/
Author: Боревич З.И. Шафаревич И.Р.
Tags: математика алгебра теория чисел дискретная математика естественные науки
Year: 1985
Text
З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы.— 1985.— 504 с., 3-е изд.доп.
Излагается ряд методов современной теории чисел. Изложение
иллюстрируется рассмотрением большого - числа конкретных теоретико-
числовых вопросов, относящихся главным образом к неопределенным
уравнениям. Основное внимание уделено алгебраическим методам, но заметное
место занимают также геометрический и аналитический методы. В третьем
издании (второе вышло в 1972 г.) нашли отражение некоторые наиболее
существенные новые результаты последнего десятилетия, примыкающие к
излагаемым в книге вопросам.
Для студентов, аспирантов и научных работников, работающих в области
алгебры и теории чисел.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Сравнения 9
§ 1. Сравнения по простому модулю 11
1. Суммы степеней вычетов (11). 2. Теоремы о числе решений
сравнений (12). 3. Квадратичные формы по простому модулю (14).
§ 2. Тригонометрические суммы 16
1. Сравнения и тригонометрические суммы (16). 2. Суммы степеней
(19) . 3. Модуль гауссовой суммы (22).
§ 3. р-адические числа 25
1. Целыер-адические числа (25). 2. Кольцо целыхр-адических чисел
(28). 3. Дробные р-адические числа (31). 4. Сходимость в полер-
адических чисел (32).
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел 40
1. Метризованные поля (40). 2. Метрики поля рациональных чисел
(45).
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа 48
1. Сравнения и уравнения в кольце Тр (48). 2. О разрешимости
некоторых сравнений (50).
§ 6. Квадратичные формы с р-адическими коэффициентами 58
1. Квадраты в полер-адических чисел (58). 2. Представление нуляр-
адическими квадратичными формами (59). 3. Бинарные формы (62).
4. Эквивалентность бинарных форм (66). 5. Замечания о формах
высших степеней (68).
§ 7. Рациональные квадратичные формы 75
1. Теорема Минковского — Хассе (75). 2. Формы от трех
переменных (77). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Формы
от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквивалентность
(86). 6. Замечания о формах высших степеней (87).
Глава II. Представление чисел разложимыми формами 91
§ 1. Разложимые формы 92
1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение
разложимых форм (94). 3. Модули (97).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей
1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей (103). 3. Единицы (105).
4. Максимальный порядок (108). 5. Дискриминант полного модуля
(ИО).
§ 3. Геометрический метод
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел (112). 2. Решетки
(117). 3. Логарифмическое пространство (121). 4. Геометрическое
изображение единиц (123). 5. Первые сведения о группе единиц
(124).
§ 4. Группа единиц
1. Критерий полноты решетки (126). 2. Лемма Минковского (127). 3.
Структура группы единиц (131). 4. Регулятор (133).
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел полными
разложимыми формами
1. Единицы с нормой +1 (136). 2. Общин вид решений уравнения
А(ц)=я (137). 3. Эффективное построение системы основных единиц
(138). 4. Числа модуля с данной нормой (142).
§ 6. Классы модулей
1. Норма модуля (143). 2. Конечность числа классов (146).
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами
1. Квадратичные поля (149). 2. Порядки в квадратичном поле (150).
3. Единицы (152). 4. Модули (155). 5. Соответствие между модулями
и формами (158). 6. Представление чисел бинарными формами и
подобие модулей (161). 7. Подобие модулей в мнимом квадратичном
поле (164).
Глава III. Теория делимости
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители (175). 2.
Кольцо Z[£] (177). 3. Теорема Ферма в случае однозначности
разложения на множители (180).
§ 2. Разложение на множители
1. Простые множители (184). 2. Однозначность разложения (185). 3.
Примеры неоднозначного разложения (187).
§ 3. Дивизоры
1. Аксиоматическое описание дивизоров (190). 2. Единственность
(192). 3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров (195). 4. Связь
теории дивизоров с показателями (195).
§ 4. Показатели
1. Простейшие свойства показателей (202). 2. Независимость
показателей (203). 3. Продолжение показателей (206). 4.
Существование продолжений (211).
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения
99
112
126
136
143
149
175
175
184
190
202
214
1. Существование (214). 2. Норма дивизоров (216). 3. Степень
инерции (220). 4. Конечность числа разветвленных простых
дивизоров (226).
§ 6. Дедекиндовы кольца 231
1. Сравнения по модулю дивизора (231). 2. Сравнения в
дедекиндовых кольцах (232). 3. Дивизоры и идеалы (234). 4.
Дробные дивизоры (236).
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел 241
1. Абсолютная норма дивизора (241). 2. Классы дивизоров (244). 3.
Приложение к теореме Ферма (250). 4. Вопросы эффективности
(253).
§ 8. Квадратичное поле 262
1. Простые дивизоры (262). 2. Закон разложения (264). 3.
Представление чисел бинарными квадратичными формами (267). 4.
Роды дивизоров (273).
Добавление при корректуре 279
Глава IV. Локальный метод 280
§ 1. Поля, полные относительно показателей 280
1. Пополнение поля по показателю (280). 2. Представление
элементов в виде рядов (282) 3. Конечные расширения полного поля
с показателем (285). 4. Целые элементы (287). 5. Поля формальных
степенных рядов (290).
§ 2. Конечные расширения поля с показателем 295
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с показателем 301
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел 306
1. Описание метрик (306). 2. Соотношение между метриками (310).
§ 5. Аналитические функции в полных полях 312
1. Степенные ряды (312). 2. Показательная и логарифмическая
функция (314).
§ 6. Метод Сколема 319
1. Представление чисел неполными разложимыми формами (319). 2.
Связь с локальными аналитическими многообразиями (321). 3.
Теорема Туэ (324). 4. Замечания о формах с большим числом
переменных (329).
§ 7. Локальные аналитические многообразия 331
Глава V. Аналитический метод 339
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров 339
1. Дзета-функция Дедекинда (339). 2. Фундаментальная область
(343). 3. Вычисление объема (345). 4. Принцип Дирихле (350). 5.
Тождество Эйлера (353).
§ 2. Число классов дивизоров кругового поля 355
1. Неприводимость кругового многочлена (355). 2. Закон разложения
в круговом поле (358). 3. Выражение h через значения Z-рядов (359).
4. Суммирование рядов Z(1,%) (364). 5. Ряды Z( 1,%) для примитивных
характеров (366).
§ 3. Простые дивизоры первой степени 370
1. Существование простых дивизоров первой степени (370). 2.
Характеризация нормальных расширений законами разложения
простых дивизоров первой степени (371). 3. Теорема Дирихле о
простых числах в арифметической прогрессии (374).
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля 379
1. Формула для числа классов дивизоров (379). 2. Характер
квадратичного поля (384). 3. Гауссовы суммы для квадратичных
характеров (385).
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга на простое число частей 392
1. Разложение числа h на два множителя (392). 2. Множитель й0
(395). 3. Множитель h* (400). 4. Условие взаимной простоты h* с I
(402). 5. Замечание об операторной структуре группы классов
дивизоров (404).
§ 6. Условие регулярности 407
1. Поле £-адических чисел (407). 2. Некоторые вспомогательные
сравнения (411). 3. Базис вещественных целых £адических чисел в
случае (й* Г) = 1 (413). 4. Критерий регулярности и лемма Куммера
(417).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей 419
1. Теорема Ферма (419). 2. Бесконечность числа иррегулярных
простых чисел (425).
§ 8. Числа Бернулли 426
Алгебраическое дополнение 438
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристики ^2 438
1. Эквивалентность квадратичных форм (438). 2. Прямая сумма
квадратичных форм (439). 3. Представление элементов поля (441). 4.
Бинарные квадратичные формы (443).
§ 2. Алгебраические расширения 444
1. Конечные расширения (444). 2. Норма и след (447). 3.
Сепарабельные расширения (450) 4. Нормальные расширения (452)
§ 3. Конечные поля 454
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах 458
1. Делимость в кольцах (458). 2. Идеалы (460). 3. Целые элементы
(461). 4. Дробные идеалы (463).
§ 5. Характеры 465
1. Строение конечных абелевых групп (465). 2. Характеры конечных
абелевых групп (465). 3. Числовые характеры (468).
Таблицы 472
Список литературы 492
Перечень стандартных обозначений 499
Предметный указатель 500
предметный указатель
Абсолютная норма дивизора 241
— степень инерции, дивизора 241
Абсолютно неприводимый
многочлен 17
Абсолютный инвариант 169
— индекс ветвления дивизора 241
Автоморфизм расширения поля 453
Аддитивный характер 23
Алгебраически замкнутое поле 447
Алгебраический элемент расширения
445
Алгебраическое расширение 445
— число 94
Аналитическая кривая 323
— функция 313
Ассоциированные числа модуля 106
— элементы кольца 459
Базис модуля 99
— расширения поля 445
— решетки 118
Бернуллиевы числа 426
Бесконечные простые дивизоры 309
Бинарная квадратичная форма 443
Ведущий модуль числового
характера 470
Вещественное квадратичное поле 152
Вещественный бесконечный простои
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Взаимно простые дивизоры 191
Взаимный базис 451
— модуль 111
Витта группа классов квадратичных
форм 444
Вполне вещественное кубическое
поле 481
— разветвленное расширение полно
го поля с показателем 290
— целозамкнутое кольцо 464
Второй множитель числа классов
дивизоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
Выпуклое множество 129
Вырожденный модуль 329
Вычет п-й степени 379
Галуа группа 453
Гауссова сумма 21, 365
Гауссова сумма в конечном-поле 458
Гильберта символ 65
Главная единица полного поля с
показателем 316
— р-адическая единица 39
Главный дивизор 192
— идеал 460
-----в поле отношений
относительно подкольца 463
Группа Витта классов квадратичных
форм 444
— классов дивизоров 245
-----подобных модулей
квадратичного поля 156, 158
— подобных модулей квадратичного
поля 158
— родов 274—275 .
Дедеышдово кольцо 232
Деление с остатком 186
Делимость идеалов в поле
отношений дедекиндова кольца
240
Дзета-функция
Дедекинда 339
— Римана 350
Диагональная квадратичная форма
439
Дивизор 192, 236
— главный 192
— дробный 236
— единичный 192
— поля алгебраических чисел 231
— целый 236
Дирихле ряд 362
— характер 470
Дискретная метрика 239
Дискретное множество точек 118
Дискриминант базиса в конечном
расширении 450
— бинарной квадратичной формы
159
— конечного сепарабельного
расширения поля отношений
Кольца с теорией дивизоров 230
— полного модуля 110
— поля алгебраических чисел 110
— порядка в поле алгебраических
чисел ПО
Дробный идеал 463
-----в поле отношений
относительно подкольца 463
d-идеал 464
Евклидово кольцо 186,
Единица
— обратимый элемент кольца 459
— .р-адическая 28
— поля алгебраических чисел 110
— порядка 106
Единичный дивизор 21, 192
— идеал кольца 460
— характер 21, 466
Замыкание подмножества в полном
поле 281—282
Идеал в поле отношений кольца 463
— кольца 460
Инвариантный класс дивизоров
квадратичного поля 277
Инварианты конечной абелевой
группы 465
Индекс ветвления конечного
расширения полного поля с
показателем 287
-----показателя 207
-----простого дивизора 217
— иррегулярности простого
нечетного числа 252, 490
— целого примитивного числа 111
Индупированный показатель па
подполе 207
Иррегулярная пара 423
Иррегулярное простое число 251
Квадратичная форма 438
Квадратичное поле 149
Квадратичный числовой характер 266
Класс Витта квадратичных форм 444
— вычетов 459
— дивизоров 245
— подобных модулей 143
Кольцо аналитических функций на
локальном многообразии 332
— классов вычетов по модулю
элемента 459
------------дивизора 231
— Крулля 201
— множителей 103
— показателя 203
— с теорией дивизоров 191, 192
— целых чисел алгебраического
числового поля 109
-----элементов полного поля
относительно показателя 282
Комплексный бесконечный простой
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Конечное поле 456
— расширение поля 444
Конечный простой дивизор 309
Конус в вещественном пространстве
341
Кривая, принадлежащая локальному
многообразию 335
Круговое поле 355
Круговой многочлен 356
Логарифмическое изображение
алгебраических чисел 122
— пространство 122
Локальное аналитическое
многообразие 332
Локальный метод 280
Максимальный идеал 464
Метризованное поле 41
Метрика архимедова 47
— дискретная 293
— поля 41
— неархимедова 47
— нормированная 310
— р -адическая 33
— /„-адическая 306
— тривиальная 41
Минимальный идеал 240
— многочлен алгебраического
элемента 445
Мнимое квадратичное поле 152
Многочлен Эйзенштейна 111, 229
Множитель полного модуля 103
Модуль в поле алгебраических чисел
97
Модулярная фигура 168
— функция 168
— эквивалентность 168
Мультипликативный характер 20
Неполная разложимая форма 99
— решетка 118
Неполный модуль 99
Неприводимое локальное
многообразие 332
Непримитивный характер 469
Неразветвленное расширение
полного поля с показателем 290
Неразветвленный простой дивизор в
конечном расширении 226
Несепарабельный элемент
алгебраического расширения
452
Нечетный числовой характер 367
Нётерово кольцо 239
Норма дивизора 219
— модуля 144
— точки 115'
— элемента 448
Нормальное расширение поля 452
Нормированная гауссова сумма 385
— метрика 310
Нулевой идеал кольца 460
Обобщенные числа Бернулли 432—
433
Образующие модуля 97
Обратимый элемент кольца 459
Общее наименьшее кратное
дивизоров 191, 237
Общий наибольший делитель
дивизоров 191, 237
Ограниченная р -адическая
последовательность 35
Ограниченное множество точек 118
Однозначность разложения па
множители 185
Одноклассное поле алгебраических
чдсел 247
Определитель квадратичной формы
438
Основная единица вещественного
квадратичного поля 152
Основной параллелепипед решетки
119
Основные единицы поля
алгебраических чисел 133
-----порядка 133
Первый множитель числа классов
дивизоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
Период приведенного числа
вещественного квадратичного
поля 173
Подобие модулей в поле
алгебраических чисел 98
-----квадратичного поля в узком
смысле 159
Показатель поля 196
— р -адический 30, 199
Поле алгебраических чисел 94
— вычетов показателя 203
-----полного поля с показателем 282
— Галуа 453
— инерции конечного расширения
полного поля с показателем 290
— отношений кольца 461
— р -адических чисел 32
— /„-адических чисел 309
— формальных степенных рядов 290
Полная разложимая форма 99
— решетка 118
— система вычетов 459
Полное метризованное поле 42
— поле относительно показателя 282
Полный модуль 99
Пополнение р-адическое 281
— поля по метрике 42
-------показателю 281
Порядок в поле алгебраических
чисел 104
Представление нуля квадратичной
формой 439
— элементов поля квадратичной
формой 439
Приведенное число вещественного
квадратичного поля 172
-----мнимого квадратичного поля
167
Приведенный базис плоской решетки
164
— модуль вещественного
квадратичного поля 172
-----мнимого квадратичного поля
167
Приводимое локальное многообразие
332
Примитивная форма 159
Примитивное число поля
алгебраических чисел 95
Примитивный многочлен в полном
поле с показателем 303
— числовой характер 469
— элемент конечного расширения
446
Продолжение показателя 207
Произведение дробных идеалов 463
— идеалов 460
— классов подобных модулей
квадратичного поля 157
— модулей ПО
Промежуточное поле 444
Простое конечное расширение 446
Простой дивизор 192
— идеал 240
— элемент кольца 185
Прямая сумма квадратичных форм
439
Пуанкаре ряд 55
р -аднческий регулятор вполне
вещественного поля
алгебраических чисел 416
р -адическое продолжение дзета-
функции Римана 434
р -целое рациональное число 29
Разветвленный простой дивизор в
конечном расширении 226
Разложимая форма 94
Расширение Галуа 453
— поля 444
Регулярное простое число 251
Регулятор поля алгебраических чисел
134
— порядка 134
Решетка в вещественном
пространстве 118
Род бинарных квадратичных форм
270
— дивизоров в квадратичном поле
274
Ряд Дирихле 362
— Пуанкаре 55
Свойство поля Cz- 69
Сдвиг множества 119
Сепарабельное расширение 450
Сепарабельный элемент
алгебраического расширения
452
Символ Гильберта 65
— Хассе 73
Система образующих модуля 97
След элемента 448
Собственная эквивалентность
бинарных квадратичных форм
159
Сопряженное поле 452
Сопряженный изоморфизм поля
алгебраических чисел 113
— элемент 452
Соседнее слева приведенное число в
вещественном квадратичном
поле 173
— справа приведенное число в
вещественном квадратичном
поле 173
Сравнимость элементов кольца по
модулю дивизора 231
Степенной ряд 312
Степень инерции конечного
расширения полного поля с
показателем 287
-----простого дивизора
относительно подполя 221
— конечного расширения поля 444,
445
Сумма Гаусса 21
— идеалов в поле отношении
дедекиндова кольца 240
Сходимость в метризованном поле 41
— р-адическая 37
Теория дивизоров 191
— полей классов 267
Тождество Эйлера 340, 353
Топологический изоморфизм 42
Трансцендентный элемент
расширения поля 445
Тривиальная метрика 41
Удобные числа Эйлера 273, 481
Умножение дивизоров 235
Умножение полных модулей в полях
алгебраических чисел 110
Унимодулярная матрица 93
Фактор-кольцо 461
Фундаментальная область 341
— последовательность 42
Фундаментальный базис конечного
расширения полного поля с
показателем 287
-----поля алгебраических чисел 110
-----целого замыкания кольца
показателя 221
Функция Эйлера на дивизорах 259
Характер абелевой группы 465
— Дирихле 470
— единичный 21
— квадратичного поля 266
Характеристический многочлен 447
Хассе символ 73
Целое алгебраическое число 109
— замыкание кольца 462
— р-адическое число 26
Целозамкнутое кольцо 462
Целочисленная эквивалентность
форм 93
Целый идеал в поле отношений
относительно подкольца 463
— элемент относительно кольца 461
-------показателя 203
-----полного поля с показателем 282
Центрально симметричное
множество 129
Четный числовой характер 367
Числа Бернулли 426
Числовой характер 468
Число классов дивизоров 245
Чисто кубическое поле 112
— несепарабельное расширение поля
453
— несепарабельный элемент 453
Эйзенштейна многочлен 111, 229
Эйлера тождество 340, 353
— функция на дивизорах 259
Эквивалентность дивизоров 244
-----квадратичного поля в узком
смысле 268
— квадратичных форм 438
— метрик 47
Эффективность задания решетки 140
ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие теории чисел состоит в переплетении двух тенден-
ций. Первая из них — это создание общих концепций и теорий,
таких, например, как понятие идеала или теория полей классов.
Вторая тенденция состоит в обращении к конкретным числовым
фактам. Ее влияние можно видеть в большом количестве теоре-
тико-числовых результатов, которые были подсказаны и стимули-
рованы эмпирическими наблюдениями, изучением таблиц. Имен-
но соединение двух таких разнородных точек дренпя определяет
роль, которую теория чисел играет в математике: «мир чисел»
наряду с физическим миром явился той почвой, на которой воз-
никло большинство математических теорий.
В нашей книге мы хотели дать представление о том, как тео-
рия чисел возникает из синтеза этих двух тенденций. t В связи
с этим стилиуизложения, при котором систематическое разверты-
вание аппарата предшествует каким бы то ни было приложени-
ям, мы предпочли более свободное изложение, при котором зада-
чи и методы их решения тесно переплетаются. Исходным
пунктом обычно являются конкретные задачи о целых числах.
Общие теории возникают как аппарат для решения этих задач.
Как правило, эти теории развиваются достаточно далеко для
того, чтобы читатель мог составить себе представление об их
красоте и стройности и научился их применять.
Вопросы, которые разбираются в книге, относятся главным
образом к теории неопределенных уравнений, т. е. к теории ре-
шения в целых числах уравнений от нескольких неизвестных.
Впрочем, рассматриваются и вопросы другого характера — при-
мерами могут служить теорема Дирихле о простых числах в
арифметической прогрессии пли теоремы о росте числа решений
сравнения.
Методы, которые мы излагаем, по преимуществу алгебраиче-
ские. Точнее говоря, это теория конечных расширений полей и
определенных в них метрик. Однако заметное место уделено ана-
литическим методам: им посвящена глава V, и к ним же следует
отнести метод аналитических р-адических функций, изложенный
в главе IV. Геометрические рассмотрения также играют большую
роль в ряде мест.
Книга не предполагает у читателя больших знаний. Для по-
нимания большей ее части вполне достаточно двух курсов уни-
верситета и самых основ теории чисел: общей теории сравнений
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
и теории квадратичных вычетов до квадратичного закона взаим-
ности. Только в последней главе используется несколько фактов
из теории аналитических функций.
Необходимые сведения чисто алгебраического характера даны
нами в «Алгебраическом дополнении», помещенном в конце кни-
ги. В нем даны точные определения, формулировки, а иногда и
доказательства всего того, что может встретиться в книге и в то
же время не входит в университетский курс высшей алгебры.
Третье издание книги отличается от предыдущих (вышедших
в 1964 и 1972 годах) рядом дополнений, в которых мы попыта-
лись отразить достижения последних лет. Внесены наиболее су-
щественные результаты, связанные с вопросами, излагаемыми в
книге. Значительно расширены таблицы.
Мы глубоко благодарны Дмитрию Константиновичу Фаддееву
за многочисленные и очень полезные беседы, за ряд ценных со-
ветов и замечаний.
Авторы
Глава I
СРАВНЕНИЯ
Эта глава посвящена теории сравнений и ее приложениям
к неопределенным уравнениям. Связь между неопределенными
уравнениями и сравнениями основывается на том простом заме-
чании, что если неопределенное уравнение
F(xi, ..хп) = 0, (1)
где F — многочлен с целыми коэффициентами, имеет решение в
целых числах, то сравнение
F(xh Хп) 0 (mod т) (2)
разрешимо при любом модуле т. Так как вопрос о разрешимости
сравнения всегда можно решить хотя бы методом перебора, вви-
ду конечности числа классов вычетов, то это дает нам серию эф-
фективных необходимых условий для разрешимости уравнения
(1) в целых числах.
Гораздо сложнее вопрос о достаточности этих условий. Утвер-
ждение: «неопределенное уравнение разрешимо тогда и только
тогда, когда оно разрешимо как сравнение по любому модулю»
неверно в общем случае (см., например, задачу 4), но справедли-
во для некоторых частных классов уравнений. Так, в этой главе
мы докажем его для случая, когда F — форма второй степени,
присоединив при этом к нашим условиям еще одно очевидным
образом необходимое требование — разрешимость уравнения (1)
в вещественных числах. (Заметим, что если F — форма, то под
разрешимостью уравнения F = 0 понимают существование нену-
левого решения.)
Основное понятие, которое мы будем в этой главе сначала
изучать, а потом применять к теории сравнений и неопределен-
ных уравнений,— это р-адические числа. Их роль в рассматри-
ваемом вопросе заключается в следующем. Из элементарной тео-
k hf
рии чисел известно, что для модуля т = р/ ... рг (р15 .,рТ —
различные простые числа) разрешимость сравнения (2) равно-
сильна разрешимости сравнений
F (хг, ..., а-„) = О (mod р^2)
для всех г=1, ..., г. Таким образом, разрешимость сравнений
10
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
(2) для всех модулей т эквивалентна разрешимости этйх сравне-
ний только для модулей, являющихся степенями цростых чисел.
Зафиксируем простое число р и поставим вопрос о разрешимости
сравнений
F(.Xi, х„) = 0 (mod//) (3)
для всех натуральных показателей к. В связи с этой задачей Хен-
зель построил для каждого простого числа р новый вид чисел,
названных им р-адпческими, и доказал, что разрегпимость срав-
нений (3) для всех к равносильна разрешимости уравнения (1)
в р-адическнх числах. В силу этого отмеченная нами связь меж-
ду сравнениями (2) и (3) позволяет сказать, что разрешимость
сравнений (2) по всем модулям т равносильна разрешимости
уравнения (1) в р-адпческих числах для всех простых чисел р.
Используя понятие р-адического числа, можно, следовательно,
упомянутой нами теореме о формах второй степени придать сле-
дующую формулировку (ее доказательство и является целью на-
стоящей главы): если E(z,, .. ., хп) — целочисленная квадратичная
форма, то уравнение (1) разрешимо в целых числах тогда и
только тогда, когда оно разрешимо в р-адических числах для
всех р и в вещественных числах.
В формулировке этой теоремы, называемой теоремой Минков-
ского — Хассе, и во многих других вопросах р-адическпе числа
появляются на равных правах с вещественными. Если вещест-
венные числа необходимы для изучения рациональных чисел с
точки зрения их величины, то р-адпческие числа играют совер-
шенно аналогичную роль в вопросах, связанных с делимостью
на степень простого числа р. Аналогия между р-адическими и
вещественными числами проявляется и в другом отношении.
Оказывается, что р-адические числа могут быть построены, ис-
ходя из рациональных, при помощи той же самой конструкции,
при помощи которой строятся вещественные числа: путем при-
соединения пределов фундаментальных последовательностей. То,
что мы приходим прп этом к разным видам чисел, объясняется
различными положенными в основу понятиями сходимости.
Сделаем еще одно замечание. Если F — форма, то разреши-
мость уравнения (1) в целых числах эквивалентна, конечно, его
разрешимости в произвольных рациональных числах. В силу
этого в теореме Минковского — Хассе можно говорить о рацио-
нальной разрешимости вместо целочисленной. Этот очевидный
факт приобретает значение благодаря тому, что для случая, ко-
гда F — произвольный многочлен второй степени, аналогичная
теорема сохраняется лишь при условии, что речь идет о разре-
шимости уравнения в рациональных числах. В связи с этим при
изучений неопределенных уравнений второй степени мы будем
рассматривать не только целочисленные, но и рациональные ре-
шения.
СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
11
§ 1]
Задачи
1. Доказать, что уравнение 15л2 — 7 у2 — 9 не имеет решения в целых
числах.
2. Доказать, что уравнение 5я3 + Ну3 + 13z3 = 0 не имеет других ре-
шений в целых числах, кроме х = 0, у ~ 0, z = 0.
3. Доказать, что целое число вида 8п + 7 не может быть представлено
в виде суммы квадратов трех целых чисел.
4. Используя свойства символа Лежандра, доказать, что сравнение
(х2 — 13) (л2 — 17) (ж2 — 221) = 0 (mod m) разрешимо при любом модуле т.
Очевидно, что уравнение (х2—13) (ж2 — 17) (ж2 — 221) = 0 неразрешимо в
целых числах.
5. Доказать, что неопределенное уравнение апхп = b с це-
лыми ci, ..., ап, Ь разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда
разрешимо соответствующее сравнение по любому модулю т.
6. Доказать аналогичное утверждение для системы целочисленных ли-
нейных уравнений.
§ 1. Сравнения по простому модулю
I. Суммы степеней вычетов. Мы начнем с рассмотрения срав-
нений по цростому модулю р. Классы вычетов по модулю р об-
разуют, как известно, конечное поле, из р элементов (мы его
будем обозначать через Fp), и всякое сравнение по модулю р
можно рассматривать как равенство в этом поле. Решение срав-
нений по модулю р равносильно, следовательно, решению урав-
нений в поле FP. Поле FP является только одним из примеров
конечного поля. Все рассуждения этого параграфа буквально
переносятся и па случай любого конечного поля (см. задачи 5 и
6). Мы ограничимся, однако, случаем поля FP и будем вместо
равенств писать сравнения. Только для построения примера к
теореме 3 мы должны будем привлечь другие конечные поля.
При изучении вопроса о числе решений сравнений по просто-
му модулю важную роль играет следующий простой факт.
Теорема 1. Пусть т — натуральное число. Сумма
5 = 2 хт,
х mod р
в которой х пробегает полную систему вычетов по модулю р,
сравнима по модулю р с —1, если тп делится на р — 1, и сравнима
с 0, если тп не делится на р~ 1.
Доказательство. Значение г = 0 (modp) в сумме S
можно, разумеется, опустить. Пусть р — 1 делит тп. Так как
xp~l = 1 (mod р) для всякого х, не делящегося на р, то в этом
случае xm^l (modp), и, следовательно, S^p — 1 = — 1 (modp).
Пусть теперь р — 1 не делит тп. Тогда существует такое число а,
не делящееся на р, что am 1 (mod р) (в качестве а можно взять
первообразный корень по модулю р). Так как вместе с х произ-
ведение ах также будет пробегать полную систему вычетов по
12
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
модулю р, ТО
amS = У, (ax)’n = S (mod р),
х mod j>
откуда (а™—1)5 = 0 (modp), и, следовательно, 5 = 0 (modp).
Следствие. Пусть Ф(х,, .. хп)—целочисленный много-
член степени меньшей, чем п(р — 1). Тогда
У Ф (хп ..., х„) = 0 (modp), (1)
Хх,. ..,Хп
где в сумме слева xb ..хп независимо друг от друга пробегают
полную систему вычетов по модулю р.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда
Ф есть одночлен х± . .. хпп. Имеем
У Tki ~ fУ rhl ) /У rhn\
\ *^71 /
По условию ki + .. . + кп < п(р — 1), поэтому хоть при одном i
выполнены неравенства О=^/сг<р —1. Следовательно, хоть одна
из сумм справа будет = 0 (mod р) (в случае к = 0 все слагаемые
х" равны 1, включая х = 0, поэтому 2г°==^ (mod р).)
Замечание. Мультипликативная группа поля гр есть
циклическая группа порядка р — 1 (ее образующим элементом
является класс вычетов, содержащий первообразный корень по
модулю р). Сумму в теореме 1 можно поэтому интерпретировать
как сумму m-х степеней всех (содержащихся в. Fp) корней сте-
пени р — 1 из 1. Если (р —1, m)=d, то такая сумма распадается
на d сумм, каждая из которых равна сумме всех корней степени
(р—l)/d из 1. Утверждение теоремы 1 является по существу
следствием того факта, что сумма всех корней степени г из 1
равна 1 при г = 1 и равна 0 при г > 2.
2. Теоремы о числе решений сравнений. Результаты и. 1 мы
применим к доказательству следующего утверждения.
Теорема 2 (теорема Варнинга). Если степень г целочислен-
ного многочлена Р(х^ ..., хп) меньше числа переменных п, то
число решений сравнения F(.Xi, ..., хп) = 0 (mod р) делится на р.
Доказательство. Пусть N обозначает число решений
сравнения F^O (modp). Рассмотрим многочлен
Ф(х!, ..., хп) = 1 — F^Xi, ..., хп)р~‘,
степень которого меньше чем п(р — 1). Если F{at, ..., а„) = 0
(modр), то
Ф(щ, ..ап) = 1 (mod р).
Если же F(ai, ..., а„) 0 (mod р), то
Ф(а15 ..., а„) = 0 (mod р).
§ 1] СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ 13
Суммируя все значения Ф(^1, ..хп), когда Xt, ..хп независи-
мо друг от друга пробегают полную систему вычетов по модулю
р, мы получим, следовательно, сравнение
2 Ф (ж1, ..., хп) = N (mod р).
xv-'»xn
Теорема 2 следует теперь из сравнения (1).
Теорема 3 (теорема Шевалле). Если F(xt, ..., хп)— форма
степени г < п, то сравнение
F(.x1, ..., хп) = 0 (mod р)
имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Так как в случае однородного много-
члена F степени г > 1 всегда имеется тривиальное решение xt
= 0(modp), то для числа решений N сравнения F ;= 0 (mod р)
имеем неравенство N > 1. С другой стороны, по теореме Варнин-
га N 0 (mod р). Следовательно, N > р > 2.
Докажем для полноты картины, что неравенство г < п нельзя
заменить более слабым так, чтобы теорема Шевалле оставалась
верной. Для этого построим для любого п форму Fkx^ ..., хп)
степени п такую, что сравнение
F^Xi, ..., zn) 0 (mod р) (2)
имеет только нулевое решение.
Мы воспользуемся тем фактом, что для любого п г=- 1 сущест-
вует конечное поле S из рп элементов, содержащее Fp в качест-
ве подполя (см. Дополнение, § 3, теорема 2). Пусть (щ, ..., <вп —
базис поля S над Fp. Рассмотрим линейную форму
... + в которой под х,, ..., х„ будем понимать произвольные
значения пзрр. Ее норма Лв/рр (^й®! + . .. + ^п®п) = Ф (хг, ..., хп)
является, очевидно, формой степени п от xs, ..., хп с коэффици-
ентами из поля Из определения нормы Д;(а) (см. Дополне-
ние, § 2, и. 2) элемента а = x.<»t + ... + хп<вп (рц е Fp) следует,
что равенство Ма) = 0 возможно только при а = 0, т. е. только
при х, = 0, ..., хп = 0. Форма ср обладает, стало быть,_тем свой-
ством, что уравнение ф(яй, ..., а?„) = 0 имеет в поле Fp только
нулевое решение. Заменим теперь каждый коэффициент формы
Ф, являющийся классом вычетов по модулю р, каким-нибудь вы-
четом из этого класса. Мы получим целочисленную форму
F(xt, ..., хп) степени п от п переменных, и для этой формы F
сравнение (2) будет, очевидно, иметь лишь нулевое решение.
Теорема 4. Пусть F^Xi, ..., хп), ..Fm{x,, ..., хп) — цело-
численные многочлены степеней г15 ..., rm соответственно. Если
Ti +... -Ь rm < п, то число решений N системы сравнений
F^Xi, ..., хп) = 0 (modр),
Fm(xi, ..., хп) 0 (mod р)
делится на р.
14
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Доказательство. Рассмотрим многочлен
т
Ф (Х1, . . . ,Хп) = П (1 — Pi (*1, • , Жп)Р-1)
i=l
степени (п + ... + гт)(.р — 1) < п(р — 1). Так же как и при дока-
зательстве теоремы 2, убеждаемся в том, что
2 Ф(Я], ..., хп) == N (mod р),
а значит, ввиду (1) Д? = 0 (mod д).
Замечание. Теорема Варнинга допускает следующее обоб-
щение [56J. Пусть F(.Xl, .. ., х„)— многочлен степени г < п с ко-
эффициентами из конечного поля S = GF(g), q=pm, и а — наи-
большее натуральное число, для которого а< п/r. Тогда число
N(F) решений уравнения Ftxi, . . ., хп) = 0 в поле S делится на
qa. При этом показатель та в сравнении N(F) 33 0 (mod рта) в об-
щем случае не может быть увеличен. Именно, для фиксирован-
ных г и п (с условием г < п) существует многочлен Fa е ...
..., х„] степени г, для которого N(F0) (modp™"+1). С другой
стороны, имеет место следующий факт. Если уравнение
F(xt, .. ., хп) = 0 имеет в поле S хоть одно решение, то N(.F) 3s
> qn~T [143].
3. Квадратичные формы по простому модулю. Применим по-
лученные нами результаты к случаю квадратичных форм. Следу-
ющий факт непосредственно вытекает из теоремы Шевалле.
Теорема 5. Пусть /(я,, . .., Хп) — целочисленная квадратич-
ная форма. Если и > 3, то сравнение
/(#!, ..., хи) = 0 (mod р)
имеет ненулевое решение.
Случай квадратичных форм от одной переменной не представ-
ляет интереса (если а 0 (modp), то сравнение ах2 = 0 (modp)
имеет только нулевое решение).
Рассмотрим оставшийся случай бинарных квадратичных форм.
Мы будем считать, что р =/= 2 (при п = 2, р — 2 легко непосред-
ственно перебрать все имеющиеся квадратичные формы). В этом
случае форма может быть записана в виде
fix, у) = ах2 + 2Ъху + су2.
Ее определитель ас — Ъ2 мы обозначим через d.
Теорема 6. Сравнение
fix, у) = 0 (mod р), р ¥= 2, (3)
тогда и только тогда имеет ненулевое решение, когда —d или де-
лится на р, или является квадратичным вычетом по модулю р.
Доказательство. Очевидно, что для двух форм f и Д,
эквивалентных в поле Fp (см. Дополнение, § 1, п. 1), сравнения
§ 1]
СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
15
(3) либо одновременно имеют, либо одновременно не имеют не-
нулевое решение. Так как, сверх того, при переходе к эквивалент-
ной форме ее определитель умножается на квадрат ненулевого
элемента поля Fp, то мы можем и в доказательстве теоремы 6
заменить форму / любой, ей эквивалентной. Всякая форма экви-
валентна диагональной форме (Дополнение, § 1, теорема 3); мы
можем поэтому считать, что
f = ах2 + су2, d = ас.
Если а = 0 пли с = 0 (mod р), то теорема очевидна. Если же ас Ф
0 (modp) и сравнение (3) имеет ненулевое решение (z0, р0), то
из сравнения
+ cyl == 0 (mod р)
получаем
(mod р)
(дробь (modр) означает результат деления в поле Fp
т. е. решение сравнения via -- и (mod р)). Таким образом, ~
— 1. Наоборот, если = 1 п —ас = и2 (modр), то мы можем
положить (я-о, 1/о) = (и, а).
Задачи
1. Пусть P(^i, ..хп) — целочисленный многочлен степени г < п (р — 1).
п — ----- . Доказать, что сумма
LP-1J xv
независимо друг от друга пробегают полную систему вычетов
Положим а
рой Xj, ...,
х , ..., хп),в кото-
по модулю р, делится на ра.
2. Пусть — 1, и пусть at, ..., ап — произвольные целые числа.
Построить целочисленный многочлен /(^i, ..., а-n) степени р— 1, для кото-
рого сравнение f = 0 (mod р) имеет единственное решение xt = а,- (mod р),
1 С' i еД п.
3. Определить число решений сравнения я3 + у3 + z3 + и3 = 0 (mod 7).
4. Построить кубическую форму F(xi. хг, х3), для которой сравнение
F (жь х2, хз) = 0 (mod 2) имеет только нулевое решение.
5. Пусть 2 — конечное поле характеристики р, содержащее q = рп эле-
ментов. Для т 1 положим
S (т) = 2 1т-
5^2
Доказать, что сумма 8(т) равна —1, если т делится на q — 1, и равна ну-
лю в противном случае.
6. Пусть F(xh ..., хп) — многочлен степени г < п с коэффициентами из
конечного поля 2 характеристики р. Доказать, что число решений уравне-
ния F(xi, ..., хп) — 0 в поле 2 делится на р. Доказать далее, что-число
16
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
решений системы
Fxixy,хп) = О,
F -т (#1, • . ., Хп) — О
в поле S делится на р, если только степени и, ..гт многочленов Ft, ...
,.., Fm (с коэффициентами из S) удовлетворяют условию п_+ ... + гт < п.
7. Доказать, что если / — квадратичная форма в поле гр ранга > 2 и
с^О (modp), то сравнение /= a (modp) разрешимо.
8. Используя теоремы 2 и 3 § 1 Дополнения, доказать, что две неособен-
ные квадратичные формы в поле Гр, р #= 2, эквивалентны тогда и только
тогда, когда произведение их определителей является квадратом.
9. Определить группу классов Витта квадратичных форм в поле Fpt
р ф 2 (см. задачу 5 § 1 Дополнения).
10. Доказать, что число ненулевых решений сравнения /(ж. у) =
= 0 (modp), где /(ж, у)—квадратичная форма с определителем d 0
(modр), равно (р — 1)^1 + ^—
И. Используя теорему 7 § 1 Дополнения, доказать, что для квадратич-
ной формы /(si, ..., хп) с определителем d^O (modp) при р 2 число
ненулевых решений сравнения /(жь ..., ж„) = 0 (modp) равно
/(_ 1)П/2 A --1
рп 1 — 1 + (р—1)1^------при п четном,
р,г~х — 1 при п нечетном.
12. В предположении задачи 11 найти число решений сравнения
/(ж/, ..., хп) = a (mod //).
§ 2. Тригонометрические суммы
1. Сравнения и тригонометрические суммы. В этом параграфе
(как и в предшествующем) также будут рассматриваться срав-
нения по простому модулю р, однако с несколько иной точки
зрения. В теоремах § 1 делались определенные заключения о
числе решений сравнения в зависимости от степени многочлена и
числа его переменных. Здесь же главную роль будет играть ве-
личина простого модуля р.
В начале главы мы говорили, что для разрешимости неопре-
деленного уравнения F(xt, ..., хп) = 0 необходимо,, чтобы для
всех модулей т были разрешимы сравнения FsOfniodm). Даже
если мы ограничимся рассмотрением только простых модулей т,
то и в этом случае мы будем иметь бесконечно много необходи-
мых условий. Ясно, что эти условия могут быть полезны лишь
В том случае, если у нас будет финитный (использующий конеч-
ное число действий) способ для их фактической проверки. Ока-
зывается, что для одного весьма важного класса многочленов та-
кой способ (и притом очень простой) существует. Именно, при
заданном целочисленном многочлене F из этого класса сравнения
F 0 (mod р) автоматически разрешимы для всех модулей р,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
17
§ 2]
больших некоторой границы. Многочлены, о которых идет речь,
выделяются следующим определением.
Определение. Многочлен F(Xi, ..хД) с рациональными
коэффициентами называется абсолютно неприводимым, если он
не может быть разложен на нетривиальные множители ни в ка-
ком расширении поля рациональных чисел.
Имеет место следующая фундаментальная
Теорема А. Если F{x,, ..., ж„) — абсолютно неприводимый
многочлен с целыми коэффициентами, то сравнение
F(xi, ..., ж„) == 0 (modp) (1)
разрешимо для всех простых чисел р, больших некоторой грани-
цы, зависящей только о? многочлена F.
Аналогичный результат справедлив и для ненулевых решений,
если рассматривать однородный многочлен F, а также для си-
стемы сравнений (при надлежащем понимании абсолютной не-
приводимости).
При п = 1 теорема А тривиальна (всякий многочлен от одной
переменной степени выше первой приводим в поле комплексных
чисел, а для многочленов первой степени утверждение очевидно).
Но уже при п = 2 для ее доказательства потребовалось привле-
чение глубоких методов алгебраической геометрии. Впервые до-
казательство теоремы А для п — 2 было получено в 1948 г.
А. Вейлем [39]. Наилучшие из имеющихся сейчас вариантов до-
казательств этой теоремы содержатся в книге С. Ленга [29] и в
работе [107]. Элементарное доказательство без использования
средств алгебраической геометрии (правда, при некотором огра-
ничении па многочлен F(x, у)) получено в 1972 г. С. А. Степа-
новым [511. Изложение его метода для произвольного Fix, у)
с привлечением минимальных сведений из алгебраической гео-
метрии приведено в работе Бомбьери [65]. Переход от п = 2 к
произвольному случаю оказался намного проще. Это сделано в
работах [48] и [94].
В упомянутых работах доказано на самом деле гораздо боль-
ше, чем утверждается в теореме А. Именно, в ппх показано, что
если фиксировать многочлен F и менять простой модуль р, то
число решений N сравнения (1) будет стремиться к бесконечно-
сти при неограниченном увеличении р и даже оценена скорость
возрастания N. Точная формулировка этого результата выглядит
следующим образом.
Теорема В. Для числа N(F, р) решений сравнения (1) вы-
полняется неравенство
\N(F, р) — рл-11 < C(F)pn-1-,/2,
где константа С (F) зависит только от многочлена F и не зависит
от р.
18
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Единственный известный сейчас способ доказательства тео-
ремы А — это выведение ее из теоремы В. Для доказательства
же теоремы В требуется алгебраический аппарат гораздо более
сложный, чем тот, которым мы пользуемся в этой книге. Поэтому
мы не можем привести здесь доказательства теорем А и В, но
вместо этого изложим метод, при помощи которого удается полу-
чить теоремы в частных случаях, и разберем одни такой частный
случай.
Все наши рассуждения будут основываться на том, что для
числа решений сравнения (1) можно дать «явную формулу», точ-
нее говоря, представить это число как сумм>г некоторых корней
степени р из единицы. Суммы такого вида называются тригоно-
метрическими.
Условимся о следующих обозначениях. Для комплекснознач-
лых функций /(ж) пли /(ж,, .. ., жп). значения которых зависят
только от классов вычетов целых чисел х, х^ ..., хп по модулю
р, через 2/С'-) 11 2 / (ж17 .. ., х„) мы будем обозначать
X х^,..,, хп
суммы, распространенные на все значения х пли х17 .. хп из
полной системы вычетов по модулю р, а через 2 /(%) — сумму,
х
распространенную на все значения х из приведенной системы
вычетов.
Пусть £ — некоторый фиксированный первообразный корень
степени р из 1. Тогда, как легко видеть,
= при у = 0 (modp),
к [О при у ф 0 (mod р).
Эти равенства и дают возможность найти «явную формулу» для
числа решений сравнения (1).
Рассмотрим сумму S = 2 2 £ г ’ п\ Если значения
Хр---,ХП Х
xlt ..., хп дают решение сравнения (1), то согласно (2)
2siF(“>...- р.
X
Сумма всех таких членов, входящих в S, равна Np, где N — чис-
ло решений сравнения (1). Если же F(xi, ..., хп) 0 (mod р),
то по второй части формулы (2)
2^ПХ1--Хп) = 0<
X
Сумма всех таких членов в S поэтому равна нулю, и мы получа-
ем, что S = Np. Нами доказана, таким образом,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
§ 2]
Теорема ,1. Для числа N решений сравнения (1) имеет
место формула
n=— 2 £F(X1.........Жп). (3)
Выделим в сумме (3) все слагаемые, для которых х = 0 (mod р).
Так как каждое такое слагаемое равно 1, а число их равно рп
(каждый из аргументов х^ ..хп независимо друг от друга при-
нимает р значений), то
*-^-+4-2' 2 ...«
В этом виде формула для N уже подсказывает теорему В. Из
числа N уже выделен член рп~1. Надо только доказать (но в этом
и состоит вся трудность!), что при возрастании р сумма всех
остальных слагаемых по модулю растет медленнее этого главного
члена.
2. Суммы степеней. Общие соображения, изложенные в п. 1,
мы применим к случаю, когда многочлен F равен сумме степеней
переменных, т. е.
F (жц . . ., хп) = а^1 + . .. + апХп\ а, ^0 (mod р).
Мы будем предполагать, что п > 3, так как при п = 1 и п = 2
число решений сравнения J’ = 0(modp) находится очевидным об-
разом.
Согласно формуле (4) число N решений сравнения + ...
. . . + апХп = 0 (mod р) выражается равенством
”-р'-' + 42' 2
Р X ....хп
которое может быть переписано также в виде
Р х Xi
Полученная формула приводит нас к необходимости исследова-
ния сумм вида 2 Г (а 0 (mod />))• Легко видеть, что
у
2Гг = 2>(№, (6)
У х
где mix) равно числу решений сравнения ут = х (mod р) относи-
тельно у. Очевидно также, что m(0) = 1. Найдем mix) в явном
виде при х 0 (mod р).
20
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Если g — некоторый первообразный корень по модулю р, то
х = gh (modp), (7)
где показатель к однозначно определен по модулю р — 1. Пусть
у gu (mod р). Сравнение yr = х (mod р) равносильно, очевидно,
сравнению
ги = к (mod р — 1). (8)
Согласно общей теории сравнении первой степени сравнение (8)
имеет d = (г, р —1) решений относительно и пли не имеет ни од-
ного решения в зависимости от того, будет ли к делиться на d
или нет. Следовательно,
Id, если A = 0(modd),
т (Ж) (0, если А'(mod d).
Дадим для числа mix) другую, более удобную в аналитиче-
ском отношении формулу. Выберем для этого первообразный ко-
рень е степени d из 1 и определим на целых числах х, взаимно
простых с р, функции %, is = 0, 1, ..., d — 1), полагая
Х,(ж) = e6s, (10)
где к определено сравнением (7) (ввиду равенства sp_1 = 1 зна-
чение e"s не зависит от выбора к). Если A^O(modd), то efts = 1
d— 1
при всех s = 0, 1, ..., d — 1 и, следовательно, сумма %s (х)
s=0
равна d. Если же к Ф 0 (mod d), то еМ1 и поэтому
Сопоставляя это с равенствами (9), мы получаем (для х, не де-
лящихся на р) формулу
d-1
т (х) = 2 X® (*)•
S=0
Найденное выражение для mix) позволяет равенство (6) пере-
писать в виде
d-l
2Гг=1 + 2* 2хз(^)Г. (И)
у X 8=0
Введенные нами функции %s, обладающие, очевидно, свойством
%sixy) =i.ix)^iy), (12)
называются мультипликативными характерами по модулю р. Рас-
пространим их на все целый х, полагая %,(х) = 0, если х делится
на р. Ясно, что после такого доопределения свойство (12) сохра-
§ 2]
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
21
няется. Характер %0, значения которого %0(ж) при р t х равны 1,
называется единичным характером.
Выделим в сумме (11) слагаемые, соответствующие единич-
ному характеру Так как 1 + 2 ^ах = 2^а^=0> то равенство
X X
(11) можно переписать в виде
2^=22^) Г (13)
у S=1 X
(здесь можно считать, что х пробегает полную систему вычетов
по модулю р, так как %г(ж) =0 при х = 0 (modр)).
Пусть х — один из характеров у. и а — целое число. Выра-
жение 2 X (ж) $аХ называется гауссовой суммой и обозначается
через та(%).
Формулы (5) и (13) дают нам возможность сформулировать
следующую теорему.
Теорема 2. Для числа N решений сравнения
+ • + an%n = 0 (mod р), (mod р), (14)
имеет место формула
п-1
N =
Р
(15)
в которой di = {ri, р — 1), а характеры определены равенст-
вом (10) при d = di.
Заметим, что если хоть одно из dt окажется равным 1, т. е.
будет взаимно просто с р — 1, то в формуле (15) соответствующая
внутренняя сумма будет равна нулю (как сумма пустого множе-
ства слагаемых) и, следовательно, в этом случае имеем формулу
N = рп~1. Это, впрочем, ясно и без вычислений, ибо для любых
значений ад, ..., xt-i, xi+l, ..., хп найдется одно и только одно
значение для Xi, при котором сравнение (14) будет удовлетво-
ряться.
Теорема 2 приобретает значение благодаря тому, что модуль
гауссовой суммы может быть точно вычислен. Именно, в следую-
щем пункте мы покажем, что
I +,(%) I = Ур при а 0 (mod р) и % ¥= %0
(см. также задачу 8).
22
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Посмотрим, что дает теорема 2 в сочетании с этим фактом.
Из формулы (15) следует, что
dj-1
2|ччхм)| =
' X 1=1 S=1
= 4 - !) Й - !) Р1/2 = (Р - !) Рп/2~г П № - 1).
р i=i i=i
Мы получили, таким образом, следующую теорему.
Теорема 3. Число N решений сравнения
+ .. . + апХп 0 (mod р)
для всех простых р, не делящих at, ..., а„, удовлетворяет нера-
венству
hV-p'1-1! <С(р-Dp”72*1, (16)
где С = (dt — I)... (d„ — 1), di = (гг, р — 1).
Из теоремы 3 при п > 3 (а мы предположили, что это так)
для многочленов рассмотренного вида очевидным образом следу-
ет теорема В. В самом деле, |7V — рп~'\^Cpn,i sg Ср’!-1-1/2, что и
утверждается теоремой В.
Отметим попутно, что полученное нами неравенство (16) при
п > 3 оказывается гораздо более точным, чем неравенство тео-
ремы В.
Замечание. Для доказательства теоремы 3 нам достаточ-
но было бы ввиду (5) знать оценку для модуля суммы 2 £,ахГ‘
X
Такая оценка может быть получена, и притом более коротким
путем, без использования гауссовых сумм (см. задачи 9—12). Мы
изложили доказательство, опирающееся па свойства гауссовых
сумм, так как гауссовы суммы имеют много других применений
в теории чисел.
3. Модуль гауссовой суммы. Рассмотрим совокупность ® всех
комплекснозначных функций /(я), заданных на целых рациональ-
ных числах х и удовлетворяющих условию: f(x) — f(y), если
только z = p(modp). Так как каждая функция определе-
на своими значениями на полной системе вычетов по модулю р,
то 5 является р-мерным линейным пространством над полем
всех комплексных чисел. Введем в 5 эрмитово скалярное произ-
ведение, положив
(/,?) = 42
X
Простая проверка показывает, что относительно введенного ска-
лярного умножения р функций
/а(ж) = (а — вычет mod р) (17)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ
23
§ 2]
образуют ортонормированный базис 5. В самом деле, ввиду (2)
1 ^а'-а)х _ 11 при а = a’ (mod р),
---- — j ,
х (0 при а^а (modp).
Функции (17), обладающие свойством
fa(x+y) =fa(x)fa(y),
называются аддитивными характерами по модулю р. Найдем ко-
ординаты мультипликативного характера % в базисе (17). Пусть
Х = 2Х/а- (18)
а
Тогда
«а = (Х, /а) = у S X = у Та (19>
Мы видим, таким образом, что гауссовы суммы та(х) (с точ-
ностью до множителя 1/р) являются коэффициентами в разложе-
нии мультипликативного характера / по аддитивным харак-
терам fa.
Чтобы получить одно важное соотношение межд>г координа-
тами аа (и, значит, между гауссовыми суммами та(/)), умножим
равенство
X U) = 2 a«fa (%) (20)
а
на х(с\ где c^O(modp), и заменим индекс суммирования а
на ас:
X (с«) = 2 X (с) V-acfae (*) = 2 X (с) aacfa (сх).
а а
Сравнивая это с (20), мы получаем, что
aa = x(c)a<zC. (21)
Полагая здесь а = 1 и замечая, что |/(с)| = 1, мы находим
1ссс| = 1<Х11 при с 0 (modp). (22)
Предположим теперь, что характер х отличен от единичного ха-
рактера Хо. Тогда число с (взаимно простое с р) можно выбрать
так, чтобы х(с) 1, и равенство (21) при а = 0 дает нам, что
ао = О. (23)
Докажем теперь нужный нам результат о модуле гауссовой
суммы.
Теорема 4. Если % — мультипликативный характер по мо-
дулю р, отличный от единичного характера %о, и а — целое число,
взаимно простое с р, то |та(х) I =Ур.
24
СРАВНЕНИЯ
(ГЛ. I
Доказательство. Рассмотрим в пространстве 5 скаляр-
ное произведение (%, %). Так как 1х(ж) I = 1 при (modp), то
(X, X) = у 2 х (*) хй) =
С другой стороны, используя разложение (18) и учитывая (22) и
(23), мы находим (X, X) = 21 аа Г2 = (Р — 1) I ас Г2- Оба резуль-
а
тата вместе дают нам равенство
lacl — 1/Vp, 0 (modp),
откуда ввиду формулы (19) и следует утверждение теоремы.
Задачи
1. Доказать, что для многочлена F = х2 + у2 пе выполняется теорема А
(относительно ненулевых решений), а для F = х2 — у2 — теорема В. Эти
многочлены, конечно, пе являются абсолютно неприводимыми.
2. Пусть <р(.т)—функция, заданная па целых числах х, взаимно прос-
тых с р, и принимающая отличные от нуля комплексные значения. Дока-
зать, что если гр(«) = ф(у) при х = у (modp) и cp(.rj/) = ф(^)ф(у) при лю-
бых х и у, то эта функция совпадает с одной из функций /., (х) = eks, где
е — первообразный корень степени р — 1 из 1 (число к определяется срав-
нением (7)).
3. Доказать, что всякая комплекснозпачная функция /(г) =/= 0 от цело-
численного аргумента, зависящая только от класса вычетов по модулю р и
удовлетворяющая условию f(x + у) = f(x)f(y), имеет вид f(x) = где
t — целое число, а £ — фиксированный корень степени р из 1.
4. Пусть р 2. Доказать, что характер % = определенный равенст-
вом (10) при d= 2 (и s= 1), совпадает с символом Лежандра X (х) = I — I.
\ Р )
(Этот характер % называется квадратичным характером по модулю р.)
5. Пусть ab Ф 0 (mod р) и % — квадратичный характер по модулю р
=И= 2. Для гауссовых сумм та(х) и ть (%) доказать соотношение та (X) ть (у.) =
Р-
6. При тех же обозначениях доказать, что
X
7. Решить задачи 10, 11 и 12 предшествующего параграфа, воспользовав-
шись теоремой 2 и результатами задач 5 и 6.
8. Пусть х — произвольный мультипликативный характер по простому
модулю р, отличный от хо, и а Ф 0 (modp). Показать, что |та(х)12 =
= 'Мх)'Га(х) = Р, и этим получить новое доказательство теоремы 4.
9. Пусть /(ж)—целочисленный многочлен и £— первообразный корень
степени m из 1. Положим Sa — У, Доказать, что
х (modm)
2 l5a|2 = m 2
a (modm) с (modm)
где А (с) обозначает число решений сравнения /(ж) с (modm).
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
25
§ 3]
10. Обозначим через £ первообразный корень простой степени р из 1 и
положим Та = 2 ' Доказать, что
х
а
где d — (г, р — 1).
11. В тех же обозначениях показать, что суммы Тл, «^0 (modp), раз-
биваются на d групп по (р— l)[d равных между собой сумм. Пользуясь
этим и результатом задачи 10, показать, далее, что
|7\| < d^p, а 0 (modp).
12. Принимая во внимание тот факт, что 2' Та = 0, получить для Та
а
более точную оценку:
\Та\ С (d— l)Vp, a^O(modp).
(Ввиду формулы (5) эта оценка дает нам другое доказательство теоремы 3.)
13. Доказать, что сравнение
З.г1 + 4у3 + 5z3 = 0 (mod р)
имеет ненулевое решение при любом простом р.
14. Доказать, что сравнение
2т2 + у* — 17z4 = 0 (mod р)
имеет нетривиальное решение по любому простому модулю р.
§ 3. р-адические числа
1. Целые р-адическпе числа. Теперь мы перейдем к сравне-
ниям, модуль которых есть степень простого числа. Начнем
с примера. Рассмотрим сравнение хг = 2 (mod 7") по степеням
простого числа 7. При п = 1 сравнение имеет два решения:
ха = ±3 (mod 7). (1)
Положим теперь п = 2. Из
ж2 = 2 (mod 72) (2)
следует хг = 2 (mod 7), так что решения сравнения (2) надо ис-
кать в виде + 7£и где — одно из чисел, определяемых срав-
нением (1). Займемся разысканием решений вида xt = 3 + 7£ь
(Решения вида —3 + 7/, рассматриваются совершенно так же.)
Подставляя это выражение для хх в (2), получаем:
(3 + 7^)2 = 2 (mod 72), 9 + 6-7^ + = 2 (mod 72),
1 + 6^ == 0 (mod 7), Ijsl (mod 7).
Таким образом, получается решение г. = 3 + 7 -1 (mod72). Ана-
логично при п = 3 получаем хг = х^ + 1Нг и из сравнения
(3 + 7 + 72£2)2 = 2 (mod 73)
26
СРАВНЕНИЯ
(ГЛ. I
находим t2 = 2 (mod 7), т. е.
^3 + 74 + 7М (mod73).
Нетрудно видеть, что этот процесс мы можем продолжить до
бесконечности. Мы получим последовательность
ха, Xt, ..., хп, ..(3)
обладающую свойствами:
х0 = 3 (mod 7), хп = Хп-г (mod 7я), = 2 (mod 7'l+1).
Процесс построения последовательности (3) напоминает про-
цесс извлечения квадратного корня из 2. Действительно, вычисле-
ние У2 состоит в построении последовательности рациональных
чисел Го, г,, ..., гп, ..., квадраты которых становятся сколь угод-
но близкими к 2, например: | — 21 < 1/10'1. В нашем же слу-
чае строится последовательность целых чисел х0, х^, ..., хп, ..
для которых з?п—2 делится па 7"+1. Эта аналогия становится
более отчетливой, если мы условимся два целых числа называть
близкими (точнее, р-блпзкпмп, где р — некоторое простое число),
когда их разность делится на достаточно большую степень р.
При таком понимании близости можно сказать, что квадраты
чисел последовательности (3) при возрастании п становятся сколь
угодно 7-близкимп к 2.
Задание последовательности {гп} определяет вещественное
число У2. Можно предположить, что последовательность (3) так-
же определяет число а некоторой новой природы, причем такое,
что а,2 = 2.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если по-
следовательность рациональных чисел {гп] такова, что |гп — гп|<
< 1/10” при всех и, то ее пределом также будет У2. Естественно
предположить, что последовательность {хпЬ для которой хп~
=-Хп (mod 7"+1), определяет то же самое новое число а (для новой
последовательности {хп 1, очевидно, также имеем Хп 2 (mod 7n+1)
и х'п = хп-! (mod 7"))-
Эти замечания приводят нас к следующему определению.
Определение. Пусть р — некоторое простое число. После-
довательность целых чисел
обладающих тем свойством, что
хп = xn-i (mod рп)
(4)
для всех п > 1, определяет новый объект, называемый целым
р-адическим числом. Две последовательности {хД и тогда
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
27
§ 3]
и только тогда определяют одно и то же целое р-адическое число,
когда хп == хп (mod pn+1) для всех п > 0.
То, что последовательность {хп} определяет целое р-адическое
число а, будет записываться так: {хп} а.
Множество всех целых р-адических чисел мы будем обозна-
чать через Zp. В отличие от целых р-адических чисел обычные
целые числа будут называться целыми рациональными.
Каждому целому рациональному числу х сопоставим целое
р-адическое число, определяемое последовательностью {х, х, ...
..., х, ..Это целое р-адическое число, соответствующее ра-
циональному х, мы будем обозначать той же буквой х. Два раз-
личных целых рациональных числа х и у определяют разные це-
лые р-адические числа. Действительно, из их равенства как
целых р-адических чисел следовали бы при всех п сравнения
х = у (modp”), что возможно только при х = у. Ввиду этого мы
можем и будем рассматривать множество Z целых рациональных
чисел как часть множества Zp целых р-адических чисел.
Для того чтобы яснее представить, себе множество Zp ука-
жем способ, при помощи которого можно из множества всех по-
следовательностей, определяющих данное целое р-адическое число,
выбрать одну стандартную.
Пусть целое р-адическое число задается последовательностью
{хп}- Обозначим наименьшее неотрицательное число, сравнимое
с хп по модулю pn+1, через хп:
хп = хп (modpn+1), (5)
0 < р”+‘. (6)
Сравнение (5) показывает, что
хп = хп = жп_! = xn-t (modр"),
так что последовательность {хп} определяет некоторое целое
р-адическое число, и притом в силу (5) то же самое, что и после-
довательность {хп}. Последовательность, все члены которой удов-
летворяют условиям (4) п (6), будем называть канонической. Мы
доказали, следовательно, что каждое целое р-адическое число
определяется некоторой канонической последовательностью.
Легко видеть, что две разные канонические последовательно-
сти определяют разные целые р-адические числа. Действительно,
если канонические последовательности {хпУ и {уп} определяют
одно и то же целое р-адическое число, то в силу сравнений
хп = Уп (modpn+1)
и условий 0 С хп < pn+1, 0 уп < pn+l получаем, что хп = уп при
всех п >0. Таким образом, целые р-адические числа находятся
во взаимно однозначном соответствии с каноническими последо-
вательностями. Из условия (4) следует, что xn+t = хп + an+lpn+l,
28
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
а так как 0^х„+1 < рп+2 и 0 С хп < pn+i, то 0^an+i< р. Следо-
вательно, всякая каноническая последовательность имеет вид
{а0, а0 + atf, а0 + atp + а2р2...},
где О at < р. Очевидно, что и, наоборот, каждая последователь-
ность такого вида является канонической последовательностью,
определяющей некоторое целое р-адическое число. Исходя из
этого, легко доказать, что множество канонических последова-
тельностей, а следовательно, и множество всех целых р-адиче-
ских чисел имеют мощность континуума.
2. Кольцо целых р-адическпх чисел.
Определение. Суммой и произведением целых р-адиче-
ских чисел а и £3, определяемых последовательностями {хп} и {упУ,
называются целые р-адические числа, определяемые соответствен-
но последовательностями {хп + уп) и {хпуп}.
Чтобы быть уверенным в корректности этого определения, мы
должны доказать, что последовательности {хЛ + у„) и {хпуп} оп-
ределяют некоторые целые р-адпческие числа и что эти числа
зависят только от а, и р, а не от выбора определяющих их по-
следовательностей. Оба эти свойства доказываются путем очевид-
ной проверки, которую мы пропустим.
Столь же очевидно, что при данном нами определении дей-
ствий над целыми р-адическими числами они образуют коммута-
тивное кольцо, содержащее кольцо целых рациональных чисел
в качестве подкольца.
Делимость целых р-адпческих чисел определяется так же,
как в любом кольце (см. Дополнение, § 4, п. 1): а делится на [},
если существует такое целое р-адическое число ц, что а = ру.
Для исследования свойств деления важно знать, каковы те це-
лые р-адпческие числа, для которых существуют обратные целые
р-адическпе числа. Такие числа, согласно п. 1 § 4 Дополнения,
называются делителями единицы или единицами. Мы их будем
называть также р-адическими единицами.
Теорема 1. Целое р-адическое число а, определяемое по-
следовательностью {х0, х^ ..., хп, ...}, тогда и только тогда
является единицей, когда х0 0 (mod р).
Доказательство. Пусть а является единицей. Тогда су-
ществует такое целое р-адическое число £В, что оф — 1. Если [3
определяется последовательностью {уп}, то условие оф — 1 озна-
чает, что
хпуп = 1 (modpn+1). (7)
В частности, ж0р0 53 1 (mod р), а значит, х0 0 (mod р). Обратно,
пусть ж0 0 (modp). Из условия (4) легко следует, что
Хп 35 Хп-1 = • -53 (mod р),
так что жп^0(тойр). Следовательно, для любого п можно
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
29
§ 3]
найти такое уп, что будет справедливо сравнение (7). Так как
хп = xn-i (modр'д и хпуп = xn-iyn-i (modp"), то уп — Уп-i (modpnj.
Это значит, что последовательность {у„} определяет некоторое
целое р-адическое число 3- Сравнения (7) показывают, что
«3 = 1, т. е. что а является единицей.
Из доказанной теоремы следует, что целое рациональное число
будучи рассмотрено как элемент кольца Zp, тогда и только
тогда является единицей, когда 0 (modp). Если это условие
выполнено, то а-1 содержится в Zp. Отсюда следует, что любое
целое рациональное Ъ делится на такое а в Zp, т. е. что любое
рациональное число вида b/а, где а и Ъ целые и а 0 (modp),
содержится в Zp- Рациональные числа такого вида называются
p-целыми. Они образуют очевидным образом кольцо. Полученный
нами результат можно теперь сформулировать так:
Следствие. Кольцо Zp целых р-адических чисел содержит
подкольцо, изоморфное кольцу p-целых рациональных чисел.
Теорема 2. Всякое отличное от нуля целое р-адическое
число а однозначно представляется в виде
m /о\
а = р s, (8)
где е — единица кольца Zp-
Доказательство. Если а — единица, то равенство (8)
справедливо при m = 0. Пусть {хп} -> а и « не является едини-
цей, так что согласно теореме 1 ж,, ^0 (modp). Так как а^О, то
сравнения ж„ = 0 (modpn+1) невозможны при всех п. Пусть пг —
наименьший индекс, для которого
хт 0 (mod pm+1). (9)
Для любого s > 0
a:m+s xm-i = 0 (mod р™),
поэтому число ys = xm+Jpm целое. Из сравнения
pr'"ys — Pmlh-i = xm+s — xm+s-t = 0 (mod pm+s)
следует, что ys = ys-i (modp8) при всех s>0. Последовательность
{уе} определяет, таким образом, некоторое е е Zp- Так как
у0 = хт!рт 0 (modp), то по теореме 1 е является единицей.
Наконец, из сравнения
pmys = xm+s = xs (mod ps+1)
вытекает, что ртъ = а, т. е. имеет место представление (8).
Предположим теперь, что а имеет другое представление: а =
= р*т], где к > 0, т] — единица. Если {zj ц, то
pmPs = рЧ (mod ps+1) (10)
при всех s > 0, причем согласно теореме 1 все ys и zs не делятся
на р, так как е и т] — единицы. Положив в сравнении (10) s = т,
получаем, что ртут = pkzm 0 (mod pm+i), откуда вытекает нера-
30
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
венство к С т. В силу симметрии мы получаем, что и т к, т. е.
к = т. Заменим теперь в сравнении (10) s на s + m и сократим
его на рт. Мы получим, что
ym+s = zm+s (mod ps+1),
а так как ym+s = ys (modps+1) и zm+, = zs (modps+l) ввиду усло-
вия (4), то y3 = zs (mod ps+l). Так как это сравнение справедливо
для всех s > 0, то е = г). Теорема 2 доказана.
Следствие 1. Целое р-адическое число а, определяемое
последовательностью {хп}, тогда и только тогда делится на рк,
когда хп = 0 (mod pn+l) при всех п = 0, 1, ..., к — 1.
Действительно, мы определили показатель тп в разложении
(8) как наименьший индекс т, для которого имеет место (9).
Следствие 2. Кольцо ZP не имеет делителей нуля.
Действительно, если а ¥= 0 и р 0, то для них имеются
представления а = рте, р = рьц, в которых е и т| — единицы.
(Для е и т| в кольце Zp существуют, следовательно, обратные
элементы е“* и ц-1.) Если бы оф = 0, то, умножив равенство
рт+к ец = 0 на мы получили бы рт+к = 0, а это не-
возможно.
Определение. Число т в представлении (8) отличного от
нуля целого р-адического числа а называется p-показателем а и
обозначается через vP(a).
В случае, если будет ясно, какое простое число р имеется
в виду, мы будем говорить просто о показателе и обозначать его
через v(a). Чтобы функция v(a) была определена на всех целых
р-адических числах, мы доопределим ее, полагая v(0) = °°. (Це-
лесообразность этого формального равенства обусловлена тем,
что 0 делится на сколь угодно большую степень р.)
Непосредственная проверка дает следующие свойства пока-
зателя: 1
г(сф) = v(a) + v(p), (И)
v(a + р) > min (v(a), v(p)), (12)
v(a + p) = min (v(a), v(p)), если v(a)=/=v(p). (13)
В терминах показателя особенно просто выражаются свойства
делимости целых р-адических чисел. В частности, из теоремы 2
сразу же вытекает
Следствие 3. Целое р-адическое число а тогда и только
тогда делится на р, когда v(a) > v(p).
Таким образом, арифметика кольца ZP очень проста: в нем
Имеется один-единственный (с точностью до ассоциированности)
простой элемент, это число р. Через его степени и единицы вы-
ражаются все отличные от нуля элементы из ZP.
В заключение остановимся на сравнениях в кольце Zp. Срав-
нимость элементов определяется здесь так же, как для целых
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
31
§ 3]
чисел и вообще для элементов любого кольца (см. Дополнение,
§ 4, п. 1): a^p(mody) означает, что а — 3 делится на у. Если
у = р"е, где е — единица, то всякое сравнение по модулю у рав-
носильно тому же сравнению по модулю рп. Можно ограничиться
поэтому рассмотрением сравнений только по модулю рп.
Теорема 3. Всякое целое р-адическое число сравнимо с це-
лым рациональным числом по модулю рп. Два целых рациональ-
ных числа тогда и только тогда сравнимы по модулю рп в кольце
Zp, когда они сравнимы по этому модулю в кольце I.
Доказательство. Чтобы доказать первое утверждение,
покажем, что если а — целое р-адическое число и {хп} — опреде-
ляющая его последовательность целых рациональных чисел, то
а = хп~! (mod рп). (14)
Так как xn-i определяется последовательностью {xn-t, xn-i, .. Л,
то последовательность, определяющая а — ж„_15 есть {хо — х„-!,
Xi — Xn-t, ...}. Применим к целому р-адпческому числу a — xn-t
следствие 1 теоремы 2. Мы видим, что сравнение (14) равносиль-
но сравнениям д.
xk — xn-i = 0 (modpft+1), к = 0, 1, ..п — 1,
справедливость которых в свою очередь вытекает из условия (4)
в определении целых р-адпческпх чисел.
Докажем теперь, что для двух целых рациональных чисел х
и у сравнимость по модулю рп в кольце Z7' равносильна сравни-
мости по тому же модулю в кольце Z- Для этого положим
ж —у = р’"а, а 0 (modp) (15)
(мы считаем х =/= у). Сравнение
х = у (modp") (16)
в кольце Z равносильно условию п С m. С другой стороны, (15)
есть представление (8) для числа х — у, так как а является р-ади-
ческой единицей. Следовательно, vp(x — у) — т и условие п С т
можно переписать в виде vP(x — у)^ п, а это равносильно срав-
нению (16) в Zp, так как v(pM) = п (см. следствие 3 теоремы 2).
Следствие. Число классов вычетов по модулю рп в Zp
равно рп.
3. Дробные р-адпческие числа. Так как кольцо ZP не имеет-
делителей нуля (следствие 2 теоремм 2), то его можно включить
в поле, используя конструкцию поля отношений области целост-
ности. В применении к нашему случаю эта конструкция сводится
к рассмотрению дробей вида а/р*, где a — некоторое целое
р-адическое число, к > 0. Дробь рассматривается здесь просто
как удобная запись пары (а, р*).
Определение. Дробь вида а/р\ ra s ZP, к 0, определя-
ет дробное р-адическое число или просто р-адическое число. Две
32
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
дроби, а/рк и $/рт, определяют одно и то же р-адическое число,
если apm = fiph в 1V.
Совокупность всех р-адических чисел будет обозначаться
через Qp.
Целое р-адическое число определяет элемент <%/1 = <%/р° из
Qp. Очевидно, что различные целые р-адические числа опреде-
ляют различные элементы из QP. Ввиду этого мы будем считать
Zp подмно?кеством множества Qp.
Действия в Qp определяются правилами:
а р _______________арт + Р/Л а р ар
pk + р”1 pk+m ’ р^' р"г~ р*+™'
Очевидная проверка показывает, что результат действий не
зависит от выбора тех дробей, которые определяют элементы из
Qp, и что относительно этих действий Qp образует поле — поле
всех р-адических чисел. Очевидно, что поле Qp имеет характе-
ристику нуль и, следовательно, содержит поле рациональных
чисел.
Теорема 4. Всякое р-адическое число £ О единственным
образом представляется в виде
1 = ртг, (17)
где т — целое число, а е — единица из Zp-
Доказательство. Пусть g = aJpk, е Z р. По теореме 2
а представляется в виде а = р'ъ, Z > 0, где е — единица кольца
Zp • Мы получаем, что g = рт&, где т = 1 — к. Единственность
представления (17) вытекает из соответствующего утверждения
для целых р-адических чисел, доказанного в теореме 2.
Введенное в п. 2 понятие показателя легко обобщается па лю-
бые р-адические числа. Мы полагаем vp(|) = m, где т — показа-
тель в представлении (17). Легко видеть, что свойства (11), (12)
и (13) показателя автоматически переносятся на поле Qp. Оче-
видно, что р-адическое число | тогда и только тогда является
целым р-адическим числом, когда vp(£) >0.
4. Сходимость в поле р-адических чисел. В п. 1 мы обратили
внимание на аналогию между целыми р-адическпми и веществен-
ными числами: и те и другие определяются некоторыми последо-
вательностями рациональных чисел.
Так как каждое вещественное число является, как известно,
пределом той последовательности рациональных чисел, которая
его определяет, то естественно предположить, что аналогичный
факт должен иметь место и для р-адических чисел, если только
правильно определить для них понятие сходимости. При опреде-
лении предела вещественных чисел мы опираемся, по существу,
на понятие близости: два вещественных или рациональных числа
считаются близкими, если абсолютная величина их разности до-
статочно мала. Для определения сходимости в поле р-адических
§ 3]
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
33
чисел нам надо, следовательно, уяснить себе, при каком условии
два /ьадических числа должны рассматриваться как близкие.
При рассмотрении примера, приведенного в начале параграфа,
мы уже упоминали о p-близости двух целых рациональных чисел
х и у, понимая под этим делимость разности х — у на достаточно
большую степень р. Именно при таком новом понимании близо-
сти, как мы видели, и проявляется аналогия в определении ве-
щественных и целых р-адическпх чисел. Если воспользоваться
понятием p-показателя ур, то р-близоеть х и у будет характери-
зоваться, очевидно, значением ур{х — у). Это подсказывает нам,
что два произвольных р-адическпх числа g и ц (не обязательно
целых) надо считать близкими в том случае, если значение
vP(B — ц) достаточно велико. Другими словами, «малые» р-адиче-
ские числа должны характеризоваться большим значением их
р-показателя.
После этих предварительных замечаний перейдем к точному
определению.
Определение. Последовательность
Un) = Uo, Во • • ; Bn, • • 3
р-адических чисел называется сходящейся к р-адическому числу
£ (в обозначении lim Bn = В или {BJ В\ если
П~>ОО
lim vp(Bn — В) = оо.
Существенной особенностью этого определения (отличающей
его от обычного определения сходимости для вещественных чи-
сел) является то, что в нем сходимость {£„} -* В связывается
с последовательностью целых рациональных чисел vP(Bn —В\
которая должна стремиться к бесконечности. Можно придать
этому определению более привычный вид, если вместо показателя
vP на поле Qp рассмотреть другую функцию с вещественными
неотрицательными значениями, которая стремится к нулю, когда
показатель стремится к бесконечности. Именно, выбрав некоторое
вещественное число р, удовлетворяющее условию 0 < р < 1,
положим
Фр (В) =
pvp®
О
при В¥=0,
при В = О-
(18)
Определение. Функция <рР(В), В Qp, определенная ус-
ловиями (18), называется р-адической метрикой. Значение фР(§)
называется величиной р-адического числа £ в этой метрике.
Как и в случае показателя; мы будем иногда функцию <рР на-
зывать просто метрикой и обозначать через ф.
34
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Из свойств (И) и (12) показателя очевидным образом выте-
кают следующие свойства метрики:
<p(gt]) = <р(£)<р(ц), (19)
ф(| + ц) *£ max (ф(£), <р(ц)). (20)
Из последнего неравенства получаем также, что
<р(| + ц) <р(£) + <р(т|). (21)
Свойства (19) и (21) (а также свойство: cp(g) > 0 при £¥=0) ука-
зывают на то, что введенное понятие метрики для р-адических
чисел является аналогом понятия абсолютной величины в поле
вещественных чисел (или модуля в поле всех комплексных
чисел).
В терминах метрики срР определение сходимости в поле
принимает следующий вид: последовательность {£„}, <= Qps
сходится к р-адическому числу g, если
lim (gn — g) = 0.
71—^ сю
Для поля Qp легко могут быть сформулированы и доказаны
обычные теоремы о пределах последовательностей, хорошо из-
вестные из математического анализа. Покажем, например, что
если {g„)g и g#=0, то {l/gn)->l/g. Прежде всего, начиная
с некоторого места, т. е. при имеем v(g„ — §) > v(g), отку-
да, согласно свойству (13) для показателей, получаем: v(§„)=
= min (v(gn — g), v(g))=v(g); в частности, v(gn)=/=°°, т. е. gn 0,
а значит, l/g„ при тех же п > тг0 имеет смысл. Далее,
----------= v (g — In) — v (gn) — v (g) = v (ln — g) — 2v (g)-> oo
при n -> oo, и наше утверждение доказано.
