З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы.— 1985.— 504 с, 3-е изд.доп.
Излагается ряд методов современной теории чисел. Изложение
иллюстрируется рассмотрением большого - числа конкретных теоретико-
числовых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным
уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное
место занимают также геометрический и аналитический методы. В третьем
издании (второе вышло в 1972 г.) нашли отражение некоторые наиболее
существенные новые результаты последнего десятилетия, примыкающие к
излагаемым в книге вопросам.
Для студентов, аспирантов и научных работников, работающих в области
алгебры и теории чисел.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Сравнения 9
§ 1. Сравнения по простому модулю 11
1. Суммы степеней вычетов A1). 2. Теоремы о числе решений
сравнений A2). 3. Квадратичные формы по простому модулю A4).
§ 2. Тригонометрические суммы 16
1. Сравнения и тригонометрические суммы A6). 2. Суммы степеней
A9). 3. Модуль гауссовой суммы B2).
§ З./7-адические числа 25
1. Целые/7-адические числа B5). 2. Кольцо целых/7-адических чисел
B8). 3. Дробные /7-адические числа C1). 4. Сходимость в поле/?-
адических чисел C2).
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля/?-адических чисел 40
1. Метризованные поля D0). 2. Метрики поля рациональных чисел
D5).
§ 5. Сравнения и целые /?-адические числа 48
1. Сравнения и уравнения в кольце Ър D8). 2. О разрешимости
некоторых сравнений E0).
§ 6. Квадратичные формы с/7-адическими коэффициентами 58
1. Квадраты в поле/7-адических чисел E8). 2. Представление нуля/?-
адическими квадратичными формами E9). 3. Бинарные формы F2).
4. Эквивалентность бинарных форм F6). 5. Замечания о формах
высших степеней F8).
§ 7. Рациональные квадратичные формы 75
1. Теорема Минковского — Хассе G5). 2. Формы от трех
переменных G7). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Формы
от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквивалентность
(86). 6. Замечания о формах высших степеней (87).
Глава II. Представление чисел разложимыми формами 91
§ 1. Разложимые формы 92

1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение
разложимых форм (94). 3. Модули (97).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей 99
1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей A03). 3. Единицы A05).
4. Максимальный порядок A08). 5. Дискриминант полного модуля
(ПО).
§ 3. Геометрический метод 112
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел A12). 2. Решетки
A17). 3. Логарифмическое пространство A21). 4. Геометрическое
изображение единиц A23). 5. Первые сведения о группе единиц
A24).
§ 4. Группа единиц 126
1. Критерий полноты решетки A26). 2. Лемма Минковского A27). 3.
Структура группы единиц A31). 4. Регулятор A33).
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел полными 136
разложимыми формами
1. Единицы с нормой +1 A36). 2. Общин вид решений уравнения
iV((a)=a A37). 3. Эффективное построение системы основных единиц
A38). 4. Числа модуля с данной нормой A42).
§ 6. Классы модулей 143
1. Норма модуля A43). 2. Конечность числа классов A46).
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами 149
1. Квадратичные поля A49). 2. Порядки в квадратичном поле A50).
3. Единицы A52). 4. Модули A55). 5. Соответствие между модулями
и формами A58). 6. Представление чисел бинарными формами и
подобие модулей A61). 7. Подобие модулей в мнимом квадратичном
поле A64).
Глава III. Теория делимости 175
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма 175
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители A75). 2.
Кольцо Z[Q A77). 3. Теорема Ферма в случае однозначности
разложения на множители A80).
§ 2. Разложение на множители 184
1. Простые множители A84). 2. Однозначность разложения A85). 3.
Примеры неоднозначного разложения A87).
§ 3. Дивизоры 190
1. Аксиоматическое описание дивизоров A90). 2. Единственность
A92). 3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров A95). 4. Связь
теории дивизоров с показателями A95).
§ 4. Показатели 202
1. Простейшие свойства показателей B02). 2. Независимость
показателей B03). 3. Продолжение показателей B06). 4.
Существование продолжений B11).
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения 214

1. Существование B14). 2. Норма дивизоров B16). 3. Степень
инерции B20). 4. Конечность числа разветвленных простых
дивизоров B26).
§ 6. Дедекиндовы кольца 231
1. Сравнения по модулю дивизора B31). 2. Сравнения в
дедекиндовых кольцах B32). 3. Дивизоры и идеалы B34). 4.
Дробные дивизоры B36).
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел 241
1. Абсолютная норма дивизора B41). 2. Классы дивизоров B44). 3.
Приложение к теореме Ферма B50). 4. Вопросы эффективности
B53).
§ 8. Квадратичное поле 262
1. Простые дивизоры B62). 2. Закон разложения B64). 3.
Представление чисел бинарными квадратичными формами B67). 4.
Роды дивизоров B73).
Добавление при корректуре 279
Глава IV. Локальный метод 280
§ 1. Поля, полные относительно показателей 280
1. Пополнение поля по показателю B80). 2. Представление
элементов в виде рядов B82) 3. Конечные расширения полного поля
с показателем B85). 4. Целые элементы B87). 5. Поля формальных
степенных рядов B90).
§ 2. Конечные расширения поля с показателем 295
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с показателем 301
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел 306
1. Описание метрик C06). 2. Соотношение между метриками C10).
§ 5. Аналитические функции в полных полях 312
1. Степенные ряды C12). 2. Показательная и логарифмическая
функция C14).
§ 6. Метод Сколема 319
1. Представление чисел неполными разложимыми формами C19). 2.
Связь с локальными аналитическими многообразиями C21). 3.
Теорема Туэ C24). 4. Замечания о формах с большим числом
переменных C29).
§ 7. Локальные аналитические многообразия 331
Глава V. Аналитический метод 339
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров 339
1. Дзета-функция Дедекинда C39). 2. Фундаментальная область
C43). 3. Вычисление объема C45). 4. Принцип Дирихле C50). 5.
Тождество Эйлера C53).
§ 2. Число классов дивизоров кругового поля 355
1. Неприводимость кругового многочлена C55). 2. Закон разложения
в круговом поле C58). 3. Выражение h через значения L-рядов C59).
4. Суммирование рядов Д1,х) C64). 5. Ряды Д1,х) для примитивных

характеров C66).
§ 3. Простые дивизоры первой степени 370
1. Существование простых дивизоров первой степени C70). 2.
Характеризация нормальных расширений законами разложения
простых дивизоров первой степени C71). 3. Теорема Дирихле о
простых числах в арифметической прогрессии C74).
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля 379
1. Формула для числа классов дивизоров C79). 2. Характер
квадратичного поля C84). 3. Гауссовы суммы для квадратичных
характеров C85).
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга на простое число частей 392
1. Разложение числа А на два множителя C92). 2. Множитель Ао
C95). 3. Множитель А* D00). 4. Условие взаимной простоты А* с /
D02). 5. Замечание об операторной структуре группы классов
дивизоров D04).
§ 6. Условие регулярности 407
1. Поле ?-адических чисел D07). 2. Некоторые вспомогательные
сравнения D11). 3. Базис вещественных целых ?адических чисел в
случае (А* Г) = 1 D13). 4. Критерий регулярности и лемма Куммера
D17).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей 419
1. Теорема Ферма D19). 2. Бесконечность числа иррегулярных
простых чисел D25).
§ 8. Числа Бернулли 426
Алгебраическое дополнение 438
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристики ф2 438
1. Эквивалентность квадратичных форм D38). 2. Прямая сумма
квадратичных форм D39). 3. Представление элементов поля D41). 4.
Бинарные квадратичные формы D43).
§ 2. Алгебраические расширения 444
1. Конечные расширения D44). 2. Норма и след D47). 3.
Сепарабельные расширения D50) 4. Нормальные расширения D52)
§ 3. Конечные поля 454
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах 458
1. Делимость в кольцах D58). 2. Идеалы D60). 3. Целые элементы
D61). 4. Дробные идеалы D63).
§ 5. Характеры 465
1. Строение конечных абелевых групп D65). 2. Характеры конечных
абелевых групп D65). 3. Числовые характеры D68).
Таблицы 472
Список литературы 492
Перечень стандартных обозначений 499
Предметный указатель 500

ПРЕДМЕТНЫЙ
Абсолютная норма дивизора 241
— степень инерции, дивизора 241
Абсолютно неприводимый
многочлен 17
Абсолютный инвариант 169
— индекс ветвления дивизора 241
Автоморфизм расширения поля 453
Аддитивный характер 23
Алгебраически замкнутое поле 447
Алгебраический элемент расширения
445
Алгебраическое расширение 445
— число 94
Аналитическая кривая 323
— функция 313
Ассоциированные числа модуля 106
— элементы кольца 459
Базис модуля 99
— расширения поля 445
— решетки 118
Бернуллиевы числа 426
Бесконечные простые дивизоры 309
Бинарная квадратичная форма 443
Ведущий модуль числового
характера 470
Вещественное квадратичное поле 152
Вещественный бесконечный простои
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Взаимно простые дивизоры 191
Взаимный базис 451
— модуль 111
Витта группа классов квадратичных
форм 444
Вполне вещественное кубическое
поле 481
— разветвленное расширение полно
го поля с показателем 290
— целозамкнутое кольцо 464
Второй множитель числа классов
дивизоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
УКАЗАТЕЛЬ
Выпуклое множество 129
Вырожденный модуль 329
Вычет и-й степени 379
Галуа группа 453
Гауссова сумма 21, 365
Гауссова сумма в конечном-поле 458
Гильберта символ 65
Главная единица полного поля с
показателем 316
—/7-адическая единица 39
Главный дивизор 192
— идеал 460
в поле отношений
относительно подкольца 463
Группа Витта классов квадратичных
форм 444
— классов дивизоров 245
подобных модулей
квадратичного поля 156, 158
— подобных модулей квадратичного
поля 158
— родов 274—275 .
Дедеышдово кольцо 232
Деление с остатком 186
Делимость идеалов в поле
отношений дедекиндова кольца
240
Дзета-функция
Дедекинда 339
— Римана 350
Диагональная квадратичная форма
439
Дивизор 192, 236
— главный 192
— дробный 236
— единичный 192
— поля алгебраических чисел 231
— целый 236
Дирихле ряд 362
— характер 470
Дискретная метрика 239
Дискретное множество точек 118

Дискриминант базиса в конечном
расширении 450
— бинарной квадратичной формы
159
— конечного сепарабельного
расширения поля отношений
Кольца с теорией дивизоров 230
— полного модуля 110
— поля алгебраических чисел 110
— порядка в поле алгебраических
чисел ПО
Дробный идеал 463
в поле отношений
относительно подкольца 463
d-идеал 464
Евклидово кольцо 186,
Единица
— обратимый элемент кольца 459
— ./7-адическая 28
— поля алгебраических чисел 110
— порядка 106
Единичный дивизор 21, 192
— идеал кольца 460
— характер 21, 466
Замыкание подмножества в полном
поле 281—282
Идеал в поле отношений кольца 463
— кольца 460
Инвариантный класс дивизоров
квадратичного поля 277
Инварианты конечной абелевой
группы 465
Индекс ветвления конечного
расширения полного поля с
показателем 287
показателя 207
простого дивизора 217
— иррегулярности простого
нечетного числа 252, 490
— целого примитивного числа 111
Индупированный показатель па
подполе 207
Иррегулярная пара 423
Иррегулярное простое число 251
Квадратичная форма 438
Квадратичное поле 149
Квадратичный числовой характер 266
Класс Витта квадратичных форм 444
— вычетов 459
— дивизоров 245
— подобных модулей 143
Кольцо аналитических функций на
локальном многообразии 332
— классов вычетов по модулю
элемента 459
дивизора 231
— Крулля 201
— множителей 103
— показателя 203
— с теорией дивизоров 191, 192
— целых чисел алгебраического
числового поля 109
элементов полного поля
относительно показателя 282
Комплексный бесконечный простой
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Конечное поле 456
— расширение поля 444
Конечный простой дивизор 309
Конус в вещественном пространстве
341
Кривая, принадлежащая локальному
многообразию 335
Круговое поле 355
Круговой многочлен 356
Логарифмическое изображение
алгебраических чисел 122
— пространство 122
Локальное аналитическое
многообразие 332
Локальный метод 280
Максимальный идеал 464
Метризованное поле 41
Метрика архимедова 47
— дискретная 293
— поля 41

— неархимедова 47
— нормированная 310
—р -адическая 33
— р.-адическая 306
— тривиальная 41
Минимальный идеал 240
— многочлен алгебраического
элемента 445
Мнимое квадратичное поле 152
Многочлен Эйзенштейна 111, 229
Множитель полного модуля 103
Модуль в поле алгебраических чисел
97
Модулярная фигура 168
— функция 168
— эквивалентность 168
Мультипликативный характер 20
Неполная разложимая форма 99
— решетка 118
Неполный модуль 99
Неприводимое локальное
многообразие 332
Непримитивный характер 469
Неразветвленное расширение
полного поля с показателем 290
Неразветвленный простой дивизор в
конечном расширении 226
Несепарабельный элемент
алгебраического расширения
452
Нечетный числовой характер 367
Нётерово кольцо 239
Норма дивизора 219
— модуля 144
— точки 115'
— элемента 448
Нормальное расширение поля 452
Нормированная гауссова сумма 385
— метрика 310
Нулевой идеал кольца 460
Обобщенные числа Бернулли 432—
433
Образующие модуля 97
Обратимый элемент кольца 459
Общее наименьшее кратное
дивизоров 191, 237
Общий наибольший делитель
дивизоров 191, 237
Ограниченная р -адическая
последовательность 35
Ограниченное множество точек 118
Однозначность разложения па
множители 185
Одноклассное поле алгебраических
чдсел 247
Определитель квадратичной формы
438
Основная единица вещественного
квадратичного поля 152
Основной параллелепипед решетки
119
Основные единицы поля
алгебраических чисел 133
порядка 133
Первый множитель числа классов
дивизоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
Период приведенного числа
вещественного квадратичного
поля 173
Подобие модулей в поле
алгебраических чисел 98
квадратичного поля в узком
смысле 159
Показатель поля 196
—р -адический 30, 199
Поле алгебраических чисел 94
— вычетов показателя 203
полного поля с показателем 282
— Галуа 453
— инерции конечного расширения
полного поля с показателем 290
— отношений кольца 461
—р -адических чисел 32
— ^-адических чисел 309
— формальных степенных рядов 290
Полная разложимая форма 99
— решетка 118

— система вычетов 459
Полное метризованное поле 42
— поле относительно показателя 282
Полный модуль 99
Пополнение /7-адическое 281
— поля по метрике 42
показателю 281
Порядок в поле алгебраических
чисел 104
Представление нуля квадратичной
формой 439
— элементов поля квадратичной
формой 439
Приведенное число вещественного
квадратичного поля 172
мнимого квадратичного поля
167
Приведенный базис плоской решетки
164
— модуль вещественного
квадратичного поля 172
мнимого квадратичного поля
167
Приводимое локальное многообразие
332
Примитивная форма 159
Примитивное число поля
алгебраических чисел 95
Примитивный многочлен в полном
поле с показателем 303
— числовой характер 469
— элемент конечного расширения
446
Продолжение показателя 207
Произведение дробных идеалов 463
— идеалов 460
— классов подобных модулей
квадратичного поля 157
— модулей ПО
Промежуточное поле 444
Простое конечное расширение 446
Простой дивизор 192
— идеал 240
— элемент кольца 185
Прямая сумма квадратичных форм
439
Пуанкаре ряд 55
р -аднческий регулятор вполне
вещественного поля
алгебраических чисел 416
р -адическое продолжение дзета-
функции Римана 434
р -целое рациональное число 29
Разветвленный простой дивизор в
конечном расширении 226
Разложимая форма 94
Расширение Галуа 453
— поля 444
Регулярное простое число 251
Регулятор поля алгебраических чисел
134
— порядка 134
Решетка в вещественном
пространстве 118
Род бинарных квадратичных форм
270
— дивизоров в квадратичном поле
274
Ряд Дирихле 362
— Пуанкаре 55
Свойство поля Ct 69
Сдвиг множества 119
Сепарабельное расширение 450
Сепарабельный элемент
алгебраического расширения
452
Символ Гильберта 65
— Хассе 73
Система образующих модуля 97
След элемента 448
Собственная эквивалентность
бинарных квадратичных форм
159
Сопряженное поле 452
Сопряженный изоморфизм поля
алгебраических чисел 113
— элемент 452

Соседнее слева приведенное число в
вещественном квадратичном
поле 173
— справа приведенное число в
вещественном квадратичном
поле 173
Сравнимость элементов кольца по
модулю дивизора 231
Степенной ряд 312
Степень инерции конечного
расширения полного поля с
показателем 287
простого дивизора
относительно подполя 221
— конечного расширения поля 444,
445
Сумма Гаусса 21
— идеалов в поле отношении
дедекиндова кольца 240
Сходимость в метризованном поле 41
—/7-адическая 37
Теория дивизоров 191
— полей классов 267
Тождество Эйлера 340, 353
Топологический изоморфизм 42
Трансцендентный элемент
расширения поля 445
Тривиальная метрика 41
Удобные числа Эйлера 273, 481
Умножение дивизоров 235
Умножение полных модулей в полях
алгебраических чисел 110
Унимодулярная матрица 93
Фактор-кольцо 461
Фундаментальная область 341
— последовательность 42
Фундаментальный базис конечного
расширения полного поля с
показателем 287
поля алгебраических чисел 110
целого замыкания кольца
показателя 221
Функция Эйлера на дивизорах 259
Характер абелевой группы 465
— Дирихле 470
— единичный 21
— квадратичного поля 266
Характеристический многочлен 447
Хассе символ 73
Целое алгебраическое число 109
— замыкание кольца 462
—/7-адическое число 26
Целозамкнутое кольцо 462
Целочисленная эквивалентность
форм 93
Целый идеал в поле отношений
относительно подкольца 463
— элемент относительно кольца 461
показателя 203
полного поля с показателем 282
Центрально симметричное
множество 129
Четный числовой характер 367
Числа Бернулли 426
Числовой характер 468
Число классов дивизоров 245
Чисто кубическое поле 112
— несепарабельное расширение поля
453
— несепарабельный элемент 453
Эйзенштейна многочлен 111, 229
Эйлера тождество 340, 353
— функция на дивизорах 259
Эквивалентность дивизоров 244
квадратичного поля в узком
смысле 268
— квадратичных форм 438
— метрик 47
Эффективность задания решетки 140

ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие теории чисел состоит в переплетении двух тенден-
тенденций. Первая из них — это создание общих концепций и теорий,
таких, например, как понятие идеала или теория полей классов.
Вторая тенденция состоит в обращении к конкретным числовым
фактам. Ее влияние можно видеть в большом количестве теоре-
теоретико-числовых результатов, которые были подсказаны и стимули-
стимулированы эмпирическими наблюдениями, изучением таблиц. Имен-
Именно соединение двух таких разнородных точек зрения определяет
роль, которую теория чисел играет в математике: «мир чисел»
наряду с физическим миром явился той почвой, на которой воз-
возникло большинство математических теорий.
В нашей книге мы хотели дать представление о том, как тео-
теория чисел возникает из синтеза этих двух тенденций. / В связи
с этим стилка-изложения, при котором систематическое разверты-
развертывание аппарата предшествует каким бы то ни было приложени-
приложениям, мы предпочли более свободное изложение, при котором зада-
задачи и методы их решения тесно переплетаются. Исходным
пунктом обычно являются конкретные задачи о целых числах.
Общие теории возникают как аппарат для решения этих задач.
Как правило, эти теории развиваются достаточно далеко для
того, чтобы читатель мог составить себе представление об их
красоте и стройности и научился их применять.
Вопросы, которые разбираются в книге, относятся главным
образом к теории неопределенных уравнений, т. е. к теории ре-
решения в целых числах уравнений от нескольких неизвестных.
Впрочем, рассматриваются и вопросы другого характера — при-
примерами могут служить теорема Дирихле о простых числах в
арифметической прогрессии или теоремы о росте числа решений
сравнения.
Методы, которые мы излагаем, по преимуществу алгебраиче-
алгебраические. Точнее говоря, это теория конечных расширений полей и
определенных в них метрик. Однако заметное место ^уделено ана-
аналитическим методам: им посвящена глава V, и к ним же следует
отнести метод аналитических /?-адических функций, изложенный
в главе IV. Геометрические рассмотрения также играют большую
роль в ряде мест.
Книга не предполагает у читателя больших знаний. Для по-
понимания большей ее части вполне достаточно двух курсов уни-
университета и самых основ теории чисел: общей теории сравнений

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
и теории квадратичных вычетов до квадратичного закона взаим-
взаимности. Только в последней главе используется несколько фактов
из теории аналитических функций.
Необходимые сведения чисто алгебраического характера даны
нами в «Алгебраическом дополнении», помещенном в конце кни-
книги. В нем даны точные определения, формулировки, а иногда и
доказательства всего того, что может встретиться в книге и в то
же время не входит в университетский курс высшей алгебры.
Третье издание книги отличается от предыдущих (вышедших
в 1964 и 1972 годах) рядом дополнений, в которых мы попыта-
попытались отразить достижения последних лет. Внесены наиболее су-
существенные результаты, связанные с вопросами, излагаемыми в
книге. Значительно расширены таблицы.
Мы глубоко благодарны Дмитрию Константиновичу Фаддееву
за многочисленные и очень полезные беседы, за ряд ценных со-
советов и замечаний.
Авторы

Глава I
СРАВНЕНИЯ
Эта глава посвящена теории сравнений и ее приложениям
к неопределенным уравнениям. Связь между неопределенными
уравнениями и сравнениями основывается на том простом заме-
замечании, что если неопределенное уравнение
Ла„ ..., а„) = 0, A)
где F — многочлен с целыми коэффициентами, имеет решение в
целых числах, то сравнение
Fix,, ..., а») = 0 (mod го) B)
разрешимо при любом модуле т. Так как вопрос о разрешимости
сравнения всегда можно решить хотя бы методом перебора, вви-
ввиду конечности числа классов вычетов, то это дает нам серию эф-
эффективных необходимых условий для разрешимости уравнения
A) в целых числах.
Гораздо сложнее вопрос о достаточности этих условий. Утвер-
Утверждение: «неопределенное уравнение разрешимо тогда и только
тогда, когда оно разрешимо как сравнение по любому модулю»
неверно в общем случае (см., например, задачу 4), но справедли-
справедливо для некоторых частных классов уравнений. Так, в этой главе
мы докажем его для случая, когда F — форма второй степени,
присоединив при этом к нашим условиям еще одно очевидным
образом необходимое требование — разрешимость уравнения A)
в вещественных числах. (Заметим, что если F — форма, то под
разрешимостью уравнения F = 0 понимают существование нену-
ненулевого решения.)
Основное понятие, которое мы будем в этой главе сначала
изучать, а потом применять к теории сравнений и неопределен-
неопределенных уравнений,— это /?-адические числа. Их роль в рассматри-
рассматриваемом вопросе заключается в следующем. Из элементарной тео-
рии чисел известно, что для модуля т = рх ... рТ (р^ ..., рт —
различные простые числа) разрешимость сравнения B) равно-
равносильна разрешимости сравнений
F (хъ ..., хп) == 0 (mod р\1)
для всех »=1, ..., г. Таким образом, разрешимость сравнений

10 СРАВНЕНИЯ [ГЛ, I
B) для всех модулей т эквивалентна разрешимости этих сравне-
сравнений только для модулей, являющихся степенями цростых чисел.
Зафиксируем простое число р и поставим вопрос о разрешимости
сравнений
Fixu ..., a:J=0(mod/) C)
для всех натуральных показателей к. В связи с этой задачей Хен-
зель построил для каждого простого числа р новый вид чисел,
названных им /ьадическими, и доказал, что разрешимость срав-
сравнений C) для всех к равносильна разрешимости уравнения A)
в /ьадических числах. В силу этого отмеченная нами связь меж-
между сравнениями B) и C) позволяет сказать, что разрешимость
сравнений B) по всем модулям т равносильна разрешимости
уравнения A) в р-аднческих числах для всех простых чисел р.
Используя понятие /ьадического числа, можно, следовательно,
упомянутой нами теореме о формах второй степени придать сле-
следующую формулировку (ее доказательство и является целью на-
настоящей главы): если F{xu .. ., хп) — целочисленная квадратичная
форма, то уравнение A) разрешимо в целых числах тогда и
только тогда, когда оно разрешимо в р-адических числах для
всех р и ъ вещественных числах.
В формулировке этой теоремы, называемой теоремой Минков-
ского — Хассе, и во многих других вопросах /ьадическпе числа
появляются на равных правах с вещественными. Если вещест-
вещественные числа необходимы для изучения рациональных чисел с
точки зрения их величины, то />-аднческие числа играют совер-
совершенно аналогичную роль в вопросах, связанных с делимостью
на степень простого числа р. Аналогия между /ьадическими и
вещественными числами проявляется и в другом отношении.
Оказывается, что /ьадические числа могут быть построены, ис-
исходя из рациональных, при помощи той же самой конструкции,
при помощи которой строятся вещественные числа: путем при-
присоединения пределов фундаментальных последовательностей. То,
что мы приходим при этом к ,разным видам чисел, объясняется
различными положенными в основу понятиями сходимости.
Сделаем еще одно замечание. Если F — форма, то разреши-
разрешимость уравнения A) в целых числах эквивалентна, конечно, его
разрешимости в произвольных рациональных числах. В силу
этого в теореме Минковского — Хассе можно говорить о рацио-
рациональной разрешимости вместо целочисленной. Этот очевидный
факт приобретает значение благодаря тому, что для случая, ко-
когда F — произвольный многочлен второй степени, аналогичная
теорема сохраняется лишь при условии, что речь идет о разре-
разрешимости уравнения в рациональных числах. В связи с этим при
изучений неопределенных уравнений второй степени мы будем
рассматривать не только целочисленные, но и рациональные ре-
решения.

§ 1] СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ 11
Задачи
1. Доказать, что уравнение 15л;2 — Ту2 = 9 не имеет решения в целых
числах.
2. Доказать, что уравнение 5ж3 + Ну3 + 13z3 = 0 не имеет других ре-
решений в целых числах, кроме х = 0, у = 0, z = 0.
3. Доказать, что целое число вида 8ге + 7 не может быть представлено
в виде суммы квадратов трех целых чисел.
4. Используя свойства символа Лежапдра, доказать, что сравнение
(х2 — 13) (хг — 17) (ж2 — 221) = 0 (mod m) разрешимо при любом, модуле го.
Очевидно, что уравнение (ж2—13) (ж2 — 17) (ж2 — 221) =0 неразрешимо в
целых числах.
5. Доказать, что неопределенное уравнение atxi + ... + апл„ = S с це-
целыми «1, ..., ап, Ъ разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда
разрешимо соответствующее сравнение по любому модулю т.
6. Доказать аналогичное утверждение для системы целочисленных ли-
линейных уравнений.
§ 1. Сравнения по простому модулю
1. Суммы степеней вычетов. Мы начнем с рассмотрения срав-
сравнений по цростому модулю р. Классы вычетов по модулю р об-
образуют, как известно, конечное поле, из р элементов (мы его
будем обозначать через Fp), и всякое сравнение по модулю р
можно рассматривать как равенство в этом поле. Решение срав-
сравнений по модулю р равносильно, следовательно, решению урав-
уравнений в поле FP. Поле Fp является только одним из примеров
конечного поля. Все рассуждения этого параграфа буквально
переносятся и на случай любого конечного поля (см. задачи 5 и
6). Мы ограничимся, однако, случаем поля Fp и будем вместо
равенств писать сравнения. Только для построения примера к
теореме 3 мы должны будем привлечь другие конечные поля.
При изучении вопроса о числе решений сравнений по просто-
простому модулю важную роль играет следующий простой факт.
Теорема 1. Пусть m — натуральное число. Сумма
с "V ~т
о — Za x 1
х mod p
в которой х пробегает полную систему вычетов по модулю р,
сравнима по модулю р с —1, если m делится на р — 1, и сравнима
с 0, если m не делится на р ~ 1.
Доказательство. Значение х = 0 (modp) в сумме S
можно, разумеется, опустить. Пусть р — 1 делит т. Так как
xp-i = \ (mod p) для всякого х, не делящегося на р, то в этом
случае xm^l (modp), и, следовательно, 5 = р —1 = —1 (mod/?).
Пусть теперь р — 1 не делит т. Тогда существует такое число а,
не делящееся на р, что am^i (mod/)) (в качестве а можно взять
первообразный корень по модулю р). Так как вместе с х произ-
произведение ах также будет пробегать полную систему вычетов по

12 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
модулю р, то
amS = 2 (ах)т = S (mod /?),
х mod j)
откуда (am— 1M = 0 (mod/?), и, следовательно, 5 = 0 (mod/?).
Следствие. Пусть Ф(а;(, .. ., хп)—целочисленный много-
многочлен степени меньшей, чем nip— 1). Тогда.
2 Ф^, ..., arn) = 0(mod/?). A)
где в сумме слева хи ..., хп независимо друг от друга пробегают
полную систему вычетов по модулю р.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
Ф есть одночлен ж/ ... хпп- Имеем
^^Л Хл ... X'Yl I ^^ ih -t I ... I ^^ ^/1
Xy.',xn \xx J \ xn
По условию ki + .. . + kn < nip — 1), поэтому хоть при одном i
выполнены неравенства 0 =s= /сг< р — 1. Следовательно, хоть одна
из сумм справа будет =0(mod/?) (в случае fe = 0 все слагаемые
х" равны 1, включая х = 0, поэтому 2 х° = 0 (mod p).)
х
Замечание. Мультипликативная группа поля Fp есть
циклическая группа порядка р — 1 (ее образующим элементом
является класс вычетов, содержащий первообразный корень по
модулю р). Сумму в теореме 1 можно поэтому интерпретировать
как сумму тп-х степеней всех (содержащихся в. ?р) корней сте-
пенп р — 1 из 1. Если ip — 1, тп) = d, то такая сумма распадается
на d сумм, каждая из которых равна сумме всех корней степени
(.p—D/d из 1. Утверждение теоремы 1 является по существу
следствием того факта, что сумма всех корней степени г из 1
равна 1 при г = 1 и равна 0 при г 3= 2.
2. Теоремы о числе решений сравнений. Результаты п. 1 мы
применим к доказательству следующего утверждения.
Теорема 2 (теорема Варнинга). Если степень г целочислен-
целочисленного многочлена F(xu ..., х„) меньше числа переменных п, то
число решений сравнения F(xu ..., х„) = 0 (modp) делится на р.
Доказательство. Пусть iV обозначает число решений
сравнения F^O (mod/?). Рассмотрим многочлен
Ф(хи ..., хп) = 1 - Fix,, ..., хпУ~\
степень которого меньше чем nip — i). Если F(au ..., а„) = 0
(mod/?), то
Ф(а15 ..., а„) = 1 (mod/?).
Если же Fiau ..., а„) Ф 0 (mod/)), то
..., а„) з= 0 (mod/)).

§ 1] СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ 13
Суммируя все значения Ф(х{, ..., х„), когдя Xi, ..., хп независи-
независимо друг от друга пробегают полную систему вычетов по модулю
р, мы получим, следовательно, сравнение
2 Ф (*!, ...,хп) = Н (mod p).
Теорема 2 следует теперь из сравнепия A).
Теорема 3 (теорема Шевалле). Если F(x{, ..., хп) — форма
степени г < п, то сравнение
Fixi, ..., хп) = О (modp)
имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Так как в случае однородного много-
многочлена F степени г ^ 1 всегда имеется тривиальное решение xt ^э
= 0(mod/?), то для числа решений N сравнения F = 0(modp)
имеем неравенство N> 1. С другой стороны, по теореме Варнин-
га N = 0 (mod/)). Следовательно, N ^ р^ 2.
Докажем для полноты картины, что неравенство г < п нельзя
заменить более слабым так, чтобы теорема Шевалле оставалась
верной. Для этого построим для любого п форму F(xu ..., хп)
степени п такую, что сравнение
F(xu ..., xj ^O(modp) B)
имеет только нулевое решение.
Мы воспользуемся тем фактом, что для любого п> 1 сущест-
существует конечное поле 2 из рп элементов, содержащее fv в качест-
качестве подполя (см. Дополнение, § 3, теорема 2). Пусть tOi, ..., соп —
базис поля 2 над ?р. Рассмотрим линейную форму XiftI+...
... + хпап, в которой под xt, ..., хп будем понимать произвольные
значения пз?р. Ее норма Ars/fp(a;1co1+ . .. + ?п<»п) = Ф {хх, ..., хп)
является, очевидно, формой степени п от xt, .,., хп с коэффици-
коэффициентами из поля Тр. Из определения нормы Жа) (см. Дополне-
Дополнение, § 2, п. 2) элемента а = x^i + ... + хпап (х^ е ?р) следует,
что равенство Мое) = 0 возможно только при а = 0, т. е. только
при Xi = 0, ..., хп = 0. Форма ф обладает, стало быть, тем свой-
свойством, что уравнение ф(ж1, ..., х„) = 0 имеет в поле ?р только
нулевое решение. Заменим теперь каждый коэффициент формы
<р, являющийся классом вычетов по модулю р, каким-нибудь вы-
вычетом из этого класса. Мы получим целочисленную форму
F(xt, ..., хп) степени п от п переменных, и для этой формы F
сравнение B) будет, очевидно, иметь лишь нулевое решение.
Теорема 4. Пусть Fi(xu ..., хп), ..., Fm{xu ..., х„) — цело-
целочисленные многочлены степеней ги ..., rm соответственно. Если
г4 +... + rm < п, то число решений N системы сравнений
Fi(xu ..., хп) = 0 (modp),
Fm{xb ..., Хп) — 0 (mod p)
делится на р.

14 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1
Доказательство. Рассмотрим многочлен
т
Ф (Х17 . . .,ХП) = П A - Рг («1, • • •, Хп)»-1)
i=l
степени (г, + ... + гт)(р — 1) < nip — 1). Так же как и цри дока-
доказательстве теоремы 2, убеждаемся в том, что
2 Ф(х„ ...,xn)==N(mo&p),
xv...,xn
а значит, ввиду A) N^ О (то&р).
Замечание. Теорема Варнинга допускает следующее обоб-
обобщение [56J. Пусть F(Xi, .. ., хп) — многочлен степени г<п с ко-
коэффициентами из конечного поля 2 = GF(q), q = pm, и а — наи-
наибольшее натуральное число, для которого а< п/г. Тогда число
NiF) решений уравнения Fix^ . . ., хп) = 0 в поле 2 делится на
qa. При этом показатель та в сравнении NiF) = 0 (mod pma) в об-
общем случае не может быть увеличен. Именно, для фиксирован-
фиксированных г и п (с условием г <п) существует многочлен Fo е 2[ж4,...
..., хп] степени г, для которого A4F0) ^0 (modpm"+i). С другой
стороны, имеет место следующий факт. Если уравнение
F(,Xi, .. ., хп) = 0 имеет в поле 2 хоть одно решение, то N(F) =3=
>qn~T [143].
3. Квадратичные формы по простому модулю. Применим по-
полученные нами результаты к случаю квадратичных форм. Следу-
Следующий факт непосредственно вытекает из теоремы Шевалле.
Теорема 5. Пусть /(ж,, . .., хп) — целочисленная квадратич-
квадратичная форма. Если и 3= 3, то сравнение
fixi, ..., хп) = 0 (mod;?)
имеет ненулевое решение.
Случай квадратичных форм от одной переменной не представ-
представляет интереса (если a^O(modp), то сравнение ах2 = 0 (modp)
имеет только нулевое решение).
Рассмотрим оставшийся случай бинарных квадратичных форм.
Мы будем считать, что р Ф 2 (при п = 2, р = 2 легко непосред-
непосредственно перебрать все имеющиеся квадратичные формы). В этом
случае форма может быть записана в виде
fix, у) = ах1 + 2Ъху + су2.
Ее определитель ас — Ъг мы обозначим через d.
Теорема 6. Сравнение
fix, у) ¦= 0 (modp), рФ2, C)
тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда —d или де-
делится на р, или является квадратичным вычетом по модулю р.
Доказательство. Очевидно, что для двух форм / и fu
эквивалентных в поле ?р (см. Дополнение, § 1, п. 1), сравнения

§ 1] СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ 15
C) либо одновременно имеют, либо одновременно не имеют не-
ненулевое решение. Так как, сверх того, при переходе к эквивалент-
эквивалентной форме ее определитель умножается на квадрат ненулевого
элемепта поля Fp, то мы можем и в доказательстве теоремы 6
заменить форму / любой, ей эквивалентной. Всякая форма экви-
эквивалентна диагональной форме (Дополнение, § 1, теорема 3); мы
можем поэтому считать, что
/ = ах2 + суг, d = ас.
Если а = 0 пли с = 0 (mod/?), то теорема очевидна. Если же асФ
Ф0(тойр) и сравнение C) имеет ненулевое решение (хо, г/о), то
из сравнения
ах\ + сг/о = 0 (mod p)
получаем
(дробь w = —^ (mod/?) означает результат деления в поле Fp
т. е. решение сравнения vw = и (mod/?)). Таким образом, \~j-J =
— 1. Наоборот, если [ —) = 1 п —ас = и2 (mod/?), то мы можем
положить (х0, у о) = (и, а).
Задачи
1. Пусть F(jci, ..., хп) — целочисленный многочлен степени г < п(р — 1).
Положим а — п — —1— . Доказать, что сумма 2 ^ (xi> •••> хп),в кото-
lP~~li ях х„
рой xi, ..., хп независимо друг от друга пробегают полную систему вычетов
по модулю р, делится на ра.
2. Пусть l^re^jt) — 1, и пусть аь ..., ап — произвольные целые числа.
Построить целочисленный многочлен f(xu ..., хп) степени р — 1, для кото-
которого сравнение / = 0 (mod р) имеет единственное решение Хг = сц (mod p),
1 ^ i ^ п.
3. Определить число решений сравнения х3 + у3 + г3 + и3 = 0 (mod 7).
4. Построить кубическую форму F(xi, хг, я3), для которой сравнение
F(xh хг, хъ) ^ 0 (mod 2) имеет только нулевое решение.
5. Пусть 2 — конечное поле характеристики р, содержащее q = р" эле-
элементов. Для т :з= 1 положим
2
г
s с») = 2
Доказать, что сумма S(m) равна —1, если т делится на д — 1, и равна ну-
нулю в противном случае.
6. Пусть F(xh ..., хп) —многочлен степени г < п с коэффициентами из
конечного поля S характеристики р. Доказать, что число ре.шений уравне-
уравнения F(xu ..., хп) = 0 в поле 2 делится на р. Доказать далее, что число

16 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
решений системы
Fi (хи..., хп) = О,
Fm(xi,.. .,xn) = 0
в поле 2 делится на р, если только степени rh ..., гт многочленов F\, ...
..., Fm (с коэффициентами из 2) удовлетворяют условию г, + ... + гт < п.
7. Доказать, что если / — квадратичная форма в поле !гр ранга ^2и
афО (modp), то сравнение /= a (mod./)) разрешимо.
8. Используя теоремы 2 и 3 § 1 Дополнения, доказать, что две неособен-
неособенные квадратичные формы в поле Fp, p ф 2, эквивалентны тогда и только
тогда, когда произведение их определителей является квадратом.
9. Определить группу классов Витта квадратичных форм, в поле ?pf
р ф 2 (см. задачу 5 § 1 Дополнения).
10. Доказать, что число непулевых решений сравнения f(x. у) =
= 0 (mod/»), где f(x, у)—квадратичная форма с определителем д,фО
(I л'
1 + —
V Р
11. Используя теорему 7 § 1 Дополнения, доказать, что для квадратич-
квадратичной формы f(xi, ..., хп) с определителем d Ф 0 (modp) при рф2 число
ненулевых решений сравнения f{xu ..., хп) = 0 (modp) равно
п-1 /(-l)il/V\ Г
р — 1 + (р—1I \Р при п четном,
р" — 1 при п нечетном.
12. В предположении задачи 11 найти число решений сравнения
Цхи ..., хп) = a (mod/)).
§ 2. Тригонометрические суммы
1. Сравнения н тригонометрические суммы. В этом параграфе
(как и в предшествующем) также будут рассматриваться срав-
сравнения по простому модулю р, однако с несколько иной точки
зрения. В теоремах § 1 делались определенные заключения о
числе решений сравнения в зависимости от степени многочлена и
числа его переменных. Здесь же главную роль будет играть ве-
величина простого модуля р.
В начале главы мы говорили, что для разрешимости неопре-
неопределенного уравнения F(xt, ..., хп) = 0 необходимо,, чтобы для
всех модулей т были разрешимы сравнения F^ 0 (mod т). Даже
если мы ограничимся рассмотрением только простых модулей т,
то и в этом случае мы будем иметь бесконечно много необходи-
необходимых условий. Ясно, что эти условия могут быть полезны лишь
Р том случае, если у нас будет финитный (использующий конеч-
конечное число действий) способ для их фактической проверки. Ока-
Оказывается, что для одного весьма важного класса многочленов та-
такой способ (и цритом очень простой) существует. Именно, при
заданном целочисленном многочлене F из этого класса сравнения
F ss 0 (mod p) автоматически разрешимы для всех модулей р,

§ 2] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 17
больших некоторой границы. Многочлены, о которых идет речь,
выделяются следующим определением.
Определение. Многочлен F{xu ..., хп) с рациональными
коэффициентами называется абсолютно неприводимым, если он
не может быть разложен на нетривиальные множители ни в ка-
каком расширении поля рациональных чисел.
Имеет место следующая фундаментальная
Теорема А. Если Fix,, ..., хп) — абсолютно неприводимый
многочлен с целыми коэффициентами, то сравнение
Fix,, ..., xj = 0(modp) A)
разрешимо для всех простых чисел р, больших некоторой грани-
границы, зависящей только от многочлена F.
Аналогичный результат справедлив и для ненулевых решений,
если рассматривать однородный многочлен F, а также для си-
системы сравнений (при надлежащем понимании абсолютной не-
неприводимости).
При п = 1 теорема А тривиальна (всякий многочлен от одной
переменной степени выше первой приводим в поле комплексных
чисел, а для многочленов первой степени утверждение очевидно).
Но уже при п = 2 для ее доказательства потребовалось привле-
привлечение глубоких методов алгебраической геометрии. Впервые до-
доказательство теоремы А для п = 2 было получено в 1948 г.
А. Вейлем [39]. Наилучшие из имеющихся сейчас вариантов до-
доказательств этой теоремы содержатся в книге С. Ленга [29] и в
работе [107]. Элементарное доказательство без использования
средств алгебраической геометрии (правда, при некотором огра-
ограничении на многочлен Fix, у)) получено в 1972 г. С. А. Степа-
Степановым [51J. Изложение его метода для произвольного Fix, у)
с привлечением минимальных сведений из алгебраической гео-
геометрии приведено в работе Бомбьери [65]. Переход от ге = 2 к
произвольному случаю оказался намного проще. Это сделано в
работах [48] и [94].
В упомянутых работах доказано на самом деле гораздо боль-
больше, чем утверждается в теореме А. Именно, в них показано, что
если фиксировать многочлен F и менять простой модуль р, то
число решений N сравнения A) будет стремиться к бесконечно-
бесконечности при неограниченном увеличении р и даже оценена скорость
возрастания N. Точная формулировка этого результата выглядит
следующим образом.
Теорема В. Для числа NiF, p) решений сравнения A) вы-
выполняется неравенство
IMF, p)-p"-1\<CiF)pn-i-1/2,
где константа C(F) зависит только от многочлена F и не зависит
от р.

18 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Единственный известный сейчас способ доказательства тео-
теоремы А — это выведение ее из теоремы В. Для доказательства
же теоремы В требуется алгебраический аппарат гораздо более
сложный, чем тот, которым мы пользуемся в этой книге. Поэтому
мы не можем привести здесь доказательства теорем А и В, но
вместо этого изложим метод, при помощи которого удается полу-
получить теоремы в частных случаях, и разберем один такой частный
случай.
Все наши рассуждения будут основываться на том, что для
числа решений сравнения A) можно дать «явную формулу», точ-
точнее говоря, представить это число как сумму некоторых корней
степени р из единицы. Суммы такого вида называются тригоно-
тригонометрическими.
Условимся о следующих обозначениях. Для комплекснознач-
лых функций j(x) или /U\, .. ., хп). значения которых зависят
только от классов вычетов целых чисел х, хи ..., хп по модулю
Р, через 2/(ж) и 2 /(жи ¦¦¦Дп) мы будем обозначать
х xv...,xn
суммы, распространенные на все значения х или хи .. ., хп из
полной системы вычетов по модулю р, а через 2 / (х) — сумму,
х
распространенную на все значения х из приведенной системы
вычетов.
Пусть ?, — некоторый фиксированный первообразный корень
степени р из 1. Тогда, как легко видеть,
"У?-*" —\Р при i/ = 0 (mod р),
j С,
0 при у ф 0 (modp).
Эти равенства и дают возможность найти «явную формулу» для
числа решений сравнения A).
Рассмотрим сумму Ь = 2j 2j Z ¦ Если значения
xv...,xn х
xt, ..., хп дают решение сравнения A), то согласно B)
Сумма всех таких членов, входящих в S, равна Np, где N — чис-
число решений сравнения A). Если же F(xu ..., х„) Ф 0 (modp),
то по второй части формулы B)
Сумма всех таких членов в S поэтому равна нулю, и мы получа-
получаем, что S = Np. Нами доказана, таким образом,

§ 2] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ .-,
Теорема .1. Для числа N решений сравнения A) имеет
место формула
***Х*1 хп)
Р - - ¦ <3>
x'xi *п
Выделим в сумме C) все слагаемые, для которых a; = 0(mod/>).
Так как каждое такое слагаемое равно 1, а число их равно рп
(каждый из аргументов хь ..., хп независимо друг от друга при-
принимает р значений), то
х xv...,xn
В этом виде формула для N уже подсказывает теорему В. Из
числа N уже выделен член рп~1. Надо только доказать (но в этом
и состоит вся трудность!), что при возрастании р сумма всех
остальных слагаемых по модулю растет медленнее этого главного
члена.
2. Суммы степеней. Общие соображения, изложенные в п. 1,
мы применим к случаю, когда многочлен F равен сумме степеней
переменных, т. е.
F (хг, . . ., хп) = a^l1 + . .. + апХп, «; ^0 (mod p).
Мы будем предполагать, что п ~3? 3, так как при п—\ и п = 2
число решений сравнения F = 0(mod/>) находится очевидным об-
образом.
г
Согласно формуле D) число N решений сравнения а^х^ + ...
. . . + апхп = 0 (mod p) выражается равенством
х х1 хп
которое может быть переписано также в виде
Полученная формула приводит нас к необходимости исследова-
исследования сумм вида 2?аг/ (аф 0 (modр))- Легко видеть, что
у
-SmWr, F)
у х
где mix) равно числу решений сравнения yr^x(modp) относи-
относительно у. Очевидно также, что т@) = 1. Найдем mix) в явном
виде при х Ф 0 (mod/?).

20 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Если g — некоторый первообразный корень по модулю р, то
x = gkimodp), G)
где показатель к однозначно определен по модулю р — 1. Пусть
у еее gu (mod/?). Сравнение yr = x (mod/?) равносильно, очевидно,
сравнению
fc(d-l). (8)
Согласно общей теории сравнений первой степени сравнение (8)
имеет d—ir, p — l) решений относительно и или не имеет ни од-
одного решения в зависимости от того, будет ли к делиться на d
или нет. Следовательно,
id, если к == 0 (mod d),
т (х) = \п j А , (9)
v ; @, если A-=?0(modd).
Дадим для числа mix) другую, более удобную в аналитиче-
аналитическом отношении формулу. Выберем для этого первообразный ко-
корень е степени d из 1 и определим на целых числах х, взаимно
простых с р, функции %, (s = 0, 1, ..., d — 1), полагая
Х.Ы = е6% A0)
где к определено сравнением G) (ввиду равенства ер"' = 1 зна-
значение e"s не зависит от выбора к). Если к = 0 (modd), то efts = 1
d- l
при всех s — 0, 1, ..., d — 1 и, следовательно, сумма 2i %s (ж)
s=0
равна d. Если же /с ^ 0 (mod d), то e'^l п поэтому
d-l
ha
Сопоставляя это с равенствами (9), мы получаем (для х, не де-
делящихся на р) формулу
d-X
т (х) == 2 х* (ж)-
Найденное выражение для mix) позволяет равенство F) пере-
переписать в виде
Sr SSxwr. (И)
у х s=0
Введенные нами функции %5, обладающие, очевидно, свойством
y), A2)
называются мультипликативными характерами по модулю р. Рас-
Распространим их на все целыег х, полагая х»^ = 0, если х делится
на р. Ясно, что после такого доопределения свойство A2) сохра-

§ 2] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 21
няется. Характер %0> значения которого %Q(x) при р f х равны 1,
называется единичным характером.
Выделим в сумме A1) слагаемые, соответствующие единич-
единичному характеру %,i. Так как 1 + 2 ?ax =2Сах;=0, то равенство
ЗС X
A1) можно переписать в виде
г
(здесь можно считать, что х пробегает полную систему вычетов
по модулю р, так как %Лх) = 0 при х = 0 (mod/))).
Пусть % — один из характеров %s и а — целое число. Выра-
Выражение 2 X (ж) ?ЯХ называется гауссовой суммой и обозначается
X
через та(%).
Формулы E) и A3) дают нам возможность сформулировать
следующую теорему.
Теорема 2. Для числа N решений сравнения
A4)
имеет место формула
п di~l
n = т^"-1 + 4 2 Д 2 т<ч* (х*..). A5)
е которой di — (r{, p — i), а характеры %iiS определены равенст-
равенством A0) при d = dt.
Заметим, что если хоть одно из di окажется равным 1, т. е. г(
будет взаимно просто с р — 1, то в формуле A5) соответствующая
внутренняя сумма будет равна нулю (как сумма пустого множе-
множества слагаемых) и, следовательно, в этом случае имеем формулу
N = рп~\ Это, впрочем, ясно и без вычислений, ибо для любых
значений х±, ..., х{-и xi+u ..., хп найдется одно и только одно
значение для xt, при котором сравнение A4) будет удовлетво-
удовлетворяться.
Теорема 2 приобретает значение благодаря тому, что модуль
гауссовой суммы может быть точно вычислен. Именно, в следую-
следующем пункте мы покажем, что
\ха(%)\=1р при a^O(mod^) и х^Хо
(см. также задачу 8). . ;

22 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Посмотрим, что дает теорема 2 в сочетании с этим фактом.
Из формулы A5) следует, что
di-l
\N-p-i\<j2n 2|Т<Ч*<Х1,.I =
х »=1 s=l
= -^(P~i)U(di- 1) Р1/2 = (Р - 1) Р2-1 П № - 1).
Мы получили, таким образом, следующую теорему.
Теорема 3. Число N решений сравнения
ахх^ + .. . + апхп = 0 (mod p)
для всех простых р, не делящих аи ..., ап, удовлетворяет нера-
неравенству
№ЧA)рп/2-1, A6)
¦где С = (d, - 1)... (d, - 1), d, = (г,, р - 1).
Из теоремы 3 при п ^ 3 (а мы предположили, что это так)
для многочленов рассмотренного вида очевидным образом следу-
следует теорема В. В самом деле, \N — рп~'\ «? Ср' «S Срп~1~и2, что и
утверждается теоремой В.
Отметим попутно, что полученное нами неравенство A6) при
п > 3 оказывается гораздо более точным, чем неравенство тео-
теоремы В.
Замечание. Для доказательства теоремы 3 нам достаточ-
достаточно было бы ввиду E) знать оценку для модуля суммы 2 ?ажГ*
х
Такая оценка может быть получена, и притом более коротким
путем, без использования гауссовых сумм (см. задачи 9—12). Мы
изложили доказательство, опирающееся па свойства гауссовых
сумм, так как гауссовы суммы имеют много других применений
в теории чисел.
3. Модуль гауссовой суммы. Рассмотрим совокупность S всех
комплекснозначных функций fix), заданных на целых рациональ-
рациональных числах х и удовлетворяющих условию: fix) — f(y), если
только x = y(modp). Так как каждая функция /Ые§ определе-
определена своими значениями на полной системе вычетов по модулю р,
то S является р-мерным линейным пространством над полем
всех комплексных чисел. Введем в S эрмитово скалярное произ-
произведение, положив
=-j2
Простая проверка показывает, что относительно введенного ска-
скалярного умножения р функций
fa(x) = ?-« (а _ вычет mod p) A7)

§ 2] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 23
образуют ортонормированный базис S. В самом деле, ввиду B)
,, , . 1 Vf(a'-a)x [1 при a = a'(modp),
(/a, /a') = —-Zd <= = In _^ > / j \
^ x 10 при ащка (rnoap).
Функции A7), обладающие свойством
jaix+y) =fa(x)fa(y),
называются аддитивными характерами по модулю р. Найдем ко-
координаты мультипликативного характера % в базисе A7). Пусть
X = S«a/a. A8)
a
Тогда
«a = (X, /a) = у ^ X (*) Г = у Ta (Х). A9)
Мы видим, таким образом, что гауссовы суммы та(х.) (с точ-
точностью до множителя l/р) являются коэффициентами в разложе-
разложении мультипликативного характера % по аддитивным харак-
характерам fa.
Чтобы получить одно важное соотношение между координа-
координатами аа (п, значит, между гауссовыми суммами то(х))) умножим
равенство
xW = 2««/«W B0)
a
на %(с), где c^O(modp), п заменим индекс суммирования а
на ас:
% (СЖ) = 2 X (с) «ос/ас (ж) = 2 X (с) aacfa (ex),
а а
Сравнивая это с B0), мы получаем, что
B1)
Полагая здесь а = 1 и замечая, что 1х(с)| = 1, мы находим
laj^laj при c^O(modp). B2)
Предположим теперь, что характер х отличен от единичного ха-
характера Хс Тогда число с (взаимно простое с р) можно выбрать
так, чтобы %(с) Ф1, и равенство B1) при а = 0 дает нам, что
ао = О. B3)
Докажем теперь нужный нам результат о модуле гауссовой
суммы.
Теорема 4. Если % — мультипликативный характер по мо-
модулю р, отличный от единичного характера Хо, ua — целое число,
взаимно простое с р, то |та(хI = Vp:

24 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Доказательство. Рассмотрим в пространстве § скаляр-
скалярное произведение (%, %). Так как \%(х) I = 1 при хФ О (modp), то
(X. X) = 4" 2 X
1 % W = :
С другой стороны, используя разложение A8) и учитывая B2) и
B3), мы находим (%, у) = 21 аа \г = (р — 1)|ссс|2. Оба резуль-
а
тата вместе дают нам равенство
|осс! = УУр, с Ф 0 (п\о& р),
откуда ввиду формулы A9) и следует утверждение теоремы.
Задачи
1. Доказать, что для многочлена F = х2 + у2 по выполняется теорема А
(относительно ненулевых решений), а для F = х1 — у1 — теорема В. Эти
многочлены, конечно, не являются абсолютно неприводимыми.
2. Пусть ф(ж)—функция, заданная па целых числах х, взаимно прос-
простых с р, и принимающая отличные от нуля комплексные значения. Дока-
Доказать, что если ф(з) = ф(у) при х = у (modp) и (р(ху) = <р(х)<р(у) при лю-
любых х и у, то эта функция совпадает с одной из функций %,(х) = ehs, где
е — первообразный корень степени р — 1 из 1 (число к определяется срав-
сравнением G)).
3. Доказать, что всякая комплекснозначная функция f(x) ф 0 от цело-
целочисленного аргумента, зависящая только от класса вычетов по модулю р и
удовлетворяющая условию f(x + y) = f(x)f(y), имеет вид f(x) = ?<х, где
I — целое число, а ? — фиксированный корень степени р из 1.
4. Пусть р ф 2. Доказать, что характер % = xi, определенный равенст-
равенством A0) при d= 2 (и s= 1), совпадает с символом Лежаидра X {х) = I —
(Этот характер % называется квадратичным характером по модулю р.)
5. Пусть аЬ Ф 0 (modp) и х — квадратичный характер по модулю р ф
Ф 2. Для гауссовых сумм т„(%) и ть(х) доказать соотношение та (X) ть {%) =
Р-
Р I
Р
6. При тех же обозначениях доказать, что 2 тж (X) = ^-
X
7. Решить задачи 10, 11 и 12 предшествующего параграфа, воспользовав-
воспользовавшись теоремой 2 и результатами задач 5 и 6.
8. Пусть х — произвольный мультипликативный характер по простому
модулю р, отличный от хо, и аФО (modp). Показать, что |та(хI2 =
= ta(x)to(x) = Р, и этим получить новое доказательство теоремы 4.
9. Пусть f(x)—целочисленный многочлен и ? — первообразный корень
степени m из 1. Положим Sa = 2 ?а/(ж\ Доказать, что
ж (modm)
2 |a| 2 iv(c),
a (modm) с (modm)
где N(c) обозначает число решений сравнения f(x) зз с (modm).

3] р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 25
10. Обозначим через ? первообразный корень простой степени р из 1 и
положим Та = 2 ^ ' Доказать, что
где d = (г, р — 1).
11. В тех же обозначениях показать, что суммы Та, афО (modp), раз-
разбиваются на d групп по (р— l)/d равных между собой сумм. Пользуясь
этим и результатом задачи 10, показать, далее, что
\Та\ <d}lj, афО (mod?).
12. Принимая во внимание тот факт, что 2' Та — 0> получить для Та
а
более точную оценку:
|Га| s? (d—1)VF, а ^=0 (modp).
(Ввиду формулы E) эта оценка дает нам другое доказательство теоремы 3.)
13. Доказать, что сравнение
За;3 + 4г/3 + 5г3 = 0 (modp)
имеет ненулевое решение при любом простом р.
14. Доказать, что сравнение
2.г2 + у* - tf-J = 0 (modp)
имеет нетривиальное решение но любому простому модулю р.
§ 3. />-адические числа
1. Целые р-адические числа. Теперь мы перейдем к сравне-
сравнениям, модуль которых есть степень простого числа. Начнем
с примера. Рассмотрим сравнение хг = 2 (mod 7") по степеням
простого числа 7. При п = 1 сравнение имеет два решения:
х, = ±г (mod 7). A)
Положим теперь п = 2. Из
х2 = 2 (mod 7*) B)
следует хг = 2 (mod 7), так что решения сравнения B) надо ис-
искать в виде хй + 7ti, где х„ — одно из чисел, определяемых срав-
сравнением A). Займемся разысканием решений вида ?, = 3 + 7^.
(Решения вида —3 + ltt рассматриваются совершенно так же.)
Подставляя это выражение для xi в B), получаем:
C + 7*хJ = 2 (mod 72), 9 + 6- 7tx + 1Н\ = 2 (mod 72),
1+ 6^== 0 (mod 7), ^ = l(mod7).
Таким образом, получается решение ^ = 3 + 7-1 (mod72). Ана-
Аналогично при п = 3 получаем хг = Xi + 1Чг и из сравнения
C + 7 + 7%J ^ 2 (mod73)

26 ' СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
находим t2 = 2 (mod 7), т. е.
а:2^3 + 7-1 + 72-2 (mod73).
Нетрудно видеть, что этот процесс мы можем продолжить до
бесконечности. Мы получим последовательность
%0i %li • . ч Хп, • • •> \О/
обладающую свойствами:
?0==3(mod7), хп = хп-г(тоА7п), х\= 2(mod ln+x).
Процесс построения последовательности C) напоминает про-
процесс извлечения квадратного корня из 2. Действительно, вычисле-
вычисление У2 состоит в построении последовательности рациональных
чисел Го, п, ..., г„, ..., квадраты которых становятся сколь угод-
угодно близкими к 2, например: \г\ — 2|<1/10'г. В нашем же слу-
случае строится последовательность целых чисел х0, хи ..., хп, ...,
для которых х\—2 делится на 7"+|. Эта аналогия становится
более отчетливой, если мы условимся два целых числа называть
близкими (точнее, р-блпзкнми, где р — некоторое простое число),
когда их разность делится на достаточно большую степень р.
При таком понимании близости можно сказать, что квадраты
чисел последовательности C) при возрастании п становятся сколь
угодно 7-близкпмп к 2.
Задание последовательности {гп} определяет вешествепное
число V2. Можно предположить, что последовательность C) так-
также определяет число а некоторой новой природы, причем такое,
что а2 = 2.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если по-
последовательность рациональных чисел [гп] такова, что \гп — гп|<
< 1/10™ при всех и, то ее пределом также будет У2. Естественно
предположить, что последовательность [xn}i для которой хп==
^хп (mod 7" х), определяет то же самое новое число а (для новой
последовательности {хп}, очевидно, также имеем x,f = 2 (mod 7n+1)
и ^ = ^_x(mod7n)).
Эти замечания приводят нас к следующему определению.
Определение. Пусть р — некоторое простое число. После-
Последовательность целых чисел
обладающих тем свойством, что
х„ = xn-t (mod рп) D)
для всех п ^ 1, определяет новый объект, называемый целым
р-адическим числом. Две последовательности {хп} и {хп} тогда

§ 3] р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 27
и только тогда определяют одно и то же целое р-адическое число,
когда хп =sхп (modpn+1) для всех пХ).
То, что последовательность {хп} определяет целое р-адическое
число а, будет записываться так: {xj -» a.
Множество всех целых р-адических чисел мы будем обозна-
обозначать через Zj>. В отличие от целых р-адических чнсел обычные
целые числа будут называться целыми рациональными.
Каждому целому рациональному числу х сопоставим целое
р-адическое число, определяемое последовательностью {х, х, ...
..., х, ...). Это целое р-адическое число, соответствующее ра-
рациональному х, мы будем обозначать той же буквой х. Два раз-
различных целых рациональных числа х и у определяют разные це-
целые р-адические числа. Действительно, из их равенства как
целых р-адических чисел следовали бы при всех п сравнения
х = у (modp"), что возможно только при х = у. Ввиду этого мы
можем и будем рассматривать множество Z целых рациональных
чисел как часть множества Zp целых р-адическпх чисел.
Для того чтобы яснее представить, себе множество Zp ука-
укажем способ, при помощи которого можно из множества всех по-
последовательностей, определяющих данное целое р-адпческое число,
выбрать одну стандартную.
Пусть целое р-адпческое число задается последовательностью
ixn). Обозначим наименьшее неотрицательное число, сравнимое
с хп по модулю pn+l, через х„:
xn = xn (modpn+1), E)
О =s= zn < pn+1. F)
Сравнение E) показывает, что
хп = хп = жп_! s xn-i (mod р"),
так что последовательность {хп} определяет некоторое целое
р-аднческое число, и притом в силу E) то же самое, что и после-
последовательность {хп}. Последовательность, все члены которой удов-
удовлетворяют условиям D) и F), будем называть канонической. Мы
доказали, следовательно, что каждое целое р-адическое число
определяется некоторой канонической последовательностью.
Легко видеть, что две разные канонические последовательно-
последовательности определяют разные целые р-адические числа. Действительно,
если канонические последовательности {хп) и {уп} определяют
одно и то же целое р-адическое число, то в силу сравнений
хп = Уп (modpn+1)
и условий 0 < хп < pn+1, 0 < уп < pn+i получаем, что хп = уп при
всех п > 0. Таким образом, целые р-адические числа находятся
во взаимно однозначном соответствии с каноническими последо-
последовательностями. Из условия D) следует, что xn+i = хп + an+1pn+1,

28 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
а так как 0<хп+1 </?п+2 и 0^хп< рп+\ то 0<an+i< р. Следо-
Следовательно, всякая каноническая последовательность имеет вид
{а0, cto + dip, аа + atp + а2р2...},
где О =S at < р. Очевидно, что и, наоборот, каждая последователь-
последовательность такого вида является канонической последовательностью,
определяющей некоторое целое р-адическое число. Исходя из
этого, легко доказать, что множество канонических последова-
последовательностей, а следовательно, и множество всех целых р-адиче-
ских чисел имеют мощность континуума.
2. Кольцо целых р-аднческих чисел.
Определение. Суммой и произведением целых р-адиче-
ских чисел а и $, определяемых последовательностями {хп} и {уп\
называются целые р-адические числа, определяемые соответствен-
соответственно последовательностями {хп + уп} и {хпуп}.
Чтобы быть уверенным в корректности этого определения, мы
должны доказать, что последовательности {хп + уп} и {хпуп} оп-
определяют некоторые целые р-адпческие числа и что эти числа
зависят только от а и C, а не от выбора определяющих их по-
последовательностей. Оба эти свойства доказываются путем очевид-
очевидной проверки, которую мы пропустим.
Столь же очевидно, что при данном нами определении дей-
действий над целыми р-адическими числами они образуют коммута-
коммутативное кольцо, содержащее кольцо целых рациональных чисел
в качестве подкольца.
Делимость целых р-адпческих чисел определяется так же,
как в любом кольце (см. Дополнение, § 4, п. 1): а делится на [},
если существует такое целое р-адическое число if, что a = ру.
Для исследования свойств деления важно знать, каковы те це-
целые /ьадпческие числа, для которых существуют обратные целые
р-адические числа. Такие числа, согласно п. 1 § 4 Дополнения,
называются делителями единицы или единицами. Мы их будем
называть также р-адическими единицами.
Теорема 1. Целое р-адическое число а, определяемое по-
последовательностью {х0, хи ..., хп, .. Л, тогда и только тогда
является единицей, когда х0 ^ 0 (modp).
Доказательство. Пусть а является единицей. Тогда су-
существует такое целое р-адическое число ,6, что оф = 1. Если (J
определяется последовательностью {уп}, то условие а$ — 1 озна-
означает, что
хпУп=\ (modp"+i). G)
В частности, х0у0 = 1 (modp), а значит, хо^О (modp). Обратно,
пусть х0 Ф 0 (modp). Из условия D) легко следует, что
Хп = хп-1 =¦ • ¦= хо (mod p),
так что ^„^(Hmodp). Следовательно, для любого п можно

§ 3] р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 29
найти такое уп, что будет справедливо сравнение G). Так как
хп = xn-i (modрп) и xnyn = xn-iyn-i(modpn), то уп — Уп-i (mod/?").
Это значит, что последовательность {yj определяет некоторое
целое /?-адическое число р. Сравнения G) показывают, что
а$ = 1, т. е. что а является единицей.
Из доказанной теоремы следует, что целое рациональное число
а, будучи рассмотрено как элемент кольца Zp, тогда п только
тогда является единицей, когда а ^ 0 (mod/?). Если это условие
выполнено, то а~1 содержится в Zp. Отсюда следует, что любое
целое рациональное Ъ делится на такое а в Zp, т. е. что любое
рациональное число вида b/а, где а и Ъ целые и a # 0 (mod/?),
содержится в ZP. Рациональные числа такого вида называются
р-целыми. Они образуют очевидным образом кольцо. Полученный
нами результат можно теперь сформулировать так:
Следствие. Кольцо Zp целых р-адических чисел содержит
подкольцо, изоморфное кольцу р-целых рациональных чисел.
Теорема 2. Всякое отличное от нуля целое р-адическое
число а однозначно представляется в виде
m /O\
а = р е, (8)
где е — единица кольца Zp-
Доказательство. Если а — единица, то равенство (8)
справедливо при m = 0. Пусть {х„} ->- а и а не является едини-
единицей, так что согласно теореме 1 ж,, = 0 (mod/?). Так как ос^О, то
сравнения хп = 0 (mod/?n+1) невозможны при всех п. Пусть m —
наименьший индекс, для которого
х„гФ0(тоAрт+1). (9)
Для любого s ^ 0
xm+s = xm-i = 0 (mod pm),
поэтому число ys = xm+s/pm целое. Из сравнения
Рту, - Pmys-, = хт+в - xm+s-i = 0 (mod/?m+s)
следует, что ys = ys-{ (mod/?8) при всех s^O. Последовательность
{ys) определяет, таким образом, некоторое е е Zp. Так как
у о = хт/рт ^ 0 (mod/?), то по теореме 1 е является единицей.
Наконец, из сравнения
РтУ* = xm+s = xs (modps+>)
вытекает, что ртг = а, т. е. имеет место представленпе (8).
Предположим теперь, что а имеет другое представление: a =
= рнц, где к > 0, л — единица. Если {zj -*¦ ц, то
pmys = phzs (mod ps+l) A0)
при всех s ^ 0, причем согласно теореме 1 все ys и zs не делятся
на р, так как е и т] — единицы. Положив в сравнении A0) s = m,
получаем, что ртут = phzm Ф0 (mod pm+1), откуда вытекает нера-

30 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
венство к < т. В силу симметрии мы получаем, что и т < к, т. е.
к = т. Заменим теперь в сравнении A0) s на s + ш и сократим
его на рт. Мы получим, что
Ут+, = zm+s (mod ps+l),
а так как ут+, = J/S (modps+1) и zm+s = zs (modps+1) ввиду усло-
условия D), то уг = zs (modps+1). Так как это сравнение справедливо
для всех s ^ О, то е = г]. Теорема 2 доказана.
Следствие 1. Целое р-адическое число а, определяемое
последовательностью {хп}, тогда и только тогда делится на ph,
когда хп = 0 (mod pn+i) при всех п = 0, 1, ..., к — 1.
Действительно, мы определили показатель m в разложении
(8) как наименьший индекс т, для которого имеет место (9).
Следствие 2. Кольцо ZP we имеет делителей нуля.
Действительно, если а Ф- 0 и {J ?= 0, то для них имеются
представления а = рте, $ = р"у\, в которых е и ц — единицы.
(Для е и т] в кольце Zp существуют, следовательно, обратные
элементы е и ц~\) Если бы а|3 = 0, то, умножив равенство
рт+* ег] = 0 на е!), мы получили бы pm+h = 0, а это не-
невозможно.
Определение. Число т в представлении (8) отличного от
нуля целого р-адического числа а называется р-показателем а и
обозначается через vP(a).
В случае, если будет ясно, какое простое число р имеется
в виду, мы будем говорить просто о показателе и обозначать его
через v(a). Чтобы функция v(a) была определена на всех целых
р-адических числах, мы доопределим ее, полагая v@) = °°. (Це-
(Целесообразность этого формального равенства обусловлена тем,
что 0 делится на сколь угодно большую степень р.)
Непосредственная проверка дает следующие свойства пока-
показателя: '
v(a) + v(p), A1)
A2)
= min(v(a), v(j3)), если v(a)=H=v(p). A3)
В терминах показателя особенно просто выражаются свойства
Делимости целых р-адических чисел. В частности, из теоремы 2
сразу же вытекает
Следствие 3. Целое р-адическое число а тогда и только
тогда делится на [J, когда via) > v({J).
Таким образом, арифметика кольца ZP очень проста: в нем
имеется один-единственный (с точностью до ассоциированности)
простой элемент, это число р. Через его степени и единицы вы-
выражаются все отличные от нуля элементы из ZP.
В заключение остановимся на сравнениях в кольце Zp. Срав-
Сравнимость элементов определяется здесь так же, как для целых

§ 3] р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 31
чисел и вообще для элементов любого кольца (см. Дополнение,
§ 4, п. 1): а = {5 (mod y) означает, что а~ $ делится на у. Если
Y = рпг, где е — единица, то всякое сравнение по модулю Y рав-
равносильно тому же сравнению по модулю рп. Можно ограничиться
поэтому рассмотрением сравнений только по модулю рп.
Теорема 3. Всякое целое р-адическое число сравнимо с це-
целым рациональным числом по модулю рп. Два целых рационалъ*
ных числа тогда и только тогда сравнимы по модулю рп в кольце
Zp, когда они сравнимы по этому модулю в кольце Z.
Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение,
покажем, что если a — целое р-адическое чпсло и {xj — опреде-
определяющая его последовательность целых рациональных чисел, то
п). A4)
Так как xn-i определяется последовательностью {х„-и xn-i, ...),
то последовательность, определяющая a — xn-i, есть {хй — хп-и
Xi — Xn-i, ...}. Прпменпм к целому р-адпческому числу a — xn-t
следствие 1 теоремы 2. Мы видим, что сравнение A4) равпосиль-
но сравнениям 1.
жь-;*:„_! = О (mod/+1), к = 0, 1, ..., п - 1,
справедливость которых в свою очередь вытекает пз условия D)
в определении целых р-аднческпх чисел.
Докажем теперь, что для двух целых рациональных чисел х
и у сравнимость по модулю рп в кольце Хр равносильна сравни-
сравнимости по тому же модулю в кольце Z- Для этого положим
х — у = рта, аФОЫюйр) A5)
(мы считаем хФу). Сравнение
A6)
в кольце Z равносильно условию п < т. С другой стороны, A5)
есть представление (8) для числа х — у, так как а является р-ади-
ческой единицей. Следовательно, vp(x — у) = т и условие п^пг
можно переписать в виде vP(x — у) ^ п, а это равносильно срав-
сравнению A6) в Zp, так как v(p") =/г (см. следствие 3 теоремы 2).
Следствие. Число классов вычетов по модулю рп в Zp
равно рп.
3. Дробные р-адпческие числа. Так как кольцо ZP не имеет-
делителей нуля (следствие 2 теоремы 2), то его можно включить
в поле, используя конструкцию поля отношений области целост-
целостности. В применении к нашему случаю эта конструкция сводится
к рассмотрению дробей вида а/р", где a — некоторое целое
р-адическое число, к ~3& 0. Дробь рассматривается здесь просто
как удобная запись пары (a, ph).
Определение. Дробь вида a/ph, rcc e Zp, к 3> 0, определя-
определяет дробное р-адическое число или просто р-адическое число. Две

32 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
дроби, afph и $/рт, определяют одно и то же р-адическое число,
если apm = $ph в Zp.
Совокупность всех р-адических чисел будет обозначаться
через QP.
Целое р-адическое число определяет элемент а/1 = а/р° из
Qp. Очевидно, что различные целые р-адические числа опреде-
определяют различные элементы из Qp. Ввиду этого мы будем считать
Zp подмножеством множества Qp.
Действия в Qp определяются правилами:
а ft __ apm + ft/ _«_ ft _ aft
Очевидная проверка показывает, что результат действий не
зависит от выбора тех дробей, которые определяют элементы из
Qp, и что относительно этих действий Qp образует поле — поле
всех р-адических чисел. Очевидно, что поле Qp имеет характе-
характеристику нуль и, следовательно, содержит поле рациональных
чисел.
Теорема 4. Всякое р-адическое число 1=^0 единственным
образом представляется в виде
Ъ = ртг, A7)
где т — целое число, а е — единица из Zp.
Доказательство. Пусть | = а/р", aeZp. По теореме 2
а представляется в виде a = р'г, 1^0, где е — единица кольца
ZP • Мы получаем, что 1 = /?те, где m = l — k. Единственность
представления A7) вытекает из соответствующего утверждения
для целых р-адических чисел, доказанного в теореме 2.
Введенное в п. 2 понятие показателя легко обобщается на лю-
любые р-адические числа. Мы полагаем vp(|) = т, где т — показа-
показатель в представлении (J7). Легко видеть, что свойства A1), A2)
и A3) показателя автоматически переносятся на поле Qp. Оче-
Очевидно, что р-адическое число \ тогда и только тогда является
целым р-адическим числом, когда vp(|) > 0.
4. Сходимость в поле р-адических чисел. В п. 1 мы обратили
внимание на аналогию между целыми р-адическнми и веществен-
вещественными числами: и те и другие определяются некоторыми последо-
последовательностями рациональных чисел.
Так как ка;кдое вещественное число является, как известно,
пределом той последовательности рациональных чисел, которая
его определяет, то естественно предположить, что аналогичный
факт должен иметь место и для р-адических чисел, если только
правильно определить для них понятие сходимости. При опреде-
определении предела вещественных чисел мы опираемся, по существу,
на понятие близости: два вещественных или рациональных числа
считаются близкими, если абсолютная величина их разности до-
статочпо мала. Для определения сходимости в поле р-адических

§ 3] р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 33
чисел нам надо, следовательно, уяснить себе, П?И каком условии
два /ьадических числа должны рассматриваться как близкие.
При рассмотрении примера, приведенного в начале параграфа,
мы уже упоминали о р-близости двух целых рациональных чисел
х и у, понимая под этим делимость разности х — у на достаточно
большую степень р. Именно при таком новом понимании близо-
близости, как мы видели, и проявляется аналогия в определении ве-
вещественных и целых /ьадическпх чисел. Если воспользоваться
понятием р-показателя vp, то р-близоеть х и у будет характери-
характеризоваться, очевидно, значением \р(х — у). Это подсказывает нам,
что два произвольных р-адическпх числа | и ц (не обязательно
целых) надо считать близкими в том случае, если значение
vP(g — т]) достаточно велико. Другими словами, «малые» ^-адиче-
ские числа должны характеризоваться большим значением их
/(-показателя.
После этих предварительных замечаний перейдем к точному
определению.
Определение. Последовательность
vtn» — (to, li, •. •, In, .. Л
р-адических чисел называется сходящейся к р-адическому числу
? (в обозначении lim %n = § или {?„} ->-1), если
lim vp (|n — !) = оо.
Существенной особенностью этого определения (отличающей
его от обычного определения сходимости для вещественных чи-
чисел) является то, что в нем сходимость {%„) -*¦ | связв1вается
с последовательностью целых рациональных чисел vP(§n — |),
которая должна стремиться к бесконечности. Можно придать
этому определению более привычный вид, если вместо показателя
vP на поле QP рассмотреть другую функцию с вещественными
неотрицательными значениями, которая стремится к нулю, когда
показатель стремится к бесконечности. Именно, выбрав некоторое
веществеппое число р, удовлетворяющее условию 0 < р < 1,
положим
Ю при § = 0.
Определение. Функция фР(|), S e Qp, определенная ус-
условиями A8), называется р-адической метрикой. Значение фр(?)
называется величиной р-адического числа | в этой метрике.
Как и в случае показателя; мы будем иногда функцию фр на-
называть просто метрикой и обозначать через ф.

34 СРАВНЕНИЯ 1ГЛ. I
Из свойств (И) и A2) показателя очевидным образом выте-
вытекают следующие свойства метрики:
A9)
B0)
Из последнего неравенства получаем также, что
Свойства A9) и B1) (а также свойство: ф(|)>0 при 1=^0) ука-
указывают на то, что введенное понятие метрики для р-адических
чисел является аналогом понятия абсолютной величины в поле
вещественных чисел (или модуля в поле всех комплексных
чисел).
В терминах метрики фР определение сходимости в поле QP
принимает следующий вид: последовательность {?,J, \n s Qp,
сходится к р-адическому числу ?, если
lim фр {In — I) = 0.
Для поля Qp легко могут быть сформулированы и доказаны
обычные теоремы о пределах последовательностей, хорошо из-
известные из математического анализа. Покаже.м, например, что
если {?„} ->-1 и 1=^0, то {1/\п)-+\/"g. Прежде всего, начиная
с некоторого места, т. е. при п^щ, имеем v(|n~ I) >v(|), отку-
откуда, согласно свойству A3) для показателей, получаем: v(|n) =
= min (v(gn — g), v(|))=v(|); в частности, v(tJ =^ °°, т. е. |„ Ф 0,
а значит, 1/|„ при тех же п ~5* п0 имеет смысл. Далее,
v (i^ - т)= v а ~1п) ~
= v {ln ~
2v(|)-voo
при п -> <», и наше утверждение доказано.
Теорема 5. Если целое р-адическое число а определяется
последовательностью целых чисел {хп), то эта последовательность
сходится к а. Произвольное р-адическое число | является преде-
пределом последовательности рациональных чисел.
Доказательство. Из сравнения A4) следует, что
Vp(xn — а) > п + 1. Следовательно, v(zn — а) -»- °° при п -» <»?
а это и означает, что {хп} стремится к ос. Рассмотрим теперь
дробное р-адическое число | = а/рк. Так как
при п ->- о°, то | является пределом рациональной последователь-
последовательности {хп/рк}. Теорема доказана.
Из всякой ограниченной последовательности вещественных
чисел всегда можно выделить, как известно, сходящуюся подпо-

§ 31 р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 35
следовательность. Аналогичное свойство имеет место и для р-ади-
ческих чисел.
Определение. Последовательность р-адических чисел {?„}
называется ограниченной, если все значения фР(|я) ограничены
сверху или, что то же самое, все числа vP(|n) ограничены снизу.
Теорема 6. Из всякой ограниченной последовательности
р-адических чисел (в частности, из всякой последовательности
целых р-адических чисел) можно выделить сходящуюся подпо-
подпоследовательность.
Доказательство. Докажем сначала теорему для после-
последовательности {ап} целых /ьадических чисел. Так как в кольце
Zp число классов вычетов по модулю р конечно (следствие тео-
теоремы 3), то в последовательности {а„} содержится бесконечно
много членов, сравнимых по модулю р с одним и тем же целым
рациональным числом х0. Выделяя все эти члены, мы получаем
подпоследовательность 1а»1*} , все члены которой удовлетворяют
сравнению осп' = х0 (тпо&р). Аналогичным образом, применяя
следствие теоремы 3 при п = 2, мы из [(*?} выделим подпосле-
подпоследовательность |ccn2)l с условием а^^ хг (mod рг), где ^ — не-
некоторое целое рациональное число; при этом, очевидно,
Xi ^ х0 (modp). Продолжая этот процесс до бесконечности, мы
для каждого к получим последовательность (кп }, которая явля-
является подпоследовательностью предыдущей последовательности
(a^"" } и для членов которой справедливы сравнения
c4ft) = xh_x (mod ph)
при некотором целом рациональном xh~u Так как все сс(п+1) нахо-
находятся среди o4ft) и xh^a(n+i)(modp(k+V), то
xk = xh-l (mod/Л)
при всех к>1. Последовательность {хп} определяет, следователь-
следовательно, некоторое целое /ьадическое число а. Составим теперь «диа-
«диагональную» последовательность {ос»Г }. Ясно, что она является
подпоследовательностью исходной последовательности {«„}. Ут-
Утверждаем, что la^} —>-a. В самом деле, в силу A4) имеем:
а = #„_! (mod?n); с другой стороны, a^&sxn-i (mod/?n)> следова-
следовательно, сс(п} = a (modрп), т. е. v(o4"} — а)^ п. Отсюда следует,
что v(aGf) — a)-v оо при п -*¦ °°, а значит la^l сходится к а.
Перейдем к доказательству теоремы в общем случае. Если для
последовательности р-адических чисел {|„} имеем v(?n) ^ —к
(к — некоторое целое рациональное число), то для an = %nPh бу-
будем иметь v(an) > 0. По доказанному из последовательности {сс„}
целых р-адических чисел можно извлечь сходящуюся подпосле-
подпоследовательность («nj}. Но тогда последовательность (!п4р = {ani P~k}

36 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
будет сходящейся подпоследовательностью для {!•„}. Теорема б
доказана полностью.
Для /ьадических чисел справедлив также признак сходимости
Коши: последовательность
{1% ln <= QPl B2)
сходится тогда п только тогда, когда
lim v (lm - In) = оо. B3)
m,n->co
Необходимость этого условия очевидна. Для доказательства до-
достаточности заметим прежде всего, что из B3) вытекает ограни-
ограниченность B2). В самом деле, из условия B3) следует существова-
существование такого па, что v (sm — 1щ) 7^-' ^ при всех т З3 па. Но тогда
в силу свойства A2) для тех же т^п0 справедливо неравенство
V Aт) = V (Aт — Ino) + 1щ) > ШШ (О, V (?„<,)),
откуда и следует ограниченность B2). По теореме б из B2) мож-
можно извлечь сходящуюся подпоследовательность {\,п{} с пределом,
скажем, \. Покажем, что тогда сама последовательность B2) схо-
сходится к элементу |. Пусть М — произвольное сколь угодно боль-
большое число. В силу B3) и определения сходимости мы можем
найти такое натуральное число N, что, во-первых, v(gm — |„) > М
при т, n^N и, во-вторых, v(?n4 — g)^il/ при nt^N. Тогда
V (gm -l)> mill (V (lm - Ц), V (ln. - 1)) > M
для всех m>N. Таким образом, lim v (sm — 1) = °°»т. е. после-
дователыюсть B2) сходящаяся.
Доказанному признаку сходимости в поле /?-адических чисел
можно дать другую, более сильную форму. Если для последова-
последовательности B2) выполнено условие B3), то, очевидно, имеем также
lim v(sn+i — In) = оо. B4)
П-?оо
Оказывается, что и, обратно, из условия B4) следует B3). Дей-
Действительно, если \"(|„+1 — |„) 3s M при всех n>N, то в силу A2)
из равенства
т
вытекает
v (!m — In) > min v (si+i— li) > M,
i=n m-i
r. e. v(gm — \n) -*¦ оо при т, п-+°°. Таким образом, имеет место
Теорема 7. Для сходимости последовательности р-адиче-
ских чисел {|п} необходимо и достаточно, чтобы lim v (|n+i —
П-»оо
-En) = oo.

§ 3] р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 37
Наличие понятия сходимости в поле QP дает возможность
говорить о непрерывных ^-адических функциях от р-адического
аргумента. Их определение, по существу, ничем не отличается от
обычного. Именно, функция F(|) называется непрерывной при
1 = |о, если для всякой последовательности {?„}, сходящейся
к |о, последовательность значений {F(tn)} сходится к F(|o). Ана-
Аналогично будет для функций от нескольких переменных. Так же,
как и в вещественном анализе, легко могут быть доказаны обыч-
обычные теоремы об арифметических операциях над непрерывными
р-адическими функциями. В частности, легко убедиться, что мно-
многочлен от любого числа переменных с ^-адическими коэффициен-
коэффициентами есть непрерывная /ьадическая функция. Этим простым
фактом мы в дальнейшем (§ 5, п. 1) воспользуемся.
В заключение этого пункта сделаем несколько замечаний
о рядах с р-адичеекими членами.
Определение. Если последовательность частных сумм
п
sn = 2 ai ряда
оо
2 «i = а0 + ссх + . .. + ап + .. . B5)
»=о
с р-адическими членами сходится к р-адическому числу а, то го-
говорим, что этот ряд сходится и что его сумма равна а.
Из теоремы 7 непосредственно вытекает следующий признак
сходимости для рядов.
Теорема 8. Для сходимости ряда B5) необходимо и доста-
достаточно, чтобы его общий член ап стремился к нулю, т. е. чтобы
v(ccn) ->- °° при п -»- оо.
Сходящиеся р-адические ряды можно, очевидно, почленно
складывать, вычитать и умножать на постоянные р-адические
числа. Для них имеет место также сочетательное свойство рядов.
Теорема 9. При любой перестановке членов сходящегося
р-адического ряда его сходимость не нарушается и сумма не ме-
меняется.
Доказательство этой теоремы совсем просто, и мы предостав-
предоставляем его читателю.
В курсе математического анализа доказывается, что свойство,
указанное в теореме 9, в применении к рядам с вещественными
членами характеризует абсолютно сходящиеся ряды. Все сходя-
сходящиеся /ьадические ряды являются, таким образом, и «абсолютно
сходящимися». Отсюда следует, что в поле /»-адических чисел схо-
сходящиеся ряды можно перемножать по обычным правилам
анализа.
Если целое ^-адическое число а определяется канонической
последовательностью {а0, ао + а,/?, а0 + atp + агргч ...} (см. п. 1),
то, согласно первому утверждению теоремы 5, оно будет равно

38 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
сумме сходящегося ряда
+ а2р2 + ... + апрп + ...,
B6)
а0 + dip + а2р2 + ... + апрп
0«?а„«?р-1, п = 0, 1, ...
Так как различные канонические последовательности определяют
различные целые р-адические числа, то представление а в виде
ряда B6) однозначно. Очевидно, что и, обратно, всякий ряд вида
B6) сходится к некоторому целому р-адическому числу.
Представление целых /ьадических чисел рядами B6) напоми-
напоминает запись вещественных чисел в виде бесконечных десятичных
дробей.
Если рассмотреть ряд
bo + biP + ... + bnpn + ..., B7)
в котором коэффициенты — произвольные целые рациональные
числа, то он, очевидно, будет сходящимся (так как v(bnpn) ^= п)
и его сумма будет равна некоторому целому р-адическому числу а.
Чтобы для этого а получить представление B6), надо, как легко
видеть, последовательно заменить все коэффициенты в B7) их
остатками от деления на р, относя неполное частное на каждом
шаге к следующему члену. Это замечание имеет значение для
выполнения действий в кольце Zj>- Именно, при сложении, вы-
вычитании или умножении рядов вида B6) по правилам действий
над степенными рядами мы получим ряд вида B7), в котором
коэффициенты, вообще говоря, не будут наименьшими неотрица-
неотрицательными вычетами по модулю р. Для преобразования его в ряд
вида B6) надо применить только что отмеченный прием. Этот спо-
способ выполнения действий над целыми р-адическими числами
аналогичен, как видим, обычному способу производства действий
над вещественными числами, записанными в виде бесконечных
десятичных дробей.
Из теоремы 1 легко следует, что целое р-адическое число,
представленное в виде ряда B6), является единицей кольца Zp
тогда и только тогда, когда а0 Ф 0. Вместе с теоремой 4 это дает
нам следующий результат.
Теорема 10. Каждое отличное от нуля р-адическое число %
однозначно записывается в виде
l = pm(a0 + alP + ... + anpn + ...), B8)
где m =¦ vP(g), I < я0 < р - 1, 0^ an.sS р - 1 (га = 1, 2, ...).
Замечание. Приведенное нами построение кольца целых
р-адических чисел является частным случаем одной общей кон-
конструкции, применяющейся в топологии и алгебре,— конструкции
проективного предела обратного спектра топологических прост-
пространств, групп, колец и т. п. (с этим понятием можно ознакомить-
ознакомиться, например, по книге [4], гл. III). Именно, кольцо Zp можно

§ 3] р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 39
интерпретировать также как проективный предел обратного
спектра колец вычетов й» = Z/p'Z относительно естественных
гомоморфизмов Q, -*• Qi (j > i). При этом топология на ZP, вно-
вносимая понятием сходимости (см. п. 4) будет совпадать с тополо-
топологией, возникающей на проективном пределе конечных колец Qi,
если последние рассматривать как топологические пространства
с дискретной топологией.
Задачи
1. Положим хп = 1 + ;; + ... + Рп~1- Показать, что в поле р-адических
чисел последовательность {хп} сходится к 1/A —р).
2. Пусть р Ф 2 и с — квадратичный вычет по модулю р. Доказать, что
существуют два (различных) р-адических числа, квадраты которых равны с.
3. Пусть с — целое рациональное число, не делящееся на р. Показать,
что в поле Ср последовательность I ср I сходится. Доказать, далее, что
для предела i этой последовательности имеем: i = с (modp) и -ip = 1-
4. Используя предыдущую задачу, показать, что в поле Qp многочлен
/р~* —¦ 1 раскладывается целиком на линейные множители.
5. Представить число —1 в поле р-адических чисел в виде ряда B6).
6. Представить число — 2/3 в виде ряда B6) в поле 5-адических чисел.
7. Доказать, что цри р Ф 2 в поле р-адических чисел не существует
корней р-й степени из 1, отличных от 1.
8. Доказать, что представление рационального числа Ф 0 в поле Qp
в виде ряда B8) имеет периодические коэффициенты (начиная с пекоторо-
го места). Обратно, всякий ряд вида B8), для коэффициентов которого име-
имеем йш+а = я;, при всех к ^ к0 (т. > 0), представляет рациональное число.
9. Доказать для многочленов над полем р-адических чисел признак не-
неприводимости Эйзенштейна: многочлен f(x) = аохп + alxn~i -f-... + ап с це-
целыми р-адическими коэффициентами неприводим над полем Qp) если ао
не делится на р, все остальные коэффициенты яь ..., ап делятся на р и
свободный член а„, делясь на р, не делится на р2.
10. Показать, что над полем р-адических чисел существуют конечные
расширения произвольной степени.
11. Доказать, что для различных простых р и д поля Qp и Qg не изо-
изоморфны. Доказать также, что всякое поле Qp не изоморфно полю вещест-
вещественных чисел.
12. Доказать, что поле р-адических чисел не имеет никаких автоморфиз-
автоморфизмов, кроме тождественного. (Аналогичное утверждение справедливо и для
поля вещественных чисел.)
13. Пусть а — главная р-адическая единица, т. е. ае ^ и а =
= 1 (modp). Положим v(a— 1) = т. Доказать, что если а ф 1 и р ф 2, то
v(ap—1) = т + 1. Доказать, далее, что последняя формула справедлива и
при р = 2, если только т ^ 2.
14. Для главной р-адической единицы а и целого р-адического х положим
ах = lim ах", где {хп} — произвольная последовательность натуральных чи-
П-»оо
сел, сходящаяся к х. Доказать, что этим однозначно определена функция ах,
непрерывно и гомоморфно отображающая аддитивную группу целых р-ади-
ческих чисел в мультипликативную группу главных р-адических единиц.
15. Для а и х из задачи 14 доказать формулу
v(a*-l) =v(a-l) +v(x)
(при р — 2 предполагается, что v2(a — 1) > 2; задача 13).

40 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. Г
16. Доказать, что при р ф 2 любая р-адическая единица 8 однозначно
представляется в виде
е = уA +р)а, yv'x=i, aeZp
(см. задачи 3 и 14). Доказать также, что всякая 2-аджческая единица е одно-
однозначно представляется в виде 8 = ±5", a е 22-
17. Доказать, что vp(re!) < п.
18. Пусть Zm — кольцо классов вычетов 2v'mZ п0 натуральному мо-
модулю т. Если п делится на т, то мы имеем естественный кольцевой эпи-
эпиморфизм /J^;Zn-»-Zm. Обозначим через Z проективный предел обратно-
обратного спектра колец [^т'^т] (частично упорядоченного отношением делп-
мости). Доказать, что кольцо Z изоморфно декартову произведению JJ Zp
колец целых р-адических чисел для всех простых чисел р. (Если на Z две-
двести топологию посредством дискретной топологии на Zm, то кольца 2 и
Л Zp будут топологически изоморфны.)
Р
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля
р-адических чисел
Поля /7-адических чисел принадлежат к числу основных инст-
инструментов теории чисел. Следующие параграфы этой главы будут
посвящены их приложениям к некоторым теоретико-числовым
задачам. Сейчас, однако, мы несколько отвлечемся от основной
темы главы, чтобы уяснить себе место полей />-адических чисел
в общей теории полей.
1. Метризованные поля. Мы же несколько раз указывали на
аналогию между />-адическими и вещественными числами. В на-
настоящем параграфе мы придадим этой аналогии более точный
смысл. Именно, мы здесь опишем один общий метод построения
полей, охватывающий в качестве частных случаев построение как
вещественных, так и р-адических чисел. Этот метод для случая
поля вещественных чисел совпадает с методом Кантора построе-
построения вещественных чисел при помощи фундаментальных последо-
последовательностей рациональных чисел.
Перенесение метода Кантора на другие поля основывается на
следующем соображении. Все понятия и конструкции, необходи-
необходимые для проведения этого метода, определяются через понятие
сходимости последовательности рациональных чисел. Само это
понятие в свою очередь опирается на понятие абсолютной вели-
величины. (Мы говорим, что последовательность рациональных чисел
{гп} сходится к рациональному числу г, если абсолютная вели-
величина разности \гп — г\ стремится к нулю.) При этом можно за-
заметить, что всюду используется только несколько простых свойств
абсолютной величины1. Естественно поэтому предположить, что
если в произвольном поле к определена функция ф от элементов
этого поля, принимающая вещественные значения и обладающая

g 4] АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ Qp 41
теми же основными свойствами, что и абсолютная величина, то
в к можно определить понятие сходимости и, применяя метод
Кантора, построить из к некоторое новое поле.
Определение. Пусть к — произвольное поле. Функция ф,
определенная на элементах а поля к и принимающая веществен-
вещественные значения ф(а), называется метрикой поля к, если она обла-
обладает следующими свойствами:
1° ф(а) > 0 при а Ф 0; ф@) = 0;
2° ф(а + р)^ф(а) + ф(§);
3° ф(сф)=ф(а)ф(§).
Поле к вместе с заданной в нем метрикой ф называется мет-
метризованным полем {и обозначается иногда через (/с, ф)). Из опре-
определения легко вытекают следующие свойства метрик:
ф(±1) = 1; ф(-сс) = ф(а); ф(а-р)< ф(а)
Примерами метрик являются:
1) абсолютная величина в поле рациональных чисел;
2) абсолютная величина в поле вещественных чисел;
3) модуль в поле комплексных чисел;
4) определенная в п. 4 § 3 /г-адическая метрика фР в поле
р-аднческих чисел QP;
5) функция ф(а), определенная в произвольном поле к усло-
условиями: ф@) = 0, ф(ос)=1 при а?=0. Такая метрика называется
иривиальной.
Если метрику фР поля Qp мы рассмотрим лишь на рацио-
рациональных числах, то получим некоторую новую метрику поля ра-
рациональных чисел Q. Эта метрика, обозначаемая также через фр,
называется р-адической метрикой поляО. Ее зпачение для от-
отличного от нуля рационального числа х = pVp alb [а та. Ъ — целые,
не делящиеся на р) задается, очевидно, формулой
Фр(*) = Р^(я\ A)
где р — фиксированное вещественное число, удовлетворяющее
условию 0 < р < 1. Ниже мы увидим, что применение конструк-
конструкции Кантора к полю рациональных чисел с /ьадической метрикой
на нем (вместо абсолютной величины) и приводит нас к полю
/ьадических чисел QP.
В каждом метризованном поле (к, ф) может быть определено
понятие сходимости: последовательность {а„} элементов из к на-
называется сходящейся к элементу а^к, если ф(а„ — а) ->¦ 0 при
п ->- оо. В этом случае говорят также, что а является пределом
последовательности {сс„}, и пишут {а„} ->- а или а = liman.

42 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Определение. Последовательность {ап} элементов метри-
метризованного поля к с метрикой ф называется фундаментальной,
если <р(ос» — ccj -*¦ 0 при га„ m -*¦ °°.
Очевидно, что всякая сходящаяся последовательность фунда-
фундаментальна. Действительно, если {а„) -*¦ а, то, в силу неравенства
ф(а„ — ос,) = ф(сс„ — а + а — ат) ^ <р(а„ — а) + ф(ат — а),
ф(ап — ат) •-»- 0 (так как ф(ап — ос) ->- 0 и ф(ат — ос) -*- 0).
Обратное утверждение справедливо для некоторых, но не для
всех метризованных полей. Оно верно для поля вещественных ц
для поля ^-адических чисел в силу критерия сходимости Коши
(см. § 3, п. 4). В то же время оно неверно для ноля рациональных
чисел Q, какой бы из известных нам метрик мы его ни снабжа-
снабжали — абсолютной величиной или /г-адической метрикой.
Определение. Метризованное поле называется полным,
если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Метод Кантора состоит во вложении неполного поля рацио*
нальных чисел (с абсолютной величиной в качестве метрики)
в полное поле вещественных чисел. Оказывается, что такое вло-
вложение возможно и для любого метризованного поля, причем до-
доказательство этого утверждения почти дословно повторяет то,
которое приводится в методе Кантора.
Условимся в следующей терминологии. Если мы говорим, что
метризованное поле {к, ф) является подполем метризованного
поля (fci, Ф1), то, помимо включения k^ki, подразумеваем также,
что метрика ф( на подполе к совпадает с ф. Далее, подмножество
метризованного поля к будем называть всюду плотным в к, если
всякий элемент из к является пределом некоторой сходящейся
последовательности элементов из этого подмножества.
Имеет место
Теорема 1. Для любого_ метризованного поля к существует
полное метризованное поле к, содержащее к в качестве всюду
плотного подполя.
Для формулировки следующей теоремы нам необходимо еще
одно определение.
Определение. Пусть iki, Ф1) и ik2, фг) — два изоморфных
между собой метризованных поля. Изоморфизм о: /с, ->- кг назы^
вается непрерывным в обе стороны или топологическим, если для
всякой последовательности {ап} элементов из ки сходящейся
к элементу а по метрике ф1? последовательность {а(ап)} сходится
к о(а) по метрике ф2, и обратно.
Теорема 2. Поле Л, о котором говорится в теореме 1, опре~
делено однозначно с точностью до топологического изоморфизма,
оставляющего на месте элементы поля к.
Определение. Поле й, существование и единственность
которого устанавливается теоремами 1 и 2, называется пополне-
пополнением метризованного поля к.

§ 4] АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НОЛЯ Qp 43
Ясно, что поле вещественных чисел является пополнением
поля рациональных чисел Q, снабженного абсолютной величиной
в качестве метрики. Если же снабдить поле рациональных чисел
/г-адической метрикой A), то пополнением этого метризованного
поля будет поле р-адических чисел Qp. Действительно, второе
утверждение теоремы 5 § 3 показывает, что Q всюду плотно
в Qp, а признак сходимости Коши (теорема 7 § 3) утверждает
полноту Qp. Мы получили, таким образом, новое аксиоматиче-
аксиоматическое определение поля />-адических чисел:
Поле р-адических чисел — это пополнение поля рациональных
чисел по р-адической метрике A).
Перейдем к доказательствам теорем 1 и 2. Мы приведем толь-
только схему этих доказательств, пропуская те места, которые до-
дословно повторяют соответствующие рассуждения вещественного
анализа.
Доказательство теоремы 1. Назовем две фундаменталь-
фундаментальные последовательности {хп} и {уп} элементов метризованного
поля (к, ф) эквивалентными, если {хп — yj -> 0. Совокупность
всех эквивалентных друг другу фундаментальных последователь-
последовательностей назовем классом, а совокупность всех классов обозначим
через к. В множестве к определяем следующим образом действия
сложения и умножения: если а и Р — два класса и {хп) е а и
{уп} е [} — любые содержащиеся в них фундаментальные после-
последовательности, то суммой (соответственно произведением) клас-
классов аир назовем класс, содержащий последовательность {хп + yj
(соответственно {хпуп}). Легко видеть, что {хл + уп} и {хпуп} дей-
действительно являются фундаментальными последовательностями и
что классы, которым они принадлежат, не зависят от выбора
последовательностей {хп} и {yj в классах а и $.
Очевидная проверка показывает, что к является кольцом
с единицей; нулем и единицей являются классы, содержащие по-
последовательности {0, 0, .. Л и {1, 1, .. Л.
Докажем, что к является полем. Если а — класс, отличный от
нуля, и {хп} — содержащаяся в нем фундаментальная последова-
последовательность, то, как легко видеть, все хп, начиная с некоторого
места (например, при п ^ п0), отличны от нуля.
Рассмотрим последовательность {уп), определенную условиями:
II при п<п0,
п \\1хп при п^п0.
Простая проверка показывает, что последовательность {yj
фундаментальна и что класс, в котором она содержится, является
обратным к классу а.
Введем теперь в поле к метрику. Для этого заметим, что, как
легко доказать, если {х„) — фундаментальная последовательность
элементов поля к, то (ф(хп)} является фундаментальной последо-

44 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
вательностыо вещественных чисел. Ввиду полноты поля веще-
вещественных чисел эта последовательность сходится к некоторому
вещественному числу, ко'торое не изменится, если заменить по-
последовательность {#„} эквивалентной. Положим <p(ct) = lim ф (хп),
П-»оо
если а — класс, содержащий последовательность {хп}. Нетрудно
доказать, что определенная таким образом функция ф(а) удов-
удовлетворяет всем условиям, входящим в определение метрики, и,
следовательно, превращает к в метризованное поле.
Сопоставим любому элементу а поля к класс, содержащий по-
последовательность {а, а, ...}. Мы получим отображение поля к
в й, устанавливающее, как легко видеть, изоморфизм метризо-
метризованного поля к с подполем поля к, сохраняющим значение мет-
метрики. Мы не будем дальше отличать элемент поля к от соответ-
соответствующего ему элемента поля к и будем считать, что к содер-
содержится в к. Очевидно, что к всюду плотно в к; действительно,
если а — класс, содержащий фундаментальную последовательность
ixn}, то {xj -*¦ а.
Нам остается доказать последнее свойство поля к — его пол-
полноту. Пусть {а„} — фундаментальная последовательность элемен-
элементов поля к. Так как ап является пределом последовательности
элементов поля к, то существует элемент хл е к, для которого
ф(ссп — х„) < 1/п.
Из фундаментальности последовательности {ап} немедленно
следует, что и последовательность {хп}, состоящая уже из эле-
элементов поля к, является фундаментальной. Обозначим через ос
класс, содержащий последовательность {хп}. Простая проверка
показывает, что ian) ->- а, что и завершает доказательство
теоремы 1.
Доказательство теоремы 2. Пусть к и fct — два полных
поля, содержащих к в качестве всюду плотного подполя. Мы ука-
укажем только, как устанавливается соответствие между элемепта-
ми полей к и /сь Проверку того, что это соответствие является
топологическим изоморфизмом, переводящим элементы к в себя,
мы предоставим читателю.
Пусть а — элемент поля к. По условию существует такая по-
последовательность {хп} элементов поля к, что {хп) ->¦ а. Так как
последовательность {xj сходится в к, то она является фундамен-
фундаментальной. Это свойство сохранится и тогда, когда мы рассмотрим
ее как последовательность элементов поля к. Ввиду полноты по-
поля /с. последовательность {хп} сходится в нем к некоторому пре-
пределу, который мы обозначим at. Легко доказать, что если {yj —
другая последовательность _элементов поля к, сходящаяся в к
к а, то предел {г/пЬв noneje,. будет тем же элементом аь Таким
образом,_элемент at поля fti однозначно определяется элементом
а поля к. Соответствие, сопоставляющее элементу а элемент at,
и является нужны» нам изоморфизмом.

8 4] / АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ Qp 45
2. Метрики доля рациональных чисел. В связи с результатами
предыдущего пункта естественно возникает вопрос, существуют
ли, помимо поля вещественных чисел и полей /ьадических чисел
(для всех простых р)% другие пополнения поля "рациональных
чисел Q. Ответ оказывается отрицательным: перечисленные по-
поля исчерпывают собой все возможные пополнения поля Q. До-
Доказательство этого факта п является нашей ближайшей целью.
Ясно, что поднятый нами вопрос сводится к перечислению
всех метрик поля Q.
В определении р-адической метрики q:P на поле Q участвует
некоторое вещественное число р, от которого требуется лишь,
чтобы оно удовлетворяло условию 0< р < 1 (см. равепство A),
а также A8) § 3). Таким образом, мы имеем бесконечно много
метрик, связанных с данным простым числом р. Однако все они
определяют, очевидно, пдпу и ту ;ке сходимость на Q и, следо-
следовательно, приводят к одному и тому же пополнению — к полю
jj-адических чисел Qp.
Покажем, что наряду с абсолютной величиной [х\ фупкция
ф) = \х\« B)
при любом вещественном а, удовлетворяющем условию 0 < а < 1,
также является метрикой поля Q. Действительно, выполнение
условий 1° и 3° из определения метрики очевидпо. Пусть \х\ 5*
> \у\, х?=0. Тогда
х + у |« = | х |
1 + —
X
г Iя I 1 -I-
т. е. условие 2° также выпелпопо.
Сходимость в Q по любой из метрик вила B) совпадает, оче-
очевидно, со схолямостыо по абсолютной величине, а значит, про-
процесс пополнения но всем ът,м метрикам приводит всякий раз
к полю ЕРщес1"! ¦: опгых чисет.
Теорема 3 (георсмэ Островского). Метрики вида B) и
р-адические метрики A) о:а всех простых р исчерпывают все не-
нетривиальные метрики поля рациональных насел -й.
Дока -ЦТ'1 1 ъ с т в о. Пусть ср — произвольная нетривиаль-
нетривиальная метрика dj.ih рациональных чисел. Возможны два случая:
либо существует хоть одно натуральное а > 1, для которого
<p(cj) > 1, либо ф(и) < 1 при всех натуральных п. Рассмотрим сна-
сначала первый елт, чай. Так как
=в, C)
то можно положить
у(а) = аа, D)
где вещественное а удовлетворяет условию 0 < а ^ 1.

46 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1
Взяв произвольное натуральное N, разложим его по сте-
степеням а:
N = х„ + Xia + ... + хк-1ак~\
где 0^ Xi^a — 1 (O^i^k — 1), xk-i > 1. Для N имеет место,
следовательно, неравенство ак~1 ^ N < ак. В силу свойств метрики
и формул C) и D), получаем
Ф (N) < Ф (хо) + Ф Ю Ф (а) + ¦ ¦ ¦ + ф (xh-i) Ф (а)* <
(а - 1) A + а« + . .. + а<*-««) = (а -
< (а - 1) -|^_ = (а-Да° а( (
т. е. ф(Л')<6'ЛТа, где константа С не зависит от N. В получен-
полученном неравенстве заменим N на iVm с натуральным т. Мы полу-
получим ф(Л')те = (р(ЛТпг)<СЛ"па, откуда ф(Лг)<у^iV™. Устремляя
здесь т к бесконечности, приходим к неравенству
Ф(Ю<№. E)
Положим теперь N = ак — Ъ, где 0 < Ъ < ак — а*. В силу 2° имеем
ф(ЛО ^ ф(ай) - ФF) = аа4 - Ф(Ь).
По только что доказанному
поэтому
Ф () > ( )
где константа d не зависит от N. Пусть снова т — произвольное
натуральное число. Заменяя в последнем неравенстве N на Nm,
получаем ф(Лг)те = Ф(Жт) > CxNam, откуда ф (N) > У^Л^™, а это
при т ->¦ оо дает нам
F)
Сопоставляя E) и F), видим, что ф(Лг)=Лг<х для любого нату-
натурального N. Пусть теперь х = ±NJNZ — произвольное рациональ-
рациональное число, отличное от нуля (iVt и yV2 натуральные). Тогда
Ф {х) = Ф (ЛУЛГ2) = Ф (tfj/ф (ЛГ2) = iV?/iVf = | х |«.
Мы доказали, таким образом, что если ф(а) > 1 хоть при одном
натуральном а, то метрика ф имеет вид B).
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда
ф(в) < 1 G)

$ 4] АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ Qp 47
при всех натуральных тг. Если бы для всех простых чисел р мы
имели ф(^) = 1, то в силу свойства 3° мы имели бы также ф(га) =
= 1 при всех натуральных га и, следовательно, (fix) = 1 при всех
рациональных х Ф 0. Это противоречит, однако, нетривиальности
метрики ф. Таким образом, для некоторого простого р имеем
ф(р) < 1. Допустим, что для некоторого другого простого числа
q^p также имеем ф(д)< 1. Выберем показатели к и I так, что-
чтобы выполнялись неравенства
< 1/2.
Так как ph и q' взаимно просты, то ирк + vql~{ при некоторых
целых рациональных и и v. В силу G) имеем <р(и) ^1 и ф(и) =^ 1,
поэтому
1 = ф A) = ф (uph + vqi) <ф (U) ф (Р)к + ф (у) ф (<?)г<4 + т-
Полученное противоречие показывает, что существует только од-
одно простое число р, для которого
Так как (p(q) = 1 для всех других простых чисел, то, очевидно,
ф(а)= 1 для всех целых а, взаимно простых с р. Пусть х = рта/Ъ —
отличное от нуля рациональное число {а и Ъ целые, взаимно про-
простые с р). Тогда
Таким образом, в этом случае метрика ф совпадает с р-адической
метрикой A).
Доказательство теоремы 3 окончено.
Задачи
1. Показать, что на конечном поле существует только одна метрика —
тривиальная.
2. Две метрики (р и г|э, заданные на одном, и том же поле к, называются
эквивалентными, если они определяют на к одинаковые сходимости, т. е. ес-
если условия ц>(хп — г)-»-0 и ty(xn — г)->0 равносильны. Доказать, что для
эквивалентности ф и г|? необходимо и достаточно, чтобы условия <р(х) <С 1
niji(i)<l(ie к) были равносильны.
3. Доказать, что если ф и \\> — эквивалентные метрики поля к, то <р(х) =
= (ty(x)N при всех же к (S —некоторое вещественное число).
4. Метрика <р, заданная на некотором поле к, называется неархимедовой,
если она удовлетворяет не только условию 2°, но и более сильному условию
(Если же это более сильное условие не выполняется, то метрика <р называ-
называется архимедовой.) Доказать, что метрика ф неархимедова тогда и только
тогда, когда ф (ге) ^1 для любого натурального п (точнее, для любого нату-
натурального кратного единичного элемента поля к).

48 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
5. Показать, что всякая метрика поля характеристики р неархщедова.
6. Пусть к0 — произвольное поле и fe = ko(t) —поле рациональных функ-
функций над к0. Каждую отличную от нуля рациональную функцию и е к мож-
можно представить в виде
где / и g — многочлены. Показать, что функция
ф(к) = ргп @<р<1), ф@)=0, (8)
является метрикой поля к.
7. Доказать, что пополнение поля к = kq(t) по метрике (8) изоморфно
полю ko{t} формальных степенных рядов, состоящему из всех рядов вида
ос
2 antn> ап е \> с обычными правилами действий пад степенными ря-
дами (число т может быть положительным, отрицательным, или равным
нулю).
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа
1. Сравнения и уравнения в кольце 19. В начале § 3 мы рас-
рассмотрели вопрос о разрешимости сравнений х2 = 2 (mod?") при
п = 1, 2, ..., и это привело нас к понятию целого /г-адпческого
числа. Уже само определение целых р-адических чисел (§ 3, п. 1)
указывает на их глубокую связь со сравнениями. Более полно эта
связь вскрывается следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть F(xt, ..., хп) — многочлен с целыми
рациональными коэффициентами. Сравнения
F(xu ..., xn)^0(modpk) A)
тогда и только тогда разрешимы при любом к 3s 1, когда урав-
уравнение
Fixu ..., хп) = 0 B)
разрешимо в целых р-адических числах.
Доказательство. Пусть уравнение B) имеет решение
(at, ..., а„) в целых р-адических числах. Для любого к сущест-
существуют тогда такие целые рациональные числа х\ , ..., х„ , что
а, == x[k) (mod р*), .. ., ап = х™ (mod ph). C)
Отсюда следует, что
F (x[h\ ..., х^) = F (аи ..., о„) = 0 (mod p*),
т. е. ухг ,...,хп )есть решение сравнения A).
Предположим теперь, что сравнение A) для любого к имеет
решение (^ ,...,хп). Выберем из последовательности целых
рациональных чисел {х^} р-адически сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность [х[ г'\ (теорема 6 § 3). Из последовательности \Хг г '

§ 5] СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 49
выберем опять сходящуюся подпоследовательность. Повторяя
этот процесс п раз, мы придем к такой подпоследовательности на-
натурального ряда {1и 1г, ...}, что каждая из последовательностей
{х\ , х\ , ... }р-адически сходится. Пусть
lim 4'm) = «4.
7П-»ОО
Докажем, что (оси ..., <х„) — решение уравнения B). Так как
многочлен F{xit ..., х„) — непрерывная функция, то
С другой стороны, по выбору последовательности \хг ,...,?„ )
так что lim F\x[m\ ..., а„ )=0. Таким образом, F(a,i, ..., а„) =
т->ао
= 0, и теорема 1 доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда F{xu ...,х„) — форма с
целыми рациональными коэффициентами. Допустим, что урав-
уравнение F(xt, ..., хп) = 0 имеет ненулевое решепие (а,, ..., а„) в
целых р-адических числах. Пусть т = min (vpCat), ..., vp(an)).
Тогда все а; представляются в виде
ai = pma,i, i= I, ..., п,
причем все а,- целые и хотя бы одно из них не делится на р. Ясно,
что (а?, ..., а„) — также решение уравнения F(x{, ..., х„) = 0.
Числа {х^\ ..., х^), удовлетворяющие условиям C), дают, как
мы видели, решение сравнепия A), причем хотя бы одно из них
не делится на р.
Допустим, что, наоборот, сравнение A) при однородном F
имеет при любом к решение {ххк, . ..,жпй)), в котором хотя бы
одно из чисел х^ не делится на р. Ясно, что для некоторого ин-
индекса i = i0 будет существовать бесконечно много значений т,
при которых а4т> не делится на р. Поэтому последовательность
Ui, l2, .. -У мы можем выбрать так, чтобы все х\ не делились
на р. Но тогда из равенства сс{ = lim xt следует, что ctj0He де-
делится на р, а значит, и подавно ccio Ф 0. Этим доказана следую-
следующая теорема.
Теорема 2. Пусть F(xu ..., хп) — форма с целыми рацио-
рациональными коэффициентами. Тогда, для того чтобы уравнение
F(xu ,,., хп) = 0 имело в кольце Zp нетривиальное решение, не-

50 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
обходимо и достаточно, чтобы при любом натуральном m для
сравнения Fixu ..., хп) = О (modpm) существовало решение, в ко-
котором не все значения неизвестных делятся на р.
Очевидно, что в теоремах 1 и 2 под F можно также понимать
многочлены с целыми /ьадическими коэффициентами.
2. О разрешимости некоторых сравнений. Доказанная в пре-
предыдущем пункте теорема 1 сводит вопрос о разрешимости урав-
уравнения B) в целых /ьадических числах к проверке разрешимости
бесконечной серии сравнений A). Вопрос о том, как ограничиться
рассмотрением только конечного числа из этих сравнений, в об-
общем случае довольно сложен. Мы ограничимся здесь рассмотре-
рассмотрением одного частного случая.
Теорема 3. Пусть для многочлена Fixlt ..., хп) с целыми
р-адическими коэффициентами и целых р-адических чисел fi, ...
..., Yn при некотором i (I < i ^ n) имеем:
dF
a^(Yi, ...,7n)=0(mod p«),
~(Ъ, ...,Уп)Ф 0 (mod рй+1)
(б — неотрицательное целое рациональное число). Тогда суще-
существуют такие целые р-адические Qu ..., Эп, что
и
Доказательство. Положим f, = Y и
fix) = Л41, . . ., "fi-l, X, fi+l, • • ., "f J-
Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что для
многочлена fix), для которого
(где и — /ьадическая единица), существует такое целое р-адиче-
ское чпсло а, что
/(а) =0яа = 1 (mod pi+i)
(если такое а будет найдено, то можно положить 0j = f, при ]Фъ
ие(=а).
Существование а мы докажем способом, совпадающим по су-
существу с известным методом Ньютона приближенного вычисле-
вычисления вещественных корней (некоторое видоизменение вызвано
специфическими отличиями поля р-адических чисел от поля ве-
вещественных чисел).

g 5] СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 51
Отправляясь от сс0 = Ч, построим индуктивно последователь-
последовательность а0, oci, ..., а„, ..., полагая v
an+1 = an-77^, D)
и докажем, что все ап — целые р-адпческие числа и для них
n), n>0, D')
1/), п>1. D")
Доказательство сравпений D') и D") мы проведем индукцией
по п. Пусть эти сравнения справедливы для некоторого п 5= О
(при п = 0 речь идет только о D')). Так как
ап = ceo (mod/?a+1),
то /'(«„) = /'(а0) = up6, a значит, /'(«„) = ипр\ где и„ — р-адиче-
ская единица. Следовательно, ввиду D') а„+1 целое и ctn+i =
(/
Далее, разложим многочлен fix) по степеням х — а?, объеди-
объединив вместе все члены степени выше первой:
fix) = fiaj + fiajix ~ a») + ix - aJ2Gix),
где Gix) — многочлен с целыми р-адическими коэффициентами.
Полагая здесь x = an+i и учитывая D), мы получим
(а )
откуда /(an+1) = 0 (modp26+2+2n). Сравнения D') п D") справед-
справедливы, таким образом, для всех п.
Из D") следует, что последовательность {а„}$Г=0 сходится.
Обозначим ее предел через а. Ясно, что а = а0 = f (modp6+i).
Далее из D') следует, что. lim / (ctn) = 0; с другой стороны, по
тг-»оо
непрерывности многочлена Нт / (а„) = / (а). Таким образом,
П->оо
/(а) = 0, и теорема 3 доказана.
Замечание. Другое доказательство теоремы 3 (при п = 1)
содержится в задачах 16 и 17.
Следствие. Если для многочлена Fixu ..., хп) с целыми,
р-адическими коэффициентами и целых р-адических f,, ..., ^„
при некотором i A<!<и) имеем:
F (Yi. • • •, Yn) = 0 (mod p), F4 (yt, ...,yn)=t0 (mod p)t
то существуют такие целые р-адические Qu ..., 6П, что
и 01 = ^i (modp), ..., 6n = ^n (modp).

54 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Lip"'*. Таким образом, число всех решений сравнения G) не пре-
превосходит lpn~* + LiPn~l «Si Lp"'1, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы С. Мы можем, конечно, считать,
что многочлен F действительно зависит от переменной хп. Рас-
Рассмотрим F как многочлен от х„ с коэффициентами, являющимися
многочленами от хи ..., xn-i. Из абсолютной неприводимости F
тогда следует, что дискриминант DXn (хх, ..., ?n-i) многочлена F,
как многочлена от хп, является не равным тождественно нулю
многочленом от х{, ..., xn-i, в противном случае F делился бы на
квадрат некоторого многочлена. Рассмотрим простые числа р,
не делящие всех коэффициентов!)^ (хх, ..., a:n,-i), п оценим для
них число N,(p) решений системы сравнений F). Если (ct, ...
..., сп) — решение системы F), то сп является общим корнем
многочленов F(cu ..., cn-i, хп) и РХп(сг, . . . ,с„_1( хп) по модулю р
и поэтому DXn (с1? ..., cn_x) = 0 (mod p).
На основании леммы число систем (си ..., сп->), удовлетво-
удовлетворяющих этому сравнению, не превосходит Кгр"~2, где Ki — не-
некоторая константа, зависящая только от многочлена F. Для за-
заданных же cit ..., cn-i значение сп определяется из сравнения
F{cu ..., cn-i, х„) = 0 (modp),
и поэтому число значений сп не превосходит степени т много-
многочлена F по переменной хп. Таким образом, число N,(p) решений
системы F) не превосходит Крп~2, где К = тК^. Докажем теперь,
что число N(p) решений сравнения G) при достаточно большом р
больше числа Ni(p) решений системы F). Действительно, из
теоремы В следует, что
Жр) > рп'1 - Срп-1~т,
а мы только что доказали, что Nt(p) <.Kpn~z. Отсюда следует, что
Жр) - Щр) > Рп~1 - Су-1-1'2 - Крп~2 = рп~Чр - Cpi/2 - К),
а значит, Nip) >N{(p) при достаточно большом р. Таким обра-
образом, при достаточно большом р сравнение F = 0(modp) имеет
решение (fi, ..., *(„), для которого
¦^ (Yi, • • ¦, Тп) Ф 0 (mod p).
Ввиду следствия к теореме 3 отсюда и следует разрешимость
уравнения F = 0 в кольце Zp для всех р, начиная с некоторой
границы.
Замечание 1. В работе [64] показано, что для каждого
многочлена / = f(xu ..., хп) с целыми /г-адическими коэффициен-
коэффициентами можно эффективно указать такое натуральное число d =
= d(f), что каждое решение сравнения / = 0(mod/+1) может быть
«поднято» до решения уравнения / = 0. Точнее это означает, что

§ 5] СРАВНЕНИЯ И ЦКЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 55
если целые р-адические аи • • ¦¦, &п удовлетворяют сравнению
/(olt .... o.)-0(mod^+1), A0)
то в ZP существуют а(, ..., а„ такие, что /(«i, ..., сс„) = 0 и
<Zi = af (mod//1). Так как вопрос о разрешимости сравнения A0)
решается эффективно, то тем самым мы имеем эффективный
метод для решения вопроса о разрешимости р-адического уравне-
уравнения f(xu ..., хп) = 0. /
Замечание 2. Пусть F(xi, ..., хп)— произвольный много-
многочлен с целыми р-адпческими коэффициентами. Обозначим через
ст (т ^ 0) число решений сравнения
. A1)
Все решения сравнения (И) являются, очевидно, «поднятиями»
некоторых решений того же сравнения, но по модулю рт~1.
С учетом предыдущего замечания это наводит на мысль, что чис-
числа ст (т ^ 0) связаны между собой какими-то жесткими законо-
закономерностями (возможно, начиная с некоторого места). Если пред-
предположить, что эти зависимости линейны, т. е. что каждое с,„
(при т ^ тй) выражается через к предшествующих значений при
помощи формулы
ст = AiCm-i + .
с коэффициентами Аи ..., Ак, не зависящими от т, то это озна-
означало бы, что ряд
оо
Ф (t) = 2 cmtm A2)
m=o
является рациональной функцией от t (такое заключение сле-
следует из известных формул для решения линейного уравнения
в конечных разностях с постоянными коэффициентами). Основы-
Основываясь на этих соображениях, в предшествующих изданиях книги
[2] авторами была высказана гипотеза, что для произвольного
многочлена F ряд A2), который (по аналогий с аналогичными
рядами, встречающими в топологии) был назван рядом Пуанкаре
многочлена .^представляет рациональную функцию от t. Рацио-
Рациональность ряда A2) является, как видим, своеобразным выраже-
выражением факта существования рекуррентных соотношений между
числами ст. Справедливость приведенной гипотезы доказал Игуса
в 1975 г. Его доказательство основывается на рассмотрении
функции
от комплексного аргумента s в правой полуплоскости. Выражение
A3) является /?-адическжм интегралом, который берется по мно-

54 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
Ltpn~l. Таким образом, число всех решений сравнения G) не пре-
превосходит lpn~l + Lipn~l =^ Lpn~l, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы С. Мы можем, конечно, считать,
что многочлен F действительно зависит от переменной хп. Рас-
Рассмотрим F как многочлен от хп с коэффициентами, являющимися
многочленами от хи ..., xn-i. Из абсолютной неприводимости F
тогда следует, что дискриминантDXn(x1, ...,х„_а) многочлена F,
как многочлена от хп, является не равным тождественно нулю
многочленом от Xi, ..., xn-it в противном случае F делился бы на
квадрат некоторого многочлена. Рассмотрим простые числа р,
не делящие всех коэффициентов Д^Да^, ..., жи_1), и оцепим для
них число Ntip) решений системы сравнений F). Если (с,, ...
..., с„) — решение системы F), то сп является общим корнем
многочленов F(c,, ..., сп-{, х„) и FXn{c1, .. . ,en_lt хп) по модулю р
и поэтому DXn (<?!, ..., cn_x) = 0 (mod p).
На основании леммы число систем (с4, ..., cn-J, удовлетво-
удовлетворяющих этому сравнению, не превосходит Кфп~2, где К1 — не-
некоторая константа, зависящая только от многочлена F. Для за-
заданных же си ..., с„-1 значение с„ определяется из сравнения
i, ..., cn_i, хп) = 0
и поэтому число значений сп не превосходит степени т много-
многочлена F по переменной хп. Таким образом, число Nt(p) решений
системы F) не превосходит Крп~2, где К — тКу. Докажем теперь,
что число N(p) решений сравнения G) при достаточно большом р
больше числа Nt(p) решений системы F). Действительно, из
теоремы В следует, что
N(p)>p"-l-Cpn-t-l/\
а мы только что доказали, что N,{p) <.Kpn~2. Отсюда следует, что
- Nt(p) > рп~1 - Срп-1- - Крп~2 = рп-ЧР - Срш - К),
а значит, N(p) >Nt(p) при достаточно большом р. Таким обра-
образом, при достаточно большом р сравнение F^O(modp) имеет
решение (fi, ..., ^в), для которого
~(у1,...,Уп)ф0(шойр).
ахп
Ввиду следствия к теореме 3 отсюда и следует разрешимость
уравнения F = 0 в кольце Zp для всех р, начиная с некоторой
границы.
Замечание 1. В работе [64] показано, что для каждого
многочлена f = f(xt, ..., х„) с целыми /г-адическими коэффициен-
коэффициентами можно эффективно указать такое натуральное число d =
= d(/), что каждое решение сравнения / = 0(mod/^+1) может быть
«поднято» до решения уравнения / = 0. Точнее это означает, что

§ 5] СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 55
если целые /j-адические а1; ..., ап удовлетворяют сравнению
f(a,, ..., ап) = 0 (mod /+1), A0)
то в Хр существуют аи ..., ап такие, что /(«i, ..., ап) = 0 и
ос4 = at (modpd+i). Так как вопрос о разрешимости сравнения A0)
решается эффективно, то тем самым мы имеем эффективный
метод для решения вопроса о разрешимости /ьадического уравне-
уравнения fix,, ..., хп) = 0.
Замечание 2. Пусть F{xx, ..., хп)— произвольный много-
многочлен с целыми р-адпческими коэффициентами. Обозначим через
ст (т ^ 0) число решений сравнения
Fix,, ..., xn)^0(modpm). A1)
Все решения сравнения A1) являются, очевидно, «поднятиями»
некоторых решений того же сравнения, но по модулю рт~1.
С учетом предыдущего замечания это наводит на мысль, что чис-
числа ст (тХ)) связаны между собой какими-то жесткими законо-
закономерностями (возможно, начиная с некоторого места). Если пред-
предположить, что эти зависимости линейны, т. е. что каждое ст
(при т > т0) выражается через к предшествующих значений при
помощи формулы
Ст — AiCm—i Т . . . Т Atfim—ь
с коэффициентами А,, ..., Ак, не зависящими от то, то это озна-
означало бы, что ряд
ф@= 2 Cmtm A2)
является рациональной функцией от t (такое заключение сле-
следует из известных формул для решения линейного уравнения
в конечных разностях с постоянными коэффициентами). Основы-
Основываясь на этих соображениях, в предшествующих изданиях книги
[2] авторами была высказана гипотеза, что для произвольного
многочлена F ряд A2), который (по аналогии с аналогичными
рядами, встречающими в топологии) был назван рядом Пуанкаре
многочлена F, представляет рациональную функцию от t. Рацио-
Рациональность ряда A2) является, как видим, своеобразным выраже-
выражением факта существования рекуррентных соотношений между
числами ст. Справедливость приведенной гипотезы доказал Игуса
в 1975 г. Его доказательство основывается на рассмотрении
функции
ЛЫ )йхг...ахп A3)
от комплексного аргумента s в правой полуплоскости. Выражение
A3) является р-адичесюш интегралом, который берется по мно-

56 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
жеству Q всех точек (хи ..., хп) с целыми /7-адическими коорди-
координатами, относительно некоторой естественной меры, определенной
на этом множестве Q. Поведение функции A3) зависит от харак-
характера особых точек алгебраического многообразия, определяемого
уравнением F(xu ..., хп) = 0. Доказательство использует поэтому
также теорему Хиронака о разрешении особенностей алгебраиче-
алгебраического многообразия. Позднее в работе [82] было приведено более
простое доказательство, основанное на тех же идеях. (Заметим,
что Игуса рассматривал более общий случай сравнений по степе-
степеням максимального идеала в кольце целых элементов произволь-
произвольного конечного расширения поля р-адических чисел.) В дальней-
дальнейшем результат Игуса о рациональности ряда cpU) его же методом
был обобщен на случай систем сравнений [109]. Наконец, в по-
последнее время в работе [72] предложено доказательство рацио-
рациональности ряда cpU) для случая систем сравиепий над кольцом
целых р-адических чисел, не использующее метода разрешения
особенностей, но с привлечением средств математической логики
(элиминация кванторов для поля р-адических чисел).
Задачи
1. Доказать, что если т и р взаимно просты, то всякая р-адическая еди-
единица е, удовлетворяющая сравнению е= 1 (mod/;) является го-й сте-
степенью в Qp.
2. Пусть т = psm0, (та0, р) = 1, пусть е = 1 (modp25+'). Доказать, что
тогда р-адическая единица е является та-й степенью в Qp.
3. Доказать, что при р ф 2 разрешимость сравнения ах? == [} (mod р2)
с целыми р-адическими а и ,3, не делящимися на р, достаточна для разреши-
разрешимости уравнения <хлр = 3 в поле Qp. Доказать, далее, что уравнение
разрешимо в целых 7-адических числах х, у, z, одновременно не делящихся
на 7 (учесть, что I7 + 27 = З7 (mod 72).
4. Предположим, что коэффициенты е,- формы G =&1^ + ... + еи^ яв-
являются /)-адическими единицами (р ф 2). Доказать, что если сравнение
G = 0 (mod p2) имеет решение, в котором значение хоть одной неизвестной
не делится на р, то в поле Ср уравнение G = 0 имеет ненулевое решение.
5. Пусть все коэффициенты формы G = c^zf + • • • + апхп —целые р-ади-
ческие числа, делящиеся па р самое большее в степени р — 1. Доказать, что
уравнение G = 0 имеет в поле Qp ненулевое решение, если сравнение
G = 0 (mod pp+2) имеет решение, в котором не все значения неизвестных
делятся на р. (В случае р ф 2 достаточно потребовать разрешимости срав-
сравнения G == 0 (modpp+t).)
6. Предположим, что квадратичная форма F = c^j + ... + v-nx\ имеет
целые р-адические коэффициенты (р Ф 2), делящиеся на р не выше чем в
первой степени. Доказать, что если сравнение F = 0 (modp2) имеет реше-
решение, в котором не все значения неизвестных делятся на р, то уравнение
F = 0 имеет в Qp ненулевое решение.
7. Для формы F ~ а^х™ + ... + апхп> гДе «< — отличные от нуля
целые р-адические числа, положим r = Vj,(?re), s = max(vp(ai), ..., vp(an))

§ 5] СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 57
и N = 2(r-f-s) +1. Доказать, что уравнение F = 0 имеет в поле Qp не-
ненулевое решение тогда и только тогда, когда сравнение F = 0 (mod pN)
имеет решение, в котором значение хоть одной неизвестной не делится на р.
8. Доказать, что форма Зхг -f- Ау3 + 5г3 представляет нуль в поле Qp при
любом р (см. задачу 13 § 2).
9. Найти ряд Пуанкаре <р(() для многочлена F = е^ + ... -\- епх%, где
е,- —р-адические единицы, и убедиться, что функция <p(i) рациональна.
10. Найти ряд Пуанкаре для многочлена F(xu ..., хп) с целыми р-ади-
ческимн коэффициентами, обладающего тем свойством, что для всякого ре-
8F
шепия сравпения F == 0 (modp) при некотором i = 1, ..., п имеем -gj- Ф
Ф 0 (modp).
11. Вычислить ряд Пуанкаре для многочлена F(x, у) = хг — уъ.
12. Доказать рациональность ряда Пуанкаре для случая п = 1, т. е. для
многочленов одной переменной (с целыми р-адичесшши коэффициентами).
13. Пусть f(x{, ..., хп) —форма степени d над кольцом целых р-адпче-
ских чисел, р ф 2, т > 0. Доказать, что если п > d (l + p + ... + рт), то
сравнение
f(xu ..., х„) = 0 (mod/)"l+1)
имеет решение, у которого значение хоть одной неизвестной пе делите» на р.
14. Доказать, что при любом, р в поле р-адических чисел Qp уравне-
уравнение 2х2 + у* — 17z4 = 0 имеет решение с ненулевыми значениями неизвест-
неизвестных (см. задачу 14 § 2).
15. Пусть f(x)—ыногочлеп с целыми р-адпческими коэффициентами и
7 — целое р-адическое число такое, что /(ч) =0 (mod/J6+i), /'G) = Р6и,
и — р-адическая единица, 6^1. Доказать, что в кольце целых р-адических
чисел уравнение f(x) =0 имеет только одно решение х = а, удовлетворяю-
удовлетворяющее сравнению as] (mod/>6+1) (см. доказательство теоремы 3).
оо
16. Пусть ф (х) = 2 апхП ~~ формальный степенной ряд с коэффицпен-
П=0
тами из некоторого коммутативного кольца О с единицей. Доказать, что
если ai — обратимый элемент кольца, то существует формальный степенной
оо
ряд ij) (х) = 2 Ьпхп без свободного члена {Ъп е О, п ^ 1) такой, что
71=1
»=0
(относительно операции формальной подстановки ряда в ряд см. п. 1
§ 5 гл. IV).
17. Пусть выполнены условия задачи 15. Положим /(ч) = р26а0, где
«о = 0 (mod/;). Для х = "f + Ь
/(т + /</) = /(т)
где ф(у) = в0 + иу + агуг -\-... — многочлен с целыми р-адическими коэф-
фициентади, удовлетворяющий условию эадачи 16. Пусть г() (у) = 2 &п^" ~~
и=1
формальный стененной ряд с целыми р-адическими коэффициентами, для
которого ф(ф(г/)) = во + У- Доказать, что целое /ьадическое число a = 1 +
+ р6г() (— а0) удовлетворяет условиям
/(а) =0, а зз у (mod/)e+1).

58 СРАВНЕНИЯ -{ГЛ. I
§ 6. Квадратичные формы с />-а дическими;: коэффициентами
В этом и следующем параграфе мы применим развитую нами
теорию /ьадических чисел к исследованию простейших неопре-
неопределенных уравнений. Именно, мы рассмотрим вопрос о представ-
представлениях /ьадических и рациональных чисел квадратичными
формами. Необходимые нам алгебраические сведения о квадра-
квадратичных формах в произвольном поле изложены в § 1 Допол-
Дополнения.
1. Квадраты в поле р-адических чисел. При изучении квадра-
квадратичных форм в том или ином поле важно знать, какие элементы
поля являются квадратами. Займемся поэтому сначала изучением
квадратов в поле />-адических чисел Qp-
Мы знаем (§ 3, теорема 4), что каждое отличное от нуля
/ьадическое число а однозначно представляется в виде а = рте,
где е — /ьадическая единица (т. е. единица в кольце целых /ьади-
ческих чисел Zp)- Если а является квадратом /?-адического
числа у = ркЕ(,, то т = 2к и е = ej. Для описания всех квадратов
поля QP нам достаточно знать, следовательно, какие единицы
из Zp являются квадратами.
Теорема 1. Пусть р?=2. Для того чтобы р-адическая еди-
единица
е = Со + ctp + сгр' + ..., 0<сг<р, Со т^О A)
была квадратом, необходимо и достаточно, чтобы число с0 было
квадратичным вычетом по модулю р.
Доказательство. Если 8 = тJ и r\ = b(modp) (b целое
рациональное), то с0 = Ьг (mod/)). Обратно, если с0 = Ь2 (mod/)),
то, рассматривая многочлен Fix) = х1 — е, имеем: Fib) = 0 (mod p)
и F'(b) = 26 Ф 0 (mod/?). По следствию к теореме 3 § 5 сущест-
существует такое г) е Zp, что Fir\) = 0 и г) = Ъ (mod/)). Таким образом,
в = тJ, и теорема доказана.
Следствие 1. При р^=2 всякая р-адическая единица,
сравнимая с 1 по модулю р, является квадратом в Qp.
Следствие 2. При рФ2 индекс (Q*: Q*2) подгруппы
квадратов Qp2 в мультипликативной группе поля р-адических
чисел равен 4.
Действительно, если единица г не является квадратом, то
отношение любых двух из чисел 1, 8, р, рг не является квадратом
в поле Qp. В то же время всякое отличное от нуля /ьадическое
число представляется в виде произведения одного из чисел 1, г,
р, рг на некоторый квадрат.
При рФ2 для единицы A) положим:
(тН-
+ 1, если е является квадратом в Qp,
в противном случае.

