводчатаго покрьтя, которая передаетъ свое давлеше на фундаментъ
крайней опоры.
Въ некоторыхъ случаяхъ приходится прибегать къ устройству двойныхъ упорныхъ арокъ.
На чертежахъ 269, 270 и 271 показаны разные случаи распредепен!я усилш въ опорахъ готическихъ сводовъ, укре-ппенныхъ упорными арками.
При расчете упорныхъ арокъ бываетъ необходимо, кроме ихъ собственнаго веса и нагрузки, приходящейся на нихъ, принимать въ расчетъ действ!е ветра, которое вводится какъ
Черт. 271.
наклонная нагрузка, действующая нормально къ верхней наклонной поверхности покрьтя .упорной арки.
D. Расчетъ опорныхъ стЬнъ сомкнутыхъ сводовъ. .
Выше, изъ теоретическихъ разсмотренш усилш, действующихъ въ сомкнутыхъ сводахъ, мы пришли къ заключена, что какъ распоръ, такъ и.вертикальное опорное давлеше въ этихъ сводахъ убываетъ отъ средины опорныхъ стенъ къ угламъ пространства, перекрытаго сомкнутымъ сводомъ, где оба эти усил!я равны нулю. Вследствш такого распределешя усилш толщина опорныхъ стенъ сомкнутаго свода должна быть наибольшая въ средине и убывать до нуля къ угламъ, при чемъ безъ большой погрешнс ти можно принять, что наружная поверхность стены имеетъ въ плане очертани параболы aeb (черт. 272) съ вершиной въ точке е. Но такъ какъ испопнеше стены по кривой невозможно, то необходимо определить такую постоянную толщину стены, чтобы прямая
— 422 —
стЪна была одинаково прочна и устойчива, какъ и стЬна параболическаго очертан1я.
Обозначивъ черезъ I длину стЬны (черт. 272) сомкнутаго свода abed и черезъ w толщину стЬны посредине пролета, можемъ написать уравнете параболы, отнесенной къ прямоугольнымъ осямъ координатъ въ видЬ:
w—у w
v /70 л О\
, или у = —(I- — 4 Х-).
Уравнете это даетъ толщину ст-Ьны въ любой точк-fe пролета въ функщи
толщины стЬны въ срединЬ пролета.
Моментъ устойчивости относительно
ребра ab полоски ст'Ьны шириной dx будетъ зависить отъ статиче-скаго момента этой полоски, равнаго:
71Г 7 У У^ 7
dJi. — и dx - = — dx.
1 J 2 2
Подставляя сюда выражеше у, получимъ:
ddilt — ^(P-A.^dx.
Статичесшй моментъ площади aeba всей ст’Ьны будетъ равенъ:
Подставляя выражеше сШ, и производя интегрирован1е, получимъ:
j/ — 2 (7‘2—4«2)2с7ж I 2 =
"Jo 'Jo
Моментъ устойчивости прямой стЬны edgh толщиною z будетъ равенъ:
z z'1
— 423 —
Толщина z прямой стЬны определится изъ услов!я равенства статических^ моментовъ двухъ площадей стЬнъ, одной очерченной по параболЬ и другой прямой. Такимъ образомъ, мы имЬемъ уравнеше:
4 1
jr = J2 или — w31 = — г21, 12 15 2
откуда находимъ выражеше для толщины прямой стЬны одинаково прочной н устойчивой, какъ и криволинейная:
или, приближенно, s = — w.
Такимъ образомъ мы нашли, что толщина стЬны сомкнутаго 3
свода равна толщины цилиндрическаго свода того же пропета, подъема и нагрузки.
Это правило было дано еще Ронделе на основаши его опытовъ надъ моделями.
Е. Расчетъ опоръ купопьныхъ и парусныхъ сводовъ.
Такъ какъ растягиваюцця усилия въ кладкЬ не допускаются, то опоры купопьныхъ и парусныхъ сводовъ разсчитываются на одни продольный усил!я упомянутыхъ сводовъ. Поперечный же усил!я этихъ сводовъ воспринимаются самими сводами въ томъ случаЬ, когда они сжимаюгщя, и связями въ томъ случаЬ, когда они являются растягивающими.
Такимъ образомъ, опоры купольныхъ и парусныхъ сводовъ поставлены въ так!я же условия, какъ и опоры цилиндрическихъ сводовъ, поэтому расчетъ опоръ первыхъ сводовъ нисколько не отличается отъ расчета опоръ вторыхъ сводовъ; необходимо только взять длину стЬны, соотвЬтствующую вырЬзу купольнаго и паруснаго свода.
Въ купопьныхъ и парусныхъ сводахъ существующш распоръ тоже зачастую бываетъ уравновЬшенъ связями; при этомъ опоры названныхъ сводовъ разсчитываются на однЬ вертикальный сипы.
- 424 —
F. ОпредЪлеже направлена нулевой лижи въ пилонахъ, подверженныхъ сжимающей силЪ, и построеже ядра сЬчежя пилона.
Положимъ, что мы имеемъ поперечное сечеше пилона, отнесенное къ произвольнымъ прямоугольнымъ осямъ координатъ х и у, не совпадающимъ ни съ главными осями, ни съ сопряженными д!аметрами, но начало координатъ совпадаетъ съ центромъ тяжести сечешя пилона. Положимъ, что координаты точки приложешя вертикальной сжимающей силы Р суть х0 и у °, въ такомъ случай напряжете п въ любой точке сечешя пилона выражается формулой, известной изъ курса сопротивлешя матер!аловъ:
1 ( 1 Р
= у - + Ч ж - '4 ’
я W at/ I J
где Ря и J—моменты инерщи площади сечешя пилона относительно осей х и у,
J„„—центробежный моментъ той же площади относительно техъ же осей;
= Р у °—моментъ силы Р относительно оси х;
Цу = Рх0—моментъ силы Р относительно оси у, х и у — координаты разсматриваемой произвольной точки; ср—площадь всего сечешя пилона.
Въ томъ случай, если сечеше отнесено къ главнымъ осямъ или къ сопряженнымъ д!аметрамъ, то тогда J = 0 т.-е. выражеше напряжешя п упрощается и принимаетъ видъ:
«> У Р п= — М- —М -у------------------------------------------,
и !> со
Наконецъ, если сечеше отнесено къ осямъ, изъ которыхъ одна будетъ параллельна нейтральной (нулевой) оси, другая ей перпендикулярна, то выражеше напряжешя п еще более упрощается и принимаетъ видъ:
Mv = Ру0—моментъ сжимающаго усил!я Р относительно оси г;
у—координата точки приложешя силы Р относительно оси т;
,«—координата (кратчайшее разстояше) любой точки сечешя относительно оси v;
Jv—моментъ инерщи сечешя относительно оси v, проходящей черезъ центръ тяжести сечешя параллельно нейтральной оси;
со—площадь всего сечешя пилона.
— 425 —
Въ этомъ последнемъ случае трeTift членъ выражешя напряжешя ц. исчезаете, такъ какъ, при деформаши пилона, сечеше его поворачивается около нулевой оси и момента относительно оси ей перпендикулярной не будете.
Изъ сказаннаго следуете, что если мы имеемъ сечеше пилона, на который действуете сжимающая сила, то для того, чтобы узнать, какую изъ приведенныхъ формулъ должно приложить для опредЪлешя напряженж и расчета прочности кладки пилона, необходимо найти либо положеше главныхъ осей сечешя, либо найти направлеше нулевой (нейтральной) лиши и после этого только приступить къ расчету пилона.
Что касается расчета пилона, то онъ кроме того, зависите отъ положешя сжимающей силы относительно ядра сечешя пилона. Въ томъ случай., если сжимающая сила приложена внутри ядра сечешя или на его контуре, то тогда все сечеше пилона подвержено только сжимающимъ усил!ямъ, такъ какъ нулевая лишя находится за пределами сечешя пилона или же касается его; напряжешя въ любой точке будутъ найдены изъ приведенныхъ формулъ. Если же сжимающая сила приложена вне ядра сЪчешя, то тогда часть сЪчеш’я пилона, ближайшая къ сжимающей силе, будетъ сжата, а въ противоположной части сечешя появятся растягивающая усшпя, такъ какъ нулевая лишя пройдете где-либо въ предЪлахъ поперечнаго сечешя пилона.
Но такъ какъ растягивающая усил!я недопустимы въ каменной кладке, то къ этому последнему случаю придется применить несколько иной расчетъ, который будете приведенъ ниже.
1) Нарожденie положена главныхъ осей и направлена нулевой оси,
Положимъ, что мы имеемъ пилонъ (черт. 273), сечеше котораго отнесено къ произвольнымъ осямъ х и у. На пилонъ действуете сила ./*, координаты точки приложешя которой суть хв и ув. Найдемъ сперва положеше главныхъ осей X и У и затемъ направлеше v нулевой оси.
Для нахождешя положешя главныхъ осей применимъ построеше при помощи круга. Для этого необходимо иметь величины моментовъ инерщи J/t и Моменты инерщи Jx и J t легко найти для даннаго сечешя пилона аналитически по известной формуле, разбивъ площадь сечешя пилона на простыя фигуры (прямоугольники). Моменте инерщи найдемъ изъ выражешя:
въ которомъ J и положимъ, уже определены аналитически, а моментъ инерщи ,7. найдем ь графически, для чего разобьемъ сечеше пилона пишями, делящими пиполам п прямой уголъ координатъ, на узк!я полоски и определимъ центры ихь тяжести и ихъ площади.
Построимъ многоугольникъ силъ (площадей) при полюсномъ разстояши
— 426 —
о
Н= ~ и шарнирный многоугольникъ. Искомый моментъ инерцш Ji6 по правилу Мора равенъ:
J43 = <2. F,
а
где F—площадь фигуры abcdefghkla,
22—площадь всего сЬчеьия пилона.
Найдя такимъ образомъ величины J ., J и JK, будемъ иметь и центробежный моментъ J изъ приведеннаго выше выражения. Когда числовыя зна-
чен!я Jx, -Jit и нами получены, тогда, согласно известному построен^ остается продолжить ось F внизъ, отложить на ней
CE=JX и ED = J4,
и изъ точки Е возставить перпендикуляръ (вправо или влево, смотря по знаку J it), отложить на немъ: EZ=JXIJ', затемъ изъ средины S длины СО описать окружность рад1усомъ, равнымъ половине CD, провести д!аметръ черезъ точку Z и соединить концы д!аметра KL съ точкой С прямыми СК и CL, который и бу.
— 427
дутъ искомыми главными осями. Точка Z разделить дааметръ KL на две части равныя главнымъ моментамъ инерцш:
LZ = J и ZK J .
х У
Для определешя сопряженныхъ д(аметровъ, одинъ изъ которыхъ дастъ направление нулевой лиши, необходимо сначала точку Р соединить прямою съ точкой С и продолжить эту прямую до пересечешя въ точке V съ окружностью, а затемъ провести хорду VZM черезъ точку Z. Хорда VZM перес-Ьчетъ окружность въ точке Л/, которую надо соединить прямой съ точкой С. Лин1я СМ и дастъ направлен1е нулевой лин1и CMv, сопряженный косоугольный лиши будутъ Сг и CV.
Проведемъ черезъ точку С лишю fiCft перпендикулярно оси Сг и изъ точки Z опустимъ перпендикуляръ на Ст, тогда будемъ иметь прямоугольный оси координатъ C[i и Ст, по отношешю къ которымъ моменты инерщи сечешя пилона будутъ:
JV = MF, J„ = FC, Jru ZF.