Теорема 5. Если целое р-адическое число а определяется
последовательностью целых чисел {хп}, то эта последовательность
сходится к а. Произвольное р-адическое число g является преде-
лом последовательности рациональных чисел.
Доказательство. Из сравнения (14) следует, что
vP(xn — а) > п + 1. Следовательно, v(xn — а) -> 00 при п ->
а это и означает, что {хп} стремится к а. Рассмотрим теперь
дробное р-адическое число g = а/р\ Так как
(X \ (хп —
— — g = V ------— = V (хп — а) — оо
Р / \ Р /
при п -> о°, то g является пределом рациональной последователь-
ности {xn/ph}. Теорема доказана.
Из всякой ограниченной последовательности вещественных
чисел всегда можно выделить, как известно, сходящуюся подпо-
Р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
35
§ 31
следовательность. Аналогичное свойство имеет место и для р-ади-
ческих чисел.
Определение. Последовательность р-адических чисел {£„}
называется ограниченной, если все значения <рР(£я) ограничены
сверху или, что то же самое, все числа vP(i,n) ограничены снизу.
Теорема 6. Из всякой ограниченной последовательности
р-адических чисел (в частности, из всякой последовательности
целых р-адических чисел) можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность.
Доказательство. Докажем сначала теорему для после-
довательности {ап} целых р-адических чисел. Так как в кольце
Zp число классов вычетов по модулю р конечно (следствие тео-
ремы 3), то в последовательности {ап} содержится бесконечно
много членов, сравнимых по модулю р с одним и тем же целым
рациональным числом х0. Выделяя все эти члены, мы получаем
подпоследовательность («п'} , все члены которой удовлетворяют
сравнению а® = х0 (mod р). Аналогичным образом, применяя
следствие теоремы 3 при п — 2, мы из выделим подпосле-
довательность {с4»2)} с условием Ип2) = (mod р2), где ^ — не-
которое целое рациональное число; при этом, очевидно,
Xi хп (mod р). Продолжая этот процесс до бесконечности, мы
для каждого к получим последовательность которая явля-
ется подпоследовательностью предыдущей последовательности
и для членов которой справедливы сравнения
а(п} = (modph)
при некотором целом рациональном хк-,. Так как все «п+1) нахо-
дятся среди и = а(п+1) (mod p(h+1)), то
x,t = хк~1 (mod рк)
при всех к>1. Последовательность {хп} определяет, следователь-
но, некоторое целое р-адическое число а. Составим теперь «диа-
гональную» последовательность {а^}. Ясно, что она является
подпоследовательностью исходной последовательности {<%„}. Ут-
верждаем, что -> а. В самом деле, в силу (14) имеем:
а xn-i (mod рп); с другой стороны, а(„ > tfn-i (mod рп)> следова-
тельно, а^== a (mod рп), т. е. v(a„n) — а)^п. Отсюда следует,
что у(а(п) — а)->оо при п -> °°, а значит {а^} сходится к а.
Перейдем к доказательству теоремы в общем случае. Если для
последовательности р-адических чисел {£„} имеем v(^n) > — к
(к — некоторое целое рациональное число), то для ап — ^пРк бу-
дем иметь v(a„) > 0. По доказанному из последовательности {а„}
целых р-адических чисел можно извлечь сходящуюся подпосле-
довательность [«nJ. Но тогда последовательность (|п4р= (ocni p~h\
S6
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
будет сходящейся подпоследовательностью для {£„}. Теорема 6
доказана полностью.
Для р-адическпх чисел справедлив также признак сходимости
Коши: последовательность
{Bn}, Bn е= QP1 (22)
сходится тогда и только тогда, когда
lim v (Вт — Bn) = оо. (23)
Необходимость этого условия очевидна. Для доказательства до-
статочности заметим прежде всего, что из (23) вытекает ограни-
ченность (22). В самом деле, из условия (23) следует существова-
ние такого п0, что v (Вт — Впо) 0 при всех т па. Но тогда
в силу свойства (12) для тех же т^п0 справедливо неравенство
V (Вт) = V ((Вт — Впо) + Ъ>о) > min (О, V (Впо)),
откуда и следует ограниченность (22). По теореме б из (22) мож-
но извлечь сходящуюся подпоследовательность (ВпД с пределом,
скажем, д. Покажем, что тогда сама последовательность (22) схо-
дится к элементу В. Пусть М — произвольное сколь угодно боль-
шое число. В силу (23) и определения сходимости мы можем
найти такое натуральное число N, что, во-первых, v(Bm — д„) > М
при т, n^N и, во-вторых, v при n^N. Тогда
v (Вт — В) > min (v (Вт — Bn{), v (Ц — В)) > М
для всех m>N. Таким образом, lim v (Вт— |) = оо,т. е. после-
т-> оо
дователыюсть (22) сходящаяся.
Доказанному признаку сходимости в поле р-адических чисел
можно дать другую, более сильную форму. Если для последова-
тельности (22) выполнено условие (23), то, очевидно, имеем также
lim v(gn+1 — Bn) = оо. (24)
П-=»оо
Оказывается, что и, обратно, из условия (24) следует (23). Дей-
ствительно, если v:.g„+1 — £„) >М при всех n~>N, то в силу (12)
из равенства
т—1
Вт —Вп = (Bi+1 — Bi),
i==n
вытекает
V (Вт — Bn) > min V (Bi+1— Bi) > M,
T. e. v(B™ — Bn) -»• °° при m, n Таким образом, имеет место
Теорема 7. Для сходимости последовательности р-адиче-
ских чисел {BJ необходимо и достаточно, чтобы lim v (Вп-ц —
П->оо
—Bn) = оо.
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
37
§ 3]
Наличие понятия сходимости в поле Qp дает возможность
говорить о непрерывных р-адических функциях от р-адического
аргумента. Их определение, по существу, ничем не отличается от
обычного. Именно, функция F(g) называется непрерывной при
g = go, если для всякой последовательности {g„}, сходящейся
к go, последовательность значений {E(gn)} сходится к F(g0). Ана-
логично будет для функций от нескольких переменных. Так же,
как и в вещественном анализе, легко могут быть доказаны обыч-
ные теоремы об арифметических операциях над непрерывными
р-адическими функциями. В частности, легко убедиться, что мно-
гочлен от любого числа переменных с р-адическими коэффициен-
тами есть непрерывная р-адическая функция. Этим простым
фактом мы в дальнейшем (§ 5, п. 1) воспользуемся.
В заключение этого пункта сделаем несколько замечаний
о рядах с р-адическими членами.
Определение. Если последовательность частных сумм
п
Sn = 2 аг ряда
i—Q
ос
У <Xj = ос0 + cCj + ... + <хп + .. , (25)
1=0
с р-адическими членами сходится к р-адическому числу а, то го-
ворим, что этот ряд сходится и что его сумма равна а.
Из теоремы 7 непосредственно вытекает следующий признак
сходимости для рядов.
Теорема 8. Для сходимости ряда (25) необходимо и доста-
точно, чтобы его общий член <хп стремился к нулю, т. е. чтобы
v(an) -»• °° при п-+ оо.
Сходящиеся р-адические ряды можно, очевидно, почленно
складывать, вычитать и умножать на постоянные р-адические
числа. Для них имеет место также сочетательное свойство рядов.
Теорема 9. При любой перестановке членов сходящегося
р-адического ряда его сходимость не нарушается и сумма не ме-
няется.
Доказательство этой теоремы совсем просто, и мы предостав-
ляем его читателю.
В курсе математического анализа доказывается, что свойство,
указанное в теореме 9, в применении к рядам с вещественными
членами характеризует абсолютно сходящиеся ряды. Все сходя-
щиеся р-адические ряды являются, таким образом, и «абсолютно
сходящимися». Отсюда следует, что в поле р-адических чисел схо-
дящиеся ряды можно перемножать по обычным правилам
анализа.
Если целое р-адическое число а определяется канонической
последовательностью {а0, а0 + а,р, а0 + atp + а2р2, ...} (см. п. 1),
то, согласно первому утверждению теоремы 5, оно будет равно
38
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
сумме сходящегося ряда
а0 + щр + а2р2 + ... + апрп + ...,
(26)
О С ап С р — 1, п = 0, 1, ...
Так как различные канонические последовательности определяют
различные целые р-адические числа, то представление а в виде
ряда (26) однозначно. Очевидно, что и, обратно, всякий ряд вида
(26) сходится к некоторому целому р-адическому числу.
Представление целых р-адических чисел рядами (26) напоми-
нает запись вещественных чисел в виде бесконечных десятичных
дробей.
Если рассмотреть ряд
ъа + .. + bnpn + ..., (27)
в котором коэффициенты — произвольные целые рациональные
числа, то он, очевидно, будет сходящимся (так как v(bnpn) п)
и его сумма будет равна некоторому целому р-адическому числу а.
Чтобы для этого а получить представление (26), надо, как легко
видеть, последовательно заменить все коэффициенты в (27) их
остатками от деления на р, относя неполное частное на каждом
шаге к следующему члену. Это замечание имеет значение для
выполнения действий в кольце Zp- Именно, при сложении, вы-
читании или умножении рядов вида (26) по правилам действий
над степенными рядами мы получим ряд вида (27), в котором
коэффициенты, вообще говоря, не будут наименьшими неотрица-
тельными вычетами по модулю р. Для преобразования его в ряд
вида (26) надо применить только что отмеченный прием. Этот спо-
соб выполнения действий над целыми р-адическими числами
аналогичен, как видим, обычному способу производства действий
над вещественными числами, записанными в виде бесконечных
десятичных дробей.
Из теоремы 1 легко следует, что целое р-адическое число,
представленное в виде ряда (26), является единицей кольца Zp
тогда и только тогда, когда аа 0. Вместе с теоремой 4 это дает
нам следующий результат.
Теорема 10. Каждое отличное от нуля р-адическое число §
однозначно записывается в виде
g = pm(a0 + «ip + ... + апрп + ...), (28)
где m = vP(g), 1 а0 р — 1, 0 С ап ^ р — 1 (п = 1, 2, ...).
Замечание. Приведенное нами построение кольца целых
р-адических чисел является частным случаем одной общей кон-
струкции, применяющейся в топологии и алгебре,— конструкции
проективного предела обратного спектра топологических прост-
ранств, групп, колец и т. п. (с этим понятием можно ознакомить-
ся, например, по книге [4], гл. III). Именно, кольцо Z? можно
§ 3]
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
39
интерпретировать также как проективный предел обратного
спектра колец вычетов £2» = Z/P'Z относительно естественных
гомоморфизмов Q,- Qi (j > г). При этом топология на Zp, вно-
симая понятием сходимости (см. п. 4) будет совпадать с тополо-
гией, возникающей на проективном пределе конечных колец Q,,
если последние рассматривать как топологические пространства
с дискретной топологией.
Задачи
1. Положим хп = 1 + р + ... + рп~1. Показать, что в поле р-адических
чисел последовательность {хп} сходится к 1/(1 —р).
2. Пусть р #= 2 и с — квадратичный вычет по модулю р. Доказать, что
существуют два (различных) р-адических числа, квадраты которых равны с.
3. Пусть с — целое рациональное число, не делящееся на р. Показать,
что в поле Ор последовательность {ср ] сходится. Доказать, далее, что
для предела 7 этой последовательности имеем: у = с (modp) и 7Р~1 = 1.
4. Используя предыдущую задачу, показать, что в поле многочлен
Zp-1 —• 1 раскладывается целиком на линейные множители.
5. Представить число —1 в поле р-адических чисел в виде ряда (26).
6. Представить число —2/3 в виде ряда (26) в поле 5-адических чисел.
7. Доказать, что при р #= 2 в поле р-адических чисел не существует
корней р-й степени из 1, отличных от 1.
8. Доказать, что представление рационального числа Д 0 в поле Qp
в виде ряда (28) имеет периодические коэффициенты (начиная с некоторо-
го места). Обратно, всякий ряд вида (28), для коэффициентов которого име-
ем «m+л = ak при всех к 5г к0 (т. > 0), представляет рациональное число.
9. Доказать для многочленов над полем р-адических чисел признак не-
приводимости Эйзенштейна: многочлен /(^) = аохп Д- бр.г’1-1 Д-... Д- ап с це-
лыми р-аднческими коэффициентами неприводим над полем Ор, если ао
не делится на р, все остальные коэффициенты яь ..., ап делятся на р и
свободный член ап, делясь на р, не делится на р2.
10. Показать, что над полем р-адических чисел существуют конечные
расширения произвольной степени.
И. Доказать, что для различных простых р и q поля и Од не изо-
морфны. Доказать также, что всякое поле Qp не изоморфно полю вещест-
венных чисел.
12. Доказать, что поле р-адических чисел не имеет никаких автоморфиз-
мов, кроме тождественного. (Аналогичное утверждение справедливо и для
поля вещественных чисел.)
13. Пусть а — главная р-адическая единица, т. е. «е п а =
= 1 (modp). Положим v(a— 1) = т. Доказать, что если а =5^= 1 и р ф 2, то
v(ap—1) = т Д- 1. Доказать, далее, что последняя формула справедлива и
при р = 2, если только т 2.
14. Для главной р-адической единицы а и целого р-адического х положим
ax = lim ax", Где {Хп} _ произвольная последовательность натуральных чи-
П-»оо
сел, сходящаяся к х. Доказать, что этим однозначно определена функция а1,
непрерывно и гомоморфно отображающая аддитивную группу целых р-ади-
ческих чисел в мультипликативную группу главных р-адических единиц.
15. Для а и х из задачи 14 доказать формулу
v(ax— 1) — v(« — 1) Д- v(x)
(при р — 2 предполагается, что v2(a— 1)^ 2; задача 13).
40
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
16. Доказать, что при д #= 2 любая д-адическая единица е однозначно
представляется в виде
е = у (1 + р)а, Тр-1 = К « s ZP
(см. задачи 3 и 14). Доказать также, что всякая 2-адическая единица е одно-
значно представляется в виде е = ±5“, а е Z2-
17. Доказать, что vp(n!) < п.
18. Пусть Zm — кольцо классов вычетов по натуральному мо-
дулю т. Если п делится на т, то мы имеем естественный кольцевой эпи-
морфизм f^, Zn-»~ Zm, Обозначим через Z проективный предел обратно-
го спектра колец (частично упорядоченного отношением дели-
мости). Доказать, что кольцо Z изоморфно декартову произведению JJ Zp
колец целых р-адических чисел для всех простых чисел р. (Если на Z вве-
сти топологию посредством дискретной топологии на Zm, то кольца Z и
JI Zp будут топологически изоморфны.)
V
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля
р-адических чисел
Поля р-адических чисел принадлежат к числу основных инст-
рументов теории чисел. Следующие параграфы этой главы будут
посвящены их приложениям к некоторым теоретико-числовым
задачам. Сейчас, однако, мы несколько отвлечемся от основной
темы главы, чтобы уяснить себе место полей р-адических чисел
в общей теории полей.
1. Метризованные поля. Мы же несколько раз указывали на
аналогию между р-адическими и вещественными числами. В на-
стоящем параграфе мы придадим этой аналогии более точный
смысл. Именно, мы здесь опишем один общий метод построения
полей, охватывающий в качестве частных случаев построение как
вещественных, так и р-адических чисел. Этот метод для случая
поля вещественных чисел совпадает с методом Кантора построе-
ния вещественных чисел при помощи фундаментальных последо-
вательностей рациональных чисел.
Перенесение метода Кантора на другие поля основывается на
следующем соображении. Все понятия и конструкции, необходи-
мые для проведения этого метода, определяются через понятие
сходимости последовательности рациональных чисел. Само это
понятие в свою очередь опирается на понятие абсолютной вели-
чины. (Мы говорим, что последовательность рациональных чисел
{г„} сходится к рациональному числу г, если абсолютная вели-
чина разности |г„ — г| стремится к нулю.) При этом можно за-
метить, что всюду используется только несколько простых свойств
абсолютной величины1. Естественно поэтому предположить, что
если в произвольном поле к определена функция <р от элементов
этого поля, принимающая вещественные значения и обладающая
S 4]
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ Qp Ц
теми же основными свойствами, что и абсолютная величина, то
в к можно определить понятие сходимости и, применяя метод
Кантора, построить из к некоторое новое поле.
Определение. Пусть к — произвольное поле. Функция ф,
определенная на элементах а поля к и принимающая веществен-
ные значения ф(а), называется метрикой поля к, если она обла-
дает следующими свойствами-.
1° ф(а) > 0 при а=#0; <р(0) = 0;
2° ф(а + £) ф(а) + ф(£);
3° <р(а^) = ф(а)ф(р).
Поле к вместе с заданной в нем метрикой ф называется мет-
ризованным полем {и обозначается иногда через (к, ф)). Из опре-
деления легко вытекают следующие свойства метрик:
ф(±1) = 1; ф(—а) = ф(а); ф(а — ф(а) + ф(£);
ф(а±₽)>1ф(а)-ф(Р)|; (р(у) = |^’ ₽^°-
Примерами метрик являются:
1) абсолютная величина в поле рациональных чисел;
2) абсолютная величина в поле вещественных чисел;
3) модуль в поле комплексных чисел;
4) определенная в п. 4 § 3 р-адическая метрика фР в поле
р-адических чисел QP;
5) функция ф(а), определенная в произвольном поле к усло-
виями: ф(0) = 0, ф(а)=1 при а=й0. Такая метрика называется
тривиальной.
Если метрику фР поля Qp мы рассмотрим лишь на рацио-
нальных числах, то получим некоторую новую метрику поля ра-
циональных чисел Q. Эта метрика, обозначаемая также через ф„,
называется р-адической метрикой поляО. Ее значение для от-
личного от нуля рационального числа х = р^^а/Ь (а и & — целые,
не делящиеся на р) задается, очевидно, формулой
Фг (*) = pv₽(x), (1)
где р — фиксированное вещественное число, удовлетворяющее
условию 0 < р < 1. Ниже мы увидим, что применение конструк-
ции Кантора к полю рациональных чисел с р-адической метрикой
на нем (вместо абсолютной величины) и приводит нас к полю
р-адических чисел Qp.
В каждом метризованном поле {к, ф) может быть определено
понятие сходимости: последовательность {а„} элементов из к на-
зывается сходящейся к элементу а е к, если ф(ап — а) -> 0 при
и -> оо. в этом случае говорят также, что а является пределом
последовательности {а„}, и пишут {а„} -► а или а = liman.
П—>00
42
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Определение. Последовательность {а„} элементов метри-
зованного поля к с метрикой ф называется фундаментальной,
если ф(а„ — сст) 0 при п„тп-+-
Очевидно, что всякая сходящаяся последовательность фунда-
ментальна. Действительно, если {ая} -*• а, то, в силу неравенства
ф(а„ — ат) = ф(ап — а + а — ат) С ф(а„ — а) + ф(ат — а),
ф(а„ — ат) •-> 0 (так как ф(а„ — а) 0 и ф(ат — а) -* 0).
Обратное утверждение справедливо для некоторых, но не для
всех метризованных полей. Оно верно для поля вещественных и
для поля />-адических чисел в силу критерия сходимости Коши
(см. § 3, п. 4). В то же время оно неверно для поля рациональных
чисел Q, какой бы из известных нам метрик мы его ни снабжа-
ли — абсолютной величиной или р-адической метрикой.
Определение. Метризованное поле называется полным,
если в нем любая фундаментальная последовательность сходится.
Метод Кантора состоит во вложении неполного поля рацио-
нальных чисел (с абсолютной величиной в качестве метрики)
в полное поле вещественных чисел. Оказывается, что такое вло-
жение возможно и для любого метризованного поля, причем до-
казательство этого утверждения почти дословно повторяет то,
которое приводится в методе Кантора.
Условимся в следующей терминологии. Если мы говорим, что
метризованное поле (к, ф) является подполем метризованного
поля (fcb ф1), то, помимо включения к^к,, подразумеваем также,
что метрика ф1 на подполе к совпадает с ф. Далее, подмножество
метризованного поля к будем называть всюду плотным в к, если
всякий элемент из к является пределом некоторой сходящейся
последовательности элементов из этого подмножества.
Имеет место
Теорема 1. Для любого метризованного поля к существует
полное метризованное поле к, содержащее к в качестве всюду
плотного подполя.
Для формулировки следующей теоремы нам необходимо еще
одно определение.
Определение. Пусть (ki, ф!) и (к2, ф2) — два изоморфных
между собой метризованных поля. Изоморфизм о: к, к2 назы-
вается непрерывным в обе стороны или топологическим, если для
всякой последовательности {ап} элементов из kt, сходящейся
к элементу а по метрике фъ последовательность {о(ап)} сходится
к о(а) по метрике ф2, и обратно.
Теорема 2. Поле Л, о котором говорится в теореме 1, опре-
делено однозначно с точностью до топологического изоморфизма,
оставляющего на месте элементы поля к.
Определение. Поле к, существование и единственность
которого устанавливается теоремами 1 й 2, называется пополне-
нием метризованного поля к.
§ 4]
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА НОЛЯ Qp
43
Ясно, что поле вещественных чисел является пополнением
поля рациональных чисел Q, снабженного абсолютной величиной
в качестве метрики. Если же снабдить поле рациональных чисел
р-адической метрикой (1), то пополнением этого метризованного
поля будет поле р-адических чисел Qp. Действительно, второе
утверждение теоремы 5 § 3 показывает, что Q всюду плотно
в Qp, а признак сходимости Коши (теорема 7 § 3) утверждает
полноту Qp. Мы получили, таким образом, новое аксиоматиче-
ское определение поля р-адических чисел:
Поле р-адических чисел — это пополнение поля рациональных
чисел по р-адической метрике (1).
Перейдем к доказательствам теорем 1 и 2. Мы приведем толь-
ко схему этих доказательств, пропуская те места, которые до-
словно повторяют соответствующие рассуждения вещественного
анализа.
Доказательство теоремы 1. Назовем две фундаменталь-
ные последовательности {zj и {у„) элементов метризованного
поля {к, ф) эквивалентными, если {хп — уД0. Совокупность
всех эквивалентных друг другу фундаментальных последователь-
ностей-назовем классом, а совокупность всех классов обозначим
через к. В множестве й определяем следующим образом действия
сложения и умножения: если а и £ — два класса и {хп} е а и
{уп} е [} — любые содержащиеся в них фундаментальные после-
довательности, то суммой (соответственно произведением) клас-
сов аир назовем класс, содержащий последовательность {хп + уД
(соответственно {хпуп}). Легко видеть, что {о;п + уД и {хпуп} дей-
ствительно являются фундаментальными последовательностями и
что классы, которым они принадлежат, пе зависят от выбора
последовательностей {хп} и {уД в классах а и [J.
Очевидная проверка показывает, что к является кольцом
с единицей; нулем и единицей являются классы, содержащие по-
следовательности £0, 0, ...} и {1, 1, ...}.
Докажем, что к является полем. Если а — класс, отличный от
нуля, и {хп} — содержащаяся в нем фундаментальная последова-
тельность, то, как легко видеть, все хп, начиная с некоторого
места (например, при п > п0), отличны от нуля.
Рассмотрим последовательность {уД, определенную условиями:
11 при п < /г0,
(1/хп при п^пй.
Простая проверка показывает, что последовательность {упУ
фундаментальна и что класс, в котором она содержится, является
обратным к классу а.
Введем теперь в поле к метрику. Для этого заметим, что, как
легко доказать, если {хп} — фундаментальная последовательность
элементов поля к, то {ф(а:„)} является фундаментальной последи-
44
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
вательностыо вещественных чисел. Ввиду полноты поля веще-
ственных чисел эта последовательность сходится к некоторому
вещественному числу, ко'торое не изменится, если заменить по-
следовательность {яп} эквивалентной. Положим <р (а) = lim <р (хп),
П->оо
если а — класс, содержащий последовательность {zn}. Нетрудно
доказать, что определенная таким образом функция <р(а) удов-
летворяет всем условиям, входящим в определение метрики, и,
следовательно, превращает к в метризованное поле.
Сопоставим любому элементу а поля к класс, содержащий по-
следовательность {а, а, ...}. Мы получим отображение поля к
в к, устанавливающее, как легко видеть, изоморфизм метризо-
ванного поля к с подполем поля к, сохраняющим значение мет-
рики. Мы не будем дальше отличать элемент поля к от соответ-
ствующего ему элемента поля к и будем считать, что к содер-
жится в к. Очевидно, что к всюду плотно в к; действительно,
если а — класс, содержащий фундаментальную последовательность
{хп}, то {^„1 -*• а.
Нам остается доказать последнее свойство поля к — его пол-
ноту. Пусть {а„1 — фундаментальная последовательность элемен-
тов поля к. Так как ап является пределом последовательности
элементов поля к, то существует элемент хп е к, для которого
ф(ап — Хп) < 1/п.
Из фундаментальности последовательности {а„} немедленно
следует, что и последовательность {хп}, состоящая уже из эле-
ментов поля к, является фундаментальной. Обозначим через а
класс, содержащий последовательность {zn}. Простая проверка
показывает, что {«„} -> а, что и завершает доказательство
теоремы 1.
Доказательство теоремы 2. Пусть к и ki — два полных
поля, содержащих к в качестве всюду плотного подполя. Мы ука-
жем только, как устанавливается соответствие между элемента-
ми полей к и к^ Проверку того, что это соответствие является
топологическим изоморфизмом, переводящим элементы к в себя,
мы предоставим читателю.
Пусть а — элемент поля к. По условию существует такая по-
следовательность {хп} элементов поля к, что {^„1 а. Так как
последовательность {хп} сходится в к, то она является фундамен-
тальной. Это свойство сохранится и тогда, когда мы рассмотрим
ее как последовательность элементов поля к. Ввиду полноты по-
ля к., последовательность {хп} сходится в нем к некоторому пре-
делу, который мы обозначим <Zi. Легко доказать, что если {уп} —
другая последовательность _элементов поля к, сходящаяся в к
к а, то предел {упПв none fcj будет тем же элементом аь Таким
образом, элемент at поля kt однозначно определяется элементом
а поля к. Соответствие, сопоставляющее элементу а элемент af,
и является нужным нам изоморфизмом.
5 4]
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ Qp
45
2. Метрики доля рациональных чисел. В связи с результатами
предыдущего пункта естественно возникает вопрос, существуют
ли, помимо поля вещественных чисел и полей р-адических чисел
(для всех простых р), другие пополнения поля “рациональных
чисел' Q. Ответ оказывается отрицательным: перечисленные по-
ля исчерпывают собой все возможные пополнения поля Q. До-
казательство этого факта п является пашей ближайшей целью.
Ясно, что поднятый нами вопрос сводится к перечислению
всех метрик поля Q.
В определении р-адической метрики фр на поле Q участвует
некоторое вещественное число р, от которого требуется лишь,
чтобы оно удовлетворяло условию 0<р< 1 (см. равенство (1),
а также (18) § 3). Таким образом, мы имеем бесконечно много
метрик, связанных с данным простым числом р. Однако все они
определяют, очевидно, одну и ту же сходимость на Q и, следо-
вательно, приводят к одному и тому же пополнению — к полю
р-адических чисел Qp.
Покажем, что наряду с абсолютной величиной |ж| функция
<р(о:) = Ы“ (2)
при любом вещественном а, удовлетворяющем условию 0 < а С 1,
также является метрикой поля Q. Действительно, выполнение
условий 1° и 3° из определения метрики очевидно. Пусть |z| 5-
> lyl, х ¥= 0. Тогда
I» + к|“ — |»l“|t + | ' I'1
<о|Д1 + + 1тГ]-И'‘ + 1»1“.
т. е. условие 2° также выполнено.
Сходимость в Q по любой из метрик вида (2) совпадает, оче-
видно, со сходимостью по абсолютной величине, а значит, про-
цесс пополнения т<#> всем н метрикам приводит всякий раз
к полю Евщес'1 г-еппых чисел.
Теорема 3 iтеорема Островского). Метрики, вида (2) и
р-адические метрики (1) о чт всех простых р исчерпывают все не-
тривиальные метрики поля рациональных чисел -С
Дока 1 т >• тьство. Пусть ср — произвольная нетривиаль-
ная метрика поля рациональных чисел. Возможны два случая:
либо существует хоть одно натуральное а > 1, для которого
ф(я) > 1, либо ф(п) = ; 1 при всех натуральных п. Рассмотрим сна-
чала первый enj чай. Так как
ф(п) = ср( 1 + ... + 1) ф(1) + ... + ф( 1) — п, (3)
то можно положить
ф(а) = а?, (4)
где вещественное а удовлетворяет условию 0 < а 1.
46
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 1
Взяв произвольное натуральное N, разложим его по сте-
пеням а:
N = х0 + х^а + ... +
где O^Xi^a — 1 (O^i^k — 1), xk-t 5* 1. Для N имеет место,
следовательно, неравенство as~‘ N < ah. В силу свойств метрики
и формул (3) и (4), получаем
ф (У) < <р (х0) + ф (^) ф (а) + ... + ф (xfe-j) ф (а)*-* <
< (а — 1) (1 + а« + . .. + a<fe-D«) = (а — 1) —-- <
а“ — 1
< (а — 1) = <а — Иа“ a(A—1)05, (.a~~Haa Na = CNa.
a“ — 1 a«-l a«-l
т. e. ф(Л7) < CNa, где константа С не зависит от N. В получен-
ном неравенстве заменим N на Nm с натуральным т. Мы полу-
чим ф(Л’)”! = ф(Л7”) < CNma, откуда ф (Лт)<CW“. Устремляя
здесь т к бесконечности, приходим к неравенству
Ф(Ж№. (5)
Положим теперь N = ah — b, где 0 < Ъ ah — ah~'. В силу 2° имеем
фСУ) ф(ай) — ф(6) = а1'1 — ф(£>).
По только что доказанному
ф(Ь) С Ъа С (a" —
поэтому
ф (N) > aah — (а* — afe-i)« = (1 — (1-j aa/1 = Cxaah > CJV1*,
где константа С, не зависит от N. Пусть снова т — произвольное
натуральное число. Заменяя в последнем неравенстве N на Nm,
получаем ф(У)”! = ф(№") > (\Nam, откуда ф (Л7) > C-lNa‘, а это
при т -> оо дает нам
ф(У)>№. (6)
Сопоставляя (5) и (6), видим, что ф(У)=№ для любого нату-
рального N. Пусть теперь х = — произвольное рациональ-
ное число, отличное от нуля ^Ni и N2 натуральные). Тогда
Ф (Ж) = Ф = ф (УД/ф (У2) = N^/N^ = | х
Мы доказали, таким образом, что если ф(а) > 1 хоть при одном
натуральном а, то метрика ф имеет вид (2).
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда
ф(н) <1 (7)
$ 4]
АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ Qp
47
при всех натуральных п. Если бы для всех простых чисел р мы
имели ф(р) = 1, то в силу свойства 3° мы имели бы также <р(п) =
= 1 при всех натуральных п и, следовательно, ф(г) = 1 при всех
рациональных х ¥= 0. Это противоречит, однако, нетривиальности
метрики <р. Таким образом, для некоторого простого р имеем
<р(р) < 1. Допустим, что для некоторого другого простого числа
q^p также имеем ф(д)< 1. Выберем показатели к и I так, что-
бы выполнялись неравенства
tp(p)ft < 1/2, ф((?)г<1/2.
Так как рй и q' взаимно просты, то upk + vq!—l при некоторых
целых рациональных и и и. В силу (7) имеем ф(и) и ф(г) 1,
поэтому
1 = ф (1) = ф (up* + vql) < ф (w) ф (р)к + ф (у) ф (q)1 < 4 + Т‘
Полученное противоречие показывает, что существует только од-
но простое число р, для которого
ф(р) = р < 1.
Так как ф(д) = 1 для всех других простых чисел, то, очевидно,
ф(а) = 1 для всех целых а, взаимно простых с р. Пусть х = рта/Ъ —
отличное от нуля рациональное число (а и Ъ целые, взаимно про-
стые ср). Тогда
ф W = ф (pm) = ф (/’)т = Рт-
Таким образом, в этом случае метрика ф совпадает с р-адической
метрикой (1).
Доказательство теоремы 3 окончено.
Задачи
1. Показать, что на конечном поле существует только одна метрика —
тривиальная.
2. Две метрики ср и ip, заданные на одном и том же поле к, называются
эквивалентными, если они определяют на к одинаковые сходимости, т. е. ес-
ли условия ip(in— г)->0 и ф(яп — ж)->0 равносильны. Доказать, что для
эквивалентности <р и ф необходимо и достаточно, чтобы условия <р(г) < 1
и ф (х) <z 1 (х е к) были равносильны.
3. Доказать, что если <р и ф — эквивалентные метрики поля к, то ф(г) =
= (Ф(^))6 пРи всех х е к (6 — некоторое вещественное число).
4. Метрика ср, заданная на некотором поле к, называется неархимедовой,
если она удовлетворяет не только условию 2°, но и более сильному условию
2°° ф(« + ?) max (<р(а), <р(?)).
(Если же это более сильное условие не выполняется, то метрика <р называ-
ется архимедовой.) Доказать, что метрика <р неархимедова тогда и только
тогда, когда <р (га) gc 1 для любого натурального га (точнее, для любого нату-
рального кратного единичного элемента поля к).
48
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
5. Показать, что всякая метрика поля характеристики р неархимедова.
6. Пусть к0 — произвольное поле и к = k0(t) —поле рациональных функ-
ций над к0. Каждую отличную от нуля рациональную функцию и е к мож-
но представить в виде
“ = *(0)^0,
где fug — многочлены. Показать, что функция
ф(“) = Рт (0 < р < 1), <р(0) = 0, (8)
является метрикой поля к.
7. Доказать, что пополнение поля к = kq(t) по метрике (8) изоморфно
полю k0{i} формальных степенных рядов, состоящему из всех рядов вида
ОС
2 апг"> ап е к0> ° обычными правилами действий пад степенными ря-
п=т
дами (число т может быть положительным, отрицательным или равным
пулю).
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа
1. Сравнения и уравнения в кольце Zp. В начале § 3 мы рас-
смотрели вопрос о разрешимости сравнений х2 = 2 (mod 7”) при
п = 1, 2, ..., и это привело нас к понятию целого р-адпческого
числа. Уже само определение целых р-адических чисел (§ 3, п. 1)
указывает на их глубокую связь со сравнениями. Более полно эта
связь вскрывается следующей теоремой.
Теор ема 1. Пусть F(.Xi, хп)— многочлен с целыми
рациональными коэффициентами. Сравнения
F^Xt, ..., жп) 0 (mod рк) (1)
тогда и только тогда разрешимы при любом k 1, когда урав-
нение
F(xi, ..., хп) = 0 (2)
разрешимо в целых р-адических числах.
Доказательство. Пусть уравнение (2) имеет решение
(ai, ..., а„) в целых р-адических числах. Для любого к сущест-
вуют тогда такие целые рациональные числа х(^, ..., х(„\ что
ах = х™ (modph), .. ,,ап = х(п (mod pft). (3)
Отсюда следует, что
F (?«, • • •, xi5) == F (аъ ..., ап) = 0 (mod pft),
т. е. ..., z(nfe)) есть решение сравнения (1).
Предположим теперь, что сравнение (1) для любого к имеет
решение ..., Выберем из последовательности целых
рациональных чисел р-адически сходящуюся подпоследо-
вательность Ixi*1)} (теорема 6 § 3). Из последовательности \хг
S 5]
СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
49
выберем опять сходящуюся подпоследовательность. Повторяя
этот процесс п раз, мы придем к такой подпоследовательности на-
турального ряда {I,, 1г, ..что каждая из последовательностей
...} р-адически сходится. Пусть
lim х(-т} = aj.
7П—>00
Докажем, что (а,, ..., а„) — решение уравнения (2). Так как
многочлен Fix,, ..., хп) — непрерывная функция, то
F (а17 .. ., ап) = lim Т'’(4М., ..., Xn™ty-
?tt->00
С другой стороны, по выбору последовательности (х^, ..., 4й)
fU^, ...,4М)-0 (mod р'™)’
так что lim f(4M, ..., 4М)=0- Таким образом, F(ab ..., a„) =
= 0, и теорема 1 доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда Fix,, ..., хп)— форма с
целыми рациональными коэффициентами. Допустим, что урав-
нение Fix,, ..., хп) = 0 имеет ненулевое решение (ctj, ..., a„) в
целых р-адических числах. Пусть т = min (vpta,), ..., vp(a„)).
Тогда все а, представляются в виде
а, = рта,, i = 1, ..., п,
причем все а,- целые и хотя бы одно из них не делится на р. Ясно,
что (at, ..., a„) — также решение уравнения F(zi, ..., .?„) = 0.
Числа (4W> удовлетворяющие условиям (3), дают, как
мы видели, решение сравнения (1), причем хотя бы одно из них
не делится на р.
Допустим, что, наоборот, сравнение (1) при однородном F
имеет при любом к решение (44 . ..,4W), в котором хотя бы
одно из чисел х~^ не делится на р. Ясно, что для некоторого ин-
декса i — i0 будет существовать бесконечно много значений т,
при которых 44 не делится на р. Поэтому последовательность
{/], 12, ...} мы можем выбрать так, чтобы все 4М не делились
на р. Но тогда из равенства cq = lira х\™^ следует, что сс{оне де-
лится на р, а значит, и подавно aio 0. Этим доказана следую-
щая теорема.
Теорема 2. Пусть Fix,, ..., хп)— форма с целыми рацио-
нальными коэффициентами. Тогда, для того чтобы уравнение
Fix,, ..., х„) — 0 имело в кольце Zp нетривиальное решение, не-
50
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
обходимо и достаточно, чтобы при любом натуральном m для
сравнения F{xlt ..хп) = 0 (mod pm) существовало решение, в ко-
тором не все значения неизвестных делятся на р.
Очевидно, что в теоремах 1 и 2 под F можно также понимать
многочлены с целыми р-адическими коэффициентами.
2. О разрешимости некоторых сравнений. Доказанная в пре-
дыдущем пункте теорема 1 сводит вопрос о разрешимости урав-
нения (2) в целых р-адцческих числах к проверке разрешимости
бесконечной серии сравнений (1). Вопрос о том, как ограничиться
рассмотрением только конечного числа из этих сравнений, в об-
щем случае довольно сложен. Мы ограничимся здесь рассмотре-
нием одного частного случая.
Теорема 3. Пусть для многочлена РЬц, ..., хп) с целыми
р-адическими коэффициентами и целых р-адических чисел Ц1, ...
..., уп при некотором i (l^i^n) имеем:
F(^i, ..., уп) = 0 (modp2S+1),
ЛК
...,Tn)sO(mod р»),
CVi, • • •. Уп)Ф О (mod рб+1)
г
(б — неотрицательное целое рациональное число). Тогда суще-
ствуют такие целые р-адические 0„ ..., 0„, что
Я0Ъ ..., 0„) = 0
и
01 = у! (mod pe+1), ..., 0„ = у„ (modp6+l).
Доказательство. Положим у* = у и
f(x) = F(^i, ..., Yi-,, х, yi+1, ..., y„).
Для доказательства теоремы нам достаточно показать, что для
многочлена f(x), для которого
/(у) s 0 (modp2<!+1) и f (у) = up6
(где и — р-адическая единица), существует такое целое р-адиче-
ское число а, что
/(а) =0 и а = у (mod pe+1)
(если такое а будет найдено, то можно положить 0,- = у, при / ¥= I
и 0i = а).
Существование а мы докажем способом, совпадающим по су-
ществу с известным методом Ньютона приближенного вычисле-
ния вещественных корней (некоторое видоизменение вызвано
специфическими отличиями поля р-адических чисел от поля ве-
щественных чисел).
СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕОКИЕ ЧИСЛА
51
§ 5]
Отправляясь от а0 — у, построим индуктивно последователь-
ность а0, <Х1, ..а„, ..полагая v
ап+1 = ап — (4)
1 \ап)
и докажем, что все а„ — целые р-адические числа и для них
/(ап) 33 0 (mod р2<5+1+п), н>0, (40
s a„-i (modу,+"), н>1. (4")
Доказательство сравнений (40 и (4") мы проведем индукцией
по п. Пусть эти сравнения справедливы для некоторого п > О
(при п = 0 речь идет только о (40). Так как
а„ - а0 (mod ре+0,
то /'(ап) /'(а0) = up6, а значит, /'(а„) = н„р°, где и„ —р-адиче-
ская единица. Следовательно, ввиду (40 а„+1 целое и ап+1 33
33 ап (modp6+n+0.
Далее, разложим многочлен Дат) по степеням х — оС, объеди-
нив вместе все члены степени выше первой:
/(д;) = /(а„) + /'(а„)(ж — а„) + (z- a„)2G(z),
где G(a?) — многочлен с целыми р-адическими коэффициентами.
Полагая здесь z = an+i и учитывая (4), мы получим
/ f (О’ \ \ 2
/ (an+l) = у/ j (ап-ы),
откуда /(а„+1) = 0 (mod р2б+2+2"). Сравнения (40 и (4") справед-
ливы, таким образом, для всех п.
Из (4/z) следует, что последовательность {an}n=0 сходится.
Обозначим ее предел через а. Ясно, что а = а0 = у (modp6+0.
Далее из (40 следует, что. Ит / (ап) = 0; с другой стороны, по
П—> оо
непрерывности многочлена lim / (а„) = / (а). Таким образом,
П->со
/(а) = 0, и теорема 3 доказана.
Замечание. Другое доказательство теоремы 3 (при п = 1)
содержится в задачах 16 и 17.
Следствие. Если для многочлена FkXi, ..., х„) с целыми
р-адическими коэффициентами и целых р-адических у,, ...,
при некотором i Cl^i^n) имеем:
F (Yi, • • •, Тп) = 0 (mod р), F'x. (у15 ..., у„) =£ 0 (mod рД
то существуют такие целые р-адические 0„ ..., 0П, что
F(0t, ..., 0„) = О
и 6i 33 Ъ (mod p), ..., 0n 33 Yn (modp).
54 СРАВНЕНИЯ ' [ГЛ. I
LiPn~\ Таким образом, число всех решений сравнения (7) не пре-
восходит lpn~l + Lipn~l «5 Lpn~\ что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы С. Мы можем, конечно, считать,
что многочлен F действительно зависит от переменной хп. Рас-
смотрим F как многочлен от хп с коэффициентами, являющимися
многочленами от хь ..., xn~t. Из абсолютной неприводимости F
тогда следует, что дискриминант DXn (zx, ..., Жп-х) многочлена F,
как многочлена от хп, является не равным тождественно нулю
многочленом от х{, ..., xn-t, в противном случае F делился бы на
квадрат некоторого многочлена. Рассмотрим простые числа р,
не делящие всех коэффициентов ЛХп (zx, ..., а:п„х), и оценим для
них число Nt(p) решений системы сравнений (6). Если (с1; ...
..., с„) — решение системы (6), то сп является общим корнем
многочленов F(cb ..., cn-t, хп) и FXn(cr, . . .,cn_lt хп) по модулю р
и поэтому DXn (сх, ..., сп_х) == 0 (mod р).
На основании леммы число систем (сь ..., Сп-Д, удовлетво-
ряющих этому сравнению, не превосходит Ktpn~2, где Kt — не-
которая константа, зависящая только от многочлена F. Для за-
данных же Ct, ..., cn-t значение сп определяется из сравнения
F(.c,, ..., cn-t, хп) = 0 (mod р),
и поэтому число значений сп не превосходит степени т много-
члена F по переменной хп. Таким образом, число N^p) решений
системы (6) не превосходит Крп~2, где К = тК±. Докажем теперь,
что число N(p) решений сравнения (7) при достаточно большом р
больше числа М(р) решений системы (6). Действительно, из
теоремы В следует, что
N(p')> pn-l-Cpn-l~i/2,
а мы только что доказали, что К\(р) <-Крп~2. Отсюда следует, что
N(p) - N\(p) > р"-1 - Ср"-1-172 - Крп~2 = рп-2(р - Ср172 - К),
а значит, 7V(p)>7V\(p) при достаточно большом р. Таким обра-
зом, при достаточно большом р сравнение F = 0 (mod р) имеет
решение (^н ..., у„), для которого
(Тх, ..., Тп) ф 0 (mod Р).
Ввиду следствия к теореме 3 отсюда и следует разрешимость
уравнения F = 0 в кольце Zp для всех р, начиная с некоторой
границы.
Замечание 1. В работе [64] показано, что для каждого
многочлена / = /(ж,, ..., хп) с целыми р-адическими коэффициен-
тами можно эффективно указать такое натуральное число d =
= d(f), что каждое решение сравнения / = 0 (modpd+1) может быть
«поднято» до решения уравнения / = 0. Точнее это означает, что
§ S]
СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
55
если целые р-адические щ, ..ап удовлетворяют сравнению
/(«1, ..fln)s0 (mod pd+i), (10)
то в ZP существуют аь ..а„ такие, что /(аь ..an) = 0 и
a,i = at (mod pd+l). Так как вопрос о разрешимости сравнения (10)
решается эффективно, то тем самым мы имеем эффективный
метод для решения вопроса о разрешимости р-адического уравне-
ния хп) = 0. z
Замечание 2. Пусть F(xi, ..., хп)— произвольный много-
член с целыми р-адпческими коэффициентами. Обозначим через
ст (т^О) число решений сравнения
F(xh ..., xj 0 (mod рт). (11)
Все решения сравнения (И) являются, очевидно, «поднятиями»
некоторых решений того же сравнения, но по модулю pm-t.
С учетом предыдущего замечания это наводит на мысль, что чис-
ла ст (т > 0) связаны между собой какими-то жесткими законо-
мерностями (возможно, начиная с некоторого места). Если пред-
положить, что эти зависимости линейны, т. е. что каждое ст
(при т т0) выражается через к предшествующих значений при
помощи формулы
Сщ 1 “Ь ... 4“
с коэффициентами А, ..., Ак, не зависящими от т, то это озна-
чало бы, что ряд
СО
Ф (i) = 2 cmtm (12)
m=o
является рациональной функцией от t (такое заключение сле-
дует из известных формул для решения линейного уравнения
в конечных разностях с постоянными коэффициентами). Основы-
ваясь на этих соображениях, в предшествующих изданиях книги
[2] авторами была высказана гипотеза, что для произвольного
многочлена F ряд (12), который (по аналогий с аналогичными
рядами, встречающими в топологии) был назван рядом Пуанкаре
многочлена Z1, представляет рациональную функцию от t. Рацио-
нальность ряда (12) является, как видим, своеобразным выраже-
нием факта существования рекуррентных соотношений между
числами ст. Справедливость приведенной гипотезы доказал Игуса
в 1975 г. Его доказательство основывается на рассмотрении
функции
f С/71 \М*(*1.......хп))\*
J * *' J \\“р/ ) dx^-"dXn (13)
Q
от комплексного аргумента з в правой полуплоскости. Выражение
(13) является р-адическим интегралом, который берется по мно-
54
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Др"-1. Таким образом, число всех решений сравнения (7) не пре-
восходит lpn~l + Lipn~l Lpn~l, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы С. Мы можем, конечно, считать,
что многочлен F действительно зависит от переменной хп. Рас-
смотрим F как многочлен от хп с коэффициентами, являющимися
многочленами от xt, ..., xn-t. Из абсолютной неприводимости F
тогда следует, что дискриминантDXn(x1, ...,zn-i) многочлена F,
как многочлена от хп, является не равным тождественно нулю
многочленом от xt, ..xn-if в противном случае F делился бы на
квадрат некоторого многочлена. Рассмотрим простые числа р,
не делящие всех коэффициентовDXn (хг, . . ., жп_х), и оцепим для
них число N,(p) решений системы сравнений (6). Если (cf, ...
..с„) — решение системы (6), то сп является общим корнем
многочленов F(c,, ..., с„_,, х„) и ЕЖп(сх, .. .,c„_x, хп) по модулю р
и поэтому DXn (сх, ..., сп_х) = 0 (mod р).
На основании леммы число систем (ct, ..., с„_,), удовлетво-
ряющих этому сравнению, не превосходит Kipn~2, где Ki — не-
которая константа, зависящая только от многочлена F. Для за-
данных же Ci, ..., cn-i значение с„ определяется из сравнения
F(ci, ..., cn-i, Хп) = 0 (mod р),
и поэтому число значений с„ пе превосходит степени тп много-
члена F по переменной хп. Таким образом, число NSp) решений
системы (6) не превосходит Крп~\ где К — тК,. Докажем теперь,
что число N(p) решений сравнения (7) при достаточно большом р
больше числа К,(р) решений системы (6). Действительно, из
теоремы В следует, что
N(p) > рп~‘— Срп~‘~,/г,
а мы только что доказали, что Nt(p) <.Крп~2. Отсюда следует, что
Л’(р) - Ni(p) > р”-1 - Cpn~l-i/2 - Крп~2 = рп~Чр - Cpi/2 - К),
а значит, N(p) >Ntip) при достаточно большом р. Таким обра-
зом, при достаточно большом р сравнение F = 0 (mod р) имеет
решение (у,, ..., т„), для которого
ар
^(Ti, ..., Тп) ф 0 (mod р).
Ввиду следствия к теореме 3 отсюда и следует разрешимость
уравнения F = 0 в кольце Zp для всех р, начиная с некоторой
границы.
Замечание 1. В работе [64] показано, что для каждого
многочлена f = f(xi, хп) с целыми р-адическими коэффициен-
тами можно эффективно указать такое натуральное число d =
= d(/), что каждое решение сравнения f = 0 (modpd+l) может быть
«поднято» до решения уравнения / = 0. Точнее это означает, что
СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
55
§ 5]
если целые р-адические аь ..ап удовлетворяют сравнению
j(at, ..., аге) = 0 (mod рл+1), (10)
то в существуют аъ ..., ап такие, что /(аи ..а„) = 0 и
а, = щ (mod p'J+i). Так как вопрос о разрешимости сравнения (10)
решается эффективно, то тем самым мы имеем эффективный
метод для решения вопроса о разрешимости р-адического уравне-
ния /(ж,, ..., Хп) = 0.
Замечание 2. Пусть F(a:i, ..., хп)— произвольный много-
член с целыми р-адпческимп коэффициентами. Обозначим через
ст (т Э' 0) число решений сравнения
F(^i, ..., i„)s0 (mod рт). (11)
Все решения сравнения (11) являются, очевидно, «поднятиями»
некоторых решений того же сравнения, но по модулю рт~'.
С учетом предыдущего замечания это наводит на мысль, что чис-
ла ст (т>0) связаны между собой какими-то жесткими законо-
мерностями (возможно, начиная с некоторого места). Если пред-
положить, что эти зависимости линейны, т. е. что каждое ст
(при т > т0) выражается через к предшествующих значений при
помощи формулы
ст = А1ст-1 + ... + Акст-к
с коэффициентами At, ..., Ah, не зависящими от т, то это озна-
чало бы, что ряд
Ф (0 = 2 cmtm (12)
т~ о
является рациональной функцией от t (такое заключение сле-
дует из известных формул для решения линейного уравнения
в конечных разностях с постоянными коэффициентами). Основы-
ваясь на этих соображениях, в предшествующих изданиях книги
121 авторами была высказана гипотеза, что для произвольного
многочлена F ряд (12), который (по аналогий с аналогичными
рядами, встречающими в топологии) был назван рядом Пуанкаре
многочлена F, представляет рациональную функцию от t. Рацио-
нальность ряда (12) является, как видим, своеобразным выраже-
нием факта существования рекуррентных соотношений между
числами ст. Справедливость приведенной гипотезы доказал Игуса
в 1975 г. Его доказательство основывается на рассмотрении
функции
С (’//’ 1 *п))\»
J ’ ’ ’ J \\ Р J / ’ ^Хп (^)
й
от комплексного аргумента s в правой полуплоскости. Выражение
(13) является р-адическим интегралом, который берется по мно-
56
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
жеству Q всех точек (xt, ..хп) с целыми д-адическими коорди-
натами, относительно некоторой естественной меры, определенной
на этом множестве Q. Поведение функции (13) зависит от харак-
тера особых точек алгебраического многообразия, определяемого
уравнением F(^i, ..., хп) = 0. Доказательство использует поэтому
также теорему Хиронака о разрешении особенностей алгебраиче-
ского многообразия. Позднее в работе [82] было приведено более
простое доказательство, основанное на тех же идеях. (Заметим,
что Игуса рассматривал более общий случай сравнений по степе-
ням максимального идеала в кольце целых элементов произволь-
ного конечного расширения поля р-адических чисел.) В дальней-
шем результат Игуса о рациональности ряда cp(t) его же методом
был обобщен на случай систем сравнении [109]. Наконец, в по-
следнее время в работе [72] предложено доказательство рацио-
нальности ряда <р(£) для случая систем сравнений над кольцом
целых р-адических чисел, пе использующее метода разрешения
особенностей, но с привлечением средств математической логики
(элиминация кванторов для поля р-адических чисел).
Задачи
1. Доказать, что если т и р взаимно просты, то всякая р-адическая еди-
ница е, удовлетворяющая сравнению е = 1 (mod р) является m-й сте-
пенью в Qp.
2. Пусть т = р6тд, (m0, р) = 1, пусть е = 1 (modp28+1). Доказать, что
тогда р-адическая единица е является m-й степенью в Qp.
3. Доказать, что при р =И= 2 разрешимость сравнения аяр s [} (mod р2)
с целыми р-адическими а и .3, не делящимися на р, достаточна для разреши-
мости уравнения = $ в поле Qp. Доказать, далее, что уравнение
к7 + у1 = z7
разрешимо в целых 7-адическпх числах х, у, z, одновременно не делящихся
на 7 (учесть, что I7 + 27 =з З7 (mod 72).
4. Предположим, что коэффициенты е,- формы G =е + ... + яв-
ляются р-адическими единицами (р#=2). Доказать, что если сравнение
(3 = 0 (mod р2) имеет решение, в котором значение хоть одной неизвестной
не делится на р, то в поле Qp уравнение <3 = 0 имеет ненулевое решение.
5. Пусть все коэффициенты формы G = о'1г7’ + ... + апх^ —целые р-ади-
ческие числа, делящиеся па р самое большее в степени р — 1. .Доказать, что
уравнение <3 = 0 имеет в поле <Qp ненулевое решение, если сравнение
G = 0 (mod рр+2) имеет решение, в котором не все значения неизвестных
делятся на р. (В случае р ф 2 достаточно потребовать разрешимости срав-
нения G = 0 (modpp+t).)
6. Предположим, что квадратичная форма F = <хпх® имеет
целые р-адические коэффициенты (р =/= 2), делящиеся на р не выше чем в
первой степени. Доказать, что если сравнение 7’= 0 (modp2) имеет реше-
ние, в котором не все значения неизвестных делятся на р, то уравнение
F = 0 имеет в Qp ненулевое решение.
7. Для формы F = «jX™ + ... + , где а, — отличные от нуля
целые р-адические числа, положим r = vp(m), s = max(vp(ai), ..., vp(an))
СРАВНЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
57
§ 5]
и N — 2(r4-s) +1. Доказать, что уравнение F = 0 имеет в поле Qp не-
нулевое решение тогда и только тогда, когда сравнение 0 (mod pN)
имеет решение, в котором значение хоть одной неизвестной не делится на р.
8. Доказать, что форма Зх3 4- 4у3 + 5z3 представляет нуль в поле Qp при
любом р (см. задачу 13 § 2).
9. Найти ряд Пуанкаре <p(i) для многочлена F = е я* + ... + епх£, где
е,- —р-адические единицы, и убедиться, что функция q>(t) рациональна.
10. Найти ряд Пуанкаре для многочлена F (хь ..., хп) с целыми р-ади-
ческими коэффициентами, обладающего тем свойством, что для всякого ре-
dF
шеиия сравнения F = 0 (modp) при некотором i = 1, ..., п имеем
г
Ф 0 (mod р).
11. Вычислить ряд Пуанкаре для многочлена F(x, у) = х2— у3.
12. Доказать рациональность ряда Пуанкаре для случая п = 1, т. е. для
многочленов одной переменной (с целыми р-адическими коэффициентами).
13. Пусть /(zi, ..., хп)—форма степени d над кольцом целых р-адпче-
ских чисел, р =И= 2, т 0. Доказать, что если п > d (1 + р -f- ... + pm), то
сравнение
/(xi, ..., хп) ss 0 (modp”,+1)
имеет решение, у которого значение хоть одной неизвестной не делится на р.
14. Доказать, что при любом р в поле р-адических чисел <Qp уравне-
ние 2х2 + yi — 17z4 = 0 имеет решение с ненулевыми значениями неизвест-
ных (см. задачу 14 § 2).
15. Пусть /(.г)—многочлен с целыми р-адпческими коэффициентами и
7 — целое р-адическое число такое, что /(7) 0 (modp2e+i), /'(7) = p6ir,
и — р-адическая единица, 6 1. Доказать, что в кольце целых р-адических
чисел уравнение /(я) =0 имеет только одно решение х = а, удовлетворяю-
щее сравнению а = 7 (modp6+1) (см. доказательство теоремы 3).
ОО
16. Пусть ф (г) = 2 апхП — формальный степенной ряд с коэффициен-
тов
тами из некоторого коммутативного кольца О с единицей. Доказать, что
если — обратимый элемент кольца, то существует формальный степенной
со
ряд ip (z) = 2 ^пхП без свободного члена (Ьп £), п 1) такой, что
п=1
оо
ф (ф(жя = 2 м <х)п = % + х
п=0
(относительно операции формальной подстановки ряда в ряд см. п. 1
§ 5 гл. IV).
17. Пусть выполнены условия задачи 15. Положим /(7) = р26а0, где
«о = 0 (mod р). Для х = 7 + р6у имеем
/(7 + Р*У) =/(7)+ f'WlP^y + «2Р2бР2 + . • =Р28ф(у),
где ф(у) = а0 + иу + а2у2 + ... — многочлен с целыми р-адическими коэф-
СО
фициентами, удовлетворяющий условию задачи 16. Пусть ф (у) = 2 ЬпУП —
п=г
формальный степенной ряд с целыми р-адическими коэффициентами, для
которого ф(ф(у)) = «о + У- Доказать, что целое р-адическое число а = 7 +
+ р6ф (— а0) удовлетворяет условиям
/(а) = 0, а ss 7 (mod p8+1).
58
СРАВНЕНИЯ
(ГЛ. I
§ 6. Квадратичные формы с р-адическими:коэффициентами
В этом и следующем параграфе мы применим развитую нами
теорию р-адических чисел к исследованию простейших неопре-
деленных уравнений. Именно, мы рассмотрим вопрос о представ-
лениях р-адических и рациональных чисел квадратичными
формами. Необходимые нам алгебраические сведения о квадра-
тичных формах в произвольном поле изложены в § 1 Допол-
нения.
1. Квадраты в поле р-адических чисел. При изучении квадра-
тичных форм в том или ином поле важно знать, какие элементы
поля являются квадратами. Займемся поэтому сначала изучением
квадратов в поле р-адических чисел Qp-
Мы знаем (§ 3, теорема 4), что каждое отличное от нуля
р-адическое число а однозначно представляется в виде а = р“е,
где е — р-адическая единица (т. е. единица в кольце целых р-ади-
ческих чисел Zp)- Если а является квадратом р-адического
числа у = рйе0, то т — 2к и е = 82. Для описания всех квадратов
поля Qp нам достаточно знать, следовательно, какие единицы
из Zp являются квадратами.
Теорема 1. Пусть р^=2. Для того чтобы р-адическая еди-
ница
е = с0 + ctp + с-.р2 + ..., O^Ct<p, Со =5^0 (1)
была квадратом, необходимо и достаточно, чтобы число с0 было
квадратичным вычетом по модулю р.
Доказательство. Если е = ц2 и ц = Ъ (modр) (& целое
рациональное), то с0 = b2 (mod р). Обратно, если с0 = Ъ2 (mod р),
то, рассматривая многочлен 1Дх} = х2 — е, имеем: F(b) = 0 (mod р)
и F'(b) = 2b 0 (modp). По следствию к теореме 3 § 5 сущест-
вует такое т) е Zp, что Ftr/) — 0 и т] = b (mod р). Таким образом,
е = т]2, и теорема доказана.
Следствие 1. При р^=2 всякая р-адическая единица,
сравнимая с 1 по модулю р, является квадратом в Qp.
Следствие 2. При р^=2 индекс (Q*: Q*2) подгруппы
квадратов Q*2 в мультипликативной группе поля р-адических
чисел равен 4.
Действительно, если единица е не является квадратом, то
отношение любых двух из чисел 1, е, р, ре не является квадратом
в поле Qp. В то же время всякое отличное от нуля р-адическое
число представляется в виде произведения одного из чисел 1, 8,
р, ре на некоторый квадрат.
При р#=2 для единицы (1) положим:
/ е \ J+ 1, если е является квадратом в Qp,
\ р / ~ I— 1, в противном случае.
S 6]
ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
59
В силу теоремы 1 имеем^—J= где J —символ Лежанд-
ра. Если е — целое рациональное число, взаимно простое с р, то
введенный символ совпадает, очевидно, с символом Лежанд-
ра. Легко видеть, что для р-адических единиц е и т| имеем
(ет)\ = (2L^
\ р J \pl\p/
Обратимся к случаю р = 2.
Теорема 2. Для того чтобы 2-адическая единица е была
квадратом (в поле Q2), необходимо и достаточно, чтобы е =
= 1 (mod 8).
Доказательство. Необходимость следует из того, что
квадрат нечетного числа всегда сравним с 1 по модулю 8. Для
доказательства достаточности условия рассмотрим многочлен
F(x)=x2 — е и применим к нему теорему 3 § 5, взяв 6 = 1 и
7 = 1. Так как F( 1) 0 (mod 8), Z (l) = 2^0 (mod 4), то согласно
этой теореме существует такое T] = l(mod4), что 77(ц)=0, т. е.
е = ц3.
Следствие. Индекс (Q* '. Q*2) подгруппы квадратов в
мультипликативной группе поля 2-адических чисел равен 8.
Действительно, согласно теореме приведенная система выче-
тов 1, 3, 5, 7 по модулю 8 является в то же время системой пред-
ставителей из классов смежности группы 2-адических единиц по
подгруппе ее квадратов. Присоединяя к ним произведения 2 • 1,
2-3, 2-5, 2-7, мы получаем полную систему представителей пз
классов смежности группы Q* по подгруппе Q*2.
2. Представление нуля р-адическими квадратичными форма-
ми. Как и во всяком поле, неособенная квадратичная форма над
полем Qp при помощи линейного преобразования переменных
может быть приведена к виду
+ .. . + cCj^O
(см. Дополнение, § 1, п. 1). Если а, = р2Ь{ег или = р2Ь1+1е{
(е< — единицы в ZP), то после преобразования phiXi = у, мы
придем к форме, у которой все коэффициенты — целые р-ади-
ческие числа, делящиеся па р не выше чем в первой степени.
Таким образом, всякая неособенная квадратичная форма над
полем Qp эквивалентна форме вида
F = Fo -f- pFj. = 8j.r2 + . . . + Erxr + P (sr+i^r+id- • • +6n£n), (2)
где et — р-адические единицы.
Рассматривая вопрос о существовании представлений нуля,
мы можем считать, что г > п — г. Действительно, форма pF, оче-
видно, эквивалентна форме 4- pF0. Так как F и pF лишь
60
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ, I
одновременно представляют нуль, то вместо FQ 4- pFt мы можем
взять форму Fi 4- pFa.
Рассмотрим сначала случай р ¥ 2.
Теорема 3. Пусть р¥=2 и 0<г<п. Форма (2) представ-
ляет нуль в поле Qp тогда и только тогда, когда представляет
нуль хоть одна из форм Fo или Ft.
Доказательство. Пусть форма (2) представляет нуль:
+ • •. + £r%r + Р + . •. + = 0. (3)
Мы можем, очевидно, считать, что все целые и хоть одно из
них не делится на р. Если не все Z делятся на р, скажем
Ф 0 (mod р\ то, рассматривая равенство (3) по модулю р, мы
получим
Ео(^, .. .,&) = 0(modp);
Gh, . .., gr) = 28^ 0 (mod р).
По следствию к теореме 3 § 5 форма Fa представляет нуль.
Пусть теперь все значения ..., сг делятся на р, так что
еД? + ... + ег£г = 0 (mod р2). Перейдем в равенстве (3) к срав-
нению по модулю р2. Сокращая это сравнение на р, мы получим
Fi^r+t, ..., £„) = 0 (mod р),
причем хоть одно из ^г+1, ..., не делится на р. Применяя
опять следствие к теореме 3 § 5, заключаем, что в этом случае
форма 1'\ представляет нуль. Поскольку достаточность условия
очевидна, то этим доказательство теоремы 3 закончено. Попутно
нами получено следующее утверждение.
Следствие 1. Если еь ..., 8Г — р-адические единицы, то
при р =4= 2 форма f = + ... + erXr представляет нуль в Qp
тогда и только тогда, когда сравнение fat, ..., тг) s0 (mod р)
имеет в Zp нетривиальное решение.
Следствие 2. Если при тех же предположениях г>3, то
форма f(xi, ..., хг) всегда представляет нуль в Qp.
Действительно, по теореме 5 § 1 сравнение f(xt, ..., хф) s
0 (mod р) имеет нетривиальное решение.
При доказательстве теоремы 3 равенство (3) фактически не
было использовано: мы имели дело лишь со сравнениями F 33
= 0(modp) и Е = 0 (modp2). Таким образом, уже из разреши-
мости второго из этих сравнений вытекает, что одна из форм Fo
или Fi, а значит и F, представляет нуль. Мы имеем, таким об-
разом,
Следствие 3. При р#=2 форма (2) представляет нуль
тогда и только тогда, когда сравнение F 0 (mod р2) имеет реше-
ние, в котором значение хоть одной неизвестной не делится на р.
ФОРМЫ С Р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
61
§ 6]
Перейдем теперь к рассмотрению квадратичных форм в поле
2-адических чисел. В этом случае теорема 3 и все следствия к
ней уже не имеют места. Например, для формы f = xf + x2-j-
+ + а?4 уравнение / = 0 не имеет нетривиальных решений в Qa
(так как уже сравнение f^0(mod8) не имеет решений с не-
четным значением хотя бы одной неизвестной). В то же время
форма /-j- 2x\ представляет нуль в Q2 (теорема 5).
Теорема 4. В поле 2-адических чисел форма (2) (с р — 2)
представляет нуль тогда и только тогда, когда разрешимо срав-
нение F 0 (mod 16) с нечетным значением хоть одной неиз-
вестной.
Доказательство. Пусть F^, ..., g„) = 0 (mod 16), где
пе все целые 2-адические числа делятся на 2. Предположим
сначала, что + 0 (mod 2) хоть для одного I + г, скажем
0 (mod 2). Так как Fih, ..., gn) -- 0 (mod 8) и (£х, ..., gra) =
= 28^ 0 (mod 4), то по теореме 3 § 5 (при 6 = 1) форма F
представляет нуль. Пусть теперь ..., + все делятся па 2, т. е.
^ = 2т]{ (1 =sS с целыми 2-адическпми тц. Сокращая срав-
нение
4 S еР1; + 22 • == 0 (mod 16)
i—1 г=т4-1
п т
на 2, мы получим 2 etSi +22 8{Т)| = 0 (mod 8), причем здесь
j=r+l i=l
одно из gr+1, ..., не делится на 2. Как и выше, из получен-
ного сравнения следует, что форма Fi + 2F,, представляет нуль.
Но тогда эквивалентная ей форма 2F также представляет нуль,
и достаточность условия доказана. Что касается обратного ут-
верждения, то оно очевидно.
При доказательстве теоремы 4 нами получен также следую-
щий результат.
Следствие. Если для формы (2) (с р — 2) сравнение F^
= 0 (mod 8) имеет решение с нечетным значением хоть одной из
неизвестных xt, хг, то эта форма представляет нуль в по-
ле Q2.
Теорема 5. В поле р-адических чисел Qp всякая неосо-
бенная квадратичная форма от пяти и более переменных всегда
представляет нуль.
Доказательство. Можно считать, что заданная форма
имеет вид (2), причем г > п — г. Так как п > 5, то г>3. Пусть
р Ф 2; в этом случае по следствию 2 к теореме 3 форма Fo пред-
ставляет нуль. Вместе с Fo форма F также представляет нуль.
Этим для р ¥» 2 теорема доказана.
Пусть теперь р = 2. Если п — г > 0, то мы рассмотрим «ча-
стичную» форму / = BjX^ + е2х£ + е,3х% + 2епХп- Такая форма
62
СРАВНЕНИЯ
(ГЛ. I
всегда представляет нуль в Qa. Действительно, так как + е2 =°
= 2а (а целое 2-адическое), то е, + е2 + 2епа2 2а + 2а2 =
= 2а(1 + а) = 0 (mod 4), т. е. ех + е2 +2епа2 = 4р с целым 2-ади-
ческим р. Полагая х1 = х2 = 1, ж3 = 2р, хп~а, имеем ei-l2 +
+ е2 I2 + е3 • (2р)2 + 2е„аг = 4р + 4р2 ss 0 (mod 8). По следствию к
теореме 4 форма / представляет нуль. Но тогда F также пред-
ставляет нуль. В случае п = г в качестве «частичной» формы мы
возьмем / = СрГ2 + е2^2 + e.sxs + еЛ + е^г2. Если е, + е2
е3 + е4 = 2 (mod 4), то положим xt —х2 = х3 —Хь = 1, а если,
например, е4 + е2 0 (mod 4), то Xt=x3 — 1, х3 = Хц — 0. В обоих
случаях е1х1 + e2z2 + е.3х3 + = 4у с целым 2-адическим
Полагая х5 = 2у, получим
/ = 4у + 4f == о (mod 8).
Применение следствия к теореме 4 завершает доказательство и в
этом случае. Теорема 5 доказана полностью.
Согласно теореме 6 § 1 Дополнения из доказанной теоремы 5
вытекает следующее:
Следствие 1. В поле Qp всякая неособенная квадратич-
ная форма от четырех и более переменных представляет все
р-адические числа.
Следствие 2. Пусть F(xt1 х„)— неособенная квадра-
тичная форма с целыми рациональными коэффициентами. Если
п 5s 5, то для любого модуля m сравнение Fkxi, ..., хп) s
0 (mod m) имеет нетривиальное решение.
Действительно, так как форма F представляет пуль в Qp,
то при любом натуральном s > 1 сравнение F = 0 (mod рг) имеет
решение, в котором хоть одна неизвестная не делится на р.
3. Бинарные формы. Важным примером общей теории служит
случай бинарных квадратичных форм. В этом пункте мы рас-
смотрим вопрос о представлении чисел поля Qp бинарной квад-
ратичной формой вида
х-— аг/2, а=#0, а <= Qp. (4)
(Очевидно, что общий случай бинарной неособенной формы сво-
дится к этому путем преобразования переменных и умножения
формы на некоторое /?-адическое число.)
Совокупность всех отличных от нуля р-адических чисел, пред-
ставимых формой (4), мы обозначим через На. Эта совокупность
замечательна тем, что она всегда является группой по умноже-
нию. Действительно, если р = х2 — аг/2, Рх = х% — ayf, то, как
показывает простая выкладка,
РРХ = (^х + аг/г/Д2 — а(хг/х + г/хД2, Р~Х = (у) — “(у) •
Приведем другое доказательство этого же факта, основанное на
§ 6] ФОРМЫ С Р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 63
рассмотрении квадратичного расширения Qp(j/\x) поля Qp (при
условии, что а не является квадратом в Qp). Равенство $ — х2 —
— ау2 эквивалентно _тому, что является нормой числа £ ~
=^х + у!'а из Qp(Vra). Но если p = 2V(g) и то ВВ, =
= 2V(^1)nr1 = W).
Если а является квадратом в Qp, то форма (4) представляет
пуль, а значит, и все числа из Qp. Следовательно, в этом случае
На совпадает со всей мультипликативной группой Qp поля Qp.
Так как форма (4) заведомо представляет все квадраты поля
Qp (при у = 0), то Qp2 с= На. Но согласно следствиям к теоре-
мам 1 и 2 индекс (QP: QP2) конечен, поэтому тем более и груп-
па На имеет конечный индекс в Qp.
Теорема 6. Если число a eQp не является квадратом, то
{Q*p-.Ha} = 2.
Доказательство. Заметим прежде всего, что форма (4)
представляет р-адическое число £ тогда и только тогда, когда
форма
ах2 + $у2 - z2 (5)
представляет нуль (теорема 6 § 1 Дополнения). Далее, условие
представимости пуля формой (5), очевидно, не меняется при
умножении а и £ на квадраты. Мы можем поэтому считать, что
<х и р берутся из некоторой фиксированной системы представи-
телей группы Qp по подгруппе квадратов Q*2.
Рассмотрим сначала случай р ¥= 2. Покажем, что На =/= Qp2-
Это очевидно, если —а не есть квадрат (так как — а^Но). Если
же —а является квадратом, то форма х2 — ау2 эквивалентна
форме х2 + у2, которая представляет все р-адические единицы
(следствие 2 теоремы 3); значит, На и в этом случае не совпадает
с Qp2. Далее, На не совпадает с Qp (если, конечно, a^Qp2).
Действительно, выбрав р-адическую единицу е, не являющуюся
квадратом, мы можем ограничиться для а значениями е, р и ре.
Но по теореме 3 (и теореме 10 § 1 Дополнения) форма (5) не
представляет нуля при а = е, j) = p и при а — р, ре, ^ = е. Та-
ким образом, действительно Яа Ф Qp. Применим теперь следст-
вие 2 теоремы 1. Так как Qp о 2ZaoQ*2, то индекс (Qp:-Z7a)
должен быть делителем индекса (Qp:Qp2)=4. Но по доказан-
ному он не может равняться ни 4, ни 1. Следовательно,
(Qp : #a) = 2, и теорема 6 для случая р ¥= 2 доказана.
Пусть теперь р = 2. В этом случае мы имеем 8 классов смеж-
ности Q* по Q*2, в качестве представителей которых можно
взять числа 1, 3, 5, 7, 2-1, 2 -3, 2-5, 2-7. Будем считать поэто-
му, что-а и в форме (5) совпадают с этими числами, и выяс-
ним, в каких случаях эта форма представляет нуль в Qa- Ответ
64
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
сведен в нижеследующей таблице, в которой знак + означает,
что для а и р, стоящих на соответствующих горизонтали и вер-
тикали, форма (5) представляет нуль в Q2> а пустые клетки
соответствуют формам, не представляющим нуля. (В силу сим-
метрии между а и $ в форме (5) знаки в таблице расположены
симметрично относительно диагонали, идущей из левого верхнего
угла в правый нижний.)
\ Р а Х^ 1 3 5 7 2-1 2-3 2-5 2-7
1 + + + + . + + +
3 1 + +
5 + + +
7 -L + +
2-1 4- + + +
2-3 + + +
2-5 + + + +
2-7 + + + +
Мы видим, что в каждой строчке кроме первой, знак + стоит
ровно в четырех клетках. Это означает, что для любого aeQJt
не являющегося квадратом, имеется ровно четыре класса смеж-
ности по подгруппе Q2 , представляемых формой (4). Таким об-
разом, (На : Q*2) = 4, а так как (Q* : Q*2) = 8 (следствие теоре-
мы 2), ТО (Q* ’.На) — 2.
Проверка таблицы производится на основе результатов п. 2.
Пусть а = 2е, = 2ц, где е и ц — 2-адические единицы, и пусть
2гх2 + 2г\у2 — z: = 0. (6^
Значения х,. у и z мы можем, конечно, считать здесь целыми и пе
делящимися на 2 одновременно. Ясно, что z = 0(mod2) и, да-
лее, что х и у вместе не делятся на 2 (в противном случае левая
часть (6) делилась бы на 4). Полагая z = 2i, мы приводим ра-
венство (6) к виду ех2 + цу3 —• 2t2 = 0; это равенство, согласно
следствию теоремы 4, равносильно сравнению по модулю 8 (с не-
четными х и у). Так как х2 у2 = 1 (mod 8) и 2t2^2 (mod 8) или
2f2 = 0 (mod 8), то мы получаем, следовательно, что разрешимость
уравнения (6) равносильна выполнению хотя бы одного из
сравнений
б + ц зз 2 (mod 8), в + ц = 0 (mod 8).
Пусть теперь а = 2е, £ = ц. В равенстве 2ех2 + цу2 — z2 = 0
(с целыми 2-адическими х, у и z, ие делящимися на 2 одновре-
менно) по тем же соображениям мы имеем: y^0(mod2) и z^
0 (mod 2). Следовательно, выполнение этого равенства (по тому
же следствию теоремы 4) равносильно выполнению хотя бы
S 6]
ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
65
одного из сравнений
2е + т] = 1 (mod 8), p = l(mod8), (7)
соответствующих случаям 2Zх и 21 х.
Остается рассмотреть еще случай а = е, р = т]. Если в равен-
стве еж2 + т]у2 — z2 = 0 целые 2-адические х, у и z не все делятся
на 2, то ровно одно из них делится на 2, а два других — нет.
Если z = 0 (mod 2), то еж2 + гр/2 = е. + р 0 (mod 4). откуда сле-
дует, что либо esl(mod4), либо r] = l(mod4). Если же
0 (mod 2), то еж2 + rjp2 s 1 (mod 4), и так как одно из чисел х
или у должно делится на 2, а другое — нет, то опять получаем,
что выполняется хоть одно из сравнений
e = l(mod4), г] = 1 (mod 4). (8)
Обратно, предположим, например, что e = l(mod4). Тогда срав-
нение еж2 + т]у2 — z2 s 0 (mod 8) выполняется при х = 1, у — О,
z=l. если e = l(mod8), и при х = 1, у = 2, z = l, если
ss 5 (mod 8), а значит, форма еж2 + тц/2 — z2 представляет пуль.
Закончив проверку таблицы, мы тем самым завершили дока-
зательство теоремы 6.
Из теоремы 6 следует, что для р-адического числа а¥=0, не
являют,егося квадратом, фактор-группа есть цикличе-
ская группа второго порядка. Мы можем поэтому установить
изоморфизм этой фактор-группы с группой {1, —1} корней вто-
рой степени из 1. Единственный изоморфизм между Qp/7/a и
{1, —1} сопоставляет подгруппе На число +1, а классу смеж-
ности $На, отличному от На,— число —1. Удобнее, однако, рас-
сматривать гомоморфизм группы Qp па группу {1, —1} с ядром
На, так как тогда мы будем иметь дело с функцией на QP (а не
на фактор-группе 0р/Яо).
Определение. Для р-адических чисел а ¥= 0 и р О мы
определяем символ (а, р), который равен +1 или —1 в зависи-
мости от того, представляет форма ах2 + рр2 — z2 нуль в поле Q
или нет. Символ (а, Р) называется символом Гильберта.