§ 6] ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 59
В силу теоремы 1 имеем! — )= ( —), где ( —) —символ Лежанд-
ра. Если е — целое рациональное число, взаимно простое с р, то
введенный символ (—) совпадает, очевидно, с символом Лежанд-
ра. Легко видеть, что для р-адических единиц е и т) имеем
p J \ p I \ p
Обратимся к случаю р = 2.
Теорема 2. Для того чтобы 2-адическая единица е была
квадратом {в поле Q2), необходимо и достаточно, чтобы г =
= Kmod8).
Доказательство. Необходимость следует из того, что
квадрат нечетного числа всегда сравним с 1 по модулю 8. Для
доказательства достаточности условия рассмотрим многочлен
F(x)=x2 — e и применим к нему теорему 3 § 5, взяв 6 = 1 и
4 = 1. Так как F(l) = 0 (mod 8), F'(l) =2^0 (mod 4), то согласно
этой теореме существует такое л = 1 (mod 4), что F(r\)=0, т. е.
е = ц2.
Следствие. Индекс (Q* : Q*2) подгруппы квадратов в
мультипликативной группе поля 2-адических чисел равен 8.
Действительно, согласно теореме приведенная система выче-
вычетов 1, 3, 5, 7 по модулю 8 является в то же время системой пред-
представителей из классов смежности группы 2-адических единиц по
подгруппе ее квадратов. Присоединяя к ним произведения 2 • 1,
2-3, 2-5, 2-7, мы получаем полную систему представителей из
классов смежности группы Q2 по подгруппе Q2 .
2. Представление нуля- р-адическими квадратичными форма-
формами. Как и во всяком поле, неособенная квадратичная форма над
полем Qp при помощи линейного преобразования переменных
может быть приведена к виду
а х2 + + а х% а- / 0
(см. Дополнение, § 1, п. 1). Если а4 = р2Ь{8; или аг = />2fei+1ej
(ег — единицы в ZP), то после преобразования phi%i = Уг мы
придем к форме, у которой все коэффициенты — целые /ьади-
ческие числа, делящиеся на р не выше чем в первой степени.
Таким образом, всякая неособенная квадратичная форма над
полем Qp эквивалентна форме вида
i 2 | ( 2 i I 2 4 /О\
где Si — р-адические единицы.
Рассматривая вопрос о существовании представлений нуля,
мы можем считать, что г^п — г. Действительно, форма pF, оче-
очевидно, эквивалентна форме Fi 4- pF0. Так как F и pF лишь

60 СРАВНЕНИЯ [ГЛ, I
одновременно представляют нуль, то вместо Fo + pFi мы можем
взять форму Fi + pF0.
Рассмотрим сначала случай рФ2.
Теорема 3. Пусть рФ2 и 0<г<п. Форма B) представ-
представляет нуль в поле Qp тогда и только тогда, когда представляет
нуль хоть одна из форм Fo или F{.
Доказательство. Пусть форма B) представляет нуль:
ваЙ + ... + е4? + р (er+1g+1 + ... + tnll) = 0. C)
Мы можем, очевидно, считать, что все |; целые и хоть одно из
них не делятся на р. Если не все |4, ..., ?г делятся на р, скажем
%i Ф 0 (modp), то, рассматривая равенство C) по модулю р, мы
получим
dF
-^ (?1; ...Лг) = 28^! щк 0 (mod р).
По следствию к теореме 3 § 5 форма FB представляет нуль.
Пусть теперь все .значения ?,, ..., gr делятся на р, так что
6j|f + ... + er|r = 0 (modp2). Перейдем в равенстве C) к срав-
сравнению по модулю р2. Сокращая это сравнепие на р, мы получим
^iClr-M, ..., U = 0 (modp),
причем хоть одно из |.+ 1, ..., |„ не делится на р. Применяя
опять следствие к теореме 3 § 5, заключаем, что в этом случае
форма Fi представляет нуль. Поскольку достаточность условия
очевидна, то этим доказательство теоремы 3 закончено. Попутно
нами получено следующее утверждение.
Следствие 1. Если Et, ..., ег — р-адические единицы, то
при рФ2 форма / = гхх1 + ... + ътх\ представляет нуль в Qp
тогда и только тогда, когда сравнение ](хи ..., xr) = 0(modp)
имеет в Zp нетривиальное решение.
Следствие 2. Если при тех же предположениях г> 3, то
форма f(xi, ..., хг) всегда представляет нуль в Qp.
Действительно, по теореме 5 § 1 сравнение f(xt, ..., xr) s
= 0(modp) имеет нетривиальное решение.
При доказательстве теоремы 3 равенство C) фактически не
было использовано: мы имели дело лишь со сравнениями F33
= 0(mod/>) и F = 0(modp2). Таким образом, уже из разреши-
разрешимости второго из этих сравнений вытекает, что одна из форм Fo
или Fu а значит и F, представляет нуль. Мы имеем, таким об-
образом,
Следствие 3. При рФ1 форма B) представляет нуль
тогда и только тогда, когда сравнение F = 0 (mod рг) имеет реше-
решение, в котором значение хоть одной неизвестной не делится на р.

g 6] ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 61
Перейдем теперь к рассмотрению квадратичных форм в поле
2-адических чисел. В этом случае теорема 3 и все следствия к
ней уже не имеют места. Например, для формы f = хх-\- хг-\-
+ х\ + х\ уравнение / = 0 не имеет нетривиальных решений в Q3
(так как уже сравнение / = 0(mod8) не имеет решений с не-
нечетным значением хотя бы одной неизвестной). В то же время
форма /+ 2#4Б представляет нуль в Q2 (теорема 5).
Теорема А. В поле 2-адических чисел форма B) (с р = 2)
представляет нуль тогда и только тогда, когда разрешимо срав-
сравнение i*^ 0 (mod 16) с нечетным значением хоть одной неиз-
неизвестной. \
Доказательство. Пусть F(%,, ..., |„) = 0 (mod 16), где
не все целые 2-адические числа %t делятся на 2. Предположим
сначала, что |i^0(mod2) хоть для одного i<r, скажем . |i Ф
Ф 0 (mod 2). Так как Р(%и ..., |п) = 0 (mod 8) и ^ (glt ..., g™) =
= Чг^фО(mod4), то по теореме 3 § 5 (при 6 = 1) форма F
представляет нуль. Пусть теперь |i, ..., \г все делятся па 2, т. е.
^г = 2т){ (l^i^r) с целыми 2-адическими г];. Сокращая срав-
сравнение
4SefT)? + 2 2 8$ = 0 (mod 16)
j=l i=r+l
п г
на 2, мы получим 2 ег?? + 22 ^Л? = 0 (mod 8), причем здесь
г=г+1 г=1
одно из %г+1, ..., |„ не делится на 2. Как и выше, из получен-
полученного сравнения следует, что форма F^ ¦+- 2F0 представляет нуль.
Но тогда эквивалентная ей форма 2F также представляет нуль,
и достаточность условия доказана. Что касается обратного ут-
утверждения, то оно очевидно.
При доказательстве теоремы 4 нами получен также следую-
следующий результат.
Следствие. Если для формы B) (с р = 2) сравнение F =
= 0 (mod 8) имеет решение с нечетным значением хоть одной ив
неизвестных xt, ..., хг, то эта форма представляет нуль в по-
поле Q2.
Теорема 5. В поле р-адических чисел QP всякая неосо-
неособенная квадратичная форма от пяти и более переменных всегда
представляет нуль.
Доказательство. Можно считать, что заданная форма
имеет вид B), причем г > п — г. Так как п > 5, то г 3*3. Пусть
р Ф 2; в этом случае по следствию 2 к теореме 3 форма Fo пред-
представляет нуль. Вместе с FQ форма F также представляет нуль.
Этим для р Ф 2 теорема доказана.
Пусть теперь р = 2. Если п — г > 0, то мы рассмотрим «ча-
«частичную» форму / = e^i + е2^2 + Чх\ + 2е„#п- Такая форма

62 СРАВНЕНИЯ [ГЛ, I
всегда представляет нуль в Qa- Действительно, так как 8t + 82 =°
= 2а (а целое 2-адическое), то е, + е2 + 2епа2 ^ 2а + 2а2 =
— 2аA + а) = 0 (mod 4), т. е. erf е2 + 2е„а2 = 4^ с целым 2-ади-
ческим р. Полагая Xi = xz = i, ж3 = 2^, д;„ = а, имеем 81-1г +
+ е2-12 + е3-BрJ + 2епа2^4р + 4р2^0(тоA8). По следствию к
теореме 4 форма / представляет нуль. Но тогда F также пред-
представляет нуль. В случае п = г в качестве «частичной» формы мы
возьмем / = ехх1 + г2х\ + е.3х1 + ЧХ1 + гьхь- Если et + г2 =
= е3 + е4 — 2 (mod 4), то положим Xi —х2 — х3 = хь = I, а если,
например, st + е2 = 0 (mod 4), то #i=;r2 = l, ^3=^4 = 0. В обоих
случаях e^i + e2^2 + глх\ + е4^ = 4^ с целым 2-адическим ^.
Полагая х5 = 2у, получим
/^4^ + 4f = 0 (mod 8).
Применение следствия к теореме 4 завершает доказательство и в
этом случае. Теорема 5 доказана полностью.
Согласно теореме 6 § 1 Дополнения из доказанной теоремы 5
вытекает следующее:
Следствие 1. В поле Qp всякая неособенная квадратич-
квадратичная форма от четырех и более переменных представляет все
р-адические числа.
Следствие 2. Пусть F(xu ..., хп) — неособенная квадра-
квадратичная форма с целыми рациональными коэффициентами. Если
п 5* 5, то для любого модуля m сравнение F(xu ..., хп) =
= 0 (mod m) имеет нетривиальное решение.
Действительно, так как форма F представляет пуль в Qp,
то при любом натуральном s > 1 сравнение F = 0(modps) имеет
решение, в котором хоть одна неизвестная не делится на р.
3. Бинарные формы. Важным примером общей теории служит
случай бинарных квадратичных форм. В этом пункте мы рас-
рассмотрим вопрос о представлении чисел поля Qp бинарной квад-
квадратичной формой вида
х2 — ауг, афО, a<=Qp. D)
(Очевидно, что общий случай бинарной неособенной формы сво-
сводится к этому путем преобразования переменных и умножения
формы на некоторое /ьадическое число.)
Совокупность всех отличных от нуля /ьадических чисел, пред-
ставимых формой D), мы обозначим через На. Эта совокупность
замечательна тем, что она всегда является группой по умноже-
умножению. Действительно, если {} = xz — ауг, Рх = х\ — ау\, то, как
показывает простая выкладка,
PPi = {**! + "VViY -«
Приведем другое доказательство этого же факта, основанное на

g 6] ФОРМЫ С р-АДИЧЕСЖИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 63
рассмотрении квадратичного расширения Qp(l^a) поля Qp (при
условии, что а не является квадратом в Qp). Равенство $ — х2 —
— ауг эквивалентно _тому, что ^ является нормой числа | =
из Qp(Va). Но если 3 = М?) и 31 = 7V(^1), то 33,=
Ж^1)иЗ МГ).
Если а является квадратом в Qp, то форма D) представляет
пуль, а значит, и все числа из Qp. Следовательно, в этом случае
На совпадает со всей мультипликативной группой Qp поля Qp.
Так как форма D) заведомо представляет все квадраты поля
Qp (при у = 0), то Qp2 cz Ha- Но согласно следствиям к теоре-
теоремам 1 и 2 индекс (Qp : Qp2) конечен, поэтому тем более и груп-
группа На имеет конечный индекс в Qp.
Теорема 6. Если число а е Qp не является квадратом, то
(С?:Яа) = 2.
Доказательство. Заметим прежде всего, что форма D)
представляет />-адическое число 3 тогда и только тогда, когда
форма
ах2 + Зг/2 - z2 E)
представляет нуль (теорема 6 § 1 Дополнения). Далее, условие
представимости пуля формой E), очевидно, не меняется при
умножении а и 3 на квадраты. Мы можем поэтому считать, что
а и В берутся из некоторой фиксированной системы представи-
представителей группы QP по подгруппе квадратов Q*2.
Рассмотрим сначала случай р?=2. Покажем, что На Ф Qp2.
Это очевидно, если —а не есть квадрат (так как —а^На). Если
же —а является квадратом, то форма х2 — ау2 эквивалентна
форме хг + у2, которая представляет все /ьадические единицы
(следствие 2 теоремы 3); значит, Яа и в этом случае не совпадает
с Qp2. Далее, На не совпадает с Qp (если, конечно, a^Qp2).
Действительно, выбрав /?-адическую единицу е, не являющуюся
квадратом, мы можем ограничиться для а значениями е, р и рг.
Но по теореме 3 (и теореме 10 § 1 Дополнения) форма E) не
представляет нуля при а = е, $ = р и при а — р, ре, 3 = е. Та-
Таким образом, действительно На ф QP- Применим теперь следст-
следствие 2 теоремы 1. Так как Qp =>#a =>Q*2, то индекс (Qp°:#a)
должен быть делителем индекса (Qp:Qp2)=4. Но по доказан-
доказанному он не может равняться ни 4, ни 1. Следовательно,
(Qp : На) = 2, и теорема 6 для случая р ?= 2 доказана.
Пусть теперь р — 2. В этом случае мы имеем 8 классов смеж-
смежности Q* по Q*2, в качестве представителей которых можно
взять числа 1, 3, 5, 7, 2 • 1, 2 • 3, 2 • 5, 2 • 7. Будем считать поэто-
поэтому, что-а и ^ в форме E) совпадают с этими числами, и выяс-
выясним, в каких случаях эта форма представляет нуль в Q2- Ответ

64
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
сведен в нижеследующей таблице, в которой знак + означает,
что для аир, стоящих на соответствующих горизонтали и вер-
вертикали, форма E) представляет нуль в Q2, а пустые клетки
соответствуют формам, не представляющим нуля. (В силу сим-
симметрии между а и ? в форме E) знаки в таблице расположены
симметрично относительно диагонали, идущей из левого верхнего
угла в правый нижний.)
a ^\
1
3
5
7
2-1
2-3
2-5
2-7
1
~r
i
~r
_L
i
+
3
J
5
+
7
+
2-1
2-3
2-5
+
2-7
+
Мы видим, что в каждой строчке кроме первой, знак + стоит
ровно в четырех клетках. Это означает, что для любого «eQ,,
не являющегося квадратом, имеется ровно четыре класса смеж-
смежности по подгруппе Q2 , представляемых формой D). Таким об-
образом, (На : Q*2) = 4, а так как (Q* : Q*2) = 8 (следствие теоре-
теоремы 2), то (<Q*:#a)=2.
Проверка таблицы производится на основе результатов п. 2.
Пусть а = 2е, j} = 2т), где е и ц — 2-адпческие единицы, и пусть
- z= = 0. F)
Значения х,. у и z мы можем, конечно, считать здесь целыми и пе
делящимися на 2 одновременно. Ясно, что z = 0(mod2) и, да-
далее, что хну вместе не делятся на 2 (в противном случае левая
часть F) делилась бы на 4). Полагая z = 2i, мы приводим ра-
равенство F) к виду ехг + цуг — 2t2 — 0; это равенство, согласно
следствию теоремы 4, равносильно сравпепию по модулю 8 (с не-
нечетными х и у). Так как х2 ^ у2 == 1 (mod 8) и 2f = 2 (mod 8) или
2?2 = 0(mod8), то мы получаем, следовательно, что разрешимость
уравнения F) равносильна выполнению хотя бы одного из
сравнений
е + т) = 2 (mod 8), е + ц = 0 (mod 8).
Пусть теперь а = 2е, {} = т). В равенстве 2ехг + цуг — z2 = 0
(с целыми 2-адическими х, у и z, ие делящимися на 2 одновре-
одновременно) по тем же соображениям мы имеем: z/#0(mod2) и %Ф
Ф 0 (mod 2). Следовательно, выполнение этого равенства (по тому
же следствию теоремы 4) равносильно выполнению хотя бы

8 6] ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 65
одного из сравнений
2е + т) = 1 (mod 8), л —1 (mod 8), G)
соответствующих случаям Itx и 2\х.
Остается рассмотреть еще случай а = е, ^==т)- Если в равен-
равенстве гхг + т)г/2 — z2 = 0 целые 2-адические х, у и z не все делятся
на 2, то ровно одно из них делится на 2, а два других — нет.
Если z = 0(mod2), то ЕХ2 + г\у2 = г + ц = 0 (mod 4), откуда сле-
следует, что либо e = l(mod4), либо r) = l(mod4). Если же z#
^ 0 (mod 2), то еж2 + т)г/2= 1 (mod 4), и так как одно из чисел х
или у должно делится на 2, а другое — нет, то опять получаем,
что выполняется хоть одно из сравнений
е = 1 (mod 4), т) = 1 (mod 4). (8)
Обратно, предположим, например, что e = l(mod4). Тогда срав-
сравнение еж2 + т)у2 — z2 = О (mod 8) выполняется при х = 1, у — О,
z=l, если e = l(mod8), и при х = 1, у = 2, z—1, если е =
= 5 (mod 8), а значит, форма гхг + цуг — z2 представляет нуль.
Закончив проверку таблицы, мы тем самым завершили дока-
доказательство теоремы 6.
Из теоремы 6 следует, что для /?-адического числа а?=0, не
являющегося квадратом, фактор-группа Qp/Иа. есть цикличе-
циклическая группа второго порядка. Мы можем поэтому установить
изоморфизм этой фактор-группы с группой {1, —1} корней вто-
второй степени из 1. Единственный изоморфизм между Qp/^a и
{1, —1} сопоставляет подгруппе На число +1, а классу смеж-
смежности [}#а, отличному от На,— число —1. Удобнее, однако, рас-
рассматривать гомоморфизм группы Qp па группу A, —1} с ядром
На, так как тогда мы будем иметь дело с функцией на QP (а не
на фактор-группе Qp/Ha).
Определение. Для р-адических чисел а^О и $ ?* 0 мы
определяем символ (а, р), который равен +1 или —1 в зависи-
зависимости от того, представляет форма ахг + §уг — г2 нуль в поле Q
или нет. Символ (а, E) называется символом Гильберта.
Из определения непосредственно следует, что если а является
квадратом, то (а, {}) = 1 при всех $. Если же а ф Qp , то (а, {}) =
= 1 тогда и только тогда, когда J3 ^ На. Отсюда легко получаем,
что при любом а Ф 0 отображение р ^- (а, $) является гомомор-
гомоморфизмом группы Qp в группу {1, —1) с ядром На. Другими сло-
словами, имеет место формула
(а, №) = («, PiKa, W- (9)
Далее, значение символа (а, р) зависит только от разрешимости
уравнения ax2 + $yz — z2 = 0, которое симметрично относительно

66 ". . СРАВНЕНИЯ {ГЛ. I
аир, поэтому
<р, а)-(а, р), A0)
откуда ввиду (9) следует, что
(а.а,, p)-(ai, р)(а,, р), A1)
Заметим еще, что
(а, -а) = 1 A2)
для любого aeQp (так как уравнение ах2 — ау2 — z2 = 0 имеет
решение .г = г/ = 1, z = 0), а значит, в силу (9)
(а, а) = (а, -1). A3)
На основании формул (9)—A3) вычисление символа (a, р)
в общем случае сводится к вычислению значений (/>, е) и (е, г|),
где е и т) — р-адические единицы. Действительно, если а = pket
$~р'ц, то ввиду этих формул мы имеем
(/в, Л))-0», р)ы(в, />)'(/>, т])Че, г,) = (р, 8V(-l)w)(e, ii).
Займемся вычислением значений символов (р, е) и (е, т)). Если
р^=2, то по теореме 3 форма рх2 + ег/2 — z2 представляет нуль
тогда и только тогда, когда ey2 — z2 представляет нуль, т. е. когда
I e \
единица 8 является квадратом. Таким образом, (р, е) = > — I при
р?=2 (см. п. 1). Далее, по следствию 2 теоремы 3 форма ех2 +
+ цу*- — z2 всегда представляет нуль, а значит, (е, т))=+1 для
любых /ьадических единиц е и т) (рФ2).
В случае р = 2 значения символов B, ц) и (г, г\) для 2-ади-
ческих единиц е и ц нами, по существу, уже найдены при до-
доказательстве теоремы 6. Действительно, согласно G) (при е = 1)
форма 2а;2 + r\y2 — z2 представляет нуль тогда и только тогда,
па-1
когда ц ^ ± 1 (mod 8). Следовательно, B, т)) = (— 1) 8 . Далее, мы
видели, что форма гх2 + r\y2 — z2 представляет нуль тогда и толь-
только тогда, когда выполнено хоть одно из сравнений (8). Следо-
Следовательно,
8-1 Tj-l
(8, Л) = (~ 1) 2 " 2 •
Сформулируем полученный результат.
Теорема 7. Значения символов Гильберта (р, е) и (е, ц)
для р-адических единиц г и г\ определяются формулами:
(Р, е) = (-j), (е, ii) = 1 при рф 2;
B,8) = (- 1)~, (elT]) = (-l)~-i~ npup = 2.
4. Эквивалентность бинарных форм. Символ Гильберта даёт
возможность записать в явном виде условие эквивалентности

§ 6] ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 67
двух неособенных бинарных квадратичных форм в поле Qp.
Пусть fix, у) и gix, у) — две бинарные неособенные квадратич-
квадратичные формы с коэффициентами из Qp и б(/), big) — их опреде-
определители. Для эквивалентности форм fug необходимо, чтобы б(/)
и 8ig) отличались на множитель, принадлежащий Qp2 (теорема
1 § 1 Дополнения). Чтобы сформулировать еще одно необходимое
условие эквивалентности, которое вместе с отмеченным будет
уже и достаточным, докажем следующий факт.
Теорема 8. Для всех р-адических чисел а=И=0, представи-
мых бинарной формой f определителя б Ф 0, значение символа
Гильберта (а, —б) имеет одно и то же значение.
Доказательство. Пусть а и а' — два отличных от нуля
/?-адических числа, представимых формой /. Согласно теореме 2
§ 1 Дополнения форма / эквивалентна форме Д вида ахг + ^г/2.
Так как а' представляется также и формой /,, то а' = ах0 + Р#о'
откуда aaJ — о.$у\ — (<хх0J = 0. Последнее означает, что форма
аа'х' — аCг/2 — z2 представляет нуль, следовательно, (оса', — сф) =
= 1. Но а§ отличается от б на квадрат, поэтому имеем также
(асе', —б) = 1, а значит, по свойству A1) (а, —б) = (а', —б), что
и доказывает теорему.
Согласно теореме 8 мы можем ввести для бинарной формы /
новый инвариант, положив
где а — любое отличное от нуля /?-адическое число, представимое
формой /.
Теорема 9. Для эквивалентности неособенных бинарных
квадратичных форм f и g в поле Qp необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия:
2) e(p
Доказательство. Необходимость обоих условий очевид-
очевидна. Для доказательства достаточности покажем, что при выпол-
выполнении условий теоремы формы f n g представляют одни и те же
/7-адические числа. Пусть число у е Qp представляется формой
g. Предполагая, что форма / приведена к виду ахг + [}г/2, мы бу-
будем иметь
(а, -ар) = eif) = eig) = (f, -6(g)) = (f, ~сф),
откуда
(fa-\ -сф) = 1.
По определению символа Гильберта это значит, что разрешимо
уравнение *
Чат1хг - а$у2 - z2 = О

68 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
в отличных от нуля х, у и z. Но тогда
г-(т)"+ »(?)'•
т. е. ч представляется и формой /. Эквивалентность / и g следу-
следует теперь из теоремы 11 § 1 Дополнения.
5. Замечания о формах высших степеней. Доказанная нами
теорема 5 о квадратичных формах в поле Qp принадлежит к
числу часто встречающихся в теории чисел фактов такого типа:
«все обстоит хорошо, если число переменных достаточно велико».
В нашем случае «хорошо» означает, что квадратичная форма
представляет нуль в поле /ьадических чисел, а «достаточно боль-
большое» число переменных равно пяти. Очень интересно было бы
проследить это явление и дальше — для форм любых степеней
над полем /ьадических чисел.
Точная постановка вопроса заключается в следующем. Фикси-
Фиксируем простое число р. Для любого натурального числа г найти
минимальное число NP(r), обладающее тем свойством, что любая
форма степени г с р-адическими коэффициентами, у которой
число переменных больше Np{r), представляет нуль в поле р-ади-
ческих чисел Qp. Далеко не очевидный a priori факт существо-
существования такого конечного числа 7VP(r) был доказан Брауэром [66].
Однако оценка, получающаяся из его доказательства, чрезмерно
велика.
Легко устанавливается, что
NP(r)>r*. A4)
Для доказательства неравенства A4) надо показать, что для лю-
любого г существуют формы степени г от г2 переменных, не пред-
представляющие нуля в поле /ьадических чисел. Построим пример
такой формы. Для этого вспомним, что в п. 2 § 1 этой главы
была построена такая форма F{x{, ..., хп) степени л к от в пе-
переменных, что сравнение
, ..., х„) = 0 (mod/>)
имеет только одно решение:
A5)
Положим
Ф (хи ..., xni) = F (xu ...,Xn) + pF (хп+1, ..., х2П) +
...+ pn~1F (ж„2_„
И докажем, что форма Ф не представляет нуля в поле /?-адиче-
ских чисел. Допустим противное, т. е. допустим, что уравнение
Ф(хх, ...,х„2)=0 A6)
имеет ненулевое решение. В силу однородности Ф мы можем счи-

S 6] ФОРМЫ С р-АДНЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 69
тать, что все неизвестные целые и хоть одна из них не делится
на р. Рассматривая A6) как сравнение по модулю р, мы полу-
получаем F(xh ..., хп) = 0 (mod/?), откуда ввиду A5) следует, что
хх = pxi, ..., хп — рх . Равенство A6) принимает теперь вид
pnF (x[, ...,x'n) + pF (xn+1, ..., xin) + ..
... +p"
или, после сокращения на р,
F (хп+1, ..., х2„) + ... + pn~2F (.г„2_„+1,
В качестве следующего шага доказательства мы получим, что
хп+1, ..., хгп делятся на р. Повторив это рассуждение п раз, мы
докажем, что все хи,.. .,хп2 делятся на р, в противоречии с тем,
что предположили.
Таким образом, для Np{r) мы имеем оценку снизу A4). Но
согласно теореме 5 при г = 2 имеет место равенство iVpB) = 4
(при г — 1 также имеем очевидное равенство NP(l) = 1). Естест-
Естественно возникает вопрос, не будет ли равенство Np(r) = г2 выпол-
выполняться для любого г? Ряд результатов, казалось, подтверждал
такое предположение. Так, В. Б. Демьянов [45] и Левис [101]
доказали, что любая кубическая форма над полем /ьадических
чисел, число переменных которой больше 9, представляет нуль;
другими словами, 7VPC) = 9. Далее, Экс и Кочен [57], применив
очень оригинальный метод, заимствованный из математической
логики, установили, что для фиксированного г почти для всех р,
т. е. для всех, за исключением конечного числа, имеет место
п
равенство NP(r) = г2. Кроме того, «диагональные» формы 2- aix\
г—1
в поле /ьадических чисел всегда допускают нетривиальное пред-
представление нуля, если только число переменных п удовлетворяет
неравенству п > г2 (см. [71]). f:
В связи с вопросом о представлении нуля формами над за--
данным полем было введено следующее определение. Говорят,
что поле К обладает свойством &, если любая форма степени d
от п переменных с коэффициентами из К при п>d* допускает
нетривиальное представление нуля. Свойством С„ обладают
алгебраически замкнутые поля и только они. Теорема Шевалле
(теорема 3 § 1) означает, что поле вычетов Fp обладает свой-
свойством Ci (это верно для любого конечного поля). Свойством Сг
обладает поле формальных степенных рядов FpWi очень по-
похожее на поле р-адических чисел (задача( 23). Вопрос о равен-
равенстве NP(r) = г2 равносилен вопросу: обладает ли поле р-адиче-
ских чисел свойством С2?

70 СРАВНЕНИЯ ' [ГЛ. I
Эти предположения были перенесены и на системы форм.
По аналогии с теоремой 4 § 1 предполагалось, что система урав-
уравнений
Fh(xi, ..., xj = 0,
где Ft, ..., Fk — формы с /?-адическими коэффициентами степе-
степеней rlt ..., rk, имеет ненулевое решение, если п > г\ + ... + г\.
В. Б. Демьянов доказал это утверждение для случая пары квад-
квадратичных форм (к = 2; ri = r2 = 2). Простое доказательство ре-
результата Демьянова содержится в работе [63].
Всей этой системе красивых и взаимосвязанных гипотез был
нанесен удар, когда в 1966 г. Г. Тержаиян [137] построил пример
формы 4-й степени от 18 переменных, не представляющей нуля
в поле 2-адических чисел (задачи 15—16). В дальнейшем анало-
аналогичные примеры были построены и для рФ2 (задачи 17—18).
Стоит заметить при этом, что во всех известных примерах нера-
неравенства NP(r) > г2 формы имеют четную степень. Аналогичные
примеры форм нечетной степени не найдены.
После этого можно было еще надеяться, что функция Nv(r)
растет все же не слишком быстро, например, что поле /ьадиче-
ских чисел обладает свойством Cs. Эти надежды, однако, не оп-
оправдались. Г. И. Архипов и А. А. Карацуба [41] показали, что
для любого р функция NP(r) растет быстрее любой степени г,
почти как показательная функция. Ниже приведены их рассуж-
рассуждения для случая р Ф 2 (случай р = 2 рассматривается анало-
аналогично). Напомним, что /ьадическая единица и называется глав-
главной, если и =э 1 (mod p).
Лемма. Пусть я ^ ri <.,. < rm < 6 — натуральные числа,
N — натуральное число, N + а— 6 > 1, р?=2. Если для главных
р-адичеспих единиц ии ..., и„ выполнены сравнения
2«?з0 (modpN), I </<m,
i=l
то n>ph, где h = minim, N + a — b).
Доказательство. Согласно задаче 16 § 3 при некоторых
натуральных с{ справедливы сравнения
Wi=(l + p)ci (modpN), l<f<n.
Введем в рассмотрение многочлен
/ (t) = tci + ... + fn.
Так как /A) = », то для доказательства леммы достаточно убе-
убедиться, что v(/(D) ^= h. Положим
q>(*) = (*-«i).- (t-xm), Xj = (l+p)r>\ l</<m,

S 6] ФОРМЫ С р-АДНЧВСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
в разделим fit) на срШ с остатком:
так что git) имеет степень <т. Так как
fi?i) = 2 A + Р)''^ 2 "?^
то также и g(x^) ^=0 (modpN). Согласно задаче 15 § 3 v(l—x,)
= 1 + v(tj), поэтому
Нам достаточно теперь убедиться лишь в том, что vlg(D)
>N + a-b.
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа
Дадим оценку снизу для vigh(i)). Имеем
v (gh A)) > TV + 2 A + v (r,-)) - v (ф
Воспользуемся еще раз задачей 15 § 3. Так как
то v(a;s — х}) = 1 + v(rft — гр, а значит,
где
^=S v(rk-r,)+ 2 vfo-
< 2v(p)+ 2 v(p) =
p=i p=i
<rft — a + b — rh = b — a
(нами использована задача 17 § 3). Окончательно,
v(g»(D) > iV+ иг - 1 - v((p'(x»)) >
Таким образом, v(g(i))>N + a — b, а отсюда, как уже отмеча-
отмечалось, и вытекает утверждение леммы.
Следствие. Пусть а *? г, <.. .< гт = & — натуральные
числа, р ?» 2, ра — Ъ > 1. Если система т уравнений

72 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
имеет в поле ^-адических чисел ненулевое решение, то
п> ph, h — min im, pa — b).
В еамом деле, мы можем считать, что р-адические числа х(,
удовлетворяющие системе, все целые и не делятся на р одно-
одновременно. Положим N—(p— Da и перейдем к сравнениям по мо-
модулю р". Если некоторое х( делится на р, то хг ; = 0(modpN).
Выбросим из наших сравнений все такие х(, если они имеются.
В оставшихся слагаемых (число которых Пу < п) все Xt — />-ади-
ческие единицы, а значит, щ = х\~г — главные /ьадические еди-
единицы. Следовательно, по лемме п^ ^ ph.
Переход от системы форм к одной форме осуществляется те-
теперь уже просто. Пусть г — произвольное натуральное число,
делящееся на р — 1. Положим
т = г*, а = __ ., о = а + ?т,
так что pa — b = m, h = m. Для к = 1, ..., т вводим формы
ТТ 1Г Т\ — (у г(Р-1)(а+кЛ (у (P-D(b-ft)
Все эти формы имеют одну и ту же степень (р — 1)(а + Ь) —
= Bр — 2)(а + пг). Обратимся теперь к форме Ф=Ф(г/г, ...,г/г2)
степени г от тп = г2 переменных, которую мы построили при до-
доказательстве неравенства A4) и которая не допускает нетриви-
нетривиального представления нуля в поле /ьадических чисел. Подставим
в форму Ф вместо переменных уи ..., ут формы Ни ..., Я™. Мы
получим форму F = F(xi, ¦ ¦., х„) = Ф(.Н,, ..., Нт) степени d =
= 2(р + 2)г3. Допустим, что форма F представляет пуль. Соглас-
Согласно свойству формы Ф это возможно лишь при условии, что при
любом к И^к^т) хоть один из сомножителей формы Hh обра-
обращается в нуль. Но это значит, что система т уравнений вида
A7) имеет ненулевое решение, а значит, п>рт. Выражая здесь
т через степень d формы F, получаем
Таким образом, существует константа С такая, что. для сколь
угодно больших г имеем оценку
Np{r)>Cyrr\ C> i, A8)
и, следовательно, поле р-адических чисел Qp не обладает свой-
свойством Ct ни при каком i. Используя форму F точно так же, как
нами была использована форма Ф, т. е. подставляя в нее формы
Hh, можно улучшить показатель в неравенстве A8), например,
до r/(log гУ1г.

§ 6] ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 73
В свете оценки A8) становится особенно интересным приве-
приведенный выше результат Акса и Кочена, согласно которому при
фиксированном г равенство Nv{r) = гл имеет место для всех р,
кроме конечного числа исключений. Каковы же эти исключи-
исключительные значения р, неизвестно (даже для г = 4).
Замечание. Для рассмотренного в лемме многочлена fit)
можно получить (следуя доказательству леммы) сравнение }(%)э
= 0 (mod ph) для всех |, для которых 1 = 1 (mod p). Для этих
значений /A) мы имеем, следовательно, оценку сверху относи-
относительно /ьадической метрики срР. Возникает вопрос, не будет ли
справедлив соответствующий аналог этого факта для произволь-
произвольных аналитических /ьадических функций (относительно опреде-
определения аналитической функции см. п. 1 § 5 гл. IV)? Другими
словами, если аналитическая функция принимает малые значе-
значения в подходящих точках круга срР(.г — 1) < 1, то нельзя ли оце-
оценить ее значения во всех точках этого круга?
Задачи
1. Доказать следующие свойства символа Гильберта:
1) (а, 1 — а) = + 1, а ф 1;
2) (а, Р) = (т,-«Р). Т = <*&2 + № Ф 0;
3) (от, Рт) = (а, Р) (т, -аР).
2. Для квадратичной формы / = ^хх\ + • • • + ыпх\ (а; G Qp) выра-
выражение
ер (/) = (-1,-1) П («!'«*)
носит название символа Хассе. Доказать, что
cv{ax2 + f) = ср (/)(«, —б),
ср (ах* + № + /) = сР (/) (ар, -б) (а, р)
(б — определитель формы /).
3. Пусть неособенная квадратичная форма / = <%хх\ + ... + оспж^ с
р-адическими коэффициентами представляет число f =Ф 0 из Qp. Доказать,
что есть такое представление у = а^ + ... + а„?^ (S4 e Qp)t что все «от-
«отрезки» 7^ == ai^i +•••"!" aftife A< 4<к) будут отличны от нуля (исполь-
(использовать теоремы 5 и 8 § 1 Дополнения).
4. При тех же обозначениях показать, что форма / эквивалентна диаго-
диагональной форме вида ё=уу\ + $2у\ + ... + Pn!/^i для которой cv (g) =
— cv(f)- (Доказать предварительно, что форма осж2 + pi/2 преобразованием
х = цХ — vpy, у = vX + (яаУ (ац,2 + Pv2 = Y Ф 0) приводится к виду уХ2 +
Ч-ар.^У2, причем (а, Р) = (ъ aft).)
5. Индукцией по числу переменных показать, что эквивалентные неосо-
неособенные диагональные квадратичные формы над полем CL имеют одно и то
же значение символа Хассе (использовать теорему 4 § 1 Дополнения). Сим-
Символ Хассе теперь можно определить для произвольных неособенных квад-
квадратичных форм: если форма / эквивалентна диагональной форме /о, то по-
полагаем; <•„(/) = с, (/о).

74 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
6. Пусть Mfi-две квадратичные формы над полем. Qp с определи-
определителями 6i ф О и бг ф 0. Доказать, что
7. Пусть / — неособенная квадратичная форма над полем Qpf б — ее оп-
определитель и а — отличное от нуля число поля Ор. Доказать, что
С
%>
¦pif)(a, (— i)("+D/2), если п нечетное,
(/) (a, (— 1)"/2б), если п четное.
р
8. Доказать, что неособенная квадратичная форма от трех переменных
над полем СЗр представляет нуль тогда и только тогда, когда cv(f) = +1.
9. Пусть / — неособенная квадратичная форма над полем Qp от четы-
четырех переменных и S — ее определитель. Доказать, что / не представляет ну-
нуля в Qp тогда и только тогда, когда б — квадрат в Qp и ср(/) = —1.
10. Пусть / — неособенная квадратичная форма над Qp от п перемен-
переменных и б — ее определитель. Доказать, что / представляет р-адическое число
а <Ф 0 тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
1) п = 1 и аб — квадрат в Qp;
2) и = 2иср(/) = (-а,-б);
3) и = 3, —осб — квадрат в Qp и ср (/) =1;
4) п = 3 и —об не является квадратом в Qp;
5) n-^L
11. Выяснить, при каких условиях неособенная квадратичная форма над
полем Qp не представляет нуля (нетривиальным сбразом), но все же пред-
представляет все р-адические числа.
12. В каких полях р-адических чисел форма 2х2 — 15г/2 + 14гг не пред-
представляет нуля?
13. Какие 5-адические числа представляет форма 2х2 -f- 5г/г?
14. Пусть / и /' — неособенные квадратичные формы от п переменных
над полем Qp; б и б' —их определители. Доказать, что / и /' эквивалентны
тогда и только тогда, когда cP(f) = cv(f) и б = б'а2 (а е Qp).
15. Доказать, что в кольце целых 2-адических чисел многочлен
^ (*, У, 2) = *4 + У* + Z4 — Xyz {x + y + z)— (Ж V _(_ j,2z2
обладает свойством: если хоть одно из значений х, у, г не делится на 2, то
h{x, у, z) = I (mod4).
16. Пусть h(x, у, z) —многочлен предыдущей задачи. Положим
..., ха) = h{xu ж2, ж3)
Доказать, что в поле 2-адических чисел форма Ф допускает только триви-
тривиальное представление нуля.
17. Для р Ф 2 положим
* к *„_!>=2 *?(г>~х)+5 т (- l)s(ps (*i *»-i)'
г=1 »=2
где ф, — моногенный симметрический многочлен от переменных хи ..., xp-it
определяемый одночленом

S 7] РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 75
Для формы h доказать, что
h(x,, ...,.xp-i) еэ 1 (modp2),
если только х{ щк О (modp) хоть при одном i (l^i^p— 1) (сравнения
рассматриваются в кольце целых р-адических чисел).
18. В обозначениях задачи 17 положим
g(xi, ..., хт) = h(xu ..., xp-i) +h(xp, ..., xzp-i) + ... +h(xm-p+2, ..., xm),
где то = (p — 1) (p2— 1). Доказать, что в кольце целых р-адических чисел
форма
, .... Хт.) =
= g(xu ..., хт) + p2g{xm+l, ..., хгт) + . . . + P2!~2g(a:m«-m+i, . .., хт.)
степени р (р — 1) от -L р (р + 1) (Р — IK переменных ( s = 4-р(р—1) )
екает только тривиальное представление нуля.
19. Пусть f(xt, ..., хп) —форма степени г с целыми р-адическими коэф-
коэффициентами (р Ф 2), обладающая свойством
f(xi, ..., хп) = 1
если только значение хоть одного х\ не делится на р (m ^ 0). Доказать, что
тогда г делится па (р — 1)рт.
Указание. Рассмотреть зпачение /(с, 0, ..., 0), где с — первообразный
корень по мдцулю рт+1.
20. Пусть р ф2. Доказать, что группа классов Витта над полем р-ади-
р-адических чисел Qp есть прямое произведение четырех групп 2-го порядка,
если р == 1 (mod 4), и прямое произведение двух циклических групп 4-го
порядка, если р а= 3 (mod 4).
21. Доказать, что над полем 2-адических чисел группа классов Витта
есть прямое произведение трех групп: одной циклической группы 8-го по-
порядка и двух групп 2-го порядка.
22. Пусть F(xi, ..., хп) —форма степени d от п переменных с коэффи-
коэффициентами из кольца многочленов Fp [t] (Fp—поле вычетов по простому
модулкгр). Доказать, что если п > d2, то уравнение F(xu ..., хп) = 0 име-
имеет ненулевое решение в Fpt*]-
S
Указание. Представить xt в виде ^ \^ > \^ s Fp, разложить
j=i
F(xh ..., хп) по степеням t и заметить, что при достаточно большом s при-;
менима теорема 4 § 1.
23. Доказать, что поле рациональных функций FpU) и поле формаль-
формальных степенных рядов ?р {t} обладают свойством С2.
24. Получить оценку типа A8) в случае р = 2.
§ 7. Рациональные квадратичные формы
1. Теорема Минковского — Хассе. В этом параграфе мы жзло-
жжм доказательство одного из красивейших результатов теории
чисел — так называемой теоремы Минковского — Хассе, о кото-
которой мы уже упоминали в начале главы.
Теорема 1 (Минковского — Хассе). Квадратичная форма
с рациональными коэффициентами тогда и только тогда представ'

76 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
ляет нуль в поле рациональных чисел, когда она представляет
нуль в поле вещественных чисел и во всех полях р-адических чи-
чисел (для всех простых р).
Доказательство этой теоремы существенно зависит от числа пе-
переменных п квадратичной формы. При п = 1 утверждение теоремы
тривиально. В случае п = 2 ее доказательство проводится совсем
просто. Если рациональная бинарная квадратичная форма / опре-
определителя d ?= 0 представляет нуль в поле вещественных чисел,
то — d > 0 (см. Дополнение, § 1, теорема 10); следовательно,
— d = Pi1. .. ps\ где pt — попарно различные простые числа. Ес-
Если теперь / представляет нуль в поле Qp., то, поскольку —d
является квадратом в QPi, показатель kt должен быть четным
(г = 1, ..., s). Но в таком случае — d будет квадратом и в поле ра-
рациональных чисел Q и, следовательно, / представляет нуль в Q.
Доказательство теоремы при п > 3 намного сложнее. Различ-
Различные представляющиеся здесь случаи будут разобраны в следую-
следующих пунктах. Сейчас же мы сделаем несколько замечаний.
Будем считать, что коэффициенты рассматриваемой квадратич-
квадратичной формы f(xi, ..., х„) — целые рациональные числа (если это
не так, то мы умножим форму на общий знаменатель ее коэффи-
коэффициентов). Ясно, что разрешимость уравнения
f(xu ..., хп) = 0 A)
в поле рациональных чисел Q или в поле /ьадических чисел Qp
эквивалентна, в силу однородности, его разрешимости в кольце
целых рациональных чисел Z или соответственно в кольце целых
р-адических чисел Zp. Что касается разрешимости A) в веще-
вещественных числах, то она эквивалентна тому, что / — неопределен-
неопределенная форма. Ввиду этого и ввиду теоремы 2 § 5 теореме Минков-
ского — Хассе можно придать следующую форму:
Для разрешимости неопределенного уравнения A) в целых ра-
рациональных числах необходимо и достаточно, чтобы форма f была
неопределенной и чтобы при любом модуле вида рт сравнение
f(xu ..., .rj = 0(modpm)
имело решение, в котором значение хоть одной неизвестной не де-
делится на р. Согласно теореме 5 § 6 в поле /ьадических чисел вся-
всякая форма от пяти и более переменных всегда представляет нуль.
Следовательно, для таких форм теорема Минковского — Хассе
принимает вид:
Для того чтобы неособенная рациональная квадратичная
форма от п > 5 переменных представляла нуль в поле рациональ-
рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы она была неопреде-
неопределенной.
Таким образом, условия разрешимости в полях р-адических
чисел фактически надо проверять лишь для п = 3 и 4. Для этих

S 7] РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 77
значений п теорема Минковского — Хассе также дает нам эф-
эффективный критерий разрешимости уравнения A). Действитель-
Действительно, если форма / приведена к сумме квадратов / = 2 а^ь то для
нечетных простых р, не делящих ни одного из коэффициентов а.-,
форма / при п ^з= 3 всегда представляет нуль в Qp на основании
следствия 2 к теореме 3 § 6. Следовательно, фактической проверке
подлежит только конечное число простых чисел р. Для каждого
из этих р вопрос о представлении нуля формой / в поле Qp ре-
решается теоремами предшествующего параграфа.
В силу теоремы 6 § 1 Дополнения пз теоремы ^ вытекает сле-
следующее утверждение.
Следствие. Для того чтобы неособенная квадратичная
форма с рациональными коэффициентами представляла рацио-
рациональное число а, необходимо и достаточно, чтобы она представляла
а е поле вещественных чисел и во всех полях р-адических чи-
чисел QP.
2. Формы от трех переменных. Приступим к доказательству
теоремы Минковского — Хассе. В этом пункте мы разберем слу-
случай п = 3. Для форм от трех переменных теорема 1 была доказана
(в несколько других терминах) еще Лежандром. Формулировка
Лежандра приведена в задаче 1.
Пусть форма приведена к сумме квадратов aix2 + агуг + а3г2.
Неопределенность формы означает, что коэффициенты at, a2, а3
не все одного знака. Умножив форму в случае надобности на —1,
мы придем к случаю, когда два коэффициента положительны и
один отрицательный. Кроме того, мы можем, очевидно, считать
числа а.1, а2, а3 целыми, свободными от квадратов и взаимно про-
простыми в совокупности (их можно сократить на общий наибольший
делитель). Далее, если, например, а^ п а2 имеют простой общий
множитель р, то, умножая форму на р и беря рх и ру за новые
переменные, мы получим форму с коэффициентами ajp, ajp, pa3.
Повторяя этот процесс несколько раз, мы заменим нашу форму
формой вида
ахг + by2 - cz\ B)
в которой целые положительные коэффициенты а, Ъ и с попарно
взаимно просты (и свободны от квадратов).
Пусть р — какой-нибудь нечетный простой делитель числа с.
Так как по условию форма B) представляет нуль в Qp, то в силу
теоремы 3 § 6 и следствия 1 этой теоремы сравнение ахг Л- Ьуг =
^O(mod^) имеет нетривиальное решение, скажем {х0, у0). Но
тогда для формы ах2 + by2 по модулю р имеем разложение на ли-
линейные множители:
ах2 + by2 = ауп% {ху0 + ух0) {ху0 — ух0) (mod p).
Это же, разумеется, верно и для формы B), т. е. имеет место
сравнение
ахг + by2 - cz* e= L(*Kx, у, z)M^4x, у, z) (mod/?), C)

78 . СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
в котором Lip) и Mip) — целочисленные линейные формы. Анало-
Аналогичные сравнения имеют место и для нечетных простых делителей
р коэффициентов а и Ъ, а также и для р =¦ 2, так как
" ах2 + by2— cz2 = (ах + Ьу — czI (mod 2).
Найдем теперь такие линейные формы L(x, у, z) и М{х, у, z),
чтобы
L(x,y,z) = Lw(x,y,z) (modp),
Mix, у, z) = Mwix, y, z) (modp)
для всех простых делителей р коэффициентов а, & и с. Сравнения
C) "показывают, что тогда
ax2 + by2 — cz2 = L(x,y,z)M(x,y,z) (mod abc). D)
Будем придавать переменным х, у, z целые значения, удовлет-
удовлетворяющие условиям
~ / f E)
Если мы исключим из рассмотрения случай а = b = с = 1 (для
формы х2 + у2 — z2 утверждение теоремы очевидно: она пред-
представляет нуль в любом полеО, то, в силу попарной взаимной про-
простоты а, & и с, числа У be, У ас и УаЪ не будут все целыми. Отсюда
легко следует, что число троек (х, у, z), удовлетворяющих услови-
условиям E), будет строго больше, чем УаЬ ¦ У be ¦ 1'ас = abc. Рассмотрим
значения, принимаемые линейной формой L(x, у, z) при этих зна-
значениях переменных. Так как число троек (х, у, z) с условием E)
больше числа вычетов по модулю abc, то для двух различных тро-
троек (х{, уи zj и (х2, уг, z2) будем иметь сравнение
L(xi, yu Zj) = L(x2, г/г, z2) (mod abc).
В силу линейности формы L отсюда следует, что
L(x0, у о, Zo) = 0 ,(mod abc)
при Хо — Xi — хг, г/о = У\ — Уг, z0 — Zj — z2. Из сравнения D) полу-
получим тогда, что
ах\ + Ъу\ — cz\ = 0 (mod abc). F)
Так как для троек (хиу1,г±) и (х2, у2, z2) выполнены условия E),
то
|ж,| < fbe, \уо\ < пс, \zo\ < fab,
а значит,
— abc < ах\ + 6i/o — С4 < 2abc. G)
Неравенство G) совместимо со сравнением F), только если или
ах\ + Ъу1 — cz20 = 0, (8)

8 7] РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫ! ФОРМЫ 79
ИЛИ '
(9)
В первом случае мы получаем нетривиальное представление нуля
формой B), что и требовалось установить. Во втором случае мы
приходим к тому же результату в силу следующей леммы.
Лемма 1. Если форма B) представляет аЪс, то она представ-
представляет также и нуль.
Пусть х0, у0, z0 удовлетворяют равенству (9). Легко видеть, что
тогда •- - ¦ ..„«~:.-
a {xozo + Ъуоу + Ъ (yozo - ах0J - с (г02 + abJ = 0. A0)
Если 2q + аЬфО, то это равенство доказывает лемму. Если же
— ab = z\, то форма ах2 + Ъуг представляет нуль (см. Дополне-
Дополнение^ § 1, теорема 10). Но тогда форма B) также представляет
нуль, так что и в этом случае лемма справедлива.
Приведенное доказательство леммы 1 очень короткое, но оно
основывается на выкладке, связанной с тождеством A0). Дадим
другое доказательство, использующее более общие соображения.
Если be является квадратом, то форма by2 — cz2, а вместе с ней
и форма B) представляют нуль. Будем считать, что be не являет-
является квадратом. В этом случае, оказывается, представимость нуля
формой B) эквивалентна тому, что ас есть норма некоторого эле-
элемента поля Q( у be). Действительно, из равенства (8) (в котором
можно считать xQ Ф 0) следует, что
хо) \хо
Обратно, если ас = N{u+ vYbc), то
Предположим теперь, что имеет место равенство (9). Умножив
его на с, мы придадим ему вид
ac(xl — be) = (cz0J — Ьсу\
или
где a = xo + Vbc, p = czu + yjbc. Но тогда
а это, как мы видели, и значит, что форма B) представляет нуль
в Q.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В проведен-
проведенном нами доказательстве теоремы 1 для случая трех переменных

80 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
мы нигде не использовали разрешимости уравнения B) в поле
2-адических чисел. Следовательно, из разрешимости уравнения B)
в поле вещественных чисел и в полях Qp для всех нечетных р
следует его разрешимость и в поле Q2. Аналогичное обстоятель-
обстоятельство имеет место, оказывается, и по отношению к любому другому
полю Q9. Именно, если рациональная квадратичная форма от трех
переменных представляет нуль в поле вещественных чисел и во
всех нолях Qp, за исключением, быть может, поля Qg, то она
представляет нуль и в поле Qg (а значит, по доказанному, и в
поле рациональных чисел Q).
Попробуем выяснить причину этого обстоятельства. Рассмот-
Рассмотрим для этого условия представления нуля формой
ax* + bif-zz (И)
во всех полях Qp и в поле вещественных чисел (здесь а и Ъ — про-
произвольные отличные от нуля рациональные числа, ясно, что вся-
всякая неособенная рациональная квадратичная форма от трех пере-
переменных преобразованием переменных и домноженпем на некото-
некоторый рациональный множитель может быть приведена к виду A1)).
Согласно п. 3 § 6 условие представимости нуля формой A1) в поле
/>-адических чисел может быть записано в виде равенства
f) = 1, A2)
где B^ ] — символ Гильберта в поле Qp- Мы применили здесь
\ р )
для символа Гильберта (а, Ъ) при рациональных а и Ъ обозначение
a,h\
— ) для указания того поля, в котором мы его рассматриваем.
Необходимость этого изменения в обозначениях вызвана тем, что
сейчас нам надо будет рассматривать символы Гильберта одновре-
одновременно в различных полях Qp-
Что касается поля вещественных чисел, то в нем форма A1)
представляет нуль, очевидно, тогда и только тогда, когда хоть
одно из чисел а или Ъ положительно. Чтобы это условие также за-
записать в виде некоторого равенства типа A2), перенесем резуль-
результаты п. 3 § 6 на поле вещественных чисел. Условимся предвари-
предварительно о следующем обозначении. Все поля р-адическпх чисел
Qp и поле вещественных чисел — это все пополнения поля рацио-
рациональных чисел Q (§ 4, п. 2). При этом поля Qp взаимно одно-
однозначно соответствуют, простым рациональным числам р. Желая
этим соответствием охватить и поле вещественных чисел, часто
вводят символ °°, который называют бесконечно удаленным про-
простым числом, и говорят, что поле вещественных чисел — это попол-
пополнение поля Q, соответствующее бесконечно удаленному простому
числу °°. Обычные простые числа р, в отличие от введенного
символа °°, называют тогда конечными простыми числами. В со-

§ 7] РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 81
ответствии с обозначением Qp для полей /?-адических чисел поле
вещественных чисел обозначают через Q».
Для любого а из мультипликативной группы Q» поля Q<»
рассмотрим форму
х2-ау2 A3>
и через На обозначим совокупность всех |3 е €>«>, представимых;
этой формой. Если а>0, т. e.aeQl2, то форма A3) представ-
представляет все вещественные числа, а значит, На = Qx- Если же а<0,
т. е. а не является квадратом, то форма A3) представляет лишь
положительные числа, а поэтому, как и в теореме 6 § 6, мы имеем
(C&:tfa) = 2. A4)
Отсюда следует, что если для а и [J из €>«> мы положим (a, (J)
равным +1 или —1 в зависимости от того, представляет ли форма
A3) число f} или нет, то для символа (а, [}) будут иметь место все
свойства (9)—A3) § 6. Аналогом теоремы 7 § 6, на основе которой
производится вычисление символа Гильберта в р-адических полях?
является здесь более простое соотношение:
(а, Р) = + 1, если а > 0 или р > 0;1
(а,Р) = —1, если а<0 и 0<О.)
В случае рациональных а и Ъ значение (а, Ъ) введенного символа
в поле Uoo обозначается через —
V °°
Пользуясь символом {~У мы можем теперь переформулиро-
переформулировать теорему 1 для форм от трех переменных следующим образом:
Форма ах2 + by2 — z2 с отличными от нуля рациональными а
и Ъ представляет нуль в поле рациональных чисел тогда и только-
тогда, когда при всех р (включая р = °°) выполнено равенство
a-f) = 1. A6)
Для любых отличных от нуля рациональных а и & символ
(а,Ъ\ . .
\ — I отличен от +1 только для конечного числа значении р*
Действительно, если р отлично от 2 и « и если р не входит в раз-
разложения а и Ъ в произведение степеней простых чисел (а значит,
а и Ъ являются р-адическими единицами), то, по следствию 2 к
теореме 3 § 6, форма A1) представляет нуль в Qp и, следователь-
следовательно, для всех таких р символ (— I равен +1. Помимо этого усло-
условия, значения символа (— ) при фиксированных а и & подчи-
подчинены, оказывается, еще одному необходимому ограничению. Имен-

?2 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
но, число тех значений р (включая р = °°), для которых (~) —
= —1, всегда четно. В другой форме этот же факт можно выра-
выразить следующим образом:
= 1, A7)
где р пробегает все простые числа и символ <». В самом деле,
формально бесконечное произведение слева содержит только ко-
конечное число сомножителей, отличных от +1, и тот факт, что са-
само произведение равно 1, эквивалентен четности числа тех р, для
(а,Ъ\ .
которых — = — 1.
у \ р I
Докажем соотношение A7). Представив а и Ъ в виде произве-
произведения степеней простых чисел и воспользовавшись формулами
(9) — A3) § 6 (справедливыми, как уже отмечалось, и при р = °°),
мы легко сведем доказательство формулы A7) для произвольных
а и Ъ к следующим частным случаям:
2) a = q, b~—\ (i? простое);
3) a=q, Ъ = q (q и q' — простые, qir? q').
Ввиду теоремы 7 § 6 и равенств A5) настоящего параграфа
имеем:
мы имеем:
Q'-l 9-1
Проведенные выкладки, в которых g и q' обозначают различные
нечетные простые числа, и доказывают соотношение A7).
Заметим, что в проведенном доказательстве формулы A7) мы
использовали квадратичный закон взаимности Гаусса. Легко ви-
видеть, что, наоборот, зная явные выражения для символа Гильбер-
Гильберта (— j (теорема 7 § 6), мы можем из формулы A7) вывести
закон взаимности вместе с обоими дополнениями. Таким образом,
«соотношение A7) эквивалентно закону взаимности Гаусса.

g 7] РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 83
Предположим теперь, что форма A1) представляет нуль во всех;
полях Qp, кроме, быть может, поля Од. Равенство A7) вместе
—) = 1 при всех р Ф q дает нам, что тогда и
( —J = 1. Другими словами, справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Если рациональная квадратичная форма
ах2 + by2 — z2
представляет нуль во всех полях Qp (p пробегает все простые
числа и символ °°), кроме, быть может, поля Qq, то она представ-
представляет нуль и в поле Qg.
3. Формы от четырех переменных. Будем считать, что форма
имеет вид
ахх\ + агх\ + аъх\ + а±х\, A8)
где все at целые и свободны от квадратов .В силу неопределенно-
неопределенности формы мы можем, очевидно, потребовать, чтобы as > 0 и а4 <
< 0. Наряду с формой A8) мы рассмотрим формы
g = ахх\ + агх\ и h = — а3х\ — atx\.
Идея доказательства теоремы Минковского — Хассе для форм от
четырех переменных состоит в следующем. Используя факт пред-
представимости нуля формой A8) в полях QP, мы покажем, что суще-
существует целое рациональное а Ф 0, которое представляется рацио-
рационально формами g и h одновременно. Это немедленно дает нам ра-
рациональное представление нуля формой A8).
Пусть pt, ..., ps — все различные нечетные простые делители
коэффициентов аи а2, а3, ak. Для каждого р, равного одному из
pt, ..., ps, а также для р = 2 в поле Qp выберем представление
нуля
<htl + a&t + «зУ + a&l = 0.
в котором все 1*^0 (см. Дополнение, § 1, теорема 8), и положим;
Легко видеть, что наши представления можно выбрать так, чтобы
каждое Ър Ф 0 было целым /ьадическим числом и делилось на р
не выше чем в первой степени (если Ър = 0, то формы g и h пред-
представляют нуль в Qp, а тогда, согласно теореме 5 § 1 Дополнения,
они представляют все числа из Qp).
Рассмотрим систему сравнений
пе==Ь2 (mod 16),

84 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. 1
Целое рациональное- а, удовлетворяющее этим сравнениям, опре-
определено однозначно по модулю т — 1&р\ ... р?.Так как ^pj делится
на pi самое большее в первой степени, то ЪрМГ1 /?-адическая
единица, причем
bVia~i = i (той р{).
Согласно следствию 1 теоремы 1 § 6 отношение Ьр.а~1 является
квадратом в полеОРГ Аналогично, поскольку bz делится на 2 не
выше чем в первой степени, то b2.a~i = I (mod 8), а потому (теоре-
(теорема 2 § 6) 6га является квадратом в Q2-
Из того, что Ьр и а отличаются на множитель, являющийся
квадратом в Qp, вытекает, что для всех р = 2, ри ..., ps формы
— axt-i-g и — axl-i-h B0)
представляют нуль в Qp. Если число а мы выберем положитель-
положительным, то в силу условий ai > 0 и — ак > 0 формы B0) представляют
нуль и в поле вещественных чисел. Наконец, если р отлично от
2, ри ..., р, и не входит в а, т. е. если нечетное р не делит коэф-
коэффициентов форм B0), то эти формы представляют нуль в Qp по
следствию 2 теоремы 3 § 6. Если бы в число а, помимо некоторых
из простых чисел 2, ри ..., ps, входило еще только одно простое
число д, то мы могли бы к формам B0) применить лемму 2 и за-
заключить (по теореме Минковского — Хассе для форм " от трех
переменных), что формы B0) представляют нуль в поле рацио-
рациональных чисел. Но в таком случае для числа а мы получили бы
представления
а = ахс\ + а%с\, а = —а3с\ — а^с\
с рациональными сц откуда
хс\ + а2с\
ахс\ + а2с\ + asc\ + а^\ = 0,
и теорема Минковского — Хассе для форм от четырех перемен-
переменных была бы доказана. Оказывается, что число а > 0, удовлет-
удовлетворяющее сравнениям A9) и обладающее только что отмеченным
свойством, всегда может быть найдено. Чтобы убедиться в этом,
мы должны применить теорему Дирихле о простых числах в
арифметической прогрессии, которая будет доказана нами в гл. V,
§ 3, п. 3. Теорема Дирихле утверждает, что если разность беско-
бесконечной арифметической прогрессии и первый член взаимно про-
просты, то эта прогрессия содержит бесконечно много простых чисел.
Пусть а* > 0 — какое-нибудь одно из значений а, удовлетворяю-
удовлетворяющих сравнениям A9). Обозначим через d общий наибольший де-
делитель а* и т. Так как — и — взаимно просты, то по теореме
Дирихле существует такое целое к 5= 0, что — + к —г = q будет

§ 7] РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 85
простым. В качестве а мы возьмем теперь число
а = а* + km = dq.
Поскольку в d входят лишь некоторые из простых чисел 2, р{, ...
..., ps, то выбранное значение а, как уже показано, дает возмож-
возможность закончить доказательство теоремы 1 для форм от четырех
переменных.
4. Формы от пяти и более переменных. Пусть неопределенная
рациональная квадратичная форма от пяти переменных приведена
к сумме квадратов
агх\ + аъх\ + а±х\ + аьх\, B1)
где все at целые и свободны от квадратов. Мы можем считать, что
ui > 0 и аь < 0. Положим
g = ахх\ + а2х\, h = — агх\ — а±х\ — аъх\.
Рассуждая дословно так же, как и в случае п = 4, мы найдем с
помощью теоремы Дирихле целое рациональное а > 0, которое
представляется формами g и h в поле вещественных чисел и, во
всех полях QP, за исключением, быть может, поля Qq, где q —
нечетное простое число, не входящее в коэффициенты а,-. Но тог-
тогда g и h представляют айв поле Qq. Для формы g это устанавли-
устанавливается так же, как и выше, с помощью леммы 2. Что касается
формы h, то она представляет нуль в Qg (следствие 2 теоремы 3
§ 6), а потому представляет все g-адические числа (см. Дополне-
Дополнение, § 1, теорема 5). По следствию теоремы Минковского — Хассе
(см. конец п. 1), которое для форм от двух и трех переменных уже
доказано, получаем, что формы g и h представляют айв поле
рациональных чисел. Отсюда, как и выше, легко следует, что
форма B1) допускает рациональное представление нуля.
Для доказательства теоремы 1 в случае п > 5 достаточно за-
заметить, что всякая неопределенная рациональная квадратичная
форма /, приведенная к сумме квадратов, может быть представ-
представлена в виде / = /о + /,, где /0 — неопределенная форма от пяти
переменных. По доказанному форма /0, а вместе с ней и форма /
представляют нуль в поле рациональных чисел. Теорема Минков-
Минковского — Хассе доказана полностью.
Замечание. Теорема Минковского — Хассе допускает обоб-
обобщение на случай квадратичных форм с коэффициентами из про-
произвольного поля алгебраических чисел /с. В п. 1 § 4 гл. IV нами
будут перечислены все метрики ф поля алгебраических чисел к.
Согласно п. 1 § 4 настоящей главы каждая метрика ср приводит
нас к полному полю кщ причем для эквивалентных метрик (см.
задачу 2 § 4) пополнения kv совпадают. В силу естественного
вложения к -*¦ к\ каждую квадратичную форму с коэффициентами
из к можно рассматривать и как форму над полем к\. Обобщение
теоремы 1 на случай поля к формулируется следующим образом:

86 ' СРАВНЕНИЯ [ГЛ, I
для того чтобы квадратичная форма f{xu..., х„) с коэффициента-
коэффициентами из поля алгебраических чисел к представляла нуль в поле к,
необходимо и_ достаточно, чтобы она представляла нуль во всех
пополнениях ft<p. Доказательство этого обобщения намного труднее.
Оно содержится, например, в книге [34].
5. Рациональная эквивалентность. Теорема Минковского —
Хассе позволяет решить другой важный вопрос о рациональных
квадратичных формах — вопрос об их эквивалентности.
Теорема 2. Для того чтобы две неособенные квадратичные
формы с рациональными коэффициентами были эквивалентны аад
полем рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы они
были эквивалентны над полем вещественных чисел и над каждым
полем р-адических чисел Qp.
Доказательство. Необходимость условий теоремы оче-
очевидна. Доказательство достаточности проведем индукцией по чис-
числу переменных п. Пусть га = 1. Эквивалентность форм ах1 и Ъхг
над некоторым полем означает, что alb является квадратом в
этом поле. Но если alb — квадрат в поле вещественных чисел и
во всех полях Qp, то, как мы видели в п. 1, а/Ъ является квадра-
квадратом п в поле рациональных чисел Q. Таким образом, для случая
п = 1 теорема 2 справедлива.
Пусть теперь ге>1. Выберем рациональное число а^О, пред-
ставпмое формой / (над полем Q). Так как эквивалентные формы
представляют одни и те же числа, то форма g представляет а
в поле вещественных чисел и во всех полях Qp. Но тогда по
следствию теоремы Минковского — Хассе форма g представляет а
и в поле Q. Применяя теорему 2 § 1 Дополнения, заключаем, что
где fi я gt — квадратичные формы от п — 1 переменных над полем
Q (знак ~ означает здесь эквивалентность над Q). Из эквива-
эквивалентности форм ах'" + /i и ах2 4- gl в поле вещественных чисел и
в полях Qp следует, что формы ft и gt также эквивалентны во
всех этих полях (см. Дополнение, § 1, теорема 4). По индуктив-
индуктивному предположению ft и gt эквивалентны над полем рациональ-
рациональных чисел Q. Но тогда / и g также эквивалентны над Q, и теоре-
теорема 2 доказана.
В качестве примера рассмотрим вопрос об эквивалентности
бинарных квадратичных форм.
Определитель d(f) неособенной рациональной формы однознач-
однозначно представляется в виде d(f) = do(f)c2, где do{f) — целое число,
свободное от квадратов. Согласно теореме 1 § 1 Дополнения при
переходе к эквивалентной форме значение do(f) не меняется,
а значит, оно является инвариантом класса рационально эквива-
эквивалентных форм.
Пусть а — произвольное отличное от нуля рациональное число,
представимое неособенной бинарной формой /. Для каждого прос-

5 71 РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 87
того числа р (включая /? = <») положим
„ /л _ (a'-d(f)
ep{f)-{ —
Согласно теореме 8 § 6 (которая справедлива, очевидно, и для
поля вещественных чисел CL») значение ep(f) не зависит от вы-
выбора а. Оно является, следовательно, также инвариантом формы /
относительно рациональной эквивалентности.
Соединяя теорему 2 с теоремой 9 § 6 (справедливой и для поля
Qoo), мы получаем следующий критерий рациональной эквивалент-
эквивалентности бинарных квадратичных форм.
Теорема 3. Две бинарные квадратичные формы fug ра-
рационально эквивалентны тогда и только тогда, когда
d0(f)=d0(g) и ev{f) = ep{g) для всех р.
Заметим, что хотя формально эквивалентность форм опреде-
определяется бесконечной системой инвариантов ep(f), на самом деле
число этих инвариантов конечно, так как ep(f) отлично от +1
только для конечного числа значений р.
Замечание. Теорема 2, так же как и теорема 1 (см. заме-
замечание в конце п. 4), допускает обобщение: для того чтобы две не-
неособенные квадратичные формы с коэффициентами из произволь-
произвольного поля алгебраических чисел к были эквивалентны над полем
к, необходимо и достаточно, чтобы они были эквивалентны над
каждым пополнением ку.
6. Замечания о формах высших степеней. Аналогично тому,
как это мы делали для форм с р-адическими коэффициентами в
связи с теоремой 5 § 6, интересно попытаться включить теорему
Минковского — Хассе и ее частный случай для п Зг 5 в систему
более общих результатов или хотя бы гипотез, относящихся к
формам высших степеней.
Прежде всего, естественно напрашивается вопрос, не верен ли
аналог теоремы Минковского — Хассе для форм любых степеней,
т. е. не будет ли представлять нуль в поле рациональных чисел
всякая рациональная форма, представляющая нуль во всех полях
р-адических чисел и в поле вещественных чисел. Легко построить
примеры, опровергающие это предположение. Например, если
q, I, q', V—различные простые числа, такие, что | __] = 1.
(—] = — 1, и форма х2 + qy2 — lz2 представляет нуль в поле
2-адических чисел, то форма четвертой степени
будет представлять нуль во всех полях Qp и в поле вещественных
чисел, но в то же время не будет представлять нуля в поле рацио-
вальных чисел. Действительно, в поле Q2 первый множитель

88 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
представляет нуль по условию. Если нечетное р отлично от q и I,
то в поле Qp первый множитель представляет нуль в силу след-
следствия 2 теоремы 3 § 6. Что касается полей Од и Q;, то в них
второй множитель представляет нуль по той же причине. Однако
ни один из сомножителей не представляет нуля в Q, так как
первый множитель не представляет нуля в Qg, а второй — в Q?«
(так как (—) = — 1 и (—г) = — 1 )¦ Численным примером формы
B2) может служить форма
(х2 + Ъу2 - 17z2)(z2 + 5г/2 - 7z2).
Приведенный пример может показаться несколько неубеди-
неубедительным, так как форма B2) приводима и может создаться впечат-
впечатление, что именно в этом и кроется причина всего явления. Сво-
Свободным от этого недостатка является пример уравнения
2хг + if - 17z4 = 0. B3)
Легко проверяется (задача 14 § 5), что это уравнение имеет
ненулевое решение во всех полях р-адических чисел Qp (ненуле-
(ненулевое решение имеется, очевидно, и в поле вещественных чисел).
В это же время уравнение B3) в поле рациональных чисел Q
имеет только нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0. Покажем это.
Допуская, что уравнение B3) имеет ненулевое решение, мы мо-
можем считать х, у, z целыми и попарно взаимно простыми. Для
/17 \
любого простого нечетного делителя р числа х имеем I — j = 1.
Но тогда согласно квадратичному закону взаимности имеем также
(ту 1 = 1. Так как \jf) =1, то, следовательно, (ту 1 = 1, а зна-
значит, х = и2 (mod 17) при некотором целом и. Это дает нам срав-
сравнение 2м4 + у4 = 0 (mod 17). Число и не может делится на 17
(иначе х и у одновременно делились бы на 17), поэтому —2 = и4
(mod 17) при некотором v e Z- Однако последнее сравнение, как
легко проверить, неразрешимо, и мы получили противоречие.
Аналогичный пример однородного уравнения, а именно Зх3 ¦?
+ 4г/3 + 5z3 = 0, указал Зельмер [123]. Тот факт, что форма Зх3 +
+ 4г/3 + 5z3 представляет нуль во всех полях р-адических чисел
Qp, доказывается просто (задача 8 § 5). Что же касается утверж-
утверждения о непредставимости нуля в поле рациональных чисел Q, то
оно более тонко (см. задачу 23 § 7 гл. III).
Аналог теоремы Минковского — Хассе для форм высших сте-
степеней неверен также и для случая, когда число-переменных до-
достаточно велико. Например, форма
при п Зг 5 представляет нуль и в полях р-адических чисел, и в
поле вещественных чисел, но не представляет нуля в поле

§ 7] РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 89
рациональных чисел ни при каком п. То же относится и к форме
3 D + • • • + xlY + Ь{у\ + ... + у1K -5(zl+...+ zlK,
которая, в отличие от предыдущей, абсолютно неприводима.
В приведенных примерах обе формы имеют четную степень.
Для форм нечетной степени положение иное. Именно, Берч пока-
показал, что для нечетного г существует такое натуральное Mr), что
всякая рациональная форма степени г, число переменных которой
больше Mr), представляет нуль в поле рациональных чисел (см.
[61]; как и в случае теоремы Брауэра, оценка сверху для Mr),
получающаяся из доказательства Берча, заведомо чрезмерно за-
завышена). Ввиду неравенства A4) § 6 для Mr) имеем следующую
оценку снизу: Mr) > г2.
К настоящему времени нет никаких данных, которые подвер-
подвергали бы сомнению равенство Mr) = г2 (все имеющиеся примеры
неравенства NP(r)>rz в полях р-адических чисел относятся к
случаю форм четной степени). В применении к случаю г = 3 (слу-
(случай г = 1 тривиален) это предположение означает, что всякая
кубическая форма от 10 и более переменных представляет нуль
в поле рациональных чисел (гипотеза Артина). Идеальный резуль-
результат в этом направлении получен в работе [79]. В ней доказано,
что всякая неособеппая рациональная кубическая форма от десяти
переменных рационально представляет пуль (неособенность фор-
формы F(xt,..., хп) означает, что для всех значений переменных
Xi, ..., хп, не равных одновременно нулю, хотя бы одна частная
dF
производная ^г отлична от нуля). Остается, однако, неясным,
можно ли этот результат распространить па кубические формы,
имеющие особенности. Неизвестно также, верно ли аналогичное
утверждение для кубических форм над полями алгебраических
чисел. Для произвольных кубических форм (с особенностями)
наилучший результат принадлежит Давенпорту [70], который до-
доказал, что МЗ) sz 15. Кубические формы от 16 переменных пред-
представляют нуль и в любом поле алгебраических чисел [115]. О фор-
формах более высокой нечетной степени почти ничего не известно.
Задачи
1. Доказать следующую теорему Лежандра: если а, Ь и с — попарно
взаимно простые целые рациональные числа, свободные от квадратов и не
все одного знака, то неопределенное уравнение
ах2 + by2 + cz2 = 0
разрешимо в рациональных числах ф 0 тогда и только тогда, когда разре-
разрешимы все три сравнения:
х2 = —be (mod а), х2 е=—са (modb), x2=s—ab (mode).
2. Представляют ли нуль в поле рациональных чисел формы Ъх2 + 5у2 —
— 7z2 и Зх2 — Ъу2 — 7z2?

90 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. Г
3. Какие простые рациональные числа представляются формами хг + у2,
ж2 + 5у\ х2 - Ъу21
4. Дать описание всех рациональных чисел, представимых формой
2х2 — by2.
5. Какие рациональные числа представляются формой 2х2 — 6г/2 + 15z*?
6. Пусть / — неособенная квадратичная форма над полем рациональных
чисел, число переменных которой не равно 4. Доказать, что / представляет
все рациональные числа тогда и только тогда, когда она представляет нуль.
7. При каких целых рациональных а форма х2 + 2у2 — az2 представ-
представляет нуль рационально?
8. Найти все решения уравнения х2 + у2 — 2z2 = 0 в рациональ-
рациональных числах.
9. Какие из форм
. х2 — 2у2 + 5z2, х2 — у2 + 10z2, Зх2 — у2 + 30z2
эквивалентны между собой в поле рациональных чисел?
10. Пусть форма ах2 -\- Ъуг — г2, где целые рациональные а и b свободны
от квадратов и \а\ > \Ь\, представляет нуль во всех полях /ьадических чи-
чисел. Доказать, что тогда найдутся такие целые рациональные <ч и с, что
аах = с2 — Ь, |ai| < |а|.
(Равенство аа4 -\- Ъ — с2 = 0 показывает, что форма аа^х1 + by2 — z2 пред-
представляет нуль рационально.)
11. Рассматривая формы вида ах2 + by2 — z2 с целыми и свободными от
квадратов а и 6, доказать теорему Минковского — Хассе для случая трех
переменных индукцией no m = max (|а|, \Ь\) (использовать задачу 10 и
задачу 3 § 1 Дополнения).
12. Для каждого р (включая р = оо) через Wv обозначим группу клас-
классов Вигта квадратичных форм над полем Qp. Доказать, что группа классов
Витта квадратичных форм над полом рациональных чисел Q изоморфна
некоторой подгруппе декартова произведения JJ W
р

Глава II
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
В предшествующей главе мы занимались вопросами о сущест-
существовании и нахождении рациональных решений неопределенных
уравнений. Эта глава посвящена тем же вопросам, но относитель-
относительно целочисленных решений. Поясним ее содержание простым
примером.
Задача заключается в нахождении всех целочисленных реше-
решений неопределенного уравнения
я2-2г/2 = 7. A)
Ограничимся решениями х > О, у > 0 (остальные получаются из-
изменением знаков). Уравнение имеет решения C, 1) и E, 3). Из
этих двух решений можно получить бесконечно много других на
основании следующего замечания: если (х, у) — решение урав-
уравнения A), то, как показывает подстановка, (Зж + 4г/, 2х + 3у)
также является решением. Отправляясь от решения (х0, у0) =
= C, 1), мы получим, таким образом, бесконечную серию реше-
решений (хп, уп\ определенных рекуррентными формулами
xn+i = Зхп + 4г/„, у п± 1 = 2хп + Зуп. B)
Отправляясь от решения (х0, у0) = E,3), мы получим по тем же
формулам другую бесконечную серию решений (хп, уп). Можно
доказать, что этими двумя сериями исчерпываются все решения
уравнения A) с х > 0, у > 0.
Это совершенно элементарное решение уравнения A) основы-
основывается на вычислениях и формулах. Мы можем связать его с не-
некоторыми общими понятиями и тем подготовить почву для даль-
дальнейших обобщений.
Для этого заметим, что форма х2 — 2у2 в поле рациональных
чисел Q неприводима, однако в более широком поле Q( к 2) она
разлагается на линейные множители (х + уУ2)(х — г/У2). Если
воспользоваться понятием нормы для расширения Q(]/2)/Q (cm.
Дополнение, § 2, п. 2), то уравнение A) можно будет переписать
также в виде
l. C)
Вопрос свелся, таким образом, к определению в поле Q A^2) тех
чисел % = х + J/Y2 с целыми рациональными х и у, норма кото-
которых равна 7. Если норма числа е = в + иУ2 (в и v целые рацио-

92 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
нальные) равна 1, то, в силу мультипликативности нормы, вместе
с | все числа вида ?е" также удовлетворяют уравнению C). Так
как МЗ +2V2) = 1, то мы можем в качестве е взять 3 + 2У2.
Переход от | к ?е и дает, как легко проверить, переход от ре-
решения (х, у) к решению (Зх + Ау, 2х + 3у). Две бесконечные се-
серии решений, записанные рекуррентными формулами B), прини-
принимают теперь вид
*„ + */„/2 = C+ /2)C + 2/2)n, n>Q
х'п + у'пУ2 = (Ь + Ъ /2)C + 2 /2)п, "-"
Возможность получать из одного решения уравнения A) бес-
бесконечно много других решений основывается, в конечном счете,
на существовании чисел 8 = и+уУ2 с целыми и та. v, для кото-
которых JV(e) = 1. В свою очередь числа такого типа связаны, как
мы сейчас покажем, с основными понятиями арифметики алгеб-
алгебраических чисел. Для этого рассмотрим совокупность всех чисел
вида ?+г/У2, где х и у — любые целые числа. Эта совокупность
чисел образует, как легко видеть, кольцо, которое мы обозначим
через D. При исследовании арифметики этого кольца большую
роль играют, естественно, его единицы, т. е. такие числа cteD,
что и a s ?>. Очень легко показать, что число а тогда и только
тогда является единицей кольца О, когда Жа) = ±1. Это пока-
показывает, каков более глубокий смысл чисел eefl, норма которых
равна 1: все они вместе с числами, норма которых равна —1,
составляют все единицы кольца D.
В настоящей главе мы рассмотрим общую теорию, для кото-
которой уравнение A) является одним из простейших примеров. Ус-
Успех в решении уравнения A) обусловлен в основном тем обстоя-
обстоятельством, что форма х2 — 2у2, неприводимая в поле рациональ-
рациональных чисел, раскладывается на линейные множители в поле
Q ( У 2), в связи с чем это уравнение допускает запись в виде C).
В нашей общей теории также будут рассматриваться формы, ко-
которые в надлежащем расширении поля рациональных чисел рас-
раскладываются в произведение линейных форм.
Хотя нашей основной целью является исследование неопре-
неопределенных уравнений, в которых коэффициенты и значения неиз-
неизвестных — целые числа, нам удобнее будет рассматривать более
общий случай форм с рациональными коэффициентами. Значения
же переменных всегда будут предполагаться целыми.
§ 1. Разложимые формы
1. Целочисленная эквивалентность форм.
Определение. Две формы F(x{, ..., xm) и G(yu ..., yt}
одной и той же степени п с рациональными коэффициентами
называются целочисленно эквивалентными, если каждая из них

8 1] РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ 93
может быть преобразована в другую линейным преобразованием
переменных с целыми рациональными коэффициентами.
Например, формы
хг + ly + z2 - Qxy - 2xz + 6yz и 2u2-v2
эквивалентны, так как при линейных преобразованиях
х = 3v,
у = и + v, и — —х + 2у + z,
z = — u + v, v = х — у — z
они переходят друг в друга. Для случая форм, зависящих от од-
одного и того же числа переменных, условие эквивалентности, оче-
очевидно, сводится к тому, что одна из форм может быть преобра-
преобразована в другую при помощи линейного преобразования пере-
переменных с унимодулярной матрицей (т. е. с целочисленной квад-
квадратной матрицей, определитель которой равен ±1).
Если формы F и G эквивалентны, то, зная все целочисленные
решения уравнения F = а, мы можем легко получить также все
целочисленные решения уравнения G = а, и обратно. Таким об-
образом, при рассмотрении вопроса о целочисленных решениях
уравнения вида F = а вместо формы F можно взять любую эк-
эквивалентную ей форму.
Лемма 1. Всякая форма степени п эквивалентна форме,
у которой п-я степень одной из переменных входит с отличным
от нуля коэффициентом.
Доказательство. Пусть F(xu ..., xm) — форма степени п.
Покажем, что существуют такие целые рациональные числа
аг, • •., а™, что /41, а2, ..., am) ^ 0.
Докажем это утверждение индукцией по тп. При тп = 1 фор-
форма F имеет вид Ах™, где А?=0, поэтому ^A)^0. Предположим,
что для форм от m — 1 переменных (т?г>2) наше утверждение,
уже доказано. Представим заданную форму F в виде
F = Goxl + Gj^xST1 + ... +Gn,
где Gh @ < k < п) либо равно нулю, либо является формой к-ш
степени от переменных Хи ..., xm-i (мы считаем, что формы ну-
нулевой степени — это отличные от нуля константы). Все Gh не
могут быть равны нулю, так как F, являясь формой п-я степени,
имеет хоть один отличный от нуля коэффициент. По индуктив-
индуктивному предположению хотя бы при одном к существуют такие
целые числа а2, ..., ат-и что Gk(l, a2, ..., am-i)?=0. Так как
многочлен F(l, a2, ..., am-i, xm) от одной переменной хт не ра-
равен тождественно нулю, то, взяв в качестве ат любое целое чис-
число, отличное от его корней, будем иметь F[l, a2, ..., ат)?=0.

g4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ (ГЛ. О
Сделаем теперь следующее линейное преобразование пере-
переменных:
хт = amyi + ут.
При этом преобразовании форма F перейдет в форму
Giyu ..., ym)=F(yl, а2г/! + г/2, ..., amyi + yJ.
Так как матрица нашего преобразования целочисленна и ее оп-
определитель равен 1, то формы F и G эквивалентны, причем ко-
коэффициент при у?, равный G(l, 0, ..., O)=FA, a2, ..., ат),
отличен от нуля. Лемма 1 доказана.
2. Построение разложимых форм.
Определение. Форма Fixu ..., хт) с коэффициентами из
поля, рациональных чисел Q. называется разложимой, если ока
в некотором расширении Q/Q раскладывается на линейные мно-
множители.
Примером разложимой формы является форма
Fix, у) = аохп + atxn~ly + ... + апуп
от двух переменных (ао?=О). Действительно, если Q — поле раз-
разложения многочлена F(x, 1) и а4, ..., сс„ — его корни, то в Й
имеем разложение
Fix, у) = aoix — aty).. Лх — апу).
Среди неособенных квадратичных форм, рассматривавшихся в
первой главе, разложимыми являются лишь формы от одной п
двух переменных (задача 1).
Очевидно, что вместе с формой F все эквивалентные ей фор-
формы также разложимы.
В определении разложимой формы ничего не говорится о том,
каким может быть поле Q, в котором форма разлагается на ли-
линейные множители. Мы покажем сейчас, что в качестве Q всегда
можно взять некоторое конечное расширение поля рациональных
чисел Q. В связи с этим основным алгебраическим аппаратом,
которым мы будем в дальнейшем пользоваться, является теория
конечных расширений полей. Необходимые нам свойства конеч-
конечных расширений изложены в § 2 Дополнения.
Определение. Конечные расширения поля рациональных
чисел называются полями алгебраических чисел, а их элемен-
элементы — алгебраическими числами.
Теорема 1. Всякая рациональная разложимая форма рас-
раскладывается на линейные- множители уже в некотором поле ал-
алгебраических чисел.

I 1] РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ 95
Доказательство. В силу леммы 1 мы можем ограни-
ограничиться рассмотрением разложимой формы
F — (ссцЯ, +... + сел,)... (ап1а;, + ... + cwrj, а^ e Q,
у которой коэффициент при х\ отличен от нуля. Так как в этом
случае коэффициенты а« A < i < n) отличны от нуля, то нашу
форму можно представить в виде
F = А (х, + Риг, + ... + $imxj ... (xi + $n2x2 + ... + $птхт), A)
где Л=аи...а„1 и?5у = сс^п1-Число Л, являясь коэффициен-
коэффициентом при ж™, рационально. Для фиксированного j B < / =? иг) по-
положим в последнем разложении х, — 1, а всем остальным пере-
переменным, кроме Xi, придадим нулевое значение. Мы получим
F(xh 0, ..., 1, ..., 0) = А (х, + рц)... (х, + pj.
Так как слева у нас стоит многочлен (степени п) с рациональ-
рациональными коэффициентами, то отсюда следует, что (i« — алгебраиче-
алгебраические числа. Обозначим через L подполе поля Q, получающееся
из Q присоединением всех [},> Расширение L/Q, очевидно, ко-
конечно (см. Дополнение, § 2, п. 1), т. е. L есть поле алгебраиче-
алгебраических чисел.
Дальше мы ограничимся рассмотрением лишь неприводимых
в поле рациональных чисел разложимых форм, так как именно
для них вопрос о целочисленных представлениях рациональных
чисел наиболее интересен. Укажем способ построения неприво-
неприводимых разложимых форм.
Рассмотрим произвольное поле алгебраических чисел К сте-
степени п и какой-нибудь примитивный элемент 0 поля К над Q,,
так что К = Q @) (см. Дополнение, § 2, п. 3). Минимальный
многочлен (pit) числа 0 над полем Q имеет степень п. Построим
над К расширение L, в котором срШ раскладывается целиком на
линейные множители:
(можно считать, что L = Q@(I\ . . ., 0(п))). Для всякого числа
a = /F)eZ (fit) — многочлен с рациональными коэффициента-
коэффициентами) положим a(<) = /(8w)eQ(8w)ct. Тогда для нормы
N. (а) = Njc/q (а) будет справедлива формула
B)
Жа)=аA)а
(см. Дополнение, § 2, п. 3).
Пусть теперь \iu ..., \im — произвольная система отличных от
нуля чисел поля К. Эти числа определяют форму
{Xl,..., хт) = П (jrf + ... + Хтц%). B)
г=1

96 ПРЕДСТАВЛКНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. 1Г
Так как |Д.г) = fh@(г)) (l^k^m, fh(t) — многочлены с рацио-
рациональными коэффициентами), то коэффициенты формы B) явля-
являются симметрическими функциями от бA>, ..., 0(п), а значит, они
рационально выражаются через коэффициенты многочлена (pit).
Этим доказано, что форма B) имеет рациональные коэффициен-
коэффициенты. Если вместо переменных Xi, ..., хт мы подставим произволь-
произвольные рациональные числа, то, поскольку
= {x\i +
произведение B) будет нормой числа Xi\ii +.,. + хтцт (относи-
(относительно расширения K/Q) В силу этого мы можем форму B)
условно записать в виде
F{xu ..., xm)=N(xi\il +... + хтцт). C)
Форма вида B) не всегда неприводима. Например, если в по-
поле Q(k2, ]/гЗ)иы возьмем ц1 = V2, ц2 = УЗ, то соответствующая
форма будет равна {2x1 — З^J- Однако имеет место следую-
следующая теорема.
Теорема 2. Если числа ц2, ..., um порождают поле К, т. е.
К = Q (fi2, . .., Цт), то форма
F(xt, ..., xm) = N(xt + ж2(хг + ... + xm\im) D)
неприводима {над полем рациональных чисел). Обратно, всякая
неприводимая разложимая форма эквивалентна с точностью до
постоянного множителя форме вида D).
Доказательство. Допустим, что F = GH, где множите-
множители G и Н имеют рациональные коэффициенты. Так как в кольце
многочленов от m переменных разложение на неприводимые
множители однозначно (с точностью до постоянных множителей),
то каждая из линейных форм
/vj = Х± ~\~ ^2^2 ~Ь • • • ¦" %mftm
должна быть делителем либо G, либо Н. Пусть Li=xl + х2ц2 +
+ ... + хтцт есть делитель G, т. е.
G = L,M,.
Заменим в последнем равенстве все коэффициенты их образами
при изоморфизме а -»¦ ali) поля K = Q(Q) на поле Q(9(t)). Так
как коэффициенты формы G рациональны, то при такой замене
она не изменится и мы получим равенство
G
означающее, что G делится на Li при любом ? = 1, ..., п (п =
= (K:Q)). Заметим теперь, что изоморфизм а-»-«<*), ае
eQffij,..., \im), вполне определен заданием образов |л2г, ..., \im
чисел р,а, ..., цт. Отсюда следует, что наборы чисел

§ 1] РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ 97
н4*\ • • • 1 Цт'1A ^ i ^ n) \ попарно различны (ибо изоморфизмы
а -*¦ a{i) попарно различны), а значит, и формы Lu ..., Ln по-
попарно различны. Коэффициент при ж4 у всех форм Lt равен 1,
поэтому эти формы также попарно непропорциональны. Восполь-
Воспользовавшись опять однозначностью разложения, заключаем, что G
делится на произведение Li... Ln, т. е. делится на F. Множи-
Множитель Я, следовательно, является константой, и первое утвержде-
утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение. Пусть F*(xu ..., хп) — произ-
произвольная неприводимая разложимая форма степени п. В силу
леммы 1 можпо считать, что коэффициент при хг отличен от
нуля, а тогда для F* будем иметь разложение вида A), где р« —
некоторые алгебраические числа. Положим A^ = |х,- B ^ / ^ т)
и рассмотрим поле К = Q(}я2, .. ., um), степень которого обозна-
обозначим через г. По доказанному форма
F = NUi + X2[i2 + . . . + Xm\Jim)
неприводима, причем один из ее линейных множителей, LL =
= Xi + x2[i2 + • • • + xm\im, является делителем и формы F*. Под-
вергая все коэффициенты равенства F* = L4M4 действию изомор-
изоморфизма а -+¦ a[i) (ae=K, Ki<r), мы получим разложение F* =
= LiM{. Формы Lt, ..., LT, как мы видели, попарно не пропор-
пропорциональны, поэтому F* делится на их произведение Ln ... Lr,
совпадающее с F. В силу неприводимости F* отсюда следует, что
F* = AF, где А — константа, и теорема 2 доказана полностью.
Ш процессе доказательства получено также, что г = п.)
3. Модули. Ясно, что для формы C) вопрос о целочисленных
решениях неопределенного уравнения F(xu ..., хт) = а сводится
к разысканию в поле К чисел |, которые представимы в виде
l=xi\il + ... + хтцт E)
с целыми рациональными Xi, ..., хт и для которых N(.%) = a.
В силу этого естественно обратиться к изучению совокупностей
чисел вида E).
Определение. Пусть К — поле алгебраических чисел и
(Xi, ..., \im — произвольная конечная система чисел из К. Сово-
Совокупность М всех линейных комбинаций с^ + ... + cm[xm с целы-
целыми рациональными коэффициентами с( A<?<тге) называется
модулем в поле К. Сами числа (Xi, ..., u.m называются при этом
образующими модуля М.
Конечно, один и тот же модуль М может быть задан различ-
различными системами образующих. Если |х4, ..., \im — система обра-
образующих модуля М, то будем писать М — {\ки ..., \im).
Посмотрим, как изменится форма C), если вместо (Xi, ..., u.m
взять другую систему чисел pit ..., р;, определяющих тот же

Q8 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
модуль М. Мы имеем
т
Pi =
с целыми рациональными с,А. Пусть
G(j/,, ..., у,) = Жг/.pi +... + y,pt).
I mil \
Так как 2 #iPj = 2B сгъ11] И*» то ПРИ линейном преобразо-
вании
i
Zh = 2 ^ifeJ/j, 1 < & < Щ,
форма F переходит в G. Поскольку системы образующих (х* и
pj модуля М играют симметричную роль, то аналогично сущест-
существует целочисленное линейное преобразование переменных, пере-
переводящее G в F. Этим доказано, что разным системам образую-
образующих модуля М соответствуют эквивалентные формы, т. е. с каж-
каждым модулем М в поле К однозначно связывается некоторый
класс эквивалентных разложимых форм.
Для всякого модуля M — {\iu ..., |хт} п числа а^К через
аМ будем обозначать совокупность всех произведений а\, где
5 пробегает все элементы из М. Очевидно, что аМ совпадает с
совокупностью всех целочисленных линейных комбинаций чисел
ccj.ii, ..., oc|im, т. е. аМ = {аци ..., a]im}.
Определение. Два модуля М и Mi в поле алгебраических
чисел К называются подобными, если Mi = аМ при некотором
а Ф 0 из К.
Формы, связанные с подобными модулями М и аМ, различа-
различаются между собой лишь постоянным множителем, равным N(a).
Поэтому, рассматривая формы с точностью до постоянного мно-
множителя, мы всегда можем вместо модуля М взять любой подоб-
подобный ему модуль, в силу чего можно считать, что одна из обра-
образующих модуля, скажем |х,, равна 1.
Изложенное выше позволяет дать задаче о представлении
чисел неприводимыми разложимыми формами следующую фор-
формулировку. Если форма F представлена в виде
Fix,, ..., xm) =
(при надлежащем выборе поля К), то решение в целых числах
неопределенного уравнения F{xu ..., xm) = а равносильно нахож-
нахождению в модуле М = {(j,!, ..., |j,m} всех чисел а, норма которых
Мое) равна рациональному числу а/А. Ввиду этого в дальнейшем
мы будем заниматься именно этой задачей нахождения в данном
модуле чисел с заданной нормой. Как мы уже видели, послед-
последняя задача равносильна также задаче о нахождении в подобном

§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ 99
модуле \кМ чисел с нормой М(ц)а/А. В силу этого вместо задан-
заданного модуля можно рассматривать, если это будет целесообразно,
любой подобный ему модуль.
Если степень поля алгебраических чисел К равна п, то во
всяком модуле М поля К содержится не более п линейно неза-
независимых чисел (над полем Q).
Определение. Если модуль М в поле алгебраических чи-
чисел К степени п содержит п линейно независимых чисел {над
полем рациональных чисел), то он называется полным, в про-
тивном случае — неполным.. Связанные с модулем М формы так-
также называются соответственно полными или неполными.
Например, если целое рациональное число d не является ку-
кубом, то числа 1, yd, Yd2 образуют базис поля Q(/~d) над Q,
поэтому форма
N О + у Vd + г frd1) = г5 + dif + d2z3 - Sdxyz
полная. Примером неполной формы может служить форма
Если {1, (j,2, ..., (J-m} — полный модуль поля К, то, очевидно,
К = Q(jli2, ..., Цт)- В силу теоремы 2 отсюда легко следует, что
всякая полная форма всегда неприводнма.
Вопрос о представлении чисел неполными неприводимыми
формами весьма сложен, и к настоящему времени сколько-ни-
сколько-нибудь удовлетворительной общей теории на этот счет нет. Част-
Частный случай мы рассмотрим в гл. IV.
Что касается задачи о представлении рациональных чисел
полными формами, то она намного проще и решена до конца.
Ею мы и будем заниматься в настоящей главе. Эта задача, как
уже было отмечено, равносильна вопросу о нахождении в фик-
фиксированном полном модуле поля алгебраических чисел К всех
чисел с заданной нормой.
Задачи
1. Показать, что рациональная квадратичная форма разложима тогда и
только тогда, когда ее ранг sg: 2.
2. Доказать, что форма, связанная с произвольным модулем; поля алгеб-
алгебраических чисел К, является степенью неприводимой формы.
3. Доказать, что в поле рациональных чисел Q всякий модуль имеет
вид а^, где s e Q B - кольцо целых рациональных чисел).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей
1. Базис модуля.
Определение. Система образующих аи ..., ат модуля М
называется его базисом, если она линейно независима над

100 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
кольцом целых чисел, т. е. если равенство
fl^ + ... + amam = О, аг <= Z,
имеет место только при нулевых коэффициентах я,-.
Очевидно, что если а4, ..., ат — базис модуля М, то любое
число аеМ допускает одно и только одно представление в виде
а = с1а,1 + ... + стат, q e Z- A)
Мы докажем сейчас, что любой модуль имеет базис. Доказа-
Доказательство не использует на самом деле того, что модуль состоит
из чисел некоторого поля алгебраических чисел. Существенным
является только то, что относительно операций сложения модуль
образует абелеву группу, в которой нет элементов конечного по-
порядка и в которой все элементы линейно выражаются с целыми
коэффициентами через некоторую конечную систему элементов
(существование системы образующих модуля). Поэтому мы и до-
докажем нужный нам результат как теорему об абелевых группах.
При этом мы будем пользоваться следующей терминологией. Си-
Систему элементов а4, , ат абелевой группы М (действие в ко-
которой будет записываться аддитивно) назовем системой образую-
образующих, если любой элемент aef представим в виде A). Мы пи-
пишем в этом случае: M = {ai, ..., am). Если же система аи ..., ат
удовлетворяет данному выше определению, то будем ее называть
базисом группы М.
Теорема 1. Если абелева группа без элементов конечного
порядка обладает конечной системой образующих, то она обла-
обладает и базисом.
Доказательство. Обозначим через аи ..., as произволь-
произвольную систему образующих группы М. Заметим прежде всего, что
если мы к одной образующей прибавим другую, умноженную на
произвольное целое число, то новая система элементов будет
также системой образующих. Пусть, например, «j = ax + ka2. То-
Тогда для любого а^-М имеем
а = с1а1 + с2а2 + . .. + csas = cxa'x -\- (с2 — kcj a2 + ... + csas,
где все коэффициенты целые, а значит, М = (a^ a2, . .., а&].
Если элементы аи ..., as линейно независимы, то они обра-
образуют базис М. Допустим, что они линейно зависимы, т. е. что
с2а2 + ... + с,а, = 0 B)
при некоторых не равных одновременно нулю целых cf. Выберем
среди отличных от нуля коэффициентов ct наименьший по абсо-
абсолютной величине. Пусть это будет, например, с{. Предположим,
что не все коэффициенты с{ делятся на си скажем, с2 = ctq + с',
где 0< с' < |cil. Если мы перейдем к новой системе образующих

§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ 101
ai = ai + ДО21 а2' •••>««, то соотношение B) примет вид
.. + csas = 0,
и в этом соотношении мы имеем коэффициент с' > 0, который
меньше, чем IcJ. Итак, если для образующих at, ..., as мы име-
имеем нетривиальное соотношение B), в котором наименьший по
абсолютной величине и отличный от нуля коэффициент не явля-
является делителем остальных коэффициентов, то мы можем постро-
построить другую систему образующих, для которой также имеется
нетривиальная зависимость с целыми коэффициентами, причем
наименьший по абсолютной величине и не равный нулю коэф-
коэффициент этой новой зависимости меньше (по абсолютной вели-
величине), чем аналогичный коэффициент в первой зависимости.
В результате конечного числа таких преобразований мы придем
наконец к новой системе образующих $и ..., [J,, для которой
имеется зависимость
fc.Pi + fc,p, + ... + &.p. = O C)
с целыми коэффициентами к(, причем один из коэффициентов,
например ки является делителем всех остальных. Сократив соот-
соотношение C) на ki (ато можно сделать, так как по предположе-
предположению в М нет элементов конечного порядка, отличных от нуля),
получим
Pi + Z»P» + ... + Z.p. = O D)
с целыми 1г, ..., ls. Из D) следует, что jii можно исключить из
построенной системы образующих, т. е. что М = {^2, ¦ •., [1Л.
Нами доказано, что если некоторая система образующих М
линейно зависима, то можно построить новую систему образую-
образующих, число элементов которой на единицу меньше. Повторив это
рассуждение несколько раз, мы получим в конце концов линейно
независимую систему образующих, которая и будет базисом
группы М.
Следствие. Для всякого модуля в поле алгебраических чи-
чисел К существует базис.
Число элементов пг, входящих в какой-нибудь базис моду-
модуля М, равно, очевидно, максимальному числу линейно независи-
независимых (над Q) элементов из М. Следовательно, это число m для
всех базисов одно и то же. Оно называется рангом модуля М.
Ранг модуля, состоящего из одного нуля, считается равным нулю.
Пусть cu4, ..., «йт ню,, ..., Ют— Два базиса модуля М ранга
т. Ясно, что матрица перехода С от первого базиса ко второму
целочисленна. В силу симметрии матрица перехода от второго ба-
базиса к первому, т. е. матрица С, также целочисленна. Следова-
Следовательно, detC = ±l. Мы получаем, таким образом, что матрица
перехода от одного базиса модуля ранга т к его другому базису
является унимодулярной матрицей порядка т.

102 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Если степень поля К над Q равна п, то ранг всякого модуля
в К не превосходит п. Очевидно, что ранг модуля равен п тогда
и только тогда, когда этот модуль полный. Неполные модули ха-
характеризуются, следовательно, тем, что их ранг меньше степени
поля п.
Любая система образующих модуля ранга т содержит не ме-
менее т элементов. Отсюда следует, что среди форм, связанных с
этим модулем, существуют формы от т переменных и не суще-
существует форм с меньшим числом переменных. Полные формы сте-
степени п могут быть определены, следовательно, как такие разло-
разложимые неприводимые формы, которые не эквивалентны формам
с числом переменных, меньшим степени п.
Теорема 2. В абелевой группе М без элементов конечного
порядка и с конечным числом образующих всякая подгруппа N
также имеет конечное число образующих и, следовательно, обла-
обладает базисом. При этом для любого базиса аи ..., со™ группы М
(при надлежащей нумерации его элементов) для N существует
базис вида
Г)! = ChCOi + С12Ш2 + . . . + C,kah + . . . + CimG>m,
Г|2= С22032 + • • • + C2ftC0ft + . . . + С2тШт,
% = ckkak + ... + сйтсот,
где Сц целые, с« > О, к =?! пг.
Доказательство. Докажем теорему индукцией по ран-
рангу пг группы М, т. е. по числу элементов, входящих в ее базис.
Для случая пг = 0 утверждение теоремы тривиально. Пусть
пг ^ 1. Если N состоит только из нуля, то к = 0, и теорема спра-
справедлива. Если же а е N, а Ф 0, то
а = С!©! + ... + стшт, E)
где хоть один из коэффициентов с{ не равен нулю. Изменив в
случае надобности нумерацию элементов базиса, мы можем счи-
считать, что С1ФО. Если Ci < 0, то для —а коэффициент при cot бу-
будет положителен. Среди элементов подгруппы N выберем элемент
С12Ш2 + . . . + С1тШт,
у которого коэффициент Сц > 0 при о»! наименьший. Тогда для
любого a^N коэффициент су будет делиться на си. Действи-
Действительно, если Ci = cnq -f с', Os?c'<cu (q целое), то для эле-
элемента а — qr\i имеем
откуда в силу минимальности cfl следует, что с' = 0. Рассмотрим
теперь в М подгруппу Мо — (со2, ..., сот}. Так как пересечение
N П М„ является подгруппой группы М„, то по индуктивному

§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ ЮЗ
предположению в N Л Мо существует базис вида
Г|2 = С22(й2 + С23Ш3 + . . . + C2h(?)h + . . . + C2mCum,
Г)з= С33(Оа + . . .
где сй целые, с« > О, А: — 1 < m — 1 (при надлежащей нумерации
элементов базиса со2, ..., (от). Утверждаем, что N совпадает с со-
совокупностью всех целочисленных линейных комбинаций элемен-
элементов r)i, гJ, ..., т\н- Пусть а — произвольный элемент из N. Если
его представить в виде E), то по доказанному cl = cliql с це-
целым 5i, а тогда
принадлежит пересечению Мо П N. По индуктивному предполо-
предположению имеем
а — ^ть = 12^2 + ... + qhr\k
с целыми qt, откуда а = q^t + ... -Ь qhV)k- Этим и доказано, что
N = {r\u r\2, ..., r|J. Образующие т^, ..., г\к, как легко видеть,"
линейно независимы над Z, а значит, они образуют базис N
требуемого вида.
Проведенное доказательство теоремы 2 воспроизводит, по су-
существу, метод Гаусса исключения неизвестных в системах ли-
линейных уравнений. Различия вызваны тем, что в нашем случав
коэффициенты принадлежат пе полю, а кольцу целых чисел.
Следствие. Всякая подгруппа N модуля М в поле алгеб-
алгебраических чисел К является также модулем (подмодулем мо-
модуля М).
2. Кольца множителей.
Определение. Число а поля алгебраических чисел К на-
называется множителем полного модуля М поля К, если аМ cz M,
т. е. если для любого \ е М произведение а\ также принадле-
принадлежит М.
Совокупность DM всех множителей модуля М является коль-
кольцом. В самом деле, если аи р принадлежат DM, 'то прп любом
lei имеем: (а- р)? = а? - $1 еМ и (сф)| = аЩ) el, т. е.
а-ре DM и аре DM. Кольцо DM называется кольцом множи-
множителей полного модуля М. Так как 1 е Dm, to Dm есть кольцо с
единицей.
Чтобы удостовериться в том, что данное число а^К принад-
принадлежит кольцу Ом, нет необходимости проверять для всех | s M,
будет ли произведение а| принадлежать М. Достаточно прове-
проверить это лишь для чисел какого-нибудь базиса (Xi, ..., (х„ моду-
модуля М. В самом деле, если сф< «= М для всех i = 1, ..., п, то и

104 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
для любого | = CiHi + ... + сп\хп е М будем иметь
аЪ, = Ciia\Xi) + ... -Ь с„(ац„) s M.
Докажем, что кольцо множителей DM есть полный модуль
в К. Пусть y — произвольное отличное от нуля число из М. Так
как а"{ s Ж при любом а е ?)м, то iDM <= Ж. Множество чисел
^?>м является, очевидно, группой относительно действия сложе-
сложения, поэтому, согласно следствию теоремы 2, ^DM есть модуль.
Но тогда Оц—^Ч^Ом) также является модулем. Остается дока-
доказать, что этот модуль полный. Возьмем произвольное отличное
от нуля число а из К и обозначим через с общий знаменатель
всех рациональных чисел a(j, определенных разложениями
п
ЩЧ = 2 яуИ-i. 1 < i < га. F)
i=i
Так как произведения ca{j целые, то сац, е Ж, а значит, сое е ?),Г.
Если теперь мы возьмем произвольный базис аи ..., ап поля К,
то по только что доказанному при некоторых целых рациональ-
рациональных Ci, ..., сп произведения Ciai, ..., с„а„ будут содержаться в
Dm. Мы впдпм, таким образом, что в DM имеется п линейно не-
независимых чисел, а это и означает, что DM — полный модуль.
Определение. Полный модуль в поле алгебраических чи-
чисел К, содержащий число 1 и являющийся кольцом, называется
порядком поля К.
Принимая это определение, мы можем полученный намп ре-
результат сформулировать следующим образом.
Теорема 3. Кольцо множителей для произвольного полного
модуля поля алгебраических чисел К является порядком этого
поля.
Справедливо и обратное утверждение: всякий порядок D поля
К является кольцом множителей для некоторого полного модуля,
например для самого себя (так как leD, то включение а?> с О
равносилно условию a s ?>).
Для произвольного числа 7^0 из ^ условие а% е М равно-
равносильно условию ai.4%) s уМ (здесь | е Ж). Отсюда следует, что
подобные модули Ж и ^Ж имеют одно и то же кольцо множите-
множителей, т. е. Отм = Dm.
Пусть (j,i, ..., цп — базис модуля Ж, a Mi, ..., со„ — базис его
кольца множителей DM. Для каждого i = 1, ..., п имеем
п
IXi = 2 bij(i>j,
3=1
где Ъц — рациональные числа. Если Ъ — общий знаменатель всех
коэффициентов Ъц, то числа Ъц{ будут выражаться через базис
порядка Dm уже с целыми коэффициентами, т. е. будут принад-

§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ 105
лежать ?V. Для Модуля ЪМ имеем, следовательно, включение
ЪВ с DM.
Сформулируем полученные результаты.
Лемма 1. Кольца множителей подобных полных модулей
совпадают. Для каждого полного модуля существует подобный
ему модуль, содержащийся в своем кольце множителей.
Замечание. Рассмотрение полного модуля М вместе с его
кольцом множителей Ом может быть охвачено общим понятием
модуля над кольцом. Для аддитивной подгруппы А поля К часто
приходится рассматривать подкольца Л поля К, для которых А
является Л-модулем (произведение Хх элементов XеЛ и jei
здесь определено умножением в К). Кольцо множителей DM
для полного модуля М в поле алгебраических чисел К — это наи-
наибольшее из подколец Л поля К, относительно которых М явля-
является Л-модулем. С точки зрения абстрактной теории колец рас-
рассматриваемые нами модули М над порядком Л, содержащимся в
Ом, характеризуются тем, что они конечно порождены, не имеют
кручения (если х^М, хФО, то из %х = 0, % <= Л, следует, что
К = 0) и имеют ранг, равный 1 (под рангом Л-модуля понимает-
понимается максимальное число линейно независимых над Л элементов).
При этом два Л-модуля М и Mi (содержащиеся в К) Л-изоморф-
ны тогда и только тогда, когда они подобны. В самом деле, если
Mi = уМ, то отображение 1 -»¦ ^1 (^1) будет, очевидно, Л-изо-
морфизмом М на Mt. Обратно, пусть / — Л-изоморфизм М на Ми
так что /(Я|)=Я/(|), ^еМ| Х^А. Выберем произвольно а^М,
а Ф 0, и положим 7 = /(а)/а. Если целое рациональное Ъ Ф 0 та-
таково, что ЪМ<= Л, то для любого ^е? имеем
? _ ЬЦ (а) __ f (bap _ , ,n
7S ~ 6a ~ bot, — J ^'
а значит, М4 = f(M) = ^M.
3. Единицы. Вернемся к нашей задаче о целочисленных пред-
представлениях рациональных чисел полными разложимыми форма-
формами. В § 1, п. 3 мы видели, что эта задача сводится к разысканию
в полном модуле М чисел (х, для которых
а. G)
Для любого ш из кольца множителей О = Ом произведение
принадлежит М, при этом по мультипликативности нормы
Если Жсо) = 1, то вместе с (j, произведение cojx также будет ре-
решением уравнения G). Таким образом, множители со, норма ко-
которых равна 1, дают возможность из одного решения интересую-
интересующего нас уравнения G) получить целый класс новых решений.
Это обстоятельство и лежит в основе того метода решения урав-
уравнения G), который мы собираемся изложить.

106 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Докажем, что множитель со е ?> с условием Ж со) = 1 следует
искать среди тех чисел е кольца D, для которых е также при^
надлежит ?>. В соответствии с определением п. 1 § 4 Дополнения
такие числа е называются единицами кольца D. Так как вклю-
включения еМ с М и е~ХМ <=¦ М эквивалентны равенству гМ = М, то
единицы кольца О = Ом могут быть охарактеризованы .также как
такие числа а е К, для которых аМ = М.
Лемма 2. Если число а принадлежит порядку О, то его
характеристический и минимальный многочлены имеют целые
коэффициенты. В частности, норма Жа) = NK/Jia) и след
Sp (a) = Spk/q (а) — целые рациональные числа.
Доказательство. Пусть порядок D является кольцом
множителей для модуля М = {уц, ..., \лп) (можно взять, напри-
например, И = О). Если а еО, то в равенствах F) коэффициенты й„
целые, откуда п следует, что характеристический многочлен чис-
числа а (относительно расширения K/Q), имеет целые коэффици-
коэффициенты. Остальные утверждения леммы теперь уже очевидны.
Теорема 4. Пусть D — произвольный порядок поля алгеб-
алгебраических чисел К. Для того чтобы число г е ?> было единицей
кольца D, необходимо и достаточно, чтобы Же) =±1.
Доказательство. Покажем сначала, что для всякого
а Ф 0 из ® его норма Жа) делится (в кольце D) на а. По лемме
2 характеристический многочлен cpU) = tn + Citn~l + ... + с„ чис-
числа а. имеет целые коэффициенты. Так как ф(а) = 0, то
Отношение Жа)/а принадлежит, таким образом, кольцу D, а это
и значит, что Жа) делится на а.
Если теперь Nia) = ±1, то 1 делится на а, т. е. а есть едини-
единица кольца О. Обратно, если е — единица кольца D, т. е. ее' = 1
при некотором е'е®, то, поскольку Же) и Же') целые, из ра-
равенства Лг(е)Же') = 1 должно следовать, что Же) = ±1. Теорема
4, таким образом, доказана.
Для нахождения множителей ш^О, для которых Ж со) = 1,
мы должны, следовательно, определить все единицы кольца О,
а затем среди них выделить единицы с нормой +1.
Два числа (Xi и ц2 из полного модуля М назовем ассоцииро-
ассоциированными, если их отношение \ij\ii = е есть единица кольца мно-
множителей D = Ом. Ясно, что в случае М = D введенное понятие
ассоциированности совпадает с обычной ассоциированностью эле-i
ментов в коммутативном кольце с единицей (см. Дополнение,
§ 4, п. 1). Легко видеть также, что это отношение ассоциирован-
ассоциированности в применении лишь к решениям уравнения G) обладает
обычными свойствами эквивалентности, а потому все решения
уравнения G) разбиваются на классы ассоциированных решений.
Если (j,! и (j,2 — два ассоциированных решения, т. е. Hi = ц2е, где

§ 21 ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ 107
е — единица кольца D, то Же) = 1. Обратно, для всякой едини-
единицы е из ?) с нормой +1 вместе с решением (j, произведение jxe
будет ассоциированным с ним решением. Таким образом, все ре-
решения некоторого класса ассоциированных решений получаются
из одного умножением на единицы с нормой 1. Сейчас мы пока-
покажем, что число таких классов решений конечно.
Теорема 5. Среди чисел порядка D с заданной нормой име-
имеется только конечное число попарно не ассоциированных между
собой.
Доказательство. Пусть «Mi, ..., а>„ — базис порядка D и
с > 1 — произвольное натуральное число.
В соответствии с общим определением п. 1 § 4 Дополнения
будем говорить, что два числа а и J3 из D сравнимы между собой
по модулю с, если их разность а — [} делится (в кольце О) на с.
Очевидно, что всякое a^D сравнимо по модулю с с одним и
только с одним из чисел
... + хпюп, 0^xt<c, I ^ i < п.
Все числа из D разбиваются, следовательно, на с" классов чисел,
сравнимых между собой по модулю с. Пусть теперь два числа а
и J3, принадлежащие одному и тому же классу, таковы, что
\N(ct.)\ = \N($)\ = с. Из равенства а — [3 = су, Y<=?\ следует, что
-тг = 1 ± 1у g Q (ибо -|^еО, см. начало доказательства
теоремы 4) и аналогично — = 1 ± —— у е D.Таким образом, чис-
числа а и р делятся друг на друга, а значит, в кольце D они ассо-
ассоциированы между собой. Этим и доказано, что в D может суще-
существовать лишь конечное число (не более с") попарно не ассоции-
ассоциированных чисел, нормы которых по абсолютной величине равны
заданному числу с.
Следствие. Среди чисел полного модуля М поля К с за-
заданной нормой имеется лишь конечное число попарно не ассоци-
ассоциированных между собой.
Действительно, если О — кольцо множителей модуля М, то
при некотором натуральном Ъ модуль ЬМ будет содержаться в D.
Если fj, ..., 7ь — попарно не ассоциированные числа из М с нор-
нормой с, то числа Ъ"{и ..., b^h из ?) имеют норму Ь"с и попарно не
ассоциированы в 6. Число к не может быть, следовательно, сколь
угодно большим.
Замечание. Доказательство теоремы 5 показывает, что в
кольце D (а также в модуле М) существует конечное множество
чисел с данной нормой с, обладающих тем свойством, что всякое
число из D (или из М) с той же нормой ассоциировано с одним
из них. Однако это доказательство неэффективно, т. е. оно не
дает возможности на самом деле эти числа найти, хотя и указы-
указывает эффективную границу для их числа.

108 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ |ГЛ. II
Наша основная задача о нахождении всех решений уравне-
уравнения G) разбивается, таким образом, на две следующие задачи:
1) В кольце множителей Ом найти все единицы е с нормой
2) В модуле М найти числа ци ..., цк с нормой а так, чтобы
они были попарно не ассоциированы и в то же время чтобы вся-
всякое (х е М с нормой а было ассоциировано с одним из них, т. е.
имело вид ц = (XiB, где 1 ^ i =?! к и е — единица кольца множите-
множителей Djr.
Если эти две задачи будут решены, то тем самым будет ре-
решена и задача о целочисленных представлениях рациональных
чисел полными разложимыми формами.
4. Максимальный порядок. Поскольку в п. 2 мы столкнулись
с понятием порядка, то естественно рассмотреть вопрос о взаи-
взаимоотношениях между различными порядками в одном и том же
поле алгебраических чисел К. В этом пункте мы покажем, что
среди порядков поля К имеется один максимальный, содержа-
содержащий в себе все прочие порядки. По лемме 2 минимальный мно-
многочлен всякого числа из какого-нибудь порядка имеет целые ко-
коэффициенты. Ниже мы увидим (теорема 6), что максимальный
порядок поля алгебраических чисел К совпадает с совокупностью
?> всех тех чисел из К, минимальные многочлены которых имеют
целые коэффициенты. Докажем сначала следующую лемму.
Лемма 3. Если ае О, т. е. минимальный многочлен tm +
+ с^ + ... + ст числа а имеет целые коэффициенты, то модуль
М = {1, а, ..., а"} является кольцом.
Доказательство. Достаточно, очевидно, показать, что
всякая степень ah (/с ^ 0) числа а принадлежит М. При k *? m — 1
зто верно по определению М. Далее, к™ = —с^™ —...— ст
с целыми с{, так что ат е М. Пусть к > т, и пусть уже доказа-
доказано, что ah~l е М, т. е. ah~l = йца™ + ... + ат с целыми at. Тогда
ак = асе*-1 = а,ат + a2am-i + ... + ата.
Так как все слагаемые справа принадлежат М, то и ак принад-
принадлежит М. Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Если D — произвольный порядок поля К и a s ?),
то кольцо Dial, состоящее из всех многочленов от а с коэффи-
коэффициентами из ?), также является порядком поля К.
Доказательство. Так как ?)с:?)[а], то в кольце Dial
имеется п = (К : Q) линейно независимых над Q чисел. Мы дол-
должны, следовательно, доказать только, что D[a] является моду-
модулем (т. е. обладает конечной системой образующих). Пусть
«Mi, ..., шп — базис порядка О. Согласно лемме 3 всякая степень
а" (к > 0) представляется в вице а0 + а^х + ... + am-iam~i с це-
целыми рациональными а{, где m — степень минимального много-
многочлена числа а. Отсюда легко следует, что каждое число из Dial

§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ Ю9
можно представить в виде целочисленной линейной комбинации
произведений (DiC^' A<г<и, 0^/^т—1), а это и значит, что
Diai — модуль.
Повторное применение леммы 4 дает нам следующее
Следствие. Если О— порядок и аи ..., аР — числа из D,
то кольцо Dtai, ..., аР] всех многочленов от ai, ..., аР с коэф-
коэффициентами из D также является порядком.
Теорема 6. Все числа поля алгебраических чисел К, мини-
минимальные многочлены которых имеют целые рациональные коэф-
коэффициенты, образуют максимальный порядок поля К.
Доказательство. Пусть ?> — какой-нибудь порядок поля
К, а а и р — произвольные числа из О. По следствию леммы 4
кольцо Ola, p] является порядком, а значит, оно содержится в
О (лемма 2). Но тогда разность а-р и произведение а$ также
содержатся в D. Этим доказано, что D является кольцом. Так как
О <= ?>, то ?> содержит п линейно независимых чисел. Нам остает-
ся лишь проверить, что D — модуль.
Выберем в порядке О какой-нибудь базис coi, ..., ш„ и постро-
построим для него в поле К взаимный базис к^, . .., юп (см. Дополне-
Дополнение, § 2, п. 3). Покажем, что кольцо D содержится в модуле
О* = [щ, .. ., ш„). Пусть а — произвольное число из кольца D.
Представим его в виде
а = qco* + ... + спсо*
с рациональными си Умножив это равенство на и,- и переходя к
следу, получим
с{ = Sp aa>i, l^i^n
(мы воспользовались тем, что Sp co;tt>i =1 и Sp ojjCOj = 0 при
i^-f). Все прориведения ам* содержатся в порядке ?>[а], поэто-
поэтому по лемме 2 все числа с,- целые, а значит, а ^ ?>*. Таким обра-
образом, О <= ?>*. Применяя теперь следствие теоремы 2, заключаем,
что D есть модуль, и теорема 6 доказана.
Проведенное нами доказательство того факта, что D является
кольцом, имеет общий характер, т. е. оно сохраняет свою силу
(с незначительным изменением) и в общей теории коммутативных
колец без делителей нуля. Соответствующие понятия в общем
случае изложены в § 4 Дополнения. Применяя введенную там
терминологию, можно сказать, что максимальный порядок поля
алгебраических чисел К — это целое замыкание кольца целых ра-
рациональных чисел Z в поле К. В связи с этим числа из макси-
максимального порядка D часто будут называться целыми числами по-
поля К. Сам же порядок О будет называться также кольцом целых
чисел поля К.

HO ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Единицы максимального порядка D называются также еди-
единицами поля алгебраических чисел К.
5. Дискриминант полного модуля. Пусть ц,ь ..., цп и Hi, ...
..., \in— два базиса полного модуля М в поле алгебраических
чисел К. Как мы знаем (см. п. 1), матрица перехода от первого
базиса ко второму унимодулярна (т. е. является целочисленной
матрицей с определителем ±1). Отсюда следует, что дискрими-
дискриминанты D(\iu ..., (х„) и D{\ix, ..., [in) базисов равны (см. Допол-
пение, § 2, п. 3, формула A2)). Все базисы модуля М имеют, та-
таким образом, один и тот же дискриминант. Это общее значение
дискриминантов всех базисов модуля М, являющееся, очевидно,
рациональным числом, называется дискриминантом данного мо-
модуля М.
Всякий порядок поля К является полным модулем в К. Мож-
Можно говорить поэтому о дискриминанте того или иного порядка.
Так как след всякого числа из порядка есть целое число, то дис-
дискриминант порядка всегда является целым рациональным числом
(это же справедливо, разумеется, и для всякого полного модуля,
содержащегося в D).
Базис максимального порядка D поля алгебраических чисел
К часто называют также фундаментальным базисом этого поля,
а его дискриминант — дискриминантом поля К. Дискримипант
поля алгебраических чисел является весьма важной его арифме-
арифметической характеристикой и в дальнейшем во многих вопросах
будет играть существенную роль.
Задачи
1. Пусть Ш), (о2, «з — линейно независимые числа поля алгебраических
чисел К. Доказать, что все чиела вида au>i + Ьи>г + «о3, где целые рацио-
рациональные а, Ь, с связаны соотношением 2а + 36 + 5с == 0, образуют модуль
в К, и найти его базис. _
2. Найти кольцо множителей модуля {2, У2/2} в поле Q (~]/2)- Показать,
далее, что в поле Q A/2) модуль {1, У2} является максимальным порядком.
3. Показать, что в поле рациональных чисел Q имеется единственный
порядок — кольцо всех целых рациональных чисел.
4. Доказать, что в порядке 11, j/2> y/"i\ поля <Q(y' 2)всякое число с нор-
нормой 2 ассоциировано с У~2.
5. Доказать, что пересечение двух полных модулей есть также полный
модуль.
6. Доказать, что всякий модуль поля алгебраических чисел, являющий-
являющийся кольцом, содержится в максимальном порядке.
7. Пусть М = {а4, ..., «„} и N = {Pi, ..., [$„} — два полных модуля
поля К. Модуль, порожденный произведениями агрз- A ^с г, / ^ л), не зави-
зависит от выбора базисов at и р,-. Он называется произведением модулей М ж N
и обозначается через MN. Доказать, что кольца множителей модулей М и
N содержатся в кольце множителей их произведения MN.

§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ Ш
8. Пусть М — полный модуль, содержащийся в максимальном порядке
?> поля алгебраических чисел К. Доказать, что если дискриминант модуля М
не делится на квадрат целого числа ф 1, то он совпадает с О.
9. Пусть 6 — примитивное число поля алгебраических чисел К степе-
степени п, содержащееся в максимальном, порядке. Доказать, что если дискрими-
дискриминант минимального многочлена числа 6 не делится на квадрат, то числа
1,6, ..., б"" образуют фундаментальный базис поля К.
10. Найти фундаментальный базис п дискриминант поля Q (у^).
11. Найти фундаментальный базис и дискриминант поля Q (р), где р —
корень уравнения хъ — х — 1 = 0.
12. Пусть М — полный модуль поля алгебраических чисел К. Доказать,
что совокупность М* тех | е К, для которых Sp ag e^ при всех a <s М, яв-
является также полным модулем поля К. Модуль М* называется взаимным
для модуля М. Показать, далее, что если (Xi, ..., \in — базис М, то взаимный
базис [хх , ..., \ип в поле К (относительно Q) является базисом Ы*.
13. Доказать, что (М*) * = М, т. е. что взаимный модуль для М* совпа-
совпадает с М'
14. Доказать, что взаимные модули М п М* имеют одно и то же кольцо
множителей.
15. Показать, что для полных модулей Mi и М2 включения Mi с: Mz и
М^ zd M ^ эквивалентны.
16. Пусть 6 — примитивное число поля алгебраических чисел К степе-
степени га, принадлежащее максимальному порядку О, и f(t) —его минимальный
многочлен над Q. Показать, что для модуля М = {1, 0, ..., Qn~1} (являю-
(являющегося, очевидно, порядком) взаимный модуль М* совпадает с р~/оТ М.
17. Пусть М — полный модуль в К и О — его кольцо множителей. Дока-
Доказать, что произведение ММ* (см. задачу 7) совпадает с D*.
18. Доказать, что в поле Q F), б3 = 2, для модуля М = {4, 9, б2} коль-
кольцом множителей является порядок {1, 20, 292}, а для модуля Мг =
= {2, 20, 02} —максимальный порядок {1, 6, б2}.
19. Многочлен tn + aitn~l + ...-)- ап с целыми рациональными коэффи-
коэффициентами называется многочленом Эйзенштейна относительно простого чис-
числа р, если все коэффициенты at, ..., ап делятся на р, а свободный член а„,
делясь на р, не делится на р2. Доказать, что если целое примитивное число
0 поля алгебраических чисел К степени п является корнем многочлена
Эйзенштейна относительно р, то
N Оо + С16 + ' • • + 'п-Х^'1) s C0 (m0d P)
при любых целых рациональных со, ci, ..., cn-i.
20. Если 0 — примитивное целое число поля алгебраических чисел К
степени п, то индекс порядка {1, 6, ..., в71} в максимальном порядке на-
называется также индексом числа 6. Доказать, что если 6 является корнем
многочлена Эйзенштейна относительно простого числа р. то р не входит в
индекс числа 6.
21. Доказать, что для каждого из трех кубических полей:
^ = 0F), в3—186 —6 =0,
K2 = Q(Q), в3 -36 6 — 78 =0,
К3 = С F), G3 —54 6 — 150 = 0,
фундаментальным базисом является степенной базис 1, 0, 02. Убедиться,
далее, что все эти поля имеют один и тот же дискриминант, равный 22 356 =

112 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
= 23-22-35. (Поля Ки К2, К3, как это следует из задачи 14 § 7 гл. III,
различны.)
22. Показать, что для кубического поля Q (9), б3 — 6 — 4 = 0, фунда-
„ е + е2
ментальным базисом является базис 1, в, —jj—•
23. Пусть а и 6 — взаимно простые натуральные числа, свободные от
квадратов. Положим k = ab, если а2— Ьг = 0 (mod 9), и А- = Заб, если
/3, 2\
а2 — Ъ2 Ф 0 (niod9). Показать, что дискриминант поля Q\V ab Нравен
D = —ЗА-2. - .
Указание. Положимб = yab2, B_= Q°/b = у аЧ.Показать, что в слу-
случае а2 — Ь2 Ф 0 (mod 9) числа 1, 6, 6 образуют фундаментальный базис.
Пусть а2—Ь2 = 0 (mod 9). Выберем а = ±1 и т = ±1 так, чтобы а =
= о (mod 3) и & = т (mod 3). Показать, что в этом случае в качестве фун-
й . 0 i + qe+тё
даментального базиса можно взять числа 1, О, g
24. Доказать, что если натуральное а свободно от квадратов и а Ф
Ф±1 (mod9), то в поле<с(-|/е) числа 1,уГа, у а2образуют фундаменталь-
фундаментальный базис.
25. Доказать, что кубическое поле является чисто кубическим (т. е. име-
имеет впд Q\yrm)) тогда и только тогда, когда его дискриминант равен —3d2
(при некотором натуральном d).
26. Пусть а, Ь, с, d — свободные от квадратов попарно взаимно простые
натуральные числа > 1, одно из которых делится на 3. Доказать, что чисто
кубические поляО (б), б3 = аЪс2^, и Q (г\), гK = acb2ct, имеющие один и
тот же дискриминант —27a2b2c2d2, различны.
Указание. Рассмотреть поля Q (ц/Q) = Q (у be") и Q (тJ/б) =
= Q (?~п?У
27. Доказать, что для любого натурального п можно указать п различ-
различных чисто кубических полей с одним и тем же дискриминантом (использо-
(использовать предыдущую задачу).
§ 3. Геометрический метод
Сформулированные в конце п. 3 § 2 две задачи (к которым
сводится вопрос о представлениях чисел полными разложимыми
формами) для своего решения требуют привлечения новых сооб-
соображений геометрического характера. В основе этих соображений
лежит метод изображения алгебраических чисел точками гс-мер-
ного пространства, аналогичный хорошо известному способу изо-
изображения комплексных чисел на плоскости Коши.
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел. Если
поле алгебраических чисел К имеет степень п над полем раци-
рациональных чисел Q, то для него имеется равно п различных изо-
изоморфизмов в поле всех комплексных чисел (L (см. Дополнение,
§ 2, п. 3).
Определение. Если при изоморфизме а:К-*-(Е образ
поля К содержится в поле вещественных чисел; то этот изомор-
изоморфизм а называется вещественным; в противном случае он назы-
называется комплексным.

§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ИЗ
Так, для кубического поля К = Q(9), где 03 = 2, изоморфизм
Q @)-> Q (>/), при котором Э-^-/!, вещественный (под т/~2
понимаем здесь вещественное значение корня). Два других изомор-
изоморфизма Q (9) -v Q (еу^2) и Q (9) -v Q (ва^2) (е = cos Щ- + i sin ?fj
комплексные. Если d — рациональное число, пе являющееся ква-
квадратом, то для поля Q(9), 92 = d, оба изоморфизма вещественны
при d > 0 и комплексны при d<0. Вообще, если в произвольном
поле алгебраических чисел К выбран примитивный элемент 6,
являющийся корнем неприводимого над Q многочлена (pit), и
если 8i, . .., 9„ — корни срШ в поле (L, то изоморфизм
К = Q (9) -> Q (9;) с= (Е, 9->0ь A)
будет вещественным, если корень 0,- вещественный, и комплекс-
комплексным в противном случае.
Условимся для любого комплексного числа j — x + yi (ж ил/
вещественные) через у обозначать сопряженное комплексное
число х — yi.
Пусть а: К-*-?—комплексный изоморфизм. Очевидно, что
отображение а:К->(Е, определенное равенством
о(а) = о(а), а а К,
является также комплексным изоморфизмом К ъ (L. Этот изо-
изоморфизм а называется сопряженным с а. Так как а?= а и с = а,
то все комплексные изоморфизмы К в ff разбиваются, следова-
следовательно, на пары сопряженных между собой изоморфизмов. В ча-
частности, число комплексных изоморфизмов всегда четпое. Два
комплексных изоморфизма вида A) сопряжены между собой то-
тогда и только тогда, когда соответствующие им корни 9, п Q3 явля-
являются комплексно сопряженными числами.
Предположим, что среди изоморфизмов К в (Е имеется s ве-
вещественных Oi, ..., os и It комплексных, так что s-\-2t — n =
= (K:Q). Из каждой пары сопряженных между собой комплекс-
комплексных изоморфизмов выберем какой-нибудь один. Полученную си-
систему комплексных изоморфизмов обозначим через os+i, ..., os+(.
Система всех изоморфизмов поля К в (L запишется тогда в виде
Oi, ..., as, as+i, osfl, ..., o.+j, as+t.
Именно такая нумерация изоморфизмов в дальнейшем постоянно
будет предполагаться. Конечно, для некоторых полей может ока-
оказаться, что вещественных изоморфизмов нет (s = 0) или, наобо-
наоборот, что все изоморфизмы вещественные (t = 0).
Рассмотрим совокупность 8s'' строчек вида
х= (хи ..., х,; xs+i, ..., xs+t), B)
в которых первые s компонент хи ..., х, — вещественные, а ос-

114
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
тальные ха+и ..., zs+t — произвольные комплексные числа. Опре-
Определим сложение и умножение этих строчек, а также умножение
их на вещественные числа покомпонентно. Ясно, что относитель-
относительно этих действий 8s-' является коммутативным кольцом с едини-
единицей A, ..., 1) и в то же время вещественным линейным прост-
пространством. Строчки B) мы будем называть векторами или точка-
точками пространства 8S>'.
В качестве базиса 8s-' (над полем вещественных чисел) мож-
можно взять, очевидно, векторы '
A, ...,0; 0, ...,
(o,-...;i; о, ...,
(О, ...,0; 1,L...,0)l
(О, ...,0; г, ...,0)
@ 0; 0, ...,1)
@ 0; 0, ...,i)
C)
It.
Размерность вещественного пространства 8S|' равна, следователь-
следовательно, п = s + 2t. Еслн мы положим
> x,+] = yJ + izi (/ = 1, ..., t),
то вектор B) в базнсе C) будет иметь координаты
(xi, ..., xs; yu zu ..., yt, zt). D)
В тех случаях, когда ?'¦' будет рассматриваться только как
n-мерное линейное вещественное пространство, мы будем обозна-
обозначать его также через R".
Зафиксируем в fis>' некоторую точку х. Отображение х' -*¦ хх'
(ж'е85'(), т. е. умножение произвольной точки из 8S>' на х, яв-
является, очевидно, линейным преобразованием вещественного про-
пространства 8s' = Rn. В базисе C) матрица этого преобразования,
как легко видеть, имеет вид
г*,
zl "l

§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД Ц5
где все невыписанные элементы равны нулю. Определитель этой
матрицы равен
Хх . . . XS (у\ + z\) . . . (у\ + Zt) = X1...Xa\ Xs+112 . . . | Xs+t |2.
Это подсказывает нам следующее определение. Под нормой N(x)
произвольной точки х = (хи ..., ?sf()efis. < будем понимать
выражение
Nix) =xt ... хв\х,+1\2... \xs+t\2.
Проведенная только что выкладка показывает, что норма Nix)
точки х может быть определена также как определитель матри-
матрицы линейного преобразования х' -*¦ х'х.
Введенное понятие нормы обладает, очевидно, свойством муль-
мультипликативности: Nixx') = Nix)Nix').
Перейдем теперь к изображению чисел поля К точками про-
пространства й'1'. Каждому числу а из К поставим в соответствие
точку
xia) — (оДа), ..., а,(а); os+1(a), ..., o,+*(a)) E)
из 6S>'. Эта точка и является геометрическим изображением
числа а.
Если ai P — различные числа из К, то при любом к = 1, ...
..., s + t числа ahia) и aki$) также различны, а значит, xia) Ф
?=xi$). Таким образом, отображение
взаимно однозначно. (Конечно, оно не является отображением
«на», т. е. не всякая точка из 8s'' является изображением числа
из поля К).
Так как ckia + {}) = okia) + оЛ(^) и ok(a$) = aft(a)oA(p), то
xi§), F)
$), G)
т. е. при сложении и умножении чисел в К соответствующие им
точки также складываются и умножаются. Далее, если а — раци-
рациональное число, то oft(aa) = aft(a)aft(a) —aokia), откуда
xiaa) —axia). (8)
Так как согласно § 2 (п. 3) Дополнения мы имеем
N(a) = NK/Q (ее) = о1(а)... ст., (a) cts+1 (a) as+1 (a) ... <js+t (a) as+t (a) =
= о"! (а) ... а, (а) | as+1 (а) |2... J о3» (а) \\:
то норма Nixia)) точки а;(а) совйадает с нормой Ma) числа а:
Рассмотрим два простых примера. Если d — положительное
рациональное число, не являющееся квадратом, то для вещест-

116
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
венного квадратичного поля Q @), 02 = d, геометрическим изобра-
изображением числа а = а + &9 (а и Ъ рациональны) будет точка х(а) =
= (а + bl/d, a —bid). В случае мнимого квадратичного поля
Q(^)> гJ = — d, изображением числа § = а + Ъц будет точка на
комплексной плоскости с координатами (a, bid)(базис C) в этом
случае состоит из чисел 1, i).
Покажем, что для произвольного базиса oci, ..., ап поля К
(над Q) соответствующие им векторы х(аг), .. ., х(ап) из
fis> = R™ линейно независимы (в вещественном смысле). Для
этого положим
Так как вектор
в базисе C) имеет координаты (x(i\ ..., xi'\y(j\zi'\ . .., y\l\ z\l)),
то для доказательства нашего утверждения надо лишь прове-
проверить, что определитель
A) r(i) „A) /1) „A) 7(i)
r(n) (n) (n) (n)
ж! • • • xs У\ zi
Jn) Jn)
lh zt
отличен от нуля. Рассмотрим вместо d другой определитель:
Jn)
An) In
x У
.(") _f- Ц") yf") _ iz(")
который можно записать также в виде
СТ1 (an)
(an) CTs+l (an)
В определителе d* к столбцу с номером s + 1 прибавим последу-
последующий столбец п вынесем 2 за знак определителя. Этот новый
столбец вычтем из последующего, а затем из полученного столб-
столбца с номером s + 2 вынесем —i за знак определителя. Проделав
такие же операции с каждой парой следующих столбцов, мы при-
придем в конце концов к равенству
d* = (-2t)(d (9)
В § 2 (п. 3) Дополнения доказано, что
d*2 = D, A0)
где D—Diau ..., а„) — дискриминант базиса at, ..., ав (отно-

§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД Ц7
сительно расширения K/Q). Так как D?=0, то из (9) и A0)
следует, что определитель d также отличен от нуля.
Будем считать теперь, что аи ..., ап — базис полного модуля
U в поле К. В силу F) и (8) для всякого а = aiai +... + апап
из М (ui, ..., ап целые рациональные) его геометрическим изобра-
изображением в Rn будет вектор х(а) = а^хкад + ... 4- апх{ап). Мы по-
получили, таким образом, следующий результат.
Теорема 1. При геометрическом изображении чисел поля
К степени п = s + 2t точками пространства Rn совокупность всех
векторов, изображающих числа полного модуля М = iat, ..., а„),
совпадает с совокупностью всех целочисленных линейных комби-
комбинаций п линейно независимых (в пространстве R") векторов
х{ао, ..., х(ап).
Замечание. Линейное пространство й8' \ в котором мы изо-
изображаем числа поля К, является алгеброй над полем веществен-
вещественных чисел (R. Эта алгебра может быть отождествлена с тензор-
тензорным произведением 51 = R <8> qK полей R и К, рассматривае-
рассматриваемых как алгебры над полем рациональных чисел Q. Именно,
алгебра SI (над полем вещественных чисел R) однозначно рас-
распадается в прямую сумму полей, каждое из которых изоморфно
либо полю вещественных чисел R, либо полю комплексных чи-
чисел (Е. Пусть
где R| л; R A ^ i ^ s) и ffj та (Е A ^ / ^ t). Пусть, далее, ф* — од-
однозначно определенный изоморфизм Rj на R и cps+j — один нз
двух изоморфизмов (Е j на (С. Каждый элемент | s 51 однозначно
представляется в виде
где li s Ri и gs+j e ffj. Положим
Можно показать, что отображение |->-ф(|) (ge§() является
изоморфизмом алгебры SI на алгебру 8s''. При этом фA®а) =
= х(а) для любого аеХ.
2. Решетки. Геометрическое изучение полных модулей осно-
основывается на том их свойстве, которое установлено в теореме 1.
Рассмотрим поэтому в R™ совокупности векторов такого же типа
независимо от того, являются они образами чисел некоторого мо-
модуля или нет.
Определение. Пусть еи ..., ет, т^п,— линейно незави-
независимая система векторов пространства R™. Совокупность Ш всех
векторов вида
+... + amem,

118 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
где а, независимо друг от друга пробегают все целые рациональ-
рациональные числа, называется тп-мерной решеткой в Rn, а сами векто-
векторы в,, ..., ет — базисом этой решетки. Если т = п, то решетка
называется полной, в противном случае — неполной.
Содержание теоремы 1 заключается, следовательно, в том, что
числа полного модуля геометрически изображаются векторами
некоторой полной решетки.
Легко видеть, что две линейно независимые системы векторов
еи ..., ет и Д, ..., /т определяют одну и ту же решетку тогда и
только тогда, когда они связаны между собой унимодулярным
преобразованием, т. е. когда
т
U = 2 ciiej> 1 < i < m,
3=1
где (сц) — целочисленная матрица с определителем ±1.
Более детальное изучение решеток основывается на привлече-
привлечении метрических свойств пространства R™. Введем в fis>t = Rn
скалярное произведение, считая, что векторы C) образуют орто-
нормированный базис. Если векторы х ж х' ъ базисе C) имеют
соответственно координаты (х„ ..., хп) и (xb ..., ay), то для ска-
скалярного произведения (х, х') имеем, следовательно, формулу
{х, х) = хххх + ... + хпхп-
Длина вектора х будет обозначаться через 11x11.
Пусть г — вещественное положительное число. Совокупность
всех точек х с координатами (ж,, ..., хп) (в базисе C)), для ко-
которых
+ ••• + xl<r,
обозначим через U(r). Это множество U{r) называется (открытым)
шаром радиуса г с центром в начале.
Множество точек из R называется ограниченным, если оно
содержится в некотором шаре U(r).
Множество точек пространства R" называется дискретным,
если для любого г > 0 только конечное число точек этого мно-
множества содержится в шаре U(r).
Лемма 1. Множество точек произвольной решетки Ш в К™
дискретно.
Доказательство. Так как всякая неполная решетка может
быть вложена в полную (многими способами), то достаточно про-
провести доказательство для полной решетки Ш. Выберем в Ж какой-
нибудь базис еи ..., е„. Условия
(х, е2) = 0, ..., (ж, еп) = 0
дают нам систему п — 1 однородных линейных уравнений с и

§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД 119
неизвестными. Так как у этой системы имеется ненулевое реше-
решение, то существует ненулевой вектор х, ортогональный к векторам
*г, ..., еп. Если бы мы имели также (х, ех) — 0, то вектор х был бы
ортогонален ко всем векторЗм пространства К", что невозможно.
л
Следовательно, (х, е^) ^0. Вектор fx = -, х будет также орто-
(х, ej
гонален ко всем векторам е2, ..., еп, и для него (/)t et) = 1. Таким
образом, для каждого i (I ^ i ^ п) мы можем найти вектор /,-, для
которого
II при / = i,
при }фи
Пусть теперь вектор z — a^i + ... + апеп из 2Я (а< целые ра-
рациональные) принадлежит шару [/(г), т. е. llzll < г. Так как ак =
= (z, Д), то в силу неравенства Коши — Буняковского имеем
где г11Д11 не зависит от ъ. Такпм образом, для целых чисел ак мы
имеем только конечное число возможностей, а значит, число тех
зе2Я, для которых llzll < г, конечно. Лемма 1 доказана.
Пусть X — некоторое множество точек пространства IR и
2 — точка из К". Совокупность точек вида х + z, где х пробегает
все точки из X, называется сдвигом множества X на вектор г и
обозначается через X+z.
Определение. Пусть et, ..., em — какой-нибудь базис ре-
решетки 3R. Множество Т точек вида
+...+ amem,
где at, ..., a,m независимо друг от друга пробегают вещественные
числа, удовлетворяющие условиям 0 ^ а; < 1, называется основ-
основным параллелепипедом решетки Ж
Основной параллелепипед определен, следовательно, своей ре-
решеткой не однозначно; он зависит от выбора базиса.
Лемма 2. Если Т — основной параллелепипед полной решет-
решетки 2Л, то множества TZ = T + z, где z пробегает все точки из Ш,
попарно не пересекаясь, заполняют все пространство К".
Доказательство. Пусть еи ..., еп — базис решетки Ш,
на котором построен параллелепипед Т. Мы должны показать,
¦что всякая точка х = x^i + ... + хпеп из Кп принадлежит одному
и только одному множеству Тг. Для каждого i представим веще-
вещественное число хг в виде xt = kt + ос<, где к{ целое рациональное,
а а,- удовлетворяет условию 0 =? ос* < 1. Полагая z = foei + ... + к„еЛ
и и = aie4 + ... + а„е„, будем иметь
х = и + z, и е= Т, z <= Ш,
а это означает, что х е Тг. Если теперь х ^ Tz., т. е. х = и' +¦ z'

120 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
(и'^Т, г'еЗЯ), то сравнивая в равенстве u + z = u' + z' коэффи-
коэффициенты при е,-, легко получим, что z = z'. Лемма 2, таким образом,
доказана.
Лемма 3. Для любого вещественного числа г > 0 существует
только конечное число множеств Тг (см. обозначения леммы 2),
пересекающихся с шаром U(r).
Доказательство. Пусть еи ..., еп — базис решетки ЗЛ, на
котором построен параллелепипед Т. Если мы положим d = lle1ll +
+ ... +llejl, то для любого вектора и = cc^i + ... + апе„ е=-Г будем
иметь
Hull ^ llaiejl + ... + Па„е„И = ajle.il + ... + ajlejl < d.
Пусть множество Tz (zeSft) пересекается с U(r). Это значит,
что для некоторого вектора х = и + z, где и^Т, г^Ш, имеем
На:II < г. Так как z = х—и, то
т. е. точка z содержится в шаре U(r + d). Согласно лемме 1 таких
точек z е 2Я существует только конечное число, и лемма 3 дока-
доказана.
Очевидно, что векторы решетки образуют группу относительно
операции сложения векторов. Другими словами, каждая решетка
является подгруппой аддитивной группы R". Лемма 1 показыва-
показывает, однако, что это далеко не произвольная подгруппа. Мы дока-
докажем сейчас, что свойство решеток, установленное в этой лемме,
характеризует решетки среди всех подгрупп группы К .
Лемма 4. Подгруппа 5Ш группы IR", множество точек кото-
которой дискретно, является решеткой.
Доказательство. Обозначим через @ паименынее лпней-
ное подпространство пространства К , содержащее множество
5W, и через m — размерность <3. Мы можем тогда в 5Ш выбрать
m векторов еи ..., ет, образующих базис подпространства <3. Обо-
Обозначим через 5Шо решетку с базисом е(, ..., ет. Очевидно, что
5Ш0 <= ЗЯ. Докажем, что индекс Ш: 2Р?0) конечен. Действительно,
мы можем представить любой вектор х из 9Я (даже любой вектор
из <3) в виде
x — u + z, A1)
где z е аио, а и лежит в основном параллелепипеде Т решетки 5Ш0,
построенном на базисе еи ..., ет. По условию х^Ш и z<^$R0^ffl,
а так как ЗЛ является группой, то и и е ЭЯ. Но Г является ограни-
ограниченным множеством, и ввиду дискретности ЗЛ в нем может со-
содержаться только конечное число векторов из 5Ш. Это показывает,
что число векторов и, которые мы можем получить в разложении
A1) для любых яеЗЯ, конечно, а это и означает конечность
индекса (ЗЯ:Ш0). Положим (ЗЯ:9ЛО) =/• Так как порядок каждого
элемента фактор-группы Ш/Шо является делителем /', то jx е 2Д„

§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД 121
для любого х el, а значит, х линейно выражается через—ex, .. .
... ,-т-ет с целыми коэффициентами. Группа Ш содержится, сле-
1 1
довательно, в решетке ЗЛ* с базисом — е17 .. ., — ет. Применяя
теперь теорему 2 пз § 2, мы видим, что подгруппа ЗЛ группы ЗЯ*
должна обладать базисом из Is^m векторов /4, ..., /(. Чтобы
удостовериться, что 5W является решеткой, нам остается только
проверить, что векторы ft, ..., fi линейно независимы над полем
вещественных чисел. Но это следует из того, что через них лп-
нейпо выражаются т линейно независимых в R™ векторов
еи ..., е„ (так как 2Яо<=ЗЮ. Лемма 4 доказана.
3. Логарифмическое пространство. Наряду с введенным рань-
раньше геометрическим изображением чисел поля К, при котором опе-
операция сложения чисел интерпретировалась как операция сложе-
сложения векторов в R™, нам нужно другое геометрическое изображе-
изображение, при котором такую же простую интерпретацию будет иметь
операция умножения чисел.
Пусть среди изоморфизмов поля алгебраических чисел К в
поле комплекспых чисел С имеется s вещественных и 2t комп-
комплексных. Будем считать, что они занумерованы так, как это было
указано в п. 1.
Рассмотрим вещественное линейное пространство Rs+i раз-
размерности s + t, состоящее из строчек (А,ц ..., K,+t) с вещественны-
вещественными компонентами. Для точки х е fis.' вида B), все компоненты
которой отличны от нуля, положим
lh(x) =ln \xh\ при к = 1,..., s,
A2)
Zs+j(a;)=ln|a;s+jl2 при j = 1,..., t.
Сопоставим, далее, каждой такой точке х из ?"•' вектор
A3)
пространства Rs+t. Так как для любых точек ж и х' из 8s'' с от-
отличными от нуля компонентами имеем, очевидно,
Цхх') = Цх) + lh{x'), l^k<s + l,
то
Hx'). A4)
Все точки jeE'1' вида B) с отличными от нуля компонентами
(т. е. для которых Nix) Ф 0) образуют группу относительно по-
покомпонентного умножения. Равенство A4) означает, что отобра-
отображение х -*¦ Их) является гомоморфизмом этой мультипликатив-
мультипликативной группы на аддитивную группу векторов пространства Rs+t~

122 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. П
Сопоставляя равенства A2) с определением нормы N(x) точки
х е ?"¦', легко получаем для суммы компонент lh(x) вектора Их)
формулу
s+t
2 \. A5)
Пусть теперь а — отличное от нуля число поля К. Положим
где х(а) — указанное в п. 1 изображение числа а в пространстве
?*¦'. Ввиду E), A2^ и A3) для вектора Ко.) подробная запись
имеет вид
Z(o) = (ln|oi(a)l, ..., lnlo.(a)l, In \as+iia)\\ ..., In lae+((a)l2).
Вектор I (oc) e [R мы будем называть логарифмическим
изображением числа а ?= 0 из К, а само пространство Rs+i — лога-
логарифмическим пространством поля К.
Из G) и A4) вытекает, что
a^O, $?= 0. A6)
Отображение а -»- Z(a) является, такпм образом, гомоморфизмом
мультипликативной группы поля К в группу векторов простран-
пространства Rs+*. Отсюда, в частности, следует, что
Ка-1) = -На), а?=0.
Для суммы компонент
вектора На) пмеет место формула
s+t
2h(a) = ln\N(a)\. A7)
fe=i
Действительно, сумма слева равна логарифму модуля произве-
произведения
оДа)... as(oc)a.+i(a)as+i(oc)... o,+t(a)os+((a),
а это произведение согласно п. 3 § 2 Дополнения равно норме
N(a) (относительно расширения K/Q).
Проведенное нами доказательство формулы A7) (без ссылки
на равенство'A5)) делает понятным, почему при определении
компонент lh(x) вектора Кх) равенствами A2) делалось различие
между компонентами, соответствующими вещественным и комп-
комплексным изоморфизмам: компонента lt+j(x) соответствует не од-
одному, а двум сопряженным между собой комплексным изоморфиз-
изоморфизмам ае+] и 0,+j.

g 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД " 123
4. Геометрическое изображение единиц. Пусть теперь D —
некоторый фиксированный порядок поля К. Рассмотрим в лога-
логарифмическом пространстве Rs векторы Кг) для всех единиц
е кольца О. Отображение е -»- Ks) не является взаимно однознач-
однозначным. Действительно, если единица r\ ^ D является корнем из 1,
т. е. г\т = 1 при некотором натуральном т, то Ioa(ti)| = 1 при
всех к = 1, ..., s + t, а значит, 1(г\) есть нулевой вектор. Таким
образом, все корни из 1 (а в порядке О их имеется по крайней
мере два: +1 и —1) изображаются одним и тем же (нулевым)
вектором. Чтобы выяснить строение группы единиц порядка D
при помощи гомоморфизма е ->- Кг), нам надо дать ответы на
следующие два вопроса:
1) Какие единицы ее О изображаются пулевым вектором?
2) Что представляет собой множество всех векторов /(е)?
Начнем с первого вопроса. Обозначим через W совокупность
всех чисел aeD, для которых Ка) = 0. Ввиду A6) произведение
двух чисел из W также принадлежит W. Так как условие Ка) = 0
эквивалентно равенствам
то множество точек х (ос) eiR = 8 ' для всех а е W ограниче-
ограничено, т. е. оно содержится в некотором шаре U(r). Применяя лем-
лемму 1, получаем, что совокупность чисел W конечна. Для про-
произвольного числа ос ^ W рассмотрим его степени 1, а, ..., ос", ...
Так как все эти степени содержатся в W, то среди них должны
встретиться равные, скажем ап = а\ 1~> к. Но тогда, полагая I —
— к = т, получаем, что ост = 1. Таким образом, все числа из W
являются корнями из 1, а значит, W есть конечная группа, со-
содержащаяся, очевидно, в группе единиц кольца D.
Поскольку группа W содержит подгруппу второго порядка
(состоящую из +1 и —1), то она имеет четный порядок. Далее,
всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля
всегда циклична (см. Дополнение, § 3), поэтому и группа W цик-
лична.
На первый из поставленных вопросов получаем, таким обра-
образом, следующий ответ.
Теорема 2. Единицы г порядка D, для которых Кг) есть
нулевой вектор, образуют конечную циклическую группу четного
порядка. Элементами этой группы -являются все корни из 1, со-
содержащиеся в D, и только они.
Перейдем теперь ко второму вопросу, т. е. займемся выясне-
выяснением структуры множества d в Rs+f, состоящего из векторов
Кг), где е пробегает все единицы кольца D.
По теореме 4 § 2 норма всякой единицы е из О равна
г±1, поэтому In 1Же)] =0. В силу равенства A7) получаем,

124 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
следовательно,
s+t
Ц4(в) = 0. A8)
Это означает, что все точки Z(e) находятся в подпространстве
8 с= Rs+t, состоящем из точек (Хг, ... ,h+t) s Rs+t, для которых
Xi + ... + Xs+t = 0. Размерность подпространства й равна, очевидно,
s + t-1.
Докажем, что (? — решетка. Так как & является, очевидно,
подгруппой аддитивной группы векторов пространства 1к , то
ввиду леммы 4 нам надо лишь убедиться в том, что множество
точек @ дискретно. (В качестве ортонормированного базиса в
Rs+! мы берем, разумеется, векторы, у которых одна компонента
равна единице, а остальные — нулю.) Пусть г — произвольное ве-
вещественное положительное число, и пусть НКе)И О. Так как
4(е)< !4(e)l <HZ(e)li, то lk(e)< r (l^k^s + t), а значит,
<er, k = i,..., s, .
Отсюда следует, что для тех единиц е е D, для которых HZ(e)H <
< г, точки х{г) из К™ ограничены. Но так как векторы х (а) е R™
для всех аей образуют решетку (теорема 1), то по лемме 1 чис-
число таких единиц е конечно. Следовательно, число векторов Кг)
с условием llZ(e)H<r также конечно, а это и значит, что множе-
множество @ дискретно.
Так как решетка @ содержится в подпространстве 6, то ее
размерность не превосходит s + t — 1.
Нами доказан, таким образом, следующий факт.
Теорема 3. При геометрическом изображении единиц по-
порядка D точками Кг) в логарифмическом пространстве Rs+* все
эти изображения образуют решетку @ размерности г ^ s + t — 1.
5. Первые сведения о группе единиц. Уже теоремы 2 и 3, вы-
выведенные нами из самых простых геометрических соображений,
содержат в себе важную информацию о строении группы единиц
любого порядка D. Именно, из этих теорем легко следует, что
в D существуют такие единицы 6i, ..., ег, r^s + t— 1, что каж-
каждая единица е ^ D однозначно представляется в виде
е = ^...гатг, A9)
где ffij, ..., аг — целые рациональные числа, а ? — некоторый со-
содержащийся в D корень из 1. Другими словами, группа единиц
порядка О представляется в виде произведения одной конечной и
г бесконечных циклических групп.
Для доказательства этого утверждения выберем в решетке ©
какой-нибудь базис, скажем Kei), ..., Z(er), и покажем, что еди-

§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД 125
ницы elt ..., еР обладают требуемым свойством. Пусть е — произ-
произвольная единица кольца D. Так как Z(e) eg, T0
lie) — ajiei) + ... + arl(er),
где at — целые рациональные числа. Рассмотрим единицу
—ai —aT
L, = 86^ . . . Вг .
В силу формулы A6) для этой единицы имеем К.%) — Z(e) —
— uili&i) — ... — arl(er) = 0, а значит, по теореме 2 она есть корень
из 1. Таким образом, для единицы г имеем представление A9).
Остается доказать его однозначность. Пусть для е имеем другое
с., Ь Ьт
представление: 8 = ? ei ... ег . В силу линейной независимости
векторов Z(ei), ..., Z(er) из равенства Z(s) = &J(si) + ... + Ъг1{гг)
следует, что at = bu ..., ат = Ьт. Но тогда имеем также ? = ?',
и наше утверждение доказано полностью.
В доказанном нами утверждении остался нерешенным важный
вопрос о точном значении числа г, про которое мы знаем только,
что оно не превосходит s + t—l. В следующем параграфе мы
покажем, что на самом деле r = s + t—l. Однако сейчас на осно-
основании тех методов, которыми мы располагали до сих пор, нельзя
даже гарантировать неравенства г>0 (если, конечно, s+t— 1>
> 0). Равенство r = s + t— 1 является, по существу, теоремой
существования: оно устанавливает существование s + t—l неза-
независимых единиц. Не удивительно поэтому, что для его доказа-
доказательства надо привлечь некоторые новые соображения.
Ввиду теоремы 3 утверждение, которое нам осталось доказать,
равносильно тому, что размерность решетки (?, изображающей
единицы порядка D в логарифмическом пространстве, строго рав-
равна s + t—l.
Задачи
1. Доказать, что все изображения х (а) е Rn чисел а из поля алгебра-
алгебраических чисел К степени п образуют всюду плотное подмножество про-
пространства Rn-
2. Доказать, что если s ф 0, т. е. среди изоморфизмов поля К в поле
всех комплексных чисел имеется хоть .один вещественный, то группа кор-
корней из 1, содержащихся в К, состоит только из двух чисел: +1 и —1. (Это
обстоятельство всегда имеет место в случае, когда степень поля К нечетная.)
3. Определить все корни из 1, которые могут содержаться в поле алгеб-
алгебраических чисел степени 4.
4. Найти все единицы поля Q (Т/з)*
5. Показать, что в поле Q F), б3 = 2, всякая единица имеет вид
±A —6)\
6. Пусть в поле алгебраических чисел К содержится комплексный ко-
корень из 1. Доказать, что тогда норма всякого а ф 0 из К положительна.