Такимъ образомъ, все величины, входящ!я въ выражеше напряжешя
А>-." . /'
11 — - |-
со
мы имеемъ, а потому можемъ определить величину напряжешя для любой точки пилона; для случая, когда Mv — P.tuc, где Р и даны, JV~MF.
Длины ,« берутся по чертежу, при чемъ для наибольшихъ напряжешй величины j.i должны быть тоже наибольгшя; для определешя наибольшихъ величинъ необходимо провести лиши, касательный къ очерташю пилона, параллельный оси Ст, и измерить найденныя ,« наиболее удаленныхъ точекъ контура пилона отъ оси Ст.
Въ выражении напряжешя п можемъ вместо упомянутаго момента Mv силы Р, взять моментъ той же силы Р относительно центра тяжести сечешя пилона и вместо момента инерц1и Jv взять моментъ инерцш относительно оси Ст при разсмотреши сечешя пилона по отношешю осей CV и Cv. Моментъ J/o усил!я Р относительно центра тяжести сечешя будетъ:
где z0—разстояше точки приложешя усил!я Р отъ центра тяжести сечешя.
Для построенныхъ сопряженныхъ косоугольныхъ осей CV и моментъ инерцш будутъ найдены, когда проведемъ касательный къ окружности въ точкахъ да и V и опустимъ затемъ на эти касательный перпендикуляры изъ точки Z. Длины этихъ перпепдикуляровъ и будутъ моментами инерцш площади пилона относительно сопряженныхъ осей CV и СМ. Построеше это не выполнено на чертеже, такъ какъ моментъ инерщи относительно оси CV намъ не нуженъ, а моментъ инерцш относительно оси СМ будетъ равенъ уже известному намъ
— 428
моменту инерцш Jv = MF, такъ какъ длина перпендикуляра, опущеннаго изъ точки Z на касательную къ окружности въ точке М, равна длине FM.
Центробежный моментъ инерщи относительно осей т и V.... Jv= 0.
Обозначимъ черезъ /? углы VC[i и ZMF, равные, какъ углы измеряемые половиной дуги CV, будемъ иметь:
cos fl,
j\I,, = P[l0 = P. 8o COS fl = cos fl.
Обозначивъ длину ZM черезъ будемъ иметь:
FM = ZM cos fl или Jv — Jo cos fl.
Подставляя найденный выражешя Mv и Jv въ выражеше напряжешя п, найдемъ:
где М—моментъ усшпя относительно центра тяжести сечешя;
Jo— длина отрезка ZM;
Р—усил}е сжимающее;
Q—площадь сечешя пилона.
Разстояше ,« наиболее удаленныхъ точекъ пилона найдется по прежнему, когда проведемъ лиши касательный къ пилону, параллельный оси СМ-, перпендикуляры, опущенные изъ этихъ точекъ на ось ZM, дадутъ искомыя длины ,</.
Для условия прочности необходимо, чтобы п^к, где к—прочное сопротивлеше кладки пилона сжат!ю.
Такимъ образомъ, прочность пилона будетъ подсчитана.
2) Построеше ядра сЪчешя.
Когда положеше нулевой лиши найдено, остается еще построить ядро въ разсчитываемомъ пилоне иметь место
сечешя для выяснения, будутъ ли растягиваюгщя усил1Я или нетъ.
Для построешя ядра сечешя, рад1усы инерцш:
какъ известно, необходимо найти главные
и
а затемъ отложить ихъ величины отъ начала координатъ на своихъ же главныхъ осяхъ: гх на оси X и г на Y и выполнить известное построеше для получеюя ядра сечешя. На черт. 274 *) показано ядро сечешя, построенное
*) ac — cb = rx, ес cd — ry, точка Р—точка приложения силы.
— 429 —
для разсмотр-Ьннаго пилона, а на чертеж-Ь 275 показано построеше для одной точки контура другого пилона
Положимъ, что (черт. 275) мы имЪемъ сЪчеше пилона, отнесенное къ глав-нымъ осямъ; пусть
Си = Cat = гх и Cfi — Cfit = rtJ.
Для построешя ядра сЪчешя сперва соединяемъ выступающее углы кон
чтобы не было входящихъ угловъ, а зат’Ьмъ для каждаго
тура прямыми такъ,
выступающаго угла полученнаго контура строимъ нейтральный оси.
Для примера показано построеше для угла а, изъ котораго опущены на оси координатъ перпендикуляры ab и ас, точки b и с соединены съ концами а и fi отложенныхъ рад!усовъ инерцш прямыми, перпендикулярно которымъ
проведены лиши с.е и fid. Точки е и d опредТляютъ положеше искомой нейтральной лиши пп для угла а.
Выполнивъ подобный построешя для всЬхъ угловъ контура с-Ьчешя и получивъ нейтральный прямыя для вс-Ьхъ угловъ, будемъ им-Ьть огибаемое ими ядро сЪчешя.
3) Расчетъ прочности пилона.
а) Расчетъ прочности пилона въ случай, если вся площадь его сЪчежя подвержена только сжимающимъ усип!ямъ.
Если точка приложешя силы Р заключается внутри ядра сЬчешя или на его контур-Ь, то затрудненш въ провЪрк-Ь прочности не представляется, такъ
— 430 —
какъ растягивающихъ усилш нигде не будетъ; необходимо только, пользуясь приведенными формулами, найти наибольшее сжимающее напряжете и сравнить его съ прочнымъ сопротивлешемъ кладки пилона.
Ь) Расчетъ прочности пилона, не принимая во внимаже растягивающие усилю, проявляющиеся въ части его сЪчежя. Лижя Мора.
Въ случае, если точка приложешя силы, сжимающей пилонъ, попала за
пределы ядра сечешя, то тогда необходимо будетъ найти положеше нулевой лиши, имея при этомъ въ виду предположеше, что сила Р уравновешивается ц%ликомъ одними сжимающими напряжешями, действующими въ некоторой только части площади сечешя и притомъ въ той, въ которой приложена сила
Черт. 276.
Р, и которая заключается между частью контура сечешя пилона и найденной нулевой лишей; по другую сторону этой нулевой лиши напряжешя предполагаются равными нулю.
Предположимъ (черт. 276), что мы имеемъ некоторое сечеше пилона, на который действуетъ сила Р за пре-деломъ ядра сечешя, и растягивающ!я усшпя не допускаются.
Предположимъ, что направлен! е, но не положеше нулевой лиши vv найдено при помощи приведенныхъ выше построены.
Пусть лин!я кк—искомое положеше нулевой лиши, отделяющее сжатую часть сечешя отъ части сечешя, не испытывающей никакого напряжешя. Деформащя въ эле-ментахъ сжатой части площади, следуя закону плоскости, будетъ пропорщональна разстояшю этихъ элементовъ отъ оси кк, а по закону Гука напряжешя въ этихъ элементахъ пропорцюнальны деформащямъ, следовательно, и напря
жешя будутъ пропорщональны темъ же разстоян1ямъ.
Обозначивъ напряжете черезъ п, а черезъ >/ разстояше элементарной
площадки do отъ оси кк, можемъ написать выражеше:
n.do = с. г/ .do,
где с—некоторый постоянный коэффищентъ пропорщональности.
Сумма этихъ элементарныхъ усилш будетъ, очевидно, равна силе Р, почему мы и можемъ написать уравнеше:
Р = —и с?со = с—i/ do,
где знакъ суммы распространенъ на всю сжатую площадь.
Моменты сжимающихъ усилш относительно линш кк, будутъ равны:
п do ?/ = о/ do 1/ = с do,
— 431
а моментъ усшпя Р относительно той же лиши кк равенъ Р<, гд-fe с—неизвестное разстояше точки приложешя силы Р отъ оси кк.
Такъ какъ моментъ равнодействующей равенъ сумме моментовъ слагаю-щихъ, то мы можемъ написать уравнеше:
P.g—cSi/3 ско.
Разделивъ моментъ усил!я Р на величину самаго усшпя, получимъ после замены усил!я Р его величиной и после сокращешя на с, искомое разстояше § нулевой лиши отъ точки приложешя силы Р:
, __ Srf ско fe Si] dco
Изъ разсмотр-Ьшя этого выражешя заключаемъ, что:
Stf- (ко = Jk и Si] dco —- 8к,
где Jk—моментъ инерцш сжатой части площади относительно оси кк, a St— статический моментъ той же площади относительно оси кк.
Такимъ образомъ имеемъ:
5 ~ S, •
Мы нашли, что искомая нулевая лишя должна быть проведена параллельно найденному направлешю нейтральной оси въ разстояши s отъ точки приложения силы Р, само же разстояше £ есть отношеше момента инерщи къ статическому моменту сжатой части относительно искомой нулевой лиши кк. Остается только показать, какъ можно графически найти положеше лиши кк, удовлетворяющее указанному соотношению. Положеше лиши кк можно отыскивать утомительнымъ и сложнымъ путемъ послф>довательныхъ пробъ, безъ пред-варительнаго опред-Ьлешя направлешя tv нулевой лиши. Но какъ скоро указан-нымъ выше пр1емомъ направлеше тт нулевой линш найдено, то положеше нулевой лиши кк находится довольно просто.
Предположимъ, что мы им’Ьемъ пилонъ (черт. 277), отнесенный къ осямъ, одна изъ которыхъ уу уже проведена параллельно направлешю нулевой лиши, а другая ось хх перпендикулярна первой; начало координатъ взято въ центре тяжести сЬчешя пилона. Сечеше пилона разбито лишями, параллельными направлешю нулевой линш, на фигуры, и изв-Ьстнымъ пр!емомъ построенъ многоугольникъ силъ (площадей) при полярномъ разстояши
где £—площадь сФ.чен1Я всего пилона. Затемъ построенъ шарнирный многоугольникъ afryti. При построеши центры тяжести фигуръ 1, 2 и 3, а также фигуръ а, b и с определены особо для того, чтобы упростить все построеше; равнодействуюгщя 7и IV введены въ дальн%йш1я построешя ц-Ьликомъ.
— 432 —
Когда шарнирный многоугольникъ построенъ, тогда проводимъ лин!ю КК и предположимъ, что она действительно и есть искомое положеше нулевой лиши, отъ которой сила Р должна отстоять, какъ известно, на разстояши
г- _ ’Л
Ь Su
Продолжимъ лишю КК дальше до пересечешя въ точкахъ т и z со сторонами шарнирнаго многоугольника.
Черт. 277.
Изъ графической статики известно, что
Sk — vx.H, или
= площади xlfr/Pv. 2Н , или
Jk = площади xl6'/jjV.Si.
— 433 —
Подставляя въ выражеше < значешя и .Гк, получимъ:
„__площадь zZcJ/jг. й
s а ’
TZ- —
или обратно: /<z :i
площадь z2cJ/,?t = ь •
Правая часть этого равенства выражаетъ площадь треугольника Z7>2, у котораго rz есть основаше, а § есть высота.
Изъ разсмотрЪшя этого равенства заключаемъ, что для того, чтобы определить положеше лиши КК, которое действительно было бы положешемъ нулевой лиши, необходимо выполнить следующее построеше:
а) провести черезъ Р, точку приложешя сжимающей силы, лишю Р). параллельно направлешю нулевой лиши;
Ь) определить точку 2 пересечешя лиши Р2 съ последней стороной шарнирнаго многоугольника;
с) черезъ точку 2 провести прямую ?;2, которая удовлетворяла бы равновеликости площадей треугольника r2zi> и фигуры rMyffvx;
d) определить точку v пересечешя проведенной лиши vl съ шарнирнымъ многоугольникомъ;
е) наконецъ, черезъ точку v провести искомую лишю КК, которая и будетъ искомой нулевой лишей по направлешю и по положешю.