Из определения непосредственно следует, что если а является
*2
квадратом, то (а, р) = 1 при всех р. Если же а ф Qp , то (а, р)=
= 1 тогда и только тогда, когда р <= На, Отсюда легко получаем,
что при любом а ¥= 0 отображение р (а, р) является гомомор-
физмом группы Qp в группу {1, —1) с ядром На. Другими сло-
вами, имеет место формула
(a, PiPz) = (а, Р1)(а, р2). (9)
Далее, значение символа (а, р) зависит только от разрешимости
уравнения ах2 + рр2 — z2 = О, которое симметрично относительно
66
СРАВНЕНИЯ
ДГЛ. I
аир, поэтому
(₽, а) —(а, р), (10)
откуда ввиду (9) следует, что
(ai«2, р) = (ai, р)(аг, Р).. (11)
Заметим еще, что
(а, —а) = 1 (12)
для любого aeQ* (так как уравнение ах2 — ау2 — z2 = 0 имеет
решение х = у = 1, z = 0), а значит, в силу (9)
(a, а) = (а, —1). (13)
На основании формул (9)—(13) вычисление символа (ос, р)
в общем случае сводится к вычислению значений (/>, е) и (е, р),
где е и р — р-адические единицы. Действительно, если а — ркг,
Р = р'р, то ввиду этих формул мы имеем
(pfte, />!р) = (/>, р)ы(е, р)'(р, р)Де, р) = (р, 8!р*(—1)ы)(е, р).
Займемся вычислением значений символов (р, е) и (е, р). Если
р 2, то по теореме 3 форма рх2 + еу2 — z2 представляет нуль
тогда и только тогда, когда еу2 —z2 представляет нуль, т. е. когда
единица е является квадратом. Таким образом, (р, е) = 'f ~ J при
р¥=2 (см. п. 1). Далее, по следствию 2 теоремы 3 форма ех2 +
+ ру2 — z2 всегда представляет нуль, а значит, (е, р)=+1 для
любых р-адических единиц е и р (р=Н=2).
В случае р = 2 значения символов (2, р) и (е, р) для 2-ади-
ческих единиц е и р нами, по существу, уже найдены при до-
казательстве теоремы 6. Действительно, согласно (7) (при е = 1)
форма 2х2 + ру2 — z2 представляет нуль тогда и только тогда,
n2~i
когда р 33 ± 1 (mod 8). Следовательно, (2, р) = (—1) 8 . Далее, мы
видели, что форма ех2 + ру2 — z2 представляет нуль тогда и толь-
ко тогда, когда выполнено хоть одно из сравнений (8). Следо-
вательно,
е—1 я—1
(в, р) = (— 1) 2 ’ 2 .
Сформулируем полученный результат.
Теорема 7. Значения символов Гильберта (р, е) и (е, р)
для р-адических единиц е и р определяются формулами'.
(Р, е) = ( у), (в, р) = 1 при р ф 2;
еа—1 е—1 т)~1
(2, В) = (— 1) 8 , (е, р) = (— 1) 2 2 при р = 2.
4. Эквивалентность бинарных форм. Символ Гильберта даёт
возможность записать в явном виде условие эквивалентности
S 6] ФОРМЫ С Р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 67
двух неособенных бинарных квадратичных форм в поле Qp.
Пусть f(x, у) и g(x, у) — две бинарные неособенные квадратич-
ные формы с коэффициентами из Qp и 6(f), 6(g) — их опреде-
лители. Для эквивалентности форм fug необходимо, чтобы 6(f)
и 6(g) отличались на множитель, принадлежащий Qp2 (теорема
1 § 1 Дополнения). Чтобы сформулировать еще одно необходимое
условие эквивалентности, которое вместе с отмеченным будет
уже и достаточным, докажем следующий факт.
Теорема 8. Для всех р-адических чисел а =7^0, представи-
мых бинарной формой f определителя 6 0, значение символа
Гильберта (а, —6) имеет одно и то же значение.
Доказательство. Пусть а и а' — два отличных от нуля
р-адических числа, представимых формой f. Согласно теореме 2
§ 1 Дополнения форма f эквивалентна форме Д вида ах2 + $у2.
Так как а представляется также и формой У,, то а' = с/.Д + Ру2’
откуда аа' — арУо — (аа:0)2 = О- Последнее означает, что форма
аа,'х2 — а^у2 — z2 представляет нуль, следовательно, (оса', —оф) =
= 1. Но оф отличается от 6 на квадрат, поэтому имеем также
(аа', —6) = 1, а значит, по свойству (11) (а, —6) = (а', —6), что
и доказывает теорему.
Согласно теореме 8 мы можем ввести для бинарной формы f
новый инвариант, положив
e(f) = (ос, —6(f)),
где ос — любое отличное от нуля р-адическое число, представимое
формой /.
Теорема 9. Для эквивалентности неособенных бинарных
квадратичных форм f и g в поле Qp необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись условия-.
1) б (л=6(g) у2,
2) e(f) = e(g).
Доказательство. Необходимость обоих условий очевид-
на. Для доказательства достаточности покажем, что при выпол-
нении условий теоремы формы fug представляют одни и те же
р-адические числа. Пусть число е Q* представляется формой
g. Предполагая, что форма f приведена к виду ах2 + $у2, мы бу-
дем иметь
(а, —ар) = e(f) — e(g) = (у, —6(g)) = (у, —ар),
откуда
(уа-1, —ар) = 1.
По определению символа Гильберта это значит, что разрешимо
уравнение *
уа_1сс2 — ару2 — z2 = О
68
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
в отличных от нуля х, у и z. Но тогда
т. е. y представляется и формой /. Эквивалентность / и g следу-
ет теперь из теоремы 11 § 1 Дополнения.
5. Замечания о формах высших степеней. Доказанная нами
теорема 5 о квадратичных формах в поле Qp принадлежит к
числу часто встречающихся в теории чисел фактов такого типа:
«все обстоит хорошо, если число переменных достаточно велико».
В нашем случае «хорошо» означает, что квадратичная форма
представляет нуль в поле р-адических чисел, а «достаточно боль-
шое» число переменных равно пяти. Очень интересно было бы
проследить это явление и дальше — для форм любых степеней
над полем р-адических чисел.
Точная постановка вопроса заключается в следующем. Фикси-
руем простое число р. Для любого натурального числа г найти
минимальное число 2VP(r), обладающее тем свойством, что любая
форма степени г с р-адическими коэффициентами, у которой
число переменных больше 2Vp(r), представляет нуль в поле р-ади-
ческих чисел Qp. Далеко не очевидный a priori факт существо-
вания такого конечного числа 2VP(r) был доказан Брауэром [66].
Однако оценка, получающаяся из его доказательства, чрезмерно
велика.
Легко устанавливается, что
NP(r)>r2. (14)
Для доказательства неравенства (14) надо показать, что для лю-
бого г существуют формы степени г от г2 переменных, не пред-
ставляющие нуля в поле р-адических чисел. Построим пример
такой формы. Для этого вспомним, что в п. 2 § 1 этой главы
была построена такая форма F(xh ..., +„) степени п и от п пе-
ременных, что сравнение
Fkxi, ..., хпУ = 0 (modр)
имеет только одно решение:
Ж! = 0 (mod р), ..., хп = 0 (mod р). (15)
Положим
Ф Ой, . • •, хпг) = F (хг, . ..,Хп) + pF (хп+1, х2П) + . •.
. •. 4- рп *F (хп2—п+1, • • •, Хп%)
и докажем, что форма Ф не представляет нуля в поле р-адиче-
ских чисел. Допустим противное, т. е. допустим, что уравнение
Ф Ой, . . ., Япг) = 0 (16)
имеет ненулевое решение. В силу однородности Ф мы можем счи-
S 6]
ФОРМЫ С р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
69
тать, что все неизвестные целые и хоть одна из них не делится
на р. Рассматривая (16) как сравнение по модулю р, мы полу-
чаем Fkx^ х„) = 0 (modp), откуда ввиду (15) следует, что
= рх!, ..хп — рх . Равенство (16) принимает теперь вид
pnF (хъ ..., х’п) + pF (a?n+i, .. •, я2п) + • • •
. .. + pn-1F (xn2_n+1, ..., х„2) = О
или, после сокращения на р,
F (a?n+i, • • •, а?2п) 4" • • • Pn 2F (a?n2—n+i, • • • > а?п2) +
+ pn~lF (a?i, ..., х'п) = 0.
В качестве следующего шага доказательства мы получим, что
х„+1, ..., Xzn делятся на р. Повторив это рассуждение п раз, мы
докажем, что все xlt, .. .,хп2 делятся на р, в противоречии с тем,
что предположили.
Таким образом, для Np(r) мы имеем оценку снизу (14). Но
согласно теореме 5 при г = 2 имеет место равенство 2VP(2)=4
(при гc=s 1 также имеем очевидное равенство 2VP(1) = 1). Естест-
венно возникает вопрос, не будет ли равенство Np(r) = г2 выпол-
няться для любого г? Ряд результатов, казалось, подтверждал
такое предположение. Так, В. Б. Демьянов [45] и Левис [101]
доказали, что любая кубическая форма над полем р-адических
чисел, число переменных которой больше 9, представляет нуль;
другими словами, NP(3) = 9. Далее, Экс и Кочен [57], применив
очень оригинальный метод, заимствованный из математической
логики, установили, что для фиксированного г почти для всех р,
т. е. для всех, за исключением конечного числа, имеет место
п
равенство NP(r) — г2. Кроме того, «диагональные» формы 2
i=l
в поле р-адических чисел всегда допускают нетривиальное пред-
ставление нуля, если только число переменных п удовлетворяет
неравенству п > г2 (см. [71]). ? '
В связи с вопросом о представлении нуля формами над за--
данным полем было введено следующее определение. Говорят,
что поле К обладает свойством Ct, если любая форма степени d
от п переменных с коэффициентами из К при п > d‘ допускает
нетривиальное представление нуля. Свойством Са обладают
алгебраически замкнутые поля и только они. Теорема Шевалле
(теорема 3 § 1) означает, что поле вычетов Fp обладает свой-
ством Ci (это верно для любого конечного поля). Свойством С2
обладает поле формальных степенных рядов Fp{Oi очень по-
хожее на поле р-адических чисел (задача( 23). Вопрос о равен-
стве NP(r) = г2 равносилен вопросу: обладает ли поле р-адиче-
ских чисел свойством
70
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
Эти предположения были перенесены и на системы форм.
По аналогии с теоремой 4 § 1 предполагалось, что система урав-
нений
F^x,, ..хп) = 0,
Fk(xt, ..., хп) = 0,
где Fi, ..Fk — формы с р-адическими коэффициентами степе-
ней п, ..г„, имеет ненулевое решение, если п > г® + ... + г^.
В. Б. Демьянов доказал это утверждение для случая пары квад-
ратичных форм (к = 2; г1 = гг = 2). Простое доказательство ре-
зультата Демьянова содержится в работе [63].
Всей этой системе красивых и взаимосвязанных гипотез был
нанесен удар, когда в 1966 г. Г. Тержанян [137] построил пример
формы 4-й степени от 18 переменных, не представляющей нуля
в поле 2-адических чисел (задачи 15—16). В дальнейшем анало-
гичные примеры были построены и для р#=2 (задачи 17—18).
Стоит заметить при этом, что во всех известных примерах нера-
венства NP(r) > г2 формы имеют четную степень. Аналогичные
примеры форм нечетной степени не найдены.
После этого можно было еще надеяться, что функция 7V„(r)
растет все же не слишком быстро, например, что поле р-адиче-
ских чисел обладает свойством С3. Эти надежды, однако, не оп-
равдались. Г. И. Архипов и А. А. Карацуба [41] показали, что
для любого р функция NP(r) растет быстрее любой степени г,
почти как показательная функция. Ниже приведены их рассуж-
дения для случая р =# 2 (случай р = 2 рассматривается анало-
гично). Напомним, что р-адическая единица и называется глав-
ной, если u=i (modр).
Лемма. Пусть а^т,<.. ,<гт^Ъ — натуральные числа,
N — натуральное число, N + а — b 1, р ^=2. Если для главных
р-адических единиц щ, ..., ип выполнены сравнения
2 = 0 (mod pN), 1 7 пг,
7—1
то п > ph, где h — min (m, N + a — b).
Доказательство. Согласно задаче 16 § 3 при некоторых
натуральных с{ справедливы сравнения
Ui = (1 + р)сi (modp;v), 1 i
Введем в рассмотрение многочлен
/ (t) = tci + ... + tCn.
Так как /(1) = п, то для доказательства леммы достаточно убе-
диться, что v(/(l)) > h. Положим
ф(0 = (7 — хх) ... (t — xm), Xj = (1 + p)ri, 1<;<т,
S 6] ФОРМЫ С Р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 7f
и разделим /(£) на <р(£) с остатком:
/(i) = cp(i)g(t) + g(i),
так что g(t) имеет степень <т. Так как
/(^) = 5 (1 + P)CiT}^ = 0 (modp*),
i=l i=l
то также и 0 (mod pN). Согласно задаче 15 § 3 v(l — х}) =*
= 1 + v(rj), поэтому
v (<р (1)) = т + 2 v (г3) > т.
Нам достаточно теперь убедиться лишь в том, что v(g(l))>
>N + a-b.
Согласно интерполяционной формуле Лагранжа
т < \
g (0 = 2 <0, ёъ (t) = П (* - *?)•
<Р \h) i=rh
Дадим оценку снизу для v(gk(D). Имеем
v (gk (1)) > N + 2 (1 + v (гД) — v (<р\Ы).
Воспользуемся еще раз задачей 15 § 3. Так как
Xh — Xj = Xj ((1 + pYk~Tj — 1),
то v(.xh — Xj) = 1 + v(rn — гр, а значит,
v(<p'Uft)) = m — 1 + A,
где
= 2 v (rj - rj) + 2 V (^ - rh) <
j<k 3>k
rk-a b-rk
< 2v(p)+ 2 *(p) = v((rk — «)!) + v((6 — rfe)!)<
p=i p=i
<Zrk — a + b — rk — b — a
(нами использована задача 17 § 3). Окончательно,
v(gft(D) > УУ+ m — 1 — v(tp'(x*)) >
>jV + m. — 1 — (m—1 + & — a) = A^ + a — b.
Таким образом, v(g(D) >N + a — b, а отсюда, как уже отмеча-
лось, и вытекает утверждение леммы.
Следствие. Пусть а С rt <.. .< гт = Ь — натуральные
числа, р #= 2, pa — b > 1. Если система т уравнений
2^'1)ri = 0, 1 (17)
i=l
72
СРАВНЕНИЯ
(ГЛ. I
имеет в поле р-адических чисел ненулевое решение, то
п > р\ h==mm(m, ра — Ь).
В самом деле, мы можем считать, что р-адические числа xt,
удовлетворяющие системе, все целые и не делятся на р одно-
временно. Положим N = (р— 1)а и перейдем к сравнениям по мо-
дулю pN. Если некоторое х{ делится на р, то Xi 7 = 0(modpN).
Выбросим из наших сравнений все такие xf, если они имеются.
В оставшихся слагаемых (число которых nt < я) все xt — р-ади-
ческие единицы, а значит, щ = ж?-1 — главные р-адические еди-
ницы. Следовательно, по лемме п1 > р\
Переход от системы форм к одной форме осуществляется те-
перь уже просто. Пусть г — произвольное натуральное число,
делящееся на р — 1. Положим
т = г2, а = b = а + 2т,
’ р — Г 11
так что ра — Ъ = т, h = m. Для к = 1, ..., т вводим формы
нк ..., хп) = (i 4p-i)(a+ft)'j f i .
\i=1 / v-i=l /
Все эти формы имеют одну и ту же степень (р —1)(а + &) =
= (2р — 2)(а + т). Обратимся теперь к форме Ф= Ф (z/i, . . ., рг2)
степени г от т = г2 переменных, которую мы построили при до-
казательстве неравенства (14) и которая не допускает нетриви-
ального представления нуля в поле р-адических чисел. Подставим
в форму Ф вместо переменных ..., ут формы Hh ..., Нт. Мы
получим форму F = F(xt, хп) = Ф^Н,, ..., Ят) степени d =
= 2(р + 2)г3. Допустим, что форма F представляет пуль. Соглас-
но свойству формы Ф это возможно лишь при условии, что при
любом к (Л^к^т) хоть один из сомножителей формы Hh обра-
щается в нуль. Но это значит, что система т уравнений вида
(17) имеет ненулевое решение, а значит, п > рт. Выражая здесь
т через степень d формы F, получаем
п > рс<г2/3, с = (2р + 4)“2/3.
Таким образом, существует константа С такая, что. для сколь
угодно больших г имеем оценку
Np(r)>C^T, С>1, (18)
и, следовательно, поле р-адических чисел Qp не обладает свой-
ством С( ни при каком i. Используя форму F точно так же, как
нами была использована форма Ф, т. е. подставляя в нее формы
Нк, можно улучшить показатель в неравенстве (18), например,
до r/(log г)3/2.
ФОРМЫ С Р-АДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
73
§ 6]
В свете оценки (18) становится особенно интересным приве-
денный выше результат Акса и Кочена, согласно которому при
фиксированном г равенство NP(r) = г2 имеет место для всех р,
кроме конечного числа исключений. Каковы же эти исключи-
тельные значения р, неизвестно (даже для г = 4).
Замечание. Для рассмотренного в лемме многочлена /(i)
можно получить (следуя доказательству леммы) сравнение /(|) э
в* 0 (mod ph) для всех %, для которых |s 1 (mod р). Для этих
значений /(£) мы имеем, следовательно, оценку сверху относи-
тельно /?-адической метрики <рР. Возникает вопрос, не будет ли
справедлив соответствующий аналог этого факта для произволь-
ных аналитических р-адических функций (относительно опреде-
ления аналитической функции см. п. 1 § 5 гл. IV)? Другими
словами, если аналитическая функция принимает малые значе-
ния в подходящих точках круга срР(л: — 1) < 1, то нельзя ли оце-
нить ее значения во всех точках этого круга?
Задачи
1. Доказать следующие свойства символа Гильберта:
1) (а, 1 — а) = + 1, а #= 1;
2) (а, Р) = Су, —ар), у = а£2 + рц2 0;
3) (ау, Py) = (а, р) (у, —ар).
2. Для квадратичной формы f = + ... + а„ж2 (а; е Q*) выра-
жение
(7) = (-1,-1) П (аг’аД
носит название символа Хассе. Доказать, что
Ср (аж2 + /) = Ср (7) (а, —6),
Ср (аж2 + ру2 + /) = ср (7) (ар, —6) (а, р)
(6 — определитель формы /).
3. Пусть неособенная квадратичная форма 7 = «хж2 + ... + ап»® с
р-адическими коэффициентами представляет число 0 из Qp. Доказать,
что есть такое представление у = ах£х + ... + ang2 е что все «от-
резки» + ... + aft^ (1 к п) будут отличны от нуля (исполь-
зовать теоремы 5 и 8 § 1 Дополнения).
4. При тех же обозначениях показать, что форма 7 эквивалентна диаго-
нальной форме вида £=У!/Х + Р2У2Для которой cp(g) =
= Ср (7). (Доказать предварительно, что форма аж2 + рг/2 преобразованием
х = цХ — vpy, у = vX + цаУ (ay,2 -j- Pv2 = у =# 0) приводится к виду уХ2 4-
+ ар.уУ2, причем (а, Р) = (у, аРу).)
5. Индукцией по числу переменных показать, что эквивалентные неосо-
бенные диагональные квадратичные формы над полем Qp имеют одно и то
же значение символа Хассе (использовать теорему 4 § 1 Дополнения). Сим-
вол Хассе теперь можно определить для произвольных неособенных квад-
ратичных форм: если форма / эквивалентна диагональной форме 7о, то по-
лагаем; Ср (/) = Ср (/о).
74
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
6. Пусть А и /г — две квадратичные формы над полем Qp с определи-
телями 61 ф 0 и 6г =# 0. Доказать, что
ер(У1 + /г) = Ср(Л)сИ/2)(-1, —1) <61, 62).
7. Пусть / — неособенная квадратичная форма над полем Qpf 6 — ее оп-
ределитель и а — отличное от нуля число поля Qp. Доказать, что
ср (7) (а, (—если п нечетное,
ср (7) (а, (— 1)”/2д), если п четное.
(«/)=-
8. Доказать, что неособенная квадратичная форма от трех переменных
над полем Qp представляет нуль тогда и только тогда, когда ср(/) = +1.
9. Пусть f — неособенная квадратичная форма над полем Qp от четы-
рех переменных и 6 — ее определитель. Доказать, что f не представляет ну-
ля в Qp тогда и только тогда, когда 6 — квадрат в Qp и cp(f) = —1.
10. Пусть / — неособенная квадратичная форма над Qp от п перемен-
ных и б — ее определитель. Доказать, что / представляет р-адическое число
а <¥= 0 тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:
1) п = 1 и аб — квадрат в Qp;
2) п = 2 и cp(f) = (—а, —6);
3) п = 3, —аб — квадрат в Qp и ср (/) = 1;
4) п — 3 и —аб не является квадратом в Qp;
5) п 4.
11. Выяснить, при каких условиях неособенная квадратичная форма над
полем Qp не представляет нуля (нетривиальным сбразом), но все же пред-
ставляет все р-адические числа.
12. В каких полях р-адических чисел форма 2х2 — 15у2 14z2 не пред-
ставляет нуля?
13. Какие 5-адические числа представляет форма 2х2 ф- 5у2?
14. Пусть / и /' — неособенные квадратичные формы от п переменных
над полем Qp; б и 6' —их определители. Доказать, что / и /' эквивалентны
тогда и только тогда, когда сР(/) = ср(/') и б = б'а2 (а е Qp).
15. Доказать, что в кольце целых 2-адических чисел многочлен
k У, 2) = xi ф- у* ф- Z4 — xyz (х + у + z) — (х2у2 ф- y2z2 + г2я2)
обладает свойством: если хоть одно из значений х, у, z не делится на 2, то
h(x, у, z) = 1 (mod 4).
16. Пусть h(x, у, z) —многочлен предыдущей задачи. Положим
g(Xi, . .., Яд) — h(xlt я2, х3) +h(x4, Я5, Хд) +h(x7, Xa, Яд),
ф (Я1, . . ., Я13) = £(Я1, . . ., Яд) + 4?(я10, . . ., Я18).
Доказать, что в поле 2-адических чисел форма Ф допускает только триви-
альное представление нуля.
17. Для р Ф 2 положим
p-г р-1 ,
h(xv..., яр-1) = Т..................Xv-J’
1=1 »=2
где <р, — моногенный симметрический многочлен от переменных яь ..., яр_!,
определяемый одночленом
^P-iXP-t+D 2 < s < р -1.
6 7]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
75
Для формы h доказать, что
h(xi, ..., ,Xp-i) э 1 (modp2),
если только xt О (modр) хоть при одном I — 1) (сравнения
рассматриваются в кольце целых р-адических чисел).
18. В обозначениях задачи 17 положим
g(xi, ..хт) = h(xt, ..., xp_i) + h(xp, ..., Z2p-2) + • • • +h(xm-p+t, xm),
где m= (p — l)(p2 — 1). Доказать, что в кольце целых р-адических чисел
форма
Ф (^1, . * ., хтл) =
= g(xt, ..хт) + p2g(xm+l, ..х2т) + . . . + p2’~Zg(xm,-m+l, . .., хт,)
1 ч f 1 \
степени р (р — 1) от — р (р + 1) (р — 1) переменных I s =-к-р(р—1) I Д0ПУ“
скает только тривиальное представление нуля.
19. Пусть f(xt, ..., хп) —форма степени г с целыми р-адическими коэф-
фициентами (р¥=2), обладающая свойством
/(ж1, ..хп) = 1 (modpm+1),
если только значение хоть одного xt не делится на р (т >= 0). Доказать, что
тогда г делится па (р — 1)рт.
Указание. Рассмотреть значение /(с, 0, ..0), где с — первообразный
корень по модулю pm+l.
20. Пусть р #= 2. Доказать, что группа классов Витта над полем р-ади-
ческих чисел Qp есть прямое произведение четырех групп 2-го порядка,
если р == 1 (mod 4), и прямое произведение двух циклических групп 4-го
порядка, если р = 3 (mod 4).
21. Доказать, что над полем 2-адических чисел группа классов Витта
есть прямое произведение трех групп: одной циклической группы 8-го по-
рядка и двух групп 2-го порядка.
22. Пусть F (xi, ..., хп) —форма степени d от п переменных с коэффи-
циентами из кольца многочленов Fp [i] (Fp—поле вычетов по простому
модулкгр). Доказать, что если п > d2, то уравнение F(xi, ..., хп) = 0 име-
ет ненулевое решение в Fp[i]-
3
Указание. Представить xt в виде У, g.jf3, £-е Fp, разложить
1=1
F(xi, ..., хп) по степеням t и заметить, что при достаточно большом s при-
менима теорема 4 § 1.
23. Доказать, что поле рациональных функций Fp(t) и поле формаль-
ных степенных рядов Fp (4) обладают свойством С2.
24. Получить оценку типа (18) в случае р = 2.
§ 7. Рациональные квадратичные формы
1. Теорема Минковского — Хассе. В этом параграфе мы изло->
жим доказательство одного из красивейших результатов теории
чисел — так называемой теоремы Минковского — Хассе, о кото-
рой мы уже упоминали в начале главы.
Теорема 1 (Минковского — Хассе). Квадратичная форма
с рациональными коэффициентами тогда и только тогда представ-
76
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
ляет нуль в поле рациональных чисел, когда она представляет
нуль в поле вещественных чисел и во всех полях р-адических чи-
сел {для всех простых р).
Доказательство этой теоремы существенно зависит от числа пе-
ременных п квадратичной формы. При п = 1 утверждение теоремы
тривиально. В случае п = 2 ее доказательство проводится совсем
просто. Если рациональная бинарная квадратичная форма / опре-
делителя d ¥= 0 представляет нуль в поле вещественных чисел,
то — d>0 (см. Дополнение, § 1, теорема 10); следовательно,
7 ^7 ^8
— d = pi . .. ps , где pt — попарно различные простые числа. Ес-
ли теперь / представляет нуль в поле QPj, то, поскольку — d
является квадратом в QPi, показатель /с,- должен быть четным
(г = 1, ..., s). Но в таком случае — d будет квадратом и в поле ра-
циональных чисел Q и, следовательно, / представляет нуль в Q.
Доказательство теоремы при п > 3 намного сложнее. Различ-
ные представляющиеся здесь случаи будут разобраны в следую-
щих пунктах. Сейчас же мы сделаем несколько замечаний.
Будем считать, что коэффициенты рассматриваемой квадратич-
ной формы /(xj, ..., Хп) — целые рациональные числа (если это
не так, то мы умножим форму на общий знаменатель ее коэффи-
циентов). Ясно, что разрешимость уравнения
/(^1, ..., хп) = 0 (1)
в поле рациональных чисел Q или в поле р-адических чисел Qp
эквивалентна, в силу однородности, его разрешимости в кольце
целых рациональных чисел Z или соответственно в кольце целых
р-адических чисел Z₽. Что касается разрешимости (1) в веще-
ственных числах, то она эквивалентна тому, что / — неопределен-
ная форма. Ввиду этого и ввиду теоремы 2 § 5 теореме Минков-
ского — Хассе можно придать следующую форму:
Для разрешимости неопределенного уравнения (1) в целых ра-
циональных числах необходимо и достаточно, чтобы форма f была
неопределенной и чтобы при любом модуле вида рт сравнение
.., хп) = 0(mod pm)
имело решение, в котором значение хоть одной неизвестной не де-
лится на р. Согласно теореме 5 § 6 в поле р-адических чисел вся-
кая форма от пяти и более переменных всегда представляет нуль.
Следовательно, для таких форм теорема Минковского — Хассе
принимает вид:
Для того чтобы неособенная рациональная квадратичная
форма от и > 5 переменных представляла нуль в поле рациональ-
ных чисел, необходимо и достаточно, чтобы она была неопреде-
ленной.
Таким образом, условия разрешимости в полях р-адических
чисел фактически надо проверять лишь для п = 3 и 4. Для этих
s 7]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
77
значений п теорема Минковского — Хассе также дает нам эф-
фективный критерий разрешимости уравнения (1). Действитель-
но, если форма / приведена к сумме квадратов / = 2 то для
нечетных простых р, не делящих ни одного из коэффициентов а(,
форма / при п > 3 всегда представляет нуль в Qp на основании
следствия 2 к теореме 3 § 6. Следовательно, фактической проверке
подлежит только конечное число простых чисел р. Для каждого
из этих р вопрос о представлении нуля формой / в поле Qp ре-
шается теоремами предшествующего параграфа.
В силу теоремы 6 § 1 Дополнения из теоремы (1 вытекает сле-
дующее утверждение.
Следствие. Для того чтобы неособенная квадратичная
форма с рациональными коэффициентами представляла рацио-
нальное число а, необходимо и достаточно, чтобы она представляла
а в поле вещественных чисел и во всех полях р-адических чи-
сел QP.
2. Формы от трех переменных. Приступим к доказательству
теоремы Минковского — Хассе. В этом пункте мы разберем слу-
чай п = 3. Для форм от трех переменных теорема 1 была доказана
(в несколько других терминах) еще Лежандром. Формулировка
Лежандра приведена в задаче 1.
Пусть форма приведена к сумме квадратов fli-r2 + а2у2 + asz2.
Неопределенность формы означает, что коэффициенты at1 а2, а,
не все одного знака. Умножив форму в случае надобности на — 1,
мы придем к случаю, когда два коэффициента положительны и
один отрицательный. Кроме того, мы можем, очевидно, считать
числа щ, а2, а3 целыми, свободными от квадратов и взаимно про-
стыми в совокупности (их можно сократить на общий наибольший
делитель). Далее, если, например, щ и а2 имеют простой общий
множитель р, то, умножая форму на р и беря рх и ру за новые
переменные, мы получим форму с коэффициентами аДр, а2/р, ра3.
Повторяя этот процесс несколько раз, мы заменим нашу форму
формой вида
ах2 + by2 — cz2, (2)
в которой целые положительные коэффициенты а, Ь и с попарно
взаимно просты (и свободны от квадратов).
Пусть р — какой-нибудь нечетный простой делитель числа с.
Так как по условию форма (2) представляет нуль в Qp, то в силу
теоремы 3 § 6 и следствия 1 этой теоремы сравнение ах2 + by2 =
^O(modp) имеет нетривиальное решение, скажем (х0, у^. Но
тогда для формы ах2 + by2 по модулю р имеем разложение на ли-
нейные множители:
ах2 + by2 = ау^ (ху0 + ух0) (ху0 — ух0) (mod р).
Это же, разумеется, верно и для формы (2), т. е. имеет место
сравнение
ах2 + by2 — cza s L(p)(x, у, z)M{p'>{x, у, z) (modp), (3)
78
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
в котором L(₽) и Mw — целочисленные линейные формы. Анало-
гичные сравнения имеют место и для нечетных простых делителей
р коэффициентов а и Ъ, а также и для р = 2, так как
' ax2 + by2— cz2 {ах + by — cz)2 (mod 2).
Найдем теперь такие линейные формы Их, у, z) и М(х, у, z),
чтобы
Их, у, z) = L(p)(x, у, z) (modp),
М{х, у, z) = М(р)(х, у, z) (modp)
для всех простых делителей р коэффициентов а, b и с. Сравнения
(3) доказывают, что тогда
ах2 + by2 — cz2 = Их, у, z)M{x, у, z) (mod abc). (4)
Будем придавать переменным х, у, z целые значения, удовлет-
воряющие условиям
0=Сж<УЬс, 0=Су<Уас, О«£г<Уа&. (5)
Если мы исключим из рассмотрения случай а = Ъ = с = 1 (для
формы х2 + у2 — z2 утверждение теоремы очевидно: она пред-
ставляет нуль в любом поле), то. в силу попарной взаимной про-
стоты а, Ъ и с, числа УЬс, Vас и УаЪ не будут все целыми. Отсюда
легко следует, что число троек (ж, у, z), удовлетворяющих услови-
ям (5), будет строго больше, чем УаЬ УЪс Уас = аЪс. Рассмотрим
значения, принимаемые линейной формой Их, у, z) при этих зна-
чениях переменных. Так как число троек (х, у, z) с условием (5)
больше числа вычетов по модулю abc, то для двух различных тро-
ек (xt, ylt zt) и (х2, у2, z2) будем иметь сравнение
L(xlt yt, z,) = Их2, у2, z2) (mod abc).
В силу линейности формы L отсюда следует, что
Их0, у о, z0) = 0 /mod abc)
при Хо — Xi — х2, у0 = yt — Уг, z0 = z, — z2. Из сравнения (4) полу-
чим тогда, что
а^о + — czo = 0 (mod abc). (6)
Так как для троек (а:,, гл,г,) и (x2,y2,z2) выполнены условия (5),
то
1же| < 1Ьс, |г/01<Уас, |г01<Уа&,
а значит,
— abc < ах% + Ъу2й — cz20 < 2abc. (7)
Неравенство (7) совместимо со сравнением (6), только если или
ах% + by% — cz2 = 0, (8)
S 7]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ квадратичные формы
79
или 1
ах„ + byl — czo = abc. (9)
В первом случае мы получаем нетривиальное представление нуля
формой (2), что и требовалось установить. Во втором случае мы
приходим к тому же результату в силу следующей леммы.
Лемма 1. Если форма (2) представляет abc, то она представ-
ляет также и нуль.
Пусть ж0, у<>, z0 удовлетворяют равенству (9). Легко видеть, что
тогда ... ‘ *
a (xozo + Ьу0)2 + Ъ (yozo — ахи)2 — c(z% + ah)2 = 0. (10)
Если Zq + а&=#0, то это равенство доказывает лемму. Если же
— ab = г®, то форма ах2 + Ьу2 представляет нуль (см. Дополне-
ние, ч § 1, теорема 10). Но тогда форма (2) также представляет
нуль, так что и в этом случае лемма справедлива.
Приведенное доказательство леммы 1 очень короткое, но оно
основывается на выкладке, связанной с тождеством (10). Дадим
другое доказательство, использующее более общие соображения.
Если Ьс является квадратом, то форма byz — cz2, а вместе с ней
и форма (2) представляют нуль. Будем считать, что Ьс не являет-
ся квадратом. В этом случае, оказывается, представимость нуля
формой (2) эквивалентна тому, что ас есть норма некоторого эле-
мента поля Ьс). Действительно, из равенства (8) (в котором
можно считать 0) следует, что
Обратно, если ас = N(u+ vl/bc), то
ас2 + Ь(ср)2 — си2 = 0.
Предположим теперь, что имеет место равенство (9). Умножив
его на с, мы придадим ему вид
ас (/0 — be) = (cz0)2 — bcyl
или
ac.V(a)=W, .
где a = ж0 + Vbc, = cza +уй]'Ьс. Но тогда
ас = N (у), у = s Q ( VЬс),
а это, как мы видели, и значит, что форма (2) представляет нуль
в Q-
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В проведен-
ном нами доказательстве теоремы 1 для случая трех переменных
80
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
мы нигде не использовали разрешимости уравнения (2) в поле
2-адических чисел. Следовательно, из разрешимости уравнения (2)
в поле вещественных чисел и в полях Qp для всех нечетных р
следует его разрешимость и в поле Q2- Аналогичное обстоятель-
ство имеет место, оказывается, и по отношению к любому другому
полю Qg. Именно, если рациональная квадратичная форма от трех
переменных представляет нуль в поле вещественных чисел и во
всех полях Qp, за исключением, быть может, поля Qg, то она
представляет нуль и в поле Qg (а значит, по доказанному, и в
поле рациональных чисел Q).
Попробуем выяснить причину этого обстоятельства. Рассмот-
рим для этого условия представления нуля формой
ахг + Ъу* — z2 (И)
во всех полях Qp и в поле вещественных чисел (здесь а и Ъ — про-
извольные отличные от нуля рациональные числа, ясно, что вся-
кая неособенная рациональная квадратичная форма от трех пере-
менных преобразованием переменных и домноженпем на некото-
рый рациональный множитель может быть приведена к виду (И)).
Согласно п. 3 § 6 условие представимости нуля формой (11) в поле
р-адических чисел может быть записано в виде равенства
(у) = 1, (12)
где I ) — символ Гильберта в поле Qp. Мы применили здесь
\ р J
для символа Гильберта (а, Ь) при рациональных а и b обозначение
/ a,b\
(у у Для указания того поля, в котором мы его рассматриваем.
Необходимость этого изменения в обозначениях вызвана тем, что
сейчас нам надо будет рассматривать символы Гильберта одновре-
менно в различных полях Qp-
Что касается поля вещественных чисел, то в нем форма (11)
представляет пуль, очевидно, тогда и только тогда, когда хоть
одно из чисел а или Ъ положительно. Чтобы это условие также за-
писать в виде некоторого равенства типа (12), перенесем резуль-
таты п. 3 § 6 на поле вещественных чисел. Условимся предвари-
тельно о следующем обозначении. Все поля р-адических чисел
Qp и поле вещественных чисел — это все пополнения поля рацио-
нальных чисел Q (§ 4, п. 2). При этом поля Qp взаимно одно-
значно соответствуют, простым рациональным числам р. Желая
этим соответствием охватить и поле вещественных чисел, часто
вводят символ <ю, который называют бесконечно удаленным про-
стым числом, и говорят, что поле вещественных чисел — это попол-
нение поля Q, соответствующее бесконечно удаленному простому
числу <ю. Обычные простые числа р, в отличие от введенного
символа <ю, называют тогда конечными простыми числами. В со-
§ 7]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
81
ответствии с обозначением Qp для полей р-адических чисел поле
вещественных чисел обозначают через Qoo-
Для любого а из мультипликативной группы Q«> поля Q,»
рассмотрим форму
ж2 — ар2 (13)
и через На обозначим совокупность всех 0 е QX, представимых
этой формой. Если а>0, т. e.aeQX2, то форма (13) представ-
ляет все вещественные числа, а значит, На = Q«,. Если же а<0,
т. е. а не является квадратом, то форма (13) представляет лишь
положительные числа, а поэтому, как и в теореме 6 § 6, мы имеем
(0*:Яа) = 2. (14)
Отсюда следует, что если для а и 0 из QX мы положим (а, 0)
равным +1 или —1 в зависимости от того, представляет ли форма
(13) число 0 или нет, то для символа (а, 0) будут иметь место все
свойства (9)—(13) § 6. Аналогом теоремы 7 § 6, на основе которой
производится вычисление символа Гильберта в р-адических полях,
является здесь более простое соотношение:
(а, ₽)= + !,
(а,0) = -1,
если а > О
если а <; О
или 0 > 0;
и 0 < 0.
(15)
В случае рациональных а та Ъ значение (а, 6) введенного символа
в поле Qoo обозначается через
Пользуясь символом мы можем теперь переформулиро-
вать теорему 1 для форм от трех переменных следующим образом:
Форма az2 + by2 — z2 с отличными от нуля рациональными а
и Ъ представляет нуль в поле рациональных чисел тогда и только
тогда, когда при всех р (.включая р = °°) выполнено равенство
= 1.
(16)
Для любых отличных от нуля рациональных а и Ъ символ
{ о,,Ъ\ г ...
отличен от +1 только для конечного числа значении р.
Действительно, если р отлично от 2 и °° и если р не входит в раз-
ложения а и Ъ в произведение степеней простых чисел (а значит,
а и Ъ являются р-адическими единицами), то, по следствию 2 к
теореме 3 § 6, форма (И) представляет нуль в QP и, следователь-
но, для всех таких р символ равен +1. Помимо этого усло-
(а,Ъ\ V 7
— ) при фиксированных а и о подчи-
нены, оказывается, еще одному необходимому ограничению. Имен-
82
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
но, число тех значении р (включая р — °°), для которых I — I ~
— —1, всегда четно. В другой форме этот же факт можно выра-
зить следующим образом:
П(^Ь)=1, (17)
р \ р ) '
где р пробегает все простые числа и символ В самом деле,
формально бесконечное произведение слева содержит только ко-
нечное число сомножителей, отличных от +1, и тот факт, что са-
мо произведение равно 1, эквивалентен четности числа тех р, для
которых I = — !•
Докажем соотношение (17). Представив а и Ъ в виде произве-
дения степенен простых чисел и воспользовавшись формулами
(9) — (13) § 6 (справедливыми, как уже отмечалось, и при р = °°),
мы легко сведем доказательство формулы (17) для произвольных
а и Ъ к следующим частным случаям:
1) а = -1, Ь = —1;
2) a = q, b~—l (<? простое);
3) a = q, b = q (711 q' — простые, q д').
Ввиду теоремы 7 § 6 и равенств (15) настоящего параграфа
мы имеем:
Проведенные выкладки, в которых q и q' обозначают различные
нечетные простые числа, и доказывают соотношение (17).
Заметим, что в проведенном доказательстве формулы (17) мы
использовали квадратичный закон взаимности Гаусса. Легко ви-
деть, что, наоборот, зная явные выражения для символа Гильбер-
та (теорема 7 § 6), мы можем из формулы (17) вывести
закон взаимности вместе с обоими дополнениями. Таким образом,
«соотношение (17) эквивалентно закону взаимности Гаусса.
S 7]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Предположим теперь, что форма (11) представляет нуль во всех
полях Qp, кроме, быть может, поля Од. Равенство (17) вместе
(a’b\ Л >
с условиями I = 1 при всех р ¥= q дает нам, что тогда и
(d ,Ь | « Т— _ ___
J = 1. Другими словами, справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Если рациональная квадратичная форма
ах2 + by2 — z2
представляет нуль во всех полях Qp (р пробегает все простые
числа и символ °°), кроме, быть может, поля Qg, то она представ-
ляет нуль и в поле Qg.
3, Формы от четырех переменных. Будем считать, что форма
имеет вид
аргц + а2д?2 + аз^з + aix2, (18)
где все а( целые и свободны от квадратов .В силу неопределенно-
сти формы мы можем, очевидно, потребовать, чтобы а^ > 0 и а4 <
< 0. Наряду с формой (18) мы рассмотрим формы
g = ахж| + a2Xz и h = — а3х% — а^.
Идея доказательства теоремы Минковского — Хассе для форм от
четырех переменных состоит в следующем. Используя факт пред-
ставимости нуля формой (18) в полях Qp, мы покажем, что суще-
ствует целое рациональное а =£ 0, которое представляется рацио-
нально формами g и h одновременно. Это немедленно дает нам ра-
циональное представление нуля формой (18).
Пусть pi, ..., ps — все различные нечетные простые делители
коэффициентов аь а2, а3, at. Для каждого р, равного одному из
Pi, ..., ps, а также для р = 2 в поле Qp выберем представление
нуля
а1^1 "Ь й2?2 + «3^3 + а4^4 —
в котором все £,^0 (см. Дополнение, § 1, теорема 8), и положим
bf) = "Ь ®2^2 = ®3^3 «4^4‘
Легко видеть, что наши представления можно выбрать так, чтобы
каждое Ьр 0 было целым р-адическим числом и делилось па р
не выше чем в первой степени (если Ьр = 0, то формы g и h пред-
ставляют нуль в Qp, а тогда, согласно теореме 5 § 1 Дополнения,
они представляют все числа из Qp).
Рассмотрим систему сравнений
a н= b2 (mod 16),
а—S(modp2x), /4о\
а.= bps (mod р|).
84
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 1
Целое рациональное- а, удовлетворяющее этим сравнениям, опре-
делено однозначно по модулю т = 16рх ... р?.Так как делится
на р{ самое большее в первой степени, то Ьр.а'1___ р-адическая
единица, причем
bp.a-1 == 1 (mod р;).
Согласно следствию 1 теоремы 1 § 6 отношение bPla~r является
квадратом в полеОРГ Аналогично, поскольку Ь2 делится на 2 не
выше чем в первой степени, то Ь2а~' s 1 (mod 8), а потому (теоре-
ма 2 § 6) является квадратом в Q2-
Из того, что Ьр и а отличаются на множитель, являющийся
квадратом в QP, вытекает, что для всех р — 2, р1з ..., р3 формы
— ах^ 4- g и — ax^-i-h (20)
представляют нуль в Qp. Если число а мы выберем положитель-
ным, то в силу условий di > 0 и — сц > 0 формы (20) представляют
нуль и в поле вещественных чисел. Наконец, если р отлично от
2, р1з ..., ps и не входит в а, т. е. если нечетное р не делит коэф-
фициентов форм (20), то эти формы представляют нуль в QP по
следствию 2 теоремы 3 § 6. Если бы в число а, помимо некоторых
из простых чисел 2, pt, ..., ps, входило еще только одно простое
число q, то мы могли бы к формам (20) применить лемму 2 и за-
ключить (по теореме Минковского — Хассе для форм ' от трех
переменных), что формы (20) представляют нуль в поле рацио-
нальных чисел. Но в таком случае для числа а мы получили бы
представления
а = ахСх + а2с2, а = —д3с| —
с рациональными с;, откуда
<2x^2 $2^2 “Ь йЗС3 "Ь = 0,
и теорема Минковского — Хассе для форм от четырех перемен-
ных была бы доказана. Оказывается, что число а > 0, удовлет-
воряющее сравнениям (19) и обладающее только что отмеченным
свойством, всегда может быть найдено. Чтобы убедиться в этом,
мы должны применить теорему Дирихле о простых числах в
арифметической прогрессии, которая будет доказана нами в гл. V,
§ 3, и. 3. Теорема Дирихле утверждает, что если разность беско-
нечной арифметической прогрессии и первый член взаимно про-
сты, то эта прогрессия содержит бесконечно много простых чисел.
Пусть а* > 0 — какое-нибудь одно из значений а, удовлетворяю-
щих сравнениям (19). Обозначим через d общий наибольший де-
л гг, а* т
литель а* и т. Так как — и — взаимно просты, то по теореме
Дирихле существует такое целое A 5s 0, что + к ~ = q будет
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
85
§ 7]
простым. В качестве а мы возьмем теперь число
а = а* + кт = dq.
Поскольку в d входят лишь некоторые из простых чисел 2, р,, ...
..ра, то выбранное значение а, как уже показано, дает возмож-
ность закончить доказательство теоремы 1 для форм от четырех
переменных.
4. Формы от пяти и более переменных. Пусть неопределенная
рациональная квадратичная форма от пяти переменных приведена
к сумме квадратов
"Т «2^2 + Я3Ж3 + Я4Ж4 + Я5Ж5, (21)
где все а, целые и свободны от квадратов. Мы можем считать, что
Я1 > 0 и а5 < 0. Положим
2,2 7 2 2 2
g = агХх + а2х2, п = — а3х3 — а^х^ — аъх3.
Рассуждая дословно так же, как и в случае га = 4, мы найдем с
помощью теоремы Дирихле целое рациональное а > 0, которое
представляется формами g и h в поле вещественных чисел и, во
всех полях QP, за исключением, быть может, поля Q?, где q —
нечетное простое число, не входящее в коэффициенты а,. Но тог-
да g и 1г представляют айв поле Q<j- Для формы g это устанавли-
вается так же, как и выше, с помощью леммы 2. Что касается
формы 1г, то она представляет нуль в Q9 (следствие 2 теоремы 3
§ 6), а потому представляет все диадические числа (см. Дополне-
ние, § 1, теорема 5). По следствию теоремы Минковского — Хассе
(см. конец п. 1), которое для форм от двух и трех переменных уже
доказано, получаем, что формы g и h представляют айв поле
рациональных чисел. Отсюда, как и выше, легко следует, что
форма (21) допускает рациональное представление нуля.
Для доказательства теоремы 1 в случае п > 5 достаточно за-
метить, что всякая неопределенная рациональная квадратичная
форма /, приведенная к сумме квадратов, может быть представ-
лена в виде / = /о + где /0 — неопределенная форма от пяти
переменных. По доказанному форма /0, а вместе с ней и форма /
представляют нуль в поле рациональных чисел. Теорема Минков-
ского — Хассе доказана полностью.
Замечание. Теорема Минковского — Хассе допускает обоб-
щение на случай квадратичных форм с коэффициентами из про-
извольного поля алгебраических чисел к. В п. 1 § 4 гл. IV нами
будут перечислены все метрики ср поля алгебраических чисел к.
Согласно п. 1 § 4 настоящей главы каждая метрика ср приводит
нас к полному полю к,, причем для эквивалентных метрик (см.
задачу 2 § 4) пополнения ЛФ совпадают. В силу естественного
вложения к -> Др каждую квадратичную форму с коэффициентами
из к можно рассматривать и как форму над полем И,. Обобщение
теоремы 1 на случай поля к формулируется следующим образом:
86 СРАВНЕНИЯ [ГЛ. I
для того чтобы квадратичная форма f(xt,..х„) с коэффициента-
ми из поля алгебраических чисел к представляла нуль в поле к,
необходимо и_ достаточно, чтобы она представляла нуль во всех
пополнениях к^. Доказательство этого обобщения намного труднее.
Оно содержится, например, в книге [34].
5. Рациональная эквивалентность. Теорема Минковского —
Хассе позволяет решить другой важный вопрос о рациональных
квадратичных формах — вопрос об их эквивалентности.
Теорема 2. Для того чтобы две неособенные квадратичные
формы с рациональными коэффициентами были эквивалентны над
полем рациональных чисел, необходимо и достаточно, чтобы они
были эквивалентны над полем вещественных чисел и над каждым
полем р-адических чисел Qp.
Доказательство. Необходимость условий теоремы оче-
видна. Доказательство достаточности проведем индукцией но чис-
лу переменных п. Пусть га = 1. Эквивалентность форм ах2 и Ъх2
над некоторым полем означает, что а/Ъ является квадратом в
этом поле. Но если а/Ъ — квадрат в поле вещественных чисел и
во всех полях Qp, то, как мы видели в и. 1, а/Ъ является квадра-
том и в поле рациональных чисел Q. Таким образом, для случая
п = 1 теорема 2 справедлива.
Пусть теперь п> 1. Выберем рациональное число а#1 0, пред-
ставимое формой f (над полем Q). Так как эквивалентные формы
представляют одни и те же числа, то форма g представляет а
в поле вещественных чисел и во всех полях Qp. Но тогда по
следствию теоремы Минковского — Хассе форма g представляет а
и в поле Q. Применяя теорему 2 § 1 Дополнения, заключаем, что
/ ~ ах2 4- Д, g~ax2 + gi,
где Д и gi — квадратичные формы от п — 1 переменных над полем
Q (знак ~ означает здесь эквивалентность над Q). Из эквива-
лентности форм ах2 + ft и ах2 4- g, в поле вещественных чисел и
в полях Qp следует, что формы f, и gt также эквивалентны во
всех этих полях (см. Дополнение, § 1, теорема 4). По индуктив-
ному предположению Д и gl эквивалентны над полем рациональ-
ных чисел Q. Но тогда fug также эквивалентны над Q, и теоре-
ма 2 доказана.
В качестве примера рассмотрим вопрос об эквивалентности
бинарных квадратичных форм.
Определитель dtf) неособенной рациональной формы однознач-
но представляется в виде d(/) = d0(/)c2, где d0(/) — целое число,
свободное от квадратов. Согласно теореме 1 § 1 Дополнения при
переходе к эквивалентной форме значение d0(f) не меняется,
а значит, оно является инвариантом класса рационально эквива-
лентных форм.
Пусть а — произвольное отличное от нуля рациональное число,
представимое неособенной бинарной формой Д Для каждого прос-
5 7]
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
87
того числа р (включая р = °°) положим
М/) =
Согласно теореме 8 § 6 (которая справедлива, очевидно, и для
поля вещественных чисел Q<x>) значение ер(/) не зависит от вы-
бора а. Оно является, следовательно, также инвариантом формы /
относительно рациональной эквивалентности.
Соединяя теорему 2 с теоремой 9 § 6 (справедливой и для поля
Сое), мы получаем следующий критерий рациональной эквивалент-
ности бинарных квадратичных форм.
Теорема 3. Две бинарные квадратичные формы fug ра-
ционально эквивалентны тогда и только тогда, когда
d0{f) = do(g') и ep(f) = ep(g) для всех р.
Заметим, что хотя формально эквивалентность форм опреде-
ляется бесконечной системой инвариантов eP(f), на самом деле
число этих инвариантов конечно, так как ер(/) отлично от +1
только для конечного числа зпачений р.
Замечание. Теорема 2, так же как и теорема 1 (см. заме-
чание в конце п. 4), допускает обобщение: для того чтобы две не-
особенные квадратичные формы с коэффициентами из произволь-
ного поля алгебраических чисел к были эквивалентны над полем
к, необходимо и достаточно, чтобы они были эквивалентны над
каждым пополнением k,t.
6. Замечания о формах высших степеней. Аналогично тому,
как это мы делали для форм с р-адическими коэффициентами в
связи с теоремой 5 § 6, интересно попытаться включить теорему
Минковского — Хассе и ее частный случай для тг 5s 5 в систему
более общих результатов или хотя бы гипотез, относящихся к
формам высших степеней.
Прежде всего, естественно напрашивается вопрос, не верен ли
аналог теоремы Минковского — Хассе для форм любых степеней,
т. е. не будет ли представлять нуль в поле рациональных чисел
всякая рациональная форма, представляющая нуль во всех полях
р-адических чисел и в поле вещественных чисел. Легко построить
примеры, опровергающие это предположение. Например, если
q, I, q', I' — различные простые числа, такие, что [ —) = — 1.
\ ч /
= — 1, и форма x2 + qy2 — lz2 представляет нуль в поле
2-адических чисел, то форма четвертой степени
U2 + qy2 — Iz^tx2 + q'y2 — l'z2) (22)
будет представлять нуль во всех полях 0р и в поле вещественных
чисел, но в то же время не будет представлять нуля в поле рацио-
нальных чисел. Действительно, в поле Q2 первый множитель
88
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
представляет нуль по условию. Если нечетное р отлично от q и I,
то в поле Qp первый множитель представляет нуль в силу след-
ствия 2 теоремы 3 § 6. Что касается полей Qg и Q/, то в них
второй множитель представляет нуль по той же причине. Однако
ни один из сомножителей не представляет нуля в Q, так как
первый множитель не представляет нуля в Q3, а второй — в Qq«
(так как = — 1 и (jjr) = — Численным примером формы
(22) может служить форма
(х2 + Зу2 - 17z2)(z2 + 5у2 - 7z2).
Приведенный пример может показаться несколько неубеди-
тельным, так как форма (22) приводима и может создаться впечат-
ление, что именно в этом и кроется причина всего явления. Сво-
бодным от этого недостатка является пример уравнения
2z2 + у4 — 17z4 = 0. (23)
Легко проверяется (задача 14 § 5), что это уравнение имеет
ненулевое решение во всех полях р-адических чисел Qp (ненуле-
вое решение имеется, очевидно, и в поле вещественных чисел).
В это же время уравнение (23) в поле рациональных чисел Q
имеет только нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0. Покажем это.
Допуская, что уравнение (23) имеет ненулевое решение, мы мо-
жем считать х, у, z целыми и попарно взаимно простыми. Для
- (П\ л
любого простого нечетного делителя р числа х имеем J = 1.
Но тогда согласно квадратичному закону взаимности имеем также
= 1. Так как =1, то, следовательно, j = 1, а зна-
чит, х = и2 (mod 17) при некотором целом и. Это дает нам срав-
нение 2м4 + у4^0 (mod 17). Число и не может делится на 17
(иначе х и у одновременно делились бы на 17), поэтому —2 v‘
(mod 17) при некотором v е Z- Однако последнее сравнение, как
легко проверить, неразрешимо, и мы получили противоречие.
Аналогичный пример однородного уравнения, а именно Зх3 +’
+ 4у3 + 5z3 = 0, указал Зельмер [123]. Тот факт, что форма Зх3 +
+ 4у3 + 5z3 представляет нуль во всех полях р-адических чисел
Qp, доказывается просто (задача 8 § 5). Что же касается утверж-
дения о непредставимости нуля в поле рациональных чисел Q, то
оно более тонко (см. задачу 23 § 7 гл. III).
Аналог теоремы Минковского — Хассе для форм высших сте-
пеней неверен также и для случая, когда число'переменных до-
статочно велико. Например, форма
W + ... + 4)2 - 2(у! + ... + у2)2
при п 5 представляет нуль и в полях р-адических чисел, и в
поле вещественных чисел, но не представляет нуля в поле
РАЦИОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
89
§ 7]
рациональных чисел ни при каком п. То же относится и к форме
3(4 + ... + хп)3 + 4(4 + ... + 4)3 - 5(z? + ... + z3n)3,
которая, в отличие от предыдущей, абсолютно неприводима.
В приведенных примерах обе формы имеют четную степень.
Для форм нечетной степени положение иное. Именно, Берч пока-
зал, что для нечетного г существует такое натуральное N(r), что
всякая рациональная форма степени г, число переменных которой
больше N(r), представляет нуль в поле рациональных чисел (см.
[61]; как и в случае теоремы Брауэра, оценка сверху для Л7(г),
получающаяся из доказательства Берча, заведомо чрезмерно за-
вышена). Ввиду неравенства (14) § 6 для N(r) имеем следующую
оценку снизу: 2V(r) > г2.
К настоящему времени нет никаких данных, которые подвер-
гали бы сомнению равенство N(r) = г2 (все имеющиеся примеры
неравенства 2VP(r)>r2 в полях р-адических чисел относятся к
случаю форм четной степени). В применении к случаю г = 3 (слу-
чай г = 1 тривиален) это предположение означает, что всякая
кубическая форма от 10 и более переменных представляет нуль
в поле рациональных чисел (гипотеза Артина). Идеальный резуль-
тат в этом направлении получен в работе [79]. В ней доказано,
что всякая неособенная рациональная кубическая форма от десяти
переменных рационально представляет пуль (неособенность фор-
мы F(xi, ...,£„) означает, что для всех значений переменных
xt, ..хп, не равных одновременно нулю, хотя бы одна частная
dF
производная отлична от нуля). Остается, однако, неясным,
можно ли этот результат распространить на кубические формы,
имеющие особенности. Неизвестно также, верно ли аналогичное
утверждение для кубических форм над полями алгебраических
чисел. Для произвольных кубических форм (с особенностями)
наилучший результат принадлежит Давенпорту [70], который до-
казал, что Л7(3) 15. Кубические формы от 16 переменных пред-
ставляют нуль и в любом поле алгебраических чисел [115]. О фор-
мах более высокой нечетной степени почти ничего не известно.
Задачи
1. Доказать следующую теорему Лежандра: если а, Ъ и с — попарно
взаимно простые целые рациональные числа, свободные от квадратов и не
все одного знака, то неопределенное уравнение
ах2 + Ьр2 + cz2 = 0
разрешимо в рациональных числах #= 0 тогда и только тогда, когда разре-
шимы все три сравнения:
х2 = —be (mod а), х2 е==—са (modb), х2 = —ab (mode).
2. Представляют ли нуль в поле рациональных чисел формы Зх2 + 5у2 —
— 7z2 и Зх2 — 5у2 — 7z2?
90
СРАВНЕНИЯ
[ГЛ. I
3. Какие простые рациональные числа представляются формами ж2 + у1,
ж2 + 5г/2, х2 — 5г/2?
4. Дать описание всех рациональных чисел, представимых формой
2ж2 — 5у2.
5. Какие рациональные числа представляются формой 2х2 — бу2 + 15z2?
6. Пусть / — неособенная квадратичная форма над полем рациональных
чисел, число переменных которой не равно 4. Доказать, что / представляет
все рациональные числа тогда и только тогда, когда она представляет нуль.
7. При каких целых рациональных а форма х2 + 2у2 — az2 представ-
ляет нуль рационально?
8. Найти все решения уравнения ж2 + у2 — 2z2 = О в рациональ-
ных числах.
9. Какие из форм
х2 — 2у2 + 5z2, х2 — у2 + Юж2, Зж2 — у2 + 30z2
эквивалентны между собой в поле рациональных чисел?
10. Пусть форма ах2 + by2 — z2, где целые рациональные а и Ъ свободны
от квадратов и | а | > | Ъ |, представляет нуль во всех полях р-адических чи-
сел. Доказать, что тогда найдутся такие целые рациональные ai и с, что
аа\ = с2 — Ь, | ai | < | а |.
(Равенство aai-\- Ъ — с2 = 0 показывает, что форма асцх2 + by2 — z2 пред-
ставляет нуль рационально.)
И. Рассматривая формы вида ах2 + by2 — z2 с целыми и свободными от
квадратов а и Ь, доказать теорему Минковского — Хассе для случая трех
переменных индукцией по т — max (|а|, |&|) (использовать задачу 10 и
задачу 3 § 1 Дополнения).
12. Для каждого р (включая р = оо) через Wp обозначим группу клас-
сов Витта квадратичных форм над полем Qp. Доказать, что группа классов
Витта квадратичных форм над полем рациональных чисел Q изоморфна
некоторой подгруппе декартова произведения JJ W
р
Глава II
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
В предшествующей главе мы занимались вопросами о сущест-
вовании и нахождении рациональных решений неопределенных
уравнений. Эта глава посвящена тем же вопросам, но относитель-
но целочисленных решений. Поясним ее содержание простым
примером.
Задача заключается в нахождении всех целочисленных реше-
ний неопределенного уравнения
х2 — 2у2 = 7. (1)
Ограничимся решениями х > 0, у>0 (остальные получаются из-
менением знаков). Уравнение имеет решения (3, 1) и (5, 3). Из
этих двух решений можно получить бесконечно много других на
основании следующего замечания: если (х, у) — решение урав-
нения (1), то, как показывает подстановка, (3z + 4p, 2ж + 3р)
также является решением. Отправляясь от решения (х0, уа} =
= (3, 1), мы получим, таким образом, бесконечную серию реше-
ний (хп, уп\ определенных рекуррентными формулами
X'n+i Зтп Ч- 4рп, Рп-м 2хп Ч~ Зуп. (2)
Отправляясь от решения (ж0, г/0) = (5,3), мы получим по тем же
формулам другую бесконечную серию решений (хп, уп). Можно
доказать, что этими двумя сериями исчерпываются все решения
уравнения (1) с х > 0, у > 0.
Это совершенно элементарное решение уравнения (1) основы-
вается на вычислениях и формулах. Мы можем связать его с не-
которыми общими понятиями и тем подготовить почву для даль-
нейших обобщений.
Для этого заметим, что форма х2 — 2у2 в поле рациональных
чисел Q неприводима, однако в более широком поле Q( V2) она
разлагается на линейные множители (х + уУ2)(х — г/У2). Если
воспользоваться понятием нормы для расширения Q(]/2)/Q (см.
Дополнение, § 2, п. 2), то уравнение (1) можно будет переписать
также в виде
N(^)=N(x + yn)=7. (3)
Вопрос свелся, таким образом, к определению в поле Q ( У 2) тех
чисел £=ж + уУ2 с целыми рациональными х и у, норма кото-
рых равна 7. Если норма числа е = и + нУ2(иин целые рацио-
92
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. И
нальные) равна 1, то, в силу мультипликативности нормы, вместе
с £ все числа вида £еп также удовлетворяют уравнению (3). Так
как 2V(3 + 2V2) = 1, -то мы можем в качестве е взять 3 + 2Y2.
Переход от £ к £е и дает, как легко проверить, переход от ре-
шения (ж, у) к решению (Зж + 4г/, 2х + 3у). Две бесконечные се-
рии решений, записанные рекуррентными формулами (2), прини-
мают теперь вид
Хп + УпУ2 = (3+ /2)(3 + 2/2)п, ^>о
4 + уп /2 = (5 + 3 /2)(3 + 2 /2)п, П"
Возможность получать из одного решения уравнения (1) бес-
конечно много других решений основывается, в конечном счете,
на существовании чисел e = u+hV2 с целыми и и и, для кото-
рых 2V(e) = 1. В свою очередь числа такого типа связаны, как
мы сейчас покажем, с основными понятиями арифметики алгеб-
раических чисел. Для этого рассмотрим совокупность всех чисел
вида z+z/V2, где х и у — любые целые числа. Эта совокупность
чисел образует, как легко видеть, кольцо, которое мы обозначим
через ©. При исследовании арифметики этого кольца большую
роль играют, естественно, его единицы, т. е. такие числа а е £),
что и а-1 е ©. Очень легко показать, что число а тогда и только
тогда является единицей кольца £>, когда 2V(a) = ±l. Это пока-
зывает, каков более глубокий смысл чисел е е ©, норма которых
равна 1: все они вместе с числами, норма которых равна — 1,
составляют все единицы кольца ©.
В настоящей главе мы рассмотрим общую теорию, для кото-
рой уравнение (1) является одним из простейших примеров. Ус-
пех в решении уравнения (1) обусловлен в основном тем обстоя-
тельством, что форма х2 — 2г/2, неприводимая в поле рациональ-
ных чисел, раскладывается на линейные множители в поле
Q(/2), в связи с чем это уравнение допускает запись в виде (3).
В нашей общей теории также будут рассматриваться формы, ко-
торые в надлежащем расширении поля рациональных чисел рас-
кладываются в произведение линейных форм.
Хотя нашей основной целью является исследование неопре-
деленных уравнений, в которых коэффициенты и значения неиз-
вестных — целые числа, нам удобнее будет рассматривать более
общий случай форм с рациональными коэффициентами. Значения
же переменных всегда будут предполагаться целыми.
§ 1. Разложимые формы
1. Целочисленная эквивалентность форм.
Определение. Две формы F(.Xi, ..., хт~) и G(.y,, ..., z/J
одной и гой же степени п с рациональными коэффициентами
называются целочисленно эквивалентными, если каждая из них
S 1]
РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ
93
может быть преобразована в другую линейным преобразованием
переменных с целыми рациональными коэффициентами.
Например, формы
хг + 1у + z2 — бхт/ — 2xz + 6yz и 2u2 — v2
эквивалентны, так как при линейных преобразованиях
х = Зп,
у = и + и, и — —х + 2у + z,
Z-— u+v, v= х — у — Z
они переходят друг в друга. Для случая форм, зависящих от од-
ного и того же числа переменных, условие эквивалентности, оче-
видно, сводится к тому, что одна из форм может быть преобра-
зована в другую при помощи линейного преобразования пере-
менных с унимодулярной матрицей (т. е. с целочисленной квад-
ратной матрицей, определитель которой равен ±1).
Если формы F и G эквивалентны, то, зная все целочисленные
решения уравнения F = а, мы можем легко получить также все
целочисленные решения уравнения G = а, и обратно. Таким об-
разом, при рассмотрении вопроса о целочисленных решениях
уравнения вида F — а вместо формы F можно взять любую эк-
вивалентную ей форму.
Лемма 1. Всякая форма степени п эквивалентна форме,
у которой п-я степень одной из переменных входит с отличным
от нуля коэффициентом.
Доказательство. Пусть F(xh ..., xm)— форма степени п.
Покажем, что существуют такие целые рациональные числа
а2, ..., ат, что F(l, а2, ..., fe) 0.
Докажем это утверждение индукцией по т. При т = 1 фор-
ма F имеет вид Ах™, где А^О, поэтому ECD^O. Предположим,
что для форм от т — 1 переменных (тп^2) наше утверждение
уже доказано. Представим заданную форму F в виде
F — GaXm + GrXm 1 + • • + Gn,
где Gk либо равно нулю, либо является формой к-й
степени от переменных ад, ..., xm-i (мы считаем, что формы ну-
левой степени — это отличные от нуля константы). Все Gk не
могут быть равны нулю, так как F, являясь формой и-й степени,
имеет хоть один отличный от нуля коэффициент. По индуктив-
ному предположению хотя бы при одном к существуют такие
целые числа а2, ..., am-i, что G*(l, а2, ..., 0. Так как
многочлен F(l, а2, ..., am-t, хт) от одной переменной хт не ра-
вен тождественно нулю, то, взяв в качестве ат любое целое чис-
ло, отличное от его корней, будем иметь F(l, а2, ..., ат)=£0.
$4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ (ГЛ. И
Сделаем теперь следующее линейное преобразование пере-
менных:
х2 = а2г/1 + Уг,
Тг, ^тУ 1 "I- Ут.
При этом преобраздвании форма F перейдет в форму
G(yt, pm)=F(p1, a2yl + y2, amyi + ym).
Так как матрица нашего преобразования целочисленна и ее оп-
ределитель равен 1, то формы F и G эквивалентны, причем ко-
эффициент при у±, равный б?(1, 0, ..O)=F(1, а2, ..ат),
отличен от нуля. Лемма 1 доказана.
2. Построение разложимых форм.
Определение. Форма F(xt, ..., хт) с коэффициентами из
поля, рациональных чисел Q называется разложимой, если она
в некотором расширении Й/Q раскладывается на линейные мно-
жители.
Примером разложимой формы является форма
F(x, у) = аохп + а^^у +... + апуп
от двух переменных (а0 =/= 0). Действительно, если й— поле раз-
ложения многочлена F(x, 1) и аь ..., ап — его корни, то в й
имеем разложение
F(x, у) = а0(х — а,р). .Лх — апу).
Среди неособенных квадратичных форм, рассматривавшихся в
первой главе, разложимыми являются лишь формы от одной и
двух переменных (задача 1).
Очевидно, что вместе с формой F все эквивалентные ей фор-
мы также разложимы.
В определении разложимой формы ничего не говорится о том,
каким может быть поле й, в котором форма разлагается на ли-
нейные множители. Мы покажем сейчас, что в качестве й всегда
можно взять некоторое конечное расширение поля рациональных
чисел Q. В связи с этим основным алгебраическим аппаратом,
которым мы будем в дальнейшем пользоваться, является теория
конечных расширений полей. ^Необходимые нам свойства конеч-
ных расширений изложены в § 2 Дополнения.
Определение. Конечные расширения поля рациональных
чисел называются полями алгебраических чисел, а их элемен-
ты — алгебраическими числами.
Теорема 1. Всякая рациональная разложимая форма рас-
кладывается на линейные- множители уже в некотором поле ал-
гебраических чисел.
| 1] РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ 95
Доказательство. В силу леммы 1 мы можем ограни-
читься рассмотрением разложимой формы
F "4“ • • • *t“ • • • (oCnl^i • ••"!” OCnm^m),
у которой коэффициент при ж” отличен от нуля. Так как в этом
случае коэффициенты ощ (1 «£ i «£ п) отличны от нуля, то нашу
форму можно представить в виде
F == Л (^1 4" ^12*^2 "Ь • • • "Ь ... (^1 "Ь Рп2^2 "Ь • • • "Ь Рпт-Тщ) , ( 1 У
где Л=ац...а„1 и Ру = cq/z^1.Число А, являясь коэффициен-
том при я", рационально. Для фиксированного ] (2 С ]' тп') по-
ложим в последнем разложении Xj—i, а всем остальным пере-
менным, кроме Хх, придадим нулевое значение. Мы получим
F(.xh 0, ..., 1, ..., 0) = A (xt + р1;)... (xt + pnJ).
Так как слева у нас стоит многочлен (степени п) с рациональ-
ными коэффициентами, то отсюда следует, что — алгебраиче-
ские числа. Обозначим через L подполе поля Q, получающееся
из Q присоединением всех Расширение LIQ, очевидно, ко-
нечно (см. Дополнение, § 2, п. 1), т. е. L есть поле алгебраиче-
ских чисел.
Дальше мы ограничимся рассмотрением лишь неприводимых
в поле рациональных чисел разложимых форм, так как именно
для них вопрос о целочисленных представлениях рациональных
чисел наиболее интересен. Укажем способ построения неприво-
димых разложимых форм.
Рассмотрим произвольное поле алгебраических чисел К сте-
пени п и какой-нибудь примитивный элемент 0 поля К над Q,,
так что К = Q (0) (см. Дополнение, § 2, п. 3). Минимальный
многочлен <р(£) числа 0 над полем Q имеет степень п. Построим
над К расширение L, в котором <р(^) раскладывается целиком на
линейные множители:
(pW = (i-0(1))...(f-0(n)), 0(1) = 0
(можно считать, что L = Q(0(1\ . . ., 0<п))). Для всякого числа
?. = /(0)е/( (/(£) — многочлен с рациональными коэффициента-
ми) положим а(г) = / (9(t>) е Q (9<г)) cz L. Тогда для нормы
N. (а) = Nk/q (а) будет справедлива формула
М(а)=а(1)а(2) ...а(п)
(см. Дополнение, § 2, п. 3).
Пусть теперь щ, ..., ц™ — произвольная система отличных от
нуля чисел поля К. Эти числа определяют форму
F (Я-П • • • > ^т) — Ц + . . . + Хт^гп)- (2)
г=1
96 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ (ГЛ. 1Г
Так как |4г) = fk (9(г)) (1 «£ к С т, fk(t) — многочлены с рацио-
нальными коэффициентами), то коэффициенты формы (2) явля-
ются симметрическими функциями от 0(1>, ..0(п), а значит, они
рационально выражаются через коэффициенты многочлена <р(£).
Этим доказано, что форма (2) имеет рациональные коэффициен-
ты. Если вместо переменных х^ ..., хт мы подставим произволь-
ные рациональные числа, то, поскольку
+ . . . + ХтЦ-т — (^iPi + . . . +
произведение (2) будет нормой числа + ... + ятр,т (относи-
тельно расширения К/Q) В силу этого мы можем форму (2)
условно записать в виде
F(xt, ..., хт) = УСжцр,! + ... + aJmpm). (3)
Форма вида (2) не всегда неприводима. Например, если в по-
ле Q (/2, 3) мы возьмем р, = У 2, р2 = УЗ, то соответствующая
форма будет равна (2ж2 — З^)2- Однако имеет место следую-
щая теорема.
Теорема 2. Если числа р2, ..., р„, порождают поле К, т. е.
К = Q (р2, . .., рт), то форма
F(x„ ..., xm) = N(xt + iC2|A2 + ... + ЖтЦт) (4)
неприводима (над полем рациональных чисел). Обратно, всякая
неприводимая разложимая форма эквивалентна с точностью до
постоянного множителя форме вида (4).
Доказательство. Допустим, что F = GH, где множите-
ли G и Н имеют рациональные коэффициенты. Так как в кольце
многочленов от m переменных разложение на неприводимые
множители однозначно (с точностью до постоянных множителей),
то каждая из линейных форм
+ ^гРз } + • • • + ЯтЦт
должна быть делителем либо G, либо Н. Пусть Ll=xl + х2ц2 +
+ ... + xmp.m есть делитель G, т. е.
G = L.M.,
Заменим в последнем равенстве все коэффициенты их образами
при изоморфизме а а0) поля К = Q (0) на поле О(0(г)). Так
как коэффициенты формы G рациональны, то при такой замене
она не изменится и мы получим равенство
G =
означающее, что G делится на при любом i = 1, ..., га (га =
= (7sT:Q)). Заметим теперь, что изоморфизм a—ae
е Q (р2, • • •, Цт),вполне определен заданием образов • • •» Рт
чисел р2, ..., рт. Отсюда следует, что наборы чисел
РАЗЛОЖИМЫЕ ФОРМЫ
97
§ 1]
|41\ • • •, Цт1(1 га) Б попарно различны (ибо изоморфизмы
а -> а(,) попарно различны), а значит, и формы Lt, ..., Ln по-
парно различны. Коэффициент при Xi у всех форм Lt равен 1,
поэтому эти формы также попарно непропорциональны. Восполь-
зовавшись опять однозначностью разложения, заключаем, что G
делится на произведение Lt... Ln, т. е. делится на F. Множи-
тель Я, следовательно, является константой, и первое утвержде-
ние теоремы доказано.
Докажем второе утверждение. Пусть F*{x^ ..., хт} — произ-
вольная неприводимая разложимая форма степени га. В силу
леммы 1 можно считать, что коэффициент при х" отличен от
нуля, а тогда для F* будем иметь разложение вида (1), где —
некоторые алгебраические числа. Положим = ц, (2 тп)
и рассмотрим поле К = Q(p2, .. ., pm), степень которого обозна-
чим через г. По доказанному форма
F = N(.Xt + Х2Ц2 + . . . +
неприводима, причем один из ее линейных множителей, L, =
= Xi + х2р.2 + ... + а:тцт, является делителем и формы F*. Под-
вергая все коэффициенты равенства F* = LtMi действию изомор-
физма а -+ а<!) (ае^, l=Ci^r), мы получим разложение F* =
= LAF. Формы Li, ..., LT, как мы видели, попарно не пропор-
циональны, поэтому F* делится на их произведение Я... Lr,
совпадающее с F. В силу неприводимости F* отсюда следует, что
F* = AF, где А — константа, и теорема 2 доказана полностью.
(В процессе доказательства получено также, что г — п.)
3. Модули. Ясно, что для формы (3) вопрос о целочисленных
решениях неопределенного уравнения F(xi, ..., хт~) = а сводится
к разысканию в поле К чисел которые представимы в виде
£ =а:1ц1 + ... + хтцт (5)
с целыми рациональными xt, ..., хт и для которых М£) = а.
В силу этого естественно обратиться к изучению совокупностей
чисел вида (5).
Определение. Пусть К — поле алгебраических чисел и
Pi, ..., цт — произвольная конечная система чисел из К. Сово-
купность М всех линейных комбинаций + ... + cm|im с целы-
ми рациональными коэффициентами с( (l^i^raz) называется
модулем в поле К. Сами числа ..., цт называются при этом
образующими модуля М.
Конечно, один и тот же модуль М может быть задан различ-
ными системами образующих. Если p,j, ..., ц™ — система обра-
зующих модуля М, то будем писать М — {ци ..., цт).
Посмотрим, как изменится форма (3), если вместо |ii, ..ц™
взять другую систему чисел plt ..., р;, определяющих тот же
98
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
модуль М. Мы имеем
т
Рз — jLi CjklLk, 1 ^7 (>
ь=1
с целыми рациональными cjk. Пусть
G(yi, ..уг) = 7V(j/ipi +... + угр<).
I mil \
Так как У, z/jpj = У I У с^у? |.ц, то при линейном преобразо-
3=1 Й=1 \ 3=1 /
вании
i
хь = У Cjhyj,
3=1
форма F переходит в G. Поскольку системы образующих И* и
рз модуля М играют симметричную роль, то аналогично сущест-
вует целочисленное линейное преобразование переменных, пере-
водящее G в F. Этим доказано, что разным системам образую-
щих модуля М соответствуют эквивалентные формы, т. е. с каж-
дым модулем М в поле К однозначно связывается некоторый
класс эквивалентных разложимых форм.
Для всякого модуля М = {р,, ..., цт} п числа а^К через
аМ будем обозначать совокупность всех произведений а£, где
g пробегает все элементы из М. Очевидно, что аМ совпадает с
совокупностью всех целочисленных линейных комбинаций чисел
ащ, • •., ajirn, т. е. аМ = {ap17 ..., apm).
Определение. Два модуля М и Mi в поле алгебраических
чисел К называются подобными, если Mi = у.М при некотором
a =/* 0 из К.
Формы, связанные с подобными модулями М и аМ, различа-
ются между собой лишь постоянным множителем, равным Лг(а).
