/
Text
Б. Л. ван дер ВАРДЕН
АЛГЕБРА
ОГЛАВЛЕНИЕ
Нредисловие редактора 9
Из предисловий автора 10
Схема зависимости глав 14
Введение 15
Глава первая
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
§1. Множества 17
§ 2. Отображения. Мощности 19
§ 3. Натуральный ряд 20
§ 4. Конечные и счетные множества 24
§ 5. Разбиение на классы 26
Глава вторая
ГРУППЫ
§ 6. Понятие группы 28
§ 7. Подгруппы 35
§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы 39
§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы 42
§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы 45
Глава третья
КОЛБЦА, ТЕЛА И НОЛЯ
§11. Кольца 49
§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы 56
§ 13. Построение частных 57
§ 14. Кольца многочленов 60
§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов 64
§ 16. Делимость. Простые идеалы 69
§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов 71
§ 18. Разложение на множители 75
Глава четвертая
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 19. Векторные пространства 80
§ 20. Инвариантность размерности 83
§ 21. Двойственное векторное пространство 86
§ 22. Линейные уравнения над телом 88
§ 23. Линейные преобразования 90
§ 24. Тензоры 95
§ 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители 97
§ 26. Тензорное произведение, свертка и след 102
Глава пятая
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 27. Дифференцирование 105
§ 28. Корни 106
§ 29. Интерполяционные формулы 108
§ 30. Разложение на множители 113
§31. Признаки неразложимости 117
§32. Разложение на множители в конечное число шагов 119
§33. Симметрические функции 121
§ 34. Результант двух многочленов 124
§35. Результант как симметрическая функцпя корней 128
§36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби 131
Глава шестая
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
§ 37. Подтело. Простое тело 134
§ 38. Присоединение 136
§ 39. Простые расшпренпя 138
§ 40. Конечные расшпренпя тел 143
§41. Алгебраические расшпренпя 145
§ 42. Корни из единицы 150
§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела) 155
§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расшпренпя 159
§ 45. Совершенные и несовершенные поля 164
§ 46. Простота алгебраических расшпрений. Теорема о примитивном 165
элементе
§ 47. Пормы и следы 167
Глава седьмая
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 48. Группы с операторами 171
§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы 173
174
§51. Пормальные и композиционные ряды 176
§ 52. Группы порядка р" 180
§ 53. Прямые произведенпя 181
§ 54. Групповые характеры 184
§55. Простота знакопеременной группы 189
§ 56. Транзитивность и примитивность 191
Глава восьмая
ТЕОРИЯ ГАЛУА
§ 57. Группа Галуа 194
§58. Основная теорема теории Галуа 197
§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля 200
§ 60. Поля деления круга 202
§61. Циклические поля и двучленные уравнения 209
§ 62. Решение уравнений в радикалах 211
§ 63. Общее уравнение n-й степени 215
§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней 218
§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки 224
§ 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 229
§ 67 Пормальные базисы 232
Глава девятая
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 68. Упорядоченные множества 237
§ 69. Аксиома выбора и лемма Цорна 238
§ 70. Теорема Цермело 241
§71. Трансфинитная индукция 242
Глава десятая
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§ 72. Алгебраически замкнутые поля 244
§ 73. Простые трансцендентные расширения 250
§ 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость 254
§75. Степень трансцендентности 257
§76. Дифференцирование алгебраических функций 259
Глава одиннадцатая
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
§ 77. Упорядоченные поля 266
§ 78. Определение вещественных чисел 269
§79. Корни вещественных функций 278
§ 80. Поле комплексных чисел 282
§81. Алгебраическая теория вещественных полей 285
§ 82. Теоремы существования для формально вещественных полей , 290
§ 83 Суммы квадратов 294
Глава двенадцатая
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 84. Модули над произвольным кольцом 297
§ 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители 299
§ 86. Основная теорема об абелевых группах 303
§ 87. Представления и модули представлений 307
§88. Пормальные формы матрицы над полем 311
§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция 314
§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы 317
§91. Антисимметрические билинейные формы 326
Глава тринадцатая
АЛГЕБРБ1
§ 92. Прямые суммы и пересечения 331
§ 93. Примеры алгебр 334
§ 94. Произведения и скрещенные произведения 340
§ 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 347
§ 96. Малый и большой радикалы 351
§ 97. Звездное произведение 355
§ 98. Кольца с условием минимальности 357
§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра 362
§ 100. Простые и примитивные кольца 365
§101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы 368
§102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах 371
§103. Поведение алгебр при расшпрении основного поля 372
Глава четырнадцатая
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§ 104. Постановка задачи 378
§ 105. Представления алгебр 379
§ 106. Представления центра 384
§ 107. Следы и характеры 386
§ 108. Представления конечных групп 388
§109. Групповые характеры 392
§110. Представления симметрических групп 398
§111. Полугруппы линейных преобразований 401
§112. Двойные модули и произведения алгебр 404
§113. Поля разложения простых алгебр 410
§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов 413
Глава пятнадцатая
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§115. Пётеровы кольца 421
§116. Произведения и частные идеалов 425
§117. Простые идеалы и примарные идеалы 429
§ Пи. Общая теорема о разложении 434
§ 119. Теорема единственности 438
§ 120. Изолированные компоненты и символические степени 441
§121. Теория взаимно простых идеалов 444
§122. Однократные идеалы 447
§ 123. Кольца частных 450
§ 124. Пересечение всех степеней идеала 452
§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых 455
кольцах
Глава шестнадцатая
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕПОВ
§ 126. Алгебраические многообразия 459
§127. Универсальное поле 462
§128. Корни простого идеала 463
§129. Размерность 466
§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных 468
уравнений
§131. Примарные идеалы 471
§132. Основная теорема Петера 474
§133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным 478
Глава семнадцатая
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 134. Конечные R-модули 482
§135. Элементы, целые над кольцом 484
л 136. Целые элементы в поле 487
§ 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов 493
§138. Обращение и дополнение полученных результатов 496
§ 139. Дробные идеалы 499
§ 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах 501
Глава восемнадцатая
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
§ 141. Нормирования 509
§ 142. Пополнения 515
§143. Нормирования поля рациональных чисел 521
§ 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного поля 524
§145. Нормирование алгебраических расшпрений: общий случай , 531
§ 146. Нормирования полей алгебраических чисел 633
§147. Нормирования поля рациональных функций А(х) 539
§ 148. Аппроксимационная теорема 542
Глава девятнадцатая
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§149. Разложения в ряды по степеням униформизпрующих 545
§ 150. Дивизоры и их кратные 550
§151. Род g 554
§ 152. Векторы и ковекторы 557
§153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности 560
§ 154. Теорема Римана—Роха 564
§ 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей 568
§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае 569
§ 157. Доказательство теоремы о вычетах 574
Глава двадцатая
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
§158. Понятие топологического пространства 580
§ 159. Базисы окрестностей 581
§ 160. Непрерывность. Пределы 583
§ 161. Аксиомы отделимости и счетности 584
§ 162. Топологические группы 585
§ 163. Окрестности единицы 586
§ 164. Подгруппы и факторгруппы 588
§ 165. Т-кольца и Т-тела 589
§ 166. Нополнение групп с помощью фундаментальных 591 последовательностей
§ 167. Фильтры 595
§ 168. Нополнение группы с помощью фильтров Коши 598
§ 169. Топологические векторные пространства 602
§ 170. Нополнение колец 604
§ 171. Нополнение тел 606
Предметный указатель 608
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев дифференциал 569 — Грассмана 337
Абелева группа 28 — кватернионов 334
Абелево расширение 196 обобщенных 334
— уравнение 196 — Клиффорда 339
Абсолютная величина 266 вторая 339
— неразложимость 129 — полупростая 352
Абсолютно неприводимое — простая 345
представление 383 — с делением 349
— целая алгебраическая функция 485 — центральная 344
Автоморфизм 43 — циклическая 345
— внешний 43 Алгебраическая функция одной
— внутренний 43 переменной 261
Аддитивная группа 29 целая 485
кольца 50 абсолютно 485
Аксиома Архимеда 268 Алгебраически зависимое множество
— выбора 238 256
— отделимости вторая 584 — зависимый элемент 254, 256
первая 584 — замкнутое поле 165, 244, 545
— пополняемое™ тел 607 — независимое множество 256
— сильной пополняемое™ 599 — независимые элементы 255
— слабой пополняемое™ 592 Алгебраический элемент 139
— счетности первая 584 целый 484
— Хаусдорфа 584 Алгебраическое многообразие 459
Аксиомы Пеано 20 — расширение 145
Алгебра 330 максимальное 244
— ассоциативная 330 простое 139
— число 142
-----целое 485
Алгоритм деления 64, 75
— Евклида 73
Альтернативное кольцо 330
Альтернированная билинейная
форма 97
Антисимметрическая билинейная
форма 97
— полилинейная форма 97
— форма общая 328
Аппроксимационная теорема 544
Арифметическая прогрессия
нулевого порядка 112
-----n-го порядка 112
Архимедово нормирование 522
— поле 268
Ассоциативная алгебра 330
Ассоциированные системы факторов
343
— элементы 76
Ассоциированный идеал примарный
432
-----простой 432
Аффинное пространство 459
Базис векторного пространства 81
— идеала 65
— модуля 482
— нормальный 232
— окрестностей 581, 599
-----пространства 582
— фильтра 596
-----Коши 596
-----сходящийся 597
Базисные множества 582
— окрестности 582
Базисный вектор 81
Базисы двойственные 88
Бесконечная циклическая группа 37
Бесконечное множество 24
Билинейная форма 95
-----альтернированная 97
-----антисимметрическая 97
Большой радикал кольца 353
Брауэрова система факторов 417
Вековое уравнение 317
Вектор 80
— базисный 81
— ковариантный 96
— контравариантный 96
— линейно зависимый от системы
векторов 83
— собственный 314, 323
— степенных рядов 558
Векторное пространство 80
-----двойственное 87
-----каноническое п-мерное 603
-----конечное 81
-----конечномерное 81
-----левое 80
-----модельное п-мерное 83
-----над Q 603
----- правое 80
Векторы линейно зависимые 83
-----независимые 81, 84
— ортогональные 322
Величина абсолютная 266
Верхняя граница 238
— грань 238
Вес многочлена 121
Вещественно замкнутое поле 285
Взаимно однозначное отображение
19
— простые идеалы 444
-----элементы 73
Вложение поля 531
Вложенная компонента идеала 442
Вложенный идеал 442
Внешнее умножение 337
-----грассманово 336
Внешний автоморфизм 43
Внутренний автоморфизм 43
Возможность деления 31
Вполне положительное число 295
— положительный элемент 295
— приводимая группа 184
— приводимое представление 310,
351
----слева кольцо 361
— упорядоченное множество 237
Вращение 323
Всюду конечный дифференциал 563
Вторая аксиома отделимости 584
— алгебра Клиффорда 339
— нормальная форма матрицы 313
— теорема единственности 443
----о разложении 438
Вторая аксиома об изоморфизме 175
— форма индукции 21
Второе соотношение между
характерами 394
Высокий примарный идеал 506
Вычет дифференциала 571
— квадратичный 535
Гамильтонов кватернион 335
Гиперповерхность 468
Главный идеал 65
— порядок 490
Гомоморфизм 45
— групп 45
— модулей 174
— “на” 45
— операторный 173
Гомоморфное отображение 45
Гомоморфный образ 45
Граница верхняя 238
Грань верхняя 238
Грассманова алгебра 337
Грассманово внешнее умножение 336
Группа 28
— абелева 28
— автоморфизмов множества 43
— аддитивная 29
----кольца 50
— Брауэра 414
— вполне проводимая 184
— Галуа 195
-----поля деления круга 204
— дивизоров поля 551
— дискретная 585
— единичная 36
— знакопеременная 36
— импримитивная 192
— интранзитивная 191
— кватернионов 390
— Клейна четверная 44
— кольца аддитивная 50
— комплексная 329
— многочлена 195
— порожденная 37
— примарная 304
— примитивная 192
— простая 176
— разрешимая 180
— с операторами 171
— симметрическая 31
— симплектическая 329
— тела мультипликативная 55
— топологическая 585
— транзитивная 191
— уравнения 195
— характеров 185
— циклическая 37
Группа циклическая бесконечная 37
Групповое кольцо 336
Группы изоморфные 42
-----топологически 586
Двойной модуль 350
Двойственное векторное
пространство 87
Двойственные базисы 88
Двусторонне непрерывный
изоморфизм 521
Двусторонний идеал 65
Двухвалентный тензор 95
Двучленное уравнение 209
Делимость в кольце 69
— вектора на дивизор 558
— дивизоров 552
— идеалов 69
— относительно нормирования 515
Делитель 69
— единицы 75
— матрицы детерминантный 302
-----элементарный 313
— нуля 51
-----левый 51
-----правый 51
— общий наибольший 73
-------идеалов 71
-------v-модулей 493
— собственный 69, 76
Детерминантный делитель матрицы
302
Дивизор дифференциала 566
— единичный 551
— поля 550
— простой 551
— специальный 557
— целый 551
Дивизор-знаменатель 554
Дивизор-числитель 554
Дивизоры линейно независимые 567
— эквивалентные 553
Дискретная группа 585
Дискретное нормирование 514
— пространство 583
Дискриминант 124
— формы 319
Дифференциал абелев 569
— Вейля 563
— конечный всюду 563
-----относительно плейса 571
— первого рода 563
— поля 563
— элементарный второго рода 564
-----третьего рода 564
Дифференциальное отношение 260
— соотношение эйлерово 106
Длина идеала 361
-----примарного 455
— нормального ряда 176
Доказательство методом индукции 20
-------трансфинитной 242
Допустимая нормальная подгруппа
171
— подгруппа 171
Допустимый идеал 347
Дробный идеал 493
Дробь простейшая 132
Евклидово кольцо 72
Единица 28, 75
— кольца 52
— левая 28
— правая 31
Единичная группа 36
— матрица 93
— подстановка 30
— форма квадратичная 321
-----эрмитова 322
Единичный дивизор 551
— идеал 65
— элемент 52
Задача о трисекции угла 227
— об удвоении куба 227
Закон ассоциативности 20, 28
— дистрибутивности 49
— инерции Сильвестра 320
— коммутативности 21, 28
— композиции 28
Замкнутая оболочка 581
Замкнутое множество 239
-----в топологическом пространстве
580
— мультипликативное множество
441
— подмножество по Цорну 239
Звездно обратный элемент 355
-------левый 355
— регулярный идеал 356
-----слева элемент 355
-----элемент 355
Звездное произведение 355
Знак числа 280
Знакопеременная группа 36
Значение многочлена 62
— собственное 323
Идеал 64
—, аннулпрующий модуль 303
— ассоциированный примарный 432
----простой 432
— вложенный 442
— главный 65
— двусторонний 65
— допустимый 347
Идеал дробный 493
— единичный 65
— звездно регулярный 356
— изолированный 442
— левый 65
— максимальный 70
— модулярный 353
— , не имеющий делителей 70
— неприводимый 434
— неразложимый 504
— несмешанный 473
— нильпотентный 351
— нулевой 65
— однократный 448
— отмеченный 450
— порожденный 65
— правый 64
— приводимый 434
— примарный 430
----. высокий 506
----низкий 506
— простой 69
----относительно идеала 428
— сильно примарный 434
— слабо примарный 434
—, соответствующий многообразию
460
— целый 493
Идеалы взаимно простые 444
— квазивзаимно простые 503
— квазправные 501
Идемпотентный элемент 360
Изолированная компонента идеала
442
Изолированное подмножество
множества идеалов 442
Изолированный идеал 442
Изоморфизм 42
— двусторонне непрерывный 521
— над полем 161
— операторный 173
— топологический 521
Изоморфные группы 42
— множества 42
— нормальные ряды 177
Импримитивная группа 192
Инвариантная подгруппа 41
Инвариантное подпространство 308
Инвариантный множитель 302
Инверсно изоморфное кольцо 367
Инверсное кольцо 404
Индекс инерции квадратичной
формы 320
— подгруппы 41
— специальности дивизора 557
— тела 377
Индукция 20
— трансфинитная 242
Интервал открытый 581
Интерполяционная формула
Лагранжа 109
----Ньютона 109
Интранзитивная группа 191
Инъективное отображение 19
Канонический класс 567
Каноническое n-мерное векторное
пространство 603
Касательный конус 477
Квадратичная форма 317
----единичная 321
-----положительно определенная
321
-----полуопределенная 321
Квадратичный вычет 535
Квадратура круга 227
Квазивзаимно простые идеалы 503
Квазиделитель 501
Квазикратное 501
Квазправные идеалы 501
Квазпрегулярный слева элемент 355
Кватернион гамильтонов 335
Класс 17
— вычетов 48, 66
-----отрицательный 272
-----положительный 272
— дивизоров 567
— дифференциалов 567
— идеалов 502
— канонический 567
— смежный левый 40
-----правый 40
— эквивалентности 27
Клиффордова алгебра 339
Ковариантный вектор 96
— тензор 95
Ковектор 87
— , кратный дивизору 563
— последовательности 559
Ковекторы почти равные 577
Кольцевое присоединение
переменной 62, 137
Кольцо 49
— альтернативное 330
— без делителей нуля 52
— вполне приводимое слева 361
— главных идеалов 72
— групповое 336
— евклидово 72
— инверсно изоморфное 367
— инверсное 404
— классов вычетов 68
— коммутативное 50
— Ли 330
— лиево 330
— матричное полное 334
— многочленов 61
Кольцо многочленов от п
переменных 62
— нётерево 421
— нормирования 514
— нулевое 54
— нуль-примарное 452
— полупростое 354
— примитивное 365
— простое 350
— радикальное 353
— рациональное 54
— с единицей 52
-----единичным элементом 52
— тензорное 337
— топологическое 589
— целозамкнутое 486
— целостное 52
— целых гауссовых чисел 74
— частных 450
-----обобщенное 451
— эндоморфизмов 367
-----абелевой группы 173
-----левых 367
-----правых 367
Коммутант группы 48
Коммутативное кольцо 50
— поле 54
Комплекс 39
Комплексная группа 329
Комплексно сопряженное число 284
Композиционный ряд 177
-----примарного идеала 455
— фактор 177
Композиция круговая 355
Компонента вектора 558
— идеала вложенная 442
-----изолированная 442
-----определенная множеством 442
-----примарная 438
Конечное векторное пространство 81
— множество 24
— расширение 143
— тело 155
Конечномерное векторное
пространство 81
Конечный модуль 298
— относительно плейса
дифференциал 571
— М-модуль 482
Константы поля функций 545
Контравариантный вектор 96
— тензор 96
Контраградиентное представление
395
Конус касательный 477
Координаты билинейной формы 95
— вектора 82
— ковектора 87
Корень дифференциала 571
— идеала 459
-----общий 463
— матрицы характеристический 314
— многочлена 459
— первообразный по модулюр 158
— простой 107
— уравнения 139
— функции к-кратный 547
— характеристический 317
— к-кратный 107
— n-й степени из единицы 150
примитивный 151, 153
Корневое подпространство 314
Коэффициент 80
— многочлена старший 61
-------формальный 125
Коэффициенты многочлена 60
— неопределенные 215
Кратная дивизору функция 551 ,
— точка 477
Кратное 69
— общее наименьшее 71
-------идеалов 71
— правое 65
— собственное 69
Кратность корня 148
Кривая 468
— рациональная 253
Критерий Генцельта 480
— неприводимости многообразия
461
— редукции в совершенных полях
524
— целости 538
Кронекерово произведение 392
Круг 581
Круговая композиция 355
Круговое поле 202
Куб 582
Кубическая резольвента 222
Левая единица 28
Левое векторное пространство 80
— частное 348
Левый делитель нуля 51
— звездно обратный элемент 355
— идеал 65
— мультипликатор 172
— обратный элемент 28, 53
— смежный класс 40
— v-модуль 349
Лемма Гензеля 524
— об абелевых группах 151
— основная Бурбаки 240
— Цорна 239
Лиево кольцо 330
Линейная оболочка системы
преобразований 401
Линейная форма 86
— функция 86, 386
Линейно зависимые векторы 83
— независимые векторы 81, 84
-----дивизоры 567
— упорядоченное множество 237
— эквивалентные системы векторов
85
Линейное подпространство 86
— преобразование 90
-----неособое 92
-----ортогональное 323
-----симметрическое 322
-----тождественное 93
-----транспонированное 94
-----упимодулярное 303
-----унитарное 323
-----эрмитово симметрическое 322
— уравнение 89
-----однородное 89
Линейный ранг 86
Локальная норма 575
Максимальное алгебраическое
расширение 244
Максимальный идеал 70
— элемент 239
Малый радикал кольца 352
Матрица 91
— единичная 93
— неособая 92
— обратимая 299
— обратная 93
— преобразования 91
— сопровождающая 312
— транспонированная 95
Матричное кольцо полное 334
— представление алгебры
кватернионов 335
Метод индукции 20
— последовательного исключения 89
Минимальный модуль 350
Минор 101
Многообразие алгебраическое 459
— идеала 459
— неприводимое 461
-----над основным полем 461
— неразложимое 461
-----над основным полем 461
— приводимое 461
-----над основным полем 461
— составное 461 Многочлен 61
— деления круга 154
— неприводимый 76
— несепарабельный 121
— однородный 63
— сепарабельный 161
Многочлен словарно упорядоченный
121
— Содержащий многообразие 460
— характеристический 316
— целочисленный 62
Многочлены равные 61
Множества базисные 582
— изоморфные 42
— непересекающиеся 19
— подобно упорядоченные 42
— равномощные 19
— равные 18
— эквивалентные над полем 256
Множество 17
— алгебраически зависимое 256
-----независимое 256
— бесконечное 24
— вполне упорядоченное 237
— второй ступени 17
— замкнутое 581
-----в топологическом пространств.'
580
— конечное 24
— линейное упорядоченное 237
— малое порядка V 594
— мультипликативно замкнутое 441
— объемлющее 18
— , ограниченное сверху 237
— открытое 581
— полуупорядоченное 237
— произвольно малое 596
— пустое 17
— счетно бесконечное 25
— счетное 25
— упорядоченное 237
— частично упорядоченное 237
Множитель инвариантный 302
Модельное n-мерное векторное
пространство 83
Модуль 29, 172
— двойной 350
— конечный 298
— линейных форм 298
— минимальный 350
— над кольцом 173
— полный 602
— представления 307
Модуль простой 350
— сильно полный 602
— топологический 602
— числа 284
— элемента 266
Модулярный идеал 353
Мощность 19
Мультипликативная группа тела 55
Мультипликативно замкнутое
множество 441
Мультипликатор левый 172
— правый 172
Надидеал 69
Надмножество 18
— собственное 18
Надтело 136
Наибольший общий делитель 73
-------идеалов 71
-------с-модулей 493
Наивысшая размерность идеала 473
Наименьшее общее кратное 71
-------идеалов 425
Натуральный ряд 20
Начало множества 240
Неархимедово нормирование 512
Недискретное нормирование 514
Независимые трансцендентные
элементы 255
Некоммутативное поле 54
Неопределенные коэффициенты 215
Неособая матрица 92
Неособое линейное преобразование
92
Непересекающиеся множества 19
Непрерывная функция 278, 583
----в точке 583
Непрерывно изоморфные поля 521
Непрерывное отображение 583
Неприводимая система 258
Неприводимое многообразие 461
----над основным полем 461
— представление 310
Неприводимый многочлен 76
— случай кубического уравнения 221
Неразложимость абсолютная 129
— уравнения деления круга 204
Неразложимый идеал 504
— элемент 76
Несепарабельное расширение 161
Несепарабельный многочлен 121
— элемент 161
Несмешанный идеал 473
Несовершенное поле 164
Несократимое представление 436
Нетерова система факторов 415
Нётерово кольцо 421
— условие 476
Нечетная подстановка 36
Низкий примарный идеал 506
Нильидеал 357
Нильпотентный идеал 351
— элемент 430
Норма 168
— кватерниона 335
— локальная 575
— матрицы 316
— регулярная 168
Нормализатор элемента 180
Нормальная подгруппа 41
----допустимая 171
— форма матрицы вторая 313
-------первая 312
-------третья 314
Нормальное расширение 149
— уравнение 150
Нормальные ряды изоморфные 177
Нормальный базис 232
— ряд 176
-----без повторений 176
-----над подгруппой 177
-----собственный иримарного
идеала 455
Нормирование 545
— архимедово 522
— дискретное 514
— неархимедово 512
— недискретное 514
— показательное 514
— , соответствующее точке 540
— р-адическое 510
— Г-адическое 511
Нормирования эквивалентные 520
Нормированная система векторов 322
Нормированное поле 509
Нулевое кольцо 54
— решение 90
Нулевой идеал 65
— элемент 29, 50
Нуль-последовательность 270
Нуль-иримарное кольцо 452
Область импримитивности 192
— мультипликаторов 172
— операторов 171
-----правых 602
— транзитивности 191
— целых чисел 22
Обобщение теоремы о корнях
Обобщенное кольцо частных 451
Оболочка замкнутая 581
— линейная системы преобразований
401
Образ гомоморфный 45
— элемента 19
Обратимая матрица 299
Обратимое отображение 299
Обратимый элемент 75
Обратная матрица 93
— подстановка 30
Обратное отображение 19
Обратный элемент 28, 53
----левый 28, 53
----правый 31, 53
Общая антисимметрическая форма
328
— точка многообразия 465
Общее кратное идеалов наименьшее
425
----наименьшее 71
— уравнение n-й степени 215
Общий делитель наибольший 73
-------идеалов 71
-------v-модулей 493
— корень идеала 463
Объединение многообразий 460
— множеств 18
Объемлющее множество 18
Ограниченное сверху множество 237
Однозначность деления 31
Однократный идеал 448
Однородное линейное уравнение 89
Однородный многочлен 63
Окрестности базисные 582
Окрестность нуля 559
— точки 581
----открытая 581
Оператор 171
Операторный гомоморфизм 173
— изоморфизм 173
Определение методом индукции 22
Определитель 98, 100
— Вандермонда 108
— формы 319
Ортогональное линейное
преобразование 323
Ортогональность характеров 397
Ортогональные векторы 322
— пространства 89
Основная лемма Бурбаки 240
— теорема алгебры 283
-----Петера 476
-----о конечных множествах 24
-------разложении на множители
113
-------симметрических функциях
121
-----об абелевых группах 305
-----теории Галуа 197
— форма 322
Основное поле 194
Основные теоремы о линейной
зависимости 83
Открытая окрестность точки 581
Открытое множество 581
Открытый интервал 581
Отмеченный идеал 450
Отношение дифференциальное 260
— разностное k-e 110
— рефлексивное 26
— симметричное 26
— транзитивное 26
— эквивалентности 26
Отображение 19
— взаимно однозначное 19
— гомоморфное 45
— инъективное 19
— непрерывное 583
— обратимое 299
— обратное 19
— сюръективное 19
— топологическое 583
Отрезок множества 240
Отрицательный класс вычетов 272
— элемент 266
Первая аксиома отделимости 584
-----счетности 584
— нормальная форма матрицы 312
— теорема единственности 439
-----о разложении 434
-----об изоморфизме 175
Первое соотношение между
характерами 393
Первообразный корень по модулю р
158
Перемена знаков 280
Переменная 61
Пересечение многообразий 460
— множеств 18
— подгрупп прямое 331
Перестановка циклическая 36
Перестановочные элементы 54
Период f-членный 207
Плейс 546
— неразветвленный 577
Плотное подмножество 581
Поверхность 468
— риманова 546
Подгруппа 35
— допустимая 171
— инвариантная 41
— нормальная 41
-----допустимая 171
— сопряженная 43
— характеристическая 172
Подидеал 69
Подкольцо 64
Подмногообразие 459
Подмножество 17
— замкнутое по Цорну 239
— множества идеалов изолированное
442
— плотное 581
— собственное 18
Подобно упорядоченные множества
42
Подпространства ортогональные 89
Подпространство инвариантное 308
— корневое 314
— линейное 86
Подпространство ортогональное к
вектору 89, 322
Подстановка 29
— единичная 30
— нечетная 36
— обратная 30
— тождественная 30
— четная 36
Подтело 134
Показатель 513
— идеала 433
— корня 161
— многочлена 161
— расширения 164
Показательное нормирование 514
Поле 54
— алгебраически замкнутое 165, 244,
545
— алгебраических функций 568
-----чисел 283
— архимедово 268
— вещественно замкнутое 285
— вещественных чисел 276
— Галуа 155
— деления круга 152
— классов вычетов нормирования
515
— коммутативное 54
— комплексных чисел 282
— констант 545
— корней n-й степени из единицы
152
— круговое 202
— некоммутативное 54
— несовершенное 164
— нормированное 509
— основное 194
— полное относительно
нормирования 516
-----р-адическое 519
— простое 134
— разложения многочлена 145
-----тела 377
— совершенное 161,164
— универсальное 462
— упорядоченное 266
— формально вещественное 285
— частных 57
— р-адических чисел 517
— р-адическое полное 519
Полилинейная форма 97
-----антисимметрическая 97
Полная ортогональная система
векторов 322
Полное матричное кольцо 334
— поле относительно нормирования
516
— разложение алгебры 377
— р-адическое поле 519
Полный модуль 602
Положительная фундаментальная
последовательность 272
Положительно определенная форма
квадратичная 321
-------эрмитова 322
Положительный класс вычетов 272
— элемент 266
Полугруппа 401
— топологическая 600
— центральная 403
Полуопределенная квадратичная
форма 321
Полупростая алгебра 352
Полупростое кольцо 354
Полуупорядоченное множество 237
Полюс дифференциала 571
— функции h-кратный 547
Поля непрерывно изоморфные 521
— порядково изоморфные 268
Полярная форма 317
Пополнение кольца 605
— тела 607
Порождающие элементы 37
Порожденная группа 37
Порожденный идеал 65
Порядково изоморфные поля 268
Порядок главный 490
— группы 32
— дифференциала 571
— малости 596
— функции 547
— элемента 38
Последовательность Коши в Т-
группе 591
— сходящаяся 273, 583
Последовательность
фундаментальная 269, 516
-----в Т-грунпе 591
-------Т-модуле 602
-----положительная 272
Построение методом индукции 22
-------трансфинитной 242
— правильного многоугольника 228
Почти равные конвекторы 577
Правая единица 31
Правила дифференцирования 105
Правое кратное 65
Правый делитель нуля 51
— идеал 64
— мультипликатор 172
— обратный элемент 31, 53
— смежный класс 40
— Q-модуль 602
Предел базиса фильтра 597
— последовательности 273
Представитель класса
эквивалентности 27
Представитель смежного класса 40
Представление абсолютно
неприводимое 383
— алгебры кватернионов матричное
335
— вполне приводимое 310, 351
— группы 378
— кольца 350
-----линейными преобразованиями
307
— контраградиентное 395
— наибольшими примарными
идеалами 438
— неприводимое 310
— несократимое 436
— подстановок циклами 36
— приведенное 310
— приводимое 308
— распадающееся 310
— регулярное 236, 379
— сопряженное 395
— точное 307
Представления эквивалентные 308
Преобразование 29
— линейное 90
-----неособое 92
-----ортогональное 323
-----симметрическое 322
-----тождественное 93
-----транспонированное 94
-----упимодулярное 303
-----унитарное 323
-----эрмитово симметрическое 322
Приведение представления 310
Приводимая система линейных
преобразований 308
Приводимое многообразие 461
-----над основным полем 461
— представление 308
Приводимый идеал 434
Примерная группа 304
— компонента идеала 438
Примарный идеал 430
-----ассоциированный 432
Примитивная группа 192
Примитивное кольцо 365
— расширение 196
— уравнение 196
Примитивный корень h-й степени из
единицы 153
— элемент 165
Принцип индукции 20
-----по делителям 425
— максимума 239
— минимальности для многообразий
460
Присоединение множества 137
Присоединение переменной 62
-----кольцевое 62
— символическое 142
— элемента к телу 137
Прогрессия арифметическая нулевого
порядка 112
-----n-го порядка 112
Продолжение изоморфизма 146
— нормирования 527
Произведение 28, 49
— алгебр 341
— векторных пространств 340
— звездное 355
— идеалов 426
— классов алгебр 413
— комплексов 39
— кронекерово 392
— подстановок 29
— представлений 393
— прямое 181
-----алгебр 233
-----групп 182
— скалярное 87
— скрещенное 342
— сложное 32
— тензорное 102, 340
— фундаментальных
последовательностей 592
Производная многочлена 105
— рациональной функции 260
Произвольно малое множество 596
Прообраз при гомоморфизме 45
— элемента 19
Простая алгебра 345
— группа 176
Простейшая дробь 132
Простое алгебраическое расширение
139
— кольцо 350
— поле 135
— расширение тела 137,165
— тело 134
— трансцендентное расширение 139
— число 76
Простой дивизор 551
— идеал 69
-----ассоциированный 432
-----относительно идеала 428
— корень 107
— модуль 350
— элемент 76
Пространство аффинное 459
— векторное 80
-----двойственное 87
-----конечное 81
-----конечномерное 81
-----левое 80
Пространство векторное модельное
п-мерное 83
-----правое 80
— дискретное 583
— топологическое 580
— хаусдорфово 584
Противоположный элемент 50
Прямая сумма алгебр 333
-----колец 333
Прямое пересечение подгрупп 331
— произведение 181
-----алгебр 233
-----групп 182
Пустое множество 17
Равномощные множества 19
Равные многочлены 61
— множества 18
Радикал 353
— алгебры 352
— кольца большой 353
-----малый 352
Радикальное кольцо 353
Разбиение на классы 40
Разложение алгебры 376
-----полное 377
— тривиальное 76
Размерность векторного
пространства 82
— дивизора 582
— идеала 473
-----наивысшая 473
-----простого 466
— класса дивизоров 567
— многообразия 468
-----неприводимого 466
— иримарного идеала 473
Разностное отношение к-е 110
Разрешимая группа 180
Ранг линейного преобразования 92
— линейный 86
— пространства 86
— системы уравнений 89
— столбцовый 92
— формы 320
Распадающееся представление 310
Расширение 136
— абелево 196
— алгебраическое 145
-----максимальное 244
-----простое 139
— Галуа 149
— идеала 450
— конечное 143
— не редуцирующее группу 200
— несепарабельное 161
— нормальное 149
Расширение примитивное 196
— сепарабельное 161
— тела 137,165
-----простое 137, 165
— трансцендентное простое 139
— циклическое 196
— чисто трансцендентное 257
Расширения сопряженные 141
— эквивалентные 140
Рациональная кривая 253
— целая функция 63
Рационально эквивалентные формы
318
Рациональное кольцо 54
Рациональность неприводимых
представлений 401
Регулярная норма 168
Регулярное представление 236, 379
Регулярный след 168
Редукционная теорема 373
Редуцированная степень корпя 161
-----многочлена 161
-----расширения 164
Резольвента кубическая 222
— Лагранжа 210
Результат 126
Рефлексивное отношение 26
Решение нулевое 90
Риманова поверхность 546
Род поля 557
Ряд композиционный 177
-----иримарного идеала 455
— натуральный 20
— нормальный 176
-----без повторений 176
-----над подгруппой 177
-----собственный иримарного
идеала 455
— степенной формальный 519
— Штурма 280
Ряды нормальные изоморфные 177
Свертка 103
Свойство модулей 64
Сепарабельное расширение 161
Сепарабельный многочлен 161
— элемент 161
Сильно полная Т-группа 597
— полный модуль 602
— примарный идеал 434
Символическая степень идеала 443
Символическое присоединение 142
Симметрическая группа 31
— фупкция 121
-----элементарная 121
Симметрическое линейное
преобразование 322
Симметрическое отношение 26
Симплектическая группа 329
Система векторов нормированная
322
-----полная ортогональная 322
— линейных преобразований
приводимая 308
— неприводимая 258
— окрестностей 582
— результантов 471
— с двойной композицией 49
— , содержащая произвольно малые
множества 596
— уравнений транспонированная 90
— факторов 343
-----брауэрова 417
-----нётерова 415
Системы векторов линейно
эквивалентные 85
— факторов ассоциированные 343
Скаляр 80
Скалярное произведение 87
Скрещенное произведение 342
Слабо полная Т-группа 591
— примарный идеал 434
След 103, 168
— матрицы 103
— представления 386
— регулярный 168
— элемента в представлении 386
Словарно упорядоченный многочлен
121
Словарное упорядочение 121
Сложная сумма 32
Сложное произведение 32
Случай неприводимый кубического
уравнения 221
Смежный класс левый 40
----правый 40
Смешанный тензор 96
Собственное значение 323
— кратное 69
— надмножество 18
— подмножество 18
Собственный вектор 314, 323
— делитель 69, 76
— нормальный ряд примарного
идеала 455
Совершенное ноле 161,164
Содержание многочлена 114
Соотношение дифференциальное
эйлерово 106
— между характерами второе 394
-------первое 394
-------третье 396
-------четвертое 397
Сопровождающая матрица 312
Сопряженная подгруппа 43
Сопряженное представление 395
Сопряженные расширения 141
— элементы 43
Сопряженный характер 395
Составное многообразие 461
Специальный дивизор 557
Сравнимые элементы 48
Старший коэффициент многочлена
61
Степенной ряд формальный 519
Степень 33
— группы подстановок 193
— дивизора 551
— идеала 426
----символическая 443
— класса дивизоров 567
— корня редуппрованная 161
— многочлена 61, 63
-----редуцированная 161
-----формальная 125
— множества 239
— представления 378
— расширения 143
-----редуцированная 161
— трансцендентности 259
— функции 250
— элемента алгебраического 139
Столбцовый ранг 92
Структурная теорема для
полупростых колец 372
— теорема для простых колец 372
-----о кольцах эндоморфизмов 371
-------произведениях 406
Сужение идеала 450
Сумма 29, 49
— идеалов 71
— квадратов 320
— линейных преобразований 94
— матриц 94
— прямая алгебр 333
-----колец 333
— сложная 32
— с-модулей 493
Схема (цифр) 398
— разностей 111
Сходимость базиса фильтра 597
— последовательности 273, 583
Сходящаяся последовательность 273,
583
Счетно бесконечное множество 25
Счетное множество 25
Сюръективное отображение 19
Тело 54
— конечное 155
— простое 134
— топологическое 618
— эндоморфизмов 368
Тензор 95
— двухвалентный 95
— ковариантный 96
— контравариантный 96
— смешанный 96
Тензорное кольцо 337
— произведение 102, 340
Теорема Абеля 217
— аппроксимационная 544
— Бернсайда 402
— Веддерберна 372
— Вейерштрасса 278
— Вильсона 158
— Генцельта о корнях 480
— Гильберта о базисе 421
-------корнях 472
— единственности вторая 443
-----первая 439
— Жордана — Гельдера 179
— Коши 274
— Люрога 252
— Машке 388
— о базисе 421
-----биноме 54
-----верхней грани 275
-----вычетах 573
-----главных идеалов 456
-----гомоморфизмах грунп 47, 173
-------колец 69
-----модулях 374
-----независимости плейсов 549
-------характеров 185
-----примитивном элементе 165
-----продолжении 503
-----разложении вторая 438
-------многообразия 461
-------на множители основная 113
-------первая 434
-------рациональных функций на
простейшие дроби 131
-----сепарабельной порождаемое™
568
-----следе 403
-----среднем 282
-----степенях 144
-----цепях делителей 423
---------, формулировка вторая
423
---------, — первая 423
---------, — третья 425
---------, — четвертая 425
— об автоморфизмах алгебры 405
-----изоморфизме вторая 175
-------первая 175
-----инвариантных множителях 300
-----индексе специальности 563
-----однозначности разложения на
простые множители 78
Теорема об умножении
определителей 99
— основная алгебры 283
-----Нетера 476
-----о конечных множествах 24
-------симметрических фупкцпях
121
-----об абелевых группах 305
-----теории Галуа 197
— Островского 521, 523
— редукционная 373
— Римана— Роха 566
— Ролля 282
— структурная для полупростых
колец 372
-------простых колец 41
-----о кольцах эндоморфизмов 371
-------ироизведенпях 406
— Ферма 158
— Фробениуса — Шура 402
— Цермело 241
— Шрайера 178
— Штейница 245
-----о замене 85
— Штурма 280
— Эйзенштейна 117
Тождественная подстановка 30
Тождественное линейное
преобразование 93
Тождество 93
— Эйлера 106
Топологическая группа 585
— полугруппа 600
Топологически изоморфные группы
586
Топологический изоморфизм 521
— модуль 602
Топологическое кольцо 589
— отображение 583
— пространство 580
— тело 618
Топологпя тела 589
— pv-адическая 590
— р -адическая 591
Точка кратная 477
— многообразпя общая 465
— пространства аффинного 459
-----топологического 581
Точное представление 307
Транзитивная группа 191
Транзитивное отношение 26
Транзитивность целой зависимости
485
Транспозицпя 36
Транспонированная матрица 95
— система уравнений 90
Транспонированное линейное
преобразование 94
Трансфинитная индукцпя 242
Трансформирование 43
Трансцендентное расширение
простое 139
Трансцендентный элемент 139
Третье соотношение между
характерами 396
Третья нормальная форма матрицы
314
Тривиальное разложение 76
Умножение внешнее 337
-----грассманово 336
— матриц 91
Универсальное поле 462
Унимодулярное преобразование 303
Унитарное преобразование 323
Униформизпрующая 547
Уплотнение нормального ряда 176
Упорядочение словарное 121
Упорядоченное множество 237
— поле 266
Уравнение абелево 196
— вековое 317
— двучленное 209
— деления круга 202
— линейное 89
-----однородное 89
— нормальное 150
— общее га-й степени 215
— , определяющее поле 139
— примитивное 196
— характеристическое 316
— циклическое 196
— п-и степени общее 215
Условие максимальности 347, 425
— минимальности 347
— нётерово 476
Условля ортогональности 323
Факторгруппа 47
Факторкольцо 68
Фактормодуль 48
Фактор композиционный 117
— нормального ряда 176
Фильтр 595
— Коши 596
— окрестностей точки 596
— , порожденный базисом 596
Форма 63
— антисимметрическая общая 328
— билинейная 95
-----альтернированная 97
-----антисимметрическая 97
— индукции вторая 21
— квадратичная 317
-----единичная 321
— — положительно определенная
321
-----полуопределенная 321
Форма линейная 86
— матрицы нормальная вторая 313
-------первая 312
-------третья 314
— основная 322
— полилинейная 97
-----антисимметрическая 97
— полярная 317
—, преобразованная к сумме
квадратов 320
— эрмитова 321
-----единичная 322
-----положительно определенная
322
Формальная степень многочлена 125
Формально вещественное поле 285
Формальный старший коэффициент
125
— степенной ряд 519
Формула для полной производной
260, 263
— интерполяционная Лагранжа 109
-----Ньютона 109
Формулы Кардано 220
Формы рационально эквивалентные
318
— эквивалентные над кольцом 318
Фундаментальная
последовательность 269, 516
-----в Т-грунпе 591
-------Т-модуле 602
-----положительная 272
Функция 19
— алгебраическая одной переменной
261
-----целая 485
-------абсолютно 485
— выбора 239
—, кратная дивизору 551
— линейная 86, 386
— матрицы характеристическая 316
— непрерывная 278, 583
—, — в точке 583
— рациональная целая 63
— симметрическая 121
-----элементарная 121
Характер 184
— группы 184
— сопряженный 395
Характеристика поля 135
— тела 135
Характеристическая подгруппа 172
— фупкция матрицы 316
Характеристический корень 317
-----матрицы 314
— многочлен 316
Характеристическое уравнение 316
Хаусдорфово пространство 584
Целая фупкция алгебраическая 485
-----рациональная 63
Целое число 23
Целозамкнутое кольцо 486
-----алгебраическое 485
-----р-адическое 518
Целостное кольцо 52
Целочисленный многочлен 62
Целый дивизор 551
— идеал 493
— элемент 493, 524
-----алгебраический 484
-----над кольцом 484
-----относительно нормирования
514
Центр группы 180
— кольца 344
Централизатор кольца 406
Центральная алгебра 344
— полугруппа 403
Цепь 239
Цикл 36
Циклическая алгебра 345
— группа 37
-----бесконечная 37
— перестановка 36
Циклическое расширение 196
— уравнение 196
Частично упорядоченное множество
237
Частное идеалов 427
— левое 348
— модулей 499
Частные 57
Часть множества 17
Четверная группа Клейна 44
Четвертое соотношение между
характерами 397
Четная подстановка 36
Число алгебраическое 142
-----целое 485
— вполне положительное 295
— комплексно сопряженное 284
— простое 76
— целое 23
— элементов множества 25
— р-адическое 517
-----целое 518
Чисто трансцендентное расширение
257
Эйлерова ф-функция 153
Эйлерово дифференциальное
соотношение 106
Эквивалентные дивизоры 553
— над полем множества 256
— нормирования 520
— представления 308
— расширения 140
Эквивалентные формы над кольцом
318
Элемент алгебраически зависимый
254, 256
— алгебраический 139
-----целый 484
— бесконечного порядка 38
— вполне положительный 295
— второго рода 161
— единичный 52
— звездно обратный 355
-------левый 355
-----регулярный 355
-------слева 355
— идемпотентный 360
— квазпрегулярный слева 355
— максимальный 239
— множества 17
— неразложимый 76
— несепарабельный 161
— нильпотентный 430
— нулевой 29, 50
— обратимый 75
— обратный 28, 53
-----левый 28, 53
-----правый 31, 53
-----отрицательный 31, 53
— отрицательный 266
— первого рода 161
— положительный 266
— примитивный 165
— простой 76
— противоположный 50
— сепарабельный 161
— трансцендентный 139
— целый 493, 524
-----алгебраический 484
-----над кольцом 484
-----относительно нормирования
514
Элементарная симметрическая
функция 121
Элементарный делитель матрицы 313
— дифференциал второго рода 564
-----третьего рода 564
Элементы алгебраически
независимые 255
— ассоциированные 76
— взаимно простые 73
— отделимые друг от друга 586
— перестановочные 54
— порождающие 37
— сопряженные 43
Элементы сравнимые 48, 66
— трансцендентные независимые
255
Эндоморфизм 45
— V-модуля 367
Эрмитова форма 321
-----единичная 322
-----положительно определенная
322
Эрмитово симметрическое
преобразование линейное 322
Ядро гомоморфизма 47
f-членный период 207
fg-цепь 240
h-кратный полюс функции 547
к-е разностное отношение 110
k-кратный корень 107
-----функции 547
n-мерное векторное пространство 83
-------каноническое 603
-------модельное 83
р-адическое нормирование 510
— число 517
-----целое 518
р-группа 181
S-компонента 442
Т-грунпа 585
— сильно полная 597
— слабо полная 591
Т-кольцо 589
Т-модуль 602
Т-поле 589
Ti-пространство 584
Тг-пространство 584
Т-тело 618
v-идеал 507
{gv}-адическая топология 590
li-компонента элемента 359
v-модуль 173
— левый 349
р-адическая топология 591
р-адическое нормирование 511
— поле полное 519
R-модуль конечный 482
Я-порядок 490
(p-функция эйлерова 153
(р -цепь 241
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных
работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чер-
тах в 20-е годы. Итогом этого периода становления явилось пер-
вое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех
пор передний край алгебраических исследований продвинулся да-
леко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, — правда, уже
не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный
учебник основ алгебры. Эволюция книги от издания к изданию
хорошо отражена в предисловиях автора.
Сознание того, что предметом алгебры являются множества
с заданными на них алгебраическими операциями, а точнее —
сами операции, утвердилось полвека назад, однако системати-
ческому изучению долгое время подвергались лишь немногие
типы таких множеств, унаследованные от алгебры XIX века, —
группы, кольца, векторные пространства. Этим классическим
системам и посвящена в основном книга ван дер Вардена.
Дальнейший прогресс в алгебре наметился в середине 30-х го-
дов, когда Биркгоф начал изучение произвольных универсальных
алгебр, а А. И. Мальцев заложил основы еще более общей тео-
рии, пограничной с математической логикой,—теории алгебраи-
ческих систем. Развитие этой теории было вызвано глубокими
внутренними причинами и настоятельными запросами приложе-
ний, в которых все чаще возникали алгебраические системы, не
сводящиеся к классическим. Указанные более поздние исследо-
вания г) остались за рамками книги.
Новосибирск, Академгородок.
10 марта 1975 г. Ю. И. Мерзляков
х) См. Мальцев А. И. Алгебраические системы.—М.: Наука, 1970.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
ПЕРВОГО ТОМА Ч
Во втором издании была существенно расширена теория нор-
мирований. В последнее время она становится все более важной
для теории чисел и алгебраической геометрии. Поэтому здесь я
изложил главу «Теория нормирований» гораздо подробнее и
яснее.
Отвечая многочисленным пожеланиям, я вновь включил раз-
делы о полном порядке и трансфинитной индукции, опущенные
во втором издании, и на этой основе изложил во всей общности
разработанную Штейницем теорию полей.
Благодаря совету Зарисского понятие многочлена удалось
ввести легко и ясно. Кроме того, благодаря любезному замеча-
нию Переманса улучшено изложение теории норм и следов.
Ларен (Северная Голландия), июль 1950. Д. Л. ван дер Варден
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
ПЕРВОГО ТОМА
Недавно скоропостижно скончавшийся алгебраист и теоре-
тико-числовик Бранд закончил рецензию третьего издания этой
книги в годовом отчете немецкого математического общества
(том 55) следующими словами:
«Что касается названия2), то я бы приветствовал выбор для
четвертого издания более простого, но и более сильного заго-
*) В переводе два тома немецкого оригинала объединены в один. Перевод
выполнен с 8-го издания первого тома (главы 1—11) и 5-го издания второго
тома (главы 12—20). — Прим. ред.
а) В первых изданиях книга называлась «Современная алгебра». — Прим,
ред
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА
11
ловка — «Алгебра». Книга, которая так много дала, дает и бу-
дет давать лучшей части математики, не должна своим назва-
нием вызывать подозрение, будто бы она посвящена одному ка-
кому-то современному течению, которое еще не было известно
вчера, а завтра, возможно, будет забыто».
Следуя этому совету, я изменил заголовок книги на «Ал-
гебра».
Указанию М. Дойринга я обязан более целенаправленным
определением понятия «гиперкомплексная система» и расшире-
нием теории Галуа полей деления круга настолько, насколько
этого требует ее приложение к теории циклических полей.
На основании писем из различных стран внесены многочис-
ленные мелкие исправления. Благодарю авторов этих писем.
Цюрих, март 1955. Б. Л. ван дер Варден
ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ
ПЕРВОГО ТОМА
Первое издание задумывалось как введение в новую абстракт-
ную алгебру; разделы классической алгебры, в частности, тео-
рия определителей, предполагались известными. Но сегодня эта
книга используется студентами в основном как первое введение
в алгебру. Поэтому оказалось необходимым ввести главу «Век-
торные и тензорные пространства», в которой подробно обсуж-
даются основные понятия линейной алгебры и, в частности, поня-
тие определителя.
Первая глава «Числа и множества» была облегчена тем, что
понятие порядка и полного порядка были перенесены в новую
девятую главу. Лемма Цорна выводится непосредственно из
аксиомы выбора. Тем же методом (по X. Кнезеру) проводится
доказательство теоремы о полном упорядочении.
В разделе о теории Галуа были использованы некоторые идеи
из известной книги Артина. Пробел в одном доказательстве
в теории циклических полей, на который мне многие указывали,
ликвидирован в § 61. В § 67 доказывается существование нор-
мального базиса.
Первый том теперь заканчивается главой «Вещественные
поля». Теория нормирований должна быть представлена во вто-
ром томе.
Цюрих, февраль 1966. Б. Л. ван дер Варден
12
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА
ПРЕДИСЛОВИЕ к ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ
ПЕРВОГО ТОМА
В предлагаемом издании исправлено несколько опечаток, на
которые я обратил внимание благодаря любезным письмам. Все
прочее осталось неизменным.
Цюрих, апрель 1971.
Б. Л. ван дер Варден
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
ВТОРОГО ТОМА
В начало второго тома вошли две новые главы: первая —об
алгебраических функциях одной переменной, охватывающая мате-
риал вплоть до теоремы Римана —Роха для полей с произволь-
ным полем констант; другая —о топологической алгебре, посвя-
щенная в основном пополнению топологических групп, колец
и тел. Я благодарю за многочисленные полезные замечания
профессора Г. Р. Фишера, прочитавшего эти две главы в руко-
писи.
Глава «Общая теория идеалов» расширена путем введения
важных теорем Крулля о символических степенях простых идеа-
лов и о цепях простых идеалов. Сильнее выявлена связь между
теорией идеалов алгебраически замкнутых колец и теорией нор-
мирований. В главу «Линейная алгебра» введен раздел об анти-
симметрических билинейных формах.
В главе «Алгебры» увеличено число примеров, развита теория
радикала по Джекобсону без условия конечности и сделано
большее ударение на основополагающих идеях Эмми Нётер о пря-
мых суммах и пересечениях модулей. Благодаря сочетанию
методов Джекобсона и Эмми Нётер удалось значительно упро-
стить доказательства основных теорем.
С помощью различных сокращений я пытался сделать объем
книги более приемлемым. По этой причине выпала глава «Тео-
рия исключения».
Теорема о существовании системы результантов для однород-
ных уравнений, которая доказывалась раньше с помощью теории
исключения, теперь появляется лишь в § 121 как следствие
теоремы Гильберта о корнях.
Цюрих, июнь 1959. Б. Л. ван дер Варден
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЙ АВТОРА
13
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ВТОРОГО ТОМА
Профессор П. Рокетт был настолько любезен, что предоста-
вил в мое распоряжение чудесное доказательство теоремы о выче-
тах для алгебраических дифференциалов udz. Благодаря этому
глава об алгебраических функциях смогла приобрести вызываю-
щую удовлетворение завершенность.
В «Топологической алгебре» вводятся пополнения групп, ко-
лец и тел по Бурбаки с помощью фильтра, независимо от второй
аксиомы счетности. Конец главы сокращен.
Важная для многочисленных приложений глава «Линейная
алгебра» помещена в начало тома, а глава «Топологическая ал-
гебра»—в конец.
Теперь второй том состоит из трех независимых кусков, в каж-
дом из которых три главы:
главы 12—14: линейная алгебра, алгебры, теория представ-
лений;
главы 15—17: теория идеалов;
главы 18—20: нормированные поля, алгебраические функции,
топологическая алгебра.
Это подразделение отражено в более точной, чем раньше,
схеме зависимости глав.
Цюрих, март 1967, Б. Л. ван дер Варден
СХЕМА ЗАВИСИМОСТИ ГЛАВ
/
Д
г
У
3
д
ВВЕДЕНИЕ
Цель книги. «Абстрактное», «формальное» или «аксиоматичес-
кое» направление, которому алгебра обязана своим новым подъемом,
привело к новым понятиям и результатам в теории групп, теории
полей, теории нормирований, теории идеалов и теории алгебр и поз-
волило по-новому взглянуть на внутренние связи в этой области.
Главная цель книги —ввести читателя в мир всех этих понятий.
Но если общие понятия и методы выдвигаются на первый план,
то в рамках новых построений должны найти место и отдельные
результаты, относящиеся к классическому состоянию алгебры.
Распределение материала. Указания читателю. Чтобы достаточно
ясно представить общие точки зрения, господствующие в «абстракт-
ной» алгебре, оказалось необходимым изложить с самого начала
основы теории групп и элементарной алгебры.
В последнее время появилось множество хороших изложений
теории групп, классической алгебры и теории полей, что сделало
возможным преподнести эту вводную часть кратко, но без пробе-
лов. Подробное изложение начинающий читатель найдет во мно-
гих книгах J).
Следующим основным принципом служит требование, согласно
которому каждая отдельная часть должна быть, по возможности,
понятной сама по себе. Тому, кто хочет познакомиться с общей
теорией идеалов или теорией алгебр, не нужно предварительно изу-
чать теорию Галуа, а тот, кто хочет справиться о чем-либо
в линейной алгебре, не должен пугаться сложных построений тео-
рии идеалов.
По этой причине разбиение на главы осуществлено так, что
первые три главы, занимая небольшое место, содержат необходи-
мое в качестве подготовительного материала для всех последующих
глав. Основные понятия таковы: 1) множества; 2) группы; 3) кольца,
1) По теории групп укажем книгу: Шпайзер (Speiser A.). Die Theorie
der Gruppen von endlicher Ordnung. — 2. Aufl. —Berlin, 1927. По теории полей:
Хассе (Hasse Н.) Hohere Algebra (I, II) und Aufgabensammlung zur hohe-
ren Algebra. — Sammlung Goschen. 1926/27; Хаупт (Haupt О.). Einfiihrung in
die Algebra I, II. —Leipzig, 1929. По классической алгебре: Перрон (Per-
ron О.). Algebra I, II. —1927. По линейной алгебре: Диксон (Dickson L- Е.).
Modern algebraic theories.—Chicago, 1926.
16
ВВЕДЕНИЕ
идеалы и поля. Дальнейшие главы первого тома посвящены глав-
ным образом теории полей и опираются в первую очередь на осно-
вополагающую работу Штейница (Steinitz) из Crelle’s Journal (1910),
137. Во втором томе изложены, по возможности независимо друг
от друга, разделы из теории модулей, колец и идеалов с прило-
жениями к алгебраическим функциям, элементарным делителям,
алгебрам и представлениям групп.
За пределами рассмотрений оказалось необходимым оставить
теорию абелевых интегралов и непрерывных групп, потому что
для полноценного изложения они требуют выходящих за рамки
нашего курса понятий и методов; то же относится к основанной
на них теории инвариантов.
Дальнейшая информация о строении книги содержится в оглав-
лении и приведенной выше схеме зависимости глав, из которой
совершенно точно усматривается, сколько предшествующих глав
необходимо для каждой конкретной главы.
Появляющиеся по ходу изложения задачи подобраны в основ-
ном так, чтобы можно было проверить, оказался ли понятым пред-
шествующий текст. Они, кроме того, содержат примеры и допол-
нения, которые используются в дальнейшем. Задачи, требующие
искусства для своего решения, как правило, не используются
в последующем и формулируются в квадратных скобках.
Источники. Эта книга возникла отчасти из записей лекций,
а именно были использованы:
курс лекций Э. Артина по алгебре (Гамбург, летний семестр
1926 года);
семинар по теории идеалов, руководимый Э. Артином, В. Бляш-
ке, О. Шрайером и автором (Гамбург, зимний семестр 1926/27);
два курса Э. Нётер по теории групп и алгебр (Гёттинген, зим-
ний семестр 1924/25, зимний семестр 1927/28) *).
Многие новые доказательства и варианты доказательств, встре-
чающиеся в этой книге, даже там, где нет явных ссылок, имеют
своим источником упомянутые лекции и семинар.
!) В обработке Э. Нётер эти лекции появились в Math. Zeitschrift, 1929,
30, S. 641—692.
Глава первая
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
Так как в книге используются логические и общематематичес-
кие понятия, не очень знакомые начинающему математику, то
мы должны начать с посвященного им короткого раздела. При
этом мы не будем вдаваться в трудности, связанные с основа-
ниями математики, а будем повсюду придерживаться «наивной
точки зрения», избегая определений, содержащих порочный круг
и приводящих к парадоксам. Более подготовленному читателю
в этой главе следует лишь запомнить смысл символов е, cz, о,
U, V и {}> а все остальное можно пропустить.
§ 1. Множества
В качестве отправного пункта всех математических рассмотре-
ний мы мыслим себе некоторые доступные представлению объекты,
как-то: цифры, буквы или их комбинации. Свойство, которым
обладает или не обладает каждый такой объект в отдельности,
приводит к понятию множества или класса-, элементы множества —
это те самые объекты, которые обладают данным свойством. Сим-
волическая запись
а е М
означает: а — элемент множества М. Пользуясь образным гео-
метрическим языком, говорят также: а лежит в М. Множество
называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.
Мы допускаем рассмотрение последовательностей и множеств
чисел (или букв и т. д.) как элементов или объектов новых мно-
жеств (называемых иногда множествами второй ступени). Мно-
жества второй ступени снова могут служить элементами мно-
жеств более высокой ступени и т. д., однако мы остерегаемся
употреблять понятия типа «множество всех множеств», так как
они приводят к противоречиям; наоборот, мы будем строить но-
вые множества из объектов некоторой заранее очерченной кате-
гории (которой новые множества еще не принадлежат).
Если все элементы некоторого множества N являются одно-
временно элементами множества М, то N называется подмноже-
ством или частью множества М-, пишут:
№ М.
18
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ. Т
Множество М называется надмножеством или объемлющим мно-
жеством множества М; пишут
M=>N.
Из А<=В и BsC следует ЛеС.
Пустое множество содержится в любом множестве.
Если одновременно все элементы из N содержатся в М и все
элементы из М содержатся в N, то множества М и N называются
равными', пишут
M — N.
Равенство означает также одновременное выполнение соотно-
шений
M<=N, N<=M.
Иначе: два множества равны, если они содержат одни и те же
элементы.
Если N^M, но N не равно М, то N называется собственным
подмножеством множества М, а М — собственным надмножест-
вом множества М; пишут
NazM, MzzN.
Запись NcM означает, таким образом, что все элементы из N
лежат в М и что, кроме того, в М существует элемент, не лежа-
щий в N.
Пусть теперь А и В — произвольные множества. Множе-
ство D, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат
и Л, и В, называется пересечением множеств Л и В и обозна-
чается через
Р = [Л, В] = ЛрВ.
Множество D является подмножеством как в Л, так и в В, и лю-
бое множество с этим свойством содержится в D.
Множество V, состоящее из всех тех элементов, которые при-
надлежат по крайней мере одному из множеств Л и В, назы-
вается объединением множеств Л и В и обозначается через
Е = ЛиВ.
Множество V содержит как Л, так и В, и любое множество, об-
ладающее этим свойством, содержит V.
Аналогично определяются пересечение и объединение произ-
вольного множества S множеств Л, В, ... Пересечение (т. е.
множество элементов, принадлежащих всем множествам Л, В,...
множества S) обозначается через
В(2)=[Л, В,...].
§ 2] ОТОБРАЖЕНИЯ. МОЩНОСТИ 19
Два множества называются непересекающимися, если их пе-
ресечение пусто, т. е. если оба множества не содержат ни одного
общего элемента.
Если множество задается перечнем своих элементов, скажем,
множество М состоит из элементов а, Ь, с, то пишут
М = {а, Ь, с}.
Этот способ записи оправдывается тем, что, согласно опреде-
лению равенства множеств, любое множество определяется за-
данием его элементов. Определяющее свойство, которое выде-
ляет элементы множества М, состоит в следующем: совпадает
ли тот или иной элемент с а, с b или с с.
§ 2. Отображения. Мощности
Если каждому элементу а некоторого множества М по ка-
кому-нибудь правилу сопоставляется единственный (вообще го-
воря, новый) объект ср (а), то это сопоставление ср называется
функцией. Если все объекты ср (а) принадлежат некоторому мно-
жеству Л\ то сопоставление a ।—> ср (а) называется также отобра-
жением из М в N. Элемент ср (а) называется образом элемента а,
а а называется прообразом элемента ср (а). Образ ср (а) опреде-
ляется элементом а однозначно, но а не обязательно однозначно
определяется элементом ср (а). Вместо ср (а) иногда пишут
кратко ера.
Отображение множества М в множество М называется
сюръективным или отображением из М на N, если каждый эле-
мент из N имеет по крайней мере один прообраз.
Отображение множества М в множество N называется взаим-
но однозначным или инъективным, если каждый образ сра обла-
дает ровно одним прообразом а.
Если отображение ср множества М в множество N инъективно
и сюръективно, т. е. является взаимно однозначным отображе-
нием множества М на множество 2V, то существует обратное ото-
бражение ср1, которое каждому элементу Ь множества N сопо-
ставляет тот элемент из М, образом которого является Ь:
ср-1Ь = а, если сра = Ь.
Говорят, что множества М и N равномощны или имеют оди-
наковую мощность, если существует взаимно однозначное ото-
бражение из М на У.
Пример. Сопоставим каждому числу п число 2л; тогда по-
лучится взаимно однозначное отображение множества всех нату-
ральных чисел на множество всех четных натуральных чисел.
Таким образом, множество всех натуральных чисел равномощно
с множеством всех четных (натуральных) чисел.
20
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ Г
Как показывает приведенный пример, вполне может оказать-
ся, что множество равномощно со своим собственным подмноже-
ством. В последующих параграфах мы увидим, что ничего подоб-
ного нельзя встретить, рассматривая «конечные» множества.
§ 3. Натуральный ряд
Будет предполагаться известным множество натуральных чи-
сел
1, 2, 3, ...;
также будут предполагаться известными следующие основные свой-
ства этого множества (аксиомы Пеано):
I. 1 — натуральное число.
II. Для каждого числа1) а существует вполне определенное
последующее число п+ в множестве натуральных чисел.
III. Всегда
п+ =7^= 1,
т. е. нет числа с последующим числом I.
IV. Из а+ — Ь+ следует а = Ь, т. е. каждое число либо вовсе
не является последующим ни для какого числа, либо является
последующим точно для одного числа.
V. «Принцип индукции-». Каждое множество натуральных чи-
сел, которое содержит число 1 и вместе с каждым содержащим-
ся в нем числом а содержит последующее число а+, содержит все
натуральные числа.
На свойстве V основан метод доказательства с помощью индук-
ции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством Е обла-
дают все числа, доказывают сначала, что им обладает число 1,
а затем доказывают его для произвольного числа пу при «индук-
тивном предположении», что число п свойством Е уже обладает.
В силу аксиомы V множество чисел, обладающих свойством Е,
лрлукно содержать множество всех чисел.
Сумма двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно единствен-
ным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое через
хф-р, так, чтобы оказались выполненными следующие условия:
(1) хф- 1 = х+ для каждого х;
(2) х-j-р+ == (хф-у)+ для каждого х и для каждого у2).
В силу этого определения мы можем в дальнейшем писать
вместо а+ также а ф-1. Имеют место следующие правила:
J) «Число» будет означать пока «натуральное число».
2) Доказательство этого и всех остальных предложений данного парап>
рафа читатель найдет в книге: Ландау Э. Основы анализа. М.: ИЛ, 1950,
гл. 1.
§ 3]
НАТУРАЛЬНЫЙ РЯД
21
(3) (a + b) + c — a + (b + c) («Закон ассоциативности сложения»).
(4) а-\-Ь = Ь-\-а («Закон коммутативности сложения»),
(5) Из а + Ь = а + с следует Ь = с.
Произведение двух чисел. Каждой паре чисел х, у можно един-
ственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое
через х у или через ху, так, чтобы выполнялись следующие усло-
вия:
(6) х • 1 = х,
(7) х- у+ = х- y-Fx для каждого х и для каждого у.
Имеют место правила:
(8) ab-c = a-bc («Закон ассоциативности умножения»),
(9) a b = b-a («Закон коммутативности умножения»),
(10) а-(Ь + с) = а-Ь-\-а-с («Закон дистрибутивности»),
(11) Из ab = ac следует Ь = с.
Больше и меньше. Если а = b Д- и, то пишут а > b или b < а.
Доказывается, что:
(12) Для любых двух чисел а, b имеет место одно и только
одно из соотношений: a<Zb, a — b, а>Ь.
(13) Из а<.Ь и Ь<.с следует а<с.
(14) Из a<Zb следует а-\-с<Ь-\-с.
(15) Из a<zb следует ас<.Ьс.
Решение и уравнения а = Ь-\-и (единственное в силу (5))
в случае а>Ь обозначается через а — Ь. Вместо «а<_Ь или а = Ь»
пишут кратко as^b. Соответствующим образом объясняется за-
пись а^Ь.
Далее, имеет место следующая важная теорема:
Каждое непустое множество натуральных чисел содержит
наименьшее число, т. е. такое число, которое меньше всех осталь-
ных чисел множества.
На этой теореме основана вторая форма индукции. Для того
чтобы доказать, что некоторым свойством Е обладают все числа,
доказывают, что им обладает произвольное число п, предполагая
«по индукции», что оно выполнено для всех чисел, меньших п.
(В частности, этим свойством обладает число п=1, так как нет
чисел, меньших единицы; следовательно, здесь предположение
индукции отпадаетг). Доказательство по индукции должно, конеч-
но, быть построено так, чтобы оно охватывало и случай п=1,
9 Высказывание «Все А обладают свойством Е» будет считаться истинным,
даже если никаких А нет вообще. Аналогично высказывание «Из Е следует F»
(где Е и F— некоторые свойства, которыми могут обладать или не обладать
известные объекты х) рассматривается как истинное, если ни один из объектов
х не обладает свойством Е. Все это находится в соответствии со сделанным
замечанием, согласно которому пустое множество содержится в каждом мно-
жестве.
Целесообразность такого словоупотребления (в разговорной речи, вероятно,
необычного) следует из того, что только при нем высказывание «Из Е следует
F» без исключений переводится в «Из не F следует не Ен.
22
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ I
иначе оно недостаточно.) Тогда свойством Е обладают все числа.
Действительно, в противном случае множество чисел, не обладаю-
щих свойством Е, было бы непустым и если п — наименьшее чис-
ло в этом множестве, то получилось бы, что все числа, меньшие
п, обладают свойством Е, что противоречит доказанному.
Наряду с «доказательством методом индукции» в обеих ее фор-
мах существует «определение (или построение) методом индукции».
Допустим, что мы хотим сопоставить каждому натуральному чис-
лу х некоторый новый объект ф(х) и при этом заранее задана
«система рекуррентных определяющих соотношений», которые свя-
зывают значение ср (п) с предшествующими значениями <р (от) (т < п).
Предполагается, что эти соотношения единственным образом оп-
ределяют ф (и), как только задаются все ср (т) при т <z п, кото-
рые уже удовлетворяют заданным соотношениям1). Простейший
случай состоит в следующем: для т = п+ значение ф (п+) выража-
ется через ф(н), а для т—1 значение ф(1) задается непосред-
ственно. Примерами служат соотношения (1), (2), соответственно
(6), (7), с помощью которых выше были определены сумма и про-
изведение. Мы утверждаем теперь: при сделанных предположениях
существует одна и только одна функция ф (х), значения кото-
рой удовлетворяют заданным соотношениям.
Доказательство. Под отрезком (1, п) натурального ряда
мы подразумеваем совокупность всех натуральных чисел, не пре-
восходящих п. Прежде всего мы утверждаем: на каждом отрезке
(1, п) существует одна и только одна функция ф„(х), определенная
на числах х этого отрезка, которая удовлетворяет заданным соотно-
шениям. Это утверждение верно для отрезка (1, 1), а также для
любого отрезка (1, и+) при условии, что оно верно для отрезка
(1, и), потому что благодаря рекуррентным соотношениям значе-
ние ф(1) и значения ф(т) = ф„(т) (т^п) однозначно определяют
значение ф(н+). Таким образом, утверждение верно для каждого
отрезка (1, п). Мы получаем, следовательно, ряд функций <р„(х).
Каждая функция ф„(х) определена на (1, п) и, равным образом,
на каждом меньшем отрезке (1, т); но там она также удовлетво-
ряет определяющим соотношениям и потому совпадает с функцией
<рт (х). Следовательно, любые две функции ф„(х), фт(х) совпа-
дают для тех значений х, на которых они одновременно опреде-
лены.
Искомая же функция ф (х) должна быть определена на всех
отрезках (1, п) и вместе с тем удовлетворять определяющим со-
отношениям, т. е. совпадать с функциями ф„. Такая функция ф
существует и притом только одна: ее значение ср (х) является об-
!) Это предположение включает в себя и допущение, согласно которому
ф(1) определяется самими соотношениями, потому что нет чисел, предшест-
вующих единице.
§ 3]
натуральный ряд
23
щим значением всех функций <р„(х), которые определены для чис-
ла х. Тем самым теорема доказана.
Мы очень часто будем пользоваться «построением методом
индукции».
Задача 1. Пусть свойство Е имеет место, во-первых, для п = 3, а во-
вторых, имея место для числа п :> 3, оно имеет место и для n-f-l. Доказать,
что свойство Е имеет место для всех чисел > 3
Присоединяя символы — а (отрицательные целые числа) и О,
можно расширить натуральный ряд до области целых чисел. Чтобы
было удобнее распространить смысл символов 4~, •, < на эту
область, целесообразно представить целые числа парами натураль-
ных чисел следующим образом:
натуральное число а — парой (а 4-Ь, Ь),
нуль —парой (Ь, Ь),
отрицательное число —а —парой (Ь, а-[-Ь), где всюду Ь — про-
извольное натуральное число.
Каждое число может быть представлено многими символами
(а, Ь), но каждый символ (а, Ь) определяет одно и только одно
целое число, а именно:
натуральное число а — Ь, если cob,
число 0, если а = Ь,
отрицательное число — (Ь — а), если а<Ъ.
Определим:
(a, b) + (c, d) = {a-[-c, b 4- d),
(а, Ь) (с, d) = {ас -f- bd, ad 4- be),
{a, b)<z(c, d) или (c, d)>{a, b), если a + d<zb +c.
Без труда проверяется: во-первых, эти определения не зависят
от выбора символов в левой части, — нужно лишь, чтобы числа
были одни и те же; во-вторых, выполняются правила (3), (4),
(5), (8), (9), (10), (12), (13), (14), а также (15) для с>0; в-третьих,
в расширенной области уравнение а-[-х = Ь всегда имеет решение
и притом единственное (решение снова будет обозначаться через
Ь — а); в-четвертых, ab = 0 тогда и только тогда, когда а = 0
или Ь = 01).
Задача 2. Провести доказательство.
Задача 3. То же, что в задаче 1, но с заменой часла 3 на число 0.
Из элементарных свойств целых чисел мы привели здесь лишь
те, что важны для дальнейшего. По поводу определения дробей,
а также свойств делимости целых чисел см. главу 3.
1) По поводу несколько иного введения отрицательных чисел и нуля
см Ландау Э. Основы анализа.—М.: ИЛ, 1950, гл. 4-
24
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
[ГЛ. I
§ 4. Конечные и счетные множества
Множество, равномощное с отрезком натурального ряда (т. е.
с множеством натуральных чисел, не превосходящих некоторого
числа и), называется конечным. Пустое множество также называет-
ся конечным.
Проще говоря, множество называется конечным, если его элемен-
ты можно занумеровать натуральными числами от 1 до и так, что-
бы различные элементы имели различные номера и чтобы все
номера от 1 до п были использованы. В соответствии с этим эле-
менты конечного множества А можно обозначить через alt ..., ап:
А — {аи ..., а„}.
Задача 1. С помощью метода индукции по п доказать, что всякое под-
множество конечного множества А = {ах.ап} конечно.
Каждое множество, не являющееся конечным, называется бес-
конечным. Например, множество всех целых чисел, как это сейчас
будет показано, бесконечно.
Основная теорема о конечных м н о жест в а х гласит:
Каждое конечное множество не может быть равномощно с ка-
ким-либо собственным объемлющим множеством.
Доказательство. Пусть, вопреки утверждению теоремы,
существует некоторое отображение конечного множества А на его
собственное надмножество В. Пусть элементы множества А обозна-
чены через alt ..., ап, а их образы — через <р (щ), ..., <р (а„). Сре-
ди последних содержатся все элементы а1У ..., ап и, кроме
того, еще по крайней мере один элемент, который мы обозначим
через а„+1.
Для п — 1 противоречие очевидно: единственный элемент аг не
может иметь два различных образа а1( а2.
Невозможность существования отображения <р с указанными
выше свойствами будем считать доказанной для п — 1; докажем
ее теперь для п.
Можно считать, что <р(ап) = ап+1, потому что если это не так,
т. е.
ф(ая) = а' (а’^ап+1),
то anJrl имеет другой прообраз аг:
ф(а/) = сп+1,
и вместо отображения гр можно построить другое, сопоставляю-
щее элементу ап элемент а„+1, элементу щ элемент а', а в осталь-
ном совпадающее с <р.
Подмножество А' — {щ, ..., a„_i} отображается функцией <р
на некоторое множество <р (Д'), которое получается из <р (Д) = В
отбрасыванием элемента ф(а„) = ал+1.
§ 4] КОНЕЧНЫЕ И СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА 20
Множество ср (Л') содержит alt...,an и, следовательно, яв-
ляется собственным надмножеством множества А' и вместе с тем
его взаимно однозначным образом. В силу предположения ин-
дукции это невозможно.
Из этой теоремы прежде всего следует, что множество ни-
когда не может быть равномощно с двумя различными отрезками
натурального ряда, потому что в противном случае эти отрезки
были бы равномощны и при этом обязательно один из них содер-
жался бы в другом. Таким образом, любое конечное множество Л
равномощно с одним и только одним отрезком (1, п) натураль-
ного ряда. Однозначно определяемое таким способом число п назы-
вается числом элементов множества Л; оно может служить мерой
мощности в этом случае.
Во-вторых, из теоремы следует, что произвольный отрезок на-
турального ряда неравномощен со всем натуральным рядом. Та-
ким образом, ряд натуральных чисел бесконечен. Множество,
равномощное с множеством натуральных чисел, называется счетно
бесконечным. Элементы счетно бесконечного множества могут быть
перенумерованы так, что любое натуральное число появится в каче-
стве номера ровно один раз.
Конечные и счетно бесконечные множества объединяются на-
званием счетные множества.
Задача 2. Доказать, что число элементов объединения двух непересе-
кающихся конечных множеств равно сумме чисел элементов объединяемых мно-
жеств. (Индукция с помощью рекуррентных формул (1), (2) из § 3.)
Задача 3. Доказать, что число элементов в г попарно непересекающих-
ся множествах из s элементов равно rs. (Индукция с помощью рекуррентных
формул (6), (7) из § 3.)
Задача 4. Доказать, что каждое подмножество натурального ряда счет-
но. Вывести отсюда: множество счетно тогда и только тогда, когда его эле-
менты можно перенумеровать так, чтобы различным элементам соответствовали
различные номера.
Пример несчетного множества. Множество всех счетно беско-
нечных последовательностей натуральных чисел несчетно. То, что
оно не является конечным, проверить легко. Если бы оно было
счетно бесконечным, то каждая последовательность обладала бы
некоторым номером, и каждому номеру i соответствовала бы после-
довательность вида
ЙД, 6,2, • • •
Построим последовательность чисел
Й11 + 1 > й22 +1» • • •
Она также должна иметь некоторый номер, скажем, номер /.
Тогда
йу1 = Лц4*1; йу2 = Й22*Ь1 и т- A-i
26
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
1ГЛ. I
в частности,
аи=ап+1;
получили противоречие.
Задача 5. Доказать, что множество целых чисел (т. е. множество, состо-
ящее из всех положительных и отрицательных чисел и нуля) счетно бесконечно.
Точно так же счетно бесконечно множество четных чисел.
Задача 6. Доказать, что мощность счетно бесконечного множества не
меняется при добавлении к этому множеству конечного или счетно бесконечного
множества элементов.
Объединение счетного множества счетных множеств снова
является счетным.
Доказательство. Обозначим данные множества через
УИЪ М2, ..., а элементы множества А4; — через m;i, mi2, ...
Существует лишь конечное число элементов mik, для которых
i'+fe = 2; аналогично, существует лишь конечное число элемен-
тов mik, для которых t' + fe = 3, и т. д. Перенумеруем сначала все
элементы, для которых i-\-k = 2 (например, по возрастающим зна-
чениям i), затем (с помощью последующих чисел) — элементы,
для которых / —(—Л? = 3, и т. д. При этом каждый элемент mik
получит некоторый номер и различные элементы будут иметь раз-
личные номера. Отсюда следует утверждение.
§ 5. Разбиение на классы
Знак равенства удовлетворяет следующим условиям:
а = а;
из а = b следует b = а-,
из а = Ь и Ь = с следует а == с.
То же самое выражается следующими словами: отношение а — Ь
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если между элементами
произвольного множества определено отношение а^Ь (т. е. для
любой пары элементов а, b либо имеет место а^Ь, либо нет), под-
чиненное аксиомам:
1) а^а,
2) из а^Ь следует Ь^а,
3) из а~ b и Ь^с следует а ~с,
то оно называется отношением эквивалентности.
Пример. В области целых чисел назовем два числа эквива-
лентными, если их разность делится на 2. Очевидно, аксиомы
выполняются.
Если задано какое-либо отношение эквивалентности, то мы
можем объединить все элементы, эквивалентные данному элементу а,
в один класс Ка. Элементы в таком классе попарно эквивалентны,
так как из а~Ь и а<~^с в силу аксиом 2) и 3) следует Ь^с.
Кроме того, все элементы, эквивалентные какому-либо элементу
произвольно фиксированного класса, принадлежат этому классу,
§ 51
РАЗБИЕНИЕ НА КЛАССЫ
27
так как из а^Ь и Ь^с следует а^с. Таким образом, класс
задается каждым своим элементом: если вместо а выбрать другой
элемент b того же самого класса, то получится, что Ка = Кь-
Следовательно, мы можем выбрать каждый элемент b в качестве
представителя данного класса.
Если же мы начнем построение с такого элемента Ь, который
не принадлежит рассматриваемому классу (т. е. не эквивалентен
элементу а), то придем к классу К6, у которого нет общих эле-
ментов с классом Ка', в противном случае имели бы с^а и с^Ь,
откуда следовало бы а b и b е Ка- В этом случае классы Ка и Къ
не пересекаются.
Классы эквивалентности целиком покрывают данное множество,
потому что каждый элемент а принадлежит некоторому классу,
а именно — классу Ка- Таким образом, множество распадается
на попарно непересекающиеся классы. В нашем последнем примере
это класс четных и класс нечетных чисел.
Как мы видели, Ка = Кь тогда и только тогда, когда а^Ь.
Вводя классы эквивалентности вместо элементов, мы можем отно-
шение эквивалентности а ~ Ь заменить отношением равенства
Ка = КЬ-
Обратно, если задано разбиение множества на попарно непе-
ресекающиеся классы, то мы можем положить по определению:
а Ь, если а и b лежат в одном классе. Очевидно, такое отно-
шение удовлетворяет аксиомам 1), 2), 3).
Глава вторая
ГРУППЫ
Содержание Объяснение основополагающих для всей книги важнейших
теоретико-групповых понятий: группы, подгруппы, изоморфизма, гомоморфизма,
нормальной подгруппы, факторгруппы.
§ 6. Понятие группы
Определение. Непустое множество ® элементов произволь-
ной природы (например, чисел, отображений, преобразований)
называется группой, если выполняются четыре следующих условия.
1. Задан закон композиции, который каждой паре элементов
я, 6 из 0) сопоставляет третий элемент этого же множества, назы-
ваемый, как правило, произведением элементов а и b и обознача-
емый через ab или через а-b. (Произведение может зависеть от
порядка следования сомножителей: не обязательно ab = ba.)
2. Закон ассоциативности. Для любых трех элементов а, Ь, с
из @ имеет место равенство
ab • с = а • Ьс.
3. В @ существует (левая) единица е, т. е. элемент е, выделяе-
мый следующим свойством:
еа = а для всех а из
4. Для каждого элемента а из © существует (по крайней мере)
один (левый) обратный элемент а-1 в ®, определяемый свойством:
а1а = е.
Группа называется абелевой, если, кроме того, оказывается
выполненным тождество ab = ba (закон коммутативности).
Примеры. Если элементами рассматриваемого множества
являются числа, а законом композиции служит обычное умноже-
ние, то для того, чтобы получить группу, прежде всего следует
исключить нуль, потому что у него нет обратного элемента; все
рациональные числа, отличные от нуля, уже образуют группу
(единичным элементом является число 1). Точно так же образуют
группу числа —1 и 1, а также число 1 само по себе.
Аддитивные группы. В определение понятия группы обозначе-
ние операции через a b не входит: операцией может служить
§ 6]
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
29
и сложение, например, обычное сложение целых чисел или век-
торов. В этом случае в аксиомах 1—4 следует всюду вместо
«произведение a-tn читать «сумма а-\-Ь». Группа @ называется
тогда аддитивной группой или модулем. Вместо единичного эле-
мента е здесь фигурирует нулевой элемент 0 со свойством
0-4-а = а для всех а из ®,
а вместо обратного элемента а-1 — элемент —а со свойством
—а-4-а = 0.
Обычно предполагают, что сложение — коммутативная опера-
ция, т. е.
а-\-Ь = Ь -\-а.
Вместо а-\-(—Ь) пишут кратко а — Ь. В этих обозначениях
(а — b) + b = а + (— &-|-fe) = a-|-0 = a.
Примеры. Целые числа образуют модуль; четные числа тоже.
Подстановки. Под подстановкой множества М. мы подразуме-
ваем взаимно однозначное отображение этого множества на себя,
т. е. сопоставление s каждому элементу а из М некоторого образа
s (а), причем каждый элемент из М является образом в точности
одного элемента а. Элемент s (а) обозначают также через sa. В слу-
чае бесконечных множеств М подстановки называют также преобра-
зованиями, но слово «преобразование» в дальнейшем у нас будет
использоваться как синоним слова «отображение».
Если множество М конечно и его элементы занумерованы чис-
лами 1, 2,..., п, то каждую подстановку можно полностью опи-
сать схемой, в которой под каждым номером k указывается номер
s (k) элемента, являющегося образом элемента с номером k. Напри-
мер, схема
/1 2 3 4\
S — \2 4 3 1/
изображает подстановку цифр 1, 2, 3, 4, в которой 1 переходит
в 2, 2 переходит в 4, 3 переходит в 3 и 4 переходит в 1.
Под произведением st двух подстановок s и t понимается под-
становка, которую мы получаем, осуществляя сначала подстановку t,
а затем применяя к результату подстановку s 1), т. е.
st (a) = s (t (а)).
/1 2 3 4\ /1 2 3 4\
Например, для s = ( . ) и t — ( 1 произведение
у 4 4 1 i 1 4 о ]
/1 о } л\ /19 4 4
SM4 2 1 з)’ Аналогично- /s = (i з 4 2
*) Порядок следования сомножителей—дело соглашения. У других авто-
ров st обозначает иногда «сначала s, потом
30
ГРУППЫ
[ГЛ. и
Закон ассоциативности
(rs) t = г (st)
в общем случае произвольных отображений можно доказать так:
применим обе части к произвольному объекту а; тогда
(rs) t (а) = (rs) (t (a)) = r(s(t (а))),
г (st) (а) = г (st (а)) = г (s (t (а))),
т. е. в обоих случаях получается одно и то же.
Тождественной или единичной подстановкой является такое
отображение I, которое каждый объект переводит в себя самого:
/ (а) = а.
Тождественная подстановка обладает, очевидно, характерным
свойством единичного элемента группы: для каждой подстановки s
имеет место равенство Is = s. Вместо I иногда пишут также 1.
Подстановкой, обратной к подстановке s, является такая под-
становка, которая переводит s (а) в а, тогда как s действует наоборот.
Если ее обозначить через s-1, то можно будет записать равенство
s-1s (а) = а,
а также равенство
s-1s = /.
Задача 1. Непустое множество 0 преобразований некоторого множе-
ства М является группой, если: а) вместе с двумя любыми преобразованиями
оно содержит их произведение и б) вместе с каждым преобразованием содержит
обратное к нему.
Задача 2. Повороты плоскости вокруг фиксированной точки Р образуют
абелеву группу. Но если к этому добавить еще и отражения относительно
всех прямых, проходящих через точку Р, то получится уже неабелева группа.
Задача 3. Доказать, что элементы е, а с законом композиции
ее = е, еа = а, ае = а, аа — е
образуют (абелеву) группу.
Замечание. Закон композиции в группе можно представить с помощью
«групповой таблицы»; ею служит таблица с двумя входами, в которую зано-
сится произведение каждых двух элементов. Например, таблица для приведен-
ной выше группы следующая:
е а
е е а
а а е
Задача 4. Составить таблицу для группы подстановок трех чисел.
Из доказанного следует, что аксиомы 1 — 4 выполнены для
совокупности подстановок произвольного множества М. Следова-
тельно, эти подстановки образуют группу. Для конечного мно-
§ 6]
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
31
жества М из п элементов группу подстановок называют также
симметрической группой и обозначают через ').
Вернемся теперь к общей теории групп.
Вместо ab-c или а-be пишут кратко abc.
Из аксиом 3 и 4 следует, что
а'аа1 — ест1 = а-1;
таким образом, если умножить последнее равенство слева на эле-
мент, обратный к а-1, то получится
еасг1 = е
или
аа1 = е;
иными словами, каждый левый обратный элемент является и
правым обратным. Таким же способом устанавливается, что об-
ратным к а*1 служит а. Далее:
ае — аа~1а =еа = а,
т. е. каждая левая единица является и правой единицей.
Отсюда следует возможность (двустороннего) деления:
5. Уравнение ах — b обладает решением в группе (&, как и
уравнение уа = Ь, где а и b — произвольные элементы из
А именно, этими решениями служат x = crlb и у = Ьа\ так как
a (сгЧэ) = (аа1) b = eb = Ь,
(Ьа~Л) а — Ь (а~1а) = be = b.
Столь же просто доказывается и однозначность деления:
6. Из ах = ах' и из ха = х'а следует, что х = х'.
Умножая обе части равенства ах = ах' на а-1, получаем х = х'.
Точно так же доказывается вторая часть утверждения.
В частности, отсюда следует единственность единичного эле-
мента (как решения уравнения ха —а) и единственность обрат-
ного элемента (как решения уравнения ха = е). Единичный эле-
мент часто будет обозначаться через 1.
Возможность деления, указанная в утверждении 5, в качестве
аксиомы может заменить аксиомы 3 и 4. Действительно, предпо-
ложим, что I, 2 и 5 выполнены и попробуем сначала доказать 3.
Выберем произвольный элемент с и будем подразумевать под е
решение уравнения хс — с. Тогда
ес = с.
х) Это название выбрано в соответствии с тем, что функции от х±, ..., хп,
остающиеся инвариантными при действии подстановок рассматриваемой группы,
являются «симметрическими функциями».
32
ГРУППЫ
[ГЛ, II
Для произвольного же а решим уравнение
Тогда
сх = а.
еа ----- есх = сх = а,
откуда следует 3. Аксиома 4 является непосредственным след-
ствием разрешимости уравнения ха — е.
В соответствии с этим мы можем вместо 1, 2, 3, 4 равным
образом использовать 1, 2 и 5 как аксиомы группы.
Если @ — конечное множество, то условие 5 можно вывести
из условия 6. Для этого нужно использовать не возможность
деления, а (кроме аксиом 1 и 2) лишь его однозначность.
Доказательство. Пусть а —произвольный элемент. Сопо-
ставим каждому элементу х элемент ах. Согласно условию 6 это
сопоставление однозначно обратимо, т. е. оно взаимно однозначно
отображает множество @ на некоторое подмножество произведе-
ний ах. Поскольку @ конечно, оно не может взаимно однозначно
отображаться на собственное подмножество. Поэтому совокупность
элементов ах должна совпадать с @, а это означает, что каждый
элемент b записывается в виде Ь = ах, как утверждает первое из
условий в 5. Точно так же доказывается разрешимость уравне-
ний Ь = ха. Таким образом, 5 следует из 6.
Число элементов конечной группы называется ее порядком.
Дальнейшие правила оперирования. Для элемента, обратного
к произведению, имеет место равенство:
Действительно,
ab = Ь-1 (a'ab) = b~lb = е.
Сложные произведения и суммы. Степени. Подобно тому как
вместо ab с мы стали кратко записывать abc, введем сложные
произведения многих сомножителей
п п
П av = П av = Я1Й2 • ап.
V—1 1
Пусть даны аъ
• • адг! определим по индукции (для п <N):
1
I
n-M 1 п \
1. 1 Цу = I 1 1 av / ’ а П+1 ) •
1 \ 1 /
!) Символ v, обозначающий переменный индекс, можно, конечно, заменить
на любой другой, не меняя значения произведения.
§ 6]
ПОНЯТИЕ ГРУППЫ
33
3 4
В частности, — это наше прежнее araya9, a J7 =
1 1
= = (flia2a3) + и т. д.
Докажем, используя лишь один закон ассоциативности, сле-
дующее правило:
т п m-f-n
£ J + ' £ J О-m w = (1)
Ц=1 v = l V = 1
Словами: произведение двух сложных произведений является слож-
ным произведением всех участвующих сомножителей в их прежнем
порядке. Например,
(ab) (cd) = abed
является частным случаем равенства (1).
Формула (1) очевидна при п = 1 (по определению символа JJ).
Если она уже доказана для некоторого значения п, то для сле-
дующего значения п + 1 имеем:
m п-Н т / п \
П ' П + V “ £3 Яц ( fl/n+v flm+n+i 1 “
11 1 \ 1 /
/ т п \ \ m-f-n-f-l
= 111 ’ 11 ^/л+v / ^т+п+1 “ I 11 } &т+п+1 = Л
\ 1 1 / \ 1 / 1
Тем самым доказано (1).
п т-\-п
Замечание. Вместо nm+v пишут также av. Кроме того,
1 ги-Н
О
в отдельных случаях, если это удобно, пишут JJav = e.
1
Произведение п одинаковых сомножителей называется сте-
пенью :
п
ал = ]Да (в частности, ^ = 0, а? = аа и т. д.)
1
Из доказанной теоремы следует, что
ап • ат = ап+т. (2)
Далее:
(ат)п = атп. (3)
Доказательство (с помощью индукции) оставляется читателю.
Для доказательства появлявшихся до сих пор правил (1), (2)
и (3) требовался лишь закон ассоциативности; поэтому они будут
выполнены всякий раз, когда в рассматриваемой области опреде-
лены произведения и справедлив закон ассоциативности (напри-
мер, в области натуральных чисел), даже если эта область не
является группой.
34
ГРУППЫ
[ГЛ II
Если умножение, кроме того, и коммутативно (случай абеле-
вой группы), то можно доказать большее: значение сложного
произведения не зависит от порядка следования сомножителей.
Точнее: если ср — взаимно однозначное отображение отрезка (1, п)
натурального ряда на себя, то
п п
£ 1 ^<p(v) = £ £ &v
V=I 1
Доказательство. Для п = 1 утверждение очевидно. По-
этому будем предполагать его справедливым и для п — 1. Пусть
число k отображается на п: q(k) = n. Тогда
п k — I п—k !k—1 п—k I
£ £ #<p(v) = £ £ v) ' ' II ^q>(A+v) — ( £ £ ’ £~I ^-cp(fc+v) ) ’ ®л *)•
1 1 1 \ 1 1 /
Заключенное в скобки произведение содержит лишь сомножи-
тели ох, ..., ал_! в произвольном порядке. По предположению
л—I
индукции это выражение равно JJav. Поэтому
1
л л—1 л
£ £ = £П[ av • ап — £ J czv.
1 1 1
Из доказанного правила следует, что в абелевых группах за-
конна запись вида
П aik
1 i < k п
ИЛИ
П aik (i = l, ..., гц k = l, .... п),
i<k
означающая, что множество пар индексов i, k, подчиненных усло-
вию 1 < i<k^n, перенумеровано каким-нибудь (безразлично,
каким) способом, а затем образовано произведение.
В произвольной группе обычным способом определяются нуле-
вая и отрицательная степени любого элемента а:
п° = 1,
а~п = (er1)",
и без труда показывается, что правила (2), (3) выполняются для
любых целочисленных показателей.
п п
В аддитивной группе вместо J£ av пишут У, av, а вместо
1 ।
1) В случае k = \ опускается первый сомножитель, а в случае k = п — вто-
рой; доказательству это не мешает.
§ 7]
ПОДГРУППЫ
35
ап — соответственно па. Все доказанное для произведений перено-
сится теперь и на суммы.
Правило (3), записанное аддитивно, имеет вид закона ассо-
циативности
п • та = пт а,
в то время как (2) имеет вид закона дистрибутивности:
та + па — (т + п) а.
К этим двум законам присоединяется еще один закон дистрибу-
тивности:
т (а + Ь) = та 4~ mb
(в мультипликативной записи: (ab)m = атЬт), который, однако,
имеет место лишь в абелевых группах. Это легко доказать с по-
мощью индукции.
Задача 5. Доказать, что в абелевой группе
пт т п
П П apv== II П anv
V = 1 Ц=1 И= 1 V = 1
Задача 6. При тех же условиях
п V п п
П II П П
V —1 ц = 1 ц = 1 v = ji
п
Задача 7. Порядок симметрической группы ®„ равен n! = у. (Индук-
1
ция по п.)
§ 7. Подгруппы
Чтобы непустое подмножество g группы @ само было группой
с тем же законом композиции, что ив®, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись аксиомы 1, 2, 3, 4. Аксиома 1 утверж-
дает, что если а и b лежат в д, то и их произведение ab также
лежит в д. Аксиома 2 выполняется в д, если она выполняется
в @. Аксиомы 3 и 4 означают, что в д лежит единичный элемент
и что вместе с каждым элементом а в множестве g лежит обрат-
ный к нему элемент а-1. В данном случае требование о единич-
ном элементе излишне, потому что если а —любой элемент из д,
то а-1 лежит в д, и, следовательно, произведение аа~1 = е также
лежит в д. Тем самым доказано:
для того чтобы непустое подмножество g данной группы ®
было подгруппой, необходимо и достаточно выполнение следующих
условий:
1) множество g содержит вместе с любыми двумя своими эле-
ментами и их произведение;
36
ГРУППЫ
[ГЛ. п
2) множество g содержит вместе с каждым своим элементом а
обратный к нему элемент а-1.
Если, в частности, множество g конечно, то второе из этих
требований даже излишне, потому что в этом случае требования
3 и 4 могут быть заменены на требование 6, а оно, будучи вы-
полненным в 0), обязательно выполняется и в д.
Вообще, условия 1) и 2) можно объединить в одно: множество g
должно вместе с любыми двумя своими элементами а и b содер-
жать произведение ab'1. Тогда g содержит вместе сан единицу
аа1 = е, и обратный элемент согрет1, а потому вместе с а, Ь
и элемент Ь~\ и произведение a (tr1)-1 = ab.
Если (в абелевой группе) групповые соотношения записаны
аддитивно, то подгруппа характеризуется тем, что вместе с лю-
быми двумя своими элементами а, b она содержит а + 6, а вместе
с а и элемент—а. Оба эти требования можно объединить в одно:
вместе с а и b в подгруппе должен лежать элемент а — Ь.
Примеры подгрупп.
Каждая группа имеет в качестве подгруппы единичную груп-
пу €, состоящую из одного-единственного единичного элемента.
Важнейшей подгруппой симметрической группы всех под-
становок п объектов является знакопеременная группа 'Л„, состоящая
из тех подстановок, которые, будучи применены к переменным
х1гх„, переводят функцию
А = П (Xt-Xk) (1)
i<k
в себя. Такие подстановки называются четными, а остальные —
нечетными. Последние меняют знак у функции А. Каждая транс-
позиция (т. е. подстановка, меняющая местами две цифры) явля-
ется нечетной подстановкой. Произведение двух четных или двух
нечетных подстановок — четная подстановка; произведение четной
и нечетной подстановки — нечетная подстановка. Из первого свой-
ства следует, что 'Лл — группа. Так как фиксированная транспо-
зиция при умножении переводит четные подстановки в нечетные
и наоборот, количество четных и нечетных подстановок одинаково
и равно «!/2 (ср. § 6, задача 7).
Для более удобного описания подгрупп симметрической группы исполь-
зуют известное представление подстановок, циклами:
Символом (р q г s) обозначается циклическая подстановка, переводящая
р в q, q в г, г в s и s в р и оставляющая все остальные объекты неподвиж-
ными. Легко показать, что любая подстановка представляется однозначно (с точ-
ностью до порядка следования) в виде произведения циклических подстановок
или «циклов»:
(ikl...) (pq...)...,
где любые два цикла не имеют ни одного общего элемента. Сомножители
§ 7]
ПОДГРУППЫ
37
в этом произведении перестановочны Цикл из одного элемента, скажем (1),
представляет тождественную подстановку. Конечно, имеет место равенство
(1 2 5 4) —(2 5 4 1) и т. п
С помощью таких символов мы можем следующим образом представить
3!=6 подстановок группы ®3:
(1), (I 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 32).
Все подгруппы в данном случае легко определяются. Вот они (кроме
самой группы <г8):
?l3. (1), (1 2 3), (1 3 2);
(1). (2 3); ®':(1), (13); ®': (1), (1 2);
6: (О-
Пусть а, Ь, ... — произвольные элементы некоторой группы
тогда, кроме группы в ней могут быть такие подгруппы,
которые содержат элементы а, Ь, ... Пересечение всех этих под-
групп снова является некоторой группой 'Л. Говорят, что а, Ь, ...
порождают группу Й. Она обязательно содержит произведения
типа a~1a~1bab~1 (составленные из конечного числа сомножителей
с повторениями или без). Такне произведения образуют группу,
которая содержит элементы а, Ь, ... и, следовательно, включает
в себя группу Й. Поэтому она совпадает с Й. Мы доказали сле-
дующее:
Группа, порожденная элементами а, Ь, состоит из все-
возможных конечных произведений этих элементов и элементов,
обратных к ним.
В частности, отдельный элемент а порождает группу всех своих
степеней а-п (включая а° = е). Так как
апат = ал+'" = атап,
эта группа абелева.
Группа, состоящая из степеней одного элемента, называется
циклической.
Существуют две возможности. Либо все степени ah различны;
тогда циклическая группа
.... а~2, аг1, а°, а1, а2, ...
бесконечна. Либо они повторяются и оказывается, что
ah = ak, h> k.
Тогда
ahk = e (h — kZ>0).
Пусть в этом случае п — наименьший положительный показатель,
при котором ап — е. Тогда степени а0, а1, а2, ..., ап~1 различны,
потому что иначе
ah = ak (0^k<Zh<zn),
38
ГРУППЫ
[ГЛ II
а отсюда следовало бы, что
ah~k — е (0 <Zh — k<n),
что противоречит выбору числа п.
Если произвольное целое число т представить в виде
т = qn + г (0 г < п)
то окажется, что
ат = а?л+г = • аг = (ап)9 аг — еаг = аг.
Таким образом, все степени элемента а уже встречаются в серии
а°, а1, ... ,ап~1. Поэтому циклическая группа содержит в точ-
ности п элементов, а именно — элементы
а°, а1, ..., а"-1.
Число п — порядок циклической группы, порожденной эле-
ментом а, — называется порядком элемента а. Если все степени
элемента а различны, то а называется элементом бесконечного
порядка.
Примеры. Целые числа
.... _2, —1, 0, 1, 2,...
со сложением в качестве композиции образуют бесконечную цик-
лическую группу. Описанные выше группы (i = l, 2, 3) и 'Л3
являются циклическими группами порядков 2, 3.
Задача 1. Существуют циклические группы подстановок любого порядка.
Задача 2. Доказать индукцией по п, что п— 1 транспозиций (1 2),
(1 3), ... (1 п) при п> 1 порождают симметрическую группу ®„.
Задача 3. Точно так же п — 2 тройных циклов (1 2 3), (1 2 4), ... (1 2 п.)
при п > 2 порождают знакопеременную группу 51 „.
Определим теперь все подгруппы циклической группы. Пусть
@ — произвольная циклическая группа с образующей а и g — под-
группа, состоящая не только из единицы. Если g содержит эле-
мент а~т с отрицательным показателем, то и обратный к нему
элемент лежит в д. Пусть а"1 —элемент в g с наименьшим поло-
жительным показателем. Докажем, что все элементы из g являются
степенями элемента ат. Действительно, если as — произвольный
элемент из д, то можно вновь считать, что
s = <?m4-r (Ocr<m).
Тогда as = as m4 — ar — элемент из g с r<m. Отсюда следует,
что г = 0 в силу выбора числа т и, следовательно, s = qm и as =
= (am)7- Таким образом, все элементы подгруппы g являются сте-
пенями элемента ат.
Если элемент а имеет конечный порядок п, т. е. ап = е, то
элемент ап = е должен лежать в д, а потому число п должно
§ 8] ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСАМИ СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ 39
делиться на т: п — qm. Подгруппа g состоит в таком случае из
элементов ат, а2т, ..., aqm = e и имеет порядок q. Но если а имеет
бесконечный порядок, то и группа д, состоящая из элементов,
е, а±т, а~2т, ..., имеет бесконечный порядок. Тем самым мы до-
казали следующее:
Подгруппа циклической группы снова циклическая. Она состоит
либо из единицы, либо из степеней элемента ат с наименьшим
возможным положительным показателем т. Другими словами, она
состоит из т-х степеней элементов исходной группы. При этом
для бесконечной циклической группы число т произвольно, в то
время как для циклической группы конечного порядка п число т
должно быть некоторым делителем числа п. В этом случае под-
группа имеет порядок q — ~^- Для каждого такого числа т сущест-
вует одна и только одна подгруппа порядка в группе {а},
а именно {ат}.
§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы
Под комплексом в теории групп подразумевается произволь-
ное множество элементов группы @.
Под произведением gf) двух комплексов g и I; понимается мно-
жество всех произведений gh, где g — элемент из о, а /г —элемент
из Если в произведении gf) один из комплексов, скажем, д, со-
стоит из единственного элемента g, то вместо gf) пишут просто g^.
Очевидно, имеет место равенство
0(W = (9W f-
Таким образом, в сложных произведениях комплексов мы можем
опускать скобки (ср. § 6, (1)).
Если комплекс g является группой, то
09 = 9-
Пусть g и f) — подгруппы группы При каких условиях про-
изведение gf) снова является группой? Совокупностью элементов,
обратных к элементам из gf), является Ijg, так как обратным к gh
служит элемент Таким образом, если gf) —группа, то
1)9 = 9*), (Ь
т. е. g и f) должны быть перестановочными. Но это условие яв-
ляется и достаточным, так как если оно выполнено, то gf) содер-
жит вместе с каждым элементом gh обратный к нему элемент
h^g 1 и вместе с любыми двумя элементами — их произведение,
потому что
9Ш) = 99*)*) = 0Ь.
Итак: произведение gf) двух подгрупп g и I) некоторой группы ®
40
ГРУППЫ
[ГЛ. II
является группой тогда и только тогда, когда подгруппы g и I)
перестановочны. При этом, конечно, не требуется, чтобы каждый
элемент из g был перестановочен с каждым элементом из I). Если
условие перестановочности (1) выполнено, то произведение gty яв-
ляется подгруппой, порожденной g и I).
В любой абелевой группе равенство (1) выполняется. Если
абелева группа записана аддитивно, то g и являются подмоду-
лями некоторого модуля и пишут (g, lj) вместо д^, так как обо-
значение g-f-I) предназначается для частного случая «прямой
суммы» комплексов, о которой речь впереди.
Если g — подгруппа и а — элемент группы @, то комплекс ад
называется левым смежным классом, а комплекс да — правым смеж-
ным классом группы @ по подгруппе д. Если а лежит в д, то
ад = д; таким образом, всегда одним из левых (равно как и одним
из правых) смежных классов по подгруппе g является сама эта
подгруппа.
В дальнейшем будут в основном рассматриваться левые смежные
классы, хотя проводимые рассмотрения приводят к тем же выво-
дам и в случае правых смежных классов.
Два смежных класса ад, Ьд могут быть равными, даже если
а и b не равны. Это происходит тогда, когда аЛЬ лежит в д:
bg = аа~гЬд = а (а~Ч>д) = ад.
Два различных смежных класса не имеют ни одного общего
элемента. Если бы смежные классы ад и Ьд содержали общий
элемент, скажем,
agi = bg2,
то отсюда следовало бы, что
gigz^a-'b,
и получилось бы, что а~ЛЬ лежит в д. В силу сказанного выше
это означает, что ад и Ьд совпадают.
Каждый элемент а принадлежит некоторому смежному классу,
а именно классу ад: этот Kjfticc содержит элемент ае = а. В силу
доказанного выше элемент а принадлежит только одному смеж-
ному классу. Поэтому мы можем рассматривать каждый элемент
а как представитель содержащего его смежного класса ад.
В соответствии со сказанным выше смежные классы образуют
разбиение группы S на классы. Каждый элемент принадлежит од-
ному и только одному (смежному) классух).
!) В литературе можно часто найти обозначение, введенное Галуа:
® — а19+а20 + --- >
которое говорит о том, что классы avg попарно не пересекаются и все вместе
составляют группу 0. Этого способа записи мы избегаем, потому что оставляем
символ + для прямой суммы, которая будет введена позднее,
§ 8]
ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСАМИ. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
4!
Любые два смежных класса равномощны: сопоставление ag>—>
- bg определяет взаимно однозначное отображение из ад на Ьд.
За исключением самой подгруппы д, смежные классы не я в-
л я юте я группами, потому что группа должна содержать еди-
ницу.
Число различных смежных классов группы @ по подгруппе g
называется индексом подгруппы g в Индекс может быть ко-
нечным и бесконечным.
Если N — порядок (конечной) группы ®, п~ порядок и / —
индекс подгруппы д, то имеет место соотношение:
N = jn; (2)
действительно, @ распадается на j классов, состоящих из п эле-
ментов J).
Для конечных групп из равенства (2) можно выразить индекс /:
j = N/n.
Следствие. Порядок подгруппы конечной группы является
делителем порядка всей группы.
В частности, если в качестве подгруппы взять циклическую
группу, порожденную некоторым элементом с, то отсюда полу-
чится:
Порядок элемента конечной группы является делителем по-
рядка всей группы.
Вот непосредственное следствие этого утверждения: в любой
группе из п элементов для произвольного элемента а имеет место
равенство а1 = е.
Может оказаться, что все левые смежные классы ад равны
правым смежным классам. Если это так, то тот левый смежный
класс, который содержит элемент а, должен совпадать с правым
смежным классом, содержащим тот же элемент а, т. е. для любого
э юмента а должно иметь место равенство комплексов:
ад = да. (3)
Подгруппу д, удовлетворяющую равенствам (3), т.е. переста-
новочную с любым элементом а из называют нормальной или
инвариантной подгруппой группы ®.
Если g — нормальная подгруппа, то произведение двух смеж-
ных классов снова является смежным классом:
ag-&g —a-gb-g = abgg = a&g.
Задача 1. Найти для подгрупп группы <?3 правые и левые смежные
классы. Какие из этих подгрупп являются нормальными?
х) Это соотношение остается верным и тогда, когда У бесконечно; только
в этом случае для придания смысла произведению нужно ввести произведения
кардинальных чисел, чего мы не сделали.
42
ГРУППЫ
[ГЛ п
Задача 2. Показать, что элементы, обратные к элементам левого смеж-
ного класса по произвольной подгруппе, составляют правый смежный класс.
Сделать отсюда вывод: индекс подгруппы можно также определить и как число
правых смежных классов по ней.
Задача 3. Показать, что каждая подгруппа индекса 2 является нормаль-
ной. Пример: знакопеременная группа в симметрической группе на п сим-
волах.
Задача 4. Любая подгруппа абелевой группы всегда является нормальной.
Задача 5. Если 0— циклическая группа, порожденная элементом a, g—
ее произвольная подгруппа, отличная от (9, порожденная степенью ат при ми-
нимальном т (ср. § 7), то элементы 1, а, а2, .... аот-1 являются представите-
лями смежных классов и число т равно индексу подгруппы g в группе 0.
Задача 6. Если произведение двух любых левых смежных классов груп-
пы 0 по подгруппе g снова является левым смежным классом, то д — нормаль-
ная подгруппа в 0.
§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы
Пусть даны два множества: ЭЛ и ЭЛ, в каждом из которых
определены какие-то соотношения между элементами. Например,
можно считать, что ЭЛ и ЭЛ —группы, а соотношения в них—это
равенства а-Ь = с, выражающие групповое свойство. Или же мож-
но считать, что ЭЛ и ЭЛ — упорядоченные множества, а соотноше-
ния — это неравенства а > Ь.
Предположим, что можно установить взаимно однозначное отоб-
ражение множеств ЭЛ и ЭЛ друг на друга, при котором сохра-
няются соотношения; это означает, что если элементу а из ЭЛ
взаимно однозначно соответствует элемент а из ЭЛ, то соотноше-
ния, выполняющиеся для произвольных элементов а, Ь, ... из ЭЛ,
выполняются и для элементов а, Ь, ... и наоборот. В этом случае
множества ЭЛ и ЭЛ называют изоморфными (относительно данных
соотношений) и пишут ЭЛ ЭЛ. Само отображение называется
изоморфизмом.
Таким образом, можно говорить об изоморфных группах, изо-
морфных упорядоченных или подобных упорядоченных множествах
и т. д. Изоморфизм двух групп — это, следовательно, взаимно од-
нозначное отображение а<—*<7, при котором из ab = c следует,
что ab = ъ (и наоборот), так что произведению ab сопоставляется ab.
Подобно тому как в общей теории множеств равномощные
множества считаются равнозначными, так в теории групп изо-
морфные группы рассматриваются как несущественно различные.
Все понятия и предложения, которые определяются и доказы-
ваются на основе соотношений, заданных на некотором множестве,
могут быть непосредственно перенесены на любое изоморфное мно-
жество. Например, если множество, на котором определено про-
изведение, изоморфно некоторой группе, то оно само является
группой; при этом изоморфизме единица, обратные элементы и
подгруппы переходят в единицу,, обратные элементы и подгруппы.
§ 9]
ИЗОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ
43
Если, в частности, множества и совпадают, то мы рас-
сматриваем взаимно однозначное сопоставление элементам а эле-
ментов а того же самого множества, сохраняющее соотношения;
такое сопоставление называется автоморфизмом.
Автоморфизмы множества до некоторой степени выявляют его
свойства симметрии. В самом деле, что означает симметрия, ска-
жем, геометрической фигуры? Она означает, что при известных
преобразованиях (отражениях, переносах и т. д.) фигура перехо-
дит в себя, при этом заданные соотношения (расстояния, углы,
взаимное расположение) сохраняются, или, на нашем языке, фи-
гура допускает автоморфизм относительно своих метрических
свойств.
Очевидно, произведение двух автоморфизмов (в смысле произ-
ведения преобразований — см. § 6) является автоморфизмом и взя-
тие обратного преобразования по отношению к автоморфизму вновь
дает автоморфизм. Отсюда следует в силу § 6, что автоморфизмы
произвольного множества (с любыми соотношениями между эле-
ментами) образуют группу преобразований — так называемую группу
автоморфизмов множества.
В частности, автоморфизмы группы вновь составляют группу.
Некоторые из этих автоморфизмов мы рассмотрим подробнее.
Если а —фиксированный элемент группы, то сопоставление
элементу х элемента
х — аха-1 (1)
является автоморфизмом, потому что, во-первых, равенство (1)
разрешимо относительно х:
х = а^ха,
и, следовательно, отображение взаимно однозначно, а во-вторых,
ху = аха1 • ауа-1 = а(ху)аг = ху,
и, следовательно, отображение изоморфно.
Элемент ахал называют элементом, полученным из х транс-
формированием с помощью элемента а, а сами элементы х и аха 1
называют сопряженными в данной группе. Автоморфизмы группы,
порожденные элементами а по правилу х >—* аха~\ называются
внутренними. Все остальные автоморфизмы (если они существуют)
называются внешними.
При внутреннем автоморфизме х<—-’-аха1 произвольная под-
группа g переходит в подгруппу «да-1, которую называют сопря-
женной с подгруппой д.
Если подгруппа g совпадает со всеми своими сопряженными, т. е.
aja J = g для всех а, (2)
44
ГРУППЫ
1ГЛ и
то это означает не что иное, как ее перестановочность со всеми эле-
ментами а:
«3 =
или что q — нормальная подгруппа (§ 8). Итак,
Инвариантные относительно всех внутренних автоморфизмов
подгруппы являются нормальными.
Этой теоремой объясняется использование другого названия
для нормальных подгрупп — «инвариантная подгруппа».
Требование (2) можно заменить на более слабое:
£= 0.
Но если (3) выполняется для всех а, то оно верно и для a
аЧ,а s д,
g <= ауг\
(3)
(4)
а из (3) и (4) следует (2). Таким образом:
Подгруппа является нормальной, если вместе с каждым эле-
ментом b она содержит все сопряженные к нему элементы aba-1.
Задача 1. Абелевы группы не имеют внутренних автоморфизмов, отлич-
ных от тождественного.
Задача 2. Доказать, что в группе подстановок элемент aba-1, трансфор-
мированный из Ь, можно получить так: разложить b в произведение циклов (§ 7)
и подействовать на символы в этих циклах подстановкой а. С помощью этой
теоремы вычислить aba~i для случая
а = (2 3 4 5),
6 = (1 2) (345).
Задача 3. Доказать, что симметрическая группа <£3 имеет ровно шесть
внутренних автоморфизмов. В этом случае группа внутренних автоморфизмов
изоморфна самой группе @3.
Задача 4. Симметрическая группа <S4 имеет, кроме себя самой и единич-
ной подгруппы, лишь следующие нормальные подгруппы:
а) знакопеременную группу 3(4;
б) «четверную группу Клейна» ®4, состоящую из подстановок:
(1), (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3).
Последняя группа абелева.
Задача 5. Если д —нормальная подгруппа в группе @ и .6•»-«промежу-
точная группа»:
й <= £ <= ф,
то g — нормальная подгруппа и в .6.
Задача 6. Все бесконечные циклические группы изоморфны аддитивной
группе целых чисел
Задача 7. Отношение сопряженности симметрично, рефлексивно и тран-
зитивно. Поэтому элементы произвольной группы можно разбить на классы
сопряженных элементов.
§ 10] ГОМОМОРФИЗМЫ, НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ 45
§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы
Если в двух множествах ЭЭ? и 9? определены некоторые соот-
ношения (например, а < b или а6=с) и если каждому элементу
а из ЭЭ1 так сопоставлен элемент « = сра из 9?, что все соотноше-
ния между элементами в ЭЭ? выполняются и для их образов в Э?
(например, из а <; b следует а <. Ь, если рассматривается соотно-
шение <), то называется гомоморфизмом или гомоморфным
отображением из ЭЛ в ЭЕ
Например, пусть ЭЛ —- группа и 91 — произвольное множество,
в котором определены произведения. Если сопоставление таково,
что произведению ab всегда соответствует произведение ab, то
отображение ср является гомоморфизмом групп. Примерами могут
служить определенные выше (взаимно однозначные) изоморфизмы
групп.
Если отображение сюръективно, т. е. каждый элемент из 9?
является образом по крайней мере одного элемента из ЭЛ, то гово-
рят о гомоморфизме из ЭЭ1 на ЭЕ
Гомоморфное отображение множества ЭЛ в себя называется
эндоморфизмом этого множества.
При гомоморфном отображении множества ЭЛ на множество
ЭЛ можно объединить в один класс а те элементы из ЭЛ, которые
имеют один и тот же образ й в ЭЛ. При этом окажется, что каж-
дый элемент а будет принадлежать одному и только одному
классу л, т. е. множество ЭЛ разобьется на классы, которые вза-
имно однозначно соответствуют элементам множества ЭЛ. Класс а
называется также прообразом элемента а.
Примеры. Если сопоставить каждому элементу произволь-
но взятой группы ее единицу, то получится гомоморфизм этой
группы на единичную группу. Точно так же получится гомомор-
физм, если каждой подстановке произвольно взятой группы под-
становок сопоставить число ф-1 или число — 1 в зависимости от
того, четна эта подстановка или нечетна. Гомоморфным образом
здесь служит мультипликативная группа чисел ф-1 и —1.
Сопоставим каждому целому числу т степень ат элемента а
произвольной группы; тогда получится гомоморфизм аддитивной
группы целых чисел в циклическую группу, порожденную элемен-
том а, потому что сумме топ при этом сопоставляется произ-
ведение ат+п = атап. Если а —элемент бесконечного порядка, то
построенный гомоморфизм является изоморфизмом.
Рассмотрим отдельно гомоморфизмы групп.
Если в множестве (Ф определены произведения (т. е. соотно-
шения вида ab = c) и группа (Э гомоморфно отображается на
то и 0) является группой. Коротко: гомоморфный образ группы
является группой.
46
ГРУППЫ
[ГЛ. II
Доказательство. Пусть сначала а, Б, с — три элемента
из @, являющиеся образами элементов а, Ь, с из Из
ab • с = а • Ьс
следует, что
аЬ-С = а-Бс.
Фалее, из равенства
ае = а,
справедливого при всех а, следует, что для всех й
аё = а,
и аналогично из
Ьа = е (Ь = сг1')
следует, что
Ба — ё.
Таким образом, в ® существует единичный элемент ё и обратный
элемент для каждого а. Следовательно, © — группа. Одновремен-
но мы доказали, что
Единичный элемент и обратные элементы при гомоморфизме
переходят снова в единичный элемент и обратные элементы.
Изучим теперь подробнее разбиение на классы, которое за-
дается гомоморфным отображением При этом мы устано-
вим очень важное взаимно однозначное соответствие между гомо-
морфизмами и нормальными подгруппами.
Класс е группы ®, который при гомоморфизме ©->© перехо-
дит в единичный элемент ё группы является нормальной под-
группой в ®; остальные классы являются смежными классами по
этой нормальной подгруппе.
Доказательство. Сначала покажем, что е — подгруппа.
Пусть а и b переходят при гомоморфизме в ё; тогда ab снова
переходит в ё2 = ё, так что е содержит произведение двух любых
своих элементов. Далее, элемент переходит также в а~1 — ё,
и класс е содержит элементы, обратные ко всем своим элементам.
Все элементы произвольно взятого левого смежного класса
ас переходят в элемент аё = а. Если, наоборот, элемент а' пере-
ходит в элемент а, то определим х из уравнения
ах = а'.
Получается, что
ах = а,
х = ё.
Следовательно, элемент х лежит в классе е, а элемент а' принад-
лежит классу ае.
Поэтому класс группы @, который соответствует элементу а,
является левым смежным классом ас.
§ 10]
ГОМОМОРФИЗМЫ, НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ
47
Но точно так же можно показать, что класс, который соответ-
ствует элементу а, должен быть правым смежным классом га.
Таким образом, налицо совпадение правых и левых смежных
классов:
аг = га,
и класс е —нормальная подгруппа. Утверждение полностью дока-
зано.
Нормальная подгруппа е, элементы которой переходят при
гомоморфизме в единичный элемент е, называется ядром гомомор-
физма.
Обратим теперь постановку вопроса: пусть задана произволь-
ная нормальная подгруппа g группы (У. Можно ли построить
группу ® — гомоморфный образ группы ®, — элементам которой
в точности соответствовали бы смежные классы группы (У по
нормальной подгруппе д?
Чтобы это сделать, возьмем попросту в качестве элементов
конструируемой группы (У смежные классы по нормальной под-
группе д. Согласно § 8 произведение двух любых смежных клас-
сов по нормальной подгруппе g снова является смежным классом
и если а —элемент смежного класса яд, а Ь — элемент смежного
класса Ьсу то произведение ab принадлежит произведению смеж-
ных классов ab(\ — ас\ Ь<\. Таким образом, смежные классы состав-
ляют множество, гомоморфное группе @, т. е. гомоморфный образ
группы ®. Группу, состоящую из этих смежных классов, назы-
вают факторгруппой группы (У по нормальной подгруппе g
и обозначают через
@/д.
Порядок группы (У/g равен индексу подгруппы д.
Здесь мы видим принципиальную важность нормальных под-
групп: они позволяют строить новые группы, гомоморфные дан-
ным группам.
Если группа (У гомоморфно отображается на другую группу
(У, то, как мы видели, элементы группы (У взаимно однозначно
соответствуют смежным классам по ядру г в группе (У. Это соот-
ветствие, конечно, является изоморфизмом, потому что если аз,,
6g —два смежных класса, то ab$ — их произведение, а для соот-
ветствующих элементов a, b, ab из ® в силу гомоморфизма
имеет место равенство
(ab) = а-Б.
Итак, мы имеем:
®/г (У,
а вместе с этим изоморфизмом и теорему о гомоморфиз-
мах групп:
48
ГРУППЫ
[ГЛ II
Каждая группа на которую гомоморфно отображается
группа ®, изоморфна факторгруппе ®/<; при этом нормальная
подгруппа с является ядром данного гомоморфизма. Обратно,
группа @ гомоморфно отображается на любую свою факторгруп-
пу ®/t (где { — нормальная подгруппа).
Задача 1. Вот тривиальные факторгруппы любой группы 0: 0/0 0:
0/0 6 (в —единичная подгруппа).
Задача 2. Факторгруппа группы подстановок по знакопеременной под-
группе (®„/21„) является циклической группой второго порядка.
Задача 3. Факторгруппа S4/?(4 по четверной группе Клейна (§ 9, зада-
ча 4) изоморфна группе подстановок @?3.
Задача 4. Элементы аЬа~1Ь^ произвольной группы 0 и их произведения
(взятые в конечном числе) образуют группу, называемую коммутантом группы
0. Эта подгруппа является нормальной и факторгруппа по ней абелева.
Каждая нормальная подгруппа, факторгруппа по которой абелева, содержит
коммутант.
Задача 5. Если О —циклическая группа, а —порождающий ее элемент,
а д —подгруппа индекса т, то факторгруппа 0/д —циклическая группа по-
рядка т.
В абелевой группе всякая подгруппа является нормальной
(ср. § 8, задача 4). Если закон композиции записывать как сло-
жение, то группы и подгруппы принято называть модулями,
о чем упоминалось выше. Смежный класс а -ф- ЭЛ (где Э?? —неко-
торый модуль) называется классом вычетов по модулю ЭЯ (или
классом вычетов mod ЭЭ1), а факторгруппа ®/ЭЛ называется фактор-
модулем модуля 03 по подмодулю ЭЭЕ
Два элемента а, b лежат в одном классе вычетов, если их
разность лежит в ЭЛ. Такие два элемента называют сравнимыми
по модулю ЭЯ (или сравнимыми mod ЭЯ) и пишут
а = b (mod ЭЛ)
или, кратко,
,а==&(ЭД).
Тогда для элементов а и Ь модуля классов вычетов, соответ-
ствующих элементам а и b в силу гомоморфизма, имеет место
равенство
а = Ь.
Наоборот, из а = Ь следует а = 6 (ЭЛ).
Например, в множестве целых чисел кратные фиксирован-
ного натурального числа т образуют модуль, и в соответствии
с этим пишут
а = /? (ш),
если разность а — Ь делится на т. Классы вычетов могут быть
представлены элементами 0, 1, 2, ..., т — 1 и, следовательно,
модуль классов вычетов является циклической группой порядка т.
Задача 6. Каждая циклическая группа порядка т изоморфна модулю
классов вычетов по целому числу т.
Глава третья
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
Содержание- Определение понятий кольца, целостного кольца, тела
и поля. Общие методы построения из данных колец новых колец, тел и по-
лей. Теоремы о разложении на простые множители в целостных кольцах.
Понятия этой главы будут нужны на протяжении всей книги.
§11. Кольца
Алгебра и арифметика оперируют объектами различной при-
роды; это — целые, рациональные, вещественные, комплексные,
алгебраические числа, многочлены или рациональные функции
от п переменных и т. д. Позднее мы познакомимся с объектами
иного сорта — гиперкомплексными числами, классами вычетов
и др., с которыми можно оперировать точно так же, или почти
так же, как с числами. По этой причине желательно объединить
все упомянутые классы объектов одним общим понятием и с об-
щих позиций описать правила действий в этих областях.
Под системой с двойной композицией подразумевается про-
извольное множество элементов а, Ь, ..., в котором для любых
двух элементов а, b однозначно определены сумма а-\-Ь и про-
изведение а Ь, вновь принадлежащие данному множеству.
Система с двойной композицией называется кольцом, если
операции над элементами этой системы подчиняются следующим
законам:
I. Законы сложения:
а) Закон ассоциативности: а + (6-фс) = (а-ф6)-фс.
б) Закон коммутативности: а-\~Ь = Ь -ф а.
в) Разрешимость1') уравнения а + х = Ь для всех а, Ь.
II. Закон умножения:
а) Закон ассоциативности: а - Ьс == ab с.
III. Законы дистрибутивности:
а) а • (Ь -фс) — ab -\~ас;
б) (Ь -ф с) а = Ьа -ф са.
*) Однозначная разрешимость не требуется, а получается дальше как
следствие.
50 КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ [ГЛ. III
Примечание. Если для умножения выполняется закон
коммутативности:
II б), a-b — b-a,
то кольцо называется коммутативным. На первых порах мы
будем иметь дело в основном с коммутативными кольцами.
К законам сложения. Три закона 1а), б), в) означают в со-
вокупности, что элементы кольца образуют абелеву группу
относительно сложениях). Таким образом, мы можем перенести
на кольца теоремы, ранее доказанные для абелевых групп: су-
ществует один и только один нулевой элемент 0 со свойством
a-f-0 = a для всех а.
Далее, для каждого элемента а существует противоположный
элемент —а со свойством
(— а) + а = 0.
Таким образом, уравнение а-\-х = Ь не только разрешимо, но и
однозначно разрешимо; его единственное решение — элемент
х = (—а) + Ь,
который мы обозначаем также и через Ь— а. Так как
а — Ь = а-\-(—Ь),
любая разность может быть превращена в сумму; следовательно,
в этом смысле для разностей имеют место те же -правила пере-
становки, что и для сумм, например,
(а — Ь) — с = (а — с) — Ь.
Наконец, — (— а) = а и а — а = 0.
К законам ассоциативности. Как мы видели в § 6 (гл. 2), на
основе закона ассоциативности для умножения можно опреде-
лить сложные произведения
J]av = a1a2...a„
1
и доказать их основное свойство:
]К п п”».-
1 V = 1 1
Точно так же можно определить суммы
flv = а1 + й2 + • + ап
1
1) Эту группу называют аддитивной группой кольца,
§ 11] КОЛЬЦА 51
и доказать их основное свойство:
т п т + п
У Н" У ^m+v = 2 ^г"
1 v = l 1
В силу 16) в любой сумме можно произвольным образом пере-
ставлять слагаемые, а в коммутативных кольцах то же самое
верно и для произведений.
К законам дистрибутивности. Если имеет место закон коммута-
тивности для умножения, то, конечно, закон II16) является
следствием закона II 1а).
Из II 1а) с помощью индукции по п получаем
а(&! + /?2 Ч~ • • • Ч~ bn) — abi + -J-... -f- abn,
и, равным образом, из Шб):
(«] —<г2 + • • • ~\~ап)Ь = ахЬ + агЬ +.. .-{-апЬ.
Оба эти закона дают привычное правило для перемножения сумм:
(«1 + •. • + йл)(^1 + • • • + Ьт) =
= Gibi +.. . + + - + + • • .-{-апЬт= У1, У, dtbh-
i=ifc=i
Законы дистрибутивности выполняются также и для вычита-
ния; например,
a(b — c) = ab — ас,
в чем легко убедиться непосредственно:
а(Ь — с) + ас = a(b — с -f- с) = ab.
В частности,
а • 0 = а(а — а) = а • а — а • а = О,
или: произведение равно нулю, когда равен нулю один из сомно-
жителей.
Обращение этого предложения, как мы увидим позднее на при-
мерах, не обязательно верно: может случиться так, что
а-Ь = 0, а#=0, Ь=£0.
В этом случае элементы а и b называют делителями нуля, при-
чем а— левым делителем нуля, а Ь — правым делителем нуля.
(В коммутативных кольцах оба эти понятия совпадают.) Оказы-
вается удобным и сам нуль считать делителем нуля. Поэтому
элемент а называется левым делителем нуля, если существует
такой элемент b Ф 0, что ab = 02).
*) Предполагается, что в кольце есть элементы, отличные от нуля.
52
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Если в кольце нет делителей нуля, отличных от самого нуля,
т. е. если из ab = G следует, что или а = 0, или Ь = 0, то гово-
рят о кольце без делителей нуля. Если, кроме того, кольцо комму-
тативно, то оно называется целостным.
Примеры. Все указанные ранее кольца (кольцо целых
чисел, кольцо рациональных чисел и т. д.) являются примерами
колец без делителей нуля. Кольцо непрерывных функций на
интервале (—1, 1) обладает делителями нуля, потому что если
положить
f — f(x) = max (0, х),
g = g(x) = max (0, — х),
то окажется, что g^O, fg = ®-
Задача 1. Пары целых чисел (aL,a2) с операциями
(ai> а2> + (Ц> b2) = (fli + ^1> Ог + ^г)»
(av а2) (bt, b2) = (a1b1, a2b2)
образуют кольцо с делителями нуля.
Задача 2. Равенство ах — ау можно сокращать на а, если а не являет-
ся левым делителем нуля. (В частности, в целостном кольце можно сокращать
на любой элемент а #= 0.)
Задача 3. Построить, исходя из произвольной абелевой группы, кольцо,
аддитивная группа которого есть данная группа, а умножение таково, что
произведение любых двух элементов равно нулю.
Единичный элемент. Если кольцо обладает левым единичным
элементом е:
ех = х для всех х,
и о д и о в р е ме н н о — правым единичным элементом е':
хе' = х для всех х,
то оба эти элемента должны быть равны, так как
е — ее'=е'.
Точно так же любой правый единичный элемент равен е и левый
единичный элемент тоже. При этих условиях элемент е называют
просто единичным элементом или единицей и говорят о кольце
с единичным элементом или о кольце с единицей. Часто единич-
ный элемент обозначают символом 1, если это не приводит
к путанице с числом 1.
Целые числа образуют кольцо с единицей, а четные числа —
кольцо без единицы. Существуют также кольца, в которых есть
несколько правых единичных элементов, но ни одного левого или
наоборот.
1) f 0 означает: f является функцией, отличной от нуля. Условие отнюдь
не означает, что f нигде не обращается в нуль.
§ II]
КОЛЬЦА
53
Обратный элемент. Если а — произвольный элемент кольца
с единицей е, то под левым обратным элементом к а подразуме-
вается элемент a\i\ со свойством
af/ja = е,
а под правым обратным — элемент а^ со свойством
аа(г) = е.
Если элемент а обладает левым обратным и правым обратным
элементами, то последние опять совпадают, так как
ар] = din (W)) = (ар}а) a[r\ = a(7j,
и каждый левый
выше элементу.
и, следовательно, каждый правый обратный, как
обратный для элемента а равны указанному
В этом случае говорят: элемент а обладает обратным элементом,
а сам обратный элемент обозначают через а-1.
Степени и кратные. В главе 2 мы уже видели, что на основе
закона ассоциативности для каждого элемента а в кольце можно
определить степени ап (п — натуральное число) и получить обыч-
ные правила действий:
ап • ат = апЛ т, '
(ап)т = апт,
(ab)n = апЬп;
(1)
при этом последнее равенство справедливо для коммутативных
колец.
Если кольцо обладает единицей, а элемент а — обратным, то
можно ввести нулевую и отрицательные степени (§ 6); при этом
равенства (1) остаются верными.
Точно так же в аддитивной группе можно ввести кратные
па (= а + а + ... + п слагаемых);
тогда:
па + та = (п + т) а,
п-та = пта,
п (а + Ь) = па + nb,
п ab = па • b = а nb.
Как и в случае степеней, положим
(— п)-а =— па;
тогда равенства (2) окажутся выполненными для всех целых п и
т (положительных, отрицательных и нуля).
Вместе с тем выражение п • а не следует рассматривать как
настоящее произведение двух элементов кольца, потому что п
54
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. lit
в общем случае не является элементом кольца, а представляет
собой нечто внешнее: целое число. Если, однако, кольцо обладает
единицей е, то па можно рассматривать как настоящее произве-
дение, а именно:
па = п • еа = пе а.
Задача 4. Левый (соответственно правый) делитель нуля не обладает
левым (соответственно правым) обратным элементом. В частности, нуль не имеет
ни правого, ни левого обратного элемента. Тривиальное исключение: кольцо
состоит из одного-единственного элемента 0, который одновременно служит
единичным элементом и своим обратным («нулевое кольцо»).
Задача 5. Индукцией по п доказать для произвольного коммутативного
кольца теорему о биноме-.
(а + Ь)п^ап + [^ а*~1Ь а«-2д2 + .,. + &«,
(п\
где , — целое число
\«/
п (n— 1)... (п— й-f- 1) л!
\-2-...-k ~ (n-k)\k\ ’
Задача 6. В кольце из п элементов для каждого а имеет место равенство
п а = 0.
(Ср. § 8, где было доказано равенство ап~е.)
Задача 7. Если элементы а и Ь перестановочны, т. е. ab = ba, то а пере-
становочен с — b, nb и 1г1. Если а перестановочен с Ь и с, то он перестано-
вочен с ЬЦ-с и Ьс.
Тело. Кольио называется телом, если:
а) в нем есть по крайней мере один элемент, отличный от нуля:
б) уравнения
при а#=0 разрешимы.
Если, кроме того, кольцо коммутативно, то оно называется
полемх) или рациональным кольцом.
Точно так же, как в случае групп (гл. 2), доказывается, что
из а) и б) следует
в) существование левой единицы е. Действительно, для каж-
дого ау=0 уравнение ха = а разрешимо; обозначим его решение
через е. Для произвольного Ь уравнение ах = Ь разрешимо; сле-
довательно,
eb = еах — ах = Ь.
Точно так же устанавливается существование правой единицы
и вообще единичного элемента.
Из в) следует непосредственно
1) Некоторые авторы называют все тела полями и различают поля комму-
тативные и некоммутативные.
§ И]
КОЛЬЦА
55
г) существование левого обратного а-1 для каждого а#=0 и,
равным образом, правого обратного; итак, установлено существо-
вание обратного элемента вообще.
Так же как в случае групп, далее доказывается, что, наобо-
рот, из в) и г) следует б).
Задача 8. Провести доказательство.
В теле нет делителей нуля, потому что из ab = 0, а =/= О
с помощью умножения на а-1 следует равенство 6 = 0.
Уравнения (3) разрешимы однозначно, потому что из сущест-
вования двух решений х, х', скажем, первого уравнения следо-
вало бы, что
ах = ах'
и с помощью умножения на а г слева
х = х'.
Решения уравнений (3), естественно, равны
х = ст+,
у = Ьа~\
В коммутативном случае a~lb = Ьа~1, поэтому пишут также Ь/а.
Отличные от нуля элементы произвольного тела составляют
относительно операции умножения группу — мультипликативную
группу тела.
Таким образом, тело объединяет в себе сразу две группы:
мультипликативную и аддитивную. Обе они связаны дистрибутив-
ными законами.
Примеры. 1. Рациональные числа, вещественные числа,
комплексные числа образуют поля.
2. Поле из двух элементов 0 и 1 строится следующим образом:
эти элементы перемножаются, как числа 0 и 1. Относительно
сложения элемент 0 является нулевым элементом:
0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1+0 = 1;
пусть далее 1 + 1=0. Правило сложения то же, что и в компо-
зиции циклической группы с двумя элементами (§ 7); тем самым
выполнены законы сложения. Законы умножения также выпол-
нены, потому что они выполняются для обычных чисел 0 и 1.
Первый закон дистрибутивности доказывается перебором всех воз-
можностей: если в требуемое равенство входит нуль, то все три-
виально, так что остается рассмотреть лищь случай
1 .(1 +1)= 1.1 +1 .1,
который приводит к справедливому равенству 0 = 0. Наконец,
уравнение 1х = а разрешимо при каждом а: решением служит
х = а.
56
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Задача 9. Построить поле из трех элементов. (Обсудить сначала вопрос
о том, какое строение могут иметь мультипликативная и аддитивная группы
поля.)
Задача 10. Целостное кольцо с коленным числом элементов является
полем. (Ср. соответствующую теорему о группах в главе 2, § 6.)
§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы
Пусть 31 и @ — системы с двойной композицией. Согласно
общему определению из § 10 отображение ср из 31 в ® называется
гомоморфизмом, если соотношения а-$-Ь~с и ab = d при этом
отображении сохраняются, т. е. если сумма а-|-£ переходит в сумму
а-]~Ь, а произведение ab — в произведение а Ь. Множество 31,
являющееся в ® образом множества 31, называется в этом слу-
чае гомоморфным образом множества 31. Если отображение взаимно
однозначно, то отображение называют изоморфизмом в соответствии
с нашим общим определением (§ 9) и пишут 51 31. Отношение
рефлексивно и транзитивно, а так как отображение, обратное к изо-
морфизму, является изоморфизмом, это отношение и симметрично.
Гомоморфный образ кольца является кольцом.
Доказательство. Пусть 31 —кольцо, 31 — система с двой-
ной композицией, а а >—► а — гомоморфное отображение из 51 на 31.
Мы должны показать, что 31 —снова кольцо. Как и в случае
групп (§ 10), доказательство проводится следующим образом.
Пусть а, Ь, с —любые три элемента из 31; докажем какое-либо
из правил вычисления, например, а (б-Це) = ab-\-ac, для чего
фиксируем прообразы а, Ь, с элементов а, Ь, с. Так как 31 —
кольцо, выполняется равенство a (bс) = abас, а в силу гомо-
морфное™ отображения а (Ь + с) = аЪ-}-ас. Точно так же прово-
дится доказательство всех законов ассоциативности, коммутатив-
ности и дистрибутивности. Для доказательства разрешимости урав-
нения а Н-х = Ь нужно найти прообразы а, b и решить уравнение
а-\-х = Ь, откуда в силу гомоморфное™ получится, что а-\-х — Ь.
Нулю и противоположному элементу —а элемента а соответ-
ствуют при гомоморфизме нуль и противоположный элемент из
кольца 51. Если 51 обладает единицей, то ей соответствует еди-
ничный элемент в 31.
Доказательство такое же, как в случае групп.
Если кольцо 51 коммутативно, то коммутативно и 51.
Если 51 — целостное кольцо, то 51 не обязано быть целостным,
как мы увидим позднее; кольцо 31 может быть целостным и тогда,
когда 51 таковым не является. Но если отображение изоморфно,
то, конечно, все алгебраические свойства кольца Э( переносятся
на кольцо 51. Отсюда следует утверждение:
§ 13]
ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТНЫХ
57
Изоморфный образ целостного кольца (соответственно поля)
является целостным кольцом (соответственно полем).
Здесь уместно сформулировать одну почти тривиальную тео-
рему, которая будет важна в дальнейшем:
Пусть Di и — два кольца, не имеющие общих элементов;
пусть ©' содержит подкольцо Di', изоморфное Di. Тогда существует
кольцо @ = содержащее Di.
Доказательство. Удалим из @' элементы кольца Di' и
заменим их на соответствующие при изоморфизме элементы
кольца Di. Суммы и произведения на замененных и оставшихся
элементах определим так, как это получается при изоморфном
соответствии для исходных элементов в ©'. (Например, если перед
заменой элементов выполнялось равенство а'Ь'=с', затем а'
заменялся на а, а Ь' и с' оставались неизменными, то мы пола-
гаем ab' = c'.) Таким способом из ©' возникает кольцо
которое и в самом деле содержит Di.
§ 13. Построение частных
Если коммутативное кольцо Di вложено в некоторое тело Q,
то внутри Q из элементов кольца Di можно строить частные1).
^- = ab~1 = b~1a (Ь^О).
Для них имеют место следующие правила:
у = тогда и только тогда, когда ad = be;
а с ____ ad-\-bc ..
~b+~d~~bd ’ W
ас ас
Ь d bd ’
Для доказательства нужно убедиться в том, что обе части
после умножения на bd дают одно и то же и что из bdx — bdy
следует х = у.
Таким образом, мы видим, что частные а/b составляют неко-
торое поле Р, которое называется полем частных коммутативного
кольца DI. Далее, из правил (1) усматривается, что способ, кото-
рым дроби сравниваются, складываются, умножаются, оказывается
известным, как только эти операции определяются над элементами
кольца Di, т. е. строение поля частных Р полностью определяется
строением кольца Di, или: поля частных изоморфных колец изо-
морфны. В частности, любые два поля частных одного и того же
кольца обязательно изоморфны, или: поле частных Р определяется
1) Действительно, из ab=*ba следует, что ab = Ь~ ^а, если слева и справа
умножить на b~i.
58
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ lit
кольцом 91 однозначно с точностью до изоморфизма, если только
вообще данное кольцо обладает полем частных.
Зададимся теперь вопросом: какие коммутативные кольца
обладают полями частных? Или, что то же самое, — какие ком-
мутативные кольца могут быть погружены в поля?
Для того чтобы кольцо 91 можно было погрузить в тело,
необходимо прежде всего, чтобы в 91 не было делителей нуля,
потому что в теле делителей нуля нет. В коммутативном случае
это условие и достаточно: каждое целостное кольцо 91 можно по-
грузить в некоторое поле *).
Доказательство. Мы можем исключить тривиальный слу-
чай, когда 91 состоит только из нулевого элемента. Рассмотрим
множество всех пар элементов (а, Ь), где Ь#=0. Этим парам
позднее мы сопоставим дроби а/Ь.
Положим (a, b)^(c, d), если ad = bc. (Ср. приведенные выше
формулы (1).) Определенное таким образом отношение ~ является,
очевидно, рефлексивным и симметричным; кроме того, оно и тран-
зитивно, потому что из
(a, b)~(c, d), (с, d)~(e, f)
следует, что
ad = be, cf = de,
и поэтому
adf = bef = bde.
Таким образом, в силу d^O и коммутативности кольца 91:
af = be,
{a, b)~(e, f).
Отношение ~ обладает, таким образом, всеми свойствами экви-
валентности. В соответствии с § 5 (гл. 1), эта последняя опреде-
ляет некоторое разбиение пар (а, Ь) на классы, при котором
эквивалентные пары попадают в один класс. Класс, которому при-
надлежит пара (а, Ь), будет обозначаться символом а/b. Как
следствие этого определения равенство a/b = c/d оказывается
выполненным тогда и только тогда, когда (a, b) ~ (с, d), т. е.
когда ad = bc.
В соответствии с предыдущими формулами (1) мы определим
сумму и произведение новых символов а/b равенствами
а . с аЛЦ-Ьс ,о,
Т + ~d = ~bd~
И
О С ClC I QV
У Д = W
!) Для некоммутативных колец без делителей нуля эта теорема неверна.
Соответствующий пример был впервые построен Мальцевым А- И. (Math. Ann.,
1936, 113, S. 686-691).
§ 13]
ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТНЫХ
59
Эти определения корректны, потому что, во-первых, если &#=0
и d #= 0, то bd 0 и выражения —Ьс и имеют смысл;
во-вторых, правы; части не зависят от выбора представителей
(а, Ь) и (с, d) классов а/b и c/d. Действительно, заменим в (2) а
и b на а' и Ь', где
ab' — Ьа';
тогда
adb' = a'db,
adb' + bob' = a'db -f- b'cb,
(ad + be) b'd = (a'd + b'c) bd
и, следовательно,
ad-}-be a'd-}-b'c
' bd ~ ~bb •
Точно так же:
ab' = ba',
acb'd = a'cbd,
ас ____ a'c
~bd ~ ~Fd'
Соответствующие равенства получаются при замене (с, d) на
(с', d'), где cd' = dc'.
Без труда показывается, что полученная конструкция обла-
дает всеми свойствами поля. Например, закон ассоциативности
сложения получается так:
а / с , е\ а . cf-}-de adf + bef + bde
'b''\d''T)~~b~' df ~ bdf ’
/ a , c \ , e ad-}-bc . e adf + bef + bde
+ ~d) T bd H т “ bdf ’
а остальные законы аналогично.
Чтобы установить, что построенное поле содержит кольцо 91,
мы должны отождествить элементы из 91 с некоторыми дробями.
Делается это так.
cb
Сопоставим элементу с все дроби , где b у= 0. Эти дроби
равны между собой:
— -^г, так как (cb) b' =b (cb').
Следовательно, каждому элементу с сопоставляется лишь одна
дробь. При этом различным элементам с, с' сопоставляются раз-
личные дроби, потому что из
cb _ с'Ь'
Т “ “
следует, что
ebb’ — bc'b',
60
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
или, так как 6 =# 0, Ь' Ф 0, можно осуществить сокращение:
с —с'.
Итак, элементам кольца ЭЯ взаимно однозначным образом сопо-
ставлены совершенно определенные дроби.
Если Ci + c2 = e3 или схс2 = с3 в кольце ЭЯ, то для произвольных
Ьх Ф 0, й2 # 0 и b3 = bxb2 это означает, что
cxbi . с2Ь2 _ схЬхЬ2~]-с2ЬхЬ2 _ с3Ь3
&i ' ь2 — bxb2 ~ Ь3 ’
соответственно
схЬх _ c2b2 _ cic2bxb2 _ csb3
bx b2 ^1^2 63
Следовательно, дроби складываются и умножаются так же,
как элементы кольца ЭЯ; поэтому они составляют систему, изо-
морфную кольцу ЭЯ. В силу сказанного мы можем заменить дроби
cb
-j- на соответствующие им элементы с (§ 12, конец). Тем самым
мы получаем требуемый результат: построенное поле содержит
кольцо ЗЯ.
Мы доказали, следовательно, существование поля, содержа-
щего заданное целостное кольцо ЭЯ.
Построение частных является первым средством построения
из данных колец других колец (в данном случае — полей). На-
пример, именно так из кольца обычных целых чисел Z строится
поле (Q рациональных чисел.
Задача. Показать, что любое коммутативное кольцо 3t (с делителями
или без делителей нуля) может быть погружено в некоторое кольцо частных,
состоящее из всевозможных отношений а/b, где Ь пробегает все неделители
нуля. Более общо, элемент b может пробегать любое множество ВД иеделите-
лей нуля, содержащее вместе с двумя любыми своими элементами Ьх, Ь2 и их
произведение Ь^; в этом случае получится некоторое кольцо частных ЭБдо.
§ 14. Кольца многочленов
Пусть ЭЯ — некоторое кольцо. Мы построим с помощью но-
вого, не принадлежащего кольцу ЭЯ, символа х выражения вида
f W = S flvXV>
в которых суммирование ведется по какому-то конечному мно-
жеству целочисленных значений индекса v^O и «коэффициенты»
av принадлежат кольну ЭЯ; например,
/ [X) = ОоХ° -Е а3х + аъх&.
§ 14]
КОЛЬЦА МНОГОЧЛЕНОВ
61
Такие выражения называются многочленами-, символ х назы-
вается переменной. Таким образом, переменная — это не что
иное, как символ в вычислениях. Два многочлена называются
равными, если они содержат одни и те же составляющие слагае-
мые с точностью до слагаемых с нулевыми коэффициентами, ко-
торые могут быть произвольно добавлены или удалены из выра-
жения для многочлена.
Если по обычным правилам оперирования с буквами сложить
или перемножить два многочлена /(х), g(x), рассматривая х как
элемент, перестановочный с элементами кольца (ах = ха), а после
этого сгруппировать все члены с одинаковыми степенями пере-
менной х, то получится некоторый многочлен ^cvxv. В случае
сложения
cv = av-\-bv, (1)
а в случае умножения
cv = У а0Ьх. ?2)
а + т = v
С помощью формул (1) и (2) мы о п р е де л я е м сумму и про-
изведение двух многочленов и утверждаем, что:
Многочлены образуют кольцо.
Свойства сложения без каких бы то ни было новых доказа-
тельств очевидны, потому что они сводятся к свойствам сложения
коэффициентов av, bv. Первый закон дистрибутивности следует
из равенства
У, аа(Ьх + сх)= У аоьх+ У аосх;
a-f-T=v a+r=v a-|-T=v
аналогично получается второй закон дистрибутивности. Наконец,
закон ассоциативности умножения получается из того, что
У &а / У \ ~ У
a+r=v \₽ + V = r / a+P + v=v
У f У Cv ~ 1 У aabf,Cy.
p+v=v\a+₽=p / a+P+?=v
Кольцо многочленов, "получаемое из 8R, обозначается через
SR [х]. Если SR коммутативно, то коммутативно и 9R [х].
Степенью отличного от нуля многочлена называется наиболь
шее число v, для которого av 0. Элемент av с таким макси-
мальным v называется старшим коэффициентом многочлена.
Многочлены нулевой степени имеют вид аох°. Мы отождест-
вляем их с элементами а0 основного кольца 5R, что вполне допу-
стимо, ибо они складываются и умножаются точно так же, как
элементы основного кольца; благодаря э.ому обстоятельству мно-
гочлены нулевой степени образуют систему, изоморфную кольцу К
62
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. IB
(ср. § 12, конец). Следовательно, кольцо многочленов 34 [х] содер-
жит кольцо Ш.
Переход от 34 ь SR [х] называется (кольцевым) присоединением
переменной х.
Если к произвольному кольцу 3R последовательно присоеди-
нять переменные хь х2, ..., хп и строить ЗЧ[хх][х2] ... [х„], то
получится кольцо Ш [хъ х2, ..., хп], состоящее из всевозможных
сумм вида
а. а
S йа1 • • апх1 ••• Хпп'
Мы будем считать, что в каждом таком многочлене допу-
скается любая перестановка сомножителей х®1, ..., х“«. Таким
образом, кольцо многочленов SR [xj [х2]... [х„] будет отождест-
вляться с кольцом многочленов, получающимся путем переста-
новки переменных, например, с 34 [х2] [xj ... [хп]. Это отождест-
вление допустимо, так как перестановка переменных х; не ска-
зывается на определении суммы и произведения. Кольцо
34[хх, ..., х„] называют кольцом многочленов от п переменных xlt ...
• •.»
В частности, если кольцо SR является кольцом целых чисел,
то говорят о целочисленных многочленах.
Замена переменных на произвольные элементы кольца. Если
f (х) = — многочлен над 3R и а —элемент кольца (самого
кольца 34 или кольца, содержащего 34), перестановочный со всеми
элементами из SR, то в выражение для f (х) всюду вместо х можно
подставить элемент а и получить таким способом значение f (а) =
== ^avav. Если g(x)~ любой другой многочлен и g(a) —его зна-
чение при х = а, то сумма и произведение
f(x) + g(x) = s(x),
f(x)-g(x) = p(x)
при x = a имеют значения
f(a)+g(a) = s(a),
f(a)-g(a) = p(a).
Для суммы это очевидно. Для произведения вычисления прово-
дятся по формуле (2):
Р (a) = S cvav = S a^aV = 5 S =
v X+n=v X ц
= (S акак) (2 Ь^а») =f(a)g (а).
Тем самым доказано: все соотношения между многочленами
f(x), .... g(x), .... получающиеся при сложении и умножении,
§ 14]
Кольца многочленов
остаются в силе при замене переменной х на произвольный эле-
мент кольца 31, перестановочный со всеми элементами из 31.
Соответствующая теорема справедлива и для многочленов от
нескольких переменных. В частности, если кольцо 31 коммута-
тивно, то в многочлен f (х1э ..., х„) можно подставлять вместо
переменных произвольные элементы из 31 (или из коммутатив-
ного расширения кольца 31). Благодаря этому многочлены назы-
вают также целыми рациональными функциями от переменных
х1( .... хп.
Для целочисленных многочленов без постоянного члена воз-
можность подстановки элементов кольца дает большее: вместо
xlt .... хп могут быть подставлены произвольные перестановоч-
ные элементы любого кольца независимо от того, содержит ли
оно целые числа или нет.
Если 3! — целостное кольцо, то и 31 [х] — целостное кольцо.
Доказательство. Если f(x)#=0 и g(x)=/=0 и если аа —
старший коэффициент в f (х), а ^ — старший коэффициент в g(x),
то ааЬ$ =# 0 — коэффициент при х“ ₽ в f (х) g (х), так что f (х) • g (х) =#
=#0. Следовательно, делителей нуля нет.
Из этого доказательства получается
Следствие. Если N —целостное кольцо, то степень много-
члена f(x)-g(x) равна сумме степеней f(x) и g(x).
Для многочленов от п переменных с помощью индукции не-
медленно получается утверждение:
Если кольцо 31 целостное, то кольцо 31 [ху, ..., х„] тоже
целостное.
Под степенью выражения оц ... . .х“г мы понимаем сумму
показателей У, а;. Степенью же ненулевого многочлена называется
наибольшая степень отличных от нуля составляющих его выраже-
ний указанного выше типа. Многочлен называется однородным
или формой, если все составляющие его выражения имеют оди-
наковую степень. Произведение однородных многочленов вновь
является однородным многочленом и его степень равна —при
условии, что кольцо 31 целостное, — сумме степеней сомножи-
телей.
Неоднородные многочлены могут быть (однозначным образом)
представлены в виде суммы однородных составляющих разных
степеней. Перемножим два таких многочлена /, g степеней тип;
тогда произведение однородных составляющих высших степеней
в случае целостного кольца 3i является ненулевой формой сте-
пени т-\-п. Все остальные составляющие произведения f-g имеют
меньшую степень. Следовательно, степень многочлена f-g вновь
равна т-{-п. Приведенная выше теорема о степени («следствие»)
оказывается, таким образом, верной для многочленов от любого
числа переменных.
64
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Алгоритм деления. Пусть 94 —кольцо с единицей 1; пусть
g W = S cvXv
— произвольный многочлен, старший коэффициент которого с„ = 1,
и пусть
f W = У, avxv
— произвольный многочлен степени т>-п. Тогда старший коэф-
фициент ат можно обратить в нуль, если вычесть из f некоторое
кратное многочлена g, а именно — многочлен атхт ng. Если
в результате степень окажется большей или равной п, то стар-
ший коэффициент можно будет опять обратить в нуль, осущест-
вляя вычитание некоторого кратного многочлена g. Продолжая
таким образом, мы в конце концов получим остаток со степенью,
меньшей п:
f-qg = r, (3)
где г —многочлен степени, меньшей степени многочлена g, или,
возможно, нулевой многочлен. Такая последовательность действий
называется алгоритмом деления.
Если, в частности, 91 — поле и gy=0, то предположение о том,
что сп = 1, излишне, потому что тогда при необходимости можно
умножить g на ей' и получить единичный старший коэффициент.
Задача. Пусть х, у, ... — бесконечное множество символов; можно рас-
смотреть совокупность всех 91-многочленов от этих переменных. Каждый мно-
гочлен будет содержать лишь конечное число таких переменных. Доказать,
что и таким образом определенная система является кольцом (соответственно
целостным кольцом), если 94 является кольцом (соответственно целостным
кольцом).
§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов
Пусть с — произвольное кольцо.
Чтобы некоторое подмножество в о вновь было кольцом {под-
кольцом кольца о), необходимо и достаточно выполнение следую-
щих условий:
1) это подмножество должно быть подгруппой аддитивной груп-
пы кольца; другими словами, вместе с любыми а и b оно должно
содержать разность а — b (свойство модулей)-,
2) вместе с а и b оно должно содержать произведение ab.
Среди подколец особую роль играют подкольца, называемые
идеалами-, их роль аналогична роли нормальных подгрупп в теории
групп.
Непустое подмножество ш кольца о называется идеалом, точнее,
правым идеалом, если:
1) из а е м и 6 е m следует, что а — b е m (свойство модулей);
§ 15] ИДЕАЛЫ КОЛЬЦА КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ Ь5
2) из ае ш следует ar е ш для произвольного г из о. Слова-
ми: модуль m вместе с каждым своим элементом а должен содер-
жать все «правые кратные» аг.
Равным образом, модуль называется левым идеалом, если из
а е m следует га е ш для произвольного г <= о.
Наконец, подмножество tn называется двусторонним идеалом,
если оно является одновременно правым и левым идеалом.
Для коммутативных колец все три понятия совпадают и поэтому
говорят просто об идеалах. Идеалы будут обозначаться строчны-
ми готическими буквами.
Примеры идеалов в коммутативных кольцах:
1. Нулевой идеал, состоящий из одного нуля.
2. Единичный идеал о, содержащий все элементы кольца.
3. Идеал (а), порожденный элементом а и состоящий из всевоз-
можных выражений вида
га + па (г е о, п — целое число).
То, что это множество действительно является идеалом, увидеть
легко: разность двух таких выражений имеет, очевидно, тот же
вид, а произвольное кратное выглядит так:
s (га + па) = (sr + ns) а,
т. е. имеет вид г'а или г'а + Оа.
Идеал (а) является, очевидно, наименьшим среди идеалов, содер-
жащих элемент а, потому что каждый идеал должен содержать
во всяком случае все кратные га и все суммы ± ^а = па, а по-
тому и все суммы вида га + па. Идеал (а) может, таким образом,
определяться как пересечение всех идеалов, содержащих элемент а.
Если кольцо о обладает единицей е, то для га-)-па можно
воспользоваться записью вида га + пеа = (г + пе) а = г'а. Следова-
тельно, в этом случае идеал (а) состоит из всех обычных кратных
га. Нанример, идеал (2) в кольце целых чисел состоит из всех
четных чисел.
Идеал, порожденный одним элементом а, называется главным.
Нулевой идеал всегда главный: это идеал (0). Единичный идеал
также является главным, если о —кольцо с единицей е, потому
что тогда о = (е). В некоммутативных кольцах необходимо разли-
чать правые и левые главные идеалы. Правый идеал, порожденный
элементом а, состоит из всевозможных сумм аг + па.
4. Точно так же можно определить левый идеал, порожденный
несколькими элементами аг,..., ап, как совокупность сумм вида
+ Т1п>а1
или как пересечение всех левых идеалов кольца о, содержащих
элементы аъ..., ап. Этот идеал обозначают через (alt..., ап) и го-
ворят, что элементы alt ., ап составляют базис этого идеала.
66
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ И!
5. Аналогично можно определить левый идеал (М), порожден-
ный бесконечным множеством М\ он является совокупностью всех
конечных сумм вида
У, г;а; + У п,а/ (а.) е М, о, — целые числа).
Классы вычетов. Любой левый или правый идеал ш кольца
о', являясь подгруппой аддитивной группы, определяет некоторое
разбиение кольца о на смежные классы или классы вычетов по
идеалу nt. Два элемента а, b называются сравнимыми по идеалу
tn или сравнимыми по модулю т, если они принадлежат одному
классу вычетов, т. е. если а — b е nt. Обозначение:
a = b (mod nt),
или, в краткой форме,
a = b (nt).
Вместо «а не сравнимо с Ь» пишут а^Ь.
Если, в частности, ш — главный идеал (т) в коммутативном
кольце, то вместо а = b (nt) можно было бы также писать а == b ((т)).
Но в целях упрощения записи в этом случае пишут, опуская
пару скобок, a = b(m).
Таким путем приходят, например, к обычным сравнениям по
модулю целого числа: а = й(ц) (словами: а сравнимо с b по мо-
дулю и) означает, что а — b принадлежит идеалу (и), т. е. явля-
ется кратным числа п.
Операции над сравнениями. Сравнение а = Ь по некоторому
левому идеалу ш остается, очевидно, верным, если к обеим частям
прибавить один и тот же элемент с или если обе части умножить
слева на один и тот же элемент с. Если ш — двусторонний идеал,
то обе части сравнения можно умножить на с и справа. Отсюда,
далее, следует: если а=а' и b==b’, то
а + b = а + b' see а' + Ь',
ab sE=ab' s=a'b'',
итак, сравнения по двустороннему идеалу можно почленно скла-
дывать и умножать.
Обе части сравнения можно также умножать на обычное целое
число п. В случае п =—1, если скомбинировать приведенные
выше рассуждения, получается, в частности, что сравнения
можно и почленно вычитать.
Следовательно, со сравнениями можно оперировать точно
так же, как с равенствами. Только сокращать, вообще говоря,
нельзя: в области целых чисел, например,
15 = 3(6),
но сравнение 5=1(6) неверно, хотя 3^0(6).
§ 15] ИДЕАЛЫ, КОЛЬЦА КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ 67
Задача 1. Показать, что в кольце целых чисел классы вычетов по
идеалу (и) (т > 0) представляются числами 0, 1, .... т — 1 и могут быть,
следовательно, обозначены через Йо,
Задача 2. Какой идеал порождают в кольце целых чисел числа 10 и 13?
Задача 3. Что означает а = Ь(0)?
Задача 4. Все кратные га некоторого элемента а образуют некоторый
левый идеал га. На примере кольца четных чисел уяснить, что этот идеал не
обязан совпадать с левым главным идеалом (а).
Двусторонние идеалы находятся в том же отношении к поня-
тию гомоморфизма колец, что и нормальные подгруппы к поня-
тию гомоморфизма групп. Обратимся к понятию гомомор-
физма.
Гомоморфизм о->-о определяет разбиение кольца о на классы:
класс будет состоять из всех элементов а, имеющих один и
тот же образ а. Это разбиение на классы мы можем описать
точнее:
Класс п кольца о, который при гомоморфизме о о соответ-
ствует нулевому элементу, является двусторонним идеалом в о,
а остальные классы являются классами вычетов по этому иде-
алу.
Доказательство. Сначала докажем, что п —модуль. Если
а и b при гомоморфизме переходят в нуль, то в нуль переходят
— b и разность а — Ь; следовательно, вместе с а и b классу п
принадлежит и разность а — Ь.
Далее, если а переходит в нуль и г — произвольный элемент
кольца, то га переходит в г 0 = 0 и, следовательно, принадле-
жит и. Равным образом, переходит в нуль и элемент аг. Следова-
тельно, п — двусторонний идеал.
Элементы а 4- с (с еп) одного и того же класса вычетов по п,
представителем которого служит а, переходят в <7 4-0, т. е. в а,
и, следовательно, принадлежат одному классу $0. Если, наоборот,
элемент b переходит в <7, то Ь — а переходит в а — а = 0 и, сле-
довательно, Ь — аеЕП, т. е. b лежит в том же классе вычетов,
что и а. Тем самым требуемое доказано.
Итак, каждому гомоморфизму соответствует некоторый двусто-
ронний идеал, являющийся его ядром.
Обратим теперь эту связь — будем исходить из произвольного
идеала m кольца о и зададимся вопросом: существует ли гомо-
морфный образ о кольца о такой, что классы вычетов по идеалу
ш отображаются в элементы кольца о?
Чтобы построить такое кольцо, мы поступим так же, как
в § 10: в качестве элементов конструируемого кольца возьмем
просто классы вычетов по модулю tn; класс вычетов а 4- tn обо-
значим через а, класс вычетов b 4- tn — через b и определим
а 4- b как класс, в котором лежит сумма а 4- Ь, и а • b как класс,
в котором лежит произведение ab. Если а' = а — какой-нибудь
68
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
другой элемент из а, а Ь'= Ь — другой элемент из Ь, то в соот-
ветствии со сказанным выше *)
a' -\-b'
а' Ь' =а • Ь\
следовательно, а' -\-Ь' лежит в том же классе вычетов, что и
а-\-Ь; точно так жеа’-Ь’ лежит в том же классе вычетов, что и
а-b. Таким образом, наше определение суммы и произведения
классов не зависит от выбора элементов а, b в классах а, Ь.
Каждому элементу а соответствует класс вычетов а, и это
отображение _гомоморфно, потому что сумма а 4- b _ переходит
в сумму а-\-Ь, а произведение ab — в произведение ab. Следова-
тельно, классы вычетов образуют некоторое кольцо (§ 12). Это
кольцо мы назовем кольцом классов вычетов о/m или фактор-
кольцом кольца о по идеалу т или кольца о по модулю т. С по-
мощью указанного выше соответствия кольцо о гомоморфно ото-
бражается на кольцо о/tn. В этой ситуации идеал ш играет ту
же роль, что раньше играл п.
Здесь мы видим принципиальную важность двусторонних
идеалов: они позволяют строить кольца, гомоморфные данному
кольцу. Элементами такого нового кольца являются классы вы-
четов по некоторому двустороннему идеалу. Любые два класса
вычетов складываются и умножаются, потому что можно склады-
вать и умножать два произвольных представителя этих классов.
Из а = Ь следует, что а=Ь; таким образом, сравнения при пере-
ходе к классам вычетов становятся равенствами, и операции над
сравнениями в кольце о соответствуют операциям над равенствами
в кольце с/т.
Построенные здесь кольца частного вида, гомоморфные дан-
ному кольцу о, — кольца классов вычетов с/m — исчерпывают, по
существу, все кольца, гомоморфные кольцу с. Действительно,
если о — произвольное кольцо, гомоморфное кольцу о, то мы уже
видели, что элементы из о взаимно однозначно соответствуют
классам вычетов по некоторому двустороннему идеалу п в о.
Класс вычетов соответствует элементу а из о. Сумма и про-
изведение двух классов вычетов переходят соответственно
в и §.аЬ и, следовательно, им соответствуют элементы
а-\-Ь = «4-5
и __
ab = ab.
Таким образом, сопоставление классам вычетов элементов из о
является изоморфизмом. Мы доказали следующее утверждение:
1) Само собой разумеется, что все сравнения берутся по модулю in.
§ 16]
ДЕЛИМОСТЬ. ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ
69
Каждое кольцо о, гомоморфное кольцу о, изоморфно некоторому
кольцу классов вычетов о/n. При этом п является двусторонним
идеалом, элементы которого имеют нулевой образ в о. Обратно,
любое кольцо классов вычетов о/п является гомоморфным образом
кольца о (теорема о гомоморфизмах колец).
Примеры колец классов вычетов. В кольце целых чисел классы
вычетов (см. задачу 1) по произвольному положительному
числу т можно обозначить через &0, .... где состоит
из тех чисел, которые при делении на т дают остаток а. Чтобы
сложить или перемножить два класса вычетов К*, нужно
сложить или соответственно перемножить их представители а,
b и привести результат к его наименьшему неотрицательному ос-
татку от деления на т.
Задача 5. Кольцо классов вычетов с/m может содержать делители нуля
даже тогда, когда их нет в кольце с. Привести примеры для кольца целых
чисел.
Задача 6. Гомоморфизм с с является изоморфизмом тогда и только
тогда, когда п = (0).
Задача 7. В теле нет идеалов, кроме нулевого и единичного. Доказать.
Что следует отсюда для гомоморфных отображений тел?
§ 16. Делимость. Простые идеалы
Пусть Ь — некоторый идеал (или, более общо, модуль) в кольце о.
Если а —элемент из 6, то можно записать, что а = 0(6); в этом
случае говорят, что а делится на идеал Ь. Если все элементы
некоторого идеала (пли модуля) а делятся на Ь, то (следуя Деде-
кинду) говорят, что а делится на Ь. Это означает не что иное,
как то, что идеал а является подмножеством идеала Ь. Обозначе-
ние:
a s 0 (Ь).
Идеал а называют кратным или, как теперь часто говорят, под-
идеалом идеала Ь. Точно так же b называется делителем или над-
идеалом идеала а. Если, кроме того, a=£h, то b называют соб-
ственным делителем идеала я, а а — собственным кратным идеала Ь.
В случае главных идеалов коммутативного кольца с единицей
сравнение (а) = 0((6)) означает не что иное, как равенство а = rb,
и понятие делимости в смысле теории идеалов переходит в обыч-
ное понятие делимости элементов.
Начиная с этого места, все рассматриваемые кольца будут
считаться коммутативными.
Под простым идеалом кольца о подразумевается такой идеал р,
кольцо классов вычетов которого о/p является целостным, т. е. не
содержит делителей нуля,
70
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ III
Если по-прежнему классы вычетов обозначать надстрочной
чертой, то для простого идеала р сказанное означает:
изаЬ = 0 и а =/= 0 должно следовать 5 = 0.