Изъ разсмотрешя же чертежа видимъ, что лишя 2д, которую будемъ называть л и н i е й Мора, отрезываетъ отъ площади zv/?/d2z фигуру [Г/Ю.ц и прирезываетъ фигуру
Для равенства площадей ХРруМж и z2tz необходимо, чтобы площади /г/б2,м и трцт были бы равновелики.
Отсюда заключаемъ, что положеше точки v и проходящей черезъ нее нулевой лиши КК будетъ найдено, какъ скоро будетъ выполнено нижеследующее построеше: определяемъ точку 2 пересечешя последней стороны шарнирнаго многоугольника съ лишей, проведенной черезъ точку приложешя силы ./’ параллельно нулевой лиши; изъ этой найденной точки 2 проводимъ лишю Мора 2т такъ, чтобы обе фигуры, одну изъ которыхъ она отрезываетъ отъ фигуры stfyfla *), а другую къ ней прирезываетъ, были бы равновелики по площади. Определяемъ точку пересечешя лиши Мора съ шарнирнымъ многоугольникомъ и черезъ эту найденную точку проводимъ лишю параллельно данному направлешю нулевой лиши. Полученная такимъ образомъ прямая КК и будетъ по положешю и направлешю искомой нулевой лишей разсчитываемаго пилона въ предположен^, что часть его KKt испытываетъ только сжат!е, а часть его KKSS не испытываетъ никакого напряжешя.
Для услов!я прочности пилона необходимо, чтобы напряжете въ наиболее удаленныхъ точкахъ tut отъ нулевой лиши КК было бы менее допускаемаго напряжешя кладки сжат(ю.
*) Тоже относится и къ фигур-Ь zvftySJ., но этой площади еше не имеется, пока не отыскали точку v и не провели тх.
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ. 28
— 434 —
Проверка эта исполняется по формуле:
Мл . I
п =
и
Ы,
где
Р—сжимающая сила;
еп—кратчайшее разстояше точки приложешя силы Р отъ оси, параллельной найденной нейтральной оси и проведенной черезъ центръ тяжести только сжатой части сечешя пилона;
®п—разстояшя наиболее удаленныхъ точекъ сжатой части сечешя пилона отъ нулевой оси vw,
Jn—моментъ инерцш только сжатой части пилона;
а>п— площадь только сжатой части пилона;
к— прочное сопротивлеше сжатию кладки пилона.
Кроме того, пилоны должны быть проверены въ отношенш устойчивости на скольжеше и на опрокидываше, согласно уже изв-Ьстнымъ правиламъ; при этомъ, конечно, долженъ быть полученъ необходимый коэффищентъ устойчивости.
Проверку прочности и устойчивости пилоновъ должно производить какъ на уровне подошвы пилона, такъ и въ уровне подошвы фундамента пилона. Некоторые строители разсматриваютъ, что кладка занимаетъ некоторое среднее положеше между однороднымъ упругимъ т’Ьломъ, могущимъ воспринять всецело появляющаяся въ немъ какъ сжимаюгщя, такъ и растягиваюпця напря жешя, и тЬломъ, воспринимающимъ только одни сжимаюцця напряжения. Въ такомъ случае расчетъ пилона можетъ быть выполненъ, принимая средшя напряжешя между напряжешями, определенными въ двухъ предположеюяхъ: допуская растяжеше и не допуская его.
с. Опред-Ьлеже положежя лижи Мора построежемъ.
Выше было указано, что лишю Мора
можно провести на глазъ такъ, чтобы отрезаемая площадь была равна прирезаемой.
Хотя такое построеше не сложно, но темъ не менее проведете линш на глазъ и не надежно и утомительно, а потому определеше положешя линш Мора можетъ быть выполнено точно при помощи особаго построешя. Покажемъ сначала это построеше схематически на особомъ
чертеже, а потомъ применимъ его къ построешю линш Мора для пилона.
Известно, что шарнирный многоугольникъ является многоугольникомъ, описаннымъ около параболы, которая и была бы получена, если бы фигура была разбита на чрезвычайно узк!я полоски. Положимъ, что мы имеемъ пара болу (черт. 278) АВС, въ точке В которой проведена касательная DE, затемъ
— 435 —
проведена хорда АС, параллельная касательной, и изъ конца хорды две взаимно параллельный лиши АО и С£; проведенный четыре прямыя образуютъ параллелограммъ ADEC, площадь котораго, какъ известно, въ | раза более площади сегмента параболы АВС.
Въ точке С проведемъ касательную CG къ параболе и соединимъ точку G съ точкой А площадь полученнаго треугольника AGC будетъ составлять половину площади параллелограмма ADCE *). Разд-Ьлимъ затемъ лишю CG на три части и отложимъ одну полученную треть на продолжена линш CG\ если соединить точку F съ А, то AF пересЪчетъ параболу въ точке Н. Изъ по-строешя получимъ следующее соотношение:
CF 4
CG ~ 3 ‘
Въ такомъ случай площадь полученнаго новаго треугольника ACF будетъ въ 1 раза более площади треугольника AGC.
Такимъ образомъ, мы получили фигуры, площади которыхъ будутъ:
АВС = | ADCE, ADCE = 2 AGC, AGC = ?- AFC.
После посл'Ьдовательныхъ постановокъ будемъ иметь:
ADCE=i AFC.
Площадь сегмента параболы АВС—; площади треугольника AFC.
Разсматривая далее построеше, замечаемъ, что фигура АНС входитъ одинаково какъ въ площадь сегмента параболы АВС, такъ и въ площадь треугольника AFC-, следовательно, площади фигуръ А/Н и HFC, оставшихся отъ равныхъ двухъ фигуръ АВС и AFC за вычетомъ одной и той же фигуры АНС, должны быть равны; такимъ образомъ, мы убеждаемся, что линш AHF есть лишя Мора.
Теперь то же построеше можемъ выполнить въ обратномъ порядке. Положимъ (черт. 276), что мы имеемъ параболу (шарнирный многоугольникъ) Abed и некоторую данную
АВ, изъ конца которой В необходимо провести секущую
сательную многоугольника такъ, чтобы она была бы лишей Мора.
ДТлимъ лин1ю АВ на четыре равныя части и изъ точки С, примыкающую къ точке В четверть, проводимъ касательную ОС
ному многоугольнику; изъ точки А проводимъ хорду АЕ || ОС и точку Е соединяемъ съ точкой В; лишя BE и есть лишя Мора.
къ ней ка-шарнирнаго
отделяющей къ шарнир-
*) Площадь параллелограмма ACDE равна произведена АС на высоту, а площадь треугольника ACG равна произведежю АС на половину той же высоты.
28*
— 436 —
Прим-Ьнимъ теперь это построеше для определешя положешя линш Мора въ с-Ьчеши пилона.
Положимъ, что мы имеемъ пилонъ (черт. 280); точка Е приложешя силы Р дана, шарнирный многоугольникъ (парабола) построенъ, положеше крайней стороны АВ шарнирнаго многоугольника и проекщя на нее точки Е' даны. Д-fe-лимъ АЕг на четыре равныя части, изъ точки Су последней четверти проводимъ касательную CJ) и параллельную ей хорду AF, наконецъ точку F соеди-няемъ съ точкой тогда Е±Е и будетъ лишей Мора. Остается провести черезъ полученную точку F, параллельно лиши EElt лишю FF', которая и будетъ ну левой лишей пилона при данномъ положеши точки приложешя усил1я Р.
Bet. приведенный построешя выполнимы только тогда, когда главный или сопряженный оси сечешя пилона найдены и направление нулевой лиши получено.
d. Построеже лижи Мора и нулевой лижи безъ предварительна™ опредЪлежя направлежя нейтральной лижи.
Положимъ, что мы имеемъ пилонъ и точку Р приложешя къ нему силы Р (черт. 281); требуется определить положеше нулевой лиши, не находя главныхъ осей и сопряженныхъ д1’аметровъ.
Черезъ точку Р проводимъ произвольную лишю уу, которую и при-мемъ за направлеше нейтральной оси. Д-кпимъ пилонъ на полоски лишями, параллельными оси уу, определяемъ площади и центры тяжести полученныхъ полосокъ; строимъ многоугольникъ площадей при полюсе 0 и полюсномъ раз-стояши Н, затемъ строимъ шарнирный многоугольникъ AGCB и отмечаемъ точку Е пересечешя первой стороны ея съ осью уу. Делимъ длину АЕ на четыре равныя части и изъ точки N последней четверти проводимъ касательную NT и изъ точки А хорду AC\\NT, соединивъ точки Е и С прямою, получимъ лишю Мора, которая пересечетъ шарнирный многоугольникъ въ точке С и
— 437 —
отделить равновелиюя заштрихованный между собою площади. Проводимъ черезъ точку С лин1ю пп, которая будетъ однако действительною нулевой лин!ей только въ случае, если при данномъ положеши точки Р направлеше уу было выбрано удачно.
Требуется проверить и убедиться въ правильности направлешя и положешя лиши пп. Если действительно лишя пп вполне верна, то точка приложешя равнодействующей внутреннихъ напряжешй п сжатой части контура пилона должна совпадать съ точкой Р приложешя внешней силы Р; усил!я п, будучи постоянны въ отдельныхъ полоскахъ (предполагая ихъ очень узкими),
Черт. 281.
возростаютъ отъ нуля у лиши пп до maximum’s, въ первой крайней полоске; точки приложешя равнодействующихъ напряжешй сжапя каждой полоски должны совпадать съ центрами тяжести самихъ полосокъ 7, 2, 3, 4, 5, 6, 7; следовательно, какъ точка Р, такъ и совпадающая по услов!ю съ нею искомая точка приложения равнодействующей напряжешй всехъ полосокъ должны заключаться въ замкнутомъ контуре, соединяющемъ найденные центры тяжести полосокъ сжатой части пилона.
438
Проведя замкнутый многоугольникъ 1—5—7—1, видимъ, что точка Р лежитъ действительно внутри его.
Для опред-Ьлетя положешя точки приложешя равнодействующей внутреннихъ напряженш сжат!я полосокъ пилона, направленныхъ нормально къ чертежу, предполагаемъ ихъ совмещенными съ чертежемъ.
Предположивъ сперва, что напряжешя направлены параллельно оси уу, заключаемъ на основаши теорш и всего до сихъ поръ выполненнаго построешя, что равнодействующая ихъ въ такомъ случае совпадаетъ съ осью уу. Для опре-делешя точки приложешя равнодействующей, остается повернуть направлеше напряженш полосокъ подъ произвольнымъ угломъ къ оси уу и найти ихъ новую равнодействующую, которая пересечетъ ось уу въ искомой точке приложешя ихъ равнодействующей.
Повернемъ направлеше напряжешя на 45° и проведемъ изъ центровъ тяжести полосокъ направлеше подъ указаннымъ угломъ къ оси уу. Такъ какъ по закону плоскости напряжешя п полосокъ прямо пропорциональны статиче-скимъ ихъ моментамъ, по отношешю оси пп, а эти последше, какъ известно, будутъ получены, если мы продолжимъ стороны шарнирнаго многоугольника до пересечения съ лишей пп, то полученные такимъ образомъ отрезки /' — //', И' — Ш' и т. д., умноженные на полюсное разстояше Н, и будутъ равны упо-мянутымъ статическимъ моментамъ.
Отрезки /' — /', //'— И' и т. д., прямо пропорцюнальные напряжешямъ полосокъ, могутъ послужить данными для определешя положешя искомаго положешя равнодействующихъ напряженш, повернутыхъ подъ угломъ 45°. Для этого необходимо либо провести лишю подъ угломъ 45° къ уу и отложить отрезки /' — /', //' — И' и т. д., построить многоугольники силъ и шарнирный, либо взять произвольный полюсъ О', провести лучи и построить шарнирный многоугольникъ abcdetgh, стороны котораго наклонены подъ угломъ 45® къ проведеннымъ изъ полюса О' лучамъ.