Поэтому, рассматривая формы с точностью до постоянного мно-
жителя, мы всегда можем вместо модуля М взять любой подоб-
ный ему модуль, в силу чего можно считать, что одна из обра-
зующих модуля, скажем щ, равна 1.
Изложенное выше позволяет дать задаче о представлении
чисел неприводимыми разложимыми формами следующую фор-
мулировку. Если форма F представлена в виде
F{Xi, . . хД) — ЛЛЧ24Ц1 + . . . + ЖтЦт)
(при надлежащем выборе поля К), то решение в целых числах
неопределенного уравнения F{xi, ..., xm) = а равносильно нахож-
дению в модуле М = {р.1, ..., у,т} всех чисел а, норма которых
2V(a) равна рациональному числу а/А. Ввиду этого в дальнейшем
мы будем заниматься именно этой задачей нахождения в данном
модуле чисел с заданной нормой. Как мы уже видели, послед-
няя задача равносильна также задаче о нахождении в подобном
§ 21
ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ
99
модуле \кМ чисел с нормой Лт(р)аМ. В силу этого вместо задан-
ного модуля можно рассматривать, если это будет целесообразно,
любой подобный ему модуль.
Если степень поля алгебраических чисел К равна и, то во
всяком модуле М поля К содержится не более п линейно неза-
висимых чисел (над полем Q).
Определение. Если модуль М в поле алгебраических чи-
сел К степени п содержит п линейно независимых чисел {над
полем рациональных чисел), то он называется полным, в про-
тивном случае — неполным.. Связанные с модулем М формы так-
же называются соответственно полными или неполными.
Например, если целое рациональное число d не является ку-
бом, то числа 1, у' d, V d2 образуют базис поля Q(p d) над Q,
поэтому форма
N (х + у yd + z ^ d2) = х3 + dy3 + d2zs — 3dxyz
полная. Примером неполной формы может служить форма
N(x + = х3 + dy3-
Если {1, у.2, •••, Ц™? — полный модуль поля К, то, очевидно,
К = Q(p2, • • ч Ут)- В силу теоремы 2 отсюда легко следует, что
всякая полная форма всегда неприводима.
Вопрос о представлении чисел неполными неприводимыми
формами весьма сложен, и к настоящему времени сколько-ни-
будь удовлетворительной общей теории на этот счет нет. Част-
ный случай мы рассмотрим в гл. IV.
Что касается задачи о представлении рациональных чисел
полными формами, то она намного проще и решена до конца.
Ею мы и будем заниматься в настоящей главе. Эта задача, как
уже было отмечено, равносильна вопросу о нахождении в фик-
сированном полном модуле поля алгебраических чисел К всех
чисел с заданной нормой.
Задачи
1. Показать, что рациональная квадратичная форма разложима тогда и
только тогда, когда ее ранг 2.
2. Доказать, что форма, связанная с произвольным модулем; поля алгеб-
раических чисел К, является степенью неприводимой формы.
3. Доказать, что в поле рациональных чисел Q всякий модуль имеет
вид а^, где а е Q (7 - кольцо целых рациональных чисел).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей
1. Базис модуля.
Определение. Система образующих ..., ат модуля М
называется его базисом, если она линейно независима над
100
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
кольцом целых чисел, т. е. если равенство
+ • • • 4* Йт^т = 0) О,{ Z,
имеет место только при нулевых коэффициентах а,.
Очевидно, что если at, ..am — базис модуля Л/, то любое
число а е М допускает одно и только одно представление в виде
а = с^ + ... + cmam, Ci е Z- (1)
Мы докажем сейчас, что любой модуль имеет базис. Доказа-
тельство не использует на самом деле того, что модуль состоит
из чисел некоторого поля алгебраических чисел. Существенным
является только то, что относительно операций сложения модуль
образует абелеву группу, в которой нет элементов конечного по-
рядка и в которой все элементы линейно выражаются с целыми
коэффициентами через некоторую конечную систему элементов
(существование системы образующих модуля). Поэтому мы и до-
кажем нужный нам результат как теорему об абелевых группах.
При этом мы будем пользоваться следующей терминологией. Си-
стему элементов а4, ..., ат абелевой группы М (действие в ко-
торой будет записываться аддитивно) назовем системой образую-
щих, если любой элемент а е М представим в впде (1). Мы пи-
шем в этом случае: М — {ai, ..., ocm}. Если же система ОС], ..., ат
удовлетворяет данному выше определению, то будем ее называть
базисом группы М.
Теорема 1. Если абелева группа без элементов конечного
порядка обладает конечной системой образующих, то она обла-
дает и базисом.
Доказательство. Обозначим через at, ..., as произволь-
ную систему образующих группы М. Заметим прежде всего, что
если мы к одной образующей прибавим другую, умноженную на
произвольное целое число, то новая система элементов будет
также системой образующих. Пусть, например, ах = ах + ка2. То-
гда для любого а е М имеем
а = cxax + c2a2 + . .. + сга, = cxax 4- (с2 — кс^ а2 + ... + csas,
где все коэффициенты целые, а значит, М = {av • • •,
Если элементы а,, ..., as линейно независимы, то они обра-
зуют базис М. Допустим, что они линейно зависимы, т. е. что
сча! + C2a2 +... + с4а, = 0 (2)
при некоторых не равных одновременно нулю целых ct. Выберем
среди отличных от нуля коэффициентов сг наименьший по абсо-
лютной величине. Пусть это будет, например, сь Предположим,
что не все коэффициенты с{ делятся на с,, скажем, с2 = ctq + с',
где 0< с' < |cil. Если мы перейдем к новой системе образующих
§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ {01
ai = ах + ®2, ..., as, то соотношение (2) примет вид
+ с'а2+ ... + csas = 0,
и в этом соотношении мы имеем коэффициент с' > 0, который
меньше, чем IcJ. Итак, если для образующих at, ..., а8 мы име-
ем нетривиальное соотношение (2), в котором наименьший по
абсолютной величине и отличный от нуля коэффициент не явля-
ется делителем остальных коэффициентов, то мы можем постро-
ить другую систему образующих, для которой также имеется
нетривиальная зависимость с целыми коэффициентами, причем
наименьший по абсолютной величине и не равный нулю коэф-
фициент этой новой зависимости меньше (по абсолютной вели-
чине), чем аналогичный коэффициент в первой зависимости.
В результате конечного числа таких преобразований мы придем
наконец к новой системе образующих .., [}s, для которой
имеется зависимость
+ к2$2 +... + к$, = 0 (3)
с целыми коэффициентами к{, причем один из коэффициентов,
например /с4, является делителем всех остальных. Сократив соот-
ношение (3) на ki (это можно сделать, так как по предположе-
нию в М нет элементов конечного порядка, отличных от нуля),
получим
. • • + Isfis — 0 (4)
с целыми Z2, ..., ls. Из (4) следует, что можно исключить из
построенной системы образующих, т. е. что М = {^2, . •., М-
Нами доказано, что если некоторая система образующих М
линейно зависима, то можно построить новую систему образую-
щих, число элементов которой на единицу меньше. Повторив это
рассуждение несколько раз, мы получим в конце концов линейно
независимую систему образующих, которая и будет базисом
группы М.
Следствие. Для всякого модуля в поле алгебраических чи-
сел К существует базис.
Число элементов т, входящих в какой-нибудь базис моду-
ля М, равно, очевидно, максимальному числу линейно независи-
мых (над Q) элементов из М. Следовательно, это число т для
всех базисов одно и то же. Оно называется рангом модуля М.
Ранг модуля, состоящего из одного нуля, считается равным нулю.
Пусть <»!, ..., ит ИИ,, ..., com— два базиса модуля М ранга
т. Ясно, что матрица перехода С от первого базиса ко второму
целочисленна. В силу симметрии матрица перехода от второго ба-
зиса к первому, т. е. матрица С-1, также целочисленна. Следова-
тельно, detC = ±l. Мы получаем, таким образом, что матрица
перехода от одного базиса модуля ранга т к его другому базису
является унимодулярной матрицей порядка т.
102 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. П
Если степень поля К над Q равна и, то ранг всякого модуля
в К не превосходит п. Очевидно, что ранг модуля равен п тогда
и только тогда, когда этот модуль полный. Неполные модули ха-
рактеризуются, следовательно, тем, что их ранг меньше степени
поля п.
Любая система образующих модуля ранга тп содержит не ме-
нее тп элементов. Отсюда следует, что среди форм, связанных с
этим модулем, существуют формы от тп переменных и не суще-
ствует форм с меньшим числом переменных. Полные формы сте-
пени п могут быть определены, следовательно, как такие разло-
жимые неприводимые формы, которые не эквивалентны формам
с числом переменных, меньшим степени п.
Теорема 2. В абелевой группе М без элементов конечного
порядка и с конечным числом образующих всякая подгруппа N
также имеет конечное число образующих и, следовательно, обла-
дает базисом. При этом для любого базиса (щ, ..., сот группы М
(.при надлежащей нумерации его элементов) для N существует
базис вида
т) 1 = Сц(01 + с12ы2 + ... + cihah + ... + Cimam,
Т]2 = c22oj2+... + c2ftaft+... + c2mam,
где Сц целые, си >0, к < тп.
Доказательство. Докажем теорему индукцией по ран-
гу тп группы М, т. е. по числу элементов, входящих в ее базис.
Для случая тп = 0 утверждение теоремы тривиально. Пусть
тп > 1. Если N состоит только из нуля, то к = 0, и теорема спра-
ведлива. Если же а е N, а 0, то
а = щсщ + ... + cmam, (5)
где хоть один из коэффициентов с{ не равен нулю. Изменив в
случае надобности нумерацию элементов базиса, мы можем счи-
тать, что Ci=#0. Если Ci < 0, то для —а коэффициент при сщ бу-
дет положителен. Среди элементов подгруппы N выберем элемент
Т)1 = Си©! + С12(Й2 + . . . + Clm(£)m,
у которого коэффициент си >0 при ш, наименьший. Тогда для
любого a^N коэффициент щ будет делиться на сп. Действи-
тельно, если Ci = c^q -4- с', 0^с'<си (q целое), то для эле-
мента а — #т|1 имеем
а — ^т]1 = с,со1 + с2ю2 Ч- ста)т,
откуда в силу минимальности си следует, что с' = 0. Рассмотрим
теперь в М подгруппу М„ = {со2, . •сот}. Так как пересечение
N Л Мо является подгруппой группы Мо, то по индуктивному
ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ
103
§ 21
предположению в N П Ма существует базис вида
Т]2 = С22СО2 + СазМз + ... + с2ка>к + ... + c2mcom,
Т]з= С33Й3 + . . . + C3kG)k + . . . + C3mC£»m,
Щ = CftbCOft + . . . + скт(йт,
где сй целые, с„ > 0, к — 1 т — 1 (при надлежащей нумерации
элементов базиса со2, • • ., ыт). Утверждаем, что У совпадает с со-
вокупностью всех целочисленных линейных комбинаций элемен-
тов т)1, ц2, ..щ. Пусть а — произвольный элемент из N. Если
его представить в виде (5), то по доказанному cl = cliql с це-
лым а тогда
ОС — 51Л1 = ^2®2 +•••( Ст(£>т
принадлежит пересечению Мо П N. По индуктивному предполо-
жению имеем
« - + • • • + Wk
с целыми Qi, откуда а = + ... + ЦкЩ- Этим и доказано, что
N — {ц,, т]2, . •T|J. Образующие щ, ..., щ, как легко видеть,
линейно независимы над Z, а значит, они образуют базис N
требуемого вида.
Проведенное доказательство теоремы 2 воспроизводит, по су-
ществу, метод Гаусса исключения неизвестных в системах ли-
нейных уравнений. Различия вызваны тем, что в нашем случае
коэффициенты принадлежат пе полю, а кольцу целых чисел.
Следствие. Всякая подгруппа N модуля М в поле алгеб-
раических чисел К является также модулем (подмодулем мо-
дуля ИГ).
2. Кольца множителей.
Определение. Число а поля алгебраических чисел К на-
зывается множителем полного модуля М поля К, если аМ с М,
т. е. если для любого ^еЛ/ произведение оф также принадле-
жит М.
Совокупность Ом всех множителей модуля И1 является коль-
цом. В самом деле, если а и р принадлежат Ом, 'то при любом
В е М имеем: (а — рф = оф — е М и (офф = а(£ф) <= М, т. е.
а — е и оф е Ом. Кольцо Ом называется кольцом множи-
телей полного модуля М. Так как 1 е Ом, то Ом есть кольцо с
единицей.
Чтобы удостовериться в том, что данное число а е К принад-
лежит кольцу Ом, нет необходимости проверять для всех £ е М,
будет ли произведение оф принадлежать М. Достаточно прове-
рить это лишь для чисел какого-нибудь базиса щ, ..., р„ моду-
ля М. В самом деле, если оср,< е М для всех i = 1, ..., п, то и
104
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
для любого £ = с1ц1 + ... + спЦп е Л/ будем иметь
= c/ajij) + ... 4- сп(ар,п) *= М.
Докажем, что кольцо множителей DM есть полный модуль
в К. Пусть у — произвольное отличное от нуля число из М. Так
как ay s М при любом а е DM, то yDM <= М. Множество чисел
у£)м является, очевидно, группой относительно действия сложе-
ния, поэтому, согласно следствию теоремы 2, у£)м есть модуль.
Но тогда £)м — у~*(у£)м) также является модулем. Остается дока-
зать, что этот модуль полный. Возьмем произвольное отличное
от нуля число а из К и обозначим через с общий знаменатель
всех рациональных чисел ац, определенных разложениями
п
ccpi = S 1 i п. (6)
3=1
Так как произведения сац целые, то cay,, е М, а значит, са е
Если теперь мы возьмем произвольный базис «!, ..., а„ поля К,
то по только что доказанному при некоторых целых рациональ-
ных Ci, ..., сп произведения .., спап будут содержаться в
Dm. Мы видим, таким образом, что в DM имеется п линейно не-
зависимых чисел, а это и означает, что Dm — полный модуль.
Определение. Полный модуль в поле алгебраических чи-
сел К, содержащий число 1 и являющийся кольцом, называется
порядком поля К.
Принимая это определение, мы можем полученный намп ре-
зультат сформулировать следующим образом.
Теорема 3. Кольцо множителей для произвольного полного
модуля поля- алгебраических чисел К является порядком этого
ТЬОЛЯ,
Справедливо и обратное утверждение: всякий порядок D поля
К является кольцом множителей для некоторого полного модуля,
например для самого себя (так как 1 = D, то включение aD = D
равносилно условию а е D).
Для произвольного числа у =4 0 из К условие ag <= М равно-
сильно условию a(y£) s уМ (здесь £ е М). Отсюда следует, что
подобные модули М и уМ имеют одно и то же кольцо множите-
лей, т. е. Dtm — £)м.
Пусть у,!, ..., |1„ — базис модуля М, а оц, ..., соп — базис его
кольца множителей Dm. Для каждого i = 1, ..., п имеем
п
Цг = S
j=l
где Ьц — рациональные числа. Если b — общий знаменатель всех
коэффициентов Ьц, то числа будут выражаться через базис
порядка Dm уже с целыми коэффициентами, т. е. будут принад-
§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ {05
лежать DM. Для Модуля ЪМ имеем, следовательно, включение
ЪВ с г)м.
Сформулируем полученные результаты.
Лемма 1. Кольца множителей подобных полных модулей
совпадают. Для каждого полного модуля существует подобный
ему модуль, содержащийся в своем кольце множителей.
Замечание. Рассмотрение полного модуля М вместе с его
кольцом множителей DM может быть охвачено общим понятием
модуля над кольцом. Для аддитивной подгруппы А поля К часто
приходится рассматривать подкольца А поля К, для которых А
является A-модулем (произведение ).х элементов /. = А и х е А
здесь определено умножением в К). Кольцо множителей DM
для полного модуля М в поле алгебраических чисел К — это наи-
большее из подколец А поля К, относительно которых М явля-
ется A-модулем. С точки зрения абстрактной теории колец рас-
сматриваемые нами модули М над порядком А, содержащимся в
Dm, характеризуются тем, что они конечно порождены, не имеют
кручения (если х е М, х ¥= 0, то из 7.x = 0, X «= А, следует, что
X = 0) и имеют ранг, равный 1 (под рангом A-модуля понимает-
ся максимальное число линейно независимых над А элементов).
При этом два A-модуля М и Mi (содержащиеся в К) А-изоморф-
ны тогда и только тогда, когда они подобны. В самом деле, если
Mi = цМ, то отображение g ус (£ е М) будет, очевидно, А-изо-
морфизмом М на Mt. Обратно, пусть f — А-изоморфпзм М на Mt,
так что /(A£) = X/(g), £<=М, Хе А. Выберем произвольно а <= М,
а =/= 0, и положим ц = /(а)/а. Если целое рациональное b ¥= 0 та-
ково, что ЬМ <= А, то для любого £ е М имеем
^ = ^) = /(g) = m
а значит, Mi = ДМ) = цМ.
3. Единицы. Вернемся к нашей задаче о целочисленных пред-
ставлениях рациональных чисел полными разложимыми форма-
ми. В § 1, п. 3 мы видели, что эта задача сводится к разысканию
в полном модуле М чисел у, для которых
А(у) = а. (7)
Для любого со из кольца множителей D = Dm произведение и у,
принадлежит М, при этом по мультипликативности нормы
А(ыу) = 2V(co)a.
Если JV(co) = 1, то вместе с у, произведение соц также будет ре-
шением уравнения (7). Таким образом, множители со, норма ко-
торых равна 1, дают возможность из одного решения интересую-
щего нас уравнения (7) получить целый класс новых решений.
Это обстоятельство и лежит в основе того метода решения урав-
нения (7), который мы собираемся изложить.
106 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Докажем, что множитель со е О с условием Мо>) = 1 следует
искать среди тех чисел е кольца О, для которых е-1 также прш
надлежит £). В соответствии с определением п. 1 § 4 Дополнения
такие числа е называются единицами кольца О. Так как вклю-
чения еМ с М и е~1М <= М эквивалентны равенству еМ = М, то
единицы кольца О = £>м могут быть охарактеризованы .также как
такие числа а <= К, для которых аМ = М.
Лемма 2. Если число а принадлежит порядку D, то его
характеристический и минимальный многочлены имеют целые
коэффициенты. В частности, норма N(a) = NK/^(a) и след
Sp (а) = Spk/q (а) — целые рациональные числа.
Доказательство. Пусть порядок О является кольцом
множителей для модуля М = {pi, ..ц„) (можно взять, напри-
мер, № = £)). Если «е£>, то в равенствах (6) коэффициенты й„
целые, откуда и следует, что характеристический многочлен чис-
ла а (относительно расширения K./Q), имеет целые коэффици-
енты. Остальные утверждения леммы теперь уже очевидны.
Теорема 4. Пусть S3— произвольный порядок поля алгеб-
раических чисел К. Для того чтобы число е было единицей
кольца £>, необходимо и достаточно, чтобы Me) =±1.
Доказательство. Покажем сначала, что для всякого
а ¥= 0 из ® его норма Ма) делится (в кольце S3) на а. По лемме
2 характеристический многочлен <p(i) = tn + cttn~l + ... + сп чис-
ла а имеет целые коэффициенты. Так как q>(a) = 0, то
Сп = (_ l)n-i (an-i + С1СХп-2 + ... + Сп_х).
Отношение Ma)/a принадлежит, таким образом, кольцу £), а это
и значит, что Ma) делится на а.
Если теперь Ma) = ±1, то 1 делится на а, т. е. а есть едини-
ца кольца £>. Обратно, если е— единица кольца £), т. е. ее'= 1
при некотором е'е®, то, поскольку Me) и N(e') целые, из ра-
венства Ме)Ме') = 1 должно следовать, что Me) = ±1. Теорема
4, таким образом, доказана.
Для нахождения множителей weS3, для которых Мео) = 1,
мы должны, следовательно, определить все единицы кольца £),
а затем среди них выделить единицы с нормой +1.
Два числа ц, и ц2 из полного модуля М назовем ассоцииро-
ванными, если их отношение Ц1/ц2 = 8 есть единица кольца мно-
жителей £) = £>м. Ясно, что в случае М — S3 введенное понятие
ассоциированности совпадает с обычной ассоциированностью эле-i
ментов в коммутативном кольце с единицей (см. Дополнение,
§ 4, п. 1). Легко видеть также, что это отношение ассоциирован-
ности в применении лишь к решениям уравнения (7) обладает
обычными свойствами эквивалентности, а потому все решения
уравнения (7) разбиваются на классы ассоциированных решений.
Если ц, и у.2 — Два ассоциированных решения, т. е. щ = р2е, где
§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ {07
е — единица кольца О, то 2V(e) = 1. Обратно, для всякой едини-
цы е из £) с нормой +1 вместе с решением у, произведение ре
будет ассоциированным с ним решением. Таким образом, все ре-
шения некоторого класса ассоциированных решений получаются
из одного умножением на единицы с нормой 1. Сейчас мы пока-
жем, что число таких классов решений конечно.
Теорема 5. Среди чисел порядка £) с заданной нормой име-
ется только конечное число попарно не ассоциированных между
собой.
Доказательство. Пусть сщ, ..., о>„— базпс порядка О и
с > 1 — произвольное натуральное число.
В соответствии с общим определением п. 1 § 4 Дополнения
будем говорить, что два числа а и р из £) сравнимы между собой
по модулю с, если их разность а — [3 делится (в кольце О) на с.
Очевидно, что всякое а е © сравнимо по модулю с с одним и
только с одним из чисел
х^! + ... + £„(0n, 0^Xi<c, 1 С i С п.
Все числа из О разбиваются, следовательно, па с" классов чисел,
сравнимых между собой по модулю с. Пусть теперь два числа а
и р, принадлежащие одному и тому же классу, таковы, что
|2V(a)I = I2V((3) I = с. Из равенства а —р = су, "' = ©, следует, что
а . , -V (₽) ~ , N(Р) о
-у = 1 ±- -р - у еО (ибо —см. начало доказательства
теоремы 4) и аналогично = 1 ± ~~~ У О.Таким образом, чис-
ла а и р делятся друг на друга, а значит, в кольце О они ассо-
циированы между собой. Этим и доказано, что в © может суще-
ствовать лишь конечное число (не более с") попарно не ассоции-
рованных чисел, нормы которых по абсолютной величине равны
заданному числу с.
Следствие. Среди чисел полного модуля М поля К с за-
данной нормой имеется лишь конечное число попарно не ассоци-
ированных между собой.
Действительно, если © — кольцо множителей модуля М, то
при некотором натуральном Ъ модуль ЪМ будет содержаться в О.
Если ..., — попарно не ассоциированные числа из М с нор-
мой с, то числа b^t, ..., Ьцк из © имеют норму Ь"с и попарно не
ассоциированы в О. Число к не может быть, следовательно, сколь
угодно большим.
Замечание. Доказательство теоремы 5 показывает, что в
кольце © (а также в модуле М) существует конечное множество
чисел с данной нормой с, обладающих тем свойством, что всякое
число из © (или из М) с той же нормой ассоциировано с одним
из них. Однако это доказательство неэффективно, т. е. оно не
дает возможности на самом деле эти числа найти, хотя и указы-
вает эффективную границу для их числа.
108
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
|ГЛ. II
Наша основная задача о нахождении всех решений уравне-
ния (7) разбивается, таким образом, на две следующие задачи:
1) В кольце множителей ©м найти все единицы е с нормой
АДе) = 1.
2) В модуле М найти числа щ, ..., щ с нормой а так, чтобы
они были попарно не ассоциированы и в то же время чтобы вся-
кое ц е М с нормой а было ассоциировано с одним из них, т. е.
имело вид ц = ще, где 1 i к и е — единица кольца множите-
лей Dm.
Если эти две задачи будут решены, то тем самым будет ре-
шена и задача о целочисленных представлениях рациональных
чисел полными разложимыми формами.
4. Максимальный порядок. Поскольку в п. 2 мы столкнулись
с понятием порядка, то естественно рассмотреть вопрос о взаи-
моотношениях между различными порядками в одном и том же
поле алгебраических чисел К. В этом пункте мы покажем, что
среди порядков поля К имеется один максимальный, содержа-
щий в себе все прочие порядки. По лемме 2 минимальный мно-
гочлен всякого числа из какого-нибудь порядка имеет целые ко-
эффициенты. Ниже мы увидим (теорема 6), что максимальный
порядок поля алгебраических чисел К совпадает с совокупностью
© всех тех чисел из К, минимальные многочлены которых имеют
целые коэффициенты. Докажем сначала следующую лемму.
Лемма 3. Если а^£), т. е. минимальный многочлен tm +
+ CjZ"1-1 + ... + cm числа а имеет целые коэффициенты, то модуль
М = {1, а, ..а”1-1} является кольцом.
Доказательство. Достаточно, очевидно, показать, что
всякая степень ак (/с > 0) числа а принадлежит М. При к тп — 1
это верно по определению М. Далее, а™ == ——...— ст
с целыми Ci, так что ат е М. Пусть к > т, и пусть уже доказа-
но, что aft_1 <= М, т. е. а*-1 = ща™-1 + ... + ат с целыми at. Тогда
ah = aa4-1 = ад” + а2ат~1 + ... + ата.
Так как все слагаемые справа принадлежат М, то и ак принад-
лежит М. Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Если £> — произвольный порядок поля К и а е ©,
то кольцо Ota], состоящее из всех многочленов от а с коэффи-
циентами из ©, также является порядком поля К.
Доказательство. Так как ©с©[а], то в кольце ©[al-
имеется п = (К : Q) линейно независимых над Q чисел. Мы дол-
жны, следовательно, доказать только, что D[a] является моду-
лем (т. е. обладает конечной системой образующих). Пусть
(01, ..., — базис порядка D. Согласно лемме 3 всякая степень
ah (.к > 0) представляется в виде а0 4- ща +... + am-i<xm~l с це-
лыми рациональными щ, где тп — степень минимального много-
члена числа а. Отсюда легко следует, что каждое число из ©[а]
§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ
109
можно представить в виде целочисленной линейной комбинации
произведений еще? (1 i < п, OCjCm-1), а это и значит, что
©[cd — модуль.
Повторное применение леммы 4 дает нам следующее
Следствие. Если D— порядок и ..., at — числа из £>,
то кольцо £>[«!, ..., аР1 всех многочленов от ..., аР с коэф-
фициентами из £) также является порядком.
Теорема 6. Все числа поля алгебраических чисел К, мини-
мальные многочлены которых имеют целые рациональные коэф-
фициенты, образуют максимальный порядок поля К.
Доказательство. Пусть © — какой-нибудь порядок поля
К, а а и р — произвольные числа из ©. По следствию леммы 4
кольцо ©ta, [J] является порядком, а значит, оно содержится в
© (лемма 2). Но тогда разность а — 3 и произведение оф также
содержатся в ©. Этим доказано, что © является кольцом. Так как
© с: ©, то © содержит п линейно независимых чисел. Нам остает-
ся лишь проверить, что © — модуль.
Выберем в порядке © какой-нибудь базис а»17 ..., <оп и постро-
им для него в поле К взаимный базис сщ, . .., (£>п (см. Дополне-
ние, § 2, п. 3). Покажем, что кольцо © содержится в модуле
©* = {(Oi, . . . , oj*}- Пусть а — произвольное число из кольца ©.
Представим его в виде
* , *
(X = . 4*
с рациональными с;. Умножив это равенство на ю, и переходя к
следу, получим
с{ = Sp а®,, 1 < i < п
(мы воспользовались тем, что Sp оц®* = 1 и Sp идо* = 0 при
z=#7). Все произведения аы,- содержатся в порядке ©[а], поэто-
му по лемме 2 все числа с,- целые, а значит, а е ©*. Таким обра-
зом, © <= ©*. Применяя теперь следствие теоремы 2, заключаем,
что © есть модуль, и теорема 6 доказана.
Проведенное нами доказательство того факта, что © является
кольцом, имеет общий характер, т. е. оно сохраняет свою силу
(с незначительным изменением) и в общей теории коммутативных
колец без делителей нуля. Соответствующие понятия в общем
случае изложены в § 4 Дополнения. Применяя введенную там
терминологию, можно сказать, что максимальный порядок поля
алгебраических чисел К — это целое замыкание кольца целых ра-
циональных чисел Z в поле К. В связи с этим числа из макси-
мального порядка © часто будут называться целыми числами по-
ля К. Сам же порядок © будет называться также кольцом целых
чисел поля К.
ио
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
Единицы максимального порядка £) называются также еди-
ницами поля алгебраических чисел К.
5. Дискриминант полного модуля. Пусть ц1( ц, и • • •
— два базиса полного модуля М в поле алгебраических
чисел К. Как мы знаем (см. п. 1), матрица перехода от первого
базиса ко второму унимодулярна (т. е. является целочисленной
матрицей с определителем ±1). Отсюда следует, что дискрими-
нанты Д(Ц1, ..ц„) и Цп) базисов равны (см. Допол-
нение, § 2, п. 3, формула (12)). Все базисы модуля М имеют, та-
ким образом, один и тот же дискриминант. Это общее значение
дискриминантов всех базисов модуля М, являющееся, очевидно,
рациональным числом, называется дискриминантом данного мо-
дуля М.
Всякий порядок поля К является полным модулем в К. Мож-
но говорить поэтому о дискриминанте того или иного порядка.
Так как след всякого числа из порядка есть целое число, то дис-
криминант порядка всегда является целым рациональным числом
(это же справедливо, разумеется, и для всякого полного модуля,
содержащегося в О).
Базис максимального порядка £) поля алгебраических чисел
К часто называют также фундаментальным базисом этого поля,
а его дискриминант — дискриминантом поля К. Дискриминант
поля алгебраических чисел является весьма важной его арифме-
тической характеристикой и в дальнейшем во многих вопросах
будет играть существенную роль.
Задачи
1. Пусть о>1, й2, о>з — линейно независимые числа поля алгебраических
чисел К. Доказать, что все числа вида аан + Ьы2 с<в3, где целые рацио-
нальные а, Ь, с связаны соотношением 2а + 36 + 5с =ь 0, образуют модуль
в К, и найти его базис. _
2. Найти кольцо множителей модуля {2, р'2/2} в поле О ("|/2)- Показать,
далее, что в поле Q (Д/2) модуль {1, У2} является максимальным порядком.
3. Показать, что в поле рациональных чисел Q имеется единственный
порядок — кольцо всех целых рациональных чисел.
4. Доказать, что в порядке{1, р2, рг4} поля Q (д'2) всякое число с нор-
мой 2 ассоциировано с у/~2.
5. Доказать, что пересечение двух полных модулей есть также полный
модуль.
6. Доказать, что всякий модуль поля алгебраических чисел, являющий-
ся кольцом, содержится в максимальном порядке.
7. Пусть М = {<xi, ..., а„} и .У = {Pi, ..., М — два полных модуля
поля К. Модуль, порожденный произведениями aifa (1 г, j п), не зави-
сит от выбора базисов a,t и р,-. Он называется произведением модулей М и N
и обозначается через MN. Доказать, что кольца множителей модулей М и
N содержатся в кольце множителей их произведения MN.
§ 2] ПОЛНЫЕ МОДУЛИ И ИХ КОЛЬЦА МНОЖИТЕЛЕЙ . Ш
8. Пусть М — полный модуль, содержащийся в максимальном порядке
£> поля алгебраических чисел К. Доказать, что если дискриминант модуля М
не делится на квадрат целого числа =/= 1, то он совпадает с D.
9. Пусть 0 — примитивное число поля алгебраических чисел К степе-
ни п, содержащееся в максимальном порядке. Доказать, что если дискрими-
нант минимального многочлена числа 0 не делится на квадрат, то числа
1,0, ..., 0"-1 образуют фундаментальный базис поля К.
10. Найти фундаментальный базис и дискриминант поля О (у7^).
11. Найти фундаментальный базис и дискриминант поля Q (р)> где р —
корень уравнения х3 — х — 1 = 0.
12. Пусть М — полный модуль поля алгебраических чисел К. Доказать,
что совокупность М* тех | е К, для которых Sp ag при всех a е М, яв-
ляется также полным модулем поля К. Модуль М* называется взаимным
для модуля М. Показать, далее, что если рь ..., ц„ — базис М, то взаимный
базис р*, ..., р* в поле К (относительно Q) является базисом Л7*.
13. Доказать, что (Л7*) * = М, т. е. что взаимный модуль для М* совпа-
дает с М'
14. Доказать, что взаимные модули М и М* имеют одно и то же кольцо
множителей.
15. Показать, что для полных модулей Mi и М2 включения MicM2 и
Л7* о Л7* эквивалентны.
16. Пусть 0 — примитивное число поля алгебраических чисел К степе-
ни п, принадлежащее максимальному порядку 6, и f(t) —его минимальный
многочлен над Q. Показать, что для модуля М = {1, 0, ..., 0’1-1} (являю-
1
щегося, очевидно, порядком) взаимный модуль М* совпадает с М.
17. Пусть М — полный модуль в К и © — его кольцо множителей. Дока-
зать, что произведение ММ* (см. задачу 7) совпадает с О*.
18. Доказать, что в поле Q (0), 03 = 2, для модуля М = {4, 0, 02} коль-
цом множителей является порядок {1, 20, 202}, а для модуля М2 =
= {2, 20, 02} — максимальный порядок {1, 0, 02}.
19. Многочлен tn + ар"-1 + ... ап с целыми рациональными коэффи-
циентами называется многочленом Эйзенштейна относительно простого чис-
ла р, если все коэффициенты а2, ..., ап делятся на р, а свободный член ап,
делясь на р, не делится на р2. Доказать, что если целое примитивное число
0 поля алгебраических чисел К степени п является корнем многочлена
Эйзенштейна относительно р, то
N (% + с10 + • • • + s С0 (mod Р')
при любых целых рациональных со, щ, ..., Cn-i.
20. Если 0 — примитивное целое число поля алгебраических чисел К
степени п, то индекс порядка {1, 0, ..., 0"-1} в максимальном порядке на-
зывается также индексом числа 0. Доказать, что если 0 является корнем
многочлена Эйзенштейна относительно простого числа р, то р не входит в
индекс числа 0.
21. Доказать, что для каждого из трех кубических полей:
Kx = Q(0), 03—18 0 — 6 = 0,
K2 = Q(0), 03-36 0 — 78 = 0,
Кз = Q (0), 03 _54 о _ 150 = 0>
фундаментальным базисом является степенной базис 1, 0, 02. Убедиться,
далее, что все эти поля имеют один и тот же дискриминант, равный 22 356 =
112
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
поля Q (0), 03 — 0 — 4 — 0, фунда-
0 6+62
0, 2 .
= 23-22-35. (Поля Ki, Кг, К3, как это следует из задачи 14 § 7 гл. III,
различны.)
22. Показать, что для кубического
ментальным базисом является базис 1,
23. Пусть а и Ь — взаимно простые натуральные числа, свободные от
квадратов. Положим k = ab, если а2 — &2 = 0 (mod 9), и к = ЗаЪ, если
а2— Ъ2 Ф 0 (mod 9). Показать, что дискриминант поля Q (j/ ab2) равен
D = —3F.
3 Г—5 - * / SZ~
Указание. Положим© = У ab , в=О"/Ь=у а~Ъ.Показать, что в слу-
чае а2 — Ъ2 Ф 0 (mod 9) числа 1, 0, 0 образуют фундаментальный базис.
Пусть а2—Ь2 = 0 (mod 9). Выберем а = ±1 и г = ±1 так, чтобы а ==
= о (mod 3) и Ъ =. т (mod 3). Показать, что в этом случае в качестве фун-
_ 1 + ст О + т0
даментального базиса можно взять числа 1, 0, -jj----
24. Доказать, что если натуральное а свободно от квадратов и а Ф
Ф ± 1 (mod9), то в 1ю.1е с(т а) числа 1, уГа, Vа2образуют фундаменталь-
ный базис.
25. Доказать, что кубическое поле является чисто кубическим (т. е. име-
ет вид <о(угта)) тогда и только тогда, когда его дискриминант равен —3d2
(при некотором натуральном d).
26. Пусть а, Ъ, с, d — свободные от квадратов попарно взаимно простые
натуральные числа > 1, одно из которых делится на 3. Доказать, что чисто
кубические поля© (0), 03 = abc2d2, и О (П), Ц3 = acb2d2, имеющие один и
тот же дискриминант —27a2b2c2d2, различны.
Указание. Рассмотреть поля Q (т[/0) = Q (Г be'2) и Q (ц2/б) =
= Q (/ ad2)'
27. Доказать, что для любого натурального п можно указать п различ-
ных чисто кубических полей с одним и тем же дискриминантом (использо-
вать предыдущую задачу).
§ 3. Геометрический метод
Сформулированные в конце п. 3 § 2 две задачи (к которым
сводится вопрос о представлениях чисел полными разложимыми
формами) для своего решения требуют привлечения новых сооб-
ражений геометрического характера. В основе этих соображений
лежит метод изображения алгебраических чисел точками тг-мер-
пого пространства, аналогичный хорошо известному способу изо-
бражения комплексных чисел на плоскости Коши.
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел. Если
поле алгебраических чисел К имеет степень п над полем раци-
ональных чисел Q, то для него имеется равно п различных изо-
морфизмов в поле всех комплексных чисел <2 (см. Дополнение,
§ 2, п. 3).
Определение. Если при изоморфизме а‘.К-*-(С образ
поля К содержится в поле вещественных чисел; то этот изомор-
физм о называется вещественным-, в противном случае он назы-
вается комплексным.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
113
§ 3]
Так, для кубического поля К = Q(9), где 93 = 2, изоморфизм
Q (9) -^Q(^2), при котором 9—>у2, вещественный (под j/2
понимаем здесь вещественное значение корня). Два других изомор-
физма Q (9) Q (еу^) и Q (9) -> Q (е2у2) = cos у- + i sin
комплексные. Если d — рациональное число, пе являющееся ква-
дратом, то для поля Q(9), 92 = d, оба изоморфизма вещественны
при d > 0 и комплексны при d < 0. Вообще, если в произвольном
поле алгебраических чисел К выбран примитивный элемент 9,
являющийся корнем неприводимого над Q многочлена <p(i), и
если 9j, . .., 0п — корни <р(£) в поле ff, то изоморфизм
К = Q (9)-> Q (9;) с= О, 9->9,, (1)
будет вещественным, если корень 9,- вещественный, и комплекс-
ным в противном случае.
Условимся для любого комплексного числа '{ — x + yi (х и у
вещественные) через у обозначать сопряженное комплексное
число х — yi.
Пусть о: К -> (Е — комплексный изоморфизм. Очевидно, что
отображение о: К -> (Е, определенное равенством
о(а) = о(а), а^К,
является _также комплексным изоморфизмом К в (Е. Этот_ изо-
морфизм о называется сопряженным с о. Так как о о и о = о,
то все комплексные изоморфизмы К в (Е разбиваются, следова-
тельно, на пары сопряженных между собой изоморфизмов. В ча-
стности, число комплексных изоморфизмов всегда четное. Два
комплексных изоморфизма вида (1) сопряжены между собой то-
гда и только тогда, когда соответствующие им корни 9,- и 9; явля-
ются комплексно сопряженными числами.
Предположим, что среди изоморфизмов К в (Е имеется s ве-
щественных о15 ..., Оз и 2i комплексных, так что s + 2t — n =
= (K:Q). Из каждой пары сопряженных между собой комплекс-
ных изоморфизмов выберем какой-нибудь один. Полученную си-
стему комплексных изоморфизмов обозначим через os+i, ..., os+f.
Система всех изоморфизмов поля К в (Е запишется тогда в виде
01, • • •, О5, Os+i, Osyi, • . Oe^/, Os_j,f.
Именно такая нумерация изоморфизмов в дальнейшем постоянно
будет предполагаться. Конечно, для некоторых полей может ока-
заться, что вещественных изоморфизмов нет (s = 0) или, наобо-
рот, что все изоморфизмы вещественные (£ = 0).
Рассмотрим совокупность £* ‘ строчек вида
X (^1, • • «, ^а, Х$+1] • . ., Д7з+(), (2)
в которых первые s компонент xlt ..., х, — вещественные, а ос-
114 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
тальные x„+i, ..жз+( — произвольные комплексные числа. Опре-
делим сложение и умножение этих строчек, а также умножение
их на вещественные числа покомпонентно. Ясно, что относитель-
но этих действий 2s- ‘ является коммутативным кольцом с едини-
цей (1, ..., 1) и в то же время вещественным линейным прост-
ранством. Строчки (2) мы будем называть векторами или точка-
ми пространства 2s-
В качестве базиса 2s- ‘ (над полем вещественных чисел) мож-
но взять, очевидно, векторы г
(1, ..., 0; 0, ..., ОН
.................[ s,
(0, ..1; О, ..., 0)J
(0, .. ., 0; 1, ..., 0)1
(0, ..., 0; z, ..., 0)
.................\2t.
(0, ..., 0; 0, ..., 1)
(0, ..., 0; 0, ..., г) )
Размерность вещественного пространства 2s'' равна, следователь-
но, п = s + 2t. Еслп мы положим
: x»+i == Уз + Q = 1, • • ., t),
то вектор (2) в базпсе (3) будет иметь координаты
(arj, ..., xs; t/i, zt, ..., z/<, z(). (4)
В тех случаях, когда 2S| 1 будет рассматриваться только как
п-мерное линейное вещественное пространство, мы будем обозна-
чать его также через R”.
Зафиксируем в 2s- ‘ некоторую точку х. Отображение х' -> хх'
(а/е 2s’'), т. е. умножение произвольной точки из 2s’‘ на х, яв-
ляется, очевидно, линейным преобразованием вещественного про-
странства 2s,t = R”. В базисе (3) матрица этого преобразования,
как легко видеть, имеет вид
У1~21
Z1 «1
yt-zt
zt Vt)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
115
§ 3]
где все невыписанные элементы равны нулю. Определитель этой
матрицы равен
Ху ... xs (у[ + г?) ... (у* + Zt) = Ху . .. xs | zs+112 ... | xs+t |2.
Это подсказывает нам следующее определение. Под нормой N(x)
произвольной точки х = (ху, ..zn()e85'‘ будем понимать
выражение
N(x) =Ху... х3|ж,+1|2... ks+(l2.
Проведенная только что выкладка показывает, что норма N(x)
точки х может быть определена также как определитель матри-
цы линейного преобразования х -> х'х.
Введенное понятие нормы обладает, очевидно, свойством муль-
типликативности: N(xx'} = N(x)N(x').
Перейдем теперь к изображению чисел поля К точками про-
странства й’1Каждому числу а из К поставим в соответствие
точку
x(ai = (oi(oc), ..оа(а); os+1(a), ..., o,+i(a)) (5)
из 8 s- ‘. Эта точка и является геометрическим изображением
числа а.
Если а и [3 — различные числа из К, то при любом к = 1, ...
..., s + t числа оА(а) и также различны, а значит, х(а) =И=
¥=х($). Таким образом, отображение
a->-;r(a), а <= К,
взаимно однозначно. (Конечно, оно не является отображением
«на», т. е. не всякая точка из 8s’ ‘ является изображением числа
из поля К).
Так как щ(а + ₽) = oA(a) + oA([J) и оА(оф) = оА(а)оА(р), то
х(а+ р) — х(а) + ж(^), (6)
х(а$) = z(a)z(3), (7)
т. е. при сложении и умножении чисел в К соответствующие им
точки также складываются и умножаются. Далее, если а — раци-
ональное число, то oA(aa) = oA(a)oA(a) =aoA(a), откуда
х(аа) — ах(а'). (8)
Так как согласно § 2 (п. 3) Дополнения мы имеем
N (a) = Nk/q (а) = ах (а) ... <j.s (а) <т,+1 (a) <js+1 (а) .. .<Ts+1(a)crs+f (а) =
= Oi (а) ... щ (а) | щ+1 (а) (2... J <Ji+i (а) |%
то норма N(x(a)) точки х(а) совйадает с нормой N(a) числа а:
Мх(аУ) = Ма), а^К.
Рассмотрим два простых примера. Если d — положительное
рациональное число, не являющееся квадратом, то для вещест-
И6 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ (ГЛ. II
венного квадратичного поля Q (0), 02 = d, геометрическим изобра-
жением числа а = а + bQ (а и Ъ рациональны) будет точка ж(а) =
= (a + &Yd, a — byd). В случае мнимого квадратичного поля
О(ц), г)2 — — d, изображением числа = будет точка на
комплексной плоскости с координатами (а, &Уй)(базис (3) в этом
случае состоит из чисел 1, г).
Покажем, что для произвольного базиса ait ..ап поля К
(над Q) соответствующие им векторы НаД, .. z(a„) из
линейно независимы (в вещественном смысле). Для
этого положим
ой(а;) = 4°,
Ы) = У? + 1 < 7 < t.
Так как вектор
хЫ = (4°, • •^У? + У? + it?)
в базисе (3) имеет координаты , Xs'1, z/j\ zi\ . .., у(/\
то для доказательства нашего утверждения надо лишь прове-
рить, что определитель
„(1) г(1) „(1) Д1) „(1) ,(1)
Х1 • • • xs zi - • • 'Jt zt
d=.............................
4n). x'sn> y[n) 4n) • • • г/(4П> 4n)
отличен
от нуля. Рассмотрим вместо d другой определитель:
у^у + iz^ — iz^y ...
\п) .. X(sny у[пу + iz™ у^ - iz™
d* =
который можно записать также в виде
d* =
Qi («i) ... cs (аД <т4+1(аД os+1 (аД...
CTi (ап) • • • с8 (а„) os+1 (ап) а5+1 (ап) ...
В определителе d* к столбцу с номером s + 1 прибавим последу-
ющий столбец п вынесем 2 за знак определителя. Этот новый
столбец вычтем из последующего, а затем из полученного столб-
ца с номером s + 2 вынесем —i за знак определителя. Проделав
такие же операции с каждой парой следующих столбцов, мы при-
дем в конце концов к равенству
d* = (-2i)‘d. (9)
В § 2 (п. 3) Дополнения доказано, что
. d*2 = D, (10)
где D—D(ai, а„) — дискриминант базиса at, ..., ая (отно-
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
117
§ 3]
сительно расширения К/Q). Так как Г>¥=0, то из (9) и (10)
следует, что определитель d также отличен от нуля.
Будем считать теперь, что ai, ..an — базис полного модуля
М в поле К. В силу (6) и (8) для всякого a = a^at +... + a„a„
из М (a-i, ..ап целые рациональные) его геометрическим изобра-
жением в Rn будет вектор х(а) = a,x{aj + ... 4- апх(.ап). Мы по-
лучили, таким образом, следующий результат.
Теорема 1. При геометрическом изображении чисел поля
К степени п = s + 2t точками пространства R совокупность всех
векторов, изображающих числа полного модуля М = {а., ..., а„),
совпадает с совокупностью всех целочисленных линейных комби-
наций п линейно независимых (в пространстве Rn) векторов
x(aj), ..., ж(а„).
Замечание. Линейное пространство £’г, в котором мы изо-
бражаем числа поля К, является алгеброй над полем веществен-
ных чисел R. Эта алгебра может быть отождествлена с тензор-
ным произведением 91 = R ® qK полей R и К, рассматривае-
мых как алгебры над полем рациональных чисел Q. Именно,
алгебра 91 (над полем вещественных чисел R) однозначно рас-
падается в прямую сумму полей, каждое из которых изоморфно
либо полю вещественных чисел R, либо полю комплексных чи-
сел ff. Пусть
9( = Rx ф ... ф Rs Ф (Z\ Ф ... Ф (Lt,
где Rj« R (1 i s) и ffj « ff (1 Пусть, далее, ср( — од-
нозначно определенный изоморфизм R, на R и <ps+J- — один из
двух изоморфизмов L j на ff. Каждый элемент £ <= 91 однозначно
представляется в виде
£ = + • • • + + gs+1 + ... + gs+1,
где J;,. <= tRi и Положим
ф(£) = (срЛ^), ..., ф,+<(и«))е
Можно показать, что отображение g -> ф(£) (|е§() является
изоморфизмом алгебры 91 на алгебру 8s’'. При этом ф(1®а) =
— х(а) для любого а е К.
2. Решетки. Геометрическое изучение полных модулей осно-
вывается на том их свойстве, которое установлено в теореме 1.
Рассмотрим поэтому в R” совокупности векторов такого же типа
независимо от того, являются они образами чисел некоторого мо-
дуля или нет.
Определение. Пусть ed, ..., em, m^n,— линейно незави-
симая система векторов пространства R”. Совокупность 2)1 всех
векторов вида
a^t +... + amem,
118
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
где а( независимо друг от друга пробегают все целые рациональ-
ные числа, называется m-мерной решеткой в R", а сами векто-
ры et, ..., em — базисом этой решетки. Если т = п, то решетка
называется полной, в противном случае — неполной.
Содержание теоремы 1 заключается, следовательно, в том, что
числа полного модуля геометрически изображаются векторами
некоторой полной решетки.
Легко видеть, что две линейно независимые системы векторов
е15 ..., ет и .., fm определяют одну и ту же решетку тогда и
только тогда, когда они связаны между собой унимодулярным
преобразованием, т. е. когда
т
h = S ci}ej, 1 < i < т,
3=1
где (сц) — целочисленная матрица с определителем ±1.
Более детальное изучение решеток основывается на привлече-
нии метрических свойств пространства R”. Введем в = Rn
скалярное произведение, считая, что векторы (3) образуют орто-
нормированный базис. Если векторы ж и а/ в базисе (3) имеют
соответственно координаты (xt, ..., хп} и (а?х, ..., х^), то для ска-
лярного произведения (х, х') имеем, следовательно, формулу
(х, х) = Х\Хг + ... + хпхп-
Длина вектора х будет обозначаться через Ы.
Пусть г — вещественное положительное число. Совокупность
всех точек х с координатами (х,, ..., хп) (в базисе (3)), для ко-
торых
I] X || = |/~Х1 + ... + Хп <С г,
обозначим через С7(г). Это множество Е/(г) называется (открытым)
шаром радиуса г с центром в начале.
Множество точек из R” называется ограниченным, если оно
содержится в некотором шаре £7(г).
Множество точек пространства Rn называется дискретным,
если для любого г > 0 только конечное число точек этого мно-
жества содержится в шаре 17(г).
Лемма 1. Множество точек произвольной решетки ЗЯ в Rn
дискретно.
Доказательство. Так как всякая неполная решетка может
быть вложена в полную (многими способами), то достаточно про-
вести доказательство для полной решетки 2Й. Выберем в ЗЯ какой-
нибудь базис в), ..., е„. Условия
(х, е2) = 0, ..., {х, е„) = 0
дают нам систему п — 1 однородных линейных уравнений с и
S 3]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
119
неизвестными. Так как у этой системы имеется ненулевое реше-
ние, то существует ненулевой вектор х, ортогональный к векторам
б2, • •еп. Если бы мы имели также (ж, ej =0, то вектор х был бы
ортогонален ко всем векторам пространства
Следовательно, (.г, ej =/= 0. Вектор А = --
Rn, что невозможно.
х будет также орто-
гонален ко всем векторам е2, ..., еп, и для него (A,ei) = l. Таким
образом, для каждого i (1 i п) мы можем найти вектор для
которого
[1 при у = i,
(А, в}} — при .
Пусть теперь вектор z — а^е^. + ... + апеп из 2Л (щ целые ра-
циональные) принадлежит шару Е/(г), т. е. Ilzll < г. Так как ак =
то в силу неравенства Коши — Буняковского имеем
= /Л)! Ilzll. Il/Jl <rll/Jl,
где г11/й.11 не зависит от z. Таким образом, для целых чисел ак мы
имеем только конечное число возможностей, а значит, число тех
гей, для которых Ilzll < г, конечно. Лемма 1 доказана.
Пусть X — некоторое множество точек пространства R” и
z — точка из Rn. Совокупность точек вида х + z, где х пробегает
все точки из X, называется сдвигом множества X на вектор z и
обозначается через X + z.
Определение. Пусть et, ..., em — какой-нибудь базис ре-
шетки ЗЯ. Множество Т точек вида
у «161 +...+ ame,n,
где at, am независимо друг от друга пробегают вещественные
числа, удовлетворяющие условиям 0 cci < 1, называется основ-
ным параллелепипедом решетки 2Я.
Основной параллелепипед определен, следовательно, своей ре-
шеткой не однозначно; он зависит от выбора базиса.
Лемма 2. Если Т — основной параллелепипед полной решет-
ки 2Я, то множества Tz = Т + z, где z пробегает все точки из ЗЯ,
попарно не пересекаясь, заполняют все пространство R”.
Доказательство. Пусть ..., е„ — базис решетки ЗЯ,
на котором построен параллелепипед Т. Мы должны показать,
что всякая точка х = х^ + ... + хпеп из Rn принадлежит одному
и только одному множеству Tt. Для каждого i представим веще-
ственное число xt в виде х, = + а<, где kt целое рациональное,
а а,- удовлетворяет условию 0 at < 1. Полагая z = к& + ... + knen
и и — «161 + ... + апеп, будем иметь
х = и + z, и е Т, z е ЗЯ,
а это означает, что х е Тх. Если теперь х Tz„ т. е. х = и" 4- z'
120
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
(и'еГ, г'еЗЛ), то сравнивая в равенстве и + z = и' + z' коэффи-
циенты при е., легко получйм, что z = z'. Лемма 2, таким образом,
доказана.
Лемма 3. Для любого вещественного числа г> 0 существует
только конечное число множеств Тг (см. обозначения леммы 2),
пересекающихся с шаром UM.
Доказательство. Пусть е15 ..., еп — базис решетки 9R, на
котором построен параллелепипед Т. Если мы положим d = llejl +
+ ... + Ие„Н, то для любого вектора м = + ... + a„en 71 будем
иметь
Hull Hamill + ... + H<zneJI = ajlejl + ... + ajlejl < d.
Пусть множество Tz (ze-St) пересекается с Z7(r). Это значит,
что для некоторого вектора х = и + z, где и е Т, z е 2Я, имеем
IIxeII < г. Так как z = х — и, то
llzll=Cllxll + ll-ull<r+d,
т. е. точка z содержится в шаре C7(r + d). Согласно лемме 1 таких
точек z е 9R существует только конечное число, и лемма 3 дока-
зана.
Очевидно, что векторы решетки образуют группу относительно
операции сложения векторов. Другими словами, каждая решетка
является подгруппой аддитивной группы R". Лемма 1 показыва-
ет, однако, что это далеко пе произвольная подгруппа. Мы дока-
жем сейчас, что свойство решеток, установленное в этой лемме,
характеризует решетки среди всех подгрупп группы R .
Лемма 4. Подгруппа 9R группы R”, множество точек кото-
рой дискретно, является решеткой.
Доказательство. Обозначим через © наименьшее линей-
ное подпространство пространства R”, содержащее множество
SR, и через тп — размерность <3. Мы можем тогда в 5R выбрать
m векторов ..., ет, образующих базис подпространства <3. Обо-
значим через ЭЯо решетку с базисом е1; ..., ет. Очевидно, что
5Ло SJJ. Докажем, что индекс (ЗЯ: Ж) конечен. Действительно,
мы можем представить любой вектор х из 9R (даже любой вектор
из <3) в виде
х — и + z, (11)
где z е 9R0, а и лежит в основном параллелепипеде Т решетки Ж,
построенном на базисе et, ..., ет. По условию х^ЗЯ и z е Ж — Ж
а так как 5R является группой, то и и е ЗЯ. Но Т является ограни-
ченным множеством, и ввиду дискретности ЗЯ в нем может со-
держаться только конечное число векторов из 5R. Это показывает,
что число векторов и, которые мы можем получить в разложении
(11) для любых х^ЗЯ, конечно, а это и означает конечность
индекса (ЖЖ). Положим (ДЯ:ЗЯй) =]. Так как порядок каждого
элемента фактор-группы ЗЯ!ЗЯа является делителем J, то jx е 2Лв
5 3]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
121
для любого х а значит, х линейно выражается через—ех, .. .
• — ет с целыми коэффициентами. Группа 9)1 содержится, сле-
1 1
довательно, в решетке 9R* с базисом — ех, .. ., — ет. Применяя
теперь теорему 2 из § 2, мы видим, что подгруппа 9R группы 9R*
должна обладать базисом из I т векторов /4, ..., /(. Чтобы
удостовериться, что 2R является решеткой, нам остается только
проверить, что векторы Л, ..., ft линейно независимы над полем
вещественных чисел. Но это следует из того, что через них ли-
нейно выражаются т линейно независимых в R" векторов
ех, ..., е„, (так как ЗЯосЭГО. Лемма 4 доказана.
3. Логарифмическое пространство. Наряду с введенным рань-
ше геометрическим изображением чисел поля К, при котором опе-
рация сложения чисел интерпретировалась как операция сложе-
ния векторов в R”, нам нужно другое геометрическое изображе-
ние, при котором такую же простую интерпретацию будет иметь
операция умножения чисел.
Пусть среди изоморфизмов поля алгебраических чисел К в
поле комплексных чисел (С имеется s вещественных и 2t комп-
лексных. Будем считать, что они занумерованы так, как это было
указано в п. 1.
Рассмотрим вещественное линейное пространство Rs+i раз-
мерности s + t, состоящее из строчек (М, ..., А.3+() с вещественны-
ми компонентами. Для точки х е 8s’ ‘ вида (2), все компоненты
которой отличны от нуля, положим
l^x) = In litZftl при к = 1,. . ., 8,
(12)
?5+.;Ы = In ks+J|2 при / =
Сопоставим, далее, каждой такой точке х из 8s’ * вектор
Кх) = (ЦСх),..., lsi.t(x')) (13)
пространства Rs+t. Так как для любых точек х и х из 8s' ‘ с от-
личными от нуля компонентами имеем, очевидно,
lk(xx') = Цх) + lh(x'), 1 к < s +1,
то
Кхх') = Кх) + 1(х'). (14)
Все точки хе 8s’1 вида (2) с отличными от нуля компонентами ,
(т. е. для которых N(x') 0) образуют группу относительно по-
компонентного умножения. Равенство (14) означает, что отобра-
жение х -> Их) является гомоморфизмом этой мультипликатив-
ной группы на аддитивную группу векторов пространства Rs+‘-
122
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. П
Сопоставляя равенства (12) с определением нормы N(x) точки
х е 8*’легко получаем для суммы компонент lh(x) вектора Z(x)
формулу
s+t
2 Zft(;r) = ln|JV(a;) |. (15)
fe=i
Пусть теперь а — отличное от нуля число поля К. Положим
Z(a) = Кх(а)),
где х(а) — указанное в п. 1 изображение числа а в пространстве
8’-', Ввиду (5), (12^ и (13) для вектора Z(a) подробная запись
имеет вид
Z(a) = (In |oi(a)I, ..In |o,(a)l, In |as+1(a)|2, ..In loe+((a)l2).
Вектор Z (a) e мы будем называть логарифмическим
изображением числа а ¥= 0 из К, а само пространство Rs+/ — лога-
рифмическим пространством поля К.
Из (7) и (14) вытекает, что
Z(a.3) = Z(a) + Z(0), a^O, 0=^0. (16)
Отображение a -*• Z(a) является, таким образом, гомоморфизмом
мультипликативной группы поля К в группу векторов простран-
ства Rs+t. Отсюда, в частности, следует, что
Z(a-‘) =-Z(a), a^O.
Для суммы компонент
ZA(a) = Zft(a:(a)), i^k^s + t,
вектора 1(a) имеет место формула
s-f-t
2 Zft(a) = ln|2V(a)|. (17)
fe=i
Действительно, сумма слева равна логарифму модуля произве-
дения _______ _______________
пДа)... os(a)o<+1(a)os+i(a)... oe+((a)os+((a),
а это произведение согласно п. 3 § 2 Дополнения равно норме
N(a) (относительно расширения K/Q).
Проведенное нами доказательство формулы (17) (без ссылки
на равенство' (15)) делает понятным, почему при определении
компонент lh(x) вектора Кх) равенствами (12) делалось различие
между компонентами, соответствующими вещественным и комп-
лексным изоморфизмам: компонента 1г+1(х) соответствует не од-
ному, а двзш сопряженным между собой комплексным изоморфиз-
МИМ Oe-J-J И Oe-fj*
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД
123
§ 3]
4. Геометрическое изображение единиц. Пусть теперь £) —
некоторый фиксированный порядок поля К. Рассмотрим в лога-
рифмическом пространстве Rs+t векторы Z(e) для всех единиц
е кольца £). Отображение е -» Z(e) не является взаимно однознач-
ным. Действительно, если единица ц е £) является корнем из 1,
т. е. ц™ = 1 при некотором натуральном т, то 1сц(ц)| = 1 при
всех к = 1, ..., s + Z, а значит, Z(rj) есть нулевой вектор. Таким
образом, все корни из 1 (а в порядке О их имеется по крайней
мере два: +1 и —1) изображаются одним и тем же (нулевым)
вектором. Чтобы выяснить строение группы единиц порядка £)
при помощи гомоморфизма е Z(e), нам надо дать ответы на
следующие два вопроса:
1) Какие единицы изображаются пулевым вектором?
2) Что представляет собой множество всех векторов /(e)?
Начнем с первого вопроса. Обозначим через W совокупность
всех чисел «е£>, для которых Z(a) = 0. Ввиду (16) произведение
двух чисел пз W также принадлежит W. Так как условие Z(a) = 0
эквивалентно равенствам
|щ(а)| = 1 (l^k^s + t),
то множество точек х (a) е Rn — %s,t для всех а е W ограниче-
но, т. е. оно содержится в некотором шаре Z7(r). Применяя лем-
му 1, получаем, что совокупность чисел W конечна. Для про-
извольного числа а е W рассмотрим его степени 1, а, ..., ак, ...
Так как все эти степени содержатся в W, то среди них должны
встретиться равные, скажем ак = a1, Z > к. Но тогда, полагая Z —
— к~т, получаем, что ат = 1. Таким образом, все числа из W
являются корнями из 1, а значит, W есть конечная группа, со-
держащаяся, очевидно, в группе единиц кольца £).
Поскольку группа W содержит подгруппу второго порядка
(состоящую из +1 и —1), то она имеет четный порядок. Далее,
всякая конечная подгруппа мультипликативной группы поля
всегда циклична (см. Дополнение, § 3), поэтому и группа W цик-
лична.
На первый из поставленных вопросов получаем, таким обра-
зом, следующий ответ.
Теорема 2. Единицы е порядка £>, для которых Z(e) есть
нулевой вектор, образуют конечную циклическую группу четного
порядка. Элементами этой группы -являются все корни из 1, со-
держащиеся в D, и только они.
Перейдем теперь ко второму вопросу, т. е. займемся выясне-
нием структуры множества ® в Rs+i, состоящего из векторов
Z(e), где е пробегает все единицы кольца £).
По теореме 4 § 2 норма всякой единицы е из О равна
±1, поэтому In |lV(e)| = 0. В силу равенства (17) получаем,
124
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
следовательно,
s+t
2 Zft(e) = 0.
fe=i
(18)
Это означает, что все точки Z(e) находятся в подпространстве
й cz R's'+i,состоящем из точек (%j, ...,Xs+<) еRs+i, для которых
Xi + ... + Xs+1 = 0. Размерность подпространства й равна, очевидно,
s + t — 1.
Докажем, что <3 — решетка. Так как @ является, очевидно,
подгруппой аддитивной группы векторов пространства Rs+\ то
ввиду леммы 4 нам надо лишь убедиться в том, что множество
точек <3 дискретно. (В качестве ортонормированного базиса в
Rs+! мы берем, разумеется, векторы, у которых одна компонента
равна единице, а остальные — нулю.) Пусть г — произвольное ве-
щественное положительное число, и пусть HZ(e)ll < г. Так как
Zft(e) < |Zs(e)| С IIZ(e)li, то Z,t(e) < г (1 «£ к s + Z), а значит,
loft(e) I < er, к = 1,.. ., з, .
1о,+3(е)|2 < ег, / = 1,..., Z.
Отсюда следует, что для тех единиц е е £), для которых IIZ(e)ll <
< г, точки а:(е) пз R” ограничены. Но так как векторы а: (а) е Rn
для всех образуют решетку (теорема 1), то по лемме 1 чис-
ло таких единиц е конечно. Следовательно, число векторов Z(e)
с условием IIZ(e)U<r также конечно, а это и значит, что множе-
ство <3 дискретно.
Так как решетка <3 содержится в подпространстве й, то ее
размерность не превосходит s + t — 1.
Нами доказан, таким образом, следующий факт.
Теорема 3. При геометрическом изображении единиц по-
рядка £) точками 1(e) в логарифмическом пространстве Rs+f все
эти изображения образуют решетку <3 размерности r^s + Z—1.
5. Первые сведения о группе единиц. Уже теоремы 2 и 3, вы-
веденные нами из самых простых геометрических соображений,
содержат в себе важную информацию о строении группы единиц
любого порядка £). Именно, из этих теорем легко следует, что
в £) существуют такие единицы е1, ..., ег, r^s + Z—1, что каж-
дая единица е еО однозначно представляется в виде
с. О1 '
е = fo1... е,
(19)
где а,, ..., аг — целые рациональные числа, а £ — некоторый со-
держащийся в £) корень из 1. Другими словами, группа единиц
порядка D представляется в виде произведения одной конечной и
г бесконечных циклических групп.
Для доказательства этого утверждения выберем в решетке (3
какой-нибудь базис, скажем Z(ei), ..., Z(er), и покажем, что еди-
§ 3] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД 125
вицы 81, ..8г обладают требуемым свойством. Пусть е — произ-
вольная единица кольца £). Так как Z(e) еб, то
Z(e) = aiZ(et) + ... + arZ(er),
где at — целые рациональные числа. Рассмотрим единицу
— а,
£ = 88^ . . . 8j* •
В силу формулы (16) для этой единицы имеем Z(£) = Z(e) —
— diKet) — ... — arZ(8r) = 0, а значит, по теореме 2 она есть корень
из 1. Таким образом, для единицы 8 имеем представление (19).
Остается доказать его однозначность. Пусть для 8 имеем другое
представление: 8 = ^'е!1 2 ... е/. В силу линейной независимости
векторов Z(8i), ..., Z(er) из равенства Z(e) = Z^ZU,) + ... + &rZ(er)
следует, что а1 = Ъь ..., аг = Ът. Но тогда имеем также £ = £',
и наше утверждение доказано полностью.
В доказанном нами утверждении остался нерешенным важный
вопрос о точном значении числа г, про которое мы знаем только,
что оно не превосходит s + t — 1. В следующем параграфе мы
покажем, что на самом деле г — s + t — 1. Однако сейчас на осно-
вании тех методов, которыми мы располагали до сих пор, нельзя
даже гарантировать неравенства г>0 (если, конечно, s + t — 1>
>0). Равенство r=s+t— 1 является, по существу, теоремой
существования: оно устанавливает существование s +1 — 1 неза-
висимых единиц. Не удивительно поэтому, что для его доказа-
тельства надо привлечь некоторые новые соображения.
Ввиду теоремы 3 утверждение, которое нам осталось доказать,
равносильно тому, что размерность решетки изображающей
единицы порядка £) в логарифмическом пространстве, строго рав-
на $ + t — 1,
Задачи
1. Доказать, что все изображения х (а) е Rn чисел а из поля алгебра-
ических чисел К степени п образуют всюду плотное подмножество про-
странства Rn-
2. Доказать, что если s #= 0, т. е. среди изоморфизмов поля К в поле
всех комплексных чисел имеется хоть .один вещественный, то группа кор-
ней из 1, содержащихся в К, состоит только из двух чисел: +1 и —1. (Это
обстоятельство всегда имеет место в случае, когда степень поля К нечетная.)
3. Определить все корни из 1, которые могут содержаться в поле алгеб-
раических чисел степени 4.
4. Найти все единицы поля Q (~1/з)-
5. Показать, что в поле Q (0), О3 4 5 6 = 2, всякая единица имеет вид
±(1 — 0)*.
6. Пусть в поле алгебраических чисел К содержится комплексный ко-
рень из 1. Доказать, что тогда норма всякого « 0 из Я положительна.
126 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
§ 4. Группа единиц
1. Критерий полноты решетки. В этом параграфе мы доведем
до конца исследование строения группы единиц в порядках полей
алгебраических чпсел. Основная задача, которую нам предстоит
решить, уже обсуждалась в конце предшествующего параграфа.
Она заключается в доказательстве того, что решетка <£, векторы
которой изображают единицы порядка £) при логарифмическом
изображении, имеет размерность s +1 — 1 (мы сохраняем здесь
все обозначения предыдущего параграфа).
Решетка @ расположена в пространстве Rs+< и содержится
в его линейном подпространстве 8, состоящем из точек (М, ...
..., Xs+(), для которых Xi + ... + Ха+( — 0. Так как размерность 8
равна s +1 — 1, то наша задача эквивалентна доказательству того,
что ® есть полная решетка пространства 8. Мы докажем это
в п. 3, пользуясь следующим критерием полноты решетки.
Теорема 1. Решетка в линейном пространстве 8 полна
тогда и только тогда, когда в 8 существует ограниченное мно-
жество U, сдвиги которого на все векторы из 5R полностью запол-
няют все пространство 8 (.возможно, с пересечениями).
Доказательство. Если решетка 5DI полная, то в каче-
стве U можно взять какой-нибудь из ее основных параллелепи-
педов: согласно лемме 2 § 3 все сдвиги основного параллелепипеда
на векторы полной решетки заполняют все пространство (ограни-
ченность основного параллелепипеда очевидна). Пусть теперь ре-
шетка ЗЛ неполная, и пусть U — произвольное ограниченное под-
множество пространства 8. Покажем, что в этом случае сдвиги
множества U на векторы из 9R не могут заполнить всего про-
странства 8. В силу ограниченности U существует такое веще-
ственное число г>0, что Hull < г при всех u^U. Обозначим
через 8' подпространство, порожденное векторами решетки 9R.
Так как решетка 9R неполная, то 8' есть собственное подпростран-
ство, а потому в 8 существуют векторы у сколь угодно большой
длины и ортогональные к подпространству 8' (и, следовательно,
ко всем векторам из 9R). Утверждаем, что все такие векторы у,
для которых llyll > г, не могут быть покрыты сдвигами U на век-
торы из 9R. Действительно, если вектор у (ортогональный к 8')
содержится в некотором сдвиге, то это значит, что он имеет вид
у = и + z, где и е U, z е 2Я. Но тогда ввиду неравенства Коши —
Буняковского будем иметь
НрН2 = (у, у) = (у, и) sS llz/llllull < rllz/ll,
откуда llyll < г. Теорема 1, таким образом, доказана. (Геометри-
ческий смысл проведенного доказательства состоит в том, что все
сдвиги множества U на векторы неполной решетки лежат в слое,
состоящем из точек, расстояния которых до подпространства 8'
не превышают г.)
§ 4]
ГРУППА ЕДИНИЦ
127
Замечание. В топологических терминах полнота решетки
SD? в пространстве S равносильна, как легко видеть, компактности
фактор-группы Й/9Я (если й рассматривать как топологическую
группу относительно сложения).
2. Лемма Минковского. Наше доказательство существования
s +1 — 1 независимых единиц будет основываться на одном про-
стом геометрическом утверждении, которое имеет, однако, исклю-
чительно много приложений в теории чисел. Формулировка и до-
казательство этого утверждения (теорема 3) используют понятие
объема в и-мерном пространстве и некоторые его свойства.
Объем и(Х) множества X в тг-мерном пространстве R" может
быть определен как кратный интеграл
v (X) = f ... I* dxxdx^... dxn,
" (X)
распространенный по этому множеству X. (Здесь мы несколько
отступаем от обозначения (4) § 3 и координаты точки х е R” за-
писываем в виде (xlt ..., Хп)-) Мы не будем заниматься исследова-
нием условий, при которых объем существует. В интересующих
нас случаях множество X будет задаваться несколькими неравен-
ствами с весьма простыми входящими в пих функциями и вопрос
о существовании объема будет решаться элементарным образом.
Отметим несколько простейших свойств объема, легко вытекаю-
щих из свойств интегралов (предполагается, что все встречаю-
щиеся объемы существуют).
1) Если X содержится в X', то v(X) v(X').
2) Если множества X и X' не пересекаются, то
p(XUX,) = v(X) + v(X/).
3) При сдвиге множества его объем сохраняется, т. е.
v(X+z) = v(I).
4) Пусть а — вещественное положительное число. Обозначим
через аХ совокупность точек вйда ах, где х пробегает все точки
из X. (Множество аХ называется растяжением X в а раз.) Тогда
v(oX) = anv(X).
Вычислим объем основного параллелепипеда Т полной решетки
SH в R", построенного на некотором ее базисе ei, ..., еп. Пусть
О = («и, • • •, ДпА 1 < 7 ' - п.
Мы покажем, что тогда
к(Т’) = Idet (я«)1. (1)
Сделаем в интеграле v (Т) = J ... J dxi ... dxn замену переменных
(Г)
128
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
(ГЛ. II
по формулам
п
Xi = 2 аИх1 , 1 г re.
1=1
Якобиан этого преобразования равен, очевидно, определителю
det (щ(), который отличен от нуля ввиду линейной независимости
векторов еп. Так как при нашем преобразовании множество
Т перейдет, как легко видеть, в множество Т9, состоящее из точек
(а?!, .. ., хп), Для которых 0 x'i < 1 (j = 1, ..., re), то
i i
v (Т) = J J | det (ay) | dxr ... dx’n = | det (ay) | У • • • У dxr ... dxn =
(го) 0 0
= | det (ay) I,
и формула (1) доказана.
Подвергнем пространство Rn некоторому линейному неосо-
бенному преобразованию х -> хг. Решетка 9R перейдет при этом
преобразовании в некоторую (очевидно, полную) решетку ЭЛ', а ее
основной параллелепипед Т — в основной параллелепипед Т'
решетки ЗЯ'. Ясно, что параллелепипед Т' будет построен на
образах elt ..., еп векторов базиса .., е„. Если ej = (&у, ... ,&п?)
(1 ге), то по доказанному объем t>(Z') равен |det(b«)l. Обо-
значим через С = (сц) матрицу линейного преобразования х -* х'
в базисе е£, ..е„, так что
п
i=l
n
Легко видеть, что fry = 2 т. е. матрица (&ч) является шро-
s=l
изведением (ai3) на (ci3), а значит, имеет место формула
v(T') = v(.T) • IdetCl. (2)
Предположим теперь, что еь ..., е„ и ..., еп — два базиса
одной и той же решетки 9R. Так как эти базисы связаны между
собой унимодулярным преобразованием (с целочисленной матри-
цей С определителя ±1), то ввиду (2) получаем, что v(T') = v(T).
Этим показано, что объем основного параллелепипеда базиса, ре-
шетки зависит только от самой решетки и не зависит от выбора
в ней базиса.
Сопоставление формулы (1) с равенствами (9) и (10) § 3 при-
водит нас к следующему уточнению теоремы 1 § 3:
Теорема2. При геометрическом изображении чисел поля
К степени п = s + 2t .точками пространства 6s,i = R" все точки,
изображающие числа полного модуля М с дискриминантом D,
5 4] ГРУППА ЕДИНИЦ * 129
образуют полную решетку, объем основного параллелепипеда ко-
торой равен 2_‘VIOI.
Для формулировки основного предложения этого пункта нам
нужны еще два геометрических понятия.
Множество X с. IR” называется центрально симметричным,
если вместе с любой точкой х в этом множестве содержится и сим-
метричная ей относительно начала точка —х.
Множество X называется выпуклым, если для любых двух
точек х^Х и х' ^Х в этом множестве содержатся и все точки
вида ах + (1 — а)х', где а— вещественное число, удовлетворяю-
щее условию 0 а < 1. Другими словами, множество X выпукло,
если всякий отрезок, соединяющий две точки из X, целиком со-
держится в этом множестве.
Теорема 3 (лемма Минковского о выпуклом теле). Пусть
в п-мерном вещественном пространстве IRn задана полная решет-
ка SDI, объем основного параллелепипеда которой равен и огра-
ниченное центрально симметричное выпуклое множество X с
объемом у(Х). Если г(Х)>2"Д, то множество X содержит по
крайней мере одну отличную от начала точку решетки 9R.
Доказательство. Мы будем основываться на следующем
интуитивно ясном предложении: если ограниченное множество
точек Y cz R" таково, что все его сдвиги Yz = У + z па векторы
попарно не пересекаются, то п(У) А. Для доказательства
выберем некоторый основной параллелепипед Т решетки 2R и
рассмотрим пересечения У П T_z множества У со всеми сдвигами
Т~г — Т ~ z параллелепипеда Т. Очевидно, что
п(У)= 2 v(Y П T_z)
(в этой формально бесконечной сумме только конечное число чле-
нов отлично от нуля, так как ограниченное множество У может
пересекаться лишь с конечным числом параллелепипедов Т-г‘
лемма 3 § 3). Сдвиг множества У П Т-г на вектор z равен, оче-
видно, У2 П Т, поэтому п(У Г) Г_2) = п(Уг П У), а значит,
Р(У)= 2 к(уг п л-
Если теперь сдвиги Yz попарно не пересекаются, то пересечения
Yz П Т также попарно не пересекаются, а так как все они содер-
жатся в Т, то сумма в правой части последнего равенства не мо-
жет быть больше v(T). Следовательно, п(У)^п(7’), и наше утвер-
ждение доказано.
Рассмотрим теперь множество -тт X (получающееся из X
сжатием в два раза). Из условий теоремы следует, что =
130
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
1гл. п
1 1
= — v (X) > А. Если бы все сдвиги X + z на векторы z s SW
2
попарно не пересекались, то по доказанному мы должны были
бы иметь v xj А, что на самом деле не так. Следовательно,
для некоторых различных векторов z, и z2 из ЗЯ множества
1 1
X + zt и -у X + z2 имеют общую точку:
1 / 1 If . f If xr
— X + Zx =-5-Х + Z2, X,X SA.
Z Z
Перепишем последнее равенство в виде
1 ,, 1 ,
Zg — 2 2 ’
Так как множество А’ центрально симметрично, то — х е X; ввиду
его выпуклости имеем также
-%x----%-x = уг +-7>-(— a:) e a.
Таким образом, отличная от начала точка zt — z2 из ЗЯ принадле-
жит множеству X, а это и требовалось доказать.
Из рассуждений первой части доказательства теоремы 3 легко
вытекает также следующее довольно очевидное утверждение (оно
понадобится нам в § 5).
Лемма 1. Если все сдвиги множества Y на векторы решетки
ЗЯ полностью покрывают пространство R”, то v(Y) > А.
Действительно, в этом случае пересечения У2 Л Т полностью
покроют основной параллелепипед Т (возможно, с пересечениями),
а потому v (У) = 2 (Yz П Т) v (Т) = А.