Или, что то же самое, из
ab а 0 (р),
й^О(р)
должно следовать
5^0(р)
для произвольных а и b из о. Словами: произведение двух элемен-
тов должно делиться на идеал р только тогда, когда на р делится
один из сомножителей.
Очевидно, что единичный идеал всегда простой, потому что
предположение а^О (о) вообще не может быть выполнено. Нуле-
вой идеал является простым тогда и только тогда, когда кольцо о —
целостное.
Другими примерами простых идеалов могут служить главные
идеалы кольца целых чисел Z, порожденные простыми числами,
о чем будет сказано ниже.
Идеал кольца о называется максимальным или не имеющим
делителей, если он не содержится ни в каком другом идеале из о,
кроме самого о; другими словами, — если у него нет других соб-
ственных делителей, кроме единичного идеала о. Так, например,
названные выше простые главные идеалы (р) в Z максимальны.
Каждый отличный от о максимальный идеал р в кольце с еди-
ницей является простым и кольцо классов вычетов о/p является
полем. Наоборот, если е/^ — поле, то у — максимальный идеал.
Доказательство. Требуется решить в кольце классов
вычетов уравнение ха = Ь при й =/= 0. Пусть а^О(р) и b произ-
вольно. Идеал р и элемент а вместе порождают некоторый идеал,
который является делителем идеала р и притом собственным дели-
телем, потому что он содержит а. Следовательно, этот идеал равен о.
Поэтому произвольный элемент b кольца о можно представить в
виде
b = p-j-ra (р е р, гео).
С помощью гомоморфизма из о в кольцо классов вычетов полу-
чается равенство
Ъ = га,
чем и решается уравнение Хй = 5.
Таким образом, кольцо классов вычетов является полем. Так
как в поле нет делителей нуля, идеал р является простым.
Наоборот,если с/р — поле и я — собственный делитель идеала р,
а а —элемент из а, не принадлежащий р, то сравнение
ал = 5(р)
5 17] ЕВКЛИДОВЫ КОЛЬЦА И КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 71
разрешимо при любом Ьео. Следовательно,
ах = b (я),
О sb (я),
и, так как b — произвольный элемент изо, имеем а = о.
Однако, не каждый простой идеал является максимальным;
это показывает уже пример нулевого идеала в кольце целых
чисел. Другим, менее тривиальным примером может служить идеал
(х) в кольце целочисленных многочленов Z [х]; он имеет в каче-
стве собственного делителя идеал (2, х). Как легко видеть, оба
идеала (х) и (2, х) простые.
Задача 1. Провести доказательство последнего утверждения.
Задача 2. Рассмотреть кольца классов вычетов идеалов (2) и (3) в кольце
целых чисел и показать, что эти идеалы просты.
НОД и НОК. Идеал (я, Ь), порожденный двумя заданными
идеалами я и Ь, будет называться наибольшим общим делителем
(НОД) этих идеалов; такое название оправдывается тем, что (я,Ь)
действительно делит я и Ь и при этом делится на любой общий
делитель я и Ь. Иногда (я, Ь) называют еще суммой идеалов я и Ь,
потому что он состоит из всевозможных сумм а 4- Ь, где а е я,
b е Ь.
Точно так же пересечение двух идеалов я f) Ь называют наи-
меньшим общим кратным (НОК) идеалов я, Ь, потому что я f) b
действительно является кратным этих идеалов и делит любое их
общее кратное.
§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов
Теорема. В кольце Z целых чисел каждый идеал является
главным.
Доказательство. Пусть я — произвольный идеал в Z.
Если я=(0), то доказывать нечего. Если же в я есть еще эле-
мент с 0, то я содержит и элемент —с, а один из этих элемен-
тов является положительным числом. Пусть а — наименьшее поло-
жительное число в идеале я.
Если b — произвольное число в идеале и г —остаток от деле-
ния числа b на число а, то
b = qa 4- г, О^г < а.
Так как b и а принадлежат идеалу, число b — qa — r тоже при-
надлежит этому идеалу. Так как г<а, то обязательно г = 0,
потому что а — наименьшее положительное число идеала. Следо-
вательно, b = qa, т. е. все числа идеала я являются кратными
числа а. Отсюда следует, что я —(а); следовательно, я —главный
идеал.
72
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ ИГ
Точно так же доказывается следующее предложение;
Если Р — поле, то в кольце многочленов Р [х] каждый идеал
является главным.
Действительно, можно вновь взять произвольный идеал а Ф
Ф (0). В качестве а выберем многочлен наименьшей степени из
содержащихся в а. Так как и в кольце многочленов существует
алгоритм деления, произвольный многочлен b идеала можно пред-
ставить в виде
b = qa Д- г;
если г # 0, то степень многочлена г меньше, чем степень а. Дальше
доказательство проходит аналогично предыдущему.
Целостное кольцо с единицей, в котором каждый идеал является
главным, называется кольцом главных идеалов. Как было сейчас
показано, кольцо Z целых чисел и кольцо многочленов Р [х]
являются кольцами главных идеалов.
Каждое поле тривиальным образом является кольцом главных
идеалов, потому что если а — произвольный ненулевой идеал в поле
Р, то вместе с любым элементом а^О он содержит и произведе-
ние а~1а = \, т. е. а = (1)— единственный ненулевой идеал поля.
(Ср. § 15, задача 7.)
Примененный в обоих приведенных выше доказательствах метод
можно обобщить следующим образом. Пусть — произвольное
целостное кольцо, в котором каждому ненулевому элементу а
сопоставлено целое неотрицательное число g(a) со следующими
свойствами:
1. Для а =7^=0 и 6=7^0 справедливо g(ab)>~g(a).
2. (Алгоритм деления.) Для любых двух элементов а, Ь, где
а =/= 0, существует представление
b = qa Д- г,
в котором г = 0 или g(r) <g(a).
В случае 01 = Z полагаем g(a) — \a\, в случае Э( = Р[х] чис-
лом g(a) служит степень многочлена а. Кольцо с такими свой-
ствами называется евклидовым. Применяя без каких бы то ни было
изменений метод, который использовался в случаях колец 31 = Z
и 31 = Р [х], мы получаем следующую теорему:
В любом евклидовом кольце каждый идеал является главным и
все элементы идеала являются кратными qa порождающего его эле-
мента а.
Если эту теорему применить к единичному идеалу, т. е.
ко всему кольцу, то получится, что в кольце есть такой элемент
а, что все элементы кольца суть кратные qa этого элемента а.
В частности, сам элемент а представляется в виде
а — ае.
§ 171 ЕВКЛИДОВЫ КОЛЬЦА И КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ 73
Для b — qa отсюда следует:
qa = qae, в силу чего b = be.
Мы доказали следующее утверждение:
Евклидово кольцо обязательно содержит единицу.
Два ненулевых элемента а, b произвольного кольца главных
идеалов порождают идеал (а, Ь), который состоит из всех выра-
жений вида ra-\-sb и который тоже является главным идеалом,
т. е. порождается некоторым элементом d. Следовательно,
d=--ra-;-sb, (1)
Согласно (2) элемент d является общим делителем а и Ь. В силу
(1) элемент d является наибольшим общим делителем, т. е. все
общие делители элементов а и b являются делителями и элемента
d. Итак: в кольце главных идеалов любые два элемента а, b имеют
наибольший общий делитель d, который представляется в виде (1).
Обычно наибольший общий делитель обозначают через d =
= (а, Ь). Правильнее было бы писать (d) = (a, b), потому что
элементами а и b однозначно определяется лишь идеал (d), а не
сам элемент d. Если (а, Ь) = 1, то элементы а и b называются
взаимно простыми.
Приведенное выше доказательство существования НОД не
дает средства для вычисления этого объекта. В евклидовых коль-
цах такое вычисление осуществляется с помощью предложенного
Евклидом1) способа последовательного деления (алгоритма
Евклида, по которому евклидовы кольца и получили свое наиме-
нование).
Пусть заданы два элемента кольца а0, и пусть g(a1) sg g(a0).
В соответствии с алгоритмом деления положим
Оо = 7А + а2, g(ai)<g(ai),
a^q^ + аз, g(as) <g(a2),
и продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим при од-
ном из делений нулевой остаток:
= qsas.
Все элементы а0, alt а2, ..., as имеют вид ra0 + tai. Каждый де-
литель элемента as (в частности, сам as) согласно последнему
равенству является делителем элемента as_1, а потому, согласно
предпоследнему равенству, — делителем элемента as_2 и т. д. и,
Ч Евклид. Начала, книга 7, теоремы 1 и 2.
74
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
наконец, элементов аг и а0. Следовательно, as равен НОД эле-
ментов й0 и а±.
Проведенные до сих пор рассуждения проходят и в случае некоммутатив-
ных колец, нужно лишь потребовать существования как левого, так и правого
алгоритма деления:
b = q1a + Г1 = ад2 + гг, g(rt)<g(a), g(r2)<g(a).
Тогда получится, что каждый левый идеал содержит некоторый элемент а, все
левые кратные qa которого и составляют данный левый идеал; то же верно и
для правого идеала, в котором все элементы являются правыми кратными aq
некоторого элемента а. Двусторонний же идеал содержит порождающий его
элемент а, на который все остальные элементы идеала делятся как слева, так
и справа. Если этот вывод применить, в частности, к единичному идеалу, то
отсюда сразу получится существование в кольце правой единицы, левой еди-
ницы и, значит, просто единицы.
Наконец, как и выше, доказывается существование левого и правого наи-
больших общих делителей двух элементов а, Ь.
Важнейшим примером некоммутативного евклидова кольца является кольцо
многочленов Р [х] над телом Р.
Задача 1. Отношение (a, b) = (d) остается верным при расширении кольца
о до произвольного содержащего его кольца с.
Задача 2. Каждый элемент а порядка rs в произвольной группе ® явля-
ется произведением однозначно определяемого элемента aKs порядка г и одно-
значно определяемого элемента ацг порядка s в предположении, что числа г и s
взаимно просты:
(г, s) = l.
Задача 3. Циклическая группа порядка п, порождаемая элементом а,
порождается каждым элементом а'1, где (pi, п)=1.
Еще один пример евклидова кольца. Комплексные числа a-^-bi (а и b —
обычные целые числа) образуют кольцо целых гауссовых чисел.
Если определить «норму» числа <х = а-\-Ы равенством
N (а) = (а + bi) (а — Ы) = а2 + &2,
то из определения произведения
(a + &i) (c+di) = (ac — bd) + (ad + bc)i
легко будет следовать равенство
АЧ<хР) = АЦа) АЦр). (3)
Норма А'(а) является обычным целым числом, которое (как сумма двух квад-
ратов) обращается в нуль лишь тогда, когда само а равно нулю, а в осталь-
ных случаях положительно. Из (3) следует, что произведение аб обращается
в нуль лишь тогда, когда а или р равно нулю. Следовательно, мы имеем
дело с целостным кольцом.
Согласно § 13 существует поле частных этого кольца. Если a = a-j-bi #= О,
а—Ы
то a”i = числа поля частных можно, следовательно, представить в виде
N (а) ’
— (а, с, п — целые числа). Эти «дробные числа» составляют «поле гаус-
совых чисел». Определение нормы и равенство (3) дословно сохраняются и для
этого поля.
§ 18]
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
75
Чтобы получить алюритм деления в кольце целых гауссовых чисет, пос-
тавим перед собой задачу найти для заданных а и р #= 0 число а — Хф норма
которого меньше нормы элемента р Сначала определим дробное число Х'=а'-|-
4 b'i, для которого а —Х'р = О, затем заменим а' и Ь' на ближайшие к ним
целые числа а и b и положим К —a \-bi, К' — Х = е Тогда
а — Хр = а — Х'р + ер = ер,
А(а-Хр) = А(е)А(Р),
N (ь) = A (X' - X) = (а’-аУ+(Ь'-Ь)* (|)* 2 + ( 1,
А (а -ХР) <А (Р).
Тем самым найден «алгоритм деления», и мы видим, что кольцо целых гаус-
совых чисел евклидово
Литература По вопросу о том, существует ли в произвольном кольце
главных идеалов алгоритм Евклида или его обобщение, см Хассе (Hasse Н ) - -
J reine und angew Math , 1928, 159, S 3-12 Вопрос о существовании алго-
ритма Евктида в тех или иных кольцах алгебраических чисел изучался в ра-
ботах Перрон (Perron О ) —Math Ann , 107, S 489, Оппенгейм (Oppen-
heim A). —Math Ann , 109, S 349, Берг (Berg E ) —Kgl Fysiogr Sallska-
pets Lund Forhandl , 5, № 5, Хофрайтер (Hofreiter N ) Monatsh Math
Phys, 42, S 397, Бербом, Редей (Behrbohm H., Redei L ) — J. геше
und angew Math , 174. S 198
§ 18. Разложение на множители
В этом параграфе мы будем рассматривать лишь целостные
кольца с единицей Прежде всего выясним, какие элементы в та-
ких кольцах следует считать простыми или неразложимыми.
При этом мы будем рассматривать, даже если это специально
и не оговорено, лишь ненулевые элементы.
Обычное простое число в кольце целых чисел всегда можно
разложить на множители и даже двумя способами:
р = р 1=(-р) (-1).
Однако в такой ситуации один из сомножителей обязательно яв-
ляется «обратимым»J), т. е. таким числом е, обратное к кото-
рому е 1 снова принадлежит данному кольцу. Числа ф1 и — 1
являются обратимыми целыми числами.
Если, более общо, задано целостное кольцо с единичным эле-
ментом, то под обратимым элементом, или под делителем еди-
ницы, или просто под единицей2) подразумевается такой эле-
мент е, для которого в кольце существует обратный е1. Оче-
видно, что тогда и г1 является обратимым элементом.
Каждый элемент кольца а допускает представление в виде
а = ае-1 • е,
х) В оригинале «Emheit» — единица —Прим, перев.
2) Слово «Emheit» (единица) часто употребляется как синоним слова
«Einselement» (единичный элемент) Изучая разложение на множители, эти два
понятия нужно строго разделять, так как, например, —1 является единицей
76
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. Ш
где е — любой делитель единицы. Такие разложения, в которых
один из сомножителей является обратимым, называются триви-
альными.
Элемент p=£Q, допускающий лишь тривиальные разложе-
ния, т. е. такие, что из p = ab следует, что либо а либо b обра-
тим, называется неразложимым или простым элементом. (В част-
ном случае целых чисел принято еще название простое число,
а в случае многочлена — неприводимый многочлен.)
Элементы а и b = ае1, отличающиеся лишь обратимым мно-
жителем, иногда называют ассоциированными. Каждый из них
является делителем другого, и для соответствующих главных
идеалов имеют место соотношения
(а) Е (/?), (b) S (а), так что (Ь) = (а);
тем самым два ассоциированных элемента порождают один и тот
же главный идеал.
Обратно, если каждый из двух элементов а и b является де-
лителем другого:
а = be, b = ad,
то
b = bed, так что 1 = cd, с — d1,
откуда следует, что с и d обратимы и а ассоциирован с Ь.
Если с —делитель элемента а, но не ассоциирован с а, т. е.
а = cd nd не является обратимым, то с называется собствен-
ным делителем элемента а. В этом случае а не является дели-
телем с и идеал (с) является собственным делителем идеала (а).
Действительно, если бы а был делителем элемента с, скажем,
c — ab, то выполнялись бы равенства
а = cd = abd,
1 —bd,
и элемент d был бы обратимым.
Простой элемент можно теперь определить как такой нену-
левой элемент, у которого нет необратимых собственных дели-
телей.
Если в евклидовом кольце элемент b является собственным
делителем элемента а, то g (b) <g(a).
Доказательство. Деление элемента b на элемент а
ввиду условия невозможно; поэтому
b = aq + r, g(r)<g(a).
Отсюда следует, что если а = Ьс, то
r = b — aq — b(\— cq),
g(r)^g(b), так что g(b) ^g(r) <g(a).
§ 18] РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ 77
В евклидовом кольце каждый ненулевой элемент а является
произведением простых элементов:
а^р^ ... рг.
Замечание. Эту теорему можно доказать в более общей
ситуации для колец главных идеалов, но тогда пришлось бы ис-
пользовать аксиому выбора (§ 69). В данной элементарной части
книги аксиома выбора не обсуждается, поэтому доказательство
проводится только для евклидовых колец.
Доказательство. Проведем индукцию по числу g(a).
Пусть утверждение верно для всех тех элементов Ь, для которых
g(b)<Zn, и нусть g(a) — n. Если элемент а прост, то доказывать
нечего. Если же элемент а разложим: а = Ьс, где b и с —собст-
венные делители элемента а, то
?(6)<Ж g(c)<g(4
По предположению индукции элементы бис являются произве-
дениями простых элементов. Следовательно, а = Ьс также является
произведением простых элементов.
Выясним теперь, как обстоит дело с однозначностью разложе-
ния а^рр^.-.рг на простые множители и при этом рассмотрим
не только евклидовы кольца, но и произвольные кольца главных
идеалов.
В произвольном кольце главных идеалов неразложимый элемент,
отличный от обратимого, порождает максимальный идеал (кольцо
классов вычетов по которому является, следовательно, полем).
Доказательство. Если элемент р неразложим, то у него
нет необратимых собственных делителей; следовательно, с учетом
того, что каждый идеал по условию является главным, идеал (р)
не имеет собственных делителей, кроме единичного идеала.
Замечание. Конечно, разрешимость уравнения ах = Ь
в кольце классов вычетов или сравнения ах = Ь(р) в заданном
кольце можно было бы вывести из того факта, что для а^0(р)
обязательно (а, р) = 1 и, следовательно,
1 = ar + ps,
b = arb + psb,
b = arb (р).
Вот непосредственное следствие этого утверждения.
Если некоторое произведение делится на простой элемент р,
то один из сомножителей должен делиться на р, потому что
в кольце классов вычетов нет делителей нуля.
Задача 1. Решить сравнение
6х = ? (19)
с помощью алгоритма Евклида.
78
КОЛЬЦА. ТЕЛА И ПОЛЯ
[ГЛ. III
Задача 2. Если в некотором кольце главных идеалов произведение ab
делится на с и элемент а взаимно прост с элементом с, то b делится на с.
Мы в состоянии теперь доказать теорему об однозначности
разложения на простые множители в кольце главных идеалов.
Пусть
а = Р1Р2 Pr = 7i<72---qs (1)
—-два разложения одного и того же элемента а в кольце глав-
ных идеалов. Тривиальный случай, в котором а является обра-
тимым и, следовательно, все pt и обратимы, мы исключим
сразу. Поэтому можно предположить, что рг и qt необратимы и
что все участвующие в выражении (1) делители единицы уже
объединены с элементами pt и соответственно qx. Следовательно,
Pi и q} не являются обратимыми. Утверждается: имеет место
равенство г = s и элементы pi совпадают с элементами qj с точ-
ностью до порядка их следования и с точностью до умножения
на обратимые элементы.
Для г = 1 утверждение очевидно, потому что в силу нераз-
ложимости элемента а = рг произведение qx... qs может содер-
жать лишь один множитель q^Pi- Таким образом, мы можем
провести индукцию по г. Так как рг входит в произведение
... qs, элемент р± должен входить в один из сомножителей q:.
Перенумеровав элементы q, мы можем добиться того, чтобы р±
входил именно в qp
<7i = Vr (2)
Здесь Ej должно быть делителем единицы, так как иначе qY не
был бы простым элементом. Подставим (2) в (1) и сократим на рр
р2---Рг — (е1<72) q3 ... qs. (3)
По предположению индукции сомножители в (3) слева и спра-
ва совпадают с точностью до делителей 1. Так как и рг совпа-
дает с q± с точностью до обратимого элемента все требуемое
доказано.
Из доказанных теорем следует: все элементы евклидова кольца
однозначно с точностью до делителей единицы и порядка следова-
ния множителей разлагаются в произведение простых элементов.
В частности, это утверждение выполняется в кольце целых чи-
сел, в кольце многочленов от одной переменной с коэффициен-
тами из некоторого поля, а также в кольце целых гауссовых чисел.
Задача 3. Целочисленные многочлены f (х) по модулю любого простого
числа р однозначно разложимы на неразложимые по модулю р множители.
Задача 4. Каковы делители единицы в кольце целых гауссовых чисел?
Разложить числа 2, 3, 5 в этом кольце на простые множители.
Задача 5. В кольце чисел аЦ-b И —3, где а и Ь — целые числа, число 4
разлагается на простые множители двумя существенно различными способами:
4=2-2 = (1 + /-3)(1-/-3).
§ 18] РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ 79
Задача 6. В кольце главных идеалов классы вычетов по модулю а,
состоящие из взаимно простых с а элементов, образуют группу по умножению.
В следующей главе мы увидим, что, кроме колец главных иде-
алов, существуют еще и другие кольца, в которых выполняется
теорема об однозначном разложении на множители. Для всех
таких колец мы докажем лишь следующую теорему:
Если в кольце о каждый элемент единственным образом разла-
гается на простые элементы, то каждый неразложимый эле-
мент р порождает простой идеал, а каждый отличный от нуля
разложимый элемент порождает непростой идеал.
Доказательство. Пусть р — неразложимый элемент. Если
ab = 0 (р), то, следовательно, элемент р должен содержаться
в разложении ab на простые множители. Зто разложение полу-
чается, однако, объединением разложений для а и для Ь. Сле-
довательно, элемент р должен входить уже в а или в Ь, а по-
тому справедливо одно из сравнений: а==0(р) или &==0(р).
Пусть теперь р — разложимый элемент: p=-ab, т. е. а и b —
собственные делители элемента р. Тогда ab^Q(p), а^О(р),
Ь^О(р). Идеал (/?) не является, следовательно, простым.
Задача 7. Доказать, что в любом кольце с однозначным разложением
на множители существуют наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное двух (или нескольких) элементов, определенные с точностью до об-
ратимых множителей.
Замечание. Для колец рассматриваемого типа НОД в смысле элемен-
тов не всегда совпадает с НОД в смысле идеалов: например, кольцо целочис-
ленных многочленов одной переменной х таково, что 2 и х не имеют общих
делителей, кроме единицы, но идеал (2, х) единичным не является. (То, что
в этом кольце имеет место однозначность разложения на множители, будет
доказано в пятой главе.)
Глава четвертая
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В настоящей главе вводятся некоторые основные понятия линейной алгеб-
ры. Их изучение в более общей форме будет продолжено в главе 12.
§ 19. Векторные пространства
Пусть даны: 1) тело К, элементы а, Ь,...которого будут на-
зываться коэффициентами или скалярами', 2) модуль (т. е. адди-
тивная абелева группа) ЭЛ, элементы х, у,... которого будут на-
зываться векторами', 3) умножение ха векторов на скаляры,
удовлетворяющее следующим требованиям:
В1. ха лежит в ЭЛ.
В2. (х-\-у)а~ха-\-уа.
ВЗ. х (a-\-b)=xa-\-xb.
В4. х (ab) = (ха) Ь.
В5. х-1 = х.
Если все это выполнено, то ЭЛ называется векторным прост-
ранством над К, точнее, правым К-векторным пространством,
так как коэффициенты а пишутся справа от векторов. Понятие
левого К-векторного пространства вводится аналогично; закон
ассоциативности В4 для левого векторного пространства записы-
вается так:
В4*. (ab)x = a(bx).
Если тело К коммутативно, то вместо ха можно также пи-
сать ах. В этом случае правое векторное пространство стано-
вится левым векторным пространством. Если же тело К неком-
мутативно, то правые и левые векторные пространства необходимо
различать.
Вместо x(ab) или (ха) b мы будем писать xab. Нулевой эле-
мент группы ЭЛ, как и тела К, будет обозначаться через 0.
Примерами векторных пространств могут служить всевозмож-
ные поля, содержащие данное поле К, а в более общей ситуа-
ции — всевозможные кольца R, содержащие данное тело К, при-
чем таким образом, что единичный элемент из К является и еди-
ничным элементом из R,.
§ 19] ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81
Из В2, как обычно, следует, что
(Xi +... + хг) а = хха +... + хга,
(х —j) а = ха —уа,
О а = 0.
Равным образом, из ВЗ следует, что
х (a~i -р... -р as) = xat -{-... -J-xast
x(a — b) — xa — xb,
x • 0 = 0.
Векторное пространство ЭЭ1 называется конечномерным или,
коротко,—конечным над Д’, если существует конечное число
порождающих элементов е1г..., ет, через которые можно выра-
зить с помощью коэффициентов ак из К любой элемент из ЭЭ1J):
x = (1)
Если один из порождающих элементов ek выражается через
остальные е;, то как порождающий элемент пространства ЭЭ1 он
является лишним. Вычеркнем его из ряда elt ..., ет и будем так
продолжать до тех пор, пока нельзя будет выбросить ни одного
из порождающих элементов ер, в результате останутся п базис-
ных векторов (или базис) plf .... рп, из которых ни один нельзя
линейно выразить через остальные. Такие векторы, среди кото-
рых ни один нельзя линейно выразить через остальные, назы-
ваются линейно независимыми.
Если рх.....рп — линейно независимые векторы, то из
р^1 + ... +р„а" = 0 (2)
с необходимостью следуют равенства
а1 = 0,..., ая = 0.
Действительно, если хотя бы один из элементов а1 был отли-
чен от нуля, то из (2) можно было бы выразить вектор р, через
остальные векторы.
Если ръ ...,рп составляют базис векторного пространства ЭЛ,
то каждый вектор х однозначно выражается через базисные
векторы pk с помощью коэффициентов хк из Д:
x = "£pkxk. (3)
]) Следуя Эйнштейну, мы примем соглашение о том, что в теории вектор-
ных и тензорных пространств коэффициенты ак будут наделяться верхними ин-
дексами — это по ряду причин целесообразнее. При таком соглашении сумми-
рования ведутся по индексам, которые в рассматриваемом выражении один раз
участвуют сверху и один раз — снизу.
82
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ IV
Действительно, если бы существовало второе выражение для
того же самого вектора х:
(4)
то, вычитая (4) из (3), мы получили бы некоторую линейную
' ависимость
(х* — (/*) = о,
где все разности xk — yh должны были бы равняться нулю;
поэтому yk обязательно равно xk для каждого k.
С помощью (3) каждому вектору X единственным образом
сопоставляется ряд коэффициентов х1,.. ,,хп из К, которые называ-
ются координатами вектора х в базисе рг, ..., рп. Обратно, каж-
дому набору из п коэффициентов xk с помощью (3) однозначным
образом сопоставляется вектор х. Следовательно, при фиксиро-
ванном базисе имеет место взаимно однозначное соответствие
x'+Z (х1, , хп). (5)
Два вектора можно сложить, складывая их координаты:
х + у = X Pkxk+-5 P*yk = S p^xk+У^ ’
вектор умножается на а, когда все его координаты умножаются
на а:
ха=а=(х*а)-
Число п базисных векторов называется равномерностью вектор-
ного пространства Э?1. В следующем параграфе мы увидим, что
размерность не зависит от выбора базиса.
Векторное пространство размерности п, которое может слу-
жить моделью любого векторного пространства этой размерно-
сти, получается следующим образом. В качестве вектора х
берется последовательность из п элементов х1, ... ,хп тела К.
Суммой двух векторов х и у является последовательность
(лД-Дг/1..хп+уп). Вектор х умножается на скаляр а путем
умножения на а каждого из элементов xk. Определенные таким
способом сложение и умножение на а удовлетворяют всем усло-
виям, с помощью которых вводится понятие векторного про-
странства. Векторы
ek = (0, ..., 0, 1,0, ..., 0) (1 стоит на £-м месте),
которых всего п, составляют базис, потому что каждый вектор
х = (х1, ..., хп) допускает однозначное представление в виде
х = 2 ekxk.
§ 201
ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ
83
Таким образом, наша модель векторного пространства действи-
тельно имеет размерность п.
Из соответствия (5) следует предложение:
Каждое векторное пространство размерности п над К изо-
морфно модельному пространству, состоящему из последователь-
ностей (х1, ..., хп).
Задача Если в одном и том же векторном пространстве перейти от
базиса pi,... ,р,г к некоторому новому базису е^, , еп и выразить старые базис-
ные векторы pk через новые et с помощью коэффициентов plk'.
Pk = EieiPk’
то новые координаты 'х1 вектора х будут выражаться через старые так:
§ 20. Инвариантность размерности
Мы намерены доказать, что размерность векторного про-
странства т. е. число элементов произвольного базиса, не
зависит от самого базиса.
Вектор у называется линейно зависимым от векторов xit...
..., хт (над телом К), если
у = х1а1 + ... + хтат, (1)
или, что то же самое, если выполнено линейное соотношение
jfe + x1&1 + ... + xm&m = 0 (2)
с 5=^0. В частности, вектор у называется зависимым от пустого
множества векторов, если _у = 0.
В связи с понятием линейной зависимости существует много
теорем, которые мы разделяем на «основные» и на «следствия».
Основные теоремы выводятся непосредственно из определения
этого понятия. Следствия же, напротив, устанавливаются через
основные теоремы без повторного использования определения,
т. е. без обращения к смыслу термина «линейная зависимость».
Такое положение дел оказывается полезным в связи с одной из
последующих глав, посвященной понятию «алгебраической зави-
симости», для которого имеют место те же самые основные тео-
ремы и поэтому те же самые следствия.
Будет достаточно трех основных теорем. Первая является совер-
шенно естественной:
Основная теорема. 1. Каждый вектор Xi линейно зави-
сим от векторов xit..., Хп-
Основная теорема 2. Если вектор у линейно зависим от
Xi,..., хт, но не от хъ..Xm-i, то хт линейно зависим от х1( ...
..., хт^, у.
84
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
Доказательство. В равенстве (2) обязательно Ьт=^0,
так как иначе у был бы зависимым уже от xlt..xm-i-
Основная теорема 3. Если Z линейно зависим от Ji,...
. ..,уп и если каждый вектор у}- линейно зависим от хъ...,хт,
то вектор z линейно зависим от х1,...,хт.
Доказательство. Из z = ^dykak и yk= У, xfik следует,
что
Z = У, XtbkXak = У Xib[ak = У xt ь‘» °k\
k \ i / i \ k / '
Из основных теорем 1 и 3 получается
Следствие 1. Если вектор z линейно зависим от у}, ...
..., уп, то z линейно зависим и от каждой системы {хг, .... хт},
содержащей систему {jj, ..., уп}.
Частный случай такой ситуации имеет место тогда, когда
_у1( ..., уп совпадают с точностью до порядка следования с век-
торами хъ .... хт. Таким образом, понятие линейной зависи-
мости не зависит от порядка следования xlt ..., хт.
Определение. Элементы хг, ..., хп называются линейно
независимыми, если ни один из них не является линейно зависимым
от остальных.
Понятие линейной независимости не связано с порядком сле-
дования векторов х1Т ..., х„. Пустое множество должно, конечно,
считаться линейно независимым. Один-единственный вектор х
линейно независим, если он не является зависимым от пустого
множества векторов, т. е. если х^=0.
Следствие 2. Если xY, ..., xn-i линейно независимы,
а хи ..., xn-lt хп таковыми не являются, то хп линейно зависим
от хи .... хп !•
Доказательство. Один из элементов xlt .... xn-lt хп
должен быть линейно зависимым от остальных. Если этим эле-
ментом является хп, то все доказано. Если же им является не хп,
а, скажем, xn-i, то хпЛ линейно зависим от х1( ..., хп.г, хп,
но не от Xi, .... хп-2, следовательно (основная теорема 2), эле-
мент хп линейно зависим от х1( .... хп- 2, Хп1-
Следствие 3. Каждая конечная система векторов xlt ..., хп
содержит (возможно, пустую) линейно независимую подсистему,
от которой все х, (i = 1, ..., п) линейно зависимы.
Доказательство. Найдем в данной системе по возмож-
ности большую подсистему из линейно независимых векторов.
Каждый содержащийся в этой подсистеме вектор линейно за-
висим от этой системы в силу основной теоремы 1, как и каж-
дый не содержащийся в этой системе вектор Xi в силу след-
ствия 2.
Определение. Две конечные системы хх, ..., хг и у ь ...
..., ys называются (линейно) эквивалентными, если каждый yk
§ 20]
ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ
85
линейно зависим от у, .... хг, а каждый Xi линейно зависим от
У1....У,-
Определение эквивалентности по самому своему построению
симметрично, в силу основной теоремы 1 рефлексивно, а в силу
основной теоремы 3 транзитивно. Если некоторый элемент z
линейно зависим от одной из двух эквивалентных систем, то со-
гласно основной теореме 3 он зависит и от другой системы. Со-
гласно следствию 3 каждая конечная система эквивалентна некото-
рой линейно независимой подсистеме.
Следующая теорема о замене принадлежит Штей-
ницу:
Следствие 4. Если векторы уп ..., ys линейно независимы
и каждый у} линейно выражается через векторы у, ..., хг, то
в системе векторов xt существует подсистема {у*, ..., Xis] в точ-
ности из s векторов такая, что ее можно заменить на систему
векторов {у, ..., у} и полученная так из {у, ..., хг\ новая
система будет эквивалентна исходной системе {у, ..., хг}.
В частности, обязательно з
Доказательство. Для s = 0 утверждение тривиально:
в этом случае нет векторов и нечего заменять. Пусть, таким
образом, утверждение верно для {jb ..., ys х} и пусть подси-
стему ..., y^J можно заменить на {у, ..., у_Д. При этой
замене возникает система {у, ...,ys^, xk, Xb ...}, эквивалент-
ная системе {хх, ..., хг}. Вектор ys линейно зависим от {у, ...
.... ХЛ}, а потому и от эквивалентной системы {у, ..., xk,
Xi,...}. Таким образом, существует наименьшее по включению
подмножество в {у, ..., y.j, хк, хь ...}, от которого ys линейно
зависим. Это наименьшее подмножество не может состоять только
из упомянутых выше yJt так как у и у линейно независимы.
Следовательно, наименьшее подмножество {у, ..., хк} содержит
по крайней мере один из векторов хк, которой мы обозначим
через xt . В силу основной теоремы 2 вектор у = у линейно
зависим от системы, которая получается из {у, ..., хк} заменой
хк на у; поэтому этот вектор линейно зависим и от большей
системы, содержащей построенную, которая получается из {у, ...
.... у_п хк, Xi,...} заменой хк*~+ys. Пусть эта система имеет
вид {у, ..., у ъ у, Xi, ...}. Она эквивалентна системе {у, ...
•••> ys 1, хк, у, ...}, так как хк линейно зависит от первой си-
стемы, а у —от второй. Тем самым мы осуществили еще один
шаг в направлении замены: новая система {у, ..., ys u ys,
У, ...} эквивалентна системе {у, у_1( хк, у, а потому
и исходной системе {у, ..., хг\-
Следствие 5. Две эквивалентные линейно независимые си-
стемы {.у, ..., хг} и {у, ..., у} состоят из одинакового коли-
чества векторов.
86
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ IV
Доказательство. В силу следствия 4 имеют место нера-
венства ssgr и r^'s.
Из следствия 5 немедленно получается, что два любых ба-
зиса {хь .... хг} и {_уъ векторного пространства ЭЛ со-
стоят из одного и того же количества элементов. Таким образом,
размерность векторного пространства ЭЛ не зависит от выбора
базиса. Размерность называют также линейным рангом или ран-
гом пространства ЭЛ над телом Д’.
Если ЭЛ имеет размерность г над К, то из теоремы о замене
следует, что среди лкбых г +1 элементов пространства ЭЛ есть
хотя бы один, линейно зависимый от всех остальных. Таким об-
разом, можно определить размерность как максимальное число
линейно независимых элементов из ЭЛ. Отсюда:
Линейное подпространство Л пространства Э.Л (т. е. подмо-
дуль, в котором сохраняется умножение на элементы из К)
имеет размерность, не большую, чем размерность всего про-
странства ЭЛ.
Если р., ..., рг составляют базис для ЭЛ, a elt ..., es —
базис для Л, то по теореме о замене можно вместо \рх, ..., рг\
построить другую эквивалентную систему, в которой первыми s
элементами будут elt ..., es. Остальные р{ можно обозначить
через esn, ..., ег. Так получится новая система из порождаю-
щих элементов:
{^1, • • • , €s, • • J
Она вновь линейно независима, так как иначе размерность про-
странства ЭЛ оказалась бы меньше г. Таким образом:
Любой базис линейного подпространства Э{ размерности s
можно дополнить до базиса всего пространства ЭЛ некоторыми
векторами е^+1, ..., ег.
Задача 1. Обычные комплексные числа а + bi образуют двумерное век-
торное пространство над полем вещественных чисел.
Задача 2. Непрерывные вещественные функции f(x) на интервале
0<;х<1 образуют векторное пространство над полем вещественных чисел,
ранг которого бесконечен.
§ 21. Двойственное векторное пространство
Пусть ЭЛ — некоторое /г-мерное векторное пространство над
телом К. Линейной формой на ЭЛ называется определенная на ЭЛ
функция f со значениями /(х) в теле К, являющаяся линейной
в следующем смысле:
f(x+y)=f(x)+f(y), (1)
f(xa) = f(x)a.
(2)
§ 21]
ДВОЙСТВЕННОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
87
Если векторы х выразить через п базисных векторов
А, .... Рп
Х=АХХ+ ... +рпхп,
то из (1) и (2) получится равенство
f (x)=f(p1)x1 + ... + f(pn)xn = ulx1 + ... + u„xn, (3)
где Ui=f(Pi). Таким образом, линейная форма f(x) — это про-
сто однородная линейная функция координат х1,хп с коэф-
фициентами из /(. Коэффициенты их, ип можно выби-
рать из К произвольно: с помощью равенства (3) по ним всегда
можно определить некоторую линейную форму f (х) со свойствами
(1) и (2).
Сумма двух линейных форм является, очевидно, линейной
формой. Точно так же любую линейную форму /(х) можно умно-
жать слева на произвольный скаляр а и получить при этом
вновь линейную форму af(x).
Рассмотрим теперь линейные формы f, g, ... как новые объекты,
которые будем называть ковекторами и обозначать буквами «,©,...
Вместо f (х) мы будем писать и х и называть это выражение
скалярным произведением ковектора и на вектор х. Правила опе-
рирования со скалярным произведением таковы:
И • (X +_у) = и • X + и -у,
U’Xa = (u-x)a,
(и + v) • х = и • х + о • х,
аи‘Х = а(и-х).
Ковекторы можно умножать слева на элементы а, Ь, ... ос-
новного тела К; следовательно, они составляют некоторое левое
векторное пространство. Оно называется пространством двой-
ственному векторному пространству ЭЛ. Если задан базис рг, ...
..., рп пространства ЭЛ, то в силу (3) каждому ковектору и со-
ответствует некоторый набор из п коэффициентов иъ ..., «л. Об-
ратно, каждому такому набору иь ...,ип соответствует один-
единственный ковектор и, который определяется равенством
и • х = нрг1 +... + ипхп. (4)
Коэффициенты ..., ип называются координатами ковектора и.
Два ковектора и и v складываются, когда складываются их ко-
ординаты щ и Vi. Ковектор и умножается на а, когда умножа-
ются на а слева все его координаты. Следовательно, двойственное
пространство Ф, как левое векторное пространство, изоморфно
левому модельному пространству наборов (и1,...,ип), а это озна-
чает, что 1) и ЭД имеют одинаковые размерности. В случае ком-
мутативного тела К пространство D даже изоморфно простран-
ству ЭЛ.
88
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
Ковекторы
<7' = (0, .1, 0, 0) (1 на i-м месте)
составляют согласно § 19 базис в ®.
С помощью равенств
ql-Pk = 5k^ q
если i = k,
если iФ k
(5)
этот базис инвариантно связан с базисом рь рп пространства
ЭЛ. Базисы пространств ЭЛ и D, связанные равенствами (5), на-
зываются двойственными (друг другу). Координаты произвольного
ковектора и в базисе q1, qn — это в точности определенные
раньше иг, ..., ип.
Скалярное произведение (4) при фиксированном « определяет
линейную форму от х, а при фиксированном х — линейную форму
от и. Каждая линейная форма на *5) может быть получена таким
способом и поэтому ЭЛ — пространство, двойственное простран-
ству
§ 22. Линейные уравнения над телом
В качестве подготовки к вопросу о решении системы линей-
ных уравнений мы рассмотрим линейное подпространство Б раз-
мерности г в двойственном пространстве Т. Согласно § 20 произ-
вольный базис q\ .... qr подпространства (F можно дополнить до
некоторого базиса q1, .... qn пространства Согласно § 21
в исходном векторном пространстве существует базис ръ рп,
двойственный базису q\ ..., qn, потому что ЭЛ является двой-
ственным пространству 5).
Будем теперь искать такие векторы X пространства ЭЛ, ска-
лярное произведение которых со всеми ковекторами и из @
равно нулю:
и-х = 0 для всех «е6‘. (1)
Для этого достаточно, чтобы выполнялись г линейных равенств:
ql-x = Q (i = 1, ..., г). (2)
Если х выразить через базисные векторы рг, рп и принять
во внимание соотношения (5) из § 21, то легко показать, что (2)
эквивалентно условию
=о, .... г = о. (3)
Следовательно, искомые векторы х имеют вид
Х=рг+1Хг+1+ ... +рпХп,
где xr+1, ..., хп — произвольные коэффициенты. В пространстве
ЭЛ эти векторы составляют некоторое линейное подпространство
§ 22] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ТЕЛОМ 89
9J размерности п — г. Оно порождается базисными векторами
Рг+1> • • • > Рп-
Обратно, рассмотрим подпространство 9? как заданное с самого
начала и будем искать те ковекторы «, которые имеют нулевое
скалярное произведение со всеми векторами из 9!; в этом случае
получится в точности пространство ковекторов 6. Мы получили
предложение:
Существует взаимно однозначное соответствие между подпрост-
ранствами б размерности г пространства 2) и подпространствами
9? размерности п — г в ЭЯ, определяемое следующим образом: 9J со-
стоит из векторов, которые имеют нулевое скалярное произведение
со всеми ковекторами из 6, а б состоит из ковекторов, которые
имеют нулевое скалярное произведение со всеми векторами из 9J1).
Перейдем теперь к теории линейных уравнений. Пусть сна-
чала заданы s однородных линейных уравнений с п неизвестными
xtl*
£aikxk = 0 (z = l, ..., s). (4)
Мы рассматриваем х\ .... хп как координаты некоторого век-
тора х пространства ЭЯ. С учетом этого обстоятельства уравне-
ния (4) можно переписать в виде
сц х — 0, (5)
где at — ковектор с координатами azi, ..., ain. Если один из ко-
векторов а{ линейно зависим от остальных, то соответствующее
уравнение можно опустить. В конце концов получится система
из г независимых уравнений (5). Линейно независимые ковекторы
а, порождают в двойственном пространстве $ некоторое г-мерное
подпространство б. В таком случае решения системы (4) состав-
ляют в точности ортогональное ему подпространство 9J в про-
странстве ЭЯ.
Число г независимых уравнений (5) или независимых ковек-
торов at называется рангом системы уравнений. Таким образом,
имеет место теорема:
Решения х однородной системы линейных уравнений ранга г
составляют в ЭЯ некоторое (п — г)-мерное подпространство 9?, т. е.
существует п — r линейно независимых решений _у(1), ..., у(п~г\
от которых линейно зависят все решения системы.
Чтобы получить решения уравнений (4) эффективно, приме-
няют известный метод последовательного исключения, который при-
водит к цели и в случае неоднородных уравнений
^а1кхк = С1 (i = l, ..., s). (6)
1) Ниже подпространства й и у; автор называет ортогональными. —
Прим, перев.
90
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
(ГЛ IV
Если в каком-либо уравнении все коэффициенты равны нулю, то
либо сг#=0 и уравнение противоречиво, либо с; = 0 и уравнение
можно опустить. Если же одно из неизвестных xh в каком-либо
уравнении имеет ненулевой коэффициент, то его можно из этого
уравнения выразить через прочие неизвестные и подставить во
все остальные уравнения. Продолжая таким образом, мы либо
придем к противоречию после нескольких шагов, либо некоторые
из неизвестных, скажем, х1, .хг, выразим через остальные,
причем остальные xr+1, ..., хп могут потом уже выбираться про-
извольно.
Если данная система уравнений однородна (все с; = 0), то у
нее обязательно есть нулевое решение (0, .... 0). Другие (нетри-
виальные) решения существуют в точности тогда, когда ранг сис-
темы меньше п.
Задача 1. Система (6) разложима в точности тогда, когда каждая линей-
ная зависимость между линейными формами сц имеет место и для q, т. е.
тогда, когда
из 6'а; = 0 следует У] b‘Cj = 0.
Задача 2. Система из п однородных линейных уравнений с п неизвест-
ными имеет нетривиальное решение лишь тогда, когда линейные формы аг, , ап
линейно зависимы, т. е. когда имеет нетривиальное решение (у1.уп) «транс-
понированная система уравнений»:
2у'а;А = 0.
§ 23. Линейные преобразования
Пусть 9)1 и 91 — векторные пространства. Линейное преобра-
зование—это отображение А из 9)1 в 91 со следующими свой-
ствами:
А(х+у) = Ах + Ау, (1)
А (хс) = (Ах)с. (2)
Из (1), как всегда, следует, что
А (х —з?) = Ах — Ау, (3)
Д (-^i Д • • • Д-^г) = Ахг -(- ... -(- Ахг. (4)
Если пространство 9)1 имеет конечную размерность т и век-
торы plt ..., рт составляют в нем базис, то значение линейного
преобразования А на произвольном векторе х полностью опреде-
ляется его значениями на базисных векторах. Действительно,
пусть
Х=ргХх+ ...+ртхт.
Тогда в силу (4) и (2)
у = Ах = (Apjx1 + ... + (Арт) хт. (5)
§ 23]
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
91
Если 91 также имеет конечную размерность п, то в (5) можно
слева и справа векторы у и Арк выразить через базисные век-
торы qlt ..., qn пространства 91:
У = 2 Qty‘, (6)
Apk = ^Jqiak. (7)
Из (5) при сравнении коэффициентов получается
У’ = 2 akxk- (8)
Следовательно, линейное преобразование А определяется не-
которой матрицей А, т. е. прямоугольной таблицей, в которой
в специальном порядке записаны тп элементов тела К'.
Л =
а] а\ ... а'т
Если базисы ръ ..., рт и qx, ..., qn фиксированы, то каж-
дое линейное преобразование А однозначным образом определяет
некоторую матрицу А, и наоборот. Верхний индекс i является
номером строки, а нижный индекс k — номером столбца, на пере-
сечении которых в матрице стоит элемент а‘. Согласно (7) эле-
менты k-ro столбца — это координаты вектора Арк.
Если, кроме преобразования А, задано второе преобразова-
ние В, отображающее векторное пространство 91 в векторное про-
странство 31 размерности г:
= (9)
то мы получим линейное преобразование С = ВА, отображающее
991 в 91 в согласии со следующей формулой:
= = 0 °)
а соответствующей матрицей будет матрица
С = ВА, (11)
элементы которой таковы:
02)
Формула (12) определяет умножение матриц. Матрицы В и А
можно перемножить и получить произведение ВА лишь тогда,
когда в матрице В столько же столбцов, сколько в матрице А
строк. Элемент произведения матриц ВА получается по фор-
муле (12), в которой элементы /i-й строки матрицы В умножаются
92
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ IV
на элементы k-ro столбца матрицы А и полученные произведения
складываются.
Разумеется, для умножения матриц, как и для умножения
преобразований, выполняется закон ассоциативности-.
D(BA) = (DB) А.
По этой причине пишут просто DBA. Точно так же посту-
пают в записи произведения более, чем трех сомножителей.
Каждому вектору х с координатами xk можно поставить в со-
ответствии матрицу из одного столбца:
Эта матрица определяет вектор x — ^pkXk однозначно, как
только фиксированы базисные векторы рг, .... рт. Равенство (8),
определяющее преобразование, теперь можно записать как мат-
ричное равенство:
У = ЛХ.
Если ЭЛ и 9? имеют одинаковые раз*мерности, то А является
квадратной матрицей. В частности, линейные преобразования
векторного пространства ЭЛ в себя задаются квадратными матри-
цами.
Под рангом линейного преобразования А понимается размер-
ность образа ЛЭЛ, также являющегося векторным пространством,
т. е. максимальное число линейно независимых векторов среди
образов Ах. Под столбцовым рангом матрицы А понимается
число линейно независимых столбцов. Если Л —матрица линей-
ного преобразования А , то столбцы в А — это векторы Аръ ...
...,Арт и мы имеем предложение:
Ранг преобразования А равен столбцовому рангу матрицы А.
Если ранг равен размерности т пространства ЭЛ, то отобра-
жение А является взаимно однозначным. Если, кроме того, раз-
мерность пространства 9? равна размерности пространства ЭЛ, то
пространство-образ ЛЭЛ равно 91, и в этом случае налицо взаимно
однозначное линейное отображение А пространства SD? на про-
странство Л. Такое преобразование А называется неособым-, тем
же термином характеризуется и матрица Л — неособая. Таким
образом, квадратная матрица является особой лишь тогда, когда
ее столбцовый ранг меньше т.
Являясь взаимно однозначным, неособое линейное преобразо-
вание А обладает обращением, т. е. преобразованием Л-1,
действующим обратным по отношению к А способом и, следова-
§ 23]
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
93
тельно, удовлетворяющим равенству
ЛХЛ = /, (13)
где /— тождественное преобразование или тождество, которое
переводит каждый вектор х в себя. Матрица этого преобразова-
ния единичная'.
1 0 ... О
f_ 0 1 ... О
О 0 ... 1
Если осуществить сначала преобразование Л-1, а затем —
преобразование А, то точно так же получится тождество
ЛЛ-! = /. (14)
Равенства (13) и (14) можно записать и как матричные ра-
венства:
Л-1Л = ЛЛ-1 = /. (15)
Чтобы вычислить матрицу Л-1 эффективно, нужно решить
систему уравнений (8) относительно неизвестных х/г при извест-
ных у1', лучше всего воспользоваться методом последовательного
исключения (§ 22). В качестве решения получается
= (16)
Матрица В = ||^|| является как раз искомой обратной матри-
цей Л-1.
Выясним теперь, как меняется матрица Л преобразования А,
когда в пространствах 301 и 91 вводятся новые базисы. Старые
базисы обозначались через рг,..., рп и qltqm; новые обо-
значим через р\, ..., р'п и q\, .... qm. Новые базисы выра-
жаются через старые так:
А = (17)
?/ = !>*£/• (18)
Коэффициенты /7 и образуют неособые матрицы F и G. Пусть
обратная к G матрица G-1 обозначена через И. С помощью этой
матрицы Н =|| lift || можно разрешить равенства (18) относительно qk:
qb^q'ihk. (19)
Матрица Л получается в соответствии с (7), когда Apj выра-
жаются через qk:
= (20)
94
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ IV
Чтобы получить новую матрицу, выразим Apt через q\:
Ар\ = 2 (Л^) fl = S <^1 = J] q'lh1^.
Следовательно, новая матрица такова:
A' = HAF = G~1AF. (21)
В частном случае ЭЛ ='9i, F--G получается
A^F-'AF. (22)
Задача 1. Неособые линейные преобразования векторного пространст-
ва ЭЛ в себя образуют группу относительно умножения.
Задача 2. Если для двух линейных преобразований пространства ЭЛ
в пространство (Л определить сумму А-f-В равенством
(А A-В) х = Ах+Вх,
то А А-В вновь будет линейным преобразованием. Его матрица является суммой
матриц А и В, т. е. ее элементы таковы:
c‘k = ak + bk-
Транспонированное преобразование А‘. Каждому преобразова-
нию А пространства в пространство 91 соответствует преоб-
разование А*, которое отображает двойственное пространство 91d
в двойственное пространство 9)id. Действительно, если © — фикси-
рованный ковектор из 91d и х — переменный вектор из ЭЭ1, то
скалярное произведение
V-Ах
является линейной формой по х, т. е. скалярным произведением
вектора х с некоторым ковектором w:
v-Ах = и-х. (23)
Этот ковектор «, очевидно, линейно связан с ©. Следова-
тельно, можно положить
й = 4zo, (24)
и получить равенство
©• Ах — А'я • х. (25)
Определенное в (25) преобразование А* называется транспони-
рованным по отношению к А.
Равенство (23), переписанное в координатах, выглядит так:
Отсюда следует, что
Uk= У, VtUk.
Матричные элементы преобразования А1 являются, таким об-
разом, элементами alk, но теперь k означает номер строки, a i —
§ 24]
ТЕНЗОРЫ
95
номер столбца. Так получаемую матрицу называют транспониро-
ванной и обозначают через А(.
Задача 3. Ранг преобразования А1 равен рангу преобразования А.
Задача 4. Ранг преобразования А1 равен также строчечному рангу мат-
рицы А, т. е. числу линейно независимых строк. При этом строки рассматри-
ваются как элементы некоторого левого векторного пространства, а столбцы —
как элементы правого векторного пространства.
Задача 5. Из задач 3 и 4 следует, что строчечный ранг матрицы А
равен ее столбцовому рангу.
§ 24. Тензоры
Пусть ЭЛ — некоторое «-мерное векторное пространство и
.... рп — его базис над полем К- Векторы пространства ЭЭ?
представляются, следовательно, в виде
х=р1х1 + ...+рпхп. (1)
Рассмотрим билинейные формы f (х, у) со значениями в К,
т. е. функции от двух векторов х, у со следующими свойствами:
f(x+y, z)=f(x, z)+f(y, z), (2)
f(x, y + z)=f(x, y)+f(x, z), (3)
f(xa, y)=f(x, y)a, (4)
f(x, yb) = f(x, y)b. (5)
Билинейная форма f(x,y) оказывается заданной, как только
заданы значения
tik = f{pi,Pk)- (6)
Действительно, в этом случае
f(x, у) = f (2 РьУ*) = S ^Ук, (7)
где суммирование ведется по всем i и k от 1 до п. Элементы tik
называются координатами билинейной формы f. Выберем tik
в основном поле К произвольно; тогда форма, определенная
с помощью (7), обязательно обладает свойствами (2) —(5). Следо-
вательно, существует взаимно однозначное соответствие между
билинейными формами и системами из п2 их координат
Подобно рассмотренным в § 21 линейным формам билиней-
ные формы можно складывать и умножать на константы из К-
Билинейные формы составляют векторное пространство размер-
ности п2. Элементы этого векторного пространства называются
также тензорами, а точнее, — ковариантными двухвалентными тен-
зорами. Мы обозначаем эти тензоры через t и вместо f(x, у)
пишем txy. Согласно (7) в этом случае
t • ху = 2 tupdy*.
96 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IV
При желании разделительную точку можно отбросить и пи-
сать просто txy.
Аналогично можно ввести в рассмотрения полилинейные фор-
мы или ковариантные тензоры произвольной валентности:
f(x, у, z, = xyz ....
причем эти формы линейны как по х, так и по у, z, ... Их коэф-
фициенты таковы:
Pi, ..) = t PiPkPi
и
t xyz ,.. — f(x, у, z,
Двойственным образом строятся контравариантные тензоры,
т. е. полилинейные формы, аргументы которых являются ковек-
торами и, V, например,
t-uvw = g(u, ©, w) = У, tiklUiVkWi.
Ковариантные одновалентные тензоры — это в точности ковек-
торы, а контравариантные одновалентные тензоры взаимно одно-
значно соответствуют векторам х пространства Э)1:
t-u = u-x='^1xiui.
По этой причине ковекторы и векторы называют также, еле.
дуя Эйнштейну, ковариантными и контравариантными векторами.
Наконец, можно рассматривать смешанные тензоры t. Они оп-
ределяются через полилинейные формы, аргументы которых явля-
ются векторами и ковекторами в произвольном числе; например,
t-ux=f(u, х) = У, ifu‘xk.
Задача 1. Произвольный двухвалентный тензор симметричен по х и у:
t xy = tyx
тогда и только тогда, когда симметричны его координаты:
4k — tki'
Задача 2. Смешанные двухвалентные тензоры а с координатами а'1; вза-
имно однозначно сопоставляются линейным преобразованиям Л пространства
в себя с матричными элементами . В силу равенства
а • их —и Ах
сопоставление инвариантно, т. е. не зависит от координатной системы.
Задача 3. Ковариантный тензор g с координатами gik определяет неко-
торое линейное преобразование х i—> и пространства в двойственное ему
пространство по формуле
И • Z — g • ZX
или
§ 25]
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
97
Если преобразование неособое, то его можно обратить:
Тогда произведение матриц ||^,-*|| и является единичной матрицей:
^gikgkl = ^.
§ 25. Антисимметрические полилинейные формы
и определители
Пусть К — поле и ЭЛ — некоторое п-мерное векторное про-
странство над К с базисом plt рп.
Билинейная форма f (х, _у) = '^ittkxiyk называется альтерни-
рованной или антисимметрической, если для всех х и у имеют
место равенства
f (х, У)+Цу, х) = 0, (1)
f(x, х) = 0. (2)
Свойство (1) является следствием свойства (2), потому что из (2)
следует, что
f(x+y, x+y) = f(x, x)+f(x, y)+f(y, x)+f(y, y) = 0,
и в силу (2)
f(x, y)+f(y, x) = 0.
Если применить (1) и (2) к базисным векторам, то получится, что
tik + hi = о, (3)
tu = 0. (4)
Обратно, (1) и (2) следуют из (3) и (4). В самом деле, доста-
точно доказать (2). Имеем
f(x, х) = 2 = 2 Wx'4-2 (tik-]-tki) х‘хк— 0.
i<k
Полилинейная форма F (х, у, z, ...) называется антисим-
метрической, если она антисимметрическая по любой паре своих
аргументов. Для этого достаточно, чтобы F (х, ...) обращалась
в нуль всякий раз, когда два аргумента оказываются равными.
Для координат ttjk... это означает, что они обращаются в нуль,,
как только оказываются равными два индекса, и меняют знак,
когда два индекса меняются местами:
t... j... / = 0»
t... i... k... = — t... k ... i ...
Рассмотрим частный случай антисимметрической полилиней-
ной формы от и аргументов на «-мерном пространстве 3)1. Ее
98
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
координаты tij. имеют п индексов, каждый из которых изменяется
от 1 до п. Если два индекса оказываются равными, то =0.
Поэтому нужно рассматривать лишь те , индексы которых
получаются перестановкой чисел 1, 2, ..., п. Положим
t\2... п = а.
Из последовательности индексов 1, 2, ..., и можно получить
любую другую, последовательно осуществляя транспозицию (т. е.
перемену местами) двух индексов. Действительно, с помощью
таких транспозиций можно сначала поставить на желаемое место
индекс 1, затем индекс 2 и т. д. При каждой транспозиции коэф-
фициент tij.. умножается на —1. Четное число транспозиций (ik)
дает в качестве произведения четную подстановку, а нечетное
число транспозиций — нечетную подстановку. Следовательно, если
л — подстановка, которая переводит 12 ... п в ijk ..., то
( а, если л четная,
^...== (5)
( — а, если л нечетная.
Если, в частности, выбрать а = 1, то получится специфиче-
ская полилинейная антисимметрическая функция
D (х, у, ...) = £ ± x‘y'zk ... (6)
Среди прочих полилинейных форм эта форма выделяется тем,
что ее значение на базисных векторах plf рп оказывается
равным единице:
D{pi, .... Рп) = \- (7)
Из (5) следует, что каждая антисимметрическая полилиней-
ная форма равна aD:
F = aD, (8)
или, так как F (р1....рп) — а, то
F(x, у, ...)=F(plf ..., pn)D(x, у, (9)
Тем самым мы получили следующую основную теорему:
Существует единственная антисимметрическая полилинейная
форма D, которая на базисных векторах ръ .... рп принимает
значение, равное единице. Каждая антисимметрическая полилиней-
ная форма F получается из D умножением на
a = F(pt, .... рп).
Форма D (х, у, ...) называется определителем п векторов
х, у, ... относительно базиса рь рп.
Если в качестве 3)1 выбрать описанное в § 19 модельное век-
торное пространство, элементами которого служат последователь-
ности (х1....л”), то в 3)1 естественным образом окажется выде-
§ 25]
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
99
ленным базис
еА = (0, .... 1, 0, ..., 0). (10)
Координатами произвольного вектора (х1, хп) относительно
этого базиса будут как раз х1, хп. Следовательно, определи-
тель D оказывается функцией п последовательностей, которые
можно расположить в виде столбцов матрицы В:
В =
х1 г/1
х2 у2
(11)
хп уп
Согласно сказанному выше эта функция D полностью опреде-
ляется тремя свойствами:
1) D линейна по каждому столбцу матрицы В;
2) D равна нулю, если два столбца одинаковы;
3) D равна единице, если в качестве столбцов взять базисные
векторы (10).
Обычно определитель D обозначают так:
£> =
х1 у1
X2 У2
= У ± х{у’гь ..,
(12)
хп уп
Основное свойство определителя D заключено в теореме об
умножении определителей. Мы получим ее без труда, если при-
меним к векторам х, у, ... линейное преобразование А и построим
форму
D (Ах, Ay, ...).
Опа вновь будет полилинейной и окажется равной нулю, если
два вектора из числа х, у, ... будут одинаковыми. Следовательно,
мы можем применить основную теорему, т. е. формулу (9), и
получить
D (Ах, Ay, ...)=D(Ap1...... Ap„)D(x, у, ...). (13)
Вектор Арь имеет координаты al, al, ... Поэтому (13) можно
записать и так:
JJalx’ ^aiyi...
Za*x‘ Ха1у‘-
а\ а^... х1 у1...
а2 а%... ' х2 у2...
.......................
(И)
В этом и состоит теорема об умножении определителей. Если
переобозначить элементы матрицы В через Ь^, то теорему об
100
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
умножении можно записать и так:
Saib-2--- а1 “’J"- 6! 62-"
2^... = а*... b] bl...
или еще короче, если через Det(Л) обозначить определитель
матрицы А,
Det (АВ) = Det (A) Det (В). (15)
В частности, если в качестве А взять любую неособую матрицу,
а в качестве В —ее обратную, то левая часть в (15) будет равна 1,
и мы получим
Det (A) Det (А-1) = 1. (16)
Отсюда следует, что определитель неособой матрицы А не
равен нулю.
Формула (13) может быть также переписана следующим об-
разом:
D(Ax, Ay, ...) = Det (A) D (х, у, ...).
Если обе части умножить на произвольный элемент с из поля К,
то получится
cD(Ax, Ay, ...) =Det (A) cD (х, у, ...),
или
F (Ах, Ау, — Det (A) F (х, у ...),
где F — произвольная альтернированная полилинейная форма.
Элемент Det (А) является, следовательно, множителем, на кото-
рый нужно умножить форму F (х, у, ...), чтобы получить
F (Ах, Ау, ...). Отсюда следует, что Det (А) зависит только от
преобразования А, а не от матрицы А, вычисленной в данном
базисе /?!, ..., рп. Следовательно, мы можем говорить об опреде-
лителе Det (А) линейного преобразования А, не обращая внимания
на заданный базис. Этот определитель всегда равен определителю
матрицы А, каким бы ни был выбранный базис:
Det (Л) = Det (А). (17)
Задача 1. Если столбцы матрицы линейно зависимы, то определитель
равен нулю.
Задача 2. Определитель линейного преобразования А равен нулю тогда
и только тогда, когда А особое.
Задача 3. Система п линейных уравнений с п неизвестными
разрешима при любых с‘ тогда и только тогда, когда определитель матрицы || a‘lt ||
отличен от нуля.
Задача 4. Система п линейных однородных уравнений с п неизвестными
§ 25]
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ
101
обладает ненулевым решением тогда и только тогда, когда определитель равен
нулю.
Транспонирование. Рассмотрим определитель
Л'1 хг ... хп
У1 У2 Уп
F =
где сумма справа построена таким образом, что векторы х, у, ...
в процессе суммирования оказываются переставленными всевоз-
можными способами. Функция F является альтернированной и
на базисных векторах е1( .... еп ее значение равно единице.
Следовательно, F — определитель D (х, у, ...). Отсюда:
Определитель транспонированной матрицы А‘ равен определи-
телю матрицы А:
Det (Д') = Det (Л). (18)
Задача 5. Доказать, что
(«•*) (и-у)
(о-х) (v-y'
— D (и, V, ...) D (х, у, ...)•
Задача 6. Произвольная альтернированная полилинейная форма
F (х, у, ...) от более чем п векторов х, у, ... из n-мерного векторного про-
странства равна нулю тождественно.
Задача 7. Если из скалярных произведений «• х, ... п+1 ковекто-
ров и, <0, ... на п + 1 векторов х, у, ... векторного пространства размерности п
составить определитель из п + 1 строк и п+1 столбцов, то этот последний
будет равен нулю.
Задача 8 2). Доказать, что
= Det (Л) • Det (В), (19)
где А, В —квадратные клетки.
Задача 91). Минором k-vo порядка определителя (12) называется опреде-
литель матрицы из элементов, расположенных на пересечении выделенных
k строк и k столбцов матрицы В (см. (11))- Доказать следующее правило «раз-
ложения определителя по строке»: пусть b\.....b^-i-я строка матрицы В,
В}....В” —миноры (п—1)-го порядка ее определителя, причем В{—опреде-
литель матрицы, получаемой из В вычеркиванием 1-й строки и /-го столбца;
тогда
л
Det(B)= ^(-I)‘'+'fc'B', (20)
1 = 1
(Так как функция Det линейная по строкам, то
Det(B)= У 0 ... 0 0 ... 0 ,
1=1
где строки, не выписанные явно, те же, что и в матрице В. Переставив строки
и столбцы, применить к слагаемым задачу 8.)
о ... о о ... о
*) Этих задач нет в оригинале; они добавлены потому, что авюр неодно-
кратно пользуется ниже формулой (20) и понятием минора, —Прим, ред.
102
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
§ 26. Тензорное произведение, свертка и след
Пусть ЭЛ — некоторое n-мерное векторное пространство над
полем К.
Из двух векторов х и у можно следующим образом построить
тензорное произведение х®у. Возьмем два переменных ковек-
тора и и V, которые независимо друг от друга пробегают двой-
ственное векторное пространство и построим произведение
Оно является билинейной формой от и и v и поэтому опреде-
ляет некоторый тензор t:
tuv = (ux)(vy). (1)
Этот тензор мы называем тензорным произведением t = x0y,
формулой (1) он определен инвариантно. В координатах имеем:
У, tikuivk = (У щх‘) (У Vkyx)
и, следовательно,
— xiyk' (2)
Докажем теперь предложение:
Каждое билинейное отображение пар (х, .у) в какое-либо век-
торное пространство 9? можно получить следующим образом:
сначала нужно из каждой пары (х, у) построить произведение
t — х ® у, и затем линейно отобразить пространство Ф двухва-
лентных тензоров в пространство 91.
Доказательство. Произвольное билинейное отображение В
со значениями В(х, у) в пространстве 91 можно, следуя § 24,
представить формулой
В (х, у) = У SikX’y*, (3)
где sik — векторы из 9L Определим линейное отображение 5 из $
в 9? формулой
(4)
В частности, если применить это отображение к тензорному
произведению t = x®y, то в силу (2) получится равенство
S (х ® у) = 2 Sikx‘yk = В (х, у),
чем и доказывается требуемое.
Добавление. Линейное отображение S определяется били-
нейным отображением В(х, у) однозначно.
Доказательство. Произведения базисных векторов рК&рк
составляют некоторый базис в пространстве тензоров Следо-
§ 26] ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, СВЕРТКА И СЛЕД ЮЗ
вательно, если известны значения 5 (р,®/?*), то преобразование 5
однозначно определено.
Следует еще заметить, что теорема и добавление к ней фор-
мулируются без обращения к координатам. Лишь для доказатель-
ства вводится произвольный базис рь ..., рп.
Задача. Сформулировать аналогичную теорему для полилинейного ото-
бражения 5 (х, у, г, ...).
Само собой разумеется, что сформулированная выше теорема
выполняется и тогда, когда векторы х и у берутся из различных
векторных пространств. Пусть ® — пространство, двойственное
пространству ЭЛ. Из произвольного вектора х из ЭЛ и ковектора и
из Ф можно построить тензорное произведение
t = Х0 и.
Его координаты таковы:
Рассмотрим теперь билинейное отображение В, которое паре х,
и сопоставляет скалярное произведение х и — и х'.
В(х, и) = х и.
В силу теоремы и добавления к ней существует однозначно
определенное линейное отображение пространства тензоров
в поле К, для которого
5(х® и) = х-и. (5)
Приведенные выше формулы (3) и (4) дают нам средство выра-
зить объект St через координаты tlk тензора t. В нашем случае
формула (3) выглядит так:
X • и = У, Х1Щ\
поэтому формула (4) должна иметь вид
(6)
Операция 5 называется сверткой смешанного тензора t. При-
веденное выше доказательство показывает, что свертка является
операцией, инвариантной относительно выбора координатных систем.
Составим теперь из компонент рассматриваемого тензора
матрицу
тогда результат свертки оказывается суммой диагональных эле-
мешов, или следом матрицы Т:
S(T) = X t‘. (7)
След матрицы Т является, следовательно, некоторым инва-
риантом тензора t, не зависящим от выбора координатных систем.
104 ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ IV
Согласно задаче 2 из § 24 тензорам t с координатами tlk взаимно
однозначно сопоставляются линейные преобразования Т с матрич-
ными элементами 4- Сопоставление осуществляется инвариантно
с помощью формулы
tux = u- Тх.
Итак,
След S (Т) = t\ матрицы Т является инвариантом линей-
ного преобразования Т.
Эту теорему можно также доказать непосредственно, без ис-
пользования тензорного произведения. Действительно, из опреде-
ления следа (7) немедленно следует, что
5(ВЛ) = 5(ЛВ),
5(СЛВ)=5(ЛВС).
Положим здесь B = F и C = F \ где F — неособая матрица;
тогда получится
S (F-1 AF) = S(A).
Согласно (22) из § 23 матрица преобразования А в произвольно
выбранном новом базисе имеет вид/7 1AF. Таким образом, след S (Д)
не зависит от выбора базиса.
Глава пятая
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Содержание. Простые теоремы о многочленах от одной и нескольких
переменных с коэффициентами из коммутативного кольца с.
§ 27. Дифференцирование
В этом параграфе мы определяем производные целой рацио-
нальной функции для произвольного кольца многочленов без
использования непрерывности.
Пусть f (х) = а[Х’' — произвольный многочлен кольца о[х].
Построим в кольце многочленов о [х, h] многочлен f(x-j-h)~
= ai (х 4-h)1 и разложим его по степеням h:
f (х + h) = f (х) + /i/j (х) + h2f2 (х) 4-...,
или
f (X 4- h) = f (х) 4- hf± (х) (mod h2).
Коэффициент Д (х) при первой степени h (определенный одно-
значно) называется производной многочлена f (х) и обозначается
через f (х). Очевидно, можно получить /' (х) и таким способом:
разделить разность f (х 4- й) — f (х) на содержащийся в ней множи-
тель h и в полученном многочлене положить й = 0. Отсюда легко
следует, что когда о — поле вещественных чисел, такое определе-
ние производной согласуется с обычным определением производ-
ной в дифференциальном исчислении как предела lim
Поэтому только что определенную производную обозначают также
через , или через ~ f (х), или, если f содержит, кроме х, и
их их
df
другие переменные, через
Имеют место следующие правила дифференцирования:
(J 4-g\ = f 4- g’ (производная суммы), (1)
(fgY =fg + fg’ (производная произведения). (2)
Доказательство формулы (1):
f (х 4- й) 4- g (х + h) = / (х) 4- hf (х) - Ь g (х) ф- hg’ (х) (mod h2).
106
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Доказательство формулы (2):
f (х + й) g (х + К) = {f (х) + hf' (х)} {g (х) + hg' (х)} =
^f(x)g (х) + h {/' (х) g (х) + f (х) g' (х)} (mod /г2).
Точно так же доказываются более общие утверждения:
(/1+- • •+/л)/=/i+• • -+7л» (3)
(/1/2 • • Л)' =Л/2 --fn+№ • • -fn + • . • W2 ...fn. (4)
Из (4) следует далее, что
(ахп)' = пах"-1. (5)
Из (3) и (5) получается равенство
(2 akxk\ = йа;,х/г Л.
С помощью этой формулы можно было бы формально определить
все описанные выше производные.
Задача 1. Пусть F (zt, zm) — некоторый многочлен и Fv — dF/dzv.
Доказать формулу
т
......./-<'»-2Л-(Л..... wt-
1
Задача 2. Для однородных многочленов r-й степени f (xlt хп) из
равенства
f(hxlt ..., hxn) = hrf (xv х„)
вывести «эйлерово дифференциальное соотношение» (тождество Эйлера):
Задача 3. Дать алгебраическое определение производной рациональной
функции f (x)/g (х) с коэффициентами из поля и доказать известные формулы
для производных суммы, произведения и частного.
§ 28. Корни
Пусть о —целостное кольцо с единицей.
Элемент а из о называется корнем многочлена f(x) из о[х],
если /(а) = 0. Имеет место следующая теорема:
Если а — корень многочлена f (х), то f (х) делится на х — а.
Доказательство. Деление f (х) на х — а, дает равенство
f (х) == q (х) (х - а) + г,
где г —некоторая константа. Подставим в это равенство х = а:
0 = г,
§ 28]
КОРНИ
107
откуда
f(x) = q(x) (х — а).
Если alt ..., ак — различные корни многочлена f (х), то f (х)
делится на произведение (х — cq) (х — а2) • • • (х — ak).
Доказательство. Для & = 1 теорема уже доказана. Если
считать ее доказанной для k— 1, то будет иметь место равенство:
f (х) = (х - aj... (х - aw) g (х).
Подстановка x — ak дает
0 = (ak - аг)... (а* - аА_х) g (аА);
следовательно, так как в о нет делителей нуля и ак=^аъ ...
..., а* =И= ak-i, имеем
gM = 0,
откуда в силу предыдущей теоремы
g (х) — (х — ак) h (х),
f (х) = (х - aj... (х - aA_i) (х - ак) h (х),
а это и требовалось доказать.
Следствие. Отличный от нуля многочлен степени п имеет
в целостном кольце не более п корней.
Эта теорема верна также и в целостных кольцах без единицы,
потому что такие кольца могут быть погружены в поле. Однако
эта теорема неверна в кольцах с делителями нуля; например,
в кольце классов вычетов по модулю 16 многочлен х2 имеет
в качестве корней классы, представляемые числами 0, 4, 8, 12;
существуют даже кольца, в которых многочлен такого же вида
имеет бесконечно много корней (§ 11, задача 3).
Если /(х) делится на (х-a)*, но не делится на (х-a)*41, ю
элемент а называют k-кратным корнем многочлена /(х). Имеет
место теорема:
k-кратный корень многочлена f (х) является не менее, чем
(k — \)-кратным корнем производной f (х).
Доказательство. Из f (х) = (х — a)k g (х) следует, что
f (х) = k (х - a)*-1 g (х) + (х - a)* g' (х),
откуда f (х) делится на (х — а)*-1.
Точно так же доказывается утверждение: простой (т. е. 1-крат-
ный) корень многочлена f (х) не является корнем производной f (х).
Перейдем теперь к некоторым теоремам о корнях многочленов
от многих переменных.
Если f (xn ..., хп) — ненулевой многочлен, а каждая из пере-
менных хь ..., хп может принимать бесконечное множество зна-
чений из кольца о или любого целостного кольца, содержащего о,
108
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
то существует по крайней мере один набор значений хг = а1( ...
..., хп = ап, для которого f (аь ..., ап) 0.
Доказательство. Многочлен f(х1( ..., хп) как многочлен
от хп (с коэффициентами из целостного кольца с ...,
имеет не более конечного числа корней; следовательно, в беско-
нечном множестве значений, которое можно подставлять вместо
элемента хп, существует такой элемент а„, что
f (м> • • > %п-Ъ ®л) 0.
Рассмотрим это выражение как многочлен от хп-р, тогда суще-
ствует значение a„_j, для которого
f (Xi, • • • > Хп-2> Г-Сп 1» 0Сл) 5^= 0,
И т. д.
Следствие. Если для всех значений переменных Xi из некото-
рого бесконечного целостного кольца многочлен f (xlt ..., хп) при-
нимает значение нуль, то он сам является нулевым.
Здесь следует напомнить о том, что в алгебре обращение
в нуль многочлена от хь ..., хп означает равенство нулю всех
его коэффициентов и не определяется через равенство нулю всех
его значений на всевозможных конкретных наборах значений
переменных хь ..., хп. Поэтому последняя из сформулированных
теорем не является тавтологией.
Задача 1. Распространить последнюю теорему на конечные системы
многочленов .... х„), ни один из которых не равен нулю.
Задача 2 (Определитель Вандермонда)!). Доказать, что
1Х1... х-;-1
1 х2... х""1
1 хп--
гп — \
Лп
§ 29. Интерполяционные формулы
Вернемся к случаю многочленов от одной переменной; в ка-
честве кольца коэффициентов теперь будет рассматриваться некото-
рое поле. Согласно доказанным выше теоремам два многочлена
степеней <я, значения которых совпадают в п-ф1 различных
точках, оказываются равными, потому что их разность — много-
член степени, не большей п,— имеет в этом случае n-f-l корень.
Следовательно, существует самое большее один многочлен, кото-
рый в заданных п -ф1 различных точках а0, ..., ап принимает
заданные значения /(<%/). С другой стороны, всегда существует
!) Добавлена при переводе, так как используется в дальнейшем.
Прим. ред.
§ 29]
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
109
многочлен степени --лп, который в этих точках принимает нуж-
ные значения,— это многочлен
f(x)= У / (^г) — «о) • —«м) (-^— (х—«п)
(1)
Итак, существует один и только один многочлен степени < п,
который при заданных п + 1 различных значениях а0, alt .... <х„
переменной принимает заданные значения fia-i)’, этот многочлен
задается формулой (1). Формула (1) называется интерполяционной
формулой Лагранжа.
Многочлен с нужными свойствами можно получить и с по-
мощью интерполяционной формулы Ньютона’.
f (х) -- /,п j (у — а0) Х2 (х — а0) (х — ч.-д
• • + К (х - а0) (х - ах)... (х - (2)
где коэффициенты Ао, ..., /.„ определяются последовательно пу-
тем подстановки значений аргумента х = а0, ..., х — ап.
Проводить вычисления лучше всего так: подставим в (2) сна-
чала х = а0; получим
f («о) = ^о-
Вычтем это из (2) и разделим на х — а0; получится
—= А,г 4- Х2 (х - ах) +... + (х - ai)... (х - a„_t). (3)
л — (Л о
Обозначим левую часть через /(а0, х). Подставим в (3) х = а1;
получится
/(«о. а1) = Х1.
Вычтем теперь это из (3) и разделим на х — аг; тогда
/(а0, х) -Да,, оц) = + (х _ + ... + Л„(х-а2)...(х
Л — (Л]
Обозначим левую часть через / (а0, аъ х). Подставим теперь
х = а2; получится
f(a0, a2) = X2.
Эти вычисления можно продолжить. В общем случае поло-
жим (определение с помощью индукции)
f (a0, ..., ak, х) = x)~f(a0,...,a^,ak) (4)
x a&
и, как и выше, получим
f (<х0, ..., аА_х, х) = /./г + j (х — ак) -ф-... + (х — а*)... (х — ал-1),
.... а/г)=Л*. (5)
110
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Константу f (а0, ..., а*) называют k-м разностным отношением
функции f(x) в точках а0, ак. В силу (4)
Нао> “1)
/ («1) — / (сер)
«1 —«0
f (&о> и1’ а-а)
/(“о. а2)—f («о, (Xi)
а2 — «I
(6)
f («о, ..., ал) — —
&п~2> &л) •••> CZ/2-2* ^Д-1)
— а/г-1
k-e разностное отношение может быть определено и как коэффи-
циент при хк в многочлене ipft (х) степени -С/г, который в точках
а0, .... <xk принимает значения /(а0), /(«*)• Действительно,
этот многочлен задается с помощью интерполяционной формулы
Ньютона
ф* (х) — ~г (х ~ ао) + • • • + (х — а0) • • • (х — a*-i)»
а коэффициент при хк здесь равен в точности ^k = f(ao> •••, «*)•
Из последнего определения следует, что k-e разностное отно-
шение не зависит от нумерации точек а0, ..., ак. Это свойство
следующим образом используется на практике: если а0, ая,—
например, рациональные числа, расположенные в естественном
порядке, то разностные отношения вычисляются всякий раз для
следующих друг за другом чисел av, а потому формула (6) с по-
мощью перестановки чисел av превращается в формулу
Ж. ak)=l(ai...................................(7)
Поэтому конечные разности можно расположить в некоторую
схему по следующему принципу:
П«о) /(«0» «1)
f(«l) f(a0, аь а2) /(СС1, сс2)
f(«a) /(«!, а3, а3) f (а2> “з)
Каждый последующий столбец получается по формуле (7) пу-
тем составления первых разностных отношений предыдущего
столбца. Эту схему можно как угодно расширить, вводя все новые
и новые исходные точки. Если f (х) — многочлен n-й степени,
то в (/г-ф1)-м столбце всюду стоит одна и та же константа,
§ 29]
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ
111
а именно коэффициент при хп. В (« + 2)-м столбце в этом слу-
чае стоят нули.
Арифметические прогрессии высших порядков. Будем считать,
что основное в наших рассмотрениях ноле содержит кольцо целых
чисел и что точки а0, аь а2, ... являются последовательными
целыми числами, скажем, 0, 1, 2, ... Если в этом случае составить
описанную выше схему разностных отношений, то знаменатели
а* — аъ а£+1 — «1, ..., которые согласно (7) появляются при вы-
числении (k + 1)-го столбца, будут все равны k. Если второй стол-
бец умножить на 1, третий —на 2, четвертый —на 2-3 и, вообще,
(А + 1)-й столбец на k\, то вместо прежней схемы разностных
отношений получится схема разностей
^0
А&0
bi А'Ч
Д A&i ..., А2Д 1 7
дь2
Ья
где f(av) = bv; символ Abv означает bvll — bv; символ №bv озна-
чает AA&V = A&vij — A&v и т. д. Если Ьо, Ьъ ... — значения некото-
рого многочлена п-й степени, то согласно сказанному выше п-е
разности будут равны одной и той же константе, а (л + 1)-е раз-
ности все равны нулю. Сам многочлен будет задаваться форму-
лой (2) с коэффициентами
^ = ^Г- (9)
Оказывается, имеет место и обратное утверждение:
Если (п + 1)-е разности последовательности Ьо, Ь1У Ь2, ... равны
нулю, то b0, by ... являются значениями многочлена п-й степени
f (x), который задается формулами (2) и (9).
Действительно, построим с помощью многочлена f (х) схему
разностей и сравним ее с заданной схемой (8); обязательно сов-
падут начальные элементы Ьо, Ай0, А2Ь0, ..., А"60 каждого из
столбцов, а (/г-р1)-й столбец в обоих случаях будет нулевым.
Отсюда последовательно получается, что элементы п-х столбцов,
а затем (п—1)-х столбцов и т. д. и, наконец, первых столбцов
обеих схем совпадают.
Приведенный выше способ доказательства одновременно по-
казывает, как, начиная с последнего столбца, можно получить
все элементы схемы (8), когда заданы начальные элементы №Ь0 =
— k\Kk (&=0, 1, ..., п) всех столбцов. Нижеследующий пример
112
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
1п = 3, ао = О, Аа0 = 1, Д2д0==6, Д3п0 = 6), возможно, пояснит
сказанное:
О
I ^о = О>
1 6
7 6
8 12 ^ = 1,
19 6
27 18
37 6 Х2 = ~=3,
64 24
61 Л, = А=1,
л g
125
/ (х) ~ "I- ^jX “I- ^2х (х — 1) Х3х (х — 1) (х — 2) =
= х + 3х(х — 1) + х(х — 1) (х —2) =х3.
Будем подразумевать под арифметической прогрессией нулевого
порядка произвольную последовательность одинаковых чисел Ь,
Ь, Ь, ,.., а под арифметической прогрессией п-го порядка — такую
последовательность чисел, у которой последовательность разностей
является арифметической прогрессией (п — 1)-го порядка. Оче-
видно, что первый столбец в схеме (8) является арифметической
прогрессией п-го порядка, потому что (п + 2)-й столбец состоит
из одних нулей. Тем самым доказанное выше мы можем сформу-
лировать так:
Значения многочлена f (х) степени п в точках 0, 1, 2, 3, ...
составляют арифметическую прогрессию п-го порядка, и каждая
арифметическая прогрессия п-го порядка состоит из значений
в заданных точках некоторого многочлена не выше п-й степени.
Сам многочлен /(х) находится из формул (2) и (9). Общий член
Ьх арифметической прогрессии п-го порядка определяется по
формуле
Ьх = f (х) =
= й0 + (ДЬ0)х + ^-х(х- 1) + ..- + ^рх(х- 1)... (х — п1).
Схема разностей (8) находит свое практическое применение
в интерполировании и интегрировании функций, которые задаются
числовыми (эмпирически построенными) таблицами. .Если b0, Ьи
b2, ... — значения некоторой функции <р(х) при равноотстоящих
значениях аргумента а0, a0-]-h, a0-|-2/i, ..., то практика показы-
вает, что для достаточно гладких функций и для небольших зна-
§ 301
РАЗЛОЖЕНИЕ ПА МНОЖИТЕЛИ
ИЗ
чений h разности второго, третьего, четвертого или, в худшем
случае, пятого порядка практически равны нулю; поэтому в не-
скольких непосредственно следующих друг за другом интервалах
функция достаточно точно заменяется многочленом степени не
выше четвертой. Для целей численного интерполирования или
интегрирования данную функцию можно заменить многочленом,
принимающим заданные значения в следующих друг за другом
точках, число которых колеблется от 2 до 5. Интерполирование
осуществляется с помощью формулы (2). Как правило, при этом
оказывается возможным ограничиться разностями первого и второго
порядка, т. е. линейными или квадратичными многочленами. При
вычислении элементов A*av в разностных отношениях функции
встречаются не только множители k\, но и степени длины интер-
вала /г; тем самым вместо (9) получается формула
. \kaa
Ль —-----•
k\hk
Если значения аргумента а0, а1( ... не являются равноуда-
ленными друг от друга, то вместо разностей Aftav нужно состав-
лять разностные отношения (7). По поводу дальнейших подроб-
ностей теории, оценок погрешностей и т. д. мы отсылаем читателя
к соответствующей учебной литературе1).
т — 1
Задача 1. Частичные суммы sm= У av арифметической прогрессии п-го
V = 0
порядка (где предполагается, что so = O) составляют арифметическую прогрессию
(n-pl)-ro порядка. Отсюда получается формула для суммы
, !т'\ . , / т \ . „
sm ~ mao “Н 2 / +' ” + \ П-|- 1/ &Па°'
т — 1 т т — 1
Задача 2. Получить формулы для сумм 2 V, 2 V2, V3.
v ~ 0 v = 0 у — 0
§ 30. Разложение на множители
В § 18 мы уже видели, что в кольце многочленов К [%] над
полем К выполняется теорема об однозначном разложении на
простые множители. Сейчас мы докажем более общую основ-
ную теорему:
Если 0 — целостное кольцо с единицей ив® имеет место
теорема об однозначном разложении на простые множители, то
и в кольце многочленов ® |х] эта теорема оказывается выполненной.
Приводимое здесь доказательство восходит к Гауссу.
’) См., например, Ковалевский (Kowalewski G). Interpolation und
genaherte Quadratur. — Leipzig, 1930.
114
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
п
Пусть f (х) = У aix‘ — произвольный ненулевой многочлен из
о
ем. Наибольший общий делитель d коэффициентов а0, ..., ап
в кольце @ (ср. § 18, задача 7) назовем содержанием многочлена
f(x). Если вынести d за скобки, то получится равенство
f (х) = dS (х),
в котором g(x) является многочленом с содержанием 1. Много-
член g(x) и скаляр d определены однозначно с точностью до
обратимых множителей.
Лемма 1. Произведение двух многочленов с содержанием 1
вновь является многочленом с содержанием 1.
Доказательство. Пусть
f (х) = а0 UjX + • •
и
-|- Ь1х + ...
— данные многочлены с содержанием 1. Допустим, что наиболь-
ший общий делитель коэффициентов многочлена f(x)g(x) равен d
и необратим. Если р — произвольный простой делитель элемента d,
то р должен быть делителем всех коэффициентов произведения
f(x)g(x). Пусть аг — первый из коэффициентов многочлена f(x),
который не делится на р, и ^ — коэффициент многочлена g(x)
с аналогичным свойством.
Коэффициент при хг- в произведении f(x)g(x) выглядит так:
Ctrbs + arl‘>Ь',. “Ь • • -4-Or l^stl • •
Эта сумма должна делиться на р. Все ее слагаемые, за исключе-
нием первого, должны делиться -на р. Следовательно, arbs также
должно делиться на р, так что аг или bs должно делиться на р,
что противоречит предположению.
Пусть S—поле частных кольца ® (§ 13). Тогда каждый мно-
гочлен кольца S [х] разлагается на простые множители однозначно
(§ 18). Чтобы перейти от разложения в S |х] к разложению
в <& [х], воспользуемся следующей процедурой: каждый много-
член <р (х) кольца S [х] можно представить в виде (где F (х)
принадлежит кольцу ® [х], а Ь — кольцу ©), причем b является
произведением знаменателей коэффициентов многочлена <р(х).
Многочлен же F (х) можно записать в виде произведения его
содержания на многочлен с содержанием 1:
F (х) = af (х)
и
<р(х) = “/(х). (1)
§ 30]
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
115
Мы утверждаем теперь следующее:
Лемма 2. Указанный в равенстве (1) многочлен f (х) с содер-
жанием 1 определяется многочленом ср (я) однозначно с точностью
до обратимых в © элементов. Обратно, многочлен ср (%) опреде-
ляется многочленом f (х) однозначно с точностью до обратимых
в S [х] элементов. Если таким способом сопоставить каждому
ср (х) из S [х] многочлен f (х) с содержанием 1, то произведению
двух многочленов <р (х) гр (х) будет соответствовать с точностью
до обратимых множителей произведение соответствующих много-
членов с содержанием 1 (и обратно). Если многочлен -р (х) нераз-
ложим в S [х], то и многочлен f (х) неразложим в © [х] («
обратно).
Доказательство. Пусть даны два различных представле-
ния многочлена <р(х):
q>W = yf(%) = Jg(x).
Тогда
adf (х) = cbg(x). (2)
Содержание левой части равно ad, а содержание правой равно
cb, следовательно,
ad = гсЬ,
где 8 —обратимый элемент кольца Подставим это в (2) и со-
кратим на cb:
tf(x)=g(x).
Таким образом, многочлены f (х) и g(x) отличаются друг от друга
обратимым в © множителем.
Для произведения двух многочленов
<р W = у f w,
мы немедленно получаем
<p(x)^(x) = ~df(x)g(x),
и согласно лемме 1 произведение f(x)g(x) вновь является много-
членом с содержанием 1. Следовательно, произведению ср (х) гр (х)
соответствует произведение f(x)g(x).
Наконец, если ср (х) — неразложимый многочлен, го таким же
будет и f(x), потому что любое разложение f (х) = g (х) h (х) сразу
же приводит к разложению
ф(х) = у/(х)=у§(х)/1(х).
Обратное утверждение получается точно так же.
116
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Лемма 2 доказана.
С помощью леммы 2 однозначность разложения многочленов
немедленно переносится на соответствующие многочлены с содер-
жанием 1. Итак: многочлены с содержанием 1 разлагаются на
простые множители однозначно с точностью до обратимых эле-
ментов, причем эти простые множители снова являются много-
членами с содержанием 1.
Рассмотрим теперь разложение на множители произвольного
многочлена в <&[х]. Неразложимые многочлены обязательно
являются или неразложимыми константами или неразложимыми
многочленами с содержанием 1, потому что любой другой много-
член разложим в произведение своего содержания и многочлена
с содержанием 1. Следовательно, чтобы разложить какой-либо
многочлен f (х), нужно сначала разложить f(x) в произведение
его содержания и многочлена с содержанием 1, а потом каждый
из этих сомножителей разлагать на простые множители. В силу
предпосылок основной теоремы разложение содержания осущест-
вить можно, и притом однозначно с точностью до обратимых эле-
ментов; разложение же на простые множители многочлена с содер-
жанием 1 также возможно в силу доказанного выше. Тем самым
основная теорема доказана.
Попутно мы получили следующий важный результат:
Если многочлен F (х) из © [х] разложим в 2 [х], то он разло-
жим уже в @[х].
Действительно, в силу того, что F (х) = df (х), многочлену F (х)
соответствует некоторый многочлен f (х) с содержанием 1, а со-
гласно лемме 2 разложение многочлена F (х) в 2 [х] приводит
к разложению многочлена f (х) в © [х], но если f (х) неразложим,
то неразложим и F (х).
Например, любой многочлен с целыми рациональными коэф-
фициентами, который разлагается над рациональными числами,
оказывается разложимым уже над целыми числами. Итак: если
целочисленный многочлен неразложим над целыми числами, то он
неразложим и над рациональными числами.
С помощью индукции из основной теоремы получается сле-
дующий результат:
Если © — целостное кольцо с единицей и в © имеет место
теорема об однозначном разложении на множители, то она спра-
ведлива и в кольце многочленов © [хь ..., х„].
Отсюда, среди прочего, получается однозначность разложения
для целочисленных многочленов (от произвольного числа пере-
менных), для многочленов с коэффициентами из произвольного
поля и т. д.
Понятие многочлена с содержанием 1, фигурирующее в при-
веденных выше леммах Гаусса, в особенности используется при
исследовании колец многочленов от большого числа переменных.
§ 31]
ПРИЗНАКИ НЕРАЗЛОЖИМОСТИ
117
Если К — поле, то многочлен f из К [хь ..., хп] называется мно-
гочленом с содержанием. 1 относительно хъ .... если его
содержание как многочлена с коэффициентами из целостного
кольца К [*!, .... Xn-ij равно 1, т. е. если он не имеет дели-
телей, отличных от констант и зависящих лишь от хх, ..., х„^.
Задача 1. Обратимыми элементами кольца ® [х] являются лишь обра-
тимые элементы кольца ®.
Задача 2. Доказать, что в разложении на множители произвольного
однородного многочлена участвуют лишь однородные многочлены.
Задача 3. Доказать, что определитель
Д =
Хц ... х1л
. • хпп
неразложим в кольце многочленов © [хн....хп„]. (Фиксировать произвольную
переменную, скажем, Хц, и показать, что многочлен А имеет содержание 1
относительно остальных переменных.)
Задача 4. Указать способ, который позволил бы выяснить, обладает ли
произвольно заданный целочисленный многочлен делителями первой степени
или нет.
Задача 5. Доказать неразложимость многочлена
X* — Х2-Н
в кольце многочленов от одной переменной х с целыми коэффициентами. Раз-
ложим ли этот многочлен над полем рациональных чисел? Разложим ли он
над кольцом целых гауссовых чисел?
§ 31. Признаки неразложимости
Пусть © — целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема
об однозначном разложении на множители, и пусть
f (x) = a0 + aix+... + a„x«
— произвольный многочлен из кольца @[х]. Нижеследующая теорема позво-
ляет во многих случаях выяснить вопрос о неразложимости f (х):
Теорема Эйзенштейна. Если в существует простой элемент р,
для которого
апфО (р).
а/ = 0 (р) для всех i < п,
аа Ф 0 (р2),
то многочлен f (х) неразложим в кольце ® [х] с точностью до постоянных мно-
жителей; другими словами, многочлен f (х) неразложим в кольце £ [х], где £ —
поле частных кольца @.
Доказательство. Если f (х) разложим, то
f (x)=g(x)h(x),
Г
g (Х) = J]&vxv-
о
h (х) = 2 cvxv,
о
г>0, s > 0, z-4-s = /i,
118
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
и тогда
aQ = bQcQ, ао = О (р).
Отсюда либо Ьо~О(р), либо со = О(р). Пусть, скажем, Ьо = О(р). Тогда
Со^О(р), так как иначе
ао = Ьоса = О (р2).
Не все коэффициенты многочлена g (х) делятся на р, потому что в против-
ном случае произведение / (х) — g (х) Л (х) делилось бы на р и все коэффици-
енты, в частности ап, делились бы на р, что противоречит условию. Пусть
bl — первый коэффициент в g(x), который не делится на р (0 < I--/ </;).
Тогда
= bico + bi_lc1 4-... bifii,
a(==0(p),
bi-i = O(p),
bo == 0 (p),
и, следовательно,
bzc0 = 0 (p),
c0 0 (p),
^O(p),
что противоречит условию.
Таким образом, многочлен f (х) является неразложимым с точностью до
постоянных множителей.
Пример 1. Многочлен хт — р (р— простое число) в кольце целочислен-
ных многочленов (и тем самым в кольце многочленов с рациональными коэф-
фициентами) неразложим. Следовательно, "Ур (т>1, р — простое число) —
иррациональное число.
Пример 2. Многочлен / (х) = хГ*1хГ-21 при простом числе р
является левой частью «уравнения деления круга». Поставим и здесь вопрос
о разложимости над целыми (или, что по существу то же самое, над рацио-
нальными) числами. Признак Эйзенштейна применить непосредственно здесь
нельзя, но можно поступить следующим образом. Если бы многочлен f (х) был
разложим, то таким же был бы и многочлен /(хф-1). Имеем
./ + (1) Х₽‘1 + -- + (р- 1)%
= хР-х + (^х^ + ... + (Д1).
Все коэффициенты, кроме коэффициента при х₽, делятся на р, потому что
в формуле для биномиального коэффициента
!р\ р(р-1)...(р-1'+1)
V / Л
при i <р числитель делится на р, а знаменатель нет. Кроме того, постоянный
член не Делится на р2. Следовательно, /(х4~1) — неразложимый много-
член, а потому неразложим и / (х).
Пример 3. То же самое преобразование приводит многочлен / (х) = х24~ 1
к виду
f (хф- 1) = х2 + 2х + 2
и тем самым приводит к решению вопроса о разложимости.
§ 32]
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ В КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ШАГОВ
119
Задача 1 Показать иррациональность числа у ptp2... рг, где pf, ...
... , рг — различные простые целые числа и /п> 1.
Задача 2. Показать неразложимость многочлена
X2 4-(/2— 1
в кольце Р [х, р], где Р является произвольным полем, в котором +1 #=—1.
Задача 3. Показать неразложимость многочленов
х44-1, xe-|~x3-{-l
в кольце целочисленных многочленов.
В своей основе теорема Эйзенштейна опирается на то, что равенство
f(x)=g(x)h (х)
превращается в сравнение по модулю р2:
f (x)=g(x)h (х),
а это последнее приводит к противоречию. В многочисленных других случаях
оказывается в равной степени возможным доказать неразложимость переходом
от равенств в данном кольце к сравнениям по модулю некоторого элемента q
в кольце ® и выяснением, является ли данный многочлен разложимым по
модулю q. В частности, если © — кольцо целых чисел Z, то в кольце классов
вычетов по модулю целого числа q есть лишь конечное число многочленов
заданной степени; поэтому есть лишь конечное число возможностей разложения
многочлена f (х) по модулю q, которые легко проверить. Если окажется, что
f (х) неразложим по модулю q, то / (х) был неразложим и в кольце Z [х], но
в противном случае можно доказать неразложимость, если извлечь из разло-
жимости многочлена по модулю q некоторую дополнительную информацию,
причем, если в качестве q взять какое-либо простое число, то можно восполь-
зоваться теоремой об однозначном разложении многочленов по модулю этого
простого числа (§ 18, задача 3).
Пример 4. ® = Z; f(x) = x5 — x2-f-l. Если многочлен f (х) разложим
mod (2). то один из сомножителей должен быть линейным или квадратичным.
По модулю 2 есть лишь два линейных многочлена
х, x-f-1
и лишь один неразложимый квадратичный многочлен
х24-х4-1.
Процесс деления показывает, что Xs— х2 4-1 не делится ни на один из этих
многочленов (по модулю 2). Это непосредственно усматривается из соотношений
Xs —х24-1 =х2 (х3—1)4-1 sx2(x 4-1) (х24-х4-1)4-1.
Следовательно, f (х) — неразложимый многочлен.
§ 32. Разложение на множители в конечное число шагов
Мы рассмотрели теоретическую возможность разложения каждого много-
члена кольца 2 [*i> > х„] над полем £ на простые множители и в некоторых
случаях указали средство выяснения того, возможно такое разложение или
нет. Однако у нас нет метода, который позволял бы в любом случае решить
вопрос о разложении многочлена в конечное число шагов Один из этих мето-
дов, который пригоден по крайней мере в случае, когда 2 —поле рациональ-
ных чисел, мы сейчас изложим.
120
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
Согласно § 30 любой многочлен с рациональными коэффициентами можно
считать многочленом с целыми коэффициентами и искать целочисленное разло-
жение последнего. В кольце Z целых чисел разложение на простые множители
проводится, очевидно, с помощью конечного числа проб; кроме того, в этом
кольце есть лишь конечное множество обратимых элементов (4-1 и — 1),
а потому лишь конечное число возможных разложений. В кольце многочленов
Z [х1( ..., х„] число обратимых элементов тоже конечно: эти элементы суть
4-1 и —1. Индукцией по числу переменных п все сводится к следующей задаче:
Пусть в кольце ® разложение на множители осуществляется в конечное
число шагов, и пусть в ® существует лишь конечное множество обратимых
элементов. Найти метод разложения произвольного многочлена из кольца & (х)
на простые множители.
Решение этой задачи было дано Кронекером.
Пусть f (х) — многочлен п-й степени из ®[х]. Если f (х) разложим, то один
из сомножителей будет иметь степень < п/2; следовательно, если « — наиболь-
шее целое число, не превосходящее п/2, то мы должны проверить, имеет ли
f (х) какой-либо делитель g(x) степени -sjs.
Найдем значения f(a^), f (at)....f (as) многочлена f (x) в «4-1 произ-
вольно выбранных целочисленных точках а0, av ... , as. Если теперь f (х)
делится на g (х), то обязательно f (а0) делится на g (а0), f (aj делится на g (ay)
и Т. д. Но так как каждое целое число f (а^ в кольце ® имеет лишь конечное
число делителей, для g(ai) имеется лишь конечное число возможных значений,
которые, согласно условию, можно перебрать. Согласно теоремам из § 29 для
каждой возможной комбинации значений g(a$), g(ai)> , g (as) существует
ровно один многочлен g(x), причем g (х) всегда может быть указан в явном
виде. Тем самым мы нашли конечное множество многочленов g(x), которые
могут быть делителями данного многочлена. По поводу каждого конкретного
многочлена g (х) с помощью алгоритма деления можно выяснить, является ли
он в действительности делителем многочлена f (х) или нет. Если ни один из
многочленов g (х) не окажется делителем многочлена f(x) (мы опускаем случаи
обратимых делителей), то / (х) неразложим; в противном же случае находим
некоторое разложение и к каждому из полученных множителей можно приме-
нить ту же процедуру и т. д.
В целочисленном случае (® = Z) описанный метод можно сильно сократить.
Сначала нужно рассмотреть разложение данного многочлена по модулю 2 и,
возможно, по модулю 3, чтобы понять, какие степени могли бы иметь его
делители g (х) и каковы классы вычетов коэффициентов по модулю 2 и по
модулю 3. Такие наблюдения значительно сократят число возможных претен-
дентов на роль делителей вида g (х). Затем, применяя интерполяционную фор-
мулу Ньютона, можно заметить, что последний коэффициент какого бы то
ни было делителя является старшим коэффициентом многочлена f (х), а это
вновь уменьшает число возможностей. Наконец, часто используется прием,
при котором берется более s-f- 1 точек а/. Здесь нужно определить возможные
значения g (а/), делящие те f (а,), которые содержат наименьшее число простых
делителей; остальные точки также можно использовать для того, чтобы огра-
ничить число возможностей. Для этого при вычислении каждого многочлена g (х)
нужно сначала выяснить, являются ли его значения в неучтенных еще точ-
ках в/ делителями соответствующих чисел f (ар или нет.
Задача 1. Разложить многочлен
f (х) = х? 4. х* 4- х2 4- х 4- 2
в кольце Z [х] на простые множители
Задача 2. Разложить многочлен
f(x, у, z) = —х3 —I/3 —г84-х2 ((/4-г)4-у2 (x4-z)4-z2 (x4-i/) — 2xyz
в кольце Z [х, у, г] на простые множители.
§ 33J
СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
121
§ 33. Симметрические функции
Пусть о — произвольное коммутативное кольцо с единицей.
Многочлен кольца о [хъ ..., хп] называется (целой рациональ-
ной) симметрической функцией переменных хъ .... хп, если он
переходит в себя при любой перестановке переменных ху, , хп.
Например, сумма, произведение, сумма степеней этих перемен-
ных — симметрические функции.
С помощью новой переменной z построим многочлен
f (z) = (z - xx) (z x2)... (z — x„) =
= zn — <j1z'z-14-<t2z'!-2~ • • •+(—(0
тогда коэффициенты этого многочлена при степенях z таковы:
== Х1 + Х2 + • • • + Хп>
(Т2 = ХхХ2 + ХГХЭ + • • • + Х2Х3 + • • • + хп~1хп,
<Т3 = XZX2X3 + XiX2X4 -f- ХЛ-2ХЛ_|ХЛ,
Очевидно, это — симметрические функции, так как левая часть
равенства (1), как и его правая часть, не меняются при переста-
новках переменных х;. Функции ох, ..., стл называются элемен-
тарными симметрическими функциями от xlt .... хп.
Каждый многочлен ср (аь ..., ол) дает симметрическую функ-
цию от Xi, ..., хп, если вместо о подставить соответствующие вы-
ражения через переменные х. При этом слагаемое вида ссф>...
. ..о^п в выражении для q> (оу, ..., <т„) окажется однородным
п
многочленом от xz степени р, + 2р.2 + .. так как каждый
многочлен су является однородным многочленом степени i. Сумму
+ 2р2 4-... + пр„ мы называем весом слагаемого сст^>... <А, а под
весом многочлена ср (olt .... ол) подразумевается наибольший вес
из входящих в него слагаемых. Многочлены ср (оу, ..., ол) веса k
дают тем самым симметрические многочлены от х; степени -^k.-
Так называемая основная теорема о симметриче-
ских функциях гласит:
Каждая целая рациональная симметрическая функция из
кольца о [хх, ..., хл] может быть записана в виде многочлена
СР (CTi, .... <тл).
Доказательство. Упорядочим заданный симметрический
многочлен словарно (как в словаре), т. е. таким образом, чтобы
слагаемое х^1 ...х% предшествовало слагаемому xj’1 ...х₽« в том
случае, если первая ненулевая разность cq — положительна.
122
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Вместе со слагаемым ах“>... х“л в выражение для данного много-
члена входят также все слагаемые, показатели которых являются
(в своем наборе) некоторой перестановкой показателей а,-; эти
слагаемые мы записывать не будем, а воспользуемся записью
а 2^?1 • • в которую фактически входит лишь первое в сло-
варном упорядочении слагаемое во всей сумме слагаемых. Для
такого слагаемого ах > а2 ап.
Пусть степень данного симметрического многочлена равна k,
а первое в словарном упорядочении слагаемое есть . хап.
Составим произведение элементарных симметрических функций,
в котором (после раскрытия скобок и приведения в словарный
порядок) первое слагаемое будет таким же: ах'р ... хап. Это про-
изведение найти легко; вот оно:
__а, — а„ а,— а„ а
аоф 2оу З...ап«.
Вычтем это произведение из данного многочлена, упорядочим
разность словарно, найдем в ней старшее слагаемое и т. д.
Такая процедура должна будет в конце концов оборваться.
Действительно, вычитаемое произведение имеет вес
— а2 ф- 2а2 — 2а3 ф- За3 —... — (п — 1) а„ ф- пап —
— ai ф- ф- аз ф- ф- rj-n k\
поэтому, расписанное как многочлен от переменных х, это про-
изведение приобретает степень ^k. Следовательно, степень дан-
ной симметрической функции при вычитании, описанном выше,
не возрастает. Но при заданной степени k существует лишь ко-
нечное множество произведений степеней х®1 ... Хпп. Так как при
каждом вычитании такое произведение исчезает, а остаются
лишь следующие за ним в словарном упорядочении, процедура
после конечного числа шагов должна оборваться: просто не
остается больше слагаемых.
Такое доказательство одновременно дает средство выражения
данной симметрической функции через элементарные функции <т;.
Если данная функция имеет степень k, то найденное выражение
<р (alf ..., о„) будет иметь вес k.
Кроме того, из доказательства следует предложение: одно-
родные симметрические функции степени k могут быть выражены
«изобарически» через функции о,-, т. е. так, что слагаемые в по-
лученной сумме все будут иметь вес k.
Покажем теперь, что любая симметрическая функция выра-
жается в виде целой рациональной функции от о1( един-
ственным способом. Точнее:
§ 33] СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 123
Если <pj (z/n ..., уп) и <р2 (t/1( • ••> Уп)~два многочлена от пе-
ременных у1г ..., у„ и
<P1G/1....Уп)=£<Рг(У!.........Уп),
то и
<Pi (CTj, .... оп) =£ ф2 (o-j.<т„).
Рассмотрение разности Ф1 —ф2 = ф показывает, что достаточно
доказать утверждение: из ф(уг, ..., уп)¥=® следует ф(а1( ...
, Оп) ¥=0.
Доказательство. Каждое слагаемое в ф (уи ..., уп) можно
записать в виде
<1~°Ч2-аз ••• уапп-
Среди всех систем (с^, а2, ..., а„), которые соответствуют коэф-
фициенту аУ=0, существует первая в словарном упорядочении.
Заменим на <Т/ и выразим эти последние через хр тогда полу-
чится первое в словарном смысле слагаемое в ф (о,, <т„):
ax*i ... х^.
Это слагаемое нельзя ни с чем сократить, так что и в самом
деле
<р(CTj, ..., <т„)=#0.
Мы доказали:
Каждый симметрический многочлен из кольца ofxj, ..., хп]
можно и притом единственным способом представить в виде мно-
гочлена от (Tj, ... , о„; вес этого многочлена равен степени задан-
ного многочлена.
Все целые рациональные соотношения между симметрическими
функциями сохраняются, если х, перестают быть переменными и
становятся какими-то элементами из о, например, корнями раз-
лагающегося на линейные множители в o[z] многочлена / (г). Из
доказанного, таким образом, следует, что каждая симметрическая
функция корней многочлена f (z) выражается через коэффициенты
этого многочлена.
Задача 1. Для произвольного п выразить суммы степеней J] х},
У х:) через элементарные симметрические функции.
Задача 2. Пусть У xP = sp. Д°казать формулы
sp — sp-i°i + sp-2°2 — • • • -Н— 1 )р~х siaP-i + (— 1 )р рпр = 0 для р п
Sp — 8р_Щ1 l)"sp_no„ = 0 для р>п,
и с их помощью выразить суммы степеней slt s2, s3, s4, ss через элементарные
симметрические функции.
124
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
Важной симметрической функцией является квадрат произ-
ведения разностей:
О = П (xi-Kk)2.
i < k
Выражение для D как многочлена от
й1 = —оь а2 = ст2, а„ = (—1)па„
называется дискриминантом многочлена
f(z) = zn + a1zn-1 + ... + a„.
Обращение в нуль дискриминанта для частных значений аи ...
ап означает, что /(z) имеет кратные линейные множители.
Если многочлен f(z) представить в более общем виде с про-
извольным старшим коэффициентом <z0:
f(z) = aozn + a1zn 1 + ... + а„,
то получится
ио «о Uq
Дискриминантом многочлена f(z) в этом случае называют произ-
ведение разностей, умноженное на п2"-2:
£» = а2'1-2 П (xt-xtf.
i<k
В § 35 мы увидим, что D представляет собой многочлен от ап,
flj, ..., оя.
Применяя описанный выше общий метод, мы получим дискри-
минанты
для а0х2 + а2:
D = a\ — 4аоа2;
для а0х3 + atx2 + а2х + а3:
D = a*al — 4о0й2 — 4<г}а3 — 27а3аз ф-1
Задача 3. Дискриминант остается инвариантным при замене всех X/ на
х(-ф/г. Вывести отсюда дифференциальное соотношение
па» + (п — 1) щ ф ... ф ая_1 = 0.
§ 34. Результант двух многочленов
Пусть К — произвольное поле и
f (х) = а()хп ф- а^1 + ... + ап,
g(х) = bQxm + bLxm
§ 34] РЕЗУЛЬТАНТ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ 125
— два многочлена из К [х]. Найдем необходимое и достаточное
условие для того, чтобы эти два многочлена имели отличный от
константы общий множитель <р (х).
С самого начала мы не исключаем возможность того, что
о0 = 0 или Ьо = 0, т. е. степень f (х) может в действительности
быть меньше п, а степень g(x) —меньше т. Если многочлен f (х)
записан в указанном виде и начинается с (возможно нулевого)
слагаемого flox", то число п называют формальной степенью мно-
гочлена, а а0 — формальным старшим коэффициентом. Мы будем
предполагать, что по крайней мере один из старших коэффициен-
тов а0, Ьо отличен от нуля.
В этом предположении мы прежде всего покажем следующее:
f (х) и g (х) имеют общий множитель, отличный от константы,
тогда и только тогда, когда имеет место равенство вида:
h (х) f (х) = k (х) g (х), (1)
где /г(х) имеет степень, не большую т— 1, a k (х) — степень, не
большую п — \, причем хотя бы один из многочленов h, k не
является тождественным нулем.
Действительно, если выполнено (1), то при разложении обеих
частей этого равенства на простые множители слева и справа
должно стоять одно и то же. Мы можем предположить, что f (х)
в действительности имеет степень п (и о0=^0); в противном слу-
чае мы могли бы поменять ролями f (х) и g(x). Все простые мно-
жители многочлена /(х) должны быть и в правой части равен-
ства (1), причем с тем же самым числом повторений. В один
лишь многочлен k (х) все эти множители входить в тех же степе-
нях, что ив/ (х), не могут, потому что степень k (х) не превос-
ходит п — 1. Следовательно, некоторый простой множитель мно-
гочлена / (х) входит в g (х), что и требовалось.
Обратно, если ср (х) — отличный от константы общий множитель
f (х) и g(x), то нужно лишь положить
f (х) = <Р (х) k (х),
g (х) = <Р (х) h (х),
и получится (1).
Чтобы подробнее изучить равенство (1), положим
h (х) = СдХ^1 + с1хт-2 +... + ст..и
k (х) = d^x"-1 + djX"-2 +... + dn^.
Раскрывая скобки в равенстве (1) и сравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях x"+m~1, хл+т~2, ..., х, 1 слева и справа,
126
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ V
мы приходим к системе уравнений для коэффициентов с7, и dp.
с0О] -ф суя,, = d{jb1 ф dxbQ,
с0«2 + ciai 4“ с2ао — 4“ 4~ d2b0, (2)
Ст-чРп 4- Ст- 1Рп-1 dn-2Ьт -ф dn ]Ьт J,
Cm-lPn " &п 1Ьт-
Это п-\-т однородных линейных уравнений относительно пр-т
величин Ci, d,. От этих величин требуется, чтобы они не обраща-
лись в нуль одновременно. Условием для этого является равен-
ство нулю определителя. Чтобы в определителе не было знака
минус, мы перенесем выражения, стоящие в правых частях, на-
лево и в качестве неизвестных рассмотрим величины с,-,— dj. Если
после этого еще поменять ролями строки и столбцы определителя
(транспонирование относительно главной диагонали), то получится
определитель вида
Со щ ... ап
..“°. °: :\а.п... к
__ б/(1
b0 bi ... ьт
ье bi ... ьт
п
bo Ь^ ... bm
(Всюду там, где ничего не написано, подразумеваются нули.)
Этот определитель называется результантом многочленов f (х),
g-(x). Следует отметить, что он является однородным многочленом
степени т по переменным а{ и степени п по переменным Ьр, далее,
его старший член — произведение элементов главной диагонали —
равен а™Ьт и, наконец, результант равен нулю не только тогда,
когда f, g имеют общий множитель, но и тогда, когда (вопреки
сделанному в начале предположению) йо = Ьо = О.
Суммируем все сказанное:
Результант двух многочленов f(x), g(x) является целой ра-
циональной формой от коэффициентов вида (3). Если результант
равен нулю, то либо многочлены f, g обладают отличным от
константы общим множителем, либо в обоих многочленах равен
нулю старший коэффициент. Верно и обратное.
Метод исключения, которому мы здесь следовали, принадле-
жит Эйлеру; вид (3) результанта известен в основном благодаря
исследованиям Сильвестра.
§ 34] РЕЗУЛЬТАНТ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ 127
В приведенной формулировке теоремы исключительный случай
ап = Ьо = 0 можно опустить, если вместо того, чтобы говорить
о двух многочленах от одной переменной, повести речь о двух
однородных многочленах от двух переменных:
F (х) = аох" + ~ 1х2 +... + а„хг‘,
G (х) = Ьох;,! + bjx'"- >х2 +... + Ьтх™.
Исходные многочлены /, g и числа т, п определяют формы F, G
совершенно однозначно и наоборот. Каждому разложению на мно-
жители многочлена f:
f (х) = аох" + арсп 1 +... + ап - (p„xr + ... + pr) (quxs + ... + qs)
соответствует разложение формы F:
F (х) = «ох',! +... + а„х3' = (рох; +... + prxf) (qoX* +... + qsx$
и аналогичное верно для g и G. Тем самым каждому общему мно-
жителю многочленов fug соответствует общий множитель форм
F и G. Обратно, каждое разложение для F или для G, в котором
мы полагаем хг —х, х2 = 1, дает разложение для f или соответ-
ственно для g и каждый общий множитель форм F и G дает
общий множитель многочленов f и g. Но может оказаться, что
некоторый общий множитель форм F и G будет лишь чистой
степенью переменной х2; тогда соответствующий общий множитель
многочленов f и g будет константой. Случай, когда F и G де-
лятся на некоторую степень х2, как раз является случаем равенств
^о = ^о = О, и поэтому сформулированные выше два случая в тео-
реме объединяются в единое высказывание: если результант ра-
вен нулю, то F и G имеют отличный от константы однородный
общий множитель, и наоборот.
Выведем теперь важное тождество. Пусть коэффициенты bv
многочленов /(х), g(x) будут неизвестными. Положим
хт 1f(x)=aoxn т~1-\-а1хПгт 2 + ... + апхт \
х"‘ 2 f (х) = аохп т~2 +... + п„х'п~2,
f W = ai)x" + • • • +
хп (X) = Ьох" ут 1 + bxxn т 2 +... + Ь^11-1,
хп *g (х) = Ьохп+т 2 +... + Ьтхп~2,
g(x)= boxm + ... + fem.
Определитель этой системы уравнений в точности равен R. Исклю-
чим справа х'1”1 1.....х, для чего осуществим умножения на ми-
128
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
норы последнего столбца и соответствующее сложение1); тогда
получится тождество вида2)
Af + Bg = R, (4)
где А и В — целочисленные многочлены от переменных ац, bv, х.
Задача 1. В терминах определителей дать критерий того, что / (х) и
g (х) имеют общие множители степени, не меньшей k.
Задача 2. Для любых двух многочленов второй степени справедливо
равенство
4Д = (2й0&2 — 01*1 + 2а26о)2 — (4ai)a2— of) (46о&2 6;).
§ 35. Результант как симметрическая функция корней
Предположим теперь, что оба многочлена f (х) ng (х) полно-
стью разлагаются на линейные множители:
f (х) =а0(х- Xj) (х - х2) ... (х — х„),
g (х) = Ьо (х - гд) (х - у2)... (х - ут).
Тогда коэффициенты многочлена f (х) являются произведе-
ниями а„ и элементарных симметрических функций корней хх....х„;
равным образом, коэффициенты bv являются произведениями Ьо
и элементарных симметрических функций корней ук. Результант
R является однородным степени т по и однородным степени п
по bv; следовательно, результант R равен произведению а^Ь^ на
некоторую симметрическую функцию от х; и yk.
Пусть корни Xi и yk рассматриваются сначала как переменные.
Многочлен R обращается в нуль при х,- = yk, так как в этом слу-
чае многочлены f (х) и g(x) имеют общий линейный множитель.
Поэтому R делится на Xi~yk (§ 28). Так как линейные формы
Xi — yk попарно взаимно просты, результант R делится на произ-
ведение
(1)
I k
Это произведение можно преобразовать двумя способами. Первый
получается из равенства
k
подстановкой x = Xt и составлением произведения
Ш(^)=ьо
I i k
1) См. задачу 9 в § 25. — Прим. ред.
2) Для форм F и G соответствующее тождество таково:
Al + BG --=xni+m~' R,
§ 351
РЕЗУЛЬТАНТ КАК СИММЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ КОРНЕЙ
129
таким образом,
5 =^П
(2)
Второй способ получается из равенства
f (х) = а0 (х - xt) = (- 1 )па0 (х,- - х)
и точно так же приводит к
5 = (-1)^П/Ы-
k
(3!
Из (2) усматривается, что 5 является целым и однородным
степени п по переменным Ь, а из (3) видно, что S является це-
лым и однородным степени т по переменным а. Результант R
имеет, однако, те же степени по тем же переменным и делится
на S; следовательно, R и S совпадают с точностью до некоторого
целочисленного множителя. Сравнение слагаемых, которые содер-
жат наивысшую степень элемента Ьт, дает слагаемое как
в R, так и в S; поэтому целочисленный множитель равен 1 и
R = S.
Таким образом, для R получены три представления (1), (2) и (3).
В силу теоремы единственности из § 33 равенство (2) выполня-
ется тождественно по Д,, а (3) тождественно по ag, т. е. (2) имеет
место и тогда, когда g (х) не разлагается на линейные множители,
а (3) справедливо и тогда, когда на линейные множители не раз-
лагается f(x).
Отсюда легко следует и неразложимость результанта как
многочлена от а0, ..., Ьт, причем неразложимость не только
в смысле целочисленных многочленов, а неразложимость абсолют’
пая, т. е. неразложимость в кольце многочленов над любым полем.
Действительно, если бы R разлагался на два множителя А, В,
то <4 и В можно было бы вновь рассматривать как симметри-
ческие функции корней1). Так как R делится на х2 — ylt то А
или В — пусть Л—делится на эту же разность. Но как симметри-
ческая функция, многочлен А должен (если он делится на хг — у2)
делиться и на все остальные хг — ук, а потому и на произведение
ПП(м)-
i k
Так как
!) В этом месте неявно используется теорема о существовании корня про-
извольного многочлена в надлежащем расширении поля коэффициентов, о ко-
торой речь впереди (§ 39). — Прим ред.
130
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
для другого множителя В остается лишь одна возможность: В =
= Но R как многочлен от а и b делится либо на а0, либо
на &0; поэтому для В остается возможным лишь равенство В — 1.
Тем самым неразложимость многочлена R доказана.
Другое доказательство дается в книге Маколей (Macaulay F S).
Algebraic theory of modular systems —Cambride, 1916, § 3.
Существует интересная связь между результантом двух много-
членов и дискриминантом многочлена. Именно, построим резуль-
тант R (f, f) для данного многочлена
f (х) = аохп + 1 +... + ап = а0 (х — Xj) (х — х2)... (х — х„)
и его производной f (х); тогда согласно (2)
Ш П=«Г1П/'(х,). (4)
I
По формуле производной произведения имеем
Г W = 2 ао (х “ *i) • • • (х ~ хм) (х ~ x>+i) (х~ Хп),
I
f' (xf) = а0 (х, - xt)... (х, - хм) (х, - х,+1)... (х, - х„).
Подставим это в (4); тогда получится равенство
R(f,
I
или, если через D обозначить дискриминант многочлена f(x),
R(f, f) = ±a0D. (5)
Если записать R (f, f) как определитель из § 34, то из пер-
вого столбца можно будет вынести множитель а0; тем самым D
становится многочленом от а0, ..., ап. Равенство (5) выполняется,
конечно, тождественно по а0, ..., ап и не зависит от того, разла-
гается ли /(х) на линейные множители или нет
Задача 1. Результант многочленов fug является изобарическим веса
тп по коэффициентам а и b 33)
Задача 2. Если ylt .., уп_г являются корнями производной /' (х), то
Р = лЧ"1Ц/Ш-
k
Задача 3. Дискриминант D обращается в нуль тогда и только тогда,
когда / (х) и f (х) имеют общий множитель. Если такой множитель существует,
то в разложении многочлена f (х) на простые множители существует либо
кратный множитель, либо множитель с тождественно равной нулю произ-
водной.
§ 36) РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 131
§ 36. Разложение рациональных функций
на простейшие дроби
Разложение рациональных функций на простейшие дроби опи-
рается на следующую теорему о целых рациональных функциях:
Если g(x) uh (х) — два взаимно простых многочлена над полем К,
если а — степень многочлена g (х), b — степень многочлена h (х) и
если f (х) — произвольный многочлен, степень которого меньше а-\-Ь,
то имеет место тождество
f(x) = r(x)g(x)+s(x)h(x), (1)
в котором г (х) имеет степень, меньшую b, as (х) имеет степень,
меньшую а.
Доказательство. По условию, наибольший общий дели-
тель многочленов g(x) и h(x) равен 1; поэтому справедливо тож-
дество
1 = с (х) g (х) + d (х) h (х).
Если это умножить на f(x), то получится
f (*) = f W с (х) g(x) + f (х) d (х) h (х). (2)
Чтобы сделать степень /(х)с(х) меньшей Ь, разделим этот мно-
гочлен на h(x):
f (х) с (х) = q (х) h (х) + г (х), (3)
где степень многочлена г (х) меньше степени многочлена h (х) и,
следовательно, меньше Ь. Подставим (3) в (2):
f (X) = Г (х) g (х) + {f (х) d (х) 4- q (х) g (х)} h (х) = г (х) g (х) + s (х) Я (х).
При этом степень левой части и первого слагаемого справа меньше
а4~Ь; следовательно, и последнее слагаемое справа имеет степень,
меньшую а^-Ь, так что степень многочлена s (х) меньше а. Тем
самым сформулированная выше теорема доказана.
Разделим тождество (1) на g(x)/i(x); тогда получится разло-
, / (х) ,
жение дроби - (xj\ на две дроби:
/(х) = Г (х) S (х)
g (х) h (х) h (х) g (х)
В левой части, по условию, степень числителя меньше степени
знаменателя. В каждой из дробей справа имеет место то же са-
мое. Если в одной из этих дробей вновь можно разложить зна-
менатель в произведение двух взаимно простых многочленов, то
эту дробь можно будет в свою очередь разложить в сумму двух
других дробей. Так можно продолжать до тех пор, пока знаме-
натели не превратятся в степени простых многочленов. Это дока-
зывает теорему о разложении рациональных функ-
ций на простейшие дроби:
132
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Каждая дробь f(x)/k(x), знаменатель которой имеет степень,
большую степени числителя, является суммой простейших дробей,
знаменатели которых являются степенями простых многочленов,
на которые разлагается знаменатель k(x).
Получаемые таким способом дроби г (x)/q (х) со знаменателями
q (х) = р (x)z можно разлагать дальше. Действительно, если мно-
гочлен р (х) имеет степень I, то q (х) имеет степень И и числитель
г(х), степень которого меньше It, можно сначала разделить на
р(х)/-1, получив некоторый остаток степени, меньшей l(t — 1);
затем этот остаток поделить на р (хУ 2, получив остаток степени,
меньшей 1(1 — 2), и т. д.:
r(x) = s1 (х)р(хУ~1 + г1 (х),
ri (х) — s2 (х) р (ху~2 + г2 (х),
rt_2 (х) = St-! (х) р (х) + П-j (х),
rt-i (x)=s< (х).
При этом частные sx, ..., sk имеют степень, меньшую I. Из всех
этих равенств в совокупности следует, что
г (х) = sx (х) р (ху-1 + $2 (х) р (х)‘~2 +... + S/_x (х) р (х) + St (х),
г(х) = sx(x) S2(X) S/-1 (X) . St (X)
p(x)‘ p(x) p(x)2 р(хУ~1 р(хУ
Так получается вторая формулировка теоремы о разложении
в сумму элементарных дробей.
Пусть f (x)/k (х) — дробь, числитель которой имеет степень,
меньшую степени знаменателя, и знаменатель которой разлагается
на простые множители следующим образом:
k (х) = Pi (x)‘ip2 (х/2... ph (х)Ч
тогда f (x)/k (х) является суммой простейших дробей, знаменатели
которых представляют собой степени pv (x)M'v (pv -С /Д, а числители
которых имеют степень, меньшую степени входящего в знамена-
тель неразложимого многочлена pv(x).
Если, в частности, все простые множители pv (х) линейны, то все
числители являются константами. В этом важном частном случае
разложение в сумму простейших дробей осуществляется очень
простым способом: нужно всякий раз отделять дробь с наиболь-
шей возможной степенью знаменателя, и степень знаменателя тем
самым будет понижаться. Действительно, запишем знаменатель
в виде k (х) = (х — а)‘g (х), где g(x) не делится на х — а; тогда
/ W = / W = b f (x)—bg (х) 5
(x-a/g(x) (х—аУ~Г(х-аУ2(х)’
§ 36] РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 133
где константу b всегда можно определить так, чтобы числитель
второй дроби обращался в нуль при х = а и, следовательно, де-
лился на х — а:
f(a)-bg(a)=Q,
f (x) — bg(x) = (x — a)f1(x).
Вторую дробь в (5) можно теперь сократить на х — а и, продолжая
тем же способом, прийти к полному разложению на простейшие
дроби.
Глава шестая
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
Цель этой главы — получить первые сведения о строении по-
лей, об их простейших подполях и расширениях. Некоторые из
проводимых здесь исследований относятся и к произвольным
телам.
§ 37. Подтело. Простое тело
Пусть 2 — произвольное тело.
Если подмножество А в 2 вновь является телом, то его на-
зывают подтелом тела 2. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы А было, во-первых, подкольцом (т. е. вместе с а и b содер-
жало а — b и а-b), во-вторых, содержало единичный элемент,
а также вместе с каждым а=£0 обратный к нему элемент а-1.
Вместо этого можно также потребовать, чтобы А содержало хотя
бы один ненулевой элемент и вместе с а и & содержало также
а — Ь и ab Е
Очевидно,
Пересечение любого множества подтел тела 2 вновь является
подтелом в 2.
Простым телом называется такое тело, в котором нет соб-
ственных подтел. Ниже мы увидим, что все простые тела комму-
тативны.
В каждом теле 2 существует и притом только одно простое
тело.
Доказательство. Пересечение всех подтел в 2 является
телом, которое, очевидно, не имеет собственных подтел.
Если бы существовали два простых тела в 2, то их пересече-
ние было бы вновь подтелом в каждом из них, а потому совпа-
дало с каждым из них; следовательно, эти два тела не были бы
различны.
Типы простых тел. Пусть П — простое тело, содержащееся
в теле 2. Оно содержит нуль и единичный элемент е, а потому
и целые кратные этого элемента: пе — ± (е + еЦ-.. .Ц-е).
п раз
Сложение и умножение элементов пе осуществляется по пра-
вилам:
пе + те = (и т) е,
пе те = пт е2 — пт е.
§ 37]
ПОДТЕЛО. ПРОСТОЕ ТЕЛО
135
Следовательно, целочисленные кратные пе составляют некоторое
коммутативное кольцо Ц5. Далее, отображение п ।—> пе задает
некоторое гомоморфное отображение кольца Z целых чисел на
кольцо Согласно теореме о гомоморфизме (§ 15) кольцо
изоморфно кольцу классов вычетов Z/r, где р — идеал, состоящий
из тех целых чисел п, которые отображаются в нуль, т. е. дают
равенство пе = 0.
Так как кольцо Д не содержит делителей нуля, кольцо клас-
сов вычетов Z/p тоже не содержит делителей нуля; следовательно,
идеал р должен быть простым. Далее, идеал р не может быть еди-
ничным, потому что иначе выполнялось бы равенство 1-е = 0.
Следовательно, есть только две возможности:
1. р = (р), где р — простое число. В этом случае р является
наименьшим положительным числом со свойством ре = 0. Таким
образом,
Ф = 2/(р)-
Кольцо Z/(p) является полем. Следовательно, кольцо —поле,
являющееся по построению простым телом. В этом случае про-
стое тело изоморфно кольцу классов вычетов кольца целых чисел
по некоторому простому идеалу, на элементы п е распростра-
няются те же правила действий, что и на классы вычетов целых
чисел п по модулю р.
2. р = (0). Тогда гомоморфизм Z->s|l является изоморфизмом.
Кратные пе попарно различны: из пе = 0 следует, что л = 0.
В этом случае кольцо $ не является телом, потому что таковым
не является кольцо целых чисел. Простое тело П должно содер-
жать не только элементы из в нем должны быть еще отноше-
ния этих элементов. Из § 13 мы знаем, что изоморфные целост-
ные кольца Z имеют изоморфные поля частных, так что в этом
случае простое тело П изоморфно полю (Q рациональных чисел.
Таким образом, строение содержащегося в S простого тела
полностью определяется заданием числа р или числа 0, порож-
дающего идеал р. (Идеал р состоит, как уже было сказано, из
целых чисел п со свойством пе — 0.) Число р или соответственно
число 0 называется характеристикой тела S или простого поля П.
Все обычные числовые и функциональные тела, содержащие
поле рациональных чисел, имеют характеристику нуль.
Определение характеристики немедленно приводит к следую-
щей теореме:
Пусть а 0 — произвольный элемент тела 2 и k — характе-
ристика тела S. Тогда из па = та следует, что n = m(k) и на-
оборот.
Доказательство. Умножим равенство па —та на а-1;
тогда пе = те и отсюда, по определению характеристики, п =
^m(k). Вывод является обратимым.
136
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
Точно так же доказывается, что из na = nb и сле-
дует а = Ь.
Отметим одно важное правило:
В полях характеристики р имеют место равенства
(а 4- by = ар у Ьр,
(а - by = ар — Ьр.
Доказательство. Имеет место теорема о биноме (§ И,
задача 5):
(я 4- by = ар у ар~1Ь 4- • • • + (р J abpl 4- bp.
Если 0 < i < р, то
^ = P<P-')...(,>-i+U-o(p)|
так как числитель содержит множитель р, который не может
быть сокращен. Остаются, таким образом, лишь слагаемые ар и Ьр:
(а 4- ЬУ = ару Ьр.
Положим здесь ayb = c, тогда
ср = (с — Ь)р 4- Ьр,
(с — ЬУ = ср- Ьр,
чем и доказываются оба утверждения.
Задача 1. Доказать для поля характеристики р индукцией по f:
(a+b)pl — ар> + Ьр>,
(а-by' = a,,J -bpl.
Задача 2. Точно так же
(«1 4-°2 + •• + an)P-a'l + ai +-.- + арп.
Задача 3. Применить формулы задачи 2 к сумме 14-14--••4-1 по м°-
дулю р.
Задача 4. Доказать для поля характеристики р;
р — I
(а —Ь)Р-1= У Щ6Р-1-Л
/ = о
§ 38. Присоединение
Пусть Д —подтело некоторого тела й; тогда й называется
расширением или надтелом тела Д. Наша цель — получить све-
дения о всевозможных расширениях заданного тела Д. Одновре-
менно это будет служить информацией о телах вообще, потому
что каждое тело можно представить как расширение содержаще-
гося в нем простого тела.
S 38]
ПРИСОЕДИНЕНИЕ
137
Пусть сначала Q — расширение тела А и © — произвольное
множество элементов из Й. Существует тело, содержащее А и g:
напршмер, й — одно из таких тел. Пересечение всех тел, содер-
жащих А и g, само является телом, содержащим А и g, и
обозначается через A(g). Оно является наименьшим среди под-
тел, содержащих А и g. Мы говорим, что A (g) получается
из А присоединением множества g. Имеем
A s A (g) <= й.
Два крайних случая таковы: A ((g) —А и A(g) = Q.
Телу A (g) принадлежат элементы из А и все элементы из g,
а также все элементы, получаемые при сложении, вычитании,
умножении и делении элементов из А и g. Все эти элементы
составляют некоторое тело, которое, таким образом, должно
совпадать с A(g). Итак: тело A (g) состоит из всевозможных
рациональных комбинаций элементов из g с элементами из
В коммутативном случае эти комбинации можно записать просто
как отношения целых рациональных функций от элементов из g
с коэффициентами из А.
Если g —конечное множество: g = {u1, ..., ип}, то тело A (g)
обозначают и через A(tZj, ..., ип). В этом случае говорят также
о присоединении элементов иг, ..., ип к телу А. Тем самым,
круглые скобки всегда будут означать присоединение к телу, в то
время как квадратные скобки, например, А [х], означают присое-
динение к А как к кольцу (т. е. здесь составляются всевозмож-
ные целые рациональные комбинации).
В рациональном выражении какого-либо элемента из A (g)
через элементы из А и g участвует лишь конечное множество
элементов из g. Каждый элемент тела A (g) принадлежит, сле-
довательно, некоторому телу А (5?), где — конечное подмноже-
ство из g. Следовательно, тело \ (g) является объединением всех
тел \ ($), где 5 — произвольная конечная часть множества g.
Присоединение произвольного множества сводится, таким образом,
к присоединениям конечных множеств и последующему взятию
объединения.
Если g — объединение множеств gx и g2, то, очевидно,
A(g) = A(gT) (g2).
В самом деле, тело A (gj (g2) содержит A (gj и g2 и, следова-
тельно, A, g± и g2, а потому и А и g и, следовательно, тело
A(g); обратно, тело A (g) обязательно содержит A, gt и g2,
а потому и A(gj) и g2 и, следовательно, тело A(gj)(g2).
Присоединение конечного множества сводится, очевидно, к ко-
нечному множеству последовательных присоединений одного эле-
мента. Расширение, полученное присоединением одного элемента,
называется простым расширением тела. Такие расширения мы
рассмотрим в следующем параграфе.
138
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
§ 39. Простые расширения
Все рассматриваемые в этом параграфе тела предполагаются
полями. Пусть снова Дей и 6 — произвольный элемент из й;
рассмотрим простое расширение Д (9).
Это поле содержит, прежде всего, кольцо <25 всех многочленов
У, a*9ft (а^еД). Сравним ® с кольцом многочленов Д[х] от од-
ной переменной х.
С помощью отображения / (х) •—(6), точнее:
У, akxk ь-* У akQk,
кольцо Д [х] гомоморфно отображается на ©J). По теореме о го-
моморфизме кольцо ® оказывается изоморфным кольцу классов
вычетов:
® = д [х]/1\
где р — идеал, состоящий из тех многочленов f (х), для которых 9
является корнем, т. е. для которых /(9) = 0.
Так как ® не содержит делителей нуля, кольцо Д [х]/р их
также не имеет, в силу чего р — простой идеал. Далее, идеал р
не может быть единичным, потому что единичный элемент е при
гомоморфизме переходит не в нуль, а сам в себя. Так как в Д [х]
каждый идеал является главным, возможны лишь два случая:
1. р = (ф(х)), где ф(х) — неразложимый в Д[х] многочлен* 2).
Многочлен ф (х) является многочленом наименьшей степени среди
обладающих свойством ф(9)=0. Следовательно,
@ = Д [х]/(ф (х)).
Кольцо классов вычетов справа является полем (§ 16); следова-
тельно, @ также является полем. Таким образом, © является
искомым простым расширением Д(9).
2. р = (0). Гомоморфизм Д[х] *—оказывается изоморфизмом.
Кроме нуля, в данной ситуации не существует многочлена f (х)
со свойством f (9) = 0, так что с выражениями f (9) можно обра-
щаться так, как если бы элемент 9 был переменной х. Кольцо
@^Д[х] не является в этом случае полем, но из указанного
выше изоморфизма следует изоморфизм соответствующих полей
частных: поле Д (9), являющееся полем частных кольца изо-
морфно полю рациональных функций от одной переменной х.
Э В некоммутативном случае это неверно, так как переменная х всегда
считается перестановочной с коэффициентами ак, а элемент 0 таковым быть не
обязан. Все рассмотрения этого параграфа оказываются верными лишь в том
частном случае, когда 0 коммутирует со всеми элементами тела А.
2) Вместо выражения «неразложим в кольце А [х]» часто говорят также
«неразложим в поле А». По-видимому, было бы лучше говорить «неразложим
над полем А».
§ 39]
ПРОСТЫЕ РАСШИРЕНИЯ
139
В первом случае, когда элемент 0 удовлетворяет некоторому
алгебраическому уравнению ф(0) = О над Д, элемент 0 называется
алгебраическим над Д и поле Д (6) называется простым алгебраи-
ческим расширением поля Д. Во втором случае, когда из/(0) = О
следует, что f (х) = 0, элемент 0 называется трансцендентным над Д,
а поле Д (0) — простым трансцендентным расширением, поля Д.
Согласно сказанному выше, с трансцендентным над полем элементом
можно обращаться так же, как с некоторой новой переменной:
Д(0) = Д(х). В алгебраическом случае, согласно сказанному выше,
имеем
Д (6) = @ = Д [х]/(ф (х)),
где ф (х) — (неразложимый) многочлен наименьшей степени среди
имеющих корень 0.
Из последнего соотношения в алгебраическом случае полу-
чаются следующие утверждения:
а) каждая рациональная функция от 0 может быть записана
как многочлен У, akGk. (Потому что определяется как совокуп-
ность таких многочленов.)
б) С такими многочленами можно обращаться как с классами
вычетов по модулю ф (х) в кольце многочленов Д [х].
в) Равенство
/(0)=О
можно заменить на сравнение
f W = о (ф (х)),
и наоборот.
г) Так как каждый многочлен f (х) по модулю ф (х) может
быть заменен многочленом степени, меньшей п, где п — степень
многочлена ф (х), то все элементы из Д (0) можно представить
в виде
Р = 2 М*.
k = 0
д) Так как 0 не удовлетворяет ни одному уравнению степени,
меньшей п, представление
Р = 2
k = 0
элемента р из Д (0) является единственным.
Уравнение ф(х)=0 при неразложимом ф (х), решением или
корнем которого является 0, называется уравнением, определяющим
поле Д(0). Степень многочлена ф (х) называется степенью алгебраи-
ческого элемента 0 относительно Д.
Степень равна 1, когда 0 является решением некоторого ли-
нейного уравнения над Д, т. е. является элементом самого поля Д.
140
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
В этом случае можно положить <р (х) = х — 0, и вышеприведенное
утверждение в) вновь приводит к уже доказанному факту:
Каждый многочлен f(x) с корнем 6 делится на х — в.
Задача 1. Для случая простого алгебраического расширения доказать
неразложимость минимального многочлена <р (х), а также утверждения а) —д)
непосредственно, т. е. без использования теоремы о гомоморфизме и свойств
поля А [х]/(ф (х)). (Последовательность утверждений: неразложимость, в), б), а)
г), д). Для доказательства а) воспользоваться в).)
Задача 2. Показать далее, что <р (х) является единственным с точностью
до постоянного множителя неразложимым многочленом из А [х] с корнем 0.
Задача 3. Каковы степень порождающего элемента и определяющее
уравнение:
а) поля комплексных чисел над полем вещественных чисел;
б) поля (Q () 3) над полем рациональных чисел;
( 2зг‘ \
в) поля (Q \е 5 / над полем (Q рациональных чисел;
г) поля Z[t]/(7) над содержащимся в нем простым подполем (Z[i] —кольцо
целых
гауссовых чисел)?
Задача 4. Пусть Г — основное поле, z — переменная, 2=Г(г), А =
/ ^3 \
= Г (—д—г)- Показать, что S является простым алгебраическим расширением
поля А. Каково неразложимое над А уравнение, которому удовлетворяет эле-
мент г?
Два расширения 2, 2' поля А называются эквивалентными
(относительно А), если существует изоморфизм 2 = 2', при ко-
тором каждый элемент из А переходит в себя (остается непод-
вижным).
Любые два простых трансцендентных расширения произволь-
ного поля А эквивалентны.
Действительно, с помощью отображения f (x)/g(х) >—* f (0)/g (0)
произвольное простое трансцендентное расширение А (8) становится
эквивалентным полю рациональных функций от одной переменной х.
Два простых алгебраических расширения А (а), А((Д эквивалентны,
если а и р являются корнями одного и того же неразложимого
в А [х] многочлена <р (х); в этом случае существует такой изомор-
физм между указанными полями, что все элементы из А остаются
неподвижными, а а переходит в р.
п — 1
Доказательство. Элементы из А (а) имеют вид akakt
о
п— 1
а элементы из А(Р) —вид «*РЙ- В обоих случаях эти элементы
о
нужно рассматривать как многочлен по модулю <р(х). Сопостав-
ление
У, akak ь— у, а*р*
является, следовательно, изоморфизмом нужного типа.
«; 49]
ПРОСТЫЕ РАСШИРЕНИЯ
141
Многочлен ср (х), неразложимый над А, не обязан оставаться
неразложимым над каким-либо расширением Q. Если в й у него
появляется корень 0, то у него отщепляется по крайней мере
один линейный множитель х — 6. Возможно, в поле Q многочлен
разлагается еще и на другие линейные и нелинейные множители:
Ф (х) = (х - 0) (х - 02)... (х - 0Z) ф! (х)... ф/; (х).
Согласно доказанному выше в этом случае поля А (0), А (02), ...
..., А (О,) оказываются эквивалентными, и при изоморфизмах
А(0)^А(02)^...^А(07.)
элемент 0 переходит в 02, .... 0у.
Эквивалентные расширения (как, например, А (0), А (02), ...
..., А (бу)), у которых есть общее содержащее их поле Q, назы-
вают сопряженными (относительно А); элементы 6, 02, ..., 0,, пере-
ходящие друг в друга при соответствующих изоморфизмах, также
называются сопряженными1). Из доказанного следует: все корни
неразложимого в А [х] многочлена ф (х), принадлежащие расшире-
нию Q, являются сопряженными относительно А. Обратно, эле-
менты, алгебраические над данным полем и сопряженные над ним,
являются корнями одного и того же многочлена ф (х), потому что
при переходе с помощью изоморфизма от 0Х к 02 из ф(Эх)=О сле-
дует ф(02) = О.
Существование простого расширения. До сих пор Q было
заданным надполем, и структура простого расширения изучалась
внутри поля И. Поставим теперь задачу иначе: дано поле А; найти
расширение А (0), где от 0 требуется, чтобы этот элемент был
либо трансцендентным либо корнем наперед заданного многочлена
из А [х].
Если 0 должен быть трансцендентным элементом, то решить
задачу просто: в качестве 0 возьмем переменную 0 = хи построим
кольцо многочленов А [х], а затем его поле частных А (х), явля-
ющееся полем рациональных функций переменной х. Как мы
видели, поле А (х) является единственным простым трансцендент-
ным расширением поля А с точностью до эквивалентности расши-
рений. Тем самым получилось утверждение:
Существует и притом только одно с точностью до эквивалент-
ности простое трансцендентное расширение А (0) заданного поля А.
Если же элемент 0 должен быть алгебраическим, а именно —
корнем некоторого неразложимого в А [х] многочлена ф (х), то
прежде всего мы можем считать, что ф не является линейным,
так как иначе достаточно было бы положить А (0) = А.
') Такое название используется в основном для алгебраических элементов
0- Трансцендентные элементы одного и того же поля заведомо попарно
сопряжены.
142
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
(ГЛ VI
Искомое поле А (0) согласно сказанному выше должно быть
изоморфно полю классов вычетов:
S' = А[х]/(<р(х)).
В такой ситуации каждому многочлену f из А [я] сопоставляется
некоторый класс вычетов f из 2' и это сопоставление оказывается
гомоморфизмом. В частности, любой константе а из А соответст-
вует класс вычетов а и это отображение поля А является не только
гомоморфным, но и изоморфным, так как нуль является единст-
венной константой, сравнимой с 0 по модулю ср (х). Следовательно,
согласно изложенному в конце § 12 в поле 2' мы можем заме-
нить классы вычетов а на соответствующие им элементы а из А;
таким образом, поле 2' переходит в поле 2, которое содержит
поле А и изоморфно полю 2'.
Многочлену х сопоставляется класс вычетов, который можно
обозначить через 9. Следовательно, в поле S мы можем построить
поле А (9). (Впрочем, S = A(9), в чем нетрудно убедиться.) Из
<р (х) = £ ^0 (<Р (х))
О
с помощью гомоморфизма следует, что
УХ9" = 0 (в Г),
О
а отсюда
ср (9) = 2 а#-°,
о
если заменить ak на ак. Следовательно, элемент 9 является кор-
нем многочлена <р(х).
Итак, доказано следующее предложение:
Для произвольно заданного поля А существует одно (и с точ-
ностью до эквивалентности расширений только одно) простое алгеб-
раическое расширение А (9) такое, что 9 является элементом,
удовлетворяющим уравнению <р(9) = 0, где у (х) — неразложимый
многочлен из А [х].
Процессу символического присоединения с помощью кольца
классов вычетов и символа 0 можно противопоставить несимво-
лическое присоединение, которое возможно тогда, когда с самого
начала задано содержащее все рассматриваемые элементы поле
Q и когда изначально задан элемент 9 с требуемыми свойствами.
Например, если А — поле рациональных чисел, то несимволичес-
кое присоединение какого-либо алгебраического числа, т. е. корня
какого-либо алгебраического уравнения, достигается тем, что за
основу берется трансцендентным образом построенное поле комп-
§ 40] КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ТЕЛ 143
лексных чисел й, в котором согласно «основной теореме алгебры»
каждое уравнение с числовыми рациональными коэффициентами
имеет решение. Описанное выше символическое присоединение
позволяет избежать этого трансцендентного пути, определяя непос-
редственно алгебраическое число как символ класса вычетов,
подчиненный соответствующим правилам действий. При этом
не вводятся отношения порядка (>, <) или свойства веществен-
ности. Но тем не менее как на символическом, так и на несим-
волическом пути получается одно и то же поле А (0), потому что
в силу доказанного в начале все расширения А (0), в которых 0
удовлетворяют одному и тому же неразложимому уравнению,
эквивалентны.
Более точные сведения о поведении алгебраических соотноше-
ний содержатся в главах 10 и 11.
Задача 5. Многочлен х4 + 1 неразложим в поле рациональных чисел (Q
(§ 31, задача 3). Присоединить корень этого многочлена, а затем разложить
последний на неразложимые множители в поле (Q (0).
Задача 6. Пусть П — простое поле характеристики р, х — произвольная
переменная и А = П(х). Присоединить к Д корень £ = х^₽ неразложимого мно-
гочлена г₽ — х и разложить многочлен z₽— х в расширении П(£).
Задача 7. Из простого поля характеристики 2 построить с помощью при-
соединения корня некоторого неразложимого квадратичного уравнения новое
поле из четырех элементов.
§ 40. Конечные расширения тел
Тело й называется конечным расширением подтела А или,
коротко, конечным над А, если все элементы тела й являются
линейными комбинациями конечного множества элементов иъ ...
..., ип с коэффициентами из А:
ге> = б1ц1 + ... + б„и„. (1)
В этом случае тело й является конечномерным левым вектор-
ным пространством над А. Размерность, т. е. число элементов
базиса й над А, называется степенью расширения й над А и
обозначается через (Й:А).
Пример. Пусть Й — простое алгебраическое расширение
поля А:
Й = А(0),
где 6 — элемент степени п над А, т. е. корень некоторого простого
многочлена степени п из кольца А[х]. Элементы
1, 0, 02, ..., б”1
составляют базис поля А (0) над А, т. е. А (0) имеет конечную
степень п над А.
144
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Пусть 2 — тело, промежуточное между А и й, т. е. Ае 2 е
S Й. Тогда имеет место следующая
Теорема о степенях. Если й конечно над А, то и 2
конечно над А, а й конечно над 2. Обратно, если 2 конечно над
А, а й конечно над 2, то Й конечно над А и
(Й : А) = (й : 2) (2 : А).
(2)
Доказательство. Если й конечно над А, то подпростран-
ство 2 векторного пространства й также конечно над А в силу
§ 20. То, что й конечно над 2, очевидно, потому что й конечно
даже над А. Обратно, пусть конечны (2 : А) и (й : 2) и пусть
•{иг, ..., иг] — базис пространства 2 над А, а {и1; ..., иД — базис
пространства й над 2. Тогда каждый элемент тела Й представ-
ляется в виде
® = (от^2)
= Vi
i \ k /
= 2 S 6«
I k
(8lk e A)
Таким образом, каждый элемент тела
величин ukVi. Эти величины линейно
что из
Й линейно зависит от rs
независимы над А, потому
У, У, bikini = 0 (бм ее А)
i k
в силу линейной независимости элементов v над 2 следует, что
У 6;^и* = 0,
k
а в силу независимости элементов и над А
6м = 0.
Следовательно, rs — степень тела й над А, что и требовалось
доказать.
Следствия формулы (2).
а) Если A S 2 s й и (й : А) = (2 : А), то й = 2. Действительно,
из (2) следует, что (й:2)=1. Аналогично:
б) Если А s 2 Е Й и (Й : 2) = (й : А), то 2 = А.
в) Если А 2 й, то степень (2 : А) является делителем сте-
пени (й : А).
Задача 1. Какую степень имеет поле (Q (1, У'Е) над полем (Q рациональ-
ных чисел?
« 41] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 145
Задача 2. Все элементы произвольного конечного коммутативного расши-
рения Q поля А являются алгебраическими над А элементами и их степени
являются делителями степени расширения (Q : А).
Задача 3. Из скольких элементов состоит поле характеристики р, кото-
рое имеет степень п над своим простым подполем?
§ 41. Алгебраические расширения
Расширение 2 поля А называется алгебраическим над А, если
каждый элемент из 2 является алгебраическим над А.
Теорема. Каждое конечное расширение 2 поля К алгебраично
и получается из \ присоединением конечного числа алгебраических
элементов.
Доказательство. Если « — степень конечного расшире-
ния 2 и а е 2, то среди степеней 1, а, а2, ..., а.'1 произвольного
элемента а есть не более п линейно независимых. Следовательно,
п
должно иметь место равенство ''^choJ! = Q, т. е. а — алгебраичес-
о
кий элемент. Тем самым доказано, что поле 2 алгебраично.
В качестве порождающих элементов расширения 2 (т. е. присо-
единяемого множества) можно взять любой базис поля 2.
Благодаря этой теореме можно говорить о «конечных алгебра-
ических расширениях» вместо «конечных расширений».
Обратная теорема. Каждое расширение поля А, которое
получается присоединением конечного множества алгебраических
величин к полю К, конечно (и, следовательно, алгебраично).
Доказательство. Присоединение алгебраического элемента
9 степени п дает некоторое конечное расширение с базисом 1,
6, .... 9"-1. Последовательное построение конечных расширений
согласно теореме из § 40 вновь приводит к конечному расши-
рению.
Следствие. Сумма, разность, произведение и частное алгеб-
раических элементов являются снова алгебраическими элементами.
Теорема. Если элемент а алгебраичен относительно 2, a 2 —
алгебраическое расширение поля /\, то а алгебраичен и над А.
Доказательство. В алгебраическое уравнение для эле-
мента а с коэффициентами из 2 входит лишь конечное множество
элементов р, у, ... поля 2 в качестве коэффициентов. Поле 2' =
-=А(р, у, ...) конечно над А, а поле 2'(а) конечно над 2';
следовательно, 2'(а) конечно над А и элемент а алгебраичен
над А.
Поля разложения. Среди конечных алгебраических расширений
особенно важны поля разложения данного многочлена /(.г), кото-
рые получаются присоединением всех корней уравнения f (x)=Q.
При этом имеются в виду поля
Д(ах, ..., а„),
146
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
в которых многочлен f (х) из кольца А [х] полностью разлагается
на линейные множители х):
f (х) = (х - 04)... (х - а„)
и которые получаются присоединением к А корней этих линей-
ных функций. О таких полях доказываются следующие теоремы:
Для каждого многочлена f (х) кольца А [х] существует некото-
рое поле разложения.
Доказательство. В кольце А [х] многочлен f (х) может
следующим образом разлагаться на неразложимые множители:
/(х) = ф1(х)ф2(х)...<рг (х).
Сначала мы присоединим какой-нибудь корень а, неразложимого
многочлена ф, (х) и при этом получим поле A (aj, в котором <pj (х),
а потому и f (х), имеет линейный множитель х — аг.
Предположим теперь, что уже построено поле Аа = A (ctj, ...
..., ak) в котором у многочлена f (х) отщепляются (рав-
ные или различные) множители х-а^, ..., х —а*. Надполем А*
многочлен /(х) разлагается так:
f (х) = (х - cQ ... (х - а*) ф/г, j (х)... фг (х).
Присоединим теперь к А* какой-нибудь корень ak j многочлена
ф/;11(х). В расширенном таким образом поле Aft (aftu-j) = А (а1( ...
..., «ш) У многочлена f (х) отщепляются множители х —аъ ...
.... x — ak j. Может оказаться и так, что в f (х) после указанного
присоединения выделяется больше k-f-1 линейных множителей.
Продолжая таким способом, мы в конце концов найдем поле
Ал = А(а1, ..., ал), что и требовалось доказать.
Покажем теперь, что поле разложения заданного многочлена
f (х) определяется однозначно с точностью до эквивалентности* 2).
Для этого нам понадобится понятие продолжения изоморфизма.
Пусть A AsX и пусть имеет место изоморфизм Ауд А.
Изоморфизм 2у>:2 называется продолжением заданного изомор-
физма А = А, если каждый элемент а из А, который при исход-
ном изоморфизме А^А переходил в а, при новом изоморфизме
2 77- 2 имеет тот же самый образ а из А.
Все теоремы о продолжениях изоморфизмов алгебраических
расширений опираются на следующее предложение:
]) Старший коэффициент многочлена f (х) мы здесь и в последующем счи-
таем равным 1, что, очевидно, не влияет на ход рассуждений.
2) Предлагаемое здесь доказательство единственности поля разложения
не дает эффективной конструкции этого объекта в конечное число шагов.
См. по этому поводу Эрман (Hermann G.).— Math. Ann., 1926, 95, S. 736 —
— 788 и ван дер Варден (van der Waerden В. L.).—Math. Ann., 1930,
102, S. 738.
§ 41]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
147
Если при некотором изоморфизме А А неразложимый мно-
гочлен <р (х) из А [xj переходит в (конечно, неразложимый) много-
член ф (х) из А [х| и если а — корень многочлена <р (х) в некотором
расширении поля А, а а — корень многочлена <р (х) в некотором
расширении поля А, то данный изоморфизм А^А продолжается
до изоморфизма А (а) А (а), при котором а переходит в а.
Доказательство. Элементы из А (а) имеют вид
(ск е А) и подчиняются правилам, аналогичным тем, что дей-
ствуют на многочленах по модулю ф(х). Равным образом, эле-
менты из А (а) имеют вид V} (с* е А) и подчиняются прави-
лам, аналогичным тем, что действуют на многочленах по модулю
Ф (х), т. е. все обстоит точно так же, только нужно стави!ь над-
строчную черту. Следовательно, сопоставление
У, ckak н— 2 с/га'г
(где Ck соответствуют элементам ck при изоморфизме А А) яв-
ляется изоморфизмом, обладающим нужными свойствами.
В частности, если А = А и заданный изоморфизм отображает
каждый элемент из А на себя, то доказанная выше теорема
получается заново, потому что поля А (а), А (а), ..., возникаю-
щие при присоединении корней одного и того же неразложимого
уравнения, эквивалентны и каждый корень можно перевести
в любой другой с помощью подходящего изоморфизма.
Соответствующая теорема получается при присоединении всех
корней некоторого многочлена вместо одного:
Если при некотором изоморфизме А гд А многочлен f (х) из
А[х] переходит в многочлен J (х) из А[х], то этот изоморфизм
можно продолжить до изоморфизма произвольного поля разложе-
ния А (ах, ..., аД многочлена f (х) и произвольного поля разложе-
ния А(Рх, ..., р„) многочлена f(x), причем элементы а.г, .... ап
перейдут в некоторой последовательности в элементы рх, ..., р„.
Доказательство. Предположим, что изоморфизм А^А
уже продолжен до некоторого изоморфизма А (аь .., а*)
= А (рх, ..., РД (в случае необходимости изменим нумерацию
корней), переводящего каждое а, в р,. (Для k = 0 это предложе-
ние тривиально.) В расширении А (аъ ..., аД многочлен f (х)
разлагается так:
/(х) = (х-ах) ... (х-аДф*г1(х) ... <рл(х).
Соответственно, с учетом изоморфизма, многочлен f (х) разла-
гается в А (рх, ..., РД:
/(Д = (*-₽1) ••• (х-РДф*41(х) ... фЛ(х).
148
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
В расширении А (ах, ..., ап), соответственно в А (Рь ..., р„)
множители cpv и i|\ разлагаются на (х —а/г1) ... (х — ап) и соот-
ветственно (х —Рй-ц) ... (х —Р„). Наборы сх*+1, ..., ал и 0ftll, ...
..., можно упорядочить так, чтобы akH был корнем много-
члена <Рйн3(х), а рА+1 — корнем многочлена ^^(х). Согласно пре-
дыдущей теореме изоморфизм
А(ах, .... <xa)^A(Pj, ..., pft)
можно продолжить до такого изоморфизма
A(«i, .... а*Ь1)^А(Р1, ..., pft+1),
при котором aft+1 будет переходить в pfc+1.
Таким способом, шаг за шагом, начиная с fe = 0, мы прихо-
дим к искомому изоморфизму
А(<%!, ..., a„)^A(pit ..., р„),
при котором каждое а( переходит в рг.
Если, в частности, А = А и заданный изоморфизм А^А
оставляет каждый элемент из А на месте, то f = f и продолжен-
ный изоморфизм
А(а1, ..., ал)^А(Р1, ..., р„)
также оставляет неподвижными все элементы из А, т. е. оба поля
разложения для f (х) оказываются эквивалентными. Следовательно,
поле разложения произвольного многочлена f (х) определено одно-
значно с точностью до эквивалентности.
Отсюда следует, что все алгебраические свойства корней не
зависят от способа построения поля разложения. Например, раз-
лагается ли многочлен над полем комплексных чисел или в ре-
зультате символического присоединения, — «по существу», т. е.
с точностью до эквивалентности, поле разложения будет одним
и тем же.
В частности, каждый корень многочлена f (х) обладает крат-
ностью, с которой он входит в разложение
f (х) = (х - ах) ... (х-а„).
Кратные корни имеются тогда и только тогда, когда f (х) и
f (х) имеют общий делитель над полем разложения, отличный от
константы (§ 28). Наибольший общий делищль f (х) и f (х) над
произвольным расширением является, однако, таким же, каков
наибольший общий делитель в исходном кольце A[xJ (§ 17, за-
дача 1). Тем самым, с помощью построения наибольшего общего
делителя f(x) и /'(х) в кольце А[х] можно выяснить, есть ли
у /(х) кратные корни в соответствующем поле разложения.
§ 11]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
149
Два поля разложения одного и того же многочлена, содержа-
щиеся в некотором поле й, являются не только эквивалентными,
но даже равными. Действительно, в этом случае совпадают два
разложения над й:
f(x) = (х-ах) ... (x-a„),
/(х) = (x — Pi) ... (x-0„),
и из теоремы об однозначном разложении на множители в й [х]
следует, что с точностью до порядка следования множители
должны совпадать.
Нормальные расширения. Расширение 2 поля А называется
нормальным над полем А или расширением Галуа, если оно, во-
первых, алгебраично над А и, во-вторых, каждый неразложимый
в А [х] многочлен g(x), обладающий в 2 хоть одним кор-
нем а, разлагается в 2 [х] на линейные множители.
Поля разложения, построенные выше, являются нормальными
в соответствии со следующей теоремой:
Расширение, получающееся из А присоединением всех корней
одного или нескольких, или даже бесконечного множества много-
членов из А [х], является нормальным.
Сначала мы можем свести случай бесконечного множества
многочленов к конечному множеству, потому что каждый элемент
а из поля зависит лишь от корней конечного множества задан-
ных многочленов и мы можем при доказательстве нормальности,
рассматривая разложение неразложимого многочлена, один из
корней а которого содержится в данном поле, ограничиться
конечным множеством этих корней.
Затем случай конечного множества многочленов можно свести
к случаю одного-единственного многочлена, для чего надо все
данные многочлены перемножить и присоединять корни произве-
дения—это то же самое, что присоединять корни сомножителей.
Пусть, таким образом, 2=А(ах, .... а„), где av — корни неко-
торого многочлена f (х), и пусть неразложимый в А [х] многочлен
g(x) имеет в 2 корень 0. Если g(x) разлагается в 2 неполно-
стью, то мы можем присоединить к 2 еще один корень 0' мно-
гочлена g(x) и получить поле 2 (0')- Тогда, так как 0 и 0' со-
пряжены,
А(0) = Д(0')-
При этом изоморфизме элементы из А и, в частности, коэффи-
циенты многочлена f (х) переходят в себя. Присоединим теперь
слева и справа все корни многочлена f (х); тогда можно будет
продолжить изоморфизм:
А(0, ах, .... a„)^A(0', ax, ..., а„),
где аг переходят вновь в а,, быть может, в другом порядке.
150
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Элемент 0 — рациональная функция от аъ ..., ая с коэффициентами
из Д:
0 = r(aj, .... ая),
и это рациональное соотношение сохраняется при любом изомор-
физме. Следовательно, 0' также является рациональной функцией
OTOj, ...,аяи принадлежит полю S, что противоречит условию.
Обратная теорема. Любое нормальное расширение S
поля Д получается присоединением всех корней некоторого мно-
жества многочленов и, если оно конечно, — присоединением корней
даже конечного множества многочленов.
Доказательство. Пусть поле 2 получено присоединением
некоторого множества ЭЛ алгебраических величин. (В общем
случае можно положить ЭЛ = S; в случае конечного расширения ЭЭ?
можно считать конечным.) Каждый элемент из ЭЛ удовлетворяет
некоторому алгебраическому уравнению f (х) = 0 с коэффициен-
тами из Д, которое полностью разлагается в S. Присоединение
всех корней таких многочленов f (х) (соответственно, если тако-
вых лишь конечное число, то всех корней их произведения) дает
то же самое, что присоединение множества ЭЛ, т. е. дает все
поле S. Это и требовалось доказать.
Неразложимое уравнение f (х) = 0 называется нормальным,
если поле, получающееся присоединением одного из корней
этого уравнения, является нормальным, т. е. если /(х) полностью
разлагается.
Задача 1. Если А = S = □ и Q нормально над А, то Q нормально и
над S.
Задача 2. Построить поле разложения многочлена Xs — 2 над полем
рациональных чисел Q. Показать, что если а — один из корней этого уравне-
ния, то (Q (а) не является нормальным.
Задача 3. Если f (х) — неразложимый над полем К многочлен, то во
всяком нормальном расширении f (х) разлагается на множители одинаковой
степени, сопряженные над К.
Задача 4. Каждое квадратичное над А поле нормально над А.
§ 42. Корни из единицы
Выше были изложены основные общие положения теории
полей. Прежде чем развивать теорию дальше, применим получен-
ные теоремы к нескольким уравнениям очень частного вида над
специальными полями.
Пусть п — натуральное число. Корни многочлена хп — 1
в произвольном поле К называются корнями п-степени из еди-
ницы. Для произвольного корня n-й степени из единицы £ спра-
ведливо, таким образом, соотношение
=
§ 42]
КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
151
Если К —поле комплексных чисел, то корни п-й степени из
единицы можно представить геометрически как точки на единич-
ном круге:
£ = eia _ cos а _|_ i sjn а>
где угол а удовлетворяет условию
па = k2л
и определяется равенством
, 2л.
a = k---.
п
Если для k задавать значения 0, 1, 2, п- 1, то получится п
точек
1, Г], Г]2, Т|" 1 (Г)" = 1),
которые делят круг на п равных дуг. Многочлен хп — 1 имеет,
таким образом, в поле комплексных чисел ровно п различных
корней, которые представляются как степени одного-единствен-
ного примитивного корня ц п-й степени из единицы.
Рассмотрим теперь корни из единицы в произвольном поле К.
Е1режде всего имеет место теорема:
Корни п-й степени из единицы в поле К образуют абелеву
группу относительно умножения.
Из ап = 1 и Ьп=1 следует, что (ab)n == 1 и (а~1)'1=Е То, что
эта группа абелева, очевидно.
Докажем теперь одну лемму об абелевых группах.
Пусть blt ..., bm — элементы абелевой группы, порядки г\, ..., гт
которых попарно взаимно просты. Тогда произведение
6 = ... Ьт
имеет порядок
г = г3г2 ... гт.
Доказательство. Так как br = b\b2 ... brm = 1, порядок
элемента b является во всяком случае делителем числа г. Если
q — произвольное простое число, содержащееся в г, то q входит
в совершенно определенный множитель г; и r/q делится на все
остальные Г/, но не на г;. Следовательно,
br,q =b\,q ... br^ = bi'q^\.
Так как это рассуждение проходит для каждого входящего
в г простого числа q, порядок элемента b равен в точности г.
Если теперь К — поле характеристики р, то положим п = pmh,
где h не делится на р. Для каждого корня п-й степени из еди-
ницы £ в соответствии с задачей 1 из § 37 имеет место равенство
— 1)Рт = £ЛРт — 1 = — 1 = 0;
152
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
следовательно,
Сл-1=0.
Таким образом, корни n-й степени из единицы являются одно-
временно корнями /i-й степени из единицы, где h не делится на
характеристику поля. В случае характеристики нуль можно
положить h = n. В обоих случаях
где h не делится на характеристику поля.
Будем исходить из простого поля П характеристики 0 или р
и присоединим к П все корни многочлена
f(x) = xh-\.
Получающееся таким способом поле разложения S называется
полем деления круга или полем корней h-й степени из единицы
над простым полем П. Многочлен f (х) распадается в этом слу-
чае на различные линейные множители; действительно, производная
f' (х) = hxh 1
обращается в нуль лишь при х = 0, так как h не делится на ха-
рактеристику поля; следовательно, /' (х) не имеет общих корней
с f (х). Поэтому в S содержится ровно h корней h-й степени из
единицы.
Разложим теперь число h в произведение степеней простых
чисел:
tn tn
>=1 I
В группе корней /г-й степени из единицы существует не более
h/qi элементов а, для которых ah,qi = 1, потому что многочлен
xh/q‘- 1 имеет самое большее h/qi корней. Следовательно, в группе
есть элемент at, для которого
Элемент
имеет порядок г;. (Так как ггя степень этого элемента равна 1,
его порядок является делителем числа г,-; но его (гг/д,)-я степень
отлична от 1 и поэтому его порядок является несобственным
делителем числа г{.) Произведение
% 42]
КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
153
будучи произведением элементов взаимно простых порядков rlt ...
..., гт, имеет порядок
т
Пг-’=/г-
1
Корень из единицы, порядок которого равен в точности h, мы
называем примитивным корнем h-й степени из единицы.
Степени 1, (Л • ••. примитивного корня из единицы
различны; так как вся группа имеет лишь h элементов, все ее
элементы являются степенями элемента £. Итак:
Группа корней h-й степени из единицы циклична и порож-
дается любым примитивным корнем из единицы £.