126 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
§ 4. Группа единиц
1. Критерий полноты решетки. В этом параграфе мы доведем
до конца исследование строения группы единиц в порядках полей
алгебраических чисел. Основная задача, которую нам предстоит
решить, уже обсуждалась в конце предшествующего параграфа.
Она заключается в доказательстве того, что решетка <5, векторы
которой изображают единицы порядка D при логарифмическом
изображении, имеет размерность s +1 — 1 (мы сохраняем здесь
все обозначения предыдущего параграфа).
Решетка @ расположена в пространстве Rs+ и содержится
в его линейном подпространстве 6, состоящем из точек (Ki, ...
..., Я8+(), для которых Xi + .. .+ Х,+( = 0. Так как размерность 6
равна s + t — i, то наша задача эквивалентна доказательству того,
что (? есть полная решетка пространства й. Мы докажем это
в п. 3, пользуясь следующим критерием полноты решетки.
Теорема 1. Решетка ЗЯ в линейном пространстве й полна
тогда и только тогда, когда в й существует ограниченное мно-
множество U, сдвиги которого на все векторы из Ш полностью запол-
заполняют все пространство -8 (возможно, с пересечениями).
Доказательство. Если решетка ЗЭТ полная, то в каче-
качестве U можно взять какой-нибудь из ее основных параллелепи-
параллелепипедов: согласно лемме 2 § 3 все сдвиги основного параллелепипеда
на векторы полной решетки заполняют все пространство (ограни-
(ограниченность основного параллелепипеда очевидна). Пусть теперь ре-
решетка Ш неполная, и пусть U — произвольное ограниченное под-
подмножество пространства 6. Покажем, что в этом случае сдвиги
множества U на векторы из 5Ш не могут заполнить всего про-
пространства 8. В сплу ограниченности U существует такое веще-
вещественное число г>0, что Hull < г при всех u<^U. Обозначим
через й' подпространство, порожденное векторами решетки ЗЛ.
Так как решетка 5Ш неполная, то й' есть собственное подпростран-
подпространство, а потому в 8 существуют векторы у сколь угодно большой
длины и ортогональные к подпространству й' (и, следовательно,
ко всем векторам из Ш). Утверждаем, что все такие векторы у,
для которых Нг/И ^= г, не могут быть покрыты сдвигами U на век-
векторы из 5Ш. Действительно, если вектор у (ортогональный к S')
содержится в некотором сдвиге, то это значит, что он имеет вид
у = и + z, где u^U, z e 2JI. Но тогда ввиду неравенства Коши —
Буняковского будем иметь
откуда Иг/11 < г. Теорема 1, таким образом, доказана. (Геометри-
(Геометрический смысл проведенного доказательства состоит в том, что все
сдвиги множества U на векторы неполной решетки лежат в слое,
состоящем из точек, расстояния которых до подпространства С'
не превышают г.)

§ 4] ГРУППА ЕДИНИЦ 127
Замечание. В топологических терминах полнота решетки
5W в пространстве 6 равносильна, как легко видеть, компактности
фактор-группы 8/5Ш (если 8 рассматривать как топологическую
группу относительно сложения).
2. Лемма Минковского. Наше доказательство существования
s + t — 1 независимых единиц будет основываться на одном про-
простом геометрическом утверждении, которое имеет, однако, исклю-
исключительно много приложений в теории чисел. Формулировка и до-
доказательство этого утверждения (теорема 3) используют понятие
объема в га-мерном пространстве и некоторые его свойства.
Объем v(X) множества X в га-мерном пространстве Rn может
быть определен как кратный интеграл
v (X) =(...( dxxdxz ... dxn,
" да
распространенный по этому множеству X. (Здесь мы несколько
отступаем от обозначения D) § 3 и координаты точки х е 1R™ за-
записываем в виде (xi, ..., хп)-) Мы не будем заниматься исследова-
исследованием условий, при которых объем существует. В интересующих
нас случаях множество X будет задаваться несколькими неравен-
неравенствами с весьма простыми входящими в них функциями и вопрос
о существовании объема будет решаться элементарным образом.
Отметим несколько простейших свойств объема, легко вытекаю-
вытекающих из свойств интегралов (предполагается, что все встречаю-
встречающиеся объемы существуют).
1) Если X содержится в X', то v(X) < viX').
2) Если множества X и X' не пересекаются, то
3) При сдвиге множества его объем сохраняется, т. е.
4) Пусть а — вещественное положительное число. Обозначим
через <хХ совокупность точек вида ах, где х пробегает все точки
из X. (Множество аХ называется растяжением X в а раз.) Тогда
Вычислим объем основного параллелепипеда Т полной решетки
Ш в Rn, построенного на некотором ее базисе еи ..., еп. Пусть
ej = (а1з-, ..., anS), I «S / < п.
Мы покажем, что тогда
() ld()l A)
Сделаем в интеграле v (Т) = J ... J dxx ... dxn замену переменных
(Т)
(Т)

128 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
по формулам
п
= 2 aijXj, 1
3=1
Якобиан этого преобразования равен, очевидно, определителю
det (а,-,), который отличен от нуля ввиду линейной независимости
векторов еи ..., е„. Так как при нашем преобразовании множество
Т перейдет, как легко видеть, в множество Го, состоящее из точек
(ari, .. ., хп), Для которых 0 ^ Xi < 1 (i = 1, ..., re), то
i i
t> (У) = ] ... J | det (ay) J ctai... dx'n = | det (ay) | ] ... j d^ ... dxn =
(т0) о о
= | det (ay) |,
и формула A) доказана.
Подвергнем пространство Rn некоторому линейному неосо-
бенпому преобразованию х -*¦ х'. Решетка Ш. перейдет при этом
преобразовании в некоторую (очевидно, полную) решетку ЭЯ', а ее
основной параллелепипед Т — в основной параллелепипед Т'
решетки Ш'. Ясно, что параллелепипед Т' будет построен на
образах еь ..., е'п векторов базиса еи ..., е„. Если ej = (Ь^, ... ,bnj)
A</^ге), то по доказанному объем v(T') равен |det(bij)l. Обо-
Обозначим через С = (сц) матрицу линейного преобразования х -*¦ х'
в базисе е±, ..., е„, так что
n
Легко видеть, что faj = 2 aiscSj, т. е. матрица (Ьц) является иро-
изведением (ай) на (сц), а значит, имеет место формула
= v(T)-\detC\. B)
Предположим теперь, что еи ..., е„ и еъ ..., еп — два базиса
одной и той же решетки 5Ш. Так как эти базисы связаны между
собой унимодулярным преобразованием (с целочисленной матри-
матрицей С определителя ±1), то ввиду B) получаем, что v(T') = v(T).
Этим показано, что объем основного параллелепипеда базиса, ре-
решетки зависит только от самой решетки и не зависит от выбора
в ней базиса.
Сопоставление формулы A) с равенствами (9) и A0) § 3 при-
приводит нас к следующему уточнению теоремы 1 § 3:
Теорема2. При геометрическом изображении чисел поля
К степени п = s + 2t точками пространства 6s' = Rn все точки,
изображающие числа полного модуля М с дискриминантом D,

S 41 ГРУППА ВДИНИЦ ф 129
образуют полную решетку, объем основного параллелепипеда ко-
которой равен 2~'1/\D\.
Для формулировки основного предложения этого пункта нам
нужны еще два геометрических понятия.
Множество X с R" называется центрально симметричным,
если вместе с любой точкой х в этом множестве содержится и сим-
симметричная ей относительно начала точка —х.
Множество X называется выпуклым, если для любых двух
точек геХ и х'еХ в этом множестве содержатся и все точки
вида ах+ A — а)х', где а — вещественное число, удовлетворяю-
удовлетворяющее условию 0 < а ^ 1. Другими словами, множество X выпукло,
если всякий отрезок, соединяющий две точки из X, целиком со-
содержится в этом множестве.
Теорема 3 (лемма Минковского о выпуклом теле). Пусть
в п-мерном вещественном пространстве Rn задана полная решет-
решетка ЗЯ, объем основного параллелепипеда которой равен А, и огра-
ограниченное центрально симметричное выпуклое множество X с
объемом viX). Если v{X) > 2ПД, то множество X содержит по
крайней мере одну отличную от начала точку решетки 5Ш.
Доказательство. Мы будем основываться на следующем
интуитивно ясном предложении: если ограниченное множество
точек 7cR" таково, что все его сдвиги Yz = Y + z на векторы
г^ЗЛ попарно не пересекаются, то v(Y) < Д. Для доказательства
выберем некоторый основной параллелепипед Т решетки Ш и
рассмотрим пересечения Y П Т-г множества Y со всеми сдвигами
Т-г = Т — z параллелепипеда Т. Очевидно, что
и(У)= 2 v{Y{] Т_г)
(в этой формально бесконечной сумме только конечное число чле-
членов отлично от нуля, так как ограниченное множество Y может
пересекаться лишь с конечным числом параллелепипедов Т-г;
лемма 3 § 3). Сдвиг множества Y П Т-г на вектор z равен, оче-
очевидно, YZOT, поэтому v(Yr\T-.t) = v(YtC\T), а значит,
„(У)- 2 v(Yz П Т).
Если теперь сдвиги Yz попарно не пересекаются, то пересечения
Yz П Т также попарно не пересекаются, а так как все они содер-
содержатся в Т, то сумма в правой части последнего равенства не мо-
может быть больше v(T). Следовательно, v(Y) ^v(T), и наше утвер-
утверждение доказано.
Рассмотрим теперь множество -=- X (получающееся из X
сжатием в два раза). Из условий теоремы следует, что vl-^^-) =

130 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ Ц'Л. П
— — V(X)> А. Если бы все сдвиги -^-Х + z на векторы z е 2Я
попарно не пересекались, то по доказанному мы должны были
бы иметь z/l-Tj-XJ^A, что на самом деле не так. Следовательно,
для некоторых различных векторов zt и z2 из Ш множества
-тг- X + zx и-трХ + z2 имеют общую точку:
\х' + z1 = 4rx" + z2, z',x"<=X.
Перепишем последнее равенство в виде
_ 1 „ 1 ,
zi ~ Z2 — 2 2 х '
Так как множество X центрально симметрично, то —х' е X; ввиду
его выпуклости имеем также
-*- *'' _ ± х' = A aj» + ± (- a-') s X.
Таким образом, отличная от начала точка zt — z2 из ЗЯ принадле-
принадлежит множеству X, а это и требовалось доказать.
Из рассуждений первой части доказательства теоремы 3 легко
вытекает также следующее довольно очевидное утверждение (оно
понадобится нам в § 5).
Лемма 1. Если все сдвиги множества Y на векторы решетки
5И полностью покрывают пространство R", то v(Y) > Д.
Действительно, в этом случае пересечения У2 П Т полностью
покроют основной параллелепипед Т (возможно, с пересечениями),
а потому i; (Y) = 2 v (Y, П Т) > v (T) = А.
При исследовании группы единиц лемма Минковского будет
применяться нами к решетке в пространстве ?*¦' и к телу X, ко-
которое состоит из тех точек х вида B) § 3, для которых
где си ..., Cs+t — вещественные положительные числа. Выпуклость
и центральная симметричность этого тела X очевидна. Вычислим
его объем. Используя для координат точки х обозначения D)
§ 3, получаем
v (X) = j dxx . .. J dxs J J dyxdzx ... j J
—с - —с. о 9. 2 2
Vt +2f <cs-j-

§ 4] ГРУППА ЕДИНИЦ 131
Применение леммы Минковского к рассмотренному телу X
дает нам следующий результат (именно на нею мы и будем
в дальнейшем ссылаться).
Теорема 4. Если объем основного параллелепипеда полной
решетки ЭЯ пространства й3|! равен А и если вещественные по-
ложителъные числа си ..., cs+t таковы, что Цс4> — Д,7ч?
t=i ^ "'
в решетке 2Я имеется ненулевой вектор х = (а;,, ..., xs+t), для
которого
\xl\<cl, ..., |zs|<cs; bs+il2<cs+l, ..., 1г,+,|2<с,+(. C)
3. Структура группы единиц. Теперь мы можем до конца ре-
решить вопрос о строении группы единиц произвольного порядка.
Теорема 5 (теорема Дирихле). В произвольном порядке О
поля алгебраических чисел К степени n — s + 2t существуют та-
такие единицы 8i, ..., 8г, г = s + t — 1, что каждая единица esD
однозначно представляется в виде
е = W ... ег ,
где at, ..., аг •— целые рациональные числа, а ? — некоторый со-
содержащийся в О корень из 1.
Доказательство. Как уже говорилось в конце пред-
предшествующего и в начале этого параграфа, нам надо лишь уста-
установить полноту решетки 6, изображающей единицы порядка D,
в пространстве 6 (размерность которого равна s + t — l). Согласно
теореме 1 для этого, в свою очередь, достаточно убедиться в том,
что в 6 существует ограниченное подмножество U, сдвиги кото-
которого на все векторы из 6 заполняют все пространство й.
Так как норма всякого целого числа из К есть целое рацио-
рациональное число, то ввиду формулы A7) § 3 для отличных от нуля
чисел а из D точки Ка) расположены в полупространстве Ki +...
... + K.+t ^ 0 пространства Rs+*. При этом, если \Nia)\<Q при
некотором вещественном числе Q > 1, то точка На) будет нахо-
находиться в полосе, определяемой неравенствами
О ^ U + ... + Ks+t < In Q.
Обозначим через 5 гиперплоскость в 05 , определяемую урав-
уравнением Х1 + ... + X,+t = In Q. Ясно, что ? получается из подпрост-
подпространства S сдвигом, например, на вектор jq^t A, ..., 1)-
Для всякого отличного от нуля а из О, для которого |ЖосI <
< Q, через Ya обозначим совокупность всех точек (A,i, ..., ^8+«)
гиперплоскости ?, для которых
() k t.

132 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Так как наряду с последними неравенствами мы имеем также
Xft = ln<?-2 ^<ln<?-2 h(a),
то все множества Уа ограничены. Далее, из формулы A6) § 3
легко следует, что для всякой единицы е кольца D справедлива
формула
YY l() D)
т. е. множество Yaz получается из Ya сдвигом на вектор Кг).
Покажем, что если Q выбрано достаточно большим, а именно
где А — объем основного параллелепипеда решетки в S8
бражающей числа рассматриваемого порядка D, то множества
Ya (для aeD, сс?=О \N{a)\<Q) покрывают всю гиперпло-
гиперплоскость X. В самом деле, пусть (^?, ..., ^?+г) — произвольная точка
из ?, и пусть си ..., cs+t — вещественные положительные числа,
для которых Xu = lnch. Ввиду E) числа ск удовлетворяют нера-
венству сх . .. cs+t> —I А, поэтому согласно теореме 4 в поряд-
ке D существует число а Ф 0, для которого
1ол(а)| <ch, ft = l, ..., s,
la,+;(a)l2<cs+j, 7 = 1, ..., t.
В других обозначениях последние неравенства могут быть пере-
переписаны в виде
Мы получили, таким образом, что точка (X?, . .., K^+t) принадле-
принадлежит множеству Ya, причем |ЖссI <Q.
По теореме 5 § 2 в порядке D существует только конечное
число попарно не ассоциированных чисел, нормы которых по аб-
абсолютной величине меньше Q. Зафиксируем какую-нибудь систе-
систему cti, ..., <zn отличных от нуля чисел из О, обладающую тем
свойством, что всякое а ФО из D, для которого \N(a)\ <Q, ассо-
ассоциировано с одним из них, т. е. а — а{е при некотором i (I <?^
*^N) и некоторой единице е кольца D. Положим
N
Y = U Y*..
Так как все Ya покрывают S и Уа = Уа.+ Z(e) (формула D)), то
сдвиги ограниченного множества У на все векторы Де) решетки
Щ покроют всю гиперплоскость ?. Но в таком случае сдвиги

§ 4] ГРУППА ЕДИНИЦ 133
содержащегося в С подмножества
на векторы l(e)eg (для всех единиц s из D) покроют все под-
подпространство 6, а это, как уже было сказано, и доказывает тео-
теорему 5.
Как уже отмечалось в п. 5 § 3, теорема Дирихле означает,
что группа единиц всякого порядка D в поле алгебраческих чи-
чисел степени п = s + It представляется в виде прямого произведе-
произведения одной конечной и s + t — 1 бесконечных циклических групп.
Если s + t—1 (а это имеет место лишь для поля рациональ-
рациональных чисел и мнимого квадратичного поля), то г = 0. В этом слу-
случае решетка (? состоит только из нулевого вектора, а группа
единиц порядка О исчерпывается конечной группой корней из 1.
Единицы 8j, ..., 8Г, существование которых устанавливается
теоремой Дирихле, называются основными единицами порядка О.
Из рассуждений, проведенных в п. 5 § 3, ясно, что единицы
8i, ..., ег являются основными тогда и только тогда, когда вектог
ры Z(ei), ..., Z(er) образуют базис решетки 6. Отсюда легко сле-
следует, что единицы
г, = &еГ" ... 4ir, 1<*<г
(где t,i — произвольные содержащиеся в ?> корни из 1) будут
также основными в том и только в том случае, если целочислен-
целочисленная матрица (а„) унимодулярна.
Замечание. Изложенное доказательство теоремы Дирихле
не является эффективным в том смысле, что оно не дает алго-
алгоритма для отыскания какой-либо системы основных единиц по-
порядка D. Эта неэффективность вызвана тем, что в наших рассуж-
рассуждениях участвовала полная система неассоциированных чисел
cci, ..., аи, нормы которых не превосходят некоторого числа Q.
Существование же такой системы чисел доказано нами неэффек-
неэффективно (теорема 5 § 2), как об этом уже говорилось. К вопросам
эффективности мы вернемся в следующем параграфе.
Теорема Дирихле (так же, как и теорема 2 § 3) справедлива,
разумеется, и для максимального порядка О поля К. Основные
единицы максимального порядка D называют также основными
единицами поля алгебраических чисел К.
4. Регулятор. Согласно построениям пп. 3 и 4 § 3 с каждым
порядком О поля алгебраических чисел К степени п = s + 2t
связывается решетка <5 размерности r = s + t — 1 в подпростран-
подпространстве 8 cr Rs+*. Объем v основного параллелепипеда этой решет-
решетки не зависит от выбора в ней базиса, а значит, он вполне опре-
определен самим порядком D. Вычислим этот объем. Пусть Т„ -~
основной параллелепипед решетки ©, построенный на базисе

134 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Z(e4), ..., Кег) (здесь 8i, ..., бг — система основных единиц поряд-
порядка D). Вектор
очевидно, ортогонален к подпространству fi и имеет единичную
длину. Ясно, что г-мерный объем v = v{Ta) равен (s + 0-мерному
объему параллелепипеда Т, построенного на векторах l0, Kei), ...
..., l(er). Поэтому в силу формулы A) объем у равен абсолютной
величине определителя, строчки которого составлены из компо-
компонент этих векторов. Если в последнем определителе мы все
столбцы прибавим к столбцу с номером ?, а затем, воспользовав-
воспользовавшись свойством A8) § 3, разложим его по этому столбцу, то
получим
у = i/s + t R,
где R — абсолютная величина одного из миноров r-то порядка
матрицы
Из наших рассуждений вытекает, в частности, что все миноры
r-го порядка последней матрицы по абсолютной величине равны
между собой и не зависят от выбора системы основных единиц
Si, ..., ег. Число R (так же, как и г;) зависит, следовательно, толь-
только от D. Оно называется регулятором порядка D.
Регулятор максимального порядка О называется также регу-
регулятором поля алгебраических чисел К. (Для поля рациональных
чисел и мнимого квадратичного поля регулятор, по определению,
равен 1.)
Задачи
1. Доказать, что неравенство v(X) > 2п\ в лемме Мипковского нельзя
заменить более слабым. Для этого построить выпуклое ограниченное цент-
центрально симметричное множество X с объемом v (X) = 2ПД, не содержащее,
кроме начала, никаких других точек решетки.
2. Пусть а — вещественное положительное число. Доказать, что объем
множества X с CSi', состоящего из точек х, для которых
(в координатах D) § 3}, равен
Проверить, далее, что мдожество X ограничено, центрально симметрично и
выпукло,.

§ 4] ГРУППА ЕДИНИЦ 135
3. Пусть а и Ь — натуральные числа, не являющиеся квадратами. Пока-
Показать, что основная единица порядка _{1, У<г} _поля<0 (Т/а) является также и
основной единицей порядка {1, Уо, У—Ь, у<гу—6} в поле Q (Т/а, "]/— &)•
4. Показать, что группа единиц произвольного порядка О является^ под-
подгруппой конечного индекса в группе единиц максимального порядка О.
5. Пусть единицы rji, ..., т)г (г = в + t — 1) порядка О таковы, что век-
векторы l(r\i), ..., l(f\r) линейно независимы. Показать, что тогда группа, со-
е сг
стоящая из единиц вида ijj1 ... \ с целыми рациональными С{, являет-
является подгруппой конечного индекса в группе всех единиц порядка О.
6. Пусть ci, ..., сп — вещественные положительные числа и (ац) — ве-
вещественная неособенная матрица порядка п. Доказать, что если с4 ... с„ >
> d = |det (ац) |, то существуют такие целые рациональные х\, ..., хп, не
равные нулю одновременно, что
2 aif:
3=1
<ch
Указание. Убедиться, что в пространстве Кп множество точек
(xi, ..., хп), удовлетворяющих последним неравенствам, ограничено, цент-
центрально симметрично, выпукло и имеет объем -^- 2пс1 ... сп. Применить за-
затем лемму Минковского о выпуклом теле.
7. Пусть at} A ^ i ^ к, 1 ^ / ^ п) — целые рациональные и т<
A ^ i ^ к) — натуральные числа. Доказать, что в пространстве Rn сово-
совокупность целочисленных точек (xi, ..., хп), для -которых
п
2 аИхз — ° (mod mi), К
i
образует полную решетку, объем основного параллелепипеда которой не
превосходит mi ... т^.
8. Пусть а, 6, с — отличные от нуля целые рациональные числа, по-
попарно взаимно простые и свободные от квадратов, и пусть \abc\ =2%pi...
...р, (pt—нечетные простые числа, к равно 0 или 1). Предположим, что
форма ахг + by2 + cz2 представляет нуль во всех полях р-адических чисел.
Доказать, что тогда существуют такие целочисленные линейные формы
In, .,., L,, L', L" от трех переменных, что для целых и, v и w будет выпол-
выполняться сравнение
аи2 + bv2 + cw2 = 0 (mod4 \abc\),
если только
Li (и, v, w) = 0 (modjjj), I =g; i sg s,
L'(u, v, w) =0 (mod21+!l), (*)
L"(u, v, w) =0 (mod 2).
9. Сохраним условия предшествующей задачи и обозначим через 311 ре-
решетку целочисленных точек (и, v, w) e R3, удовлетворяющих сравнени-
сравнениям (*). Согласно задаче 7 объем основного параллелепипеда решетки 2Я не
превосходит 4 \abc\. Обозначим, далее, через X эллипсоид
1Ф2 < 4
32
объем которого, как легко подсчитать, равен -g- я I abc |. Применив к решет-

136 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
ке 2Й и эллипсоиду X лемму Минковского о выпуклом теле, доказать, что
форма ах2 + by2 -f- cz2 представляет нуль рационально. (В этом доказатель-
доказательстве теоремы Минковского — Хассе для форм от трех переменных не исполь-
использован факт неопределенности формы.)
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел
полными разложимыми формами
1. Единицы с нормой +1. В § 2 п. 3 мы видели, что для реше-
решения задачи о нахождении в некотором полном модуле чисел с за-
заданной нормой имеют значение лишь те единицы е его кольца
множителей О, для которых Же) = +1. Такие единицы, очевидно,
также образуют группу. Займемся изучением структуры этой
группы.
Предположим сначала, что степень п поля К нечетная. В этом
случае в кольце D имеется только два корня из 1, а именно ±1
(задача 2 § 3). Если для некоторой единицы eeD мы имеем
Же) = -1, то
Ж—е) = Ж-1)Же) = (-1)п(-1) = 1.
Пусть Si, ..., er (r = s + f —1) — произвольная система основных
единиц кольца D. Может случиться, что среди е,- имеются еди-
единицы с нормой — 1. Заменяя все такие единицы е, на —е,-, мы
получим, очевидно, новую систему основных единиц rji, ..., т]г,
причем для них будем уже иметь Жт],) = 1 при всех ? = 1, ...
..., г. Норма произвольной единицы е = + ill1 • ¦ • Лг'будет равна
теперь М±1) = (±1)" = ±1. Следовательно, все единицы е ^ D,
для которых Же) = 1, имеют вид
Пусть теперь п — четное число. Покажем, что в этом случае
норма всякого корня из 1, содержащегося в К, равна +1. Для
корней ±1 это очевидно. Если в К содержится комплексный ко-
корень ? из 1, то s = 0, а значит, все изоморфизмы поля К в поле
комплексных чисел разбиваются на пары сопряженных между
собой комплексных изоморфизмов и для каждой такой пары а и
о имеем ait,)a(t,) = |о(?)|2 = 1. Согласно доказанному в п. 3 § 2
Дополнения получаем, следовательно, что Nit,) = 1, и наше ут-
утверждение доказано.
Пусть опять ei, ..., ег — произвольная система основных еди-
единиц кольца D. Если Же() = 1 при всех i = 1, ..., г, то в этом
случае норма всякой единицы eeD будет равна +1. Предполо-
Предположим теперь, что
Же.) = 1, ..., Же4) = 1, Жел+1) = -1, ..., Жег) = -1,
где к < г. Полагая
Tli ?l? • • •> Цк == Eft, Лм-! == ?/H-iEr, • • м Цт—1 == Ег—iEr,

§5] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНЫМИ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ 137
мы получаем новую систему основных единиц х\и ..., r\r-i, er,
причем N(r\i) = 1 (ККг-1), Посмотрим, при каком условии
норма единицы е= t^1... Цтт-^& (я1г ..., аг^ъ Ъ<=Т)равна +1.
Так как Же) = (—1)ь, то Жб) = +1 тогда и только тогда, когда
показатель Ъ четный, т. е. Ъ = 2аг. Мы получили, таким образом,
что при четном п произвольная единица eeDc нормой +1 имеет
вид (в случае существования единицы с нормой —1)
е = ^i1 ... Цг^гСт", а-г s Z,
гДе Цг = ??, а ? — произвольный содержащийся в О корень из 1.
Итак, если в порядке D известна система основных единиц,
то мы можем найти также и все единицы с нормой +1.
2. Общий вид решений уравнения N(\i) = а . Сопоставляя
вместе следствие теоремы 5 § 2 с результатом п. 1, приходим
к следующему утверждению, дающему нам полное представление
о совокупности решений уравнения G) § 2.
Теорема 1. Пусть М — полный модуль в поле алгебраиче-
алгебраических чисел К степени n = s + 2t, D — его кольцо множителей и
а — отличное от нуля рациональное число. В порядке D суще-
существуют такие единицы r\i, ..., цг (г = s + t—I) с нормой +1,
а в модуле М — такая конечная {возможно, и пустая) система
чисел |ii, ..., \ih с нормой а, что всякое решение цеЖ уравнения
a A)
однозначно представляется в виде
а аг
И = M^i • • • Лг при п нечетном,
•г °1 "Г
И = IWli • • ¦ Цг при п четном.
Здесь \и — одно из чисел |i1? ..., \ih, ? — корень из 1 и аи ...
..., аг — целые рациональные числа.
Взяв в случае четного п совокупность всех произведений ц<?
за новую систему чисел |ii, мы получим и в этом случае для ре-
решений ii представление в таком же виде, как и при нечетном п.
Во всяком порядке мнимого квадратичного поля существует
лишь конечное число единиц (так как r = s + t— 1=0). Следова-
Следовательно, в этом случае уравнение A) имеет не более конечного
числа решений. Если же К отлично от мнимого квадратичного
поля (и, конечно, от поля рациональных чисел), то г>0 и, сле-
следовательно, уравнение A) либо вообще не имеет решений, либо
имеет их бесконечно много.
Замечание. Теорема 1 указывает нам, каким является
многообразие решений уравнения A), однако она не дает способа,
как все эти решения на самом деле найти. Для практического ре-
.шения уравнения A) мы должны иметь эффективный способ на-
нахождения системы основных единиц порядка О и полного набор*

138 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
в модуле М попарно не ассоциированных чисел \iit ,.., цк с дан-
данной нормой. В следующих пунктах мы покажем, что обе эти за-
задачи действительно могут быть решены в конечное число дей-
действий. Следует, однако, предупредить, что излагаемый в пп. 3 и 4
общий метод эффективного построения основных единиц и чисел
модуля с данной нормой мало пригоден для практического ис-
использования ввиду чрезвычайно большого объема необходимых
вычислений. Нашей целью является лишь доказательство прин-
принципиальной возможности провести построение в конечное число
шагов. В ряде конкретных примеров, используя дополнительные
соображения и учитывая специфику данного частного случая,
обычно удается найти более простой путь. Так, в § 7 в качестве
примера мы изложим довольно простой способ решения наших
задач для случая квадратичных полей.
Здесь стоит отметить, что не всегда для заданного семейства
диофантовых уравнений существует алгоритм, с помощью кото-
которого можно было бы найти решения любого из уравнений семей-
семейства или хотя бы ответить на вопрос, существуют ли решения.
В свое время подразумевалось, что для диофантовых уравнений
должен существовать способ, позволяющий при помощи конечно-
конечного числа операций установить, разрешимо ли заданное уравнение
в целых рациональных числах. Задача отыскания такого способа
и составила содержание известной 10-й проблемы Гильберта
A900 г.). Однако в 1970 г. Ю. В. Матиясевич установил, что эта
проблема имеет отрицательное решение, т. е. не существует ал-
алгоритма (в точном математическом его понимании), который
позволял бы по произвольному диофантову уравнению узнавать,
имеет ли оно решение в целых числах. Более того, можно по-
построить однопараметрическое диофантово уравнение от 22 пере-
переменных, для которого нельзя указать алгоритм, отвечающий (при
каждом значении параметра) на вопрос, существуют целочислен-
целочисленные решения или нет. Доступное изложение решения 10-й про-
проблемы Гильберта можно найти в статье [18].
3. Эффективное построение системы основных единиц. Обо-
Обозначая через <Ji, ..., о„ все изоморфизмы поля алгебраических
чисел К в поле комплексных чисел, докажем предварительно сле-
следующую лемму.
Лемма 1. Пусть си ..., с„ — произвольные вещественные
положительные числа. В каждом полном модуле М поля К суще-
существует только конечное число чисел а, для которых
Ма)! <си ..., |о.(а)|<е„, B)
и все эти числа а могут быть эффективно перечислены.
Доказательство. Выберем в М какой-нибудь базис
oci, ..., ап (если модуль М задан системой образующих, не явля-
являющейся базисом, то, следуя доказательству теоремы 1 § 2, мы
можем в конечное число шагов построить также и базис М).

§ 5] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНЫМИ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ 139
Всякое число а из М может быть представлено тогда в виде
а = a^j + ... + а„ап C)
с целыми рациональными а,. Построим для базиса аи ..., а»
взаимный базис als ...,апполя К (см. Дополнение, § 2, п. 3) и
найдем вещественное число А > О, для которого
при всех i и ]. Умножая C) на a*j и переходя к следу, мы по-
получим
п
aj = Spaa* = 2 CTi (°0 CTi(aD-
Если теперь aef удовлетворяет условию B), то ввиду D) для
коэффициентов а$ получаем оценку
\aA<A%\oi(^)\<A^ici. E)
i=l i=l
Для целых flj мы имеем, следовательно, лишь конечное число зна-
значений. Выписав все числа вида C) с условием E), мы легко вы-
выделим из них те, которые удовлетворяют неравенствам B).
В дальнейшем до конца этого параграфа мы будем пользо-
пользоваться теми же понятиями и обозначениями, что и в двух пред-
предшествующих параграфах.
Возможность эффективного построения системы основных еди-
единиц в произвольном порядке поля алгебраических чисел основы-
основывается на следующей теореме.
Теорема 2. Для каждого порядка D поля алгебраических
чисел К может быть указано такое вещественное число р > О,
что в шаре радиуса р логарифмического пространства (Rs+t обя-
обязательно содержится хоть один базис решетки E (изображающей
единицы порядка D).
Покажем, что эта теорема действительно дает нам метод по-
построения основных единиц порядка D. Если логарифмическое
изображение Иг) единицы geS содержится в шаре радиуса р, то
К(е)|<еР (l<ft<«), |as+j(s)|<eP/s, l</<t. F)
По лемме 1 число единиц е ^ D, удовлетворяющих этому условию,
конечно, и все они на самом деле могут быть выписаны (для
выделения единиц среди чисел порядка D следует воспользовать-
воспользоваться теоремой 4 § 2). Из найденных единиц составим всевозможные
системы еь ..., г, по г = s + t — 1 единиц, для которых векторы
Ksi), ..., Кег) линейно независимы. Согласно теореме 2 хоть одна
из этих систем будет системой основных единиц порядка О. Что-
Чтобы узнать — какая именно, следует для каждой системы е4, ...

140 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
..., ег вычислить объем параллелепипеда, построенного на векто-
векторах Z(ej), ..., Z(e,). Та система, для которой этот объем наимень-
наименьший, и будет, очевидно, системой основных единиц.
Доказательство теоремы 2 очевидным образом вытекает из
нижеследующих двух лемм, относящихся к решетке E. При их
доказательстве следует помнить, что мы всегда можем перечис-
перечислить все точки этой решетки, находящиеся в заданном ограни-
ограниченном множестве. Для этого нужно заметить, что ограничения
координат точки Кг) дают ограничения типа F) для единицы е,
а все такие единицы, согласно лемме 1, мы можем перечислить.
Вообще мы будем говорить, что решетка 2ft нам задана эффектив-
эффективно, если известен алгоритм для перечисления всех ее точек, на-
находящихся в заданном ограниченном множестве.
Лемма 2. Если полная решетка Ш1 в m-мерном пространстве
К задана эффективно и если известен объем А ее основного
параллелепипеда, то можно указать такое число р, что среди век-
векторов iel, лежащих в шаре радиуса р, находится базис ре-
решетки 2ft.
Доказательство. Если m = 1, то можно положить р = 2А.
В общем случае доказательство леммы проведем индукцией по пг.
Выберем в Rm какое-нибудь ограниченное, центрально симмет-
симметричное и выпуклое тело, объем которого больше, чем 2тА. Со-
Согласно лемме Минковского (§ 4, п. 2) в этом теле имеются не-
ненулевые векторы решетки 2ft. Выберем среди них такой вектор и,
что иФпх ни при каком a;el и целом п> 1. Обозначим через
С подпространство, ортогональное к вектору и, и через 2ft' —
проекцию решетки 2ft на й'. Если х' е 2ft', то при некотором
х s 2ft имеем х = \и + х' с вещественным |. Для любого целого к
вектор х — ки также принадлежит Ш, поэтому вектор х из 3ft
(с данной проекцией х') мы можем выбрать так, чтобы 111 < 1/2.
Для такого х будем иметь
Это неравенство показывает, что все векторы х' е Ш' из ограни-
ограниченной области являются проекциями векторов же1 также из
ограниченной области, а значит, вместе с 2ft решетка Ш' задана
нам эффективно. Если и2, ..., ит — векторы из 2И, проекции ко-
которых и2, ..., ит образуют базис Ж, то система и, и2, ..., ит,
как легко видеть, будет базисом 2ft. Отсюда следует, что объем
основного параллелепипеда решетки 2ft' равен Д/11ц11 и, значит,
тоже нам известен. По индуктивному предположению мы можем
найти такое число р', что в 3ft' имеется базис и%, ..., ит, для ко-
которого ||Иг1<р' (i =»2, ..., т). По доказанному векторы и2, ...
*..,, ит из 3ft можно выбрать так, чтобы

§ 5] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНЫМИ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
Таким образом, в шаре радиуса
для решетки Ш имеется базис и, и2, ..., ит, а это и составляет
утверждение леммы 2.
Для доказательства теоремы 2 нам достаточно теперь оценить
сверху объем основного параллелепипеда решетки ®.
Лемма 3. Объем v основного. параллелепипеда решетки E
удовлетворяет неравенству
j
< СAп08+<-1Ж<СAп08+<-1 2 о",
a<Q
где Q = I — j у \ D j + 1 (Z> — дискриминант порядка О), Л' — чис-
число попарно не ассоциированных чисел а Ф 0 порядка D, для ко-
торых \N(a)\ <Q, и С — некоторая константа, зависящая только
от s + t {а пробегает все натуральные числа, меньшие Q).
Доказательство. Воспользуемся здесь обозначениями
доказательства теоремы 5 § 4. Так как \D\ =2'Д (теорема 2 § 4),
то указанное в лемме число Q удовлетворяет неравенству E) § 4.
Все сдвиги подмножества U в й на векторы решетки ® заполня-
заполняют 2, поэтому согласно лемме 1 § 4 имеем
v^v(U). G)
Множество U получено из У паралельным переносом. Далее, У
есть объединение подмножеств Yai (лежащих в гиперплоскости
?). Отсюда следует, что
v(U) = v(Y)^^v(Ya.). (8)
Займемся вычислением (s + t — 1)-мерного объема тела Ya (a^D,
a =5^0, |iV(a)l =a < Q). Это тело определяется условиями:
Xi + ... + Ke+t = lnQ, Xk>lh(a) (l^&sSs + i). Подвергнем его
сдвигу на вектор —Z(a). Так как l^a) + ... + ?,+<(a) =lna, то при
таком сдвиге тело Ya перейдет в тело X, которое определяется
условиями: Я,г + ... + ks+t = 1п~и Xh > 0 A ^ А; ^ s + f). Обозна-
Обозначим через С объем тела Хо, определяемого условиями: Xt + ...
... + ^s+1=^l и ^А>0 (l^&^s + f). Ясно, что С зависит только
от s + t. Тело X получается из Хо растяжением в In {Q/a) раз.
Следовательно,
v (Fa) = v (X) = С (In -^-)'+'~1. (9)
Неравенства G) и (8) в сочетании с формулой (9) приводят нас
к первому неравенству леммы. Для доказательства второго нера-

142 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
венства остается лишь заметить, что в кольце D существует не
более ап попарно не ассоциированных чисел, нормы которых по
абсолютной величине равны а (см. доказательство теоремы 5 § 2).
4. Числа модуля с данной нормой. Обратимся теперь к воп-
вопросу об эффективном построении в модуле полного набора попар-
попарно не ассоциированных чисел с данной нормой.
Зафиксируем в кольце множителей D полного модуля М ка-
какую-нибудь систему основных единиц в|, ..., е,. Векторы KeJ, ...
..., Z(er) вместе с вектором 10 = A, ..., 1) образуют базис лога-
логарифмического пространства Rs+f, поэтому для всякого [геЛ/
вектор Z((j,) может быть представлен в виде
I (Ц) = Ыо + 2 Ы Ы A0)
с вещественными коэффициентами |, ?4, ..., |г. Ввиду формул
A7) и A8) § 3 для коэффициента | имеем формулу
Каждое вещественное число |< мы можем представить в виде
\х — ^ + *[и где кг — целое и 1^1 < 1/2. Для ассоциированного с ц.
числа р.' = (J-Ei 1 .. . гт т разложение A0) имеет вид
где а= \N([x)\ = 1Жц'I. Мы получили, таким образом, что
в Rs+i имеется ограниченное множество, обладающее тем свой-
свойством, что для всякого [I e M с условием 1Жц)|=а существует
ассоциированное с ним число [г', логарифмическое изображение
которого содержится в этом множестве. Для чисел ц' мы имеем,
следовательно, оценки типа B). Согласно лемме 1 мы можем явно
выписать все числа из М, для которых имеют место эти оценки.
Выделяя из них все числа с заданным значением нормы N(\i')
и оставляя затем для ассоциированных между собой чисел только
по одному представителю, мы и получим, очевидно, систему по-
попарно не ассоциированных чисел \iu ..., цк из М с данной нор-
нормой, обладающую тем свойством, что всякое |ieMc той же нор-
нормой ассоциировано с одним из них.
Результаты этого параграфа указывают нам, таким образом,
метод, с помощью которого в конечное число операций можно
найти в полном модуле все числа с данной нормой (или устано-
установить их отсутствие). Тем самым нами до конца решена также за-
задача о целочисленных представлениях рациональных чисел пол-
полными разложимыми формами.

§ 6] КЛАССЫ МОДУЛЕЙ 143
Задачи
1. Пусть в целое рациональное число d, свободное от квадратов, входит
по крайней мере одно простое_число вида 4&_+ 3. Доказать, что тогда норма
всякой единицы порядка {i^j/d} поля Q (~\/d) равна + 1.
2. Показать, что_5 + 2|6 является основной единицей в максимальном
порядке поля Q (~1/б)-
3. Найти все целочисленные решения неопределенного . уравнения
Зж2 — 4у2 = 11.
4. Показать, что в кубическом полеО@), 93= 6, число е = 1— 60 + 39*
является основной единицей.
§ 6. Классы модулей
В связи с той ролью, которую играет понятие модуля в рас-
рассматриваемых нами вопросах, важно составить себе более полное
представление о многообразии всех полных модулей данного поля
алгебраических чисел К. Число всех таких модулей, очевидно,
бесконечно. Среди них имеются, однако, модули, свойства кото-
которых очень близки друг к другу. Это подобные модули, определен-
определенные в § 1, п. 3. Мы видели, что подобные модули имеют одно
и то же кольцо множителей (лемма 1 § 2) и что задачи нахож-
нахождения чисел с заданной нормой в подобных модулях эквивалент-
эквивалентны (§ 1, п. 3). Ввиду этого естественно объединить все подобные
модули в один класс и исследовать множество классов подобных
модулей. В этом параграфе мы докажем, что в поле алгебраиче-
алгебраических чисел К существует только конечное число классов подоб-
подобных модулей, имеющих заданный порядок D своим кольцом мно-
множителей. Этот результат, как и теорема Дирихле о единицах,
принадлежит к числу самых основных фактов теории алгебраи-
алгебраических чисел. Доказательство его, как и доказательство теоремы
о единицах, основывается на лемме Минковского о выпуклом
теле. Другим важным вспомогательным средством будет поня-
понятие нормы модуля.
1. Норма модуля. Рассмотрим произвольный полный модуль
М в поле алгебраических чисел К степени п и через D обозна-
обозначим его кольцо множителей. Выберем в D какой-нибудь базис
e>t, ..., ю„ и в модуле М — базис \iu ..., (j,n. Матрица перехода
А = (а«) от первого базиса ко второму, т. е. матрица, определя-
определяемая равенствами
п
(Xj = Sa«<»i. !</<«, aysQ, A)
зависит, конечно, не только от модуля М, но и от выбора базисов
а* и f*j. Пусть Юц ..., соп и р,ь ..., цп — другая пара базисов мо-
модулей ОиЖ соответственно, и пусть
п

144 ' ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. Д
4
Матрица Ах = (ау) связана с матрицей А соотношением
Ai = CAD, B)
где С=(с«) и D = (dtj) — целочисленные унимодулярные мат-
матрицы, определяемые равенствами:
п п
Щ = 2 cij«i, i-ij = 2 йфи су, dy e Z
i=l i—1
(матрица перехода от одного базиса модуля к другому всегда, как
мы знаем, унимодулярна). Таким образом, с модулем М инвари-
инвариантно связанными будут только такие выражения от элементов
матрицы А, которые инвариантны при замене .4 на ii по формуле
B). Полной системой таких инвариантов являются так называе-
называемые инвариантные множители рациональной матрицы А. Мы
будем рассматривать простейший из них — абсолютную величину
определителя det^l. Его инвариантность очевидна:
= IdetCl • Idetill • IdetZ?! = I detail.
Определение. Пусть М — полный модуль в К и ?> — его
кольцо множителей. Абсолютная величина определителя мат-
матрицы перехода от базиса кольца О к базису модуля М называет-
называется нормой модуля М и обозначается через N(M).
Согласно формуле A2) § 2 Дополнения дискриминанты D =*
= Z?((Xi, ..., fxn) vl Do = D((Oi. ..., со„) базисов (х,- и at (т. е. дискри-
дискриминанты модулей М и О, см. п. 5 § 2) связаны между собой со-
соотношением D = Do(detAJ. Введенное понятие нормы позволяет
переписать эту формулу в виде
C)
Для модулей, содержащихся в своем кольце множителей, мат-
матрица {ац), определенная разложениями A), очевидно, целочис-
ленна, а потому норма таких модулей является целым числом.
Смысл нормы модуля в этом случае выясняется следующей тео-
теоремой.
Теорема 1. Если полный модуль М содержится в своем
кольце множителей D, то его норма N{M) равна индексу (О: М).
Эта теорема является частным случаем следующего утверж-
утверждения.
Лемма 1. Если Ма — абелева группа без элементов конечного
порядка ранга п, а М — ее подгруппа того же ранга п, то индекс
(Мо: М) конечен и равен абсолютной величине определителя мат-
матрицы перехода А от какого-нибудь базиса Мо к произвольному
базису М.
Доказательство. Пусть аи ..., со» — произвольный базис
Л/о. Согласно теореме 2 § 2 в подгруппе М существует базис

S в] • КЛАССЫ МОДУЛЕЙ 145
t]i, ..., т]„ вида
-... -г с1пи„,
Т]2 = С22Ю2 + . . . + С2пС0я,
• ••*••••••¦«
Т]„ = СППЮ„,
где Су целые рациональные и с«>0 (l^i^w). Очевидно, что
Idet^l не зависит от выбора базисов в Мо и в М, поэтому
I detail = СцС22...с„„.
Рассмотрим элементы
+ . . . + Хп(х>п, 0^Xi< Си, 1 ^ i < П D)
и покажем, что они образуют полную систему представителей из
классов смежности группы М0 по подгруппе М. Пусть а =
= ajCOi + ... + ап(л„ — произвольный элемент из Д/о. Разделим at
на си с остатком: а^ = c^q^. + хи О < х^ < Сц. Тогда
Если теперь мы разделим а9 на c22 с остатком: «г = сггцг +
О < хг < с22, то будем иметь
Повторяя этот процесс п раз, мы придем в конце концов к ра-
равенству
ее — git]! — ... — дпт)п — XiCOi — ... — хп(о„ = О,
в котором <?> и а;4 целые рациональные, причем 0 =? xt < с,,. Так
как git]! + ... + <7„т]„ принадлежит Д/, то последнее равенство
означает, что а и элемент a^coj +...+ хпа>п вида D) принадлежат
одному и тому же классу смежности по подгруппе М. Этим дока-
доказано, что в каждом классе смежности Мв по М имеется предста-
представитель вида D). Остается еще проверить, что различные элемен-
элементы вида D) содержатся в разных классах смежности. Допуская
противное, предположим, что разность двух различных элементов
xitijl + ... + хп<?>п и ZiCOj + ... + хп(йп из системы D) принадлежит
М. Обозначим через s наименьший индекс (l=^s<ra), для ко-
которого Хцфх\. Тогда
(xs — x's) (us + ... + (хп — х'п) С0„ = Vh + . . . + ЪпГ\п
е целыми Ь(. Подставляя сюда вместо i)u ..., г\п их выражения
через и< и сравнивая коэффициенты при со« в обеих частях равен-
равенства, легко находим последовательно, что bi '= 0, ..., fc«-i = 0 и,
далее, что с«А = х$ — ars. Последнее равенство, однако, при це-

146 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
лом Ъ, невозможно, так как 0 < \х$ — xs j< css. Таким образом, эле-
элементы D) действительно образуют полную систему представите-
представителей из классов смежности Мо по М. Так как их число конечно
я равно СцС2г.. . с„„ — Idet АI, то лемма 1 и теорема 1 доказаны.
Теорема 2. Нормы подобных полных модулей М и аМ
связаны между собой соотношением
МаЛЯ'=1МаIММ).
В частности, для модулей, подобных порядку D, имеем
Доказательство. Если ци ..., ц„ — базис М, то в каче-
качестве базиса для аМ можно взять числа a(j,i, ..., сс[хп. Норма числа
ЛЧсс) есть определитель матрицы перехода С от базиса [xt к ба-
базису a(i,i (см. Дополнение, § 2, п. 2). Согласно лемме 1 § 2 моду-
модули М и а.М имеют одно и то же кольцо множителей О. Обозначим
через А ж Ai матрицы перехода от базиса кольца О к базисам
уа и a(Xj соответственно. Тогда At = AC, и мы получаем
= Idet 4,1 = Idet 41 • IdetCl =N(M)\N(a)\.
Второе утверждение теоремы следует из того, что МО) = 1.
2. Конечность числа классов. Мы переходим к доказательству
основной теоремы этого параграфа. Оно будет опираться на две
леммы.
Лемма 2. Для любого полного модуля Мк в поле К и лю-
любого его полного подмодуля М2 существует только конечное число
промежуточных модулей М {т. е. модулей, удовлетворяющих ус-
условию Mi => М => Мг).
Доказательство. Выберем какую-нибудь систему пред-
представителей |4, ..., |„ si= (MiiMz), в классах смежности Мг по
подгруппе Mi. Если аь ..., ап — базис Мъ, то каждый элемент
Q<= Mi однозначно представляется в виде 6 = %h + c{ai + ... + спап,
где gA — некоторый из представителей а cf, ..., с„ — целые ра-
рациональные числа. Пусть 64, ..., 0„ — базис промежуточного мо-
модуля М. Для каждого 0,- мы имеем представление Эу = |ы +
+ CifLi + ... + cnjan с целыми Сц. Поэтому
М = {е15 .. ., 9„} = {6Х, ..., е„, «!,...,«„} =
a
n\
Так как для наборов представителей | ьх, ..., |^п мы имеем лишь
конечное число возможностей, то, следовательно, число промежу-
промежуточных модулей М также конечно.
Следствие. Для любого полного модуля МОСК и любого
натурального числа г в поле К существует лишь конечное число
модулей М, содержащих Мо, для которых (М:М0) = г.

§ 6] КЛАССЫ МОДУЛЕЙ * 147
Действительно, ввиду конечности фактор-группы М/Ма имеем
гМ с= Ма, а следовательно, — Мо zd М гэ Мо.
Лемма 3. В полном модуле М дискриминанта D поля алге-
алгебраических чисел К степени n==sJr2t существует отличное or
нуля число а, норма которого удовлетворяет неравенству
Ш E)
Доказательство. Выберем положительные вещественные
числа d, ..., cs+t так, чтобы
с,...с.+.«=B/я)'ШЛ+в, F>
где е — произвольное положительное вещественное число. Из тео-
теорем 2 и 4 § 4 следует, что в модуле М существуют числа а Ф О»
удовлетворяющие условиям:
) I()l2<cs+J, 1 < / < t.
Норма
Ma) = Oi(a)... o8(a)los+i(a)l2... |о8+ДаI2
таких чисел по абсолютной величине не превосходит, очевидно,,
произведения F). Так как это верно при любом сколь угодно
малом е, то в М должны быть также числа а Ф 0, удовлетворяю-
удовлетворяющие неравенству E).
Теорема 3. Для всякого порядка D поля алгебраических:
чисел К существует только конечное число классов подобных
модулей, для которых О является кольцом множителей.
Доказательство. Пусть М — произвольный модуль, имею-
имеющий порядок D в качестве кольца множителей. Обозначим через
D дискриминант модуля М и через Do дискриминант порядка
D. Выберем в модуле М число а Ф 0 с условием E). Ввиду фор-
формулы C) условие E) можно переписать в виде
Так как а?)<=М, то О сг — М. Кроме того, в силу леммы 1 и
определения нормы модуля мы имеем
Этим доказано, что в каждом классе подобных модулей с коль-
кольцом множителей О имеется модуль М', для которого
/Г0Л- G)
По следствию леммы 2 в поле К имеется вообще только конечное
число модулей М' с условием G)»хСледов,ательно, число классов

148 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. IX
подобных модулей с кольцом множителей D также конечно, и
теорема 3 доказана.
Замечание. Для любых двух полных модулей Mi и Мг
поля алгебраических чисел К мы можем вполне эффективно ре-
решить вопрос о том, подобны они или нет. Для этого прежде
всего находим их кольца множителей. Если эти кольца окажутся
различными, то Mt и Мг не подобны. Пусть Mt и М2 имеют одно
и то же кольцо множителей D, Заменяя, быть может, один из
наших модулей подобным ему, мы можем добиться выполнения
включения Mi=>M2. Вычислим индекс (Ж1:Ж2)=а. Если aMt =
= Мг, то a^S и \N(a)\ — а. Найдем поэтому в кольце О пол-
полный набор попарно не ассоциированных чисел а,, ..., а*, норма
которых по абсолютной величине равна а (согласно п. 4 § 5
система таких чнсел находится эффективно). Если а — произволь-
произвольное число кольца D, для которого |iV(a)| = а, то оно ассоцииро-
ассоциировано с некоторым а,-, а поэтому аМг = аД. Для решения вопро-
вопроса о подобии модулей Mi и Мг нам надо, следовательно, сравнить
модуль i?2 с модулями <XiMi (l^i^fc). Модули Mi и М2 будут
подобны тогда и только тогда, когда Мг совпадает с некото-
некоторым atMt.
Задачи
1. Показать, что в любом поле алгебраических чисел, отличном от поля
рациональных чисел, имеется бесконечно много порядков. (Следовательно,
число всех классов подобных модулей, принадлежащих всевозможным по-
порядкам, бесконечно.)
2. Используя задачу 2 § 4, доказать, что в полном модуле М с дискри-
дискриминантом D существует число а Ф 0, для которого
4У"!.-,/ГпГ
{п = s + 2i — степень поля алгебраических чисел).
3. Применяя задачу 2 к максимальному порядку поля алгебраических
чисел К степени п = s + It и используя формулу Стирлинга
показать, что дискриминант Do поля К удовлетворяет неравенству
\D I > fiL? J
о' V 4; 2nn
Таким образом, с возрастанием степени п дискриминант поля алгебраиче-
алгебраических чисел по абсолютной величине стремится к бесконечности.
4. Показать, что дискриминант всякого поля алгебраических чисел сте-
степени и > 1 отличен от ±1 (теорема Минковского).
5. Доказать, что существует лишь конечное число полей алгебраических
чисел С заданным значением дискриминанта (теорема Эрмита).
Указание. В силу задачи 3 достаточно показать, что существует
лишь конечное числе полей К фиксированной степени п = s + 2t с данным
дискриминантом Do. Рассмотреть в пространстве Кп (состоящем из точек
(*i, ..., x,,yi, 2i, ..., yt, zt)) множество X, определяемое в случае s>0

§ 71 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 149
условиями
а в случае s = 0 условиями
"К'1<1/2, \*i\<V\*>0
Применяя к множеству X и к решетке, изображающей числа максималь-
максимального порядка О, лемму Минковского о выпуклом теле, показать, что в К
существует примитивное число 6eD, для которого характеристический
многочлен имеет ограниченные коэффициенты.
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами
В этом параграфе мы займемся несколько более детальным
изучением вопросов этой главы для случая бинарных квадратич-
квадратичных форм. Так как всякая рациональная неприводимая форма
ахг + Ьху + суг разлагается на линейные множители в некотором
квадратичном поле, то наша задача связана с изучением полных
модулей и их колец множителей в квадратичных полях.
1. Квадратичные поля. Квадратичным полем называется вся-
всякое расширение поля рациональных чисел Q второй степени.
Займемся прежде всего описанием этого наиболее простого класса
полей алгебраических чисел.
Пусть d Ф 1 — свободное от квадратов целое рациональное
число (положительное или отрицательное). Так как многочлен
tz — d неприводим над полем рациональных чисел, то поле Q(9),
полученное из Q присоединением корня 0 этого многочлена,
имеет степень 2 над Q, т. е. является квадратичным полем. Мы
его будем обозначать в дальнейшем через Q ( Vd).
Легко видеть, что и, обратно, каждое квадратичное поле К
имеет только что указанный вид. Докажем это. Если а принад-
принадлежит К и не рационально, то, очевидно, K*=Q(a). Минималь-
Минимальный многочлен для а над Q имеет степень 2, поэтому при не-
некоторых рациональных р и q имеем а2 + рос + q = 0. Положим
2 2
Р = а + —¦; тогда р2 =^ q. Рациональное число ^ q можио
представить в виде c2d, где d целое и свободное от квадратов.
Ясно, что d Ф-1, ибо в противном случае р1, а вместе с ним и а
были бы рациональными. Если теперь 0 = р/с, то 02 = d и К =
= QF), т.е. K = Q{Yd).
Покажем, что для различных_ целых d (отличных от 1 и сво-
свободных от квадратов) поляE( у d) различны. Действительно, если
Q ( Y^d')— Q( Vd\ то l/d' — x + yl/d при некоторых рациональ-
рациональных х и у, откуда _

150 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
и, следовательно,
d' = х2 + dy2, 2ху = 0.
Если у = 0, то d' = а;2, что невозможно. Если же х = 0, то d' =
= dy2 и, значит, d' — d.
Нами доказано, таким образом, что все квадратичные поля
находятся во взаимно однозначном соответствии со всеми целыми
рациональными d?=l, свободными от квадратов.
2. Порядки^ квадратичном поле. Числа поля Q ( У d) имеют
вид a — x + ylfd, где х и у рациональные. Так как характеристи-
характеристический многочлен для а равен
то а будет принадлежать максимальному порядку D поляО( у d)
тогда и только тогда, когда 2a; = Sp(a) и xz — dy2 = N(a) целые
2
рациональные. Положим 2х = т. Так как -т dy2 должно быть
целым, a d свободно от квадратов, то в знаменателе рациональ-
рационального числа у (при несократимой записи) может быть только 2,
т. е. у >— ге/2 с целым п. Ясно, что N (а) — -г d -т- является це-
целым лишь при условии '
m'-dn'z-O (mod 4). A)
Решения этого сравнения зависят, очевидно, от d, точнее, от зна-
значения d по модулю 4. Поскольку d свободно от квадратов, то
d Ф 0 (mod 4), и мы имеем три возможности:
d^l (mod4); d^2(mod4); d = 3(mod4).
Если <2=1 (mod 4), то сравнение A) принимает вид т2^
= пг (mod 4), что эквивалентно условию т^п (mod 2), т. е.
т = п + 21, и мы получаем
с целыми I и га. Таким образом, в этом случае в качестве базиса
максимального порядка D (т. е. в качестве фундаментального
базиса поля Q ( у 2), см. конец § 2) можно взять числа 1 в
1+J/J
со- 2 .
Пусть теперь <2 = 2 или 3 (mod 4). Если бы сравнение A)
имело решение с нечетным п, то из d ^ m2 (mod 4) следовало бы
dза0 (mod 4) при m четном и d^l (mod 4) при т нечетном.
Это, однако, противоречит нашему предположению. Но если п
четное, то из сравнения т2 = 0 (mod 4) получаем, что и т четное.
Мы получили, таким образом, что в рассматриваемом случае чис-

§7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
151
ло х + yl/d принадлежит максимальному порядку D поля Q( yd)
лишь при целых х •= т/2 и у = п/2. В качестве базиса порядка О
здесь можно взять, следовательно, числа 1 и со = Уй.
В дальнейшем, говоря о базисе максимального порядка поля
Q{ yd), мы всегда будем иметь в виду базис 1, со, где со >—
при й= 1 (mod 4) и со = Уй при d^2, 3 (mod 4).
Рассмотрим теперь произвольный порядок D поля
Так как D содержится в максимальном порядке О (см. § 2, п. 4),
то все числа из D имеют вид х + уа> с целыми рациональными ее
и I/. Выберем среди них число с наименьшим положительным зна-
значением коэффициента у. Пусть это будет а + /со. Так как а, бу-
будучи целым рациональным числом, содержится в D, то /со ^ Q.
Ясно теперь, что для всякого х + г/со из D коэффициент г/ делит-
делится на /, а значит ?) = {1, /со). Обратно, по лемме 3 § 2 при любом
натуральном / модуль {1, /со} является кольцом, а значит, и
порядком поля Q( yd). Так как для различных натуральных /
порядки {1, /со) также различны, то мы получаем следующий
факт: все порядки в квадратичном поле находятся во взаимно
однозначном соответствии со всеми натуральными числами.
В дальнейшем порядок {1, /со) мы будем обозначать через D/.
Легко видеть, что число / равно индексу порядка О/ в максималь-
максимальном порядке ?) = Ог={1, со). Таким образом, каждый порядок
квадратичного поля вполне определяется своим индексом в мак-
максимальном порядке.
Займемся вычислением дискриминанта Df порядка D/. Пред-
Предположим сначала, что <2= 1 (mod 4). Так как ЭрУй = О, то
и, следовательно,
Если теперь
Sp I Sp /со
Sp /со Sp /2co2
или 3 (mod 4), то
Spl Sp/Vd"
2 /
/ f—y
О
0 2/2d
f4.
= f -
Полученные формулы для Df показывают нам, что каждый поря-
порядок в квадратичном поле однозначно определен своим дискри-
дискриминантом.
Результаты этого пункта объединим в виде следующей тео-»
ремы.

J52 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Теорема 1. Пусть d?=l — свободное от квадратов целое
рациональное число. В качестве базиса максимального порядка D
квадратичного поля Q( yd) можно взять числа 1 и со, где <о =*
при d = 1 (mod 4) и <а = Yd при d = 2, 3 (mod 4).
криминант Di порядка D (т. е. дискриминант поляО( у d)) равен
d в первом случае и Ad — во втором. Произвольный порядок D
поля Q ( У d) имеет вид ?>f = {1, /со), где / — индекс (D : D). Дис-
криминант порядка Df равен Dif.
3. Единицы. Так как всякое число порядка ?)t представляется
в виде х + i//co с целыми рациональными х и у, то по теореме 4
§ 2 мы найдем все единицы в Of, если решим неопределенное
уравнение
Жж+г//М)=±1, B)
т. е. уравнение
xz + fzy + f*i=*yi=.±i C)
при d= I (mod 4) и уравнение
а:2 - df г/2 = ±1 D)
при d = 2, 3 (mod 4).
Для мнимого квадратичного поля s = 0, ? = 1, г = s + t — 1 = О,
а это означает, что группа единиц в любом порядке этого поля
конечна и исчерпывается корнями из 1. Этот факт согласуется
также с тем, что уравнения C) и D) при d < 0 имеют лишь
конечное число целочисленных решений. Именно, при d — —i,
/ = 1 уравнение D) имеет четыре решения: х = ±\, у = 0; ж —О,
j/'=±l, что соответствует корням ±1, ±? четвертой степени из 1.
При d=— 3, / = 1 уравнение C) имеет шесть решений: x = ±i,
у = 0; х = 0, г/ = ±1; ж = 1,- г/ = —1_; х~—1, у = 1, соответствую-
соответствующих всем корням ±1, ±-7j-±—|— шестой степени из 1. Для
всех остальных порядков мнимых квадратичных полей уравнения
C) или соответственно D) имеют лишь два решения: ж = =Ы,
у = 0, т. е. все их единицы исчерпываются числами ±1.
Сложнее случай вещественного квадратичного поля Q.(yd)s
d>0. Так как в этом случае s = 2, ? = 0 и, следовательно, г =
= 1, то все единицы порядка D/ поляОA/о) имеют вид ±е",
где е — так называемая основная единица порядка ?>f. Вопрос
здесь сводится, таким образом, к определению основной едини-
единицы е. Вместе с е числа 1/е, —е, —1/е также являются основными
единицами. Можно поэтому считать, что е>1. Ясно, что усло-
условием е > 1 основная единица е определена однозначно.
Покажем, что для единицы г\ > 1 из D} в ее представлении
т) = х + у/со через базис 1, /<о коэффициенты х и у положительны

7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 153
v
(при d — 5, / = 1 возможно х = 0). Для всякого а е Q ( yd) через
а' будем обозначать сопряженное с ним число, т. е. образ а при
автоморфизме Id -*—Id поляО( Vd). Легко видеть, что (» — ©'>
>0. Так как lV(r\) = т]Т]'«=±1, то единица т]' равна либо 1/т],
либо — 1/т]; в обоих случаях т) — т)' > 0, т. е. т//(чо — со') > 0, а зна-
значит, у>0. Далее, так как \i]'\ — \х + yfal < 1 и /<»'<— 1, за
исключением случая d = 5, /=1, то #>0 (если d = 5, /=1, то
1 —1/5"
— 1 <С /со' = y— <0и мы получаем х ^ 0).
Пусть е > 1 — основная единица порядка Of. Для единицы
гп =ху + у if (л с натуральным п имеем Xi > x и yi>y. Следова-
Следовательно, чтобы найти основную единицу е > 1, мы должны найти
целочисленное решение уравнения' B) с наименьшими положи-
положительными значениями х та. у. Пользуясь результатами п. 3 § 5,
мы можем эти искомые значения х и у ограничить сверху неко-
некоторой константой С, после чего их нахождение сводится к конеч-
конечному числу испытаний.
Мы покажем сейчас, что число проб, необходимых для вычис-
вычисления основной единицы, может быть значительно сокращено,
если воспользоваться одним фактом из теории непрерывных дро-
дробей. Речь идет о теореме, утверждающей, что если для веществен-
вещественного | > 0 и натуральных взаимно простых хну имеет место
неравенство
X
У
то — необходимо является одной из подходящих дробей разло-
разложения числа | в непрерывную дробь.
В силу B)
4 + /о)'
f
-+- у/ш)'
Если d=l (mod 4), то, оставив в стороне случай d = 5, /=1,
получаем
с ,V5-l'
2
/ х Л/1, 4-1 „\ „
I так как —
поскольку х2 = fdy2 ± 1 Ss dyz — 1 ^ y2(d — 1) и d ^ 2, имеем
" о 2'
0 и /—-^— >¦ 2). Если же d==2, 3 (mod 4), то,
= fdy2 dz I > dyz — 1 > y2(d— 1) и d &* 2, имеем
Согласно упомянутой теореме несократимое отношение х/у явля-
является одной из подходящих дробей разложения иррационального
числа —/со' в непрерывную дробь. Чтобы найти наименьшее по-
положительное решение уравнения B), мы должны, следовательно,

154
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
испытывать лишь числители и соответствующие им знаменатели
подходящих дробей для —/со' (не превосходящие заранее вычис-
вычисленной константы С). Практически вычисления целесообразно
вести следующим образом. Для числа —/со' находим последова-
последовательно неполные частные qk (к>0) и сразу же — числители Ph
и знаменатели Qh соответствующих подходящих дробей. Вычис-
Вычисления продолжаем до тех пор, пока на некотором шаге выраже-
выражение N(Ph + (dfQh) не окажется равным +1 или —1. Это обязатель-
обязательно наступит при Рк<С, и основная единица е = Р* + со/<?» будет
найдена. (Для исключенного случая d = 5, / = 1 основной еди-
единицей будет ю = о '
Проиллюстрируем сказанное двумя
примерами.
Пример 1. Чтобы найти основную единицу порядка
{1, ЗУ6} поля Q (/б) , разложим число —3<»' = ЗУ6 в непрерыв-
непрерывную дробь:
/54 = 7 + ( /54 - 7),
1 __о , 1/54-3
5 _, ,
__ -1+
5 '
V54-6
—,
У54-6
2
У54-6
_9
У54-3
6 +
1 +
1/54 — 6
2 '
У 54 — 3
=H -_9. + V54-7-
Одновременно заполняем таблицу:
ft
Ph
Qh
0
7
7
1
——Q
1
2
15
2
9
2
1
22
3
-2
3
6
147
20
9
4
1
169
23
—о
5
2
485
66
1
Основная_ единица порядка {1, ЗУ6} равна, следовательно,
485+ 66-ЗУ6 =485+19816. _
Пример 2. Вычислим основную единицу поля Q(/4l).
Имеем:
1/41-1 0 , У41-5
V41-3

§7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
155
h
ч
pk
0
2
2
1
—4
1
1
3
1
2
2
2
8
3
—2
3
2
19
7
4
4
1
27
10
—1
Основная единица максимального порядка поля
равна, таким образом,
27 + 10^^=32
4. Модули. Перейдем к изучению полных модулей в квадра-
квадратичных полях. Так как всякий модуль {а, $} подобен модулю
1, —|, то мы можем ограничиться рассмотрением модулей вида
Всякое нерациональное число у из Q(yd) является корнем
некоторого многочлена а1г + Ы + с с целыми рациональными
коэффициентами. Если мы на а, Ъ, с наложим условия (а, Ъ, с)=
= 1 и а > 0, то для данного y многочлен а?2 + Ь? + с будет опре-
определен однозначно. Будем обозначать его в дальнейшем через
фт(?). Ясно, что для сопряженного числа у' имеем qy (t) = <Pv(?)
более того, равенство <pVl @ = Фт W имеет место тогда и только
тогда, когда ^i равно либо Y, либо ч'• _
Лемма 1. Если для нерационального числа f из Q.\y d)
многочлен <pTU) равен at2 + bt + с, то кольцом множителей
О модуля М = {1, у} является порядок {1, ау} с дискриминантом
D = Ъ2 — 4ас.
Доказательство. Рассмотрим число а — х + уу с рацио-
рациональными х ж у. Так как включение аМ<= М равносильно тому,
что а. ¦ \ = х ~\~ у\ ^ М и
а-у = — —
то а принадлежит кольцу множителей Q тогда и только тогда,
когда рациональные числа
Ъу_
а
Я, у, —, —
все целые, т. е. когда х и у целые и, кроме того, у делится на а
(последнее вытекает из того, что (а, Ь, с) = 1). Этим доказано,
что U = {1, ay). Для завершения доказательства леммы 1

156 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. И
остается вычислить дискриминант порядка Q:
D
Sp I Sp ay
2 —Ъ
— Ъ Ьа-2ас
Ь3 — 4ас.
Spay
Следствие. При тех же обозначениях норма модуля {1, *{)
равна —•
Действительно, матрица перехода от базиса 1, ссу к базису 1,
1 равна
1 0 \
Лемма 2. Для того чтобы модули {1, ^ и U, ^ были по-
подобны, необходимо и достаточно, чтобы числа -\i и ¦у были свя-
связаны соотношением
7i =
где целые рациональные к, I, m, n таковы, что
k l
m n
± I- F)
Доказательство. Так как два различных базиса в одном
и том же модуле связаны между собой унимодулярным преобра-
преобразованием (см. § 2, п. 1), то из равенства {a, afi} = {l, f} сле-
следует, что
afi = kf + I, a == my + n,
причем целые рациональные к, I, m, n удовлетворяют условию
F). Разделив первое из этих равенств на второе, мы и получим
E). Обратно, пусть ^i и -у связаны соотношением E). Тогда
<*• *> - ^Т-п № + п,ку + 1} = ^-п A, у}
(равенство {тпу + п, к^ + 1} = {1, ^ имеет место в силу F)).
Доказательство леммы 2 закончено.
Рассмотрим в поле Q ( Yd) модули, принадлежащие некото-
некоторому фиксированному порядку Q (т. е. для которых Q является
кольцом множителей). Согласно теореме 3 § 6 все эти модули
разбиваются на конечное число классов подобных модулей. Мы
введем сейчас действие умножения классов и покажем, что отно-
относительно него все классы подобных модулей, принадлежащие
данному порядку U, образуют группу.
Если М = (а, р) и Mi = {аи ^} — два модуля, то под их
произведением MMt понимается модуль {aah сф4, paf, fi^i)
(см. задачу 7 § 2). Очевидно, что при Я Ф 0 и [г Ф 0 справедлива
формула

§7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 157
Для каждого модуля М через [М] будем обозначать класс подоб-
подобных модулей, содержащий М в качестве представителя. Из ра-
равенства G) следует, что класс [MMJ зависит лишь от классов
[М] и [MJ. Класс [ММу\ называется произведением классов [Ml
и [MJ. Чтобы перемножить два класса, надо, следовательно, вы-
выбрать произвольно представители в этих классах и перемножить
их. Класс подобных модулей, содержащий полученное произве-
произведение, и будет произведением данных классов.
Для каждого модуля М через М' обозначим модуль, состоя-
состоящий из сопряженных чисел а' для всех а из М. Так как а + а' =
= Sp а рационально, то ос'е Q( V^d), а значит, W вместе с М
является также полным модулем поля Q( yd). Легко видеть, что
для любого порядка Q сопряженный с ним модуль Q' совпадает
с Q. Отсюда следует, что сопряженные модули имеют одно и то
же кольцо множителей.
Докажем формулу
ММ' = ЛЧМ )О, . (8)
в которой Q обозначает кольцо множителей, a N(M) — норму
модуля М.
Предположим сначала, что модуль М имеет вид {1, i). В этом
случае, воспользовавшись обозначениями леммы 1, мы получаем
ММ'- = {1, 7}{1, Y'} = {1,т, Y'. YY'} =
Так как а, Ъ и с взаимно просты, то все их целочисленные ли-
линейные комбинацнн совпадают с кольцом целых чисел Z, и, сле-
следовательно,
ММ' = 1- {1, ay} = -i- О = N (М) О
(следствие леммы 1). Если теперь М — произвольный модуль, то
его можно представить в виде М = аМи где Mt имеет вид {1, 'у).
Ввиду теоремы 2 § 6 мы получаем
ММ' = aa'M^lh = N (а) N (A/x) О = | N (а) 1N (АД) О = N (М) О,
и формула (8) доказана в общем случае.
Пусть теперь М и Mi — два модуля, принадлежащие одному
и тому же порядку Q. Если U — кольцо множителей для произ-
произведения ММи то ввиду формулы (8)
С другой стороны, так как умножение модулей, очевидно, комму-
коммутативно и ассоциативно, то, перемножив формулы MM' = i\AM)&

158 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
и MjMi = N (Mj) D, получим
ММ .{ММ.У = ЖЛШ(Д/1)?.
Сравнивая это равенство с предыдущим и замечая, что различные
лорядки не могут быть подобны, приходим к равенству ?} = ?}.
Попутно, в силу того что равенство а& = ЬО, с положительными
рациональными а ж Ъ возможно только при а = Ь, мы получаем
формулу
Таким образом, если модули М и Л/4 принадлежат порядку Q,
то их произведение MMt также принадлежит ?}. Так как, далее,
для всякого модуля М с кольцом множителей ?} одновременно
М и М(^-jp-M'I = О, то мы получаем следующий ре-
результат.
Теорема 2. Все модули квадратичного поля, принадлежа-
принадлежащие фиксированному порядку, относительно действия умножения
модулей образуют коммутативную группу.
Via этой теоремы и теоремы 3 § 6 очевидным образом вытекает
Теорема 3. Все классы подобных модулей квадратичного
поля с данным кольцом множителей Q образуют конечную ком-
коммутативную группу.
Отметим, что теоремы 2 и 3 характерны только для модулей
в квадратичных полях и перестают быть справедливыми для мо-
модулей, принадлежащих немаксимальным порядкам произвольного,
поля алгебраических чисел (см. задачу 18 § 2).
5. Соответствие между модулями и формами. Согласно п. 3
§ 1 каждому базису а, р полного модуля MczQ( у d) однознач-
однозначно соответствует бинарная квадратичная форма N(ax + $у) с ра-
рациональными коэффициентами. Так как для различных базисов
в М соответствующие им формы эквивалентны, то модулю М со-
соответствует целый класс эквивалентных форм. Далее, если вместо
М взять подобный с ним модуль "\М, то все наши формы приоб-
приобретут постоянный множитель Ж if). Следовательно, рассматривая
формы с точностью до постоянного множителя, можно сказать,
что каждому классу подобных модулей соответствует некоторый
класс эквивалентных форм. Это соответствие, однако, не будет
взаимно однозначным. Действительно, сопряженные между собой
модули М = (а, р} и М' = (а', р'}, вообще говоря, не подобны,
а соответствующие им формы совпадают. Аналогичное явление,
очевидно, имеет место и для разложимых форм любых степеней.
В общем случае, по-видимому, не существует естественного спо-
способа устранить это несоответствие между классами форм и клас-
классами модулей. Но для квадратичных полей, как мы сейчас уви-
увидим, можно восстановить взаимную однозначность, если только

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 159
слегка изменить определения эквивалентности форм и подобия
модулей.
Определение. Бинарная квадратичная форма fix, у) =
= Ахг + Вху + Су2 с целыми рациональными коэффициентами,
называется примитивной, если общий наибольший делитель ее
коэффициентов равен 1.
Целое число В2 — 4АС называется дискриминантом примитив-
примитивной формы /.
Дискриминант примитивной формы, следовательно, отличает-
отличается от ее определителя АС — 574 постоянным множителем —4.
Легко видеть, что для примитивной формы всякая эквива-
эквивалентная с ней форма будет также примитивной. При линейном
преобразовании переменных с матрицей С определитель квадра-
квадратичной формы приобретает множитель (det СJ, а значит, он не
меняется, если только detC = ±l. Отсюда следует, что эквива-
эквивалентные примитивные формы имеют один и тот же дискри-
дискриминант.
Определение. Две примитивные формы называются соб-
собственно эквивалентными, если одна из них преобразуется в дру-
другую с помощью целочисленного линейного преобразования пере-
переменных с определителем +1.
Все примитивные бинарные квадратичные формы разбиваются
на классы собственно эквивалентных форм. В дальнейшем на
протяжении всего настоящего пункта, говоря о классах форм,
мы будем подразумевать, что речь идет о собственной эквива-
эквивалентности. Часто случается все же, что две формы, эквивалент-
эквивалентные несобственно (т. е. переводящиеся друг в друга линейным
преобразованием с определителем —1), будут также и собственно
эквивалентны.
Дадим теперь новое определение подобия модулей.
Определение. Два полных модуля М и Mi в квадратич-
квадратичном поле называются подобными в узком смысле, если Mi = aM
при некотором а с положительной нормой.
Так как для мнимого квадратичного поля норма всякого а?=(У
положительна, то в этих полях понятие подобия в узком смысле
ничем не отличается от обычного понятия подобия. То же самое-
будет иметь место и в случае вещественного квадратичного поля,
если только в кольце множителей ?} рассматриваемых модулей
имеется единица е, для которой Ме) = —1. Действительно, если
М, — аМ и Жа)<0, то, поскольку гМ = М, имеем Mi = iae)M,
причем Мае) > 0. Обратно, пусть подобие в узком смысле сов-
совпадает с обычным, т. е. из Mi = аМ, Ма)< 0 следует сущест-
существование Р, для которого Ж{5) >0 и Л/4 = ?М/. Полагая е = оф~',
имеем ъМ = М, а это означает (см. § 2, п. 3), что е — единица
кольца множителей О, причем Же) => — 1.
Таким образом, понятие подобия в узком смысле отличается
от обычного понятия подобия лишь для тех модулей веществен-

160 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. П~
ного квадратичного ноля, в кольце множителей которых все еди-
единицы имеют норму +1. Ясно, что в этом случае каждый класс
модулей, подобных в широком смысле, разбиьается в точности на
два класса в узком смысле.
Опишем теперь соответствие между классами модулей и клас-
классами форм. _
В каждом модуле М поля Q\Vd) мы будем рассматривать
лишь такие базисы а, [}, для которых определитель
Д =
(9)
удовлетворяет условию:
Д>0 при d>0, 4~Л>0 пРи d<0. (Ю)
(Как и ранее, а' и р" здесь обозначают числа изО( у d), сопря-
сопряженные с а и [э. Базисы в М, обладающие свойством A0), всегда
существуют: если первый попавшийся базис «i, <Хг им не обла-
обладает, то достаточно «i и а2 поменять местами.)
Каждому базису a, (J модуля М, удовлетворяющему условию
A0), поставим в соответствие форму
/ {X, У)- АХ + tixy + Су - щщ щщ (И)
(iV(Af) — норма модуля М). Если мы для числа ч = ~Р/а введем
в рассмотрение cpr(i) = af + bt + с (см. начало п. 4), то будем,
очевидно, иметь
N (ах + ?,у)=^ {ах2 + Ъху + ^2).
С другой стороны, по следствию леммы 1 и по теореме 2 § 6
норма модуля Л/=>аA, ^} равна \N(a)\/a. Отсюда следует, что
коэффициенты А, В, С отличаются от а, Ъ, с, возможно, лишь
знаком. Этим доказано, что форма A1) примитивна и ее дискри-
дискриминант Вг — ААС совпадает с дискриминантом Ъг — Аас кольца
множителей модуля М (лемма 1). Таким образом, мы имеем
отображение
{а, ^-/(г, у), A2)
которое каждому базису a, (J поляСЦ у d) с условием A0) сопо-
сопоставляет примитивную форму fix, у) (в случае вещественного
поля коэффициент А может быть отрицательным). Очевидно при
этом, что в случае мнимого квадратичного поля форма A1) всегда
положительно определенная, так что отрицательно определенные
формы остаются вне соответствия A2).
Теорема 4. Пусть WI есть совокупность всех классов подоб-
подобных в узком смысле модулей квадратичного поля Q( у d) и 5 —

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 161
совокупность всех при d > 0 и положительно определенных при
d < 0 классов собственно эквивалентных примитивных бинарных
квадратичных форм, разлагающихся в Q( V^d) на линейные мно-
множители. Отображение A2) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между Tt и %; при этом, если некоторый класс мо-
модулей принадлежит кольцу множителей с дискриминантом D, то
соответствующие ему формы также имеют дискриминант D.
Пусть а, р и <xi, Pi — два базиса nonaQ(Y^d), для которых
определители вида (9) удовлетворяют условию A0), и пусть этим
базисам соответствуют формы / и /4. Для доказательства теоре-
теоремы 4 мы должны показать, что формы / и f\ собственно эквива-
эквивалентны тогда и только тогда, когда модули {а, [}} и {аи $J по-
подобны в узком смысле. Далее, мы должны убедиться, что для
всякой неприводимой примитивной формы gix, у) (раскладываю-
(раскладывающейся на линейные множители в Q ( у d) и положительно опре-
определенной, если только d < 0) существует базис а, р с условием
A0), для которого форма A1) совпадает с g{x, у). Ограничив-
Ограничившись этим общим указанием, мы подробное проведение доказа-
доказательства предоставляем читателю.
В п. 4 было определено произведение классов подобных моду-
модулей. Точно таким же образом мы можем определить произведе-
произведение классов модулей, подобных в узком смысле. В силу взаимно
однозначного соответствия Ш -*• 5 умножение классов модулей
может быть перенесено на классы форм. Так определенное дей-
действие умножения на % носит название композиции классов форм
(термин исходит от Гаусса, который впервые это действие рас-
рассматривал). Так как все классы подобных в узком смысле мо-
модулей, принадлежащие фиксированному кольцу множителей,
образуют, как легко видеть, группу, то, следовательно, все классы
примитивных форм данного дискриминанта D (положительно
определенных при D < 0) также образуют группу.
6. Представление чисел бинарными формами и подобие моду-
модулей. В этом пункте мы покажем, что задача о нахождении пред-
представлений целых чисел бинарными квадратичными формами мо-
может быть сведена к задаче о подобии модулей в квадратичном
поле.
Пусть fix, у) — примитивная бинарная квадратичная форма
дискриминанта D?=0, раскладывающаяся на линейные множи-
множители в полеО(]^й), и m — натуральное число. В случае Z)<0
мы предполагаем, что форма / положительно определенная. За-
Задача состоит в нахождении всех целочисленных решений неопре-
неопределенного уравнения
fix, y) = m A3)
(мы ограничиваемся положительными значениями тп, так как
в случае те<0, D>0 вместо / можно рассмотреть форму —/)»

162 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Согласно теореме 4 форму / мы можем представить в виде
7КХ>У) N(M) '
где базис а, $ модуля М удовлетворяет условию A0). Отображе-
Отображение {х, у) -*¦ % ±= ах + $у устанавливает взаимно однозначное со-
соответствие между решениями уравнения A3) и числами | <= М
с нормой Nib,) = mN(M). Два решения уравнения A3) назовем
ассоциированными, если ассоциированы соответствующие им чис-
числа из М. Легко проверить, что понятие ассоциированности реше-
решений не зависит от выбора представления A4). Обозначим через
?) кольцо множителей модуля М и через С класс модулей в уз-
узком смысле, содержащий М в качестве представителя. Согласна
теореме 4 класс С однозначно определен формой /.
Предположим, что мы имеем число |ef с нормой mN(M).
Рассмотрим модуль А=*%М~*. Так как AM = \М~1М = |& <= Мг
то модуль А содержится в Q. Его норма равна Ni^NiM)'1 = т.
Ясно также, что А содержится в обратном классе модулей С~*.
Обратно, предположим, что в классе С~1 имеется модуль Аг
который содержится в кольце Q и имеет норму т. Тогда при не-
некотором | с положительной нормой мы имеем равенство А =
= |Ж"', при этом 1 е МА <= М и М?) = т. Если At — другой мо-
модуль из класса С~1, содержащийся в О и с нормой т, и если
Л1 = 11М~1, Mgi)>0, то Ai = %,i\~iA, а значит, At совпадает с А
тогда и только тогда, когда |t ассоциировано с |.
Нами доказана, таким образом, следующая теорема.
Теорема 5. Пусть форма fix, у) соответствует классу мо-
модулей С (в узком смысле) с кольцом множителей D. Все классы
ассоциированных решений уравнения A3) находятся во взаимна
однозначном соответствии со всеми модулями А, которые принад-
принадлежат обратному классу С~\ содержатся в кольце множителей
D и имеют норму т. Решения (х, у), соответствующие модулю
А, определяются числами |, для которых А = %М~1, Ж?) > 0,
где М — модуль из класса С.
Для любого натурального тп мы легко можем выписать все
модули А с кольцом множителей D, которые содержатся в D и
имеют норму т. Пусть А — такой модуль. Обозначим через к
наименьшее натуральное число, содержащееся в А. Модуль А
мы можем тогда записать в виде
Образующая f определена здесь с точностью до знака и целочис-
целочисленного слагаемого. Мы можем поэтому f выбрать так, чтобы,
во-первых,
Im7>0 при d<0, Irrf>0 при d>0 A5>
обозначает иррациональную часть числа у) и, во-вто-

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 163
рых, чтобы рациональная часть f содержалась в промежутке
(—1/2, 1/2]. Если для числа ч мы примем обозначения леммы 1
и запишем его в виде
то второе наше условие примет вид
-а<Ь<а. A7)
В силу равенства О = {1, ау} (см. доказательство леммы 1) и
условия А <= D мы легко получаем, что к делится на а, т. е. к =
= as с целым s. Так как т = N (А) = к2 — (следствие к лем-
лемме 1), то
m = as\ A8)
Покажем, что найденное представление модуля А в виде
4}, A9)
где a, s и f подчинены условиям A8), A5) и A7), единственно.
В самом деле, если asil, ^} = a1s1{l, ^J, где аи s, и ъ подчинены
тем же требованиям, то as=^aisl и, значит, {1, у) = И, yj. В си-
силу следствия леммы 1 отсюда получаем равенство а = аг и, сле-
следовательно, s = Si. Кроме того, так как образующая f в модуле
{!) th удовлетворяющая условиям A5) и A7), определена одно-
однозначно, то f = V
Предположим теперь, наоборот, что по заданному т натураль-
натуральные числа а и s выбраны так, что выполнено равенство A8).
Если & и с удовлетворяют условиям:
b2-Aac = D, (а, Ь, с) = 1, -а<Ъ<а, B0)
то для числа ^ вида A6) модуль А = asil, 4} будет содержаться
в своем кольце множителей D = A, aj) и его норма будет равна
a2s2— __ TOi
а
Таким образом, мы будем иметь все нужные нам модули А,
если найдем все четверки целых чисел s > 0, а > 0, Ъ, с, удовлет-
удовлетворяющие условиям A8) и B0).
Если мы располагаем алгоритмом, с помощью которого можно
решить вопрос о подобии в узком смысле любых двух полных
модулей поля Q( у й),то, выписав все модули A^D с нормой т,
мы сможем выделить из них те, которые подобны модулю М~1.
Согласно теореме 5 это даст нам все решения уравнения A3).
Из теоремы 5 очевидным образом вытекает следующее утвер-
утверждение.
Теорема 6. Для того чтобы натуральное число тп пред-
представлялось некоторой примитивной бинарной квадратичной фор-

164 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
мой дискриминанта D, необходимо и достаточно, чтобы в порядке
D дискриминанта D существовал модуль А, принадлежащий
этому порядку и имеющий норму тп. Последнее равносильно
существованию целых s > О, а > О, Ъ, с, удовлетворяющих усло-
условиям: тп = asz, Ь2 — 4ас — D, {а, Ъ, с) = 1, -а «? Ъ < а.
В случае, когда D есть дискриминант максимального порядка
D, второе утверждение теоремы 6 допускает упрощение. Именно,
имеет место
Теорема 7. Пусть D — дискриминант квадратичного поля
(т. е. дискриминант максимального порядка). Для того чтобы на-
натуральное число m = as2, где а свободно от квадратов, представ-
представлялось некоторой бинарной примитивной формой дискриминанта
D, необходимо и достаточно, чтобы было разрешимо сравнение
22 = ?>Сто<14а). B1)
Доказательство теоремы 7 мы предоставляем читателю.
7. Подобие модулей в мнимом квадратичном поле. В случае
мнимого квадратичного поля Q ( У d), d < 0, существует особенно
простой способ решения задачи о подобии модулей.
Геометрическое изображение чисел а е Q( V^d) точками про-
пространства R2 (см. § 3, п. 1) совпадает с обычным изображением
комплексных чисел на плоскости комплексной переменной. Числа
полного модуля М cz Q( V^d) изображаются при этом точками
(или векторами) некоторой полной решетки в К2- В дальнейшем
в этом пункте мы часто не будем различать комплексные числа
и их изображения на плоскости R2. В связи с этим соответствую-
соответствующая модулю М решетка в R2 будет обозначаться также через
М. Так как .умножение всех точек решетки М на комплексное
число \ Ф 0 сводится к повороту решетки М (вокруг начала) на
угол argg и к растяжению в ||1 раз, то для подобных модулей
М и %М соответствующие им решетки подобны в элементарно
геометрическом смысле. На этом очевидном свойстве и будет
основано наше дальнейшее изложение.
Вопрос о подобии решеток на плоскости решается путем по-
построения в каждой из них некоторого особого базиса, называемо-
называемого приведенным. Приведенный базис а, [} состоит из кратчайшего
ненулевого вектора а и кратчайшего из неколлинеарных ему век-
векторов р (подчиненных, сверх того, некоторым дополнительным
условиям). Покажем, что в любой решетке М такая пара век-
векторов а, и р всегда образует базис. Действительно, если бы это
было не так, то в М существовал бы вектор | = иа + v$, у ко-
которого вещественные и и v не являются одновременно целыми.
Прибавив к этому вектору надлежащую целочисленную линей-
линейную комбинацию а и $, мы можем, очевидно, добиться того, что-
чтобы Ы «S1/2 и Ы «S 1/2. Если vФ0, то по выбору [J должно

7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
165
быть |gi > Ipl, что противоречит неравенству
|||<|иа| + |1;Р|<4-1а1 + т1Р1<1Р1-
Если же v — 0, то 111 = | иа | ^ -у | а | < | а ( вопреки выбору а.
Наше утверждение, таким образом, доказано.
Если а — какой-нибудь из кратчайших векторов, а Р — крат-
кратчайший из неколлинеарных ему векторов, то длина проекции
вектора [J на вектор а не превосходит -^-1 ot |. В самом деле, среди
векторов р + па {п целое) существует, очевидно, вектор с длиной
проекции, не превосходящей-т>-| ос |. С другой стороны, из векто-
векторов (J + па наименьшую длину имеет вектор с наименьшей про-
проекцией.
Рассмотрим теперь для данной решетки М все отличные от
нуля кратчайшие векторы и их число обозначим через w. Так
как вместе с а вектор — а также будет кратчайшим, то число w
четное. Далее, угол между двумя различными кратчайшими
векторами а и а' не может быть меньше я/3, поскольку в яро-
тивном случае принадлежащий решетке вектор а — а' имел бы
меньшую длину. Следовательно, w < 6, а значит, для числа крат-
кратчайших векторов возможны лишь следующие значения: w = 2,
w = 4, w = 6.
Рис. 1.
Рис. 2.
Приступим к построению в решетке М приведенного базиса.
Если w = 2, то в качестве а берем любой из двух кратчайших
векторов. Среди векторов, неколлинеарных с а, наименьшую
длину могут иметь два или четыре вектора (см. рис. 1 и 2).
В качестве j} мы выбираем тот из них, для которого угол ф, от-
отсчитываемый от а к р в положительном направлении (против
часовой стрелки), наименьший. Если же w = 4 или w = 6, то в
качестве приведенного базиса выбираем пару различных крат-

166
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
чайших векторов а и ? так, чтобы угол ф, отсчитываемый от а
к (J в положительном направлении, был наименьшим.
Легко видеть, что приведенный базис определяется решеткой
однозначно с точностью до поворота, переводящего решетку в
себя. Именно в случаях, когда w — 2 или когда w = 4, но я/3 <
<Ф<я/2 (см. рис. 3), имеется два приведенных базиса и они
1 ОС
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
переходят друг в друга при повороте на угол, кратный я. При
w = 4, ф = л/2 (рис. 4) мы имеем дело с квадратной решеткой,
которая имеет четыре приведенных базиса, переходящих друг в
друга при поворотах на углы, кратные я/2. Наконец, при w = 6
мы имеем шесть приведенных базисов, которые переходят друг
в друга при поворотах на углы, кратные я/3 (рпс. 5; окружность
делится на 6 равных частей, так как углы между кратчайшими
векторами не могут быть меньше я/3).
Пользуясь понятием приведенного базиса, теперь уже легко
решить вопрос о подобии решеток на плоскости.
Теорема 8. Решетки М и Ж4 в К2 подобны тогда и только
тогда, когда подобны их приведенные базисы (т. е. переходят
друг в друга при повороте и равномерном растяжении).
Доказательство. Пусть a, [J и ai, ^ — приведенные ба-
базисы решеток М и Mi. Если \М — МЧ то |а, §[} будет, очевидно,
приведенным базисом М1ф Этот базис, как мы видели, при пово-
повороте на некоторый угол должен перейти в базис аи р4; поэтому
существует такое число г] (являющееся корнем степени 1, 2, 4
или 6 из единицы), что т]|а = at, ц?,$ = (Jt. Таким образом, базис
a,, Pi получается из базиса a, [J поворотом на угол arg (т]?) и рас-
растяжением в |т)?| раз, что и означает подобие этих базисов. Об-
Обратное утверждение теоремы очевидно.
Перейдем к описанию классов подобных модулей мнимого
квадратичного поля. Пусть М — произвольный модуль в Q ( V^d),
d<0, и a, [J — какой-нибудь приведенный базис в М. Перейдем
к подобному модулю —М = {1, vb где Ч = $/а. Базис 1, 7 здесь
а

§7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
167
также приведенный. Из определения приведенного базиса легко
следует, что число f удовлетворяет условиям:
Im ч > О, B2)
-1/2 < Re -у *S 1/2, B3)
|^|>1, если — l/2<Ref<0,
1, если
0 < Re
1/2.
B4)
Определение. Число f из мнимого квадратичного поля
называется приведенным, если оно удовлетворяет условиям B2),
B3) и B4). Вместе с f модуль {1, 7} ,y
также называется приведенным.
Геометрически условие приведенно-
приведенности числа 1 означает, что его изобра-
изображение иа комплексной плоскости при-
принадлежит области Г, указанной на
рис. 6 (выделенная часть границы,
включая точку i, причисляется к Г, ос-
остальная часть — нет).
Теорема 9. В каждом классе по-
подобных модулей мнимого квадратичного
поля Q ( У d), d < 0, содержится один
и только один приведенный модуль.
Доказательство. Тот факт, что
в каждом классе имеется приведенный
модуль, уже доказан. Остается только
проверить, что различные приведенные модули не могут быть по-
подобны. Для этого докажем сначала, что для любого приведенного
4 = x + yi числа 1, к образуют приведенный базис решетки {1, if}.
Нам надо убедиться, что <у есть кратчайший из векторов решетки
{1, f}, не лежащих на вещественной прямой, т. е. что 1й + ?к1 5*
> |f| при любых целых k ш 1Ф0. Так как \х\ < 1/2, то
\к± f I2 = (к±х)г + yz>x2 + у2 = Ifl2.
Если же |Z| ^= 2, то
/л _1_ /is/ _^ 1^11 ^> У 7/ ^> -Г
1 Гъ 1^ I Y ] ^"^ Ь у -^ ?i\f ^^ Л,
' г и 2
Рис. 6.
что и доказывает наше утверждение. Пусть теперь ^ и Yi — Два
приведенных числа. Если модули {1, f} и {1, ^} подобны, то по
теореме 8 базисы 1, f и 1, ^4 подобны. Но это, как легко сообра-
сообразить, возможно только при 7 = fi. Теорема 9 этим доказана
полностью.
Для полного решения вопроса о подобии модулей в мнимом
квадратичном поле нам надо еще иметь алгоритм для нахожде-
нахождения приведенного модуля, подобного заданному. Такой алгоритм

168 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
сформулирован в задаче 24. Чтобы узнать, подобны модули М,
и Мг или нет, мы находим подобные с ними приведенные мо-
модули: исходные модули Mt и М2 подобны между собой тогда и
только тогда, когда соответствующие им приведенные модули
совпадают.
Замечание. В доказательстве теоремы 9 мы фактически
нигде не использовали того, что рассматриваемые модули содер-
содержатся в некотором мнимом квадратичном поле. Утверждение
этой теоремы справедливо, следовательно, для произвольных пло-
скпх решеток: всякая решетка на комплексной плоскости подоб-
подобна одной и только одной решетке вида {1, ^}, зЗе i — некоторое
число из области Г, указанной на рис. 6. Согласно лемме 2 (ко-
(которая без каких бы то ни было изменений применима и к про-
произвольным плоским решеткам) две решетки вида {1, к) и {1, у)
подобны тогда и только тогда, когда числа к и f связаны соот-
соотношением
ту -(- п' — '
с целыми рациональными к, I, т, п. Такая пара невещественных
комплексных чисел называется модулярно эквивалентной. Полу-
Полученный нами результат означает, таким образом, что каждое не-
невещественное комплексное число модулярно эквивалентно одному
и только одному числу из области Г. Саму область Г. часто на-
называют модулярной фигурой. Согласно сказанному выше ее точ-
точки взаимно однозначно соответствуют классам подобных решеток
на плоскости. Задача о подобии плоских решеток встречается в
связи с многими вопросами, в особенности в теории эллиптиче-
эллиптических функций. Каждое поле эллиптических функций задается
своей решеткой периодов, причем два поля эллиптических функ-
функций изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие
им решетки периодов подобны (см., например, [21]). Таким об-
образом, точки модулярной фигуры Г взаимно однозначно соответ-
соответствуют типам неизоморфных полей эллиптических функций.
Множество всех классов подобных решеток может быть па-
параметризовано также с помощью всех комплексных чисел. Что-
Чтобы такую параметризацию указать, достаточно определить вза-
взаимно однозначное соответствие между всеми точками модуляр-
модулярной фигуры Г и всеми точками комплексной плоскости. Это
можно сделать при помощи- модулярных функций, т. е. меро-
морфных функций /Ы, заданных на верхней комплексной полу-
полуплоскости Im z > 0 и принимающих равные значения для моду-
модулярно эквивалентных точек (при надлежащем уточнении меро-
мероморфности в бесконечно удаленной точке). Среди модулярных
функций имеется одна особенно важная функция /Ы, которая
однозначно определяется условиями:

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 169
1) область значений /Ы совпадает с множеством всех комп-
комплексных чисел;
2) если /(z) = f(z'), то z и z' модулярно эквивалентны (т. е.
z' = (kz + l)/(mz + п), кп — ml = 1, с целыми рациональными к,
I, т, п) и
3) /(_.*_+* 10 = 1, /@=s=0.
Модулярная функция, определенная этими условиями, называет-
называется абсолютным инвариантом и обозначается через jiz). Функция
j(z) дает нам взаимно однозначное соответствие между всеми
точками модулярной фигуры Г и всеми комплексными числами.
Следовательно, все значения абсолютного инварианта j(z) опи-
описывают также все классы подобных друг другу решеток, и тем
самым дают нам параметризацию всех типов иеизоморфных по-
полей эллиптических функций.
Модулярная функция j{z) имеет много различных теоретико-
числовых приложений. Большая часть пх связана с так назы-
называемой теорией комплексного умножения. Согласно этой теории,
если точка z верхней полуплоскости соответствует решетке,
подобной модулю М с кольцом множителей D в некотором
квадратичном поле К — Q( yd), d < О, то значение j(z) явля-
является целым алгебраическим числом, причем степень (Q (/ (z)): Q)
равна числу h классов подобных модулей, имеющих порядок О
своим кольцом множителей (см. Ш, [19]).
Рассмотрим теперь классы подобных модулей, принадлежа-
принадлежащих некоторому фиксированному порядку ?) с дискриминантом
D< 0. Пусть модуль {1, f}, f e Г, принадлежит порядку D. Если
для числа f мы воспользуемся обозначениями леммы 1 и запи-
запишем его в виде
-6 + iVro"!
Y 2a '
то условия B3) и B4) дадут
—а^Ь<а, с^а при Ь<0, с>а при Ь>0. B5)
Таким образом, чтобы получить полную систему приведенных
модулей мнимого квадратичного поля, принадлежащих порядку
с дискриминантом D, надо найти все тройки целых чисел а > 0,
Ь, с, удовлетворяющих неравенствам B5), а также условиям
?) = Ь2-4ас, (а, Ъ, с) = 1. B6)
Согласно теореме 3 § 6 число таких троек конечно, что, впро-
впрочем, ясно и непосредственно, так как в силу неравенств
a2 = 3a2, \b\ <a< V|Z>|/3,
при заданном D для а и Ь, а значит и для с, мы имеем лишь
конечное число возможностей.

170 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ: II
Пример 1. Найдем число классов модулей, принадлежащих
максимальному порядку_поля Q ( у—47). Так как здесь D =
=> —47, то 1 Ъ | ^ а < 1/ -д-. Принимая во внимание, что при не-
нечетном D число Ъ также нечетно, имеем следующие возможности:
Ь = ±1, Ь = ±3. Во втором случае мы должны были бы иметь:
Ь2 — D = 56 = 4ас, ас = 14, 3 *? a *S с, что, однако, невозможно.
Если же Ь — ±1, то Ъг — D = 48 = 4ас, откуда
а = 1, с = 12; а = 2, с = 6; а = 3, с = 4.
Поскольку случай 6 = 1 = а должен быть исключен, то получа-
получаем, что для максимального порядка поля Q{Y—47) имеется
5 классов подобных модулей. Представителями в этих классах
являются приведенные модули {1, у}, где f равно одному из
чисел:
1 + i У47 + 1 + t ~Vtf ± 1 + ' 1/47
2 4 6
В предшествующем пункте было отмечено, что наличие алго-
алгоритма для решения вопроса о подобии модулей в квадратичном
поле дает возможность решать уравнения вида A3).
Пример 2. Найдем в модуле М = {13, 1 + 5?} все числа с
нормой 650. Кольцом множителей здесь является порядок О =
= {1, Ы) с дискриминантом D = —100. Так как ММ) = 13, то
мы должны прежде всего выписать модули 4cD, принадлежа-
принадлежащие порядку О и имеющие норму т — 650/13 = 50. Условия A8)
и B0) дают нам следующие возможности:
1) s = 5, a = 2, Ъ = -2, с = 13;
2) s = l, а = 50, Ь = 10, с = 1;
3) s = l, а = 50, fc = —10, с = 1;
4) s = l, а = 50, Ь = -50, с =13.
Для каждого из этих четырех случаев составляем модуль А
вида A9) и находим подобный с ним приведенный модуль:
10 {l, i±i!}, 50 {l, Ц±+) = (- 5 + 5i) {1, 5*},
50 (l, i±i} = E + 50 {1,50, 50{l, ^±i] = 10*{l,.
Находим также приведенный модуль для М~и.
l
1*
13 / — 13
Модули Л в случаях 2) и 3) отбрасываются, так как они не
подобны М~1. Для оставшихся случаев 1) и 4) равенство А =
|Ж4 выполняется при | == 5 + 25i и | = —25 + Ы. Так как в О

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 171
имеется только две единицы: ±1, то получаем окончательно, что
в модуле М имеется четыре числа: ±E + 250 и ±(—25 + 5i)
с нормой 650.
В рассмотренном примере нами установлено также, что урав-
уравнение 13а:2 + 2ху + 2уг = 50 имеет четыре целочисленных ре-
решения:
х = 0, у = 5; ж = 0, у = -5;
х = 2, г/ = -1; х = -2, у = 1.
Пример 3. Какие натуральные числа представляются фор-
формой х2 + у2?
Дискриминант формы равен D = — 4. Для порядка D = {1, О
поляСЦк —1) (дискриминант — 4) имеется только один приве-
приведенный модуль, так как условия B5) и B6) вьшолняются лишь
при а = с = 1, 6 = 0. Это значит, что все модули, принадлежа-
принадлежащие порядку О, подобны между собой и, следовательно, все би-
бинарные формы дискриминанта —4 эквивалентны форме х2 + у2.
Но эквивалентные формы представляют одни и те же числа,
поэтому согласно теореме 6 форма х2 + у2 представляет число т
тогда и только тогда, когда существует модуль А <= ?), принадле-
принадлежащий порядку ?) и имеющий норму т. Если такой модуль су-
существует, то при некоторых s, a, b, с справедливы равенства:
т = as2, D = —4 = Ъг — Аас, (а, Ь, с) = 1.
Число Ъ здесь необходимо четное, Ъ = 2z, причем z удовлетворяет
сравнению
2() B7)
Обратно, если последнее сравнение при некотором а = mlsz раз-
разрешимо, т. е. z2 = — 1 + ас, то, как легко видеть, (a, 2z, с) = 1,
а значит, существует модуль А <= D, принадлежащий порядку О,
с нормой т, т. е. т представляется формой хг + у1.
Сравнение B7), как известно, разрешимо тогда и только то-
тогда, когда а не делится на 4 и не делится на простое число вида
Ак + 3. Так как а содержит все простые множители, входящие
вив нечетной степени, то получаем окончательно, что т пред-
представляется формой х2 + у2 тогда и только тогда, когда простые
числа вида Ак + 3 входят в т только в четной степени.
Задачи
1. Найти основные единицы в полях Q (~l/l9) и Q A/37).
2. Доказать, что если d =_1 (mod 8) (и свободно от квадратов), то ос-
основная единица порядка {1, Уй}_является также основной единицей и мак-
максимального порядка поля Q (\/d)i d>0.
3. Доказать, что если дискриминант некоторого порядка О в квадратич-
квадратичном поле делится хоть на одно простое число вида 4ге + 3, то яорма всякой
единицы из О равва +1.

172 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ1 II
4. Пусть целое рациональное т > 1 не является полным квадратом.
Показать, что при разложении Уто в непрерывную дробь последовательность
неполных частных имеет вид
go, gi, ..., д., 2д0, Si, ..•, д., 2д0, qi, ...
(при этом qt+l = q.-i, i = 0, 1, ..., s — 1).
5. В тех же обозначениях показать, что если PJQ, — подходящая дробь,
соответствующая предпоследнему члену наименьшего периода, то Р, -f- Qi\'m
является основной единицей порядка {1, Ут} (в полеС2(Ут)).
6. Пусть для модулей Mi ш Иг квадратичного поля кольцами множнге-
лей являются порядки О, nfl, соответственно (относительно обозна-
•1 '2
чений см. конец п. 2). Показать, что для произведения MtM2 кольцом мно-
множителей является порядок О/, где / — общий наибольший делитель ft и /г.
7. Для всякого натурального / через ®f обозначим группу модулей дан-
наго квадратичного поля, принадлежащих порядку Of (см. конец п. 4). По-
Показать, что если d есть делитель /, то отображение М -*• МОа {М е ®t явля-
является гомоморфизмом группы ®f на группу ©d).
8. Пусть | — число из максимального порядка О = {1, со} квадратично-
квадратичного поля, взаимно простое с натуральным /. Показать, что кольцом множите-
множителей для модуля М = {/, /со, |} является Of, а также что МО = О. Показать,
далее, что, и обратно, всякпй модуль М, принадлежащий порядку Of и обла-
обладающий свойством МО = О, имеет вид М = {/, /со, |} при некотором | е О,
взаимно простом с /.
9. Пусть |i и |г — два числа из О, взаимно простые с /. Доказать, что
равенство {/, /и, ?i} = {/, /<а, |г} имеет место тогда и только тогда, когда
s|i = |2 (mod/) при некотором целом рациональном s.
10. Доказать, что для произвольных полных модулей Mi и М2 квадратич-
квадратичного поля (не обязательно принадлежащих одному и тому же порядку)
справедлива формула
Л' (MiM2) =N(Ml)N(M2).
It. Доказать, что число классов h подобных модулей, принадлежащих
максимальному порядку О квадратичного поля, и число классов hf подоб-
подобных модулей, принадлежащих порядку О/ (индекса /), связаны между со-
собой соотношением
* л Ф(Я
где Ф (/) — число классов вычетов в О по модулю /, состоящих из чисел,
взаимно простых с / (аналог функции Эйлера <р(/)), а е/ — индекс группы
единиц порядка ?>/ в группе единиц максимального порядка О.
12. Число Y вещественного квадратичного поля называется приведен-
приведенным, если оно само удовлетворяет условию 0 <у < 1, а для сопряженного
с ним числа Y справедливо неравенство у' < —1. Вместе с f модуль {1, *(}
также называется приведенным. Доказать, что в обозначениях леммы 1 при-
приведенность числа f равносильна выполнению неравенств
0 < Ь < iD, —Ь + УО < 2а < Ь + у5.
Вывести отсюда, что число приведенных модулей, принадлежащих фиксиро-
фиксированному порядку вещественного квадратичного поля, конечно.
13. Пусть if — иррациональное число вещественного квадратичного поля,
удовлетворяющее условию 0 < f < 1, Irr if > 0. Положим
n

§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 173
где целое рациональное число п выбрано так, что 0 < Yi < 1. Доказать, что
в результате конечного числа преобразований {1, у] -*¦ {1, Yi} модуль
{1, y} перейдет в подобный с ним приведенный модуль. Таким образом,
в каждом классе подобных модулей (в обычном смысле) вещественного
квадратичного поля имеется приведенный модуль.
14. Пусть y — приведенное число вещественного квадратичного поля.
Так как sgn у' — —1, то преобразование Y~*fi предшествующей задачи для
приведенного f имеет вид
Доказать, что вместе с f число Yi также приведенное. Оно называется со-
соседним справа к числу *{¦ Исходное число y называется при этом соседним
слева для Yi- Проверить, что для любого приведенного числа Yi всегда су-
существует, и притом только одно, соседнее слева к нему приведенное число Y-
15. Отправляясь от приведенного числа Yo вещественного квадратично-
квадратичного поля, построим последовательность приведенных чисел Yo, Yb Tfe •.., в ко-
которой каждое последующее число является соседним справа для предыду-
предыдущего. При некотором натзгральном т имеет место равенство Ym = Yo, T- e-
наша последовательность приведенных чисел периодическая. Если т вы-
выбрано наименьшим, то числа Yo, Yb • • ч Y">-i различны. Такая конечная по-
последовательность приведенных чисел называется периодом. Доказать, что
два приведенных модуля {1, Y} и {1, y*} подобны (в обычном смысле) тог-
тогда и только тогда, когда приведенные числа 1 и у* принадлежат одному и
тому же периоду.
16. Найти число классов подобных модулей, принадлежащих макси-
максимальному порядку поля <Q(V 10)-
17. Показать, что все целочисленные решения уравнения
Их2 + д&ху + IV = 9
определяются равенствами
(при всех целых ге).
18. Какие из модулей
{1, У15}, {2, 1 + уГ5}, {3, V15}, {35, 20 +
поля Q (~l/i5) подобны между собой?
19. Найти полную систему представителей в классах собственно экви-
эквивалентных примитивных форм с дискриминантом 252.
20. Сколько существует классов собственно эквивалентных примитив-
примитивных форм с дискриминантом 360 ?
21. Какие простые числа представляются формами х2 + 5у2, 2х2 + 1ху +
+ 3»*?
22. Решить в целых числах уравнения:
1) 5х2 + 2ху + 2г/2 == 26;
2) 5*2 - 2i/2 = 3;
3) 80ж2 — у2 = 16.
23. Показать, что уравнения:
1) Ш2 + 34гу + 22у2 = 23;
2) 5х2 + №ху + 13 у2 = 23
не имеют целочисленных решений.
24. Пусть число Y из мнимого квадратичного поля удовлетворяет усло-
условиям Im y > 0, —1/2 < Re y < 1/2, но не является приведенным. Положим

174 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
ух = L+ п, где целое рациональное п выбрано так, что —1/2 < Re fi sg
1
sg 1/2. Если "ii не приведенное, то аналогично полагаем у2 = + nj
и т. д. Доказать, что в результате конечного числа таких преобразований
модуль {1, ^} перейдет в подобный с ним приведенный модуль {1, "(,}.
25. Найти число классов подобных модулей, принадлежащих максималь-
максимальному порядку поля Q (V— 47).
26. Найти в модуле {13, 1 + 5г} все числа с нормой 650.
27. Определить кольца множителей для модулей
{И, 6 + 2tf2}, {2, 1 + il/l], {4, ф}, {2, i}2}.
Какие из этих модулей подобны между собой?
28. Показать, что в поле Q(\/—43) все модули с максимальным по-
порядком в качестве кольца множителей подобны между собой.

Глава III
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
В предшествующей главе мы видели пример того, как решение
теоретико-числовой задачи приводит к рассмотрению глубоких
вопросов теории алгебраических чисел: нахождение целочислен-
целочисленных представлений рациональных чисел полными разложимыми
формами оказалось тесно связанным с теорией единиц в поряд-
порядках полей алгебраических чисел.
Еще большее количество задач теории чисел приводит к дру-
другому важному вопросу арифметики полей алгебраических чисел —
к вопросу о разложении алгебраических чисел на простые мно-
множители.
В настоящей главе мы построим общую теорию разложения
алгебраических чисел на множители и дадим ее приложения
к некоторым задачам теории чисел. Необходимые здесь сведения
из теории колец изложены в § 4 Дополнения. Эти сведения вме-
вместе с теми свойствами конечных расширений полей, которыми мы
уже пользовались во второй главе, составят алгебраический ап-
аппарат этой главы.
С разложением алгебраических чисел на множители особенно
тесно связана теорема Ферма. Исторически именно занятия тео-
теоремой Ферма прпвели Куммера к его работам по арифметике
алгебраических чисел, содержащим ряд основных для этой обла-
области идей.
Мы начнем поэтому с изложения первого результата Куммера
по теореме Ферма как с теоретико-числового введения в общую
теорию разложения алгебраических чисел на простые множители.
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители. Пред-
Предположение, высказанное Ферма, заключается в том, что урав-
уравнение
при п > 2 не имеет решений в отличных от нуля целых рацио-
рациональных числах х, у, z.
Очевидно, что если теорема Ферма доказана для некоторого
показателя п, то тем самым она доказана и для всех показателей,
кратных п. Так как всякое целое п > 2 делится или на 4, или на
•нечетное простое число, то можно поэтому ограничиться случая-

176 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
ми, когда показатель равен либо 4, либо нечетному простому
числу. Для п = 4 элементарное доказательство теоремы Ферма
дано самим Ферма. Мы ограничимся в дальнейшем изучением
уравнения
z\ A)
в котором показатель I есть нечетное простое число. Очевидно,
что в уравнении A) числа х, у, z можно считать попарно взаимно
простыми.
Для тех значений Z, для которых доказательство теоремы
Ферма найдено, оно обычно разбивается на два случая: во-пер-
во-первых, доказывается, что уравнение A) не имеет решений в целых
х, у, z, не делящихся на Z, и, во-вторых, что оно не имеет реше-
решений в целых х, у, z, среди которых одно (и только одно) делится
на I. Эти два случая называются соответственно первым и вторым
случаями теоремы Ферма. Из имеющихся в настоящее время до-
доказательств различных частных случаев можно, по-видимому,
сделать вывод, что принципиальные трудности в первом и втором
случаях теоремы Ферма приблизительно одинаковы, хотя техни-
технически первый случай рассматривается проще. Мы займемся здесь
лишь первым случаем теоремы Ферма.
Связь теоремы Ферма с задачей о разложении алгебраических
чисел на простые множители выясняется из следующих простых
соображений. Если через ? мы обозначим первообразный корень
1-ш степени из 1, то уравнение A) можно будет переписать в виде
li(x + ?y) = zl. B)
fe=o
Для целых рациональных чисел из того, что произведение не-
нескольких взаимно простых множителей является 1-й степенью,
следует в силу однозначности разложения на простые множители,
что каждый сомножитель в отдельности также есть 1-я степень.
Множители в левой части равенства B) принадлежат полю ал-
алгебраических чисел Q (?) степени I — 1 над Q (легко показать,
что многочлен t1'1 + tl~z + ... + t + 1 при простом I непрпводим
над полем рациональных чисел; см., например, задачу 6 или
теорему 1 § 2 гл. V). Рассмотрим в поле Q (?) порядок D —
= {1, ?, ..., 5г~2} (согласно теореме 1 § 5 гл. V D является мак-
максимальным порядком поля Q(S))- Предположим, что в кольце О
разложение чисел на простые множители однозначно. Тогда для
а. ат
любого аеД аФ0, в разложении а = елх ... пт , где е — еди-
единица кольца Ь, а простые числа л4, ..., яг попарно не ассоцииро-
ассоциированы, показатели аи ..., аг определены однозначно (см. § 2, п. 2).
Ясно, что каждое простое число я, входящее в разложение
числа z\ входит в это разложение с показателем, кратным I.
С другой стороны, ниже будет доказано, что, когда мы имеем
дело с первым случаем теоремы Ферма, числа х + Ъ>кУ (А = 0, 1, ...

§ i] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 177
..., 1 — 1) поларно взаимно просты. Следовательно, если мы
х + ?*# представим в виде произведения степеней простых мно-
множителей, то каждое простое число из этого разложения будет
входить в него с показателем, также кратным I. Это значит, что
каждое х + ?,ку с точностью до множителя, являющегося едини-
единицей, будет 1-й степенью. В частности,
х + ty = еа!, C)
где е — единица кольца SiaeD.
Так как равенство х' + у' = zl ввиду нечетности I может быть
записано также в виде х1 + (—zI = (—у)\ то аналогичным обра-
образом МЫ ПОЛУЧИЛ1
х — tz^e^l C')
Равенства C) и C'), оказывается, уже сравнительно легко
могут быть приведены к противоречию. Если это будет сделано,
то тем самым будет доказана неразрешимость уравнения A)
в целых ж, у, z, не делящихся на I (прп сделанном предположе-
предположении относительно кольца ?)).
После этих вводных замечаний установим несколько вспомо-
гательных фактов, относящихся к свойствам кольца D.
2. Кольцо Z [?]. Лемма 1. В кольце ? = Z [?] число 1 — t,
является простым, и для I имеем разложение
1 = е*И-1У-\ D)
где е* — единица в ?).
Доказательство. Полагая в разложении
t равным 1, получим
2 = (l-?)(l-g2)...(l-?'-1). E)
Если а = r(?) — произвольное число поля Q (?) (здесь r(t) —
многочлен с рациональными коэффициентами), то числа
о»(а) =г(?*), 1*?A*?Z-1 F)
мы можем рассматривать как образы а при изоморфизмах Q (?)
в поле всех комплексных чисел. Другими словами, числа F) со-
согласно терминологии п. 3 § 2 Дополнения являются сопряжен-
1—1
ными для а, а значит, Лг(а) = Пг(?> В частности, при s Ф
Ф 0 (mod l) мы имеем
Г) = ПA-е') = ПA-?") = г.
h=l k=l

178 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ III
Отсюда следует, что 1 — ?, 1 — ?2, ..., 1 — ?'"' являются про-
простыми числами в кольце D. Действительно, если 1 — %,' = сф, то
-Жос)Жр) = I, а потому либо Ма) = 1, либо Ж§) = 1, т. е. один
из сомножителей необходимо является единицей (теорема 4 § 2
гл. II). Переходя в равенстве
1 + ... + 5s-1) = A - ?)е3 G)
к нормам, получаем, что Же.) = 1, а значит, е„ — единица в D.
Таким образом, все числа 1 — ?" при s ^ 0 (mod Z) ассоциированы
с 1 — ?. Разложение D) вытекает теперь из E) и G).
Лемма 2. Если целое рациональное число а делится на
1 — ? (в кольце О), то оио делится и на I.
Доказательство. Пусть а = A — ?)а, где аеО. Перехо-
Переходя в этом равенстве к нормам, получим al~l — INia), где Жа)
целое рациональное. Так как Z простое, то а делится на I.
Лемма 3. Все корни из 1, содержащиеся в поле Q(?), мс-
черпываются корнями степени 21 из 1.
Доказательство. Все корни из 1, содержащиеся в Q(?)>
принадлежат, очевидно, максимальному порядку. Согласно тео-
теореме 2 § 3 гл. II все они образуют конечную циклическую
группу. Обозначим через m порядок этой группы и через г\ ка-
какой-нибудь первообразный корень степени m из 1. Так как — ?
принадлежит Q (?) и является первообразным корнем степени
2Z из 1, то m делится на 2Z. В § 2 гл. V (следствие теоремы 1)
нами будет доказано, что степень поля Q(n) наД Q равна ф(?п),
где ф(т) — теоретико-числовая функция Эйлера. Положим
т = 1гт0, (т0, I) = 1, г 5^1, ??г0 > 2.
Так как Q (л) содержится в Q(?), а степень последнего поля
равна Z—1, то ф(т) = lT~l(l — 1)<р(лг0) ^ Z — 1. Из этого неравен-
неравенства следует, что г = 1 и ф(пг0) = 1. Так как условия ф(пг0) = 1
и т0 ^ 2 возможны лишь при т0 = 2, то тге = 21, и лемма 3
доказана.
Лемма 4 (лемма Куммера). Всякая единица кольца D яв-
является произведением степени % на вещественную единицу.
Доказательство. Пусть
в = ао + а1?+ ... + at-?l~2 = г (?), HjeZ
— произвольная единица кольца D. Очевидно, что комплексно
сопряженное число е = К?~*) = nit,1'1) также будет единицей
кольца D. Рассмотрим единицу ц = е/е е?), В силу F) числа,
сопряженные с ц, имеют вид
о»(ц) = r(
Так как г(?*) и r(^~ft) комплексно сопряжены между собой, то
|аА(р,)| = 1 (при всех & = 1, ..., Z— 1). По теореме 2 § 3 гл. II ц

§ I] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 179
есть корень из 1, а значит, в силу леммы 3
Покажем, что в правой части этого равенства стоит знак плюс.
Действительно, в противном случае мы имели бы равенство
е = -?«ё.
Рассмотрим его как сравнение в кольце О по модулю Я = 1 — ?.
Так как ?=sl(modA), то все степени ? также сравнимы с 1 по
модулю Я, п мы получаем
e = e = ao + ai + ... + аг_2 = М (mod К),
а значит, М = — М (mod А,), или 2M = 0(modX). В силу леммы 2
отсюда следует, что
2M = 0(mod», М** 0 (modI), ЛГ = 0 (mod A,),
откуда е = 0 (mod Я), а это противоречит тому, что г — единица
кольца ?). Таким образом, е = ?ае.
Найдем теперь такое целое число s, что 2s = a (mod l). Тогда
?а = ?2s и равенство е = ?2se можно переписать в виде
Полученное равенство означает, что единица т] = e/^s веществен-
вещественна. Таким образом, е представляется в виде произведения ?," на
вещественную единицу г), что и требовалось доказать.
Лемма 5. Пусть х и у — целые рациональные числа. Для
того чтобы х + t,my и х + ?,пу при тп^п (mod Z) были взаимно
просты (т. е. чтобы единицы были их единственными общими
делителями), необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, х и у
были взаимно просты и, во-вторых, чтобы х + у не делилось на I.
Доказательство. Если х и у имеют общий делитель
d>i, то х + t,my и x + t,ny, очевидно, делятся на d. Если же
х + у делится на I, то х + t,my и х + t,ny имеют общий делитель
1 — ? (не являющийся единицей). В самом деле,
х + 1ту = х + у + Aт-1)у = (х + у)-A-1)гту =» 0 (mod 1-Е).
Таким образом, необходимость обоих условий доказана. Для до-
доказательства достаточности мы покажем, что в кольце О суще-
существуют такие ?0 и т]0, что
Рассмотрим совокупность А всех чисел вида
где | и т] независимо друг от друга пробегают все числа из D.
Очевидно, что если mi P принадлежат А, то и любая их линей-

180 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
ная комбинация а|' + рт)' с коэффициентами ?', ц' из О также
принадлежат А. Нам надо доказать, что число 1 принадлежит А.
Из равенств
(х + SV
8„-т
заключаем, что A—?)у^А и A-^bei (так как ?т8„
единица кольца D). В силу взаимной простоты х ж у существуют
такие целые рациональные а и Ъ, что ах + by = 1, поэтому
A - Qxa + A - ?)#Ь = 1 - I е= Л.
Далее, >
а: + у = (х + 1ту) + A - ЪГ)у = (х + t,my) + A - %)гту,
а значит, х + у^А. Так как Z делится на 1 — ?, то Zeyl. Со-
Согласно второму условию леммы числа х + у ж I взаимно просты.
Следовательно, при некоторых целых рациональных ими имеем
(х + у)и + lv = 1, откуда и следует, что lei. Лемма 5, таким
образом, доказана.
3. Теорема Ферма в случае однозначности разложения на мно-
множители. Теорема 1. Пусть I — простое нечетное число и t,—
первообразный корень степени I из 1. Если в порядке О = 1 [?,] =
= {1, ?,..., ?г~2} поля Q(?) разложение на простые множители
однозначно, то для показателя I справедлив первый случай теоре-
теоремы Ферма, т. е. уравнение
не имеет решений в целых рациональных числах х, у, z, не деля-
делящихся на I.
Доказательство. Простое число 3 будет играть в нашем
доказательстве особую роль, поэтому случай 1 = 3 рассмотрим
отдельно. Покажем, что не только уравнение х3 4- г/3 = z3, но и
сравнение х3 + у3 = z3 (mod 9) не имеет решений в числах, не
делящихся на 3. В самом деле, допустим, что последнее сравне-
сравнение имеет место. Тогда из сравнения х3 + у3 = z3 (mod 3) будет
следовать (в силу малой теоремы Ферма) х + у = z (mod3), т. е.
z — x + у + Ъи, а значит,
х3 + у* = (х + у + ЪиK = х* + у3 + Зх2у + Зху2 (mod 9),
откуда 0 = хгу + хуг = ху(х + у) = xyz (mod 3).
Таким образом, одно из чисел х, у, z должно делиться на 3,
и наше утверждение доказано.
Пусть теперь I !Э= 5. Доказывая теорему от противного, пред-
предположим, что для некоторых целых рациональных х, у, z, попар-
попарно взаимно простых и не делящихся на I, имеет место равенство
х1 + у1 = z\ которое мы можем записать также в виде B). Так
как х + у^х' + у'^гФО(modI) и, кроме того, х и у взаимно

§ 1] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 181
просты, то по лемме 5 все числа x + %hy (k = Q, I, ..., I— 1) по-
попарно взаимно просты. А тогда, как уже было показано в п. 1,
ввиду однозначности разложения на простые множители из B)
следуют равенства
х + Zy = га1, C)
х — & = гха[, C')
в которых е и е4 — единицы кольца О. Мы уже отмечали, что на-
наличие равенств C) и C') ведет к противоречию. Более того, мы
покажем сейчас, что противоречивыми оказываются даже соот-
соответствующие сравнения в кольце D по модулю I.
Пусть а = а0 + afc + ... + a;-2S' с целыми рациональными а„,
аи ..., а,-2. Тогда
ее' = а\ + а\Ъ1 + ... + а/-2:'(г-2) = М (mod I),
где М = ав + at + ... + а(_2. В силу леммы Куммера единица г
может быть представлена в виде 8 = %sr\, где г) — вещественная
единица. Следовательно, из равенства C) получаем сравнение
х + & = ^цМ = ?s
с вещественным числом | е О. Это сравнение мы можем также
переписать в виде
. (8)
Заметим теперь, что для любого аеО комплексно сопряжен-
сопряженное число а также принадлежит О. Если мы имеем сравнение
a = p(mod?), то a —§ = Z*f, откуда a — P = ^f и, следовательно,
a = p (mod Z). Переходя в сравнении (8) к комплексно сопряжен-
сопряженным числам, получим
1. (9)
Но | = |, поэтому из (8) и (9) следует, что
t,-°(x + Ъу) - Ъ*{х + l~ly) (mod I),
пли
х%' + yV~l ~ я?~8 - yV~s = 0 (mod I). A0)
Очевидно, что произвольное число из D, представленное в ка-
каноническом виде а0 + ui% + ... + at-zt,1'2, делится на I тогда и
только тогда, когда все коэффициенты я0, ..., аь-г делятся на I.
Если показатели
s, s— 1, —s, 1 — s A1)
попарно не сравнимы между собой и не сравнимы с I — 1 по мо-
модулю I, то число, стоящее в левой части сравнения A0), будет
иметь канонический вид, а тогда из этого сравнения должно сле-
следовать, что все коэффициенты делятся на I. Таким образом, в этом

182
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. Ill
случае # = 0(modZ) и j/ = 0(modZ), что, однако, невозможно, так
как х ж у взаимно просты (и не делятся на Z).
Рассмотрим теперь те случаи, когда левая часть сравнения A0)
не является каноническим представлением, т. е. когда среди чи-
чисел A1) имеются сравнимые с Z —1 или сравнимые между собой
по модулю I. Один из показателей A1) будет сравним с Z—1 по
модулю I лишь при следующих значениях (по модулю I) этих
показателей:
1
S
0
1
2
1
1
1
S—1
2
— 1
0
1
1
1
1
0
—
1
2
1—S
2
1
0
г-i
Мы видим, что в каждом из этих случаев имеется только один
показатель, сравнимый с Z— 1 (ибо Z>5). Для того чтобы левую
часть сравнения A0) записать в канонической форме, надо вос-
воспользоваться равенством
Подставляя это выражение в тот член левой части A0), в кото-
котором показатель сравним с Z — 1 по модулю Z, мы получим вместо
этого члена сумму одночленов 1, ?, ..., ?;~2 с коэффициентами
tfcx или ±у. Так как число этих одночленов равно I — 1 > 4 (ибо
I ^ 5), то при приведении подобных члепов хоть один из них не
сократится с оставшимися тремя членами левой части сравне-
сравнения A0). Но тогда из сравнения A0), левая часть которого уже
записана в каноническом виде, будет следовать ±х = 0 (mod D
или ±г/ = 0 (mod Z), что опять невозможно, так как х и у, по
предположению, не делятся на I.
Остается рассмотреть еще случай, когда среди показателей
A1) имеются сравнимые между собой по модулю I. Сравнения
s = s — 1 (mod Z) и — s = 1 — s (mod Z), очевидно, вообще невозмож-
невозможны. Если s = —s (mod Z) или s — 1 = 1 — s (mod Z), то имеем соот-
соответственно s = 0 (mod Z) и s = 1 (mod l), что отвечает уже разобран-
разобранным случаям s—1 = Z—1 (modZ) и — s = Z— 1 (modZ). Из двух
оставшихся возможностей s = 1 — s (mod Z) и s — 1 = — s (mod Z)
следует, что s= (Z+D/2(modZ). В этом случае сравнение A0)
принимает вид
(х - y)Vl+i)n + (у- х)Ъ{1-1Iг - 0 (mod Z).
Так как левая часть этого сравнения записана в каноническом
виде (показатели (Z+ 0/2 и (I— 0/2 не сравнимы между собой и

§ 1] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 183
не сравнимы с I — 1), то из него следует, что
х^ у (modZ).
Аналогичным образом из C') мы получим
х = — z (mod I).
Из сравнения х + у = х1 4- у1 = zl = z (mod V) следует теперь, что
2х = —х (mod I) или Зх = 0 (mod I). Так как IФ 3, то а; = 0 (mod I),
и мы снова пришли к противоречию. Этим доказательство тео-
теоремы 1 закончено.
Применяя более тонкие свойства целых чисел поля Q (?),
Куммер доказал, что если простое число I удовлетворяет условию
теоремы 1, то для показателя I справедлив и второй случай тео-
теоремы Ферма.
Обобщение теоремы 1 на более широкий класс показателей I
будет приведено в п. 3 § 7 настоящей главы. Для тех же показа-
показателей I второй случай теоремы Ферма будет доказан в п. 1
§ 7 гл. V.
Сделаем к теореме 1 несколько замечаний.
Замечание 1. Основной частью доказательства теоремы
является доказательство неразрешимости некоторых сравнений
по модулю I. Из этого, конечно, не следует, что мы доказываем
неразрешимость сравнения х1 + у1 = z4mod l). Так как это срав-
сравнение равносильно сравнению х Л-у s= z (mod I), то оно всегда
имеет решение, состоящее из чисел, не делящихся на I. Более
того, можно показать, что, например, нрн 1 = 1 уравнение х1 +
4- у1 = z7, будучи рассмотрено как сравнение по модулю 1т при
любом т ~3^ 1 имеет решение в числах х, у, z, не делящихся на 7
(см. задачу 3 § 5 гл. I).
Таким образом, доказательство неразрешимости уравнения A)
основывается на сведении его к уравнениям C) и C') при по-
помощи теории разложения на множители в кольце Z [?] и на
применении теории сравнений к полученным уравнениям.
Замечание 2. Ясно, что соображения, которые мы приме-
применили в этом параграфе к теореме Ферма, могут быть примене-
применены и к другим аналогичным задачам, но при этом вместо круго-
кругового поля Q (Q надо будет использовать другие поля алгебраи-
алгебраических чисел (задача 2).
Замечание 3. Если мы захотим применить доказанную
теорему к какому-либо конкретному Z, то обнаружим, что не мо-
можем этого сделать, так как не располагаем способом, который
давал бы возможность определить, однозначно ли разложение
целых чисел поля Q (?,) на простые множители.
В связи с этим мы приходим к следующим двум основным
вопросам теории алгебраических чисел:
1. В каких полях алгебраических чисел К разложение целых
чисел на простые множители однозначно?

184 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ 1ГЛ. HI
2. Как видоизменяются арифметические закономерности в тех
полях К, в которых разложение целых чисел на простые множи-
множители неоднозначно?
Замечание 4. В настоящее время известно [106], что
в кольце Z Ш, где ? — первообразный корень степени I из 1,
однозначность разложения на простые множители имеет место
только для первых семи нечетных простых чисел. Это значит, что
теорема 1 фактически применима лишь для I = 3, 5, 7, 11, 13,.
17, 19. Однако в п. 3 § 7 мы увидим, что утверждение теоремы 1
справедливо для значительно более широкого класса показате-
показателей I. Именно, там будет доказано, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для всех регулярных показателей (определе-
(определение регулярности простого числа приведено в том же п. 3 § 7).
Задачи
1. Доказать, что сравнение Xs + у5 = з5 (mod 52) не имеет решений в
целых рациональных числах х, у, z, не делящихся на 5.
2. Пусть о — первообразный корень 3-й степени из 1. Считая известным,
что в поле Q (со) разложение целых чисел на простые множители однозна-
однозначно, доказать, что уравнение х3 + у3 = 5г3 не имеет решений в целых раци-
рациональных х, у, z, не делящихся на 3.
3. Пусть I — простое число, ? — первообразный корень 1-й степени из 1,
х и у — целые рациональные числа, d — общий наибольший делитель х и
у. Положим б = d, если х + у Ф 0 (mod I), и б = d(l — ?), если х ¦+- у = О
(mod I). Доказать .что б есть общий делитель чисел х + %ту и х + tny (m Ф
s?k n (mod Z) К делящийся на все прочие общие делителя этих чисел.
4. Доказать, что в порядке {1, ?, ..., Z,l~2} поля Q(?) произведение
а^ делится на 1 — ? тогда и только тогда, когда хоть один из сомножите-
сомножителей а или ,3 делится на 1 — t>.
5. Используя понятие сравнимости целочисленных многочленов, пока-
показать, что г'-1 + ... + t + 1 = (t — 1)'-' (mod I).
6. Доказать неприводимость многочлена ?!~' + ... + '+ 1 над полем ра-
рациональных чисел, рассматривая сравнения для целочисленных многочленов
по модулю I2.
§ 2. Разложение на множителя
1. Простые множители. В предшествующем параграфе мы ви-
видели пример того, как задачи теории чисел приводят нас к вопро-
вопросу о разложении на простые множители в порядках полей
алгебраических чисел. С другими примерами такого рода мы
познакомимся позже. Сейчас мы займемся исследованием
с общей точки зрения вопроса о разложении на простые множи-
множители.
Для того чтобы говорить о разложении на простые множители,
нам необходимо фиксировать кольцо D, элементы которого мы
будем раскладывать на множители. Мы начнем с того, что сфор-
сформулируем нашу задачу в самом общем виде и ввиду этого не бу-
будем накладывать на это кольцо никаких условий, кроме того, что
оно коммутативно, не имеет делителей нуля и содержит единицу.

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ 185
В дальнейшем эти условия постоянно будут предполагаться вы-
выполненными без специальных оговорок.
Определение. Элемент я кольца D, отличный от нуля и
не являющийся единицей, называется простым, если он не может
быть разложен на множители я = сф, ни один из которых не
является единицей в D. '
Простота элемента означает,1 таким образом, что он делится
только на единицы и на ассоциированные с ним элементы.
Не во всяком кольце простые элементы существуют, и, следо-
следовательно, не всегда элементы кольца могут быть представлены
в виде произведения простых элементов. Возьмем, например,
в качестве D кольцо всех целых алгебраических чисел. Для вся-
всякого а Ф 0 из D, не являющегося единицей, имеем разложение
а = УаУа, в котором множители принадлежат кольцу D и также
не являются единицами. Таким образом, все неединпцы в D до-
допускают разложения на нетривиальные множители, а это и озна-
означает, что в D простых элементов нет.
Примерами колец, в которых разложение на простые множи-
множители возможно, могут служить порядки в полях алгебраических
чисел (именно эти кольца нас больше всего интересуют). Простые
элементы в порядках мы будем называть также простыми
числами.
Теорема 1. В произвольном порядке О поля алгебраиче-
алгебраических чисел К каждое отличное от нуля и не являющееся едини-
единицей число может быть представлено в виде произведения простых
чисел.
Доказательство. Согласно теореме 4 § 2 гл. II единицы
е порядка О характеризуются тем, что их нормы Же) равны
±1. Будем доказывать теорему индукцией по абсолютной вели-
величине нормы 1ЖаI числа аеО, Если число а само простое, то
доказывать нечего. Если же а = fly, где § и у — числа из О, не
являющиеся единицами, то
1 < |Ж?)| < ]Жсс)|, 1 < 1ЖуI < 1Жа)|.
По индуктивному предположению [S и у являются произведения-
произведениями простых чисел кольца О. Но тогда ввиду равенства а = Ру и
число а является произведением простых чисел. Теорема 1, таким
образом, доказана.
2. Однозначность разложения. Предполагая теперь, что в не-
некотором кольце D разложение на простые множители возможно,
займемся выяснением вопроса об однозначности такого разложе-
разложения (конечно, с точностью до ассоциированности).
Определение. Будем говорить, что в кольце О разложе-
разложение на простые множители однозначно, если для двух разложений
а = Я1... пг, а = ях .... я8 число сомножителей всегда одинако-

186 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ 1ГЛ. Ill
во (r = s) и при надлежащей нумерации простые элементы п( и
л{ ассоциированы между собой.
В разложении а = л4... пг ассоциированные простые элемен-
элементы можно превратить в равные умножением на надлежащие еди-
единицы. Объединяя затем равные сомножители в степень, мы при-
h hm
дем к разложению вида а = ел^ ... пт , в котором простые
элементы зх1? ..., лт попарно не ассоциированы, а г — единица
кольца О. В случае однозначного разложения на множители
простые элементы я1( ..., ят с точностью до ассоциированности и
показатели ki, ..., кт определены единственным образом.
Классическим примером кольца с однозначным разложением
на множители является кольцо целых рациональных чисел. В об-
общем же случае далеко не для всех колец, в которых разложение
на простые множители возможно, будет иметь место однознач-
однозначность разложения. Так, результат задачи 1 показывает, что из
всех порядков в полях алгебраических чисел только для макси-
максимальных порядков можно рассчитывать на однозначность раз-
разложения.
Однозначность разложения на простые множители в кольце
целых рациональных чисел Z вытекает из теоремы о делении
с остатком, утверждающей, что для любых а и Ъ Ф 0 из Z су-
существуют такие целые q и г, что a = bq + г и |г|<|6|. Если по-
поэтому для произвольного кольца О будет иметь место надлежа-
надлежащий аналог этого деления с остатком, то в О, совершенно так же
как и в ,Z, можно будет доказать однозначность разложения на
простые множители.
Определение. Мы говорим, что в кольце D имеет место
алгоритм деления с остатком, если на отличных от нуля элемен-
элементах o;eD определена функция Hall, принимающая целые неотри-
неотрицательные значения, так, что удовлетворяются следующие
условия:
1) если а=И=0 делится на (j, то Hall 5» ll^ll;
2) для любых элементов а в §^0 в D существуют такие f
и р, что a = PY + P> причем либо р = 0, либо НрИ < НрН. Само коль-
кольцо D называется при этом евклидовым.
Вспомним доказательства однозначности разложения целых
рациональных чисел на простые множители и разложения много-
многочленов на неприводимые множители. В них, помимо общих
свойств колец, используется только теорема о делении с остатком.
Поэтому, дословно повторяя эти доказательства, приходим к сле-
следующему результату.
Теорема 2. В каждом евклидовом кольце разложение эле-
элементов на простые множители возможно и однозначно.
Рассмотрим в качестве примера максимальный порядок D
квадратичного поля Q( К—1) и покажем, что в D имеет место
алгоритм деления с остатком относительно функции Hall = Жа).