При исследовании группы единиц лемма Минковского будет
применяться нами к решетке в пространстве £’ * и к телу X, ко-
торое состоит из тех точек х вида (2) § 3, для которых
IX, 1 С,, . . ., I X, I С2 j I Xt^., I Cs-t-i, . • ., I Xgj. 11 C,,
где Ci, , Cs+t — вещественные положительные числа. Выпуклость
и центральная симметричность этого тела X очевидна. Вычислим
его объем. Используя для координат точки х обозначения (4)
§ 3, получаем
С1 cs
v (X) = \ dxt... dy1dz1 ... f dytdzt =
“ci -c' +*i <c»+l vt +4 <c.+t
«+t
= 2‘л* TT
i=l
8 4]
ГРУППА ЕДИНИЦ
131
Применение леммы Минковского к рассмотренному телу X
дает нам следующий результат (именно на него мы и будем
в дальнейшем ссылаться).
Теорема 4. Если объем основного параллелепипеда полной
решетки 2Л пространства 88,< равен А и
ложителъные числа ct, ..., cs+l таковы,
в решетке 2)1 имеется ненулевой вектор
которого
если вещественные по-
ТТ ( 4 V л
что ц > — А, то
i=l \ И /
х = (ж,, ..ж3+1), для
|aj < cs;
laj < с1;
l^s+ll < cs+1, . . ., |x,4.|l2 < C,+t. (3)
3. Структура группы единиц. Теперь мы можем до конца ре-
шить вопрос о строении группы единиц произвольного порядка.
Теорема 5 (теорема Дирихле). В произвольном порядке £)
поля алгебраических чисел К степени n — s + 2t существуют та-
кие единицы еь ..., ег, г = s + t — 1, что каждая единица е е О
однозначно представляется в виде
е = &... с,
где at, ..., аг — целые рациональные числа, а £ — некоторый со-
держащийся в D корень из 1.
Доказательство. Как уже говорилось в конце пред-
шествующего и в начале этого параграфа, нам надо лишь уста-
новить полноту решетки 6, изображающей единицы порядка £),
в пространстве S (размерность которого равна s + t —1). Согласно
теореме 1 для этого, в свою очередь, достаточно убедиться в том,
что в S существует ограниченное подмножество V, сдвиги кото-
рого на все векторы из 6 заполняют все пространство 8.
Так как норма всякого целого числа из К есть целое рацио-
нальное число, то ввиду формулы (17) § 3 для отличных от нуля
чисел а из S точки Z(a) расположены в полупространстве М +...
... +%>+( 0 пространства Rs+t. При этом, если |7V(cc)l <Q при
некотором вещественном числе Q > 1, то точка Z(a) будет нахо-
диться в полосе, определяемой неравенствами
О + ... + Xs+t < In Q.
Обозначим через 5 гиперплоскость в Rs+t, определяемую урав-
нением Xi + ... + ^s+t = In Q. Ясно, что £ получается из подпрост-
п In О ..
ранства У сдвигом, например, на вектор g(1, ..., 1).
Для всякого отличного от нуля а из £), для которого |ЛДа)| <
< Q, через Ya обозначим совокупность всех точек (М, ..., ^8+«)
гиперплоскости £, для которых
> Zk(a), k = 1, ..., s +1.
132 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Так как наряду с последними неравенствами мы имеем также
= 5 М<1п(>-2 Ц(а),
то все множества Ya ограничены. Далее, из формулы (16) § 3
легко следует, что для всякой единицы е кольца £) справедлива
формула
Кие=У« + /(е), (4)
т. е. множество УаЕ получается из Ya сдвигом на вектор Z(e).
Покажем, что если Q выбрано достаточно большим, а именно
/ 4 V
<2>Ш А. (5)
где А — объем основного параллелепипеда решетки в й*1 *, изо-
бражающей числа рассматриваемого порядка £), то множества
Ya (для ае£), а^О l7V(cc)l < 0 покрывают всю гиперпло-
скость В самом деле, пусть (Х?, ..., Х?+;) — произвольная точка
из $, и пусть съ ..., cs+t — вещественные положительные числа,
для которых Х^ = 1п^. Ввиду (5) числа ск удовлетворяют нера-
[ 4 V А
венству с1 . .. cs+i>l — I А, поэтому согласно теореме 4 в поряд-
ке £> существует число а 0, для которого
104(a)! <ск, /с = 1, ..., s,
!o,+j(a)?<cE+j, j =
В других обозначениях последние неравенства могут быть пере-
писаны в виде
Ik (a) < Xfe (/с = 1, . . ., S + Z).
Мы получили, таким образом, что точка (X?, . .., X®+t) принадле-
жит множеству Ya, причем |АДа)1 < Q.
По теореме 5 § 2 в порядке £) существует только конечное
число попарно не ассоциированных чисел, нормы которых по аб-
солютной величине меньше Q. Зафиксируем какую-нибудь систе-
му а,, ..., a.v отличных от нуля чисел из £), обладающую тем
свойством, что всякое а^О из £), для которого |Ar(a)l < Q, ассо-
циировано с одним из них, т. е. а = а(е при некотором i (1 t «S
^N) и некоторой единице е кольца О. Положим
N
Y = U Ya..
i=l
Так как все Ya покрывают £ и Ya = Ya. + Z(e) (формула (4)), то
сдвиги ограниченного множества Y на все векторы Z(e) решетки
6 покроют всю гиперплоскость Но в таком случае сдвиги
ГРУППА ЕДИНИЦ
133
§ 4]
содержащегося в С подмножества
на векторы Z(e)e@ (для всех единиц е из D) покроют все под-
пространство S, а это, как уже было сказано, и доказывает тео-
рему 5.
Как уже отмечалось в и. 5 § 3, теорема Дирихле означает,
что группа единиц всякого порядка £) в поле алгебраческих чи-
сел степени п = s + 2t представляется в виде прямого произведе-
ния одной конечной и s +1 — 1 бесконечных циклических групп.
Если s + t = 1 (а это имеет место лишь для поля рациональ-
ных чисел и мнимого квадратичного поля), то г = 0. В этом слу-
чае решетка ® состоит только из нулевого вектора, а группа
единиц порядка £) исчерпывается конечной группой корней из 1.
Единицы et, ..., ег, существование которых устанавливается
теоремой Дирихле, называются основными единицами порядка £).
Из рассуждений, проведенных в п. 5 § 3, ясно, что единицы
8Ь .,ег являются основными тогда и только тогда, когда векто-
ры Z(e 1), ..., Z(er) образуют базис решетки 6. Отсюда легко сле-
дует, что единицы
Вг = 1 . . . 8r , 1 Г
(где — произвольные содержащиеся в £) корни из 1) будут
также основными в том и только в том случае, если целочислен-
ная матрица (ау) унимодулярна.
Замечание. Изложенное доказательство теоремы Дирихле
не является эффективным в том смысле, что оно не дает алго-
ритма для отыскания какой-либо системы основных единиц по-
рядка £>. Эта неэффективность вызвана тем, что в наших рассуж-
дениях участвовала полная система неассоциированных чисел
«!, ..., ак, нормы которых не превосходят некоторого числа Q.
Существование же такой системы чисел доказано нами неэффек-
тивно (теорема 5 § 2), как об этом уже говорилось. К вопросам
эффективности мы вернемся в следующем параграфе.
Теорема Дирихле (так же, как и теорема 2 § 3) справедлива,
разумеется, и для максимального порядка © поля К. Основные
единицы максимального порядка £) называют также основными
единицами поля алгебраических чисел К.
4. Регулятор. Согласно построениям пп. 3 и 4 § 3 с каждым
порядком £) поля алгебраических чисел К степени п — s + 2t
связывается решетка (S размерности г = s + f — 1 в подпростран-
стве 8 сд IRs+t. Объем v основного параллелепипеда этой решет-
ки не зависит от выбора в ней базиса, а значит, он вполне опре-
делен самим порядком £). Вычислим этот объем. Пусть Та —
основной параллелепипед решетки S, построенный на базисе
134
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
Z(ej), ..Кбг) (здесь Бц ..бг — система основных единиц поряд-
ка D). Вектор
очевидно, ортогонален к подпространству fi и имеет единичную
длину. Ясно, что r-мерный объем v = v(T0) равен (s + £)-мерному
объему параллелепипеда Г, построенного на векторах l0, IXei), ...
..., Z(er). Поэтому в силу формулы (1) объем v равен абсолютной
величине определителя, строчки которого составлены из компо-
нент этих векторов. Если в последнем определителе мы все
столбцы прибавим к столбцу с номером i, а затем, воспользовав-
шись свойством (18) § 3, разложим его по этому столбцу, то
получим ____
v = Vs + t R,
где R — абсолютная величина одного из миноров r-го порядка
матрицы
Из наших рассуждений вытекает, в частности, что все миноры
r-го порядка последней матрицы по абсолютной величине равны
между собой и не зависят от выбора системы основных единиц
8i, ..., ег. Число R (так же, как и и) зависит, следовательно, толь-
ко от £). Оно называется регулятором порядка £).
Регулятор максимального порядка £) называется также регу-
лятором поля алгебраических чисел К. (Для поля рациональных
чисел и мнимого квадратичного поля регулятор, по определению,
равен 1.)
Задачи
1. Доказать, что неравенство v (X) > 2" А в лемме Минковского нельзя
заменить более слабым. Для этого построить выпуклое ограниченное цент-
рально симметричное множество X с объемом и (X) = 2ПД, не содержащее,
кроме начала, никаких других точек решетки.
2. Пусть а — вещественное положительное число. Доказать, что объем
множества X с С8'', состоящего из точек х, для которых
| г11 + • • • + | | j/"j/J 4-z® + ... + 2 j/”< a
(в координатах (4) § 3), равен
v(X) =2S(—Y — an.
\2 J nl
Проверить, далее, что мдожество X ограничено, центрально симметрично и
выпукло,.
§ 4]
ГРУППА ЕДИНИЦ
135
3. Пусть а и Ь — натуральные числа, не являющиеся квадратами. Пока-
зать, что основная единица порядка {1, /а} поляО(~|/а) является также и
основной единицей порядка {1, fa, У—6, УаУ—6} в поле Q (1^а, 1/— b)-
4. Показать, что группа единиц произвольного порядка © является под-
группой конечного индекса в группе единиц максимального порядка О.
5. Пусть единицы т)1, ..., т)г (г = « + t — 1) порядка © таковы, что век-
торы ..., Цт]г) линейно независимы. Показать, что тогда группа, со-
е, е-
стоящая из единиц вида Ц/ ... с целыми рациональными с{, являет-
ся подгруппой конечного индекса в группе всех единиц порядка О.
6. Пусть ci, ..., сп — вещественные положительные числа и (ai3) — ве-
щественная неособенная матрица порядка п. Доказать, что если <4 ... сп >
> d = | det (аа) |, то существуют такие целые рациональные a:i, ..., хп, не
равные нулю одновременно, что
Указание. Убедиться, что в пространстве Rn множество точек
(яч, ..., хп), удовлетворяющих последним неравенствам, ограничено, цент-
1 „
рально симметрично, выпукло и имеет объем 2 с± ... сп. Применить за-
тем лемму Минковского о выпуклом теле.
7. Пусть ац (1 i к, 1 п) — целые рациональные и
(1 i к) — натуральные' числа. Доказать, что в пространстве R” сово-
купность целочисленных точек (xi, ..хп), для -которых
п
2 (mod
j=i
i k,
образует полную решетку, объем основного параллелепипеда которой не
превосходит mi ... mh.
8. Пусть а, Ь, с — отличные от нуля целые рациональные числа, по-
парно взаимно простые и свободные от квадратов, и пусть ]abc] = 2*pi...
...р, (pi—нечетные простые числа, Л равно 0 или 1). Предположим, что
форма ах2 -|- by2 -|- cz2 представляет нуль во всех полях д-адических чисел.
Доказать, что тогда существуют такие целочисленные линейные формы
7-1, ..., L,, L', L" от трех переменных, что для целых и, v и и> будет выпол-
няться сравнение
аи2 -J- bv2 + cw2 = 0 (mod4|a6c|),
если только
Li (и, v, w) = 0 (modрД, 1 i s,
L'(u, v, w) = 0 (mod21+x),
L" (u, v, w) = 0 (mod 2).
(*)
9. Сохраним условия предшествующей задачи и обозначим через 2В ре-
шетку целочисленных точек (u, v, w) е IR3, удовлетворяющих сравнени-
ям (*). Согласно задаче 7 объем основного параллелепипеда решетки 2Я не
превосходит 4 | abc |. Обозначим, далее, через X эллипсоид
jajx2 Ibjy2 lejz2 <Z 4 label,
л 32 ,
объем которого, как легко подсчитать, равен-g- л I abc |. Применив к решет-
136
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
ке Нй и эллипсоиду X лемму Минковского о выпуклом теле, доказать, что
форма ах2 + by2 + cz2 представляет нуль рационально. (В этом доказатель-
стве теоремы Минковского — Хассе для форм от трех переменных не исполь-
зован факт неопределенности формы.)
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел
полными разложимыми формами
1. Единицы с нормой +1. В § 2 п. 3 мы видели, что для реше-
ния задачи о нахождении в некотором полном модуле чисел с за-
данной нормой имеют значение лишь те единицы 8 его кольца
множителей £), для которых Me) = +1. Такие единицы, очевидно,
также образуют группу. Займемся изучением структуры этой
группы.
Предположим сначала, что степень п поля К нечетная. В этом
случае в кольце £) имеется только два корня из 1, а именно ±1
(задача 2 § 3). Если для некоторой единицы мы имеем
Me) = —1, то
M-е) = М-1)Ме) = (-!)"(-!) = 1.
Пусть Si, ..., 8r (r = s + £ —1) — произвольная система основных
единиц кольца £). Может случиться, что среди в,- имеются еди-
ницы с нормой — 1. Заменяя все такие единицы 84 на -8,-, мы
получим, очевидно, новую систему основных единиц т)хт ..., гр,
причем для них будем уже иметь Мщ) = 1 при всех i = l, ...
..., г. Норма произвольной единицы е = + гр1 .. . л/будет равна
теперь М±1) — (±1)" = ±1. Следовательно, все единицы
для которых Me) = 1, имеют вид
а1 ^77
8 = Тр1 . . . 1]г , Яг е
Пусть теперь п — четное число. Покажем, что в этом случае
норма всякого корня из 1, содержащегося в К, равна +1. Для
корней ±1 это очевидно. Если в К содержится комплексный ко-
рень £ из 1, то s = 0, а значит, все изоморфизмы поля К в поле
комплексных чисел разбиваются на пары сопряженных между
собой комплексных изоморфизмов и для каждой такой пары о и
о имеем o(g)o(^) = |о(^)I2 = 1. Согласно доказанному в п. 3 § 2
Дополнения получаем, следовательно, что МЕД = 1, и наше ут-
верждение доказано.
Пусть опять 81, ..., 8Г — произвольная система основных еди-
ниц кольца £). Если Ме<) = 1 при всех i = 1, ..., г, то в этом
случае норма всякой единицы 8^0 будет равна +1. Предполо-
жим теперь, что
Me,) = 1, ..., Me*) = 1, Ме*+1) = -1, ..., Mer) = -1,
где к < г. Полагая
Ц1 . . ., Т)* 8*, Ц*4-1 =е 8*4-18,, . . ., Цг—1 8г— 18г,
§ 5]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНЫМИ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
137
мы получаем новую систему основных единиц ц,, ..цг-1, е„
причем 2V(rp) = 1 (Ki<r—1). Посмотрим, при каком условии
норма единицы 8= (яи • • •» ar-i, & е Z)равна +1.
Так как 2V(e) = (—I)6, то 2У(б) = +1 тогда и только тогда, когда
показатель Ъ четный, т. е. Ъ = 2<zr. Мы получили, таким образом,
что при четном п произвольная единица 8 еО с нормой +1 имеет
вид (в случае существования единицы с нормой —1)
8 = ^1\..т£?п“г, а4е2(
гДе Л г = ег, а £ — произвольный содержащийся в £) корень из 1.
Итак, если в порядке £) известна система основных единиц,
то мы можем найти также и все единицы с нормой +1.
2. Общий вид решений уравнения ЛДц) = а . Сопоставляя
вместе следствие теоремы 5 § 2 с результатом п. 1, приходим
к следующему утверждению, дающему нам полное представление
о совокупности решений уравнения (7) § 2.
Теорема 1. Пусть М — полный модуль в поле алгебраиче-
ских чисел К степени n = s + 2t, £) — его кольцо множителей и
а — отличное от нуля рациональное число. В порядке £) суще-
ствуют такие единицы тц, ..., (г = s + t — 1) с нормой +1,
а в модуле М — такая конечная (.возможно, и пустая) система
чисел Ц1, ..., Цл с нормой а, что всякое решение и.<^М уравнения
N(.p.) = а (1)
однозначно представляется в виде
ai аг
р = . т]г при п нечетном,
$• °г
р = PiOli • • • Лг пРи п четном.
Здесь щ — одно из чисел |л1; ..., pift, £ — корень из 1 и alt ...
..., аг — целые рациональные числа.
Взяв в случае четного п совокупность всех произведений
за новую систему чисел щ, мы получим и в этом случае для ре-
шений ц представление в таком же виде, как и при нечетном п.
Во всяком порядке мнимого квадратичного поля существует
лишь конечное число единиц (так как r = s + t— 1=0). Следова-
тельно, в этом случае уравнение (1) имеет не более конечного
числа решений. Если же К отлично от мнимого квадратичного
поля (и, конечно, от поля рациональных чисел), то г>0 и, сле-
довательно, уравнение (1) либо вообще не имеет решений, либо
имеет их бесконечно много.
Замечание. Теорема 1 указывает нам, каким является
многообразие решений уравнения (1), однако она не дает способа,
как все эти решения на самом деле найти. Для практического ре-
.шения уравнения (1) мы должны иметь эффективный способ на-
хождения системы основных единиц порядка £) и полного набора
138
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. И
в модуле М попарно не ассоциированных чисел с дан-
ной нормой. В следующих пунктах мы покажем, что обе эти за-
дачи действительно могут быть решены в конечное число дей-
ствий. Следует, однако, предупредить, что излагаемый в пп. 3 и 4
общий метод эффективного построения основных единиц и чисел
модуля с данной нормой мало пригоден для практического ис-
пользования ввиду чрезвычайно большого объема необходимых
вычислений. Нашей целью является лишь доказательство прин-
ципиальной возможности провести построение в конечное число
шагов. В ряде конкретных примеров, используя дополнительные
соображения и учитывая специфику данного частного случая,
обычно удается найти более простой путь. Так, в § 7 в качестве
примера мы изложим довольно простой способ решения наших
задач для случая квадратичных полей.
Здесь стоит отметить, что ие всегда для заданного семейства
диофантовых уравнений существует алгоритм, с помощью кото-
рого можно было бы найти решения любого из уравнений семей-
ства или хотя бы ответить на вопрос, существуют ли решения.
В свое время подразумевалось, что для диофантовых уравнений
должен существовать способ, позволяющий при помощи конечно-
го числа операций установить, разрешимо ли заданное уравнение
в целых рациональных числах. Задача отыскания такого способа
и составила содержание известной 10-й проблемы Гильберта
(1900 г.). Однако в 1970 г. Ю. В. Матиясевич установил, что эта
проблема имеет отрицательное решение, т. е. не существует ал-
горитма (в точном математическом его понимании), который
позволял бы по произвольному диофантову уравнению узнавать,
имеет ли оно решение в целых числах. Более того, можно по-
строить однопараметрическое диофантово уравнение от 22 пере-
менных, для которого нельзя указать алгоритм, отвечающий (при
каждом значении параметра) на вопрос, существуют целочислен-
ные решения или нет. Доступное изложение решения 10-й про-
блемы Гильберта можно найти в статье [18].
3. Эффективное построение системы основных единиц. Обо-
значая через о„ ..., о„ все изоморфизмы поля алгебраических
чисел К в поле комплексных чисел, докажем предварительно сле-
дующую лемму.
Лемма 1. Пусть с,, ..., с„ — произвольные вещественные
положительные числа. В каждом полном модуле М поля К суще-
ствует только конечное число чисел а, для которых
IcJaJICci, ..., Ion(a)l<c„, (2)
и все эти числа а могут быть эффективно перечислены.
Доказательство. Выберем в М какой-нибудь базис
ai, ..., an (если модуль М задан системой образующих, не явля-
ющейся базисом, то, следуя доказательству теоремы 1 § 2, мы
можем в конечное число шагов построить также и базис М).
§ 5]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНЫМИ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
139
Всякое число а из М может быть представлено тогда в виде
а — atai + ... + апа„ (3)
с целыми рациональными а,. Построим для базиса аь а»
взаимный базис . ..,апполя К (см. Дополнение, § 2, п. 3) и
найдем вещественное число А > 0, для которого
I (“*) I < А (4)
при всех i и j. Умножая (3) на а*, и переходя к следу, мы по-
лучим
п
aj = Spaa* = У, (a) Oj(aj ).
i=l
Если теперь a e M удовлетворяет условию (2), то ввиду (4) для
коэффициентов а} получаем оценку
ci- (5)
i=l i=l
Для целых а, мы имеем, следовательно, лишь конечное число зна-
чений. Выписав все числа вида (3) с условием (5), мы легко вы-
делим из них те, которые удовлетворяют неравенствам (2).
В дальнейшем до конца этого параграфа мы будем пользо-
ваться теми же понятиями и обозначениями, что и в двух пред-
шествующих параграфах.
Возможность эффективного построения системы основных еди-
ниц в произвольном порядке поля алгебраических чисел основы-
вается на следующей теореме.
Теорема 2. Для каждого порядка £) поля алгебраических
чисел К может быть указано такое вещественное число р > О,
что в шаре радиуса р логарифмического пространства Rs+/ обя-
зательно содержится хоть один базис решетки (S. (изображающей
единицы порядка £)).
Покажем, что эта теорема действительно дает нам метод по-
строения основных единиц порядка £). Если логарифмическое
изображение Z(s) единицы содержится в шаре радиуса р, то
| о* (е) | < еР (l<A<s), | o5+j (е) | < е₽/2, (6)
По лемме 1 число единиц е е О, удовлетворяющих этому условию,
конечно, и все они на самом деле могут быть выписаны (для
выделения единиц среди чисел порядка D следует воспользовать-
ся теоремой 4 § 2). Из найденных единиц составим всевозможные
бистемы ei, ..., б, по г = s + t — 1 единиц, для которых векторы
«61), Z(er) линейно независимы. Согласно теореме 2 хоть одна
из этих систем будет системой основных единиц порядка £). Что-
бы узнать — какая именно, следует для каждой системы et, ...
140 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
..Ег вычислить объем параллелепипеда, построенного на векто-
рах Z(ej), Кег). Та система, для которой этот объем наимень-
ший, и будет, очевидно, системой основных единиц.
Доказательство теоремы 2 очевидным образом вытекает из
нижеследующих двух лемм, относящихся к решетке 6. При их
доказательстве следует помнить, что мы всегда можем перечис-
лить все точки этой решетки, находящиеся в заданном ограни-
ченном множестве. Для этого нужно заметить, что ограничения
координат точки Z(e) дают ограничения типа (6) для единицы е,
а все такие единицы, согласно лемме 1, мы можем перечислить.
Вообще мы будем говорить, что решетка 2R нам задана эффектив-
но, если известен алгоритм для перечисления всех ее точек, на-
ходящихся в заданном ограниченном множестве.
Лемма 2. Если полная решетка 2Л в m-мерном пространстве
Rm задана эффективно и если известен объем А ее основного
параллелепипеда, то можно указать такое число р, что среди век-
торов х е 2)1, лежащих в шаре радиуса р, находится базис ре-
шетки 2R.
Доказательство. Если тп — 1, то можно положить р = 2А.
В общем случае доказательство леммы проведем индукцией по т.
Выберем в какое-нибудь ограниченное, центрально симмет-
ричное и выпуклое тело, объем которого больше, чем 2™А. Со-
гласно лемме Минковского (§ 4, п. 2) в этом теле имеются не-
нулевые векторы решетки 2)1. Выберем среди них такой вектор и,
что и ¥= пх ни при каком г-Ж и целом п > 1. Обозначим через
8' подпространство, ортогональное к вектору и, и через 2R' —
проекцию решетки 2R на 8'. Если х' е 2R', то при некотором
х е 2R имеем х = gu + х' с вещественным %. Для любого целого к
вектор х — ки также принадлежит 2)1, поэтому вектор х из 2Л
(с данной проекцией ж') мы можем выбрать так, чтобы |£| < 1/2.
Для такого х будем иметь
IM2 = №ll2 + h'II2 <4II “II2 + h'H2-
Это неравенство показывает, что все векторы х’ е 2Л' из ограни-
ченной области являются проекциями векторов х е 2)1 также из
ограниченной области, а значит, вместе с 2R решетка 2)1' задана
нам эффективно. Если и2, ..., ит — векторы из 2)1, проекции ко-
торых и2, ..., ит образуют базис 2)?', то система и, и2, ..., ит,
как легко видеть, будет базисом 2R. Отсюда следует, что объем
основного параллелепипеда решетки 2R' равен A/llull и, значит,
тоже нам известен. По индуктивному предположению мы можем
найти такое число р', что в 2)1' имеется базис и2, ..., ит, для ко-
торого || Щ || < р' (г ='2, ..., т). По доказанному векторы и2, ...
ит из 2Л можно выбрать так, чтобы
/ < \ 1/2
kil<(4M2 + p'2J-•-
S 5]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНЫМИ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
141
Таким образом, в шаре радиуса
{ (1 Х^Х
р = maxyu|| +1, ^-i-ЦиЦ2 + p'2J j
для решетки 2R имеется базис к, н2, ..ит, а это и составляет
утверждение леммы 2.
Для доказательства теоремы 2 нам достаточно теперь оценить
сверху объем основного параллелепипеда решетки ®.
Лемма 3. Объем v основного. параллелепипеда решетки (S
удовлетворяет неравенству
С (In < С (In 0S+W 2 а”,
a<Q
/ 2 У /----
где Q = I — I У | D\ + 1 (D — дискриминант порядка D), N — чис-
ло попарно не ассоциированных чисел а += 0 порядка £), для ко-
торых |АДа)1 < Q, и С — некоторая константа, зависящая только
от s + t (а пробегает все натуральные числа, меньшие Q).
Доказательство. Воспользуемся здесь обозначениями
доказательства теоремы 5 § 4. Так как |£>| =2!А (теорема 2 § 4),
то указанное в лемме число Q удовлетворяет неравенству (5) § 4.
Все сдвиги подмножества U в й на векторы решетки ® заполня-
ют 8, поэтому согласно лемме 1 § 4 имеем
v^v(U). (7)
Множество U получено из Y паралельным переносом. Далее, Y
есть объединение подмножеств Yai (лежащих в гиперплоскости
£). Отсюда следует, что
N
н(С7) = н(У)<2 п(Уа.). (8)
Займемся вычислением (s +1 — D-мерпого объема тела Ya
a ¥=0, |ATa)l =a<Q). Это тело определяется условиями:
Xi + ... + Zs+( = In Q, X*>Z*(a) (l^A^s + i). Подвергнем его
сдвигу на вектор —Да). Так как Д(а) + ... + Д+((а) = 1па, то при
таком сдвиге тело Ya перейдет в тело X, которое определяется
условиями: + ... + = ln-j-и > 0 (1 =5 k С s +t). Обозна-
чим через С объем тела Хо, определяемого условиями: .
... + Х,+< = 1 и кл>0 (l^k^s + t). Ясно, что С зависит только
от s + t. Тело X получается из Хо растяжением в In (<?/a) раз.
Следовательно,
V (Ya) = V (X) = С (In (9)
Неравенства (7) и (8) в сочетании с формулой (9) приводят нас
к первому неравенству леммы. Для доказательства второго нера-
142
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
венства остается лишь заметить, что в кольце D существует не
более ап попарно не ассоциированных чисел, нормы которых по
абсолютной величине равны а (см. доказательство теоремы 5 § 2).
4. Числа модуля с данной нормой. Обратимся теперь к воп-
росу об эффективном построении в модуле полного набора попар-
но не ассоциированных чисел с данной нормой.
Зафиксируем в кольце множителей © полного модуля М ка-
кую-нибудь систему основных единиц et, ег. Векторы Де,), ...
..., Z(&r) вместе с вектором Д = (1, .1) образуют базис лога-
рифмического пространства Rs+f, поэтому для всякого
вектор Z(p) может быть представлен в виде
I (и) = U + 2 Ы (в.) (Ю)
1=1
с вещественными коэффициентами £, .., |г. Ввиду формул
(17) и (18) § 3 для коэффициента £ имеем формулу
^ = -^-1п|Л7(И)|.
Каждое вещественное число мы можем представить в виде
— + где ki — целое и 1^1 ^1/2. Для ассоциированного с ц.
числа у/ = ЦЩ 1 .. . ег г разложение (10) имеет вид
/ (И') = гтт 4 + У11 (О + ...+и (еД,
где а = 12V(p)| = |2V(p/)l. Мы получили, таким образом, что
в Rs+* имеется ограниченное множество, обладающее тем свой-
ством, что для всякого ц. е М с условием |Мц,)|=а существует
ассоциированное с ним число р/, логарифмическое изображение
которого содержится в этом множестве. Для чисел ц.' мы имеем,
следовательно, оценки типа (2). Согласно лемме 1 мы можем явно
выписать все числа из М, для которых имеют место эти оценки.
Выделяя из них все числа с заданным значением нормы IV(p')
и оставляя затем для ассоциированных между собой чисел только
по одному представителю, мы и получим, очевидно, систему по-
парно не ассоциированных чисел щ из М с данной нор-
мой, обладающую тем свойством, что всякое цеД! с той же нор-
мой ассоциировано с одним из них.
Результаты этого параграфа указывают нам, таким образом,
метод, с помощью которого в конечное число операций можно
найти в полном модуле все числа с данной нормой (или устано-
вить их отсутствие). Тем самым нами до конца решена также за-
дача о целочисленных представлениях рациональных чисел пол-
ными разложимыми формами.
s 6] КЛАССЫ МОДУЛЕЙ 143
V
Задачи
1. Пусть в целое рациональное число d, свободное от квадратов, входит
по крайней мере одно простое_число вида 4&_+ 3. Доказать, что тогда норма
всякой единицы порядка {l^Vd} поля <Q (Д/d) равна +1.
2. Показать, что_5 + 2у6 является основной единицей в максимальном
порядке поля Q(j/6)-
3. Найти все целочисленные решения неопределенного . уравнения
Зж2 — 4г/2 = 11.
4. Показать, что в кубическом полеО(0), 03= 6, число е = 1— 60 + 30*
является основной единицей.
§ 6. Классы модулей
В связи с той ролью, которую играет понятие модуля в рас-
сматриваемых нами вопросах, важно составить себе более полное
представление о многообразии всех полных модулей данного поля
алгебраических чисел К. Число всех таких модулей, очевидно,
бесконечно. Среди них имеются, однако, модули, свойства кото-
рых очень близки друг к другу. Это подобные модули, определен-
ные в § 1, п. 3. Мы видели, что подобные модули имеют одно
и то же кольцо множителей (лемма 1 § 2) и что задачи нахож-
дения чисел с заданной нормой в подобных модулях эквивалент-
ны (§ 1, п. 3). Ввиду этого естественно объединить все подобные
модули в один класс и исследовать множество классов подобных
модулей. В этом параграфе мы докажем, что в поле алгебраиче-
ских чисел К существует только конечное число классов подоб-
ных модулей, имеющих заданный порядок © своим кольцом мно-
жителей. Этот результат, как и теорема Дирихле о единицах,
принадлежит к числу самых основных фактов теории алгебраи-
ческих чисел. Доказательство его, как и доказательство теоремы
о единицах, основывается на лемме Минковского о выпуклом
теле. Другим важным вспомогательным средством будет поня-
тие нормы модуля.
1. Норма модуля. Рассмотрим произвольный полный модуль
М в поле алгебраических чисел К степени п и через © обозна-
чим его кольцо множителей. Выберем в © какой-нибудь базис
©!, ..., й„ и в модуле М — базис щ, ..., р„. Матрица перехода
А = (а«) от первого базиса ко второму, т. е. матрица, определя-
емая равенствами
п
Pj = 2 ауо),, 1 у п, ац s Q, (1)
i=l
зависит, конечно, не только от модуля М, но и от выбора базисов
<»1 и fa. Пусть соц ..., (оп и щ, ..., цп — другая пара базисов мо-
дулей © и М соответственно, и пусть
п
ру = 2 ^ijcoi, ац s Q.
144 * ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. 11
4
Матрица Аг = (яу) связана с матрицей А соотношением
At = CAD, (2)
где С = (су) и D = (йу) — целочисленные унимодулярные мат-
рицы, определяемые равенствами:
п п
(Oj = CyCOj, Pj = Cy, d'lj
i=l
(матрица перехода от одного базиса модуля к другому всегда, как
мы знаем, унимодулярна). Таким образом, с модулем М инвари-
антно связанными будут только такие выражения от элементов
матрицы А, которые инвариантны при замене А на At по формуле
(2). Полной системой таких инвариантов являются так называе-
мые инвариантные множители рациональной матрицы А. Мы
будем рассматривать простейший из них — абсолютную величину
определителя detA Его инвариантность очевидна:
(det = Idet Cl • Idet A | • Idet D\ = (det A!.
Определение. Пусть M — полный модуль в К и £) — его
кольцо множителей. Абсолютная величина определителя мат-
рицы перехода от базиса кольца £> к базису модуля М называет-
ся нормой модуля М и обозначается через N(M').
Согласно формуле (12) § 2 Дополнения дискриминанты D =
= D(p.1, ..., ц„) и Da = Z>(coi. базисов ц,- и ст (т. е. дискри-
минанты модулей М и £>, см. п. 5 § 2) связаны между собой со-
отношением D = Z)s(detА)2. Введенное понятие нормы позволяет
переписать эту формулу в виде
D — DaN(M')\ (3)
Для модулей, содержащихся в своем кольце множителей, мат-
рица (яу), определенная разложениями (1), очевидно, целбчис-
ленна, а потому норма таких модулей является целым числом.
Смысл нормы модуля в этом случае выясняется следующей тео-
ремой.
Теорема 1. Если полный модуль М содержится в своем
кольце множителей £), то его норма N(M) равна индексу (О: М).
Эта теорема является частным случаем следующего утверж-
дения.
Лемма 1. Если Мо — абелева группа без элементов конечного
порядка ранга п, а М—ее подгруппа того же ранга п, то индекс
: М) конечен и равен абсолютной величине определителя мат-
рицы перехода А от какого-нибудь базиса Мо к произвольному
базису М.
Доказательство. Пусть ..., со» — произвольный базис
М*. Согласно теореме 2 § 2 в подгруппе М существует базис
S 61
КЛАССЫ МОДУЛЕЙ
145
T)i, ..Т)„ вида
Т)1 = СиСЙ! + С12С02 + . . . + С1п(0„,
Т)г = С22<Г>2 4" ... 4" С2п(0п,
п» =
Спп (0п>
где сч целые рациональные и с«>0 (l^i^re). Очевидно, что
Idet^l не зависит от выбора базисов в Ма и в М, поэтому
I det АI = сис22... Спя-
Рассмотрим элементы
х.сщ 4-... 4- хп(йп, 0=СХг<сй, (4)
и покажем, что они образуют полную систему представителей из
классов смежности группы Мо по подгруппе М. Пусть а =
= ajCOi 4- ... 4- апа)п — произвольный элемент из 4/0- Разделим at
на си с остатком: at = Citqt 4- xit 0 «5 Xt < Си. Тогда
а — ОУП! ~ ж1®1 = а2®а 4- ... 4- а’па>п-
Если теперь мы разделим на на с22 с остатком: «2 = c22q2 + х2,
О sS х2 < с22, то будем иметь
“ — 2141 — — A®i ~ ^2®2 = «з®з 4- ... 4- «п®п-
Повторяя этот процесс п раз, мы придем в конце концов к ра-
венству
а — <71V]I — ... — ?пТ]я — Л71СО1 — ... —х„соп = О,
в котором <?, и Xt целые рациональные, причем 0 xt < сы. Так
как щтр 4-... 4- <7„т]п принадлежит М, то последнее равенство
означает, что а и элемент XjCOi 4-.. .4- хпа>п вида (4) принадлежат
одному и тому же классу смежности по подгруппе М. Этим дока-
зано, что в каждом классе смежности Мо по М имеется предста-
витель вида (4). Остается еще проверить, что различные элемен-
ты вида (4) содержатся в разных классах смежности. Допуская
противное, предположим, что разность двух различных элементов
х1ю1 4-... 4- х„соп и ceiGJj + ... + xn®n из системы (4) принадлежит
М. Обозначим через s наименьший индекс (1s£s<h), для ко-
торого xs^=xs. Тогда
(xs — Xs) <os 4- ... + (хп — х'п) (On = 4- ... 4- Мп
с целыми bi. Подставляя сюда вместо Т)*, ..., т]п их выражения
через (щ и сравнивая коэффициенты при со{ в обеих частях равен-
ства, легко находим последовательно, что bt = 0, ..., bs-{ <— 0 и,
далее, что cubs = xs — ха. Последнее равенство, однако, при це-
146 TTPF.TTriT A RЛЕНИИ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ (ГЛ. II
лом Ь, невозможно, так как 0 < |xs — х* css. Таким образом, эле-
менты (4) действительно образуют полную систему представите-
лей из классов смежности Ма по М. Так как их число конечно
и равно сис22.. • с„п — IdetH. I, то лемма 1 и теорема 1 доказаны.
Теорема 2. Нормы подобных полных модулей М и аМ
связаны между собой соотношением
N(a,M)== \N(a,)\N(M).
В частности, для модулей, подобных порядку D, имеем
Л7(а©) = W(a)l.
Доказательство. Если щ, ..— базис Л/, то в каче-
стве базиса для аМ можно взять числа ар,, ..apn. Норма числа
ЛЧа) есть определитель матрицы перехода С от базиса ри к ба-
зису ар,; (см. Дополнение, § 2, п. 2). Согласно лемме 1 § 2 моду-
ли М и аМ имеют одно и то же кольцо множителей £). Обозначим
через А и At матрицы перехода от базиса кольца © к базисам
gi и ар, соответственно. Тогда Л, = АС, и мы получаем
Mad/) = |бе1Л1| = |бе1ЛI • IdetCl = AO/)IMa)l.
Второе утверждение теоремы следует из того, что ЛЧ©) = 1.
2. Конечность числа классов. Мы переходим к доказательству
основной теоремы этого параграфа. Оно будет опираться на две
леммы.
Лемма 2. Для любого полного модуля М, в поле К и лю-
бого его полного подмодуля М2 существует только конечное число
промежуточных модулей М (т. е. модулей, удовлетворяющих ус-
ловию Mi => М => МД.
Доказательство. Выберем какую-нибудь систему пред-
ставителей ..., § = (Л/1:Л/’2), в классах смежности Mi по
подгруппе Мг. Если ол, ..., an — базис М2, то каждый элемент
0еМ, однозначно представляется в виде 0 = + Cja, + ... + cnan,
где — некоторый из представителей а cf, ..., сп — целые ра-
циональные числа. Пусть 0Ъ ..., 0„ — базис промежуточного мо-
дуля М. Для каждого 0;- мы имеем представление 0; — +
+ Сцо,! + ... + cnjan с целыми сй. Поэтому
М = {01; .. ., 9П} = {01, ..., 0п, «1, .. ., ссп} =
= (Ц,- • •, «!,..., ап].
Так как для наборов представителей £ ч , ..., ?/in мы имеем лишь
конечное число возможностей, то, следовательно, число промежу-
точных модулей М также конечно.
Следствие. Для любого полного модуля К и любого
натурального числа г в поле К существует лишь конечное число
модулей М, содержащих Мо, для которых (М: МД = т.
§ 6]
КЛАССЫ МОДУЛЕЙ
147
Действительно, ввиду конечности фактор-группы М/М„ им^ем
гМ <= Ма, а следовательно, — Л/о zd М zz Mq.
Лемма 3. В полном модуле М дискриминанта D поля алге-
браических чисел К степени n==s + 2t существует отличное or
нуля число а, норма которого удовлетворяет неравенству
IMa)l<(2/n)'VT0T. (5)
Доказательство. Выберем положительные вещественные
числа Ci, ..., cs+t так, чтобы
с(. • А+( = (2/n)‘V |Р| + е, (6)
где е — произвольное положительное вещественное число. Из тео-
рем 2 и 4 § 4 следует, что в модуле М существуют числа а, ¥= О»
удовлетворяющие условиям:
|o^(a)l<cft (l^fc^s), los+/a)l2 < cs+j, 1 sS j t.
Норма
2V(a) = Oi(a)... os(a)lo,+i(a)I2... lo.^Ca)!2
таких чисел по абсолютной величине не превосходит, очевидно,
произведения (6). Так как это верно при любом сколь угодно
малом е, то в М должны быть также числа a =/= 0, удовлетворяю-
щие неравенству (5).
Теорема 3. Для всякого порядка £) поля алгебраических
чисел К существует только конечное число классов подобных
модулей, для которых Q является кольцом множителей.
Доказательство. Пусть М — произвольный модуль, имею-
щий порядок © в качестве кольца множителей. Обозначим через
D дискриминант модуля М и через дискриминант порядка
©. Выберем в модуле М число а^Ос условием (5). Ввиду фор-
мулы (3) условие (5) можно переписать в виде
|2V(a)l ^(2/я)‘Ш)Ш
Так как a© а: М, то £> ci — М. Кроме того, в силу леммы 1 и
определения нормы модуля мы имеем
(± м: о) - N (4 м)-1 -1^1 < (4)' /ш
Этим доказано, что в каждом классе подобных модулей с коль-
цом множителей © имеется модуль М', для которого
t о V г___
М'=>©, /|П0|. (7)
По следствию леммы 2 в поле К имеется вообще только конечное
число модулей М' с условием (7).^Следовательно, число классов
148
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
(ГЛ. и
подобных модулей с кольцом множителей © также конечно, и
теорема 3 доказана.
Замечание. Для любых двух полных модулей Mi и М2
поля алгебраических чисел К. мы можем вполне эффективно ре-
шить вопрос о том, подобны они или нет. Для этого прежде
всего находим их кольца множителей. Если эти кольца окажутся
различными, то и М2 не подобны. Пусть Mt и М2 имеют одно
и то же кольцо множителей ©. Заменяя, быть может, один из
наших модулей подобным ему, мы можем добиться выполнения
включения Mt=>M2. Вычислим индекс (М^. М2) — а. Если аМ t =
= М2, то «е© и |ЛЧа)1=а. Найдем поэтому в кольце © пол-
ный набор попарно не ассоциированных чисел at, ..., ak, норма
которых по абсолютной величине равна а (согласно п. 4 § 5
система таких чисел находится эффективно). Если а — произволь-
ное число кольца ©, для которого lJV(a)| = a, то оно ассоцииро-
вано с некоторым а,, а поэтому = Для решения вопро-
са о подобии модулей Mi и М2 нам надо, следовательно, сравнить
модуль М2 с модулями tiiMi (l^i^k). Модули Mt и М2 будут
подобны тогда и только тогда, когда М2 совпадает с некото-
рым atMi.
Задачи
1. Показать, что в любом поле алгебраических чисел, отличном от поля
рациональных чисел, имеется бесконечно много порядков. (Следовательно,
число всех классов подобных модулей, принадлежащих всевозможным по-
рядкам, бесконечно.)
2. Используя задачу 2 § 4, доказать, что в полном модуле М с дискри-
минантом D существует число a =/= О, для которого
/ к V я! _ ----
— У|Д|
(п = s + 2t — степень поля алгебраических чисел).
3. Применяя задачу 2 к максимальному порядку поля алгебраических
чисел К степени п = s + 2t и используя формулу Стирлинга
п! = |''2ля(я/е)пев''(12п\ 0 < 0 < 1,
показать, что дискриминант Do поля К удовлетворяет неравенству
л \ 1 2П-1/6П
Т/ 2^
Таким образом, с возрастанием степени п дискриминант поля алгебраиче-
ских чисел по абсолютной величине стремится к бесконечности.
4. Показать, что дискриминант всякого поля алгебраических чисел сте-
пени п > 1 отличен от ±1 (теорема Минковского).
5. Доказать, что существует лишь конечное число полей алгебраических
чисел с заданным значением дискриминанта (теорема Эрмита).
Указание. В силу задачи 3 достаточно показать, что существует
лишь конечное число полей К фиксированной степени п = s + 2t с данным
дискриминантом По- Рассмотреть в пространстве R” (состоящем из точек
(«1, ..., х,, j/It zlt ..., yt, г»)) множество X, определяемое в случае s > О
9 71
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
149
условиями
|аД < V|£>o| + 1, к*| <1,
yi + z1<1’ !</<«>
а в случае s = 0 условиями
1^1’1 <1/2, |2i| < /P0I + 1’ + 2</<t.
Применяя к множеству X и к решетке, изображающей числа максималь-
ного порядка £>, лемму Минковского о выпуклом теле, показать, что в К
существует примитивное число 0 е С, для которого характеристический
многочлен имеет ограниченные коэффициенты.
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами
В этом параграфе мы займемся несколько более детальным
изучением вопросов этой главы для случая бинарных квадратич-
ных форм. Так как всякая рациональная неприводимая форма
ах2 + Ъху + су2 разлагается на линейные множители в некотором
квадратичном поле, то наша задача связана с изучением полных
модулей и их колец множителей в квадратичных полях.
1. Квадратичные поля. Квадратичным полем называется вся-
кое расширение поля рациональных чисел Q второй степени.
Займемся прежде всего описанием этого наиболее простого класса
полей алгебраических чисел.
Пусть </=/=! — свободное от квадратов целое рациональное
число (положительное или отрицательное). Так как многочлен
t2 — d неприводим над полем рациональных чисел, то поле Q(9),
полученное из Q присоединением корня 6 этого многочлена,
имеет степень 2 над Q, т. е. является квадратичным полем. Мы
его будем обозначать в дальнейшем через Q ( ]Zd).
Легко видеть, что и, обратно, каждое квадратичное поле К
имеет только что указанный вид. Докажем это. Если а принад-
лежит К и не рационально, то, очевидно, К ==Q(a). Минималь-
ный многочлен для а над Q имеет степень 2, поэтому при не-
которых рациональных р и q имеем а2 + pa + q = 0. Положим
2 2
Р = а + -у-; тогда р3 -----q. Рациональное число ----q можно
представить в виде c2d, где d целое и свободное от квадратов.
Ясно, что d ¥= 1, ибо в противном случае р, а вместе с ним и а
были бы рациональными. Если теперь 0 = р/с, то 02 = d и К =
= Q(0), т.е. K = Q(/d).
Покажем, что для различных целых d (отличных от 1 и сво-
бодных от квадратов) поляф()А/) различны. Действительно, если
то Id' = х + yld при некоторых рациональ-
ных х и у, откуда _
d' = х2 + dy2 + 2xy1d
150
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
и, следовательно,
d' = х2 + dy2, 2ху = 0.
Если у — 0, то d' — х2, что невозможно. Если же х = 0, то d' =
== dy2 и, значит, d’ — d.
Нами доказано, таким образом, что все квадратичные поля
находятся во взаимно однозначном соответствии со всеми целыми
рациональными d Ф 1, свободными от квадратов.
2. Порядки в квадратичном поле. Числа поля Q(/d) имеют
вид + где х и у рациональные. Так как характеристи-
ческий многочлен для а равен
t2 — 2xt + х2 — dy2,
то а будет принадлежать максимальному порядку © поляО(рл</)
тогда и только тогда, когда 2ar = Sp(<z) и x2 — dy2 = N(a) целые
рациональные. Положим 2х = тп. Так как — dy2 должно быть
целым, a d свободно от квадратов, то в знаменателе рациональ-
ного числа у (при несократимой записи) может быть только 2,
2 ^2
т. е. уп/2 с целым п. Ясно, что N (а) = ---d является це-
лым лишь при условии-----------------------!
m2 — dn2 = Q (mod 4). (1)
Решения этого сравнения зависят, очевидно, от d, точнее, от зна-
чения d по модулю 4. Поскольку d свободно от квадратов, то
(mod 4), и мы имеем три возможности:
d = 1 (mod 4); d 2 (mod 4); d = 3 (mod 4).
Если d^l (mod 4), то сравнение (1) принимает вид m2^
== rd (mod 4), что эквивалентно условию m = n (mod 2), т. e.
m = n + 21, п мы получаем
m n , r-: , , 1 + Д/ d
“ = 'T + T^d==z+ ~ - 2~ " '
с целыми l и n. Таким образом, в этом случае в качестве базиса
максимального порядка D (т. е. в качестве фундаментального
базиса поля Q (]^d), см. конец § 2) можно взять числа 1 и
___1 + ~|/d
СО 2
Пусть теперь d = 2 или 3 (mod 4). Если бы сравнение (1)
имело решение с нечетным га, то из d тп2 (mod 4) следовало бы
d = 0 (mod 4) при тп четном и d — 1 (mod 4) при тп нечетном.
Это, однако, противоречит нашему предположению. Но если п
четное, то из сравнения гаг2 = 0 (mod 4) получаем, что и тп четное.
Мы получили, таким образом, что в рассматриваемом случае чис-
8 71
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
151
ло х + yld принадлежит максимальному порядку © поля Q( ]Zd)
лишь при целых х = т/2 и у = п/2. В качестве базиса порядка ©
здесь можно взять, следовательно, числа 1 и со = Vd.
В дальнейшем, говоря о базисе максимального порядка поля
C(/d), мы всегда будем иметь в виду базис 1, со, где со = 1
__________________________
при d = 1 (mod 4) и со i= I'd при d s 2, 3 (mod 4).
Рассмотрим теперь произвольный порядок © поля Q (Yd )•
Так как © содержится в максимальном порядке © (см. § 2, п. 4),
то все числа из © имеют вид х + уа> с целыми рациональными х
и у. Выберем среди них число с наименьшим положительным зна-
чением коэффициента у. Пусть это будет а + /со. Так как а, бу-
дучи целым рациональным числом, содержится в ©, то /со е ©.
Ясно теперь, что для всякого х + у со из © коэффициент у делит-
ся на /, а значит © = {1, /со}. Обратно, по лемме 3 § 2 при любом
натуральном / модуль {1, /со} является кольцом, а значит, и
порядком поля Q( Yd). Так как для различных натуральных /
порядки {1, /со} также различны, то мы получаем следующий
факт: все порядки в квадратичном поле находятся во взаимно
однозначном соответствии со всеми натуральными числами.
В дальнейшем порядок {1, /со} мы будем обозначать через ©/.
Легко видеть, что число / равно индексу порядка ©/ в максималь-
ном порядке © = ©! = {!, со}. Таким образом, каждый порядок
квадратичного поля вполне определяется своим индексом в мак-
симальном порядке.
Займемся вычислением дискриминанта Ds порядка ©/. Пред-
положим сначала, что d= 1 (mod 4). Так как Spl'd = O, то
Spco = Sp(^-±^) = l, Spco2 = Sp(^ + = ф
и, следовательно,
I Spl Sp/со | 2 f
f | Sp/ш Sp/2co2 I / /2^4“ f ‘
Если теперь d = 2 или 3 (mod 4), то
Spl Sp/Vd = 2
Sp / 1/d Sp /2d о
0
2/2d
= /2-4d.
Полученные формулы для Dt показывают нам, что каждый поря-
док в квадратичном поле однозначно определен своим дискри-
минантом.
Результаты этого пункта объединим в виде следующей тео-
ремы.
152 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
Теорема 1. Пусть d^=i— свободное от квадратов целое
рациональное число. В качестве базиса максимального порядка D
квадратичного поляО,^Уd) можно взять числа 1 и со, где а =*
— 1+33 npU d=l(mod4) и G> = 1d при d = 2, 3(mod4). Дис*
криминант Di порядка О (т. е. дискриминант поля Q ( P^d)) равен
d в первом случае и id — во втором. Произвольный порядок D
noaaQ(]^d) имеет вид £)/ = {!, /со), где /— индекс (О:©). Дис-
криминант порядка О/ равен D,f\
3. Единицы. Так как всякое число порядка С/ представляется
в виде х + у/w с целыми рациональными х и у, то по теореме 4
§ 2 мы найдем все единицы в D/, если решим неопределенное
уравнение
N(x + у fa) = ±1, (2)
т. е. уравнение
X2 + fxy + /2 ЦЗ у2 = ,± 1 (3)
при d = 1 (mod 4) и уравнение
х2 — df2y2 = ±1 (4)
при d = 2, 3 (mod 4).
Для мнимого квадратичного поля s== О, t = 1, г = s + t — 1 = О,
а это означает, что группа единиц в любом порядке этого поля
конечна и исчерпывается корнями из 1. Этот факт согласуется
также с тем, что уравнения (3) и (4) при d < 0 имеют лишь
конечное число целочисленных решений. Именно, при d — — 1,
/ = 1 уравнение (4) имеет четыре решения: х = ±1, у = 0; ж —О,
у = ±1, что соответствует корням ±1, ±i четвертой степени из 1.
При d = —3, j — 1 уравнение (3) имеет шесть решений: x = ±i,
у = 0; х = 0, у = ±1; ® = 1,- у = —1\ х = — 1, у = 1, соответствую-
. 1 .1 ”1/ 3 „ . ТТ
щих всем корням ±1, ±-ту-±—ту— шестой степени из 1. Для
всех остальных порядков мнимых квадратичных полей уравнения
(3) или соответственно (4) имеют лишь два решения: ж =
у — 0, т. е. все их единицы исчерпываются числами ±1.
Сложнее случай вещественного квадратичного поля
d > 0. Так как в этом случае s = 2, t = 0 последовательно, г =
= 1, то все единицы порядка ©у поляО(]/й) имеют вид ±е“,
где е — так называемая основная единица порядка £>,. Вопрос
здесь сводится, таким образом, к определению основной едини-
цы е. Вместе с е числа 1/е, —е, —1/е также являются основными
единицами. Можно поэтому считать, что е>1. Ясно, что усло-
вием е > 1 основная единица е определена однозначно.
Покажем, что для единицы ц > 1 из £)} в ее представлении
Я = х + у/со через базис 1, коэффициенты х и у положительны
S 7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
153
(при d — 5, f = i возможно а: = 0). Для всякого a s Q (]/d) через
а' будем обозначать сопряженное с ним число, т. е. образ а при
автоморфизме 1/d -> — Vd поляО( VЛегко видеть, что <о — ©' >
> 0. Так как ЛЧц) = т)т)'== ±1, то единица т/ равна либо 1/т),
либо — 1/т); в обоих случаях т] — ц' > 0, т. е. у/(со — со') > 0, а зна-
чит, у >0. Далее, так как |ц'| — \х + yfa'\ < 1 и /®'<—1, за
исключением случая d = 5, / == 1, то х>0 (если d = 5, /=1, то
t 1___________т/б"
— 1 <— <0 и мы получаем х S- 0).
Пусть е > 1 — основная единица порядка £)/. Для единицы
е71 = х,. + у Jс натуральным п имеем Xi > х и yi>y. Следова-
тельно, чтобы найти основную единицу е > 1, мы должны найти
целочисленное решение уравнения' (2) с наименьшими положи-
тельными значениями ж и у. Пользуясь результатами п. 3 § 5,
мы можем эти искомые значения х и у ограничить сверху неко-
торой константой С, после чего их нахождение сводится к конеч-
ному числу испытаний.
Мы покажем сейчас, что число проб, необходимых для вычис-
ления основной единицы, может быть значительно сокращено,
если воспользоваться одним фактом из теории непрерывных дро-
бей. Речь идет о теореме, утверждающей, что если для веществен-
ного | > 0 и натуральных взаимно простых х r у имеет место
неравенство
I X ~ I 1
то необходимо является одной из подходящих дробей разло-
жения числа | в непрерывную дробь.
В силу (2)
| у -4- /со | — у •
Если d=i (mod 4), то, оставив в стороне случай d = 5, /=1,
получаем
I У 2 I у2 / Ж , у Vrf + 1 \ 2у3
у \ У "И 2 )
(так как —>0 и /*;> 2]. Если же ds2, 3 (mod 4), то,
поскольку хг = fdy2 ± 1 > dy2 — 1 > yKd — 1) и d > 2, имеем
•• I 1 —4. 1
у I У (х + yf j/d) y2(Vd — 1 + ~\/d) 2у2
Согласно упомянутой теореме несократимое отношение х/у явля-
ется одной из подходящих дробей разложения иррационального
числа —/со' в непрерывную дробь. Чтобы найти наименьшее по-
ложительное решение уравнения (2), мы должны, следовательно,
154
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
испытывать лишь числители и соответствующие им знаменатели
подходящих дробей для —/и' (не превосходящие заранее вычис-
ленной константы С). Практически вычисления целесообразно
вести следующим образом. Для числа —/со' находим последова-
тельно неполные частные qk (к > 0) и сразу же — числители Р*
и знаменатели Qk соответствующих подходящих дробей. Вычис-
ления продолжаем до тех пор, пока на некотором шаге выраже-
ние N(Pk + соfQk) не окажется равным +1 или —1. Это обязатель-
но наступит при Рк<С, и основная единица е = Рк + afQk будет
найдена. (Для исключенного случая d = 5, / = 1 основной еди-
1 + "1/5
ницей будет © = —.) Проиллюстрируем сказанное двумя
примерами.
Пример 1. Чтобы найти основную единицу порядка
{1, ЗУб} поля Q ( /б) , разложим число — Зо/ = ЗУ6 в непрерыв-
ную дробь: 9 а > /54 — 6
/54 = 7 + (/54-7), 1 _9 , /54 — 3 /54-7 “ 5 ’ 5 , , /54-6 V5-4-3- 1: в-’ Одновременно заполняем таблицу: уя-5 6ь у 2 , /54-3 /54-6 ' 9 ’ __J =2 + /54-7. /54 - 3 5
К 0 1 2 3 4 5
Ч 7 2 1 6 1 2
Ph 7 15 22 147 169 485
Qk 1 2 3 20 23 66
P2k-^Qk -5 9 —2 9 -5 1
ОсновнаЯ- единица порядка {1, ЗУб} равна, следовательно
485 + 66-ЗУб =485+ 198Г6. _
Пример 2. Вычислим основную единицу поля Q ( /41)
Имеем:
/41 -1 _ „ /41-5
2 Z + 2 ’
2 , , 1/41-3
1/41-5 8 ’
8 _о , 1/41-5
/41 — 3 + 4 ’
4 9 , /41—3
1/41-5 + 4 ’
4 ~|/41-5
1/41-3 8 '
§ 7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
155
Основная единица максимального порядка поля Q ( /41)
равна, таким образом,
27 + 10 ^2+ 1 = 32 + 5/41.
4. Модули. Перейдем к изучению полных модулей в квадра-
тичных полях. Так как всякий модуль {а, р} подобен модулю
(4 р 1
11,— г, то мы можем ограничиться рассмотрением модулей вида
{1, у).
Всякое нерациональное число у из Q( /й) является корнем
некоторого многочлена at2 + Ы + с с целыми рациональными
коэффициентами. Если мы на а, Ь, с наложим условия (а, Ь, с)=
= 1 и а > 0, то для данного у многочлен at2 + bt+ с будет опре-
делен однозначно. Будем обозначать его в дальнейшем через
фт(£). Ясно, что для сопряженного числа у' имеем Ф?- (t) = фу(£)
более того, равенство <Ртг (t) = фу (£) имеет место тогда и только
тогда, когда у, равно либо у, либо у'. _
Лемма 1. Если для нерационального числа у из Q(/d)
многочлен <рт(£) равен at2 + bt + с, то кольцом множителей
О модуля М = {1, у} является порядок {1, ау} с дискриминантом
D = Ъ2 — 4нс.
Доказательство. Рассмотрим число а — х + уу с рацио-
нальными х и. у. Так как включение М равносильно тому,
что а ! = г + i/v е М и
а-у = — — + (х — —)у е М,
• а \ а } 1
то а принадлежит кольцу множителей й тогда и только тогда,
когда рациональные числа
все целые, т. е. когда х и у целые и, кроме того, у делится на а
(последнее вытекает из того, что (a, b, с) = 1). Этим доказано,
что 6 = {1, ау}. Для завершения доказательства леммы 1
156 ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. И
остается вычислить дискриминант порядка £г.
Sp 1 Sp ay I___12 — b
Spa^ Sp aay2 | I — b 6 2— 2ac
= b2, — iac.
Следствие. При тех же обозначениях норма модуля {1, у)
1
равна —•
Действительно, матрица перехода от базиса 1, ау к базису 1,
у равна
/1 0 'i
\0 1/аУ
Лемма 2. Для того чтобы модули {1, уД и {1, у) были по-
добны, необходимо и достаточно, чтобы числа Yi и У были свя-
заны соотношением
ку + I
ту Ц- п’
где целые рациональные к, I, т, п таковы, что
к I
= ± 1.
m п
(5)
(6)
Доказательство. Так как два различных базиса в одном
и том же модуле связаны между собой унимодулярным преобра-
зованием (см. § 2, п. 1), то из равенства {a, сг(Д = {1, у} сле-
дует, что
aYi = ку + I, а — ту + п,
причем целые рациональные к, I, т, п удовлетворяют условию
(6). Разделив первое из этих равенств на второе, мы и получим
(5). Обратно, пусть Yi и у связаны соотношением (5). Тогда
{1, Yi) = ^-п № + n,ky + l} = {1, т}
(равенство {ту + п, ку + /} = {!, у} имеет место в силу (6)).
Доказательство леммы 2 закончено.
Рассмотрим в поле Q( ^d) модули, принадлежащие некото-
рому фиксированному порядку О. (т. е. для которых О является
кольцом множителей). Согласно теореме 3 § 6 все эти модули
разбиваются на конечное число классов подобных модулей. Мы
введем сейчас действие умножения классов и покажем, что отно-
сительно него все классы подобных модулей, принадлежащие
данному порядку О, образуют группу.
Если М = {а, р) и Mi = {аъ рД — два модуля, то под их
произведением MMt понимается модуль {аа1} a₽t, P«i, РРД
(см. задачу 7 § 2). Очевидно, что при % 0 и ц. =/= О справедлива
формула
(7>
(кМ)(цМ1) =кц(ММ1).
§ 7 J ' ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 157
Для каждого модуля М через [М] будем обозначать класс подоб-
ных модулей, содержащий М в качестве представителя. Из ра-
венства (7) следует, что класс зависит лишь от классов
1М] я [MJ. Класс [MMJ называется произведением классов [М]
и [MJ. Чтобы перемножить два класса, надо, следовательно, вы-
брать произвольно представители в этих классах и перемножить
их. Класс подобных модулей, содержащий полученное произве-
дение, и будет произведением данных классов.
Для каждого модуля М через М' обозначим модуль, состоя-
щий из сопряженных чисел а' для всех а из М. Так как а + а' =
= Sp а рационально, то a' eQ( ]Zd), а значит, М' вместе с М
является также полным модулем поля Q ( d). Легко видеть, что
для любого порядка О сопряженный с ним модуль О' совпадает
с О. Отсюда следует, что сопряженные модули имеют одно и то
же кольцо множителей.
Докажем формулу
мм'=дчлт, (8)
в которой й обозначает кольцо множителей, a N(M) — норму
модуля М.
Предположим сначала, что модуль М имеет вид {1, у). В этом
случае, воспользовавшись обозначениями леммы 1, мы получаем
ММ1 = {1, у}{1, у'} = {1, у, у', уу'} =
= [1, у, — у-------—) = [1, у,--------] = — {а, Ь, с, яу}.
L * * а ’ а J I * а а ) а
Так как а, Ъ и с взаимно просты, то все их целочисленные ли-
нейные комбинации совпадают с кольцом целых чисел Z, и, сле-
довательно,
ММ’ = 1- {1, ay} = ± D = ДГ (М) D
(следствие леммы 1). Если теперь М — произвольный модуль, то
его можно представить в виде М = <хМ1, где М^ имеет вид {1, у).
Ввиду теоремы 2 § 6 мы получаем
ММ' = аа'ЛЛХ = N (a) N D = | N (а) | N (ЛД) О = Лг (М)
и формула (8) доказана в общем случае.
Пусть теперь М и ЛД — два модуля, принадлежащие одному
и тому же порядку О. Если О — кольцо множителей для произ-
ведения MMlt то ввиду формулы (8)
ммамму = ммм,)Б.
С другой стороны, так как умножение модулей, очевидно, комму-
тативно и ассоциативно, то, перемножив формулы ММ' — N(M)£l
158
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
и = N (MJ О, получим
ММДММУ = JVW)MJf1)O.
Сравнивая это равенство с предыдущим и замечая, что различные
порядки не могут быть подобны, приходим к равенству 0 = 0.
Попутно, в силу того что равенство аО = &О с положительными
рациональными а и Ъ возможно только при а = Ъ, мы получаем
формулу
Таким образом, если модули М и Mi принадлежат порядку О,
то их произведение ММ, также принадлежит О. Так как, далее,
для всякого модуля М с кольцом множителей О одновременно
М$й = М и = ©, то мы получаем следующий ре-
зультат.
Теорема 2. Все модули квадратичного поля, принадлежа-
щие фиксированному порядку, относительно действия умножения
модулей образуют коммутативную группу.
Из этой теоремы и теоремы 3 § 6 очевидным образом вытекает
Теорема 3. Все классы подобных модулей квадратичного
поля с данным кольцом множителей £1 образуют конечную ком-
мутативную группу.
Отметим, что теоремы 2 и 3 характерны только для модулей
в квадратичных полях и перестают быть справедливыми для мо-
дулей, принадлежащих немаксимальным порядкам произвольного,
поля алгебраических чисел (см. задачу 18 § 2).
5. Соответствие между модулями и формами. Согласно п. 3
§ 1 каждому базису а, £ полного модуля М cz d) однознач-
но соответствует бинарная квадратичная форма N(ax + $у) с ра-
циональными коэффициентами. Так как для различных базисов
в М соответствующие им формы эквивалентны, то модулю М со-
ответствует целый класс эквивалентных форм. Далее, если вместо
М взять подобный с ним модуль чМ, то все наши формы приоб-
ретут постоянный множитель Niy). Следовательно, рассматривая
формы с точностью до постоянного множителя, можно сказать,
что каждому классу подобных модулей соответствует некоторый
класс эквивалентных форм. Это соответствие, однако, не будет
взаимно однозначным. Действительно, сопряженные между собой
модули М = {а, р) и М' = {а', 0'}, вообще говоря, не подобны,
а соответствующие им формы совпадают. Аналогичное явление,
очевидно, имеет место и для разложимых форм любых степеней.
В общем случае, по-видимому, не существует естественного спо-
соба устранить это несоответствие между классами форм и клас-
сами модулей. Но для квадратичных полей, как мы сейчас уви-
дим, можно восстановить взаимную однозначность, если только
§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 15g
слегка изменить определения эквивалентности форм и подобия
модулей.
Определение. Бинарная квадратичная форма f(x, у) =
= Ах2 + Вху + Су2 с целыми рациональными коэффициентами,
называется примитивной, если общий наибольший делитель ее
коэффициентов равен 1.
Целое число В2 — 4АС называется дискриминантом примитив-
ной формы /.
Дискриминант примитивной формы, следовательно, отличает-
ся от ее определителя АС — В2/к постоянным множителем —4.
Легко видеть, что для примитивной формы всякая эквива-
лентная с ней форма будет также примитивной. При линейном
преобразовании переменных с матрицей С определитель квадра-
тичной формы приобретает множитель (det С)2, а значит, он не
меняется, если только detC = ±l. Отсюда следует, что эквива-
лентные примитивные формы имеют один и тот же дискри-
минант.
Определение. Две примитивные формы называются соб-
ственно эквивалентными, если одна из них преобразуется в дру-
гую с помощью целочисленного линейного преобразования пере-
менных с определителем +1.
Все примитивные бинарные квадратичные формы разбиваются
на классы собственно эквивалентных форм. В дальнейшем на
протяжении всего настоящего пункта, говоря о классах форм,
мы будем подразумевать, что речь идет о собственной эквива-
лентности. Часто случается все же, что две формы, эквивалент-
ные несобственно (т. е. переводящиеся друг в друга линейным
преобразованием с определителем —1), будут также и собственно
эквивалентны.
Дадим теперь новое определение подобия модулей.
Определение. Два полных модуля М и Mt в квадратич-
ном поле называются подобными в узком смысле, если = аМ
при некотором а с положительной нормой.
Так как для мнимого квадратичного поля норма всякого а ¥= О
положительна, то в этих полях понятие подобия в узком смысле
ничем не отличается от обычного понятия подобия. То же самое-
будет иметь место и в случае вещественного квадратичного поля,
если только в кольце множителей О рассматриваемых модулей
имеется единица е, для которой 2V(e) = —1. Действительно, если
Mi — aM и ЛЧа)<0, то, поскольку ъМ = М, имеем =
причем ЛТае)>0. Обратно, пусть подобие в узком смысле сов-
падает с обычным, т. е. из = аМ, ЛДа)< 0 следует сущест-
вование Р, для которого Мр)>0 и Полагая Б = оф-1,
имеем е,М = М, а это означает (см. § 2, п. 3), что е — единица
кольца множителей О, причем 7V(e) = — 1.
Таким образом, понятие подобия в узком смысле отличается
от обычного понятия подобия лишь для тех модулей веществен-
160
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ (ГЛ. II
ного квадратичного поля, в кольце множителей которых все еди-
ницы имеют норму +1. Ясно, что в этом случае каждый класс
модулей, подобных в широком смысле, разбивается в точности на
два класса в узком смысле.
Опишем теперь соответствие между классами модулей и клас-
сами форм. _
В каждом модуле М поля мы будем рассматривать
лишь такие базисы а, р, для которых определитель
удовлетворяет условию:
Д>0 при с/>0, 4~Д>0 при й<0. (10)
(Как и ранее, а' и Р' здесь обозначают числа из0(1^й), сопря-
женные с а и р. Базисы в М, обладающие свойством (10), всегда
существуют: если первый попавшийся базис а2, a2 им не обла-
дает, то достаточно ai и а2 поменять местами.)
Каждому базису а, р модуля М, удовлетворяющему условию
(10), поставим в соответствие форму
/(х. л - Лх'- + Вхя + + (11)
OV(Af)— норма модуля М). Если мы для числа у = —р/a введем
в рассмотрение <pT(i) = at2 + bt + с (см. начало п. 4), то будем,
очевидно, иметь
N (ат + Ру) = (ах2 + Ьху + су2).
С другой стороны, по следствию леммы 1 и по теореме 2 § 6
норма модуля Я = а{1, у} равна IjV(cc) 1/сг. Отсюда следует, что
коэффициенты А, В, С отличаются от а, Ь, с, возможно, лишь
знаком. Этим доказано, что форма (11) примитивна и ее дискри-
минант В2 — 4АС совпадает с дискриминантом b2 — 4ас кольца
множителей модуля М (лемма 1). Таким образом, мы имеем
отображение
{а, р) f(x, у), (12)
которое каждому базису a, р поляО( d) с условием (10) сопо-
ставляет примитивную форму f(x, у) (в случае вещественного
поля коэффициент А может быть отрицательным). Очевидно при
этом, что в случае мнимого квадратичного поля форма (11) всегда
положительно определенная, так что отрицательно определенные
формы остаются вне соответствия (12).
Теорема 4. Пусть 3R есть совокупность всех классов подоб-
ных в узком смысле модулей квадратичного поля 0(1^d) и 5 —
§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 161
совокупность всех при d>0 и положительно определенных при
d < 0 классов собственно эквивалентных примитивных бинарных
квадратичных форм, разлагающихся в 0(1/^) на линейные мно-
жители. Отображение (12) устанавливает взаимно однозначное
соответствие между 2R и при этом, если некоторый класс мо-
дулей принадлежит кольцу множителей с дискриминантом D, то
соответствующие ему формы также имеют дискриминант D.
Пусть ос, (3 и a,i, Pt — два базиса поляО(]/^), для которых
определители вида (9) удовлетворяют условию (10), и пусть этим
базисам соответствуют формы f и Для доказательства теоре-
мы 4 мы должны показать, что формы f и /, собственно эквива-
лентны тогда п только тогда, когда модули {а, [)} и {аь по-
добны в узком смысле. Далее, мы должны убедиться, что для
всякой неприводимой примитивной формы g(x, у) (раскладываю-
щейся на линейные Множители в Q ( у d) и положительно опре-
деленной, если только d < 0) существует базис a, [J с условием
(10), для которого форма (11) совпадает с g{x, у). Ограничив-
шись этим общим указанием, мы подробное проведение доказа-
тельства предоставляем читателю.
В п. 4 было определено произведение классов подобных моду-
лей. Точно таким же образом мы можем определить произведе-
ние классов модулей, подобных в узком смысле. В силу взаимно
однозначного соответствия 2Я -> % умножение классов модулей
может быть перенесено на классы форм. Так определенное дей-
ствие умножения на S носит название композиции классов форм
(термин исходит от Гаусса, который впервые это действие рас-
сматривал). Так как все классы подобных в узком смысле мо-
дулей, принадлежащие фиксированному кольцу множителей,
образуют, как легко видеть, группу, то, следовательно, все классы
примитивных форм данного дискриминанта D (положительно
определенных при D < 0) также образуют группу.
6. Представление чисел бинарными формами и подобие моду-
лей. В этом пункте мы покажем, что задача о нахождении пред-
ставлений целых чисел бинарными квадратичными формами мо-
жет быть сведена к задаче о подобии модулей в квадратичном
поле.
Пусть /(х, у) — примитивная бинарная квадратичная форма
дискриминанта Р¥=0, раскладывающаяся на линейные множи-
тели в полеО(]/^), и m — натуральное число. В случае D < 0
мы предполагаем, что форма j положительно определенная. За-
дача состоит в нахождении всех целочисленных решений неопре-
деленного уравнения
/(х, у) = т (13)
(мы ограничиваемся положительными значениями тп, так как
в случае m<0, D>Q вместо f можно рассмотреть форму —/).
162
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. И
Согласно теореме 4 форму / мы можем представить в виде
(14)
где базис а, р модуля М удовлетворяет условию (10). Отображе-
ние (х, у) -> g ±= ах + Ру устанавливает взаимно однозначное со-
ответствие между решениями уравнения (13) и числами | <= М
с нормой 7V(g) = mN(M). Два решения уравнения (13) назовем
ассоциированными, если ассоциированы соответствующие им чис-
ла из М. Легко проверить, что понятие ассоциированности реше-
ний не зависит от выбора представления (14). Обозначим через
О кольцо множителей модуля М и через С класс модулей в уз-
ком смысле, содержащий М в качестве представителя. Согласна
теореме 4 класс С однозначно определен формой /.
Предположим, что мы имеем число § е М с нормой mN(M).
Рассмотрим модуль 4 = Так как АМ = сМ-'М = <= Мг
то модуль А содержится в О. Его норма равна 2V(g)MAf)~‘ = т.
Ясно также, что А содержится в обратном классе модулей С-1.
Обратно, предположим, что в классе С-1 имеется модуль Аг
который содержится в кольце О. и имеет норму т. Тогда при не-
котором § с положительной нормой мы имеем равенство А —
- %М~', при этом g е МА <= М и JV(g) = т. Если At — другой мо-
дуль из класса С-1, содержащийся в £) и с нормой т, и если
= MgJX), то At = £1£~*А, а значит, At совпадает с А
тогда и только тогда, когда ассоциировано с
Нами доказана, таким образом, следующая теорема.
Теорема 5. Пусть форма f(x, у) соответствует классу мо-
дулей С (в узком смысле) с кольцом множителей £>. Все классы
ассоциированных решений уравнения (13) находятся во взаимна
однозначном соответствии со всеми модулями А, которые принад-
лежат обратному классу С~1, содержатся в кольце множителей
£) и имеют норму тп. Решения (х, у), соответствующие модулю
А, определяются числами |, для которых А ~ %М~‘, > 0,
где М — модуль из класса С.
Для любого натурального тп мы легко можем выписать все
модули А с кольцом множителей £), которые содержатся в D и
имеют норму тп. Пусть А — такой модуль. Обозначим через к
наименьшее натуральное число, содержащееся в А. Модуль А
мы можем тогда записать в виде
А = {к, ку} = А{1, ^}.
Образующая 'у определена здесь с точностью до знака и целочис-
ленного слагаемого. Мы можем поэтому у выбрать так, чтобы,
во-первых,
1шу>0 при й<0, 1ггу>0 при d>0 (15)
(Irry обозначает иррациональную часть числа у) и, во-вто-
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
163
§ 7]
рых, чтобы рациональная часть у содержалась в промежутке
(—1/2, 1/2]. Если для числа у мы примем обозначения леммы 1
и запишем его в виде
то второе наше условие примет вид
—а^Ь<а. (17)
В силу равенства £) = {!, ау} (см. доказательство леммы 1) и
условия А <= £> мы легко получаем, что к делится на а, т. е. к =
— as с целым s. Так как т = N (Л) = к2 — (следствие к лем-
ме 1), то
m — as2. (18)
Покажем, что найденное представление модуля А в виде
A—as{l, у}, (19)
где a, s и у подчинены условиям (18), (15) и (17), единственно.
В самом деле, если as{l, y} = a1«i{l, У1), где at, и yi подчинены
тем же требованиям, то as = a1s1 и, значит, {1, у} = {1, yj. В си-
лу следствия леммы 1 отсюда получаем равенство a = at и, сле-
довательно, s = Кроме того, так как образующая у в модуле
(1, у), удовлетворяющая условиям (15) и (17), определена одно-
значно, то у = yi.
Предположим теперь, наоборот, что по заданному т натураль-
ные числа а и s выбраны так, что выполнено равенство (18).
Если Ъ и с удовлетворяют условиям:
b2 — kac = D, (а, b, с) = 1, —а^.Ъ<а, (20)
то для числа у вида (16) модуль A = as{l, у} будет содержаться
в своем кольце множителей £) = {!, ay} и его норма будет равна
a2s2— = т.
а
Таким образом, мы будем иметь все нужные нам модули А,
если найдем все четверки целых чисел s > 0, a > 0, b, с, удовлет-
воряющие условиям (18) и (20).
Если мы располагаем алгоритмом, с помощью которого можно
решить вопрос о подобии в узком смысле любых двух полных
модулей поля Q( то, выписав все модули 4=0 с нормой т,
мы сможем выделить из них те, которые подобны модулю М~1.
Согласно теореме 5 это даст нам все решения уравнения (13).
Из теоремы 5 очевидным образом вытекает следующее утвер-
ждение.
Теорема 6. Для того чтобы натуральное число m пред-
ставлялось некоторой примитивной бинарной квадратичной фор-
164
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
мой дискриминанта D, необходимо и достаточно, чтобы в порядке
£> дискриминанта D существовал модуль А, принадлежащий
этому порядку и имеющий норму тп. Последнее равносильно
существованию целых s>Q, а > О, Ъ, с, удовлетворяющих усло-
виям: тп = as2, Ъ2 — Лас — D, (а, Ъ, с) = 1, — а С Ъ < а.