Число примитивных корней /г-й степени из единицы теперь
легко определить. Для начала обозначим его через <р(/г). Число
Ф (/г) равно числу элементов порядка h в циклической группе по-
рядка h1). Во-первых, если /г —степень простого числа, h = qv,
то qv степеней элемента £, за исключением qv 1 степеней эле-
мента являются элементами h-ro порядка; следовательно,
ф(9’) = 9’-?’-1 = 9’-1(9-1)=9’(1 _±\ (1)
\ V /
Далее, если h разлагается в произведение двух взаимно простых
множителей, h — rs, то каждый элемент h-ro порядка однозначно
представим в виде произведения некоторого элемента r-го порядка
и некоторого элемента s-ro порядка (§ 17, задача 2); обратно, каж-
дое такое произведение является элементом h-го порядка. Эле-
менты r-го порядка принадлежат циклической группе r-го порядка,
порожденной элементом £?; число этих элементов равно, следо-
вательно, ф (г). Точно так же число элементов s-ro порядка
равно <р (s); следовательно, для числа произведений имеет место
равенство
<Р (/i) = ф (г) ф (s).
т
Если h = f] г,- — разложение числа h на взаимно простые мно-
।
жители, то последовательным применением этого рассуждения
из полученной формулы выводим равенство:
Ф (Л) = ф (Г1) ф (г2)... ф (гт),
т. е. в соответствии с (1)
<Р (h) = 9?~' (91 - 1) 9?" ‘ (92 - 1) • • • 9>~ ’ (9m ~ О =
]) Согласно задаче 3 из § 17 число <р (ft) равно количеству натуральных
чисел, взаимно простых с Л и не превосходящих й. Функцию <р (й) называют
эйлеровой ^-функцией.
154
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Мы получили:
Число примитивных корней h-й степени из единицы равно
т
1
Положим £ = <р(й). Примитивные корни й-й степени из еди-
ницы обозначим через , £g. Они являются корнями много-
члена
(х - (х - £2)... (х - = Фл (х).
Имеем
хй-1=Пф</М, (2)
d \h
где d пробегает положительные делители числа /г1). Действи-
тельно, каждый корень й-й степени из единицы является прими-
тивным корнем d-й степени из единицы для одного и только для
одного положительного делителя d числа h, так что каждый ли-
нейный множитель многочлена xh — 1 входит в один и только
в один из многочленов Фй (х).
Формула (2) определяет многочлен Ф(/(х) одозначно, потому
что из нее прежде всего следует, что
Ф1 (х) = х — 1,
и если Фй известен для всех положительных d<_h, то Фл опре-
деляется с помощью деления из (2).
Поскольку такие деления осуществляются с помощью алго-
ритма деления в кольце целочисленных многочленов одной пере-
менной х, имеет место следующее утверждение:
Каждый многочлен Фл (х) является целочисленным многочленом
и не зависит от характеристики поля П (если только h не де-
лится на эту характеристику).
Многочлены Фл (х) называются многочленами деления круга.
Примеры. Для каждого простого числа q
х?-1 =(х-1)(х9~1 + х9-2+ ... +х+1)
и, следовательно,
Ф9(х) = х?"1 + х?-2+ ... + х + 1.
Более общо,
ф^+1 (х) = » «v + x(’~2>‘'v + ... +x’v + l.
Точно так же
х6-1=(х-1)(х2 + х + 1)(х + 1)(х2-х + 1),
!) Символ а | Ь означает, что а является делителем числа b (читается
«а делит Ь»).
§ 43]
ПОЛЯ ГАЛУА
155
и, следовательно,
Ф6 (х) = х2 — х +1 •
Многочлен Фл (х) может оказаться разложимым, например,
в произвольном поле характеристики 3 имеет место разложение:
Ф8(х) = х4-|-1 = (х2 — х — 1) (л;2 Н-х — 1).
Позднее, однако, мы видим (§ 58), что в простом поле харак-
теристики нуль многочлен Фл (х) неразложим, в силу чего все
примитивные корни /г-й степени из единицы сопряжены. В § 31
на основе теоремы Эйзенштейна мы выяснили, что такая ситуа-
ция складывается всякий раз, когда /г —простое число; для
Ф8=х4-|-1 и Ф12 = х4 — х2 + 1 это утверждение составляло содер-
жание задачи 3 из § 31 и задачи 5 из § 30.
Часто оказывается полезной следующая теорема:
Если ^ — корень h-й степени из единицы, то
( h (t = l)
-t-t-t-fe -r -t-fe | 0
Доказательство получается немедленно из формулы суммы гео-
метрической прогрессии: для £ 1 имеем
Задача 1. Поле корней /г-й степени из единицы для нечетного h совпа-
дает с полем корней 2/г-й степени из единицы.
Задача 2. Поле корней третьей и четвертой степени из единицы над
полем рациональных чисел квадратично. Выразить эти корни из единицы
через квадратные корни.
Задача 3. Поле корней восьмой степени из единицы квадратично над
полем гауссовых чисел ([) (г). Выразить примитивный корень восьмой степени
из единицы с помощью квадратного корня из какого-либо элемента из (Ц (г).
Задача 4. Корни /г-й степени из единицы в произвольном поле К обра-
зуют циклическую группу, порядок которой делит п.
§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела)
Среди простых полей характеристики р мы уже встречали
поля из конечного числа элементов. Конечные поля называются
полями Галуа по имени их первого исследователя Эвариста Галуа.
Прежде всего, мы установим несколько общих свойств.
Пусть А — поле Галуа и q — число его элементов.
Характеристика поля А не может быть равна нулю, потому
что иначе в А содержалось бы простое поле П характеристики
нуль, состоящее из бесконечного числа элементов. Пусть р —
характеристика данного конечного поля. Простое поле П изо-
морфно тогда кольцу классов вычетов кольца целых чисел по мо-
дулю р и поэтому содержит р элементов.
156
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Так как в А вообще есть лишь конечное число элементов,
в этом поле существует наибольшая система из линейно незави-
симых над П элементов аъ а„. Тогда п — степень расшире-
ния (А: П) и каждый элемент из А приобретает вид
Ci<Xi -р ... -рСпОСП) (1)
где коэффициенты сг из поля П однозначно определены.
Для каждого коэффициента с,- есть р возможных значений;
следовательно, имеется в точности рп выражений вида (1). Так
как эти выражения и дают элементы поля, о котором идет речь,
мы получаем равенство
<7 = Р"-
Итак, доказано: число элементов конечного поля является сте-
пенью характеристики р; показатель этой степени равен степени
расширения (А: П).
Любое тело после отбрасывания нуля превращается в неко-
торую мультипликативную группу. В случае поля Галуа эта
группа абелева и имеет порядок q — 1. Но порядок произволь-
ного элемента а тогда должен быть делителем числа q — 1; сле-
довательно,
(%«-1 = 1 для каждого а^=0.
В этом случае уравнение
aq — а = О
имеет корнем и а = 0. Следовательно, все элементы поля являются
корнями многочлена xq—x. Если alt а? —элементы поля,
то хч — х делится на
ч
f[(x- а,-).
1
В силу равенства степеней получается, что
хч — х — ]Д (х — а{).
I
Следовательно, А состоит из всех корней одного-единственного
многочлена xq — x, которые присоединяются к полю П. Этими
условиями поле А определяется однозначно с точностью до изо-
морфизма (§ 40). Следовательно,
При заданных числах р и п все поля из рп элементов изоморфны.
Мы покажем теперь, что для каждого п > 0 и для каждого р
действительно существует поле из q — рп элементов.
Будем исходить из простого поля П характеристики р и по-
строим над П поле, в котором многочлен хч — х полностью раз-
лагается на линейные множители, В этом поле рассмотрим мне*
§ 43]
ПОЛЯ ГАЛУА
157
жество корней многочлена хд — х. Последнее является полем,
потому что из —х и урп = у согласно задаче 1 из § 41 следует,
что
(х-уу>п = хРп-уРп,
а в случае у О
<xVn =
\у)
так что разность и отношение двух корней рассматриваемого
многочлена вновь являются его корнями.
Многочлен хд — х имеет только простые корни, потому что
его производная, ввиду сравнения <?==0(р), равна
qx^1- 1 =— 1,
а — 1 не есть нуль. Множество корней является, следовательно,
множеством элементов поля из q элементов.
Мы доказали:
Для каждой степени простого числа q — pn (п > 0) существует
одно и с точностью до изоморфизма только одно поле Галуа из q
элементов. Эти элементы являются корнями многочлена хд — х.
Поле Галуа из рп элементов в последующем будет обозна-
чаться через GF (рп).
Положим q—\—h и заметим, что все отличные от нуля эле-
менты поля Галуа являются корнями многочлена xh — 1, т. е.
корнями /i-й степени из единицы. Так как /г и р взаимно просты,
для этих корней из единицы имеет место все сказанное в пре-
дыдущем параграфе:
Все отличные от нуля элементы поля являются степенями не-
которого примитивного корня h-й степени из единицы. Или: муль-
типликативная группа поля Галуа циклична.
Если £ —примитивный корень /г-й степени из единицы вА =
— GF (рп), то все ненулевые элементы из А являются степенями
элемента £. Отсюда следует, что А = П(£) и А является простым
расширением поля П. Степень элемента £ над П равна, конечно,
степени расширения п.
Этой теоремой строение конечных полей описывается пол-
ностью.
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема:
Поле Галуа характеристики р содержит вместе с каждым
своим элементом а ровно один корень р-й степени из а.
Доказательство. Для каждого элемента х в поле суще-
ствует его p-я степень хр. Различные элементы имеют различ-
ные р-е степени, так как
хР-уР = (х-у)Р.
158
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Следовательно, в поле существует столько же р-х степеней,
сколько самих элементов. Поэтому все элементы являются р-ми
степенями.
Наконец, определим автоморфизмы поля S = GT?(p'!).
Прежде всего отображение a ।—*- ар является автоморфизмом.
Действительно, согласно последней теореме это отображение
обратимо и
(а + Р)р = а.Р + рр,
(«Р)р = аррР.
Степени этого автоморфизма переводят а в «р, ар\ ..., арп — а.
Тем самым мы нашли п автоморфизмов.
С другой стороны, число автоморфизмов не может быть больше п.
Произвольный автоморфизм должен переводить примитивный
корень £ в сопряженный элемент, т. е. в корень того же самого
многочлена, который обращается в нуль и на £. Любой многочлен
степени п имеет, однако, не более п корней. Определенные выше п
автоморфизмов оы—* ар являются, следовательно, единственно
возможным и.
Теоремы, справедливые для полей GF (рп), в частном случае
п = 1 становятся теоремами о кольце классов вычетов Z/(p) и сов-
падают с теоремами, известными из элементарной теории чисел.
Именно:
1. Сравнение по модулю р имеет самое большее столько же
корней по модулю р, какова его степень.
2. Теорема Ферма:
аР-1 == 1 (р) для а^О(р).
3. Существует «первообразный корень £ по модулю р» —та-
кое число, что любое число Ь, взаимно простое с р, сравнимо по
модулю р с некоторой степенью числа £. (Иначе: группа классов
вычетов по модулю р, отличных от нуля, является циклической.)
4. Произведение всех отличных от нуля элементов а±, аг, ...
..., ah поля GF (рп) равно —1, так как
h
xh — 1 = | | (x — av).
1
Для п~1 это дает теорему Вильсона:
(р-1)! = -1(р).
Задача 1. Каждое подполе поля GF (рп) является полем GF (рт), где
степень т является делителем числа п. Для каждого делителя т числа п
существует ровно одно подполе GF (рт) в GF (рп), элементы а которого опре-
деляются равенством
арП1—а.
§ 44]
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
159
Задача 2. Если г взаимно просто с рп—1, то каждый элемент из
GF (рп) является г-н степенью. Есл ' г — делитель числа рп—1, то r-ми степе-
нями в GF (рп) являются те и только те элементы а, для которых
^-1)/^!.
Сформулировать результат применительно к теоретико-числовому случаю («г-я
степень остатка»).
Задача 3. Если простой идеал р в коммутативном кольце с обладает
лишь конечным числом классов вычетов, то с/р — поле Галуа.
Задача 4. Рассмотреть, в частности, кольца классов вычетов по про-
стым идеалам (1 (3), (2 + 1), (7) в кольце целых гауссовых чисел.
Задача 5. Найти неразложимое в GF (3) уравнение для примитивного
корня восьмой степени из единицы из поля GF (2), а также неразложимое урав-
нение для примитивного корня седьмой степени из единицы из поля GF (8).
Задача 6. Для любых р и т существуют целочисленные многочлены f (х)
т-н степени, неразложимые по модулю р. Все они являются по модулю р
делителями многочлена хРт— х.
Одно интересное свойство полей Галуа установил Шевалле (Cheval-
ley С.).—Abh. math. Sem. Hamburg, 1935, 11, S. 73.
§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения
Пусть снова А — поле.
Выясним, может ли неразложимый в А[х] многочлен обладать
кратными корнями?
Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены
f (х) и f (х) должны иметь общий отличный от константы множи-
тель, который согласно § 41 можно вычислить уже в А [х]. Если
многочлен f (х) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей
степени f (х) не может иметь непостоянных общих множителей,
следовательно, должно иметь место равенство /' (х) = 0.
Положим
/ (х) = 2 avxv,
О
п
/' W = У vavxv~1.
।
Так как /'(х) = 0, в нуль должен обращаться каждый коэффи-
циент:
vav = 0 (v = 1, 2, ..., п).
В случае характеристики нуль отсюда следует, что av = 0 для
всех v У= 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может
иметь кратных корней. В случае же характеристики р равенства
vav = 0 возможны и для av =/= 0, но тогда обязаны выполняться
сравнения
ve0(p).
160
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями,
все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением
тех avxv, для которых т. е. f (х) должен иметь вид
f (х) = а0 + ар:ср + а2рх2р + ...
Обратно: если f (х) имеет такой вид, то f (х) = 0.
В этом случае мы можем записать:
f(x) = <р (хр).
Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики
нуль неразложимый в А [х] многочлен f (х) имеет только простые
корни', в случае же характеристики р многочлен f(x) (если он
отличен от константы) имеет кратные корни тогда и только
тогда, когда его можно представить как многочлен ср от хр.
В последнем случае может оказаться, что <р (х) в свою очередь
является многочленом от хр. Тогда f (х) является многочленом
от хр2. Пусть f (х) — многочлен от xp£i
f W = (хре)>
но не является многочленом от хр£+1. Разумеется, многочлен ty(y)
неразложим. Далее, г|/ (у) =Н= 0, потому что иначе ф (у) имел бы
ВИД Х(.7₽) и, следовательно, f (х) представлялся бы в виде %(х'’£+|),
что противоречит предположению. Следовательно, гр (у) имеет только
простые корни.
Разложим многочлен ty(y) в некотором расширении основного
поля на линейные множители:
т
4’ (У) = П (у - Р>)-
1
Тогда
т
Н*)=1Ж-М-
1
Пусть at — какой-нибудь корень многочлена хре — pz. Тогда
хр£ — р. = хрР — а/' = (х — а(.)р£.
Следовательно, az является //-кратным корнем многочлена х”е — pz и
т
f w=П (х - а^е-
।
Все корни многочлена f (х) имеют, таким образом, одну и ту же
кратность ре.
§ 44] СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ lbl
Степень т многочлена гр называется редуцированной степенью
многочлена f (х) (или корня az); число е называется показателем
многочлена fix') (или корня «/) над полем Д. Между степенью,
редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение
п = тре,
где т равно числу различных корней многочлена f (х).
Если 0 — корень неразложимого в кольце Д [х] многочлена, обла-
дающего лишь простыми корнями, то 6 называется сепарабельным
элементом над \ или элементом первого рода над Д1). При этом
неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, назы-
вается сепарабельным. В противном случае алгебраический эле-
мент 6 и неразложимый многочлен f (х) называются несепарабель-
ными или элементом (соответственно, многочленом} второго рода.
Наконец, алгебраическое расширение 2, все элементы которого
сепарабельны над Д, называется сепарабельным над Д, а любое
другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.
В случае характеристики нуль согласно сказанному выше
каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраи-
ческое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим,
что большинство наиболее важных и интересных расширений полей
сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не
имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совер-
шенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное
специально с несепарабельными расширениями набрано мелким
шрифтом.
Рассмотрим теперь алгебраическое расширение 2 = Д (0). Когда
степень п уравнения /(х) = 0, определяющего это расширение,
равна степени (2 : Д), редуцированная степень т оказывается
равной числу изоморфизмов поля 2 в следующем смысле: рассмот-
рим лишь такие изоморфизмы 2^2', при которых элементы
подполя Д остаются неподвижными и, следовательно, 2 перево-
дится в эквивалентное поле 2' {изоморфизмы поля 2 над полем Д)
и при которых поле-образ 2' лежит вместе с полем 2 внутри
некоторого общего для них поля й. В этих условиях имеет место
теорема:
При подходящем выборе поля й расширение 2 = Д (0) имеет
ровно т изоморфизмов над Д и при любом выборе поля й поле 2
не может иметь более т таких изоморфизмов.
Доказательство. Каждый изоморфизм над Д должен пере-
водить элемент 0 в сопряженный с ним элемент 0' из й. Выбе-
рем Й так, чтобы f(x) разлагался над й на линейные множители;
!) Выражение «первого рода» восходит к Штейницу. Я предлагаю слово
«сепарабельный», которое лучше отражает тот факт, что все корни многочлена
I(х) простые.
162
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
тогда окажется, что элемент 6 имеет ровно т сопряженных эле-
ментов 9, В', ... При этом, как бы ни выбиралось поле й, элемент 9
не будет иметь в нем более т сопряженных. Заметим теперь, что
каждый изоморфизм Д (9) Д (9') над Д полностью определяется
заданием соответствия 9>—>9'. Действительно, если 9 переходит
в 9' и все элементы из Д остаются на месте, то элемент
У, akBk (ak <= Д)
должен переходить в
^akB’k,
а этим определяется изоморфизм.
В частности, если 9 — сепарабельный элемент, то т = п и, следо-
вательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени
расширения.
Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все
рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого
уравнения /(х) = 0 (как, например, в поле комплексных чисел),
то в качестве Q можно раз и навсегда взять это поле и поэтому
отбросить добавление «внутри некоторого Q» во всех предложе-
ниях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых
полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно
построить такое поле Q.
Задача 1. Если П — поле характеристики р и х — переменная, то урав-
нение zp — х=0 в кольце П (х) [г] неразложимо, а определяемое им расшире-
ние П (х1/р) несепарабельно над П (х).
Задача 2. Построить изоморфизмы над полем рациональных чисел G):
а) поля корней пятой степени из единицы;
б) поля Q (у 2).
Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение:
Если расширение 2 получается из А последовательным присоединением т
алгебраических элементов alt .... ат, причем каждое из ai является корнем
неразложимого над A (aj, ..., ct/.i) уравнения редуцированной степени «(, то
т
расширение 2 имеет ровно изоморфизмов над А и ни в одном расширении
1
нет большего числа таких изоморфизмов поля 2.
Доказательство. Для т= 1 теорема уже была доказана выше. Пред-
положим ее справедливой для расширения S1 = A(a1, ..., в некотором
т— 1
подходящем расширении есть ровно [ [ п- изоморфизмов поля 2Х над А.
1
т — 1
Пусть ► Ji — один из этих [[ изоморфизмов. Утверждается, чтоб под-
1
ходящим образом выбранном поле й он может быть продолжен до изоморфизма
2 = 2г (am) — 2 = 2х (am) не более чем п'т способами.
Элемент ат удовлетворяет некоторому уравнению Д (х) = 0 над 21 с п'т раз-
личными корнями. С помощью изоморфизма 2! i—* 2i многочлен /у (х) перево-
дится в некоторый многочлен Н (х). Но тогда /1(х) в подходящем расширении
§ 44]
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
163
имеет опять-таки пт различных корней и не больше. Пусть ат— один из этих
корней. В силу выбора элемента а.т изоморфизм продолжается до
изоморфизма Si (am) Si (am) с ат ।—> ат одним и только одним способом:
действительно, это продолжение задается формулой
Л СА Л 'А-
Так как выбор элемента ат может быть осуществлен п'т способами, суще-
ствует пт продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма Si 1—»• Sr
т — 1
Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран JJ п’( способами.
1
то всего существует (в том поле й, в котором содержатся все корни всех рас-
сматриваемых уравнений)
т — 1 т
П < •гет=П<
1 1
изоморфизмов расширения S над полем А, что и требовалось доказать.
Если П{ — полная (нередуцированная) степень элемента а/ над Д (ар ...
..., а/-1), топ,- равно степени расширения Д (а/, ..., а/) поля ДИа, ... а/_1);
т
следовательно, степень (S : Д) равна JJ п^.Если сравнить это число с числом
1
т
изоморфизмов JJ«/, то получится следующее предложение:
1
Число изоморфизмов расширения S = A(ai........am) над А (в некотором
подходящем расширении Q) равно степени (S : Д) тогда и только тогда, когда
каждый элемент ai сепарабелен над полем Д (ai.....«/-i)- Если же хотя бы
один элемент оц несепарабелен над соответствующим полем, то число изомор-
физмов меньше степени расширения.
Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде
всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента а/ быть сепарабельным
нЗд предыдущим полем есть свойство самого расширения S независимо от
выбора порождающих элементов а/. Так как произвольный элемент £ поля
может быть взят в качестве первого порождающего, элемент [3 оказывается
сепарабельным, если все а/ являются таковыми. Итак:
Если к полю Д последовательно присоединяются элементы ар ..., a„ и
каждый элемент оц оказывается сепарабельным над полем, полученным присоеди-
нением предыдущих элементов a,, а2........ то расширение
2 = Д («1...ая)
сепарабельно над Д.
В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабельных эле-
ментов сепарабельны.
Далее, если р сепарабелен над S, а поле S сепарабельно над Д, то эле-
мент р сепарабелен над Д. Это объясняется тем, что р удовлетворяет некото-
рому уравнению с конечным числом коэффициентов at.........ат из S и, сле-
довательно, сепарабелен над Д (а,, ..., ат). Тем самым сепарабельно и расши-
рение
A(«i> •••. am, Р)-
Наконец, имеет место следующее предложение: число изоморфизмов конеч-
ного сепарабельного расширения S над полем Д равно степени расширения
(S : Д).
164
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Так как в соответствии со сказанным выше рациональные операции над
сепарабельными элементами вновь приводят к сепарабельным элементам (внутри
некоторого расширения й поля Д), то все сепарабельные над Д элементы из й
составляют некоторое поле Йо- Это поле й0 можно описать и как наибольшее
сепарабельное расширение поля Д внутри Й.
Если й алгебраично над Д, но не обязательно сепарабельно, то ре-я сте-
пень каждого элемента а из Й лежит в Йо, где е — показатель рассматривае-
мого элемента. Действительно, из рассмотрений начала этого параграфа немед-
ленно следует, что удовлетворяет уравнению с попарно различными корнями.
Итак,
Расширение й получается из расширения Йо извлечением корней ре-й сте-
пени из его элементов.
Если, в частности, й конечно над Д, то показатели е обязательно ограни-
чены. Наибольший среди них, который мы обозначим вновь через е, называется
показателем расширения й. Степень расширения й» над Д называется редуци-
рованной степенью Й над
Само собой разумеется, что корни ре-й степени можно получить последова-
тельным извлечением корней р-й степени. При извлечении корня р-й степени
из какого-то элемента, не имевшего в исходном поле этого корня (т. е. при
присоединении корня неразложимого уравнения гР— р =0), степень расширения
умножается на р. Следовательно, в конце концов после (-кратного повторения
операции извлечения корня р-й степени мы получим
(Й : Д) = (й0: h)pf
или
степень = (редуцированная степень) р/,
как в простых сепарабельных расширениях.
Задача 3. Если для некоторого конечного несепарабельного расширения
числа е и f определены, как выше, то е f. В случае простого расширения
e=f.
§ 45. Совершенные и несовершенные поля
Поле Д называется совершенным, если любой неразложимый
в Д [х] многочлен /(х) сепарабелен. Все остальные поля назы-
ваются несовершенными.
Условия, при которых поле является совершенным, описы-
ваются в следующих двух теоремах:
I. Поле характеристики нуль всегда совершенно.
Доказательство. См. § 44.
II. Поле характеристики р является совершенным тогда и
только тогда, когда оно вместе с каждым своим элементом содер-
жит и корень р-й степени из него.
Доказательство. Если вместе с каждым элементом поля
имеется и корень р-й степени из него, то каждый многочлен f(x),
содержащий лишь степени элемента хр, является р-й степенью,
так как
/ (х) = £ ak (хр)* = S х*}Р = (S
k k Ik)
т. е. каждый неразложимый многочлен является в этом случае
сепарабельным, а потому само поле — совершенным.
§ 46]
ПРОСТОТА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИИ
165
С другой стороны, если в поле есть элемента, корень р-й сте-
пени из которого в поле не содержится, то рассмотрим многочлен
f (х) = хр — а.
Пусть ф (х) — неразложимый делитель многочлена f(x). После при-
соединения элемента ула=р многочлен /(х) разлагается на рав-
ные линейные множители (х — Р), т. е. ф(х), являясь делителем
f(x), представляет собой некоторую степень двучлена (х — Р).
Если бы <р (х) был линейным, т. е. ф(х) = х —Р, то элемент р
принадлежал бы полю Д, что противоречит условию. Следова-
тельно, ф (х) = (х — р)* при k > 1 — некоторый несепарабельный
многочлен над Д, а потому Д — несовершенное поле. Впрочем,
степень многочлена ф (х) согласно § 44 обязательно делится на р,
а потому в этом случае она просто равна р, т. е. ф (х) =f (х).
Из теоремы II и последней теоремы в § 43 заключаем:
Все поля Галуа совершенны.
Поле О называется алгебраически замкнутым, если каждый мно-
гочлен из кольца Q [х] разлагается на линейные множители. В каж-
дом таком поле любой неразложимый многочлен линеен. Итак,
Все алгебраически замкнутые поля совершенны.
Из определения совершенного поля сразу получаются следую-
щие две теоремы:
Каждое алгебраическое расширение совершенного поля сепара-
бельно над этим полем.
Для любого несовершенного поля существуют несепарабельные
расширения.
Действительно, эти несепарабельные расширения получаются
присоединением корня какого-нибудь неприводимого несепарабель-
ного многочлена.
Сделанное при доказательстве теоремы II замечание о том, что
в совершенном поле характеристики р каждый многочлен / (х),
зависящий лишь от хр, является р-й степенью, сохраняет силу
и для случая многочлена от нескольких переменных f (х, у, г,...),
являющегося в действительности многочленом от хр, ур, гр, ...
Это —часто используемое свойство полей характеристики р.
Задача. Каждое алгебраическое расширение совершенного поля совер-
шенно.
§ 46. Простота алгебраических расширений.
Теорема о примитивном элементе
Выясним теперь, в каких случаях конечное расширение V]
поля Д является простым, т. е. получается присоединением од-
ного-единственного порождающего или примитивного элемента.
Ответом на этот вопрос является следующая теорема о при-
митивном элементе, справедливая для довольно широкого
класса случаев. Ее формулировка такова;
166
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
Пусть А (аь ..., aft) — конечное алгебраическое расширение поля
& и а2, ah — сепарабельные элементы1'). Тогда А (ах, .. , ал)
является простым расширением:
А (аь .... ал) = А (6).
Доказательство. Докажем теорему сначала для двух эле-
ментов а, р, из которых по крайней мере р сепарабелен. Пусть
f (х) = 0 — неразложимое уравнение для элемента а и g (х) = 0 —
неразложимое уравнение для элемента р. Перейдем к полю, в
котором f (х) и g{x) полностью разлагаются. Пусть аь .... аг —
различные корни многочлена f (х), а р1; ..., р^ —корни много-
члена g(x). Пусть = Pi = P-
Мы можем предположить, что поле А бесконечно; в противном
случае поле А (а, Р) также было бы конечным, а для конечных
полей существование примитивного элемента (даже примитивного
корня из единицы, степенями которого являются все ненулевые
элементы поля) уже было доказано в § 43.
Для k=£\ имеет место неравенство Рйт^Ръ поэтому уравне-
ние
ОС/ ф- ХР, == 0&1 ”1“ ^Р1
при каждом i и каждом k =#= 1 имеет самое большее один корень
х в А. Выберем элемент с отличным от всех корней этих линей-
ных уравнений; тогда для всех i и k 1
ср, 5^ + ^Pi-
Положим
6 = aj + cPj = аДср.
Тогда 6 является элементом поля А (а, Р). Докажем, что 6 обла-
дает свойством искомого примитивного элемента: А (а, Р) = А (0).
Элемент р удовлетворяет уравнениям
g(₽) = 0,
f(0-cp)=f(a) = O,
коэффициенты которых лежат в А (6). Многочлены g{x), f (6 — ex)
имеют общим лишь корень р, потому что для остальных корней
р, (k=j^l) первого уравнения имеем
0-сР*¥=«; (i = l, .... г)
и, следовательно,
f (0 - ср,) Ф 0.
Элемент Р является простым корнем многочлена g(х); следова-
тельно, g (х) и f (9 — сх) имеют общим лишь один линейный
множитель х —р. Коэффициенты этого наибольшего общего де-
лителя должны лежать в А (6); следовательно, Р лежит в А (0).
Является ли и гем самым все поле сепарабельным, несущественно»
§ 471
НОРМЫ И СЛЕДЫ
167
Из равенства а = 0 — ср то же самое следует для а, так что,
действительно, А (а, Р) = А(6).
Тем самым наша теорема доказана для h = 2. Если считать
ее доказанной для h — 1, то
А(а1, .... ал_1)=А(т])
и, следовательно,
A(ab ..., аЛ) = Д(т], ал) = А(0)
в соответствии с уже доказанной частью теоремы; тем самым
теорема получается и для h.
Следствие. Каждое конечное сепарабельное расширение
является простым.
Эта теорема существенно упрощает изучение конечных сепа-
рабельных расширений, потому что строение и изоморфизмы этих
расширений очень легко описываются через представление базисов
/1—1
S akGk.
о
Например, мы имеем теперь новое доказательство утверждения
из § 44 (петит), доказанного там посредством последовательного
продолжения изоморфизмов: конечное сепарабельное расширение
S поля А имеет столько же изоморфизмов над А, какова степень
(S : А). Действительно, для простых сепарабельных расширений
это утверждение уже было доказано в § 44, а, как мы теперь
знаем, всякое конечное сепарабельное расширение является про-
стым.
§ 47. Нормы и следы
Пусть S — конечное расширение поля А или, более общо,
некоторое кольцо, являющееся одновременно конечномерным век-
торным пространством над А. Тогда элементы кольца S могут
быть выражены через п базисных элементов с коэф-
фициентами из А:
и = и^с^ ипсп.
Для произвольных t, и, v из S имеют место соотношения:
t (и -ф v) = tu -ф tv,
t(uc) = (tu)c (се A).
Таким образом, умножение слева на t является линейным преоб-
разованием пространства S в себя. Матрица Т этого линейного
преобразования в базисе ult и„ определяется условиями
= (1)
168
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
(ГЛ. VI
Определитель D (Т) этой матрицы, который согласно § 25 не зави-
сит от выбора базиса, называется регулярной нормой или просто
нормой элемента t в расширении 2 поля А:
y(0 = D(T) = Det||Q (2)
В силу (1) норму можно определить как определитель век-
торов tuk относительно базиса ult ..., ип:
..., tu„). (3)
След S (Т) матрицы Т согласно § 26 тоже не зависит от
выбора базиса; этот элемент основного поля называется регуляр-
ным следом или просто следом элемента t расширения S над
полем А:
S(0 = S(T) = 5^. (4)
Если элементу t соответствует матрица Т, а элементу t' —
матрица Т", то произведению tt' соответствует матрица ТТ',
а сумме — сумма Т-\-Т'. Следовательно,
N («') = W (/) N (I'), (5)
S(i+0 = 5 (0+«(/'). (6)
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что S явля-
ется некоторым телом, в центре которого содержится поле А,
т. е. всегда
си = ис для сеА, и е= S.
Каждый элемент 1 из 2 содержится в некотором коммутатив-
ном теле A (t) и существует минимальный многочлен
<p(z) = zm + a1zm-1+... + am
со свойством ср (0=0. Строение простого расширения А (0 пол-
ностью определяется минимальным многочленом и, следователь-
но, норму и след элемента t в расширении А (0 можно вычислить
через коэффициенты минимального многочлена.
В качестве базиса ult и„ расширения А (0 выберем набор
1, t, /2............................(7)
Если базисные векторы умножить на t, то получится набор:
/, t2, t3, ..., tm. (8)
Теперь, в соответствии с (1), выразим векторы (8) через ба-
зисные векторы (7), тогда:
t= t,
i2 = t2,
tm-l —
tm= — aml — -am nj.2 — ...~axtm-\
§ 47]
НОРМЫ И СЛЕДЫ
169
Сумма диагональных элементов матрицы преобразования равна
— следовательно, след элемента t в расширении А(/) равен
= (9)
Норма элемента t в расширении А (/) является определителем
векторов (8);
п (0 — D(t, fl,
Изменим этот определитель в соответствии с правилами действий
над определителями. Прежде всего переставим векторы:
= t, fl, (10)
После этого выразим tm через 1, t,
= -am^t-am^fl- ... (11)
Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, по-
этому из всех слагаемых в правой части (11) мы должны принять
во внимание лишь первое. Тогда получится равенство:
/г (/) = (— 1 )ml D (— ат, 1, fl, ..., /ml) =
= (— l)mamZ) (1, t, fl, ..., tmV),
или, так как определитель из базисных векторов равен единице,
n(Z) = (-l)mam. (12)
След и норма элемента t в поле А(/) являются, таким обра-
зом, с точностью до знака вторым и последним коэффициентами
в минимальном многочлене <p(z).
В некотором подходящим образом выбранном расширении поля
А (/) минимальный многочлен ср (?) разлагается на линейные мно-
жители:
<р(г) = (г-/1) ... (z-/m) (4 = /). (13)
Тогда
«(/) = (-\)тат = /х/2 ... tm, (14)
s(/) = —а1 = /14-/2+ ... (15)
Следовательно, норма и след элемента t в расширении A (t)
над А оказываются равными произведению и сумме элементов
tx, ..., tm, сопряженных с t в поле разложения многочлена cp(z),
причем каждый сопряженный элемент берется столько раз,
сколько раз соответствующий множитель с t, входит в разложе-
ние (13). Если элемент t сепарабелен над/ А, то каждый сопря-
женный элемент берется один раз.
Тем же самым методом, но только с несколько большими вы-
числениями, мы можем получить норму N (/) и след S (/) элемента
t в расширении 2. Если вновь т — степень расширения А(/) над
170
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
д и g — степень расширения 2 над Д(/), то п = mg — степень рас-
ширения 2 над Д. Базис расширения Д (t) поля Д составляют сте-
пени (6). Пусть vlt vg — некоторый базис расширения 2 поля
Д (/). Тогда произведения
lun tvlt t^vp, lu2, tmrvs
составляют некоторый базис поля 2 над полем Д. Если умно-
жить базисные элементы слева на t и выразить произведения
вновь через этот базис, то сумма диагональных элементов ока-
жется равной
S(/) = (-a1) + ... + (-«1)=g(-a1),
или
S (0=^(0- (16)
Определитель базисных элементов, умноженных на I, равен
N (f) = D (tv±, 1гс\, .... tmvp, ...; tvg, tmvg) =
= (— l)g(m-DD(Zmn1, tvlt t2vlt tvg, ..., t^Vg).
Вновь выразим tm через 1, t, ..., и воспользуемся теоре-
мами об определителях; тогда получим
или
АЦ0 = п(0г. (17)
Следовательно,
Норма в расширении 2 является g-й степенью нормы, в рас-
ширении &(t), а след является g-кратным следа в Д (I).
В силу (14) и (15) эти выводы можно записать и так:
= Ш ... tm)s, (18)
S(0=g(/1+U-+U (19)
Задача 1. Норма комплексного числа а4-Ы равна
(а + Ы) — а2-)-Ь2,
а след равен
S (а-)-Ы) = 2а.
Задача 2. Вычислить норму элемента a + by'd в квадратичном расши-
рении Д (/d).
Задача 3. Норма матрицы
в кольце всех двухстрочных матриц над основным полем Д является квадра-
том определителя:
N (Л) = (ad — be)2.
Глава седьмая
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
Содержание. В §§ 48, 49 обсуждается некоторое обобщение понятия
группы. §§ 50 — 52 содержат важные общие теоремы о нормальных подгруппах
и «композиционных рядах», а §§ 53, 54 — специальные теоремы о группах под-
становок, которые в дальнейшем потребуются лишь при изложении теории
Галуа.
§ 48. Группы с операторами
В этом параграфе будет расширено понятие группы, благо-
даря чему все рассмотрения получат большую общность, нужную
для дальнейших приложений (главы 17 — 19). Читатель, интере-
сующийся лишь теорией Галуа, может спокойно пропустить бли-
жайшие два параграфа; под группами (например, конечными
группами) он может в дальнейшем подразумевать группы в преж-
нем смысле.
Пусть даны: во-первых, некоторая группа (в обычном
смысле) 63 с элементами а, Ь, во-вторых, некоторое мно-
жество Q новых объектов т], 0, ..., которые мы называем опера-
торами. Пусть каждому 6 и каждому а соответствует некоторое
«произведение» 9а («значение оператора 0, примененного к эле-
менту а»); предполагается, что это произведение вновь принадле-
жит группе @. Далее предполагается, чго каждый оператор 0
«дистрибутивен», т. е.
0 (ай) = 0а-06. (1)
Иначе говоря: «умножение» на оператор 0 должно быть эндомор-
физмом группы 63х). Если выполнены все эти условия, то @
называется группой с операторами, ай- областью операторов.
Допустимая подгруппа группы @ (относительно области опе-
раторов й) —это такая подгруппа <£), которая в свою очередь
допускает й в качестве области операторов, т. е. если а принад-
лежит ф, то каждый элемент 9а также должен лежать в У). Если
допустимая подгруппа является нормальной, то говорят о допу-
стимой нормальной подгруппе.
Примеры. 1. Пусть операторами служат внутренние авто-
морфизмы группы 63:
9а = сасг1.
1) Отсюда следует, что при «умножении» на 6 единичный элемент перехо-
дит в единичный, а обратный —в обратный.
172
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
(ГЛ. VII
Допустимыми являются те подгруппы, которые вместе с каждым
своим элементом а содержат также и все элементы сасг\ т. е.
нормальные подгруппы.
2. Пусть операторами служат всевозможные автоморфизмы
группы @. Допустимыми тогда будут те подгруппы, которые при
каждом автоморфизме переходят в себя; такие подгруппы назы-
ваются характеристическими.
3. Пусть @ — некоторое кольцо, рассматриваемое как группа
относительно сложения. Пусть областью операторов Й служит
само это кольцо: произведение 6а будем понимать просто как
произведение в кольце. Тогда (1) является обычным дистрибутив-
ным законом:
г (a-\-b) = ra + rb.
Допустимыми подгруппами здесь будут левые идеалы, т. е. те
подгруппы, которые вместе с каждым а содержат все элементы га.
4. Из соображений удобства можно операторы 0 записывать
справа от групповых элементов, т. е. вместо 6а писать ад. Тогда
(1) выглядит так:
(ab) 6 = ад • Ьд.
Если, например, элементы некоторого кольца (рассматриваемого
как аддитивная группа) рассматривать как правые операторы,
где ад вновь означает произведение в кольце, то в качестве допу-
стимых подгрупп получатся правые идеалы.
5. Наконец, часть операторов можно записывать слева,
а часть — справа. Например, если в качестве области операторов
брать кольцо, действующее на свою аддитивную группу умноже-
нием, то его элементы можно рассматривать как левые и как
правые мультипликаторы', в этом случае допустимыми подгруп-
пами будут двусторонние идеалы.
6. В соответствии с традицией, модулем называют всякую
аддитивно записанную абелеву группу. Модуль также может
иметь ту или иную область операторов, которая в этом случае
называется областью мультипликаторов', ее элементы подчинены
условиям:
О (a-f-b) = 0а + Ой.
Как правило, оказывае с я так, что областью мультипликаторов
служит некоторое кольцо и
(т] + 0)а = Па + 6а, 1
(г]0) а = ц (0<z) J
(соответственно, если мультипликаторы пишутся справа, то
а (ц0) = (ац) 0). Тогда (г] — 0) а ца — да и 0 • а = 0 (первый нуль —
это нулевой элемент кольца, второй нуль — нулевой элемент
§ 49]
ОПЕРАТОРНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ И ГОМОМОРФИЗМЫ
173
модуля). Если о — кольцо мультипликаторов, то говорят об с-мо-
дулях или о модулях над кольцом о. Если кольцо обладает еди-
ничным элементом 8, то очень часто предполагают, что этот еди-
ничный элемент одновременно является «единичным оператором»,
т. е. е-а = а для всех а из ®.
7. Любое (правое или левое) векторное пространство над
телом К является /(-модулем.
8. Совокупность всех эндоморфизмов абелевой группы (т. е. всех
гомоморфных отображений в себя) является областью операторов,
которая становится кольцом, если сумму и произведение двух
гомоморфизмов определить формулами (2) (где справа знак плюс
означает операцию над групповыми элементами). Это кольцо
называется кольцом эндоморфизмов абелевой группы.
Из этих примеров становится ясным, насколько широки при-
ложения групп с операторами.
Задача 1. Пересечение всех допустимых подгрупп является допустимой
подгруппой. То же верно и для нормальных допустимых подгрупп.
Задача 2. Произведение SISI двух перестановочных допустимых подгрупп
является допустимой подгруппой. В частном случае модулей: сумма (91, 93)
двух допустимых подмодулей является допустимым подмодулем,
§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы
Если ® и ® —группы с одной и той же областью операто-
ров Q и задано отображение из @ в ®, при котором каждому
элементу а соответствует некоторый элемент а, а произведению
ab — произведение ab, причем элементу 9а соответствует элемент 8а,
то отображение называется операторным гомоморфизмом. Если
элементы-образы составляют всю группу О, т. е. каждому эле-
менту из @ соответствует по крайней мере один элемент из @,
то налицо гомоморфное отображение группы @ на группу ®.
Если же каждому а соответствует ровно один а, то имеем опера-
торный изоморфизм и пишем &^®.
Если 91 — допустимая нормальная подгруппа в ®, то эле-
менты ab некоторого смежного класса а = а91 переходят при при-
менении оператора 9 в произведения 9а 96, т. е. в элементы
смежного класса Sa Смежный класс 9а мы называем произве-
дением оператора 9 и смежного класса а. Тем самым фактор-
группа ®ft\ превращается в группу с той же областью операто-
ров Q, а отображение a ।—> а оказывается операторным гомомор-
физмом.
Обратно, если мы будем исходить из операторного гомомор-
физма, то, как в § 10, получим теорему о гомоморфизме:
Если группа ® отображается на группу ® посредством опера-
торного гомоморфизма, то подмножество 9i элементов из ®, которые
174
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
(ГЛ. VII
соответствуют единичному элементу из является в @
допустимой нормальной подгруппой, а смежные классы по 9? вза-
имно однозначно соответствуют элементам из (ф, причем это
последнее соответствие —операторный изоморфизм:
@/9? =
То, что 9? является нормальной подгруппой, мы знаем еще
из § 10. То, что 9? — допустимая подгруппа, очевидно: если а
отображается на единичный элемент ё, то 0а отображается на
0ё = ё, т. е. вместе с а элемент 0а также принадлежит группе 91.
То, что соответствие между смежными классами и элементами
из ® взаимно однозначно, мы уже знаем; то, что это соответ-
ствие — операторный изоморфизм, следует из того, что заданное
отображение ®—>-Qj является операторным гомоморфизмом.
В случае аддитивно записанных групп с областью операторов о
(о-модулей, идеалов в с и т. д.) операторный гомоморфизм назы-
вается гомоморфизмом модулей. Заметим, что и в этом случае 0а
переходит в 0а и 0 остается неизменным. В этом и состоит раз-
ница между гомоморфизмом модулей и гомоморфизмом колец,
при котором ab переходит в ab. Рассмотрим пример: два левых
идеала из кольца о можно рассматривать как о-модули; произ-
вольный операторный гомоморфизм переводит а в а и произведе-
ние га— в произведение га (г из о). Но эти же идеалы можно
рассмотреть и как кольца, а кольцевой гомоморфизм сопоставляет
произведению га (г из идеала) не га, а га.
Там, где в последующем речь зайдет просто о группах, будут
иметься в виду группы с операторами. Под словами «подгруппы»
и «нормальные подгруппы» всегда будут молчаливо подразуме-
ваться допустимые подгруппы и допустимые нормальные под-
группы; слова «изоморфизм» и «гомоморфизм» будут означать
«операторный изоморфизм» и «операторный гомоморфизм».
Задача 1. Идеалы (1) и (2) в кольце целых чисел изоморфны как
модули, но не как кольца.
Задача 2. В кольце пар чисел (аг, а2) (§ 11, задача 1) идеалы, порож-
денные элементами (1, 0) и (0, 1), изоморфны как кольца, но не изоморфны
как модули.
§ 50. Две теоремы об изоморфизме
Естественный гомоморфизм, который отображает группу О
на факторгруппу @ = @/91, отображает каждую подгруппу §
из @ на некоторую подгруппу из @ и тоже гомоморфно. Если
исходить из <£> и найти в ® всю совокупность $ элементов,
образы которых (или смежные классы которых) принадлежат ф>,
то, вообще говоря, в К окажется больше элементов, чем в <§,
§ 50] ДВЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ 175
потому что вместе с каждым а из множество & содержит весь
смежный класс а91. Обозначим через 4591 группу, которая полу-
чается из всевозможных произведений ab, где а —элемент из >6
и b — элемент из 9? (ср. задачу 2 из § 48); тогда & = <591 и <£) =
= <£>91/91. С другой стороны, если <6 гомоморфно отображается
на ф, то <5 изоморфна факторгруппе группы <6 по некоторой
нормальной подгруппе в <£>, которая состоит из элементов группы
соответствующих единичному элементу, т. е. тех элементов из <£>,
которые одновременно принадлежат и 91. Отсюда получается
первая теорема об изоморфизме:
Если 91 — нормальная подгруппа группы ® и ^ — подгруппа
в ®, то пересечение <£> Q 91 является нормальной подгруппой в <£> и1)
Совокупность элементов, отображающихся в <£), тогда и только
тогда совпадает с £>, когда группа <§ вместе с каждым своим
элементом а содержит и весь смежный класс д91, т. е. тогда,
когда
$Э91.
Эти группы <б = 91 взаимно однозначно соответствуют описанным
группам <б = <§/91 в Вместе с тем каждая подгруппа <6 в ®
соответствует подгруппе <£> => 91, состоящей из всех элементов
всех содержащихся в <6 смежных классов по подгруппе 91. Нако-
нец, правым и левым смежным классам по подгруппе ф> в 55
соответствуют правые и левые смежные классы по § в ®. Следо-
вательно, если <6 — нормальная подгруппа в @, то ф — нормаль-
ная подгруппа в ®, и наоборот. Аналогичное рассуждение,
с некоторыми изменениями, используется при доказательстве
второй теоремы об изоморфизме:
Если ® = 65/91 и <6 — нормальная подгруппа в (55, то соответ-
ствующая подгруппа в ® является нормальной и
®/$^®/$. (1)
Доказательство. Если ® гомоморфно отображается на
а @, в свою очередь, на ®/$, то и (55 гомоморфно отображается
на ®/£>. Следовательно, группа С5/§ изоморфна факторгруппе
группы 05 по нормальной подгруппе, состоящей из тех элементов
группы ®, которые при гомоморфизме 05->@/<б переходят в еди-
ничный элемент, т. е. при первом гомоморфизме (55->® эти эле-
менты переходят в группу <£>. Этой нормальной подгруппой и
является >б- Доказательство окончено.
1) В случае модулей нужно, конечно, вместо &Л писать (4?, Э1).
176
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. VII
Изоморфизм (1) можно записать и так:
Задача 1. С помощью первой теоремы об изоморфизме показать, что
факторгруппа симметрической группы по четвертой подгруппе (§ 9,
задача 4) изоморфна симметрической группе £3.
Задача 2. Точно так же в любой группе подстановок, в которой есть
не только четные подстановки, эти последние составляют нормальную подгруппу
индекса 2.
Задача 3 Точно так же факторгруппа группы движений верхней евкли-
довой полуплоскости по нормальной подгруппе параллельных переносов изо-
морфна группе поворотов вокруг некоторой точки
§ 51. Нормальные и композиционные ряды
Группа @ называется простой, если в ней нет нормальных
подгрупп, отличных от нее самой и единичной подгруппы.
Примеры. Группы простого порядка просты, так как поря-
док подгруппы должен быть делителем порядка всей группы;
следовательно, в такой группе, кроме нее самой и единичной
подгруппы, вообще нет подгрупп, а потому нет и нормальных
подгрупп. Позднее будет доказано, что знакопеременная группа
при п>4 проста (§ 53). Любое одномерное векторное про-
странство является простым, потому что каждое собственное под-
пространство имеет размерность нуль и состоит из одного лишь
нулевого вектора.
Нормальным рядом группы @ называется последовательность
подгрупп в S:
{S = So Э Э .. • Э ®i = &’}, (1)
в которой для v = l, ..., I подгруппа @v является нормальной
в Sv-i- Число I называется длиной нормального ряда. Фактор-
группы Sv-i/Sv носят название его факторов. Необходимо заметить
следующее: длина есть не число членов ряда (1), а число факто-
ров Sv-l/Sy
Другой нормальный ряд
= (2)
называется уплотнением первого ряда, если все подгруппы S,-
из (1) встречаются и в (2). Например, для группы @4 (§ 6) ряд
{®4 => ?14 тэ (£}
(см. § 9, задача 4) является уплотнением ряда
{®4 => Э34 => €}.
В нормальном ряде любой член может повторяться сколь
угодно много раз: S; = S;n = ... = Sfe. Если этого не происходит,
говорят о нормальном ряде без повторений. Нормальный ряд
§ 51] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 177
без повторений, который без повторений нельзя уплотнить, назы-
вается композиционным. Например, в симметрической группе ©3
ряд
{®з о З13 (£}
является композиционным, а в группе композиционным будет
ряд
{<S4 =э {1, (12) (34)} гэ £}.
В обоих случаях исключена возможность дальнейших уплотне-
ний, потому что индексы последующих нормальных подгрупп
в предыдущих подгруппах являются простыми числами. Однако
существуют и группы, в которых все нормальные ряды обладают
уплотнениями; такие группы не имеют, следовательно, компози-
ционных рядов. Примером может служить любая бесконечная
циклическая группа: если в ней задан произвольный нормальный
ряд без повторений
{@ ДЭ ZD . . . ZD @Z-1 Z3 ®},
и @z-i, например, имеет индекс т, т. е. 6щ1 = {ат|, то между
@z_j и всегда есть еще одна подгруппа {а2т} индекса 2m.
Нормальный ряд является композиционным тогда и только
тогда, когда между двумя любыми его членами и ®v нельзя
включить какую-либо отличную от @v 1 нормальную подгруппу,
или, что согласно § 50 то же самое, когда группа (i)v-i/®v проста.
Простые факторы композиционного ряда называются ком-
позиционными. В обоих приведенных выше композиционных рядах
все композиционные факторы являются циклическими подгруп-
пами порядков 2, 3, соответственно 2, 3, 2, 2.
Два нормальных ряда называются изоморфными, если все
факторы i/Wv одного из них могут быть отображены изо-
морфно на переставленные в определенном порядке факторы дру-
гого. Например, в циклической группе {а} порядка 6 ряды
{{«}. Ю, £}.
{{а}, {а3}, £}
изоморфны, потому что факторы первого ряда являются цикли-
ческими порядков 2, 3, а факторы второго ряда — циклическими
порядков 3, 2. Для обозначения изоморфизма нормальных рядов
мы будем в дальнейшем использовать знак
Если цепь нормальных подгрупп
{@ Э ..}
заканчивается нормальной подгруппой '’I группы @, отличной
от (f, ю говорят о нормальном ряде группы (Ф над подгруппой '21;
178
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
такому нормальному ряду соответствует нормальный ряд
{@/41 => ©^ э ... 2 41/41 = ©}
факторгруппы @/41, и наоборот. Факторы второго ряда, согласно
второй теореме об изоморфизме, изоморфны факторам первого.
Если нормальные ряды
и
{®Э^2...2^ = ©}
изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти
изоморфное ему уплотнение второго. Действительно, каждые фак-
тор ©v-r/^v изоморфен вполне определенному фактору ^-1/^;
тем самым каждому нормальному ряду дтя ©^/©v соответствует
изоморфный нормальный ряд для а потому и каждому
нормальному ряду группы ©^ над подгруппой ©v соответствует
изоморфный ряд подгруппы над подгруппой
Теперь мы можем доказать основную теорему о нормальных
рядах, принадлежащую О. Шрайеру:
Два произвольных нормальных ряда произвольной группы ©:
{@2®! 2®2 3...2®r = ©},
{® = $1Э$2Э... = & = (£}
обладают изоморфными уплотнениями'.
{© 2 ... Э ©! Э ... Э ©2 2 • • • Э =
= {© => .. . 2 =>.. . 2 £>2 2 . . . 22 ©}.
Доказательство. Для г = 1 или s=l теорема очевидна,
потому что в этом случае один из рядов имеет вид {© 2 ©} и,
следовательно, другой является его уплотнением.
Докажем сначала эту теорему для s = 2 индукцией по г,
а потом для произвольного $ индукцией по s.
Для $ = 2 второй ряд выглядит так:
{© 2^2®;.
Положим ® = и ф = ©!>§; тогда ф и 2) — нормальные под-
группы в ©. Конечно, может оказаться, что ф^ = @ или Т = ©.
По предположению индукции, ряды длины г — 1 и длины 2
{®12@г2 ... 2@г = ©} и {®12Т2(/!
обладают изоморфными уплотнениями:
... 2®г2... 2®}^{®,2 ... 25)2 ... 2®}. (3)
В силу первой теоремы об изоморфизме
§ 51]
НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ
179
следовательно,
(4)
Правая часть в (3) задает уплотнение левой части из (4), для
которого можно найти изоморфное уплотнение правой части:
{Ф == ®х э ®2 э ... = D =>... з
^{Фэ...э$эфэ...э?}. (5)
Из (3) и (5) следует изоморфизм
{® Э 1! ... Э®8 Э ... 2^}^
=> ф э ... =з Ф => 2) э ... э®},
чем и доказывается теорема для случая s = 2.
В случае произвольного s согласно доказанному мы можем
так уплотнить ряд {0Э@]2...}, чтобы он стал изоморфным
некоторому уплотнению ряда {05 э Т), э ®[:
{05 Э ... =СУХ 2 ... 2®г2 ... 2 6}^
£±{05=2...Э&Э. ..=€}. (6)
Входящий в правую часть отрезок ряда {Т>х Э ••• =£( и ряд
{ф>1 2 5)2 э ... э = ®} согласно предположению индукции
обладают изоморфными уплотнениями:
{ф\ =? ... =2 ®} 2S {& => ... э £2 => ... => ®}. (7)
Левая часть в (7) дает некоторое уплотнение правой части в (6),
для которого можно найти изоморфное уплотнение левой части
в (6). Следовательно,
{(У =>... =2 @х => ... => @2 Э ... Э ®}
= {® Э ... 2? Э ... Э ®}
[ввиду (7)] ^{Й2 ... 2§i2 ... 2§22 ... 2(f).
Тем самым теорема полностью доказана1).
Если в двух изоморфных рядах вычеркнуть все повторения,
то останутся изоморфные ряды. Следовательно, в основной тео-
реме уплотнения, о которых идет речь, можно считать уплотне-
ниями без повторений.
Из основной теоремы о нормальных рядах немедленно полу-
чаются две следующие теоремы о группах, обладающих компози-
ционными рядами.
1. Теорема Жордана — Гёльдер а. Любые два компози-
ционных ряда одной и той же группы (У изоморфны.
i) Другое доказательство предложено в работе Цассенхауз (Zas-
senhaus Н). —Abh. math. Sem Hamburg, 1934, 10, S. 106.
180
продолжение теории групп
[ГЛ VII
Действительно, эти ряды совпадают со своими уплотнениями
без повторений.
2. Если Е5 обладает композиционным рядом, то каждый ее
нормальный ряд можно уплотнить до композиционного. В част-
ности, через каждую нормальную подгруппу проходит некоторый
композиционный ряд.
Группа называется разрешимой, если у нее есть нормальный
ряд, в котором все факторы абелевы. (Примеры: группы <S3 и
—см. выше.)
Из основной теоремы следует, что у разрешимой группы лю-
бой нормальный ряд уплотняется до нормального ряда с абеле-
выми факторами. В частности, если такая группа обладает ком-
позиционным рядом, то все факторы последнего — абелевы группы.
Задача 1. Всякая конечная группа обладает композиционным рядом
Задача 2. Построить все композиционные ряды циклической группы
порядка 20.
Задача 3. Абелева группа (без операторов) является простой лишь
тогда, когда сна циклична и имеет простой порядок.
Задача 4. В любом композиционном ряде конечной разрешимой группы
композиционные факторы цикличны и имеют простой порядок.
8 52. Группы порядка рп
Под центром группы ® или кольца 31 подразумевается мно-
жество таких элементов z этой группы или этого кольца, кото-
рые перестановочны со всеми элементами:
zg = gz для всех g из @ или ЭГ
Центр группы © является группой и даже нормальной под-
группой в ©. Центром кольца является подкольцо.
Пусть р — простое число, п — натуральное число и © — неко-
торая группа порядка рп. Покажем, что центр группы © не
может состоять только из единичного элемента.
Рассмотрим разбиение группы © на классы сопряженных эле-
ментов (§ 9, задача 7). Чему равно число элементов в одном
таком классе?
Пусть а — произвольный групповой элемент. Два элемента
bab 1 и сас *, сопряженные с а, равны тогда и только тогда,
когда произведение b перестановочно с а:
из bab 1 = сас 1 следует а = (/№с) а.
Групповые элементы, перестановочные с а, составляют некоторую
подгруппу .£), называемую нормализатором элемента а. Если
Ь~Е принадлежит группе то с лежит в смежном классе Ь$.
Обратно: если с лежит в Ы%, то можно положить с — bh и тогда
сас~г — bha (bh)-1 = bahh Ч> 1 = bab
§ 53]
ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
181
Таким образом, каждому смежному классу соответствует
некоторый сопряженный элемент bab \ и наоборот. Число раз-
личных элементов, сопряженных с элементом а, равно числу
смежных классов, т. е. равно индексу группы § в группе ®.
Индекс всегда является делителем порядка группы. В частности,
если а — элемент центра, то = (У и класс состоит из одного
лишь элемента а. Во всех остальных случаях число элементов
класса больше единицы.
Пусть теперь © — некоторая р-группа, т. е. группа порядка рп.
Тогда число элементов в любом классе равно делителю числа
рп, т. е. является степенью числа р. Порядок группы @ равен
сумме мощностей отдельных классов, т. е. сумме некоторых сте-
пеней числа р:
pft==l+^+p/ + ... + z?m. (1)
Если бы единица была единственным элементом центра, то
в сумме справа участвовало бы лишь одно слагаемое 1, а все
остальные делились бы на р. Тогда левая часть в (1) делилась
бы на р, а правая — нет, что невозможно. Следовательно, центр
любой р-группы не может состоять из одного единичного эле-
мента.
Может оказаться так, что центр 31 является всей группой,
тогда группа © абелева. В противном же случае можно построить
факторгруппу ® = ®/31- Она вновь является р-группой и, сле-
довательно, обладает неединичным центром 3 — Зг/31- Продолжая
таким образом, мы получим возрастающую последовательность
центров
€ с 3j 32 с ...
Так как каждый ее член имеет больший порядок, чем пре-
дыдущий, последовательность должна закончиться через некото-
рое конечное число членов равенством Зл = С5. Факторгруппы
3*/3л 1 все абелевы; поэтому:
Каждая группа порядка рп разрешима.
§ 53. Прямые произведения
Группа ® называется прямым произведением подгрупп ?! и 53,
если выполнены следующие условия:
А1. 51 и 53 — нормальные подгруппы в @;
А2. © = 5(53;
АЗ. 5(H53 = S.
Эквивалентными этому являются требования:
Б1. Каждый элемент группы ® является произведением
g = ab, а е 51, b s 53.
(1)
182
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
Б2. Множители а и b однозначно определяются элементом g.
БЗ. Каждый элемент подгруппы 8( перестановочен с каждым
элементом подгруппы 23.
Из условий А следуют условия Б. Действительно, Б1 следует
из А2. Условие Б2 получается так: если
g = = аД,
то
= АД-1;
элемент а~'а должен принадлежать как 81, так и 23, а потому
. в силу АЗ он оказывается равным единице; следовательно,
= а2, Ьг = Ь2
и установлена единственность представления (1). Условие БЗ
следует из того, что аЬаИ)1 в силу А1 принадлежит как 8(, так
и 23, а потому в силу АЗ этот элемент равен единичному.
Из условий Б следуют условия А. То, что подгруппа 81 является
нормальной, получается так:
gUg1 =аЬЧ\Ь^аг1 =а81а-1 = 81 [в силу БЗ].
Условие А2 следует из Б1. Условие АЗ получается так: если
с —элемент пересечения 8lf)23, то с представляется двумя спо-
собами как произведение некоторого элемента из 81 и некоторого
элемента из 23:
с = 1 -с = с-1.
В силу единственности [Б2] должно выполняться равенство с=1.
Условие АЗ получено.
Произведение 8(23, когда оно является прямым, будет обозна-
чаться через 81x23. В случае аддитивных групп (модулей) пишут
(81, 23) для обозначения суммы и 21 +(В —для обозначения пря-
мой суммы.
Если известно строение групп 81 и 23, то известно строение
и группы ®, потому что любые два элемента gi=alb1 и g2 = a2b2
перемножаются путем умножения сомножителей:
gig2 = aia2-M2-
Группа ® называется прямым произведением нескольких своих
подгрупп СЗ) = 8lx X8(2 х... X 8(„, если выполнены следующие условия:
А'1. Все 8lv являются нормальными подгруппами в @.
А'2. 21?Л2 ... 81„ = ®.
А'З. (81х8(2 ... 8lv.1)n>8lv = € (v = 2, 3, ..., п).
Если эти условия выполнены, то группы 8(п ..., являются
нормальными подгруппами и в их произведении 8(Г8(2 ...
так что это произведение согласно тому же определению является
прямым. Далее, 8(1812 ... 81п 1( как произведение нормальных под-
§ 53]
ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
183
групп, вновь является нормальной подгруппой в @ и
(ял... я^ря^е.
Следовательно,
@ = (ЯЛ ... Я^) X Ял = ®л х Я„, (2)
где
®л = ЯЛ • • Ял^ = X Я2 х ... X Я„_!.
С помощью (2) прямые произведения можно определять рекур-
рентно. Если к произведению @ = ®ЛХЯ„ применить определе-
ние Б, то индукцией по п получится:
Б'. Каждый элемент g группы ® однозначно представим как
произведение
g = a1a2 ... ап (av е ?lv),
и каждый элемент из Я|Л перестановочен с каждым элементом
из ?IV (p=7^v).
Из Б' в свою очередь, следуют условия А'. Действительно,
положим
ЯЛ ... Я^Ял+1 ... ял = ^;
тогда из Б' для произвольного v получается
®=ЛхЗ%; (3)
следовательно, каждая подгруппа Яу является нормальной в ® и
S(vD53v = €.
Последнее утверждение содержит нечто большее, чем усло-
вие А'З.
Из (3) согласно первой теореме об изоморфизме следует, что
Группы
®Ж^Я¥.
® = Я1ХЯ2Х ... ХЯЛ,
®i = Яг х Я2 х ... х Ял_ь
@«-1 = 21,,
®л = ®
(4)
составляют нормальный ряд группы ® с факторами ®v-t/®v^
^ЯЛ_У11. Если группы Яу обладают композиционными рядами,
то и ® обладает композиционным рядом, длина которого является
суммой длин отдельных факторов.
Задача 1. Если © = 31 X ©'— подгруппа в 31 и ®' = 31, то ©' = 31Х®'>
где S3' обозначает пересечение &' и
Задача 2. Любая циклическая группа порядка n = rs с (г, s) = l яв-
ляется прямым произведением своих подгрупп порядков s и г.
184
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
Задача 3. Конечная циклическая группа является прямым произведе-
нием своих подгрупп, порядки которых являются наибольшими возможными
степенями простых чисел.
Группа @ называется вполне приводимой, если она является
прямым произведением простых групп. В этом случае соответ-
ствующий нормальный ряд (4) является композиционным рядом.
Согласно теореме Жордана — Гёльдера композиционные факторы
®v-i/®v = 8i„-v+i определены однозначно с точностью до изомор-
физма и порядка следования.
Теорема. В любой вполне приводимой группе @ каждая нор-
мальная подгруппа является прямым сомножителем, т. е. для
каждой нормальной подгруппы & существует разложение ® =
= $х«.
Доказательство. Из ® = Л1ХЛ2х...хЛ„ следует, что
@ = ^.@ = §-Л1-Л2....-Л„. (5)
С каждым из сомножителей Л3, .... Л„ можно проделать сле-
дующую операцию: множитель либо зачеркивается, либо пред-
шествующий ему знак • заменяется на знак х прямого произ-
ведения. Действительно, пересечение рассматриваемой группы
Л* с произведением П = 4) Лх .. ‘Hk-i является нормальной под-
группой в Л*, поэтому оно равно либо Л*, либо (?. В первом
случае ППЛ* = Л* и Л* П, т. е. множитель Л* в произведении
ПЛ* исчезает. Во втором случае произведение П-Л* является
прямым: П-Л* = ПхЛ*.
Согласно доказанному выше произведение (5) после вычеркива-
ния ненужных групп Л приобретает форму прямого произведения:
® = £ х Л, х Л/ X... X Л*.
Отсюда следует требуемое.
§ 54. Групповые характеры
Пусть ® — некоторая группа и К — некоторое поле. Под ха-
рактером группы Qi в поле К понимается любое гомоморфное
отображение группы ® в мультипликативную группу поля /С
Другими словами: характер ст группы ® в поле К — это некото-
рая функция элементов из ® со значениями в поле К, отличными
от нуля, обладающая следующим свойством:
СТ (XI/) = ст (х) ст (у). (1)
Из (1), как обычно, следует, что
ст(хх ... хп) = а(хх) ... ст(х„),
ст (хл) = ст (х)п,
<т(е) = 1,
СТ (х х) = сг(х) С
§ 54]
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
185
Если а и т — характеры, то с помощью равенства
ат (х) = а (х) т (х)
определяется произведение отображений ат; оно тоже является
характером. Относительно такого умножения характеры группы ®
в поле Л образуют абелеву группу группу характеров
группы @ в поле К.
Теорема о независимости. Различные характеры
аъ ..., а„ группы ® в поле К всегда линейно независимы, т. е.
если в поле К выполняется равенство
С Щ (х) +... + с„а„ (х) = 0 (2)
для всех х из @, то все коэффициенты ct равны нулю.
Доказательство. (По книге: Артин (Artin Е.). Galois-
sche Theorie. — Leipzig, 1959, S. 28.) Для n=l из (x) = О
сразу следует, что Cj = 0. Следовательно, можно начать индук-
цию по п и предположить, что утверждение справедливо для
/г—1 характеров.
Заменим в (2) элемент х на ах, где а — произвольный эле-
мент группы тогда получится равенство
CiOj (a) Oj (х) + ... + с„а„ (а) а„ (х) = 0. (3)
Вычтем отсюда равенство (2), умноженное на о„ (а):
^1 {СГ1 (а) — а„Х«)} СГ1 (х) + ...
... + с„_! {а„_х (а) - а„ (а)} а^^ (х) = 0. (4)
Согласно индуктивному предположению характеры а,, ,.., ап<1
линейно независимы; следовательно, все коэффициенты в (4)
должны быть нулевыми:
с; {а;(а) — а„(а)} =0 для i = l, ..., п — 1. (5)
Так как а; и а„ —различные характеры, для каждого фикси-
рованного i можно так выбрать элемент а, чтобы было
Ъ (а) =Д а„ (а).
Тогда из (5) следует, что
Ci = 0 для i = l, ..., п — 1.
Подставим это в (2); тогда окажется, что с„ = 0, чем и до-
казывается требуемое.
Следствие. Если о,, ..., а„ — различные изоморфные ото-
бражения поля К' в поле К, то все они линейно независимы. Дей-
ствительно, можно рассматривать аь ..., а„ как характеры
мультипликативной группы поля К' в поле К.
Особенно важны характеры абелевых групп.
Пример 1. Пусть & — циклическая группа порядка п. Опи-
шем характеры группы @ в поле К.
186
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. VII
Если а —образующий элемент группы ® и % — произвольный
характер, то положим
X («) = £• (6)
Произвольный элемент из С5 является некоторой степенью
x = az (г = 0, 1, /г —1).
Из (6) следует, что
X W = X (яг) = (7)
Далее, ап = е; следовательно, х (а") = £" = 1, а потому £ —
корень /г-й степени из единицы. Обратно, каждому корню /г-й
степени из единицы £ в поле К соответствует некоторый харак-
тер %, определяемый равенством (7).
Согласно задаче 4 из § 42 корни /г-й степени из единицы
образуют в поле К циклическую группу, порядок /г' которой
является делителем числа п. Следовательно, характеры х обра-
зуют циклическую группу порядка /г', где п'\п.
Предположим, что К содержит все корни /г-й степени из еди-
ницы и /г не делится на характеристику поля К; тогда п' = п
и, следовательно, группа характеров группы ® изоморфна
самой группе Пусть, скажем, т] — примитивный корень /г-й
степени из единицы в поле /С Тогда равенство
о (аг) = т]г
определяет характер о и все характеры х* являются степенями
характера о:
Х* = а* (6 = 0, 1, ..., п — 1).
Следовательно,
Ъ(аг) = х\кг. (8)
При фиксированном k характер Xs можно рассматривать как
функцию от г, а при фиксированном z — как функцию от k. Так
получаются все характеры из ®'. Следовательно, опять группа
характеров ®' изоморфна группе ®.
В конце § 42 было доказано, что
для любого корня /г-й степени из единицы £. Отсюда в силу (8)
следует, что
?Ь<а)={о, г=#0, <9>
И
<10>
§ 54]
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
187
или, записывая иначе,
х^е’ di)
х 1 0, х =# е,
?Х(ХНо,’ xil. <12)
Из (11) следует, если х заменить на ху, что
. ч , , ( п, если и = х \ ExWx(y) = {n (13)
х ( 0 в остальных случаях.
Точно так же из (12) следует:
, , . . . ( п, если 7' = %^,
Ex WxW= „
х ( 0 в остальных случаях.
Введем матрицу А с элементами
агк = Ъ(аг) (г, £ = 0, 1, .... /2-1)
и матрицу В с элементами
bkz = ~7.k (сггу,
(14)
(15)
(16)
тогда равенство (13) можно записать в виде
ЛВ = 1,
а равенство (14) —в виде
ВД = 1.
Оба равенства говорят о том, что В —обратная матрица для
матрицы А.
Функции f (х), которые отображают группу ® в поле К,
определяются п значениями
f(e), f(a), f(a2), .... f (a”’1)
и, следовательно, образуют п-мерное векторное пространство над К.
Согласно теореме о независимости п характеров %*(х) линейно
независимы. Следовательно, каждую функцию /(х) можно выра-
зить через %* (х):
Z(x) = 2jQ%ft(x). (17)
k
Положим f (х) = f (az) =g (z); тогда вместо (17) можно записать
g (?) = У, Ckazk = У ckrfz. (18)
k k
Решение этой системы уравнений с учетом того, что матрица В —
188
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
обратная для А, выглядит так:
Ck = ^lbkig(z) = ^^x]-kig(z). (19)
2 Z
В частности, возьмем в качестве К поле комплексных чисел и
положим
2т
г] = е п ;
тогда (18) превратится в конечный ряд Фурье
g (г) = У, Cke п (20)
k = 0 ’
где
п— 1 k
<21>
г = 0
Пример 2. Пусть © — прямое произведение циклических
групп 31, • , 3>г порядков «!, ..., пг. Будет предполагаться, что
наименьшее общее кратное v порядков nlt ..пг не делится
на характеристику поля /С, а само поле К содержит корни v-й
степени из единицы. Определим все характеры группы © в поле К.
Пусть а1г ..., аг — порождающие элементы групп 31, • • , Зг
и (7 = 1, ..., г) — примитивный корень пгй степени из единицы.
Если % — произвольный характер группы ©, то х (а,) для каждого
i является корнем п;-й степени из единицы и
Каждый элемент х из © однозначно представляется в виде
х = of1 а22... а/
и
X W = X («1)4 • • • X («л)2' = тф21^ • • •
В качестве k, можно взять любое из чисел 0, 1, ..., п{— 1;
следовательно, имеется п = п1...пг характеров. Выберем одно
из k[ равным 1, а все остальные равными 0; в результате полу-
чится характер Произвольный характер представляется в виде
Группа характеров ©' является, следовательно, прямым произ-
ведением циклических групп порядков п,, .... п„ т. е. изоморфна
группе ©. Вновь оказалось так, что ©'и © изоморфны.
§ 551
ПРОСТОТА ЗНАКОПЕРЕМЕННОЙ ГРУППЫ
189
Точно так же, как раньше, доказываются равенства (И) и
(12) и из них выводятся (13)—(19). В равенстве (15) нужно,
конечно, вместо аг писать
а в (18) вместо —
„ft, г, k.гг
Г]]1 1 . . . Г],/ г'
Позднее мы докажем основную теорему об абеле-
вых группах, которая утверждает, что любая абелева группа
с конечным множеством порождающих элементов, в частности,
любая конечная абелева группа, является прямым произведе-
нием циклических групп. Следовательно, доказанные выше фор-
мулы выполняются в любой конечной абелевой группе.
Теория характеров может быть перенесена и на бесконечные
абелевы группы. Двойственность между @ и СУ является важ-
ным вспомогательным средством в изучении бесконечных абелевых
групп. См. Понтрягин Л. С.—Ann. of Math. 1934, 35, р. 361,
и ванКам пен (van Kampen Е. R.). — Ann. of Math., 1935,
36, p. 448.
§ 55. Простота знакопеременной группы
В § 51 мы видели, что симметрические группы <2>3 и раз-
решимы. В противоположность этому, все последующие симме-
трические группы ©„ разрешимыми не являются. Правда, в них
всегда есть нормальная подгруппа индекса 2— знакопеременная
группа однако композиционный ряд каждой из них перехо-
дит от сразу к (£, в соответствии со следующей теоремой:
Теорема. Знакопеременная группа iln (п > 4) проста.
Нам понадобится
Лемм а. Если нормальная подгруппа 91 группы (п > 2)
содержит цикл из трех элементов, то 91 = 91„.
Доказательство леммы. Пусть 9? содержит цикл (1 2 3).
Тогда в 91 должен содержаться и квадрат этого цикла (2 1 3) и
все трансформированные из этого цикла элементы:
ст-(2 1 Зуст1 (ст<=91„).
Возьмем ст = (1 2) (3 k), где k>3\ тогда
ст-(2 1 3) -ст-1 = (1 2 k).
Таким образом, подгруппа 91 содержит все циклы вида (1 2 k).
Но такие циклы порождают всю группу 91,г (§ 10, задача 4).
Следовательно, 91 = 91л.
Доказательство теоремы. Пусть 91— произвольная
отличная от (f нормальная подгруппа в 91ч. Мы должны дока-
зать, что 91 = 91л.
190
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. VII
Выберем в sJl подстановку т, которая, будучи отличной от 1,
оставляет неподвижными наибольшее возможное количество чисел
из тех, на которые действуют подстановки из данной симметри-
ческой группы. Покажем, что т переставляет в точности три
числа, а остальные не сдвигает с места.
Сначала предположим, что т переставляет в точности 4 эле-
мента. Тогда т является произведением двух транспозиций,
потому что просто нет другого способа построить четную подста-
новку, которая переставляет в точности 4 элемента. Следова-
тельно, пусть
т = (1 2) (3 4).
По условию п>4, поэтому подстановку т можно трансфор-
мировать с помощью подстановки о = (3 4 5) и получить
= ото-1 = (1 2) (4 5).
Произведение ttj является тройным циклом (3 4 5) и, следо-
вательно, переставляет меньше чисел, чем т, что противоречит
выбору т.
Предположим далее, что т переставляет более 4 чисел. Вновь
запишем т в виде произведения циклов, причем начнем с наи-
более длинного; например,
т = (1 2 3 4
или, если самый длинный цикл состоит из трех чисел,
т = (1 2 3) (4 5
или, если в подстановку входят лишь двойные циклы,
т = (1 2)(3 4) (5 6)...
Трансформируем т с помощью подстановки
о = (2 3 4);
получим подстановку
тх = ото1,
которая в каждом из трех названных случаев имеет такой вид:
Т1 = (1 3 4 2
т1 = (1 3 4) (2 5
т1 = (1 3) (4 2) (5 6)...
Во всех этих случаях так что Подстановка
Т'1!! в первом и третьем случаях оставляет неподвижными все
числа k >4, потому что для них x1k = rk. Во втором же случае
т = (1 2 3)(4 5 ...)
и оставляет неподвижным все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 5;
§ 56]
ТРАНЗИТИВНОСТЬ И ПРИМИТИВНОСТЬ
191
таким образом, эта подстановка переставляет лишь пять чисел,
в то время как т переставляет более пяти чисел.
Таким образом, во всех случаях подстановка т hj перестав-
ляет меньше чисел, чем т, что противоречит выбору т. Следова-
тельно, подстановка т может переставлять лишь три числа. Но
тогда т является тройным циклом и, согласно лемме, Л = 91„.
Теорема полностью доказана.
Задача. Доказать, что для п =/= 4 знакопеременная группа является
единственной нормальной подгруппой группы ®я, отличной от самой этой
группы и от @.
§ 56. Транзитивность и примитивность
Группа подстановок некоторого множества ЭЛ называется
транзитивной над ЭЛ, если некоторый элемент а из ЭЛ с по-
мощью подстановок из этой группы может быть переведен во все
элементы х из ЭЛ.
Если выполнено это условие, то для любых двух элементов
х, у существует подстановка из группы, которая переводит х
в у, потому ЧТО из
ра = х, оа — у
следует, что
(стр-1) х = у.
Следовательно, в вопросе о транзитивности безразлично, какой
исходный элемент выбирается в качестве а.
Если группа @ не является транзитивной над ЭЛ (интранзи-
тивная группа), то множество ЭЛ распадается на области тран-
зитивности, т. е. на такие подмножества, которые группа пере-
водит в себя и на которых она является транзитивной. В основе
разбиения на такие подмножества лежит следующее отношение:
два элемента а, b из ЭЛ тогда и только тогда включаются в одно
подмножество, когда в ® существует элемент ст, переводящий а в Ь.
Это отношение, во-первых, рефлексивно, во-вторых, симме-
трично, в-третьих, транзитивно, потому что:
1) оа = а для ст — 1;
2) из <ха = Ь следует <х~1Ь = а;
3) из аа — b, xb = с следует, что (тст) а = с.
Следовательно, этим условием определяется разбиение множества
ЭЛ на классы.
Если группа @ транзитивна над ЭЛ и ®а — подгруппа, со-
стоящая из элементов группы @, оставляющих неподвижным эле-
мент а из ЭЛ, то каждый левый смежный класс т(Уа по подгруп-
пе ®а переводит элемент а в однозначно определенный элемент ха.
Таким образом, левым смежным классам взаимно однозначно соот-
ветствуют элементы множества ЭЛ. Следовательно, число смежных
классов (индекс группы ®а) равно числу элементов множества ЭЛ.
192 продолжение теории групп [гл vil
Группа тех элементов из ®, которые оставляют инвариантными
элемент ха, задается равенством
Транзитивная группа подстановок некоторого множества 2)1
называется импримитивной, если Э)1 разбивается по меньшей мере
на два непересекающихся подмножества ЭД2, ..., из которых
хотя бы в одном содержится более одного элемента, причем эле-
менты группы переводят каждое 2)1И в некоторое 2)lv. Множества
й)11( ЭЭ12, ... называются областями импримитивности. Если же
разбиение
= 301^^2U
только что указанного вида невозможно, то группа называется
примитивной.
Примеры. Четверная группа Клейна импримитивна с облас-
тями импримитивности
{1, 2}, {3, 4}.
(Впрочем, возможны еще два разбиения на области импримитив-
ности.) Наоборот, полная группа подстановок (и, равным обра-
зом, знакопеременная группа) на п символах обязательно является
примитивной, потому что для каждого разложения множества 2)1
на подмножества, например,
да = {1, 2, ..., k}и{...}и ••• (1 <k<n),
существует подстановка, которая переводит {1, 2, .... k} в
{1, 2, .... k— 1, fc-j-l}, т. е. в множество, имеющее с {1, 2, ...,k}
общие элементы и не совпадающее с ним.
При любом разбиении 2>1 = {^11T .... 2)1Г} с описанным выше
свойством, в котором, следовательно, группа ® переставляет мно-
жества 2)lv между собой, для каждого v существует подстановка,
принадлежащая группе, которая переводит 2)lj в 2>lv. Действи-
тельно, нужно лишь на основе транзитивности найти такую под-
становку, которая произвольно взятый элемент из 2)lj переводит
в какой-нибудь элемент из 2)lv; тогда эта подстановка будет пе-
реводить 2)lj в 2>lv. Отсюда, в частности, следует, что множества
даг, 2)12, ... состоят из одного и того же числа элементов.
Для произвольной транзитивной группы подстановок 0) неко-
торого множества 2)1 выполняется следующая теорема:
Пусть д — подгруппа, состоящая из тех элементов группы ®,
которые оставляют неподвижным некоторый элемент а множе-
ства 2)1. Если группа @ импримитивна, то существует, подгруппа I;,
отличная от & и от д, для которой
§561 ТРАНЗИТИВНОСТЬ И ПРИМИТИВНОСТЬ 193
и обратно, если существует подгруппа h, удовлетворяющая этим
включениям, то От импримитивна. Группа b оставляет неподвиж-
ной одну из областей импримитивности а левые смежные
классы по I) переводят в те или иные области
Доказательство. Пусть сначала группа Qi импримитивна
и ЭД = {ЭД1, Э)?2, —ее разложение на области импримитив-
ности. Пусть а — некоторый элемент области Пусть Ь —под-
группа элементов группы 03, оставляющих инвариантным множе-
ство Согласно сделанному выше замечанию группа I) содер-
жит все подстановки из Ср, переводящие а в себя или в какой-
нибудь другой элемент подмножества отсюда следует, что
gd) и Но в группе ф существует подстановка, которая
переводит Э)1Х, скажем, в Э?12; поэтому I Если т переводит
систему Э?1Х в 9Jiv, то и весь смежный класс тЬ переводит Э?1Х в
Обратно, пусть g—группа, отличная от ® и от Ь, и пусть
gcrfyc®.
Группа @ распадается на смежные классы т1; и каждый из
этих смежных классов распадается на смежные классы од. По-
следние смежные классы переводят элемент а в некоторые эле-
менты оа; следовательно, если их собрать в смежные классы
то элементы оа составят по меньшей мере два непересекающихся
множества Э?1Х, ЭД2, .. , каждое из которых состоит по меньшей
мере из двух элементов. Множества D?iv определяются, таким
образом, условием
9Jiv = Tl'a. (1)
Каждая новая подстановка о переводит Э??г, = в cttI'o, т. е.
опять-таки в некоторое множество того же вида, чем и доказы-
вается импримитивность группы Ь). Обозначим через ЭЭЕХ мно-
жество, получающееся в соответствии с (1) при т=1; тогда I)
(в силу b?Jix = l)l;a = 1;а = Э)\) оставляет область импримитивности
ЭЯХ неподвижной, а смежные классы тЬ переводят в осталь-
ные области импримитивности 9Jlv (в силу т.'ЭЛх = тЭДа = т1;а).
Задача 1. Если число элементов множества простое, то каждая тран-
зитивная группа на SW примитивна.
Задача 2. Определенная выше группа 6 транзитивна на Ш1г.
Задача 3. Пусть множество разлагается на три области импримитив-
ности, в каждой из которых по два элемента. Пусть порядок группы g равен 12.
Чему равен'
а) индекс группы I; в группе 0);
б) индекс группы q в группе I;;
в) порядок группы д?
Задача 4. Порядок транзитивной группы подстановок конечного мно-
жества объектов делится на число этих объектов.
Замечание. Число переставляемых объектов называется сте-
пенью группы подстановок.
Глава восьмая
ТЕОРИЯ ГАЛУА
Теория Галуа занимается конечными сепарабельными расши-
рениями поля К и, в частности, их изоморфизмами и автомор-
физмами. В ней устанавливается связь между расширениями дан-
ного поля К, содержащимися в фиксированном нормальном рас-
ширении этого поля, и подгруппами некоторой специальной
конечной группы. Благодаря этой теории оказывается возможным
ответить на различные вопросы о разрешимости алгебраических
уравнений.
Другое изложение теории Галуа см. в книге Артин (Artin Е).
Galois theory. —Notre Dame, 1944.
Все тела, рассматриваемые в этой главе, считаются коммута-
тивными. После К будет называться основным.
§ 57. Группа Галуа
Если задано основное поле К, то согласно § 46 каждое ко-
нечное сепарабельное расширение 2 этого поля порождается
некоторым «примитивным элементом» 9: 2 = К(9). Согласно § 44
расширение 2 имеет в некотором подходяще выбранном расшире-
нии й столько же изоморфизмов над К, т. е. изоморфизмов,
оставляющих все элементы из Н на месте, какова степень п рас-
ширения 2 поля К. В качестве такого расширения й мо’жно
взять поле разложения многочлена f (х), корнем которого явля-
ется элемент 0. Такое поле разложения является наименьшим
над К нормальным расширением, содержащим поле 2, или, как
мы еще будем говорить, й является нормальным расширением,
соответствующим полю 2. Изоморфизмы расширения К (0) над Н
могут быть определены благодаря тому обстоятельству, что эле-
мент 9 переводится ими в сопряженные элементы 91( ..., 0„ поля й.
Каждый элемент (р(9) ^ Уа^'-тА. sK) переходит тогда в cp(0v) =
= J1, U}fiv и поэтому вместо того, чтобы говорить об изоморфизме,
можно говорить о подстановке 9 ।—> 9V.
Необходимо, однако, обратить внимание на то, что элементы
9 и 9V являются лишь вспомогательным средством, де-
лающим более удобным представление изоморфизмов, и что п о н я-
« 57]
ГРУППА ГАЛУА
195
т и е изоморфизма совершенно не зависит от того или иного вы-
бора элемента 8.
Если 2 — нормальное расширение, то все сопряженные поля
К (0V) совпадают с 2.
Действительно, прежде всего, в этом случае все 9V содержатся
в К (6). Но К (9V) эквивалентно К (8), а потому является нормаль-
ным. Следовательно, и наоборот, элемент 6 содержится в каждом
поле К (0V).
Обратно: если 2 совпадает со всеми полями 2 (0V), то расши-
рение 2 нормально.
Действительно, в этой ситуации расширение 2 равно полю
разложения К (0Ь .... 0„) многочлена f(x), а потому оно нор-
мально.
Будем впредь считать, что 2 = К (0) — нормальное расширение.
В этом случае изоморфизмы, переводящие 2 в сопряженное с ним
поле К (0V), оказываются автоморфизмами поля 2. Очевидно, что
эти автоморфизмы поля 2 (оставляющие неподвижным каждый
элемент из К) составляют группу из п элементов, которая назы-
вается группой Галуа поля 2 над полем К или относительно К.
В наших последующих рассмотрениях эта группа играет главную
роль. Будем обозначать ее через ®. Подчеркнем еще раз, что
порядок группы Галуа равен степени расширения п = (2 : К).
Когда в некоторых случаях речь заходит о группе Галуа ко-
нечного сепарабельного расширения 2', не являющегося нормаль-
ным, подразумевается группа Галуа соответствующего нормаль-
ного расширения 2э2'.
Для отыскания автоморфизмов совсем нет необходимости
искать примитивный элемент расширения 2. Можно построить 2
путем нескольких последовательных присоединений: 2 = К (а{, ...
..., ат), затем найти изоморфизмы поля К (aj, которые перево-
дят в сопряженные с ним элементы, после этого продолжить
полученные изоморфизмы до изоморфизмов поля К (ощ а2) и т. д.
Важным частным случаем является такой, когда аь ..., ат —
это все корни некоторого уравнения f(x) = Q, не имеющего крат-
ных корней. Под группой уравнения f(x)=O или многочлена f(x)
подразумевается группа Галуа поля разложения К(а1, ...,ат)
этого многочлена. Каждый автоморфизм над полем К переводит
систему корней в себя, т. е. переставляет корни. Если такая пере-
становка известна, то известен и автоморфизм, потому что если,
например, а1( ..., ат переходят в ос[, .... а'т, то каждый элемент
из К (аь ..., ат), как рациональная функция ф(аь ..., ат), пе-
реходит в соответствующую функцию ф (а{, ..., а'т). Следовательно,
группу уравнения можно рассматривать как группу некоторых
подстановок корней. Именно эта группа подстановок будет всегда
подразумеваться, когда речь зайдет о группе какого-либо урав-
нения.
196
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
Пусть А— некоторое «промежуточное» поле: По
одной из теорем § 41 каждый изоморфизм поля А над К, пере-
водящий А в сопряженное с ним поле А' внутри 2, можно про-
должить до некоторого изоморфизма поля 2, т. е. до некоторого
элемента группы Галуа. Отсюда следует утверждение-
Два промежуточных поля А, А' сопряжены над К тогда и
только тогда, когда они переводятся друг в друга некоторой
подстановкой из группы Галуа.
Положим А = К(а); тогда точно так же получается утвержде-
ние:
Два элемента а, а' поля 2 сопряжены друг с другом над К
тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга неко-
торой подстановкой из группы Галуа поля 2.
Если уравнение /(л') = 0 неразложимо, то все его корни со-
пряжены, и наоборот. Следовательно,
Группа уравнения /(х) = 0 транзитивна тогда и только тогда,
когда уравнение неразложимо над основным полем.
Число различных сопряженных с а элементов поля 2 равно
степени неразложимого уравнения, определяющего а. Если это
число равно 1, то о: является корнем линейного уравнения и
поэтому содержится в К. Следовательно,
Если элемент а поля 2 остается неподвижным при всех под-
становках из группы Галуа поля 2, т. е. переводится всеми под-
становками в себя, то основное поле К содержит а.
Из всех этих теорем уже видно то большое значение, которое
имеет группа автоморфизмов при изучении свойств поля Приве-
денные теоремы лишь для удобства формулировались для конеч-
ных расширений; с помощью «трансфинитной индукции» они без
труда переносятся и на бесконечные расширения. Они остаются
верными даже для несепарабельных расширений, если только
заменить степень расширения на редуцированную степень и утвер-
ждение последней теоремы высказать так: «... то основное поле К
содержит а”', где р — характеристика». Напротив, «основная тео-
рема Галуа», которой посвяшеи следующий параграф, выполня-
ется только для конечных сепарабельных расширений.
Расширение 2 поля К называется абелевым, если его группа
Галуа абелева, циклическим, если его группа Галуа циклична, и
т. д. Точно так же уравнение называется абелевым, циклическим,
примитивным, если его группа Галуа абелева, циклическая или
(как группа подстановок корней) примитивная.
Особенно простой пример групп Галуа доставляют поля
Галуа GF (р"‘) (§ 43), если содержащееся в них простое поле П
рассматривать как основное. Рассмотренный в § 43 автоморфизм
s (а ।—> ар) и его степени s2, s3, ..., sm = 1 оставляют неподвижными
все элементы из П и поэтому принадлежат группе Галуа; но так
§ 58]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА
197
как поле имеет степень т, эти автоморфизмы составляют всю
группу. Последняя является, таким образом, циклической по-
рядка т.
Задача 1. Каждая рациональная функция корней некоторого уравнения,
которая под действием подстановок из группы Галуа переводится в себя, при-
надлежит основному полю, и наоборот.
Задача 2. Какие возможности имеются для группы неразложимого
уравнения третьей степени?
Задача 3. Группа уравнения состоит только из четных подстановок
тогда и только тогда, когда квадратный корень из дискриминанта этого урав-
нения содержится в основном поле (предполагается, что характеристика не
равна двум).
Задача 4. С помощью задач 2 и 3 найти группу уравнения
х3 4- 2х 4- 1 = О
над полем рациональных чисел. (Исследовать прежде всего транзитивность!)
3 а д а ч а 5. С помощью квадратных и кубических корней решить урав-
нения
х3 —2 = 0,
х4 — 5х2 4-6 = 0
и построить их группы. Сделать то же самое для «уравнений деления круга»
х4 4- х-2 4- 1 = о,
X4 4- 1 = 0
(все над полем рациональных чисел).
§ 58. Основная теорема теории Галуа
Основная теорема звучит так:
1. Каждому промежуточному полю к, К s Д s S, соответ-
ствует некоторая подгруппа g группы Галуа ®, а именно, сово-
купность тех автоморфизмов из которые оставляют на месте
все элементы из Д. 2. Поле Д определяется подгруппой g одно-
значно-, именно, поле Д является совокупностью тех элементов
из S, которые «.выдерживают-» все подстановки из д, т. е. оста-
ются инвариантными при этих подстановках. 3. Для каждой
подгруппы д группы ® можно найти поле Д, которое находится
с подгруппой д в только что описанной связи. 4. Порядок под-
группы д равен степени поля S над полем Д; индекс подгруппы д
в группе di равен степени поля \ над полем К.
Доказательство. Совокупность автоморфизмов поля S,
оставляющих на месте каждый элемент из Д, является группой
Галуа поля S над Д, т. е. некоторой группой. Тем самым дока-
зано утверждение 1. Утверждение 2 следует из последней тео-
ремы § 57, примененной к S как расширению и Д как основ-
ному полю. Несколько более трудным является утверждение 3,
198
ТЕОРИЯ ГЛЛУА
[ГЛ VIII
Пусть опять 2 = К (9) и пусть g — заданная подгруппа группы ®.
Обозначим через А совокупность элементов из 2, которые при
всевозможных подстановках о из g переходят в себя. Очевидно,
множество А является полем, потому что если аир остаются
неподвижными при подстановке ст, то неподвижными при этой
подстановке будут и а 4-0,
а —0, а 0, и, в случае Р=#0,
Далее, имеет место включение H^A^L Группа Галуа поля 2
над полем А содержит подгруппу 9, так как подстановки из 9
оставляют неподвижными элементы из А. Если бы группа Галуа
поля 2 над А содержала больше элементов, чем входит в 9, то
степень (2 : А) была бы больше, чем порядок подгруппы 9. Эта
степень равна степени элемента 9 над полем А, так как 2=А(9).
Если стп .... стЛ — подстановки из д. то 9 является одним из кор-
ней уравнения й-й степени
(х — оуб) (х — ст26) ... (х — стЛ9) = 0,
(1)
коэффициенты которого остаются инвариантными при действии
группы р, а потому принадлежат полю А. Следовательно, степень
элемента 6 над А не больше, чем порядок подгруппы д. Таким
образом, остается лишь одна возможность: подгруппа 9 является
в точности группой Галуа поля 2 над полем Л. Тем самым
утверждение 3 доказано.
Наконец, если л—порядок группы в, Л —порядок подгруппы g
и / — индекс этой подгруппы, то
н = (2: Н), /г = (2:Д), « = &•/,
(2 : К) = (2 : А) • (А : К),
откуда
(А:Н) = /.
Этим доказывается утверждение 4.
Согласно только что доказанной теореме связь между под-
группами g и промежуточными полями А является взаимно
однозначным соответствием. Возникает следующий вопрос: как
найти подгруппу д, когда известно А, и как найти А, когда
известна подгруппа д?
Первое очень просто. Предположим, что уже найдены сопря-
женные с 9 элементы 9Ь ..., 6„, выраженные через 9: тогда у нас
есть автоморфизмы 9 и—► 9V, которые исчерпывают группу ®.
Если теперь задано подполе А = К (0Ь .... £*), где 0П ..., 0* —
известные выражения, зависящие от 9, то g состоит просто из
тех подстановок группы @, которые оставляют инвариантными
элементы 0П ..., 0*, потому что такие подстановки оставляют
инвариантными все рациональные функции от 01( .... 0А.
§ 5Я] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ТЕОРИИ ГАЛУА 199
Обратно, если задана подгруппа д, то составим соответствую-
щее произведение
(х - OjO) (х2 — о20) ... (х — oh9).
Коэффициенты этого многочлена, согласно основной теореме,
должны принадлежать полю А и даже порождать поле А, потому,
что они порождают поле, относительно которого элемент 9, как
корень уравнения (1), имеет степень /?, а быть собственным
расширением для А это поле не может. Следовательно, образую-
щие поля А являются просто элементарными симметрическими
ФУНКЦИЯМИ ОТ OjS, ..., ол0.
Другой метод состоит в том, чтобы отыскивать элемент х (9).
который при подстановках из g остается неподвижным, но ника-
ких других подстановок из Ст не выдерживает. Тогда элемент
X (9) принадлежит полю А, но не принадлежит никакому собст-
венному подполю поля А; тем самым этот элемент порождает А.
С помощью основной теоремы теории Галуа получается пол-
ное описание промежуточных между К и S полей, когда из-
вестна группа Галуа. Очевидно, число таких полей конечно, по-
тому что конечная группа имеет лишь конечное число подгрупп.
Об отношении включения между различными полями также
можно судить по соответствующим группам; точнее, имеет место
теорема:
Если Aj — подполе поля А2, то группа д1л соответствующая
полю А1л содержит группу д2, соответствующую полю Д2, и наоборот.
Доказательство. Пусть сначала Aj s А2. Тогда каждая
подстановка, оставляющая на месте элементы из Д2, оставляет на
месте и элементы из АР
Пусть, далее, э д2. Тогда каждый элемент поля, который
выдерживает все подстановки из дъ выдерживает и все подста-
новки из д2.
В заключение выясним следующий вопрос: что происходит
с группой Галуа поля К (9) над полем К, когда основное поле
К расширяется до некоторого поля А и соответственно расшире-
ние К (б) —до расширения А (9)? (Конечно, мы предполагаем,
что символ А (0) имеет смысл, т. е. как А, так и 9 содержатся
в некотором общем поле Q )
Подстановки 9>—>9Х, которые после продолжения становятся
автоморфизмами поля А (6), дают также изоморфизмы поля К (0);
но так как К (0) нормально над К, эти изоморфизмы являются
и автоморфизмами расширения К (0). Поэтому группа подстано-
вок, получающаяся после расширения основного поля, является
подгруппой исходной группы подстановок. То, что эта подгруппа
может быть собственной, сразу усматривается в частном случае
выбора А как промежуточного поля между К и К (0). Но опи-
санная подгруппа может и совпадать с первоначальной; тогда
200
ТЕОРИЯ ГАЛУА
(ГЛ VII!
говорят, что расширение основного поля не редуцирует группу
поля К (0).
Задача 1. Пересечение двух подгрупп группы Галуа ©соответствует
объединению полей, соответствующих этим подгруппам, а объединению подгрупп
соответствует пересечение полей х).
Задача 2. Если 2—циклическое расширение поля К степени п, то для
каждого делителя d числа п существует ровно одно промежуточное расшире-
ние А степени d и два таких промежуточных поля содержатся друг в друге
тогда и только тогда, когда степень одного из них делится на степень другого.
Задача 3. С помощью теории Галуа заново определить подполя в GF (рп)
43).
Задача 4. Пусть К = Л и К (6) — нормальное расширение поля К. По-
казать, что группа поля К (fl) над К тогда и только тогда равна группе поля А (6)
над Л, когда K(0)f)A = K.
Задача 5. С помощью теорем § 56 доказать утверждение: поле К (cti),
которое получается приссединением корня некоторого неразложимого алгебраи-
ческого уравнения, тогда и только тогда обладает подполем А, удовлетворяю-
щим условию
К с Д сК (ах),
когда группа Галуа этого уравнения как группа подстановок корней имприми-
тивна. В частности, поле А можно определить так, чтобы степень расширения
(А : К) была равна числу областей импримитивности.
Задача 6. Показать, что основная теорема верна и для несепарабельных
расширений (характеристики р) при следующей модификации. Утверждение 2
принимает вид: совокупность элементов из 2, выдерживающих подстановки из
д, является «полем корней поля А в поле 2», т. е. совокупность тех элементов
поля 2, некоторая pf-я степень которых принадлежит Д. Утверждение 3 при-
нимает такой вид: для каждой подгруппы g можно найти ровно одно поле А,
которое инвариантно относительно операции извлечения корней р-й степени и
выдерживает подстановки из g и только из д. Утверждение 4 формулируется
для редуцированных степеней.
§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля
Пусть опять © — группа Галуа поля S над К и пусть Р—
некоторый элемент из S. Подгруппа д, соответствующая проме-
жуточному полю Н (Р), состоит из подстановок, которые оставл яют
элемент р неподвижным. Остальные подстановки из @ переводят
Р в сопряженные элементы и каждый сопряженный с Р элемент
можно получить таким способом (§ 57). В этой ситуации имеет
место следующее предложение:
Подстановки группы ®, которые переводят элемент Р в неко-
торый сопряженный с ним элемент, составляют смежный класс тд
подгруппы д и каждый смежный класс переводит элемент р в один-
единственный сопряженный с ним элемент.
!) Объединение двух подгрупп некоторой группы —это подгруппа, порож-
денная объединением упомянутых подгрупп как множеств, Аналогично опреде-
ляется объединение нолей,
§ 59] СОПРЯЖЕННЫЕ ГРУППЫ, ПОЛЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ПОЛЯ 201
Доказательство. Если р и т — подстановки, которые
переводят р в один и тот же элемент:
Р(₽)=т(₽),
то
т *р (Р)=т Ч (₽) = ₽;
следовательно, т тр = а — элемент подгруппы g и поэтому р = то;
таким образом, р и т лежат в одном и том же смежном классе тд.
Обратно, если р и т лежат в одном и том же смежном классе —
в классе тд, то р = то, где о —элемент подгруппы д, и
р(Р) = то (р) = т(о(Р)) = т(₽).
Из доказанного факта заново следует, что степень элемента р
(т. е. число сопряженных с ним элементов) равна индексу под-
группы g (т. е. числу смежных классов).
Автоморфизм т, который переводит р в тр, переводит поле
К (Р) в сопряженное поле К (тР). Оказывается верным следую-
щее утверждение: поле Н (тР) соответствует подгруппе тдт Е
Действительно, подгруппа, соответствующая полю Н (тР),
состоит иЗ подстановок а', которые оставляют неподвижным эле-
мент тР; следовательно, для них имеет место равенство
ст'тР = тР,
или
тДо'тР = р,
или
т-1а'т = ст в д,
или
о' = тот \
т. е. это элементы группы тдт1.
Таким образом, сопряженным полям соответствуют сопряжен-
ные группы.
Согласно § 57 поле А нормально над К тогда и только тогда,
когда оно совпадает со всеми сопряженными с ним полями. От-
сюда следует:
Поле А, К Е А Е S, нормально тогда и только тогда, когда
соответствующая группа g совпадает со всеми сопряженными
с ней подгруппами тдт 1 внутри ®, т. е. является в & нормаль-
ной подгруппой.
Если А —нормальное поле, то возникает вопрос: какова группа
поля А над полем К?
Каждый автоморфизм из @ переводит А в себя и, следова-
тельно, задает некоторый автоморфизм искомой группы поля А
над Н. Произведению двух автоморфизмов из @ соответствует
при этом произведение соответствующих автоморфизмов поля А,
Т- е. @ гомоморфно отображается на группу автоморфизмов
202
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
поля Д. Элементы из @, которые переходят в единичную подста-
новку поля Д, — это в точности элементы из подгруппы д; отсюда
следует, по теореме о гомоморфизме (§ 10), что искомая группа
изоморфна факторгруппе ®/д. Следовательно,
Группа Галуа поля Д над Н изоморфна факторгруппе <£/д.
Задача 1. Все подполя абелева поля нормальны и сами являются абе-
левыми. Все подполя циклического поля цикличны.
Задача 2. Если К = A Е I и Л — наименьшее нормальное над К поле,
содержащее А, то группа, соответствующая полю Л, является пересечением
группы, соответствующей полю А, и сопряженных с ней групп.
Задача 3. Каковы подполя поля (Q (р, (2), где (Q — поле рациональ-
—1-/--3
ных чисел рассматриваемое как основное, р = ------примитивным ко-
рень третьей степени из единицы’’1 Каковы степени полей? Какие подполя
являются сопряженными, какие нормальными?
Задача 4. Те же вопросы относительно поля (Q (К2 , 5 )
§ 60. Поля деления круга
Пусть (EJ — поле рациональных чисел, т. е. простое поле харак-
теристики нуль. Уравнение, имеющее своими корнями только
примитивные корни /г-й степени из единицы и притом каждый
из них однократно:
ФЛ(х)=0, (1)
называется (ср, § 42) уравнением деления круга, а поле корней
/г-й степени из единицы называется полем деления круга или кру-
говым полем. В § 42 мы уже видели, чю корни /г-й степени из
единицы в поле комплексных чисел делят единичную окружность
на h равных дуг.
Покажем теперь, что уравнение (1) неразложимо в поле (Q.
Пусть f (х) = 0 — неразложимое уравнение, которому удовле-
творяет произвольно выбранный примитивный корень из еди-
ницы С- При этом f (х) можно рассматривать как целочисленный
многочлен с содержанием 1. Нужно показать, что / (х) = ФЛ(х).
Пусть р — простое число, на которое не делится число h.
Тогда вместе с £ также и t? является примитивным корнем /г-й
степени из единицы, и этот элемент удовлетворяет некоторому
целочисленному неразложимому уравнению g(t,p) = Q, левая часть
которого имеет содержание 1. Прежде всего покажем, что / (х) =
= eg(x), где е = ± 1 — обратимый элемент в кольце целых чисел.
Многочлен хЛ — 1 вместе с f (х) имеет корнем элемент £,
а вместе с g(t) —корень с₽; следовательно, этот многочлен делится
как на f (х), так и на g'(x). Если бы f (х) п g(x) были сущест-
венно различными многочленами (т. е. отличались бы друг от
друга не только обратимым постоянным множителем), ю хЛ —1
§ 60]
ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
203
должен был бы делиться на произведение f(x)g(x):
xh-i = f (x)g(x)h(x), (2)
где согласно § 30 многочлен h (х) тоже должен быть целочислен-
ным. Далее, многочлен g(xp) имеет £ своим корнем, а потому
должен делиться на f(x):
g(xP) = f(x)k(x), (3)
причем опять-таки k (х) — целочисленный многочлен.
Рассмотрим теперь (2) и (3) как сравнения по модулю р.
Тогда по модулю р:
g(xp)^{g(x)}p.
Действительно, если выполнить возведение в степень справа,
записав предварительно g(x) без коэффициентов как сумму сте-
пеней х (например, вместо 2х3 записать х3-|-х3), а затем раскрыть
скобки в соответствии с правилами из § 37, получив {g (х)}р воз-
ведением в р-ю степень каждого слагаемого, то получится как
раз g(xp). Из (3) теперь следует, что
{g(x)}p^f(x)k(x) (mod р). (4)
Разложим обе части равенства (4) на неразложимые множители
по модулю р. В силу теоремы об однозначном разложении на
простые множители многочлена с коэффициентами из поля Z/(p)
(ср. § 18), каждый множитель ср (х) из f (х) должен входить и
в [g(x)|p, а потому и в g(x). Следовательно, правая часть в (2)
по модулю р делится на ср2 (х), а потому по модулю р как левая
часть xh — 1, так и ее производная hxh 1 должны делиться на <р(х).
Однако производная /гхл-1 в силу того, что h.^Q(p), имеет лишь
те простые делители х, которые не делят xh — 1. Тем самым мы
получили противоречие.
Таким образом, f(x)=±g(x) и ^ — корень многочлена /(х).
Покажем теперь следующее: все примитивные корни /i-й сте-
пени из единицы являются корнями многочлена f(x). Пусть gv—
такой корень из единицы и пусть
v = ... рп,
где pi — равные или различные простые множители, взаимно про-
стые с /г.
Так как С удовлетворяет уравнению f(x) = O, таким же дол-
жен быть и элемент Повторение рассуждений для нового
простого числа р2 показывает, что и элемент удовлетворяет
этому уравнению. Продолжая таким образом, мы получим, что
удовлетворяет уравнению /(х)=0.
Следовательно, все корни многочлена Фл (х) удовлетворяют
уравнению /(х) =0; так как /(х) неразложим, а Фл (х) не имеет
204
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
кратных корней, то
Фл
Тем самым доказана неразложимость уравнения деления кругаJ).
На основании этого факта мы можем легко построить группу
Галуа поля деления круга (Е)(£).
Прежде всего, степень поля равна степени многочлена (х)
и, следовательно, равна числу <р (h) (ср. § 42). Любой автомор-
физм поля (Q (£) задается тем корнем многочлена Фд (х), в кото-
рый переходит элемент £. Однако все корни многочлена Фл (х)
являются степенями где А. —число, взаимно простое с h. Пусть
Ох — автоморфизм, переводящий £ в Равенство
Ф.= ф
имеет место тогда и только тогда, когда
=
или
А = ц (/1).
Далее,
ф.ф(С) = =
следовательно,
Ф.Ф = Фд-
Группа автоморфизмов поля (Q (С) изоморфна, следовательно,
группе классов вычетов по модулю h, взаимно простых с h (ср.
§ 18, задача 6).
В частности, эта группа абелева. Поэтому все ее подгруппы
нормальны и все соответствующие им подполя нормальны и абе-
левы.
Пример. Корни 12-й степени из единицы. Классы, взаимно
простые с 12, представляются числами
1, 5, 7, 11.
Поэтому автоморфизмы можно обозначить через о(, ст5, о7, <тп,
и автоморфизм ок будет переводить £ в Таблица умножения
здесь такова:
ф ф ст7 Ф1
ф Ф1 ф
<т7 Ф1 ф ф
Ф1 ф ф ф
Каждый элемент
кроме самой группы
в этой группе имеет порядок 2. Поэтому,
и единичной подгруппы, здесь есть только
*) Другие простые доказательства см., например, в статье Ландау и непо-
средственно за ней следующей статье Шура в Math. Z., 1929, 29, S. 462 — 463.
S 601
ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
205
три подгруппы:
1- {Ol. <М,
2. {dj, о7',
3. joy, (Гц}.
Этим подгруппам соответствуют квадратичные поля, порождаемые
квадратными корнями. Чтобы их найти, установим следующее:
Корни четвертой степени из единицы t, — i являются также
корнями двенадцатой степени из единицы, а потому принадлежат
рассматриваемому полю. Стедоватетьно, (Е) (i) — квадратичное под-
поле.
Точно так же рассматриваемому полю принадлежат корни
третьей степени из единицы. Так как
р = — 4 + у /—3
— корень третьей степени из единицы, расширение (Е) (У— 3) яв-
ляется квадратичным подполем.
Из квадратных корней i и У—3 при умножении получается
корень /3. Следовательно, (Е) (У 3) —третье подполе.
Выясним теперь, какие подгруппы соответствуют этим полям.
Так как <т5£3 = £15 = £3, элемент i = £3 выдерживает автомор-
физм <т5. Следовательно, поле CGj(Z) соответствует группе {oh о5}.
Так как с7Д = = Д, элемент р = £4 выдерживает автомор-
физм о7. Поэтому (Е)(У—3) соответствует группе {ап о7}.
Оставшееся по !е (Е}(Уз) должно соответствовать группе
Любые два из этих трех подполей порождают все поле. Сле-
довательно, корень из единицы £ можно выразить через два
квадратных корня. Действительно,
С = у3?4 = Нр = - i ~1+2^~3 = •
Задача 1. Элемент £ + при Л>2 порождает подполе степени
у г₽ (А
Задача 2. Определить группу и подполя поля корней восьмой степени
из единицы; выразить эти корни через корни квадратные
Задача 3. Определить группу и подполя поля корней седьмой степени
из единицы Каково определяющее уравнение поля
Пусть теперь показатель степени h рассматриваемых корней
из единицы является некоторым простым числом q. В этом слу-
чае уравнение деления круга выглядит так-
V? _ 1
фДЛ=7^г==х'? * + х? 2 + ... + *+ 1 =0.
Оно имеет степень n — q — 1.
206
ТЕОРИЯ ГАЛУА
(ГЛ. VIII
Пусть £ —примитивный корень q-fi степени из единицы.
Группа классов вычетов, взаимно простых с q, циклична (§ 43);
следовательно, в этом случае она состоит из п элементов:
g> gn~\
где g — «примитивное число» по модулю q, т. е. элемент, порож-
дающий группу классов вычетов. Группа Галуа является, следо-
вательно, циклической и порождается тем автоморфизмом о, ко-
торый переводит £ в £g. Примитивные корни из единицы могут
быть представлены следующим образом:
С, ..........где =
Положим
где с числами v можно оперировать по модулю
Имеем
а &) = ° № = {<? ®}g‘ = = C"Z+1 =
Следовательно, автоморфизм о увеличивает индекс на 1. v-крат-
ное повторение автоморфизма о дает
o-v (?,•) = ^Ev-
Следовательно, автоморфизм ov увеличивает индекс на v.
Элементы (t = 0, 1, .... п— 1) составляют базис расшире-
ния. Чтобы это увидеть, нужно лишь заметить, что они линейно
независимы. Действительно, элементы совпадают с точностью
до порядка следования с С, ..., х; любое линейное cooiноше-
ние между ними поэтому означает, что
HiC + • • + = 0,
или, после сокращения на £:
а1 + а2? + • • • + 1Е?2 = 0-
Отсюда следует, поскольку £ не удовлетворяет ни одному урав-
нению степени, меньшей q — 1, что
Hi ” Яг =.. • = Оу -1 = 0,
следовательно, элементы линейно независимы.
Подполя поля деления круга получаются немедленно с помо-
щью подгрупп циклической группы (см. § 7, конец):
Если
ef = n
§ 60]
ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
207
— разложение числа п на два положительных множителя, то
существует подгруппа g порядка f, состоящая из элементов
ое, о2’, ст(/ 1)р, сг^,
где о'г: — единичный элемент. Каждая подгруппа может быть полу-
чена таким способом.
Каждой такой подгруппе g соответствует в силу основной тео-
ремы теории Галуа некоторое промежуточное подполе А, состо-
ящее из элементов, которые выдерживают подстановку ое и, сле-
довательно, все подстановки из д. Такие элементы имеют вид
Лу — ?v + £v + e+ ?vi-2f + • • • + Cv + (/-l)e (v = 0, ..., 6—1). (5)
Элементы, определенные с помощью (5), следуя Гауссу, назы-
вают f-членными периодами поля деления круга.
Каждый элемент Лу выдерживает подстановку аг и ее степени,
но не выдерживает любую другую подстановку группы Галуа.
Следовательно, каждый элемент T)v порождает некоторое проме-
жуточное поле А. Например, возьмем v = 0; тогда
== (Ло)>
Ло = £о + + ?2е + ••• + ?(/-1) е =
= ? + ^ + ^2' + ...+ ?'?(/ 1)Р-
Тем самым найдены все подполя поля деления круга (Е)(С).
Пример. Пусть (Е) (С) —поле корней 17-й степени из единицы:
7 = 17; п = 16.
Одним из примитивных по модулю 17 чисел является g = 3,
потому что все классы вычетов, взаимно простые с 17, являются
степенями класса вычетов 3 (mod 17). Следовательно, базис поля
деления круга состоит из 16 элементов:
Со = ?; £i = £3; ?2 = ?9; ...
Существуют подполя степеней 2, 4 и 8. Вот описание каждого
из них.
S-членные периоды-.
ло=с+г8+?-4+^2+^1+?8+:4+:2,
л1=:з-1-с-7+:5+?-в+?-3+?7+?-5+?в.
Легко проверить, что
Ло + Л1 = ~ I
ЛоЛ1 = — 4.
Следовательно, элементы Ло и Л1 являются корнями уравнения
(/2 + у-4 = 0, (6)
208
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
решение которого выглядиi так:
>,—4±4т
‘[-членные периоды:
^т^+^чч4,
?1=?3+s5+s-3+?-5,
2чч8чч2,
£з = С-7 + £-6 + £7ЧЧ6.
Имеем
1о + ^2 = т)о> ^2 = --1»
?1+^ = т11> £1£з = —1-
Следовательно, |0 и удовлетворяют уравнению
х2 —т]ох— 1 =0. (7)
Равным образом, и t3 удовлетворяют уравнению
х2 — тдх — 1 =0. (8)
Эти уравнения указывают на то, что было известно заранее: поле
Q(g0) квадратично над СНпо)-
Рассмотрим два 2-членных периода:
ДД)
Ь(4’ = С4 + £ 4.
Сложение и умножение дают
X(i> ДД3) =|0,
X(iWm^ + ^3 + £3 + £-5 = £i.
Следовательно, Х(1) и Х(4) удовлетворяют уравнению
А2-ВоА+^=0. (9)
Наконец, сам элемент t, удовлетворяет уравнению
:+:-1=хч),
или
С2-ХЧ^+1 =0.
Корни 17-й степени из единицы могут, следовательно, вычис-
ляться последовательным решением квадратных уравнений.
Задача 4. Провести аналогичные рассмотрения для поля корней пятой
степени из единицы.
Задача 5. Доказать, что rj0> •• > Чс-i составляют некоторый базис поля А.
Задача 6. Показать, что решения квадратных уравнений (6) и (9) ве-
щественны и могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Вывести
отсюда способ построения семнадцатиугольника.
До сих пор основным потем постоянно служило поле рацио-
нальных чисел. Предположим теперь, что характеристика основ-
§ 6!] ЦИКЛИЧЕСКИЕ ПОЛЯ И ДВУЧЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 209
ного поля К не делит число /г; тогда по-прежнему каждый авто-
морфизм будет переводить примитивный корень /i-й степени из
единицы £ в некоторую степень где X взаимно просто с й:
По-прежнему будет выполнено равенство
Следовательно, группа Галуа поля К (С) изоморфна некоторой
подгруппе классов вычетов по модулю h, взаимно простых с h.
§ 61. Циклические поля и двучленные уравнения
Пусть К—основное поле, содержащее корни п-й степени из
единицы, в котором n-кратное единичного элемента не равно
нулю (т. е. п не делится на характеристику). Тогда: группа Га-
луа «двучленного» уравнения
хп — а — 0 (а ф 0)
над К циклично.
Доказательство. Если 9 —корень уравнения, то £9,
(,29, ..., t,n '0 (где t, — примитивный корень п-й степени из еди-
ницы) — остальные корни этого уравнения1). Поэтому 6 порож-
дает поле корней и любая подстановка из группы Галуа имеет
вид
9 £v9.
Последовательное применение двух подстановок 9 *• (?'9 и
9i—>^‘9 дает 0i—>^+'9. Следовательно, каждой подстановке соот-
ветствует некоторый вполне определенный корень из единицы с?’,
а произведению подстановок — произведение корней из единицы.
Поэтому группа Галуа изоморфна некоторой подгруппе группы
корней п-й степени из единицы. Так как последняя группа цик-
лична, то любая подгруппа в ней тоже циклична и, следовательно,
циклична сама группа Галуа.
Если, в частности, уравнение хп — а = 0 неразложимо, то корни
£v6 сопряжены с 6 и группа Галуа изоморфна полной группе
корней п-й степени из единицы. В этом случае ее порядок равен п.
Теперь мы хотим показать, что, наоборот, каждое цикличе-
ское поле п-й степени над К порождается корнями двучленного
уравнения хп — а = 0.
Пусть S — циклическое поле степени п и пусть о — порожда-
ющая подстановка из группы Галуа, т. е. а" = 1. Предположим
опя1ь, что основное поле К содержит корни п-й степени из еди-
ницы.
т) Очевидно, все эти корни различны, так что уравнение сепарабельно
210
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
Пусть £ —примитивный корень п-й степени из единицы в поте К.
Для каждого элемента а из 2 составим резольвенту Лагранжа
(£, а) = аф-£ста ф-£,2ст2а ф-. • . ф-ф’~1ст’г1а. (1)
Согласно теореме о независимости из § 54 автоморфизмы 1, о,
о2, .... <зп1 линейно независимы; поэтому элемент а можно выб-
рать в 2 так, чтобы было (£, а)у=0. Автоморфизм ст переводит
(С, «) в
о(£, а) = ста ф- £ст2аф-.. . ф- с'1~1а =
= + № + ... + а) = ^(?, а)- (2)
Поэтому n-я степень (£, а)" остается неизменной под действием
подстановки ст, т. е. (£, а)” принадлежит основному полю К.
Из (2) повторением описанного рассуждения получается равен-
ство
ст*(С, а) = £-*(£, а).
Единственная подстановка из группы Галуа, которая остав-
ляет неизменным элемент (£, а), является тождественной. Следо-
вательно, (£, а) порождает все поле К (а). Отсюда мы получаем
нужный результат:
Любое циклическое поле п-й степени при условии, что его основ-
ное поле содержит корни п-й степени из единицы и п не делится
на характеристику, получается присоединением корня п-й степени
из некоторого элемента основного поля.
Если основное поле К не содержит корней п-й степени из
единицы, то для использования описанного метода нужно сначала
присоединить к К корни £ п-й степени из единицы. При таком
присоединении группа Галуа остается циклической.
Докажем теперь еще несколько фактов о неразложимости дву-
членных уравнений простой степени р.
Сначала предположим, что основное поле К содержит корпи
р-й степени из единицы; тогда согласно доказанному в начале
этого параграфа группа Галуа является подгруппой циклической
группы порядка р, а потому либо всей группой, либо единичной
группой. В первом случае все корни сопряжены и, следовательно,
уравнение неразложимо. Во втором случае все корни остаются
инвариантными относительно подстановок группы Галуа; следо-
вательно, уравнение распадается на линейные множители уже
в поле К. Итак, многочлен хр — а либо неразложим, либо полно-
стью разлагается на линейные множители.
Если поле К не содержит корней из единицы, то утверждать
так много уже нельзя. Однако имеет место теорема:
Либо многочлен хр — а неразложим, либо элемент а является
р-й степенью и в поле К имеет место равенство-.
Хр — а = хр — = (х — Р) (хр1 ф- 2 ф-... ф- Рр1).
§ 62]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
211
Доказательство. Предположим, что многочлен хр — а раз-
ложим:
хр — а = <р (х) ф (х).
В своем поле разложения многочлен хр — а разлагается следую-
щим образом:
р—1
хр - а = П (х - £v8) (0Р = а).
v = 0
Следовательно, множитель <р (х) должен быть произведением мно-
жителей х — £v8, а свободный член ±Ь многочлена <р (х) должен
иметь вид ± где £' — корень р-й степени из единицы:
Ьр = ерр = ар.
Так как 0<р.<р, имеет место равенство (щ р) = 1; поэтому при
подходящих целых рациональных числах р и о
рр+ <77 = 1,
а — аррарр = Ьрраар\
следовательно, элемент а является р-й степенью.
Интересные теоремы о разложимости двучленных уравнений содержатся
в работах Капелл и (Capelli A.). Sulla riducibilita delle equazioni algebri-
che. — Rendiconti Napoli, 1898 и Дарби (Darbi G.). Sulla riducibilita delle equa-
zioni algebriche. — Annali di Mat. (4), 1926, 4, p. 185 — 208.
Задача. Если не предполагается, что основное поле К содержит корни
/i-й степени из единицы, то группа двучленного уравнения хп — а — 0 изо-
морфна некоторой группе линейных подстановок по модулю п:
х' ~сх 4- Ь.
(Соответствующее нормальное поле равно К (0, 4 и для каждой подстановки о
из группы справедливы равенства Щ и об =£*0.)
§ 62. Решение уравнений в радикалах
Известно, что корни уравнений второй, третьей и четвертой
степеней выражаются через коэффициенты этих уравнений с по-
мощью рациональных операций и извлечения корней У , ,...
(«радикалов») (ср. § 64). Поставим теперь вопрос: какие вообще
уравнения обладают тем свойством, что их корпи выражаются
через элементы основного поля К с помощью рациональных опе-
раций и радикалов? При этом мы можем, конечно, ограничиться
неразложимыми уравнениями с коэффициентами из К. Задача сос-
тоит в том, чтобы последовательным присоединением элементов
вида У а (где а принадлежит уже построенному полю) построить
над К поле, которое содержит один или все корни заданного
уравнения.
212
ТЕОРИЯ ГАЛУА
(ГЛ VIII
Такая постановка вопроса является, однако, неточной в сле-
дующем отношении. Корень у , вообще говоря, является много-
значной функцией в поле и возникает вопрос, какое именно из
значений следует понимать под у а. Например, если выразить
через радикалы примитивный корень шестой степени из единицы,
то представление 1 или даже у^ 1 будет неудовлетворительным,
в то время как представление £= ^-± ~ К—3 намного удовле-
творительнее, так как выражение —3 при любом вы-
боре значений корня К—3 (т. е. выборе решения уравнения
х2 + 3 = 0) дает оба примитивных корня шестой степени из единицы.
Важнейший вывод, который можно сделать из этого наблю-
дения, состоит в следующем: нужно, чтобы, во-первых, все реше-
ния рассматриваемых уравнений представились в виде
п/г т, г.
V... /...+/..(1)
(или аналогичном) и, во-вторых, эти выражения при любом
выборе входящих в них радикалов представляли решения рас-
сматриваемого уравнения. (Конечно, имеется ввиду, что если
радикал у а входит в выражение (1) несколько раз, то ему всюду
придается одно и то же значение.)
Предположим, что первое требование выполнено. Тогда будет
выполнено и второе, если позаботиться о том, чтобы при после-
довательном присоединении радикалов всякий раз уравне-
ние хл — а=0 было неразложимым. Действительно, тогда
все возможные значения функции уга будут сопряженными и,
следовательно, могут переводиться друг в друга изоморфизмами;
эти изоморфизмы при всех последующих присоединениях можно
продолжать до изоморфизмов очередного расширения (ср. § 41).
Следовательно, если при некотором выборе значения радикала
выражение (1) дает корень рассматриваемого уравнения,
то и при любом другом значении этого радикала упомянутое вы-
ражение вновь дает корень уравнения, потому что любой изо-
морфизм переводит корни многочлена из К [х] в корни этого же
многочлена.
После этих предварительных замечаний мы можем сформу-
лировать основную теорему об уравнениях, разрешимых в ра-
дикалах:
1. Если какой-либо корень неразложимого в К уравнения
f(x) = 0 представляется в виде (1) и если показатели радикалов
в этом выражении не делятся на характеристику поля К, то
группа Галуа данного уравнения разрешима. 2. Обратно, если
§ 62] РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ 213
группа Галуа уравнения разрешима, то все корни уравнения пред-
ставляются в виде (1); при этом показатели последовательно
присоединяемых радикалов у Ад будут простыми числами, а соот-
ветствующие уравнения хп — а = д неразложимы. Предполагается,
что характеристика поля К равна нулю или превосходит наиболь-
шее простое число, содержащееся среди порядков композиционных
факторов *).
Эта теорема, по существу, утверждает, что для решения во-
проса о разрешимости уравнения в радикалах достаточно решить
вопрос о разрешимости группы. В действительности, теорема ут-
верждает нечто большее, потому что в первой ее части понятие
разрешимости в радикалах сформулировано в наиболее слабом
виде, а во второй — в наиболее сильном.
Доказательство. 1. Прежде всего мы можем считать пока-
затели корней простыми числами, воспользовавшись тем, что
Ун=т.
Присоединим к полю К корни из единицы степени ри сте-
пени р2 и т. д., где pi, р2,... — простые числа, входящие в пока-
затели корней, участвующих в (1). В результате получится серия
циклических нормальных расширений, которые мы можем счи-
тать разложенными на расширения простых степеней. Когда ука-
занные корни из единицы будут присоединены, присоединение
каждого jZo, согласно § 61, либо не даст никакого расширения,
либо даст циклическое расширение степени р. Следовательно,
вместе с у/"^ к полю присоединяются все сопряженные с этим
корнем р-й степени из а элементы; поскольку так получаются
лишь циклические расширения простой степени, в итоге полу-
чается нормальное над К поле. Таким образом, в конце концов
мы придем к ряду циклических расширений
К о: Aj cz Л2 с= ... cz А(0, (2)
которая приводит к нормальному расширению AM = Q, содержа-
щему корень (1) многочлена f(x). Так как Q —нормальное рас-
ширение, оно содержит все корни многочлена f (х), т. е. содер-
жит поле разложения 2 многочлена / (х).
Пусть © — группа Галуа расширения Q над К. Тогда ряду
полей (2) соответствует ряд подгрупп группы ®:
® 3D @1 3D @2 . 3D ®(0 = (3)
1) Если допустить, чтобы в формулу решения входили, кроме радикалов
описанного вида, корни из единицы, то последнее условие можно ослабить
потребовав, чтобы среди порядков композиционных факторов не было харак-
теристики поля К.
214
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
и каждая из этих подгрупп является нормальной в предыдущей,
причем факторгруппы являются циклическими группами простых
порядков. Это означает, что группа ® разрешима и (3) —ее ком-
позиционный ряд.
Полю S соответствует некоторая подгруппа нормальная
в ®; согласно § 51 мы можем построить композиционный ряд,
проходящий через Т), композиционные факторы которого с точ-
ностью до изоморфизма будут теми же, что и у ряда (3), но,
возможно, расположенными в другом порядке:
® zo до «б2 о ... => £ о ... о (£. (4)
Группа Галуа поля S над полем К —это группа ©/*£>; для нее
мы имеем композиционный ряд
&/$ £>!/£ 2D £\/Ф =>...=> $/$ = (£,
факторы которого согласно второй теореме об изоморфизме (§ 50)
изоморфны соответствующим факторам ряда (4), а потому снова
цикличны и простых порядков. Утверждение 1 доказано.
Для утверждения 2 мы докажем сначала следующую лемму:
Лемма. Корни q-й степени из единицы (q — простое число)
представимы «.неразложимыми радикалами» (т. е. корнями нераз-
ложимых уравнений хр — а = 0), если считать, что характеристика
поля К равна нулю или больше числа q.
Так как утверждение тривиально для случая q = 2 (корни
второй степени из единицы рациональны — это числа ±1), мы
можем считать, что лемма доказана для всех простых чисел,
меньших q. Поле корней q-й степени из единицы циклично в соот-
ветствии с § 60, и его степень является делителем числа q — 1.
Если, таким образом, разложить q—\ на простые множители:
q — 1 = ... /А, то указанное поле можно построить с помощью
последовательных циклических расширений степеней pv. Присоеди-
ним корни ргй, р2-й, ..., рг-й степеней из единицы; согласно предпо-
ложению индукции они представляются неразложимыми радика-
лами. После этого мы можем применить теорему из § 61 к цикли-
ческим расширениям степеней pv, утверждающую представимость
в радикалах последовательных образующих элементов полей.
Участвующие в рассмотрениях уравнения xPv — а = 0 должны быть
неразложимыми, потому что в противном случае числа pv не
могли бы быть степенями соответствующих полей.
Теперь мы можем доказать утверждение 2. Пусть S — поле
разложения многочлена f (х) и ® дэ ©jZ? ... дэ ® — компози-
ционный ряд группы Галуа поля S над полем К. Этому ряду
групп соответствует ряд полей:
К с: Ах с ... cA( = Z,
§ 63]
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ л-й СТЕПЕНИ
215
в котором каждое поле — нормальное циклическое расширение
предшествующего. Если </1( q2, ... — относительные степени этих
полей, то сначала мы присоединяем к К корни из единицы сте-
пени qlt затем — степени q2 и т. д., что согласно лемме возможно
сделать присоединением неразложимых радикалов. Согласно тео-
реме из § 61 порождающие элементы полей Л1( Л2, .... Az можно
выразить через радикалы, причем всякий раз очередное уравнение
xl?v — а = 0 будет или неразложимым или полностью разлагающимся
(§ 61, конец). В последнем случае присоединение радикала излишне.
Тем самым доказано и утверждение 2.
То, что утверждение 2 оказывается неверным, когда одна из
степеней qv равна характеристике поля р, показывает следующий
пример: «общее уравнение второй степени» x2\-uxt-v = 0 (и, v —
переменные, присоединенные к простому полю характеристики 2)
неразложимо и сепарабельно и остается неразложимым при при-
соединении всех корней из единицы. Присоединение корня нераз-
ложимого двучленного уравнения нечетной степени не может при-
вести к разложению рассматриваемого уравнения, так как такое
присоединение порождает поле нечетной степени. Но и присоеди-
нение квадратного корня не дает разложения уравнения, потому
что при этом не меняется редуцированная степень поля. Следова-
тельно, уравнение ни одним способом не решается в радикалах.
Применение. Симметрические группы второй, третьей и чет-
вертой степеней (и их подгруппы) разрешимы; этим объясняется
возможность получения формул решения уравнений второй, третьей
и четвертой степеней (вывод дается в § 64). Симметрические группы
пятой и более высоких степеней разрешимыми не являются (§ 55)
и, как мы скоро увидим, для каждой степени существует урав-
нение, группа которого есть симметрическая группа этой степени.
Следовательно, не существует общей формулы решения для урав-
нений пятой и более высоких степеней. Лишь частные виды таких
уравнений (например, уравнение деления круга) могут быть решены
в радикалах.
§ 63. Общее уравнение л-й степени
Под общим уравнением /г-й степени понимается уравнение
гп - щгп~1 + u2zn~2 - ... + (— 1)пил = 0 (1)
с неопределенными коэффициентами щ, ..., ип, которые присоеди-
няются к основному полю К. Если vlt ..., vn — корни этого урав-
нения, то
«1 = + • • • + Vn,
Щ = що2 + + ... +vn щп,
Un = ... V,
216
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
Сравним общее уравнение (4) с другим уравнением, корни
хп ..., хп которого являются неопределенными величинами и коэф-
фициенты которого выражаются просто как элементарные сим-
метрические функции этих величин:
гп — djZ""1 + <J2z"2 — ... + (— 1)” оп =
= (z - Xj) (г — х2) ... (г — х„) = 0; (2)
СТ1 = Х1 + • • • +*п,
°2 = Х1Х2 + ХгХ3 + . .. + ХЛ1ХЛ,
П/2 — XjXg • • Хп.
Уравнение (2) сепарабельно и имеет в качестве группы Галуа
над К (dj, ..., d„) симметрическую группу всех подстановок эле-
ментов xv, потому что каждая такая подстановка представляет
некоторый автоморфизм поля К (хх, ..., хя), оставляющий) инва-
риантными симметрические функции от du ..., о„, а потому и все
элементы поля К (dn ..., d„). Каждая функция от хъ ..., хл,
инвариантная относительно подстановок из группы, принадлежит,
следовательно, полю К (db ..., о„), т. е. каждая симметрическая
функция от хх может быть рационально сыражена через dn ..., оп.
Тем самым мы заново доказали часть основной теоремы о сим-
метрических функциях из § 33 с помощью теории Галуа.
Кроме того, мы без труда получаем теперь «теорему един-
ственности» из § 33, т. е. следующее утверждение: соотношение
f (о1( ..., ол) = О может иметь место лишь тогда, когда много-
член f является тождественным нулем.
Действительно, в противном случае
f (оь ..., d«) = f xh У, х;хь .... х^х, ... x„} = 0,
и это соотношение оставалось бы выполненным после замены X;
на Vi. Таким образом, мы получили бы
f (S У* v‘v^ • • • > • • • М =
или f (un ..., «л)=0; следовательно, многочлен f оказался бы
тождественным нулем.
Из теоремы единственности следует, что сопоставление
/(«1, U„) >—> f (di, ..., d„)
является не только гомоморфизмом, но даже и изоморфизмом
колец К [«J, ..., и„] и К [dj, ..., dn]. Этот изоморфизм может
быть продолжен до изоморфизма полей частных К (ult ..., ип)
и К (di .... оп) и, согласно § 41, до изоморфизма полей корней
К (ц,-, .... vn) и К (хъ ..., хГ!). Символы Vi переходят в xk в каком-то
порядке; так как xk перестановочны, мы можем переводить каж-
дый V, в соответствующий xt. Итак, доказано следующее;
J 63] ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ л Й СТЕПЕНИ 217
Существует изоморфизм
К (щ, ..., х„) ££ К (хх, ..., хЛ),
который переводит каждый элемент v{ в xt, а каждый щ в щ.
С помощью этого изоморфизма можно перенести все теоремы
об уравнении (2) на уравнение (1). В частности,
Общее уравнение (1) сепарабельно и имеет группой Галуа над
полем своих коэффициентов К (щ, .... ип) симметрическую группу.
Степень поля разложения этого многочлена равна nl.
Положим
К (щ, , ип) = А,
К(щ, v„) = 2,
и обозначим через симметрическую группу. В ней всегда есть
подгруппа индекса 2— знакопеременная группа ?!„. Соответствую-
щее промежуточное поле А имеет степень 2 и порождается любой
функцией от щ, инвариантной относительно 2(л, но не относи-
тельно ©л. Если характеристика поля К отлична от 2, то одной
из таких функций является произведение разностей
П =
I < k
квадрат которого равен дискриминант уравнения (1):
D = П - и*)2-
i < k
Дискриминант является симметрической функцией, т. е. много-
членом от и. Следовательно, поле А мы получаем в виде
А = A (]/!)).
Для п > 4 группа ЭДЛ проста (§ 55); поэтому
©л=э21л^6 (3)
— композиционный ряд. Следовательно, группа @л при п>4
неразрешима и согласно § 62 отсюда следует знаменитая теорема
Абеля:
Общее уравнение п-й степени при п^>4 неразрешимо в ради-
калах.
Для п — 2 и п = 3 композиционные факторы ряда (3) цикличны.
Для п = 2 оказывается даже верным равенство Ял = для п = 3
факторы имеют порядки 2 и 3. Для п = 4 имеется композицион-
ный ряд
©л Д4 За €,
где Д4 — «четверная группа Клейна»
{1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
218
ТЕОРИЯ ГАЛУА
(ГЛ VIII
и Зг —ее любая подгруппа порядка 2. Порядки композиционных
факторов таковы:
2, 3, 2, 2.
Эти обстоятельства лежат в основе формул для решений уравне-
ний второй, третьей и четвертой степеней, которые рассматри-
ваются в следующем параграфе.
§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней
Решение общего уравнения второй степени
х1 -ф рх ф q = О
согласно общей теории должно осуществляться в терминах квад-
ратного корпя; в качестве такового (ср. конец предыдущего пара-
графа) можно взять произведение разностей корней х2:
%1 —х2 = |/О; D=p2 — 4p.
Отсюда и из равенства
х1 + х2 = — р
получаются известные формулы
_ — рфф£> — р — |<Р
Ai g , Х2 2
Предположение во всех этих вычислениях только одно: характе-
ристика основного поля не кратна двум.
Общее уравнение третьей степени
г3 -ф axz2 -ф a2z -ф а3 = О
с помощью подстановки
1
г = х — у аА
может быть прежде всего преобразовано к виду
№ + рх-ф g = 0.
Это делается только для упрощения формул. Из доказательства
легко усмотреть, как выглядят формулы для решений исходного
уравнения
г3 -ф OjZ3 -ф а2г -ф а3 = 0.
(В соответствии с общей теорией решения уравнений, изложен-
ной в предыдущем параграфе, мы предполагаем, что характери-
стика основного поля отлична от 2 и 3.)
Руководствуясь композиционным рядом
е3 дэ ?is о
§ 64]
УРАВНЕНИЯ 2-й. 3 й И 4 й СТЕПЕНЕЙ
219
присоединим сначала произведение разностей корней
(%! — х2) (Xj — х3) (х2 — х3) = ]/D = У — 4р3 — 27q2
(ср. § 33, конец, где ^ = 0, а2 = р, a3 — — q). В результате полу-
чится поле А (У D), относительно которого уравнение имеет
группу Л3, т. е. циклическую группу третьего порядка. В соот-
ветствии с общей теорией из § 62 присоединим корни третьей
степени из единицы
p=-2- + jr:r3, р2 = -|-4г=^з> (1)
и затем рассмотрим резольвенты Лагранжа
(L, х1) = х1 + х2 + х3 = 0,
(р, х1) = х1 + рх2 + р2х3, (2)
(р2, х1)=х1 + р2х2 + рх3.
Третья степень любого из этих элементов должна рационально
выражаться через У—3 и УУ>. Имеем
(р, Xj)3 = х] + х2 Т* х3 + Зрх]х2 + Зрх2х3 -|- Зрх3Х1 -|-
+ Зр3х1х2 + Зр2х2х3 + Зр2х3х'1 + бх^Хз,
и соответствующим образом получается (р2, xj3 при замене р на р2.
Подставим сюда равенства (1) и заметим, что
У D = (Xj - х2) (Xj - х3) (х2 - х3) =
= Х]Х2 + х2х3 + x3Xi — хгх2 — х2х,“ - - х3х2;
тогда
(р, Xj)3 = х'[ - у х?х2 + 6xjX2x3 + У— 3’ \ D.
Встречающиеся в рассмотренных выражениях симметрические функ-
ции согласно § 33 легко выражаются через элементарные симмет-
рические функции Ох, о2, о3, а потому и через коэффициенты
нашего уравнения. Имеем:
о, ~ S + 3 У, XjX2 + 6ххх2х3 = 0, так как щ = 0;
9 9 VI 2 27 п п
—-2<7iCT2= - 2-^х^х2-~2-х1х2х3 = 0, так как 01 = 0;
27 27 27
2 — 2 — 2
2х* 2 Х*Х2+6Х1Х2%з=—"т
поэтому
(Р. Х1)3 = -4?+|/^3/О>
220
ТЕОРИЯ ГАЛУА
(ГЛ. VIII
и точно так же
(р2, Х])а = - 227 ^-|/-зуо.
Кубические иррациональности (р, Xj) и (р2, xj не являются
независимыми, именно:
(р, Xj) (р2, x1) = x2l + xl + xl +
Я" (Р + Р2) *1*2 + (Р + Р2) *1*3 + (Р + Р2) *2*3 =
= xj + Х-2 + х| — ХгХ2 — ХгХ3 — Х2Х3 = <71 — 3(7, = — Зр.
Таким образом, кубические корни
(Р. *!) = /- 227-<?+2 Г^ЗО,
3/—27----------------0--------- (3)
(р2> *!) = ]/ -4 2 У~ЗГ)
следует определить так, чтобы было выполнено равенство
(р, Xj) (р2, Х1)= — Зр. (4)
Чтобы вычислить корни Xj, х3, х3, умножим уравнения (2) после-
довательно на 1, 1, 1, соответственно на 1, р2, р и 1, р, р2, а затем
сложим результаты. Тогда получатся равенства:
3*1 = 2 (?, *i) = (р, xj + (р2, Xj),
£
3*2 = У С'1 (£, *1) = Р2 (Р. *1) + Р (р2. *1), (5)
С
З*3= 2Х2(£> Ч) = Р (p. *i) + p2(P2. *i).
Е
Формулы (3), (4), (5) — это формулы Кардано. Они сохраняют
силу не только в случае «общего», но и в случае любого част-
ного кубического уравнения.
О вещественности корней. Если основное поле, содержащее коэффициенты
р, q является полем вещественных чисел К, то возможны два случая.
а) Уравнение имеет один вещественный и два комплексно сопряженных
корня. Очевидно, тогда произведение (*1 —х2) (*1 —*з) (*2—*з) является чисто
мнимым числом, так что D < 0. Величины —37) вещественны и в (3) можно
в качестве (р, лу) взять третий вещественный корень. В силу (4) элемент (р2, х,)
будет тогда тоже вещественным, и первая из формул (5) представляет Злу как
сумму двух вещественных кубических корней, в то время как хг и х3 пред-
ставляются как комплексно сопряженные числа.
б) Уравнение имеет три вещественных корня. В этом случае |/ D — веще-
ственное число иО>.0. В случае D—0 (два одинаковых корня) рассуждения
дословно повторяют предыдущие; в случае D > 0 элементы под знаками куби-
ческих корней в (3) будут мнимыми и, следовательно, получаются три (веще-
ственных) выражения (5) в виде сумм мнимых кубических корней, т. е.
выражения не в вещественном виде.
§ 64]
УРАВНЕНИЯ 2 Я. 3 fi И 4 й СТЕПЕНЕЙ
221
Это так называемый «неприводимый случай» кубического уравнения. Пока-
жем, что в такой ситуации действительно невозможно решить уравнение
ха + рх + q = О
с помощью вещественных радикалов, если только оно не разлагается уже в ос-
новном поле К.
Итак, пусть уравнение х3 + рх + <7 = 0 неразложимо над К и имеет три
вещественных корня хр х2, х3. Присоединим сначала / D. При этом уравнение
не разлагается (потому что поле К (К О), являющееся, самое большее, квадра-
тичным, не может содержать корней неразложимого кубического уравнения) и
его группой будет группа ?13. Если бы оказалось возможным добиться разло-
жения с помощью ряда прис< единений вещественных радикалов, показатели
которых можно, конечно, считать простыми числами, то среди этих присоеди-
нений нашлось бы критическое присоединение У а (й —простое число), как раз
ft -
и вызывающее разложение, в то время как до присоединения корня у а, ска-
жем, в поле Л уравнение неразложимо. Согласно § 61 либо многочлен хЛ— а
неразложим в Л, либо а является й-й степенью некоторого элемента поля Л.
Последний случай отпадает, пототу что тогда вещественный корень й-й степени
из о имелся бы \же в Л и его присоединение не могло бы дать разложения
уравнения Следовательно, многочлен хЛ— а неразложим и степень поля Л (у а)
равна в точности й. В поле Л (у а), согласно предположению, содержится ко-
рень неразложимого над Л уравнения х3 + рх + q — 0; следовательно, число й
делится на 3, а потому й = 3 и Л (|/ а) = Л(х4) Степень поля разложения
Л (Xj, х2, х3) над Л также равна 3 и, следовательно, Л Щ a) = A(xt, х2, х3).
Будучи нормальным, поле Л (У~а) должно вместе с У а содержать и сопря-
женные элементы р У а и р2 У а, а потому и корни из единицы р и р2. Таким
образом, мы пришли к противоречию: ведь поле Л (У а) вещественно, а число
р — нет.
Общее уравнение четвертой степени
г4 + a4z3 + а2г2 + a3z + а4 = 0
с помощью подстановки
1
г = х — а,
4 1
может быть также преобразовано к виду
xi + px2y + x + r=-0.
Композиционному ряду
& 314 'В4 ZD 32 €
соответствует ряд полей:
А ед: А (]/D) cz A] cz Л2 cz S.
По-прежнему будет считаться, что характеристика поля А отлична
от 2 и 3. Как мы увидим, развернутое выражение для дискри-
минанта нам не потребуется. Поле Л4 порождается над полем
А (У D) таким элементом, который выдерживает подстановки из
222
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ VIII
'В4, но не из Ш4. Вот один из таких элементов:
®1 = (Х1 + Х2) (х3 + х,).
Заметим, кстати, что указанный элемент выдерживает не только
подстановки из Я34, но и подстановки
(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)
(которые вместе с 534 составляют группу порядка 8). Над полем
Д элемент 0 имеет три различных сопряженных элемента, в кото-
рые он переводится подстановками из 04:
= (х4 + х2) (Х3 + х4),
02 — (х4 + Хз) (х2 + Х4),
®з = (Х1 + х4) (х2 + х3).
Эти элементы являются корнями уравнения третьей степени:
03-6103 + (>20-63 = О, ,6)
где Ь{ — элементарные симметрические функции от 04, 02, 03:
= ©1 + 02 + 03 = 2 ХЛ — ^-Р->
Ь2 = У 0J02 = У, х)х| 3 V х[х2х3 + 6х4х2х3х4,
Ь3 = 010203 = У Х|Х2х3 + 2 У х;х2х3х4 + 2 у х\х‘ж + 4 у х?х.5х„х4-
Элементы Ь2 и Ь3 можно выразить через элементарные сим-
метрические функции о4, о,, о3, <т4 элементов х;. С помощью ме-
тода из § 33 получаем:
о) = У х|х| + 2 У х?х2х3 + 6х4х2х3х4 = /4,
= У х(х2х3 + 4х1х2х3х4 = О,
— 4ст4 = — 4х4х2х3х4 — — 4 г
Ь2 = У х?х| 4-3 У XiX2x3 4- 6х4х2х3х4 = р2 - 4г;
<4О2а3 == У х[х2х3 4- 3 У х(х2х3х4 4- 3 У х;х.^х3 4- 8 У х[х2х3х4 = О,
— @*@4 ~ — У х,х2х3х4 2 1 Х1Х2х3х4 = О,
- а| = - У xix&i - 2 у х|х.1х3х4 = — q2
b3 = У xsix23x3 4- 2 У х(х2х3х4 4- 2 У xfx^xj’ 4- 4 У х?х|х3х4 = — q2.
Тем самым уравнение (6) приводится к виду
03-2р024-(р2-4г)04-92==О. (7)
Это уравнение называется кубической резольвентой уравнения чет-
вертой степени; корни 04, 02, 03 этой резольвенты по формулам
§ 64]
УРАВНЕНИЯ 2-й. 3-Й И 4 Й СТЕПЕНЕЙ
223
Кардано могут быть выражены через радикалы. Каждый отдель-
ный корень 0 выдерживает группу из восьми названных выше
подстановок, а все три корня выдерживают лишь группу 2% и
поэтому
К (©г. 02, ©^Лр
Поле Л2 получается из поля Лг присоединением элемента, ко-
торый выдерживает не все четыре подстановки из 'В4, а только
подстановки единичную и (например) (12) (34). Одним из таких
элементов является х4+х2. Имеем
(%1 + х2) (х3 + х4) = ©j и (х1 + х2) + (х3 + х4) = 0,
откуда получается, например, что
xi + х-г= 1 — ©п х3-рх4 =—К- ©v
Точно так же:
Xi + x3 = V<— ©г* х2х4 =— ]/ — ©2;
Xj-Ь х4==/-03; х2 + х3 = —К©з-
Эти три иррациональности не являются независимыми, так как
V - ©1 V - ©2 V - ©з = (Х1 + х2) (%! + Х3) (Х4 + Х4) =
= х[ + х) (х2 + х3 + х4) + ХгХ2Х3 + Х4Х2Х4 + Х4Х3Х4 + Х2Х3Х4 =
= x'i (Xj х2 + х3 + х4) + 2 х4х2х3 = У XjX2x3 = — q.
Поскольку 234 имеет порядок 4 и обладает подгруппой порядка 2,
двух квадратичных иррациональностей достаточно, чтобы спу-
ститься от 234 к (£ или, что то же, подняться от поля Л к полю
2. Действительно, корни 0 рационально определяются через три
элемента х,- (которые зависят уже от любых двух среди них);
в самом деле, ведь
2х4 = У~=ё; +
2x2=]/-©1-V -©2-V -03,
2х3 = -]/^©;+/-©2-у -©з,
2х4 = -/-©,-/ _02 + /_03.
Это —формулы решения общего уравнения четвертой степени.
Они сохраняют силу и для любого конкретного уравнения чет-
вертой степени.
Замечание. Так как
©1 - ©2 = — (х4 - х4) (х2 - х3),
©1 - ©3 = ~ (X] - х3) (х2 - х4),
©2 ~ ©з = — (Xi - х2) (х3 - х4),
224
ТЕОРИЯ ГАЛУА
(ГЛ. VIII
то дискриминант кубической резольвенты равен дискриминанту
исходного уравнения. Это дает простое средство вычисления
дискриминанта уравнения четвертой степени, поскольку вся ин-
формация о кубическом уравнении у нас уже есть. Имеем
D = 16р4г - 4pV - 128рагг + 144р<?аг - 27 q4 + 256г3.
Задача 1. Группа кубической резольвенты конкретного уравнения чет-
вертой степени является факторгруппой группы исходного уравнения по ее
пересечению с четверной группой '-Щ.
Задача 2. Определить группу уравнения
^ + № + х+1==0.
(См. задачу 3 из § 57 и предыдущую задачу 1.)
§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки
Обратимся к рассмотрению следующего вопроса: когда геомет-
рическая задача на построение решается с помощью циркуля и
линейки 4)?
Пусть даны образы элементарной геометрии (точки, прямые
или окружности). Задача состоит в том, чтобы с их помощью по-
строить другие образы, подчиненные каким-либо известным ус-
ловиям.
Присоединим к заданным образам декартову систему коорди-
нат. Тогда все данные образы можно будет представлять с по-
мощью пар чисел (координат) и то же самое верно относительно
конструируемых объектов. Если удастся построить (как отрезки)
числа, представляющие последние объекты, то задача окажется
решенной. Тем самым все сводится к построению одних отрезков
по другим, уже заданным. Пусть а, Ь, ... — заданные отрезки,
а х — искомый отрезок.
Прежде всего мы можем дать некоторое достаточное
условие построения искомого отрезка:
Если решение х некоторой задачи вещественно и может быть
вычислено с помощью рациональных операций и извлечений (не
обязательно вещественных) квадратных корней из заданных отрез-
ков а, Ь, то отрезок х можно построить с помощью циркуля
и линейки.
Удобнее всего доказать эту теорему так, чтобы все комлекс-
ные числа р + qi, участвующие в вычислении отрезка х, можно
было изобразить с помощью точек с координатами р, q на пло-
скости с прямоугольной системой координат, а все используемые
операции можно было изобразить с помощью геометрических
построений. Как это сделать, достаточно хорошо известно: сло-
!) По поводу истории вопроса см., например, Штелле (Stelle A. D.).
Die Rolle von Zirkel und Lineal in der griechischen Mathematik.—Quellen und
Studien Gesch. Math., 1936, 3, S. 287.
§ 65]
ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ и ЛИНЕЙКИ
225
жение — это сложение векторов, а вычитание — это обратная опе-
рация. При умножении складываются аргументы и перемножа-
ются модули; поэтому, если фр ф2 —аргументы и гг, г2 —модули
перемножаемых чисел, то соответствующие значения ф, г для
произведения строятся с помощью уравнений
Ф = Ф1 + фг и '' = Н''2 или \-г1^г2:г.
Обратной операцией является деление. Наконец, чтобы извлечь
квадратный корень из числа с модулем г и аргументом ф, соот-
ветствующие значения Гх> фх вычисляются из уравнений
Ф = 2фх, Фх=2-Ф’
и
г = Г| или 1 : = Гх: г.
Тем самым все свелось к известным построениям с помощью
циркуля и линейки.
Имеет место и обратная теорема по отношению к только что
доказанной:
Если отрезок х можно построить с помощью циркуля и ли-
нейки из данных отрезков а, Ь, ..., то число х можно получить
с помощью рациональных операций и извлечения квадратных кор-
ней из чисел а, Ь, ...
Чтобы доказать это, рассмотрим подробнее операции, которые
можно осуществлять в процессе построения. Вот они: задание
произвольной, точки (внутри заданной области); проведение пря-
мой через две точки; проведение окружности с заданными центром
и радиусом; наконец, построение точки пересечения двух прямых,
точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей.
Все эти операции можно проследить с помощью координатной
системы чисто алгебраически. Если точка берется внутри области
произвольно, то мы можем считать ее координаты рациональными
числами. Все остальные построения приводят к рациональным
операциям, за исключением двух последних (пересечение прямой
с окружностью или пересечение двух окружностей), которые
приводят к квадратным уравнениям и, следовательно, к квадрат-
ным корням. Тем самым утверждение доказано.
Следует еще отметить, что в геометрической задаче речь
не идет о построениях для каждого конкретного выбора
заданных точек; там требуется найти общее построение, которое
(при известных ограничениях) приводит к решению задачи. Алгеб-
раически это означает, что одна и та же формула (она может
содержать квадратные корни) при всевозможных значениях а,
Ь, ..., удовлетворяющих заданным условиям, дает решение х,
имеющее смысл и удовлетворяющее уравнениям геометрической
задачи. Мы можем это высказать и так; уравнения, которыми
226
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
определяется величина х, а также квадратные корни и рациональ-
I ые операции, с помощью которых мы решаэч эти уравнения,
должны сохранять смысл, если заданные элементы а, Ь, ... будут
заменены на переменные. Так, например, если задается воп-
рос о выполнимости деления на три равные части с помощью
циркуля и линейки, — в силу формулы
cos 3<р = 4 cos3 ср — 3 cos q>
эта задача сводится к решению уравнения
4х3 —Зх = а (a = cos3<p), (1)
— то вопрос состоит вовсе не в том, чтобы решить уравнение (1)
для каких-то конкретных значений а с помощью квадратных
корней, а спрашивается, существует ли общая формула решения
уравнения (1) —формула, которая сохраняет смысл при неопре-
деленном значении а.
Таким образом, мы свели геометрическую задачу построения
с помощью циркуля и линейки к следующей алгебраической
задаче: когда величина х может быть выражена с помощью
рациональных операций и квадратных корней через заданные
величины а, Ь, ... ?
Ответить на этот вопрос нетрудно. Пусть & — поле рацио-
нальных функций от заданных величин а, Ь, ... Если элемент
х должен выражаться с помощью рациональных операций и
квадратных корней через а, Ь, ..., то х должен принадлежать
полю, которое получается из Я последовательным присоедине-
нием конечного числа квадратных корней, т. е. последователь-
ным переходом к расширениям степени 2. Если вместе с каж-
дым квадратным корнем присоединять к полю квадратные корни
из всех сопряженных элементов, то будут получаться только
квадратичные расширения, и в итоге получится нормальное рас-
ширение степени 2т, в котором лежит элемент х. Итак:
Чтобы отрезок х можно было построить с помощью циркуля
и линейки, необходимо выполнение следующего условия-, число х
принадлежит нормальному расширению поля & степени 2т.
Однако это условие и достаточно. Действительно, группа
Галуа поля степени 2т является группой порядка 2"1 и, как
группа, порядок которой есть степень простого числа, она раз-
решима (см § 52) Следовательно, существует композиционный
ряд, композиционные факторы которого имеют порядок 2; сог-
ласно основной теореме теории Галуа ему соответствует цепь
полей, где каждое последующее поле имеет степень 2 над пре-
дыдущим. Но любое расширение степени 2 можно осуществить
присоединением некоторого квадратного корня; тем самым вели-
чина х выражается через квадратные корни, откуда и следует
утверждение.
§ 65] ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ 227
Применим теперь эти общие теоремы к нескольким класси-
ческим задачам.
Индийская задача об удвоении куба1) приводит к кубическому
уравнению
х — 2,
которое согласно критерию Эйзенштейна неразложимо; поэтому
каждый корень этого уравнения порождает расширение третьей
степени. Но всякое такое расширение не может быть подполем
поля степени 2т. Следовательно, задача об удвоении куба не ре-
шается с помощью циркуля и линейки.
Задача о трисекции угла приводит, как мы видели, к урав-
нению
4х3 — Зх — а = О,
где а —переменная величина. Неразложимость такого уравнения
над полем рациональных функций от а доказать легко: если
бы левая часть имела рационально зависящий от а множитель,
то у нее был бы множитель, целочисленно зависящий от а; но
линейный многочлен от а, коэффициенты которого не имеют
общего делителя, очевидно, неразложим. Отсюда, как и выше,
получается, что трисекция угла неосуществима с помощью цир-
куля и линейки.
Алгебраически более удобная форма уравнения трисекции
угла получается, когда к полю рациональных функций от а =
— cos Зф присоединяется величина
i sin Зср = У — (1 — cos2 Зф)
и уравнение записывается для
у —cos ф + i sintp.
Именно:
(cos ф + i sin ф)3 = cos Зф + i sin Зф,
или, короче
У3=Р-
То, что трисекция угла Зф может быть сведена к этому двучлен-
ному уравнению, легко следует и из геометрической интерпре-
тации комплексных чисел.
Квадратура круга приводит к построению числа л. Ее невоз-
можность будет установлена, если показать, что число л не удов-
летворяет никакому алгебраическому уравнению, т. е. является
трансцендентным. Действительно, тогда л не может лежать ни
г) Историю этой задачи мы знаем благодаря комментариям Архимеда
по поводу выводов Евтокия. См. ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся
наука.-М.; Физматгиз, 1959, с, 190, 194, 209-211, 221-224, 317-318,
324 — 325.
228
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
в каком конечном расширении поля рациональных чисел. Соот-
ветствующее доказательство, которое не относится к алгебре,
см., например, в книге: Гессенберг (Hessenberg G.). Trans-
zendenz von e und л.
Построение правильного многоугольника, вписанного в задан-
ную окружность, в случае h углов приводит к числу
2 cos
где t, — eh —примитивный корень /г-й степени из единицы. Так
как этот элемент переходит в себя лишь при подстановках С»—» £
и £•—*£-1 из группы Галуа поля деления круга, он порождает
<р (h)
некоторое вещественное подполе степени ; тем самым мы
ф (Л)
получаем условие для возможности построения этого числа: ,
а также ф(Я) должны быть степенями двойки. Пусть h — 2vqV1 ...
... qvrr (qi — нечетные числа); тогда
Ф(Л) = 2V-1^-1 ... ... (<7r-l). (2)
(В случае v = 0 первый множитель 2V~J выпадает.) Условие, сле-
довательно, состоит в том, чтобы нечетные простые делители вхо-
дили в h лишь в первой степени (v; = l) и, кроме того, чтобы
каждый нечетный простой делитель <?,- после вычитания единицы,
т. е. число <7,-1, оказывалось степенью двойки, т. е. чтобы
выполнялось соотношение
qt = 2*4-1.
Каковы же простые числа такого вида?
Число k не может делиться на нечетное число р>1, потому
что из
k = pv, р нечетное, р > 1,
следовало бы, что (2у)цЦ-1 делится на 2V-|-1 и, таким образом,
не является простым.
Следовательно, должно иметь место равенство вида k = 2V и
<7/ = 2аЧ1.
Значения Х = 0, 1, 2, 3, 4 действительно задают простые числа
qit а именно:
3, 5, 17, 257, 65 537.
Для К = 5 и нескольких больших А, (как далеко, неизвестно)
число 22''Ц-1 не является простым; например, 22^ д-1 имее! дели-
тель 641.
§ 66]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА
229
Таким образом, каждый правильный /i-угольник, где h, кроме
степени двойки, содержит лишь указанные простые множители
3, 5, 17, ... не выше, чем в первой степени, можно построить
с помощью циркуля и линейки (Гаусс). Пример 17-угольника
был рассмотрен нами еще в § 60. Известны построения 3-, 4-, 5-,
6-, 8- и 10-угольников. Правильные 7- и 9-угольники уже не
могут быть построены с помощью циркуля и линейки, потому что
они приводят к кубическому подполю в полях деления круга
6-й степени.
Задача. Показать, что кубическое уравнение
№ —рХ —О
в неприводимом случае приводится с помощью подстановки х = [}х' к уравне-
ниям типа уравнения трисекции (1), и вывести отсюда формулу решения куби-
ческого уравнения в терминах тригонометрических функций.
§ 66. Вычисление группы Галуа.
Уравнения с симметрической группой
Один из методов, с помощью которого можно построить группу Галуа
уравнения f(x)=O над полем Д, состоит в следующем.
Пусть «1, .... ап — корни уравнения. Построим с помощью переменных
....ип выражение
в = щец -|-... + ипап;
применим к нему всевозможные подстановки з„ переменных и составим произ-
ведение
Г (г, u) = JJ(z-s„6).
S
Очевидно, это произведение является симметрической функцией корней и
поэтому, согласно § 33, может быть выражено через коэффициенты многочлена
f(x). Разложим многочлен F (г, и) на неразложимые множители в кольце
Д [и г]:
Г (z, u) = F1(z, u)F2(z, и) ... Fr(z, и).
Постановки s„, которые переводят в себя некоторый сомножитель, скажем,
сомножитель Flt составляют группу <]. Мы утверждаем, что группа а,—это
в точности группа Галуа заданного уравнения.
Доказательство. После присоединения всех корней многочлен F,
а потому и многочлен /ц разлагаются на линейные множители вида г — 2 uvav,
коэффициентами которых служат корни av, расположенные в некотором по-
рядке. Перенумеруем корни так, чтобы Ft содержал множитель г — (и1а1 -ф-...
... + Ц/гал)- В последующем символ su будет обозначать подстановку симво-
лов и, a sa — такую же подстановку символов а. Очевидно, что в таких обо-
значениях подстановка susa оставляет выражение б = и^ -ф-... -ф- una,rl инва-
риантным, т. е.
s„sa6 = 6,
sa6 = s->6.
Если подстановка su принадлежит группе д, т. е. оставляет инвариантным
многочлен Flt то s„ переводит каждый множитель многочлена /ц, в частности
г — б, вновь в некоторый линейный множитель многочлена Ft. Обратно, если
230
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
некоторая подстановка s„ переводит множитель z— 0 в другой линейный мно-
житель многочлена Ft, то она переводит Г, в некоторый неразложимый
в кольце Д [и, г] многочлен, являющийся делителем многочлена F (г, и), т. е.
в один из многочленов Fj и притом в такой, у которого есть общий линей-
ный множитель с Ft, это означает, что F, переводится в себя. Следовательно,
подстановка s„ принадлежит группе 3. Таким образом, группа g состоит из
подстановок символов и, которые переводят z— б в линейный множитель мно-
гочлена Т1.
Подстановки sa из группы Галуа многочлена / (х)— это такие подстановки
символов а, которые переводят выражение
6 = u1aI + -.- + и„а„
в сопряженные с ним и для которых, следовательно, элемент sa6 удовлетво-
ряет тому же неразложимому уравнению, что и б, т. е. это такие подста-
новки sa, которые переводят линейный множитель z — 6 в другой линейный
множитель многочлена Рг. Так как sa6=*s~'6, то подстановка s~' также пере-
водит линейный множитель г — б в линейный множитель многочлена Flt т. е.
s~‘, а потому и su, принадлежит группе д. Верно и обратное утверждение.
Следовательно, группа Галуа состоит из тех и только тех подстановок, кото-
рые входят в группу д, нужно только символы а заменить на символы и.
Этот метод определения группы Галуа интересен не столько практически,
сколько теоретически; из него получается чисто теоретическое следствие, кото-
рое звучит так:
Пусть N — целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема
об однозначном разложении на простые множители. Пусть р — простой идеал
в Si и 91 = 91/Р —кольцо классов вычетов. Пусть А и А— поля частных колец 91
и 91. Наконец, пусть f (х) = х'1 -|-... — многочлен из 91 [х], a f (х) получается из
f (х) при гомоморфизме 91 -► 91, причем оба многочлена не имеют кратных кор-
ней. Тогда группа g уравнения i — О над полем А (как группа подстановок
подходящим образом перенумерованных корней) является подгруппой группы g
уравнения f — 0.
Доказательство Разложение многочлена
F (г, «) = Ц (г— s,fi)
S
на неразложимые множители Flt F3, ... , Fk в кольце А [г, и], согласно § 30,
осуществляется уже в 91 [г, и], и поэтому его можно перенести с помощью
естественного гомоморфизма на 91 [г, и]:
Р(г, u) = F1-Р2-... Pk.
Множители Fr, ... , возможно, окажутся разложимыми дальше. Подста-
новки из группы g переводят Flt а потому и Рг в себя, а остальные подста-
новки символов и переводят Pt в Р2....Р^. Подстановки из группы g пере-
водят любой неразложимый множитель многочлена Ft в себя; поэтому они не
могут переводить Ft в ........Г*: обязательно Ft переводится в себя, т. е.
g — некоторая подгруппа группы д.
Эта теорема часто используется для нахождения группы д. При этом
идеал р выбирают так, чтобы многочлен / (х) был разложим по модулю р,
потому что тогда легче определить группу g уравнения /• Пусть, например,
91 — кольцо целых чисел и р = (р), где р — простое число Тогда по модулю р
многочлен /(х) представляется в виде
/(х)=фх(х)фа(х) ... фА(х) (р).
§66]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУППЫ ГАЛУА
231
Следовательно,
f=<PiSp2 Фл-
Группа я многочлена f (х) циклична, так как группа автоморфизмов поля
Галуа обязательно циклична (§ 43). Пусть s —подстановка, порождающая
группу g и представляющаяся в виде циклов следующим образом:
(1 2 ... /)(/+1 ...) ...
Так как области транзитивности группы g соответствуют неразложимым мно-
жителям многочлена /, то символы, входящие в циклы (1 2 ... /), (...), ...,
должны находиться в точном соответствии с корнями многочленов <рг <р2, ...
Как только оказываются известными степенями /, k, ... многочленов s, оказы-
вается известным и тип подстановки: подстановка состоит тогда из одного
/-членного цикла, одного k-членного цикла и т. д. Так как в соответствии
с приведенной выше теоремой при подходящей нумерации корней группа g
оказывается подгруппой группы д, группа д должна содержать подстановку
такого же типа.
Так, например, если целочисленные уравнения пятой степени по модулю
какого-либо простого числа распадается в произведение неразложимого мно-
жителя второй степени и неразложимого множителя третьей степени, то группа
Галуа обязана содержать подстановку типа (1 2) (3 4 5).
Пример. Пусть дано целочисленное уравнение
х6 — х — 1 =0.
По модулю 2 левая часть разлагается в произведение
(№ + х-Ь 1) (х34-х2+1),
а по модулю 3 она неразложима, потому что иначе у нее был бы множитель
первой или второй степени, а потому и общий множитель с х9— х (§ 43, за-
дача 6); последнее означает наличие общего множителя либо с х5 — х, либо
с х5 + х, что, очевидно, невозможно. Тем самым группа заданного уравнения
содержит один пятичленный цикл и произведение (i k)(l т п). Третья степень
последней подстановки равна (г k), а эта последняя, трансформированная
с помощью подстановки (1 2 3 4 5) и ее степеней, дает цепь транспозиций
(I k), (k р), (р q), (q г), (г i), которые все вместе порождают симметрическую
группу. Следовательно, g—симметрическая группа.
С помощью установленных фактов можно построить уравнение произволь-
ной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема:
транзитивная группа подстановок п-й степени, содержащая один двойной цикл
и один (п—\)-членный цикл, является симметрической.
Доказательство. Пусть (1 2 ... п — 1) —данный (п — 1)-членный цикл.
Двойной цикл (i /') в силу транзитивности можно перевести в цикл (k п), где
k — один из символов от 1 до п—1. Трансформирование цикла (k п) с помощью
цикла (1 2 ... п—1) и степеней последнего дает циклы (1 п), (2 п),...,(п—In),
а они порождают всю симметрическую группу.