§ 2] . РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ 187
Пусть а и р Ф О — произвольные числа из D. Для рациональных
чисел и и у, определенных равенством
-^ = и + v V~U
выберем ближайшие к ним целые рациональные числа х и у:
|и-*|<1/2, \v-y\<l/2.
Если мы положим теперь f = х + г/У—1, р = а —^у, то ввиду не-
неравенства
будем иметь N (р) = iV i-~—у) N ф) <iN (fi), а это и доказывает
наше утверждение.
В силу теоремы 2 мы получаем, следовательно, что в макси-
максимальном порядке поля Q ( у — 1) разложение на простые множи-
множители однозначно.
Таким же образом можно доказать однозначность разложения
и для ряда других колец (см. задачи 3, 4 и 7). Следует отметить,
однако, что существуют кольца, которые не являются евклидо-
евклидовыми, но в которых тем не менее разложение на простые множи-
множители однозначно. Простейшим примером такого кольца может
служить максимальный порядок поля Q(V —19). Отсутствие
в этом кольце алгоритма деления с остатком следует из задачи 6.
То, что в нем разложение на простые множители однозначно, сле-
следует из задачи 11 § 7 этой главы.
Среди максимальных порядков вещественных квадратичных
нолей Q( yd) алгоритмом деления с остатком по норме обладают
те и только те, для которых d равно одному из следующих шест-
шестнадцати значений:
2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73.
3. Примеры неоднозначного разложения. Совсем нетрудно по-
построить примеры противоположного характера, показывающие,
что в максимальных порядках полей алгебраических чисел раз-
разложение на простые множители может быть неоднозначным.
Возьмем, например, поле Q( у— 5).Как показано в п. 2 § 7 гл. II,
числа из максимального порядка ?> этого поля имеют вид а = х +
+ г/У—5 с целыми рациональными х ж у, при этом Ма) =хг + Ъуг.
Для числа 21 в кольце D имеем разложения
21 = 3-7, Ш
21 = A + 2Г—5 )A — 21—5 ). B)
Утверждаем, что в кольце D все сомножители, стоящие справа,

188 теория делимости [гл. ш
простые. Действительно, если бы, например, 3 = оф, где и и Р
не единицы, то из равенства 9 = JV(a[i) =N(d)N($) следовало бы
JV(a) == 3. Этого, однако, не может быть, так как равенство
х2 + Ъуг = 3 с целыми рациональными х и у невозможно. Точно
так же доказывается, что числа 7, 1 + 2У—5, 1 — 2У—5 тоже про-
простые. Так как отношения
3
не принадлежат кольцу О, то числа 3 и 7 не ассоциированы с
1 + 2У—5 и 1 — 2У—5. Мы видим, таким образом, что в D суще-
существуют числа, допускающие существенно различные разложения
на простые множители.
Приведенный пример поля Q ( у— 5), для максимального по-
порядка которого разложение на простые множители неоднозначно,
не представляет собой особенно редкого исключения. Таких при-
примеров можно привести довольно много (см. задачи 10 и 11).
Казалось бы, обнаруженное нами явление неоднозначности
разложения на простые множители в полях алгебраических чи-
чисел делает невозможным построение законченной арифметики ал-
алгебраических чисел, а тем самым лишает нас надежды на воз-
возможность более глубоких применений алгебраических чисел
к задачам теории чисел. Однако на самом деле это не так. В се-
середине прошлого века Куммер показал, что, хотя арифметика
алгебраических чисел радикально отличается от арифметики ра-
рациональных чисел, она может быть развита настолько далеко,
чтобы давать исключительно сильные приложения к теоретико-
числовым вопросам.
Основная идея Куммера заключалась в том, что если в мак-
максимальном порядке О некоторого поля алгебраических чисел
разложение на простые множители неоднозначно, то отличные от
нуля числа из О можно отобразить в некоторое новое множество,
в котором определено умножение и в котором разложение на про-
простые множители уже однозначно. Тогда для всякого числа a ^ 0
из D его образ (а) при этом отображении можно будет однознач-
однозначно представить в виде произведения простых множителей, но эти
простые множители будут принадлежать не нашему кольцу, а не-
некоторому новому множеству. Однозначность разложения, по мыс-
мысли Куммера, должна восстановиться в силу того, что некоторые
простые числа из О (а может быть, и все) отобразятся на непро-
непростые элементы нового множества и потому их образы будут иметь
разложения на нетривиальные множители. Так, в примере мак-
максимального порядка поля Q ( у— 5) для восстановления однознач-
однозначности в разложениях A) и B). должны существовать такие объек-
объекты ¦pi, 1>2, h, 1>4, что

§ 2] РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ 189
(в этих равенствах мы не различали числа и сопоставляемые им
новые объекты). Разложения A) и B) сводятся теперь к разло-
разложениям 21 = Мг • i>3lp4 = "Pips ¦ fzpi, которые отличаются лишь по-
порядком сомножителей.
Сам Куммер называл эти новые объекты идеальными числами.
Теперь их называют дивизорами. Систематическое изложение
теории дивизоров составит содержание следующих параграфов.
Задачи
1. Доказать, что если в некотором порядке D поля алгебраических чи-
чисел К разложение на простые множители однозначно, то этот порядок мак-
максимальный. И вообще: если в кольце О разложение на простые множители
возможно и однозначно, то кольцо О целозамкнуто в своем поле отношений.
2. Доказать, что если в евклидовом кольце элемент а ф 0 делится на fi,
причем а не ассоциировано с j5, то ||«|| > ||{5||.
3. Пусть 2Я есть решетка на плоскости комплексной переменной, точки
которой изображают числа максимального порядка О мнимого квадратично-
квадратичного поля. Доказать что в О алгоритм деления с остатком по норме N(a) име-
имеет место тогда и только тогда, когда сдвиги единичного круга (без грани-
границы) на все векторы решетки Ш покрывают всю плоскость.
4. Показать, что в максимальном порядке мнимого квадратичного поля
Q (~l/d) алгоритм деления с остатком по норме имеет место тогда и толь-
только тогда, когда d равно одному из значении: —1, —2, —3, —7, —11.
5. Доказать, что в мнимом квадратичном поле Q (l/d), где свободное
от квадратов целое d < 0 отлично от —1, —2, —3, —7, —11, норма всякого
целого числа, не равного 0 и ±1, больше трех.
6. Доказать, что, кроме пяти полей, указанных в задаче 4, для всех про-
прочих мнимых квадратичных полей максимальные порядки не являются ев-
евклидовыми кольцами.
Указание. Доказательство провести от противного. Предположим,
что на элементах а максимального порядка О существует функция ||а||,
удовлетворяющая условиям определения п. 2. Среди чисел кольца О, не яв-
являющихся единицами, выберем число y с наименьшим значением Hfli. Тогда
всякое яеОло модулю у будет сравнимо с одним из трех чисел: 0, 1, —1.
7. Доказать существование алгоритма деления с остатком для макси-
максимального порядка поля О(У2).
8. Доказать, что в максимальном порядке поля ©(У— l) каждое нечет-
нечетное простое рациональное число р остается простым, если оно имеет вид
4fe + 3, и раскладывается в произведение р = ял' двух неассоцпированных
простых множителей, если р = 4fe + 1. Найти, далее, разложение числа 2 на
простые множители.
9. Пусть в кольце О имеет место однозначность разложения на простые
множители. Доказать, что тогда для любых а и р из D (не равных одновре-
одновременно нулю) существует такой их общий делитель 6, который делится на
все прочие общие делители аир F называется общим наибольшим дели-
делителем а и Р).
10. Показать, что в максимальном порядке поля Щ~\/—б) имеем суще-
существенно различные разложения на простые множители:
55 = 5 • И = G + "М5) G — У^б), 6 = 2-3 =—(уЗбJ.
11. Проверить, что в максимальном порядке поля О(У— 23) имеем раз-
разложения на простые множители:
1 + У=Г23 1-У^23

190 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
Найти в том же кольце различные разложения числа 8 на простые множи-
множители.
12. Доказать, что если в кольце О все идеалы главные, то О — кольцо с
однозначным разложением на простые множители.
§ 3. Дивизоры
1. Аксиоматическое описание дивизоров. Рассмотрим произ-
произвольное коммутативное кольцо О (с единицей и без делителей
нуля) и постараемся выяснить, какой смысл можно вложить в из-
изложенную в п. 3 § 2 идею отображения отличных от нуля эле-
элементов кольца D в некоторую новую область, в которой разло-
разложение на простые множители однозначно.
Наша теория должна, очевидно, состоять из двух частей: из
построения некоторой совокупности S новых объектов, в которой
разложение на простые множители однозначно, и из сопоставле-
сопоставления ненулевым элементам кольца О элементов совокупности ®.
Начнем с первой части. Для того чтобы в ® можно было говорить
о разложении на множители, там должна быть определена опе-
операция умножения, сопоставляющая любым двум элементам из
3> некоторый третий элемент — их произведение. Эту операцию
мы будем предполагать ассоциативной и коммутативной. Мно-
Множества с такой операцией называются коммутативными полу-
полугруппами. Для наших целей необходимо, далее, потребовать, что-
чтобы в ® была единица, т. е. такой элемент е, что еа = а для всех
В коммутативной полугруппе S с единицей е можно говорить
о делимости элементов: элемент ае® делится па бе®, если
существует такой элемент t^S, что (X = 6с (говорят также, что
Ъ есть делитель ct, или а кратно Ь). Элемент $е®, отличный от
0, называется простым, если он делится только на себя и на еди-
единицу е. Говорят, далее, что в полугруппе ® имеет место одно-
однозначность разложения на простые множители, если каждый эле-
элемент je® может быть представлен в виде произведения простых
элементов
и такое разложение единственно с точностью до порядка сомно-
сомножителей (при г = 0 произведение считается равным единице е).
Однозначность разложения предполагает, таким образом, что в
полугруппе ®, кроме е, нет других обратимых элементов (дели-
(делителей е). Ясно, что полугруппа с однозначным разложением на
множители вполне определяется множеством своих простых эле-
элементов (их мощностью). Простой пример полугруппы с одно-
однозначным разложением на простые множители дает нам совокуп-
совокупность всех натуральных чисел относительно действия умножения.
В полугруппе 3> с однозначным разложением на простые мно-
множители для любых двух элементов существует, очевидно, их об-

§ зг дивизоры 191
щий наибольший делитель (т. е. такой общий делитель, который
делится на все другие общие делители данных элементов), а также
общее наименьшее кратное. Два элемента из ® называются вза-
взаимно простыми, если их общий наибольший делитель равен е.
Отметим несколько элементарных свойств делимости в 35: если
произведение аЬ делится на с и а взаимно просто с с, то Ъ делится
на с; если с делится на взаимно простые элементы а и Ь, то С де-
делится и на произведение ttb; если произведение <хЬ делится на
простой элемент р, то хоть один из сомножителей делится на р.
Перейдем теперь к выявлению условий, которым должна удов-
удовлетворять вторая часть нашей теории — сопоставление элементам
кольца О элементов полугруппы 35.
Обозначим через D* совокупность всех отличных от нуля эле-
элементов кольца ?>. Так как кольцо D по предположению не имеет
делителей нуля, то множество ?>* является полугруппой относи-
относительно действия умножения.
Пусть задано отображение полугруппы D* в полугруппу 3)
с однозначным разложением на простые множители. Образ эле-
элемента а^О* при этом отображении будем обозначать через (ее).
Ясно, что изучение мультипликативной структуры кольца D при
помощи полугруппы 35 будет возможно лишь в том случае, если
при отображении а -*¦ (а) произведению элементов в D* будет со-
соответствовать произведение их образов в 35, т. е. если (оф) =
¦=(а)(р) при всех а и р из ?5*. Мы должны, следовательно, пот-
потребовать, чтобы отображение а -»¦ (а) было гомоморфизмом полу-
полугруппы О* в полугруппу 35. Из делимости а на § в кольцо О
будет тогда следовать, что (а) делится на (р) в полугруппе 35. Что-
Чтобы отношение делимости в D в точности соответствовало дели-
делимости в 35, надо потребовать, чтобы и, обратно, из делимости (ее)
на (р) в полугруппе ? вытекала делимость а на ($ в кольце О.
Мы будем дальше говорить, что элемент а Ф 0 из О делится
на элемент (teS, и писать alec, если (а) делится на а в смысле
делимости в полугруппе S. Будем также считать, что 0 делится
на все элементы из 35.
Совокупность всех элементов кольца D, делящихся на a ^ D*t
замкнута относительно действий сложения и вычитания. Есте-
Естественно потребовать, чтобы это свойство сохранилось и для новых
делителей а из полугруппы 35.
Последним нашим условием будет требование отсутствия в 3)
«лишних» элементов. Под этим мы понимаем то, что два различ-
различных элемента из 5) должны отличаться друг от друга своими
свойствами делимости по отношению к элементам из D.
Мы приходим к следующему определению.
Определение. Под теорией дивизоров кольца D будем
понимать задание некоторой полугруппы 5) с однозначным раз-
разложением на простые множители и гомоморфизма а -*¦ (а) полу-
полугруппы О* в 35, для которых выполнены условия:

192 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
1°. В кольце ?> элемент а <= О* делится на [} е О* тогда и
только тогда, когда (а) делится на ([}) в полугруппе S3.
2°. Если а и $ из О делятся на элемент аеЭ, то а± р также
делится на а.
3°. Если <х и Ъ — два элемента из 3) и если совокупность всех
элементов ае?), делящихся на а, совпадает с совокупностью всех
элементов J3 е ?), делящихся на Ь, то а = #.
Элементы полугруппы 5) называются при этом дивизорами
кольца О, дивизоры вида (а), а ^ О*,— главными дивизорами.
Единичный элемент е полугруппы 3) называется единичным диви-
дивизором, а простой элемент р — простым дивизором.
Из условия 1° определения теории дивизоров очевидным обра-
образом вытекает следующее важное утверждение.
Равенство (а) = (р) имеет место тогда и только тогда, когда
а и р ассоциированы в кольце D. 5 частности, все единицы е
кольца D характеризуются равенством (е) =с.
Теорию дивизоров для кольца D будем обозначать в дальней-
дальнейшем через D* ->- 3).
Данное нами определение теории дивизоров фиксирует только,
что именно мы будем подразумевать под этим понятием. Оно ни в
какой мере не гарантирует ни существования гомоморофизма
О* ->¦ ®, ни его единственности.
В следующем пункте мы рассмотрим вопрос о единственности
теории дивизоров, предполагая, что она существует, а в п. 3
укажем одно важное необходимое (но не достаточное) условие ее
существования.
Существование теории дивизоров для интересующих нас мак-
максимальных порядков в полях алгебраических чисел будет дока-
доказано нами в § 5 (что касается немакспмалышх порядков, то
в них ввиду теоремы 3 теория дивизоров построена быть не
может).
Замечание. Условие 2° в определении теории дивизоров
можно опустить: это условие, как легко показать (см. задачи 11—
13), является следствием условий 1° и 3° [1321.
2. Единственность. Теорема 1. Если для кольца О суще-
существует теория дивизоров, то только одна. Точнее, это означает,
что для любых двух гомоморфизмов D* ->Эй О* -*¦ S', удовлет-
удовлетворяющих определению п. 1, существует изоморфизм S ~ ®', при
котором главные дивизоры, сопоставляемые одному и тому же
элементу aefl*eSne ®', соответствуют друг другу.
Доказательство. Пусть О* -*¦ S и D* ->- 3)' — две теории
дивизоров _кольца D. Для простых дивизоров у е ® и ?'е ®'
через )) и у' обозначим совокупности элементов кольца О, деля-
делящихся на р и на р' соответственно (делимость на" V здесь по-
понимается, конечно, относительно теории О* -*¦ 3), а на f' — отно-
относительно теории D* -*¦ 3)'). Докажем, что для всякого простого
дивизора р' е ф' существует простой дивизор yeS) такой, что

31 - ДИВИЗОРЫ 193
Допустим, что это не так, т. е. что р<?р' для всех простых
дивизоров р ^ 3). Из условия 3" легко следует, что для всякого
дивизора совокупность всех делящихся на него элементов кольца
?> не может состоять только из нуля. Выберем в О элемент {J Ф О,
делящийся на р', и разложим главный дивизор (?) е®На простые
множители:
(Pi, ..., рг — простые дивизоры полугруппы S3). Так как по на-
нашему допущению ^ Ф- р', то для каждого i = 1, ..., г найдется
элемент ^eD, делящийся на р;, но не делящийся на р'. Произ-
fe,. ft, 1, *г
ведение Y= Yi • • • Yr будет делиться, очевидно, Hapt ... pr ,a зна-
значит, в силу условия 1° у будет делиться на ^ в кольце О. Но
в таком случае у должно делиться и на р'. Мы получили проти-
fe, кг ,
воречие, так как произведение Yi • • • Yr не может делиться на р
ввиду простоты р' и ввиду того, что все сомножители у,- не делят-
делятся на у'.
Итак, для всякого простого дивизора р'G ©' найдется такой
простой дивизор ре®, что р^р'. Аналогичным образом в силу
симметрии существует простой дивизор Cf'G Ф', для которого
q' <= р. Покажем, что <?' = р' ц, следовательно, Cf' = р = р'. Действи-
Действительно, по условию 3° в кольце О существует элемент |, деля-
делящийся на Cf' и не делящийся на Cf'p'. Если предположить, что
<Г ?= р', то этот элемент | не будет делиться на р', и мы вступаем
в противоречие с включением Cf' <=: р'.
Так как равенством р = р' простой дивизор р G S (при данном
р'е®') определен однозначно (условие 3°), то мы получаем
взаимно однозначное соответствие р •«-»• р' между всеми простыми
дивизорами из S и простыми дивизорами из ®'. Это соответствие
можно, очевидно, продолжить (единственным образом) до изомор-
изоморфизма ® « 3)'. Именно, если рх ¦«-> Pi, ..., рг ¦<-*¦ Рг. т0
Р!1 . . . Р/ — Рх J . . . Рг Г.
Нам остается теперь доказать, что при этом изоморфизме глав-
главные дивизоры (а) е& и (а)'е®' для любого ае®* соответству-
соответствуют друг другу. Пусть ре® и р' е ®' — соответствующие друг
другу простые дивизоры, и пусть они входят в разложения (а)
и (а)' с показателями к ш I соответственно. По условию 3° в
кольце D существует элемент л, делящийся на р и не делящийся
на р\ Ввиду равенства р = р' элемент л делится также и на р'.
Главный дивизор (п) имеет, очевидно, вид (я) = рЬ, где Ь не де-
делится на р. Выберем в D элемент со, делящийся на Ък и не деля-
делящийся на Ь*р. Так как р не входит в Ь\_то m не будет делиться
также и на р, а значит, и на р'. Рассмотрим произведенже юа. По-

194 теория делимости [гл. ш
скольку а делится на у*, а со делится на Ън, то асо будет делиться
на J>*bft= (я*), откуда ввиду условия 1° получаем, что асо = jt*ti,
¦n^D. Но Ji'lit, поэтому а©делится на р'\ а так как ~р' \ со, то
р'Ма. Это показывает, что в дивизор (а)'еЭ' простой дивизор р'
входит с показателем не меньшим, чем к, т. е. что I ^ к. В силу
симметрии также и к 5» Z, а значит, / = /с.
Мы доказали, таким образом, что если (ее) = р!1 . .. J)rr и ^ -<-»-
-м-Pi, . .., yr ¦•->¦ )V» T0 («)' = Vi * • • • Рг » а это и означает, что при
изоморфизме S3 « 33' главные дивизоры (а)е® и (a)'sS' соот-
соответствуют друг другу. Теорема 1 доказана.
Если в кольце ?3 имеет место однозначность разложения на
простые множители, то для него мы легко можем построить тео-
теорию дивизоров fl*-+S, ив этой теории все дивизоры из S3 будут
главными. Действительно, разобьем все отличные от нуля эле-
элементы кольца О на классы ассоциированных между собой эле-
элементов и рассмотрим множество S3 всех таких классов. Для каж-
каждого a e О* через (а) обозначим класс ассоциированных с а эле-
элементов. Легко видеть, что относительно умножения (a)((i) = (сф)
множество S3 является полугруппой с однозначным разложением
на простые множители, а также что отображение а -»- (a), a e С*
определяет теорию дивизоров кольца О. (Простыми дивизорами
здесь будут классы (я), определяемые простыми элементами я е
е О.) Согласно теореме 1 всякая теория дивизоров кольца D
должна в этом случае совпадать с только что построенной.
Предположим теперь, что, наоборот, для некоторого кольца О
мы имеем теорию дивизоров ?)* ->• S3, в которой все дивизоры из
S3 главные. Докажем, что тогда элемент я Ф 0 кольца D будет
простым тогда и только тогда, когда соответствующий ему диви-
дивизор (я) простой. В самом деле, если (я)={р — простой дивизор
п f — произвольный делитель я в кольце D, то дивизор (у) дол-
должен быть делителем р (в полугруппе S3) и поэтому, ввиду просто-
простоты р, должен совпадать либо с у, либо с единичным дивизором 0.
В первом случае f ассоциировано с я, во втором — f есть еди-
единица кольца D, а это и означает, что я — простой элемент кольца
О. Пусть теперь дивизор (а) отличен от с и не является простым.
Так как (а) делится на некоторый простой дивизор р = (я) и не
совпадает с ним, то а делится на простой элемент я и не ассоци-
ассоциировано с я. Элемент а не может, следовательно, быть простым.
Таким образом, действительно, если все дивизоры главные,
то простота дивизора (я) эквивалентна простоте элемента п.
Пусть теперь a — произвольный элемент из О*. Если в S3
имеет место разложение
(a)=Vi.--Vr A)
(простые дивизоры f{ не обязательно различны) и если J)t =
= (nt), ..., yr = (пг), то в кольце О мы будем иметь разложение
a = ejti... пг, B)

S3] ¦ дивизоры 195
где е— единица кольца О. Так как всякое разложение вида B)
при переходе к дивизорам должно давать разложение A), то от-
отсюда следует, что в О имеет место однозначность разложения на
простые множители.
Мы получили следующий результат.
Теорема 2. Для того чтобы в кольце ?) разложение на
простые множители было возможно и однозначно, необходимо и
достаточно, чтобы в О существовала теория дивизоров D* ->- ©
и чтобы в этой теории все дивизоры из © были главными.
3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров. Мы уже го-
говорили, что теория дивизоров существует не для всякого кольца.
Наличие гомоморфизма а -»- (а), удовлетворяющего условиям оп-
определения теории дивизоров, накладывает на кольцо сильные огра-
ограничения. Одно из таких ограничений дается следующей теоремой.
Теорема 3. Если для кольца О существует теория дивизо-
дивизоров, то это кольцо целозамкнуто в своем поле отношений К.
Доказательство. Предположим, что элемент | из поля
отношений К кольца D, удовлетворяющий соотношению
не принадлежит D. Представим его в виде | = а/р, где а е ?> п
peD, и разложим главные дивизоры (а) и (§) в произведение
степепей простых дивизоров. Поскольку а не делится на ^ в коль-
кольце О (по нашему предположению Ъ, *??>), то (а) не делится на (^)
в смысле делимости дивизоров (по условию 1°). Это значит, что
некоторый простой дивизор p^S входит в (?) в большей степени,
чем в (ее). Пусть р входит в (а) с показателем к > 0. Так как р
делится на fk+l, то в силу условия 2° правая часть равенства
а" = -а^а"'1 - ... - а„рп
делится на yhn+l. В то же время f входит в дивизор (ап) == (а)"
с показателем кп, ж поэтому а" не может делиться на yhn+l. Полу-
Полученное противоречие показывает, что |eD, и теорема 3 доказана.
Другое необходимое условие существования теории дивизо-
дивизоров указано в задаче 1.
Так как среди порядков в полях алгебраических чисел свой-
свойством целозамкнутости обладают лишь максимальные порядки,
то согласно теореме 3 только для них можно рассчитывать на по-
построение теории дивизоров.
4. Связь теории дивизоров с показателями. Займемся теперь
вопросом о фактическом построении теории дивизоров. Мы пред-
предположим сначала, что для кольца ?) теория дивизоров О* -*¦ ©
существует, и постараемся выяснить, какой конструкцией эта тео-
теория определяется.
Выбрав произвольно простой дивизор р, мы можем сопоставить
ему некоторую функцию v^ (а), подобно тому как в гл. I просто-
простому числу р мы сопоставляли /ьадический показатель. Именно,

196 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
для каждого а-^О из О через vB (а) обозначим показатель степе-
степени, с которым ? входит в разложение главного дивизора (а) на
простые множители. Очевидно, что vB (а) характеризуется также
тем, что
vB(a) I
I сс и р р fa.
Так как нуль делится на сколь угодно большую степень $, то
естественно положить Vj, @) = оо.
Из определения легко следуют следующие свойства функции
ve(a):
v,(«P) = v>(a) + v,(p), C)
v, (a + Р) > min (v, (a), v, (P)) D)
(при доказательстве свойства D) следует воспользоваться усло-
условием 2°).
Функцию Vp (a) мы можем распространить на поле отношений
К кольца О с сохранением свойств C) и D). Именно, для произ-
произвольного 1 = сс/р е К (а, ре О) положим
Значение v^ (?), очевидно, не зависит от способа представления |
в виде \ = a/р. Легко проверяется также, что свойства C) и D)
выполняются и для расширенной функции vB.
Выясним теперь, какие значения принимает функция v^ (a),
когда а пробегает все элементы поля К. Так как дивизоры р и р2
различны, то по условию 3° существует элемент у е О, делящий-
делящийся на р и не делящийся на JJ. Для этого элемента имеем:
vj (y) = 1- Но тогда Vp (Yh) = /с при любом целом к. Этим дока-
доказано, что функция Vp (a) при отличных от нуля а принимает все
целые рациональные значения.
Определение. Пусть К — произвольное поле. Функция
v(a), определенная на элементах а<^К, называется показателем
поля К, если она удовлетворяет условиям:
1. v(a) принимает все целые рациональные значения, когда a
пробегает все отличные от нуля элементы из К; v@) = °°.
2. v(ap)=v(a) + v(p).
3. v(a + p)
Мы можем теперь сказать, что каждый простой дивизор "р
кольца О определяет некоторый показатель ve (a) поля отноше-
отношений К. Легко видеть, что для различных простых дивизоров у и
(I соответствующие им показатели vB и vq также различны. В са-
самом деле, по условию 3° в кольце D существует элемент f, деля-

§ 3] дивизоры 197
щийся на $ и не делящийся на q. Но тогда v? (у) ^ 1 и v<, (у) = О,
а значит, v? Ф vq.
Все показатели поля К вида v^ обладают, очевидно, свой-
свойством:
Vj, (a) ^ 0 при всех аеО. E)
В терминах показателей Vj, очень просто записывается разло-
разложение главного дивизора (а), соответствующего элементу а е О*,
на простые мпожители. Простые дивизоры р<, входящие в это
разложение, характеризуются условием \у(сс)>0. Само же раз-
разложение имеет вид
Va)
F)
где !р; пробегает все простые дивизоры с условием Vj, (a) > 0.
Мы видим, таким образом, что полугруппа дивизоров ® и го-
гомоморфизм О* -»- ® вполне определяются заданием множества
всех показателей Vj, поля /?, соответствующих простым дивизорам
у. Действительно, множество всех дивизоров и закон их умноже-
умножения однозначно определяются заданием простых дивизоров (каж-
(каждый дивизор есть произведение степеней простых дивизоров с не-
неотрицательными показателями, а при умножении дивизоров со-
соответствующие показатели складываются). Что касается простых
дивизоров, то это — некоторые объекты р, взаимно однозначно
соответствующие показателям v^. Наконец, и это самое важное,
равенство F) определяет гомоморфизм D* -*¦ S.
Это показывает, что в основу построения теории дивизоров
может быть положено понятие показателя v(a). На этой мысли
и будет основано дальнейшее изложение.
Прежде всего нам надо выяснить следующий важный вопрос:
чем характеризуется множество 91 всех тех показателей v поля К,
которые можно взять для построения теории дивизоров кольца D?
Так как произведение F) должно содержать только конечное
число множителей с ненулевыми показателями v^.(a), то, следо-
следовательно, множество показателей 91 должно удовлетворять ус-
условию v(a) = 0 почти для всех v ^ 91 при любом фиксированном
а е О* (выражение «почти для всех» означает: для всех, за
исключением конечного числа).
Далее, в силу E) для всех v e 91 мы должны иметь v(a) ^ О,
если только aefi. Обратно, предположим, что для некоторого
IФ 0 из К выполнены неравенства v(?) > 0 при всех v ^ 91. Если
мы представим \ в виде \ = a/р (а,$<^0), то наши условия
запишутся в виде v(a)S^v([}) при всех v ^ 9J. Но это, очевидно,
эквивалентно тому, что главный дивизор (а) делится на главный

198 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
дивизор (р). В силу условия 1° получаем отсюда, что а делится
на р в кольце О, т. е. что \ е О. Мы получили, таким образом,
второе необходимое условие: множество показателей 91 должно
быть таким, чтобы неравенства v(a) > 0 при всех v^S были
справедливы для элементов кольца О, и только для них.
Чтобы выявить еще одно свойство множества 91, выберем в
нем произвольно конечное число показателей vit ..., vm, соот-
соответствующих простым дивизорам уи ..., $т. Фиксировав, далее,
неотрицательные целые числа ки ..., кт, рассмотрим дивизор
а = Рх1 . .. рт .В силу условия 3° в кольце D существует элемент
а,-, делящийся на а, = ар,... fi-lf{+l... pm и не делящийся на а#<
A «? г «S т). Рассмотрим сумму
а = oti + ... + <xm.
Пользуясь условием 2°, легко получим, что элемент а делится
ft: fei+1 „ „
на fi и не делится на р4 . Этим доказано, что множество 9с
удовлетворяет также следующему необходимому условию: для
произвольных показателей v4, ..., vm из 3J и произвольных не-
неотрицательных целых чисел к1: ..., кт в кольце О существует
элемент а, для которого \и(а) — к{ A < i ^ т).
Найденные нами необходимые условия оказываются также и
достаточными для того, чтобы с помощью показателей из 91 можно
было построить теорию дивизоров кольца О. Для доказательства
рассмотрим полугруппу 3) с однозначным разложением на про-
простые множители, простые элементы которой находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии с показателями из 91. Показатель
v e 91, соответствующий простому элементу Vе®, будем обозна-
обозначать также через v^. В силу первого и второго условий для лю-
любого аеО* произведение F) будет иметь смысл (показатели
vf. (°0 неотрицательны, причем только конечное число из них
отлично от нуля). Ввиду свойства v(ocj$) =v(a) + v(j$) отображе-
отображение a -> (а) будет гомоморфизмом О* в S. Из второго условия
легко вытекает, что делимость а на [} в кольце О эквивалентна
неравенствам v(a)^v(p) для всех vs9l. Это обеспечивает вы-
выполнение условия 1*. Условие 2° непосредственно следует из
неравенства -\Ка± ?$) > min (v(a), v(?$)). Если а и Ь — два различ-
различных элемента из ©, то некоторый простой элемент р входит в их
разложения на простые множители с различными показателями,
скажем, к ж I соответственно. Пусть к < I. Согласно третьему
условию в О существует элемент а, делящийся на а, для которого
vp (a) = &• Этот элемент а не будет делиться на Ь. Этим мы дока-
доказали, что условие 3° также выполнено. Гомоморфизм О* ->- й> дает
нам, следовательно, теорию дивизоров для кольца О.
Сформулируем полученный нами результат.
Теорема 4. Пусть О — кольцо, К — его поле отношений
и % — некоторое множество показателей поля К. Для того чтобы

§ 3] дивизоры 199
показатели из 31 определяли теорию дивизоров для кольца О, не-
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1) для всякого а'^О из D существует только конечное число
показателей v eJl, для которых vCaI^ 0;
2) элемент а из К принадлежит О тогда и только тогда, когда
via) > 0 при всех v e 91;
3) Аля произвольной конечной системы различных показателей
Vi, ..., vffl из 3! « произвольных неотрицательных целых чисел
к,, ..., кт в кольце D существует элемент а, для которого
= ku ..., Vm(a) = km.
Построение теории дивизоров для данного кольца D сводит-
сводится, таким образом, к построению в его поле отношений К соответ-
соответствующего множества показателей 91.
Мы не будем вдаваться в анализ целозамкнутых колец, для
которых возможно построение теории дивизоров (см. замечание
в конце пункта). В следующем параграфе мы докажем, что если
для кольца о с полем отношений к теория дивизоров существует,
то она существует и в целом замыкании D кольца о в произволь-
произвольном конечном расширении К поля к. Так как для кольца Z це-
целых рациональных чисел теория дивизоров хорошо известна (здесь
имеет место однозначность разложения на простые множители),
то этим будет доказано также существование теории дивизоров
и для максимальных порядков в полях алгебраических чисел.
Набор показателей v поля К, которые надо взять для построе-
построения теории дивизоров, существенным образом зависит, конечно,
от кольца D, и, вообще говоря, этот набор не будет исчерпывать
все показатели поля К (задача 6). Может даже случиться (за-
(задача 7), что для всех показателей поля К условие 1) теоремы 4
не будет выполняться. Покажем, однако, что в случае кольца
целых рациональных чисел Z соответствующий набор показате-
показателей исчерпывает все показатели поля рациональных чисел Q
(в дальнейшем мы увидим, что аналогичный факт справедлив и
для максимальных порядков в произвольных полях алгебраиче-
алгебраических чисел).
Каждому простому числу peZ (т. е. простому дивизору
кольца Z) соответствует показатель vP поля Q, значения кото-
которого для отличного от нуля рационального числа
G)
(а и & целые, не делящиеся на р) определяются равенством
vP(x) = m. (8)
Этот показатель vP называется р-адическим показателем поля Q
(очевидно, что значения показателя (8) совпадают со значениями
р-адического показателя на поле р-адических чисел Qp; см. гл. I,
§ 3, п. 2).

200 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ (ГЛ. Ш
Теорема 5. Все показатели поля рациональных чисел ис-
исчерпываются р-адическими показателями vP (для всех простых р).
Доказательство. Пусть v — произвольный показатель по-
поля Q. Так как
= 0,
то v(«) X) при всех натуральных га. Если бы \>(р) = 0 для всех
простых р, то мы имели бы также via) =0 для всех а •?= 0 из Q,
что невозможно по условию 1 определения показателя. Следова-
Следовательно, для некоторого простого р мы должны иметь vip) = е > 0.
Пусть для простого q^p имеем также viq)>0; тогда из равен-
равенства ри + qv — 1 с целыми и и v будет следовать
0 = vipu + qv) > min ivipu), v(qv)) &* min (v(p), viq)) > 0.
Полученное противоречие показывает, что v(gO=0 для всех про-
простых чисел q, отличных от р, а значит, via) =0 для всех целых а,
не делящихся на р. Для рационального числа G) имеем, таким
образом,
vix) = mvip) + via) — vF) = me — evpix).
Так как значения показателя v должны охватить все целые числа,
то е = 1 и, следовательно, v = vP. Теорема 5 доказана.
Заметим, что теорему 5 можно было бы легко вывести из тео-
теоремы 3 § 4 гл. I, вторая часть доказательства которой совпадает,
по существу, с только что проведенным доказательством.
Рассмотрим в заключение еще один частный случай.
Предположим, что для некоторого кольца ?) мы имеем теорию
дивизоров О* ->- © с конечным числом простых дивизоров р,,..., ут.
Обозначим через \\, ..., vm соответствующие показатели поля от-
отношений К. Согласно условию 3) теоремы 4 для произвольного
h fern
дивизора а = Pi1 .. . fm ёОD;^0)в кольце О существует эле-
элемент а, для которого vi(a) = &i, ..., vmia) = km. Но это значит,
что дивизор а совпадает с главным дивизором (а). Таким образом,
все дивизоры из 3) главные, и, значит, в кольце D имеет место
однозначность разложения на простые множители (теорема 2).
Если Pi = Citi), ..., Vm = (:rtm), то элементы iti, ..., ят составляют
полную систему попарно не ассоциированных простых элементов
кольца D и каждый элемент aeD* однозначно представляется
в виде
а = ея/ ... лт ,
где е — единица в О. Простые элементы я4, ..., ят характеризу-
характеризуются, очевидно, также условиями:
vAnd = I, Vj(ni)=0 при рФй
Нами доказан следующий результат.

§ 3] • ДИВИЗОРЫ 201
Теорема 6. Если для некоторого кольца О .мы имеем теорию
дивизоров с конечным числом простых дивизоров, то в D имеет
место однозначность разложения на простые множители.
Замечание. Согласно задаче 15 кольцо ?) с теорий диви-
дивизоров вполне целозамкнуто. Далее, из задачи 16 § 6 легко следует,
что в кольце с теорией дивизоров для каждого целого d-идеала А
существует лишь конечное число целых d-идеалов, содержащих
этот идеал А (поскольку для целого дивизора существует лишь
конечное число целых делителей). Эти два необходимых условия,
оказывается, и достаточны для того, чтобы для кольца D суще-
существовала теория дивизоров. Другими словами, кольцо ?) допускает
теорию дивизоров тогда и только тогда, когда оно вполне цело-
замкнуто и для целых of-идеалов в D выполнено условие макси-
максимальности (т. е. в каждом непустом семействе целых «^-идеалов
имеется d-идеал, не содержащийся ни в каком другом d-идеале
этого семейства). Кольца, удовлетворяющие двум последним ус-
условиям, носят название колец Крулля. Кольца с теорией дивизо-
дивизоров совпадают, таким образом, с кольцами Крулля (см. [4],
гл. VII). Кольца Крулля могут быть охарактеризованы также
как пересечения П ^v колец показателей Dv для показателей v
из семейств 91, удовлетворяющих условию: для каждого а^О
из К существует лишь конечное число показателей v s 91, для
которых v(a) Ф 0. Согласно задаче 6 § 4 Дополнения всякое цело-
замкнутое нётерово кольцо вполне целозамкнуто. Поэтому нёте-
рово кольцо допускает теорию дивизоров тогда и только тогда,
когда оно целозамкнуто (см. [5], § 140).
Задачи
1. Доказать, что если для кольца О существует теория дивизоров, то
каждый элемент из О имеет лишь конечное число не ассоциированных меж-
между собой делителей.
2. Доказать, что в произвольной теории дивизоров всякий дивизор яв-
является общим наибольшим делителем двух главных дивизоров.
3. Пусть К = к (х) — поле рациональных функций над произвольным
полем к и ф — некоторый неприводимый многочлен из кольца к [х]. Каж-
Каждую рациональную функцию и Ф 0 из К можно представить в виде и =
= (fmf/g, где / и g — многочлены из к [х], не делящиеся на ср. Показать, что
функция v,,, определенная равенством v<f{u) = m, является показателем
поля К.
4. Если отличные от нуля многочлены / и g из кольца к[х] имеют со-
соответственно степени га и т, то для рациональной функции и = //g ei(i)
положим v* (и) = m — п. Доказать, что функция v* является показателем
поля К = к (х).
5. Доказать, что показатели щ (для всех неприводимых многочленов <р
кольца к[х]) и показатель v* (задачи 3 и 4) исчерпывают собой все пока-
показатели v поля к (х), для которых \(а) =0 при всех а Ф 0 из к.
6. Определить множество показателей Л поля К= к(х), удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям теоремы 4, если в качестве О взять кольцо к[х). Определить,
далее, множество й для кольца О' = к[1/х].

202 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
7. Пусть К = к(х, у) — иоле рациональных функций от ж и у над полем
к. Для произвольного натурального п положим
Отличную от нуля рациональную функцию к = к (ж, у) е К представим
я виде
где многочлены / и g не делятся на у. Показать, что функция vn, определен-
определенная равенством vn (и) = то, является показателем поля К. Показать далее,
что все показатели vn (n S5 1) различны и для всех них \п{х) > 0.
8. Известный признак неприводимости Эйзенштейна для целочислен-
целочисленных многочленов сформулировать и доказать для многочленов с коэффици-
коэффициентами из произвольного кольца О с теорией дивизоров.
9. Доказать, что если для кольца D существует теория дивизоров, то
для его поля отношений К существуют алгебраические расширения произ-
произвольной степени.
10. Для многочлена / Ф 0 из кольца многочленов О = к [х, у] от двух
переменных над полем к через v(/) обозначим наименьшую степень одно-
одночленов, входящих в / с ненулевым коэффициентом. Показать, что функция
v может быть продолжена до показателя поля рациональных функций
к(х, у). Обозначим через 5} множество показателей поля к(х, у), соответ-
соответствующих неприводимым многочленам кольца О. Какое из условий теоремы
4 не выполняется для кольца О и множества показателей 3li, получающего-
получающегося из 91 присоединением показателя v ?
11. Доказать, что условие 3° в определении теории дивизоров эквива-
эквивалентно условию: каждый элемент а е ® является общим наибольшим де-
делителем элементов вида (ai), ..., (ап), где а, е О* A г=: i sg re).
12. Пусть для гомоморфизма О* -»- ® выполнено условие 3° определе-
определения теории дивизоров. Показать, что для любого «еЗ)в полугруппе D* су-
существуют такие элементы a, at, ... а„, что произведение (а)а есть общее
наименьшее кратное элементов (at), ..., (an).
Указание. Выберем элементы feO* и leS так, чтобы (Р) = аВ.
Согласно задаче 11 Ь есть общий наибольший делитель элементов вида
(Pi), ¦•¦, (W. где РгеО*. Положим а = fr ... р„ и at = сф/Pi (lsgisgre).
13. Основываясь на предыдущей задаче, показать, что условие 2° в оп-
определении теории дивизоров является следствием условий 1° и 3°.
14. Пусть О — кольцо с теорией дивизоров. Доказать, что кольцо много-
многочленов OJzi, ..., хп] является также кольцом с теорией дивизоров.
15. Доказать, что всякое кольцо с теорией дивизоров вполне целозамкну-
то (см. задачу 5 § 4 Дополнения).
§ 4. Показатели
Согласно теореме 4 § 3 построение теории дивизоров в цело-
замкнутом кольце О сводится к построению в его поле отношений
К показателей, обладающих указанными в этой теореме свой-
свойствами. Займемся поэтому систематическим изучением свойств
показателей.
1. Простейшие свойства показателей. Из определения по-
показателя v в произвольном поле К (§ 3, п. 4) непосредственно

§ i] ПОКАЗАТЕЛИ 203
вытекают следующие его свойства:'
v(±l)=0; v(-a)=v(a);
)-v(p), p*0; v(an) = nv(a), «eZ;
... + в,)> min Mod), ..., v(an)).
Предположим, что v(a) ?=v(p). Если v(a)>v(p), то v(a+[5)>
SC) С другой стороны, из равенства ?5 = (a + [5) — a получаем
i((+ fi), v(a)), откуда v(^)^v(a + p). Таким образом,
= min(v(a), v(p)), если v(oc) «И* v(fj). A)
Индукцией по числу слагаемых отсюда легко получаем, что
v(at + ... + а„) = min (v(a(), ..., v(ocj),
если только среди значений v(ai), ..., v(aj имеется только одно
наименьшее.
Определение. Пусть на поле К задан показатель v. Под-
кольцо Dv поля К, состоящее из тех элементов a s К, для которых
v(a)^0, называется кольцом показателя v. Элементы из Dv на-
называются целыми относительно показателя v.
Очевидно, что для кольца Dv и множества 91, состоящего только
нз одного показателя v, выполнены все три условия теоремы 4
§ 3. Для кольца JOV существует, следовательно, теория дивизоров с
единственным простым дивизором. Теоремы 3 и 6 § 3 дают нам
поэтому следующие результаты:
Теорема 1. Кольцо Dv показателя v поля К целозамкнуто
в К.
Теорема 2. С точностью до ассоциированности в кольце
Dv имеется только один простой элемент я, и всякий элемент
а Ф 0 из Dv однозначно {при фиксированном л) представляется
в виде a = ея", где е — единица в Dv (m>0).
Простой элемент я кольца показателя v характеризуется, оче-
очевидно, равенством v(jt) = 1.
В кольце Dv, как и во всяком кольце, можно рассматривать
сравнения по модулю элемента (см. Дополнение, § 4, п. 1). Так
как сравнения по модулю ассоциированных элементов равносиль-
равносильны, то кольцо классов вычетов кольца Dv по модулю простого
элемента л не зависит от выбора л и, следовательно, вполне опре-
определено самим кольцом Dv. Обозначим это кольцо классов вычетов
через 2V и покажем, что оно в данном случае является полем.
Действительно, если а^О, и a^O(modjt), то v(a)=0 и, значит,
а является единицей в Dv. Но в таком случае не только сравнение
а§ = 1 (modл), но и уравнение а§ = 1 разрешимо относительно
элемента 1 s Dv.
Поле Ev называется полем вычетов показателя v.
2. Независимость показателей. Пусть для кольца D мы имеем
теорию дивизоров О* -> ©, и пусть р,, ..., рт — различные простые
дивизоры из ©. Согласно теореме 4 § 3 соответствующие этим

204 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
простым дивизорам показатели vi, ..., vm поля отношений К об-
обладают свойством независимости, выражающимся в том, что в К*
существуют элементы |, на которых эти показатели принимают
любые наперед заданные значения ки ..., кт. Действительно,
если для каждого i = l, ..., т мы положим ki = max@, ki),
ki = min@,&j), то согласно условию З) упомянутой теоремы в D
найдутся элементы а и {$ с условиями v4 (а) = ки \г (|3) = — &,,
а тогда для их отношения | = а/$ будем иметь
Мы докажем, что это свойство независимости не связано с тем
обстоятельством, что показатели vt соответствуют простым диви-
дивизорам в некоторой теории дивизоров, а имеет место для любой
конечной системы показателей.
Теорема 3. Если vt, ..., vm — попарно различные показатели
поля К, то для любых целых рациональных чисел ки ..., кт су-
существует элемент | е К, для которого
v^g) = ku ..., vm(|) = km.
Эта теорема о независимости конечной системы показателей
будет получена нами как простое следствие более сильной теоре-
теоремы 4. Сформулируем одно следствие теоремы 3.
Обозначим через Dt, ..., ?)m кольца показателей vt, ..., vm
m
и через О пересечение П О4. Для кольца О и для множества по-
г=1
казателей % состоящего из vi, ..., vm, условия 1) и 2) теоремы
4 § 3 выполняются очевидным образом. Сформулированная тео-
теорема 3 показывает, что условие 3) также выполнено, а зпачит,
для кольца D мы имеем теорию дивизоров с конечным числом
простых дивизоров. Теорема 3 означает, таким образом, что любая
конечная система показателей v4, ..., vm поля К определяет тео-
m
рию дивизоров в кольце 0= П ?»• Ввиду теоремы 6 § 3 это дает
нам следующий результат.
Следствие. Если Ю„ ..., От — кольца попарно различных
m
показателей Vi; ..., vm поля К, то пересечение Q = П ^» является
кольцом с однозначным разложением на простые множители.
Именно, каждый элемент <хФ§ из О однозначно представляется
h km
в виде а= ел/ ... ят , где s — единица в О, а ли ..., ят — фик-
фиксированные простые элементы, характеризуемые условиями
Теорема 4 (об аппроксимации). Если v,, ..., vm — попарно
различные показатели поля К, то для любых элементов %и ...

9 4] ПОКАЗАТЕЛИ 205
..., Ъ,т из К и любого целого N в поле К найдется элемент |, для
которого
v,(l-!,)>#, ..., Vm(l-U>N. ,
Доказательство. 1°. Докажем сначала, что если для ко-
колец ?>! и О2 показателей v4 и v2 поля К имеет место включение
Di <= Оа, то V! = v2. Действительно, всякая единица s кольца Oi
является также единицей и в кольце О2, и поэтому v2(s)=0.
Если теперь я — простой элемент кольца О4, то произвольный
элемент 1 е К* представляется в виде ? = nVl s (e — единица
кольца ?>t), а значит,
vz(l) = Vt(l)Z, B)
где Z = v2(n) > 0. Ясно, что равенство B) возможно только при
I = 1, и, следовательно, v2 = Vi.
2°. Покажем теперь, что если показатели Vi, ..., vm (m^2)
попарно различны, то в поле К существует такой элемент а, что
Vt(a)>0, v;-(a)<0, / = 2, ..., m. C)
Будем доказывать это утверждение индукцией по т. Пусть т =
= 2. По доказанному выше включения dcj), и О2 <= О, невоз-
невозможны, поэтому в /?* найдутся такие элементы {} и ¦у, что
Но тогда для a = ^/7 имеем
Vi(a)>0, v2(a)<0.
Пусть т > 3, и пусть для случая тге — 1 показателей наше утвер-
утверждение уже доказано. Выберем тогда в К* элементы а0 и б так,
чтобы
Vi(a0)>0, Vj(a0)<0, / = 2, ..., m — 1,
v,F)>0, vmF)<0,
и положим
a = ao + 6r, . D)
где натуральное г выберем с соблюдением условий: VjFr) Ф Vj(a0)
при / = 2, ..., т. Тогда
vr(a) ^ min (уДао), 74(бг)) > 0
и ввиду A)
. Vj(a) =min (vj(a0), VjFr)) <0
при всех / = 2, ..., т. Таким образом, элемент D) при надлежа-
надлежащем г удовлетворяет требованиям C).
3°. Для доказательства утверждения теоремы 4 выберем в К
элементы аи ..., ат так, чтобы
Vi(a<) > 0, v,-(a<) < 0, / ?Н

206 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. ПГ
И ПОЛОЖИМ
Так как Vj (а\) Ф 0 = vj A) при натуральном г, то по свойству
A) значениеу/A + а\) равно 0 при i = j и равно rvj(at) < —г при
г Ф /. Следовательно,
vl
1
1
при
а значит, v,- (!¦ — ?j) ^ min (r + Vj (?,))¦ Ясно теперь, что элемент
E) будет удовлетворять неравенствам теоремы 4, если только
Замечание. Каждый показатель поля К определяет на К
некоторую метрику (см. начало § 1 гл. IV). Пусть <р4, ..., фт —
метрики поля К, соответствующие попарно различным показа-
показателям vf, ..., vm. В терминах понятия метрики теорема 4 озна-
означает, что в поле К для любой системы элементов |i, ..., §,„ мож-
можно найти элемент |, который будет сколь угодно близок к каж-
каждому из элементов |(, если понимать близость каждый раз в смыс-
смысле соответствующей метрики ф*. Более точно это можно выразить
также следующим образом. Пусть К{A^ i < m) — метризованное
поле, совпадающее как поле с К и наделенное метрикой ф4 (см.
п. 1 § 4 гл. I). Поскольку метрика ф,- определяет на Кг тополо-
топологию, то декартово произведение 11К^ является топологическим
г
пространством (топологическим кольцом). Утверждение теоремы
4 равносильно тому, что образ поля К при «диагональном» ото-
отображении ? -> (I,...,!-) e Ц Kh |ej[ является всюду плотным
г
подмножеством в Д Ki-
г
Доказательство теоремы 3. Пусть ки ..., кт — про-
произвольные целые числа. Для каждого i = 1, ..., т в поле К су-
существует такой элемент ?,-, что Vf(|{) = ки Положим /V = 1 +
+ max(&i, ...,' кт). Согласно теореме Аъ К можно найти элемент
?, для которого v<(| — |<) ^ N. Для этого элемента | имеем
v,(l) = min МЫ, Vi(g - У) = К
и теорема 3 доказана.
3. Продолжение показателей. Пусть к — произвольное поле,
К/к — конечное расширение и v — некоторый показатель поля
К. Рассматривая v лишь на элементах из к, мы получим функ-
функцию, которая будет, очевидно, также удовлетворять условиям
2 и 3 определения показателя (§ 3, п. 4). Что касается первого

§ 4] ПОКАЗАТЕЛИ 207
условия, то оно для этой функции может и не выполняться, т. е.
значения v на элементах из к* не обязательно исчерпают группу
всех целых чисел Z- Все эти значения не могут состоять, однако,
только из нуля. В самом деле, если бы это было так, то поле к
целиком содержалось бы в кольце показателя v, а тогда в силу
целозамкнутости этого кольца (теорема 1) в нем содержалось бы
и поле К, что невозможно. Таким образом, среди значений via),
а'^к*, имеются отличные от нуля, а значит, имеются и положи-
положительные (если via) < 0, то via~*) > 0).
Обозначим через р какой-нибудь элемент из к, для которого
vip) — e есть наименьшее положительное значение показателя
v па элементах поля к. Тогда для любого а е к* значение via) =
= т делится на е. Действительно, если т= es + r, 0^r<e,
то v(ap~s) — т — se = г, откуда в силу минимальности е следует,
что г = 0. Полагая теперь
voia) = via)/e, a^k*, vo@) = °°, F)
мы получаем на к функцию v0, которая принимает уже все це-
целые значения и которая является, следовательно, показателем
поля к.
Определение. Пусть К — конечное расширение поля к.
Если показатель v0 поля к связан с показателем v поля К соотно-
соотношением F), то говорят, что v0 индуцируется на к показателем
v, a v является продолжением v0 на поле К. Однозначно опреде-
определенное соотношением F) натуральное число е называется при
этом индексом ветвления v относительно v0 {или относительно
подполя к).
В этом определенпи следует обратить внимание на то обстоя-
обстоятельство, что при е > 1 термин «продолжение показателя» не
совпадает с обычным пониманием продолжения функции на более
широкую область задания.
Согласно доказанному выше каждый показатель v на К ин-
индуцирует некоторый (единственный) показатель v0 на к. Спра-
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 5. Для всякого показателя v0 поля к существует
его продолжение на конечное расширение К поля к.
Доказательство теоремы 5 мы проведем в следующем пункте.
Сейчас же мы рассмотрим некоторые свойства продолжений дан-
данного v0, предполагая, что эти продолжения существуют.
Пусть /ее К с: К' — цепочка конечных расширений и v0, v,
v' — показатели полей к, К, К' соответственно. Очевидно, что
если v является продолжением v0 с индексом ветвления е, a v' —
продолжением v с индексом ветвления е', то v' будет продолже-
продолжением v0 на поле К', причем индекс ветвления v' относительно
v0 будет равен ее'. Легко видеть также, что если v0 и v индуци-
индуцируются показателем v' на подполях к и К, то v является продол-
продолжением V|). г

208 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
Лемма 1. Если К — конечное расширение поля к степени пг
то для произвольного показателя v0 поля к существует не более
п его продолжений на К.
Доказательство. Пусть Vj, ..., vm — различные показа-
показатели поля К, являющиеся продолжениями vo. По теореме 3 в
поле К мы можем найти элементы ?4, ..., |т, для которых v<(|() =
= 0 и Vj(li) = 1 при j Ф i. Покажем, что эти элементы линейно
независимы над к. Рассмотрим линейную комбинацию
-у = dli + ... + am\m
с коэффициентами а} из к, не равными нулю одновременно. Пусть
г = min (vo(ai), ..., vo(am)), и пусть индекс U таков, что vo(ajj = r.
Обозначая через е индекс ветвления показателя v» относительно
к, имеем .. ,
V'o КЧ) = ev* К) + V'o ("О = еГ>
vi0 (aih) = evo (аз) + vi0 (h) >er + 1, ]ф i0,
поэтому
vi() (у) = min (vio (a^), . . ., v{q {amcm)) = er,
а значит, 7=И=0, что и доказывает наше утверждение. Из линей-
линейной независимости элементов |i, ...-, %m над полем к следует, что
m sg (К: к), а это и значит, что число продолжений v,- не может
быть больше п. Лемма 1 доказана.
Теорема 6. Пусть v0 — показатель поля к, 0 — его кольцо
и D ¦— целое замыкание кольца о в конечном расширении К поля
к. Если Vi, ..., vm — все продолжения показателя v0 на поле К
m
и ?),, ..., От — их кольца, то О = П ^V
г=1
Доказательство. Так как о<== О,-, а кольцо D* целозамкну-
то в К, то О cz О; при любом ? = 1, ..., пг, а значит,
m
DcO'= П Oj.
Доказательство обратного включения мы проведем в несколько
этапов.
1) Предположим сначала, что К/к — конечное расширение
Галуа и G — его группа Галуа. Для показателя v( и автомор-
автоморфизма oeG рассмотрим функцию Vj, определенную формулой
vf(?) = vi(a(g)), le=K.
Ясно, что v/— показатель поля К. Легко видеть также, что v" —
продолжение показателя v0. В самом деле, если е4 — индекс ветв-
ветвления v,- относительно к, то при а^к имеем

§ 4] ПОКАЗАТЕЛИ 20»
Так как v,, ..., vm — это все продолжения v0 на поле К, то каж-
каждый показатель v" совпадает с некоторым v3-,
Пусть теперь g — произвольный элемент из О'. Так как
Vi (a (S)) = vf(?) = Vj (?)><),
то вместе с | элементы о(|) (aeff) также содержатся в О'. Сог-
Согласно теореме И § 2 Дополнения характеристический многочлен
fit) ^ kit] элемента | относительно расширения К/к в поле К
имеет разложение
Отсюда следует, что все коэффициенты as il^s^n) содержат-
содержатся в О'. Но, с другой стороны, а3 е к, поэтому o.eD'Ofcc О,- П
П к = 0. Таким образом, элемент § целый относительно о, т. е.
5 е О. Равенство О = О' для случая расширения Галуа доказано.
2) Пусть К — чисто несепарабельное расширение поля к ха-
характеристики р. Если | е /?, то 1Р = а е & при некотором и > 0,
и для продолжения v показателя v0 на поле /? с индексом ветвле-
ветвления е мы имеем
v(s) =— v(a) = 4rvo(a).
Полученное равенство говорит о том, что для v0 имеется только
одно продолжение на поле К, и О' совпадает с кольцом Ov по-
показателя v. Если теперь |^D'i=Ov, то v(|) > 0, vo(a) ^ 0, aeo
и | е О, а значит, и в этом случае О = О'.
3) Пусть К/к — произвольное нормальное расширение. Если
это расширение не является расширением Галуа, то согласно
теореме 14 § 2 Дополнения существует такое промежуточное
поле Ко, что К/Ко — расширение Галуа и Ко/к — чисто несепа-
несепарабельное расширение. По только что доказанному для v0 суще-
существует только одно продолжение v0 на поле К„ и его кольцо О„
совпадает с целым замыканием о в Ко. Так как показатели
Vi, ..., vm являются, очевидно, продолжениями и v0, то ввиду 1)
для доказательства равенства 0 = 0' достаточно лишь заметить,
что целое замыкание кольца О0 в поле К совпадает с О (задача
2 § 4 Дополнения).
4) Теперь мы можем рассмотреть случай произвольного конеч-
конечного расширения К/k. Согласно теореме 12 § 2 Дополнения поле
К можно погрузить в конечное нормальное расширение К/к.
Пусть v« — все продолжения показателя v< на поле К и О« —
их кольца. Если О — целое замыкание 0 в К, то по доказанному

210 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
?> = П Оу, откуда
_ т.
D = D П^= П (Stf Л #) = П ©i.
и теорема 6 доказана полностью.
Теорема 7. 5 кольце D (njra обозначениях предыдущей
теоремы) имеет место однозначность разложения на простые мно-
множители; при этом набор показателей поля К, соответствующих
простым элементам в О, совпадает со всеми продолжениями
Vi, ..., vm показателя v0 на поле К. Если ni, ..., ят — простые
элементы в О, занумерованные так, что Vi(jtj) = 1, и если для
простого элемента р е о в кольце D мы имеем разложение
р = 8ЛХХ . . . л™ (е — единица в ?>), G)
то «,• является индексом ветвления v< относительно v0 (и, следо-
следовательно, d> 0).
Доказательство. Первое утверждение теоремы непо-
непосредственно вытекает из теоремы 6 и следствия теоремы 3. До-
Докажем второе равенство. Пусть а — произвольный элемент из к*.
Если vo(a) = s, то a = psu, где и — единица кольца о, а значит,
и кольца D. Из равенства
а — гипх х .. . nmm (8)
следует теперь, что
vAa) = ел>0(а), ае/с*, (9)
а это и требовалось доказать.
Теорема 7 подсказывает нам, как можно доказать существо-
существование продолжений показателя v0 на поле К: достаточно для
этого убедиться, что в целом замыкании О кольца о в поле К
имеет место однозначность разложения на простые множители.
В самом деле, пусть нам известно, что в D разложение на прос-
простые множители однозначно и число неассоциированных простых
элементов конечно. В силу теоремы 6 § 3 это равносильно тому,
что в О существует теория дивизоров с конечным числом простых
главных дивизоров }>1|=(я1), ..., Рт=(ят). Обозначим через
v4, ..., vm показатели поля К, соответствующие этим простым ди-
дивизорам. Простой элемент р^о в кольце О имеет разложение
вида G) с неотрицательными показателями е,-. Следовательно,
произвольный элемент a — psu из к* (s = vo(a)) в кольце О имеет
разложение вида (8), из которого для каждого ? = 1, ..., m сле-
следует формула (9). Если бы et = 0, то все значения показателя
V; на к* были бы равны нулю, а это, как мы видели в начале
пункта, невозможно. Значит, ei > 0. Формула (9) означает, стало
быть, что все показатели v4, ..., vm являются продолжениями
показателя v, на поле К.

§ 4] ПОКАЗАТЕЛИ 211
4. Существование продолжений. Пусть, как и прежде, к —
произвольное поле, v0 — некоторый его показатель, о — кольцо-
показателя v0 и р — простой элемент кольца о. Через 20 обозна-
обозначим поле вычетов показателя v0. Для каждого элемента »gj
соответствующий ему класс вычетов по модулю р будет обозна-
обозначаться через а. Равенство а = Ъ в поле 20 имеет место, следова-
следовательно, тогда и только тогда, когда а = 5 (mod p) в кольце 0.
Рассмотрим теперь произвольное конечное расширение К поля
к и через О обозначим целое замыкание кольца о в поле К.
Лемма 2. Если число элементов в поле вычетов Ео показа-
показателя v0 не меньше степени расширения К/k {в частности,- если
поле Ео бесконечно), то кольцо О евклидово и, следовательно, е
нем имеет место однозначность разложения на простые множив
тели. В кольце О имеется только конечное число попарно не ас-
ассоциированных простых элементов.
Доказательство. Определим на элементах а^К* функ-
функцию Hall, полагая
| a I = Z
Ясно, что Введенная функция обладает свойством НофН = Hall •
•llpll (а, рейТ*). Кроме того, liall принимает, очевидно, натураль-
натуральные значения при всех a s О*. Мы должны доказать, что для
любой пары элементов а и р Ф 0 из D существуют такие ^eD
и рЕО, что
а==р| + Р) (Ю)
где р либо равно нулю, либо удовлетворяет неравенству llpll <
Если в кольце О элемент а делится на р, т. е. а=Рч, где
7 s О, то равенство A0) будет соблюдаться при | •= ¦у, р = 0. Пред-
Предположим, что а не делится на р, т. е. что элемент iy = ap~1 не
принадлежит О. Пусть /Ш = tn + dtn~l + ... + сп (сге= к) — ха-
характеристический многочлен элемента ^ относительно расшире-
расширения К/к. Так как f Ф- D, то не все коэффициенты с; принадлежат
0. Если minvo(c4)=—г<0,то все коэффициенты многочлена
(fit) = prf(t) будут принадлежать кольцу о, причем хоть один
из них будет единицей в 0. Заменим все коэффициенты фШ со-
соответствующими классами вычетов по модулю р. Так как стар-
старший коэффициент фШ, равный рт, делится на р, то мы получим
многочлен <рШ из кольца 20U] степени <и —1, причем не все
его • коэффициенты нули. По предположению поле 20 содержит по
крайней мере п элементов, поэтому существует элемент аео,
для которого класс вычетов а не является корнем <p(t). Послед-
Последнее означает, что ф(а) Ф 0 (mod р), т: е. что ф(а) — единица коль-
кольца 0. Подсчитаем теперь значение 11^ — all. Характеристический

212 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. ИТ
многочлен для j — а равен f(t + a), поэтому
#«/*(¦* - а) = (-1)"/(в> = (-1)п<р(а)р-г,
откуда
Ц - all = 2-r < I, Ha-apH<llpll.
Равенство A0) будет удовлетворено, если мы положим 1'=я,
р = a — a0.
Мы доказали таким образом, что .О является евклидовым коль-
кольцом, а значит, согласно теореме 2 § 2 разложение на простые
множители в нем однозначно.
Пусть я — произвольный простой элемент кольца D. Так как
для всякого осе О* его норма NK/k(oc) всегда делится на ос, то
NK/k(n) =pfu делится на я (и — единица в о, /5=1). Но в таком
случае в силу простоты лив силу однозначности разложения на
простые множители элемент р также должен делиться на я. Этим
доказано, что если разложение р в кольце D на простые множи-
множители имеет вид
р — ея^ .. . ят
(s — единица в О), то простые элементы я1; ..., ят исчерпывают
собой с точностью до ассоциированности все простые элементы
кольца О.
Доказательство леммы 2 окончено.
Доказательство теоремы 5. Будем доказывать тео-
теорему индукцией по степени п расширения К/к. При п = 1 до-
доказывать нечего. Пусть п > 1, и пусть теорема 5 уже доказана
для всех расширений степени < п при произвольном основном
поле.
Если поле вычетов 20 показателя v0 содержит не менее п эле-
элементов, то по лемме 2 в кольце О разложение на простые множи-
множители однозначно и, следовательно, теорема 5 справедлива соглас-
согласно сказанному в конце п. 3.
Мы должны рассмотреть, таким образом, лишь тот случай,
когда число элементов q поля вычетов Ео конечно и меньше п.
Этот случай мы сведем к уже разобранному, расширив основное
поле к до поля к' так, чтобы, во-первых, степень {к': к) была
равна тг — 1 (в -силу индуктивного предположения в поле к' будет,
следовательно, существовать показатель v0, являющийся продол-
продолжением v0) и, во-вторых, чтобы поле вычетов 2' показателя v0
уже содержало не менее п элементов. Если через К' мы обозна-
обозначим наименьшее поле, содержащее К и к', то для расширения
К'/к' и показателя v0 будет выполнено условие леммы 2, т. е.
будем иметь уже разобранный случай. Намеченный план осуще-
осуществляется следующим образом.
Мы знаем (см. Дополнение, § 3), что над всяким конечным
полем существуют неприводимые многочлены произвольной сте-

§ 4] ПОКАЗАТЕЛИ 213
пени. Пусть (pit)— неприводимый многочлен степени п—1 с ко-
коэффициентами из поля So, старший коэффициент которого ра-
равен 4. Каждый из его коэффициентов является классом вычетов
кольца о по модулю р. Заменим эти классы какими-нибудь их
вычетами по модулю р (в качестве старшего коэффициента возь-
возьмем 1), мы получим многочлен фШ из кольца оЫ, который будет
неприводим над полем к.' Действительно, если бы (pit) был при-
приводим в поле к, то его можно было бы разложить на множители
с коэффициентами из 0, а тогда, переходя к полю вычетов So, мы
получили бы для <р(?) разложение с коэффициентами из 20, что
противоречит выбору (fit). Построим над полем К расширение
K'—KiQ), где 8 — корень многочлена (pit). Степень расширения
К'/К, во всяком случае, не превосходит п—1 (над полем К мно-
многочлен (pit) может оказаться приводимым). Рассмотрим в К' про-
промежуточное поле к' = kiQ). Так как фШ неприводим над к, то
(к' : к) = п — 1. Пусть v0 — какой-нибудь показатель поля к',
являющийся продолжением v0 на к' (существование v0 обеспе-
обеспечено индуктивным предположением). Обозначим через о' кольцо
показателя v0, через р' — простой элемент в о' и через 2' — поле
вычетов кольца о' по модулю р'. Два элемента а и Ъ из о срав-
сравнимы по модулю р' (в кольце о') тогда и только тогда, когда они
сравнимы в кольце 0 по модулю р. В силу этого те классы выче-
вычетов кольца о' по модулю р', которые содержат представителей
из о, образуют подполе поля 2', изоморфное 20. Имея в виду этот
естественный изоморфизм 20 -*¦ 2', можно считать, что 20 е 2'.
Так как элемент 8 является корнем многочлена с коэффициента-
коэффициентами из о и со старшим коэффициентом 1, то 8е о' (в силу цело-
целозамкнутости о'). Обозначим через 8 соответствующий ему класс
вычетов из 2'. Равенство фF) = 0 при переходе к классам выче-
вычетов по модулю р' дает нам ф@)=(Г. Но (pit) по выбору неприво-
неприводим над полем 20, а значит, степени 1,6,..., 0П~2 линейно неза-
независимы над So. Отсюда легко следует, что поле 2' (т. е. поле вы-
вычетов показателя v0) содержит по крайней мере qn~l элементов
(напомним, что q обозначает число элементов поля 20). С другой
стороны,
,„, . , _ {К' :К)(К: к) („-!)„ _
^ •«)- (JTTk) ^= „_!—"•
Но при 5^2и п^2 справедливо неравенство qn~l S= п. Следова-
Следовательно, число элементов в поле вычетов 2' показателя v0 не
меньше степени (К': к'). По доказанному для показателя v0
существует его продолжение v' на поле К'. Так как v' является
продолжением v0 на поле К', то показатель v, индуцированный
показателем v' на подполе К, будет продолжением показателя v0
(см. п. 3). Этим мы закончили доказательство теоремы 5.

214 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ .ГЛ. III
Задачи
1. Показать, что для алгебраически замкнутых полей показателей не
существует.
2. Пусть К = к (х) — поле рациональных функций над полем к и v —
показатель поля К, соответствующий многочлену х — а (аек). Показать,
что поле классов вычетов 2V показателя v изоморфно к. Показать, далее,
что два элемента f(x) и g{x) из кольца показателя v тогда и только тогда
лежат в одном классе вычетов, когда /(а) = g(a).
3. Пусть К = к(х)—поле рациональных функций над полем вещест-
вещественных чисел iiv — показатель К, соответствующий неприводимому мно-
многочлену х2 + 1. Найти поле классов вычетов 2V показателя v.
4. Пусть Di и ?>2 — кольца показателей vi и v2 некоторого поля К, Ел и
Е2 — группы единиц этих колец. Доказать, что если Е\ а Е^ то \>i = V2.
Пусть, далее, v, vi, ..., vm — показатели поля К и О, О,, ..., 0„, — их
т
кольца. Доказать, что если П ©4с0, то v совпадает с одним из
Vi, . . ., Vm-
5. Найти целое замыкание кольца 3-целых чисел в поле Q (у—¦ 5) и оп-
определить все продолжения 3-адического показателя \3 на это ноле.
6. Найти для любого простого числа р все продолжения р-адического
показателя \р на поле Q (~J/ — l) и определить соответствующие индексы
ветвления.
7. Пусть К/к — нормальное расширение и v0 — показатель поля к. Пока-
Показать, что если v — какое-нибудь продолжение v0 па поле К, то все прочив
продолжения имеют вид v°(a) =v(o(a)), ixeX, где а пробегает все ав-
автоморфизмы К/к.
8. Пусть ?>i, ..., Ото — кольца показателей vi, ..., vm некоторого поля.
т
Доказать, что в кольце Л ?>^ все идеалы главные.
г=1
9. Пусть к = к0 (х, у) — поле рациональных функций от х и у над не-
некоторым полем к0. Выберем в поле формальных степенных рядов ka{t} (сад.
задачу 7 § 4 гл. I или п. 5 § 1 гл. IV) ряд
2 @)
п=0
трансцендентный над полем рациональных функций ко{1) (существование
таких рядов следует из того, что мощность поля ko{t} больше мощности под-
поля ko(t) и, следовательно, больше мощности множества тех элементов из
Jco{t}, которые алгебраичны над ko{t)). Для отличного от нуля многочлена
T = f{x, у)^ко[х, у] ряд /(?, !(?)) по выбору ? также отличен от пуля.
Если Vх есть наименьшая степень t, входящая в этот ряд с ненулевым коэф-
коэффициентом, то .полагаем v0 (/) = п. Показать, что функция v0 (при надле-
надлежащем доопределении) является показателем поля к п что поле вычетов
этого показателя изоморфно полю к0.
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения
1. Существование. Теорема 1. Если для кольца о с полем
отношений к имеется теория дивизоров о* -> ©0, определяемая
набором показателей %, и если К — конечное расширение поля
к, то совокупность 91 всех тех показателей поля К, которые яв-
являются продолжениями показателей из %, определяет теорию
дивизоров для целого замыкания О кольца о в поле К.

§ 5] ' ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 215
Доказательство. В силу теоремы 4 § 3 нам достаточно,
лишь проверить, что множество показателей 91 удовлетворяет
всем трем условиям этой теоремы. Проверим сначала второе ус-
условие. Для всякого показателя v s91 и любого аео мы, оче-
очевидно, имеем via) 5= 0. Это значит, что о содержится в кольце по-
показателя v. Но тогда по теореме 1 § 4 целое замыкание кольца о
в поле К также содержится в кольце показателя v. Другими сло-
словами, v(a) X) для всех а<=0. Обратно, пусть для некоторого
элемента а^К неравенство v(a)^0 выполнено для всех пока-
показателей v е 91. Обозначим через V + а^т~1 + ... + аг минимальный
многочлен а относительно к. Пусть v0 — произвольный показа-
показатель поля к, принадлежащий множеству 9t0, и v4, ..., vm — все
его продолжения на поле К. Так как v4(a) >0, ..., vm(a) 5= 0, то
согласно теореме б § 4 элемент а принадлежит целому замыка-
замыканию в К кольца показателя v0. Но в таком случае все коэффици-
коэффициенты а}, ..., ат должны принадлежать самому кольцу показателя
v0 (см. Дополнение, § 4, п. 3), т. е. VoCfflJ ^ 0, ..., voiaT) > 0. По-
Поскольку последнее справедливо для всех v0 e %, то коэффициен-
коэффициенты ai, . . ., аг принадлежат 0, а значит, a e О.
Обратимся к первому условию. Пусть а е О, а?=0. Среди по-
показателей v0 из % имеется только конечное число таких, что
V(,iar)?=0. Отсюда Следует, что в 91 также имеется только конеч-
конечное число показателей v, для которых v(ar)=7=0. Но если v(ar) =
= 0, то помимо неравенства v(a)S=0 мы имеем также v(a~') =
= v(a71(G-r~1 + • • • +'flr-i))^0, а значит, v(a) =0. Таким обра-
образом, v(a) == 0 почти для всех v^i
Остается проверить выполнение третьего условия. Пусть
Vi, ..., vm — различные показатели из 91 и ки . ¦., кт — неотрица-
неотрицательные целые числа. Обозначим через voi, -. •, vOm соответствую-
соответствующие показатели из 910 (среди vOi могут, конечно, оказаться рав-
равные). Дополним нашу исходную систему показателей до системы
v4, ..., vm, Vm+i, ..., vs, содержащей все продолжения v<h на поле
К. По теореме 3 § 4 в поле К существует элемент "f, для ко-
которого
Vi(']f) = A;1, ..., vmij) =km, vm+iini) = 0, ..., vsG)=0-
Если этот элемент у принадлежит кольцу О, то мы положим a =
= 7- Допустим, что ч не принадлежит О. Обозначим в таком слу-
случае через v-l, .. ., vr все те показатели из 91, которые на элемен-
элементе f принимают отрицательные значения:
vi (¦?) = — *!>•••. Vr G) = — It,
и через v01, ..., vor — соответствующие им показатели из %
(среди vOj также могут быть равные). Так как каждый из пока-
зателей v9j отличен от каждого из ve{, то в о найдется таком

216 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
¦элемент а, что
voi(a) = O, l<i<ro, v'0)(a) = l, 1</<г,
где I мы возмем равным max (lu ..., I,). Положим а = уа. Так как
v'j (а) = v)(у) + v'j(а)^—lj + v'oj(а) = — Ц + I>О,
то аеО. Таким образом, в обоих случаях в кольце О мы нашли
элемент а с условием v4(a) = hi, ..., vm(a) = кт, так что условие
3) теоремы 4 § 3 для множества показателей 91 также выполнено.
Доказательство теоремы 1 окончено.
Применим теорему 1 к случаю поля алгебраических чисел.
Максимальный порядок О поля алгебраических чисел К явля-
является, как мы знаем, целым замыканием в К кольца целых рацио-
рациональных чисел Z. Так как в Z теория дивизоров имеется (одно-
(однозначность разложения на простые множители), то по теореме 1
теория дивизоров существует и для О. Согласно теореме 5 § 3
теория дивизоров для Z связана с совокупностью всех показа-
показателей поля рациональных чисел Q, а так как каждый показа-
показатель поля К является продолжением некоторого показателя поля
Q, то получаем, что теория дивизоров кольца О определяется
всеми показателями поля К. Мы имеем, таким образом, следую-
следующую теорему.
Теорема 2. Для максимального порядка D произвольного
поля алгебраических чисел К существует теория дивизоров О* -»-
-*• S, и эта теория определяется совокупностью всех показателей
поля К.
2. Норма дивизоров. Пусть к — поле отношений кольца 0 е тео-
теорией дивизоров s>* -»- So, К — конечное расширение поля к, О —
целое замыкание кольца 0 в поле К и D* ->- © — теория дивизоров
для кольца О. В этом пункте нами будут установлены некоторые
связи между полугруппами дивизоров S)o и S.
Так как о <= D, то элементам из о* соответствуют главные ди-
дивизоры как в полугруппе ?H, так и в полугруппе S. Чтобы раз-
различать их, мь! условимся здесь главный дивизор из ©0, соответ-
соответствующий элементу а е о*, обозначать через (а)к, а главный ди-
дивизор из 3), соответствующий элементу a?D*,— через (а)к-
Для полугрупп 0* и О* мы имеем изоморфное вложение о* -*¦
-*- О*. Так как единицы кольца О, содержащиеся в о, совпадают
с единицами кольца о, то это вложение определяет изоморфизм
(а)л-> (а)К, а^о*, полугруппы главных дивизоров кольца о в по-
полугруппу главных дивизоров кольца ?). Мы покажем сейчас, что
этот изоморфизм можно продолжить до изоморфизма ©о -*¦ ®.
Теорема 3. Для полугруппы ®0 существует изоморфизм
в полугруппу S, который на главных дивизорах совпадает с изо-
изоморфизмом (а)к -*¦ (а)к, а ^ О*.

g 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 217
Изоморфизм So -*¦ S характеризуется, очевидно, коммутатив-
коммутативностью диаграммы
0*->О*
т. е. тем, что два «сквозных» гомоморфизма о* -»- D* -> S и о* -»-
-*¦ So ->¦ ® совпадают (вертикальные гомоморфизмы обозначают
отображения мультипликативных полугрупп колец на полугруп-
полугруппы главных дивизоров).
Пусть р — произвольный простой дивизор кольца 0, Vj, —
соответствующий ему показатель поля к и v^ , . .., vsp — все
продолжения v^ на поле К (Ч$1? ..., 5Р™ — простые дивизоры
кольца О). Обозначим через е1? .. ., ет соответственно индексы
ветвления показателей Vqj , .. ., vqj относительно v^. Так как
VJS- (а) = eiVyia) ПРИ любом аео* то множителю р * из глав-
главного дивизора (a)teS, в главном дивизоре (a)KsS будет соот-
ветствовать произведение \vx ¦ ¦ ¦ vm / v • ото показывает,
что изоморфизм So в ©, определяемый отображением
Р-^.-.С" A)
(для всех р), удовлетворяет условию теоремы 3.
Нетрудно доказать, что изоморфизм So -*¦ ®, удовлетворяю-
удовлетворяющий требованиям теоремы 3, единственный (задача 5).
В силу изоморфизма ®0 ~* ® мы можем полугруппу 3H отож-
отождествить с ее образом в полугруппе ©. При таком отождествле-
отождествлении простые дивизоры из 3H перестают, вообще говоря, быть
простыми в 3). Именно, ввиду A) для каждого простого ))е®а в
полугруппе © имеет место разложение
У = Й1 • • • С- B)
Пользуясь вложением 3H ->- ©, можно говорить о делимости
дивизоров кольца о на дивизоры кольца D. В частности, ввиду
B) получаем, что простые дивизоры ф кольца О, делящие про-
простой дивизор у кольца о, характеризуются тем, что соответствую-
соответствующие им показатели v<^ являются продолжениями показателя v^.
Очевидно, далее, что взаимно простые дивизоры из ®0 остаются
взаимно простыми и в S.
Определение. Пусть ф|р. Индекс ветвления е = е^ пока-
показателя v^ относительно показателя v$ называется также индек-
индексом ветвления простого дивизора ty относительно 'р (или отно-
относительно к).

218 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ " [ГЛ. III
Индекс ветвления является, таким образом, наибольшим на-
натуральным числом е, для которого фв|р.
Для всякого элемента a^D* его норма Ma) = NK/k{a) при-
принадлежит о*. Отображение a -*¦ iV(a), a^D*, является поэтому
гомоморфизмом мультипликативной полугруппы О* .в полугруп-
полугруппу о*. Так как норма всякой единицы кольца D является едини-
единицей в о, то этот гомоморфизм однозначно определяет гомоморфизм
(а)к -»¦ (N(a))h полугруппы главных дивизоров кольца D в полу-
полугруппу главных дивизоров кольца о. Покажем, что этот гомо-
гомоморфизм можно продолжить до гомоморфизма всей полугруппы
SbS».
Теорема 4. Для полугрупп дивизоров ® и So существует
гомоморфизм N: S ->• ®0, для которого
C)
при любом а е О*.
Свойство гомоморфизма N, выраженное равенством C), озна-
означает, что для гомоморфизмов диаграммы
имеет место коммутативный закоп.
Для фиксированного простого дивизора реЭ0 через Ор мы
обозначим кольцо показателя v^, и через О^— его целое замы-
замыкание в поле К. Согласно теореме 7 § 4 все простые дивизоры
5$!, ...,$„, кольца D, делящие р, находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с попарно не ассоциированными простыми эле-
элементами jti, ..., 7im кольца ?>р. Это соответствие ,фг -*-»- Я; обладает
тем свойством, что если для элемента а Ф 0 из К имеет место
разложение
а = ещ1 ... лт , D)
где е — единица кольца ?2р , то
fci = v<p.(a). E)
Пусть !E — один из простых дивизоров %, делящих р, и я —
соответствующий ему простой элемент кольца Sj,. Положим
Ясно, что dm не зависит от выбора я. Переходя в равенстве D)

§ 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 219
к нормам и учитывая E) и F), мы получаем соотношение
v,(#K/k(a))= 2<^(а) G)
OP пробегает все простые дивизоры кольца О, делящие !р).
Теперь мы уже легко можем построить гомоморфизм N: %>-*¦
-*¦ So, о котором говорится в теореме 4.
Каждый дивизор Я = SPi1 . .. фг г из полугруппы ® удобно
записывать в виде формально бесконечного произведения:
распространенного по всем простым дивизорам !|S из S, в кото-
котором, однако, только конечное число неотрицательных показате-
показателей ЛОР) отлично от нуля G40P) равно Л,-, если Sp = sp,-, и равно
нулю, если дивизор ф отличен от $t, ..., Spr). Аналогичным обра-
образом мы можем записывать и дивизоры кольца о.
Рассмотрим для элемента a s О* главный дивизор (а)к- Так
как простой дивизор 5р входит в (а)к с показателем vsp (a), то
(8)
Согласно соотношению G) для показателей с(р) главного ди-
дивизора
1Ь() (9)
мы имеем формулу
с(р)= 2*р^(а). A0)
Это подсказывает нам следующее определение.
Определение. Пусть 91 = Ц SpAw — дивизор кольца D.
<р
Для каждого простого дивизора р кольца о положим
Дивизор JJ p°W кольца о называется нормой дивизора % относи-
тельно расширения К/k и обозначается через Nk/h^O или, коро-
короче, через N(W.
Так как числа ЛОР) равны нулю почти для всех ф (т. е. для
всех, за исключением конечного числа), то а($) также равны ну-
нулю почти для всех р, и, значит, выражение Ц уа№ действитель-
но является дивизором кольца 0.

220 ' ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ, III
Из определения очевидным образом следует, что
для любых двух дивизоров $ и S3 из ®. Отображение % ->• М90
является, таким образом, гомоморфизмом полугруппы ® в полу-
полугруппу So.
В случае простого дивизора §( = ф мы, очевидно, имеем
A1)
Так как ввиду равенства A0) норма дивизора (8) равна диви-
дивизору (9), то нами, следовательно, и доказано существование гомо-
гомоморфизма N: ®->®0, удовлетворяющего условию C).
Как и в случае изоморфизма So ~*~ 2), можно показать (зада-
(задача 4), что гомоморфизм N: ® ->• So условием C) определен одно-
однозначно.
Одной из центральных задач теории дивизоров является уста-
установление законов разложения простых дивизоров р кольца о на
простые множители при переходе к целому замыканию О кольца
о в конечном расширении. В общем случае, однако, об этих зако-
законах разложения к настоящему времени известно совсем немного
(см. по этому поводу конец п. 2 § 8). Каждое разложение вида
B) характеризуется числом т простых делителей ф( и набором
их индексов ветвления ег = е^ . Натуральные числа е^, оказыва-
оказывается, не могут быть произвольными (для данного расширения
К/к). Именно, они связаны с числами dm (см. F)) соотношением
Hd«en = n = (K:k), A2)
для доказательства которого достаточно формулу G) применить
к простому элементу р кольца ор (напомним, что vm(p) = еЛ.
3. Степень инерции. Определение гомоморфизма N: ? ->- So опи-
опиралось на числа dip, которые, довольно формальным образом,
определялись формулой F). Теперь мы выясним более глубокий
арифметический смысл этих чисел.
Пусть Splp. Обозначим через 0у и ©sg кольца показателей v^, и
v,^ и через р и я — простые элементы в этих кольцах соответ-
соответственно. Так как для элементов а и Ь из о у сравнения я =
= Ь (mod/?) в кольце 0р и а = Ъ (modn) в кольце ©т равносиль-
равносильны, то каждый класс вычетов в 0р по модулю р содержится це-
целиком в некотором классе вычетов в ©щ по модулю п. Эта
определяет изоморфное вложение поля вычетов Еу = О
показателя v^ в поле вычетов Sip = Др/(я) показателя p
В силу этого изоморфизма мы будем считать, что 2? с: 2^. Для

§ 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 221
любого ? е Dip через | обозначим класс вычетов по модулю я с
представителем |. Подполе 2^ поля 2sp состоит, очевидно, иа
классов вычетов вида а, где аео^.
Пусть классы вычетов аи ..., <вт из 2tg (щ е О^) линейна
независимы над полем 2^,. Покажем, что тогда представители
со,, ..., што из этих классов линейно независимых над полем к.
Предположим, что это не так, т. е. что при некоторых коэффи-
коэффициентах ate к, не равных одновременно нулю, имеет место ра-
равенство
asai + ... + ат(ит = 0.
Умножив это соотношение на надлежащую степень р, мы можем
добиться того, чтобы все а{ принадлежали кольцу о^ и чтобы хоть
один из них не делился на р. Переходя тогда к полю вычетов
2sp, мы придем к равенству
а^ + ... + атат=Ъ,
в котором не все коэффициенты ai <= 2? нули. Полученное проти-
противоречие и доказывает наше утверждение.
Из линейной независимости ш17 . .., <вт над полем к следует,
что т^п = {К:к). Таким образом, поле вычетов 2^ является
конечным расширением поля 2^, при этом
Определение. Пусть простой дивизор $ кольца D явля-
является делителем простого дивизора у кольца 0. Степень / = /sp =
= Bsp:2y) поля вычетов показателя Vqj над полем вычетов по-
показателя v^ называется степенью инерции простого дивизора 5JJ
относительно у {или относительно к).
Обозначим, как и в п. 2, через 0$ целое замыкание кольца
о^ в поле К. По аналогии с понятием фундаментального базиса
в полях алгебраических чисел введем следующее определение.
Определение. Базис on, ..., <в„ расширения К/к будем
называть фундаментальным базисом кольца ?^ относительно о^,,
если все его элементы принадлежат ?>s и каждый элемент а е
е Of представляется в виде линейной комбинации
a = ai(oi+ .... +апюп A3)
с коэффициентами а, из 0р. ,
Ниже мы увидим, что в случае сепарабельного расширения
К/k фундаментальный базис для кольца ©? (при любом р) все-
всегда существует. С другой стороны, согласно задачам 11 и 12 для

222 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
несепарабельных расширений К/к могут встретиться случаи, ко-
когда кольцо ©у не имеет фундаментального базиса относитель-
относительно ог
Значение понятия фундаментального базиса определяется сле-
следующей теоремой.
Теорема 5. Пусть <р — простой дивизор кольца О, делящий
j), ия — соответствующий ему простой элемент кольца ©у. Если
для кольца Оу существует фундаментальный базис относительно
0„, mo /qj = ?&р = vy (NK/k (я)).
Доказательств р. Простой элемент яе^ является, оче-
очевидно, простым элементом и в кольце Цр. Покажем, что в каж-
каждом классе вычетов | кольца ?)ф по модулю я-содержится пред-
представитель из ?>р, т. е. для любого ^еОт найдется такой элемент
аеО?, что
1 = а (mod я).
Пусть 5р = Ц?!, 4J2, • • •, tym — все простые дивизоры кольца О, яв-
являющиеся делителями р. В силу теоремы 6 § 4 условие у е D^
равносильно тому, что Vjp (у)^0 при всех i = 1, ..., т. Искомый
элемент а должен поэтому определяться условиями
и для доказательства его существования нам достаточно сослать-
сослаться па теорему 4 § 4.
Пусть теперь аи ..., и„ — фундаментальный базис кольца
Оу относительно ор. По доказанному каждый элемент из 2qj
может быть представлен в виде aiCOi + ... + апа>п, где аг s о
и, следовательно, аге2у. Это значит, что классы вычетов g>i, ...
..., (о„ являются образующими 2qj как линейного пространства
над 2у. Если / = Bsp:2j,) = /sp, то среди них мы можем вы-
выбрать / линейно независимых над 2^. Пусть это будут аи ..., <В/.
Ясно, что тогда в кольце Оу сравнение
ai<»i + ... + af(Of = 0 (modя),
где щ s Oj,, имеет место тогда и только тогда, когда at = 0 (mod/)),
где /) — простой элемент кольца Оу. _
Так как каждый класс вычетов cuj е 2^ при / = /+1, ..., п
выражается через cut, ..., ш^, то
f
coj = 2 bjS<us (mod я),- j — f + 1, ..., и,
5=1

§ 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 223
при некоторых bls из о у. Положим
8( = ш* при i = l, ...,/,
6j = — 2 bjt®, + и,- при / = / + 1, . .., п.
Ясно, что 64, ..., 9п также образуют фундаментальный базис ?^
относительно Oj, (так как все cos могут быть выражены через 8S
с коэффициентами из Ор). Все элементы Э/+1, ..., 9„ делятся в
кольце ?)р на я, поэтому сравнение
aSi +... + а„0„ = 0 (mod я)
имеет место тогда и только тогда, когда
аг ез... = af ^ 0 (mod/?).
Рассмотрим совокупность 2I всех элементов кольца ?)рг
делящихся на я. По только что доказанному совокупность 2Й сов-
совпадает со всеми линейными комбинациями элементов
PQh ..., PQ,, e/+1, ..., е„ A4)
с коэффициентами из Оу. С другой стропы, очевидно, что Ж сов-
совпадает также со всеми линейными комбинациями элементов
jt0i, ..., я9п A5)
с коэффициентами из Оу Обозначим через С матрицу перехода
от базиса A4) к базису A5). Так как все элементы nQ, выра-
выражаются через базис A4) с коэффициентами из 0^,, то detC явля-
является элементом из (у В силу симметрии то же справедливо и
для detC~\ Следовательно, det С — единица кольца 0р, т. е.
Vj, (det С) = 0. Если мы первые / столбцов матрицы С умножим
на р, то получим, очевидно, матрицу А = (а«), для которой
п
3=1
поэтому NK/k(n) = det A = pf det С, откуда
и теорема 5 доказана.
Теорема 6. Если расширение К/к сёпарабелъно, то для Оу
всегда существует фундаментальный базис относительно Oj,.
Приступая, к доказательству этой теоремы, заметим, что оно
аналогично, по существу, доказательству теоремы 6 § 2 гл. П.

224 ТВОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
Так как каждый элемент из К при умножении на надлежа-
надлежащую степень простого элемента кольца Оу становится целым от-
относительно Ор, то для расширения К/к существует базис at, ...
.. ., сс„, все элементы которого принадлежат 0$. Рассмотрим
взаимный с ним базис ах, ...,ап (см. Дополнение, § 2, п. 3;
здесь мы уже пользуемся сепарабельностью К/к). Если а е Ор и
a = с,а* + ... + спа.*, A6)
где сг^к, то Ci = Sp(a<Xi), а значит, сг е о^ (так как аа;е0^.
Для каждого s = 1, ..., re рассмотрим в кольце Оу элементы, вы-
выражения которых через базис ах, ...,а„ имеют вид
* . . *
csas + ... + с„сс„, с4 <= ?>„, A7)
и выберем среди них такой элемент
ш4 — cssas + ¦. . + Csn№ni Csj ?= Oj),
что Vy (cs) ^ v^, (css) для всех коэффициентов с, элементов вида
A7) из ?)р. Ясно, что с„?=0 при всех s, так что элементы
<0i, . .., &)„ из Оу линейно независимы над к. Пусть теперь а —
произвольный элемент из Су Если мы представим его в виде
A6), то d = Сцпг, где а\ е о^, по выбору coi. Для разности
а — а1а>1 е ©и мы имеем разложение
а — а1ы1 = с2а2 + .. . +
при этом Сг = с22а2> гДе а2ео)>'по выбору со2. Повторив это рас-
рассуждение п раз, мы придем в конце концов к разложению A3),
в котором все коэффициенты at принадлежат о^. Базис coi, ..., со„
является, таким образом, фундаментальным относительно о?!
и теорема 6 доказана.
Из теорем 5 и 6 и формулы A2) очевидным образом вытекает
•следующее утверждение.
Теорема 7. Если расширение К/к сепарабелъно, то индек-
индексы ветвления е^ и степени инерции /sp простых дивизоров *$
кольца D, делящих фиксированный простой дивизор р кольца о,
связаны между собой соотношением
В случае сепарабельного расширения К/k формула G) может
быть переписана в вжде
v»№/k(a))= 2 Wa>- (is)

g 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 225
Замечание. Для несепарабельных расширений равенство
теоремы 7 может не иметь места. Однако всегда справедливо
неравенство ^ еф/<р^п ^см- задачу 13). Можно показать также,
34»
что в общем случае имеет место неравенство /sp^dsp.
Рассмотрим теперь случай, когда К/к является конечным рас-
расширением Галуа с группой Галуа G (см. п. 4 § 2 Дополнения).
Пусть !E — какой-нибудь простой дивизор кольца О, делящий
фиксированный простой дивизор у кольца о, и v = vsp— соответ-
соответствующий ему показатель поля К. Для каждого автоморфизма
о^ G через ov обозначим показатель поля К, определяемый ра-
равенством
(ov)(a)=v(o-I(a)), а^К.
Согласно задаче 7 § 4 показатели av для всех о ^ G исчерпывают
собой все продолжения показателя v^ на поле К (для различпых
о и т иэ G показатели ov и tv не обязательно различны). Простой
дивизор кольца ?), соответствующий показателю av, обозначим
через оф. Рассмотрим индексы ветвления и степени инерции ди-
дивизоров оф. Если р — простой элемент кольца о^ показателя
Vj.( ТО
Далее, пусть я — простой элемент кольца &$, соответствующий
простому дивизору Щ (для которого Vsp(ft) = l). Ясно, что о(я)
также является простым элементом кольца Оу, и так как
vCTsp (о (я)) = v (О (о (я))) = 1, то этот простой элемент соответ-
соответствует простому дивизору аф. Расширение Галуа К/k сепара-
бельно (теорема 13 § 2 Дополнения), а значит, в Оу существует
фундаментальный базис относительно Оу (теорема 6). Применяя
теперь теорему 5, получаем
Нами доказано, таким образом, что для любого o^G справедли-
справедливы формулы effsp = esp, /ffsp = /sp. Так как простые дивизоры а$
(о s G) исчерпывают собой все простые дивизоры кольца D, де-
делящие данный простой дивизор f кольца о (задача 7 § 4), то по-
полученные нами формулы означают, что все простые дивизоры
кольца ?), делящие р, имеют общее значение индекса ветвления
и общее значение степени инерции. Эти общие значения можно,
следовательно, обозначить через е$ и Д, соответственно.
Обозначим через т^ число различных дивизоров вида ofy, ког-
когда о пробегает все автоморфизмы из G (т. е. число различных

226 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
простых дивизоров кольца D, делящих }>). Формулу теоремы 7
для случая расширений Галуа мы можем теперь переписать
в виде
4. Конечность числа разветвленных простых дивизоров.
Определение. Простой дивизор р кольца о называется раз-
разветвленным в кольце О, если он делится на квадрат простого
дивизора кольца О, и называется неразветвленным в противном
случае.
Неразветвленные р характеризуются, следовательно, тем, что
для них в разложении B) все е4 равны 1.
Предполагая расширение К/к сепарабельным, мы приведем
одно важное условие неразветвленности р.
Допустим, что в кольце &$ имеется такой примитивный эле-
элемент 0 (для расширения К/к), что дискриминант Dif) его мини-
минимального многочлена fit) является единицей в Оу. Покажем, что
в этом случае степени 1, 0, ..., б", где га = (К: к), образуют
фундаментальный базис кольца ?)р над о^,. Действительно, пусть
©1, ..., и„ — какой-нибудь фундаментальный базис ?>у ж С —
матрица перехода от базиса со,- к базису 6j. Тогда
Dif) = Ш, 9, ..., б") = (detm>(©,, ..., ©„)
(см. § 2 Дополнения, формула A2)). Так как Dif) является еди-
единицей в Ор, а множители справа принадлежат кольцу о, то detC
есть единица в Су, откуда и следует, что 1,0,..., б71 — также
фундаментальный базис.
Пусть р — простой элемент кольца о?и Jj — поле вычетов
показателя Vj,. Для произвольного многочлена git) с коэффици-
коэффициентами из 0$ через git) мы будем обозначать многочлен из коль-
кольца 2у [t], получающийся заменой всех коэффициеннтов git) их
классами вычетов по модулю р. Так как дискриминант D (/) е
е 2у многочлена / (t) e 2^, [t] равен классу вычетов по модулю
р с представителем D (/) е»|, то ввиду условия этот дискрими-
дискриминант Dif) отличен от нуля. Следовательно, в разложении
ф1(*)...фт(*) A9)
на неприводимые множители в кольце 2у [t] многочлены ф< все
различны (здесь ф, — некоторые многочлены из Oj, [?]). Если
через di мы обозначим степень <р(, то, очевидно,
di + ... + dm = n=(K:k). B0)

9 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 227
Теорема 8. Если дискриминант минимального многочлена
fit) примитивного элемента 8eOj является единицей в Оу, то
простой дивизор р не разветвлен в ?) и все простые дивизоры %
из разложения
находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимы-
неприводимыми многочленами q>j e 2у [t] из разложения A9). Степень инер-
инерции fi простого дивизора % совпадает со степенью dt соответству-
соответствующего ему многочлена ц>М).
Доказательство. Пусть git)—произвольный многочлен
из 0у[?]. Докажем, что если многочлены g и <р* взаимно просты
в кольце 2у[?], то элементы gF) и <р(F) взаимно просты в
кольце ?>у Действительно, при взаимно простых g и <р,- в кольце
ОрШ существуют такие многочлены u{t), vit) и lit), что
git)uit) + q>tit)vit) =
Если бы giQ) и ф,F) делились в кольце О$ на некоторый про-
простой элемент я, то, поскольку itlp (теорема 7 § 4), из последнего
равенства (при t = d) следовало бы, что я И. Полученное проти-
противоречие и доказывает наше утверждение._
Так как неприводимые многочлены ср* различны, то, в част-
частности, мы получаем, что ф4@), ..., <pm@) попарно взаимно
просты.
Допустим, что <рД0) является единицей в . ©у, т. е. что
ф4 @I = 1, ?е?уТак как 1, 0, ..., 0" образуют фундамен-
фундаментальный базис Оу над о?, то ? = h (в), где h it) s Oy [t]. Равенство
<ViiQ)hiQ) = 1 означает, что <ptit)hit) = 1 + fit)qit), где q it) s 0v [t]
(поскольку старший коэффициент fit) равен 1). При переходе к
полю вычетов 2^ это дает нам равенство <р,-й = 1 + ф1... q>mq,
и мы опять получили противоречие. Следовательно, все элемен-
элементы ф4@), ..., фт@) не являются единицами в ^.
Для каждого i выберем в О^ простой элемент я4|фД0). Так
как по доказанному все ф*@) попарно взаимно просты, то про-
простые элементы пи ..., яот попарно не ассоциированы. Обозначим
через $р1? ..., фт соответствующие им простые дивизоры кольца
О и через Д, ..., fm степени инерции этих дивизоров. В поле вы-
вычетов 2ф. показателя vsp. классы вычетов 1,0, . ..,9 * линейно
независимы над 2^ (df — степень ф4). Действительно, если для
многочлена g it) e о^, [t] степени <d( имеет место равенство
g@) = 0, то элемент g@) делится в кольце ?^ на nt и поэтому

228 * ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ 1ГЛ. Ill
gF) и фД6) не взаимно просты. Но в таком случае, как мы ви-
видели в начале доказательства, git) должен делиться на фДО и,
следовательно, все коэффициенты git) — нули.
Нами доказано, таким образом, что
& ^ h i = 1, •-, т-
Сопоставляя эти неравенства с равенством B0) и принимая во
внимание теорему 7, мы приходим к выводу, что $l5 ...,$,„ — это
все простые дивизоры, делящие "р, что их индексы ветвления е^
равны 1 и, наконец, что с?,- = /{. Все это и составляет содержание
теоремы 8. Заметим попутно, что поскольку <рД0), делясь на я,,
не делится на другие простые элементы jtj, то nt может быть
определен как общий наибольший делитель в кольце ?^ элемен-
элементов (pf(8) и р.
Следствие. Если К/к сепарабелъно, то в кольце о имеется
только конечное число простых дивизоров р, разветвленных в О.
Выберем для расширения К/k примитивный элемент 0, содер-
содержащийся в 6. Дискриминант D = D(i, В, ..., 0") является эле-
элементом из о*. Если у -С D, то по теореме у не разветвлен в О. Та-
Таким образом, разветвленными в О могут быть только те простые
дивизоры кольца о, которые делят D.
Задачи
1. Пусть о — кольцо с теорией дивизоров, к — его поле отношений и
к с. К с К' — цепочка конечных расширений. Обозначим через О и О' це-
целые замыкания кольца о в полях К и К' соответственно. Для простого диви-
дивизора W кольца D' через ф обозначим простой дивпзор кольца О, делящий-
делящийся на ф' и через у — простой дивизор кольца о, делящийся на ф. Доказать,
что степень инерции $' относительно к равна произведению степени инер-
инерции Щ' относительно К на степень инерции $ относительно к. Сформулиро-
Сформулировать и доказать аналогичное утверждение для индексов ветвления.
2. Пусть в кольце о с полем отношений к имеется теория дивизоров с
конечным числом простых дивизоров, и пусть простому дивизору ^ соответ-
соответствует простой элемент р кольца о. Доказать, что кольцо вычетов о[(р) изо-
м,орфно полю вычетов 2 показателя v^.
3. Пусть v —показатель поля к, о^ — его кольцо, К/к — конечное се-
парабелъное расширение, О — целое замыкание кольца о в поле К и
cDi, ..., ю„ — базис К над к, все элементы которого принадлежат кольцу ?>„
Доказать, что если дискриминант D(u>i, ..., шп) является единицей кольца
Ojj, то o)i, ..., со„ образуют фундаментальный базис кольца О над о .
4. Доказать единственность гомоморфизма N: ?)-»-®о, удовлетворяюще-
удовлетворяющего условию теоремы 4.
5. Доказать единственность изоморфного вложения ®о->®, удовлетворя-
удовлетворяющего условию теоремы 3.
6. Пусть а — дивизор кольца о. Рассматривая его как дивизор кольца D
(в силу вложения ®о —>- &), доказать, что
NkM<i) = а», п={К:к).

§ 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 229
7. Пусть К/к — сепарабельное расширение степени п. Доказать, что ес-
если дивизор а кольца о становится главным дивизором в кольце О, то а" —
главный дивизор в о.
8. Пусть К/к сепарабельно. Доказать, что норма #к/ь(Я) дивизора Я
кольца О есть общий наибольший делитель главных дивизоров (#к/ь(а))л,
где а пробегает все элементы из О*, делящиеся на Я.
9. Многочлен j(t) = tn + aitn~i + ... + ап с коэффициентами из коль-
кольца о называется многочленом Эйзенштейна относительно простого дивизо-
дивизора р, если oi, ..., ап все делятся на р и я„, делясь на р, не делится на р3.
Доказать, что если в кольце О существует примитивный элемент Э для рас-
расширения К/к степени п, минимальный многочлен которого является много-
многочленом Эйзенштейна относительно р, то р делится только на один простой
дивизор ф кольца О и р = ф™ (степень инерции $ относительно р равна, сле-
следовательно, 1).
10. При тех же условиях доказать, что базис 1, 0, ..., 8П~'' является
фундаментальным базисом кольца О относительно о .
11. Пусть к0— произвольное поле характеристики р и к = ко(х, у)—
поле рациональных функций от х и у над полем, ка. Рассмотрим на к по-
показатель vo, определение которого дано в задаче 9 § 4, при этом в качестве
ряда %(t) (= ko{t) (трансцендентного над ko(t)) мы возьмем ряд вида
I @ = Т| (tf = ( 2 antnY = 2 <*"*' ап е *„.
\п=о I и=о
Согласно задаче 8 § 4 для показателя v0 существует единственное продолже-
продолжение v на чисто несепарабельное расширение К = к\уу ) степени р над к.
Доказать, что индекс ветвления v относительно Vo равен 1 и что поле выче-
вычетов показателя v0 совпадает с полем вычетов показателя v (в смысле изо-
изоморфного вложения). Ввиду теоремы 5 и равенства A2) отсюда следует,
что для кольца ?> показателя v, являющегося целым замыканием в К коль-
кольца о показателя Vo, не существует фундаментального базиса относительно о.
12. В условиях и обозначениях предыдущей задачи доказать непосред-
непосредственно отсутствие фундаментального базиса в D относительно о (без ис-
использования теоремы 5).
13. Пусть о — кольцо с теорией дивизоров, к — его поле отношений,
К/к — конечное расширение степени п, О — целое замыкание кольца о в по-
поле К, р — простой дивизор кольца о, $i, ..., %т — простые дивизоры коль-
кольца О, делящие р, ей • • •, ет — их индексы ветвления и /i, ..., /m — их степе-
степени инерции относительно р. Для каждого s = 1, ..., т через а будем обо-
обозначать класс вычетов в поле 2^ с представителем ос е С^ . Выберем эле-
элементы a>si eD Jl^i^ /s) так, чтобы классы вычетов ~5fSs образовали
базис 2т /2 и, кроме того, чтобы v^ (w^) > е- при ; Ф s, 1 ^ / < т.
Простые элементы кольца О , соответствующие дивизорам %, ..., фт, обоз-
обозначим, через jti, ..., ят. Доказать, что система элементов
s = 1, ..., т, i = 1, ..., /„ / = О, 1, ..., е, — 1,
линейно независима относительно к.
Указание. Рассмотрим линейную комбинацию

230 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
с коэффициентами из о„, среди которых хоть один является единицей в
о„. Пусть vB (св . } \ = 0, где /0 выбрано так, что v fcs i}\ > 0 при / <
< /о и всех I. Тогда *
Хо (а) = 'о1
14. Доказать, что в случае сепарабельного расширения К/к система (*)
является фундаментальным базисом S) относительно о .
15. Доказать, что в случае сепарабельного К/к для любого asOj име-
имеет место формула
16. Пусть f(t) —характеристический многочлен элемента м е D» относи-
относительно К/к. Заменяя его кооффицпенты соответствующими классами выче-
вычетов из 2 , мы получим многочлен / (i) s 2 [г]. Для каждого s = 1, ..., т
обозначим, далее, через ф,(?) характеристический многочлен элемента
м s 2„, относительно расширения 2^, /2 . Обобщая предыдущую за-
дачу (при сепарабельном К/к), доказать, что
17. Пусть К/к сепарабельно. Для каждого J) выберем, в кольце О^ фун-
фундаментальный базис «1, ..., ап относительно о . Положим
Доказать, что целые числа d^^O почти все' равны нулю. Целый дивизор
кольца о
называется дискриминантом расширения К/к (относительно кольца о).
18. Доказать, что простой дивизор у кольца о не входит в дискриминант
Ък/h (т. е. «L = 0) тогда и только тогда, когда у не разветвляется в D (все
индексы ветвления et равны 1) и все расширения 2^ /2 (s = 1, ..., m)
сепарабельны.
19. Пусть для кольца О существует фундаментальный базис Wi, ..., со„
относительно с. Доказать, что тогда дискриминант Ък/ь совпадает с главным
ДИВИЗОрОМ (О ((Ol, ..., (On)).
20. Сохраняя обозначения начала п. 2, предположим, что Kjk — рас-,
ширение Галуа с группой Галуа G. Для автоморфизма а е G и дивизора
& = JJ !Р **' кольца D положим
Доказать, что для любого а # 0 из D справедлива формула

g 6] ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 231
§ 6. Дедекиндовы кольца
1. Сравнения по модулю дивизора. Рассмотрим кольцо D с
полем отношений К, для которого существует теория дивизоров
О*-*».
Определение. Мы говорим, что элементы а и {5 из коль-
кольца О сравнимы между собой по модулю дивизора а^Э, ц пишем
а = р (mod а),
если разность а — [5 делится на а.
В случае главного дивизора (ц) сравнение a —p(mod (ц,)) эк-
эквивалентно, очевидно, сравнению а^ jidnodjj,) в смысле опреде-
определения п. 1 § 4 Дополнения.
Перечислим ряд элементарных свойств сравнений, легко вы-
вытекающих из определения.
1) Сравнения по модулю а можно почленно складывать и пе-
перемножать.
2) Если некоторое сравнение имеет место по модулю а, то
оно имеет место также и по любому делителю Ь дивизора а.
3) Если некоторое сравнение имеет место по модулю диви-
дивизоров а и Ь, то оно имеет место и по модулю их общего наимень-
наименьшего кратного.
4) Если элемент aeS взаимно прост с <Х (т. е. дивизоры (а)
и а взаимно просты), то из сравнения сф ^ 0 (mod а) следует
Р е= 0 (mod а).
5) Обе части сравнения по модулю tt можно сократить на об-
общий множитель, если только этот множитель взаимно прост с <t.
6) Если у — простой дивизор и а[5 ^ 0 (modp), то либо а =
= 0 (mod р), либо {J Ез 0 (mod f).
Ввиду свойства 1) на множестве классов вычетов элементов
кольца D по модулю данного дивизора а мы можем ввести дей-
действия сложения и умножения. Легко проверяется, что относи-
относительно этих действий все классы вычетов по модулю <Х образуют
кольцо. Оно называется кольцом классов вычетов по модулю ди-
дивизора а и обозначается через О/а.
Свойство 6) в терминах кольца вычетов означает, что для
простого дивизора !р кольцо классов вычетов О/р не имеет дели-
делителей нуля.
Предположим теперь, что О — максимальный порядок поля
алгебраических чисел К. Дивизоры кольца D мы называем в этом
случае также дивизорами поля К.
Так как произвольный дивизор а поля К является делителем
некоторого отличного от нуля числа aeD, а число а в свою
очередь является делителем натурального числа а (например,
1Ма)| делится на а), то получаем, что для каждого дивизора а
существует делящееся на него натуральное а. По свойству 2 чис-»

232 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
ла из разных классов вычетов по модулю а находятся в разных
классах вычетов по модулю а. Вспоминая теперь, что в порядке
О число классов вычетов по модулю а конечно (и равно а", где
п — степень поля К, см. доказательство теоремы 5 § 2 гл. II),
получаем следующую теорему.
Теорема 1. Для любого дивизора а. поля алгебраических
чисел К кольцо классов вычетов ?)/а конечно.
Пусть f — произвольный простой дивизор поля К. Соответ-
Соответствующий ему показатель Vj, индуцирует на Q ju-адический по-
показатель vp при некотором вполне определенном простом р. Так
как vp(p) = 1, то Vp (/?);> О, т. е. /> = 0 (modp). Если же простое
рациональное q отлично от р, то vP(q) = 0, а потому vp (q) = 0,
т. е. q^O (modp).
Кольцо вычетов О/р, будучи конечным и без делителей нуля,
является конечным полем (см. Дополнение, § 3). Так как для
всякого ае?) имеем ра = 0 (modp), то характеристика этого по-
поля равна р. Таким образом, имеет место
Теорема 2. Всякий простой дивизор f поля алгебраических
чисел является делителем одного и только одного простого ра-
рационального числа р. Кольцо вычетов О/у является конечным по-
полем характеристики р.
Теория дивизоров в полях алгебраических чисел обладает,
как видим, тем свойством, что кольцо классов вычетов по моду-
модулю любого простого дивизора есть поле. В общем случае это не
всегда так. Например, в кольце многочленов kix, у] от двух пе-
переменных над полем к кольцо вычетов по простому дивизору (х)
изоморфно кольцу многочленов к[у] от одной переменной и, сле-
следовательно, не является полем.
Предположение о том, что кольцо классов вычетов D/р есть
поле, равносильно, очевидно, разрешимости сравнения а% ээ 1
(mody) при любом a^O(modp). Это показывает, что только при
таком предположении можно рассчитывать на построение в коль-
кольце D достаточно полной теории сравнений со свойствами обыч-
обычных сравнений теории чисел.
2. Сравнения в дедекиндовых кольцах. Определение.
Кольцо D называется дедекиндовым, если в нем существует тео-
теория дивизоров D* -»- 3) и для каждого простого дивизора ре®
кольцо вычетов О/р является полем.
Примерами дедекиндовых колец, кроме максимальных поряд-
порядков в полях алгебраических чисел, могут служить целые замыка-
замыкания кольца многочленов Их] от одной переменной в конечных
расширениях поля рациональных функций к(х) (задачи 1 и 2).
Дедекиндовым кольцом является также кольцо Dv произвольного
показателя v на некотором поле (см. § 4, п. 1) и вообще всякое
кольцо, в котором имеется теория дивизоров с конечным числом
простых дивизоров (задача 3).

§ 61 ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 233
Лемма 1. В дедекиндовом кольце О для всякого aefl, не
делящегося на простой дивизор у, сравнение а|= 1 (mod)pm) раз-
разрешимо в D при любом натуральном т.
Доказательство. При т = 1 разрешимость сравнения
постулируется определением. Доказательство леммы в общем слу-
случае проведем индукцией по т. Если
a|i = 1 (mod р) и a|m = 1 (mod pm),
то при некоторых ^i^O(mod)p) и [}m = 0 (mod?) имеют место
равенства 1 = agi + {К, 1 = a|m + J5m, перемножая которые получим
1 = а\ + ($i($m, где
Таким образом, a? = I (modpm+1), и лемма 1 доказана.
Теорема 3. В дедекиндовом кольце D существует элемент |,
удовлетворяющий сравнениям
/ любых pls ..., pm кз D u любых попарно различных простых
дивизорах pi, ..., Pm (/fcj, ..., &т — натуральные числа).
Доказательство, Для каждого дивизора
a, = j)!1 ... Pi-i Pm ... &», » = 1, ...,
мы можем найти элемент a< e О, который делится на (Ц но не
делится на &. По лемме 1 сравнение а^5=рДпн^:р|г) разреши-
разрешиЛ
р
мо относительно |i e D. Легко проверить, что элемент
I = ocili + ... + am|m
удовлетворяет требованиям теоремы.
Теорема 4. 5 дедекиндовом кольце D для элементов а*?О
и {5 сравнение
p(d) A)
¦ разрешимо тогда и только тогда, когда {5 делится на общий наи-
наибольший делитель дивизоров (а) и <Х.
Доказательство. Мы предположим сначала, что дивизо-
дивизоры (а) и а взаимно просты, и докажем, что в этом случае срав-
сравнение A) разрешимо при любом р. Пусть <Х = f^1 ... !pmm = \)i*Cti,
где простые дивизоры р,, ..., рт попарно различны. По лемме 1 для
каждого i = l, ..., m в кольце D существует такой элемент \н
что a|j^P(modPi4)- Согласно теореме 3 мы можем найти для
каждого i элемент |<, для которого ii = ti (mod Pi{) Hii^

234 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
Очевидно теперь, что сумма gi +... + %т = | будет удовлетворять
сравнениюа?з=Р(modр$г) при любом ? = 1, ..., т, а значит, бу-
будет удовлетворять также и сравнению A).
Перейдем к доказательству теоремы в общем случае. Пусть
Ь == Ух1 ... рпГ — общий наибольший делитель дивизоров (а) и а.
Если сравнение A) имеет место по модулю а, то оно должно
иметь место и по модулю b, a так как a = 0(modb), то должно
выполняться и сравнение p = 0(modb). Этим доказана необходи-
необходимость условия.
Предположим теперь, что $ делится на Ь. Согласно теореме 3
§ 4 в поле К существует элемент ц, для которого
\М = — k, i = l, ...,m. B)
Покажем, что элемент ja, удовлетворяющий условиям B), мы мо-
можем выбрать так, что
v<,(u.)>0 C)
для всех простых дивизоров (f e ®, отличных от Pi, ... pm. Пусть
ц не удовлетворяет условиям C), и пусть <h, ..., q, — все отлич-
отличные от pi, ..., рт простые дивизоры, для которых v<j.(p.) = — г$ <
<0. Выберем в О такой элемент ч, что Vq.(Y) — ri(l ^/^ s)
и v))- (y) = 0 A ^ i ^.т). Ясно, что элемент и.' = р,у удовлетворяет
обоим условиям B) и C), и наше утверждение доказано. Пусть
дивизор Ь определяется равенством a = ЬЪ. Если ц удовлетворяет
условиям B) и C), то элемент аи. принадлежит D и взаимно
прост с Ь. Так как по условию р делится на Ь, то J5jx также при-
принадлежит О. По доказанному в кольце D существует такой эле-
элемент |, что аи.!53 Рц (modb). Для каждого ?= 1, ..., т мы имеем
Vp. (ag — Р) = vy_ (ajug — J3fx) + 1г > fej — Z, + ^ = Аг4,
а это и означает, что | удовлетворяет сравнению A).
3. Дивизоры и идеалы. В этом пункте мы покажем, что
в дедекиндовом кольце D все дивизоры находятся в естествен-
естественном взаимно однозначном соответствии со всеми ненулевыми
идеалами.
Для каждого дивизора а через о. мы обозначим совокупность
всех элементов кольца ?>, делящихся на а. Очевидно, что а явля-
является ненулевым идеалом кольца D.
Теорема 5. В дедекиндовом кольце D отображение a -*¦ a
(as®) является изоморфизмом полугруппы дивизоров 3) на по-
полугруппу всех ненулевых идеалов кольца О.
Докажем предварительно следующую лемму.
Лемма 2. Если «i, ..., a, — произвольные, отличные от нуля
элементы дедекиндова кольца D и Ъ — общий наибольший дели-

§ 6J ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 235
телъ главных дивизоров (а4), ..., (а,), то всякий элемент oeD,
делящийся на Ь, может быть представлен в виде
а = lia, + ....+ |,а„ tie=!D.
Доказательство леммы проведем индукцией по s. При
s = 1 утверждение леммы очевидно. Пуст'ь s ^ 2. Обозначим че-
через bi общий наибольший делитель дивизоров (а4), ..., (aa_i).
Ясно, что тогда b будет общим наибольшим делителем дивизо-
дивизоров bi и (а,). Пусть а делится на Ь. Согласно теореме 4 сравне-
сравнение а,% = a (mod bj разрешимо относительно элемента % е D.
По индуктивному предположению в кольце D существуют такие
элементы |4, ..., |,_j, что а — ga, = %ial + ... + |,-ia,-i. Лемма 2
доказана.
Доказательство теоремы 5. Согласно условию 3° опреде-
определения теории дивизоров отображение a -*¦ <х взаимно однозначно.
Пусть А — произвольный ненулевой идеал кольца ?5. Для
каждого простого дивизора !р положим
а (у) =minv.(o).
aSA
Очевидно, что а(у) отлично от нуля только для конечного числа
простых дивизоров р. Произведение a = Ц j) ,в котором р про-
V
бегает все те простые дивизоры, для которых а(р) Ф 0, является,
следовательно, дивизором. Докажем, что <t = A. Пусть a — про-
произвольный элемент из а. В Л можно найти такое конечное мно-
множество элементов ai, ..., ccs, что а (у>) = min (v^, (ах), ..., Vj, (as)).
Это значит, что дивизор ct является общим наибольшим делите-
делителем главных дивизоров (oci), ..., (as). По лемме 2 элемент аец
может быть представлен в виде a = liO^ + ... + |,a, с некоторы-
некоторыми коэффициентами §< из О. Из этого представления явствует,
что «е4, а значит, а<=А. Сопоставляя это с очевидным обрат-
обратным включением А <= а, получим равенство А = а. Нами доказа-
доказано, таким образом, что отображение a -*¦ а устанавливает взаимно
однозначное соответствие между всеми дивизорами кольца О,
с одной стороны, и всеми его ненулевыми идеалами, с другой.
Остается проверить, что это соответствие является изомор-
изоморфизмом, т. е. что для любых дивизоров а и Ь имеем
ab = ab. D)
Обозначим произведение tib через С. Так как С есть ненулевой
идеал в D, то по доказанному существует такой дивизор с, что
С = с. Нам надо доказать, что с = еЬ. Пусть простой дивизор ))

236 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ (ГЛ. III
входит в <Х и Ь с показателями а и Ъ соответственно. Тогда
min Vy (v) = min v^, (a$) = min v^, (a) + min v^, (|3) = a + b.
Так как это верно для любого простого дивизора у, то с = ab,
и равенство D) доказано.
Из того факта, что отображение a -»- а является изоморфиз-
изоморфизмом, следует, в частности, что все ненулевые идеалы кольца О
относительно действия умножения образуют полугруппу с одно-
однозначным разложением на простые множители. Для построения
теорпп дивизоров в дедекпндовом кольце (в частности, в макси-
максимальном порядке поля алгебраических чисел) в качестве полу-
полугруппы ® можно взять, таким образом, полугруппу ненулевых
идеалов. Образом элемента aeD* при гомоморфизме О* -*¦ 3) бу-
будет тогда главный идеал (а), порожденный этим элементом. Та-
Такой способ построения теории дивизоров принадлежит Дедекинду.
4. Дробные дивизоры. Если для кольца О построена теория
дивизоров О* -»- 3), то это дает нам некоторую информацию о
строении полугруппы ?)*. Естественно попытаться аналогичным
образом получить сведения о строении всей мультипликативной
группы К* поля отношений К. Для этой цели нам надо расши-
расширить понятие дивизора.
В соответствии с установившейся традицией мы сохраним
термин «дивизор» для этого более широкого понятия, а дивизоры
в прежнем смысле будем теперь называть целыми дивизорами.
Определение. Пусть в кольце О с полем отношений К
имеем теорию дивизоров, и пусть р4, ..., fm — конечная система
простых дивизоров. Выражение
a = dJ1 ... йт E)
с целыми показателями kt, ..., km (не обязательно положитель-
положительными) называется дивизором поля К. Если среди показателей kt
нет отрицательных, то дивизор <х называется целым (или диви-
дивизором кольца D). В противном случае он называется дробным.
Дивизор E) иногда удобно записывать в виде формально бес-
бесконечного произведения
распространенного на все простые дивизоры у, в котором, одна-
однако, только конечное число показателей а(у) отлично от нуля.
Умножение дивизоров определяется формулой
Для случая целых дивизоров это правило умножения совпадает,
очевидно, с правилами умножения в полугруппе ?). Легко видеть

g 6] ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 237
также, что относительно введенного действия все дивизоры по-
поля К образуют абелеву группу, обозначаемую в дальнейшем че-
через ©. Единичным элементом этой группы является единичный
дивизор е, для которого в представлении F) все показатели а(р)
равны нулю.
Так как каждый элемент | Ф 0 из поля К является отноше-
отношением двух элементов из О, то согласно условию 1) теоремы 4
§ 3 среди показателей Vp поля к, соответствующих простым ди-
дивизорам р, имеется только конечное число таких, для которых
v$ (?) Ф 0 Пусть это будут показатели v^, ..., Vj, . Дивизор
называется главным дивизором, соответствующим элементу |е
^ К*, я обозначается через (|). Это новое понятие главного ди-
дивизора в применении к элементам из О совпадает, очевидно,
с первоначальным (см. § 3, п. 4). В силу условия 2) теоремы 4
§ 3 главный дивизор (|) будет целым тогда и только тогда,
когда ? принадлежит кольцу О.
Из условия 2 определения показателя (§ 3, п. 4) легко сле-
следует, что отображение | -»- (|), |е.йГ*, является гомоморфизмом
К* -*¦ © мультипликативной группы поля К в группу дивизоров
©. Согласно теореме 2 § 3 этот гомоморфизм является отображе-
отображением на всю группу ® (эпиморфизмом) тогда и только тогда,
когда в О имеет место однозначность разложения на простые
множители. Его ядром является, очевидно, группа единиц коль-
кольца D, а значит, для элементов | и г\ из К* равенство (.%) = (.ц)
имеет место тогда и только тогда, когда % = ц&, где б — едини-
единица кольца D.
Перенесем понятие делимости целых дивизоров на произволь-
тт ТТ а($) г ТТ ЬСр)
ные дивизоры. Пусть ft = Ц р и Ъ — Ц р — два произволь-
ных дивизора (не обязательно целых). Мы говорим, что ft делится
на Ь (Ь — делитель а, а кратно Ь), если существует такой целый
дивизор с, что а = Ьс. В других терминах делимость ft на Ь может
быть охарактеризована неравенствами а(р) ^ Ь(р) при всех р.
Для произвольных а и Ь положим d(f) =mm (а(р), Ь(р)). Так
как целые рациональные числа d(f) равны нулю почти для всех
р, то выражение b = Ц р ' является дивизором. Этот дивизор b
называется общим наибольшим делителем дивизоров ft и Ь (он
является делителем ft и Ь и сам делится на все общие делители
ft и Ъ). Аналогичным образом определяется общее наименьшее
кратное дивизоров ft и Ъ.

238 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
Элемент а^К называется делящимся на дивизор а = Ц)> %
Р
если либо а = 0, либо главный дивизор (а) делится на а. В тер-
терминах показателей делимость а на а характеризуется неравенст-
неравенствами Vf (a) !> а (р) при всех р.
Изложенное в предшествующем пункте соответствие между
целыми дивизорами дедекиндова кольца и его ненулевыми идеа-
идеалами можно распространить и на дробные дивизоры, если вос-
воспользоваться понятием дробного идеала (см. п. 4, § 4 Допол-
Дополнения). _
Как п в п. 3, через <Х мы обозначим совокупность всех эле-
элементов поля К, делящихся на дивизор <Х (теперь уже не обяза-
обязательно целый). Из условия 3 определения показателя (§ 3, п. 4)
следует, что если а и [3 делятся на й, то а ± f$ также делится
на а. Это означает, что совокупность а является группой относи-
относительно действия сложения. Очевидно, далее, что для любого
а е а и любого geD произведение ?а также принадлежит а.
Чтобы выявить еще одно свойство групп а, убедимся сначала
в справедливости формулы
ча» 1еК», «еэ. G)
Действительно, делимость элемента | на (^)а равносильна усло-
условиям: v? (I) > v? (у) + а (р) при всех р, v?- {Цу) > а (р) при всех
р, g/'Y ea, | е <уа (здесь а(р) обозначает показатель, с которым у
входит в дивизор а). Очевидно, что для любого дивизора мы мо-
можем найти такой элемент ¦у s ?)*, что дивизор (А()а будет целым.
Формула G) показывает, что для такого "f будем иметь включе-
включение fa <= D.
Мы видим, таким образом, что совокупность а для любого
дивизора <х является идеалом поля К в смысле определения п. 4
§ 4 Дополнения. Предположим, что для двух дивизоров а п Ь
имеет место равенство a = Ь. Выберем элемент -у Ф 0 так, чтобы
дивизоры (f)a и (-у)Ь были целыми. В силу формулы G) мы име-
имеем ("f)a = (f)f>, откуда (<у)а = (у)Ь и, следовательно, а = Ь. Этим
доказано, что отображение a -»- а взаимно однозначно (если коль-
кольцо D не дедекиндово, то это отображение не будет отображением
«на»: не всякий ненулевой идеал кольца D представляется в ви-
виде а, см. задачу 11).
Предположим теперь, что D — дедекиндово кольцо с полем
отношений К. Возьмем произвольный идеал А поля К. Если эле-
элемент 'у Ф 0 выбран так, что "{А <= О, то *{А будет ненулевым идеа-
идеалом кольца D, а потому по теореме 5 существует такой целый
дивизор с, что с = уА. Положим a = c(iy)~1. Тогда -у^ = (f)a = •ya,

§ 6] . ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА 239
откуда А = а. Таким образом, каждый идеал поля JK. является
образом некоторого дивизора при отображении ct -»- а. Если а и
Ь — два дивизора, то, выбрав элементы f Ф 0 и f' Ф О так, чтобы
дивизоры (-у)а и ("у')Ь были целыми, будем иметь (в силу теоре-
теоремы 5 и формулы G))
откуда аЬ = аЬ. Отображение а -»- а является, таким образом, изо-
изоморфизмом. Отсюда, в частности, следует, что все идеалы поля К
относительно действия умножения образуют группу. Единичным
элементом в этой группе будет кольцо О = е. Для идеала а об-
обратным будет идеал а~*.
Сформулируем полученное обобщение теоремы 5.
Теорема 6. Пусть D — дедекиндово кольцо с полем отно-
отношений К. Для каждого дивизора ¦и через а обозначим совопуп-_
ность всех делящихся на а элементов поля К. Отображение <х ->¦ а
является изоморфизмом группы дивизоров поля К на группу
идеалов поля К. Целые дивизоры при этом изоморфизме соответ-
соответствуют целым идеалам, и обратно.
Замечание. Дедекиндовы кольца допускают следующую
абстрактную характеристику. Кольцо D (коммутативное, с еди-
единицей и без делителей нуля) является дедекиндовым кольцом
тогда и только тогда, когда оно 1) целозамкнуто, 2) нётерово
(т. е. каждый идеал в D допускает конечную систему образую-
образующих) и 3) каждый ненулевой простой идеал в D максимален.
Необходимость этих условий вытекает из теоремы 3 § 3, зада-
задачи 8 и теоремы 5 настоящего параграфа (см. также задачу 15).
Относительно их достаточности см., например, книгу [51.
Задачи
1. Доказать, что кольцо к [х] адногочленов от одной переменной над про-
произвольным полем к дедекиндово.
2. Пусть о — дедекиндово кольцо и к — его поле отношений. Доказать,
что целое замыкание О кольца о в произвольном конечном расширении по-
поля к является также дедекиндовым кольцом.
3. Доказать, что кольцо, в котором имеется теория дивизоров с конеч-
конечным числом простых дивизоров, дедекиндово.
4. Доказать, что в дедекиндовом кольце система сравнений
1 = «! (modai),
1 = am (mod am)
разрешима тогда и только тогда, когда at = a; (modb,,), i ф j, где Ьц —
общий наибольший делитель дивизоров di и,-.
5. Пусть О — дедекиндово кольцо и a — дивизор кольца О. Доказать, что
«овокупность тех классов вычетов из О/а, которые состоят из элементов,
взаимно простых с а, относительно действия умножения образуют группу.

240 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
6. Доказать, что если f(x)—многочлен степени т с коэффициентами
из дедекиндова кольца О, не все коэффициенты которого делятся на простой
дивизор 1р, то сравнение f(x) =0 (modip) имеет в О не более т решений.
7. Пусть О — дедекиндово кольцо, » — простой дивизор кольца О и
f(x) —многочлен с коэффициентами из С. Доказать, что если для элемента
aeD мы имеем
/(а) =0 (mod»), f (а) фЪ (mod»),
то для любого п!^2в кольце О существует элемент |, для которого
/(?) =0 (mod»), g=a(mod»).
8. Доказать, что в дедекиндовом кольце всякий идеал либо является
главным, либо порождается двумя элементами.
9. Пусть О — дедекиндово кольцо с полем отношений К. Доказать, что
при изоморфизме а-+а группы дивизоров поля К на группу идеалов поля К
общему наименьшему кратному дивизоров соответствует пересечение иде-
идеалов, а общему наибольшему делителю дивизоров — сумма идеалов (под
суммой А + В идеалов А и В понимается совокупность всех сумм а + ji,
где ае А, Ре В).
10. В кольце О = к[х, у] многочленов от двух переменных над полем к
разложение на простые множители однозначно и, значит, существует тео-
рпя дивизоров. Доказать, что идеал А = (х, у) кольца О, порожденный пе-
переменными х и у, не соответствует никакому дивизору.
11. Доказать, что если в кольце О с теорией дивизоров О*-»-® каждый
ненулевой идеал имеет вид а (где OeS), то это кольцо дедекпндово. В ча-
частности, кольцо главных идеалов дедекиндово (см. задачу ]2 § 2).
12. Доказать, что если в кольце О все ненулевые идеалы относительно
действия умножения образуют полугруппу с однозначным разложением на
простые множители, то это кольцо дедекиндово.
13. Пусть О — дедекиндово кольцо и К — его поле отношений. Если
А и В — идеалы поля К (относительно О), то под делимостью А на -В пони-
понимают существование такого целого идеала С, что А = ВС. Доказать, что
делимость А на В имеет место тогда и только тогда, когда А с В.
14. Пусть JD — произвольное кольцо с теорией дивизоров и » —простой
дивизор кольца О. Доказать, что совокупность » всех элементов аей. де-
делящихся на », является минимальным простым идеалом кольца О, (Иде-
(Идеал Р кольца О называется простым, если фактор-кольцо О/Р не имеет де-
делителей нуля, т. е. если произведение двух элементов из О, не принадлежа-
принадлежащих Р, также не принадлежит Р. Простой идеал Р называется минималь-
минимальным, если он не содержит других простых идеалов, кроме нулевого.)
15. Доказать, что в кольце О с теорией дивизоров всякий непулевой
простой идеал Р содержит простой идеал вида », где » — некоторый простой
дивизор кольца О.
16. Пусть О.— кольцо с теорией дивизоров и К — его поле отношений.
Доказать, что для любого дивизора а поля К (целого или дробного) идеал о,
состоящий из всех элементов поля К, делящихся на а, является d-идеалом
(задача 5 § 4 Дополнения). Точнее, а есть пересечение двух главных идеа-
идеалов поля К. Доказать, далее, обратное утверждение:_для всякого d-идеала
А поля К существует такой дивизор а поля К, что а = А. Таким образом,
отображение а-^-а является взаимно однозначным соответствием, между
всеми дивизорами а и всеми d-идеалами А поля К.
17. Пусть Я — множество показателей поля К, определяющих теорию ди-
дивизоров для кольца О. Доказать, что если кольцо О дедекиндово, то 91 содер-
содержит все показатели v поля К, для которых v(а) ^0 при всех йёС. (Спра-
(Справедливо и обратное утверждение: если 91 содержит все показатели v поля К,
Для которых v(а) :> 0 при всех «eD, то кольцо О дедекиндово.)

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 241
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел
1. Абсолютная норма дивизора. Согласно теореме 2 § 5 макси-
максимальный порядок О произвольного поля алгебраических чисел
К является кольцом с теорией дивизоров. Далее, в п. 1 § 6 мы
видели, что кольцо вычетов ?Ур по модулю простого дивизора р
является конечным полем, а значит, кольцо D дедекиндово.
Рассмотрим поле алгебраических чисел К как расширение по-
поля рациональных чисел Q (конечной степени). Так как дивизо-
дивизоры кольца Z целых рациональных чисел могут быть отождест-
отождествлены с натуральными числами, то мы можем считать, что группа
всех дивизоров (целых и дробных) поля Q совпадает с мульти-
мультипликативной группой положительных рациональных чисел. В п. 2
§ 5 было определено понятие нормы дивизора кольца D относи-
относительно данного расширения К/к. В случае поля алгебраических
чисел норму N (а) = Nj^q (а) дивизора а порядка О относитель-
относительно расширения K/Q мы будем называть абсолютной нормой <х.
Распространим это понятие абсолютной нормы на дробные ди-
дивизоры, полагая
.V (ш)
для любых целых дивизоров тип. Ясно, что отображение а -*
-*¦ N(<x) будет тогда гомоморфизмом группы всех дивизоров поля
К в мультипликативную группу положительных рациональных
чисел.
Абсолютная норма главного дивизора (|), | ^ К*, равна аб-
абсолютной величине нормы числа |:
МA)) = 1М|I. A)
Действительно, для целых | это совпадает с равенством C) § 5.
Если же | = oc/JJ с целыми а и р, то
l N {а) [ I v Cf\ I
Степень инерции / простого дивизора V поля К относительно
Q называется абсолютной степенью инерции f (или просто сте-
степенью). Индекс ветвления е дивизора f относительно Q называ-
называется абсолютным индексом ветвления у.
Если р является делителем простого рационального числа р
и если V имеет степень /, то согласно равенству A1) § 5
Nty-p*. B)
Пусть fi, ..., ym — все простые дивизоры поля К, делящие р,
ив!,..., ет — их индексы ветвления. Тогда для р в поле К име-
имеем разложение i'=J)i1 ... РяГ- По теореме 7 § 5 индексы

242 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ, III
ветвления е; связаны со степенями /* дивизоров fy соотношением
jxex + ... + fmem = п = (К : Q). C)
Теорема 1. Абсолютная норма целого дивизора а поля ал-
алгебраических чисел К равна числу классов вычетов в макси-
максимальном порядке D по модулю а.
Доказательство. Докажем сначала теорему для про-
простого дивизора р. Пусть р — простое рациональное число, деля-
делящееся на f. Степень инерции / дивизора f (согласно определению
§ 5, п. 3) равна степени поля вычетов 2у показателя Vp над
полем вычетов 2Р показателя vP. Но Бр состоит, очевидно, из р
элементов, поэтому 2^ есть конечное поле из pf элементов. Нам
достаточно, следовательно, показать, что поле вычетов D/p изо-
изоморфно полю 2р, т. е# что при изоморфном вложении О/р-э-Е^
поле ?>/р отображается на все поле 2?. Для этого в свою очередь
достаточно показать, что для любого | ^ К, для которого v^, (|) ^
^ О, существует такое a^D, 4tov^(^ — а)^1. Обозначим через
<Ji, ..., <Ь все те простые дивизоры поля К, для которых \'я (?) =
=—/tj<TO. По теореме 3 § 6 в порядке О существует такой эле-
элемент f, что
Y = l(modp), Y^OCmodcii1),, i = lt...ts.
Ясно, что я = ||еС и Vj(^ — а)^=1. В случае простого диви-
дивизора теорема 1, таким образом, доказана.
Для доказательства теоремы 1 в общем случае достаточно те-
теперь показать, что если она справедлива для целых дивизоров а
и Ь, то она справедлива и для произведения аЬ. По условию 3)
теоремы 4 § 3 в максимальном порядке D существует такое чис-
число уФ 0, что aly и дивизор (^)а~1 взаимно прост с Ь. Пусть
cti, ..., «г (г = Ма)) — полная система вычетов в кольце D по мо-
модулю дивизора a, a Pi, ..., (J, (s = N(b)) —полная система выче-
вычетов по модулю Ь. Покажем, что тогда rs чисел
образуют полную систему вычетов по модулю аЬ. Пусть а — про-
произвольное число из D. При некотором i A < i < r)
а = a((moda).
Рассмотрим сравнение
^| s a — a4 (mod ab). E)
Так как по выбору f общий наибольший делитель дивизоров (if)
и ab равен а и a — af делится на а, то по теореме 4 § 6 это срав-
сравнение имеет решение относительно числа % е О. Если %s
( при некотором / (K/^s), то il^^id

§ 7] . ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 243
Вместе с E) это дает нам сравнение
а = % + -f^j (mod аЬ).
Этим доказано, что в каждом классе вычетов по модулю аЬ име-
имеется представитель вида D). Остается проверить, что числа D)
попарно не сравнимы между собой по модулю ftb. Пусть
а.- + ffrj — ah + 7?г (mod аЬ).
Так как это сравнение имеет место и по модулю ft, то ввиду ус-
условия ч = 0 (mod а) получаем а,- = ak (mod а), а значит, i = к,
и мы получаем
b). F)
Пусть простой дивизор у входит в дивизоры а и Ь с показа-
показателями а и Ъ > 0 соответственно. По условию v^ G) = я, поэтому
из F) следует, что v^ (|3j — рг) ^ Ъ. Так как это верно для лю-
любого простого дивизора р, входящего в Ь с положительным пока-
показателем, то pj= ji( (modb), откуда ; = I.
Таким образом, числа D) действительно образуют полную си-
систему вычетов по модулю ab. Число классов вычетов в кольце D
по модулю ab равно, следовательно, rs = Mft)Mb) =N(ub).
Теорема 1 доказана.
Как и в п. 3 § 6, для произвольного дивизора а поля К (це-
(целого или дробного) через а обозначим соответствующий ему идеал
поля К, состоящий из всех тех чисел a e К, которые делятся на
а. Пусть число f выбрано так, что fa ^ ?¦ По следствию теоремы
2 § 2 гл. II совокупность fa является модулем поля К (подмо-
(подмодулем кольца D). Но тогда идеал а также есть модуль поля К.
Если (jej, а Ф 0 и o>j, ..., и„ — базис кольца D, то все произве-
произведения а»!, ..., acon принадлежат а, а значит, в а мы имеем
п — {К : Q) линейно независимых чисел поля К. Этим доказано,
что идеал а для произвольного дивизора а является полным мо-
модулем поля К. Его кольцом множителей будет, очевидно, макси-
максимальный порядок D. Обратно, если А — полный модуль поля К,
кольцо множителей которого совпадает с максимальным поряд-
порядком ?>, то для А будут выполнены все три условия определения
идеала (см. § 6, п. 4). Таким образом, множество всех идеалов
ft совпадает с совокупностью всех полных модулей поля К, при-
принадлежащих максимальному порядку D.
В п. 1 § 6 гл. II нами было введено понятие нормы полного
модуля в поле алгебраических чисел. Можно говорить поэтому о
норме идеалов а. Покажем, что норма любого дивизора совпадает
с нормой соответствующего ему идеала:
G)

244 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
Для целых дивизоров это следует из теоремы 1 настоящего па-
параграфа и теоремы 1 § 6 гл. II. Если же дивизор а дробный, то
можем найти такое у^К*, что дивизор (f~l)a = J будет целым.
Тогда ввиду теоремы 2 § 6 гл. II мы будем иметь
Жа) == mWlNty I = ЖЮ ШЩ I = mtf) = Nty) = Жа),
и формула G) доказана для любых а.
В качестве одного из простейших приложений понятия нормы
дадим более точную оценку для числа о (а) неассоциированных
чисел максимального порядка, нормы которых по абсолютной ве-
величине равны а (при доказательстве теоремы 5 § 2 гл. II нами
была установлена оценка wia) ^ап).\
Обозначим через г|з(а) число целых дивизоров с нормой а. Так
как числа а и ^ ассоциированы тогда и только тогда, когда глав-
главные дивизоры (а) и (($) равны, то ввиду формулы A) имеем
Займемся поэтому оценкой числа г|)(а). Пусть а = p1i ... ps*
с различными простыми числами р{. Если Жа) = а, то а = tti...
... as, где а,- состоит только из тех простых дивизоров р, которые
являются делителями pt. По формуле B) и по мультипликатив-
мультипликативности нормы мы имеем N(сц) = Pi1, а значит, ty(a) = ty(p11)t,.
... ty(psS)- Нам достаточно поэтому получить оценку для г|з(/>*).
Пусть Pi, ..., pm — все простые дивизоры, делящие р, и пусть
/i, ..., fm — их степени. В силу равенства
задача сводится к оценке числа решений уравнения
ftXi + ... + fmzm — k
относительно неотрицательных Хи Так как, очевидно, 0 ^ Xi ^ к,
то число этих решений не превосходит (к + 1)т. Но ^
= (К : Q), поэтому
Выражение в скобках справа равно, как известно, числу т(а)
всех делителей а. Мы получпли, следовательно, оценку
(8)
Для сравнения оценки (8) с нашей прежней оценкой со(а) < а"
заметим, что при любом сколь угодно малом е > 0 отношение
х(.а)/а" стремится к нулю при а -*¦ °°.
2. Классы дивизоров. Определение. Два дивизора а и Ь
поля алгебраических чисел К называются эквивалентными, в обо-
обозначении а~Ь, если они различаются между собой на множи-

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 245
гель, являющийся главным дивизором: а="Ь(а), а^К*. Сово-
Совокупность всех дивизоров поля К, эквивалентных данному диви-
дивизору а, называется классом дивизоров и обозначается через [а].
В терминах теории групп эквивалентность а ~ Ь означает,
что дивизоры tt и Ь принадлежат одному и тому же смежному
классу группы всех дивизоров по подгруппе главных дивизоров.
Класс дивизоров [ft] можно также определить, следовательно,
как класс смежности по подгруппе главных дивизоров, содержа-
содержащий а в качестве представителя. Равенство классов [а] = Ш
равносильно, очевидно, эквивалентности ft ~ Ь.
Для любых двух классов дивизоров [а] и [Ь] положим
[ft] -Ш
Легко проверяется, что так определенное произведение классов
дивизоров не зависит от выбора представителей а и Ь в перемно-
перемножаемых классах, а также что относительно этого действия умно-
умножения все классы образуют (коммутативную) группу —¦ группу
классов дивизоров поля К. Единичным элементом будет здесь,
очевидно, класс [с], состоящий из всех главных дивизоров. Для
класса [а] обратным будет класс [а~'].
В теоретико-групповых терминах группа классов дивпзоров —
это фактор-группа группы всех дивизоров по подгруппе глав-
главных дивизоров.
Группа классов дивизоров и, в частности, ее порядок — число
классов дивизоров — являются важными арифметическими ха-
характеристиками поля алгебрапческих чисел К. Если число клас-
классов дивизоров равно 1, то это значит, что все дивизоры главные,
а это в свою очередь эквивалентно тому, что в кольце целых
чисел поля К имеет место однозначность разложения на простые
множители (теорема 2 § 3). Таким образом, для однозначности
разложения на множители необходимо и достаточно, чтобы число
классов дивизоров было равно единице. Вопрос о том, однозначно
ли разложение целых чисел поля К на простые множители, яв-
является, следовательно, частным случаем вопроса об определении
числа классов дивизоров этого поля. Мы докажем сейчас, что
оно всегда конечно.
Теорема 2. Группа классов дивизоров любого поля алге-
алгебраических чисел конечна.
Доказательство. Из определения эквивалентности ди-
дивизоров легко следует, что дивизоры а и Ь эквивалентны тогда и
только тогда, когда соответствующие им идеалы а и Ь подобны
(в смысле подобия модулей, см. п. 3 § 1 гл. II). Разбиению ди-
дивизоров на классы эквивалентных дивизоров соответствует, сле-
следовательно, разбиение идеалов поля К (т. е. полных модулей, для
которых кольцом множителей является максимальный порядок —
кольцо О всех целых чисел поля К) на классы подобных идеалов.
Но согласно теореме 3 § 6 гл. II число классов подобных моду-

246 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
лей с данным кольцом множителей конечно, поэтому конечным
будет, в частности, число классов подобных идеалов, а значит,
и число классов эквивалентных дивизоров.
Замечание 1. Теорема 2 нами получена как простое след-
следствие теоремы 3 § 6 гл. II. Доказательство же последней теоремы
было основано на применении геометрического метода, в част-
частности на лемме Минковского о выпуклом теле. Таким образом,
в конечном итоге доказательство теоремы 2 также опирается на
лемму Минковского.
Замечание 2. Из доказательства теоремы 3 § 6 гл. II
можно извлечь следующее уточнение теоремы 2. В каждом клас-
классе дивизоров поля алгебраических чисел К степени п = s + It
существует целый дивизор с нормой =^B/л)'У|1)|, где D — ди-
скримннант поля К (т. е. дискриминант кольца всех целых чисел
поля К). В самом деле, пусть Ш — произвольный класс дивизо-
дивизоров. Тогда для идеала Ь существует подобный ему идеал А =
= аЬ-1, для которого i^D и (А : С) < {2/пУУ \D\ (см. доказа-
доказательство теоремы 3 § 6 гл. II). Так как идеал А содержит О, то
соответствующий ему дивизор будет обратным для целого: А =
= <t~1 с целым а. Из равенства а~' = аЬ-1 следует, что а(а)=Ь,
т. е. целый дивизор а содержится в классе [Ь], при этом (за-
(задача 2) : ,
iV(a) =/V(e)/iV(a-1) = (F1 :ё) = (А : D) *? B/пУУШ.
Теорема 3. Если число классов дивизоров поля К равно h,
то h-я степень любого дивизора является главным дивизором.
Доказательство. Утверждение теоремы является про-
простым следствием элементарной теоремы теории групп, согласно
которой порядок всякого элемента конечной группы является де-
делителем порядка группы. Пусть a — произвольный дивизор. Так
как [аР есть единичный элемент группы классов дивизоров, то
[ah] = [e], а значит, дивизор ah главный.
Следствие. Если число классов дивизоров h поля К не де-
делится на простое число I и если дивизор а' главный, то а также
главный.
Действительно, в силу условия существуют такие целые ра-
рациональные числа и и v,' что lu + hv = 1. Так как дивизоры а' и
ал главные (первый — по условию, а второй — по теореме 3),
то ft'" и а/1" также главные. Но тогда главным будет и их произ-
произведение a!"+ft" = a.
Согласно задаче 20 любое поле алгебраических чисел К мож-
можно вложить в такое более широкое поле_.Й°, что каждый дивизор
поля К будет главным дивизором поля К. Мы не можем, однако,
утверждать, что главными будут все дивизоры поля К: в поле
К имеются свои дивизоры (не являющиеся образами дивизоров
поля К, см. теорему 3 § 5), и они не обязаны быть главными.