В случае, когда D есть дискриминант максимального порядка
£), второе утверждение теоремы 6 допускает упрощение. Именно,
имеет место
Теорема 7. Пусть D — дискриминант квадратичного поля
(т. е. дискриминант максимального порядка). Для того чтобы на-
туральное число m = as2, где а свободно от квадратов, представ-
лялось некоторой бинарной примитивной формой дискриминанта
D, необходимо и достаточно, чтобы было разрешимо сравнение
х2 (.mod 4а). (21)
Доказательство теоремы 7 мы предоставляем читателю.
7. Подобие модулей в мнимом квадратичном поле. В случае
мнимого квадратичного поля Q ( ]^d), d < 0, существует особенно
простой способ решения задачи о подобии модулей.
Геометрическое изображение чисел а е 0(^6/) точками про-
странства R2 (см. § 3, и. 1) совпадает с обычным изображением
комплексных чисел на плоскости комплексной переменной. Числа
полного модуля М cz Q ( изображаются при этом точками
(или векторами) некоторой полной решетки в R2. В дальнейшем
в этом пункте мы часто не будем различать комплексные числа
и их изображения на плоскости R2. В связи с этим соответствую-
щая модулю М решетка в R2 будет обозначаться также через
М. Так как .умножение всех точек решетки М на комплексное
число £ ¥= 0 сводится к повороту решетки М (вокруг начала) на
угол argg и к растяжению в |£| раз, то для подобных модулей
М и 1,М соответствующие им решетки подобны в элементарно
геометрическом смысле. На этом очевидном свойстве и будет
основано наше дальнейшее изложение.
Вопрос о подобии решеток на плоскости решается путем по-
строения в каждой из них некоторого особого базиса, называемо-
го приведенным. Приведенный базис а, Р состоит из кратчайшего
ненулевого вектора а и кратчайшего из неколлинеарных ему век-
торов р (подчиненных, сверх того, некоторым дополнительным
условиям). Покажем, что в любой решетке М такая пара век-
торов а, и р всегда образует базис. Действительно, если бы это
было не так, то в М существовал бы вектор £ = иа, + гф, у ко-
торого вещественные и и v не являются одновременно целыми.
Прибавив к этому вектору надлежащую целочисленную линей-
ную комбинацию а и [), мы можем, очевидно, добиться того, что-
бы lnl«S172 и ]н| 1/2. Если v =#=0, то по выбору [J должно
§ 7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
165
быть |g| > |р|, что противоречит неравенству
|||<|ua| + |v₽|<4l“I + 4IPKIP1-
Если же v == 0, то ||| == |иа| -у | а | < |а| вопреки выбору а.
Наше утверждение, таким образом, доказано.
Если а — какой-нибудь из кратчайших векторов, а Р — крат-
чайший из неколлинеарных ему векторов, то длина проекции
вектора [J на вектор а не превосходит -у |а|. В самом деле, среди
векторов [3 + па (п целое) существует, очевидно, вектор с длиной
проекции, не превосходящей-у | а |. С другой стороны, из векто-
ров р + па наименьшую длину имеет вектор с наименьшей про-
екцией.
Рассмотрим теперь для данной решетки М все отличные от
нуля кратчайшие векторы и их число обозначим через w. Так
как вместе с а вектор — а также будет кратчайшим, то число w
четное. Далее, угол между двумя различными кратчайшими
векторами а и а' не может быть меньше л/3, поскольку в про-
тивном случае принадлежащий решетке вектор а — а' имел бы
меньшую длину. Следовательно, w 6, а значит, для числа крат-
чайших векторов возможны лишь следующие значения: w = 2,
w = 4, w = 6.
Рис. 1.
Рис. 2.
Приступим к построению в решетке М приведенного базиса.
Если w = 2, то в качестве а берем любой из двух кратчайших
векторов. Среди векторов, неколлинеарных с а, наименьшую
длину могут иметь два или четыре вектора (см. рис. 1 и 2).
В качестве (5 мы выбираем тот из них, для которого угол ф, от-
считываемый от а к р в положительном направлении (против
часовой стрелки), наименьший. Если же w — 4 или w = 6, то в
качестве приведенного базиса выбираем пару различных крат-
166 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. II
чайших векторов а и fJ так, чтобы угол <р, отсчитываемый от а
к р в положительном направлении, был наименьшим.
Легко видеть, что приведенный базис определяется решеткой
однозначно с точностью до поворота, переводящего решетку в
себя. Именно в случаях, когда w — 2 или когда w = 4, но л/3 <
< Ф < л/2 (см. рис. 3), имеется два приведенных базиса и они
переходят друг в друга при повороте на угол, кратный л. При
w = 4, ф = л/2 (рис. 4) мы имеем дело с квадратной решеткой,
которая имеет четыре приведенных базиса, переходящих друг в
друга при поворотах на углы, кратные л/2. Наконец, при w = 6
мы имеем шесть приведенных базисов, которые переходят друг
в друга при поворотах на углы, кратные л/3 (рпс. 5; окружность
делится на 6 равных частей, так как углы между кратчайшими
векторами не могут быть меньше л/3).
Пользуясь понятием приведенного базиса, теперь уже легко
решить вопрос о подобии решеток на плоскости.
Теорема 8. Решетки М и Mi ей2 подобны тогда и только
тогда, когда подобны их приведенные базисы (т. е. переходят
друг в друга при повороте и равномерном растяжении).
Доказательство. Пусть а, [} и at, — приведенные ба-
зисы решеток М и Mt. Если %М — М\, то ga, будет, очевидно,
приведенным базисом Mi. Этот базис, как мы видели, при пово-
роте на некоторый угол должен перейти в базис at, поэтому
существует такое число ц (являющееся корнем степени 1, 2, 4
или 6 из единицы), что = at, Таким образом, базис
ah fh получается из базиса а, Р поворотом на угол arg (ц£) и рас-
тяжением в |ц£| раз, что и означает подобие этих базисов. Об-
ратное утверждение теоремы очевидно.
Перейдем к описанию классов подобных модулей мнимого
квадратичного поля. Пусть М — произвольный модуль в Q ( d),
d<0, и a, [J — какой-нибудь приведенный базис в М. Перейдем
к подобному модулю—М = {1, у}, где у = p/а. Базис 1, у здесь
§ 7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
167
также приведенный. Из определения приведенного базиса легко
следует, что число у удовлетворяет условиям:
Im 7 > 0, (22)
-1/2 < Re 7 1/2, (23)
М > 1, если —1/2 < Re у <0,
(24)
171 > 1, если 0 < Re 7 С 1/2.
Определение. Число 7 из мнимого квадратичного поля
называется приведенным, если оно удовлетворяет условиям (22),
(23) и (24). Вместе с 7 модуль {1, 7}
также называется приведенным.
Геометрически условие приведенно-
сти числа 7 означает, что его изобра-
жение на комплексной плоскости при-
надлежит области Г, указанной на
рис. 6 (выделенная часть границы,
включая точку г, причисляется к Г, ос-
тальная часть — нет).
Теорема 9. В каждом классе по-
добных модулей мнимого квадратичного
поля Q ( у d), d < 0, содержится один
и только один приведенный модуль.
Доказательство. Тот факт, что
в каждом классе имеется приведенный
модуль, уже доказан. Остается только
проверить, что различные приведенные модули не могут быть по-
добны. Для этого докажем сначала, что для любого приведенного
\ = x + yi числа 1, 7 образуют приведенный базис решетки {1, к).
Нам надо убедиться, что у есть кратчайший из векторов решетки
{1, у}, не лежащих на вещественной прямой, т. е. что IA + Z7I >
при любых целых к и /=#=0. Так как |х| 1/2, то
\к ± 7I2 = {к ± х)г + z/2 > х2 + у2 = I7I2.
Если же IZI ^=2, то
\к + 1ч\2>12у2>2у2>х2 + у2=[ч\2,
что и доказывает наше утверждение. Пусть теперь 7 и 71 — два
приведенных числа. Если модули {1, 7} и {1, 7J подобны, то по
теореме 8 базисы 1, 7 и 1, 7, подобны. Но это, как легко сообра-
зить, возможно только при 7 = 7,. Теорема 9 этим доказана
полностью.
Для полного решения вопроса о подобии модулей в мнимом
квадратичном поле нам надо еще иметь алгоритм для нахожде-
ния приведенного модуля, подобного заданному. Такой алгоритм
168
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ. II
сформулирован в задаче 24. Чтобы узнать, подобны модули Л/,
и М2 или нет, мы находим подобные с ними приведенные мо-
дули: исходные модули Mi и М2 подобны между собой тогда и
только тогда, когда соответствующие им приведенные модули
совпадают.
Замечание. В доказательстве теоремы 9 мы фактически
нигде не использовали того, что рассматриваемые модули содер-
жатся в некотором мнимом квадратичном поле. Утверждение
этой теоремы справедливо, следовательно, для произвольных пло-
ских решеток: всякая решетка на комплексной плоскости подоб-
на одной и только одной решетке вида {1, у}, где 7 — некоторое
число из области Г, указанной на рис. 6. Согласно лемме 2 (ко-
торая без каких бы то ни было изменений применима и к про-
извольным плоским решеткам) две решетки вида {1, М и {1, 7}
подобны тогда и только тогда, когда числа Z. и у связаны соот-
ношением
= ±v+2
my п'
кп — ml = ± 1,
с целыми рациональными к, I, т, п. Такая пара невещественных
комплексных чисел называется модулярно эквивалентной. Полу-
ченный нами результат означает, таким образом, что каждое не-
вещественное комплексное число модулярно эквивалентно одному
и только одному числу из области Г. Саму область Г. часто на-
зывают модулярной фигурой. Согласно сказанному выше ее точ-
ки взаимно однозначно соответствуют классам подобных решеток
на плоскости. Задача о подобии плоских решеток встречается в
связи с многими вопросами, в особенности в теории эллиптиче-
ских функций. Каждое поле эллиптических функций задается
своей решеткой периодов, причем два поля эллиптических функ-
ций изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие
им решетки периодов подобны (см., например, [21]). Таким об-
разом, точки модулярной фигуры Г взаимно однозначно соответ-
ствуют типам неизоморфных полей эллиптических функций.
Множество всех классов подобных решеток может быть па-
раметризовано также с помощью всех комплексных чисел. Что-
бы такую параметризацию указать, достаточно определить вза-
имно однозначное соответствие между всеми точками модуляр-
ной фигуры Г и всеми точками комплексной плоскости. Это
можно сделать при помощи- модулярных функций, т. е. меро-
морфных функций /(z), заданных на верхней комплексной полу-
плоскости Im z > 0 и принимающих равные значения для моду-
лярно эквивалентных точек (при надлежащем уточнении меро-
морфности в бесконечно удаленной точке). Среди модулярных
функций имеется одна особенно важная функция /(z), которая
однозначно определяется условиями:
§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 169
1) область значений /(z) совпадает с множеством всех комп-
лексных чисел;
2) если /(z) = f(z'), то z и z' модулярно эквивалентны (т. е.
z' = (kz + l)/(mz + п), kn — ml = 1, с целыми рациональными к,
Z, т, п) и
3) /(--т + ^) = 1’ /(0 = 0.
Модулярная функция, определенная этими условиями, называет-
ся абсолютным инвариантом и обозначается через /(z). Функция
j(z) дает нам взаимно однозначное соответствие между всеми
точками модулярной фигуры Г и всеми комплексными числами.
Следовательно, все значения абсолютного инварианта /(z) опи-
сывают также все классы подобных друг другу решеток, и тем
самым дают нам параметризацию всех типов неизоморфных по-
лей эллиптических функций.
Модулярная функция ;'(z) имеет много различных теоретико-
числовых приложений. Большая часть пх связана с так назы-
ваемой теорией комплексного умножения. Согласно этой теории,
если точка z верхней полуплоскости соответствует решетке,
подобной модулю М с кольцом множителей О в некотором
квадратичном поле 7£ = Q(]/d), й<0, то значение j(z) явля-
ется целым алгебраическим числом, причем степень (Q (/ (z)): Q)
равна числу h классов подобных модулей, имеющих порядок £)
своим кольцом множителей (см. [1], [191).
Рассмотрим теперь классы подобных модулей, принадлежа-
щих некоторому фиксированному порядку £) с дискриминантом
D<0. Пусть модуль {1, у}, уеГ, принадлежит порядку £). Если
для числа у мы воспользуемся обозначениями леммы 1 и запи-
шем его в виде ___
„ - ь + i У|Д~1
7 2а ’
то условия (23) и (24) дадут
—а^Ь<а, с^а при b^Q, с>а при Ь>0. (25)
Таким образом, чтобы получить полную систему приведенных
модулей мнимого квадратичного поля, принадлежащих порядку
с дискриминантом D, надо найти все тройки целых чисел а > 0,
Ь, с, удовлетворяющих неравенствам (25), а также условиям
D = b2 — 4ac, (a, b, с) = 1. (26)
Согласно теореме 3 § 6 число таких троек конечно, что, впро-
чем, ясно и непосредственно, так как в силу неравенств
|О| =4ас-Ь25*4а2-а2 = За2, 1Ы<а<ПШ73,
при заданном D для а и Ъ, а значит и для с, мы имеем лишь
конечное число возможностей.
170
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ
[ГЛ: П
Пример 1. Найдем число классов модулей, принадлежащих
максимальному порядку поля Q ( V—47). Так как здесь D =
= —47, то | & К а < у-. Принимая во внимание, что при не-
четном D число Ъ также нечетно, имеем следующие возможности:
Ь = ±1, & = ±3. Во втором случае мы должны были бы иметь:
Ъ2 — D = 56 = 4ас, ас = 14, 3 а Е7 с, что, однако, невозможно.
Если же Ъ = ±1, то Ъ2 — D = 48 = 4ас, откуда
а = 1, с = 12; а = 2, с = 6; а = 3, с = 4.
Поскольку случай Ъ = 1 = а должен быть исключен, то получа-
ем, что для максимального порядка поля Q(l^—47) имеется
5 классов подобных модулей. Представителями в этих классах
являются приведенные модули {1, у}, где у равно одному из
чисел:
1 + i Д/47 ± 1 + i 1/47 ±l + i 1/47
2 4 6
В предшествующем пункте было отмечено, что наличие алго-
ритма для решения вопроса о подобии модулей в квадратичном
поле дает возможность решать уравнения вида (13).
Пример 2. Найдем в модуле М = {13, 14-51} все числа с
нормой 650. Кольцом множителей здесь является порядок £> =
= {1, 51} с дискриминантом D = —100. Так как 2V(Af) = 13, то
мы должны прежде всего выписать модули А <= О, принадлежа-
щие порядку £) и имеющие норму m — 650/13 = 50. Условия (18)
и (20) дают нам следующие возможности:
1) а = 5, а = 2, Ь = —2, с = 13;
2) s = l, а = 50, 5 = 10, с = 1;
3) 5 = 1, а = 50, Ъ = -10, с = 1;
4) 5 = 1, а = 50, Ь = -50, с= 13.
Для каждого из этих четырех случаев составляем модуль А
вида (19) и находим подобный с ним приведенный модуль:
10{1,Ц^}, 50{l,^±2) = (-5 + 5i){l,.5ih
50 (1,1±Д = (5 4- 5г) {1,5г}, 50 (1, = Юг (1,. ЦМ
\ J V ai/ ) V “ J
Находим также приведенный модуль для М-1:
_ L 1 — 5Д _ 1 — 5* Г. 1 4- 5Д
и ~Г’- 13 / 13 ’ 2 /•
Модули А в случаях 2) и 3) отбрасываются, так как они не
подобны ЛГ-1. Для оставшихся случаев 1) и 4) равенство А =
= выполняется при g =5 + 25г и | = —25 + 5г. Так как в О
§ 7] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ 171
имеется только две единицы: ±1, то получаем окончательно, что
в модуле М имеется четыре числа: ±(5 + 25i) и ±(—25 + 5i)
с нормой 650.
В рассмотренном примере нами установлено также, что урав-
нение 13х2 + 2ху + 2у2 = 50 имеет четыре целочисленных ре-
шения:
х = 0, у = 5; х = 0, у = —5;
х = 2, у = — 1; х = — 2, у = 1.
Пример 3. Какие натуральные числа представляются фор-
мой х2 + у2?
Дискриминант формы равен D = — 4. Для порядка £> = {!, 1}
поляО(У—1) (дискриминант — 4) имеется только один приве-
денный модуль, так как условия (25) и (26) выполняются лишь
при а = с = 1, Ъ — 0. Это значит, что все модули, принадлежа-
щие порядку £), подобны между собой и, следовательно, все би-
нарные формы дискриминанта —4 эквивалентны форме х2 + у2.
Но эквивалентные формы представляют одни и те же числа,
поэтому согласно теореме 6 форма х2 + у2 представляет число т
тогда и только тогда, когда существует модуль Л принадле-
жащий порядку £) и имеющий норму т. Если такой модуль су-
ществует, то при некоторых s, а, Ь, с справедливы равенства:
т — as2, D — —4 = Ъ2 — 4нс, (а, Ъ, с) = 1.
Число Ъ здесь необходимо четное, Ъ = 2z, причем z удовлетворяет
сравнению
z2 —1 (mod а). (27)
Обратно, если последнее сравнение при некотором a = m/s2 раз-
решимо, т. е. z2 = — 1 + ас, то, как легко видеть, (a, 2z, с) = 1,
а значит, существует модуль А <= £>, принадлежащий порядку D,
с нормой т, т. е. т представляется формой х2 + у2.
Сравнение (27), как известно, разрешимо тогда и только то-
гда, когда а не делится на 4 и не делится на простое число вида
4/с + 3. Так как а содержит все простые множители, входящие
в т в нечетной степени, то получаем окончательно, что т пред-
ставляется формой х2 + у2 тогда и только тогда, когда простые
числа вида 4/с + 3 входят в т только в четной степени.
Задачи
1. Найти основные единицы в полях Q (1/19) и <0 (У 37).
2. Доказать, что если d == 1 (mod 8) (и свободно от квадратов), то ос-
новная единица порядка {1, Vd) является также основной единицей и мак-
симального порядка поля Q (Уd)> d >0.
3. Доказать, что если дискриминант некоторого порядка О в квадратич-
ном поле делится хоть на одно простое число вида 4га + 3, то норма всякой
единицы из О равна +1.
172 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ (ГЛ: II
4. Пусть целое рациональное т > 1 не является полным квадратом.
Показать, что при разложении \т в непрерывную дробь последовательность
неполных частных имеет вид
?о, 51, ..., д», 2jo, 51, • • •> 5», 25о, 51, ...
(при этом 5<+1 = 5,_i, i = 0, 1, ..., s — 1).
5. В тех же обозначениях показать, что если PJQ, — подходящая дробь,
соответствующая предпоследнему члену наименьшего периода, то Р„ 4- Q^m
является основной единицей порядка {1, Ут} (в полеQ (Ут)).
6. Пусть для модулей и М2 квадратичного поля кольцами множите-
лей являются порядки ©,. и ©у соответственно (относительно обозна-
чений см. конец п. 2). Показать, что для произведения М\М2 кольцом мно-
жителей является порядок ©/, где /— общий наибольший делитель ft и f2.
7. Для всякого натурального / через ®/ обозначим группу модулей дан-
ного квадратичного поля, принадлежащих порядку ©/ (см. конец п. 4). По-
казать, что если d есть делитель /, то отображение М -> М©а (М е ®/ явля-
ется гомоморфизмом группы ®/ на группу ®Д.
8. Пусть | — число из максимального порядка © = {1, со} квадратично-
го поля, взаимно простое с натуральным /. Показать, что кольцом множите-
лей для модуля М = {/, /а, g} является ©/, а также что М© = О. Показать,
далее, что, и обратно, всякий модуль М, принадлежащий порядку ©/ и обла-
дающий свойством МО = ©, имеет вид Л/ = {/, /а, g} при некотором 5 е D,
взаимно простом с f.
9. Пусть ^1 и ?2 — два числа из D, взаимно простые с /. Доказать, что
равенство {/, fco, |,} = {/, fco, |2} имеет место тогда и только тогда, когда
$51 == 52 (mod/) при некотором целом рациональном s.
10. Доказать, что для произвольных полных модулей и М2 квадратич-
ного поля (не обязательно принадлежащих одному и тому же порядку)
справедлива формула
Л' (М iM2) = N(Mi)N(M2}.
11. Доказать, что число классов h подобйых модулей, принадлежащих
максимальному порядку О квадратичного поля, и число классов hf подоб-
ных модулей, принадлежащих порядку ©/ (индекса /), связаны между со-
бой соотношением
где Ф (/) — число классов вычетов в О по модулю /, состоящих из чисел,
взаимно простых с / (аналог функции Эйлера <р (/)), а е/ — индекс группы
единиц порядка ©/ в группе единиц максимального порядка ©.
12. Число Т вещественного квадратичного поля называется приведен-
ным, если оно само удовлетворяет условию 0 <у < 1, а для сопряженного
с ним числа у' справедливо неравенство у' < —1. Вместе с у модуль {1, у)
также называется приведенным. Доказать, что в обозначениях леммы 1 при-
веденность числа у равносильна выполнению неравенств
0 < Ь < УР, —& 4- УР < 2а < & 4- У®.
Вывести отсюда, что число приведенных модулей, принадлежащих фиксиро-
ванному порядку вещественного квадратичного поля, конечно.
13. Пусть у — иррациональное число вещественного квадратичного поля,
удовлетворяющее условию 0 < у < 1, 1гг у > 0. Положим
4
71 = — (sgn Г) — — п,
§ 7]
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ БИНАРНЫМИ ФОРМАМИ
173
где целое рациональное число п выбрано так, что 0 < yi < 1. Доказать, что
в результате конечного числа преобразований {1, у} -> {1, у J модуль
{1, у} перейдет в подобный с ним приведенный модуль. Таким образом,
в каждом классе подобных модулей (в обычном смысле) вещественного
квадратичного поля имеется приведенный модуль.
14. Пусть у — приведенное число вещественного квадратичного поля.
Так как sgn у' = —1, то преобразование у —Уг предшествующей задачи для
приведенного у имеет вид
11
1_
7
п,
п —
Ч
. 7
Доказать, что вместе с у число yi также приведенное. Оно называется со-
седним справа к числу у. Исходное число у называется при этом соседним
слева для уь Проверить, что для любого приведенного числа У[ всегда су-
ществует, и притом только одно, соседнее слева к нему приведенное число у.
15. Отправляясь от приведенного числа у0 вещественного квадратично-
го поля, построим последовательность приведенных чисел у0, Уь Уз, ..., в ко-
торой каждое последующее число является соседним справа для предыду-
щего. При некотором натуральном т имеет место равенство ут = у0, т. е.
наша последовательность приведенных чисел периодическая. Если т вы-
брано наименьшим, то числа у0, Уг, ..., у™-1 различны. Такая конечная по-
следовательность приведенных чисел называется периодом. Доказать, что
два приведенных модуля {1, у} и {1, у*} подобны (в обычном смысле) тог-
да и только тогда, когда приведенные числа у и у* принадлежат одному и
тому же периоду.
16. Найти число классов подобных модулей, принадлежащих макси-
мальному порядку поля Q (V10) •
17. Показать, что все целочисленные решения уравнения
17г2 + 32zy + 14 у2 = 9
определяются равенствами
±(15 + 6}'2) (3 + 2]'2)п = ±[17х„ + (16 + ЗГ2)Уп]
(при всех целых п).
18. Какие из модулей
{1, V15}, {2, 1 ± /15}, {3, У15}, {35, 20 + У15}
поля <0 (Д/15) подобны между собой?
19. Найти полную систему представителей в классах собственно экви-
валентных примитивных форм с дискриминантом 252.
20. Сколько существует классов собственно эквивалентных примитив-
ных форм с дискриминантом 360 ?
21. Какие простые числа представляются формами х2 + 5у2, 2х2 + 2ху +
4-Зу2?
22. Решить в целых числах уравнения:
1) 5л2 + 2ху + 2у2 = 26;
2) 5г2 - 2у2 = 3;
3) 8О.г2 — у2 = 16.
23. Показать, что уравнения:
1) 13г2 4- 34гу + 22у2 = 23;
2) 5.г2 + 16.гу + 13 у2 = 23
не имеют целочисленных решений.
24. Пусть число у из мнимого квадратичного поля удовлетворяет усло-
виям Im у > 0, —1/2 < Re у 1/2, но не является приведенным. Положим
174 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ РАЗЛОЖИМЫМИ ФОРМАМИ [ГЛ. И
л
------—+ re, где целое рациональное ге выбрано так, что —1/2 < Re 71
1
1/2. Если 71 не приведенное, то аналогично полагаем Та =----+ rej
Vi
и т. д. Доказать, что в результате конечного числа таких преобразований
модуль {1, 7} перейдет в подобный с ним приведенный модуль {1, 7,}.
25. Найти число классов подобных модулей, принадлежащих максималь-
ному порядку поля Q (V— 47).
26. Найти в модуле {13, 1 + 5г} все числа с нормой 650.
27. Определить кольца множителей для модулей
{11, 6 + 2if2}, {2, 1 -f- г|2}, {4, гУ2}, {2, г}2}.
Какие из этих модулей подобны между собой?
28. Показать, что в поле QQ/—43) все модули с максимальным по-
рядком в качестве кольца множителей подобны между собой.
Глава III
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
В предшествующей главе мы видели пример того, как решение
теоретико-числовой задачи приводит к рассмотрению глубоких
вопросов теории алгебраических чисел: нахождение целочислен-
ных представлений рациональных чисел полными разложимыми
формами оказалось тесно связанным с теорией единиц в поряд-
ках полей алгебраических чисел.
Еще большее количество задач теории чисел приводит к дру-
гому важному вопросу арифметики полей алгебраических чисел —
к вопросу о разложении алгебраических чисел на простые мно-
жители.
В настоящей главе мы построим общую теорию разложения
алгебраических чисел на множители и дадим ее приложения
к некоторым задачам теории чисел. Необходимые здесь сведения
из теории колец изложены в § 4 Дополнения. Эти сведения вме-
сте с теми свойствами конечных расширений полей, которыми мы
уже пользовались во второй главе, составят алгебраический ап-
парат этой главы.
С разложением алгебраических чисел на множители особенно
тесно связана теорема Ферма. Исторически именно занятия тео-
ремой Ферма привели Куммера к его работам по арифметике
алгебраических чисел, содержащим ряд основных для этой обла-
сти идей.
Мы начнем поэтому с изложения первого результата Куммера
по теореме Ферма как с теоретико-числового введения в общую
теорию разложения алгебраических чисел на простые множители.
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители. Пред-
положение, высказанное Ферма, заключается в том, что урав-
нение
xn + yn = zn
при п > 2 не имеет решений в отличных от нуля целых рацио-
нальных числах х, у, z.
Очевидно, что если теорема Ферма доказана для некоторого
показателя п, то тем самым она доказана и для всех показателей,
кратных п. Так как всякое целое п > 2 делится или на 4, или иа
нечетное простое число, то можно поэтому ограничиться случая-
176
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
(ГЛ. III
ми, когда показатель равен либо 4, либо нечетному простому
числу. Для п = 4 элементарное доказательство теоремы Ферма
дано самим Ферма. Мы ограничимся в дальнейшем изучением
уравнения
xl + yl = zl, (1)
в котором показатель I есть нечетное простое число. Очевидно,
что в уравнении (1) числа х, у, z можно считать попарно взаимно
простыми.
Для тех значений Z, для которых доказательство теоремы
Ферма найдено, оно обычно разбивается на два случая: во-пер-
вых, доказывается, что уравнение (1) не имеет решений в целых
х, у, z, не делящихся на Z, и, во-вторых, что оно не имеет реше-
ний в целых х, у, z, среди которых одно (и только одно) делится
на Z. Эти два случая называются соответственно первым и вторым
случаями теоремы Ферма. Из имеющихся в настоящее время до-
казательств различных частных случаев можно, по-видимому,
сделать вывод, что принципиальные трудности в первом и втором
случаях теоремы Ферма приблизительно одинаковы, хотя техни-
чески первый случай рассматривается проще. Мы займемся здесь
лишь первым случаем теоремы Ферма.
Связь теоремы Ферма с задачей о разложении алгебраических
чисел на простые множители выясняется из следующих простых
соображений. Если через £ мы обозначим первообразный корень
Z-й степени из 1, то уравнение (1) можно будет переписать в виде
Пи + ^у) = 2г. (2)
fe=0
Для целых рациональных чисел из того, что произведение не-
скольких взаимно простых множителей является Z-й степенью,
следует в силу однозначности разложения на простые множители,
что каждый сомножитель в отдельности также есть Z-я степень.
Множители в левой части равенства (2) принадлежат полю ал-
гебраических чисел Q (£) степени Z — 1 над Q (легко показать,
что многочлен t‘~‘ + t'~2 + ... + t + 1 при простом Z неприводим
над полем рациональных чисел; см., например, задачу 6 или
теорему 1 § 2 гл. V). Рассмотрим в поле Q(C) порядок D —
— {1, £, ..., £г~2} (согласно теореме 1 § 5 гл. V О является мак-
симальным порядком поля Q(S))- Предположим, что в кольце О
разложение чисел на простые множители однозначно. Тогда для
а1 ат
любого а е £), а #= О, в разложении а = елх ... пг , где е — еди-
ница кольца £), а простые числа лъ ..., лг попарно не ассоцииро-
ваны, показатели а,, ..., ат определены однозначно (см. § 2, п. 2).
Ясно, что каждое простое число л, входящее в разложение
числа zz, входит в это разложение с показателем, кратным Z.
С другой стороны, ниже будет доказано, что, когда мы имеем
дело с первым случаем теоремы Ферма, числа х + ^hy (к — 0,1,...
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 177
..I — 1) попарно взаимно просты. Следовательно, если мы
х + Zky представим в виде произведения степеней простых мно-
жителей, то каждое простое число из этого разложения будет
входить в него с показателем, также кратным I. Это значит, что
каждое х + с точностью до множителя, являющегося едини-
цей, будет l-й степенью. В частности,
х + ty = еа!, (3)
где е — единица кольца С и 7. е£).
Так как равенство x‘ + y! = z‘ ввиду нечетности I может быть
записано также в виде х1 + (—z)' = (—у)1, то аналогичным обра-
зом мы получим
X — £z = EjOCp (3')
Равенства (3) и (3'), оказывается, уже сравнительно легко
могут быть приведены к противоречию. Если это будет сделано,
то тем самым будет доказана неразрешимость уравнения (1)
в целых х, у, z, не делящихся на I (прп сделанном предположе-
нии относительно кольца О.
После этих вводных замечаний установим несколько вспомо-
гательных фактов, относящихся к свойствам кольца £).
2. Кольцо Z [£] Лемма 1. В кольце © = Z [£] число 1 — £
является простым, и для I имеем разложение
Z = (4)
где е* — единица в £>.
Доказательство. Полагая в разложении
t1-1 + t‘~2 + ... + t + 1 = (t -— S2)... (£ — S'"1)
t равным 1, получим
I = (1 - S)d - g2) • • • (1 - S'"1). (5)
Если a = r(£) — произвольное число поля Q (S) (здесь r(Z) —
многочлен с рациональными коэффициентами), то числа
aft(a) = г(£*), 1 (6)
мы можем рассматривать как образы а при изоморфизмах Q (£)
в поле всех комплексных чисел. Другими словами, числа (6) со-
гласно терминологии п. 3 § 2 Дополнения являются сопряжен-
I—1
ними для а, а значит, N (a) = ТТ r (£*)• В частности, при s Ф
k=i
0 (mod Z) мы имеем
h=l h=l
178
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ Ш
Отсюда следует, что 1 — £, 1 — £2, ..1 — являются про-
стыми числами в кольце £). Действительно, если 1 — = оф, то
7V(a)2V(p) = I, а потому либо 2V(a) = 1, либо 2V(0) = 1, т. е. один
из сомножителей необходимо является единицей (теорема 4 § 2
гл. II). Переходя в равенстве
(1 - gs) = (1 - £)(1 + £ + ... + 5s-1) = (1 - £)е, (7)
к нормам, получаем, что Me,) = 1, а значит, е, — единица в £).
Таким образом, все числа 1 — при s^O(modZ) ассоциированы
с 1 —£. Разложение (4) вытекает теперь из (5) и (7).
Лемма 2. Если целое рациональное число а делится на
1 — (в кольце D), то оно делится и на I.
Доказательство. Пусть a = (l — £)а, где 7. е£). Перехо-
дя в этом равенстве к нормам, получим a'~l — где Ma)
целое рациональное. Так как I простое, то а делится на I.
Лемма 3. Все корни из 1, содержащиеся в поле Q(£), ис-
черпываются корнями степени 21 из 1.
Доказательство. Все корни из 1, содержащиеся в Q(£),
принадлежат, очевидно, максимальному порядку. Согласно тео-
реме 2 § 3 гл. II все они образуют конечную циклическую
группу. Обозначим через пг порядок этой группы и через ц ка-
кой-нибудь первообразный корень степени m из 1. Так как — £
принадлежит Q (£) и является первообразным корнем степени
21 из 1, то m делится на 21. В § 2 гл. V (следствие теоремы 1)
нами будет доказано, что степень поля О(ц) над Q равна ф(тп),
где гр(тп) — теоретико-числовая функция Эйлера. Положим
пг = 1гтй, (иг0, Z) = 1, г>1, та 5= 2.
Так как Q (>]) содержится в Q(£), а степень последнего поля
равна Z—1, то ф(т) = Zr-I(Z — 1)ф(т0) Z — 1. Из этого неравен-
ства следует, что г = 1 и ф(иг0) = 1. Так как условия ф(иг0) = 1
и т0 >2 возможны лишь при пг» = 2, то т = 2Z, и лемма 3
доказана.
Лемма 4 (лемма Куммера). Всякая единица кольца £) яв-
ляется произведением степени £ на вещественную единицу.
Доказательство. Пусть
е = а0 + а£ + ... + аг-2^-2 = г (£), a{eZ
— произвольная единица кольца £). Очевидно, что комплексно
сопряженное число е = r(£_1) = ti(£'_1) также будет единицей
кольца £). Рассмотрим единицу ц = е/е£Э. В силу (6) числа,
сопряженные с ц, имеют вид
оДц) = r(£*)/r(£('-,,ft) = r(^)/r(rft).
Так как г(^) и r(£-ft) комплексно сопряжены между собой, то
|пА(ц)| = 1 (при всех k = 1, Z — 1). По теореме 2 § 3 гл. II у.
§ I] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 179
есть корень из 1, а значит, в силу леммы 3
ц = ±£а.
Покажем, что в правой части этого равенства стоит знак плюс.
Действительно, в противном случае мы имели бы равенство
8 = -£в8.
Рассмотрим его как сравнение в кольце О но модулю X = 1 —
Так как £ = l(modX), то все степени £ также сравнимы с 1 по
модулю %, п мы получаем
e'sg эа.ЛаД... + аг_2 = М (mod X),
а значит, М = — М (modX), или 2М = 0 (modX). В силу леммы 2
отсюда следует, что
2М = 0 (mod Z), d/^0(modZ), 71/= 0 (modX),
откуда е = 0 (mod X), а это противоречит тому, что 8 — единица
кольца £). Таким образом, 8 = £а8.
Найдем теперь такое целое число з, что 2s = a (mod Z). Тогда
_ £2з и равенство е = £2se можно переписать в виде
= ё/£- = (e/£s).
Полученное равенство означает, что единица ц = e/^s веществен-
на. Таким образом, е представляется в виде произведения 5s на
вещественную единицу ц, что и требовалось доказать.
Лемма 5. Пусть х и у — целые рациональные числа. Для
того чтобы х + и х + tj'y при тп^п (mod Z) были взаимно
просты (т. е. чтобы единицы были их единственными общими
делителями), необходимо и достаточно, чтобы, во-первых, х и у
были взаимно просты и, во-вторых, чтобы х + у не делилось на I.
Доказательство. Если х и у имеют общий делитель
d> 1, то х + 1Ду и х + ^пу, очевидно, делятся на cZ. Если же
х + у делится на Z, то х + и х + £;"г/ имеют общий делитель
1 — £ (не являющийся единицей). В самом деле,
х + ^"'У = х + у + (£“ — 1)г/ = (х + у) — (1 — &ъту = 0 (mod 1 — £).
Таким образом, необходимость обоих условий доказана. Для до-
казательства достаточности мы покажем, что в кольце О суще-
ствуют такие и Цо, что
(ж + £тг/)£о + (ж + ^пу) Цо = 1.
Рассмотрим совокупность А всех чисел вида
(х + + (ж + £"у)ц,
где £ и ц независимо друг от друга пробегают все числа из £).
Очевидно, что если а и fl принадлежат Л, то и любая их линей-
180
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. П1
ная комбинация аВ' + рт]' с коэффициентами ц' из D также
принадлежат А. Нам надо доказать, что число 1 принадлежит А.
Из равенств
(X + Гу) - (X + Гу) = Г(1 - Г'т)у = Ге„-т(1 - Гу,
(х + Гу)Г - U + Гу)Г* = -Г(1 - г_,п)х = -Геп-т(1 - г®
заключаем, что (1—£)уе^ и (1 — £)х^А (так как t,men_m —
единица кольца £)). В -силу взаимной простоты х и у существуют
такие целые рациональные а и Ъ, что ах + by = 1, поэтому
(1 - Г-та + (1 - ГуЬ = 1 - £ е= А.
Далее,
х + у = (х + Гу) + (1 — Г)у = (я + Гу) + (1 — Гету,
а значит, х + у е А. Так как I делится на 1 — Г то I е А. Со-
гласно второму условию леммы числа х + у и I взаимно просты.
Следовательно, при некоторых целых рациональных и и и имеем
(х + у)и + lv = 1, откуда и следует, что 1еА. Лемма 5, таким
образом, доказана.
3. Теорема Ферма в случае однозначности разложения на мно-
жители. Теорема 1. Пусть I — простое нечетное число и t,—
первообразный корень степени I из 1. Если в порядке О = Z [£] =
= {1, £, . .., £г-2} поля Q(£) разложение на простые множители
однозначно, то для показателя I справедлив первый случай теоре-
мы Ферма, т. е. уравнение
x‘ + yl = z‘
не имеет решений в целых рациональных числах х, у, z, не деля-
щихся на I.
Доказательство. Простое число 3 будет играть в нашем
доказательстве особую роль, поэтому случай I = 3 рассмотрим
отдельно. Покажем, что не только уравнение х3 4- у3 =? z3, но и
сравнение л:3 + у3 = z3 (mod 9) не имеет решений в числах, не
делящихся на 3. В самом деле, допустим, что последнее сравне-
ние имеет место. Тогда из сравнения х3 + у3 = z3 (mod 3) будет
следовать (в силу малой теоремы Ферма) х + у = z (mod 3), т. е.
z = х + у + Зи, а значит,
х3 + у3 = (х + у + 3u)3 s х3 + у3 + Зх2у + Зал/2 (mod 9),
откуда 0 = х2у + ху2 = ху(х + у) = xyz (mod 3).
Таким образом, одно из чисел х, у, z должно делиться на 3,
и наше утверждение доказано.
Пусть теперь I > 5. Доказывая теорему от противного, пред-
положим, что для некоторых целых рациональных х, у, z, попар-
но взаимно простых и не делящихся на I, имеет место равенство
х1 + у1 = zl, которое мы можем записать также в виде (2). Так
как x + y = xl + yls=z^0 (mod I) и, кроме того, х и у взаимно
§ 1] НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 181
просты, то по лемме 5 все числа x + tKy (к —О, 1, ..I— 1) по-
парно взаимно просты. А тогда, как уже было показано в п. 1,
ввиду однозначности разложения на простые множители из (2)
следуют равенства
х + ty = еа', (3)
х — tz = (3')
в которых е и е, — единицы кольца £). Мы уже отмечали, что на-
личие равенств (3) и (3') ведет к противоречию. Более того, мы
покажем сейчас, что противоречивыми оказываются даже соот-
ветствующие сравнения в кольце £) по модулю I.
Пусть а = а0 + а& + ... + а;-2£'-2 с целыми рациональными а0,
at, ..., ai-z. Тогда
а1 = 4 + а£ + ... + = М (mod Z),
где М = а0 + щ + ... + а(_2. В силу леммы Куммера единица е
может быть представлена в виде е = £8т], где ц — вещественная
единица. Следовательно, из равенства (3) получаем сравнение
х + ty = (inod Г)
с вещественным числом с е Это сравнение мы можем также
переписать в виде
£_s(x + £*/) s (mod I). (8)
Заметим теперь, что для любого а е £) комплексно сопряжен-
ное число а также принадлежит £). Если мы имеем сравнение
a^p(modZ), то a —p = Z"f, откуда a — и, следовательно,
(mod Z). Переходя в сравнении (8) к комплексно сопряжен-
ным числам, получим
t,s(x 4- g_1y) = g (mod I). (9)
Но | = |, поэтому из (8) и (9) следует, что
£~s(x + ty) = t‘(x + £-Iy) (mod Z),
или
xV + У?'1 ~ xt,-s - yt,l~s 0 (mod Z). (10)
Очевидно, что произвольное число из £), представленное в ка-
ноническом виде аа + + ... + ai-2£‘~2, делится на Z тогда и
только тогда, когда все коэффициенты а0, ..., аг_2 делятся на Z.
Если показатели
з, s—1, — s, 1 — s (11)
попарно не сравнимы между собой и не сравнимы с Z — 1 по мо-
дулю Z, то число, стоящее в левой части сравнения (10), будет
иметь канонический вид, а тогда из этого сравнения должно сле-
довать, что все коэффициенты делятся на I. Таким образом, в этом
182
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[гл. in
случае x^O(modZ) и у = 0 (modZ), что, однако, невозможно, так
как х и у взаимно просты (и не делятся на Г).
Рассмотрим теперь те случаи, когда левая часть сравнения (10)
не является каноническим представлением, т. е. когда среди чи-
сел (11) имеются сравнимые с Z —1 или сравнимые между собой
по модулю Z. Один из показателей (11) будет сравним с Z—1 по
модулю Z лишь при следующих значениях (по модулю Z) этих
показателей:
8 S—1 —8 1 8
1 -1 0 1 2 1 1 1 0 1 -1 1 — 2 2 1 0 1 — 1
Мы видим, что в каждом из этих случаев имеется только один
показатель, сравнимый с Z— 1 (ибо Z>5). Для того чтобы левую
часть сравнения (10) записать в канонической форме, надо вос-
пользоваться равенством
S‘-* = _l ^-2.
Подставляя это выражение в тот член левой части (10), в кото-
ром показатель сравним с Z — 1 по модулю Z, мы получим вместо
этого члена сумму одночленов 1, £, ..., £'-2 с коэффициентами
thx или ±у. Так как число этих одночленов равно Z — 1 4 (ибо
Z > 5), то при приведении подобных членов хоть один из них не
сократится с оставшимися тремя членами левой части сравне-
ния (10). Но тогда из сравнения (10), левая часть которого уже
записана в каноническом виде, будет следовать ±х = 0 (mod Z)
или ±у = 0 (mod Z), что опять невозможно, так как х и у, по
предположению, не делятся на Z.
Остается рассмотреть еще случай, когда среди показателей
(11) имеются сравнимые между собой по модулю Z. Сравнения
s = s — 1 (mod Z) и — s = 1 — s (mod Z), очевидно, вообще невозмож-
ны. Если 8 = — 8 (mod Z) или s - 1 М - s (mod Z), то имеем соот-
ветственно s^O (modZ) и 8 s 1 (modZ), что отвечает уже разобран-
ным случаям 8 — 1 = I — 1 (mod Z) и — s s I — 1 (mod l). Из двух
оставшихся возможностей 8 = 1 — s (mod Z) и s — 1 s —s (mod Z)
следует, что s = (Z+ l)/2(mod l). В этом случае сравнение (10)
принимает вид
(х — у)£(,+1,/2 + (у — х)?(г-1)/2 ss 0 (mod Z).
Так как левая часть этого сравнения записана в каноническом
виде (показатели (Z+ 1)/2 и (Z— 1)/2 не сравнимы между собой и
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
183
§ 1]
не сравнимы с I — 1), то из него следует, что
х = у (modZ).
Аналогичным образом из (3') мы получим
х -- — z (mod Z).
Из сравнения х + у = х' + у1 = zl = z (mod Z) следует теперь, что
2х = —х (mod Z) или Зх ;--= 0 (mod Z). Так как Z 3, то х = 0 (mod Z),
и мы снова пришли к противоречию. Этим доказательство тео-
ремы 1 закончено.
Применяя более тонкие свойства целых чисел поля Q (£),
Куммер доказал, что если простое число Z удовлетворяет условию
теоремы 1, то для показателя Z справедлив и второй случай тео-
ремы Ферма.
Обобщение теоремы 1 на более широкий класс показателей Z
будет приведено в п. 3 § 7 настоящей главы. Для тех же показа-
телей Z второй случай теоремы Ферма будет доказан в п. 1
§ 7 гл. V.
Сделаем к теореме 1 несколько замечаний.
Замечание 1. Основной частью доказательства теоремы
является доказательство неразрешимости некоторых сравнений
по модулю Z. Из этого, конечно, не следует, что мы доказываем
неразрешимость сравнения х1 + у1 = z!(mod Z). Так как это срав-
нение равносильно сравнению х + у z (mod I), то оно всегда
имеет решение, состоящее из чисел, не делящихся на Z. Более
того, можно показать, что, например, при 1 = 1 уравнение ж7 +
+ у7 = z7, будучи рассмотрено как сравнение по модулю 1т при
любом т > 1 имеет решение в числах х, у, z, не делящихся на 7
(см. задачу 3 § 5 гл. I).
Таким образом, доказательство иеразрешимости уравнения (1)
основывается на сведении его к уравнениям (3) и (3') при по-
мощи теории разложения на множители в кольце Z [£] и на
применении теории сравнений к полученным уравнениям.
Замечание 2. Ясно, что соображения, которые мы приме-
нили в этом параграфе к теореме Ферма, могут быть примене-
ны и к другим аналогичным задачам, но при этом вместо круго-
вого поля Q (Q надо будет использовать другие поля алгебраи-
ческих чисел (задача 2).
Замечание 3. Если мы захотим применить доказанную
теорему к какому-либо конкретному Z, то обнаружим, что не мо-
жем этого сделать, так как не располагаем способом, который
давал бы возможность определить, однозначно ли разложение
целых чисел поля Q (£) на простые множители.
В связи с этим мы приходим к следующим двум основным
вопросам теории алгебраических чисел:
1. В каких полях алгебраических чисел К разложение целых
чисел на простые множители однозначно?
184
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
2. Как видоизменяются арифметические закономерности в тех
полях К, в которых разложение целых чисел на простые множи-
тели неоднозначно?
Замечание 4. В настоящее время известно 1106], что
в кольце Z [£], где £ — первообразный корень степени I из 1,
однозначность разложения на простые множители имеет место
только для первых семи нечетных простых чисел. Это значит, что
теорема 1 фактически применима лишь для I = 3, 5, 7, 11, 13,.
17, 19. Однако в и. 3 § 7 мы увидим, что утверждение теоремы 1
справедливо для значительно более широкого класса показате-
лей I. Именно, там будет доказано, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для всех регулярных показателей (определе-
ние регулярности простого числа приведено в том же и. 3 § 7).
Задачи
1. Доказать, что сравнение Xs + у5 = з5 (mod 52) не имеет решений в
целых рациональных числах х, у, z, не делящихся на 5.
2. Пусть со — первообразный корень 3-й степени из 1. Считая известным,
что в поле Q (со) разложение целых чисел на простые множители однозна-
чно, доказать, что уравнение х3 + у3 — 5z3 не имеет решений в целых раци-
ональных х, у, z, не делящихся на 3.
3. Пусть I — простое число, £ — первообразный корень l-й степени из 1,
х и у — целые рациональные числа, d — общий наибольший делитель х и
у. Положим 6 = d, если х + у Ф 0 (mod I), и 6 — d(l — 5), если х 4- у О
(mod I). Доказать .что 6 есть общий делитель чисел х + tmy и х + '0,пу (т
(modZ)), делящийся на все прочие общие делители этих чисел.
4. Доказать, что в порядке {1, £, ..., поля Q(£) произведение
cz 3 делится на 1 — £ тогда и только тогда, когда хоть один из сомножите-
лей а или ,3 делится на 1 — £.
5. Используя понятие сравнимости целочисленных многочленов, пока-
зать, что г'-'1 + ... + t + 1 = (г — 1) г~1 (mod Z).
6. Доказать неприводимость многочлена Z!-1 + ... + t + 1 над полем ра-
циональных чисел, рассматривая сравнения для целочисленных многочленов
по модулю Z2.
§ 2. Разложение на множители
1. Простые множители. В предшествующем параграфе мы ви-
дели пример того, как задачи теории чисел приводят нас к вопро-
су о разложении на простые множители в порядках полей
алгебраических чисел. С другими примерами такого рода мы
познакомимся позже. Сейчас мы займемся исследованием
с общей точки зрения вопроса о разложении на простые множи-
тели.
Для того чтобы говорить о разложении на простые множители,
нам необходимо фиксировать кольцо £>, элементы (которого мы
будем раскладывать на множители. Мы начнем с того, что сфор-
мулируем нашу задачу в самом общем виде и ввиду этого не бу-
дем накладывать на это кольцо никаких условий, кроме того, что
оно коммутативно, не имеет делителей нуля и содержит единицу.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
185
§ 2]
В дальнейшем эти условия постоянно будут предполагаться вы-
полненными без специальных оговорок.
Определение. Элемент л кольца £), отличный от нуля и
не являющийся единицей, называется простым, если он не может
быть разложен на множители л = сф, ни один из которых не
является единицей в £).
Простота элемента означает,' таким образом, что он делится
только на единицы и на ассоциированные с ним элементы.
Не во всяком кольце простые элементы существуют, и, следо-
вательно, не всегда элементы кольца могут быть представлены
в виде произведения простых элементов. Возьмем, например,
в качестве £) кольцо всех целых алгебраических чисел. Для вся-
кого а 0 из £), не являющегося единицей, имеем разложение
а = УаУа, в котором множители принадлежат кольцу £) и также
не являются единицами. Таким образом, все неединпцы в £> до-
пускают разложения на нетривиальные множители, а это и озна-
чает, что в £) простых элементов нет.
Примерами колец, в которых разложение на простые множи-
тели возможно, могут служить порядки в полях алгебраических
чисел (именно эти кольца нас больше всего интересуют). Простые
элементы в порядках мы будем называть также простыми
числами.
Теорема 1. В произвольном порядке О поля алгебраиче-
ских чисел К каждое отличное от нуля и не являющееся едини-
цей число может быть представлено в виде произведения простых
чисел.
Доказательство. Согласно теореме 4 § 2 гл. II единицы
е порядка О характеризуются тем, что их нормы Me) равны
±1. Будем доказывать теорему индукцией по абсолютной вели-
чине нормы |Ма)1 числа а^О. Если число а само простое, то
доказывать нечего. Если же а = Ру, где р и у — числа из О, не
являющиеся единицами, то
1 < IMp)I < |Ма)|, 1 < 1Му)I < 1Ма)|.
По индуктивному предположению р и у являются произведения-
ми простых чисел кольца О. Но тогда ввпду равенства сс = ру и
число а является произведением простых чисел. Теорема 1, таким
образом, доказана.
2. Однозначность разложения. Предполагая теперь, что в не-
котором кольце £) разложение на простые множители возможно,
займемся выяснением вопроса об однозначности такого разложе-
ния (конечно, с точностью до ассоциированности).
Определение. Будем говорить, что в кольце £) разложе-
ние на простые множители однозначно, если для двух разложений
а = л1... лг, а = Л1 .... л» число сомножителей всегда одинако-
186
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
1ГЛ. Ill
во (r = s) и при надлежащей нумерации простые элементы л,- и
л{ ассоциированы между собой.
В разложении а = л4... лт ассоциированные простые элемен-
ты можно превратить в равные умножением на надлежащие еди-
ницы. Объединяя затем равные сомножители в степень, мы при-
ft, hm
дем к разложению вида а = ел/ ... лт , в котором простые
элементы л1т ..лт попарно не ассоциированы, а е — единица
кольца О. В случае однозначного разложения на множители
простые элементы л,, ..., лт с точностью до ассоциированности и
показатели кг, ..., кт определены единственным образом.
Классическим примером кольца с однозначным разложением
на множители является кольцо целых рациональных чисел. В об-
щем же случае далеко не для всех колец, в которых разложение
на простые множители возможно, будет иметь место однознач-
ность разложения. Так, результат задачи 1 показывает, что из
всех порядков в полях алгебраических чисел только для макси-
мальных порядков можно рассчитывать на однозначность раз-
ложения.
Однозначность разложения на простые множители в кольце
целых рациональных чисел Z вытекает из теоремы о делении
с остатком, утверждающей, что для любых а и Ъ 0 из Z су-
ществуют такие целые j и г, что а = bq + г и |r| < IЬ\. Если по-
поэтому для произвольного кольца £) будет иметь место надлежа-
щий аналог этого деления с остатком, то в D, совершенно так же
как и в .Z, можно будет доказать однозначность разложения на
простые множители.
Определение. Мы говорим, что в кольце £) имеет место
алгоритм деления с остатком, если на отличных от нуля элемен-
тах аеО определена функция Hall, принимающая целые неотри-
цательные значения, так, что удовлетворяются следующие
условия:
1) если а#=0 делится на 0, то Hall > 11011;
2) для любых элементов а и 0 Ф 0 в D существуют такие •(
и р, что а = 0у + р, причем либо р = 0, либо НрИ < И0Н. Само коль-
цо £) называется при этом евклидовым.
Вспомним доказательства однозначности разложения целых
рациональных чисел на простые множители и разложения много-
членов на неприводимые множители. В них, помимо общих
свойств колец, используется только теорема о делении с остатком.
Поэтому, дословно повторяя эти доказательства, приходим к сле-
дующему результату.
Т е о р е м а 2. В каждом евклидовом кольце разложение эле-
ментов на простые множители возможно и однозначно.
Рассмотрим в качестве___примера максимальный порядок О
квадратичного поля Q ( V—1) и покажем, что в £) имеет место
алгоритм деления с остатком относительно функции Hall = ЛЧа).
§ 2]
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
187
Пусть а и р =#= 0 — произвольные числа из £). Для рациональных
чисел и и v, определенных равенством
J- = и + V V— 1,,
выберем ближайшие к ним целые рациональные числа х и у:
\и — х|^1/2, |п — у I s? 1/2.
Если мы положим теперь у = х + у1—1, р = а — Ру, то ввиду не-
равенства
7V(У - v) = {и — х)2 + (р — у)2 < -J- + < 1
будем иметь N (р) = N N (Р) < N (р), а это и доказывает
наше утверждение.
В силу теоремы 2 мы получаем, следовательно, что в макси-
мальном порядке поля 0(1^—1) разложение на простые множи-
тели однозначно.
Таким же образом можно доказать однозначность разложения
и для ряда других колец (см. задачи 3, 4 и 7). Следует отметить,
однако, что существуют кольца, которые не являются евклидо-
выми, но в которых тем не менее разложение иа простые множи-
тели однозначно. Простейшим примером такого кольца может
служить максимальный порядок поля Q(V—19). Отсутствие
в этом кольце алгоритма деления с остатком следует из задачи 6.
То, что в нем разложение на простые множители однозначно, сле-
дует из задачи 11 § 7 этой главы.
Среди максимальных порядков вещественных квадратичных
полей Q( алгоритмом деления с остатком по норме обладают
те и только те, для которых d равно одному из следующих шест-
надцати значений:
2, 3, 5, 6, 7, И, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73.
3. Примеры неоднозначного разложения. Совсем нетрудно по-
строить примеры противоположного характера, показывающие,
что в максимальных порядках полей алгебраических чисел раз-
ложение на простые множители может быть неоднозначным.
Возьмем, например, поле Q( V— 5).Как показано в п. 2 § 7 гл. П,
числа из максимального порядка О этого поля имеют вид а = х +
+ уУ—5 с целыми рациональными х л у, при этом Ма) = хг + Ьу\
Для числа 21 в кольце £) имеем разложения
21 = 3-7, (1)
21 = (1 + 2У^5')(1-2Г-5). (2)
Утверждаем, что в кольце £) все сомножители, стоящие справа,
188 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ [ГЛ. III
ч
простые. Действительно, если бы, например, 3 = оф, где а и Р
не единицы, то из равенства 9 = ]У(оф) = Ма)М[}) следовало бы
N(.a) — 3. Этого, однако, не может быть, так как равенство
х2 + 5у2 = 3 с целыми рациональными х и у невозможно. Точно
так же доказывается, что числа 7, 1 + 2У—5, 1 — 2У—5 тоже про-
стые. Так как отношения
1 + 2 "|/~ 1 + 2 У~
3 ’ 7
не принадлежат кольцу £), то числа 3 и 7 не ассоциированы с
1 + 2У—5 и 1 — 2У—5. Мы видим, таким образом, что в £> суще-
ствуют числа, допускающие существенно различные разложения
на простые множители.
Приведенный пример поля Q ( V— 5), для максимального по-
рядка которого разложение на простые множители неоднозначно,
не представляет собой особенно редкого исключения. Таких при-
меров можно привести довольно много (см. задачи 10 и 11).
Казалось бы, обнаруженное нами явление неоднозначности
разложения на простые множители в полях алгебраических чи-
сел делает невозможным построение законченной арифметики ал-
гебраических чисел, а тем самым лишает нас надежды на воз-
можность более глубоких применений алгебраических чисел
к задачам теории чисел. Однако на самом деле это не так. В се-
редине прошлого века Куммер показал, что, хотя арифметика
алгебраических чисел радикально отличается от арифметики ра-
циональных чисел, она может быть развита настолько далеко,
чтобы давать исключительно сильные приложения к теоретико-
числовым вопросам.
Основная идея Куммера заключалась в том, что если в мак-
симальном порядке О некоторого поля алгебраических чисел
разложение на простые множители неоднозначно, то отличные от
нуля числа из £) можно отобразить в некоторое новое множество,
в котором определено умножение и в котором разложение на про-
стые множители уже однозначно. Тогда для всякого числа а =И= 0
из £) его образ (а) при этом отображении можно будет однознач-
но представить в виде произведения простых множителей, но эти
простые множители будут принадлежать не нашему кольцу, а не-
которому новому множеству. Однозначность разложения, по мыс-
ли Куммера, должна восстановиться в силу того, что некоторые
простые числа из О (а может быть, и все) отобразятся на непро-
стые элементы нового множества и потому их образы будут иметь
разложения на нетривиальные множители. Так, в примере мак-
симального порядка поля Q ( V— 5) для восстановления однознач-
ности в разложениях (1) и (2). должны существовать такие объек-
ты !₽,, р2, Уз, р4, ЧТО
3 = У1рг, 7 = 14-2У 5 — pipe, 1 — 2У 5 = Угр*
§ 2]
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
189
(в этих равенствах мы не различали числа и сопоставляемые им
новые объекты). Разложения (1) и (2) сводятся теперь к разло-
жениям 21 = Мг • РзРа = Ю1)>з paps, которые отличаются лишь по-
рядком сомножителей.
Сам Куммер называл эти новые объекты идеальными числами.
Теперь их называют дивизорами. Систематическое изложение
теории дивизоров составит содержание следующих параграфов.
Задачи
1. Доказать, что если в некотором порядке © поля алгебраических чи-
сел К разложение на простые множители однозначно, то этот порядок мак-
симальный. И вообще: если в кольце © разложение иа простые множители
возможно и однозначно, то кольцо © целозамкнуто в своем поле отношений.
2. Доказать, что если в евклидовом кольце элемент а =# 0 делится на [J,
причем а не ассоциировано с jJ, то ||а|| > |ф||.
3. Пусть 2И есть решетка на плоскости комплексной переменной, точки
которой изображают числа максимального порядка О мнимого квадратично-
го поля. Доказать что в © алгоритм деления с остатком по норме N(а) име-
ет место тогда и только тогда, когда сдвиги единичного круга (без грани-
цы) на все векторы решетки SM покрывают всю плоскость.
4. _Показать, что в максимальном порядке мнимого квадратичного поля
Q (Уd) алгоритм деления с остатком по норме имеет место тогда и толь-
ко тогда, когда d равно одному из значений: —1, —2, —3, —7, —11.
5. Доказать, что в мнимом квадратичном поле О (yd), где свободное
от квадратов целое d < О отлично от —1, —2, —3, —7, —11, норма всякого
целого числа, не равного 0 и ±1, больше трех.
6. Доказать, что, кроме пяти полей, указанных в задаче 4, для всех про-
чих мнимых квадратичных полей максимальные порядки не являются ев-
клидовыми кольцами.
Указание. Доказательство провести от противного. Предположим,
что на элементах а максимального порядка © существует функция ||а||,
удовлетворяющая условиям определения и. 2. Среди чисел кольца О, не яв-
ляющихся единицами, выберем число у с наименьшим значением Hfll. Тогда
всякое а, е © по модулю у будет сравнимо с одним из трех чисел: 0, 1, —1.
7. Доказать существование алгоритма деления с остатком для макси-
мального порядка поля О(~|/2). ___
8. Доказать, что в максимальном порядке поля ©(У— 1)каждое нечет-
ное простое рациональное число р остается простым, если оно имеет вид
47с + 3, и раскладывается в произведение р = ля' двух неассоциированных
простых множителей, если р = 47: + 1. Найти, далее, разложение числа 2 на
простые множители.
9. Пусть в кольце © имеет место однозначность разложения на простые
множители. Доказать, что тогда для любых а и (J из © (не равных одновре-
менно нулю) существует такой их общий делитель 6, который делится на
все прочие общие делители аир (6 называется общим наибольшим дели-
телем а и Р). ___
10. Показать, что в максимальном порядке поля ©(У—б) имеем суще-
ственно различные разложения на простые множители:
55 = 5 • И = (7 + У=6)(7 — У—6), 6 = 2-3=—(у^б)2.
11. Проверить, что в максимальном порядке поля О(У — 23) имеем раз-
ложения на простые множители:
6 = 2-3 = 1 + ~ 2~3, 27 = 3.3-3= (2 +У^23)(2-У^23)-
190
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
Найти в том же кольце различные разложения числа 8 на простые множи-
тели.
12. Доказать, что если в кольце © все идеалы главные, то © — кольцо с
однозначным разложением на простые множители.
§ 3. Дивизоры
1. Аксиоматическое описание дивизоров. Рассмотрим произ-
вольное коммутативное кольцо £) (с единицей и без делителей
нуля) и постараемся выяснить, какой смысл можно вложить в из-
ложенную в п. 3 § 2 идею отображения отличных от нуля эле-
ментов кольца £) в некоторую новую область, в которой разло-
жение на простые множители однозначно.
Наша теория должна, очевидно, состоять из двух частей: из
построения некоторой совокупности ® новых объектов, в которой
разложение на простые множители однозначно, и из сопоставле-
ния ненулевым элементам кольца О элементов совокупности ®.
Начнем с первой части. Для того чтобы в ® можно было говорить
о разложении на множители, там должна быть определена опе-
рация умножения, сопоставляющая любым двум элементам из
® некоторый третий элемент — их произведение. Эту операцию
мы будем предполагать ассоциативной и коммутативной. Мно-
жества с такой операцией называются коммутативными полу-
группами. Для наших целей необходимо, далее, потребовать, что-
бы в ® была единица, т. е. такой элемент е, что еа = а для всех
В коммутативной полугруппе ® с единицей е можно говорить
о делимости элементов: элемент as® делится на 5s®, если
существует такой элемент Cs®, что а = 6с (говорят также, что
6 есть делитель а, или а кратно 6). Элемент )>е®, отличный от
е, называется простым, если он делится только на себя и на еди-
ницу е. Говорят, далее, что в полугруппе ® имеет место одно-
значность разложения на простые множители, если каждый эле-
мент с е® может быть представлен в виде произведения простых
элементов
а = г>0,
и такое разложение единственно с точностью до порядка сомно-
жителей (при г = 0 произведение считается равным единице е).
Однозначность разложения предполагает, таким образом, что в
полугруппе ®, кроме е, нет других обратимых элементов (дели-
телей е). Ясно, что полугруппа с однозначным разложением на
множители вполне определяется множеством своих простых эле-
ментов (их мощностью). Простой пример полугруппы с одно-
значным разложением на простые множители дает нам совокуп-
ность всех натуральных чисел относительно действия умножения.
В полугруппе ® с однозначным разложением на простые мно-
жители для любых двух элементов существует, очевидно, их об-
§ 31
ДИВИЗОРЫ
191
щий наибольший делитель (т. е. такой общий делитель, который
делится на все другие общие делители данных элементов), а также
общее наименьшее кратное. Два элемента из © называются вза-
имно простыми, если их общий наибольший делитель равен е.
Отметим несколько элементарных свойств делимости в ©: если
произведение ab делится на с и а взаимно просто с с, то b делится
на с; если с делится на взаимно простые элементы а и 6, то С де-
лится и на произведение ab; если произведение al> делится на
простой элемент у, то хоть один из сомножителей делится на у.
Перейдем теперь к выявлению условий, которым должна удов-
летворять вторая часть нашей теории — сопоставление элементам
кольца £) элементов полугруппы ©.
Обозначим через О* совокупность всех отличных от нуля эле-
ментов кольца £>. Так как кольцо £> по предположению не имеет
делителей нуля, то множество £)* является полугруппой относи-
тельно действия умножения.
Пусть задано отображение полугруппы £>* в полугруппу ©
с однозначным разложением на простые множители. Образ эле-
мента а^£>* при этом отображении будем обозначать через (а).
Ясно, что изучение мультипликативной структуры кольца £) при
помощи полугруппы © будет возможно лишь в том случае, если
при отображении а -> (а) произведению элементов в £)* будет со-
ответствовать произведение их образов в S, т. е. если (оф) =
= (а)ф) при всех а и 0 из £)*. Мы должны, следовательно, пот-
ребовать, чтобы отображение а (а) было гомоморфизмом полу-
группы £)* в полугруппу S. Из делимости а на 0 в кольцо £)
будет тогда следовать, что (а) делится на (р) в полугруппе ©. Что-
бы отношение делимости в £> в точности соответствовало дели-
мости в ©, надо потребовать, чтобы и, обратно, из делимости (а)
на (₽) в полугруппе © вытекала делимость а на 0 в кольце £).
Мы будем дальше говорить, что элемент а ¥= О из £) делится
на элемент а е ©, и писать ala, если (а) делится на а в смысле
делимости в полугруппе S. Будем также считать, что 0 делится
на все элементы из ©.
Совокупность всех элементов кольца £), делящихся на а £>*,
замкнута относительно действий сложения и вычитания. Есте-
ственно потребовать, чтобы это свойство сохранилось и для новых
делителей а из полугруппы ©.
Последним нашим условием будет требование отсутствия в ©
«лишних» элементов. Под этим мы понимаем то, что два различ-
ных элемента из © должны отличаться друг от друга своими
свойствами делимости по отношению к элементам из £).
Мы приходим к следующему определению.
Определение. Под теорией дивизоров кольца £) будем
понимать задание некоторой полугруппы © с однозначным раз-
ложением на простые множители и гомоморфизма a -> (а) полу-
группы £)* в ©, для которых выполнены условия:
192
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
1°. В кольце £) элемент а е £)* делится на |5е£>* тогда и
только тогда, когда (а) делится на ([)) в полугруппе S3.
2°. Если а и ft из £ делятся на элемент а е ®, то а ± (3 также
делится на а.
3°. Если а и Ь — два элемента из § и если совокупность всех
элементов а е £), делящихся на а, совпадает с совокупностью всех
элементов (3 *= £?, делящихся на Ъ, то а = Ъ.
Элементы полугруппы ® называются при этом дивизорами
кольца £), дивизоры вида (а), ае О*,— главными дивизорами.
Единичный элемент е полугруппы ® называется единичным диви-
зором, а простой элемент £ — простым дивизором.
Из условия 1° определения теории дивизоров очевидным обра-
зом вытекает следующее важное утверждение.
Равенство (а) = (р) имеет место тогда и только тогда, когда
а и р ассоциированы в кольце £). В частности, все единицы е
кольца £) характеризуются равенством (е) =с.
Теорию дивизоров для кольца £> будем обозначать в дальней-
шем через £)* ®.
Данное нами определение теории дивизоров фиксирует только,
что именно мы будем подразумевать под этим понятием. Оно ни в
какой мере не гарантирует ни существования гомоморофизма
О* ®, ни его единственности.
В следующем пункте мы рассмотрим вопрос о единственности
теории дивизоров, предполагая, что она существует, а в п. 3
укажем одно важное необходимое (но не достаточное) условие ее
существования.
Существование теории дивизоров для интересующих нас мак-
симальных порядков в полях алгебраических чисел будет дока-
зано нами в § 5 (что касается немакспмальных порядков, то
в них ввиду теоремы 3 теория дивизоров построена быть не
может).
Замечание. Условие 2° в определении теории дивизоров
можно опустить: это условие, как легко показать (см. задачи 11—
13), является следствием условий 1° и 3° [132].
2. Единственность. Теорема 1. Если для кольца D суще-
ствует теория дивизоров, то только одна. Точнее, это означает,
что для любых двух гомоморфизмов £>* -* ® и £)* -> ®', удовлет-
воряющих определению п. 1, существует изоморфизм ® ~ ®', при
котором главные дивизоры, сопоставляемые одному и тому же
элементу а е £>* в ® и в ®', соответствуют друг другу.
Доказательство. Пусть £)* -* ® и £)*->- ®' — две теории
дивизоров _кольца £). Для простых дивизоров ре® и р' е ®'
через V и у' обозначим совокупности элементов кольца D, деля-
щихся на р и на у' соответственно (делимость на' V здесь по-
нимается, конечно, относительно теории £)* -> ®, а на р' — отно-
сительно теории £)* -* ®'). Докажем, что для всякого простого
дивизора р' е ®' существует простой дивизор ре® такой, что
§ 31-
ДИВИЗОРЫ
193
Допустим, что это не так, т. е. что р^р' для всех простых
дивизоров ))е $. Из условия 3“ легко следует, что для всякого
дивизора совокупность всех делящихся на него элементов кольца
D не может состоять только из нуля. Выберем в £> элемент (J =#= О,
делящийся на р', и разложим главный дивизор (£) е © на простые
множители:
(₽) = р?* ... р*
(Pi, ..., рг — простые дивизоры полугруппы ©). Так как по на-
шему допущению р; Ф р', то для каждого i = 1, ..., г найдется
элемент делящийся на pi, но не делящийся на р'. Произ-
fey fef*^ fe,
ведениеy= Yi •.. Yr будет делиться, очевидно, нар/ ,.. рг ?а зна-
чит, в силу условия 1° у будет делиться на 0 в кольце £). Но
в таком случае у должно делиться и на р'. Мы получили проти-
fe, fer ,
воречие, так как произведение Ti ... ?г не может делиться иа р
ввиду простоты р' и ввиду того, что все сомножители у,- не делят-
ся на р'.
Итак, для всякого простого дивизора р' е ©' найдется такой
простой дивизор ре©, что рер'. Аналогичным образом в силу
симметрии существует простой дивизор <ц'е ©', для которого
q' <= р. Покажем, что q' = р' и, следовательно, q' = р = р'. Действи-
тельно, по условию 3° в кольце £) существует элемент деля-
щийся на q' и не делящийся на q'p'. Если предположить, что
q' р', то этот элемент > не будет делиться на р', и мы вступаем
в противоречие с включением q' <= р'.
Так как равенством р = р' простой дивизор р = ® (при данном
р'е©') определен однозначно (условие 3°), то мы получаем
взаимно однозначное соответствие р -<-> р' между всеми простыми
дивизорами из © и простыми дивизорами из ©'. Это соответствие
можно, очевидно, продолжить (единственным образом) до изомор-
физма © « ©'. Именно, если Pi <-* Pi, ..., pr <-* pr, т0
ferf ^r /ft- z fef
p?... prr Px1... pr r.
Нам остается теперь доказать, что при этом изоморфизме глав-
ные дивизоры (а) е© и (а)'е©' для любого ае®* соответству-
ют друг другу. Пусть ре$ и р'е©' — соответствующие друг
другу простые дивизоры, и пусть они входят в разложения (а)
и (а)' с показателями к та. I соответственно. По условию 3° в
кольце £) существует элемент л, делящийся на р и не делящийся
на р2. Ввиду равенства р = р' элемент л делится также и на р'.
Главный дивизор (л) имеет, очевидно, вид (л) = рЬ, где b не де-
лится на р. Выберем в £> элемент со, делящийся на и не деля-
щийся на Ь^р. Так как р не входит в Ь\ -то <в не будет делиться
также и на р, а значит, и на р'. Рассмотрим произведение а<в. По-
194
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
скольку а делится на у*, а со делится на то аса будет делиться
на р"!/1 = (л*), откуда ввиду условия 1° получаем, что аса = л*Т),
>]£©. Но Jj'ln, поэтому аса делится на а так как у' f со, то
y'Na. Это показывает, что в дивизор (а)' простой дивизор р'
входит с показателем не меньшим, чем к, т. е. что I к. В силу
симметрии также и к > I, а значит, 1 = к.
k
Мы доказали, таким образом, что если (а) = р!1 . ., рг и
* f . . f
, Pr уг, то (а) = Pi 1 ... рг > а это и означает, что при
изоморфизме ®«®' главные дивизоры (a)s® и (а)'^®' соот-
ветствуют друг другу. Теорема 1 доказана.
Если в кольце © имеет место однозначность разложения на
простые множители, то для него мы легко можем построить тео-
рию дивизоров ©* ->• ©, и в этой теории все дивизоры из ® будут
главными. Действительно, разобьем все отличные от нуля эле-
менты кольца © на классы ассоциированных между собой эле-
ментов и рассмотрим множество ® всех таких классов. Для каж-
дого а ^ ©* через (а) обозначим класс ассоциированных с а эле-
ментов. Легко видеть, что относительно умножения (a)(fi) = (оф)
множество © является полугруппой с однозначным разложением
на простые множители, а также что отображение а(a), a s ©*
определяет теорию дивизоров кольца ©. (Простыми дивизорами
здесь будут классы (л), определяемые простыми элементами ле
е ©.) Согласно теореме 1 всякая теория дивизоров кольца ©
должна в этом случае совпадать с только что построенной.
Предположим теперь, что, наоборот, для некоторого кольца ©
мы имеем теорию дивизоров ©* ®, в которой все дивизоры из
S) главные. Докажем, что тогда элемент л =^= 0 кольца © будет
простым тогда и только тогда, когда соответствующий ему диви-
зор (л) простой. В самом деле, если (л)=,р — простой дивизор
и у — произвольный делитель л в кольце ©, то дивизор (у) дол-
жен быть делителем р (в полугруппе ©) и поэтому, ввиду просто-
ты у, должен совпадать либо с у, либо с единичным дивизором е.
В первом случае у ассоциировано с л, во втором — у есть еди-
ница кольца ©, а это и означает, что л — простой элемент кольца
©. Пусть теперь дивизор (а) отличен от с и не является простым.
Так как (а) делится на некоторый простой дивизор р = (л) и не
совпадает с ним, то а делится на простой элемент л и не ассоци-
ировано с л. Элемент а не может, следовательно, быть простым.
Таким образом, действительно, если все дивизоры главные,
то простота дивизора (л) эквивалентна простоте элемента л.
Пусть теперь a — произвольный элемент из ©*. Если в ©
имеет место разложение
(a)=J>i...Vr (1)
(простые дивизоры не обязательно различны) и если =
= (nt), ..., рг = (лг), то в кольце © мы будем иметь разложение
a = еП1... л,, (2)
§ 3]
ДИВИЗОРЫ
195
где е — единица кольца £). Так как всякое разложение вида (2)
при переходе к дивизорам должно давать разложение (1), то от-
сюда следует, что в £) имеет место однозначность разложения на
простые множители.
Мы получили следующий результат.
Теорема 2. Для того чтобы в кольце £) разложение на
простые множители было возможно и однозначно, необходимо и
достаточно, чтобы в £) существовала теория дивизоров D* ®
и чтобы в этой теории все дивизоры из £> были главными.
3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров. Мы уже го-
ворили, что теория дивизоров существует не для всякого кольца.
Наличие гомоморфизма а ->• (а), удовлетворяющего условиям оп-
ределения теории дивизоров, накладывает на кольцо сильные огра-
ничения. Одно из таких ограничений дается следующей теоремой.
Теорема 3. Если для кольца £) существует теория дивизо-
ров, то это кольцо целозамкнуто в своем поле отношений К.
Доказательство. Предположим, что элемент £ из поля
отношений К кольца £>, удовлетворяющий соотношению
+ ... + ап-£, + = 0, щ, ..., ап е £),
не принадлежит £). Представим его в виде где ае£> п
|JeD, и разложим главные дивизоры (а) и (р) в произведение
степеней простых дивизоров. Поскольку а не делится на в коль-
це © (по нашему предположению то (а) не делится на ([})
в смысле делимости дивизоров (по условию 1°). Это значит, что
некоторый простой дивизор входит в (£) в большей степени,
чем в (а). Пусть р входит в (а) с показателем к > 0. Так как р
делится на yft+1, то в силу условия 2° правая часть равенства
а" = —афа""1 — ... — а„Рп
делится на yftn+‘. В то же время у входит в дивизор (ап) == (а)"
с показателем кп, и поэтому а" не может делиться на р*я+1. Полу-
ченное противоречие показывает, что и теорема 3 доказана.
Другое необходимое условие существования теории дивизо-
ров указано в задаче 1.
Так как среди порядков в полях алгебраических чисел свой-
ством целозамкнутости обладают лишь максимальные порядки,
то согласно теореме 3 только для них можно рассчитывать на по-
строение теории дивизоров.
4. Связь теории дивизоров с показателями. Займемся теперь
вопросом о фактическом построении теории дивизоров. Мы пред-
положим сначала, что для кольца £) теория дивизоров £)*->©
существует, и постараемся выяснить, какой конструкцией эта тео-
рия определяется.
Выбрав произвольно простой дивизор р, мы можем сопоставить
ему некоторую функцию (а), подобно тому как в гл. I просто-
му числу р мы сопоставляли р-адический показатель. Именно,
196
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. Ш
для каждого а 0 из £) через Vy (а) обозначим показатель степе-
ни, с которым > входит в разложение главного дивизора (а) на
простые множители. Очевидно, что Vy(a) характеризуется также
тем, что
v„(a) 1 v.(a)+l
р |a и |Р -fa.
Так как нуль делится на сколь угодно большую степень у, то
естественно положить Vy (0) = оо.
Из определения легко следуют следующие свойства функции
v, (a):
Vy(a₽) = Vy(a) + vy(p), (3)
Vp (a + P) > min (vy (a), Vy (p)) (4)
(при доказательстве свойства (4) следует воспользоваться усло-
вием 2°).
Функцию Vy (а) мы можем распространить на поле отношений
К кольца О с сохранением свойств (3) и (4). Именно, для произ-
вольного £ = a/р е К (а, р s D) положим
Vp © = Vy (а) — Vy (Р).