Чтобы на основании этой теоремы построить уравнение п-й степени (п >• 3)
с симметрической группой, выберем сначала неразложимый по модулю 2 мно-
гочлен п-й степени Д, а затем многочлен f2, который по модулю 3 разлагается
в произведение неразложимого многочлена (п—1)-й степени и линейного мно-
гочлена, и, наконец, выберем многочлен f3 степени п, который по модулю 5
разлагается в произведение квадратного множителя и одного или двух множи-
телей нечетных степеней (все они должны быть неразложимыми по модулю 5).
Все это возможно, потому что по модулю любого простого числа существует
неразложимый многочлен любой наперед заданной степени (§ 43, задача 6).
232
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
В заключение выберем многочлен f так, чтобы выполнялись условия:
f = fi (mod 2),
f = f2 (mod 3),
f==fe (mod 5);
сделать это всегда возможно. Достаточно, например, положить
/ = -15Д + 10/2 + 6/3.
Группа Галуа будет тогда транзитивной (так как многочлен неразложим по
модулю 2) и будет содержать цикл типа (1 2 ... п — 1) и двойной цикл, умно-
женный на циклы нечетного порядка. Если это последнее произведение воз-
вести в нечетную степень, подходящим образом подобранную, то получится
чистый двойной цикл. Согласно приведенной выше теореме группа Галуа будет
симметрической.
С помощью этого метода можно доказать не только существование уравне-
ний с симметрической группой Галуа, но и нечто большее: именно, асимпто-
тически все целочисленные уравнения, коэффициенты которых не превосходят
границу М, стремящуюся к оо, имеют симметрическую группу. См ван дер
Варден (van der Waerden В. L.). — Math, Ann., 1931, 109, S 13.
Существуют ли уравнения с рациональными коэффициентами, группа Галуа
которых является произвольно заданной группой подстановок, — нерешенная
проблема; см. по этому поводу Нётер (Noether Е.). Gleichungen mit vorge-
schriebener Gruppe. — Math. Ann., 1917, 78, S. 221—229.
Задача 1. Какова группа Галуа уравнения
х* + 2х2 + х + 3 = 0
над полем рациональных чисел?
Задача 2. Построить уравнение шестой степени, группа которого
является симметрической.
§ 67. Нормальные базисы
Под нормальным базисом wlt ..., wn расширения S поля Д
подразумевается такой базис, у которого элементы wk перестав-
ляются группой Галуа ®:
= для каждого ое®.
Можно доказать, что нормальный базис всегда существует.
Доказательство, которое мы здесь приведем, следуя Артинуг),
относится к случаю бесконечного основного поля Д. Случай конеч-
ного поля мы рассмотрим позднее.
Пусть ос = — примитивный элемент и f (х) — минимальный
многочлен для а:
2=Д(а), f(a) = 0.
В кольце S [х] многочлен f (х) полностью разлагается на ли-
нейные множители:
f(x) = (x —о^) ... (х-ал). (1)
I) Артин (Artin Е,), Galois theory, — Notre Dame, 1944.
§ 67]
НОРМАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ
233
Элементы Oj, .... оп группы переводят а в сопряженные
элементы а1; ап, являющиеся попарно различными. При под-
ходящей перенумерации автоморфизов ак получаются равенства
ока = ак (k = l, п). (2)
Построим кольцо классов вычетов кольца многочленов 2[х]
по модулю многочлена f (х):
= 2 [x]/(f(x)).
Элементы кольца R представляются многочленами с коэффи-
циентами из 2 степени не выше, чем п — 1:
g(x) = goJrgix'Jr---Jrgn-ix’t~1- (3)
Константы gi, являющиеся классами вычетов, как обычно,
будут отождествляться с элементами поля 2. Класс вычетов,
который представляет переменная х, обозначим через 0. Тогда
класс вычетов, который представляет многочлен g (х), имеет вид
g(P) = ^g^k =
k i, k
(4)
где все i и k пробегают значения от 0 до п~\.
В кольце классов вычетов R лежат два изоморфных подполя
2=А(а) и 2' = А(0). Каждый элемент из R согласно (4) одно-
значно представляется в виде суммы произведений ccz(3fe, состав-
ленных из базисных элементов а' поля 2 и базисных элементов 0*
поля 2', с коэффициентами из А. Кольцо R называется прямым
произведением алгебр 2 и 2' над А и обозначается через
7? = 2х2'.
Покажем, что R представляется как прямая сумма п изоморф-
ных полей .... Кп.
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа каждый мно-
гочлен g(x) из 2 [х] степени, не большей п — 1, представляется
с помощью п значений g (aj, ..., g(an) в виде
(5)
При этом Рк (х) является многочленом из 2 [х], который
в точке ак принимает значение 1, а в остальных точках а; равен
нулю:
ли*)=ГП (“*-“/)] ^1
(6)
i^k
i фк
Если опять перейти к классам вычетов по модулю /(х), то
из (5) получится
§ (₽) = S (“4 (7)
234
ТЕОРИЯ ГАЛУА
[ГЛ. VIII
где
ek = Pk(V). (8)
В равенстве (7) слева стоит совершенно произвольный эле-
мент (4) из кольца R. Коэффициенты g(ak) справа являются эле-
ментами поля S. Из (7) следует, что элементы е1г ..., еп состав-
ляют некоторый базис кольца R над полем S:
R = SjS 4* -(-••• + вл2. (9)
Выберем в (7) в качестве g константу 1; тогда получится
i = IX (Ю)
।
Произведение двух многочленов Pj (х) и Pk (%) при / =# k де-
лится на f(x). Если перейти опять к классам вычетов по модулю f(x),
то получится
e/ek = Q (j=£k). (11)
Умножим (10) слева и справа на ер, тогда получится
еК/ = е/. (12)
Когда у пробегает поле S, произведения е7у пробегают поле
eyS, изоморфное полю S, потому что сопоставление р—>еуу яв-
ляется, очевидно, изоморфизмом. Единичным элементом в e,S
является е7.
Выберем в (7) в качестве g(x) многочлен с коэффициентами
из Д; тогда слева получится произвольный элемент g(P) поля 2'.
Умножим обе части в (7) еще на е/, тогда получится
e/g(P) = e/g(a7). (13)
Если g(P) пробегает все элементы из 2', то g(a;) пробегает
все элементы из 2; таким образом, из (13) получается
(14)
Итак, разложение (9) можно записать также в виде
/? = вл2', (13)
т. е. элементы еъ .... еп составляют некоторый базис кольца R
над полем S'.
Автоморфизмы о поля 2 могут быть распространены на кольцо
S [х], если условиться, что они сохраняют переменную х: ха = х.
Таким образом, автоморфизм о будет действовать лишь на коэф-
фициенты gk многочленов (3). Если теперь опять перейти к клас-
сам вычетов по модулю/(х), то получатся автоморфизмы оу, ..., ал
кольца R, которые переставляют между собой элементы ах, ..., ал,
но каждый элемент поля 2' оставляют на месте.
§ 67] НОРМАЛЬНЫЕ БАЗИСЫ 235
В частности, применим автоморфизм сц к определенному
с помощью (6) многочлену (х); тогда получится
(*) = •?*(*). (16)
и, следовательно,
Отсюда следует, что
o?k = о (oAer) = (сгсгА) = oteA = ег. (17)
Таким образом, элементы е1г ..., еп составляют некоторый нор-
мальный базис кольца R над полем 2'.
Пусть теперь иъ ..., ип — произвольный базис поля 2 над
полем А. Многочлены Pk (х) могут быть выражены через этот
базис так:
w=.S «лид (is)
где pik (х) — многочлены с коэффициентами из А. Опять-таки пе-
рейдем к классам вычетов; получим
У
где Л;* —классы вычетов многочленов pik (х) по модулю f(x). Так
как ек составляют линейно независимый базис кольца R над
полем 2', то определитель элементов nik отличен от нуля. Сле-
довательно, определитель D (х) многочленов pik (х) отличен от нуля.
Так как основное поле предполагается бесконечным, в каче-
стве х можно подобрать такое значение а из А, что
D(a) = Det(Aja))#=O. (19)
Подставим это значение а в (18); тогда получатся новые базис-
ные элементы
vk = Pk (а) = У, им,, (а), (20)
которые в силу (19) составляют линейно независимый базис поля 2
над А.
Применим к v1 = P1(a) автоморфизм о*; тогда в силу (16)
получится, что
= vk,
т. е. Vj, ..., vn составляют некоторый нормальный базис поля 2
над полем А. Тем самым случай бесконечного поля А рассмотрен
полностью.
Если А является конечным полем из q = pm элементов, то и X является
конечным. Группа Галуа поля S над А состоит тогда из степеней
1, а, а2, ..., оп 1 (ап = 1)
236
ТЕОРИЯ ГАЛУА
(ГЛ. VIII
автоморфизма о, который определяется равенством
и оставляет элементы поля А неподвижными. Нам нужно доказать, что в 2
существует такой элемент £, что элементы
erg, ••• - аЛ"Ч
линейно независимы над А. Тогда эти элементы будут составлять нормальный
базис поля.
Идея доказательства та же, что и в доказательстве существования прими-
тивного корня из единицы степени h. Тогда мы рассматривали мультиплика-
тивную группу корней й-й степени из единицы; теперь же мы рассматриваем
группу элементов поля 2. В качестве области мультипликаторов в данном
случае возьмем кольцо многочленов А [х]. Произведение многочлена
g = g
на элемент £ из £ определяется равенством
Точно так же, как в случае мультипликативной группы, каждому элементу £
сопоставлялось целое число — порядок g, так теперь каждому £ мы сопоставим
минимальный многочлен g, определенный как многочлен наименьшей степени
со свойством g£ = 0. В первом случае число g было делителем порядка группы
й, а теперь минимальный многочлен g является делителем многочлена хп— 1,
который в силу равенства ал = 1 обращается в нуль на всех элементах £. Так
же, как раньше й разлагалось в произведение простых множителей так
теперь многочлен й (х) — хп — 1 в кольце А [х] разлагается на простые множи-
тели qi(x). Так же, как раньше для каждого i существовало число а(-, у кото-
рого (hlqi)-si степень была отлична от 1, так теперь существует элемент aj,
который не является корнем многочлена h/qi- Действительно, многочлен hlqi = gi
имеет степень, не превосходящую числа п—1, а автоморфизмы 1, с, ...,ал-1
линейно независимы; следовательно, существует элемент а;, который не явля-
ется корнем многочлена gi (x) = c04-ciX4-... + cn_1xn-1. Умножим это а/
на й/г/, подобно тому, как раньше элемент а/ возводился в (й/г/)-ю степень;
у нас получится элемент Ь,, минимальный многочлен которого — это в точности
^ = 0*1. В предыдущем случае было показано, что произведение всех й/ имеет
порядок й; точно так же сумма
является корнем многочлена хп — 1. Многочлен g(x) степени, меньшей чем п,
не может иметь в качестве корней элементы £, следовательно, £, а £..or"-1 t,
—линейно независимые элементы, и мы получили нормальный базис.
Задача 1. Провести последнее доказательство во всех деталях.
Задача 2. Если умножать элементы группы Ор ...,а„ на а слева, то
они подвергнутся некоторой перестановке S. Представление on—>S называется
регулярным представлением группы @. С другой стороны, если элементы нор-
мального базиса подвергаются некоторому автоморфизму а, то происходит
некоторая перестановка S' этих базисных элементов и оказывается заданным
представление а,—*-5' группы 0 подстановками. Показать, что мы имеем дело
здесь с регулярным представлением.
Глава девятая
УПОРЯДОЧЕННЫЕ
И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 68. Упорядоченные множества
Множество называется упорядоченным или линейно упорядочен-
ным, если на его элементах определено отношение а<.Ь, подчи-
ненное следующим условиям:
1. Для любых двух элементов а, b либо a<zb, либо Ь<а,
либо а = Ь.
2. Для двух элементов а и b имеет место одно и только одно
из соотношений: а<^Ь, Ь<а, а = Ь.
3. Из a<zb и b<Zc следует а<с.
Если предполагаются выполненными лишь требования 2 и 3,
то множество называется частично упорядоченным или полуупоря-
доченным. Один важный класс полуупорядоченных множеств
изучается в теории структур. См. по этому поводу Биркгоф Г.
Теория структур. — М.: ИЛ, 1952.
Если a<Zb, то говорят, что а предшествует b, а b следует
за а или что а находится перед Ь, а Ь — после а.
Из отношения а<Ь определяется несколько производных
отношений:
а>Ь означает, что b<Za;
a^b означает, что а с b или а = Ь\
а^-b означает, что а>Ь или а = Ь.
В линейно упорядоченном множестве отношение as^b явля-
ется отрицанием отношения а>Ь и точно так же отношение
а b — отрицанием отношения а •< Ь.
Если некоторое множество упорядочено или частично упоря-
дочено, то и каждое его подмножество упорядочено или соответ-
ственно частично упорядочено тем же самым отношением.
Может случиться, что упорядоченное или полуупорядоченное
множество М обладает «первым элементом», который предшествует
всем остальным. Например, таково число 1 в ряду натуральных
чисел.
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным,
если каждое непустое его подмножество имеет первый элемент.
Примеры. 1. Каждое упорядоченное конечное множество
является вполне упорядоченным.
238 УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ IX
2. Ряд натуральных чисел вполне упорядочен, потому что
в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел
имеется первый элемент.
3. Множество целых чисел —2, —1, 0, 1, 2, ... в «есте-
ственном» порядке не является вполне упорядоченным, потому
что в нем самом нет первого элемента. Однако его можно вполне
упорядочить, если расположить его элементы, например, так:
О, 1, —1, 2, —2, ...
или, например, так:
1, 2, 3, ...; О, —1, —2, —3......
где все положительные числа предшествуют остальным.
Задача 1. Определим на множестве пар натуральных чисел (а, Ь) отно-
шение порядка следующим образом: пусть (а, &)<(«', Ь'), если либо а<а',
либо a —a’, b<zb'. Доказать, что так определенное отношение превращает
данное множество во вполне упорядоченное.
Задача 2. В любом вполне упорядоченном множестве каждый элемент
а (за исключением, быть может, элемента, являющегося последним) обладает
«непосредственно следующим за ним» элементом b > а, причем между Ь и а
нет никаких других элементов х (т. е. элементов х со свойством a<zx<zb).
Доказать это. Имеется ли в этом случае для каждого элемента (за исключе-
нием первого) элемент, непосредственно предшествующий ему?
Пусть М — подмножество частично упорядоченного множества Е.
Если все элементы х из М удовлетворяют условию x-^s, то s
называется верхней границей множества М. Если в Е существует
наименьшая верхняя граница g, так что для всех других верх-
них границ s выполнено условие s^g, то g является однозначно
определенной границей и называется верхней гранью множества
М в Е.
Примеры. 1. Верхняя грань множества отрицательных
чисел в поле (Q рациональных чисел равна нулю. 2. Множество
натуральных чисел не имеет в (Q верхней границы и, конечно, не
имеет верхней грани. 3. Множество М рациональных чисел х со
свойством х2 < 2 имеет в (Е) верхнюю границу 2, но не имеет
верхней грани. Однако, если присоединить к (Q вещественное
число ]/2, то множество М в (Q (]^2) приобретает верхнюю
грань J/2.
§ 69. Аксиома выбора и лемма Цорна
Цермело первым заметил, что многочисленные математические
исследования опираются на некоторую аксиому, которую он сфор-
мулировал как аксиому выбора. Состоит она в следующем:
§ 69] АКСИОМА ВЫБОРА И ЛЕММА ЦОРНА 239
Если задано некоторое множество непустых множеств, то
существует «функция выбора», т. е. функция, которая каждому
из этих множеств сопоставляет какой-либо его элемент.
Подчеркнем, что каждое отдельно взятое множество предпо-
лагается непустым и, следовательно, из каждого множества всегда
можно выбрать некоторый его элемент. Аксиома утверждает, что
из всех таких множеств можно одновременно выбрать по
элементу.
Всюду в дальнейшем, где это будет нужно, мы предполагаем
выполненной аксиому выбора.
Важными следствиями из аксиомы выбора являются лемма
Цорна и теорема о том, что каждое множество можно вполне
упорядочить. В настоящем параграфе мы сформулируем и дока-
жем лемму Цорна, а в следующем параграфе —теорему о полном
упорядочении.
Подмножества а, Ь, ... некоторого основного множества g
в свою очередь составляют некоторое множество: степень Р мно-
жества д. Между двумя подмножествами а и Ь может иметь
место соотношение а с Ь, означающее, что а— собственное под-
множество множества b. С помощью этого соотношения множе-
ство Р оказывается полуупорядоченным. Линейно упорядочен-
ное подмножество множества Р называется, в соответствии с тер-
минологией Цорна, цепью. Для любых двух элементов а и b
некоторой цепи К должно, следовательно, выполняться одно из
соотношений: acb или Ьса или а = Ь.
Подмножество А в Р называется замкнутым по Цорну, если
с каждой цепью оно содержит и объединение ее элементов.
Максимальный элемент в подмножестве А множества Р — это
такое множество m из А, которое не содержится ни в каком дру-
гом множестве, являющемся элементом в А.
Принцип максимума или лемма Цорна утвер-
ждает:
Каждое замкнутое подмножество А в множестве Р содержит
по меньшей мере один максимальный элемент т.
Эту лемму можно сформулировать несколько более общим
образом, следуя Бурбаки. Вместо подмножества А из Р можно
рассматривать произвольное полуупорядоченное множество М.
Цепь К в М, как и прежде, определяется как линейно упорядо-
ченное подмножество в М. Для любых двух элементов а и b
некоторой цепи должно, следовательно, выполняться одно из со-
отношений: а<_Ь или Ь<.а или а = Ь.
Множество М называется замкнутым, если вместе с каждой
цепью оно содержит и ее верхнюю грань. Принцип максимума
тогда утверждает:
Любое частично упорядоченное замкнутое множество М содер-
жит максимальный элемент ш,
240
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
(ГЛ IX
Согласно Кнезеру1) существование максимального элемента можно дока-
зать при более слабых предположениях. Вместо требования о том, чтобы мно-
жество М содержало вместе с каждым своим линейно упорядоченным подмно-
жеством К и его верхнюю грань, достаточно предположить, что М содержит
вместе с каждым своим вполне упорядоченным подмножеством К какую-либо
его верхнюю границу Кроме того, как показал Кнезер, при этом ослабленном
предположении доказывается «основная лемма Бурбаки».
Покажем, что принцип максимума следует из аксиомы выбора. Для этой
цели докажем сначала, не используя аксиому выбора, следующую основную
лемму Бурбаки:
Пусть М — частично упорядоченное замкнутое множество, и пусть х>—>
।—> fx — некоторое отображение множества М в себя, обладающее следующим
свойством:
xc":fx для всех х из М.
Тогда в М существует элемент т со свойством: m = fm.
Подмножество А частично упорядоченного множества М называется началом
множества М, если вместе с каждым элементом у множество А содержит все х
из М, предшествующие элементу у.
Отрезок Mz, определенный в М элементом г, состоит из элементов х мно-
жества М, предшествующих элементу г. Каждый такой отрезок является нача-
лом множества М. Кроме того, все множество М является началом себя самого.
В частности, если М вполне упорядочено, то каждое начало множества М
является либо отрезком Mz, либо всем М. Действительно, если некоторое
начало А отлично от М и если г —первый из несодержащихся в А, то А —
это в точности отрезок Мг.
Пусть теперь М — частично упорядоченное и замкнутое множество. Каждая
цепь К в М обладает тогда некоторой верхней гранью g (К) в М. Каждый
отрезок Ку вновь является некоторой цепью и поэтому обладает верхней гранью
g(Ky)- Если подмножество К вполне упорядочено и для каждого у из К имеет
место равенство y = fg(Ky), то К называется fg-цепью. Каждое начало любой
/g-цепи вновь является /g-цепью.
Пусть К и L — некоторые /g-цепи. Покажем, что если К не является нача-
лом множества L, то L — начало множества К-
Начала множества К — это отрезки Ку и само множество К- Так как К
вполне упорядочено отношением х < у, множество начал вполне упорядочи-
вается отношением ст. Если К не является началом множества L, то сущест-
вует первое начало А множества К, не являющееся началом множества L.
Если бы в А не было последнего элемента, то для каждого х из А суще-
ствовал бы у из А со свойством х < у, т. е. А было бы объединением собст-
венных начал Ау. Однако таковыми являются начала множества L, и, следова-
тельно, объединение этих частей было бы равно А и было бы началом в L, что
противоречит предположению.
Следовательно, мы можем предположить, что А обладает некоторым послед-
ним элементом у. Начало А' = Ау является началом в L. Если L А1 и если
г —первый элементе L, не принадлежащий множеству А', то
Ку = Л' = Бг,
следовательно,
y = fg(l<y)=fg(Lz) = z.
Теперь А состоит в точности из А' и у, т. е. А является началом в Ly,
что противоречит предположению. Остается лишь одна возможность: L—А’ и
L является началом в К-
Таким образом, из двух /g-цепей всегда одна является началом другой.
J) Kneser Н. Direckte Ableitung des Zornischen Lemmas aus dem
Auswahlaxiom. — Math. Z., 1950, 53, S. 110.
§ 70]
ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
241
Построим теперь объединение V всех /g-цепен. Тогда:
1) множество V линейно упорядочено и, следовательно, является цепью;
2) множество V вполне упорядочено;
3) в множестве V имеет место равенство y = fg(.Vy) для каждого у, т. е.
V является /g-цепью;
4) если к V добавить еще один элемент w, то полученное множество
{V, ш} не будет /g-цепью.
Положим w = fg(V) Так как g (Т) fg (V) = ш, то элемент w является
верхней границей множества V. Если бы w не принадлежало множеству V, то
множество {V, ш} было бы /g-цепью, что противоречит 4). Следовательно, w
принадлежит множеству V. Поэтому <a<;g(lz).
С другой стороны, было известно, что g (V) w, следовательно,
g(V) = aa, w = fg(V) = fw,
чем и доказывается основная лемма.
Теперь мы предположим выполненной аксиому выбора и докажем принцип
максимума.
Пусть М — частично упорядоченное замкнутое множество. Если х— элемент
из М, не являющийся максимальным, то множество тех элементов у, для кото-
рых у > х, не пусто. Согласно аксиоме выбора каждому немаксимальному эле-
менту х можно сопоставить некоторый /х > х; для максимального х положим
/х=х. Согласно основной лемме существует элемент w со свойством fw = w.
Этот элемент w максимален, чем и доказывается принцип максимума.
70. Теорема Цермело
Наиболее важным следствием аксиомы выбора является тео-
рема Цермело о полном упорядочении:
Каждое множество может быть вполне упорядочено.
Цермело дал два доказательства этой теоремы1). Первое из них было
упрощено X. Кнезером и состоит в следующем.
Пусть М — некоторое множество. Каждое собственное подмножество N в М
имеет непустое дополнение Л4 \ ЛТ В силу аксиомы выбора существует функ-
ция ср (N), которая каждому собственному подмножеству N сопоставляет неко-
торый элемент из А4\У.
Под (f-цепыо мы понимаем теперь любое подмножество К в М, вполне
упорядоченное таким образом, что для каждого у из К имеет место соотно-
шение
У = ф (Ку),
где Ку — отрезок множества К, состоящий из тех х, которые предшествуют
элементу у во вполне упорядоченном множестве К-
Теперь нужно воспользоваться теми же рассуждениями, которые приме-
нялись в § 69 при доказательстве основной леммы, но вместо /g-цепей нужно
брать <р-цепи. Итак, возьмем объединение V всех ф-цепей и заметим, что мно-
жество V вполне упорядочено, множество V является ф-цепью и если к V
добавить еще один элемент ш, то полученное множество {К, ва} не будет ф-цепью.
Если V Ф М, то в множестве М \ V можно взять отмеченный элемент
Щ = ф(К) и рассмотреть его как последний элемент в V. Расширенное множе-
ство {V, ю} будет тогда вновь ф-цепью, что противоречит сказанному выше.
Тем самым остается одна возможность: множество V совпадает со всем мно-
жеством М. Следовательно, множество M. — V вполне упорядочено.
*) Math. Ann., 1904, 59, S. 514; 1908, 65, S. 107,
242
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. [X
Важность вполне упорядоченных множеств состоит в возмож-
ности применения метода индукции, известного нам по счетным
множествам, в случае любых вполне упорядоченных множеств.
Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.
§ 71. Трансфинитная индукция
Доказательство с помощью трансфинитной индукции. Чтобы
доказать некоторое свойство Е для всех элементов вполне упо-
рядоченного множества, можно рассуждать так: докажем, что
свойством Е обладает любой элемент при условии, что им обла-
дают все элементы, предшествующие этому элементу (в частности,
и первый элемент множества). Тогда свойством Е должен обла-
дать вообще каждый элемент множества. Действительно, иначе
был бы элемент, не обладающий свойством Е; но тогда сущест-
вовал бы и первый элемент е среди не обладающих свойством Е.
Все предшествующие элементы в этом случае обладали бы свой-
ством Е, но тогда и элемент е обладал бы этим свойством, что
и дает противоречие.
Построение с помощью трансфинитной индукции. Предположим,
что элементам х некоторого вполне упорядоченного множества М
требуется сопоставить новые объекты <р (х), и предположим, что
для этого мы располагаем «рекуррентным определяющим соотно-
шением», которое связывает каждое значение ср (а) со значениями
ср (&) (&<а). Предположим, что это соотношение определяет ср (а)
однозначно, как только определены все ср (6) (6<а), которые
между собой связаны тем же соотношением. Вместо одного соот-
ношения может быть задана также и система соотношений.
Теорема. При сделанных предположениях существует одна
и только одна функция <р (х), значения которой удовлетворяют
заданному соотношению.
Докажем сначала единственность. Предположим противное:
существуют различные функции <р (х), ф (х), удовлетворяющие
определяющему соотношению. Тогда должен существовать первый
элемент а, для которого ср (а) =/= ф (а). Для всех Ь<2а равенство
<р(6) = ф(&) оказывается выполненным. В силу предположения
о том, что заданное соотношение определяет значение ср (а) одно-
значно по всем предыдущим <р(Ь), должно иметь место равенство
<р(а) = ф(а), что противоречит предположению.
Чтобы доказать существование, рассмотрим отрезки А мно-
жества М. (Отрезок А — это по-прежнему множество элементов,
предшествующих некоторому элементу а.) Они составляют вполне
упорядоченное множество (с отношением А с В как отношением
порядка); действительно, каждому элементу а взаимно однозначно
соответствует отрезок А, состоящий из тех х, для которых х<а,
и из Ь<^а следует В cz А. Возьмем в качестве последнего отрезка
§ 71] ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 243
само множество /И; тогда множество отрезков окажется вполне
упорядоченным.
Теперь мы хотим доказать индукцией по А, что на каждом
из А существует функция <р (х) = <рл (х) (определенная для всех
х из Л), удовлетворяющая заданным соотношениям. Пусть этот
факт существования уже доказан для всех отрезков, предшест-
вующих заданному отрезку А. Есть только два случая:
1. Отрезок А обладает последним элементом а. На множестве
А', которое получается из А отбрасыванием элемента а, функция
<р(х) уже определена, потому что А' предшествует отрезку А.
Но с помощью совокупности значений <p (b) (b<Za) и с помощью
заданного соотношения определяется значение <р(а). Если выбрать
его, то функция <р будет определена на всех элементах отрезка
А и на всех этих элементах без исключения будет удовлетворять
заданному соотношению.
2. Отрезок А не имеет последнего элемента. Таким образом,
каждый элемент а из А принадлежит уже предшествующему
отрезку В. Но на каждом предшествующем отрезке В функция
<рв уже определена. Мы хотим определить:
ф(а) = фв(а);
для этого сначала нужно доказать, что функции срв, фс, • • •, соот-
ветствующие различным отрезкам, совпадают в каждой общей
точке этих отрезков. Пусть, следовательно, В и С — различные
отрезки и пусть, например, ВаС. Тогда фв и <рс определены
на В и удовлетворяют заданным соотношениям; следовательно,
они совпадают (в силу теоремы единственности, которая уже была
доказана). Таким образом, определение ф (а) = фВ (а) приобретает
однозначный смысл. То, что так построенная функция удовлетво-
ряет заданным соотношениям, очевидно, потому что таковыми
являются все функции фВ.
Таким образом, как в случае 1, так и в случае 2 существует функ-
ция ф на Л с заданными свойствами, а потому доказано существование
функции ф на любом отрезке. В частности, в качестве такого отрезка
можно взять само множество М; утверждение доказано.
Глава десятая
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью
конечного или бесконечного расширения. В главах 6 и 8 мы рас-
смотрели конечные расширения полей; в этой главе рассматри-
ваются бесконечные расширения полей, сначала алгебраические,
а затем — трансцендентные.
§ 72. Алгебраически замкнутые поля
Среди алгебраических расширений заданного поля важную
роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения,
т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического
расширения. Существование таких расширений будет доказано
в настоящем параграфе.
Чтобы поле й было максимальным алгебраическим расшире-
нием, необходимо следующее условие: каждый многочлен кольца
Й [х] полностью разлагается на линейные множители (иначе можно
было бы, в соответствии с § 39, расширить поле й с помощью
присоединения корня какого-либо нелинейного неразложимого
множителя). Это условие является и достаточным. Действительно,
если каждый многочлен в Й [х] разлагается на линейные множи-
тели, то все простые многочлены в й [х] линейны и каждый эле-
мент любого алгебраического расширения й' поля й оказывается
корнем некоторого линейного многочлена х — а в Й [х], т. е.
совпадает с некоторым элементом а поля й.
Поэтому дадим следующее определение:
Поле й называется алгебраически замкнутым, если любой мно-
гочлен в й [х] разлагается на линейные множители.
Равнозначное с этим определение таково: поле Й алгебраически
замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из Й [х]
обладает в Й хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным
множителем в Й [х].
Действительно, если такое условие выполнено и произвольно
взятый многочлен f (х) разлагается на неразложимые множители,
то все они должны быть линейными.
«Основная теорема алгебры», к которой мы вернемся в § 80,
утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Следующим примером алгебраически замкнутого поля может слу-
§ 72]
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
245
жить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множе-
ство тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо
уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни
уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом
деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел,
но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебра-
ическими числами.
В этом параграфе мы покажем, как построить алгебраически
замкнутое расширение произвольно заданного поля Р и притом
чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следую-
щая
Основная теорема. Для каждого поля Р существует
алгебраически замкнутое алгебраическое расширение Й. С точностью
до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые
два алгебраически замкнутых алгебраических расширения Й, Й' поля
Р эквивалентны.
Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько
лемм:
Лемма 1. Пусть Й — алгебраическое расширение поля Р.
Достаточным условием для того, чтобы й было алгебраически
замкнутым, является разложение на линейные множители любого
многочлена из Р[х] в кольце Й [х].
Доказательство. Пусть f (х) — произвольный многочлен
из й [х]. Если он не разлагается на линейные множители, то
можно присоединить некоторый его корень а и прийти к собст-
венному надполю й'. Элемент а является алгебраическим над й,
а й является алгебраическим расширением поля Р; следовательно,
элемент а алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем
некоторого многочлена g(x) из Р[х]. Этот многочлен разлагается
в й [х] на линейные множители. Следовательно, а —корень неко-
торого линейного множителя в й [х], т. е. принадлежит полю й,
что противоречит предположению.
Лемма 2. Если поле Р вполне упорядочено, то кольцо много-
членов Р [х] может быть вполне упорядочено и притом так, что
в этом упорядочении поле Р будет отрезком.
Доказательство. Определим отношение порядка между
многочленами f (х) из Р [х] следующим образом: пусть f (х) <.g(x),
когда выполнено одно из условий:
1) степень f(x) меньше степени g(x);
2) степень /(х) равна степени g(x) и равна п, т. е.
f (х) = аохп +... + ап, g-(x) = fe0x'14-... + fe„
и при некотором индексе k:
а{ = bt для i < k,
ak<zbk в смысле упорядочения поля Р.
246
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
При этом для многочлена 0 делается исключение: ему присваи-
вается степень 0. Очевидно, что таким способом получается неко-
торое упорядочение, в смысле которого Р [х] вполне упорядочено.
Показывается это так: в каждом непустом множестве многочле-
нов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени;
пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое под-
множество многочленов, коэффициент а0 которых является первым в
смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматривае-
мых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь
подмножество многочленов с первым ах и т. д. Подмножество
с первым а„, которое в конце концов получится, может состоять
лишь из одного-единственного многочлена (так как а0, ..., ап
определяются однозначно благодаря последовательно выполняе-
мому условию минимальности в выборе); этот многочлен является
первым элементом в заданном множестве.
Лемма 3. Если поле Р вполне упорядочено и заданы многочлен
f(x) степени пип символов аъ .... а„, то поле Р (аъ ..., а„),
в котором f(x) полностью разлагается на линейные множители
п
—а;), строится единственным образом и является вполне
1
упорядоченным. Поле Р в смысле этого порядка является отрезком.
Доказательство. Мы будем присоединять корни ах, ..., ап
последовательно, вследствие чего из Р - Р() последовательно будут
возникать поля Р1( .... Рп. Предположим, что Р,- , = Р (ах, ...
..., ai-i) — уже построенное поле и что Р —отрезок в Р/ х; тогда
Р, будет строиться так.
Прежде всего в силу леммы 2 кольцо многочленов P,_j [х]
вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце
на неразложимые множители, среди которых на первом месте
будут стоять х — ...,х — а,-_х; среди остальных множителей
пусть ft (х) будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе
с символом ah обозначающим корень многочлена fi(x), мы опре-
деляем на основе § 39 поле Р/ = Р/ х (а,) как совокупность всех сумм
h- 1
о
где /г —степень многочлена fi(x). Если ft(x) линеен, то, конечно,
мы полагаем Рг = Р;_х; символ аг в этом случае не нужен. По-
строенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего
/г-i
условия: каждому элементу поля У срх1 сопоставим многочлен
о
h — 1
У с~,х'- и элементы поля упорядочим точно так же, как упоря-
О
дочены соответствующие им многочаены.
§ 72] АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ 247
Очевидно, тогда P;_j является отрезком в Р,, а потому и
Р —отрезок в Рг.
Тем самым поля Р1( Р,г построены и вполне упорядочены.
Поле Рп является искомым однозначно определенным полем
Р(а1( а„).
Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое
предшествующее поле является подполем последующего, то объеди-
нение этих полей является полем.
Доказательство. Для любых двух элементов а, р объеди-
нения существуют два поля Sa, S₽, которые содержат а и р и
из которых одно предшествует другому. В объемлющем поле опре-
делены элементы ос + Р и а-0 и именно так определяются эти
элементы в каждом из полей, содержащих аир, потому что
из любых двух таких полей одно предшествует другому и явля-
ется его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциатив-
ности
аР у = a Ру,
найдем среди полей Sa, Sp, SY то, которое содержит два дру-
гих поля (наибольшее); в этом поле содержатся а, р и у и в нем
закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются
все остальные правила вычислений с элементами объединения.
Доказательство основной теоремы распадается на
две части: построение поля Q и доказательство единственности.
Построение поля и доказательство единственности проводятся
с помощью трансфинитной индукции в смысле § 71.
Построение поля Q. Лемма 1 свидетельствует о том, что
для построения алгебраически замкнутого расширения Q поля Р
достаточно построить такое алгебраическое расширение поля Р,
чтобы каждый многочлен из Р [х] разлагался над этим расшире-
нием на линейные множители.
Будем считать, что поле Р, а потому и кольцо многочленов
Р[х], вполне упорядочены. Каждому многочлену f (х) сопоставим
столько новых символов аъ ...,а„, какова его степень.
Далее, каждому многочлену f (х) сопоставим два вполне упо-
рядоченных поля Ру, Sy, которые определяются следующим рекур-
рентным способом.
1. Поле Ру является объединением поля Р и всех полей Д,
Для g<f.
2. Поле Ру вполне упорядочивается так, чтобы Р и все поля
Sg при g<Zf были отрезками в Ру.
3. Поле Sy получается из Ру присоединением всех корней
многочлена f с помощью символов an ..., a„ в соответствии с лем-
мой 3.
Нужно доказать, что таким способом действительно одно-
значно определяются вполне упорядоченные поля Ру, Sy, если
248
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
только уже определены все предыдущие Pg, S?, удовлетворяющие
перечисленным выше требованиям.
Если выполнено требование 3, то прежде всего Ру —отрезок
в Sy. Из этого и из требования 2 следует, что поле Р и каждое
поле Sg (g<f) являются отрезками в Sy. Предположим, что
рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих
индексов f, так что
Р —отрезок в Sft при h<f,
Sg — отрезок в Sft при g<h<f.
Отсюда следует, что поле Р и поля SA(Zz</) составляют
множество того типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно,
объединение этих полей снова является полем, которое в соот-
ветствии с требованием 1 мы должны обозначить через Ру. Струк-
тура вполне упорядоченного поля на Ру однозначно определяется
требованием 2, потому что любые два элемента а, b из Ру при-
надтежат одному из полей Р или Sg и поэтому связаны отноше-
нием a<zb или а>Ь, которое должно сохраняться в Ру. Это
отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р
или S?, которые содержат как а, так и Ь, потому что все эти
поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка
определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное мно-
жество, очевидно, так как каждое непустое множество Э?{ в Ру
содержит по меньшей мере один элемент из Р или из некоторого
поля ST, а потому и первый элемент из ЭЭ1 Q Р или из ЭЛ Q Sg.
Этот элемент одновременно является и первым элементом в ЭЛ.
Таким образом, поле Ру вполне упорядочивается с помощью
требований 1 и 2. Так как поле Sf однозначно определяется
требованием 3, поля Ру и Sy построены.
В силу условия 3 многочлен f (х) полностью разлагается на
линейные множители в поле Sy. Далее, с помощью трансфинит-
ной индукции показывается, что Sy является алгебраическим
над Р. Действительно, предположим, что все поля Sg (§</) уже
алгебраические. Тогда и их объединение с полем Р, т. е. поле Ру,
алгебраическое. Далее, поле Sy в силу условия 3 алгебраично
над Ру, а потому алгебраично и над Р.
Составим теперь объединение Q всех полей Sy; согласно лемме 4
оно является полем. Это поле алгебраично над Р и над ним раз-
лагаются все многочлены / (так как каждый многочлен f разла-
гается уже над Sy). Следовательно, поле Q алгебраически замкну-
то (лемма 1).
Единственность поля Q. Пусть Q и Q'— два поля,
являющиеся алгебраическими и алгебраически замкнутыми рас-
ширениями поля Р. Докажем эквивалентность этих полей. Для
этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построй^
§ 72] АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ 249
для каждого отрезка 21 из Q (само поле £2 также считается од-
ним из таких отрезков) подмножество 21' в й' и некоторый изо-
морфизм
Р(21)^Р(21').
Последний должен удовлетворять следующим рекуррентным соот-
ношениям.
1. Изоморфизм Р (21) Р (2/) должен оставлять каждый эле-
мент поля Р на месте.
2. Изоморфизм Р (21) Р (21') при 23 сд 21 должен быть про-
должением изоморфизма Р (’-В) ~ Р (23').
3. Если 21 обладает последним элементом а, так что 21 = 23 (J {а},
и если а —корень неразложимого в Р ('-В) многочлена /(х), то
элемент а' должен быть первым корнем соответствующего в силу
Р (23) Р (23') многочлена f (х) во вполне упорядоченном поле Q'.
Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно
определяется изоморфизм Р (21) Р (21'), если только он уже оп-
ределен для всех предыдущих отрезков 23 с 21. Здесь необходимо
различать два случая.
Первый случай. Множество 21 не имеет последнего элемента.
Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему
отрезку 23; поэтому 21 является объединением отрезков 23, а по-
тому Р (21) — объединением полей Р (23) для 23 ед 21. Так как каж-
дый из изоморфизмов Р (23) Р (23') является продолжением всех
предыдущих, то каждому элементу а при всех этих изоморфизмах
сопоставляется лишь один элемент а'. Поэтому существует одно
и только одно отображение Р (21) -> Р (2Г), продолжающее все
предыдущие изоморфизмы Р (23) -> Р (23'), а именно — отображение
а ।—► а'. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет
требованиям 1 и 2.
Второй случай. Множество 21 имеет последний элемент а; сле-
довательно, 21 = 23 U {«}• Вследствие требования 3 элемент а', со-
поставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а' над
полем Р (23') (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетво-
ряет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над Р (’В), то
изоморфизм Р (23)->Р (23') (и в том случае, когда 23 пусто, т. е.
тождественный изоморфизм Р -> Р) продолжается до изоморфизма
Р (23, а)->-Р (23', а'), при котором а переходит в а' (§ 41). Каж-
дым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен
однозначно, потому что каждая рациональная функция ср (а)
с коэффициентами из 21 обязательно переходит в функцию ср' (а')
с соответствующими коэффициентами из 23'. То, что так опреде-
ленный изоморфизм Р (21) -> Р (21') удовлетворяет требованиям 1
и 2, очевидно.
Тем самым построение изоморфизма Р (2()->Р (21') завершено. Обо-
значим через Q" объединение всех полей Р(21'); тогда существует
250 БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ [ГЛ. X
изоморфизм Р(й)->й" или й->й", оставтяющий на месте каждый
элемент поля Р. Так как поле Й алгебраически замкнуто,
таким же должно быть и й", а потому й" совпадает со всем по-
лем Й'. Отсюда следует эквивалентность полей й и й'.
Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля
состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит
все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:
Если Й — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение
поля Р и S — произвольное алгебраическое расширение поля Р, то
внутри Й существует расширение So, эквивалентное расширению^.
Доказательство. Продолжим S до некоторого алгебраи-
чески замкнутого алгебраического расширения й'. Оно будет алге-
браическим и над Р, а потому эквивалентным расширению й.
При каком-то изоморфизме, переводящем Й' в Й и сохраняющем
неподвижным каждый элемент из Р, поле S переходит в некото-
рое эквивалентное ему подполе So в Й.
Задача. Доказать существование и единственность расширения поля Р,
которое получается присоединением всех корней заданного множества много-
членов из Р [х].
Замечание. Вместо трансфинитной индукции в таком доказательстве,
как приведенное в этом параграфе, можно использовать лемму Цорна. См.
Цорн (Zorn М.).— Bull. Amer. Math. Soc., 1935, 41, p. 667.
§ 73. Простые трансцендентные расширения
Каждое простое трансцендентное расширение поля А, как
мы знаем, эквивалентно полю частных А (х) кольца многочленов
А [х]. Поэтому мы изучим это поле частных
Й = А(х).
Элементами поля й служат рациональные функции
Это представление можно считать несократимым (fag взаимно
просты). Наибольшая из степеней многочленов f(x) и g (х) назы-
вается степенью функции т].
Теорема. Каждый отличный от константы элемент т] сте-
пени п трансцендентен над А и поле А (х) — алгебраическое рас-
ширение поля А (т]) степени п.
Доказательство. Представление г] = f (x)/g (х) будем счи-
тать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению
£(х)-т]-Ш=0
с коэффициентами из А(г]). Эти коэффициенты не могут быть все
равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и
аА был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициен-
§ 73] ПРОСТЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 251
том многочлена g(x), a bk — ненулевым коэффициентом многочлена
f (х), то должно было бы иметь место равенство
aki}-bk = Q,
откуда ^] = bk/ak — const, что противоречит предположению. Сле-
довательно, элемент х алгебраичен над А (ц).
Если бы элемент г) был алгебраическим над А, то и х был
бы алгебраическим над А, что, однако, не так. Следовательно,
элемент р трансцендентен над А.
Элемент х является корнем многочлена степени п
g(z)i]-f(z)
в кольце А (т)) (г). Этот многочлен неразложим в А (г]) [г], потому
что иначе он был бы разложим и в кольце А [т], г], и, так как
он линеен по tj, один из множителей должен был бы зависеть не
от т|, а лишь от г. Но такого множителя не может быть, потому
что g(z) и /(г) взаимно просты.
Следовательно, элемент х является алгебраическим степени п
над полем А (т)). Отсюда следует утверждение о том, что (А(х):
: А(т])) = п.
Для дальнейшего отметим, что многочлен
^(z)n-Z(z)
не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих
в A[z]). Это утверждение остается верным, когда г| заменяется
своим значением f(x)/g(x) и умножается на знаменатель g'(x);
тем самым многочлен
^(г)/(х)-/(г)^(х)
кольца А [х, г] не имеет множителей, зависящих только от г.
Из доказанной теоремы вытекают три следствия.
1. Степень функции tj = f (x)/g (х) зависит лишь от полей A (tj)
и А (х), а не от того или иного выбора порождающего элемента х.
2. Равенство А (г]) = А (х) имеет место тогда и только тогда,
когда н имеет степень 1, т. е. является дробно-линейной функ-
цией. Это означает: порождающим элементом поля, кроме эле-
мента х, может служить любая дробно-линейная функция от х
и только такая функция.
3. Любой автоморфизм поля А (х), оставляющий на месте
каждый элемент поля А, должен переводить элемент х в какой-
либо порождающий элемент поля. Обратно, если х переводится
„ „ „ ах-\-Ь ,
в какой-либо порождающий элемент х = СЛ._^ и каждая функ-
ция ф (х) — в функцию ср (х), то получается автоморфизм, при
котором все элементы из А остаются на месте. Следовательно,
252
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
Все автоморфизмы поля А (х) над полем А являются дробно-
линейными подстановками
х = , ad — bc^O.
cx-\-d '
Важной для некоторых геометрических исследований является
Теорема Люрота. Каждое промежуточное поле 2, для
которого А с 2 £ А (х), является простым трансцендентным рас-
ширением-. 2=А(0).
Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим
над 2, потому что если т] — любой элемент из 2, не принадле-
жащий полю А, то, как было показано, элемент х является
алгебраическим над А(ц) и тем более алгебраическим над 5.
Пусть неразложимый в кольце многочленов 2 [z] многочлен со
старшим коэффициентом 1 и корнем х имеет вид
f0(z) = zn + aizn-1 + ... + ап. (1)
Выясним строение этого многочлена.
Элементы являются рациональными функциями от х. С по-
мощью умножения на общий знаменатель их можно сделать
целыми рациональными функциями и, кроме того, получить мно-
гочлен относительно х с содержанием 1 (ср. § 30):
f (х, z) = b0 (х) zn + br (х) z"1 +... + Ьп (х).
Степень этого многочлена по х обозначим через т, а по z —
через п.
Коэффициенты a.l = bi/b0 из (1) не могут все быть независимыми
от х, так как иначе х оказался бы алгебраическим элементом
над А; поэтому один из них, скажем,
должен фактически зависеть от х; запишем его в несократимом
виде:
М*)
Степени многочленов g(x) и Л(х) не превосходят т. Многочлен
g(z)-6h (z)=g(z)-j^h(z)
(не являющийся тождественным нулем) имеет корень г = х,
а потому он делится на f0 (z) в кольце 2 [г]. Согласно § 30, если
перейти от этих рациональных по х многочленов к целым по х
многочленам с содержанием 1, то отношение делимости сохра-
нится, и мы получим
h(.x)g(z) -g(x)h(z) = y(x, z)f(x, z).
§ 73] ПРОСТЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 253
Левая часть в этом равенстве имеет степень по х, не превосхо-
дящую т. Но справа уже многочлен f имеет степень т; следо-
вательно, степень левой части в точности равна т и q(x, г) не
зависит от х. Однако зависящий лишь от z множитель не может
делить левую часть (см. выше); поэтому q (х, г) является кон-
стантой:
h(x)g(z)-g(x)h(z) = q-f(x, z).
Так как присутствие константы q роли не играет, строение мно-
гочлена f (х, z) описано полностью. Степень многочлена f (х, z)
по х равна т; следовательно (по соображениям симметрии), и
степень по z равна т, так что т = п. По меньшей мере одна из
степеней многочленов g(x) и /г(х) должна фактически достигать
значения т; следовательно, и функция 6 должна иметь степень т
по х.
Тем самым, так как с одной стороны установлено равенство
(Д (х): Д (9)) = т,
а с другой — равенство
(Д (х): 2) =т;
то, поскольку 2 содержит Д(9),
(2:Д(9)) = 1,
2 = Д(9).
Теорема Люрота имеет следующее значение для геометрии.
Плоская (неприводимая) алгебраическая кривая F (£, т]) = 0 называется
рациональной, если ее точки, за исключением некоторого конечного числа из
них, представляются рациональными параметрическими уравнениями
g=/w.
n=g(0-
Может оказаться так, что каждая точка кривой (за исключением конечного
числа) получается при нескольких значениях параметра t. (Например:
для t и — t получается одна и та же точка.) В силу теоремы Люрота с помощью
удачного выбора параметра это явление всегда можно обойти. Действительно,
пусть Д —поле, которое содержит коэффициенты функций /, g, и t — какая-
нибудь переменная. Тогда 2 = Д (/, g) является подполем поля Д (/). Если f —
примитивный элемент поля 2, то
/(£) = /1 (/') (рациональная функция),
g(l)=gi(t') (рациональная функция),
Z'=<P(A £) = ф(1> П)>
и легко проверить, что новое параметрическое представление
l=fi (t'),
ir=gi(!')
254
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ X
дает ту же кривую; в то же время знаменатель функции <[. (х, у) обращается
в нуль лишь в конечном числе точек кривой, так что всем точкам кривой (за
исключением конечного числа) соответствует лишь одно значение параметра t'.
Задача. Если поле Д (х) нормально над некоторым подполем Д(ц), то
многочлен (1) разлагается в нем на линейные множители. Все эти линейные
множители получаются из одного из них какой-либо дробно-линейной подста-
новкой от х; например, из множителя г — х. Эти дробно-линейные преобразо-
вания составляют конечную группу, оставляют инвариантной функцию 0 —
= g(x)/ft(x) и этим определяются однозначно.
§ 74. Алгебраическая зависимость
и алгебраическая независимость
Пусть й — расширение заданного поля Р. Элемент v из Q
называется алгебраически зависимым от иъ ..., ип, если v ал-
гебраичен над полем Р(иъ .... ип), т. е. если v удовлетворяет
алгебраическому уравнению
а0 (и) v" + «г («) .. + ag (и) — О,
коэффициенты а0 (и), ..., ag(u) которого являются многочленами
от щ, ..., ип с коэффициентами из Р и не все равны нулю.
Отношение алгебраической зависимости обладает следующими
основными свойствами, аналогичными основным свойствам отно-
шения линейной зависимости (см. § 20):
Основная теорема 1. Каждый элемент щ (t = 1, ..., ri)
алгебраически зависит от элементов ии .... ип.
Основная теорема 2. Если v алгебраически зависит от
ult ..., и„, но не от ut, , ипЛ, то ип алгебраически зависит
от ult ..., un-lt v.
Доказательство. Будем считать, что ц1, ..., ип^ при-
соединены к основному полю. Тогда v алгебраически зависит от
«п, т. е. имеет место алгебраическое соотношение
а0 (и„у v + аг (и„) 4-... 4- ag (ип) = 0. (1)
Расположим это уравнение по степеням элемента тогда
Ьо (у) (v) uh~14-... 4- bh (v) = 0. (2)
Согласно условию элемент v трансцендентен над полем Р (нь ...
..., Un-j). Многочлены bti (v), ..., bh (v) по этой причине либо
тождественно равны нулю как многочлены от и или отличны от
нуля. Все они, однако, не могут быть тождественно равны нулю
по v, так как иначе левая часть в (1) была бы тождественным
нулем по v, т. е. выполнялись бы равенства а0 (ип) = аг (ип) =...
.. , = ag (ип) = 0, что противоречит условию. Следовательно, не все
входящие в (2) коэффициенты bk (у) равны нулю; тем самым,
в силу (2) элемент ип алгебраически зависит от v над полем
Р (wi> • • 1 а„ i).
§ 74] алгебраическая зависимость 255
Основная теорема 3. Если элемент w алгебраически
зависит от vt, .... vs и каждый (J = \, . ,.,s) алгебраически
зависит от ult .... и„, то w алгебраически зависит от и 1( ..., ип.
Доказательство. Если w — алгебраический элемент над
полем Р (г?ь ... , vs), то он будет алгебраическим и над Р (иъ ...
ип, .... vs), а это поле алгебраично над Р(И], .... ип).
Поэтому в силу § 41 элемент w алгебраичен над Р(мп ип),
что и требовалось доказать.
В силу этих основных теорем об алгебраической зависимости
справедливы и следствия из них, аналогичные сформулирован-
ным в § 20; в частности, справедлива теорема о замене.
Аналогом понятия линейной независимости может служить
понятие алгебраической независимости: элементы ut, ... , ип на-
зываются алгебраически независимыми над основным полем Р,
если ни один из них не является алгебраически зависимым от
остальных. Имеет место
Теорема. Элементы иъ , иг алгебраически независимы
тогда и только тогда, когда из
f(ult ..., иг) = 0,
где f — многочлен с коэффициентами из Р, следует равенство нулю
всех коэффициентов многочлена f.
Доказательство. Если f (ых, ..., иг) = 0 имеет своим след-
ствием равенство нулю многочлена f, то, очевидно, ни один
из элементов и,- не может быть алгебраически зависимым от осталь-
ных иГ Пусть, наоборот, элементы uY, ..., иг алгебраически неза-
висимы. Если
f (Мц ..., иг) = 0
и если многочлен f расположен по степеням элемента иг, то коэф-
фициенты fi(Ui, ..., Ur^) этого многочлена оказываются тождест-
венно равными нулю. Расположим эти коэффициенты-многочлены
по степеням элемента ыл_х и точно так же установим, что и их
коэффициенты тождественно равны нулю; продолжая таким обра-
зом, мы в конце концов установим, что коэффициенты многочлена
f равны нулю.
Согласно этой теореме элементы иъ ..., иг при условии, что
они алгебраически независимы, пе связываются никаким алгеб-
раическим уравнением. По этой причине их называют независи-
мыми трансцендентными элементами.
Если и1( ..., иг алгебраически независимы и гх, ..., гг — пере-
менные над полем Р, то каждому многочлену f (гп ..., гг) с коэф-
фициентами из Р можно взаимно однозначно сопоставить много-
член f (иъ .иг). Поэтому Р [гх, ..., zr] -'Е Р [ult ..., иг]. Из
существования этого изоморфизма колец многочленов следует
256
весконёчнЫё расширения полей
(гл. х
существование изоморфизма полей частных:
Р (гп .... гг) («!, ..., иг).
Таким образом, независимые трансцендентные элементы иъ ...
..., иг совпадают в смысле алгебраических свойств с обычными не-
зависимыми переменными.
Понятия алгебраической зависимости и независимости могут
быть введены и для бесконечных множеств. Элемент v называ-
ется (алгебраически) зависимым от множества ЭЛ (над основным
полем Р), если он алгебраичен над полем Р (3D1), т. е. удовлет-
воряет некоторому уравнению, коэффициентами которого являются
рациональные функции от элементов множества ЭЛ с коэффициен-
тами из поля РJ). В этом случае упомянутое уравнение с по-
мощью умножения на произведение знаменателей коэффициентов
можно сделать целым рациональным уравнением с элементами
из ЭЛ. В такое уравнение входит лишь конечное число элементов
ыь ..., ип множества ЭЛ, поэтому:
Если элемент v зависит от ЭЛ, то v зависит от конечного
числа элементов иь .... ип из ЭЛ.
Выберем конечное множество {иь ..., ип} так, чтобы ни один
из его элементов не был лишним; тогда в силу основной теоремы
2 каждый элемент ы,- зависит от v и от остальных и,.
Основная теорема 3 без оговорок переносится на случай бес-
конечных множеств:
Если и зависит от ЭЛ и каждый элемент из ЭЛ зависит от Л,
то и зависит от Э1.
Множество 9? называется (алгебраически) зависимым от мно-
жества ЭЛ, если все элементы из 91 зависят от ЭЛ. Если 91 зави-
сит от ЭЛ, а ЭЛ зависит от £', то 91 зависит от £.
Если два множества ЭЛ и Л зависят друг от друга, то они
называются эквивалентными (над Р). Отношение эквивалентности,
введенное таким путем, является рефлексивным, симметричным
и транзитивным.
Множество ЭЛ называется алгебраически независимым (над Р),
если ни один из его элементов не зависит алгебраически от
остальных. В этом случае говорят также, что множество ЭЛ «сос-
тоит из независимых трансцендентных элементов».
Если множество ЭЛ алгебраически независимо, то соотношение
между элементами ЭЛ вида
/(«1, «г) = 0,
где / — многочлен с коэффициентами из Р, может выполняться
лишь тогда, когда / тождественно равен нулю:
f(xlt ..., xr) = 0 (для переменных х{).
Элемент зависит от пустого множества, если он алгебраичен над Р,
§ 75] СТЕПЕНЬ ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ 257
Если построить кольцо многочленов Р[Д] от стольких пере-
менных х{, сколько элементов в ЭЛ (неважно, конечно или беско-
нечно это множество) и каждому многочлену f(xi, хг) сопос-
тавить элемент поля f (щ, .иг), то, очевидно, получится неко-
торый гомоморфизм кольца многочленов на кольцо Р [ЭЛ] элементов
поля /(«!, ..., иг). Если ЭЛ алгебраически независимо, то раз-
личные многочлены переходят в различные элементы поля; следо-
вательно, в этом случае получается изоморфизм
Р [X] Г=Р [ЭЛ].
Из изоморфизма колец многочленов вновь следует изоморфизм
полей частных. Тем самым доказана теорема:
Поле Р (ЭЛ), получающееся присоединением алгебраически незави-
симого множества ЭЛ к полю Р, изоморфно полю рациональных
функций от множества переменных %, равномощного множеству
ЭЛ, т. е. полю частных кольца многочленов Р [Д].
Каждое поле Р (ЭЛ), которое получается присоединением алгеб-
раически независимого множества ЭЛ к Р, называется чисто
трансцендентным расширением поля Р. Строение чисто трансцен-
дентных расширений полностью описывается предыдущей теоремой:
каждое такое расширение изоморфно полю частных некоторого
кольца многочленов. Таким образом, строение поля Р (ЭО?) зави-
сит лишь от мощности множества ЭЛ: эта мощность называется
степенью трансцендентности', ей посвящен следующий параграф.
§ 75. Степень трансцендентности
Мы покажем, что каждое расширение данного поля может
быть разложено на некоторое чисто трансцендентное расширение
и следующее за ним алгебраическое расширение. В основе рас-
суждений лежит теорема:
Пусть £1 — произвольное расширение поля Р. Тогда каждое под-
множество ЭЛ поля Q эквивалентно в смысле алгебраической зави-
симости некоторому своему подмножеству ЭЛ', являющемуся алгеб-
раически независимым.
Доказательство. Пусть ЭЛ вполне упорядочено. Подмно-
жество ЭЛ' определим следующим образом: элемент а из ЭЛ при-
надлежит ЭЛ', если а не зависит алгебраически от предшествую-
щего ему отрезка ЭД. Тогда о множестве ЭЛ' можно высказать
и доказать следующие утверждения:
1. Множество ЭЛ' алгебраически независимо. Действительно,
если бы некоторый его элемент аг зависел от элементов а2, ..., ak,
то множество {а2, ..., ak} можно было бы выбрать минимальным
и тогда каждый элемент at зависел бы от всех остальных. В част-
ности, последний в смысле имеющегося порядка элемент at зависел
258
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ X
бы от остальных элементов. Но тогда этот последний (в силу
определения множества ЭЛ') не мог бы принадлежать множеству ЭЛ'.
2. Множество ЭЛ зависит от ЭЛ'. Действительно, в противном
случае в ЭЛ существовал бы первый элемент а, не зависящий от
ЭЛ'. Элемент а не принадлежит множеству ЭЛ', а потому зависит
от предшествующего отрезка 81, который в свою очередь (ведь
а —первый не зависящий от ЭЛ' элемент) зависит от ЭЛ'. Тем
самым элемент а зависит от ЭЛ', что противоречит предположению.
Дополнение. Если ЭЛссЛ, то каждая эквивалентная мно-
жеству ЭЛ алгебраически независимая подсистема ЭЛ' в ЭЛ может
быть дополнена до алгебраически независимой подсистемы в 91,
эквивалентной множеству Л.
Доказательство. Сделаем множество Л вполне упорядо-
ченным так, чтобы элементы множества ЭЛ оказались предшест-
вующими остальным элементам объемлющего множества, и пост-
роим систему 91' из 91 аналогично тому, как строилась система
ЭЛ' из множества ЭЛ в предыдущей теореме. Очевидно, Л' содер-
жит среди прочих и элементы из ЭЛ'.
Система ЭЛ' называется неприводимой.
Задача 1. Провести доказательство этой теоремы с помощью леммы
Цорна, примененной к замкнутому множеству А всех алгебраически независимых
подмножеств из WI.
Согласно предыдущей теореме каждое расширение Q поля Р
можно рассматривать как некоторое алгебраическое расширение
поля Р (©), где © — неприводимая система, а потому Р (<©) —
чисто трансцендентное расширение поля Р. Таким образом, это
означает, что поле Q получается из Р с помощью некоторого
чисто трансцендентного расширения и последующего чисто алгеб-
раического расширения.
Построенная в предыдущих теоремах неприводимая система
ЭЛ' является, конечно, не единственной; однако мощность этой
системы (и тип чисто трансцендентного расширения Р (ЭЛ)) опре-
делена однозначно. Действительно, имеет место теорема:
Две эквивалентные алгебраически независимые системы ЭЛ,
Л равномощны.
По поводу общего доказательства этой теоремы можно ука-
зать оригинальную работу Штейница в J. reine angew. Math.
137, а также книгу: Г а у пт (Haupt О.). Einfuhrung in die Algebra
II, Кар. 23,6. Важнейший частный случай имеет место тогда,
когда по крайней мере одна из систем ЭЛ, 91 конечна. Напри-
мер, если ЭЛ состоит из г элементов щ, ..., иг, то согласно
следствию 4 (§ 20) в 91 имеется не более г элементов, так что
и Л — конечное множество; поскольку на том же основании ЭЛ
не может иметь больше элементов, чем 91, множества ЭЛ и 91
равномощны.
§ 76] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 259
Однозначно определенная мощность алгебраически независимой
системы ЭЛ, эквивалентной полю й, называется степенью тран-
сцендентности поля й над полем Р.
Теорема. Расширение, получающееся в результате двух пос-
ледовательных расширений (конечных) степеней трансцендент-
ности s и t, имеет степень трансцендентности s +1
Доказательство. Пусть Р s 2 s й. Пусть ® — система,
алгебраически независимая над Р, эквивалентная полю 2 и при-
надлежащая 2, и пусть 5 —система, агебраически независимая
над 2, эквивалентная полю й и содержащаяся в й. Тогда ©
имеет мощность з, имеет мощность t и множество @ не пере-
секается с так что объединение имеет мощность s-[-t
Если мы сможем установить, что система алгебраически
независима над Р и эквивалентна полю й, то требуемое будет
доказано.
Поле й является алгебраическим над 2 (^), а 2 — алгебраи-
ческим над Р (®); следовательно, й является алгебраическим
над Р (@, 5), т. е. эквивалентным системе S J 5.
Если бы существовало какое-либо алгебраическое соотноше-
ние между конечным множеством элементов из @ J $ с коэффи-
циентами из Р, то в него прежде всего не могли бы входить
элементы из 5, потому что иначе существовало бы соотношение
между этими элементами с коэффициентами из 2, что противо-
речит алгебраической независимости множества 5. Таким обра-
зом, алгебраическое соотношение оказалось бы соотношением
лишь между элементами из <25, что противоречит их алгебраи-
ческой независимости. Следовательно, множество является
алгебраически независимым над Р, чем и завершается доказа-
тельство.
§ 76. Дифференцирование алгебраических функций
Введенное в § 27 определение производной многочлена f(x)
без каких-либо дополнений переносится на рациональные функ-
ции одной переменной
’’«и
с коэффициентами из поля Р. Действительно, составим выраже-
ние
Ф (х + /г) — ф (х)
_f(x + h)g(x)—f(x)g(x + h)_
g(x)g(x+h)
1) Эта теорема справедлива и для бесконечных степеней трансцендентности,
но для этого надо ввести понятие сложения бесконечных мощностей, о котором
мы не говорили,
260
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
тогда числитель этой дроби обращается в нуль при /1 = 0; следо-
вательно, у него есть множитель h. Разделим обе части на /г;
получится
ф (* + ^) — <Р (х) = д (х, h) .
h g(x)g(x+h) • ' '
Правая часть является рациональной функцией по h, которая
при h = 0 принимает вполне определенное значение, так как зна-
менатель при Я = 0 не обращается в нуль. Это значение рацио-
нальной функции мы называем дифференциальным отношением
или производной <р' (х) рациональной функции (х):
<P'W = ^ = ^.. (2)
Чтобы фактически вычислить q (х, 0), разложим числитель
правой части в (1) по возрастающим степеням /г, разделим на
h. и положим /1 = 0; тогда
Q (х, 0) = f (х) g (х) - f (х) g' (х);
при подстановке этого выражения в (2) получается известная
формула для производной частного:
_d f(x) = f (x)g(x)-f(x)g’ (х)
dxg(x) g(xy
Пусть /?(«], ..., ып) — произвольная рациональная функция;
пусть R'i, ..., R'n — ее частные производные по переменным
и пусть фх, .... <рл — рациональные функции от х.
Выведем формулу для полной производной:
п
.... <Р«) = 2^(ф1’ •••’ &
1
Для этой цели в соответствии с определением производной
положим
<pv (х + h) — <pv (х) = /i3pv (х, h), ipv (х, 0) = ф(.(х),
и
+ •••> un + hn) — R(ult «„) =
n
= 2 (W1 ^1» • • •» ^v4~^v» ^v+1» • •» —
v = 1
(Wj —J— • • • , ^v+1» • • > }==
n
= hvSv (&i /ц, llyj • • • j un), (4)
V = 1
где
Sv ' • • > «V, ^v+1» • ' * > ^n) == (^1» • • • > ^-n)*
§ 76] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 261
Положим в тождестве (4)
«v = <Pv (х)> h-v = *Pv (х 4- h) — q>v (х) = /ii|\ (х, h)
и разделим полученное выражение на h:
R(<fi(,x+h).<ря(х+/г)) —/?(ф!(х)..<р„(х)) _
д
п
= 2 4v(*> /l) Sv (Ф1 + Ml.....Tv. Mv. <Pv+l, фи)-
V=1
Положим справа /г = 0; тогда
R (ф!, ..., фл) = 2 <₽v W (Ф1, ...» фл).
чем и доказывается (3).
Попытаемся распространить теорию дифференцирования на
алгебраические функции одной переменной х. Под алгебраиче-
ской функцией одной переменной х мы понимаем произвольный
элемент ц алгебраического расширения поля Р (х).
Мы будем считать, что элемент ц сепарабелен над Р (х).
Таким образом, алгебраическая функция ц является корнем
некоторого неразложимого над Р (х) сепарабельного многочлена
Производные многочлена F (х, у) по х и у обозначим соответ-
ственно через F'x и F'y. В силу сепарабельности многочлен F'y (х, у)
не имеет общих корней с F (х, у)\ следовательно,
F'y(x, п)=#0.
Для разумного определения производной dx\/dx нужно потре-
бовать, чтобы многочлен F (х, у) удовлетворял формуле полной
производной
FxU + У) = 0.
Положим по определению
<й) _ Fx(x, ц)
dx Fy(x, Г])- '°'
Сразу усматривается, что это определение не зависит от вы-
бора многочлена F (х, у), потому что если F (х, у) заменить на
S (х, у) ф (х), где ф (х) — произвольная рациональная функция
от х, то F'x (х, ц) и F'y (х, ц) в (5) заменятся на
Р’х(х, ц) ф(х)4-^(х, ц).ф' (x)—F'x(x, 1]) ф(х)
262
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ X
и на
Fy{x, -ri) -Tp(x),
что не изменит соотношения (5).
В частности, если -q = с — константа из Р, то х не входит
de
в уравнение, определяющее элемент т), поэтому = 0.
Пусть £ —произвольный элемент поля Р (х, -q), т. е. некото-
рая рациональная функция от х и т), целая рациональная по тр
£ = <р(х, л)-
Для этой функции мы докажем следующую формулу полной
производной:
g=T'(x, л)+фИ*, л)§. (6)
где ср* и еру — производные от ср (х, у) по х и по у. С этой целью
составим уравнение, определяющее £, которое можно считать
целым рациональным по х и
G(x, 0 = 0;
подставим в него выражение ф(х, л) для С и затем заменим л
на переменную у. Полученный многочлен от у имеет корнем л и
потому делится на F (х, у):
G(x, <р(х, y)) = Q(x, y)F(x, у).
Если продифференцировать это тождество по х и у с помощью
формулы полной производной (3), то получится
с;(х, ф (х, y)) + G'z(x, ф(х, //))фЖ У) = QF'x + Q'xF (х, у), )
G'(x, ф(х, у))(р'у(х, y) = QFy + Q'yF(x, у). |
Заменим теперь у опять на л, благодаря чему члены с F (х, у)
обратятся в нуль; в соответствии с определением (5), далее,
F'x(x, л) = — Fy(x, л)^,
сдх, у=-с;(х, ?)£.
Отсюда получается, что
- G'z (х, Q^ + G'z (х, С) <Рх (х, л) = — Q (х, л) Fy (х, л) §, ]
G'z(x, ?)фДх, л) = <№ лИЖ л)- *
Умножим второе равенство на прибавим к первому, и раз-
§ 76] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 263
делим полученное равенство на G'z\ получим
+ 11) + (рИ*. т1)§ = 0,
что и доказывает (6).
После того как с помощью проведенного вычисления уста-
новлен частный случай (6), не представляет труда доказательство
общей формулы полной производной. Соответствующее правило
таково: если т]1( ц„ — сепарабельные алгебраические функции
от х из некоторого поля и R(ult .... ип) — многочлен с производ-
ными Ry, то
п
^(111, .....................(7)
1
Доказательство. Пусть 6 — примитивный элемент сепара-
бельного расширения Р (х, -пг, .... т]„) поля Р(х). Тогда все r)v
являются рациональными функциями от х и 6:
тц, = <pv (х, 6).
Согласно (6), если фД и ф^ — производные от <pv (х, t) по х
и по t, то
^ = q>;v(x, е)+<р;дх,
и, равным образом, если R'x и R't — производные функции
Я(Ф1(х, t), ф„(х, /)),
то
•••. Пл)=^Жф1(*, 8), .... фл(Х, 0)) =
—R'x{x, 0)+#(*. 0)~.
Но в силу (3)
0 = 5^(Фх(а:, 0......<р„(х, 0)<Pvx(x, 0,
1
R't (х, t) = ^Ry (фх (х, t), ..., ф„ (х, 0) ф^ (х, 0;
1
следовательно,
= 2^(Ф1(х, ....ч>л^’ 6)){т^(х, 8) + ф;Дх, 0) =3
1 1
....Пл)6^.
1
264
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
Вот важнейшие частные случаи общей формулы (7):
= Ф1 1 dZ. dx ' dx ’ (8)
d <. d-Л d£ . dr] = ^dx+dx 0, (9)
d г] dx £ —2 />Ф1_ П dx di\ Л~? ; 1 dx/ (10)
d г т Л dx 1 r i dn = rriA1 -jX . 1 dx (H)
Определение производных (5) применимо, конечно, не только
тогда, когда х — переменная, но и тогда, когда х — любой транс-
цендентный относительно Р элемент, а т] — алгебраический сепара-
бельный элемент над Р(х). В этом случае элемент х предпочти-
тельнее обозначать через О Таким образом, в любом поле степени
трансцендентности 1 над Р все элементы т), сепарабельные над
Р (О, можно дифференцировать по трансцендентному элементу %.
Если л и £ алгебраически зависят от то поле Р (£, т], О
имеет степень трансцендентности 1 над Р. Если теперь г] транс-
цендентен над Р, то £ алгебраически зависит от тр Предположим,
что £ сепарабелен над Р (т]); тогда можно построить dZjdx\. Если
G(t], 0 = 0 (12)
— он; оделяющее уравнение элемента £ над Р (т;) и если G'y и
Сг — частные производные многочлена G (у, г), то
с;(л, о + сил, of = о. (13)
С другой стороны, если продифференцировать (12) по Е, то в со-
ответствии с формулой полной производной получится
СИЛ, О^ + СИЛ, Of = о.
Если (13) умножить на f и вычесть из (14), то
формула производной сложной функции
d£ d'Q dr]
4 — <*r) ’ dg '
В частности, при £ = £ она дает
dl ф| = 1
dr] ’ dg
Таким образом, мы получили чисто алгебраически,
гая к понятию предела, все обычные правила дифференциального
исчисления для алгебраических функций одной переменной.
равенство
(14)
получится
(15)
(16)
не прибе-
Глава одиннадцатая
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
При изучении полей алгебраических чисел важны некоторые
неалгебраические свойства чисел, например, абсолютное значение
\а\, вещественность, положительность. То, что эти свойства
определяются с помощью алгебраических операций -j- и не одно-
значно, может быть показано на следующем примере.
Пусть (Q — поле рациональных чисел и w — некоторый веще-
ственный и, значит, iw — чисто мнимый корень уравнения х1 = 2.
При изоморфизме
(Q (да) (Q (/да)
сохраняются все алгебраические свойства, но этот изоморфизм
переводит вещественное число да в чисто мнимое число iw, по-
ложительное число да2 = ]/2 — в отрицательное число (/да)2 =
= — 2, в то время как число с модулем, большим 1,
переводится в число 1 — У2 с модулем, меньшим 1.
Однако в ходе дальнейшего исследования мы увидим, что
этим неалгебраическим свойствам присущи некоторые алгебраичес-
кие черты, а именно: в поле алгебраических чисел (т. е. в алгеб-
раически замкнутом алгебраическом расширении поля (Е)) можно
выделить не одно подполе, а целое семейство подполей, каждое
из которых алгебраически эквивалентно полю вещественных алгеб-
раических чисел, и это семейство можно охарактеризовать алгеб-
раическими свойствами. При определенном выборе такого поля,
элементы которого можно определить как «вещественные», модули
и положительность вводятся чисто алгебраически.
Но прежде чем перейти к этой алгебраической теории, напо-
мним обычное в анализе введение вещественных и комплексных
чисел; мы сделаем это не по причинам логической необходимо-
сти, а для того, чтобы была яснее соответствующая задача чисто
алгебраической теории, предполагающей уже известным факт
существования вещественных и комплексных чисел, а также
ввиду принципиального значения понятий упорядочения и фун-
даментальной последовательности.
266
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
§ 77. Упорядоченные поля
В этом параграфе аксиоматически исследуется первое неал-
гебраическое свойство — положительность, а также основанное
на нем понятие упорядочения.
Поле К называется упорядоченным, если для его элементов
определено свойство быть положительным (обозначается: >0),
удовлетворяющее следующим условиям:
1. Для каждого элемента а из К имеет место ровно одно
из соотношений:
а = 0, а > 0, — а > 0.
2. Если а>0 и /;>0, то a-\-b>G и ab>0.
Если — а>0, то мы говорим, что элемент а отрицателен.
Если в некотором упорядоченном поле мы определим соот-
ношение
а>Ь (словами: а больше Ь)
(или b<z.a; словами: b меньше а),
как имеющее место тогда и только тогда, когда а — b > 0, то
без труда показывается, что получится упорядочение, удовлет-
воряющее аксиомам. В самом деле для любых двух элементов
а, b либо а<Ь, либо а = Ь, либо а>Ь. Из и Ь>с сле-
дует, что а — Ь>0 и Ь — с > 0, так что а — с = (а — Ь) + (Ь — с) > 0
и, следовательно, а>с. Далее, как и в § 3, имеет место сле-
дующее правило: из аР>Ь следует, что а-\-с>Ь-\-с, а в случае
с > 0 — и соотношение ас > Ьс. Наконец, если а и b положительны,
то из а > b следует, что а-1 < Е1 (и наоборот), так как
ab (Ь-1 — а-1) =а — Ь.
Будем подразумевать под абсолютной величиной или модулем
|а| произвольного элемента а некоторого упорядоченного поля
неотрицательный из элементов а и —а; тогда будут выполнены
следующие правила:
| ab | = I а | • | b |,
| а + b | | а | +1 b |.
Первое без труда проверяется для всех четырех возможных
случаев: а2 s0, Ь^ 0;
«2 э0, ь< 0;
а < со, Ь^ 0;
а < со, ь< 0.
Второе правило, очевидно, имеет место при одинаковых знаках,
так как в этом случае обе части соотношения (левая и правая)
§ 77]
УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ
267
являются неотрицательными элементами, равными а-\-Ь при
аЭ=0, и — (а+ 6) при а<0, &<0. Из четырех возмож-
ных случаев остается рассмотреть лишь оставшиеся два; доста-
точно рассмотреть один из них: а О, Ь<0. В этом случае
a-j-b <.a<_a — b — \a\ + \b\,
-a — b^ — b^a — b — \a\-]-\b\
и, следовательно,
I I I а IН-1 Ь ].
Кроме того,
О2 = (_ Д)2 = | а [2 О
со знаком равенства лишь при п = 0. Отсюда следует, что сумма
квадратов обязательно больше или равна нулю, причем равна
нулю лишь при нулевых слагаемых.
В частности, элемент 1 = 12 всегда положителен, как и суммы
п 1 = 1 + 1 + . ..+1. Поэтому никогда не может быть выполнен-
ным равенство п • 1 = 0. Следовательно: характеристика упорядо-
ченного поля равна нулю.
Лемма. Если К — поле частных кольца ER и кольцо 91 упо-
рядочено, то поле К можно упорядочить и притом только одним
способом так, чтобы полученное упорядочение на 31 совпадало
с исходным.
Действительно, пусть К упорядочено нужным способом. Про-
извольный элемент из К имеет вид а = Ь/с (Ь и с лежат в 31 и
с=#0). Из
— >0, соответственно -- = 0, соответственно — <0,
с с с
с помощью умножения на с2 следует, что
Ьс > 0, соответственно Ьс = 0, соответственно Ьс < 0.
Тем самым любой порядок на К однозначно определяется упо-
рядочением на 31. Обратно, легко показывается, что с помощью
условия:
— > 0, если Ьс > 0,
с
упорядочение на К фактически определяется и при этом сохра-
няется упорядочение на 31.
В частности, поле рациональных чисел Q может быть упо-
рядочено только одним способом, потому что кольцо Z целых
чисел допускает, очевидно, только один— естественный— поря-
док. Таким образом, m/n>0, если т п — натуральное число.
Каждое упорядоченное поле содержит поле (Q и сохраняет на
последнем его естественный порядок.
268
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Два упорядоченных поля называют порядково изоморфными,
если существует изоморфизм между этими полями, переводящий
положительные элементы в положительные.
Упорядоченное поле называется архимедовымт), если при
заданном упорядочении для каждого элемента поля а существует
«натуральное число» п>а. Тогда для каждого а есть и число
— п<_а, для каждого положительного а существует дробь - <С
<а. Например, поле рациональных чисел архимедово. Если
упорядоченное поле не является архимедовым, то существуют
«бесконечно большие» элементы, превосходящие каждое рациональ-
ное число, и «бесконечно малые», которые превосходят нуль,
но меньше любого рационального числа.
Литература о неархимедовых полях Артин и Шрайер (Art in Е , Schrei-
ег О) Algebraische KorMruktion reeler Korper —Abh Math Sem Univ.
Hamburg, 1926, 5, S. 83—115, Бэр (Baer R) Uber nichtarchimedisch geor-
dnete Korper.—Sitzungsber Heidelb. Akad , 1927 8 Abh
Задача 1. Назовем многочлен f(t) с рациональными коэффициентами
положительным, если коэффициент при старшей степени переменной положи-
телен Показать что таким образом определяется некоторое упорядочение
конца многочленов Q [Z], а потому и поля частных Q (I), причем это последнее
упорядочение не является архимедовым (элемент t «бесконечно велик»)
Задача 2. Пусть
f (х) = хп + + .. + ап,
где аг принадлежит некоторому упорядоченному полю К. Пусть М — наиболь-
ший из элементов 1 и | гц | + ... -|-| ап | Показать, что
f (s) > 0 для s > М,
(s) > 0 для 5 <—М.
Следовательно, если у f (х) есть корни в К, то все они принадлежат области
Задача 3 Пусть по-прежнему f (х) = хп -J-a1xn~1-j- и все коэф-
фициенты а, больше или равны некоторому элементу —с, где с 3=0. Пока-
зать, что f (s) > 0 для s>l-]-c (Воспользоваться неравенством
sm>c(sm i + sm-2_|_ _|_1))
С помощью замены х на —х определить тем же способом границу —1—с'
так, чтобы было (—1)л/(«)>0 для s<—1—с'. Ес ди, кроме старшего коэф-
фициента 1, и все av ., аг положительны, то границу 1-]-с можно заменить
“ 1+i+ai+c-: +<,,
!) Аксиома Архимеда в геометрии звучит так если Р, Q — любые задан-
ные точки, то, отложив любой заданный ненулевой отрезок («единичный отре-
зок») от точки Р («нулевой точки») в направлении PQ достаточно много раз,
можно перешагнуть через точку Q.
§ 78]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
269
§ 78. Определение вещественных чисел
Для каждого упорядоченного поля К мы построим упорядо-
ченное расширение Q, в котором окажется выполненной известная
теорема Коши о сходимости. В частности, если К —поле рацио-
нальных чисел, то И будет полем «вещественных чисел». Из раз-
личных известных в анализе способов построения поля Q мы пред-
ложим здесь канторов способ «фундаментальных последователь-
ностей».
Бесконечная последовательность элементов яь я2, ... из неко-
торого упорядоченного поля К называется фундаментальной после-
довательностью {ov}, если для каждого положительного е из К
существует натуральное число п = п (е) такое, что
\ар — а?|<е для р>п, q>n. (1)
Из (1) для <? = п+1 следует, что
\ap\^\aq\ + \ap-aq\^ |a„rl| + s = Al при р>п.
Таким образом, каждая фундаментальная последовательность огра-
ничена.
Сумма и произведение фундаментальных последовательностей
определяются равенствами
Сп = “Ь = в-п^п'
То, что сумма и произведение тоже являются фундаменталь-
ными последовательностями, показывается так: для каждого е>»0
существуют пг и п2 такие, что
|ар-а?|<-2-е при р>пъ q>ny,
!&р-М<те при p>«2. q>n2.
Пусть п — наибольшее из чисел пь п2, тогда
|(ар + &р)-(а9 + ^)|<е для р>п, q>n.
Аналогично, пусть и Л1а таковы, что
\ар\<М1 при р>пъ
| Ьр | < М2 при р > п2,
и, далее, для каждого е > 0 пусть п' п2 и п" > пг таковы, что
I ар - aq | < при р>п, q>n,
\bp~bi\<^ ПРИ Р>п"> Я>п".
270
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Отсюда с помощью умножения на | Ьр |, соответственно на | aq |,
получаем
| аРЬр — aqbp | < при р>п', q>n',
\aqbp — aqbq\<~ при р>п", q>n".
Следовательно, если п — наибольшее из чисел п' и п", то
| apbp — aqbq | < е при р>п, q>n.
Очевидно, что сложение и умножение фундаментальных после-
довательностей удовлетворяют аксиомам кольца; таким образом:
фундаментальные последовательности образуют некоторое кольцо о.
Иуль-последовательностью называется фундаментальная после-
довательность {ар}, которая «сходится к 0», т. е. такая, что
для любого е>0 существует п со свойством
| ар | < е при р>п.
Покажем, что
Иуль-последовательности образуют в о некоторый идеал и.
Доказательство. Если {ар} и — нуль-последователь-
ности, то для каждого е>0 существуют гц и п2 такие, что
а/;|<28 для р>пъ
1М<уе для р>п2;
следовательно, если опять обозначить через п максимальное из
чисел «х, п2, то
—для р>п,
откуда {ар — Ьр} — нуль-последовательность. Далее, если {ар| —
нуль-последовательность, а — произвольная фундаментальная
последовательность, то существуют такие п' и М, что
)ср|<Л4 при
при этом для каждого 8>0 существует такое п^п(е)>п', что
1 аР | С при р > п.
Но тогда
) ClpCp | < 8 ПрИ р > П\
следовательно, {арср} — нуль-последовательность.
Обозначим кольцо классов вычетов о/п через Q. Покажем, что
Q является полем, т. е. покажем, что сравнение
ах = 1(п) (2)
§ 78]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
271
в кольце о при п^О(п) обладает некоторым решением. При этом
символ 1 обозначает единичный элемент в о, т. е. фундаменталь-
ную последовательность {1, 1,
Должны существовать п и т] > 0 такие, что
|a?|3sT] при q>n.
Действительно, если бы для всех п и всех ц > 0 выполнялось
неравенство
К I < П (<7 > «).
то можно было бы выбрать п при заданном т] настолько большим,
чтобы при р>п, qZ>n выполнялось неравенство
\ар — а?|<п;
отсюда следовало бы, что
I ар | < 2т]
для всех р > п, т. е. последовательность {оД была бы нуль-
последовательностью, что противоречит предположению.
Фундаментальная последовательность {аД остается в том же
классе вычетов по модулю п, если заменить аг, ..., ап на т).
Обозначим опять через alt ..., ап эти новые п элементов т|; тогда
для всех р окажется выполненным условие
]ар|^г]; в частности, ap^=Q.
Теперь последовательность {аД} является фундаментальной,
потому что для каждого е>0 существует п такое, что
| ар — aq | < ет]2 при р> п, q>n.
Если бы выполнялось неравенство |аД —яД|^е для некоторого
р>п и некоторого q~>n, то с помощью умножения на | «р 1т)
и на ) aq | т] получалось бы соотношение
[ I = I &pPq (Рр @р ) | ~ СТ] »
что, однако, места не имеет. Следовательно,
|аД — аД|<е при р>п, q~>rt.
Очевидно, фундаментальная последовательность {аД} является
решением сравнения (2).
Поле й содержит, в частности, те классы вычетов по модулю п,
которые представляются фундаментальными последовательностями
вида
{а, а, а, ..
Эти последние составляют некоторое подкольцо К' внутри й,
изоморфное полю К, потому что каждому а из К соответствует
такой класс вычетов, различным а соответствуют различные классы
272
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
вычетов, сумме соответствует сумма, а произведению соответствует
произведение. Отождествим элементы из К' с соответствующими
элементами из К; тогда Q станет расширением поля К.
Фундаментальная последовательность называется положитель-
ной, если существует в > 0 в поле К и натуральное число п
такие, что
ар >е при р>п.
Сумма и произведение двух положительных фундаментальных
последовательностей являются, очевидно, положительными. Кроме
того, сумма положительной последовательности и нуль-после-
довательности {Ьр} положительна; это показывается с помощью
выбора столь большого номера п, что
ар > е при р >> п,
IfepKye при р>п;
отсюда заключаем, что ар + Ьр>^е при р>п. Тем самым, все
последовательности одного класса по модулю п положительны,
если в этом классе есть хотя бы одна положительная последова-
тельность. В этом случае класс вычетов называется положитель-
ным. Класс вычетов k называется отрицательным, если положи-
телен класс —k.
Если ни последовательность {пр}, ни последовательность {—ар]
положительными не являются, то для каждого е>0и каждого п
существуют такое г > п и такое s > п что
аг^е, и —as^e.
Выберем п настолько большим, чтобы при р>п, q>n выпол-
нялось неравенство
I аР — ач I < е;
тогда, полагая сначала q = r и беря р произвольно большим,
превосходящим п, получим
«р = (ар — ая) + аг < е + е = 2е,
а затем, полагая q = s и беря р произвольно большим и превос-
ходящим п, получим
— ар = (aq — ар) — as < е + е = 2е,
откуда
| ар | < 2е для р>п,
и, следовательно, {пр} — нуль-последовательность.
Таким образом, либо {ар} — положительная последовательность,
либо {— ар] — положительная последовательность, либо {ар} — нуль-
последовательность. Поэтому каждый класс вычетов по модулю п
§ 781
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
273
положителен, отрицателен или равен нулю. Так как сумма и
произведение положительных классов вычетов положительны, мы
делаем следующий вывод:
Поле Q является упорядоченным.
Непосредственно усматривается, что упорядочение поля К
сохраняется в поле Q.
Если последовательность {ар} определяет элемент а, а после-
довательность {ftp} —элемент 0 поля Q, то из
ар Ьр при р>п
следует, что а^р. Действительно, если бы выполнялось а<р,
т. е. Р — а>0, то для фундаментальной последовательности
{Ьр — ар} существовали бы е и т такие, что
Ьр — ар > е > 0 для р>т.
Выб гм здесь р — т-\-п\ тогда получится противоречие с усло-
вием 'р-^Ьр. Отметим, что из ар>Ьр следует не а>р, аосУэ-Р.
Ь силу сказанного выше, из ограниченности каждой фунда-
ментальной последовательности следует, что для каждого эле-
мента со поля Q существует превосходящий его элемент s из К.
Если поле К архимедово, то для s существует превосходящее его
натуральное число п. Таким образом, для каждого ® в этом слу-
чае существует превосходящее его натуральное число п, т. е.
поле Q также архимедово.
Конечно, в самом поле Q можно ввести понятия абсолютного
значения (модуля), фундаментальной последовательности и нуль-
последовательности. Нуль-последовательности и в этом случае
составляют некоторый идеал. Если последовательность {ар} срав-
нима с некоторой постоянной последовательностью {а} по модулю
этого идеала, т. е. если {ар —а} —нуль-последовательность, то
говорят, что последовательность {ар} сходится к пределу а и пишут
lim ар = а или, короче, limap = a.
р—*со
Фундаментальные последовательности {ар} из К, которые слу-
жат для определения элементов поля Q, могут, конечно, рас-
сматриваться как фундаментальные последовательности в Q, потому
что К содержится в Q. Покажем следующее: если последователь-
ность {ар} определяет элемент а поля Q, то limap = a. Для
доказательства заметим, что для каждого положительного 8 из Й
существует меньший положительный элемент е' из К, а для него
в свою очередь существует такое п, что при р>п, q>n имеет
место неравенство
|ар-а?|<е',
т. е. разности ap — aq и aq — ap обе меньше е'. Согласно сделан-
ному выше замечанию отсюда следует, что ар — а и а — ар меньше
274
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
или равны е' и, следовательно,
| ар — а | С е' < 8.
Значит, {ар — а} — нуль-последовательность.
Покажем теперь, что поле й не может быть далее расширено
с помощью фундаментальных последовательностей, т. е. каждая
фундаментальная последовательность {ар} имеет предел уже в поле й
(теорема Коши о сходимости).
При доказательстве мы можем предполагать, что в последова-
тельности {оср} два следующих друг за другом элемента ар, ар+1
всегда различны. Действительно, если это не так, то мы либо
можем выбрать подпоследовательность, состоящую из ар, отличаю-
щихся от ар_1( и из сходимости которой, конечно, немедленно
следует сходимость данной последовательности, либо считать, что
последовательность ар остается постоянной, начиная с как -э-то
места: ар = а при р>п; конечно, в этом случае limap = a
Положим
I &р ^р+1 I = 8р.
Так как последовательность {аД фундаментальна, последователь-
ность {8р} является нуль-последовательностью Д Согласно пред-
положению 8р > 0.
Выберем теперь для каждого а.р аппроксимирующий его эле-
мент ар со свойством
I Ctp <%р | Ер-
Сделать это можно, потому что сам элемент ар определяется фунда-
ментальной последовательностью вида {аГ1, аРг, ...} с пределом ар.
Далее, для каждого 8>0 существуют такие п' и п", что
|ар —аг|<у8 при р>п, q>n,
1 „
8р<„-8 ПРИ Р>п .
о
Если теперь « — наибольшее из чисел п' и п", то для р~>п,
q>n три абсолютные величины \ар — ар\, — а? | и \а9 — а9\
меньше е и, следовательно,
О
I Пр - а? I < I ар - ар | + | ар - [ +1 а? - aq | < у 8 + у е Д- у е = 8.
Тем самым, элементы ар составляют фундаментальную последова-
тельность в К, определяющую некоторый элемент со ноля й.
г) До этого момента цель доказательства состояла в отыскании нуль-после-
довательности, используемой в дальнейшем. В архимедовом случае можно
было бы просто положить ер — 2~Р, но мы хотим доказать теорему в полной
общности. В неархимедовом случае {2~Р} не является нуль-последовательностью.
§ 78] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 275
Последовательность {ар} отличается от этой фундаментальной
последовательности лишь на нуль-последовательность {ар — ар},
а потому у нее тот же предел со.
Проведенная выше конструкция сопоставляет каждому упоря-
доченному полю К такое его расширение Й, в котором выпол-
нена теорема Коши о сходимости. В частности, если К —поле
рациональных чисел (Q, то й — поле вещественных чисел R. Сле-
довательно, вещественное число в этой теории определяется как
класс вычетов по модулю п кольца фундаментальных последова-
тельностей рациональных чисел.
Пусть 2 — упорядоченное поле и ЭЛ — непустое множестьо
элементов из 2. Если в К существует элемент s, для которого
a-^s при всех а из ЭЛ,
то s называется верхней границей множества ЭХ, а ЭЛ называется
ограниченным сверху. Если существует наименьшая верхняя гра-
ница, то она называется верхней гранью множества ЭЛ.
Рассмотрим опять построенное выше на основе поля К поле
Й и докажем для случая, когда К, а значит, и й архимедовы,
теорему о верхней грани:
Каждое непустое ограниченное сверху множество ЭХ cz й имеет
в Й верхнюю грань. ф
Доказательство. Пусть s — произвольная верхняя гра-
ница множества ЭХ, а М — произвольное целое число, превосхо-
дящее s (конечно, это число —тоже верхняя граница); пусть ц—
произвольный элемент множества ЭЛ и т — целое число, превос-
ходящее — ц. Тогда
— т < ц < М.
Для каждого натурального числа р рассмотрим (конечное) мно-
жество всех дробей k 2 р (/г — некоторое целое число), лежащее
«между» —т и М:
-m^k-2-Р^М. (3)
Найдем наименьшую из трех перечисленных дробей, являющихся
верхними границами множества ЭЛ. Хотя бы одна такая дробь
существует, потому что таким свойством обладает число М.
Обозначим эту наименьшую верхнюю границу через ар. Тогда
ар~ 2 р уже не будет верхней границей; тем самым для каждого
<7 > р имеет место соотношение
ар - 2? <a9sz ар. (4)
Отсюда следует, что
| ар — aq | < 2-р,
а потому
\ар — а?|<2"п при р>п, ц>п. (5)
276
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Для заданного в можно найти натуральное число /г>8~1,
а затем и степень Тогда 2*”<е. Таким образом,
(5) утверждает, что {ар} является фундаментальной последова-
тельностью, которая тем самым определяет некоторый элемент со
поля Q. Из (4), далее, следует, что
ар — 2р^,ы-£Сар.
Элемент ю является верхней границей множества ЭД, т. е.
все элементы р, из ЭЛ не превосходят ю. Действительно, если бы
р,>ю, то можно было бы найти число 2Р > (р, — со)-1; тогда
выполнялось бы неравенство 2’р<р. —со. Если к этому неравен-
ству прибавить неравенство ар — 2 р оэ, то получится ар<р,
что не так, потому что ар — верхняя граница множества ЭЛ.
Элемент ю является наименьшей верхней границей множе-
ства ЭЛ. Действительно, если бы элемент <т тоже был верхней
границей, но меньшей ю, то опять можно было бы найти число р,
для которого 2 р<<£> — а. Так как ар — 2 р не является верхней
границей множества ЭЛ, то существует элемент р, из ЭЛ со свой-
ством: ар — 2~р<р.. Отсюда следует, что
— 2~р < ст,
«й
и с помощью сложения с предыдущим неравенством мы получаем
ар < со,
чего быть не может. Следовательно, элемент со —верхняя граница
множества ЭЛ.
В неархимедовом поле теорема о верхней грани может не
иметь места. Действительно, рассмотрим в таком поле последова-
тельность натуральных чисел 1, 2, 3, ...; существует элемент
поля s, превосходящий все натуральные числа; таким образом,
эта последовательность ограничена. Если бы элемент g был верх-
ней гранью упомянутой последовательности, то элемент 2g ока-
зался бы верхней гранью удвоенной последовательности 2, 4, 6, ...
Так как элемент g обязательно положителен, имеет место нера-
венство g<2g, в то время как g является верхней границей и
для чисел 2п; таким образом, 2g не может служить верхней
гранью — наименьшей верхней границей. Теорема о верхней грани
может выполняться лишь в архимедовом поле.
Докажем теперь следующие предложения:
1. Каждое архимедово поле К является порядково изоморфным
некоторому подполю К' поля R вещественных чисел.
2. Если в поле К имеет место теорема о верхней грани, то
Н' = R и, следовательно, поле К порядково изоморфно полю веще-
ственных чисел.
§ 781 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 277
Доказательство. Каждый элемент а поля К является
верхней гранью некоторого множества Й)1 рациональных чисел.
В качестве 3)i можно выбрать, например, множество всех рацио-
нальных чисел г, для которых г<а. То же самое множество
имеет некоторую верхнюю границу а' и в R. Отображение а>—
является аддитивным гомоморфизмом, т. е. сумма а-\-Ь переходит
в сумму а' -\-Ь'. Ядро этого гомоморфизма состоит только из нуля;
следовательно, этот аддитивный гомоморфизм является изомор-
физмом. Произведению ab двух положительных элементов а и b
соответствует произведение а'Ь'. Следовательно, произведениям
(— а) Ь = — ab и (— а) (— b) = ab
соответствуют в поле R числа
— а’Ь' — (—а')Ь' и а'Ь' ==(—а')(—Ь').
Значит, и в общем случае произведению соответствует произве-
дение. Положительные элементы из К переходят в положитель-
ные элементы из К'. Таким образом, поле К порядково изоморфно
полю К'. Утверждение 1 доказано.
Если в К выполнена теорема о верхней грани, то, в част-
ности, каждое ограниченное множество рациональных чисел
согласно сказанному выше имеет в К верхнюю грань а; поэтому
то же множество в К' имеет верхнюю грань а'. Отсюда следует,
что в К' лежит каждое вещественное число, потому что каждое
вещественное число является верхней гранью некоторого множе-
ства рациональных чисел. Следовательно, К' = R, чем и доказы-
вается 2.
Задача 1. Показать, что понятие предела обладает следующими свой-
ствами:
а) Если {ал} и {0Л} — сходящиеся последовательности, то
lim (а„ ± р„) = lim ап ± lim
lira a„p„ = lim a„ lim p„.
б) Если lim p„ 0 и все #= 0, то
Пт (p"1) = (lim Р„)"Х.
в) Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому
же пределу.
Задача 2. Каждое вещественное число s представляется в виде беско-
нечной десятичной дроби:
°° / / п \\
s = a0-J- 2 av • 10“v 1т. е. s= lim a0-J- av 10-vj I (0sgav<10).
v = i \ n->co\ v = i Ц
Задача 3. Каждое архимедово поле, в котором имеет место теорема
Коши о сходимости, порядково изоморфно полю вещественных чисел R,
278
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
§ 79. Корни вещественных функций
Пусть R —поле вещественных чисел. Рассмотрим веществен-
нозначные функции f(x) вещественной переменной х. Такая
функция называется непрерывной при х = а, если для любого
числа е > 0 существует такое число б > О, при котором
\f(a + h)-f(a) \ <е для |й|<б.
Легко доказать, что суммы и произведения непрерывных функ-
ций являются непрерывными функциями (см. аналогичное дока-
зательство для фундаментальных последовательностей в § 78).
Так как константы и функция f(x) = x непрерывны всюду, то все
многочлены от х представляют всюду непрерывные функции от х.
Теорема Вейерштрасса о корнях непрерывных
функций утверждает:
Если непрерывная при a х b функция f (х) такова, что
f(a)<Z.O и f(6)>0, то между а и b она обращается в нуль.
Доказательство. Пусть с —верхняя грань всех х, лежа-
щих между а и Ь, для которых f(x)<0. Имеются три возмож-
ности.
1. f(c)>0. Тогда с>а и существует б>-0 такое, что для
О < h < б имеет место
т. е.
/ (с —Л) > О,
f (х) > О для с — б < X с.
Следовательно, с — б — верхняя граница для таких х, что f (х) < 0.
Но элемент с был наименьшей верхней границей. Следовательно,
этот случай невозможен.
2. f(c)<0. Тогда c<Zb и существует такое б > 0, что для
0<й<б, например, для й = уб,
f(c + h)<0.
Тем самым число с не есть верхняя граница всех таких х, что
/(х)<0. Следовательно, и этот случай невозможен.
3. f (с) = 0 — единственный оставшийся случай. Следовательно,
f(x) обращается в нуль при х = с.
Теорема Вейерштрасса о корнях применительно к многочлену
является основой всех теорем о вещественных корнях алгебраи-
ческих уравнений. Позднее мы перенесем ее на случай так назы-
§ 79]
КОРНИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
279
ваемых «вещественно замкнутых полей», так что она окажется
верной не только для поля вещественных чисел. Все последую-
щие теоремы этого параграфа основываются исключительно на
теореме Вейерштрасса о корнях многочленов и тем самым ока-
жутся справедливыми для всех вводимых позднее полей, где эта
теорема выполнена.
Следствие 1. Многочлен xn — d при d > О и любом нату-
ральном п всегда имеет корень и притом даже положительный.
Действительно, хп —d<0 при х = 0, а при больших х ^напри-
мер, х>1+^ имеем хп — dp>0.
Из ап — Ьп = (а — Ь) (а"-14- а’1 2Ь -ф... -ф Фг1) следует, далее, что
ап>Ьп при а>&>0, откуда можно получить положительный
корень уравнения xn = d. Он обозначается через yd, а при /г = 2
просто через ]/"d («квадратный корень»). Положим jA)=0. Из
а>Ь>М следует у а >у b, потому что если бы было у а «С
е^уГb, то оказалось бы выполненным неравенство а-''Ь.
Следствие 2. Каждый многочлен нечетной степени имеет
корень в поле R.
Действительно, в силу задачи 2 из § 77 существует такое М,
что f(M)>0 и /(—Л1)<0.
Обратимся теперь к вычислению вещественных корней много-
члена f(x). Под вычислением, в соответствии с определением
вещественных чисел, подразумевается сколь угодно точная аппрок-
симация рациональными числами.
В § 77 (задача 2) мы уже видели, как можно заключить
в границы вещественные корни многочлена /(х): если
f (х) = хи + ар:’11 +...+а„
и М — наибольшее из чисел 1 и | | -ф.. ,-ф | ап |, то все корни
лежат между —М и М. Число М можно заменить на некоторое
(при необходимости большее) рациональное число, которое вновь
обозначим через М; интервал —М-<'_х-У_М с рациональными
концами с помощью промежуточных рациональных точек можно
разделить на сколь угодно мелкие части. В какой из этих частей
находятся корни, можно будет установить, обладая средством
подсчета числа корней в каждой из полученных частей интервала.
С помощью дальнейшего разбиения интервала, в котором лежат
вещественные корни, можно будет аппроксимировать эти корни
сколь угодно точно.
Следующая теорема доставляет средство определения числа
корней между двумя заданными границами, а также общего
числа корней данного уравнения.
280
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Теорема Штурма. Определим многочлены Хъ Х2, Хг
на основе заданного многочлена X — f(x) по следующей схеме:
X^f'{x)
х^л-х*
Xx = Q2X2-X3,
(дифференцирование)
(алгоритм Евклида)
(1)
Xr-r^QrXr.
Для каждого вещественного числа а, не являющегося корнем
многочлена f (х), пусть w (а) — число перемен знаках) в последова-
тельности чисел
Х(а), ХДа), .... ХДа),
из которой удалены все нули. Если b и с — произвольные числа, на
которых f (х) не обращается в нуль, причем b <.с, то число раз-
личных корней в интервале Ь^х^с (кратные корни считаются
только один раз\) равно
w(b) — w (с).
Последовательность многочленов X, Хъ ..., Хг называется
рядом Штурма многочлена f(x). Таким образом, теорема утвер-
ждает, что число корней между b и с задается числом перемен
знака в ряду Штурма, потерянных при переходе от b к с.
Доказательство. Очевидно, последний многочлен Хг ука-
занного ряда является наибольшим общим делителем многочле-
нов Х = /(х) и Х^ДДх). Если считать, что все многочлены ряда
разделены на Хг, то f(x) будет освобожден от кратных линейных
множителей, а число перемен знака в точке а, не являющейся
корнем, останется прежним. Действительно, знаки членов ряда
при таком делении либо все изменятся, либо все сохранятся.
Поэтому мы можем считать с самого начала доказательства, что
описанное деление уже осуществлено и последний член в ряду
является ненулевой константой. Второй член в ряду в общем
случае уже не будет производной первого, так как, если, ска-
жем, d — некоторый /-кратный корень многочлена f (х) и
X = f (x) = (x-d)zg(x), g(d)^0,
Хх = f (х) = l(x — d)1-1 g (x) + (x - d)1 g' (x),
i) Под знаком числа с мы подразумеваем один из символов +, — или 0
в зависимости от того, положительно, отрицательно или равно нулю число с.
Переменой в последовательности знаков + и — считается любой случай,
когда за + следует — или за — следует +. Если в последовательности
знаков участвуют и нули, то при подсчете числа перемен знаков они просто
не принимаются во внимание.
§ 79] КОРНИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 281
то удаление множителя (х — d)11 даст два многочлена:
X = (x-d)g(x),
Xx = Z-g(x) + (x-d)g'(x),
а наличие других кратных корней d', d", ... вызовет дальнейшее
сокращение. Обозначим так измененные многочлены ряда Штурма
вновь через X = Хо, Хх, ..., Хг.
При этом предположении в любой точке а два последователь-
ных члена ряда не равны одновременно нулю, потому что, если
бы, скажем Xk(a) и Х*+х(а) одновременно были равны нулю, то
из равенств (1) можно было бы заключить, что и Xfc+2(a), ...
..., Хг(а) равны нулю, в то время как Xr = const у=0.
Корни многочленов в ряду Штурма разбивают интервал b «С
sjxCc на подынтервалы. Внутри любого такого подынтервала
ни X, ни Xk не обращаются в нуль, а по теореме Вейерштрасса
о корнях отсюда следует, что внутри каждого такого интервала
все многочлены ряда Штурма сохраняют свои знаки, так что
число w (а) сохраняется неизменным. Нам, следовательно, нужно
еще только выяснить, как меняется число w (а) в точке d, в кото-
рой равен нулю один из многочленов ряда.
Пусть сначала d — корень многочлена Xk (0 В силу
равенства
Xk-i=Qk^k — Хш
числа X*_x(d) и Xk+1(d) обязаны иметь разные знаки. Тогда и
в двух подынтервалах, примыкающих к точке d, многочлены
ХА_х и Xfc+x имеют разные знаки. Каков знак многочлена Хк
(+, — или 0), для числа перемен знака между Х*_х и Xk+1 не
имеет значения: всегда есть ровно одна перемена. Следовательно,
число w (а) не меняется при переходе через точку d.
Пусть теперь d — корень многочлена /(х) и в соответствии со
сделанным выше замечанием
X = (x-d)g(x), g(d)=#0,
Xx = /-g(x) + (x-d)g' (х),
где I — некоторое натуральное число. Знак многочлена Хх в точке d,
а потому и в двух примыкающих интервалах, совпадает со зна-
ком числа g (d), в то время как знак многочлена X в каждой точке х
равен знаку многочлена (х — d)g(d). Следовательно, при a<Zd
имеется перемена знака между X(а) и Хх(а), а при a>d — нет.
Все же остальные перемены знака в ряду Штурма, как уже было
показано, сохраняются при переходе через точку d. Следова-
тельно, число w (а) при переходе через d уменьшается на еди-
ницу. Теорема доказана.
Если теорема Штурма применяется для определения числа кор-
ней (различных вещественных) многочлена /(х), то в качестве
282
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
границы b нужно взять настолько малое число, а в качестве гра-
ницы с —настолько большое число, чтобы при х<6 и при х>с
многочлен вообще не имел корней. Достаточно, например, поло-
жить Ь = — М и с = М. Удобнее, однако, выбирать b и с так,
чтобы все многочлены в ряду Штурма при х<Ь и при х>с не
имели корней. Тогда их знаки будут определяться знаками их
старших коэффициентов: многочлен аихт + а^”1 1 -ф... при очень
больших значениях х имеет знак числа а0, а при очень малых
(отрицательных) значениях х — знак числа (—1)та0. При таком
подходе не приходится думать о том, как велики должны быть
числа b а с: нужно лишь определить старшие коэффициенты а0
и степени т многочленов Штурма.
Задача 1. Определить число вещественных корней многочлена
х3 —5х2 + 8х—8.
Между какими последовательными целыми числами лежат эти корни?
Задача 2. Если последние два многочлена Xr_v Хг в ряду Штурма
имеют степени 1 и 0, то можно вычислить и константу Хг (или ее знак, это
только и нужно), подставляя корень многочлена Хгг в многочлен Хг2.
Задача 3. Если при вычислении ряда Штурма встретится многочлен Xk,
который нигде не меняет своего знака (например, сумма квадратов), то ряд
можно оборвать на этом члене. Точно так же можно каждый многочлен Xk,
обладающий всюду положительным множителем, сократить на этот множитель
и продолжать вычисления с этим измененным X*.
Задача 4. Используемый при доказательстве теоремы Штурма много-
член X, (делитель производной f (х)) обязательно меняет знак между двумя
последовательными корнями многочлена. Доказать. Поэтому f (х) имеет по
крайней мере один корень между двумя любыми последовательными корнями
многочлена f (х) (т е о р е м а Ролля).
Задача 5. Вывести из теоремы Ролля теорему о среднем зна-
чении дифференциального исчисления, утверждающую, что
для а< b имеет место равенство
b — a ' ’
при подходящем выборе точки с между а и Ь. ^Положить f (x)—f(aj —
f(b) — f(a) . . ,. . \
“ 6 ~ = *₽.<*) )
Задача 6. В любом интервале а =g х Ь, где /' (х) > 0, многочлен f (х)
является возрастающей функцией от х; равным образом, если f (х) •< 0, то
многочлен является убывающей функцией.
Задача 7. Многочлен f (х) имеет в каждом интервале a =g х sg 6 наи-
большее и наименьшее значение, причем каждое из них достигается либо
в корне производной f (х), либо в конечных точках отрезка а или Ь.
§ 80. Поле комплексных чисел
Если присоединить к полю вещественных чисел IR корень I
неразложимого в IR многочлена х2 + 1, то получится поле комп-
лексных чисел С = R (г).
Если речь идет о «числах», то в последующем это будет озна-
чать, что мы говорим о комплексных (и, в частности, о веще-
§ 80]
ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
283
ственных) числах. Алгебраические числа — это такие числа, кото-
рые алгебраичны над полем рациональных чисел (Q. Понятно, что
нужно понимать под полями алгебраических чисел, полями вещест-
венных чисел и т. д. Согласно теоремам из § 41 алгебраические
числа составляют некоторое поле А; в нем содержатся все поля
алгебраических чисел.
Докажем следующее предложение:
В поле комплексных чисел уравнение x2 = a-)-bi (а, b веще-
ственны) разрешимо', это означает, что каждое число поля комп-
лексных чисел обладает квадратным корнем.
Доказательство. Число x = cA~di (с, d вещественны)
тогда и только тогда обладает нужным свойством, когда
(с 4- di)2 = а 4- Ы,
т. е. выполнены условия
с2 — d2 = a, 2cd — b.
Из этих равенств следует далее (с2 4- d2)2 = а2 4- Ь2, так что с24~
d2 = Уа2-)-Ь2. Отсюда и из первого условия определяются с2
и d2:
_ ojj/CE+E _ -a+Va^ + b^
c 2 ’ 2
Действительно, указанные справа величины неотрицательны,
поэтому через них можно определить числа с и d с точностью
до знака. Умножение дает
4с2d2 = — а2 4- (а2 4- Ь2) = Ь2-,
поэтому знак у с и d можно определить так, чтобы выполнялось
и последнее условие
2cd = b.
Из доказанного следует, что в поле комплексных чисел можно
решить любое квадратное уравнение
х24-рх4-<7 = 0,
представляя его в виде
Решение таково:
Р
x = -^±w,
где w~ какое-нибудь решение уравнения 0^ = -^-—q.
Основная теорема алгебры, а лучше сказать — основ-
ная теорема учения о комплексных числах, — утверждает, что
в поле © не только каждый квадратный, но и вообще любой
отличный от константы многочлен f (г) имеет корень.
284
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Простейшее доказательство основной теоремы — это, вероятно,
теоретико-функциональное, которое проводится так: предположим,
что многочлен f(z) не имеет ни одного комплексного корня; тогда
ж=Фй
является регулярной во всей z-плоскости функцией, которая при
z->2U остается ограниченной (даже стремящейся к нулю); в силу
теоремы Лиувилля эта функция является константой, но тогда
и f (z) — константа.
Гаусс предложил много доказательств основной теоремы. Вто-
рое доказательство Гаусса, которое использует лишь простейшие
свойства вещественных и комплексных чисел, но зато довольно
сложные алгебраические средства, мы рассмотрим в § 81 г).
Под модулем | а | комплексного числа а — а + Ы подразуме-
вается вещественное число
| а | = yraz-j-b2 = jAra,
где а —комплексно сопряженное, т. е. сопряженное над полем
вещественных чисел, число а — Ы.
Очевидно, | а |0 и |а| = 0 только для а = 0. Далее,
V сфар = |/аа "Крр, в силу чего
|«Р| = |а|.|р|. (1)
Чтобы доказать второе соотношение
|а + р|^|а| + 1₽1. (2)
предположим на минуту уже известным более специальное соот-
ношение:
|1+т1<1 + 1т|. (3)
Если а = 0, то (2) тривиально; если же а=#0, то
| а + р | = | а (1 +а-1р) | = |а 11 1 -Га^р |
^|а|(1+|а-1Р|) = |а| + |р
Для доказательства (3) положим y = тогда
| у | = У а2 + b2 У а2 = | а |,
|1+yI2 = (i+y)(1+y) = i+v+y+tt=
= 1+2«+|т|2^1+2|?| + 1т12 = (1+1т1)2;
следовательно,
11 +т I < 1 +1У I,
чем и доказывается (3), а значит, и (2).
1) Другое простое доказательство можно найти, например, в книге: Жор-
дан (Jordan С.). Cours d’Analyse I. 3-е изд., с. 202. Интуиционистское дока-
зательство предложил Г. Вейль (Weyl Н.), —Math. Z., 1914, 20, S, 142.
§ 81] АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ 285
§ 81. Алгебраическая теория вещественных полей
Упорядоченные поля, в частности, поля вещественных чисел
обладают тем свойством, что суммы квадратов в таких полях
обращаются в нуль только тогда, когда равны нулю все слагае-
мые. Или, что равносильно: элемент —1 не представляется в виде
суммы квадратов х). Поле комплексных чисел этим свойством не
обладает, потому что в нем —1 является квадратом. Мы пока-
жем сейчас, что указанное свойство характерно для полей веще-
ственных алгебраических чисел и полей, сопряженных с тако-
выми (в поле всех алгебраических чисел); это свойство может
быть также использовано для алгебраического построения полей
вещественных алгебраических чисел и сопряженных с ними полей.
Следуя Артину и Шрайеру, мы введем понятие формально веще-
ственного поля * 2):
Поле называется формально вещественным, если —1 не пред-
ставляется в нем в виде суммы квадратов.
Формально вещественное поле обязательно имеет характери-
стику нуль; действительно, в любом поле характеристики р эле-
мент — 1 является суммой р— 1 слагаемых 1. Очевидно, что вся-
кое подполе формально вещественного поля тоже формально
вещественно.
Поле Р называется вещественно замкнутым3), если само оно
формально вещественно, но любое его собственное алгебраическое
расширение формально вещественным не является.
Теорема 1. Каждое вещественно замкнутое поле может
быть упорядочено одним и только одним способом.
Пусть Р — вещественно замкнутое поле. Докажем следующее:
Если а —отличный от 0 элемент из Р, то либо а является квад-
ратом, либо —а является квадратом, и эти случаи исключают
друг друга. Суммы квадратов элементов из Р сами являются
квадратами.
Теорема 1 отсюда немедленно следует. Действительно, пола-
гая а>0 в том случае, когда а —квадрат, отличный от нуля,
мы определим, очевидно, упорядочение на Р, которое является
единственно возможным, потому что каждый квадрат должен
быть неотрицательным при любом упорядочении.
!) Если в каком-нибудь поле элемент — 1 представляется в виде суммы
квадратов У а2, то 12-|- У ф,= 0; тем самым 0 является суммой ненулевых
квадратов. Обратно, если дана сумма У fe2, = 0, в которой, скажем b.f. =£ 0, то
на место by легко поставить 1, разделив всю сумму на b?j, если затем пере-
нести 1 в другую часть равенства, то получится —1 = У] а2.
2) А р т и н и Шрайер (Artin Е., Schreier О.). Algebraische Konstruk-
tion reeller Korper. —Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1926, 5, S. 83 — 115.
3) Краткое наименование «вещественно замкнутое» предпочитают более
точному «вещественно алгебраически замкнутое»,
286
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Если у не является квадратом элемента из Р, то, обозначая
через У у корень многочлена х2 — у, мы получаем собственное
алгебраическое расширение Р (Уу) поля Р, не являющееся фор-
мально вещественным. По этой причине имеет место равенство
-1 = 2 (av/Y'+Pv)\
v= 1
или
п п п
-i=y 2“v+ S₽v+2/V2 avPv,
v= 1 V= 1 V = 1
где o\, pv принадлежат P. Отсюда следует, что последнее сла-
гаемое должно быть нулевым, потому что иначе элемент У у
принадлежал бы полю Р, что противоречит предположению.
Наоборот, первое слагаемое не может обратиться в нуль, так
как в противном случае поле Р не было бы формально веще-
ственным. Отсюда мы заключаем, прежде всего, что у не пред-
ставляется в Р в виде суммы квадратов, так как иначе мы
получили бы и для —1 представление в виде суммы квадратов.
Проведенные рассуждения доказывают следующее: если у не
является квадратом, то оно не является и суммой квадратов.
Или, в позитивной форме: каждая сумма квадратов в Р является
в Р квадратом.
Мы получили, что
1 + 2 Р*
v = 1
-7 =-----п----•
2а?
v=l
Числитель и знаменатель этого выражения являются сум-
мами квадратсв, а потому просто квадратами; отсюда —у = с2,
где с —элемент поля Р. Следовательно, для каждого элемента у
из Р имеет место по крайней мере одно из равенств: у = Ь2 или
— у = с2. Но если у=0=О, то оба равенства одновременно не могут
иметь места, так как иначе выполнялось бы равенство —1 =(й/с)2,
чего быть не может.
На основании теоремы 1 мы будем предполагать в дальней-
шем, что вещественно замкнутые поля упорядочены.
Теорема 2. В любом вещественно замкнутом поле каждый
многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень.
Эга теорема для степени 1 тривиальна. Предположим, что она
уже доказана для всех степеней, меньших п, и пусть f(x) —
произвольный многочлен нечетной степени п>1. Если f(x) раз-
ложим в вещественно замкнутом поле Р, ю у него есть по край-
§ 81] АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОЛЕЙ 287
ней мере один неразложимый множитель нечетной степени, мень-
шей п, а потому, в силу индуктивного предположения, и корень
в поле Р. Приведем теперь предположение о том, что многочлен
f(x) неразложим, к противоречию. Действительно, пусть ос —сим-
волически присоединенный корень многочлена f(x). Поле Р (а) не
может быть формально вещественным; поэтому
-1= 5(<рДа))2, (1)
V = 1
где <pv (х) — многочлены степени не выше п — 1 с коэффициентами
из Р. Из (1) получается тождество
-1 = 5 (<Pv(x))2 + f(x)g(x). (2)
v = 1
Сумма многочленов <р£ имеет четную степень, так как старшие
коэффициенты являются квадратами и, следовательно, при сло-
жении не дают нуль. Далее, степень положительна, так как
иначе уже (1) давало бы противоречие. Поэтому g(x) имеет не-
четную степень, не превосходящую п — 2; следовательно, g(x)
обладает в Р некоторым корнем а. Подставим а в (2); тогда
— 1 = 5 (<Pv(a))2,
V =1
что и приводит к противоречию, так как элементы <pv (а) лежат
в поле Р.
Теорема 3. Вещественно замкнутое поле не является алгеб-
раически замкнутым. Но в результате присоединения элемента i
получается алгебраически замкнутое поле х).
Первая половина утверждения тривиальна. Действительно,
уравнение № + 1= 0 неразрешимо в любом формально веществен-
ном поле.
Вторая половина следует непосредственно из следующего
утверждения.
Теорема За. Если в некотором упорядоченном поле К каж-
дый положительный элемент обладает квадратным корнем и
каждый многочлен нечетной степени обладает по крайней мере
одним корнем, то в результате присоединения элемента i полу-
чается алгебраически замкнутое поле.
Прежде всего заметим, что в поле К (i) каждый элемент об-
ладает квадратным корнем и поэтому каждое квадратное уравне-
ние разрешимо. Доказательство проводится с помощью такого
же вычисления, как и для поля комплексных чисел в § 80.
х) Символ i здесь и в дальнейшем обозначает корень многочлена х2+1,
288
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Для доказательства того, что поле К (i) алгебраически замк-
нуто, согласно § 72 достаточно показать, что каждый неразло-
жимый над Н многочлен f(x) обладает в K(i) некоторым корнем.
Пусть f (х) — многочлен без кратных корней, имеющий степень п,
и п~ 2mq, где q — нечетное число. Мы проведем индукцию по т.
Предположим, что каждый многочлен без кратных корней с ко-
эффициентами из К, степень которого делится на 2ml, но не
делится на 2т, обладает в Н (t) некоторым корнем. Для т = 1
это имеет место по условию. Пусть аъ а2.....а„ —корни мно-
гочлена f(x) в некотором расширении поля Н. Выберем элемент
с из Н так, чтобы w выражений а}ак -ф с (ау -ф аД для 1
j^k<.n имели различные значения. Так как эти выражения,
п (п— 1)
очевидно, удовлетворяют некоторому уравнению степени —J-g—-
над Н, то, по предположению, по крайней мере один из них
лежит в К (i), например, элемент а1а2-фс(а1 + а2). В силу тре-
бования, которому подчинен элемент с, имеет место равенство
(см. § 46)
Н (ajOg, a! -ф a2) = К (a^ -фс (a2 -ф a2));
таким образом, ax и a2 можно найти как решения некоторого
квадратного уравнения над Н (i).
Одновременно с этим мы получаем из теоремы За, что поле
комплексных чисел алгебраически замкнуто. Это — «основная
теорема алгебры».
Теорема, обратная к теореме 3, звучит так:
Теорема 4. Если формально вещественное поле К становится
алгебраически замкнутым при присоединении элемента i, то оно
вещественно замкнуто.
Доказательство. Между К и Н (i) нет промежуточных
полей; поэтому поле Н не имеет алгебраических расширений,
отличных от себя самого и от поля К (i). Поле К (t) не является
формально вещественным, так как —1 является в нем квадратом.
Следовательно, поле К вещественно замкнуто.
Из теоремы 4, в частности, следует, что поле вещественных
чисел вещественно замкнуто.
Корни уравнения f(x) = O с коэффициентами из некоторого
вещественно замкнутого поля Н лежат в Н (i) и входят в это
поле, если только они не принадлежат самому Н, вместе со сво-
ими сопряженными элементами (над К). Если а -ф Ы — некоторый
корень, то а — Ы — сопряженный с ним корень. Если в разложе-
нии многочлена f(x) на линейные множители сгруппировать те
из них, которые соответствуют сопряженным корням, в пары, то
получится разложение многочлена / (х) на линейные и квадратные
множители, неразложимые над К.
§ 8Ц алгебраическая теория вещественных полей 289
Мы можем теперь доказать «теорему Вейерштрасса о корнях»
для многочленов (§ 79) над любым вещественно замкнутым по-
лем.
Теорема 5. Пусть f (х) — многочлен с коэффициентами из
вещественно замкнутого поля Р и а, Ь — элементы из Р, для ко-
торых f(a)<0, f (b)>0. Тогда существует по крайней мере один
элемент с в Р, заключенный между а и Ь, для которого f (с) = 0.
Доказательство. Как мы видели выше, многочлен f(x)
разлагается над Р на линейные и квадратные неразложимые
множители. Любой неразложимый над Р квадратный многочлен
х2 + /и + <7 имеет только положительные значения, потому что его
/ Р / р2 \
можно представить в виде (х + ~ \ -Mg — 1, где первое слагае-
мое неотрицательно, а второе в силу предположения о неразло-
жимости строго положительно. Поэтому перемена знака многочлена
fix) может происходить лишь из-за перемены знака некоторого
линейного множителя, который должен по этой причине иметь
корень в промежутке от а до Ь.
В силу этой теоремы для вещественно замкнутого поля ока-
зываются справедливыми все следствия, которые выводились
в § 79 из теоремы Вейерштрасса о корнях, в частности, теорема
Штурма о вещественных корнях.
В заключение будет доказана
Теорема 6. Пусть К — упорядоченное поле и К — поле, которое
получается из К присоединением квадратных корней из всех поло-
жительных элементов поля К. Тогда поле К формально веще-
ственно.
Очевидно, достаточно показать, что не может иметь места
равенство вида
-1=2 с&, (3)
v = 1
где cv — положительные элементы из К, a |v —элементы из К.
Предположим, что такое соотношение имеет место. В элементах £v
могут встретиться лишь в некотором конечном числе квадратные
корни V aY, Vаг, .... V аг, которые были присоединены к полю Н.
Будем считать, что среди всех равенств вида (3) мы выбрали и
рассматриваем такое, в котором г принимает наименьшее возмож-
ное значение. (Обязательно 1, так как в К не существует
равенства вида (3).) Каждый элемент £v представляется в виде
= %+ £v где r]v, лежат в поле К(рло1, }'аг, .... Kar-i)-
Таким образом,
п п п
1 — У ‘-v'n-v + У 4“ 2 У (4)
V = 1 V — 1 V — 1
290
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
Если бы в (4) последнее слагаемое равнялось нулю, то это ра-
венство имело бы такой же вид, как и равенство (3), но в него
входило бы менее г квадратных корней. Если же это последнее
слагаемое не обращается в нуль, то У~аг принадлежит полю
К (]/«!, Kar-i) и (3) можно записать менее, чем с г квад-
ратными корнями. Таким образом, наше предположение в любом
случае приводит к противоречию.
Задача 1. Поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто, а поле
вещественных алгебраических чисел вещественно замкнуто.
Задача 2. Построенное в § 72 чисто алгебраическими средствами алге-
браически замкнутое алгебраическое расширение поля (Q рациональных чисел
изоморфно полю А алгебраических чисел.
Задача 3. Пусть Р —некоторое поле вещественных чисел, а 2 — поле
всех вещественных алгебраических над Р чисел. Тогда 2 вещественно замкнуто.
Задача 4. Если поле Р формально вещественно и элемент t трансцен-
дентен над Р, то Р (I) формально вещественно. (В равенстве—1= (0 заме-
нить t на подходяще выбранную константу из Р.)
§ 82. Теоремы существования
для формально вещественных полей
Теорема 7. Пусть К — формально вещественное поле и Q—
алгебраически замкнутое расширение поля К. Тогда существует
(по крайней мере одно) вещественно замкнутое поле Р, заключен-
ное между К и й, для которого Q = P(i).
Доказательство. Применим лемму Цорна (§ 69) к частично
упорядоченному множеству М формально вещественных и содер-
жащих К подполей поля й. В каждом линейно упорядоченном
подмножестве М имеется максимальный элемент, а именно — объ-
единение всех полей этого подмножества. Согласно лемме Цорна
существует некоторое максимальное формально вещественное поле,
содержащее К и принадлежащее й; обозначим его через Р.
Если а —произвольный элемент из й, не принадлежащий
полю Р, то Р (а) не является формально вещественным. Это воз-
можно лишь тогда, когда а алгебраичен над Р, потому что про-
стое трансцендентное расширение формально вещественного поля
формально вещественно (§ 81, задача 4). Следовательно, каждый
элемент из й алгебраичен над Р, т. е. й — алгебраическое рас-
ширение поля Р. Так как, далее, в качестве а можно взять про-
извольный элемент из й, не содержащийся в Р, то ни одно про-
стое собственное алгебраическое расширение Р (а) поля Р не может
быть формально вещественным, так что поле Р вещественно зам-
кнуто. Согласно теореме 3 (§81) поле Р (г) алгебраически зам-
кнуто, а потому оно совпадает с полем Й. Теорема дока-
зана.
Сформулируем в явном виде некоторые частные случаи и след-
ствия из теоремы 7.
§ 82J
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
291
Теорема 7а. Для каждого формально вещественного поля К
существует по крайней мере одно вещественно замкнутое алгебраи-
ческое расширение.
Для доказательства нужно лишь выбрать в качестве поля Q
из теоремы 7 алгебраически замнутое алгебраическое расширение
поля К.
Теорема 76. Каждое формально вещественное поле может
быть упорядочено по крайней мере одним способом.
Это следует без каких-либо новых соображений из теоремы 1
(§ 81) и теоремы 7а.
Если, далее, поле Q — произвольное алгебраически замкнутое
расширение характеристики нуль и в теореме 7 в качестве поля К
берется поле рациональных чисел, то получается
Теорема 7в. Каждое алгебраически замкнутое поле Q харак-
теристики нуль содержит (по крайней мере одно) вещественно
замкнутое подполе Р, для которого Q = P(t).
Для упорядоченных полей теорема 7 может быть существенно
усилена:
Теорема 8. Если К — упорядоченное поле, то существует
одно и, с точностью до эквивалентности расширений, только
одно вещественно замкнутое алгебраическое расширение Р поля К,
упорядочение которого является продолжением упорядочения поля К,
Поле Р не имеет нетождественных автоморфизмов, оставляющих
на месте каждый элемент из К.
Доказательство. Как и в теореме 6 (§ 81), через К
будет обозначаться поле, которое получается присоединением
к К квадратных корней из всех положительных элементов из К.
Пусть Р — алгебраическое вещественно замкнутое расширение
поля К. Таковое существует в силу теоремы 7а, поскольку уже
известно, что К формально вещественно. Поле Р алгебраично
над К и упорядочение поля Р является продолжением упорядо-
чения на Н, так как каждый положительный элемент из К
является квадратом в К, а значит, и в Р. Тем самым доказано
существование требуемого поля Р.
Пусть Р* —второе алгебраическое вещественно замкнутое рас-
ширение поля К, упорядочение которого продолжает упорядоче-
ние на К. Пусть /(х) —(не обязательно неразложимый) много-
член с коэффициентами из К. Теорема Штурма позволяет выяс-
нить, не выводя за пределы поля К, сколько корней имеет
многочлен f (х) в Р или в Р*: для этого достаточно рассмотреть
ряд Штурма для f (х) = хп -f-a^x"1 + .. .-j-an. Следовательно, /(х)
имеет столько же корней в Р, сколько и в Р*. В частности,
каждое уравнение над К, обладающее в Р по крайней мере одним
корнем, обладает и в Р* по крайней мере одним корнем, и на-
оборот. Пусть alt аг, .... аг — корни многочлена f(х) в Р, а р*,
292
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XI
Рз, 0* —его корни в Р*. Пусть, далее, элемент £ из Р выбран
так, что К (£) = К (cq, ..., аг), и пусть F (х) = 0 — неразложимое
уравнение для £ над Н. Многочлен F (х) обладает в Р кор-
нем Е, а потому и в Р* у него есть по крайней мере один корень t]*.
Расширения К (Е) и К (rj*) эквивалентны над К. Так как Н (Е)
порождается г корнями аг многочлена f(x), расширение
К (rj*) должно порождаться г корнями этого же многочлена f (х);
таким образом, К (л*) является подполем в Р*, откуда К (л*) =
= К (01, .... 0*)- Поэтому К (сер .... аг) и К(0*, ..., 0*) яв-
ляются эквивалентными расширениями поля К.
Чтобы показать, что Р и Р*—тоже эквивалентные расшире-
ния поля Н, заметим, что любое изоморфное отображение из Р
на Р* обязательно сохраняет порядок, который (согласно дока-
зательству теоремы 1 из § 81) определяется свойством элемента
быть или не быть квадратом. Поэтому определим следующее ото-
бражение о из Р на Р*. Пусть а —элемент из Р, р(х) — нераз-
ложимый многочлен, корнем которого является а и корнями
которого служат элементы а2, ..., аг из Р, пронумерован-
ные так, что cq<a2< пусть при этом a = ak. Если а*,
а2, .... а* —корни многочлена р(х) в Р* и ... <а*,
то пусть о(а) = а|. Очевидно, а определено однозначно и остав-
ляет элементы из К на месте. Нужно доказать, что о является
изоморфным отображением. Пусть f (х) — произвольно выбранный
для этой цели многочлен над К, Ух, у2, ..., у.? — его корни в Р,
а у*, у2, ..., у?-его корни в Р*. Пусть, далее, g(x) —много-
член над К, корни которого являются квадратными корнями из
разностей корней многочлена f (х). Пусть бп б2, ..., 6, — корни
многочлена g(x) в Р, а б*, б2, ..., б* —его корни в Р*. Со-
гласно доказанному выше поля
Л = К(у1, ..., ъ, 6j, .... б,) и Л* = К(уТ.у?, б?, ..., б?)
являются эквивалентными расширениями поля Н. Следовательно,
существует изоморфное отображение т из Л на Л*, оставляющее
на месте каждый элемент из К. С помощью т каждому у сопо-
ставляется некоторое у*, и каждому б —некоторое б*. Обозначе-
ния выберем так, чтобы было т(уЛ.) = у|:, x(6ft) = 6a. Если yft<yz
(в Р), то уг — уА = бл для некоторого индекса h, так что
у?-у!=бГ,
откуда у£<у* (в Р*). Следовательно, отображение т упорядочи-
вает корни многочлена /(х) в Р и Р* по их величине. Так как
это же имеет место для корней неразложимых в К множителей
многочлена /(х), то т (уЛ.) — о (у*) (й = 1, 2, ..., s). Выбрав теперь
многочлен /(х) так, чтобы среди его корней содержались два
§ 82]
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
293
произвольных наперед заданных элемента а, 0 из Р, равно как
и их сумма 7. + р и произведение а • 0, убедимся в том, что ст —
изоморфное отображение поля Р на Р* и притом единственное,
оставляющее на месте элементы из К. Положим Р* = Р; тогда
окажется, что наше утверждение об автоморфизмах поля Р также
справедливо.
Так как согласно § 77 поле рациональных чисел допу-
скает только одно упорядочение, из теоремы 8 немедленно сле-
дует
Теорема 8а. Существует —и притом только одно с точ-
ностью до изоморфизма полей — вещественно замкнутое алгебраи-
ческое расширение поля (Q.
В качестве этого поля можно, конечно, взять обычное поле R
вещественных алгебраических чисел (§ 78), получающееся путем
выделения алгебраических чисел из совокупности всех вещест-
венных чисел.
Как мы увидим, поле R в А является не единственным ве-
щественно замкнутым полем, а только одним из бесконечного
множества эквивалентных ему.
Теорема 9. Каждое формально вещественное алгебраическое
расширение К* поля (Q изоморфно некоторому подполю в R, т. е.
некоторому полю вещественных алгебраических чисел.
Доказательство. Согласно теореме 7а мы можем по-
строить алгебраическое вещественно замкнутое расширение К*
поля Р*. которое согласно теореме 8а обязательно изоморфно
полю R. Отсюда следует требуемое.
Каждое изоморфное отображение из К* на К s R дает, ко-
нечно, некоторое упорядочение на К*, так как все подполя К
в R являются с самого начала упорядоченными. Наоборот, так
можно получить любое упорядочение на К*, потому что кон-
струкция вещественно замкнутого расширения Р*, проведенная
в доказательстве теоремы 9, может согласно теореме 8 прово-
диться так, что упорядочение на К* сохранится. Это упорядо-
чение при указанном изоморфизме перейдет в (единственно воз-
можное) упорядочение на R.
Если, в частности, в качестве К* взять конечное поле алгеб-
раических чисел, у которого есть лишь конечное число изомор-
физмов в поле А, то получится следующее утверждение:
Число изоморфизмов, переводящих поле К* в поле вещественных
алгебраических чисел, равно числу различных упорядочений, возмож-
ных на К* (в частности, это число равно нулю, если К* не яв-
ляется формально вещественным).
Тот факт, что каждое содержащееся в А формально вещест-
венное поле может быть расширено до некоторого вещественно
замкнутого поля Р* с. А, приводит к следующему результату:
в поле А есть бесконечно много таких полей Р* (которые
294
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
согласно теореме 8а изоморфны друг другу). Поля вида Kf =
= Q (.£У'г2\ где и —некоторое нечетное натуральное число и £ —
некоторый корень п-й степени из единицы, изоморфны полю
2), а потому формально вещественны. Они, таким об-
разом, приводят к вещественно замкнутым расширениям Р^,
которые при фиксированном п все различны, поскольку всякое
упорядоченное поле может содержать лишь один корень п-й
степени из 2. Число же п таких полей может быть как угодно
велико.
Задача 1. Пусть 6 — корень неразложимого над (Q уравнения х4— х—1 =
= 0. Сколькими способами может быть упорядочено поле (Q (0)?
Задача 2. Поле 0(1), где t — переменная, может быть упорядочено бес-
конечным числом способов, причем как архимедовых, так и неархимедовых.
Переменная t может быть выбрана и как бесконечно большая и как бесконечно
малая (ср. § 77, задача 1).
Задача 3. Сколько корней имеет многочлен (г2 — /)2 — /3 в вещественно
замкнутом расширении поля (Q (/), если t — бесконечно малая? Где лежат эти
корни?
§ 83. Суммы квадратов
Выясним теперь следующий вопрос: какие элементы поля К
представляются в виде суммы квадратов элементов из К?
При этом можно сразу ограничиться формально веществен-
ными полями. Действительно, если поле К не является фор-
мально вещественным, то —1 представляется в виде суммы
квадратов:
-i=ix
1
Если Н имеет характеристику, отличную от 2, то отсюда следует,
что для произвольного элемента у из К имеет место разложение
на л + 1 квадратов:
НФНММ’
Если же К имеет характеристику 2, то любая сумма квадратов
сама является квадратом:
Легко проверить, что сумма и произведение сумм квадратов
вновь являются суммами квадратов. Однако и частное двух сумм
квадратов является суммой квадратов:
“-=а-р.(М2.
Докажем для счетных формально вещественных полей К сле-
дующую теорему;
§ 8з;
СУММЫ КВАДРАТОВ
295
Если элемент у поля К не является суммой квадратов, то
существует упорядочение поля К, в котором у является отрица-
тельным элементом.
Доказательство. Пусть у не является суммой квадратов.
Покажем прежде всего, что поле К (К—у) формально вещест-
венно. Если У— у принадлежит К, то утверждение очевидно.
В противном случае будем рассуждать так. Если
—1 = S («v У~ У + Pv)2,
1
то точно так же, как это было получено в теореме 1 (§ 81),
устанавливается, что
.. *+1^
7 Ж ’
т. е. элемент у оказывается суммой квадратов, что противоречит
условию. Поэтому поле К(]/ — у) формально вещественно. Если
теперь К()/—у) упорядочено в соответствии с теоремой 76 (§ 82),
то элемент —у, являясь квадратом, должен быть положительным.
Утверждение доказано.
В применении к формально вещественным полям алгебраи-
ческих чисел (если принять во внимание, что согласно § 82 все
возможные упорядочения такого поля могут быть получены
с помощью изоморфных отображений на сопряженные поля ве-
щественных чисел) это дает следующую теорему:
Элемент у поля К алгебраических чисел является суммой
квадратов тогда и только тогда, когда при всех изоморфизмах,
переводящих К в сопряженное с ним вещественное поле, число у
не переходит в отрицательное число.
Эта теорема сохраняет силу и тогда, когда поле К не яв-
ляется формально вещественным, потому что в этом случае все
числа из К являются суммами квадратов, изоморфизмов же
указанного типа вообще не существует.
Элементы поля алгебраических чисел К, которые при любом
изоморфизме на сопряженное с К поле вещественных чисел ока-
зываются положительными, называются вполне положительными
в К. Если у поля К нет вещественных сопряженных полей, то
каждое число из К может быть названо вполне положительным.
Понятие вполне положительного числа может быть перенесено
на произвольное поле К, если вполне положительными элемен-
тами из К назвать такие, которые оказываются положительными
при всех упорядочениях на К. (В частности, если К не обладает
никаким упорядочением, т. е. не является формально веществен-
ным, то любой его элемент вполне положителен.) Итак, результаты
296 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ (ГЛ XI
этого параграфа можно резюмировать следующим образом:
в произвольном поле, характеристика которого отлична от 2,
каждый вполне положительный элемент представляется в виде
суммы квадратов.
Литература к одиннадцатой главе
Дальнейшие сведения о числе квадратов, достаточном для представления
вполне положительных чисел числового поля, можно найти в работе Ландау
(Landau Е.). Ober die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate.—Gottingen
Nachr., 1919, S. 392. Случай функциональных полей описан в работах: Гиль-
берт (Hilbert D.). Ober die Darstellung definiter Formen als Summen von
Formenquadraten. —Math. Ann., 1888, 32, S. 342 — 350; Артин (Artin E.).
Ober die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. — Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 1926, 5, S. 100—115. По поводу основной теоремы алгебры см. ван
дер Кор пут (van der Corput G.). —Colloque international d’algebre, Paris,
1949.
Глава двенадцатая
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Линейная алгебра занимается модулями и их гомоморфиз-
мами, в частности, векторными пространствами и их преобразо-
ваниями. В качестве приложения теории модулей в § 86 будет
получена основная теорема об абелевых группах. В § 90 речь
идет о квадратичных формах, в § 91—об антисимметрических
билинейных формах.
Двенадцатая глава целиком опирается на теорию групп с опе-
раторами (глава 7).
§ 84. Модули над произвольным кольцом
Пусть 9ft — произвольное кольцо с единицей е и и 2)1 —любой
правый Sft-модуль, т. е. аддитивная группа с областью операто-
ров 9ft. Элементы из 2)1 будут обозначаться латинскими буквами,
а из 3ft — греческими. Правила оперирования состоят из соответ-
ствующих правил в аддитивной группе и еще следующих:
(а 4- b) X = аХ 4- Ьк,
й (X 4- ц) = йХ 4~ ар.,
й • Хр, = йХ щ
Из законов дистрибутивности, как обычно, следуют аналогич-
ные законы для вычитания, мультипликативные свойства символа
«минус», а также тот факт, что произведение равно нулю, если
в нем участвует нулевой сомножитель (будь то нуль из 3ft или
из ЭЛ).
Мы записываем операторы справа, однако это дело соглаше-
ния. Все доказываемые ниже теоремы остаются верными и тогда,
когда операторы стоят слева.
Единица кольца 5ft не обязана быть единичным оператором:
элемент ае для некоторых а может быть отличным от а. (При-
мером тому служит правило оперирования йХ = 0 для всех а и
для всех X.) Однако всегда имеет место равенство
й = (й —йе)4-ле- (1)
Первое слагаемое здесь аннулируется справа множителем е, а
второе сохраняется при таком умножении на е. Все первые сла-
гаемые в равенстве (1) образуют некоторый подмодуль 2)10 в 2)1,
аннулируемый элементом 8 и, следовательно, всеми элементами
298
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XII
ел из Л; вторые же слагаемые образуют подмодуль ЭЛЪ на кото-
ром единица е служит единичным оператором. Общим элементом
этих двух модулей может быть только нуль, потому что любой
другой элемент не может одновременно аннулироваться и сохра-
няться единицей данного кольца. Таким образом, представление
(1) показывает, что модуль ЭЭ1 является прямой суммой ЭЛ0 + ЭЛх.
После того как из модуля ЭЛ исключается не интересная для
дальнейшего часть ЭЛ0, остается лишь модуль, на котором е яв-
ляется единичным оператором. По этой причине мы в последующем
постоянно предполагаем, что единица кольца Л является одновре-
менно и единичным оператором модуля ЭЛ.
Если, в частности, кольцо Л является телом, то ЭЛ представ-
ляет собой векторное пространство над Л в смысле § 19.
Модуль ЭЛ называется конечным над кольцом Л, если его эле-
менты могут быть линейно выражены через конечное число эле-
ментов иь ..., ип в виде
игА + • • • + иН'-п • (2)
В этом случае ЭЛ является суммой подмодулей м^, ..., ц„Л:
ЭЛ = (ЫхЛ..... м„Л). (3)
Вместо (3) иногда кратко пишут:
ЭЛ = (и1, ..., и„).
Если в представлении (2) коэффициенты А1; .... Лл одно-
значно определяются элементом и, то ЭЛ называется модулем
линейных форм над Л. В этом случае сумма (3) является прямой:
ЭЛ = цхЛ + .. ,+ «яЛ.
Каждое конечномерное векторное пространство является моду-
лем линейных форм, потому что согласно § 19 в этом случае
всегда можно выбрать базис (щ, ..., ип). Согласно § 20 размер-
ность п не зависит от выбора базиса.
Операторный гомоморфизм, отображающий модуль линейных
форм ЭЛ = («J, ..., ип) в модуль линейных форм Л = (цх, ..., vn),
называется линейным преобразованием ЭЛ в Л. Для каждого
такого преобразования А, по аналогии со сказанным в § 23,
имеют место равенства:
А (х -|- у) = Ах А у,
А (лД) = (Дх) %.
Преобразование А определено однозначно, если задан образ
каждого порождающего элемента uk:
Auk= У, vt<xik.
Коэффициенты aift составляют матрицу преобразования А.
§ 85] МОДУЛИ НАД ЕВКЛИДОВЫМИ КОЛЬЦАМИ 299
Если Л—взаимно однозначное отображение модуля 3)1 на
модуль 91, то существует обратное отображение Л-1. Для него
Л-М = 1 и ДД-^1,
где символ 1 обозначает тождественное преобразование. В этом
случае отображение А и его матрица называются обра-
тимыми.
Линейное преобразование А и его матрицу [| || мы часто
будем обозначать одной и той же буквой А. Это не вполне ло-
гично, но зато удобно.
§ 85. Модули над евклидовыми кольцами.
Инвариантные множители
О кольце 51 мы будем теперь предполагать, что оно коммута-
тивно и евклидово в смысле § 17. Это означает, таким образом,
что каждому элементу а=/=0 кольца сопоставлено «абсолютное
значение» g'(a), причем так, что g(ab)^g(a) и возможно деление.
Согласно § 17 в этом случае каждый идеал в 91 является глав-
ным. Докажем для начала следующее:
Теорема. Пусть ^1—модуль линейных, форм над кольцом
51 с базисом («j, .... ип). Тогда каждый подмодуль 91 в 3)1 явля-
ется модулем линейных форм не более, чем с п базисными эле-
ментами.
Доказательство. Для нулевого модуля 3)1 теорема три-
виальна. Пусть она уже доказана для (п — 1)-членных модулей 3)1.
Если 91 состоит из линейных форм лишь от элементов ult ...
..., то по предположению индукции все доказано. Если 91
содержит линейную форму вида иф-^ +и,у.п с 7лД=0, то эле-
менты Хп, появляющиеся при этом, образуют ненулевой правый
идеал в и, следовательно, главный идеал (ц„) с р,„=^0. Таким
образом, в 91 имеется форма / = «ЫЪ + • • • + «лМ-л и для любой
другой формы «^ +... + м„Х„ можно найти такую кратную форму
1а формы /, что если ее вычесть из и^ +... + шЛл, то исчезнет
коэффициент Х„. Получающиеся таким образом линейные формы
из 91 от переменных ..., ип^ составляют подмодуль, который
согласно индуктивному предположению обладает базисом (/j, ...
..., Im-t), tn — 1 -С п — 1. Но тогда формы /1; ..., /т_1; I порож-
дают подмодуль 91.
Элементы 1Ъ ..., 1т^ линейно независимы. Если бы сущест-
вовала линейная зависимость
11Р1 + • • • + Im-lPm-l + ip = О
с р 0, то сравнение коэффициентов при ип справа и слева
дало бы [л„р=О, а это невозможно.
300 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ ХП
Задача 1 Если — целочисленный модуль линейных форм и 91 —его
подмодуль, порожденный конечным числом заданных линейных форм о* =
— У uictik, то базис (Zj.1т) с описанными выше свойствами строится
в конечное число шагов.
Задача 2 С помощью базиса (Zlr...» 1т), построенного в задаче 1, ука-
зать способ определения, является ли данная линейная форма р1и14- •• + РП“Л
элементом модуля 91 или нет; другими словами, указать способ распознавания,
обладает ли система диофантовых уравнений
У
целочисленными решениями или нет.
Теорема об инвариантных множителях. Если 91—
подмодуль модуля линейных форм ЭЛ, то существует такой базис
(«ъ ..., ип) в ЭЛ и такой базис (vlt .... vm) в 91, что
е.+1^0(е.). U
Доказательство. Будем исходить из произвольного базиса
(щ, ..., ип) модуля ЭЛ и произвольного базиса (иъ ..., vm) мо-
дуля 91. Пусть
Vk = У, ща1к. (2)
С помощью матричного способа записи вместо (2) можно за-
писать
(t»i...vm) = (ult ..., ип)- А. (3)
Мы хотим с помощью последовательных изменений базисов
привести матрицу А к желаемой диагональной форме:
6) 0 ... о
0 е2 ... 0
0 0 ... 0
Допустимые изменения базиса при этом таковы:
1. Перестановка двух форм и или двух форм v, что влечет
за собой перестановку двух строк или двух столбцов матрицы А.
2. Замена одной из форм щ на форму и(4-«Д (/#=»); при
этом из /-й строки матрицы А вычитается i-я строка, умножен-
ная слева на А:
Щ = У, и=... -J- (ui Uj'k) txih -ф... + Uj (alk — Ха;*) 4~. •.
3. Замена любой формы vk на vk~ oft при этом из
k-го столбца матрицы А вычитается /-й столбец, умноженный
справа на Z:
- VjK = У щ (aik - а0Х).
§ 85] МОДУЛИ НАД ЕВКЛИДОВЫМИ КОЛЬЦАМИ 301
Будем преобразовывать матрицу А с помощью операций 1, 2,
3 до тех пор, пока нельзя будет уменьшить абсолютное значение
наименьшего из отличных от нуля элементов матрицы А. С по-
мощью операции 1 мы можем добиться того, чтобы наименьший
элемент матрицы, отличный от нуля, занял место au. С помощью
операции 2 сделаем так, чтобы были предельно уменьшены
остальные элементы первого столбца; для этого нужно вычитать
подходящие кратные первой строки из последующих строк.
Получится, что абсолютные значения элементов первого столбца
меньше, чем | ап |, т. е. они равны 0. Точно так же заменяются
нулями элементы первой строки (преобразования типа 3) без
изменения элементов первого столбца. После этих операций все
элементы матрицы должны делиться на аи. Если бы это было не
так, то какой-то элемент, скажем, aik, не делился бы на аи и
тогда на основании алгоритма деления имело бы место равенство
ам = ацР + Т, 7=^0.
Прибавим сначала с помощью операции 2 первую строку к i-й
и вычтем затем с помощью операции 3 из k-ro столбца первый,
умноженный на 0; тогда на месте (ik) появится элемент у, для
которого g (у) < g (ап), что противоречит минимальности эле-
мента аи.
Теперь матрица выглядит так:
ап 0 ... 0
0
.' А'
0
где все элементы из А' делятся на au. С помощью последующих
операций нужно изменить первый столбец и первую строку мат-
рицы А' точно так же, как это делалось с матрицей А. При этом
не будет утрачена делимость каждого из элементов в А' на аи.
В конце концов А' примет вид
а2а 0 ... о
0
А" >
0
где все элементы из Д" делятся на а22. Продолжая таким обра-
зом, мы через т шагов получим искомую нормальную форму (4).
Случай, когда одна из матриц А, А', А", ... состоит сплошь из
нулей, исключается, потому что иначе некоторые из элементов
ц* были бы равны нулю, тогда как на каждой стадии описанного
процесса элементы v составляют базис модуля 31. Теорема до-
казана.
302
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XII
Замечания. 1. Операции 1 — 3 всегда осуществляются умно-
жением матрицы А слева или справа на некоторые обратимые
матрицы над кольцом 2R. Если ввести новые базисы
(«; ... «;) = («! ... ип)-В И (V1 ... Ут) = (ц1 ... Vm)C,
ТО
(ц; ... v'm) = (Uj ... vn) С = («! ... ит) AC=(u'i Un) в1 AC.
Теорема об инвариантных множителях равнозначна, таким обра-
зом, утверждению о существовании обратимых матриц В, С, для
которых В-1 АС — матрица вида (2).
2. Преобразование матрицы А тем же самым методом удается
и тогда, когда элементы v не составляют линейно независимой
системы; только в этом случае одна из матриц А, А', А", ...
окажется нулевой и мы получим вместо нормальной формы (4)
форму более общего вида,
81 0
В-'АС =
(5)
0
где г —ранг матрицы А. Соотношения делимости между элемен-
тами е; остаются теми же.
3. Миноры k-ro порядка преобразованной матрицы О = В-1ЛС
являются линейными функциями миноров матрицы А и, анало-
гично, миноры матрицы A = BDC~1 являются линейными функ-
циями миноров матрицы D. Следовательно, наибольший общий
делитель 6* миноров k-ro порядка матрицы А отличается обрати-
мым множителем от наибольшего общего делителя миноров k-ro
порядка матрицы D. Но для D легко подсчитать, что
6* = ... е* (& < г),
так что
= (К^г). (6)
Элементы называются детерминантными делителями матрицы
A, a ek — инвариантными множителями матрицы А. Из (6) сле-
дует, что инвариантные множители являются отношениями двух
последовательных детерминантных делителей.
4. Тот факт, что инвариантные множители е* однозначно опре-
деляются матрицей А с точностью до обратимого множителя, будет
иным путем получен в следующем параграфе, где показывается,
что инвариантные множители (если только они не обратимы)
зависят лишь от фактормодуля который в свою очередь
определяется, конечно, матрицей А.
§ ад
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ
303
Задача 3. Каждая система линейных диофантовых уравнений
2 = Pi (« = 1.......т)
1
с целыми числами и ₽/ приводится с помощью унимодулярного преобразо-
вания неизвестных!) и уравнений к виду
= (»= 1.....И е(#=0),
0 = 6; (/ = r + 1, , т).
Условия разрешимости этой системы в целых числах выглядят так:
y/ = 0(ei); <5у=0.
Неизвестные гр при i -~ r определенные, а остальные тр— свободные. Неизвест-
ные представляют собой целочисленные линейные функции свободных неиз-
вестных Т)у.
§ 86. Основная теорема об абелевых группах
Пусть © — произвольная абелева группа с конечным числом
образующих, записанная аддитивно, т. е. некоторый модуль. Если
задана область мультипликаторов 31 для группы ©, то мы предпо-
лагаем, что в 3i существует единичный элемент, являющийся
одновременно единичным оператором; если же область мульти-
пликаторов не задается, то мы считаем, что таковой служит кольцо
целых чисел, которое удовлетворяет указанному условию. В этом
параграфе мы записываем операторы слева от элементов модуля.
Пусть сначала © — циклический 31-модуль: ® = (g). Множество
элементов pi из 31, аннулирующих g, составляет левый идеал я
кольца ЗЕ из pjg = 0 и p2g = 0 следует, что (р, — р2) g = 0, и из
pg = 0 следует, что xpg = 0 для каждого х из 31. Каждому X
из 3? соответствует элемент Xg и, так как
(X + p)g = Xg + pg,
Xp-g = Z-pg,
это сопоставление является операторным гомоморфизмом над 31.
Отсюда по теореме об изоморфизме следует, что
©^Э?/а,
или произвольный циклический ^-модуль © изоморфен модулю клас-
сов вычетов кольца 3? по аннулирующему модуль © левому идеалу.
Для случая обычной циклической группы ® мы получаем
отсюда заново следующий результат: группа © изоморфна адди-
тивной группе целых чисел или группе классов вычетов по неко-
торому целому числу. Если п > 0 — порождающий элемент идеала
!) Преобразование называется унимодулярным, если оно имеет целые коэф-
фициенты и определитель ± 1.
304
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГГЛ ХП
а, то п является порядком циклической группы (g), а также
порядком элемента g.
Доказанная выше теорема справедлива независимо от специ-
альных предположений о кольце <й. Если же кольцо 'Д коммута-
тивно и евклидово, как это будет предполагаться в дальнейшем,
то к сказанному можно кое-что добавить. Идеал а является в этом
случае главным: а = (а). Считая, что а=#0, разложим, если это
возможно, а на два взаимно простых множителя:
а = ро,
1 = Хр + ро,
и построим циклические группы ®i = (pg) и ®2 = (<?£)• Тогда ®j
аннулируется элементом ст, а ®2 — элементом р. Поскольку
g = Xpg + |iog,
группа ® является суммой и @2. Пересечение ®!П®2 анну-
лируется элементами р и <т, а потому и элементом 1 = Хр per;
поэтому ®1П@2 = (0) и указанная сумма является прямой:
® — @i И- ®>2.
Если а и р в свою очередь разлагаются в произведение взаимно
простых сомножителей, то ®j или @2 разлагаются в прямую
сумму дальше. В конце концов циклическая группа ® станет пря-
мой суммой таких циклических групп, которые аннулируются
степенями простых чисел1). Произведение этих степеней простых
чисел равно а. Для групп с таким свойством будем употреблять
термин тримарные группы»2).
Мы переходим теперь к общему случаю, когда @ является
91-модулем с конечным числом порождающих gx, ..., gn и, сле-
довательно, элементы из @ имеют вид
- - +
Если построить на переменных и1( .... ип модуль линейных форм
Э91 = (Uj, ..., wn),
то каждой линейной форме У, Хщ; из Э01 сопоставится элемент
У X,g,- из ®. Это сопоставление вновь является гомоморфизмом
модулей, и из теоремы о гомоморфизме следует, что
х) «Простое число» — краткий синоним выражения «простой элемент
кольца ЭЪ>. В случае обычных абелевых групп это понятие совпадает с обычным
понятием простого числа.
2) В оригинале «Primzahlpotenzgruppen».—Прим, перед.
§ 86]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ОБ АБЕЛЕВЫХ ГРУППАХ
305
где 91 — подмодуль, состоящий из тех линейных форм У, Х/Ц/, для
КОТОРЫХ У kjgi = 0.
Мы опять предположим кольцо 8F? евклидовым. Согласно § 85
в модулях 91 и ЭЛ можно ввести новые базисы (ць vm) и
(н[, ..., и'п) (п > т), для которых
Vi = 8Щ/ при 1 = 1, ..., т,
8М1==0(е,).
Элементам и' соответствуют (в силу указанного выше гомомор-
физма) элементы hu .... hn модуля Все элементы из ® имеют
вид . + цл/г„ и любой такой элемент равен нулю тогда и
только тогда, когда
т. е. тогда, когда
Ц1 = 0 (8t), Цт+1 = 0,
Pm — 0 (8m), — 0.
Это означает, что сумма рЛ +... + только тогда равна нулю,
когда нулевым является каждое ее слагаемое, а слагаемое равно
нулю, если его коэффициент p; делится на 8; при 1 = 1, ..., т и
равен нулю при i = m-j-l, ..., п.
Вот другое выражение этого факта:
Группа ® является прямой суммой циклических групп (/1J + ...
• • + (йл) и аннулирующим идеалом подгруппы (hi) служит
(si) для 1 = 1, .... т,
(0) для i = m+l, п.
Такова основная теорема об абелевых группах
с конечным числом порождающих элементов.
В случае обычных абелевых групп числа |ег- являются поряд-
ками циклических групп (/ij), ..., (hm), а группы (hm+1), ..., (hn)
имеют бесконечный порядок.
Три дополнения следует сделать к доказанной теореме:
а) о выделении среди б; обратимых элементов;
б) о дальнейшем разложении циклических групп на пример-
ные;
в) о единственности.
а) Пусть, скажем, е, — обратимый элемент, так Что (8,) — еди-
ничный идеал 31, т. е. l(Rh1 = (0). Тогда циклическая группа 31/^
может быть исключена из числа слагаемых в сумме 31/г14-... + Э1йл.
После выделения обратимых элементов остаются аннулирую-
щие идеалы (бД (0), которые мы расположим в виде убывающего
306
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
ряда аг, ..., а?; тогда
аг = 0(щ+1).
б) Группы (hi), которые аннулируются идеалом (0), изоморфны
аддитивной группе кольца 2R. Группы, которые аннулируются
идеалами (е,{)=^(0), в соответствии с доказанным в начале распа-
даются на примарные группы. Идеалы, аннулирующие примарные
группы, находятся с помощью разложения числа е; на простые
множители. Сумма всех встречающихся в разложении группы @
подгрупп, относящихся к фиксированному простому числу р,
является группой 58р, состоящей из тех элементов группы @,
которые аннулируются достаточно высокой степенью рр. По этой
причине группы 'Зр определены однозначно. Если U обозначает
сумму групп, для которых а = (0), то
® = 2% + и.
р
В результате дальнейшего разложения групп вновь получаются
примарные группы, которые определены не совсем однозначно,
но, как мы увидим, однозначно с точностью до изоморфизма.
В каждой группе Ър имеется однозначно определенный ряд под-
групп 'В,,, р, p_lt ..., о, где 'BPi v состоит из тех элементов
группы 23р, которые аннулируются числом pv. Первой группой
в этом ряду является сама группа последняя группа состоит
из одного лишь нуля.
Группа U определена неоднозначно, но однозначно с точностью
до изоморфизма:
р
в) Единственность. Аннулирующие идеалы (ц, ..., ад при
условии <1( = 0 (а/_х), встречающиеся в разложении в прямую сумму
Qj = (Д определены однозначно модулем ®. (Иными сло-
вами: группы определены однозначно с точностью до изомор-
физма.)
Доказательство. Утверждаемая единственность будет
доказана, как только мы покажем, что о каждой степени простого
числа рр из кольца 91 однозначно можно установить, во сколько
идеалов а; она входит. Действительно, если рр входит в k из ука-
занных идеалов, то в силу свойства делимости последних этими
k идеалами являются первые k идеалов ах, .... таким образом,
о каждой степени р'7 оказывается известным не только то,
во сколько идеалов она входит, но и в какие именно идеалы.
Тем самым о каждом выясняется, какие степени простых чисел
в него входят. Идеалы а;, в которые входят неограниченно боль-
шие степени, равны нулю, а прочие идеалы однозначно опреде-
ляются разложением на простые множители.
§ 87]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МОДУЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
307
Если число ра входит в идеал, аннулирующий циклическую
группу (S/, то
является циклической группой с аннулирующим идеалом (р), т. е.
простой группой. Если же р° в указанный идеал ие входит, то
p°&i =pa~1$i и p^-1Q,i/p'J^l = (0). По этой причине ра~г®/р°®
является прямой суммой стольких простых групп, каково число
k идеалов щ, делящихся на р7. Таким образом, число k равно
длине композиционного ряда группы pf71S/p,T® и, следовательно,
определено однозначно.
Задача 1. Провести подробно последнюю, конспективно изложенную
часть доказательства.
Задача 2. Построенная в разделе б) группа 31 является модулем линей-
ных форм над кольцом Z целых чисел, и количество ее циклических слага-
емых равно рангу группы 0 (ранг — это максимальное число линейно незави-
симых элементов над кольцом 9i).
Задача 3. Провести второе доказательство единственности с помощью
понятия длины композиционного ряда применительно к построенным в разделе
б) и определенным однозначно группам и подгруппам. Можно использовать
также ранг модуля 9( (задача 2).
§ 87. Представления и модули представлений
Пусть К —некоторое тело.
Под представлением кольца о линейными преобразованиями
или матрицами над телом К подразумевается произвольный го-
моморфизм
о —Г,
где £> — кольцо квадратных матриц r-го порядка над К. Если
гомоморфизм является изоморфизмом, то говорят, что имеет
место точное представление.
Под модулем представления кольца о над К подразумевается
«двойной модуль» ЭЛ, для которого о служит областью левых
мультипликаторов, К —областью правых мультипликаторов, об-
ладающий следующими свойствами:
1. Модуль ЭЛ является модулем линейных форм над К:
ЭЛ = HjK +... + ипК.
2. Для любых аес, и е ЭЛ, к еН справедливо равенство
а-ик = аи-\ (1)
Последнее условие означает, что умножение на а является
некоторым операторным гомоморфизмом К-модуля ЭЛ, т. е. не-
которым линейным преобразованием. Это линейное преобразование
308
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. ХП
задается квадратной матрицей А — || aik || —
6Z • Uk = UjtZjk,
ц • “ ^"j
Таким образом, каждому элементу а кольца о соответствует не-
которая матрица А над телом Н. В согласии с аксиомами мо-
дуля произведению и сумме двух элементов а, b кольца о соот-
ветствуют произведение и сумма соответствующих им линейных
преобразований, а потому и их матриц. Итак, отображение
а>—+ А является представлением кольца о.
Если, наоборот, задано представление кольца о линейными
преобразованиями модуля линейных форм 3)1 над телом Н, то из
3)1 можно сделать двойной модуль, в котором произведения а-и
(а е о, и е 3)1) определены с помощью условий (2). Проверяется,
что в этом случае все свойства двойного модуля и равенство (1)
выполнены, так что 391 — модуль представления.
Итак, каждому модулю представления соответствует неко-
торое представление кольца о линейными преобразованиями или
после выбора базиса (ult ..., ип) над К — матрицами над телом
К; обратно', каждому представлению соответствует некоторый
модуль представления.
Если от базиса («ь ..., ип) перейти с помощью равенства
(и{ ... «;) = («! ... ип)Р
к какому-нибудь другому базису (uj, ..., п„), то линейное пре-
образование, представлявшееся матрицей А, будет представляться
матрицей
А'= Р~1АР.
Элементу кольца а сопоставляется, таким образом, новая мат-
рица А’; в этом случае говорят об эквивалентном представлении.
Поскольку переход к эквивалентному представлению является
не чем иным, как переходом к другому базису в том же модуле
представления (или операторно изоморфном ему), мы приходим
к следующему выводу: изоморфным модулям представления соот-
ветствуют эквивалентные представления, и наоборот.
Система линейных преобразований модуля линейных форм
391, в частности, какое-либо представление кольца, называется
приводимой, если все преобразования этой системы переводят
фиксированное подпространство 91 О, 91 3)1 в себя. В этом
случае 91 называется инвариантным подпространством. Если
речь идет о представлении кольца о, то 3)1 можно рассматривать
как двойной модуль относительно о и К, а инвариантное под-
пространство 91 — как множество, допускающее все элементы из
о в качестве левых операторов. Отсюда следует, что представ-
§ 87]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И МОДУЛИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
309
ление кольца приводимо тогда и только тогда, когда соответству-
ющий модуль представления обладает (двойным) подмодулем 91.
Чтобы выяснить, как выглядят матрицы приводимого пред-
ставления, возьмем какой-нибудь К-базис в 91 и дополним его
до Н-базиса модуля 3)1. Таким образом,
9i = v1K+... + urK,
Э01 = Ч* - • • Ч* 0,К Ч~ Ч~ • • • Ч" До/К.
Тот факт, что произвольное линейное преобразование переводит
модуль 91 в себя, означает, что образы элементов v относительно
такого преобразования вновь выражаются через v:
КУ/= 2 ViGu + ^WiTij.
(3)
Положим Я = ||р//||, S = ||ffy||, Т = ||т(7||; тогда это преобразование
представится следующей матрицей:
(4)
Следовательно, система матриц приводима тогда и только
тогда, когда все матрицы системы могут быть одновременно при-
ведены к виду (4) с помощью преобразования А *—* Р^АР (выбор
нового базиса).
Из (3) следует, что
(v{ ... v;) = (vx ... vr)-R,
(w{ ... w't) = (о/, ... wt)-T (mod 31). ' ’
Отсюда усматривается следующее:
Фиксируем в случае приводимого представления кольца о инва-
риантный подмодуль 91 и фактормодуль S01/91 и рассмотрим их
как модули представления-, тогда получающиеся при этом предста-
вления задаются частями R и Т, указанными в матрице (4).
Если мы выберем в 31 максимальный инвариантный подмодуль
в котором вновь выберем максимальный инвариантный под-
модуль 2>lz_2 и т. д., до получения композиционного ряда
3)l = 3)lz, 3)lw,
.... S»lo = (0),
то все матрицы представления с помощью подходящего выбора
базиса приведутся к виду
Рп О
О ^?22
Pil
Рг1
(6)
310
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
(ГЛ. XII
Диагональные клетки Rit задают представления, которые соот-
ветствуют композиционным факторам ЭЖ/ЭЖ^; поскольку послед-
ние являются простыми двойными модулями (т. е. не содержат
инвариантных подмодулей), соответствующие представления не-
приводимы. Процесс, приводящий к матрицам (6), называется
«приведением» представления. По теореме Жордана — Гёльдера
(§ 51) композиционные факторы определены однозначно с точ-
ностью до порядка следования и операторного изоморфизма.
Отсюда: неприводимые представления приведенного представ-
ления (6) определены однозначно с точностью до порядка следо-
вания и эквивалентности представлений.
Если в системе (3) отсутствуют коэффициенты сщ, то это озна-
чает, что не только (ць ..., щ), но и (к^, ..., wt) является
инвариантным подмодулем, а потому 301 является прямой суммой
двух инвариантных подмодулей 91, £?. Матрица (4), следовательно,
выглядит так:
где R соответствует представлению на 91, а Т — представлению
на D. В этом случае говорят, что представление а>—*Д распа-
дается на представление а ।—► Rua ।—► Т.
Если двойной модуль 991 вполне приводим в смысле § 53, т. е.
является прямой суммой простых двойных модулей, то получае-
мое с помощью Э)1 представление задается матрицей
«и о
«22
0 Ri!
(7)
где отдельные клетки задают неприводимые представления, среди
которых, конечно, могут быть и равные. Такое представление
называется вполне приводимым.
Примеры, иллюстрирующие понятия этого параграфа, доста-
вит теория отдельно рассматриваемой матрицы, помещенная в сле-
дующем параграфе.
Задача 1. Если о —кольцо с единицей и представление этого кольца
сопоставляет единице единичную матрицу, то для модуля представления это
означает, что единица является единичным оператором. Показать с помощью
одной из теорем § 84, что любое представление кольца о распадается на два
таких, что в первом из них единице соответствует единичная матрица, а во
втором каждому элементу сопоставляется нулевая матрица:
Но 21-
§ 38] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ 311
Задача 2. Представление является вполне приводимым тогда и только
тогда, когда каждому инвариантному подпространству 91 можно сопоставить
инвариантное же подпространство о такое, что вместе они порождают модуль ЗЯ:
Ш1 = 914-С.
Задача 3. Если (u'lf , Un) = (U1> .ип) Р — гомоморфизм модуля пред-
ставления в себя, то матрица Р перестановочна со всеми матрицами представ-
ления:
АР = РА,
и наоборот.