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 247
Возникает поэтому вопрос, нельзя ли длят данного поля_ К поды-
подыскать такое лоле алгебраических чисел К, чтобы К<=-К и чтобы
К было одноклассным (для которого h = 1). В некоторых про-
простейших случаях поле К может быть найдено. Например, неод-
ноклассное поле Q( V— 5), с которым мы встретились в § 2 п. 3,
содержится в полеОA^—5, У—1), которое одноклассно. Однако
в общем случае ответ на поставленный вопрос оказывается отри-
отрицательным [431. Более того, можно показать, что поле К заве-
заведомо, нельзя погрузить в одноклассное поле, если только число
простых делителей его дискриминанта больше некоторой гра-
границы, зависящей только от степени (K:Q). Например, квадра-
квадратичное поле Q ( У d) не погружаемо в одноклассное, если его
дискриминант содержит не менее восьми различных простых
чисел в случае d > 0 и содержит не менее шести различных про-
простых чисел в случае d < 0. Существует также бесконечно много
мнимых квадратичных полей, содержащих в своих дискриминан-
дискриминантах четыре различных простых множителя и не погружаемых в
одноклассные поля. Их примерами являются: Q( У—13-17-43-53),
Q(/— 2-23-41-73), Q(/— 17-89-257) (см. [14]). Известны
также примеры [156] мнимых квадратичных полей Q(V— р)
с простым дискриминантом D = —р, не погружаемых в одноклас-
одноклассные поля, например, при р = 4 724 490 703.
До сих пор открытым является вопрос о том, будет ли во-
вообще число полей с h = 1 бесконечным, хотя обзор имеющихся
таблиц и показывает, что такие поля встречаются сравнительно
часто (см. таблицы для числа h вещественных квадратичных по-
полей и вполне вещественных кубических полей).
Хотя для отдельных классов полей (например, для квадра-
квадратичных и круговых полей, см. гл. V) формулы для числа классов
дивизоров найдены, в общем случае о числе h и тем более о
группе классов дивизоров известно очень мало. К числу немно-
немногих общих теорем о числе h относится теорема Зигеля — Брауэ-
ра, утверждающая, что для всех полей фиксированной степени
п число классов дивизоров h, регулятор R и дискриминант D
связады между собой следующим асимптотическим соотношением
(см. [15]):
.==-*¦! при \D\-*-oo. {*)
Так как для мнимых квадратичных полей регулятор равен 1, то
из (*) вытекает, что для этих полей h-*- °° при \D\ -*¦ °°. В част-
новти, отсюда получаем, что мнимых квадратичных полей, для
которых h = 1, имеется только конечное число. В пределах таб-
таблиц ми видим всего девять мнимых квадратичных полей с h = 1
(их дискриминанты равны —3, —4, —7, —8, —И, —19, —43, —67,
—163). В настоящее время показано,- что этими девятью полями

248 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
и исчерпываются все мнимые квадратичные поля с h=l. В об-
общем случае на основании соотношения (*) мы почти ничего не
можем сказать о поведении числа й, так как величина регулятора
R нам неизвестна. .
Интересно отметить, что предположение о конечности числа
мнимых квадратичных полей с h = 1 (в терминах бинарных квад-
квадратичных форм) было впервые высказано в 1801 г. Гауссом, ко-
который нашел указанные девять полей и проверил, что среди по-
полей с \D\ < 3000 других нет. Долгое время вопрос оставался от-
открытым и лишь в 1934 г. он был решен положительно. Именно,
Хейльброн и Линфут аналитическими средствами доказали, что
существует не более десяти мнимых квадратичных полей с h = 1.
Вопрос о том, существует ли десятое поле, получил название
проблемы десятого дискриминанта. Эта проблема впервые была
решена в 1952 г. Хегнером, использовавшим очень красивую
связь теории мнимых квадратичных полей с модулярными функ-
функциями (см. [81]). Однако ввиду неясности изложения рассужде-
рассуждения Хегнера долгое время считались неубедительными. В 1967 г.
Старк нашел новое доказательство отсутствия десятого поля
[134]. Вскоре Дойринг [73]' и Берч [62] внесли в рассуждения
Хегнера полную ясность.
В самых общих чертах идея метода Хегнера заключается в
следующем. Пусть К = Q ( Y^d), d<0,— одноклассное мнимое
квадратичное поле, и пусть 1, со — базис максимального порядка
поля К (теорема 1 § 7 гл. II). Сначала рассматривается почти
очевидный случай, когда в поле К простое число 2 разлагается
в произведение двух простых дивизоров (различных или совпа-
совпадающих). Ввиду предположенной одноклассности эти дивизоры
главные, и поэтому 2 = Мое), где а — целое число из К. В зави-
зависимости от вида базиса это приводит нас к уравнениям
x2+\d\y2 = 2 или Bх + уJ+Ы\у2 = 8,
которые должны быть разрешимы в целых числах. Ясно, что это
возможно лишь при d= —1, —2, —7.
Далее предполагается, что число 2 остается простым в поле
К, и рассматривается значение /(со) абсолютного инварианта j(z),
о котором упоминалось в п. 7 § 7 гл. II, в точке со. Это целое,
алгебраическое число. Так как поле К, по предположению, одно-
классно, т. е. h = 1, то (Q (/ (<»)): Q) = 1, а значит, /(со) явля-
является целым рациональным числом. С другой стороны, ввиду
основного свойства абсолютного инварианта значение /(со) одно-
однозначно определяет со с точностью до модулярной эквивалентно-
эквивалентности и тем самым однозначно определяет поле К.
Наряду с /Ы рассматриваются также другие функции с ана-
аналогичными свойствами, и вследствие их алгебраической зависи-
зависимости возникает уравнение Fix, у) = 0, обладающее свойством:
каждому одноклассному полю К соответствует решение этого

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 249
уравнения в целых числах, причем разным полям соответствуют
разные решения. После некоторых преобразований уравнение
приобретает вид
Уже давно было известно, что это уравнение имеет шесть ре-
решений:
(О, 0), A, 2), A, -2), (-1, 0), B, 6), B, -6).
Из хода доказательства следует, что они соответствуют полям
K = Q(Yd)c d = -3, -И, -67, -19, -43, -163. Поэтому дру-
других одноклассных полей К нет.
Самым удивительным является здесь, пожалуй, то, что урав-
уравнение уг = 2х{х3 + 1) не имеет других решений, кроме тех, кото-
которые соответствуют одноклассным полям. В связи с этим возни-
возникает следующее предположение. В алгебраической геометрии
часто бывает, что некоторые объекты (рассматриваемые с точ-
точностью до естественного понятия изоморфизма) описываются
такими параметрами, как точки алгебраических многообразий.
Соответствующее алгебраическое многообразие называется тогда
многообразием модулей объектов рассматриваемого типа. Напри-
Например, в п. 7 § 7 гл. II мы видели, что поля эллиптических функ-
функций параметризуются множеством всех комплексных чисел. Сле-
Следовательно, многообразием модулей полей эллиптических функций
является комплексная прямая. Можно думать, что аналогич-
аналогичными средствами описываются также и некоторые теоретико-
числовые объекты. Возможно, что в теории Хегнера мы и стал-
сталкиваемся с простейшим проявлением такого обстоятельства. Кри-
Кривая с уравнением у2 — 2х(х3 + 1) является с этой точки зрения
многообразием модулей для одноклассных мнимых квадратичных
полей. То же явление удалось обнаружить еще в одном, правда
весьма специальном, случае двуклассных мнимых квадратичных
полей с четным дискриминантом. Здесь также обнаруживается
загадочное взаимно однозначное соответствие полей с целыми
точками некоторых кривых (см. [88] и [40]). Было бы очень
интересно попытаться обобщить теорию Хегнера в другом на-
направлении, заменив поле рациональных чисел некоторым вполне
вещественным полем.
Эффективные оценки для абсолютной величины дискриминан-
дискриминантов всех мнимых квадратичных полей с числом классов h = 2
были получены в 1971 г. Бейкером [59] и Старком [135], [136].
Эти оценки привели к результату: для мнимого квадратичного
поля h = 2 лишь при условии, что абсолютная величина дискри-
дискриминанта поля не превосходит 427 (все такие поля можно найти,
следовательно, в табл. 4 в конце книги). Недавно в работе [77]
для числа классов h мнимого квадратичного поля дискриминанта

250 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
D получена оценка
где б > 0 и Се — эффективно вычисляемая константа, зависящая
только от б. Таким образом, в принципе можно найти все дис-
дискриминанты D, для которых h не превосходит заданной величи-
величины. Однако приведенная оценка слишком завышена, чтобы с ее
помощью можно было определить поля даже с й = 3, и трехклас-
трехклассные поля явно до сих пор не найдены (хотя гипотетически
h = 3 лишь при \D\ «? 907).
3. Приложение к теореме Ферма. Результаты предыдущих
пунктов дают возможность доказать справедливость теоремы 1
§ 1 для значительно более широкого класса показателей /.
Теорема 4. Пусть I — простое нечетное число и ? — пер-
первообразный корень степени I из 1. Если число классов дивизоров
поля Q (?) не делится на I, то для показателя I справедлив пер-
первый случай теоремы Ферма.
Доказательство. Предположим, что вопреки утвержде-
утверждению теоремы существуют целые рациональные х, у, z, не деля-
делящиеся на I и удовлетворяющие уравнению
Можно считать, конечно, что х, у и z попарно взаимно просты.
В кольце целых чисел поля Q (Q наше равенство может быть
записано в виде
й=0
Так как x + y = xl + yl — z!^z(,modl) и z не делится на I, то
х + у также не делится на I. А тогда, как это мы видели при
доказательстве леммы 5 § 1, при m^n (modl) в кольце Z [?]
существуют такие числа |0 и т]0, что
Следовательно, главные дивизоры (x + t,hy) (k = 0, I, ..., I — 1)
попарно взаимно просты. Так как их произведение есть 1-я сте-
степень (дивизора Ы), то каждый из этих дивизоров в отдельности
должен быть 1-й степенью. В частности,
где а — целый дивизор поля Q(?)- По условию число классов
дивизоров поля Q(?) не делится на I, следовательно, по след-
следствию теоремы 3 дивизор а главный, т. е. а = (а), где а принад-
принадлежит максимальному порядку О = Z [?] поля Q(?). Из ра-
равенства

f 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 251
следует теперь, что х + Х.У = еа', где е — единица кольца D. Ана-
Аналогичным образом мы получим также
х — t,z = еха[
(oil е О, е4 — единица в D). Мы получили равенства, которые, как
было показано в п. 3 § 1, ведут к противоречию (в этой части
доказательства теоремы 1 § 1 однозначностью разложения мы уже
не пользовались). Теорема 4, таким образом, доказана.
Те простые нечетные числа I, для которых число классов ди-
дивизоров поля Q (?), ?' = 1, не делится па I, называются регуляр-
регулярными, а все остальные — иррегулярными. Теорема 4 устанавли-
устанавливает, стало быть, справедливость первого случая теоремы Ферма
для всех регулярных показателей I. В § 7 гл. V мы докажем,
что для регулярных I справедлив также п второй случай теоре-
теоремы Ферма. Таким образом, теорема Ферма справедлива для всех
регулярных простых показателей I. Этот результат был получен
Куммером в 1850 г.
Чтобы теорему Куммера (в частности, теорему 4) можно было
применить к конкретным простым числам I, надо, разумеется,
иметь еще критерий, позволяющий узнавать, является ли дан-
данное I регулярным или нет. Такой критерий также был найден
Куммером. При помощи очень красивых теоретико-числовых и
аналитических соображений Куммер доказал, что простое нечет-
нечетное число I регулярно тогда и только тогда, когда ни один из
числителей чисел Бернулли В2, Вй, ..., Bt-3 (в несократимой за-
записи) не делится на I (определение чисел Бернулли и некоторые
их свойства приведены в § 8 га. V; доказательство сформулиро-
сформулированного критерия Куммера будет приведено в п. 4 § 6 гл. V).
При помощи этого критерия можно убедиться, что среди простых
чисел <100 только три числа иррегулярны, а именно 37, 59 и 67,
все же остальные регулярны. Теорема 4, как видим, охватывает
более широкий класс показателей I по сравнению с теоремой 1
§ 1 (см. замечание 4 в конце § 1).
В своей первой работе Куммер высказал предположение, что
число иррегулярных простых чисел конечно. В более поздней ра-
работе он от него отказался и предположил, что регулярных чисел
в среднем (на достаточно большом промежутке) в два раза, боль-
больше, чем иррегулярных. Сейчас при помощи электронных вычис-
вычислительных машин показано [142], что среди 11733 нечетных
простых чисел <125 000 имеется 7 128 регулярных и 4 605 ирре-
иррегулярных (в конце книги в табл. И приведены все иррегулярные
простые числа < 8000). В 191& г. Иенсен довольно просто дока-
доказал (см. п. 2 § 7 гл. V), что число иррегулярных простых чисел
бесконечно. Однако до сих пор неизвестно (и это представляется
весьма трудной проблемой), является ли бесконечным число ре-
регулярных простых чисел. В 1964 г. Зигель выдвинул гипотезу
[129J, что отношение числа регулярных простых чисел к числу

252 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. IIT
всех простых чисел при увеличении рассматриваемого промежут-
промежутка стремится к пределу 1/Уе, где е — основание натуральных ло-
логарифмов. Таким образом, если гипотеза верна, то на любом до-
достаточно большом промежутке около 61% простых чисел должны
быть регулярными. Последний факт весьма хорошо согласуется
с табличными данными.
Отметим здесь некоторые другие факты, относящиеся к пер-
первому случаю теоремы Ферма. В 1909 г. Виферих доказал [145],
что первый случай теоремы Ферма справедлив для всех тех про-
простых Z, для которых
Чтобы показать, насколько сильным является этот замечательный
результат, заметим, что среди простых чисел I < 6 • 10" только
два числа: 1093 и 3511—удовлетворяют сравнению 2' еэ
= 1 (modZ2), см. [95]. Неизвестно, однако, конечно или бесконечно
число таких I. Несколько позже Мириманов доказал [110], что
первый случай теоремы Ферма справедлив и для тех Z, для кото-
которых З' Ф 1 (той Р). И здесь проведенные в последнее время вы-
вычисления [128] показали, что среди простых Z<230 имеется лишь
два чпсла I = 11 и I = 1 006 003, для которых З1 = 1 (mod Z2).
На основе критериев Вифериха и Мириманова можно конста-
констатировать, что первый случай теоремы Ферма справедлив для всех
показателей I < 6 • 103.
Впоследствии утверждения типа: первый случай теоремы
Ферма справедлив для простого показателя Z, если ql~l Ф
Ф 1 (mod l2),— были установлены и для последующих простых
чисел q =?5 31.
В 1965 г. Эйхлер [75] получил следующий критерий. Пусть
G — группа классов дивизоров Z-кругового поля Q(?)- При ир-
иррегулярном I фактор-группа GIG1 есть элементарная абелева
Z-группа порядка Г, 7^1- Если ч = *[(.1) <У1 — 2, то для I спра-
справедлив первый случай теоремы Ферма (частный случай этого
утверждения, когда у = 1, был получен также в работе [133]).
Брюкнер в статье [67] придал критерию Эйхлера более удобную
для практического использования форму, связав число f с индек-
индексом иррегулярности iiil) числа Z, т. е. с числом тех чисел Бер-
нулли Z?2, Z?4, ..., В,~з, числители которых делятся на I. Именно,
им доказано, что первый случай теоремы Ферма справедлив, если
W(Z)< VZ-2.
Отметим еще один результат. Для простого I ^ 47 положим
ц = тах{22, [У lnZ ]}. Согласно статьям [152] и [154] для по-
показателя I справедлив первый случай теоремы Ферма, если чис-
числитель хоть одного из чисел Бернулли Bi-i-2i, где i — 1, 2, ...
..., ц, не делится на I (см. также [157]). О недавних достиже-
достижениях см. [159], [160], [161] (см. «Добавление при корректуре»
на с. 279).

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 253
В заключение пункта обратим внимание на следующее любо-
любопытное обстоятельство, отмеченное в [144]. Числа 1092 и 3510
в двоичной системе исчисления имеют запись:
1092 = 010001000100,
3510 = 110110110 110.
В обоих случаях мы видим загадочную закономерность в распо-
расположении двоичных знаков. Не имеет ли связи этот феномен
с тем, что простые числа Z = 1093 и Z = 3511 удовлетворяют срав-
сравнению 2w = l(modl2)?
4. Вопросы эффективности. До сих пор мы обходили молча-
молчанием вопрос о фактическом построении дивизоров для данного
поля алгебраических чисел К. Так как произвольные дивизоры
вполне определяются заданием всех простых дивизоров, а послед-
последние в свою очередь определяются показателями поля К, то наш
вопрос сводится к эффективному построению всех продолжений
на поле К показателя vp поля Q для каждого фиксированного р.
Кроме перечисления простых дивизоров важно также иметь фи-
финитный алгоритм для вычисления числа h классов дивизоров поля
К. Только в этом случае, например, результаты предшествую-
предшествующего пункта, относящиеся к теореме Ферма, будут иметь реаль-
реальную ценность.
В этом пункте мы покажем, что как построение продолжений
показателя vP, так и вычисление числа h осуществляются в ко-
конечное число действий.
Пусть ор — кольцо показателя vp в поле Q (т. е. кольцо
р-целых рациональных чисел, см. п. 2 § 3 гл. I) и D, — его це-
целое замыкание в поле К. Каждое число | е ?)р является корнем
многочлена th + aj?'1 + ... + ah с р-целыми коэффициентами at.
Если через т мы обозначим общий знаменатель всех сц, то число
т% — а будет корнем многочлена f + nmith~i + ... + m"ah уже
с коэффициентами из Z, т. е. будет принадлежать кольцу D всех
целых чисел поля К (максимальному порядку). Справедливо,
очевидно, .и обратное утверждение: если a^D и целое рацио-
рациональное т не делится на р, то а/т е Ор. Таким образом, кольцо
Dp совпадает с совокупностью чисел вида а/т, где а е О и це-
целое рациональное т не делится на р. Выберем какой-нибудь
фундаментальный базис coj, ..., со„ поля К (т. е. базис кольца D
над Z). Тогда по доказанному число | е К, записанное в виде
будет принадлежать кольцу Dp тогда и только тогда, когда все
я< будут р-целыми.
В силу теоремы 7 § 4 наша первая задача (т. е. построение
продолжений показателя vP) сводится к нахождению полной си-
системы попарно не ассоциированных простых элементов я4, ,.., п„

254 ТКОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
кольца Dp. Действительно, если простые элементы я« будут най-
найдены, то для всякого ? е Ор мы легко сможем найти разложение
1 = г]л*1 .. . я?», (9)
где т] — единица в Dp. Для этого надо делить | последовательно
на каждый из nt до тех пор, пока частное не будет принадлежать
кольцу Dp; на некотором шаге мы получим в частном число т],
которое уже не будет делиться ни на один из простых элементов
л{, а значит, будет единицей в Dp. Так как каждый элемент из
К является отношением двух элементов из Ор (даже из D), то
представление вида (9) мы сможем найти и для любого |еК*.
Но это и определяет все показатели vt, ..., vm на К, которые
являются продолжениями vP. Индексы ветвления еи ..., ет этих
показателей определяются, как мы знаем, разложением р —
= вл;*1... я^ (е — единица в Dp).
Пусть л — произвольный простой элемент кольца DP. Так
как целые рациональные числа, не делящиеся на р, являются
единицами в ©р, то можно считать, что neS. При любом аеО
2 \
2 \
число я + р2а = яA Н а) будет ассоциировано с я, так как
2
множитель 1+ —а принадлежит Dp и не делится ни на один
из простых элементов л1? ..., ят. Таким образом, полный набор
попарно не ассоциированных простых элементов в &р мы можем
выбрать из системы чисел
где 0^xt<p2 (i—l, ..., п). Так как число чисел в этой системе
конечно, то искомый набор простых элементов будет найден в ко-
конечном числе действий и тем самым будут определены показатели
v,, ..., vm.
Для нахождения степеней fu ..., /m простых дивизоров р4, ...
..., рт, соответствующих найденным показателям vt, ..., vm, мож-
можно воспользоваться теоремой 5 § 5. Согласно этой теореме для
каждого простого элемента Я; е О кольца DP мы имеем
N (л{) = pf%
где целое рациональное а не делится на р. Степень /* простого
дивизора ft равна, следовательно, показателю степени, с которым
р входит в целое рациональное число N(n().
Перейдем ко второму нашему вопросу — об эффективном вы-
вычислении числа h классов дивизоров.
В замечании 2 к теореме 2 было отмечено, что в каждом клас-
классе дивизоров имеется целый дивизор а, для которого
Жа) ^ B/я)'УШ| A0)

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 255
(см. по этому поводу также задачу 9). Пусть
а., ..., ая (И)
— все целые дивизоры поля К, удовлетворяющие условию A0).
Число таких дивизоров конечно, так как в К имеется, очевидно,
лишь конечное число целых дивизоров с данной нормой (при
фиксированном а из равенства N (ч^1 ... V/) = а легко следует
ограниченность и простых чисел р, делящихся на рг, и положи-
положительных показателей кг). Для определения числа классов диви-
дивизоров нам надо из системы A1) выделить максимальную подси-
подсистему попарно неэквивалентных дивизоров. Чтобы проделать это
практически, надо уметь для каждых двух дивизоров решить воп-
вопрос, эквивалентны они или нет. Пусть й и Ь — два целых дивизо-
дивизора. Выберем в К число [$ ?= 0, делящиеся на Ь, и рассмотрим ди-
дивизор аЬ~Ч{5). Дивизоры <Х и Ь эквивалентны тогда и" только тогда,
когда целый дивизор аЬ~Ч[5) будет главным. Таким образом, нам
надо уметь узнавать, будет ли главным данный целый дивизор.
Обозначим норму целого дивизора а через а, В п. 4 § 5 гл. II
было показано, что в максимальном порядке О мы можем в ко-
конечное число действий найти конечную систему чисел
of,, ..., ат A2)
с нормой dca, обладающую тем свойством, что всякое ае О
с нормой ±а ассоциировано с одним из чисел этой системы. Если
дивизор а главный, т. е. а=(ос), а^О*, то I/V(a)l = а, а потому
при некотором i (l^i^r) будем иметь а = (а(). Таким образом,
если система A2) уже найдена, то для решения вопроса, явля-
является ли дивизор tt главным, надо только проверить, не совпадает
ли он с одним из главных дивизоров (oti), ..., (а,).
Этим и доказано, что задача вычисления числа h для данного
поля К решается в конечное число действий.
Разложение простого рационального числа р на простые ди-
дивизоры в ряде случаев удается довольно просто найти на основе
рассмотрения норм Л-членных чисел (к Зг 2). Для изложения этого
приема нам необходимо одно вспомогательное утверждение.
Пусть 6 — целое примитивное число поля алгебраических чи-
чисел К степени п. Индекс порядка D' = {1, Э, ..., 0"} в макси-
максимальном порядке D называется индексом числа 9.
Лемма. Если простой дивизор f не является делителем ин-
индекса к числа 0, то всякое целое число а е К сравнимо по модулю
р с числом из порядка D' = {1, 6, ..., б"}.
Действительно, так как V -Г к, то кх = 1 (mod у) при целом х.
Положим 7= кха. Поскольку ка е ?)', ю и уе?>', при этом
а = if (mod?)-
Следствие. Если р не является делителем дискриминанта
D' = D A, 6, ..., 9"), то всякое целое аеХ сравнимо по моду-
модулю у с числом из порядка О' = A, 6, ..., в"}.

256 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ, 1П
Действительно, если р не делит D', то р не делит также и ин-
индекса к числа 0, что следует из формулы D' = Dkz, где D — дис-
дискриминант поля К (лемма 1 § 6 гл. II и равенство A2) § 2 До-
Дополнения).
Предположим теперь, что простое рациональное число р не
входит в индекс целого числа 0 е К. Пусть f — простой дивизор
степени /, делящий р, и 6 — класс вычетов по модулю р, содер-
содержащий^ 0. По лемме поле вычетов О/р порождается классом вы-
вычетов 6 с представителем 0. Если поэтому хи ..., xf независимо
друг от друга пробегают полную систему вычетов по модулю р
(в кольце Z)> то среди чисел
7 = х, + х? + ... + xfQf~l + 6'
имеется одно и только одно, делящееся на у. Вычислив нормы
Ж if), мы легко можем выделить те у, которые делятся на простые
дивизоры, входящие в р. Если, например, при / = 1 мы нашли s
чисел f, нормы которых делятся на р точно в первой степени, то
этим мы обнаружили s простых дивизоров первой степени, входя-
входящих в р. Предположим, что все простые дивизоры первой степени,
входящие в р, уже найдены (набором чисел pi, ..., Р« с нормами
рat, р \ а,). Взяв / = 2, выделим те числа f, норма которых де-
делится на рг. Делением на найденные р,- мы можем освободить эти
7 от простых дивизоров первой степени, и если после этого
N(*() = p2b/c, (be, p) = 1, то f содержит простой дивизор второй
степени. Если таким путем нам удалось найти все простые диви-
дивизоры второй степени, входящие в р, то берем / = 3 и т. д. Конеч-
Конечно, при большой степени и и на этом пути объем вычислений,
вообще говоря, будет большим, но, например, при п = 3 или п = 4
мы часто приходим к цели довольно быстро. Некоторые уточнения
к изложенному приему указаны в задачах 25—27.
Пример 1. Найдем разложения чисел 2, 3, 5, 7 в произве-
произведение простых дивизоров в поле пятой степени Q@), 05 = 2„
Дискриминант D A, 0, 02, 03, 04) равен 2455, поэтому в индекс
числа б могут входить лишь простые числа 2 и 5. Но число 2 не
входит в индекс согласно задаче 15. Так как 05 = 2, то р2 = @)
является простым дивизором первой степени, и мы имеем разло-
разложение
Из равенств
iV@) = 2, Ж0+1) = 3, Мб-0 = 1 A3)
следует, что в разложение числа 3 входит только один простой
дивизор первой степени, именно р3 = @ + 1), при этом р3 f 3 по
теореме 8 § 5. Далее,
Жв + 2) = 2 • 17, Ж6-2) = -2-3-5. A4)

5 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯК АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 257
Второе из этих равенств говорит о том, что для числа 5 имеется
простой дивизор ?5 первой степени, гари этом ввиду делимости
6 — 2= F + 1) — 3 на Рз для 6 — 2 имеем разложение F — 2) =
= VzPsPn. Число 6 — 2 удовлетворяет уравнению
F - 2M +10F - 2L + 40F - 2K + 80F - 2J + 80F - 2) + 30 = 0.
Согласно задаче 9 § 5 для числа 5 мы имеем, следовательно, раз-
разложение 5 = р5- Результат задачи 15 показывает также, что 5 не
входит в индекс числа 6, а значит, кольцо целых чисел поля QF)
совпадает с порядком {1, 6, б2, б3, б4}.
Присоединим к A3) и A4) равенства
iVF + 3) = 5-72, Л (9-3)=*-241.
На основании выписанных семи значений норм определенного вы-
вывода о простых дивизорах первой степени, входящих в число 7,
сделать еще нельзя. Могут представиться три возможности: число
6 + 3 делится либо на квадрат простого дивизора первой степени,
либо на произведение двух различных простых дивизоров первой
степени, либо на простой дивизор второй степени. Но для числа
6 — 4 = (8 + 3) - 7 мы имеем N (б — 4) = — 2 • 7 • 73, поэтому имеет
место первая возможность, а значит, в число 7 входит один
(и только один) простой дивизор первой степени ?7, причем У? f 7.
Чтобы выяснить, входят ли в 3 и 7 простые дивизоры второй
степени, обратимся к нормам трехчленных чисел б2 + Qx + у. Мы
имеем
Ж62 + xQ + у) = 2хъ + у5- 10х3у + Юхуг + 4, A5)
Придавая х и у значения 0, 1, — 1, мы получим девять чисел, сре-
среди которых ни одно не делится на 9. Это значит, что среди про-
простых дивизоров, делящих 3, нет дивизоров второй степени.
Формула C) для разложения числа 3 оставляет теперь только
одну возможность: 3 = ?3^з, где р3—простой дивизор четвер-
четвертой степени. Если для х ж у ъ A5) мы возьмем значения 0, ±1,
±2, ±3, то из 49 получающихся чисел только одно будет делить-
делиться на 72:
Но О2+ 26 — 3 = (б + 3)F — 1), поэтому мы имеем здесь квадрат
дивизора ?7, так что и для 7 разложение будет иметь вид 7=р7р7,;
где у7 — простой дивизор четвертой степени.
Пример 2. Рассмотрим кубическое поле QF), 63 — 96 —
— 6 = 0. Так как D A, 6, б2) = З5 • 23, то ввиду задачи 15 в индекс
числа 6 входит, возможно, лишь 2 (можно показать, что пврядок
{1, 6, б2} максимальный, но мы этим пользоваться не будем). По
задаче 9 § 5 для числа 3 имеет место разложение 3 = j>3. Из

258 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
равенств
6, же+1) = -2, ме-1) = 14 A6)
заключаем, что в число 2 входят по крайней мере два различных
простых дивизора первой степени р2 и 5р2:
Ф) = ш, (e-i) = w, A7)
(утверждать, что только два, можно было бы в том случае, если
бы было известно, что порядок {1, 8, 82} максимальный и, зна-
значит, 2 не входит в индекс числа 8). Но ввиду равенства
F-IK + 3F-IJ-6F-1)-14 = О
'2
число 2 делится на р2 > следовательно,
2 = hb, F + 1) = Ь- A8)
Нормы A6), а также
Ж9 + 2) = -4, Ж8 - 2) = 16 A9)
все не делятся на 5. Это означает, что в 5 не входят простые ди-
дивизоры первой степени. В случае кубического поля отсюда сле-
следует, что главный дивизор 5 является простым. Чтобы найти
разложение числа 7, надо помимо A6) и A9) рассмотреть еще
нормы
же з) = б, же-з) = б.
Так как среди этих семи значений имеется только одно, делящее-
делящееся на 7, то в 7 входит ровно один простой дивизор первой степени.
Приняв во внимание, что р7 f 7, можем написать разложение
7 = р7р7, где р7 — простой дивизор второй степени.
В процессе разложения простых рациональных чисел в про-
произведение простых дивизоров с помощью рассмотренного нами
метода, основанного на изучении значений норм целых чисел, од-
одновременно мы получаем ряд эквивалентностей между дивизо-
дивизорами. Эти эквивалентности позволяют значительно уменьшить
число дивизоров в системе A1), из которой должна быть выделена
максимальная подсистема попарно неэквивалентных дивизоров
для определения числа классов h, а иногда и получить эту мак-
максимальную подсистему. Так, в примере 2 в связи с результатом
задачи 9 система A1) состоит из целых дивизоров с нормой
^—5Г У 35-23< 10, т. е. из дивизоров
О
1> Р21 Рг, ?з> Vl, Ь, №,
о п / л /3

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 259
'2
Но из A8) следует, что  ~ 1 и р2 ~ 1 A — единичный диви-
дивизор), а затем из A7) и (9 + 3) = р^з, — что ^3 ~ 1, ?2 ~1. ТРт ~ 1.
Таким образом, все дивизоры системы B0) главные, а потому
для поля Q (G), 83 — 90 — 6 = 0, число h равно 1.
Иногда (при малых дискриминантах) система дивизоров A1)
состоит только из единичного дивизора. В этих случаях мы без
вычислений получаем, что h=l. Так, например, для поля Q(9),
в3 — 0 — 1 = 0, дискриминант базиса 1, 9, 92 равен —23, поэтому
согласно задаче 8 § 2 гл. II этот базис фундаментальный и —23
является дискриминантом поля. Согласно задаче 9 в каждом
классе дивизоров поля Q @) имеется целый дивизор с нормой
*?^ — -ф-у 23 <С.2, а значит, в поле Q (9) все дивизоры главные.
В случае квадратичных полей число классов дивизоров может
быть определено также при помощи теории приведения, рассмот-
рассмотренной в задачах 12—15 и 24 § 7 гл. II.
Задачи
1. Показать, что в поле алгебраических чисел степени я число ф (а)
целых дивизоров с данной нормой а не превосходит числа тп(я) всех ре-
решений неопределенного уравнения xix2... хп = a (xi, ..., хп независимо
друг от друга пробегают натуральные значения).
2. Пусть & и Ь — два дивизора поля алгебраических чисел (целых или
дробных), а а и Ь — соответствующие им идеалы. Доказать, что если а де-
делится на Ь, то
(Т:а) =ЩаЬ-1).
3. Доказать, что в любых двух различных классах дивизоров содержат-
содержатся взаимно простые целые дивизоры.
4. Для целого дивизора а поля алгебраических чисел через ф(а) обозна-
обозначим число классов вычетов по модулю а, состоящих из чисел, взаимно про-
простых с а (обобщение теоретико-числовой функции Эйлера). Доказать, что
если целые дивизоры а и Ь взаимно просты, то
<р(аЬ) =ф(а)ф(Ь).
5. Доказать формулу
в которой р пробегает все простые дивизоры, делящие целый дивизор а.
6. Доказать, что для любого целого числа а, взаимно простого с целым
дивизором а, имеет место сравнение а ^ ' = 1 (mod а) (обобщение тео-
теоремы Эйлера). Доказать, что для любого целого а и простого дивизора V
поля алгебраических чисел справедливо сравнение о. »"' = a (mod p) (обоб-
(обобщение малой теоремы Ферма).
7. Доказать формулу 2ф (c) = iV(a), в которой с пробегает все дели-
с
тели целого дивизора й (включая г и а).

260 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ 1ГЛ, Ш
8. Пусть |i, ..., 1, (s = 2V(v) — 1) —система вычетов по простому мо-
модулю V, не делящихся на р. Доказать, что тогда gi... g, == — 1 (mod p) (ана-
(аналог теоремы Вильсона).
9. Используя задачу 2 § 6 гл. II, доказать, что в каждом классе дивизо-
дивизоров поля алгебраических чисел К степени n = s + 2t и дискриминанта D
содержится целый дивизор а, для которого
10. Показать, что для квадратичных полей, дискриминанты которых рав-
равны 5, 8, 12, 13, —3, —4, —8, —11, число классов дивизоров равно 1.
11. Показать, что число классов дивизоров поля Q (V— 19) равно 1.
12. Доказать, что в поле <Q (?), где ? — первообразный корень 5-й сте-
степени из 1, разложение целых чисел на простые множители однозначно.
13. Показать, что для поля Q ("I/— 23) число классов дивизоров равно 3.
14. Пусть Ki, К2 ж К3 — кубические поля, указанные в задаче 21 § 2
гл. II. Показать, что число 5 в полях Ki и К2 остается простым дивизором,
а в поле К3 раскладывается в произведение 5 = WV трех различных про-
простых дивизоров первой степени. Показать, далее, что число 11 раскладыва-
раскладывается в произведение 11 = <]<)'<]" трех различных простых дивизоров в поле К±
и остается простым в поле Кг. (Отсюда следует, что Kt, Кг и К3 различны.)
15. Пусть примитивное целое число 6еХ является корнем многочлена
Эйзенштейна относительно простого числа р. Используя результат задачи 9
§ 5, доказать, что р не входит в индекс числа 0.
16. Пусть простое число р меньше степени п поля алгебраических чи-
чисел К. Доказать, что если в К существует целое примитивное число, индекс
которого не делится на р, то число р в поле К не может раскладываться
в произведение п различных простых дивизоров первой степени.
17. Основываясь на задачах 18 и 19 § 5, доказать, что простое рацио-
рациональное число разветвляется в поле алгебраических чисел К (т. е. делится
на квадрат простого дивизора) тогда и только тогда, когда оно входит в
дискриминант поля К.
18. Пусть простой дивизор р не делит числа 2 и не делит определите-
определителя б квадратичной формы f(xi, ..., хп) с целыми коэффициентами из поля
алгебраических чисел К. Для целого а е К, не делящегося на р, положим
(—1 =+1,если сравнение I2 == a (mod))) разрешимо в кольце целых чи-
V I
сел поля К, и I— I = — 1 в противном случае. Доказать, что число N реше-
решений сравнения
f{xh ..., хп) =0 (mod D)
выражается формулами
N = N(y)n~1, если п нечетное;
¦ N = N (vf1 + ({~ 1)П/Ч ) N (у)<"-2^ (N (,)¦_ 1),
если п четное.
19. Пусть а — дивизор поля алгебраических чисел К, и пусть ат = (а) —
главный дивизор. Доказать, что в поле К (уга) дивизор а становится
главным.
20. Доказать, что для любого поля алгебраических чисел К существует
такое конечное расширение К/К, что всякий дивизор а поля К является
главным дивизором, если его рассматривать в поле R,

§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 261
21. Пусть в кубическом поле К простое число р раскладывается в про-
произведение р = W'P" трех различных простых дивизоров, и пусть а — целое
число из К. Доказать, что если Sp(a) =0 и W \ а, то ?" | а и, следова-
следовательно, р\а.
22. Доказать, что число классов дивизоров поля Q F), 93 = 6, равно 1.
(Согласно задаче 24 § 2 гл. II числа 1, 9, 92 образуют фундаментальный
базис поля Q (9).)
23. Доказать, что в кубическом поле K = Q(Q), 93 = 6, не существует
чисел аф 0 вида х + yQ со взаимно простыми целыми рациональными х
и у, для которых N(a) = 10z3 (z целое рациональное). Вывести отсюда, что
уравнение х3 + 6у3 = 10z3 (а значит, и уравнение Зх3 + Ау3 + 5z3 = 0) не
имеет нетривиальных решений в целых рациональных числах.
Указание. Предполагая, что числа а существуют, доказать, что они
имеют вид a = ad3, где 1 — целое число поля К, а по — одно из следующих
шести чисел:
Здесь Я = 2—0 (N(X) =2), ц = 0 — 1 (N(\i) = 5), v = F2 + 9 + D2 =
= 13 + 86 + 302 BV(v) = 5-53), 8 = 1 — 66 + 362 — основная единица по-
поля К (задача 4 § 5 гл. II). При доказательстве воспользоваться задачей 21,
примененной к числу а0, задачами 17 и 22, а также разложением в поле К
чисел 2, 3 и 5 на простые множители. Далее, полагая 1 = и + vQ -f- ш02,
запишем
где Ф, ?ий — целочисленные кубические формы от переменных и, v и w.
Показать, что для каждого из шести значений осо уравнение Q (и, v, w) = 0
имеет только тривиальное решение в рациональных (и 3-адических) числах.
24. Пусть а и Ъ — взаимно простые натуральные числа, свободные от
квадратов, и пусть d = аЪг > 1. Показать, что в поле Q \V~d) разложение
числа 3 в произведение простых дивизоров имеет вид
3 = р3, если d^ +
3 = p2q (у ф d), если d=+l(mod9).
Указание. В случае d=±l (mod9) рассмотреть нормы iV(eo — 1),
A'(w), iV(o) + 1), где
ш = -g- (l Н- а \/ГаЬ* + х V~aFb),
о = ±1, т= ±1, аа==т&=1 (mod3).
25. Пусть 0 — примитивное целое число поля алгебраических чисел К,
Ф (t) — его минимальный многочлен и р — простое рациональное число, не
входящее в индекс числа в. Предположим, что по модулю р имеет место
разложение
Ф (<)^Ф1 (<)'*... <pm(i)em (modp),
где ф1, ..., фт — неприводимые попарно различные по модулю р целочислен-
целочисленные многочлены степеней ft, ..., fm соответственно. Доказать, что разложе-
разложение числа р в произведение простых дивизоров поля К имеет вид р = ^"'
...f^1, где различные простые дивизоры Pi, ..., )>m имеют соответственно
степени /ь ..., /m, при этом ф*@) ==0 (mod у4) для каждого i = 1, .... т.

262 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. Ш
Указание. Воспользоваться тем, что каждое целое число из К срав-
сравнимо по модулю Pi с целочисленной линейной комбинацией степеней 0 s
(s>0).
26. Пусть простое рациональное число р не входит в индекс целого при-
примитивного числа 0 поля К. Доказать, что при любом целом рациональном х
число 0 + х не делится в поле К на простой дивизор, входящий в р, степе-
степени выше первой. Доказать, далее, что 0 + х не делится на произведение
двух различных простых дивизоров первой степени, входящих в р.
27. Обобщая предшествующую задачу, доказать (в тех же предположе-
предположениях), что при любых целых рациональных х0, ..., xr-i число 0Г+
+ гг_10г~* -)-...-)- ха не делится на произведение Pi... ))„ различных про-
простых дивизоров, входящих в р, степеней /ь ..., /„ если только fi + ...
... + /•> г.
28. Пусть число классов дивизоров поля алгебраических чисел К рав-
равно 2. Доказать, что для любого а ?= 0 из кольца О целых чисел поля К (не
являющегося единицей) число т простых сомножителей jij во всяком раз-
разложении а = jti... ят на простые множители зависит только от а. (Спра-
(Справедливо и обратное утверждение: если в кольце О разложение на простые
множители не однозначно, но для любого а всякое разложение а = jti...
... Jim имеет одно и то же число простых сомножителей jti, то для поля К
число классов дивизоров равно 2.)
§ 8. Квадратичное поле
В этом параграфе мы рассмотрим несколько подробнее теорию
дивизоров для случая квадратичного поля. Начнем с описания
простых дивизоров.
1. Простые дивизоры. Так как всякий простой дивизор явля-
является делителем одного и только одного простого числа, то для
описания всех простых дивизоров в каком бы то ни было поле
алгебраических чисел достаточно указать, как каждое простое
рациональное число р раскладывается в этом поле в произведение
простых дивизоров. Согласно равенству C) § 7 в случае квадра-
квадратичного поля (для которого п = 2) числа m, /it et могут принимать
лишь следующие значения:
1) т = 2, fi = U = l, e1 = e2 = l;
2) m = l, / = 2, e = l;
3) m = l, / = 1, e = 2.
Соответственно этому мы получаем, что в квадратичном поле
возможны три типа разложения:
1) Р = Щ\
2) p = D,
3) p = f,
Наша задача состоит, следовательно, в том, чтобы выяс-
выяснить, чем определяется тип разложения для того или иного про-
простого числа р. Ответ может быть без труда получен из теоре-
теоремы 8 § 5.
В п. 1 § 7 гл. II было показано, что каждое квадратичное по-
поле однозначно представляется в виде Q(yd), где d — целое ра-
рациональное число, свободное от квадратов.

§ 81 КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 263
Рассмотрим сначала нечетное простое число р. Если р не вхо-
входит в d, то оно не входит и в дискриминант многочлена хг — d,
корень которого порождает наше поле. Следовательно, по теоре-
теореме 8 § 5 для р имеет место первый или второй тип разложения
в зависимости от того, будет ли приводим многочлен x2 — d по
модулю р или ие будет. Это в свою очередь зависит от того, будет
ли d квадратичным вычетом по модулю р или невычетом.
Если p\d, то d — pdu где di не делится на р, так как d сво-
свободно от квадратов. Равенство pdi = (VdJ, (du p) = 1, показывает,
что все простые дивизоры, входящие в р, входят в него в четной
степени, а это возможно только при третьем типе разложения.
Таким образом, для нечетного р мы будем иметь первый, второй
или третий тип разложения в зависимости от условий: 1) р f d%
\ — ] = 1; 2) р f d, I — j = — 1; 3) p\d. Заметим, что поскольку
дискриминант D поля Q ( Yd) равен d или Ad (теорема 1 § 7
гл. II), то во всех этих условиях d можно заменить на D.
Остается рассмотреть случай р = 2. Предположим сначала,
что 2 f D. Согласно теореме 1 § 7 гл. II это имеет место при D =
= <2=l(mod4). Ясно, что Q( Yd) = Q((»), где о) =*~ ~? " .
Минимальным многочленом для ю является, очевидно, многочлен
ж2 + х + Ц-2. ¦ A)
Так как дискриминант базиса 1, со нечетен, то, опять применяя
теорему 8 § 5, получаем, что для 2 имеет место первый или вто-
второй тип разложения в зависимости от того, будет ли многочлен
A) приводим по модулю 2 или не будет. Очевидно, что много-
многочлен х2 + х + а приводим по модулю 2 тогда и только тогда, когда
21 а. Таким образом, при 2 \ D для 2 первый и второй тип разло-
разложения определяются соответственно условиями Z) = f(mod8) и
Z) = 5 (mod 8).
Докажем теперь, что если 2IZ), то для 2, так же как и для
р ?= 2, имеет место третий тип разложения. Действительно, если
2Id, то d — 2d', 2 f d' и из равенства
2d' = (fd)\ 2 -Г d',
так же как и в случае нечетного р, получаем, что для 2 имеет
место третий тип разложения. Если же 2 К d, то d t= 3 (mod 4)
(теорема 1 § 7 гл. II) и в равенстве (l + l/dJ — 2a целое число
а = —~—у Yd взаимно просто с 2, так как его норма
— d

264 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ (ГЛ. III
не делится на 2. Следовательно, и в этом случае для 2 мы имеем
третий тип разложения.
Сформулируем полученный результат.
Теорема 1. В квадратичном поле с дискриминантом D для
простого числа р разложение
имеет место тогда и только тогда, когда р является делителем D.
Если нечетное р не входит в D, то
при (у) =
p=f, I\ Ш = P при — = — 1.
\ p I
Если число 2 не входит в D {значит, D = 1 (mod4)), то
2 = W, y^V'i Жр)=Жр') = 2 герм Z) = l(mod8);
2 = j>, Жр)=4 при Я э 5 (mod 8).
2. Закон разложения. Согласно теореме 1 тип разложения
простого нечетного р определяется вычетом D (или d) по модулю
р, точнее, значением символа Лежандра (-1—] = (— ] как функции
от знаменателя р. В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли
переформулировать теорему 1 так, чтобы тип разложения опреде-
определялся вычетом р по некоторому постоянному модулю (зависящему
только от поля). Чтобы найти эту новую формулировку, восполь-
воспользуемся законом взаимности для символа Якоби.
Символ Якоби./-?_] определен, как известно, для целого с?=0
и нечетного положительного Ь, взаимно простого с с. Закон вза-
взаимности для этого символа утверждает, что при нечетном с
Ь-1 с-1
(доказательство для с < 0 легко сводится к случаю положитель-
положительного числителя).
Пусть р — произвольное нечетное простое число. Если d = D^
ез 1 (mod 4), то
так как—j- четно. Если же d *= 3 (mod 4), то

§ 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 265
так как ~ нечетно. Наконец, дри d = 2d', 2 f d' мы имеем
Значение символа Якоби (t4i) или (т-ёт) зависит, очевид-
но, только от вычета р по модулю \d\ или \d'\. Если d= I (mod4),
так что дискриминант D поля Q( V d) равен d, то (—I зависит
только от вычета р по модулю \d\ = \D\. Если <2 = 3(mod4)
и, следовательно, D = Ы, то (—) зависит уже не только от
вычета р по модулю \d\, но и от числа (—1)<р-1>/21 т. е. от выче-
та р по модулю 4; следовательно, I — I зависит в итоге от выче-
вычета р по модулю 4\d\ = I-DI. Наконец, если d = 2d', D = 4d = 8d',
то т4т-г зависит от вычета р по модулю Ы'\, (—1)<р-1)/2 — от
вычета р по модулю 4, а(— 1) р 8 —от вычета р по модулю 8.
Следовательно, в этом случае (—I зависит от вычета р по мо-
модулю 8\d'\ = \D\. Мы видим, таким образом, что во всех слу-
случаях тип разложения простого нечетного числа р определяется
его вычетом по модулю \D\, так что все простые числа, имею-
имеющие один и тот же вычет, т. е. лежащие в одной арифметической
прогрессии вида а+ \D\x, имеют один и тот же тип разложения.
Этот a priori совершенно не очевидный вывод и является прин-
принципиально наиболее важным свойством закона разложения про-
простых чисел в квадратичном поле.
Чтобы сформулировать эту новую форму закона разложения
более четко, рассмотрим на целых числах х, взаимно простых
с дискриминантом D, функцию %(#), полагая
(j-T-.j при ds=l (mod 4),
Х(х) = \ (—1) 2 (jiji) при йзееЗ (mod 4), E)
х2-1 зс-1 d'-l I v
4 \ 8 2 2 I. I TTT1TT й —- *?/1
(в случае ds=2, 3(mod4) выражения (—1)(х-1)/2 и (— 1) 8
имеют смысл, так как ввиду четности дискриминанта D =* 4d
число х нечетно).

266 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
В проведенном выше рассуждении, показывающем, что при
( D \
нечетном р значение I —I зависит только от вычета р по моду-
модулю \D\, мы нигде не пользовались простотой р. Поэтому то же
рассуждение дает нам, что %(х) зависит только от вычета х по
модулю \D\. Далее, легко проверяется, что если (х, D) = 1 и
(х', D) = 1, то %{хх') = %(х)%(х'). Все это показывает, что функ-
функцию % можно рассматривать как гомоморфизм мультипликативной
группы классов вычетов по модулю \D\, взаимно простых с D,
в группу второго порядка, состоящую из чисел +1 и —1. Такие
функции, доопределенные нулевыми значениями на числах, не
взаимно простых с D, называются числовыми (квадратичными)
характерами.
Определение. Числовой характер % по модулю \D\, зна-
значения которого %(х) на целых х, взаимно простых с D, определя-
определяются равенствами E), называется характером квадратичного
поля Q(Vd).
Возвращаясь к равенствам B), C) и D), мы видим, что раз-
разложение для простого нечетного ,р, не входящего в D, будет пер-
первого или второго типа в зависимости от того, будет ли %(р) равно
+ 1 или —1. Этот же результат справедлив, оказывается, и для
р = 2. В самом деле, если 2 -f D, то D = 1 (mod 4) и, значит, % B) =
/ 2 \
= \TUi /' чт0 Равно ~^ ПРИ ^ = l(mod8) и —1 при Z) =
= 5 (mod 8).
Нами получена, таким образом, следующая новая формули-
формулировка закона разложения в квадратичном поле.
Теорема 2. В терминах характера % квадратичного поля
Q{]/rd) разложение рациональных простых чисел в произведение
простых дивизоров определяется условиями:
=p, если
jo = Р, N())=p\ если
p = f, N(y)=p, если %(р) = 0.
Все целые рациональные числа в зависимости от значения на
них характера % разбиваются на три группы, каждая из которых
является объединением нескольких полных классов вычетов по
модулю \D\. Согласно теореме 2 тип разложения зависит от того,
в какую из этих групп попадает простое число р.
Такой закон разложения, как в квадратичном поле, когда тип
разложения определяется только вычетом простого числа р по
некоторому постоянному модулю, имеет место и для некоторых
других полей. Так обстоит дело, например, для полей деления
круга (см. гл. V, § 2, п. 2). Однако далеко не все поля алгебраи-
алгебраических чисел обладают аналогичными законами разложения. Так
как знание законов разложения в полях алгебраических чисел

§ 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 267
дает возможность решать многие теоретико-числовые задачи (см.,
например, следующий пункт и § 2 гл. V), то интересно было бы
знать, каковы те поля, в которых закон разложения имеет только
что описанный простой вид. Ответ на этот вопрос дает теория
полей классов. Оказывается, что такими полями являются те нор-
нормальные расширения поля рациональных чисел, группа Галуа ко-
которых абелева. К их числу относятся, конечно, все квадратичные
поля, имеющие циклическую группу второго порядка в качестве
группы Галуа. Простейший пример неабелева поля дает нам ку-
кубическое поле, если только его дискриминант не есть полный
квадрат, например поле QF), где б3 — 6 — 1 = 0. Для этого поля,
следовательно, нельзя найти такое число М, чтобы тип разложе-
разложения простого числа р в произведение простых дивизоров зависел
только от вычета р по модулю М.
Теория полей классов решает, впрочем, гораздо более общий
вопрос, чем тот, с которым мы встретились. Она описывает закон
разложения простых дивизоров произвольного поля алгебраиче-
алгебраических чисел к на множители в некотором расширении К/к, если
группа Галуа этого расширения абелева (мы говорили выше об
очень частном случае, когда к = Q). Теория полей классов имеет
много теоретико-числовых применений. Так, она позволяет пере-
перенести доказанные в гл. I теоремы о квадратичных формах с ра-
рациональными коэффициентами на квадратичные формы с коэф-
коэффициентами из произвольного поля алгебраических чисел к, по-
понять с более глубокой точки зрения теорию родов, которую мы
изложим в п. 4, доказать теорему о существовании простых ди-
дивизоров в заданном классе дивизоров и т. д. С теорией полей
классов можно познакомиться по книгам [1] и [6].
Не меньшее число арифметических задач приводит к лежаще-
лежащему за пределами теории полей классов вопросу о законах разложе-
разложения простых чисел в полях с неабелевой группой Галуа. Об этих
законах разложения известно в настоящее время очень мало.
3. Представление чисел бинарными квадратичными формами.
В п. 5 § 7 гл. II мы видели, что существует взаимно однозначное
соответствие между классами собственно эквивалентных прими-
примитивных бинарных квадратичных форм и классами подобных в
узком смысле модулей квадратичного поля (в случае D < 0 рас-
рассматриваются только положительно определенные формы). С дру-
другой стороны, согласно теореме 6 § 6 полные модули, принадлежа-
принадлежащие максимальному порядку (т. е. идеалы поля), взаимно одно-
однозначно соответствуют дивизорам. Естественно поэтому ожидать,
что теория дивизоров в квадратичном поле имеет определенные
связи с теорией тех примитивных форм, дискриминант которых
совпадает с дискриминантом поля.
Чтобы соответствие между классами форм и классами модулей
распространить на дивизоры, мы должны, очевидно, слегка изме-
изменить понятие эквивалентности дивизоров.

при
при
при
d<0;
d>0,
d>0,
Же)
Же)
= -1;
= +1.
268 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
Определение. Два дивизора а и Ь квадратичного поля
Q (Yd) называются эквивалентными в узком смысле, если в
Q ( Yd) существует такое число а Ф О, что N(a) > 0 и а = Ь(а).
Так как для мнимых квадратичных полей нормы всех отлич-
отличных от нуля чисел положительны, то в них эквивалентность ди-
дивизоров в узком смысле совпадает с обычной (определение п. 2
§ 7). Те же рассуждения, что и для модулей (см. п. 5 § 7 гл. II),
показывают, что в вещественном поле Q( V d) новое понятие
эквивалентности дивизоров совпадает со старым тогда и только
тогда, когда норма основной единицы е поля Q(k <i) равна —1.
Если же Ме) = +1, то каждый класс дивизоров относительно
обычной эквивалентности распадается ровно на два класса диви-
дивизоров, эквивалентных в узком смысле. Таким образом, число h
классов дивизоров в узком смысле также конечно и, согласно ска-
сказанному, связано с числом h классов дивизоров в обычном смысле
соотношением:
h = h
Теорема 4 § 7 гл. II в применении к модулям, принадлежащим
максимальному порядку поля Q ( yd) с дискриминантом D, те-
теперь может быть переформулирована следующим образом: клас-
классы дивизоров в узком смысле квадратичного поля Q ( у d) нахо-
находятся во взаимно однозначном соответствии с классами собственно
эквивалентных примитивных бинарных квадратичных форм дис-
дискриминанта D (положительно определенных при D < 0).
Попробуем применить результаты пп. 1 и 2 к вопросу о пред-
представлении чисел бинарными формами.
Согласно теореме 6 § 7 гл. II натуральное число а представля-
представляется некоторой формой дискриминанта D тогда и только тогда,
когда в поле Q( у d) существует целый дивизор с нормой а (мы
знаем, что норма дивизора совпадает с нормой соответствующего
ему модуля). Но нормы всех целых дивизоров могут быть охарак-
охарактеризованы с- помощью теоремы 2. Действительно, согласно этой
теореме норма N(y) простого дивизора f равна простому числу
р, если %(р) = 0 или %(р) = 1, и равна квадрату простого числа,
если %(р) = —1. Следовательно, число а представи'мо в виде нор-
нормы Ма) целого дивизора а = Ц? поля Q( Yd) тогда и толь-
ко тогда, когда все простые числа р, для которых %(р) = —1,
входят в а в четной степени.
Найденному условию мы можем придать несколько другой
вид, если воспользуемся символом Гильберта, определение кото-

§ 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 269
рого было дано нами в п. 3 § 6 гл. I. Вычислим ( —— J для всех
простых чисел р, не входящих в D. Пусть а = phb, где Ъ не де-
делится на р. Согласно свойствам символа Гильберта мы имеем:
^)=(-lJ • 2 +fe 8 =(_l)ft-^ = 3cB)fe при p = 2, 2*0
<в случае p = 2, 2 f В следует учесть сравнение D = 1 (mod 4)).
Полученные формулы доказывают вторую часть следующей
теоремы.
Теорема 3. Для того чтобы натуральное число а представ-
представлялось некоторой бинарной формой дискриминанта D, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы оно не содержало простых чисел р
с условием %(р) — —1 в нечетной степени. Для этого в свою оче-
очередь необходимо и достаточно, чтобы
——j = + 1 для всех р \ D.
Так как целые числа а и аЪг одновременно представляются или
не представляются формами дискриминанта D, то мы можем ог-
ограничиться рассмотрением чисел а, свободных от квадратов.
Если р Ф 2, р | D и р -Г а, то, как мы знаем, (——I = + 1.
Следовательно, теорема 3 накладывает па число а лишь конечное
число условий, причем в этих условиях участвуют только вычеты
простых делителей числа а (свободного от квадратов) по мо-
модулю \D\.
Теорему 3 можно было бы легко вывести из теоремы 7 § 7,
гл. II. Мы привели доказательство, опирающееся на теорему 2,
желая обратить внимание на связь вопроса о представлениии чи-
чисел формами дискриминанта D с вопросом о разложении на мно-
множители в соответствующем квадратичном поле.
Полученный результат дает нам, однако, не совсем то, что мы
хотели бы получить. Действительно, нам желательно было бы
иметь критерий представимости числа а формами из заданного
класса собственно эквивалентных форм, а теорема 3 дает нам ус-
условие представимости а формами из какого-нибудь класса. В свя-
связи с этим возникает следующий вопрос. Нельзя ли классы форм
так разбить на непересекающиеся группы (по возможности более
мелкие),, чтобы для любого а все формы, представляющие это
число а (если конечно, они существуют), содержались в некото-
некоторой одной определенной группе? Такое разбиение классов форм
на группы было найдено Гауссом. Он® связано с рассмотрением:
рациональной эквивалентности квадратичных форм.

270 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
Определение. Говорят, что две примитивные бинарные
квадратичные формы данного дискриминанта D принадлежат
одному роду, если они рационально эквивалентны.
Так как целочисленно эквивалентные формы тем самым и ра-
рационально эквивалентны, то все формы одного и того же класса
входят в один род. Таким образом, каждый род является объеди-
объединением нескольких классов форм. Отсюда, в частности, следует,
что число родов форм (данного дискриминанта D) конечно.
В п. 5 § 7 гл. I для бинарных рациональных неособенных форм
/ были введены инварианты eP(f), где р — простое число или сим-
символ °°. В нашем случае примитивных форм / дискриминанта D
1 „ ... ja, D\ _
определитель равен -^ D, поэтому ep(f) = \ , щеа^и —
произвольное число, рационально представимое формой /.
Пусть G — некоторый род форм. Так как все формы из G име-
имеют одни и те же инварианты, то мы можем положить ep(G) =
= ер(/), где / — произвольная форма из рода G.
Пусть а — отличное от нуля число, представимое формой /.
Согласно второму утверждению теоремы 3 мы имеем ер (/) =
(a'D\ А г, тт
= I —— 1=1 для всех простых р, не входящих в и. Далее,
е„,(/) = 1, так как в случае D<0 мы рассматриваем только по-
положительно определенные формы. Следовательно, для любого рода
G форм дискриминанта D мы имеем
ep(G) = l при piD и р = °°. F)
Каждый род G однозначно определен, таким образом, инварианта-
инвариантами ep(G), где р пробегает все простые делители дискриминанта D.
Условие представимости чисел формами некоторого фиксиро-
фиксированного рода G может быть сформулировано следующим образом.
Теорема 4. Для того чтобы целое а>0 допускало целочис-
целочисленное представление некоторой формой рода G, необходимо и
достаточно, чтобы при всех р выполнялось равенство
D
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Если
(a.D\ /rs
же для некоторого а мы имеем I I = ер (От) при всех р, то
ввиду F) I——I = 1 при всех р -f D. Но в таком случае соглас-
согласно теореме 3 число а представляется некоторой формой / дискри-
дискриминанта D, а так как ер (/) = у^—J = ер (G), то / принадлежит
роду G, и теорема 4 доказана.
Утверждение теоремы 4 интересно в том отношении, что оно
характеризует представимость числа а некоторой формой из рода

§ 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 271
G лишь вычетом числа а по модулю \D\ (при условии, что а вооб-
вообще представимо какой-нибудь формой дискриминанта D, т. е. при
условии, что ( ——) = 1 при всех р -f D). Действительно, все
значения I 1 для р I и зависят только от вычета а по моду-
модулю \D\. В случае, когда разбиение форм на роды совпадает
с разбиением на классы (т. е. когда каждый род состоит только
из одного класса), теорема 4 дает нам, следовательно, идеальный
ответ на вопрос о представлении чисел бинарными формами.
В общем же случае этот результат улучшить нельзя. Это зна-
значит, что, какой бы дискриминант D (максимального порядка) мы
ни взяли и какую бы совокупность классов форм этого дискрими-
дискриминанта ни рассмотрели, если эта совокупность не состоит целиком
из нескольких родов, то не существует такого модуля т, что
представимость числа какой-нибудь формой нашей совокупности
зависит только от вычета этого числа по модулю т. В частности,
если род состоит не из одного класса, то не существует характе-
характеристики чисел, представимых классом, в терминах их вычетов по
некоторому модулю. Доказательства этих фактов вытекают из
теории полей классов и основываются на том, что (если ограни-
ограничиться простыми числами) представимость простого числа форма-
формами некоторой совокупности классов можно интерпретировать
в терминах типа разложения этого числа на простые дивизоры
в некотором поле L. Это поле L только в том случае будет иметь
абелеву группу Галуа над полем рациональных чисел, когда наша
совокупность классов состоит из нескольких родов (см. по этому
поводу работу [78]).
Займемся теперь исследованием вопроса о числе родов. Пусть
Pi, ..., pt — все попарно различные простые делители дискрими-
дискриминанта D. Согласно F) каждый род однозначно определяется на-
набором инвариантов е =ePi(G). Эти инварианты не могут быть
произвольны, так как, выбрав форму / е G и число а^О, пред-
ставимое формой /, мы имеем (формула A7) § 7 гл. I)
р
(в произведениях р пробегает все простые числа и символ °°).
Покажем, что полученное нами соотношение
et...ef = l G)
между числами е» = ±1 является не только необходимым, но и
достаточным, для того чтобы эти числа являлись инвариантами
некоторого рода G.
Обозначим через ki показатель степени, с которым pt входит
в D (ki равно 1 для всех р{?> 2 и равпо 2 или 3 для /?( = 2). Для
каждого i = l, ..., t выберем целое а,-, не делящееся на р{, для

272 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
которого I I = eix а затем определим целое а из системы
сравнений
az=cii (modpjl) (l^i^i).
Для любого а, удовлетворяющего этим сравнениям, мы имеем
(в силу свойств символа Гильберта)
Наша задача состоит сейчас в том, чтобы среди значений а найти
такое, для которого (——] = 1 при всех р \ D. Воспользуемся
для этой цели теоремой Дирихле о простых числах в арифмети-
арифметической прогрессии (см. § 3 гл. V). Так как все значения а взаим-
взаимно просты с D и образуют класс вычетов по модулю ] D \ = ±± piг,
то по теореме Дирихле среди них найдется нечетное простое чис-
число q. Для него мы имеем:
2~) = 1 при р-гЯ, Рф2 и
ф) = (- 1) 2 ] =1 при 2 \ D.
^,„„^^^ш^„„„ \~~p~l = ^ Дает нам' следовательно, равенство
ех ... et\——) = 1, откуда ввиду G) следует, что значение сим-
lq,D\ .
вола I 1 также равно 1.
Таким образом, существует натуральное а (и даже простое),
для которого
<«) и (^) = 1 при ptD.
По теореме 3 число а представляется некоторой формой / дискри-
дискриминанта D. Если эта форма принадлежит роду G, то
Этим и доказано наше утверждение о существовании рода с на-
наперед заданными инвариантами (удовлетворяющими, конечно, со-

§ 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 273
отношению G)). Так как число всех возможных наборов значений
6i = ±l с условием G) равно 2*~\ то, следовательно, число всех
родов форм дискриминанта D также равно 2'. Сформулируем
полученный результат.
Теорема 5. Пусть ри ..., pt — все попарно различные про-
простые делители дискриминанта D квадратичного поляО,\у d). Для
любого набора значений е,- = ±1 A <; i <; t) с условием е4... е« = 1
существует род G форм дискриминанта D, для которого ePi(G) = е».
Число всех родов форм дискриминанта D равно 2'.
Замечание 1. Изложенная в этом пункте теория родов для
форм, дискриминант которых совпадает с дискриминантом D
максимального порядка квадратичного поля, может быть развита
также и для форм дискриминанта Df.
Замечание 2. Если каждый род форм отрицательного дис-
дискриминанта Df состоит только из одного класса, то для числа
представлений целых чисел, взаимно простых с /, фиксированной
формой дискриминанта Df может быть указана простая формула
(см. задачу 18). Таблиц^ известных значений дискриминантов
Df < 0 с одноклассными родами приведена в конце книги. Воп-
Вопрос о том, исчерпывает ли эта таблица все значения отрицатель-
отрицательных дискриминантов, для которых каждый род форм состоит из
одного класса, к настоящему времени не решен. Доказано только,
что число таких дискриминантов конечно. Для четных Df из
приведенной таблицы числа -g Df2 были найдены еще Эйлером
и названы им удобными числами. Удобные числа применялись
Эйлером для разыскания больших простых чисел на основе сле-
следующего их свойства: если произведение аЪ взаимно простых на-
натуральных чисел а и Ъ равно одному из удобных чисел и если
форма axz + by2 представляет число q существенно одним спосо-
способом (при взаимно простых х и у), то это число q простое (см. за-
задачу 19). Например, разность 3049 — 120z/2 только при у = 5 яв-
является квадратом, значит, число 3049 представляется формой
хг + 120z/2 единственным образом: 3049 = Т + 120 • 52, и поэтому
оно простое. Этим приемом Эйлеру удалось установить простоту
многих больших по тому времени простых чисел. Ясно, что, чем
больше удобное число, тем меньше требуется испытаний для вы-
выяснения вопроса о единственности представления.
4. Роды дивизоров. Полученные в п. 3 результаты о родах
форм позволяют сделать некоторые заключения о строении груп-
группы классов (в узком смысле) дивизоров квадратичного поля. Пе-
Перенесем для этого определение родов на дивизоры.
Согласно теореме 6 § 6 каждому дивизору а (целому или дроб-
дробному) взаимно однозначно соответствует идеал <t, состоящий из
тех чисел поля, которые делятся на <t. В случае квадратично-
квадратичного поля каждому базису (а, ?} модуля а, удовлетворяющему

274 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ч [ГЛ. III
условию A0) § 7 гл. II, соответствует примитивная форма
Т \х, У)—
При переходе к другому базису модуля а (с тем же условием A0)
§ 7 гл. II) форма / заменяется собственно эквивалентной формой.
Равенство (8) сопоставляет, стало быть, дивизору а целый класс
собственно эквивалентных форм. Это отображение и устанавли-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между классами дивизо-
дивизоров в узком смысле и классами собственно эквивалентных форм
дискриминанта D, о котором уже говорилось в начале п. 3.
Определение. Два дивизора квадратичного поля принад-
принадлежат одному роду, если соответствующие им классы форм со-
содержатся в одном и том же роде форм (т. е. рационально экви-
эквивалентны).
Так как эквивалентным в узком смысле дивизорам соответ-
соответствует один и тот же класс форм, то каждый род дивизоров яв-
является объединением нескольких классов дивизоров (в узком
смысле).
Род дивизоров, соответствующий роду форм G, мы будем обо-
обозначать той же буквой G. Под инвариантами ep(G) рода дивизо-
дивизоров G подразумеваются аналогичные инварианты соответствую-
соответствующего класса форм. Для инвариантов ep(G) имеет место формула
(9)
где а — произвольный дивизор из рода G. В самом деле, по опре-
делению инвариантов ер (Сг) = I 1, где а — отличное от нуля
рациональное число, представимое формулой fix, у) вида (8),
соответствующей дивизору а. Но форма Niax + fyy) представляет
все квадраты рациональных чисел, в частности она представляет
МаJ. Следовательно, fix, у) представляет Met), а это и доказы-
доказывает формулу (9).
Род дивизоров Go, все инварианты которого равны 1, называ-
называется главным .родом. Все дивизоры а из главного! рода характе-
характера), ?>\ . _.
ризуются условием I———J = 1 при всех р. Отсюда следует,
что главный род является группой относительно умножения диви-
дивизоров — подгруппой группы всех дивизоров. Очевидно, далее, что
произвольный род дивизоров G является смежным классом aG0
по подгруппе Go, где a — произвольный дивизор из рода G. Но
совокупность всех смежных классов по подгруппе Go является
естественным образом группой — фактор-груипой группы всех
дивизоров по подгруппе Go. Мы можем, следовательно, совокуп-
совокупность всех родов рассматривать как группу. Она называется груп-

§ 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 275
пой родов. Согласно теореме 5 порядок группы родов равен 2',
где t — число различных простых делителей дискриминанта D.
Дадим характеристику рода дивизоров в терминах самих ди-
дивизоров (без привлечения форм).
Теорема 6. Два дивизора а и а, квадратичного поля при-
принадлежат одному и тому же роду тогда и только тогда, когда
в поле существует такое число <у с положительной нормой, что
Доказательство. Выберем в идеалах а и а4 базисы (а, ^}
и {ai, fii), удовлетворяющие условию A0) § 7 гл. II. Тогда диви-
дивизорам <t и ctt будут соответствовать формы
Согласно теореме 11 § 1 Дополнения формы / и /4 рационально
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует хоть одно
рациональное число ?= 0, представимое одновременно этими фор-
формами, т. е. когда
N (а) N (ах) VbI S1 ^~ "'•
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Для дивизоров главного рода мы имеем следующую важную
характеристику.
Теорема 7. Дивизор й принадлежит главному роду тогда и
только тогда, когда он эквивалентен в узком смысле квадрату
дивизора.
Доказательство. Пусть дивизор <t принадлежит главно-
главному роду. Так как единичный дивизор принадлежит главному ро-
роду, то по теореме 6 существует число f> Для которого Жа) = Ж'у).
Заменив а на эквивалентный ему дивизор ct^f1), мы можем
считать, что Жй) = 1. Чтобы выяснить, при каком условии воз-
возможно это равенство, разложим дивизор а в произведение про-
простых дивизоров. При этом мы отделим простые дивизоры рг, для
которых существует другой простой дивизор Pi с той же нормой
(первый тип разложения по терминологии п. 1), от всех осталь-
остальных ПРОСТЫХ ДИВИЗОРОВ <\jl
Так как N (Ъ) = Nfa) = pt и iV(q{) = q? (где г3 равно 2 или 1),
то условие Жа) = 1 д^ет нам

276 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ . [ГЛ. Ill
Простые числа pi и q, попарно различны, поэтому Ъ{ = —at и
с} = 0, а значит,
i
i
р
Но jjjV'j = рь поэтому р- ~ ?j, откуда следует, что
(знак ~ здесь означает эквивалентность дивизоров в узком
смысле).
Обратно, если а ~ ?, т. е. a = 52(a), Жа) >0, то Ма)=Мр),
где ?S = Mb)a, а значит, по теореме 6 а принадлежит глав-
главному роду.
Теорема 7 доказана.
Рассмотрим теперь группу © классов дивизоров в узком смыс-
смысле. Если каждому классу Се® мы поставим в соответствие тот
род G, в котором этот класс содержится, то получим гомоморфизм
группы классов <5 на группу родов. Его ядром является совокуп-
совокупность тех классов, которые содержатся в главном роде Ga. По
теореме 7 класс С содержится в главном роде тогда и только
тогда, когда он является квадратом некоторого класса из ©. Та-
Таким образом, ядром гомоморфизма группы © на группу родов яв-
является подгруппа ©2, состоящая из квадратов С2 классов Се®.
Применяя теорему о гомоморфизме из теории групп и вспоминая,
что группа родов имеет порядок 2'~\ приходим к следующему
результату.
Теорема 8. Фактор-группа ®/®2 группы © классов дивизо-
дивизоров в узком смысле по подгруппе квадратов имеет порядок 2',
где t — число различных простых делителей дискриминанта D
квадратичного поля.
Значение теоремы 8 состоит в том, что она дает нам некоторые
сведения о строении группы ©. Согласно теореме 1 § 5 Дополне-
Дополнения группа <5 может быть разложена в прямое произведение цик-
циклических подгрупп. Из теоремы 8 легко следует, что среди этих
подгрупп ровно t — 1 будут иметь четный порядок. В частности,
мы получаем следующий факт.
Следствие. Число классов дивизоров (в узком смысле)
квадратичного поля нечетно тогда и только тогда, когда его дис-
криминат содержит только одно простое число.
Такими полями являютсяО( VJ^l), Q( /2),, Q /=1), Q( V"p)
с простым р вида 4w + l и Q.{V—q)c простым q вида 4ге + 3.
Приведенные нами факты принадлежат к очень небольшому
числу известных результатов о строении группы классов ди-
дивизоров.

§ 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛВ 277
Задачи
1. Доказать, что характер % квадратичного поля с дискриминантом D
в терминах символа Гильберта может быть выражен формулой
2. Пусть дискриминант D квадратичного поля не делится на 8. Доказать,
что тогда для всякого целого числа 7 квадратичного поля, взаимно простого
с D, сравнение
22V{) (mod]Z?l)
разрешимо относительно целого рационального х.
3. Те классы чисел по модулю \D\, которые сравнимы с нормами це-
целых чисел квадратичного поля, взаимно простых с дискриминантом D, об-
образуют подгруппу Я в группе G всех классов чисел mod \D\, взаимно про-
простых с D. Доказать, что индекс (G : Я) равен 2', где t — число различных
простых делителей дискриминанта D.
4. Пусть Н* обозначает группу тех классов вычетов по модулю | D |, ко-
которые сравнимы с нормами целых дивизоров квадратичного поля, взаимно
простых с D. Доказать, что (G : Я*) = 2.
5. Доказать, что для любого числа 7 с положительной нормой из квад-
квадратичного поля с дискриминантом D при всех р имеем I
6. Доказать, что целые дивизоры а и В, взаимно простые с D, тогда и
только тогда принадлежат одному роду, когда при некотором целом f вы-
выполнено сравнение
N(a) =N(i)N(b) (mod \D\).
ъл)..
7. Показать, что в вещественном квадратичном поле, дискриминант ко-
которого содержит только одно простое число, норма основной единицы
равна —1.
8. Показать, что нетождественный автоморфизм а: а->а" квадратично-
квадратичного поля Q (Т/й) однозначно определяет на группе дивизоров автоморфизм
о: а->-&", для которого (а") = (a)a при всех а Ф®. Выяснить, как дейст-
действует автоморфизм а на простых дивизорах.
9. Автоморфизм. о группы дивизоров, определенный в задаче 8, естест-
естественным образом индуцирует автоморфизм а: С-*-С группы классов диви-
дивизоров © (в узком смысле). Именно, если й^С, то С" есть тот класс, который
содержит aa. Класс С называется инвариантным, если Са = С. Доказать, что
класс С инвариантен тогда и только тогда, когда С2 есть главный класс.
10. Доказать, что подгруппа группы классов дивизоров © (в узком смыс-
смысле), состоящая из инвариантных классов, имеет порядок 2г-1 (t — число раз-
различных простых делителей дискриминанта).
11. Доказать, что если в квадратичном поле Щр) = 1, то существует
такое а, что
N (а) > 0, р = + ^.
12. Показать, что в каждом; инвариантом классе С имеется дивизор а,
для которого а°-= а.
13. Пусть Pi, ..., Pf—все попарно различные простые дивизоры, деля-
делящие дискриминант D. Показать, что в каждом инвариантом классе С имеется
ровно два представителя вида

278 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
14. Подгруппа тех инвариантных классов, которые содержатся в глав-
главном роде, раскладывается, очевидно, в прямое произведение нескольких ци-
циклических групп второго порядка. Доказать, что число этих циклических
сомножителей равно числу инвариантов группы классов © (в узком смыс-
смысле), делящихся на 4 (относительно определения инвариантов конечной абе-
левой группы см. п. 1 § 5 Дополнения).
15. Показать, что число положительных делителей г дискриминанта D,
свободных от квадратов и удовлетворяющих условию
(r,D)
1 —— 1 =
ПРП в°ех
равно числу вида 2й. Показать, далее, что число инвариантов группы клас-
классов ©, делящихся на 4, равно и — 1.
16. Пусть то— натуральное число, взаимно простое с индексом / по-
порядка Of в максимальном порядке квадратичного поля Q(~\/d). Доказать, что
число модулей в Q (~Vd) с кольцом множителей О/, содержащихся в О/ и
имеющих норму т, равно числу целых дивизоров поля Q (V d) с нормой_/в.
17. Доказать, что число целых дивизоров квадратичного поля Q(V<i)c
нормой т равно 2 Х(г)> где % — характер поляО.{Уd), a r пробегает все
г\т
делители натурального числа т.
18. Пусть gi(x, у), ..., gs(x, у) —полная система попарно неэквивалент-
неэквивалентных положительных примитивных квадратичных форм дискриминанта
Df <С О {D — дискриминант максимального порядка поля Q ("j/d)), и пусть
т — натуральное число, взаимно простое с /. Доказать для числа N всех
представлений числа т всеми формами g\, ..., ge формулу
Л' = х2хМ,
где
6
4
2
при
при
при
D
D
Df
=
=
<
-3
-4
— 4
19. Пусть g{x, у)—положительная форма дискриминанта Df2 <—4 я
3 — натуральное число, взаимно простое с Dj2. Предположим, что каждый
род форм дискриминанта Dp состоит из одного класса. Доказать, что если
уравнение g(x, у) = q имеет ровно 4 решения в целых взаимно простых х
и у, то число q простое.
20. В обозначениях задачи И § 7 гл. II доказать, что для числа hf клас-
классов подобных модулей квадратичного поля (в обычном смысле), принадле-
принадлежащих порядку О/, имеет место формула
' р//
где х — характер квадратичного поля (р пробегает все простые делители
числа /).
21. Показать, что простое число представляется формой ж2 + Зу2 тогда и
только тогда, когда оно имеет вид Зге + 1.
22. Показать, что форма х2 — 5у2 представляет все простые числа вида
Юге ± 1 и не представляет простых чисел вида Юге ± 3.
23. Показать, что натуральное т. представляется формой я2 + 2уг со
взаимно простыми х и у тогда и только тогда, когда оно имеет вид
т = Л р^ ...рг ,

g 8] КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ 279
где а = 0 или 1, а каждое простое нечетное р< имеет вид 8га +1 или
8л+ 3.
24. Доказать,существование квадратичных полей (вещественных и мни-
мнимых) со сколь угодно большим числом, классов дивизоров.
25. Пусть pi, ..., ps — все попарно различные простые числа, входя-
входящие в дискриминант D квадратичного поля Q (yd)- Равенства
определяют матрицу (ац) с элементами из поля вычетов по модулю 2. Обо-
Обозначим через р ранг этой матрицы (в поле GFB\), Доказать, что число ин-
инвариантов группы классов дивизоров поля Q (Yd) (в узком смысле), деля-
делящихся на 4, равно s — р — 1.
26. Пусть р и q — простые числа, причем р ф 2 и q Ф р (mod 4). Дока-
Доказать, что число классов дивизоров поля Q (Y— pq) делится на 4 тогда и
только тогда, когда I — I = 1.
27. Пусть ри ¦¦-, Ps — различные простые числа вида in + 1, и пусть
d = pi...p, = l (mod 8). Доказать, что каждый род дивизоров поля
Q (Y~d) состоит из четного числа классов.
28. Пусть Q (Y^) —вещественное квадратичное поле, в дискриминант
которого не входят простые числа вида 4ге -f- 3, и е — основная единица поля
QCl/d). Доказать, что если главный род дивизоров поляО(~1/d) состоит из
нечетного числа классов (в узком смысле), то N(e) = —1.
29. Пусть р — простое число вида 8ге + 1. Доказать, что число классов
дивизоров поля G (Y—p) делится на 4.
Добавление при корректуре
В статьях [159], [160] показано, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для бесконечного числа простых показателей
I. Более того, если через s(N) мы обозначим число тех l^N,
для которых справедлив первый случай теоремы Ферма, и через
пШ) — число всех простых KN, то s(N)/n(N) -*¦ 1 при iV -»-<».
Можно сказать, другими словами, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для «почти всех» I. С другой стороны, из
доказанной недавно теоремы Фалтингса очень просто' вытекает,
что теорема Ферма верна для «почти всех» натуральных показа-
показателей. (См. [161].)

Глава IV
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
В § 7 гл. I нами была доказана теорема Минковского — Хассе
о представлениях нуля рациональными квадратичными формами.
Как сама формулировка этой теоремы, так и ее доказательство
требуют вложения поля рациональных чисел Q в поле /ьадиче-
ских чисел Qj> и в поле вещественных чисел Q«,, т. е. вложения
во все пополнения поля Q. Метод решения задач теории чисел,
использующий вложения рассматриваемого основного поля в его
пополнения, носит название локального метода. Этот метод при-
приводит к особенно важным арифметическим следствиям, когда он
применяется не только к полю рациональных чисел, но и к про-
произвольному полю алгебраических чисел. Локальный метод явля-
является также одним из основных инструментов при изучении полей
алгебраических функций.
В этой главе мы изложим ряд общих фактов, связанных с ло-
локальным методом в случае произвольного основного поля, а затем
в качестве применения локального метода приведем доказатель-
доказательство одного из самых глубоких фактов, относящихся к представ-
представлению чисел неполными разложимыми формами (см. определение
п. 3 § 1 гл. II). Речь идет о замечательной теореме Туэ, гласящей,
что неопределенное уравнение fix, у) = с, где fix, у) — целочис-
целочисленный неприводимый однородный многочлен степени ^3, имеет
лишь конечное число решений в целых числах. Сам Туэ доказал
эту теорему с помощью теории рациональных приближений к
алгебраическим числам. Доказательство, основанное на привлече-
привлечении локального метода, принадлежит Сколему. В доказательстве
Сколема приходится, правда, наложить одно небольшое ограниче-
ограничение на многочлен f(x, у), зато это доказательство более прозрачно,
чем первоначальное доказательство Туэ.
§ 1. Поля, полные относительно показателей
1. Пополнение поля по показателю. В § 4 гл. I мы видели,
что каждому простому числу р, т. е. каждому простому дивизору
поля рациональных чисел Q, соответствует /ьадическая метрика
фР поля Q, пополнение по которой приводит нас к полю /ьади-
ческих чисел Qp. При определении метрики q>p мы не используем
никаких свойств поля Q, кроме факта существования р-адиче-
ского показателя vP (см. формулу A) § 4 гл. I). Поэтому построе-
построение аналогичных пополнений возможно и для произвольного по-

§ 1] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЩЕЙ 281
ля кг если в нем имеется теория дивизоров. Действительно, если
простому дивизору"}) поля к соответствует показатель Vj, = v, * то,
выбрав вещественное р, 0 < р < 1, мы можем на к определить
метрику ф = фу, полагая
фЫ=рт(х), х^к, A)
а затем, следуя методу п. 1 § 4 гл. I, построить пополнение к = к$
поля к по этой метрике. (То, что функция A) является метрикой,
проверяется очевидным образом.) Поле к$ называется у-адическим
пополнением поля к. Пополнение к = Ар, очевидно, не зависит
от того, какая рассматривается на к теория дивизоров. Оно вполне
определено заданием лишь одного показателя v = лу В силу
этого мы его будем называть также пополнением к по показателю
v. В настоящем параграфе мы изучим некоторые свойства таких
пополнений, а также их конечных расширений.
Пусть к — пополнение поля к по показателю v. Покажем, что
показатель v может_ быть естественным образом продолжен до
показателя v поля к. В самом деле, в п. 1 § 4 гл. I мы видели,
что метрика ф поля к (см. A)) может быть продолжена до метри-
метрики ф поля к так, что если а е к и ос = Km ап, где ап е к, то
(р (а) = lim ф (а„). Но в нашем случае нуль является единственной
предельной точкой для множества значений ф(а), а^к, поэтому
последовательность {ф(а„)} либо сходится к нулю (если а = 0),
либо, начиная с некоторого места, стабилизируется (если а^О).
Следовательно, последовательность (v(an)} стремится к бесконеч-
бесконечности при а = 0 и также стабилизируется при а ?= 0. Мы можем
поэтому положить v(a) = lim v(an). Легко проверяется теперь,
71-»-эо
что так определенная функция via) (значения которой не зависят,
очевидно, от выбора последовательности {«„}) является показате-
показателем поля к, причем via) = via) для всех а^к. Очевидно также,
что метрика ф поля к связана с показателем v соотношением
ф (а) = р^а>, а е= к.
В дальнейшем аналогично тому, как это мы уже делали в
случае поля /ьадических чисел (см. п. 4 § 3 гл. Расходимость в
поле к будет выражаться в терминах показателя v (вместо мет-
метрики ф).
Пусть 0 — кольцо показателя v, т. е. кольцо тех элементов
«е=&, для которых via)>0 (см. п. 1 § 4 гл. III). Покажем, что
замыкание 0 кольца 0 в поле И совпадает с_ кольцом показателя
\ (замыканием А любого подмножества 4ск называется совокуп-

282 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
ность всех тех элементов из И, которые являются пределами после-
последовательностей элементов из А). В самом деле, если аео, то
а = lim ап, где ап е о, откуда v (a) = lim v (an)^0. Обратно, пусть
П-»оо П->оо
v(a) > 0. Так как а является пределом последовательности эле-
элементов из к, то для всякого натурального п найдется такой эле-
элемент ап е к, что via — ач) > п. Тогда а = lim an, причем
тг->оо
v(an) = v(a— (a — aj) > min (v(a), v(a —«„)) 3*0,
т. е. йя е о. Наше утверждение, таким образом, доказано.
Согласно теореме 2 § 4 гл. III в кольце о с точностью до ассо-
ассоциированности имеется только один простой элемент я, характе-
характеризуемый условием v(n) = 1. Он же будет простым элементом и
в кольце о (так как v(n) = 1). Обозначим через Sv и 2- поля
вычетов показателей v и v соответственно (см. конец п. 1 § 4
гл. III). Так как сравнение в кольце о по модулю л равносильно
аналогичному сравнению и в кольце 0, то мы имеем естественный
изоморфизм поля Ev в поле 2-. С другой стороны, для всякого
аес существует элемент аео, для которого v(a — a) 3* 1, т. е.
a = a(modji). Последнее означает, что отображение 2v->2- яв-
является изоморфизмол! на все поле 2-. В силу этого изоморфизма
поле вычетов 2- обычно отождествляют с 2V.
2. Представление элементов в виде рядов. В этом пункте мы
будем считать, что к — полное поле относительно показателя v
(т. е. полное поле относительно метрики A)). Кольцо о показа-
показателя v называется в этом случае кольцом целых элементов поля к.
Через л мы обозначим какой-нибудь фиксированный простой эле-
элемент кольца о.
Поле вычетов 2 показателя v мы будем в этом случае называть
также полем вычетов поля к.
Для рядов в поле к справедливо, очевидно, все то, что было
сказано в п. 4 § 3 гл. I о /ьадических рядах; в частности, справед-
справедлива теорема 8 § 3 гл. I.
Выбрав произвольно целые ап (тп^п< °°), рассмотрим ряд
2 «пл«. B)
Так как у(аия") = v(aj + п > п, то аппп -*¦ 0 при п -»-<», т. е. об-
общий член ряда B) стремится к нулю. Следовательно, ряд B)
сходится и его сумма равна некоторому элементу из к. В связи
с этим возникает вопрос, нельзя ли всякий элемент из к пред-
представить в виде суммы B), и если это возможно, то нельзя ли (по-
(подобно случаю поля /ьадических чисел, теорема 10 § 3 гл. I) ука-

§ 1] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 283
зать для элементов из к некоторые канонические представления
такого рода. Ответ оказывается утвердительным.
Выберем в кольце о какую-нибудь полную систему вычетов S
по модулю я. Относительно системы S мы будем предполагать,
что 0^5, т. е. что в классе элементов кольца о, делящихся на л,
в качестве представителя взят нуль.
Теорема 1. Пусть к — полное поле с показателем v, 0 —
кольцо целых элементов поля к, л — простой элемент в о и S —
полная система вычетов (содержащая нуль) кольца о по модулю я.
Тогда всякий элемент а<^к может быть представлен в виде сум-
суммы ряда
оо
а = 2 ainii C)
в котором ui^S (to=S?<°°), и такое представление единственно
(при фиксированной системе вычетов S и фиксированном- я).
Доказательство. Для а = 0 имеем представление 0 =
оо
= 2 0«я*.Пусть а^О. Если v(a) = тп, то v(car~m)=0. Элемент
г=о
ая~т из о сравним по модулю я с некоторым элементом из S,
скажем с ат. Так как ап~т — ат => я|, где | е о, то
а = а„,ят + 1ят+1.
Предположим, что для некоторого п> т нами найдено представ-
представление
а = атлт + ... + an-inn~l + цплп,
где а{ ^ S (т < i < п — 1), т]„ е о. Выберем такое ап е 5, что т]„ = а„
(mod л). Так как цп = ач + г|„+1л;, где т)„+1 е о, то для а получаем
представление
a = ятят + ... + апяп + T
Продолжим этот процесс до бесконечности. Так как х(цплп) 5= п,
то т]„я" -*¦ 0 при ге -»- оо, а значит, a = 2 ainl-
Если в ряде C) не все коэффициенты ап равны нулю, то мож-
можно считать, что ат?=0. В этом случае v(am) =0, так как в кольце
0 все элементы, не делящиеся на я, являются единицами. Но
тогда
1 = v (а
]
лт) = т.
Отсюда следует единственность представления для а = 0. Пред-
Предположим теперь, что для а Ф 0 мы имеем два представления:
ОО ОО
a = 2 «ini = 2 a'in% ah a'i e S.

284 . . ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
Если в этих представлениях вм^Ои ат> Ф0, то по только что
доказанному т = т'. Пусть уже установлено, что а, = а\ для
оо оо
m^i< п (п^т). Умножим равенство 2 aini = 2 aini на л~".
i=n i=n
Переходя к сравнению по модулю я, мы получим, что ап = й„
(mod л), а так как an<^S ж а^е S, то ап = ап. Этим теорема 1
доказана.
Заметим, что в случае, когда к = Qp, п — р и 5 = @, 1, ...
..., р — 1), теорема 1 превращается в теорему 10 § 3 гл. I.
Следствие. В обозначениях теоремы 1 каждый целый эле-
элемент а е к однозначно представляется в виде
а = а0 + а4я + ... + а„я" + ..., an^S. D)
Легко видеть, что для рядов в поле /е справедлива теорема 9
§ 3 гл. I. В силу этого сходящиеся ряды в к можно перемножать
по обычным правилам анализа. В частности, с рядами вида B)
мы можем обращаться как со степенными рядалш от я. Но при
выполнении действий над рядами вида C) по правилам степенных
рядов надо иметь в виду, что при сложении и умножении двух та-
таких рядов в результате может получиться ряд вида B), в котором
коэффициенты а„ уже не принадлежат системе вычетов S. В этом
случае полученный ряд мы должны преобразовать к виду C), за-
заменяя последовательно каждый коэффициент апе0 его вычетом
а„ s 5, определяемым равенством ап — ап + я^п, и присоединяя
на каждом шаге элемент ^п ^ 0 к следующему коэффициенту.
Замечание 1. Представление элементов в полном поле
с показателем в виде рядов C) зависит, конечно, от выбора сис-
системы представителей S. Среди множества различных систем пред-
представителей во многих важных случаях существуют «наилучшие»
системы, обладающие свойством мультипликативной замкнутости
или даже являющиеся подполями поля к (см. по этому поводу
задачи 7—11).
Замечание 2. Полученные нами здесь результаты являют-
являются обобщениями аналогичных фактов для случая поля р-адичеоких
чисел (см. п. 4 § 3 гл. I). Следует предупредить, однако, что
теорема 6 § 3 гл. I для произвольных полных полей с показа-
показателем перестает быть справедливой. Она сохраняется только для
тех полей к, для которых поле вычетов S кольца о по простому
элементу я конечно. Так же обстоит дело и с теоремами 1 и 2
§ 5 гл. I (в которых под F надо понимать многочлен с коэффици-
коэффициентами из oh Что касается теоремы 3 § 5 гл. I, то она вместе с
доказательством почти дословно переносится на случай произволь-
произвольного полного поля к с показателем. В дальнейшем мы восполь-
воспользуемся следствием этой теоремы в следующей форме: если для
многочлена F(X) с целыми коэффициентами из к и для целого

§ 1] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 285
? е к мы имеем F(|) ** 0 (mod я) и /*"(?) ^ 0 (mod я), то в к суще-
существует целый элемент 0, для которого |^G(modn) и F@) = O.
3. Конечные расширения полного поля с показателем. Пусть
к — полное поле относительно показателя v0. Над этим полем су-
существует достаточно много конечных расширений (см. задачу 9
§ 3 гл. III). Пусть К — расширение поля к степени п. По теоре-
теореме 5 § 4 гл. III на поле К существует показатель v, являющийся
продолжением Vo. Нашей целью является доказательство того,
что продолжение v в данном случае- существует только одно,
а также, что относительно показателя v поле К полно.
Пусть L — подмножество поля К, являющееся линейным про-
пространством над полем к, и <ols ..., (os — базис L над к. Каждый
элемент а из L однозначно представляется тогда в виде
а = aiG>i + ... + asas, at e к. E)
Если vo(ai)^N (?=1, ..., s), то по свойствам показателей
v(a) > min v(a!a1) > eN + min v(a>i),
где е обозначает индекс ветвления показателя v относительно vQ
(см. определение п. 3 § 4 гл. III). Покажем, что и, обратно, все
коэффициенты а,- в разложении E) будут сколь угодно малыми
относительно v0, если только элемент a^L будет достаточно мал
относительно v. (Напомним, что «малые» элементы относительно
метрики вида A) характеризуются большим значением показате-
показателя v.) Более точно это означает, что для любого N можно найти
такое М, что неравенства vo(at) > N (i = 1, ..., s) будут справед-
справедливы всякий раз, когда v(a) > М. При s = 1 это утверждение
очевидно. Доказательство его в общем случае проведем индукцией
по s. Пусть s > 2, и пусть вопреки нашему утверждению для не-
некоторого iV существуют элементы а ^ L со сколь угодно большим
значением v(a), для которых хоть один коэффициент af в разло-
разложении E) удовлетворяет неравенству vo(a,)<iV. Можно считать,
очевидно, что этому неравенству каждый раз удовлетворяет пер-
первый коэффициент at. Для любого натурального л мы можем тогда
выбрать элемент ar e L, для которого v(ar) ^ г + eN и в то же
время коэффициент а{ в разложении
ат = а^щ + ... + air>cos, &V s к,
удовлетворяет неравенству vo(air))<iV. Рассмотрим последова-
последовательность {$т}, где
F)
Так как v (pV) = v (a^) — ev0 (a(p), то v(^r) > г. Разности
i=2

286 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД (ГЛ. IV
все принадлежат подпространству размерности s — 1 (порожден-
(порожденному элементами ©2, ..., <о,), и для них
v(Pr+1 - Pr) > min (v(pr+i), v(p,)) > г,
т. е. v(?lr+i — fir) -»¦ °° при г-»- °°. Но тогда по индуктивному пред-
предположению при любом i = 2, ..., s мы имеем также
_z4r))_>co при г->оо.
Следовательно, в силу полноты поля к (см. теорему 7 § 3 гл. I)
последовательность {Ьр}^=1 сходится к некоторому элементу
bi e к. Переходя теперь в равенстве F) к пределу при г^-» и
замечая, что ^г -> 0, получаем равенство
©1 + Ь2со2 + ... + bsatt = О,
которое противоречит, однако, линейной независимости элементов
(й,, ..., (ав над полем к. Полученное противоречие и доказывает
наше утверждение.
Возьмем теперь в качестве L все поле К. Если последователь-
последовательность {аГ) элементов из К фундаментальна, т. е. v(ar+i — ссг) -*¦ °°
I (г) loo
при г->-°°, то по доказанному все последовательности [щ )r^v
определяемые разложениями
аг = я^г)оа1 + ... + fl&W, a-p s к G)
(здесь tt»i, ..., ©„ — базис К над к), будут сходящимися в поле к.
Но тогда вместе с ними сходящейся будет и последовательность
{ссЛ. Это доказывает полноту поля К относительно показателя v.
Кроме того, мы видим, что сходимость в поле К по показателю v
однозначно определена сходимостью в поле к (относительно по-
показателя Vo).
Из последнего факта легко вытекает единственность продолже-
продолжения показателя v0 на поле К. В самом деле, пусть помимо v суще-
существует другое продолжение v', отличное от v. По независимости
показателей в поле К существует тогда элемент а, для которого
¦v(a)X) и v'(a) = 0. Последовательность {аг} будет, очевидно,
сходиться к нулю относительно показателя v, но не будет сходя-
сходящейся относительно показателя v' (поскольку v'(ar+1 — аг) =
= v'(a —1) не стремится к бесконечности). Этим получено проти-
противоречие, так как по доказанному сходимость в К не зависит от
продолжения показателя v0 на поле К.
Нами получена, таким образом, следующая теорема.
Теорема 2. Пусть к — полное поле относительно показате-
показателя vo и К — его конечное расширение. Для показателя v<, суще-
существует только одно продолжение v на поле К. Поле К полно от-
относительно v, и для любого базиса &и ..., (оп расширения К/к
последовательность {аЛ, ar s К, будет сходящейся тогда и только

§ 1] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ' ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 287
тогда, когда все последовательности {а^р} (l^.i^.n)x определен-
определенные разложениями G), сходятся в поле к.
4. Целые элементы. Обратимся к изучению взаимоотношений
между кольцом о целых элементов полного поля к относительно
показателя v0 и кольцом D целых элементов конечного расшире-
расширения К/к. Так как для показателя v0 мы имеем только одпо про-
продолжение v на поле К, то по теореме 6 § 4 гл. III кольцо D (т. е.
кольцо показателя v) совпадает с целым замыканием кольца О
в поле К. Следовательно, для любого элемента cteD его норма
N(a) = NK/h(a) принадлежит 0, и, значит, норма Же) всякой
единицы е кольца О является единицей в кольце 0. Пусть теперь
а&О. Так как ct"'eD и не является единицей в D, то iV(a"') =
= N(a) принадлежит 0 и не является единицей в 0. Но в таком
случае Ma) = (Ma)'1) не принадлежит кольцу 0. Этим дока-
доказана следующая теорема.
Теорема 3. Для того чтобы элемент а из конечного расши-
расширения К/k полного поля с показателем был целым, необходимо и
достаточно, чтобы его норма NK/k(<z) была целым элементом в к.
Следствие. Элемент е ^ К является единицей кольца О
тогда и только тогда, когда его норма Же) есть единица
кольца 0.
Кольца 0 и D мы можем рассматривать, конечно, как кольца,
в которых имеется теория дивизоров. Обозначим через Тр и ЯЗ (един-
(единственные) простые дивизоры этих колец. Степень инерции / диви-
дивизора ф относительно у, т. е. степень B: 20) поля вычетов S поля
К над полем вычетов 20 поля к, называется в данном случае
также степенью инерции расширения К/к. Аналогично индекс
ветвления е дивизора $ относительно ? называется индексом
ветвления расширения К/к. Если п0 и л — простые элементы ко-
колец о и D соответственно, то, как мы знаем,
ло = пее, ' (8)
где е — единица кольца О.
Пусть So — некоторая полная система вычетов в кольце о по
модулю п0. Как и ранее, мы будем предполагать, что 0 <= So.
Легко видеть, что если классы вычетов ©,, ..., И/ из 2 образуют
базис расширения 2/20, то совокупность 5, состоящая из линей-
линейных комбинаций
(9)
где ах, ..., at независимо друг от друга пробегают все элементы из
So, является полной системой вычетов в кольце D по модулю я.'
Определение. Базис Qu ..., 0„ поля К над к называется
фундаментальным, если все 04 целые и в разложении
а = a$i + ... + а„0я, аг е= к
любого целого а<^ К все коэффициенты а4 являются целыми в к.

288 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
Теорема 4. Пусть к — полное поле относительно показате-
показателя у0 и К — его конечное расширение индекса ветвления е и сте-
степени инерции /. Пусть, далее, Ео и 2 — поля вычетов полей к и
К .соответственно. Если л_^- простой элемент кольца целых эле-
элементов поля К, а (й4, ..., и/ — классы вычетов из 2, образующие
базис 2 над 20, то система элементов
ewiJ, i = 1, ...,/; / = 0, 1, ..., е - 1, A0)
является фундаментальным базисом расширения К/к.
Доказательство. Докажем прежде всего, что элементы
A0) линейно независимы относительно к. Допуская противное,
предположим, что 2 2 сщщя>' = 0, где а« — элементы из к, не
i=l j=0
равные нулю одновременно. Мы можем считать, что все ац целые
и хоть один пз них есть единица в о (если это не так, то наше
соотношение надо умножить на подходящую степень простого
элемента п0ео). Пусть /о (О</о<е —1) есть наименьший ин-
индекс, для которого существует такое i0 (I ^io</), что а^— еди-
единица в 0. Следовательно, если / < /0, то vo(«ij) > 1 для всех i. Так
f _ _ f
как 2 аа ai ?= 0, то сумма 2 аИ ^ не делится на л, а поэтому
1=1 ° i=l
для элемента
Y = 2 ащопгп'о
it \
мы имеем v G) = /0 + v 2 «г;пЩ = /о- С другой стороны,
\ г=1 ° /
/
У = — 2 2
2
Если 7 < j0, то v(%(o,n:i) = / + v(a{j) > evo(a«) > e > /0. Если же
j>/о, то vlaijUnn') =] + v{adj) >j>/0. Следовательно,
v (у) > min v (а^щя?) > /0.
Полученное противоречие и доказывает линейную независимость
элементов A0) над полем к.
Пусть теперь а — произвольный элемент из D. ,В силу след-
следствия теоремы 1 мы имеем сравнение
a sa |0 + |4я +... + |в_1п"~1 (mod п"),
где |4 — элементы из некоторой фиксированной системы вычетов
S в кольце О по модулю it. В качестве S мы возьмем систему вы-
вычетов, состоящую из чисел вида (9). Так как я0 и я" ассоцииро-

g 1] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 289
ваны в D (см. равенство (8)), то сравнения в кольце D по модулям
По и яе эквивалентны. Мы имеем, следовательно, сравнение
а значит,
Аналогично
ах =
а е
а-
f
2
г=1
1=1 з'=0
/ е-1
г=1 3=0
е-1
3=0 Ч
а8>«
а^сс
i^ ¦+
|,яг' (mot
){Я?' + Л
- я;оаг,
1л0),
.Л,
а
О, «$ e So.
Продолжая этот процесс до бесконечности, получим последова-
последовательность равенств
ап = 2 2 ayVn* + поап+ъ ап+1 е О, 4"' е 50.
i
При фиксированных i и / имеем бесконечную последовательность
оо
{а(у'}. Рассмотрим ряд 2 я^я™. Поскольку а$ целые, то этот
П=о
ряд сходится и его сумма ау есть целый элемент поля к, т. в.
ац е о. Докажем, что
а = 2 2 ац^лК A1)
i=l 3=0
Действительно, по построению элементов аи аг... мы имеем
п-1/ / е-1
у | V V я
r=o \ г=1 3=0
откуда следует, что разность а — 2 2 Щ№гЯ') делится на Яц
\i=ii=o /
(в кольце О). Поскольку это верно для любого п, то эта разность
должна быть равна нулю, и равенство A1) доказано.
Если р — произвольный элемент из К, то при некотором т
элемент Eл.™ будет целым. Представив его в виде A1), мы видим,
что р является линейной комбинацией элементов A0) с коэффи-
коэффициентами из к. Таким образом, система A0) есть базис поля К
над к, а так как для целого а^К в представлении A1) все коэф-
коэффициенты ац принадлежат 0, то этот базис фундаментальный.
Теорема 4 доказана.
Так как число элементов в базисе A0) равно /е, то мы имеем
также следующий результат.

290 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
Теорема 5. Индекс ветвления е и степень инерции f ко-
конечного расширения К/k полного поля с показателем связаны со
степенью п = (К:к) соотношением /е = п.
Положим Лтя/й (я) = щи, где и — единица кольца 0. Перехо-
Переходя в равенстве (8) к нормам, мы получим
Nkiu (п0) = л? = NK/k (лге) = i$eueNK/b (е) = n™v;
где v — также единица в 0. Отсюда следует, что п — тпе (и v = l),
а значит, m — f. Таким образом, степень инерции / расширения
К/к может быть определена также равенством
где л — простой элемент кольца целых элементов поля К. Отсю-
Отсюда легко получаем, что для любого а из поля К справедлива
формула
(N())f() A3)
Заметим, что равенство A2) и теорема 5 являются также не-
непосредственными следствиями теоремы 5 и формулы A2) из § 5
гл. III.
Определение. Если е — 1, то расширение К/к называется
неразветвленным. Если же е = п, то К/к называется вполне
разветвленным.
Из теоремы 5 следует, что степень инерции неразветвленного
расширения совпадает со степенью этого расширения. Для вполне
разветвленных расширений поле вычетов 2 совпадает с 2»
(в смысле естественного отождествления), т. е. каждый целый
элемент из К сравним по модулю л с целым элементом из к.
Можно показать (задача 12), что в случае, когда поле вычетов
2 поля К сепарабельно над полем вычетов 20 поля к для расши-
расширения К/к, существует однозначно определенное промежуточное
поле Т, такое, что расширение Т/к не разветвлено, a KIT вполне
разветвлено. Поле Т называется полем инерции расширения К/к.
5. Поля формальных степенных рядов. К числу полных по-
полей относительно показателя относятся поля формальных сте-
степенных рядов. Эти поля конструируются следующим образом.
Пусть к0 — произвольное поле. Совокупность 0 всех формаль-
формальных рядов вида
+ ajr + ... + antn + ..., а„еА,, A4)
от переменной t относительно обычных действий над степенными
рядами образует коммутативное кольцо с единицей 1. Это кольцо
не имеет делителей нуля, и единицами в нем являются, как легко
видеть, те и только те ряды A4), у которых ао?=О. Поле отноше-
отношений кольца о и называется полем формальных степенных рядов
от t иад полем ка. Оно обозначается через к0Ш. Аналогично слу-
случаю поля /)-адических чисел (см. п. 3 § 3 гл. I) всякий отличнщй

S U ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 291
от нуля элемент | поля ko{t} однозначно представляется в виде
1 = Г(с„ + С1? + ... + сХ + ...), cnefc0, СаФ0,
с некоторым целым т (положительным, отрицательным или рав-
равным нулю). Полагая v(?)=ni при 1Ф 0 и v@) = °°, мы полу-
получаем показатель v, относительно которого поле ko{t), как легко
проверяется, полно. Кольцо показателя v совпадает, очевидно,
с кольцом 0 рядов вида A4). В качестве простого элемента в о
можно взять i. Так как два ряда вида A4) сравнимы по модулю t
тогда и только тогда, когда нх свободные члены совпадают, то
получаем, что в каждом классе вычетов кольца 0 по модулю t име-
имеется единственный представитель из к0. Таким образом, поле вы-
вычетов So поля А\,Ш естественным образом изоморфно полю к0.
Легко видеть, что поле формальных степенных рядов ko{t\
есть не что иное, как пополнение поля рациональных функций
ko(t) по показателю, соответствующему неприводимому многочле-
многочлену t из кольца kc.lt] (см. задачу 7 § 4 гл. I).
Так как к0 <= ko{t) е/с,« 2о, то характеристика поля формаль-
формальных степенных рядов совпадает с характеристикой его поля вы-
вычетов. Это свойство, оказывается, и характеризует поля формаль-
формальных степенных рядов среди всех полных полей относительно по-
показателей. Именно, если характеристика полного (относительно
показателя) поля к совпадает с характеристикой его поля выче-
вычетов, то в к существует подполе ко, элементы которого образуют
полную систему вычетов по модулю простого элемента я. Но при
такой системе вычетов действия над рядами C) будут произво-
производиться по правилам действий над степенными рядами, а значит,
к будет полем формальпых степенных рядов от я с коэффициен-
коэффициентами из к0. Доказательство существования подполя ка в общем
случае довольно сложно, и мы проводить его не будем.
(Два частных случая, в которых доказательство сравнительно
нетрудно, указаны в задачах 7 п 11.)
Если к0 — расширение поля к0, то к0 {t} является, очевид-
очевидно, расширением поля ko{t], при этом, если к'0/к0 кочнечно, то
&о {t}/k0 М также конечно и имеет ту же степень. Другой спо-
способ построения конечных расширений поля ko{t) состоит в его
изоморфном вложении в поле ко1и}, при котором t-+un (n нату-
натуральное). Если мы отождествим поле ko{t) с его образом при
этом отображении, т. е. положим t = и", то ко{и) будет конечным
расширением к0Ш степени п. Ясно, что ко{и} получается из
ko{t} присоединением корня ге-й степени из t.
В случае полей характеристики нуль к этим двум типам рас-
расширений сводятся любые " конечные расширения поля knit).
Точнее, имеет место следующий факт.
Теорема 6. Пусть к0 — поле характеристики нуль. Каждое
конечное расширение К/k поля формальных степенных рядов

2Q2 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ, IV
к = кЛп индекса ветвления е является подполем расширения вида
к'0{и), где к0— конечное расширение над к0 и u° = t.
Доказательство. Обозначим через 20 и Б поля вычетов
полей к ж К соответственно, через / — степень инерции расшире-
расширения К/к, через я — какой-нибудь простой элемент поля К и для
любого целого | е К через | — класс вычетов из 2, содержащий
| в качестве представителя. Элементы поля к0 образуют, как мы
видели, естественную систему представителей для классов выче-
вычетов из 20. Покажем прежде всего, что и в поле К существует
подполе S, содержащее к0 и являющееся полной системой пред-
представителей для классов вычетов пз 2. Так как всякое конечное
расширение поля нулевой характеристики является простым, то
2 = 20(§), где |— некоторый класс вычетов из 2. Обозначим
через F минимальный много_член элемента Ь, над 20. Заменяя все
коэффициенты многочлена F (являющиеся классами вычетов из
20) соответствующими вычетами из kD, мы получим неприводимый
над к0 многочлен F степени /, для которого
и *"(gL*0(modn).
Согласно замечанию 2, сделанному в конце п. 2, в поле К суще-
существует такой целый элемент 0, что 0 = | и F(Q) = 0. Рассмотрим
подполе S = /го@) поля К. Так как 0 является корнем неприво-
неприводимого многочлена степени / с коэффициентами из к„, то (S;ko}=
= / и каждый элемент из S однозначно представляется в виде
Соответствующие этим элементам классы вычетов по модулю я
(ввиду равенства 0 = |) совпадают с классами вычетов а0 + а^ +
+ ... + а}-1%!~1. Но поскольку S = 20(|) и B:20)=/, то такие
линейные комбинации исчерпывают собой без повторений все
классы вычетов из 2. Этим и доказано, что элементы подполя S
(являющегося конечным расширением поля к0) составляют пол-
полную систему представителей из классов вычетов 2.
Согласно теореме 1 поле К является полем формальных сте-
степенных рядов от я с коэффициентами из S, т. е. K = S{n). Тео-
Теорема 6 была бы доказана (причем в более сильной форме), если
бы удалось показать, что простой элемент я можно выбрать так,
чтобы он был корнем степени е из t. Однако такой выбор л в са-
самом поле К не всегда возможен, и нам надо будет поэтому пе-
перейти к некоторому конечному расширению к0 поля коэф-
коэффициентов S.
Ввиду (8) мы имеем равенство
t = n"e, ; A5)

§ i] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 293
где е — единица кольца целых элементов поля К. Обозначим че-
через а тот элемент из S, для которого a = e(modn), и через к0
поле S \У aj (если а = че ПРИ некотором 7 ^ S, то к'о = S). Поле
формальных степенных рядов К' = к0 {я} содержит, очевидно,
К в качестве подполя и является конечным расширением к. По-
Покажем, что оно уже может быть представлено в виде ко{и}, где
ие — t. Рассмотрим многочлен G(X) = Xе — е. Так как в поле К'
мы имеем
) и G'(-y) ^ 0 (mod я),
где через f обозначен корень к а> то в /?' существует единица т],
для которой т] = •у (rnodn) и r|e = s (здесь мы опять применили
упоминавшееся уже замечание из п. 2). Заменим теперь простой
элемент я поля К' элементом и = лц. Тогда К' может рассматри-
рассматриваться также как поле формальных степенных рядов от и над
полем &о, т. е. К' = ко{и}, при этом ue = t ввиду A5). Доказа-
Доказательство теоремы 6 окончено.
Замечание. Теорема 6 перестает быть справедливой для
произвольных конечных расширений поля формальных степенных
рядов к = к0Ш характеристики рФО. Однако она сохраняется
как легко видеть, для тех расширений К/к, для которых поле
вычетов 2 сепарабельно над Ео и индекс ветвления е не делит-
делится на р.
Задачи
1. Нетривиальная метрика ф поля к называется дискретной, если для
ее значений q>(z), x^k, нуль является единственной предельной точкой.
Доказать, что всякая дискретная метрика связана с некоторым показате-
показателем v поля к соотношением A).
2. Пусть к — полное поле с показателем, К/к — конечное расширение и
0i, ..., 0п — фундаментальный базис поля К над к. Показать, что элементы
2=1
также образуют фундаментальный базис К над к тогда и только тогда, ког-
когда все Oij целые и определитель det (ац) является единицей в к.
3. Пусть сохраняются обозначения теоремы 4. Для произвольного эле-
/ е-1
мента a =2 2 аЦыгп (аЦ*= *) из % положим го = minVo(aa). Показать,
i =1.7=0
что если /о есть наименьшее значение индекса /, для которого существует
такое i — ц, что vo(aij) = m> T0 v(a) ¦=/<> +em, где v — показатель
поля К.
4. Доказать, что каждый элевдент из поля формальных степенных рядов
ко{1}, не принадлежащий к0, трансцендентен над полем kQ.
5. Доказать, что в условиях теоремы 6 подполе S сК, содержащее к0
и являющееся полной системой представителей из классов вычетов поля К,
определено однозначно.

294 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
6. Доказать, что если поле к0 алгебраически замкнуто и имеет характе-
характеристику нуль, то для поля формальных степенных рядов к = ka{i) при лю-
любом натуральном п существует только одно конечное расширение степени п,
а именно к \j^t ). (Единственность понимается с точностью до изоморфизма,
оставляющего элементы из к на месте.)
7. Доказать, что если характеристика поля вычетов 2 полного поля К
с показателем, равна нулю, то в л существует подполе S, являющееся пол-
полной системой представителей для классов вычетов из 2, и, следовательно,
К = S{jt}, где я — произвольный простой элемент в кольце целых элемен-
элементов поля К. (При доказательстве использовать тот факт, что всякое поле
может быть получено из простого подполя чисто трансцендентным расшире-
расширением с последующим алгебраическим расширением.)
8. Показать, что в условиях задачи 7 подполе S единственно, если поле
вычетов 2 алгебраично над простым подполем.
9. Пусть К — полное поле с показателем и 2 — его поле вычетов. Дока-
Доказать, что если 2 есть совершенное поле характеристики р (в котором воз-
возведение в степень р является автоморфизмам), то в К существует, и прн-
том единственная «мультипликативно замкнутая» система представителей S
из классов вычетов f e 2, обладающая тем свойством, что если а <= S и
рЕ^, то оф е S. (Представителем а е S класса | является предел а =
= иш а? , где ап — представители классов s •/
П->оо
10. Сохраняя те же обозначения, предположим, что 2 есть конечное по-
ле'из pf элементов. Доказать, что в поле К многочлен tp —t раскладывает-
раскладывается на линейные множители и все его корни образуют мультипликативно
замкнутую систему представителей S для классов вычетов из 2.
1!. Предположим, что поле К задачи 9 имеет ту же характеристику р,
что и его совершенное поле вычетов 2. Доказать, что тогда мультиплика-
мультипликативно замкнутая система представителей S будет и «аддитивно замкнутой»
и, значит, будет подполем поля К, так что К = 5{п}, где я — простой эле-
элемент поля К.
12. Пусть К — конечное расширение полного поля к с показателем. Пред-
Предположим, что поле вычетов 2 поля К сепарабельно над полем вычетов So
поля к. Показать, что тогда среди промежуточных полей L, к cz L czK, пе
разветвленных над к, существует максимальное поле Т (содержащее в себе
все другие пе разветвленные над /; промежуточные поля). Поле вычетов
поля Т совпадает с 2, и его степень (Т : к) равна B : 20).
13. Пусть f(X) = Xm + aiXm~i -{-... -\- am — неприводимый многочлен с
коэффициентами из полного поля с показателем. Доказать, что если свобод-
свободный член ат целый, то все остальные коэффициенты аи ¦ ¦., am-i так-
также целые.
14. Пусть ? — первообразный корень степени р" из 1 (s ^ 1). Доказать,
что поле Qp (?) имеет степень (р — 1)р8~* над полем р-адических чисел Qp.
Доказать, далее, что расширение Qp {Q/Qp вполне разветвлено.
15. Пусть ^ — первообразный корень степени р из 1. Доказать, что
16. Пусть к — полное поле с показателем, Щк — его конечное расши-
расширение, 2 и 20 — поля вычетов К ж к соответственно. Доказать, что если
расширение 2/2о сепарабельно, то для К/к существует степенной фундамен-
фундаментальный базис (т. е. О = о [8], BeS, где О и о — кольца целых элемен-
элементов Кик).
Указание. Доказать, что если 2 = 20(9), то представитель 6eS
можно выбрать так, что /(9) будет простым элементом, кольца О. Здесь
многочлен /(*) e_o[tj таков, что /(<) e2i[1] является минимальным много-
многочленом элемента 0 е 2.

§ 2] КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЕМ - 295
17. Доказать, что в полном поле с показателем бесконечное произведе-
оо
ние JJ A+ <*„)• а-пФ—1. сходится тогда и только тогда, когда ап-»-0
при га-»- оо.
§ 2. Конечные расширения поля с показателем
Пусть к — произвольное поле с показателем Vy и К/к — его
конечное расширение. Кольцо о = Vy показателя v^, мы будем
рассматривать как кольцо, в котором имеется теория дивизоров
с единственным простым дивизором р. Согласно теореме 1 § 5
гл. III в целом замыкании D кольца 0 в поле К мы имеем тео-
теорию дивизоров с конечным числом простых дивизоров $1, ..., $т
(все они являются делителями р).
Пусть 5J5 — один из простых дивизоров кольца D й Кsp — по-
пополнение поля К по показателю Vip. Те элементы из К%, которые
являются пределами элементов из к, образуют подполе, тополо-
топологически изоморфное пополнению ку поля к по показателю v?.
В силу изоморфного вложенпя ку -> Ks$ будем в дальнейшем
считать, что ку является подполем поля К^. Пусть К =
— к{аи ..., аТ). Элементы ai^K принадлежат также и К^, и,
будучи алгебраичными над к, они алгебраичны п над ку. Следо-
Следовательно, расширение ку (аг, . .., аг)/ку конечно (причем его
степень не превосходит степени К/к), а значит, по теореме 2 § 1
поле ку (а1? .. ., аг) полно. Каждый элемент из К^ является пре-
пределом последовательности элементов из К, поэтому из включения
К cz ку {аи . .., аг) и полноты ку (аг, . .., ат) следует, что К% cz
с ку (ах, .. ., аг), а так как справедливо и обратное включение,
то .fop = ку (а15 ..., аг). Этим мы доказали, что расширение К^/ку
конечно, при этом
Так как поля вычетов показателей v? и vsp совпадают с по-
полями вычетов пополнений Щ и К^ (см. конец п. 1 § 1), то
степень инерции /qj дивизора % относительно f совпадает со сте-
степенью инерции расширения K^Jky Очевидно также, что индекс
ветвления е^ дивизора $ относительно р совпадает с индексом
ветвления Кщ/ky. Согласно теореме 5 § 1 числа /sp и е% связаны
со степенью п^ = (ifqj: k^ соотношением f^e^ = resp.
Далее в этом параграфе мы предположим, что расширение
К/к сепарабельно, и в этом предположении изучим связи между

296 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
пополнениями Km , ..., Km поля К по всем продолжениям по-
казателя Vp.
Пусть со!, ..., «„ — базис расширения К/k. Если для элемен-
элемента а ^ К в представлении
а, = ajCui + ... + п„(л„, fljsft, A)
все коэффициенты at будут малы относительно р (т. е. малы от-
относительно показателя v^Jt то этот элемент а будет, .очевидно,
мал относительно каждого простого дивизора $PS- Справедливо и
обратное утверждение.
Лемма 1. Для любого целого N можно "указать такое М,
что для всех коэффициентов а} в разложении A) будут выпол-
выполняться неравенства v^ (<Zj) ^ iV, если только vm (a)^M при всех
s = 1, ..., т.
Доказательство. Пусть а>г, .. ., соп — взаимный базис
для базиса <о±, ..., ю„ (см. п. 3 § 2 Дополнения; здесь мы вос-
воспользовались сепарабельностью расширения К/k). Тогда
= Sp acoj.
Обозначим через е3 индекс ветвления $, относительно f и через
р простой элемент в кольце о„ показателя v?, так что es = v$ (p).
Положим М = max (esN — vm (со*)). Если теперь v» (а)^Мпри
s,/ s s
всех s, то при фиксированном / имеем
л^ (ащ) > esN = v^ (pN),
а значит, aco* = рлу, где Vsp (у) ^ 0 A < s ^ m). По теореме 6 § 4
гл. III элемент f принадлежит целому замыканию кольца Ор
в поле К, поэтому SpyeOp, т.е. Vp(Spy)^O, откуда
vv (a}) = v, (Sp (aco*)) = v,, (pN Sp у) > ЛГ,
и лемма 1 доказана.
Следствие. Если последовательность iar) элементов поля К
является фундаментальной относительно каждого простого диви-
дивизора Sps (s = l, ..., m), то все последовательности {«/ ]?=%, опре-
определяемые разложениями
аг = аAг)со1 + ... + й4г)со„, я)г) е А;,
фундаментальны относительно f.
Рассмотрим теперь пополнения К% , ..., К% поля К по всем
простым дивизорам $4, ..., фт и составим прямую сумму
К% ф ... © ^sp ' которую мы обозначим через К$. Элементами

§ 2] КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЕМ 297
этой прямой суммы являются последовательности | = (.%,, ..., |т),
где ?2 е К^, ..., \т е К^ . Определим сложение и умножение
таких последовательностей покомпонентно. Этим мы превратим
Ку в кольцо. Для любого V е к^ положим
Кольцо .Кр становится теперь линейным пространством над по-
полем ку Если степень К^ над ку мы обозначил! через ns, то раз-
размерность пространства Ку над ky будет, очевидно, равна
щ +... + пт. B)
В кольце Ку естественным образом можно определить поня-
понятие сходимости. Именно, будем говорить, что последовательность
i(?ir), • • •, l(m)}Z=i, ЕГеЛГ^, сходится к элементу (|1? ..., |т),
если при любом s последовательность (?(г>1 сходится к Ss со-
гласно сходимости в поле К^ . Легко видеть, что относительно
этого понятия сходимости операция умножения в кольце Ку на
элементы из ку непрерывна. Другими словами, если у = lim у
Т(г) е= kv и g = lim |(r), g(r) e JTp, то
Определим теперь отображение К-*~Ку, полагая
а = (а, ..., а) е Х?, аеЯ.
Так как i? с: Ят при любом s, то последовательность (а, ..., а)
является элементом из Кг Ясно, что отображение а ->- а опре-
определяет изоморфизм поля Ж в кольцо &р. Образ поля К при этом
изоморфизме мы обозначим через К.
Во избежание недоразумений заметим, что компоненты про-
произведения уа = (уа, . .., уа), у е /е^,, которые по виду представ-
представляются одинаковыми, на самом деле, как правило, различны,
так как произведение ^а. зависит от того, в каком поле К^ мы
его рассматриваем, и для различных К<^ оно имеет, вообще го-
говоря, разные значения, даже когда ay e кг
Теорема 1. Если <яи ..., «„ — базис сепарабелъного расши-
расширения К/к, то й»1, ..., а„ образуют базис кольца К^ как линей-
линейного пространства над йу

298 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
Доказательство. Покажем сначала, что К всюду плотно
в Ку, т. е. что каждый элемент из Ку является пределом после-
последовательности элементов из К. Пусть | = (|4, ..., |„) — произ-
произвольный элемент из Ку, ?« е К^ (s = 1, ..., то). Так как К всюду
плотно в Кф , то для любого натурального г существует такой
элемент alr) <= К, что v^ (gs — ««г))^ г- Согласно теореме 4 § 4
гл. III в К найдется элемент а(г>, для которого v$ (cc(sr) — а<г))^=
при всех $ = 1, ..., то. Для элемента а{г) мы имеем
а это и означает, очевидно, что последовательность (a }?L=i эле-
элементов из К сходится в кольце К^ к элементу |.
Представим каждый элемент а(г) в виде
aw = ofV + ... + a?W, ^г) е А.
Так как последовательность {а<г)} фундаментальна относи-
относительно каждого простого дивизора 5{5S, то по следствию леммы 1
последовательности {а]г))^=1 все фундаментальны относительно ]р,
а поэтому имеют пределы в ку. Положим у,- = lim a(p (/ = 1, ...
..., п). Так как для всякого ае4с^и любого | е isT^, очевидно,
el = el, D)
п п
то а = 2 а/ ш; = 2 a(P®j- Переходя в этом равенстве к пре-
3=1 j=l
делу при г-*-« п учитывая свойство C), мы получаем, что
п
| = lim сс{г) =
Этим доказано, что элементы Wj составляют систему образующих
линейного пространства К у. Остается проверить, что они линей-
линейно независимы над ку. Пусть
+ .. . + Yn^n. = 0, Yj e /br
Так как к всюду плотно в ку, то yj = limaf, где af'^k. По-
Полошим
(г) (г) , , О"),.. г=. V
Тогда lim a(r> = lim 2 аТщ = 2 ЧзЩ = 0- Это значит, что в по-
Г-»ю Г-»оо j j
ле Я последовательность {а<г)} является нулевой относительно

2] КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЕМ 299
всех простых дивизоров ty, (s — 1, ..., /re). Но в таком случае по
следствию леммы 1 нулевыми относительно р будут все последо-
последовательности {а(р} в поле к, а значит, 41 = 0, ..., ч„ = 0.
Доказательство теоремы 1 закончено.
Замечание. В терминах тензорного произведения алгебр
теорема 1 означает, что алгебра К^ над полем к^ изоморфна
тензорному произведению K<S)kk^, т. е. может быть получена
из К (как алгебры над к) расширением основного поля к до Ау
По доказанному размерность линейного пространства Ку над
ку равна п = (К: к). С другой стороны, эта размерность равна
сумме B). Сопоставляя это с тем, что ns = /г^ = е^ /^ , мы при-
приходим к равенству 2 e%f% — п (Ф пробегает все простые дивизо-
ры кольца D). Нами получено, таким образом, другое доказатель-
доказательство теоремы 7 § 5 гл. III.
Теорема 2. Обозначим через ф(Х) характеристический мно-
многочлен элемента а^К относительно сепарабельного расширения
К/k и через фф (X) его характеристический многочлен относи-
относительно расширения К^/ky Тогда
Доказательство. В линейном пространстве К$ рассмот-
рассмотрим линейное преобразование ?->а| (|(=-ЙГр).
п
Если ают — 2 апЩ, а-п s fc, то в силу D) имеем также
i=i
ОС@Г = 2aW(fy.
1
Это показывает, что характеристический многочлен нашего пре-
преобразования совпадает с характеристическим многочленом мат-
матрицы (аг!), т. е. совпадает с ф(Х). Рассмотрим теперь в К^ дру-
другой базис (над А-у). Пусть р\, (/ = 1, ..., /г.) — какой-нибудь
базис расширения К^ jk^ (s = l,-..., »г). Если через ^ч- мы
обозначим тот элемент из К^, у которого s-я компонента равна
P»j, а все прочие равны нулю, то совокупность элементов
1,1, s = 1, ..., /те; / = 1, ..., га, E)
составит, очевидно, новый базис кольца .Ку (над А*„). Пусть

300 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
так что фф (X) — это характеристический многочлен матрицы
(Yj?). Легко видеть теперь, что матрицей линейного преобразо-
преобразования ? -*¦ а% в базисе E) будет клеточно диагональная матрица
с клетками (Yjf) на главной диагонали. Это и доказывает тео-
теорему 2.
Для элементов а из К введем понятие локальной нормы
N$ (а) и локального следа Бщ (ос):
N% (a) = Nk^ (a)r Sp,? (a) = SpK?/ftj) (a).
Из теоремы 2 очевидным образом вытекают следующие форму-
формулы:
Nk/u (а) = П Wp («)• Sp«/* H = S SPip (a). F)
Первая из этих формул вместе с равенством A3) § 1 дает нам
соотношение
МЛЪА(я)) = 2 /„у, (а), G)
которое в § 5 гл. Ill было доказано другим способом.
Теорема 3. Выберем в поле К (сепарабелъном над к) при-
примитивный элемент 0, так что K = k(Q), и обозначим через ф(Х)
его минимальный многочлен относительно к. Все простые диви-
дивизоры iPi, ..., 5|3m поля К, делящие $, находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с множителями из разложения
на неприводимые множители в кольце ку[Х\. Для простого ди-
дивизора Ц33 соответствующий ему многочлен q>s(X) совпадает с ми-
минимальным многочленом элемента 9 е К^ над полем Ау
Доказательство. По теореме 2 многочлен ф(Х), являясь
характеристическим многочленом для 0 относительно К/k, равен
произведению ф4(Х)... фт(Х), где <р,(Х) — характеристический
многочлен для 0 относительно К^ fk^. Множитель ф.(Х) одно-
однозначно определен, таким образом, простым дивизором $s. Но, как
мы видели в начале пункта, К^& = ку (9),^е К cr K$s, поэтому
каждый из многочленов q>s(X) неприводим над Щ, и теорема 3
доказана.
Замечание. Предположим, что кольцо о (с полем отноше-
отношений к) есть произвольное кольцо с теорией дивизоров и р — один
из простых дивизоров кольца 0. В случае конечного сепарабель-
ного расширения К/к теорема 3 дает нам, очевидно, описание
всех простых дивизоров ф в целом замыкании D кольца о в К,
делящих у (точнее, дает их число m и произведения е^ /ф).

131
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
301
§ 3. Разложение многочленов на множители
в полном поле с показателем
В связи с теоремой 3 § 2 важно иметь удобный прием для
разложения многочленов на неприводимые множители в полном
поле с показателем. В этом параграфе мы покажем, что в таких
полях разложение многочлена с целыми коэффициентами вполне
определяется его разложением по модулю некоторой степени
простого элемента.
Лемма. Пусть о — подколъцо произвольного поля к, и пусть
g(X) и h(X) — многочлены степеней тип соответственно с ко-
коэффициентами из о. Если результант p = R(g, h) многочленов
g и h отличен от нуля, то для любого многочлена КХ) <= о[Х]
степени ^тп + п — 1 в кольце oLX] существуют такие многочлены
и ty(X) степеней <и—1 и =?1/ге — 1 соответственно, что
A)
Доказательство. Положим
ТО 71 ТО+П—1
е(Х) = 2 «iXm~{, a (X) = 2 biXn-\ г (X) = 2 сгхт+п~1~\
г=0 г=0 i=0
п—1 тп—1
Ф (X) = 2 щХп-г-г, у (X) = 2 yjX-1-1.
Для определения т + п неизвестных и0, ..., и„_г, Уо, • • •, vm-i
приравняем в равенстве A) коэффициенты при одинаковых сте-
степенях X. Мы получим систему т + п уравнений:
2 аТщ + 2 bTv> = pct, г = 0, 1, ..., пг + п — 1.
r+s=j r+s=i
Определитель этой системы равен
h \
am am-i ai Ъп
-х Ъ1
B)
{на свободных местах стоят нули), т. е. равен результанту р =
=*R{g, h). По условию рт^О, поэтому система имеет (единствен-
(единственное) решение, и так как все ее свободные члены рс{ делятся на

302 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
р, то значения неизвестных щ и vt будут принадлежать кольцу о.
Лемма доказана.
Пусть теперь к — полное поле относительно показателя v, о —
кольцо целых элементов из к и я — простой элемент в о. Два
многочлена /(X) и Д(Х) из кольца о[Х] называем сравнимыми
по модулю п" и пишем f(X) ^/4(Х) (mod л"), если сравнимы по
тому же модулю их коэффициенты при одинаковых степенях X.
Теорема 1. Пусть для многочлена f(X) e о[Х] степени
т + п в кольце olX] существуют такие многочлены go(X) и hu{X)
степеней тип соответственно, что: 1) старшие коэффициен-
коэффициенты / и goho совпадают, 2) результант R(go, Ю отличен от нуля
и 3) если v(R(g0, h0)) = г, то
f(X) e go(X)ho(X) (mod я2г+1). C)
Тогда в olX] существуют многочлены g(X) степени m и ЫХ)
степени п, для которых
= g(X)h(X);
и старшие коэффициенты g(X) и ЫХ) совпадают со старшими
коэффициентами ga{X) и ho(X) соответственно.
Доказательство. Для каждого к > 1 мы индуктивно
построим многочлены срле о[Х] степени ^.т— 1 и i^^ot-X] сте-
степени ^и — 1 так, чтобы для многочленов
выполнялось сравнение
figJh, (mod я.2г+*+1). D)
Пусть многочлены ф1? ..., cp^i и г|)(, ..., t|v-i с требуемыми свой-
свойствами уже построены, так что
/¦=Л-А-1 + я2г+Ч E)
где Z(X)eo[X]. Многочлены g0 и gh-u а также h0 и hk-i имеют
одинаковые старшие коэффициенты, поэтому в силу первого ус-
условия ИХ) имеет степень ^т + п— 1. Далее, gh-i = go, hk-i*3*
=s h0 (mod яг+1), поэтому
-i, hkrl)=R(g0, h0) (modnr+i),
а значит, v(R(gk-,i, hh-i)) =r. По ;лемме в кольце о[Х] существу-
существуют многочлены cpft и г|)А степеней ^т— 1 и ^и—1 соответствен-
соответственно, для которых
1<Р*. F)
Проверим, что фА и \f>4 удовлетворяют необходимым требованиям.

S 3] РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 303
Так как gft = gh-i + nT+\h, hh = hh-i + лг+%, то ввиду E) и F)
откуда и следует сравнение D) (ибо 2к^к + 1).
Рассмотрим теперь в о[Х] многочлены
оо
g (X) = So + 2 п'+*Фь, А (X) = fe0 +
ft=i ft=i
коэффициенты которых (кроме старших) являются суммами схо-
сходящихся рядов. Так как g = gk n h = hh (modnr+'i+1), то
gh^ gkhk (mod nr+h+l),
а значит, в силу D)
Поскольку последнее сравнение верно при любом к, то / = gh,
и теорема 1 доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 1 легко следует,
что если go и Ао вместо C) удовлетворяют условию f = goh0
(mod я8), sPi2r + 'i, то g ж h могут быть выбраны так, чтобы вы-
выполнялись сравнения g^ g0, A = h0 (mod jts~r).
Рассмотрим один важный частный случай теоремы 1.
Многочлен f(X) e о[Х] будем называть примитивным, если
хоть один из его коэффициентов является единицей в 0. Пусть
S — поле вычетов кольца о по простому элементу п. Заменяя в
многочлене / е oiXl все его коэффициенты соответствующими
классами вычетов из 2, мы получим многочлен / с коэффициен-
коэффициентами из поля 2. Предположим, что в кольце 2[XI для / имеет
место разложение
1 = ёЛо, G)
в котором сомножители g0 и Ло взаимно просты. Многочлены g0
и h0 из кольца о[Х] мы можем, конечно, выбрать так, чтобы, во-
первых, степень g0 совпадала со степенью go и, во-вторых, чтобы
совпадали степени и старшие коэффициенты многочленов / и
goha. Рассмотрим результант R(g0, h0) многочленов. g0 и h0, т. е.
определитель вида B). Заменяя в этом определителе все элемен-
элементы на соответствующие классы вычетов по модулю л, мы полу-
получим определитель, который будет равен, очевидно, результанту
R(g0, ho) многочленов g0 и h0 (старший коэффициент й0, возмож-
возможно, равен нулю). Результант R(g0, h0) отличен от нуля, так как
по выбору go_ старший коэффициент ^0 отличен от нуля и много-
многочлены ^о и h0 no условию взаимно просты. (Напомним, что для
двух многочленов с произвольными старшими коэффициентами
результант равен нулю тогда и только тогда, когда эти много-
многочлены имеют общий множитель или же когда их старшие коэф-
коэффициенты оба равны нулю.) Следовательно, R(g0, h0) Ф0 (modя),

304 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
т. е. v(i?(g0, йо)) = г = О. Равенство G) равносильно сравнению
/ — gaho (mod я). Мы видим, таким образом, что для g0 и h0 вы-
выполнены все условия теоремы 1 (при г = 0), а потому можно
сформулировать следующее утверждение.
Теорема 2 (лемма Хензеля). Пусть f(X)— примитивный
многочлен с коэффициентами из кольца о целых элементов пол-
полного поля с показателем. Если в поле вычетов S колыша о по
простому элементу для многочлена / e 2Ш и.чеет место раз-
разложение
J = #<А>, go, К e оШ
со взаимно простыми g0 и Ъо, то в о[Х] существуют такие много-
многочлены g и h, что
() = g(X)h(X),
причем g — go,h = ho и степень g равна степени go-
При помощи полученной нами теоремы 1 мы можем теперь
решить вопрос о разложении многочленов с коэффициентами из
полного поля к с показателем на неприводимые множители. Ог-
Ограничимся рассмотрением многочленов f(X) с целыми коэффи-
коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 (если старший коэф-
коэффициент многочлена из о[Х] степени п равен а, то мы можем
умножить этот многочлен на ап~1 и взять аХ за новую перемен-
переменную). Так как для кольца о [XI сохраняется известная теорема
Гаусса о разложении многочленов с целыми коэффициентами, то
все неприводимые делители таких многочленов f(X), старшие
коэффициенты которых равны 1, будут также принадлежать
кольцу о[Х].
Если многочлен /(X) не имеет кратных корней (в конечных
расширениях поля к), то его дискриминант D{f) = ±R(f, f) от-
отличен от нуля. Пусть d = v(D{f)), и пусть в кольце olX] имеет
место сравнение
Aй+1) (8)
в котором старшие коэффициенты многочленов <р3 (так же, как
и /) все равны 1. Положим hi = ф2... фт. Так как для дискрими-
дискриминанта произведения двух многочленов имеет место формула
и jD(/) = Z%A)(mod:nd+1), так что уСО(фА)) = й, то d > 2г,
где r = v(R(q>1, hO). По теореме 1 (см. замечание в конце ее
доказательства) в кольце о[Х1 существуют такие многочлены
gi(X) и /4(Х), что / = gi/i и f1^<p2...<pm(modnd-r+1). Но d-r>
~5* d — 2r > di = v(D(fi)), поэтому аналогичным образом для мно-
многочлена /i найдем разложение /i = gгi¦г. и т. д. В конце концов
мы получим разложение
о)

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ 305
в котором многочлены g, e otZ] имеют те же степени, что
и <ps.
Если разложение (8) выбрано с наибольшим возможным т,
то все многочлены gs, очевидно, неприводимы над полем А, и мы
получаем следующий результат.
Теорема 3. Если для многочлена /(X) разложение (8) по
модулю nd+i выбрано с наибольшим возможным значением т,
то разложение этого многочлена на неприводимые в к множите-
множители имеет вид (9), где каждый из многочленов gs имеет ту же
степень, что и соответствующий ему многочлен cps.
Для теоремы 3 также особо отметим тот частный случай,
когда d = 0, т. е. когда D(f) является единицей в 0. В этом слу-
случае разложение (8) (при переходе к полю вычетов 2) совпадает
с разложением
/"=ф4...фт A0)
на неприводимые множители в кольце 2[Х]. Поэтому мы имеем
следующее
Следствие. Если для многочлена f(X) <= olX] дискриминант
D{f) является единицей в 0 и если в кольце ШХ1 разложение f
на неприводимые множители имеет вид A0), то в olX] сущест-
существуют такие неприводимые над к многочлены gu ..., gm, что f =
= gl...gm U gl=q>i, ..., gm = фт.
Это утверждение, конечно, очевидным образом вытекает так-
также из теоремы 2.
Задачи
1. Пусть к — полное поле с показателем, К/к — конечное сепарабельпое
расширение с индексом ветвления е, о и О — кольца целых элементов полей
к и К соответственно, Яо и я — их простые элементы. Доказать, что если
элемент аеО делится па я, то SpK/fe(oc) делится на Яо. Вывести отсюда,
что SpK/ft(n1~eD) с о. Перенести, далее, утверждения задач 12 и 16 § 2
гл. II на рассматриваемый случай и доказать, что в случае е > 1 для каж-
каждого элемента беОс характеристическим многочленом /(?) значение /'@)
делится па я.
2. Пусть к — конечное расширение поля р-адических чисел, е — его ин-
индекс ветвления над Qp и я — простой элемент поля к. Предположим, что к
содержит первообразный корень степени р из 1, так что е делится на р — 1
(задача 14 § 1). Доказать, что всякое целое а^к, которое = 1 (mod ят+1),
где m = ре/(р — 1) = ps = е + s, является р-ш степенью некоторого эле-
элемента из к. (Воспользоваться тем, что если р = 1 + ле+г-( (-( целое), г > s,
р = я"е~1, то f> = A + яг1е)г (mod яе+г+1). Применить затем, задачу 17 § 1.)
3. В условиях задачи 2 предположим, что целое а сравнимо с 1 по мо-
модулю я™, но не является р-й степенью элемента из к. Доказать, что тогда
А^у^оО/йявляется неразветвленным расширением степени р. (Найти харак-
характеристический многочлен f(t) элемента 0 = Ti~\-\fa — l) и убедиться, что
/'(9) является единицей; применить затем последнее утверждение за-
задачи 1.)
4. Сохраняя условия задачи 2, предположим, что целое aei удовлет-
удовлетворяет условиям.: а = 1 (modrc'1), аф\ (пк^ял+1), (h, р) = 1, h < m =
= еР/(р — !)• Доказать, что тогда а не является р-й степенью элемента

06 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
из А и что расширение к\у/~а)/квполпе разветвлено. (Рассмотреть показа-
показатель степени, с которым простой элемент поля к (yfa) входит в разность
1 — а = JJ (l — ^у^а), где ? — первообразный корень степени р из 1.)
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел
1. Описание метрик. В п. 2 § 4 гл. I нами было выяснено, что
всевозможные пополнения поля рациональных чисел Q — это
поля ^-адических чисел Qp и поле вещественных чисел 0.*,. Те-
Теперь мы решим это вопрос для случая произвольного поля алгеб-
алгебраических чисел к. Согласно сказанному в начале § 1 каждому
простому дивизору у поля к соответствует р-адическое пополне-
V (х)
ние ку, т. е. пополнение по метрике фр(х) = р ? , з;е^@<р<
< 1). Метрику фр мы будем называть у-адической метрикой
поля к. Для ответа на интересующий нас вопрос о возможных
пополнениях поля к нам следует, очевидно, выяснить, какие еще
метрики помимо р-адических имеются в полях алгебраических
чисел.
Пусть ф — произвольная нетривиальная метрика поля алгеб-
алгебраических чисел к. Рассматривая ее лишь на рациональных чис-
числах, мы получаем метрику ф0 поля Q. Покажем прежде всего,
что вместе с ф метрика ф0 также нетривиальна. Выберем в к ка-
какой-нибудь базис oil, ..., со„ над Q. Для любого | = aiCOi + ...
... + ап®п (a-i s Q) мы имеем
... + фо(а„)ф(о)„).
Если бы метрика ф0 была тривиальной, то, поскольку фв(а() =S 1,
имело бы место неравенство
п
ф FХ 2 ф К)
г=1
при всех \ е к. Но это невозможно, так как все значения нетри-
нетривиальной метрики не могут быть ограничены.
Согласно теореме 3 § 4 гл. I метрика ф0 совпадает либо с
-адической метрикой фр (х) = р р , 0 < р < 1, либо с метрикой
О < р =? 1 (ieQ). Разберем сначала первый случай. Обо-
Обозначим через 0Р кольцо /(-целых рациональных чисел (кольцо по-
показателя vp) и через Ор его целое замыкание в к. Если cui, ...
..., со„ — фундаментальный базис поля к, то всякое aeD, пред-
представляется в виде а = а{сз1 + ... + а„со„ с коэффициентами а( из
Ор. Но фР(а() =?11, поэтому
п
Ф (а) <; 2 Ф (®д,
I

§ 4j МЕТРИКИ ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 307
а так как вместе с а все степени а" (к > 0) также принадлежат
Dp, то ф(а) ^ 1. Отсюда легко теперь следует, что ф(е) = 1 для
всех единиц кольца ОР. Согласно теореме 7 § 4 гл. III каждое
отличное от нуля число | s k однозначно представляется в виде
! = ыф...я?», A)
где е — единица в Dp, а щ, ..., пт — некоторая фиксированная
система попарно не ассоциированных простых элементов. (Число
| принадлежит Ор тогда и только тогда, когда кг>0.) Если бы
ф(зт<) = 1 при всех i, то ф(?) было бы равно 1 при всех 1^0 из к.
Это, однако, противоречит нетривиальности ф. Предположим, что
ф(я<) < 1 и ф(я3) < 1 для двух различных индексов i и /. Выбе-
Выберем натуральные к ж I так, чтобы y(nt)h + <$(п,У < 1. Числа я4
и щ взаимно просты в кольце Dp, поэтому согласно лемме 2 § б
гл. III в Dj, существуют такие а п ,8, что
1 = ая* + ря].
Но тогда
ф(а)ф(я()"
и мы опять получили противоречие. Таким образом, существует
только один простой элемент Яг, для которого ф(л,) < 1. Обозна-
Обозначим через р и Vj соответствующие ему простой дивизор и пока-
показатель. Так как в разложении A) показатель к{ равен v^, (|), то,
обозначая через pi значение ф(я(), будем иметь
ФA) = Р?Ш B)
Взяв здесь \—р, находим, что р = р{, где е — индекс ветвления
простого дивизора $. Полученная формула B) показывает, что
метрика ф совпадает с р-адической метрикой ф?, соответствую-
соответствующей простому дивизору р.
Перейдем теперь к изучению случая, когда фо(х) = Ыр,
CKpsSl (reQ).
Пополнение поля Q по метрике |а;|р дает, как мы знаем, поле
вещественных чисел (независимо от значения р). Как и в п. 2
§ 7 гл. I, обозначим его через Q». Продолжением метрики \х\",
геО, на поле Qx будет, очевидно,_метрика |а|р, аеОх. При-
Присоединяя к полю Qoo корень i — l/—l, мы получаем поле комп-
комплексных чисел (Е. Покажем, что метрика \а\р поля Q,» может
быть продолжена на поле (С единственным образом, а именно
с помощью метрики [||р, где 1|1 обозначает модуль комплексного
числа \. Пусть а|з — какое-нибудь продолжение. Тогда $(%,) = 1
для всех ^effi с условием |?| = 1. В самом деле, если бы это
было пе так, то для некоторого | е (Е мы имели бы \(з(^) > 1 и

308 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
||| =1. Выбрав натуральное число п и положив ?п = а + {5j (a,,
Р е Qoo), мы получили бы
а1)Aп) < фСа) + фС^)-ф(г) «S 1 + ОрН),
поскольку ij)(a) = [alp<l и аналогично г^(^) =?1 1. Но это невоз-
невозможно, так как ^(|)п> l + ij)(i), если только п достаточно велико.
Пусть теперь | — произвольное отличное от нуля комплексное
число. По доказанному а|)(?/|||) = 1. Следовательно, г|;(|) =
= г|)(|||) = |||р, что и требовалось доказать.
Каждое поле алгебраических чисел к степени п = s + 2t
(см. п. 1 § 3 гл. II) имеет п различных изоморфизмов в поле
комплексных чисел (L (s вещественных и t пар комплексных).
Пусть a — какой-ннбудь один из них. Если для любого | е к мы
доложим
фо(|) = |о(|Iв,
то функция фо будет, очевидно, _метрикой поля к, причем фДж) =
= Ыр при xeQ. Если а и a — сопряженные изоморфизмы,
то la(|)i = |аA)| = 1о(|I, а значит, соответствующие им метрики
fpa и ф<г совпадают. Мы имеем, таким образом, s + t метрик поля
к, совпадающих на Q с метрикой Ыр.
Пусть теперь ф — произвольная метрика поля к, совпадающая
на Q с метрикой!х 1Р. На пополнении fcv поля к по этой метрике
однозначно определена непрерывная метрика ф, совпадающая на
к с ф. Ясно, что замыкание Q поля рациональных чисел в kv
топологически изоморфно полю вещественных чисел Q». Если
через а мы обозначим (единственный) топологический изомор-
изоморфизм Q на Qoo, то для всякого yeQ будем иметь ф(у) = 1о(уIр-
Выберем в к примитивное число 0, так что к = QF), и обозначим
через f(X) минимальный многочлен числа 0 над Q. При разло-
разложении f(X) на неприводимые множители в поле вещественных
чисел мы имеем s линейных и t квадратных множителей. Следо-
Следовательно, и в поле Q имеет место разложение
f(X) = (X - В0..ЛХ- QS)(X2 + PiX+qi)..AX2 + PtX + qt).
Так как /(9) = 0, то 9 должно быть корнем одного из этих сомно-
сомножителей.
Предположим сначала, что 0 = 0*. Так как OeQ и, следова-
следовательно, I = Q(9)cQ, то изоморфизм о: Q-*¦ Qx индуцирует
на к вещественный изоморфизм а: к-*¦(?, при этом, если %^к, то
Метрика ф совпадает, таким образом, с ц>а- Кроме того, мы видим,
что в этом случае к9 = Q, т. е. пополнение kv топологически изо-
изоморфно полю вещественных чисел.