Значение Vy (£), очевидно, не зависит от способа представления £
в виде g = a/р. Легко проверяется также, что свойства (3) и (4)
выполняются и для расширенной функции Vy.
Выясним теперь, какие значения принимает функция Vy (a),
когда а пробегает все элементы поля К. Так как дивизоры р и Р2
различны, то по условию 3° существует элемент у е £>, делящий-
ся на у и не делящийся на р2. Для этого элемента имеем:
vp (?) = 1- Но тогда Vy (yh) = к при любом целом к. Этим дока-
зано, что функция Vy (а) при отличных от нуля а принимает все
целые раццональные значения.
Определение. Пусть К — произвольное поле. Функция
определенная на элементах а^К, называется показателем
поля К, если она удовлетворяет условиям:
1. v(a) принимает все целые рациональные значения, когда а
пробегает все отличные от нуля элементы из К; v(0) = °°.
2. v(ap) = v(a) + v(p).
3. v(a + р) min (v(a), v(p)).
Мы можем теперь сказать, что каждый простой дивизор у
кольца £) определяет некоторый показатель Vy (а) поля отноше-
ний К. Легко видеть, что для различных простых дивизоров )) и
q соответствующие им показатели Vy и v^ также различны. В са-
мом деле, по условию 3° в кольце D существует элемент ц, деля-
§ 3] дивизоры 197
щийся на р и не делящийся на q. Но тогда Vy (у) 1 и (у) = О,
а значит, v? У= Vq.
Все показатели поля К вида Vy обладают, очевидно, свой-
ством:
Vj, (ос) 0 при всех а е £). (5)
В терминах показателей Vy очень просто записывается разло-
жение главного дивизора (а), соответствующего элементу а £>*,
на простые множители. Простые дивизоры входящие в это
разложение, характеризуются условием Vy (а)>0. Само же раз-
ложение имеет вид
где у, пробегает все простые дивизоры с условием V» (а) > 0.
*4
Мы видим, таким образом, что полугруппа дивизоров ® и го-
моморфизм £)*->- ® вполне определяются заданием множества
всех показателей Vy поля К, соответствующих простым дивизорам
у. Действительно, множество всех дивизоров и закон их умноже-
ния однозначно определяются заданием простых дивизоров (каж-
дый дивизор есть произведение степеней простых дивизоров с не-
отрицательными показателями, а при умножении дивизоров со-
ответствующие показатели складываются). Что касается простых
дивизоров, то это — некоторые объекты у, взаимно однозначно
соответствующие показателям Vy. Наконец, и это самое важное,
равенство (6) определяет гомоморфизм £>* -> ®.
Это показывает, что в основу построения теории дивизоров
может быть положено понятие показателя v(a). На этой мысли
и будет основано дальнейшее изложение.
Прежде всего нам надо выяснить следующий важный вопрос:
чем характеризуется множество 31 всех тех показателей v поля К,
которые можно взять для построения теории дивизоров кольца £)?
Так как произведение (6) должно содержать только конечное
число множителей с ненулевыми показателями Vy.(a), то, следо-
вательно, множество показателей 31 должно удовлетворять ус-
ловию v(a) = 0 почти для всех v 51 при любом фиксированном
а е £)* (выражение «почти для всех» означает: для всех, за
исключением конечного числа).
Далее, в силу (5) для всех v е 31 мы должны иметь v(a) > О,
если только а е £). Обратно, предположим, что для некоторого
1'=^ 0 из Л выполнены неравенства v(£) > 0 при всех v е 31. Если
мы представим £ в виде £ = a/|J (a, feQ), То наши условия
запишутся в виде v(a)^v(p) при всех v е 31. Но это, очевидно,
эквивалентно тому, что главный дивизор (а) делится на главный
«98
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
дивизор ((J). В силу условия 1° получаем отсюда, что а делится
на р в кольце £>, т. е. что | е £>. Мы получили, таким образом,
второе необходимое условие: множество показателей 31 должно
быть таким, чтобы неравенства v(a) > 0 при всех v е 31 были
справедливы для элементов кольца £>, и только для них.
Чтобы выявить еще одно свойство множества 31, выберем в
нем произвольно конечное число показателей Vi, ..., vm, соот-
ветствующих простым дивизорам .., ym. Фиксировав, далее,
неотрицательные целые числа ki, ..., кт, рассмотрим дивизор
а = Vt1 . .. Vm”- В силу условия 3° в кольце £) существует элемент
а,-, делящийся на щ • Pz-iVt+i • • • У™ и не делящийся на а.р,
(1 i С т). Рассмотрим сумму
а = «1 + ... + ат.
Пользуясь условием 2°, легко получим, что элемент а делится
на и не делится на Этим доказано, что множество 31
удовлетворяет также следующему необходимому условию: для
произвольных показателей v1? ..., vm из 31 и произвольных не-
отрицательных целых чисел /с15 ..., /ст в кольце £> существует
элемент а, для которого т/а) = kt (1' i т).
Найденные нами необходимые условия оказываются также и
достаточными для того, чтобы с помощью показателей из 31 можно
было построить теорию дивизоров кольца £>. Для доказательства
рассмотрим полугруппу S) с однозначным разложением на про-
стые множители, простые элементы которой находятся во вза-
имно однозначном соответствии с показателями из 31. Показатель
v е 31, соответствующий простому элементу ре®, будем обозна-
чать также через Vy. В силу первого и второго условий для лю-
бого ае£>* произведение (6) будет иметь смысл (показатели
Vy (а) неотрицательны, причем только конечное число из них
отлично от нуля). Ввиду свойства v(afJ) = v(a) + v(fJ) отображе-
ние a -> (а) будет гомоморфизмом £>* в S). Из второго условия
легко вытекает, что делимость а на [J в кольце £> эквивалентна
неравенствам v(a)>v([J) для всех ve3l. Это обеспечивает вы-
полнение условия 1*. Условие 2° непосредственно следует из
неравенства v(a± fJ) > min (v(a), v(fJ)). Если a и b— два различ-
ных элемента из S), то некоторый простой элемент р входит в их
разложения на простые множители с различными показателями,
скажем, к и I соответственно. Пусть к < I. Согласно третьему
условию в £> существует элемент а, делящийся на а, для которого
vy (а) = Этот элемент а не будет делиться на Ь. Этим мы дока-
зали, что условие 3° также выполнено. Гомоморфизм £>* -> S) дает
нам, следовательно, теорию дивизоров для кольца £>.
Сформулируем получерный нами результат.
Теорема 4. Пусть £) — кольцо, К — его поле отношений
и 31 — некоторое множество показателей поля К. Для того чтобы
ДИВИЗОРЫ
199
§ 3]
показатели из 91 определяли теорию дивизоров для кольца £>, не-
обходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия-.
1) для всякого а'^О из £) существует только конечное число
показателей v е 91, для которых v(a) =/= О;
2) элемент а из К принадлежит £> тогда и только тогда, когда
v(a) 2;‘ О при всех v е 91;
3) для произвольной конечной системы различных показателей
Vi, ..., vm из 91 и произвольных неотрицательных целых чисел
kt, ..km в кольце Q существует элемент а, для которого
Vj(a) = ki, ..., vm(a) = km.
Построение теории дивизоров для данного кольца © сводит-
ся, таким образом, к построению в его поле отношений К соответ-
ствующего множества показателей 91.
Мы не будем вдаваться в анализ целозамкнутых колец, для
которых возможно построение теории дивизоров (см. замечание
в конце пункта). В следующем параграфе мы докажем, что если
для кольца о с полем отношений к теория дивизоров существует,
то опа существует и в целом замыкании О кольца о в произволь-
ном конечном расширении К поля к. Так как для кольца Z це-
лых рациональных чисел теория дивизоров хорошо известна (здесь
имеет место однозначность разложения на простые множители),
то этим будет доказано также существование теории дивизоров
и для максимальных порядков в полях алгебраических чисел.
Набор показателей v поля К, которые надо взять для построе-
ния теории дивизоров, существенным образом зависит, конечно,
от кольца О, и, вообще говоря, этот набор не будет исчерпывать
все показатели поля К (задача 6). Может даже случиться (за-
дача 7), что для всех показателей поля К условие 1) теоремы 4
не будет выполняться. Покажем, однако, что в случае кольца
целых рациональных чисел Z соответствующий набор показате-
лей исчерпывает все показатели поля рациональных чисел Q
(в дальнейшем мы увидим, что аналогичный факт справедлив и
для максимальных порядков в произвольных полях алгебраиче-
ских чисел).
Каждому простому числу р е Z (т. е. простому дивизору
кольца Z) соответствует показатель ур поля Q, значения кото-
рого для отличного от нуля рационального числа
х — рта!Ъ (7)
(а и & целые, не делящиеся на р) определяются равенством
vP(a;) = тп. (8)
Этот показатель vP называется р-адическим показателем поля Q
(очевидно, что значения показателя (8) совпадают со значениями
р-адического показателя на поле р-адических чисел Qp; см. гл. I,
§ 3, п. 2).
200
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
(ГЛ. III
Теорема 5. Все показатели поля рациональных чисел ис-
черпываются р-адическими показателями vP {для всех простых р).
Доказательство. Пусть v — произвольный показатель по-
ля Q. Так как
v(l +. ..+ !)> min (v(l), ..v(D) = 0,
то v(n) >0 при всех натуральных п. Если бы v(p)=0 для всех
простых р, то мы имели бы также v(a) =0 для всех а ¥= 0 из Q,
что невозможно по условию 1 определения показателя. Следова-
тельно, для некоторого простого р мы должны иметь v(p) = е > 0.
Пусть для простого q ¥= р имеем также v(<?) > 0; тогда из равен-
ства ри + qv = 1 с целыми и и v будет следовать
0 = v(pu + qv) > min (v(pu), v(qv)) > min (v(p), v(q)) > 0.
Полученное противоречие показывает, что v(q)—Q для всех про-
стых чисел q, отличных от р, а значит, v(a) =0 для всех целых а,
не делящихся на р. Для рационального числа (7) имеем, таким
образом,
v(x) = mv(p) + v(a) — v(b) = me- evp(.x).
Так как значения показателя v должны охватить все целые числа,
то е = 1 и, следовательно, v = vP. Теорема 5 доказана.
Заметим, что теорему 5 можно было бы легко вывести из тео-
ремы 3 § 4 гл. I, вторая часть доказательства которой совпадает,
по существу, с только что проведенным доказательством.
Рассмотрим в заключение еще один частный случай.
Предположим, что для некоторого кольца £) мы имеем теорию
дивизоров £>*->- S) с конечным числом простых дивизоров ...,
Обозначим через ..., vm соответствующие показатели поля от-
ношений К. Согласно условию 3) теоремы 4 для произвольного
дивизора а = Pi1 .. . ротт 0) в кольце £> существует эле-
мент а, для которого vI(a) = A:1, ..., vm{a) = km. Но это значит,
что дивизор а совпадает с главным дивизором (а). Таким образом,
все дивизоры из S) главные, и, значит, в кольце £) имеет место
однозначность разложения на простые множители (теорема 2).
Если ..., Vm = (nm), то элементы ..., составляют
полную систему попарно не ассоциированных простых элементов
кольца © и каждый элемент а е £)* однозначно представляется
в виде
О* == CJTj ... ftm J
где е — единица в £>. Простые элементы ..., лт характеризу-
ются, очевидно, также условиями:
Vi(nt) = 1, ту(л,)=0 при
Нами доказан следующий результат.
ДИВИЗОРЫ
201
§ 3]
Теорема 6. Если для некоторого кольца © мы имеем теорию
дивизоров с конечным числом простых дивизоров, то в £) имеет
место однозначность разложения на простые множители.
Замечание. Согласно задаче 15 кольцо £) с теорий диви-
зоров вполне целозамкнуто. Далее, из задачи 16 § 6 легко следует,
что в кольце с теорией дивизоров для каждого целого d-идеала А
существует лишь конечное число целых d-идеалов, содержащих
этот идеал А (поскольку для целого дивизора существует лишь
конечное число целых делителей). Эти два необходимых условия,
оказывается, и достаточны для того, чтобы для кольца © суще-
ствовала теория дивизоров. Другими словами, кольцо © допускает
теорию дивизоров тогда и только тогда, когда оно вполне цело-
замкнуто и для целых d-идеалов в © выполнено условие макси-
мальности (т. е. в каждом непустом семействе целых d-идеалов
имеется d-идеал, не содержащийся ни в каком другом d-идеале
этого семейства). Кольца, удовлетворяющие двум последним ус-
ловиям, носят название колец Крулля. Кольца с теорией дивизо-
ров совпадают, таким образом, с кольцами Крулля (см. [4],
гл. VII). Кольца Крулля могут быть охарактеризованы также
как пересечения П колец показателей ©, для показателей v
vejl
из семейств 91, удовлетворяющих условию: для каждого
из К существует лишь конечное число показателей v е 91, для
которых v(a) 0. Согласно задаче 6 § 4 Дополнения всякое цело-
замкнутое нётерово кольцо вполне целозамкнуто. Поэтому нёте-
рово кольцо допускает теорию дивизоров тогда и только тогда,
когда оно целозамкнуто (см. [5], § 140).
Задачи
1. Доказать, что если для кольца О существует теория дивизоров, то
каждый элемент из О имеет лишь конечное число не ассоциированных меж-
ду собой делителей.
2. Доказать, что в произвольной теории дивизоров всякий дивизор яв-
ляется общим наибольшим делителем двух главных дивизоров.
3. Пусть К = к (х) — поле рациональных функций над произвольным
полем к и <р — некоторый неприводимый многочлен из кольца к [я]. Каж-
дую рациональную функцию и Ф 0 из К можно представить в виде и =
= фт//у, где fug — многочлены из к [ж], не делящиеся на ф. Показать, что
функция v,,, определенная равенством v<p(u) = m, является показателем
поля К.
4. Если отличные от нуля многочлены / и g из кольца к [ж] имеют со-
ответственно степени п и т, то для рациональной функции u = //geft(x)
положим v*(u) = т — п. Доказать, что функция v* является показателем
поля К = к (х).
5. Доказать, что показатели (для всех неприводимых многочленов <р
кольца к [х]) и показатель v* (задачи 3 и 4) исчерпывают собой все пока-
затели v поля к(х), для которых v(a) =0 при всех а Ф 0 из к.
6. Определить множество показателей 91 поля К = к(х), удовлетворяю-
щих условиям теоремы 4, если в качестве D взять кольцо /с[х]. Определить,
далее, множество й для кольца D' = к [1/х].
202
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
7, Пусть К = к (х, у) — поле рациональных функций от ж и у над полем
к. Для произвольного натурального п положим
х
ХП п
УП
Отличную от нуля рациональную функцию и = и(х, у) е К представим
я виде
и = и(хпу ,у) = у
где многочлены / и g не делятся на у. Показать, что функция vn, определен-
ная равенством уп (и) = т, является показателем поля К. Показать далее,
что все показатели v„ (га 1) различны и для всех них vn(z) > 0.
8. Известный признак неприводимости Эйзенштейна для целочислен-
ных многочленов сформулировать и доказать для многочленов с коэффици-
ентами из произвольного кольца О с теорией дивизоров.
9. Доказать, что если для кольца £) существует теория дивизоров, то
для его поля отношений К существуют алгебраические расширения произ-
вольной степени.
10. Для многочлена / =/= 0 из кольца многочленов £> = к [ж, у] от двух
переменных над полем к через v(/) обозначим наименьшую степень одно-
членов, входящих в / с ненулевым коэффициентом. Показать, что функция
v может быть продолжена до показателя поля рациональных функций
к(х, у). Обозначим через 51 множество показателей поля к(х, у), соответ-
ствующих неприводимым многочленам кольца О. Какое из условий теоремы
4 не выполняется для кольца О и множества показателей 9ti, получающего-
ся из 51 присоединением показателя v ?
И. Доказать, что условие 3° в определении теории дивизоров эквива-
лентно условию: каждый элемент ае® является общим наибольшим де-
лителем элементов вида (оц), ..., (ап), где (1 i < га).
12. Пусть для гомоморфизма £)* -> ® выполнено условие 3° определе-
ния теории дивизоров. Показать, что для любого а е ® в полугруппе £)* су-
ществуют такие элементы а, ... ап, что произведение (а)а есть общее
наименьшее кратное элементов (at), ..., (а„).
Указание. Выберем элементы ) = £* и t е® так, чтобы (3) = аЬ.
Согласно задаче 11 Ь есть общий наибольший делитель элементов вида
(Pi), ..., (^п), где р, е О*. Положим а = pt ... рп и at = ар/р« (1 i га).
13. Основываясь на предыдущей задаче, показать, что условие 2° в оп-
ределении теории дивизоров является следствием условий 1° и 3°.
14. Пусть О — кольцо с теорией дивизоров. Доказать, что кольцо много-
членов © |/1, ..., хп] является также кольцом с теорией дивизоров.
15. Доказать, что всякое кольцо с теорией дивизоров вполне целозамкпу-
то (см. задачу 5 § 4 Дополнения).
§ 4. Показатели
Согласно теореме 4 § 3 построение теории дивизоров в цело-
замкнутом кольце £> сводится к построению в его поле отношений
К показателей, обладающих указанными в этой теореме свой-
ствами. Займемся поэтому систематическим изучением свойств
показателей.
1. Простейшие свойства показателей. Из определения по-
казателя v в произвольном поле К (§ 3, п. 4) непосредственно
ПОКАЗАТЕЛИ
203
вытекают следующие его свойства:'
v(±l)=0; v(— cc)=v(a);
v(a/0) = v(a) — v(0), 0 ¥= 0; v(a") = nv(a), rgZ;
v(at + ... + an) > min (v(cci), ..v(ocn)).
Предположим, что v(a)¥=v(0). Если v(a)>v(0), то v(a+0)>
>v(0). С другой стороны, из равенства 0 = (a + 0) —а получаем
v(0) Э- min (v(a+ 0), v(a)), откуда v(0) S3 v(a + 0). Таким образом,
v(a+0) = min (v(a), v(0)), если v(a)¥!v(0). (1)
Индукцией по числу слагаемых отсюда легко получаем, что
v(a4 + ... + an) = min (v(ai), ..., v(an)),
если только среди значений v(ai), ..., v(an) имеется только одно
наименьшее.
Определение. Пусть на поле К задан показатель г. Под-
кольцо поля К, состоящее из тех элементов а^К, для которых
v(tz)^O, называется кольцом показателя v. Элементы из £)v на-
зываются целыми относительно показателя у.
Очевидно, что для кольца £)v и множества 91, состоящего только
из одного показателя у, выполнены все три условия теоремы 4
§ 3. Для кольца £)v существует, следовательно, теория дивизоров с
единственным простым дивизором. Теоремы 3 и 6 § 3 дают нам
поэтому следующие результаты:
Теорема 1. Кольцо показателя v поля К целозамкнуто
в К.
Теорема 2. С точностью до ассоциированности в кольце
©v имеется только один простой элемент л, и всякий элемент
a ¥= 0 из однозначно (при фиксированном л) представляется
в виде ос = ел™, где е— единица в S, (т'Х)').
Простой элемент л кодьца показателя у характеризуется, оче-
видно, равенством v(n) — 1.
В кольце ©v, как и во всяком кольце, можно рассматривать
сравнения по модулю элемента (см. Дополнение, § 4, п. 1). Так
как сравнения по модулю ассоциированных элементов равносиль-
ны, то кольцо классов вычетов кольца Sv по модулю простого
элемента л не зависит от выбора л и, следовательно, вполне опре-
делено самим кольцом Sv- Обозначим это кольцо классов вычетов
через Sv и покажем, что оно в данном случае является полем.
Действительно, если осе£Х и а^О(тойл), то v(a)=0 и, значит,
а является единицей в £>v. Но в таком случае не только сравнение
сс§ = 1(тойл), но и уравнение ag = 1 разрешимо относительно
элемента В е£Х-
Поле Sv называется полем вычетов показателя у.
2. Независимость показателей. Пусть для кольца О мы имеем
теорию дивизоров £)* -> S, и пусть у15 ..., — различные простые
дивизоры из ©. Согласно теореме 4 § 3 соответствующие этим
204
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
(ГЛ. Ш
простым дивизорам показатели v4, ..vm поля отношений К об-
ладают свойством независимости, выражающимся в том, что в К*
существуют элементы на которых эти показатели принимают
любые наперед заданные значения kit ..., кт. Действительно,
если для каждого г = 1, ..., т мы положим кг = max (0, ki),
ki = min(0,/Ci), то согласно условию 3) упомянутой теоремы в ©
найдутся элементы а и ₽ с условиями v4 (ос) = /г,, Vj ф) = — /q,
а тогда для их отношения £ = а/p будем иметь
v<(g) = ki,
Мы докажем, что это свойство независимости не связано с тем
обстоятельством, что показатели vt соответствуют простым диви-
зорам в некоторой теории дивизоров, а имеет место для любой
конечной системы показателей.
Теорема 3. Если vt, ..., vm — попарно различные показатели
поля К, то для любых целых рациональных чисел kt, ..., к,п су-
ществует элемент для которого
Vi(g) = k{, ..., vm(g) = km.
Эта теорема о независимости конечной системы показателей
будет получена нами как простое следствие более сильной теоре-
мы 4. Сформулируем одно следствие теоремы 3.
Обозначим через ©(, ..., ©т кольца показателей Vi, ..., vm
ТП
и через О пересечение П Для кольца О и для множества по-
г—1
казателей 31, состоящего из Vi, ..., vm, условия 1) и 2) теоремы
4 § 3 выполняются очевидным образом. Сформулированная тео-
рема 3 показывает, что условие 3) также выполнено, а значит,
для кольца О мы имеем теорию дивизоров с конечным числом
простых дивизоров. Теорема 3 означает, таким образом, что любая
конечная система показателей v4, ..., vm поля К определяет тео-
ТП
рию дивизоров в кольце ©= П Ввиду теоремы 6 § 3 это дает
г =1
нам следующий результат.
Следствие. Если ©1( ..., ©m — кольца попарно различных
m
показателей Vi; ..., vm поля К, то пересечение © = П ©г является
i=l
кольцом с однозначным разложением на простые множители.
Именно, каждый элемент а ¥= 0 из £> однозначно представляется
в виде а = ел/ ... лтт, где е — единица в ©, а ль ..., лт — фик-
сированные простые элементы, характеризуемые условиями
vt(n,) = 1, Vj(n,) = 0, j =5^ i.
Теорема 4 (об аппроксимации). Если vt, ..., vm — попарно
различные показатели поля К, то для любых элементов |t, ...
S 4]
ПОКАЗАТЕЛИ
205
..из К и любого целого N в поле К найдется элемент для
которого
Доказательство. 1°. Докажем сначала, что если для ко-
лец £>! и ©2 показателей Vi и v2 поля К имеет место включение
©1 <= ©2, то Vt = v2. Действительно, всякая единица е кольца ©i
является также единицей и в кольце ©2, и поэтому v2(e)=0.
Если теперь л — простой элемент кольца ©i, то произвольный
элемент £ е К* представляется в виде | = nV1®e (е — единица
кольца ©i), а значит,
v2(g) = Vi(g)Z, (2)
где Z = v2(n)^0. Ясно, что равенство (2) возможно только при
I = 1, и, следовательно, v2 — v\.
2°. Покажем теперь, что если показатели vlt ..., vm (m^2)
попарно различны, то в поле К существует такой элемент а, что
Vi(a)>0, v,(a) < 0, у = 2, ..., т. (3)
Будем доказывать это утверждение индукцией по т. Пусть т =
= 2. По доказанному выше включения ©i с©г и ©2 <= ©, невоз-
можны, поэтому в К* найдутся такие элементы fJ и у, что
Vi(£) >0, v2(p) <0; Vi(y)<0, v2(y)^0.
Но тогда для a = р/у имеем
Vi(a)>0, v2(a)<0.
Пусть т > 3, и пусть для случая т — 1 показателей наше утвер-
ждение уже доказано. Выберем тогда в К* элементы а0 н б так,
чтобы
Vi(a0)>0, v3(a0)<0, / = 2, ..., т — 1,
Vi(6)>0, vm(6) < 0,
и положим
а = а0 + бг, . (4)
где натуральное г выберем с соблюдением условий: v3(6r) ¥= v3(a0)
при / = 2, ..., т. Тогда
Vr(a) > min (Vi(a0), "fi(6r)) > 0
и ввиду (1)
. v3(a) = min (v3(a0), v3(6r)) < 0
при всех / = 2, ..., m. Таким образом, элемент (4) при надлежа-
щем г удовлетворяет требованиям (3).
3°. Для доказательства утверждения теоремы 4 выберем в К
элементы ai, ..., am так, чтобы
Vi(af) > 0, v3(a<) <0, / ¥= i,
206
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
И ПОЛОЖИМ
(5)
Так как V; (а4) =/= 0 = у? (1) при натуральном г, то по свойству
(1) значение¥/(1 + оД) равно 0 при i = / и равно rvj(.ai) —г при
i у. Следовательно,
при i=£ ]' и
а значит, vj (g — min (г + у (£,)) Ясно теперь, что элемент
(5) будет удовлетворять неравенствам теоремы 4, если только
r^N — min
Замечание. Каждый показатель поля К определяет на К
некоторую метрику (см. начало § 1 гл. IV). Пусть <pi, ..., tpm —
метрики поля К, соответствующие попарно различным показа-
телям vf, ..., vm. В терминах понятия метрики теорема 4 озна-
чает, что в поле К для любой системы элементов мож-
но найти элемент который будет сколь угодно близок к каж-
дому из элементов £(, если понимать близость каждый раз в смыс-
ле соответствующей метрики ф4. Более точно это можно выразить
также следующим образом. Пусть К,(1 i V т) — метризованное
поле, совпадающее как поле с К и наделенное метрикой <р4 (см.
п. 1 § 4 гл. I). Поскольку метрика <р,- определяет на Kf тополо-
гию, то декартово произведение П/Д является топологическим
пространством (топологическим кольцом). Утверждение теоремы
4 равносильно тому, что образ поля К при «диагональном» ото-
бражении £-* (£, ..., |) е ГГ К является всюду плотным
г
подмножеством в ТТ Kf
Доказательство теоремы 3. Пусть к,, ..., кт — про-
извольные целые числа. Для каждого i = 1, ..., т в поле К су-
ществует такой элемент to что v((£() = к,. Положим У=1 +
+ max (&,, ...,' кт). Согласно теореме 4вЯ можно найти элемент
g, для которого v<(B —1<) N. Для этого элемента g имеем
v«(g) = min (viigi), Vi(s - &)) = k(,
и теорема 3 доказана.
3. Продолжение показателей. Пусть к — произвольное поле,
К/к — конечное расширение и v — некоторый показатель поля
К. Рассматривая v лишь на элементах из к, мы получим функ-
цию, которая будет, очевидно, также удовлетворять условиям
2 и 3 определения показателя (§ 3, п. 4). Что касается первого
ПОКАЗАТЕЛИ
207
§ 4]
условия, то оно для этой функции может и не выполняться, т. е.
значения v на элементах из к* не обязательно исчерпают группу
всех целых чисел Z- Все эти значения не могут состоять, однако,
только из нуля. В самом деле, если бы это было так, то поле к
целиком содержалось 6^1 в кольце показателя v, а тогда в силу
целозамкнутости этого кольца (теорема 1) в нем содержалось бы
и поле К, что невозможно. Таким образом, среди значений v(a),
а^к*. имеются отличные от нуля, а значит, имеются и положи-
тельные (если v(a) < 0, то v(a_1) > 0).
Обозначим через р какой-нибудь элемент из к, для которого
у(р) — е есть наименьшее положительное значение показателя
v па элементах поля к. Тогда для любого a е к* значение v(a) =
= т делится на е. Действительно, если m=es + r, 0^г<е,
то v(ap-s) = т — se = г, откуда в силу минимальности е следует,
что г = 0. Полагая теперь
v0(«) = v(«)/e, aefc*, vo(0) = °°, (6)
мы получаем на к функцию у0, которая принимает уже все це-
лые значения и которая является, следовательно, показателем
поля к.
Определение. Пусть К — конечное расширение поля к.
Если показатель v0 поля к связан с показателем v поля К соотно-
шением (6), то говорят, что v0 индуцируется на к показателем
v, a v является продолжением v0 на поле К. Однозначно опреде-
ленное соотношением (6) натуральное число е называется при
этом индексом ветвления у относительно v0 (или относительно
подполя к).
В этом определенпи следует обратить внимание на то обстоя-
тельство, что при е > 1 термин «продолжение показателя» не
совпадает с обычным пониманием продолжения функции на более
широкую область задания.
Согласно доказанному выше каждый показатель у на К ин-
дуцирует некоторый (единственный) показатель v0 на к. Спра-
ведливо и обратное утверждение.
Теорема 5. Для всякого показателя v0 поля к существует
его продолжение на конечное расширение К поля к.
Доказательство теоремы 5 мы проведем в следующем пункте.
Сейчас же мы рассмотрим некоторые свойства продолжений дан-
ного Vo, предполагая, что эти продолжения существуют.
Пусть к^К^К' — цепочка конечных расширений и v0, v,
v' — показатели полей к, К, К' соответственно. Очевидно, что
если v является продолжением v0 с индексом ветвления е, а у' —
продолжением v с индексом ветвления е', то у' будет продолже-
нием Vo на поле К', причем индекс ветвления у' относительно
у о будет равен ее'. Легко видеть также, что если v0 и v индуци-
руются показателем у' на подполях к и К, то v является продол-
жением v0.
208
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
Лемма 1. Если К — конечное расширение поля к степени п,
то для произвольного показателя v0 поля к существует не более
п его продолжений на К.
Доказательство. Пусть v15 ..vm — различные показа-
тели поля К, являющиеся продолжениями v0. По теореме 3 в
поле К мы можем найти элементы для которых v{(£() =
= 0 и v/g,) = 1 при / ¥= I. Покажем, что эти элементы линейно
независимы над к. Рассмотрим линейную комбинацию
У "Г • • *Р
с коэффициентами а3 из к, не равными нулю одновременно. Пусть
r = min(v0(a1), ..., v0(am)), и пусть индекс гв таков, что v0(aj„)=r.
Обовначая через е индекс ветвления показателя v« относительно
к, имеем
ч(%Ч) = еуо(%) + ч(Ч) = ег’
vi0 = eV0 "Р vi0 (bl) еГ “P 1, J1/1 ^0’
поэтому
Vi0 (?) = min (vio , v{() (amZm)) = er,
а значит, у¥=0, что и доказывает наше утверждение. Из линей-
ной независимости элементов ...-, В™ над полем к следует, что
m С {К: к), а это и значит, что число продолжений V,- не может
быть больше п. Лемма 1 доказана.
Теорема 6. Пусть v0 — показатель поля к, О — его кольцо
и © — целое замыкание кольца о в конечном расширении К поля
к. Если Vj, ..., vm — все продолжения показателя v0 на поле К
тп
и £),, ..., £>т — их кольца, то © = Г]
2=1
Доказательство. Так как о<= £>,, а кольцо О; целозамкну-
то в К, то О с при любом i = 1, ..., т, а значит,
rtl
©с=©' = л ©;.
j=i
Доказательство обратного включения мы проведем в несколько
этапов.
1) Предположим сначала, что К/к — конечное расширение
Галуа и G — его группа Галуа. Для показателя Vi и автомор-
физма a^G рассмотрим функцию v", определенную формулой
V?(g) = vi(o(g)), 1е=к.
Ясно, что V®— показатель поля К. Легко видеть также, что vf —
продолжение показателя v0. В самом деле, если е; — индекс ветв-
ления V,- относительно к, то при a е к имеем
V? (а) = Vi (а (а)) = (а) = е.То (а).
§ 4]
ПОКАЗАТЕЛИ
20»
Так как vt, ..vm — это все продолжения v0 на поле К, то каж-
дый показатель vf совпадает с некоторым v3-,
Пусть теперь g — произвольный элемент из £>'. Так как
vi(a©) = v?© = vj(g)>0,
то вместе с £ элементы o(g) (о е (?) также содержатся в £)'. Сог-
ласно теореме 11 § 2 Дополнения характеристический многочлен
/(() s kl(] элемента g относительно расширения К/к в поле К
имеет разложение
/(() = «” + а1(”’1+ ... +ап= П (i-aO-
Отсюда следует, что все коэффициенты as содержат-
ся в Но, с другой стороны, ае е А', поэтому as (= £)' П k cz £),• (1
П к — 0. Таким образом, элемент § целый относительно о, т. е.
Равенство £> = &' для случая расширения Галуа доказано.
2) Пусть К — чисто несепарабельное расширение поля к ха-
рактеристики р. Если j c А. то « Е к при некотором и Э® 0,
и для продолжения v показателя v0 на поле К с индексом ветвле-
ния е мы имеем
v (ё) = 4 v («) = 4 vo («)•
р р
Полученное равенство говорит о том, что для v0 имеется только
одно продолжение на поле К, и £)' совпадает с кольцом £>v по-
казателя v. Если теперь £e£)'i=£)v, то v(£) >0, v0(a) Г- 0, а е О
и j е£), а значит, и в этом случае £> — .
3) Пусть К/к — произвольное нормальное расширение. Если
это расширение не является расширением Галуа, то согласно
теореме 14 § 2 Дополнения существует такое промежуточное
поле Ко, что К/Ка — расширение Галуа и К0/к — чисто несепа-
рабельное расширение. По только что доказанному для v0 суще-
ствует только одно продолжение v0 на поле Ко и его кольцо £>а
совпадает с целым замыканием о в Ко. Так как показатели
Vi, ..., vm являются, очевидно, продолжениями и v0, то ввиду 1)
для доказательства равенства £> = £)' достаточно лишь заметить,
что целое замыкание кольца £>0 в поле К совпадает с £> (задача
2 § 4 Дополнения).
4) Теперь мы можем рассмотреть случай произвольного конеч-
ного расширения К/к. Согласно теореме 12 § 2 Дополнения поле
К можно погрузить в конечное нормальное расширение К/к.
Пусть vtj — все продолжения показателя vj на поле К и £>„ —
их кольца. Если £) — целое замыкание о в К, то по доказанному
210
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ, ш
£) = Г1 откуда
ij
— тп
© = © п К = n (Do- П К) = n ©i,
i=l
и теорема 6 доказана полностью.
Теорема 7. В кольце £) (при обозначениях предыдущей
теоремы) имеет место однозначность разложения на простые мно-
жители-, при этом набор показателей поля К, соответствующих
простым элементам в ©, совпадает со всеми продолжениями
Vi, ..vm показателя v0 на поле К. Если л1; ..лт — простые
элементы в £), занумерованные так, что v/nj = 1, и если для
простого элемента pso в кольце £) мы имеем разложение
р = enJ1 . . . п™ (е — единица в О), (7)
то et является индексом ветвления vt- относительно v0 (и, следо-
вательно, ei > 0).
Доказательство. Первое утверждение теоремы непо-
средственно вытекает из теоремы 6 и следствия теоремы 3. До-
кажем второе равенство. Пусть а — произвольный элемент из к*.
Если v0(а) = s, то а = psu, где и — единица кольца о, а значит,
и кольца ©. Из равенства
se sem
а = ewnx 1 .. . (8)
следует теперь, что
v((a) = e>v0(a), ask*, (9)
а это и требовалось доказать.
Теорема 7 подсказывает нам, как можно доказать существо-
вание продолжений показателя v0 на поле К: достаточно для
этого убедиться, что в целом замыкании © кольца о в поле К
имеет место однозначность разложения на простые множители.
В самом деле, пусть нам известно, что в © разложение на прос-
тые множители однозначно и число неассоциированных простых
элементов конечно. В силу теоремы 6 § 3 это равносильно тому,
что в © существует теория дивизоров с конечным числом простых
главных дивизоров р1=(л1), ..., ут=(лт). Обозначим через
Vj, ..., vm показатели поля К, соответствующие этим простым ди-
визорам. Простой элемент р s о в кольце © имеет разложение
вида (7) с неотрицательными показателями е,-. Следовательно,
произвольный элемент а — psu из к* (s = v0(a)) в кольце © имеет
разложение вида (8), из которого для каждого i = 1, ..., пг сле-
дует формула (9). Если бы е( = 0, то все значения показателя
v; на к* были бы равны нулю, а это, как мы видели в начале
пункта, невозможно. Значит, е, > 0. Формула (9) означает, стало
быть, что все показатели vt, ..., vm являются продолжениями
показателя vs на поле К.
ПОКАЗАТЕЛИ
211
§ 4]
4. Существование продолжений. Пусть, как и прежде, к —
произвольное поле, v0 — некоторый его показатель, о — кольцо
показателя v0 и р — простой элемент кольца о. Через So обозна-
чим поле вычетов показателя v0. Для каждого элемента я е t>
соответствующий ему класс вычетов по модулю р будет обозна-
чаться через а. Равенство а = b в поле So имеет место, следова-
тельно, тогда и только тогда, когда а = Ъ (mod р) в кольце 0.
Рассмотрим теперь произвольное конечное расширение К поля
к и через © обозначим целое замыкание кольца о в поле К.
Лемма 2. Если число элементов в поле вычетов So показа-
теля Vo не меньше степени расширения К/к (в частности,- если
поле So бесконечно), то кольцо £) евклидово и, следовательно, &
нем имеет место однозначность разложения на простые множи-
тели. В кольце £> имеется только конечное число попарно не ас-
социированных простых элементов.
Доказательство. Определим на элементах аеК* функ-
цию Hall, полагая
\\а\\ = 2^к‘^.
Ясно, что Введенная функция обладает свойством Ноф11 = Hall •
• llpll (а, рей*). Кроме того, Hall принимает, очевидно, натураль-
ные значения при всех а е £)*. Мы должны доказать, что для
любой пары элементов а и 0 из D существуют такие £ е ©
и р eD, что
а = Р£ + р, (10)
где р либо равно нулю, либо удовлетворяет неравенству НрН <
<нрн.
Если в кольце © элемент а делится на р, т. е. а» Ру, где
у е ©, то равенство (10) будет соблюдаться при £ = у, р = 0. Пред-
положим, что а не делится на р, т. е. что элемент у==ар-1 не
принадлежит ©. Пусть fit) — tn + cttn~l + ... + сп (с{<^к)— ха-
рактеристический многочлен элемента у относительно расшире-
ния К/k. Так как у ^ ©, то не все коэффициенты Ci принадлежат
0. Если minv0(Cj)=—г<0,то все коэффициенты многочлена
<p(i) = prfit) будут принадлежать кольцу о, причем хоть один
из них будет единицей в 0. Заменим все коэффициенты ф(£) со-
ответствующими классами вычетов по модулю р. Так как стар-
ший коэффициент q>(t), равный рг, делится на р, то мы получим
многочлен <р(£) из кольца S0[i] степени — 1, причем не все
его коэффициенты нули. По предположению поле So содержит по
крайней мере п элементов, поэтому существует элемент я ео,
для которого клаёс вычетов а не является корнем <p(i). Послед-
нее означает, что <р(я) 0 (mod р), т; е. что <р(я) — единица коль-
ца О. Подсчитаем теперь значение Ну — я11. Характеристический
212
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. .ITT
многочлен для у —а равен /(i + a), поэтому
NK/k(y — а) ~ (—!)”/(«) = (—1)"ф(а)р-г,
откуда
Пу — all = 2~r < 1, Ila —afill < НрИ.
Равенство (10) будет удовлетворено, если мы положим с/= а,
р = а — аД.
Мы доказали таким образом, что .0 является евклидовым коль-
цом, а значит, согласно теореме 2 § 2 разложение на простые
множители в нем однозначно.
Пусть л — произвольный простой элемент кольца £). Так как
для всякого а е £)* его норма ТУк/Дос) всегда делится на а, то
АД-Дл) = делится на л {и — единица в о, /5=1). Но в таком
случае в силу простоты лив силу однозначности разложения на
простые множители элемент р также должен делиться на л. Этим
доказано, что если разложение р в кольце © на простые множи-
тели имеет вид
ei ет
р = ел/ . . . Пт
(е — единица в ©), то простые элементы л1; ..., лт исчерпывают
собой с точностью до ассоциированности все простые элементы
кольца О.
Доказательство леммы 2 окончено.
Доказательство теоремы 5. Будем доказывать тео-
рему индукцией по степени п расширения К/к. При п = 1 до-
казывать нечего. Пусть п > 1, и пусть теорема 5 уже доказана
для всех расширений степени < п при произвольном основном
поле.
Если поле вычетов So показателя v0 содержит не менее п эле-
ментов, то по лемме 2 в кольце О разложение на простые множи-
тели однозначно и, следовательно, теорема 5 справедлива соглас-
но сказанному в конце п. 3.
Мы должны рассмотреть, таким образом, лишь тот случай,
когда число элементов q поля вычетов конечно и меньше п.
Этот случай мы сведем к уже разобранному, расширив основное
поле к до поля к' так, чтобы, во-первых, степень (к': к) была
равна п — 1 (в «илу индуктивного предположения в поле к' будет,
следовательно, существовать показатель v0, являющийся продол-
жением v0) и, во-вторых, чтобы поле вычетов S' показателя v0
уже содержало не менее п элементов. Если через К' мы обозна-
чим наименьшее поле, содержащее К и к', то для расширения
К'/к' и показателя v0 будет выполнено условие леммы 2, т. е.
будем иметь уже разобранный случай. Намеченный план осуще-
ствляется следующим образом.
Мы знаем (см. Дополнение, § 3), что над всяким конечным
полем существуют неприводимые многочлены произвольной сте-
§ 4] ПОКАЗАТЕЛИ 213
пени. Пусть ф(£)— неприводимый многочлен степени и—1 с ко-
эффициентами из поля So, старший коэффициент которого ра-
вен 4. Каждый из его коэффициентов является классом вычетов
кольца о по модулю р. Заменим эти классы какими-нибудь их
вычетами по модулю р (в качестве старшего коэффициента возь-
мем 1), мы получим многочлен ф(£) из кольца off], который будет
неприводим над полем к' Действительно, если бы ф(£) был при-
водим в поле к, то его можно было бы разложить на множители
с коэффициентами из О, а тогда, переходя к полю вычетов So, мы
получили бы для q>(i) разложение с коэффициентами из So, что
противоречит выбору ф(£). Построим над полем К расширение
ЛР = К(0), где 0 — корень многочлена ф(£). Степень расширения
К'/К, во всяком случае, не превосходит п — 1 (над полем К мно-
гочлен ф(£) может оказаться приводимым). Рассмотрим в К' про-
межуточное поле к' = /с(0). Так как ф(^) неприводим над к, то
(к' : А-) = п — 1. Пусть v0 — какой-нибудь показатель поля к',
являющийся продолжением v0 па к' (существование v0 обеспе-
чено индуктивным предположением). Обозначим через о' кольцо
показателя v0, через р' — простой элемент в о' и через S' — поле
вычетов кольца о' по модулю р'. Два элемента а и Ъ из о срав-
нимы по модулю р' (в кольце о') тогда и только тогда, когда они
сравнимы в кольце О по модулю р. В силу этого те классы выче-
тов кольца о' по модулю р’, которые содержат представителей
из о, образуют подполе поля S', изоморфное So. Имея в виду этот
естественный изоморфизм So “* S', можно считать, что SoczS'.
Так как элемент 0 является корнем многочлена с коэффициента-
ми из о и со старшим коэффициентом 1, то 0е о' (в силу цело-
замкнутости о'). Обозначим через 0 соответствующий ему класс
вычетов из S'. Равенство ф(0) = 0 при переходе к классам выче-
тов по модулю р' дает нам ф(0) =О. Но ф(£) по выбору неприво-
дим над полем So, а значит, степени 1,0,..., 0П-2 линейно неза-
висимы над So. Отсюда легко следует, что поле S' (т. е. поле вы-
четов показателя v0) содержит по крайней мере qn~l элементов
(напомним, что q обозначает число элементов поля So). С другой
стороны,
' ' (к : к) п — 1
Но при g > 2 и п ^2 справедливо неравенство qn~l п. Следова-
тельно, число элементов в поле вычетов S' показателя v0 не
меньше степени (К': к'). По доказанному для показателя v0
существует его продолжение v' на поле К'. Так как v' является
продолжением v0 на поле К', то показатель v, индуцированный
показателем v' на подполе К, будет продолжением показателя v0
(см. п. 3). Этим мы закончили доказательство теоремы 5.
214 ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ .ГЛ. III
Задачи
1. Показать, что для алгебраически замкнутых полей показателей не
существует,
2. Пусть К = к (х) — поле рациональных функций над полем к и v —
показатель поля К, соответствующий многочлену х— а (аек). Показать,
что поле классов вычетов показателя v изоморфно к. Показать, далее,
что два элемента /(ж) и g(x) из кольца показателя v тогда и только тогда
лежат в одном классе вычетов, когда f(a) = g(a).
3. Пусть К = к(х)—поле рациональных функций над полем вещест-
венных чисел к и v — показатель К, соответствующий неприводимому мно-
гочлену х2 -|- 1. Найти поле классов вычетов показателя v.
4. Пусть Ci и ©2 — кольца показателей vi и v2 некоторого поля К, Ei и
Ег— группы единиц этих колец. Доказать, что если fitczEs, то Vi = v2.
Пусть, далее, v, Vi, ..., vm — показатели поля К и О, ©(, ..., £)т — их
т
кольца. Доказать, что если Г] £Vcz£), то v совпадает с одним из
2=1
V1, .Vm. ___
5. Найти целое замыкание кольца 3-целых чисел в поле Q (1/ — 5) и оп-
ределить все продолжения 3-адического показателя v3 па это моле.
6. Найти для любого простого числа р все продолжения р-адического
показателя vp на поле Q ("|/— 1) и определить соответствующие индексы
ветвления.
7. Пусть К/к— нормальное расширение и v0— показатель поля к. Пока-
зать, что если v — какое-нибудь продолжение Vo па поле К, то все прочие
продолжения имеют вид v°(a) = v(o(a)), a e£, где о пробегает все ав-
томорфизмы К/к.
8. Пусть £>1, ..., ©ni — кольца показателей Vi, ..., vm некоторого поля.
т
Доказать, что в кольце П £>; все идеалы главные.
i=l
9. Пусть к = к0 (х, у) — поле рациональных функций от х и у над не-
которым полем к0. Выберем в поле формальных степенных рядов А-э{£} (сад.
задачу 7 § 4 гл. I или п. 5 § 1 гл. IV) ряд
СО
?(г)=2еп4” (Спе/Со)’
п=0
трансцендентный над полем рациональных функций к0(1) (существование
таких рядов следует из того, что мощность поля к0 {?} больше мощности под-
поля k0(t) и, следовательно, больше мощности множества тех элементов из
k0{t}, которые алгебраичны над k0(t)). Для отличного от нуля многочлена
1 = f(.x, у) к0[х, у] ряд /(£, g(t)) по выбору g также отличен от пуля.
Если tn есть наименьшая степень t, входящая в этот ряд с ненулевым коэф-
фициентом, то .полагаем v0 (/) = п. Показать, что функция v0 (при надле-
жащем доопределении) является показателем поля к и что поле вычетов
этого показателя изоморфно полю к0.
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения
1. Существование. Теорема!. Если для кольца о с полем
отношений к имеется теория дивизоров о* -> ©0, определяемая
набором показателей 910, и если К — конечное расширение поля
к, то совокупность 91 всех тех показателей поля К, которые яв-
ляются продолжениями показателей из 310, определяет теорию
дивизоров для целого замыкания £) кольца о в поле К.
§ 5] ' ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 215
Доказательство. В силу теоремы 4 § 3 нам достаточно,
лишь проверить, что множество показателей 91 удовлетворяет
всем трем условиям этой теоремы. Проверим сначала второе ус-
ловие. Для всякого показателя v е 91 и любого а е о мы, оче-
видно, имеем v(a) 5= 0. Это значит, что о содержится в кольце по-
казателя v. Но тогда по теореме 1 § 4 целое замыкание кольца о
в поле К также содержится в кольце показателя v. Другими сло-
вами, v(a)^0 для всех asD. Обратно, пусть для некоторого
элемента а е К неравенство v(tz)^0 выполнено для всех пока-
зателей v е 91. Обозначим через V + а^г~1 + ... + ат минимальный
многочлен а относительно к. Пусть v0 — произвольный показа-
тель поля к, принадлежащий множеству 910, и V,, ..., vm — все
его продолжения на поле К. Так как v,(a) 5s 0, ..., vm(a) 0, то
согласно теореме 6 § 4 элемент а принадлежит целому замыка-
нию в К кольца показателя v0. Но в таком случае все коэффици-
енты а,, ..., ат должны принадлежать самому кольцу показателя
v0 (см. Дополнение, § 4, п. 3), т. е. v0(ai) >0, • ., v0(ar) 0. По-
скольку последнее справедливо для всех v0 е 910, то коэффициен-
ты а,, . . ., аг принадлежат О, а значит, а е £).
Обратимся к первому условию. Пусть ае£>, Среди по-
казателей v0 из 9с0 имеется только конечное число таких, что
v0(ar) 0. Отсюда Следует, что в 91 также имеется только конеч-
ное число показателей V, для которых т’(аг)=я=0. Но если v(ar) =
= 0, то помимо неравенства v(a)^0 мы имеем также v(a~‘) =
= v(a71(ar-1 + • • • + «r-i))^0, а значит, v(a) = 0. Таким обра-
зом, v(a) = 0 почти для всех v s 91.
Остается проверить выполнение третьего условия. Пусть
Vi, ..., Vm — различные показатели из 91 и /с,, ..., кт— неотрица-
тельные целые числа. Обозначим через vM, ..., vOm соответствую-
щие показатели из 910 (среди vOi могут, конечно, оказаться рав-
ные). Дополним нашу исходную систему показателей до системы
Vi, ..., vm, Vm+1, ..., vs, содержащей все продолжения voi на поле
К. По теореме 3 § 4 в поле К существует элемент 7, для ко-
торого
vj-f) = ki, . . ., Vm("f) = кт, Vm+Xy) = 0, ..., Vs("f) =0.
Если этот элемент 7 принадлежит кольцу £>, то мы положим а =
~7. Допустим, что 7 не принадлежит £>. Обозначим в таком слу-
чае через v1T .. ., vr все те показатели из 91, которые на элемен-
те 7 принимают отрицательные значения:
vi (?) = — li, • • •, vr (?) = — lr,
и через v01, ..., vor — соответствующие им показатели из 910
(среди vOj также могут быть равные). Так как каждый из пока-
зателей v9j отличен от каждого из vei, то в о найдется такой
216
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ, III
элемент а, что
voi(a) = Ot voj(a) = Z, 1^ j r,
где l мы возмем равным max (Zlt ..Zr). Положим a — ya. Так как
vj (a) = v'j (?) + v'j (a) > — lj + Voj (a) = — Z; + Z > 0,
to a Таким образом, в обоих случаях в кольце О мы нашли
элемент а с условием v,(a) = ki, ..vm(a) = &m, так что условие
3) теоремы 4 § 3 для множества показателей 51 также выполнено.
Доказательство теоремы 1 окончено.
Применим теорему 1 к случаю поля алгебраических чисел.
Максимальный порядок £> поля алгебраических чисел К явля-
ется, как мы знаем, целым замыканием в К кольца целых рацио-
нальных чисел Z. Так как в Z теория дивизоров имеется (одно-
значность разложения на простые множители), то по теореме 1
теория дивизоров существует и для £>. Согласно теореме 5 § 3
теория дивизоров для Z связана с совокупностью всех показа-
телей поля рациональных чисел Q, а так как каждый показа-
тель поля К является продолжением некоторого показателя поля
Q, то получаем, что теория дивизоров кольца £> определяется
всеми показателями поля К. Мы имеем, таким образом, следую-
щую теорему.
Теорема 2. Для максимального порядка Q произвольного
поля алгебраических чисел К существует теория дивизоров £)*
-> ®, и эта теория определяется совокупностью всех показателей
поля К.
2. Норма дивизоров. Пусть к — поле отношений кольца О е тео-
рией дивизоров Р* -+ ©о, К — конечное расширение поля к, D —
целое замыкание кольца О в поле К и £)* S) — теория дивизоров
для кольца £>. В этом пункте нами будут установлены некоторые
связи между полугруппами дивизоров и ®.
Так как о <= £), то элементам из о* соответствуют главные ди-
визоры как в полугруппе ©0, так и в полугруппе S). Чтобы раз-
личать их, мы условимся здесь главный дивизор из ©0, соответ-
ствующий элементу а е о*, обозначать через (а)А, а главный ди-
визор из ©, соответствующий элементу — через (а)к.
Для полугрупп 0* и £)* мы имеем изоморфное вложение о* ->
-* £>*. Так как единицы кольца £), содержащиеся в о, совпадают
с единицами кольца о, то это вложение определяет изоморфизм
(а)л-> (а)к, аео*, полугруппы главных дивизоров кольца о в по-
лугруппу главных дивизоров кольца £). Мы покажем сейчас, что
этот изоморфизм можно продолжить до изоморфизма ©о ©.
Теорема 3. Для полугруппы ©0 существует изоморфизм
в полугруппу ©, который на главных дивизорах совпадает с изо~
морфизмом (а)* (а)к, а 0*.
ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 217
$ 5]
Изоморфизм ©0 -+ © характеризуется, очевидно, коммутатив-
ностью диаграммы
о* —> О*
I I
т. е. тем, что два «сквозных» гомоморфизма о* ->£)*-> S) и о*
©0 -> © совпадают (вертикальные гомоморфизмы обозначают
отображения мультипликативных полугрупп колец на полугруп-
пы главных дивизоров).
Пусть Р — произвольный простой дивизор кольца О, V), —
соответствующий ему показатель поля к и v^, . .., — все
продолжения v* на поле К (ф1? ..., — простые дивизоры
кольца £». Обозначим через е,, .. ., ет соответственно индексы
ветвления показателей v^, .. ., относительно Так как
v$. (°0 = eivf (®) ПРИ любом a s о*, то множителю J» > из глав-
ного дивизора (а)ке©0 в главном дивизоре будет соот-
ветствовать произведение ($/ . . . 5- Это показывает,
что изоморфизм ©0 в ©, определяемый отображением
»->$?... С™ (1)
(для всех р), удовлетворяет условию теоремы 3.
Нетрудно доказать, что изоморфизм ©0 ©, удовлетворяю-
щий требованиям теоремы 3, единственный (задача 5).
В силу изоморфизма ©0 -> © мы можем полугруппу ©0 отож-
дествить с ее образом в полугруппе ©. При таком отождествле-
нии простые дивизоры из ©0 перестают, вообще говоря, быть
простыми в ©. Именно, ввиду (1) для каждого простого ))£©, в
полугруппе © имеет место разложение
D = Ф'1 . .. (2)
Пользуясь вложением ©0 ©, можно говорить о делимости
дивизоров кольца о на дивизоры кольца ©. В частности, ввиду
(2) получаем, что простые дивизоры ф кольца £>, делящие про-
стой дивизор р кольца о, характеризуются тем, что соответствую-
щие им показатели Vgj являются продолжениями показателя Vy.
Очевидно, далее, что взаимно простые дивизоры из ©0 остаются
взаимно простыми ив©.
Определение. Пусть Индекс ветвления е = е^ пока-
зателя Vqj относительно показателя Vy называется также индек-
сом ветвления простого дивизора относительно р (или отно-
сительно к).
218
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ '
[ГЛ. III
Индекс ветвления является, таким образом, наибольшим на-
туральным числом е, для которого фе|р.
Для всякого элемента cieS* его норма N(a) = 7Vx/fc(a) при-
надлежит о*. Отображение a->2V(a), ae©*, является поэтому
гомоморфизмом мультипликативной полугруппы ©* .в полугруп-
пу о*. Так как норма всякой единицы кольца О является едини-
цей в о, то этот гомоморфизм однозначно определяет гомоморфизм
(а)к-> (fl(a))s полугруппы главных дивизоров кольца © в полу-
группу главных дивизоров кольца о. Покажем, что этот гомо-
морфизм можно продолжить до гомоморфизма всей полугруппы
® в ©о.
Теорема 4. Для полугрупп дивизоров ® и ®0 существует
гомоморфизм JV: ® ->• ®0, для которого
N((.a)K) = (ЛМа)\ (3)
при любом а е ©*.
Свойство гомоморфизма N, выраженное равенством (3), озна-
чает, что для гомоморфизмов диаграммы
Q*----
N I
® ---->®0
имеет место коммутативный закон.
Для фиксированного простого дивизора ps®» через Оу мы
обозначим кольцо показателя Vy и через ©у— его целое замы-
кание в поле К. Согласно теореме 7 § 4 все простые дивизоры
SJJ,, ..., кольца О, делящие р, находятся во взаимно однознач-
ном соответствии с попарно не ассоциированными простыми эле-
ментами ..., лт кольца ©у. Это соответствие фг +-> обладает
тем свойством, что если для элемента а 0 из К имеет место
разложение
a = ЕЛх1 .,. лт , (4)
где е — единица кольца ©р , то
^ = v1?.(a). (5)
Пусть !₽ — один из простых дивизоров делящих р, и л —
соответствующий ему простой элемент кольца ©у . Положим
d^=vy (7VK/fe(n)). (6)
Ясно, что dip не зависит от выбора л. Переходя в равенстве (4)
§ 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 219
к нормам и учитывая (5) и (6), мы получаем соотношение
v v (Nк/h («)) = djpVip (а) (7)
СЦ пробегает все простые дивизоры кольца £), делящие р).
Теперь мы уже легко можем построить гомоморфизм N: ® -*
-+ ®0, о котором говорится в теореме 4.
А А
Каждый дивизор SI = ? i1 . .. г из полугруппы © удобно
записывать в виде формально бесконечного произведения:
= п
ф
распространенного по всем простым дивизорам из ®, в кото-
ром, однако, только конечное число неотрицательных показате-
лей Л(ф) отлично от нуля (А(ф) равно At, если !$ = !$.•, и равно
нулю, если дивизор $ отличен от 5рг). Аналогичным обра-
зом мы можем записывать и дивизоры кольца о.
Рассмотрим для элемента а £>* главный дивизор (а)к- Так
как простой дивизор входит в (а)к с показателем vsp (а), то
Мк-П®'*0. (8)
»
Согласно соотношению (7) для показателей с(р) главного ди-
визора
(2V(a))ft = (9)
мы имеем формулу
(10)
ФА
Это подсказывает нам следующее определение.
Определение. Пусть §1 = JJ — дивизор кольца £).
Ф
Для каждого простого дивизора !р кольца о положим
«(») = SdU(sp).
ФА
Дивизор JJ кольца о называется нормой дивизора §1 относи-
V
тельно расширения К/k и обозначается через или, коро-
че, через
Так как числа А(5р) равны нулю почти для всех $ (т. е. для
всех, за исключением конечного числа), то аСр) также равны ну-
лю почти для всех J, й, значит, выражение ТТ действитель-
но является дивизором кольца 0.
220
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ, III
Из определения очевидным образом следует, что
для любых двух дивизоров 31 и 35 из ©. Отображение 31 ->• N($l)
является, таким образом, гомоморфизмом полугруппы © в полу-
группу ©о.
В случае простого дивизора 31 = ф мы, очевидно, имеем
= №). (11)
Так как ввиду равенства (10) норма дивизора (8) равна диви-
зору (9), то нами, следовательно, и доказано существование гомо-
морфизма N; ©->•©(>, удовлетворяющего условию (3).
Как и в случае изоморфизма ©0 ->• ©, можно показать (зада-
ча 4), что гомоморфизм N: © ->• ©0 условием (3) определен одно-
значно.
Одной из центральных задач теории дивизоров является уста-
новление законов разложения простых дивизоров у кольца о на
простые множители при переходе к целому замыканию © кольца
о в конечном расширении. В общем случае, однако, об этих зако-
нах разложения к настоящему времени известно совсем немного
(см. по этому поводу конец п. 2 § 8). Каждое разложение вида
(2) характеризуется числом т простых делителей и набором
их индексов ветвления . Натуральные числа оказыва-
ется, не могут быть произвольными (для данного расширения
К/к). Именно, они связаны с числами d$ (см. (6)) соотношением
2фре<р = п = (#:й), (12)
Ф1»
для доказательства которого достаточно формулу (7) применить
к простому элементу р кольца Оу (напомним, что (р) = е,).
3. Степень инерции. Определение гомоморфизма N: © ->- ©0 опи-
ралось на числа d$, которые, довольно формальным образом,
определялись формулой (6). Теперь мы выясним более глубокий
арифметический смысл этих чисел.
Пусть Обозначим через Оу и ©^ кольца показателей Vy и
vqj и через р и л — простые элементы в этих кольцах соответ-
ственно. Так как для элементов а и Ъ из Оу сравнения
= b (modр) в кольце Оу и a = &(modn) в кольце ©^ равносиль-
ны, то каждый класс вычетов в Оу по модулю р содержится це-
ликом в некотором классе вычетов в ©^ по модулю л. Это
определяет изоморфное вложение поля вычетов Sy = °ц/(Р)
показателя Vy в поле вычетов S^ = ©д$/(л) показателя vrp.
В силу этого изоморфизма мы будем считать, что Sy сд Sqj. Для
§ 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 221
любого £ ^sp через | обозначим класс вычетов по модулю л с
представителем |. Подполе Sy поля S^ состоит, очевидно, из
классов вычетов вида а, где a£0f.
Пусть классы вычетов coj, ..., <±>m из S^ (со, е линейно
независимы над полем Sy. Покажем, что тогда представители
и,, ..., шт из этих классов линейно независимых над полем к.
Предположим, что это не так, т. е. что при некоторых коэффи-
циентах а4 е к, не равных одновременно нулю, имеет место ра-
венство
dicoi + ... + ата>т = 0.
Умножив это соотношение на надлежащую степень р, мы можем
добиться того, чтобы все af принадлежали кольцу Оу и чтобы хоть
один из них не делился на р. Переходя тогда к полю вычетов
Sqj, мы придем к равенству
aiCOj + ... + атат = О,
в котором не все коэффициенты аг е Sy нули. Полученное проти-
воречие и доказывает наше утверждение.
Из линейной независимости сщ, . .., шт над полем к следует,
что т п = (К : к). Таким образом, поле вычетов 5$ является
конечным расширением поля Sy, при этом
(S^:Sy)<(^:*).
Определение. Пусть простой дивизор $ кольца £) явля-
ется делителем простого дивизора $ кольца О. Степень f = f<$ =
= (Sip:Sy) поля вычетов показателя v^ над полем вычетов по-
казателя Vy называется степенью инерции простого дивизора ф
относительно у (или относительно к).
Обозначим, как и в п. 2, через ©у целое замыкание кольца
Оу в поле К. По аналогии с понятием фундаментального базиса
в полях алгебраических чисел введем следующее определение.
Определение. Базис (щ, ..шп расширения К/к будем
называть фундаментальным базисом кольца ©у относительно Оу,
если все его элементы принадлежат ©у и каждый элемент а е
е ©у представляется в виде линейной комбинации
а = Hi®!+ .... +(13>
с коэффициентами at из Оу. z
Ниже мы увидим, что в случае сепарабельного расширения
К/k фундаментальный базис для кольца ©? (при любом у) все-
гда существует. С другой стороны, согласно задачам 11 и 12 для
222
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. ИГ
несепарабельных расширений К!к могут встретиться случаи, ко-
гда кольцо Оу не имеет фундаментального базиса относитель-
но Оу.
Значение понятия фундаментального базиса определяется сле-
дующей теоремой.
Теорема 5. Пусть !£ — простой дивизор кольца £), делящий
!₽, и л — соответствующий ему простой элемент кольца ©у. Если
для кольца Оу существует фундаментальный базис относительно
Op, mo = = vy (NK/k (л))-
Доказательство. Простой элемент леОу является, оче-
видно, простым элементом и в кольце О^. Покажем, что в каж-
дом классе вычетов £ кольца Оф по модулю л/содержится пред-
ставитель из ©у, т. е. для любого деО^ найдется такой элемент
ае©у, что
g = a (mod л).
Пусть — все простые дивизоры кольца О, яв-
ляющиеся делителями р. В силу теоремы 6 § 4 условие ?eOt
равносильно тому, что (y)^sO при всех i = l, ..., т. Искомый
элемент а должен поэтому определяться условиями
v>p (£ — а)^1, vsp (а)^0, i = 2,...,mi
и для доказательства его существования нам достаточно сослать-
ся па теорему 4 § 4.
Пусть теперь (щ, ..., и„ — фундаментальный базис кольца
Оу относительно Оу. По доказанному каждый элемент из S^
может быть представлен в виде а^а. + ... + апап, где аг е о^
и, следовательно, я;е2у. Это значит, что классы вычетов са*, ...
..., (оп являются образующими 5ф как линейного пространства
над Sy. Если / = (2ф:2у) = /ф, то среди них мы можем вы-
брать / линейно независимых над Sy. Пусть это будут coi, ..., (О/.
Ясно, что тогда в кольце Оу сравнение
а,®! + ... + af(>)f = 0 (mod л),
где ai е Оу, имеет место тогда и только тогда, когда at = 0 (mod р),
где р — простой элемент кольца Оу.
Так как каждый класс вычетов и^еЕф при / = /+1, ..., п
выражается через .., сщ, то
/
2 bjsti>s (mod л),- / = / + !,..., п,
s=l
§ 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 223
при некоторых bjs из о у. Положим
0( = СО; при 1=1, ...,/,
/
0j = — 2 + W; при j = / + 1, . . . , П.
S=1
Ясно, что 0i, ..0„ также образуют фундаментальный базис Оу
относительно Оу (так как все cos могут быть выражены через 0S
с коэффициентами из Оу). Все элементы 0/+1, ..0„ делятся в
кольце Оу на л, поэтому сравнение
<Zi0i +... + ап0п = 0 (mod л)
имеет место тогда и только тогда, когда
а, : at = 0 (modр).
Рассмотрим совокупность всех элементов кольца Оу?
делящихся на л. По только что доказанному совокупность 2Я сов-
падает со всеми линейными комбинациями элементов
р0ц .. ., р0/, 0/+1, . .0„ (14)
с коэффициентами из Оу. С другой стропы, очевидно, что 2Я сов-
падает также со всеми линейными комбинациями элементов
л01? ..., л0„ (15)
с коэффициентами из Оу. Обозначим через С матрицу перехода
от базиса (14) к базису (15). Так как все элементы л0,- выра-
жаются через базис (14) с коэффициентами из Оу, то det С явля-
ется элементом из Оу. В силу симметрии то же справедливо и
для detC-1. Следовательно, det С —единица кольца Оу, т. е.
Vy (det С) = 0. Если мы первые f столбцов матрицы С умножим
на р, то получим, очевидно, матрицу А = (а«), для которой
л0{= 2
j=i
поэтому Nx/ktn) = detH = pf det С, откуда
и теорема 5 доказана.
Теорема 6. Если расширение К/к сепарабельно, то для Оу
всегда существует фундаментальный базис относительно Оу.
Приступая, к доказательству этой теоремы, заметим, что оно
аналогично, по существу, доказательству теоремы 6 § 2 гл. II.
224
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
Так как каждый элемент из К при умножении на надлежа-
щую степень простого элемента кольца Оу становится целым от-
носительно ov, то для расширения К/к существует базис аъ ...
.. а„, все элементы которого принадлежат ©у. Рассмотрим
взаимный с ним базис а*, .. ., а* (см. Дополнение, § 2, п. 3;
здесь мы уже пользуемся сепарабельностью К/к). Если а е Оу и
а = сга* + ... + спа*, (16)
где с{^к, то с. = 8р(аа;), а значит, с; е Оу (так как сса{е£)у).
Для каждого $ — 1, ..., п рассмотрим в кольце О? элементы, вы-
ражения которых через базис а*, ..а* имеют вид
-|- . . . -|- Оу, (1 /)
и выберем среди них такой элемент
С04 = Css&'s 4~ ... 4“ Csn^n, CsJ Оу,
что Vy (cs) Vy (css) для всех коэффициентов с, элементов вида
(17) из ©у. Ясно, что с„¥=0 при всех з, так что элементы
«!, . .., а>„ из Оу линейно независимы над к. Пусть теперь a —
произвольный элемент из Оу. Если мы представим его в виде
(16), то с, = CjiHi, где Hi е Оу, по выбору (i),. Для разности
a — «t со ( е Оу мы имеем разложение
a — ffijco, = cja* + .. . + cna*, сг <= Оу,
при этом 4 = c22a2> r№ йз-^'ПО выбору co2. Повторив это рас-
суждение п раз, мы придем в конце концов к разложению (13),
в котором все коэффициенты а{ принадлежат Оу. Базис Ш1, ..., соп
является, таким образом, фундаментальным относительно Оу,
и теорема 6 доказана.
Из теорем 5 и 6 и формулы (12) очевидным образом вытекает
следующее утверждение.
Теорема 7. Если расширение К/к сепарабельно, то индек-
сы ветвления е^ и степени инерции простых дивизоров
кольца Q, делящих фиксированный простой дивизор р кольца о,
связаны между собой соотношением
2 = п = (К : к).
UI»
В случае сепарабельного расширения К/к формула (7) может
быть переписана в виде
Vy (Nк/k И) = 2 fab (a) • (18)
ФI»
§ 5]
ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ
225
Замечание. Для несепарабельных расширений равенство
теоремы 7 может не иметь места. Однако всегда справедливо
неравенство У (см. задачу 13). Можно показать также,
5₽ I Р
что в общем случае имеет место неравенство
Рассмотрим теперь случай, когда К/к является конечным рас-
ширением Галуа с группой Галуа G (см. п. 4 § 2 Дополнения).
Пусть ф — какой-нибудь простой дивизор кольца £), делящий
фиксированный простой дивизор у кольца о, и v = vsp— соответ-
ствующий ему показатель поля К. Для каждого автоморфизма
о е G через ov обозначим показатель поля К, определяемый ра-
венством
(ov)(a) = v(o_1(a)), а^К.
Согласно задаче 7 § 4 показатели ov для всех о s С исчерпывают
собой все продолжения показателя на поле К (для различных
о и т из G показатели ov и tv не обязательно различны). Простой
дивизор кольца ©, соответствующий показателю ov, обозначим
через оф. Рассмотрим индексы ветвления и степени инерции ди-
визоров оф. Если р — простой элемент кольца о*, показателя
то
е<® = М (р) = (ffv) (р) = v (°-1 (р)) = (Р) = еф-
Далее, пусть л — простой элемент кольца соответствующий
простому дивизору ф (для которого Vsp(n) = l). Ясно, что о(л)
также является простым элементом кольца и так как
'vo$ (° (л)) = v (°-1 (ff (n))) = 1’ то этот простой элемент соответ-
ствует простому дивизору оф. Расширение Галуа К/к сепара-
бельно (теорема 13 § 2 Дополнения), а значит, в существует
фундаментальный базис относительно Оу (теорема 6). Применяя
теперь теорему 5, получаем
/asp = (-^к/й = (я)) = А₽'
Нами доказано, таким образом, что для любого ое G справедли-
вы формулы eff5p = esp, Так как простые дивизоры оф
(о е G) исчерпывают собой все простые дивизоры кольца £), де-
лящие данный простой дивизор V кольца о (задача 7 § 4), то по-
лученные нами формулы означают, что все простые дивизоры
кольца £), делящие р, имеют общее значение индекса ветвления
и общее значение степени инерции. Эти общие значения можно,
следовательно, обозначить через и /у соответственно.
Обозначим через число различных дивизоров вида оф, ког-
да о пробегает все автоморфизмы из G (т. е. число различных
226
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. Ш
простых дивизоров кольца D, делящих 5р). Формулу теоремы 7
для случая расширений Галуа мы можем теперь переписать
в виде
= п = (К:к).
4. Конечность числа разветвленных простых дивизоров.
Определение. Простой дивизор р кольца о называется раз-
ветвленным в кольце £), если он делится на квадрат простого
дивизора кольца £), и называется неразветвленным в противном
случае.
Неразветвленные р характеризуются, следовательно, тем, что
для них в разложении (2) все е, равны 1.
Предполагая расширение К/к сепарабельным, мы приведем
одно важное условие неразветвленности р.
Допустим, что в кольце имеется такой примитивный эле-
мент 0 (для расширения К/к), что дискриминант Z>(/) его мини-
мального многочлена /(f) является единицей в Оу. Покажем, что
в этом случае степени 1, 9, ..., 9"-1, где п — (К: к), образуют
фундаментальный базис кольца Оу над Оу. Действительно, пусть
..., и„ — какой-нибудь фундаментальный базис ©у и С —
матрица перехода от базиса со,- к базису 0’. Тогда
Z>(/) = D(i, 9, ..0"-1) = (detCTZKoh, ..®„)
(см. § 2 Дополнения, формула (12)). Так как £>(/) является еди-
ницей в Оу, а множители справа принадлежат кольцу о, то det С
есть единица в Оу, откуда и следует, что 1,9, ..., 9"~' — также
фундаментальный базис.
Пусть р — простой элемент кольца Оу и Sy — поле вычетов
показателя Vy. Для произвольного многочлена g(t) с коэффици-
ентами из Оу через git) мы будем обозначать многочлен из коль-
ца Sy [f], получающийся заменой всех коэффициеннтов g(.t) их
классами вычетов по модулю р. Так как дискриминант D(f) е
е Sy многочлена / (f) е Sy [f] равен классу вычетов по модулю
р с представителем D (/) е Оу, то ввиду условия этот дискрими-
нант Dtf) отличен от нуля. Следовательно, в разложении
/(f) = фДг)... фт(/) (19)
на неприводимые множители в кольце Sy [f] многочлены ф,- все
различны (здесь ф, — некоторые многочлены из Оу [£])- Если
через мы обозначим степень фг, то, очевидно,
d1 + ... + dm = n=(ff:/c). (20)
S 5] ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ 227
Теорема 8. Если дискриминант минимального многочлена
/(t) примитивного элемента О е Оу является единицей в Оу, то
простой дивизор р не разветвлен в О и все простые дивизоры
из разложения
р = !&... gk
находятся во взаимно однозначном соответствии с неприводимы-
ми многочленами ф, е Sy [£] из разложения (19). Степень инер-
ции fi простого дивизора. gj( совпадает со степенью di соответству-
ющего ему многочлена ф/О.
Доказательство. Пусть g(t)—произвольный многочлен
из 0у[£]. Докажем, что если многочлены g и <р< взаимно просты
в кольце Sy [t], то элементы g(0) и ф((0) взаимно просты в
кольце ©у. Действительно, при взаимно простых g и <р( в кольце
Оу [7] существуют такие многочлены w(f), v(f) и Z(f), что
g(Z)«(Z) + q>i(Z)v(f) = 1 + pl(f).
Если бы g(0) и <р,(0) делились в кольце Оу на некоторый про-
стой элемент л, то, поскольку л!р (теорема 7 § 4), из последнего
равенства (при i = 0) следовало бы, что л 11. Полученное проти-
воречие и доказывает наше утверждение.
Так как неприводимые многочлены ф, различны, то, в част-
ности, мы получаем, что фД0), ..., ф™(0) попарно взаимно
просты.
Допустим, что ф/0) является единицей в . ©у, т. е. что
<Pi(0)g = l, £е©у.Так как 1, 0, ..., 0"-1 образуют фундамен-
тальный базис Оу над Оу, то £ = h (0), где h (t) е Оу [£]. Равенство
<p<(0)/i(0) = 1 означает, что ф/7)/г(£) = 1 + /(z)g(Z), где q (t) <= Оу [£]
(поскольку старший коэффициент f(t) равен 7). При переходе к
полю вычетов Sy это дает нам равенство ф,7г = 1 + ф1... q>mq,
и мы опять получили противоречие. Следовательно, все элемен-
ты ф,(0), ..., фт(0) не являются единицами в Оу.
Для каждого I выберем в Оу простой элемент л4|ф/0). Так
как по доказанному все ф;(0) попарно взаимно просты, то про-
стые элементы л15 ..., лот попарно не ассоциированы. Обозначим
через gJi, ..., gJm соответствующие им простые дивизоры кольца
О и через Д, ..., /т степени инерции этих дивизоров. В поле вы-
четов Ssp. показателя vqj. классы вычетов 1, 0, . ..,0* линейно
независимы над Sy (<Д —степень ф4). Действительно, если для
многочлена g (t) е Оу [Z] степени <dt имеет место равенство
g(0) = 0, то элемент g(0) делится в кольце ©у на л« и поэтому
228 *
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
1ГЛ. Ill
g(0) и <р,(0) не взаимно просты. Но в таком случае, как мы ви-
дели в начале доказательства, g(i) должен делиться на qAt) и,
следовательно, все коэффициенты g(i) — нули.
Нами доказано, таким образом, что
йг С i = 1, ..., т.
Сопоставляя эти неравенства с равенством (20) и принимая во
внимание теорему 7, мы приходим к выводу, что ..., — это
все простые дивизоры, делящие V, что их индексы ветвления et
равны 1 и, наконец, что с7, = Все это и составляет содержание
теоремы 8. Заметим попутно, что поскольку <р4(0), делясь на щ,
не делится на другие простые элементы л,-, то может быть
определен как общий наибольший делитель в кольце ©у элемен-
тов <pf(0) и р.
Следствие. Если К/к сепарабельно, то в кольце о имеется
только конечное число простых дивизоров р, разветвленных в £).
Выберем для расширения К/k примитивный элемент 0, содер-
жащийся в 6. Дискриминант Z) = Z)(1, 0, ..., 0П~‘) является эле-
ментом из о*. Если v \ D, то по теореме у не разветвлен в £). Та-
ким образом, разветвленными в © могут быть только те простые
дивизоры кольца о, которые делят D.
Задачи
1. Пусть о — кольцо с теорией дивизоров, к — его поле отношений и
к с. К с К' — цепочка конечных расширений. Обозначим через £> и £>' це-
лые замыкания кольца о в полях К и К' соответственно. Для простого диви-
зора ф' кольца £)' через ф обозначим простой дивпзор кольца £>, делящий-
ся на ф' и через р — простой дивизор кольца о, делящийся на ф. Доказать,
что степень инерции ф' относительно к равна произведению степени инер-
ции ф' относительно К на степень инерции ф относительно к. Сформулиро-
вать и доказать аналогичное утверждение для индексов ветвления.
2. Пусть в кольце о с полем отношений к имеется теория дивизоров с
конечным числом простых дивизоров, и пусть простому дивизору р соответ-
ствует простой элемент р кольца о. Доказать, что кольцо вычетов о/(р) изо-
морфно полю вычетов Sy показателя Vy.
3. Пусть Vy—показатель поля к, Оу—его кольцо, Kjk — конечное се-
парабельное расширение, ©у — целое замыкание кольца ®у в поле К п
(01, ..., <оп — базис К над к, все элементы которого принадлежат кольцу ©у
Доказать, что если дискриминант Z>(coi, ..., соп) является единицей кольца
Оу, то o>i, ..., con образуют фундаментальный базис кольца ©у над Оу.
4. Доказать единственность гомоморфизма N: ®->®0, удовлетворяюще-
го условию теоремы 4.
5. Доказать единственность изоморфного вложения ®0->®, удовлетворя-
ющего условию теоремы 3.