Проведя черезъ точку h пересечешя крайнихъ сторонъ последняго шарнирнаго многоугольника лини hR подъ угломъ въ 45° къ оси уу и опреде-ливъ точку R пересечения этой лиши съ осью уу, получимъ искомую точку приложения равнодействующей напряженш сжатой части пилона.
Если направлеше уу было угадано достаточно верно, тогда точка R получится, по меньшей мере, внутри контура 12345671 и въ особенно удач-номъ случае точки R и Р могутъ совпасть или отстоять другъ отъ друга на незначительномъ разстояши, какъ на черт. 281
Если точка R не попала въ указанный контуръ или разстояше RP значительно, тогда необходимо сделать новую попытку, повернувъ ось уу около точки Р на некоторый уголъ; это новое построеше можетъ быть, однако, выполнено при помощи прежняго. Определяемъ центръ тяжести 5 только что найденной сжатой части пилона (черт. 281); для этого продолжаемъ крайшя стороны шарнирнаго многоугольника, соответствующаго этой сжатой части пилона и определяемъ точку S'; черезъ точку S’ проводимъ лишю S'S параллельно оси уу и на ней обычнымъ построешемъ (опущеннымъ на чертеже, чтобы не затемнять построешя) находимъ точку 5 центръ тяжести сжатой части пилона. Соединяемъ найденную ранее точку R (черт. 281) съ точкой 5 и продолжаемъ
— 439 —
лишю RS до пересечешя въ точке W съ ошибочно найденнымъ положешемъ нулевой лиши. Направлешя SS' и RW будутъ сопряженный косоугольный оси, такъ какъ, во-первыхъ, проходятъ черезъ центръ тяжести фигуры, во-вторыхъ, на оси WR лежитъ точка R равнодействующей напряжешй, и въ-третьихъ ось SS параллельна нулевой лиши, для которой определена точка R.
Для определешя новаго вернаго положешя нулевой лиши необходимо провести некоторую лишю черезъ W такъ, чтобы сопряженная ей ось, проходящая черезъ ту же точку (У, прошла вместе съ темъ и черезъ данную точку Р приложешя внешней силы. Чтобы не затемнять чертежа, подобное построеше выполнено отдельно (черт. 282). Оси КК и SS—старыя сопряженныя оси при ошибочномъ положеши нулевой лиши пп и соответствующемъ ей положеши точки R. Черезъ точку Р проводимъ PU || VV и находимъ координаты и s, точки Р для косоугольныхъ координатъ SS и КК.
Согласно известной теорш ядра сечешя, точка К на оси SS, антиполярная
точки U, получится въ томъ случае, если мы отложимъ
длину s2, удовлетво-
ряющую равенству:
si • s2 — г®2>
где рад1усъ инерцш сжатой части пилона относительно оси VV. Длины же и i\t согласно построешю удовлетворяютъ равенству:
где i тоже рад|усъ инерцш сжатой части пилона относительно оси SS. Если бы точка I/ была найдена, то было бы достаточно провести лишю К4К для того, чтобы получить искомую верную нулевую лишю для точки Р.
Для опредЬлешя величины строимъ многоугольникъ силъ О, при полюсе 0 и полюсномъ разстоянш ’/2 22, где 22— площадь старой сжатой части
— 440 —
пилона, и, построивъ шарнирный многоугольникъ ABCD, определяемъ согласно известному правилу моментъ инерцш относительно оси VV, равный
JV = S.F
rpfa F заштрихованная площадь ABCDA. Но такъ какъ известно, что =
то гв2 F.
Определивъ такимъ образомъ рад!усъ инерцш iv, возставляемъ изъ точки 5 перпендикуляръ, откладываемъ длину 5/, равную iv, соединяемъ / и U прямою, изъ средины J прямой /V возстановляемъ перпендикуляръ JK, находимъ точку К пересечешя его съ осью 55 и изъ точки К раддусомъ KU описываемъ полуокружность, или при точке / проводимъ лишю IV подъ прямымъ угломъ къ линш Ш\ точка пересечения окружности или прямой IV съ осью 55 дастъ искомую точку V; соединяемъ эту точку съ точкой 1Л1 прямою VW, которая и будетъ искомымъ исправленнымъ направлешемъ нулевой линш, отделяющей новую сжатую часть площади пилона. Такимъ образомъ, получена новая сжатая площадь пилона, для которой снова необходимо выполнить построеше, указанное на чертеже 281. Когда точка В получилась совпадающею или близко лежащею къ точке Р, тогда остается изъ точки Р опустить на нулевую лишю перпендикуляръ, длина котораго будетъ 1«0, затемъ определить моментъ инерцш Jr
сжатой части площади пилона со и, подставивъ найденный величины въ формулу:
М./г Р и = ------1---,
определить прочность пилона, при этомъ вместо /с необходимо подставить координату наиболее удаленной точки сжатой части пилона отъ нулевой оси.
4. Построение днаграммъ напряжений въ пилона^ъ.
а) Въ случай, когда нулевая пины нежить вн^ сЪчежя или касается сЪчежя пилона.
Положимъ, что мы имеемъ (черт. 283 и 284) лишю ab, изображающую проекщю площади прямоугольнаго сечешя пилона на вертикальную плоскость, перпендикулярную нулевой лиши, которая въ чертеже 283 находится вне сечешя, а на чертеже 284 касается его въ точке а; въ первомъ случае усил!е
— 441
Р находится внутри ядра сЬчешя пилона cd, во второмъ случаЬ усил!е Р какъ разъ совпадаетъ съ границей ядра сЬчешя.
Изъ теор!и неравномЬрнаго сжатия извЬстно, что въ центрЬ тяжести пилона Р
равно п = ; откладываемъ въ нЬкоторомъ услов-
напряжеше всегда
номъ масштаба длину
ед — п — — ; изъ точекъ с и d, границъ ядра сЬчешя, dg и находимъ точки h и к пересЬчешя этихъ лишй съ
проводимъ лин(и eg и направлешемъ силы Р; изъ точекъ h и к проводимъ горизонтали hm и к/ до пересЬчен!я съ вертикалями ат и Ы, проведенными черезъ крайшя точки сЬ-чен(я пилона.
Во второмъ случаЬ (черт. 284) точки h, f и d, а также а и т взаимно совпадаютъ. Соединивъ найденныя точки т и /, а также а и / прямыми, находимъ, что лиши ml и al проходятъ черезъ точки д. Полученный д!аграммы amglb и aglb будутъ искомыя.
Въ справедливости построешя можно убедиться, взявъ отношешя сторонъ подобныхъ треугольниковъ:
Д сед оо Л ckf,
Л dge ос Д dhf,
Л еде оо Д ckd.
Такимъ образомъ, будемъ
имЬть:
cf
ce
fk
де
df de
fh
де '
и
а также:
cd
се
kd
де
Изъ этихъ отношенш находимъ:
а также:
cf-—се fk ед
се де
df—de fh—-ge
de
9е
и
cd — се
се
Въ этихъ отношешяхъ
dk — де де
cf— ce = ef — z0, ge =
Т’
со
fk — де =Ы — — = п-------------------,
и ю max CQ
df— de = — ef= — z,
fh—ge —
^min
. . 1 , cd — ce = ed ~ ce ab, 6
P
dk -ge = bl—ge = nmax
со
— 442 —
Подставивъ эти величины въ вышеприведенное отношеше, получимъ:
а также:
со
Откуда, обозначивъ ab черезъ d, будемъ им4>ть:
а также:
~2 —
Такимъ образомъ, полученныя извЪстныя формулы неравномЪрнаго сжат1я подтверждаютъ правильность построешя.
Ь) ОпредЪлеше д!аграммы напряжешя, когда нулевая лишя пежитъ внутри сёчежя пилона и положеше ея определено, не принимая во внимаже растяжежя.
Въ этомъ случае необходимо найти центръ S тяжести сжатой части пилона, провести лишю MZ (черт. 281), нормальную къ нулевой лиши, спроектировать на нее нулевую лишю, найденный центръ тяжести 5 и крайнюю наиболее удаленную точку пилона отъ нулевой лиши, провести черезъ найденныя такимъ образомъ точки 5, и Z параллели 7, и ZT нулевой лиши и на лиши Р
S(7( отложить въ условленномъ масштабе длину S( ТЛ равную где со—площадь сжатой части сечешя пилона. Наконецъ, проекщю нулевой лиши—точку М соединить съ точкой Т\ и лишю МТг продолжить до пересечешя съ лишей ZT. Полученная такимъ образомъ д!аграмма ZMT и есть искомая д!аграмма или клинъ напряжен! й.
Это же построеше можно достигнуть инымъ путемъ. Сила р должна равняться сумме всехъ напряжешй п въ сжатой части пилона, что можетъ быть выражено уравнешемъ:
Р — Хп ско.
— 443 —
Для каждой полоски с-Ьчешя, параллельной нулевой лиши, напряжения л постоянны и пропорщональны разстояшю Z отъ нулевой лиши, поэтому можемъ положить: п — CZ.
Подставивъ это выражеше на м-Ьсто и, найдемъ:
Р = C^Zdo,
гд-fe Jfe'Z </с> есть статичесюй моментъ всей сжатой площади пилона относительно нулевой линш. Согласно построешю
2,'ZfZo> ~L.IT,
гд-fe L=DC—отр-Ьзокъ на направленш нулевой оси, а Н — полюсное разстояше. Въ такомъ случа-fe
Р= C.L.H.
Подставивъ въ это выражеше обратно С —
и
Z ’
получимъ:
Р= ~ .L.U,
откуда:
при
Z= L,
P.Z
“ ~ 7/./Z
Сл-Ьдовательно, для построешя клина напряжешя необходимо (черт. 281) отложить на лиши MZ длину МК, равную L и на лиши KKt, параллельной ну-
левой
лиши, отложить величину и — -
/’
полученную точку соединить пря-
Н
мою съ точкой М и прямую МК продолжить до пересЪчешя съ лишей ZT; по лученный клинъ ZMT и будетъ д!аграммой неравном-Ьрнаго сжат1я.
G. Виды отдЪльньцсъ опоръ.
Опоры эти могутъ быть очень различны какъ по своимъ поперечнымъ разм-Ьрамъ такъ и по матер1алу, изъ котораго он-fe выполнены.
Главнымъ образомъ, он-fe могутъ быть: а) тонкая и Ь) массивный.
Какъ примЪръ первыхъ, можно указать на чугунныя колонны д!аме-тромъ въ 8 дюймовъ въ Евангелической больниц-fe въ Петербург-fe, гд-fe три нефа опираются на упомянутыя колонны; какъ прим-Ьръ массивныхъ колоннъ, могутъ быть указаны пилоны Смольнаго монастыря площадью по 9 квадрат-ныхъ саженъ. Что касается до направлешя распоровъ, д-Ьйствующихъ на колонны или пилоны, то направлеше и число распоровъ зависятъ отъ примы-
— 444 —
кающихъ къ колоннамъ или къ пилонамъ арокъ. Здесь могутъ быть колонны, къ которымъ примыкаютъ арки: а) съ одной стороны, Ь) съ двухъ, с) съ трехъ, d) съ четырехъ и е) и болЬе сторонъ.
Н. Общее зам-Ьчаже относительно опредЪ-лен!я прочности кладки сводовъ и опоръ.