§ 88. Нормальные формы матрицы над полем
Пусть ЭЛ = («!, .... и„) — модуль линейных форм над полем К и
4k 1 Pk । ^i^ik
— некоторое линейное преобразование модуля ЭЛ в себя. Мы
собираемся ввести новый базис,
(«[ ... «„) = (“! ... и„)Р
(где Р — некоторая обратимая матрица над К), в котором мат-
рица X = ||aift|| приобретет наиболее простую нормальную форму
А'= Р ЧР.
Рассмотрим степени матрицы А как представление степеней
произвольной переменной х и продолжим его до представления
кольца многочленов К[х], которое многочлену
f (*) = У, av*v
сопоставляет матрицу
Представление гомоморфно, потому что степени матрицы А пере-
становочны между собой и с коэффициентами av.
Этому представлению соответствует модуль представления ЭЛ,
в котором произведение многочлена из К [х] с элементом и е ЭЛ
определяется равенством
(2 av^v) ч = У avAvu.
Модуль представления ЭЛ является двойным модулем относи-
тельно К [х] и К; однако, так как величины из поля К переста-
новочны со всеми остальными и между собой, мы можем писать
их слева от элементов модуля ЭЛ:
«А, = Хи;
поэтому ЭЛ можно рассматривать просто как К [х]-модуль.
312
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ ХП
Так как кольцо многочленов Н [х] евклидово, применима ос-
новная теорема из § 86: модуль ЭЯ является прямой суммой цик-
лических К [х]-модулей (к^), ..., (о>Д аннулирующие идеалы
которых или равны нулю, или порождаются каким-либо много-
членом. Случай нулевых идеалов исключается, потому что для
каждого w = wv можно указать не более п линейно независимых
величин среди w, xw, x2w, ...; следовательно, существует много-
член У, avxv =# 0 со свойством
У avxvw = 0.
Поэтому каждый элемент w = wv обладает аннулирующим много-
членом наиболее низкой степени
fv (X) = f (х) = xk + + • • + а0,
и
fv+1 = 0 (fv)-
Величины w, xw, x^w линейно независимы над К и поэтому
могут использоваться для построения К-базиса в циклическом
К [х]-модуле (w) = (да, xw, x2w, Имеем:
Aw — xw,
Axw = x2w,
Axkiw = xkw = — a0-w — 04 xw —... — r xk~rw.
Следовательно, преобразование А модуля (щ, xw, ...) в себя в но-
вом базисе задается матрицей
Av —
0 0 ... 0 — а0
1 0 ... 0 —а,
0 1 ... 0 —а2
(1)
0 0 ... 1 —
Такие матрицы называются сопровождающими. Каждому эле,
менту wv соответствует сопровождающая матрица Av такого типа.
Так как модуль Э?1 является прямой суммой модулей (wv), для
матрицы А получается первая нормальная форма
где блоки Av — сопровождающие матрицы типа (1).
Из теоремы единственности § 86 следует, что многочлены fv(x),
как и сопровождающие матрицы Xv, определяются модулем Эл
однозначно.
§ 881 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦЫ НАД ПОЛЕМ 313
Блоки Xv можно разлагать дальше, представляя циклические
модули (wv) в виде прямых сумм таких циклических подмодулей,
которые аннулируются степенями неразложимых многочленов.
Форма (2) сохранит свой вид, только в этом случае сопровож-
дающие матрицы (1) будут соответствовать степеням многочленов
(р(х))р (вторая нормальная форма). И здесь сопровождающие мат-
рицы определены однозначно с точностью до порядка следования.
Многочлены (р (х))р иногда называют элементарными делителями
матрицы А. Связь между понятием инвариантного множителя
из § 85 и понятием элементарного делителя выявится в § 89.
С помощью композиционных рядов циклических модулей (wv)
полученные выше нормальные формы можно упростить дальше.
Мы рассмотрим здесь лишь случай, когда встречающиеся в рас-
суждениях многочлены р (х) являются линейными-, такая ситуация
складывается, в частности, когда поле К алгебраически замкнуто.
Итак, р (х) = х — А, f(x) = (x-X)p.
В качестве базисных элементов мы возьмем элементы = (х — X)p-J w, v2 = (x — Х)р”2 w, Vp = W.
Имеем: (х — X) Vj = 0, (x-X)vll = vH_1 (1<ц«т),
или Av1 — xv1 = kv1, (3)
Тем самым блок приобретает «редуцированный вид»: X 1 0 ... 0 о ОХ 1 ... 0 0 А= , о о о ... х 1 0 0 0 ... 0 X
и, равным образом, так как каждому элементу wv соответствует
некоторое Xv,
Xv 1 ... о о
о xv ... о о
Av =
о о ... xv 1
о о ... о
314
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
(ГЛ. ХП
Эти блоки следует опять подставить в (2), и мы получим третью
нормальную форму. Характеристические корни и порядки pv
рассматриваемых блоков вновь определены однозначно.
Все векторы которые соответствуют фиксированному корню
X, порождают некоторый модуль ®v, аннулирующийся степенью
многочлена х — X (§ 86); этот модуль (на языке векторных про-
странств) называется корневым подпространством корня А. Весь
модуль Й)1 является прямой суммой таких корневых подпрост-
ранств. В этих последних существуют упомянутые в § 86
ряды подпространств, аннулирующихся многочленами (х — л)р,
(х — Х)р -1,..., 1. Векторы х — X, аннулирующиеся многочленом w,
т. е. удовлетворящие равенству
Aw = Xw,
называются собственными векторами матрицы А, отвечающими
собственному значению К.
Вполне приводимый случай (ср. § 87), в котором нормальная
форма (2) имеет диагональный вид
М О
0 ’ к
(4)
встречается, когда все порядки р равны 1, т. е. когда многочлены
fv (х), из которых (р (х))р возникают при разложении на простые
множители, не имеют кратных множителей. Так как
fv+i = 0 (fv),
для этого достаточно, чтобы старший элементарный делитель
fv(x) не имел кратных множителей.
Методы эффективного определения характеристических корней
и построения нормальных форм изложены в следующих параграфах.
Задача 1. Старший элементарный делитель fv (х) совпадает с многочле-
ном f (х) наименьшей возможной степени со свойством
или /(Л) = 0.
Задача 2. Для произвольной матрицы А, заданной во второй или третьей
нормальной форме, определить совокупность перестановочных с ней матриц
(ср. § 87, задача 3).
§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция
При преобразовании
А'=Р~гАР
матрица хЕ— А переходит в
Р-1 (хЕ - А) Р = хР-'ЕР - Р~ГАР =хЕ-А’.
Определим инвариантные множители матрицы хЕ — А в кольце
К [х]. Так как они инвариантны относительно одновременного
§ 891
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
315
умножения матрицы А слева и справа на любые обратимые мат-
рицы, мы можем определить их для матрицы хЕ — А', где А' —
первая нормальная форма в смысле § 88. Согласно (1), (2) из § 88,
матрица хЕ — А' состоит из блоков вида
xEt — Аг
х о ... о
—1 х ... О Pi
о -1 ... о р3
о 0 ... х рл_2
О 0 ... —1 х Р/,_ j
Для определения инвариантных множителей мы должны эту
матрицу привести к диагональному виду. К первой строке при-
бавим строки со второй по h-ю, умноженные соответственно
на х, х2, ..., xh-1; получим;
0 0 0 f w
-1 X 0 ₽I
0 0 X Pft-2
0 0 ... —1 x+ Рлл
Перестановкой одних только строк переведем первую строку
в самый низ; тогда под главной диагональю останутся только
нули. Прибавлением к последующим столбцам столбцов, кратных
предыдущим, легко получить всюду над главной диагональю нули.
Таким образом, получится матрица
Располагая такие блоки друг за другом и переставляя строки
и столбцы так, чтобы — 1 занимали начало главной диагонали,
мы получим искомую диагональную форму
-1 О
-1
— 1
h (*)
0 fr W
316
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
Тем самым многочлены fv(x) вместе с несколькими единицами слу-
жат инвариантными множителями матрицы хЕ — А. Степени
простых многочленов, на которые они раскладываются, являются
элементарными делителями матрицы А.
Характеристический многочлен (характеристическая функция)
матрицы А
xW = U7vW
аннулирует модуль ЭЛ, потому что этим свойством обладает уже
множитель /г(х); следовательно,
Х(Л) = 0.
(1)
Характеристический многочлен является наибольшим в смысле
порядка минором матрицы хЕ — А, а потому с точностью до кон-
станты равен определителю \хЕ — Л |. Но эта константа равна,
очевидно, единице; следовательно,
X (х) = | хЕ - А
(2)
Характеристическое уравнение (1) для матрицы А выводится
непосредственно из (2). Именно,
XUfc , UjtXik
и исключение всех и из этой системы уравнений дает нам (надо
учитывать, что переменная х и ее степени перестановочны с ко-
эффициентами а,*):
X — «и ... —«1л
-««1 ... х—апп
«/ = 0,
или
| хЕ — А | Uj = 0,
т. е. х (х) = | хЕ — А аннулирует все переменные «/, а потому
и весь модуль ЭЛ. Это и требовалось доказать.
В силу сказанного коэффициенты характеристической функ-
ции х (х) матрицы А инвариантны относительно преобразования
Лн->Р-МР.
Важнейшими среди коэффициентов являются первый и последний.
След матрицы Л—это коэффициент при — ал1:
5(Л) = 2“«-
Норма матрицы Л—это коэффициент при (—1)лх°:
^(Л) = |Л|-
§ 90]
КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
317
Корни характеристической функции называются характери-
стическими корнями Xv, которые в предыдущих параграфах уже
вводились как корни многочлена А-(х). Это доставляет средство
определения корней Zv и построения нормальных форм, описан-
ных в предыдущих параграфах. Именно, сначала нужно опреде-
лить A,v как корни многочлена
X (х) = | хЕ - А |,
затем векторы из линейных уравнений (ср. (3) из § 88)
Ava = Xvvx.
В случае кратных корней (р>1) последующие векторы v2, ... vp,
как правило, определяются легко из уравнений (3) из § 88; при
этом может оказаться необходимым заменить соответствующие
корню Xv векторы щ их линейными комбинациями.
Уравнение %(Х) = 0, корнями которого являются Xv, появ-
ляется во многих приложениях; поскольку оно очень часто
встречается в теории вековых возмущений, его называют еще
вековым уравнением.
§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы
Пусть К — поле и Q — квадратичная форма
Q(xlt хп) = У; qixl + У qikXtXk (1)
i i < k
с коэффициентами из поля К. Положим qi = qu и будем писать
вместо Q(xlt ..., хп) просто Q(x); тогда (1) можно записать короче:
QW = Е qikXiXk-
Построим форму Q(x + y), где у обозначает новый набор
переменных ylt уп- Вычисление показывает, что
Q(x + y) = Q(x) + Q(y) + B (х, у), (2)
где В (х, у) — симметрическая билинейная форма
в (х, у) = У, bikXiXk (3)
с коэффициентами
Ьц = 2^/,
bik = bl!i = qlk
Форму В (х, у) называют полярной формой квадратичной формы
QW-
Когда переменные х линейно преобразуются:
Xi = У пцх'с (nv е= К), (4)
318
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. ХП
форма Q(x) переходит в новую форму Q' (х'):
Q(x) = Q' (%').
При этом матрица Р=,||лу|| предполагается неособой. Формы
Q и Q’ называются рационально эквивалентными над полем К.
Если матрица Р и обратная к ней Р 1 состоят из элементов
некоторого кольца К, то формы называются эквивалентными
над кольцом )( (например, целочисленно эквивалентными, когда
SR = Z —кольцо целых чисел).
Если переменные у преобразуются точно так же, как пере-
менные х, с коэффициентами
yi = S ^уУь (5)
то форма В (х, у) переходит в некоторую билинейную форму
В'(х', у'):
В(х, у) — В'(х’, у').
Из (2) следует, что
Q' (x'+y'^Q' (x') + Q' (у') + В' (х’, у'). (6)
Если В —полярная форма квадратичной формы Q, то В' —
полярная форма квадратичной формы Q'. Построение полярной
формы инвариантно относительно линейных преобразований пере-
менных.
Если в (2) подставить у — х, то получится
4Q (х) = 2Q (х) + В (х, х)
или
2Q(x) = B(x, х). (7)
Если характеристика поля отлична от 2, то из В (х, х) можно
восстановить форму Q(x):
Q (х) = ~ В (х, х) = у bikxixk.
Положим теперь ~ bik = aik, тогда можно будет записать квад-
ратичную форму в виде
Q (х) = aikXiXk (aik (®)
Из коэффициентов bik билинейной формы В (х, у) можно по-
строить следующий определитель:
Ьц biz bin 2</i <712 • 71л
0 = b2f &22 ••• b2n <712 2<7а • • ?2Л (9)
&nl ^П2 • • • ^пп 71л 72 л • • 2?„
§ 901 КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 319
Определитель D называется определителем формы Q. Если харак-
теристика основного поля не равна 2, то из разделенных на 2
коэффициентов aik можно построить определитель А. Этот опре-
делитель называется дискриминантом формы Q. Очевидно, имеет
место равенство
£> = 2ЛА. (10)
Выясним, как меняется определитель D при линейных пре-
образованиях (4). Подставим (4) и (5) в (3); получим
В' (х', у’) = У, Ь1кпчяь1х'jx'r,
следовательно,
Ь'н^^Ь^лм, (11)
где суммирование ведется по индексам, встречающимся дважды.
Равенство (11) можно записать как матричное равенство
В' = Р‘ВР, (12)
где Р* — матрица, транспонированная по отношению к матрице
Если взять определители обеих частей равенства (12), то
получится
£)'= {£>et (Р)}2 £>. (13)
Иначе говоря: определитель D умножается на квадрат определи-
теля осуществляемого преобразования.
Начиная с этого места, предполагается, что характеристика
основного поля отлична от 2. Заменим переменные xt на коорди-
наты Ci произвольно взятого вектора и, а переменные yt — на
координаты dt вектора v и запишем:
f (и, v) = aikCidk = -| В (с, d),
в частности,
f (и, и) = У аи^сь = Q (с).
Приведем квадратичную форму f(u, и} с помощью линейного
преобразования к наиболее простому виду. Для этого выберем
вектор так, чтобы было f (t\, vj =£ 0; это всегда возможно,
если f не есть тождественный нуль. Тогда уравнение f(vlt и)=0
определяет некоторое подпространство РпЛ векторного простран-
ства Rn, которое не содержит Выберем в этом подпространстве,
если возможно, вектор v2 так, чтобы было f (v2, v2) =/= 0; тогда
уравнение f(v2, и) = 0 вместе с предыдущим уравнением определяет
некоторое подпространство Rn_2 в Rn-i, которое не содержит v2.
Будем продолжать это до тех пор, пока не придем к подпро-
странству Rn г такому, что f (и, и) = 0 для всех и из Rn-r, так
что f(u, и)=0 для и и v из Rn-f Может оказаться, что г = п;
320
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
тогда Rn-r — нулевое подпространство. В противном случае выбе-
рем в Rnr произвольный векторный базис vr+1, ..., vn. Тогда
f(vt, vk) = 0
f(vit и,.) = у;=£0 (i = l, r),
f(Vi, V()=0 (i = r-Ь 1, n).
Разложим теперь каждый вектор v по новому базису vlt ..., v„:
и = У, vtd{;
тогда
= v^dtdk^^yidl (14)
i
Таким образом, форма f, как принято говорить, преобразована
к сумме квадратов.
Векторы w из подпространства обладают тем свойством,
что
f(w, и) = 0 для каждого и,
и характеризуются этим. Следовательно, подпространство R„-r
и его размерность п — г инвариантно связаны с формой f. Число
г квадратов в (14) также инвариантно; оно называется рангом
формы f.
Предположим, что поле К упорядочено (§ 77). Число отрица-
тельных коэффициентов у, в (14) называется индексом инерции
формы f. Покажем, что и индекс инерции инвариантен (закон
инерции Сильвестра).
Пусть та же форма f, разложенная по другим базисным век-
торам wh выглядит так:
1
предположим, что уг, ..., ул положительны, а уЛ+1, ..., отри-
цательны и, аналогично, у[, ..., yh положительны, а у(+1, ..., у'г
отрицательны. Пусть, например, k>h; тогда линейные уравнения
dY = 0, ..., dh = 0, = 0, ..., dr — 0
определяют пространство размерности, большей п — r. Для про-
извольного вектора и этого пространства должно иметь место
Г
неравенство f (и, и)= У 0, а с другой стороны — неравен-
Л+1
k
ство f (и, и) = У y’idj2 0; следовательно, f (и, и) = 0 и все коор-
1
динаты di и dj нулевые. Поэтому вектор и лежит в Полу-
§ 90] КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 321
чается, что некоторое пространство размерности, большей /г —г,
содержится в (п — г)-мерном пространстве, чего быть не может.
Если все коэффициенты у, в (14) положительны, то в случае
r — п форма f называется положительно определенной, а в слу-
чае г < п — полуопределенной. Положительно определенные формы
характеризуются тем, что на любом векторе и =4= 0 они принимают
положительное значение; полуопределенные формы характери-
зуются тем, что их значения не всегда положительны, но всегда
^0.
Положительно определенная форма, как это немедленно сле-
дует из (14), после присоединения к полю К величин Vyz при-
водится к «единичной форме»'.
Е (и, и) = 2
Аналогом квадратичных форм являются эрмитовы формы. Чтобы
получить их, присоединим к упорядоченному полю К квадратный
корень 6 из какого-либо отрицательного элемента а. поля К,
например 6 = У — 1. О величинах поля К будем говорить, что
они «вещественны», чтобы отличать их от величин поля К (0);
в приложениях поле К большей частью является полем веще-
ственных чисел и 0 = У — 1.
С каждым числом с = а + Ь& сопряжено число С = а— bQ. Про-
изведение cc = a2 — b2d2 всегда вещественно и ^=0, причем знак
равенства возможен лишь при с = 0.
Под эрмитовой формой мы понимаем выражение
Н (и, и) = У, billiclch (h-ik — Ьм).
Значение формы Н на произвольном векторе и всегда вещественно.
Построив
Н (и + Av, и ф- Av) = 2 S dik^i^k + А 2 S +
+ А 2 S h-ndiCh + АА S dikd-id/,,
получим в качестве коэффициента при А билинейную форму
Н (и, v) = 2l2lhlkCidk.
Имеет место равенство
Н (v, и) = Н (и, v).
При линейном преобразовании переменных cz, где cz преоб-
разуются, конечно, сопряженным преобразованием с матрицей
P=|]nZ;||, матрица Н эрмитовой формы меняется так:
Н'=Р+АР,
где Р'~ = Р‘ — матрица, транспонированная и сопряженная к Р.
322
Линейная алгебра
(ГЛ. хи
Наши предыдущие рассмотрения о представлении квадратич-
ных форм в виде суммы квадратов остаются справедливыми и для
эрмитовых форм. Нормальная форма выглядит в данном случае так:
Г
Н (и, u)='^iylclci (у/ вещественны). (15)
1
Форма Н вновь называется положительно определенной, если все
значения Н (п, и) положительны, за исключением случая, когда
и = 0 или когда г = п и коэффициенты ylt ..., уп положительны.
После присоединения к основному полю квадратных корней из yt
положительно определенная форма приводится к «единичной форме»
Е (и, w) = 2 с fit.
Последующие рассуждения справедливы в равной степени
для эрмитовых и для квадратичных форм. Мы будем говорить
о формах эрмитовых, а для того чтобы перевести доказываемые
предложения на случай квадратичных форм, надо выбирать коэф-
фициенты в поле К и отбросить надстрочные черты в записях.
Мы будем выбирать конкретную, большей частью положительно
определенную эрмитову форму G (и, и) ранга п в качестве основной
формы и будем обозначать через G матрицу ее коэффициентов
\\gik Ц. Если, в частности, G(u, и) — единичная форма, то G —еди-
ничная матрица Е. Два вектора и, v будут называться ортого-
нальными, если G (и, v) = 0. В этом случае и G (и, и) = 0. Векторы,
ортогональные к фиксированному вектору и Ф 0, составляют линей-
ное подпространство; оно называется подпространством, ортого-
нальным к вектору и. Если форма G положительно определена,
то всегда G («, и) =£- 0, так что сам вектор и в этом случае не
принадлежит ортогональному ему подпространству Базис,
состоящий из п попарно ортогональных векторов ..., кото-
рый используется для представления формы в нормальном виде (15),
называется полной ортогональной системой векторов. Ортогональ-
ная система называется нормированной, если
G(vy, V;) = l.
Линейные преобразования А, удовлетворяющие равенству
G(Au, v) = G(u, Av) (для всех и и и), (16)
называются эрмитово симметрическими или просто симметриче-
скими. Вот как выглядит в расписанном виде последнее равенство:
guUijCjd =
или
У ЁиЯц = 2 gjkdki,
I к
§ 90] КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 323
ИЛИ
Л+С = бЛ. (17)
Если, в частности, G —единичная форма, то условие симмет-
рии выглядит просто:
А+ = А или aik = aki,
J
чем и объясняется термин «симметрическое».
Линейные преобразования А, относительно которых основная
форма G (и, и) инвариантна, т. е.
G(Au, Au) = G(u, и) или AGA=G, (18)
называются унитарными, а в вещественном случае — ортогональ-
ными. Очевидно, что тогда и G(Au, Av) = G(u, v). В частности,
если G — E, чего всегда можно добиться в положительно опреде-
ленном случае, то высказанное условие выглядит так:
А+А=Е или Л+ = Л-1 или АА+ = Е.
Расписывая подробно, получаем «условия ортогональности»
( 0 для k =£ I,
" I 1 ДЛЯ k = I,
или, что то же,
Вещественное ортогональное преобразование с определителем 1
называется вращением.
Если симметрическое или унитарное преобразование А пере-
водит отличный от нуля вектор и в кратный ему:
Аи — 'ки, (19)
т. е. если А оставляет инвариантной прямую, порожденную век-
тором и, то и ортогональное к и подпространство Rn-r остается
инвариантным относительно А.
Доказательство. Если v принадлежит пространству Rn_lt
т. е. G (и, и) = 0, то для симметрического преобразования Л имеет
место система равенств
G (и, Av) = G(Au, v) — G(}m, v) — XG(u, и) = 0,
а для унитарного — система равенств
G(u, Au) = G(AA Iu, Av) = G(A-1u, v) =
= G (h^u, v) = X-1G (u, u) = 0.
Вектор и#=0 co свойством (19) называется собственным векто-
ром преобразования Л; число X называется соответствующим
собственным значением.
324
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XII
Как мы уже видели в § 89, собственные значения находятся
из векового уравнения
xW =
X — ап
— «21
—«12 •••
X — «22 • *
= 0,
(20)
а соответствующие собственные векторы — из линейных уравнений,
эквивалентных матричному равенству (19):
= (21)
Предположим, что поле К вещественно замкнуто (например,
является полем вещественных чисел) и поэтому поле К (9) алгеб-
раически замкнуто (ср. § 81); тогда вековое уравнение (20)
обязательно обладает корнем в Н (6), которому соответствует
некоторый собственный вектор ег. Ортогональное к ех подпро-
странство переводится преобразованием А в себя, и на 7?„_х
преобразование А снова симметрическое или унитарное, если
таковым оно было на Rn. Следовательно, по тем же причинам
в 7?л-х существует некоторый собственный вектор е3, ортогональ-
ное пространство к которому внутри Rn-r — обозначим его через
—вновь инвариантно и т. д. Таким образом, найдется пол-
ная система из п линейно независимых попарно ортогональных
собственных векторов еъ ..., еп:
Аву — ХуСу.
Если перейти
диагональный
к новому базису ег, .... еп, то матрица А примет
вид:
0
Xi
Х3
А1 = Р~1АР =
(22)
0 Х„
Такую нормальную форму, согласно сказанному выше, имеет
как симметрическое, так и унитарное преобразование.
Если мы нормируем векторы ev условием G(ev, cv) = l, а это
всегда возможно, потому что поле К вещественно замкнуто и со-
держит квадратные корни из положительных величин G(ev, ev),
то форма G на базисе ev окажется равной единичной форме Е.
Если матрица А симметрическая, то должна быть симметричес-
кой и Лх, совпадающая, следовательно, с Л^, и поэтому
XV = XV или
Характеристический многочлен матрицы Л или матрицы Лх таков:
Х(х) = П(х-Х0. (23)
1
§ 90] КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 325
Отсюда: вековое уравнение х(А) = 0 симметрической матрицы А
имеет только вещественные корни.
Если, кроме того, матрицы А и G вещественны, то вещест-
венны и собственные векторы ev — как решения вещественных
уравнений (21). Отсюда: вещественная симметрическая матрица
приводится к диагональной форме (22) вещественным линейным
п реобразовая ием.
С симметрическим преобразованием А инвариантным образом
связана эрмитова форма
Н (и, u) = G (и, Au) — G (Аи, и)
с матрицей
H — GA,
по которой восстанавливается матрица А:
A = G1H.
Осуществляя диагональное преобразование с матрицами А
и G, мы одновременно действуем и на H = GA\ получающаяся
в результате форма выглядит так:
Н (и, и) = У) cxcxXv.
Тем самым доказано следующее утверждение:
Любые две эрмитовых формы G, Н, из которых одна, ска-
жем, G, определена положительно, приводятся одновременно од-
ним и тем же преобразованием к виду
G (w, и} —— схсх,
Н (w, ц) СуСуАу.
Числа Аг являются характеристическими корнями матрицы А —
= G^H, или, что то же, корнями векового уравнения
I hjk I = О’
В частности, любые две вещественных квадратичных формы,
одна из которых положительно определена, вещественным преоб-
разованием одновременно приводятся к суммам квадратов:
G {и, и) — У, 4,
Н (и, и) = У c(,Av.
Общее исследование вопроса о классификации пар квадратич-
ных форм см. в книге: Диксон (Dickson L.EJ. Modern Algebraic
Theories.—Chicago, 1926.
Задача 1. Если г векторов ..... vr порождают пространство Rr, то
векторы, ортогональные к ним, составляют некоторое подпространство Дп_г,
а пространство Rn является прямой суммой Rr-\-Rn..r,
326
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XII
Задача 2. Если симметрическое или унитарное преобразование А остав-
ляет инвариантным подпространство Rr, то оно оставляет инвариантным и
подпространство Rn_r, перпендикулярное к Rr.
Задача 3. Любая система симметрических или унитарных преобразова-
ний вполне приводима.
Задача 4. Определитель D любого унитарного преобразования по абсо-
лютной величине равен 1, т. е. DD—1. Определитель вещественного ортого-
нального преобразования равен ± 1.
Задача 5. Унитарные и, равным образом, вещественные ортогональные
преобразования произвольного векторного пространства в себя составляют
группу.
§ 91. Антисимметрические билинейные формы
Билинейная форма от переменных хп ..., хп и уъ ..., уп
с коэффициентами из поля К
f(x, у}^^а1кХ1ук (1)
i, k
называется антисимметрической, если она обладает следующими
двумя свойствами:
f(x, y) = — f(y, х), (2)
f (х, х) = 0. (3)
Для коэффициентов это означает, что
aik = — aki, (4)
а» = 0. (5)
Введем новые переменные X/ и у! вместо старых х; и yk с по-
мощью одного и того же линейного преобразования:
Xi = 2 Рух',,
У^^ Piayi’
тогда форма f (х, у) перейдет в новую билинейную форму
Г (х', у') = 2 aik Щ Pux'i) (S РмУ‘) = S a'nx'iy'i<
которая вновь будет антисимметрической; коэффициенты послед-
ней будут задаваться равенствами
а и — 2 PijaikPku
или, в матричной форме,
А'=Р(АР. (6)
Для определителя D матрицы из (6) получается следующая
формула преобразования:
D'=DA2, (7)
где Д — определитель матрицы преобразования.
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
327
Задача 1. Доказать, что из (3) следует (2).
С помощью подходящим образом выбранной матрицы преобра-
зования Р приведем форму f к наиболее простому нормальному
виду. Это преобразование будет введено за несколько шагов.
Если форма f тождественно равна нулю, то без всякого пре-
образования она представляется в нормальной форме:
fo = O.
Если же хотя бы один коэффициент данной формы отличен
от нуля, то можно считать, что а12^0. Найдем в (1) все сла-
гаемые с переменной хг:
xi (а12.Уг 4~ • • •+атУп}-
Тогда слагаемые с переменной уг таковы:
— (ал + ... + И1Л) й.
Введем вместо х2 и у.2 новые переменные х2 и у', по формулам:
Х-2 = Я12Х2 4~ • • • + Й1„ХЛ,
у'1 = «12^2 + • • 4~й1лг/л;
после этого запишем f как форму от хх, х2, х3, хп и от уъ
у',, Уз, Уп- Слагаемые с хг и у2 теперь выглядят просто:
ХаУ’--Х2У1-
Слагаемые с у2 таковы:
(Xj-l-bgXg И-... + ЬпХп)у2.
Вместо xY и у1 введем теперь новые переменные
x; = xj +&ах34-... + Ьпхп,
У1 = У1^~ Ь3у3 + • • + Ьпуп,
и запишем f как форму от x'h х'2> х3, ..., хп и от y'lf у',, у3, ...
..., уп. Тогда останутся только два слагаемых, содержащих х'и
у’, или у’,, а именно:
х1У-г — Х->У1-
Все остальные слагаемые содержат лишь х3, хп, у3, ...
..., уп. Если все они равны нулю, то мы получили нормальную
форму
fi ~х1Уч — хгУ1-
В противном случае можно повторить проведенную процедуру
и вместо х3, х4, уз, у4 получить новые переменные x'it х[, y'it у[,
которые окажутся лишь в слагаемых
х'зУь — хьУз,
328
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. ХП
В конце концов получится нормальная форма, которая без вве-
денных выше штрихов выглядит так:
fk = (Х1У2 — Х2У1) + • • • + (Х2Ь-1У2/г — Х2кУчк 1)> (8)
где
0==g2i%s£rt.
В n-мерном векторном пространстве, состоящем из векторов
вида (c]t .... с„), есть подпространство 91, которое задается урав-
нениями
/(с, z/) = 0 тождественно по yk
или
У ^ik^l ~ 0.
i
Размерность этого подпространства равна п — г, где г — ранг
матрицы А. Очевидно, указанная размерность является инва-
риантом формы f относительно обратимых линейных преобразо-
ваний переменных xt и yk. Таким образом, инвариантом является
и число г.
Если вычислить ранг г нормальной формы fk, то получится
г = 2k. (9)
Так как г —инвариант, то ранг г исходной формы f является
четным числом. Имеем:
Ранг антисимметрической матрицы А является четным чис-
лом 2k. Это число равно количеству слагаемых в нормальной
форме (8).
Если размерность п — нечетное число, то ранг обязательно
меньше, чем п, и поэтому определитель D равен нулю. Если же
п = 2т четное, то существуют формы с определителем D =# 0,
например, нормальная форма fm. Следовательно, определитель
антисимметрической матрицы из четного числа строк не всегда
равен нулю.
Мы получим общую антисимметрическую форму, считая ко-
эффициенты aik при i < k независимыми переменными и выразив
остальные через них с помощью (4) и (5). Если п четное (п =
= 2т), то определитель так построенной общей формы в силу
сказанного выше отличен от нуля. Если привести эту общую
форму к нормальному виду, то получится нормальная форма (8)
с k — m. Коэффициенты соответствующей матрицы преобразования
являются рациональными функциями от переменных aZA, а опре-
делитель D' нормальной формы равен единице. Следовательно,
О = Д2, (10)
где Д — рациональная функция от aik, представляемая, таким
§ 91]
АНТИСИММЕТРИЧЕСКИЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ
329
образом, отношением многочленов:
A^G/H. (11)
Из (10) и (11) следует, что
DG2 = H2. (12)
Следовательно, Н2 делится на G2, а потому Н — на G:
H = GQ.
Подставим это в (11) и (12); тогда получится
Д = 0~1, (13)
D = Q2. (14)
Определитель D является формой степени п = 2т, поэтому
Q — форма степени т от переменных aik. Если для случаев п=^2
и п = 4 провести соответствующие вычисления, то получится
п = 2: Q = «12,
И = 4. Q = П12П34 — Я13<Т24 Ч~ ^14^23"
Формула для Q в общем случае была найдена Пфаффом. До-
казательство имеется в одном очень поучительном письме Лип-
шица (Lipschitz R.). —Ann. Math., 1959, 69, р. 247), опубли-
кованном много лет спустя после его смерти.
Группа линейных преобразований переменных и yk, пере-
водящих в случае n=2m нормальную форму fm в себя, называ-
ется комплексной или симплектической. По поводу строения этой
группы, а также ортогональных групп и вообще линейных групп
см. Дьедонне (Dieudonne J.). Sur les groupes classiques.—Pa-
ris, 1948.
Глава тринадцатая
АЛГЕБРЫ
Кольцо 91, являющееся конечномерным векторным простран-
ством над некоторым полем Р и удовлетворяющее условию
(аи) v = u (<zu) = a (uv) для а <= Р,
называется ассоциативной алгеброй над полем Р. Если исклю-
чить условие ассоциативности, то получится общее понятие (ли-
нейной) алгебры. Среди неассоциативных алгебр особенно важны
два типа:
1. Альтернативные кольца, в которых выполняются следую-
щие ослабленные законы ассоциативности:
a (ab) = (аа) Ь,
b (аа) — (Ьа) а.
Наиболее ранний пример альтернативной алгебры представ-
ляет собой алгебра октав Кэли; см. по этому поводу Цорн
(Zorn М.). Alternativkorper und quadratische Systeme. — Abh. Math.
Sem. Univ. Hamburg, 1933, 9, S. 395. Альтернативные кольца
важны для аксиоматики геометрии на плоскости х). Новые иссле-
дования по этому поводу см. в работе: Шафер (Schafer R. D.).
Structure and representation of non-associative algebras. — Bull.
Amer. Math Soc., 1955, 61, p. 469.
2. Лиевы кольца — кольца, в которых выполняются следующие
правила:
ah4-ba = О,
а • Ьс 4- b • са + с • ab = 0.
Инфинитезимальные порождающие групп Ли подчиняются этим
правилам. Кольца Ли (лиевы кольца) исследовались в фундамен-
тальных работах Картана* 2) и Г. Вейля3) в связи с теорией
9 Му фан г (Moufang R.). Alternativkorper und Satz vom vollstandigen
Vierseit. — Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1933, 9, S. 207; см. также Math.
Ann., 110, S. 416 и Фрейденталь (Freudenthal H.). Zur ebenen Oktaven-
geometrie. — Proc. Akad. Amsterdam, 1953, A56, p. 195; A57, p. 218, 363;
A58, p. 151.
2) Cartan E. These. —1894. В этой же связи см. Фрейденталь (Freu-
denthal Н.).—Proc. Akad. Amsterdam, 1953, А56.
а) Weyl Н. Darstellung halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformatio-
nen, I—III.—Math. Z., 1925, 23, S. 271; 1926, 24, S. 328, 789. В этой же
связи см, ван дер Варден (van der Waerden В. L.)—Math. Z., 37, S. 446.
§ 92] ПРЯМЫЕ СУММЫ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 331
группы Ли. По поводу новых исследований в этой области см.
следующую литературу:
Витт (Witt Е.) —J. reine anges. Math., 1937, 177, S. 152;
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1941, 14, S. 289.
Фрейденталь (Freudenthal H.). —Proc. Akad. Amsterdam,
1954, A57, p. 369, 487; 1956, A59, p. 511; 1958, A61, p. 379.
В этой книге мы ограничимся ассоциативными алгебрами ко-
нечной размерности над полем Р. Слово алгебра будет отныне
употребляться в этом узком смысле.
§ 92. Прямые суммы и пересечения
В своих лекциях Эмми Нётер всегда подчеркивала важность
связи между прямыми суммами и пересечениями модулей. Эта
идея проходит красной нитью через все ее творчество. Сейчас мы
разъясним эту связь, начав с мультипликативных групп и перейдя
затем к аддитивной форме записи.
Пусть группа О является прямым произведением подгрупп
5?(1Т ..., 31„. Это означает, что:
1) каждая подгруппа 31/ нормальна в ®;
2) произведение подгрупп 311( ..., 31„ равно ®;
3) если 93/— произведение всех 91;, за исключением 31,-, то
И/П®<=е,
где (f состоит из одного лишь единичного элемента.
В силу § 53 из 1), 2), 3) следует, что каждый элемент g
группы О однозначно представляется в виде произведения а± ...
... ап (ср е 31у) и для i/ каждый элемент подгруппы 31/ пере-
становочен с каждым элементом подгруппы 31/. Из 2) следует да-
лее, что
31/®/ = ®.
Группа ®/ состоит из произведений аг ... ап, в которых мно-
житель а,- равен е. Отсюда следует, что пересечение всех под-
групп S3/ равно U и пересечение всех ®/ с /у=/ равно 31;. Тем
самым подгруппы ®; обладают следующими тремя свойствами, до
некоторой степени двойственными свойствам 1), 2), 3):
1') каждая подгруппа 93/ является нормальной в ®;
2') пересечение ®г (~| ... [~| ®„ равно (У;
3') если 31, — пересечение всех подгрупп 93/, кроме 93/, то
31/93/ = ®. (1)
Если выполняются свойства 1'), 2'), 3'), то единичная под-
группа € называется прямым пересечением подгрупп ®х, ..., ®„.
Если в 2') вместо € стоит другая группа D, а 1') и 3') остаются
неизменными, то $ называется прямым пересечением подгрупп
332
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
53г, ..., 53л. Этот общий случай без труда сводится к случаю
Ф = (£ введением факторгрупп ®/Х) и 53//3X
Докажем теперь 1), 2), 3), исходя из Г), 2'), 3'). Если опре-
делить подгруппы 51/ с помощью 3'), то из 2') будет следовать
3liAS/ = (£. (2)
Подгруппы 51/, являясь пересечениями нормальных подгрупп,
сами являются нормальными в ®. Покажем, что их произведение
равно ® и произведение всех 5(у, за исключением 5(/, равно 53/.
Пусть g — произвольный элемент из @. В силу (1) и (2)
группа @ является прямым произведением подгрупп 5(/ и 53/,
так что g однозначно представляется в виде
g = aibi
Далее, каждый элемент подгруппы 51,- перестановочен с каждым
элементом подгруппы 53/ и, в частности, с каждым элементом под-
группы 51у (/ i). Составим произведение
g'=<4 ...ап.
Тогда
g^g' = ЬГат^ ...ап.
В силу перестановочности элементов а;- последнее выражение
можно записать так:
g Y = ••• а/ Ан ап.
Все сомножители справа лежат в подгруппе 53/, в силу чего
g~1g' лежит в 53/ при любом i. В силу 2') отсюда следует, что
g^g' = e,
так что g' ~g. Следовательно, каждый элемент g группы ® пред-
ставляется произведением аг ... ап. Если элемент g лежит в под-
группе 53/, то сомножитель а/ равен е, и поэтому каждый элемент
подгруппы 53/ представляется в виде
• • • ап‘
Отсюда следует, что произведение всех подгрупп 51, равно ®,
а произведение всех подгрупп 51;, за исключением 5(/ равно 53/.
Следовательно, подгруппы 51/ обладают свойствами 1), 2), 3).
Из (1) и (2), в соответствии с первой теоремой об изомор-
физме, следует, что
@/53/^51/.
В аддитивной записи все доказанное можно сформулиро-
вать так:
Если модуль ® является прямой суммой подмодулей 5^, ..., 51л
и 'Еч —сумма всех 51;, за исключением 51/, то подмодуль {0}
ПРЯМЫЕ СУММЫ И ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
333
является прямым пересечением подмодулей 'Д, ..., а Л; явля-
ется пересечением всех за исключением 23/. Верно и обратное.
Наконец, имеет место изоморфизм @/®/^Лг.
Все сказанное имеет место и для групп с операторами. В при-
ложениях к теории колец ® является кольцом, для которого ®
служит областью левых или правых операторов. Модули Лг и 53,
становятся в этом случае левыми или правыми идеалами в @.
Таким образом, нам предстоит иметь дело с некоторым представ-
лением кольца ® прямой суммой левых или правых идеалов Л/
и с соответствующим представлением нулевого идеала прямым пе-
ресечением левых или правых идеалов Д. Мы сохраним тео-
ретико-групповые обозначения, потому что каждое кольцо будет
рассматриваться как аддитивная группа, для которой само это
кольцо служит областью операторов.
Если Л/ (и также 23/) являются двусторонними идеалами, то
произведение Л/Л/ содержится как в Л/ так и в Л,-. Однако для
i Ф / пересечение ЛД]Лу является нулевым идеалом, в силу чего
Л/Л/ = {0}. Следовательно,
Если кольцо ® является прямой суммой двусторонних идеалов Л,-,
(Sj^^ + ... + Л^, (3)
то Л/ являются кольцами, аннулирующими друг друга:
Л;Л/ = {0}, i^i. (4)
Обратно: если кольцо ®, рассматриваемое как аддитивная
группа, является прямой суммой колец Л/, аннулирующих друг
друга, то кольца Л; являются двусторонними идеалами в ®. До-
казательство очевидно. В этом случае говорят, что кольцо ®
(или, в частности, алгебра ®) является прямой суммой колец
(или алгебр) Л/.
Если имеют место (3) и (4), то строение кольца ® легко
выясняется через строение колец Лг. Именно, если g и h — эле-
менты кольца, представленные с помощью (3) и (4) в виде
g = gi + .-- + gn>
h — hf}-..
то
g + h = (gi + hi) +... + (gn + hn),
gh=g1h1-\-...+gnhn,
t. e. сложение и умножение происходит покомпонентно.
Задача. Если кольцо @ с единицей задается прямой суммой левых
идеалов
® = I/ + ... + 1л, (5)
а разложение единицы задается равенством
е = е1 + ... + еп, (6)
334
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
io 1/ = &et и
4 = е., <7)
eiSj = 0, i /. (8)
Наоборот, если выполнены (6), (7), (8) и определены
Il = ©<Щ (9)
то © задается прямой суммой левых идеалов I/.
Если, равным образом, определить
17 = ^0, (10)
то кольцо © окажется прямой суммой правых идеалов г,-.
§ 93. Примеры алгебр
1. Важным примером алгебры является полное матричное
кольцо Р„, состоящее из всех «-строчных квадратных матриц
с элементами из поля Р. Эта алгебра имеет ранг /г2. В качестве
базисных элементов можно выбрать матрицы Cik, в которых на
пересечении i-й строки и k-ro столбца стоит 1, а на остальных
местах нули. Каждая матрица А с элементами aik представляется
в виде суммы
в которой суммирование ведется по всем i и k, принимающим
значения от 1 до п. Правила умножения для базисных элементов
С1к таковы:
ChiCJk = 0 (i^j),
СhiCik = Ckk,
2. Алгебра кватернионов. Пусть 91 — четырехмерное векторное
пространство с базисными элементами е, j, k, I. Будем считать,
что е является единицей, т. е. ег = е, ej = j и т. д. Зададим
далее равенства
/® = — еа, № = — б’Р,
где а и Р — произвольные элементы поля Р, и
jk = — kj = I.
Тогда
/2 = jkjk = — jjkk = — eafi,
jl = / jk = — eak — — ka,
lj = — kjj = A- kea = ka,
lk = — kkj — A- e$j = /Р,
Ik = jkk = —/eP = —/p.
Получившаяся алгебра 91 называется алгеброй обобщенных
кватернионов. Ее элементы выглядят так:
х = ехи4- /%1 + kx2 + 1ха (х0, х2, х3<=Р).
§ 93]
ПРИМЕРЫ АЛГЕБР
335
Само собой разумеется, что элементы ех0 и х(, отождествляются;
таким образом, поле Р оказывается вложенным в алгебру 'Л.
Норма произвольного элемента х определяется равенством
N (х) — хх = (ех0 + A'l + kx2 + 1х9) (ех0 — jxt — kx2 — lx3) =
= х§ + axl + Pxi + сфх?, •
Если эта квадратичная форма представляет нуль (т. е. обраща-
ется в нуль на таких х;, которые не равны нулю одновременно),
то произведение хх может быть нулем при х#=0, а 31 може.т
обладать делителями нуля. Если же упомянутая форма не пред-
ставляет нуля, то каждый х#=0 обладает обратным:
х 1 = х (х§ + ах? + Pxi 4- офхд)-1,
и, следовательно, алгебра 31 является телом.
Матричное представление алгебры обобщенных кватернионов
31 получается тогда, когда 31 рассматривается как двойной модуль,
для которого 31 служит областью левых, а 2 = Р (/) —областью
правых мультипликаторов. Будем считать, что —а не является
квадратом в поле Р; тогда
s = P(/) = p(jA=^)
— поле. Алгебра 31 является двумерным векторным пространством
над этим полем; в качестве базисных элементов можно взять,
например, е и — k. Векторы х представляются тогда так:
х = е(х0 + /х1) + (-А!)(-х2 + /х3). (1)
Если эти векторы х умножать справа на произвольный эле-
мент у, то получится линейное преобразование Y векторного
пространства 31, которое представляется некоторой матрицей. Эту
матрицу мы также обозначим через У. Ее столбцы получатся,
если умножить базисные элементы е и — k слева на у и резуль-
таты снова записать в виде (1). Если, в частности, в качестве у
взять /, k или I, то получатся матрицы
HI'» Л М А $! г=|° ?|- и
Если теперь выбрать а = р = 1, то получатся гамильтоновы
кватернионы
X “ ех0 4- /х^ kx2 4~ /х3
с правилами оперирования:
/2 = А:2 = /2 = — 1,
jk — I, kj — — I,
kl — j, lk = —j,
Ij — k, jl = — k.
336
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
Если Р — вещественное числовое поле, то в матричном пред-
ставлении элемент / можно заменить на мнимую единицу i. Тогда
получится:
Но -<! ;!• о|-
3. Если в качестве базисных элементов алгебры взять все
элементы конечной группы uit ип, то получится групповое
кольцо этой конечной группы. Очевидно, здесь будет выполнен
закон ассоциативности.
4. Грассманово внешнее умножение. Будем исходить из вектор-
ного пространства
и зададимся следующей целью: определить ассоциативное умно-
жение векторов, для которого выполнялись бы правила:
ш/ = 0 и + ш = (3)
Для этого чисто формально образуем сначала произведения ба-
зисных векторов Ui в естественной последовательности
Uijk ... = uiuiuk ... (l </<&),
причем произведение пустого множества будет обозначаться че-
рез е. Эти 2п произведений мы возьмем в качестве базисных
элементов некоторого векторного пространства VI. Тем самым,
элементами пространства VI являются суммы
60С -ф I U/OC; -ф УI U/yCC/y -ф . . . -ф Uj2 . _ /гОС]2 .,. п. (4)
i i < j
Теперь определим произвольные произведения
^аЬс ... = UaU^Uc. . . (5)
следующим образом. Если в (5) два индекса равны, то положим
«аьс... = 0- Если же все индексы различны, то некоторой пере-
становкой они приводятся в естественный порядок ijk ... и мы
полагаем
ЧаЪс... = SUijk...»
где е = -ф1 для четной и е = —1—для нечетной упомянутой
выше перестановки.
Наконец, произведение двух базисных элементов определяется
равенством
Uijk .. Upqr ..4ijk .,. pqr .., • (6)
Две суммы вида (4) перемножаются путем перемножения их
слагаемых и последующего сложения результатов. Согласно этому
определению произведение иаиь... равно на самом деле иаь...,
§ 93]
ПРИМЕРЫ АЛГЕБР
337
как утверждается в (5). Очевидно, правила (3) выполняются.
Ассоциативность умножения легко доказать.
Суммы (4) с так определенным умножением составляют
грассманову алгебру 31 (или алгебру Грассмана) над векторным
пространством SOI; само же умножение называется внешним.
Векторное пространство вкладывается в алгебру 31. В каче-
стве знака для внешнего умножения элементов а и b часто ис-
пользуют символ а/\Ь.
Эквивалентное определение получается, когда из векторного пространства S)i
сначала строят тензорное кольцо, состоящее из всевозможных конечных сумм
У У У - ’ (?)
в которых на индексы i, j, ... не накладывается никаких ограничений. Две
такие суммы объявляются равными лишь тогда, когда равны (соответственно)
все их коэффициенты. Как складывать такие суммы, понятно. Умножение же
определяется равенством (6).
Легко увидеть, что сложение и умножение в тензорном кольце не зависят
от выбора базисных векторов.
Возьмем теперь в тензорном кольце $ двусторонний идеал 3, который
порождается произведениями ии, где и пробегает множество всех векторов
пространства Идеалу 3 принадлежат также и элементы вида
(«4-п) (и + 0 — ии — vv — uv-]-vu.
Если каждой сумме (7) сопоставить ту же сумму в 91, то получится гомо-
морфное отображение из Е на 9(. Элементы идеала 3 при этом отображении
переходят в нуль. Обратно: если какая-либо сумма (7) переходит при указан-
ном отображении в нуль, то она принадлежит идеалу 3. Действительно, сум-
му (7) можно сначала записать в виде
еР+ У + 2 uiuiuk^ijk + ••• ’ (8)
а затем с помощью прибавления элементов из 3 привести к нормальной форме
еа+2«<«/+S “'“/’“<7+ S +
I i < / I < i < k
которой соответствует элемент (4) из ?( с теми же коэффициентами а, а;, а,ц, ...
Если этот элемент равен нулю, то равны нулю и все его коэффициенты, а по-
тому сумма (8) лежит в 3. Тем самым идеал 3 является ядром гомоморфизма
колец i --> 91 и имеет место изоморфизм
91 ^Е/3. (9)
В правой части соотношения (9) кольцо Е и идеал 3 не зависят от выбора
базиса «j, .... ип. Следовательно, алгебра 9( с точностью до изоморфизма не
зависит от выбора базиса. Инвариантное определение грассмановой алгебры 91
получается как раз тогда когда она определяется как Е/3.
5. Алгебры Клиффорда. Они могут быть определены анало-
гично алгебрам Грассмана. Пусть Q (х) — квадратичная форма от
переменных хп ..., хп с коэффициентами из поля Р;
Q (xlt ..., х„) = Л qrf + дцх^.
338
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
Тогда для каждого вектора м = пространства ЭЛ опре-
делено значение формы
Q(«) = Q(Ti. •••. ?«)•
Кроме того, для любых двух векторов и и v определена били-
нейная симметрическая форма
В (и, v) —Q (w 4-v) — Q (и) — Q (и).
В частности,
Q (щ) = qi,
B(ub uj) = B(uj, u^qij- (i</).
Определим теперь умножение векторов так, чтобы выполня-
лись равенства:
uh = Q(«), (10)
uv vu = В (и, v). (11)
В этом случае (11) является следствием (10):
uv -ф vu = («-ф п) («-ф v) — ии — vv =
= Q(u + n) — Q(u) — Q(y) = B(u, v).
Таким образом, в частности,
UtUi^qi, (12)
Uitij + UjUt = qtj (i < /). (13)
Построим вновь 2"-мерное векторное пространство, состоя-
щее из сумм
4~ 4“ UijtZij 4“ ... 4“ U\2 ... п^12 ... «• (14)
i i < i
Затем определим произвольные произведения
tlallbtlс< • • ^abc... * (15)
Если индексы а, Ь, с ... различны и расположены в естествен-
ном порядке, то вектор иаЬс _ определяется как базисный век-
тор Uijk . Во всех остальных случаях произведение иаиьис...
преобразуется с помощью соотношений (12) и (13). Если, напри-
мер, Ьс — первая пара расположенных друг за другом индексов,
для которых не выполнено условие Ь<_с, то запишем произве-
дение (15) в виде
Ид (и^пс) ...
и заменим иьис в соответствии с (12) и (13) одной из формул:
ubub = qb (с = Ь),
ubuc=- — ucub-\-qcb (c<b).
§ 93]
ПРИМЕРЫ АЛГЕБР
339
Множители qb и qcb ставятся перед произведением. Получаем
Ua (Рь^ь) • •== • • • I
Мд (PtPc) • • • ' UaUcllb . . . -f- PctPa • • •
После такого преобразования в произведении будет меньше
или на два множителя, или на одну инверсию. Продолжая таким
образом, мы в конце концов получим некоторое выражение
вида (14).
После того, как объяснены символы иаЬс_ _, можно определить
произведение двух базисных элементов снова с помощью (6) и
доказать ассоциативность умножения. Тем самым полностью оп-
ределена клиффордова алгебра (или алгебра Клиффорда) (i
формы Q(x). Если форма Q нулевая, то алгебра Клиффорда
становится грассмановой алгеброй. Если в (14) ограничиться
членами с четным числом индексов:
+ 2 4~ 11ijkfl-ijkl + • • • ,
i < / i < i < k < I
то получится подалгебра, называемая второй алгеброй Клиф-
форда б+.
Инвариантное определение алгебры G получается так: возьмем в тензор-
ном кольце S двусторонний идеал 3, порожденный выражениями
ии — Q(u),
и построим кольцо классов вычетов $/3. Отправляясь от этого определения,
Ше в а л ле1) развил теорию алгебр Клиффорда над произвольным основным
полем. Простое доказательство того, что инвариантное определение совпадает
с данным выше, можно найти в работе: ван дер Варден (van der Waer-
den В. L.).—Proc. Kon. Ned. Akad. Amsterdam, 69, S. 78.
Вторая алгебра Клиффорда была использована Брауэром и Вейлем
(Brouwer L. Е. J., Weil Н.—Amer. J. Math., 57, р. 245) для доказательства
того, что ортогональные преобразования (т. е. линейные преобразования Т
с определителем 1, оставляющие инвариантной данную квадратичную форму Q)
представляются в виде
Tu = sus~1.
Здесь и пробегает векторное пространство ЗД, a s —элемент алгебры @+, пере-
водящий пространство Ш1 в себя:
s3Jts-i=aw.
В данном случае необходимо предполагать, что характеристика поля Р
отлична от 2, а форма Q неособая. Для случая характеристики 2 рассмотрения
несколько сложнее (см. книгу Шевалле, теорема II 3.3).
Задача 1. Вторая алгебра Клиффорда бинарной квадратичной формы
Q (М, хг) = qpc* + <712*1*2 + <72*2,
не разлагающейся в поле Р на линейные множители, является расширением
основного поля, в котором данная форма разлагается.
2) Chevalley С, The algebraic theory of spinors,—Columbia Univ, Press,
1954.
340
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
Задача 2. Вторая клиффордова алгебра тернарной квадратичной формы
Q (АД, Ха, Хз) = 91Х5 + ?2-,<-2 + <7зХз
является алгеброй обобщенных кватернионов.
§ 94. Произведения и скрещенные произведения
1. Произведение векторных пространств. Пусть и ^ — конеч-
номерные векторные пространства над полем Р:
?(= z/jP —f—... —f— «тР,
33 = v1P4-...4-v«P.
Определим произведение '?(х53. Для этой цели построим про-
странство-произведение, натянутое на тп базисных векторов wik,
где i пробегает значения от 1 до т, a k пробегает значения от
1 до п:
6 = S wikP,
i, k
и определим для каждого и из '21 и для каждого v из 33 произ-
ведение:
uv = и‘а‘) (S = S wika$k-
i, k
В частности, тогда
UiVk = wik.
Таким образом, все элементы пространства @ имеют вид
W = У, UiVkyik = У wikyik. (1)
I, k i, k
Эти выражения называют также двухвалентными тензорами,
а пространство-произведение & —тензорным произведением про-
странств '21 и S3.
Вместо (1) можно также записать
w = У щЬ,, (2)
i
где bi — произвольные элементы из S3. Таким образом, простран-
ство (£ является прямой суммой подпространств н;'8:
£ = и& + ... + ит%. (3)
Формула (3) показывает, что модуль 6 не зависит от выбора
базиса в 58. Элементы w из 6 можно записывать в виде (2) и их
сложение и умножение на элементы из Р можно определить без
введения базиса в пространстве 5В.
Равным образом, вместо (1) можно писать
w -= У akvk. (4)
§ 94] ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 341
Следовательно,
6 = 91v14-...-l-9ly„, (5)
и поэтому тензорное произведение 6 не зависит от выбора ба-
зиса в 31.
Согласно (3) модуль (£ = 91x93 можно построить и тогда,
когда 31 — произвольное конечномерное векторное пространство,
а 93 — произвольный P-модуль. Точно так же модуль (£ можно
построить с помощью (5), когда 31 — произвольный P-модуль, а
93 —произвольное конечномерное векторное пространство.
Тензорное проиведение 51 х 93 модулей 91 и 93 можно определить
и без использования базисов. Это инвариантное определение имеет
смысл даже тогда, когда Р — коммутативное кольцо с единицей,
а 91 и 93 — произвольные P-модули, на которых единичный эле-
мент из Р действует как единичный оператор. Поскольку нам
здесь потребуется лишь случай, когда Р — поле, а 91 или 93 — ко-
нечномерное векторное пространство, ограничимся данным в на-
чале определением, а по поводу общего случая отошлем читателя
к книге: Бурбаки Н. Алгебра,—М.: Физматгиз, 1962, гл. III.
Тем же способом можно строить тензорные произведения из
трех и большего числа векторных пространств:
91х93х(£ = (91x93) хб = 91х(93х6). (6)
2. Произведения алгебр. Если 91 и 93 — алгебры над полем Р,
то можно построить модуль (S = 91x93 и превратить его в алгебру,
в которой произведения базисных элементов определяются
так:
= (utvk) (U/Vt) = («,«,) (ад). (7)
Нетрудно обойтись и без базисных элементов в '23, если запи-
сать элементы из 6 в виде (2) и положить
(2 «А) (S uib'i)= S uiUjbib'j.
i, i
Это можно выразить следующими словами: произведения базисных
элементов щи, алгебры 91 строятся точно так, как они определя-
ются в 91, но вместо Р в качестве кольца коэффициентов следует
брать алгебру 93. Полученная алгебра будет обозначаться также
через 91а. То же самое обозначение будет применяться и тогда,
когда 93 является произвольным кольцом, содержащим поле Р
в своем центре. Говоря коротко, алгебра 91>в является алгеброй
с теми же базисными элементами, что и 91, но с кольцом коэффи-
циентов 93.
Очевидно, имеет место изоморфизм
91x93^93x91,
342
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
определяемый тем, что щик отображается на икщ, затем это ото-
бражение продолжается по линейности на суммы (1).
Интересные соотношения между произведениями выполняются
для полных матричных колец. Символ Зф будет обозначать кольцо
всех матриц r-го порядка с коэффициентами из кольца 31. Тогда
?1хРг = Зф, (8)
Р.хР^Рг,- (9)
Для доказательства изоморфизма (8) нужно лишь заметить,
что определенные в § 93 матрицы С1к образуют базис в Рг. Чтобы
осуществить требуемое отображение алгебры 31хРг, нужно в ка-
честве базисных взять те же самые элементы, но в качестве
области коэффициентов кольцо 31. Тогда получится в точности
алгебра 31г.
Изоморфизм (9) получается так. Алгебра Рг порождается г2
базисными элементами С^, а алгебра Р^ порождается s2 базис-
ными элементами Ср; поэтому РгхР^ порождается r2s2 произве-
дениями
C'ij, kl — CikCjl,
удовлетворяющими правилами:
С- с —( о*
kl ^тп, pq ।
k РЧ'
если или 1 #= п,
если k — m и 1 — п.
Если множество, состоящее из rs пар ij, занумеровать индексами
J, пробегающими значения от 1 до rs, то получится соотношение
CjkClm = } г
1 Ь/уИ,
если К =£L,
если K = L,
откуда и усматривается нужный изоморфизм с Р„.
3. Скрещенные произведения. Пусть 2 —сепарабельное нор-
мальное конечное расширение поля Р. Группа Галуа ® расшире-
ния 2 (§ 57) состоит из автоморфизмов Si поля 2, оставляющих
неподвижными все элементы поля Р. Мы не предполагаем здесь
известной теорию Галуа, а лишь содержание § 57 и, в частности,
тот факт, что порядок группы @ равен степени расширения
п = (2:Р).
Символом ps обозначим элемент, получающийся из элемента
Р поля 2 применением автоморфизма S.
Произведение автоморфизмов S и Т (сначала S, а потом Т)
на этот раз будет обозначаться через ST и, таким образом,
psT = (ps)T.
Введенное Э. Нётер скрещенное произведение поля 2 с его
группой Галуа ® определяется следующим образом: сначала
§ 94]
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
343
строится векторное пространство
21 = Ui S 4-,.. 4- ип2,
в котором каждому элементу группы S; соответствует базисный
вектор Н/. Если символ S1 заменить на символ S, удалив индекс,
то соответствующий элемент щ будет обозначаться через zzs. Та-
ким образом, векторное пространство 21 состоит из сумм
J]///₽, = 2 «sps. (10)
i S
Затем определяются произведения P«s по формуле
₽«s = «s₽s (П)
и произведения ugUp по формуле
usuT = uSj-f)s, т, (12)
где множители 6s, т являются заданными с самого начала эле-
ментами поля S, не равными нулю.
С помощью (11) и (12) можно перемножать любые суммы (10),
осуществляя умножение отдельных слагаемых по формуле
«хР • «тУ = usuT^Tf = UST$S, /f>7У.
и затем складывая полученные произведения.
Чтобы введенное с помощью системы факторов 6S, г умноже-
ние было ассоциативным, элементы 6s, т должны удовлетворять
условию ассоциативности
6s, 77?6г, я = 6st, ft (6s, r)R • (13)
В выборе базисных элементов us и факторов 65, т существует
некоторый произвол; именно, элементы us можно заменить на эле-
менты
«s = «sys (y.S'^0, %gZ). (14)
Соответствующая этому новому базису система факторов выгля-
дит так:
VsVr о /<гх
eS, Т = —-6s, 7- (1 о)
"st
Две системы факторов 6S, т и es, г> связанные друг с другом
соотношением (15), называются ассоциированными. Таким образом,
ассоциированные системы факторов определяют одну и ту же
алгебру 21.
Пусть Д —единичный элемент группы 6i. Тогла можно подо-
брать множитель при элементе up так, чтобы было
U^tl^ =
344
АЛГЕБРЫ
[ГЛ Х1П
и, таким образом, выполнялось равенство 6Е, е=1. Из законов
ассоциативности
(«£«£) Ur — Ue (Ueur),
Us (ueUe) — (usUe) Ue
теперь следует, что uE — единичный элемент алгебры 31. Следова-
тельно, произведения иЕ$ можно отождествить с элементами р
поля 2.
Каковы те элементы c=^Usys, которые перестановочны со
всеми элементами р поля 2? Условие Рс = сР дает равенство
S«sPsYs = S«sYsP;
отсюда в силу линейной независимости элементов us
(Ps-ms=o.
Для S = 1 это условие выполняется автоматически. Для S =£ 1
существует такой элемент р, что ps Р; поэтому ys = 0. Тем
самым,
с = иРуЕ = У г.
является элементом поля 2.
Отсюда следует утверждение: поле 2 является максимальным
коммутативным подкольцом алгебры 3(.
Определим теперь центр кольца 3>, т. е. множество элементов
с алгебры 31, перестановочных со всеми элементами из 31:
ас = са для всех а.
Если с —элемент центра, то с перестановочен, прежде всего,
со всеми элементами поля 2, а потому содержится в 2. Поэтому
можно положить с = у. Так как у перестановочен со всеми базис-
ными элементами us, элемент у должен оставаться неподвижным
при всех автоморфизмах S в соответствии с (11). Согласно послед-
ней теореме из § 57 это может быть только тогда, когда у ле-
жит в основном поле Р. Мы получили предложение:
Центром алгебры 31 является поле Р.
Алгебры над полем Р, центр которых совпадает с Р, называ-
ются центральными над Р. Раньше их называли «нормальными»,
но теперь это слово имеет слишком много значений.
Далее мы докажем следующее утверждение:
Если в каком-либо кольце, содержащем поле 2, выполняются
соотношения (И) и (12) с 6s, 7-=^= О, то элементы us либо все равны
нулю, либо линейны независимы над 2.
Доказательство. Если бы один из элементов и$ был
линейно зависим от остальных уже известных элементов иТ, то
§ 94}
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СКРЕЩЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
345
для данного S имело бы место равенство
«х = У, итут.
Тф8
Умножая (16) справа на Р5, получим
«sPs =S MrTr₽s.
т
(16)
(17)
С другой стороны, умножая (16) на р слева, получим в силу
(11), что
Us^^u^y?. (18)
т
Сравнение (17) и (18) показывает, что ввиду линейной неза-
висимости элементов ит имеет место равенство
P7’?r = TrP's,
или
Tr(F~₽s) = 0. (19)
Так как T^S, мы можем взять элемент р такой, что
рт ps. т0Гда из (19) следует, что ут = 0. Это верно для всех
Т, входящих в (16), а потому us — Q. Из (12) следует теперь,
что «хг = 6 Для всех Т, т. е. все элементы us равны нулю, что
и требовалось доказать.
Из доказанной выше теоремы получается такое следствие:
Алгебра 'Л является простой, т. е. в ней нет двусторонних
идеалов, отличных от нее самой и от {0}.
Действительно, если ш — произвольный двусторонний идеал
в Й, то ?1/ш является кольцом, в котором классы вычетов us
удовлетворяют равенствам (11) и (12), а потому они или все
равны нулю или линейно независимы над полем S. В первом
случае m = ?I, а во втором т = {0}.
Объединяя все это, заключаем:
Скрещенное произведение 'Л является центральной простой
алгеброй над полем Р.
4. Циклические алгебры. Если группа Галуа ® циклическая,
то соответствующее скрещенное произведение Ш называется цикли-
ческой алгеброй. В этом случае все элементы Г из © являются
степенью порождающей S:
7\ = Sft (fc = 0, 1, ..., /г-1)
и все элементы иТ можно выбрать как степени элемента и$.
(k = Q, 1, .... м-1). (20)
Такой выбор элементов ит находится в согласии с услови-
ем, согласно которому иЕ выбирается как единичный элемент
34G
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
алгебры 31:
«ь = («s)° =- е.
п-я степень элемента us является произведением (п — 1)-й сте-
пени и первой степени. Отсюда в силу (12) следует, что
(usYl = eb, (21)
где б —некоторый элемент поля 2. Этот единственный элемент
определяет всю систему факторов, так как дтя имеет
место равенство
(US)‘ (US)k = («s)‘4\
а для I k п — равенство
(us)‘ (us)k = (и5)м-п (и$)п = (us)i+k'n 6.
Таким образом, факторы Ьг,н равны 1 или б в зависимости
от того, будет ли в выражениях Т = S‘ и = сумма показа-
телей i-[-k меньше п или нет.
Умножим (21) слева или справа на м$; тогда получим
(Ms)"-11 =. г/5б = bus-
Отсюда в силу (11)
6 = 6S.
Тем самым, элемент б инвариантен относительно группы @,
а потому лежит в поле Р. Но если это так, то выполнены все
условия ассоциативности (13). Поэтому элемент б не подчинен
никаким условиям, кроме двух естественных: б =£0 и бер.
Если выразить us через vs = usy, то получится:
(vs)n = (usy) (usy)... (usy) = (w5)« • wV2 • • Ys"
Произведение всех элементов, сопряженных с у, является нор-
мой элемента у над полем Р. Поэтому
(vs)n = ee, где е = бМ(у). (22)
Мы доказали утверждение:
Циклическая алгебра 81 полностью определяется как скрещенное
произведение циклического поля 2 с его группой Галуа & заданием
одного-единственного элемента б =# 0 из основного поля Р. Не из-
меняя алгебру 81, этот элемент б можно умножать на норму
любого элемента у 0 поля 2.
Следуя Хассе, циклическую алгебру 31 обозначают символом
(б, S, S).
Если в качестве Р взять поле характеристики, отличной от 2,
а в качестве 2 — квадратичное расширение Р (]/ — а) и затем
положить б= —р, то в качестве соответствующей циклической
§ 95]
АЛГЕНРЫ КАК ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
347
алгебры получится алгебра обобщенных кватернионов из при-
мера 2.
Несмотря на столь простую структуру, циклические алгебры
являются очень общими конструкциями. Брауэр, Хассе и Нётер
(J. reine u. angew. Math., 167, S. 399) доказали «основную тео-
рему», гласящую: любая центральная алгебра с делением над
полем алгебраических чисел конечной степени является цикли-
ческой.
Задача 1. Центр кольца является кольцом.
Задача 2. Полное матричное кольцо Рл является центральной простой
алгеброй над полем Р.
Задача 3. Если все факторы 6^ т равны 1, то скрещенное произведение
поля S с группой G> является произведением поля S с групповым кольцом
группы G>.
§ 95. Алгебры как группы с операторами.
Модули и представления
Произвольная алгебра 21 как абелева группа отностительно
сложения обладает двумя областями операторов:
Во-первых, это —поле Р. Инвариантные относительно этой
области операторов подгруппы являются линейными подпрост-
ранствами.
Во-вторых, это —сама алгебра 21, элементы которой рас-
сматриваются как левые или правые операторы. Инвариантные
относительно этой области операторов подгруппы являются ле-
выми идеалами, правыми идеалами и двусторонними идеалами.
Раз и навсегда мы договоримся сейчас о том, что при рас-
смотрении (левых, правых или двусторонних) идеалов в алгебрах
поле Р считается областью операторов. Это означает, что в ка-
честве допустимых левых идеалов рассматриваются лишь такие
подгруппы, которые вместе с каждым элементом а содержат не
только все произведения га (г принадлежит 21), но и все произ-
ведения ар (Р принадлежит Р); аналогичный смысл имеет сделан-
ное утверждение и для правых идеалов. Таким образом, допу-
стимы лишь такие идеалы, которые одновременно являются и
векторными подпространствами. Точно так же два левых идеала
операторно изоморфны лишь тогда, когда существует изоморфизм
ан-*<5, при котором га переходит в гй, а оф — в ар. Левый идеал
называется простым или минимальным, если он не содержит
допустимых идеалов, отличных от нулевого и себя самого.
Для идеалов алгебры, подчиненных такому ограничению, вы-
полняются условия максимальности и минимальности:
Каждое непустое множество идеалов (правых, левых или дву-
сторонних') содержит (по крайней мере) один максимальный идеал,
т. е. такой идеал, который не содержится ни в каком другом
348
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
идеале данного множества, и один минимальный идеал, т. е.
идеал, не содержащий ни одного другого идеала данного множества.
Это утверждение справедливо, так как в силу приведенного
выше соглашения каждый идеал является одновременно и век-
торным подпространством, а в любом непустом множестве линей-
ных пространств размерности ееп существуют пространства
наибольшей размерности и наименьшей размерности.
Чтобы получить основные теоремы теории алгебр при доста-
точно общих предположениях, мы будем на протяжении этой
главы рассматривать не алгебры, а произвольные кольца о,
в которых, в зависимости от потребностей, будет считаться вы-
полненным условие максимальности или минимальности для
левых или правых идеалов. Кольцо о может быть наделено об-
ластью операторов Q (играющей тут роль поля Р), элементы
которой р, у, ... обладают следующими свойствами:
(a + b) 0 = 00 + 60, (1)
(а&)0 = (ц0)6 = а(&0). (2)
Если задана такая область операторов, то понятие идеала огра-
ничивается следующим требованием: вместе с каждым элементом
а идеал содержит и все элементы а0 (0 принадлежит Q). Когда
нам будет нужно подчеркнуть наличие этого условия, мы будем
говорить о допустимых правых или левых идеалах. Только для
них будет требоваться выполнение условия максимальности или
минимальности.
Следует выяснить, какие из конструкций теории идеалов —
суммы, произведения и т. д. — имеют смысл для некоммутатив-
ных колец с областью или без области операторов. Прежде всего,
ясно, что пересечение и сумма двух допустимых правых или левых
идеалов вновь являются допустимыми правыми или соответственно
левыми идеалами. Произведение а • b (множество всех сумм ^ab,
йей, Ье Ь), как это можно заметить непосредственно, является
допустимым правым идеалом, если таковым является правый со-
множитель, и допустимым левым идеалом, если таковым является
левый сомножитель. Второй множитель в этом случае может быть
совершенно произвольным множеством или просто некоторым эле-
ментом из о; например, pb — это множество всех произведений ра
(а ее Ь), являющееся правым идеалом, если Ь —правый идеал.
Если а — левый идеал и с — произвольное множество кольца с,
то можно определить левое частное а: с как множество тех х из '
о, для которых
хс = а.
Левое частное является левым идеалом, потому что из хс = а
и ус S а следует, что (х — у) с = я и из хс = а следует, что
rxc s га s а для любого г из о, Если я и с оба являются левыми
§ 95]
АЛГЕБРЫ КАК ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
349
идеалами, то а: с является даже двусторонним идеалом, потому
что из xcs<i следует, что xrc sхс = а. Аналогично можно опре-
делить правое частное двух правых идеалов, но нам это не по-
требуется.
Чтобы показать, насколько важно условие минимальности,
мы докажем следующие теоремы:
Если о —кольцо с условием минимальности для левых идеалов,
а —элемент из с, не являющийся правым делителем нуля, то
в кольце о уравнение ха — b разрешимо для любого Ь.
Доказательство. В множестве левых идеалов ьап (п—
= 1, 2, ...) должен существовать минимальный, скажем, сат.
Так как oam+1 s ьат и условие oam+1 с: ьат невозможно, то
сат+1 = оат. Следовательно, каждое произведение Ьат представимо
в виде cam+1:
bam = camJ1.
Отсюда после сокращения на т множителей а слева и справа
получается равенство
Ь = са,
т. е. уравнение ха = Ь разрешимо.
Точно так же доказывается: если о — кольцо с условием мини-
мальности для правых идеалов и элемент а не является левым
делителем нуля, то уравнение ах = Ь разрешимо.
Из этих двух теорем следует утверждение:
Если о — кольцо без делителей нуля с условием минимальности
для левых и правых идеалов, то оно является телом.
В частности, каждая алгебра без делителей нуля является
телом. Такие алгебры называются алгебрами с делением.
Задача 1. Для кольца с единицей рассмотренное выше ограничение
понятия идеала, связанное с учетом Р или Q как области операторов, несу-
щественно: в этом случае каждый идеал допускает умножение на Р или на Й.
Задача 2. Необходимым и достаточным условием для выполнения ус-
ловий минимальности и максимальности для левых идеалов кольца е является
существование композиционного ряда из таких идеалов.
Кроме идеалов кольца о, мы рассматриваем также и о-модули
и, в основном, такие модули SDi, в которых мультипликаторы
из о стоят слева. Эти модули называются левыми ь-модулями.
Если а, Ь, ... — элементы из о и и, v, ... — элементы из SQ, то
будет считаться, что выполнены условия:
а (и + о) = au + av, (3)
(а + Ь) и = аи + Ьи, (4)
(ab)u — а(Ьи). (5)
Если кольцо о наделено областью операторов Q, то мы тре-
буем, чтобы Q была областью операторов и для й)? (которые
350
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
в этом случае пишутся справа) и чтобы выполнялись правила:
(и + v) р = и$ + (6)
(аи) Р = а(«Р) = (аР)ы. (7)
Таким образом, рассматриваемые модули являются двойными
(на них о действует слева, а й — справа).
Будет подразумеваться, что подмодули данного модуля ЭЛ
всегда допустимы, т. е. таковы, что допускают в качестве опе-
раторов элементы из о и й. Модуль ЭЭ1, не имеющий подмоду-
лей, за исключением себя самого и модуля {0}, называется про-
стым, или минимальным. Кольцо о называется простым, если
оно является простым как двойной модуль, для которого само о
служит областью левых и правых операторов (и, возможно, до-
полнительной областью операторов является й), т. е. если о не
содержит никаких допустимых двусторонних идеалов, кроме себя
самого и {0}.
Умножение элементов модуля ЭЛ на фиксированный элемента
кольца о дает некоторый эндоморфизм А й-модуля ЭЛ:
аи — Аи. (8)
Таким образом, каждому элементу а кольца о соответствует
некоторый эндоморфизм А. Произведению элементов ab соответ-
ствует произведение эндоморфизмов АВ, а сумме а-\-Ь — сумма
А А-В, которая определяется равенством
(А-\-В)и = АиА-Ви. (9)
Следовательно, отображение а<—*Л является гомоморфизмом
колец. Определим теперь эндоморфизм Лр для (3 е О формулой
(Лр)а = (Ла)Р; (10)
тогда произведению а|3 будет соответствовать произведение Л0.
Поэтому гомоморфизм колец а к—» Л является одновременной
операторным гомоморфизмом относительно й. Гомоморфизм колец
с этим свойством называется представлением кольца о (эндомор-
физмами й-модуля ЭЛ).
Мы видели, что каждый двойной модуль ЭЛ (для которого
о —область левых, а Й — область правых операторов) приводит
к некоторому представлению кольца о. Если же, наоборот, за-
дано представление a ।—» Л кольца о эндоморфизмами некоторого
й-модуля ЭЛ и с помощью (8) определены произведения аи, то
модуль ЭЛ будет двойным с областью левых операторов о и
с областью правых операторов й.
Если о —алгебра над основным полем й, т. е. является век-
торным пространством над Й, то, как правило, ограничиваются
лишь модулями ЭЛ, являющимися векторными пространствами
над й; в таких модулях единичный элемент из й является еди-
§96] МХЛЫЙ И БОЛЬШОЙ РАДИКАЛЫ 351
личным операюром. В этом случае эндоморфизмы являются ли-
нейными преобразованиями векторного пространства 5)?, и мы
имеем дело с представлениями кольца о линейными преобразова-
ниями.
Ядро гомоморфизма ш—*Д состоит из тех элементов а, для
которых aSDl = {0}, т. е. ядро является двусторонним идеалом
{0}: SW. Если ядро —нулевой идеал и гомоморфизм является
изоморфизмом, то представление называется точным.
Представление а н—* Л называется (как и в § 87) приводимым,
если модуль представления SDi обладает подмодулем отличным
от {0} и SOI. Если такого подмодуля нет, то модуль SOt прост, и
представление а<—-А называется неприводимым.
Если модуль S01 является вполне приводимым в смысле § 53,
т. е. равен прямой сумме простых модулей, то и представление
называется вполне приводимым. Вид матриц приводимого и вполне
приводимого матричных представлений был описан в § 87 с по-
мощью формул (4) и (7).
Два представления кольца о называются эквивалентными,
если они связаны с изоморфными двойными модулями. В случае
конечномерных векторных пространств это означает, что при
соответствующем выборе базисов матрицы обоих представлений
совпадают.
Несмотря на простоту этих связей, их значение очень велико
для описания строения алгебр и теории представлений алгебр.
Уже в § 93, пример 2, мы получили представление кватернионов
двустрочными матрицами, при котором сама алгебра кватернио-
нов Л рассматривалась как двойной модуль (с областью левых
операторов И и областью правых операторов 2).
§ 96. Малый и большой радикалы
Идеал а (левый или правый) называется нильпотентным, если
некоторая его степень лт является нулевым идеалом. Имеет место
Лемма 1. Сумма (а, Ь) двух нильпотентных левых идеалов
нильпотентна.
Доказательство. Пусть ат = bn —{0}. Если вычислить
идеал (а, Ь)"1!,1Д то получится сумма произведений из т-\-п — 1
множителей, которыми являются а или Ь. В любом таком про-
изведении либо множитель а встречается по крайней мере т раз,
либо множитель Ь встречается п раз. В первом случае произве-
дение имеет вид
... а ... а ... а ....
где л встречается не менее, чем т раз. Так как ол л, из ска-
занного следует, что
... л ... л ... л ... s л"' ... = {0}.
352
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
Второй случай рассматривается аналогично. Тем самым про-
изведения равны нулю и
(а, = {0}.
Лемма 2. Каждый нильпотентный левый (или правый) идеал
содержится в двустороннем нильпотентном идеале.
Доказательство. Пусть ( — нильпотентный левый идеал:
1га = {0}. Тогда нильпотентен и идеал (о:
((о)" = [ (с()« 1 о ^ ([" 1 с = ("о = {0}.
Порожденный идеалом ( правый идеал ((, (с) в соответствии с этим
является суммой двух нильпотентных левых идеалов, а потому
и сам он будет нильпотентным левым идеалом; следовательно,
этот идеал является двусторонним и нильпотентным.
Под малым радикалом 9t кольца о мы подразумеваем объеди-
нение всех нильпотентных двусторонних идеалов. Согласно лем-
ме 2 в этом объединенном множестве лежат все левые и все
правые нильпотентные идеалы. Поэтому малый радикал 9? можно
определить и как объединение всех нильпотентных левых (или
правых) идеалов. Можно также сказать: элемент а лежит в 9?,
если а порождает нильпотентный левый (или правый) идеал.
Если кольцо с является алгеброй, или, более общо, кольцом
с условием минимальности для левых идеалов, то малый ради-
кал 9? совпадает с определяемым ниже большим радикалом ЭН.
В этом случае мы можем отказаться от прилагательного «малый»
и просто называть 91 = ЭН радикалом алгебры 21.
Алгебра без радикала, т. е. алгебра, радикал которой есть
нулевой идеал, называется полупростой. Строение полупростых
алгебр было выяснено Дж. Г. Маклеген-Веддерберном. Его ос-
новные теоремы гласят:
Каждая полупростая алгебра является прямой суммой простых
алгебр с единицей, а каждая такая простая алгебра изоморфна
полному матричному кольцу над некоторым телом.
Артин (Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5, S. 245) перенес
теоремы Веддерберна на случай произвольных колец с условием
минимальности для левых идеалов. Без этого условия не удается
получить простые структурные теоремы. Препятствие, как еще
в ту пору подозревали, состоит в том, что радикал 91 оказыва-
ется слишком маленьким. Ряд авторов, в том числе Бэр и Ле-
вицкий, ввели большие радикалы. Но только Джекобсону с по-
мощью подходящего определения радикала ЭН удалось получить
структурные теоремы для колец без радикала. Для детального
ознакомления со всей теорией Джекобсона можно порекомендо-
вать его книгу «Строение колец». Здесь же мы ограничимся не-
сколькими главными теоремами.
§ 961
МАЛЫЙ И БОЛЬШОЙ РАДИКАЛЫ
353
В своей книге Джекобсон определяет радикал ЭД кольца о
как множество тех элементов а, которые в любом неприводимом
представлении представляются нулем. Он доказал, что радикал ЭД
можно получить и как пересечение специальных максимальных
правых идеалов, которые были им названы модулярными. Вместо
правых идеалов можно взять и левые идеалы — это не имеет зна-
чения. Мы воспользуемся здесь модулярными максимальными
левыми идеалами для определения идеала ЭД.
Левый идеал 2 называется модулярным, если существует эле-
мент с кольца о со свойством
ас = а(2) для всех а е о. (1)
Элемент с играет, в некотором смысле, роль правой единицы
по модулю 2. Слово «модулярный» происходит от слова «модуль» —
старого названия единичного элемента.
Мы определим теперь большой радикал или просто радикал
ЭД кольца о как пересечение всех модулярных максимальных
левых идеалов 2. Если, кроме самого кольца с, в о нет моду-
лярных максимальных левых идеалов, то радикалом является всё
кольцо, которое в этом случае называется радикальным.
Пусть 8 —модулярный максимальный (левый) идеал. Модуль
классов вычетов с/2 в этом случае является простым и допускает
некоторое неприводимое представление. Ядро этого представления
является двусторонним идеалом
ф = 2 : о
(2)
или совокупностью всех тех а, для которых
по s 8.
Свойство (3) равносильно свойству
ab е 2 для всех b е о.
В частности, из (3) следует, что
в силу (1) де?. Это имеет место для
ас е 2 и, таким образом,
всех а из ф; поэтому
$£=2.
(3)
(4)
(5)
Каждому идеалу 2 принадлежит идеал ф = 2:о. В силу (5)
пересечение всех идеалов ф принадлежит пересечению всех 2,
а потому содержится в радикале. Докажем теперь, что и, наобо-
рот, радикал 31 лежит во всех идеалах '4>, а потому и в их
пересечении.
Пусть а — произвольный элемент кольца ЭД. Мы должны дока-
зать, что включение (4) справедливо при любых b и 2, т. е. что
элемент а принадлежит всем левым идеалам вида
2' = 2: Ь.
354
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. Х1П
Но элемент а лежит во всех максимальных модулярных левых
идеалах кольца г. Поэтому достаточно показать, что 8' либо
равно о, либо является модулярным и максимальным идеалом в о.
При фиксированных b и 8 каждому элементу х кольца о соот-
ветствует некоторое произведение xb и, следовательно, вполне
определенный класс вычетов xb-{-% по модулю 8. Это отображе-
ние является гомоморфизмом модулей. Его ядро равно в точно-
сти 8' = 8: Ь, так что фактормодуль о/8' изоморфно погружается
в фактормодуль о/8. Модуль о/8 минимальный, а потому возможны
только два случая: либо о/S'' изоморфно отображается на нуль
и, следовательно, само равно нулю, либо с/8' изоморфно отобра-
жается на с/8. В первом случае 8'= о, а во втором идеал 8',
как и идеал 8, модулярен и максимален в о.
Сформулируем все доказанное в одном предложении:
Теорема 1. Радикал Э? равен пересечению двусторонних иде-
алов ф4 = 8: о, а потому и сам является двусторонним идеалом.
Построим теперь факторкольцо о = о/ЭЯ. Каждому модулярному
максимальному левому идеалу 8 кольца о соответствует некото-
рый модулярный максимальный левый идеал 8 = 8/-К кольца с,
и наоборот. Поэтому имеет место
Теорема 2. Кольцо классов вычетов о/ЗЯ является кольцом
«без радикала», т. е. радикал кольца о/Э4 равен нулевому идеалу.
Кольца без радикала, называются полупростыми. Поэтому тео-
рему 2 можно сформулировать так:
Кольцо классов вычетов кольца о по его радикалу •)? полупросто.
Задача 1. Каждый левый идеал 2' при условии, что модули о/2' и с/2
операторно изоморфны, приводит к совпадающим частным:
2' : о = 2 : о = ф.
Задача 2. Пусть 2 — модулярный левый идеал. Тогда 5 = о:с— содер-
жащийся в 2 двусторонний идеал, в котором лежат все двусторонние идеалы,
принадлежащие идеалу 2.
Позднее нам понадобится следующая теорема:
Теорема 3. Каждый модулярный левый идеал 1=#о принад-
лежит некоторому максимальному левому идеалу 8 =# о (который,
конечно, тоже модулярен).
Доказательство. Пусть с —элемент кольца о со свойством
ас = а(К) для всех а е о. (6)
Левый идеал I не содержит элемента с. Рассмотрим множество
всех левых идеалов I', содержащих (, но не содержащих с. Среди
них найдем максимальный идеал 8. Такой идеал существует
в силу леммы Цорна (§ 69). Идеал 8 модулярен, так как содер-
жит (. Но он и максимален и не равен о. Действительно, если
8' — идеал, собственным образом содержащий 8, то 8' содержит и
элемент с, а потому в силу (6) — каждый элемент кольца р.
§ 97] ЗВЕЗДНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 355
Чтобы выяснить связь между малым и большим радикалами,
введем в качестве вспомогательного средства новую конструкцию
произведения.
§ 97. Звездное произведение
Звездное произведение а*Ь двух элементов а и b кольца о опре-
деляется равенством
a*b = a-\-b — ab.
Джекобсон в этом случае пишет а°Ь и называет конструкцию
«круговой композицией».
Звездное произведение ассоциативно, а нуль является единич-
ным элементом при таком умножении:
О *а = а = а*0.
Если кольцо о имеет единицу 1, то произведение а*Ь=с
можно определить и равенством
(1 — а) (1 -6) = 1 -с.
Левый звездно обратный элемент г' для данного элемента z
определяется условием
z'*z = 0, или z' z — z'z = О,
или, если есть единица 1, —условием
(1 — z') (1 — z) = 1.
Элемент z, обладающий левым звездно обратным элементом z',
называется звездно регулярным слева (или квазирегулярным слева).
Точно так же определяются правый звездно обратный и звездно
регулярный справа элементы — условием z*z' =0.
Элемент z называется просто звездно регулярным, если суще-
ствует такой z', который является левым и правым звездно обрат-
ным для z:
z' *z = Q = z*z'.
Теорема 4. Каждый нильпотентный элемент z звездно
регулярен.
Доказательство. Если zm = 0 и положить
г' = — z — z2 —... — zm 1,
то получится, что z'*z = 0 = z*z'. Таким образом, элемент z
звездно регулярен.
Если в некотором левом идеале I все элементы звездно регу-
лярны слева, то они и звездно регулярны. Действительно, пусть
z — элемент из I и z' — его левый звездно обратный элемент; тогда
z' — z'z — z.
356
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. ХШ
Следовательно, г' лежит в I и обладает левым звездно обрат-
ным г'. Имеем теперь
z = 0 * z = z" * г' * z = z" * 0 = z",
так что
г*г' =z* *z' =0,
т. е. г' — не только левый, но и правый звездно обратный для г.
Левый или правый идеал, элементы которого звездно регу-
лярны, называется звездно регулярным. Согласно доказанному
выше, левый идеал является звездно регулярным, если все его
элементы звездно регулярны слева. Точно так же правый идеал
звездно регулярен, если все его элементы звездно регулярны
справа.
Теорема 5. Радикал 3} является звездно регулярным левым
идеалом, содержащим все звездно регулярные левые идеалы.
Доказательство. Пусть z —элемент идеала 31. Мы хотим
показать, что z обладает левым звездно обратным. Построим мно-
жество всех элементов
xz — х,
в котором х пробегает кольцо о. Это множество является моду-
лярным левым идеалом, для которого г играет ту роль, которую
раньше играл элемент с. Если этот левый идеал содержит z, то
существует элемент х со свойством
г = xz — х.
Отсюда следует, что x*z = 0, т. е. х — левый звездно обратный
для г, Если модулярный левый идеал не содержит элемента z,
то он не равен о и в силу теоремы 3 принадлежит некоторому
модулярному максимальному левому идеалу ?=/=о. Элемент z
лежит в 3t, а 3? является пересечением всех модулярных макси-
мальных левых идеалов; поэтому г лежит в 2. Но тогда все эле-
менты
х = xz — (хг — х)
лежат в ?, т. е. 2 совпадает с о, в то время как должно выпол-
няться противоположное соотношение: 8 о.
Следовательно, каждый элемент г идеала 3? обладает левым
звездно обратным, т. е. 31 —звездно регулярный левый идеал.
Пусть теперь [ — произвольный звездно регулярный левый
идеал. Мы хотим показать, что I содержится в каждом модуляр-
ном максимальном левом идеале V, т. е. принадлежит 31. Если бы
I не лежал в идеале то сумма идеалов (8, I) совпадала бы
СО всем кольцом о;
(V, м
0)
§ 98] КОЛЬЦА С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ 357
Так как идеал V модулярен, существует элемент с со следую-
щим свойством:
йс = а(2) для всех вес. (2)
В силу (1) этот элемент с должен представляться суммой у + г,
в которой у принадлежит 2, a z принадлежит (. Отсюда:
(3)
Так как элемент z лежит в идеале I, то он обладает звездно
обратным z':
z + z' — z'z = 0. (4)
Из (3) и (4) следует, что
сЦ-z' — z'c = 0 (2),
а потому в силу (2)
с = 0 (2),
что невозможно.
Из теоремы 5 очень легко следует равенство «правого» и
«левого» радикалов. Действительно, определим правый радикал ЯТ
как пересечение всех модулярных максимальных правых идеалов;
тогда Я1'— звездно регулярный двусторонний идеал, а потому
в силу теоремы 5 он содержится в 2R. Точно так же Я1 содер-
жится в ЯГ и, следовательно, Я1 = ЯГ. Тем самым, радикал Я1
можно определить любым из следующих способов: как пересече-
ние всех модулярных максимальных левых или правых идеалов,
а также как объединение всех звездно регулярных левых или
правых идеалов.
Левый или правый идеал называется нильидеалом, если все
его элементы нильпотентны. Из теоремы 4 непосредственно сле-
дует, что каждый нильидеал звездно регулярен. Поэтому из тео-
ремы 5 получается
Теорема 6. Все нильидеалы содержатся в радикале.
В частности, все нильпотентные идеалы содержатся в ЯГ Их
объединение является малым радикалом 9i. Следовательно, имеет
место
Теорема 7. Малый радикал Я? содержится в большом ради-
кале Э1.
Задача 1. Ни левый, ни правый единичные элементы кольца о не
могут быть звездно регулярными и потому ни один из них не содержится
в радикале 9i.
§ 98. Кольца с условием минимальности
Начиная с этого места, будем предполагать, что в кольце о
выполнено условие минимальности для левых идеалов. При этом
предположении мы прежде всего докажем следующую теорему;
Теорема 8. Радикал $ нильпотектен.
358
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
Доказательство. В последовательности степеней 31"' суще-
ствует минимальный идеал Э1Л. Так как 312л содержится в Э1Л,
имеет место равенство
912л = SRs,
или, если положить Э1Л = <25, — равенство 2.2 = Покажем, что
® = {0}.
Если <25 Ф {0}, то рассмотрим множество всех левых идеа-
лов 3 со свойствами:
3 = 0; (1)
©3¥={0}. (2)
Это множество непусто, потому что в него входит левый
идеал ©. Следовательно, существует минимальный идеал Зт со
свойствами (1) и (2); в силу (2) существует такой элемент Ь из Зт,
что <&Ь ¥={0}. Левый идеал <Zb лежит в Зт и обладает свойст-
вами (1) и (2); следовательно, '2’6 = Зт- Поэтому в ©' существует
такой элемент z, что zb = b. Так как z принадлежит 31, то в силу
теоремы 5 он обладает левым звездно обратным г':
z + z' — z'z = 0. (3)
Умножим это равенство справа на Ь\ тогда получится, что
b — Q, а это противоречит предположению (26 ^={0}. Тем самым
доказано, что ® = {0}, а потому и Э1л={0}.
Малый радикал 91 содержит все нильпотентные двусторонние
идеалы; поэтому 9? э91. В силу теоремы 7 имеет место обратное
включение: 91 <= 91. Поэтому справедлива
Теорема 9. Малый радикал 91 равен большому радикалу
Так как в силу теоремы 6 все нильидеалы содержатся в 91,
имеет место
Теорема 10. Все нильидеалы нильпотентны.
Согласно теореме 2 кольцо классов вычетов о/'Д полупросто.
Если в о выполняется условие минимальности для левых идеа-
лов, то, конечно, оно выполняется и в о/ЭН. Рассмотрим теперь
в общем виде вопрос о строении полупростых колец с условием
минимальности для левых или правых идеалов.
Теорема 11. Каждое полупростое кольцо о с уловием мини-
мальности для левых идеалов является прямой суммой простых
левых идеалов I,.
Доказательство. Радикал кольца о, т. е. его нулевой
идеал, есть, по определению, пересечение модулярных макси-
мальных левых идеалов 8. Покажем сначала, что нулевой идеал
является пересечением даже конечного числа упомянутых идеа-
лов 8.
Рассмотрим множество всех пересечений конечных множеств
модулярных максимальных левых идеалов 2. В этом множестве
« 987
КОЛЬЦА С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ
359
существует минимальный идеал
1 = ^П •••
Если бы было I ф {0}, то существовал бы идеал 8от+1, пересе-
чение которого с I было бы подмножеством в I. Но это противо-
речит свойству минимальности идеала (. Следовательно, I — {0} и
{0} = 21П ... П2т- (4)
Если в этом представлении в виде пересечения участвует
какой-либо идеал содержащий пересечение остальных идеалов,
то его можно удалить из записи (4). Удалим из (4) все такие
лишние идеалы в результате чего останется несократимое
представление
{0} = М ... (5)
в котором ни один из идеалов не содержит пересечение I;
остальных идеалов. Сумма (£,, (,) является в таком случае идеа-
лом, собственно содержащим идеал а так как максимален,
то она равна о:
{К G) = o. (6)
Равенства (5) и (6) утверждают, что идеал {0} является пря-
мым пересечением максимальных идеалов В силу § 92 отсюда
следует, что о —прямая сумма левых идеалов I,:
о = 1, + . (7)
В соответствии с § 92 для каждого i имеет место оператор-
ный изоморфизм
(8)
а так как модуль классов вычетов о/£, прост, то идеалы I, являются
простыми. Тем самым все доказано.
Согласно (7) каждый элемент а кольца о представляется един-
ственным образом в виде суммы
а = а1 + ... + а„ (а, (= [,). (9)
В равенстве (9) можно выделить одно слагаемое at и вместо
(9) написать
а = «,- + &, (10)
Элемент а, называется ^-компонентой элемента а. Отображе-
ние (Ы—является операторным гомоморфизмом, ядро кото-
рого равно в точности V,. Два элемента а и а' тогда и только
тогда сравнимы по mod когда совпадают их 1,-компоненты.
Элемент кольца с со свойствами с2 —с называется идемпо-
тентным.
Теорема 12. В обозначениях и при предположениях тео-
ремы 11 выполняются следующие утверждения-.
360
АЛГЕБРЫ
(ГЛ. XIII
А. Каждый, идеал 1,- порождается некоторым идемпотентным
элементом ер.
\i = veh et=ej.
Б. Элементы et аннулируют друг друга'.
е,ек = 0 для i^=k. (11)
В. ^-компонента а, произвольного элемента а получается умно-
жением элемента а на ер.
ai = aei. (12)
Г. Сумма
6 = ^4-... + е„ (13)
является единицей кольца о.
Доказательство. Так как идеал ?г модулярен, суще-
ствует элемент сг кольца о со свойством
ас/ = а(?г) для всех а. (14)
Разложим теперь элементы с( в соответствии с (10):
сг = е; + М (15)
Отсюда для ас, получается разложение:
act = aet + afi. (16)
Из сравнения (14) следует, что пс( и а имеют одни и те же
[/-компоненты. Согласно (16) это означает, что
at = aei. (17)
Тем самым доказано (12). Если а пробегает кольцо о, то at
пробегает весь идеал 1;, поэтому
(/ = ое;. (18)
Положим в (17) а = ер, тогда получится, что
(19)
Положим в (17) а = ек; получим
O = eket (k^t). (20)
Тем самым доказаны утверждения А, Б и В.
Если в обозначениях (13) положить
е = ei + • • • + ^п> (21)
то в силу (17) получится равенство
ае = ае^ 4-.. . 4~ аеп = а^ 4-... -j-a„ = а, (22)
т. е. е — правая единица кольца о. Таким образом, остается дока-
зать, что е является и левой единицей.
§ 98] КОЛЬЦА С УСЛОВИЕМ МИНИМАЛЬНОСТИ 361
Элементы а — еа образуют правый идеал г. Для произволь-
ного b имеет место равенство be = b, поэтому
b (я — еа) = Ьа — bea = ba — ba = 0.
В частности,
(а — еа)2 = 0.
Таким образом, г —нильидеал и в силу теоремы 6 он содер-
жится в радикале, а потому равен нулю. Тем самым для всех
элементов а имеет место равенство
а — еа = 0,
т. е. е —левая единица.
Кольцо, являющееся вполне приводимым как левый модуль,
т. е. представимое прямой суммой простых левых идеалов, назы-
вается вполне приводимым слева. Теоремы 11 и 12 мы можем
теперь объединить в следующей формулировке:
Любое полупростое кольцо с условием минимальности для
левых идеалов является вполне приводимым слева и обладает
единицей.
Эта теорема имеет обращение:
Теорема 13. Любое вполне приводимое слева кольцо с пра-
вой единицей является полупростым и удовлетворяет условию
минимальности для левых идеалов.
Доказательство. Пусть
0=1! + . (23)
— разложение кольца о на простые левые идеалы и пусть —
сумма всех (7, за исключением [;. Тогда o/V; 1, и, следовательно,
?;• — максимальный идеал. Если е —правая единица кольца о, то
ае = а для всех а и, следовательно, 8/— модулярный идеал. В силу
§ 92 идеал {0} является пересечением идеалов V,-, а потому о
полупросто.
Согласно § 53 кольцо о обладает композиционным рядом
длины п. В силу § 51 любой левый идеал [ можно включить
в некоторый композиционный ряд. Участок этого композицион-
ного ряда от 1 до {0} имеет длину число т называется
длиной идеала I. Любой собственный подидеал Г идеала 1 имеет
меньшую длину, потому что и 1 и 1' можно включить в некото-
рый композиционный ряд. В каждом (непустом) множестве левых
идеалов существует левый идеал Г наименьшей длины. Он является
минимальным в данном множестве, так как любой идеал соб-
ственным образом в нем содержащийся, имел бы меньшую длину.
Следовательно, для левых идеалов кольца о выполнено условие
минимальности.
362
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра
В § 98 мы исследовали разложения в прямые суммы левых
идеалов произвольного кольца о, подчиненного естественным тре-
бованиям; теперь мы намерены выяснить, что можно сказать
о разложениях в сумму двусторонних идеалов.
Теорема 14. Если кольцо о с единицей представимо в виде
прямой суммы прямо неразложимых двусторонних идеалов, отлич-
ных от нулевого идеала:
° = Л1+ • • • +(1)
то эти идеалы аг определены однозначно.
Доказательство. Если имеется какое-то второе разло-
жение
О = Cj +. • +
то
fl = Ofi = (flifi, й2С1, • • • > ЯЛС1).
Сумма справа является прямой, так как
111^1 — Л1, ..., (1ЛС1 £ йп.
Но так как идеал q прямо неразложим, то произведения агст
должны быть равны нулю, кроме какого-то одного, скажем, а^.
Таким образом,
Ci = а/! £ а!.
Точно так же показывается, что и наоборот, содержится в од-
ном из с;, так что
Q £ ih £ q;
отсюда следует, что i = 1 и q = йг Таким образом, каждый идеал сг
совпадает с некоторым из идеалов й;.
Для односторонних разложений в прямые суммы такая одно-
значность места не имеет.
Докажем теперь следующее:
Если кольцо является прямой суммой двусторонних идеалов
а,-, то центр 3 кольца о является прямой суммой центров 3<
колец ар
3=31 + ...+Зл-
Доказательство. Пусть z = z± 4-... + zn — произвольный
элемент центра и х = . .-\-хп — произвольный элемент из о.
Тогда zx = xz; поэтому
Ч- • • • Ч- znxn — х& -J- • • • Т" xnzn. (2)
Отсюда следует, что Z/X/=xz-Z/ для всех X/ из й,- т. е. zt лежит
в центре кольца й/. Обратно: если каждый элемент г; лежит
§ 99]
ДВУСТОРОННИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
363
в центре кольца ah то равенство (2) выполняется для всех х и
zx = xz, так что z лежит в центре кольца о.
Утверждения, которые мы рассматривали до сих пор, спра-
ведливы в произвольных кольцах о. Теперь же мы предположим,
что кольцо р полупросто и удовлетворяет условию минимальности
для левых идеалов. В этом случае о вполне приводимо слева:
о = [j 4-... 4- (3)
и обладает единицей:
е = в14-. •-4“^ (Ф е (,•)•
Если а — произвольный двусторонний идеал, то каждое произве-
дение aet является лежащим в 1г левым идеалом; поэтому оно
равно либо I,-, либо {0}. Идеалы можно расположить в таком
порядке, чтобы выполнялись равенства
..., aem = lm, яет+1 = {0}, ..., яел = {0}. (4)
Тогда 1Ь ..., (т содержатся в я и поэтому в а содержится также
идеал l14-...4-Im- Каждый элемент а идеала я представляется
в виде
а = ае — ае1 4-... 4- аеп •
В этой сумме слагаемые аетп, ..., аеп равны нулю, а потому
она сводится к
а = aeY 4-... 4- ает-
Следовательно, я s [j-j-.. .4-1га и
я = 114-...4-и (5)
или словами:
Каждый двусторонний идеал я является суммой некоторых
идеалов
Для идеалов If, входящих в формулу (5), имеют место равен-
ства
я[г = ясе,- = яе,- =
а для I*, не входящих в формулу (5), справедливы равенства
я1* = ясе* = aek = {0}.
Таким образом, идеалы (,-, входящие в формулу (5), характе-
ризуются тем, что идеал я их не аннулирует:
4=# {0}.
Если идеал (/ обладает этим свойством, то и все идеалы Г,
операторно изоморфные идеалу тоже им обладают: я!=/={0}.
Поэтому в (5) входят все идеалы (, изоморфные идеалу 1г.
364
АЛГЕБРЫ
(ГЛ. Х111
Пусть, скажем, идеалы (,, ..., (g изоморфны идеалу [п
а остальные идеалы нет. Тогда утверждается:
Идеал я1 = 11 + ... + 1г двусторонний.
Доказательство. Для произвольного элемента & ео имеем:
atb = сцЬе = ях (be-t +... + ben) e
^(a1be1, ..., cijbeg, ..., ..., lg, 0, ..., 0) = ax.
Следовательно, ях является правым, а потому и двусторонним
идеалом.
Этим способом из каждого класса попарно изоморфных идеа-
лов I; МОЖНО построить ДВУСТОРОННИЙ Идеал Пусть Яь я2, ...
..., яг — так построенные идеалы.
Каждый двусторонний идеал а является суммой вида (5), и
если эта сумма содержит какой-либо идеал то в нее должны
входить и все идеалы I,-, изоморфные идеалу (;. Отсюда следует
утверждение:
Каждый двусторонний идеал является суммой некоторых из
двусторонних идеалов ях, ..., яг. Последние являются минималь-
ными двусторонними идеалами. Кольцо о является прямой сум-
мой идеалов я*:
о = ях +... + ял. (6)
Последнее утверждение следует непосредственно из (3).
В силу § 91 идеалы а,- являются кольцами, аннулирующими
друг друга:
яхял = {0} для i =£= k. (7)
Из (6) и (7) вытекает, что каждый левый или правый идеал
кольца является также левым или правым идеалом кольца с.
Для левых идеалов I доказательство проводится так:
о( = (ях +... 4~ яг) 1 <=
^(ях/, ..., йгГ)^
<= (0, ..., яД ..., 0) <= I,
а для правых идеалов — аналогично. Следовательно, каждый дву-
сторонний идеал в я; явтяется двусторонним идеалом в о. Однако,
так как я; — минимальный двусторонний идеал, в я; не сущест-
вует двустороннего идеала, отличного от я; и от {0}. Таким обра-
зом, каждый идеал я; является простым кольцом с единицей et.
Мы получили в итоге следующую теорему:
Теорема 15. Любое полупростое кольцо о с условием мини-
мальности для левых идеалов является прямой суммой простых
колец с единицей.
Для алгебр о теоремы первой половины § 96 принадлежат
Веддерберну.
Исследуем теперь строение простых колец с единиц'ей.
§ tool
ПРОСТЫЕ И ПРИМИТИВНЫЕ КОЛЬЦА
365
§ 100. Простые и примитивные кольца
Пусть о — простое кольцо с правой единицей е:
ае = а для всех а. (1)
Равенство (1) утверждает, что нулевой идеал является моду-
лярным левым идеалом. Согласно § 96 (теорема 3) существует
модулярный максимальный левый идеал 8 У- о. Модуль классов
вычетов о/2 является простым и дает неприводимое представле-
ние. Ядро этого представления— двусторонний идеал ф, который
в соответствии с § 96, равенство (5), содержится в 2 и не равен о.
Так как о —простое кольцо, должно иметь место равенство ф = {0},
т. е. представление, соответствующее модулю о/2, является
точным.
Кольцо, обладающее точным неприводимым представлением,
называется примитивным. Таким образом, имеет место
Теорема 16. Простое кольцо с единицей примитивно.
Выясним, верно ли обратное утверждение.
Пусть о — примитивное кольцо и ЭЛ — простой о-модуль, со-
ответствующий некоторому точному представлению кольца о.
Пусть « — произвольный элемент модуля ЭЛ, не аннулируемый
кольцом о. Тогда о« — подмодуль в ЭЛ, отличный от нулевого,
а потому равный самому модулю ЭЛ. Отображение х>—опре-
деляет некоторый гомоморфизм из о на ЭЛ, ядро которого яв-
ляется левым идеалом 8 кольца о. Модуль классов вычетов о/2
изоморфен модулю ЭЛ, а потому является простым, т. е. 2 —
максимальный идеал. Так как сц = ЭЛ, то элемент и должен иметь
вид си:
и = си.
Отсюда следует, что аи = аси для всех а изо. Таким образом,
отображение х>—*-хи переводит элементы а и ас в один и тот же
элемент модуля ЭЛ. Отсюда:
а = ас (2),
т. е. идеал 8 модулярен.
Благодаря изоморфизму ЭЛ ощ'/8 представление, соответствую-
щее модулю ЭЛ, эквивалентно представлению, соответствующему
модулю о/2. Ядром этого представления является двусторонний
идеал
ф = 2 : о.
Поскольку рассматриваемое представление точное, должно иметь
место равенство ф = {0}. Согласно § 96 (теорема 1) радикал Л
кольца о содержится в ф, а потому 31 = {0}, т. е. кольцо о полу-
просто. Итак, доказана
Теорема 17. Примитивное кольцо полупросто.
366
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
В первой части доказшельства точность представления не
использовалась. Использовалось лишь то, что модуль ЭЛ прост
и не все элементы модуля ЭЛ аннулируются кольцом о. Поэтому
для любых колец верна
Теорема 18. Любой простой ^-модуль ЭЛ, не аннулируемый
кольцом с, изоморфен модулю классов вычетов о/8 по некоторому
модулярному максимальному левому идеалу Ч. Если У—ядро пред-
ставления, соответствующего модулю ЭЛ, то радикал Л содер-
жится в идеале ф, т. е. все элементы из Л представляются нулем.
Вернемся к примитивным кольцам. Из полупростоты кольца о
следует, что при условии минимальности для левых идеалов
кольцо о является прямой суммой минимальных левых идеалов:
° = li + - • • + !«•
По крайней мере один из идеалов 1; не содержится в идеале ?,
потому что иначе сумма о = IjH-..принадлежала бы 1?, а это
невозможно. Сумма (1г, 2) равна тогда кольцу о, потому что 2 —
максимальный идеал, в пересечение Q 8 равно нулю, так как
[; — минимальный идеал. Следовательно, имеет место изоморфизм
о/2^1г.
Модуль ЭЛ изоморфен, таким образом, некоторому простому
левому идеалу а представление, соответствующее модулю ЭЛ,
эквивалентно представлению, соответствующему модулю
Согласно § 99 кольцо о является прямой суммой двусторон-
них идеалов av; все они, за исключением одного, представляются
нулем в представлении, соответствующем идеалу 1/. Если пред-
ставление точное, то может существовать лишь один идеал av,
т. е. о само по себе является простым кольцом с единицей. Мы
доказали следующую теорему:
Теорема 19. Любое примитивное кольцо с условием мини-
мальности для левых идеалов является простым и обладает еди-
ницей.
Если объединить теоремы 16 и 19, то станет ясно, что для
колец с условием минимальности, в частности, для алгебр, свой-
ства «быть примитивным» и «быть простым кольцом с единицей»
равносильны.
Строение примитивных колец в общем случае (без условия
минимальности) было подробно изучено Джекобсоном. Каждое
примитивное кольцо о может быть погружено в кольцо D линей-
ных преобразований некоторого векторного пространства таким
образом, что D окажется замкнутой оболочкой кольца о в неко-
торой вполне определенной топологии на С1). Здесь мы лишь
^Джекобсон Н. Строение колец, гл. II.
§ 100]
ПРОСТЫЕ И ПРИМИТИВНЫЕ КОЛЬЦА
367
построим упомянутое векторное пространство и укажем вложение
кольца о в кольцо £>.
В этой конструкции важную роль играет кольцо эндоморфиз-
мов произвольного о-модуля. Эндоморфизмы L произвольного
о-модуля определяются как отображения модуля ЭЛ в себя,
обладающие следующими свойствами:
L (u + v) = Lu-(-Lv, (2)
L(au)=a(Lu). (3)
Свойство (3) утверждает, что отображение L должно быть
перестановочно с преобразованиями А того представления а>—*А,
которое связано с модулем ЭЛ:
LA = AL для всех А.
Если модуль SOi обладает областью правых операторов Q, то,
кроме (2) и (3), требуется еще
Л(мР) = (Лм)р (4)
для всех р из й. Например, если й — поле и ЭЛ — векторное про-
странство над этим полем, то свойства (2), (3) и (4) означают,
что эндоморфизмы L являются линейными преобразованиями век-
торного пространства ЭЭ?, перестановочными со всеми линейными
преобразованиями А представления at—>А.
Если сумму и произведение эндоморфизмов определить в соот-
ветствии с § 45 равенствами
(L + Л4) и = Lu + Ми,
(LM)u—L(Mu),
то эндоморфизмы образуют некоторое кольцо — кольцо левых эндо-
морфизмов модуля ЭЛ.
В дальнейшем часто будет целесообразно записывать эндомор-
физмы как правые операторы %, р, ..., а их произведение опре-
делять равенством
и (%р) = (ы%) р.
Тогда вместо (2), (3), (4) выполняются равенства
(и + v) L = ил ф- vL, (5)
(au) 't. = a (uL), (6)
(wP)X~(uX)P для Рей. (7)
Правые эндоморфизмы точно так же составляют некоторое
кольцо — кольцо правых эндоморфизмов с-модуля ЭЛ. Когда в этом
и следующем параграфах речь пойдет о кольце эндоморфизмов
некоторого модуля, будет постоянно подразумеваться кольцо пра-
вых эндоморфизмов. Оно инверсно изоморфно кольцу левых эндо-
морфизмов, т. е. каждому левому эндоморфизму L однозначно
368
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
сопоставляется правый эндоморфизм X так, что сумме L-f-M соот-
ветствует сумма А + ц, а произведению LM — произведение jiA.
Кольцо эндоморфизмов простого ь-модуля является телом.
Конечно, кольцо эндоморфизмов имеет единицу, а именно —
тождественный автоморфизм t. Остается доказать, что каждый
эндоморфизм А 4= О обладает обратным V1. Эндоморфизм X отоб-
ражает модуль ЭЛ на некоторый подмодуль ЭЛА. Если X 0, то
этот подмодуль не является нулевым, а потому должен совпадать
с ЭЛ. Множество элементов, которые отображаются эндоморфиз-
мом А в О, является подмодулем в ЭЛ. Если А 4= О, то этот под-
модуль не есть ЭЛ, а потому он нулевой. Таким образом, эндо-
морфизм А отображает модуль ЭЛ изоморфно на себя. Но тогда
он обладает обратным автоморфизмом А”1, что мы и хотели дока-
зать.
Описанное тело К называется телом эндоморфизмов простого
с-модуля ЭЛ. Так как единица i тела К является единичным опе-
ратором, то модуль ЭЛ — векторное пространство над К. Элементы
а кольца о в силу соотношений
а (и и) = аи + аи,
а (мА) = (аи) А
порождают линейные преобразования А векторного простран-
ства ЭЛ. Отображение а>—является гомоморфизмом колец.
Если представление точное, то а>—является изоморфизмом
и кольцо о оказывается вложенным в кольцо D линейных преоб-
разований векторного пространства ЭЛ.
Задача 1. При любом вполне приводимом представлении кольца о ради-
кал 3i представляется нулем.
Задача 2. Простое кольцо, не являющееся примитивным, — это не что
иное, как простая аддитивная группа; все произведения ab равны нулю.
Задача 3. Любая простая алгебра без единицы является одномерным
векторным пространством «jP, где <4 = 0.
§ 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы
Пусть ЭЛ = ЭЛ1-|-.•+ЭЛ„ —прямая сумма п простых моду-
лей. Мы собираемся исследовать кольцо эндоморфизмов модуля ЭЛ.
Если какой-либо элемент и модуля ЭЛ имеет разложение
на ЭЛгкомпоненты вида
и = «14- ... ип, (1)
то каждое отображение гл—* и-, является некоторым эндомор-
физмом X/. Сумма всех этих эндоморфизмов является тождествен-
ным эндоморфизмом i:
1 = %^ ... +х„.
(2)
§ 1011
КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ ПРЯМОЙ СУММЫ
369
Таким образом, каждый эндоморфизм р может быть пред-
ставлен в виде
И = ipi = хл) И (2 х0 = S ХЛ^Х'-
/г, i
Положим
хЛрх/ = рЛ/; (3)
тогда
И = 5 Иль (4)
Л, i
Каждый из эндоморфизмов отображает модуль в мо-
дуль Э)1;, а все остальные модули (k^=h) — в нуль. Следова-
тельно, можно считать, что рйг является гомоморфизмом модуля Э)?Л
в модуль Д?г. Гомоморфизмы рЛ1-, входящие в (4), — всего их п2—
можно выбирать произвольно; при этом их сумма всегда будет
некоторым эндоморфизмом ц и каждый эндоморфизм р можно
получить таким способом. Разложение р на гомоморфизмы рЛ/
модуля Э)1Л в модуль однозначно, так как из (4) следует (3),
если первое из равенств умножить слева на хЛ, а справа — на х(.
Если р = 2нл< и v = ^'v/!i —два эндоморфизма, то легко
построить их сумму и произведение. Для этого нужно иметь
в виду, что Phi^jk равно нулю для I j. Таким образом,
p + 'v== У, (Р-лг 4~ ул/), (5)
h, i
Pv = 2 f У Нл/V/^. (6)
h,k\i /
Эндоморфизмы рч можно записать в виде матрицы || рл/Ц. Тогда
каждому эндоморфизму р окажется сопоставленной матрица
из гомоморфизмов рл;, которые могут быть любыми; при этом
сумме рv сопоставляется в соответствии с (5) сумма матриц,
а произведению pv в соответствии с (6) — произведение матриц.
Вообще говоря, многие из гомоморфизмов рЙ!- равны нулю.
Точнее, имеет место следующая теорема:
Если модуль гомоморфно отображается в модуль Э)?; и это
отображение не является нулевым, то оно является изоморфиз-
мом из на Э?(;.
Доказательство. Ядро такого гомоморфизма является
подмодулем в и поэтому, если Э)1Л не переводится в нуль
целиком, это ядро равно {0}. Образом является некоторый под-
модуль в ?Дг и, так как он не равен нулю, он совпадает с
Из этой теоремы следует, что рлг = 0, за исключением слу-
чая, когда имеет место изоморфизм Э)1Л Э)?;. Если мы распре-
делим модули Д1г на классы изоморфных друг другу и перену-
меруем их так, чтобы Д?!, .... Э)19 были попарно изоморфны,
затем 501^1, .... 3)l?+z были попарно изоморфны и т. д., то,
370
АЛГЕБРЫ
[ГЛ XIII
очевидно, матрицы |||ллг|| распадутся на квадратные блоки из q,
г, ... строк и столбцов, вне которых будут стоять нули:
Щ1 Ц17
Н? 1 941 • • •
Н?+г 941 •
Если писать в первом блоке произвольные элементы, а во
всех остальных — нули, то получится некоторое матричное кольцо
Elt являющееся подкольцом кольца Е исходных матриц; точно
так же, если всюду вне второго блока писать нули, то получится
некоторое кольцо Е2 и т. д. Очевидно, что каждый элемент
кольца Е представляется в виде суммы элементов из Ех, Е2, ...
и что элементы из Е1( Е2, ... аннулируют друг друга. Таким
образом, кольцо Е является прямой суммой аннулирующих друг
друга колец Ех, Е2, ...
Чтобы выяснить строение кольца Е, нам нужно изучить лишь
одно из колец Е(, например, Ev Элементам из Ej сопоставлены
«/-строчные матрицы
Щ1 ••• Ц77 I
первого блока.
Элемент р,1г принадлежит телу эндоморфизмов Кх модуля
Остальные элементы цл; не принадлежат этому телу, а являются
гомоморфизмами из в ЭЛ;. Однако можно однозначно отобра-
зить эти элементы на некоторые элементы тела Кх; для этой
цели мы фиксируем q изоморфизмов
Ei> • • • >
отображающих ЭЭ?!, .... на Э)^. В качестве щ мы выберем
тождественный автоморфизм. Сопоставим каждому цЛ; элемент
(8)
принадлежащий телу Кх (так как ц*1 отображает ЭЭ?г на Ш1Л,
отображает Э)?д в 9)i;, а отображает на ЭД). Очевидно при
этом сумме + vhi соответствует снова сумма, а произведению
встречающемуся в (6), соответствует произведение. Таким
способом матрице (7) однозначно сопоставляется матрица || ||
с элементами из тела Hlt причем сумма переходит в сумму,
а произведение — в произведение. Поэтому кольцо Ej изоморфно
§ 102]
СТРУКТУРНЫЕ ТЕОРЕМЫ
371
кольцу всех (/-строчных матриц с элементами из тела Kt —тела
автоморфизмов простого модуля ЭЛр
Подводя итог сказанному, мы получаем следующую теорему:
Структурная теорема о кольцах эндоморфиз-
мов. Кольцо эндоморфизмов вполне приводимого модуля ЭЛ яв-
ляется прямой суммой полных матричных колец Е; над телами К/.
§ 102. Структурные теоремы о полупростых
и простых кольцах
Мы исходим из произвольного кольца о с правой единицей е:
ае = а для всех а.
Будем рассматривать о как модуль, для которого само же о
служит областью левых операторов, и попытаемся определить
эндоморфизмы ц этого модуля. Эндоморфизмы ц являются ото-
бражениями модуля с в себя такими, что
(а ф- Ь) у = ay + by,
(ab) ц = а (by).
Последнее свойство в случае b =е дает
ар = а (ер).
Эндоморфизм ц совпадает, следовательно, с правым умноже-
нием на элемент d = ey кольца о. Обратно, каждое такое правое
умножение является эндоморфизмом:
(а 4- b) d = ad + bd,
(ab) d = a (bd).
Таким образом, эндоморфизмы у однозначно соответствуют
элементам d кольца о. При этом сумме соответствует сумма,
а произведению — произведение. Мы получили утверждение:
Если кольцо о с правой единицей рассматривать как левый
модуль над самим собой, то кольцо правых эндоморфизмов этого
модуля изоморфно кольцу о.
В качестве приложения этой теоремы определим строение
полупростых колец с условием минимальности для левых идеа-
лов. Каждое такое кольцо согласно § 98 (теорема 11) является
прямой суммой простых левых идеалов
0 = 11+.(1)
Кольцо эндоморфизмов такой прямой суммы согласно § 101 яв-
ляется прямой суммой полных матричных колец над телами.
С другой стороны, согласно § 98 кольцо о обладает единицей.
Поэтому кольцо эндоморфизмов изоморфно самому кольцу о. Тем
самым получается
372
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. ХШ
Структурная теорема для полупростых колец.
Любое полупростое кольцо о с условием минимальности для левых
идеалов изоморфно прямой сумме полных матричных колец над
телами.
Если кольцо с простое, то оно может быть прямой суммой только
одного матричного кольца. Тем самым получается
Структурная теорема для простых колец. Любое
простое кольцо с единицей, удовлетворяющее условию минималь-
ности для левых идеалов, изоморфно полному матричному кольцу
Кл над некоторым телом К.
Порядок п в этом утверждении равен количеству левых иде-
алов в разложении (1). Так как кольцо о простое, все идеалы
попарно изоморфны. Тело К является телом эндоморфизмов одного
из левых идеалов [г.
Если, в частности, о —простая алгебра над некоторым полем
Р, то элементы р поля Р порождают эндоморфизмы х>—>хр ле-
вых идалов так что Р можно вложить в тело эндоморфизмов
К. Далее, для каждого эндоморфизма из К имеет место равенство
(хр) Х = (хХ) Р,
и, следовательно, р перестановочен с каждым элементом X тела
К. Это означает, что Р содержится в центре тела К. Так как
все матричное кольцо имеет конечный ранг над Р, то тело К
тоже имеет конечную степень над Р, т. е. К — алгебра с деле-
нием над полем Р. Мы получили, таким образом, следующую
теорему:
Теорема Веддерберна. Каждая простая алгебра с еди-
ницей изоморфна полному матричному кольцу над алгеброй с де-
лением.
Всякий раз, когда в будущем речь зайдет о простой алгебре,
будет подразумеваться простая алгебра с единицей, т. е. неко-
торое полное матричное кольцо над телом К. Кратные ер
единицы будут отождествляться с элементами р поля Р.
Задача 1. Прямая сумма полных матричных колец над телами полу-
проста.
Задача 2. Полное матричное кольцо над телом примитивно и просто.
Задача 3. Коммутативное полупростое кольцо с условием минималь-
ности является прямой суммой полей.
§ 103. Поведение алгебр при расширении основного поля
Пусть 21 — полу проста я алгебра над основным полем Р. Мы
собираемся выяснить, как ведет себя 21 при расширении основ-
ного поля до некоторого поля Л, какие свойства алгебры 21
сохраняются, а какие могут утратиться. Исследование будет вес-
тись так: сначала 21 будет полем, затем — телом, затем — простой
§ 103]
ПОВЕДЕНИЕ АЛГЕБР ПРИ РАСШИРЕНИИ ПОЛЯ
373
алгеброй и, наконец, — полупростой алгеброй, причем в каждом
последующем случае будет использоваться предыдущий. Все рас-
сматриваемые кольца должны обладать единицей.
1. Если Д — сепарабельное конечное расширение поля Р, то
алгебра Дл не имеет радикала, каким бы ни было поле Л; на-
оборот, если расширение Д несепарабельно, то при подходящем
выборе поля Л в алгебре Дл появляется ненулевой радикал.
Доказательство. Если расширение Д сепарабельно, 0 —
примитивный элемент расширения Д (§ 46) и <р (г) — неразложи-
мый многочлен, обращающийся в нуль на 0, то в соответствии
с § 39, обозначая через п степень многочлена <р (z), имеем
Д = Р (0) = Р + ер + ... + e«-ip р (г)/((р (г)),
а потому при расширении основного поля получается
дЛ = л+ел + ... + е^м. л [г]/(Ф (г)).
Так как <р (г) не имеет кратных множителей и в Л [г], то не су-
ществует многочлена f (z), какая-либо степень которого делилась
бы на <р (z), а сам он на ф (z) не делился, т. е. в фактор-кольце
Л [г]/(ф (z)) не существует нильпотентных элементов, отличных
от нуля. Согласно § 98 (теорема 8) радикал алгебры ДЛ состоит
из нильпотентных элементов, о которых только что упоминалось.
Так как, кроме нуля, таковых нет, радикал равен нулю, т. е.
алгебра ДЛ полупроста.
Если расширение Д несепарабельно и 0 — какой-нибудь несе-
парабельньш элемент из Д, то Д обладает подполем Р (0), а Дл—
подкольцом Л (0), которое, как и выше, изоморфно факторкольцу
Л[а]/(Ф(г)). При подходящем выборе расширения Л многочлен
Ф (z) имеет кратные множители в Л, и в кольце Л [z] существует
многочлен f (z), который сам не делится на ф (г), но некоторая
степень его делится на ф(г). Тем самым в кольце Л[г]/(ф(г))
существует ненулевой нильпотентный элемент, а потому таковой
есть и в Л (0); следовательно, этот нильпотентный элемент по-
рождает в ДЛ некоторый нильидеал, потому что в коммутативном
кольце любой нильпотентный элемент порождает нильидеал. Тео-
рема доказана.
Поскольку роли полей Д и Л взаимно заменимы, первую
часть теоремы можно сформулировать так: если по крайней мере
одно из полей Д или Л имеет конечную степень и сепарабельно
над Р, то алгебра ДхЛ полупроста. Так как, кроме того, алгебра
ДхЛ коммутативна, отсюда следует: ДхЛ является прямой сум-
мой полей (ср. § 102, задача 3).
2. Перейдем теперь к случаю, когда Д — некоторое тело К.
Этот случай сводится к коммутативному на основе следующей
редукционной теоремы:
374
АЛГЕБРЫ
[ГЛ. XIII
Если W — тело над полем Р с центром Z э Р, Л — некоторая
алгебра над Р и если А = К х Л и 3 = Z х Л, то каждый двусто-
ронний идеал л в кольце & порождается некоторым двусторонним
идеалом из 3-
Редукционная теорема будет наилучшим образом восприни-
маться, если ее обобщить и высказать как некоторую теорему
о модулях:
Пусть К — тело, обладающее некоторыми автоморфизмами о.
Пусть Э)1 — некоторый К-модуль конечного ранга:
Э)г = г1К + ... + г9К.
Автоморфизмы ст тела К индуцируют автоморфизмы модуля ЭЭ1,
определяемые равенством
ст (г^ +... + = Zj (CTXJ +... + (стх?).
Тогда утверждается: любой подмодуль а модуля ЭЛ, выдержива-
ющий автоморфизмы ст, обладает [{-базисом, элементы которого
остаются неподвижными при этих автоморфизмах.
Доказательство. Если (г1; ..., zr) — некоторый К-базис
подмодуля л, то его можно дополнить несколькими элементами
zz, скажем, zr?1, ..., zq, до К-базиса всего модуля ЭЛ. Каждый
элемент из ЭЛ сравним по модулю а с некоторой линейной фор-
мой от гг+1, .... zq с коэффициентами из К. В частности, для
i = l, 2, ..., г имеет место сравнение
ч
?1= У, zkykt (mod а).
k=r+\
Положим
Q
= S ZkYki-
k = r-\-l
Тогда формы // — линейно независимые элементы модуля п: ведь
любое линейное соотношение между приводит к такому же
соотношению между гь ..., zr, а последние элементы независимы.
Тем самым, элементы /1Т .... 1Г составляют некоторый К-базис в а.
Если к li применить автоморфизм ст, то получится
ч
= гДсту*/). (1)
г + 1
Элементы ст/; вновь должны принадлежать модулю а, а потому
быть линейными комбинациями исходных элементов 1р
г Ч
oil = 2 lJaJ = S гЛ (2)
1 г+1 /
§ ЮЗ]
ПОВЕДЕНИЕ АЛГЕБР ПРИ РАСШИРЕНИИ ПОЛЯ
375
Сравнивая (1) и (2), получаем: все а, должны быть равны 0,
кроме а(=1. Тем самым ali = li, что и утверждалось.
Чтобы получить редукционную теорему из теоремы о модулях,
нужно лишь в качестве упоминавшихся в теореме о модулях авто-
морфизмов взять внутренние автоморфизмы xi—* f^xfi1 тела К.
Преобразование посредством р действует на сумму г1х1 ф-... ф- zqv.q
следующим образом: элементы г/ оно оставляет неподвижными,
а элементы х; переводит в Рх/Р"1. Любой двусторонний идеал а
в произведении КхА является также и двусторонним К-модулем,
а потому допускает автоморфизмы а-> рар~х. Таким образом,
идеал а обладает базисом, состоящим из таких элементов У, Z/Xj,
которые при преобразовании р переходят в себя, т. е. коэффици-
енты X; которых принадлежат центру Z тела К. Но эти же базис-
ные элементы принадлежат и $ = ZxA, чем и доказывается редук-
ционная теорема.
Дополнение. Редукционная теорема сираведлива и тогда,
когда вместо А берется произвольное тело й в предположении,
что К имеет конечный ранг над Р. Действительно, если а —дву-
сторонний идеал алгебры К = К х й, то идеал а, как и алгебра
.ф, имеет конечный ранг над й, а потому и конечный й-базис
(а1( ..., а^. Базисные элементы, выраженные в форме У а>г-хг,
содержат лишь конечное число элементов оэ/, которые порождают
конечный подмодуль А в й. К произведению ЭЭ? = КхА и его
подмодулю а П ЭД можно в таком случае применить теорему
о модулях и найти базис для л П ЭЭ1, т. е. базис идеала я, кото-
рый остается инвариантным относительно внутренных автоморфиз-
мов тела К и, следовательно, принадлежит кольцу ZxH.
Начиная с этого места, К и А будут алгебрами с делением
над полем Р или, в частности, расширениями поля Р. Из редук-
ционной теоремы непосредственно следует утверждение:
Если алгебра ZXА проста, то проста и алгебра КхА. Если
алгебра ZxA полупроста, т. е. является прямой суммой простых
алгебр, то КхА является прямой суммой такого же числа про-
стых алгебр, т. е. снова полупростой алгеброй.
Подобно тому как можно заменить кольцо К на его центр Z,
кольцо А можно заменить на его собственный центр. Таким обра-
зом, имеет место предложение:
Если произведение центров тел К и А простое или полупростое,
то К X А простое или соответственно полупроспюе. В частности,
произведение КхА полупросто тогда, когда один из центров сепа-
рабелен над Р.
Если алгебра К центральна над Р, т. е. Z = P, то произве-
дение ZxA = A является алгеброй с делением, а потому простой-
Мы получили утверждение:
376
АЛГЕБРЫ
(ГЛ. XIII
Если одно из тел К или А центрально над Р, то алгебра
КхЛ проста.
3. Переход от алгебр с делением к простым алгебрам, т. е.
к полным матричным кольцам '?! = Кг, осуществить легко. Если
Л —произвольное тело над Р, то
?1хЛ = КгхЛ = КхРгхЛ^(КхЛ)хРг.
Когда КхЛ —полупростая алгебра, т. е. прямая сумма пол-
ных матричных колец, для получения алгебры 'ЛЦ-Л все эти мат-
ричные кольца нужно умножить на Рг, т. е. умножить порядок
матриц на г. Что касается простоты или полупростоты произве-
дения КхЛ, то здесь ничего не меняется.
Центр алгебры Л = Кг равен центру Z тела К. Поэтому спра-
ведлиго следующее предложение:
Если центр Z алгебры 'Л = Кг сепарабелен над Р, то алгебра
'ЛхА полупроста. Если алгебра Л центральна над Р, т. е. Z =
= Р, то алгебра 'ЛхА проста, как бы ни выбиралось тело А.
Из добавления к редукционной теореме следует, что послед-
ний результат имеет место и для тел А бесконечной степени над Р.
4. Любая полупростая алгебра Л является суммой простых
алгебр Л', Л", ... Если каждое из слагаемых умножить на А, то
получится произведение ЛхА. В частности, выберем в качестве
А поле; тогда получится следующее предложение:
Полупростая алгебра остается полупростой при любом сепара-
бельном расширении основного поля. Если центры простых алгебр
Л', Л", ... сепарабельны над Р, то полупростота сохраняется при
любом расширении основного поля.
5. Мы видели, что поведение простой алгебры при расшире-
нии основного поля полностью зависит от поведения лежащего
в основе этой алгебры тела. Исследуем теперь поведение цент-
ральных алгебр с делением несколько подробнее.
Согласно доказанному в п. 3, любая центральная алгебра
с делением при любом расширении основного поля остается
центральной и простой. При этом она не обязана оставаться
телом, а может перейти в некоторое матричное кольцо над телом.
В этом случае мы говорим, что расширение основного поля при-
водит к разложению алгебры с делением (а именно — к разложе-
нию на простые левые идеалы).
Покажем теперь, что: если К #= Р — центральная алгебра с деле-
нием, то всегда существуют расширения основного поля, которые
приводят к разложению данной алгебры.
Действительно, пусть р —элемент тела К, не принадлежащий
полю Р; тогда некоторый неразложимый многочлен <р (х) из Р [х]
обращается в нуль на |3. В подходяще выбранном поле А много-
член <р (х) разлагается на множители; например, можно выбрать
Дс^Р(Р), и тогда от ф(х) в А отщепится линейный множитель.
§ 103]
ПОВЕДЕНИЕ АЛГЕБР ПРИ РАСШИРЕНИИ ПОЛЯ
377
В соответствии с доказанным выше имеет место изоморфизм Лх
X Р(₽) [х]/(ср (х)); поэтому кольцо ЛхР(Р) имеет делители
нуля и, следовательно, таковые имеются в кольце ЛхК, содер-
жащем кольцо ЛхР(Р). Значит, кольцо ЛхК не является телом,
так что оно может быть только матричным кольцом Кг- с г'>1.
Если сравнить ранги левой и правой частей равенства КхЛ =
= К',- над полем Л, то получится:
(К : Р) = г,г • (К' : Л),
где через (К : Р) обозначается ранг тела К над полем Р.
Таким образом, ранг тела К' над Л меньше, чем ранг тела К
над Р. Если К'т^Л, то дальнейшим расширением поля Л можно
получить и разложение тела К'. Кольцо К< перейдет тогда в мат-
ричное кольцо порядка г'г". Продолжая таким образом, мы непре-
менно придем к концу, потому что ранги получающихся тел все
время уменьшаются. В итоге произойдет полное разложение и
алгебра с делением К превратится в матричное кольцо над полем Л:
КхЛухЛт.
Поле Л, благодаря которому получается этот изоморфизм,
называется полем разложения тела К. Приведенное выше доказа-
тельство показывает, что всегда существует поле разложения
конечной степени над Р. Последнее соотношение между рангами
превращается теперь в равенство
(К : Р) = т2.
Таким образом, ранг алгебры с делением К над ее центром Р
всегда является квадратом натурального числа. Число т — поря-
док матриц над полем разложения — называется индексом алгебры
с делением К.
Поле разложения тела К является полем разложения и алгебры
Кг, и наоборот, потому что КхЛ и КлхЛ являются полными
матричными кольцами над одним и тем же телом.
Задача 1. Произведение двух простых алгебр над Р, одна из которых
центральна, является простым. Если центральны обе алгебры, то центрально
и их произведение
Задача 2. Алгебраически замкнутое расширение Q поля Р является
полем разложения для всех центральных простых алгебр над Р.
Глава четырнадцатая
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§ 104. Постановка задачи
Пусть © — произвольная группа. Под представлением группы
® над полем К понимается любой гомоморфизм групп, который
каждому элементу исходной группы а сопоставляет линейное
преобразование А некоторого «-мерного векторного пространства
над К (или, что по существу равносильно, некоторую «-строчную
матрицу А). Размерность п называется степенью представления.
Представление называется точным, если оно является изомор-
физмом.
Точно так же под представлением произвольного кольца о над
полем К понимается гомоморфизм колец a ।—> А, где А — вновь
линейное преобразование «-мерного векторного пространства. Это
определение совпадает с определением из § 87. Еще тогда было
показано, что каждому представлению кольца о над полем К
соответствует двойной модуль ЭЛ (на который о действует слева,
а К — справа), названный модулем представления, и наоборот;
каждый такой модуль представления задает некоторое представ-
ление. Изоморфным модулям представления соответствуют экви-
валентные представления, и наоборот. Представление называется
приводимым, если модуль представления обладает собственным
ненулевым подмодулем, и неприводимым, если соответствующий
модуль представления прост.
Если о —некоторая алгебра над полем Р, то от представления
дополнительно требуется, чтобы основное поле Р принадлежало
полю К и чтобы из соответствия a ।—> А для любого р из Р сле-
довало соответствие оф н-» Ар. Для модуля представления ЭЛ это
означает, что
(«Р) и = (аи) р для а е с, Р е Р, и е ЭЭТ.
Основная задача состоит в отыскании всех представлений
заданной группы или алгебры. При этом задача о представлениях
для конечных групп немедленно сводится к аналогичной задаче
для алгебр: нужно лишь в соответствии с § 93 построить из группы
групповое кольцо
с — . .-J- fl/jK,
§ 105]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР
379
базисными элементами а1; ..., ah которого будут элементы группы
О. Если at»—> Ai — представление группы, то
— представление группового кольца о, в чем легко убедиться.
Обратно, любое представление группового кольца о над полем К
сопоставляет, в частности, и базисным элементам alt ..., ah неко-
торые линейные преобразования, а они определяют представление
самой группы. Мы получили предложение:
Каждое представление конечной группы над полем К задается
некоторым представлением группового кольца.
В теории представлений алгебр, как правило, предполагается,
что поле представления К совпадает с основным полем Р. Общий
случай можно свести к этому частному, расширив алгебру о до
алгебры ок- Если в исходном представлении базисным элементам
аъ ..., ah алгебры о соответствовали матрицы Alt ..., Ah, то
произвольному элементу 57 afii (Р/ <= К) алгебры ок можно сопо-
ставить матрицу и тем самым продолжить представление
алгебры о до представления алгебры ок- Тем самым каждое пред-
ставление алгебры о над полем К задает некоторое представление
алгебры Ок-
Дальнейшее ограничение постановки задачи получится в слу-
чае, когда кольцо о обладает единицей. Здесь мы всегда можем
считать, что единица 1 является и единичным оператором на
модуле представления, т. е. в данном представлении этому эле-
менту соответствует единичная матрица. В противном случае, как
на это было указано в § 84, модуль представления является
прямой суммой 9)10 ЙК1( где Э)10 аннулируется кольцом о, а на 9)4
единица является единичным оператором. Таким образом, пред-
ставление распадается на две части, первая из которых состоит
из нулевых матриц и поэтому неинтересна, а вторая является пред-
ставлением, в котором единица переходит в единичный оператор.
Особенно важным представлением алгебры является регулярное
представление, которое получается, когда сама алгебра о берется
в качестве модуля представления, на который о действует слева,
а Р—справа. Подмодулями здесь служат левые идеалы кольца о.
Регулярное представление вполне приводимо, если вполне приво-
димым слева является само кольцо.
§ 105. Представления алгебр
В § 100 (теорема 18) мы видели, что радикал 01 алгебры о
представляется нулем в любом неприводимом представлении этой
алгебры. То же самое верно, конечно, и для впотне приводимого
представления, потому что оно складывается из неприводимых
380
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
представлений. Таким образом, любое вполне приводимое пред-
ставление алгебры о можно считать представлением полупростой
алгебры 0/гЯ.
Следующая теорема указывает, как получаются представления
полупростых алгебр или, более общо, полупростых колец с усло-
вием минимальности для левых идеалов. Согласно § 98 каждое
такое кольцо о обладает единичным элементом и вполне приводимо
слева, т. е. является прямой суммой простых левых идеалов.
Каждому представлению кольца о соответствует некоторый е-мо-
дуль ЭЛ. Имеет место следующая
Основная теорема. Пусть ( — вполне приводимое слева
кольцо с единицей и ЭЛ — некоторый (-модуль с конечным базисом.
Единичный элемент кольца о считается единичным оператором
на ЭЛ. Тогда ЭЛ является прямой суммой простых (-модулей.
Каждый из них изоморфен некоторому простому левому идеалу в (.
Доказательство. Согласно предположению кольцо о является
прямой суммой простых левых идеалов:
0 = 1!+... +С. (1)
Далее, по условию модуль ЭЛ обладает конечным о-базисом
(«!, ..., us). Отсюда
ЭЛ#=(о«1, ..., (us). (2)
Подставляя (1) в (2), получим
ЭЛ = (..., ...). (3)
Из суммы в правой части равенства (3) можно удалить модули
равные нулю. Если же =+{0}, то сопоставление х ।—опреде-
ляет операторный изоморфизм из [, на (щ*. Отличные от нуля мо-
дули [щ* изоморфны, таким образом, модулю I/, а потому являются
простыми. Если одно из слагаемых (щ* содержится в сумме осталь-
ных, то его можно удалить. Продолжать в таком духе можно до
тех пор, пока каждый из оставшихся членов [щ* не будет иметь
нулевое пересечение с суммой остальных. В таком случае сумма
будет прямой.
Разумеется, основная теорема остается верной и тогда, когда
кольцу о и модулю ЭЛ придана область правых мультипликато-
ров й со следующими свойствами:
(аи) р =а (гф) = (оф) и (Р е й).
В применениях к теории представлений алгебр й является полем
коэффициентов Р алгебры о и одновременно полем представления.
Если ЭЛ —векторное пространство конечной размерности над Р,
то Э)1 автоматически имеет конечный о-базис, что и требуется
в основной теореме.
§ 105]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР
381
Для полупростых алгебр эта теорема утверждает, что каждое
представление любой из них вполне приводимо, и что составляю-
щие неприводимые представления входят в качестве неприводимых
составляющих в регулярное представление. Неприводимые состав-
ляющие регулярного представления в соответствии с (1) связаны
с простыми левыми идеалами
Любая полупростая алгебра о в соответствии с § 99 является
прямой суммой простых алгебр <rv:
о = q ф- ... ф- (4)
Алгебры av можно разлагать в свою очередь на минимальные
левые идеалы 1;. Входящие в фиксированную алгебру av идеалы 1(
попарно изоморфны, а потому задают одно и то же представление.
Идеалы I,-, содержащиеся в алгебре av, аннулируются каждой из
алгебр при р v:
= {0}’
Поэтому все эти алгебры представляются нулем в том пред-
ставлении, которое соответствует идеалу 1;. Лишь алгебра av будет
представляться этим представлением точно. Действительно, ядро
представления алгебры av является двусторонним идеалом в av,
и так как av —простая алгебра, не вся представляющаяся нулем,
ядро может быть только нулевым идеалом.
Мы рассмотрим теперь представление простой алгебры, кото-
рое связано с любым простым левым идеалом этой алгебры.
Простая алгебра о с единицей согласно § 102 изоморфна пол-
ному матричному кольцу над некоторым телом А. Если cik —
введенные в § 93 матричные единицы, которые там обозначались
через С1/г, то
о = спА ф- с]2А ф- ... ф- сппс\.
Минимальный левый идеал I будет задаваться равенством
I = с11А ф- с21А ф- ... ф-сл1Д.
Наконец, основное поле Р, над которым определено представле-
ние, содержится в центре тела А, и А имеет конечный ранг над Р.
Рассмотрим сначала случай Д = Р. Базис (сп, с21, ..., сл1)
идеала I может служить для явного описания матриц представле-
п
ния. Если a— J1, cikaik — элемент кольца о, то
ia k = l
п п
OCk\ = CikCkl^ik ~
1=1
тем самым в представлении, соответствующем идеалу 1, элементу а
сопоставляется матрица ||ам Следовательно, изоморфизм кольца о
382
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
и полного кольца матриц —это то самое неприводимое пред-
ставление, которое соответствует минимальному левому идеалу I.
Примечательно, что в рассматриваемом случае А = Р пред-
ставляемые матрицы образуют полное матричное кольцо п-й сте-
пени. Это же обстоятельство можно выразить и такими словами:
среди представляемых матриц есть ровно п2 линейно независимых.
Пусть теперь А — собственное расширение конечной степени
поля Р:
A = AjP+ ... 4-АгР.
В этом случае мы прежде всего построим регулярное представле-
ние алгебры А над полем Р, при котором каждому элементу 0
из А сопоставляется матрица В с помощью равенства
Затем мы построим идеал
[ — спД + ... -|- сп1Д —
= (ciAiP + • +си^/-Р) + • • • + (ся1^1Р + • • Ч-с^М3).
Если с помощью этого базиса представить элемент алгебры о,
то получится:
О ... о ... о
1 *
о ... в ... о
о ... о ... о
где нули представляют r-строчные нуль-матрицы, а матрица В
занимает место на пересечении k-ro столбца и i-й строки. Сум-
мируя, получаем отсюда:
п
уI Clk^lk
i, k = \
^11 ••• ^1/1
А/ll
(5)
где Aik — опять-таки матрицы, соответствующие элементам а{к
в регулярном представлении алгебры А.
Из вида неприводимого представления, соответствующего
модулю I, можно понять, каким образом оно распадается при
том или ином расширении основного поля Р до какого-то поля Q.
При таком расширении тело А переходит в систему Да=Дхй,
а левый идеал I — сиД + • • • +сл1Д — в
1й =СцДй + • • +Сл1Дй-
Если кольцо Да приводимо и содержит собственный левый идеал Г,
то и Is содержит собственный подидеал
Ji' = СцГ 4- .. . +Сл11'.
§ 105] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБР 383
Точно так же: если Дй распадается на левые идеалы Г, то идеал (й
распадается на то же число левых идеалов Следовательно:
приводимость или разложение неприводимого представления кольца о,
соответствующего идеалу 1 при расширении поля Р до поля Й,
полностью определяется приводимостью или соответственно раз-
ложением алгебры Дй на левые идеалы.
Если Д=^Р, то согласно § 103 поле Й всегда можно выбрать
так, чтобы алгебра Дй содержала делители нуля и, следовательно,
не являлась телом, а содержала по крайней мере один собствен-
ный левый идеал. В таком случае неприводимое представление
над полем Р, соответствующее идеалу I, будет приводимо над
нолем й. В случае Д = Р, наоборот, представление, соответствую-
щее идеалу [, абсолютно неприводимо, т. е. остается неприводимым
при любом расширении основного поля. Тем самым условие Д = Р
является необходимым и достаточным для абсолютной неприводи-
мости представления, заданного над Р.
Если алгебра о является не простой, а всего лишь полупро-
стой, равной прямой сумме простых алгебр «в ф- ... + а5, и I —
какой-нибудь левый идеал, скажем, av, то для описания пред-
ставления произвольного элемента а из с, задаваемого идеалом 1,
нужно поступить так: сначала записать а в виде суммы аг ф- ...
... затем из этой суммы извлечь компоненту av и в соответ-
ствии с формулой (5) построить для элемента av матрицу. Осталь-
ные же компоненты alt .... ах_ъ ах^, ..., as аннулируют идеал 1
и поэтому представляются нулем.
Если dj, .... щ — полные матричные кольца порядков щ, ..., ns
соответственно над телами Д1( ..., Д4 и если rv — ранг тела Av,
a 3)v — неприводимое представление, соответствующее левому
идеалу щ, то ранг h алгебры с равен сумме рангов алгебр аъ ...
..., а4, т. е.
S
h = 2 Щ,гх; (6)
1
далее, степень представления согласно (5) равна
= nvrv. (7)
Наконец, алгебра щ распадается на nv эквивалентных левых
идеалов lv, благодаря чему регулярное представление содержит
представление как щ-кратную составляющую.
В частности, если все абсолютно неприводимы, то все
rv = l; тем самым (6) и (7) принимают более простой вид:
S
(8)
1
384
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
§ 106. Представления центра
Центр алгебры о при любом неприводимом представлении дол-
жен отображаться на такие матрицы, которые перестановочны со
всеми матрицами представления. Если основное поле алгебраи-
чески замкнуто и кольцо представляющих матриц — полное матрич-
ное кольцо, то матрицы центра состоят лишь из кратных единич-
ной матрицы Е; следовательно, центр алгебры о в этом случае
представляется матрицами вида Еа. То же самое верно и для
абсолютно неприводимых представлений, потому что в этом случае
можно перейти к алгебраически замкнутому основному полю, не
утрачивая неприводимости. Итак: при любом абсолютно неприво-
димом представлении алгебры о элементы ее центра представляются
кратными единичной матрицы.
Если кольцо с коммутативно, и, следовательно, является своим
собственным центром, то все матрицы абсолютно неприводимого
представления имеют вид ЕД. Из неприводимости следует, что
представления должны иметь первую сщпень. Итак: абсолютно
неприводимые представления коммутативной алгебры имеют сте-
пень 1.
Любое представление первой степени алгебры о — это гомо-
морфное отображение из о в тело представления К. Если К ком-
мутативно, то два эквивалентных представления первой степени
просто равны, потому что если А = ||а|| — матрица представления
и X —элемент поля К, то
I 11| а || X = |РоЛ|| = ЦсД
Отсюда следует утверждение: число неэквивалентных представлений
первой степени коммутативной алгебры о в поле К равно числу
различных гомоморфизмов из с в К.
Вернемся к некоммутативным алгебрам и предположим, что
алгебра о полупроста. Тогда она является прямой суммой про-
стых алгебр:
С — dj + . . . + а^,
и центр 3 алгебры о представляется в виде суммы того же числа
полей:
3 = 31+---+Д (3^-центр в ^).
Число неэквивалентных неприводимых представлений кольца о
и равным образом его центра 3 равно числу s двусторонних ком-
понент в о или в 3, потому что каждое такое представление Tv
кольца о определяется некоторым левым идеалом в (ц, а каждое
неприводимое представление Tv центра 3 определяется полем 3v
Итак: существует столько же неэквивалентных неприводимых пред-
ставлений кольца г, сколько неприводимых неэквивалентных пред-
ставлений центра 3> и каждому неприводимому представлению Tv
§ 1061
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦЕНТРА
385
кольца о, при котором все ах кроме av, переходят в нуль,
можно сопоставить представление £(, центра 3, при котором все
31, • • •, 3s, кроме 3v, переходят в нуль.
В частности, если о —сумма полных матричных колец над Р,
то поля 3v имеют ранг 1 и изоморфны Р; тем самым в данном
случае число s неприводимых представлений кольца о равно рангу
центра 3- Связь между неприводимыми представлениями Dv кольца о
и неприводимыми представлениями (первой степени) центра 3
в рассматриваемом случае совершенно проста. Именно, предста-
вление Tv переводит каждый элемент центра z в матрицу вида Еа,
где Е — единичная матрица nv-ro порядка. Каждому элементу z
таким образом сопоставляется (при фиксированном v) некоторый
элемент а, и можно записать:
а = 0V (г).
Функция 0V определяет гомоморфизм центра, т. е.
©v (y + z) = 0v(y) + ©v (z),
0V (yz) = 0V (у) 0V (z),
0V (zp) = 0v(z)₽.
При этом гомоморфизме поля 3i, • ••, 3s, за исключением 3v, пред-
ставляются нулем, т. е. гомоморфизм 0V —это не чго иное, как
обозначавшееся раньше через представление первой степени
центра.
Представление 0V задано всякий раз, когда задан Р-базис
модуля 3v, а в качестве последнего можно взять единичный эле-
мент ev поля 3v Если каждый элемент z из 3 записать в виде
S
Z=SevPv, (1)
V = 1
то получится
zev = (?vPv =
тем самым Epv будет представляющей матрицей, т. е.
0v(z)=Pv
Вместо (1) мы можем теперь писать
z=2^v©v(z). (2)
v = l
Иначе говоря: коэффициенты 0V (z) разложения элемента z центра
по идемпотентным элементам ev того же центра задают гомо-
морфизмы или представления первой степени этого центра.
Задача 1. Число представлений первой степени коммутативной алгебры о
над алгебраически замкнутым расширением Q поля Р равно рангу алгебры
над Р, где 91 —радикал кольца ой.
386 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР [ГЛ. XIV
Задача 2. Если К —поле, являющееся расширением поля Р, то число
представлений первой степени поля К над Q равно редуцированной степени
поля К над полем Р. Равенство 9! = {0) имеет место тогда и только тогда,
когда поле К сепарабельно над полем Р.
§ 107. Следы и характеры
Следом элемента а в представлении ® — обозначение
(а) или просто S (а)
— называется след S (Л) матрицы А, которую представление 5)
сопоставляет элементу а. След при фиксированном Т>, рас-
сматриваемый как функция от а, называется также следом пред-
ставления
В силу соотношения
S(P МР) = 5(Л)
эквивалентные представления имеют равные следы.
Следы являются линейными функциями, т. е. справедливы
равенства:
S(a + 6) = S(a) + S(&),
S (оф) = S (а) р.
Следы абсолютно неприводимых представлений (или, что то
же самое, следы неприводимых представлений над алгебраически
замкнутым полем) называются характерами J). Характер эле-
мента а в v-м неприводимом представлении будет обозначаться
через
Xv(a).
Когда речь идет о фиксированном представлении, индекс v будет,
как правило, опускаться.
При любом абсолютно неприводимом представлении 5)v сте-
пени nv элементы центра z представляются в соответствии с § 106
диагональными матрицами £-0v(z), где 0V —некоторый гомо-
морфизм центра в поле й. След матрицы Е 0V (z) задается равен-
ством
Xv (z) =/iv • 0V (z). (1)
В частности, единичный элемент кольца о представляется еди-
ничной матрицей Е, след которой равен nv:
Xv(l) = «v
i) Многие авторы употребляют слово «характер» и для приводимых пред-
ставлений и говорят в этом случае о «сложных характерах». Мы избегаем
такой терминологии, потому что в частном случае абелевых групп она не сов-
падает по смыслу с принятым еще в давние времена термином «характер»
(ср. § 54); кроме того, слово «след» не менее четко выражает суть дела.
§ 107]
СЛЕДЫ И ХАРАКТЕРЫ
387
В дальнейшем мы предполагаем, что степень щ абсолютно
неприводимых представлений не делится на характеристику
поля Q. Тогда (1) можно разделить на nv и получить
©vW = ^. (2)
Так. гомоморфизмы центра описываются с помощью характеров.
Теорема. Любое вполне приводимое представление алгебры о
над полем Q характеристики 0 однозначно с точностью до экви-
валентности определяется следами представляемых матриц.
Доказательство. Если 35 — радикал кольца о, то любое
вполне приводимое представление алгебры о совпадает с некото-
рым вполне приводимым представлением факторалгебры о/ЭЧ.
По условию, следы матриц, представляющих элементы алгебры о/ЭЧ,
известны. Пусть
о/ЭЧ — Я1+• • +
и е]; ..., еп — единицы в кольцах alt ..., ап соответственно.
Тогда в неприводимом представлении Dv элемент av представ-
ляется п¥-строчной единичной матрицей; тем самым соответствую-
щий след равен
Sv (ev) = nv,
и одновременно
Sv(<?n) = 0 для p.=#v.
Далее, вполне приводимое представление известно, как только
известно, сколько раз в него входит каждое неприводимое пред-
ставление 2)v. Если, скажем, представление входит qv раз,
то все рассматриваемое представление состоит из блоков Т1(
<у2 блоков Х2 и т. д. След элемента ev в этом представлении
равен тогда
S (ev) = qvnv. (3)
Из (3) можно вычислить параметры qv, как только известны
следы S (ev). Теорема доказана.
Замечание. Следы всех элементов кольца о становятся
известными, как только известны следы базисных элементов
алгебры с. Таким образом, если, например, о —групповое кольцо
некоторой конечной группы, то нужно лишь знать следы элемен-
тов группы —и тогда представление задано. Если аь ..., а„ —
базисные элементы и '/л. (д;) — их следы при неприводимых пред-
ставлениях, то для любого представления имеют место равенства:
S
S (ai) = У] (ai)‘ (4)
V = 1
Согласно доказанной выше теореме этими равенствами числа qv
определяются однозначно. Равенства (4) дают численный метод
388 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР [ГЛ XIV
разложения вполне приводимого представления на неприводимые
составляющие посредством вычисления следов. При этом должны
быть заранее заданы характеры неприводимых представлений.
§ 108. Представления конечных групп
Мы докажем прежде всего следующую теорему:
Теорема Машке. Любое представление конечной группы
@ над полем Р, характеристика которого не делит порядок h
группы <Р5, вполне приводимо.
Доказательство. Пусть модуль представления ЭД при-
водим и 91 —его минимальный подмодуль. Покажем, что ЭД
является прямой суммой 91 + 91", где 91" —вновь некоторый модуль
представления.
Как векторное пространство, модуль ЭД распадается в прямую
сумму 9?+ 9?', но пространство 9?' при этом может и не быть
инвариантным относительно ®. Если у— произвольный элемент
из 91' и а — произвольный элемент из ®, то ау однозначно пред-
ставляется в виде суммы некоторого элемента из 91 и некоторого
элемента у' из 91', так что
ау = у' (mod 9?).
При фиксированном а элемент у' однозначно определяется эле-
ментом у и зависит от у линейно: из ау = у' и аг = г' следует,
что а (у + г) = у' + г' и ayfl == у'(5 для любого реР. Поэтому
можно записать
у' = А'у, А 'у == ay (mod 91),
где Д' —линейное преобразование подпространства 91', зависящее
от а. Таким образом, преобразования Д' составтяют некоторое
представление группы @, потому что из ai—» Д' и Ь>—-В сле-
дует, что ab ।—*-А'В'.
Положим
\^_a-YA'y = Qy = y"\
а
тогда у" также линейно зависит от у и элементы у" образуют
некоторое линейное подпространство 91" = Q91'. Но тогда по
модулю 91 имеем
а
Следовательно, каждый элемент модуля ЭД сравним по модулю 91
не только с некоторым элементом у из Д', но и с некоторым
однозначно определенным элементом у" из 91". Это означает, что
§ 108]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
389
имеет место разложение в прямую сумму
991 =9?+ 91".
Наконец, для каждого элемента b из @ имеем
ьу"=42 Ьа~1А'у=42(а61)1 (Л 'в'^ в'у=®в'уе
а а
т. е. подпространство 9?" переводится в себя операторами b из
®, а это и означает, что 91" —модуль представления.
Если модуль 9?" приводим, то тем же способом можно выде-
лить меньший модуль и т. д. В конце концов будет найдено
полное разложение модуля 991 в прямую сумму и, следовательно,
требуемое представление. Теорема Машке доказана.
Согласно § 104 каждое представление группы ® можно про-
должить до некоторого представления группового кольца
о = а1Р + ... + aftP;
наоборот, каждое представление группового кольца о естествен-
ным образом задает представление группы @. Из теоремы Машке
теперь следует, что каждое представление кольца о вполне при-
водимо. В частности, это верно и для регулярного представления,
допускающего в качестве своего модуля само о. Поэтому кольцо о
является прямой суммой минимальных левых идеалов и в соот-
ветствии с § 98 (теорема 13) полупросто. Согласно § 105 мини-
мальные левые идеалы кольца о задают все неприводимые пред-
ставления.
Число абсолютно неприводимых представлений согласно § 106
равно рангу центра, а центр группового кольца, как легко про-
верить, состоит из всех тех сумм
Р). (1)
X.
в которых сопряженные элементы имеют одинаковые коэффици-
енты. Элементы, сопряженные с данным элементом а, составляют
некоторый «класс». Если ka~ сумма элементов этого класса, то
(1) —сумма таких ka с коэффициентами из Р. Следовательно,
имеет место теорема: центр группового кольца порождается сум-
мами классов ka. Ранг центра равен, таким образом, числу клас-
сов сопряженных элементов группы. Мы получили теорему:
Число неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений
группы равно числу классов сопряженных элементов в этой группе.
Согласно § 105 для степеней nlt .... ns неприводимых пред-
ставлений выполняется соотношение:
+... + = /l.
390
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Среди рассматриваемых представлений первой степени всегда есть
«тождественное представление», которое каждый групповой эле-
мент переводит в элемент 1. Если же существуют еще и другие
представления первой степени, то в данной группе должны суще-
ствовать собственные нормальные подгруппы с абелевой фактор-
группой, потому что матрицы любого представления первой сте-
пени перестановочны между собой и образуют абелеву группу,
в которую гомоморфно отображается данная группа. Наоборот,
если существует собственная нормальная подгруппа с абелевой
факторгруппой, то характеры этой факторгруппы задают пред-
ставления первой степени. Все остальные представления имеют
большую степень.
Примеры. 1. Симметрическая группа ®3. Число классов
равно 3, поэтому есть всего три неэквивалентных неприводимых
представления. По знакопеременной подгруппе имеем два смеж-
ных класса Яо, Яр четные и нечетные подстановки. Вот два ха-
рактера факторгруппы <23/Л3:
х(^о) = 1. x(^i)=±i;
они определяют представления первой степени. Так как
П1 4“ «2 4" = 6,
третье представление должно иметь степень 2. Возьмем в пло-
скости три вектора, вп в2, в3, сумма которых равна нулю; тогда
перестановки этих трех векторов дадут точное представление
рассматриваемой группы подстановок. Легко установить, что это
представление неприводимо. Пусть gj и в2 — базисные векторы;
тогда представление выглядит так:
(1 2)Bj = b2, 1
(1 2)е2 = е1, /
(1 3) gj = — — е2,
(1 3)в2 = в2,
(1 2 3)в1 = в2,
(1 2 3)в2 = —Bj —в2,
3) Bj = Вр
3) в2 = е± в2,
3) в2 = Bj в2,
3) в2 = вр
2. Группа кватернионов £3 — это группа восьми кватернион-
ных единиц ±1, ±/, ±k, ±1. Она имеет две порождающие /
и k, удовлетворяющие соотношениям:
/4 = 1, k2 = j2, kj = j3k.
Число классов равно 5; поэтому имеется пять представлений.
Нормальная подгруппа {1, j2} определяет в качестве фактор-
группы четверную группу Клейна, обладающую четырьмя ха-
рактерами, дающими четыре представления. В силу соотношения
П\ "Ь 4 ^3 4“ ^4 Ф ^3 = 3
§ 108]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
391
остальные представления должны иметь степень 2. Если груп-
повым элементам 1, /, /2, /3, k, jk, j2k, j‘'k сопоставить кватернионы
1, /, —1, —/', I?, I, —k, —l, то получится гомоморфное отобра-
жение группового кольца о на тело кватернионов. Поэтому тело
кватернионов должно быть среди двусторонних прямых слагае-
мых кольца о и тем самым получается разложение кольца о над
полем рациональных чисел (Q,
0 = <11 ф- <12 + Л3 + Л4 + ‘Ч
где (ij, па, а3, а4 изоморфны полю (Q, а <ц изоморфно телу ква-
тернионов. Если перейти к алгебраически замкнутому основному
полю (в данном случае достаточно присоединить i = Y—0- то
тело кватернионов
ставление
распадается и получается матричное пред-
I(
11~* о
01 , 01
.1» к ।—> , „
1
о
3. Знакопеременная группа ?14 может быть исследована тем же
методом, что и симметрическая группа <Sg, — мы предоставляем
это читателю. В результате будут найдены четыре представления
степеней 1, 1, 1, 3.
4. Симметрическая группа <В4. Число классов равно 5, по-
этому должно быть пять представлений. Четверная группа
Клейна {1, (12) (34), (13) (24), (14) (23)} определяет факторгруппу,
изоморфную группе ®3, для которой мы уже нашли три пред-
ставления степеней 1, 1, 2. Они задают также представления
самой группы ©4 степеней 1, 1, 2. Если эти степени обозначить
через пь п2, п3, то
так что
«з 4~ — 24,
«t + n| = 18.
Такое равенство может иметь место лишь для /г4 = 3, п5 = 3.
Если мы введем четыре вектора е1У е2, е3, е4 с нулевой суммой,
то подстановки этой четверки векторов дадут точное представле-
ние третьей степени группы @4. Выберем elt е2, е3 в качестве
базисных векторов; тогда упомянутое представление выглядит так:
(1 2)q = e2,
(1 2)е2 = е1,
(1 2)е3 = е3, .
(1 З)е4=:е3, (1 4)^ = —
(1 3)е2 = е2, (1 4)е2 = е2,
(1 3)e3 = elt (1 4)е3=е3,
(1 2 3)е1=е2,
(1 2 З)е2=е3,
(1 2 З)е3 = е1,
и т. д.
392
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Поскольку представление точное, оно не может сводиться
к представлениям первой и второй степени; следовательно, оно
неприводимо. Если матрицы, представляющие нечетные подста-
новки, умножить на —1, то получится новое и тоже точное не-
приводимое представление третьей степени, заведомо не эквива-
лентное предыдущему, потому что их следы различны.
Задача 1. Элемент s= У а группового кольца о удовлетворяет ра-
венствам bs = s для b е G). Какой левый идеал порождает s? Какое представ-
ление соответствует этому идеалу? Какой идемпотентный элемент содержится
в этом идеале?
Задача 2. Если число h элементов группы делится на характеристику
поля, то названный в задаче 1 идеал нильпотентен. Это свидетельствует о том,
что условие о невозможности деления h на характеристику поля является
в теореме Машке необходимым.
§ 109. Групповые характеры
Кронекерово произведение преобразований
Пусть даны два линейных преобразования А', А", переводя-
щих некоторое векторное пространство (их, ..., и„) в другое
векторное пространство (щ, ..., ит):
A’uk = У, Uia'ih,
I
Д"щ = 2^и-
/
Построим в соответствии с § 94 произведение этих двух вектор-
ных пространств — оно будет порождаться произведениями ukVi —
и положим
A (ukvt) = (А'ик) (A”xi) = 2 2} ulv1a'ika',il. (1)
< /
Определенное таким образом линейное преобразование А на
произведении векторных пространств называется кронекеровым
произведением преобразований и обозначается через А'хА".
Элементами матрицы, соответствующей преобразованию А, будут
согласно (1) произведения ajftazz. След матрицы А равен
2 2 = 2 2 = s (Д') s и")-
i I i i
Отсюда: след произведения преобразований А'хА" является
произведением следов преобразований А' и А".
Если на векторы и последовательно подействовать преобра-
зованиями В' и Д', а на векторы V — преобразованиями В" и А",
то на произведения uAvz последовательно подействуют преобра-
§ 109]
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
393
зования В' х В” и Л'хЛ", т. е.
(Л'хЛ")-(В'хВ") = Л,В'хЛ"В". (2-)
Если матрицы Л', В', ... составляют некоторое представление
2)' группы @, а матрицы Л", В", ... — другое представление £>"
той же самой группы, то из (2) следует, что произведения пре-
образований Л = Л'хЛ", В = В' хВ", ... тоже составляют неко-
торое представление. Это произведение представлений 2' и 2"
обозначается через 2'х2".
Если символом 2'+ 2" обозначать приводимое представление,
распадающееся на Ж' и 2", и считать эквивалентные представле-
ния одинаковыми, то верны следующие равенства:
2'+ 2" = 2"+ 2',
2'х2" = 2"х2',
2)' + (2" + 2"') = (2' + 2") + 2"',
2' х (2" х 2"') - (£' х 2") х 2'",
2' х (2" + У") = 2' х 2" + 2' х 2"',
(2" + 2"') х 2' = 2" х 2' + 2"' х 2'.
В частности, если © — конечная группа, порядок которой не
делится на характеристику поля Р, то любое представление
полностью распадается на неприводимые представления 2V и
оказывается выполненным равенство
2V X 2И = с^2г, (3)
V
где с* -целые неотрицательные числа. В формуле (3) символ
v — не показатель степени, а индекс.
Из (3) для следов следует равенство
(°) — S СХ|х^v (а)-
V
Если представ тения абсолютно неприводимы и, следовательно,
следы являются характерами, то отсюда можно заключить, что
= (4)
V
(первое соотношение между характерами).
Характеры как функции классов
Если а и а'— сопряженные элементы группы, т. е.
а' = bab-1,
то для представляющих матриц имеет место равенство
А’ =ВАВ~1.
394
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Тем самым А и А' имеют одинаковые следы:
S (bab^1) — S (а)',
в частности,
X (bab-1) = х (а).
Если мы соберем все те элементы группы, которые сопряжены
с фиксированным элементом а, в один класс &о, то каждый
характер будет иметь одно и то же значение на всех элементах
этого класса.
Пусть ha — число элементов класса R„, a ka — сумма элемен-
тов этого класса (в групповом кольце о); тогда характер,
соответствующий ka, является суммой характеров, соответствую-
щих элементам рассматриваемого класса; таким образом,
X (ka) = ha-x(a).
Отныне мы будем предполагать, что ни порядок группы й, ни
степень nv абсолютно неприводимых представлений 2)v не де-
лятся на характеристику основного поля. Как было показано
в § 108, элементы ka порождают центр 3 группового кольца с.
Согласно § 107 гомоморфизмы 0V центра 3 связаны с характе-
рами xv следующими соотношениями:
в частности,
©v(^) = ^ = ^Xv(a). (5)
fly
Произведение kakb является суммой групповых элементов,
вновь принадлежащей центру 3 и поэтому вновь выражающейся
через суммы классов ka:
' 4„А=2&А <6>
С
Гомоморфность отображения 0V выражается в таком случае равен-
ством
АА)АА)=2«ЛА). т
которое с помощью (5) переписывается в виде
hahb^v 8abhcK (8)
С
(второе соотношение между характерами).