§ 4] МЕТРИКИ ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 309
Предположим теперь, что Э — корень одного из квадратных
трехчленов. В этом случае (Q (б): Q) = 2, а поэтому изоморфизм
о: Q -> Qco _ может быть продолжен (двумя способами) до изомор-
изоморфизма о: Q@)-*-C Индуцированное этим изоморфизмом вложе-
вложение о: к-*-(Е будет, очевидно, комплексным изоморфизмом к в по-
поле комплексных чисел С По доказанному на (Е существует
только одна метрика, совпадающая на Q» с метрикой lalp,
а именно |т]|р, ц е (?. Следовательно, для любого |е& мы имеем
т. е. ф = ф<г при комплексном изоморфизме а; поле kv (совпадаю-
(совпадающее с QF)) топологически изоморфно полю всех комплексных
чисел.
Нами доказана, таким образом,
Теорема 1. Всякая нетривиальная метрика ф поля алгеб-
алгебраических чисел к степени п = s + 2t совпадает либо с у-адиче-
ской метрикой
соответствующей простому дивизору р, либо с одной из s + t мет-
метрик вида
где а —изоморфизм поля к в поле всех комплексных чисел (С.
Определение. Пополнение ку поля алгебраических чисел
к по метрике щ называется полем уадических чисел.
Из теоремы 1 следует теперь, что все пополнения поля алгеб-
алгебраических чисел к исчерпываются полями !р-адических чисел, по-
полем вещественных чисел (при s > 0) и полем комплексных чисел
(при i>0).
Чтобы подчеркнуть аналогию между метриками фр и фа,
полю алгебраических чисел к степени п = s + 2t приписывают
s + t = r новых объектов ylt „, ..., рг> „, называемых бесконечны-
бесконечными простыми дивизорами, которые взаимно однозначно соответ-
соответствуют всем метрикам вида ф„. Обычные простые дивизоры, что-
чтобы отличать их от бесконечных, называют тогда конечными
простыми дивизорами. Бесконечный простой дивизор р = &, <» на-
называется вещественным, если он соответствует метрике фя с веще-
вещественным изоморфизмом а, и называется комплексным, если свя-
связанная с ним метрики" ф0 = фо отвечает паре сопряженных комп-
комплексных изоморфизмов а и а.
В случае поля рациональных чисел Q существует единствен-
единственный бесконечный (вещественный) простой дивизор рж, который
мы фактически уже ввели в п. 2 § 7 гл. I и обозначали там сим-

310 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
волом °°. Все простые дивизоры Pi, ..., fm поля к, соответствую-
соответствующие продолжениям /?-адического показателя vP на к, являются
делителями числа р (которое мы можем рассматривать как диви-
дивизор поля Q). Аналогично этому бесконечные простые дивизоры
К », • • •, К «о называются делителями1 /?<*,, так как соответствую-
соответствующие им метрики являются продолжениями метрики 1x1° поля ра-
цпопалъных чисел.
Рассматривавшееся в § 2 кольцо К^ в применении к расши-
расширению k/Q и к простому рациональному числу р совпадает с
кольцом кР последовательностей (|t, ..., |m), где | е ку,. Размер-
Размерность кольца кр как лине1гаого пространства над полем /?-адиче-
скпх чисел Qp равна п = (к: Q) (теорема 1 § 2). Аналогичным
понятием в случае бесконечного простого дивизора р„ является
кольцо кРоо, состоящее из последовательностей (|4, ..., gs, |,+,,...
..., c,s+t), где |, (l^i^s) принадлежат полю вещественных чи-
чисел, a |,+J (l^/s^i) — полю комплексных чисел. Кольцо кРдо,
являющееся линейным пространством размерности п = (к: Q) над
полем вещественных чисел Q^o, совпадает, таким образом, с коль-
кольцом 8s'', которое мы рассматривали в гл. II и которое являлось
основным инструментом при изучении группы единиц и классов
модулей поля алгебраических чисел к. Не меньшую роль кольцо
кРос будет играть в § 1 гл. V.
2. Соотношение между метриками. Для каждого простого ди-
дивизора у поля к (как конечного, так и бесконечного) введем по-
понятие связанной с ним нормированной метрики <р?, определяемой
специальным выбором значения р. Если р — конечный простой
дивизор, то нормированная метрика фр определяется равенством"
где N(f) — норма дивизора р. Для бесконечного вещественного
V, соответствующего вещественному изоморфизму о: к-*-(Е, по-
полагаем
Наконец, если р — бесконечный комплексный простой дивизор,
соответствующий паре сопряженных комплексных изоморфизмов
а и а, то нормированная метрика ф^ определяется формулой
Ф9 (?) = 1 a (i) Г3 = I a (|) I2 = a (g) a (E).
Относительно последнего случая следует отметить, что функция
la(?)l2, строго говоря, не является метрикой в смысле определе-
определения п. 1 § 4 гл. I, так как для нее неравенство треугольника 2°
не соблюдается. Однако ввиду того, что la(|)l2 является квадра-
квадратом метрики, эта функция также .может быть использована для

§ 4] МЕТРИКИ ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 311
определения сходимости на поле к, а потому может рассматри-
рассматриваться нами наравне с метриками.
Для любого | Ф О из к мы имеем, очевидно, только конечное
число простых дивизоров р, для которых срр (!) =5^1- В силу этого
имеет смысл формально бесконечное произведение Цф«(|)-
Теорема 2. Для любого | ^0 из поля алгебраических чи-
чисел к значения фу(!) всех нормированных метрик удовлетворяют
соотношению
Пф»(?) = 1 C)
Р
(р пробегает все простые дивизоры поля к, как конечные, так и
бесконечные).
Доказательство. Обозначим через Р и Р' произведения
значений фр (|), распространенные соответственно на все беско-
бесконечные и на все конечные $, так что произведение, стоящее в ле-
левой части равенства C), равно РР'. По определению нормирован-
нормированных метрик для бесконечных р мы имеем
(здесь а пробегает все n = s + 2t изоморфизмов к в поле (Е).
С другой стороны, по формуле A) § 7 гл. Ill норма главного ди-
дивизора (!) =11)) ? (здесь у пробегает все конечные простые
дивизоры) равна
что и доказывает теорему.
Задачи
1. Пусть cpi, ..., c[r (r = s ~{-t) — метрики поля алгебраических чисел
к степени п = s + 21, соответствующие бесконечным простым дивизорам.
Доказать, что для любого i = 1, ..., г в к существует число ?(, для которого
<Pi(!0 > 1, <Pj(ii) < 1, )?=i- Показать, далее, что метрики <pj, ..., qpr оп-
определяют различные сходимости на к.
2. Показать, что всякое соотношение вида
между пормированными метриками (г^ поля алгебраических чисел к явля-
является следствием соотношения C), т. е. что это равенство выполняется для
всех |еА* лишь при условии т = т при любом $,

312 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
§ 5. Аналитические функции в полных полях
1. Степенные ряды. Некоторые сведения о рядах в полном
поле к с показателем v нам уже известны (см. п. 2 § 1 этой гла-
оо
вы и п. 4 § 3 гл. I). Так, мы знаем, что в поле к ряд 2 ап схо-
71=1
дптся тогда и только тогда, когда ап -*¦ О при п-*-°°; что сходя-
сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на
постоянный множитель; что для сходящихся рядов справедливо
сочетательное свойство. Известно, далее, что прп любой переста-
перестановке членов сходящегося ряда его сходимость не нарушается и
сумма не меняется. Отсюда легко следует, что если произведения
ОО ОО
uibj членов двух сходящихся рядов 2 ai = s и 2 ^j = ? выпи-
i=l i=l
сать в каком-нибудь порядке и составить из них ряд, то этот
ряд будет сходящимся и его сумма будет равна st.
Отметим для дальнейшего одну простую теорему о двойном
ряде. Напомним, что двойной ряд
2 «tf A)
г,з'=1
т п
называется сходящимся к сумме s, если 2 2 fly-»-s при т, п-*¦
i=l 3=1
-»• °°. Ряды
ОС / ОО
21 Sa«
Л — 1 * -i—-1
3=1 / 3=1 \ i=l
называются повторными рядами двойного ряда A).
Теорема 1. Если для любого N почти для всех пар (t, j)
имеем v{atj)>N, то двойной ряд A) сходится и его сумма равна
суммам обоих повторных рядов, которые также сходятся. Если
из членов двойного ряда A) образовать каким-нибудь способом
простой ряд, то он тоже будет сходиться, и к той же сумме.
Доказательство этой теоремы совсем просто, и мы предостав-
предоставляем его читателю.
Степенным рядом в поле к называется ряд впда
ОО
/ (х) = 2 апхп = а0 + агх + ... + апхп + ... я B)
П=0
где а„^к. Если ряд B) сходится при х = хо^к, то он сходится
и для всех тех х^к, для которых v(x) > v(x0). Действительно,
для всех таких х мы имеем v {anxn) ^ v (яп^о)» и поэтому вместе
с апх% общий член апхп также стремится к нулю при п -»- °°. Та->
ким образом, если через ц мы обозначим minv(a;), где ж пробе-

|! 5] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПОЛНЫХ ПОЛЯХ 313
гает все значения из к, при которых ряд B) сходится, то область
сходимости этого ряда будет характеризоваться условием vix) > \i
(или он будет сходиться при всех х).
оо
Если мы имеем два степенных ряда fx{x) = 2 апХп и f2(x) =
п=о
сю
= 2 Ьпхп, то под их произведением h(x) понимается степенной
ряд, полученный формальным перемножением данных рядов,
оо
т. е. ряд 2 спхп, где с„ = 2 аФг Пусть ряды /4(ж) и /2Ы
n=o i+j=n
сходятся при v(;r) ^ [Xj и v(;r) ^ ц2 соответственно. Очевидно, что
тогда hix) будет сходящимся при v(x) ^ max (j^, ц2) и его сумма
будет равна fiix)fzix).
Степенной ряд fix) в своей области сходимости является не-
непрерывной функцией от х. Действительно, все члены апхп при
п S* 1 будут сколь угодно малы, если только значение для х до-
достаточно мало. Отсюда следует, что fix) -*¦ а0 = /@) при х -*¦ 0,
т. е. функция fix) непрерывна в точке х = 0. Пусть теперь с —
произвольное значение из области сходимости ряда fix). Заменим
каждый член апхп выражением anic + y)n. Раскрыв здесь скобки
и просуммировав все такие многочлены, мы получим степенной
РЯД fdy). Это приводит нас к формуле
fciy), C)
справедливой для любого у из области сходимости ряда fix). По
доказанному fciy) -*¦ /<Д0) при у ->- 0, поэтому fix) -*¦ /(с) при
^ -*¦ с, и непрерывность /(ж) при ? = с доказана.
Функция /(ж), определенная в некоторой области полного по-
поля с показателем п представимая в этой области сходящимся сте-
степенным рядом, называется аналитической функцией.
Рассмотрим степенной ряд
без свободного члена. Результат формальной подстановки ряда
giy) в ряд fix) (вместо х) будет степенным рядом Fiy) от у.
Именно, если
anigiy))n = сппуп + с„. n+1yn+l + ..., D)
то
Fiy) =ао+ спу + (с12 + с22)у2 + ...+ (с1п + с2п + ...+• спп)уп + ...
Теорема 2 (о подстановке ряда в ряд). Пусть ряд fix) схо-
сходится при vix) ^ \i. Если в указанных выше обозначениях для
некоторого у^к ряд giy) сходится и vibmym) > \х при всех /ге> 1,
то ряд Fiy) также сходится и

314 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД (ГЛ. IV
Доказательство. Рассмотрим двойной ряд
2*у/ E)
и
В силу D) имеем сптут = 2 anba г/*1 . • • bajf71- Пусть
«! «п>1
а1+...то;п=тп
N = min v (bmym). Тогда
та
l^ min (v(anba yai ... ba yan)) ^ v(an) + nN.
! «
П
Так как N — v(.x0) при некотором х0 и при а; = ж0 ряд fix) схо-
сходится, то v (а„) + w-V = v(anaro)-^- оо, а значит, и v{cnmym) -*¦ °°
при /г ->- оо равномерно для всех т. Далее, при фиксированном п
ряд D) сходится (как произведение сходящихся рядов), поэтому
\>(с„тут) -*¦ °° при т->°°. Этим доказано, что для двойного ряда
E) выполнено условие теоремы 1. В силу этой теоремы оба по-
повторных ряда для E) сходятся и имеют одну и ту же сумму.
Теперь остается лишь заметить, что
F (У) - а0 + 2 B Ci)/\ и / (g (у)) = а0 + 2 B сиЛ
3 \ i I i \ 3 J
и теорема 2 доказана.
В следующих двух параграфах мы будем рассматривать также
аналитические функции от п переменных, т. е. функции, предста-
вимые в виде степенных рядов
j(Xl,...,xn)= 2
Предположим, что ряд fixu ..., х„) в «-мерном пространстве над
полным полем с показателем сходится в области v(xt)^N (i =
= 1, ..., п). Если с= (cj, ..., с„) — точка из этой области, то,
аналогично случаю одной переменной (применив теорему 1), лег-
легко можно получить тождество
fiXi + Ci, . . ., Х„ + С») = feiXi, . . ., Х„),
справедливое для всех точек из области vixt) P1 N (в этом тожде-
тождестве степенной ряд fe также сходится при v(xt) >iV).
2. Показательная и логарифмическая функция. В этом пунк-
пункте мы предположим, что к есть конечное расширение поля ^-ади-
ческих чисел Qp. Через v мы обозначим показатель поля к, че-
через е — индекс ветвления к относительно Qp и через я — про-
простой элемент кольца целых элементов в к.

§ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПОЛНЫХ ПОЛЯХ 315
Рассмотрим в поле к степенные ряды
expz = l+-^ + |J+...+^+..., F)
Ы(\ + х) = х-^+ ... + (- I)" -? + ... G)
Выясним область сходимости ряда F). Так как простое число р
входит в п\ с показателем — + -г- + ..., то
1р J LP J
а значит,
(И nv <*) ~ v ("О > я (v (х) -
Если теперь v(x)>—е—л, то v \~}-*• °° при п -* °°, и ряд F)
г р —¦ 1 \п- J
сходится. С другой стороны, при v (х) ^ __, и прп п= ps мы
имеем
= пх (х) — е -. = n\v(x) 7
ч/ р — 1 V р — 1
р — 1 ^ р — 1,
а значит, для таких х общий член ряда F) не стремится к нулю.
Этпм доказано, что ряд F) сходится для тех п только тех х, для
г е I
которых v(x) > и, где х = 7 + 1. Формальное перемножение
IP — iJ
степенных рядов ехр х и ехр у дает, как легко видеть, ряд
ехр (х + у), поэтому при v(a;) > % и v(i/) ^ к имеет место формула
ехр (ж + у} = ехр а; ¦ ехр ^. (9)
Обратимся теперь к ряду G). Если vix) < 0, то \(хп/п) не
стремится к бесконечности при /г -*- °°, и поэтому для таких х
ряд G) не сходится. Пусть теперь v(x) > 1. Если п = рапи
(«j, р) = 1, то /ia «S 7г п v (/г) = ea ^ e ^, откуда
v (жп/«) = nv (х) — v (и) ^ nv (л:) — е Д^,
а значит, v(xn/n) -*¦ °° при /г-»¦<». Таким образом, ряд G) сходит-
сходится тогда и только тогда, когда v(#) > 1.
Если v(#) > 1, то элемент е = 1 + х является, очевидно, еди-
единицей в кольце о целых элементов поля к, при этом е = 1 (mod я).

316 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
Обратно, если для единицы выполнено последнее сравнение, то
она имеет вид ъ — 1 + х, где v(x) > 1. Такие единицы кольца О
называются главными единицами поля к. Ряд G) определяет, та-
таким образом, функцию In e на мультипликативной группе всех
главных единиц поля к. Покажем, что для любых двух главных
единиц 84 и е2 имеет, место формула
111 (8i82) =1П81 + 1П82. A0)
Пусть 8i = l + ;r, 82 = 1 + у, и пусть v{y)>v(x), так что y — tx
с целым t и
A + х)A + у) = 1 + it + i)x + tx\
Будем рассматривать выражение (t+ l)x + tx2 как степенной ряд
от х, все члены которого принадлежат области сходимости ряда
ln(l + z). Так как формальная подстановка этого выражения
в ряд ln(l + z) дает нам In A + х)-+Ы A + tx), то ввиду тео-
теоремы 2 получаем равенство
In A + (t + 1) х + to2) = 1 n A + x) + In A + tx),
которое и доказывает формулу A0).
Формальная подстановка ряда G) в ряд F), а также ряда
ехрж —1 в ряд G) дает нам следующие формальные тождества:
= H-a;, (И)
;г. A2)
Поскольку здесь речь идет о формальных равенствах, то для их
проверки мы можем считать х комплексной переменной и вос-
воспользоваться теоремой о подстановке ряда в ряд для комплексных
степенных рядов (см., например, [17], с. 206—208). Чтобы выяс-
выяснить, при каких условиях формальные тождества A1) и A2)
можно рассматривать как равенства в поле к, обратимся к тео-
теореме 2. Согласно этой теореме равенство A1) будет справедливо,
если все члены ряда lnd + x) удовлетворяют условию v(xn/n) 3=
> я. При п = 1 это дает нам условие v(x) > к. Но если v(x) > х,
то \(хп/п) ^ пк^ к при 1 sg п =? р — 1 и
v (хп/п) — к >(/г — 1) к — v (п) >
4 ' р — 1 lnp lnp \р— 1 n — ij
при п > р Зг 2 (здесь мы воспользовались тем, что функция .
при t^2 монотонно убывает). Следовательно, равенство A1)
справедливо при условии v(x) Зг и. Кроме того, мы видим, что
при том же условии v(ln A + х)) > к. Перейдем к формуле A2).
Из (8) следует, что при v(x) 3= к все члены ряда ехря— 1 содер-
содержатся в области сходимости ряда 1пA + ;г), а значит, формула
A2) справедлива для всех тех х, для которых ехр х имеет смысл.

§ 5] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПОЛНЫХ ПОЛЯХ 317
Обозначим через А аддитивную группу всех тех х^к, для
которых v(x) Зг к, и через М — мультипликативную группу еди-
единиц г = \ + х, х^А. По доказанному отображение в -*• In e
(е ^ М) является гомоморфизмом группы М в группу А. Пока-
Покажем, что отображение х -*¦ ехр х является гомоморфизмом А в М.
Ввиду (9) мы должны, очевидно, лишь проверить, что vGrV/г!) >
>я при всех х^А и всех /г>1. Пусть р" ^/г< ps+1. Тогда
Pi
+ -.- + l4ll>
.p
>(ra-l)e
что п требовалось получить. Формулы (И) и A2) показывают те-
теперь, что отображения In: М ->- А и ехр: А -*¦ М взаимно одно-
однозначны и обратны друг другу. Мы доказали, таким образом, сле-
следующий результат.
Теорема 3. Отображение х -*¦ ехр х является изоморфиз-
изоморфизмом аддитивной группы всех тех целых чисел поля к, которые
делятся на пк1х — \ + 1 ], на мультипликативную группу
главных единиц е, сравнимых с I по модулю л". Обратный изо-
изоморфизм осуществляется отображением г -*¦ In е {для г зэ
= 1 (mod я")).
Что касается отображения е -*¦ log e на всей группе главных
единиц, то оно, вообще говоря, уже не является изоморфизмом
(задача 5). Кроме того, значение lne не обязательно является
целым.
Наряду с функцией е" в вещественном анализе рассматрива-
рассматривают также показательную функцию ах = ех1ла. Ее аналогом в по-
поле к является функция
т)" = ехр (ж In г]), A3)
где т) — главная единица поля к. Эта функция определена, оче-
очевидно, При УСЛОВИИ v(x) ^ К — V (In Г]). ЕСЛИ ПОЭТОМу Т] =
?з 1 (mod я"), то ц* будет иметь смысл при всех целых х из к,
при этом для значений rj* будет выполнено сравнение т]*з=
^^гш^я"). Для показательной функции A3) в случае т) е*
Еэ 1 (mod я") при любых целых хну имеют место формулы
л*+» = rfrf, (rf)« = г]*". A4)
Задачи
1. Доказать, что функция f(x), аналитическая при \(х) ^ ц (в полном
поле с показателем v) и имеющая бесконечно много нулей в области
\{х) ^= |i, тождественно равна нулю.
2. Пусть к — поле характеристики 0, полное относительно неархимедо-
неархимедовой метрики ф (задача 4 § 4 гл. I). Предположим, что метрика <р такова,
что q>(p) < 1 для некоторого простого рационального числа р. Доказать, что

318 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
область сходимости ряда ln(l + z) в поле к характеризуется условием
ф(ж) < 1, а область сходимости ряда ехрх — условием <р (х) < у
3. При тех же условиях определить область сходимости рядов
sin х = 2 (- D" BJTTI)!' cos x = 2 (- if №
n=i n=o
4. Найти ошибку в следующем доказательстве иррациональности чис-
числа я. Число я есть наименьшее положительное число, для которого sin л =
= 0. Пусть к рационально. Так как я > 3. то его числитель должен делить-
делиться либо на нечетное простое число р, либо на 22 (в последнем случае по-
положим р = 2). Отсюда следует, что ряды sin x и cos х в поле .р-адических
чисел Qp сходятся при х = я. Но ввиду формулы
sin {х -\- у) = sin ж cos у + cos ж sin ^
из равенства sin я = 0 вытекает, что sin гая = 0 при любом натуральном га.
Функция sin ж имеет, такпм образом, в своей области сходимости бесконеч-
бесконечно много пулей. Следовательно, согласно задаче 1 она тождественно равна
ьулю, и мы получили противоречие.
5. Пусть к — конечное расширение поля р-адических чисел Qp и е —
главная единица поля к. Показать, что In г = 0 тогда и только тогда, ког-
когда в есть корень степени ps (s ^= 0) из 1.
6. Сохраним все обозначения пункта 2. Главные единицы 8, которые
5=1 (modя*1), образуют, очевидно, мультипликативную группу Мь. Все це-
целые числа поля к, делящиеся на лк, образуют аддитивную группу А^. До-
Доказать, что при к ^ х отображение s -*¦ In 8, е е Mk является изоморфиз-
изоморфизмом группы Mk на группу Аи (обратным изоморфизмом будет отображение
х -*¦ ехр х, х е Аь).
7. Доказать, что в полном поле с показателем область сходимости сте-
оо
пенного ряда / (х) = 2 апхП содержится в области сходимости его произ-
п—о
водной /' (х) = ^ папхп~1. Показать на примере, что области сходимости
рядов f(x) и f(x) могут не совпадать (даже в случае поля нулевой харак-
характеристики) .
8. Доказать, что в кольце 2-целых чисел сумма
2 + ^ + 2+...+L
2 3 га
делится на сколь угодно большую степень двойки, если только га достаточ-
достаточно велико.
9. Доказать, что все коэффициенты ап ряда
п=о
являются />-целыми рациональными числами (р простое).
Указание. Доказать, что число

§ 6] МЕТОД СКОЛЕЫА 319
равно числу элементов в симметрической группе га-й степени, порядок ко-
которых есть степень р, и применить теорему о том, что для любого делите-
делителя d порядка конечной группы G число элементов веб, удовлетворяющих
уравнению ий = i, делится на d.
10. Доказать, что Ер (х) = JJ (l — xm)-v*-m)/m (m пробегает все на-
(m,j>)=l
туральные числа, взаимпо простые с р, ц(т) - функция Мёбиуса).
И. Пусть г|—главная единица из конечного расширения поля р-адиче-
ских чисел и х — целое р-адическое число. Выберем последовательность на-
натуральных чисел {а„}, сходящуюся к х. Доказать существование предела
lim Т) п и его независимость от выбора {ап} (см. задачу 14 § 3 гл. I). До-
П-»оо
казать, далее, что функция if = lim г) " обладает свойствами A4) и в об-
71-*оо
щей области определения совпадает с функцией A3).
12. Пусть к — конечное расширение поля р-адических чисел степени
инерции / относительно Qp- Показать, что группа всех ериниц в кольце це-
целых элементов поля к есть прямое произведение содержащейся в к группы
корней степени pf — 1 из 1 и подгруппы главных единиц (использовать
задачу 10 § 1).
Замечание. Функцию In можно распространить на всю группу еди-
пиц кольца целых элементов поля к. Именно, если в = 6г|, где в — корень
степени р! — 1 из 1 и т) — главная единица, то полагаем In в = In ц.
6. Метод Сколема
В этом параграфе мы изложим принадлежащий Сколему метод
исследования неопределенных уравнений вида
..., хт) = с, A)
где F — неприводимая разложимая неполная форма (см. п. 3 § 1
гл. II), а с — рациональное число. Этот метод основан на при-
применении простых свойств локальных аналитических многообразий
над полем ф-адических чисел, доказательства которых изложены
в следующем параграфе.
1. Представление чисел неполными разложимыми формами.
Согласно п. 3 § 1 гл. II уравнение A) может быть записано
в виде
N(x,\ii + ... + xm\xm) = а B)
или
= а, а^М, C)
где j^i, ..., \хт — числа из некоторого поля алгебраических чисел
к, а М = {|Xi, ..., \im) — модуль, порожденный этими числами
(а — рациональное число). Заменив, быть может, форму F цело-
численно эквивалентной ей формой, мы можем добиться того, что-
чтобы в представлении B) образующие \хи ..., ]хт модуля М были
линейно независимыми над полем рациональных чисел Q. По ус-
условию модуль М неполный, поэтому т<ге = (к'. Q).
В гл. II мы видели, как находятся все решения уравнения C),
если М — полный модуль поля к. Естественно поэтому для реше-

320 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
пия уравнения C) вложить модуль М в полный модуль М и най-
найти, пользуясь методами гл. II, все решения уравнения Ма) = а,
а е М, а затем отобрать из них те решения а, которые содер-
содержатся в М.
То, что любой модуль в к можно вложить в полный модуль,
очевидно. Для этого достаточно дополнить любым образом систе-
систему линейно независимых чисел \iu ..., \im до базиса Hi, ..., \лп
поля к и положить_М = {щ, ..., \in}.
Если все asM, для которых Ма) = а, уже найдены, то мы
получим все решения уравнения C), если среди этих ссеМ вы-
выделим те, у которых в представлении
коэффициенты хт+и ..., хп равны нулю. Чтобы условия xm+i =
= 0, ..., хп = 0 выразить непосредственно через а, удобно вос-
воспользоваться взаимным базисом |лх,..., |л„ для базиса |Xi, ..., |лп
(см. Дополнение, § 2, п. 3). Так как след SpHjR равен 0 при
i^=j и равен 1 при J_f=/, то Xi = Spa|x{ (l^i^rc). Отсюда сле-
следует, что числа asM, принадлежащие подмодулю М, характери-
характеризуются условиями
Sp ац* = 0, i = т + 1, ..., п. D)
Согласно теореме 1 § 5 гл. II все решения уравнения Ма) =
= j,aeM, записываются в виде
a = Тз-8^ ... г?, 1</</i, E)
где 7ь • • •, 7* — некоторое конечное множество чисел модуля М
с нормой a, et, ..., ег — система независимых единиц поля к и
и„ ..., мг — произвольные целые рациональные числа. В силу
D) решение уравнения C) равносильно, таким образом, решению
h систем уравнений вида
SpGjx*e"i ... г1/) = 0, i = т + 1, ..., п, F)
относительно целых рациональных м(, ..., мг (здесь у — одно из fj).
Пусть К — поле алгебраических чисел, содержащее все поля,
сопряженные с к, и пусть а±, ..., о„ — все изоморфизмы к в К.
Так как Sp | = ai(|) + ... + аЛЮ для любого | «= к, то систему F)
можно переписать так:
п
2 ^(тм-*)^(е1)и± ... о-,-(е,.)иг = 0,, ? = т + 1,...,п. G)
Ясно, что для доказательства конечности числа решений уравне-
уравнения C) нам достаточно показать, что каждая из систем вида G)
имеет лишь конечное число решений в целых рациональных чис-
числах Ki, . . ., Мг.

§ 61 МЕТОД СКОЛЕМА 321
Замечание. Совокупность чисел поля к, записываемых
и иг
в видеех . .. ег , где ait ..., иг пробегают все целые рациональные
числа, назовем мультипликативной подгруппой поля к и обозна-
обозначим через U. Все.решения уравнения C) совпадают, очевидно,
с числами из пересечений
МП^и, / = 1, ..., h. (8)
Вместо любого из множеств (8) можно рассмотреть подобное ему
множество yJxM fl U. Мы видим, таким образом, что задача о на-
нахождении решений уравнения A) сводится к задаче о пересече-
пересечении модуля и мультипликативной подгруппы поля к. Добавим
к этому, что вместо модуля М в пересечениях (8) можно взять ли-
линейное пространство L (над полем Q), натянутое на u,f, ..., ц,,..
Действительно, так как "[№с М и Ы\ М = М, то Lu jjU =
= М П fjU.
2. Связь с локальными аналитическими многообразиями. Идея
метода Сколема заключается в том, что в некоторых случаях уда-
удается доказать конечность числа решений уравнения A), показав,
что система G) имеет лишь конечное число решений даже в том
случае, если неизвестные ut, ..., ит искать среди целых ф-адиче-
ских чисел (т. е. среди целых элементов пополнения К^\, где $ —
произвольно выбранный простой дивизор поля К. При таком рас-
расширении области возможных значений неизвестных мы можем
интерпретировать совокупность решений системы G) как локаль-
локальное аналитическое многообразие в r-мерном пространстве и для их
исследования применить свойства этих многообразий.
Разрешая переменным ин ..., иг в левых частях уравнений G)
принимать $-адические значения, мы сталкиваемся, однако, с тем
затруднением, что показательная функция е" = ехр (и.In г) оп-
определена для любого целого ф-адического числа и только в слу-
случае, когда е удовлетворяет сравнению 8 = 1 (mod ф*) (х — целое
число, зависящее лишь от поля К<^; см. конец § 5). Эта трудность
обходится следующим образом. Согласно задаче 6 § 7 гл. III су-
существует такое натуральное число q, что для любого целого числа
а е к, не делящегося на $, справедливо сравнение
a'^KmodSP"). (9)
Любой показатель и( в формуле E) можно записать в виде
и ur
и, следовательно, для единицы е = &г ... ег имеет место пред-
представление е = 8,гх 1 ... ег г, I = 1, .. ., qr, где бг — одно из qr
чисел Ej1 ... г/, O^p
Мы получаем, таким образом, для чисел а вида E) новое пред-
представление, в котором вместо 8i стоят &it а вместо конечного мно-

322 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
жества чисел х,- — конечное же множество чисел у3б(. Так как е*
являются единицами, то для них и для о/е;) выполнено сравне-
сравнение (9), а следовательно, функция аДе?)"определена для любого
целого ф-адического числа и S К^. Мы доказали следующий ре-
результат.
Лемма 1. За счет, быть может, другого выбора чисел у3- и et
в формулах E) можно добиться того, чтобы функции оДеЛ" были
определены для всех целых чисел и поля Кг$.
В дальнейшем мы будем предполагать это условие выполнен-
выполненным без дополнительных оговорок.
Вернемся к системе уравнений G). Приняв во внимание фор-
формулы (9) и A3) § 5, мы можем эти уравнения переписать в виде
2 Ац exp Lj (щ, ..., щ) = 0, i = ш + 1, ..., п, A0)
0=1
где Lj (uu ...,ur)= 2Mt loS ai (ей)> Аа = ai (vm-i*)- Так как ле-
вые части уравнений A0) представляются в виде степенных рядов,
сходящихся для всех целых $-адическпх ц,, ..., иг, и, следователь-
следовательно, являются аналитическими функциями, то все решения систе-
системы A0) можпо интерпретировать как локальное аналитическое
многообразие (в окрестности произвольного решения) в смысле
определения § 7.
Число неизвестных в системе A0) равно г, а число уравнений
равно п — т. Естественно ожидать, что многообразие, определен-
определенное этой системой, состоит из конечного числа изолированных то-
точек, если п — т,> г. Вспомним, что число г появилось в связи
с теоремой Дирихле о единицах и равно s + t — 1, где s — число
вещественных, а ? — число пар комплексных изоморфизмов поля к
в поле комплексных чисел. Так как п = s + 2t, то условие п —
— mis? г равносильно условию t ^ т — 1. В простейшем интерес-
интересном случае т = 2 это условие означает, что t > 1, т. е. что среди
полей, сопряженных с к, имеется по крайней мере одна пара
комплексных. Этот случай, приводящий к теореме Туэ, и будет
разобран нами в следующем пункте.
Предположим, что система A0) имеет бесконечно много реше-
решений (&ls, ..., u,s), s = 1, 2, Ввиду свойства компактности коль-
кольца целых ^-адических чисел (см. теорему 6 § 3 гл. I и замеча-
замечание 2 в конце п. 2 § 1 настоящей главы) из этой последователь-
последовательности решений можно выделить сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность, предел которой мы обозначим через щ, .. ., и*. Ясно, что
(¦эк
Mi, ..., иТ также удовлетворяет системе A0) и, значит, ле-
лежит на многообразии, определяемом этими уравнениями, при этом
она обладает тем свойством, что в любой ее. окрестности лежит
бесконечно много других точек многообразия. Вместо ии ..., иг

§ 6] МЕТОД СКОЛЕМА 323
введем новые переменные vu ..., vT по формулам
Щ = и* + vu l<[i<>.
Система A0) перепишется тогда в виде
п
}(v1,...,vr) = 0, i = m + l, ...,n, (И)
где нами положено A*j= Л^ехр Lj {и\, ...,иг). Свободные члены
рядов, стоящих слева в уравнениях A1), равны нулю. Обозначим
через V локальное аналитическое многообразие (в окрестности
точки @, ..., 0)), определяемое системой A1) (см. определение
§ 7). Так как это многообразие не сводится к одной точке (в лю-
любой окрестности начала содержится бесконечно много других то-
точек многообразия), то по теореме 2 § 7 на V лежит аналитиче-
аналитическая кривая, т. е. существует такая система формальных степен-
степенных рядов ti>i(t), ..., (DrU) (не равных одновременно нулю и без
свободных членов) с коэффициентами из конечного расширения
ПОЛЯ Т(а^, ЧТО РЯДЫ
Pitt^LiW*), ..., <о,(*)) A2)
удовлетворяют тождественно соотношениям
и
2 A*j exp Pj (t) = 0, i = m + 1, ..., п.
3=1
Нами получен, таким образом, следующий результат.
Теорема 1. Если уравнение A) имеет бесконечное число ре-
решений, то хотя бы на одном из локальных аналитических много-
многообразий вида A1) {для некоторого ч = 7,- и некоторой точки
( * *\\
\иг, . .., иг)) лежит аналитическая кривая.
Эта теорема и является основой метода Сколема. Она сводит
вопрос о конечности числа решений уравнения A) к доказатель-
доказательству того, что система вида A1) не имеет решений в формальных
степенных рядах от одной переменной, т. е. что на соответствую-
соответствующем локальном аналитическом многообразии нет аналитических
кривых.
Заметим, что между п рядами Pj(t), определенными равенства-
равенствами A2), имеется п — г линейных соотношений
3=1
так как они являются линейными комбинациями г степенных
рядов ыкШ. Таким образом, наличие на многообразии V аналити-
аналитической кривой влечет за собой разрешимость (в степенных рядах

324 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
РМ) без свободных членов) системы
п
A3)
в которой отдельно уравнения первой и второй групп липейпо не-
независимы. (Линейная независимость уравнений первой группы
следует из того, что определитель detcr,("\>F4 X квадрат которого
равен дискриминанту базиса 71-4 i отличен от пуля, а потому ранг
матрицы (А{}) (т+ 1 =Si i < n, 1sS/=Sh) и, следовательно, матри-
матрицы (Л*,)равен п — т.) Если мы предположим выполненным усло-
условие п — т~5^г, то общее число уравнений в системе A3) будет ^ п.
3. Теорема Туэ. Теорема Туэ гласит, что если форма fix, у) =
= аохп + aixn~iy + ... + апуп от двух переменных с целыми рацио-
рациональными коэффициентами неприводнма п имеет степень п * 3,
то уравнение
fix, г/) = с A4)
имеет конечное число решений в целых числах. Так как форма от
двух переменных всегда разложима и при п > 2 неполная, то
уравнение A4) входит в класс рассматриваемых нами уравнений
A). Здесь т = 2, и поэтому условие t 5* т — 1, при котором можно
надеяться на применение метода Сколема, означает, как уже от-
отмечалось, что t SS= 1, т. е. что уравнение fix, 1) = 0 имеет хотя бы
один комплексный корень. В таком случае говорят, что форма
fix, у) имеет комплексный корень. В этом предположении мы и
докажем теорему Туэ методом Сколема. Иначе говоря, мы до-
докажем следующее утверждение.
Теорема 2. Если целочисленная неприводимая форма fix, у)
степени п^Ъ имеет хотя бы один комплексный корень, то урав-
уравнение fix, у) = с имеет конечное число решений в целых числах.
Доказательство. Будем считать, что у формы fix, у)
коэффициент а0 при хп равен 1 (если это не так, то мы умножим
уравнение A4) на а^ и заменим аох на х). Положим & = Q@),
К = QF1, ..., Qn), где числа 8 = 8i, 82, ..., 8„ определены раз-
разложением
fix, 1) = (х + Ъх)..Лх + вп).
Для каждого / = 1, ..., п через сг,- обозначим изоморфизм поля к
в К, при котором 8 -»¦ 0j. Так как f(x, y) = N(x + г/8) (N обозначает
норму относительно расширения к/О), то уравнение A4) мы мо-
можем записать в виде C), где под М надо понимать модуль {1, 0}.
Таким образом, в рассматриваемом случае fii = l, ju,2 = 0 Ы = 2).

§ 6] МЕТОД СКОЛЕМА 325
Предположим, что уравнение C) для модуля М = {1, 8) имеет
бесконечно много решений а = х + г/9. Тогда при некотором
¦у = fje к бесконечно много этих решений представляется в виде
E), где независимые единицы ги ..., ег поля к подчинены требо-
требованию леммы 1. Соответствующие- нашим решениям а показатели
Mi, ..., иг в равенствах E) будут удовлетворять системе A0).
Выберем среди решений а последовательность аи а2, ... так, что-
чтобы соответствующие им точки
(uis, • ¦., ura), s = 1, 2, ..., A5)
сходились к некоторой точке (и1, . . ., ит ). Согласно п. 2 локальное
аналитическое многообразие F, определяемое уравнениями A1),
содержит аналитическую кривую к^Ш, ..., ыМ) п для всякой та-
такой кривой на V ряды A2) удовлетворяют некоторой системе
вида A3).
Дальнейшее доказательство теоремы 2 основывается на сле-
следующем важном вспомогательном результате.
Лемма 2. Пусть дана система уравнений
п
2 a;j exp Pj = 0, г = 1, . . ., щ,
в которой уравнения первой и второй групп в отдельности линей-
линейно независимы. Если nt = п — 2, п2 ^ 2 м если система имеет ре-
решение в формальных степенных рядах Piit), ..., РпШ без свобод-
свободных членов, то Pk(t) =Pj(t) no крайней мере для двух различных
индексов к и /. (Коэффициенты а« и Ьу, а такн>е коэффициенты
степенных рядов Pjit) принадлежат произвольному полю характе-
характеристики 0.)
Доказательство этой леммы мы приведем ниже, а сейчас по-
покажем, как из этой леммы вытекает теорема 2.
Согласно лемме 2 для всякой кривой ю1(Л, ..., <arU) на V по
крайней мере для двух различных индексов к и j выполняется
равенство Ph(t) =Pj(t), т. е.
A7)
Рассмотрим в r-мерном пространстве точек (Vi, ..., vr) много-
многообразие W, определенное уравнением
П (Lk {vlf ...,vr) — L} (yl7 ..., vr)) = 0.
h<i<
Из A7) следует, что всякая кривая, принадлежащая локальному
аналитическому многообразию V, принадлежит также и W. Но
Мо теореме 3 § 7 V<=W, т. е. все точки многообразия V,

326 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
содержащиеся в достаточно малой окрестности начала, принадле-
принадлежат также и W.
С другой стороны, мы покажем сейчас, что среди точек (vis,
..., vrs) e V, s = 1, 2, ..., связанных с точками A5) соотношением
uis = иг + vis и сходящихся к началу, имеется только конечное
число точек, принадлежащих многообразию W. Это противоречие
м докажет теорему 2.
Пусть а = х + г/0 и а = х' + г/'0 — два числа из последова-
последовательности {aj, для которых соответствующие точки из V принад-
принадлежат многообразию Lh = Lj. Если а = уе^ ... г/ и и; = в; +
-+¦ vu то
Ч («) = а} (у) ч (8l)ui ... oj (er)u* о, (8X)^ ... or, (8r)"r =
= CjexpL3-(Vl, ...,vr)
и аналогично а4(а) = cftexp Lk(.Vi, ..., vT), откуда
Oj(a)/Cj = aft(a)/cft.
Точно таким же образом мы найдем, что
Oj(a')/c,- = ak(a')/ch.
Оба последпих равенства вместе дают нам
откуда (зд' — ж'у)(8я — 0,) =0, а так как 0^=5^0,, то
ху' — х'у = 0.
Последнее означает, что х + г/0 = дкх' + г/'0) с некоторым рацио-
рациональным d. Переходя к нормам и учитывая, что N(a) = N(a'),
получаем равенство dn = 1, откуда d = ±\ и, следовательно,
Итак, на каждом из п(п — 1)/2 многообразий Lh = Lh объеди-
объединение которых совпадает с W, содержится не более двух точек
из V, соответствующих числам последовательности (aj. Но тогда
на W имеется не более п(п— 1) таких точек. Следовательно, в лю-
любой окрестности начала мы имеем точки многообразия V, не при-
принадлежащие W, а значит, V (как локальное аналитическое много-
многообразие) не может содержаться в W, вопреки полученному ранее
включению V czW. Полученное противоречие, как уже говорилось,
и доказывает теорему 2.
Доказательство леммы 2. Так как по условию первая
группа уравнений линейно независима, то мы можем (при надле-
надлежащей нумерации) выразить ехрР< (?=1, ..., п— 2) через
i и ехрР„:
ехр Р( = ач exp Pn-i + bt exp Pn. A8)

§ 6] МЕТОД СКОЛЕМА 327
Если пх = 0, то из равенства ехр Р( = Ъг ехр Р„, сравнивая свобод-
свободные члены, находим, что &* = 1 и, следовательно, Pi = Рп. Мы мо-
можем, таким образом, предполагать, что все at отличны от нуля.
Положим
P,-Pn = Qi, i=l, ..., ге-1,
и предположим, что все Qt отличны от нуля. Равенство A8)
дает нам
ехр Qi = пг ехр Qn-i + Ъг, A9)
откуда, дифференцируя по t (см. задачу 10), получаем
Q ¦ ехр Qi = diQ'n-i ехр <?„_х. B0)
Равенства A9) п B0) приводят нас к соотношениям
^i^espg, * = l,...,n-2, B1)
где с{ = biuj1.
Воспользуемся теперь второй группой уравнений A6). По
условию среди них имеется по крайней мере два линейно незави-
независимых. Но тогда, как легко видеть, мы можем найти нетривиаль-
нетривиальное соотношение между Qu ..., Qn-i'.
Продифференцировав это тождество и заменив Q{ выражениями
B1), мы получим
а так как Qn-i Ф 0 и ехр Qn-i Ф 0, то
F^^-0 <22)
(мы здесь считаем с„_4 = 0).
Равенство B2) может иметь место только в случае, когда ра-
рациональная функция
1^ B3>
тождественно равна нулю. В самом деле, если это не так, т. е.
функция B3) равна фЫ/фЫ, причем ф(г) Ф 0, то ввиду равен-
равенства ф(ехр Qn-J = 0 мы получаем, что отличный от константы
формальный степенной ряд ехр Qn~i является корнем алгебраиче-

328 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
ского уравнения, вопреки утверждению задачи 4 § 1. Очевидно,
что функция B3) может обратиться тождественно в нуль только
при условии, что ск = с; по крайней мере для двух различных ин-
индексов к и /. Но тогда из равенств A9) мы найдем, что
ехр Pk = —- ехр Pj,
а-
откуда легко следует равенство Ph = Pj. Лемма 2 доказана.
Замечание. Метод Сколема дает возможность доказать
конечность числа целых решений уравнения A4). Однако он не
дает алгоритма для нахождения самих решений. Причина этого
следующая. После того как доказано, что система G) имеет ко-
конечное число целых ф-адических решений, можно легко указать
алгоритм для последовательного вычисления коэффициентов
в разложении любого из этих решений по степеням простого эле-
элемента. Однако не существует алгоритма, который на основании
конечного числа коэффициентов давал бы возможность судить,
пмеем ли мы дело с целым рациональным решением.
Этим недостатком обладает и доказательство, данное самим
Туэ.
Бейкеру удалось найти эффективный метод для определения
всех решений уравнений A4) (см. [58]). Именно, основываясь на
оценках линейных форм от логарифмов алгебраических чисел,
Бейкер доказал существование такой эффективно вычислимой
константы С, зависящей от коэффициентов формы /, ее степени п
и числа с, что для всех целочисленных решений {х, у) уравнения
A4) справедливы неравенства
\х\<С, \у\<С.
Например, можно положить С = ехр (nr Arn + (In | с |)™+2), где
г = 32га(ге + 2J и А — максимум абсолютной величины коэффици-
коэффициентов формы /.
Метод Бейкера позволяет также явно вычислить константу,
которая ограничивает сверху дискриминанты всех одноклассных
мнимых квадратичных полей. О решении проблемы десятого
дискриминанта было сказано в конце п. 2 § 7.
Заметим в заключение, что Зпгель доказал конечность числа
целых решений для гораздо более широкого класса уравнений
Fix, у) = 0, где F — многочлен с целыми коэффициентами, удов-
удовлетворяющий очень слабым ограничениям (уравнение F =0
должно определять кривую, которая нерациональна, т. е. не до-
допускает параметризации x = q>(t), у = ^Ш, где ф и г|з — рацио-
рациональные функции от t). При этом теорема Зигеля справедлива и
для решений в целых числах фиксированного поля алгебраиче-
алгебраических чисел (см. [30], гл. VII). К настоящему времени неизвестен,

§ 6] МЕТОД СКОЛЕМА 329
однако, метод эффективного нахождения всех решений уравнений,
которые рассматриваются в теореме Зигеля.
4. Замечания о формах с большим числом переменных. В свя-
связи с теоремой Туэ возникает вопрос: при каком условии уравне-
уравнение вида A) с неполной разложимой формой имеет лишь конеч-
конечное число решений в целых числах? В некоторых случаях такие
уравнения могут иметь бесконечное число решений. Примером
может служить уравнение
х" + 4z/4 + 9z4 - Ах2у2 - 6sV - 12z/V = N(x + уП + zV3) = 1
(норма берется в расширении Q( У 2, уЗ)/О). Это уравнение име-
имеет две бесконечные серии решений, задаваемые формулами:
z = 0;
х + zl/3 = ±B + V3)", z/ = 0.
Причина этого явления заключается в том, что, полагая z = О
или у = 0, мы получаем из нашей формы квадрат полной формы:
(х2 — 2у2J и (х2 — 3z2J соответственно. Это означает, что модуль
{1, V2, "УЗ), соответствующий нашей форме, содержит полный
подмодуль меньшего поля, а именно:
{1, /2)cQ(/2) и (l,/3|cQ(/3).
Опишем общий тип форм, обладающих аналогичным свой-
свойством. Запишем уравнение A) в виде C) и рассмотрим липейпое
подпространство L (над Q), порожденное числами модуля М. Мо-
Модуль М назовем вырожденным, если соответствующее ему про-
пространство L содержит подпространство V, подобное некоторому
иодполю к' <= к, причем к' не является ни полем рациональных
чисел, ни мнимым квадратичным полем.
Покажем, что для вырожденного модуля уравнение C) имеет
бесконечно много решений (во всяком случае, для некоторых а).
Действительно, если U = ук' {у е к) и М' = L' П М, то °\~*М' —
полный модуль поля к'. По определению вырожденного модуля
для поля к' число основных единиц в любом порядке не равно
нулю, поэтому уравнение
tf*'/Q ® = «. l^y^M', B4)
имеет бесконечное число решений (если только оно имеет хотя бы
одно решение). Положим а1 = Nk/Q (у) аг, где г= (к: к'). Так как
Xk/Q (ly) = (Nk,/Q(l))rNk/G (у) = а
и |y е М' с: М (для любого \, удовлетворяющего уравнению B4)),
то уравнение -W&/Q (tj) = ах, ч\еМ, имеет бесконечно много
решений.

330 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
Основная гипотеза об уравнениях вида A) заключается в том,
что каждое такое уравнение имеет лишь конечное число решений
в целых числах, если только соответствующий ему модуль не яв-
является вырожденным.
В. Шмидт доказал эту гипотезу в общем виде [119]. Его ме-
метод, так же как п первоначальный метод Туэ, основан на теории
приближений алгебраических чисел рациональными.
Задачи
1. Пусть ряд /@ = а0 + a4f + a2t2 + • •. с целыми р-адическими коэф-
коэффициентами сходится для всех целых р-адичсских значений t. Доказать, что
если
Vp(aj) < Vp(flft), k = 2, 3, ...,
то уравнение f(t) = О имеет ровно одно целое р-адическое решение при
\р("р) ^ Vp(oi) и не имеет целых р-адических решений при vp(o0) < vp(ai),
2. Пусть a' > 1 — натуральное число, свободное от кубов, и пусть (о, Ъ)
и (oi, &i)—два нетривиальных (отличных от A, 0)) решения уравнения
х3 + йуъ = 1
(в целых рациональных числах). В кубическом поле K = Q\yd) положим
s = а + Ъ у d, е% = аг -f- b± j ~d. Доказать, что тогда eu = в? при некото-
некоторых целых рациональных и и v, из которых хотя бы одно не делится на 3.
3. Сохраняя обозначения предшествующей задачи, предположим,, что
d = ±1 (mod 9). Тогда в поле К имеет место разложение 3 = у3 (задача 24
§ 7 гл. III), а значит, степень р-адического пополнения К поля К над по-
полем 3-адичсских чисел Q3 равна 3. Считая, что v Ф 0 (mod 3), положим
t = ujv. Доказать, что число t (рассматриваемое как целое 3-адическое чи-
число) является корнем уравнения
оо
где ап = -^j- Sp ((In i])n), r\ = в3. (Здесь Sp означает, след относительно рас-
расширения A' /Q3- ) Доказать, что ряд, стоящий в левой части уравнения (*),
сходится при всех целых 3-адических значениях t.
Указание. Доказать, что Sp(lnTj) =0 и Spr]i=3, 'П1 = в^.
4. Для коэффициентов ап ряда (*) доказать, что
v3(a2) = vs(a3) = (X + 3, v3(an)>(i + 3 при re > 3,
где (х = \3(a3b3d) (л»з — 3-адический показатель).
Указание. Воспользоваться тем, что если г| = 1 + Зж, х = аЪy^dе, то
log I] = Зх — -у х2 + 9х3 (mod 34+|i),
а также тем, что след любого элемента из кольца 23 \\ ~d\ Делится на 3
(Z3 — кольцо целых 3-адических чисел).
5. Основываясь на задачах 1—4, доказать, что уравнение х3 + dy3 = 1
при d Ф ±1 (mod 9) имеет не более одного нетривиального решения в це-
целых рациональных числах.

§ 7] ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 331
6. Доказать утверждение предшествующей задачи для случая, когда
dss±l (mod 9).
Указание. Припять во внимание, что число 3 в поле K=Q{yrd) рас-
раскладывается в произведение 3 = р2<) (задача 24 § 7 гл. III), и перенести
утверждения задач 3 и 4 па прямую сумму К3 = К^@К^ (см. § 2). Лога-
Логарифмическая функция на К3 определяется точно так же, как и на поле: ряд
будет сходящимся для всех тех § = (a, JS) е-К3, для которых а и [5 явля-
являются главными единицами полей К и К соответственно. След Sp(g) оп-
определяется как след матрицы линейного преобразования |'->-gg' (s'eA).
и поэтому для элементов из -К он совпадает со следом соответствующих чи-
чисел из К. (Относительно задач 2—6 см. работу Б. Н. Делоне [44].)
7. Пусть ряд /(?) = а0 + <М + я2?2 + ... с целыми р-адическими коэф-
коэффициентами сходится при всех целых р-адических значениях t. Доказать,
что если ап является р-адпческой единицей и as = 0 (mod р) при всех s > п,
то уравнение /(?) = 0 имеет пе более п целых р-адических решений.
8. Пусть целочислентгая последовательность
Щ, Mi, . . ., М„, . . . (**)
удовлетворяет рекуррентному соотношению an =a\un-i + ... + атип-т
(ат ф 0) с целыми рациональными коэффициентами at, ..., ат. Предполо-
Предположим, что многочлен ц>(х) = хт—a\xm~x — ... — ат не имеет кратных кор-
корней. Доказать, что тогда существует такое натуральное число М, что для
всех индексов п из одного и того же фиксированного класса вычетов по мо-
модулю М либо все значения ип совпадают, либо никакое число не встречает-
встречается среди этих значений бесконечно много раз.
Указан и е. Воспользоваться формулой un = A^J[ + ... + ^тат (а; —
корпи ф(г)) и тем, что при надлежащем простом р и натуральном М функ-
функции aflx — ехр (ж In af1} будут аналитическими функциями для всех целых
/)-адических х.
9. В обозначениях предшествующей задачи предположим, что все кор-
корни а.г A з^ i з^ т) многочлена ц>(х) и все отношения a;/aj (г ф j) не явля-
являются корнями из 1. Доказать, что тогда никакое целое число не встречается
в рекуррентной последовательности (**) бесконечно много раз (если толь-
только она не состоит сплошь из нулей).
10. Пусть /(г/)—произвольный степенной ряд. а g(x)'—степенной ряд
без свободного члена с коэффициентами из некоторого поля. Положим
F(x) = f(g(x)). Доказать^ что
F'{x) =r(g{x))g'(x).
11. Пусть P(t) ф 0 — формальный степенной ряд без свободного члена
над произвольным полем характеристики 0. Доказать, что если
п
2 ai ехр у{Р (t) =0, где не все а, равны нулю, то ^ = fj по крайней мере
г=1
для двух значений индексов к Ф j.
12. Доказать утверждение леммы 2 в предположениях n\ = n — 1, пг =
= 1 и п\ = 1, ni = п — 1.
§ 7. Локальные аналитические многообразия
Пусть к — поле характеристики нуль, полное относительно
показателя v, и ф — метрика, соответствующая показателю v.
В этом параграфе под га-мерным пространством Ъп мы будем по-
понимать совокупность последовательностей (а4, ..., а„), называв-

332 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
мых точками, компоненты которых принадлежат к или конечным
расширениям поля А;. Под е-окрестностью нулевой точки в Ж"
будет подразумеваться совокупность точек (ah ..., ап), удовлет-
удовлетворяющих условиям ф(а;) < е (i = 1, ..., п) (е — вещественное
положительное число).
Рассмотрим совокупность степенных рядов f(xu ..., хп) от п
переменных с коэффициентами нз к, сходящихся в некоторой
8-окрестностн нулевой точки (для каждого ряда своя окрестность).
Легко видеть, что все такие ряды образуют кольцо. Обозначим
это кольцо через D. Мы иногда будем писать f(X) вместо
/(ж„ ..., хп).
Определение. Совокупность V точек (аи ..., а„) е %",
принадлежащих некоторой е-окрестности нуля и удовлетворяю-
удовлетворяющих системе уравнений
/.(*)= О, ..., /т(Х)=0, A)
где /ДХ), ..., fm(X) — степенные ряды из кольца D без свободного
члена, называется локальным аналитическим многообразием или,
короче, локальным многообразием.
Два локальных многообразия мы будем считать равными, если
они совпадают в некоторой е-окрестностп нуля.
Локальные многообразия можно, конечно, рассматривать
в окрестности произвольной точки пространства 7сп. Нулевая точка
нами выбрана для удобства обозначений.
Пусть V — некоторое локальное многообразие. Совокупность
всех степенных рядов f(X) е О, обращающихся в нуль во всех
точках многообразия V, принадлежащих некоторой е-окрестно-
е-окрестности нуля, образует, очевидно, идеал кольца О. Этот идеал в D мы
будем обозначать через Slv-. Очевидно, что элементы фактор-
кольца DMV = D можно рассматривать как функции на точках
многообразия V, принадлежащих некоторой е-окрестпости нуля
(для каждой функции своя окрестность). Ввиду этого фактор-
кольцо О называется кольцом аналитических функций на V.
Определение. Локальное многообразие V называется не-
неприводимым, если кольцо функций DMv на V не имеет делителей
нуля. В противном случае V называется приводимым.
Исследование локальных многообразий основывается на трех
простых фактах, из которых один относится к алгебре, а два дру-
других — к свойствам степенных рядов. Мы приведем их без доказа-
доказательств, ограничившись ссылками.
Лемма 1. Для m многочленов giW, ¦ ¦., gm(t) из кольца kit],
старшие коэффициенты которых равны 1, существует система
hi, ..., hr целочисленных многочленов от их коэффициентов, об-
обладающая тем свойством, что при частных значениях коэффици-
коэффициентов из к условия hi = 0, ..., hr = 0 необходимы и достаточны

g 7] ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 333
для того, чтобы многочлены giit), ..., gm(t) имели общий корень
в некотором конечном расширении поля к.
Если тп = 2, то г = 1 и hi является результантом многочленов
gt и g2. Общий случай легко сводится к случаю пг = 2. Доказа-
Доказательство содержится в книге [51.
Лемма 2. Пусть в степенном ряде f(xu ..., хп) е ?) наимень-
наименьшая степень входящего в него члена равна к ^ 1 и коэффициент
при Хп отличен от нуля. Тогда в кольце D можно найти степенной
ряд e(xi, ..., Хп) с отличным от нуля свободным членом, такой,
что
/ (X) е (X) = Хп + ф1 (#i, • • •, Xn-i) Л'1 + • • • + Ф/г (хх, ..., Хп-г),
где ф15 ..., <fh — степенные ряды от переменных хи ..., xn-i с ну-
нулевыми свободными членами.
Доказательство этой леммы содержится в книге [11].
Заметим, что условие необращения в нуль коэффициента при
хп, выполнение которого предполагается в лемме 2, всегда может
быть достигнуто при помощи неособенного линейного преобразо-
преобразования переменных. При этом, как легко видеть, если мы имеем
несколько степенных рядов Д, ..., fm, то линейное преобразование
можно выбрать так, чтобы это условие выполнялось для всех них
одновременно.
Лемма 3. Всякий идеал Ш. кольца D имеет конечную систему
образующих, т. е. в нем существуют такие ряды hi, ..., hs, что
всякий ряд h s 5t представляется в виде
h = gihi + ... + gshs,
где gi, ..., gs — некоторые ряды из ?).
По поводу доказательства леммы 3 см. книгу [3]. Заметим, что
в этой книге и в книге Зигеля речь идет о рядах над полем комп-
комплексных чисел, однако приведенные в них доказательства дослов-
дословно переносятся и па наш случай полного поля с показателем.
Лемма 3 нам нужна для доказательства следующего ре-
результата.
Теорема 1. Каждое локальное многообразие является объ-
объединением конечного числа неприводимых локальных много-
многообразий.
Доказательство. Пусть многообразие V определяется
уравнениями A). Если V приводимо, то в D существуют степен-
степенные ряды / и g, не обращающиеся в нуль в точках V, сколь угод-
угодно близких к нулевой точке, такие, что произведение fg равно
нулю во всех точках V из некоторой е-окрестности нулевой точки.
Обозначим через Vt и V1 многообразия, определяющие уравне-
уравнения которых получаются из системы A) приписыванием уравне-
уравнений /(Х)=0 и g(X)=0 соответственно. Очевидно, что Vi и Vx

334 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
являются собственными подмногообразиями V, причем
Если многообразия Vt и Vx неприводимы, то теорема доказана.
Если же одно из них приводимо, то мы можем аналогичным обра-
образом и его представить в виде объединения двух собственных под-
подмногообразий. Повторяя этот процесс, мы либо придем к пред-
представлению многообразия V в виде объединения конечного числа
неприводимых многообразий (что нам и нужно), либо получим
бесконечную последовательность многообразий
V = V0^V^V?... B)
Докажем, что второй случай невозможен. Рассмотрим для этого
идеалы %у- многообразий Vt. Из B) следует, что
Ч?Ч^.?... C)
Обозначим через 91 объединение идеалов 3(у;. Согласно лемме 3
идеал 91 порождается конечной системой рядов hh ..., hs. Так как
каждый ряд из % содержится в некотором идеале 21 уь то сущест-
существует такое к, что все ряды ht, ..., hs содержатся в 9lyfc.IIo тогда
Ш cz %vh и, следовательно, %Vh = %vh+1 = • • •, а это противоречит
включениям C). Теорема 1, таким образом, доказана.
Мы изложим сейчас общий прием исследования локальных
многообразии, основанный на редукции к многообразиям в про-
пространстве меньшего числа измерений.
Пусть многообразие V в пространстве Лп определяется урав-
уравнениями A). Предполагая V отличным от %", мы можем считать,
что ряды Д, ..., /т (пгЗэ1) не равны тождественно нулю. До-
Допустим, что нами уже сделано такое линейное преобразование
переменных, что все многочлены /,¦ удовлетворяют условиям лем-
леммы 2. Тогда по этой лемме в кольце О существуют такие степен-
степенные ряды еДХ), ..., ет(Х) с отличными от нуля свободными
членами, что
М = ёг = а?* + Фп^*-1 + • • • + 4>ihi, D)
где <р« = (fijixi, ..., xn-i) — степенные ряды от п — 1 переменных
с нулевыми свободными членами. Так как е;(Х) Ф 0 в некоторой
е-окрестности нуля, то многообразие V задается также системой
уравнений
gi(X)=0, ..., gJX)=0, E)
левые части которых являются многочленами от хп со старшими
коэффициентами, равными 1. К этим многочленам мы можем при-
применить лемму 1. Соответствующие многочлены hu ..., hr от коэф-
коэффициентов многочленов gu ..., gm будут степенными рядами от

§ 7] ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 335
Xi, . •., ж„_1 без свободных членов, и так как все фу сходятся в не-
некоторой е-окрестпости нуля, то сходящимися в той же окрестно-
окрестности будут и ряды hu ..., hT.
Рассмотрим в пространстве %"~* локальное многообразие W,
определяемое уравнениями
hdxi, ..., xn-J = О, ..., hr(xu ..., xn-J = 0.
Очевидно, что точка (<х„ ..., an-4) е А"-1 принадлежит W тогда и
только тогда, когда все многочлены g;(a4, ..., an-i, ?п) имеют
общий корень, т. е. существует такое а„, что (cxi, ..., an-i, cxn) e
е F. Таким образом, W является проекцией многообразия V на
гиперплоскость хп = 0. При этом каждая точка (а1? ..., an-i) e W
является проекцией конечного числа точек (а4, ..., an-i, c&n) <= V,
так как а,, определяется как общий корень многочленов gi(a.i, - • •
..., an_i, xj. Переход от многообразия F к его проекции W по-
послужит нам основным методом исследования локальных много-
многообразий.
Определение. Кривой в пространстве Ип называется систе-
система п целых формальных степенных рядов (n^t), ..., (о„Ш без сво-
свободных членов с коэффициентами из поля к или некоторого его
конечного расширения, причем не все <й4(?) тождественно равны
нулю.
Для наших целей нам не будет нужды предполагать ряды
<лМ) = ant -Ь ai2f + ... сходящимися п даже проще Судет этого
не делать. Таким образом, кривая задается не множеством своих
точек, а набором рядов ЫгШ. В связи с этим принадлежность
кривой к локальному многообразию будет пониматься несколько
иначе, чем обычно.
Определение. Мы будем говорить, что кривая (а,Ш, ...
..., (о„Ш принадлежит многообразию V, если для любого ряда
f{xu ..., Хп) из идеала %v степенной ряд /(с^Ш, ..., (DnU)) тож-
тождественно равен нулю.
Основное нужное нам свойство локальных аналитических
многообразий состоит в следующем.
Теорема 2. Всякое локальное многообразие или совпадает
с нулевой точкой, или содержит некоторую кривую.
Доказательство ведется индукцией по размерности п.
По лемме 3 идеал St^ имеет конечное число образующих. Мож-
Можно поэтому считать, что в качестве системы A), определяющей
многообразие F, взята система образующих идеала %v. При п = 1
многообразие V состоит только из нулевой точки, если хоть один
из рядов /,- не равен тождественно нулю, и совпадает с %\ если
все /i тождественно равны нулю. Во втором случае любой ряд <д(?)
Удовлетворяет системе A).
Пусть теперь п > 1. Утверждение теоремы очевидно, если все
ft тождественно равны нулю (или если m = 0). Можно поэтому
считать, что все ряды Д, ..., /т (пг > 0) не равны нулю. Пред-

336 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД [ГЛ. IV
положим также, что эти ряды удовлетворяют условиям леммы 2,
так что вместо уравнений A) мы можем для задания V взять
уравнения E), где gt определены равенствами D). Рассмотрим
в пространстве й" проекцию W многообразия V. Для W по ин-
индуктивному предположению теорема 2 справедлива. Если W сов-
совпадает с нулевой точкой, то многообразие V будет определяться
системой уравнений
gi@, ..., 0, хп) = О, 1 < i < m,
т. е. тоже будет совпадать с нулевой точкой. Если же W отлично
от нуля, то в W содержится кривая <й4(?), ..., «„-Дг). Обозначим
через kt конечное расширение поля к, в котором содержатся ко-
коэффициенты степенных рядов а>1( ..., co,,,_i. Из определения
многообразия W следует, что при подстановке рядов <й4Ш, ...
..., G>n_,U) в ряды gu ..., gm вместо хи ..., хп-1 мы получим
т многочленов от хп:
giiutM), ..., <on_i'(f), хп), i^Km, F)
коэффициенты которых принадлежат полю kiit} формальных сте-
степенных рядов от t над fct и которые будут иметь общий корень
хп = \ в некотором конечном расширении Q поля kiit). По тео-
теореме 6 § 1 поле Q содержится в поле формальных степенных ря-
рядов к'{и), где ne = t при некотором натуральном е, а к' — конеч-
конечное расширение над /с4. Элемент \ можно поэтому представить
в виде степенного ряда | = со (и) с коэффициентами из к'. Так как
§ является корнем многочленов F), старшие коэффициенты кото-
которых равны 1, а все остальные коэффициенты являются целыми
элементами ноля й^Ш, то ряд (и(и) является целым элементом
поля к'{и), т. е. он не содержит членов с отрицательными степе-
степенями и. Далее, в представлении D) все ряды фу не имеют свобод-
свободных членов. Подставив в D) вместо хи ..., хп-\ ряды о^Си8), ...
..., <йп-1Ые), а вместо хп — ряд со(м) и обратив внимание на сво-
свободный член полученного ряда, мы получим, во-первых, что сво-
свободный член ряда о>(м) равен нулю н, во-вторых, что
gi(o>i(Me), ..., (on_,(ue), <о(и)) = 0, Ki<m,
Так как ряды o>i, ..., a>n-i не все равны нулю, то набор степенпых
рядов со,(це), ..., mre_,(iie), ш(м) является кривой в Ъп. По пред-
предположению ряды Д, ..., /m, а значит, и ряды gu ..., gm порождают
идеал Sly Следовательно, для любого ряда f(%i, . ¦., хп) из %г
справедливо равенство
/(тДи6), ..., &п-Лие), <а(в)) = О,
а значит, кривая соДи"), ..., (nn-i(ue), а>(и) принадлежит много-
многообразию V. Теорема 2 доказана.

§ 7] ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 337
Теорема 3. Если V и V — два локальных многообразия в
Цп, причем V не содержится в V, то в Ъп существует кривая, при-
принадлежащая V и не принадлежащая V'.
Доказательство. Мы можем предполагать, что много-
многообразие V неприводимо, так как в противном случае V можно за-
заменить одной из его неприводимых компонент.
Пусть многообразие V' определяется уравнениями
FAX) = О, ..., FAX) = 0,
где Fj— ряды из кольца О. Так как V <? V', то хотя бы один из
рядов Fj не обращается тождественно в нуль на точках из V
(в любой сколь угодно малой окрестности нулевой точки). Обозна-
Обозначим этот ряд через F(X) и докажем, что многообразию V принад-
принадлежит такая кривая <oAt), ..., &>„(?), что
F(a>At), ..., (
Доказательство этого факта мы проведем индукцией по п.
Мы можем, очевидно, считать, что ряд FIX) удовлетворяет
условию леммы 2, так что существует ряд е(Х) = е(х,, ..., хп) е
eDc отличным от нуля свободным членом, для которого
е (X) F (X) = G (хи ...,хп) = х\ + ^хТ1 +...+%, G)
где 1р±, ..., \р„ — ряды от Xi, ..., хп-1.
В случае V = Hn (в частности, при п—1) утверждение теоре-
теоремы 3 справедливо очевидным образом: достаточно, например,
взять wAt) = ... — <йп_,Ш = 0, ш„(/)= t. Если же УФЪп, то мы
рассмотрим проекцию W <^kn~l многообразия V (здесь мы пред-
предполагаем, что условию леммы 2 наряду с F(X) удовлетворяют
я все ряды /,, ..., /„,, определяющие многообразие V; это достига-
достигается, как мы знаем, линейным преобразованием переменных).
Вместе с V многообразие W также неприводимо, так как кольцо
функций на нем, т. е. фактор-кольцо Dn-J%.w = Qn-i, является
подкольцом кольца функций DMV = О на V (наряду с Dn_i <= D
мы имеем, также включение §lwc9W). Для каждого ряда /sO
через / условимся обозначать соответствующую функцию из О.
Из равенств D) следует, что
^ + Фи^Г1 + • • • + Фг/ц = 0,
а значит, функция х„ является целым элементом кольца ?) от-
относительно подкольца Dn-i. Отсюда следует, что функция
G = ~х\ + ^11$Г11+ ... + %, % ^ ?>„_!,
также является целым элементом относительно ?)n-i.

338 ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД «ГЛ. IV
Выберем равенство
U° + Г.ё8-1 + ... + ?, = О, Ц е Оп_„ (8)
с наименьшим возможным s. Ясно, что здесь Ls Ф 0, так как
иначе мы могли бы сократить на G и получить равенство с мень-
меньшим значением s. Ряд Ls s ?)„_! не обращается, таким образом,
в нуль в точках многообразия W (в любой окрестности). По ин-
индуктивному предположению в пространстве Ъп~1 существует кри-
кривая (Hid), ..., ojr.-iU), которая принадленчит многообразию W п
для которой LAoidt), ..., (йп-iit)) ФО.В доказательстве теоремы 2
мы видели, что тогда в %" существует кривая вида ш1(ив), ...
..., сОп-Ди"), (i){u), принадлежащая многообразию V. Проверим,
что для этой кривой
G(co1(n.e), ..., Юи-Ди"), <а(и))Ф0
и, следовательно, эта кривая не принадлежит многообразию V\
Действительно, если бы ряд, стоящий слева, был тождественно
равен нулю, то ввиду (8) мы имели бы равенство
МсоДи"), ..., (On-i(we))==0
или, после замены ие па t,
а это не так по выбору кривой coiU), ..., (an~i(t). Теорема 3, таким
образом, доказана.

Глава V
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
В главе III мы видели, насколько важной характеристикой
арифметических свойств поля алгебраических чисел является
число h его классов дивизоров. В силу этого для числа h хоте-
хотелось бы найти явное выражение через какие-то простейшие ве-
величины, связанные с данным полем К. Для произвольного поля
алгебраических чисел эта задача до сих пор не решена, но для
ряда полей, наиболее интересных с точки зрения теории чисел
(например, для квадратичных полей и полей деления круга), та-
такие формулы найдены.
Число классов дивизоров является некоторой характеристикой
совокупности всех дивизоров поля К. Поскольку все дивизоры
выражаются через простые, а число простых дивизоров бесконеч-
бесконечно, то в конечном счете число h определяется некоторой беско-
бесконечной конструкцией. В этом, по-видимому, и кроется причина
того, что при определении h приходится рассматривать бесконеч-
бесконечные произведения, ряды и другие аналитические понятия. Аппа-
Аппарат математического анализа применяется для решения многих
задач теории чисел. В настоящей главе мы рассмотрим этот ме-
метод па примере задачи о числе классов дивизоров.
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров
1. Дзета-функция Дедешшда. Определение числа классов ди-
дивизоров h поля алгебраических чисел К основывается на рас-
рассмотрении так называемой дзета-функции Дедекинда ?K(s), опре-
определяемой рядом
где а пробегает все целые дивизоры поля К, a JV(<t) обозначает
норму дивизора а. Мы докажем, что ряд, стоящий в правой ча-
части равенства A), сходится при 1 < s < «> и представляет собой
в этом промежутке непрерывную функцию от вещественного ар-
аргумента s. Далее мы получим формулу
Jim (.? _ 1) Ik (s) = hx, B)
s-»l+0
где % — пекоторая константа, простым образом зависящая от по-
поля К, которая будет вычислена в процессе доказательства.

340 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Ценность формулы B) обусловлена тем, что для функции
?K(s) имеется разложение в бесконечное произведение
&(*) = П—Ч-. C)
распространенное на все простые дивизоры р поля К, которое
носит название тождества Эйлера. Если для некоторого поля К
мы достаточно хорошо знаем его простые дивизоры (точнее, зна-
знаем законы разложения простых рациональных чисел в произве-
произведение простых дивизоров поля К), то для этого поля формулы
B) и C) дают возможность получить явное выражение для h.
На этом пути законченные формулы для h нами будут получены
в последующих параграфах для случая, когда К — квадратичное
или круговое поле.
Разобьем ряд A) на сумму h рядов
где <х пробегает все целые дивизоры из данного класса дивизо-
дивизоров С, а внешнее суммирование ведется по всем h классам С.
Для доказательства сходимости ряда A) нам достаточно, очевид-
очевидно, показать, что каждый пз рядов
сходится при s>l. Далее, если мы докажем, что для каждого
класса С существует предел lim (s — 1) fc (s) и что этот предел
s-»l+0
один и тот же для всех классов С, то, обозначая его через х, мы
и получим формулу B).
Преобразуем ряд D) в ряд, распространенный на некоторые
целые числа поля К. Выберем в обратном классе дивизоров С~1
целый дивизор а'. Тогда для любого <Х^С произведение <х<х' бу-
будет главным дивизором:
Ясно, что отображение а-*-(а), а^С, устанавливает (при фик-
фиксированном <х') взаимно однозначное соответствие между целыми
дивизорами а из класса С и главными дивизорами (а), делящи-
делящимися на а'. Принимая во внимание равенство JV(a)JV(a') = IJV(a)l,
мы получаем, что
a=o(mod<l')
где суммирование ведется по всем главным дивизорам поля К,

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 341
делящимся на а'. Так как два главных дивизора (aj и (а2) рав-
равны тогда и только тогда, когда числа а4 и а2 ассоциированы, то
можно считать, что в ряде E) суммирование ведется по полному
набору попарно не ассоциированных целых чисел Ф 0 поля К,
делящихся на а'.
Чтобы придать ряду E) еще более удобную для исследования
форму, воспользуемся геометрическим изображением чисел по-
поля К точками в тг-мерном вещественном пространстве \кп = 8s'*
и в логарифмическом пространстве Rs (здесь п = s + 2t — сте-
степень поля К, см. пп. 1 и 3 § 3 гл. II). Мы определим сейчас в
Rn такой конус X, что среди ассоциированных между собой чи-
чисел поля К существует одно и только одно, геометрический образ
которого принадлежит X (под конусом здесь понимается тело
в Rw, которое вместе с точкой х?=0 содержит и весь луч %х,
0<?<°°).
В § 3 гл. II (все обозначения которого мы здесь сохраняем)
равенством A3) был определен гомоморфизм х -*¦ 1{х) мульти-
мультипликативной группы точек ieR° с ненулевой нормой JVOr)
в аддитивную группу векторов логарифмического пространства
Rs+i. Если е4, ..., гг — некоторая система основных единиц по-
поля К, то векторы Ке4), ..., l(er), как мы знаем, образуют базис
подпространства размерности г = s + ? — 1, состоящего из тех то-
точек (Хх, . . ., %s+t) ^ Rs+*, для которых A,t + ... + ks±t = 0. По-
Поскольку вектор
Z* = A 1; 2 ,2)
" S ' t
не принадлежит этому подпространству, то система векторов
Р, Ке,), ..., 1Ш F)
является базисом \Rs+t. Всякий вектор l(x) e Rs+f (x <= [R™,
N(x) ?= 0) можно представить, следовательно, в виде
Кх) = II* + иСв.) + ... + lr/(er), G)
где |, |lt ..., gr — вещественные числа.
Через т обозначим порядок группы корней из 1, содержа-
содержащихся в поле К.
Определение. Фундаментальной областью для поля К на-
называется подмножество X пространства Rn, состоящее из всех
тех точек ж, которые удовлетворяют следующим трем условиям:
1° Жх)Ф0\
2° в разложении G) коэффициенты %t (? = 1, ..., г) удовлет-
удовлетворяют неравенствам 0 ^ |< < 1;
3° 0 ^ arg Xi < 2n/m,
где хх — первая компонента точки х.

342 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Заметим, что при s > 1 число т равно 2, поэтому условие 3°
в этом случае означает попросту, что Xi > 0.
В следующем пункте мы увидим, что фундаментальная об-
область X является конусом в Rn- Там же будет доказана
Теорема I. В каждом классе ассоциированных между собой
целых чисел {?=0) поля К имеется одно и только одно число,
геометрическое изображение которого в пространстве Rn содер-
содержится в фундаментальной области X.
Вернемся к ряду E). Если через WI мы обозначим ?г-мерную
решетку в К , состоящую из изображений х (ос) е К" целых
чисел а<^К, делящихся на а', то ввиду равенства \N(a)\ =
= \N(x(a))\ мы можем ряд E) переписать в виде
где суммирование ведется по всем тем точкам х = х(а"> решетки
Ш, которые содержатся в X.
В п. 4 нами будет доказан один общий результат о рядах,
в которых суммирование ведется по всем точкам решетки, ле-
лежащим в некотором конусе (теорема 3). В применении к нашему
случаю этот результат показывает, что ряд (8) сходится при
s > 1 и
lim (s — 1) У. * = 4, (9)
где А — объем основного параллелепипеда решетки Ж, a v —
объем тела Т, состоящего из тех точек х фундаментальной обла-
области X, для которых \N{x)\ «? 1.
Ввиду теоремы 2 § 4 гл. II и равенства C) § 6 гл. II для Д
имеем формулу
\=±N(ar)V\D\, A0)
где D — дискриминант поля К. Что касается объема v тела Г, то
он будет вычислен нами в п. 3. Именно, мы найдем, что
w = 2'n'R/m, (И)
где R — регулятор поля К. Из (9), A0) и (И) легко получаем
теперь, что
lim (s — l)fc(s) =
s-*l+o my\D\
а так как
?*(*) = S/с (*),
с
то этим установлен следующий основной результат этого пара-
параграфа.

§ i] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 343
Теорема 2. Для поля алгебраических чисел К степени п =
= s + 2t ряд
сходится для всех s > 1 и имеет место формула
OS + t^tT,
lim (s-l)ZK(s)= \y~h.
s^i+o my\D\
где h — число классов дивизоров, D — дискриминант и R — регу-
регулятор поля К, a m — число содержащихся в К корней из 1.
Перейдем теперь к доказательству тех утверждений, которы-
которыми мы пользовались при выводе теоремы 2.
2. Фундаментальная область. Считая | вещественным поло-
положительным, вычислим Z(|a;) e fi*1', где xeR™, N(x)?=0. В силу
равенств A2) § 3 гл. II мы имеем:
lk(tx)=lal + lh(.x) при l^fcsSs;
Z,w(|.z)=21nl + Zs+j(a:) при 1 «?/«??.
Отсюда следует, что 1{Ъ,х) =Ing • I* + Z(x), а значит, в разложе-
разложении векторов ДаО и Z(|x) через базис F) коэффициенты при
/(е4), ..., Z(er) для обоих векторов одинаковы. Так как к тому
же N{\x) = |™Жж) =5^0 и arg (|x)i = argxj, то для всякой точки х
из фундаментальной области X весь луч |х также принадлежит
X, т. е. область X является конусом в R™ (тело X не пусто, так
как в нем содержится, например, точка хA), являющаяся изо-
изображением числа 1еЮ.
Лемма 1. Каждая точка у eR", для которой N(y)?=0, од-
однозначно представляется в виде
у = хх(.е), A2)
где х — точка из фундаментальной области X, а г — единица
поля К.
Доказательство. Разложим вектор Ку) по элементам
базиса F):
и каждое вещественное у,- (/ = 1, ..., г) представим в виде
Ъ = ki + %и
где kj целое рациональное и 0 *? lj < 1. Полагая Г| = Ej1 ... е„г,.
рассмотрим точку z = yx{r\~l). Мы имеем
Kz) =

344 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ! V
Пусть теперь arg zv = ср. При некотором целом к
2л/ь ^ 2я
При изоморфизме a-+Oi(a) (а^Ю корни т-й степени из 1 по-
поля К отображаются на корни т-й степени нз 1 поля всех комп-
комплексных чисел ff. Обозначим через t, тот корень т-й степени из
1 (он будет первообразным), для которого
/с.. 2л . . 2л
0, (С) = COS f- I Sin .
Докажем, что точка х = zx(^~k) принадлежит фундаменталь-
фундаментальной области X. В самом деле,
Их) =
причем 0 ^ |j < 1, так что условия 1° и 2° выполнены. Далее,
Xi — 21ж(?-''I = Zi0!(?)"", поэтому
, 2л 2лА:
arg ^ = arg Zl — А — = ф - -^-.
откуда 0 «s arg xt < 2n/m. Таким образом, хеХ. Замечая теперь,
что ж(а) =ж(а~'), мы получаем
г/ = zx(t]) = xx(t,h)x(r\) =xx(e),
где е = t,kr\. Представление точки у в виде A2), таким образом,
получено. Остается доказать единственность такого разложения.
Пусть, помимо A2), у = х'х(е'), где х'^Х п е' — единица в К.
Так как хх{г) =х'х(е'), то
Векторы Кг) и Иг') являются целочисленными линейными ком-
комбинациями векторов KeJ, ..., Кгг), в то время как коэффициен-
коэффициенты при этих векторах в разложениях Кх) и Их') через базис F)
все неотрицательны и меньше единицы (условие 2° в определе-
определении фундаментальной области). В силу этого из последнего ра-
равенства следует, что Кг') = Кг), а значит, г'— et,0, где So — ко-
корень m-й степени из 1 (см. п. 4 § 3 гл. II). Равенство ж(е') =
()Eо) дает нам теперь, что x = x'x{t,0), а значит,
По условию 3° для точек х и х фундаментальной области спра-
справедливы неравенства
О ^ arg Ху < 2я/т, 0 ^ arg xt <Z 2n/m,
поэтому 0=S Iargo1(^0)l < 2л/т, а так как оД^о) есть корень
степени т из 1, то последнее неравенство возможно лишь при
условии arg0iEo) = 0. Но в таком случае сД^о) = 1 и So = 1.

g 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 345
Этим показано, что е' = 8 и, следовательно, х'=х. Лемма 1 до-
доказана.
Доказательство теоремы 1. Пусть [1 — произвольное, от-
отличное от нуля целое число из К. По лемме 1 существует раз-
разложение х($)—хх(г), где геХ, а е — единица. Число а = ^е~1
ассоциировано с р, и его геометрическое изображение х(а) (сов-
(совпадающее с точкой х) принадлежит области X. Далее, в силу
единственности разложения A2) число а условиями [} = аг и
х(а) е X определено однозначно, а это и доказывает теорему 1.
В качестве примера найдем фундаментальную область для
квадратичных полей.
Предположим сначала, что К — вещественное квадратичное
поле, так что 7? = s = 2, ? = О, r = s + t—1 = 1. Мы будем счи-
считать, что К является подполем поля всех комплексных чисел (?,:
а также, что в качестве первого изоморфизма о\: К—>-(Е (см.
п. 1 § 3 гл. II) взят тождественный изоморфизм. Если е — основ-
основная едиппца поля К, то —е, 1/е, —1/е будут также основными
единицами, поэтому можно предположить, что е > 1. Если
х = (х1г х2) <= R2, Жх) =Х!ХгФ0, то Кх) = Aъ\х1\, ln|x2l). Раз-
Разложение G) в данном случае имеет вид
t(l, l) + i,(lne, -Ine).
Фундаментальная область X определяется здесь, очевидно, ус-
условиями
аг,>0, х2Ф0, 0^14<1.
Легко видеть, что In ]xt\ =ln ]x2\ + 2|t Ine, а значит, J xx \ =
= | x21 e"'1. Условие 0 ^ li < 1 можно заменить поэтому следу-
следующим:
1>|X2|/|XJ >8-2.
Фундаментальная область X состоит, таким образом, из точек,
заштрихованных на рис. 7 (стороны углов, ближайшие к поло-
положительному лучу оси Xi, к X не причисляются).
Пусть теперь К — мнимое квадратичное поле. Так как здесь
s = 0, t = 1, то г = s + t — 1 = 0. Фундаментальная область X со-
состоит, следовательно, из тех точек х = у + iz, для которых
Жх) = f + z2 Ф 0, 0 s= arg х < 2л/т
(см. рис. 8, K = Q( V^~3), m = 6).
3. Вычисление объема. Займемся здесь вычислением п-мерно<
го объема тела Т, состоящего из тех точек х фундаментальной
области X, для которых 1Жж)|<1. Тот факт, что этот объем
существует и отличен от нуля, будет получен нами в процессе
вычисления. (В случае квадратичного поля, тело Т отмечено на
рис. 7 и 8 двойной штриховкой.)

346
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Докажем прежде всего, что тело Т ограничено. На каждом
луче, входящем в состав конуса X, существует одна и только
одна точка х, для которой !iV(;z)l = 1. Обозначим через S множе-
множество всех этих точек. Ясно, что Т состоит из всех отрезков %х
(О < | ^ 1), где х пробегает все точки из S.
В разложении G) произвольной точки ie!R" с ненулевой
нормой сравним суммы компонент векторов, стоящих слева и
справа. В силу формулы A5) § 3 гл. II слева эта сумма равна
ln\N(x)\. Справа же ввиду соотношения A8) § 3 гл. II она рав-
рав+ 2t) = n%. Это показывает, что \= —ln\N(x)\, и разло-
разлона
жение G) мы можем, следовательно, переписать в виде
A3)
Если теперь жеS, то In |JV(aOi =0, и поэтому точка 1{х)—
= {1г (х), . .., ls+t (х)} ^ fRs+i представляется в виде Кх) =
= liKei) + ... + |гКе), где 0^14<1. Отсюда следует, что суще-
существует такая константа р, что lj(x)<p, а тогда \хк]<ер при
l^fc^s и \xs+j\<ep/z при 1 =?./*?? для всех x^S (см. обозна-
обозначения A3) и A2) § 3 гл. II). Этим доказано, что множество 5,
а значит, и тело Т ограничены.

i]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ
347
Вместо тела Т мы рассмотрим другое тело, простым образом
связанное с Г и обладающее тем преимуществом, что оно опре-
определяется более простыми условиями, а это облегчит нам наши
исследования. Сформулируем предварительно следующую почти
очевидную лемму.
Лемма 2. Если г есть единица поля К, то при линейном
преобразовании х -*¦ хх(е) пространства Rn объемы тел не ме-
меняются.
Действительно, при любом неособенном линейном преобразо-
преобразовании евклидова пространства объем тела умножается па абсо-
абсолютную величину определителя;
матрицы этого линейного преоб-
преобразования (см. формулу B) § 4
гл. II). Согласно доказанному в
п. 1 § 3 гл. II определитель пре-
преобразования х -*- хх(г) равен
Мж(е)), т. е. равен JV(e) = ±1.
Обозначим теперь, как и ра-
ранее, через t, тот корень степени m
2я
из 1, для которого Сх (Q = cos-^- +
. . 2я „
+ i sin—. Рассмотрим множест-
множества Т„ (к = 0, 1, ..., тп — 1), по-
получающиеся из Т линейным пре-
преобразованием х -*¦ xx(t,h) (To~T). Рис.8.
По лемме 2 имеем v(Th) = viT)
(если только хоть один из этих объемов существует). Так
как
\N(хх(?")) | = | N(х) N(tk) | = | N(х) |,
Z (га (?")) = Z (г)+ Z (?") = /(*),
то (см. определение фундаментальной области X, п. 1) тело Th
состоит из тех точек х е R™, для которых:
2) в разложении A3) коэффициенты |,- удовлетворяют нера-
вепствам 0 ^ |( < 1;
3) ^¦<argx1<-^-(A:+l).
Отсюда следует, что То, Ти ..., Tm~i попарно не пересекают-
m-l
ся и что их объединение U Tk определяется условиями 1) и 2)
(без условия 3)).

348 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
_ т-1
Обозначим через Т множество тех точек же U Тк, для ко-
торых Xj>0, ..., xs > О (см. B) § 3 гл. II). Зафиксируем произ-
произвольно s знаков 6i, ..., 6S (б, = ±1). Умножение точек из Rn
на точку (б^ ..., 8S; 1, ..., 1) е 8s'* = Rn является линейным
преобразованием Rn, не меняющим объема тел (так как норма
этой точки равна ±1). Подвергая множество Т всем таким лп-
нейным преобразованиям, мы получим 2s попарно не пересекаю-
т-г
щихся множеств, объединение которых совпадает с U Tk. Если
_ _ft=o
мы докажем, что Т имеет отличный от нуля объем v, то отсюда,
очевидно, будет следовать существование объема и для Т, при-
причем будет иметь место формула
v(T) = ^v. A4)
(Для вещественного квадратичного поля Т является частью Т,
расположенной в первой четверти, а для мнимого квадратичного
поля Т совпадает с единичным кругом без центра, см. рис. 7 и 8.)
Векторное равенство A3) равносильно следующей системе
равенств:
где ej = 1, если 1^/^s, и в) = 2, если s + ls?/=Ss + ?. Сделаем
замену переменных по формулам
Хь.== Рн, к = 1, ..., s,
У! = р, w cos ф;, Zj = ps+j sin фл / = !,..., t.
(В соответствии с обозначениями п. 1 § 3 гл. II вещественные
г/i и zs определяются равенствами xs+} = у$ + izh 1 ^ / < t.) Яко-
Якобиан этого преобразования, как легко подсчитать, равен
s+t
ps+i... Ps+t- Так как lj (x) = In р/ и N (х) = Ц р/ (мы считаем
%i > 0, ..., х8>0), то в новых переменных р4, ..., ps+(, ф,, ..., ф(
тело Т определяется условиями:
s+t
1) Pi>o, ..., ps+f>o, Пр?<1;
3=1
2) в равенствах
(s4-t \ У
4=1 / А=1

§ 1]
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ
349
G = 1, ..., s + t) коэффициенты |4 удовлетворяют неравенствам
0^1*<1 (* = 1, ....г).
Поскольку эти условия на переменные ф4, ..., ф( не наклады-
накладывают ограничений, то каждая из них (независимо от других) про-
пробегает все значения из промежутка [0, 2л), Вместо pi, ..., p^+i
введем теперь новые переменные |, |4, ..., ?г по формулам
A5)
A6)
A7)
Складывая все эти равенства и замечая, что
s+t s+t
3=1 3=1
получим
s + t
Тело Т определяется теперь условиями
г.
Существование объема v = v(T) стало теперь очевидным. Так как
то якобиан преобразования A5) равен
es+t
Pi •••pe+f
"s+t
Сложим в последнем определителе все строчки с первой. Учи-
Учитывая A6) и A7) и вспоминая определение регулятора R поля 1?
TJ
• Теперь уже
(см. гл. II, § 4, п. 4), получаем | J \=—
2 р5+1 .
легко находим объем v:
V ~ J "(f)
(t)
y1dz1 ... dytdzt =
... pt+tdpx ...dp

350 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
231 2Я
Pi ... J d<ptj ¦ • • j Ps+i • • • Ps+tdpi ¦. ¦ dps+t = ¦
= 2V j ... j | /1 ps+1 . .
ii l
= n'R \ dl f dgi • • • J йг = n'R-
0 0 0
Подставляя найденное значение v в A4), получаем окончательно:
v(T) = 2s.n'R/m.
4. Принцип Дирихле. Рассмотрим сначала функцию t,K(s) для
случая, когда К есть поле рациональных чисел Q. Так как в
поле Q целые дивизоры могут быть отождествлены с натураль-
натуральными числами п и при этом N(n) = n, то
Таким образом, для поля рациональных чисел ^-фунмщя Деде-
кинда совпадает с ^-функцией Римана t,(s). Докажем, что при
s>l ряд A8) сходптся. Так как функция 1/х3 при возрастании
х > 0 убывает, то
п+х
Г dx 1 Г (Ji
J xs ns J xs
n-i
при этом левое неравенство имеет место при п > 1, а правое —
при п > 2. Для натурального iV > 1 мы получаем, следователь-
следовательно, что
Л'+l дг Л'
f^<VJL<if
Так как при s > 1 интеграл \ —— сходится, то правое неравен-
1
ство и доказывает сходимость ряда A8). Далее, для s>l мы
имеем
или

§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 351
Умножая эти неравенства на s — 1 и устремляя s к единице, при-
приходим к важному соотношению:
lim(*-l) ?(*) = !, A9)
дающему представление о порядке роста функции t,is) при s -*¦ 1-
Перейдем теперь к доказательству одной общей аналитико-
геометрической теоремы о рядах, принадлежащей Дирихле.
Пусть в пространстве IR" задан конус X, на котором опреде-
определена вещественная положительная функция Fix), х e X. (Мы
считаем, что точка @, ..., 0) не принадлежит конусу X.)
На функцию F и на конус X накладываются следующие условия:
1) для любой точки х^Х и любого вешественного ^>0
справедливо равенство Fi%,x) = %nF{x);
2) тело Т, состоящее из тех точек х<= X, для которых Fix) ^
<11, ограничено и имеет отличный от нуля /г-мерный объем
v = viT).
Точки конуса, в которых Fix) = 1, образуют поверхность,
пересекающую каждый луч конуса только в одной точке и отсе-
отсекающую от конуса ограниченное тело с отличным от нуля объе-
объемом. Ясно, что задание такой поверхности в X равносильно
определению функции Fix).
Предположим, что в К" задана гс-мерная решетка Ж с объе-
объемом основного параллелепипеда А. Рассмотрим ряд
jb' s>1' B0)
распространенный на все точки х решетки 5$, содержащиеся в
конусе X. Этот ряд зависит, такпм образом, от конуса X, функ-
функции F и решетки 5Ш.
Теорема 3. При соблюдении только что сделанных обозна-
обозначений и предположений ряд B0) сходится при всех s > 1 и
lim(s-l)l(s) = v/A. B1)
Доказательство. Для каждого вещественного г > 0 че-
через Шг обозначим решетку, получающуюся из Ш сжатием в г раз.
Объем основного параллелепипеда решетки Шг равен, очевидно,
—. Если Nir) есть число точек решетки Шг, содержащихся в
теле Т, то по определению объема имеем
v = v (Г) = lim N (г) ~ = A lira ^. B2)
1—»оо Г Г-»оо Г
Рассмотрим тело гТ, получающееся из Т расширением в г раз.
Ясно, что Nir) равно также числу точек решетки К, содержа-
содержащихся в гТ, а это в свою очередь равно числу точек х е 31П X,

352 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
для которых Fix) =3 rn. Все точки из 3R П X расположим в виде
последовательности {xh} так, чтобы
Положим у F (xh) = rh. Точки хи ..., xh принадлежат телу rkT,
поэтому N{rk) ^к. В то же время при любом г > 0 точка хк не
принадлежит телу (гк — в)Т, следовательно, N(rk — e)<k. Таким
образом,
Л'(г, — е) / г, — е \п к Лг(гЛ
откуда — -' —-— I < — < ^. Переходя здесь к пре-
irk~~S) ^ к ' Tk Th
делу при к -*¦ °°, т. е. при гк -*- °°, и принимая во внимание B2),
получим
Hm -±- = J1. B3)
Сравним ряд Z, (s) = У) с рядом A8). Так как lim =
= (t>/A)s ^= 0, то вместе с рядом A8) ряд B0) также сходится
(если, конечно, s>l). Пусть е — сколь угодно малое веществен-
вещественное положительное число. В силу B3) имеем
для всех достаточно больших к ^ к0, откуда
при всех s > 1. Умножим это неравенство на s — 1 и устремим s
к единице справа. Так как Hm (s ~ 1) ^ —- ^ 0, то в силу A9)
оо
2 1
— = 1. Учитывая, с другой стороны, что
s-1+o k=h(j к
ho~l
lim (s — 1) 2и г = 0> мы приходим к неравенствам
которые ввиду произвольности е и доказывают теорему 3.

g 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 353
Замечание. В равенствах B1) и B2) легко подмечаются
некоторые общие черты. Чтобы сходство между этими равенст-
равенствами сделать более отчетливым, предположим, что объем А ос-
основного параллелепипеда решетки Ж равен 1, и перепишем их
в виде
= v, B1')
B2')
Оба предела дают нам одно и то же число — объем тела Т. Оп-
Определение объема равенством B2') включает в себя следующие
операции. Решетка ffl сжимается в г раз, и подсчитывается число
N(r) точек сжатой решетки 2ftr, содержащихся в Т. Затем число
Mr) умножается на объем — основного параллелепипеда ре-
—Лг(г)
шетки fflr, и, наконец, находится предел произведения
при г ->- оо. По такой же схеме мы приходим к объему и в ра-
равенстве B1'). Здесь сумма ?(s) играет роль числа Mr), множи-
/14 1
тель {s — 1) соответствует множителю—- п предельный переход
s -*¦ 1 + 0 — предельному переходу г ->¦ °°.
Вернемся к фундаментальной области X поля алгебраических
чисел К. Так как функция Fix) = \Nix)\ удовлетворяет услови-
условиям 1) и 2), то к ряду (8) можно применить теорему 3, а значит,
этот ряд сходится при s > 1 и для него справедливо соотно-
соотношение (9).
Этим мы закончили доказательство всех тех утверждений,
которыми пользовались в п. 1, и тем самым завершили доказа-
доказательство теоремы 2.
5. Тождество Эйлера. Чтобы формулу B) можно было исполь-
использовать для вычисления числа классов дивизоров h, надо иметь
возможность вычислить предел lira (s — 1) ?jj (s) другим спосо-
s-*l + O
бом. В некоторых случаях это удается сделать, если восполь-
воспользоваться представлением ?КЫ в виде некоторого бесконечного
произведения, известным иод названием тождества Эйлера.
Теорема 4. При s>\ функция %k(s) может быть представ-
представлена в виде сходящегося бесконечного произведения
V 1_.
где J) пробегает все простые дивизоры поля К.

354 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Доказательство. Для каждого простого дивизора р имеем
N (?M
Пусть N — произвольное натуральное число и ft, ..., ft — все
простые дивизоры, норма которых не превосходит N. Перемно-
Перемножая абсолютно сходящиеся ряды B4) для у = ft, ..., ft, получим
= 2'—.
где а в сумме 2 пробегает все те целые дивизоры поля К, раз-
разложение которых в произведение степеней простых дивизоров
содержит лишь простые дивизоры с нормой, не превосходящей N.
Сравним ряд 2^ с РЯД°М ?к (s) = 2d —TV Поскольку в ряде
встретятся все. те целые дивизоры, норма которых =SiV, то
1
П 1-
(a)s
Так как при s> 1 ряд A) сходится, то
У -^—
при N -*¦ °°, а это и доказывает теорему.
Значение теоремы 4 состоит в том, что она в соединении с
теоремой 2 устанавливает связь между числом h и простыми ди-
дивизорами поля К. Как уже отмечалось в п. 1, если все простые
дивизоры поля К нам известны, то, пользуясь теоремой 4, левую
часть соотношения B) можно будет вычислить другим способом, ¦
а это даст нам законченную формулу для h. С другой стороны,
тот факт, что xh Ф 0, позволяет сделать важные выводы о про-
простых дивизорах поля К. Например, взяв в качестве К круговое
поле, мы придем в § 3 настоящей главы к теореме Дирихле о
распределении простых рациональных чисел в арифметических
прогрессиях.
Задачи
ос
1. Используя сходимость ряда 2^ — (S>1)> доказать, что при s> 1
ряд 7 —-—> гДе Р пробегает все простые дивизоры поля К, также
сходится.

g 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 355
2. Пользуясь результатом задачи 1, доказать сходимость произведения
JX т—. s>l. Вывести отсюда сходимость ряда ^ -•
3. Пусть а* и bk (к~^ 1) —вещественные положительные числа, причем
bh °°
lim — = с. Доказать, что если ряд 2 а\ сходится при s > 1 и
СО
¦ lim (s-1) У. а? = А,
то ряд ^ bk также сходится (при s > 1) и
ft=i
lim (s - 1) У 6* = с A.
»-»i44) hfi Й
4. Пусть С — произвольный класс дивизоров поля алгебраических чи-
чисел А*. Обозначим через Z(|, С) число целых дивизоров а из класса С, для
которых N(a) ^ %. Доказать, что
,. Z (g, С) 2S+VR
lim ?— = х
" тУ\О\
5. Пусть \|;(п) обозначает число целых дивизоров поля алгебраических
чисел К с нормой а. Доказать, что
— ) (n(°) — Функция Мёбиуса).
d\n \f /
§ 2. Число классов дивизоров кругового поля
Пусть т — натуральное число и ? — первообразный корень
степени m из 1. Так как все корни т-ш степени из 1 изобража-
изображаются на комплексной плоскости точками, которые делят единич-
единичную окружность на т равных частей, то поле Q (?) принято на-
называть полем деления окружности на т частей или, короче,
т-круговым полем. В этом параграфе, пользуясь теоремами 2 и
4 § 1, мы найдем формулу для числа h классов дивизоров про-
произвольных круговых полей. Для этой целп мы должны будем
предварительно выяснить, каким образом в этих полях простые
рациональные числа раскладываются в произведение простых
Дивизоров. Мы начнем с определения степени поля Q (?).
1. Неприводимость кругового многочлена. Степень поля Q (?)
равна, как известно, степени минимального многочлена числа ?
над полем рациональных чисел Q. В этом пункте мы докажем,

356 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
что минимальным многочленом числа ? является многочлен
фт = фт(*)= П {t-t)
(fe,m)=i
(произведение распространено на приведенную систему вычетов
по модулю т), корнями которого являются все первообразные
корни те-й степени из 1, Так как степень Фт равна значению
функции Эйлера <р(т), то отсюда будет следовать равенство
(Q (?) : Q) = ф (т).
Многочлен ФтШ называется многочленом деления окружно-
окружности на т частей или т-круговым многочленом.
Докажем прежде всего, что Фт имеет целые рациональные
коэффициенты. Для т — 1 это очевидно (O4 = f—1). Доказатель-
Доказательство в общем случае проведем индукцией по т. Так как каждый
корень т-й степени из 1 является первообразным корнем неко-
некоторой степени dim, то
d
где d пробегает все делители числа т. По индуктивному предпо-
предположению многочлен F = JJ Фй имеет целые рациональные коэф-
йфт
фициенты, и к тому же его старший коэффициент равен 1. В си-
силу этого Фт = {Рп— D/F также имеет целые рациональные ко-
коэффициенты.
Обозначим, как всегда, через Z кольцо целых рациональных
чисел, через Fp— поле вычетов по простому модулю р и для
каждого ае? через а — соответствующий класс вычетов из
Fp. Если в многочлене fit) с целыми рациональными коэффици-
коэффициентами мы заменим все коэффициенты их классами вычетов по
модулю р, то получим многочлен fit) с коэффициентами из по-
поля ]"р. Очевидно, что отображение / -*¦ J является гомоморфиз-
гомоморфизмом кольца Z[t] на кольцо Tv[t]. Так как (/ + g)p = /v + gv и
по малой теореме Ферма / = «(«6 Z), то в кольце Fp [t] спра-
справедлива формула
/(та A)
Положим h = tm— 1. Если простое число р не входит в т,
то многочлен Ъ из Тр [t] взаимно прост со своей производной,
и, следовательно, он не имеет кратных множителей. Замечая те-
теперь, что Фт является делителем h, мы приходим к следующему
утверждению.
Лемма 1. Если простое рациональное число р взаимно про-
просто с т, то многочлен Фт из кольца Fp [t] не имеет кратных
множителей.
Если fit) есть минимальный многочлен числа %, то Фт = fG,
где G, так же как и /, принадлежит кольцу Z [t]. Для любого
простого числа р, взаимно простого с т, степень ?р также явля-

§ 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 357
ется первообразным корнем те-й степени из 1, т. е. Фт(?р)=0.
Докажем, что ?р — корень /. Если это не так, то Gil?) = 0. Рас-
Рассмотрим тогда многочлен Hit) = G(tp). Поскольку #(?)== G(?p) =
= 0, то Н делится на /, т. е. H = fQ, где (?eZ[(]. Перейдем
в равенстве Н= JQ к полю вычетов FP- Мы получим H = fQ.
Но в силу свойства A) Hit) = Gitp) = (Git))", поэтому
G* = fQ.
Пусть ф — какой-нибудь неприводимый множитель многочлена /
(в кольце_ ?Р [t]). Из последнего равенства вытекает, что G де-
делится на if. Но тогда из равенства Фт = fG будет следовать, что
Фт делится на я|}2, что, однако, противоречит лемме 1. Таким об-
образом, t,p не может быть корнем Git), а значит, он является кор-
корнем fit).
Если теперь t,' — произвольный корень Фт, то ?' = ?\ где к
взаимно просто с т. Пусть к = рфг... ps. По только что дока-
доказанному t, * есть корень fit). Аналогично, взяв вместо ? корень
?Pl, заключаем, что ^PlPa—корень fit). Рассуждая так далее, мы
получим в конце концов, что и ?* является корнем fit).
Таким образом, все корни Фт являются также корнями мно-
многочлена /, а поэтому Фт = /. Полученный результат мы можем
сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 1. При любом натуральном m круговой многочлен
Фт неприводим над полем рациональных чисел.
Следствие. Степень тп-кругоеого поля Q(Q, ?т=1, равна
(fim) izde ф(?га) — функция Эйлера).
Замечание. Поле Q it) деления круга па m частей нор-
нормально над Q, и его группа Галуа естественным образом изо-
изоморфна группе приведенных классов вычетов по модулю пг.
Именно, если (а, т) = 1, то соответствие ? -»- 5" определяет авто-
автоморфизм оа расширения Q (?)/Q п отображение а-+ оа индуци-
индуцирует изоморфизм группы классов приведенных вычетов по
модулю т (порядка <р(те)) на группу Галуа расширения
Q(?)/Q. Таким образом, круговые поля являются абелевыми
расширениями поля рациональных чисел Q. Согласно теории
Галуа всякое промежуточное поле F, Qc=FcrQ(Q, также абе-
лево над Q. Все промежуточные поля F для всех /га-круговых
полей — это, оказывается, вообще все абелевы расширения над
Q". согласно знаменитой теореме Кронекера — Вебера каждое по-
поле F, нормальное над Q и с абелевой группой Галуа, является
подполем некоторого кругового поля. (Доказательство теоремы
Кронекера — Вебера, основанное на привлечении полей р-адпче-
ских чисел, приведено в [53], см. также [38].)
Теорема Кронекера — Вебера позволяет дать обозримое опи-
описание всех абелевых расширений над Q. Для этого надо при-
привлечь группу X всех примитивных числовых характеров, указан-

358 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
ную в задаче 15 § 5 Дополнения. Пусть X — конечная подгруп-
подгруппа группы ?. Выберем натуральное т, делящееся на ведущие
модули всех характеров из X, и рассмотрим тгачкруговое поле
K = Q1(t>), ?m=l, группу Галуа которого обозначим через G.
Группу X можно отождествить с группой характеров группы G,
полагая %(ва.) =%(а), (а, т) = 1. Обозначим через Я подгруппу
и G, состоящую из тех о е G? для которых %(о) = 1 при всех
% е X, и через F — подполе Я-инвариантных элементов из К.
Легко видеть, что поле F определено группой X однозначно, т. е.
что оно не зависит от выбора т. Можно показать, далее, что
отображение X -+• F является взаимно однозначным соответствием
между всеми конечными подгруппами группы Ж и всеми конеч-
конечными абелевыми расширениями поля Q. Поле F при этом будет
вещественным тогда и только тогда, когда все характеры из X
четные.
2. Закон разложения в круговом поле. Так как степень
m-кругового поля Q (С) равна <р(пг), то числа
образуют базис Q (?,) над Q.
Можно показать, что числа B) образуют фундаментальный
базис поля Q (?). Другими словами, кольцо целых чисел поля
Q (?) (максимальный порядок) совпадает с кольцом Z [?]. При
простом т = I этот факт будет доказан в п. 1 § 5 этой главы.
Лемма 2. Если простое число р не входит в /и, то оно не
входит также и в дискриминант Z) = Z)A, ?, ..., ??<">>-') базиса B).
Доказательство. Дискриминант D равен, как известно,
дискриминанту /)(Фт) кругового многочлена Ф„,. Класс вычетов
D (Фт) е Fp числа. D(Om) по модулю р совпадает, очевидно,
с дискриминантом Z>(Om) многочлена OmGFp[f]. Но Q>m(t) не
имеет кратных корней (лемма 1), поэтому О(Фт) ФО, а значит,
D = Б(Фт) не делится на р.
Лемма 3. Если в поле алгебраических чисел К содержится
первообразный корень степени m из 1, то для любого простого
дивизора р поля К, взаимно простого с m, N(.f) = I (mod m).
Доказательство. Пусть D — кольцо целых чисел поля К,
Р — простое рациональное число, делящееся на у, и ? — первооб-
первообразный корень степени m пз ,1 (?еО). В п. 1 мы видели, что в
поле вычетов D/p, являющемся расширением поля Fp, много-
многочлен Vй ~ 1 не имеет кратных корней (так как р \ тп). Следова-
Следовательно, классы вычетов 1, ?, ..., Z,m~l из О/р попарно различны.
Ясно, что эти классы образуют группу по умножению порядка
m — подгруппу в мультипликативной группе поля вычетов О/р.
Порядок последней группы равен Жр) — 1. Но порядок конечной
группы делится на порядок любой ее подгруппы, поэтому N(f) — 1
делится на пг, а это и требовалось доказать.

g 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 359
Теорема 2. Пусть для простого числа р, не входящего в тп,
через f обозначено наименьшее натуральное число, для которого
pf = 1 (mod яг), и пусть g = q>(m)/f. Тогда в тп-круговом поле
Q (§) для р имеет место разложение
p = h..-h,- . C)
где простые дивизоры уи ..., yg попарно различны и N(y() = р1.
Доказательство. Так как (р, тп) — 1, то по лемме 2 р
не входит в дискриминант базиса B), и поэтому согласно теоре-
теореме 8 § 5 гл. III для р будем иметь разложение вида C). Нам ос-
остается только определить степень каждого простого дивизора $t
и доказать, что число всех ft равно ф(ттг)//.
Пусть у — какой-нибудь из простых дивизоров Р; и s — его
степень, так что N(.f)=p'. По лемме 3 ps = I (mod/и), а значит,
s 5s /. Для доказательства обратного неравенства рассмотрим поле
вычетов D/p в кольце D целых чисел поля Q (?) по модулю р.
Согласно следствию леммы п. 4 § 7 гл. III в каждом классе вы-
вычетов из D/f имеется представитель вида
Ф(т)—1
5= 2 а?, D)
j=o
где uj — целые рациональные числа. Возведем D) в степень pf.
Так как pf — 1 (mod m), то ? = ?. Учитывая, далее, что
(а + р^'ззоУ + pp;(mod})) при любых а и J3 из О, а также, что
ар/ s= а (mod p) при любом целом рациональном а, мы из D) по-
получим сравнение
&>'==% (mod у).
Таким образом, произвольно взятый класс вычетов g e ?>/у яв-
является корнем многочлена tpf — t. Но в любом поле число кор-
корней многочлена не превосходит его степени, поэтому ps ^ pf и,
значит, s =?^ /. Сопоставляя это неравенство с полученным ронее,
мы получаем, что s = /.
Нами доказано, таким образом, что все простые дивизоры р<
из разложения C) имеют одну и ту же степень /, равную пока-
показателю числа р по модулю т. Применяя теперь теорему 8 § 5
гл. III, мы устанавливаем, что число g простых дивизоров ft рав-
но'ф(лг)//. Теорема 2 доказана.
3. Выражение h через значения Z-рядов. Обратимся к дзета-
функции ?КЫ лг-кругового поля К = Q (?), ^т = 1. Воспользо-
Воспользовавшись тождеством Эйлера (теорема 4 § 1) и объединив в нем
вместе все те множители, которые соответствуют простым диви-
дивизорам р, делящим одно и то же простое рациональное р, можно

360 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
записать
р »|р 1-
(внешнее произведение распространяется на все простые рацио-
рациональные числа р). Множители, соответствующие простым дивизо-
дивизорам у, делящим т, образуют конечное произведение. Обозначим
его через
(ЬГ- F)
Если (р, т) = 1, то для всякого простого дивизора р, делящего р.
имеем N (р) = pfp, где fP — показатель числа р по модулю т. По-
Поскольку число различных р, делящих р, равно ф(/га)//р (теоре-
(теорема 2), то
„ / 1 \-Ф(т)//_
Sk(«) = g(S) П \{--Ь) ¦ G)
(р,т)=1 \ р V J
Каждый сомножитель из этого произведения преобразуем к более
удобному для исследования виду. Для этого воспользуемся раз-
разложением
\p
2я . . 2л '
где е = е„ = cos т—\- fsin-т—. Хеиерь произведение
- П 1-Ц
содержит q>(m) сомножителей, и это число сомножителей одно п
то же для всех р. Оказывается, что сомножители для различных
р можно так сопоставить друг другу, что бесконечное произведе-
произведение, стоящее в правой части равенства G), распадается в произ-
произведение ф(т) множителей, имеющих довольно простой вид. Это
разложение основывается на понятии характера по модулю т.
Нужные здесь сведения о характерах изложены в § 5 Дополнения.
Обозначим через Gm группу классов вычетов в кольце целых
рациональных чисел по модулю /и, состоящих из чисел, взаимно
простых с т. Класс р е Gm с представителем р имеет порядок fp.
Следовательно, для любого характера % группы Gm значение %(р),
являясь корнем степени fp из 1, должно совпадать с некоторым
е\ Обратно, если выбрать произвольно один из корней е\ то на
циклической подгруппе ip) группы Gm, порожденной классом р,
существует один и только один характер %и для которого %i(p) =
= вк. По теореме 3 § 5 Дополнения этот характер %, можно про-

§ 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 361
должить ф(т)//р способами до характера группы Gm. Таким обра-
образом, если % будет пробегать все характеры группы Gm, то %(/>) даст
нам все корни гк (& = 0, 1, ..., fp— 1), причем каждый корень е*
встретится ровно ф(т)//р раз. Подставляя выражение (8) в фор-
формулу G), получаем, следовательно,
(j>,m)=l У. \ Р
(внутреннее произведение распространяется на все характеры %
группы Gm).
Вместо характеров на группе Gm мы будем теперь рассматри-
рассматривать числовые характеры по модулю т (см. п. 3 § 5 Дополне-
Дополнения). Так как %(р) — 0 для всякого р, входящего в т, и для вся-
всякого числового характера % по модулю т, то равенству (9) мож-
можно придать вид
(здесь р пробегает уже все простые числа, ах —все числовые
характеры по модулю го). Меняя порядок умножения, мы прихо-
приходим к формуле
U(s) = G(s)TlL(s,x), A0)
х
в которой использовано следующее обозначение:
Заметим, что во всех только что проведенных выкладках предпо-
предполагалось, что s > 1 (при этом условии все операции над беско-
бесконечными произведениями легко могут быть обоснованы).
Замечание. В формуле A0) множитель G(s) может быть
опущен, если под % будем понимать примитивные характеры по
всем модулям d, являющимся делителями т; см. по этому поводу
задачи 13—16.
Множитель L(s, %„) из произведения A0), соответствующий
единичному характеру %0, лишь простым множителем отличается
от ^-функции Римана ?(s). В самом деле, так как %0(р) = I при
(р, т) = 1 и х„{р) = 0 при (р, т) > 1, то
?(*,Хо)= П .-V. (*>!)•
(p,m)=i 1 — 1/Р
С другой стороны, применив теорему 4 § 1 к полю рациональных
чисел Q, мы получаем ^ (s) = XI f Таким образом,
L (s> ЗСо) = | П -J ?E)- Подставляя это выражение в
\р]т 1 — 1/р /

362 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
A0), получаем следующую окончательную формулу для t,K(s):
Ik(s) = Fu(s) COO П L(s, x), *> 1, A2)
X?X
где нами положено (см. F))
Изучим подробнее функции Us, %). Рассматривая абсолютно
оо
сходящийся прп s > 1 ряд 2id ^Г и заменив разложение B4)
п=1 ге
§ 1 равенством
мы, почти дословно повторяя доказательство теоремы 4 § 1 (ис-
(использовав лишь мультипликативное свойство характера %), легко
получим, что
П=1 И
Ряд, стоящий в правой части равенства A3), называется L-ря-
дом пли рядом Дирихле для числового характера %• Нашей бли-
ближайшей целью является доказательство того, что для неединич-
неединичного характера % ?-ряд сходится не только при s > 1, но также
и прп s > 0 (конечно, в промежутке 0 < s s? 1 сходимость будет
неабсолютной). Установим для этого следующую лемму.
Лемма 4. Пусть последовательность комплексных чисел {ап}
п
(ге = 1, 2, ...) такова, что суммы Ап = 2 ak ограничены, т. е.
\Ап\ <С герц всех п>1. Тогда ряд
сходится при всех вещественных s > 0. Для любого а > 0 в геро-
межуткеЛо, °°) сходимость будет равномерной, так что сумма
/(s) является непрерывной функцией от s (в области сходимости
@, оо)).
Доказательство. Зафиксируем произвольно а>0. Для
любого е > 0 найдется такое ге0, что — < е при всех ге > ге0. При
тех же ге > ге0 также — < е, если только s>a. Пусть М> N> re0.

§ 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 363
Тогда
М М М . М-1
а к ~ ь d
1 = У d* _
NK
h=N k ft=JV-l (л + :
M-X
откуда
М
М-1
.?_, г У /1
k=N
для всех s из промежутка [о, °°). Лемма 4 доказана.
Следствие. Для неединичного характера % ряд Дирихле
L(s, x) сходится при s>0 и представляет в промежутке @, °°)
непрерывную функцию.
Действительно, если % Ф %0, то 2 X (&) = 0' если А пробегает
полную систему вычетов по модулю т. Представим произвольное
натуральное п в виде п = mq + г, 0 ^ г < т. Тогда Ап =
п г
= 2 X (^ = 2 X (Л), откуда | 4„ К /• < те.
Возвращаясь к функции ?*Ы, умножим равенство A2) на
s — 1 и перейдем к пределу при s -»¦ 1 + 0. В силу соотношения
A9) § 1 мы получим, что
Urn (s - 1) Ik (s) = F A) Д ^ A, %), №
где
CX)
Г * ^^ % (^) Л Г\
l (l, x) = 2d — ( )
n=i
Заметим, что поскольку ряд A5) сходится не абсолютно, то надо
иметь в виду, что его члены расположены в порядке возрастания
п. Сопоставляя A4) с теоремой 2 § 1, получаем для чпсла h сле-
следующую формулу:
(здесь w обозначает число корней из 1, содержащихся в К). По-
Полученное выражение A6) для числа классов дивизоров кругового
поля еще нельзя считать окончательным, так как оно содержит
бесконечные ряды L(l, x)- Суммирование этих рядов мы прове-
проведем в следующем пункте.
Замечание. В соответствии с замечанием к формуле A0)
множитель F(l) в формуле A4) также будет отсутствовать, если
X будет пробегать все примитивные характеры для всех ведущих
модулей d?=i, являющихся делителями числа т (задача 16).

364 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Можно показать, что для любого абелева расширения F/Q,
соответствующего конечной подгруппе X группы числовых при-
примитивных характеров X (см. замечание в конце п. 1) справедли-
справедлива формула
lim (s-1)Zf(s)= П ?A,Х).
где х пробегает все характеры из X, кроме единичного. Сопостав-
Сопоставление этой формулы с теоремой 2 § 1 дает возможность полу-
получить формулу для числа классов дивизоров h(F) поля F. Если
F — вещественное абелево расширение поля рациональных чисел
степени п (в этом случае все характеры у<=Х четные), то s = п,
t = 0, w = 2, и мы получаем формулу
~\/D(F)
в которой R(f) — регулятор и D(F) — дискриминант поля F.
4. Суммирование рядов L(l, х). Считая, что % — неединичный
характер по модулю т, обратимся к ряду A3). Опуская в нем
слагаемые, равные нулю, и замечая, что ySnJ =%(.n2) при п± =
^re2(modm), мы можем его переписать следующим образом
(здесь существенно, что s> 1):
(ж,т)=1
(внешнее суммирование ведется по приведенной системе вычетов
оо
по модулю т). Внутренний ряд представим в виде ^ —s, где
71=1 П
A при п = ? (mod m),
п [0 при пфх (mod m).
Чтобы найти удобную запись для коэффициентов с„, обратим
внимание на следующую очевидную формулу:
m~l rh jm при r==0 (mod m),
й=о (О при гфО(тойт),
где Z, = cos Ь isin первообразный корень степени т из 1.
Подчеркнем здесь, что, в то время как при алгебраических иссле-
исследованиях кругового поля нам было безразлично, какой именно
первообразный корень т-ш степени из 1 мы обозначаем через ?,
сейчас, при аналитических выкладках, нам надо четко фиксиро-
фиксировать один из этих корней. Мы имеем, следовательно,
(х—n)ft
то JLk b

g 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 365
Таким образом,
oo m—x
s y) - У v Ы У - У tfx-njk J_
' л/ — jmi A Vх/ Xj m Xj Ь s
(x,m)=l n=X h=0 n
m-i
-±2B
Выражение, стоящее в скобках, в случае простого т = р нам уже
встречалось в § 2 гл. I и называлось там гауссовой суммой. Да-
дпм определение гауссовых сумм для произвольных т.
Определение. Пусть ? — фиксированный первообразный
корень степени m из 1 и % — числовой характер по модулю т.
Выражение
xmod m
где х пробегает полную {или приведенную) систему вычетов по
модулю тп, называется гауссовой суммой, соответствующей харак-
характеру % и целому рациональному числу а.
Гауссова сумма тА%) зависит, таким образом, не только от х
и вычета а по модулю т, но и от выбора первообразного корня
?. Мы в дальнейшем будем предполагать, что в качестве ? взят
2я , . . 2я „ .
корень cos — + i sin —. 1 ауссова сумлга с таким значением ? на-
называется нормированной.
Сумму тДх) мы будем обозначать также через т(%).
Если характер х неединичный, то
т (у) = У, «/ (х) = О
(ж,т)=1
Полученное нами выражение для ряда L{s, %) мы можем поэтому
переписать в виде
т—1 ос
h=X n=l
^—- можем применить лемму 4 (?"*?= 1 при k?=Q,
п=1
тг
поэтому 2 ?~nfe = 0). Согласно этой лемме наш ряд сходится
при 0 < s < °° и представляет в этом промежутке непрерывную
функцию от s. В силу этого в последнем равенстве мы можем
положить s = 1 и в результате получим

366 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД 1ГЛ. ~V
Чтобы найти сумму внутреннего ряда, обратимся к степенному
ряду ^ —. Известно, что он сходится в круге \z\ < 1 и пред-
предав
ставляет там ветвь функции —In (I — z), мнимая часть которой
(т. е. коэффициент при i) содержится в промежутке (—л/2, л/2).
Поскольку наш степенной ряд в точке z = %~k (на единичной
окружности) также сходится, то по теореме Абеля
ею
2 -— = -1пA-Гй),
а значит,
Для ряда L(l, у) получено, таким образом, конечное выражение.
Подставляя его в A6), находим формулу для числа классов диви-
дивизоров кругового поля, уже не содержащую бесконечных рядов.
Формула A7) может быть исследована дальше и значительно
упрощена. В следующем пункте мы проведем это исследование,
но не для общего случая, а лишь для примитивных характеров %.
В § 5 мы применим полученные результаты к исследованию фор-
формулы для h в случае поля деления круга на простое число частей.
Именно в этом случае формула для числа классов дивизоров
имеет особенно важные приложения.
5. Ряды L(i, x) Для примитивных характеров. Докажем, что
если % — примитивный характер по модулю т и (я, т) = г > 1, то
Положим т = rd. Ясно, что ?" является первообразным корнем
степени d из 1, а потому ?°2 = ?а, если только z = 1 (mod d).
Возьмем в качестве z число, для которого (z, т) = 1, 2=1 (mod d)
и %{z) Ф1 (существование такого z обеспечено теоремой 4 § 5
Дополнения). Так как вместе с х произведение zx также пробе-
пробегает полную систему вычетов по модулю т, то
Мх) 2 хМ /() х() х()(х)
х mod m x mod m
Так как %(z) Ф 1, то отсюда следует, что %а(%) = 0.
Далее, если (а, т) = 1, то та(%) =%(я)~1т(%).
В самом деле, так как вместе с х произведение ах также про-
пробегает полную систему вычетов по модулю т, то
X («) Та (х) = 2 X (ах) 1°* = г1 (Х) = т (х).
xmodm

g 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 367
Формулу A7) в случае примитивного характера % мы можем,
следовательно, переписать в виде
Обратимся к изучению суммы
(к пробегает приведенную систему вычетов по модулю т). Ис-
Исследование суммы Sy приводит нас к двум существенно различ-
различным по виду результатам. Для разграничения этих двух случаев
нам надо ввести следующее определение.
Определение. Числовой характер х называется четным,
если%(—1) = 1 (и, следовательно, %(.—х)=%(х) при всех целых
х), и называется нечетным, если %(—1) = —1 (в этом случае
%(-х) = —хЫ).
Так как
то у(—1)=±1, поэтому всякий характер % будет либо четным,
либо нечетным.
Тригонометрическая форма числа 1 — ?~" при 0 < к < m име-
имеет вид
причем — "-;- < -^ — — <-^-; поэтому
Далее, так как 1 — t,~h и 1 — t," сопряжены между собой, то
(Подчеркнем еще раз, что обе последние формулы справедливы
лишь при условии, что к находится среди наименьших положи-
положительных вычетов по модулю т.)
Предположим теперь, что характер % (а значит, и х) четный.
Заменив в сумме A9) к на —к, получим
• 5Х= 2 ? (*) in A-е*),
()

368 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
что при сложении с A9) дает нам
2SX= 2 X №) [In A-Г*) +In A-?*)] =
2 %(k)\n\l-?\ = 2 2 X (А) Ь 2sin^.
Если же характер % нечетный, то, опять заменив в A9) к на
—к, мы получим
2
откуда
Учитывая, что 2 X (^') = О (ведь характер % неединичный), и
принимая во внимание A8), мы приходим к следующему ре-
результату.
Теорема 3. Пусть % — примитивный характер по модулю
m > 1. Если % четный, то
т (у) %Г* — 1 k \
Х(/с) msm —. B0)
же х нечетный, то
B1)
Задачи
1. Доказать, что еслп % — примитивный характер во модулю гп, то
Ь(ХI =1^-
Оказание. Следовать доказательству теоремы 4 § 2 гл. I.
2. Пусть р—нечетное простое число, р* = (—l)'?)''2/). Доказать, что
квадратичное поле С A/ р*) содержится в поле деления круга на р частей
(использовать задачу 5 § 2 гл. I при а = Ъ = 1).
3. Доказать, что всякое квадратичное поле содержится в некотором кру-
круговом поле.
4. В обозначениях задачи 6 § 5 Дополнения доказать равенство
Ъ(ЗС) = T°(%i) •••To(x*)X*('»/wi) ¦¦¦%h{mlmh)
(при определении гауссовых сумм то(Хг) предполагается, что в качестве пер-
первообразного корня степени ггц из 1 взят корень ? г, где 5 — первообраз-
первообразный корень степени m из 1, участвующий в определении сумэды ха(%)).

§ 2J ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 369
5. Пусть простое число р не входит в т, и пусть / есть наименьшее на-
натуральное число, для которого pi = 1 (mod m). Доказать, что многочлен
Фт{1) с коэффициентами из Fp (см. п. 1) в кольце fp [t] раскладывается
в произведение ф(тге)// неприводимых множителей, каждый из которых име-
имеет степень /. (Ввиду теоремы 8 § 5 гл. III это дает нам второе доказатель-
доказательство теоремы 2.)
6. Пусть р — простое нечетное число. Рассматривая поле €>("]/— l) и со-
сопоставляя для этого поля теорему 1 § 8 гл. III с теоремой 2 настоящего па-
параграфа, получить равенство! 1 = (— ifv~r>l2 (первое дополнение к квад-
квадратичному закону взаимности).
7. Пусть р и q Ф 2 — различные простые числа, К — поле деления кру-
круга на q частей и g — число различных простых дивпзоров поля J?, входящих
в разложение числа р. Пользуясь критерием Эйлера — = я(9-1^2 (mod q),
\ Ч I
доказать, что I ?- = (— 1)г.
Ч)
8. Сохраняя те же обозначения, рассмотрим квадратичное подполе
к =С(/?^)поля К, д* = (—1)<з-')/2д. Положим /=(</ — l)/g. Доказать, что
если р разлагается в поле к в произведение двух простых дивизоров, то g
четно, а если р остается простым в к, то / четно. Основываясь на теореме 1
§ 8 гл. III, показать далее, что при р ф 2
?) =(-1)*.
Р J
Таким образом, р разлагается в к тогда и только тогда, когда g четно.
Указание. В случае q = 1 (mod 4) воспользоваться задачей 7 и по-
показать, что из ( — I = — = 1 следует ( 1. ] = ( '1— = 1.
\q I \ q J \р I \р J
9. Из предшествующих двух задач вывести квадратичный закон взаим-
НОСТП i_ -5- = \— 1) "
\ qj \p I _
10. Доказать, что если простое д Ф 2 в поле Q (/2)разлагается в про-
произведение двух простых дивизоров и д = 1 (mod 4), то q = I (mod 8). (Рас-
(Рассмотреть разложение q в полеО (/2 , "J/— l) деления круга па 8 частей.)
11. В обозначениях задач 7 и 8 показать, что число р = 2 разлагается
в поле А в произведение двух простых дивизоров тогда и только тогда, ког-
когда g четно.
12. Сопоставляя результат предшествующей задачи с теоремой 1 § 8
I 2 \
гл. III, доказать, что равенство 1—1 = + 1 эквивалентно сравнению д* =з
^ 1 (mod8), т. е. что I—1= (—I)'9 ~1>'8 (второе дополнение к квадрати-
квадратичному закону взаимности).
13. Доказать, что в поле деления круга на ph частей для простого чис-
числа р имеет место разложение
р = Р, g = v(ph) =рн-Чр-1), лг(»)=р.
14. Пусть т = рКт', (р, т.') = 1, и пусть / есть наименьшее натураль-
натуральное число, для которого pf = 1 (mod rnf). Доказать, что в поле деления круга

370 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД. [ГЛ. V
па т частей разложение простого числа р имеет вид
Р = A>1...Ыв, N(Vi) =Pf,
где е — фО?*), fg = ф(т') (ф — функция Эйлера).
15. Доказать, что для функции G(s), определенной равенством F), спра-
справедлива формула
gw-П П и-Щ-\
р\т % modm' \ p J
где р пробегает все простые делители числа т, а % (при данном р) пробе-
пробегает все числовые характеры по модулю т', т = pkm', р -f т.
16. Используя задачу 9 § 5 Дополнения, равенство A0) и формулу пред-
предшествующей задачи, доказать, что для дзета-функщш ?K(s) поля деления
круга на т частей имеет место разложение
Ьс(*) = П П ^'«'
d\m xmodd
X примит
где d пробегает все делители числа т. (включая 1 п m), a x (при данном d)
пробегает все примитивные характеры по модулю а. Вывести отсюда, что
lim (* - 1) Ск (*) = П П L(LV-
s~*l—0 d\m xmodd
d#i хприиит
§ 3. Простые дивизоры первой степени
В § 2 мы использовали теоремы 2 и 4 § 1 для вычисления
числа h классов дивизоров в круговых полях. В этом параграфе
мы покажем, что, наоборот, из наличия формулы B) § 1 с отлич-
отличной от нуля правой частью можно сделать важные выводы о про-
простых дивизорах первой степени и о простых числах в арифмети-
арифметических прогрессиях.
1. Существование простых дивизоров первой степени.
Теорема 1. В произвольном поле алгебраических чисел К
существует бесконечно много простых дивизоров первой степени.
Доказательство. Согласно теореме 4 § 1 для функции
Zk(s) имеет место разложение
Ц)- A)
Так как сходящееся бесконечное произведение отлично от нуля,
то t,K(s)?=O при всех s>l. Прологарифмировав равенство A),
мы получим
Выделим в этом равенстве сумму

g 3] ПРОСТЫВ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 371
в которой суммирование распространено по всем простым диви-
дивизорам $i пбля К первой степени. Если через G(s) мы обозначим
сумму всех остальных слагаемых, то равенство B) можно будет
переписать в виде
l?()
Пусть / обозначает степень простого дивизора р, так что N(f) =
= pf. Если }>2, то
P2S'
Если же /= 1, то
у *
Так как для каждого простого рационального числа р имеется
не более п = {К : Q) простых дивизоров поля К, делящих р, то
для G(s) мы получаем, таким образом, оценку
откуда следует, что функция G(s) ограничена при s ->- 1 + 0.
С другой стороны, из соотношения B) § 1, в котором xh?=Q,
следует, что 1п?кЫ вместе с %As) стремится к бесконечности
при s ->- 1 + 0. Следовательно, ввиду D) это же справедливо и
для P(s), а значит, сумма C) не может состоять лишь из конеч-
конечного числа слагаемых. Таким образом, число простых дивизоров
р! первой степени бесконечно, и теорема 1 доказана.
Заметим, что приведенное доказательство бесконечности про-
простых дивизоров первой степени использует ту же идею, на кото-
которой основано одно из доказательств бесконечности простых чисел
(см. задачу 1).
2. Характеризация нормальных расширений законами разло-
разложения простых дивизоров первой степени. Пусть к — поле алгеб-
алгебраических чисел и К — его конечное расширение. Всякий простой
дивизор р поля к в поле К представляется в виде произведения
степеней простых дивизоров $р поля К, делящих у (см. равенст-
равенство B) § 5 гл. III). Такое разложение характеризуется набором
индексов ветвления е^ и степеней инерции /ц$ дивизоров $ от-
относительно к. В связи с этим под законом разложения в расши-
расширении К/к понимают соответствие, сопоставляющее каждому р
набор чисел е$ и /^ для всех ф, делящих р.
Естественно возникает вопрос, характеризуется ли расшире-
расширение своим законом разложения? Мы покажем, что для случая

372 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
нормальных расширений ответ утвердительный. Более того, нор-
нормальное расширение К/к однозначно определено уже указанием
тех простых дивизоров р поля к, абсолютная степень инерции ко-
которых равна 1 и для которых е^ = f^ — 1 при всех S$Mp.
Определение. Простой дивизор р поля к называется
вполне распадающимся в конечном расширении К/k, если е^ =
= /^ = 1 для всех простых дивизоров $ поля К, делящих р.
Согласно теореме 7 § 5 гл. III простые дивизоры р поля к,
вполне распадающиеся в расширении К/к степени п, характери-
характеризуются разложением р = % ... $„.
Для конечного расширения К/к через Q(K/k) обозначим мно-
множество всех простых дивизоров поля к, имеющих абсолютную
степень инерции 1 п вполне распадающихся в К.
Теорема 2. Пусть Kjk и Кг/к— конечные нормальные рас-
расширения поля алгебраических чисел к {содержащиеся в некото-
некотором объемлющем их поле). Если QiKJk) = Q(KJk), то Ki = K1.
Мы докажем несколько более общую теорему 2', из которой
теорема 2 будет вытекать в качестве очевидного следствия.
Все рассматриваемые здесь поля мы будем предполагать со-,
держащимися в некотором объемлющем их поле. В этом случае
для двух полей К п L однозначно определен их композит KL как
наименьшее поле, содержащее К и L.
Теорема 2'. Пусть К/k и L/k — конечные расширения поля
алгебраических чисел к, причем расширение К/к нормально. По-
Поле L содержится в К тогда и только тогда, когда Q{L/k) => Q(K/k).
Докажем предварительно следующий вспомогательный факт.
Лемма. Пусть К/k и L/k — конечные расширения поля ал-
алгебраических чисел к. Тогда
Q.(KL/k) = Q(K/k) П Q(L/k).
Доказательство. Пусть р — простой дивизор поля к пер-
первой степени. Если р вполне распадается в KL, то, как это легко
следует из задачи 21 § 5 гл. III, он будет вполне распадающимся
и в промежуточных полях К и L. Обратно, пусть f вполне распа-
распадается в К и в L. Воспользуемся теоремой 3 § 2 гл. IV. Согласно
этой теореме минимальный многочлен всякого элемента из К
пли из L (над полем к) в р-адическом пополнении ку целиком
раскладывается на линейные множители. Это значит (теорема 11
§ 2 Дополнения), что все изоморфизмы расширений К/к и L/k
в надлежащее расширение поля ку, при котором каждый элемент
из к отображается на себя, отображают К и L внутрь поля ку
Но в таком случае всякий изоморфизм расширения KL/k в рас-
расширение поля ку,: тождественный на к, также отобразит KL
внутрь поля kf, а значит, минимальный многочлен всякого эле-
элемента из KL над к в поле ку раскладывается на линейные мно-

I 3] ПРОСТЫЕ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 373
жители. Применяя опять теорему 3 § 2 гл. IV, заключаем, что у
вполне распадается в поле KL. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2'. Если LczK, то Q(K/k)
содержится в QiL/k) (как уже отмечалось, это очевидным обра-
образом следует из задачи 21 § 5 гл. III).
Обратно, предположим, что Q(K/k) <= Q(L/k). Рассмотрим ком-
композит М = KL. Согласно лемме имеет место равенство
Q(M/k)=Q(K/k). D°)
Пользуясь этим равенством, мы докажем, что М = К, откуда и
будет следовать включение Lcz К. На самом деле мы докажем
даже более сильное утверждение. Именно, из доказательства бу-
будет видно, что равенство М = К следует уже из ослабленного
включения Q{K/k) — A <=Q(M/k), где А — произвольное конечное
подмножество в Q(K/k).
Согласно п. 1 мы имеем
SJJ
где $ и ?5 пробегают все простые дивизоры первой степени полей
К и М соответственно, a G0(s) и G,{s) — ограниченные функции
при s -> 1 + 0.
Обозначим через А множество тех простых дивизоров из
Q(K/k), которые разветвлены в М (согласно следствию теоремы 8
§ 5 гл. III подмножество А конечно). Пусть, далее, 2й0 шШ —
множества тех простых дивизоров первой степени полей К и М
соответственно, которые не делят простых дивизоров поля к, со-
содержащихся в А. Мы можем считать, что в равенствах D') и
D") $ е fl пробегают все простые дивизоры из Шо п 2JJ соответ-
соответственно. В самом деле, те слагаемые, которые соответствуют де-
делителям дивизоров из А, мы можем отнести к функциям G0(s) и
Gt(s), не нарушая их ограниченности при s ->-1 + 0.
Пусть ф е Шо и V — простой дивизор поля к, делящийся на ф.
Ясно, что индекс ветвления е^ и степень инерции f<$ дивизора
ф относительно к равны 1. Но тогда в силу нормальности расши-
расширения К/к (см. конец п. 3 § 5 гл. III) то же будет иметь место
и для всех простых дивизоров поля К, делящих у, и, следова-
следовательно, у е Q{K/k), т. е. У вполне распадается в К. Но тогда,
в силу условия теоремы (равенство D°)), у будет вполне распа-
распадаться и в М, откуда очевидным образом следует, что
где все Q< принадлежат 9Й, т = (М: К) — степень расширения
Ml К и Жф) = МО*), 1 < i < m (последнее следует из того, что

374 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
5р и Qj являются делителями одного и того же простого рацио-
рационального числа р).
Обратно, если flel иЙ является делителем простого диви-
дивизора ф поля К, то, очевидно,, $<е$Ш0.
Из доказанного следует теперь, что
1
а значит, разность то In ?K(s) — In ?M(s) является ограниченной
функцией при s -*¦ 1 + 0.
С другой стороны, из соотношения B) § 1 следует, что для
любого поля алгебраических чисел К функция In ?к (•?) — ln s_a
ограничена при s ->- 1 + 0. Следовательно, ограниченной должна
1
быть и функция (иг—1) In т,что возможно лишь при т =
S — х
— Ш : К) = 1. Таким образом, М = К, а значит, La К.
Теорема 2' и вместе с ней теорема 2 доказаны.
3. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической про-
прогрессии.
Теорема 3 (теорема Дирихле). В каждом классе вычетов
по модулю ш, состоящем из чисел, взаимно простых с т, содер-
содержится бесконечно много простых чисел.
Доказательство. В то время как в п. 1 нами был ис-
использован факт необращения в нуль предела B) § 1, доказатель-
доказательство теоремы Дирихле основывается на том, что Ы\, %)Ф0 для
любого неедгшичного характера % по модулю тп, что очевидным
образом следует из формулы A6) § 2.
Рассмотрим разложение ?-ряда Lis, у) в бесконечное произ-
произведение:
(-^Г\ E)
Р 1
Из сходимости этого бесконечного произведения следует, что для
всякого числового характера % по модулю тп (в том числе и для
единичного характера /0) L(s, у) отлично от нуля при всех s > 1.
Можно поэтому в промежутке A, °°) рассмотреть комплексно-
значную функцию In L(s, %). При этом, поскольку логарифмиче-
логарифмическая функция неоднозначная, надо иметь в виду какую-нибудь
определенную ее ветвь. Выбор этой ветви осуществим следую-
следующим образ'ом. Возьмем логарифм от каждого сомножителя в бес-
бесконечном произведении E), причем значение для него выберем
так, чтобы имело место разложение

§ 3] ПРОСТЫЕ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 375
Просуммировав ряды F) для всех р, мы получим
где R (s, х) = 2 [ т Щг + - ^^ + • • •) (абсолютная сходи-
р \^ Р ¦* / /
мость всех встречающихся здесь рядов при s > 1 очевидна). Зна-
Значение для In L(s, %) выбираем теперь таким образом, чтобы для
всех s > 1 было справедливо равенство
G)
Заметим, что для единичного характера %0 значение In L{s,
будет вещественным.
Оценим функцию R(s, %):
Таким образом, \R{s, %)\ < 1 для всех s> 1.
Наряду с числовыми характерами % будем рассматривать ха-
характеры '.обозначая их той же буквой %) на группе Gm классов
вычетов по модулю т, взаимно простых с т. Пусть С пробегает
все классы из группы Gm. Так как х(р) = х(О ПРИ Р^С, т0
С
(напомним, что %(р) =0, если р делит т). Полагая
равенству G) можно придать вид
In L (s, х) = 2 х (С) f (s, С) +R {s, %). ¦ (8)
с
Так как число всех характеров по модулю т равно ф(/га), то ра-
равенства <8) для всех х можно рассматривать как систему ф(/и)
линейных уравнений с ф(/и) неизвестными fis, С) (свободные
члены которой равны разностям InL(s, %) — R(s, %)). Чтобы из
этой системы найти /(s, A) {A e Gm), умножим (8) на %(А~1),
а затем просуммируем по всем характерам %. Мы получим
2 X (А'1) 1й Л (в, %) = 2 2 X (СЛ-1) / (S, С) + ДА (s), (9)
X С X
где для Ra(s) = '^i%(A^1)R(s,%) имеет место оценка |i?A(s)l <_
х
<ф(пг) при всех s>i. Согласно формуле F) § 5 Дополнения

376 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
сумма 2j7\CA ) равна (f{m) при С —А и равна нулю при
х
С ФА, поэтому равенство (9) может быть переписано в виде
In L (s, -/0) + 2 X U) In L (s, %) = Ф (т) f (s, A) + RA (s). A0)
Этим из спстемы (8) мы нашли значение /(s, A).
Устремим теперь s к единице справа. Если %Ф%0, то L(s, %) ~*~
->Z,A, yj, при этом L(l, х) ^ 0\ как было отмечено в начале до-
доказательства. Следовательно, сумма, стоящая в левой части ра-
равенства A0) (распространенная на все неединичные характеры),
будет иметь конечный предел. Перенося эту сумму в правую
часть и объединяя ее с RA(s), получим равенство
In Us, Xo) = q>(m)/(s, A) + ТA(s), (И)
где ТА остается ограниченным при s -»- 1 + 0.
Если мы предположим теперь, что число простых чисел в клас-
классе А конечно, то функция f{s,A)= J^ —будет иметь конечный
предел при s->¦ 1, а тогда вся правая часть равенства A1) будет
ограниченной при $ -*¦ 1 + 0. Это, однако, невозможно, так как
lim L(s,z0) = оо,
что следует из равенства L (s, у_0) = ? (s) JJ 1 j. Полученное
p\m \ р I
противоречие и доказывает теорему 3.
Теореме Дирихле можно дать следующее уточнение. Положим
1
A (Pi'm)=l P
Разделим равенство A1) на qiim) и просуммируем по всем клас-
классам А е Gm. Мы получим
A2)
где T(s) ограничено при s ->¦ 1 + 0. Приравняем правые части A1)
и A2), разделим полученное равенство на q>(m)f(s) и перейдем
к пределу при s ->- 1 + 0. Мы придем тогда к равенству
2 \
V 1 ~ Ф W
(p,m)=i P
Полученная формула говорит о том, что в определенном смысле
простые числа, взаимно простые с иг, распределяются равномерно
по классам вычетов mod та (с одинаковой плотностью).

§ 3] ПРОСТЫЕ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 377
Замечание 1. Поле деления круга на т частей, т. е. поле
Q(?), ? =1, является нормальным расширением поля рацио-
рациональных чисел Q, и его группа Галуа G порядка ц>{т) естествен-
естественным образом изоморфна группе приведенных классов вычетов по
модулю т. Именно, каждому классу вычетов с представителем к,
(к, т) = 1, взаимно однозначно соответствует автоморфизм о из
G, для которого ta = ?\ Каждому простому числу р, не входяще-
входящему в т, мы можем, следовательно, однозначно сопоставить авто-
автоморфизм о из G (для которого ?° = Е;Р). Скажем в этом случае,
что р принадлежит автоморфизму о. Теорема Дирихле будет оз-
означать теперь, что каждому автоморфизму о принадлежит беско-
бесконечно много простых чисел (с одной и той же плотностью рас-
распределения по всем автоморфизмам). В такой формулировке
теорема Дирихле допускает обобщение на случай произвольного
расширения Галуа поля рациональных чисел. Это обобщение, из-
известное как закон плотности Н. Г. Чеботарева, состоит в сле-
следующем.
Пусть К/О.— расширение Гапуа подя рациональных чисел
Q с группой Галуа G. Пусть, далее, р — простое число, взаимно
простое с дискриминантом поля К. Для каждого простого диви-
дивизора $ поля К. делящего р, однозначно определен автоморфизм
о е G такой, что для любого целого а из К справедливо сравне-
сравнение аа = ар (mod !p). При замене $ на другой простой делитель
числа р автоморфизм о заменится на сопряженный с ним элемент
группы G, п этим способом мы получим все сопряженные с о
элементы. Говорят, что простое число р принадлежит так постро-
построенному классу сопряженных элементов группы G. В 1923 г.
Н. Г. Чеботарев показал [52], что плотность множества простых
чисел, принадлежащих данному классу сопряженных автоморфиз-
автоморфизмов, равна отношению числа элементов в классе к порядку груп-
группы G. В частности, каждому классу принадлежит бесконечно
много простых чисел.
Замечание 2. Теорема 3 дает нам информацию о простых
числах р, удовлетворяющих сравнению р = а (mod иг), или, в дру-
других терминах, конечному набору неравенств
где Ч>рг ¦— метрики, соответствующие всем простым делителям
ри ..., рг числа т. При такой интерпретации теорему Дирихле
можно сопоставить с асимптотическим законом распределения
простых чисел, дающим информацию о «плотности» простых чи-
чисел, удовлетворяющих условию \x\<N (т. е. величина которых
в смысле архимедовой метрики не превосходит заданной ве-
величины N).
Доказательство теоремы Дирихле, как мы видели, основыва-
основывается на том, что L(l, у) Ф 0. Доказательство асимптотического

378 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
закона распределения простых чисел основывается на неравен-
неравенстве -?A + ix) Ф О для вещественных т. Уже это обстоятельство
наводит на мысль о существовании аналогий между функциями
L(a, %) и ?(о" + гт) от вещественного аргумента о. Семейство
L-функцнй параметризуется числовыми характерами %, второе
семейство — вещественными числами т.
Покажем, что подмеченная аналогия простирается дальше и
проявляется в родстве параметризаций. Каждый характер % с ве-
ведущим модулем т однозначно распространяется до гомоморфизма
группы (Q*)m тех не равных 0 рациональных чисел, числители
и знаменатели которых взаимно просты с т, в группу комплекс-
комплексных чисел, по модулю равных 1, и этот гомоморфизм непрерывен
относительно топологии, определенной конечным наборов неархи-
неархимедовых метрик фР1, . . ., фРг- Можно считать поэтому, что все
функции L(o, %) параметризуются непрерывными (в указанном
смысле) гомоморфизмами групп типа (Q*)m в единичную окруж-
окружность. С другой стороны, функция t,(a+ix) от вещественного ар-
аргумента а может быть записана в виде
71=1 П
где tpz(n) = п~". Так как i]\(ram) =^x{n)tyt{m) л !ф,'(п)| = 1, то
функцию i|3T мы можем однозначно продолжить до непрерывного
гомоморфизма всей мультипликативной группы Q* в единичную
окружность (непрерывность здесь понимается в смысле обычной
архимедовой метрики). Таким образом, и здесь функции ?(а +
+ ix) могут быть параметризованы непрерывными гомоморфизма-
гомоморфизмами (характерами) группы Q* в единичную окружность.
Мысль о наличии аналогий между функциями Ыа, %) и
?,(о + ix) подкрепляется также сравнением приведенной выше
формулы A3) с формулой A3) § 2.
В свете изложенных соображений аналогом гипотезы Римана
о нулях функции ?(s) в полосе 0< о < 1 будет предположение:
L(o, %) Ф О при вещественных о > 1/2. Хотя это утверждение,
как н классическая гипотеза Римана, тоже не доказано, оно
представляется более «арифметическим» ее аналогом и поэтому
может оказаться доступнее. В следующем параграфе мы отметим
один частный случай, когда аналог гипотезы Рпмана для L-рядов
принимает особенно простой вид.
Задачи
1. Показать, что разность между функциями ln?(s) и g (s) — ^ —
v Р
(р пробегает все простые рациональные числа) ограничена при s -»-1 -f 0.
2. Пусть P(s)—функция, определенная равенством C). Доказать, что
разность Р (s) — In JZT\ ограничена при s-> 1 + 0.

g 4] число Классов дивизоров квадратичного поля 379
3. Целое рациональное число а называется вычетом п-й степени, по про-
простому модулю р, если разрешимо сравнение хп = a (modp). Доказать, что
для любого а 'и любого п существует бесконечно много простых чисел р,
по модулю которых а является вычетом гс-й степени.
4. Пусть целые числа аи ..., ап таковы, что с^1 ... а\" является квад-
квадратом тогда и только тогда, когда все х{ четные. Доказать, что для любого
набора знаков еь ..., вп (е,- = ±1) существует бесконечно много простых
чисел р ф 2 (не делящих аи ..., а„), для которых
Указание. Рассмотреть сумму
2(Ц
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля
1. Формула для числа классов дивизоров. Пусть K=Q\ yd)—
квадратичное поле (d — свободное от квадратов целое рациональ-
рациональное число). Согласно теореме 2 § 8 гл. III в поле К для разложе-
разложения простого рационального числа р в произведение простых ди-
дивизоров могут представиться следующие возможности:
l)jt) = pp', p?=p', 7V(p) =Лт(р') =р, если %{р) = 1;
2) p = V, N(y)=p\ если %(р) = —1;
3) p = f, N{f)=p, если
где ^ — характер квадратичного поля К (см. определение п. 2
§ 8 гл. III). Следовательно, в произведении
множители, соответствующие числу р. будут соответственно равны:
3I-1.
Во всех трех случаях вносимый числом р множитель может
быть записан в виде
Так как ЦA -) =Z, (s), (теорема 4 § 1, примененная к полю
р V р I

380 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
рациональных чисел), то для ?к(«) получаем представление
. CD
Бесконечное произведение, стоящее в правой части, является
/.-рядом L(s, %) для характера % (по модулю \D\, где D — дискри-
дискриминант поля К), и так как этот характер неедиипчный, тэ L(s, %)
есть непрерывная функция в промежутке 0 < s < °° (следствие
к лемме 4 § 2). Умножим A) на 5— 1 и перейдем к пределу при
s -*- 1 + 0. Учитывая равенство A9) § 1, получаем
lim (*-1)?я(«)=-ЬA,Х)-
Воспользуемся теперь теоремой 2 § 1. Так как для веществен-
вещественного квадратичного поля 5 = 2, t = 0, m = 2, R = lne (е > 1 —
основная единица поля), а для мнимого s = 0, t = l, R=l, то
для числа классов дивизоров поля К имеем формулы
Li 111 fc
-——L(l,x) при d<0.
(Заметим, что число т, т^е. число содержащихся в К корней из 1,
равно 4 для К = Q( l/"— l), равно 6 для /?=Q( V^— 3) и равно 2,
для всех остальных мнимых квадратичных полей; см. п. 3 § 7
гл. II.)
В следующем пункте мы докажем, что характер квадратичного
поля с дискриминантом D является примитивным характером по
модулю \D\ (см. определение п. 3 § 5 Дополнения), а также,
что он четный для вещественных полей и нечетный — для мнимых.
Мы можем поэтому воспользоваться формулами B0) п B1) § 2
для значения L(l, %). Чтобы получить законченные формулы для
Л, нам надо еще знать точное значение для нормированных гаус-
гауссовых сумм т(%) = Ti(%). В_п. 3 настоящего параграфа мы увидим,
что сумма т(х) равна УБ для вещественных полей и равна
iV|Z)| —для мнимых. Учитывая это ж замечая, что в случае ве-
вещественного поля %{D — х) = %(х), мы можем сформулировать
следующую теорему (в целях упрощения формулы для h в случае
мнимого поля мы отбросили поляО(к —l) и Q{'V—3) с дис-
дискриминантами —4 и —3, для которых т равно соответственно 4
ж 6; для этих полей h = 1).
Теорема 1. Число классов дивизоров h вещественного квад-
квадратичного поля с дискриминантом D выражается формулой
h = — i^i 2 X (х) In sin ^, B)
(x,D)=l

§ 4] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ 381
где е > 1 — основная единица поля, а мнимого квадратичного
поля с дискриминантом D < —4 — формулой
А = — ПЛ 2 X (х) х. C>
1 ' (D)
В обоих случаях % обозначает характер рассматриваемого по-
поля, определенный в п. 2 § 8 гл. III (формулы (о)).
Отметим несколько теоретико-числовых следствий, вытекаю-
вытекающих из теоремы 1. Начнем с формулы B). Если мы введем в рас-
рассмотрение число
где а и Ъ пробегают натуральные числа из промежутка (О, D/2),
взаимно простые с D, удовлетворяющие соответственно условиям
Х(а) = +1 и %(Ь) = — 1, то эту формулу можно будет переписать
в виде ел = т). Отсюда следует, что ц — единица нашего квадра-
квадратичного поля, причем т) > 1 (так как г > 1). Таким образом, имеет
место следующая неожиданная теорема.
Теорема 2. Для вещественного квадратичного поля К
с дискриминантом Due характером % число х\ вида D) принад-
принадлежит этому полю К, является в нем единицей и связано с основ-
основной единицей г > 1 соотношением ън = т), где h — число классов
дивизоров поля К.
Несмотря на всю простоту формулировки, теорема 2 до енх
пор не доказана элементарными средствами. Более того, чисто
арифметическим путем не удается доказать даже, что т] > 1.
А между тем из неравенства ц > 1 можно извлечь некоторые вы-
выводы о распределении квадратичных вычетов по простому модулю
/>=l(mod4). Действительно, для квадратичного поля Q(Vp)
дискриминант равен р, а характер %(х) совпадает с символом
— I. Мы имеем поэтому неравенство
П. nb TT . па
S1I1 > 11 S1I1 —,
Ь V а V
в котором а и Ъ пробегают соответственно все квадратичные вы-
вычеты и невычеты по модулю р из промежутка @, р/2). В силу
монотонности функции sinz на промежутке @, л/2) из этого не-
неравенства следует, что все значения лЪ/р «в среднем» больше
значений па/р, т. е. что квадратичные вычеты по модулю р «.тя-
«.тяготеют» к началу промежутка @, р/2), а невычеты — к концу (об-
(общее число вычетов и невычетов на промежутке @, р/2) при
р = 1 (mod 4), очевидно, одинаково).