Найденный построешя клиньевъ напряжешя одинаково приложимы къ определена прочности кладки во всЬхъ частяхъ сводчатыхъ сжатыхъ плоскостей.
I. Общее замЪчаже относительно опредЪ-лежя коэффициента устойчивости опоръ.
При опредЬпеши коэффищента устойчивости опоръ сводовъ возникаютъ существенный затруднешя: кашя силы отнести къ разряду силъ пассивныхъ и как1я къ разряду силъ активныхъ.
Въ аналитической механике приводятся формулы статики:
XX = О, XYe— XZy = O, X Y = 0, YZx — ХХг = О,
ХХу — YYx=O.
Кроме того, им’Ьютъ место акс!омы, указывающая на то, что отъ переноса силы по направлешю ея действ!я услов!я статики не изменяются и что силы действуютъ, следуя закону независимости ихъ действ!я. Въ строительной же механике мы имеемъ дЬло съ силами, действующими на упрупя тела, где переносъ силъ не всегда допустимъ и, кроме того, вводится коэффищентъ устойчивости, который ставитъ на видъ, что для устойчивости сооружешя не достаточно существовашя равенствъ, а должны еще имЬть мЬсто неравенства, приводимый къ равенствамъ путемъ искусственнаго введешя коэффищентовъ устойчивости. При этихъ последнихъ услов!яхъ особенно затруднительно решить: где принимать точки приложешя силъ и как!я сипы или даже ихъ соста-вляюнря слЬдуетъ отнести къ разряду активныхъ или къ разряду пассивныхъ силъ.
Положимъ, что мы имеемъ параллелепипедъ ABCD (черт. 285), собствен ный весъ котораго G приложенъ къ центру тяжести разсматриваемаго тела; на параллелепипедъ действуетъ еще сила В подъ угломъ а къ горизонту; точка приложешя силъ В лежитъ на высоте Н отъ основашя параллелепипеда.
Предпологаемъ силу В перенесенною въ точки пересечешя направлешя этой силы съ направлешемъ силы G и съ противоположной гранью разсма-
— 445 —
триваемаго т-fena, гд-fe точка приложешя находится на высот-fe h; направлеше силы Л встрЬчаетъ плоскость подошвы въ точкЬ О, гд-fe тоже приложимъ перенесенную силу />*. Разложимъ во всЬхъ четырехъ точкахъ силу Л на горизонтальный составляюиия (,) и вертикальный 7'.
ОпредЬлимъ нисколько величинъ, который будутъ намъ необходимы при выводахъ:
= alga, h = H — 2а tga,
h Н
---— 7-------2а’
tga tga
г — h cosa,
P = Psina, Q = Л cosa.
Предположимъ, что ось s совпадаетъ съ вертикальной осью параллелепи-
педа, а ось ж направлена по уравнеше *):
линш АВО; тогда для нашего случая примЬнимъ
27 Zx — X Хг = 0,
которое для обезпечешя устойчивости превратится въ неравенство:
Хг>0.
Обозначивъ черезъ р— плечи силъ Р, I — плечо силы G, q— плечи силъ
Q, будемъ имЬть:
или
откуда
Gl-^Pp— Qq> О,
Gl>Qq-Pp,
Gl
Qq — Pp
) Второе уравнеше совершенно равнозначуще съ первымъ.
— 446 —
Вводя коэффищентъ устойчивости т_2, получимъ:
GI и =т2-
Составимъ это уравнеше для центра моментовъ, взятаго въ точкЪ S, и
разсмотримъ точки приложешя силъ К, L, М и 0, а также составимъ урав-
HeHie моментовъ для самой силы В.
Эти уравнешя будутъ им^Ьть видъ:
ДЛЯ точки „ (,а QH—P2~a~m* '
я Ga „ L ‘ ' H'-h ~т '2 ’ Q ~2~Ра
11
п 0 • • • - = w2' "; Pi ~
и для силы Н .... (/(' — т Вг * •
Подставивъ въ эти уравнешя выражения Р, Q, Н и г, найдемъ:
, _ Ga Ga
Р cosa(h -|- 2 a tga) — В sina 2 a ВЪ cosa ’
т2" Ga Ga г. 2 It -1- 2 a tga т. . R U cosa ’ Л cosa li sinaa Ga
В h cosa ’
m2"" Ga Ga . h Pilicosa' 11 suta tga
m2"'" Ga Ph cosa
Изъ этихъ равенствъ заключаемъ, что
m' = m2 — m'" — m'"' — m2"" ~ m., A £1 A A A A
да иначе и быть не могло, если уравнения были составлены правильно.
— 447 —
Следовательно, весь вопросъ сводится къ тому, какъ при составивши уравненш группировать силы ипи ихъ составляклщя, каюя точки проще принять за точки приложешя силъ и, наконецъ, каюя точки должно брать за полюсъ моментовъ.
Начнемъ съ послЬдняго; когда точка пересЪчен1я равнодействующей вся-кихъ силъ съ подошвой столба определилась и нулевая лишя построена, то тогда вращеше вернее всего можетъ произойти около оси, расположенной въ плоскости подошвы столба и проведенной параллельно нулевой лиши касательно къ контуру основания столба; такимъ образомъ определится полюсъ моментовъ, а разстояше а отъ полюса моментовъ до центра тяжести столба найдется по чертежу; произведете Ga называется моментомъ устойчивости.
За точки приложешя боковыхъ силъ лучше всего принять непосредственно точки столба, лежащ!я на границе со сводами и прочими покрьтями, такъ какъ на эти точки непосредственно действуютъ силы. Силы эти для удобства расчета раскладываемъ на составляюния горизонтальный (распоры) и вертикальный; плечи ихъ находятся изъ чертежа.
Разсматривая уравнеше моментовъ для точки приложешя силъ К:
Ga " m,i
заключаемъ, что сила Р входитъ со знакомъ, обратнымъ знаку сипы Q. Вместе съ темъ изъ разсмотрешя чертежа видимъ, что эта сила Р можетъ быть отнесена тоже какъ бы къ пассивнымъ и ее мнопе неправильно пишутъ въ числителе вместе съ силой G и съ однимъ съ ней знакомъ. Знакъ силы Р, обратный знаку силы Q, имеетъ то BninHie, что входящая въ знаменатель сила Р, или вернее направлеше силы Л, не остается безъ вл1яшя, но уве-личиваетъ коэффищентъ устойчивости.
Если имеется несколько силъ II и они находятся въ разныхъ вертикальныхъ плоскостяхъ, тогда надо определить положеше равнодействующей всехъ силъ и точку пересечешя ея съ подошвой пилона, затемъ найти положеше нулевой лиши и спроектировать все силы /? на плоскость, перпендикулярную къ этой лиши, и составить уравнеше такое же, какъ составленное нами, при чемъ все составляются силы /’ и Q войдутъ въ знаменатель. Въ томъ случае, если сила II будетъ вертикальна, то тогда Л = 1’, а если сила 7? будетъ горизонтальна, то тогда R — но во всякомъ случае все эти силы войдутъ въ знаменатель, при чемъ знаки какъ Q, такъ и Р могутъ быть -ф- и —, смотря по тому, какъ оне действуютъ.
Не безынтересно составить еще зависимость между напряжешемъ въ подошве столба при неравномерномъ его сжатж и коэффищентомъ устойчивости
Общая формула напряжешя неравномернаго сжат1я имеетъ видъ:
— 448 —
гдф,
А7—сжимающее усилие,
со — вся площадь,
0О — эксцентрицитеты,
я — разстояше до наиболее удаленныхъ элементовъ площади,
J — моментъ инерщи всего с-Ьчен!я.
Въ нашемъ случай (черт. 286) пусть S представляетъ давлен!е на подошву столба, представленную лишей АВ.
Разложимъ силу S на составляющая N и Т и приложимъ въ центра тяжести С подошвы двЪ силы N прямо-противоположнаго направлешя.
Условие устойчиваго равнов-Ьшя выразится неравенствомъ:
Nz— Nzo^>0,
гдЪ Nz—моментъ силы N относительно точки В, a Nz0 моментъ пары А’А7. Изъ этого неравенства им-Ьемъ:
Nz~>Nz,
2
или
Nz
Т -—В
и
С
А
Nz
Nzn 2
откуда
Г I.-3 с.
A7 S
Ай
ац, = —
Черт. 286.
Подставляя это выражение въ уравнеше не-равномЪрнаго сжатая, получимъ:
А7 , Ж2 7
— — ~т~----г < 'е
со m^J
Заменяя моментъ инерщи черезъ произведете площади на квадратъ рад1-
. N
уса инерщи и вынося за скобку —, получимъ:
N п = — со
откуда, отбрасывая знакъ неравенства, будемъ имЪть:
, , z2 сок , я® сок
1 +“ ИЛИ ± ~S---------=
г2 т2 Л' г4 т2 N
и
Z2 1
—----7-----ИЛИ
г2 сок
1
Ю Z2 1й“Г~У’72 /ь " со
— 449 —
Имея въ виду лишь абсолютную величину коэффициента устойчивости vnv будемъ иметь:
А
со g*
со
При
т.-е. тому
При
А , ,
— — к имъемъ т2 — ОО, что соотвътствуетъ равномерному сжатно, <о
случаю, когда сила А’ приложена центрально.
А7 к
— — — имеемъ т„ = —г-, что соответствуешь случаю, когда сила ю 2 4 г2
Лт приложена на границе ядра сечешя, имеемъ:
При прямоугольномъ сечеш’и:
,2=^.
12
и
2_ 62 -
Z 4 ’
въ такомъ случае:
Ъ* т2= 4
:^ = 3.
12
А7 1 ,
При — — к
со 4
имеемъ тц — ~ 2 3
,2
т
1/62 Ь2\ иметь т2 = -- I - : —1=1.
Это соответствуетъ положен!ю силы N, которое можетъ быть найдено изъ уравнен!я.
При прямоугольномъ сЬчен!и будемъ
А7
<•>
к
Положивъ здесь для прямоугольнаго сечешя:
2 ’
Ь*
12
А7 1 , и — — - к ,
<ч 4
и подставивъ въ выражеше (а),
найдемъ,
что
или
и, наконецъ,
Н. К. Лахтин ь. Рпечоп < подои t
1
4
6
'° 6
Ъ
'° 2
‘.т = 3 ° 1)
29
— 450 —
т.-е. когда сила N приложена въ крайнемъ ребр-fe с±>чен!я (въ точкЬ В), тогда коэффищентъ устойчивости
»и8 = 1 .
Разсмотримъ еще третье уравнеше моментовъ по отношению вертикальной оси:
ХХу — У Yx - 0 .
Для обезпечешя устойчивости необходимо въ это уравнеще ввести еще моментъ трешя, кромЬ того составить неравенство, а затЬмъ ввести коэффищентъ устойчивости ж2.
Это неравенство будетъ имЬть видъ;
откуда
У Ху — У Yx — Ху*- С О ,
XXy — XYre ’
или
гдЬ § плечо силы X относительно центра тяжести площади подошвы столба, а у— коэффищентъ трешя.
Для опредЬлешя устойчивости на скольжеше будутъ служить формулы XX—О и УУ=0; формула XZ — 0 выражаетъ услов1е прочности основашя столба.