В суммах (6), (7) и (8) индекс с пробегает произвольно фик-
сированную систему представителей всех классов. Если же с
пробегает все элементы группы, то в (8) следует справа вычерк-
§ 109]
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
395
путь множитель hc. Так как 0V —единственно возможные гомо-
морфизмы центра 3, характеры %v являются единственно возмож-
ными решениями уравнения (8).
Сопряженные характеры
Для каждого представления а>—существует «сопряженное
(или контраградиентное') представление» а*—А’1, где Л'—мат-
рица, транспонированная по отношению к А. Действительно,
при таком сопоставлении имеем:
ab (АВ)'1 = (В'Л'Г1 = А'-'В'-1.
Представление, сопряженное к сопряженному представлению,
совпадает с исходным. Если представление a i—приводимо, то
таково же и сопряженное, и наоборот. Таким образом, представ-
ление, сопряженное к неприводимому, тоже неприводимо.
Если от данного представления А перейти к эквивалентному
представлению Р^АР, то сопряженное представление перейдет в
(Р МР)' * = Р'А'
т. е. тоже в эквивалентное.
Обозначим через представление, сопряженное к тогда,
если 2)v (а) = А, то
2V' (а~1) = Л',
и, так как след матрицы А' равен следу матрицы А, справед-
ливо равенство
7.v'(^1) = Xv (а).
Характер Xv-> сопряженный к обозначается также и через yv.
Каждый характер является суммой корней из единицы. Это
объясняется тем, что каждый элемент а группы ® порождает
некоторую циклическую подгруппу (£, порядок т которой яв-
ляется делителем h, а любое неприводимое представление
группы @ задает некоторое представление группы С?; последнее
полностью распадается на представления первой степени, матрич-
ные элементы которых являются корнями /п-й степени из еди-
ницы. След представляющей матрицы равен сумме диагональных
элементов, т. е. сумме корней /п-й степени из единицы:
Х(ц) = Г1 + Г2 + ...+ СЧ (9)
где £ —примитивный корень /п-й степени из единицы.
Дальнейшие соотношения между характерами
Если S(c) — след группового элемента с в регулярном пред-
ставлении, то
S (с) = 2 «vXv (с),
396
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
так как регулярное представление содержит неприводимое пред-
ставление точно nv раз. След S (с), однако, вычисляется не-
посредственно: групповые элементы аи ah составляют базис
векторного пространства о, на котором действует регулярное пред-
ставление и
СС1[ = Cl/f.
Элементы с i — k входят сюда лишь тогда, когда с равно еди-
ничному элементу группы 1; в этом случае каждое i равно соот-
ветствующему k. Таким образом
S(l)=/l, S(C) = O ДЛЯ 0=5^1
и, следовательно,
_ ( h. для с = 1,
<10>
Если теперь просуммировать (8) по всем v и сравнить с (10),
то получится
= (11)
V
Число g'ab показывает, как часто произведение а'Ь', где а' при-
надлежит классу &о, а Ь' — классу &ь, обращается в 1. Следо-
вательно, это число равно нулю, если и не имеют взаимно
обратных элементов. Но если такая пара элементов суще-
ствует, — допустим, Ь = а~1, — то для каждого элемента а'=сасл
из &а есть обратный элемент b' = а'~1 = cbc~1 из и мы полу-
чаем
gab = ha = hb.
Тем самым, деля соотношение (11) на hb, мы приходим к треть-
ему соотношению между характерами:
__ I ь уа
Ьа 2j Xv (й) Xv (Ь) = ( „
v t v
(12)
В частном случае a=\ отсюда вновь получается (10).
Пусть теперь аг, ..., as — система представителей всех классов
сопряженных элементов. Положим
Xv|l -- Xv (fljl)l
ha - ha
T|nv = Xv Ы = -jp Xv (йц1)-
Соотношение (12) говорит тогда о том, что матрицы Х = ||%цУ|| и
У = ||т]И¥|| взаимно обратны:
YX = E или У = Х~1. (13)
§ 109]
ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ
397
Из (13) следует, что
или, более подробно,
XY = E
(»)&(»)-.[' дл”
,«а ( 0 для v Ф р.
(И)
Здесь а пробегает всю систему представителей, указанную выше.
Если же а пробегает все элементы группы, то нужно убрать
множители ha. Отсюда получается ортогональность характеров'
vn (Л ДЛЯ V = Р,
ZI Xp(a)Xv(a) = { 0 ,
(.15)
(четвертое соотношение между характерами).
В частности, если р = 0, т. е. когда Хц есть характер Хо еди-
ничного представления, то из (15) следует
( h для v = 0,
?Zv(fl) = { 0 для v^=0. (16)
Тот факт, что матрицы X и Y взаимно обратны, можно ис-
пользовать для вычисления идемпотентных элементов центра
elt ..., es, порождающих в о двусторонние идеалы. Действительно,
согласно § 108 для базисных элементов ka центра 3 имеют место
равенства
ka = 2 (ka) = 2 Xv (fl) • (17)
V V
Если умножить это на Хц(а) и просуммировать по всем классам
то получится
или
2 ka7.\x (о) — ,
п,о-
•’'а
ev=2^T-^(«-1)-
Литература. Не зависящее от теории алгебр обоснование теории пред-
ставлений конечных групп данов работе: Шур (Schur I.). Neue Begriindung
der Theorie der Gruppencharaktere. — Sitzungsber. Berlin, 1905, S. 406—432.
Обобщение этой теории на бесконечные группы принадлежит фон Нейману
(von Neumann J.). Almost periodic functions in groups. — Trans. Amer. Math.
Soc., 1934, 36, p. 445—492. Дальнейшие сведения о литературе можно найти
у автора: van der Waerden В. L. Gruppen von linearen Transformationen.—
Ergeb. Math., IV/2, Berlin, 1935.
398
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
§ 110. Представления симметрических групп1)
Мы рассматриваем группу подстановок п символов 1,2, .. , п; найдем
ее абсолютно неприводимые представления, например, над полем Q всех алгеб-
раических чисел Впрочем, будет показано, что эти представления рациональны,
т е осуществляются над полем (Q рациональных чисел.
Будем исходить из группового кольца о = S;Q + -|-s„Q и рассмотрим его
левые идеалы Каждый такой левый идеал является прямой суммой минималь-
ных левых идеалов, последние дают лишь неприводимые представления Так
как каждый левый идеал порождается некоторым идемпотентным элементом,
мы найдем сначала эти идемпотентные элементы
Запишем цифры 1, 2, . , п в произвольном порядке в h расположенных
друг за другом строк (/г произвольно) так, чтобы в v-й строке av цифр удов-
летворяло условиям
а, > я2 ал,
h
У «v = n-
V = 1
(1)
Мы пишем первые элементы всех h строк друг под другом, точно так же и
вторые элементы и т д , следующий ниже пример, в котором точки означают
цифры, поясняет сказанное
(«!, я2, я3) = (3, 2, 2); я = 7.
Любое такое расположение цифр 1, 2, .п мы будем называть схемой
и обозначать через Sa Индекс а обозначает последовательность цифр (ар
а2, , Яд) Индексы а, которые могут появиться при этом, упорядочиваются
следующим образом. я>р, если первая ненулевая разность av— положи-
тельна Например, при п = 5
(5) > (4, 1) > (3, 2) > (3, 1, 1)> (2, 2, 1)> (2, 1, 1 1)> (1, 1, 1, 1, 1).
Пусть дана такая схема 2а; обозначим через р все подстановки, которые ме-
няют цифры лишь внутри строк схемы Sa, а сами строки оставляют инвари-
антными; через q обозначим все те подстановки, которые меняют цифры лишь
внутри столбцов схемы Sa Для каждой фиксированной подстановки q символ
Од обозначает 4 1 или —1 в зависимости от того, четна q или нет Если s —
произвольная подстановка, то через sSn мы обозначаем схему, в которую пере-
ходит Sa при действии подстановки s. Легко заметить, что если подстановка q
оставляет инвариантными столбцы схемы Sa, то подстановка sqs~r оставляет
инвариантными столбцы схемы sSa, и наоборот Наконец, положим (в груп-
повом кольце о) для каждой фиксированной схемы Sa
sa=Sp-
р
ч
Легко проверяются правила-
pSa = Sap==Sa, (2)
= ~ ^а- (3)
!) Упрощенными доказательствами предложений теории Фробениуса (см.
Sitzungsber. Preuss Akad. Berlin, 1903, S. 328—358), помещенными в этом
параграфе, я обязан устному сообщению фон Неймана.
§ 1101
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ГРУПП
399
Из (2) и (3) легко следует, что Sa и Лге идемпотентны с точностью до некото-
рого множителя fa. Дальнейшие алгебраические свойства элементов Sa и Аа
вытекают из следующей комбинаторной леммы:
Пусть Sa и Sp — две схемы указанного выше типа; пусть с/. 5 " р. Если
в Sa ни в одной стросе нет двух цифр, входящих в один столбец схемы Sp,
то а = Р и схема Sa переходит в схему Sp с помощью подстановки вида pq:
pqVa^.
(Обозначения р и q относятся к Sa, т. е. р оставляет инвариантными строки,
а (/ — столбцы схемы Sa.)
Доказательство. Из «т-р следует, что o^S^Pi. В первой строке
схемы Sa стоит цифр. Так как те же самые цифры должны в Sp стоять
в различных столбцах, схема Sp содержит не менее сч строк, откуда ctj - р!
и, следовательно, aj = Pi. С помощью некоторой подстановки (/{, оставляющей
инвариантными столбцы в Sp, указанные цифры переходят в первую строку
схемы Sp.
Из a Р следует далее, что ос2 2= р2- Во второй строке схемы Sa стоит a2
цифр. Так как они должны входить в разные столбцы схемы (/{Sp, в послед-
ней вне первой строки, которую мы уже построили, должно быть не менее а2
столбцов. Отсюда следует, что а2- р2, и поэтому a2 = p2. С помощью некото-
рой подстановки (/2, оставляющей инвариантными столбцы схемы (/{Sp, а также
ее первую строку, названные цифры переводятся во вторую строку схе-
мы Sp.
Продолжая таким образом, мы в конце концов получим схему g'Sp ~
= q’h ... i/'(/{Sр, строки которой совпадают со строками схемы Sa. Тем самым
с помощью некоторой подстановки р схему Sa можно перевести в схему (/'Sp:
<?'2p = pSa.
Подстановка q' = q'h ... q'^ оставляет инвариантными столбцы схемы Sp, а по-
тому и схемы </'Sp = pSa. При подходящей подстановке q выполняется, следо-
вательно, равенство
q' = pq-ip-i,
и поэтому
p(/-1p-1Sp = pSa,
^Р = Р&а,
что и требовалось доказать.
Из этой комбинаторной леммы всегда следует, что
4pSa = 0 для a > р. (4)
Действительно, согласно лемме, в случае а>р существует пара цифр,
принадлежащая одной строке схемы Sa и одному столбцу схемы Sp. Если
t — транспозиция, меняющая местами эти цифры, то из (2) и (3) следует, что
Лр<$а = Лр^~15а = — ^pSa,
откуда и получается (4).
Точно так же доказывается, что
S(Mp = 0 для а>р.
Кроме того, все выражения, получающиеся из Лр сопряжением, аннулируются
суммой Sa:
За5Лр5~1=0 для а > р,
потому что хЛр5~1 — это снова некоторое Лр, но для преобразованной схемы
sSp. Из этого результата с помощью умножения на sQ и суммирования по всем s
400
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
из ® следует, что
Sa (S sQ)X₽ = (0),
ИЛИ
Sac4p = (0) (а>р). (5)
Таким образом, левые идеалы сЛр с |3 < а аннулируются элементом Sa. Иначе
говоря, элемент Sa представляется нулем в том представлении, которое опре-
деляется идеалом е/Ip. Вместе с тем 5аЛа =/= 0, потому что коэффициент при
единичном элементе в произведении SaX(1 не равен нулю. Следовательно, эле-
мент Sa в представлении, связанном с идеалом оЛа, представляется отличным
от нуля преобразованием. По этой причине упомянутое представление содер-
жит по крайней мере одну неприводимую составляющую, не входящую ни
в один из модулей сЛр при [3 < а. Рассмотрим ее подробнее.
Элемент 5аЛа = 22 pqOq, согласно (2) и (3), удовлетворяет равенству
Р Q
P^a^aQ°q — Sa/la.
Докажем теперь, что 5аЛа является единственным с точностью до множителя
элементом с таким свойством. Точнее, мы докажем следующее: если элемент а
кольца о удовлетворяет равенству
paqaq = a (6)
для всех р и q, то он имеет вид (5аЛа) у.
Доказательство. Положим
a = 2sb (Yj^Q). (7)
s
Подставляя (7) в (6), получим
2sYs = 2Ps7a?Ys- (8)
S S
В левую часть последнего равенства входит лишь одно слагаемое с pq, именно
р<?у; аналогично в правую часть входит также одно слагаемое при s=l. Срав-
нение коэффициентов дает
Yp? = 0?Yi-
Выберем теперь любую подстановку s, отличную от подстановок, имеющих вид
pq. Тогда схема sSa отлична от всех схем pq2a и, согласно комбинаторной
лемме, существуют две цифры /, k, которые в Sa находятся в одной строке,
а в sSa — в одном столбце. Если t — транспозиция этих цифр: t — то под-
становка t' = s~1ts меняет местами лишь цифры s1/ и s~1k, которые стоят
в одном столбце таблицы s-1sSa=Sa. Следовательно, t — это подстановка вида
р, а V— подстановка вида q, и мы можем в (8) положить p = t, q = t'-, тогда
для выбранной выше подстановки s имеем
psq = tss~4s — s,
Oq = — 1.
и сравнение слагаемых с s слева и справа в (8) дает нам
Ys = — Ys = °-
Следовательно, в (7) входят лишь слагаемые с s — pq, ys~aqy1 и имеет место
равенство
а = 2 = (ScHa) Yl-
р. Q
что и требовалось доказать
Из доказанного немедленно следует, что для каждого элемента Ь кольца с
элемент SabAa имеет вид (SaXa) у, потому что для любых р и q справедливо
§ 111)
ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
401
равенство
Следовательно,
pSabAaqc д — SabAa.
— (За^а)
Положим SaAa = 1а; тогда
(9)
Мы утверждаем теперь, что е!а — минимальный левый идеал. Действи-
тельно, если I — подидеал в с/а, то из (9) следует, что
/а1 —
следовательно, так как /аЙ— одночленный, а потому минимальный й-модуль,
имеет место одно из равенств
/а1 = /ай или /а! = (0)-
В первом случае о/С1=»/|1й Е »/al = I, в силу чего l = c/a. Во втором же
случае l2 = o/al = (0) и, так как нет нильпотентных идеалов, отличных от (0),
получается равенство [ = (0).
Минимальные левые идеалы о!а и с/р при а > р не являются операторно
изоморфными. Действительно, в силу (5) при a > р выполняются соотношения
Sao/p = SaoS|54|3 s SaoXp = (0),
следовательно, для любого а' из с/р имеем
Saa' = 0.
Если бы было с/а^с/р, то для каждого а из с/„ было бы
Saa = 0;
однако для a=la = SaAa это не так, потому что 5«Ла = faSaAa 0.
Каждому левому идеалу с/а соответствует некоторое неприводимое пред-
ставление 3)а, а согласно сделанным выше замечаниям, эти представления при
различных а неэквивалентны.
Число так отыскиваемых представлений равно числу решений задачи
(1). Одновременно это число равно и числу классов сопряженных подстановок,
потому что каждый такой класс состоит из всех элементов, распадающихся на
циклы длины CQ, <х2, ... , ад, а все эти длины можно упорядочить в соответ-
ствии с условием (1). Так как число всех неэквивалентных неприводимых
представлений задается числом классов сопряженных подстановок, то этим
показано, что представлениями исчерпываются все неприводимые представ-
ления симметрических групп &п.
Введенные выше левые идеалы о/а определены над рациональными чис-
лами. Отсюда следует рациональность неприводимых представлений (как и
характеров).
§ 111. Полугруппы линейных преобразований
Пусть дано основное поле Р; мы рассмотрим множество ли-
нейных преобразований, матричные элементы которых принадле-
жат полю Р или его расширению .А. Такое множество называется
полугруппой, если вместе с любыми двумя своими преобразова-
ниями оно содержит и их произведение. Линейная оболочка про-
извольной системы преобразований над Р состоит из всех линейных
402
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
комбинаций преобразований этой системы с коэффициентами
из Р. В последующем мы будем рассматривать лишь такие систе-
мы, которые содержат только конечное число линейно независимых
преобразований над Р и, следовательно, линейная оболочка кото-
рых имеет конечный ранг над Р. Линейная оболочка полугруппы
при этих условиях является некоторой алгеброй '21 конечного
ранга над Р. Любой элемент такой алгебры — некоторое линейное
преобразование. Следовательно, мы имеем над Р некоторую ал-
гебру в совершенно определенном точном представлении ©.
Основной вопрос, интересующий нас в данном случае, таков:
как распадается неприводимое представление © над расширением А?
Всякий раз мы будем предполагать, что представление © не
содержит в качестве составляющего нулевое представление.
Для данной теории основными являются следующие две тео-
ремы:
1. Если представление © вполне приводимо, то алгебра '21
полупроста.
2. Если представление © неприводимо или распадается на
эквивалентные неприводимые составляющие, то алгебра 2( проста.
Доказательство теоремы 1. Если 31 — радикал алгебры
'21, то его элементы в любом неприводимом представлении пере-
ходят в нуль. Так как © — точное представление, радикал 31
равен нулю.
Доказательство теоремы 2. Алгебра '21 обязательно
полупроста, а потому является прямой суммой простых алгебр:
21= ах + .. .-HV Согласно § 105 в любом неприводимом представ-
лении все алгебры ац, кроме какой-то одной подалгебры av, пред-
ставляются нулем. Это утверждение остается справедливым и
тогда, когда представление складывается с самим собой несколько
раз. Если же представление точное, то может существовать лишь
одна подалгебра ап т. е. алгебра '21 проста.
Из теоремы 1 немедленно следует одна теорема Бернсайда и
ее обобщение, принадлежащее Фробениусу и Шуру:
Теорема Бернсайда. В любой абсолютно неприводимой
полугруппе матриц п-го порядка имеется ровно п2 линейно неза-
висимых матриц.
Обобщение. Если полугруппа матриц над полем А распа-
дается на абсолютно неприводимые части, среди которых есть
ровно s неэквивалентных порядков щ, ..., ns соответственно, то
полугруппа содержит ровно
п2[ 4- +... 4- nl
линейно независимых матриц над А.
Доказательство обобщения. Линейная оболочка дан-
ной полугруппы, построенная над А, является суммой s полных
§ 111]
ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
403
матричных колец порядков nlt n.z, ns над Л и поэтому имеет
ранг щ + «! + • • - + «s-
Над полями характеристики нуль справедлива, кроме того,
Теорема о следе. Если две полугруппы могут быть пере-
ведены друг в друга взаимно однозначно и с сохранением произве-
дения (или, более общо, если обе они являются образами пред-
ставлений одной и той же абстрактной полугруппы) и если при
этом следы соответствующих матриц равны, то полугруппы
(соответственно представления) эквивалентны.
Доказательство. Если соответствующие друг другу мат-
рицы А и В объединить в новую матрицу по схеме
то получится некоторая новая вполне приводимая полугруппа
Й, линейная оболочка которой является некоторой алгеброй 'Л.
Элементы из Л являются линейными комбинациями матриц (1)
и поэтому точно так же распадаются на две составляющие, каж-
дая из которых задает представление алгебры Л. Следы этих
двух представлений являются вполне определенными линейными
комбинациями следов исходных матриц Л и В и поэтому совпа-
дают. Следовательно (§ 107), оба представления алгебры Л экви-
валентны. Отсюда получается требуемое.
Если Л = Р, то теоремы 1 и 2 согласно § 105 непосредственно
обратимы. Но если Л — собственное расширение поля Р, то можно
высказать нечто более глубокое:
1а. Если Л — полу простая алгебра и К —сепарабельное расши-
рение поля Р, то каждое представление Т) алгебры Л над Л
вполне приводимо.
2а. Если алгебра Л проста и центральна над Р, то каждое
представление алгебры Л над Л распадается на эквивалентные
неприводимые части.
Доказательство. Согласно § 104 каждое представление
алгебры Л над Л связано с некоторым представлением алгебры
ЛхЛ. Если алгебра Л полупроста, а Л сепарабельно над Р, то
согласно § 103 алгебра ЛхЛ тоже полупроста и поэтому любое
представление алгебры ЛхЛ над Л вполне приводимо. Если Л
центральна и проста над Р, то алгебра ЛхЛ обязательно проста
и, снова согласно § 103, каждое представление алгебры ЛхЛ над
Л распадается на эквивалентные неприводимые составляющие.
Тем самым доказаны оба утверждения.
Мы называем полугруппу центральной над Р, если ее линей-
ная оболочка центральна, т. е. центр ее линейной оболочки сов-
падает с Р.
Если принять во внимание утверждения 1 и 2, то 1а и 2а
можно сформулировать и так:
404
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
(ГЛ. XIV
16. Вполне приводимая полугруппа линейных преобразований,
над полем Р остается вполне приводимой при любом сепарабель-
ном расширении основного поля Р.
26. Центральная неприводимая полугруппа линейных преобра-
зований над Р остается неприводимой или распадается на экви-
валентные неприводимые составляющие при произвольном расшире-
нии основного поля.
Точно так же, как 16, можно доказать и
1в. Вполне приводимая полугруппа остается вполне приводимой
при любом расширении основного поля, если центр соответствую-
щей линейной оболочки является прямой суммой сепарабельных
расширений поля Р. *
§ 112. Двойные модули и произведения алгебр
Уже в § 104 мы отмечали, что любое представление алгебры
© над полем К, содержащим основное поле Р, определяет неко-
торое представление расширенной алгебры ©к. На языке модулей
представлений это означает, что любой модуль, для которого
© — область левых, а К —область правых мультипликаторов,
является также и левым ©к-модулем. Доказать это можно так:
если © = «jP + • • -ЦапР и, следовательно, ©к =«1К + .. . + алК,
то умножение слева элементов и рассматриваемого модуля на
элемент из ©к задается равенством
(Й1Х14" • • • и — ащм-у -J-...апикп',
проверка соответствующих аксиом ©ц-модуля не составляет труда;
лишь в доказательстве ассоциативности
(£>с) и=Л (си)
нужна коммутативность: если, скажем, & = а1х1, с = а2я2 (доста-
точно, очевидно, рассмотреть лишь этот частный случай), то ас-
социативность следует из равенств
(fl^Xj • п2х2) и = (а1а2х1х2) и = («jfl2) и (х1хг),
а1х1 (а2х2 ’ и) — aixi (й2^х2) = а1 (а2их2) Xj = (срс^) и (м^).
Оба выражения равны, так как х1х2 = х2х1.
Однако, и в том случае, когда К —тело или даже произволь-
ное кольцо, выход из положения дает конструкция инверсного
кольца К', т. е. кольца, инверсно изоморфного кольцу К. Если
К —алгебра над Р, то и К' —алгебра над Р. Если К —тело, то
и К' является телом.
Имеет место следующее утверждение:
Любой модуль, допускающий © в качестве области левых,
а К —в качестве области правых мультипликаторов, может рас-
сматриваться и как левый (<2)х№)-модуль.
§ 112]
ДВОЙНЫЕ модули и произведения алгебр
405
Доказательство такое же, как и выше. Пусть © =
= й]Р 4-.. . + йпР и, следовательно, ©х К'= й1К'4-.. .-|-йлН'.
Тогда мы можем определить
(а^ +... + апх'п) и =агмх1 + .. ,+апикп. (1)
Теперь легко проверить все аксиомы. Ассоциативность (be) и =
= b (си) следует из равенств
(fljxJ • а2х'^ и = и — (ща2) и (XjX.J,
ар/) (а2х2 и) = (а2их2) = аг (а2их2) хх = (а1а2) и (Х1Х2).
Тем же способом можно и, наоборот, любой левый (© х К')-
модуль рассматривать как левый ©-модуль и как правый К-мо-
дуль, пользуясь определением ux = x'u. Поэтому изоморфные
(&х({')-модули дают изоморфные двойные модули, и наоборот.
Эти наблюдения имеют много приложений. Пусть К обозна-
чает алгебру с делением, а © — простую алгебру с единицей над Р,
причем по крайней мере одна из алгебр © или К центральна
над Р. Тогда согласно § 103 произведение ©хК' простое. В силу
§ 105 все простые левые (© х К')-модули изоморфны друг другу
и простым левым идеалам в ©хК'. Следовательно, изоморфны
все простые (левые над © и правые над К) двойные модули. Мы
получили предложение:
Все неприводимые представления алгебры © над К эквивалентны.
Так как алгебра © проста, все эти представления точные.
Каждое из них отображает алгебру © и на некоторое подкольцо
S полного матричного кольца Кг. Любые два таких представле-
ния s>—и s I—S2, переводящие © на и на S2, эквива-
лентны. Согласно § 87 это означает, что существует некоторая
не зависящая от s матрица Q, переводящая в S2 по правилу
S3 = Q-1S1Q. (2)
Отсюда совсем легко получается
Теорема об автоморфизмах. Если Sj и S2 — две изо-
морфные простые подалгебры центральной простой алгебры Кг,
то любой изоморфизм между 2, и S2, оставляющий неподвиж-
ными элементы основного поля, определяется некоторым внутрен-
ним автоморфизмом алгебры Кг с помощью равенства (2).
Действительно, любые две такие алгебры Sj и 2., всегда
можно рассматривать как представления одной алгебры ©. Если
эти представления приводимы, то они распадаются на одно и то
же число неприводимых представлений, потому что степени обоих
рассматриваемых представлений равны одному и тому же числу г.
Так как эти неприводимые представления эквивалентны, то и
исходные представления тоже эквивалентны.
406
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП И АЛГЕБР
(ГЛ. XIV
В качестве частного случая отсюда мы получаем:
Любой автоморфизм кольца Кл, оставляющий неподвижными
элементы центра Р, является внутренним.
Когда в последующем речь зайдет об изоморфизмах или авто-
морфизмах алгебр с единицей, всегда будет предполагаться, что
эти отображения оставляют неподвижными элементы основного
поля Р. К таковым относятся во всяком случае внутренние авто-
морфизмы.
Пусть опять © — некоторая простая алгебра и К — некоторая
алгебра с делением над Р. Одна из алгебр © или Н предпола-
гается центральной. Тогда алгебра ©хК' проста, а потому изо-
морфна полному матричному кольцу А/ над некоторым телом А.
Выясним, что можно сказать об этом теле А.
В общем случае А является кольцом правых эндоморфизмов
некоторого простого (©хК')-модуля, который согласно сказан-
ному в начале может рассматриваться и как двойной модуль
(левый над © и правый над К). Каждый эндоморфизм (©хК')-
модуля взаимно однозначным образом определяет эндоморфизм
упомянутого двойного модуля 3)1; поэтому кольцо А изоморфно
кольцу правых эндоморфизмов двойного модуля 3)1. Следовательно,
инверсное тело А' изоморфно кольцу левых эндоморфизмов двой-
ного модуля 3)t. Можно, конечно, отождествить А' с этим коль-
цом левых эндоморфизмов.
Если двойной модуль 3)1 рассматривается как векторное про-
странство над К, то элементы а кольца © индуцируют линейные
преобразования А этого векторного пространства:
аи = Аи.
Как мы видели, с помощью представления at-+A кольцо ©
отображается на подкольцо S матричного кольца Кг. Левые эндо-
морфизмы модуля 3)1, а потому и элементы кольца А', являются
согласно § 100 линейными преобразованиями L этого векторного
пространства, коммутирующими с преобразованиями А:
LA = AL для всех А е S.
Таким образом, кольцо А' является централизатором кольца
S в кольце Кг, т. е. кольцом тех матриц L из Нл, которые пере-
становочны со всеми матрицами А из S.
Тем самым мы получили структурную теорему о про-
изведениях:
Пусть © — простая алгебра (с единицей) и К — алгебра с деле-
нием над полем Р. Одна из данных алгебр предполагается цент-
ральной над Р и через К' обозначается тело, инверсно изоморф-
ное телу К. Тогда алгебра ©хН' изоморфна полному матричному
кольцу Af над некоторым телом А. Единственное неприводимое
представление алгебры © над К точным образом переводит © на
$ 112]
ДВОЙНЫЕ МОДУЛИ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР
407
некоторое подкольцо S в полной матричной алгебре Нг. Центра-
лизатор А' алгебры S в Нг инверсно изоморфен алгебре А.
Степень г представления ©->S является рангом двойного
модуля Э)( над К. Если ЭЭ1 рассматривать как (@ х К')’М°ДУЛЬ>
то и над К' его ранг будет равен г. Теперь ЭЛ можно выбрать
как простой левый идеал I алгебры ©хК'; ранг этого левого
идеала равен, таким образом,
(1:К') = г.
Простое кольцо ©x^'SeAz является прямой суммой t таких
левых идеалов; следовательно, ранг этого кольца над К' равен tr.
Отсюда вытекает важное соотношение между рангами:
(2:Р) = (©:Р) = (©хК':К') = ^. (3)
Формулировка структурной теоремы несколько упростится,
если исходить не из S, а из 2 и вместо © X К' рассматривать
изоморфную алгебру 2хК'. Таким образом, в полном матрич-
ном кольце выбирается подкольцо S, о котором предпола-
гается, что его матрицы образуют неприводимую систему. Далее,
пусть Н или S (или обе эти алгебры) — центральная алгебра
над Р. Тогда структурная теорема утверждает следующее:
Произведение S X К' изоморфно полному матричному кольцу над
некоторым телом А. Централизатор алгебры S в алгебре Кг
инверсно изоморфен телу Ранг алгебры S над полем Р равен tr.
Предположение о том, что 2 является неприводимой системой линейных
преобразований, тоже можно опустить. Так как алгебра 2хК' проста, каждое
матричное представление алгебры 2 над К вполне приводимо и его неприводи-
мые составляющие эквивалентны. Следовательно, матрицы системы 2 могут
при подходящем выборе базиса привестись к виду
41
А =
(4)
А
с s одинаковыми клетками Alt расположенными вдоль диагонали. Матрицы At
образуют неприводимую систему 2j, к которой можно применить доказанную
выше структурную теорему. Централизатор системы 21? включая в себя лишь
матрицы L1: перестановочные со всеми матрицами Аг из 21; вновь является
алгеброй Д', инверсно изоморфной алгебре с делением Д. Централизатор Т
алгебры 2 состоит из матриц
II Ln t-is
L = \\.............
II Lsi • • * Lss
(5)
где Lui выбираются из Д'. Следовательно, Т sAs-
Как легко проверить, между рангами поэлементно перестановочных колец
2 и Т имеет место соотношение
(2 : Р) (Т : Р) = (КЛ : Р). (6)
Из (6) легко получается, что централизатор кольца Т — это опять-таки 2-
408
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Рассмотренное здесь симметричное соотношение между системами S и Т
находится в тесной связи с теорией Галуа, в большой общности рассмотрен-
ной в книге: Джекобсон Н. Строение колец, гл. VI и VII.
Обратимся теперь к приложениям основной теоремы.
1. Строение кольца КхК'. Пусть К — центральная алгебра
с делением над полем Р. Тогда можно выбрать в качестве 5
само тело К и применить структурную теорему. Порядок г мат-
риц в этом случае равен 1; система S тривиальным образом
неприводима. Централизатор А' алгебры^К в К является центром
Р тела К. Следовательно, А = Р. Соотношение (3) между рангами
дает равенство
(К:Р) = /.
Мы получили, таким образом, следующий результат:
Произведение К X К' является полным матричным кольцом над
основным полем Р. Порядок t соответствующих матриц равен
рангу линейного пространства К над полем Р.
2. Максимальные поля в алгебре с делением. Пусть К — про-
извольная алгебра с делением над полем Р. Если К не является
с самого начала центральной алгеброй над Р, то выберем в каче-
стве нового основного поля Р центр Z тела К. Пусть 5—про-
извольное максимальное подполе в К. Централизатором поля S
в теле К является само 2, потому что если элемент 6 перестано-
вочен со всеми элементами из S, то тело S (0) является полем,
а так как поле 2 должно быть максимальным, элемент 9 должен
принадтежать S.
В соответствии с этим А = S и, следовательно, S х К' — пол-
ное матричное кольцо над 2. Инверсное к 2хН кольцо
KxS' = KxS = K2
является, таким образом, полным матричным кольцом над S, т. е.
2 — поле разложения алгебры К. Представление алгебры пол-
ным матричным кольцом S. абсолютно неприводимо. В § 103
мы назвали число t индексом т алгебры с делением К, если оно
равно степени абсолютно неприводимого матричного представле-
ния алгебры К над-подходящим расширением S основного поля
Р. Таким образом, в данном случае t = m и г=1. Соотношение
(3) между рангами дает теперь
(S : Р) = t = т,
и мы получаем следующее предложение:
Максимальные подполя алгебры с делением К, центр которой
равен Р, являются полями разложения алгебры К и их степень
(S : Р) равна индексу т данного тела.
В качестве приложения этой теоремы мы опишем теперь все
алгебры с делением над полем R вещественных чисел.
§ 112] ДВОЙНЫЕ МОДУЛИ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР 409
В этом случае коммутативными алгебрами с делением над Р
являются лишь Р и Р (t), т. е. поля вещественных и комплекс-
ных чисел. Предположим теперь, что К — некоммутативная алгебра
с делением над Р. Если Z —ее центр и 2 — какое-нибудь макси-
мальное подполе в К, то
P<=Zc=2<=K; (2:Z) = m; (K:Z) = m2.
Так как К — некоммутативная алгебра, должно быть выпол-
нено неравенство т>1. Полями Z и X могут быть лишь Р и
Р (t). Так как т>1, поле 2 не равно Z. Следовательно,
2 = Р (i), Z = Р, т = 2.
Искомая алгебра К может, следовательно, иметь ранг лишь
т2 = 4.
Автоморфизм поля Р (i), переводящий i в — i, согласно тео-
реме об автоморфизмах определяется некоторым внутренним авто-
морфизмом тела К, т. е. существует элемент k со свойством
kik~x =—i. (7)
Так как k не содержится в 2 = Р (г), то должно иметь место
равенство 2 (k) = К; следовательно, К = Р (г, k). Из (7) следует, что
k2ilr2 = i,
т. е. элемент 1г2 перестановочен с элементом i. Так как k2 пере-
становочен с k, элемент k2 принадлежит центру: /г2 = аеР.
Если бы было а>~0, то мы имели бы а = Ь2 и
k2-b2 = (k-b) (/г + &)=0,
k — b = O или ^ + & = 0;
следовательно, k е Р, что невозможно. Поэтому должно иметь
место неравенство а<0, т. е. а =— b2 (Ь^=0). Умножая k на
вещественное число Ъ~\ можно добиться, чтобы было k2 = — 1, и
при этом не потерять ни одного из отмеченных выше свойств
элемента k Для t и k имеем:
ki = —ik, i2 = k2 = — 1.
Эти соотношения характеризуют алгебру кватернионов. Сле-
довательно, алгебра кватернионов — единственная некоммутатив-
ная алгебра с делением над полем вещественных чисел.
Точно так же доказывается, что любая центральная алгебра
с делением индекса 2 над полем (Q рациональных чисел является
алгеброй обобщенных кватернионов.
4. Описание всех конечных тел (тел с конечным числом эле-
ментов).
Если К — произвольное конечное тело, Z —его центр, а т —
его индекс над Z, то каждый элемент из К обязательно содер-
жится в каком-либо подполе 2 степени т над Z. Однако все
410
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
коммутативные расширения m-й степени 2 поля Галуа Z, состоя-
щие из р'1 элементов, попарно эквивалентны (действительно, они
получаются присоединением всех корней уравнения х9 = х, q = р”т).
Следовательно, все эти поля получаются трансформированием
с помощью элементов из К из одного произвольно взятого среди
них поля 20:
2 = х20х \
Если удалить из тела К нуль, то К превратится в некоторую
группу &, 20 — в ее подгруппу 2—в сопряженную подгруппу
•/Дую1 и эти сопряженные подгруппы все вместе будут составлять
всю группу ® (потому что каждый элемент из К содержится
в одном из полей 2). Докажем следующую теоретико-групповую
лемму:
Лемма. Собственная подгруппа § конечной группы ® не мо-
жет вместе со всеми своими сопряженными подгруппами s^s’1 со-
ставлять всю группу @.
Доказательство. Пусть п и М —порядки Д и @ соот-
ветственно, и пусть j — индекс подгруппы ф, так что N = j • п.
Если s и s' принадлежат одному и тому же смежному классу
т. е. s'=sh, то
s'<£>s' 1 = sh$h 1s-1 = s4t5s E
Следовательно, различных подгрупп s^s 1 существует не больше,
чем есть смежных классов, т. е. не больше j. Если бы различ-
ные подгруппы s3ps 1 (к числу которых относится и сама группа ф)
составляли всю группу @, то у них не было бы общих элемен-
тов, потому что иначе нельзя было бы получить все N = j п
элементов группы S. Но так как любые две подгруппы s<$s 1
обладают общим элементом — единицей, то они должны совпадать.
Отсюда <£> = ©, и мы получили противоречие.
Для нашего случая из этой леммы следует, что Д не может быть
собственной подгруппой в ® и, таким образом, ф = ® и К = 20.
Следовательно, тело К коммутативно. Мы доказали теорему:
Любое тело с конечным числом элементов коммутативно, т. е.
является полем.
Другое доказательство этой теоремы, принадлежащее Веддерберну, см.
в работе: Витт (Witt Е.). —Abh. Math. Sem. Hamburg, 1931, 8, S. 413.
§ 113. Поля разложения простых алгебр
Любая простая алгебра 21 может рассматриваться как полное
матричное кольцо над некоторой алгеброй с делением К:
21 = К,.
Согласно § 103 поля разложения тела К являются в то же
время полями разложения и для 21, и наоборот. Поэтому при
§ 113]
ПОЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ПРОСТЫХ АЛГЕБР
411
изучении полей разложения можно ограничиться лишь полями
разложения тел К. Далее, центр тела К можно рассматривать
как основное поле Р; тогда К — центральная алгебра над Р.
Согласно § 112 максимальные подполя в К являются полями
разложения для К. Следовательно, существует поле разложения
S конечной степени над Р. Мы ограничимся поэтому рассмотре-
нием лишь конечных расширений 5 основного поля Р.
Согласно § 112 каждое такое поле 2 неприводимым образом
погружается в алгебру Кг. Поэтому можно рассматривать S как
неприводимую систему матриц из Кг. Если S — поле разложения
алгебры К, то это означает, что 2 х К' является полным матрич-
ным кольцом над 2:
SxK'= 26 так что A = S.
Инверсное кольцо А' в таком случае тоже равно 2. Следова-
тельно, централизатор поля 5 равен S, т. е. любой элемент
из Кг, перестановочный со всеми элементами из 2, принадлежит
самому полю S. Отсюда следует, что 5 — максимальное подполе
(даже максимальное коммутативное подкольцо) в
Обратно, пусть 2 — максимальное подполе матричного кольца
Если бы система S была приводимой, то согласно (4) из
§112 матрицы А системы S можно было бы получить из частей
ЛР Эти части образуют некоторую систему изоморфную
системе S, которая тоже максимальна как подполе в К,,. Следо-
вательно, без ограничения общности мы можем рассматривать 5
как неприводимую систему.
Централизатор А' поля 5 является телом, элементы 0 кото-
рого перестановочны со всеми элементами из S. Если бы один
из таких элементов 0 не содержался в S, то расширение S (0)
собственным образом содержало бы поле S, а это противоречит
максимальности поля Кл. Следовательно, должно иметь место
равенство A' = S. Но тогда А = 5, т. е. 2 — поле разложения
алгебры К.
Тем самым мы получили следующее описание полей разложе-
ния:
Каждое максимальное подполе полного матричного кольца Кг
является полем разложения тела К; обратно, каждое поле разло-
жения можно представить как максимальное подполе в алгебре К,
(даже неприводимым образом).
В случае неприводимого вложения поля 2 в алгебру Кл, согла-
сно (3) § 112, имеет место соотношение между рангами:
(S : P) = tr.
Здесь t является степенью абсолютно неприводимого представле-
ния тела К над полем S, т. е. число t равно индексу т тела К.
412
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Следовательно,
(2 : P) = mr.
Отсюда получается: степень поля разложения 2 алгебры К де-
лится на индекс т тела К. Максимальное подполе в К является
полем разложения наименьшей возможной степени т.
В заключение мы докажем следующую теорему:
Любая центральная алгебра с делением К над полем Р обла-
дает по крайней мере одним сепарабельным полем разложения.
Для доказательства потребуется
Лемма. Любая pf-строчная матрица А над полем характе-
ристики р, удовлетворяющая уравнению вида
A?e = Et> (Е — единичная матрица), (1)
имеет характеристический многочлен (см. § 89) вида
х(х)=хр/-р
и, следовательно, если pf >1, то след такой матрицы равен нулю.
Доказательство леммы. Мы можем присоединить к ос-
новному полю корни р"-й степени из элемента С и считать, что
£ = цре. Если матрицу А рассматривать как матрицу линейного
преобразования некоторого векторного пространства, то для каж-
дого вектора v будут выполнены соотношения
О = (АРе — 0 v = (Аре — гЦ) v = (А — т])ре v.
Элементарные делители fv(x) матрицы А согласно их определе-
нию (§ 88) являются делителями многочлена (х — т])ре, т. е. сте-
пенями двучлена (х — т]). В свою очередь характеристический
многочлен х (х) является произведением элементарных делителей
и поэтому обязательно равен некоторой степени двучлена (х —т]).
Но так как х (х) — многочлен степени pf, выполняются равенства
X (х) = (х — т])р/ = хр/ — Т)р/ = хр/ — р.
Доказательство существования сепарабель-
ного поля разложения. Пусть Z — максимальное сепара-
бельное подполе в К и Д'— централизатор поля Z в К. Согласно
структурной теореме из § 112 произведение ZxK' изоморфно
полному матричному кольцу Дъ где Д инверсно изоморфно по
отношению к Д'. Центр алгебры ZxK' равен ZxP = Z, так как
Р —центр тела К'. Следовательно, и центр алгебры Д, равен Z.
Но центр полного матричного кольца Д/ равен центру алгебры Д,
так что центр алгебры Д' равен Z.
Если теперь 6 — произвольный элемент из Д, не принадлежа-
щий центру Z, то поле Z (9) несепарабельно: оно имеет редуци-
рованную степень 1, так как иначе Z(9) содержало бы некоторое
§ 114]
ГРУППА БРАУЭРА. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
413
сепарабельное подполе, содержащее центр Z. Элемент 9 удовлет-
воряет, следовательно, неразложимому уравнению вида
8ре = £, = (2)
То же самое верно (при р(’=1) и тогда, когда 0 принадлежит
самому центру Z.
Если S — максимальное подполе в Д', то его редуцированная
степень над Z как над основным полем равна 1, т. е. его степень
как расширения равна рЛ Поле S является полем разложения
для Д', т. е. Д'xS —полное матричное кольцо над S порядка рЛ
В этом матричном представлении все элементы из Д' имеют со-
гласно лемме нулевой след, если pf>\. Объясняется это так:
из (2) следует, что если Л —матрица, представляющая элемент 0,
то имеет место матричное равенство (1); все матрицы из Д'х2
являются линейными комбинациями матриц из Д' с коэффициен-
тами из S—основного поля матричного кольца; следовательно,
все эти матрицы имеют нулевой след при //>1; противоречие
теперь состоит в том, что сказанное относится к полному мат-
ричному кольцу. Следовательно, р> = 1, Z = S — единственная
оставшаяся возможность. Центр Z является теперь максимальным
подполем в К, а потому полем разложения.
§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов
Распределим центральные простые алгебры над фиксированным
основным полем Р на классы так, чтобы к одному классу [К]
относились все те алгебры, которые изоморфны полным матрич-
ным кольцам над одним и тем же телом К.
Если К и Л —тела над Р, то КхЛ —вновь центральная и
простая алгебра (§ 103) и, следовательно,
КхЛ^Д/. (1)
Из (1) следует, что
К, х Af = К х Рг х Л х Р^ Д/ х Рrs = Д х Р/ х Р „ = Д х Р^ = Д<„;
тем самым произведения KrxAs алгебр из классов |К] и [Л]
принадлежат одному и тому же клсссу [Д]. Этот последний назо-
вем произведением классов [К] и [Л]. Так как
КхЛ^ЛхК,
К X (Л X Г) = (К ХЛ) X Г,
то операция умножения коммутативна и ассоциативна. Суще-
ствует также и единичный класс: это класс [Р] основного
поля. Наконец, для каждого класса [Н] существует обратный
класс, а именно, класс [К'] тела К', инверсно изооморфного телу К.
414
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Следовательно: классы центральных простых алгебр над Р обра-
зуют абелеву группу. Первым ее исследовал Р. Брауэр и поэтому
ее называют группой Брауэра классов алгебр.
Любую подгруппу группы Брауэра всегда составляют те классы
алгебр, которые в качестве поля разложения имеют одно и то же
расширение 2 поля Р. Действительно, любое поле разложения
тела К согласно § 103 является полем разложения всего класса [К],
а также и класса [К'], потому что К' инверсно изоморфно К и,
следовательно К'х2 инверсно изоморфно Кх2. Если К и Л
обладают одним и тем же полем разложения 2, т. е. если
Кх2^25, Лх2^26
то
(К х Л) х 2 К х 2^ К X 2 X Р, =- 2^ X Pz = 2 X Р, х 2iZ,
а потому 2 является полем разложения и произведения КхЛ,
а, следовательно, и всего класса [КхЛ].
Каждый брауэров класс алгебр [К] согласно § ИЗ обладает
сепарабельным полем разложения, скажем, полем Р (6). Если
вместе с 6 присоединить и сопряженные с ним элементы, то полу-
чится некоторое нормальное сепарабельное поле разложения 2.
Согласно §113, это подполе неприводимым образом представ-
ляется максимальным коммутативным подполем в простой алгебре
Й = КЛ, принадлежащей классу [К].
Докажем теперь следующее: алгебра Й является скрещенным
произведением поля 2 с его группой Галуа ® в смысле § 94.
Прежде всего, из § 94 следует, что 2 является своим собст-
венным централизатором в Й= Кг, т. е. каждый элемент из Й,
перестановочный со всеми элементами из 2, принадлежит 2.
Как и в § 94, мы обозначаем через S, Т, ... элементы группы
Галуа ®, а через ps — элемент из 2, который получился приме-
нением к элементу |3 автоморфизма S. Произведение ST вновь
определяется равенством
рзг =(рЗ)г.
Согласно теореме об автоморфизмах из § 112 автоморфизмы S
порождаются внутренними автоморфизмами алгебры Й. Следова-
тельно, для каждого S существует такой элемент us из Й, обла-
дающий обратным us', что для всех р из 2 имеет место равенство
Us,Pms = Ps,
или
= usps. (2)
Согласно (2) элемент ustUsUt перестановочен со всеми элемен-
тами из 2, а потому он является элементом поля 2. Следова-
тельно, если положить
Usi ЩЩ; = 6s, Т,
§ 114]
ГРУППА БРАУЭРА. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
415
то получится правило умножения
— Ust$S, т- (3)
Так как элемент 6$, т обладает обратным — таковым служит эле-
мент Ut'Us'Ust, —то 651 г^=0.
Правила (2) и (3) совпадают с правилами (4) и (5), с помощью
которых в § 94 было введено скрещенное произведение. Из этих
правил следует, как было тогда доказано, что элементы us
линейно независимы над полем 2. Линейные комбинации элемен-
тов us с коэффициентами из 2
а = VJ «sPs
S
образуют в 'Л некоторое кольцо Лх, ранг которого над 2 равен п,
а над Р, следовательно, равен п2, где п = (2 : Р) — ранг 2 над Р.
Согласно § 113 имеет место равенство
n = (S : Р) = rtn.
Ранг алгебры Л = Кг над Р равен
г2 (К : Р) = r2m2 = п2.
Так как Лх и Л имеют один и тот же ранг п2 и Лх содер-
жится в Л, то ЛХ = Л, т. е. Л является скрещенным произведе-
нием поля 2 с его группой Галуа
Возможность представления алгебр Л = КГ в виде скрещенных
произведений впервые обнаружила Эмми Нётер. Поэтому систему
{6s, г} элементов 6s, т называют нётеровой системой факторов
алгебры Л или класса алгебр [К]. Очевидно, что
Алгебра Л полностью определяется заданием поля 2 и системы
факторов {6s, z }-
Обратное неверно. Если заданы Л и 2, то вложение поля 2
в алгебру Л определено однозначно с точностью до внутренних
автоморфизмов алгебры Л и с помощью такого вложения эле-
менты us определяются неоднозначно — согласно (14) из § 94
можно заменить элементы us на
vs = UsVs 7 s ¥= 0. (4)
Это, однако, единственная возможность менять упомянутые us,
потому что vs, как и us, обладают свойством (2):
P^s = fsPs,
так что элемент usus' перестановочен со всеми р и 2:
P^sMs1 = щР5«з‘ = Vs«s‘P.
Если положить vsus' =^Ts, то элементы ys будут элементами
из 2 и получится, что
Vs = 7bus-
416 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР [ГЛ. XIV
Замена элементов us на элементы как мы видели в § 94,
имеет своим следствием замену системы факторов {Sg, г} на ассо-
циированную систему факторов {eSi7-}:
е5, Т — —--os> т- (5)
Т$Г
Таким образом, брауэровы классы алгебр [К] с фиксированным
полем разложения 2 взаимно однозначно соответствуют классам
ассоциированных систем факторов {6s, г} из поля 2, подчиняющихся
условиям ассоциативности (13) из § 94.
До сих пор мы исходили из некоторого заданного нормаль-
ного поля разложения 2. Но, следуя Р. Брауэру, можно опре-
делить систему факторов простой алгебры Кг и над полем разло-
жения, не являющимся нормальным.
Пусть Д —конечное поле разложения, о котором не предпола-
гается, что оно нормально. Пусть 0 = 0j — примитивный элемент
поля Д, так что Д = Р (6), и пусть Ра (а = 1, 2, ..., п) — элементы,
сопряженные с 0 в некотором подходяще выбранном нормальном
расширении 2.
Существует лишь одно, с точностью до эквивалентности, абсо-
лютно неприводимое представление алгебры матрицами над Д.
Пусть а>—>Д —это представление и пусть а:—> Аа — представле-
ния, которые получаются из только что названного применением
изоморфизма полей 0 ।> 6а к матрицам. Так как все эти пред-
ставления эквивалентны друг другу (над полем 2 также суще-
ствует лишь одно неприводимое представление), то имеются
матрицы Рар, переводящие представление Аа в представление Лр:
Ла = -РарЛрРар1. (6)
Матрицы Рар могут быть взяты уже над полем Р (0а, 0р), потому
что над этим полем эквивалентны оба представления. Далее, мат-
рицу Рар можно выбрать так, чтобы каждый изоморфизм поля
Р (9а, 6р), переводящий 0а, 0р в сопряженные 0Y, 0е, переводил
матрицу Рар в матрицу Руь. Для достижения этой цели нужно
лишь в каждом классе сопряженных пар выбрать одну пару а, |3,
определить для нее матрицу Ра$, а остальные Руь получить
из Рар применением соответствующих изоморфизмов.
Имеют место соотношения
Аа = РарЛрРар* = Ра$Р$уАуРру'Рар1 = РарРруРау ^аРауРру Раф •
Тем самым матрица PopPpvPay перестановочна со всеми матри-
цами Аа любого абсолютно неприводимого представления и, сле-
довательно, является кратным единичной матрицы Е:
РарРруРау =саРуР>
Рар^Ру ~ СаРуРау>
§ 1141
ГРУППА БРАУЭРА. СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
417
С помощью соотношений (7) оказывается определенной брауэ-
рова система факторов {capY}. Справедливы следующие свойства:
а) элементы ca₽v принадлежат полю Р (0а, 6р, 0Л,);
б) ^сфу^ауб = ^«рб^Руб»
в) Capv = ca-p'V', если 3 — изоморфизм поля Р (0a, 0р, 0Т), пере-
водящий оа, 0р, 6Y в 0as Op-, бу'.
Свойство а) немедленно следует из определения элементов саРу,
свойство б) — из ассоциативности, имеющей место для матриц Р((р,
и, наконец, свойство в) вытекает из поведения матриц Рар при
изоморфизмах S.
Если Рар заменить на &apPap, где элементы поля /гцр удовлет-
воряют тем же условиям сопряженности, что и матрицы Рар,
то система capY перейдет в ассоциированную систему факторов
, ^сф&Ру Q.
Огру--7 Сару. (о)
кау
Если, с другой стороны, заменить представление a ।—> А на экви-
валентное представление а>—^QAQ1, то матрицы Ра перейдут
в матрицы QaPaQa'', непосредственно проверяется, что при этом
система факторов cu₽Y не меняется. Следовательно, система фак-
торов определена однозначно с точностью до ассоциированности
заданием алгебры и поля Д.
Всю теорию можно построить, рассматривая только нётеровы или
только брауэровы системы факторов. Но доказательства получаются
проще и нагляднее, если использовать оба вида систем факторов,
доказав их равносильность. Действительно, одни свойства легче
доказывать для нётеровых, а другие —для брауэровых систем фак-
торов. Мы начнем с основных свойств брауэровых систем факторов.
Если — полное матричное кольцо над основным полем Р,
т. е. К/- = Р/., то можно взять Ра$ равным единичной матрице Е.
Тогда все ca|3Y равны единице и система факторов алгебры, распа-
дающейся уже над основным полем, ассоциирована с единичной
системой факторов caPY = 1.
Найдем систему факторов для прямого произведения К^хЛ^
Если а ।—> А — неприводимое представление алгебры К над телом
Л и b ।—* В — неприводимое представление алгебры As над тем же
телом, то получается представление произведения систем К,хЛу,
при котором ab переходит в кронекерово произведение Ах В
(§ 109). То, что это представление абсолютно неприводимо, легко
увидеть, вычислив его степень. Действительно, если абсолютно
неприводимое представление алгебры Н, имеет степень п, а алгебры
As — степень т, то Кг (согласно, например, теореме Бернсайда)
имеет ранг п2, а Л$ —ранг т2, так что КгхЛ5 имеет ранг п2т2,
в то время как степень произведения представлений равна тп,
3. е. совпадает со степенью абсолютно неприводимого представ-
ления алгебры КгхЛ$.
418
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Теперь мы можем вычислить систему факторов произведения
представлений. Из Ла = Р^Л3Рар и Ba = Q^B&afi следует, что
Аа X Ва = (Рар X Qap) 1 (Ир X 5р) (Рар X Qap),
поэтому Ра₽ X Qap — трансформирующие матрицы произведения
представлений. Точно так же из
PafiPfiy = a ft у Рау И QapQpy = da^yQay
следует, что
(Ра₽ X Qap) (Р₽у X Qpy) — ^аРу^аРу [Вay X Qay)-
Итак, {capydapY} — система факторов произведения алгебр К,-хЛ^.
В случае КхР,- = Кг факторы dapY равны единице, поэтому
матричное кольцо Кг имеет ту же систему факторов, что и тело
К. Тем самым каждому брауэрову классу алгебр соответствует
однозначно (с точностью до ассоциированной) определенная система
факторов.
Объединяя все это, получаем следующее предложение: каждому
элементу группы Брауэра классов алгебр с полем разложения А
соответствует система факторов {c'apyb определенная однозначно
с точностью до ассоциированности, причем единичному элементу
группы соответствует единичная система факторов, а произведению
элементов — произведение систем.
Выясним теперь, как меняется при расширении поля разло-
жения брауэрова система факторов. Пусть Д' = Р (9') — конечное
сепарабельное расширение поля А = Р (6). Каждый изоморфизм
0' ।—> 9a' поля А' индуцирует и некоторый изоморфизм 9 ।—> 0a
поля А, так что каждому индексу а' сопоставляется некоторый
индекс а. При переходе к полю Д' рассматриваемое представле-
ние а I—> А алгебры НЛ над А остается неизменным. Но тогда
сопряженные представления Аа также остаются неизменными, т. е.
Аа' = Аа, если номеру а' соответствует номер а. Соответственно,
для трансформирующих матриц Рар это дает следующее правило:
если номерам а', Р' сопоставлены номера а, р, то Ра'₽' = Ра, ₽
Наконец, для системы факторов получается следующее: Ca'pv = сару,
если номерам а', р', у' сопоставлены номера а, р, у, т. е. если
изоморфизмы в' ।—> 6a', 9' ।—► 9р', 6' ।—*• бу' поля индуцируют изо-
морфизмы 9i-^9a, S’—*6р, 6 >—> 6у поля А.
На основании этого правила можно совершенно определен-
ным образом перейти от произвольного сепарабельного поля раз-
ложения А к содержащему его нормальному полю 2. Изоморфизмы
9f—> 0а поля 2 являются тогда элементами S, Т, ... группы
Галуа: 9a = 6s, 9р = 9гит. д. Следовательно, в этом случае можно
использовать элементы S, Т, R в качестве индексов вместо
использовавшихся до сих пор а, р, у и писать cSt т, R вместо capv.
Свойство в) в этих новых обозначениях выглядит так:
CSJ.R. = C.SQ, TQ, HQ- (9)
§ 114]
ГРУППА БРАУЭРА СИСТЕМЫ ФАКТОРОВ
419
Теперь можно осуществить переход к нётеровым системам фак-
торов. Для заданного с самого начала скрещенного произведения
вычислим брауэрову систему факторов и покажем, что она
совпадает с точностью до обозначений с нётеровой системой.
Мы получим неприводимое представление алгебры Кг над
полем S, если рассмотрим Кг как модуль представления. Базис-
ными элементами алгебры Кг как правого S-модуля являются
в точности элементы us. Матрица, представляющая элемент а —
= usfi (достаточно рассмотреть лишь эти элементы, потому что
остальные являются их суммами), получается так: этот элемент
умножается на все базисные элементы ит, а потом произведения
разлагаются по элементам ит'-
(WsP) «у = «5мгРГ = UST&S, Г₽Г.
Следовательно, представляющая матрица А имеет в столбце Т и
строке ST элемент 6s, т-рг, а на всех прочих мэстах этого столбца
нули. Тем самым, сопряженная матрица AR имеет в столбце Т и
строке ST элемент
Найдем теперь матрицу Pj,r, трансформирующую А в AR:
= (10)
В качестве PbR мы возьмем матрицу, которая в столбце Y и
строке YR имеет элемент бу, R, а на всех остальных местах этого
столбца нули. Тогда соотношение (10) выполняется, потому что
в левой части в столбце Т и строке STR стоит элемент 6S, R,
а в правой части на том же месте стоит 6St, д6з,гРГЛ, что, сог-
ласно (13) из § 94, то же самое. Следовательно, матрица PliR
найдена. Остальные Ps, т получаются (в соответствии с принятым
при определении матриц соглашением) применением автоморфиз-
мов 5 к Р1т R.
Р\, R = Ps, RS-
Соотношение Ps, тРт, r = cs, т, rPs, r нужно установить лишь
для случая 5 = 1, потому что применением автоморфизма S индекс 1
всегда можно превратить в индекс S; ср. (9). Следовательно, мы
должны рассмотреть лишь вопрос о равенстве
Pl, rPR, TR = Щ, R, TrP 1, TR
или о равенстве
Р 1, rP\, т = Cl, R, TrP 1, TR-
Матрица, стоящая слева, имеет на пересечении столбца 5 и строки
STR элемент
6sr, ifis, т = 6s, jRbrt R,
420
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
а матрица, стоящая справа, — элемент R, 7R8S, tr- Следовательно,
нужно положить
С1, R, TR = 6;-, R. (1 1)
На основании формулы (11) нётерова система факторов ока-
зывается известной, как только задана брауэрова система. Но
нётеровой системой факторов структура алгебры К, вполне опре-
деляется. Мы получили следующее утверждение:
Полем разложения А и системой факторов {capY} брауэров
класс алгебр определяется однозначно.
На основе проведенных выше рассуждений о системе факторов
произведения алгебр мы построили некоторый гомоморфизм из
группы Брауэра класссв алгебр с фиксированным полем разло-
жения А в группу классов ассоциированных с ними систем фак-
торов. В силу доказанной однозначности этот гомоморфизм
является изоморфизмом.
Легко понять, что соотношение ассоциативности (13) из § 94
является следствием требований а), б), в), наложенных на эле-
менты c«pY. Следовательно, каждой системе элементов сар7 данного
поля, подчиненных требованиям а), б), в), соответствует некото-
рый класс алгебр, представляемый скрещенным произведением с систе-
мой факторов 8s,r> определенной равенством (11).
С помощью равенства (И) основные свойства брауэровых
систем факторов переносятся па нётеровы. В частности, именно
так получается изоморфизм группы классов алгебр с фиксирован-
ным нормальным полем разложения и группы классов ассоции-
рованных с этими алгебрами (нётеровых) систем факторов. Отме-
тим специально следующее утверждение:
Скрещенное произведение является полным матричным коль-
цом над основным полем Р тогда и только тогда, когда система
факторов 8s, т этой алгебры ассоциирована с единичной системой:
Задача 1. При любом расширении основного поля Р до поля А тело К
переходит в простую алгебру Кд. Доказать, что при этом брауэрова система
факторов следующим образом «укорачивается»: вложим поля А и А в какое-нибудь
общее для них расширение и найдем элементы 0а, сопряженные с 0 относи-
тельно нового основного поля А; факторы capY, соответствующие этим элемен-
там 0а, сохранятся, а остальные окажутся отброшенными. На языке нётеровых
систем факторов это означает, что сохраняются лишь те б5 Т, для которых S
и Т принадлежат определенной (какой именно?) подгруппе группы Галуа
Задача 2. С помощью задачи 1 ответить на следующий вопрос: какие под-
поля поля S являются полями разложения алгебры с системе i факторов у?
Задача 3. Две циклические алгебры (6, S, S) и (в, S, S) изоморфны
тогда и только тогда, когда 6 и е отличаются лишь множителем, являющимся
нормой. В частности, (6, S, S) тогда и только тогда является полным матрич-
ным кольцом над Р, когда 6 является нормой некоторого элемента из S.
Глава пятнадцатая
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
В этой главе мы рассмотрим свойства делимости’идеалов ком-
мутативных колец и попытаемся перенести некоторые простые
теоремы, имеющие место в области целых чисел, на кольца общего
типа. Чтобы не сталкиваться с лишними трудностями, целесооб-
разно ограничиться кольцами, в которых каждый идеал обладает
конечным базисом; этот случай, как мы увидим, встречается очень
часто.
§ 115. Нётеровы кольца
Мы говорим, что в кольце о справедлива теорема о базисе,
если каждый идеал в о обладает конечным базисом. Коммутатив-
ные кольца, в которых выполняется теорема о базисе, называются
нётеровыми.
Теорема о базисе имеет место в любом теле, потому что там
есть лишь идеалы (0) и (1) Она имеет место и в кольце целых
чисел и, говоря более общо, в любом кольце главных идеалов.
Кроме того, она справедлива в любом конечном кольце. Позднее
мы увидим, что теорема о базисе имеет место в факторкольце о/л,
если она имеет место в самом кольце о. Наконец, справедливо
следующее предложение, восходящее к Гильберту:
Теорема. Если теорема о базисе выполняется в кольце о,
содержащем единичный элемент, то она выполняется и в кольце
многочленов о[х].
Доказательство. Пусть 51 — произвольный идеал в о [%].
Коэффициенты при старших степенях переменных х в многочле-
нах из идеала вместе с нулем составляют некоторый идеал в о,
потому что если аир — старшие коэффициенты в многочленах а и Ь:
а — ахп + ...,
b = р%т + ...,
то, скажем, при п Т- т
а — bx'i m = (ахп +...) — (Рх’’ + ...) = (а — Р) хп + ...
— вновь некоторый многочлен из 21 и а — р — старший коэффициент
или нуль. Точно так же, если а —старший коэффициент много-
члена а, то Ха — либо старший коэффициент многочлена /.й, либо
нуль.
422
ОБЩ\Я ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
Согласно условию идеал а старших коэффициентов имеет неко-
торый базис («j, аг); будем считать, что — старший коэффи-
циент многочлена
at = агх”г -ф ...
степени «, и пусть п — наибольшее из чисел п,-.
Включим многочлены at в конструируемый базис идеала 91.
Посмотрим, какие еще многочлены необходимо включить в этот
базис.
Если
f = axN + ...
— произвольный многочлен из 91 степени N >~n, то элемент а
должен принадлежать идеалу а:
а =
Построим многочлен
fi = f~ ai-
Коэффициент при xN в этом многочлене равен
а — K&t — 0.
Таким образом, многочлен /у имеет степень, меньшую N. Следо-
вательно, f можно заменить по модулю (tZj, .... аг) многочленом
меньшей степени. Мы можем таким путем понижать степень, пока
она пе станет меньше п. Поэтому достаточно ограничиться много-
членами степеней, меньших п.
Коэффициенты при хпЛ в многочленах степени У /г— 1 из 91,
объединенные с нулем, составляют некоторый идеал пусть
(осг+1, ..., сх5)
— базис этого идеала, и arU — старший коэффициент многочлена
ar i = ar+jX"-1 + ...
Включим теперь в базис и многочлены агЧ, ..., as. Тогда любой
многочлен степени п — 1 можно заменить по модулю (aru, ..., as")
многочленом степени <п-2; для этого, как и раньше, нужно
аз данного многочлена вычесть подходящую линейную комбинацию
У1,
Продолжим намеченную конструкцию. Коэффициенты при хп 2
в многочленах степени -Zn — 2 вместе с нулем составляют идеал ап_2,
базисные элементы ссу tl, ..., at которого соответствуют многочле-
нам as,i, ..., at. Эти многочлены мы также включим в базис.
В конце концов придем к идеалу а0, состоящему из констант,
§ 1151
НЕТЕРОВЫ КОЛЬЦА
423
лежащих в 21; базис этого идеала (а^ц, aw) приводит к много-
членам аР+1, aw. Таким образом, каждый многочлен из 21
приводится к нулю по модулю
(^1, • • • , П/-, @r+lt • • • 1 • • • , , Яда)'
Следовательно, многочлены alt .... aw составляют базис в 21, чем
и завершается доказательство теоремы о базисе.
Из этой теоремы с помощью n-кратного повторения сразу полу-
чается обобщение:
Если теорема о базисе имеет место в кольце о с единицей,
то она справедлива и в кольце многочленов о [хь ..., от конеч-
ного множества переменных xL, ..., хп.
Наиболее важные частные случаи: кольцо целочисленных много-
членов Z [хх, .... хп] и любое кольцо многочленов К [хх, ..., хп]
с коэффициентами в поле К. Все эти кольца нётеровы.
Гильберт высказал свою теорему только для этих случаев, но
в более общей, на первый взгляд, формулировке:
В любом подмножестве ЭЛ кольца о (не только в любом идеале)
существует такой конечный набор элементов mlt .... тг, что
любой элемент т из ЭЛ представляется в виде
• • • Т~ с.ГтГ (7^1 Gz о).
Эта теорема является, однако, непосредственным следствием
теоремы о базисе для идеалов. В самом деле, если 21 — идеал,
порожденный множеством ЭЛ, то 21 обладает базисом:
21 = (alt ..., as).
Каждый элемент а; (как элемент идеала, порожденного множе-
ством ЭЛ) выражается через конечный набор элементов из ЭЛ:
Я/ , 'Сц.тц{.
k
Следовательно, все элементы из 21 линейно зависят от конечного на-
бора элементов mik-, в частности, это относится и к элементам из ЭЛ.
Более важным является то обстоятельство, что теорема о базисе
эквивалентна следующей «теореме о цепях делителей»:
Теорема о цепях делителей. Первая формули-
ровка. Если «1, а2, а3, ... — цепочка идеалов кольца о и ах+1 —
собственный делитель идеала ар.
а,- с а/+1,
то цепь обрывается после конечного числа членов.
Иначе говоря, имеет место
Теорема о цепях делителей. Вторая формули-
ровка. Если ах, а2, а3, ... — бесконечная цепь делителей:
Л — Л11»
424
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ XV
то, начиная с некоторого п, все а; должны быть равны'.
= л 1 — • •
То, что теорема о цепях делителей следует из теоремы о базисе,
можно установить так:
Пусть а1( а2, а3, ... — бесконечная цепь и а; s iiZu. Объедине-
ние v всех идеалов а; является некоторым идеалом, потому что
если а и b лежат в » и, скажем, а принадлежит а„, а b принад-
лежит ат, то а и b лежат в аЛ', где W — наибольшее из чисел п
и т\ следовательно, а — Ь лежит в ал>, а потому и в ». Если же
а — произвольный элемент из V, взятый, например, из а„, то Ха
лежит в ал, а потому ив».
Согласно условию идеал » имеет конечный базис (а1( ..., аг).
Каждый из элементов а; лежит в некотором идеале а„ . Если
п — наибольшее из чисел п,, то все аъ ..., аг лежат в одном
идеале лп. Так как элементы из » линейно выражаются через
..., аг, то все элементы из » лежат в а„, а отсюда следует, что
V — П/г — ' 2 = , 2 — ...
Наоборот, теорема о базисе следует из теоремы о цепях дели-
телей. Действительно, пусть а — идеал и ^ — произвольный эле-
мент из а. Если а1 не порождает весь идеал, то в а существуют
элементы, не принадлежащие (aj; пусть а2 — один из этих эле-
ментов. Тогда
а2).
Если а, и а2 все еще не порождают весь идеал а, то точно так же
отыскивается третий элемент а3 е а, не принадлежащий (alt а2),
и т. д. Получается цепь делителей
(Я1) <= («1, <С) <= (01, о2, а3) cz ...
Но она обрывается после конечного числа (скажем, после г)
шагов:
(ап а2, , аг) = а.
Следовательно, идел а имеет конечный базис.
Если теорема о целях делителей имеет место в кольце о, то
она справедлива и в любом факторкольце с/а.
Доказательство. Любой идеал b в о/а является некото-
рым множеством классов вычетов. Если составить объединение
этих классов вычетов, то получится некоторый идеал b в о. Наоборот,
идеал b однозначно определяет идеал Ь:
b = Ь/а.
Любая цепь идеалов b5 cz b2 cz b3 cz ... в кольце о/a задает таким
способом некоторую цепь идеалов bj cz b2 cz b3 cz ... в кольце, с,
§ 116]
ПРОПЗВЕДГНИЯ И ЧАСТНЫЕ ИДЕАЛОВ
425
а так как последняя обрывается на одной из своих компонент,
то первая цепь также конечна.
Тем самым доказано сформулированное в начале этого пара-
графа утверждение о том, что если теорема о базисе выполняется
в кольце о, то она выполняется и в кольце о/а.
Теорема о цепях делителей имеет еще две формулировки,
удобные для приложений:
Теорема о цепях делителей. Третья формули-
ровка: условие максимальности. Если в кольце о имеет
место теорема о цепях делителей, то в любом непустом множе-
стве идеалов существует максимальный идеал, т. е. такой идеал,
который не содержится ни в одном другом идеале данного мно-
жества.
Доказательство. Фиксируем в каждом непустом множе-
стве идеалов какой-нибудь идеал. Если бы в некотором множе-
стве ЭЭ1 не было максимального идеала, то любой из идеалов этого
множества содержался бы в одном из других идеалов этого же
множества. Возьмем в ЭЭ1 фиксированный в нем с самого начала
идеал яп затем в множестве тех идеалов из ЭЛ, которые содер-
жат Л] и не совпадают с я1( возьмем фиксированный для этого
множества идеал а2 и т. д. В результате получится бесконечная
цепь
П] С 0] С «3 CZ . . . ,
что, согласно условию, невозможно.
Теорема о цепях делителей. Четвертая форму-
л и р о в к а: принцип индукции по делителям. Если
в кольце о имеет место теорема о цепях делителей и можно до-
казать наличие некоторого свойства Е у каждого идеала а (в част-
ности, у единичного идеала) в предположении, что это верно для
всех собственных делителей идеала а, то свойством Е обладает
каждый идеал данного кольца.
Доказательство. Предположим, что некоторый идеал
не обладает свойством Е. Тогда, в соответствии с третьей фор-
мулировкой теоремы о цепях делителей, существует максималь-
ный идеал а, не обладающий свойством Е. В силу максималь-
ности все собственные делители идеала а должны обладать свой-
ством Е, а потому им должен обладать и идеал я. Получили
противоречие.
§ 116. Произведения и частные идеалов
Как и в § 16, под наибольшим общим делителем (НОД) или
суммой идеалов я, Ь, ... мы подразумеваем идеал (я, Ь, ...), поро-
жденный объединением (в теоретико-множественном смысле) идеа-
лов я, точно так же под наименьшим общим кратным (НОЮ
42G
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
(ГЛ XV
этих идеалов мы подразумеваем пересечение [а, Ь, .. .J = л П Ь П • •
Обозначение, используемое для суммы идеалов, сохраняется и
для идеала, порожденного несколькими идеалами и несколькими
элементами; например,
(д, 6) = (д, (*))•
Само собой разумеется, что (л, Ь) = (Ь, л), ((л, Ь), с) = (а, (Ь, с)) =
= (л, Ь, с) и т. д. Далее,
((аь а2, ...), (/?!, Ь2, ...)) = (а1, а2) blt 62, ...)
или, словами: базис наибольшего общего делителя получается
объединением базисов отдельных идеалов.
Если элементы одного идеала л перемножить с элементами
другого идеала Ь, то произведения ab в общем случае не составят
идеала. Идеал, порожденный этими произведениями ab, называется
произведением идеалов л, b и обозначается через л-b или лЬ. Он
состоит из всевозможных сумм У afii (at е л, bt е Ь).
Очевидно, что
д • b = b д,
(д • Ь) • с — л • (Ь • с);
следовательно, с произведениями идеалов можно обращаться так же,
как с обычными произведениями чисел. В частности, имеет смысл
говорить о степени лр идеала л; она определяется так:
д1 = л; лр+1 = л-лр.
Если л = (оь ..., а„) и b = (Ь^ Ьт), то, очевидно, произ-
ведение лЬ порождается произведениями Таким образом, мы
получаем некоторый базис произведения, умножая все базисные эле-
менты одного идеала-сомножителя на все базисные элементы дру-
гого идеала-сомножителя.
В частности, для главных идеалов имеет место равенство
(a)-{b) = (ab).
Таким образом, для элементов кольца о произведение, которое
только что было определено, совпадает с обычным произведением.
Произведение л • (6) произвольного идеала и главного идеала
состоит из всех произведений ab, где а пробегает множество
элементов из л. В этом случае пишут просто лЬ или Ьл.
Следующее правило —«закон дистрибутивности для идеалов»:
л-(Ь, с) = (л-Ь, л-с). (1)
Вот его доказательство. Произведение л (Ь, с) порождается про-
изведениями а(Ь + с), которые в силу равенства
a (b -|- с) = ab + ас,
§ 116]
ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНЫЕ ИДЕАЛОВ
427
принадлежат идеалу (а • Ь, а-с); наоборот, идеал (л-b, а-с) по-
рождается произведениями ab и произведениями ас, принадле-
жащими идеалу л (Ь, с).
Правило, такое же, как (1), имеет место и тогда, когда в скоб-
ках вместо Ь, с стоят несколько или даже бесконечное множество
идеалов.
Так как все произведения ab лежат в а, то справедливо
включение
л • 6 £ я
и точно так же
л • Ь е Ь.
Отсюда следует, что
я-Ь £ [л, Ь],
или: произведение делится на наименьшее общее кратное.
В кольце целых чисел произведение наименьшего общего крат-
ного и наибольшего общего делителя двух идеалов л и b равно
произведению лЬ. Это справедливо не в любом кольце. Однако
в общем случае имеет место соотношение:
[лПЬ]-(л, Ь) <= яЬ. (2)
Доказательство.
[л П Ь] • (л, Ь) = ([л П Ь] • л, [л П Ь] 6) е (Ь • л, л • Ь) = л • Ь.
Идеал о, состоящий из всех элементов рассматриваемого кольца,
называется единичным идеалом. Разумеется, справедливо вклю-
чение
л • о = л.
Если же о содержит единичный элемент е, то имеет место и
обратное включение
л = л -е s л • о.
Таким образом,
л-о = л.
Тем самым идеал о играет в рассматриваемой ситуации роль
единичного элемента относительно умножения. Он порожден
в этом случае единичным элементом кольца.
Всегда выполнены следующие равенства:
(л, с) = о; л Г|о = л.
Под частным л : Ь, где л — некоторый идеал, мы подразуме-
ваем совокупность тех элементов у из о, для которых
уЬ = О(л) при всех b из Ь. (3)
Эта совокупность является идеалом, потому что если у и 6 обла-
дают свойством (3), то и элемент у — 6 обладает этим свойством,
428
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
и если свойством (3) обладает элемент у, то им обладает и любое
произведение гу. При этом предполагается, что а —идеал; отно-
сительно b такое предположение не обязательно: множество Ь
может быть произвольным и даже состоящим из одного-един-
ственного элемента.
Если а и Ь —идеалы, то из определения следует, что
b • (а : b) s я.
В кольце целых чисел конструкция частного двух главных
идеалов (а), (6)^0 проводится так: множители, участвующие
в разложении числа а и делящие Ь, отбрасываются; например,
(12):(2) = (6),
(12): (4) = (3),
(12):(8) = (3),
(12): (5) = (12).
Иначе говоря: число а делится в обычном смысле на наиболь-
ший общий делитель (а, Ь).
В кольцах общего вида выполняется соответствующее этому
наблюдению правило:
я : Ь = я : (я, Ь),
которое легко доказывается, но не является особенно важным.
Очевидно, имеет место включение я = (я: Ь), так как каж-
дый элемент из я обладает свойством (3). Таким образом, есть
два крайних случая:
я: b = я и я : Ь = я.
Первый случай встречается, когда b s я, потому что тогда для
каждого у выполнены сравнения
yb = О (Ь) = 0 (я).
Второй случай встречается, когда из yb = 0 (я) следует, что у ===
= 0(я). Тем самым сравнение уЬ==О(я) можно тогда делить
на Ь. В этом случае говорят, что идеал b прост относительно я;
мы, однако, редко будем употреблять этот термин, который
может привести к путанице, а будем писать я:Ь = я. В случае
целых чисел а и Ь, отличных от нуля, утверждение:
из yb == 0 (а) следует у = 0 (а),
справедливо, очевидно, лишь тогда, когда а и b не имеют общих
множителей. В более общих случаях предикат «прост относи-
тельно» не симметричен', например, если я —простой идеал, а Ь —
отличный от о идеал, являющийся собственным простым дели-
§ 117]
ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
429
телем идеала а, то
а : b = а и b прост относительно а,
но
Ь:а = о и а не прост относительно Ь.
Например,
(0): (2) = (0),
(2):(0) = (1).
Важным является следующее соотношение:
[аь .... йг]: b = [iij: Ь, .... аг: Ь]. (4)
Доказательство. Из
yb <= [ат, аг]
следует, что
yb = для каждого I,
п обратно.
Задача 1. Доказать соотношения:
(а : Ь): с = а : Ьс = (а : с): Ь,
а : (6, с) = (й : Ь) П (а : с).
Задача 2. Доказать равносильность трех уравнений:
а) а : ('! = а и а : Ь2 = а;
б) а : [bi П Ь2] = а;
в) а :Ь11’2 = л.
§ 117. Простые идеалы и примарные идеалы
Ранее мы определили простые идеалы как идеалы, кольцо
классов вычетов которых не имеет делителей нуля.
В кольце целых чисел каждое натуральное число а является
произведением степеней различных простых чисел:
« = (1)
а потому каждый идеал (а) является произведением степеней
простых идеалов:
(п) = (Л)°1...(длЛ.
В кольцах общего вида нельзя ожидать столь простых теорем
о разложении идеалов. Например, в кольце целочисленных мно-
гочленов от одной переменной х идеал (4, х), не являющийся
простым, имеет, кроме единичного идеала о, лишь один простой
делитель (2, х), но не равен никакой степени идеала (2, х).
Таким образом, в общем случае нельзя ожидать представления
идеалов в виде произведений; самое большее, что можно ожи-
дать, это представление идеалов в виде наименьших общих кратных
430
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
(ГЛ XV
(пересечений) по возможности простых компонентх) в соответст-
вии с тем представлением, которое дает (1) для идеала (а) как
наименьшего общего кратного:
(а) = [ЗД- (//)]•
Входящие в это представление идеалы (ра) обладают следую-
щим одним характерным свойством: если произведение ab делится
на ра, а один из сомножителей, скажем а, не делится на ра, то
другой сомножитель b должен содержать по крайней мере какой-
либо делитель элемента ра. Это означает, что некоторая степень Ьр
должна делиться на ра. Итак, из
аб = 0 (р°),
следует, что
Ьр = О(ра).
Идеалы с таким свойством будут называться примарными.
Идеал q называется примарным, если из
ab = 0 (q), а 0 (q)
следует существование такого р, что
bp==O(q).
Это определение можно высказать и так:
Если в кольце классов вычетов по идеалу q имеет место равен-
ство ab = 0 и а^=0, то некоторая степень Ьр должна быть
равна нулю_.
Если ab = Q и то это означает, что Ь — делитель нуля.
Если некоторая степень Ьр элемента равна нулю, то элемент b
называется нильпотентным. Таким образом,
Идеал является примарным, если в кольце классов вычетов по
нему каждый делитель нуля нильпотентен.
Как видим, это определение — небольшая модификация опре-
деления простого идеала; в кольце классов вычетов по простому
идеалу каждый делитель нуля должен быть не только нильпо-
тентным, но и равным нулю.
Мы увидим, что примарные идеалы в кольцах общего вида
играют ту же роль, что и степени простых чисел в кольце целых
чисел, а именно: при очень общих предположениях каждый идеал
х) Представление в виде наименьшего общего кратного в ряде случаев
естественнее, чем представление произведением, а именно, когда нужнс выяс-
нить, делится ли данный элемент b на идеал ш, т. е. принадлежит ли он ш.
Если m = [ц, ..., аг], то Ь принадлежит m тогда и только тогда, когда Ь со-
держится в каждом av.
§ 117]
ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
431
представляется как пересечение примарных идеалов и в этом
представлении проявляются важнейшие структурные свойства
идеалов.
Примарные идеалы не обязаны быть степенями простых иде-
алов, как показывает приведенный в начале пример идеала (4, х),
который, очевидно, примарен. Обратное также неверно; например,
в кольце целочисленных многочленов ao + aix + .. ,-\-апх'1, у кото-
рых ах делится на 3, идеал р = (Зх, х2, х3) простой, но р2 =
= (9х2, Зх3, х4, х5, х6) не примерный, потому что
9х2 = 0(р2),
х2=ё0(р2),
9^ 0 (г2)
для каждого р.
Свойства примарных идеалов, не зависящие
от теоремы о цепях делителей
I. Для каждого примарного идеала q существует простой
идеал р, делящий его и определяемый следующим образом-, р является
совокупностью тех элементов Ь, для каждого из которых некото-
рая степень Ь-’ принадлежит q.
Доказательство. 1. Множество р —идеал, потому что
из b'} = 0 (q) следует, что (rb)p = 0 (q), и из Ь° = 0 (q) и с0 = 0 (q)
следует (ввиду того, что в выражении (Ь — с)р+ог“1 после раскры-
тия скобок каждое слагаемое содержит либо Ь° либо с°) сравнение
(fe-c)PiO1 = 0(q).
2. Идеал р прост, потому что из
ab = 0 (р),
а 0 (р)
следует, что существует р, дтя которого
арЬр == 0 (q)
и
ap^0(q).
Следовательно, нужно взять такое ст, что
bpor==0(q).
Отсюда следует, что
Ы0(р).
3. Идеал р является делителем идеала q:
q = 0 (р);
432
О5ЩЛЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ XV
в самом деле, элементы из q, конечно, таковы, что некоторые их
степени лежат в q.
Идеал г называется простым идеалом, ассоциированным с при-
мерным идеалом п; идеал же q называют ассоциированным с иде-
алом у примерным идеалом. Из определения примарного идеала
следует:
II. Если ui> = 0(q) и а^ёО(ц), то Ь = 0(у).
В некотором смысле обращение этого предложения таково:
III. Пусть v и q — идеалы, обладающие следующими свойствами:
1) из ab=H(q) и а О (q) следует, что 6 = 0 (у);
2) >1^0(у);
3) из b = Q(f) следует, что bJ = O(q) для некоторого р;
тогда идеал q примарный, а у — ассоциированный с ним простой
идеал.
Доказательство. Из ab=Q (q) и a^O(q) следует (в силу 1)
и 3)), что ft’eOfq). Поэтому q —примарный идеал. Остается
лишь показать, что у состоит из таких элементов Ь, что некото-
рая степень 6° лежит в q. Половина этого утверждения заклю-
чена в условии 3). Остается показать, что из fe'l = 0(q) выте-
кает b = Q (г). Пусть р —наименьшее натуральное число, для кото-
рого b° = O(q). Для р=1 все следует из условия 2). Для
р>1 имеем: b • Ь? ’ = 0 (q), но &p-1s£O(q), откуда (в силу 1))
^О(г).
Эта теорема облегчает доказательство примарности и отыска-
ние ассоциированных простых идеалов в частых случаях; кроме
того, теорема показывает, какими свойствами ассоциированный
простой идеал определяется однозначно.
Свойство II имеет место и тогда, когда а и b заменяются на
идеалы а и Ь:
IV. Из nb s0 (q) и a=£O(q) следует, что b = 0 (г).
Действительно, если бы было Ь^О(у), то нашелся бы эле-
мент b в идеале Ь, пе принадлежащий идеалу i, и, точно так же,
элемент а из а, не принадлежащий идеалу q. Произведение ab
должно, однако, лежать в ab, а потому и в я, что противоречит
доказанному ранее.
Точно так же доказывается соответствующее утверждение для
простых идеалов:
из ab = 0 (у) и а=£0(г) следует, что Ь==О(у).
Вот одно следствие отсюда (получается (/г — 1 (-кратным приме-
нением доказанного):
из ah =s 0 (у) следует, что а = 0 (у).
Другая формулировка предложения IV такова:
IV'. Из Ь^О(у) следует, что q:b = q.
В кольце классов вычетов c/q лежит идеал y/q (в силу у э о). Он
состоит из всех нильпотентных элементов, а в случае q о из
всех делителей нуля.
§ 117]
ПРОСТЫЕ ИДЕАЛЫ II ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
433
Свойства примерных идеалов в предположении
справедливости теоремы о цепях делителей
Если г — простой идеал, ассоциированный с q, то некоторая
степень каждого из элементов идеала р лежит в идеале q. Наи-
меньшая из этих степеней зависит от выбираемых элементов и
может неограниченно расти. Если же предположить, что в кольце о
выполнена теорема о цепях делителей, то степень не может расти
неограниченно, о чем говорит следующая теорема:
V. Некоторая степень Д делится на q:
V” = 0(q).
Доказательство. Пусть (pt, .... рг) — некоторый базис
идеала р. Пусть в идеале q лежат степени р1’1, .... рргг. Положим
р = jc (р/ -1) +1;
1
тогда Д будет порождаться всевозможными произведениями эле-
ментов pi по р штук в каждом из таких произведений. В каждом
из этих произведений по крайней мере один из сомножителей
встречается более (р, — 1) раз, т. е. не менее р; раз. Следова-
тельно, все образующие идеала рр лежат в q, откуда и
чается требуемое.
Итак, между примарным идеалом q и ассоциированным
простым идеалом р выполняются следующие соотношения:
q = 0(V), 1
Д=0(Д /
Наименьшее число р, для которого выполняются эти соотношения,
называется показателем идеала q. Показатель задает, в частности,
верхнюю границу показателей тех степеней, в которые (по мень-
шей мере) нужно возвести элементы из р, чтобы получить эле-
менты из q.
Если идеал q примарен, то соотношения (2) являются харак-
теристическими для ассоциированного простого идеала V- В самом
деле, если другой простой идеал р' также удовлетворяет соотно-
шениям (2) при показателе р', то
ppEqsp' и, следовательно, >^р',
р'р' сцср и, следовательно, р' е р;
тем самым, р'=р.
VI. Из ab = O(q) и ci^O(q) следует, что для некоторого а
имеет место соотношение. b° = O(q).
Доказательство. Достаточно взять о = р. Из вЬ = 0 (q)
и а =£ 0 (q) следует, как это было доказано раньше, что b = 0 (р)
полу-
с ним
(2)
434
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
и потому
ЬР = о (р₽) = 0 (q).
Идеал q с только что описанным свойством называется сильно примарным,
в противоположность определенным ранее слабо примарным или просто при-
марным идеалам. В случае выполнимости теоремы о цепях делителей оба эти
понятия совпадают, потому что, как мы уже видели, примарные идеалы при
этом являются сильно примарными, а обратное легко следует из возможности
сведения идеалов а, b к главным идеалам (а), (&). Если же теорема о цепях
делителей не имеет места, то, хотя каждый сильно примерный идеал и является
слабо примарным, обратное не всегда верно. См. реферат работы: Вальфиш
(Walfisch A.). Uber primare Ideale. — Math. Rev., 1944, 5, S. 226.
Задача 1. Идеал a = (x2, 2x) в кольце целочисленных многочленов от
одной переменной х не является примарным. Вместе с тем имеет место соот-
ношение (х2) cz a cz (х) и идеал (х) простой.
Задача 2. Если в кольце с есть единица, то само о является единствен-
ным примарным идеалом, ассоциированным с простым идеалом в.
§ 118. Общая теорема о разложении
Начиная с этого места, будем считать, что о — нётерово кольцо.
Следовательно, в кольце о будут иметь место теорема о базисе,
теорема о цепях делителей, условие максимальности и принцип
индукции по делителям.
Идеал ш называется приводимым, если он представляется
в виде пересечения двух своих собственных делителей:
ш = яПЬ, а тэ т, Ьэт.
Если же такое представление невозможно, то идеал называется
неприводимым.
Примерами неприводимых идеалов служат простые идеалы;
действительно, если бы для какого-то простого идеала р оказалось
выполненным равенство
р = я f| Ь, а о р, b р,
то были бы справедливы соотношения
аЬ = 0 (я Q Ь) == 0 (р), я=£О(у), b=£0 (р),
что противоречит свойствам простого идеала.
В силу теоремы о цепях делителей, которая имеет место
в рассматриваемой ситуации, оказывается выполненной
Первая теорема о разложении. Каждый идеал является
пересечением конечного множества неприводимых идеалов.
Доказательство. Для неприводимых идеалов теорема
верна. Пусть, таким образом, т —приводимый идеал:
ш = я П Ь, я о nt, b дэ т.
Если считать доказываемую теорему верной для всех собствен-
ных делителей идеала ш, то она будет верна, в частности, для
§ 118]
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ
435
идеалов а и Ь; пусть таким образом,
a = [ti, ij,
b = [is+1, ir].
Отсюда следует, что
ш = [1ъ ..., is, tm, ..., tr],
т. e. теорема верна и для идеала т. Так как она справедлива
и для единичного идеала (всегда неприводимого), то в силу
принципа индукции по делителям теорема верна в общем случае.
От представления с помощью неприводимых идеалов мы перей-
дем к представлению примарными идеалами.
Каждый неприводимый идеал примарен.
Доказательство. Пусть идеал ш не является нримарным.
Нужно показать, что m приводим.
Так как ш непримарен, то существуют такие два элемента
а, Ь, что
ab = 0 (tn),
а 0 (ш),
bp^0(m) для каждого р.
В силу теоремы о цепях делителей ряд частных идеалов
m : b, т:Ь2, ...
должен на каком-то шаге оборваться, т. е. для некоторого k
должно быть выполнено равенство
m : bk = tn : bft+1.
Мы утверждаем теперь, что
tn = (ш, а)П(м, vbk). (1)
Оба идеала в правой части являются делителями идеала m
и эти делители собственные, так как первый из них содержит
элемент а, а второй — степень bkJrl. Мы должны показать, что
каждый общий элемент этих двух идеалов обязательно принад-
лежит ш. Любой такой элемент с, являясь элементом идеала
(in, t>bk), должен иметь вид
с = т + rbk\
с другой стороны, как элемент идеала (tn, а), элемент с обладает
свойством
cb = 0 (mb, ab) =sO(m).
Отсюда следует, что
mb 4- rbft+1 = 0 (ш),
== 0 (nt),
436
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ XV
откуда в силу равенства ш : bk+1 = m : bk получаем
rbk = 0 (m),
c = /n + rbk = 0 (m).
Тем самым доказано (1), т. е. идеал ш оказался приводимым.
Так как каждый идеал представляется пересечением конечного
множества неприводимых идеалов, а каждый неприводимый идеал
примарен, то:
Каждый идеал представляется в виде пересечения конечного
множества примерных идеалов.
Эту теорему можно усилить. Прежде всего, из представления
™ = [‘Ь •••. Яг]
можно исключить идеалы которые содержат пересечения осталь-
ных. Так получится несократимое представление, т. е. представ-
ление, в котором ни одна из составляющих не содержит пересе-
чение остальных. Может оказаться, что в таком представлении
некоторые примарные компоненты задают вновь примарный идеал,
т. е. пересечение этих примарных компонент вновь примарно.
Следующие предложения показывают, когда этот случай имеет
место:
1. Пересечение конечного множества примарных идеалов, ассо-
циированных с одним простым идеалом, является вновь примарным
идеалом, ассоциированным с тем же простым идеалом.
2. Несократимое пересечение конечного множества примарных
идеалов, не ассоциированных с одним и тем же простым идеалом,
не является примарным.
Эти теоремы выполняются независимо от теоремы о цепях
делителей.
Доказательство предложения 1. Пусть
>n = [qi, .... qr],
где q1T .... ассоциированы с идеалом р. Мы будем основываться
на теореме III (§ 117). Из
ab = 0 (ш), аг£0 (ш)
следует, что
ab 0 (qv)
для всех v и
(qv)
по крайней мере для одного v, а отсюда получается, что й = О(р).
Далее, очевидно, что
ш = 0 (qv) = 0 (р).
Наконец, если b == 0 (р), то
b''v = O(nv) для ссех v;
§ 118]
ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ
437
следовательно, если р = max pv, то
6p=a0(qv) для всех v,
ЬР = 0 (ш).
Тем самым все свойства, перечисленные в теореме III, налицо.
Поэтому идеал ш примарен и р — ассоциированный простой идеал.
Доказательство предложения 2. Пусть дано песо
кратимое представление
111 = [Qi, ..., qr] (г =52),
в котором по крайней мере два ассоциированных простых идеала pv
различны. Мы будем считать с самого начала, что каждая группа
примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым
идеалом и пересекающихся по некоторому примарному идеалу,
заменена на это пересечение. Представление при этом останется
несократимым.
Среди конечного множества простых идеалов существует
минимальный, т. е. такой, который не содержит ни одного из
остальных. Пусть таковым является идеал Vi- Так как не
содержит v2, ... , рг, то существует такой элемент яу, что
поэтому для достаточно большого р имеет место соотношение
Если бы было qx = in, то представление m = [qj, ... , qr] было бы
сократимым (можно было бы удалить q2, ..., qr). Следовательно,
в й! существует элемент qx со свойством
<7!^ 0(т).
Произведение
<71 (а2 ... агу
принадлежит как qn так и q2, ..., qr, а потому и идеалу ш. Но
элемент q± не принадлежит идеалу ш. Если бы ш был примарным,
то это означало бы, что
(а2 ... аг)ра = 0 (ш),
(«2 ... аг)р0 == 0 (pj);
следовательно, так как идеал pj прост, то
Щ. = 0 (Vi)
по крайней мере для одного v, что противоречит сказанному ранее.
Если в каком-либо несократимом представлении
ш = К......qj
438
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ XV
все ассоциированные простые идеалы различны, так что ника-
кие два или более идеалов в этом представлении не ассоцииро-
ваны с одним простым идеалом, то представление называется
представлением наибольшими примарными идеалами. Эти наи-
большие примарные идеалы называются также примарными ком-
понентами идеала ш.
Любое неприводимое представление m = [q1, ..., qr] можно
заменить представлением наибольшими примарными идеалами,
группируя примарные идеалы, ассоциированные с одним простым
идеалом. Тем самым доказана вторая теорема о разло-
жении:
Каждый идеал допускает несократимое представление в виде
пересечения конечного множества примарных компонент. Эти
примарные компоненты ассоциированы с попарно различными
простыми идеалами.
«Вторая теорема о разложении» была доказана для колец
многочленов Э. Ласкером, а в общем случае Э. Нетер; этот
результат относится к числу важнейших результатов общей тео-
рии идеалов. С приложениями теоремы мы познакомимся в основ-
ном в главе 16. В ближайших параграфах мы исследуем вопрос
о том, как обстоит дело с однозначностью для примарных ком-
понент.
Задача 1. Представить идеал (9, Зх-|-3) в кольце целочисленных мно-
гочленов в виде пересечения его примарных компонент.
Задача 2. Для каждого идеала а существует произведение степеней
простых идеалов v^’1 - •... • кратное идеалу а и такое, что каждое pv
делит а.
Задача 3. Если кольцо о обладает единицей, то каждый отличный от о
идеал а делится по крайней мере на один отличный от о простой идеал.
Задача 4 Идеал (4, 2х, х2) в кольце целочисленных многочленов от
одной переменной является примарным, но приводимым. (Разложение: (4, 2х,
х2) = (4, х)П(2, х2)-)
§ 119. Теорема единственности
Разложение идеалов на наибольшие примарные компоненты
не является однозначным.
Пример. Идеал
ш = (х2, ху)
в кольце многочленов К [х, у] состоит из многочленов, которые
делятся на х и не содержат линейных частей. Множество всех
делящихся на х многочленов является простым идеалом
41 = (*);
множество всех многочленов, в которых отсутствуют свободные
и линейные части, является примарным идеалом
Чг = (А ху, у2).
§ I19|
ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ
439
Таким образом,
1П-[Ч1, я2].
Это — несократимое представление и, так как ассоциированные
с qi и q2 простые идеалы (х) и (х, у) различны, то это —
представление наибольшими примарными компонентами. Наряду
с ним есть еще одно:
ш = [91, q3],
где
Чз = (х2, у).
Действительно, чтобы многочлен принадлежал идеалу ш, доста-
точно потребовать, чтобы он делился на х и в нем отсутствовало
слагаемое, содержащее х. Когда поле К бесконечно, можно при-
вести бесконечное множество представлений такого сорта:
ra = [(li. q(X)]> q(Z) = (x2, у4~Хх).
Для всех указанных разложений идеала m общим является
одинаковое число примарных компонент и набор ассоцииро-
ванных простых идеалов:
(х), (х, у).
Это является общим фактом:
Первая теорема единственности. В любых двух
несократимых представлениях идеала in наибольшими примарными
компонентами количество компонент (но не обязательно сами
компоненты) и наборы ассоциированных простых идеалов совпадают.
Доказательство. Для любого примарного идеала утвер-
ждение тривиально. Следовательно, мы можем провести индукцию
по числу примарных компонент, появляющихся по крайней мере
в одном представлении рассматриваемого идеала.
Пусть
ш = [Ч1, .... qz] = [q;, .... q/']. (1)
Из всех ассоциированных простых идеалов ръ ..., pz, pj, .... р[
выберем максимальный, т. е. не содержащийся в других. Пусть
он входит, скажем, в левую часть и равен рР Тогда этот идеал
входит и в правую часть. Действительно, иначе можно было бы
в (1) построить частные от деления на qf
[qi: qv .... 41:4!] = [qj: qb .... q[. : qj;
для всех v>l имеет место qj^O(pv), так как в противном
случае было бы рх = 0 (pv), что противоречит максимальности
идеала рг Точно так же для всех v имеет место q!^O(pv). Сле-
довательно, в силу теоремы IV' (§ 117) имеем
qv : qi = qv (v = 2, ..., Z).
qv: Я1 = qv (v = l, ..., I).
440
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
Так как, далее, qi: q! = о, то
[о, q2, .... qz] = [q(, ... , qz',].
Справа стоит идеал ш и поэтому слева тоже должен быть идеал
in; идеал о можно отбросить. Следовательно,
m = [q2, .... qz].
Это означает, что первое из двух данных представлений (1) при
сделанном выше допущении оказывается сократимым, что проти-
воречит условию.
Таким образом, каждый максимальный простой идеал входит
в обе части данного равенства.
Пусть теперь, например, 1=^-1’. Докажем, что 1 = 1' и что
(при подходящей нумерации) у(,= h- Для идеалов, которые пред-
ставляются менее чем / примерными компонентами, все можно
считать доказанным. Упорядочим идеалы q и q' так, чтобы yz =
= )[ был максимальным ассоциированным (с qz и q[) простым иде-
алом.
Разделим обе части (1) на произведение qzq{:
[Qi:qiql, •••> Qz:<ii4i] = [qf:qn!, •••, qz-Ч1ЧП;
тогда, так же как в предыдущем случае, получим
qv;qiqi=qv, 1 , п
qv • qiqi — qv J
Далее, так как q^f делится на qz и на q[, то
«1: qoii = с
qJ: Qiqi = с-
Таким образом,
[q2. •••, qz] = [q2, .... qz'].
Так как теперь слева и справа указано несократимое представ-
ление наименьшими примарными компонентами, то по предполо-
жению индукции имеет место равенство Г — 1=Z — 1, т. е. I' = I.
Кроме того, при подходящей нумерации pv = Vv для всех v>l.
Так как еще yz = у{, то все доказано.
Однозначно определенные в силу только что доказанной теоремы
идеалы ..., yz, которые возникают как ассоциированные про-
стые идеалы в несократимом представлении а = [qx, ..., qz], назы-
ваются простыми идеалами, ассоциированными с идеалом а. Вот
их важнейшее свойство:
Если идеал а не делится ни на один простой идеал, ассоции-
рованный с идеалом Ь, то Ь: а = Ь; верно и обратное.
Доказательство. Пусть b = [qz, .... qz] — несократимое
представление. Пусть сначала а^О(у,) для i = l, ..., I, где щ—
§ 120] ИЗОЛИРОВАННЫЕ КОМПОНЕНТЫ 441
идеал, ассоциированный с qz. Отсюда следуец что
: а = <к,
b:a = [q1, qz]: а =
= [qi:a, . ..,qz:a] =
= <Iz] = b.
Обратно, пусть Ь:я = Ь. Если бы было a = O(pz) для некоторого
I, скажем, я = О(р/), то это означало бы, что яр i=0 (qj, а потому
4!j [Ч2, •••. 4z] = 0([q1, а2, ..., qz]) = O(b)
и, следовательно, в силу того, что каждое сравнение по mod b
можно сокращать на а и, стало быть, на яр, имеем
[q2, ..., qz]= 0(b),
что противоречит несократимости данного представления.
Важный частный случай: идеал а является главным идеа-
лом (а):
Если элемент а не делится ни на один из простых идеалов, ассо-
циированных с данным идеалом Ь, то Ь:я = Ь, т. е. из ас = 0(\>)
следует, что с = 0(Ь).
Общую теорему можно сформулировать и иным способом,
представляя идеал а в виде пересечения примарых идеалов [я[, ...
..., qZ’]. Идеал а тогда и только тогда делится на рг, когда этим
свойством обладает одно из q), или, что то же самое, одно из р/.
Следовательно,
Если ни один из простых идеалов, ассоциированных с я, не
делится на простой идеал, ассоциированный с Ь, то b : я = Ь; верно
и обратное.
§ 120. Изолированные компоненты
и символические степени
Пусть S — непустое множество в коммутативном кольце о, содер-
жащее вместе с двумя любыми своими элементами s, t и их произведе-
ние st. Такое множество S называется мультипликативно зам-
кнутым.
Пусть m — идеал в о. Под ms мы подразумеваем множество
всех тех элементов х из о, для которых sx лежит в ш при каком-то
$ из S.
Множество ins является идеалом (очевидно, делителем идеала ш);
действительно, если х и у лежат в ms, то sx и s'y принадлежат
in, а потому
ss' кх — у) — s' (sx) — s (s'y)
442
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
лежит в tn, так что х — у принадлежит nts; если х принадлежит
ills, т0 и гх лежит в ms. То, что все элементы из m принадлежат
идеалу ms, очевидно.
Идеал nis называется S-компонентой идеала ш или, более под-
робно, компонентой идеала tn, определенной множеством S.
Начиная с этого места, пусть о — нётерово кольцо. Если идеал
m представляется в виде произведения примарных идеалов
m-=[qb ..., qr], (1)
то примарные идеалы ср можно подразделить на те, которые пере-
секаются с S, т. е. имеют с S по крайней мере один общий эле-
мент, и на все остальные. Если q( имеет с S общий элемент s,
то ассоциированный простой идеал р( содержит тот же элемент s.
Обратно, если р содержит некоторый элемент s из S, то q; имеет
с S общий элемент s° при некотором натуральном р.
Перенумеруем идеалы q( так, чтобы qn ..., qh не пересекались
с S, a qA+1, ..., qr пересекались. Утверждается:
nis = [qi, •••> Qft]- (2)
В случае /г = 0 соотношение (2) означает попросту, что т5 = с.
Доказательство. Если х принадлежит идеалу т$ и, сле-
довательно, sx принадлежит ш, то для
sx = О (q(), s 0 (р;) и, следовательно, х == О (Ц/),
т. е. х принадлежит идеалу [qlt ..., qA]. Обратно, если х принад-
лежит [qj, ..., qA], то в случае г>/1 для каждого i от /г-f-1 до
г можно выбрать элемент s; из S, который делится на q(. Положим
s = sft+i... sr.
В случае r = h выберем s из S произвольно. В обоих случаях
элемент sx делится на все идеалы qz, т. е. sx принадлежит идеалу
tn, а потому х принадлежит идеалу ms.
Примарная компонента q; идеала m называется вложенной,
если ассоциированный простой идеал р/ является делителем дру-
гого ассоциированного с m простого идеала р7; в противном слу-
чае компонента называется изолированной. В первом случае сам
ассоциированный простой идеал р( называется вложенным
(а именно — вложенным в идеал рД а во втором — этот идеал
называется изолированным. Аналогично, подмножество |qa, qft, ...}
или {ра, р6, ...} множества всех идеалов соответственно р;,
называется изолированным, если ни один из идеалов ра, рь, ...
не является делителем какого-либо р/, не принадлежащего под-
множеству.
При заданном идеале m = [qi, ..., qr] каждому мультиплика-
тивно замкнутому множеству S соответствует некоторое изолиро-
§ 120]
ИЗОЛИРОВАННЫЕ КОМПОНЕНТЫ
443
ванное подмножество {р1( рА}, состоящее из тех рг, которые
не содержат ни одного элемента из S. Это подмножество изоли-
ровано потому, что если р; — идеал этого подмножества, являю-
щийся делителем идеала ру, то и р, принадлежит подмножеству.
Пересечение примарных идеалов, ассоциированных с ръ ..., рА,
является в этом случае изолированной компонентой as.
Важным частным случаем является тот, когда выбирается один
изолированный идеал р;, а в качестве S берется множество эле-
ментов кольца о, не делящихся на р;. Это множество непусто,
за исключением тривиального случая ш = о. Любой другой идеал
р; содержит элемент, не делящийся на р;, т. ё. элемент из S.
Тем самым из (2) следует, что
nis = Чь
Следовательно, идеал nts однозначно определяется идеалом ш
и множеством S, т. е. идеалом m и идеалами р;. Изолированные
идеалы р, также определяются идеалом m однозначно. В итоге
имеем:
Изолированные примарные компоненты q; в (1) определены одно-
значно.
Задача. Тем же методом доказать вторую теорему единствен-
ности; пересечение [qo, ...] изолированного множества примарных компо-
нент идеала ш однозначно определяется заданием ассоциированных простых
идеалов ра, рА, ...
Символические степени. В § 117 мы видели, что сте-
пени рл простого идеала р не обязаны являться примарными
идеалами. Представим рг в виде пересечения примарных компонент:
vr=[qi.....qj;
тогда все ассоциированные простые идеалы ръ ..., рл будут дели-
телями идеала рг, а потому и идеала р. Произведение p1-...-pJ
таково, что некоторая его степень делится на все q,-, а потому
на рЛ и, следовательно, на р. Отсюда вытекает, что один из со-
множителей, скажем рп должен делиться на р. С другой стороны,
pj —делитель идеала р, так что pi = p.
Остальные идеалы рг (i=/=l) являются собственными делите-
лями идеала р. Отсюда следует, что qj является изолированной
примарной компонентой идеала рг и в этом качестве определя-
ется однозначно. Точнее, идеал qt является изолированной ком-
понентой р£ идеала рЛ, определенной множеством S, где S—мно-
жество элементов кольца о, не делящихся на р.
Однозначно определенная таким способом примарная компо-
нента идеала рг, ассоциированная с простым идеалом рг = р,
называется, по предположению Крулля, г-й символической сте-
пенью идеала р и обозначается р(/,).
444
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
§ 121. Теория взаимно простых идеалов
В дальнейшем будет предполагаться, что в кольце о существу-
ет единица. Эта единица порождает единичный идеал с:
о = (1).
Два идеала а, b называются взаимно простыми, если у них нет
общих деталей, кроме о, т. е. если их наибольший общий дели-
тель равен о:
(я, I') = о.
Это означает, что каждый элемент из о представляется в виде
суммы некоторого элемента из а и некоторого элемента из Ь.
Необходимым и достаточным для этого является условие
представимости единицы (образующей идеала о) в виде суммы
1 = a}-b (1)
(а <= я, b е Ь).
В этом случае
a-1(b),
а - 0 (я),
£> = 0(Ь), 1
b 1 (я). )
(2)
Если два примарных идеала q1( q2 взаимно просты, то ассо-
циированные простые идеалы р2 тем более взаимно просты
(каждый общий делитель и р2 является общим делителем и
идеалов q2). Однако верно и обратное: из взаимной простоты
идеалов р2 следует взаимная простота идеалов qn q2. В самом
деле, из
1 =Р1 + Р2
при возведении в (р + а — 1)-ю степень следует, что
1 =рР + ®-1 + .. , + ро + а-1;
выберем р и <т настолько большими, чтобы рР лежало в qlt а р"
лежало в q2; тогда каждое слагаемое лежит либо в q1( либо в q2
и, следовательно,
1 =71 + 72-
Если два идеала взаимно просты, то они являются простыми
друг относительно друга.
Доказательство. Пусть (я, Ь) = о и, скажем, а-|-6 = 1.
Достаточно показать, что я:Ьея. Если х принадлежит я: Ь,
то xb s я и xb = 0 (я); следовательно,
х(а-|-(>) = 0 (я),
х-1 =0 (я);
это означает, что х принадлежит я, что и требовалось доказать.
§ 121]
ТЕОРИЯ ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИДЕАЛОВ
445
Обращение неверно; вот пример: в кольце многочленов
К[х, у] идеалы (х) и (у) просты друг относительно друга, но не
взаимно просты:
(х, у)
(х): (У) = (х),
(у) •• (х) = (у)-
Если а и I' взаимно просты, то, как и в теории чисел, срав-
нения по модулям этих идеалов можно решать одновременно.
Пусть даны два сравнения:
f (Ю = 0 (а),
g(^O(b)
(f(x), gWea И).
Будем считать, что каждое из сравнений разрешимо. Если
g == а — решение первого сравнения, а £ = р — второго, то можно
построить элемент £, удовлетворяющий обоим сравнениям, сле-
дующим образом. С помощью построенных ранее элементов а и
Ь, удовлетворяющих соотношениям (1) и (2), составим
Тогда £ = а(а) и £ = (J(b), т. е. решение обоих заданных
сравнений.
Для двух взаимно простых идеалов наименьшим общим крат-
ным служит их произведение.
Доказательство. В § 116 было доказано, что
ab s а П Ь,
[а П Ь] • ('1, Ь) Е Д'.
Если (а, Ь) = о и существует единица, то второе соотношение
упрощается до
а П b Е аЬ;
следовательно,
а П Ь — лЬ.
Чтобы сформулировать эту теорему более чем для двух вза-
имно простых идеалов, докажем предварительно следующую
лемму:
Если идеал а взаимно прост с b и с, то а взаимно прост
с произведением 1ч и пересечением I’ П с.
Доказательство. Из
a-\-b = 1,
а 4~ с “ I
следует, что
(а Ь) (а' + с) = 1,
аа’ -f- ас 4- a’b 4- be = 1,
а" 4- be = 1,
446
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
где d' — аа' -j-ac-j-a'b — вновь некоторый элемент из а. Отсюда
следует, что
(а, Ьс) == о
и, тем более,
(а, bf]c) = o.
Тем самым доказаны оба утверждения.
Если теперь идеалы Ьь Ь2, • • • > Ь„ попарно взаимно просты и
уже доказано равенство
[bi, ..., b„ i ] = bi ... bn-!,
то
[bl....bn] = [bj....Ь„_1]ПЬ„ =
=(bi ь„-1)пь„ =
= l'i ... Ьл—i • b„;
следовательно, по индукции получается
Теорема. Наименьшее общее кратное конечного множества
попарно взаимно простых идеалов равно произведению этих
идеалов.
Сделанное раньше замечание о решении сравнений по моду-
лям взаимно простых идеалов остается в силе и для нескольких
попарно взаимно простых идеалов:
Если идеалы Ьь Ь2, ..., Ьг попарно взаимно просты, то суще-
ствует элемент Н, удовлетворяющий сравнениям
О’ = 1, 2, ..., г).
Доказательство проводится по индукции. Допустим, что
уже получен элемент т], для которого
’lHi(bi) (i = h 2, .... г - 1),
и найдем £ из условий
^n([bi, ..., br-i]),
что всегда возможно, так как идеал Ьл взаимно прост с идеалом
[Ь„ br_i].
Если в о имеет место теорема о цепях делителей, то каждый
идеал можно представить в виде пересечения попарно взаимно
простых идеалов, ни один из которых уже не представляется как
пересечение взаимно простых собственных делителей.
Для доказательства найдем в каком-нибудь несократимом пред-
ставлении данного идеала m примарными идеалами
m = [Я1, ..., q J
все те примарные идеалы, которые с одним, произвольно фикси-
рованным среди них идеалом соединяются цепью попарно не
взаимно простых примарных идеалов, и составим их пересече-
§ 122]
ОДНОКРАТНЫЕ ИДЕАЛЫ
447
ние bj. Из оставшихся идеалов точно так же построим последо-
вательно идеалы Ь2, ..., Ь^. Представление
m = [Ьь ..., bj (3)
обладает нужными свойствами. Действительно, во-первых, Ьг и
Ь* при i^k взаимно просты, так как компоненты идеала Ь;
взаимно просты с компонентами идеала ЬА. Во-вторых, невозможно,
скажем, идеал bt представить как пересечение двух взаимно про-
стых собственных делителей. Если бы такое представление было
возможно:
bj = b П с = bf,
(b, с) = о,
то каждый простой идеал, ассоциированный с обязательно
был бы делителем идеала be, а потому делителем идеала b или
идеала с; так как все эти простые идеалы связаны с одним из
них некоторой цепью попарно не взаимно простых идеалов (являю-
щихся простыми), то из того, что один из них делит Ь, следует,
что все они должны делить b и ни один из них не должен делить с.
Ассоциированные примарные компоненты делят Ьс; следовательно,
они делят и b (так как их простые идеалы не делят с). Отсюда
следует, что пересечение является некоторым делителем идеала Ь:
b е Ьп
что противоречит предположению, согласно которому b является
собственным делителем идеала Ьг
Вместо представления (3) в соответствии с нашими теоремами
можно записать следующее представление произведением:
m = bjb2 ... bf.
Задача. Пересечение (3) является прямым пересечением в смысле § 92.
Кольцо классов вычетов о/ш = е является прямой суммой колец а//ш=а/, каждое
из которых изоморфно некоторому кольцу классов вычетов о/(^. (Положить
ai = [bi> •••> 1» bi-n bs] и применить теоремы из § 92.)
§ 122. Однократные идеалы
Пусть опять о —нётерово кольцо с единицей.
Единичный идеал о, конечно, является простым. Какие при-
марные идеалы могут быть с ним ассоциированы? Ответ таков:
лишь само кольцо р, потому что если q — произвольный из ассо-
циированных с о примарных идеалов, то lp е q, откуда q = o.
Если в такой ситуации некоторое представление идеала а о
пересечением примарных идеалов [qn ..., qr] таково, что среди
ассоциированных примарных идеалов есть единичный идеал,
то соответствующий ему идеал q; также равен о и поэтому в пред-
ставлении пересечением может быть сокращен. Следовательно,
448
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
если представление а = [q1T .... qr] несократимо и а У- о, то еди-
ничный идеал не входит в число ассоциированных простых идеалов.
Отсюда немедленно следует предложение:
Каждый идеал «=# о обладает по крайней мере одним про-
стым делителем р =f= о. Если идеал а не является примарным,
то у него есть по крайней мере два простых делителя, отлич-
ных от о.
Идеал, у которого не более одного отличного от о простого
делителя, называется однократным (по Дедекинду). В соответ-
ствии с последней теоремой каждый однократный идеал п при-
марен. Кроме того, ассоциированный с ним простой идеал р обя-
зательно не имеет делителей, потому что если бы был
собственным делителем идеала р, то а' в свою очередь обладал бы
простым делителем р' о, который был бы собственным делителем
идеала р и, значит, идеал q обладал бы двумя различными и
отличными от о простыми делителями р и р', что противоречит
предположенной однократности идеала q.
Имеем
р'^О(а). (1)
Из соотношения (1) следует, что если р свободен от делителей,
то идеал q однократен. Действительно, в этом случае для любого
простого делителя р' идеала q из (1) следует, что
р^О(р'),
откуда
р^О(р')
и, следовательно, либо р'=р, либо р' = о. Таким образом, идеал q
не имеет простых делителей, отличных от р и с.
Итак, равносильны следующие понятия:
1) однократный идеал;
2) примарный идеал, ассоциированный с простым идеалом, не
имеющим делителей;
3) делитель некоторой степени рр простого идеала р, не имею-
щего делителей.
Далее имеет место предложение:
Пусть идеал ш обладает изолированной однократной примар-
ной компонентой а, р — ассоциированный простой идеал этой ком-
поненты, а р — ее показатель; тогда для любого целого числа
а Д- р имеем
q = (m, р°). (2)
Доказательство. Из
m == 0 (q)
и
p°=O(q)
§ 122]
ОДНОКРАТНЫЕ ИДЕАЛЫ
449
следует, что
(m, (3)
Пусть, с другой стороны,
m = [q, q2, .... qs]
— некоторое представление идеала ш примарными компонентами.
Идеал (ш, р°) однократный, а потому примарный. Ассоциирован-
ным простым идеалом служит идеал р. Произведение qq2 ... q5
делится на (ш, р°). Однако произведение q2 ... q^ не делится на р,
так как, по условию, q — изолированная компонента. Следовательно,
идеал q должен делиться на (ш, ра):
q=0(m, р°). (4)
Из (3) и (4) следует (2).
Следствие. Для ст^р
= 0 (q) = (m, pa+1);
таким образом,
p° = 0(m, ра+1). (5)
Для ст<р соотношение (5) не выполняется. Действительно,
если бы было
р° = 0(1п, р01)
для некоторого ст < р, то умножением на рр ° 1 можно было бы
получить
рр-1 = 0 (тр*3 оЛ, рр) =0(1П, q) = O(q),
что противоречит определению показателя р.
Показатель р идеала q является, таким образом, наименьшим
числом ст, для которого выполнено соотношение (5).
Существуют целостные кольца о с единицей, в которых (имеет
место теорема о цепях делителей и) каждый отличный от нуля
простой идеал не имеет делителей. Например, к числу таких колец
относятся кольца главных идеалов (ср. § 18), а также определяе-
мые ниже «порядки» в числовых и функциональных полях; типич-
ный пример — кольцо Z []Д—3]. Теория идеалов этих колец осо-
бенно проста. Прежде всего, здесь все примарные идеалы, кроме
нулевого, однократны. Далее, любые два отличных от нуля и друг
от друга простых идеала в этом случае взаимно просты. Отсюда
следует, что ассоциированные примарные идеалы для различных
ненулевых простых идеалов также взаимно просты. Наконец,
примарные компоненты любого идеала изолированы и, таким
образом, однозначно определены. Итак: каждый ненулевой идеал
однозначно представляется в виде пересечения попарно взаимно
простых однократных примарных идеалов. Согласно § 121 это
450
ОГ.ЩЛЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
пересечение равно произведению
a = [qi, qr] = q1...qr.
В кольцах главных идеалов примарные идеалы q; равны сте-
пеням простых идеалов. В общем случае это верно при некотором
условии, с которым мы познакомимся позже, — условии «цело-
замкнутости».
§ 123. Кольца частных
В § 13 мы построили поле частных произвольного коммута-
тивного кольца без делителей нуля. Эта конструкция без измене-
ний переносится и на кольца с делителями нуля, если только
в кольце есть элементы, не являющиеся делителями нуля. Для
этого строится кольцо дробей а/b, в которых знаменателями слу-
жат всевозможные элементы, не являющиеся делителями нуля,
а числителем а может быть любой элемент кольца.
Л1ножество знаменателей можно еще более ограничить. Пусть
в коммутативном кольце R задано непустое множество S эле-
ментов, не являющихся делителями нуля, которое вместе с двумя
любыми своими элементами s и t содержат их произведение st.
Тогда дроби a/s (а принадлежит R, a s принадлежит S) образуют
кольцо, содержащее кольцо R: кольцо частных R' = -$ . Это понятие
восходит к Греллю (Grell Н. — Math. Ann., 97, S. 499).
Если R’ — коммутативное кольцо, содержащее R, то каждый
идеал л из R порождает некоторый идеал а' в кольце R' — рас-
ширение идеала а в кольце R'. Наоборот, пересечение кольца R
с любым идеалом с' из R' всегда является идеалом в R — сужением
идеала с' в кольце R. Сужения идеалов cQT?' называются также
отмеченными идеалами х) кольца R (относительно R').
Общее исследование о расширениях и сужениях идеалов имеется
в уже упоминавшейся работе Грелля. Здесь же мы рассмотрим
лишь случай колец частных, где связи достаточно просты.
Если а —идеал в R, то расширение л' в кольце частных R'
состоит из всевозможных дробей a/s (а принадлежит a, s принадле-
жит S). Если из идеала п' построить сужение а' П R, то получится
в точности S-компонента о$, определенная в § 120, а именно —
множество всех х, для которых sx при некотором s из S лежит в п.
Обратно, если исходить из произвольного идеала а' кольца
частных R' и построить сужение
а = а' П R,
то расширением идеала а вновь будет а'. Пересечение этого рас-
>) В оригинале —ausgezeiclinete Ideale, — Прим, иерее.
§ 123]
КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
451
ширения с 7? равно а и в этом случае д$ = а. Наоборот, если
а$ = а, то а —сужение некоторого идеала, а именно — идеала а',
являющегося его расширением. Отмеченные идеалы а кольца R
характеризуются, следовательно, свойством'. as = a.
Из сказанного немедленно следует, что между идеалами а'
кольца R' и отмеченными идеалами а кольца R есть взаимно
однозначное соответствие по правилу: л является сужением иде-
ала а', а л' является расширением идеала а. При этом, очевидно,
пересечению соответствует пересечение а П с.
Если в R имеет место теорема о цепях делителей, то она
имеет место, в частности, и для отмеченных идеалов, а потому
и для идеалов кольца R'. Упорядочим в пересечении
a = [qi, ..., qr] (1)
примарные идеалы q, так, чтобы элементы из S содержались
лишь в qA+1, .... qr (или в ассоциированных простых идеалах
рл+1, ..., рг); тогда эти идеалы при расширении перейдут в еди-
ничный идеал кольца R’ и, как в § 120, получится, что
«д = [li....<1й]- (2)
Стоящие в правой части соотношения (2) идеалы q,- обладают
тем свойством, что qs = q. Таким образом, идеал as —отмеченный.
В силу взаимно однозначной связи между отмеченными идеалами
и их расширениями из (1) получается следующее представление
для расширения идеала:
Л' = [qi....Чл]- (3)
Сравнение равенств (1) и (3) показывает, что при переходе
от 7? к 7?' строение идеалов становится более бедным. Все те
идеалы, которые содержат элементы из S, — в частности, идеалы
qA+1, ..., qr, — дают в качестве расширения единичный идеал.
Лишь отмеченные идеалы а (обладающие свойством = л) остаются
при расширении неизменными в том смысле, что из л' можно
вновь получить исходный идеал л = л5 как результат сужения.
Задача 1. Если q— примарный идеал, а V — ассоциированный с ним про-
стой идеал, то расширение q' в кольце частных R' примарно и ассоциирован-
ным простым идеалом служит ]>'.
Задача 2. Если q'—-примарный идеал с ассоциированным простым иде-
алом р' в кольце R', то и в произвольном подкольце R сужение q = q'f]R
примарно с ассоциированным простым идеалом р = ]>'П7?-
Обобщенные кольца частных. Если S — мультипликативно
замкнутое множество кольца R, содержащее делители нуля, но
не содержащее самого нуля, то, следуя Шевалле, можно опреде-
лить обобщенное кольцо частных. Пусть п = (0)s — S-компонента
нулевого идеала в R. Построим сначала факторкольцо 7?*=7?/п,
452
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ XV
Классы вычетов элементов из S по модулю п составляют мульти-
пликативно замкнутое множество S* кольца 7?*, не содержащее
делителей нуля. Тогда можно построить обычное кольцо частных
7?' = $* . Оно и называется обобщенным, кольцом частных кольца R
относительно множества S. Свойства этого объекта аналогичны
свойствам обычных колец частных. Так, например, можно по-
строить расширение идеала а кольца 7?; для этого сначала строится
образ л* идеала а при гомоморфизме 7?->7?*, а затем берется
идеал кольца 7?', порождаемый идеалом а*. Аналогично строится
сужение идеала с' кольца 7?': сначала берется пересечение с коль-
цом 7?*, а потом строится множество элементов, классы вычетов
по модулю и которых принадлежат этому пересечению.
Дальнейшие сведения можно найти в книге: Норткотт
(Northcott D. G.). Ideal theory.—Cambridge Tracts in Math., 42,
section 2.7.
§ 124. Пересечение всех степеней идеала
Пусть в дальнейшем о обозначает нётерово кольцо с едини-
цей. Кольцо называется нуль-примарным, если примарен нулевой
идеал, т. е. если из ab = 0 следует, что а = 0 или Ьг = 0.
В фундаментальной работе В. Крулль1) показал, что в про-
извольном нуль-примариом кольце о,—в частности, в любом
целостном кольце — пересечение всех степеней каждого отличного
от о идеала а равно нулю. Для простых идеалов равно
нулю даже пересечение всех символических степеней р<г). Из этих
теорем оказывается возможным получить ряд утверждений и
о произвольных кольцах. Мы изложим здесь основные идеи со-
ответствующей теории.
Теорема 1. Если л и Ь — идеалы в нуль-примарном кольце о и
Ь<=аЬ, (1)
то а = о или о = (0).
Доказательство. Пусть Ь —(dt, ..., dn). Тогда из (1)
следует, что
<7г = У aihdk. (2)
Как обычно, положим, 6ife = 0 для i = k и 6(< = 1; тогда вместо
(2) можно записать
У (Sik — dik] dk — 0. (3)
Определитель этой системы уравнений равен
0 = 1 -а,
!) Krull W. Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen,—Sitzungsberichte
Heidelberger Akad., 1928, 7. Abh,
§ 124] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ВСЕХ СТЕПЕНЕН ИДЕАЛА 453
где а принадлежит идеалу а. Умножим уравнения (3) на миноры
элементов k-ro столбца определителя D и сложим полученные
равенства; получится х)
Ddk = О,
а отсюда для каждого элемента d идеала Ь получаем
(1 — a) d =Dd = 0.
Это означает, что либо (1—а)г = 0, либо, если ни одна из
степеней элемента (1—о) не равна нулю, d = 0 для всех d из Ь.
В первом случае 1=0(л) и, следовательно, я = о. Во втором же
случае Р = (0).
Теорема 2. Если о — нуль-примарное кольцо и я=/=о, то
пересечение всех степеней идеала а равно нулю'.
Ь = [а, а2, ...] = (0). (4)
Доказательство. Прежде всего следует доказать вклю-
чение b &1L Для этой цели представим ab в виде пересечения
примарных идеалов
ab = [q1, .... qj.
Для каждого i идеал яЬ делится на qz; следовательно, Ь или
некоторая степень лп делится на qz. Но идеал 0 делится на каж-
дую степень я"; следовательно, в обоих случаях b s qz. Так как
это включение имеет место для всех i, справедливо равенство
t> = яЬ. Согласно теореме 1 отсюда следует, что Ь = (0).
Для простых идеалов рФ о имеет место более сильное утвер-
ждение:
Теорема 3. В любом нуль-примарном кольце пересечение
всех символических степеней р(г) отличного от о простого идеала
р является нулевым идеалом:
[р, р‘2>, р(3), ...] = (0) (5)
Доказательство. Пусть S — совокупность всех элементов
из о, не делящихся на р. Возьмем кольцо частных os. Пусть
— расширение идеала р в кольце os. Очевидно, расширением
идеала рг будет фг. Однако сужение идеала на исходное
кольцо равно
(Г)$ = Р(г)-
Пересечение всех символических степеней р(г) равно пересе-
чению всех с кольцом о. Согласно теореме 2 пересечение всех
идеалов '4? равно нулю. Следовательно, пересечение всех р(г)
является нулевым идеалом.
1) См. задачу 9 в § 25,— Прим. ред.
454
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
Теоремы 1 и 2 могут быть распространены на произвольные
кольца рассмотренного здесь вида. Пусть S —множество всех
элементов s=l — а, где а пробегает идеал а. Множество S муль-
типликативно замкнуто, а потому можно определить S-компо-
ненту (0)s нулевого идеала как множество таких х, для которых
выполняется равенство
(1 — а)х = 0 для де ц.
Имеют место следующие предложения:
Теорема 1а. Из bsai? следует, что b s (0)s.
Теорема 2а. Пересечение всех степеней идеала а равно (ОД.
Доказательство теоремы 1а начинается точно так же, как
доказательство теоремы 1, — с равенства
(1 — a) d = 0.
Из этого равенства немедленно следует утверждение:
d i= (0)s для всех d из Ь.
Половина теоремы 2а —включение
[а, а2, ...] s (0)s
— доказывается точно так же, как теорема 2. Вторую половину —
включение
(0)s = [a, а2, ...]
— доказать тоже легко. Действительно, если х лежит в (ОД, то
(1 — а)х = 0,
откуда х = ах, и поэтому
х = ах = а2х — а3х =...
Тем самым элемент х делится на любую степень элемента а.
Применим теоремы 1 и 2 к факторкольцу o/q по некоторому
примарному идеалу q; в результате получатся следующие утвер-
ждения:
Теорема 16. Если q — примарный идеал и
b ==O(ab, q), (6)
то либо (a, q) = о, либо b==O(q).
Теорема 26. Если элемент у кольца о удовлетворяет при
каждом натуральном п сравнению
У^0(а”, q), (7)
то либо (a, q) = о, либо у = 0 (q).
§ 125] ДЛИНА ПРИМЛРНОГО ИДЕАЛА 455
Задача 1. В любом нё1еровом кольце с единицей пересечение всех сим-
волических степеней простого идеала р v равно (0)^.
Задача 2. Как формулируются теоремы 16 и 26, когда вместо примар-
ного идеала q берется произвольный идеал ш? (Применить теоремы 1а и 2а
к факторкольцу г/ш.)
§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов
в нётеровых кольцах
Теорема 1 и 2 (§ 124) и их варианты были использованы
в упоминавшейся работе Крулля для доказательства теорем об
обрыве цепей простых идеалов
П р2 .
Прежде чем обратиться к этим теоремам, нам нужно ввести поня-
тие длины примарного идеала.
Пусть q — примарный идеал, ассоциированный с простым иде-
алом р в нётеровом кольце о. Ряд примарных идеалов, ассоцииро-
ванных с одним и тем же простым идеалом р, оканчивающийся
называется собственным нормальным рядом данного примарного
идеала. Слово «собственный» употребляется здесь для указания
на то, что каждый последующий идеал является в данном ряде
собственным делителем предыдущего. Число I называется длиной
нормального ряда. Если в ряд нельзя более вставить ни одного
примарного идеала, то он называется композиционным рядом
примарного идеала q.
Докажем, что каждый нормальный ряд примарного идеала q
может быть уплотнен до некоторого композиционного ряда и что
все композиционные ряды имеют одну и ту же длину. Она назы-
вается длиной примарного идеала q.
Для доказательства можно ограничиться случаем, когда q —
нулевой идеал. Общий случай сводится к этому переходом
к кольцу классов вычетов по идеалу q. При таком гомоморфизме
все идеалы, делившие q, станут делителями идеала р.
Ситуация упрощается еще больше, если перейти к кольцу
частных о' =^, где S — множество элементов из о, не делящихся
на р. Все собственные делители идеала р при расширении о до о'
переходят в единичный идеал о'; только р переходит в отличный
от о' простой идеал р'. Так как каждый простой идеал в о'
является расширением некоторого простого идеала из о (а именно—
своего сужения), то в кольце о' существует только один простой
идеал р', если не считать само о'. Поэтому в представление пере-
сечением любого идеала in'=^o' может входить только один прп-
марный идеал (ассоциированный с простым идеалом р')> т. е.;
456 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ [ГЛ. XV
В кольце о' каждый идеал, отличный от о', является при-
марным относительно простого идеала р'.
Начиная с этого места, кольцо о' и идеал р' обозначим через
о и р. Рассмотрим о как аддитивную группу с областью опера-
торов о. Допустимыми подгруппами являются тогда идеалы в о,
т. е. само кольцо о и идеалы, примарные относительно простого
идеала р. Каждый собственный нормальный ряд в смысле теории
групп
о => Qi => q2 =>... qz = (0)
после отбрасывания начального члена о дает собственный нор-
мальный ряд примарного идеала qz = (0).
В главе 6 было доказано следующее утверждение: если в группе
с операторами существует композиционный ряд, то каждый нор-
мальный ряд можно уплотнить до некоторого композиционного
ряда и все композиционные ряды имеют одну и ту же длину I.
Поэтому нам нужно лишь доказать, что существует хоть один
композиционный ряд.
Для этого построим нормальный ряд
р о р2 о ... о рр = (0).
Факторгруппу pft/p*+1 можно рассматривать как векторное про-
странство с е/р в качестве области операторов. Так как идеал р
максимален, факторкольцо о/p является полем. Так как идеал pfc
имеет конечный базис, то указанное векторное пространство ко-
нечномерно; следовательно, существует конечный композицион-
ный ряд от pft до р*+1. Если для k = l, 2, .... р —1 записать
соответствующие композиционные ряды друг за другом от р до
(0), то получится требуемое.
Все теоремы Крулля о цепях простых идеалов опираются на
следующую основную теорему:
Теорема о главных идеалах. Если (Ь) =/= о — главный
идеал up — изолированный простой идеал, соответствующий (Ь),
то любая собственная цепь простых идеалов
Р => Рг =э • • •
обрывается уже на pv
Доказательство. Предположим, что существует цепь вида
Рорера. (1)
С помощью перехода к кольцу классов вычетов по модулю р2
можно сделать р2 равным нулевому идеалу. При этом получится
так, что само кольцо не будет содержать делителей нуля. Перей-
дем к кольцу частных ~, где S — множество элементов из о, не
делящихся на р; тогда все не делящиеся на р элементы станут
обратимыми, а делящиеся на р идеалы из цепи (1) останутся
§ 125]
ДЛИНА ИРИМАРНОГО ИДЕАЛА
457
различными и простыми. Кольцо частных, которое мы вновь обо-
значим через о, содержит единицу и не имеет делителей нуля.
Так как все простые идеалы, принадлежащие (Ь), переходят, за
исключением р, в единичный идеал, то (Ь) является примарным
идеалом для р. Равным образом, все делители идеала (6), кроме о,
являются примарными для простого идеала р. При переходе
к кольцу частных теория идеалов в о существенно упрощается,
что облегчает дальнейшее доказательство.
Обозначим через р<г), как и раньше, r-ю символическую сте-
пень идеала pt. Идеалы цепи
(Г, ft)==(Ki2, б)э...
являются делителями элемента Ь, а потому, в соответствии с от-
меченным выше, эти идеалы примарны относительно простого
идеала р. Число различных идеалов в этой цепи не может быть
больше, чем длина примарного идеала (ft); поэтому, начиная
с некоторого места, идеалы в цепи станут равными:
(if, ft) = (V(s + l), ft)
Пусть теперь m^s. Докажем сначала, что
p<m) s (ftpf, p<m + '>). (2)
Действительно, пусть х — элемент из р<"!). Тогда
х е (р<"!), ft) = (p<m+ °, ft),
в силу чего
x = y-\-br, где (/е|)<т+|),
так что
Ьг = х — у = 0 (р<т>).
По определению, идеал р<'"> является примарным и элемент ft
не делится на соответствующий простой идеал рх; следовательно,
элемент г должен делиться на р<т). Отсюда
х = у Ьг = 0 (р™+'\ ftp<m)),
чем и доказывается (2).
Согласно теореме 16 (§ 124), из (2) следует включение
р)т) ;= ^(,п+О
так что р<"г) = р)"'+1) для всех m^ss, т. е.
p(S)=V(S+l) = ^(S + 2)= _ (3)
Кольцо о не имеет делителей нуля. Согласно теореме 3 (§ 124)
пересечение символических степеней идеала рх является нулевым
458
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
[ГЛ. XV
идеалом. Таким образом, из (3) следует
V(s)=(0). (4)
Однако степень p<s) является примарным идеалом относительно
простого идеала рп в то время как (0) является простым идеа-
лом р2 Получилось противоречие. Следовательно, любая цепь
вида (1) невозможна.
С помощью повторного применения теоремы о главных идеа-
лах Крулль доказал следующее обобщение:
Если р — изолированный простой идеал, принадлежащий идеалу
m = (йъ ..., br), m =7^ о, то любая собственная цепь простых
идеалов
р => рг =э р2 =>... (5)
обрывается не позднее, чем на \>г.
В частности, эта теорема имеет место тогда, когда
m = q = (&i, br)
— примарный идеал и р — соответствующий простой идеал. Так
как каждый идеал имеет конечный базис, оказывается спра-
ведливым следующее утверждение:
Каждая собственная цепь простых идеалов (5) обрывается на
конечном шаге.
По поводу доказательства и применения результатов к тео-
рии локальных колец можно рекомендовать упомянутую выше
книгу Норткотта.
Глава шестнадцатая
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
В этой главе общая теория идеалов будет применена к коль-
цам многочленов о = К[х1, .... х„], где К — произвольное поле.
Кроме общей теории идеалов, будут предполагаться известными
главы 1— 6 и 10.
§ 126. Алгебраические многообразия
Пусть Q — произвольное расширение основного поля К. На-
бор из п элементов поля Q называется точкой £ аф-
финного пространства Лл(й). Точка £ называется корнем мно-
гочлена f из кольца о = К[х1, ..., х„], если f (^, .... g„) = 0.
Под алгебраическим многообразием М в аффинном пространстве
Ап (Q) подразумевается множество всех общих корней некоторого
конечного числа многочленов flt f„ т. е. множество решений
уравнений
Ш=о.........Ш = о.
Если из многочленов fr построить идеал а = (flt ...
.... fr), то ясно, что общие корни многочленов flt .... fr являются
корнями всех многочленов
f = glfl + -.- + grfr
идеала а; таким образом, многообразие М может быть охаракте-
ризовано и как множество общих корней всех многочленов дан-
ного идеала или, как мы будем говорить, корней идеала а. То,
что в данном случае в идеале а фиксирован конечный базис, не
накладывает никаких ограничений на идеал а в силу теоремы
Гильберта о базисе (§ 115). Итак: всякое многообразие М состоит
из корней некоторого идеала а кольца о = К[х1, .... х„] в аффин-
ном пространстве Л„(Й). Множество М называют многообразием
(или многообразием корней) идеала а.
Любой делитель идеала а, т. е. любой идеал с, содержащий
идеал а, определяет некоторое подмногообразие в М. Однако
может оказаться, что разные идеалы определяют одно и то же
многообразие М. Среди всех таких идеалов один является осо-
бенно важным, а именно — множество всех многочленов Д обра-
щающихся в нуль во всех точках многообразия М. Очевидно,
460
ТЕОРИЯ ИДЕХЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
это множество является некоторым идеалом ш. Идеал ш называют
соответствующим многообразию М. Многообразием идеала ш вновь
является само М, так что М определяется с помощью m одно-
значно (и наоборот).
В кольце о = К[г!, хп] выполняется теорема о цепях де-
лителей, а потому выполнено условие максимальности (§ 115).
Отсюда следует:
Принцип минимальности для многообразий.
В каждом непустом множестве многообразий М существует не-
которое минимальное многообразие М*, т. е. многообразие, в ко-
тором не содержится ни одно другое многообразие данного мно-
жества.
Доказательство. Каждое многообразие М имеет свой
идеал m и различным многообразиям М соответствуют различные
идеалы ш. В множестве этих идеалов m существует максималь-
ный идеал ш*, который соответствует некоторому многообразию М*.
Многообразие Л4* и является минимальным в данном множестве.
Если многочлен f принимает во всех точках многообразия М
нулевое значение, то говорят, что многочлен f содержит много-
образие М (так как и в самом деле многообразие f = 0 содержит
многообразие М). Таким образом, идеал ш многообразия М со-
стоит из всех многочленов, содержащих М.
Пересечение M.[\N двух многообразий Л1 и М вновь является
многообразием. Действительно, если Л1 состоит из корней идеала
11 = (/i, • • •, /г), а М — из корней идеала b = (glt gs), то М ПМ
состоит из корней идеала
(a, b) = (flt ..., fr, glt .... gs).
Объединение M[\ N многообразий также является многообра-
зием. Действительно, оно определяется пересечением a Q b (или
произведением а-b). Прежде всего, каждая точка объединения
является корнем всех многочленов из а или корнем всех много-
членов из Ь; таким образом, это в любом случае — корень всех
многочленов из а П Ь (и, в частности, из а-b). Если же какая-
либо точка g не принадлежит объединению М (J N, то в а сущест-
вует многочлен f, а в b существует многочлен g, которые не
обращаются в нуль в точке но тогда произведение fg, принад-
лежащее а П1' (и а • Ь), не обращается в £ в нуль, а потому £ не
есть корень пересечения a Q Ь (или произведения а-b). Следова-
тельно, корни пересечения a Qb (как и произведения а-b) —это
точки объединения М U М и только они.
Начиная с этого места, условимся, как это обычно делается
в алгебраической геометрии, о том, что рассматриваемые много-
образия не пусты.
Многообразие М, которое можно представить в виде объеди-
нения двух (непустых) собственных подмногообразий, называется
§ 126]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
461
составным или приводимым. Если хотят подчеркнуть, что оба
подмногообразия определяются уравнениями с коэффициентами
из основного поля К, то говорят: многообразие М приводимо над
полем К. Многообразие, не являющееся приводимым, называется
неприводимым или неразложимым (над основным полем К).
Критерий. Многообразие М является неприводимым над К
тогда и только тогда, когда соответствующий идеал прост, т. е.
когда из того, что fg содержит М, следует, что f или g содер-
жит М.
Доказательство. Сначала предположим, что М приво-
димо: М =МТ U М2, где Мх и М2 — собственные подмногообразия
в М. В идеале многообразия Мх существует многочлен f, не
содержащий М, так как иначе имело бы место включение MY =
эМ. Точно так же в идеале многообразия М2 существует много-
член g, не содержащий М. Произведение fg содержит Мг и М2,
а потому и М. Следовательно, идеал многообразия М не является
простым.
Теперь предположим, что М неприводимо. Если существует
произведение fg, содержащее М, но при этом ни f, ни g не со-
держит М, то М можно представить как объединение двух соб-
ственных подмногообразий М, и М2, которые определяются сле-
дующим образом: Mt состоит из всех точек многообразия М,
удовлетворяющих уравнению / = 0, а М2 состоит из всех точек
многообразия М, удовлетворяющих уравнению g = 0. Каждая
точка g многообразия М принадлежит тогда Mt или М2, потому
что из /(£)g(£) = 0 следует, что /(£) = 0 или g(£) = 0. Это про-
тиворечит предположению о неприводимости многообразия М.
Точно так же доказывается утверждение:
Если неприводимое многообразие М содержится в объединении
двух многообразий М1 и М2, то М содержится или в АД или
в М2.
Соответствующее утверждение имеет место и тогда, когда М
содержится в объединении нескольких многообразий Мъ ..., Мг.
Теорема о разложении. Каждое многообразие М, опре-
деленное над полем К, представляется в виде объединения конеч-
ного числа неприводимых над К многообразий.
Доказательство. Предположим, что существуют много-
образия М, которые не представляются в виде объединения
неприводимых многообразий; тогда среди этих М существует
минимальное многообразие Л1*. Оно должно быть приводимым,
а потому представляться в виде объединения двух собственных
подмногообразий Mt и М2. В силу предположений минималь-
ности многообразия М* подмногообразия М± и М2 должны пред-
ставляться в виде объединения неприводимых многообразий; но
тогда таким является и /И*, что противоречит предположению.
Тем самым доказана теорема о разложении.
462
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ. XVI
Если из разложения
м = ли/2и...ил (1)
удалить все лишние члены, то полученное разложение будет
единственным с точностью до порядка следования многообразий.
Действительно, если
м = ли ли...ил (2)
— второе разложение, то 1Г содержится в объединении много-
образий Л, а потому в силу своей неприводимости — в одном из
многообразий Ji, которое при подходящей нумерации можно счи-
тать многообразием Л- Точно так же Jr содержится в одном из Д:
Л — Л — Л-
Если бы было то многообразие Л в (1) было бы лиш-
ним; следовательно, fe = l и Д = Л- Точно так же получается
Л = Л> lr = Jr и r = s, а этим и доказывается единственность
разложения.
Те же самые теоремы имеют место и тогда, когда рассматриваются точки £,
принадлежащие лишь некоторой фиксированной части аффинного пространства
См. Габихт (Habicht W.). Topologische Eigenschaften algebraischer
Mannigfaltigkeiten. —Math. Ann., 122, S, 181.
О разложении неприводимого над К многообразия при расширении основ-
ного поля см. мою работу Uber A. Weils Neubegri'mdung der algebraischen
Geometric. —Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22, S. 158.
§ 127. Универсальное поле
В классической алгебраической геометрии всегда считалось,
что поле й, которому принадлежат координаты точек яв-
ляется полем комплексных чисел. Новейшая алгебраическая гео-
метрия исходит, однако, из произвольного основного поля К.
Расширение й основного поля, содержащее координаты точек £,
как показал Андре Вейль, целесообразно брать универсальным
над К, т. е. считать, что, во-первых, Й алгебраически замкнуто
и, во-вторых, й имеет бесконечную степень трансцендентности
над К. Если задано поле К, то такое универсальное поле можно
построить, присоединив сначала к К бесконечно много перемен-
ных «j, м2, ..., а затем взяв, в соответствии с § 72, алгебраи-
ческое замыкание.
Использование универсального поля основано на следующей
теореме:
Любое расширение К (с^, ..., ап), получающееся присоедине-
нием конечного числа элементов а1; ..., а„ к К, можно изоморфно
вложить в й. Это означает, что если заданы п каких-либо эле-
ментов а1( .... ап в произвольном расширении Л поля К, то
§ 128]
КОРИИ ПРОСТОГО ИДЕХЛЛ
463
существует изоморфизм
К («j, ..., а„) К (а|, ..., ah),
который оставляет элементы из К на месте, а элементы ...
.... ап переводит в некоторые элементы а{, ..., ah поля Q.
До к а з а те л ь с т в о. Элементы ар ..., ап можно перенумеро-
вать так, чтобы ot1, аг были алгебраически независимы над
К, а остальные ccf алгебраически зависели над К от av ..., аг.
Выберем теперь а\, ..., а'г в Q алгебраически независимыми
над К. Тогда существует некоторый изоморфизм
К (а1( ..., аг) К (а], ..., а'г), (1)
который оставляет на месте все элементы из К, a 04, ..., аг
переводит в а[, ..., а'г. Если теперь г = п, то все требуемое
доказано. Если же г</г, то 04+1 является корнем некоторого
неразложимого многочлена <р(х) с коэффициентами из 1-1(04, ...
..., аг). Этому многочлену соответствует многочлен <р' (х) с коэф-
фициентами из К («I, .... а'г), который обладает корнем а'г+1
в £2. Согласно § 41 изоморфизм (1) можно продолжить до изомор-
физма
К(а1( ..., а,-, J К (al, ..., аДЛ, (2)
который переводит ar j в a(tl. Продолжая таким способом,
мы в конце концов получим искомый изоморфизм
К (ах....а„)^К(аь .... аД . (3)
§ 128. Корни простого идеала
Пусть опять £2 — универсальное поле над основным полем К
и пусть о — кольцо многочленов К [лу ..., х„]. Если ..., —
элементы произвольного расширения поля К, то согласно § 127
мы всегда можем найти изоморфизм полей, который переводит
|1( .... "Еп в элементы из £2. Следовательно, для дальнейших
теорем безразлично, будут ли Е1( .... Е„ элементами поля £2 или
какого-либо другого расширения Л поля К. Если считать, что
Е/ —элементы из £2, то £ будет точкой аффинного пространства
(Q)•
Такая точка | называется общим корнем некоторого идеала р,
если из включения /ev следует, что /(Е) = 0, и наоборот. В этом
случае идеал р состоит в точности из тех многочленов /(х), для
которых /(|) = 0. Сейчас будет показано, что такой идеал р обя-
зательно прост. Далее будет показано, что каждая точка £ явля-
ется общим корнем некоторого однозначно определенного простого
идеала р=/=о и, наоборот, каждый простои идеал р-#о обладает
общим корнем Е, определенным однозначно с точностью до изо-
морфизма.
464
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
Теорема 1. Если ..., — элементы произвольного рас-
ширения поля Н, то многочлены f кольца о = Н[х1, хп], для
которых f(g) = O, составляют отличный от о простой идеал.
Доказательство. Из /(£) = 0 и g(£) = 0 следует, что
/ (£) — g (£) = 0. Из f (g) = 0 следует, что f (g) h (£) = 0. Следовательно,
указанные выше многочлены действительно составляют некоторый
идеал.
Из f (£)£(?) = 0 и g(g)=£0 следует, что /(£) = 0, так как в поле
нет делителей нуля. Следовательно, указанный идеал прост. Так
как в нем нет единичного элемента, то он отличен от всего
кольца о.
Пример. Пусть ..., —линейные функции одной пере-
менной t с коэффициентами из поля Н:
(1)
Тогда простой идеал описанного вида состоит из всех много-
членов f(xL, ..., хп) со следующим свойством: ..., <хпф-
4- равно нулю тождественно по t, или, выражаясь геометри-
чески, идеал состоит из всевозможных многочленов, которые об-
ращаются в нуль во всех точках прямых, задаваемых в /г-мерном
пространстве с помощью параметрического представления (1). Этот
пример может служить наглядной иллюстрацией к теоремам дан-
ного и следующего параграфов.
Теорема 2. Если р обозначает построенный в теореме 1
простой идеал, то поле A = H($i, ..., £„) изоморфно полю частных
II кольца классов вычетов кольца о по идеалу р, причем элементы
.... при этом изоморфизме соответствуют классам вычетов
переменных .... хп.
Доказательство. Пусть 2 —кольцо тех элементов из Л,
которые записываются в виде многочленов от £1( ..., %п. Тогда
Л^К^, ...,£„) является полем частных кольца 2. Сопоставим
каждому элементу f(h, ...,£„) из 2 класс вычетов из о/p, пред-
ставляемый многочленом f (хь ..., хп). Так как из /(^) —g© = 0
следует, что f — g = O(p) или /=g(p), и наоборот, то указанное
отображение взаимно однозначно. Очевидно, что сумма переходит
в сумму, а произведение — в произведение. Тем самым кольца 2
и с/р изоморфны. Но тогда и их поля частных Л и II тоже изо-
морфны.
Теорема 1 утверждает, что каждая точка | является общим
корнем однозначно определенного простого идеала р. Теорема 2
утверждает, что точка | определяется идеалом р однозначно с точ-
ностью до изоморфизма. Теперь будет доказана
Теорема 3. Каждый отличный от о простой идеал обладает
общим корнем %, над универсальным полем Q.
Доказательство. Многочленам из о мы сопоставим эле-
менты некоторого нового множества о', которое содержит поле
§ 128]
КОРНИ ПРОСТОГО ИДЕАЛА
465
коэффициентов К, причем двум сравнимым по модулю р много-
членам будет соответствовать один элемент, а двум несравнимым
многочленам — два различных элемента; при этом элементы из Н,
по определению, будут переходить в себя. Сделать это всегда воз-
можно, потому что в силу неравенства р =4= о два элемента из К
сравнимы по модулю р только тогда, когда они равны. Элементы,
соответствующие элементам хг, ..., хп, обозначим через g1; ..., g„.
Множество о' взаимно однозначно отображается на кольцо
классов вычетов кольца о по идеалу р. Таким образом, мы можем
определить на о' сложение и умножение, которые соответствуют
сложению и умножению в кольце с/р, и тогда о' окажется изо-
морфным котьцу классов вычетов; поэтому оно не имеет делителей
нуля и для него можно построить поле частных Л.
Каждый элемент из о' соответствует по крайней мере одному
многочлену f из о, а потому он может быть записан в виде
/(gx, Следовательно, о' равно К [glf ..., g„], а Л равно
К (gx, . . .,g„). Согласно § 127 поле Л изоморфно вкладывается в
универсальное поле й; поэтому можно считать, что /У е й. Эле-
мент f(gx, ..., g„) равен нулю тогда и только тогда, когда мно-
гочлен f принадлежит нулевому классу вычетов по модулю р.
Следова1ельпо, g является общим корнем идеала р, чем и дока-
зывается теорема 3.
Согласно теореме 3 каждый простой идеал р =# о в универсаль-
ном поле й обладает общим корнем g, который в силу теоремы 2
определяется идеалом р однозначно с точностью до изоморфизма.
Точка g является корнем идеала р, а потому принадлежит мно-
гообразию М этого идеала. Идеал, соответствующий многообра-
зию М, — это снова р, потому что если многочлен f обращается
в нуль во всех точках многообразия М, то, в частности f (g) = О,
и поэтому f £ р. Так как соответствующий идеал прост, многооб-
разие М неприводимо. Мы получили следующую теорему:
Теорема 4. Каждый простой идеал р=#о соответствует
некоторому неприводимому многообразию корней и служит идеалом
этого многообразия.
Если исходить из неприводимого многообразия М, то соот-
ветствующий ему идеал р согласно § 126 прост. Корнями иде-
ала р являются в точности точки из М. Если g — общий корень
идеала р, то g называется общей точкой многообразия М над
полем К. Таким образом:
Точка g многообразия М является общей точкой этого много-
образия над полем К, если каждое равенство f(%) = 0 с коэффи-
циентами из Н, выполняющееся для g, выполняется и для всех
точек многообразия М.
Согласно теореме 3 каждое неприводимое многообразие М
обладает общей точкой. Обратно, если некоторое многообразие
М обладает общей точкой, то соответствующий идеал многообразия
466
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ MHOIОЧЛГНОВ
[ГЛ. XVI
М согласно теореме 1 является простым, так что М неприводимо.
Тем самым доказана
Теорема 5. Многообразие М обладает общей точкой над К
тогда и только тогда, когда оно неприводимо над К.
Задача 1. Идеал
(xpCg — Хг, X2Xg—x‘i, Х‘ — XiX2)
в кольце К [ад, х2, [х3] является простым,'так как он имеет общий корень
(Я Р, Р).
§ 129. Размерность
Пусть | — общая точка над К некоторого неприводимого мно-
гообразия М или общий корень соответствующего простого иде-
ала р. Если г — степень трансцендентности системы {£i,
то среди элементов имеется ровно г алгебраически независимых,
скажем, остальные элементы алгебраически зависят
от этих. Можно рассматривать ..., просто как переменные,
тогда все являются алгебраическими функциями этих г пере-
менных. Степень трансцендентности г остается неизменной, если
общая точка при некотором изоморфизме поля переходит в дру-
гую общую точку таким образом, число г зависит только
от идеала р; оно называется размерностью простого идеала р и
многообразия М.
Очевидно, что размерность простого идеала р #= о принимает
значения от 0 до п. Единичному идеалу о, у которого вообще
нет корней, приписывается размерность —1.
Если %— общий корень некоторого простого идеала р, а —
произвольный корень того же идеала, то каждому многочлену
/(£) из К [£] можно сопоставить многочлен /(£') из К [£]. Так
как из f (£) = g (I) следует, что f(x) = g (х) (р), а отсюда — равенство
/(£') = §(£'), то отображение /(£)»—однозначно. Так как,
очевидно, сумма переходит в сумму и произведение — в произве-
дение, то мы имеем гомоморфизм
кт~кк']. (и
Если он является изоморфизмом, то, конечно, является
общим корнем идеала р, и наоборот.
В случае нульмерного идеала р все точки g алгебраичны над К;
поэтому все рациональные функции от £ являются целыми рацио-
нальными: к©-н[д. Следовательно, К [t] является полем.
Если в этом случае % — другой корень данного идеала, то гомомор-
физм (1) должен быть изоморфизмом, потому что поле не имеет
гомоморфизмов, кроме взаимно однозначных и таких, которые пере-
водят все элементы в нуль. Таким образом, имеет место следую-
щая теорема:
§ 129]
РАЗМЕРНОСТЬ
467
В случае нульмерного простого идеала все корни являются общими,
эквивалентными друг другу1).
Координаты .... 1,г или ..., являются в этом случае
алгебраическими над К. Если ограничиться рассмотрением кор-
ней £ или V в универсальном поле Q, то эти корни окажутся
сопряженными над К. Число указанных сопряженных точек
с координатами из Q не превосходит (а когда К(£) сепарабельно,
в точности равно) степени поля Н (с) над К. Итак:
Нульмерное неприводимое многообразие состоит из конечного
числа сопряженных над К точек.
Если, в частности, поле К алгебраически замкнуто, то суще-
ствует всего одна точка £ над К, а соответствующий идеал имеет
вид
Р = (Х1 ..., хп — £„).
Теорема. Различные корни r-мерного простого идеала имеют
степень трансцендентности, не превосходящую г, и если степень
трансцендентности некоторого корня в точности равна г, то
этот корень общий.
Доказательство. Пусть — корень степени трансцендент-
ности s; рассмотрим гомоморфизм (1). Если ..., алгебраи-
чески независимы, то алгебраически независимы и ^, ..., L;
действительно, каждое алгебраическое соотношение между | яв-
ляется соотношением и между Отсюда следует, что r^~s. Если
r — s, то все £ алгебраически зависят от ..., Пусть при
гомоморфизме (1) некоторый многочлен f (|), отличный от нуля,
переходит в нуль. В поле К (£) элемент 1Д можно записать в сле-
дующем специальном виде:
1 _g(gi,
----£«)
Отсюда
h&, .... L) = g(£i, .... ЫНЪ, .... U
Но при гомоморфизме (1) f переходит в нуль, так что h (^, ...
..., £s) тоже должно переходить в нуль, т. е.
/1(^1, .... |9 = 0,
а это противоречит предположению об алгебраической независи-
мости элементов EJ, ..., Следовательно, при гомоморфизме (1)
ни один отличный от нуля многочлен не переходит в нуль. Таким
образом, при r = s гомоморфизм (1) является изоморфизмом.
Отсюда следует утверждение о том, что — общий корень.
Каждый корень идеала р может рассматриваться как общий
корень некоторого идеала р'. Из /==0(р) следует, что /(£') = 0
i) Это означает, что они переходят друг в друга при изоморфизмах, остав-
ляющих на месте элементы из К.
468 ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ [ГЛ XVI
или что f = 0(р'). Тем самым идеал р' является делителем идеала р.
Обратно, каждый отличный от о простой делитель р' идеала р
может быть получен таким способом, потому что каждый идеал
р'#=о обладает некоторым общим корнем Из сформулирован-
ной выше теоремы немедленно получается:
Каждый делитель р' идеала р имеет размерность г' г; если
г' = г, то р' = р.
Под размерностью произвольного многообразия подразуме-
вается наибольшая из размерностей его неприводимых составляю-
щих. Одномерные многообразия называются кривыми, двумерные
многообразия — поверхностями, (п — 1)-мерные многообразия —
гиперповерхностями.
Задача 1. Главный идеал (р), где р —неразложимый отличный от кон-
станты многочлен, является (п—1)-мерным простым идеалом.
Задача 2. Обратно: каждый (п—1)-мерный простой идеал является
главным.
Задача 3. Единственным n-мерным многообразием в Д„(Й) является
само пространство Ап (Й); соответствующий идеал является нулевым идеалом.
§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов
для однородных уравнений
Каждый отличный от о простой идеал имеет в универсальном
поле й некоторый общий корень. Таким образом, любой про-
стой идеал без корней является единичным идеалом о.
Докажем более общее утверждение:
Каждый идеал а = (/\, ..., fr) не имеющий корней в поле Й,
является единичным.
Доказательство. Предположим, что существует идеал
без корней. Тогда, в соответствии с принципом максималь-
ности, существует и максимальный идеал in о без корней.
Являясь максимальным, этот идеал согласно § 16 является и про-
стым. Но любой простой идеал m о обладает корнями.
Доказанную выше теорему можно сформулировать также сле-
дующим образом:
Если многочлены fly ..., fr не имеют в пространстве Ап (й)
общих корней, то
l=gjl+---+grfr- (1)
Эта теорема — частный случай теоремы Гильберта о корнях,
утверждающей следующее:
Если f — многочлен из К [ху, ..., х„], обращающийся в нуль
во всех общих корнях многочленов f\, ..., fr, принадлежащих про-
странству Ап (й), то
/=?=/11А + ... + Мг (2)
для некоторого натурального числа q.
§ 130]
Теорема гильберта о корнях
469
Доказательство. С помощью остроумного приема Раби-
новича (Math. Ann., 102, S. 518) общий случай сводится к дока-
занному выше частному случаю. Для / = 0 утверждение очевидно.
В случае добавим одну новую переменную г. Многочлены
А,
не имеют общих корней в Д„Ц1(Й), поэтому согласно доказанной
выше теореме
1 =g'iA + ..- + grA + g'-(l-zf). (3)
Сделаем в этом тождестве подстановку z=A/f и умножим полу-
чившуюся дробь на подходящую степень fi. Тогда получится
равенство
А = /iiA + • • • + hrfr,
которое и требовалось установить.
Обобщение теоремы о корнях. Если многочлены рк, ...
..., ps обращаются в нуль во всех общих корнях многочленов fk, ...
..., fr, то существует такое натуральное число q, что все про-
изведения из q сомножителей, составленные только из многочле-
нов pi, принадлежат идеалу (flr ..., fr) (и наоборот).
Доказательство. Имеют место сравнения
^ = 0(А, ...,А).
Положим
Я = (91 — 1 ) + (?2 — 0 + • • + (Яз —• 1 ) + 1 •
Тогда каждое произведение р1'1 ... phss, в котором hk-\-.. -+hs = q,
содержит по меньшей мере один сомножитель pqp, так как иначе
число hk +... + hs было бы равно самое большее числу
(<71-1) + ... + (^-1) = ?-1.
Отсюда следует утверждение. Обратное очевидно.
В качестве приложения доказанной только что теоремы мы
получим условия, гарантирующие наличие общего нетривиального
(отличного от (0, ..., 0)) корня в поле О у системы форм, т. е.
нескольких однородных многочленов Fk, ..., Fr.
Если (0, ..., 0) — единственный корень, то все одночлены
хх, ..., хп обращаются в нуль во всех корнях идеала (Flt ..., Fr),
а потому каждое произведение Хр состоящее из q сомножителей,
выбранных из элементов xlf ..., хп, принадлежит идеалу:
X, = GnF1 + ... + G,rFr. (4)
Пусть степени форм Fp ..., Fr равны соответственно^, ...
..., gr. Чтобы справа в (4) содержались лишь члены степени q,
нужно в Gp оставить слагаемые степени q — g„ а остальные сла-
гаемые опустить. Тогда вместо Gp получится форма Д/( степени
470
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
q — gi- Сравнение членов степени q слева и справа в (4) дает
равенство
Х7 = ЯлЛ + ... + ад. (5)
Обратно, если равенства типа (5) имеют место для всех про-
изведений X], состоящих из q сомножителей, то (0, ..., 0) является
единственным общим корнем многочленов Flt ..., Fr.
Произведения из элементов Xj степени q — gt обозначим через Хы.
Формы Hji в (5) являются линейными комбинациями этих про-
изведений (с коэффициентами из К). Следовательно, (5) утверж-
дает, что все произведения Xj степени q выражаются линейно
через произведения XkiFt. Мы получили следующий результат:
Необходимым и достаточным условием для того, чтобы много-
члены F\, ..., Fr имели единственный общий корень (0, .... 0),
является следующее: все произведения Xj достаточно высокой сте-
пени q линейно выражаются через произведения XKFi с коэффици-
ентами из Н.
Если Nq — число произведений Xj степени q, составленных
из данных элементов, то этот результат можно сформулировать
и так:
Для того чтобы формы Flt Fr имели нетривиальный общий
корень, необходимо и достаточно, чтобы для каждого q = 1, 2, ...
число линейно независимых произведений XkiFi было меньше, чем Nq.
Если выразить произведения XkiFi в виде линейных комби-
наций произведений Хр
XkiFi = У1, akijXj,
I
то из коэффициентов akij при каждом k и каждом i можно соста-
вить вектор-строку
•••, аын) (N = Hq).
Высказанное условие означает тогда, что среди этих векторов-
строк имеется менее N линейно независимых. Это означает, что
все определители из любых таких N векторов-строк равны нулю.
Если Dqll — эти определители, то получается следующее утверж-
дение:
Для того чтобы Flt ..., Fr обладали нетривиальным общим
корнем, необходимо и достаточно выполнение равенств
Dqh = Q (9 = 1, 2, ...). (6)
Элементы aky являются коэффициентами форм F;. Следова-
тельно, Dqh являются целочисленными формами от коэффици-
ентов форм Fn ..., Fr.
Рассмотрим сначала Flt ..., Fr как общие формы степеней
g-i, .... gr, т. е. как формы с неопределенными коэффициентами ар,
§ 131]
ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
471
тогда существует бесконечно много многочленов Dqh (а,) от этих
коэффициентов. Однако, по теореме Гильберта о базисе, сущест-
вует конечное множество среди всех этих многочленов, через
которое все указанные многочлены выражаются линейно (с цело-
численными многочленами в качестве коэффициентов). Если (для
конкретных форм Flf ..., Fr) многочлены из этого конечного
множества равны нулю, то и все многочлены системы равны нулю
и выполняются равенства (6). Таким образом, существует конеч-
ное число целочисленных форм от ар
Rt(aj), ..., Rm(aj),
которые обращаются в нуль тогда и только тогда, когда формы
F}, ..., Fr имеют общий нетривиальный корень.
Эта теорема, играющая важную роль в алгебраической гео-
метрии, принадлежит Мертенсу (Mertens F.) — Sitzungsber.
Wiener Akad., 108, S. 1174. Другое ее доказательство дал Кап-
ферер (Kapferer Н.)— Sitzungsber. Bayer. Akad. Munchen, 1929,
S. 179.
Система форм Rlf ..., Rm с описанным выше свойством назы-
вается системой результантов форм Flt ..., Fr. Если формы F,
являются линейными, то n-строчные определители, составленные
пз всевозможных наборов по п из г данных форм, составляют
систему результантов. Для форм Ft, F2 от двух переменных х1(
х2 обычный результант R является системой результантов. Точно
так же в общем случае, когда даны п форм от п переменных,
система результантов состоит из единственного результанта R.
См. по этому поводу Гурвиц (Hurwitz A.). Ober Tragheitsfor-
men. — Ann. di Mat. (3), 1913, 20.
§ 131. Примарные идеалы
Основная задача теории идеалов в кольцах многочленов со-
стоит в том, чтобы установить, принадлежит ли многочлен f
заданному идеалу
т = (А.....fr)-
Под словом «установить» здесь имеется в виду не фактическая
проверка в конечное число шагов, хотя таковая всегда возможна J),
а метод проверки, который одновременно выяснял бы строение
идеала и выявлял геометрическое соотношение между корнями и
его элементами f. Один из таких методов был впервые предложен
х) См. Кёниг (Konig J.). Einleitung in die allgemeine Theorie der algeb-
raischen GroBen. — Leipzig, 1903, а также Герман (Hermann G.). Die Frage
der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. — Math Ann., 95,
S. 736-788.
472
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
Ласкером1), рассмотревшим разложение идеалов на примарные
компоненты.
Основная идея метода Ласкера состоит в следующем: согласно
теореме о разложении из § 118 каждый идеал ш представим
в виде пересечения примарных идеалов:
m = [qx, qj.
Следовательно, для того чтобы многочлен f принадлежал идеалу
ш, необходимо и достаточно, чтобы f принадлежал всем пример-
ным идеалам qv. Таким образом, для принципиального решения
поставленной выше задачи нужно лишь определить условия, при
которых многочлен принадлежит примерному идеалу.
Согласно § 117 каждому примарному идеалу q соответствуют
простой идеал р и показатель р со следующими свойствами:
1) VP = 0(q)^0(i);
2) из /g = O(q) и f^O(p) следует, что g=0(q).
В случае q =/= о простой идеал р соответствует, в свою очередь,
некоторому неприводимому многообразию М. В силу 1) все
корпи идеала q являются одновременно корнями идеала р и
наоборот. Следовательно, многообразие примарного идеала q с
неприводимо и равно многообразию соответствующего простого
идеала.
Пусть q —примарный идеал относительно простого идеала р
показателя р и М — многообразие этого идеала. Если f —некото-
рый многочлен, содержащий многообразие М, то f = 0 (р) и, сле-
довательно, fP = O(q). Но если f не содержит М, то в соответ-
ствии со свойством 2), сформулированным выше, в каждом срав-
нении по модулю q можно сокращать на f. Таким образом, у нас
есть уже два важных средства, часто позволяющих обнаружить
справедливость сравнения fp = O(q) или соответственно g = O(q).
С помощью теоремы о разложении они сразу переносятся на
произвольные идеалы ш = [q3, ..., qj. Действительно, если f —
многочлен, содержащий многообразие М идеала ш, и если р —
наибольший из показателей примарных идеалов qn, ..., qif то
fp = Q^t) для /= 1, ..., s,
откуда
fp = 0(m).
Тем самым заново доказана теорема Гильберта о кор-
ня х (§ 130), причем дополнительно замечено, что показатель р
зависит только от идеала ш.