382 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД 1ГЛ. V
Более определенные сведения о распределении квадратичных
вычетов можно получить для простых чисел р = 3 (mod 4), если
рассмотреть формулу C) для поля Q(]f—р).
Займемся сначала преобразованием формулы C) к несколько
более простому виду в общем случае. В ближайших выкладках
мы положим \D\ = т.
Предположим сначала, что т четно. Простая проверка пока-
показывает (задача 9), что в этом случае 1\х + -^) = —УЛХ), я фор-
формула C) дает нам
m
2 2
m m \
0<x<— 0<x<—
2 2 -i
откуда k =-x ? XW> Заметим, что условие четности m рав-
0<x<m/2
посильно равенству %B) = 0.
Пусть теперь т нечетно. Так как характер уц мнимого квадра-
квадратичного поля нечетный, т. е. %(—1) = —'1 (как уже отмечалось,
это будет доказано в следующем пункте, теорема 6), то из C)
получаем
km — — 2 X (?) х — 2 %(т ~ х) {т — х) =
0<С-1с<иг/2 0<х<тн/2
- ^^ у у V I •У! 'У* I JJ? ^ V/'T'l /т1
^ ^-1 Л (.¦?/ X -\- III xLJ ¦ X (*/• W/
0<x<m/2 0<зс<т '2
С другой стороны,
hm —— 2 %{х)х— 2 %(m—x)(m — x) =
0< x<m
x четное
= -4 2 ()
0<x<m/2 0<x<m,'2
откуда
ЛтхB) = -4 2 Х{х)х + тп 2 /Л4 F)
0<х<т/2 0<х<т/2
Исключая сумму 2 X (х) х из E) и F), приходим к равенству
А B-х B))= 2 Х(г).
0<Х<7И/2
Так как это равенство справедливо, как показано выше, и для
четных тп (поскольку %B) =0 при 2 I тп), то нами получена сле-
следующая теорема.

§ 4] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ 383
Теорема 3. Для числа классов дивизоров мнимого квадра-
квадратичного поля с дискриминантом D < —4 и с характером % спра-
справедлива формула
h==2-\B) 2 X(s). G)
л V ' 0<x<|D|/2
Применим теорему 3 к случаю поляО( у—р), где р — про-
простое число вида 4и + 3. Так как — р = 1 (mod 4), то, следовательно,
в этом случае D = — р и значение характера %{х) совпадает с сим-
/
волом Лежандра I — I. Замечая, что число слагаемых в сумме
\ Р '
2, ( —] нечетно \^-ъ— = 2п + 1), а потому и сама сумма не-
0<х<р/2 v ' \ '
четна, а также, что %B) = 1, если р = 7 (mod 8), и "/B) = —1, если
jo = 3(mod8), мы получаем из теоремы 3 следующий результат.
Теорема 4. Для простого числа р вида 4и + 3 число классов
дивизоров поля Q( У— р) нечетно и равно
h = V — N при р = 7 (modS),
h = 1 (V - iV) при р = 3 (mod 8), р =^3,
гЗе F — число квадратичных вычетов по модулю р, содержащихся
в промежутке @, р/2), а N — число невычетов из того же про-
промежутка.
Из теоремы 4 очевидным образом вытекает, что V > N. Таким
образом, для простого модуля р вида 4п + 3 на промежутке
(О, р/2) число квадратичных вычетов больше числа невычетов
(на число, делящееся на 3, если только /> = 3(mod8), р^З).
Полученное утверждение, несмотря на свою простоту, принад-
принадлежит к числу глубоких фактов теории чисел. Оно нами получено
как простое следствие того, что число h по своему смыслу поло-
положительно и, значит, выражение, стоящее в правой части формулы
G), также положительно. Однако знак этого выражения опреде-
определяется в конечном итоге знаком гауссовой суммы Ti(%), а в п. 3
мы увидим, что определение знака tt(%) представляет собой весь-
весьма трудную задачу.
Формула для числа h мнимых квадратичных полей в случае
D Ф 1 (mod 8) может быть доказана чисто арифметическим путем.
Это доказательство найдено Б. А. Венковым. Оно основано на
теории представлений бинарных форм суммой трех квадратов ли-
линейных форм и на тонких свойствах непрерывных дробей (см.
[42]). В случае же мнимых полей с D = 1 (mod 8) (как и в случае
вещественных полей) чисто арифметический вывод формулы для
h до сих пор не получен. Не существует также элементарного
доказательства того факта, что для простого модуля р вида Ъп + 7

384 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
в промежутке @, р/2) содержатся больше квадратичных вычетов,
чем невычетов.
Замечание 1. Элементарными средствами можно доказать
(задача 7), что для простого р — 8п + 1 в промежутке @, р/2)
содержится одинаковое число нечетных квадратичных вычетов и
нечетных невычетов. В силу этого для числа h поляО(к—¦ р),
p = 7(mod8), инеем также формулу h=V*~N*, где V* и N* —
соответственно число четных квадратичных вычетов и невычетов
mod/), содержащихся в @, р/2).
Замечание 2. В конце § 3 был сформулирован аналог ги-
гипотезы Римана для L-рядов: L(s, %) ФО при вещественных s > 1/2.
Если % — квадратичный характер, то его значения %(п) веще-
ствениы, и поэтому Lis, %) — вещественная непрерывная функция
от вещественного аргумента s>0 (следствие леммы 4 § 2). По-
Полученная нами в п. 1 формула, выражающая число h квадратич-
квадратичного поля через L(l, %), показывает, что L(l, )()>0. Гипотеза
для L-рядов приобретает, следовательно, вид: L{s: %) > 0 при
s > 1/2. Это утверждение (если только оно справедливо) выража-
выражает свойство квадратичных вычетов скапливаться больше к нача-
началу промежутка @, \D\) (аналогично свойству, вытекающему из
теоремы 4).
2. Характер квадратичного поля. Докажем здесь все те ут-
утверждения о характере квадратичного поля, которыми мы поль-
пользовались в п. 1.
Теорема 5. Характер % (по модулю \D\) квадратичного
поля с дискриминантом D примитивен.
Доказательство. В силу теоремы 4 § 5 Дополнения нам
достаточно показать, что для любого простого числа р, входяще-
входящего в D, существует такое х, что (х, D) = 1, :c = l(mod-!—!-j и
х(х) = —1. Рассмотрим сначала случай р Ф 2. Выберем какой-
плбудь квадратичный невычет 5 по модулю р п найдем целое х
пз системы сравнений
rr = s(modp), х з=1[ mod——A.
Пользуясь формулами E) § 8 гл. III, легко устанавливаем, что
/ N I Х \ ( * \ 4
во всех случаях %(х) = I — | = I — J = — 1.
Пусть теперь р = 2. Если d = 3 (mod 4), D = Ad, то, удовлет-
удовлетворив сравнениям
х = 3 (mod 4), z = l(mod2M),
будем иметь %(х) = (-1р-'>/2 = -1. Если же d = 2d\ D = 4d =
= 8d', то для числа х, удовлетворяющего сравнениям
¦^ = 5(mod8), z = l(mod4icf I),
имеем х (*).=[(— l)(x2"l)/8 = - 1.

§ 4] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ 385
Примитивность характера % доказана.
Теорема 6. Характеры вещественных квадратичных полей
все четные, а мнимых квадратичных полей — все нечетные.
Доказательство. Пусть % — характер квадратичного по-
поля Q(Vd). Вычислим %(—1), пользуясь формулами E) § 8
гл. III. Если d= I (mod), то
\d\-l d-1 |d|-i
A) 2 =A} 2 2
Если d = 3 (mod 4), то
jdi-i d-i
i
Если, наконец, d = Id', то
d'-i , , d'-i,\d'\-l
Но для нечетного а имеем
. fa — 1^0 (mod 2) при а > 0,
д — 1 . Iя! — i <
2 "*" 2 I — 1 при a<0.
Следовательно, во всех случаях
| 1 при d>0,
Х(~~ ^ ~\ — 1 при d<0.
Теорема 6 доказана.
3. Гауссовы суммы для квадратичных характеров. При выводе
формулы для числа классов дивизоров квадратичного поля нами
была использована формула для значения нормированной гаус-
гауссовой суммы т(х). Напомним, что гауссова сумма т»(х) характера
% по модулю m называется нормированной, если в ее определении
(см. § 2 п. 4 этой главы) в качестве первообразного корня т-й
. 5- 2я . . 2я г. „
степени из 1 взят корень Q = cos — + i sin —. «займемся здесь
вычислением значения т(%). _
Согласно теореме 5 характер % квадратичного поля Q ( у d)
с дискриминантом D является примитивным числовым характером
по модулю \D\. Кроме того, он удовлетворяет условию %2 = %о,
где %о — единичный характер. Последнее, очевидно, равносильно
тому, что значениями характера % являются числа ±1 Си, конеч-
конечно, нуль).
Определение. Неединичный числовой характер % назы-
называется квадратичным, если %2 = %о-
Характерами квадратичных полей исчерпываются, оказывает-
оказывается, вообще все примитивные квадратичные числовые характеры

386 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
(по всевозможным модулям). Действительно, согласно задаче 8
примитивные квадратичные характеры существуют лишь для мо-
модулей вида г и 4г (по одному характеру) и для модулей вида 8г
(по два характера), где г — нечетное натуральное число, свободное
от квадратов (в случае нечетного модуля г>1). Совокупность
этих модулей совпадает, очевидно, с совокупностью модулей вида
\D\, где D пробегает дискриминанты всех квадратичных полей.
Замечая, что для \D\=8r имеется два квадратичных поля:
Q(]/r2r) и О(к —2г), а также, что по модулю 8г один прими-
примитивный квадратичный характер четный, а другой нечетный, мы и
получаем, что все квадратичные поля находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии со всеми примитивными квад-
квадратичными числовыми характерами.
Значения гауссовых сумм для примитивных квадратичных
характеров определяются следующей теоремой.
Теорема 7. Пусть % — примитивный квадратичный харак-
характер по модулю т.. Тогда для нормированной гауссовой суммы
() () имеем:
Ут, если х (— 1) = 1;
.,/— , ,, ,
i у т, если %(—1) = — 1.
Доказательство. Мы ограничимся здесь полным доказа-
доказательством теоремы 7 лишь для простого нечетного модуля р, так
как именно этот случай содержит главные принципиальные
трудности. Переход от простого нечетного к произвольному мо-
модулю осуществляется уже сравнительно легко. В конце доказа-
доказательства мы укажем на основные моменты этого перехода.
тт ч- • ^Я , . . 2Я т
Итак, пусть р-—простое нечетное и ?=cos Ь t sin—-Так
как неединичный квадратичный характер % по модулю р совпа-
совпадает с символом Лежапдра (—) (задача 4 § 2 гл. I), то, следо-
следовательно, для нормированной гауссовой суммы т(%) мы имеем
представление
(штрих у суммы означает, что х пробегает приведенную систему
вычетов по модулю р). Найдем комплексно сопряженное число
т(х). Так как % = ?-', то
С другой стороны, согласно теореме 4 § 2 гл. I
х)=р. (9)

§ 4] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ 387
Из равенств (8) и (9) следует теперь, что
а значит,
( ± Vp, если />== 1 (mod 4),;
irtiV^p, если р = 3 (mod 4).
Для завершения доказательства теоремы 7 (при т=р), казалось
бы, остается совсем немного: надо только определить знак при
Ур и i)lр. Однако именно в определении этого знака и лежит вся
трудность доказательства.
Преобразуем сумму т(х) к несколько другому виду. Пусть а
пробегает все квадратичные вычеты по модулю р, а Ъ — все невы-
невычеты. Тогда, очевидно,
Но 1 + 2 ?" + 2?Ь = 0, поэтому
Ь
а
Если х пробегает значения 0, 1, ..., р — 1, то xz будет пробегать
по модулю р значение 0 и все квадратичные вычеты, каждый
ровно по два раза. В силу этого гауссову сумму т(^) мы можем
записать также в виде
(И)
Введем в рассмотрение матрицу
,1
Ввиду формулы A1) гауссова сумма т(х) совпадает со следом
этой матрицы А. Если поэтому через Я1? ..., ХР мы обозначим ее
характеристические числа (с учетом кратностей), то будем иметь
r(%)=kl + ...+XP. A2)
Вычисление т(х) свелось, таким образом, к нахождению характе-
характеристических чисел матрицы А.

388 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Возведем А в квадрат. Так как
V V (р при х + у s ° (mod &'
"-* ~ ¦ " при
то
'р 0 ... ON
О О...р
40
Характеристические числа матрицы Аг совпадают, как известно,
с квадратами
it,..., 4 A3)
характеристических чисел для А. Но, с другой стороны, характе-
характеристический многочлен для А2 легко может быть вычислен. Он
равен (t — p){v+i)ll{t + pYv~l)n. Следовательно, в ряде чисел A3)
имеется (jo + O/2 чисел, равных р, и (jo — 0/2 чисел, равных —р.
Отсюда легко получаем, что каждое из Хк совпадает с одним из
чисел ±У/>, ±iVp, при этом, если а, Ь: с и d обозначают кратности
характеристических чисел Ур, —V/), iip и —i^p соответственно, то
а+ Ь = (р + 0/2, c + d = Q?-l)/2. A4)
Сумму A2) мы можем теперь переписать в виде
A5)
Сопоставляя это с A0), находим, что
а — Ъ = ±1, с = d при р = 1 (mod 4),)
г. т л о / 1 /ч A6)
а = о, с — d = ± 1 при р ^ о (mod 4). J
Для определения кратностей а, Ъ, с и d нам не хватает еще од-
одного соотношения между ними. Чтобы найти недостающую зави-
зависимость, вычислим определитель матрицы А. Так как det(A2) =
Определитель det^l является определителем Вандермонда, поэто-
поэтому, вводя дополнительное обозначение т] = cos Ь i sin —, мы
имеем
det А = П (Г - С) = П ti^ti'- - т)<'->) =
р—l>r>s>0 r>s
= П ^r+s П Ы si" ?=Ш) = ^<р«/22р(р1)/2 П sin
r>s r>s \ P )

§ 4] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ 389
так как
2
2 %
2 %
r=i s=o г=1
делится на 2р. Сравним полученное выражение для det^ с A7).
Так как sin -—— >0 при 0^s<r<p— 1, то в A7) должен
стоять знак плюс. Таким образом, detA = ipip~l)npp/2. С другой
стороны, мы имеем
det А = П U = (- 1)" " (~ *)" //2 = iib+c~dpP/2-
Оба результата вместе приводят нас к сравнению
2b + c-d = pE^ (mod 4),.
из которого, приняв во внимание A4) и A6), выводим
а—й = Ц^-2Ьэе=Ц^-?^ = 1 (mod 4) при р=1 (mod 4),
= - ^-=-^ + ^^ = 1 (mod 4) при р = 3 (mod 4).
Полученные сравнения показывают, что в равенствах A6) разно-
разности а — Ъ и с — d равны +1, а это ввиду A0) дает нам окон-
окончательно:
{Ур при р = 1 (mod 4),
iY ПРИ Р = 3 (mod 4).
Доказательство теоремы 7 для случая простого нечетного мо-
модуля т = р закончено.
Для доказательства теоремы в общем случае следует восполь-
воспользоваться утверждением задачи 4 § 2. Эта задача показывает, что
нормированная гауссова сумма х(%) для примитивного квадра-
квадратичного характера % по модулю m простым образом выражается
через нормированные гауссовы суммы для неединичного характе-
характера по модулю 4, двух примитивных характеров по модулю 8 и
квадратичных характеров по модулям простых нечетных р. Так
как все эти гауссовы суммы нам известны (относительно моду-
модулей 4 и 8 см. задачи 10 и 11 настоящего параграфа), то формула
упомянутой задачи 4 § 2 позволяет найти явное выражение и
для т(}(). Пусть, например, мы имеем характер
г (х) = (- 1)V+V (JL), (a5j 2r) = 1

390 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
по модулю т = 8г, где г — нечетное натуральное число, свободное
от квадратов. Если г = Pi... ps, то для % имеем разложение
Обозначим через а число тех простых чисел среди ри ..., ps, ко-
которые = 3 (mod 4). Тогда
—+
г-1
т —
г-1
+4
1У
B_\ JJ p
т, если
/"/те, если
-l+2a+a(i
x(-i;
x(-i)
> = (-
=(-
_l)a+
l)a+X
1 = 1,
= -1.
Аналогичным образом вычисляются суммы т(^) и для других,
примитивных квадратичных характеров.
Приведенное нами доказательство теоремы 7 (для простого мо-
модуля) предложено Шуром. Другое доказательство, принадлежащее
Кронекеру, содержится в задачах 13—16.
Задачи
1. Зная, что основная единица поля Q (V^) равна —-^—- = 2 соз -g- ,
вычислить число h для этого поля с помощью формулы B).
2. Вычислить число h для полей Q (~[/—5) иО (V—23).
3. Доказать, что произвольное квадратичное поле с дискриминантом D
является подполем поля деления круга на т = \D\ частей.
4. Пусть р — простое нечетное и ? — первообразный корень степени р
из 1. Доказать, что круговое поле Q (?) содержит одно и только одно квад-
ратичное подполе. Этим подполем является Q.(~\/p ), еслир = 1 (mod 4),
и Q \у—р), если р = 3 (mod 4). (При решении этой и следующей задач
использовать основную теорему теории Галуа.)
5. Независимо от теоремы 2 доказать, что для простого р = 1 (mod 4)
число
b
где а и 6 пробегают соответственно все квадратичные вычеты и невычеты по
модулю р из промежутка @, р/2), является единицей квадратичного поля
О (ур)- Доказать, далее, что норма этой единицы равна —1.
6. Используя второе утверждение задачи 5, показать, что число клас»
сов дивизоров поля Q(~\/p), р — простое =1 (mod 4), нечетно, а также
что норма основной единицы этого поля равна —1.
7. Доказать, что для простого модуля р вида 8ге + 7 среди нечетных чи-
чисел из промежутка @, р/2) имеется одинаковое число квадратичных выче-
вычетов и невычетов.

§ 4] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ 391
8. Доказать, что примитивные квадратичные характеры существуют
только для модулей т вида г, 4г и 8г, где г нечетное натуральное, свободное
от квадратов (в случае нечетного модуля г> 1). Показать, далее, что все
примитивные квадратичные характеры исчерпываются характерами:
X (х) = (-— J, (х, т) = 1, для модуля г;
X (х) = (- l/*-D/2 (-2-\ (х, 2г) = 1, для модуля 4г;
(х, 2г) = 1, для модуля 8г.
г_г х_х
+
9. Доказать, что для любого примитивного квадратичного характера %
по четному модулю m (= 4г или = 8г с нечетным г) справедлива формула
/ m \
х +
10. Проверить, что нормированная гауссова сумма для характера %(х) —
= (—1) u-i)/* (х, 2) = 1, по модулю 4 равна т,(х) == 2г.
11. Проверить, что для примитивных характеров
X' (х) = (- 1)(-2-1)/8
И
жг-1 ж-1
х" (Ж) = (_ 1) 8 2 Bf x) по модулю 8
нормированные гауссовы суммы равны xi(x') = 2|2 и xi(x") = 2('У2.
12. Провести доказательство теоремы 7 для произвольного модуля.
2я 2л
1о. Пусть р — простое нечетное число и ?=cos— -|- ism —. Положим
(P-D/2
6= Д (?х-Г*)- Доказать, что б2 = (~1)(р~1^2р.
х=1
Таким образом, б2 совпадает с квадратом т2 гауссовой суммы т =
2
14. В тех же обозначениях показать, что
\/р при р з=
^/р при p = 3(mod4).
Далее, полагая X = 1 — ?, доказать, что в порядке Z[?] справедливо
сравнение
15. Доказать, что в кольце Z [?] имеет место сравнение
= т ^ (^)l Я^-1^2 (mod

392 аналитический метод [гл. v
р-1
Указание. Разложить сумму 2 х(-р~1^г A — к)х по степеням %
х=1
и воспользоваться тем, что
Р '0 (mod р) при 0 < га < р — 1,
— 1 (mod р) при т = р — 1.
16. Основываясь на двух предшествующих задачах, показать, что
~|/р при p = l(mod4).
(/ при p = 3(mod4).
17. В линейном пространстве размерности р над полем комплексных чи-
чисел рассмотрим; линейный оператор Т, матрица которого в базисе е0, ei, ...
..., ер_! равна А = (С,ху)в<бх, b=sp-i- Обозначим через хо единичный и через
X* квадратичный характеры по модулю р. Все остальные (невещественные)
характеры по модулю р разбиваются на пары сопряженных друг с другом
характеров -/г, Хг (г = 1, ¦ ¦ -t Г = (Р~3)/2). Для каждого числового харак-
р-1
тера х по модулю р положим а (х) = 2 х (х) еж- Показать, что Г(а(х)) =
_ х=1
= т(х)в(х). если %Ф%о и Г(в(Хо)) = (/> —1)е0 —й(хо)- Найти матрицу
оператора Т в базисе
V вСэс0). e(x«). «(Xi). «(xi). ...,«(xr), «(Хг)-
Показать, далее, что
det A={- 1)(J)-1)/2 т (х*) р(р~1)/2 П Xi (- 1)
(учесть формулу т(х) = %(—i)x(x))-
18. Получить теорему 7 (для простого m = /)), сравнивая значение det A
в задаче 17 с формулой A8).
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга
на простое число частей
1. Разложение числа h на два множителя. Полученные нами
в § 2 этой главы равенства A8) и A7) дают для числа классов ди-
дивизоров яг-кругового поля формулу, которая уже не содержит
бесконечных рядов и произведений. Все же эта формула остав-
оставляет некоторую неудовлетворенность, так как в ней число клас-
классов h, являющееся по своему смыслу натуральным числом, выра-
выражается через иррациональные и комплексные числа. В настоя-
настоящем параграфе мы займемся преобразованием формулы для h
к более законченному виду, ограничившись, однако, лишь случаем
поля деления круга на простое число частей.
Итак, пусть I = 2пг + 1 — простое число и К = Q (?) — поле
деления круга на I частей. Для удобства изложения мы будем
здесь считать, что К является подполем поля всех комплексных

§ 5j ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 393
чисел, и под ? понимать корень ? = cos— + i sin-у- (точно фикси-
фиксированное значение корня t, необходимо при проведении аналити-
аналитических выкладок). Вычислим для поля К величины, стоящие пе-
перед произведением в формуле A6) § 2. Так как степень (К: Q)
равна 1—1 (следствие теоремы 1 § 2) и все изоморфизмы К в по-
поле комплексных чисел комплексные (здесь они являются на самом
деле автоморфизмами поля К), то 5 = 0, t= (Z — 1)/2 = т. Число
w корней из 1, содержащихся в К, по лемме 3 § 1 гл. III равно
21. Норма главного дивизора 1 = A —?) равна Ml) = М1 — ?) = I
(см. равенство E) § 1, гл. III), поэтому дивизор I простой, и для
числа I согласно лемме 1 § 1 гл. III мы имеем разложение I =
= 1'"'. Множитель F(s) в формуле A2) § 2, следовательно, равен
Ц
N(l)
Займемся вычислением дискриминанта поля К.
Теорема 1. Числа 1, ?, ..., t,'~z образуют фундаментальный
базис l-кругового поля K = Q(t,).
Доказательство. Так как при s ^ 0 (mod l) характери-
характеристический многочлен числа t,s равен Х'~г + Х'~2 + ... + Х+ 1, то
| — 1, если s=?0 (mod I),
SP ?S = [i _ i, если s = 0 (mod I). ^
Пусть
a = ao + аг1+ ... + аг_2?г-2, а, ^ Q,
— произвольное целое число из /?. Нам надо доказать, что для
него все коэффициенты at — целые рациональные числа. Так как
а?~й — а? целое, то след
1-2 1-2
Sp (atTh — «О = lak — 2 a-i + 2 «i = ^ь
i=o г=0
является целым рациональным числом (O^k^l — 2). Положим
Za,, = 6S, I — t, = X и рассмотрим число
Za = Ь„ + bt? + ... + 6,_2^-2 = с„
где вместе с Ък все сй — также целые рациональные числа. Пока-
Покажем, что коэффициенты ск все делятся на I. Если для с0, ..., ch-l
@ s? к < / — 2) это уже установлено, то мы рассмотрим послед-
последнее равенство как сравнение по модулю Xh+1 (в кольце целых чи-
чисел поля К). Так как Z = 0 (mod^*4) (лемма 1 § 1 гл. III), то это
сравнение дает нам сДй = 0 (modXfe+1), откуда легко следует, что
ch делится на Я, а значит, по лемме 2 § 1 гл. Ill с^ делится и на I.
Таким образом, все коэффициенты ch делятся на I. Но в таком
случае вместе с ними на I должны делиться и все коэффициенты
Б„, т. е. все ah должны быть целыми. Теорема 1 доказана.

394
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Следствие. Дискриминант l-кругового поля при простом
i-i
I > 2 равен (- 1) 2 I1'2.
Действительно, ввиду формул A) дискриминант поля К равен
определителю
-1 -1 ... -1 I —
-1 -1 ... 1-1 —1
-1 l-l
1-1 -1
— 1 — 1
-1 —1
порядка I — 1 (вместо базиса теоремы 1 здесь взят базис %, %2, ...
... ,5'-').
Формулу A6) § 2 для случая Z-кругового поля К мы можем
теперь переписать в виде
1Х1% п
где R — регулятор поля К, m = (l—l)/2 и % пробегает все число-
числовые характеры по модулю I, отличные от единичного характера %0.
Так как по формуле B) все величины, стоящие вне произве-
произведения, вещественны и положительны, то эта формула, очевидно,
сохранится, если все сомножители Li\, у) в произведении мы за-
заменим их модулями |LA, %)|.
По простому модулю I все числовые характеры Ф %0 примитив-
примитивны, поэтому при дальнейшем преобразовании выражения для h
мы можем воспользоваться теоремой 3 § 2. Выделим для этого
отдельно все четные и нечетные характеры. Пусть g — некоторый
фиксированный первообразный корень по модулю I и 6 — перво-
первообразный корень степени 1 — 1 из 1. Группа числовых характеров
по модулю I циклична и имеет порядок 1 — 1. Если через % мы
обозначим тот из характеров по модулю I, для которого %(?) = б,
\ !1
то все его степени %, х\ ¦ • •, у!~1 — Ъ исчерпают собой всю груп-
группу характеров по модулю I, при этом все характеры %2к будут
четными, a %2kl
нечетными, так как
= (—1)*
Ввиду формулы B0) § 2 и теоремы 4 § 2 гл. I для четных
%ik A<K(I-3)/2) мы имеем
характеров %i
Г=0
г=0
Если мы возьмем г = —^ V s-> гДе 0 ^ 5 < —5— = т» т0 ввиду

5]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
395
соотношения
l-?g =1-Гй* C)
имеем равенство 62ft(m+s) In i 1 — t,g I = Q2hs In 11 — ^ j, а потому
m-i
I Т 1Л y2h) I _ _
Аналогично формулу B1) § 2 мы можем применить к нечет-
нечетным характерам %2к~1. Обозначим через ga наименьший положи-
положительный вычет числа gs по модулю I. Тогда
1-1 1—2 1-2
Zj X \r)r — ZiJ. \ё ) ss — Zj ssc
т=1
J-2
где через ^ обозначен многочлен F (X) = 2 gs-Х^- Следовательно,
Подставляя найденные значения для |LA, x2ft)I,
|( x2S~^li 1 ^ A; ^ то, в равенство B), получаем
h = A,A*.
где нами положено
П
r=o
t-l, и
D)
E)
F)
В следующих пунктах мы докажем, что каждое из чисел /г„ и
h* является натуральным числом. Формула D) дает нам, следо-
следовательно, представление числа h в виде произведения двух нату-
натуральных множителей.
Замечание 1. Иногда h* обозначают через hu a h0 — че-
через /i2 и называют их соответственно первым и вторым множите-
множителем числа h.
Замечание 2. Множитель h0 равен числу классов диви-
дивизоров подполя Q (t, + ?-1) степени (I— D/2, состоящего из всех
вещественных чисел поля Q(?) (см. задачи 1—4). '
2. Множитель h0. Введем для краткости записи обозначение
аг = 1п]1-?8Г|, г>0.
Ввиду равенства C), справедливого при любом 5^0, мы имеем
ат+г = аг. Это значит, что значения аТ зависят лишь от вычета

396
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
числа г по модулю т — {1 — 1)/2. Если мы положим
m—l /т—1
=1 \ г=о
то формула E) перепишется в виде
gm—1
ho = t—\A\.
G)
Покажем, что произведение (а0 + at + ... + am_iL с точностью до
знака равно определителю
Д — det (i2j
Рассмотрим циклическую группу G порядка т, порожденную
первообразным корнем 92 степени т из 1. Функции %k, 0 г? к =^
<т—1, х^92г)= 92rt7 являются, очевидно, характерами груп-
группы G. Определим на группе G функцию /, полагая /@гг) = аг.
Тогда, согласно задаче 13 § 5 Дополнения, наше произведение
примет вид
т—1 i т—1
П
32ftr
т—1 /т—1
П 2
fe=0 \г=0
Замечая, что матрицы (вн) и (ai+j) отличаются между собой
лишь расположением столбцов, мы и приходим к желаемому ре-
результату.
Сумма а0 + а4 + ... + am_i отлична от нуля, так как
m—l ,
г=о
(8)
ввиду соотношения E) § 1 гл. III и формулы C). Если поэтому
в определителе А мы выделим множитель (8), то, сократив на
него, получим новое выражение для А. Прибавив в А все столбцы
к какому-нибудь одному, мы получим столбец, все элементы ко-
которого равны сумме (8). Следовательно, с точностью до знака
выражение А равно определителю А', получающемуся из Д заме-
заменой одного его столбца на единицы. Если теперь в А' мы вычтем
первую строчку из остальных, то этим докажем, что модуль \А\
равен абсолютной величине любого из миноров порядка т — 1
матрицы
(9)

§ 5] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 397
Рассмотрим иервообразный корень
т, = - ?(i+i>/s = cos Ц- + i sin 4-
степени 11 из 1. Так как тJ = ?, то
1-Е» = „h-i Ч»-тГ* = ft_x sin(to/Z)
1 —? ' т) — г]-1 sin (я/7)'
При /с ^ О (mod l) отношение слева является единицей поля К
(см. доказательство леммы 1 § 1 гл. III); следовательно, числа
ft sin (кп/У) ,,п,
Oft = sin (nil) A0)
при всех к Ф 0 (mod Z) также являются единицами в К. Эти еди-
единицы, очевидно, вещественны и при 1 ^ к < ? положительны.
Для поля К мы имеем m=(l — D/2 пар комплексных изомор-
изоморфизмов в поле комплексных чисел. Поскольку среди чисел ?,
5-ff ^gm-1 т
l, , .. ., с, нет сопряженных, то изоморфизмы
попарно не сопряжены (для каждого о3 сопряженным будет изо-
морфизм S->-S =ь J-
Обозначим через г абсолютную величину абсолютно наимень-
наименьшего вычета числа gr по модулю /. Тогда
S) ±Tle.
Подвергая это равенство действию автоморфизма о3, мы получим
откуда, переходя к модулям и логарифмируя, находим, что
o,- = ln|aj(e?)|. A1)
Покажем, что когда г принимает значения 1, ..., т — 1, то г
пробегает числа 2, ..., т. В самом деле, если g* = ±gi'(modi),
Ki^/^m-1, то g1-* = ±1 (mod Z) и 0< / - i < (Z - 3)/2, а это
возможно лишь при ] — i = 0. Отсюда следует, что все значения
г попарно различны, а так как они удовлетворяют неравенству
2 г? гг? т — {I — D/2 и число их равно т — 1, то каждое из чи-
чисел 2, ..., т является некоторым г.
В силу равенства A1), мы получаем, таким образом, что мат-
матрица (9) отличается от матрицы
(ln|a,(eft)|)s<*<m A2)

398 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
лишь расположением строчек, а значит, модуль 1.41 равен также
абсолютной величине любого из миноров порядка яг — 1 мат-
матрицы A2).
Обратимся теперь к системе основных единиц поля К. Соглас-
Согласно лемме 4 § 1 гл. III всякая единица поля К является произве-
произведением степени % на вещественную единицу. В силу этого основ-
основные единицы b4, ..., Em-i мы можем выбрать вещественными и
положительными. Ясно, что тогда всякая вещественная положи-
ci ст—1
тельная единица представляется в виде е/ ... гт-г с целыми ра-
рациональными с,. Рассматривавшиеся нами в п. 3 § 3 гл. II функ-
функции lj(a), а^К, в данном случае имеют вид ?,(а) = ln |<jj(a)l2 =
= 2 In lo;(a) I, 0 < j < m — 1. Составим для основных единиц
8i, ..., 8m_, матрицу
(In | в} (8i) Dus^m-l. A3)
j
Так как матрица F) § 4 гл. II получается из A3) умножением
всех строчек на 2, то по определению регулятора R абсолютная
величина любого из миноров порядка яг —1 матрицы A3) равна
В/21"-1.
Все единицы 0ft вида A0) при к — 2, ..., яг вещественны и по-
положительны, поэтому их выражения через основные единицы
имеют вид 0fe = IJ 8ift\ к = 2, ..., т,, с целыми рациональными
m-l
chi. В силу равенств In | a, @ft) | = 2 си Ь | Oj (e{) | матрица A2)
i=i
является произведением матрицы (см) на матрицу A3).
Отсюда следует, что каждый минор порядка яг — 1 матрицы
A2) равен произведению det (cw) на соответствующий минор мат-
матрицы A3), а значит, \А\ = Idet (cw)|R/2M~i. Сопоставляя это с ра-
равенством G), получаем окончательно
h0 = Idet (cw)I.
Так как все си целые рациональные и /г0 ^ 0, то этим доказано,
что ha — натуральное число. Более того, ввиду леммы 1 § 6 гл. II
мы получили также следующий результат.
Теорема 2. Множитель h0 числа классов дивизоров 1~круго-
вого поля К равен индексу (Е: Е„) группы Е„, порожденной еди-
единицами
о sin (knll) , „ I — I
h ~ sin (я/Z) ' ft ~~ '
поля К, в группе Е всех вещественных положительных единиц
поля К.
В связи с замечанием 2 в конце п. 1 этот результат интересно
сопоставить с теоремой 2 предшествующего параграфа.

§ 5] - ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 399
Замечание. Доказанная нами теорема 2, несмотря на свое
изящество, мало пригодна для фактического вычисления числа h0.
Дело в том, что для вычисления индекса {Е : Ео) необходимо
знать систему основных единиц поля Ко = Q(? + t,), а ее на-
нахождение при больших I является трудно осуществимой задачей
даже для современных вычислительных машпн. В силу этого
информацию о ho{l) приходится извлекать, используя косвенные
соображения. Известно [1051, например, что если L — подполе
поля К„, то ML) —делитель числа h{K0). Пользуясь этим утверж-
утверждением, мы можем в отдельных случаях доказать, что h0 > 1.
Так, число классов дивизоров вещественного квадратичного поля
QCV257) равно 3 (см. замечание 1 к табл. 3 в конце книги), по-
поэтому согласно задаче 4 § 4 число hoB57) делится на 3 (этот
факт был известен еще Куммеру). Другое соображение основано
на оценке снизу для дискриминантов полей данной степени (см.
[113], [114]). Именно, зная оценки снизу для дискриминантов
вполне вещественных полей в зависимости от степени, можно
указать для некоторых малых степеней оценку сверху для числа
классов h данного вполне вещественного поля. Индивидуальное
просеивание возможных значений для h (с привлечением извест-
известных общих теорем) позволяет в ряде случаев найти точное зна-
значение для h. Этот подход развит в работе [105]. К сожалению,
он применим лишь для небольшого числа полей небольших сте-
степеней.
В [105] установлено, что ho(l) = 1 для всех нечетных простых
I < 67. Получен также следующий условный результат. Пусть Н —
гильбертово поле классов над К, т. е. максимальное абелево не-
разветвленное расширение поля К. В [102] доказано, что йо(О = 1
для 71 г? I г? 157 и ЛОA63) = 4 при условии, что для поля Н спра-
справедлива обобщенная гипотеза Рпмана о нулях дзета-функции
Дедекинда ?НЫ.
Вандивер выдвинул гипотезу, что hail) никогда не делится
на I. Сейчас справедливость этой гипотезы проверена [142] для
всех простых К 125 000 (на основе критерия Вандивера, см. ко-
конец п. 1 § 7 гл. V). Долгое время предполагалось, что для всех I
справедливо неравенство ho(D < I- Если бы это было так, то
справедливость гипотезы Вандивера вытекала бы отсюда три-
тривиальным образом. Однако в последнее время [121] найдено про-
простое число I = И 290 018 777, для которого ho(l)>l. Именно, так
как Z=l(mod4), то Q(yT) содержится в Z-круговом поле. Чис-
Число классов дивизоров этого вещественного квадратичного подполя
равно 2685 = 3 • 5 ¦ 179. Далее, Z=l(mod3), поэтому Z-круговое
поле содержит циклическое кубическое подполе. В [121] удалось
вычислить число классов этого кубического поля, и оно оказалось
равным 6 209 212 = 4 ¦ 223 • 6961. Согласно сказанному выше для
нашего I число А0Ф делится на 2685 • 6 209 212.

400 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД 1ГЛ. V
3. Множитель h*. Докажем, что число h*, определяемое
равенством F), также является натуральным числом. Про-
Произведение В — F(Q)FiQ3).. .F(Q!~2) является, с одной стороны,
целым" алгебраическим числом поля Q (9), где 0 — первообразный
корень степени 1—1 из 1. С другой стороны, оно рационально,
так как ввиду D) и F) \В\ = j—Bl)m~1. Следовательно, В целое
рациональное, и нам остается проверить, что В делится на 2т~1 и
на 1т~1 (по условию 1^2). Проверим сначала первое.
Как и в п. 1, через gs мы обозначаем наименьший положитель-
положительный вычет числа g8 по модулю I, где g — фиксированный перво-
первообразный корень по модулю I. Так как
gm+, + gs = gm+s + g' = gs(g'l-1)/z + 1) s 0(mod I),
то gmi.s + gs = l. Отсюда следует, что числа gm+s и gs разной чет-
четности. Будем рассматривать в кольце целых чисел поля Q@)
сравнения по модулю 2. Ввиду равенства 0т = — 1 при нечетном
к мы имеем
F{Qh) =
m—i т—1 т—1
s=0 s=0 s=0
откуда F(Qk)(l — dh) = 0(mod 2). Это показывает, что произведение
делится на 2т. С другой стороны, так как 9 и 92 — ггервообразные
корни степени I— 1 и (l~ D/2 соответственно, то
откуда A - в)A - б3)... A - 6!-г) = 2.
Этим и доказано, что В делится на 2т~\
Для доказательства делимости В на 1т~1 найдем сначала раз-
разложение числа I на простые дивизоры поля Q F). Так как I вза-
взаимно просто с I— 1 и Z= KmodZ— 1), то по теореме 2 § 2 число
I раскладывается в произведение cp(Z—1) различных простых
дивизоров, причем норма каждого из них равна I. Пусть ц —
один из этих простых дивизоров. Числа 0, 1, 0, ..., 0'~2 попарно
несравнимы по модулю ц (см. доказательство леммы 3 § 2), поэто-
поэтому они образуют полную систему вычетов по модулю q. Ввиду
сравнения
1-2
1 _ gi-i = П A — 8kg) = 0 (mod /) A4)
Й=0

§ 5] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 401
q должно быть делителем некоторой разности 1 — 0*^. Если 1 —
— Qhg = 0 (mod q) и 1 — Qsg = 0 (mod q), то 0" = 0s (mod q), а значит,
0й = 0s. Таким образом, q является делителем одной и только
одной разности 1 — Qkg из разложения A4). Покажем- что к здесь
взаимно просто с I— 1. Если (к, I— 1) = d, то, возводя сравнение
1 = 0"g (modq) в степень Ц—D/d, мы получим, что gil-i)/d — 1
делится на q, а значит, делится и на I. Последнее же возможно
только при d = 1.
Если целое aeQ(B) делится на q\l, то Жа) делится на
Ж<|) = Z. Обратно, из делимости Жа) па I следует, что а делится
хоть на один из простых дивизоров, входящих в I. Все cp(Z—1)
разностей 1 — Qkg, для которых А: взаимно просто с I — 1, имеют,
очевидно, одну и ту же норму, и эта норма делится на I, поэтому
каждая из этих разностей делится на некоторый простой дивизор,
входящий в I.
Мы доказали, таким образом, что при любом к, взаимно про-
простом с I — 1, существует, и притом только один, простой дивизор,
делящий I (обозначим его через qk), для которого
, A5)
а также что для всех s, не взаимно простых с 1—1, разность
1 — Qsg не делится ни на один из простых дивизоров qft. Разложе-
Разложение числа I в поле Q@) мы можем записать в виде
i= П %,
(fc,Z-l)=l
где А: пробегает приведенную систему вычетов по модулю I — 1.
Вернемся к вопросу о делимости числа В на Г1. Так как
в кольце целых чисел поля Q F) имеет место сравнение
1-2
F (Щ A Д
= 1 - ОТ"* = 1 - g'-i = 0 (mod I),
то F(Q")A — gQk) делится на l. По доказанному отсюда следует,
что F(Qh) делится на I при (к,1—1)>1 и делится на 1^ при
{к, I — 1) = 1. Условимся при (к, I — 1) > 1 под q* понимать еди-
единичный дивизор. Тогда можно будет сказать, что F(Qh) делится
на Iqu1 при любом к. Произведение В =F(Q)F(Q3).. .F(.Q''2) де-
делится, следовательно, на
7m TT л 7т ТТ л-1 1т~1
h=l,3,...,l-2 (fe,Z-l)=l
и тот факт, что А* есть целое число, доказан.
Замечание. Явные формулы, полученные нами для чисел
h классов дивизоров круговых и квадратичных полей естественно
приводят к вопросу: для каких полей алгебраических чисел к
имеют место аналогичные формулы. Тот факт, что полученные на-
нами формулы для h связаны с характерами групп Галуа, показыва-

402 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
ет, что здесь существенна нормальность поля к над Q и комму-
коммутативность его группы Галуа. И действительно, можно легко
вывести совершенно аналогичные формулы для любого поля к,
являющегося абелевым расширением поля рациональных чисел Q.
Надо только воспользоваться законами разложения простых рацио-
рациональных чисел в таких полях к, которые дает нам теория полей
классов.
Общая теория полей классов дает нам законы разложения про-
простых дивизоров р произвольного поля алгебраических чисел к в
конечном абелевом расширении К/к. Можно поэтому попытаться
искать формулы для отношения h(K)/h{k) чисел классов дивизоров
этих полей. В этом направлении известны только разрозненные
результаты. Формулы для отношения h(K)/h(k) мы имеем в слу-
случае, когда А: — квадратичное мнимое поле. Результаты здесь по-
похожи на теорему 2: формулы имеют вид индекса группы, порож-
порожденной некоторыми специальными единицами, в группе всех еди-
единиц поля К (см. [49], [50], [116]). Другой интересный случай,
в котором имеют место аналогичные формулы, обнаружил Гекке.
Он высказал очень правдоподобные предположения, согласно ко-
которым отношение h(K)/h(k) должно иметь совсем элементарное
выражение, аналогичное формуле G) п. 1 § 4 или формуле F) п. 1
настоящего параграфа, если к — чисто вещественное расширение
поля рациональных чисел, а К — его чисто мнимое квадратичное
расширение. Условия, накладываемые на к и К, означают, что при
любом изоморфном вложении cp:/c->ff поля к в поле комплекс-
комплексных чисел (Е поле срШ содержится в поле вещественных чисел,
и, далее, если К = к(.Уц), то ф(|л)<0 для любого вложения ф.
Сам Гекке доказал высказанную гипотезу в работе [80] для слу-
случая вещественных квадратичных полей к. Случай кубических по-
полей рассматривался Рейдемепстером в статье [117]. Однако, как
замечает Зигель (см. [130], сноска в конце введения), в работе
[117] имеется ряд неясных мест.
4. Условие взаимной простоты h* с I. В п. 3 § 7 гл. III мы ви-
видели, насколько важно было бы иметь критерий, позволяющий
узнавать, взаимно просто ли число й с I пли нет, т. е. является ли
простое число I регулярным или иррегулярным. Так как й = hoh*,
то число I будет регулярным тогда и только тогда, когда оба
множителя h0 и й* не делятся на I. В этом пункте мы найдем
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы множитель
h* не делился на I. Так как в следующем параграфе мы увидим,
что й0 также не делится на I, если (й*, I) = 1, то это условие бу-
будет одновременно и критерием регулярности I.
Сохраняя обозначения предшествующего пункта, рассмотрим
отношение
JB ту
1т~г к=1,3,...,1—2

§ 51 число классов дивизоров поля Деления круга 403
(мы здесь главный дивизор (а) отождествляем с числом а). Ввиду
формулы F) число h* делится на I тогда и только тогда, когда це-
целое рациональное число A6) делится на какой-нибудь простой ди-
дивизор qs, (s, I— 1) = 1, скажем на <f(_2 = <f_1, т. е. когда хоть один
из целых дивизоров F{Qk)qhl~l (к = 1, 3, ..., 1 — 2) делится на q-4.
Для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы хоть
при одном /с = 1, 3, ..., 1 — 2 дивизор F(Qk)qk делился на qLt.
Покажем, что при к = I — 2 = — KmodZ — 1) последнее условие
не имеет места. В самом деле, Q-fg^ Kraodq-J согласно A5),
поэтому
F F-1) = 2 (в-1*)' = I - 1 = - 1 (mod ч.О,
т=0
т. е. F(8~J) не делится на q_4, а значит, FiQ'^q-i не делится на <ili.
Таким образом, для делимости h* на I необходимо и достаточно,
чтобы хоть при одном к = 1, 3, ..., I — 4 число F(dk) делилось
на qli.
До сих пор на выбор первообразного корня g по модулю I мы
не накладывали никаких ограничений. Теперь же мы предполо-
предположим, что g удовлетворяет сравнению
g1-' ^ I (mod P)
(если g этому условию не удовлетворяет, то вместо него надо
взять g + xl с надлежащим х). Так как сравнение A4) выполня-
выполняется теперь по модулю Р, то 1 — d"g делится на q\ при любом /с,
взаимно простом с I — 1. В частности,
При таком выборе g условие делимости F(Q") на qli находится
совсем просто. Действительно, в силу сравнения
F Фк) = 2 g&k = 2 g^h (mod qij
число F(Qh) делится на <|ii тогда и только тогда, когда
S^ft^0 (mod/2). A7)
s=o
Желая условие A7) преобразовать к более удобному виду, рас-
рассмотрим сравнения
), 0^s^l-2, A8)
где а, — целые числа. Если обе части сравнения A8) мы возведем
в степень к + 1 (к — 1, 3, ..., I — 4), то получим
(к + 1) gibla, = g«*+i> + (Л + 1) g* (gt - g*) (mod Z2)f
26*

404 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
т. е.
g*+1 = (к + 1) g^* — kgs(-h+V (mod Р)- A9)
Просуммируем сравнения A9) по" всем s = 0, 1, ..., 1 — 2. Так как
g-ft+i ^ KmodZ) при Н1<г-3 и g' = Kmod/2), то
?s(fe+i) = ^—__ L = о (mod /2)
/-2 1-2
и, следовательно, 2 ^+1 = (А + 1) 2 gs?sfe (mod ^)- Но А + 1 ^
?*0 (mod ?), поэтому условие A7) равносильно сравнению Sh+1 =
1-2 1-1
= 2 gs+1 = 2 ift+1 = 0 (mod Р).
s=0 n=i
Нами доказана, таким образом, следующая теорема:
Теорема 3. Для того чтобы число h* не делилось на I,
необходимо и достаточно, чтобы ни одно из чисел
Sft = 2>ft, A = 2, 4, .. ., Z - 3, B0)
не делилось на /2.
Заметим, что все числа Sk при А ^ 0 (mod/—1) делятся па I
(см. сравнение A0) § 8).
Переформулируем теорему 3 в терминах чисел Бернулли (опре-
(определение чисел Бернулли и их некоторые свойства изложены в
§ 8). Так как числа 2, 4, ..., 1 — 3 не делятся на 1—1, то по
теореме Штаудта (теорема 4 § 8) числа Бернулли 52, Bt, ..., BL-3
являются /-целыми (не содержат / в знаменателе). Далее, для
сумм Sk мы имеем сравнения
Sk ^ B-J (mod Г-), к = 2, 4, ..., I - 3, B1)
(в кольце /-целых чисел; см. сравнение A1) § 8). Следовательно,
справедлива
Теорема 4. Число h* не делится на I тогда и только тогда,
когда числители чисел Бернулли Вг, Bk, ..., Bt^s не делятся на I.
Например, так как числители чисел В2, Bk, Ве, Bs, Bi0, 512, Вы
не делятся на 17, то число /=17 регулярно.
Замечание. Для определения взаимной простоты числа h*
с / нет надобности находить точные значения чисел Бернулли.
Достаточно рекуррентные соотношения B) § 8 рассмотреть как
сравнения по модулю / и из этих сравнений найти последовательно
Bz, Вь, ..., Bi-S. Число h* будет взаимно просто с I тогда и только
тогда, когда все эти числа не делятся на /.
5. Замечание об операторной структуре группы классов ди-
дивизоров. В последние годы найдены глубокие результаты, с новой
точки зрения освещающие строение группы классов дивизоров
Z-кругового поля К= Q (?),?' = 1. Именно, применяя к диви-

§ 5] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 405
зорам поля К автоморфизмы его группы Галуа G, мы превращаем
группу дивизоров ® в G-операторную группу (см. задачу 20 § 5
гл. III). Так как подгруппа главных дивизоров инвариантна отно-
относительно автоморфизмов из G, то и группа классов дивизоров @
поля К приобретает структуру G-операторной группы. То ;ке,
разумеется, относится и к ее Z-примарной компоненте @г. Строение
последней G-операторной группы и описывается упомянутыми
результатами (см. [84/, [28]). Хотя они относятся к случаю 1п-кру-
гового поля при произвольном п, мы приведем их лишь при п — 1.
Эти результаты получены, правда, при одном ограничительном
предположении: число h0 классов дивизоров вещественного под-
поля поля К не должно делится на I. Возможно, что па самом
деле это условие не накладывает на I никаких ограничений: есть
основания предполагать, что h0 не делится на I для всех I (в этом
состоит гипотеза, высказанная Вандивером, см. замечание в кон-
конце п. 2). Во всяком случае, как уже упоминалось в конце п. 2,
h0 не делится на I для К 125 000. Приняв условие h0 Ф 0 (modZ),
можно доказать следующий поразительный факт:
Примарная l-компонента @/ группы классов дивизоров 1-круго-
вого поля является G-операторной группой с одной образующей.
Поясним точный смысл этого утверждения. Пусть L — кольцо
/-целых рациональных чисел и Л = LIG] — групповое кольцо груп-
группы G над L. Умножение на элементы из G превращает Л в G-
операторпую группу (G-модуль). Сформулированная теорема оз-
означает, что ®г как G-операторная группа является гомоморфным
образом G-группы Л.
Можно даже в явном виде указать идеал J кольца Л, являю-
являющийся ядром этого гомоморфизма. Для каждого а = 1, ..., р — 1
через аа обозначим такой автоморфизм поля К = Q (?), что
Ga(V = ?", И ПОЛОЖИМ СО = ^ ^а1- ТОГДЭ
/ =(л j) П Л, B2)
где пересечение рассматривается в групповом кольце Q [G] над
полем рациональных чисел. Таким образом, имеет место G-onepa-
торный изоморфизм
6, « Л//. B3)
Из этой формулы можно получить еще более явные следствия.
Пусть Zm — показатель абелевой /-группы @г. Группа @г может
рассматриваться как мультипликативно записанный модуль над
фактор-кольцом Z/ZmZ- В группе обратимых элементов послед-
последнего кольца содержится мультипликативная циклическая группа
порядка Z — 1, и поэтому существует I — 1 гомоморфизмов группы
G в мультипликативную группу кольца Z/?mZ- Эти гомомор-

406 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД 1ГЛ. V
физмы фг (.г—1, ..., 1—1) однозначно характеризуются условием
Фг(Са) — ат (mod I).
Для каждого г через Str обозначим подгруппу группы ©/, состоя-
щую из тех элементов х, для которых а (х) = х при всех oefr.
Для группы @( имеет место разложение в прямое произведение
G-операторных подгрупп @г = Ц %•• Из формул B2) и B3)
Г=1
можно вывести, что все 51Г — циклические Z-примарные группы,
причем %г Ф 1 тогда и только тогда, когда г нечетно, г > 1 и число
Бернулли Bi-r делится на /.
Без использования гипотезы Вандивера определены лишь по-
порядки групп Str. Предположим сначала, что г нечетно. Согласно
задаче 4 § 3 гл. I поле Z-адических чисел Q; содержит корни
степени 1—1 из 1, при этом каждому целому Z-адическому числу
в, не делящемуся на I, однозначно соответствует корень 9, 0' = 1,
такой, что a^O(modZ). Это дает возможность рассматривать гомо-
гомоморфизмы фг как характеры группы G (или группы обратимых
классов вычетов по модулю Z), значения которых содержатся в
Qj. А тогда все обобщенные числа Бернулли Вп^г (см. § 8,
замечание 1) также можно трактовать как элементы поля Qz.
Доказано, что порядок группы % равен | % | = I г, тпт —
= ^E1>Фг).
Пусть теперь г четно. В Z-примарной компоненте фактор-груп-
фактор-группы Е/Ео (обозначения теоремы 2) характер срг выделяет подгруппу
5ЭГ (так же, как выше, была определена группа %г). Доказано, что
порядки групп Str и S3, совпадают (если гипотеза Вандивера спра-
справедлива, то % = 33,. — единичная подгруппа).
Эти результаты получены на основе глубоких связей между
круговыми полями и модулярными функциями (см. [69]).
Задачи
1. Пусть Ко — подполе, состоящее из всех вещественных чисел 2-круго-
вого поля Q (?), ?' = 1. Показать, что Ко совпадает с Q (?+ 1~Х) и имеет
степень (? —1)/2. Доказать, далее, что дискриминант поля Ко равен Z('-3)''2,
а его регулятор Ro связан с регулятором R поля Q (V) соотношением R =
2. Пусть р простое, отличное от I, и / наименьшее натуральное, для ко-
которого pf = 1 (mod I). Доказать, что в поле Ко число р разлагается в про-
/ — 1
изведение ^ простых дивизоров степеней / при / нечетном и в произве-
произведение (I— 1)// простых дивизоров степеней //2 при / четном.
3. Доказать, что для дзета-функции ?к (s) поля Ко имеет место со-
соотношение
lim («-IJCf («)= П ^И'*).

_ 6] УСЛОВИК РЕГУЛЯРНОСТИ 407
где X пробегает все четные числовые характеры по модулю I, отличные от
единичного характера Хо-
4. Доказать, что число классов дивизоров вещественного тгодполя
С (? + S—1) ^-кругового поля равно множителю ha числа классов поля Q (?).
5. Доказать для множителя h* формулу
h* I lt ( ) |
где gs — наименьший положительный вычет числа gs по модулю I = 2т + 1
(# — первообразный корень по модулю /).
6. Вычислить множитель h* при I = 7.
7. Показать, что простое число 37 иррегулярно.
§ 6. Условие регулярности
Целью этого параграфа является доказательство того, что в
случае, когда множитель h* числа классов дивизоров ^-кругового
поля не делится на I, множитель ha также не делится на I и, зна-
значит, простое число I регулярно. Попутно мы докажем здесь также,
что для регулярного I всякая единица поля К = Q (?), сравнимая
по модулю I с целым рациональным числом, является 1-й степенью.
На этом утверждении, известном под названием леммы Куммера,
основывается доказательство второго случая теоремы Ферма для
регулярных показателей. Как условие регулярности, так и лемма
Куммера являются, как мы увидим, простыми следствиями того
факта, что при I \ h* в I-адическом пополнении К^ поля К =
= Q (?), I = A - ?), значения log в^1 (к = 2, 3, .. ., (Z -1)/2) об-
разуют базис совокупности целых «вещественных» 1-адических
чисел с нулевым следом (единицы 9R определены равенствами
A0) § 5).
1. Поле l-адических чисел. Круговое поле К = Q (Q, ? =
= cos— + isin—, при простом I 2s d имеет, как мы знаем, сте-
степень 2—1, и в нем разложение I на простые множители имеет
вид l = V~\ где 1 = A —?) — простой дивизор первой степени.
Рассмотрим I-адическое пополнение К^ поля К. Элементы
этого пополнения будем называть I-адическими числами. Полное
поле Ki содержит подполе, естественным образом изоморфное по-
полю Z-адических чисел Qj (это подполе совпадает с замыканием
поля Q в К^. В силу этого естественного изоморфизма можно
считать, что Q* сг К\.
Так как I является единственным простым дивизором, деля-
делящим I, то ввиду теоремы 1 § 2 гл. IV степень расширения ^Tj/Qi
равна Z — 1 = (K:Q). По этой же причине (см. F) § 2 гл. IV)
для любого а^К имеет место равенство
= NKlfQi(a). (I)

408 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Лемма 1. В кольце целых l-адических чисел существует та-
такой простой элемент Я, что:
1) v-1 + г = о,
2) l^t-l(modl2).
Условиями 1) м 2) элемент Я определен однозначно.
Ввиду равенства E) § 1 гл. III мы имеем
A JqI-1 = A + О A + S + 1г) ¦ ¦ ¦ A + I + ¦ ¦ ¦ + ?'"*)•
Перейдем здесь к сравнению по модулю простого элемента 1 —
поля ^(напомним, что vj A — ?) = 1). Поскольку % = Kmod 1 - ?
и (I — 1)! + 1 = 0(mod Z) (теорема Вильсона), то
г s2-з ... (г-1) = -1 (mod 1-Е).
U
i
Покажем, что t-адическая единица а = — 2/A — ?)!~\ сравнимая с
1 по модулю 1 — ?, может быть представлена в виде а = у'.
Рассмотрим для этого многочлен F(X) —-X' — а. Так как F(l) =
= 0 (mod 1 — ?) л /""'(I) ^ 0 (mod 1 — ^), то в К\ существует едн-
ница "{, для которой Fi^) =0 (см. конец п. 2 § 1 гл. IV). Таким
образом, а = *{'~\ что и утверждалось. Полагая теперь К = (? — 1 )f,
мы получаем простой элемент Я с требуемыми свойствами. Всякое
другое Я.1, удовлетворяющее первому условию леммы, имеет вид
Я9, где 8 — корень степени 1 — 1 из 1. Но из сравнения Я0 зз
= X(modX2) следует, что 0=l(modX). Если бы корень 9 был
отличен от 1, то / — 1 делилось бы на Я, что невозможно. Следова-
Следовательно, 9 = 1 и, значит, Я, = Я. Лемма 1 доказана полностью.
В дальнейшем без специальных оговорок под Я будет пони-
пониматься простой элемент поля К\, однозначно определенный ус-
условиями леммы 1.
Для каждого к, взаимно простого с I, соответствие % ->- t,h оп-
определяет автоморфизм ah расширения K/Q. Если о — любой из
этих автоморфизмов, то функция v' (a) = vi(o(a)}, a<=K, явля-
является показателем поля К, и этот показатель является продолжени-
продолжением 2-адического показателя V, ноля Q. Но для V; существует
только одно продолжение на поле К, а именно Vj. Следовательно,
v' = Vj, а значит, vj (о (a)) = vj (а) при любом »е? Отсюда
легко следует, что при автоморфизме а всякая фундаментальная
последовательность элементов из К (относительно метрики, соот-
соответствующей простому дивизору I) переходит опять в фундамен-
фундаментальную последовательность. Это дает возможность продолжить
автоморфизмы о = <yk поля К на поле /?t. Именно, если | =
= Ню an(ane К), то можно положить
П->оо
a (i) = lim a (an)

§ 6] УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ 409
(легко проверяется, что о(?) не зависит от выбора последователь-
последовательности {а„}, а также, что отображение | ->- оЧ|) является автомор-
автоморфизмом расширения /sTj/Q;).
Так как для расширения ^i/Q; степень инерции равна 1,
а индекс ветвления 1 — 1, то по теореме 4 § 1 гл. IV все целые
I-адические числа однозначно представляются в виде
а0 + а,Я -Ь ... + а,_Д'-2 B)
с целыми ?-адическими пг.
Подполе вещественных чисел поля К состоит из тех а е К,
которые не меняются при автоморфизме o-i: ? -»¦ t,~~l. Посмотрим,
какие I-адические числа инвариантны относительно о_4. Так как
Я'~' = —Z, то и (a_tU))'-' = -Z, а значит, а_,(Я)=Я0, где 0 —
корень степени 1—1 из 1. Согласно задаче 4 § 3 гл. I корень 9
содержится в Q;, поэтому
а2-! (Я) = а_! (а-! (X)) = ст_1 (9Х) = ест_1 (Я) = 02Я,
а так как, с другой стороны, fflj (Я) = Я,, то 0 = ±1. Если бы
0 = 1, то произвольное I-адическое число, представляющееся в
виде B) с Z-адическпми коэффициентами af, не менялось бы при
действии автоморфизма a_i, а это на самом деле не так. Следова-
Следовательно, 8 = — 1 и a-i(k) = —А,. Таким образом, при действии авто-
автоморфизма a_i в поле Ki не будут меняться лишь 1-адические
числа вида
2 ЬД", Ь, eQ,,m = Ц^. C)
Все эти числа образуют подполе в i?j степени т = —^— над Q;.
Будем их называть для удобства «вещественными» 1-адическими
числами.
Вычислим след I-адического числа B) (относительно расшире-
расширения Ki/Qi}. Для любого г = 1, ..., I — 2 матрица линейного ще-
образования ?->Яг|(Е е /sTj) в базисе 1, Я, ..., Яг~2 будет иметь
на главной диагонали нулевые элементы (поскольку Я' = — I),
поэтому Sp^,/Q (Яг) = 0 (при i = l, ..., Z —2). Отсюда вытекает,
что след числа B) равен ao(l — D. Все I-адические числа нулевого
следа (относительно Q/) характеризуются, следовательно, тем,
что для них в разложении B) коэффициент а0 равен нулю.
Нас в дальнейшем будет интересовать совокупность Ш всех
«вещественных» целых I-адических чисел с нулевым следом. На
основании вышеизложенного можно заключить, что 24 совпадает

410 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
со всеми линейными комбинациями
т—1
2 21 D)
с целыми Z-адичеекими коэффициентами &,-.
На поле К^ мы можем рассматривать функции In e и ехр а,
определяемые степенными рядами (см. п. 2 § 5 гл. IV). Так как
индекс ветвления е расширения Ki/Qi равен I — 1, то для этого
Г е 1
расширения число , . + 1 равно 2, а значит, ряд ехр а схо-
сходится для всех целых ос е Ki, делящихся на К2. Функция log е
определена, как мы знаем, для всех главных единиц поля Ку
Если е — главная единица поля К^ т. е. е = 1(тос1Я), то
при любом автоморфизме ok мы имеем также ак(г) = l(mod^),
а значит, 1по"„(е) имеет смысл. Но тогда (следствие 1 теоремы 11
§ 2 Дополнения)
ln 8 =*
= 2 Он (In е) = S Ь (Рь (е)) = In [Цок (г)) = In (NK/Qe).
Предположим теперь, что е — единица поля К. Ясно, что 8
будет единицей и в поле К\, однако log s может пе иметь смысла,
так как е, вообще говоря, не будет главной единицей в Ку Мы
будем иметь, однако, сравнение e = a(modA.) яри некотором не
делящемся на I целом рациональном числе а. Но a'~l = l(modZ),
поэтому г'~1 ss KmodA,), т. е. е'" уже будет главной единицей в
К^. Логарифм log е1 имеет, следовательно, смысл, при этом вви-
ввиду формулы A)
SPki/Q; (In г1'1) = In (Nk^z1-1) = In (Мк^г'-1) = 0,
т. е. целое I-адическое число In e'~* имеет нулевой след. Если
е — вещественная единица поля К, то In el~\ очевидно, также бу-
будет «вещественным».
Итак, для любой вещественной единицы е поля К 1-адическое
число In s'-1 принадлежит множеству ЗИ, т. е. оно может быть
представлено в виде D). В частности, это справедливо и для еди-
единиц 0S (А = 2, 3, ..., m=(l— D/2), определенных формулами A0)
§ 5. Таким образом, мы имеем
1п0Г1= 2 bki%2i, 2</c<m, E)
с целыми Z-адическими коэффициентами bkt.

g 6] УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ 411
Нашей задачей является доказательство того, что в случае,
когда множитель h* числа классов дивизоров поля К не делится
на Z, I-адические числа lnQfc образуют базис Зй над кольцом
целых Z-адических чисел в том смысле, что всякое 1е 2Я одно-
однозначно представляется в виде их линейной комбинации с целыми
Z-адическими коэффициентами. Для этого, очевидно, достаточно
показать, что det(feM) является Z-адической единицей, т. е. что
2. Некоторые вспомогательные сравнения. Ряд ехрж в поле
К\ сходится лишь для целых х, делящихся на Я,2. В связи с этим
в некоторых случаях вместо ряда ехря целесообразно рассмат-
рассматривать многочлеп
получающийся из ехрх отбрасыванием всех членов степени S*Z
(вместо I можно было бы взять любое натуральное число, но нам
будет полезным именно такое определение). Так как коэффициен-
коэффициенты р при А: «? I — 1 являются целыми Z-адическими числами,
то Е(х) будет главной единицей поля К\ при любом целом х = О
(mod Я,).
Мы знаем, что формальное произведение рядов ехрж и ехрг/
равно ряду ехр (х + у). Отсюда легко следует, что
), F)
где Fix, у) — многочлен с целыми Z-адическими коэффициентами,
все члены которого имеют степень >1.
Лемма 2, Б кольце целых l-адических чисел справедливо
сравнение Е(КУ = Kd2'1)
X Xl~2
Положим Е(х) = 1 + xg(x), где g (х) = 1 + -^ + ... + '_ ^ —
многочлен с целыми Z-адическими коэффициентами. Тогда
Е (хI = 1 + C}xg (х) + ... + С1;'1 (xg (х)I'1 + х1 g (xI =
= 1 + Ш (х) + х1 g (xI,
где Ых) — многочлен опять-таки с целыми Z-адическими коэф-
коэффициентами. С другой стороны, ввиду F) имеем также
а значит,
lh(x)=!? + (lf+ ... +^1 + х1Н(х), G)
где Н(х) = Mix) ~ g(xY. Сравнивая в этом равенстве коэффициен-
коэффициенты при одинаковых степенях х, видим, что все коэффициенты

412 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Н(х) — целые Z-адические числа, делящиеся на I. Сокращая G)
на I, приходим к равенству
1х2
1х2 112х1х
h (х) = х + -2j- + ... + A _ 1}, + х G (х),
где G(x) имеет целые Z-адические коэффициенты. Полагая здесь
х = Х, получаем сравнение h(X) ^X(modX'), а значит,
il-1). (8)
Далее, так как g(k) ^ l(mod^), to gCkI ^ KmodA,'), откуда
I'gdY^l'imodV1). (9)
В силу (8) и (9) имеем теперь
Е(КУ = 1 + 1ЫК) + ЯДОг ¦= 1 + IX + К1 = Kmod Я2'-1)
(так как /Я. + Яг = О), что и требовалось доказать.
Лемма 3. /7/ш любом натуральном к имеет место сравнение
В силу формулы F) Е(Ш ^E(XLmodX'), поэтому достаточно
доказать лемму для случая к=1.
По определению простого элемента Я мы имеем S — 1 +
+ MmodA,2). С другой стороны, Е(Х) ^ l + X(modX2), поэтому
) ). Положим
где Y Целое 1-адическое. Возводя это равенство в 1-ю степень и
учитывая лемму 2, получаем сравнение
2 + 1^1 уХ*+ ... + у'-'Х21) = 0 (mod Я2')-
Выра>кение, стоящее в скобках, делится точно на Я'+1, поэтому
Y = 0 (п^Я'~2), откуда t,~lE(X) = 1 (mod Я'), что и доказывает
лемму.
Рассмотрим также многочлен
^ '2f
получающийся из ряда logd + я) отбрасыванием членов степени
Лемма 4. Если целое l-адическое число а делится на Я2, то

6] УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ 413
Действительно, при п ^ 1 имеем
I al Ian \ ~^^ ,
1>1
(см. п. 2 § 5 гл. IV).
Лемма 5. Если et и е2 — главные l-адические единицы, то
+ L(e2)(mod I1).
Так как ряд log (I + х + у + осу) равен сумме рядов log A + х)
и log (l + i/), то
где многочлен G(x, у) содержит члены степени ~^1 с целыми Z-ади-
ческими коэффициентами. Утверждение леммы 5 следует теперь
из того, что G{x, у) = 0 (mod А/), если только хну делятся на Я.
Лемма 6. В кольце целых \-адических чисел справедливо
сравнение
Для доказательства воспользуемся формальным равенством
log exp х = х. Из этого равенства легко следует, что
где Н(х) — многочлен, все члены которого имеют степень >1 и
целые Z-адические коэффициенты. Положив здесь х = X и вос-
воспользовавшись леммой 3 при к = 1, мы и получим требуемое
сравнение.
Замечание. Пусть % — мультипликативная группа классов
вычетов группы главных I-адических единиц по модулю К1 и
$ — аддитивная группа классов вычетов целых I-адических чисел,
делящихся на К, по тому же модулю К1. Легко показать, что ото-
отображение e-*-L(e) (на главных I-адических единицах е) индуци-
индуцирует изоморфизм группы % на группу Ж. Обратный изоморфизм
X -*¦ % индуцируется при этом отображением а -*¦ Е(а) (а =
= 0(то(Ш).
3. Базис вещественных целых I-адических чисел в случае
(ft*, I) =1. Вернемся к вопросу, поставленному в конце п. 1. Что-
Чтобы выяснить, делится ли detFM) на I или нет, нам достаточно
знать коэффициенты bki лишь по модулю I. Ясно, что два целых
I-адических числа вида B) сравнимы между собой по модулю I
тогда и только тогда, когда у них соответствующие коэффициенты
при степенях X сравнимы по модулю I (в кольце целых ^-адических
чисел). Отсюда следует, что для вычисления по модулю I коэффи-
коэффициентов bki вместо In 0ft мы можем взять любое сравнимое с
ним по модулю I (т. е. модулю Я,') целое I-адическое число.

414 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Сохраним здесь все обозначения п. 2 § 5. Главная единица
6д~х вещественна; следовательно, она сравнима с 1 по модулю Я2,
а значит, по лемме 4
In еГ1 = L (9JT1) (mod Kl). A0)
Займемся вычислением -Мб/Г1)- Так как 8fe = г_л Т11~''а: то
Но ? ^ HmodA,), поэтому
откуда A + ? + ...+ ?*-')' = к1 (mod К1), а так как к'^ к (mod Яг~4),
то
A + ? + ... + Sft-.1)' = Л (mod Л').
Таким образом,
6JT1 - вГ А (- II'" - к -Spi (- г,)" (mod Я1),
ь — l
или
е^ ^ LzJ (^_zl)-1 ?№-i>«+i>/« (mod я'-1).
По лемме 5 мы имеем
L(9^)-L(CzJ) _ L(^=i) + №-l)^i @(mod Я,1).
тт г, ?fe —1 Е(кХ) — 1/ л,г-1\
Но по лемме 3 * fc ¦?= ^ (^modA, J, поэтому, учитывая
лемму 6, получаем лЛ
^)^^L[^=l) + ^ (mod А.').
Докажем теперь, что
где многочлен Жж) имеет целые Z-адические коэффициенты,
a i?2fc — числа Бернулли (см. § 8 этой главы). Воспользуемся
00 в
тождеством —-—= Zi тЛ Так как Bi = — ill, а все осталь-
е х п=0
ные числа Бернулли с нечетным индексом равны нулю, то наше
тождество можно переписать в виде
ех_, 2 X-Jtdl2k)\
2ft-l
x

§ 6] УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
После интегрирования получим
, е*-1 *
111 2
415
2k 2ft
(свободный член ряда равен нулю, так как при х = 0 функция,
стоящая слева, обращается в нуль). Из формулы A2) легко те-
теперь получить равенство A1). Подставляя в A1) вместо х значе-
значение к%, находим
а значит,
1=1
а< 20121
<12*>
Этим доказано, что коэффициенты Ъи в равенствах E) удовлетво-
удовлетворяют сравнениям
bki ^
' < т ~
Но тогда det (bhi) сравпим по модулю I с определителем
mi
ТТ
"Mi
Bi)!2i
22_i 24 —1
32_i з4 —1
Зг-3-1
г
— 1
Выписанный определитель легко сводится к определителю Ван-
дермонда. Он равен произведению
П (ra-s*) = U(r + s)(r-s),
в котором все множители не делятся на I. Если теперь h* *& О
(mod Z), то числители чисел Бернулли В2, ..., Bi-3 не делятся на /,
и мы получаем, что det (bki) Ф 0 (mod I).
Этим нами доказана следующая теорема:
Теорема 1. Если h* ^ 0 (modi), to целые «вещественные»
l-адические числа с нулевым следом однозначно представляются
в виде линейных комбинаций
ь 0ft
A3)
с целыми l-адическими коэффициентами ak.
Замечание. Полученному результату можно дать другую
интерпретацию, которая приводит к постановке более общего и

416 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
важного вопроса. Пусть Ко = QI cos —г) — подполе веществен-
ных чисел Z-кругового поля (задача 1 § 5). Замыкание Кь поля
К<) в поле Ki совпадает, очевидно,, с подполем «вещественных»
I-адических чисел, в котором мы имеем фундаментальный базис
1, Я,2, ..., х2(т-1). Теорема 1 в других терминах означает, что си-
система т — 1 независимых единиц 6fe~ (k = 2, ..., т) поля Ко
остается независимой при погружении ее в группу главных еди-
единиц поля К<> (которая рассматривается как мультипликативно
записанный модуль над кольцом Z; целых Z-адических чисел;
задача 11 § 5 гл. IV).
Отмеченный только что факт связан с понятием /ьадического
регулятора. В п. 4 § 4 гл. II был введен обычный «веществен-
«вещественный» регулятор произвольного поля алгебраических чисел. Для
его определения выбирается какая-нибудь система основных еди-
единиц поля. Точно таким же образом может быть определен регу-
регулятор R(ei, ..., ег) любой системы из r = s + t— 1 единиц. (Ясно,
что единицы е4, ..., ег будут независимыми тогда и только тогда,
когда их регулятор отличен от нуля.) Следуя определению обыч-
обычного регулятора, вводим следующее понятие.
Пусть F — вполне вещественное поле алгебраических чисел
степени п над Q и р — произвольное простое число. Для поля F
мы имеем п различных изоморфизмов о"ь ..., о"п в алгебраическое
замыкание поля /ьадических чисел Qp. Пусть, далее, et, ..., ег
(г = га —1)— система независимых единиц поля F. Все образы
Oiiej) являются, очевидно, единицами в некотором конечном рас-
расширении поля Qp, а значит, согласно замечанию к задаче 12
§ 5 гл. IV, имеют смысл /ьадические логарифмы 1паДе3О. Следуя
рассуждениям п. 4 § 4 гл. II, легко убедиться, что в матрице
все миноры порядка г = п — 1 отличаются друг от друга лишь
множителем ±1. Это определенное с точностью до знака общее
значение миноров порядка г указанной матрицы и называется
^-адическим регулятором системы единиц е4, ..., ег поля F и
обозначается через Rp(e4, ..., ег). Если ei, ..., ег — система основ-
основных единиц поля F, то ее р-адический регулятор, зависящий толь-
только от F, называется /ьадическим регулятором вполне веществен-
вещественного поля F и обозначается через RP(F). Это — некоторое число
из конечного расширения поля р-адических чисел Qp (опреде-
(определенное с точностью до знака). Ясно, что р-адический регулятор
произвольной системы е4, ..., ег независимых единиц в F связан
с ^-адическим регулятором поля F соотношением
Rp(ei, ..., 8r) = aRp(F),
где а — индекс подгруппы, порожденной единицами е?, ..., ег и

g 6] УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ 417
корнями из 1, в группе всех единиц. (Относительно обобщений
на случай, произвольных полей алгебраических чисел см. [38].)
Вернемся к теореме 1. Автоморфизмы ot, ..., ат расширения
KJQ можно рассматривать как изоморфизмы поля Ко в замы-
замыкание Ко- Припишем к системе E) равенство 1 = 1. Подвергая
полученную систему равенств действию автоморфизмов Oi, ..., om
и переходя к определителям,, легко получим, что
mR; (е^\ ..., в1'1) = det (bki) VT>,
где D — дискриминант базиса 1, А,2, ..., К2(т~{> поля Ко над Q?.
Из последнего равенства и теоремы 1 следует утверждение: если
I — регулярное простое число и К$ — вещественное подполе I-
кругового поля, то Z-адический регулятор Ri(/d) отличен от нуля.
Леопольдтом высказана гипотеза о том, что для любого впол-
вполне вещественного поля алгебраических чисел F и для любого
простого числа р всегда RP(F)?=0. Возникшая таким образом
«проблема /надического регулятора» оказалась связанной с мно-
многими вопросами теории нолей алгебраических чисел. Однако до
сих пор эта проблема остается нерешенной. Решена она (поло-
(положительно) лишь в некоторых весьма частных случаях, например,
для вещественных подполей полей деления круга.
В случае, когда в F имеется только один простой дивизор Щ,
делящий р, условие l\p{F)?=0 равносильно тому, что всякая
независимая система единиц вполне вещественного поля F оста-
остается независимой (над кольцом Zp) при погружении ее в группу
главных единиц пополнения Fs$.
4. Критерий регулярности и лемма Куммера. Полученная тео-
теорема 1 теперь уже легко позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 2. Если для l-кругового поля Ж?) множитель h*
числа классов дивизоров не делится на I, то множитель h0 также
не делится на I.
Доказательство. Допуская, что ho = (E:Ea) делится
на / (см. обозначения теоремы 2 § 5), мы найдем вещественную
положительную единицу ее?, которая сама не содержится в
Ео, но г1 е Ео, т. е.
П
ft=2
с целыми рациональными ск, причем не все ск делятся на I (в
противном случае единица е принадлежала бы .Ео). Возводя ра-
равенство A4) в степень 1—1, а затем логарифмируя (в поле К\)у
получим
m
Ппе'-1='^ск 1пв'к-\ A5)
ft=a
другой стороны, так как значение In e'~' принадлежит WI, то
9.7 _ _ _ _ _ _ .
9.7

418 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ, V
для него должно существовать представление вида A3), сравни-
сравнивая которое с A5), заключаем, что все отношения ~г— целые
/-адическпе числа. Это, однако, невозможно, так как пе все ск
делятся на Z. Полученное противоречие и доказывает теорему 2.
Следствие. Простое число I > 3 регулярно тогда и только
тогда, когда числители чисел Бернулли J92, B^, ..., 5,_3 не делят-
делятся на I.
Теорема 3 (лемма Куммера). Пусть I — регулярное про-
простое рациональное число. Если некоторая единица г 1-кругового
поля Q (Q сравнима по модулю I с целым рациональным чис-
числом, го она является 1-й степенью другой единицы.
Доказательство. Пусть e = a(modZ). Покажем прежде
всего, что е — вещественная единица. Если е = Z^Zi с веществен-
вещественной единицей е(, то е{ = b (mod Я2) с целым рациональным Ъ и
?"=1 + /сА, (mod Я2). Из сравнения a^bil + kX) (mod Я2) следует
теперь, что к = 0 (mod l), и наше утверждение доказано. Так
как — 1 = (—1)', то можно предположить, что е > 0, т. е. ее?.
Из сравнения e'~f = а'~{ = 1 (mod I) следует, что In е'~' = О
(mod l), а потому в силу теоремы 1
m
]п р' 'У //. In A' DРЛ
с целыми Z-адическими ch. С другой стороны, так как подгруппа
Е„ имеет конечный индекс в Е, то еа е Е„ при некотором нату-
натуральном а и, следовательно,
m
„а ТТ fl,ft Л7'1
ь — JLJL uh \и)
с целыми рациональными dk. Мы можем, очевидно, считать, что
показатели a, d2, . ¦., dm взаимно просты в совокупности (так как
в группе Е нет элементов конечного порядка, то на их общий
делитель в A7) можно сократить). Возводя равенство A7) в сте-
степень I — 1, а затем логарифмируя (в иоле К\), мы получим
m
а ш е = 2j dk In Ь^
Сравнивая это с равенством A6), приходим к равенствам
dh<= lack, к = 2, ..., m.
Так как числа ach целые Z-адические, то отсюда следует, что все
dh делятся на I, а значит, е" является 1-й степенью: еа = гх, где
Et^Eo. Одновременно ввиду условия (а, d2, ..., dm) = 1 мы по-

I 7] ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 419
лучаем, что а взаимно просто с I, поэтому 1 — аи + lv при целых
рациональных и и v, откуда
а это н требовалось доказать.
Задачи
2я
2я . 2я
1. Пусть р — простое число вида 4и + 1, ? — cos — \- i sin ——, Я =
= ? — 1, т = —р—. Положим
П
А.-Я / я \-1
где 6fe = sin 1 sin— I , 1 sg к sg p — 1. Показать, что в /(-круговом поло
Q (С) имеет ггесто сравнение
п ТУ
L (?Р-1) ^-^^^-2Вт Ур (mod
Здесь .? обозначает функцию, определенную равенством (9*), а Вт — число
Бернулли. (Использовать_сравпение A2*) и сравнение задачи 14 § 4.)
2. Пусть 8 = 2' + Щр > 1 — основная единица и h — число классов ди-
дивизоров квадратичного поля Q ("|/р),где простое р == 1 (mod4), Основываясь
па предшествующей задаче и теореме 2 § 4, доказать сравнение
hU = TBm (mod p), т= ^~
(см. [4G] и [55]).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма
для регулярных показателей
1. Теорема Ферма.
Теорема 1. Для регулярного простого числа 1>3 урав-
уравнение
xl + i/^zl A)
неразрешимо в целых отличных от нуля рациональных числах
х, У, z.
Доказательство. Допустим, что целые взаимно простые
числа х, у и z (отличные от нуля) удовлетворяют уравнению A).
Так как первый случай теоремы Ферма нами уже разобран в
п. 3 § 7 гл. III, то сейчас мы предположим, что одно (и только
одно) из этих чисел делится на I. Будем считать, что z делится
на I (если, например, у делится на I, то равенство A) мы пере-
перепишем в виде х1 + (—гI = (— уI).

420 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Пусть z = lkzOr где (z0, Z) = 1, А; > 1. Так как в Z-круговом поле
Q (?,) для числа I мы имеем разложение I = A — ^'"'е, где е —
единица поля Q(?) (лемма 1 § 1 гл. III), то в поле Q(?) ра-
равенство A) может быть записано в виде
. xl+yl^e(l-t,)lmzl0, B)
где т = кA — 1) >0. Для доказательства теоремы достаточно по-
показать, что равенство вида B) невозможно. Мы докажем не-
несколько больше. А именно, будет установлено, что равенство вида
B) невозможно не только в целых рациональных числах х, у
и z0, взаимно простых с I, но даже и в том случае, когда под
х, у п z0 будем понимать любые целые числа ноля Q(?), взаимно
простые с 1 — ?. Допуская противное, т. е. допуская, что равен-
равенства вида B) все же существуют, выберем из них то, у которого
показатель т > 1 наименьший. Чтобы не вводить новых обозна-
обозначении, будем считать, что этим равенством является B). Числа
ж, у и z0 теперь обозначают, стало быть, некоторые целые числа
из Q(?), взаимно простые с 1 — ?, а е — некоторую единицу поля
Q(C).
Как и в § 6, через I мы обозначим простой дивизор A —?)
поля Q(?)- Разложим левую часть равенства B) на линейные
множители и перейдем в этом равенстве к дивизорам. Мы по-
получим
+ ^bi'V, C)
где дивизор ct = (za) взаимно прост с I. Так как 1т>1>0, то
из C) следует, что хоть один из множителей слева делится на I.
Но х + I'y = xJr t,hy - ?*A - ?~к)у, поэтому все числа
hy (Os?A;s=Z-l) D)
делятся на I. Если бы нри 0 ^ к <isil — 1 имело место сравне-
сравнение х + Z?y = x-\- Z,'y (mod I2), то мы имели бы также Z,hy(i — ?г~ь) =
=0 (mod I2), а это невозможно, так как tfy взаимно просто с
I, а 1 — t,'~h ассоциировано с 1 — ?. Таким образом, числа D) по-
попарно несравнимы по модулю I2, а значит, отношения
(г + 5*0)/A-Е), &-0, 1, .... Z-1
попарно несравнимы по модулю I. Но МП = I, поэтому эти от-
отношения образуют полную систему вычетов по модулю I и одно
из них, следовательно, делится на I. Отсюда следует, что среди
чисел D) одно (и только одно) делится на I2. Так как в равенст-
равенстве B) вместо у мы можем взять любое из чисел Z,hy, то можно
считать, что именно х + у делится на I2 и, значит, все остальные
числа х + ?,ку, делясь на I, не делятся на I2. Из того, что левая
часть равенства C) делится по крайней мере на I' I2 = I1+1, сле-
следует теперь» что те > 1.

§ 7] ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 421
Обозначим через m общий наибольший делитель дивизоров
(х) и (у). Поскольку х и у не делятся на I, то и m не делится
на I. Ясно, что (х + ?,ky) делится па Ittt, а (х + у) делится даже на
r(m-1)+Ittt. Положим
(.r + y)=I'(m-I)+1mc0, U + ?*у) = toe», & = 1, ..., 1-1
и докажем, что дивизоры с0, сь ..., С;_4 попарно взаимно просты.
В самом деле, если бы с4 и ck @ < i < к ^ I — 1) имели общий де-
делитель р, то из делимости ж + %fy n x + t,hy на 1Щ следовало бы,
что t^yii — ?*"'') и жA — Х,"~г) также делятся на \Щ, откуда в свою
очередь вытекала бы делимость х и у на тр, что противоречит
определению ш.
Записывая C) в виде m'l^CoCi... с,_, = l'mal, делаем вывод (по-
(поскольку cft попарно взаимно просты), что
а значит,,
'(m1)+14 E)
-1). F)
Выразив ш. из E) и подставив в F), получим
Л, G)
откуда следует, что дивизор (л^а^I главный'(ибо 1 = A —?)).
Воспользуемся теперь регулярностью числа I. Так как число клас-
классов дивизоров поля Q (?) не делится на Z, то по следствию тео-
теоремы 3 § 7 гл. III дивизор с^а^1 также главный, т. е.
(8)
где ah и Рь — целые числа поля Q(?). Дивизоры aft A ^ /с ^ Z— 1)
и а0 взаимно просты с I, поэтому можно считать, что числа ak
и pfe не делятся иа I. Равенство главных дивизоров эквивалентно
равенству соответствующих чисел с точностью до множителя,
являющегося единицей. Следовательно, в силу G) и (8) мы имеем
^l -l, (9)
где sh — единица поля Q(Q.
Обратимся теперь к следующему очевидному равенству:
(х + %у) A + %) - U + %2у) ь= Цх + у).
Умножив его на A — ^I<т-1) и воспользовавшись равенствами

422 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
(9) при к>= 1 и к — 2, получим
{х + у) (-^У г, A + 0 - (х + у) (^j е2 = (* + у) ? A - ?)«"-1>,
откуда
Мы получили, таким образом,, равенство вида
al + B0p' = e/(l-?)'(m-iY, A0)
где а, р и f—целые числа из Q(Q, не делящиеся на I, а е0 и
г' — единицы поляО(?). Преобразуем его к виду B).
Выше мы видели, что т > 1, следовательно, т — 1 > 0 и
Km — 1)ЗМ, а значит, ее.'+ ео^; s 0 (mod l'). Так как ? взаимно
просто с I, то существует такое целое р", что $$' = 1 (mod V).
Умножив последнее сравнение на ?}'', получаем
е0 — co4mod I'),
где ш = — оф' — целое число поля Q(C)- Так как iV(l) = I, то
всякое целое число из Q (С) сравнимо по модулю I с целым ра-
рациональным числом. Но если со = a (mod I), то со' = аг (mod Ц),
а значит, единица е0 сравнима по модулю V с целым рациональ-
рациональным числом. По лемме Куммера (теорема 3 § 6; здесь мы опять
пользуемся регулярностью I) единица е0 является l-ж степенью в
Q(?), т. е. eo=Ti\ гДе Ц — также единица поля Q@- Равенство
A0) принимает теперь вид
Мы получили равенство такого же типа, как и B), с той, однако,
разницей, что показатель т заменен здесь на т— 1. Но это не-
невозможно, так как m было выбрано наименьшим. Полученное
противоречие показывает, что уравнение A) не имеет решений
в целых отличных от нуля "х, у и z, среди которых одно делится
на I, т. е. что для регулярного показателя I справедлив второй
случай теоремы Ферма. Теорема 1, таким образом, доказана.
Что касается второго случая теоремы Ферма для иррегуляр-
иррегулярных -показателей, то здесь к настоящему времени известно очень
мало, и вопрос о справедливости теоремы Ферма в общем случае
остается открытым. Наиболее существенные результаты в этом
направлении принадлежат Вандиверу. Им получены достаточные
признаки, выполнение которых обеспечивает справедливость вто-
второго случая теоремы Ферма для данного конкретного иррегу-
иррегулярного I. Один из этих признаков (наиболее пригодный для
фактического использования) состоит в следующем.
Пусть I — некоторое иррегулярное простое число. Согласно
критерию Куммера (следствие теоремы 2 § 6) числитель по край-

§ 7] ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 423
ней мере одного из чисел Бернулли В2ау 2 < 2а ^ I — 3, делится
на I. Пара (I, 2а) в этом случае называется иррегулярной. Пусть
(I, 2at), ..., (I, 2as) —все различные иррегулярные пары для дан-
данного I (так что s равно индексу иррегулярности ii(l) числа I). Фик-
Фиксируем иррегулярную пару U, 2а). Выберем натуральное к так,
чтобы число р = 1 + kl было простым и меньшим 1г — I (такое
к всегда найдется), и натуральное t так, чтобы th^\ (mod p).
Полагаем, далее,
т
2 '
г=1
т г1-1-2а
t
Критерий Вандивера утверждает, что если для каждой ирре-
иррегулярной пары (I, 2а), т. е. для каждого а = аи ..., as имеем
Q\a ^= I (mod/)), то для рассматриваемого I второй множитель
к0 числа классов Z-кругового поля не делится па I и для этого
I справедлив второй случай теоремы Ферма.
Практическое использование критерия Вандивера возможно
только благодаря применению быстродействующих вычислитель-
вычислительных машин. В настоящее время с помощью вычислительных ма-
машин справедливость теоремы Ферма проверена [142] для всех
показателей I < 125 000. Любопытно при этом отметить,, что для
всех иррегулярных I из указанного промежутка критерий Ван-
Вандивера привел к положительному ответу при t = 2 и при наи-
наименьшем допустимом значении к.
Заметим, что все имеющиеся критерии по проверке второго
случая теоремы Ферма для конкретных показателей I действуют
лишь при условии, что h0 не делится на I. Если окажется, что
гипотеза Вандивера неверна и будет обнаружено простое I, деля-
делящее Ао, то для него у нас пока пет никаких средств решить во-
вопрос о справедливости второго случая теоремы Ферма.
Теорема Ферма о решениях уравнения хп + у71 = z™ в целых
числах может рассматриваться как вопрос о рациональных ре*-
шениях уравнения х" + у" = 1. С этой точки зрения теорема Фер-
Ферма — это частный случай общей теории о рациональных решени-
решениях уравнения Fix, у) — 0, где Fix, у) — многочлен с рациональ-
рациональными коэффициентами. В этой общей теории в последнее время
получен весьма существенный результат, из которого, в част-
частности, следует, что для любого показателя п ^ 3 число целых
рациональных решений уравнения хп + уп i— z" во всяком случае
конечно (если, разумеется, не различать пропорциональные ре-
решения). Другими словами, на кривой Ферма хп + уп — 1 При
п ~5* 3 имеется лишь конечное число рациональных точек.

424 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Результат, о котором идет речь, получен Фалтингсом в ра-
работе [76]. Его формулировка в общем случае выглядит следую-
следующим образом. Пусть Fix, у) — абсолютно неприводимый много-
многочлен, коэффициенты которого — алгебраические числа. Кривая,
определяемая уравнением Fix', г/)=0,, имеет некоторую геомет-
геометрическую характеристику, называемую родом. Род кривой есть
неотрицательное целое рациональное число g. Теорема Фалтингса
утверждает, что если g ^ 2,, то уравнение Fix, у) = 0 имеет лишь
конечное число решений в любом фиксированном поле алгебраи-
алгебраических чисел К (конечной степени над Q). Если многочлен
Fix, у) имеет степень п и кривая Fix, у)=0 не имеет особых
точек (в том числе и бесконечно удаленных), то ее род g равен
in — Din — 2I2. Следовательно, уравнение Ферма хп + уп>=1 при
п > 4 имеет конечное число решений не только в поле рациональ-
рациональных чисел Q, но и в любом фиксированном поле алгебраических
чисел К.
Теорема Туэ, которая была доказана нами в н. 3 § 3 гл. IV,
также является весьма частным случаем теоремы Фалтингса,. из
которой следует, что уравнение fix, y)>=c, где fix, у)—форма
степени п > 3 без кратных сомножителей, имеет лишь конечное
число решений в любом заданном поле алгебраических чисел К,
даже если рассматривать произвольные, пе обязательно целые,
содержащиеся в К значения для х и у. (Случай формы / степе-
степени и = 3 под теорему Фалтингса не подходит.) То же самое от-
относится и к теореме Зигеля, приведенной в конце п. 3 § 6 гл. IV.
Если кривая Fix, у) = 0 имеет род g > 2,, то утверждение о ко-
конечности числа решений уравнения Fix, j)=0 в любом фикси-
фиксированном поле алгебраических чисел также следует из теоремы
Фалтингса.
Уравнения степени п ^ 3 вообще являются исключениями в
общей теории неопределенных уравнений с двумя неизвестными.
Случай многочлена первой степепи тривиален. Уравнение второй
степени, левая часть которого не распадается на линейные мно-
множители, определяет кривую рода g = 0. Если в этом уравнении
перейти к однородным координатам, то мы придем к вопросу о
нредставлении нуля квадратичной формой от трех переменных.
Для случая поля рациональных чисел этот вопрос был разобран
нами в н. 2 § 7 гл. I. Но если для квадратичной формы от трех
переменных мы знаем хотя бы одно представление нуля, то мы
можем с помощью простых формул найти все ее представления
нуля, и среди них будет бесконечно много непропорциональных
представлений (см. теорему 7 и замечание к ней в п. 3 § 1
Дополнения).
Если кривая степени 3 не имеет особых точек, то ее род ра-
равен 1 (случай, когда особые точки существуют, исследуется со-
совеем просто). Для кривых рода 1 (их называют также эллипти-
эллиптическими кривыми) к настоящему времени имеется хорошо

§ 7] ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 425
разработанная глубокая теория с многочисленными приложения-
приложениями. Одна из ее особенностей — это возможность введения на мно-
множестве рациональных точек эллиптической кривой групповой
операции. С теорией эллиптических кривых и ее арифметически-
арифметическими приложениями можно познакомиться, например, по обзорным
статьям Дж. Касселса [12] и Тейта [37].
Примерами уравнений 3-й степени с бесконечным числом ра-
рациональных решений являются Xs + у3 = 6 и х3 + у3 = 9 (см. [9],
с. 340). Из последнего примера вытекает также, что кривая Фор-
Форма х3 + у3 = 1 имеет бескопечно много точек с координатами из
поля Q(t^3).
2. Бесконечность числа иррегулярных простых чисел. В пре-
пределах имеющихся таблиц число регулярных простых чисел боль-
больше числа иррегулярных. Однако неизвестно, будет ли это верно
для любого промежутка A, N). Более того, до настоящего време-
времени открытым является вопрос о том, будет ли вообще число
регулярных чисел бескопечыым. В связи с этим представляет
интерес следующая теорема (см. [85] и [68]).
Теорема 2. Число иррегулярных простых чисел бесконечно.
Доказательство теоремы 2 основывается па некоторых свой-
свойствах чисел Бернулли. Эти свойства сформулированы и доказаны
нами в следующем параграфе.
Пусть ри ..., ps — произвольная конечная система иррегу-
иррегулярных простых чисел. Теорема 2 будет доказана, если мы най-
найдем иррегулярное нростое число р, отличное от ри ..., ps. По-
Положим
п = r(pi — 1)... (ps — 1).
Так как для числа Бернулли B2h мы имеем
оо при к—*¦ оо
(см. конец § 8), то при достаточно большом натуральном г ра-
рациональное число BJn будет по абсолютной величипе больше 1.
Пусть р — простое число, входящее в его числитель (при несо-
несократимой записи). Если бы (р — 1I и,, то по теореме Штаудта
(теорема 4 § 8) число р входило бы в знаменатель В„, а ото не
так по выбору р. Таким образом, {р — 1) \ п и, следовательно, р от-
отлично от рь ..., р3 (и отлично от 2). Обозначим через m остаток
от деления п на р—1, так что п = т + а(р — 1). Ясно,, что т
четно и 2^т^р — 3. Вместе с п число т такнге пе делится па
р — 1. Воспользовавшись теперь так называемым сравнением
Куммера (теорема 5 § 8), мы получаем в кольце р-целых рацио-
рациональных чисел сравнение
Bm/m = BJn (mod p).
Но BJn е= 0 (mod р), поэтому BJm = 0 (mod р) и5т = 0 (mod p).

426 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Так как т равно здесь одному из чисел 2, 4, ..., р — 3, то по
следствию теоремы 2 § 6 число р иррегулярно. Теорема 2 до-
доказана. _
Некоторое уточнение теоремы 2, проливающее также свет и
на вопрос о распределении иррегулярных простых чисел, дает
следующий результат [108]. Пусть т>2 — произвольное нату-
натуральное число и G = (Z/wiZ)* — мультипликативная группа
приведенных (обратимых) классов вычетов по модулю т. Пусть,
далее, Н — произвольная собственная подгруппа группы G (Н =^
т^ G). Тогда в объединении тех классов приведенных вычетов по
модулю т, которые не входят в II, содержится бесконечно много
иррегулярных простых чисел р. В частности, бесконечно много
таких иррегулярных р, которые ^l(mod/n), т > 2, или #±1
(mod m), ф(тге)>2. В то же время пока мы не знаем ни одного
такого т > 2, для которого класс чисел == 1 (mod тп) содержал
бы бесконечно много иррегулярных р (автор приведенной выше
работы доказал, что объединение двух единичных классов = 1
(mod 3) и = 1 (mod 4) содержит бесконечно много иррегулярных
р). В связи с отмеченными результатами упомянем, что имею-
имеющиеся в настоящее время таблицы иррегулярных простых чисел
(см. [86],, [87] и [142]) дают основание предположить, что для
любого модуля тп > 2 иррегулярные простые числа асимптоти-
асимптотически равномерно распределены по всем ц>(гп) классам приведен-
приведенных вычетов по модулю тп (для всех простых чисел такая равно-
равномерность распределения установлена в п. 3 § 3 гл. V).
Задачи
1. Доказать, что уравнение хъ + у3 = 5г3 не имеет решений в целых от-
личпых от нуля рациональных числах.
2. Доказать бесконечность числа иррегулярных простых чисел вида
in + 3 (использовать задачи 9 и 10 § 8).
§ 8. Числа Бернулли
Докажем здесь те свойства чисел Бернулли, которыми нам
приходилось пользоваться в предшествующих параграфах.
Все рассматриваемые ниже степенные ряды сходятся в неко-
некоторой окрестности начала координат, и их радиусы сходимости
легко могут быть определены. Мы не будем, однако, интересо-
интересоваться вопросами сходимости, так как для наших целей достаточ-
достаточно рассматривать эти ряды формально (исключение составляет
лишь доказательство теоремы 6).
Определение. Рациональные числа Bm (m^l), определя-
определяемые разложением
е L m=l
называются числами Бернулли.

§ 8] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 427
Условимся в следующих сокращенных обозначениях. Если
f(x) = а0 + uiX + ... +апхп — многочлен, то под f(B) мы будем
понимать число а„ + «А + ... + а„Вп. Аналогично, если fix, t) —
со
степенной ряд вида 2 /»(х) tn, где /„ (х) — многочлены, то под
п=о
оо
f(B, t) будем понимать ряд 2 fn(B)tn- Пользуясь этими обо-
и=о
о
значениями, разложение A), например, определяющее числа Бер-
Бернулли, можно записать в виде
e«-i
Легко видеть, далее, что для любого числа а
(для доказательства следует перемножить ряды, стоящие слева).
Теорема 1. Для чисел Бернулли имеет место рекуррентное
соотношение
(l + B)m-Bm = 0 при /тс 5*2, B)
которое в развернутой форме имеет вид
Для доказательства перепишем равенство A) в виде
t = еA+в" - eBt.
Сравнивая здесь коэффициенты при членах tm/m\ (m ~> 2), мы и
получаем соотношение B).
При т = 2 формула B) дает нам 1 + 25, = 0, а значит,
В, = -1/2.
Теорема 2. Все числа Бернулли с нечетными индексами,
кроме Ви равны нулю:
Вгт+1 = 0 при т>1. C)
Равенства C) равносильны, очевидно, тому, что функция
J
е 1 7П=2
четная, а это легко проверяется.

428 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Приведем значения первых двенадцати чисел Бернулли с чет-
четными индексами:
D X Г> *_ р 1 р Z?
2~"Т' 4~ 30' 6~1й' 8 0"' ^ю —6'
П 691 d _ 7 r 3617 р 43 867
^ ы ~ Т' ° ^
2 ~ 2730' ы ~ Т' 16 "" "BIT' 8 ~ 798 '
P _ 174 611 „ _ 854 513 д _ 236 364 091
D™ - 330~' ^22 ~ 138 ' 24 2730 '
Числа Бернулли связаны с суммами степеней чисел натураль-
натурального ряда. Положим
Теорема 3. Для сумм Sk{n) имеет место формула
(m+l)Sjn) = (n + B)m+i-Bm+\ m>l, D)
или в развернутом виде
m
(тп + 1) Sm (п) = 2 Chm+1Bhnm+l-\ m > 1 (J50 = 1). E)
Действительно, выражение, стоящее в правой части равенства
tm+1
D), равно коэффициенту при , , 1,, в ряде e(n+B)t — eBt. С дру-
другой стороны,
п—х
pnt — Л
e(n+B)t _ eBt = eBt tent — 1) = t- =
ь — *¦ Г=0
oo /n-1 \
2
r
m=l 4r=l / m=l
^ и доказывает формулу D).
Заметим, что при п = 1 формула D) совпадает с равенством B).
Теорема 4/(теорема Штаудта). Пусть р — простое число
m<zz_ ч етще^число. Если (р — 1I то, то Вт является р-целым
(т. е. Вт не содержит р в знаменателе). ?Ъш же (р — \)\т, то
рВт есть р-целое число и pBm^ —I (mod/?).
Положим в формуле E) п = рг (г>1) и перепишем ее в виде
т.—г
вт 2d
Очевидно, что при достаточно большом г сумма, стоящая справа,

§ 8] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 429
будет /7-целым числом. Далее, при к> I мы имеем
Sm (р*+1) =  2 (" + Vp*)m =н
= р 2 «m + "*Pft 2 и™ 2 у = pSm {pk) (mod />"+1),
U~Q U V
а значит, разность
является числом целым. Из того факта, что числа F) и G) р-це-
Sm (Р) г,
лые, следует теперь, что разность ?>т также есть р-це-
лое число.
Нами доказано, таким образом, что рВт является р-целыш и
PBm = SJp) (mod р) • (8)
в кольце р-целых чисел.
С другой стороны, имеют место сравнения:
Sm(p) = ~1 (mod р), если (р—1)\т; (9)
Sm(p) = 0(mod/?), если (p-l)im. A0)
В самом деле, если (р— Dim, то a;m=l(modp) при 1^х^
< р — 1, а значит,
^«. (Р) = 2 з:— 2 1 = Р - 1 = - 1 (mod р).
я=1 зс=1
Если иге (р — 1) -f w, то, выбрав первообразный корень g по мо-
модулю />, мы будем иметь
?»(Р) = 2* жШ^ 2- 8тг = гш_х ^
так как gp~i = 1 (mod/?) и gm Ф 1 (mod/?).
Сопоставляя теперь (8) и A0), мы получаем, что если (р — 1) f
¦Г т, то /Mm = 0 (mod/)), а значит, Д,г является /ьцелым. Из срав-
сравнений (8) и (9) следует второе утверждение теоремы 4.
В случае т «S /) — 1 число /? — 1 не является делителем чисел
к< т, поэтому все Вк при к< т являются /?-целыми, и, значит,
все слагаемые в сумме, стоящей справа в равенстве F), делятся
на рг. Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Следствие. Если рФЪ и т^р — 1 (т четное), то
pBmmmSm(.p) (modрг). A1)

430 " АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД , [ГЛ. V
Теорема 5 (сравнение Куммера). Если р простое и р — 1
не делит четное положительное пг, то число ~- является р-це-
лым и имеет место сравнение
Ят+р-1 Вт ( д }
-\- р — 1 т v ^'
Другими словами, отношения — (при (р — Of те) имеют пе-
период р — 1 по модулю /?.
Приведем доказательство, основанное на одном сравнении
Вороного (см. [7], т. 1, с. 7—23).
Воспользуемся опять формулой F). Из этой формулы следует
сравнение
Sm (Я = PrBm (mod /r~H A3)
где о„ — наименьшее целое неотрицательное число такое, что все
рациональные числа —-т~,; Bhp т @ ^ к ^ /п — 1) являются п-це-
лымн. Пусть а — целое число, взаимно простое с р. Для каждого
i = l, ..., рТ — 1 через Ь4 обозначим наименьший положительный
вычет произведения ai по модулю />':
ai = bt + prq{, 0<bt<pr. A4)
Ясно, что все Ь, — это те же числа 1, .. ., рг — 1, но расположен-
расположенные в другом порядке. Из A4) следует, что
amim ~zb?+ mbf^i ¦ / (mod p^)
и, следовательно,
am (
amSm (pr) г Sm (pr) + m (Д bT-'g^j p' (mod p»),
/Pr-i \
т. e. (am — 1) Sm (pr) = w 2 ЬГ?! Pr (modp2r)- Вместе с A3)
\ i=l /
это дает нам сравнение s
2 6Г1?*) (mod p'»).
Будем теперь считать, что r>am + vP(m), и в качестве а возьмем
первообразный корень по модулю р. Тогда ат — 1 не будет де-
делиться на р (поскольку р — 1 не делит т по условию), и мы по-
получаем, что BJm является р_-целым числом.

g 8] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 431
Далее, пусть т =т (mod/? — 1), и^нусть г выбрано большим,
чем cm + vp(m) и от> + vp(m'). Тогда
(ат — 1) -^ = Jj ^Г-1?г (mod p)
г=1
И ' 'л
РГ-1
Но ,rm = хт' (mod p) при любом целом х, поэтому Вт,'1т' =
^ Bmlm (mod p), и теорема 5 доказана.
Теорема 6. Для чисел Бернулли В2т имеет место формула
). A5)
где ^B/тг) — значение ^-функции Римана t,(s) при s = 2m.
Для доказательства воспользуемся разложением функции
1
 7 на простейшие дроби:
t 1 _ j_+2 L^ = _ ± + ± + J] 2f
Это разложение можно, например, вывести из чаще встречающе-
встречающегося в учебниках разложения для котангенса
2z
.eIZ + e-IZ . 2s ,,
воспользовавшись тем, что ctg z = г -^ ^r^ = i + -^ . Из
A6) следует, что
~j == Л о Г ^ ^j ~ о,
е — 1 z ^ffrt *" + Bяи)~
г2 ^^, „ . / ( \2п>
и так как —^ j- = ^ (— 1) [ tj^-J , то
m=l

432 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Сопоставив это равенство с разложением A) и приравняв коэф-
коэффициенты, мы и получим равенство A5).
Из формулы A5) можно получить представление о росте чи-
чисел \В2т\ при возрастании индекса. Так как t,Bm) > 1 и Bт)\ >
> Bт/еJт (это следует из известной формулы Стирлинга), то
| В2т | > 2 I — I . В частности, мы получаем, что
В
2ГО
2т
оо при т —v оо.
Замечание 1. Формуле A5) можно придать более естест-
естественную с теоретико-числовой точки зрения форму, исключив из
нее трансцендентные величины. Как хорошо известно, функция
?Ы допускает аналитическое продолжение на всю плоскость
комплексного переменного s, является на ней мероморфной функ-
функцией с единственным полюсом первого порядка в точке s = 1
(с вычетом 1) и удовлетворяет функциональному уравнению
25~V? (I-s) = cos ^ Г (*)?(*), A7)
где T(s) — гамма-функция. Положим здесь s = 2т. Так как
Г Bт) = Bт— 1)!, то формула A5) преобразуется к виду
?A — 2т) = — В2т/Bт) (т^\). Если теперь принять во внима-
внимание, что при т>1 одновременно ?(—2т) =0 и B2m+i = 0, то
нриходим к формуле
БA-п)=-Д„/Ч га>1. A8)
Формулы A8) указывают нам на наличие глубоких свойств функ-
функции ?Ы, выражающихся в арифметической природе некоторых
ее значений.
Формулы, аналогичные формуле A8), имеют место и для зна-
значений L-функщш L(s, %), рассматривавшихся в § 2 настоящей
главы. Именно, если % — примитивный числовой характер по мо-
модулю т > 1, то L(s, %) допускает аналитическое продолжение до
голоморфной функции на всей комплексной плоскости и для лю-
любого натурального гс 5* 1 имеет место формула
Ш-и, х) = -Д»,Л. A9)
В этой формуле Sn, х — обобщенные числа Бернулли, связанные
с числовым характером % (все они содержатся в поле, получаю-
получающемся присоединением к Q всех значений характера %).
Обобщенные числа Бернулли оказались весьма полезными в
теории круговых полей. В частности, с их помощью можно дать
более простые выражения для множителя k*(l) числа классов.
Приведем онределение обобщенных чисел Бернулли BHi x и сфор-
сформулируем некоторые их простейшие свойства.

§ 8] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 433
Пусть т — произвольное натуральное число (допускается
m = 1) и % — фиксированный примитивный числовой характер по
модулю т. Числа Вп, х определяются разлоя;ением по степеням t
мероморфной функции, стоящей слева:
т оо
V 1 («) teal _ V д tn
i
a=--l e n=0
Если m= l и x = l — единичный характер (т. е. %{а) = 1 при
всех* целых рациональных а), то Вп1=Вп при п > 2, Bil = i/2.
Аналогом соотношения B) (в развернутой форме) для чисел Вп%
является формула
я — ] т
ft=l a=i
В частности, при %?= 1 (т > 1) имеем
Далее, 5„|Х = 0, если )((—1) Ф (—IO1, т. е. если характер % и чис-
число га разной четности, кроме случая п = 1 и % = 1 (это аналог
теоремы 2). Обобщением для E) является формула
(п
а=1
Пользуясь обобщенными числами Бернулли, мы можем фор-
формулу B1) § 2 для нечетного примитивного характера % по мо-
модулю то переписать в виде L Aа %) = —^— Вх -. Отсюда полу-
получается повое выражение для первого множителя h* числа клас-
классов дивизоров Z-кругового иоля:
= 2l Д (-Т^Д
( ^ '
где % пробегает все нечетные характеры по простому модулю I.
Замечание 2. Сравнение Куммера A2) допускает обобще-
обобщение па случай модуля, являющегося степенью простого числа р.
Именно, если т и п — четные натуральные числа, не делящиеся
на р — 1 и удовлетворяющие сравнению т = п (mod (p — i)pN), то
A ~pm-l)BJm^{\-pn-l)BJn (mod/)w+1). B0)
Доказательство сравнений B0) основывается на тех же сообра-
соображениях, что и доказательство теоремы 5 (см. [38], с. 239). Этим
сравнениям можно придать следующий смысл. Будем считать,
что р Ф 2, и для четного а = 0, 2, ..., р — 3 через Са обозначим

434 аналитический метод [гл. v
множество натуральных чисел т, сравнимых с а по модулю
/7 — 1. На числах т^Са зададим функцию
Fa(m) = (l-pm-i)BJm. B1)
Сравнения B0) означают, что при а?=0 функция Fa{m) непре-
непрерывна на Са в смысле р-адической метрики (значения Fa(m) и
Fa(n) сколь угодпо близки друг к другу, если только аргументы
тип достаточно близки). Но множество Са всюду плотно в коль-
кольце целых /ьадических чисел Zp, поэтому функцию Fa(m) можно
продолжить до непрерывной функции на '?р с целыми /ьадиче-
скими значениями.
Леопольдт [99] обратил внимание на следующее обстоятель-
обстоятельство. В силу формулы A8) функция Fa может быть задана также
равенством
Fa(m)=-(l-pm-i)Z,{l-m), теС„.
Распространение функции Fa с Са па Zp можно иптерпретиро-
вать теперь как /ьадическое продолжение функции — ( 1 ? (s),
заданной на точках 1 — т, т<^Са, на все кольцо целых /ьадиче-
ских чисел ZP- Обозначим это продолжение через ^pa(s). Все
функции ?р a(s) при а = 2, 4, . . ., р — 3 являются аналитическими
функциями от jw-адического аргумента s e ZP. (Связи между
введенными функциями будут отмечены в замечании 3.)
Некоторое усовершенствование приведенной конструкции по-
позволяет построить функцию t,P,«(s) и при а = 0. Ее значения
?р, 0A — т) при т^С0 также совпадают с — A — рт~*)?,A — т),
однако эта функция будет голоморфной во всех точках s e Zp,
кроме точки s = 1, где она имеет особенность — полюс 1-го
порядка.
Подчеркнем еще раз, что построенные нами функции ?Pi a(s)
(число их равно (/?—0/2) являются jD-адическими продолжения-
продолжениями функции —A ) Z (s), а не дзета-функции Римапа ?,{s).
\ р I
Этому обстоятельству, т. е. необходимости введения указанного
множителя, можно дать следующее эвристическое объяснение
(но не строгое обоснование). Умножение ?Ы на множитель
1 означает, что из эйлерова произведения для ?(s) выбро-
выброшен сомножитель, соответствующий простому числу р. При пере-
переходе от эйлерова произведения к ряду 2"~s это соответствует
удалению из ряда всех слагаемых с п, делящимися на р. А при-
присутствие таких слагаемых явно привело бы к р-адической расхо-
расходимости ряда. (Выбрасывание из ряда членов, влекущих очевид-
очевидную расходимость, является обычным приемом регуляризации
расходящихся рядов; специфика нашего случая заключается в

§ 8] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 435
том, что эту операцию мы производим при s = 1 — то", т. е. вне
области сходимости Re s > 1 ряда 2jb~sJ
Замечание 3. Аналогичным образом могут быть построены
^-адические продолжения и для L-рядов L(s, %) с произвольным
примитивным характером %. Основную роль в этом построении
играют обобщенные числа Бернулли Вп х и формула A9).
Согласно задаче 3 § 3 гл. I отображение с ->- у (с) = lim с?",
п-»оо
cgZ, (с, р) = 1, является примитивным характером по модулю
р, значения которого у(,с) содержатся в кольце целых /ьадиче-
ских чисел. Рассматривая произвольный числовой характер %,
мы можем считать, что все его значения %(а), а значит, и все числа
-В„, х содержатся в некотором конечном расширении поля Qp.
Имеет место следующий результат.
Для произвольного примитивного числового характера % и
произвольного простого числа р существует /ьадическая функция
LP(s, %), определенная на целых /г-адических числах s (кроме'
точки s = 1 в случае единичного характера % = 1), обладающая
свойством
Lp(l-n,x) = -{i-(%y-n)(p)-Pn-1)Bn^n/n, п>1. B2)
Если %?= 1, то Lp{s, %) — аналитическая функция. Если же % = 1,
то Lp(s, 1) — мероморфная функция целого /?-адического аргумен-
аргумента s с единственным полюсом 1-го порядка в точке s = 1. Для
нечетного характера % функция Lpis, %) равна тождественно
нулю. Если же % — четный характер, то LP(s, %) — ненулевая
функция.
Для характера % = 7" и для т^Са имеем
LPA - т, f) = -A - pn-')BJm = Fa(m).
Таким образом, построенные в замечании 2 функции ?р> „Ы сов-
совпадают с ?p(s, ч").
Пусть теперь F — вещественное абелево расширение поля ра-
рациональных чисел степени п, соответствующее конечной подгруп-
подгруппе X группы числовых характеров X (см. замечание в конце п. 1
§ 2). Так как F — вполне вещественное поле, то, согласно заме-
замечанию к теореме 1 § 6, для F и для произвольного простого
числа р определен /»-адический регулятор RP(F). Справедлива,
оказывается, следующая формула:
- П (i-^>L<i,x), B3)
в которой h(F) — число классов, дивизоров и D(F)—дискрими-
D(F)—дискриминант поля F (р-адический регулятор и квадратный корень из
дискриминанта определены с точностью до знака, поэтому в ра-
равенстве B3) необходимо надлежащее согласование этих знаков).

436 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД (ГЛ. V
Приведенная формула является /?-адическим аналогом фор-
формулы, указанной в конце п. 3 § 2. Там же отмечалось, что для
вещественных подполей деления круга р-адический регулятор
отличен от нуля. Следовательно, для четных числовых характе-
характеров х всегда Ьр{1, у) ФО.
В /ьадическом поле число 1 может быть представлено в виде
предела чисел вида 1 — п с натуральными п. Поэтому ввиду фор-
формулы B2) значения ?РA, %) могут быть /ьадически аппроксими-
аппроксимированы обобщенными числами Бернулли. Это дает возможность
вывести сравнения (по модулю pN), связывающие левую часть
формулы B3) с числами В„, х.
По поводу замечаний 1, 2 и 3 см. работы [98], [99], [90],
[28], [31].
Замечание 4. Клинген и Зигель показали, что для любого
вполне вещественного поля алгебраическрхх чисел К значения
дзета-функции Дедекипда t,As) в целых отрицательных точках
всегда являются рациональными числами. Это открывает воз-
возможность построения р-адических продолжений и для таких
функций (см. [131], [36]).
Задачи
1. Доказать, что (х + В)т = (х — 1 — В)т, т ^ 1.
/1 у» / 1 \
2. Доказать, что ^ + В J = ^^n -lJBm.
3. Пусть р — простое число Ф 2. Доказать, что
(P-1V2 ^1
2
4. Пусть р > 3 — простое число вида ik -)- 3. Доказать, что число h клас-
классов дивизоров мнимого квадратичного поля Q ("J/—¦ р) удовлетворяет срав-
сравнению
h = — 2Bip+u/2 (mod p).
5. Доказать, что при простом р > 3
6. Доказать формулу
(кх + В)т = к™-1 У (х 4- 4" + В)
(к и т — натуральные числа).
7. Для функции tg х имеет место разложение
°° хгп-1

§ 8] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 437
I Я (
где Тп — 22П B2П — l) - 2п ¦ Доказать, что все коэффициенты Тп —* нату-
натуральные числа.
8. Доказать, что при
2S2m=l (mod 4).
9. Пусть q — такое простое число, что 2q + 1 составное (например, q ==
s= I (mod3)). Доказать, что числитель числа Берцулли B2q содержит (в не-
несократимой записи) простое число вида in + 3.
10. Пусть Pi, ..., ps — простые числа, большие 3, М = (pi — 1) ...
. • • (Ps — 1) и q — натуральное число, удовлетворяющее сравнению q ==
е= 1 (mod M). Доказать, что ни одно из простых чисел pi, ..., ps не входит
в числитель дроби B2q/Bq).

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем
характеристики Ф2
В это л л ара графе мы изложим ряд общих сведений о квад-
квадратичных формах над произвольным нолем. В случае общеиз-
общеизвестных фактов мы ограничимся лишь формулировкой результа-
результатов. Через К будем обозначать, без дополнительных оговорок,
произвольное поле, характеристика которого отлична от 2. Для
любой прямоугольной матрицы А через А' обозначается транс-
транспонированная с А матрица.
1. Эквивалентность квадратичных форм. Квадратичной фор-
формой над полем К называется однородный многочлен второй сте-
степени с коэффициентами из К. Всякую квадратичную форму /
п
можно записать в виде /= 2 «ij^j, гДе а«= а'<- Симметри-
ческая матрица А = (я«) называется матрицей квадратичной
формы /. Заданием своей матрицы квадратичная форма вполне
определена с точностью до наименования переменных. Опреде-
Определитель d = detA называется определителем квадратичной формы
/. Если d = О, то форма / называется особенной, в противном слу-
случае — неособенной. Обозначая через X столбец из переменных
xt, х«, . . ., хп, мы можем квадратичную форму / записать в виде
f°=X'AX.
Пусть вместо переменных xt, ..., хп введены новые перемен-
переменные iji, . .., уп по формулам
п
Xi = 2 сНУз> 1 < i < га, сц «= К.
3=1
В матричной форме это линейное преобразование можно запи-
записать в виде X — CY, где Y — столбец из переменных уи ..., уп,
& С — матрица (су). Подставив в квадратичную форму / вместо
хи ..., хп их выражения через уи ..., уп, мы получим (после вы-
выполнения всех необходимых действий) новую квадратичную
форму g (также над полем К) от переменных yt, ..., у„. Матрица
Ai квадратичной формы g равна
A)
Две квадратичные формы / и g называются эквивалентными,
f ~ g, если существует неособенное линейное преобразование пе-

§ 1] КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 439
ременных, при котором одна из этих форм переходит в другую
(с точностью до наименования переменных). Из формулы A)
вытекает
Теорема 1. Если две квадратичные формы эквивалентны,
то их определители отличаются друг or друга на не равный нулю
множитель, являющийся квадратом в К.
Пусть ч — произвольный элемент из К. Если в К существуют
элементы аи ..., а,„ для которых /(cci, ..., а„) = ч, то говорят,
что квадратичная форма / представляет 'у. Другими словами, эле-
элемент у представим формой /, если он является значением этой
формы при некоторых значениях переменных. Легко видеть, что
эквивалентные квадратичные формы представляют одни и те же
элементы поля К.
Мы говорим, далее, что форма / представляет в поле К нуль,
если существуют не равные одновременно пулю значения пере-
переменных xt = a,i^ К il^i^n), при которых /(а,, ..., а,,)=0.
Свойство формы представлять нуль сохраняется, очевидно, при
переходе к эквивалентной форме.
Теорема 2. Если квадратичная форма f от п переменных
представляет элемент a?=Q, то она эквивалентна форме вида
ах\ + g (х2, . .., хп), где g-—квадратичная форма от га—1 пере-
переменных.
Относительно доказательства этой теоремы заметим лишь сле-
следующее. Если fiat, ¦ ¦., <хп) = ос, то не все аг равны нулю, поэто-
поэтому мы можем построить неособенную матрицу С, первая строчка
которой будет состоять из аи .. ., ап. Если теперь форму / мы
подвергнем линейному преобразованию переменных с матрицей
С, то получим форму, у которой коэффициент при квадрате пер-
первой переменной будет равен а. Далее доказательство проводится,
как обычно.
Если матрица квадратичной формы диагональна (т. е. все
коэффициенты при произведениях различных переменных равны
нулю), то такую форму будем называть также диагональной. Из
теоремы 2 легко следует
Теорема 3. Всякая квадратичная форма над полем К при
помощи неособенного линейного преобразования переменных мо-
может быть преобразована в диагональную форму. Другими слова-
словами, всякая квадратичная форма эквивалентна некоторой диаго-
диагональной форме.
В терминах матриц теорема 3 означает, что для любой сим-
симметрической матрицы А существует такая неособенная матрица
С, что матрица С АС диагональна.
2. Прямая сумма квадратичных форм. Так как наименование
переменных не играет существенной роли, то мы можем считать,
что две данные квадратичные формы / и g не имеют общих пере-
переменных. В этом случае форма f+g называется прямой суммой
форм / и g и обозначается через f + g (не смешивать с обычным

440 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
сложением квадратичных форм, содержащих одни и те же пере-
переменные). Очевидно, что если g ~ h, то f + g~f + h. Оказывается,
последний факт допускает обращение.
Теорема 4 (теорема Витта). Пусть /, g и h — неособенные
квадратичные формы над полем К. Если формы f+g и f + h
эквивалентны, то формы g и h также эквивалентны.
Доказательство. Пусть /о—диагональная форма, экви-
эквивалентная форме /. Тогда, как отмечено выше, / 4- g ~ /„ 4- g и
/ 4- h ~ /о 4- h, откуда /0 4- g ~ /о + h. Таким образом, мы можем
считать, что / — диагональная форма. Легко видеть теперь, что
для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай, ко-
когда / = axl, а?=0. Обозначим через А и В матрицы форм g и h
соответственно. Так как формы axl 4- g и а^о 4- h эквивалентны,
то существует матрица С = \„ I такая, что
V Т'иа 0\/Y S\la 0
1
\/Y S\_la
) \Т Q) 1,0
S' Q'l [О А
(Здесь S обозначает строчку, а Т — столбец.) Ил этого равенства
получаем
fa + T'AT = a, B)
Q, C)
S'aS + Q'AQ = B. D)
Нам надо доказать, что существует неособенная матрица Со, та-
такая, что СцАСп = В. Матрицу Со будем искать в виде
где элемент | должен быть надлежащим образом подобран. В си-
силу B) и C) имеем
С'0АС0 = (Q' + IS'T'-) A{Q + ITS) =
= Q'AQ + IS'T'AQ + IQ'ATS + ^S'T'ATS =
Согласно равенству D) последнее выражение будет равно матри-
матрице В, если A — Y2)|2 — 2^| = 1. Полученное уравнение, которое
можно записать также в виде |2—(^| + IJ = 0, относительно не-
неизвестной \ при любом ч е К имеет в поле К решение |0 (на-
(напомним, что характеристика К не равна 2). Таким образом, мы
нашли матрицу Со = Q + \<>TS, для которой С0АС0 = В. Так как
по предположению матрица В неособенная, то Со — также неосо-
неособенная. Теорема 4, таким образом, доказана.

§ 1] КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 441
3. Представление элементов поля.
Теорема 5. Если неособенная квадратичная форма пред-
представляет нуль в поле К, то она представляет также все элемен-
элементы из К.
Доказательство. Так как эквивалентные формы пред-
представляют одни и те же элементы поля, то достаточно доказать
теорему для диагональной формы /= atxf + ... + апх%п. Пусть
ага\ + . . . + апа,п = О — представление нуля, и пусть у — произ-
произвольный элемент поля К. Мы можем считать, что cci Ф 0. Прида-
Придадим переменным хи ..., хп значения:
где t — новая переменная. Подставив эти значенпя переменных
в нашу форму /, получим
/* = /* (t) = 2ajO.lt — 2а3сф — ... — 2ana2nt = 4я1сф.
Если мы теперь положим t = —*—z, то получим значение /* = у.
Теорема 6. Неособенная квадратичная форма f представ-
представляет элемент ч Ф 0 из К тогда и только тогда, когда форма
— Ух\-4-/ представляет нуль.
Доказательство. Необходимость условия очевидна. До-
Допустим, что — уо?0 + / (аг, . .., ап) = 0, причем не все а, равны
/ ai ап\
нулю. Если сс0 Ф 0, то у = / — , . . ., — . Если же а0 = 0, то
V ао ао /
форма / представляет нуль, а тогда, по теореме 5, она представ-
представляет все элементы поля К.
Замечание. Из доказательства теоремы 6 ясно, что мы
получим все представления элемента ^ формой /, если только
нам будут известны все представления нуля формой — ух0 -j- /
(достаточно знать все те представления, для которых хо?=О). Та-
Таким образом, вопрос о представлениях неособенными квадратич-
квадратичными формами отличных от нуля элементов поля К целиком
сводится к вопросу о представлениях нуля для неособенных
форм, число переменных которых на единицу больше. х
Теорема 7. Если для формы /, представляющей нуль, из-
известно какое-нибудь одно представление нуля, то можно найти
неособенное линейное преобразование переменных, при котором
форма / преобразуется к виду yty2 + g(y3, . .., уп).
Доказательство. Следуя доказательству теоремы 5,
прежде всего находим такие аи ..., ап, что /(а,, ..., а„) = 1.
По теореме 2 мы можем преобразовать / к виду xl+/х (х2, ..., хп)-
Так как для формы х\ -j- /i мы знаем представление нуля, то
найдутся, очевидно, такие ^2, ..., рп, что /Д^, . • •, ^п) = —1.

442 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Опять применяя теорему 2, приводим /i к виду — х\ + g (y3l ..., уп).
Полагая xt — х2 — г/1? х^ + xz = у2, получаем требуемый ре-
результат.
Замечание. Предположим, что для всякой квадратичной
формы над полем К, представляющей нуль в этом поле, мы уме-
умеем находить хотя бы одно представление нуля. Тогда любую не-
неособенную форму мы сможем преобразовать к виду
У1У2 + ... + z/2s-i7/2S + h{y2s+u ..., уп), E)
где форма h уже не представляет нуля. Для произвольного пред-
представления нуля формой E) значение хоть одной из переменных
Z/ii #2, • • -7 J/2S-i, У?.* отлично от нуля. Чтобы найти все те пред-
представления, для которых, например, г/4 = at Ф 0, мы должны пере-
переменным уз, ..., уп придать произвольные значения а3, . .., ос„,
а значение для уг определить из уравнения
OC3OC4 + . •. + g(a2s+i, ..., aJ = 0.
Таким образом, задача эффективного нахождения всех представ-
представлений нуля (в поле-Ю произвольной неособенной квадратичной
формой будет решена, если только будет известен критерий, по-
позволяющий узнавать, представляет данная форма нуль или нет,
и, кроме того, если будет указан алгоритм, с помощью которого
для всякой формы, представляющей нуль, можно будет найти
хоть одно представление нуля.
Теорема 8. Пусть поле К содержит более пяти элементов.
Если диагональная форма ахх\ + ... + апх1, аг е К, представ-
представляет в поле К нуль, то для нее существует такое представление
нуля, при котором значения всех переменных отличны от нуля.
Доказательство. Докажем сначала, что если а%2 = К Ф
Ф 0, то для любого Ъ Ф 0 существуют такие отличные от нуля
элементы аир, что аа2 + 6J32 = К. Для доказательства этого фак-
факта рассмотрим тождество
(t-lf , it _ ,
Умножив это тождество на а?2 = X, мы получим
Выберем теперь в поле К элемент уФО так, чтобы значение
t = t0 =— было отлично от ±1. Поскольку каждое из уравнений
Ьхг — а = 0 и Ъх2 + а = 0 относительно х имеет в поле К не более
двух решений, то всего в поле К имеем самое большее пять эле-
элементов, которые нельзя взять в качестве у. Так как по условию
поле К содержит более пяти элементов, то требуемый элемент if

g 1] КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 443
существует. Полагая в тождестве F) t = U, получаем
и ваше утверждение доказано. Теперь уже легко завершить до-
доказательство теоремы. Если представление а?\ + ... + апЬ% = О
таково, что It Ф О, ..., \ТФ О, %г+1 = ... = \п = 0, где г > 2, то, по
доказанному, можно найти такие а Ф О и {3 ^ 0, что аг?г = «г^2 +
-f- аг+1р2, и мы получаем представление, у которого число не
равных нулю значений переменных на единицу больше. Повто-
Повторяя этот прием несколько раз, мы наконец придем к такому
представлению, у которого все значения переменных отличны от
нуля.
4. Бинарные квадратичные формы. Бинарными называются
квадратичные формы от двух переменных.
Теорема 9. Все неособенные бинарные формы, представля-
представляющие нуль в поле К, эквивалентны между собой.
Действительно, по теореме 7 все такие формы эквивалентны
форме ум.
Теорема 10. Для того чтобы бинарная квадратичная фор-
форма f с определителем йФО допускала представление нуля, необ-
необходимо и достаточно, чтобы элемент — d был квадратом в К (т. е.
Доказательство. Необходимость условия вытекает из
теорем 1 и 7. Обратно, если / = ах2 + Ьуг и — d = —аЪ = а2, то
/(а, а) = аа/ + Ъаг = 0.
Теорема 11. Для того чтобы две неособенные бинарные
квадратичные формы fug были эквивалентны над полем К, не-
необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, их определители отли-
отличались на множитель, являющийся квадратом в К, и, во-вторых,
чтобы в К существовал хоть один отличный от нуля элемент,
представимый одновременно обеими формами fug.
Доказательство. Необходимость обоих условий очевидна.
Для доказательства достаточности выберем в К элемент а Ф 0,
представимый формами / и g. По теореме 2 формы / и g эквива-
эквивалентны соответственно формам вида fx = ах2 + $у2 и gi = ахг +
+ j3'i/2. Но по первому условию сф должно отличаться от сф' на
множитель, являющийся квадратом, поэтому р' = $у2, ч^К,
а значит, /i ~ gr и / ~ g.
Задачи
1. Доказать, что особенная квадратичная форма всегда представля-
представляет нуль.
2. Доказать, что для особенных квадратичных форм теорема 5, вообще
говоря, не имеет места.
3. Доказать, что если бинарная форма хг — ау2 представляет элементы
Tfi и fz из К, то она представляет.и их произведение ^1^2-

444 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИИ
4. Показать, что теорема 8 перестает быть справедливой для полей, чи-
число Элементов которых не превосходит пяти.
5. Рассмотрим разбиение всех неособенных квадратичных форм от п =
= 0, 1, 2, ... переменных над данным, полем К на так называемые классы
Витта (нуль мы трактуем здесь как неособенную форму от пустого мно-
множества переменных и считаем, что эта форма не представляет нуля). Мы го-
говорим, что формы /i и /г принадлежат одному и тому же классу Вптта
[/,] = [/,], если при приведении этих форм к виду E) формы h (не пред-
представляющие нуля) для обеих форм, содержат одно и то же число перемен-
переменных и эквивалентны. Сложение классов Витта определяется формулой
[ji] -f- [/2] = t/i 4- /2]. Показать, что относительно этого действия сложения
классы Витта образуют группу.
6. Определить группу классов Витта для квадратичных форм над полем
вещественных чисел и над полем комплексных чисел.
7. Доказать, что всякая квадратичная форма над конечным полем пред-
представляет нуль, если только число ее переменных не менее трех (характе-
(характеристика ф 2).
8. Доказать, что всякая неособенная квадратичная форма над конечным
полем 2 характеристики ф 2 от п ^ 2 переменных представляет все эле-
элементы а ф 0 из 2.
9. Доказать, что над конечным полем (характеристики ф 2) всякая
квадратичная форма от п переменных с определителем d ф 0 эквивалентна
форме х\ + ... + х\_х + &х\.
10. Доказать, что две неособенные квадратичные формы от п перемен-
переменных над конечным полем 2 характеристики ф2 ъ определителями di и d2
эквивалентны тогда и только тогда, когда d2 = di?2 при некотором | ф 0
ш 2. Таким образом, для любого п :з= 1 над полем 2 существует ровно два
класса эквивалентных квадратичных форм от п переменных.
11. Пусть 2 — конечное поле характеристики ф2. Доказать, что группа
классов Вптта над полем 2 есть циклическая группа 4-го порядка, если —1
не является квадратом в 2, и есть прямое произведение двух циклических
групп 2-го порядка, если —1 = s2 (|e 2).
12. Доказать, что группа классов Витта над полем К (характеристи-
(характеристики ф 2) есть периодическая абелева группа показателя 2, если только в
этом поле —1 является квадратом.
§ 2. Алгебраические расширения
Ряд теорем этого параграфа приведен без доказательств. Их
доказательства читатель может найти, например, в книгах
[5], [16].
1. Конечные расширения. Если поле Q содержит поле к
в качестве подполя, то говорят, что Q является расширением
поля к. Желая подчеркнуть, что Q рассматривается как расшире-
расширение поля к, пишут Q/к. Если поле К есть подполе поля Q, со-
содержащее к, т. е. к с К <= Q, то К называется промежуточным
полем расширения Q/k.
Всякое расширение Q/k можно рассматривать как линейное
(векторное) пространство над полем к (относительно действий
сложения в Q и умножения на элементы из к).
Определение. Расширение К/к называется конечным,
если поле К, рассматриваемое как линейное пространство над к,
имеет конечную размерность. Эта размерность называется сте-

§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 445
пенью расширения К/к и обозначается черев {К: к). Всякий
базис поля К как линейного пространства над к называется ба-
базисом расширения К/к.
Если расширение К/к конечно, то для всякого промежуточ-
промежуточного поля Ко расширения KJk и К/Ко, очевидно, также конечны.
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 1. Пусть Ко— промежуточное поле расширения
К/k. Если расширения К/К„ и KJk конечны, то К/к также ко-
конечно и его степень равна произведению степеней расширений
К/Ко и KJk:
(.K:k)=>(K:K0)(K0:k).
Доказательство. Пусть &и ..., Qm — базис К/Ко, а со±, ...
..., со„ — базис Ко/к. Так как каждый элемент из К может быть
представлен в виде линейной комбинации произведений ш,-6,-,
то расширение К/к конечно. Далее, легко видеть, что эти произ-
произведения линейно независимы над к, поэтому (К :к) = тп.
Для любого поля к через kit] обозначается кольцо многочле-
многочленов от переменной t с коэффициентами из к.
Пусть Q/k — расширение поля к. Элемент asQ называется
алгебраическим над к, если он является корнем некоторого отлич-
отличного от пуля многочлена fit) из кольца kit]. Выберем среди всех
многочленов fit) (для которых а является корнем) многочлен
<pU)=7^O наименьшей степени и со старшим коэффициентом 1.
Так как каждый fit) делится на (pit) (в противном случае не рав-
равный нулю остаток от деления / на ф имел бы а своим корнем и
имел бы степень, меньшую степени ф), то указанными условиями
многочлен (fit) определен однозначно. Он называется минималь-
минимальным многочленом алгебраического элемента aefi относительно
поля к. Минимальный многочлен ф е kit] всегда неприводим, так
как из разложения ($=* gh следует, что а является корнем либо
git), либо hit). Любой элемент as к алгебраичен над к, и его
минимальным многочленом является t — а. Элемент | s й, не
являющийся алгебраическим относительно к, называется транс-
трансцендентным над к.
Расширение Q/k называется алгебраическим, если всякий эле-
элемент aefi алгебраичен относительно к.
Теорема 2. Всякое конечное расширение К/k алгебраично.
Теорема 3. Пусть элемент а из расширения Q/k алгебраи-
алгебраичен над к, и пусть его минимальный многочлен (pit) e kit] имеет
степень тп. Тогда степени 1, а, ..., а1" линейно независимы над
к и все их линейные комбинации
iccm~1 A)
с коэффициентами а{ из к образуют промежуточное поле, обо-
обозначаемое через kia). Расширение kia)/k конечно и имеет сте- ,
пень тп.

446 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Для сложения двух элементов поля к(а), записанных в виде
A), мы должны, очевидно, сложить соответствующие коэффици-
коэффициенты. Чтобы произведение элементов \ = g(a) и v\=-h(a), где
g(t) и hit) — многочлены из kit] степени =^т — 1, также пред-
представить в виде A), надо разделить gh на ср с остатком:
где степень rit) не превосходит т— 1; так как ср(сс) = 0, то |г) =
= г(а). Таким образом, действие умножения в расширении к{аIк
вполне определено заданием минимального многочлена (pit)
элемента а.
Пусть о&1, ..., as — конечная система элементов поля Q, ал-
алгебраических над к, и пусть ти ..., ms — степени их минималь-
минимальных многочленов относительно к. Совокупность всех линейных
комбинаций элементов
а!1 ... а/, 0 < г1 < тх, .. ., 0 < rs < ms,
с коэффициентами из к является промежуточным полем. Оно
обозначается через kiah ..., as) и называется полем, порожден-
порожденным элементами cci, ..., as. Его степень над к не превосходит
произведепия mi... та.
Всякое конечное расширение К/к, содержащееся в Q, может
быть представлено в виде К — к{аи ..., а3) при некоторых
аи ..., as.
Определение. Конечное расширение К/к называется
простым, если в нем существует такой элемент 6, что K = k(Q).
Всякий элемент Q^K, для которого K — k(Q), называется при-
примитивным элементом поля К относительно к.
Примитивные элементы поля К над к характеризуются, оче-
очевидно, тем, что степени их минимальных многочленов равны сте-
степени расширения К/к.
Теорема 4. Пусть Q/k и Q'/k — два расширения поля к,
и пусть алгебраические над к элементы 6е Q и 0' s Q' имеют
один и тот же минимальный многочлен фШ. Тогда существует,
и притом только один, изоморфизм поля k(Q) на поле k(Q'), при
котором 6 -*¦ 0' и а-* а при а^к.
Пусть тп — степень многочлена cpU). Изоморфизм Мб) -*¦ k(Q'),
о котором говорится в теореме 4, совпадает с отображением
ао + аЗ + ... + ат-$т~1 -* а0 + 0,8' + ... + а^.9""-1 B)
ia0, ..., вга-i — произвольные элементы поля к).
До сих пор мы рассматривали конечные расширения К/к,
которые содержались в заранее заданном расширении Q/k. Перей-
Перейдем теперь к вопросу о построении конечных расширений над
фиксированным основным полем к.

§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 447
Теорема 5. Пусть к — поле. Для любого неприводимого
многочлена (pit) из кольца kit] степени п существует конечно»,
расширение К/k степени п, в котором этот многочлен ф имеет
корень. С точностью до изоморфизма, оставляющего элементы из
к на месте, расширение К/к единственно. Если гоF) = 0, 6 е К,
то К = Ш).
Поле К (в случае га>1) строится следующим образом. Выбе-
Выберем некоторый новый объект 0 и рассмотрим совокупность К
всех формальных линейных комбинаций
1е + ... + а„-,6'-1 C)
с коэффициентами at из к. Если через git) мы обозначим много-
многочлен а0 + aj + ... + an-itn~l, то выражение C) можно будет
записать также в виде gF). Пусть \ ==¦ gF) и ц = h(Q) — две
линейные комбинации вида C) (g и h — многочлены из kit] сте-
степеней ^п — 1). Обозначим через s(t) сумму git) + hit), а через
rit) — остаток от деления произведения git)hit) на (pit). Положим
| + tj = s(8), \у\ = гF). Легко проверяется теперь, что относитель-
относительно этих действий множество К является требуемым полем.
Следствие. Для любого многочлена fit) ^ kit] существует
конечное расширение К/k, в котором fit) раскладывается на ли-
линейные множители.
Поле к, над которым не существует конечных расширений,
отличных от к, называется алгебраически замкнутым. Алгебраи-
Алгебраическая замкнутость поля к характеризуется, очевидно, тем, что
в кольце kit] все многочлены раскладываются на линейные мно-
множители.
2. Норма и след. Пусть К/к — конечное расширение степени
п. Для произвольного а^К отображение | -*¦ а\ (^s?) явля-
является линейным преобразованием К (как линейного пространства
над к). Характеристический многочлен fait) этого линейного пре-
преобразования называется также характеристическим многочленом
элемента ае! относительно расширения К/k. Если toj, ..., со„ —
базис расширения К/к и
п
асо{ = 2 ffliPj» aH ^ &, D)
3=1
то, как известно, fait) = det itE — (a,j)), где Е — единичная мат-
матрица га-го порядка.
Теорема 6. Характеристический многочлен ja.it) элемен-
элемента a e К относительно расширения К/k равен степени его мини-
минимального многочлена ф«@ относительно к.
.Доказательство. Пусть
По теореме 3 степени 1, а, ..., ат~1 образуют базис расширения
kia)/k. Если 04, ..., 8, — базис K/kia), то в качестве базиса К/к

448 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
можно взять произведения
915 а0„ ..., ат-%; ...; в„ «0., ..., о"-'в..
Матрицей линейного преобразования | -*¦ а| в этом базисе будет,
очевидно, клеточно диагональная матрица, все s диагональных
клеток которой совпадают с матрицей
0 1 0 ... 0 0
0 0 1 ... 0 0
0 0 0 ... 0
ч ' ст СЛ—1 ст—2 ¦ • • со
Ее характеристический многочлен, как легко подсчитать, равен
tm + Cit™-1 + ... + Cm, т. е. равен <paU). Следовательно, /а = фа>
и теорема 6 доказана.
Так как при переходе от одного базиса пространства к друго-
другому матрица линейного преобразования заменяется подобной мат-
матрицей, то определитель, и след матрицы (a<j), определяемой ра-
равенствами D), не зависят от выбора базиса cot, ..., шп.
Определение. Определитель det (a(i) матрицы (ае) из
п
разложений D) называется нормой, а ее след Sp (о^) = 2 ан —
г=1
следом элемента а ^ К относительно расширения К/к. Норма
и след обозначаются соответственно через NK/k(a) и Sp К/к(.а)
или, короче, через Ma) и Sp (a).
При а^к матрицей линейного преобразования % -*¦ а| (|е
е Я') будет диагональная матрица аЕ. Поэтому для элемента а
из основного поля к имеем NK/k(a) = ап, Sp кА(а) = гаа. Так как
при умножении и сложении линейных преобразований их матри-
матрицы (при фиксированном базисе) умножаются и складываются,
то для любых элементов а и ^ из К имеем формулы
NK/h(a$)=NK/h(a)NK/h(?>), E)
) = SpK/ft (a) + Sp*/ft (p). F)
Матрица линейного преобразования | ->- aa% {а^к, а^ К) по-
получается из матрицы преобразования | ->- а^ умножением всех
элементов на а. Поэтому имеет место также формула
>aSpjs:/fc(a), eE4, a^I G)
Если a_=7^ 0, то ввиду неособенности преобразования | ->¦ а| нор-
норма NK/k(a) также отлична от нуля. Формула E) означает, следо-
следовательно, что отображение а -*¦ iVjr/ft(a) является гомоморфизмом
мультипликативной группы К* поля К в мультипликативную
группу к* поля к. Что касается отображения a-^SpKA(a), то
ввиду F) и G) оно является линейной функцией на К со значе-
значениями в основном поле к.

§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 449
Теорема 7. Пусть Q/ft — расширение, в котором характе-
характеристический многочлен fa(t) элемента а& К относительно конеч-
конечного расширения К/k целиком раскладывается на линейные мно-
множители:
fM) = (t-al)...(t-an).
Тогда
NK/h(a) = otiCta... сс„, SpK/k (a) = «i + a2 + ...+ an. ]
Доказательство. Если
fa(t) = det (tE - (at})) = tn + a,*"-1 + ... + an,
то al — — Sp (a«), an = (—l)"det (a4). С другой стороны, по фор-
формулам Виета
. + осп =¦ — ai, aia2 • • • сс„ = (—1)па„,
это и доказывает теорему.
Теорема 8. В обозначениях теоремы 7 для характеристи-
характеристического многочлена /т(?) элемента у = gia) e K(g{t) &кШ) в поле
Q имеет место разложение
(t-g(aimt-g(a2))..At-g(an)). (8)
Доказательство. Прежде всего заметим, что коэффи-
коэффициенты многочлена (8), являясь симметрическими выражениями
от cti, ..., ал, принадлежат полю к. Пусть <рт(?) — минимальный
многочлен элемента ^ над к. Подвергая равенство (pj(g(a))=0
действию изоморфизма kia) -+¦ к(а{) (при котором а-*а4 и а ~*- а
при а^к), мы получим фт(^(а()) = 0. Все корни многочлена
(8) являются, таким образом, корнями неприводимого над к мно-
многочлена <рт(?), а это возможно лишь при условии, что он является
степенью сртШ. Для окончания доказательства остается приме»
нить теорему 6.
Пусть к<= К<= L — цепочка конечных расширений. Выберем
для К/k и ЫК базисы a»i, ..., ш„ и Qu ..., 0m соответственно.
Для произвольного ]?t положим
тп тг
79з = 2 ajA, aj51= К, aiscui = S «г«гг«г, aj5ir e ft.
s=l r=i
Так как ущ&; = 2 «jsirWrQs, то SpL/K (y) = 2 fljjii- С другой сто-
5,Г i,j
роны, мы имеем также
SPK/ft (SPl/k (Y)) = SpK/ft B Щ = 2 «««•
Следовательно, для любого у& К
Spb/* (f) = Sp^/i (Spb/JC (if)). (9)
Аналогичная формула имеет место и для нормы (задача 2).