Для устойчивости на скольжеше необходимо ввести трен!е и имЬть въ виду коэффищентъ устойчивости т2. Эти услов(я устойчивости выразятся неравенствами:
и УУ — Ху < О
XX —Ху С ° ИЛИ
XX
Наконецъ получаемъ:
Х'у
* SY=^-
Для обезпечешя устойчивости сооружешя необходимо, чтобы во всЬхъ случаяхъ коэффищентъ устойчивости т2 былъ никакъ не менЬе 1,5 до 2 и даже бол-fee, особенно когда идетъ рЬчь объ устойчивости противъ вращеюя, такъ какъ изслЬдоваше показываетъ, что только при т2 = 3 центръ давлешя дЬй-ствительно лежитъ на границ-fe ядра сЬчешя и въ подошв-fe столба не имЬется растянутыхъ элементовъ, недопустимыхъ въ каменныхъ сооружешяхъ.
Если здаше имЬетъ междуэтажный сводчатыя покрьтя, производящая распоры на стЬны, то устойчивость такой стЬны подсчитывается по тЬмъ же формуламъ; пяты сводовъ стараются расположить не на продольныхъ стЬнахъ
— 451 —
здашя, а на поперечныхъ, им-Ья въ виду ихъ
меньшую длину и друпя кон-
структивныя особенности.
Коэффищентъ устойчивости
стЬны (черт. 287) относительно точки 4
будетъ:
SGa т*~ ZQh—SVb'
гд-fe G— вертикальный грузы;
а — плечи ихъ относительно точки 4;
Q —распоры;
h —высоты точекъ приложешя распоровъ;
V — вертикальный давлешя на стЬну отъ сводовъ,
b —плечи этихъ давленш относительно точки 4.
Въ случа-fe, если устойчивость опоръ не вполн-fe удовлетворена, то тогда необходимо выполнить некоторый меры усилешя опоръ, къ таковымъ относятся:
1) Увеличеше массы (веса) въ высоту опоръ при помощи наложешя на опору особыхъ грузовъ (башенокъ, главокъ и т. д.), или увеличешя веса матер1ала опоръ, для чего необходимо применять на опоры более тяжелый матер1алъ.
2) Изм-Ьнеше контура плана опоры такъ, чтобы центръ тяжести площади плана опоры передвинулся въ выгодную сторону.
3) Увеличение подъема арокъ, при чемъ уменьшаются распоры.
4) Понижеше пятъ арокъ, при чемъ уменьшаются
плечи распоровъ.
5) Постановка связей для уравновЪшивашя распоровъ; связи эти могутъ быть постоянный и временный, видимыя (воздушный) и невидимыя (заложенный).
б) Устройство контрфорсовъ, каковые могутъ быть наружные, что въ сущности относится къ измЬнешю контура плана и, такъ называемые, внутренше, что, строго говоря, составляетъ особый видъ сводчатаго перекрыли, разсматри-
ваемаго въ курсахъ строительнаго искусства и архитектуры.
29*
VI. Общ!я замЪчажя о проектирована и расчегЬ сводчатыхъ покрыты.
При проектировали сводчатыхъ покрытш необходимо сперва согласно назначешю сооружешя, въ составь котораго входятъ арки и своды, составить планы и разрезы, задаваясь при этомъ эмпирическими формулами, приведенными выше въ начале курса, а также въ разныхъ справочныхъ книгахъ; далее надо выяснить и подсчитать веса отдельныхъ частей сооружешя, а равно нагрузки на нихъ приходяпйяся, какъ постоянный, такъ и временный. Затемъ согласно выбранному методу расчета приступаюсь къ опредЪлешю распоровъ и кривой давлешя, а также прочности и устойчивости сперва самыхъ верхнихъ сводовъ и арокъ, предполагая, что все нижележацде вполне надежны. Далее постепенно, такимъ образомъ, переходятъ къ сл-Ьдующимъ (нижележа-щимъ) аркамъ и сводамъ, принимая при этомъ во внимаше вертикальный, наклонный и горизонтальный усшпя, который оказываюсь вышележащая уже ран-fee расчитанныя части на расчитываемыя. Такимъ образомъ доходясь до цоколя и фундамента, гд-fe определяется прочность и устойчивость заложешя основашя въ зависимости отъ рода грунта и прочихъ условш расположешя всего сооружешя. Въ случае не вполне достаточной прочности и устойчивости отдельныхъ запроектированныхъ по эмпирическимъ формуламъ частей необходимо либо ихъ перепроектировать, либо устранить или ослабить невыгодное вл!яше отдельныхъ усилш при помощи искусственной нагрузки, связей и пр. Что касается еще разныхъ методовъ расчетовъ и отдельныхъ частныхъ слу-чаевъ сочеташя различныхъ видовъ сводчатыхъ покрытш, то таковые могутъ быть найдены въ приведенной въ предисловш литературе.
VII. Добавлеже.
R. ОпредЪлеже центра тяжести вертикальные полосокъ свода.
[Дополнеше къ стр. 39 (черт. 12)]
Въ случай дЪлен!я свода и приведенной нагрузки на вертикальный полоски центры тяжестей этихъ полосокъ находятся очень просто слЪдующимъ построешемъ (чер. 288) Въ трапещи ABCD проводятъ среднюю лин!ю ab и диа-
гонали, откладываютъ AF = ЕС и дЪлятъ EF на трети; изъ нижней трети проводятъ $Г|| АВ', тогда точка S — центръ тяжести трапец!и. Для грузовыхъ же полосокъ требуется знать только положеше направлешя силы, поэтому можно ограничиться отложешемъ длины AF=EC и дЪлешемъ FE на трети; черезъ нижн1я трети Т проходятъ направлешя в-Ьсовъ полосо! ь.
— 454 —
В. ОпредЪлеже центра тяжести горизонтальны^ трапецш.
(Дополнеше къ стр. 400.)
Въ случай опред-Ьлешя центровъ тяжести горизонтальныхъ полосокъ устоевъ (черт. 289) можно выполнить очень простое построеше; проводятъ среднюю лишю, делятъ верхнее основаше на трети, черезъ треть а проводятъ аЬ || АВ, проводятъ д!агонали, а изъ точекъ 6—лиши, параллельный д!аго-налямъ. Точки перес-Ьчешя этихъ параллелей съ средней лишей и будутъ центрами тяжести полосокъ.
С. ОпредЪлеже площадей вертикальныхъ полосокъ, приведенныхъ къ матер‘|алу свода.
(Дополнеше къ стр. 86.)
Въ случай дЪлешя свода, съ нагрузкой приведенной къ матер!алу свода,.
на вертикальный полоски одинаковой ширины, площади ихъ могутъ быть отложены для построешя многоугольника силъ (площадей), пользуясь слЬдующимъ простымъ построешемъ; определяютъ площадь одной какой-либо полоски при высоте средней лиши ht этой трапецеидальной полоски и при общей ихъ ширина Ц, имеемъ площадь ея.
.
Проводимъ вертикальную лишю ОК (черт. 290), на которой въ масштабе длинъ откладываемъ длину ht, изъ конца отложенной длины приводимъ горизонталь, на которой въ масштабе площадей откладываемъ ю, и конецъ отложенной длины соединяемы съ точкой 0.
Черт. 290.
Для определешя величинъ всехъ прочихъ площадей будетъ достаточно на лиши ОК отложить все h и провести горизонтали, отрезки которыхъ между ОК и 0L и будутъ искомыми площадями, который можно прямо отложить на многоугольнике площадей, не измеряя даже ихъ по масштабу площадей.
Построеше это весьма просто и удобно при всЬхъ
расчетахъ сводовъ, приведенная площадь нагрузки которыхъ разделена на полоски одинаковой ширины и средшя лиши которыхъ проведены; при этомъ-избегаются вычисления.
D. Расчетъ каменной трубы подъ железнодорожной насыпью.
(Листы 1 и II.)
Высота насыпи........................../7=11,7 mctr.
„ балласта........................Ht — 0,5 „
Пролетъ трубы........................ I = 6,4 „
Сводъ полуциркульный съ забуткой, Толщина свода въ замке................... 1,1
Толщина свода въ пятахъ................... 1,6 „
Высота устоевъ трубы............... /* = 3,9 „
Толщина устоевъ по верху........... с — 2,7 „
„ низу............... /£= 3,5 „
Ширина фундамента....................Яо = 8,00 „
Нагрузка временная односторонняя отъ паровоза въ 4 оси по 20 тоннъ; при длине базы паровоза въ 6,00 mctr, и длине шпалъ въ 2,5 mctr. и весе кубическаго метра земли въ 1,6 тоннъ нагрузка паровозомъ, приведенная къ весу земли, даетъ
~ 6,00 X 2,5 X 1,6 ~ 4,2 т,‘"Г'
Такимъ образомъ высота насыпи надъ ключемъ трубы безъ нагрузки паровозомъ будемъ:
6 4
Яо= 11,74-0,5 — 3,9— — 1,1 =4,0 m/r,
а съ паровозомъ
я; = 4,04-4,2= 8,2 mtr.
Д-Ьлимъ сводъ на клинья, а устои на горизонтальный части; приводимъ высоту насыпи 11о и /// къ матер!алу свода, находимъ приведенный нагрузки, дф.лимъ ихъ на полосы, находимъ центры ихъ тяжести и точки приложен!я равнодействующихь вТсовь клиньевъ и нагрузокъ (это построен!е опущено на чертеже).
— 456
Нагрузка отъ насыпи принята на забутку вертикальной, такъ какъ на-клонъ ея къ горизонту 12° значительно меньше 30®—принятаго угла тремя земли.
Для опредЪлешя распора земли на устои трубы для двухъ высотъ насыпи (съ нагрузкой паровозомъ и безъ нея) выполнено обычное построеше Ребхана и найдены частичные распоры по величин^,, направлешю и точки приложешя для каждаго участка обоихъ устоевъ.
Для выполнешя расчета въ площадяхъ, а не въ килограммахъ должно привести величины распоровъ земли къ матер1алу свода—2600 kg/mtr*.
Назвавъ черезъ д площади клиньевъ, черезъ р — площади нагрузки и черезъ q площади распора будемъ им-Ьть:
( д. = 3,5 X 1,3 = 4,55 mtr
9U = 1,1X1,2 = 1,32 mtr
| ffl=4,8Xl,3X 1 иии 2600 = 3,85 mtr ^=5,1X1,! = 5,62
9, = 3,2 X 1,3 = 4,16 mtr
1600 912=1,1X1,2 = 1,32 n
да = 4,ЗХ1,ЗХ 2600 — 3,44 mtr ( pV2 = 5,2 X 1,1 = 5,72 я
9» = 2,9 X 1,3 = 3,77 mtr
1600 913 = 1,1X1,3 = 1,43 »
93 = 3,7Х1,ЗХ 2600 = 2,96 mtr £>13 = 5,6 X 1,0 = 5,6
91 = 3,4Х1,6 = 5,44 mtr
q. =2,9Х2,9Х 1600 = 5,18 mtr 9H = 1,1 X 1,4 = 1,54 »
2600 plt = 6,2 X 0,8 = 4,96
pi = 3,2 X 0,6 = 1,92 mtr
) 9В = 1,1Х1,6 = 1,76 » </IS = 1,1 X 1,5 = 1,65
| Р.. =5,5 X 0,2 = 1,10 j>IS = 7,2 X 0,5 = 3,60 n
I 0С = 1,1Х1,5 = 1,65 •r 91C = 1,1 X 1,6 = 1,76 я
1 р,. = 4,5 X 0,5 = 2,25 Ac = 8,2 X 0,2 = 1,64 я
917 = 3,4 X 1,6 = 5,44 я
| 97=1,1Х1,4 = 1,54 » 917 = 4,6X2,8X 1600 = 7,93 mtr
J j?-=3,6X0,8 = 2,88 2600
pI7 = 5,9 X 0,6 3,54 mtr
9,„ = 2,9 X 1,3 = 3,77
f 98 = 1,1Х1,3 = 1,43 ’> £718 > f 1600 п
| р8 =3,00 X 1,0 = = 3,0 ?» 4ls 5,6 X 1,3 X 2600 = 4,48 mtr
1 9В = 1,1Х1,2 = 1,32 •J 919 = 3,2X1,3 = 4,16 1600 mtr
| ^В=2,6Х1,1 2,86 ?1, = 6,1X1,3X 2600 = 4,88 mtr
1 910 = 1,1 X 1,1 == 2,11 7» 920 = 3,5X 1,3 = 4,55 1600 mtr
| =2,5X1,! = 2,75 920 = 6,7 X 1,3 X 2600 = 5,36 mtr
— 457 —
Размеры взяты по линейному масштабу изъ чертежа, при чемъ въ тра-пещяхъ измерены средшя лин!и.