Далее, если f — многочлен, который не содержит ни одного
из многообразий примарных идеалов q1( ..., q5, то в каждом
') Lasker Е. Zur Theorie der Moduli! und Ideale. —Math. Ann., 1905, 60,
S. 20-116.
$ 131]
Примарные идеалы
4"/3
сравнении
fe = O(m)
можно сократить на f и получить
gssO(m),
поскольку соответствующее сравнение имеет место для всех при-
марных идеалов qv. Кратко и ярко это можно выразить так:
m : (f) = in;
согласно § 119 это равенство имеет место тогда и только тогда,
когда f не делится ни на один из простых идеалов Vi> • • • > Ь,
соответствующих идеалу m (и, таким образом, не содержит ни
одного из соответствующих многообразий).
Согласно § 119 для произвольного идеала а имеет место не-
сколько более общее утверждение: равенство
m:a = m (1)
выполняется тогда и только тогда, когда а не делится ни на
один из идеалов р1( ..., или, что то же самое, когда многооб-
разие идеала а не содержит ни одного из многообразий простых
идеалов рп .... р^. Эта теорема часто оказывается полезной при
отыскании простых идеалов рь .... р^, соответствующих задан-
ному идеалу ш. Именно, чтобы установить, совпадает ли неко-
торый простой идеал р с одним из простых идеалов pv, берут
произвольный идеал а, делящийся на р, например, а = р, и смот-
рят, выполняется соотношение (1) или нет, т. е. выясняют, сле-
дует ли g= 0 (ш) из ga==0(m). Если (1) имеет место, то р не
совпадает ни с одним из pv.
Под размерностью примарного идеала подразумевается раз-
мерность соответствующего простого идеала (и многообразия).
Под размерностью или наивысшей размерностью произвольного
идеала п=И=о подразумевается наибольшая из размерностей при-
марных компонент (или соответствующих простых идеалов). Если
размерности всех примарных идеалов, соответствующих данному
идеалу а, равны одному и тому же числу d, то идеал а назы-
сается несмешанным идеалом размерности d.
Задача 1. Идеал (х2, х2х3-|-1) является примарным с показателем 2 и
соответствующим простым идеалом (х1; х2х3-|-1).
Задача 2. Каждая степень р° неразложимого и отличного от константы
многочлена р порождает (п — 1)-мерный примарный идеал. Каждый отличный
от константы многочлен f порождает несмешанный (п—1)-мерный идеал.
Задача 3. Если р —простой идеал из задачи 1 § 128, то идеал р2 не
является примарным. (Многочлен (х2х3— xi)2 — (хз — ХА) (хз — Х;Х2) имеет мно-
житель Xj, а второй множитель не принадлежит р2.)
474
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
§ 132. Основная теорема Нётера
С помощью разложения на примарные идеалы мы решим здесь
вопрос о том, каким условиям должен удовлетворять многочлен
Д чтобы принадлежать нульмерному идеалу ш. Предпошлем этому
обсуждению одну лемму, которая полезна и в других случаях:
Если 2 — расширение поля К и f, Д, ..., fг — многочлены из
Н [л] = К [л',, .... х„], то из
f = fr) в 2[х]
следует, что
/ —0(Д, ..., Д) в К[х].
Доказательство. Пусть
f = (1)
где gi — многочлены с коэффициентами из 2. Выразим эти коэф-
фициенты через конечное множество линейно независимых эле-
ментов 1, ft)l( w2, ... поля 2 с коэффициентами из К. Тогда каж-
дое слагаемое gji в (1) приобретает следующий вид:
(giO + gil^l + gliL,)2 + • •) fi,
где ^ — многочлены с коэффициентами из К. Из (1), таким об-
разом, следует, что
f = У glofi + W1 У, gllf i + W2 У giifl + • • •
Так как элементы 1, сщ, w2, ... линейно независимы, то слагае-
мые с 1, о)], со2, ... слева и справа должны совпадать, откуда
f = gioh,
что и требовалось доказать.
На основании этой леммы мы можем для ответа па вопрос
о справедливости сравнения / = 0(Д, ..., Д) произвольно рас-
ширить основное поле К, например, присоединить к нему некото-
рые корни идеала (flt ..., Д). Если рассматриваемое сравнение
окажется выполненным в кольце 2 [х], то оно было выполнено и
до расширения поля.
Нульмерное многообразие при подходящем расширении основ-
ного поля распадается на конечное число отдельных точек; сле-
довательно, при желании всегда можно предполагать, что все
рассматриваемые нульмерные простые идеалы обладают лишь
одним корнем (а не системой сопряженных точек, как обычно).
Нульмерный простой идеал р не имеет делителей, потому что
в этом случае кольцо классов вычетов о/у, согласно § 129, явля-
ется полем. О1сюда следует, что каждый нульмерный примарный
§ 132]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА НЕТЕРА
475
идеал однократен, потому что примарный идеал, которому соот-
ветствует простой идеал, не обладающий делителями, является,
согласно § 122, однократным. Далее, из теорем § 122 следует,
что каждая нульмерная изолированная примарная компонента q
идеала m представляется в виде
q = (nt, рР), (2)
причем показатель р является наименьшим среди чисел о со
свойством
]7 = 0(ш, Р°Д. (3)
Выясним смысл соотношения (2) в случае, когда основное
поле предварительно расширено так, что все рассматриваемые
однократные идеалы q обладают лишь одним корнем а = {оу, ..., ап}.
Равенство (2) утверждает, что для сравнения / = 0(q) необходи-
мым и достаточным является сравнение
0(ш, рр). (4)
Пусть идеал ш задается базисом (flt ..., Д). Положим yv — xv — av,
тогда р = (г/1, .... Уп)- Если считать, что все рассматриваемые
многочлены расположены по возрастающим степеням элементов
i/v, то рр состоит из всех тех многочленов, в которые входят только
произведения элементов yv общей степени ^р. Соотношение (4)
означает, таким образом, что f совпадает с некоторой линейной
комбинацией ^gvfv с точностью до слагаемых степени, большей
или равной р. Поэтому если умножить flt ..., fr на 1 и на все
произведения элементов yv общих степеней <р, а затем обоз-
начить через hlt hk многочлены, получающиеся после отбра-
сывания всех слагаемых степени ;s-p, то (4) будет означать, что
f является линейной комбинацией многочленов hlt .... hk с коэф-
фициентами из основного поля с точностью до слагаемых степени
>-р. Такое положение вещей можно фактически проверить в каж-
дом отдельном случае (при заданных р, flt ..., fr и f). В част-
ности, оно имеет место тогда, когда существуют формальные
степенные ряды Pj (у), ..., Рг(у)1), для которых
f = -.-+Prfr2)- (5)
Действительно, в этом случае можно для каждого значения
<т оборвать степенные ряды на слагаемых степени о и получить
совпадение обеих частей по модулю р°. Таким образом, признак
(5) требует слишком много: достаточно, чтобы обе части в равен-
стве (5) совпали не полностью, а только до слагаемых степени
Ssp-
i) О сходимости которых, конечно, ничего не предполагается.
2) Подразумевается, что при формальном разложении по произведениям
степеней переменных yv обе части в (5) совпадают.
476
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
Точно так же можно установить выполнение или невыполне-
ние соотношения (3) для каждого конкретного о: оно означает,
что после отбрасывания произведений степени > а все одночлены
степени а представляются через многочлены ^gvfv. Таким об-
разом, при заданных flt ..., fr для каждого корня а можно
последовательно испытывать значения ст = 1, 2, 3, ..., пока не будет
найдено такое ст, для которого выполнено (3): это значение ст
является показателем идеала q.
В случае нульмерного идеала ш все примарные компоненты
нульмерны и изолированы; следовательно, описанный выше при-
знак можно применить ко всем этим компонентам при / = 0(q).
Если он выполнен для всех корней, то f = O(m). Тем самым уста-
новлена следующая теорема:
Пусть для каждого корня а = {аь ..., ап} некоторого нуль-
мерного изолированного идеала m показатель р определен как наи-
меньшее из натуральных чисел ст, для которых выполняется (3)
при p = (Xi — аъ ..., хп — ал); если многочлен f удовлетворяет
условию (4) при всех р, то f = 0(m).
Для случая т = (Д, /2)> где и /2 — многочлены от двух
переменных, эта теорема была впервые доказана Максом Нёте-
ром1): то была знаменитая «основная теорема Нётер а»,
которая заложила основу «геометрического направления» в тео-
рии алгебраических функций. Впрочем, вместо более слабого
соотношения (4) Нётер предполагал выполненным условие (5)
о степенных рядах для всех корней. Предложенный здесь вари-
ант, при котором требуется совпадение слагаемых лишь до сте-
пени р — 1 по совокупности переменных уъ ..., уп, восходит
к Бертини2), который, кроме того, предложил границу для
возможных значений показателя р3). Обобщение на «-мерный
случай принадлежит Ласкеру и Маколею. Условие f = 0 (ш, р1'),
достаточное для f = 0 (q), мы называем, следуя Маколею, нёте-
ровым условием в точке а.
Чтобы объяснить способы применения теоремы Нётера, обра-
тимся к одному частному случаю, когда нётеровы условия ока-
зываются особенно простыми.
Каждый из многочленов flt ..., fr определяет некоторое ал-
гебраическое многообразие (гиперповерхность) fv = 0 в /г-мерном
пространстве. Равным образом многочлен f определяет гипер-
поверхность / = 0. Если f разлагается на неразложимые множи-
1) Noether М. Uber einen Satz aus der Theorie der algebraischen Funkti-
onen. — Math. Ann., 1873, 6, S. 351—359.
2) Bertini E. Zum Fundamentalsatz aus der Theorie der algebraischen Fun-
ktionen.—Math. Ann., 1889, 34, S. 447 —449.
3) Более точные границы дает Дюбрей (Dubreil Р.). These de Doctorat.
— Paris, 1930,
§ 132] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА НЕТЕРА 477
тели / = то и многообразие f = 0 распадается на непри-
водимые части Pi = 0, р2 = 0, ..., каждую из которых мы должны
считать столько раз, каков показатель степени соответствующего
множителя в разложении многочлена /.
Если многочлен f разложен в точке а по степеням yv = xv — av
и разложение начинается со слагаемых s-ro порядка (s 0):
f — соУ1 + С1У1 ''Уг + • • • + Сц>Уп + ...,
то говорят, что гиперповерхность f = 0 имеет в а s-кратную
точку1). Сумма членов s-ro порядка, приравненная нулю, сама
по себе дает некоторую гиперповерхность соу° + .,. -J-caysn = 0,
состоящую из «прямых линий», проходящих через точку а; эту
гиперповерхность называют касательным конусом к гиперповерх-
ности / = 0 в точке а.
Простейшим случаем теоремы Нётера является тот, когда
среди гиперповерхностей /\==0, .... fr = 0, определяющих нуль-
мерный идеал ш, существуют такие Л = 0, ..., fn = 0, которые
все имеют в а простую точку и касательные гиперплоскости
к которым в а имеют общей только точку at
f i = сиУ1 + • • • + стУп + •,
ft = С21У1 + • • • + С2пУп + • • • 1
/я — СЛ1У1 ... + Сппуп
п
линейные формы 5^ сЛиг/и линейно независимы.
1
Если в этом случае обозначить простой идеал (х, — alt ...
..., хп~ап) через р, то среди линейных комбинаций многочле-
нов fr, .... fn по модулю р2 имеются сами переменные уъ ..., уп,
т. е.
(г/i, .... yn)^Q((ft, ..., /„), р2),
и поэтому
р = 0(т, р2).
Отсюда следует, что идеал ш имеет в точке а изолированную
примарную компоненту q показателя 1, т. е. q = p. Каждый мно-
гочлен, обращающийся в нуль в а, делится, таким образом,
на q.
По поводу дальнейших частных случаев и применений тео-
ремы Нётера можно адресовать читателя к моей книге «Einfiih-
rung in die algebraische Geometric».
1) Или что точка а является s-кратной, — Прим, перев.
478
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
§ 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным
В этом параграфе мы распространим теоремы, доказанные
в § 132 для нульмерных идеалов, на многомерные идеалы.
Метод состоит в следующем: если q — примарный идеал в кольце
К [х] размерности d, р — соответствующий простой идеал, общим
корнем которого является {£х, ..., %.п}, и если, например, 1Х, ...
..., алгебраически независимы, то с помощью подстановки
Хх = 1х, ..., xd = c.d мы превращаем идеалы q и р в нульмерные.
Осуществим эту подстановку во всех многочленах q идеала q;
при этом многочлены q перейдут в многочлены q' из кольца
К (£х, ..., £rf)[Xrfn, . ••, х„] и составят там некоторый идеал q'.
Очевидно, что подстановку хх = |х, ..., xd = достаточно произ-
вести в базисных многочленах qlt qr; тогда полученные мно-
гочлены q'i, ..., q'r будут порождать идеал q':
<|'=(<7ь ..., q'r).
Ясно, что идеал q' состоит из многочленов q', деленных на про-
извольные отличные от нуля многочлены ср от переменных 1Х, ...
..., потому что многочлены q' составляют в К[1Х, ...,
xrfH, ..., х„] некоторый идеал, и чтобы получить порождаемый
им идеал в К (1Х, ..., lrf) [xrf+1, .... хп], как раз и нужно упомя-
нутым многочленам приписать знаменатели ср.
Точно так же, как из q получается q', из идеала р полу-
чается идеал р' и вообще из каждого идеала m = (/х, ..., fr) —
некоторый идеал = ..., f'r).
Геометрически подстановка х1=?1, ..., xd = "Ed означает, что
все рассматриваемые многообразия пересекаются линейным про-
странством хх = |х, ..., xd = проходящим через общую точку
многообразия идеала q.
Если f (хх, ..., хл) — некоторый многочлен и f (1Х, ..., xd+1,...
..., хи) принадлежит идеалу q', то, согласно сказанному выше,
« -0 <’>•
так что
<7(1, х) = ср (!)/(£, х).
Отсюда ввиду алгебраической независимости элементов |х, ...
..., ld следует, что
9(x) = cp(x)/:(x) = 0(q).
Из ср (1) 0 следует, однако, что ср (х) =£ О (q), откуда
/(x)^O(q).
Таким образом, чтобы выяснить, принадлежит ли некоторый
многочтен f(x) идеалу q, нужно лишь проверить, принадлежит ли
идеалу q' соответствующий многочлен f=/(Ex, •> xa+i> •••
..., х„). Итак, идеал q однозначно определяется идеалом q'.
133] СВЕДЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИДЕАЛОВ К НУЛЬМЕРНЫМ 479
Мы утверждаем следующее: идеал if в кольце К (ЕР ...
..., Ed) [xrf+1, ..., л',,] примарен', соответствующий простой идеал сов-
падает с идеалом р'; показатель идеала if равен показателю иде-
ала q; общим корнем идеала р' является {Edu, ..., Е«} и, наконец,
размерность идеала р' равна нулю.
Доказательство. Чтобы показать, что идеал q' является
примарным, а р'— соответствующим простым идеалом, достаточно
установить следующие три свойства:
1) из / (Е, flgCE, x) = 0(if) и f (Е, х)^О(р') следует, чго
g(E, x)==0(q');
2) из /(Е, .v) = O(q') следует, что f (Е, х) = 0(р');
3) из /(Е, х)^О(р') следует, что f (Е, x)p = 0(q').
Во всех трех свойствах можно считать / и g целыми рацио-
нальными по Ei, ..., Ed потому что в случае необходимости их
можно умножить на подходящий многочлен ф(Е). С учетом пос-
леднего замечания можно заменить Е на переменные х, идеал
q' — на идеал q, а идеал р' — на идеал р; действительно, напри-
мер, f (Е, x) = 0(\f) эквивалентно сравнению /(x) = 0(q) и т. д.
После такой замены 1), 2) и 3) будут утверждать не что иное,
как то, что q — примарный, а р — соответствующий простой идеал,
а это нам уже известно. Одновременно установлено, что показа-
тели идеалов if и q равны.
Чтобы показать, что {Edn, •••> Ы является общим корнем
идеала р', нужно показать, что из
f&, .... EdM, .... U = 0,
где / — рациональная функция от Ei, ?d и целая рациональ-
ная функция от Erf-i, •••, следует сравнение
/(Е, х) = 0(р'),
и наоборот. Вновь можно считать, что / — целая рациональная
функция от Ei, Но тогда f (Е, х) = 0(р') эквивалентно
сравнению / (z) = 0 (р); следовательно, эта часть утверждения
оказывается верной благодаря тому, что {Ei, Вя}-общий
корень идеала р.
Наконец, нульмерность идеала р' следует из того, что эле-
менты Ed+i, алгебраичны над К (Ei, ..., Ed)- Таким образом,
все утверждения доказаны.
Тем же способом можно показать, что если q — примарная
компонента идеала = ..., /г), то f —примарная компонента
соответствующего идеала tn' = (/[, ..., //). Если — изолированная
компонента идеала in, то и q' — изолированная компонента иде-
ала ш'.
Описанный метод сведения всех примарных идеалов к нуль-
мерным дает средство выяснения, принадлежит ли заданный
многочлен / заданному идеалу ш — (Д, ..., /г) в предположении,
480
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
(гл xvi
что задано разложение идеала m на примарные компоненты:
= .... qj.
Действительно, для каждой примарной компоненты q мы нахо-
дим соответствующий нульмерный идеал q', а затем расширяем
поле К (glt так, чтобы q' распадался на примарные иде-
алы Qv, обладающие единственным корнем a(v) каждый, а затем
методом § 132 с помощью «нётеровых условий»
f==O(q', р?), = «д’+ь Хп-ап}) (1)
выясняем, принадлежит ли многочлен /' идеалам aC = (qz, 1\р),
а потому и идеалу q'. Так как корни идеалов pv сопряжены над
К (51( ..., £rf), то и сами идеалы а потому и идеалы q^ со-
пряжены над К ($!, ..., gd); следовательно, достаточно для каж-
дого q' рассмотреть лишь один q{,. Таким образом, нужно при-
соединить лишь один корень каждого из идеалов q'. Пусть
{Jjd+1, ..., ^„} — один из таких корней. Вместо pv мы имеем, сле-
довательно, простой идеал
Vc (^d+1 У/1» • • • , Хп
а вместо условия (1) можем взять более удобное условие
Г^0(т', р£); (2)
действительно, условие (2) также необходимо для сравнения
/ = 0(ш), а из (2) немедленно следует (1). Условие (2), которое
должно удовлетворяться для каждой примарной компоненты q
идеала ш, известно под названием критерия Генцелыпа или тео-
ремы Генцельта о корнях.
В частности, если я — изолированная компонента идеала ш,
т. е. q' — изолированная компонента идеала ш', то можно, как
это было сделано в § 122, определить показатель р из условия
pp^Ofm', рР + >).
Из условий (1) для / = 0(q) наиболее явно обнаруживается
геометрический смысл примарных идеалов: принадлежность при-
марному идеалу накладывает некоторые требования на начальные
члены разложения многочлена / по степеням разностей хг — ...
..., х„ — в некоторой общей точке | алгебраического много-
образия А4, например, требование, что многочлен f должен обра-
щаться в нуль в этой общей точке или что гиперповерхность
f = 0 в этой общей точке должна касаться некоторой другой
гиперповерхности, содержащей многообразие М, и т. д.
Задача 1. С помощью метода сведения к нульмерным идеалам доказать,
что каждый (п—1)-мерный примерный идеал в К [хр ... , х„] является главным.
Задача 2. Каждый несмешанный (м—1)-мерный идеал в К [.ц, .... хп]
является главным и наоборот.
Глава семнадцатая
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Развитие теории идеалов имеет с исторической точки зрения
два источника: теорию алгебраических чисел и теорию идеалов
в кольцах многочленов. Обе эти теории, однако, возникли из со-
вершенно различных по своей постановке задач. В то время как
основной задачей теории идеалов в кольцах многочленов является
определение корней и установление необходимых и достаточных
условий для принадлежности некоторого многочлена заданному
идеалу, в теории целых алгебраических чисел исходным явля-
ется вопрос о разложении на множители. К этому вопросу можно
прийти, например, в следующих рассмотрениях.
В кольце чисел а-^-ЬУ — 5, где а и Ь — целые рациональные
числа, не имеет места теорема об однозначности разложения эле-
ментов на множители. Например, число 9 обладает двумя суще-
ственно различными разложениями на простыех) множители:
9 = 3-3 = (2 + У^5) (2-У^5).
Это обстоятельство побудило Дедекинда расширить область рас-
сматриваемых элементов до области идеалов (так им впервые были
названы эти объекты; Дедекинд следовал за Куммером, который
добился однозначности разложения на простые множители в по-
лях деления круга с помощью введения некоторых «идеальных
чисел»). Ему удалось показать, что в этой области каждый идеал
равен однозначно определенному произведению простых идеалов.
Действительно, если в указанном выше примере ввести про-
стые идеалы
^ = (3, 2 + /^5), р2 = (3, 2-У~о),
J) Числа 3 и 2l/~5 неразложимы: это следует, из того, что их норма
(ср. §, 47) равна 9. Если бы они были разложимы, то либо оба сомножителя
имели бы норму ± 3, либо один из них норму ± 1. Но чисел вида а-\- b У—5
с нормой ь 3 не существует, так как иначе было бы
а2 + 5&2 = ± 3,
что в области целых чисел невозможно. Числом же с нормой ± 1 обязательно
является один из обратимых элементов ± 1, так как
а2 + 562 = ± 1
может выполняться лишь при а = + 1, 6 = 0.
482
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
то, как легко подсчитать,
(3) = ViV2; (2 + /^5) = V?; (2-У^5) = М,
откуда для главного идеала (9) получается (единственное) разло-
жение
(9) = VfPl-
В этой главе будет изложена классическая (дедекиндова) тео-
рия идеалов целых элементов в модернизованной аксиоматической
форме, предложенной Э. Нётер
§ 134. Конечные ЭТ-модули
Мы рассматриваем здесь модули над некоторым (не обяза-
тельно коммутативным) кольцом Л, т. е. модули, для которых
кольцо Л является областью левых мультипликаторов. В боль-
шинстве рассматриваемых случаев модули содержатся либо в Л
(и, таким образом, являются левыми идеалами в Л), либо в неко-
тором кольце (S, содержащем данную область мультипликаторов 31.
Под конечным ^-модулем подразумевается такой модуль ЭЛ,
который порождается конечным базисом (а,, ..., ал), или, иначе,
элементы которого могут быть выражены как линейные комбина-
ции фиксированных элементов at.......ah с целочисленными коэф-
фициентами и коэффициентами из 31:
т — ГуСц г hah п^а^ . -ф п^аь,
(rv е 31, nv — целые числа). (1)
В этом случае пишут ЭЛ = (а1, ..., ah).
Говорят, что для модуля ЭЛ выполнена теорема о цепях де-
лителей, если каждая цепь подмодулей ЭЛ,, ЭЛ2, ... в ЭЛ, где
каждый предыдущий член является собственным подмодулем сле-
дующего члена (т. е. последующий является «делителем» преды-
дущего):
ЭЛ, с ЭЛ2 <= ...,
обрывается после конечного числа шагов.
Теорема. Если в модуле ЭЛ выполнена теорема о цепях де-
лителей, то каждый подмодуль в ЭЛ имеет конечный базис и
наоборот.
Эта теорема является обобщением теоремы из § 115 о базисе
идеала и теоремы о цепях делителей. Доказательство в данном
случае совершенно аналогично. Чтобы найти базис для произ-
вольно выбранного подмодуля 31, нужно взять в Л какой-нибудь
элемент а,. Если (а,) = 31, то больше доказывать нечего; в про-
r) Noether Е. Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und
Funktionenkorpern,—Math, Ann,, 1926, 96, S. 26 — 61,
§ 134]
КОНЕЧНЫЕ 91 .МОДУЛИ
483
тявном случае выберем в 91 элемент а2, не принадлежащий под-
модулю (nJ, Если а2) = 91, то опять-таки больше доказывать
нечего; в противном случае выберем следующий элемент аа и т. д.
Если известно, что цепь модулей
(ах) cz (а1( а2) cz (alt а2, а3)с...
обрывается, то 91 обладает конечным базисом.
Обратно, если каждый подмодуль в 9)1 обладает конечным
базисом и
9)1 х cz Э)12 cz ...
— цепь подмодулей в Э?1, то объединение 5) всех 9)lv — тоже под-
модуль, обладающий по условию конечным базисом:
23 = (аъ ..., аг).
Все av, однако, содержатся уже в некотором 9)1И, участвующем
в данной цепи; следовательно, 93 s Э)?ш, откуда 53 = 9)1Ю. Таким
образом, цепь обрывается на 9)1М.
О том, при каких условиях в модуле 9)1 выполняется теорема
о цепях делителей, говорит следующая
Теорема. Если в кольце Э( имеет место теорема о цепях
делителей для левых идеалов и 9)1 — произвольный конечный ^-модуль,
то в 9)1 имеет место теорема о цепях делителей для ^-модулей.
Вот утверждение, равносильное этому (в силу предыдущей тео-
ремы):
Если в 91 каждый левый идеал обладает конечным базисом и
модуль 9)1 обладает конечным базисом над 31, то каждый подмо-
дуль в 9)1 имеет конечный базис над Ш.
Доказательство совершенно аналогично доказательству тео-
ремы Гильберта о базисе (§ 115). Пусть 9)1 = (а1( ..., ah) и 91 —
произвольный подмодуль в 9)1. Каждый элемент из 91 можно за-
писать в виде (1). Если в выражении (1) среди 2Л коэффициентов
гъ ..., nh последнее ‘Ih — l (т. е. начиная с (/-{-1)-го и заканчи-
вая 2/i-m) равны нулю, то мы говорим о выражении длины -С/.
Рассмотрим все входящие в 91 выражения длины -с/. Коэффи-
циенты при 1-м слагаемом в них составляют, как легко видеть,
некоторый левый идеал в 91 или в кольце Z целых чисел. Этот
идеал обладает конечным базисом
(6л....b^i)-
Каждый из blv является последним (1-м) коэффициентом (г( или
zi27i) некоторого выражения (1), которое мы обозначим через BZv:
+ ...-Фblvat или B/v = r1a14-...4-dZvaz_*.
484
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Мы утверждаем теперь, что все выражения BZv(/=l, .... 2fe;
v = l, sz) составляют базис в 91. Действительно, каждый эле-
мент (1) из 91 длины I может быть освобожден от /-го коэффи-
циента с помощью вычитания некоторой линейной комбинации
элементов BZ1, .... BtSl (с коэффициентами из 2d или Z — в зави-
симости от значения /), т. е. данное выражение (1) можно свести
к выражению меньшей длины. Тем же способом полученное выра-
жение можно изменить и еще уменьшить длину; продолжая та-
ким образом, мы в конце концов придем к нулю. Значит, каж-
дый элемент из 91 может быть представлен в виде линейной
комбинации элементов BZv, что и требовалось доказать. Если
один из идеалов (bzi, ..., bZsJ окажется равным нулю, то соот-
ветствующие элементы BZv не надо включать в базис.
§ 135. Элементы, целые над кольцом
Пусть 91 — подкольцо кольца
Элемент t из $ называется целым над 3d, если все степени J)
t принадлежат конечному 91-модулю вида (аг, ..., ат) или если
все степени t линейно выражаются через конечное множество
элементов alt ат кольца $ в виде
/р = i\ax +... + г тат + +... + птат
(rv е 2d, nv — целые числа). (1)
В частности, каждый элемент г из 2d является целым над 2d,
так как г, г2, г3, ... принадлежат 91-модулю (г). Конечно, и
единичный элемент из если он существует, является целым
над 2d.
Если $ —поле, которое, следовательно, содержит поле част-
ных Р кольца 2d, то степени любого целого элемента t линейно
зависят от конечного множества величин аг, ..., ат с коэффи-
циентами из Р, потому что Р содержит не только кольцо 2d,
но и единицу. Тем самым среди степеней элемента / есть лишь
конечное множество линейно независимых над Р; поэтому эле-
мент t является алгебраическим над Р, и вместо «целый элемент»
часто говорят «целый алгебраический элемент.
Если 91 — кольцо, в котором имеет место теорема о цепях
делителей для левых идеалов, то, согласно § 134, она имеет
место и в подмодулях конечного 91-модуля (ах, ..., ат). В част-
ности, цепь модулей
(/) = (/, /2)s...
стабилизируется и, значит, некоторая степень элемента t линейно
!) Под степенями в этом параграфе подразумеваются только системы с по-
ложительными показателями,
§ 135]
ЭЛЕМЕНТЫ. ЦЕЛЫЕ НАД КОЛЬЦОМ
485
выражается через более низкие степени:
/л = г1/-ф...-фгл_1/^1-фп1/-ф...-фпл (2)
Обратно, если / — элемент из который при выбранном подхо-
дящим образом числе h представляется в виде (2) с коэффи-.
циентами из ЭЯ, соответственно из Z, то с помощью (2) можно
и более высокие степени элемента t выразить через конечное
множество элементов t, t2, и тем самым установить,
что в соответствии с нашим определением элемент t является
целым. Мы доказали следующее предложение:
Если в кольце ЭЯ имеет место теорема о цепях делителей
для левых идеалов, то для того, чтобы элемент t был целым
над ЭЯ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
вида (2).
Если $ —поле, то равенство (2) доставляет новое выражение
того факта, что t алгебраичен над полем Р. Если в ЭЯ есть еди-
ница, то к множеству степеней элемента t можно добавить
и /° = 1, а в равенстве (2) удалить, группу слагаемых /i^-ф...-ф-
-ф-пЛ_1/Л~1. Вместо (2), таким образом, получается более простое
равенство:
/Л-гЛ_1/^1-...-го = О,
характерной особенностью которого является то, что коэффициент
при высшей степени элемента t равен единице.
Примеры. Целые алгебраические числа — это алгебраические
числа, являющиеся целыми над кольцом Z обычных целых чисел, т. е.
удовлетворяющие некоторому целочисленному уравнению со стар-
шим коэффициентом 1. Целые алгебраические функции от х1г ...
..., хп — это функции из некоторого алгебраического расширения
поля Н (хр ..., х„), которые являются целыми надкольцом мно-
гочленов Н (хъ ..., х„]; при этом К является заранее фиксиро-
ванным основным полем. Абсолютно целые алгебраические функции
от Хр ..., х„ —это функции, которые являются целыми над
кольцом целочисленных многочленов Z [xv .... х„].
В любом кольце сумма, разность и произведение двух целых
над ЭЯ элементов являются целыми. Иначе говоря, целые над ЭЯ
элементы из $ составляют некоторое кольцо ©.
Доказательство. Если все степени элемента з выра-
жаются через alt ат, а все степени элемента t выражаются
через Ьг, .... Ьп линейно, то все степени элементов з -ф t, s — t
и s• t линейно выражаются через alt ат, Ьъ Ьп, аф^
Если предположить выполненной теорему о цепях делителей
для идеалов кольца ©, то можно доказать транзитивность
свойства быть целым элементом.
486
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Если ® —кольцо целых элементов коммутативного кольца ъ
(над подкольцом ‘Rjut — элемент из целый над ©, то этот элемент
t является целым и над 31 (т. е. содержится в ®). Или, иначе:
если элемент t удовлетворяет равенству (2) с коэффициентами
rv, целыми над Зф то сам t является целым над 31.
Доказательство. С помощью многократного применения
равенства (2) все степени /л+?а элемента t можно выразить линей-
но через t, i2, .... th~1 с коэффициентами, которые являются
либо целыми числами, либо целыми рациональными функциями
от произведений степеней коэффициентов rv. Для каждого rv
существует конечное множество элементов из через которые
rv линейно выражается с коэффициентами из 51 и Z, следова-
тельно, все произведения степеней элементов rv выражаются
через конечное множество произведений элементов из указанных
выше конечных множеств. Умножим эти произведения, которых
всего конечное число, на t, t2, ...yt11-1 и добавим к полученному
множеству еще t, t2, ..., тогда получится конечное множе-
ство элементов, через которые уже все степени элемента t линей-
но выражаются с коэффициентами из 31 и целочисленными коэф-
фициентами.
Кольцо © называется целозамкнутым в некотором объемлю-
щем кольце если каждый целый над Д элемент из 5 принад-
лежит уже В частности, целостное кольцо ® называется про-
сто целозамкнутым, если оно целозамкнуто в своем поле частных
2. Как легко видеть, это означает, что каждый элемент i из 2,
степени tp которого выражаются как дроби с некоторым фикси-
рованным знаменателем из принадлежит кольцу ©. Дей-
ствительно, конечное множество элементов, через которые могут
быть выражены все степени некоторого целого числа t, может
быть приведено к общему знаменателю и, обратно, если все сте-
пени элемента t представляются в виде дробей со знаменателем
s, то они линейно выражаются через элемент s л.
Из предыдущей теоремы следует, что в случае коммутатив-
ного кольца $ кольцо ® всех целых над Di элементов из Ф
является целозамкнутым в *$, если идеалы из © удовлетворяют
теореме о цепях делителей.
Такая же теорема может быть доказана и без предположения
о справедливости теоремы о цепях делителей, если считать, что
кольцо 3i целозамкнуто в своем поле частных Р, а 5 является
конечным расширением поля Р. Для доказательства поле § рас-
ширяется до некоторого расширения Галуа 'S' поля Р, а ®—
до кольца <S' целых элементов поля S'. Если некоторый эле-
мент t является целым над ©, а потому и над ©', то таковыми
будут и элементы, сопряженные с t над Р, а также элементар-
ные симметрические функции этих сопряженных элементов, т. е.
коэффициенты уравнения, определяющего элемент t. В силу
§ 136]
ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПОЛЕ
48?
целозамкнутости кольца 91 эти коэффициенты принадлежат
кольцу 91, так что t оказывается целым над 91 и, следовательно,
t е ©.
Одно достаточное, но не необходимое условие для целозамк-
нутости целостного кольца дает следующая
Теорема. Целостное кольцо с единицей, в котором имеет
место теорема об однозначности разложения на простые множи-
тели, целозамкнуто в своем поле частных.
Доказательство. Каждый элемент поля частных можно
представить дробью а/b, в которой а и b не имеют общих про-
стых множителей. Тогда, если все степени дроби alb можно
освободить от знаменателей умножением на некоторый элемент с,
то сап, а потому и с, должны делиться на Ьп при каждом нату-
ральном п, что, однако, возможно лишь тогда, когда b — некото-
рый обратимый элемент, и поэтому a/b — ab 1 — элемент из дан-
ного целостного кольца.
Из этой теоремы следует, что всякое кольцо главных идеалов
(в частности, кольцо целых чисел Z), всякое кольцо целочислен-
ных многочленов и всякое кольцо многочленов над каким-либо
полем К являются целозамкнутыми.
Задача I. Корни из единицы в любом поле являются целыми над любым
подкольцом.
Задача 2. Какие числа из поля гауссовых чисел Щ (;) являются целыми
над Z? Решить аналогичный вопрос для поля Щ (р), где р = ———3.
Задача 3. Если целостное кольцо целозамкнуто, то и кольцо много-
членов 9i [х] целозамкнуто.
§ 136. Целые элементы в поле
Пусть 91 — целостное кольцо, Р — его поле частных, 2 — конеч-
ное коммутативное расширение поля Р и © — кольцо целых
над 91 элементов из 2. Очевидно, что © является кольцом,
содержащим кольцо 91. Связь между кольцами 91, © и полями
Р, 2 схематически можно изобразить так:
91 Е©
п п
PS2.
Такие соотношения будут считаться выполненными всюду в дан-
ном параграфе. Под словом «целый» здесь постоянно подразуме-
вается «целый над 91».
Примеры. Если 91 —кольцо обычных целых чисел, то Р —
поле обычных рациональных чисел; поле 2 является некоторым
числовым полем (конечным над Р), а © — кольцом целых алгебра-
ических чисел поля 2.
488
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVI t
Если Э1 — кольцо многочленов: 'Л = К [хь ..., х„], то Р —
поле рациональных функций; в этом случае S получается при-
соединением конечного множества алгебраических функций, а 0
оказывается составленным из целых алгебраических функций
поля S.
Наша цель состоит в изучении теории идеалов в кольце 0.
Как мы знаем, для этого в первую очередь нужно выяснить,
справедлива ли в g теорема о цепях делителей для идеалов.
Точнее, нужно выяснить, переносится ли на 0 теорема о цепях
делителей при условии, что опа выполнена в ЭЕ В соответствии
с теоремами из § 134 это возможно, если существует базис для
0 как для ЭЕмодуля. Этим рассуждением определяется наша
ближайшая цель.
Прежде всего, одна подготовительная
Теорема. Если а —некоторый элемент поля S, то о —в/г,
где se'2 , ге ЭЕ
Доказательство. Элемент о удовлетворяет некоторому
уравнению с коэффициентами из Р. Эти коэффициенты являются
дробями, числители и знаменатели которых принадлежат кольцу ЭЕ
С помощью умножения на произведение всех этих знаменателей
упомянутые дроби становятся элементами из Э1 и получается
уравнение
гоат + г^т1 +... + гт = 0.
Положим г0 = г и умножим это на rm l:
(го)т + Г1 (го)”1-1 + г2г (ги)т 2 + rmrm l = 0.
Следовательно, гсг —целый элемент над ЭЕ Положим га — s и
тем самым получим требуемое.
Из этой теоремы следует, что S — поле частных кольца 0.
Если некоторый элемент £ является целым над основным коль-
цом, то и все сопряженные с ним элементы (в некотором расши-
рении Галуа поля Р, содержащем S) являются целыми.
Доказательство. Конечное множество элементов из S,
через которые по условию линейно выражаются все степени эле-
мента £, при любом изоморфизме поля S переходит снова в конеч-
ное множество элементов, через которые линейно выражаются
все степени того или иного сопряженного с £ элемента.
Суммы и произведения целых элементов снова являются
целыми; поэтому являются целыми и элементарные симметри-
ческие функции от | и сопряженных с ним элементов. Мы полу-
чили следующее предложение:
Если в некотором неразложимом над полем Р уравнении,
которому удовлетворяет целый элемент старший коэффициент
равен единице, то и все остальные коэффициенты этого уравнения
§ 136] ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПОЛЕ 489
являются целыми над ?Я. В частности, если кольцо Э? целозамк-
нуто в Р, то все эти коэффициенты принадлежат -Я.
В случае целозамкнутого кольца ?Я это предложение дает
удобное средство для выяснения, является ли тот или иной эле-
мент £ целым: для этого не нужно строить все уравнения, кото-
рым удовлетворяет и среди них отыскивать уравнения с целыми
коэффициентами, а достаточно найти неразложимое уравнение
для £ со старшим коэффициентом 1. Если все его коэффициенты
целые, то и £ — целый элемент, если же не все коэффициенты
целые, то и £ не является целым.
Сделаем теперь три следующих предположения:
I. Кольцо ‘Я целозамкнуто в своем поле частных Р.
II. В кольце гЯ имеет место теорема о цепях делителей для
идеалов.
III. Поле 2 является сепарабельным расширением поля Р.
Из III, в соответствии с § 46, следует, что поле 2 порождается
некоторым «примитивным элементом» о: 2=Р(о-). Согласно
последней теореме o = s/r (гег, геЭД); следовательно, это
поле порождается и целым элементом s. Элемент s удовлетворяет
некоторому уравнению п-й степени, где п —степень расширения
2/Р. Каждый элемент из 2 можно представить в виде
п — 1
5=2 PkSk (pk <= Р).
О
(1)
Если в (1) заменить s на сопряженные с ним элементы sv (в каком-
либо расширении Галуа поля 2, содержащем Р), каковых,
согласно § 44, существует ровно п, то для элементов cv, сопря-
женных с £, получатся равенства
5v = 2>sS (v = l, 2, .... п). (2)
О
Определитель этой системы уравнений равен *)
Х< ц
Квадрат этого определителя является симметрической функцией
от sv, а потому содержится в Р. Так как сопряженные элементы
sv все различны, 0=^=0. Следовательно, систему уравнений (2)
можно решить:
Р* = д ’
J) См. задачу 2 из § 28. — Прим. ре$.
490
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
где Skv и D — многочлены от sv, т. е. элементы, целые над 91.
Умножение этого равенства на D2 дает
D2pk=^DSk^v. (3)
V
Если теперь предположить, что £ является элементом из <3,
т. е. целым элементом, то окажется, что элементы Hv, а с ними
и левая часть в (3) целые. Вместе с тем левая часть является
элементом из Р. Так как кольцо 91 целозамкнуто в Р, то эле-
мент D2pfc принадлежит 91. Положим D2pk = rk-, тогда pk = rkD~2
и, согласно (1),
5=2 rkD~2sk.
о
Следовательно, каждое £ из @ может быть линейно выражено
через D-2s°, D 2s\ .D 2sn 1 с коэффициентами из 91. Другими
словами, кольцо © содержится в конечном 31-модуле:
ЭЭ? = (D~2s°, D^s1...D 2snl).
Отсюда, согласно теоремам из § 134, следует, что ©, как и
всякий подмодуль в & и, в частности, всякий идеал в обладает
конечным базисом над 31 как модуль, или, что то же самое, для
N-модулей и, в частности, для идеалов в выполняется теорема
о цепях делителей. Если, например, 31 — кольцо главных идеалов,
то даже @ и каждый подмодуль в ® обладают линейно незави-
симыми базисами как модули над 91.
Под ^-порядком в 2 подразумевается всякое кольцо в 2, кото-
рое содержит 91 и является конечным 91-модулем. В соответствии
со сказанным выше кольцо © является 91-порядком, как и любое
кольцо, заключенное между 91 и <S. Обратно, из определения
целостности следует, что каждый 91-порядок $ в 2 состоит исклю-
чительно из целых элементов, т. е. принадлежит кольцу Тем
самым кольцо © можно охарактеризовать как 91-порядок в 2,
содержащий все остальные 91-порядки. Кольцо ® называют также
главным порядком поля 2. Если пойдет речь об «идеалах поля»,
«единицах поля» и т. д., то всегда будут иметься в виду идеалы
из <с, единицы из @ и т. д. В соответствии с § 135 кольцо ©
целозамкнуто в поле 2.
Результаты этого параграфа не остаются справедливыми в некоммутативных
алгебрах над Р; препятствие состоит в том, что сумма двух целых элементов
уже не обязана быть целой. Поэтому совокупность всех целых элементов
не является порядком. Несмотря на то, что каждый порядок по-прежнему
состоит из целых элементов, в некоммутативном случае не существует наиболь-
шего, главного порядка, содержащего все остальные. При подходящих предпо-
ложениях относительно поля S появляются различные максимальные Di-порядки,
так что каждый 91-порядок, а также каждый целый элемент содержатся по
§ 136] ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПОЛЕ 491
крайней мере в одном максимальном Ш-порядке. По поводу теории идеалов
в таких максимальных 9?-порядках см. Д о й р и н г (Deuring М-). Algebren. —
Ergebn. Math., 1935, 4, Heft 1.
Во всех 31-порядках поля S, в соответствии с доказанным
выше, выполняется теорема о цепях делителей. Поэтому для таких
порядков выполнены теоремы о существовании и единственности
разложения на простые множители из §§ 118 и 119 (представле-
ние всех идеалов в виде пересечения примарных идеалов).
Согласно § 122 значительное упрощение теории идеалов ока-
зывается возможным тогда, когда каждый отличный от нуля про-
стой идеал ER-порядка о не имеет делителей. Следующая теорема
устанавливает условия, при которых имеет место этот случай:
Если в кольце ER каждый простой идеал, отличный от нуля,
не имеет делителей, то и в каждом ^.-порядке о каждый ненуле-
вой идеал не имеет делителей.
Доказательство. Пусть р — произвольный простой идеал
из о, содержащий отличный от нуля элемент t. Элемент t удов-
летворяет некоторому уравнению с коэффициентами из ЕН:
th + ttith ~1 + .. + «* = О,
которое мы будем считать выбранным наименьшей возможной сте-
пени и со старшим коэффициентом 1; в этом уравнении ah Ф О,
так как иначе можно было бы сократить на t. Следовательно,
flj = O(f)=O())), а потому ah принадлежит пересечению ppER.
Это пересечение является простым идеалом в ER, потому что если
произведение каких-нибудь двух элементов из SR принадлежит
SR Q р, а потому и р, то один из сомножителей должен принадле-
жать р, а потому и 31 Г) р. Так как ah принадлежит простому
идеалу ER Q р, этот простой идеал отличен от нулевого, а потому
не имеет делителей.
Если теперь а — произвольный собственный делитель идеала
р и и — некоторый элемент из я, не принадлежащий р, то и удов-
летворяет уравнению вида
и1 + bj^u1-1 +... ф- bi = О,
а потому и сравнению с наименьшей возможной степенью
uk + c1uh~1 + ...^rck = 0(р),
в котором вновь ck =£ 0 (р), так как иначе возможно было бы
сокращение на и. Следовательно, ck = 0 (м) == 0 (я), а потому эле-
мент принадлежит пересечению я f) ER и не принадлежит пере-
сечению рГ|31. Таким образом, это пересечение я П 31 является
собственным делителем идеала р f) ER и по этой причине совпадает
с ER. Следовательно, идеал я содержит единичный элемент, так
что я = о. Теорема доказана. .
492
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Предположения этой теоремы выполнены, в частности, тогда,
когда (R является кольцом главных идеалов (кольцом целых чисел,
кольцом многочленов от одной переменной). Таким образом,
в этом случае в о выполнена теорема о том, что каждый идеал,
отличный от нуля и единичного идеала, однозначно представляется
в виде произведения взаимно простых и отличных от о примарных
идеалов.
Однако, как мы увидим, для главного порядка © выполняется
нечто большее: примарные идеалы равны степеням простых иде-
алов, а потому в этом случае каждый идеал равен произведению
степеней простых идеалов. Ввиду значительности этого главного
результата «классической» дедекиндовой теории идеалов для
теории числовых и функциональных полей мы докажем
его, не используя понятия примарного идеала и общей
теории идеалов. Это будет сделано в следующем параграфе
с помощью метода, предложенного К рул л ем1).
Задача 1. Если 91—кольцо главных идеалов, (о»! соп) — всегда суще-
ствующий в этом случае линейно независимый базис 9?-порядка о и (<о)1), ...
.— сопряженные базисы в некотором расширении Галуа поля Р, то «ди-
скриминант поля»
D =
является целым, рациональным и отличным от нуля.
Задача 2. Пусть S=P(yAd) и 91 —кольцо, целозамкнутое в Р. Дока-
зать, что те и только те элементы £ = а + b У d являются целыми над 91, у кото-
рых следы и нормы
S(^) = 5 + ^ = (a + 6/d) + (a-6/d) = 2a,
Л' (g) g • g' = (а + * Vd) (а — & V"d) = а2 - b*d
принадлежат кольцу 9t.
Задача 3. Если в задаче 2 91 = К [х] — кольцо многочленов от одной
переменной и d — некоторый многочлен, не имеющий кратных множителей, то
является целым элементом тогда и только тогда, когда а и b
принадлежат 9i.
Задача 4. Если в задаче 2 9i = Z — кольцо целых чисел и d —некоторое
число, свободное от квадратов2), то один из базисов главного порядка в слу-
чае d ф 1 (4) состоит из чисел 1, V d , а в случае d = 1 (4) — из чисел 1, .
Krull W. Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe.—Math. Ann., 1928,
99, S. 51—70.
2) To есть не делится на квадрат простого числа. —Прим. ред.
§ 137]
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
493
§ 137. Аксиоматическое обоснование
классической теории идеалов
Пусть о — произвольное целостное кольцо (коммутативное
кольцо без делителей нуля), в котором выполнены следующие
три аксиомы:
I. Теорема о цепях делителей для идеалов.
II. Все отличные от нуля простые идеалы не имеют делителей.
III. Кольцо о целозамкнуто в своем поле частных S.
Примерами таких колец могут служить: 1) кольца главных
идеалов; 2) главные порядки, которые получаются при конечных
расширениях поля частных по схеме из § 136 из колец главных
идеалов (в частности, главные порядки в числовых полях и полях
функций от одной переменной).
Элементы поля S, являющиеся целыми над о, а потому, со-
гласно III, принадлежащие кольцу о, будут называться просто
целыми. В частности, единичный элемент из S является целым,
так что о —целостное кольцо с единицей.
Наряду с идеалами из о (или о-модулями внутри о) мы будем
рассматривать и о-модули внутри S, т. е. подмножества поля S,
которые вместе с а и b содержат также а — Ь, а вместе с а — эле-
менты га, где г —любое целое число. Если такой о-модуль а обла-
дает конечным базисом, то а называют дробным идеалом. Если
о-модуль а состоит только из целых элементов (а <= о), то он
является идеалом в обычном смысле или, как мы будем теперь
говорить, целым идеалом.
Под суммой или наибольшим общим делителем (а, Ь) двух
о-модулей а и Ь мы подразумеваем (как и в случае идеалов) модуль
всевозможных сумм а-\-Ь, где а е а, b е Ь; равным образом под
произведением ab подразумевается модуль, порожденный всевоз-
можными произведениями ab или совокупностью всех сумм У, аД)х.
Суммы и произведения о-модулей с конечными базисами снова
являются о-модулями с конечными базисами.
В последующих теоремах мы обозначаем готическими буквами
лишь ненулевые целые идеалы в кольце о, а буквой р—
с индексами или без — постоянно обозначается какой-нибудь нену-
левой простой идеал. •
Лемма 1. Для каждого идеала а существует произведение
простых идеалов делящих л, кратное идеалу а:
р1р2...рг = 0(а).
Доказательство. Если идеал я простой, то лемма верна.
Если же а не является простым, то существует произведение
двух главных идеалов Ьс такое, что
Ьс = О(а), Ь^О(л), с^О(п).
494
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Идеалы Ь' — (Ь, а), с' = (с, а) являются собственными делителями
идеала а и
b'c' = (b, а) - (с, а) = (Ьс, Ьа, ас, а2) = 0(л).
Если считать данную лемму выполненной для идеалов Ь' и с',
то существуют некоторое произведение ^... ^ = О (Ь') и некото-
рое произведение pJ+1...pr = O(c')- В этом случае произведение
рг.. .Ms+i. • -Vr делится на b'-с', а потому и на а, и лемма ока-
зывается выполненной для а. Но если бы лемма была неверна
для идеала а, то она была бы неверна и для одного из делите-
лей Ь' или с'; этот делитель в свою очередь обладал бы делителем
(собственным), для которого данная лемма не выполнена, и т. д.
Таким способом мы получили бы бесконечную цепь собственных
делителей, что, согласно аксиоме I, невозможно. Следовательно,
лемма верна для каждого идеала а.
Лемма 2. Если идеал р простой, то из аЬ == 0 (р) следует,
что а = О(р) или Ь = О(р).
Доказательство. Если а 0 (р) и b 0 (р), то существуют
такой элемент а из а и такой элемент b из Ь, что оба они
не принадлежат р. Но их произведение ab, находясь в ab, должно
было бы принадлежать р, а это противоречит тому, что идеал р
прост.
Символом р-1 мы будем обозначать совокупность (целых или
дробных) элементов а, для которых ар —целый идеал. Очевидно,
р-1 — некоторый о-модуль.
Лемма 3. Если р#=о, то в р-1 существует нецелый элемент.
Доказательство. Пусть с — произвольный отличный от
нуля элемент из р. Согласно лемме 1 существует произведение
простых идеалов со свойством:
pjp2.. ,рг 0 (с).
Мы можем предположить, что это произведение несократимо, т. е.
его нельзя заменить никаким частичным произведением типа р2...
...рг = О(с). Так как произведение р^^.-.р, делится на р, то один
из его сомножителей, скажем, рп должен делиться на р, а потому
совпадает с р.
Тем самым
рр2...рг = 0(с),
р2...рг#=0(с).
Следовательно, существует не принадлежащий идеалу (с) элемент
b из произведения р2...рг. Для него справедливы соотношения
р& = 0 (рр2.. ,рг) =0 (с).
Следовательно, идеал \Ь/с целый, а потому b/с принадлежит
идеалу р-1. Но так как 6е£0(с), то элемент b/с не является
целым, что и требовалось доказать.
§ 137]
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
495
Теорема 1. Если р = о, то
р-Р"1^.
Доказательство. Согласно определению идеала р-1 имеет
место включение о £ р-1, так что р ==ор cz р-1р. Следовательно,
целый идеал рр-1 является делителем идеала р, а потому он равен
либо р, либо о. Предположим, что
р-р-^р.
Тогда р-(р-1)2 = (рр-1)р-1 = рр-1 = р, р(р-1)3 = р и т. д. Следова-
тельно, если а =0= 0 — произвольный элемент из р и b — произволь-
ный элемепт из р*1, то элемент о&еер(р-1)е является целым,
в силу чего все степени элемента b представляются как дроби
с одним и тем же фиксированным знаменателем а. Поэтому эле-
мент b целый. Это оказывается выполненным для произвольного
элемента b из р-1, что противоречит лемме 3.
Теперь мы можем доказать основную теорему о разложении:
Теорема 2. Каждый идеал а является произведением простых
идеалов.
Доказательство. Можно считать, что о. Пусть в соот-
ветствии с леммой 1
p!p2...pr =0(а) (1)
и число г выбрано наименьшим; тогда ни одно из укороченных
произведений не сравнимо с нулем по модулю л. Пусть далее р —
произвольный отличный от о простой идеал, являющийся дели-
телем идеала а (таковой обязательно существует согласно лемме 1).
Но тогда произведение pi...рг делится на р и, следовательно
(в силу леммы 2), одно из р,- делится на р, а потому совпадает
с р, поскольку идеалы рг не имеют делителей. Мы можем считать,
что pi = p. Умножим (1) на р-1, тогда получится
р2... рг = 0 (р-Чт) == 0 (о);
следовательно, р-1а —целый идеал, который включается в произ-
ведение менее чем г простых идеалов. Проведем теперь индукцию
по г. Предположим, что для идеалов, которые включаются в произ-
ведение менее чем г простых идеалов, отличных от нуля, теорема
уже доказана (для идеалов, включающихся лишь в один простой
идеал, отличный от нуля, теорема очевидна). Тогда, в частности,
теорема верна для р-1а, т. е.
p-xa = p2...ps.
Умножение с обеих сторон на р дает нужное представление для а.
Единственность такого представления гарантирует
Теорема 3. Если а = 0(b) и а = р1...рг, b = р(... ps, то каж-
дый отличный от о простой идеал, входящий в разложение идеала
496
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Ь, входит и в разложение идеала а и по крайней мере столько же
раз.
Доказательство. Пусть р(#= о. Так как pi — делитель
идеала а, то, как и выше, мы приходим к выводу о том, что
р[ —это один из идеалов pv. Пусть, например, р! = рь Тогда
= О (рдД),
V1 Д = 4'2 • • •
Р1-Д = р'2 ... р'^.
Предположим, что наше утверждение уже доказано для меньших
значений s (для s = 0, Ь = о утверждение тривиально); тогда каж-
дый отличный от о идеал из списка р'2, .... р'^ входит в список
р2, ..., рг по крайней мере столько же раз. Отсюда следует тре-
буемое.
Следствие 1. Представление идеала л в виде произведения
простых идеалов единственно с точностью до порядка следования
сомножителей и с точностью до числа сомножителей, равных о.
Следствие 2. Из делимости следует представление в виде
произведения: если л = О (Ь), то а = Ьс при некотором целом идеале с.
Действительно, в качестве с нужно взять произведение про-
стых сомножителей, входящих в разложение идеала а, которые
остаются свободными после составления произведения, равного Ь.
Задач а. Разложить на простые множтели-идеалы главные идеалы (2) и (3)
в главном порядке числового поля ©(К—5).
§ 138. Обращение и дополнение полученных результатов
Мы видели, что из аксиом I —III (§ 137) следуют теоремы 2
и 3, гарантирующие однозначное разложение идеалов на простые
сомножители. Это положение обратимо:
Пусть о — целостное кольцо с единицей. Пусть в о каждый
целый идеал я представим в виде произведения простых идеалов:
я = рхр2 ... рг, и пусть, если я делится на Ь, то в каждом раз-
ложении для я каждый отличный от с множитель из разложения
для b участвует по крайней мере столько же раз. Тогда в кольце о
выполняются аксиомы I —III.
Доказательство. Теорема о цепях (аксиома I) немедленно
следует из того, что каждый целый идеал я = ... psp' обладает
лишь конечным числом делителей b = р°х ... p°r(ot pz). В част-
ности, простой идеал р делится только на р и на с, так что выпол-
нена и аксиома II.
Аксиома III (целозамкнутость кольца о в поле частных 2)
доказывается так. Предположим, что X —произвольный элемент
поля 2, целый над о; тогда некоторая его степень, скажем Ат,
§ 138]
ОБРАЩЕНИЕ И ДОПОЛНЕНИЕ
497
линейно выражается через 1°, ..., А”1-1, или, иначе говоря, при-
надлежит о-модулю 1 = (Х°, V, ..., Z"1'1). Если Х — а/Ь, то модуль I
с помощью умножения всех его элементов на идеал b = (Ь"1-1)
становится целым идеалом. Очевидно, что [ удовлетворяет равен-
ству 12 = 1. Умножение на Ь2 дает
(lb)2 = (lb)b.
В силу единственности отсюда следует, что
lb = b,
и, таким образом, если обе части умножить еще на Ь(т г),
1 = о.
Следовательно, элемент к принадлежит кольцу о, что и требова-
лось доказать.
Обратимся теперь к обобщениям теорем 2 и 3, тоже относя-
щимся к классической теории идеалов.
Тот факт, что из делимости следует возможность представлять
элементы в виде произведения, позволяет ввести наибольший
общий делитель и наименьшее общее кратное точно так же, как
это делается в случае целых чисел с помощью разложения на
простые множители.
Пусть а и Ь —два целых идеала:
a = ^i ... р^,
Ь = Р? ...
(здесь в обоих случаях указаны простые множители, входящие
в а и Ь, возможно, с нулевым показателем степени). Каждый
общий делитель содержит лишь простые множители из пере-
численных и при этом с показателем степени Ст;, где т; —наи-
меньшее из чисел р[, ог. Наибольший общий делитель (а, Ь) дол-
жен делиться на каждый общий делитель и, в частности, на
Следовательно, он может иметь лишь следующий вид:
Р? • • • Р^-
Точно так же устанавливается, что наименьшее общее кратное
(пересечение) a f| b идеалов а и b является идеалом
Р^ Р?Т
где р; — наибольшее из чисел р,-, щ.
Теорема 4. Если а == О (Ь), то в b существует элемент d,
для которого
(а, d) = b,
498 ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ (ГЛ. XVII
Доказательство. Пусть
а = pf1..
Ь = V?1 • • • (0 а,- ==s рД
Мы должны выбрать элемент d так, чтобы d делился на Ь, но
не имел общих с а делителей, отличных от делителей идеала Ь,
Положим
с = ^+1...^+1,
Тогда с;^О(с). Следовательно, существует элемент dit при-
надлежащий идеалу с;, но не принадлежащий идеалу с. Тогда
d^O^1) для j =/=i,
Д-е£О(^+1).
Сумма
d = dy -р • • • “Т От-
делится на b (так как этим свойством обладают все 0,-). Но
вместе с тем
следовательно, элемент d не имеет с а общих множителей,
отличных от множителей идеала Ь.
Следствие 1. В кольце классов вычетов с/л каждый идеал
b/л является главным.
Действительно, идеал Ь/д порождается классом вычетов а + d.
Следствие 2. Каждый идеал b обладает базисом из двух
элементов (a, d), где а =/= 0 — произвольно выбранный элемент из Ь.
Действительно, пусть а — произвольный ненулевой элемент
из t1 и л = (а). В соответствии с теоремой, приведенной выше,
(а, 0) = Ь.
Следствие 3. Каждый идеал b с помощью умножения на
некоторый идеал Ь, взаимно простой с заданным идеалом с,
может быть превращен в главный идеал.
Доказательство. Положим л = eb. В соответствии с выше-
приведенной теоремой имеем
(«,d) = b. (1)
Так как d делится на Ь, мы можем считать, что
(d) = bb.
Ввиду (1)
(cb, ЬЬ) = Ь.
Следовательно, с и b должны быть взаимно простыми.
§ 139]
ДРОБНЫЕ ИДЕАЛЫ
499
Задача 1. Пусть © — кольцо всех частных а/b, где а и b — целые и Ь
не делится на некоторые наперед заданные простые идеалы рц Тогда
каждому идеалу а из о соответствует некоторый идеал ?1 из ©, состоящий
из дробей а/b, где а е а. Идеалам р1(..., соответствуют простые идеалы
!Р1,.... а всем остальным простым идеалам из о соответствует единичный
идеал ©. Каждый идеал в © однозначно представляется в виде произве-
дения степеней идеалов *рх,*РГ. Кроме того, в кольце О каждый идеал
является главным.
§ 139. Дробные идеалы
В § 137 о-модуль в поле частных 2 был назван дробным
идеалом, если он обладает конечным базисом. Таким образом,
идеалы в о, или «целые идеалы», являются частным случаем
дробных идеалов.
Если (оу..., щ.) — базис некоторого дробного идеала, то
с помощью умножения на подходящий знаменатель можно сде-
лать все элементы базиса —а с ними и весь идеал — целыми.
Обратно, если некоторый о-модуль а при умножении на ка-
кой-то целый элемент b 0 становится целым идеалом, то в це-
лом идеале Ьа. имеется конечный базис
&(! = («!,..., аг),
а потому
aS J
ЬГ
Тем самым мы доказали следующее предложение:
Произвольный с-модуль в поле S является дробным идеалом
тогда и только тогда, когда он может быть сделан целым идеа-
лом с помощью умножения на некоторый целый элемент b =/= 0.
Мы уже видели, что вместе с а и b идеалы а-b и (а, Ь)
имеют конечные базисы, а потому они одновременно являются
и дробными идеалами. То же самое остается верным и для
частного модулей а : Ь, где а и Ь — целые идеалы и bФ0х).
Действительно, если b =/= 0 — произвольный элемент из Ь, то
b • (а : 6) е Ь • (а : b)s а о,
так что а : b с помощью умножения на b становится целым идеалом.
В частности, о : р = р1 — дробный идеал.
Каждый целый или дробный ненулевой идеал обладает обратным.
Доказательство. Пусть с —целый или дробный ненулевой
идеал и элемент b =/= 0 выбран так, что идеал Ьс целый:
bc = a. (1)
!) Под частным модулей а : Ь (в поле S) мы подразумеваем совокупность
элементов А, из S, для которых № s а.
500
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Если теперь а = р!р2 ••• Рг, то умножение равенства (1) на р/р^' ...
... рр1 дает в соответствии с теоремой 1 (§ 137)
(P7V ... р7‘&)с = о,
чем и доказано существование обратного идеала
Г^р?1 ... р;1^.
Из этого предложения следует: целые и дробные ненулевые
идеалы образуют абелеву группу.
Уравнение ас == Ь однозначно решается относительно неизве-
стного с. Решением будет а~1Ь, в других обозначениях, Ь/а.
Из доказанных ранее теорем теперь следует:
Каждый дробный идеал является отношением двух целых идеа-
лов, т. е. представляется в виде
Р[ ... Ц '
При этом можно сокращать каждый идеал, участвующий одно-
временно как в числителе, так и в знаменателе.
Каждый дробный главный идеал (X) допускает представление
в виде частного двух целых главных идеалов, в котором ни один
из г любых наперед заданных простых идеалов не входит одно-
временно в числитель и знаменатель.
Доказательство. Пусть после сокращения
р; ••• у;
р;... р;
и plt ..., рг —наперед заданные г простых идеалов. С помощью
умножения на некоторый идеал Ь, взаимно простой с произведе-
нием PiP2 • • • Рг, мы получим в знаменателе некоторый главный
идеал (d):
Ьр; ... р; __ Ьр;... г;
ьр; - р; (d) ’
следовательно,
Ьр; ... р; = (Ad).
Таким образом, и числитель оказался главным идеалом. При
этом ни один из идеалов ръ ..., рг не входит в числитель и зна-
менатель.
Задача. Дробь-идеал а-1Ь есть частное модулей 6: а.
По поводу дальнейших сведений из теории идеалов в числовых полях мы
отсылаем читателя к книге: Гекке Э. Лекции по теории алгебраических
чисел.—М.: Гостехиздат, 1939. По поводу теории идеалов в функциональных
полях и ее приложений отсылаем читателя к фундаментальной работе Деде-
кинда и Вебера (Dedekind R., Weber Н.). —Crelle’s J., 1882, 92, S. 181.
§ 140]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
501
§ 140. Теория идеалов в произвольных
целозамкнутых целостных кольцах
Существуют важные целостные кольца, удовлетворяющие аксио-
мам I и III, но не удовлетворяющие аксиоме II из § 137. Обра-
тимся, например, к кольцу многочленов К [хъ ..., хп] более чем
от одной переменной или к кольцу целочисленных многочленов
и их конечным целозамкнутым расширениям (главным порядкам).
Во всех этих кольцах есть простые идеалы, отличные от нулевого
и единичного, обладающие собственными делителями — простыми
идеалами с этим же свойством. В таких кольцах нельзя, следо-
вательно, применять теорию идеалов из § 137. Покажем, что,
несмотря на это, основные результаты развитой теории остаются
верными, если заменить отношение равенства идеалов отношением
«квазиравенства», определяемым ниже1).
Итак, пусть о — целостное кольцо, целозамкнутое в своем поле
частных S. Готические буквы в дальнейшем будут обозначать
ненулевые дробные идеалы, т. е. о-модули в S, которые становятся
целыми идеалами при умножении на подходящий ненулевой эле-
мент из о. Под обратным идеалом я1 опять будет подразуме-
ваться совокупность тех элементов г из S, для которых идеал га
является целым.
Определим: идеал а квазиравен идеалу Ь, если я-1 = Ь-1. Обо-
значение: а ~ Ь. Отношение ~, очевидно, рефлексивно, симмет-
рично и транзитивно.
Равным образом идеал я называется квазиделителем идеала Ь,
а Ь — квазикратным идеала я, если я-1 s fr1 или, что то же самое,
если я1!' — целый идеал. Обозначение: я-cb или Ь^я.
Простейшие свойства символов и таковы:
1. Из я^Ь следует я=СЬ. (Доказательство очевидно.)
2. Если я —главный идеал: я = (а), то, обратно, из я--'Ь
следует я Ь. Действительно, тогда я 1 = (а '); из предположения
о том, что я Д — целый идеал, следует, что сгД — целый идеал,
т. е. все элементы из Ь делятся на а.
3. Если я=сЬ и одновременно я^Ь, то я~Ь.
4. Все квазикратные 6 идеала я и, в частности, все квазиравные
идеалу я идеалы b обладают свойством: b s (о-1)-1- (Немедленное
следствие из целостности идеала Ья-1.)
Таким образом, в частности, b £= (я Д1. Согласно I отсюда
следует, что я (я-1)-1. С другой стороны, идеал я1 (я-1)1 целый,
так что я (л-1)-1, и мы получили свойство
5. я~(я-1)-1.
!) Теория, опубликованная автором в Math. Ann., 1929, 101, была впослед-
ствии приведена Артином в более стройный вид и публикуется здесь именно
в таком виде.
502
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Согласно 4 и 5 идеал (а-1)-1 является наибольшим из содер-
жащих а и квазиравных ему. Мы будем обозначать идеал (а1) 1
через л*.
6. Если asgb, то ac-s't'c. Действительно, (са) 1 та является
целым, так что (та)-1 с s tr1 = 1г1 и (са) 1 cb — целый идеал; следо-
вательно, ca-Ccb.
7. Если а'--Л', то ас^сЬ. (Следствие из 6.)
8. Если аг^Ь и с^Ь, то ас^ЬС (Потому что в соответствии
с 7 имеем ас^Ьс^ЬЬ.)
Если все идеалы, квазиравные некоторому фиксированному
идеалу, объединить в один класс, то класс произведения ас будет,
в соответствии с 8, зависеть лишь от класса идеала а и класса
идеала с. Следовательно, мы можем определить произведение двух
последних классов как класс произведения ас.
9. Единичным классом относительно умножения классов
является класс идеалов, квазиравных единичному идеалу о, потому
что для каждого а имеет место равенство ао = а.
10. Все квазикратные кольца о и, в частности, все идеалы
единичного класса являются целыми. (Частный случай свойства 2:
нужно положить ц = 1.) Следствие: все идеалы, квазиравные неко-
торому целому идеалу, являются целыми.
Мы докажем теперь важнейшее свойство обращения:
11. аа-1 ~ о.
То, что аа П510, очевидно, потому что аа-1 —целый идеал.
Остается доказать, что aa-1sgo или (aa1) 1 о. Если А принад-
лежит (aa-1)-1, то идеал Aaa-1 является целым, а потому Аа 1 s а-1,
откуда А2а-1 Аа1 s а 1 и т. д., и вообще А“а 1 s а-1, так что
А"а-1 а —целый идеал. Если ц —произвольный элемент из а-1а, то
все степени элемента А после умножения на р становятся целыми.
С помощью условия целозамкнутости кольца о, аналогично тому,
как это было при доказательстве теоремы 1 из § 137, получается,
что сам элемент А является целым.
Из 11 следует, что при определенном выше умножении клас-
сов класс идеала a 1 является обратным по отношению к классу
идеала а: произведение классов идеалов а и а1 есть единичный
класс. Отсюда получается
Теорема 1. Классы квазиравных идеалов образуют группу.
Следующие два утверждения позволяют рассматривать квази-
делимость и квазиравенство как делимость и соответственно равен-
ство с точностью до множителей из единичного класса:
12. Из a^=b следует, что ас = bb, где с^ои идеал b целый.
В частности, a~bb.
13. Из а^Ь следует, что ac = bt>, где и i? ~o.
Действительно, в обоих случаях a (bb-1) = Ь (аЬ-1).
Наибольший общий делитель (а, Ь) является, конечно, квази-
делителем как идеала а, так и идеала Ь. Покажем теперь, что:
§ 140]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
503
14. Каждый общий квазиделитель идеалов а и Ь является
квазиделителем и идеала (а, Ь). Действительно, если с —один из
таких делителей, то с* —общий делитель идеалов я и Ь, а потому
и идеала (я, Ь).
Два целых идеала я, Ь называются квазивзаимно простыми,
если (я, Ь) ~ о, или, что то же, если каждый целый общий квази-
делитель идеалов я и Ь квазиравен кольцу с.
15. Если идеал я является квазивзаимно простым с идеалами Ь
и с, то он является таковым и по отношению к произведению Ьс.
Действительно, в этом случае
(я, Ь) • (я, с) = (я2, яс, Ья, be) s (я, Ьс).
Левая часть квазиравна кольцу я, а потому и правая часть должна
быть такой же.
Следуя Артину, докажем теперь такое предложение:
Теорема 2 (теорема о продолжении). Если даны два разло-
жения некоторого целого идеала я:
я~Ь3Ь2 ... Ьот~ CjC2 ... с„, (1)
то оба произведения можно дальше разложить так, чтобы они
совпадали с точностью до порядка следования сомножителей и
квази равенства:
(2)
ц X
Доказательство. Положим (Ьп с1) = Ьп. В силу 12 имеем
Ь1~ЬПЬ; и С, —Ьпс;. Следовательно, ЬП = (Ь1( с1)~(Ь11Ь;, Ьцс1) =
= Ьц (bj, с(), так что (bj, ci)~o. Положим далее (b(, с2) = Ь12.
В силу 12 имеем ~ Ь12Ь? и с2 = Ь12с2, откуда вновь следует, что
(1’1, Продолжая таким образом, мы в конце концов полу-
чим, чтоЬ1 = ЬцЬ12 ... Ь1„Ь и с1Х = Ьщс(1 (ц=1, 2, ..., п). Подставим
это в (1); тогда окажется, что
1'111'12 • • Ь]ЛЬЬ2 ... Ьт ~ Ь11с1Ь12с2 ... ЬщСп.
В силу группового свойства (теорема 1) можно сократить на
I'ii • • 1'1 п:
ЬЬ2 ... bm ~ cjc, ... с;.
Идеал Ь квазивзаимно прост со всеми Сц и, значит, с произ-
ведением сц.> ... Однако Ь входит в качестве множителя в левую
часть соотношения, а потому является делителем произведения
cjc.2 ... с'п. Значит, должно иметь место квазиравенство о и
можно отбросить множитель Ь тоже:
Ь2 ... Ьт CjC2 ... сл.
Эти рассуждения теперь можно повторить для Ь2, ..., Ьт и
получить в конце концов требуемые разложения (2),
504
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Начиная с этого места, все готические буквы будут обозна-
чать целые ненулевые идеалы. Такой идеал р мы будем назы-
вать неразложимым, если он не является квазиравным идеалу о
и если в каждом представлении в виде произведения р^аЬодин
из сомножителей обязательно принадлежит единичному классу,
или, что в силу 12 то же самое, если идеал р, не являясь квази-
равным идеалу о, не имеет множителей, отличных от р и от о
в смысле отношения квазиравенства.
Если заменить неразложимый идеал р на максимальный
содержащий его идеал р*, то каждый собственный делитель
идеала р* не будет квазиравен идеалу р, а потому обязан быть
квазиравным идеалу о. Каждый идеал, квазикратный идеалу р
или идеалу р*, является в силу 4 кратным идеала р*. Отсюда
получается
16. Идеал р* является простым.
Действительно, если некоторое произведение Ьс двух главных
идеалов Ь и с делится на р*, но b не делится на р*, то идеал
(Ь, р*) является собственным делителем идеала р*, а потому он
квазиравен о, откуда
С = ОС (Ь, р*)с —(Ьс, р*с)>:(р*, Р*) = р*,
следовательно, идеал с является квазикратным идеала р*, а потому
он делится на р*.
Если предположить, что в о выполнена теорема о цепях дели-
телей, то окажется справедливым следующее:
17. Цепь целых идеалов а1>а2> ..., в которой каждый
последующий идеал является собственным квазиделителем преды-
дущего (т. е. квазиделителем, не являющимся квазиравным),
обрывается после конечного числа шагов.
Действительно, если заменить идеалы ах, а2, ... наибольшими
квазиравными идеалами «*, а*, ..., то получится цепь из целых
идеалов ci* cz «* cz ..., которая, в соответствии с теоремой о цепях
делителей, должна оборваться.
Можно сформулировать «теорему о цепях квазиделителей»
(утверждение 17) как «принцип индукции по делителям» (см. § 115,
четвертая формулировка теоремы о цепях делителей). Из этого
принципа без труда получается, что каждый целый идеал квази-
равен некоторому произведению неразложимых идеалов. Одно-
значность разложения получается как частный случай теоремы
о продолжении (теорема 2). Таким образом, имеет место
Теорема 3. Каждый ненулевой целый идеал квазиравен
произведению неразложимых идеалов рп р2, ..., рг (в качестве
которых, конечно, можно выбрать простые идеалы р*, р2, ..., г*),
определенному однозначно с точностью до порядка следования
сомножителей и квазиравенства.
§ 140]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
505
Следствие. Идеал я~pj ... рл тогда и только тогда квази-
делится на b ~ р{ ... ps, когда каждый множитель р,', входящий
в разложение идеала входит в разложение идеала а в не
меньшей степени. В частности, если Ь —главный идеал, то,
согласно 2, из квазиделимости следует обычная делимость. Если
в качестве я и b взять главные идеалы (а) и (Ь), то получится
критерий делимости элемента а на элемент b или того, что эле-
мент ab 1 целый. При добавлении классов неглавных идеалов
к главным идеалам получится область, в которой, согласно
теореме 3, имеет место однозначность разложения на простые
множители, а этим и достигается цель «классической теории
идеалов».
Теорема 3 имеет место и для дробных идеалов но в этом
случае нужно рассматривать и отрицательные степени
F* = (Г1)*-
Действительно, если
и (&)~р^...р^
то
я/Н-р^' ... р^~Ч (3)
и показатели щ — bt определены однозначно.
Чтобы выяснить отношение построенной сейчас теории к общей
теории идеалов и к конкретной теории идеалов, развитой в § 137,
мы должны выяснить, какие же простые идеалы являются нераз-
ложимыми и какие идеалы квазиравны единичному идеалу о.
Мы уже видели, что для неразложимого идеала р идеал р*
является простым. Докажем теперь следующее утверждение:
18. Любое ненулевое собственное кратное такого идеала р*
не является простым.
Действительно, если я —такое кратное, то я^р*; в силу 12
в этом случае яс = р*Ь, где с^о. Так как в разложении идеала Ь
каждый простой множитель участвует меньшее число раз, чем
в я, то 0^0 (я); точно так же р*=£О(я), но р*Ь==О(я). Следо-
вательно, идеал я не является простым.
Рассмотрим разложение произвольного простого идеала р.
Либо р о, либо в разложении р рхр2 ... рг участвует некото-
рый неразложимый множитель рР Тогда p^pj и, следовательно,
р Е р*; но так как собственное кратное идеала р* не может быть
простым идеалом, то должно иметь место равенство р — pt. Сле-
довательно,
P* = (P*)*=Pi =р,
а потому имеет место
19. Каждый простой идеал р либо квазиравен о, либо нераз-
ложим и равен соответствующему р*.
506
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Во втором случае идеал р не имеет ненулевых собственных
кратных, являющихся простыми идеалами. Напротив, в первом
случае, как сейчас будет показано, такое кратное всегда суще-
ствует:
20. Если то существует неразложимый простой идеал у*,
являющийся собственным кратным идеала р. Действительно, если
р =£ 0 — произвольный элемент из р и (p)~pip2 рг~р*р* •••
... р? — его разложение, то из 2 следует, что р*р.* ... р*^О(р) =
== 0(р), откуда р? = О(р) при некотором v. Но вместе с тем р*=#р,
так как иначе выполнялось бы соотношение р* с.
Если мы назовем простой идеал, не имеющий никакого про-
стого собственного кратного, отличного от нулевого идеала, высо-
ким, а простой идеал, обладающий таким кратным, напротив,
низким, то свойства 18, 19 и 20 можно объединить в следующей
теореме:
Теорема 4. Каждый высокий простой идеал р неразло-
жим и равен своему р*; каждый низкий простой идеал квази-
равен о.
Идеал, не принадлежащий единичному классу, согласно тео-
реме 3 о разложении, делится по крайней мере на один высокий
простой идеал р = р*. Но любой идеал из единичного класса не
делится ни на какой высокий простой идеал. Тем самым единич-
ный класс получает характеристику исключительно в терминах
теории идеалов (т. е. без обращения к нецелым идеалам).
В силу аксиомы II в кольцах, описанных в § 137, каждый
ненулевой простой идеал делится только на себя и на о; следо-
вательно, там нет низких простых идеалов, отличных от о. Так
как каждый идеал а=£о делится на некоторый простой идеал,
не равный о (доказательство: найдем среди делителей идеала а,
ие равных с, наибольший; он будет свободен от делителей и,
следовательно, простой), то а не может быть квазиравным о. Тем
самым единичный класс состоит из одного лишь единичного
идеала о. Из свойства 12 далее следует, что квазиделимость и
делимость равносильны, а отсюда или из свойства 13 —что рав-
носильны квазиравенство и равенство. Таким образом, теория
идеалов из § 137 содержится как частный случай в изложенной
здесь теории.
Теперь легко установить связи и с общей теорией идеалов,
изложенной в пятнадцатой главе. Прежде всего, легко видеть,
что каждый примарный идеал, у которого соответствующий
простой идеал является низким, должен быть квазиравен
идеалу о. Назовем эти примарные идеалы низкими, а остальные —
высокими примарными идеалами. Идеал а тогда и только тогда
квазиравен идеалу о, когда все его примарные компоненты
являются низкими. Если у идеалов п и b высокие примарные
компоненты одинаковые (а низкие могут быть и различными),
§ 140]
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
507
то эти идеалы квазиравны. Среди идеалов, квазиравных данному
идеалу о, существует наибольший в смысле включения идеал а*;
он получается отбрасыванием всех низких примарных компонент
из разложения а = [qlt ..., qr], Теоремы о разложении и единст-
венности из этого параграфа можно интерпретировать так, что
при этом все низкие примарные компоненты последовательно
опускаются, а принимаются во внимание лишь высокие. Каждый
из высоких примарных идеалов делится только на один высокий
простой идеал и, следовательно, при разложении, в соответствии
с теоремой 2, он оказывается равным некоторой степени простого
идеала; иными словами, каждый высокий примарный идеал квази-
равен степени простого идеала.
Обратно, каждая степень высокого простого идеала квази-
равна некоторому высокому примарному идеалу. Действительно,
если а = — степень высокого простого идеала, то п не может
делиться больше ни на какой другой высокий простой идеал
(а только на р); следовательно, в разложении
л = = ..........Qr]
участвует только один высокий примарный идеал. Если им
является, скажем, q1T то <i*=q1; следовательно, идеал а = рг
квазиравен примарному идеалу qj.
Впрочем, идеал qt — это в точности определенная в § 120 г-я
символическая степень простого идеала р. Тем самым высокие
примарные идеалы — это в точности символические степени высо-
ких простых идеалов.
Идеалы а, для которых а* = а, называются, в соответствии
с • терминологией Прюфера, v-идеалами. Целые v-идеалы —это
идеалы, в примарном разложении которых участвуют только
высокие примарные идеалы. Все главные идеалы являются v-идеа-
лами. В каждом классе квазиравных идеалов существует один-
единственный v-идеал а1) = я*. Если, следуя Прюферу и Круллю,
ограничиться лишь v-идеалами, то понятие квазиравенства ока-
жется ненужным. Основная теорема (теорема 3) переформули-
руется так:
Каждый v-идеал представляется единственным образом в виде
пересечения символических степеней р(г) высоких примарных идеа-
лов.
Задача 1. Все результаты этого параграфа справедливы и в кольцах
с делителями нуля, если только ограничиться идеалами, не делящими нулевой
идеал, а вместо поля частных взять кольцо частных.
Задача 2. Из теоремы 1 следует целозамкнутость кольца (см. § 138).
Задача 3. Доказать, что д : 6 ~ дЬ-1.
Дальнейшие обобщения результатов этого параграфа см. в работах:
Прюфер (Priifer Н.).—J. reine angew. Math., 1932, 168, S. 1—36; Лорен-
цен (Lorenzen P.).— Math. Z., 1939, 45, S. 533 — 553.
508 ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ [ГЛ. XVII
Сводка результатов теории идеалов
Следующее сопоставление показывает значение для теории идеалов в цело-
стных кольцах сформулированных в § 128 аксиомы I (теорема о цепях дели-
телей), аксиомы II (каждый простой идеал не имеет делителей) и аксиомы III
(целозамкнутости):
из I следует: каждый идеал является наименьшим общим кратным некото-
рых примарных идеалов; соответствующие простые идеалы определены одноз-
начно;
из I и II: каждый идеал является произведением однократных примарных
идеалов; представление единственно;
из I и III: каждый идеал квазиравен некоторому произведению степеней
простых идеалов; имеет место единственность с точностью до квазиравенства;
из I, II и III: каждый идеал есть произведение степеней простых идеалов;
имеет место единственность.
Глава восемнадцатая
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
Указанная в § 78 конструкция расширения Q для наперед
заданного упорядоченного поля К использует не упорядоченность
на К, а лишь существование абсолютной величины (модуля) |а|
произвольного элемента поля а. Поэтому естественно попытаться
распространить эту конструкцию на поля, не наделенные упоря-
дочением, для которых, однако, существует функция <р (а) со свой-
ствами абсолютной величины.
§ 141. Нормирования
Поле К называется нормированным, если для каждого эле-
мента а из К определено значение функции <р (а) (норма эле-
мента а) со следующими свойствами:
1) <р (а) — элемент некоторого упорядоченного поля Р;
2) ф(а)>0 для а=#0; <р (0) = 0;
3) ф (ab) = ф (а) ф (6);
4) ф(а + Ь)<ф(бг) + ф(Ь).
Из 2) и 3) немедленно следует, что
Ф(1) = 1, ф(—1) = 1, ф(а) = ф(—а).
Из 4) следует, что если с = аф-&, то
Ф (с) — ф (а) «С ф (с — а).
Но вместе с тем и
Ф (а) — Ф (с) < ф (с — а).
Поэтому
|ф(с)-ф(а)|<ф(с-а).
Неравенство 4) имеет место и тогда, когда b заменяется
на —Ь:
ф(а-6)<ф(а) + ф(6).
С помощью индукции по п неравенство 4) легко переносится
на суммы п слагаемых.
Каждое поле обладает «тривиальным» нормированием: ф (а) = 1
для ау=0 и ф(0) = 0. В дальнейшем мы никогда не будем его
рассматривать.
Если поле К упорядочено, то можно положить ф(а) = |а1.
Однако существуют и другие типы нормирований. Пусть, например,
510
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
(Q — поле рациональных чисел. Если р — фиксированное простое
число, то каждое рациональное число а =# 0 можно записать
в виде
s „
а = уР »
где числа s и t не делятся на р; положим
Фр(а) = /г«, <рр(0) = 0;
тогда на (Q будет определено некоторое нормирование. Устано-
вить условия 1) —3) легко. Вместо 4) можно доказать даже более
сильное неравенство
ФР(а+ &)==; max (фр(а), <?Р(ЬУ). (1)
Действительно, имеем
а = ~ рп, b = ^pm, s, t, и, v не делятся на р,
и если, скажем, фр (&) Фр (а), т. е. п 5= т, то
, , svpn~m-\-tu
а+ь= ~ЕГ~Р>
и, следовательно,
Фр (а+ 6) = р~т', т'^т,
так что
Фр (а + &)^фр (6).
Это — р-адическое нормирование поля К).
Конструкцию р-адического нормирования легко обобщить.
Пусть о — произвольное целостное кольцо, К — его поле частных
и р — простой идеал кольца о со следующими свойствами:
А. Все степени р, р2, ... попарно различны и их пересечение
равно нулю.
Б. Если элемент а в кольце о делится в точности на р“, т. е.
делится на р“, но не делится на р“+1, а элемент b делится в точ-
ности на то ab делится в точности на р“+₽.
При этом обозначает совокупность всевозможных сумм
V ?viPv2 Рчп где —элементы из В частности, V1 = V,
V
р° = 0. Положим теперь ф(0)=0 и ф(а) = е~гу-, если элемент а из о
делится в точности на р“, где е —произвольное вещественное
число, большее 1. Тогда ф определено для элементов кольца о и
обладает свойствами 1) —4).
Но если нормирование определено для элементов целостного
кольца, то с помощью равенства
„
\b J <р(Ь)’
§ 141]
НОРМИРОВАНИЯ
511
оно легко распространяется на элементы поля частных. Опреде-
ление оказывается единственно возможным, потому что из
~ или ad = be
b d
следует, что
Ф (а) Ф (d) = <p (&) <р (с) или =
Далее, норма ср (а/b) также обладает свойствами 1) —4). Пер-
вые три свойства просто очевидны. Свойство 4) устанавли-
вается так:
_ц с\ _q>(ad + *c) cp(ad)4-(p(te)_ /а\ (с \
dJ <f(bd) <р(М)
Этим способом из нормирования, определенного в целостном
кольце о с помощью простого идеала р, получается нормирова-
ние поля частных К. Это нормирование называется р-адическим
нормированием поля К.
Свойства А и Б выполнены, в частности, тогда, когда р яв-
ляется произвольным простым идеалом в целостном кольце о,
отличным от о и от нуля и удовлетворяющим трем аксиомам из
§ 137. Следовательно, каждому такому простому идеалу р соот-
ветствует р-адическое нормирование поля частных К. В част-
ности, это имеет место для простых идеалов р в кольце целых
элементов любого поля алгебраических чисел. Отсюда видно,
насколько тесна связь между классической теорией идеалов и
теорией нормирований.
Псдобно тому, как это было сделано в § 140, можно проводить рассуждения
в более общем виде, исходя из целостных колец с, удовлетворяющих лишь
аксиомам I и III. В этом случае ограничиваются высокими простыми идеа-
лами р в смысле § 140 и строят их символические степени
q = p'"
в смысле § 120. Тогда оказываются выполненными свойства, аналогичные свой-
ствам А и Б:
А'. Все степени т"’1 попарно различны и их пересечение является нулевым
идеалом.
Б'. Если элемент а делится в точности на р<Г), а элемент b—в точности
на pisi, то ab делится в точности на ^{г+3>.
Далее, можно, как и раньше, положить ср (0) = 0 и для каждого элемента а,
который делится в точности на р<'_|,
ф (а) = е~г.
Таким способом вновь получится р-адическое нормирование, соответствующее
заданному высокому простому идеалу р.
В кольце многочленов A [xlt ..., хЛ] идеал
р = (хх, ..., хп)
512
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
также обладает свойствами А и Б. Соответствующая норма <р(/)
имеет вид es, где s —степень слагаемых наинизшей степени в дан-
ном многочлене f.
Задача 1. Опустив в определении нормирования требование неотрица-
тельности элемента <р (а), доказать, что если в поле К существует элемент
с такой, что <р (с) < 0, то отображение a i—> <р (а) является изоморфизмом поля К
на некоторое подполе поля Р значений нормирования ф. (Доказать, что в 4)
имеет место равенство, для чего рассмотреть неравенство в 4) для случая
ф (ас + 6с).)
Задача 2. В случае v-адических нормирований требование 4) можно
усилить до 1).
Важнейшие исследования о нормированных полях относятся
к случаю, когда поле значений Р архимедово. Согласно задаче 2
из § 78 поле Р можно вложить в поле вещественных чисел. По-
этому мы будем отныне считать, что значения ср (а) являются
вещественными числами. Предполагаются известными (натураль-
ные) логарифмы вещественных чисел и их простейшие свойства,
а также степени оФ положительных чисел а с произвольным
вещественным показателем.
Мы будем, кроме того, пользоваться следующей леммой о ве-
щественных числах:
Если а, р, у — положительные вещественные числа и
yv -< av + р
для каждого натурального числа v, то у 1.
Доказательство. Предположим, что у = 1ф-6, 6>0.
Тогда для v2 имеют место соотношения yv = (1 +6)v = 1 Д-vS --
4- у v (v — 1) 62 +... > v6 + у v (v — 1) б2, но для достаточно боль-
ших v обязательно
v6 > Р и у (v — 1) 62 > а,
откуда
yv>P-f-av,
что противоречит предположению.
Вещественнозначное нормирование <р поля К называется не-
архимедовым, если для всех натуральных кратных единицы п =
= 1 +1 + • • • +1 выполняется условие
<р (п) 1.
Например, р-адическое нормирование поля (L) неархимедово. То,
что поле значений в этом случае архимедово, не должно вызы-
вать путаницы.
Нормирование ср поля К тогда и только тогда является не-
архимедовым, когда вместо 4) выполнено более сильное неравенство
4') ср (а + b) max (<р (а), <р (б)).
* 141]
НОРМИРОВАНИЯ
513
Доказательство 1. Если 4') имеет место для сумм двух
слагаемых, то и для сумм п слагаемых легко получить соответ-
ствующее неравенство. В частности, для п = 1 1 1 имеем
ср (/г) =Стах(.ср (1), . ..) = 1.
2. Если ф — неархимедово нормирование, то для v = l, 2, ...
имеет место следующее:
(ф (а + Ь)У = <р ((а + &)v) = ф (av + Q avlb +... + bv'^
«С ф (a)v + ф (a)v l Ф (&) + • • • + ф (b)v =с (v Д- 1) Mv,
где Л4 = max (ср (а), ф(&)). Но отсюда, согласно доказанной лемме,
следует, что
^~М~~ 1 ’ так что Ф (а + ^) -М,
т. е. имеет место 4').
В дальнейшем мы будем рассматривать неравенство 4') как
определяющий признак неархимедова нормирования и тогда,
когда поле значений Р не есть поле вещественных чисел. Крулль
заметил, что областью значений нормирования может служить
произвольная упорядоченная абелева группа, поскольку значения
нормы лишь перемножаются друг с другом и сравниваются по
величине, а сложение не производится.
Часто оказывается полезным следующее замечание, справед-
ливое в отношении всех нормирований, неархимедовых в опреде-
ленном выше смысле:
Если значения <р (а) и <р (Ь) различны, то в 4') имеет место
равенство.
Доказательство. Пусть, скажем, ф(а)>ф(Ь). Мы должны
доказать, что
Ф (а + &) = ф (а).
Предположим противное:
ф(а + &)<Ф(а);
тогда и ф(а + 6) и ф(—Ь) = ф(Ь) меньше ф(а). Это противоречит
неравенству
Ф (а) С шах (ф (а + &), ф(—Ь}).
Часто бывает целесообразно (и в литературе это принято)
использовать иной способ задания неархимедовых нормирований.
Вместо вещественных значений ф (а) рассматривают показатели
w(a) = —1ойф(«). Определяющие соотношения для нормирования
в терминах показателей выглядят так:
1) да (а) для а#=0 является вещественным числом;
514
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
2) да (0) —символ oj;
3) да (ab) = да (a) + w (b);
4) да (а ф-Ь) 2= min (да (а), w(b)).
В этом случае говорят о показательном нормировании. Переход
к показателям возможен благодаря тому, что ввиду усиленного
неравенства 4') не нужно складывать значения <р (а). Логариф-
мическое отображение обращает упорядочение и превращает
умножение в сложение.
Пример. Пусть элементы поля К — мероморфные функции
в некоторой области г-плоскости или, более общо, на некоторой
римановой поверхности. Фиксируем произвольно точку Р на ри-
мановой поверхности и определим: да (а) для функции а равно а,
если эта функция в точке Р обладает нулем ос-го порядка; да (а)
равно нулю, если рассматриваемая функция принимает в данной
точке ненулевое значение; если же в данной точке функция имеет
полюс порядка а, то значение да (а) берется равным — а. Легко
видеть, что свойства 1)—4) выполнены. Таким способом каждой
точке Р ставится в соответствие нормирование поля К. Этот при-
мер иллюстрирует значение теории нормирований для теории
алгебраических функций одной комплексной переменной.
Среди показательных нормирований различают дискретные и
недискретные\ первые характеризуются тем, что для каждого из
них существует наименьшее положительное да (а), которому кратны
все остальные значения да (а) (см. предыдущий пример), а вто-
рые—тем, что значения да (а) могут быть как угодно близки
к нулю. Так как целые кратные произвольного значения да (а)
вновь являются значениями нормирования: nw (а) = да (ап), в не-
дискретном случае значения да (а) лежат в множестве веществен-
ных чисел всюду плотно.
р-адическое нормирование рациональных чисел является ди-
скретным; таковы вообще все р-адические нормирования.
В показательно нормированном поле К элементы а со свойст-
вом да (а) 2= 0 образуют некоторое кольцо 3, потому что из да (а) 2s
2s 0 и да (Ь) 2г 0 следует да (а ± Ь) 2s min (да (а), да (Ь)) 20 и да (ab) —
= да (а) + да (Ь) 0. Совокупность р всех элементов а из К, для
которых да(а)>0, является простым идеалом в 3- Действительно,
прежде всего, опять-таки из да (а) >0, да (Ь) > 0 следует да (а ± Ь) 2=
2г min {да (а), да(^)}>0; следовательно, р —некоторый модуль
Далее, из а е р, т. е. да (а) > 0, и да (с) 2= 0 следует да (са) =
= да (с) + да (а) > 0, так что р — идеал. Наконец из ab = 0 (р),
т. е. того, что да (ab) — w (а) + да (Ь) > 0, следует, что по крайней
мере одно из двух чисел да (а) и да (Ь) положительно, т. е. по
крайней мере один из элементов а и b делится на р; поэтому
идеал р простой.
Кольцо 3 называется кольцом нормирования да. Элементы из 3
называются целыми (относительно нормирования). Говорят, что
§ 142]
ПОПОЛНЕНИЯ
515
элемент а делится на b (относительно нормирования w), если
а/b — целый элемент, т. е. если w (а) $== w (b).
Элементы а, для которых w(a) = 0, являются обратимыми
в кольце 3. Так как все элементы из 3, не принадлежащие
идеалу р, обратимы, то идеал р не имеет делителей в 3. Тем
самым, кольцо классов вычетов 3/Р является полем — полем клас-
сов вычетов нормирования. Если поле К имеет характеристику р,
то, очевидно, и поле классов вычетов имеет характеристику р.
Но если К имеет характеристику нуль, то поле классов вычетов
может иметь либо нулевую характеристику (случай равных харак-
теристик), либо ненулевую характеристику (случай разных харак-
теристик). Типичные примеры случая разных характеристик
доставляют /?-адические нормирования. Случай равных характе-
ристик получается, например, тогда, когда рассматривается поле
рациональных функций от одной переменной и показательное
нормирование определяется тем, что его значением на произвольно
взятой рациональной функции является разность между степе-
нями знаменателя и числителя, р-адические нормирования, кото-
рые получаются с помощью идеалов в кольцах многочленов
К [xj, ..., х„], также дают случай равных характеристик.
По поводу дальнейшего развития описанных конструкций
вплоть до полной классификации нормирований см. работы Хассе,
Шмидта, Тейхмюллера и Витта1). По поводу обобщений поня-
тия нормирования см. работы Малера и Крулля2).
Задача 3. Показать, что в кольце 3 каждый идеал является либо мно-
жеством всех а, для которых ш (а) > 6, либо множеством всех а, для которых
w (а) 6, где 5 — некоторое неотрицательное вещественное число. При любом
дискретном нормировании можно ограничиться лишь случаем Э?, беря, если
нужно, 6, которое не входит в множество значений нормирования. В случае
недискретного нормирования число б однозначно определяется идеалом.
Задача 4. В случае дискретного нормирования все идеалы кольца 3
являются степенями идеала р; в случае же недискретного нормирования,
напротив, все степени идеала р равны р.
§ 142. Пополнения
Для произвольного нормированного поля К можно, в соот-
ветствии с § 78, построить нормированное расширение в ко-
тором имеет место критерий сходимости Коши. При этом мы
по-прежнему будем предполагать, что значения <р (а) являются
1) Witt Е. — J. reine und angew. Math., 1936, 176, S. 126—140. См. также
литературу к этой работе.
2) Mahler К- Ober Pseudobewertungen. I. — Acta Math., 1936, 66, S. 79—199;
la.—Akad. Wetensch. Amsterdam Proc., 1936, 39; II. — Acta Math., 1936, 67,
S. 51—80; Krull W- Allgemeine Bewertungstheorie, — J, reine und angew, Math.,
1932. 167, S. 160—196,
516
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
вещественными числами. Определим в К фундаментальные после-
довательности {av} как последовательности, обладающие следую-
щим свойством:
q>(ap — a9) <_е для р>п(е), 7>п(е),
где е — произвольное положительное число из Р. Из кольца
фундаментальных последовательностей получается поле классов
вычетов й^ точно так же, как в § 78; все доказательства пере-
носятся на этот случай дословно. Единственная разница состоит
в том, что Йк, как и само поле К, является не упорядоченным,
а всего лишь нормированным. Нормирование на Иц определяется
так: если а определяется фундаментальной последовательностью
{av}, то на основании уже доказанного неравенства
I <Р (av) - <Р (<*ц) I < <Р («v - Оц)
значения <p(av) составляют также фундаментальную последова-
тельность, которая, следовательно, должна в поле вещественных
чисел обладать некоторым пределом со. Положим
Ф (а) = со.
Все фундаментальные последовательности с одним и тем же пре-
делом а определяют одно и то же значение ф (а), и эта конструк-
ция удовлетворяет требованиям 1) —4).
Поле йк является полным относительно нормирования <р, ко-
торое только что было определено, т. е. оно удовлетворяет кри-
терию сходимости Коши:
Каждая фундаментальная последовательность в йк имеет
в йц некоторый предел.
Мы назвали последовательность {av} фундаментальной, если
для каждого е>0 из поля значений нормирования существует
такое п, что
ф(ар —а?)<е для р>п, q>n.
В случае неархимедова нормирования достаточно вместо этого
условия потребовать следующее:
Ф (av+1 — av) < е для v>n(e).
Действительно, ар — aq — это сумма | р — q слагаемых — av,
и если все они имеют значение, меньшее е, то в силу (1) из
§ 141 значение суммы также меньше г.
Итак:
В каждом поле, полном относительно неархимедова нормиро-
вания, любая последовательность {av} обладает пределом, если
только разности av+1 — av составляют нуль-последовательность.
Этот критерий можно высказать и так: для сходимости бес-
§ 142]
ПОПОЛНЕНИЯ
517
конечного ряда а1-[- а2-\-а3~\-... необходимо и достаточно, чтобы
limav = 0.
Если поле (Q рациональных чисел нормировать обычным
образом с помощью абсолютной величины <р (а) = | a j, то в
качестве полного расширения получится, конечно, поле веще-
ственных чисел. Если же исходить из р-адического нормирова-
ния на (Q, то в качестве пополнения получится поле р-адиче-
ских чисел Гензеля.
Поля Й2, й3, П5, й7, Qu, ..., таким образом, совершенно
равнонравны с полем вещественных чисел как пополнения поля
рациональных чисел (и для арифметики являются столь же важ-
ными).
Элементы поля т. е. р-адические числа, могут быть пред-
ставлены в более удобной, чем фундаментальная последователь-
ность, форме. Действительно, рассмотрим, для X = 0, 1,2, ... модуль
ЭОД, состоящий из рациональных чисел, числитель которых де-
лится на р\ а знаменатель не делится на р; для таких чисел,
следовательно, ср (а) р Назовем два рациональных числа
сравнимыми mod р\ если их разность принадлежит Й)Д. Если
теперь {гД — некоторая р-адическая фундаментальная последова-
тельность рациональных чисел, то для каждого X, начиная с не-
которого п = п (X), имеем
<р (гм — rv) sg р~к при ц > п (X), v > п (X),
т. е.
(mod рк).
Все числа с р > п (X) принадлежат, таким образом, одно-
значно определенному классу вычетов ЭД по модулю Э?Д. Поэтому
фундаментальная последовательность {гД определяет некоторую
последовательность классов вычетов
ЭД zd Э?! => ЭД о ЭД о ЭД =>...,
вложенных друг в друга указанным способом. Обратно, каждая
последовательность {гп г2, ... }, которая указанным способом
определяет последовательность {ЭД} вложенных друг в друга
классов вычетов ЭД по модулю ЭЭД, так что
Гр.<=ЭД для р>/г(Х),
является фундаментальной.
В частности, если {гД — нуль-последовательность, то ЭД=Э)Д —
нулевой класс вычетов. При сложении фундаментальных после-
довательностей {гД + ДД = Дц + вД складываются и соответствую-
щие последовательности классов вычетов: {ЭД + @Д. В частности,
прибавим к некоторой фундаментальной последовательности нуль-
последовательность; тогда соответствующая последовательность
518
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
классов вычетов не изменится. Обратно, если две последователь-
ности {ги} и соответствуют одной и той же последовательности
классов вычетов {ЭЧД, то их разность — нуль-последовательность.
Итак: каждому р-адическому числу a = limrv взаимно однозначно
соответствует некоторая последовательность классов вычетов
{SRx! описанного вида.
Это представление р-адических чисел с помощью последова-
тельностей классов вычетов мы и имели в виду выше, когда
говорили об удобном представлении. Чтобы перейти от представле-
ния некоторого р-адического числа а классами вычетов к обыч-
ному представлению фундаментальной последовательностью, нужно
лишь из каждого класса SRx выбрать произвольный элемент
тогда а = lim г£. Можно также представить а в виде бесконечной
суммы, положив
H = s0, d+i-d = szp\
и тогда
Гк+1 = so + S1P + szP2 + • • + S>.p\
так что
К со
а = lim J] svpv = ^ svpv. (1)
Х-+ОО v = 0 V =0
При этом slt s2, ... — рациональные числа, знаменатели кото-
рых не делятся на р.
р-адический предел последовательности обычных целых чисел
называется целым р-адическим числом. Для классов вычетов 9(0,
3t1( ... это означает, что в каждом из них имеется некоторое
целое число. В частности, для целого р-адического числа класс
является нулевым классом вычетов 3)10 — совокупностью ра-
циональных чисел со знаменателями, не кратными числу р. Это
условие является и достаточным для того, чтобы число было
целым: если 'До — нулевой класс вычетов по модулю Й)1о, то все
классы вычетов 9t1( <Я2, • • содержат целые числа. Действительно,
Э?г содержится в <й0 и поэтому состоит из таких чисел r/s, для
которых s^O (modр). Если мы решим теперь сравнение
sx = г (mod рх),
то получится
x-4 = ^=°(modw,
так что число х принадлежит классу вычетов 31;,.
Поэтому в представлении рядом (1), когда а —целое р-ади-
ческое число, можно все г{, а потому и все sv выбрать среди
обычных целых чисел. Таким образом, (1) является степенным
рядом по р с целочисленными коэффициентами. Каждый такой
степенной ряд сходится в смысле р-адического нормирования и
представляет некоторое целое р-адическое число.
§ 142]
Пополнения
519
Каждое р-адическое число а, представляемое классами выче-
тов {Э%, 3?!, ..можно превратить в целое р-адическое число
умножением на некоторую степень р. Действительно, если г'п —
элемент из класса вычетов 310) то с помощью умножения этого
элемента на некоторую степень рт можно добиться того, чтобы
знаменатель числа ртг'} не содержал множителя р и тем самым
г'9 оказался переведенным в нулевой класс вычетов по модулю
ЭЛ0. Если теперь разложить целое р-адическое число рта, в сте-
пенной ряд (1) с целыми s0, sn ..., то для а получится представле-
ние с конечным числом отрицательных степеней
a==a.wp m + a__m+1p m+1 + .. . + a0 + a1p + «3p2 + ... (2)
Представление (1) целого р-адического числа а можно канонизи-
ровать, беря всюду в качестве г>' наименьший неотрицательный
целочисленный представитель класса вычетов Тогда все числа
sv удовлетворяют условию 0 р. Если опять перейти от (1)
к (2), то получится однозначно определенное разложение (2) про-
извольно заданного целого р-адического числа, в котором Q^av<zp.
На основе р-адического нормирования поля К, которое в соот-
ветствии со способом, описанным в § 141, задается простым идеа-
лом р некоторого целостного кольца о, получается полное v-adu-
ческое поле — обобщение гензелева р-адического поля. Например,
если р — идеал (х — с) в кольце многочленов Д [х], то —это
кольцо всех степенных рядов
с = а т (х - с)-т +... + а0 + Я1 (х - с) + а2 (х - с)2 +... (3)
с коэффициентами av из Д. Эти степенные ряды сходятся в смысле
р-адического нормирования всегда, как бы ни выбирались коэф-
фициенты av. Выражения (3) называют формальными степенными
рядами по (х — с).
Задача 1. Записать —1 и 1/2 с помощью канонических 3-адических
степенных рядов.
Задача 2. Уравнение /© = 0, где f—целочисленный многочлен, разре-
шимо в поле Йр тогда и только тогда, когда для каждого натурального п
сравнение
f © == 0 (mod р«)
обладает рациональным решением £.
Задача 3. Разрешимы ли в поле й3 уравнения
№ = — 1, = 3, Х2 = 7?
Может оказаться, что два различных нормирования (риф
некоторого поля К приводят к одному и тому же пополнению О.
Очевидно, этот случай имеет место тогда и только тогда, когда
каждая последовательность {av} из К, являющаяся нуль-последо-
вательностью относительно ср, является нуль-последовательностью
520
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
и относительно яр, и наоборот. В таком случае, т. е. при усло-
вии равносильности равенств limcp(av) = 0 и lim ф (av) = 0, мы бу-
V->00 v->со
дем называть нормирования tp и ф эквивалентными.
Для нормирования <р (а) — | а | поля комплексных чисел (обыч-
ное абсолютное значение) можно построить бесконечно много
эквивалентных нормирований, положив <р(а) = |а|р, где р —фикси-
рованное положительное число, не превосходящее 1. Условия
1) —3) выполняются здесь тривиально. Условие 4) следует из
того, что | а -ф b jI а | -ф |b |, если воспользоваться неравенством
ер + бр 5= (е-|-6)р, которое выполняется для любых двух вещест-
венных чисел е5=0, 6 5= 0 и числа 0<р<11 *).
Для р-адического нормирования tpp (а) поля рациональных
чисел эквивалентным является каждое нормирование ф (а) = (рр (а)°,
где о — произвольно фиксированное положительное число.
Пусть ф и ф — нормирования поля Н. Покажем что следую-
щие три утверждения равносильны:
1. <р и ф эквивалентны;
2. из ф (а) < 1 следует, что ф (а) < 1;
3. ф является некоторой степенью нормирования ф, т. е.
ф(а) = <р(а)е для всех а при фиксированном е>0.
Пусть сначала выполнено 1; докажем 2. Из <р (а) < 1 следует,
что ап стремится к нулю в смысле нормирования <р. Но тогда ап
должно стремиться к нулю и в смысле эквивалентного нормиро-
вания ф, так что должно выполняться неравенство ф(а)<1.
Предположим, что имеет место 2, и докажем 3. Заметим преж-
де всего, что из <р (а) < <р (Ь) следует <р (а/6) < 1, в силу чего
ф (а/6) < 1, а потому и ф (а) < ф (6). Пусть теперь р — произвольно
фиксированный элемент из К, для которого <р (р) > 1. Тогда и
ф(р) >1. Пусть а—произвольный элемент из К и ф(а) = ф(р)6,
ф(а) = ф(р)6'. Покажем, что 6 = 6'. Пусть п и т — целые числа,
для которых n/m<6 и m>0. Тогда
<р (р)п/т < ф (р)6 = ф (а), так что ф(р")< ф(ят).
Отсюда следует, что
ф (рп) < ф (ат), ф (р)"/"’ < ф (а) — ф (р)6', п/пк^'.
Так как верхняя граница дробей п/пг, для которых nlm<$, в
точности равна 6, то 6=^6' и,
6 = 6'. Но тогда е = —
log <р(р)
равным образом, 6' 6, так что
вполне определенное не зависящее
1) Пусть, скажем, 0 < е sS 6. Тогда у и log (е ф-6)р = р log 6 ф
фр log (у+1 Wplog6+log f-^-ф! ^ = ^(еРф6₽).— Прим, ред.
§ 143]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
521
от а положительное число и, так как 6=6', то для всех а имеем
log ф (а) = 6' log ф (р) = 6 log ф (р) = бе log ф (р) = в log <р (а),
откуда
ф(й) = ф(а)Е.
То, что из 3 следует 1, очевидно. Таким образом, утвержде-
ния 1 и 3 равносильны.
Если К —поле с нормированием ф, а К' —поле с нормирова-
нием ф, изоморфное полю К, то изоморфизм между К и К' назы-
вается двусторонне непрерывным или топологическим, если он
отображает каждую ф-нуль-последовательность из К на некото-
рую ф-нуль-последовательность из К' и наоборот. Поля К и К'
называются в этом случае непрерывно изоморфными. В случае
топологического изоморфизма сходящиеся последовательности
переходят в сходящиеся, а фундаментальные — в фундаменталь-
ные. Отсюда непосредственно следует, что:
Непрерывно изоморфные нормированные поля К и К' имеют
непрерывно изоморфные пополнения йк и Ок-.
Задача 4, Показать, что среди известных нам нормирований поля рацио-
нальных чисел — а именно, абсолютного значения и р-адических нормирова-
ний — любые два неэквивалентны.
§ 143. Нормирования поля рациональных чисел
Приводимая ниже теорема Островского показывает, что извест-
ными нам нормированиями поля рациональных чисел — а именно,
р-адическими нормированиями и абсолютным значением — исчер-
пываются, по существу, все возможные нормирования этого поля.
При этом в качестве поля значений нормирований опять берется
поле вещественных чисел.
Любое нетривиальное нормирование ф поля (Q рациональных
чисел либо имеет вид <р (а) = [ а |р при 0 <_ р ' 1 и, следовательно,
эквивалентно обычному абсолютному значению, либо имеет вид
ф(а) = Фр(а)а при некотором фиксированном простом числе р и
некотором фиксированном положительном числе а и, следовательно,
эквивалентно некоторому р-адическому нормированию.
Доказательство. Для любого целого рационального чис-
ла п имеет место неравенство
ф («) Iп I.
потому что
ф(п) = ф(1п|) = ф(1 4-1 4- ... 4-1)<
<Ф(1)4-Ф(1)4- ...4-<р(1) = |п|.
Пусть а>1 и &>1—два произвольных натуральных числа.
Разложим bv по степеням числа а:
bv = с0 4- сга 4- ... +спап, 0=Ccv<a, с„^0.
522
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Наивысшая степень ап числа а в данном случае не превосходит ft':
ап bv,
т. е.
_ log Ь
log а
Если теперь предположить, что Л4 = тах(1, ср (а)), то в силу
соотношений
ср (bx) «S ср (с0) + ср (cj ср (а) +... + ср (с„) ср (а)п <
<а (1 +ср (а) + ... + ср(а)'!)<= а (и+ 1) М’1
имеет место неравенство
. . logfe
ср (b)v < а v + 1;ЛЕ°г<
1 ' ' \loga 1 ) ’
или
/ <р (b) \v log b ,
I v-4-а.
log ь log а 1
\Mloga J
В силу леммы из § 141 отсюда следует, что
logfr
ср (ft) Sg М|0®а,
т. е.
/ logb\
ср (ft) sgmax (1, <p(fl)loga; •
Первый случай. Нормирование ср архимедово. Тогда существует
целое число Ь, для которого cp(ft)> 1. Если бы для какого-нибудь
другого целого числа а> 1 имело место неравенство ср(а) 1,
то из доказанного выше неравенства получалось бы противоречие:
ср (ft) sg; 1. Следовательно, ср (а) > 1 для всех целых чисел а>1.
Тем самым в данном случае получается неравенство
log 6
ср (Ь) sg ср (а) loga,
или
1 1
ср (ft)logb Sg ср (a)108a.
Так как а и b можно поменять местами, то
1 j___
ср (a)'°sa •<: ср (ft)los*,
и, следовательно,
1 1
ср (a)loga = ср (6) logb.
Если ср (Ь) — то отсюда следует, что ср (а) = аУ. Поэтому
<?(/) = ир
§ 143] НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 523
для каждого рационального числа г = а/Ь. Обязательно р > О,
так как ф (а) > 1, и psgl, так как
2Р = ф(2) = ф(1 + 1)<<р(1) + ф(1)=2.
Второй случай. Нормирование ср неархимедово. В этом случае
ср (a) sS 1 для всех целых чисел а. Совокупность всех целых
чисел а, для которых ср(а)< 1, является, очевидно, идеалом
в кольце целых чисел. Этот идеал прост, так как из ср(а&) =
= ср (а) ср (b) < 1 с необходимостью следует, что ср (а) < 1 или
ср (b) < 1. Напомним, что в кольце целых чисел каждый идеал
является главным и, в частности, каждый простой идеал поро-
ждается некоторым простым числом. Целые числа а, для кото-
рых ср (а) < 1, являются поэтому кратными некоторого простого
числа р. Каждое рациональное число г может быть представлено
в виде г = ^-р°, где целые числа z и п не делятся на р. Так
как ср (г) = ср (и) = 1, то ср (г) = ср (р)р = р''а = срр (г)°, где ст =
= — -|gQg — некоторое фиксированное число, положительное
в силу ср (р) < 1. Таким образом, нормирование ср эквивалентно
р-адическому нормированию срр.
После того как нормирования поля рациональных чисел (Q
описаны полностью, мы можем перейти к алгебраическим и транс-
цендентным расширениям; сначала рассмотрим случай алгебраи-
ческих расширений.
На самом деле мы ограничимся неархимедовыми нормирова-
ниями, так как архимедовы нормирования менее интересны.
Точнее, имеет место следующая теорема Островского:
любое поле К с архимедовым нормированием непрерывно изоморфно
некоторому полю, состоящему из комплексных чисел, наделенному
обычным абсолютным значением. За доказательством мы отсылаем
читателя к оригинальному изложению 1).
Сформулируем план действий следующим образом: мы будем
исходить из некоторого наперед заданного (неархимедова) норми-
рования ф поля К. Затем мы рассмотрим алгебраическое расши-
рение Л поля Н и выясним, как и сколькими способами можно
продолжить нормирование ф поля К до нормирования Ф по-
ля Л.
В § 144 поле К предполагается нормированным и полным
относительно этого нормирования. В § 145 случай неполного
поля сводится к случаю полного поля с помощью некоторого
вложения. В § 146 найденные результаты используются для того,
1) Островский (Ostrowski A.). Uber einige Losungen der Funktional-
gleichung tp (x) <p (t/) = q> (xy). — Acta math., 1918, 41, S. 271 —284. Основную
роль в дальнейшем играет большая статья Островского, опубликованная
в Math. Z., 1934, 39, S. 296- 404.
524
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIIT
чтобы найти все архимедовы и неархимедовы нормирования про-
извольного поля алгебраических чисел.
Задача. Если ср0 (а) = а j и срр (а) — р-адические нормирования, то про-
изведение всех этих значений для каждого фиксированного а равно 1.
§ 144. Нормирование алгебраических расширений:
случай полного поля
Пусть поле К полно относительно показательного нормиро-
вания w(a)=-—log <р (cz), т. е. в нем имеет место критерий схо-
димости Коши. Выясним, как можно продолжить это показатель-
ное нормирование па алгебраическое расширение Л.
Напомним, что элементы а, для которых w (а) 5= 0, называются
целыми и составляют некоторое кольцо, а элементы а, для кото-
рых w (а) > 0, составляют в этом кольце некоторый простой
идеал р.
Основой в нашем исследовании будет критерий редукции
в совершенных полях, восходящий к Гензелю.
Если av — коэффициент с наименьшим показателем в много-
члене
апхп 4” ап }х'1 14” • • • + ао
над некоторым показательно нормированным полем, то
— многочлен с целыми коэффициентами, среди которых не все
делятся на р. Многочлен с таким свойством будет называться
примитивным.
Лемма Гензеля. Пусть К —поле, полное относительно
показательного нормирования w. Пусть f (%) — примитивный мно-
гочлен с целыми коэффициентами из К. Если g0(x) и h0(x) —
два многочлена с целыми коэффициентами из К, взаимно простые
по модулю р, для которых
f(x)^g0(x)h0(x) (mod р),
то существуют два многочлена g(x), h(x) с целыми коэффициен-
тами из К, для которых
f(x)=g(x)h(x),
g(x)^go(*)(mod р),
h (х) s /г0 (х) (mod р).
При этом многочлены g(x) и h(x) можно выбрать так, чтобы
степень многочлена g(x) была равна степени многочлена gQ(x),
рассматриваемого по модулю р.
§ 144]
СЛУЧАИ ПОЛНОГО ПОЛЯ
525
Доказательство. Так как в многочленах gu(x) и h0(x)
можно опустить коэффициенты, принадлежащие идеалу г, и при
этом не изменятся ни условия, ни заключение леммы, то мы
будем предполагать, что старшие коэффициенты у g0(x) и h0 (х)
не делятся на р и многочлен g0 (х) имеет степень г. Более того,
мы будем считать, что g0 (х) умножен на ~, a hlt (х) заменен на
ah0 (х) таким образом, что ~g0 (х) — приведенный многочлен сте-
пени г, т. е. его старший коэффициент равен 1; мы будем счи-
тать, что g0 (х) = хг +... Если в этой ситуации Ь — старший коэф-
фициент и s — степень многочлена /10 (х), то старший коэффициент
произведения g0 (х) h0 (х) равен Ь, а степень r^-soi. Мы построим
сомножители g(x) и А(х) так, чтобы g(x) был приведенным мно-
гочленом степени г, a h (х) — многочленом степени п — г.
Коэффициенты с многочлена f (х) — g0 (х) /г0 (х) имеют по усло-
вию положительные значения w (с); пусть наименьшее из послед-
них — некоторое число 6j > 0. Если бх = оо, то f (х) = g0 (х) 1г() (х),
и больше нечего доказывать.
Так как g0 (х) и h0 (х) взаимно просты по модулю р, то суще-
ствуют два многочлена I (х) и т (х) с целыми коэффициентами
из К, для которых
1 (х) g0 (х) + т (х) h0 (х) =. 1 (mod р).
Наименьшее из значений нормы на коэффициентах многочлена
l(x)go(x) + m(x)ho (х)-1
— некоторое положительное число 62 Пусть 8 — наименьшее из
чисел Sj, б2, и, наконец, л — элемент, для которого w (л) = 8.
Тогда
f (х) = go (х) ho (х) (mod л), (1)
I (х) go (х) ф-т (х) h0 (х) = 1 (mod л). (2)
Построим теперь g(x) как предельное значение некоторой
последовательности многочленов gv (х) степени г, начинающейся
с go (х), а /г(х) —как предельное значение некоторой последова-
тельности многочленов hv (х) степени п — г, начинающейся
с /г0(х). Предположим, что gv (х) и hv (х) уже определены и при-
том так, что
f (х) == gv (х) hv (х) (mod лv+1), (3)
gv W(modn), (4)
hv (x) == h0 (x) (mod л) (5)
и, кроме того, gv (х) = xr-|~... — многочлен со старшим коэффициен-
том 1. Для того чтобы определить gvn(x) и hv 1(х), представим
526
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
их в виде
gv+i Cv) = gv (х) + nv+1« (х), (6)
/г¥ц (х) =/iv (х)+ лг+1ц (х). (7)
Тогда
gv+1 (х) /lv+1 (х) - f (х) = gv (х) hv (х) - f (х) +
+ rtv+1 {gv (*) У (х) + hv (х) и (X)} + л2'+2м (х) V (х).
Положим в соответствии с (3)
f (х) - gv (х) hv (х) = nv+1p (х);
тогда
gv+1 (х) hv+1 (х) - f (х) =
л'41 {gv (х) v (х) + hv (х) и (х) — р (х)} (mod nv'2).
При этом левая часть будет делиться на nv+2, если будет
gv (х) v (х) + hv (х) и (х) == р (х) (mod л). (8)
Чтобы добиться этого, умножим сравнение (2) на р(х):
Р (х) I (х) g0 (х) + р (х) т (х) h0 (х) == р (х) (mod л); (9)
разделим р (х) т (х) на g0 (х), так что остаток и (х) будет иметь
степень < г:
p(x)m(x) = 7(x)g0(x) + « W- (Ю)
Подставим (10) в (9):
\р (х) I (х) + q (х) h0 (х)} go (х) + и (х) h0 (х) == р (х) (mod л).
Заменим в многочлене, заключенном в фигурные скобки, все
коэффициенты, делящиеся на л, нулем; тогда получим
v (*)&> (х) + « (х)Л0 (х) = р (х) (mod л). (11)
В силу (4) и (5) из (11) следует нужное сравнение (8). Далее
и (х) имеет степень < г, так что gv+1 (х) в силу (6) имеет ту же
степень и тот же старший коэффициент, что и gv(x). Остается
лишь показать, что v (х) имеет степень п — г. Если бы это
было не так, то в первом слагаемом в (11) старший член имел
бы степень >п, а степени остальных были бы другими. Коэффи-
циент при этом члене должен в соответствии с (И) делиться
на л, а потому старший коэффициент в v (х) оказывается крат-
ным элементу л. Но так как мы удалили из v (х) все коэффи-
циенты, делящиеся на л, то степень v (х) оказывается п — г.
Из сравнения (8) следует, как мы видели выше, что
f W = gv+i (*) /iv+i W (mod л'+2). (12)
Из (6) следует, что коэффициенты многочлена gv hl (х) — gv (х)
делятся на nv+1, а потому при v->-co стремятся к нулю. Отсюда
§ 144]
СЛУЧАЙ ПОЛНОГО ПОЛЯ
527
в силу критерия сходимости Коши следует, что gv(x) при v-э-оэ
сходятся к многочлену
g(x) = xr + ...
Равным образом при v -> оо и последовательность hv (х) сходится
к некоторому многочлену h(x). Наконец, переходя в (3) к пре-
делу, получим
f (*) = g (X) h (х).
В силу (4) и (5) выполняются и сравнения
g(x)=go(*) (modp),
h (x) = h0 (x) (mod p).
Лемма доказана.
Вот одно простое следствие:
Для неразложимого над К многочлена
f(x) = a(i-\-a1x-\-... + anxn
имеет место соотношение
min(w(a0), w (aj, .... w (апУ) = min (w (a0), w(an)).
Для доказательства мы можем предположить, что f (х) — при-
митивный многочлен. В этом случае минимум слева равен нулю.
Предположим, что оу(йо) и w(an) больше нуля; тогда существо-
вало бы натуральное число г, 0<г<п, для которого ui(a/.) = 0,
но (щ)>0 при v = г + 1, ..., п. Но тогда
f (х) = (а0 + OiX +... + arxr) 1 (mod р), 0 < г < п,
и, следовательно, многочлен f (х) в силу леммы Гензеля разло-
жим на два множителя, степень одного из которых г, а другого
п — г.
Задача 1. Если многочлен f (х) = хп -J- . + а0 имеет целые
коэффициенты из К и неразложим по модулю р, то / (х) неразложим и в по-
полнении
Задача 2. Если в многочлене f (х) — хп-\-ап_1хп~14-... -|~а0 все коэффи-
циенты an_lt .... а0 делятся на р и а0 не является произведением двух эле-
ментов из р, то f (х) неразложим (обобщение признака неразложимости Эйзен-
штейна).
Задача 3. Исследовать разложение рациональных неразложимых много-
членов
х2+1, х24-2, х2 —3
в поле 3-адических чисел. (Использовать задачу 1, лемму Гензеля и задачу 2.)
Важнейшее применение последней теоремы состоит в доказа-
тельстве возможности продолжения нормирования с полного поля
на алгебраическое расширение.
Пусть \{ — поле, полное относительно показательного нормиро-
вания w, Л — алгебраическое расширение поля К. Тогда сущест-
вует показательное нормирование W на Л, которое совпадает с w
на К.
528
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
Доказательство. 1. Пусть £ —произвольный элемент из
Л и
^ + а-„_1^-1 + ... + ао = О
— неразложимое уравнение для g с коэффициентами из К. Мы
утверждаем, что
W®=~w(a0)
— нормирование поля Л (которое, очевидно, на К совпадает с да).
Для того чтобы доказать для произвольных двух элементов g,
I) из Л соотношения
W (gn)' = W Q) + W (п),
П7а + п)^тт(Га), IF«
рассмотрим подполе Л0=Ка, п), имеющее некоторую конечную
степень t над К, и построим в этом поле норму элемента
Согласно § 47 имеем
м©=с-ох
и, следовательно,
да (М ©) = w (а;) = rw(ao),
W®=±w(a0)=±w(N О.
Так как N = N (£) N (п), то отсюда получаем
Гап) = Г(Ю + № (п).
При доказательстве соотношения W a + n) min (W (g), W (n))
в силу того, что
Га + т]) = Г(п) + г(1+|)
и
min (IF (5), W (л)) = IF (n) + min [w (1), о),
мы можем ограничиться случаем т] = I.
Неразложимое уравнение для | + 1 таково:
а+1)л + ... + (ао-а1+а2-... + (-1)л-1а^1 + (-1)Д = 0.
В силу предыдущей теоремы имеем
IF а+ 1) = 1 w(a0 —аг + .. ,)^
дг {п min (w (а0), №(«]), ..., &у(яя-1), &у(1)) =
-у min (w (а0), w (1)) = min (IF (g), 0).
§ U4]
СЛУЧАЙ ПОЛНОГО ПОЛЯ
529
Если от показательных нормирований w (a), W Q) перейти
к обычным
Ф (а) =е®'|а), Ф (|) =е~
то нормирование расширения Л будет определяться равенством
Ф(Ю=Т/’<Р («о)
или равенством
ф(1)=7ф(лгЛ @),
если Л имеет конечную степень т над К.
Заметим, что та же формула верна и в случае архимедова
нормирования. Единственный нетривиальный случай имеет место
тогда, когда К — поле вещественных чисел, а Л — поле комплекс-
ных чисел. Нормирование
ф(5) = 151р
поля К можно продолжить без каких бы то ни было дополни-
тельных построений до
Ф (I) |р-
Однако для £ = а ф- bi имеет место равенство
I
так что
Ф(5) = Шр = /ф(ЛЧ5))-
По этой причине в дальнейшем мы снова рассматриваем ар-
химедовы и неархимедовы нормирования вместе.
Пусть Л — расширение конечной степени поля К, их, ..., ип—
базис векторного пространства Л/К. Пусть К полно относи-
тельно нормирования ср. Если Ф — некоторое нормирование поля
Л, совпадающее на К с <р, то последовательность
с = д(',)ы1ф-.. .ф-д<у)н , v = l, 2, ...,
является фундаментальной последовательностью относительно Ф
тогда и только тогда, когда п последовательностей фунда-
ментальны относительно ф.
Так как последовательности а(У} стремятся соответственно
к пределам а, из К, то из сказанного следует, что А —полное
относительно Ф поле.
Доказательство. Сходимость последовательностей
мы докажем индукцией. Если щ имеют вид
cv = а^иъ
то, очевидно, последовательность {a’v)} фундаментальна, если
только фундаментальна cv. Пусть утверждение верно для всех
530
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
последовательностей вида
т— 1
cv= S аГ’ы‘-
1 = 1
Рассмотрим
т
cv = У]
<=1 ‘
Если последовательность сходится, то {cv — — фунда-
ментальная последовательность; тогда последовательности
i<.m, сходятся по предположению индукции. Допустим, что
последовательность {а^} не сходится. Тогда можно выбрать чис-
ловую последовательность пъ п2, п3, ... так, что
выполняется для всех v, где v —некоторое фиксированное поло-
жительное число. Последовательность
должна в этом случае сходиться к нулю, потому что последова-
тельности числителей сходятся к нулю ввиду фундаментальности
последовательности {cv}. Имеем
т—1
dv — ит — у, b^ut.
1 = 1
По предположению индукции, последовательности {bjv)} сходятся
к некоторым пределам bt и, значит,
т— 1
t=l
Но это противоречит тому, что иъ ..., ип — базис поля А над
полем К.
Точно также доказывается следующее утверждение: последо-
вательность {cv} является нуль-последовательностью тогда и
только тогда, когда таковыми являются последовательности
(i = l, .... п).
На этом замечании основывается доказательство следующей
теоремы единственности:
Продолжение Ф нормирования <р полного поля К на алгебраи-
ческое расширение А определено однозначно и
Ф ® == Vх Ф (#(()),
где N — норма в поле К (£), п —степень этого поля над К.
§ 145]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
531
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай фикси-
рованного элемента £ и соответствующего поля К (£); под нор-
мами будут подразумеваться лишь нормы в этом поле. Если
некоторая последовательность {cv} в этом поле стремится к нулю
(в смысле Ф) и если cv линейно выражаются через базисные эле-
менты «1Т ..., ип поля К (£), то, в соответствии со сказанным
выше, к нулю стремятся отдельные коэффициенты а<У\ а потому
и норма, являющаяся однородным многочленом от этих коэффи-
циентов. Предположим, что Ф (£)л < <р (N (£)) или Ф (£)" > q> (N (%)).
Тогда элемент
Z," N (?)
Я = тгт-г > соответственно и =
N (е) 1 ?"
в обоих случаях имеет норму (rj) = 1 и Ф(т])<1. Следова-
тельно, limT]v = 0, а потому и lim N (r]v) = 0, что противоречит
равенствам N (t]v) = У (r])v = 1.
Задача 4. Произвольный изоморфизм двух нормированных алгебраи-
ческих расширений А, А' полного нормированного поля К, оставляющий на
месте элементы из К, обязательно переводит нормирование поля А в нормиро-
вание поля А'.
Задача 5. Поле комплексных чисел обладает лишь одним нормирова-
нием Ф, которое в поле вещественных чисел совпадаете ср (а) = | а |₽ — это нор-
мирование Ф(а) = |а]Р.
§ 145. Нормирование алгебраических расширений:
общий случай
Пусть К — произвольное нормированное поле и А —некоторое
алгебраическое расширение этого поля. Обратимся вновь к сле-
дующему вопросу: как и сколькими способами заданное на К
нормирование ср может быть продолжено на А?
Для простоты мы ограничимся сначала простым расширением
А = К(9). Элемент 9 будет корнем неразложимого многочлена
F (0 из К [/].
Перейдем от К к пополнению Й и построим поле разложения
S многочлена F (t) над й. Согласно § 144 нормирование ср поля й
однозначно продолжается до некоторого нормирования Ф поля S.
Под вложением поля А в поле S мы подразумеваем некоторый
изоморфизм ст, который переводит поле А = К (6) на подполе
А' = К (9') поля S и при этом оставляет неподвижными все эле-
менты из К. Разумеется, изоморфизм о переводит элемент 9 в не-
который корень 6' многочлена F (t) и этим полностью опреде-
ляется. Мы утверждаем теперь следующее:
Каждое вложение поля А в поле S определяет некоторое нор-
мирование на А. Действительно, подполе А' в S автоматически
оказывается нормированным, а с помощью изоморфизма о1 нор-
мирование с А' переносится па А. Очевидно, что полученное
532
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
таким образом нормирование Ф на Л продолжает нормирование
<р на К.
Мы утверждаем далее следующее:
Каждое нормирование Ф поля Л, продолжающее нормирова-
ние ср поля К, может быть получено описанным способом при
вложении Л в 2.
Доказательство. Построим пополнение поля Л. Оно со-
держит пополнение Й поля К, а также элемент 6; следовательно,
оно содержит поле й(0). Это последнее можно расширить до
поля разложения многочлена F, которое будет изоморфно полю
разложения 2. Изоморфизм переводит Ф(0) в некоторое подполе
й (9') в 2, оставляя элементы из й на месте и при этом пере-
водя нормирование поля й (6) в однозначно определенное нор-
мирование поля й (6').
Ограничение случаем простых расширений несущественно для
доказательства. Если вместо элемента 6 рассматривать конечное
множество алгебраических элементов ..., t,r, присоединяемых
к основному полю и являющихся корнями многочленов g1; , gr
из К [/], то в качестве 2 нужно взять поле разложения произ-
ведения gi(0- ••• • grip) и проводить рассуждения так же, как
это было сделано выше. Если Л — бесконечное алгебраическое
расширение поля К, то в качестве 2 берется алгебраически
замкнутое расширение поля й. Доказательство остается прежним.
Вернемся теперь к случаю простого расширения и разложим
определяющий многочлен F (/) из й [Z] на неразложимые мно-
жители:
= ••• (I)
Каждый изоморфизм о поля К (6) переводит 0 в некоторый
корень какого-то из множителей Fv (t). Каждому Fv (/) соответ-
ствует некоторое расширение й (0V), где 0V — произвольный ко-
рень многочлена Fv(t): какой именно, не важно, потому что все
корни неразложимого многочлена сопряжены.
Если изоморфизм ст переводит элемент 6 в элемент 0V, а эле-
менты из К оставляет на месте, то каждый многочлен g(0) пере-
водится им в многочлен g(0v), чем упомянутый изоморфизм и
определяется. Следовательно, всевозможные вложения поля Л =
= К (6) в 2 определяются заданием соответствия
0 ।—> 0V (v — 1, ... , s).
Но этим же задаются и нормирования: если задано значение Ф
произвольного элемента т] = g (0), то нужно взять v-й сопряжен-
ный элемент f]v=g(6v') и вычислить его значение в соответствии
с § 144:
ф 01) = (N (Tlv)), (2)
где nv — степень многочлена Fv, a N — норма в поле й (0V).
§ 146]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
533
Таким образом, существует столько же продолжений норми-
рования ф, сколько неразложимых множителей у многочлена F (t)
из Q [/].
§ 146. Нормирования полей алгебраических чисел
Общая теория предыдущего параграфа очень хорошо иллю-
стрируется на примере поля алгебраических чисел.
Пусть Л = (Е) (0) — поле алгебраических чисел, т. е. некоторое
конечное расширение поля рациональных чисел (Q, порожденное
примитивным элементом 9. Пусть F(х) — приведенный неразложи-
мый многочлен с корнем 9.
Основное поле (Q обладает единственным с точностью до экви-
валентности архимедовым нормированием <р (я) = | а | и для каж-
дого р единственным с точностью до эквивалентности неархиме-
довым нормированием, а именно, р-адическим нормированием:
ФР(а) = р-т,
где т — показатель степени числа р в разложении рационального
числа а на простые множители.
Архимедову нормированию в качестве пополнения основного
поля соответствует поле вещественных чисел R. Если еще при-
соединить число i, то поле окажется алгебраически замкнутым,
и F (х) разложится на линейные множители:
F(х) = (х-0J(х-02) ... (х-0„).
Чтобы получить разложение с вещественными коэффициен-
тами, мы должны объединить каждые два комплексно сопряжен-
ных сомножителя в один вещественный квадратичный многочлен:
(х — а — bi) (х — а + bi) = (х — а)2 -ф Ь2.
Если i\ — число вещественных корней, а г2 —число пар со-
пряженных комплексных корней, то F (х) распадается на п + г2
вещественных неразложимых множителей.
Каждому такому множителю соответствует некоторое норми-
рование поля Л, получающееся, когда Л вкладывается в поле
вещественных или комплексных чисел с помощью изоморфизма,
переводящего 9 в вещественный или комплексный корень 0V,
причем из двух комплексно сопряженных корней всякий раз
выбирается лишь один. Этот изоморфизм переводит каждую
функцию от 8
T]==^(0)=6'o + q9 4- ... + сп18л-1
в такую же функцию от 0V:
Bv = ё(®v) — со + ci®v + А
534
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Соответствующее архимедово нормирование на А выглядит
так:
Ф (Т)) = [ T)v I.
Все r1-J[-r2 архимедовых нормирований элемента ц получаются,
когда в последнем равенстве последовательно берутся веществен-
ные и комплексные элементы t]v, сопряженные с т), причем в слу-
чае двух комплексно сопряженных чисел выбирается произвольно
только одно.
ri + r2 архимедовых нормирований поля алгебраических чисел
тесно связаны с природой обратимых элементов этого поля. См.
ван дер Варден (van der Waerden В. L.). — Abh. math. Sem.
Univ. Hamburg, 1928, 6, S. 259.
Совершенно аналогично проводится исследование р-адического
случая. Пополнение, соответствующее нормированию ф =
поля (Q рациональных чисел, является полем р-адических чисел
Пусть в многочлен F (х) разлагается на неразложимые мно-
жители следующим образом:
F (x) = F1(x)F2(x) ... Fs(x). (1)
Присоединим к Пр какой-нибудь корень 0V неразложимого
многочлена Fv и построим изоморфизм, который переводит
г] = g (0) в bv = g(9v) (конструкция проводится для каждого
v = l, ..., s). Этим изоморфизмам соответствуют нормирования
Фг, (л) = ф hv) = Z<P (Ah (bv)) (2)
или, если взять логарифмы,
1>Мь)=^-^(лмъ)). (3)
Ну
При этом норма Nv (t]v) является произведением всех элемен-
тов, сопряженных с которые получаются, если в равенстве
T]v = g(9v) элемент 0V пробегает последовательно все корни мно-
гочлена Fv(x). Если 0V1, 0V2, ... — эти корни, то
A^vhv) = g(0vi)-g(0v2) (4)
— симметрическая функция корней 0V1, 0V2, .... которая, следо-
вательно, может быть выражена через коэффициенты многочлена Fv.
Таким образом, мы можем с помощью формулы (3) найти все
значения Wv (т)), если только известно разложение на множи-
тели (1).
Пример. Найти все нормирования квадратичного числового
поля А = (Q (]/5).
Определяющий многочлен, корнем которого является число
0 = ]/5, выглядит так;
А(х)-х2-5.
§ 146]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
535
В поле вещественных чисел F (х) разлагается на два веще-
ственных линейных различных множителя:
f (х)=(х-]/'5)(х + ]/5).
Следовательно, существует два вложения, которые получаются,
когда 0 отождествляется с —]/5 или У5. Соответствующие нор-
мирования при условии, что
1] = а + 66
— произвольный элемент поля, имеют вид
Фо(п) = 1« + ^ (5)
и
Ф1(п) = |а-&У5|. (6)
Тем самым найдены два архимедовых нормирования. Обратимся
теперь к р-адическим нормированиям.
Дискриминант многочлена F (х) равен 20. Простые числа 2 и 5,
входящие в дискриминант, мы рассмотрим в последнюю очередь.
Для всех остальных простых чисел р многочлен F (х) по модулю р
не имеет кратных множителей. Следовательно, существуют лишь
две возможности: либо F (х) остается неразложимым по модулю р,
либо F(х) разлагается по модулю р на два линейных множителя.
Если тогда х —с —один из этих множителей, то автоматически
х-f-с —другой из них, потому что сумма обоих корней много-
члена х2 — 5 равна нулю. Во втором случае, таким образом,
х2 — 5 =з (х — с) (х + с) (mod р),
5 = c2(modp).
Итак, существует целое чрсло с, квадрат которого сравним по
модулю р с 5. При этом говорят также: 5 является квадратичным
вычетом по модулю р.
Обратно: если с2 = 5(р), то имеет место разложение (7). Сле-
довательно: если 5 не является квадратичным вычетом по модулю р,
то многочлен х2 — 5 неразложим по модулю р, а если 5 — квадра-
тичный вычет, то х2 — 5 разлагается по модулю р на два линейных
множителя.
В первом случае многочлен F (х) является и р-адически нераз-
ложимым, а во втором случае, согласно лемме Гензеля, он разла-
гается на линейные множители над полем
В первом случае, согласно сказанному выше, существует только
одно соответствующее простому числу р нормирование
Ф(п)=У<рр (N (т])).
Положим опять
rj = a4-66 = o4-6j/’5»
536
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
Тогда
+ (a-b]S5) = as-5b2
и тем самым
Ф (т|) = ]Лрр (а2 —562) (8)
для всех простых чисел р, для которых 5 не является квадра-
тичным вычетом.
Если 5 — квадратичный вычет по модулю простого числа р, то,
согласно лемме Гензеля, имеет место р-адическое разложение
х2-5 = (х-у)(х + у). (9)
р-адическое число у отыскивается следующим образом: сначала
решим сравнение
с2 = 5
по модулю р, затем по модулю р2 и т. д. Каждый раз будут
получаться два решения: си —с. В итоге получатся две после-
довательности содержащихся друг в друге классов вычетов по
модулю р, р2, ... Одна из последовательностей определяет р-ади-
ческое число у, а другая — р-адическое число —у.
Наконец, два продолжения р-адического нормирования фр
поля (EJ получаются тогда, когда порождающий элемент 0 рассматри-
ваемого поля отождествляется один раз с у, а другой раз с—у.
Положим опять
т| = а + 69;
тогда оба нормирования представятся в виде
Ф1(л) = ФР(а + 6у), (10)
Ф2(л) = ФР(а-6у). (И)
Так как р-адическое нормирование <рр поля известно, то
нормирования Ф1 и Ф2 полностью определены.
Следует отметить, что в конкретных случаях никогда не нужны
последовательности классов вычетов по модулю р, р2, ... целиком:
процедура может быть прервана после конечного числа шагов.
Необходимо лишь выяснить, на какую степень числа р делится
р-адическое число а 4- by, чтобы определить нормирование срр (а 4- by).
Например, если после трех шагов удалось выяснить, что это число
делится на р2, но не делится на р3, то
ФР (а 4-6у) = Ра-
сстаются еще два делителя дискриминанта: р = 2 и р = 5.
В поле многочлен F(x)=x2 — 5 в соответствии с признаком
Эйзенштейна (§ 144, задача 2) неразложим, потому что все его
коэффициенты, не считая первого, делятся на 5, а последний не
делится на 52. Поэтому (8) имеет место и для р = 5.
§ И6]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
637
В поле й2 признак Эйзенштейна неприменим. Положим х —
= 2у + 1; тогда
х2 —5 = (2t/ + l)2 —5 = 4(y2 + r/—1),
а многочлен у2 + у~ 1 неразложим по модулю 2. Следовательно,
х2 —5 неразложим в поле 2-адических чисел и (8) выполняется
и для р = 2.
Задача 1. Многочлен х2-|-1 неразложим над полем вещественных и
полем 2-адических чисел. По модулю простого числа р, отличного от 2, этот
многочлен разложим или нет в зависимости от того, имеет ли р вид 4k -р 1
или 4k— 1. (Мультипликативная группа поля классов вычетов GF (р) является
циклической порядка р—1. Она содержит корни четвертой степени из единицы
или не содержит их в зависимости от того, делится ли р—1 на 4 или нет.)
Задача 2. Найти все нормирования поля гауссовых чисел а-]-Ы. Какие
в данном случае существуют архимедовы нормирования? Каким простым числам
соответствуют два нормирования, а каким — одно?
В § 141 мы видели, что существует тесная связь между теорией нормиро-
ваний и классической теорией идеалов в полях алгебраических чисел. Теперь
мы можем эту связь уточнить.
Пусть по-прежнему Z — кольцо целых чисел в поле рациональных чисел®
и о — кольцо целых чисел в поле алгебраических чисел Л. Таким образом, как
и в § 136, имеет место схема включений
Z = о
п п
QsA
Нормирования мы вновь будем записывать в показательной форме. Рас-
смотрим такие нормирования W поля Л, которые являются продолжениями
р-адического нормирования wp на (Q. При этом wp определяется так: если целое
число т делится в точности на рС а п — в точности на ps, то
/ т \
— = г —s
р \ п )
Докажем для начала следующую теорему:
Для элементов а кольца о число W (а) неотрицательно-
Предположим противное: число W (а) отрицательно. Как целый элемент,
элемент а удовлетворяет уравнению вида
ап=с1а'г~1 + ... +ся, (12)
где Cj — числа из Z. Левая часть в (12) при сделанном предположении имеет
отрицательное значение
№ (an) = nW (а);
однако правая часть в (12) имеет большее значение. Это дает нужное проти-
воречие.
Множество чисел а из о, для которых W (а) > 0, является простым идеа-
лом р в о. Пусть л — элемент из о, который делится в точности на первую
степень идеала р. Тогда, если а делится в точности на РП то в силу § 137
ас = ргс. (13)
В идеале с существует элемент с, не делящийся на р. Согласно (13) эле-
мент пгс делится на а;
лгс = аЬ. (14)
538
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Левая часть здесь делится в точности на как и множитель а справа,
так что Ь не делится на у, и W (Ь) = 0. Равным образом W (с) = 0 и из (14)
следует что
Г (a) = W (лг) = г№ (л). (15)
Так как \v (л) является положительной константой, то нормирование W
эквивалентно р-адическому нормированию
1Рг(а) = г. (16)
Тем самым мы получили основной результат:
Все неархимедовы нормирования поля Л эквивалентны р-одическим нормиро-
ваниям, которые определяются простыми идеалами V кольца о. Каждому про-
стому идеалу р в кольце о, отличному от нулевого и единичного идеалов, соот-
ветствует некоторый класс эквивалентных неархимедовых нормирований W и
наоборот.
Простое число р относительно нормирования W имеет значение 1, так как
W совпадает на (Q с р-адическим нормированием wp. Применим теперь фор-
мулу (15) к а = р. Слева получится 1, так что справа не может стоять нуль.
Это означает, что простой идеал р должен входить в правую часть разложения
на множители
(р) = р0 = ре1..... р^_ (17)
Пусть, например, p = pv- Тогда справа в (15) мы должны положить r = ev, и
получится
1 =evW (л).
Если мы теперь в (15) обе части умножим на ev, то в силу (16) получится
соотношение
evW (а) = Гр(а). (18)
Таким образом: чтобы из нормирования W (а) получить нормированное р-адиче-
ское нормирование (а), нужно все значения W (а) умножить на показатель
степени ev, в которой простой идел p = pv входит в (17).
Число s различных простых идеалов, которые участвуют в (17) справа,
равно числу различных продолжений V7 р-адического нормирования wp поля (Q,
а потому равно числу простых множителей, участвующих справа в (1), которое
и там обозначалось через s.
Критерий целости. Элемент а поля А принадлежит кольцу о тогда
и только тогда, когда в каждом р-одическом нормировании поля Л элемент а
имеет неотрицательную норму.
То, что это имеет место «только тогда», мы уже доказали. Пусть теперь
а = Ъ/с — произвольный элемент из Л, где b и с — элементы из е. Разложим
главные идеалы (Ь) и (с):
(&) = ^.....^, (19)
(с) = V™. (20)
Используя при необходимости множители вида р°, мы можем достигнуть того,
чтобы в разложениях (19) и (20) участвовали одни и те же простые идеалы pv.
Значение IP'v (а) относительно р-адического нормирования, соответствующего
простому идеалу pv, в этом случае равно
IP V (я) ~ Гу ~~ sv.
Если все эти значения положительны или равны нулю, то идеал (&) делится
на идеал (с) Следовательно, b = cd, и элемент a — b!c = d лежит в о, что и
требовалось доказать,
§ 147]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ S(x)
539
Доказанную выше теорему можно сформулировать и следующим образом:
Кольцо о равно пересечению колец всех ^-одических нормирований поля част-
ных Л, где р пробегает множество всех простых идеалов кольца, за исключе-
нием (0) и (1).
Аналогичная теорема имеет место в произвольном целостном кольце, цело-
замкнутом в своем поле частных. См. по этому поводу Крулль (Krull W-)-
Idealtheorie. — Ergebnisse der Math., 4, Heft 3.
§ 147. Нормирования поля рациональных функций А(х)
Пусть к произвольному полю А — «полю констант» — присоедине-
на произвольная переменная х. Опишемте нормирования поля А(х),
в которых константы из А имеют норму 1.
В частности, суммы 1 +1 + •. - +1 имеют при таких нормиро-
ваниях норму 1; поэтому нормирование неархимедово. Мы будем
записывать его в показательной форме:
ср = e~w,
так что по условию &у(а) = 0 для всех констант а.
Возможны два случая:
1. для всех многочленов f(x).
2. Существует многочлен f, для которого ®(/:)<0.
Может оказаться, что все w (/) = 0. Тогда и все дроби f/g имеют
норму 0 и нормирование оказывается тривиальным.
Если это положение исключить, то в случае 1 обязательно
существует многочлен /, для которого w (f) > 0. Разложим f на
простые множители; тогда по крайней мере один из множителей
будет иметь норму, большую 1.
Если р (х) — этот множитель и v = w (р) — его норма, то каж-
дый многочлен, некратный многочлену р (х), имеет норму 0. Дей-
ствительно, предположим, что q (х) не делится на р (х) и имеет
норму >0; тогда ввиду взаимной простоты р и q имеем
1 = Ap-}-Bq,
где А и В — некоторые многочлены. В случае справедливости
сделанного предположения получим
w (Ар) = w (Д) + w (р) > 0,
w (Bq) = w(B)A~w (q) > 0,
и, в силу основного свойства неархимедовых нормирований,
w (1) = w (Ар A-Bq) Z> 0,
что невозможно.
Если теперь f (х) — произвольный многочлен и
/ (х) = р (х)т q (х),
540
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
(ГЛ. XVIII
где q (х) не делится на р (х), то
w (J) = mw (р) + w (q) = mv.
Для отношения многочленов, как обычно,
W = W ® ~ W
Следовательно, в случае 1 нормирование эквивалентно некото-
рому ^-одическому нормированию, определенному неразложимым
многочленом р = р(х}. Такие нормирования совершенно аналогичны
р-адическим нормированиям поля рациональных чисел (Е).
Особенно простым является случай алгебраически замкнутого
поля констант А. Действительно, тогда не существует неразло-
жимых множителей, отличных от линейных:
р (х) = х — а.
Каждому элементу а из Д соответствует ровно один неразло-
жимый многочлен р = х — а и, следовательно, одно р-адическое
нормирование. Его называют нормированием, соответствующим
точке а, потому что в случае комплексных чисел можно рассмат-
ривать а как точку на комплексной плоскости. В этом нормиро-
вании многочлен имеет значение т, если он делится в точности
на (х — а}"1 или, другими словами, при условии, что а является
корнем /п-го порядка заданного многочлена. То же самое имеет
место и для произвольной рациональной функции <p = f/g, числи-
тель которой делится в точности на (х — а}т, а знаменатель не
делится на (х—- а). Если же числитель не делится на (х — а),
а знаменатель делится в точности на (х — а)т, то <р «имеет полюс
т-ro порядка в а» и значение ш(<р) равно —т.
Итак, случай 1 рассмотрен полностью. Покажем теперь, что
в случае 2 существует только одно (с точностью до эквивалент-
ности} нормирование, а именно
w (—] = — т + п,
\g)
где т — степень числителя f, а п —степень знаменателя g.
Доказательство. Пусть р (х) — многочлен наименьшей
степени, для которого w (р) < 0. Степень многочлена р (х) не
может быть равна нулю, потому что все константы по условию
имеют нулевую норму. Но вместе с тем эта степень не может
быть и больше 1, потому что в противном случае
р (х) — аохп + а1хП~1 +... + ап, и>1, ао^О,
и многочлен х, как многочлен меньшей степени, должен был бы
иметь норму w (х) 2= 0, а потому и а^хп имеет норму 2= 0; вместе
с тем остаток а1хп~1 + ..,-}-ап, опять-таки как многочлен меньшей
§ 147]
НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ AW
541
степени, имел бы норму 2s 0. Поэтому и сумма
р (х) = аох” + + ... + «„)
имела бы норму 2^0, что противоречит условию.
Итак, многочлен р (х) линейный:
р (х) = х — с.
Если теперь
q (х) = х — b = (х — с) + (с — Ь)
— любой другой линейный многочлен, то, согласно сделанному
выше замечанию и ввиду того, что w(x — с)<к/(с — Ь), имеем
w (q) = min (к1 (х — с), w (с — b)) = w (р).
Таким образом, все линейные многочлены имеют относительно
данного нормирования одну и ту же отрицательную норму:
w (р) = w (q) = — v.
Всегда можно перейти к эквивалентному нормированию и
выбрать v = 1. Тогда все линейные многочлены будут иметь норму
— 1.
Степени xk имеют норму — k. При этом постоянный множи-
тель не изменяет ее значения:
w (ахк) = — k.
Наконец, каждый многочлен f (х) является суммой слагаемых
вида axk. Согласно сделанному выше замечанию значение w(f)
равно минимуму значений составляющих слагаемых, т. е.
w <J) = — п,
если f имеет степень п. Тем самым все доказано.
В случае числового поля существует принципиальная разница
между одним-единственным архимедовым нормированием и беско-
нечным множеством неархимедовых. В случае же поля рациональ-
ных функций нормирование с помощью степени совершенно рав-
ноправно с р-адическими нормированиями. Более того, с по-
мощью очень простого изоморфизма полей можно перевести
нормирование по степеням в произвольное наперед заданное
р-адическое нормирование. Действительно, положим
тогда отношение многочленов степеней тип
(р(х) = Ж = дхт + ---.
при подстановке (1) и умножении числителя и знаменателя на
(р —с)т+л переходит в некоторое отношение многочленов от у,
542
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XVIII
числитель которого делится в точности на (у--с)", а знаменатель-
на (у — с)т. Значение отношения 4 (у) при нормировании, соот-
ветствующем точке с, равно, следовательно, разности степеней
п — т. Таким образом, изоморфизм (1) переводит нормирование
поля А(х) по степеням элементов в нормирование, соответст-
вующее точке с и определенное на изоморфном поле А (у).
«Точке» у —с в силу (1) соответствует «точка» х = со. Поэтому
нормирование на функциональном поле А(х) по степеням назы-
вают нормированием, соответствующим точке со. При дсбавлепии
к комплексной плоскости точки со плоскость замыкается в сферу,
на которой все точки равноправны, и дробнолинейные подстановки
переводят каждую точку в любую наперед заданную. Очевидно,
изоморфизм (1) —всего лишь частный случай подстановки (2).
Выясним теперь, каковы пополнения, соответствующие раз-
личным «точкам» заданного поля. Ранее (§ 142) мы видели, что
пополнением, соответствующим точке с, является поле формаль-
ных степенных рядов
а = а_т {х - с)~т + ... +a0 + ai (х-с)+а2 (х-с)2ф- ...
Коэффициентами в таких рядах являются произвольные кон-
станты: ряд всегда сходится в смысле р-адического нормирова-
ния, независимо от того, как выбраны его коэффициенты. В смысле
теории функций такой ряд не обязан сходиться даже тогда,
когда ak — комплексные числа: радиус сходимости может быть
равным нулю.
Значение w(a) для указанного выше ряда равно — т, если
а т — первый отличный от нуля коэффициент.
Точно так же точке со соответствует пополнение, являю-
щееся полем всех степенных рядов от хг1:
Р = Ь-тХт + • • + Ьо + ЬрС 1 + Ь.рг2 + . . .
§ 148. Аппроксимационная теорема
Каждому нормированию ср поля К, как было замечено выше,
соответствует понятие предела; символ limav = a означает, что
lim ф (av — а) = 0. Непосредственно проверяется, что
г I °>
1ГП 1 + av — | j,
если
если
Ф(а)<1,
Ф (а) > 1.
Напомним, что два нормирования ф и ф называются экви-
валентными, если из Пгпф(ау) = 0 следует, что Ншф(ау) = 0, и
наоборот.
§ 148] АППРОКСИМАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА 543
В § 142 был доказан следующий критерий эквивалентности:
Лемма 1. Два нормирования <р и тр эквивалентны тогда и
только тогда, когда из ср («) < 1 следует, что тр (а) < 1.
В качестве следующего шага будет доказана
Лемма 2. Пусть <pj......... cp„ («>!) — конечное множество
неэквивалентных нормирований поля К. Тогда существует такой
элемент а из К, что
<Pi(а)> 1 и <pv(а) < 1 (v = 2, .... п).
Доказательство проводится индукцией по п. Пусть сначала
п = 2. Так как нормирования <рг и <р2 не эквивалентны, то по
лемме 1 существует элемент Ь, для которого
Ф1(Ь)<1 и <р2(Ь)2==1,
а также элемент с, для которого
Ф1 (с) 2= 1 и <р2 (с) < 1.
Но тогда элемент а = Ь~1с обладает нужными свойствами:
Ф1 (а) > 1 и ф2 (а) < 1.
Если для п — 1 нормирований утверждение предполагается
верным, то существует такой элемент Ь, что
и Tv GO < 1 (v = 2, ..., п — 1).
Согласно доказанному для п = 2 существует такой элемент с,
что
Ф1 (с) > 1 И ф„ (с) < 1.
Рассмотрим два случая:
Случай 1. ф„ (b) sg 1. Построим ar = cbr. Тогда
Ф1 Ы> 1,
фл («/•)< Ъ
и для достаточно больших г
Ф\,(аг)<1 (v = 2, ..., п — 1).
Поэтому можно положить а = аг.
Случай 2. ф„(&)>!• Построим элементы
Последовательность {dr} сходится к с относительно нормирований
Ф! и фп и сходится к 0 относительно прочих нормирований фу.
Поэтому
lim ф! (dr) = ф! (с) > 1,
1:тфп(<1г) = фп(с) <1,
Итфу(dr) = 0 (v = 2, ..., п — 1).
544
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ. XVIII
Следовательно, элемент a = dr при достаточно большом г обла-
дает нужными свойствами:
Ф1(а)>1, 1
z , f (v=2, ..., п).
фу (а) < 1 )
О)
Лемма 3. Если ср1; <рга — неэквивалентные нормирования,
то существует элемент b данного поля, расположенный как угодно
близко к 1 относительно нормирования срг и как угодно близко к О
относительно нормирований ф2, ..., фя.
Доказательство. В случае п = 1 утверждение тривиально.
В случае п > 1 рассмотрим элемент а со свойствами (1) и построим
элемент
Последовательность стремится к 1 относительно норми-
рования ф! и стремится к 0 относительно нормирований ф2, ...
..., Ф„. Отсюда следует требуемое.
После этих подготовительных предложений будет доказана
Аппроксимационная теорема. Пусть фь ..., <р„—
неэквивалентные нормирования. Для заданных элементов ах, ..., ап
основного поля существует элемент а, который расположен как
угодно близко к элементу av относительно нормирования <pv:
фу(ау —а)<8 (v = l, ..., п). (2)
Доказательство. Согласно лемме 3 существуют элементы
bv (v = l, ..., п), близкие к 1 оносительно нормирования <pv и
близкие к нулю относительно прочих нормирований. Сумма
а — ayby ... Д- апЬп
в таком случае расположена как угодно близко к av относительно
нормирования фу.
Изложенное здесь доказательство аппроксимационной теоремы
заимствовано из курса лекций Э. Артина.
Глава девятнадцатая
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Вершиной классической теории алгебраических функций над
полем комплексных чисел является теорема Римана—Роха.
Имеются теоретико-функциональные, геометрические и алгеб-
раические доказательства этой теоремы. Красивое теоретико-функ-
циональное доказательство с использованием геометрических идей
было найдено Жорданом (Jordan С.). Cours d’analyse, II,
гл. VIII. Среди геометрических методов доказательства особенно
выделяется metodo rapido Севери *). Чисто алгебраическое дока-
зательство Дедекинда и Вебера в J. reine und angew. Math.,
1882, 92 было упрощено Эмми Нётер, обобщившей его на про-
извольные совершенные поля констант. Для произвольных полей
констант теорему Римана —Роха впервые доказал Шмидт
(Schmidt F. К.).—Math. Z., 1936, 41. Одно простое доказательство
теоремы принадлежит Андре Вейлю (Weil А.). — J. reine und
angew. Math., 1938, 179, методу которого мы здесь следуем.
§ 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих
Пусть К — поле алгебраических функций одной переменной,
т. е. некоторое конечное расширение поля рациональных функ-
ций А (%). Выбор независимой переменной х совершенно произ-
волен: вместо х можно взять любой трансцендентный над А эле-
мент. Нас интересуют лишь инвариантные, т. е. не зависящие
от выбора х, свойства поля функций.
Элементы из К, являющиеся алгебраическими над А, назы-
ваются константами. Они составляют поле констант А*. Поле А*
алгебраически замкнуто в К, т. е. все элементы из К, алгеб-
раические над А*, принадлежат А*.
Исходным понятием современной теории алгебраических
функций является понятие нормирования. Так же, как и в § 147,
здесь рассматриваются лишь такие нормирования поля функций
К, относительно которых все константы с* из А*, отличные от
нуля, имеют значение <р(с*)=1. Как и в § 147, сразу же легко
проверить, что все эти нормирования являются неархимедовыми.
Новейшее изложение этого метода можно найти у С е в е р и (Severi F.).—
Acta pont. accad. sci., 1952. Указанный метод оказал значительное влияние
на доказательство Вейля, которое здесь излагается.
546
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
(ГЛ XIX
По-прежнему мы будем записывать их в показательной форме:
<р(2) = е-а'^. (1)
Следовательно, щ(с*) = 0 для всех с*^=0 из Д*.
Задача. Если w (с) — 0 для всех с=#0 из Д, то ш(с*)—0 для всех
с* У= 0 из Д*.
Под плейсомполя К мы подразумеваем некоторый класс
эквивалентных нормирований. Основанием для такого названия
служат рассмотрения, проведенные в § 147 для поля рациональ-
ных функций Д (х) с полем комплексных чисел в качестве поля
констант. Если считать комплексную плоскость замкнутой до
сферы с помощью добавленной точки оо, то каждой точке сферы
(с или оо) соответствует ровно один класс эквивалентных норми-
рований, причем таким способом в § 147 были получены все нор-
мирования поля рациональных функций А(х).
Для поля алгебраических функций над полем комплексных
чисел можно осуществить в некотором смысле аналогичные кон-
струкции, рассмотрев риманову поверхность заданного поля функ-
ций2). В § 141 уже было показано, что каждой точке Р этой
поверхности соответствует класс эквивалентных нормирований
поля функций Н. В этом случае можно также доказать3), что
таким способом получаются все нормирования, относительно
которых константы с имеют значение ш(с) = 0.
В последующем теория плейсов и униформизирующих будег
строиться чисто алгебраически, без использования понятия
римановой поверхности. Между тем всякий раз, когда речь бу-
дет заходить о плейсе, читатель может мыслить себе точку на
римановой поверхности.
Согласно § 141 каждому плейсу, т. е. каждому классу экви-
валентных нормирований для функций К, соответствует кольцо
нормирования 3 и идеал нормирования р, состоящий из всех
элементов z поля К, для которых ш(г)>0. Согласно лемме 1
!) В оригинале местом (нем. Stelle, англ, place, франц, place); выбор
этого несколько странного названия и обосновывается автором—с оттенком
извинения —в ближайших двух абзацах. Иногда плейс определяют как гомо-
морфное отображение данного поля К в поле с присоединенным символом со
(см. Ленг С. Алгебра. —М.: Мир, 1968, с. 339). В любом случае термин
«точка поля», пущенный в оборот при переводе на русский язык в 50-х годах,
нельзя признать удачным, особенно в постоянном и неизбежном контексте
с точками многообразий (в некоторых переводах появился еще и «центр точки»!).
Во избежание недоразумений мы предпочитаем употреблять просто англий-
ский термин в русской записи. Таким образом, если, например, речь пойдет о
плейсе поля функций, определенном точкой многообразия, то мы сможем, не
боясь путаницы, говорить о любом из этих объектов. — Прим, ред.
2) См. Weyl Н. Die Idee der Riemannschen Flache.— 3. Ed. —Stutt-
gart, 1955.
?) См. указанную выше книгу Вейля.
§ 149]
РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
547
§ 148 два нормирования, соответствующие одному и тому же
идеалу у, эквивалентны. Тем самым каждому идеалу нормиро-
вания соответствует один-единственный плейс. В дальнейшем
мы будем обозначать плейс той же буквой у, что и соответ-
ствующий ему идеал нормирования.
Поле Н по условию является конечным расширением поля
рациональных функций А (х). Следовательно, можно получить
все нормирования поля Н, отыскав сначала, следуя § 147, все
нормирования поля А(х), а затем продолжив эти нормирования
в соответствии с § 145 на К; для осуществления последней опе-
рации нужно - вложить поле К всевозможными способами в не-
которое поле разложения Л того или иного многочлена F (I)
над полным полем Q. Показательное нормирование w поля Н
можно сначала продолжить до такого же нормирования w
поля Q, а затем, в соответствии с § 144, перейти совершенно
однозначным образом к нормированию W поля Л; при этом для
каждого элемента г из Л имеет место равенство
Ф (г) = ср (7V (г))
или, если вернуться к показательным нормированиям w и W,
U7(z) = ^(^a(z)),
где т — степень поля Л над полем Й. Для заданного нормиро-
вания w существует только конечное число возможностей про-
должения до W. В классической теории этому соответствует тот
факт, что над одной точкой числовой сферы расположено лишь
конечное число точек римановой поверхности поля функций К.
Согласно § 147 все нормирования w поля А (х) дискретны,
т. е. существует наименьшее положительное значение w0, на
которое нацело делятся все остальные значения w (z). Поэтому
и нормирования W поля К дискретны.
Подобно тому как это делалось раньше, мы нормируем нор-
мирования U7 (г), потребовав, чтобы наименьшее положительное
значение W (г) было равно 1. При этом все W (z) окажутся це-
лыми числами. Нормированное таким образом нормирование
зависит только от плейса у и будет обозначаться через IF» или
просто через у. Для каждого плейса существует некоторая уни-
формизирующаял— элемент, для которого и7р(л)= 1. Целое число
U7p(z) называется порядком функции z относительно у. Если оно
равно положительному числу k, то говорят, что у —корень k-eo
порядка или k-кратный корень функции г. Если порядок—отри-
цательное число — h, то плейс у называется полюсом порядка — h
или h-кратным полюсом функции г.
548
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
Кольцо классов вычетов 3 = 3/р, согласно § 141, является
полем —полем классов вычетов нормирования. Оно содержит
поле Д* тех классов вычетов, которые представляются констан-
тами из Д*. Так как Д* и Д* изоморфны, то можно отождест-
вить Д* и Д* и рассматривать 3 как расширение поля Д*. Поле
констант Д* вновь оказывается расширением основного поля Д.
Докажем теперь следующее: поле 3 является конечным рас-
ширением поля Д.
Доказательство. Так как л не принадлежит полю Д*,
то этот элемент трансцендентен над Д, а потому К алгебраично
над Д (л). Поле К получается из Д (л) присоединением конечного
числа элементов, а потому К имеет некоторую конечную степень т
над Д(л).
Предположим, что существует т +1 линейно независимых над Д
классов вычетов ©j, ..., из 3- Выберем из этих классов
вычетов представители coj, ..., o>m+1, принадлежащие 3- Эти т ф-1
элементов должны быть линейно зависимыми над Д(л). Следова-
тельно, имеет место соотношение
fi (л)®1 4-... + /m+i(л) и„г+1 = 0, (2)
в котором fi (л), ..., fm+1 (л) — многочлены из Д [л], среди кото-
рых не все равны нулю. Можно предположить, что эти много-
члены не все делятся на л. По модулю р они сравнимы с неко-
торыми константами ..., ст+1; поэтому из (2) следует, что
с1(°1 • • • 4-cm+l<Bm+l = 0 (р)> ИЛИ tqGJ]-р-. . .-р-Ст+1(От.|! == О,
а это противоречит предположению о линейной независимости
элементов ®;. Поэтому поле 3 имеет над Д степень, не превос-
ходящую т.
Тем самым мы доказали, что 3 конечно над Д. Так как Д*
является подполем в 3, то Д* конечно над Д. Если поле Д
алгебраически замкнуто, тоЗ — Д* = Д.
Начиная с этого места, мы будем рассматривать не Д, а Д*
в качестве основного поля и поэтому всюду опустим звездочку.
Таким образом, мы будем считать, что Д алгебраически замкнуто в К.
Степень поля 3 над Д будет в дальнейшем обозначаться
через или просто через f. В классическом случае алгебраиче-
ски замкнутого поля констант f = 1.
Рассмотрим разложения элементов z данного поля К в степен-
ные ряды по некоторой униформизирующей л. Пусть (®1Т ...
..., &() — базис поля 3 над Д, и пусть — произвольный элемент
из класса вычетов Если теперь г —элемент порядка Ь, то zn ь —
элемент порядка 0, принадлежащий, следовательно, кольцу 3.
5 149]
РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
549
При этом
глй = cLcoL + • • • + Q®/ (р) (3)
с однозначно определенными коэффициентами из А. Разность
zn~ft-(c1co1 + ... + cfw/) (4)
является элементом из р, а потому некоторым кратным унифор-
мизирующей л:
гл ® -j-... -j-Су(ф г7л,
г = (CjCOj +. • • + Фы/) л* + г'лй+1.
Оставшееся в конце выражения слагаемое Zj=z'ns+1 имеет
порядок, больший или равный числу а потому к этому
слагаемому можно применить описанную процедуру. После s
шагов мы получим
Ь -}- s — 1
г= У, (с*!*»! 4-... л* + zs>
k — ь
где последнее слагаемое имеет порядок, больший или равный
числу При s —> оо остаточный член zs стремится к нулю, и
мы получаем
z= У, (сисо1 + ... + ^/со/)л* (5)
с однозначно определенными коэффициентами cki. Первый пока-
затель степени b может оказаться отрицательным, но всякий раз
слагаемые с отрицательным показателем будут входить в ряд (5)
лишь конечное число раз.