450 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
3. Сепарабельные расширения.
Определение. Конечное расширение К/к называется се-
парабелъным, если линейная функция ?->- SpK-A(|), \^К, не
равна тождественно нулю.
Если характеристика поля к равна нулю, то SpK/fc(l) = ra =
= (К: к). Следовательно, все конечные расширения поля характе-
характеристики нуль сепарабельны. Это же, очевидно, справедливо и
для тех конечных расширений поля характеристики р, степень
которых не делится на р.
Выберем в конечном сепарабельном расширении К/к базис
со!,..., и„ п рассмотрим матрицу
(Sp(«o4(»,))I<u<fl. A0)
Если бы определитель этой матрицы был равен нулю, то в поле
к нашлись бы элементы си ..., с„, не равные нулю одновремен-
одновременно, для которых
2 Cj Sp ((OjCo,-) = 0, i = 1, . . ., п.
3=1
Полагая "f = с*03* + ... + с„соп, мы можем последние равенства
переписать в виде
Sp (toi-y) =0, i=l, ..., п. (И)
Пусть | — произвольный элемент из К. Так как f °^* 0, то ? мож-
можно представить в виде | = а^^ + ... + «„cOnY, a,- s k, откуда
ввиду F), G) и A1) получаем, что Sp | = 0. Это, однако, проти-
противоречит сепарабельности К/к. Таким образом, для сепарабельных
расширений матрица A0) всегда неособенная.
Определение. Определитель det(Sp (сог-шл)) называется
дискриминантом базиса сй4, ..., ю„ конечного сепарабелъного рас-
расширения К/k и обозначается через ZXa>i, ..., соп).
По доказанному дискриминант любого базиса конечного сепа-
рабельного расширения является отличным от нуля элементом
основного поля.
Пусть оI5 ..., «п— другой базис расширения К/к, и пусть
п
«г = 2 cijWj, 1= 1, . . . , П.
3=1
Матрица (Sp (cojcoj)) равна произведению (c«KSp (согсо,))(с,3)'
(штрих обозначает транспонированную матрицу), поэтому
D (щ, ...,еы) = (det {ci})f D (e>lf . .., <в„). A2)
Таким образом, дискриминанты двух различных базисов отлича-
отличаются друг от друга на множитель, являющийся квадратом эле-
элемента из основного поля.
Зафиксируем для расширения К/к какой-нибудь базис ©i, .. •
..., (о„. Тогда для произвольных элементов Ci, ..., сп поля к су-

§ 2] " АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 451
ществует (и притом только один) элемент а&К, для которого
Sp ((й4а) = cf, i =¦ 1, ..., п. A3)
Действительно, представив а в виде а =»a:i(OfW- ... + arn(on (х^Д)
и подставив это выражение для а в равенства A3), мы получим
для определения х} систему п линейных уравнений с п неизвест-
неизвестными и с отличным от нуля определителем. В частности, в поле
К можно найти п таких элементов щ, . .., со«, что
. „ч A при i — i,
Sp((oiM*) = L P '/ A4)
^v " [0 при 1=^=7 v '
Эти ге элементов со, линейно независимы над к, так как если
с-^щ + . . . + cnd)n = 0 (С{ е &), то, умножая это равенство на аи
и переходя к следу, мы находим, что d =¦ 0 при всех ? = 1, ..., п.
Определение. Базис щ, ...,«* сепарабелъного расшире-
расширения К/к, однозначно определяемый равенствами A4), называется
взаимным базисом для базиса а>и ..., соп.
Взаимный базис дает возможность записать в явном виде зна-
значения для коэффициентов а(еА в разложении
а = ajCO! + ... + а„ш„
произвольного элемента а из iL В самом деле, взяв след от про-
произведения acuj, мы получим формулы
ai = Sp(au)l*), г = 1, ...,«.
Предположим, что минимальный многочлен фш некоторого
элемента а из сепарабельного расширения К/к раскладывается
целиком на линейные множители в расширении Q/k:
(fit) => it — <Xi) . .. it— <Xm).
Из формулы (9) очевидным образом следует, что вместе с К/к
расширение к{а)/к также сепарабельно. Так как минимальный
многочлен ф является также и характеристическим многочленом
для а относительно к(а)/к, то ввиду теорем 7 и 8
т
s=l
а поэтому для дискриминанта Dil, a, ..., am~i)=D базиса
1, а, ..., ат~1 расширения к(а)/к имеет место выражение
I m \
D = det I 2 al+j I =det(aj)-det(«O= П («» — aiJ*
Ho D Ф 0, поэтому а,- Ф а,-, и мы доказали следующий, факт.

452 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Теорема 9. Минимальный многочлен любого элемента из
сепарабелъного расширения не имеет кратных корней (в том
поле, где он раскладывается на линейные множители).
Элемент а из алгебраического расширения поля к называется
сепарабельным над к, если его минимальный многочлен q>a(t) e
^klt] не имеет кратных корней, и называется несепарабелъным
в противном случае. Согласно теореме 9 все элементы из конеч-
конечного сепарабельного расширения К/к сепарабельны над к. Об-
Обратно, если элемент а сепарабелен над к, то расширение к(а)/к
сепарабельно.
Теорема 10 (о примитивном элементе). Всякое конечное
сепарабелъное расширение К/k является простым, т. е. в нем су-
существует такой элемент 0, что K~kiQ).
Теорема 11. Для конечного сепарабелъного расширения
К/k степени п существует ровно п (и не более) изоморфизмов в
надлежащее расширение Q/k, при которых каждый элемент из к
отображается на себя. Если аи ..., ап — все эти изоморфизмы, то
для любого элемента а^К его характеристический многочлен
fa{t) в поле Q имеет разложение
Элементы оДа), ..., о„(а) (принадлежащие полю Q) называ-
называются сопряженными с элементом а^К. Образы оАЮ, ..., а„(К)
поля К при изоморфизмах о< называются полями, сопряженными
с полем К. Если 8 — примитивный элемент поля К над к, то
очевидно, оДЮ =¦ &(о\-@)).
Следствие 1. В тех же обозначениях имеем
#*/*(«) = Oi(a)a2(a)... an(a),
SpK/s (a) = ot(a) + a2(a) + ... + an(a).
Следствие 2. Для произвольного конечного расширения
поля рациональных чисел степени п существует ровно п изомор-
изоморфизмов в поле комплексных чисел.
Пусть сс>1, • • ¦, ш„ — базис К/к. Так как Sp(a»jco;) =
п
= 2 °*Лмг) °s (и;)? то матрица (Sp (cOjCOj)) представляется в виде
8=1
произведения (аД(о,))'(аД«^)) (штрих обозначает транспонирова-
транспонирование), а поэтому для дискриминанта базиса со* имеем также сле-
следующую формулу:
M))J. A5)
4. Нормальные расширения. Алгебраическое расширение Q/k
называется нормальным, если для любого элемента asQ его
минимальный многочлен фаШ е kit] в кольце QU] целиком рас-
раскладывается на линейные множители.
Теорема 12. Всякое конечное расширение К/k можно по-
погрузить в конечное нормальное расширение L/k (fee K<= L).

g 2J АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 453
Если K = k(ai, ..., as) и q>i(?), ..., ф»Ш — минимальные мно-
многочлены элементов аи ..., as относительно к, то в качестве L
можно взять расширение над К, в котором многочлен fit) =»
= q>i(t)... q>s(i) раскладывается на линейные множители (следст-
(следствие теоремы 5) и которое порождается всеми корнями fit).
Пусть характеристика поля к равна р. Элемент а из алгебраи-
алгебраического расширения поля к называется чисто несепарабелъным,
если ссРт содержится в к при некотором целом m ~> 0. Алгебраи-
Алгебраическое расширение О/к называется чисто несепарабелъным, если
все элементы из Q чисто несепарабельны над к. Чисто несепа-
рабельное расширение нормально.
Автоморфизм а поля К (изоморфное отображение К на себя)
называется автоморфизмом расширения К/к, если о(а) = а при
всех а^к. Совокупность всех автоморфизмов расширения К/к
образует группу (произведение автоморфизмов о и т определя-
определяется как произведение отображений: (от)(ж) =о(т(ж))т х&К).
Если расширение К/k конечно, то его группа автоморфизмов G
также конечна и ее порядок не превосходит степени расширения
(К : к).
Определение. Конечное расширение К/к называется рас-
расширением Галуа, если порядок его группы автоморфизмов G ра-
равен степени (К: к). Сама группа G называется в этом случае
группой Галуа расширения Галуа К/к.
Теорема 13. Для того чтобы конечное расширение К/к
было расширением Галуа, необходимо и достаточно, чтобы оно
было нормальным и сепарабелъным.
Если G — произвольная конечная группа автоморфизмов поля
К. то через К° обозначают подполе неподвижных элементов, т. е.
тех элементов а&К, для которых в(а)=а при всех OSG. Если
G — группа автоморфизмов конечного расширения К/k, то это
расширение будет расширением Галуа тогда и только тогда,
когда KG = к.
Если характеристика поля к равна 0, то понятие конечного
расширения Галуа над к совпадает с понятием конечного нор-
нормального расширения.
Теорема 14. Пусть к — поле характеристики р, К/k —
конечное нормальное расширение, G — его группа автоморфизмов
и Ка = К° — подполе неподвижных элементов. Тогда К/Ко —
расширение Галуа с группой Галуа G, a KJk — чисто несепара-
белъное расширение.
Задачи
1. Пусть Q = к(х) есть поле рациональных функций от ж с коэффици-
коэффициентами из поля к. Доказать, что всякий элемент из Q, не принадлежащий к,
трансцендентен над к.
2. Пусть к czK cz L — цепочка конечных расширений. Доказать, что для
любого 6е? справедлива формула

454 АЛГЕБРАИЧКСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
(Предположить сначала, что L = K(Q), и рассмотреть для расширения L/k
базис <b,-9j', где со; —базис К/к.) _ _
3. Найти в расширении Q (/2 i /3 ) поля рациональных чисел Q при-
примитивный элемент и выразить через него числа У2 и )'3.
4. Доказать, что конечное расширение К/к является простым тогда и
только тогда, когда для этого расширения существует только конечное чис-
число промежуточных полей.
5. Пусть к — произвольное поле характеристики р ф 0. Доказать, что
многочлен f(t) = if — t — а (а е к) либо целиком раскладывается в поле к
на линейные множители, либо неприводим. Показать, далее, что во втором
случае расширение к(&)/к, где /@) = 0, сепарабелыю.
6. Пусть к0 — поле характеристики р ф 0 и к = к0 (х) — поле рацио-
рациональных функций от i с коэффициентами из ка. Показать, что многочлен
f(t) = № ¦—х неприводим в* кольце k[t]. Доказать, далее, что расширение
k(Q)/k, где /F) = 0, несепарабельио.
7. Доказать, что если для конечного расширения К/к степени п сущест-
существует п различных изоморфизмов в некоторое расширение Q/k, оставляю-
оставляющих элементы из к па месте, то это расширение К/к сспарабельно.
8. Пусть к — произвольное поле характеристики <Ф р, содержащее пер-
первообразный корень степени р из 1. Доказать, что если элемент а е к не
является р-ii степенью элемента из к. то \к{-у/~а,) : к) = р.
9. Пусть К/к — конечное сепарабельное расширение и <р — линейная
функция на линейном пространстве К над полем к со значениями в к. До-
Доказать, что в иоле К существует, и притом единственный, элемент а такой,
что
Ф(Е) = Spjt/*(_e»i), \<=К.
§ 3. Конечные поля
Поле Е называется конечным, если оно состоит из конечного
числа элементов. Примером конечного поля является поле вы-
вычетов Fp в кольце целых рациональных чисел Z по простому
модулю р. Все конечные поля имеют простую характеристику,
и если характеристика некоторого конечного поля 2 равна р, то
это поле содержит простое подполе (не имеющее собственных
нодполей), которое изоморфно полю fv. Можно поэтому считать,
что FpCrE. Расширение S/Fp, очевидно, конечно. Если его
степень равна т и если coi, ..., со™ — базис S над ?р, то каждый
элемент |е2 однозначно представляется в виде ! = Ci<Ui + ...
... + CmCOm, где С; независимо друг от друга пробегают все р эле-
элементов из ?р- Так как число всех таких линейных комбинаций
равно рт, то этим мы доказали, что число элементов любого ко-
конечного поля равно степени его характеристики.
Мультипликативная группа S* конечного поля 2 является,
разумеется, конечной абелевой группой. Выясним ее строение.
Лемма. Конечная подгруппа G мультипликативной группы
К* произвольного поля К всегда циклична.
Доказательство. Покаясем сначала, что если в абелевой
группе G существуют элементы порядков m и п, то в G сущест-
существует также.элемент, порядок которого равен общему наименьше-
наименьшему кратному к чисел /га и п. Пусть элементы х и у из G имеют

§ 3] КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 455
порядки тип соответственно. Если (тп, га) = 1, то произведение
ху имеет, как легко видеть, порядок к — тп. В общем случае,
используя канонические разложения чисел /га и га в произведения
степеней простых чисел, мы можем найти для них представления
в виде произведений
т = тати п =
таких, что (тп0, пд) = 1 и к = тп0п0. Элементы х hi/ имеют по-
т1 пх
рядки т0 и га0 соответственно, а их произведение х у имеет
порядок к = /гаогао.
Пусть теперь G — конечная подгруппа порядка g мультипли-
мультипликативной группы поля К. Если тп есть наибольший пз порядков
элементов группы G, то, очевидно, тп ^ g. С другой стороны, из
только что доказанного легко следует, что порядок любого элемен-
элемента из G является делителем тп, т. е. все элементы группы G яв-
являются корнями многочлена tm — 1. Но в любом поле многочлен
степени тп не может иметь более тп корней, поэтому g ^тп. Та-
Таким образом, g = m, а это ж означает, что группа G пдклична.
Применяя доказанную лемму к интересующему нас случаю
конечного поля, получаем следующий факт.
Теорема 1. Мультипликативная группа конечного поля,
состоящего из рт элементов, есть циклическая группа порядка
рт — 1.
Следствие. Всякое конечное расширение конечного поля
является простым.
Действительно, если 0 — образующий элемент группы 2*,
то, очевидно, ?Р @) = 2. Для промежуточного поля 20 тем более
2„(е) = 2.
Из теоремы 1 вытекает также, что все элементы из Б явля-
являются корнями многочлена ft™—t, а так как степень этого много-
многочлена равна числу элементов в Е, то в кольце Hit] имеем раз-
разложение
(| пробегает все элементы поля 2).
Теорема 2. Для простого числа р и любого натурального тп.
существует, и с точностью до изоморфизма только одно, конечное
поле, состоящее из р™ элементов.
Доказательство. По следствию теоремы 5 § 2 над полем
Fp существует расширение Q/FP, в котором многочлен tp — t
раскладывается на линейные множители. Обозначим через 2
совокупность всех его корней (содержащихся в Q). Так как в лю-
любом поле характеристики р справедлива формула
(х±у)р =з? ±yv ,
то сумма и разность любых двух элементов из 2 также принад-

456 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
лежат 2. Совокупность 2 замкнута, очевидно, и относительно дей-
действий умножения и деления (если делитель не нуль). Следова-
Следовательно, 2 является подполем поля Q. Многочлен tp — t не имеет
кратных корней (так как его производнаяpmtp ~г — 1 = — 1 не
обращается в нуль ни при каких значениях переменной t), по-
поэтому 2 состоит из рт элементов. Существование конечного поля
из рт элементов доказано.
Пусть теперь 2 и 2' — два расширения степени т над Fp.
Выберем в 2 примитивный элемент 6 (следствие теоремы 1) и
обозначим через q>(t) его минимальный многочлен. Так как фШ
является делителем многочлена tp — t, а последний многочлен
раскладывается на линейные множители и в 2', то фШ имеет
корень 6'е2'. Расширение Fp (9')/Fp имеет степень, равную
степени многочлена фШ, т. е. т, а потому Fp(9')=2'. Су-
Существование изоморфизма поля 2 на 2' следует теперь из теоре-
теоремы 4 § 2.
Конечное поле пз рт элементов обозначают обычно через
GF(pm) (и называют также полем Галуа — Galois field).
Следствие. Над конечным полем 20 = GFipr) существуют
неприводимые многочлены произвольной степени п.
Действительно, рг — 1 является делителем ргп — 1, поэтому
все корни многочлена tp — t в поле 2 = GF{prn) образуют под-
подполе, изоморфное полю 20. Мы можем, следовательно, считать,
что 20 с 2. Минимальный многочлен какого-нибудь примитив-
примитивного элемента 9^2 относительно 20 будет неприводимым много-
многочленом из кольца 20Ы степени п, так как
B : 20) = B : FP)/B0 :f p) = rnlr = п.
Заметим в заключение, что для выяснения того, является ли
данное конечное коммутативное кольцо полем, достаточно лишь
проверить, что оно не имеет делителей нуля. В самом деле, пусть
D есть конечное кольцо без делителей нуля и пусть а — отлич-
отличный от нуля элемент из D. Если ах, — ах2, то aixi — х2) = 0, от-
откуда Xi = x2- Таким образом, при различных хг и хг произведе-
произведения ах^ и ахг также различны, и, значит, вместе с х произведе-
произведение ах пробегает все элементы кольца О. Но в таком случае при
любом Ъ Ф 0 уравнение ах = Ь разрешимо в D, т. е. все отличные
от нуля элементы кольца D образуют группу по умножению.
Задачи
1. Показать, что число г(тп) различных неприводимых многочленов сте-
степени m в кольце Fp [t], старшие коэффициенты которых равны 1, выража-
выражается формулой
d|m
(d пробегает все делители т., а ц(к) обозначает функцию Мёбиуса).

3] КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ 457
2. Найти все неприводимые многочлены второй степени над полем
GFlE)
3. Показать, что поле GF(pm) содержится в поле GF(pn) (в смысле
изоморфного вложения) тогда и только тогда, когда т\п.
4. Какую степень над Fp имеет поле разложения многочлена t" — 1?
5. Пусть 2 = GF(pm). Показать, что отображения ог: ?->-S;p, geS
(i = 0, 1, ..., т — 1) являются попарно различными автоморфизмами по-
поля 2 и что каждый автоморфизм 2 совпадает с одним из Oj.
6. Пусть рг = ?, 2о = GF(q) и 2 — конечное расширение поля 20 степе-
степени п. Доказать, что отображения ? ->- ?9 , % е 2, i = 0, 1, ..., п — 1, со-
составляют полную систему п попарно различных автоморфизмов поля 2, не
меняющих элементов из 20, Показать, далее, что характеристический много-
многочлен f%{t) элемента | е 2 относительно 2/20 в поле 2 имеет разложение
(использовать теорему 8 § 2). Вывести отсюда, что
SPs/s0 (Б) = I + lq + • • ¦ + I9"- Nz,x0 (s)
7. Доказать, что конечное расширение конечного поля всегда се-
парабельно.
8. В обозначениях задачи 6 показать, что всякий элемент поля 20 яв-
является нормой некоторого элемента из 2.
9. Пусть 2 = GF(pmr), рт = q, se! Доказать, что в поле 2 уравне-
уравнение S* — 1 = а разрешимо тогда и только тогда, когда а-)-а9+ ... + aq =
= 0.
10. Пусть е — первообразный корень простой степени р из 1. Так как
элементы простого подполя 20 = GF(p) поля 2 = GF(pm) являются клас-
классами вычетов в кольце целых рациональных чисел по модулю р, то имеет
смысл степень eSp1; при любом |eS (след берется относительно расшире-
расширения 2/20). Доказать, что
V8SPia==[° при а Ф0,
leu \рт при а = 0.
11. Пусть % — характер мультипликативной группы поля 2= GF(pm),
Рпг = 9 (относительно определения характеров см. § 5). Продолжим % на
все поле 2, положив %@) == 0. Выражение
осе 2,
являющееся комплексным числом, называется гауссовой суммой в конечном
поле 2. Предполагая, что характер % отличен от единичного характера %о,
доказать формулы
т„(х) I = Ув, «?=0,
12. Пусть р Ф 2. Так как все квадраты в мультипликативной группе 2*
поля 2 = GF (рт) образуют подгруппу индекса 2, то, полагая Ир (а) = + 1,
если а ф 0 является квадратом, и t|) (a) = —1 в противном случае, мы

458 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
получаем характер if группы 2*. Доказать, что при оф ф О
13. Доказать, что при а ^= О "У У (|2 — «.) = — 1.
i
14. Пусть /(^i, ..., хп)_— неособенная квадратичная форма определите-
определителя 6 с коэффициентами из 2= GF(pm), рт = q, рф2, и пусть a — произ-
произвольный элемент из 2. Доказать, что в поле 2 число решений N уравнения
f(xu ..., хп) = а выражается формулами
Л' = ?2г + qrip ((—l)ra6), если п = 2г + I,
дт _ g2r-i 4- о>дг-'я|5 ((—1)Г6), если и = 2г,
где со = —1 при а=?0исо = д — 1 при а = 0.
15. Пусть р и д — различные нечетные простые рациональные числа.
Для целого х соответствующие классы вычетов из полей GF(p) и GF(q)
будем обозначать той же буквой х. Для поля GF(q) выберем расширение Д,
в котором многочлен ?р — 1 раскладывается на линейные множители, и че-
через е обозначим какой-нибудь первообразный корень степени р из 1, содер-
содержащийся в Д. Символ Лежандра ( ~~ 1 совпадает, очевидно, с характером,
\Ь(я) для поля GFlp), указанным в задаче 12. Так как его значениями яв-
ляются ±1, то можно считать, что I — )е Д. Доказать, что для «гауссовой
суммы»
2 (т
имеют, место равенства
р-1
р, A)
16. Используя представление — I = р'9" символа Лежандра в поле
), вывести из формул A) и B) закон взаимности Гаусса
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах
В этом параграфе под кольцом везде понимается коммутатив-
коммутативное кольцо с единичным элементом 1 и без делителей нуля.
1. Делимость в кольцах. Пусть D — кольцо. Если для эле-
элементов а и §Ф 0 из О существует такой элемент !"=D, что §1 =
= а, то говорят, что а делится на § ({J делит а), и пишут (}|а.
Так как D не имеет делителей нуля, то равенством §1 =» а эле-
элемент | определен однозначно. Понятие делимости в произвольных

§ 4] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ 459
кольцах обладает, очевидно, всеми свойствами делимости для це-
целых рациональных чисел. Например, если flP и ploc, то ^\а.
Элемент esD, являющийся делителем единичного элемента
1, называется единицей кольца D (или обратимым элементом).
Теорема 1. Все единицы кольца D образуют группу по
умножению.
Доказательство. Пусть Е есть совокупность всех еди-
единиц кольца D. Если г^Е и ц^Е, то ее'^1 и г|Т]' = 1 при не-
некоторых е' и т)' из D. Но тогда ет^е'т)') = 1, а значит, ец^Е.
Так как 1^Е и для каждой единицы е элемент е', определяемый
равенством ее'= 1, также является единицей, то Е — группа,
а это и утверждается теоремой.
Элементы а Ф 0 и р # О кольца D называются ассоциирован-
ассоциированными, если они делятся друг на друга. Из равенств а = р| и р =
= ал A е D, цей) следует, что а == а|г|, откуда 1 = gr) (так
как а ^ 0 и в кольце нет делителей нуля). Таким образом, ас-
ассоциированность двух элементов ФО из D означает, что они от-
отличаются друг от друга на множитель, являющийся единицей
в D.
Пусть |х Ф О — элемент кольца D, не являющийся единицей.
Говорят, что элементы а и р из D сравнимы между собой по
модулю ji, и пишут а= Р (mod |u), если их разность а—Р де-
делится на ji. Для сравнений по модулю ц также справедливы
обычные свойства сравнений в кольце целых чнсел. Для любого
aeD через а обозначим совокупность всех элементов из D,
сравнимых с а по модулю (л. Совокупность а называется клас-
классом вычетов по модулю |х. Равенство а — р, очевидно, имеет
место тогда и только тогда, когда а = Р (mod \x). В множестве
классов вычетов по модулю |х можно определить сумму и про-
произведение классов, полагая
Поскольку в кольце D сравнения по модулю ц можно почленно
складывать и перемножать, то так определенные сумма и произ-
произведение классов не зависят от выбора представителей (вычетов)
аир. Простая проверка показывает, что относительно введен-
введенных действий все классы вычетов по модулю (л образуют комму-
коммутативное кольцо с единичным элементом 1 (возможно, с делите-
делителями нуля). Оно называется кольцом классов вычетов по моду-
модулю (Л.
Если в каждом классе вычетов по модулю |и выбрать по
представителю, то совокупность 5 всех таких представителей
называется полной системой вычетов по модулю |х. Полная си-
система вычетов 5 характеризуется, следовательно, тем, что всякий
элемент кольца D сравним по модулю fx с одним и только с од-
одним элементом из 5.

460 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
2. Идеалы. Подмножество А кольца С называется идеалом,
если оно является подгруппой аддитивной группы кольца D и
если для любого a^i и любого ? е D произведение |а принад-
принадлежит А. Подмножество, состоящее из одного нуля, а также все
кольцо О являются тривиальными примерами идеалов. Первый
из этих идеалов называется нулевым, а второй — единичным.
Пусть oci, , <хт — произвольные элементы кольца О. Оче-
Очевидно, что совокупность А всех линейных комбинаций |-tai +...
... + ?mocm этих элементов с коэффициентами gf из О является
идеалом кольца ?>. Он называется идеалом, порожденным элемен-
элементами oci, ..., си, и обозначается через А = (а1? ..., ат). Элементы
od, ..., ат называются при этом образующими идеала А. В об-
общем случае не для всякого идеала существуют конечные системы
образующих. Идеал А называется главным, если для него су-
существует система образующих, состоящая из одного элемента,
т. е. еслп он имеет вид А =¦ (а). Ненулевой главный идеал (а)
состоит, очевидно, из тех элементов кольца О, которые делятся на
а. Нулевой и единичный идеалы главные: нулевой идеал порож-
порождается нулем, а единичный — произвольной единицей е кольца О.
Два главных идеала (а) и (ji) совпадают тогда и только тогда,
когда а н Р ассоциированы между собой.
Пусть А п В — два идеала кольца ?>. Совокупность всех эле-
элементов jsD, представимых в виде
где af64 и PfSfl (s^l), является также идеалом в ?>. Этот
идеал называется произведением идеалов А и В и обозначается
через АВ. Так как умножение идеалов коммутативно и ассоциа-
ассоциативно, то все идеалы (коммутативного) кольца О образуют отно-
относительно действия умножения коммутативную полугруппу.
Два элемента а и р из О называются сравнимыми по модулю
идеала Л, в обозначении a —[$ (mod.A), если их разность ос — [3
принадлежит А, т. е. если ос и [$ принадлежат одному и тому же
классу смежности по аддитивной подгруппе А. Ясно, что срав-
сравнение a = p (mod Л) имеет место тогда и только тогда, когда a =>
= (i, где под у понимается класс смежности по подгруппе А с
представителем feO. Отношение сравнимости по модулю идеала
в случае главного идеала (цО совпадает со сравнимостью по мо-
модулю элемента |х (см. п. 1). Рассмотрим фактор-группу D/A
аддитивной группы кольца D по подгруппе А. В случае, когда
подгруппа А есть идеал, в фактор-группе О/А можно определить
умножение. Именно, для а и р, из О/А положим
Если a^cui и р = р4, то ввиду равенства tXfPi —aP = a1(pJ —р) +
( — а) и ввиду того, что at — а и §4 — ^ принадлежат Л,

§ 4] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ 461
имеем аД = а$ (тосЫМздесь существенно, что А — идеал),
а значит, произведение оф не зависит от выбора представителей
аи^. Легко проверяется, что относительно этого действия умно-
умножения, а также действия сложения а + ji = а + ?S фактор-группа
?>/А является кольцом. Кольцо DM называется фактор-кольцом
кольца D по идеалу А. В случае главного идеала (ja) фактор-
кольцо ?>/(ц) совпадает с кольцом классов вычетов по модулю |х.
3. Целые элементы. Всякое кольцо о (коммутативное и без
делителей нуля) можно вложить в поле. Чтобы показать это,
рассмотрим совокупность всех формальных дробей а/Ъ, где а и
Ъ — элементы из о, причем Ь?=0. Две дроби а/Ъ и eld называ-
называются равными тогда и только тогда, когда ad = be. Сложение и
умножение определяем формулами
а с ad-}-be а с ас
7 + 1" = ы ' ~b"d ~~ ы'
Легко проверяется, что эти действия согласованы с условием
равенства, а также что относительно них все рассматриваемые
дроби а/Ъ образуют поле. Обозначим это поле через ка. Если дро-
дроби вида а/1 = ас/с (с Ф 0) мы отождествим с элементами а е о,
то о будет подкольцом поля к0. Каждый элемент из к0 является,
очевидно, отношением двух элементов из о.
Пусть теперь Q — произвольное поле, содержащее о в качестве
нодкольца. Совокупность к всех отношений а/Ъ, где а и Ъ при-
принадлежат о (&=5^0), является подполем поля Q. Это подполе на-
называется полем отношений кольца 0. Легко видеть, что поле к
изоморфно построенному выше полю к0, а значит, оно определено
кольцом о однозначно (с точностью до изоморфизма).
Определение. Пусть кольцо о содержится в поле Q.
Элемент а^п называется целым относительно о, если он явля-
является корнем многочлена с коэффициентами из о, старший коэф-
коэффициент которого равен 1.
Так как всякий элемент а ^ о является корнем многочлена
t — а, то все элементы из о являются целыми относительно 0.
Пусть coj, ..., со™ — произвольные элементы из Q. Совокуп-
Совокупность М всех линейных комбинаций aiCu! + .. . + amft>m с коэффи-
коэффициентами ajSO назовем о-модулем в Q с конечным числом обра-
образующих, а сами элементы со?, ..., ют — образующими о-модуля
М. Так как 1 е о, то все ю,- содержатся в М.
Лемма 1. Если о-модуль М с конечным числом образующих
является кольцом, то все его элементы целые относительно о.
Доказательство. Мы можем, конечно, считать, что не
все cuj равны нулю. Пусть a — произвольный элемент из М, Так
как при любом i произведение aw* принадлежит М, то
m
a,j е о, i = 1, ..., тп.

462 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Отсюда следует, что det (аЕ— (а«)) =»0 (Е— единичная матрица
порядка т). Таким образом, элемент а является корнем много-
многочлена fit) = det (fcE — (ay)) с коэффициентами из о и со старшим
коэффициентом 1, а это и доказывает лемму.
Теорема 2. Совокупность D всех целых относительно о
элементов из Q является кольцом.
Доказательство. Нам надо проверить, что сумма, раз-
разность и произведение двух целых элементов а и р из Q являют-
являются также целыми элементами поля Q. Если аир являются соот-
соответственно корнями многочленов
fin п /m-i » in г. «1-1 г.
I limb ... til, ** Опь . . . ¦ 01,
где а{ и bj — элементы из о, то
а'" = а, + а2а + ... + amam'\ рп = о4 + о2р + ... + Ь^—1.
Отсюда легко следует, что о-модуль, состоящий из всех линей-
линейных комбинаций произведений
a'jV, Os=i<m, O^j<n, A)
с коэффициентами из о, является кольцом (так как произведение
ос*{3' при любых к ^ 0 и Z ^ 0 может быть представлено в виде
линейной комбинации элементов A) с коэффициентами из о). По
лемме 1 все элементы этого кольца целые относительно о; в част-
частности, целыми будут a + p и а$. Теорема 2 доказана.
Определение. Пусть о — подколъцо поля Q. Совокупность
О всех элементов Q, целых относительно о, называется целым
замыканием кольца о в поле Q.
Определение. Подколъцо Do поля К называется цело-
замкнутым в К, если его целое замыкание в К совпадает с Do.
Кольцо о называют просто целозамкнутым, если оно целозамк-
нуто в своем поле отношений к.
Теорема 3. Пусть о — подколъцо поля Q. Целое замыкание
О кольца о в поле Q целозамкнуто в Q.
Доказательство. Пусть Э — произвольный элемент из
fi, целый относительно D, так что
6" = а4 + а28 + ... + а»еп-\ B)
где все а,- принадлежат D. Нам надо доказать, что Э е О. Для
каждого г = 1, ..., п при некотором пг{ имеет место равенство
(так как а,- целый относительно о). Рассмотрим о-модуль М, по-
порожденный произведениями
al1 ... с4п9\ 0 < йч < то,, 0 < /с < п. D>
Из B) и C) легко следует, что всякое произведение ai'^

§ 4] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ 463
•с неотрицательными показателями может быть выражено в виде
линейной комбинации элементов D) с коэффициентами из о,
а значит, модуль М является кольцом. По лемме 1 все элементы
из М целые относительно о. Целым, в частности, является и 8,
а это и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть кольцо о целозамкнуто в своем поле отно-
отношений к, и пусть старший коэффициент многочлена fit) e otd
равен 1. Тогда, если старший коэффициент делителя (pit) е klt\
многочлена fit) равен 1, то фШеоЫ.
Доказательство. Рассмотрим над полем к расширение
Q/k, в котором fit) раскладывается на линейные множители
(следствие теоремы 5 § 2). Все корни fit) принадлежат, очевид-
очевидно, целому замыканию D кольца о в поле Q. В частности, кольцу
D принадлежат п все корни (pit). Но из разложения (pit) =
= it — Ti)... it — fB)' следует тогда, что все коэффициенты (pit)
принадлежат D, а так как D П к = о (ввиду целозамкнутости о),
то эти коэффициенты принадлежат о, что и требовалось доказать.
Из леммы 2 очевидным образом вытекает следующий факт.
Теорема 4. Пусть кольцо о целозамкнуто в своем поле от-
отношений, и пусть Q/k — алгебраическое расширение поля к. Для
того чтобы элемент aeQ был целым относительно о, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты его минимального
многочлена принадлежали о.
4. Дробные идеалы.
Определение. Пусть D — произвольное кольцо и К —
его поле отношений. Подмножество А<^ К, содержащее отличные
от нуля элементы, называется идеалом поля К Относительно
кольца D), если оно обладает свойствами:
1) А является группой относительно действия сложения;
2) для любого а^А и любого ?eD произведение \а принад-
принадлежит А;
3) в поле К существует такой элемент у Ф 0, что *{А <= D.
Идеал А называется целым, если он содержится в О, и дроб-
дробным в противном случае.
Понятие целого идеала в К совпадает, таким образом, с поня-
понятием ненулевого идеала кольца D.
Если А и В — два идеала поля К, то под их произведением
АВ понимается совокупность всех элементов ^ ^ К, представи-
мых в виде
ly = c6ip1 + ... + c6mpm, т>1,а,Е4ИВ, К i < m.
Очевидно, что произведение двух идеалов поля К является также
идеалом поля К. (В применении к целым идеалам введенное ум-
умножение совпадает с обычным умножением идеалов в кольцах.)
Если А и В — два идеала поля К (относительно D), то через
А : В обозначается идеал поля К, состоящий из всех тех 1 ^ К,

464 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
для которых ?,В<=А. Легко видеть, что
А: В= П Afi~\
где ^ пробегает все отличные от нуля элементы идеала В.
Идеал ^D (f е К*), состоящий из произведений if!, где |
пробегает все элементы из D, называется главным идеалом
поля К.
Задачи
1. Идеал А кольца D называется максимальным, если А Ф D и если вся-
всякий промежуточный идеал В (для которого А с В cz D) совпадает либо с А,
либо с D. Доказать, что идеал А максимален тогда и только тогда, когда
фактор-кольцо ?>1А есть поле.
2. Пусть в поле Q имеем подкольца о с Do a D. Доказать, что если каж-
каждый элемент из Do целый над о и каждый элемент из D целый над Do, то
все элементы из D целые над о.
3. Доказать, что если кольцо о целозамкнуто, то кольцо многочленов
c[t] с коэффициентами из о также целозамкнуто.
4. Пусть D — подкольцо поля К, обладающее свойством: если элемент
| ф О из К не содержится в D, то |~4 е D. Доказать, что кольцо D цело-
замкнуто.
5. Пусть в кольце D с полем, отношений К выполнено следующее усло-
условие: если для элемента I Ф 0 из К все его степени |" (re ^ 0) содержатся
в некотором главном (дробном) идеале уО (у<=К*), то g e D. Доказать, что
тогда кольцо D целозамкнуто. Кольцо D, удовлетворяющее условию задачи,
называется вполне целозамкнутым.
6. Доказать, что если целозамкнутое кольцо нётерово (всякий идеал
кольца порождается конечной системой элементов), то оно и вполне це-
целозамкнуто.
7. Пусть К = Q (х) — поле рациональных функций от • одной перемен-
переменной х над полем рациональных чисел Q. Каждый элемент и Ф 0 из К од-
однозначно представляется в виде
где многочлены / и g из Q [х]таковы, что g@) = 1 и /@) = а Ф 0. Зафик-
Зафиксируем простое рациональное число р и обозначим через О подмножество
в К, состоящее, помимо нуля, из тех элементов и е К*, для которых в пред-
представлении E) либо m > 0, либо та = 0 и рациональное число а — /-(О) не
содержит р в знаменателе (в несократимой записи). Нетрудно проверить,
что D — подкольцо поля К. Доказать, что кольцо D целозамкнуто, но не яв-
! 1 \п
ляется вполне целозамкнутым (все степени — ,в ^ 0, содержатся в глав-
V Р I
ном идеале х-Ю).
8. Пусть О — кольцо с полем отношений К. Идеал поля К (относитель-
(относительно О) называется d-идеалом, если он является пересечением; некоторого се-
семейства главных идеалов поля К (вообще говоря, дробных). Доказать сле-
следующие утверждения:
1) если пересечение системы d-идеалов ненулевое, то оно является
d-идеалом;
2) вместе с А идеал "{А (^ е К*) также является i-идеалом;
3) для d-идеала А и любого идеала В поля К идеал А : В является
d-идеалом;
4) если для идеалов А и В имеем АВ = О, то А и В являются
«f-идеалами.

§ 5] ХАРАКТЕРЫ 465
§ 5. Характеры
В этом параграфе мы изложим некоторые сведения о харак-
характерах конечных абелевых групп и числовых характерах.
1. Строение конечных абелевых групп. Строение произволь-
произвольных конечных абелевых групп определяется следующей тео-
теоремой.
Теорема 1. Всякая конечная абелева группа может быть
представлена в виде прямого произведения циклических под-
подгрупп.
Согласно задачам 1 н 2 конечная циклическая группа нераз-
неразложима в прямое произведение собственных подгрупп тогда и
только тогда, когда ее порядок есть степень простого числа. Если
поэтому в некотором разложении конечной абелевой группы G
в прямое произведение G-— Ai X ... X As циклические сомножи-
сомножители А{ не допускают дальнейшего разложения, то их порядки
являются степенями простых чисел. Разложение группы G в
прямое произведение неразложимых сомножителей определено,
вообще говоря, неоднозначно. Однако набор порядков неразложи-
неразложимых циклических сомножителей At определен для данной группы
G единственным образом. Эти порядки (являющиеся степенями
простых чисел) называются инвариантами конечной абелевой
группы. Произведение всех инвариантов данной группы равно,
очевидно, ее порядку.
2. Характеры конечных абелевых групп.
Определение. Характером конечной абелевой группы G
называется гомоморфное отображение G в мультипликативную
группу поля всех комплексных чисел.
Другими словами, характер группы G — это такая не обра-
обращающаяся в нуль комплекснозначная функция % на G, для ко-
которой
()(Ы) A)
при любых х и у из G.
Так как при всяком гомоморфизме групп единичный элемент
отображается на единичный, то %{1) = 1, т. е. значение всякого
характера % на единичном элементе группы всегда равно еди-
единице. Еслн элемент x^G имеет порядок к, то
т. е. %(х) является корнем степени к из 1. Если m есть наиболь-
наибольший из порядков элементов группы G, то согласно задаче 3 по-
порядок всякого элемента из G будет делителем пг. Любое значение
уу(х) является, следовательно, корнем степени m из 1, а значит,
характеры можно определить также как гомоморфизмы G в груп-
группу корней тп-к степени из 1.
Представим группу G в виде прямого произведения цикличе-
циклических - подгрупп: G = iai) X ... X {as). Так как каждый элемент

466 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
x^G может быть записан в виде
x = a^...as , C)
а в силу A) % (х) = X(ai)*1 • • ¦ %(as)hs, то получаем, что характер
X вполне определен значениями %(ai), ..., %(ая). Если а{ имеет
порядок ти то ввиду B) %(а,) есть корень степени тг из 1.
Обратно, выберем произвольно для каждого i — 1, ..., s какой-
нибудь корень е( степени mt из 1 и для элемента jeG, представ-
представленного в виде C), положим
%(х) = г^...г^. D)
Легко видеть, что значение D) не зависит от выбора показателей
к{ в представлении C) (каждый показатель к{ определен по мо-
модулю mt), а также что так определенная однозначная функция
X на G удовлетворяет условию A) и является, следовательно,
характером группы G. Корень е,- можно выбрать mt способами,
поэтому мы имеем всего nil... ms различных функций % вида D).
Мы получили, таким образом, следующую теорему.
Теорема 2. Число всех характеров конечной абелевой груп-
группы равно ее порядку.
Определим умножение характеров. Для характеров % и %'
группы G положим
Очевидно, что функция %%' также является характером группы
G. Характер %0, для которого %о(х) = 1 при всех x^G, называ-
называется единичным. Ясно, что %%0 = % для любого характера %. Если
для произвольного характера % группы G мы положим
где %(х) — комплексно сопряженное число для %(х), то функция
X также будет характером группы G, при этом %% = %<>. Так как
умножение характеров, очевидно, ассоциативно, то мы получаем,
что все характеры конечной абелевой группы относительно вве-
введенного действия умножения образуют группу.
Пусть G = (а) — циклическая группа порядка m и е — фикси-
фиксированный первообразный корень степени m из 1. Обозначим
через % тот характер группы G, для которого %(а) = е (и, значит,
X(a*) = eft). Так как %г(а) = ег, то характеры %о = х"\ Х- X2i •••
• • -1 5Cm-1 попарно различны и, следовательно, исчерпывают собой
всю группу характеров группы G. Мы видим, таким образом, что
группа характеров для конечной циклической группы также цик-
лична. В общем случае легко может быть доказана теорема:
всякая конечная абелева группа изоморфна своей группе ха-
характеров.

§ 5] ХАРАКТЕРЫ 467
В произвольной абелевой группе G порядка п рассмотрим
подгруппу Я порядка т. Если характер % группы G рассматри-
рассматривать лишь на элементах подгруппы Я, то полученная функция
будет, очевидно, характером группы Я. Обозначим этот характер
через %. Ясно, что отображение % -»- % является гомоморфизмом
группы характеров X группы G в группу характеров У подгруп-
подгруппы Я. Обозначим через А его ядро. Характеры % из А характе-
характеризуются тем, что %{z) = 1 при всех z^H. Если %^А, а. х ж х'
принадлежат одному и тому же классу смежности G по Я, то,
очевидно, %(х)=%(х').Полагая %ix)=%(x), где %^А, а х — класс
смежности G по Я с представителем х *= G, мы получаем одно-
однозначную функцию % на фактор-группе G/H, и эта функция явля-
является характером группы G/H. Обратно, если г)) — произвольный
характер фактор-группы G/H, то, положив
%{х) — tyix), x^G,
мы получим характер х^А, для которого 3C = i|). Так как при
отображении % -*¦ % (%^А) различным характерам из А отве-
отвечают различные характеры фактор-группы G/H, то нами дока-
доказано, что число характеров %, принадлежащих А, равно числу
характеров группы G/H, т. е. равно п/т (теорема 2). Но в таком
случае образ группы X при гомоморфизме % ->- % (группы X в
группу Y) будет иметь порядок п : — = т, а так как по теореме
2 группа Y также имеет порядок т, то этот образ совпадает с Y.
Это значит, что всякий характер группы // имеет вид % при некото-
некотором характере % группы G. Ясно, что число характеров %^X,
индуцирующих один и тот ясе характер на Я, равно п/т = (G :Н).
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 3. Если G — конечная абелева группа и Я — ее
подгруппа, то любой характер группы Н может быть продолжен
до характера группы G и число таких продолжений равно ин-
индексу (G:H).
Следствие 1. Если х — отличный от единицы элемент из
G, то существует такой характер % группы G, что %(х) Ф 1.
Действительно, рассмотрим циклическую группу {х) = Я.
Так как ее порядок больше 1, то на Н существует неедйничный
характер %', для которого, следовательно, %г(х) ?= 1. Продолжив
%' до характера группы G, мы и получим требуемый характер %.
Следствие 2. Если элемент х из G не содержится в под-
подгруппе Я, то существует характер % группы G, для которого
%(х) Ф 1 и %(z) — 1 для всех z^H.
Действительно, единичный характер группы Я можно продол-
продолжить до неединичного характера подгруппы {х, Ю, который в
«вою очередь может быть продолжен до характера группы G.

468 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Установим теперь некоторые соотношения между значениями
характеров. Если %о — единичный характер, то %<>(#) = 1 при всех
j;eG, а потому 2 10(х) = п, где п — порядок группы G. Пред-
x<=G
положим, что характер % отличен от %0, так что %(z) Ф1 для
некоторого z e G. Если х пробегает все элементы группы G, то
zx также будет пробегать все элементы из G. Полагая S = 2 */Xx)i
xeG
имеем, следовательно,
S = '2 %(zx) = y.(z)S.
x=G
Ввиду условия %(z) Ф1 полученное равенство возможно лишь
при S = 0. Таким образом, мы имеем формулу:
jn, если х = '/о, ' _
ЖШ = Ю, если ^Хо- @>
Значение любого характера % на единичном элементе группы
равно единице, поэтому 2 % A) = и (здесь и далее % пробегает
х
все характеры группы G). Положим Т — V у. (х)¦ По следствию 1
х
теоремы 3 существует характер %', для которого %'{х)Ф1 (если
хФ{). Вместе с % произведение %%' также пробегает все харак-
характеры группы G. Поэтому
т = 2 Ос'х) W = 2 7/ (х) г (х) = -/ (х) т,
а так как %'(х) Ф 1, то 71 = 0. Этим доказана формула:
[п, если х = 1,
F>
?*(яИо, если Хф1.
3. Числовые характеры. Для натурального числа m через Gn
обозначим группу относительно действия умножения классов вы-
вычетов по модулю m целых рациональных чисел, взаимно простых
с т. Класс чисел по модулю т, содержащий а в качестве пред-
представителя, будем обозначать через а.
Каждому характеру % группы Gm мы можем естественным об-
образом сопоставить функцию %* на всех целых рациональных
числах а, взаимно простых с т, полагая %*(а)=%(а). Распрост-
Распространим эту функцию 5С* н^ все целые рациональные числаг
считая, что %*(а)=0, если только а и т не взаимно просты.
Так полученная функция %* (определенная на всех целых рацио-
рациональных числах) называется числовым характером по модулю т..
В дальнейшем %* будет обозначаться той же буквой %, что и ис-
исходный характер на группе Gm. Ясно, что различные характера

§ 5] ХАРАКТЕРЫ 469
группы Gm порождают различные числовые характеры, так что
число числовых характеров по модулю т равно <р(та).
Из определения легко вытекают следующие свойства число-
числовых характеров:
1° Для любого целого рационального а значение %(а) есть
комплексное число, причем %{а) Ф О тогда и только тогда, когда
а взаимно просто с т.
2° Если а^=а' (mod m), то %(а) = %(а').
3° Для любых целых рациональных а и Ъ имеем у(аЪ) =¦
S
yS%
Оказывается, что числовые характеры этими тремя свойства-
свойствами вполне характеризуются. Действительно, пусть функция ц
удовлетворяет условиям 1°—3°. Для класса a^Gm, (а, т) = 1,
положим %(а) = ц(а). В силу 2° значение %{а) не зависит от вы-
выбора представителя а, в силу 1° оно отлично от нуля. Кроме того,
если (а, т) = 1 и {Ь, т) = 1, то по условию 3°
%(аЪ) = %{ab) = r\(ab) = г\(а)ц{Ь) = %(а)%E).
Таким образом, у_ есть характер группы Gm, причем соответст-
соответствующий ему числовой характер %* совпадает с функцией ц.
Пусть т' — натуральное число, делящееся на т. Каждому
характеру % по модулю т мы можем сопоставить естественным
образом некоторый характер у' по модулю т'. Именно, если а
взаимно просто с т' (а значит, и с т), то полагаем %'(а) =%(а);
если же (а, т')>1, то %'(а)=0. Числовая функция %' удовлет-
удовлетворяет всем трем условиям 1°—3°, а потому является числовым
характером по модулю т . Будем говорить, что %' индуцирован
характером %.
Определение. Если для некоторого характера % по моду-
модулю m существует такой собственный делитель d числа m и та-
такой характер %1 по модулю d, что %i индуцирует %, то этот ха-
характер % называется непримитивным; в противном случае он
называется примитивным.
Теорема 4. Для того чтобы характер % по модулю m был
примитивным, необходимо и достаточно, чтобы для любого соб-
собственного делителя d числа m среди чисел х, сравнимых с еди-
единицей по модулю d и взаимно простых с пг, существовало такое,
для которого %(х) Ф 1.
Доказательство. Если характер % непримитпвный, то
он индуцируется некоторым характером %i по модулю d, где d —
собственный делитель т. Это значит, что для любого х, взаимно
простого с т, имеет место равенство %(х) =%г1х). Если при этом
х= 1 (mod d), то %(х)=%Лх) = 1. Обратно, предположим, что
для некоторого собственного делителя d числа т имеем %(а;) —
= 1, если только (х, в) = 1и x^Kmodd). Для всякого а, вза-
взаимно простого с d, мы можем найти такое а', что (а', т) — 1 и
a' s a (mod d). Положим %i(a) = %(а'). Значение %М) не зависит

470 АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
от выбора а. В самом деле, если а = a" (mod d), где а" также
взаимно просто с т, то а" = ха' (mod m) при некотором х, вза-
взаимно простом с т. Поскольку x^Kmodd), то, в силу условия
теоремы, %{х) = 1, а тогда %(а") =%(х)%(а') =%{а'). Полагая,
далее, %i(a) = 0, если (a, d) Ф 1, мы получаем числовую функ-
функцию jCii которая, как легко видеть, является числовым харак-
характером по модулю d. Так как %Ла)=%(а) при (а, т) = 1, то X
индуцируется характером %4. Этим доказательство теоремы 4
закопчено.
Рассмотренные в настоящем пункте числовые характеры часто
называют также характерами Дирихле.
Задачи
1. Показать, что конечная циклическая группа, порядок которой есть
степень простого числа, неразложима в прямое произведение собственных
подгрупп.
2. Пусть порядок конечной Циклической группы G равен произведению
взаимно простых чисел к и /. Доказать, что G можно представить в виде
пряного произведения двух подгрупп порядков к и /.
3. Пусть о — элемент максимального порядка конечной абелевоп груп-
группы G. Доказать, что циклическая подгруппа {а} выделяется в G прямым
сомножителем.
4. Пусть к — натуральное число. Доказать, что элемент х конечной абе-
левой группы G является к-й степенью в G тогда и только тогда, когда
X {х) = 1 для всех тех характеров % группы G, для которых %* = %о (%о —
единичный характер).
5. Пусть G — конечная абелева группа порядка п. Выпишем в каком-
нибудь порядке ее элементы xi, ..., х„ и ее характеры у4, ..., у„. Доказать,
что матрица I —= х4 (ХЛ ] унитарна.
6. Пусть пи. ..., ши — попарно взаимно простые натуральные числа и
то = 7гц ... nik. Доказать, что для всякого характера % по модулю m сущест-
существуют однозначно определенные характеры %« по модулю mt (i = 1, ..., к)
такие, что для любого целого рационального а справедливо равенство
Х(а) = Xi(a) ¦¦¦Хк(«)- (Для каждого i характер %t определяется равенством
Х% (а) = %(а'), где а' определено сравнениями о' = a. (mod т;), а' == 1
7. Доказать, что если в условиях задачи 6 характер % по модулю m при-
примитивен, то для каждого 4=1, ..., к характер %» по модулю т, также
примитивен.
8. Пусть dt и йг — делители натурального числа т и d = (dt, d2). До-
Доказать, что если характер % по модулю т индуцируется некоторым характе-
характером по модулю di и индуцируется некоторым характером по модулю йг, то
¦он индуцируется также и некоторым характером, по модулю d.
9. Доказать, что каждый характер % по модулю та индуцируется прими-
примитивным характером по некоторому однозначно определенному модулю /
(являющемуся делителем т). Число / называется ведущим модулем ха-
характера %.
10. Доказать, что число примитивных характеров по модулю m равно
J?j (х (d) ф — I (d пробегает все делители числа т, ц — функция Мёбиуса,
d\m \ d 1
<р — функция Эйлера).

§ 5] ХАРАКТЕРЫ
471
11. Доказать, что по модулю т примитивные характеры существуют
тогда и только тогда, когда та либо нечетно, либо делится на 4.
12. Пусть 8f есть линейное пространство над полем комплексных чисел,
состоящее из функций / на элементах конечной абелевой группы G с комп-
комплексными значениями /(a), a^G. Для каждого элемента юеб через Гщ.
обозначим оператор сдвига, действующий по формуле (Taj) (a) = /(соа). До-
Доказать, что все характеры % группы G являются собственными векторами
операторов Тш. Чему равны соответствующие собственные числа?
13. Сохраним обозначения предшествующей задачи и рассмотрим для
фиксированной функции /eS квадратную матрицу А = (/(ат-1)),,, т, где-
а и т пробегают все элементы группы G, расположенные в некотором по-
порядке. Доказать, что определитель этой матрицы равен Ц I Zj / (сг) X (ст) 1
х V с /
(а пробегает все элементы, а х— все характеры группы G).
Указание. Матрица А является матрицей оператора Т = 2 / (ы) ^й>
ш
в базисе, состоящем пз функций 10, для которых
о при а ф т.
Найти собственные числа оператора Т.
14. Доказать утверждение задачи 13, рассматривая определитель про-
произведения матрицы (х(о))х. о на матрицу А.
15. Пусть %i и Хг — два примитивных числовых характера с ведущими
модулями /i и /з. Обозначим через m общее наименьшее кратное чисел /i
и /2 и через х — характер по модулю т, для которого %{а) = Xi(a)X2(")
для всех о, взаимно простых с т. Однозначно определенный примитивный
характер, который индуцирует характер %, называется произведением %i-/2
примитивных характеров Xi и Хг- Доказать, что все примитивные числовые
характеры (для всевозможных ведущих модулей) относительно введенного
действия умножения образуют группу.
16. Пусть G — конечная абелева группа и X — ее группа характеров.
Каждой подгруппе Н группы G сопоставим подгруппу а (Я) в группе ха-
характеров X, состоящую из тех % е X, которые аннулируют Н (т. е. для
которых x(z) =1 при всех гей). Показать, что а является взаимно од-
однозначным соответствием между всеми подгруппами группы G и всеми
подгруппами ее группы характеров X. При этом соответствии включения
Hi czH2 и а (Я]) гза(Я2) равносильны.
17. Пусть 2 — конечпое поле характеристики р и пусть
ф (а) = егл«а/р) = cos ~- + i siJy, ~a e ?p = 2„, ае Z.
Для фиксированного ogJ положим
Показать, что соответствие a ->- х«, a e S, является изоморфизмом аддитив-
аддитивной группы поля 2 на группу ее характеров.
18. Пусть Wp — группа корней из 1 всех степеней рт при всех т ^ 1
(группа типа р°°). Показать, что группа характеров группы Wp изоморфна
аддитивной группе всех целых р-адических чисел.

ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА i
Число h классов дивизоров и основная единица е > 1 вещественных
квадратичных полей Q ('У'З); 2 sg d sg 101, d свободно от квадратов, о) =
1 +
при d = 1 (mod 4) и о) = yd при d == 2, 4 (mod 4).
d .
2
3
5
6
7
10
11
13
14
15
17
19
21
22
23
26
29
30
31
33
34
35
37
38
39
41
42
43
46
47
51
h
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
CS]
1
1
2
1
2
1
1
1
2
ё
1 + 0)
2+0)
@
5+2@
8+Зш
3+0)
10+3(o
1+0)
15+4@
4+0)
3+2@
170+39©
2+0)
197+42o)
24+5@
5+0)
2+0)
11+2@
1520+273@
19+8@
35+6@
6+0)
5+2@
37+6o)
25+4@
27+10@
13+2@
3482+531@
24335+3 588o)
48+7@
5O+7o)
¦ Л7(е) | d
_4
+1
—1
+1
+1
—1
+1
—1
+1
Л
+1
+1
+ 1
+1
-1
+1
+ 1
+1
+ 1
+ 1
+1
+1
+ 1
+1
+1
+1
+1
53
55
57
58
59
61
62
65
66
67
69
70
71
73
74
77
78
79
82
83
85
86
87
89
91
93
94
95
97
101
h
1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
3
4
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
e
3+0)
89+120)
131+40@
99+13@
530+69@
17+5@
63+80)
7+2@
65+8@
48 842+59670)
11+3@
251+ЗОш
3480+413@
943+2500)
43+5o)
4+0)
53+60)
80+90)
9+0)
82+9@
4+0)
10 405+1122@
28+Зш
447+106@
1574+165@
13+3@
2 143 295+221 O64co
39+4@
5035+11380)
9+2@
Me)
—1
+1
+1
—1
+1
—1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
—1
+1
+1
+1
—1
+1
—1
+1
+1
-1
+1
+1
+1
+1
—1
Замечание. Таблица 1 извлечена из работы [83], в которой h и е
вычислены для всех d < 2025. Вычисление числа h основано на утвержде-
утверждении задачи 15 § 7 гл. II.

ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА 2
Число h классов дивизоров и_норма N(e) основной единицы е вещест-
вещественных квадратичных полей Q (~\/d), d свободно от квадратов, 101 ^ d < 500.
rf
101
102
103
105
106
107
109
110
111
113
114
115
118
119
122
123
127
129
130
131
133
134
137
138
139
141
142
143
145
146
149
151
154
155
157
158
159
161
163
165
166
167
170
173
174
177
178
179
181
И
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
4
1
1
1
1
2
1
1
3
2
4
2
1
1
О
2
1
1
2
1
1
2
1
1
4
1
2
1
2
1
1
»(e)|
—1
+1
+1
+1
+1
—1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
—1
+ 1
+1
—1
+ 1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
+1
—1
+1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
—1
+1
+1
+1
+1
—1
d
182
183
185
186
187
190
191
193
194
195
197
199
201
202
203
205
206
209
210
211
213
214
215
217
218
219
221
222
223
226
227
229
230
231
233
235
237
238
239
241
246
247
249
251
253
254
255
257
258
h
2
2
2
2
2
2
1
1
2
4
1
1
1
2
2
2
1
1
4
1
1
1
2
1
2
4
2
2
3
8
1
3
2
4
1
6
1
2
1
1
2
2
1
1
1
3
4
3
2
Л'(е)
+1
+ 1
-1
+ 1
+1
+1
+1
+1
1 A
—1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
+1
+1
+1
-1
+1
—1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
+1
d
259
262
263
265
266
267
269
271
273
274
277
278
281
282
283
285
286
287
290
291
293
295
298
299
301
302
303
305
307
309
310
311
313
314
317
318
319
321
322
323
326
327
329
330
331
334
335
337
339
h
2
1
1
2
2
2
1
1
2
4
1
1
1
2
1
2
2
2
4
4
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
3
4
4
3
2
1
4
1
1
2
1
2
N(e)\
+ 1
+ 1
—1
+1
—1
+1
+1
—1
—1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
I
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
+ 1
d
341
345
346
347
349
353
354
355
357
358
359
362
365
366
367
370
371
373
374
377
379
381
382
383
385
386
389
390
391
393
394
395
397
398
399
401
402
403
406
407
409
410
411
413
415
417
418
419
421
h
1
2
6
1
1
1
2
2
2
1
3
2
2
2
1
4
2
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
4
2
1
2
2
1
1
8
5
2
2
2
2
1
4
2
1
2
1
2
1
1
iV(e) 1 d
+1
+1
—1
-1
—1
+ 1
+1
+1
+1
+1
—1
—1
+1
+1
—1
+1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+ 1
+1
+ 1
+1
+1
+1
-1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
—1
422
426
427
429
430
431
433
434
435
437
438
439
442
443
445
446
447
449
451
453
454
455
457
458
461
462
463
465
466
467
469
470
471
473
474
478
479
481
482
483
485
487
489
491
493
494
497
498
499
H
1
2
6
2
2
1
1
4
4
1
4
5
8
3
4
1
2
1
2
1
1
4
1
2
1
4
1
2
2
1
3
2
2
3
2
1
1
2
2
4
2
1
1
1
2
2
1
2
5
N(e)
+1
+1
+ 1
+1
+1
+1
+1
+ 1
+1
+ 1
+1
+1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
4
—1
—1
+1
+1
+1
+1
+1
~f~l
+1
+1
+1
+1
+1
—i
+1
+1
—1
+1
+1
+1
-1
-1
-1
+1

474
ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА 3
Число h классов дивизоров вещественных квадратичных полей Q \]/d),
d свободно от квадратов, 2 ^ d < 150 000.
В таблице приведены все встречающиеся значения h для всех 91 189
вещественных квадратичных полей Q (vd) с d в указанных пределах
(d = 2, 3, ..., 149 999) [147]. В колонке справа (f(h)) указано, сколько раз
данное h встречается для всех d < 150 000. Наконец, в третьей колонке
приведено наименьшее значение d для данного h.
ft
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
№
20 574
26 427
2 677
18 573
943
3 453
462
6 898
311
1237
176
2 434
124
563
115
1970
62
385
48
788
43
163
20
838
30
110
20
d
2
10
79
82
401
235
577
226
1 129
1111
1297
730
4 759
1 534
9 871
2 305
7 054
4 954
15 409
3 601
7 057
4 762
23 593
9 634
24 859
13 321
8 761
h •
[
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
)(fi)
324
16
113
4
397
11
47
8
165
7
33
6
179
1
30
3
82
7
14
1
92
1
8
1
28
1
8
d
5 626
49 281
11665
97 753
15 130
55 339
19 882
25 601
18 226
24 337
19 834
41 614
16 899
55 966
47 959
14 401
11026
32 401
49 321
78 401
21 610
70 969
54 769
69 697
23 410
69 694
49 834
h
55
56
57
58
60
61
62
63
64
66
68
70
72
74
76
78
80
84
86
87
88
94
96
100
108
110
116
f(h)
f
1
38
2
7
18
1
3
1
23
3
12
5
11
1
7
1
3
3
2
2
3
2
4
2
1
1
1
d
106 537
39 999
41 617
27 226
78 745
126 499
68179
57 601
71290
87 271
53 362
56 011
45 511
38 026
93 619
136 159
94 546
77 779
110 926
90 001
56 170
99 226
50 626
131 770
140 626
125 434
116 554
Замечание 1. Всего имеется 303 простых числа р, меньших 2000
(включая /> = 2). Из них для двадцати шести простых чисел:
р = 79, 223, 229, 257, 359, 443, 659, 733, 761, 839,
1091, 1171, 1223, 1229, 1367, 1373, 1489, 1523, 1567,
1627, 1787, 1811, 1847, 1901, 1907, 1987
— число h поля Q (Т/р) равно 3. Для семи значений:
р = 401, 439, 499, 727, 1093, 1327, 1429
•— число h равно 5 и для четырех значений:
р = 577, 1009, 1087, 1601
«—оно равно 7. Одно поле при р = 1129 имеет h = 9 (с циклической груп-
группой классов дивизоров), и одно поле при р = 1297 имеет h = 11. Для всех

ТАБЛИЦЫ 475
остальных 264 простых чисел р < 2000 число классов дивизоров поляО (Т/р)
равно 1 (см. [83]).
Замечание 2. Из десяти тысяч квадратичных полей Q (Т/р)» р—
простое, р = 1 (mod 4), р ^ 225 217, только семь полей имеют нецикличе-
нециклическую группу классов дивизоров [92]. Для этих семд полей р равно
32009, 62501, 114889, 142097, 151141, 153949, 220217
и для всех них группа классов (порядка 9) имеет инварианты C, 3).
Замечание 3. Имеются примеры полей Q (~1/р) с простым р, р =
= 1 (mod 4), когда группа G классов дивизоров имеет инварианты другого
типа [92], [125]:
p
G
1 1
I
129
E
841 |
,5) I
1 510 889 |
E,5) |
1
777
A5
441
,5)
1 2
1
068
G
117
.7)
| 24 137 573
i C9,3)
Группа классов дивизоров поля Q (~[/3 • 14 935 391) имеет инварианты C, 3, 3),
см. [126].
Замечапие 4. С. Курода [93] вычислил таблицы значений числа
h = li(p) классов дивизоров полей Q(~l/p), р = 1 (mod 4), для всех простых
р^ 2776817. Всего имеется 100 811 таких полей. Из них только 22 528 по-
полей имеют h(p) > 1 [93]. Таким образом, доля одноклассных полей на ука-
указанном промежутке среди полейQ (~l/p)> Р = 1 (mod 4), составляет 77,65%.
(Отметим, что для первых десяти тысяч простых р = 1 (mod 4), т. е.. для
р ^ 225 217, число одноклассных полей Q (ур) равно 7954, так что доля од-
нокласных полей с увеличением промежутка несколько уменьшилась.)
Замечапие 5. Данные таблицы 3 и предшествующего замечания
показывают, что среди вещественных квадратичных полей имеется доволь-
довольно много одноклассных. Однако мы не знаем, будет ли их число бесконеч-
бесконечным. В п. 2 § 7 гл. III мы отмечали, что вообще до сих пор неизвестно,
конечно или бесконечно число одноклассных полей алгебраических чисел.
Одноклассные поля часто встречаются и среди кубических полей (см. таб-
таблицы 8 и 9). Для более высоких степеней ввиду трудностей, связанных
с большим объемом вычислений, у нас весьма мало сведений о полях е
h = 1. В связи с этим интересен пример мнимого одноклассного поля сте-
степени 480, приведенный в работе [155]. Стоит отметить также, что согласно
работе [158] для любого простого числа р существует бесконечно много
полей алгебраических чисел, группа классов дивизоров которых имеет р-при-
марную компоненту, изоморфную наперед заданной конечной абелевой
р-группе. В частности, имеется бесконечно много полей, для которых число
классов h не делится на произвольное фиксированное простое число р.
Замечание 6. В отличие от работы [83], вычисление h в [147] ос-
основано на формуле h = yDL(l, %)/B1пе), полученной нами в п. 1 § 4гл.У,

OCtfW^C
^004^C5tOtO^
^C00000000000C»^114^^
O№OOtnWU*4*
| f l 1Ц H
DOlNSrOK)tOrOtOrCtOtOtOI>OtOI>OtOtOEOEOCO
н_, hb^^^CA2C0C0C0C0C0C0tOt01NSLCt0tOb-^-h^i-A.
CD-4 QhAcOOO*-JOiCO^OCDHOlCOWl— ^D 00 ~-4 СЛ
»_^к » t
c^
ts5 1-й- tO h
^ tO
> core о
о
и
о
ox
1
о
о
н
Ы
S
¦а
us
ч
ОВ,
/Л
a
Л
О'
,п
[исло
И
гсов
JJ
и
и
я
QJ
о
t3
о
и
1Й
W
>н
a
и
и
и
н
н
В
и
н
о
a
е

ТАБЛИЦЫ
47?
ТАБЛИЦА 5
Число h классов дивизоров мнимых квадратичных полей Q I
простых р, 500 < р < 2000.
— р)
для
V
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
h
21
30
32
о
10
3
18
9
32
5
8
7
24
25
20
13
10
12
5
13
28
3
23
14
11
18
12
30
5
5
34
10
31
13
14
р
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
h
5
21
15
10
40
20
26
5
30
32
7
30
9
7
22
33
10
32
7
21
10
40
3
29
3
31
19
36
20
46
5
32
11
15
20
Р
983
991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1069
1087
1091
1093
1097
1103
1109
1117
1123
1129
1151
1153
1163
1171
1181
1187
1193
1201
1213
1217
1223
h
27
17
14
20
26
13
22
35
12
23
44
5
26
19
30
9
17
10
36
23
50
14
5
16
41
16
7
7
46
9
36
16
10
32
35
V
1229
1231
1237
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1321
1327
1361
1367
1373
1381
1399
1409
1423
1427
1429
1433
1439
1447
1451
1453
1459
1471
1481
1483
'1'
38
27
14
32
15
34
23
11
36
9
12
50
11
И
45
24
15
60
25
18
26
27
36
9
15
22
36
39
23
13
14
11
23
52
7
1487
1489
1493
1499
1511
1523
1531
1543
1549
1553
1559
1567
1571
1579
1583
1597
1601
1607
1609
1613
1619
1621
1627
1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1709
1721
1723
1733
h
37
20
22
13
49
7
И'
19
18
40
51
15
17
9
33
14
56
27
28
42
15
18
7
38
16
17
13
26
22
28
И
42
52
5
34
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
1789
1801
1811
1823
1831
1847
1861
1867
1871
1873
1877
1879
1889
1901
1907
1913
1931
1933
1949
1951
1973
1979
1987
1993
1997
1999
h
26
5
20
27
24
17
7
26
28
23
45
19
43
38
5
45
12
34
27
72
42
13
36
21
18
70
33
42
23
7
24
42
27

ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА 6
«Нетривиальные» группы классов дивизоров мнимых квадратичных по-
полей Q(V— т) Для 0 < т < 24 000 (см, [141]).
Группа G классов дивизоров поля Q (V—т) пазывается «тривиальной»,
еслп ее инварианты (среди которых каждый следующий является делите-
делителем предыдущего) имеют вид а, 2,..., 2. В противном случае G называется
«нетривиальной». «Тривиальная» группа однозначно определяется своим, по-
порядком и числом простых делителей дискриминанта поля Q(~|/— т). В таб-
таблице для поляО (~\/— т) с «нетривиальной» группой G в колонке справа
указаны инварианты группы G. Все поля Q (у — т) с 0 < т < 24 000, не
приведенные в таблице, имеют «тривиальные» группы классов дивизоров.
т
974
1 513
1 582
1 590
1 598
1 886
1918
2 329
2 379
2 437
2 542
2 702
2 993
3 026
3 262
3 299
3 358
3 502
3 886
3 934
4 027
4 318
4 369
4 486
4 633
4 658
4 718
4 777
4 810
4 895
5 037
5 069
5134
5 142
5 190
5 306
5 417
G
12, 3
4,4
4,4
4,4,2
8,4
16, 4
4,4
8,4
4,4
6,3
4,4
12,4
12,4
12,4
8,4
9,3
8,4
4,4
6,6
8,4
3,3
8,4
12, 4
1(\ 5
8, 4
16, 4
16,4
8,4
4,4,2
16, 4
4,4,2
12,6
16, 4
6,6
8,4,2
12,6
24,3
т
5 614
5 703
5 795
5 857
5 910
5 986
6 001
6 014
6 085
6 123
6 221
6 220
6 286
6 355
6 398
6 402
6 494
6 497
6 583
6 690
6 789
6 910
6 914
6 953
7 006
7 059
7 081
7 361
7 582
7 585
7 769
7 966
7 977
8 103
8126
8 242
8 322
G
8,4
18,3
8,4
12,3
4, 4, 2
8,4
8,4
24,4
6,6
4,4
42,3
12,6
12,4
4,4
16, 4
4,4,2
24,4
8,8
12,3
6,6,2
6,6,2
6,6
36,3
16,4
20,4
8,4
16,4
28,4
8,4
4,4, 2
24,4
8,8
6,6
12,4
40,4
6,6
8,4,2
го
8 366
8 446
8 522
8 555
8 633
8 638
8 671
8 701
8 710
8 738
8 751
8 790
8 878
8 942
8 974
9 069
9 118
9 214
9 266
9 385
9 422
9 497
9 503
9 510
9 554
9 574
9 595
9 673
9 809
9 881
9 934
9 955
10 001
10 015
10 074
10 081
10173
G
28,4
12,4
30,3
8,4
16,4
8,4
16,4
8,4,2
4,4,2
16,4
24,3
8,4,2
8,4
24,4
16,4
12,6
8,4
16,4
36,4
12,6
24,4
24,3
20,4
8,4,2
40, 4
18,3
4,4
12,4
32, 4
28,4
12,3
4,4
40, 4
18,3
8,4,2
12,4
6,6
т
10 295
10 366
10 414
10 549
10 605
10 718
10 759
10 790
10 798
10 803
10 961
11 001
11199
11 326
И 534
11 651
11713
11 822
И 966
12 002
12 013
12 067
12 095
12 118
12 131
12 206
12 207
12 282
12 394
12 451
12 453
12 481
12 505
12 595
12 638
12 710
12 837
G
32,4
16,4
20,4
8,4,2
4,4,2,2
16,4
12,4
12,4,2
12,3
4,4
32,4
6, 6,2
20,5
24,4
44,4
18,3
4,4,2
20, 4
32,4
20,4
6,6
е;з
32, 4
6, 6
12,3
48,4
20,4
6,6,2
18,3
5,5
6,6,2
12, 6
8,4,2
4,4
32, 4
16,4,2
6,6,2

ТАБЛИЦЫ
479
Продолжение табл.6
12
12
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
т
937
994
022
073
143
317
342
359
398
677
678
727
817
829
906
033
062
126
155
162
334
446
462
473
547
606
637
722
730
795
049
326
389
538
549
655
658
742
805
806
910
G
8,4
12,4
16,4
16,4
16, 4 '
8,4,2
12,4
24,4
4,4,2,2
8,4,2
8,4
28, 4
28,4
54,3
16,4
36,3
12, 4
36, 4
4,4
20, 4
18,6
20,4
24, 4
12,4
4,4
10,10
4, 4, 2, 2
8,4
6,6,2
8,4
12, 6
48, 4
20,10
16, 4
12,4,2
24, 4
10,5
16,4
8,4,2
44,4
8,4,2
15
15
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
18
18
18
18
18
18
18
18
18
18
m
929
934
049
201
238
301
441
446
582
609
627
710
769
782
814
870
887
895
131
146
266
282
399
402
422
427
561
574
723
751
753
021
046
158
278
285
286
362
409
458
542
G
32, 4
16,4
30,6
20,4
12,12
78,3
28, 4
10,10
10, 5
24,4
6,3
8,4,2
28,4
10,10
48,4
6,6,2
24, 4
24, 4
6,3
42, 3
16, 4
36,3
54,3
12, 4, 2
12,4
4,4
12,12
12, 4, 2
18,3
28, 4
24,4
10, 10
24, 4
40, 4
12,4,2
4, 4, 2, 2
16,4
30,3
28,4
18,6
28,4
18
18
18
18
18
18
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
19
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
21
21
21
21
21
21
т
555
649
721
761
814
922
187
286
346
427
545
590
618
651
677
679
726
762
919
947
981
982
002
091
129
155
162
310
366
398
445
654
658
734
737
018
098
190
233
243
395
G
6,6
16,4
32,4
32,4
20,4
10, 5
12, 3
42, 3
44,4
9,3
6, 6,2
12,4,2
12, 4
6,3
6,6,2
54,3
20, 4
8,8
45,3
4,4
12,4,2
28,4
12,4
8,4
60,3
4,4
36,4
12,4,2
44,4
8,4,2
8,4,2,2
44,4
8,4,2
24,4
16,4
6,6,2
16,4,2
8,4,2
28,4
8,4
16, 4
m
21418
21449
21454
21 571
21605
21 755
21 895
21 922
21 930
21998
22 055
22127
22 222
22 321
22 395
22 443
22 481
22 654
22 711
22 717
22 763
22 862
22 873
22 965
23 095
23 137
23 142
23 155
23165
23 178
23190
23 329
23 377
23 439
23 585
23 605
23 683
23 862
23 871
23 910
23 953
G
18,3
24,6
24,4
8,4
24, 4, 2
16,4
24, 4
20,4
6,6,2,2
20,4
40,4
16, 8
12,4
8,8,2
6,6
6,3
60, 3
16, 4
42, 3
10, 5
8,4
12,4,2
12,4
12, 6, 2
16,4
16, 4
4, 4, 2, 2
8,4
12,6,2
12,6
16,4,2
24,4
16, 4
36, 4
16,4,2
12, 6
6,3
6,6,2
24,4
8,8, 2
24, 4
Замечание. К настоящему времени известны многочисленные при-
примеры мнимых квадратичных полей, для которых группа классов дивизо-
дивизоров G имеет более двух инвариантов, делящихся на одно и то же нечетное
простое число. Некоторые из них можно найти в работах [74], [111], [120],
[126], [127], [151]. * .
Приведем отдельные примеры. Для не простых т даны их разложения
на простые сомножители. Справа указаны (примарные) инварианты группы
классов G поля Q (~|/—то).

480
ТАБЛИЦЫ
т
4724490703
1571310110659
699234050083
282910884511
41-1827827279
2-5-7-17-I9-1034639
2-23-31-43-131-18131
29-59-32 413
613-88 799
11-17-23-31-73
14 935 391
2-3-47-3943
131-61 699 320 931
167-12 409-42169
83 309 629 817
222 637 549 223
И7Ы439-153 441403
G
C, 3, 3, 3, 5, 53)
C, 3, 3, 3, 5, И, 43)
(9, 3, 3, 3, 19, 25)
B7, 3, 3, 3, 631)
B, 9, 9, 3, 3, 103)
B, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3. 3, 25)
(8, 4, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 7)
(8, 4, 3, 3, 3)
B, 3, 3, 3, 5, 5)
(8, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3)
(81, 3, 3, 5)
(8, 2, 2, 3, 3, 3)
B, 2, 3, 3, 3, 19, 499)
(8, 2, 3, 3, 3, 3, 181)
D, 9, 3, 3, 3, 181)
C, 5, 5, 5,19, 61)
D, 2, 5, 5, 5, 5, 2957)
ТАБЛИЦА 7
Дискриминанты известных порядков мнимых квадратичных полей, для
которых каждый род принадлежащих им модуле11 состоит из одного класса
I. Дискриминанты максимальных порядков (шестьдесят пять значений):
3
4
7
S
И
15
19
20
24
35
40
— 43
— 51
— 52
— 67
— 84
- 88
— 91
—115
—120
—123
-132
—148
—163
—168
—187
—195
—228
—232
—235
—267
—280
—312
-340
—372
—403
-408
-420
-427
-435
—483
-520
—532
—555
— 595
— 627
— 660
— 708
— 715
- 760
— 795
- 840
—1012
—1092
—1155
—1320
-13S0
—1423
-1435
-1540
—1848
—1995
—3003
—3315
—5460
II. Дискриминанты немаксимальных порядков (тридцать шесть зна-.
чений):
—3-22
—З-З2
—3-42
—3-52
—3-7г
-3-82
—4-22
—4-32
—4-42
-4-52
—7-22
-7-42
—7-82
—8-22
—8-32
—8-б2
-11-32
—15-22
-15-42
—15-82
—20-32
—24-22
—35-32
—40-22
—88-22
—120-22
—168-22
-232-22
—280-22
—312-22
—40S-22
—520-22
—760-22
—840-22
—1320-22
—1848-22
Удобные числа Эйлера:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30,
33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105,
112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280,
312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.

ТАБЛИЦЫ
481
ТАБЛИЦА 8
Число h классов дивизоров вполне вещественных кубических полей дис-
дискриминанта < 100 000 (см. [103]).
Кубическое поле Q F) называется вполне вещественным, если для не-
него s = 3, t = 0, т. е. если все его изоморфизмы в поле комплексных чисел
вещественны. Если минимальный многочлен числа 0 раскладывается в Q F)
целиком на линейные множители, то Q F) называется циклическим. Ес-
Если же это не так, го мы имеем тройку сопряженных кубических полей, и
такая тройка засчитывается в таблице только один раз. Всего имеется 4804
вполне вещественных кубических поля с дискриминантами < 100 000. Сре-
Среди них 51 поле — циклическое. В таблице для каждого из приведенных в ней
интервалов указано число всех вполне вещественных кубических полей с
дискриминантами из этого интервала и число полей с данным h (в пре-
пределах таблицы h =?i 9).
Границы для
дискриминанта.
1—10 000
10 001-20 000
20 001-30 000
30 001-40 000
40 001-50 000
50 001—60 000
60 001—70 000
70 001—80 000
80 001—90 000
90 001—100 000
Общее
число
полей
382
450
467
479
485
500
490
509
514
528
1
358
408
415
425
418
442
417
436
432
442
2
9
20
26
24
29
27
32
35
44
42
Число полей с
3
14
20
21
24
33
23
33
30
33
37
4
1
2
2
2
3
1
3
3
2
1
5
—
2
4
1
1
4
3
2
2
данным Л
6
—.
1
2
.
2
2
7
1
—.
3
1
2
8
.—
—
1
.—.
—
9
.—.
—
—
—.
1
—
—
Замечание 1. Некоторые из дискриминантов < 100000 имеют по
два, три и четыре вполне вещественных кубических поля (не сопряженных
между собой). В каждом из десяти интервалов таблицы содержится
16, 8, 5, 3, 4, 2, 4, 4, 1, 4
циклических кубических поля соответственно.
Замечание 2. В статье {125] указано одао семейство циклических
кубических полей, среди которых для дискриминантов 3132, 15 0132, 88 5132,
110 5632 число классов дивизоров h равно 7, 127, 511, 553 соответственно.
ТАБЛИЦА 9
Число классов h для чисто кубических полей Q (jAra), 1 < т < 1Q*
(т = аЬ2, а > 6, а и Ь свободны от квадратов).
В таблице приведены все значения h, встречающиеся для 8122 чисто ку-
кубических полей Q\\fm) с т в указанных пределах. В колонке справа (/(&))
указано, сколько раз это h встречается для всех те < 10 000. Наконец, в
третьей колонке приведено наименьшее значение т для данного h [60].
*
1
2
3
4
5
/(Л)
596
285
1847
87
37
т |
2
11
7
113
263
*
6.
7
8
9
10
М) .
952
26
32
1258
9
т 1 Л
39
235
141
70
303
11
12
13
14
15
/(Л)
7.
359
5
7
97
т
2348
43
1049
514
267

482
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 9
ft
IB
17
18
19
20
21
22
24
26
27
28
30
32
33
34
36
37
39
40
41
42
44
45
48
49
51
52
54
56
57
58
60
63
64
66
68
69
70
71
72
74
75
78
/(ft)
9
1
674
2
6
51
4
96
1
385
6
38
3
19
1
262
2
7
2
1
21
2
68
30
1
4
1
172
2
5
1
14
29
1
5
1
4
1
1
90
1
3
9
m
681
8511
65
667
761
213
281
229
3403
182
509
524
2399
1618
1719
322
5545
2597
2733
6659
515
4817
763
561
8171
1037
4793
614
857
1541
6814
997
1005
9749
3482
9521
3590
3467
3539
741
3581
1657
1801
h
80
81
84
87
90
93
96
99
102
105
108
111
117
120
126
127
128
129
132
135
136
141
144
150
153
154
156
162
168
171
175
180
186
189
192
198
201
216
222
225
230
240
/(ft)
1
77
9
2
27
, 1
5
8
4
4
87
2
4
10
23
1
1
1
3
11
1
1
17
1
2
1
2
36
2
1
1
12
1
7
2
7
2
17
1
3
1
2
m
4799
1298
1737
4103
970
2748
4307
995
2374
2737
511
5737
5215
1727
1141
2741
5987
2946
3045
1015
3209
6991
1730
8431
3661
9041
7461
813
2747
9198
5711
2702
4099
6430
7925
3374
2723
2765
5823
5362
4451
5835
ft
243
252
254
255
264
270
276
279
288
297
300
306
312
315
324
336
342
351
360
369
372
378
390
396
405
432
435
459
480
486
576
585
612
630
648
696
747
756
972
1017
1170
1296
/(ft)
6
3
1
1
1
4
1
1
1
3
1
2
1
2
10
1
1
3
1
1
1
3
1
¦ 2
6
4
1
1
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m
3913
2786
8002
2751
7297
4593
4093
5149
5826
6487
9931
4694
9938
5359
2198
8005
3907
3605
7985
5829
7133
3155
9591 .
7997
7970
6878
8006
9254
7415
6162
4291
9262
7995
9933
4097
5503
2743
8030
9709
8615
7999
8827
Замечание 1. В пределах таблицы для 7409 полей h равно 2аЗр и
для остальных 713 полей h делится на простое число ^ 5. Для значений т
в пределах каждой тысячи число полей Q (|/"да)с h = 1 равно соответственна
98, 64, 56, 61, 65, 55, 49, 54, 44, 50.
Число полей Q (?/"m) m < 10 000, для которых h делится на
' 2, 3, 5, 7, \i, 13, 17, 19,

ТАБЛИЦЫ
483
равно соответственно
3510, 6954, 369, 202, 62, 36, 19, 9.
Замечание 2. Число классов дивизоров поля Q{у/т) при малых
значениях т можно найти в [9], [124]. Число h для чисто кубических по-
полей рассматривается также в [125], [146], [148], [149], [150].
Замечание 3. Если q — простое число и д = 2 (mod3), то число
классов дивизоров поля Qvv^9/ не делится на 3. Обозначим через п(х)
число простых чисел д. которые сравнимы с 2 по модулю 3 п которые не
превосходят х, и через g(х) —число тех д sj: х, для которых число классов
поля q (Ъгп') равно 1. Отношение ^тз имеет поразительную тенденцию
к «постоянству» (см. [146] и [148]). В пределах проведепных вычислений
ото отношение вплоть до х = 101000 колеблется в небольших пределах,
принимая значения вблизи 0,47 и 0,48. Аналогичный феномен проявляется
еще ярче (см. [150]), если ограничиться полями Q (i/V) для простых
г == 17 (mod 18) (в этом классе полей значительно реже встречаются чет-
вые К). Пусть п(х) и g(x) имеют тот же смысл, что и выше, но примени-
применительно к простым г, которые == 17 (mod 18). В этом случае в промежутке
2000 < х < 200 000 отношение ?4—- принимает значения около 0,61,
п(х)
достигая локального минимума 0,603 вблизи ж = 38 000 и локального макси-
максимума 0,627 вблизи х = 70 000. К сожалению, в обоих случаях у нас пет
никаких аргументов, которые подкрепили бы предположение, что отмечен-
вая стабильность отношения , , сохранится для сколь угодно боль-
П (X)
ших q или г.
Отметим попутно, что поле Q(,yA2 000 145 629.) одноклассно [149].
ТАБЛИЦА 10
Множитель h* = h*(l) числа классов дивизоров Z-крутового поля для
простых I < 300.
В таблице для h* указано разложение па простые множители, кроме
двух случаев I = 233 и ( = 269: числа, отмеченные звездочкой, составные,
однако их разложение па простые сомножители неизвестно (см. [112],
[97]).
1
3
5
7
11
13
17
19
23
ft*
1
1
1
1
1
1
1
3
i
29
31
37
41
43
47
53
59
ft*
2-2-2
3-3
37
11-11
211
5-139
4889
3-59-233
l
61
67
71
73
79
83
89
97
ft*
41-1861
67-12739
7-7-79241
89-134353
5-53-377911
3-279405653
113-118401449
577-3457-206209

ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 10
г
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
ft*
5-5-5-5-5-101-601-18701
5-103-1021-17247691
3-743-9859-2886593
17-1009-9431866153
2-2-2-17-11853470598257
5-13-43-547-883-3079-626599
3-3-3-5-5-53-131-1301-4673706701
17•17•47737 - 46890540621121
3¦3•47•47•277¦277•967¦1188961909
3•3•149•512966338320040805461
7-11-И-281-25951-1207501-312885301
5-13-13-157-157-1093-1873-418861-3148601
2-2-181-23167-365473-441845817162679
11•499•5123189985484229035947419
5-20297-231169-72571729362851870621
5-1069-14458667392334948286764635121
5•5•5•37•41•61•1321•2521 - 5488435782589277701
И•13¦51263•612771091•36733950669733713761
6529-15361-29761-91969-10369729-192026280449
2•2 -2 - 5-1877¦7841•9398302684870866656225611549
3-3•3•3•19•727•25645039•207293548177•3168190412839
3-3-7-7-41-71-181-281-281-421-1051-12251-113981701•
•4343510221
7•43-17909933575379•11757537731851¦3424804483726447
5-2939-2939-2939-1692824021974901-13444015915122722869
13¦17-457•7753•705053•47824141•414153903321692666991589
233•1433•1042818810084723912819200922459107271266041 *
2-2-2-2-2-2-3-5-511123-14136487-123373184789-
- 22497399987891136953079
47¦47•13921 -15601•2359873¦126767281•518123008737871423891201
7-11-348270001•9631365977251•
•369631114567755437243663626501
257-20738946049-1022997744563911961561298698183419037149697
13-263-787-385927-
•418759100955678867328189444629948074260186283
13-40170973189-
•7157703949875286788563837229656316512687317037*
1-31•37•271•811•1201•1621-15391•21961•7288651•20238391•
•751928131-666587726641
2-2-2-2-17-47-47-829-89977-1371353-4873333-30697273-
•1776834909244716811072486129
11-11-17-41-41-401-3235961-64523056921•
•977343139976233968569461075411406081
3•3•283•2064523•39341481709417•
• 5484646647490654799157896194266098076673
3¦3-293•38901409•52561753•354041533•19844792749•
• 702405566998249462609754079833
Замечание 1. Первые семь нечетных простых чисел исчерпывают
собой все I с h*(l) =1 (см. [138], [106]). Существует гипотеза [100], что
функция h*(l) строго возрастает для всех простых 1^19.' В свое
время Куммером было высказано предположение, что h*(l) при 1->оо

ТАБЛИЦЫ
асимптотически выражается формулой
485
U-l)/4
Однако до настоящего времени вопрос о справедливости этого утверждения
остается открытым. Доказана лишь следующая более слабая формула
lim ¦
In ft*
1Ы1
получающаяся из формулы Куммера логарифмированием [54], [129]. Рост
функции h*(l) мажорируется сверху оценкой [100]:
)
Замечание 2. В настоящее время известны все m-круговые поля,
для которых h(m) < 104. Всего таких полей пятьдесят семь (при перечис-
перечислениях круговых полей следует исключать значения т = 4А- + 2, так как
они определяют те же самые круговые поля, что и значения т = Ik + 1).
Если ft (т) = 1 (т. е. в максимальном порядке поля деления круга на т
частей имеет место однозначность разложения на простые множители), то
т. равно одному из следующих двадцати девяти значений [106]:
3, 4, 5, 7, 8, 9, И, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21,
24, 25, 27, 28, 3?, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84,
Все т., для которых 2 ^ ft (то) ^ 10, исчерпываются значениями из следую-
следующей таблицы [104] (число круговых полей с ft ^ 10 равно 29 -{- 15 == 44).
Цт)
т
2
39,56
3
23, 52, 72
4
120
5
51.80
6
Нет
7
63
8
29,68
9
31, 57, 96
10
55
ТАБЛИЦА 11
Иррегулярные простые числа < 8000.
Всего имеется 1006 нечетных простых чпсел, меньших 8000. Из них 609
регулярных и 397 иррегулярных. Рядом с иррегулярным простым числом I
в соседней колонке справа указаны все номера 2а чпсел Бернулли В?а
B^.2а<^1~ 3), числители которых делятся на I. Нумерация чисел Бер-
Бернулли четная: В2 = 1/6, В4 = —1/30 и т. д. В случае нескольких значений
2о (для данного /) они выписаны друг под другом в порядке возрастания.
Общее число иррегулярных пар (/, 2а), приведенных в таблице, равно 502
(см. [47] и [86]).
1
37
59
67
101
103
131
149
157
2а
32
44
58
68
24
22
130
62
110
г
233
257
263
271
283
293
307
311
347
га
84
164
100
84
20
156
88
292
280
1
353
379
389
401
409
421
433
2а
186
300
100
174
200
382
126
240
366
г
461
463
467
491
523
541
2а
196
130
94
194
292
336
338
400
86

486
ТАБЛИЦЫ
I
547
557
577
587
593
607
613
617
619
631
647
653
659
673
677
683
691
727
751
757
761
773
797
809
811
821
827
839
877
881
887
929
953
971
1061
1091
1117
1129
1151
2a
270
486
222
52
90
92
22
592
522
20
174
338
428
80
226
236
242
554
48
224
408
502
628
32
12
200
378
290
514
260
732
220
330
628
544
744
102
66
868
162
418
520
820
156
166
474
888
794
348
534
784
968
I
1153
1193
1201
1217
1229
1237
1279
1283
1291
1297
1301
1307
1319
1327
1367
1381
1409
1429
1439
1483
1499
1523
1559
1597
1609
1613
1619
1621
1637
1663
1669
1721
1733
1753
1759
1777
1787
1789
1811
1831
2a
802
262
676
784
866
)H8
784
874
518
510
206"
824
202
220
176
382
852
304
466
234
266
358
996
574
224
94
1310
862
842
1356
172
560
980
718
270
1508
388
1086
30
810
942
712
1520
1192
1606
848
1442
550
698
1520
1274
П
I
1847
1871
1877
1879
1889
1901
1933
1951
1979
1987
1993
1997
2003
2017
2039
2053
2087
2099
2111
2137
2143
2153
2213
2239
2267
2273
2293
2309
2357
2371
2377
2381
2383
2389
2411
2423
2441
2503
2543
родолжение табл. И
2a I
954
1016
1558
1794
1026
1260
242
1722
1058
1320
1656
148
510
912
772
1888
60
600
1204
1300
1932
376
1298
1230
1038
1624
1916
1832
154
1826
2234
876
2166
2040
1660
1772
2204
242
2274
1226
2060
842
2278
776
2126
290
884
366
1750
1044
2374 '
2557
2579
2591
2621
2633
2647
2657
2663
2671
2689
2753
2767
2777
2789
2791
2833
2857
2861
2909
2927
2939
2957
2999
ЗОИ
3023
3049
3061
3083
3089
3119
3181
3203
3221
3229
3257
3313
3323
3329
3391
3407
3433
3469
2a
1464
1730
854
2574
1172
1416
1172
710
1244
404
2394
926
482
2528
1600
1984
2154
2554
1832
98
352
400
950
242
332
1102
2748
138
788
776
1496
2020
700
2522
1450
1706
1704
3142
2368
98
1634
922
2222
3292
1378
2232
2534
2076
2558
1300
1174

таблицы 487
Продолжение табл. 11
I
3491
3511
3517
3529
3533
3539
3559
3581
3583
3593
3607
3613
' 3617
3631
3637
3671
3677
3697
3779
3797
3821
3833
3851
3853
3881
3917
3967
3989
4001
4003
4021
4027
4049
4051
4073
4129
4157
2a I
2544
1416
1724
1836
2586
3490
2314
3136
2082
2130
344
1592
1466
1922
360
642
1976
2082
16
2856
1104
2526
3202
1580
2238
1884
2362
1256
3296
1840
1998
3286
216
404
748
1686
2138
1490
106
1936
534
82
142
2610
3228
2332
1854
3548 .
3620
1784
658
2322
4219
4243
4259
4261
4339
4349
4409
4421
4451
4457
4493
4519
4523
4561
4591
4637
4639
4657
4663
4679
4691
4751
4783
4793
4813
4861
4889
4903
4909
4943
4951
4957
4969
4973
5009
5039
5077
5081
5099
5101
5107
2a
4190
2712
4146
3580
3726
2068
214
2052
636
672
3768
2896
2978
444
746
848
456
436
2292
3596
3618
3226
1578
2416
4110
216
4278
3592
3450
3768
252
2636
2620
4678
2924
3106
1462
492
1914
2468
3890
3812
1940
4208
1544
4956
594
3092
3016
1378
190
4872
l
5119
5167
5179
5189
5209
5227
5231
5297
5303
5309
5351
5399
5413
5441
5443
5477
5479
5501
5527
5531
5557
5569
5573
5639
5641
5669
5689
5701
5783
5791
5813
5821
5839
5861
5897
5903
5923
5927
5939
5953
6007
6011
6037
6043
6091
6101
2a
4086
4112
4732
1102
644
2928
308
3466
4810 .
4156
158
1948
1482
1702
4726
1710
1150
1826
4802
666
5206
3438
3196
938
2032
2672
4580
5258
2218
2680
348
2450
2200
1258
4284
1150
2308
3554
2996
3970
5000
4240
3642
342
5014
3274
912
5870
3396
1226
702
2008
I
6173
6217
6247
6257
6263
6287
6317
6329
6337
6343
6367
6373
6379
6421
6449
6451
6491
6521
6529
6547
6569
6571
6577
6619
6659
6689
6701
6733
6763
6779
6793
6823
6827
6833
6857
6863
6949
6971
6997
2a
5008
5894
4186
1492
3474
4272
3286
4226
4452
5034
2354
5102
1956
750
5820
1190
2838
4226
218
438
4884
5830
3236
346
236
1564
734
1692
1776
1744
1312
1952
3170
2950
4014
5252
5484
1690
4144
6218
6230
3994
2686
4952
4108
2254
5144
6676
6406
2432
2010
1746

ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 11
1
7001
7039
7057
7069
7109
7121
7127
7177
7187
7207
2а
4842
1454
4154
4972
1478
2570
290
1502
6798
962
3906
1670
5774
1
7211
7213
7229
7309
7321
7351
7411
7459
7487
7489
7499
7507
2а
898
1436
6930
6236
324
348
1466»
4712
5286
2500
4250
3642
6924
1
7537
7547
7559
7591
7607
7643
7681
7687
7691
7727
2а
2264
5644
116
2620
3594
5026
368
1246
3216
6516
2218
950
3756
I
7817
7823
7829
7853
7901
7907
7919
7927
7937
7949
7951
• 7963
2а
7346
3298
1392
3494
2472
4286
584
3888
6448
3980
2506
3436
4328
4748
ТАБЛИЦА 12
Иррегулярные простые числа < 125 000, имеющие индекс иррегуляр-
иррегулярности 4 п 5.
В колонке справа указаны номера 2а чисел Бернулли В2а Bа <g Z — 3),
числители которых делятся на I. Таблицы 12 и 13 (а также приведенные
ниже замечанпя) извлечены из статьи [142].
1
12 613
15 737
43 189
56 263
72 337
76 289
77 783
78 233
84 067
94 693
102 559
108 179
109 789
109 843 -
109 891
115 727
115 901
120 557
308
6 352
9 454
10 770
2 346
11860
5 590
10 400
16 322
11 636
6 076
9 344
10 734
16 464
36 552
36 360
33 582
42 760
502
7 454
14 464
21958
15 858
25 284
52 114
32 084
43 722
54 754
50 092
15 048
44 536
25 396
56 682
71 962
68 462
93 110
2а
9 400
12 486
26 380
52 530
44 354
26 406
52 246
46 620
44 246
76 326
54 402
56 432
44 836
27 844
'69 590
101 956
90 922
95 380
10 536
13 078
35 578
55 200
68 030
72 266
73 092
47 364
44 79.
80 650
66162
78 964
105 520
84 202
103 212
112 830
95 722
101 758
64 628
84 726

' ТАБЛИЦЫ 489
Напомним (п. 3 § 7 гл. III), что если для данного I среди чисел Бер-
Бернулли В2, ..., Bi-i имеется ровно г чисел, делящихся на I, то г называется
индексом иррегулярности простого нечетного I. Число I регулярно, если его
индекс иррегулярности равен нулю. Обозначим через Яг(я) число простых
нечетных чисел ^ х, индекс иррегулярности которых равен г. Если к(х)
обозначает число всех нечетных простых чисел, не превосходящих х, то
При х = 125 000 имеем следующую таблицу:
г
пг(х)
0
7128
1
3559
2
875
3
153
4
16
5 | >6
2 ! 0
Таким образом, среди 11733 нечетных простых чисел < 125 000 имеется
7128 регулярных и 4605 иррегулярных.
Основываясь на допущении, что числители чисел Бернулли равномерно
распределены в классах вычетов по любому простому модулю, и привле-
привлекая вероятпостлые соображения, Зигель в работе [129] выдвинул гипотезу,
что среди всех нечетных простых чисел доля регулярных простых чисел
составляет
г-г^^ 0,6065.
т. е. около 61% (об этом мы упоминали в п. 3 § 7 гл. III). Те же эвристи-
эвристические аргументы Зигеля позволяют также предположить, что
¦\ И 1
Приведенная формула довольно хорошо согласуется с табличными данны-
данными, однако мы не имеем никаких подходов к ее доказательству. Если она
верна, то, в частности, получаем, что для любого натурального г существует
бесконечно много иррегулярных простых чисел с индексом иррегулярно-
иррегулярности г (в то же время их плотность очень быстро убывает с увеличением г).
Иррегулярная пара (см. п. 1 § 7 гл. V) вида (I, 1 — 3) впервые появ-
появляется при I = 16 843. Иррегулярные пары вида (i, I — 5) и (I, I — 9) мы
имеем при I '= 37 и I = 67 соответственно. В то же время для всех I <
< 125 000 мы не встречаем ни одной иррегулярной пары вида (I, I — 7).
Согласно одному сравнению Вороного при I == 3 (mod 4) пара (I, (I +
4- 1)/2) всегда регулярна. Если же I == i (mod 4) и 1< 125 000, то
(I, (I — 1)/2)—также регулярная пара. Однако, верно ли это для всех
I з= 1 (mod 4), неизвестно. Последний вопрос особенно интересен в связи с
утверждением задачи 2 § 6 гл. V ([46], [55]).
В пределах / < 125 000 не встречается ни одной иррегулярной пары
(I, 2а), для которой Д2а делилось бы па I2. Однако более вероятным являет-
является предположение, что существуют I, для которых I21 В^а, 2 ^ 2а ^ I — 3.
Известен отрезок из 27 последовательных простых чисел, состоящий
сплошь из регулярных чисел; он начинается с I — 17 881. Наибольший из-
известный отрезок последовательных иррегулярных простых чисел содержит
II простых чисел и начинается с Z = 8597.
В связи в замечанием в конце п. 3 § 7 гл. III (с. 252) интересен вопрос,
как часто встречаются последовательные иррегулярные пары, т. е. пары
вида (I, 2а) и (I, 2а + 2). В пределах таблицы 11 мы встречаем две таких
пары при I = 491 и I = 587. В статье [87] отмечается, что для всех I <
< 30 000 других последовательных иррегулярных пар нет.
Согласно теореме Дирихле (п. 3 § 3 гл. V) при любом модуле m все
простые числа равномерно распределены по классам приведенных вычетов.

490
ТАБЛИЦЫ
Данные работы [142] позволяют предположить, что иррегулярные простыв
числа также равномерно распределяются по всем ц>(т) классам приведен-
приведенных вычетов. Для т = 3, 4, 5 распределенпе иррегулярных простых чисел
< 125 000 по классам вычетов выглядит следующим образом:
т
3
4
г
1
2
1
3
а
2282
2323
2283«
2322
т
5
г
1
2
3
4
а
1114
1193
1149
1149
Здесь в колонке и указано число иррегулярных простых чисел
< 125 000, которые = г (mod m).
ТАБЛИЦА 13
Разложение на простые множители числителей Л^а чисел Бернулли Bia
(в несократимой записи) для 2а ^ 60.
la
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
NZa
1
1
1
1
5
691
7
3617
43867
283-617
11-131-593
103-2294797
13-657931
7-9349-362903
5-1721-1001259881
37-683-305065927
17-151628697551
26315271553053477373
19-154210205991661
137616929-1897170067619
1520097643918070802691
11•59•8089•2947939•1798482437
23•383799511•67568238839737
653•56039 -153289748932447906241
5•5•417202699•47464429777438199
13•577•58741•401029177•4534045619429
39409-660183281-1120412849144121779
7-113161¦163979¦19088082706840550550313
29•67•186707¦6235242049•37349583369104129
2003-5549927•109317926249509865773025015237911

ТАБЛИЦЫ 491
Замечание: В книге [144] содержатся значения чисел Бернулли В2а
для 2а ^ 124. Более обширная таблица чисел Бернулли (для 2а ^ 250)
приведена в статье [153]. В этой работе указаны целые числа С^а та-
такие, что В2а = С2а— ^A/р), где р пробегает простыв числа, для ко-
которых (р — 1) | 2а. В [153] отмечается также, что авторами вычислены
числа Бернулли для 2а ^ 836 и соответствующая таблица передана
на хранение в редакцию журнала (архив UMT — Unpublished Mathematical
Tables).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Помимо работ, цитируемых в тексте, в список литературы включены
несколько книг, сыгравших особенно важную роль в развитии вопросов,
излагаемых в настоящей книге. Конечно, наш перечень весьма далек от
полного. Обширная бяблпографпя, охватывающая работы до 1970 г., приве-
приведена в книге [33].
I. МОНОГРАФИИ И ОБЗОРЫ
1. Алгебраическая теория чисел/Под ред. Касселса Дж., Фрёлиха А.—
М.: Мир, 1969.
2. Боревич 3. И., Ш а ф а р е в и ч И. Р. Теория чисел.— М.: Наука,.
1964; 2-е изд., 1972.
3. Б о х н е р С, Мартин У. Т. Функции многих комплексных пере-
переменных.—М.: ИЛ, 1951.
4. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.— М.: Мир, 1971.
5. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.—М.: Наука, 1976; 2-е изд. 1979.
6. В е й л ь А. Основы теории чисел.— М.: Мир, 1972.
7. В о р о н о й Г. Ф. Собрание сочинений.— Киев: Изд-во АН УССР,
т. 1 и т. 2, 1952; т. 3, 1953.
8. Г а у с с К. Ф. Арифметические исследования (Disquisitiones arithme-
tieae).— В кп.: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел.— М.: Изд-во АН
СССР, 1959, с. 7—583.
9. Д е л о н е Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей
степени.— Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1940, т. 11, с. 1—340.
10. Дирихле П. Г. Л. Лекции по теории чисел.— М.— Л.: OHTII,
1936.
11. Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных пе-
переменных.— М.: ИЛ, 1954.
12. К а с с е л с Дж. Диофантовы уравнения со специальным рассмотре-
рассмотрением эллиптических кривых.— Математика. Сб. пер., 1968, т. 12, № 1,
с. 113—160; № 2, с. 5—48.
13. К а с с е л с Дж. Рациональные квадратичные формы.— М.: Мир,
1982.
14. Кох X. Теория Галуа р-расширенпй.— М.: Мир, 1973.
15. Ленг С. Алгебраические числа.— М.: Мир, 1966.
16. Ленг С. Алгебра.—М.: Мир, 1968.
17. М а р к у ш е в и ч А. И. Краткий курс теории аналитических функ-
функций. 4-е изд.,— М.: Наука, 1978.
18. М атияс евич Ю. В. Диофантовы множества.—Успехи мат. наук,
1972, т. 27, № 5A67), с. 185—222.
19. Семинар по комплексному умножению.— Математика. Сб. пер., 1968,
т. 12, № 1, с. 55—95.
20. X а с с е X. Лекции по теории чисел.— М.: ИЛ, 1953.
21. Шевалле К. Введение в теорию алгебраических функций от
одной переменной.— М.: Физматгиз, 1959.
22. Э д в а р д с Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение
в алгебраическую теорию чисел.— М.: Мир, 1980.
23. Е i с h 1 е г М. Quadratische Formen und orthogonale Gruppen.— Ber-
Berlin: Springer-Verlag, 1952.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
493
24. Н a s s e H. Uber die Klassenzahl abelscher Zahlkorper.— Berlin: Aka-
4iemie-Verlag, 1952.
25. H a s s e H. Zahlentheorie.— Berlin: Akademie-Verlag 1968.
26. H i 1 b e г t D. Die Theorie der algebraischen ZahlkSrper.— Jahresbe-
ficht Deutsch. Math.— Vereinigung, 1897, Bd. 4, S. 175—546 ' [In.: H i 1-
b e r t D. Gesammelte Abhandlungen.— New York: Chelsea, 1965 S 63—363.]
27. I г e 1 a n d K., Rosen M. A classical introduction to modern num-
number theory.— New York — Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1982.
28. I was a wa K. Lectures on p-adic L-functions.— Ann. Math. Studies
№ 74,—Princeton— New Jersey: Princeton Univ. Press, 1972. ' '
29. L a n g S. Abelian varieties.— New York — London: Interscience Pub-
Publishers, 1959.
30. L a n g S. Diophantine geometry.— New York — London: Interscience
Publishers, 1962.
31. Lang S. Cyclotomic fields.— New York — Heidelberg — Berlin: Sprin-
ger-Verlag, 1978; v. 2, 1980.
32. L a n g S. Units and class groups in number theory and algebraic
geometry.—Bull. Amer. Math. Soc (N. S.), 1982, v. 6, № 3, p. 253—316.
33. N a r k i e w i с z W. Elementary and analytic theory of algebraic num-
numbers.— Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1974.
34. О ' M e a r a 0. T. Introduction to quadratic forms.— Berlin: Springer-
Verlag, 1963.
35. R i b e n b о i m P. 13 lectures on Fermat's last theorem.— New York —
Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1979.
36. Serre J.— P. Formes modulaires et Fonctions zeta p-adiques.— Lect.
Notes Math., 1973, № 350, p. 191—268.
37. Tate J. The arithmetic of elliptic curves.— Inventiones math., 1974,
v. 23, № 3—4, p. 179—2U6.
38. Washington L. C. Introduction to cyclotomic fields.— New York —
Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1932.
39. W e i 1 A. Sur les courbes algebriques et les varietes qui s'en dedui-
sent.— Act. Sci. Ind., JV» 1041.— Paris: Hermann, 1948.
И. СТАТЬИ
40. А б р а ш к ii н В. А. Нахождение двухклассных мнимых квадратич-
квадратичных полей с четным дискриминантом методом Хегнера.— Мат. заметки, 1974,
т. 15 № 2, с. 241—246.
41. Архипов Г. И., Карацуба А. А. О локальном представлении
нуля формой.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, т. 45, № 5, с. 948—961.
42. В е н к о в Б. А. О числе классов бинарных квадратичных форм
отрицательных определителей. I и П.—Изв. АН СССР. Сер. 7, отд. фнз.-мат.
наук, 1928, № 4—5, с. 375—392; № 6—7, с. 455—480. [См. также в кн.: Вен-
Венков Б. А. Исследования по теории чисел. Избранные труды.— Л.: Наука,
1981, с. 91—125.]
43. Голод Е. С, Ш а ф а р е в и ч И. Р. О башне полей классов.—
Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964, т. 28, № 2, с. 261—272.
44. Делоне Б. Н. Решение неопределенного уравнения x*q + у3 = 1.—
Изв. Российской АН. Сер. 6, 1922, т. 16, с. 273—280.
45. Д е м ь я н о в В. Б. О кубических формах в дискретно нормирован-
нормированных полях.— Докл. АН СССР, 1950, т. 74, № 5, с. 889—891.
46. К и с е л е в А. А. Выражение числа классов идеалов вещественных
квадратичных полей через числа Бернулли.— Докл. АН СССР, 1948, т. 61,
№ 5, с. 777—779.
47. К о б е л е в В. В. Доказательство великой теоремы Ферма для всех
простых показателей, меньших 5500,— Докл. АН СССР, 1970, т. 190, № 4,
с, 767—768.

494 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
48. Н и с н е в и ч Л. Б. О числе точек алгебраического многообразия в
простом конечном поле.— Докл. АН СССР, 1954, т. 99, № 1, с. 17—20.
49. Н о в и к о в А. П. О числе классов полей комплексного умноже-
умножения.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, т. 26, № 5, с. 677—686.
50. Н о в и к о в А. П. О числе классов полей, абелевых над квадратпч-
но-мнимым полем.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1967, т. 31, № 3, с. 717—726.
51. С т е п а н о в С. А. Сравнения с двумя неизвестными.— Изв. АН
СССР. Сер. мат., 1972, т. 36, № 4, с. 683—711.
52. Ч е б о т а р е в Н. Г. Определение плотности совокупности простых
чисел, принадлежащих к заданному классу подстановок.— Изв. Российской
АН. Сер. 6, 1923, т. 17, с. 205—250. [См. также в кн.: Чеботарев Н. Г.
Собрание сочинений, т. 1.—М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1949, с. 27—65.]
53. Ш а ф а р е в и ч И. Р. Новсйэ доказательство теоремы Кронекера —
Вебера.—Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1951, т. 38, с. 382—387.
54. A n k e n у N. С, С h о w I a S. The class number of the cyclotomic
field.— Canadian J. Math., 1951, v. 3, № 4, p. 486—494.
55. Ankeny N. C, Chowla S. A further note on the class number
of real quadratic fields.—Acta arithm., 1962, v. 7, № 3, p. 271—272.
56. Ax J. Zeroes of polynomials over finite fields.—Amer. J. Math., 1964,
v. 86, № 2, p. 255—261.
57. A x J., Kochen S. Diofantine problems over local fields. I.— Amer.
J. Math., 1965, v. 57, № 3, p. 605—630.
58. Baker A. Contributions to the theory of diophantine equations.—
Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1968, v, A263, № 1139, p. 173—208.
59. В а к е г A. Imaginary quadratic fields with class number 2.— Ann.
Math., 1971, v. 94, № 1, p. 139—152. [Русский перевод: Математика. Сб. пер.,
1972, т. 16, № 5, с. 3—14.]
60. В а г г и с a n d P., Williams H. С, В a n i u k L. A computatio-
computational technique for determining the class number of a pure cubic field.— Math.
Comput., 1976, v. 30, № 134, p. 312—323.
61. Birch B. J. Homogeneous forms of odd degree in a large number
of variables.— Mathematika, 1957, v. 4, № 8, p. 102—1U5.
62. Birch B. J. Diophantine analysis and modular functions.— Algebr.
Geom., London, 1969. p. 35—42. [Русский перевод: Математика. Сб. пер., 1971,
т. 15, № 3, с. 173—176.]
63. Birch В. J., Lewis D. J., Murphy Т. G. Simultaneous quadra-
quadratic forms.—Amer. J. Math., 1962, v. 84, № 1, p. 110—115.
64. В i г с h B. J., Me С a n n K. A criterion for the p-adic sulubility of
diophantine equations.—Quart. J. Math., 1967, v. 18, JV° 69, p. 59—63.
65. В о m bi e r i E. Counting points on curves over finite fields (d'apres
S. A. Stepanov).— Lect. Notes Math., 1974, № 383, p. 234—241.
66. В r a u e r R. A note on systems of homogeneous algebraic equati-
equations.—Bull. Amer. Math. Soc, 1945, v. 51, p. 749—755.
67. В r ii с k n e r H. Zum ersten Fall der Fermat'schen Vermutung.—
J. reine und angew. Math., 1975, Bd. 274/275, S. 21—26.
68. С a r 1 i t z L. Note on irregular primes.— Proc. Amer. Math. Soc, 1954,
v. 5, № 2, p. 329—331.
69. С о a t e s J. The work of Mazur and Wiles on cyclotomic fields.—
Lect. Notes. Math., 1981, № 901, p. 220—242.
70. Davenport H. Cubic forms in sixteen variables.— Proc. Roy. Soc,
London, 1963, v. A272, № 1350, p. 285—303.
71. D a v e n p о r t H., Lewis D. J. Homogeneous additive equations.—
Proc. Roy. Soc, London, 1963, v. A274, № 1359, p. 443—460.
72. D e n e f J. The rationality of the Poincare series associated to the
p-adic points on a variety.— Inventiones math., 1984, v. 77, № 1, p. 1—23.
73. D e u r i n g M. Imaginare quadratische Zahlkorper mit der Klassen-
zahl Eins.— Inventiones math., 1968, v. 5, № 3, p. 169—179.
74. D i a z у D i a z F. On some families of imaginary quadratic fields.—
Math. Comput., 1978, v. 32, № 142, p. 637—650.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 495
75. Е i с h 1 е г М. Eine Bemerkung zur Fermat'schen Vermutung.— Acta
arithm., 1965, v. 11, № 1, p. 129—131.
76. F a 11 i n g s G. Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten tiber Zahl-
Zahlkorpern.— Inventiones math., 1983, v. 73, № 3, p. 349—366.
77. G г о s s В., Z a g i e г D. Points de Heegner et derivees de functi-
functions.— С. г. Acad. Sci., Paris, 1983, t. 297, ser. 1, № 2, p. 85—88.
78. H a s s e H. Zur Geschlechtertheorie in quadratischen Zahlkorpern.—
J. Math. Soc. Japan, 1951, v. 3, № 1, p. 45—51.
79. H e a t h - В г о w n D. R. Cubic forms in ten variables.— Proc. London
Math. Soc, 1983, v. 47, № 2, p. 225—257.
80. H e с k e E. Bestimmung der Klassenzahl einer neuen Reihe von algeb-
raischen Zahlkorpern.— Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.— phys. Kl., 1921,
№ 1, S. 1—23. [He eke E. Mathematische Werke.—Gottingen: Vanden-
hoeck — Ruprecht, 1970, S. 290—312.]
81. Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunktionen.—Math.
Z., 1952, Bd. 56; № 3, S. 227—253.
82. I g u s a J. Some observations on higher degree characters.— Amer. J.
Math., 1977, v. 99, № 2. p. 393—417.
83. I n с е Е. L. Cycles of reduced ideals in quadratic fields. Mathemati-
Mathematical tables, v. 4.— London: British association for the advancement of science,
1934.
84. I w a s a w a K. A class number formula for cyclotomic fields.— Ann.
Math., 1962, v. 76, № 1, p. 171-179.
85. J e n s e n K. L. Om talleoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske
tal.— Nyt Tidsskrift f. Math., 1915, v. 26, p. 73—83.
86. Johnson W. On the vanishing of the Iwasawa invariant цр for
p < 8000.— Math. Comput., 1973, v. 27, № 122, p. 387—396.
87. Johnson W. Irregular primes and cyclotomic invariants.— Math.
Comput., 1975, v. 29, № 129, p. 113—120.
88. Kenku M. A. Determination of the even discriminants of complex
quadratic fields of class-number 2.— Proc. London Math. Soc, Ser. 3, 1971,
v. 22. № 4, p. 734—746.
89. К n e s e r M. Kleine Losungen der diophantischen Gleichung ax2 +
+ by2,=*cz2.— Abhandl. Math. Scm. Univ. Hamburg, 1959, Bd. 23, S. 163—
173.
90. К u b о t а Т., L e о р о 1 d t H. W. Eine p-adische Theorie der Zeta-
werte.—J. reine und angew. Math., 1964, Bd. 214/215, S. 328—339.
91. Kummer E. E. Algemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes dass die
Gleichung x% + y'~ = z*- durch ganze Zahlen unlosbar ist, fur alle diejenigen
Potenz-Exponenten K, velche ungerade Primzahlen sind und in die Zahlern
der ersten — ^K—3) Bernoulli'schen Zahlen als Faktoren nicht vorkom-
men.— J. reine und angew. Math., 1850, Bd. 40, S. 130—138.
92. Lakein R. B. Computation of the ideal class group of certain comp-
complex quartic fields. II.—Math. Comput, 1975, v. 29. № 129, p. 137—144.
93. Lakein R. B. Review of UMT file; Kuroda S. Table of class
numbers, h(p) greiter than 1, for fields Qdp), p = l (mod 4) s= 2776817.—
Math. Comput., 1975, v. 29, № 129, p. 335—336.
94. Lang S., Weil A. Number of points of varieties in finite fields.—
Amer. J. Math., 1954, v. 76, № 4, p. 819—827.
95. Lehmer D. H. On Fermat's quotient, base two.— Math. Comput,
1981, v. 36, № 153, p. 289-290.
96. Lehmer D. H., Lehmer E., V a n d i v e r H. S. An application
of high-speed computing to Fermat's last theorem.— Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 1954, v. 40, № 1, p. 25-33. .
97. L e h m e r D. H., M a s 1 e у J. M. Table of the cyclotomic class num-
numbers h*(p) and their factors for 2Ю0 < p < 521.—Math. Comput, 1978, v. 32,
№ 142, p. 577-582.

496 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
98. L е о р о 1 d t H. W. Eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Zah->
len.— Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg, 1958, Bd. 22, S. 131—140.
99. L e о р о 1 d t H. W. Zur Arithmetik in abelschen Zahlkorpern.— J. rei-
ne und angew Math., 1962, Bd. 209, № 1—2, S. 54—71.
100. L e p i s 16 T. On the growth on the first factor of the class number
of the prime cyclotomic field.— Ann. Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, 1974,
№ 577, p. 3—21.
101. Lewis D. J. Cubic homogeneous polynomials over p-adic number
fields.- Ann. Math., 1952, v. 56, № 3, p. 473-478.
102. Linden F. J. van der. Class number computations of real abe-
lian number fields.—Math. Comput, 1982, v. 39, № 160, p. 693—707.
103. L 1 о r e n t e P., О n e t о A. V. On the real cubic fields.— Math. Corn-
put., 1982, v. 39, № 160, p. 689—992. ,
104. M a s 1 e у J. M. Solution of small class number problems for cyclo-
cyclotomic fields.— Compositio Math., 1976, v. 33, № 2, p. 179—186.
105. M a s 1 о у J. M. Class numbers of real cyclic number fields with
small conductor.—Compositio Math., 1978, v. 37, № 3, p. 297—319.
106. M a s 1 e у J. M., Montgomery H. L. Cyclotomic fields with uni-
unique factorization.—J. reine und angew Math., 1976, Bd. 286/287, S. 248—256.
107. Mat tuck A., Tate J. On the inequality of Castelnuovo — Seve-
ri.—Abhandl. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1958, Bd. 22, № 3—4, S. 295—299.
[Русский перевод: Математика. Сб. переводов, 1960, т. 4, № 2, с. 25—28.]
108. Metsankyla Т. Distribution of irregular prime numbers.— J. rei-
reine and angew. Math., 1976, Bd. 282, S. 126—130.
109. M e u s e r D. On the rationality of certain generating functions.—
Math. Ann., 1981, Bd. 256, № 3, S. 303—310.
110. Mirimanoff D. Sur le dernier theoreme de Fermat.— C. r. Acad.
Sci., Paris, 1910, t. 150, № 4, p. 204—206.
11. Neild C, Shanks D. On the 3-rank of quadratic fields and the
Euler product.—Math. Comput., 1974, v. 28, № 125, p. 279—291.
112. Newman M. A table of the first factor for prime cyclotomic
fields.— Math. Comput, 1970, v. 24, № 109, p. 215—219.
113. О d 1 у z k о А. М. Lower bounds for discriminants of number
fields.— Acta aritlim., 1976, v. 29, № 3, p. 275—297.
114. Odlyzko A. M. Lower bounds for discriminants of number fields.
II.— Tohoku Math. J., 1977, v. 29, № 2, p. 209—216.
115. P 1 e a s о n t s P. A. B. Cubic polynomials over algebraic number
fields.— J. Number Theory, 1975, v. 7, № 3, p. 310—344.
П6. Ramachandra K. Some applications of Kronecker's limit for-
formulas.— Ann. Math., 1964, v. 80, № 1, p. 104—148.
117. Re id em ei s ter K. Uber die Relativklassenzahl gewisser rela-
Uvquadratischer Zahlkorper.— Abhandl. math. Semin. Univ, Hamburg, 1929,
Bd. 1, S. 27—48.
118. Rib et K. A modular construction of unramified p-extensions of
Q (up). — Inventiones Math., 1976, v. 34, № 3, p. 151—162.
119. Schmidt W. M. Linearformen mit algebraischen Koeffizienten.
II.— Math. Ann., 1971, Bd. 191, № 1, S. 1—20.
120. S с h о о f R. J. Class groups of complex quadratic fields.— Math.
Comput., 1983, v. 41, № 163, p. 295—302.
121. Seah E., Washington L. C, Williams H. С The calcula-
calculation of a large cubic class number with an application to real cyclotomic
fields.—Math. Comput., 1983, v. 41, № 168, p. 303—305.
122. Self ridge J. L., Nicol С A.; Vandiver H. S.-Proof of Fer-
mat's last theorem for all prime exponents less than 4002.— Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A., 1955, v. 41, № 11, p. 970—973.
123. S e 1 m e r E. S. The diophantine equation ax3 -{- Ъуъ + cz3 = 0.—
Acta Math., 1951, v. 85, № 3—4, p. 203—262.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 497
124. S е 1 m е г Е. S. Tables for the purely cubic field K(Vm). — Avhandl.
utg. Norske vid. Akad. Oslo. Mat.— naturvid. KL, 1955, № 5, p. 1—38.
125. Shanks D. The simplest cubic fields.— Math. Comput., 1974, v. 28,
№ 128, p. 1137—1152.
126. Shanks D. Class groups of the quadratic fields found by F. Diaz
у Diaz.—Math. Comput., 1976, v. 30, № 133, p. 173—178.
127. Shanks D., Serafin R. Quadratic fields with four invariants
divisible by 3.—Malh. Comput., 1973, v. 27, № 121, p. 183—187.
128. Shanks D., Williams H. C. Gunderson's function in Fermat's
last theorem.— Math. Comput, 1981, v. ЗБ, № 153, p. 291—295.
129. S i e g e 1 С L. Zu zwei Bemerkungen Rummers.— Nachr. Akad. Wiss.
Gottingen. II. Math.— Phys. KL, 1964, № 6, S. 51—57.
130. S i e g e 1 C. L. Bernoullische Polynome und quadratische Zahlkor-
per.— Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.—Phys. KL, 1968, № 2, S. 7—38.
[S i e g e 1 С L. Gesammelte Abhandlungen, Bd. 4.— Berlin: Springer-Verlag,
1979, S. 9—40.]
131. Siegel C. L. Uber die Fourierschen Koeffizienten von Modulfor-
mea.— Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.— Phys. KL, 1970, № 3, S. 15—56.
[Siegel С L. Gesammelte Abhandlungen, Bd. 4.— Berlin: Springer Verlag,
1979, S. 98—139.]
132. S k u 1 a L. Divisorentheorie einer Halbgruppe.— Math. Z., 1970,
Bd. 114, Xi 2, S. 113-120.
133. S k u 1 a L. Eine Bemerkung zu dem ersten Fall der Fermat'schen Ver-
mutung.— J. reine und angew. Math., 1972, Bd. 253, S. 1—14.
134. Stark H. M. A complete determination of the complex quadratic
fields of class-number one.— Michigan Math. J., 1967, v. 14, № 1, p. 1—27.
135. Stark H. M. A transcendence theorem for class-number problems.
II.— Ann. Math., 1972, v. 96, № 1, p. 174—209.
136. Stark H. M. On complex quadratic fields with class-number two.—
Math. Comput., 1975, v. 29, № 129, p. 289—302.
137. Terjanian G. Un contre-exemple a une conjecture d'Artin.—
C. r. Acad. Sci., Paris, 1966, t. AB262, № 11, p. A612.
138. U с h i d a K. Class numbers of imaginary abelian number fields,
III.— Tohoku Math. J., 1971, v. 23, № 4, p. 573—580.
139. V a n d i v e r H. S. Fermat's last theorem and- the second factor in
the cyclotomic class number.— Bull. Amer. Math. Soc, 1934, v. 40, № 2,
p. 118—126.
140. V a n d i v e r H. S. Examination of methods of attack of the second
case of Fermat's last theorem.— Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1954, v. 40, № 8,
p. 732—735.
141. W a d a H. A table of ideal class groups of imaginary quadratic
fields.— Proc. Japan Acad., 1970, v. 46 № 5 p. 401—403.
142. W a g s t a f f S. S. (Jr.) The irregular primes to 125 000.— Math. Com-
Comput., 1978, v. 32, № 142, p. 583—591.
143. Warning E. Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Che-
valley.—Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg, 1935, Bd. 11, № 1—2,
S. 76—83.
144. Washington L. С On Fermat's last theorem.— J. reine und an-
angew. Math., 1977, Bd 289, S. 115—117.
145. Wieferich A. Zum letzten Fermatschen Theorem.— J. reine und
angew. Math., 1909, Bd. 136, S. 293—302.
146. Williams H. С Certain pure cubic fields with class-number one.—
Math. Comput., 1977, v. 31, № 138, p. 578—580. •
147. Williams H. C, Broere J. A computational technique for
evaluating L(l, %) and the class number of a real quadratic field.— Math.
Comput., 1976, v. 30, № 136, p. 887—893.
148. Williams H. С., С о r m а с k G., S e a h E. Calculation of the
regulator of a pure cubic field.— Math. Comput., 1980, v. 34, № 150, p. 567—611.

498 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
149. Williams Н. С, D и е с к G. W.. S с h m i d В. К. A rapid method
of evaluating the regulator and class number of a pure cubic field.— Math.
Comput., 1983, v. 41, № 163, p. 235—286.
150. Williams H. C, Shanks D. A note on class-number one in
pure cubic fields.— Math. Comput., 1979, v. 33, № 148, p. 1317—1320.
ДОПОЛНЕНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
151. Diaz у Diaz R, Shanks D., Williams H. С Quadratic
fields with 3-rank equal to 4.— Math. Comput., 1979, v. 33, № 146, p. 836—840.
152. Keller W., L 6 h G. The criteria of Kummer and Mirimanoff
extended to include 22 consecutive irregular pairs.— Tokyo J. Math., 1983,
v. 6, № 2. p. 397—402.
153. Knuth D. E., Buckholtz T. J. Computation of tangent, Euler,
and Bernoulli numbers.— Math. Comput., 1967, y. 21, № 100, p. 663—688.
154. К r a s n e r M. Sur le premier cas du theoreme de Fermat.— C. r. Acad.
Sci., Paris, 1934, t. 199, № 4, p. 256—258.
155. Martinet J. Petits discriminants,— Ann. Inst. Fourier, 1979, t. 29,
№ 1, p. 159—170.
156. Tateyama K. On the ideal class groups of some cyclotomic
fields.— Proc. Japan Acad., 1982, v. A58, № 7, p. 333—335.
157. W a d a H . Some computations of criteria of Kummer.— Tokyo J.
Math., 1980, v. 3, № 1, p. 173—176.
158. Y a h a g i O. Construction of number fields with prescribed Z-class
groups.— Tokyo J. Math., 1978, v. 1, № 2, p. 275—283.
159. A d 1 e m a n L. M., Heath-Brown D. R. The first case of Fer-
mat's last theorem.— Inventiones Math., 1985, v. 79, № 2, p. 409—416.
160. F о u v г у Е. Theoreme de Brun — Titchmarsh; application au theoreme
de Fermat— Inventiones Math., 1985, v. 79, № 2, p. 383—407.
161. Heath-Brown D. R. Fermat's last Theorem for «almst all» expo-
exponents.— Bull. London Math. Soc, 1985, v. 17, pt. 1, Л° 64, p. 15—16.

ПЕРЕЧЕНЬ СТАНДАРТНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Z — кольцо целых рациональных чисел
Жр— кольцо целых р-адических чисел
Q — поле рациональных чисел
Ср — поле р-адических чисел
f р = Z/pZ — поле вычетов по простому модулю р
?q = GF (q) — конечное поле, содержащее q элементов
К = Q^— поле вещественных чисел
Rm — вещественное го-мерное пространство
С — поле всех комплексных чисел
К* — мультипликативная группа поля К
Spa = Sp_K/ft(a), Л'(a) — Ns/b(a) —след и норма элемента а из конеч-
конечного расширения К/к поля к
R = R (К) — регулятор поля алгебраических чисел К
Вт — числа Бернулли (в четной нумерации: B2r+i = 0 при г ^ 1)
h = !i (К) — число классов дивизоров поля алгебраических чисел К
h* = h*(p)—первый множитель числа классов дивизоров поля деле-
деления круга па р частей
/г0 = ho(p) —второй множитель числа классов дивизоров поля деле-
деления круга на р частей
'Q(s) —дзета-функция Римана
Ik(s) —дзета-функция Дедекинда
а\Ъ — а делит Ь
a -f 6 — а не делит Ь
а\
— I — символ Лежандра
(a, P) — символ Гильберта в поле р-адических чисел
—1-)—символ Гильберта (для рациональных а и 6) в поле Qp .вклю-
.включая р = оо
[%] —целая часть вещественного числа |
Re a, Ima — вещественная а п мнимая Ъ части комплексного числа
а = а + Ы
A czB — включение, допускающее равенство
cpG?i) —теоретико-числовая функция Эйлера

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная норма дивизора 241
— степень инерции дивизора 241
Абсолютно неприводимый многочлен
17
Абсолютный инвариант 169
— индекс ветвления дивизора 241
Автоморфизм расширения поля 453
Аддитивный характер 23
Алгебраически замкнутое поле 447
Алгебраический элемент расширения
445
Алгебраическое расширение 445
— число 94
Аналитическая кривая 323
— функция 313
Ассоциированные числа модуля 106
— элементы кольца 459
Базис модуля 99
— расширения поля 445
— решетки 118
Бернуллиевы числа 426
Бесконечные простые дивизоры 309
Бинарная квадратичная форма 443
Ведущий модуль числового характе-
характера 470
Вещественное квадратичное поле 152
Вещественный бесконечный простои
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Взаимно простые дивизоры 191
Взаимный базис 451
— модуль 111
Витта группа классов квадратичных
форм 444
Вполне вещественное кубическое по-
поле 481
— разветвленное расширение полно-
полного поля с показателем 290 —
— целозамкнутое кольцо 464
Второй множитель числа классов ди-
дивизоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
Выпуклое множество 129
Вырожденный модуль 329
Вычет ге-й степени 379
Галуа группа 453
Гауссова сумма 21, 365
Гауссова сумма в конечном-поле 458
Гильберта символ 65
Главная единица полного поля с по-
показателем 316
— р-аднческая едпница\39
Главный дивизор 192 \
— идеал 460
— — в поле отношений относитель-
относительно подкольца 463
Группа Вптта классов квадратичных
форм 444
•— классов дивизоров 245
— — подобных модулей квадратич-
квадратичного поля 156, 158
— подобных модулей квадратично-
квадратичного поля 158
— родов 274—275
Дедекиндово кольцо 232
Деление с остатком 186
Делимость идеалов в поле отноше-
отношений дедекпндова кольца 240
Дзета-функция Дедекинда 339
— Римана 350
Диагональная квадратичная форма
439
Дивизор 192, 236
— главный 192
— дробный 236
— единичный 192
•— поля алгебраических чисел 231
— целый 236
Дирихле ряд 362
— характер 470
Дискретная метрика 239
Дискретное множество точек 118
Дискриминант базпса в конечном
расширении 450
— бинарной квадратичной формы
159
— конечного сепарабельного расши-
расширения поля отношений Кольца с
теорией дивизоров 230
¦— полного модуля 110
— поля алгебраических чисел НО
— порядка в поле алгебраических
чисел НО
Дробный идеал 463
в поле отношений относитель-
относительно подкольца 463
d-идеал 464

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
501
Евклидово кольцо 186,
Единица — обратимый элемент коль-
кольца 459
— .р-адическая 28
— поля алгебраических чисел 110
— порядка 106
Единичный дивизор 21, 192
— пдеал кольца 460
— характер 21, 466
Замыкание подмножества в полном
поле 281—282
Идеал в поле отношений кольца 463
— кольца 460
Инвариантный класс дивизоров квад-
квадратичного поля 277
Инварианты копечпой абелевои груп-
группы 465
Индекс ветвления конечного расши-
расширения полного поля с показателем
287
показателя 207
— — простого дивизора 217
— иррегулярности простого нечет-
нечетного числа 252, 490
— целого примитивного числа 111
Индуцированный показатель па под-
подполе 207
Иррегулярная пара 423
Иррегулярное простое число 251
Квадратичная форма 438
Квадратичное поле 149
Квадратичный 'числовой характер
266
Класс Вптта квадратичных форм 444
— вычетов 459
— дивизоров 245
— подобных модулей 143
Кольцо аналитических функций на
локальном многообразии 332
— классов вычетов по модулю эле-
элемента 459
— — — — — дивизора 231
— Крулля 201
— множителей 103
— показателя 203
— с теорией дивизоров 191, 192
— целых чисел алгебраического чи-
числового поля 109
— — элементов полного поля отно-
относительно показателя 282
Комплексный бесконечный простой
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Конечное поле 456
— расширение поля 444
Конечный простой дивизор 309
Конус в вещественном пространстве
341
Кривая, принадлежащая локальному
многообразию 335
Круговое поле 355
Круговой многочлен 356
Логарифмическое изображение вл-
гебраических чисел 122
— пространство 122
Локальное аналитическое многообра-
многообразие 332
Локальный метод 280
Максимальный идеал 464
Метризованное поле 41
Метрика архимедова 47
— дпскретпая 293
— поля 41
— неархимедова 47
— нормированная 310
— р-адпческая 33
— у-адическая 306
— тривиальная 41
Минимальный идеал 240
— многочлен алгебраического эле-
элемента 445
Мнимое квадратичное поле 152
Многочлен Эйзенштейна 111, 229
Множитель полного модуля 103
Модуль в поле алгебраических чисел
97
Модулярная фигура 168
— функция 168
— эквивалентность 168
Мультипликативный характер 20
Неполная разложимая форма 99
— решетка 118
Неполный модуль 99
Неприводимое локальное многообра-
многообразие 332
Непримитивный характер 469
Неразветвленное расширение полно-
полного поля с показателем 290
Неразветвленный простой дивизор в
конечном расширении 226
Несепарабельный элемент алгебраи-
алгебраического расширения 452
Нечетный числовой характер 367
Нётерово кольцо 239
Норма дивизора 219
— модуля 144
— точки 115'
— элемента 448

502
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нормальное расширение поля 452
Нормированная гауссова сумма 385
— метрика 310
Нулевой идеал кольца 460
Обобщенные числа Бернулли 432—
433
Образующие модуля 97
Обратимый элемент кольца 459
Общее наименьшее кратное дивизо-
дивизоров 191, 237
Общий наибольший делитель диви-
дивизоров 191, 237
Ограниченная р-адическая последо-
последовательность 35
Ограниченное множество точек 118
Однозначность разложения па мно-
множители 185
Одиоклассное поле алгебраических
члсел 247
Определитель квадратичной формы
438
Основная единица вещественного
квадратичного поля 152
Основной параллелепипед решетки
119
Основные единицы поля алгебраиче-
алгебраических чисел 133
порядка 133
Первый множитель числа классов
дивизоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
Период приведенного числа вещест-
вещественного квадратичного поля 173
Подобие модулей в поле алгебраиче-
алгебраических чисел 98
— — квадратичного поля в узком
смысле 159
Показатель поля 196
— р-адический 30, 199
Поле алгебраических чисел 94
— вычетов показателя 203
— — полного поля с показателем
282
— Галуа 453
— инерции конечного расширения
полного поля с показателем 290
' — отношений кольца 461
— р-адических чисел 32
— р-адических чисел 309
— формальных степенных рядов 290
Полная разложимая форма 99
— решетка 118
— система вычетов 459
Полное метризованное поле 42
— поле относительно показателя 282
Полный модуль 99
Пополнение р-адическое 281
— поля по метрике 42
— — — показателю 281
Порядок в поле алгебраических чи-
чисел 104
Представление нуля квадратичной
формой 439
— элементов поля квадратичной
формой 439
Приведенное число вещественного
квадратичного поля 172
— — мнимого квадратичного поля
167
Приведенный базис плоской решет-
решетки 164
— модуль вещественного квадратич-
квадратичного поля 172
мнимого квадратичного поля
167
Приводимое локальное многообразие
332
Примитивная форма 159
Примитивное число поля алгебраи-
алгебраических чисел 95
Примитивный многочлен в полном
поле с показателем 303
— числовой характер 469
— элемент конечного расширения
446
Продолжение показателя 207
Произведение дробных идеалов 463
— идеалов 460
— классов подобных модулей квад-
квадратичного поля 157
— модулей 110
Промежуточное поле 444
Простое конечное расширение 446
Простой дивизор 192
— идеал 240
— элемент кольца 185
Прямая сумма квадратичных форм
439
Пуанкаре ряд 55
р-адический регулятор вполне ве-
вещественного поля алгебраических
чисел 416
р-адическое продолжение дзета-
функции Рнмапа 434
р-целое рациональное число 29
Разветвленный простой дивизор в
конечном расширении 226
Разложимая форма 94
Расширение Галуа 453
— поля 444
Регулярное простое число 251
Регулятор поля алгебраических чи-
чисел 134
— порядка 134

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
503
Решетка в вещественном пространст-
пространстве 118
Род бинарных квадратичных форм
270
— дивизоров в квадратичном Боле
274
Ряд Дирихле 362
— Пуанкаре 55
Свойство поля Сг 69
Сдвиг множества 119
Сепарабельное расширение 450
Сепарабельный элемент алгебралче-
ского расширения 452
Символ Гильберта 65
— Хассе 73
Система образующих модуля 97
След элемента 448
Собственная эквивалентность бипар-
ных квадратичных форм 159
Сопряженное поле 452
Сопряженный изоморфизм поля ал-
алгебраических чисел ИЗ
— элемент 452
Соседнее слева приведешюе число в
вещественном квадратичном поле
173
— справа приведенное число в ве-
вещественном квадратичном поле
173
Сравнимость элементов кольца по
модулю дивизора 231
Степенной ряд 312
Степень пнерции конечного расши-
расширения полного поля с показателем
287
— — простого дивизора относитель-
относительно подполя 221
— конечного расширения поля 444,
445
Сумма Гаусса 21
— идеалов в поле отпошений деде-
киндова кольца 240
Сходимость в метризованном поле
41
— р-адическая 37
Теория дивизоров 191
— полей классов 267
Тождество Эйлера 340, 353
Топологический изоморфизм 42
Трансцендентный элемент расшире-
расширения поля 445
Тривиальная метрика 41
Удобные числа Эйлера 273, 481
Умножение дивизоров 235
Умножение полных модулей в по-
полях алгебраических чпеел 110
Унимодулярная матрица 93
Фактор-кольцо 461
Фундаментальная область 341
— последовательность 42
Фундаментальный базис конечного
расширения полного поля с пока-
показателем 287
— — поля алгебраических чисел
НО
— — целого замыкания кольца по-
показателя 221
Функция Эйлера на дивизорах 259
Характер абелевой группы 465
— Дирихле 470
— единичный 21
— квадратичного поля 266
Характеристический многочлен 447
Хассе символ 73
Целое алгебраическое число 109
— замыкание кольца 462
— р-адпческое число 26
Целозамкнутое кольцо 462
Целочисленная эквивалентность
форм 93
Целый идеал в поле отношений от-
относительно подкольца 463
— элемент относительно кольца 461
— — — показателя 203
— — полного поля с показателем
282
Центрально симметричное множест-
множество 129
Четпый числовой характер 367
Числа Бернулли 426
Числовой характер 468
Число классов дивизоров 245
Чисто кубическое поле 112
— несепарабельное расширение по-
ля 453
— несепарабельный элемент 453
Эйзенштейна многочлен 111, 229
Эйлера тождество 340, 353
— функция на дивизорах 259
Эквивалентность дивизоров 244
— — квадратичного поля в узком
смысле 268
— квадратичных форм 438
— метрик 47
Эффективность задания решетки 140

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..... 7
Глава I. Сравнения 9
§ 1. Сравнения по простому модулю 11
1. Суммы степеней вычетов A1). 2. Теоремы о числе решений
сравнений A2). 3. Квадратичные формы но простому модулю
§ 2. Тригонометрические суммы 1о
1. Сравнения и тригонометрические суммы A6). 2. Суммы сте-
степеней A9). 3. Модуль гауссовой суммы B2).
§ 3. /7-адические числа 25
1. Целые р-адическне числа B5). 2. Кольцо целых р-адических
чисел B8). 3. Дробные р-адические числа C1). 4. Сходимость в
поле р-адических чисел C2).
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел . 40
1. Метризованные поля D0): 2. Метрики поля рациональных чи-
чисел D5).
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа 48
1. Сравнения и уравнения в кольце Zp D8). 2. О разрешимо-
разрешимости некотор'ых сравнении E0).
§ 6. Квадратичные формы с р-адическими коэффициентами . . 58
1. Квадраты в поле р-адических чисел E8). 2. Представление
нуля р-адическимп квадратичными формами E9). 3. Бинарные
формы F2). 4. Эквивалентность бинарных форм F6). 5. Заме-
Замечания о формах высших степеней F8).
§ 7. Рациональные квадратичные формы 75
1. Теорема Минковского — Хассе G5). 2. Формы от трех пере-
переменных G7). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Фор-
Формы от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквива-
эквивалентность (86). 6. Замечания о формах высших степеней (87).
Глава II. Представление чисел разложимыми формами ... 91
§ 1. Разложимые формы 92
1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение
разложимых форм (94). 3. Модули (97).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей 99
1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей A03). 3. Едини-
Единицы A05). 4. Максимальный порядок A08). 5. Дискриминант
полного модуля A10).
§ 3. Геометрический метод 112
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел A12).
2. Решетки A17). 3. Логарифмическое пространство A21).
4. Геометрическое изображение единиц A23). 5. Первые сведе-
сведения о группе единиц A24).
§ 4. Группа единиц 126
1. Критерий иолноты решетки A26). 2. Лемма Минковского
A27). 3. Структура группы единиц A31). 4. Регулятор A33).

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел пол-
полными разложимыми формами 136
1. Единицы с нормой +1 A36). 2. Общин вид решений уравне-
уравнения N(\i) — а A37). 3. Эффективное построение системы основ-
основных единиц A38). 4. Числа модуля с данной нормой A42).
§ 6. Классы модулей 143
1. Норма модуля A43). 2. Конечность чпсла классов A46).
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами . 149
1. Квадратичные поля A49). 2. Порядки в квадратичном по-
поле A50). 3. Еднннпы A52). 4. Модули A55). 5. Соответствие
между модулями п формами A58). 6. Представление чпсел би-
нарнымп формами п подобие модулей A61). 7. Подобие моду-
модулей в мнимом квадратичном поле A64).
Глава III. Теория делимости ........... 175
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма 175
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители A75).
2. Кольцо Z[?] A77). 3. Теорема Ферма в случае однозначно-
однозначности разложения на множители A80).
§ 2. Разложение на множители 184
1. Простые множители A84). 2. Однозначность разложения
(i85). 3. Примеры неоднозначного разложения A87).
§ 3. Дившоры 190
1. Аксиоматическое описание дивизоров A90). „2. Единствен-
Единственность A92). 3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров
A95). 4. Связь теории дивизоров с показателями A95).
§ 4. Показатели 202
1. Простейшие свойства показателей B02). 2. Независимость
показателей B03). 3. Продолжение показателей B06). 4. Су-
Существование продолжений B11).
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения .... 214
1. Существование B14). 2. Норма дивизоров B16). 3. Степень
инерции B20). 4. Конечность числа разветвленных простых ди-
дивизоров B20).
§ 6. Дедекпндовы кольца 231
1. Сравнения по модулю дивизора B31). 2. Сравнения в деде-
нппдовых кольцах B32). 3. Дивизоры п идеалы B34). 4. Дроб-
Дробные дивизоры B36).
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел 241
1. Абсолютная норма дивизора B41). 2. Классы дивизоров B44).
3. Приложение к теореме Ферма B50). 4. Вопросы эффектив-
эффективности B53).
§ 8. Квадратичное поле 262
1. Простые дивизоры B62). 2. Закон разложения B64). 3. Пред-
Представление чисел бинарными квадратичными формамп B67).
4. Роды дивизоров' B73).
Добавление при корректуре 279
Глава IV. Локальный метод . . . 280
§ 1. Поля, полные относительно показателей 280
1. Пополнение поля по показателю B80). 2. Представление
элементов в виде рядов B82). 3. Конечные расширения полного
поля с показателем B85). 4. Целые элементы B87). 5. Поля
формальных степенных рядов B90).
§ 2. Конечные расширения поля с показателем 295
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с по-
показателем ,..,...,,»,,,,, 301

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел 306
1. Описание метрик C06). 2. Соотношение между метриками
C10).
§ 5. Аналитические функции в полных полях 312
1. Степенные ряды C12). 2. Показательная и логарифмическая
функция C14).
§ 6. Метод Сколема 319
1. Представление чисел неполными разложимыми формами
C19). 2. Связь с локальными аналитическими многообразия-
многообразиями C21). 3. Теорема Туэ C24). 4. Замечания о формах с боль-
большим числом переменных C29).
§ 7. Локальные аналитические многообразия 331
Глава V. Аналитический метод . 339
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров . . 339
1. Дзета-функция Дедекпнда C39). 2. Фундаментальная об-
область C43). 3. Вычисление объема C45). 4. Принцип Дирихле
C50). 5. Тождество Эйлера C53).
§ 2. Число классов дивизоров кругового поля 355
1. Неприводимость кругового многочлена C55). 2. Закон разло-
разложения в круговом поле C58). 3. Выражение h через значения
L-рядов C59). 4. Суммирование рядов ЛA, "/) C64). 5. Ряды
L(l, %) для примитивных характеров C66).
§ 3. Простые дивизоры первой степени 370
1. Существование простых дивизоров первой степени C-70).
2. Характеризация нормальных расширений законами разло-
разложения простых дивизоров первой степени C71). 3. Теорема
Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии C74).
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля 379
1. Формула для числа классов дивизоров C79). 2. Характер
квадратичного поля C84). 3. Гауссовы суммы для квадратич-
квадратичных характеров C85).
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга на простое чис-
число частей 392
1. Разложение числа h на два множителя C92). 2. Множитель
h0 C95). 3. Множитель fc* D00). 4. Условие взаимпой простоты
/г* -с I D02). 5. Замечапие об операторной структуре группы
классов дивизоров D04).
§ 6. Условие регулярности 407
1. Поле I-адических чисел D07). 2. Некоторые вспомогательные
сравнения D11). 3. Базнс вещественных целых 1-адических
чисел в случае (ft*, I) = 1 D13). 4. Критерий регулярности п
лемма Куммера D17).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей . 419
1. Теорема Ферма D19). 2. Бесконечность числа иррегулярных
простых чисел D25).
§ 8. Числа Бернулли ,.,...,.,,... 426
Алгебраическое дополнение , . 438
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристи-
характеристики Ф 2 438
1.Эквивалентность квадратичных форм D38). 2. Прямая сумма
квадратичных форм D39). 3. Представление элементов поля
D41). 4. Бинарные квадратичные формы D43).

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Алгебраические расширения 444
1. Конечные расширения D44). 2. Норма и след D47). 3. Сепа-
рабельные расширения D50). 4. Нормальные расширения D52).
§ 3. Конечные поля 454
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах .... 458
1. Делимость в кольцах D58). 2. Идеалы D60). 3. Целые эле-
элементы D61). 4. Дробные идеалы D63).
§ 5. Характеры 465
1. Строение конечных абелевых групп D65). 2. Характеры ко-
конечных абелевых групп D65). 3. Числовые характеры D68).
Таблицы ' . . 472
Список литературы 492
Перечень стандартных обозначений 499
Предметный указатель 500