Далее лостроенъ многоугольникъ силъ (площадей) въ масштабъ площадей; при полюсе О' построенъ шарнирный многоугольникъ и определена точка раздала грузовъ *) для выяснешя положешя горизонтальная участка кривой давлешя свода. Проведена затемъ замыкающая шарнирная многоугольника и изъ полюса О' лин!я ей параллельная, которая разбила многоугольникъ площадей на две. части, верхнюю и нижнюю. На горизонтальной прямой, проведенной изъ найденной разграничивающей точки долженъ лежать новый полюсъ О, который дастъ искомую величину распора. Точкой раздела грузовъ оказалось положеше груза одиннадцатаго.
На чертеже найдены и приведены положешя и величины равнодействующихъ на каждый элементъ свода и устоевъ; равнодействуюгщя обозначены буквами г.
Далее найдены положешя равнодействующихъ * **):
ri> ’’i+r2> ’‘1+г3 + гз и т. д.
и черезъ верхнюю треть вертикали, проведенной черезъ точку раздела грузовъ, проведена горизонтальная лишя, а затемъ выполнено определеше величины наибольшая распора **) изъ возможныхъ наименьшихъ ихъ величинъ и построена кривая давлешя вплоть до земли.
Кривая давлешя вместилась въ средней трети каменная массива свода вместе съ забуткой и въ устояхъ съ фундаментами.
Для определешя прочности и устойчивости въ замке, шве перелома (8-мъ), и въ подошве фундамента измеряемъ ръ многоугольнике площадей соответственный лучи; они будутъ;
Q = 14 mtr2,
Ps = 20 mtr2,
l‘o = 63 mtr2 (левый фунд.), P.2l —76 mtr2 (правый фунд.).
Умноживъ эти величины
на 2600 кд, находимъ:
Q — 36400 кд,
Р* = 52000 кд,
Напряжешя въ швахъ будутъ:
„ 36400 £ z , .,
л — 2 - . . . — — 6,6 кд сиг 110X100 ’ J'
Ро = 163800 кд, Рг1 = 197600 кд.
ВЪ ключе,
») См. стр. 73—75 (черт. 39); фокальный точки не найдены.
*•) Стр. 91 93 черт. 47.
— 458 —
W8 —
52000
120X100 = 4,3 'c9lcm* въ шв^ перелома,
163800 / 6X40\
И° “ 800 X 166 \ 400 /
~ 3,5 кд/ст- въ лЪвомъ фундамент^.,
197600
w2i ~ 8ООХТ66 ~ 2,5 •у/стп въ пРавомъ Фундамент^.
Кривая давлешя съ нормалями къ швамъ составляетъ углы меныше угла трешя 22°. Изъ полученныхъ данныхъ заключаемъ, что труба прочна и устой
чива.
Е. Расчетъ церковны^ъ сводчатыхъ покрылй.
(Листы III, IV, V и VI.)
(Планъ и разрЪзъ церкви заимствованъ изъ „Руководства къ устройству каменныхъ и дере-вянныхъ церквей". Инженеръ-архитектора Л. М. Сально. Листы 18-—20.)
Планъ и разрезъ церкви представленъ на листе III, на остальныхъ показаны расчетъ купола, полуциркульнаго свода и парусовъ.
1, Расчетъ купола.
На листе IV выполненъ расчетъ полнаго сферическаго купола, пролетомъ въ 7,70 метровъ, при толщине въ шелыгЬ въ одинъ кирпичъ и пяте въ полтора кирпича; по своду сделана смазка, въ 4 вершка, которая, приведенная къ матер!алу свода, даетъ толщину въ 0.20 mtr. Сводъ вместе со смазкой раз-дфленъ на клинья; площадь ихъ для верхнихъ клиньевъ равна:
0.46> 0.40 = 0.19 mtr*,
а для нижнихъ:
0.60 X 0.40 = 0.24 mtr-.
Определены центры тяжести этихъ площадей, которые показаны въ чертеже. Взятъ вырфзъ свода въ 4°30', т.-е. весь сводъ раздФ.ленъ на 80 частей.
По правилу Папуса (Гульдена) объемы клиньевъ будутъ:
2лЛ ш
80
где II — рад!усы, показанные на разрезе.
Такимъ образомъ будемъ иметь объемы клина:
1-го . • 0,005 mtr3. 6-го .... 0,042 mtr3.
2-го . . . . 0,010 п 7-го .... 0,050 ч
3-го . . . . 0,015 » 8-го .... 0,055 я
4 го . . . , 0,025 »» 9-го .... 0,065 V
5-го . . . . 0,028 10-го .... 0,070
0,083 ш!гя. 0,365 mtr3.
— 460 —
Согласно пр!ему (стр. 312) находимъ величины кольцевыхъ распоровъ q и строимъ многоугольники силъ (объемовъ) и распоровъ. находимъ положешя равнодф.йствующихъ объемовъ клиньевъ и кольцевыхъ распоровъ.
Изъ центровъ тяжести клиньевъ проводимъ параллели равнодЪйствую-щимъ силамъ г и строимъ кривую давлешя, начиная съ перваго клина.
При правильности построешя направлеше давлешя Дг10 пятового шва проходитъ черезъ точку взаимнаго пересечешя равнод-Ьйствующихъ распоровъ и объемовъ.
Далее находимъ в-Ьсъ главы вместе съ крестомъ и д-Ьйств!емъ ветра и снега; давлеше это на вырезъ купола будетъ:
2.^250 = 226 кд,
80 4
где d — 9,60 метр, наружный дшметръ барабана, а 250 кд нагрузка на квадратный метръ покрьтя.
Необходимо привести эти 226 кд къ объемнымъ величинамъ, исполнен-нымъ изъ кладки; этотъ объемъ будетъ равенъ:
]Ж = °,14 mtr3'
Величина эта обозначена черезъ г12 и приложена въ средине стены барабана:
г12 = 0,14 mtrs.
Затемъ опредЪлимъ объемъ барабана до пятъ свода и найдемъ центръ тяжести этого объема.
Объемъ этотъ для нашего выреза обозначенъ черезъ
гп = 0,805 mtr3.
Отложимъ величины ги и г12 въ масштаба въ 4 раза меньшемъ, такъ какъ иначе величины эти не помещаются на чертеже, при чемъ величины эти отложимъ на вертикаляхъ, проведенныхъ отъ полюсовъ на разстояши одной четверти полюснаго разстояшя. Въ такомъ случае лучи, проведенные изъ полюсовъ къ концамъ отложенныхъ длинъ и г12, будутъ на своихъ настоя-щихъ местахъ. Далее задаемся положешемъ связи надъ окнами купола и рас-кладываемъ ycwiie Л’1О на распоръ Q и вертикаль v, равную всей нагрузке выреза. Находимъ положеше равнодействующей V величинъ v, rtl и г12.
Такъ какъ направлеше V выходить изъ средней трети пятъ, то придется при определенш прочности кладки въ пятахъ выполнить^ нижеследующее дополнительное построеше: измеряемъ разстояше отъ точки приложешя V до края стены, откладываемъ это разстояше три раза, принимая, что все давлеше, и цритомъ неравномерное, распространится только на это отложенное разстояше, а остальная часть стены не будетъ испытывать ни сжат!я, ни растяжешя.
— 461
Это тройное разстояше равно 0,40 тп/z. Давлеше V, выраженное въ килограммахъ, будетъ:
(0,365-|-0,805-|-0,140JX 1600 = 2096 кд.
Размеры площади, на которую это неравномерное давлеше распространяется, будутъ: 0,40 metr. по направлешю толщины стены, а по направлешю, перпендикулярному первому,
~ 2л (3,85 4 0,20) = 0,32 mtr.
Такимъ образомъ вся площадь будетъ равна:
0,40 X 0,32 = 1,28 mtr = 1280 ст. и напряжеше будетъ:
5 = 2 .адп — 3>3 кд/ст* < 7 кд/ст'-. 1 ZoU
Для определешя размера связи, расположенной по восьмиграннику, необходимо найти равнодействующую Qlo распоровъ Qt десяти вырезовъ.
Распоръ Q одного выреза равенъ:
& == 0,220 X 1600 = 352 кд.
где 0,220 mtr3 есть измеренный по масштабу распоръ 'выреза въ кубиче-скихъ метрахъ, а 1600 весъ въ килограммахъ одного кубическаго метра кладки.
Для определешя этой равнодействующей строимъ десять угловъ по 4°30’ и проводимъ ихъ биссектрисы, а затемъ строимъ многоугольникъ силъ распоровъ.
Найденная равнодействующая, измеренная по масштабу силъ, будетъ:
= 3300 кд.
Разложивъ эту силу на две составляюния, направленный по сторонамъ восьмиугольника, находимъ силу, воспринимаемую связью:
ЛЧ=4300 кд
Сечеше связи будетъ:
со =
4300
1000
сиг2.
Беремъ дюймовое круглое желДзо т.-е. площади въ 4,9 rm2.
d — 25 тт, что соответствуетъ
Для штырей беремъ полуторадюймовое круглое железо.
— 462 —
2. Расчетъ цилиндрическаго свода по способу Фуллера.
На листе V выполненъ расчетъ цилиндрическаго полуциркульнаго свода, перекрывающаго боковыя части храма. Сводъ пролетомъ 7,70 т. Толщина свода въ замке въ 1 кирпичъ, а у пятъ въ 1*/я кирпича; поверхъ свода смазка въ 4 вершка, или приведенная смазка въ 0.20 mtr.
Для расчета сводъ, въ плане шириной въ 1 mtr, вместе со смазкой раз-д-Ьленъ на 10 вертикальныхъ полосокъ, по 0,40 mtr шириной.
Для простоты весь расчетъ выполненъ такъ, что за грузовыя величины приняты средшя лиши трапецш грузовыхъ полосокъ; въ такомъ случай все величины усилш, найденныя расчетомъ и измеренный въ линейномъ масштабе, надо будетъ умножить на 0,40 mtr и на 1600 кд. И наоборотъ, для отло-жешя въ принятомъ линейномъ масштабе внешнихъ силъ, выраженныхъ въ килограммахъ, следуетъ число килограммовъ разделить на 0,40 mtr и на 1600 кд и тогда откладывать въ линейномъ принятомъ масштабе.
Такимъ образомъ нагрузка отъ площадей „11-ая“ и „12-ая“ будетъ:
Нагрузка 11-ой*)
2,30X0,50
; 0,40 = 1,44 mtr,
12-ой......... 1,50X3,20:0,40 12,00 mtr.
Остальныя нагрузки будутъ:
отъ 1-ой . . . 0,45 mtr отъ 6-ой . . . 0,60 mtr
и 2-ой . . . 0,46 „ 7-ой . . . 0,75 »
п 3-ой . . • 0,45 „ „ 8-ой . . . 0,80 »
» » 4-ой . . 5-ой . . - 0,48 „ 0,50 „ ,, 9-ой . „ 10-ой . . . 1,20] . . 1,40| съ забуткой.