Описанную процедуру можно модифицировать, взяв вместо ль
произвольный элемент лй порядка b и записав для гль 1 сравне-
ние вида (3). Тогда вместо (5) получится некоторое разложение
в ряд по элементам лй:
2= У (Q1w1 + -• •+с*/ю^)л*. (6)
k = ь
В (6) символы лй обозначают произвольно фиксированные
функции порядка k. Коэффициенты с*/ из А вновь определены
однозначно.
Доказанная в § 148 аппроксимационная теорема может быть
теперь переформулирована для функциональных полей:
I. Если для конечного множества плейсов р произвольно заданы
конечные куски рядов (5), то в поле К всегда существует функ-
ция г, у которой разложения в ряд относительно этих плейсов
начинаются с заданных частей ряда.
Эту теорему называют теоремой о независимости
плейсов.
550
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
Далее, имеет место следующая теорема:
II. Любая отличная от константы функция z имеет конечное
число корней и полюсов.
Доказательство. Каждое нормирование W поля К является
продолжением некоторого нормирования w поля А (г). Есть только
два плейса поля А (г), относительно которых г может иметь поло-
жительный или отрицательный порядок: плейсы z = 0 и z = oo.
Только для этих плейсов соответствующие нормирования w отличны
от нуля. Каждое из этих нормирований w может быть продол-
жено лишь конечным числом способов до нормирований W поля Н.
Следовательно, существует только конечное множество плейсов
поля К, для которых W (z) =/= 0.
Тем же способом показывается, что каждая отличная от кон-
станты функция обладает по крайней мере одним корнем и по
крайней мере одним полюсом. Действительно, нормирование
поля A (z), соответствующее плейсу z = 0, соответственно плейсу
г = оо, может быть продолжено по крайней мере одним способом
до нормирования поля К. Отсюда следует
III. Функция z не имеющая полюсов, является константой.
Разложения в ряд (5) и (6) имеют место не только для эле-
ментов поля К, но и для элементов пополнения Действи-
тельно, если z —такой элемент и Ь — его порядок, то zn~b — эле-
мент нулевого порядка. Но такой элемент может быть как угодно
точно, т. е. с точностью до сколь угодно большого порядка,
аппроксимирован элементом у из 3. В этом случае достаточна
аппроксимация с точностью до порядка 1. Для элемента у вновь
имеет место сравнение
psc1w1 + ... + c/w/(p).
Разность у — (CjWj-f-.. . + cpty) должна, следовательно, делиться
на л, и, так как разность гл~ь — у тоже делится на л, то для
суммы этих разностей, т. е. для выражения (4), получается неко-
торое представление в виде кратного элемента л; процедуру
можно продолжить так же, как это делалось выше.
§ 150. Дивизоры и их кратные
Пусть К — снова поле алгебраических функций одной пере-
менной над полем констант А. В дальнейшем функции из К будут
обозначаться лишь буквами и, v, w, х, у, z, 6 и л.
Конечное множество плейсов р с произвольно приписанными
целыми показателями степени d определяют некоторый дивизор D
поля Н. Мы записываем D с помощью символа произведения конеч-
ного числа сомножителей:
(О
§ 150]
ДИВИЗОРЫ И ИХ КРАТНЫЕ
551
Сомножители в этом произведении могут переставляться про-
извольным образом. Если некоторый показатель степени d равен
нулю, то множитель рй в произведении D можно опустить. Если
все показатели степени d равны нулю, то мы пишем О = (1) и
называем такой дивизор единичным. Если все d 0, то D назы-
вается целым дивизором.
Два дивизора можно перемножить, складывая показатели
степени у одинаковых множителей р. Каждому дивизору D с пока-
зателями степени d можно сопоставить обратный дивизор D 1
с показателями степени —d, так что /)Ч> = (1). Тем самым диви-
зоры образуют абелеву группу — группу дивизоров поля К. Отдель-
ные плейсы р называются также простыми дивизорами. Они порож-
дают всю группу дивизоров.
Каждая функция г определяет некоторый дивизор
(г) = П
где d —порядок функции г относительно р. Таким образом, каж-
дой константе z соответствует единичный дивизор. Произведению уг
соответствует произведение дивизоров (z/) и (г):
(Уг) = (у) (г).
Степень простого дивизора р, т. е. степень’поля классов выче-
тов 3 = 3/Р над Д, будет постоянно обозначаться, как и в § 149,
через f. Сумма степеней входящих в (1) множителей
n(D) = Zdf
называется степенью дивизора D.
Вместо (z)D пишут просто zD. Функция z называется крат-
ной дивизора D, если zD1 — целый дивизор, т. е. если для всех
плейсов р данного поля имеет место неравенство
Wv(z)^d. (2)
Таким образом, кратными дивизора D являются те функции г,
для которых каждый плейс с d = /z>0 является корнем не
менее чем k-vo порядка, плейс с показателем d — — & —полюсом
не более чем k-ro порядка, а относительно остальных плейсов
эти функции остаются конечными, т. е. указанные плейсы
не являются их полюсами.
Кратные дивизора А1 образуют некоторый Д-модуль, который
будет обозначаться через ЭЛ (Л). Покажем, что ЭЛ (Л) имеет
конечный ранг над Д.
Пусть Л=ПР“ Так как в произведение входит лишь конеч-
ное число множителей р" с а>0, существует лишь конечное мно-
жество плейсов р, которые могут служить полюсами для кратной
552
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
дивизора А1 функции z. Разложение в степенной ряд функции
z относительно любого такого плейса может быть представлено
в виде
Z = (C-a,lW1 + ... + C-a,fWl)n~a + ..- ,
где w{ обозначают прежние
Число коэффициентов c.ij, соответствующих отрицательным
степеням пга, л-1, равно af для фиксированного плейса р;
следовательно, суммируя по всем полюсам р с а>0, получаем
™ = S af.
Докажем теперь, что существует не более /и 4-1 линейно неза-
висимых кратных г дивизора А
Действительно, если бы существовали т~\-2 таких кратных
zb ..., zm+2, то можно было бы построить линейную комбинацию
z = &iZ14-...4-bm+2zm+2 (3)
с постоянными коэффициентами, удовлетворяющую следующему
условию: все коэффициенты при отрицательных степенях в раз-
ложении функции z равны нулю. Это на самом деле т линей-
ных условий на т-Ь2 коэффициентов Ьъ ..., bm43. Каждое
линейное условие, связывающее коэффициенты Ь{, понижает ранг
модуля, состоящего из функций (3), не более чем на 1; следо-
вательно, функции z, которые удовлетворяют линейным условиям
с_/,7 = 0, составляют модуль, ранг которого равен или превосхо-
дит (m-|-2) —т = 2. Но эти функции z не имеют полюсов, и,
следовательно, в силу теоремы III из § 149 являются константами.
Константы составляют модуль ранга 1 над Д. Следовательно,
может существовать лишь т 4-1 линейно независимых кратных
дивизора А-1, т. е. ранг модуля ЭЛ (А) не превосходит ги4-1.
Цель последующего исследования состоит в определении
ранга I (А) модуля ЭЛ (А), т. е. числа линейно независимых крат-
ных дивизора А'1. Число /(А) называют также размерностью
дивизора А. Проведенное выше доказательство дает для целых
дивизоров А неравенство
Z(A)<n(A)4-l- (4)
Говорят, что дивизор А = ]j[ делится на дивизор B =
если АВ-1 —целый дивизор и, следовательно, а>:Ь для всех к
Само собой разумеется, что тогда п (А) п (В) и I (A) I (В).
Выведем теперь одно неравенство для разности п (A) —1(A).
Метод будет таким же, как выше. Пусть кратные дивизора А 1
имеют вид
z = byZi 4-... 4- btzh
(5)
§ 150]
ДИВИЗОРЫ И ИХ КРАТНЫЕ
555
где bt — константы и I = I (Л). Чтобы функция z принадлежала
не только Э)1 (Л), но и 3D1 (В), в разложении
+ + Л~аН-...
все коэффициенты при степенях л~а, л~о+1, ..., лЬ~1 должны
равняться нулю. Это дает для каждой точки (a — b)f линейных
условий и, следовательно, всего
£ (а - b) f = £ af - 2 bf = п (А) - п (В)
линейных уравнений для коэффициентов blt bt в (5). Каж-
дое линейное уравнение понижает ранг самое большее на 1;
следовательно,
/(В)^/(Л)-[/г(Д)-п(В)],
или
п(Л)-/(Л)=гп(.В)-/(В). (6)
Неравенство в (6) имеет место всякий раз, когда А делится
на В. Возьмем, в частности, А равным некоторому целому диви-
зору, а В = (1); тогда правая часть в (6) равна
0— 1 =—1,
и мы заново получаем неравенство (4).
Следующая теорема почти очевидна:
Если z 0, то модули ЭД (Л) и Э)1 (гЛ) имеют одинаковые
ранги:
l(zA} = l(A).
Доказательство. Если у1( .... yt — линейно независимые
кратные дивизора (сЛ)1 = г-1Л’1, то
У±г, • •, У:?
— линейно независимые кратные дивизора Л-1 и наоборот.
Дивизоры А и г А, отличающиеся лишь множителем (г), назы-
ваются эквивалентными. Итак, мы видим, что эквивалентные диви-
зоры имеют одинаковые размерности.
Задача 1. Пусть = — некоторый дивизор в поле рациональных
функций К = Д(х). Показать, что кратные дивизора Л-1 задаются равенством
г = /(«)П₽И’“'
где р (х)— неразложимые многочлены, которые, согласно § 147, соответствуют
простым дивизорам р, входящим в А и отличным от
Задача 2. На основании задачи 1 показать, что
I (А) = п (4)+ 1, если п(Д)5г0,
/(Л) = 0, если п(Л)<0.
554
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ XIX
§ 151. Род g
Пусть z —функция поля К, отличная от константы. Дивизор (г)
может быть представлен как частное двух целых дивизоров без
общих простых множителей р:
(z) = CDx. (1)
Дивизор С называется числителем, а дивизор D—знаменате-
лем функции г. Степень поля К над А (г) обозначим через п.
Степень дивизора С = Vе равна
n(C) = 2^;
соответствующим образом записывается степень дивизора D.
Докажем теперь важное равенство
п (С\=п (D) = п. (2)
Пусть р, р', ... — простые сомножители в дивизоре С = ]Дрс,
а с, с', ... — показатели степеней, в которых они входят в дан-
ный дивизор. Целая относительно плейса р функция и поля К
имеет относительно этого плейса разложение в ряд вида
и = S (aw^i + --- + a*/№/)nft. (3)
о
Отбросим часть ряда, начинающуюся после членов, содержа-
щих лс х; в результате получится сравнение
с — 1 f
и = У, У akiWinb (mod лс), (4)
k = о t = 1
аналогичные сравнения можно записать для плейсов р' и т. д.
В силу теоремы о независимости (I из § 149) существует cf
функций uki, начала разложений (4) которых относительно плейса р
состоят из одного слагаемого wytk, а относительно остальных
плейсов р', ... начала разложений равны нулю. Аналогично суще-
ствует c'f функций u'ki, начало разложения каждой из которых
относительно плейса р' состоит только из слагаемого w'in'k и т. д.
Мы утверждаем теперь следующее:
cf + c'f' +... = «(с) функций ukl, u'ki, ... линейно независимы
над \ (г).
Предположим противное: имеет место линейная зависимость
У, fki {2) uki 4- У f'ki (z) u'ki 4-... — 0, (5)
где fw, fki, ... — многочлены от z. Можно предположить, что
постоянные члены ckl, c’ki, ... этих многочленов не все равны
§ 151]
РОД g
555
нулю. Подставим в (5) вместо mw, u'kt, ... и в г разложения
в ряды (3) относительно плейса р и рассмотрим результат по
модулю лс, как это сделано в (4); тогда многочлены fM (г) перей-
дут в постоянные члены cki, функции uki — в функции кул*,
а остальные u’ki, ... — в нуль. Тем самым из (5) получается
с-1 t
k = 0 1 = 1
В силу единственности разложения в ряд (3) это соотношение
возможно лишь тогда, когда все cki = 0. Аналогично все c'ki должны
равняться нулю и т. д. Мы получили, таким образом, противо-
речие.
Из доказанной линейной независимости следует, что
пугп(С).
Точно так же доказывается, если всюду заменить z на г-1, что
n ys м (О).
Пусть теперь (ы1, ..., и„) — некоторый базис поля К над A (z).
Всегда можно предполагать, что Uj остаются конечными относи-
тельно тех плейсов, где конечна функция г. Действительно, если
iij имеет полюс относительно плейса р, относительно которого
функция г остается конечной, то этому полюсу соответствует
нормирование индуцирующее некоторое нормирование поля
A (z), отличное от нормирования wm, связанного с плейсом z = oo.
Отличные от wr_„ нормирования поля A (z) являются, согласно
§ 147, р-адическими, т. е. соответствующими неразложимым мно-
гочленам р = р (г), где каждый многочлен р относительно рассмат-
риваемого плейса имеет какой-то положительный порядок. Следо-
вательно, произведение pdUj при достаточно большом d уже не
имеет относительно р полюса. Так можно устранить последова-
тельно все полюсы функций и/, в которых конечна функция z:
достаточно умножить базисные элементы uf на подходящие мно-
гочлены ОТ Z.
Все полюсы функции z находятся в знаменателе D. Для доста-
точно большого tnt функция щ является, следовательно, кратным
дивизора Z)-"1*-1. Выберем далее число т, превосходящее все тр
гп-:- +1 (i = 1, ..., п).
Так как У, {т — mJ элементов поля К
(0 «У р < tn — mi)
000 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ XIX
линейно независимы над Д и являются кратными дивизора D т,
то они принадлежат модулю Э91 (Dm). Отсюда следует, что
У (m - m;) - I (Dm) - п (Dm) + 1,
или
пт — У mt ==g I (Dm) ^m-n(D) + \. (6)
Если устремить m к бесконечности, то из (6) получится соот-
ношение
однако раньше уже было доказано, что п п (£>), поэтому
n = n(D). (7)
Разумеется, имеет место и аналогичное равенство
п = п(С). (8)
Из (7) и (8) следует, что
n((z)) = n(CD !)=0. (9)
Из (9) следует далее, что
п(гА) = п(А), (10)
т. е. эквивалентные дивизоры имеют не только одинаковые размер-
ности I (Л), но и одинаковые степени п (Л).
Подставим (7) в (6); тогда получится соотношение
п (D) • т — У mt sg I (Dm),
или
n (Dm) -1 (Dm) sg mt. (11)
Если В —делитель дивизора Dm, то, согласно (6) из § 150,
имеем
п (В) -1 (В) щ п (Dm) -1 (Dm),
а потому в силу (11)
га(В)-/(В)=< т'- 0 2)
Пусть теперь Л — произвольный дивизор. Покажем, что (12)
имеет место и для Л. Для этого достаточно доказать, что суще-
ствует эквивалентный дивизору Л дивизор иА = В, который яв-
ляется делителем некоторой степени Dm.
Пусть р — простой множитель, входящий в Л = PJ prf с неко-
торым положительным показателем. Если все эти простые диви-
зоры р являются полюсами функции г, то уже сам Л является
делителем дивизора Dm и доказывать больше нечего. Если же
§ 152]
ВЕКТОРЫ И КОВЕКТОРЫ
557
некоторый р не является полюсом функции г, то так же, как и
выше, можно найти многочлен р = р (г), который имеет относи-
тельно плейса р положительный порядок. Умножив А на р-а,
устраним множитель в А. Так можно устранить все с d>0,
не являющиеся полюсами функции г. В конце концов получится
эквивалентный дивизору А дивизор В = иА, являющийся дели-
телем дивизора Dm, причем для В имеет место (12). Следова-
тельно, (12) имеет место и для А:
п(А)~1(А)-^Хт<- О3)
Словами: разность п (A) —1(A) ограничена для всех А.
Верхняя грань g множества чисел п (Л) — I (Л) -f-1 по всем
дивизорам Л называется родом поля К.
ДляЛ=(1) имеем: п (Л) — I (Л) = 0 — 1 =—1; следовательно,
g5s0. Таким образом, род g —это неотрицательное целое число,
числовой инвариант поля функций К.
По определению рода для всех А имеет место соотношение
n(A)-l(A) + l^g,
или
1(А)^п (Л) — g+ 1, (14)
где по крайней мере для одного дивизора Л имеет место знак
равенства. Неравенство (14) называется римановой частью тео-
ремы Римана — Роха.
Положим
ЦЛ) = п(Л)-£+1-Н(Л) (15)
и назовем число i (Л) индексом специальности дивизора А. Ди-
визор Л называется специальным, если ((Л)>0. Если не яв-
ляется специальным, то разность п (Л) — 1(A) имеет наибольшее
возможное значение — число g — 1. Существуют дивизоры Л, не
являющиеся специальными. Наша задача состоит в том, чтобы
вычислить индекс специальности i (Л) и тем самым полностью
доказать теорему Римана —Роха.
Задача 1. Поле рациональных функций К = А(г) имеет род нуль и
обладает простыми дивизорами степени 1.
Задача 2. Если поле К имеет род нуль и обладает простым дивизором )>
степени 1, то К является полем рациональных функций А (г). (Применить
к A = 'f> формулу (14).)
§ 152. Векторы и ковекторы
В разложении в ряд функций поля К относительно плейса V
в качестве коэффициентов при степенях униформизирующей л
встречаются выражения вида
V=C1W1 + ... + CjW/. (1)
558
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
Эти выражения (для каждого плейса р) образуют некоторое f-
мерное векторное пространство Lf над полем А.
Степенные ряды относительно плейса р можно теперь записать
в более простом виде:
V. = ^v^, (2)
а
или, если нужно выразить зависимость коэффициентов vk от
плейса р,
СО
= (3)
а
Если каждому плейсу р сопоставить степенной ряд (3) с про-
извольно заданными коэффициентами vfh из Lf, причем так, чтобы
во всех этих степенных рядах участвовало лишь конечное число
членов с отрицательными степенями, то получится система сте-
пенных рядов, называемая вектором V. Степенные ряды Ер на-
зываются компонентами вектора V. Независимо от специального
выбора униформизирующей л и базисных векторов Wi в (1), упо-
мянутые степенные ряды можно рассматривать как элементы
соответствующего плейсу р пополнения йц(р). Из этих элементов
Ер только конечное число могут иметь отрицательный порядок
(Ер); в остальном они выбираются произвольно.
Говорят, что вектор Е делится на дивизор D ~ ] ] если
ряд (3) относительно каждого плейса р начинается с па:
IEp(Ep)^d для всех р.
В частности, к числу векторов Е относятся функции и поля Н,
потому что каждая функция и относительно каждого плейса
может быть разложена в степенной ряд (3) и во все эти степен-
ные ряды входит в совокупности лишь конечное число членов
с отрицательными показателями.
Согласно § 21 по векторному пространству Lf можно построить
двойственное векторное пространство Df. Элементами простран-
ства Df являются линейные формы на Lf.
Для каждого элемента и = У) еда из Lt и каждого элемента а
из Df можно построить скалярное произведение
v • а = CjOij +.. . + с,ос^.
Аналогичным образом для бесконечномерного векторного про-
странства 33 векторов Е мы построим двойственное пространство
ковекторов X.
Если каждому плейсу р сопоставить последовательность
§ 152]
ВЕКТОРЫ И КОВЕКТОРЫ
559
(k — b, 6 + 1, ...) элементов из причем так, чтобы во всех
этих последовательностях вместе было только конечное число
отрицательных индексов k, то полученная система последователь-
ностей будет называться ковектором X. Скалярное произведение
вектора V и ковектора Л. определяется так:
S %--°w (4>
I) /+&=—1
Так как существует лишь конечное число элементов vVj с от-
рицательными / и лишь конечное число элементов aVk с отрица-
тельными k, то в сумму (4) входят лишь конечное число слагаемых.
Отдельные слагаемые — это скалярные произведения и-а, т е.
элементы из Д.
Операция X является отображением пространства S3 векторов V
в поле констант, обладающим следующими свойствами:
А) (У + №) + = V+ + № +,
Б) (сУ)Х = с(У +),
В) V • А, = 0, если только V делится на некоторый зависящий
только от X дивизор D.
Свойства А) и Б) очевидны. Чтобы доказать В), заметим, что
существует лишь конечное число плейсов р, для которых после-
довательность начинается с отрицательного индекса k
= — d. Если из этих плейсов составить дивизор с показателями d:
Я=ГЬ<
то получится утверждение В).
Совокупность всех векторов V, делящихся на дивизор D, на-
зывается окрестностью нуля в векторном пространстве S3. Таким
образом, свойство В) утверждает, что линейный функционал А
отображает некоторую окрестность нуля на нуль. Следовательно,
свойство В) —это некоторое свойство непрерывности.
Докажем теперь следующее:
Каждое отображение К пространства S3 на поле Д со свой-
ствами А), Б) и В) может быть задано с помощью последова-
тельностей {о+|-
Доказательство. Каждый вектор V может быть пред-
ставлен в виде суммы некоторого вектора, делящегося на D, и
конечного множества векторов Кр., содержащих в своих разло-
жениях относительно плейса р лишь слагаемое щД (все прочие
их компоненты — нулевые):
(У»,)» = шД,
= 0 Для р' =+ р или /' /.
560
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
При этом, как всегда, v = У, — некоторый элемент вектор-
ного пространства Ls. Если отображение -А, применить к опреде-
ленному выше вектору V^, то получится некоторый элемент
Vv/-K из А, зависящий линейно от v и, следовательно, представ-
ляемый в виде v-a, где а —некоторый элемент из Df. Элемента
мы обозначим через а^, где k определяется равенством
/ + * = -1.
Так как вектор не делится на D, то имеет место неравенство
j < d, так что k^ — d\ поэтому в последовательностях {aV/J
участвует в общей сложности лишь конечное число отрицатель-
ных индексов. Далее из А) и В) следует, что
2 vvj'avk'
V / р — — 1
что и доказывает требуемое.
На основании доказанного предложения ковекторы X можно
определить и как отображения векторного пространства 6 в поле
А со свойствами А), Б) и В). Такое определение инвариантно,
т. е. не зависит от выбора элементов wt и л.
§ 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности
С помощью ковекторов мы вычислим теперь индекс специ-
альности i (В). Прежде всего докажем две леммы:
Если дивизор D не является специальным, а дивизор А — крат-
ное дивизора D, то и А не является специальным.
Доказательство. Согласно (6) из § 150 имеет место
неравенство
п (А) -1 (A) Ss п (D) — 1(D).
Следовательно, если п (D) — I (D) равно максимальному воз-
можному значению g — 1, то и подавно п(А) — 1(A) имеет макси-
мальное возможное значение g — 1.
Следствие. Каждый дивизор В обладает кратным дивизо-
ром А, не являющимся специальным.
Доказательство. Пусть D — не специальный дивизор.
Выберем А как общее кратное дивизоров В и D. Из предыдущей
леммы сразу же получается нужное утверждение.
Положим A=PJpa и B = Пусть А —кратное диви-
зора В, так что b-s^a, и ЭЛ (В) s ЭЛ (А). Предположим, что ди-
визор В специальный, а дивизор А —нет. Тогда, конечно,
l(A)^n(A)-g+l, (1)
l(B) = n(B)-g+l+i(B). (2)
§ 153) ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. тёорема об ИНДЕКСЕ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 5б1
Так же, как в § 150, запишем ^(а — b)} линейных уравне-
ний, которым должен удовлетворять некоторый элемент из 3DI (Л)
вида
и = ftjUj -j- ... -|~ bjUi (3)
для того, чтобы принадлежать ЭЛ (В). Пусть разложение эле-
мента и относительно плейса р начинается так:
« = (с-о,1^1+ ••• +c-a,fWf)Tt-a; (4)
тогда (а — b) f условий-равенств для плейса р таковы:
c/v = 0 ( —a^j<5, 1 (5)
Коэффициенты cjv зависят, разумеется, от плейса р, так что
следовало бы писать c/v(p), но мы этого не делаем.
Если бы У, (a — b) f = п (А) — п (В) уравнений (5) были неза-
висимы, то выполнялось бы равенство
l(A)-l(B) = n(A)-n(B).
Но согласно (1) и (2) разность 1(A) —1(B) на i (В) меньше,
чем п (А) — п(В); следовательно, существует i (В) линейных за-
висимостей между левыми частями уравнений (5), т. е. суще-
ствует i (В) независимых соотношений
-ь-i f
s S<7vT/v = 0, (6)
р /=—av = l
которые должны иметь место для каждого элемента и из ЭЛ (А).
Уравнения (6) могут быть записаны в несколько более про-
стой форме, если сумму по f представить как скалярное про-
изведение
f
1
При этом, как всегда, оу = У cJvwv и Р/ = Р/ (р) — это набор
(уу1, У/f)- Чтобы сохранилась связь с предыдущими обозна-
чениями, ПОЛОЖИМ V/ = vvj и
= —!)•
Тогда (6) запишется в виде
= 2 (7)
у ,4-fe=z_i
где
b^k^a-1.
562 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. XiX
Заменим теперь А на некоторое его кратное
(a' Ss а).
Тогда
(В) s эл (Л) е ээг (Л').
Так как дивизор Л', будучи кратным дивизора Л, не яв-
ляется специальным, то существует i (В) линейно независимых
соотношений
Я' {СЛ’} = У. У vvf <4* = °> (8)
₽ /+&=-1
где bs^ks^a' — 1, выполняющихся для всех и из Э)? (Л')-
Соотношения R, а точнее, системы их коэффициентов {ар*}>
образуют некоторый Д-модуль ранга i (В). Точно так же соот-
ношения В' образуют Д-модуль ранга i (В).
Если в соотношении R' отбросить слагаемые с k>a — 1, то
получится некоторое соотношение R, выполняющееся для всех
и из ЭЛ (Л). С помощью этой «проекции» каждое соотношение
R' дает некоторое соотношение R и отображение R' ।—* R линейно.
Если бы ненулевое соотношение R' =/=0 при указанной проекции
переходило в R = 0, то это означало бы, что в R' существуют
слагаемые лишь с k~>a— 1, т. е.
— а' ‘ j < — а.
Любое такое соотношение R' выполнялось бы для всех и из
ЭЛ (Л'). Если мы опять выпишем уравнения, которым должен
удовлетворять элемент из ЭЛ (Л'), чтобы являться элементом из
(Л), то соотношение R' будет говорить о том, что между этими
п(Л') —п(Л) уравнениями имеется некоторая зависимость. Но
тогда должно выполняться неравенство
/ (Л') — Z (Л) <п (Л') —/г (Л),
а это невозможно, так как для Л' и для Л имеет место (1).
Следовательно, отображение R' ।—> R взаимно однозначное.
Оно изоморфно переводит модуль соотношений R' на некоторый
модуль того же ранга I {В) в модуле всех соотношений R, т. е.
на весь модуль соотношений R. Это означает следующее:
Каждое соотношение R может быть единственным образом про-
должено до некоторого соотношения R’.
Если теперь устремить показатель степени а' к бесконечно-
сти, начиная с о, и при этом каждый раз осуществлять продол-
жение соотношения Е, то получится однозначно определенная
бесконечная последовательность
(k — b, ...).
(9)
§ 153] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ. ТЕОРЕМА ОБ ИНДЕКСЕ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
563
То же самое можно сделать для каждого плейса р. В резуль-
тате получится система последовательностей (9) для всех плейсов
р, т. е. некоторый ковектор А. Но тогда соотношения (8) можно
переписать в следующем виде:
и-^ — 0. (10)
Соотношение (10) имеет место для всех элементов и из &Л(А')-
Для каждой функции и из данного поля можно найти такой
дивизор А', который делится на дивизор В и на дивизор («-1).
Но тогда иА'— целый дивизор, т. е. функция и принадлежит
модулю Э)?(/Г), а потому удовлетворяет соотношению (10). Следо-
вательно, соотношение (10) имеет место для всех функций и поля К.
Так как имеется i (В) линейно независимых соотношений R,
то существует i (В) линейно независимых ковекторов К, опре-
деленных с помощью (9) и обладающих свойством (10). Следуя
А. Вейлю, введем теперь понятие дифференциала:
Определение 1. Ковектор А со свойством (10) для всех
и из К называется дифференциалом поля К.
Связь дифференциалов Вейля с дифференциалами классической
теории функций будет описана в § 156.
Определение 2. Ковектор X называется кратным диви-
зора B = J[p6, если в определении этого ковектора участвуют
ctp* лишь с kH-b.
Из определения ковектора немедленно следует утверждение:
для каждого ковектора А существует такой дивизор В, что А
является кратным этого дивизора.
На основании определений 1 и 2 можно следующим образом
резюмировать доказанное в этом разделе:
Теорема об индексе специальности. Индекс спе-
циальности i (В) равен числу линейно независимых дифференциа-
лов А, кратных дивизору В.
Определение 3. Дифференциал называется всюду конечным
или дифференциалом первого рода, если он является кратным
единичного дивизора (1), т. е. если все с отрицательными
индексами k равны нулю.
Чтобы подсчитать число линейно независимых дифференциалов
первого рода, нужно лишь применить теорему об индексе спе-
циальности к дивизору В = (1). Формула (15) из § 151 дает
i (1) = / (i)-n(l)+g-1 = 1 — O-f-g —1 = g.
Отсюда следует: число линейно независимых дифференциалов пер-
вого рода равно роду g данного поля.
Другое применение теоремы об индексе специальности мы
получаем тогда, когда выбираем дивизор В равным дивизору
С-1, где С — некоторый целый дивизор, отличный от единичного.
564 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ XIX
В этом случае I (В) = 0, потому что единственной функцией,
кратной целому дивизору В'1 —С, является нуль. Далее п (В) =
~ — п (С), а потому
i(C-i)=n(C) + g-1. (11)
В частности, возьмем С = р", так что В = р_”; тогда п (С) —
— nf, и мы получаем соотношение
i(p-")=nf+g-l. (12)
Итак, имеет место утверждение:
Если f — степень простого дивизора р, то существует nf + g — 1
линейно независимых дифференциалов, являющихся кратными диви-
зора р-л.
Задача 1. Пусть основное поле А алгебраически замкнуто. Тогда, кроме
дифференциалов первого рода, не существует дифференциалов, кратных диви-
зору р-1, т. е. не существует дифференциалов лишь с одним простым полюсом р.
Задача 2. При тех же предположениях для каждого п> 1 существует
элементарный дифференциал второго рода со (рл), который имеет относительно
плейса р полюс п-го порядка. Каждый дифференциал, являющийся кратным
дивизора р~га, может быть получен как линейная комбинация дифференциалов
со (р2), со (р3).со (ри) и g линейно независимых дифференциалов первого рода.
Задача 3. При тех же условиях для любых двух плейсов р! и р2 суще-
ствует элементарный дифференциал третьего рода co(pj, р2), который имеет
относительно pj и р2 простые полюсы. Каждый дифференциал может быть пред-
ставлен как линейная комбинация элементарных дифференциалов второго и
третьего рода и дифференциалов первого рода.
§ 154. Теорема Римана — Роха
Теперь мы у цели. Прежде всего определим произведение uk,
составленное из некоторой функции и и некоторого ковектора X.
Произведение определяется как линейное отображение из 23 в А:
V-uk—Vu-K. (1)
Очевидно, операция -иК обладает свойствами А), Б) и В) из
§ 152, а потому с помощью (1) оказывается определенным неко-
торый ковектор иХ.
Если К —дифференциал, то и и/.— дифференциал:
v • = = 0 для всех v.
Следующие вспомогательные утверждения почти очевидны:
Лемма 1. Если А. — кратное дивизора D = J^[ ф'7, то V • Л, = О
для всех векторов V, делящихся на D-1, и наоборот.
Доказательство. Пусть ковектор К задается последова-
тельностями Если X — кратное дивизора D, то в эти после-
довательности входят лишь индексы k^=d. Если, далее, вектор V
§ 1541
ТЕОРЕМА РИМАНА - РОХА
565
задается степенными рядами
= (2)
и V делится на D\ то в степенные ряды (2) входят лишь сла-
гаемые с j^ — d. Скалярное произведение
у.Х= 2 v^, (3)
/+fe=-i
равно нулю, так как сумма / + /г никогда не обращается в —1.
Обратно, если V-X = 0 для всех делящихся на Z)-1 векторов V,
то в последовательность j могут входить лишь члены с feSad,
а потому X —кратное дивизора D.
Лемма 2. Если X является кратным дивизора D, то и/.—
кратное дивизора uD.
Доказательство. Согласно лемме 1 равенство V • К = О
имеет место всякий раз, когда V делится на D\ поэтому Vu -А==0
всякий раз, когда Vu делится на D~l, т. е. V-uA = 0, если V
делится на (uDy1.
Пусть теперь — некоторый дифференциал. Согласно § 153
существует дивизор D, на который делится А. Пусть В = р~л, где
р — некоторый простой дивизор степени f. Дивизор В-1!) = \VD
имеет степень
п (JB-'D) — nf + n(D).
Число линейно независимых кратных и дивизора BD~\ в соот-
ветствии с римановой частью теоремы Римана — Роха, удовлетво-
ряет неравенству
l(B-iD)^nf+n(D)-^+l. (4)
Если и — кратное дивизора BD1, то uD — кратное дивизора В.
Согласно лемме 2 «X —кратное дивизора uD, а потому ик~ крат-
ное и дивизора В. Общее число линейно независимых дифферен-
циалов, являющихся кратными дивизора В, равно i (В). Следова-
тельно, из (4) получается
nf + n(D)-g + l^i(B). (5)
Для п>0, согласно (12) из § 153, имеет место равенство
i (В) = + 1. (6)
Подставим это в (5); тогда получится
n(O)^2g-2. (7)
Таким образом, степень дивизора D ограничена сверху. Следо-
вательно, для заданного дифференциала А существует некоторый
максимальный дивизор DK такой, что А является кратным диви-
зора DK, но не является кратным никакого другого дивизора
566
АЛ1 ЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
типа гДе [.'' — произвольный простой дивизор. Однозначно
определенный максимальный дивизор D}, являющийся кратным
дифференциала л, называется дивизором дифференциала А,.
Докажем теперь следующее:
Все дифференциалы ® имеют вид iA, где X — произвольно фик-
сированный дифференциал.
Доказательство. Предположим противное: существует
дифференциал со, который не представляется в виде tA. Тогда
uk^=vv> для всех функций нищ отличных от 0. (8)
Как было показано после соотношения (4), существует по
меньшей мере
линейно независимых дифференциалов ик, кратных дивизору
В = уп. Равным образом существует по меньшей мере
nf+n(D^-gA-\
линейно независимых дифференциалов ио, кратных дивизору В.
Все эти дифференциалы независимы, потому что никакая линейная
комбинация дифференциалов иК не равна линейной комбинации
дифференциалов ио. Следовательно, при сделанном предположении
существует всего
2nf + const
линейно независимых дифференциалов, кратных дивизору В. Но
согласно (6) существует всего лишь nfA-q — 1 таких дифферен-
циалов. Для больших значений п в полученном результате заклю-
чено противоречие. Следовательно, все дифференциалы имеют вид «А,
что и утверждалось.
Заменим теперь В на произвольный дивизор А и вновь зада-
димся вопросом: сколько существует линейно независимых диф-
ференциалов со = цХ, являющихся кратными дивизора А? Если
«Л —кратное дивизора А, то А — кратное дивизора и1 А, и, следо-
вательно, максимальный дивизор делится на м^А, а потому
uD-,. делится на А; следовательно, и —кратное дивизора AD^.
Обратно, если и — кратное дивизора АЕД1, то, обращая рассужде-
ния, получим, что ик — кратное дивизора А. Таким образом, имеет
место равенство
г(А) = /(А-ФД. (9)
Если это подставить в (15) из § 151, то получится основной
результат:
Теорема Римана —Роха. Если А —произвольный дивизор
поля Н и X — произвольный ненулевой дифференциал, то
ЦА) = н(А)-£+1 + ЦА-Д)Д. (10)
§ 1541
ТЕОРЕМА РИМЛНА — Р0ХЛ
567
Вот несколько дополнений к сказанному.
1. Положим Д = (1); тогда из (9) или, если угодно, из (10)
следует, что
/(Z)x)=g- (П)
2. Положим Д—тогда из (10) следует, что
п(ОД^2ё-2. (12)
3. Если X — некоторое кратное дивизора/), то иК — кратное
дивизора uD и наоборот. Следовательно, если —дивизор диф-
ференциала Л., то uDK — дивизор дифференциала «Л. Дивизоры
D , дифференциалов o> = zA тем самым оказываются экви-
валентными. Класс дивизора называется классом дифферен-
циалов или каноническим классом.
4. Более общее утверждение: любой класс дивизоров состоит
из дивизоров вида и А, эквивалентных произвольно взятому в классе
дивизору А. Все дивизоры и А данного класса имеют одну и ту же
размерность I (Д) и одну и ту же степень га (Л); поэтому I (Д)
называется размерностью класса, а га (Д) — степенью класса.
Размерность класса {Д} можно определить следующим обра-
зом. Если и делится на А1, то нД—целый дивизор. Следова-
тельно, элементам и модуля Д? (Д) соответствуют целые диви-
зоры и А класса {Д}. Если функции ult ..., иг линейно независимы,
то дивизоры UjA, ..., игА называют линейно независимыми. Ранг I (Д)
модуля Э.Л (Д) является, следовательно, максимальным числом
линейно независимых целых дивизоров класса {Д|.
5. Если га(Д)<0, то не может существовать целый дивизор,
эквивалентный дивизору Д; поэтому /(Д) = 0.
6. Если га(Д)>2§' —2, то га (Д 1£>Д<0; следовательно,
I (Д ЮД = 0 в силу 5. Отсюда в силу (9) следует, что i (Д) =0.
Итак:
Дивизор А, для которого га(Д)>2§ —2, не является спе-
циальным.
Задача 1. Существует только один класс {4}, для которого l(A)O--g
и n(A)=2g— 2; это канонический класс.
Задача 2. Любой целый дивизор В, для которого I (В) > g, не является
специальным.
Тем самым построение общей теории для произвольного основ-
ного поля А окончено.’ В заключение мы опишем связь этой теории
с классическим вариантом, когда А считается полем комплексных
чисел. Для этой цели нам придется сначала рассмотреть несколько
вопросов, связанных с сепарабельностью.
Общая теорема Римана —Роха переносится также на тела, являющиеся
конечными расширениями того или иного поля рациональных функций А (г).
См. Витт (Witt Е.). Riemann —Rochseher Satz und g-l'unktion im Hyper-
komplexen. —Math. Ann., 1934, 110, S. 12.
568 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ х!х
§ 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей
Полем алгебраических функций от г переменных называется
любое конечное расширение Н поля Д(хь хг) рациональных
функций от г алгебраически независимых переменных xlt ..., хг.
Если поле Н порождается над полем Д (хь ..., хг) элементами
х,+1, ..., хп, то
К = Д(х1, х„ хг11, х„),
где все х( — алгебраические функции независимых переменных
хх, ..., хг.
Для такого сорта расширений имеет место
Теорема о сепарабельной порождаемости. Если
поле констант Д совершенно, то элементы xlt ..., хп можно
перенумеровать так, что все xt станут сепарабельными алгебраи-
ческими функциями от независимых переменных хг, ... ,хг.
Доказательство. Проведем индукцию по п при фикси-
рованном г. Случай п = г тривиален. Пусть поэтому п>г и
утверждение считается верным для поля Н(хп ..., x„~i). В этом
случае мы можем предположить, что хъ ..., xn-i — сепарабельные
функции от хх, ..., хг.
Элемент хп во всяком случае является алгебраической функ-
цией от хь ..., хг и поэтому удовлетворяет некоторому уравнению
f (xlt ..., х„ хп) = 0, (1)
которое может предполагаться целым рациональным по всем
переменным х,. Если элементы поля хъ ..., хг и х„ заменить на
переменные Xn . ..,ХЛ и Хп, то f (Хх, ..., Х„) как многочлен
от Хп можно считать неразложимым. Если f разложим как мно-
гочлен от Хх, ..., Х„, то один из множителей должен содержать
только Х1( ..., Хг. Разумеется такой множитель можно всегда
удалить из уравнения (1) Следовательно, можно предполагать,
что f неразложим и как многочлен от Хг.
Если элемент х„ сепарабелен над Д (х1; ..., хД то доказывать
нечего. Если же хп несепарабелен, то характеристика рассматри-
ваемого поля — некоторое простое число р и многочлен f содер-
жит лишь такие степени переменной Хп, которые могут быть
записаны как степени элемента Хр. Если бы то же самое было
верным и относительно входящих в многочлен / элементов Х1( ...
..., Хг, то выполнялось бы равенство
f = • • • XpSrXpnSn. (2)
Но в совершенном поле Д каждый элемент as является неко-
торой /^-степенью:
as = bp-
§ 156J
КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
569
Следовательно, оказывалось бы выполненным равенство
Это, однако, невозможно, потому что / — неразложимый мно-
гочлен. Таким образом, некоторая из переменных Хъ .... Хг,
скажем должна входить в данный многочлен f в такой сте-
пени, которая не делится на р.
Из (1) теперь следует, что х± — некоторая сепарабельная алге-
браическая функция от х2, ..., хг и хп. Все хг зависят от хх ...
.хг, а также от хп, х2, хг. Так как степень трансцендент-
ности поля А (х1( ..., г„) равна г, элементы хп, х2, .... хг незави-
симы. Поле А (хь ..., х„) сепарабельно над полем A (хь ..., хг),
а последнее сепарабельно над А(х„, х2, .... хг), так что все хг
сепарабельны над А(хя, х2, хг). Если теперь изменить нуме-
рацию элементов хг, переставив номера 1 и п, то получится тре-
буемое.
Для несовершенных полей А. Вейль установил необходимое и достаточное
условие сепарабельной порождаемое™. См. по этому поводу мою работу Uber
XVeil's Neubegrtindung der algebraischen Geometric. — Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 1958, 22, S. 158.
§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае
В классической теории функций рассматриваются абелевы
интегралы
w dz,
где z —независимая переменная, т. е. функция, не являющаяся
константой, a w — произвольная функция поля К. Переход к лю-
бой другой переменной t осуществляется с помощью формулы
С wdz = ( w^rdt.
J J dt
В алгебраической теории можно отбросить символ интеграла
и рассматривать только абелевы дифференциалы wdz. Замена на
новую переменную t вновь осуществляется с помощью формулы
w dz = w -%z dt.
dt
Здесь выражение — обретает смысл, если считать, что эле-
мент z сепарабелен над А(/) (см. § 76). По этой причине оказы-
вается целесообразным ограничиться лишь такими переменными t,
для которых поле К сепарабельно над А(^). Такие t существуют,
если поле К сепарабельно порождено и, в частности, если поле
А совершенное.
570
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДПОП ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ XIX
Ради простоты мы будем предполагать, что поле А алгебраи-
чески замкнуто. Читателю предоставляется возможность перене-
сти описываемую здесь теорию на произвольные совершенные
поля констант.
Пусть переменная z раз и навсегда выбрана так, что поле К
является сепарабельным расширением поля А (г). Чтобы исследо-
вать поведение дифференциала wdz относительно некоторого
плейса р, выберем униформизирующую л относительно этого плейса
и разложим z в степенной ряд:
z = Р (л) = cknk. (1)
Неразложимое соотношение F (z, л)=0, связывающее элементы
z и л, должно выполняться, если вместо z подставить степенной
ряд Р (л):
Р(Р(л), л) = 0. (2)
Теперь слева стоит некоторый степенной ряд от л, все коэф-
фициенты которого равны нулю. О 'и остаются нулевыми и после
формального дифференцирования этого ряда, если определить
формальную производную степенного ряда Р (л) равенством
Таким образом, из (2) после дифференцирования, а затем подста-
новки вместо Р (л) снова элемента z, получается равенство
F'z (z, л) • Р' (л) 4- F'n (z, л) = 0, (3)
в котором F'z и Тд обозначают частные производные от F по z и л.
Так как элемент л сепарабелен над A (z), то обязано выпол-
няться соотношение Р'л (г, л) 4= 0. Согласно (3) элемент F'z (z, л)
не может быть равным нулю, так что элемент z сепарабелен над
А (л). Таким образом, дифференциальное частное определено
и удовлетворяет уравнению
С'(г, л)~ + /4(г, л)-0. (4)
Сравнение (3) с (4) дает
А. р’ (л) == 2 kc^1. (5)
Следовательно, сепарабельная переменная г дифференцируема
по каждой униформизирующей относительно любого плейса и
степенной ряд для соответствующего дифференциального частного
получается почленным дифференцированием степенного ряда для
самой переменной z.
§ 156]
КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
571
Теперь дифференциал w dz может быть выражен через уни-
формизирующую л:
wdz = w-^-dn. (6)
Конечно, степенной ряд для w -^-есть произведение степен-
ного ряда для w на степенной ряд (5). Пусть в результате по-
лучается
= (7)
Если в ряд (7) не входят степени с отрицательным показате-
лем, то говорят, что дифференциал wdz остается конечным отно-
сительно плейса р. Если в указанный ряд входят только положи-
тельные степени и наименьший показатель среди них равен а,
то говорят, что плейс р является корнем а-го порядка для дан-
ного дифференциала. Если же входят степени с отрицательными
показателями, то плейс р — полюс для данного дифференциала.
Порядок дифференциала в плейсе р —это наименьший показатель
степени k среди степеней униформизирующей, участвующих в
рассматриваемом ряду с ненулевыми коэффициентами арй. Оче-
видно, все эти понятия не зависят от выбора униформизиру-
ющей.
Полюсы дифференциала w dz следует искать среди полюсов
элементов w и г; действительно, там, где w и г конечны, диффе-
ренциал wdz не может иметь полюса. Следовательно, каждый
дифференциал wdz имеет лишь конечное число полюсов.
Вычетом дифференциала wdz относительно плейса р называ-
ется коэффициент при л'1 в разложении (6). В классической тео-
рии вычет можно получить, проинтегрировав дифференциал w dz
по маленькой окружности на римановой поверхности с центром
ври разделив результат на 2ni. Докажем общий факт: вычет
не зависит от выбора униформизирующей.
Степенной ряд (6) может быть представлен как сумма трех
видов слагаемых: слагаемые с k < — 1, одно слагаемое с k=—1
и некоторый степенной ряд без отрицательных показателей сте-
пеней. Разумеется, этот последний степенной ряд имеет вычет,
равный нулю, и поэтому в рассмотрениях может быть отброшен.
Слагаемое дает вычет а_х, и легко увидеть, что диффе-
ренциал
О-хЛ-1 dn,
представленный через новую униформизирующую т, имеет тот
же самый вычет Следовательно, достаточно рассмотреть лишь
слагаемые
л~" dn
(«> 1)
(8)
672
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ XIX
(9)
и доказать, что при преобразовании
л = т + а2х2 +...,
dn = (1 + 2а2т +...) dt
здесь снова получается нулевой вычет.
Преобразование (9) можно совершенно формально перенести
на область степенных рядов от т с коэффициентами из области
целочисленных многочленов от переменных а2, а3, ... Кольцо
целочисленных многочленов может быть погружено в кольцо
многочленов с рациональными коэффициентами. При этом рацио-
нальные числа составляют поле характеристики нуль, тогда как
исходное поле коэффициентов А может иметь характеристику р.
Теперь провести доказательство уже легко. Дифференциал (8)
является дифференциалом функции
(— П-\- 1) 1 Л"л+1.
Если эту функцию разложить по степеням т, то получится
степенной ряд
Р-« цТ-л+* +... + р -хт-1 + р0 + Р1т +...
Дифференциал этого степенного ряда является умноженным
на dx степенным рядом, в который не входит слагаемое с т-1.
Следовательно, вычет после преобразования остался нулевым,
чю и требовалось доказать.
Все эти рассмотрения сохраняют силу и тогда, когда ш яв-
ляется не функцией из поля, а некоторым степенным рядом от л,
который содержит лишь конечное число слагаемых с отрицатель-
ными показателями.
Пусть теперь V — некоторый вектор в смысле § 152, т. е.
некоторая система степенных рядов для отдельных плейсов р.
Мы можем разложить произведение
Vw dz
относительно каждого плейса р в степенной ряд, умноженный
на dn, и определить вычет. Если
= (Ю)
— ^-компонента вектора V и
—- разложение дифференциала, то вычет равен
Д “ S vv/afk. (12)
/+*=-!
§ 156]
КЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
573
Так как вектор V и дифференциал wdz имеют лишь конеч-
ное число полюсов, то существует лишь конечное множество от-
личных от нуля вычетов гр. Поэтому мы можем составить сумму
этих вычетов:
= S vwafk-
р р /+&=-!
Эта сумма представляет собой скалярное произведение век-
тора V и ковектора
Ч«р/1 (13)
в смысле § 152. Итак, мы получили следующий результат:
Каждый дифференциал wdz однозначно определяет некоторый
ковектор для которого скалярное произведение V X равно в точ-
ности сумме вычетов произведения Vw dz
S О4)
p p i+k=-i
Выясним теперь, как изменится это скалярное произведение,
если вектор V заменить на некоторую функцию v поля К. Ска-
лярное произведение К-Х будет тогда равно сумме вычетов диф-
ференциала
vwdz — u dz,
где и — некоторая функция данного поля. Имеет место следующая.
Теорема о вычетах. Сумма вычетов дифференциала udz
всегда равна нулю.
В классической теории функций эта теорема немедленно сле-
дует из теоремы Коши об интеграле. Общее же доказательство,
справедливое для совершенных полей констант, предложил
Хассе1). Упрощенный вариант доказательства Хассе мы изло-
жим в § 157, следуя И. Рокетту.
Из теоремы о вычетах следует, что ковектор X, определенный
через дифференциал w dz, является дифференциалом в смысле
А. Вейля.
В частности, dz также определяет некоторый дифференциал
в смысле Вейля; мы сохраним в этом случае обозначение dz.
Этот дифференциал отличен от нуля, потому что легко найти
вектор V, для которого V dz имеет отличную от нуля сумму
вычетов. Достаточно выбрать такой вектор V, чтобы при усло-
вии, что dz имеет относительно плейса р порядок т, компо-
нента Кр была равна л-т-1, а остальные компоненты были равны
нулю.
!) Hasse Н. Theorie der Differentiate in algebraischen Funktionenkorpern, —.
J. reine und angew. Math., 1934, 172, S. 55.
574 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. XtX
Из того факта, что дифференциал, определенный с помощью
dz, отличен от нуля, следует в соответствии с § 154, что все диф-
ференциалы со получаются из этого дифференциала умножением
на некоторую функцию и. Другими словами:
Все дифференциалы в смысле Вейля являются классическими
дифференциалами и dz.
§ 157. Доказательство теоремы о вычетах
Следующим ниже доказательством я обязан любезному сооб-
щению П. Рокетта. Оно проходит для любого совершенного основ-
ного поля, но здесь излагается только для случая, когда поле
алгебраически замкнуто.
Пусть опять элемент г выбран так, что Н сепарабельно над
Д(х). Положим L = A(z); тогда К —конечное сепарабельное рас-
ширение поля L, и мы можем положить K = Z.(S).
Если в (1) из § 145 сравнить слева и справа коэффициенты
при tn-1 и /°, то получится
ДД0) = П^(М>. (!)
S(9) = £S(9V). (2)
Такие же формулы имеют место не только для порождающего
элемента 9, но и для произвольного элемента и из К. Чтобы
в этом убедиться, вычислим сначала норму и след элемента и
в поле L{u). Обозначим их соответственно через n(u) и s(u);
тогда для и имеют место соотношения, которые выше были дока-
заны для 9:
п («) = п (иф), (3)
5 («) = .S $ («v)- (4)
Применим теперь формулы (16) и (17) из § 47; получится:
N (и) = п (u)s, (5)
S(u)=g-s(u), (6)
где g — степень поля Н над L(u). Таким образом, имеют место
общие формулы:
tf(«) = [pM (7)
S(u) = ^S(uv). (8)
Посмотрим, как определяются элементы 6V и uv. Согласно
§ 145 нормирования Фх поля К, продолжающие заданное норми-
рование <р поля L, определяются вложениями 9 >—* 8V. Каждое
§ 157]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕ0РМЫ О ВЫЧЕТАХ
575
такое вложение изоморфно отображает поле К = L (0) в некоторое
полное нормированное поле £2V = £2 (0V) — пополнение поля К от-
носительно нормирования Ov.
Будем говорить не о нормированиях, а о плейсах. Плейсы
поля К будут обозначаться через р, а плейсы поля Б —через q.
Если нормирование поля К, соответствующее плейсу р, является
продолжением некоторого нормирования поля L, соответствующего
плейсу q, то мы называем р делителем плейса q и пишем p|q.
Каждый плейс q имеет лишь конечное число делителей pv, соот-
ветствующих множителям FV(Z) в (1) из § 145. Каждому плейсу pv
соответствует пополнение £2V, состоящее из степенных рядов по
униформизирующей П этого плейса. Если каждой функции и
сопоставить ее степенной ряд uv, то получится описанный выше
изоморфизм 6 н-* 0V, и i— «у-
Норма N (wv), построенная в £2V над полем £2, называется
также локальной нормой функции и относительно плейса р = pv
и обозначается через (и). То же самое можно сказать и о следе.
Формулы (7) и (8) могут быть теперь записаны так:
(9)
v, о
0°)
Но
Вектор V над полем Н был определен как система компо-
нент Уг, каждая из которых сопоставлена своему плейсу р. Мы
можем определить след SV произвольного вектора V как неко-
торый вектор над полем L, удовлетворяющий равенству
по
ж
Следы в правой части при этом берутся в пополнениях £2p = £2v
над Q. В частности, возьмем в качестве V вектор, соответст-
вующий какой-нибудь функции и; тогда в силу (10) след SV
будет равен S (и).
Взятие следа V ।—является линейным отображением
модуля ?) (К) всех векторов над Н в модуль g)(L) векторов над
L. Поэтому существует двойственное отображение S* модуля
3)* (L) ковекторов над L в модуль §)* (К) ковекторов над К, ко-
торое определяется следующим образом:
V'S*p — SE-p для всех V. (12)
В частности, если р — дифференциал в смысле Вейля, т. е.
v.p = 0 для всех v из L, то S*p —тоже дифференциал в смысле
576
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
Вейля:
и • S*p = Su р =* О для всех и.
Мы докажем теорему о вычетах сначала для поля рациеналь-
ных функций L = A(z). Пусть v dz — классический дифференциал
в L. Рациональная функция
распадается прежде всего в сумму некоторого многочлена и дроби,
у которой степень числителя меньше степени знаменателя:
Дифференциал q(z)dz не имеет вычетов. Униформизирующая
относительно плейса z = co равна y = z-1 и
q (z) dz = (2 c*zfe)) dz = 2 (— сД y~k-2 dy,
а в это выражение не входит ни одно слагаемое с t/-1.
Оставшаяся дробь, согласно § 36, может быть разложена на
простейшие дроби:
(г-а^ + .-. + сДг-а)-5}.
а
Следовательно, достаточно доказать теорему о вычетах для
одной простейшей дроби с(г —а)~*. При вычетов нет совсем,
так что достаточно рассмотреть лишь дифференциал
с (z — a)-1 dz.
Относительно плейса z — a этот дифференциал имеет вычет с,
а относительно плейса г = со — вычет — с. Сумма вычетов, таким
образом, равна нулю, и теорема в этом случае доказана.
Общий случай теоремы о вычетах сводится к рассмотренному
выше случаю L = А (г) с помощью отображения, двойственного
к взятию следа.
Вычет дифференциала udz относительно плейса р обозначим
через res,, {и dz). Если V —вектор, то вычет произведения V dz
обозначим через resp(l/dz).
На основании формулы (14) § 156 дифференциал dz опреде-
ляет некоторый ковектор X, который мы обозначим через
Следовательно, для каждого вектора V имеет место равенство
V • Ki* = У, respE dz. (13)
Р
§ 157]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ
577
Назовем два ковектора /. и pi почти равными, если в опреде-
ленных с помощью (4) из § 152 произведениях Е-Х и У'Р сла-
гаемые, соответствующие отдельным плейсам р, соответственно
равны (для всех 7), за исключением, быть может, конечного
множества плейсов р'. Имеет место
Теорема. Существует дифференциал Вейля и^-, который
почти равен Этим свойством определяется однозначно.
Доказательство. Дифференциал dz определяет в поле
рациональных функций Ь = А(г) некоторый ковектор Хо. Так как
в L имеет место теорема о вычетах, то Хо является дифферен-
циалом Вейля. Тогда и S* (Хо) — дифференциал Вейля. Обозначим
его через
= (Хо).
Каждому плейсу р поля К соответствует некоторый плейс q
поля L. Если униформизирующая г —а или г-1 относительно
плейса q одновременно является униформизирующей относительно
р, то говорят, что плейс р не разветвлен над L. Тогда можно
положить П = г — а (или П = г-1). Пополнение Qr, соответствующее
плейсу р, в этом случае просто равно полю Q степенных рядов
от z — a и вычет степенного ряда относительно р равен вычету
относительно q.
Почти все плейсы р, т. е. все, кроме конечного числа, не раз-
ветвлены в L. Действительно, если К = L (0) и F (z, f) — неразло-
жимый по t многочлен с корнем 0, то можно рассматривать F
как многочлен от z и t. Дискриминант многочлена F является
многочленом от г, который имеет лишь конечное множество кор-
ней. Для всех остальных значений г = а многочлен F (a, f) раз-
лагается в произведение различных неразложимых множителей:
F (a, i) = c(t-b1)...(t-bn).
Отсюда в силу леммы Гензеля (§ 144) следует, что F (z, t) в пол-
ном поле степенных рядов по г —а полностью разлагается на
линейные множители. В разложении (1) из § 145 все множители
Fv (/) являются, таким образом, линейными и все поля QV = Q(6V)
равны й. Но тогда z — a является униформизирующей относи-
тельно всех плейсов, отвечающих этим полям. Следовательно, все
эти плейсы не разветвлены.
Если плейс р не разветвлен, то он дает одинаковые слагаемые
для ковекторов p,rf2 и Xrf2. Действительно, если К —вектор, кото-
рый только относительно этого плейса р отличен от нуля, то
можно считать V степенным рядом по г —а или г1. Локальный
след вектора V тогда равен самому вектору V и
E.^ = V.5*X0 = 5V.X0=E.X0 = reS>ydz=E.^.
578
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
[ГЛ. XIX
Отсюда следует, что urfz почти равен Xrfz.
Остается показать единственность ковектора рйг. Докажем
нечто более общее: если два дифференциала Вейля к и у почти
равны, то они равны в обычном смысле.
Пусть р = к — и. Докажем, что V р равно нулю для произ-
вольного вектора V. Скалярное произведение V'p, согласно (4)
из § 152, является суммой слагаемых, соответствующих плейсам
р. При этом мы можем ограничиться рассмотрением лишь сла-
гаемых, соответствующих плейсам р из некоторого конечного мно-
жества М, потому что слагаемые, соответствующие остальным
плейсам р, заведомо равны нулю. Для плейсов р из множества
М мы можем аппроксимировать V с помощью некоторой функции
и из К, причем настолько точно, что слагаемые, соответствующие
этим плейсам р, в выражении (и — V)-p обратятся в нуль
§ 149, теорема I). Но тогда
(и — V) • р = О,
и, следовательно, V -р —и р = 0, так как р — дифференциал Вейля.
Тём самым теорема полностью доказана.
Пусть у — другой элемент, для которого К сепарабельно над
А (у). Докажем равенство
11</г = (14)
Так как обе части этого равенства являются дифференциалами
Вейля, достаточно показать, что обе части почти равны. Но pdy
почти равен kdy, а раг почти равен kdz. Следовательно, достаточно
доказать, что
^ = ^4- (15)
Но это получается непосредственно из определения (13):
V. % = У res., V dz = У res», V dy = V — • к. = V • ~ к.
dz ₽ dy a dy dy dy dy.
V l>
Наконец, покажем, что
Kiz = Pdz' (16)
Пусть p— произвольный плейс и у —некоторая униформизи-
рующая. В § 156 было доказано, что элемент г является сепара-
бельным над А (у). Так как К сепарабельно над А (г) и A (z)
сепарабельно над А (у), то поле К сепарабельно над А (у). Далее,
плейс р неразветвлен над А (у), так что р-компонепты ковекторов
и pdy равны.
§ 157)
доказательство теоремы о вычетах
579
Отсюда следует, что
(Чг)р = ^dy = =(Hd2)p.
Так как это имеет место для каждого плейса р, то мы получили
утверждение (16).
Поскольку является дифференциалом Вейля, то таков и
ковектор Каг, а отсюда следует теорема о вычетах.
Глава двадцатая
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
Топологическая алгебра — это учение о группах, кольцах и
телах, которые одновременно являются топологическими простран-
ствами и в которых алгебраические операции непрерывны в смысле
этой топологии. Такие группы, кольца и тела называют тополо-
гическими, или кратко — Т-группами, Т-кольцами и Т-телами.
§ 158. Понятие топологического пространства
Топологическое пространство — это множество Т, в котором
выделены некоторые подмножества, названные открытыми множе-
ствами. Они должны обладать следующими свойствами:
I. Пересечение конечного числа открытых множеств вновь является
открытым множеством.
II. Объгдинение любого множества открытых множеств вновь
является открытым множеством.
Примеры. 1. Пусть Т — произвольное упорядоченное мно-
жество, которое содержит более одного элемента. Открытый интер-
вал в Т определяется условием a<zx<zb, или условием а<д
или условием х<.Ь. Открытое множество — это такое множество,
которое вместе с каждым своим элементом у содержит и некото-
рый открытый интервал, в который входит у.
2. Пусть Т — поле комплексных чисел. Круг с центром в точке
а определим условием |г —й|<е. Открытым множеством назо-
вем любое такое множество, которое вместе с каждым своим эле-
ментом а содержит и некоторый круг с центром в а.
3. То же определение проходит для любого нормированного
поля, только нужно использовать <р(г —й) вместо | г — а |. Каждое
нормированное поле является, следовательно, топологическим
пространством.
Из I, в частности, следует, что все пространство Т открыто,
потому что оно является пересечением пустого множества откры-
тых множеств. Равным образом, из II следует, что пустое множе-
ство открыто, потому что оно является объединением пустого
множества открытых множеств.
Подмножество М называется замкнутым множеством в топо-
логическом пространстве Т, если его дополнение открыто Для
замкнутых множеств имеют место правила, эквивалентные I и II:
§ 1591
БАЗИСЫ ОКРЕСТНОСТЕЙ
581
Г. Объединение конечного множества замкнутых множеств
является замкнутым множеством.
II'. Пересечение любого множества замкнутых множеств является
замкнутым множеством.
Элементы множества Т называются точками пространства Т.
Открытое множество, содержащее точку р, называется открытой
окрестностью точки р. Произвольное множество, содержащее
открытую окрестность точки р, называется окрестностью точки
р и обозначается через U (р).
Подмножество Т' топологического пространства Т само является
топологическим пространством, если считать открытыми множест-
вами в Т' пересечения с Т' открытых множеств из Т. Свойства
I и II, конечно, выполняются в Т'.
Замкнутая оболочка М подмножества М топологического про-
странства Т — это пересечение всех замкнутых множеств, содер-
жащих множество М.
Задача 1. Точка р тогда и только тогда принадлежит оболочке М,
когда каждая окрестность точки р имеет с М общую точку.
Задача 2. Куратовский определяет топологическое пространство как
такое множество Т, в котором каждому подмножеству Л4 сопоставлена оболочка
Л1 со следующими свойствами: _ _
а) оболочка объединения Л1 (J N есть объединение оболочек Л4 (J N;
б) множество М содержит множество Л4;
в) оболочкой множества Л1 является само Л4;
г) оболочка пустого множества есть пустое множество.
Далее он определяет: если М = М, то множество М называется замкнутым,
а если дополнение до некоторого множества М в Т замкнуто, то М. называется
открытым. Доказать, что определение Куратовского равносильно изложенному
здесь определению топологического пространства. _ _
Указание. Из а) прежде всего следует, что если Л! Д', то Ms N.
После этого из а), б), в) получаем, что М является пересечением всех замк-
нутых множеств N = N, содержащих М. Отсюда получаются свойства Г и 1Г.
Обратно, а), б), в) следуют из Г и 1Г.
Множество М называется плотным подмножеством в Т, если
замкнутая оболочка множества М. равна Т или, что то же самое,
если в каждой окрестности любой точки из Т лежат точки из М.
§ 159. Базисы окрестностей
Система окрестностей U (р) точки р образует базис окрестно-
стей точки р, если в каждой окрестности этой точки содержится
некоторая окрестность U (р) из рассматриваемой системы. Для
того чтобы быть базисом, системе достаточно быть такой, чтобы
в каждой открытой окрестности точки р содержалась некоторая
окрестность U (р) из этой системы. Например, открытые окрест-
ности точки р составляют базис окрестностей этой точки. В нашем
примере 1 открытые интервалы, содержащие точку р, составляют
582
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
базис окрестностей этой точки. В примере 2 круги с центром в а
составляют базис окрестностей точки а.
Часто топологические пространства определяются тем, что сна-
чала задается базис окрестностей каждой точки, а затем вводятся
открытые множества с помощью этого базиса так, как это было
сделано в рассмотренных выше примерах. Таким образом, каждой
точке р сопоставляют некоторые базисные множества U (р), обла-
дающие следующими свойствами:
иР Каждой точке р сопоставляются базисные множества U (р),
каждое из которых содержит точку р.
U2. Для каждых двух базисных множеств U (р) и V (р) существует
базисное множество № (р), которое содержится в каждом из них.
С помощью этих базисных множеств теперь можно определить
открытые множества М как такие, которые вместе с каждой
точкой р содержат некоторое базисное множество U (р). Опреде-
ленные таким способом открытые множества обладают, очевидно,
свойствами I и II; следовательно, оказывается определенным неко-
торое топологическое пространство. Чтобы базисные множества
U (р) оказались окрестностями в смысле введенной топологии,
они должны удовлетворять некоторому дополнительному условию.
Одно достаточное условие получается, если потребовать, чтобы
сами U (р) были открытыми множествами:
U3. Есл i q принадлежит U (/?), то U (р) содержит некоторое
базисное множество V (q).
Следующее, более слабое, условие является необходимым и
достаточным:
U3. Любое базисное множество U (р) содержит такое базисное
множество V (р), что для каждой точки q из V (р) некоторое
базисное множество W (у) содержится в U (р).
Если выполнено U3, то внутри U (р) можно определить мно-
жество U', состоящее из таких точек q, что одно из базисных
множеств W (с/) каждой точки принадлежит множеству U (р). Оче-
видно, это множество открыто и содержит р. Следовательно, U (р)
содержит открытую окрестность точки р, т. е. U (р) — некоторая
окрестность точки р.
Слова «базисные множества» нам теперь больше не нужны:
в дальнейшем мы будем называть базисные множества U (р) базис-
ными окрестностями. Совокупность всех базисных окрестностей
всех точек р называется базисом окрестностей или системой
окрестностей топологического пространства Т.
Понятие системы окрестностей восходит к Хаусдорфу, который рассматри-
вал только открытые окрестности. Требования Uj, U2, U3 —это в точности пер-
вые три аксиомы Хаусдорфа об окрестностях. Четвертая аксиома 'Хаусдорфа —
аксиома отделимости —будет сформулирована в§ 161.
Пример 4. Определим в n-мерном векторном пространстве
над полем вещественных чисел куб со стороной 2е вокруг вектора
§ 1601
НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ПРЕДЕЛЫ
583
(< .... bn) как совокупность векторов (аи ап), для которых
\ctl- Ь/|<8.
Кубы удовлетворяют условиям Ub U2, U3. Векторное прост-
ранство является, таким образом, топологическим пространством,
в котором кубы служат базисом окрестностей.
Топологическое пространство называется дискретным, если
все его подмножества являются открытыми множествами. Отдель-
ные точки в таком пространстве составляют некоторую систему
окрестностей.
Задача 1. Для того чтобы две системы множеств U (р) и V (р) опреде-
ляли одно и то же топологическое пространство, необходимо и достаточно,
чтобы каждое множество U (р) содержало некоторое множество V (р), а каждое
множество V (р) содержало некоторое множество U (р).
Задача 2. Топология векторного пространства, определенная с помощью
кубов, не зависит от выбора базиса в этом пространстве.
§ 160. Непрерывность. Пределы
Функция p'=f(p), отображающая топологическое простран-
ство Т в топологическое пространство Т', называется непрерыв-
ной в точке р0, если для каждой окрестности U' точки f(p0) в Т'
существует окрестность U точки р0 в Т, образ которой целиком
содержится в U'.
Аналогично функция f(p, q) аргументов р и q, пробегающих
топологические пространства Tj и Т2 соответственно, со значе-
ниями в некотором топологическом пространстве Т3 называется
непрерывной в точке (р0, q0), если для каждой окрестности W
точки f (р0, q0) существуют такие окрестности U и V точек р0 и
q0, что f(p, q) принадлежит W всякий раз, когда р принадлежит
U, a q принадлежит V.
Если функция непрерывна в каждой точке, то говорят, что
она непрерывна или задает непрерывное отображение. Отображе-
ние р' =f(р) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз
любого открытого множества U' в Т' (т. е. множество элементов
из Т, образы которых принадлежат U') является открытым мно-
жеством.
Взаимно однозначное и непрерывное в обе стороны отображе-
ние топологического пространства Т на топологическое простран-
ство Т' называется топологическим. Любое топологическое отобра-
жение переводит открытые множества в открытые, а замкнутые —•
в замкнутые.
Последовательность {рг} точек в топологическом пространстве
Т называется сходящейся к пределу р, если каждая окрестность
U (р) содержит все члены этой последовательности, начиная
584
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
с некоторого номера:
при v^zk.
При этом можно ограничиться окрестностями U (р) из некото-
рого базиса окрестностей точки р, так как каждая окрестность
содержит некоторую окрестность из базиса.
Задача 1. Непрерывное отображение переводит сходящиеся последова-
тельности в сходящиеся.
Задача 2. Непрерывная функция от непрерывной функции непрерывна.
§ 161. Аксиомы отделимости и счетности
Важнейшие топологические пространства удовлетворяют не
только аксиомам I и II, но и следующей первой аксиоме
отделимости:
Tj. Если р q, то существует окрестность точки р, не содер-
жащая точку q.
Пространство, удовлетворяющее аксиоме Тх, называется ^-про-
странством. Следующая формулировка эквивалентна:
Замкнутая оболочка любой точки есть сама эта точка.
Более сильной, чем Тх, является следующая вторая акси-
ома отделимости или аксиома Хаусдорфа:
Т2. Если p=Kq, то существуют окрестности U (р) и V (q),
не имеющие ни одной общей точки.
Если выполнена аксиома Т2, то пространство называется хаус-
дорфовым или Т^-пространством.
Первая аксиома счетности звучит так:
Аг Каждая точка р обладает счетным базисом окрестностей.
Более сильная вторая аксиома счетности нам не потребуется.
Важные для дальнейшего изложения топологические прост-
ранства удовлетворяют первой аксиоме отделимости и первой
аксиоме счетности. Для топологических групп, а потому и для
топологических колец и тел (являющихся одновременно и адди-
тивными группами) вторая аксиома отделимости будет получена
как следствие первой.
В представленном здесь введении в топологию затронуты лишь
самые необходимые основные понятия. Тем, кто хотел бы узнать
о топологии больше, имеет смысл обратиться к великолепному
учебнику Александрова и Хопфа (Alexandroff Р. S.
und Hopf Н.). Topologie, I. — Springer-Verlag, 1935, а затем к более
современной литературе.
Задача 1. В хаусдорфовом пространстве любая последовательность точек
{Pvl может обладать лишь одним пределом.
Задача 2. Если имеет место аксиома Ар то замкнутая оболочка любого
множества М состоит из всех пределов сходящихся последовательностей {pv}
из М. Множество Л1 замкнуто, если все эти пределы лежат в М.
§ 162]
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
685
§ 162. Топологические группы
Топологическая группа (или коротко — Т-группа) — это тополо-
гическое пространство, которое одновременно является группой,
причем ху является непрерывной функцией от % и у и х1 является
непрерывной функцией от х. Таким образом, к четырем аксиомам
группы и двум аксиомам открытых множеств в данном случае
добавляются следующие:
TG,. Для каждой окрестности U (ab) произведения ab сущест-
вуй т окрестности V (а) и W (д), произведение V (a) W (Ь) которых
содержится в U (ab).
TG2. Для каждой окрестности U (а1) существует такая окре-
стность V (а), что V (а)-1 содержится в U (гт1).
При этом через М'1 обозначается множество элементов х \
обратных к элементам х из М.
Очевидно, достаточно потребовать выполнение аксиом TG, и
TG2 для окрестностей U некоторого базиса окрестностей, и выб-
рать V (а) и W (Д тоже из этого базиса.
Вот примеры топологических групп:
а) аддитивная группа поля вещественных или поля комплекс-
ных чисел;
б) n-мерное вещественное пространство (§ 159, пример 4);
в) мультипликативная группа вещественных чисел или ком-
плексных чисел, отличных от нуля.
Каждая группа становится дискретной топологической группой,
если на множестве ее элементов взять дискретную топологию, т. е.
объявить все множества открытыми.
Дальнейшие примеры см. в § 163, задача, и § 164, пример 5.
Из TG, п TG2 легко следуют утверждения:
TG'. Для каждой окрестности U (я-1Ь) существуют окрестно-
сти V (а) и W (6) такие, что V (а) 1 W (&) содержится в U (а1!)).
TG". Для каждой окрестности U (atr1) существуют окрестно-
сти V (а) и W (Ь) такие, что V (a) W' (by1 содержится в U (air1).
Задача. Доказать, что каждое из требований TG' и TG" может заменить
оба требования TG] и TG2-
Докажем теперь следующее:
Каждая Т^группа является Т2-группой.
Доказательство. Пусть а^Ь, так что а1Ь^е. В силу
Тх существует окрестность U (а 'Ь), не содержащая е. Согласно
TG' существую! окрестности V (а) и W (Ь) такие, что V (а)_11К (Ь)
принадлежит U {a 1Ь), а потому это произведение не содержит е.
Но тогда существуют окрестности V (а) и W (&), не имеющие ни
одной общей точки. Этим доказано Т2.
Тем же методом доказывается следующее утверждение:
Если в некоторой Т-группе существует окрестность точки р,
не содержащая точку q, то существуют две окрестности U (р)
586
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XX
и V (г/) без общих элементов, и, таким образом, существует
окрестность U (</), не содержащая точку р. В этом случае эле-
менты р и q называют отделимыми друг от друга. Точки q,
которые неотделимы от точки р, составляют замкнутую оболочку
множества {р}.
Две Т-группы G и И называются топологически изоморфными,
если существует изоморфизм этих групп, являющийся одновре-
менно топологическим отображением из G на Н.
§ 163. Окрестности единицы
Если задан базис окрестностей единицы е, то тем самым
задаются все окрестности этого элемента: таковыми будут
множества U (е), которые содержат по крайней мере одну из
базисных окрестностей. Но тогда оказываются известными
окрестности и других точек, потому что если U (е) — окрестность
единицы е, то aU (е) — окрестность точки а и все окрестности
точки а могут быть представлены в таком виде. Можно называть
aU (е) «сдвинутой на а окрестностью точки е».
Таким образом, мы видим, что топология Т-группы полностью
определяется заданием базиса окрестностей единицы е. Будем
обозначать окрестности такого базиса через U, V, W, ...
Какими свойствами должны обладать указанные выше мно-
жества U, чтобы группа G с окрестностями U (а) = aU (е) была
топологической?
Следующие свойства являются во всяком случае необходимыми:
Ег Каждое множество U содержит е (следует из Ц § 159).
Е2. Для каждого U существует V такое, что V • V содержится
в U.
Е3. Для каждого U существует V такое, что У 1 содержится
в U (следует из TG2 § 162).
Е4. Каждое сопряженное множество aUa1 содержит некото-
рое множество V.
Е5. Каждое пересечение U П V содержит некоторое W (следует
из U2 § 159).
Доказательство Е2. В силу TG4 для U существуют
некоторое V и некоторое W такие, что VW содержится
в окрестности U. Согласно U2 пересечение V П W' содержит V.
Доказательство Е4. Так как а~гха — непрерывная функ-
ция элемента х, то для U существует окрестность V такая, что
a xVa содержится в U, так что V содержится в aUa~x.
Пусть теперь наоборот — задана система множеств U в группе G,
которые удовлетворяют требованиям Ej — Е5. Построим сдвиги aU
и будем считать их базисом окрестностей точки а. Очевидно, эти
базисные окрестности обладают свойствами U4 и U2 (§ 159).
Покажем, что они обладают и свойством U3.
§ 163]
ОКРЕСТНОСТИ ЕДИНИЦ
587
Пусть, таким образом, U(a) — aU. Согласно Е2 существует
множество V такое, что V-V содержится в U. Если теперь х—
точка из aV, то xV содержится в aW, а потому и в aU. Тем
самым U3 доказано.
Теперь мы должны доказать TGi и TG2 (§ 162).
Пусть дана произвольная окрестность abU. Согласно Е2 суще-
ствует такое множество V, что V-V принадлежит U. Согласно
Е4 в bVb1 существует некоторое W. Поэтому
aW • bV s а • bVb"1 • bV = abVV £ abU,
чем и доказывается TGP
Пусть дана произвольная окрестность a~4J. Существует такое
множество V, что V1 принадлежит И. Кроме того, существует
множество W, принадлежащее a^Va.
Имеет место включение aW сд Va, так что
(aW)-1 <= (V'a)1 = «-1Е-1 s a^U,
чем и доказывается TG2.
Следовательно, для того чтобы превратить группу в Т-группу,
нужно задать базис окрестностей единицы и доказать Е4 —Ё5.
Свойства Е2 и Е3 могут быть объединены в одно:
Е2+3. Для каждого множества U существует V, удовлетворяю-
щее соотношению V^V S.U.
В случае абелевых групп свойство Е4 излишне. Если группа
записывается аддитивно, то вводятся окрестности нуля и три
следующих требования:
1. Каждое множество U содержит нуль.
2. Для каждого U существует V, удовлетворяющее условию
V-V^U.
3. Каждое пересечение U |~| V содержит некоторую окрест-
ность W.
Для того чтобы Т-группа, определенная с помощью окрестно-
стей единицы, была Tj-группой, должна выполняться следующая
аксиома отделимости:
Е6. Для каждого элемента а^=е существует окрестность U,
не содержащая а.
Требования Е4 и Ев можно объединить в одно:
Пересечение всех окрестностей U состоит из одной лишь еди-
ницы.
Соответствующее требование для аддитивных групп:
Пересечение всех окрестностей U содержит только нуль.
Если G не является Tj-группой, то, кроме е, существуют и
другие элементы р, принадлежащие всем окрестностям единицы е,
а потому не отделимые от е. Очевидно, эти элементы составляют
некоторую нормальную подгруппу N в G. Согласно § 162 под-
588
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
группа N является замкнутой оболочкой множества {е}, поэтому
подгруппа N замкнута. Факторгруппа G/N является ^-группой.
Задача. Пусть в группе G задана последовательность содержащихся
друг в друге нормальных подгрупп:
Hi => Н2^ ...
Если базисными окрестностями единицы объявить эти нормальные подгруппы,
то свойства Ei — Е5 будут выполнены и G окажется Т-группой. Свойство Ев
будет выполнено только тогда, когда пересечение всех i состоит из одной
единицы.
§ 164. Подгруппы и факторгруппы
Каждая подгруппа в Т-группе снова является Т-группой.
Особенно важными являются замкнутые подгруппы.
Каждая открытая подгруппа является замкнутой.
Доказательство. Пусть Н — открытая подгруппа в G.
Смежные классы аН также открыты в G. Объединение всех
смежных классов, не считая И, вновь является открытым. Это
объединение является дополнением для подгруппы Н; следова-
тельно, Н замкнута.
Пример 5. Пусть Я —кольцо всех матриц из п строк и п
столбцов над полем вещественных чисел. Обратимыми элементами
в R являются те матрицы А, которые обладают обратной матри-
цей А~*. Обратимые матрицы составляют некоторую группу G.
Определим кубическую окрестность произвольной матрицы А как
совокупность матриц В, для которых
, btk &ik , < ®
(см. § 159, пример 4); тогда R будет аддитивной, a G —муль-
типликативной топологической группой. В группе G можно рас-
смотреть подгруппу матриц А с положительными определите-
лями D. Эта подгруппа в G открыта, а потому и замкнута.
Пусть Н — произвольная нормальная подгруппа в G. Замк-
нутость этой подгруппы пока не предполагается. Построим фак-
торгруппу
G/H — G.
При гомоморфном отображении ш—группы G на группу G
базисные окрестности U единицы е переходят в некоторые под-
множества U группы G, тривиальным образом удовлетворяющие
условиям Et — Е5. Тем самым множества U определяют на G
некоторую топологию. В смысле этой топологии отображение
а^а непрерывно, что следует непосредственно из определения
непрерывности. Таким образом,
Каждая факторгруппа топологической группы является топо-
логической и отображение av~+a при этом непрерывно.
§ 1651
Т-КОЛЬЦА И Т-ТЕЛА
589
Выясним теперь, при каких условиях факторгруппа удовлет-
воряет первой аксиоме отделимости Тх. Вот ответ:
Если нормальная подгруппа Н в G является замкнутой- под-
группой, то G/Н является Т^-группой и наоборот.
Доказательство. Пусть Я —замкнутая в G нормальная
подгруппа. В этом случае каждый смежный класс аН является
замкнутым в G. Если а=И=ё, то е не принадлежит классу аН,
т. е. е принадлежит открытому дополнению класса аН. Следова-
тельно, существует некоторая окрестность U точки е, не имеющая
с аН ни одной общей точки. Образ U в группе G тогда не со-
держит элемента а. Следовательно, группа G удовлетворяет усло-
вию Ев; поэтому G является Тггруппой.
Пусть теперь G — Д-группа. Тогда множество элементов
а=£ё открыто в G. Так как отображение а<—>а непрерывно,
прообраз этого открытого множества открыт. Однако этот про-
образ является дополнением до подгруппы Н в исходной группе G.
Следовательно, подгруппа Н замкнута в G.
Задача. Пусть Я —подгруппа и Я —нормальная подгруппа в G. Если
замкнута в G, то пересечение D — N П Я замкнуто в Н и естественный изо-
морфизм между Н/D и NH/N непрерывен.
§ 165. Т-кольца и Т-тела
Топологическое кольцо (кратко — Т-колыщ) — это топологическое
пространство, которое одновременно является кольцом, причем
х+у, —х и ху являются непрерывными функциями своих аргу-
ментов. Вместо этого можно предполагать, что х — у и ху — не-
прерывные функции от х и у. Следовательно:
TRP Для каждой окрестности U(a-b') существуют окрест-
ности V (а) и W (Ь) такие, что все разности элементов из V (а)
и из W (Ь) принадлежат U (а — Ь).
TR2. Для каждой окрестности U (ab) существуют окрестно-
сти V (а) и W (Ь) такие, что все произведения элементов из V (а)
и W (Ь) принадлежат U (ab).
При определении Т-тела требуется, кроме того, чтобы лг1
было непрерывной функцией от х, т. е. следующее условие:
TS. Для каждой окрестности U (аг1) существует окрестность
V (а) такая, что элементы, обратные к содержащимся в ней эле-
ментам, принадлежат U (аг1).
Если выполнена аксиома TS, то говорят, что топология кольца
является топологией тела.
Разумеется, коммутативные Т-тела называются Т-полями.
Всякое кольцо является абелевой группой относительно сло-
жения. Чтобы определить топологию на этой группе, согласно
§ 162 достаточно определить базис окрестностей U, V, ... нуля,
590
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XX
который удовлетворял бы условиям 1, 2 и 3 (§ 163). Чтобы умно-
жение также было непрерывно, нужно потребовать следующее:
4. Для а, b и U существуют такие V, W, что
(а+7) (b + W)<=ab + U.
Топологическое тело должно, кроме того, удовлетворять сле-
дующему условию, эквивалентному TS:
Для элемента, отличного от нуля, и окрестности U сущест-
вует такая окрестность V, что
(a+Vy^a-^ + U. (1)
Можно положить aU = U' и Va~1 = W, так что U =~-alU' и
V = V'a. Тогда из (1) будет следовать, что
или
+ (2)
Поэтому достаточно устанавливать справедливость условия (1)
только для а=1. Следовательно, аксиома TS эквивалентна сле-
дующему условию:
5. Для каждой окрестности U нуля существует другая окрест-
ность V нуля такая, что
(3)
Примерами Т-полей могут служить нормированные поля и,
в частности, поле вещественных чисел, поле комплексных чисел
или поле р-адических чисел, а также их всевозможные подполя.
Топологическим кольцом является и кольцо всех веществен-
ных (пхц)-матриц. Базис окрестностей нуля состоит в этом слу-
чае из множеств U, состоящих из матриц, элементы которых по
абсолютной величине меньше заданного положительного числа е.
Дальнейшие условия получаются при рассмотрении в произ-
вольном кольце с некоторой последовательности двусторонних
идеалов, содержащихся друг в друге,
91 — 02 Э • • •!
эти идеалы можно принять за базис окрестностей нуля. Условия
1—4 тогда будут выполнены. Топологическое Тркольцо полу-
чается при такой конструкции тогда, когда пересечение всех gv
равно нулю.
Топологию кольца, определенную с помощью последователь-
ности {gv}, называют {а^-адической топологией. Если, в частности,
gv —это степени некоторого простого идеала р в коммутативном
кольце о:
§ 166]
ПОПОЛНЕНИЕ ГРУПП
591
то говорят о V-адической топологии. Позднее мы увидим, что во
многих важных случаях пересечение степеней идеала р равно
нулевому идеалу. Во всех таких случаях, следовательно, имеет
место аксиома отделимости Тр
В § 141 последовательность степеней простого идеала р
была при более сильных условиях использована для определения
некоторого нормирования кольца о. Однако если не предпола-
гается рассматривать нормирование, а имеется в виду лишь топо-
логия на кольце, то эти более сильные условия излишни.
Задача 1. Условие 4 можно разбить на несколько более частных условий:
а) для а и U существует окрестность V такая, что aV s U\
б) для Ь и U существует окрестность V такая, что Vb = U;
в) для U существует окрестность V такая, что VV еУ.
Задача 2. В теле кватернионов над полем вещественных чисел (§ 93,
пример 2) можно следующим образом ввести окрестности нуля: Us состоит из
кватернионов a-\-bj -j-ck-^-dl с нормой
(а — bj—ck — dl) (a-\-bj -f-ck J- d/) = a2 -j- b2 -{-c2 -j- d2,
меньшей 8. Доказать, что тело кватернионов с этой топологией является
Тртелом.
§ 166. Пополнение групп с помощью
фундаментальных последовательностей
В § 142 для каждого нормированного поля было построено
его расширение, в котором выполнялась теорема Коши о сходи-
мости. Вспомогательным средством при этом служили фундамен-
тальные последовательности {av}, которые характеризовались тем,
что av — о,, при достаточно больших v и и принадлежат произ-
вольной окрестности нуля. Проведем теперь аналогичную конст-
рукцию для Т-групп, следуя методу ван Данцига1).
Последовательность {xv} в некоторой Т-группе называется
последовательностью Коши или фундаментальной последователь-
ностью, если произвольная окрестность единичного элемента
группы содержит элементы хф 'xv при и
Топологическая группа называется слабо полной, если каждая
фундаментальная последовательность в ней имеет в ней же предел.
Зададимся теперь следующей целью: расширить произвольную
Т-группу, удовлетворяющую аксиомам Tj и Ап до некоторой
слабо полной Т-группы.
Доказательством следующей леммы я обязан Г. Р. Фишеру.
Окрестности единицы, как и раньше, будут обозначаться через U,
V, ...
Лемма. Пусть {xv} — произвольная фундаментальная последо-
вательность. Тогда для каждого U существуют такое натуральное
') van Dantzig D. Zur topologischen Algebra, I: Komplettirungtheorie. —
Math. Ann., 1933, 107, S. 587.
592
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
т и такое V, что
x^Vx^^U для ру&т.
(1)
Доказательство. Выберем окрестность W так, чтобы
WWW Выберем далее т так, чтобы было
Хц ‘xv W для pys- т, v^m.
Тогда, в частности, х^ 'хт и Хт'х^ принадлежат W при ц^т.
Согласно Е4 окрестность V можно выбрать внутри xmWxm'. Тогда
xji’VXn s хм ‘XmWXm'x^ £= WWW s U для р^т.
Из этой леммы следует:
I. Если {хи} и {у^} — фундаментальные последовательности, то
и {х^у^} — фундаментальная последовательность.
Доказательство. Имеем
(•ДУД 1 Xvyv = уЦ 1 (л'ц хф у^ Ун Ух’.
В произведении справа оба сомножителя принадлежат сколь
угодно малым окрестностям единицы е: первый сомножитель
в силу леммы, а второй в силу определения фундаментальной
последовательности. Следовательно, произведение тоже принад-
лежит сколь угодно малой окрестности единицы U. Последова-
тельность {хмг/Д называется произведением фундаментальных пос-
ледовательностей {хД и {«/Д.
Вот другое следствие доказанной леммы:
II. Если {х^} — фундаментальная последовательность и {//Д
стремится к единице, то и
К
стремится к единице.
Доказательство. Согласно лемме хДУх,, е U при под-
ходящем V и достаточно больших р и р(1 'принадлежит V при
достаточно больших р, так что х^ ‘t/^x^ принадлежит U для доста-
точно больших р.
Для того чтобы группа G могла быть расширена до некото-
рой слабо полной топологической группы, необходимо, чтобы
имела место следующая аксиома слабой пополняемое! и:
TG3. Если {хД — произвольная фундаментальная последователь-
ность, то и {хпфундаментальная последовательность.
В абелевой группе аксиома TG3 выполнена автоматически,
потому что если Хц ‘xv принадлежит U, то и
ХуХц := Хц Ху
принадлежит U. В общем же случае аксиома TG3 не является
следствием остальных аксиом.
Из I и TG3 немедленно следует, что фундаментальные после-
§ 166]
ПОПОЛНЕНИЕ ГРУПП
593
довательности образуют некоторую группу F. Единичным эле-
ментом этой группы F является последовательность {е\.
Превратим теперь группу F в топологическую, определив базис-
ные окрестности U единичного элемента {е} следующим образом:
U состоит из фундаментальных последовательностей )xv}, элементы
которых при достаточно больших v принадлежат U.
Эти окрестности U удовлетворяют требованиям Ej — Е5 (§ 163).
Для Ej — Е3 и Е5 это само собой очевидно, а Е4 — это в точности
доказанная выше лемма: если) хД — фундаментальная последова-
тельность, то существует окрестность V такая, что
Xu'Vx^^U или ЕехД/хД
для достаточно больших ц.
Итак, F — топологическая группа. В этой группе последова-
тельности, сходящиеся ке, составляют подгруппу, которая в силу II
является даже некоторой нормальной подгруппой N. Докажем
теперь, что подгруппа xV замкнута в F.
Если фундаментальная последовательность {хД не принад-
лежит N, т. е. не сходится к е, то существует некоторая окрест-
ность U, которая не содержит почти всех элементов данной
последовательности. Согласно Ех и Е3 существует такая окрест-
ность V, что
vv-^u.
Эта окрестность V определяет некоторую окрестность V в F,
состоящую из всех фундаментальных последовательностей {г/и},
почти все элементы y[t которых принадлежат V. Мы утверждаем
теперь, что окрестность {хД V последовательности {хД в F пол-
ностью содержится в дополнении к IV в группе F.
Действительно, иначе {хД V содержала бы фундаментальную
последовательность
{дЛ flAi} = {-Щ/ц} = {гм.}»
принадлежащую W, где у^ почти все лежат в И и {гД сходится
к е. Но тогда почти все z(1 лежат в V, и почти все элементы
Хц =
принадлежат ЕЕ1, а потому и окрестности U, что противоречит
определению окрестности U. Следовательно, {хД Е и не имеют
общих элементов.
Таким образом, дополнение к N в F является открытым мно-
жеством, т. е. N ~ замкнутое множество в F. Отсюда в силу
§ 164 следует, что F/N является Тггруппой.
Внутри группы F фундаментальные последовательности {а},
состоящие из одного и того же элемента а, составляют некото-
рую подгруппу G', топологически изоморфную данной группе G.
594
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
(ГЛ XX
В силу аксиомы отделимости Тх эта подгруппа имеет только
один общий с V элемент {е}. Мы можем отождествить постоян-
ные последовательности {а} с элементами а и тем самым группу
G с группой G'. Если теперь построить смежные классы по N,
то G' перейдет в некоторую факторгруппу G", которая является
подгруппой в F/N и, следовательно, некоторой Т-группой. Эта
Т-группа топологически изоморфна G', а потому и G, и поэтому
вновь может быть отождествлена с G.
Положим F/N = G. Группа G вложена в Тггруппу G. Дока-
жем прежде всего следующее:
III. Если фундаментальная последовательность {хД определяет
элемент к из G, то
ИтХц = х. (2)
Доказательство. Фундаментальная последовательность
{хД, как элемент группы F, будет обозначаться через X. При
гомоморфизме, который отображает F на F/N = G, элемент х пере-
ходит в элемент х. Это отображение непрерывно, поэтому (2)
будет доказано, как только будет доказано соответствующее со-
отношение в F:
limxp. = x в F. (3)
Соотношение (3) означает, что х 1х11 принадлежит U для доста-
точно больших р или, согласно определению окрестности U,
хДхи принадлежит U для достаточно больших ц и v.
Но это очевидно, потому что {хД—фундаментальная последо-
вательность.
Теперь мы можем доказать основную теорему:
IV. Группа G слабо полна.
Доказательство совершенно аналогично проведенному в § 78
доказательству для случая вещественных чисел. Пусть {Xj, х2, ...}
— некоторая последовательность элементов из G, удовлетворя-
ющая условию Коши:
хДху е V для у>:-т и v^m.
Выберем счетный базис {Ult U2, ...} окрестностей точки е
в группе G. Для каждой окрестности U-,. выберем окрестность 1Д
такую, что
Мы можем, кроме того, считать, что
Окрестности определяют окрестности V\ в F, а эти в свою
очередь — окрестности в G. Каждый элемент хр является, со-
гласно III, пределом некоторой последовательности элементов
§ 167]
ФИЛЬТРЫ
595
из G; следовательно, для хи мы можем выбрать такой из G, что
«=
Покажем, что элементы у(1 составляют фундаментальную после-
довательность. Имеем
I/ц Ух — (Ai *v) (S-v'/Zv) 6= V|i (Xj/Xv) Кv (4)
Для каждого А существует такое tn X, что
xu'xv<=l\ для у^т, v^m.
Из (4) для и v^m-^7. теперь следует, что
е <= VK‘VKVK UK,
т. е. г/ц'г/v е UK. Следовательно, составляют некоторую фун-
даментальную последовательность в группе G. Эта последователь-
ность определяет некоторый элемент у из G и, согласно III,
имеет своим пределом у. Элементы хц имеют тот же самый пре-
дел, потому что
У —(У 1Уц) (Ун'^м)»
и для достаточно больших р оба множителя принадлежат сколь
угодно малым окрестностям точки е. Таким образом, последова-
тельность {хД имеет ь G некоторый предел и группа оказывается
слабо полной.
Tj-группы, не удовлетворяющие первой аксиоме счетности А},
при некоторых подходящих предположениях также могут быть
пополнены. Для этого, следуя БурбакиJ), нужно как при опре-
делении понятия «полноты», так и при конструкции пополнения
вместо фундаментальных последовательностей рассматривать так
называемые фильтры Коши. Ниже об этом говорится более
подробно.
Задача. Если группа удовлетворяет аксиомам Tj и А,, то каждая слабо
полная подгруппа И замкнута в G. (Воспользоваться задачей 2 из § 161.)
§ 167. Фильтры
Пусть М — произвольно фиксированное множество. Подмно-
жества из М будем обозначать буквами А, В, .. Системы этих
подмножеств будут обозначаться готическими большими буквами
8,
Система 8 называется фильтром, если она обладает следую-
щими свойствами:
Fp Каждое множество А, содержащее одно из множеств из 8,
само принадлежит 8-
‘) Бурбаки Н, Общая топология, —М,; Физматгиз, 1958, гл, III.
596
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XX
F2. Пересечение любого конечного числа множеств из § снова
принадлежит g.
F8. Пустое множество не принадлежит системе
Из F2 следует, что само множество М, как пересечение пу-
стого множества подмножеств из М, принадлежит Вместо F2
можно было бы потребовать следующее:
F.>. Пересечение любых двух множеств из § принадлежит
F.L Множество М принадлежит системе g.
Пример 1. Окрестности произвольной точки р в топологи-
ческом пространстве М составляют некоторый фильтр — фильтр
окрестностей точки р.
Непустая система S3 называется базисом фильтра, если она
обладает следующими свойствами:
В]. Пересечение любых двух множеств из S3 содержит некото-
рое множество из S3.
В2. Пустое множество не принадлежит системе S3.
Если оба эти свойства налицо, то можно построить некоторый
фильтр 8, состоящий из подмножеств множества М, которые
содержат по крайней мере по одному подмножеству из S3. Гово-
рят, что этот фильтр порождается базисом S3 и что S3 — базис
фильтра g.
Пример 2. Базис окрестностей некоторой точки р в топо-
логическом пространстве М является базисом фильтра окрест-
ностей точки р.
Пример 3. Пусть задана некоторая последовательность эле-
ментов множества М\
alt а2, а3, ...
Если удалить конечное число членов этой последовательности,
то остальные будут составлять некоторое множество А. Множе-
ства А такой природы составляют некоторый базис фильтра S3.
Фильтр, порожденный базисом S3, состоит из тех подмножеств
множества М, которые содержат почти все члены данной после-
довательности.
Начиная с этого места, пусть М~ некоторая топологическая
группа G. Пусть У —некоторая окрестность единицы е. Говорят,
что множество А является малым порядка V, если все частные
хЛу элементов из А лежат в V:
х ху eV’, так что у е xV для любых х и у из А.
Говорят, что система множеств S3 содержит произвольно малые
множества, если для каждой окрестности единицы V существует
множество А из S3, являющееся малым порядка V.
Фильтр Коши — это фильтр, который содержит произвольно
малые множества.
Базис фильтра Коши S3 в группе G —это такой базис филыра,
§ 167]
ФИЛЬТРЫ
597
который содержит произвольно малые множества. Фильтр, поро-
жденный базисом фильтра Коши, является фильтром Коши.
Базис фильтра 5В сходится к а, если в каждой окрестности
точки а лежит некоторое множество А из 33. В этом случае
пишут
ИшЗЗ = а.
В любой Тггруппе предел а определен однозначно.
В § 166 Тргруппа была названа слабо полной, если в ней
каждая последовательность Коши имеет предел. На самом деле
это понятие полезно только тогда, когда группа удовлетворяет
первой аксиоме счетности. В общем же случае необходимо более
сильное понятие. Введем его: Т-группа G называется сильно пол-
ной, если в ней сходится каждый фильтр Коши.
Каждая сильно полная Т-группа является и слабо полной.
Доказательство. Пусть группа G сильно полна и пусть
{xv} — произвольная фундаментальная последовательность в G.
Множества А, которые получаются при отбрасывании конечного
числа членов из данной последовательности, являются произвольно
малыми по определению последовательности Коши. Эти множе-
ства А составляют некоторый базис фильтра Коши 33, который
порождает некоторый фильтр Коши 8- Последний имеет в G
некоторый предел а. В каждой окрестности точки а лежат почти
все члены последовательности х„, а потому эта последователь-
ность имеет в G предел —точку а.
Докажем теперь, следуя Бурбаки, следующее:
Если некоторое множество D в Т-группе G плотно и каждый
базис фильтра Коши в D сходится к некоторому пределу из G,
то группа G сильно полна.
Доказательство. Пусть 8 — произвольный фильтр Коши
в G. Мы должны доказать, что 8 сходится.
Для каждой окрестности V единицы е и каждого множества А
фильтра 8 построим произведение множеств AV. Такие множе-
ства составляют некоторый базис фильтра 33, потому что если
AV и A'V — два таких произведения множеств, то множество
ИПЛ')(1/ПИ
содержится в пересечении AV и A'V'. Покажем теперь, что 33
является базисом фильтра Коши.
Пусть (7 —некоторая окрестность единицы е и V — настолько
малая окрестность, что V~*VV содержится в U. Выберем множе-
ство А малым порядка V. Для любых двух элементов аи и a'v'
множества AV имеют место соотношения
{av)la'v’ — г1 (ага') v' е V^VV s U,
так что AV является малым порядка U, Тем самым 33 является
базисом фильтра Коши.
598
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
Пересечения произведении AV с D никогда не являются пу-
стыми, потому что А содержит по крайней мере один элемент а
и в каждой окрестности аУ элемента а имеется по крайней мере
одна точка из D. Следовательно, пересечения составляют
некоторый базис фильтра Коши на D. По условию этот базис
имеет некоторый предел b в G. В каждой окрестности точки b
лежит некоторое множество АУ, а потому и его подмножество
Ае = А. Тем самым § сходится к Ь, чем и заканчивается доказа-
тельство.
Задача 1. Если фильтр 3 сходится к а, то 3 является фильтром Коши.
Задача 2. Если базис фильтра ® сходится к а, то порожденный бази-
сом ® фильтр 3 тоже сходится к а, и наоборот.
Задача 3. Топологическая группа, являющаяся слабо полной и удов-
летворяющая первой аксиоме счетности, сильно полна.
(Указание. Пусть Vlt V2, ... — произвольный счетный базис окрестностей
единицы е и 3 — фильтр Коши. Для каждого п существует множество Ап
в этом фильтре, являющееся малым порядка Vп. Построим пересечения
Оя = Л1РД2П...ПДп
и выберем хп в Dn. Тогда {х„}— некоторая фундаментальная последователь-
ность. предел которой является и пределом фильтра 3.)
§ 168, Пополнение группы с помощью фильтров Коши
В порядке подготовки к изучению сильного пополнения дока-
жем одну лемму, которая совершенно аналогична лемме из
§ 166 и доказывается точно так же.
Пусть % —фильтр Коши. Тогда для каждой окрестности U
точки е существует окрестность V этой же точки и множество А
из § такие, что
xlVx^U для всех х из А.
Доказательство. Выберем II7 так, чтобы было WWWq
S U. Множество А выберем так, чтобы было
xly^W для всех х и у из А.
Выберем какой-нибудь фиксированный элемент у в А. Тогда х *у
и у 'х принадлежа! W, если х принадлежит А. В силу Е4
(§ 163) окрестность У можно выбрать в yWy Тогда х~*Ух s
S (х 1у) W (у *х) <= W1У1У е U для всех х из А.
Под произведением двух фильтров § и @ подразумевается
фильтр, порожденный произведениями АВ, А из §, В из
Произведение фильтров ассоциативно:
8-@£ = 8®-ф. (1)
Действительно, обе части в (1) равны фильтру, порожденному
произведениями АВС, А из g, В из ф, С из Т).
Покажем теперь, что:
§ 168]
ПОПОЛНЕНИЕ ГРУППЫ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРОВ КОШИ
599
I. Если 5 и & —фильтры Коши, то g® — фильтр Коши.
Доказательство. Имеем
(хуУ1 х'у' = у-1 (х^х') у (у-у). (2)
Если х и х' принадлежат подходящим образом выбранному
множеству А из $ и точно так же у и у' принадлежат подходя-
щим образом выбранному множеству В из ®, то х~1х' и у 1у'
лежат в произвольно малых окрестностях единицы е, а потому
в силу леммы у 1 (х 1х') у принадлежит сколь угодно малой окре-
стности U\ следовательно, произведение (2) лежит в как угодно
малой окрестности точки е, что и требовалось доказать.
II. Если ^—фильтр Коши, а фильтр @ сходится к е, то
фильтр сходится к е. При этом под g1 подразумевается
фильтр, который состоит из множеств А \ А из g.
Доказательство. Пусть х и х’ принадлежат некоторому
множеству А фильтра g и у принадлежит некоторому множеству В
фильтра ®, так что при подходяще выбранном В элемент у ока-
зывается элементом произвольно малой окрестности V точки е.
Имеем
Х'^ух'= х гух х~гх'. (3)
В силу леммы множество х 1Vx при подходяще выбранных окре-
стности V и множестве А принадлежит сколь угодно малой окре-
стности U точки е. Следовательно, произведение (3) принад-
лежит U U, а потому содержится в сколь угодно малой окрест-
ности точки е.
Задача 1. Множества А, содержащие единицу е, составляют некоторый
фильтр Коши 6. Он является единичным элементом относительно умножения
фильтров: (S(5=8(S=8 для всех R.
Как и § 166, мы должны сейчас ввести аксиому сильной
пополняемости GK, являющуюся аналогом TG3:
GK. Если % —фильтр Коши, то и ft-1 —фильтр Коши.
Это означает следующее: если произведения хху (х и у из
А е 8) лежат в сколь угодно малой окрестности точки е, то и
произведения ух 1 лежат в сколь угодно малой окрестности
точки е. В случае абелевых групп это утверждение тривиально.
Фильтры Коши относительно умножения образуют некоторую
полугруппу в том смысле, что здесь оказываются выполненными
первые три аксиомы группы из § 6. В общем случае аксиома 4
не выполняется. Несмотря на то, что для каждого фильтра Коши 5
существует фильтр Коши g"1, произведение g~Jg в большинстве
случаев не равно
Обозначим полугруппу фильтров Коши в G через G. Превра-
тим G в топологическое пространство, определив базис окрестно-
стей 0 единичного элемента (£, сопоставляя каждой окрестности
600
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ. XX
U единицы е из G базисную окрестность U следующим образом:
U состоит из всех тех фильтров которые содержат по крайней
мере одно множество /1 = 1'.
Определенные таким образом базисные окрестности U удов-
летворяют требованиям Е4 — Е5 § 163. Для Е4 — Е3 и Е6 это
утверждение тривиально, а для доказательства Е4 нужно восполь-
зоваться леммой.
Задача 2. Доказать свойство Е4.
Задача 3. Фильтрами, сходящимися к е, являются в точности те фильтры,
которые лежат во всех окрестностях U
С помощью окрестностей U, так же как и в § 163, построим
сдвинутые окрестности Тем самым G станет топологическим
пространством. Взятие произведения и элемента © 1 непре-
рывны в смысле этой топологии; следовательно, можно рассматри-
вать G как топологическую полугруппу. Аксиома отделимости Т4
в общем случае для построенного объекта не выполнена (см. за-
дачу 3).
Фильтры, сходящиеся к е, образуют в G некоторую подполу-
группу N. В силу II подполугруппа N является нормальной
в том смысле, что
й s N для всех
Свойства полугрупп G и N вместе с очевидным свойством
<= N
позволяют построить факторгруппу
G/N = G.
Для этого нужно лишь еще раз просмотреть конструкцию фак-
торгруппы из § 10 и заметить, что свойство а 1а = е (т. е. в нашем
случае А 1а=(£) как таковое вовсе не нужно: нужно лишь, чтобы
Факторгруппа является, таким образом, настоящей
группой: в ней каждый элемент обладает настоящим обратным.
Так же, как в § 164, усматривается, что факторгруппа G/N является
топологической. Полугруппа G отображается с помощью непре-
рывного гомоморфизма на G/N = G.
Согласно задаче 3 полугруппа N состоит в точности из тех
фильтров которые не отделимы от единичного элемента (f
группы G. Согласно § 163 полугруппа N замкнута и, следова-
тельно, G = GjN является Т4-группой.
Каждый элемент х из G определяет некоторый фильтр
состоящий из множеств А, содержащих х.
§ 168] ПОПОЛНЕНИЕ ГРУППЫ С ПОМОЩЬЮ ФИЛЬТРОВ КОШИ 601
Этот фильтр содержит множество {х}, а потому является фильт-
ром Коши. Таким образом, каждому элементу х группы G соот-
ветствует некоторый элемент х = дл- полугруппы G. Отображение
Xi—► х является непрерывным, причем произведению соответствует
произведение. Гомоморфизм G->G сопоставляет элементу х неко-
торый образ х. Следовательно, получается цепь непрерывных гомо-
морфизмов
х >—*-х •—* х. (4)
Если два элемента х и у неотделимы друг от друга в G, то
они имеют один и тот же образ х в G, и наоборот.
Начиная с этого места, пусть G —некоторая Тггруппа. Тогда
любые два различных элемента х и у отделимы и, следовательно,
отображение хн-*х взаимно однозначно. Таким образом, группа
G вкладывается в G.
Пусть 33—некоторый базис фильтра Коши в G. Так как G
погружается в G, можно рассматривать 33 и как базис фильтра
в G. С другой стороны, базис 33 порождает в G некоторый фильтр
Коши g. При гомоморфизме G->G ему соответствует некоторый
элемент а из G. Мы утверждаем теперь следующее:
III. Базис фильтра 33 сходится к а.
Доказательство. В соответствии с определением базиса
фильтра Коши для каждой окрестности U точки е существует
некоторое множество А из 33 такое, что
y^x^U для всех х и у из А.
Это можно записать и так: А~*х s U для всех хе/1.
Множество А 1 принадлежит фильтру А1, а множество {х} —
фильтру х, так что произведение rt-1x содержит множество Д1 {x}s
s U. Это означает, согласно определению окрестности U в G,
что g ’xeiy для всех хеЛ.
Перейдем теперь с помощью непрерывного гомоморфизма из
G в G; тогда получится включение а \х е V, так что х е aU.
.. Мы отождествили х с х, а потому х е aU для всех х е А,
т. е. A s aU.
Таким образом, в базисе фильтра 33 существуют множества
А, которые содержатся в сколь угодно малых окрестностях aV
точки а, т. е. 33 сходится к а. Тем самым доказано III.
Так как в каждой окрестности точки а лежит некоторое не-
пустое множество А, то в каждой окрестности точки а нахо-
дятся некоторые точки из G. Это означает, что
Группа G плотна в G.
602
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
(ГЛ XX
Отсюда и из III в силу последней теоремы § 167 следует, что:
IV. Группа G является сильно полной.
Задача 4. Если в G имеет место первая аксиома счетности, то она спра-
ведлива и в G. Каждый элемент из G является в этом случае пределом неко-
торой последовательности {xv} из G, и слабое пополнение группы G в соот-
ветствии с § 166 дает то же самое, что и сильное пополнение в соответствии
с § 168.
§ 169. Топологические векторные пространства
Топологический модуль (или Т-модуль) М — это аддитивная абе-
лева Т-группа. Согласно § 163 топология на Л4 определяется
некоторой системой окрестностей нуля, удовлетворяющей усло-
виям 1, 2, 3 (§ 163, конец).
Понятия из §§ 166 и 168 переносятся на аддитивные Т-груп-
пы с помощью соответствующего изменения символики. Последо-
вательность {xv} называется фундаментальной, если разности
хц — xv для достаточно больших р и v принадлежат каждой ок-
рестности V нуля. Множество А называется малым порядка V,
если разности у — х (х е А, у А) все принадлежат V. Фильтр,
содержащий произвольно малые множества, называется фильтром
Коши. Модуль М называется сильно полным или просто полным,
если в нем сходится каждый фильтр Коши.
Так как для коммутативных групп, в соответствии с § 168,
не нужна аксиома полноты, каждый Tj-модуль М погружается
в некоторый полный Tj-модуль М.
Пусть для Л1 задана область операторов Q, обладающая сле-
дующим свойством:
у(а4-&) = уа + у& (1)
для каждого оператора у. Предположим, что ух — непрерывная
функция от х. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для
каждой окрестности U существовала окрестность V со свойством
yV<=U.
Если фильтр 3 содержит произвольно малые множества А, то и
уЗ содержит произвольно малые множества уЛ, т. е. уЗ — снова
фильтр Коши. Поэтому теория пополнений из § 168 без измене-
ний переносится на Трмодули с операторами; пополнение М
имеет в качестве области операторов снова область Q.
Иногда оказывается целесообразным писать ау вместо уа.
В этом случае Q называют областью правых операторов, а М —
правым О,-модулем.
Вместо (1) в этом случае имеет место равенство
(p-\-b)y = ay-\-by. (2)
§ 169]
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
603
Если й — кольцо, то, кроме (2), требуется, чтобы выполнялись
следующие соотношения:
ц(Р + 1>)==сф + а-|>, (3)
а(Ру) = (аР)у. (4)
При переходе к пополнению М и эти свойства остаются вер-
ными .
Если й —некоторое Т-кольцо, то предполагается, что произ-
ведение ху является непрерывной функцией от х и у. Это свой-
ство тоже переносится на /И, так что М — полный правый й-
модуль.
Если й — некоторое тело и если, кроме уже указанных пра-
вил, имеет место
а 1 = а, (5)
где 1—единичный элемент тела й, то М называется векторным
пространством над й. Если й - топологическое тело, то тре-
буется еще и непрерывность ху как функции от х и у.
Простой пример топологического векторного пространства
над топологическим полем й дает каноническое п-мерное вектор-
ное пространство Qn, которое определяется как совокупность всех
упорядоченных наборов из п элементов поля Й: (рь .... р„).
Умножение векторов на элементы из й задается равенством
(₽1, •••, ₽») 7 =(₽!?, •••, М)-
Произвольная базисная окрестность U' нулевого вектора состоит
из всех векторов, все координаты рп ... , р„ которых принадле-
жат некоторой базисной окрестности U нуля в й. Аксиомы об
окрестностях и непрерывности сложения и умножения оказы-
ваются в этом случае выполненными.
Если поле й полно, то и QP — полное пространство.
Доказательство. Множество А векторов (рх, .... рл)
является малым порядка V тогда и только тогда, когда мно-
жество элементов р; для каждого i является малым порядка U.
Назовем множество элементов pz i-компонентой множества А и
обозначим ее через А(. Если теперь задан некоторый фильтр
Коши S множеств А, то А/ для каждого i образуют некоторый
фильтр Коши в й Если поле й полно, то все эти фильтры
Коши имеют некоторые пределы yt в Й. Но тогда в 8 для каж-
дого U существует множество А(1), 1-компонента которого лежит
в ух + U\ точно так же существует множество А‘2>, 2-компонента
которого лежит в у2 + Й, и т. д. вплоть до А(п). Пересечение
А = А11) П А’2' П ... П А(,,) принадлежит тогда множеству (уь ...
• 7«) + П'. Следовательно, фильтр 8 сходится к пределу
(Tv •••> 7Д-
604
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
[ГЛ XX
§ 170. Пополнение колец
Тх-кольцо является аддитивной Т-группой и поэтому может
быть расширено до сильно полной группы
R^R/N.
При этом R является аддитивной полугруппой фильтров Коши,
a N — нормальной подполугруппой, которая состоит из фильтров
с нулевым пределом.
Мы определим в R умножение, которое превратит R в «по-
лукольцо», а К — в двусторонний идеал этого «полукольца», так
что R — R/N окажется полным топологическим кольцом.
Окрестности нуля по-прежнему будут обозначаться буквами
U, V, W, ... Сначала будет доказана
Лемма. Если % —фильтр Коши, то для каждой окрестно-
сти U существует такая окрестность W и такое множество А
в §•, что
AW<=U и WA^U.
Доказательство. Существует такая окрестность U', что
П'-ф(7'с=[/. Существует, далее, такая окрестность V, что VV s
^U'. Наконец, существует такое множество А из 8, что
х — у е V для всех х и у в А.
Зафиксируем в А элемент у. Существует такая окрестность
W <= V, что
yW^U' и Wy=U’.
Но тогда для каждого х из А и каждого г из W
хг — (х — у) г -ф yz е V V -ф у W s U' -ф U' £ U,
так что AW^U. Точно так же доказывается, что WA^U.
Из этой леммы следует, что
I. Если 8 и ® — фильтры Koiuu, то и 5® — фильтр Коши.
Доказательство. Имеем
ху-х'у' = х(у-у') + (х-х')у'. (1)
Для заданной окрестности U определим V так, чтобы было
V + V^U.
Согласно лемме существуют такое множество А в 8, такое
множество В в ® и такая окрестность 1Ф, что
WB^V и AW<=V.
§ 170]
ПОПОЛНЕНИЕ КОЛЕЦ
605
Можно считать, что А и В — малые множества порядка W.
Если теперь ху и х'у' — два произвольных элемента из АВ
(х и х' — из А, у и у' —из В), то из (1) следует соотношение
ху — х'у' е V 4- V <= U.
Таким образом, 8® —фильтр Коши.
II. Если $ —фильтр Коши и & —фильтр, сходящийся к нулю,
то 8® и @8 сходятся к нулю.
Доказательство непосредственно следует из леммы.
Согласно I фильтры Коши образуют некоторое полукольцо R.
Согласно II фильтры, сходящиеся к нулю, образуют двусторон-
ний идеал N в этом полукольце. Модуль классов вычетов
R = R/N
является, следовательно, полным топологическим модулем и
кольцом.
Докажем теперь непрерывность умножения в R:
III. Если 8 и © — фильтры Коши и и — некоторая (опреде-
ленная, как в § 168) базисная окрестность нуля в R, то суще-
ствуют базисные окрестности нуля V и W такие, что
(8 + V)(@+^)s8@+i7. (2)
Доказательство. Для произвольных х, у, v, w из R
имеет место соотношение
(х-)-у) (y + w)==xy + xw + vy + vw. (3)
Пусть теперь дана произвольная окрестность U нуля в R.
Определим U' так, что О' -\-U' A-U' U, а затем, в соответст-
вии с леммой, множество А в 8, множество В в @ и окрестно-
сти V и W так, что AW U' и V'B s U', и, наконец, окре-
стности V S V и W s W так, что VW^U'. Тогда из (3)
следует, что для хе Л, у е В, v V и w е W имеет место
(x + w)(y + w) ^xy + w + U' + U' ^xy + u,
так что
(A + V) (B + W)s=AB + U,
Тем самым доказано III.
Итак, R является Т-кольцом. Следовательно, и Л —топологи-
ческое кольцо и, так как выполнена первая аксиома отделимо-
сти Т1( оно будет Т1-кольцом.
Согласно § 168 кольцо R полное. Итак:
Каждое Т]-кольцо погружается в полное Т^кольцо.
606
топологическая алгебра
(ГЛ. XX
§ 171. Пополнение тел
Пусть S — некоторое топологическое тело, которое удовлетво-
ряет первой аксиоме отделимости. Согласно § 170 S погружается
в некоторое полное Т-кольцо S=S/K. Но кольцо S не обязано
быть топологическим телом, потому что для некоторого элемента
W Ф 0 из S может не существовать обратного, а если он и
существует, то не обязан зависеть непрерывно от w.
Для того чтобы S погружалось в полное Т-тело, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялась следующая аксиома испол-
няемости тел:
SK. Если % —фильтр Коши в S, не сходящийся к нулю, то
g-1 — базис фильтра Коши.
Сначала докажем, что аксиома SK обязательно выполняется,
если S вкладывается в некоторое полное топологическое тело S*.
Действительно, произвольный фильтр Коши g в S при вложении
дает некоторый базис фильтра, который в S* имеет ненулевой
предел а. Тогда базис фильтра g 1 сходится к а \ так как ото-
бражение х ।—> х1 непрерывно; следовательно, g'1 — базис фильтра
Коши.
Пусть теперь выполнена аксиома SK- Мы покажем, что S
вкладывается в полное топологическое тело.
Прежде всего мы покажем, что прежняя аксиома TS (§ 165)
следует из SK.
Пусть {/ — произвольная окрестность нуля в S. Мы должны
показать, что существует окрестность V такая, что
(1 + У)-1 £= 1ф-СС
Окрестность 1 ф- V единицы составляет некоторый фильтр
Коши g, который сходится к единице, а потому не сходится
к нулю. Согласно SK, множество g"1=’B является базисом
фильтра Коши. Множествами в ’В служат
4 = (1+Ю-1,
где, разумеется, из 1 ф- V исключен нуль. Для каждого у =ф0
из 1 ф- V имеет место соотношение
(I)
Согласно лемме из § 170 для каждой окрестности U сущест-
вует такая окрестность W и такое множество А' из 'В, что
A'W^-U.
Это множество А' имеет вид Цф-К')1. Выберем теперь V
§ 1'11
ПОПОЛНЕНИЕ ТЕЛ
607
в пересечении V [~] W.
Тогда А^А', V s W и, следовательно,
AV^ A'W<=-U,
1-y^-U,
у-1 - 1 е U,
у-1 ее 1 +U.
Это справедливо в отношении всех у^=0 из 1+V; поэтому
(1 + V)-1 <= 1 + U, (2)
что и утверждалось.
Теперь мы можем показать, что каждый элемент а=^0 из S
обладает обратным. Элемент а является пределом некоторого
фильтра Коши 8 из S. Согласно SK множество З-1 является
базисом фильтра Коши, который, следовательно, обладает в S
некоторым пределом Ь. Произведение Д имеет, с одной стороны,
предел Ьа, а с другой — предел 1, поэтому Ьа = 1.
Чтобы показать, что S является телом, мы должны, в соот-
ветствии с § 165, показать, что для каждой базисной окрестности
U нуля существует базисная окрестность У нуля такая, что
(1 + V)1 S 1 +й.
Базисные окрестности U и V при гомоморфизме S->S полу-
чаются из некоторых базисных окрестностей U и V из S. Следо-
вательно, достаточно доказать, что
(1+ V)-1 £= 1 +0.
Но это немедленно следует из (2), если вспомнить о том, как
получаются U и V из U и V.
Подытожим:
Если имеет место аксиома SK, то 8 является Т-телом. Для
того чтобы тело S погружалось в некоторое полное Т-тело, необ-
ходимо и достаточно, чтобы имела место аксиома SK.
По поводу дальнейших сведений о топологических телах см.
следующие работы:
Капланский (Kaplansky I.). Topological methods in valuation
theory.—Duke Math. J., 1947, 14, p. 527.
Ковальский, Дю p ба ум (Kowalsky H. J., Diirbaum H.).
Arithmetische Kennzeichung von Korpertopologien. — J. reine und
angew. Math., 1953, 191, S. 135.
Ковальский (Kowalsky H. J.). Zur topologischen Kenn-
zeichung von Korpern. — Math. Nachr., 1953, 9, S. 261.
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. —M.: Наука, 1973.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелев дифференциал 569
Абелева группа 28
Абелево расширение 196
— уравнение 196
Абсолютная величина 266
— неразложимость 129
Абсолютно неприводимое представле-
ние 383
— целая алгебраическая функция 485
Автоморфизм 43
— внешний 43
— внутренний 43
Аддитивная группа 29
— — кольца 50
Аксиома Архимеда 268
— выбора 238
— отделимости вторая 584
— — первая 584
— пополняемости тел 607
— сильной пополняемости 599
— слабой пополняемости 592
— счетности первая 584
— Хаусдорфа 584
Аксиомы Пеано 20
Алгебра 330
— ассоциативная 330
— Грассмана 337
— кватернионов 334
— — обобщенных 334
— Клиффорда 339
— — вторая 339
— полупростая 352
— простая 345
— с делением 349
— центральная 344
— циклическая 345
Алгебраическая функция одной пере-
менной 261
— — целая 485
--------абсолютно 485
Алгебраически зависимое множество
256
— зависимый элемент 254, 256
— замкнутое поле 165, 244, 545
— независимое множество 256
— независимые элементы 255
Алгебраический элемент 139
----целый 484
Алгебраическое многообразие 459
— расширение 145
— — максимальное 244
---- простое 139
— число 142
— — целое 485
Алгоритм деления 64, 75
— Евклида 73
Альтернативное кольцо 330
Альтернированная билинейная форма
97
Антисимметрическая билинейная фор-
ма 97
— полилинейная форма 97
— форма общая 328
Аппроксимационная теорема 544
Арифметическая прогрессия нулевого
порядка 112
----n-го порядка 112
Архимедово нормирование 522
— поле 268
Ассоциативная алгебра 330
Ассоциированные системы факторов
343
— элементы 76
Ассоциированный идеал примерный
432
---- простой 432
Аффинное пространство 459
Базис векторного пространства 81
— идеала 65
— модуля 482
— нормальный 232
— окрестностей 581, 599
---- пространства 582
— фильтра 596
---- Коши 596
----сходящийся 597
Базисные множества 582
— окрестности 582
Базисный вектор 81
Базисы двойственные 88
Бесконечная циклическая группа 37
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
609
Бесконечное множество 24
Билинейная форма 95
--- альтернированная 97
— — антисимметрическая 97
Большой радикал кольца 353
Брауэрова система факторов 417
Вековое уравнение 317
Вектор 80
— базисный 81
— ковариантный 96
— контравариантный 96
— линейно зависимый от системы век-
торов 83
— собственный 314, 323
— степенных рядов 558
Векторное пространство 80
— — двойственное 87
— — каноническое п-мерное 603
— — конечное 81
--- конечномерное 81
— — левое 80
---модельное п-мерное 83
— — над Q 603
— — правое 80
Векторы линейно зависимые 83
— — независимые 81, 84
— ортогональные 322
Величина абсолютная 266
Верхняя граница 238
— грань 238
Вес многочлена 121
Вещественно замкнутое поле 285
Взаимно однозначное отображение 19
— простые идеалы 444
— — элементы 73
Вложение поля 531
Вложенная компонента идеала 442
Вложенный идеал 442
Внешнее умножение 337
— — грассманово 336
Внешний автоморфизм 43
Внутренний автоморфизм 43
Возможность деления 31
Вполне положительное число 295
— - положительный элемент 295
— приводимая группа 184
— приводимое представление 310, 351
--- слева кольцо 361
— упорядоченное множество 237
Вращение 323
Всюду конечный дифференциал 563
Вторая аксиома отделимости 584
— алгебра Клиффорда 339
— нормальная форма матрицы 313
— теорема единственности 443
---о разложении 438
Вторая аксиома об изоморфизме 175
— форма индукции 21
Второе соотношение между характера-
ми 394
Высокий примарный идеал 506
Вычет дифференциала 571
— квадратичный 535
Гамильтонов кватернион 335
Гиперповерхность 468
Главный идеал 65
— порядок 490
Гомоморфизм 45
— групп 45
— модулей 174
— «на» 45
— операторный 173
Гомоморфное отображение 45
Гомоморфный образ 45
Граница верхняя 238
Грань верхняя 238
Грассманова алгебра 337
Грассманово внешнее умножение 336
Группа 28
— абелева 28
— автоморфизмов множества 43
— аддитивная 29
-кольца 50
— Брауэра 414
— вполне проводимая 184
— Галуа 195
------ поля деления круга 204
— дивизоров поля 551
— дискретная 585
— единичная 36
— знакопеременная 36
— импримитивная 192
— интранзитивная 191
— кватернионов 390
— Клейна четверная 44
— кольца аддитивная 50
— комплексная 329
— многочлена 195
— порожденная 37
— примарная 304
— примитивная 192
— простая 176
— разрешимая 180
— с операторами 171
— симметрическая 31
— симплектическая 329
— тела мультипликативная 55
— топологическая 585
— транзитивная 191
— уравнения 195
— характеров 185
— циклическая 37
610
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Группа циклическая бесконечная 37
Групповое кольцо 336
Группы изоморфные 42
— — топологически 586
Двойной модуль 350
Двойственное векторное пространство
87
Двойственные базисы 88
Двусторонне непрерывный изоморфизм
521
Двусторонний идеал 65
Двухвалентный тензор 95
Двучленное уравнение 209
Делимость в кольце 69
— вектора на дивизор 558
— дивизоров 552
— идеалов 69
— относительно нормирования 515
Делитель 69
— единицы 75
— матрицы детерминантный 302
— — элементарный 313
— нуля 51
-левый 51
-правый 51
— общий наибольший 73
------ идеалов 71
— — — с-модулей 493
— собственный 69, 76
Детерминантный делитель матрицы
302
Дивизор дифференциала 566
— единичный 551
— поля 550
— простой 551
— специальный 557
— целый 551
Дивизор-знаменатель 554
Дивизор-числитель 554
Дивизоры линейно независимые 567
— эквивалентные 553
Дискретная группа 585
Дискретное нормирование 514
— пространство 583
Дискриминант 124
— формы 319
Дифференциал абелев 569
— Вейля 563
— конечный всюду 563
— — относительно плейса 571
— первого рода 563
— поля 563
— элементарный второго рода 564
--- третьего рода 564
Дифференциальное отношение 260
— соотношение эйлерово 106
Длина идеала 361
— — примарного 455
— нормального ряда 176
Доказательство методом индукции 20
— трансфинитной 242
Допустимая нормальная подгруппа 171
— подгруппа 171
Допустимый идеал 347
Дробный идеал 493
Дробь простейшая 132
Евклидово кольцо 72
Единица 28, 75
— кольца 52
— левая 28
— правая 31
Единичная группа 36
— матрица 93
— подстановка 30
— форма квадратичная 321
--- эрмитова 322
Единичный дивизор 551
— идеал 65
— элемент 52
Задача о трисекции угла 227
— об удвоении куба 227
Закон ассоциативности 20, 28
— дистрибутивности 49
— инерции Сильвестра 320
— коммутативности 21, 28
— композиции 28
Замкнутая оболочка 581
Замкнутое множество 239
--- в топологическом пространстве
580
— мультипликативное множество 441
— подмножество по Цорну 239
Звездно обратный элемент 355
— — — левый 355
— регулярный идеал 356
--- слева элемент 355
--- элемент 355
Звездное произведение 355
Знак числа 280
Знакопеременная группа 36
Значение многочлена 62
— собственное 323
Идеал 64
— , аннулирующий модуль 303
— ассоциированный примарный 432
--- простой 432
— вложенный 442
— главный 65
— двусторонний 65
— допустимый 347
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
611
Идеал дробный 493
— единичный 65
— звездно регулярный 356
— изолированный 442
— левый 65
— максимальный 70
— модулярный 353
— , не имеющий делителей 70
— неприводимый 434
— неразложимый 504
— несмешанный 473
— нильпотентный 351
— нулевой 65
— однократный 448
— отмеченный 450
— порожденный 65
— правый 64
— приводимый 434
— примарный 430
— —• высокий 506
— — низкий 506
— простой 69
--- относительно идеала 428
— сильно примарный 434
— слабо примарный 434
—, соответствующий многообразию 460
— целый 493
Идеалы взаимно простые 444
— квазивзаимно простые 503
— квазиравные 501
Идемпотентный элемент 360
Изолированная компонента идеала 442
Изолированное подмножество множест-
ва идеалов 442
Изолированный идеал 442
Изоморфизм 42
— двусторонне непрерывный 521
— над полем 161
— операторный 173
— топологический 521
Изоморфные группы 42
— множества 42
— нормальные ряды 177
Импримитивная группа 192
Инвариантная подгруппа 41
Инвариантное подпространство 308
Инвариантный множитель 302
Инверсно изоморфное кольцо 367
Инверсное кольцо 404
Индекс инерции квадратичной формы
320
— подгруппы 41
— специальности дивизора 557
— тела 377
Индукция 20
— трансфинитная 242
Интервал открытый 581
Интерполяционная формула Лагранжа
109
---Ньютона 109
Интранзитивная группа 191
Инъективное отображение 19
Канонический класс 567
Каноническое га-мерное векторное про-
странство 603
Касательный конус 477
Квадратичная форма 317
--- единичная 321
---положительно определенная 321
--- полуопределенная 321
Квадратичный вычет 535
Квадратура круга 227
Квазивзаимно простые идеалы 503
Квазиделитель 501
Квазикратное 501
Квазиравные идеалы 501
Квазирегулярный слева элемент 355
Кватернион гамильтонов 335
Класс 17
— вычетов 48, 66
---отрицательный 272
— — положительный 272
— дивизоров 567
— дифференциалов 567
— идеалов 502
— канонический 567
— смежный левый 40
— — правый 40
— эквивалентности 27
Клиффордова алгебра 339
Ковариантный вектор 96
— тензор 95
Ковектор 87
— , кратный дивизору 563
— последовательностей 559
Ковекторы почти равные 577
Кольцевое присоединение переменной
62, 137
Кольцо 49
— альтернативное 330
— без делителей нуля 52
— вполне приводимое слева 361
— главных идеалов 72
— групповое 336
— евклидово 72
— инверсно изоморфное 367
— инверсное 404
— классов вычетов 68
— коммутативное 50
— Ли 330
— лиево 330
— матричное полное 334
— многочленов 61
612
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кольцо многочленов от п переменных
62
— нётерево 421
— нормирования 514
— нулевое 54
— нуль-примарное 452
— полупростое 354
— примитивное 365
— простое 350
— радикальное 353
— рациональное 54
— с единицей 52
— — единичным элементом 52
— тензорное 337
— топологическое 589
— целозамкнутое 486
— Целостное 52
— целых гауссовых чисел 74
— частных 450
— — обобщенное 451
— эндоморфизмов 367
--- абелевой группы 173
---левых 367
— — правых 367
Коммутант группы 48
Коммутативное кольцо 50
— поле 54
Комплекс 39
Комплексная группа 329
Комплексно сопряженное число 284
Композиционный ряд 177
---примерного идеала 455
— фактор 177
Композиция круговая 355
Компонента вектора 558
— идеала вложенная 442
--- изолированная 442
---определенная множеством 442
--- примарная 438
Конечное векторное пространство 81
— множество 24
— расширение 143
— тело 155
Конечномерное векторное пространст-
во 81
Конечный модуль 298
— относительно плейса дифференциал
571
— М-модуль 482
Константы поля функций 545
Контравариантный вектор 96
— тензор 96
Контраградиентное представление 395
Конус касательный 477
Координаты билинейной формы 95
— вектора 82
— ковектора 87
Корень дифференциала 571
— идеала 459
---общий 463
— матрицы характеристический 314
— многочлена 459
— первообразный по модулю р 158
— простой 107
— уравнения 139
— функции fe-кратный 547
— характеристический 317
— ^-кратный 107
— ге-й степени из единицы 150
--------------примитивный 151, 153
Корневое подпространство 314
Коэффициент 80
— многочлена старший 61
--------формальный 125
Коэффициенты многочлена 60
— неопределенные 215
Кратная дивизору функция 551 ,
— точка 477
Кратное 69
— общее наименьшее 71
идеалов 71
— правое 65
— собственное 69
Кратность корня 148
Кривая 468
— рациональная 253
Критерий Генцельта 480
— неприводимости многообразия 461
— редукции в совершенных полях 524
— целости 538
Кронекерово произведение 392
Круг 581
Круговая композиция 355
Круговое поле 202
Куб 582
Кубическая резольвента 222
Левая единица 28
Левое векторное пространство 80
— частное 348
Левый делитель нуля 51
— звездно обратный элемент 355
— идеал 65
— мультипликатор 172
— обратный элемент 28, 53
— смежный класс 40
— о-модуль 349
Лемма Гензеля 524
— об абелевых группах 151
— основная Бурбаки 240
— Цорна 239
Лиево кольцо 330
Линейная оболочка системы преобра-
зований 401
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
613
Линейная форма 86
— функция 86, 386
Линейно зависимые векторы 83
— независимые векторы 81, 84
--- дивизоры 567
— упорядоченное множество 237
— эквивалентные системы векторов 85
Линейное подпространство 86
— преобразование 90
— — неособое 92
— — ортогональное 323
---симметрическое 322
---тождественное 93
--- транспонированное 94
--- унимодулярное 303
— — унитарное 323
---эрмитово симметрическое 322
— уравнение 89
--- однородное 89
Линейный ранг 86
Локальная норма 575
Максимальное алгебраическое расши-
рение 244
Максимальный идеал 70
— элемент 239
Малый радикал кольца 352
Матрица 91
— единичная 93
— неособая 92
— обратимая 299
— обратная 93
— преобразования 91
— сопровождающая 312
— транспонированная 95
Матричное кольцо полное 334
— представление алгебры кватерни-
онов 335
Метод индукции 20
— последовательного исключения 89
Минимальный модуль 350
Минор 101
Многообразие алгебраическое 459
— идеала 459
— неприводимое 461
---над основным полем 461
— неразложимое 461
— — над основным полем 461
— приводимое 461
— — над основным полем 461
— составное 461
Многочлен 61
— деления круга 154
— неприводимый 76
— несепарабельный 121
— однородный 63
— сепарабельный 161
Многочлен словарно упорядоченный
121
—содержащий многообразие 460
— характеристический 316
— целочисленный 62
Многочлены равные 61
Множества базисные 582
— изоморфные 42
— непересекающиеся 19
— подобно упорядоченные 42
— равномощные 19
— равные 18
— эквивалентные над полем 256
Множество 17
— алгебраически зависимое 256
---независимое 256
— бесконечное 24
— вполне упорядоченное 237
— второй ступени 17
— замкнутое 581
--- в топологическом пространстве
580
— конечное 24
— линейное упорядоченное 237
— малое порядка V 594
— мультипликативно замкнутое 441
— объемлющее 18
— , ограниченное сверху 237
— открытое 581
— полуупорядоченное 237
— произвольно малое 596
— пустое 17
— счетно бесконечное 25
— счетное 25
— упорядоченное 237
— частично упорядоченное 237
Множитель инвариантный 302
Модельное n-мерное векторное про
странство 83
Модуль 29, 172
— двойной 350
— конечный 298
— линейных форм 298
— минимальный 350
— над кольцом 173
— полный 602
— представления 307
Модуль простой 350
— сильно полный 602
— топологический 602
— числа 284
— элемента 266
Модулярный идеал 353
Мощность 19
Мультипликативная группа тела 55
Мультипликативно замкнутое множе-
ство 441
614
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Мультипликатор левый 172
— правый 172
Надидеал 69
Надмножество 18
— собственное 18
Надтело 136
Наибольший общий делитель 73
------- идеалов 71
---— с-модулей 493
Наивысшая размерность идеала 473
Наименьшее общее кратное 71
------- идеалов 425
Натуральный ряд 20
Начало множества 240
Неархимедово нормирование 512
Недискретное нормирование 514
Независимые трансцендентные элемен-
ты 255
Некоммутативное поле 54
Неопределенные коэффициенты 215
Неособая матрица 92
Неособое линейное преобразование 92
Непересекающиеся множества 19
Непрерывная функция 278, 583
--- в точке 583
Непрерывно изоморфные поля 521
Непрерывное отображение 583
Неприводимая система 258
Неприводимое многообразие 461
---над основным полем 461
— представление 310
Неприводимый многочлен 76
— случай кубического уравнения 221
Неразложимость абсолютная 129
— уравнения деления круга 204
Неразложимый идеал 504
— элемент 76
Несепарабельное расширение 161
Несепарабельный многочлен 121
— элемент 161
Несмешанный идеал 473
Несовершенное поле 164
Несократимое представление 436
Нетерова система факторов 415
Нётерово кольцо 421
— условие 476
Нечетная подстановка 36
Низкий примарный идеал 506
Нильидеал 357
Нильпотентный идеал 351
— элемент 430
Норма 168
— кватерниона 335
— локальная 575
— матрицы 316
— регулярная 168
Нормализатор элемента 180
Нормальная подгруппа 41
----- допустимая 171
— форма матрицы вторая 313
-------- первая 312
-------- третья 314
Нормальное расширение 149
— уравнение 150
Нормальные ряды изоморфные 177
Нормальный базис 232
— ряд 176
----- без повторений 176
----- над подгруппой 177
•----собственный примарного идеала
455
Нормирование 545
— архимедово 522
— дискретное 514
— неархимедово 512
— недискретное 514
— показательное 514
— , соответствующее точке 540
— р-адическое 510
— р-адическое 511
Нормирования эквивалентные 520
Нормированная система векторов 322
Нормированное поле 509
Нулевое кольцо 54
— решение 90
Нулевой идеал 65
— элемент 29, 50
Нуль-последовательность 270
Нуль-примарное кольцо 452
Область импримитивности 192
— мультипликаторов 172
— операторов 171
----- правых 602
— транзитивности 191
— целых чисел 22
Обобщение теоремы о корнях
Обобщенное кольцо частных 451
Оболочка замкнутая 581
— линейная системы преобразований
401
Образ гомоморфный 45
— элемента 19
Обратимая матрица 299
Обратимое отображение 299
Обратимый элемент 75
Обратная матрица 93
— подстановка 30
Обратное отображение 19
Обратный элемент 28, 53
— — левый 28, 53
-----правый 31, 53
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
615
Общая антисимметрическая форма 328
— точка многообразия 465
Общее кратное идеалов наименьшее 425
— — наименьшее 71
— уравнение п-н степени 215
Общий делитель наибольший 73
— — — идеалов 71
---— с-модулей 493
— корень идеала 463
Объединение многообразий 460
— множеств 18
Объемлющее множество 18
Ограниченное сверху множество 237
Однозначность деления 31
Однократный идеал 448
Однородное линейное уравнение 89
Однородный многочлен 63
Окрестности базисные 582
Окрестность нуля 559
— точки 581
— — открытая 581
Оператор 171
Операторный гомоморфизм 173
— изоморфизм 173
Определение методом индукции 22
Определитель 98, 100
— Вандермонда 108
— формы 319
Ортогональное линейное преобразова-
ние 323
Ортогональность характеров 397
Ортогональные векторы 322
— пространства 89
Основная лемма Бурбаки 240
— теорема алгебры 283
— — Нётера 476
— — о конечных множествах 24
--------разложении на множители
113
--------симметрических функциях
121
---об абелевых группах 305
— — теории Галуа 197
— форма 322
Основное поле 194
Основные теоремы о линейной зависи
мости 83
Открытая окрестность точки 581
Открытое множество 581
Открытый интервал 581
Отмеченный идеал 450
Отношение дифференциальное 260
— разностное k-e 110
— рефлексивное 26
— симметричное 26
— транзитивное 26
— эквивалентности 26
Отображение 19
— взаимно однозначное 19
— гомоморфное 45
— инъективное 19
— непрерывное 583
— обратимое 299
— обратное 19
— сюръективное 19
— топологическое 583
Отрезок множества 240
Отрицательный класс вычетов 272
— элемент 266
Первая аксиома отделимости 584
--- счетности 584
— нормальная форма матрицы 312
— теорема единственности 439
---о разложении 434
— — об изоморфизме 175
Первое соотношение между характера-
ми 393
Первообразный корень по модулю р
158
Перемена знаков 280
Переменная 61
Пересечение многообразий 460
— множеств 18
— подгрупп прямое 331
Перестановка циклическая 36
Перестановочные элементы 54
Период /-членный 207
Плейс 546
— неразветвленный 577
Плотное подмножество 581
Поверхность 468
— риманова 546
Подгруппа 35
— допустимая 171
— инвариантная 41
— нормальная 41
— — допустимая 171
— сопряженная 43
— характеристическая 172
Подидеал 69
Подкольцо 64
Подмногообразие 459
Подмножество 17
— замкнутое по Цорну 239
— множества идеалов изолированное
442
— плотное 581
— собственное 18
Подобно упорядоченные множества 42
Подпространства ортогональные 89
Подпространство инвариантное 308
— корневое 314
— линейное 86
616
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Подпространство ортогональное к век-
тору 89, 322
Подстановка 29
— единичная 30
— нечетная 36
— обратная 30
— тождественная 30
— четная 36
Подтело 134
Показатель 513
— идеала 433
— корня 161
— многочлена 161
— расширения 164
Показательное нормирование 514
Поле 54
— алгебраически замкнутое 165, 244,
545
— алгебраических функций 568
--- чисел 283
— архимедово 268
— вещественно замкнутое 285
— вещественных чисел 276
— Галуа 155
— деления круга 152
— классов вычетов нормирования 515
— коммутативное 54
— комплексных чисел 282
— констант 545
— корней /i-й степени из единицы 152
— круговое 202
— некоммутативное 54
— несовершенное 164
— нормированное 509
— основное 194
— полное относительно нормирования
516
— — у-адическое 519
— простое 134
— разложения многочлена 145
--- тела 377
— совершенное 161, 164
— универсальное 462
— упорядоченное 266
— формально вещественное 285
— частных 57
— р-адических чисел 517
— р-адическое полное 519
Полилинейная форма 97
— — антисимметрическая 97
Полная ортогональная система век-
торов 322
Полное матричное кольцо 334
— поле относительно нормирования 516
— разложение алгебры 377
— р-адическое поле 519
Полный модуль 602
Положительная фундаментальная по-
следовательность 272
Положительно определенная форма
квадратичная 321
-------- эрмитова 322
Положительный класс вычетов 272
— элемент 266
Полугруппа 401
— топологическая 600
— центральная 403
Полуопределенная квадратичная форма
321
Полупростая алгебра 352
Полупростое кольцо 354
Полуупорядоченное множество 237
Полюс дифференциала 571
— функции й-кратный 547
Поля непрерывно изоморфные 521
— порядково изоморфные 268
Полярная форма 317
Пополнение кольца 605
— тела 607
Порождающие элементы 37
Порожденная группа 37
Порожденный идеал 65
Порядково изоморфные поля 268
Порядок главный 490
— группы 32
— дифференциала 571
— малости 596
— функции 547
— элемента 38
Последовательность Коши в Т-группе
591
— сходящаяся 273, 583
Последовательность фундаментальная
269, 516
---в Т-группе 591
-------- Т-модуле 602
---положительная 272
Построение методом индукции 22
-------- трансфинитной 242
— правильного многоугольника 228
Почти равные конвекторы 577
Правая единица 31
Правила дифференцирования 105
Правое кратное 65
Правый делитель нуля 51
— идеал 64
— мультипликатор 172
— обратный элемент 31, 53
— смежный класс 40
— Q-модуль 602
Предел базиса фильтра 597
— последовательности 273
Представитель класса эквивалентности
27
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
617
Представитель смежного класса 40
Представление абсолютно неприводи-
мое 383
— алгебры кватернионов матричное
335
— вполне приводимое 310, 351
— группы 378
— кольца 350
---линейными преобразованиями
307
— контраградиентное 395
— - наибольшими примерными идеала-
ми 438
— неприводимое 310
— несократимое 436
— подстановок циклами 36
— приведенное 310
— приводимое 308
— распадающееся 310
— регулярное 236, 379
— сопряженное 395
— точное 307
Представления эквивалентные 308
Преобразование 29
— линейное 90
--- неособое 92
--- ортогональное 323
------ симметрическое 322
---тождественное 93
------ транспонированное 94
--- унимодулярное 303
--- унитарное 323
---эрмитово симметрическое 322
Приведение представления 310
Приводимая система линейных преоб-
разований 308
Приводимое многообразие 461
— — над основным полем 461
— представление 308
Приводимый идеал 434
Примерная группа 304
— компонента идеала 438
Примарный идеал 430
---ассоциированный 432
Примитивная группа 192
Примитивное кольцо 365
— расширение 196
— уравнение 196
Примитивный корень А-й степени из
единицы 153
— элемент 165
Принцип индукции 20
---по делителям 425
— максимума 239
— минимальности для многообразий
460
Присоединение множества 137
Присоединение переменной 62
------ кольцевое 62
— символическое 142
— элемента к телу 137
Прогрессия арифметическая нулевого
порядка 112
------п-го порядка 112
Продолжение изоморфизма 146
— нормирования 527
Произведение 28, 49
— алгебр 341
— векторных пространств 340
— звездное 355
— идеалов 426
— классов алгебр 413
— комплексов 39
— кронекерово 392
— подстановок 29
— представлений 393
— прямое 181
------ алгебр 233
------ групп 182
— скалярное 87
— скрещенное 342
— сложное 32
— тензорное 102, 340
— фундаментальных последовательно-
стей 592
Производная многочлена 105
— рациональной функции 260
Произвольно малое множество 596
Прообраз при гомоморфизме 45
— элемента 19
Простая алгебра 345
— группа 176
Простейшая дробь 132
Простое алгебраическое расширение
139
— кольцо 350
— поле 135
— расширение тела 137, 165
— тело 134
— трансцендентное расширение 139
— число 76
Простой дивизор 551
— идеал 69
------ассоциированный 432
— — относительно идеала 428
— корень 107
— модуль 350
— элемент 76
Пространство аффинное 459
— векторное 80
-двойственное 87
конечное 81
конечномерное 81
-левое 80
618
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Пространство векторное модельное
«-мерное 83
— — правое 80
— дискретное 583
— топологическое 580
- хаусдорфово 584
Противоположный элемент 50
Прямая сумма алгебр 333
— — колец 333
Прямое пересечение подгрупп 331
— произведение 181
— — алгебр 233
--- групп 182
Пустое множество 17
Равномощные множества 19
Равные многочлены 61
— множества 18
Радикал 353
— алгебры 352
— кольца большой 353
— — малый 352
Радикальное кольцо 353
Разбиение на классы 40
Разложение алгебры 376
— — полное 377
— тривиальное 76
Размерность векторного пространства
82
— дивизора 582
— идеала 473
— — наивысшая 473
— — простого 466
— класса дивизоров 567
— многообразия 468
— — неприводимого 466
— примарного идеала 473
Разностное отношение k-e НО
Разрешимая группа 180
Ранг линейного преобразования 92
— линейный 86
— пространства 86
— системы уравнений 89
— столбцовый 92
— формы 320
Распадающееся представление 310
Расширение 136
— абелево 196
— алгебраическое 145
— — максимальное 244
— — простое 139
— Галуа 149
— идеала 450
— конечное 143
— не редуцирующее группу 200
— несепарабельное 161
— нормальное 149
Расширение примитивное 196
— сепарабельное 161
— тела 137, 165
--- простое 137, 165
— трансцендентное простое 139
— циклическое 196
— чисто трансцендентное 257
Расширения сопряженные 141
— эквивалентные 140
Рациональная кривая 253
— целая функция 63
Рационально эквивалентные формы
318
Рациональное кольцо 54
Рациональность неприводимых пред-
ставлений 401
Регулярная норма 168
Регулярное представление 236, 379
Регулярный след 168
Редукционная теорема 373
Редуцированная степень корня 161
— — многочлена 161
— — расширения 164
Резольвента кубическая 222
— Лагранжа 210
Результат 126
Рефлексивное отношение 26
Решение нулевое 90
Риманова поверхность 546
Род поля 557
Ряд композиционный 177
--- примарного идеала 455
— натуральный 20
— нормальный 176
— — без повторений 176
— — над подгруппой 177
— — собственный примарного идеала
455
— степенной формальный 519
— Штурма 280
Ряды нормальные изоморфные 177
Свертка 103
Свойство модулей 64
Сепарабельное расширение 161
Сепарабельный многочлен 161
— элемент 161
Сильно полная Т-группа 597
— полный модуль 602
— примерный идеал 434
Символическая степень идеала 443
Символическое присоединение 142
Симметрическая группа 31
— функция 121
--- элементарная 121
Симметрическое линейное преобразо-
вание 322
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
619
Симметрическое отношение 26
Симплектическая группа 329
Система векторов нормированная 322
-- полная ортогональная 322
— линейных преобразований приво-
димая 308
— неприводимая 258
— окрестностей 582
— результантов 471
— с двойной композицией 49
—, содержащая произвольно малые
множества 596
— уравнений транспонированная 90
— факторов 343
--- брауэрова 417
— — нётерова 415
Системы векторов линейно эквивалент-
ные 85
— факторов ассоциированные 343
Скаляр 80
Скалярное произведение 87
Скрещенное произведение 342
Слабо полная Т-группа 591
— примарный идеал 434
След 103, 168
— матрицы 103
— представления 386
— регулярный 168
— - элемента в представлении 386
Словарно упорядоченный многочлен
121
Словарное упорядочение 121
Сложная сумма 32
Сложное произведение 32
Случай неприводимый кубического
уравнения 221
Смежный класс левый 40
---правый 40
Смешанный тензор 96
Собственное значение 323
— кратное 69
— надмножество 18
— подмножество 18
Собственный вектор 314, 323
— делитель 69, 76
— нормальный ряд примарного идеа-
ла 455
Совершенное поле 161, 164
Содержание многочлена 114
Соотношение дифференциальное эйле-
рово 106
— между характерами второе 394
— — — первое 394
--- — третье 396
— — — четвертое 397
Сопровождающая матрица 312
Сопряженная подгруппа 43
Сопряженное представление 395
Сопряженные расширения 141
— элементы 43
Сопряженный характер 395
Составное многообразие 461
Специальный дивизор 557
Сравнимые элементы 48
Старший коэффициент многочлена 61
Степенной ряд формальный 519
Степень 33
— группы подстановок 193
— дивизора 551
— идеала 426
— — символическая 443
— класса дивизоров 567
— корня редуцированная 161
— многочлена 61, 63
--- редуцированная 161
— — формальная 125
— множества 239
— представления 378
— расширения 143
— — редуцированная 161
— трансцендентности 259
— функции 250
— элемента алгебраического 139
Столбцовый ранг 92
Структурная теорема для полупро-
стых колец 372
— теорема для простых колец 372
--- о кольцах эндоморфизмов 371
--- — произведениях 406
Сужение идеала 450
Сумма 29, 49
— идеалов 71
— квадратов 320
— линейных преобразований 94
— матриц 94
— прямая алгебр 333
--- колец 333
— сложная 32
— о-модулей 493
Схема (цифр) 398
— разностей 111
Сходимость базиса фильтра 597
— последовательности 273, 583
Сходящаяся последовательность 273,
583
Счетно бесконечное множество 25
Счетное множество 25
Сюръективное отображение 19
Тело 54
— конечное 155
— простое 134
— топологическое 618
— эндоморфизмов 368
620
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
II I I II I I I I I I I I I I I I I I I I
Тензор 95
— двухвалентный 95
— ковариантный 96
— контравариантный 96
— смешанный 96
Тензорное кольцо 337
— произведение 102, 340
Теорема Абеля 217
— аппроксимационная 544
— Бернсайда 402
— Веддерберна 372
— Вейерштрасса 278
— Вильсона 158
— Генцельта о корнях 480
— Гильберта о базисе 421
— — — корнях 472
единственности вторая 443
— первая 439
Жордана — Гельдера 179
Коши 274
Люрога 252
Машке 388
о базисе 421
— биноме 54
— верхней грани 275
— вычетах 573
— главных идеалов 456
— гомоморфизмах групп 47, 173
--- колец 69
— модулях 374
— независимости плейсов 549
--- характеров 185
— примитивном элементе 165
— продолжении 503
— разложении вторая 438
— — многообразия 461
— — на множители основная 113
— — первая 434
— — — рациональных функций на
простейшие дроби 131
— — сепарабельной порождаемое™
568
— — следе 403
— — среднем 282
— — степенях 144
— — цепях делителей 423
— — — —, формулировка вторая 423
— — — —, — первая 423
— — — —, — третья 425
— — — —, — четвертая 425
— об автоморфизмах алгебры 405
— — изоморфизме вторая 175
— — — первая 175
— — инвариантных множителях 300
— — индексе специальности 563
— — однозначности разложения на
простые множители 78
Теорема об умножении определителей
99
— основная алгебры 283
---Нетера 476
— — о конечных множествах 24
— — — симметрических функциях
121
— — об абелевых группах 305
---теории Галуа 197
— Островского 521, 523
— редукционная 373
— Римана— Роха 566
— Ролля 282
— структурная для полупростых ко-
лец 372
— — — простых колец 41
--- о кольцах эндоморфизмов 371
--- — произведениях 406
— Ферма 158
— Фробениуса — Шура 402
— Цермело 241
— Шрайера 178
— Штейница 245
---о замене 85
— Штурма 280
— Эйзенштейна 117
Тождественная подстановка 30
Тождественное линейное преобразова-
ние 93
Тождество 93
— Эйлера 106
Топологическая группа 585
— полугруппа 600
Топологически изоморфные группы 586
Топологический изоморфизм 521
— модуль 602
Топологическое кольцо 589
— отображение 583
— пространство 580
— тело 618
Топология тела 589
— 1\,-адическая 590
— р-адическая 591
Точка кратная 477
— многообразия общая 465
— пространства аффинного 459
— — топологического 581
Точное представление 307
Транзитивная группа 191
Транзитивное отношение 26
Транзитивность целой зависимости 485
Транспозиция 36
Транспонированная матрица 95
— система уравнений 90
Транспонированное линейное преоб-
разование 94
Трансфинитная индукция 242
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
621
Трансформирование 43
Трансцендентное расширение простое
139
Трансцендентный элемент 139
Третье соотношение между характера-
ми 396
Третья нормальная форма матрицы 314
Тривиальное разложение 76
Умножение внешнее 337
--- грассманово 336
— матриц 91
Универсальное поле 462
Унимодулярное преобразование 303
Унитарное преобразование 323
Униформизирующая 547
Уплотнение нормального ряда 176
Упорядочение словарное 121
Упорядоченное множество 237
— поле 266
Уравнение абелево 196
— вековое 317
— двучленное 209
— деления круга 202
— линейное 89
— — однородное 89
— нормальное 150
— общее п-й степени 215
— , определяющее поле 139
— примитивное 196
— характеристическое 316
— циклическое 196
— п-й степени общее 215
Условие максимальности 347, 425
— минимальности 347
— нётерово 476
Условия ортогональности 323
Факторгруппа 47
Факторкольцо 68
Фактормодуль 48
Фактор композиционный 117
— нормального ряда 176
Фильтр 595
— Коши 596
— окрестностей точки 596
— , порожденный базисом 596
Форма 63
— антисимметрическая общая 328
— билинейная 95
— — альтернированная 97
— — антисимметрическая 97
— индукции вторая 21
— квадратичная 317
— — единичная 321
— — положительно определенная 321
— — полуопределенная 321
Форма линейная 86
— матрицы нормальная вторая 313
— — — первая 312
-------- третья 314
— основная 322
— полилинейная 97
----антисимметрическая 97
— полярная 317
— , преобразованная к сумме квад-
ратов 320
— эрмитова 321
---- единичная 322
----положительно определенная 322
Формальная степень многочлена 125
Формально вещественное поле 285
Формальный старший коэффициент 125
— степенной ряд 519
Формула для полной производной 260,
263
— интерполяционная Лагранжа 109
----Ньютона 109
Формулы Кардано 220
Формы рационально эквивалентные 318
— эквивалентные над кольцом 318
Фундаментальная последовательность
269, 516
----в Т-группе 591
---- — Т-модуле 602
----положительная 272
Функция 19
— алгебраическая одной переменной
261
— — целая 485
--------абсолютно 485
— выбора 239
—, кратная дивизору 551
— линейная 86, 386
— матрицы характеристическая 316
— непрерывная 278, 583
—, — в точке 583
— рациональная целая 63
— симметрическая 121
---- элементарная 121
Характер 184
— группы 184
— сопряженный 395
Характеристика поля 135
— тела 135
Характеристическая подгруппа 172
— функция матрицы 316
Характеристический корень 317
----матрицы 314
— многочлен 316
Характеристическое уравнение 316
Хаусдорфово пространство 584
622
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Целая функция алгебраическая 485
— — рациональная 63
Целое число 23
Целозамкнутое кольцо 486
— — алгебраическое 485
— — р-адическое 518
Целостное кольцо 52
Целочисленный многочлен 62
Целый дивизор 551
— идеал 493
— элемент 493, 524
— — алгебраический 484
— — над кольцом 484
— — относительно нормирования 514
Центр группы 180
— кольца 344
Централизатор кольца 406
Центральная алгебра 344
— полугруппа 403
Цепь 239
Цикл 36
Циклическая алгебра 345
— группа 37
— — бесконечная 37
— перестановка 36
Циклическое расширение 196
— уравнение 196
Частично упорядоченное множество 237
Частное идеалов 427
— левое 348
— модулей 499
Частные 57
Часть множества 17
Четверная группа Клейна 44
Четвертое соотношение между харак-
терами 397
Четная подстановка 36
Число алгебраическое 142
— — целое 485
— вполне положительное 295
— комплексно сопряженное 284
— простое 76
— целое 23
— элементов множества 25
— р-адическое 517
— — целое 518
Чисто трансцендентное расширение 257
Эйлерова <р-функция 153
Эйлерово дифференциальное соотно-
шение 106
Эквивалентные дивизоры 553
— над полем множества 256
— нормирования 520
— представления 308
— расширения 140
Эквивалентные формы над кольцом
318
Элемент алгебраически зависимый 254,
256
— алгебраический 139
---целый 484
— бесконечного порядка 38
— вполне положительный 295
— второго рода 161
— единичный 52
— звездно обратный 355
--------левый 355
---регулярный 355
---—- слева 355
— идемпотентный 360
— квазирегулярный слева 355
— максимальный 239
— множества 17
— неразложимый 76
— несепарабельный 161
— нильпотентный 430
— нулевой 29, 50
— обратимый 75
— обратный 28, 53
— — левый 28, 53
---правый 31, 53
---отрицательный 31, 53
— отрицательный 266
— первого рода 161
— положительный 266
— примитивный 165
— простой 76
— противоположный 50
— сепарабельный 161
— трансцендентный 139
— целый 493, 524
--- алгебраический 484
— — над кольцом 484
---относительно нормирования
514
Элементарная симметрическая функция
121
Элементарный делитель матрицы 313
— дифференциал второго рода 564
---третьего рода 564
Элементы алгебраически независимые
255
— ассоциированные 76
— взаимно простые 73
— отделимые друг от друга 586
— перестановочные 54
— порождающие 37
— сопряженные 43
Элементы сравнимые 48, 66
— трансцендентные независимые 255
Эндоморфизм 45
— в-модуля 367
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
623
Т-группа 585
— сильно полная 597
— слабо полная 591
Т-кольцо 589
Т-модуль 602
Т-поле 589
^-пространство 584
Т2-пространство 584
Т-тело 618
v-идеал 507
{3V}-адическая топология 590
(/-компонента элемента 359
с-модуль 173
83 — левый 349
р-адическая топология 591
р-адическое нормирование 511
— поле полное 519
91-модуль конечный 482
91-порядок 490
ср-функция эйлерова 153
ф-цепь 241
Эрмитова форма 321
— — единичная 322
— — положительно определенная 322
Эрмитово симметрическое преобразо-
вание линейное 322
Ядро гомоморфизма 47
f-членный период 207
/g-цепь 240
/г-кратный полюс функции 547
/г-е разностное отношение 110
/г-кратный корень 107
--- Функции 547
/г-мерное векторное пространство
— — — каноническое 603
-------- модельное 83
р-адическое нормирование 510
— число 517
— — целое 518
р-группа 181
S-компонента 442
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ..................................................................... 9
Из предисловий автора .................................................................... 10
Схема зависимости глав.................................................................... 14
Введение ................................................................................. 15
Глава первая
ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
§ 1. Множества............................................................... 17
§ 2. Отображения. Мощности....................................... 19
§ 3. Натуральный ряд....................................... 20
§ 4. Конечные и счетные множества......................... 24
§ 5. Разбиение на классы....................................... 26
Г лава вторая
ГРУППЫ
§ 6. Понятие группы......................... 28
§ 7. Подгруппы ............................................................. 35
§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы............. 39
§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы............................. 42
§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и факторгруппы .... 45
Глава третья
КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
§ 11. Кольца.......................................................................... 49
§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы...................................................... 56
§ 13. Построение частных ............................................................. 57
§ 14. Кольца многочленов ............................................................. 60
§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов.................................................. 64
§ 16. Делимость. Простые идеалы....................................................... 69
§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов....................................... 71
§ 18. Разложение на множители....................................................... 75
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г лава четвертая
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 19. Векторные пространства...................................... 80
§ 20. Инвариантность размерности.................................. 83
§ 21. Двойственное векторное пространство......................... 86
§ 22. Линейные уравнения над телом................................ 88
§ 23. Линейные преобразования..................................... 90
§ 24. Тензоры..................................................... 95
§ 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители ... 97
§ 26. Тензорное произведение, свертка и след..................... 102
Глава пятая
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 27. Дифференцирование ......................................... 105
§ 28. Корни...................................................... 106
§ 29. Интерполяционные формулы ................................. 108
§ 30. Разложение на множители.................................... 113
§ 31. Признаки неразложимости.................................... 117
§ 32. Разложение на множители в конечное число шагов............. 119
§ 33. Симметрические функции..................................... 121
§ 34. Результант двух многочленов ............................... 124
§ 35. Результант как симметрическая функция корней............... 128
§ 36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби ... 131
Г лава шестая
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
§ 37. Подтело. Простое тело...................................... 134
§ 38. Присоединение ............................................. 136
§ 39. Простые расширения......................................... 138
§ 40. Конечные расширения тел.................................... 143
§41. Алгебраические расширения.................................. 145
§ 42. Корни из единицы........................................... 150
§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела)................... 155
§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения................. 159
§ 45. Совершенные и несовершенные поля........................... 164
§ 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном
элементе...................................................... 165
§ 47. Нормы и следы............................................. 167
Глава седьмая
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 48. Группы с операторами....................................... 171
§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы..................... 173
§ 50. Две теоремы об изоморфизме............................ 174
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 51. Нормальные и композиционные ряды....................... 176
§ 52. Группы порядка рп ..................................... 180
§ 53. Прямые произведения ................................... 181
§ 54. Групповые характеры.................................... 184
§ 55. Простота знакопеременной группы........................ 189
§ 56. Транзитивность и примитивность......................... 191
Глава восьмая
ТЕОРИЯ ГАЛУА
§ 57. Группа Галуа........................................... 194
§ 58. Основная теорема теории Галуа ......................... 197
§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля............... 200
§ 60. Поля деления круга..................................... 202
§ 61. Циклические поля и двучленные уравнения................ 209
§ 62. Решение уравнений в радикалах.......................... 211
§ 63. Общее уравнение н-й степени............................ 215
§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней......... 218
§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки................. 224
§ 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 229
§ 67 Нормальные базисы...................................... 232
Глава девятая
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 68. Упорядоченные множества................................ 237
§ 69. Аксиома выбора и лемма Цорна........................... 238
§ 70. Теорема Цермело........................................ 241
§ 71. Трансфинитная индукция................................. 242
Глава десятая
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§ 72. Алгебраически замкнутые поля........................... 244
§ 73. Простые трансцендентные расширения..................... 250
§ 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость . 254
§ 75. Степень трансцендентности.............................. 257
.§ 76. Дифференцирование алгебраических функций.............. 259
Глава одиннадцатая
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
§ 77. Упорядоченные поля .................................... 266
§ 78. Определение вещественных чисел......................... 269
§ 79. Корни вещественных функций............................. 278
§ 80. Поле комплексных чисел................................. 282
§81. Алгебраическая теория вещественных полей............... 285
§ 82. Теоремы существования для формально вещественных полей . . 290
§ 83 Суммы квадратов........................................ 294
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава двенадцатая
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 84. Модули над произвольным кольцом... 297
§ 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители 299
§ 86. Основная теорема об абелевых группах... 303
§ 87. Представления и модули представлений......... 307
§ 88. Нормальные формы матрицы над полем... 311
§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция .... 314
§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы......... 317
§ 91. Антисимметрические билинейные формы....................... 326
Глава тринадцатая
АЛГЕБРЫ
§ 92. Прямые суммы и пересечения......................................................................... 331
§ 93. Примеры алгебр..................................................................................... 334
§ 94. Произведения и скрещенные произведения............................................................. 340
§ 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 347
§ 96. Малый и большой радикалы........................................................................... 351
§ 97. Звездное произведение.............................................................................. 355
§ 98. Кольца с условием минимальности.................................................................... 357
§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра........................................................ 362
§ 100. Простые и примитивные кольца....................................................................... 365
§ 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы.................................................................. 368
§ 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах . . . 371
§ 103. Поведение алгебр при расширении основного поля..................................................... 372
Глава четырнадцатая
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§ 104. Постановка задачи.................................................................................. 378
§ 105. Представления алгебр............................................................................... 379
§ 106. Представления центра............................................................................... 384
§ 107. Следы и характеры.................................................................................. 386
§ 108. Представления конечных групп....................................................................... 388
§ 109. Групповые характеры................................................................................ 392
§ НО. Представления симметрических групп................................................................. 398
§111. Полугруппы линейных преобразований................................................................. 401
§ 112. Двойные модули и произведения алгебр............................................................... 404
§113. Поля разложения простых алгебр..................................................................... 410
§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов................................................................... 413
Глава пятнадцатая
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§ 115. Нётеровы кольца.................................................................................... 421
§ 116. Произведения и частные идеалов..................................................................... 425
§ 117. Простые идеалы и примарные идеалы , , . , ......................................................... 429
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 118. Общая теорема о разложении.............................. 434
§ 119. Теорема единственности.................................. 438
§ 120. Изолированные компоненты и символические степени...... 441
§ 121. Теория взаимно простых идеалов.......................... 444
§ 122. Однократные идеалы...................................... 447
§ 123. Кольца частных.......................................... 450
§ 124. Пересечение всех степеней идеала........................ 452
§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеро-
вых кольцах................................................... 455
Г лава шестнадцатая
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 126. Алгебраические многообразия............................. 459
§ 127. Универсальное поле...................................... 462
§ 128. Корни простого идеала................................... 463
§ 129. Размерность ............................................ 466
§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для одно-
родных уравнений.............................................. 468
§ 131. Примарные идеалы........................................ 471
§ 132. Основная теорема Нетера................................. 474
§ 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным............... 478
Глава семнадцатая
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 134. Конечные 91-модули...................................... 482
§ 135. Элементы, целые над кольцом............................. 484
§ 136. Целые элементы в поле................................... 487
§ 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов . . 493
§ 138. Обращение и дополнение полученных результатов........... 496
§ 139. Дробные идеалы.......................................... 499
§ 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных
кольцах.................................................. . 501
Г лава восемнадцатая
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
§ 141. Нормирования....................................... 509
§ 142. Пополнения ............................................. 515
§ 143- Нормирования поля рациональных чисел............... 521
§ 144. Нормирование алгебраических расширений: случай полного
поля .................................................... 524
§ 145. Нормирование алгебраических расширений: общий случай . . 531
§ 146. Нормирования полей алгебраических чисел............ 533
§ 147. Нормирования поля рациональных функций Д (х)..... 539
§ 148. Аппроксимационная теорема.......................... 542
8
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава девятнадцатая
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих........ 545
§ 150. Дивизоры и их кратные................................. 550
§ 151. Род g................................................. 554
§ 152. Векторы и ковекторы................................... 557
§ 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности....... 560
§ 154. Теорема Римана — Роха................................. 564
§ 155. Сепарабельная порождаемое™ функциональных полей....... 568
§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае....... 569
§ 157. Доказательство теоремы о вычетах...................... 574
Глава двадцатая
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
§ 158. Понятие топологического пространства.................. 580
§ 159. Базисы окрестностей................................... 581
§ 160. Непрерывность. Пределы................................ 583
§ 161. Аксиомы отделимости и счетности....................... 584
§ 162. Топологические группы................................. 585
§ 163. Окрестности единицы................................... 586
§ 164. Подгруппы и факторгруппы.............................. 588
§ 165. Т-кольца и Т-тела..................................... 589
§ 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных последователь-
ностей ...................................................... 591
§ 167. Фильтры............................................... 595
§ 168. Пополнение группы с помощью фильтров Коши............. 598
§ 169. Топологические векторные пространства................. 602
§ 170. Пополнение колец..................................... 604
§ 171. Пополнение тел...................................... 606
Предметный указатель........................................... 608
Б. Л. ван дер Варден
АЛГЕБРА