Расчетъ выполненъ далее по способу Фуллера (стр. 95) и построена кривая давлешя до пятъ свода, где за кирпичъ положена въ виде связи двутавровая балка съ темъ, чтобы уравновесить распоръ исчисленный всего свода, шириной въ 4,2 mtr.
Въ замке, шве перехода отъ одной толщины свода къ другой и въ пя-тахъ выполнено построеше клиньевъ напряженш.
Кривая давлешя вместилась въ среднюю треть и углы усилш съ нормалями къ рад!альнымъ швамъ меньше угла трешя въ 22°.
Найдемъ теперь величины напряженш.
Въ замке кривая давлешя проходитъ въ третной точке; распоръ свода:
Q = 4,35 X 0,40 X 1600 — 2784 кд,
‘1 Приближенно принята на треугольника,.
— 463
площадь давлен1я:
«»„ 0,26 X 1,00 — 0,26 mtr2 = 2600 ст2,
откуда и напряжение
и = 2ХоапБ = 2’2 W™1-
Усшпе въ шве перехода толщины свода определено по многоугольнику усилш, при чемъ изъ конца усил!я проведена лишя, параллельная данному ра-д>альному шву, и на нее опущенъ изъ полюса перпендикуляръ, длина котораго именно и выражаетъ искомое усил!е даннаго шва. Эксцентрицитетъ этого усилия равенъ е = 2 ст. Усилие:
Л площадь шва будетъ: длина шва:
5,00 X 0,40 X 1600 = 3200 кд ,
ый = 2600 ст2;
b = 26 ст:
наибольшее напряжете будетъ равно:
1,8 кд/ст1.
Усшпе въ пятахъ свода будетъ:
2V,„ 7,20X0,40X1600 4608 кд,
а эксцентрицитетъ е = 5 ст и площадь:
ю|(1 0,40 X 1,00 = 0,40 mtr'1 = 4000 ст'1,
при длинЪ шва 40 ст.
Наибольшее напряжете будетъ:
п -
4608
4000
1 + &40= 2,02 k9icmi-
Напряжешя все получились значительно меньше допускаемаго, следовательно сводъ проченъ.
Определимъ теперь размеры связей, принявъ во внимаше сказанное на стр. 380 и след.
Связь изгибается въ горизонтальной плоскости распоромъ, равномерно распределеннымъ по пролету связи въ 4,2 mtr. Наиболышй моментъ будетъ:
,, ЧГ- 2784X4,2X420 , _ ,
I/ —. 613872 кдст.
о 8
— 464
Модуль сопротивления будетъ;
17 =
613872 ------— 614
1000
ст3.
Этому удовлетворяешь двутавровая балка № 32, модуль сопротивлешя которой:
IV = 706 ст3.
Подъ концы балки необходимо подложить штыри для восприняшя реакщй опоръ балки.
Эти реакщй будутъ:
и 2784X4,20 ?
Н — — — — — 5846 кд;
при прочномъ сопротивлеши кладки въ 7 кд/ст* им4>емъ площадь:
Н 5846
со — - — п - — 835
7 7
ст2.
Закладывая вертикально швеллера № 8 длиной по 1,10 mtr, им-Ьемъ площадь:
со—110X8 = 880 ст2, что BnonHt достаточно.
Опред'Ьлимъ еще прочность кладки въ плоскости закладки связи. Вертикальное усилие, приложенное центрально, будетъ:
2У0 = 21,ОХ 0,40X1600 =13440 кд.
Сюда слФ>дуетъ еще добавить нагрузку отъ малаго барабана и малой главки; примемъ его для простоты равнымъ половин^ нагрузки большого бара бана и большой главы.
Выше была найдена нагрузка вырЪза въ 4°30' равная 2096 кд; на всю окружность нагрузка будетъ равна 2096 X 80, а на одну арку придется четверть этой нагрузки, такъ какъ вся окружность опирается на четыре стороны „ . 2096 X 80
квадрата; такимъ образомъ найдено
Кром4> того (чтобы здЪсь отдельно не вычислять), примемъ половину най-2096X80 ~ ,
денной величины, что составитъ —— = ^д.
На погонный метръ ширины свода нагрузка будетъ:
20960 1,=—=4991, или округляя 5000 кд.
Сюда еще должно приложить нагрузку отъ крыши, перекрывающей фронтоны надъ расчитываемыми сводами, что составитъ:
10 X 4,2 X 250 = 10500 кд,
— 465 —
гд-fe 10 mtr и 4,2—размеры въ планахъ перекрываемаго пространства, а 250 кд. нагрузка на одинъ квадратный метръ. На одну сторону придется:
Вся нагрузка на погонный метръ расчитываемой ст-Ьны будетъ:
W = 4- Р2 -j- ло = 5000 4- 5250 4- 13440 = 23690 кд;
площадь, воспринимающая давлен!е, будетъ:
ю = 150 X 100 = 15000 ст-, и напряжен!е кладки будетъ равно:
3. Расчетъ паруса.
На лист-fe VI выполненъ расчетъ паруса (стр. 48, 54, 332). Предварительно опредЪлимъ нагрузку на парусъ; нагрузка эта составится, во-первыхъ: изъ B-feca купола и главы, что составляетъ по найденному выше на выр-Ьзъ въ 4°30'— 2096 кд; зат-Ьмъ в-Ьсъ барабана за вычетомъ восьми оконъ. Внутренней ра-д!усъ барабана г = 3,80 mtr при толщин-Ь барабана въ 1,30 mtr наружный радёусъ барабана В — 4,85 mtr. Высота барабана h = 10 mtr.
ъ Объемъ всего барабана будетъ равенъ:
V' — h.7r(Rs — г-‘)= 10 X 3,14 (4,852—3,802) = 285,2 mtr3;
принимая объемъ 8 оконъ равнымъ 123.7 mtr, находимъ действительный объемъ барабана:
Г =285,2 — 123,7= 161,5 mtr3.
В-Ьсъ барабана будетъ равенъ:
161,5X1600 = 258400 кд.
На одинъ выр-Ьзъ въ 4° 30' будемъ им-Ьть в-Ьсъ:
258400 „ ,
— 3230 кд.
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовь.
30
— 466 —
Итого на одинъ выр'Ьзъ въ 4° 20' нагрузка будетъ:
<7j = 2096 3230 = 5326 kg.
Весь объемъ сферическаго паруса:
7?3 rS=80 = 1’97 Ы7’3’
гд4> R = 5,45 mtr—рад!усъ паруса.
Объемы выр'Ьзовъ паруса, раздЪленнаго на 20 частей, будутъ по найденному раньше (стр. 54):
= 0,003207 Л3 = 0,51 mtr3, г>2 -= 0,001570 /?’ = 0,25 mtr3, v3 = 0,000767 В.3 = 0,02 mtr3,
— 0,000365 В3 = 0,01 mtr3.
B-feca вырЪзовъ паруса будутъ:
д2 = 0,51Х ^«=0,25Х ^и = 0,02Х 1600 = 816 kg. 1600=400 „ : 1600 = 32 „
g2iv = 0,01X 1600= 16 „
Находимъ центры тяжести парусовъ и опред-Ьляемъ плечи нагрузокъ: барабана, паруса и распоровъ Q.
Плечи в-Ьса барабана будутъ равны сл4>дующимъ величинамъ:
/j1 = 1,00 mtr, Z1in= 0,35 mtr, =0,60 mtr, 71IV=O,25 mtr.
Плечи вФ>са парусовъ:
I*1 = 0,25 mtr, Z2in=0,10 mtr, Zou=0,15 mtr, /21v=O,O7 mtr.
Плечи распоровъ парусовъ:
hl = 1,50 mtr, 7ini=O,3O mtr, hu — 0,70 mtr, 7iIV=O,2O mtr.
— 467 —
Величины распоровъ парусовъ фп (стр. 334) равныя соответственно:
~ К
будутъ для даннаго случая:
5326Х 1,00 4-816X0,25
1,50
— 3686 кд,
5326 X 0,60 4 400 X 0,15
Ф'П— 5326 X 0,35-,- 0,30 32X0,10 = 6224 „
Фп = 5326 X 0,25 4- 0,20 16X0,05 = 6662 „
Суммируемъ графически распоры эти по двумъ направлежямъ: по д(агс-нали четверика и по нормали къ подпружинамъ.
Первая равнодействующая или диагональный распоръ, равенъ:
Q = 41250 кд.
Вторая равнодействующая, или нормальный распоръ, равенъ:
Qv 34000 кд.
Найдемъ еще для сравнен!я распоръ ф по формуле (стр. 335 и 336).
ф = 25,6 ф0 sin
где
О (Qo+^UQo '° К
и
сс = 22°30', sina — 0,383.
Принимаемъ, что фо — Q1, тогда находимъ:
Q — 25,6X3680X0,383 = 36081 кд.
Распоръ получился меныщй, чемъ найденный ранее Q — 41250 кд, что объясняется приближенностью последней формулы.
На чертеже (листъ VI) показано расположение связей и найдено усип(е верхнихъ связей: М = 45000 кд.
— 468
Для усилия N необходимы связи площадью:
45000
1000
45 ст'1,
чему соотвДтствуетъ трехдюймовое круглое жепДзо.
Но если бы предположили эти связи выполнить параллельно сторонамъ квадрата, тогда эти связи следовало бы выполнить жесткими и размеры ихъ надо было бы найти по формуламъ изгиба балки, модуль сопротивления которой долженъ былъ бы быть равнымъ:
4/г6
34000 X 350 4Х 1000
= 2975 етк,
что потребовало бы громадной балки.
Впрочемъ, въ расчитываемомъ парусЬ можно вовсе не ставить верхнихъ связей, такъ какъ подпружныя арки упираются въ цилиндричесюе своды, перекрывающие боковыя части храма.
ДальнДйшш расчетъ остальныхъ частей храма, какъ-то: малыхъ купо-ловъ, пилоновъ и фундаментовъ не приводится, такъ какъ это и не входило въ задачу настоящей статьи, исключительнымъ назначешемъ которой было указать, какъ воспользоваться приведеннымъ теоретическимъ матер1аломъ для практическихъ цДлей. Выбранные какъ разъ менДе знакомые методы даютъ возможность, благодаря краткости и простоты, ускорить процессъ расчета, ничуть не уменьшая его точности.
0ПРЕДЬЛЕН1Е ДЯВЛЕН1Я ЗЕМЛИ НЯ КЯМЕННЫЯ ТРУБЫ.
РАСЧЕТЪ КАМЕННОЙ ТРУБЫ ПОДЪ НАСЫПЬЮ.
Ill пистъ
РНЗРБЗЪ И ПЛЛНЪ XPHMR.
К. Ла^тинъ. Расчетъ сводовъ.
IV листъ
РАСЧЕТЪ БОЛЬШОГО КУПОЛА.
woo вооо еооо
I........ 1 Кд.
ПримЪчаше- величина ru и г12 при отложежи уменьшены въ 4 раза.
Масштабъ объемовъ.
0.1 00 75 005 Ц02Б О W 02 ,
to-i ^и.ы-| инти . - - I ................... —. I metr.
ПримЪчаже: усишя выражены въ кубически^ъ метраръ; чтобы перевести въ килограммы надо ицъ умножить на 1600 килограммъ.
Н. К. Лахтинъ. Расчетъ сводовъ.
Масштабъ длинъ.
РЛСЧЕТЪ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СВОДЯ ПО СПОСОБУ ФУЛЛЕРЯ.
V листъ
РАСЧЕТЪ ПАРУСОВЪ.
VI лисгъ.