6. Пусть а — дивизор кольца о. Рассматривая его как дивизор кольца D
(в силу вложения ®0 —> ®), доказать, что
Wk/ь(а) = а", п= (К: к).
§ 5]
ТЕОРИЯ ДИВИЗОРОВ ДЛЯ КОНЕЧНОГО РАСШИРЕНИЯ
229
7. Пусть К/к — сепарабельное расширение степени п. Доказать, что ес-
ли дивизор а кольца о становится главным дивизором в кольце ©, то а" —
главный дивизор в о.
8. Пусть К/к сепарабельно. Доказать, что норма Ук/ь(Я) дивизора Я
кольца © есть общий наибольший делитель главных дивизоров (ЛГк/л(®))*,
где а пробегает все элементы из ©*, делящиеся на Я.
9. Многочлен / (t) — tn + а^п~1 -|- ... 4- ап с коэффициентами из коль-
ца о называется многочленом Эйзенштейна относительно простого дивизо-
ра у, если ai, ..., ап все делятся на у и ап, делясь на у, не делится на у3.
Доказать, что если в кольце О существует примитивный элемент 0 для рас-
ширения К/к степени п, минимальный многочлен которого является много-
членом Эйзенштейна относительно р, то р делится только на один простой
дивизор $ кольца О и у = (степень инерции SJ3 относительно р равна, сле-
довательно, 1).
10. При тех же условиях доказать, что базис 1, 0, ..., б"-'1 является
фундаментальным базисом кольца ©^ относительно су
11. Пусть к0 — произвольное поле характеристики р и к = к0(х, у) —
поле рациональных функций от х и у над полем ка. Рассмотрим на к по-
казатель vo, определение которого дано в задаче 9 § 4, при этом в качестве
ряда £(£) е Л’о{0 (трансцендентного над Ло(О) мы возьмем ряд вида
(00 \ Р оо
S апгП = 2“^ ап^к0.
п=0 / п=0
Согласно задаче 8 § 4 для показателя Vo существует единственное продолже-
ние v на чисто несепарабельное расширение К = k{j^y ) степени р над к.
Доказать, что индекс ветвления v относительно v0 равен 1 и что поле выче-
тов показателя v0 совпадает с полем вычетов показателя v (в смысле изо-
морфного вложения). Ввиду теоремы 5 и равенства (12) отсюда следует,
что для кольца О показателя V, являющегося целым замыканием в К коль-
ца о показателя v0, не существует фундаментального базиса относительно о.
12. В условиях и обозначепиях предыдущей задачи доказать непосред-
ственно отсутствие фундаментального базиса в О относительно о (без ис-
пользования теоремы 5).
13. Пусть о — кольцо с теорией дивизоров, к — его поле отношений,
К/к — конечное расширение степени re, О — целое замыкание кольца о в по-
ле К, у — простой дивизор кольца о, Ф1, ..., — простые дивизоры коль-
ца О, делящие у, ei, ..., ет — их индексы ветвления и /1, ..., /т — их степе-
—г- --
пи инерции относительно у. Для каждого s = 1, ..., т через а будем обо-
значать класс вычетов в поле с представителем а е ©,т> • Выберем эле-
•Ps МЙ
менты wsj е © (1 гтак, чтобы классы вычетов — образовали
т 81
1 j т.
.., фт, обоз-
базис /2^ и, кроме того, чтобы ПРИ ^s'
Простые элементы кольца ©^, соответствующие дивизорам фц
начим через Яг, ..., лт. Доказать, что система элементов
(*)
s — 1, ..., т, i=l,..., f„ j = О, 1, ..., е, — 1,
линейно независима относительно к.
Указание. Рассмотрим линейную комбинацию
а=2
230
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. ш
с коэффициентами из 0р, среди которых хоть один является единицей в
Оу Пусть Vy ) = 0, где /0 выбрано так, что Vy > 0 ПРИ / <
< /о и всех I. Тогда *
X (а) = '«•
14. Доказать, что в случае сепарабельного расширения К/к система (*)
является фундаментальным базисом относительно о^.
15. Доказать, что в случае сепарабельного К]к для любого а е име-
ет место формула
_______ m
Si>K/k = 2 /Е.
16. Пусть f(t) —характеристический многочлен элемента а е &у относи-
тельно К/к. Заменяя его коэффициенты соответствующими классами выче-
тов из 2^, мы получим многочлен t (4) е S^ (ij. Для каждого s = 1, ..., m
обозначим, далее, через <p,(t) характеристический многочлен элемента
сс е S,p относительно расширения S^ /2 . Обобщая предыдущую за-
дачу (при сепарабельном К/к), доказать, что
У
7(0 = ф1 (*Л ...ФпЖ”1.
17. Пусть К/к сепарабельно. Для каждого р выберем в кольце фун-
даментальный базис oti, ..., ап относительно о . Положим
S = vp(D(ai’ •••’“»))•
Доказать, что целые числа dy > 0 почти все' равны нулю. Целый дивизор
кольца о
Ькл = 11” ’
р
называется дискриминантом расширения К/к (относительно кольца о).
18. Доказать, что простой дивизор р кольца о не входит в дискриминант
iKJk (т. е. dy = 0) тогда и только тогда, когда р не разветвляется в D (все
индексы ветвления равны 1) и все расширения S^ S/2P = 11 •'
сепарабельны.
19. Пусть для кольца £> существует фундаментальный базис coi, ..., соп
относительно с. Доказать, что тогда дискриминант совпадает с главным
ДИВИЗОРОМ (П(О>1, ..., (On)).
20. Сохраняя обозначения начала п. 2, предположим, что К/к— рас-,
ширение Галуа с группой Галуа G. Для автоморфизма а е G и дивизора
St = П кольца D положим
Доказать, что для любого а 0 0 из D справедлива формула
<т((а)к) = (а(а))к.
§ 6]
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА
231
§ 6. Дедекиндовы кольца
1. Сравнения по модулю дивизора. Рассмотрим кольцо D с
полем отношений К, для которого существует теория дивизоров
Определение. Мы говорим, что элементы а и $ из коль-
ца D сравнимы между собой по модулю дивизора а е ©, и пишем
а = р (mod а),
если разность а — Р делится на а.
В случае главного дивизора (р) сравнение а p(mod (у.)) эк-
вивалентно, очевидно, сравнению a^p(mody) в смысле опреде-
ления п. 1 § 4 Дополнения.
Перечислим ряд элементарных свойств сравнений, легко вы-
текающих из определения.
1) Сравнения по модулю а можно почленно складывать и пе-
ремножать.
2) Если некоторое сравнение имеет место по модулю а, то
оно имеет место также и по любому делителю Ь дивизора а.
3) Если некоторое сравнение имеет место по модулю диви-
зоров а и В, то оно имеет место и по модулю их общего наимень-
шего кратного.
4) Если элемент a е £) взаимно прост с а (т. е. дивизоры (а)
и а взаимно просты), то из сравнения оф 0 (mod а) следует
р = 0 (mod а).
5) Обе части сравнения по модулю а можно сократить на об-
щий множитель, если только этот множитель взаимно прост с а.
6) Если р— простой дивизор и ар 0 (modp), то либо
0 (modp), либо 0 (modp).
Ввиду свойства 1) на множестве классов вычетов элементов
кольца D по модулю данного дивизора а мы можем ввести дей-
ствия сложения и умножения. Легко проверяется, что относи-
тельно этих действий все классы вычетов по модулю а образуют
кольцо. Оно называется кольцом классов вычетов по модулю ди-
визора а и обозначается через £)/а.
Свойство 6) в терминах кольца вычетов означает, что для
простого дивизора р кольцо классов вычетов £)/р не имеет дели-
телей нуля.
Предположим теперь, что £) — максимальный порядок поля
алгебраических чисел К. Дивизоры кольца D мы называем в этом
случае также дивизорами поля К.
Так как произвольный дивизор а поля К является делителем
некоторого отличного от нуля числа a е D, а число а в свою
очередь является делителем натурального числа а (например,
|АЧа)| делится на а), то получаем, что для каждого дивизора a
существует делящееся на него натуральное а. По свойству 2 чис-
232
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
ла из разных классов вычетов по модулю а находятся в разных
классах вычетов по модулю а. Вспоминая теперь, что в порядке
D число классов вычетов по модулю а конечно (и равно а", где
п — степень поля К, см. доказательство теоремы 5 § 2 гл. II),
получаем следующую теорему.
Теорема 1. Для любого дивизора а поля алгебраических
чисел К кольцо классов вычетов £)/а конечно.
Пусть р — произвольный простой дивизор поля К. Соответ-
ствующий ему показатель Vj, индуцирует на Q р-адический по-
казатель vp при некотором вполне определенном простом р. Так
как vp(p) = 1, то Vy (р) > 0, т. е. ps=0(modp). Если же простое
рациональное q отлично от р, то vP((?) = 0, а потому Vy (</) = О,
т. е. О (modp).
Кольцо вычетов £)/р, будучи конечным и без делителей нуля,
является конечным полем (см. Дополнение, § 3). Так как для
всякого ае£) имеем pa = 0(modp), то характеристика этого по-
ля равна р. Таким образом, имеет место
Теорема 2. Всякий простой дивизор р поля алгебраических
чисел является делителем одного и только одного простого ра-
ционального числа р. Кольцо вычетов С/р является конечным по-
лем характеристики р.
Теория дивизоров в полях алгебраических чисел обладает,
как видим, тем свойством, что кольцо классов вычетов по моду-
лю любого простого дивизора есть поле. В общем случае это не
всегда так. Например, в кольце многочленов к[х, у] от двух пе-
ременных над полем к кольцо вычетов по простому дивизору (ж)
изоморфно кольцу многочленов к[у] от одной переменной и, сле-
довательно, не является полем.
Предположение о том, что кольцо классов вычетов £)/р есть
поле, равносильно, очевидно, разрешимости сравнения а|
(modp) при любом a^0 (modp). Это показывает, что только при
таком предположении можно рассчитывать на построение в коль-
це £) достаточно полной теории сравнений со свойствами обыч-
ных сравнений теории чисел.
2. Сравнения в дедекиндовых кольцах. Определение.
Кольцо Q называется дедекиндовым, если в нем существует тео-
рия дивизоров £)*->- S и для каждого простого дивизора р е®
кольцо вычетов £)/р является полем.
Примерами дедекиндовых колец, кроме максимальных поряд-
ков в полях алгебраических чисел, могут служить целые замыка-
ния кольца многочленов klxl от одной переменной в конечных
расширениях поля рациональных функций к(х) (задачи 1 и 2).
Дедекиндовым кольцом является также кольцо £)v произвольного
показателя v на некотором поле (см. § 4, п. 1) и вообще всякое
кольцо, в котором имеется теория дивизоров с конечным числом
простых дивизоров (задача 3).
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА
233
§ 61
Лемма 1. В дедекиндовом кольце £) для всякого а е D, не
делящегося на простой дивизор у, сравнение а| = 1 (modpm) раз-
решимо в D при любом натуральном т.
Доказательство. При т = 1 разрешимость сравнения
постулируется определением. Доказательство леммы в общем слу-
чае проведем индукцией по т. Если
a£i es 1 (mod р) и agm 1 (mod pm),
то при некоторых pi = 0 (mod р) и 0 (modpm) имеют место
равенства 1 = ag, + р,, 1 = а|м + рт, перемножая которые получим
1 = а| + где
| = ag1gm + g1^m + gmp1 и р1рт = 0(тойрт+1).
Таким образом, = 1 (modpm+1), и лемма 1 доказана.
Теорема 3. В дедекиндовом кольце £) существует элемент %,
удовлетворяющий сравнениям
S = Pi (mod pi1),
g = (mod pm”1)
при любых p„ ..., pm из £) и любых попарно различных простых
дивизорах pi, ..., рт (к,, ..., km — натуральные числа).
Доказательство. Для каждого дивизора
fe-- k.S_1 km . л
= Pi1 . . . Pi-i Pi+i ... pm , I = 1, . . ., TH
мы можем найти элемент a< е £), который делится на Ct*, но не
делится на рй По лемме 1 сравнение а^^рДтойр/) разреши-
мо относительно е С. Легко проверить, что элемент
В = a^i + ... + amgm
удовлетворяет требованиям теоремы.
Теорема 4. В дедекиндовом кольце £) для элементов аО
и р сравнение
a|^p(moda) (1)
разрешимо тогда и только тогда, когда р делится на общий наи-
больший делитель дивизоров (а) и а.
Доказательство. Мы предположим сначала, что дивизо-
ры (а) и а взаимно просты, и докажем, что в этом случае срав-
h • ft*
нение (1) разрешимо при любом р. Пусть a = Pi1... pm = р/а{,
где простые дивизоры р1} ..., рт попарно различны. По лемме 1 для
каждого г = 1, ..., m в кольце D существует такой элемент
что == р (той р/). Согласно теореме 3 мы можем найти для
каждого i элемент для которого&(mod р^1) и ^=0 (moda,).
234
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
Очевидно теперь, что сумма £i +... + %™ = £ будет удовлетворять
сравнению а£==0 (mod Ь4г) при любом i = l, m, а значит, бу-
дет удовлетворять также и сравнению (1).
Перейдем к доказательству теоремы в общем случае. Пусть
b = Pi1 ... рпг1 — общий наибольший делитель дивизоров (а) и а.
Если сравнение (1) имеет место по модулю а, то оно должно
иметь место п по модулю b, а так как a^O(modb), то должно
выполняться и сравнение P^O(modb). Этим доказана необходи-
мость условия.
Предположим теперь, что р делится на Ь. Согласно теореме 3
§ 4 в поле К существует элемент р, для которого
(И) = — Li, I = 1, ..т. (2)
Покажем, что элемент р, удовлетворяющий условиям (2), мы мо-
жем выбрать так, что
Ч,(р)>0 (3)
для всех простых дивизоров (|е®, отличных от р15 ... рт. Пусть
р не удовлетворяет условиям (3), и пусть Qi, ..., Q, — все отлич-
ные от Vi, ..., К простые дивизоры, для которых Vq. (р) = — rj <
<0. Выберем в £) такой элемент 7, что v^. (у) = г, (1 7 s)
и Vj, (у) = 0 (1 i ^т). Ясно, что элемент р' = ру удовлетворяет
обоим условиям (2) и (3), и наше утверждение доказано. Пусть
дивизор Ь определяется равенством a = bb. Еслп р удовлетворяет
условиям (2) и (3), то элемент ар принадлежит D и взаимно
прост с Ь. Так как по условию р делится на Ь, то fjp также при-
надлежит £). По доказанному в кольце £) существует такой эле-
мент что apg = Рр (modb). Для каждого i= 1, ..., т мы имеем
V». (a£ — Р) = v„ (apg — Рр) + It > ki — Ц + Ц = ki;
а это и означает, что £ удовлетворяет сравнению (1).
3. Дивизоры и идеалы. В этом пункте мы покажем, что
в дедекиндовом кольце £) все дивизоры находятся в естествен-
ном взаимно однозначном соответствии со всеми ненулевыми
идеалами.
Для каждого дивизора а через а мы обозначим совокупность
всех элементов кольца £>, делящихся на а. Очевидно, что а явля-
ется ненулевым идеалом кольца D. _
Теорема 5. В дедекиндовом кольце D отображение a a
(a® 2)) является изоморфизмом полугруппы дивизоров 2) на по-
лугруппу всех ненулевых идеалов кольца £).
Докажем предварительно следующую лемму.
Лемма 2. Если аъ ..., а, — произвольные, отличные от нуля
элементы дедекиндова кольца D и Ь — общий наибольший дели-
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА
235
§ 6]
телъ главных дивизоров (аД ..(а,), то всякий элемент а е D,
делящийся на Ь, может быть представлен в виде
а = В1«1+ ....+|.,а8,
Доказательство леммы проведем индукцией по s. При
s = 1 утверждение леммы очевидно. Пуст'ь з > 2. Обозначим че-
рез Ь, общий наибольший делитель дивизоров (at), (a^-j).
Ясно, что тогда b будет общим наибольшим делителем дивизо-
ров Ь, и (а,). Пусть а делится на Ь. Согласно теореме 4 сравне-
ние as£ a (mod bj) разрешимо относительно элемента g е D.
По индуктивному предположению в кольце £) существуют такие
элементы |,_15 что a — ga, = ^ai + ... + g.-ja,-!. Лемма 2
доказана.
Доказательство теоремы 5. Согласно условию 3° опреде-
ления теории дивизоров отображение a -* а взаимно однозначно.
Пусть А — произвольный ненулевой идеал кольца £). Для
каждого простого дивизора р положим
а (у) = min v« (a).
a~A
Очевидно, что <z(p) отлично от нуля только для конечного числа
По(»)
Р ,в котором р про-
V
бегает все те простые дивизоры, для которых <z(p) Ф 0, является,
следовательно, дивизором. Докажем, что а = Л. Пусть a — про-
извольный элемент из а. В А можно найти такое конечное мно-
жество элементов ab ..., а„ что а (р) = min (aj, ..., Vy (as)).
Это значит, что дивизор а является общим наибольшим делите-
лем главных дивизоров (о^), ..., (as). По лемме 2 элемент aea
может быть представлен в виде a = liOCj + ... + gsas с некоторы-
ми коэффициентами из D. Из этого представления явствует,
что «еЛ, а значит, а<=А. Сопоставляя это с очевидным обрат-
ным включением А <= а, получим равенство А = а. Нами доказа-
но, таким образом, что отображение a -► а устанавливает взаимно
однозначное соответствие между всеми дивизорами кольца £>,
с одной стороны, и всеми его ненулевыми идеалами, с другой.
Остается проверить, что это соответствие является изомор-
физмом, т. е. что для любых дивизоров а и b имеем
ab = ab. (4)
Обозначим произведение ab через С. Так как С есть ненулевой
идеал в D, то по доказанному существует такой дивизор с, что
С = с. Нам надо доказать, что с = ab. Пусть простой дивизор р
236
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
(ГЛ. III
входит в а и Ь с показателями а тп Ъ соответственно. Тогда
min Vp (у) = min (сф) = min (а) + min (P) = a + b.
?eC а=а,з=6 а=а p=5
Так как это верно для любого простого дивизора р, то с = аб,
п равенство (4) доказано.
Из того факта, что отображение а -* а является изоморфиз-
мом, следует, в частности, что все ненулевые идеалы кольца ©
относительно действия умножения образуют полугруппу с одно-
значным разложением на простые множители. Для построения
теории дивизоров в дедекиндовом кольце (в частности, в макси-
мальном порядке поля алгебраических чисел) в качестве полу-
группы ® можно взять, таким образом, полугруппу ненулевых
идеалов. Образом элемента а е ©* при гомоморфизме ©* -> ® бу-
дет тогда главный идеал (а), порожденный этим элементом. Та-
кой способ построения теории дивизоров принадлежит Дедекинду.
4. Дробные дивизоры. Если для кольца О построена теория
дивизоров О* ®, то это дает нам некоторую информацию о
строении полугруппы О*. Естественно попытаться аналогичным
образом получить сведения о строении всей мультипликативной
группы К* поля отношений К. Для этой цели нам надо расши-
рить понятие дивизора.
В соответствии с установившейся традицией мы сохраним
термин «дивизор» для этого более широкого понятия, а дивизоры
в прежнем смысле будем теперь называть целыми дивизорами.
Определение. Пусть в кольце © с полем отношений К
имеем теорию дивизоров, и пусть ..., — конечная система
простых дивизоров. Выражение
а = h1 ... № (5)
с целыми показателями kt, ..., km (не обязательно положитель-
ными) называется дивизором поля К. Если среди показателей kt
нет отрицательных, то дивизор а называется целым (или диви-
зором кольца ©). В противном случае он называется дробным.
Дивизор (5) иногда удобно записывать в виде формально бес-
конечного произведения
-ПЛ (6)
р
распространенного на все простые дивизоры V, в котором, одна-
ко, только конечное число показателей а(р) отлично от нуля.
Умножение дивизоров определяется формулой
(П f П = П pa(v)+b(v).
\ Р / \ Р / Р
Для случая целых дивизоров это правило умножения совпадает,
очевидно, с правилами умножения в полугруппе ®. Легко видеть
§ 6]
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА
237
также, что относительно введенного действия все дивизоры по-
ля К образуют абелеву группу, обозначаемую в дальнейшем че-
рез ©. Единичным элементом этой группы является единичный
дивизор е, для которого в представлении (6) все показатели а(р)
равны нулю.
Так как каждый элемент ^0 из поля К является отноше-
нием двух элементов из £), то согласно условию 1) теоремы 4
§ 3 среди показателей поля к, соответствующих простым ди-
визорам р, имеется только конечное число таких, для которых
(?) ¥= 0 Пусть это будут показатели v?i, ..., . Дивизор
т ® v (Е)
1ЬЛ =пн
i=l J)
называется главным дивизором, соответствующим элементу £ <=
К*, и обозначается через (|). Это новое понятие главного ди-
визора в применении к элементам из £) совпадает, очевидно,
с первоначальным (см. § 3, п. 4). В силу условия 2) теоремы 4
§ 3 главный дивизор (g) будет целым тогда и только тогда,
когда § принадлежит кольцу £).
Из условия 2 определения показателя (§ 3, п. 4) легко сле-
дует, что отображение | -> (|), является гомоморфизмом
К* © мультипликативной группы поля К в группу дивизоров
©. Согласно теореме 2 § 3 этот гомоморфизм является отображе-
нием на всю группу © (эпиморфизмом) тогда и только тогда,
когда в £) имеет место однозначность разложения на простые
множители. Его ядром является, очевидно, группа единиц коль-
ца D, а значит, для элементов | и ц из К* равенство (|) = (ц)
имеет место тогда и только тогда, когда | = цб, где е — едини-
ца кольца £).
Перенесем понятие делимости целых дивизоров на произволь-
ные дивизоры. Пусть а = П и { = —два произволь-
ных дивизора (не обязательно целых). Мы говорим, что <Х делится
на J (Ь — делитель а, а кратно Ь), если существует такой целый
дивизор с, что а = Вс. В других терминах делимость а на Ь может
быть охарактеризована неравенствами а(р) > &()р) при всех р.
Для произвольных а и В положим d(p) = min (а(у), &(р)). Так
как целые рациональные числа сДр) равны нулю почти для всех
V, то выражение b = ТТявляется дивизором. Этот дивизор Ь
V
называется общим наибольшим делителем дивизоров а и В (он
является делителем а и & и сам делится на все общие делители
а и Ь). Аналогичным образом определяется общее наименьшее
кратное дивизоров а и В.
238
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. ш
Элемент а^К называется делящимся на дивизор а = JJ\
если либо а = 0, либо главный дивизор (а) делится на а. В тер-
минах показателей делимость а на а характеризуется неравенст-
вами Vy (а) а (й) при всех у.
Изложенное в предшествующем пункте соответствие между
целыми дивизорами дедекиндова кольца и его ненулевыми идеа-
лами можно распространить и на дробные дивизоры, если вос-
пользоваться понятием дробного идеала (см. п. 4, § 4 Допол-
нения). _
Как и в п. 3, через а мы обозначим совокупность всех эле-
ментов поля К, делящихся на дивизор а (теперь уже не обяза-
тельно целый). Из условия 3 определения показателя (§ 3, и. 4)
следует, что если а и {3 делятся на а, то а ± р также делится
на а. Это означает, что совокупность а является группой относи-
тельно действия сложения. Очевидно, далее, что для любого
а е а и любого g е £) произведение gcz также принадлежит а.
Чтобы выявить еще одно свойство групп а, убедимся сначала
в справедливости формулы
(^)а = 7а, не®. (7)
Действительно, делимость элемента £ на (7)41 равносильна усло-
виям: Vy (s) Vy (у) + а (р) при всех р, Vy- (£/?) > а (!р) при всех
V, е Sе (здесь п(р) обозначает показатель, с которым р
входит в дивизор а). Очевидно, что для любого дивизора мы мо-
жем найти такой элемент 7 е £)*, что дивизор ('[)а будет целым.
Формула (7) показывает, что для такого у будем иметь включе-
ние "(а <= £).
Мы видим, таким образом, что совокупность а для любого
дивизора а является идеалом поля К в смысле определения и. 4
§ 4 Дополнения. Предположим, что для двух дивизоров а п Ъ
имеет место равенство а = Ь. Выберем элемент 7 =# О так, чтобы
дивизоры (^)а и (7)6 были целыми. В силу формулы (7) мы име-
ем ("f)a = (у)Ь, откуда (7)41 = (уф и, следовательно, а = Ь. Этим
доказано, что отображение а —»- а взаимно однозначно (если коль-
цо £) не дедекиндово, то это отображение не будет отображением
4<на>>: не всякий ненулевой идеал кольца £) представляется в ви-
де а, см. задачу 11).
Предположим теперь, что £) — дедекиндово кольцо с полем
отношений К. Возьмем произвольный идеал А поля К. Если эле-
мент 7 =# 0 выбран так, что у А <= £), то 7А будет ненулевым идеа-
лом кольца £), а потому по теореме 5 существует такой целый
дивизор с, что с = 7-4. Положим а = с(7)-1. Тогда 7^ = (7)0. = 7(1,
§ 6] .
ДЕДЕКИНДОВЫ КОЛЬЦА
239
откуда А = а. Таким образом, каждый идеал поля является
образом некоторого дивизора при отображении а а. Если а и
Ь — два дивизора, то, выбрав элементы у О и 0 так, чтобы
дивизоры ('у)а и (у')Ь были целыми, будем иметь (в силу теоре-
мы 5 и формулы (7))
'П'аЬ = (у)а = (7)а • ("f')b = • ч'Ь = ц'йЬ,
откуда <xb = аЬ. Отображение а а является, таким образом, изо-
морфизмом. Отсюда, в частности, следует, что все идеалы поля К
относительно действия умножения образуют группу. Единичным
элементом в этой группе будет кольцо О = е. Для идеала а об-
ратным будет идеал а-1.
Сформулируем полученное обобщение теоремы 5.
Теорема 6. Пусть £) — дедекиндово кольцо с полем отно-
шений К. Для каждого дивизора 4 через а обозначим совокуп-
ность всех делящихся на а элементов поля К. Отображение а ->- а
является изоморфизмом группы дивизоров поля К на группу
идеалов поля К. Целые дивизоры при этом изоморфизме соответ-
ствуют целым идеалам, и обратно.
Замечание. Дедекиндовы кольца допускают следующую
абстрактную характеристику. Кольцо £) (коммутативное, с еди-
ницей и без делителей нуля) является дедекиндовым кольцом
тогда и только тогда, когда оно 1) целозамкнуто, 2) нётерово
(т. е. каждый идеал в £) допускает конечную систему образую-
щих) и 3) каждый ненулевой простой идеал в £) максимален.
Необходимость этих условий вытекает из теоремы 3 § 3, зада-
чи 8 и теоремы 5 настоящего параграфа (см. также задачу 15).
Относительно их достаточности см., например, книгу [51.
Задачи
1. Доказать, что кольцо /г [ж] многочленов от одной переменной над про-
извольным полем к дедекиндово.
2. Пусть о — дедекиндово кольцо и к — его поле отношений. Доказать,
что целое замыкание £) кольца о в произвольном конечном расширении но-
ля к является также дедекиндовым кольцом.
3. Доказать, что кольцо, в котором имеется теория дивизоров с конеч-
ным числом простых дивизоров, дедекиндово.
4. Доказать, что в дедекиндовом кольце система сравнений
£ = ai (modai),
£ = am (mod am)
разрешима тогда и только тогда, когда а, = aj (modbij), I ф j, где Ьц —
общий наибольший делитель дивизоров а, и а,.
5. Пусть £) — дедекиндово кольцо и а — дивизор кольца D. Доказать, что
совокупность тех классов вычетов из D/a, которые состоят из элементов,
взаимно простых с а, относительно действия умножения образуют группу.
240
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
6. Доказать, что если f(x)—многочлен степени т с коэффициентами
из дедекиндова кольца О, не все коэффициенты которого делятся на простой
дивизор у, то сравнение f(x) = 0 (mod f} имеет в D не более т решений.
7. Пусть £) — дедекиндово кольцо, р — простой дивизор кольца D и
/(z) —многочлен с коэффициентами из С. Доказать, что если для элемента
а е С мы имеем
/(а) = 0 (modp), /'(а)^0 (modp),
то для любого т 2 в кольце £) существует элемент g, для которого
/(g) = 0 (modp’"), (modp).
8. Доказать, что в дедекиндовом кольце всякий идеал либо является
главным, либо порождается двумя элементами.
9. Пусть £) — дедекиндово кольцо с полем отношений К. Доказать, что
при изоморфизме а а группы дивизоров поля К на группу идеалов поля К
общему наименьшему кратному дивизоров соответствует пересечение иде-
алов, а общему наибольшему делителю дивизоров — сумма идеалов (под
суммой А + В идеалов А и В понимается совокупность всех сумм а +
где $ ^В).
10. В кольце © = к[х, у] многочленов от двух переменных над полем к
разложение на простые множители однозначно и, значит, существует тео-
рия дивизоров. Доказать, что идеал А = (ж, у) кольца О, порожденный пе-
ременными х п г/, не соответствует никакому дивизору.
11. Доказать, что если в кольце £> с теорией дивизоров £)*-»-© каждый
ненулевой идеал имеет вид а (где aeS), то это кольцо дедекиндово. В ча-
стности, кольцо главных идеалов дедекиндово (см. задачу 12 § 2).
12. Доказать, что если в кольце £> все ненулевые идеалы относительно
действия умножения образуют полугруппу с однозначным разложением на
простые множители, то это кольцо дедекиндово.
13. Пусть £) — дедекиндово кольцо и К — его поле отношений. Если
А и В — идеалы поля К (относительно О), то под делимостью А на В пони-
мают существование такого целого идеала С, что А = ВС. Доказать, что
делимость А на В имеет место тогда и только тогда, когда A cz В.
14. Пусть D — произвольное кольцо с теорией дивизоров и у —простой
дивизор кольца О. Доказать, что совокупность V всех элементов а е D. де-
лящихся на у, является минимальным простым идеалом кольца О. (Иде-
ал Р кольца £) называется простым, если фактор-кольцо £)/Р не имеет де-
лителей нуля, т. е. если произведение двух элементов из £), не принадлежа-
щих Р, также не принадлежит Р. Простой идеал Р называется минималь-
ным, если он не содержит других простых идеалов, кроме нулевого.)
15. Доказать, что в кольце £) с теорией дивизоров всякий ненулевой
простой идеал Р содержит простой идеал вида у, где у — некоторый простой
дивизор кольца О.
16. Пусть ©кольцо с теорией дивизоров и К — его поле отношений.
Доказать, что для любого дивизора а поля К (целого или дробного) идеал а,
состоящий из всех элементов поля К, делящихся на а, является d-идеалом
(задача 5 § 4 Дополнения). Точнее, а есть пересечение двух главных идеа-
лов поля К. Доказать, далее, обратное утверждение:_для всякого d-идеала
А поля К существует такой дивизор а поля К, что а = А. Таким образом,
отображение а а является взаимно однозначным соответствием между
всеми дивизорами а и всеми d-идеалами А поля К.
17. Пусть Я? — множество показателей поля К, определяющих теорию ди-
визоров для кольца D. Доказать, что если кольцо £) дедекиндово, то 31 содер-
жит все показатели v поля К, для которых v(a) 0 при всех «еО. (Спра-
ведливо и обратное утверждение: если 91 содержит все показатели v поля К,
Для которых v (a) Js- 0 при всех а <= £), то кольцо D дедекиндово.)
§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 241
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел
1. Абсолютная норма дивизора. Согласно теореме 2 § 5 макси-
мальный порядок £) произвольного поля алгебраических чисел
К является кольцом с теорией дивизоров. Далее, в п. 1 § 6 мы
видели, что кольцо вычетов С/р по модулю простого дивизора V
является конечным полем, а значит, кольцо £) дедекиндово.
Рассмотрим поле алгебраических чисел К как расширение по-
ля рациональных чисел Q (конечной степени). Так как дивизо-
ры кольца Z целых рациональных чисел могут быть отождест-
влены с натуральными числами, то мы можем считать, что группа
всех дивизоров (целых и дробных) поля Q совпадает с мульти-
пликативной группой положительных рациональных чисел. В п. 2
§ 5 было определено понятие нормы дивизора кольца £) относи-
тельно данного расширения К/к. В случае поля алгебраических
чисел норму N (a) = Kk/q(<x') дивизора а порядка С относитель-
но расширения К/Q мы будем называть абсолютной нормой а.
Распространим это понятие абсолютной нормы на дробные ди-
визоры, полагая
/V f = N 11П)
\ п ) iV(n)
для любых целых дивизоров тип. Ясно, что отображение а ->
-+ А(а) будет тогда гомоморфизмом группы всех дивизоров поля
К в мультипликативную группу положительных рациональных
чисел.
Абсолютная норма главного дивизора (|), Ве К*, равна аб-
солютной величине нормы числа
А((В)) = |А(|)1. (1)
Действительно, для целых £ это совпадает с равенством (3) § 5.
Если же | = а/p с целыми а и р, то
N ((g)) | ДГ (сс) I , ,
((SP |JV(P)|
Степень инерции / простого дивизора р поля К относительно
Q называется абсолютной степенью инерции р (или просто сте-
пенью). Индекс ветвления е дивизора р относительно Q называ-
ется абсолютным индексом ветвления р.
Если V является делителем простого рационального числа р
и если р имеет степень /, то согласно равенству (11) § 5
Мр) = р’. (2)
Пусть р4, ..., — все простые дивизоры поля К, делящие р,
ив!,..., ет — их индексы ветвления. Тогда для р в поле К име-
ем разложение p=pix ... РпГ- По теореме 7 § 5 индексы
242
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ, ш
ветвления et связаны со степенями дивизоров Vi соотношением
/1е1 + • • • + fmem = п = (К: Q). (3)
Теорема 1. Абсолютная норма целого дивизора а поля ал-
гебраических чисел К равна числу классов вычетов в макси-
мальном порядке £) по модулю а.
Доказательство. Докажем сначала теорему для про-
стого дивизора V. Пусть р — простое рациональное число, деля-
щееся на V. Степень инерции / дивизора V (согласно определению
§ 5, п. 3) равна степени поля вычетов Sy показателя vp над
полем вычетов SP показателя vP. Но Sp состоит, очевидно, из р
элементов, поэтому S? есть конечное поле из pf элементов. Нам
достаточно, следовательно, показать, что поле вычетов £)/? изо-
морфно полю 2^, т. е# что при изоморфном вложении D/p-*Sp
поле D/p отображается на все поле S?. Для этого в свою очередь
достаточно показать, что для любого £ s К, для которого (5)
> 0, существует такое что\^(<;— tx)^l. Обозначим через
<Ь, ..., q8 все те простые дивизоры поля К, для которых va (2) =
мг
=—^<0.По теореме 3 § 6 в порядке О существует такой эле-
мент "f, что
T==l(modj>), у = 0(modcii1)> i = l^...1s.
Ясно, что я = — а)^1. В случае простого диви-
зора теорема 1, таким образом, доказана.
Для доказательства теоремы 1 в общем случае достаточно те-
перь показать, что если она справедлива для целых дивизоров Д
и Ь, то она справедлива и для произведения аЬ. По условию 3)
теоремы 4 § 3 в максимальном порядке £) существует такое чис-
ло 7^=0, что а|у и дивизор (у)а-1 взаимно прост с Ь. Пусть
ai, ..., аг (r = 2V(a)) — полная система вычетов в кольце £) по мо-
дулю дивизора а, а ..., (s = 7V(h))—полная система выче-
тов по модулю Ь. Покажем, что тогда rs чисел
а,- + [VY (4)
образуют полную систему вычетов по модулю аЬ. Пусть а — про-
извольное число из £). При некотором i (1 < i < г)
а^а( (mod а).
Рассмотрим сравнение
7% = а — а4 (mod аЬ). (5)
Так как по выбору ц общий наибольший делитель дивизоров (’()
и аЬ равен а и а — а( делится на а, то по теореме 4 § 6 это срав-
нение имеет решение относительно числа Если
= Pj(modh) при некотором / то (mod аЮ.
§ 71 .
ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
243
Вместе с (5) это дает нам сравнение
а = №i + yPj (mod ab).
Этим доказано, что в каждом классе вычетов по модулю ab име-
ется представитель вида (4). Остается проверить, что числа (4)
попарно не сравнимы между собой по модулю йЬ. Пусть
а, + 7^ s as + (mod ab).
Так как это сравнение имеет место и по модулю а, то ввиду ус-
ловия 7 = 0 (mod а) получаем а. = а» (mod а), а значит, i = к,
и мы получаем
7([)j — s 0 (mod ab). (6)
Пусть простой дивизор у входит в дивизоры а и b с показа-
телями а и b > 0 соответственно. По условию Vy (у) = а, поэтому
из (6) следует, что (pj — Р;) Ъ. Так как это верно для лю-
бого простого дивизора р, входящего в Ь с положительным пока-
зателем, то рг (modb), откуда / = I.
Таким образом, числа (4) действительно образуют полную си-
стему вычетов по модулю ab. Число классов вычетов в кольце £)
по модулю ab равно, следовательно, rs = 7V(tt)2V(b) =7V(ttb).
Теорема 1 доказана.
Как и в п. 3 § 6, для произвольного дивизора а поля К (це-
лого или дробного) через а обозначим соответствующий ему идеал
поля К, состоящий из всех тех чисел а е К, которые делятся на
а. Пусть число 7 выбрано так, что 7a <= £). По следствию теоремы
2 § 2 гл. II совокупность 7a является модулем поля К (подмо-
дулем кольца D). Но тогда идеал а также есть модуль поля К.
Если а е а, а ¥= 0 и — базис кольца £), то все произве-
дения aat, ..., сси„ принадлежат а, а значит, в а мы имеем
п — (К : Q) линейно независимых чисел поля К. Этим доказано,
что идеал а для произвольного дивизора а является полным мо-
дулем поля К. Его кольцом множителей будет, очевидно, макси-
мальный порядок £). Обратно, если А — полный модуль поля К,
кольцо множителей которого совпадает с максимальным поряд-
ком О, то для А будут выполнены все три условия определения
идеала (см. § 6, п. 4). Таким образом, множество всех идеалов
а совпадает с совокупностью всех полных модулей поля К, при-
надлежащих максимальному порядку £).
В п. 1 § 6 гл. II нами было введено понятие нормы полного
модуля в поле алгебраических чисел. Можно говорить поэтому о
норме идеалов а. Покажем, что норма любого дивизора совпадает
с нормой соответствующего ему идеала:
Л7(а) = ЛЧа).
(7)
244
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
Для целых дивизоров это следует из теоремы 1 настоящего па-
раграфа и теоремы 1 § 6 гл. II. Если же дивизор а дробный, то
можем найти такое что дивизор ("f-l)a = I> будет целым.
Тогда ввиду теоремы 2 § 6 гл. II мы будем иметь
Ma) = W) IWI = IV(5) IN(y) I = Mfi) = Nbfi) = ДТо),
и формула (7) доказана для любых а.
В качестве одного из простейших приложений понятия нормы
дадим более точную оценку для числа ®(а) неассоцпированных
чисел максимального порядка, нормы которых по абсолютной ве-
личине равны а (при доказательстве теоремы 5 § 2 гл. II нами
была установлена оценка и(а) ап).'
Обозначим через 1р(н) число целых дивизоров с нормой а. Так
как числа а и ассоциированы тогда и только тогда, когда глав-
ные дивизоры (а) и ([}) равны, то ввиду формулы (1) имеем
со(а) 1|)(а).
Займемся поэтому оценкой числа 1р(н). Пусть а = р^ ... p^s
с различными простыми числами р,. Если ЛЧа) = а, то а = щ...
... а8, где а< состоит только из тех простых дивизоров р, которые
являются делителями pf. По формуле (2) и по мультипликатив-
ности нормы мы имеем N (аД = Pi\ а значит, ip (н) = 1р(р11)»,.
• •• '*p(z?sS)- Нам достаточно поэтому получить оценку для гр(рй).
Пусть Pi, ..., — все простые дивизоры, делящие р, и пусть
Д, ..., jm — их степени. В силу равенства
задача сводится к оценке чпсла решений уравнения
ftXi + • • • + fmXm &
относительно неотрицательных х{. Так как, очевидно, 0^х(^к,
то число этих решений не превосходит (& + 1)т. Но т^п =
— (К: Q), поэтому
ip(a)^(U1 + l)...(*, + l))n.
Выражение в скобках справа равно, как известно, числу т(а)
всех делителей а. Мы получили, следовательно, оценку
й(а) ip(a) (т(а))п. (8)
Для сравнения оценки (8) с нашей прежней оценкой со(а) С ап
заметим, что при любом сколь угодно малом е > 0 отношение
х(а)/а‘ стремится к нулю при а -> °°.
2. Классы дивизоров. Определение. Два дивизора а и Ь
поля алгебраических чисел К называются эквивалентными, в обо-
значении а ~ Р, если они различаются между собой на множи-
S 7]
ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
245
телъ, являющийся главным дивизором: а=4(а), а^К*. Сово-
купность всех дивизоров поля К, эквивалентных данному диви-
зору а, называется классом дивизоров и обозначается через [а].
В терминах теории групп эквивалентность а ~ Ь означает,
что дивизоры а и Ь принадлежат одному и тому же смежному
классу группы всех дивизоров по подгруппе главных дивизоров.
Класс дивизоров [<tl можно также определить, следовательно,
как класс смежности по подгруппе главных дивизоров, содержа-
щий а в качестве представителя. Равенство классов [а] = [Й
равносильно, очевидно, эквивалентности И ~ Ь.
Для любых двух классов дивизоров [а] и [Й положим
[а] -[Й = [аЙ.
Легко проверяется, что так определенное произведение классов
дивизоров не зависит от выбора представителей а и Ь в перемно-
жаемых классах, а также что относительно этого действия умно-
жения все классы образуют (коммутативную) группу — группу
классов дивизоров поля К. Единичным элементом будет здесь,
очевидно, класс [е], состоящий из всех главных дивизоров. Для
класса [а] обратным будет класс [а-1].
В теоретико-групповых терминах группа классов дивизоров —
это фактор-группа группы всех дивизоров по подгруппе глав-
ных дивизоров.
Группа классов дивизоров и, в частности, ее порядок — число
классов дивизоров — являются важными арифметическими ха-
рактеристиками поля алгебраических чисел К. Если число клас-
сов дивизоров равно 1, то это значит, что все дивизоры главные,
а это в свою очередь эквивалентно тому, что в кольце целых
чисел поля К имеет место однозначность разложения на простые
множители (теорема 2 § 3). Таким образом, для однозначности
разложения на множители необходимо и достаточно, чтобы число
классов дивизоров было равно единице. Вопрос о том, однозначно
ли разложение целых чисел поля К на простые множители, яв-
ляется, следовательно, частным случаем вопроса об определении
числа классов дивизоров этого поля. Мы докажем сейчас, что
оно всегда конечно.
Теорема 2. Группа классов дивизоров любого поля алге-
браических чисел конечна.
Доказательство. Из определения эквивалентности ди-
визоров легко следует, что дивизоры а и Ь эквивалентны тогда и
только тогда, когда соответствующие им идеалы а и i подобны
(в смысле подобия модулей, см. п. 3 § 1 гл. II). Разбиению ди-
визоров на классы эквивалентных дивизоров соответствует, сле-
довательно, разбиение идеалов поля К (т. е. полных модулей, для
которых кольцом множителей является максимальный порядок —
кольцо £) всех целых чисел поля К) на классы подобных идеалов.
Но согласно теореме 3 § 6 гл. II число классов подобных моду-
246
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. ш
лей с данным кольцом множителей конечно, поэтому конечным
будет, в частности, число классов подобных идеалов, а значит,
и число классов эквивалентных дивизоров.
Замечание 1. Теорема 2 нами получена как простое след-
ствие теоремы 3 § 6 гл. II. Доказательство же последней теоремы
было основано на применении геометрического метода, в част-
ности на лемме Минковского о выпуклом теле. Таким образом,
в конечном итоге доказательство теоремы 2 также опирается на
лемму Минковского.
Замечание 2. Из доказательства теоремы 3 § 6 гл. II
можно извлечь следующее уточнение теоремы 2. В каждом клас-
се дивизоров поля алгебраических чисел К степени п = s + 2t
существует целый дивизор с нормой =^(2/л)'УIjDI, где D — ди-
скриминант поля К (т. е. дискриминант кольца всех целых чисел
поля К}. В самом деле, пусть [Ы — произвольный класс дивизо-
ров. Тогда для идеала Ь-1 существует подобный ему идеал А =
= air1, для которого А £) и (А : D) (2/л)‘У ]Z>] (см. доказа-
тельство теоремы 3 § 6 гл. II). Так как идеал А содержит О, то
соответствующий ему дивизор будет обратным для целого: А =
==а-1 с целым а. Из равенства а-1 = аЬ~1 следует, что а(а)=Ь,
т. е. целый дивизор а содержится в классе [Ь], при этом (за-
дача 2) ; ,
2V(a) =JV(e)/2V(a-‘) = (F* :ё) = (Л :D)C (2/л)'УВ
Теорема 3. Если число классов дивизоров поля К равно h,
то h-я степень любого дивизора является главным дивизором.
Доказательство. Утверждение теоремы является про-
стым следствием элементарной теоремы теории групп, согласно
которой порядок всякого элемента конечной группы является де-
лителем порядка группы. Пусть a — произвольный дивизор. Так
как [аР есть единичный элемент группы классов дивизоров, то
[а'1] = [е], а значит, дивизор а'1 главный.
Следствие. Если число классов дивизоров h поля К не де-
лится на простое число I и если дивизор а1 главный, то а также
главный.
Действительно, в силу условия существуют такие целые ра-
циональные числа и и v,' что lu + hv = 1. Так как дивизоры а1 и
а" главные (первый — по условию, а второй — по теореме 3),
то a'u и а'1.” также главные. Но тогда главным будет и их произ-
ведение = а.
Согласно задаче 20 любое поле алгебраических чисел К мож-
но вложить в такое более широкое поле_^, что каждый дивизор
поля К будет главным дивизором поля К. Мы не можем, однако,
утверждать, что главными будут все дивизоры поля К: в поле
К имеются свои дивизоры (не являющиеся образами дивизоров
поля К, см. теорему 3 § 5), и они не обязаны быть главными.
§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 247
Возникает поэтому вопрос, нельзя ли для данного поля К поды-
скать такое поле алгебраических чисел К, чтобы К<=-К и чтобы
К было одноклассным (для которого h = 1). В некоторых про-
стейших случаях поле К может быть найдено. Например, неод-
ноклассное поле О(/-5Хс которым мы встретились в § 2 п. 3,
содержится в поле 0(1^—5, V—1), которое одноклассно. Однако
в общем случае ответ на поставленный вопрос оказывается отри-
цательным [43]. Более того, можно показать, что поле К заве-
домо. нельзя погрузить в одноклассное поле, если только число
простых делителей его дискриминанта больше некоторой гра-
ницы, зависящей только от степени (K:Q). Например, квадра-
тичное поле Q(]/rcZ)ne погружаемо в одноклассное, если его
дискриминант содержит не менее восьми различных простых
чисел в случае d > 0 и содержит не менее шести различных про-
стых чисел в случае d < 0. Существует также бесконечно много
мнимых квадратичных полей, содержащих в своих дискриминан-
тах четыре различных простых множителя и не погружаемых в
одноклассные поля. Их примерами являются:0( V—13-17-43-53),
Q(/—2-23-41-73), Q(/- 17-89-257) (см. [14]). Известны
также примеры [156] мнимых квадратичных полей —р)
с простым дискриминантом D = —р, не погружаемых в одноклас-
сные поля, например, при /> = 4 724 490 703.
До сих пор открытым является вопрос о том, будет ли во-
обще число полей с h = 1 бесконечным, хотя обзор имеющихся
таблиц и показывает, что такие поля встречаются сравнительно
часто (см. таблицы для числа h вещественных квадратичных по-
лей и вполне вещественных кубических полей).
Хотя для отдельных классов полей (например, для квадра-
тичных и круговых полей, см. гл. V) формулы для числа классов
дивизоров найдены, в общем случае о числе h и тем более о
группе классов дивизоров известно очень мало. К числу немно-
гих общих теорем о числе h относится теорема Зигеля — Брауэ-
ра, утверждающая, что для всех полей фиксированной степени
п число классов дивизоров h, регулятор R и дискриминант D
связалы между собой следующим асимптотическим соотношением
(см. [15]):
In (feR)_ 1 и [ | оо.
1пУ| £>| 1 1
Так как для мнимых квадратичных полей регулятор равен 1, то
из (*) вытекает, что для этих полей h,-+ °° при Ю1 -* В част-
ности, отсюда получаем, что мнимых квадратичных полей, для
которых h = 1, имеется только конечное число. В пределах таб-
лиц мы видим всего девять мнимых квадратичных полей с h = 1
(их дискриминанты равны —3, —4, —7, —8, —И, —19, —43, —67,
—163). В настоящее время показано,- что этими девятью полями
248
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
и исчерпываются все мнимые квадратичные поля с й=1. В об-
щем случае на основании соотношения (*) мы почти ничего не
можем сказать о поведении числа й, так как величина регулятора
R нам неизвестна. .
Интересно отметить, что предположение о конечности числа
мнимых квадратичных полей с h = 1 (в терминах бинарных квад-
ратичных форм) было впервые высказано в 1801 г. Гауссом, ко-
торый нашел указанные девять полей и проверил, что среди по-
лей с |£>1 <3000 других нет. Долгое время вопрос оставался от-
крытым и лишь в 1934 г. он был решен положительно. Именно,
Хейльброн и Линфут аналитическими средствами доказали, что
существует не более десяти мнимых квадратичных полей с h = 1.
Вопрос о том, существует ли десятое поле, получил название
проблемы десятого дискриминанта. Эта проблема впервые была
решена в 1952 г. Хегнером, использовавшим очень красивую
связь теории мнимых квадратичных полей с модулярными функ-
циями (см. [81]). Однако ввиду неясности изложения рассужде-
ния Хегнера долгое время считались неубедительными. В 1967 г.
Старк нашел новое доказательство отсутствия десятого поля
[134]. Вскоре Дойринг [73]‘ и Берч [62] внесли в рассуждения
Хегнера полную ясность.
В самых общих чертах идея метода Хегнера заключается в
следующем. Пусть К = Q (l^d), d<0,— одноклассное мнимое
квадратичное поле, и пусть 1, ® — базис максимального порядка
поля К (теорема 1 § 7 гл. II). Сначала рассматривается почти
очевидный случай, когда в поле К простое число 2 разлагается
в произведение двух простых дивизоров (различных или совпа-
дающих). Ввиду предположенной одноклассности эти дивизоры
главные, и поэтому 2 = 2V(a), где а — целое число из К. В зави-
симости от вида базиса это приводит нас к уравнениям
х2 + Idly2 = 2 или (2« + у)2 + ld| у2 = 8,
которые должны быть разрешимы в целых числах. Ясно, что это
возможно лишь при d— —1, —2, —7.
Далее предполагается, что число 2 остается простым в поле
X, и рассматривается значение /(со) абсолютного инварианта j(z),
о котором упоминалось в и. 7 § 7 гл. II, в точке со. Это целое
алгебраическое число. Так как поле К, по предположению, одно-
классно, т. е. h = 1, то (Q (/ (w)): Q) = 1, а значит, До) явля-
ется целым рациональным числом. С другой стороны, ввиду
основного свойства абсолютного инварианта значение у (со) одно-
значно определяет со с точностью до модулярной эквивалентно-
сти и тем самым однозначно определяет поле К.
Наряду с Дг) рассматриваются также другие функции с ана-
логичными свойствами, и вследствие их алгебраической зависи-
мости возникает уравнение Fix, у) = 0, обладающее свойством:
каждому одноклассному полю К соответствует решение этого
§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 249
уравнения в целых числах, причем разным полям соответствуют
разные решения. После некоторых преобразований уравнение
приобретает вид
уг = 2жСг3 + 1).
Уже давно было известно, что это уравнение имеет шесть ре-
шений:
(О, 0), (1, 2), (1, -2), (-1, 0), (2, 6), (2, -6).
Из хода доказательства следует, что они соответствуют полям
К = Q ( d) с d = —3, —11, —67, —19, —43, —163. Поэтому дру-
гих одноклассных полей К нет.
Самым удивительным является здесь, пожалуй, то, что урав-
нение р2 = 2х(ж3 + 1) не имеет других решений, кроме тех, кото-
рые соответствуют одноклассным полям. В связи с этим возни-
кает следующее предположение. В алгебраической геометрии
часто бывает, что некоторые объекты (рассматриваемые с точ-
ностью до естественного понятия изоморфизма) описываются
такими параметрами, как точки алгебраических многообразий.
Соответствующее алгебраическое многообразие называется тогда
многообразием модулей объектов рассматриваемого типа. Напри-
мер, в п. 7 § 7 гл. II мы видели, что поля эллиптических функ-
ций параметризуются множеством всех комплексных чисел. Сле-
довательно, многообразием модулей полей эллиптических функций
является комплексная прямая. Можно думать, что аналогич-
ными средствами описываются также п некоторые теоретико-
числовые объекты. Возможно, что в теории Хегнера мы и стал-
киваемся с простейшим проявлением такого обстоятельства. Кри-
вая с уравнением у2 — 2а: Ст3 + 1) является с этой точки зрения
многообразием модулей для одноклассных мнимых квадратичных
полей. То же явление удалось обнаружить еще в одном, правда
весьма специальном, случае двуклассных мнимых квадратичных
полей с четным дискриминантом. Здесь также обнаруживается
загадочное взаимно однозначное соответствие полей с целыми
точками некоторых кривых (см. [88] и [40]). Было бы очень
интересно попытаться обобщить теорию Хегнера в другом на-
правлении, заменив поле рациональных чисел некоторым вполне
вещественным полем.
Эффективные оценки для абсолютной величины дискриминан-
тов всех мнимых квадратичных полей с числом классов h = 2
были получены в 1971 г. Бейкером [59] и Старком [135], [136].
Эти оценки привели к результату: для мнимого квадратичного
поля h = 2 лишь при условии, что абсолютная величина дискри-
минанта поля не превосходит 427 (все такие поля можно найти,
следовательно, в табл. 4 в конце книги). Недавно в работе [77]
для числа классов h мнимого квадратичного поля дискриминанта
250
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. Ш
D получена оценка
й> ce(log
где 6 > 0 и Се — эффективно вычисляемая константа, зависящая
только от б. Таким образом, в принципе можно найти все дис-
криминанты D, для которых h не превосходит заданной величи-
ны. Однако приведенная оценка слишком завышена, чтобы с ее
помощью можно было определить поля даже с h — 3, и трехклас-
сные поля явно до сих пор не найдены (хотя гипотетически
й = 3 лишь при |jDI 907).
3. Приложение к теореме Ферма. Результаты предыдущих
пунктов дают возможность доказать справедливость теоремы 1
§ 1 для значительно более широкого класса показателей I.
Теорема 4. Пусть I — простое нечетное число и £— пер-
вообразный корень степени I из 1. Если число классов дивизоров
поля Q (£) не делится на I, то для показателя I справедлив пер-
вый случай теоремы Ферма.
Доказательство. Предположим, что вопреки утвержде-
нию теоремы существуют целые рациональные х, у, z, не деля-
щиеся на Z и удовлетворяющие уравнению
х1 + у1 = zl.
Можно считать, конечно, что х, у и z попарно взаимно просты.
В кольце целых чисел поля Q (С) наше равенство может быть
записано в виде
П(^ + = гг.
?г=0
Так как x + y = xl + yl = z'^ z (modi) и z не делится на I, то
х + у также не делится на I. А тогда, как это мы видели при
доказательстве леммы 5 § 1, при тп Ф п (mod I) в кольце Z [£]
существуют такие числа |0 и ц0, что
(х + £ny)b + (х + Т]о = 1.
Следовательно, главные дивизоры (x + £fty) (й = 0, 1, ..., I — 1)
попарно взаимно просты. Так как их произведение есть l-я сте-
пень (дивизора (z)), то каждый из этих дивизоров в отдельности
должен быть l-я степенью. В частности,
(х + ^у) = аг,
где а — целый дивизор поля Q(fe)- По условию число классов
дивизоров поля Q(C) не делится на I, следовательно, по след-
ствию теоремы 3 дивизор а главный, т. е. а = (а), где а принад-
лежит максимальному порядку О = Z [£] поля Q(£). Из ра-
венства
(х + £у) — (.а!)
9 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 251
следует теперь, что х + t,y = еа', где е — единица кольца £). Ана-
логичным образом мы получим также
х — & =
(ctieD, 8i — единица в О). Мы получили равенства, которые, как
было показано в п. 3 § 1, ведут к противоречию (в этой части
доказательства теоремы 1 § 1 однозначностью разложения мы уже
не пользовались). Теорема 4, таким образом, доказана.
Те простые нечетные числа I, для которых число классов ди-
визоров поля Q (С), £' = 1, не делится па I, называются регуляр-
ными, а все остальные — иррегулярными. Теорема 4 устанавли-
вает, стало быть, справедливость первого случая теоремы Ферма
для всех регулярных показателей I. В § 7 гл. V мы докажем,
что для регулярных I справедлив также п второй случай теоре-
мы Ферма. Таким образом, теорема Ферма справедлива для всех
регулярных простых показателей I. Этот результат был получен
Куммером в 1850 г.
Чтобы теорему Куммера (в частности, теорему 4) можно было
применить к конкретным простым числам I, надо, разумеется,
иметь еще критерий, позволяющий узнавать, является ли дан-
ное I регулярным или нет. Такой критерий также был найден
Куммером. При помощи очень красивых теоретико-числовых и
аналитических соображений Куммер доказал, что простое нечет-
ное число I регулярно тогда и только тогда, когда ни один из
числителей чисел Бернулли В2, Bt, ..., Bi-3 (в несократимой за-
писи) не делится на I (определение чисел Бернулли и некоторые
их свойства приведены в § 8 гл. V; доказательство сформулиро-
ванного критерия Куммера будет приведено в п. 4 § 6 гл. V).
При помощи этого критерия можно убедиться, что среди простых
чисел <100 только три числа иррегулярны, а именно 37, 59 и 67,
все же остальные регулярны. Теорема 4, как видим, охватывает
более широкий класс показателей I по сравнению с теоремой 1
§ 1 (см. замечание 4 в конце § 1).
В своей первой работе Куммер высказал предположение, что
число иррегулярных простых чисел конечно. В более поздней ра-
боте он от него отказался и предположил, что регулярных чисел
в среднем (на достаточно большом промежутке) в два разд боль-
ше, чем иррегулярных. Сейчас при помощи электронных вычис-
лительных машин показано [142], что среди 11 733 нечетных
простых чисел <125 000 имеется 7 128 регулярных и 4 605 ирре-
гулярных (в конце книги в табл. И приведены все иррегулярные
простые числа < 8000). В 1915 г. Йенсен довольно просто дока-
зал (см. и. 2 § 7 гл. V), что число иррегулярных простых чисел
бесконечно. Однако до сих пор неизвестно (и это представляется
весьма трудной проблемой), является ли бесконечным число ре-
гулярных простых чисел. В 1964 г. Зигель выдвинул гипотезу
[129], что отношение числа регулярных простых чисел к числу
252
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. ПТ
всех простых чисел при увеличении рассматриваемого промежут-
ка стремится к пределу 1/Уе, где е — основание натуральных ло-
гарифмов. Таким образом, если гипотеза верна, то на любом до-
статочно большом промежутке около 61% простых чисел должны
быть регулярными. Последний факт весьма хорошо согласуется
с табличными данными.
Отметим здесь некоторые другие факты, относящиеся к пер-
вому случаю теоремы Ферма. В 1909 г. Виферих доказал [145],
что первый случай теоремы Ферма справедлив для всех тех про-
стых I, для которых
2'-1 1 (mod Z2).
Чтобы показать, насколько сильным является этот замечательный
результат, заметим, что среди простых чисел I < 6 • 109 только
два числа: 1093 и 3511—удовлетворяют сравнению 2'-1 =
1 (modZ2), см. [95]. Неизвестно, однако, конечно или бесконечно
число таких I. Несколько позже Мириманов доказал [110], что
первый случай теоремы Ферма справедлив и для тех Z, для кото-
рых Зг-1 1 (mod I2). И здесь проведенные в последнее время вы-
числения [128] показали, что среди простых Z< 230 имеется лишь
два числа Z = И и Z = 1 006 003, для которых З1-1 = 1 (mod Z2).
На основе критериев Вифериха и Мириманова можно конста-
тировать, что первый случай теоремы Ферма справедлив для всех
показателей Z < 6 • 103.
Впоследствии утверждения типа: первый случай теоремы
Ферма справедлив для простого показателя Z, если q‘~'
1 (mod Z2),— были установлены и для последующих простых
чисел q 31.
В 1965 г. Эйхлер [75] получил следующий критерий. Пусть
G — группа классов дивизоров Z-кругового поля Q (С). При ир-
регулярном Z фактор-группа GIG1 есть элементарная абелева
Z-группа порядка ZT, Если у = 7(Z) < VZ — 2, то для I спра-
ведлив первый случай теоремы Ферма (частный случай этого
утверждения, когда у = 1, был получен также в работе [133]).
Брюкнер в статье [67] придал критерию Эйхлера более удобную
для практического использования форму, связав число "f с индек-
сом иррегулярности ji(Z) числа Z, т. е. с числом тех чисел Бер-
нулли 2?2, Bi, ..., Bi-s, числители которых делятся на I. Именно,
им доказано, что первый случай теоремы Ферма справедлив, если
ii(Z) <11-2.
Отметим еще один результат. Для простого I > 47 положим
р, = тах{22, [У InZ ]}. Согласно статьям [152] и [154] для по-
казателя I справедлив первый случай теоремы Ферма, если чис-
литель хоть одного из чисел Бернулли В^-ц, где i — 1, 2, ...
..., р, не делится на Z (см. также [157]). О недавних достиже-
ниях см. [159], [160], [161] (см. «Добавление при корректуре»
на с. 279).
§ 7]
ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
253
В заключение пункта обратим внимание на следующее любо-
пытное обстоятельство, отмеченное в [144]. Числа 1092 и 3510
в двоичной системе исчисления имеют запись:
1092 = 010001000100,
3510 = 110110110 110.
В обоих случаях мы видим загадочную закономерность в распо-
ложении двоичных знаков. Не имеет ли связи этот феномен
с тем, что простые числа / = 1093 и / = 3511 удовлетворяют срав-
нению 2'-1 = 1 (mod/2)?
4. Вопросы эффективности. До сих пор мы обходили молча-
нием вопрос о фактическом построении дивизоров для данного
поля алгебраических чисел К. Так как произвольные дивизоры
вполне определяются заданием всех простых дивизоров, а послед-
ние в свою очередь определяются показателями поля К, то наш
вопрос сводится к эффективному построению всех продолжений
на поле К показателя vp поля Q для каждого фиксированного р.
Кроме перечисления простых дивизоров важно также иметь фи-
нитный алгоритм для вычисления числа h классов дивизоров поля
К. Только в этом случае, например, результаты предшествую-
щего пункта, относящиеся к теореме Ферма, будут иметь реаль-
ную ценность.
В этом пункте мы покажем, что как построение продолжений
показателя vP, так и вычисление числа h осуществляются в ко-
нечное число действий.
Пусть оР — кольцо показателя vp в поле Q (т. е. кольцо
p-целых рациональных чисел, см. п. 2 § 3 гл. I) и DP — его це-
лое замыкание в поле К. Каждое число |е £>Р является корнем
многочлена tk + а^к~' + ... + ah с p-целыми коэффициентами аи
Если через т мы обозначим общий знаменатель всех а,-, то число
mt, — а будет корнем многочлена tk + та^к~1 + ... + ткак уже
с коэффициентами из Z, т. е. будет принадлежать кольцу D всех
целых чисел поля К (максимальному порядку). Справедливо,
очевидно, .и обратное утверждение: если tx е D и целое рацио-
нальное т не делится на р, то aJm е Dp. Таким образом, кольцо
Dp совпадает с совокупностью чисел вида а/иг, где а е D и це-
лое рациональное т не делится на р. Выберем какой-нибудь
фундаментальный базис ац, ..., соп поля К (т. е. базис кольца D
над Z). Тогда по доказанному число | е К, записанное в виде
+ . . . + flj
будет принадлежать кольцу Dp тогда и только тогда, когда все
н« будут р-целыми.
В силу теоремы 7 § 4 наша первая задача (т. е. построение
продолжений показателя vP) сводится к нахождению полной си-
стемы попарно не ассоциированных простых элементов лт
254
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
кольца £)р. Действительно, если простые элементы будут най-
дены, то для всякого | е £>р мы легко сможем найти разложение
£ = . л£», (9)
где г] — единица в £)р. Для этого надо делить £ последовательно
на каждый из л* до тех пор, пока частное не будет принадлежать
кольцу £)р; на некотором шаге мы получим в частном число ц,
которое уже не будет делиться ни на один из простых элементов
л4, а значит, будет единицей в £)р. Так как каждый элемент из
К является отношением двух элементов из £)р (даже из D), то
представление вида (9) мы сможем найти и для любого
Но это и определяет все показатели vt, ..., vm на К, которые
являются продолжениями vp. Индексы ветвления е1? ..., ет этих
показателей определяются, как мы знаем, разложением р —
= ел®1... л'”г (е — единица в £)р).
Пусть л — произвольный простой элемент кольца £)Р. Так
как целые рациональные числа, не делящиеся на р, являются
единицами в ©р, то можно считать, что л е £). При любом a s О
2 \
число л + р2а = л(1 + — будет ассоциировано с л, так как
множитель 1+ принадлежит £)р и не делится ни на один
из простых элементов л„ ..., лт. Таким образом, полный набор
попарно не ассоциированных простых элементов в £)р мы можем
выбрать из системы чпсел
XjCOi + ... + хпоп,
где (1=1, ..., п). Так как число чисел в этой системе
конечно, то искомый набор простых элементов будет найден в ко-
нечном числе действий и тем самым будут определены показатели
V1, . . Vm.
Для нахождения степеней Д, ..., fm простых дивизоров Vi, ...
..., Vm, соответствующих найденным показателям vt, ..., vm, мож-
но воспользоваться теоремой 5 § 5. Согласно этой теореме для
каждого простого элемента л( s О кольца £)Р мы имеем
7V (л{) = pfia,
где целое рациональное а не делится на р. Степень Д простого
дивизора v< равна, следовательно, показателю степени, с которым
р входит в целое рациональное число N(a{).
Перейдем ко второму нашему вопросу — об эффективном вы-
числении числа h классов дивизоров.
В замечании 2 к теореме 2 было отмечено, что в каждом клас-
се дивизоров имеется целый дивизор а, для которого
АГ(а) (2/л)‘УШ| (10)
§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 255
(см. по этому поводу также задачу 9). Пусть
о», ..йц (11)
— все целые дивизоры поля К, удовлетворяющие условию (10).
Число таких дивизоров конечно, так как в К имеется, очевидно,
лишь конечное число целых дивизоров с данной нормой (при
фиксированном а из равенства N (р*1 ... р£г) = а легко следует
ограниченность и простых чисел р, делящихся на р,, и положи-
тельных показателей кд. Для определения числа классов диви-
зоров нам надо из системы (11) выделить максимальную подси-
стему попарно неэквивалентных дивизоров. Чтобы проделать это
практически, надо уметь для каждых двух дивизоров решить воп-
рос, эквивалентны они или нет. Пусть а и 5 — два целых дивизо-
ра. Выберем в К число 0 Ф 0, делящиеся на Ь, и рассмотрим ди-
визор ab-1(p). Дивизоры а и Ь эквивалентны тогда и только тогда,
когда целый дивизор аЬ_1(р) будет главным. Таким образом, нам
надо уметь узнавать, будет ли главным данный целый дивизор.
Обозначим норму целого дивизора а через а. В п. 4 § 5 гл. II
было показано, что в максимальном порядке £) мы можем в ко-
нечное число действий найти конечную систему чисел
..., а, (12)
с нормой ±а, обладающую тем свойством, что всякое
с нормой ±а ассоциировано с одним из чисел этой системы. Если
дивизор а главный, т. е. а=(а), а е £>*, то ITV(oc)l = а, а потому
при некотором i (l^i=^r) будем иметь а = (аЭ. Таким образом,
если система (12) уже найдена, то для решения вопроса, явля-
ется ли дивизор а главным, надо только проверить, не совпадает
ли он с одним из главных дивизоров (аД, ..., (a,).
Этим и доказано, что задача вычисления числа h для данного
поля К решается в конечное число действий.
Разложение простого рационального числа р на простые ди-
визоры в ряде случаев удается довольно просто найти на основе
рассмотрения норм Ar-членных чисел (к > 2). Для изложения этого
приема нам необходимо одно вспомогательное утверждение.
Пусть 0 — целое примитивное число поля алгебраических чи-
сел К степени п. Индекс порядка £)' = {1, 0, ..., 0"-1} в макси-
мальном порядке £) называется индексом числа 0.
Лемма. Если простой дивизор р не является делителем ин-
декса к числа 0, то всякое целое число а е К сравнимо по модулю
с числом из порядка £)' = {1, 0, ..., 0"-1).
Действительно, так как р \ к, то кх ss 1 (mod р) при целом х.
Положим 7 = кха. Поскольку кае О', то и '(е £)', при этом
а = у (modp).
Следствие. Если р не является делителем дискриминанта
D' = D (1, 0, ..., 0n_1), то всякое целое а^К сравнимо по моду-
лю р с числом из порядка О' = {1, 0, ..., 0"~4}.
256
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[гл. га
Действительно, если у не делит D', то У не делит также и ин-
декса к числа 0, что следует из формулы D' = Dk2, где D — дис-
криминант поля К (лемма 1 § 6 гл. II и равенство (12) § 2 До-
полнения).
Предположим теперь, что простое рациональное число р не
входит в индекс целого числа 0 е К. Пусть р — простой дивизор
степени /, делящий р, и 0 — класс вычетов по модулю V, содер-
жащий- 0. По лемме поле вычетов S/р порождается классом вы-
четов 0 с представителем 0. Если поэтому xlf ..., xt независимо
друг от друга пробегают полную систему вычетов по модулю р
(в кольце Z), то среди чисел
7 = xt + x2Q + ... + «/0/_1 + 0Z
имеется одно и только одно, делящееся на р. Вычислив нормы
АЧу), мы легко можем выделить те у, которые делятся на простые
дивизоры, входящие в р. Если, например, при / = 1 мы нашли з
чисел 7, нормы которых делятся на р точно в первой степени, то
этим мы обнаружили з простых дивизоров первой степени, входя-
щих в р. Предположим, что все простые дивизоры первой степени,
входящие в р, уже найдены (набором чисел pt, ..., pu с нормами
pait р { щ). Взяв f = 2, выделим те числа 7, норма которых де-
лится на р2. Делением на найденные р,- мы можем освободить эти
7 от простых дивизоров первой степени, и если после этого
Nty) = p2b/c, (be, р) = 1, то "( содержит простой дивизор второй
степени. Если таким путем нам удалось найти все простые диви-
зоры второй степени, входящие в р, то берем / = 3 и т. д. Конеч-
но, при большой степени п и на этом пути объем вычислений,
вообще говоря, будет большим, но, например, при п = 3 или п = 4
мы часто приходим к цели довольно быстро. Некоторые уточнения
к изложенному приему указаны в задачах 25—27.
Пример 1. Найдем разложения чисел 2, 3, 5, 7 в произве-
дение простых дивизоров в поле пятой степени Q (0), 05 = 2„
Дискриминант D (1, 0, 02, 03, 04) равен 2455, поэтому в индекс
числа 0 могут входить лишь простые числа 2 и 5. Но число 2 не
входит в индекс Согласно задаче 15. Так как 05 = 2, то = (0)
является простым дивизором первой степени, и мы имеем разло-
жение
2 = ))|.
Из равенств
МО) = 2, М0+1) = 3, М0-1) = 1 (13)
следует, что в разложение числа 3 входит только один простой
дивизор первой степени, именно !р3 = (0 + 1), при этом f 3 по
теореме 8 § 5. Далее,
М0 + 2.) = 2-17, М0 — 2) = —2 • 3 • 5. (14)
s 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯК АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 257
Второе из этих равенств говорит о том, что для числа 5 имеется
простой дивизор ?5 первой степени, при этом ввиду делимости
0 — 2= (0 + 1) — 3 на Уз для 0 — 2 имеем разложение (0 — 2) =
= V2M5. Число 0 — 2 удовлетворяет уравнению
(0 - 2)5 +10(0 - 2)4 + 40(0 - 2)3 + 80(0 - 2)2 + 80(0 - 2) + 30 = 0.
Согласно задаче 9 § 5 для числа 5 мы имеем, следовательно, раз-
ложение 5 = Результат задачи 13 показывает также, что 5 не
входит в индекс числа 0, а значит, кольцо целых чисел поля Q(0)
совпадает с порядком {1, 0, 02, 03, 04}.
Присоединим к (13) и (14) равенства
W(0 + 3) = 5-72, 2V(0 — 3) = —241.
На основании выписанных семи значений норм определенного вы-
вода о простых дивизорах первой степени, входящих в число 7,
сделать еще нельзя. Могут представиться три возможности: число
0 + 3 делится либо на квадрат простого дивизора первой степени,
либо на произведение двух различных простых дивизоров первой
степени, либо на простой дивизор второй степени. Но для числа
0 — 4 = (0 + 3) — 7 мы имеем N(0 — 4) = —2 -7 -73, поэтому имеет
место первая возможность, а значит, в число 7 входит один
(и только один) простой дивизор первой степени у7, причем))? f 7.
Чтобы выяснить, входят ли в 3 и 7 простые дивизоры второй
степени, обратимся к нормам трехчленных чисел 02 + 0ж + у. Мы
имеем
N(Q2 + xQ + y) = 2ж5 + у5 — 10«3y + Юху2 + 4. (15)
Придавая х и у значения 0, 1, —1, мы получим девять чисел, сре-
ди которых ни одно не делится на 9. Это значит, что среди про-
стых дивизоров, делящих 3, нет дивизоров второй степени.
Формула (3) для разложения числа 3 оставляет теперь только
одну возможность: 3 = у3у3, где у3—простой дивизор четвер-
той степени. Если для х и у в (15) мы возьмем значения 0, ±1,
±2, ±3, то из 49 получающихся чисел только одно будет делить-
ся на 72:
2V(02 +20 — 3) = 5 • 72.
Но 02 + 20 —3 = (0 + 3)(0 — 1), поэтому мы имеем здесь квадрат
дивизора у7, так что и для 7 разложение будет иметь вид 7=р7р7,
гд е у7 — простой дивизор четвертой степени.
Пример 2. Рассмотрим кубическое поле Q(0), 03 —90 —
— 6 = 0. Так как D (1, 0, 02) = З5 • 23, то ввиду задачи 15 в индекс
числа 0 входит, возможно, лишь 2 (можно показать, что порядок
{1, 0, О2} максимальный, но мы этим пользоваться не будем). По
задаче 9 § 5 для числа 3 имеет место разложение 3 = у3. Из
258
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
равенств
М0) = 6, М0+1) = -2, М0-1) = 14 (16)
заключаем, что в число 2 входят по крайней мере два различных
простых дивизора первой степени у2 и 1р2:
(9) = V2P3, (0 - 1) = Wh (17)
(утверждать, что только два, можно было бы в том случае, если
бы было известно, что порядок {1, О, О2} максимальный и, зна-
чит, 2 не входит в индекс числа 0). Но ввиду равенства
(О- 1)3 + 3(0- I)2-6(0-1)-14 = О
число 2 делится на У22, следовательно,
2 = (9 + 1) = Уз- (18)
Нормы (16), а также
2V(0 + 2) = —4, Мб - 2) = 16 (19)
все не делятся на 5. Это означает, что в 5 не входят простые ди-
визоры первой степени. В случае кубического поля отсюда сле-
дует, что главный дивизор 5 является простым. Чтобы найти
разложение числа 7, надо помимо (16) и (19) рассмотреть еще
нормы
М0 + 3) = 6, М0-3) = 6.
Так как среди этих семи значений имеется только одно, делящее-
ся на 7, то в 7 входит ровно один простой дивизор первой степени.
Приняв во внимание, что $ f 7, можем написать разложение
7 = р7р7, где р7 — простой дивизор второй степени.
В процессе разложения простых рациональных чисел в про-
изведение простых дивизоров с помощью рассмотренного нами
метода, основанного на изучении значений норм целых чисел, од-
новременно мы получаем ряд эквивалентностей между дивизо-
рами. Эти эквивалентности позволяют значительно уменьшить
число дивизоров в системе (11), из которой должна быть выделена
максимальная подсистема попарно неэквивалентных дивизоров
для определения числа классов /г, а иногда и получить эту мак-
симальную подсистему. Так, в примере 2 в связи с результатом
задачи 9 система (11) состоит из целых дивизоров с нормой
У^З8 • 23 < 10, т. е. из дивизоров
О
1» Р21 ?2! ?3> $2, $2 » P2IP27 ¥гРз> $2$3’ V?’
& Р2К 2, Й-
(20)
§ 7] ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 259
Но из (18) следует, что Р22 ~ 1 и р2 ~ 1 (1 — единичный диви-
зор), а затем из (17) и (0 + 3) = V2P3> — что Рз ~ 1, $2 ~1, ¥? ~ 1-
Таким образом, все дивизоры системы (20) главные, а потому
для поля Q (0), 03 — 90 — 6 = О, число h равно 1.
Иногда (при малых дискриминантах) система дивизоров (11)
состоит только из единичного дивизора. В этих случаях мы без
вычислений получаем, что h= 1. Так, например, для поля Q(0),
0s — 0 — 1 = 0, дискриминант базиса 1, 0, 02 равен —23, поэтому
согласно задаче 8 § 2 гл. II этот базис фундаментальный и —23
является дискриминантом поля. Согласно задаче 9 в каждом
классе дивизоров поля Q (0) имеется целый дивизор с нормой
<-^-^-/23 < 2, а значит, в поле Q (0) все дивизоры главные,
и
В случае квадратичных полей число классов дивизоров может
быть определено также при помощи теории приведения, рассмот-
ренной в задачах 12—15 и 24 § 7 гл. II.
Задачи
1. Показать, что в поле алгебраических чисел степени п число ф(а)
целых дивизоров с данной нормой а не превосходит числа тп(а) всех ре-
шений неопределенного уравнения аджг.. .хп = а (х\, ..., хп независимо
друг от друга пробегают натуральные значения).
2. Пусть а и Ь — два дивизора поля алгебраических чисел (целых или
дробных), а а и Ь — соответствующие им идеалы. Доказать, что если а де-
лится на Ь, то
(Ь: а) =
3. Доказать, что в любых двух различных классах дивизоров содержат-
ся взаимно простые целые дивизоры.
4. Для целого дивизора а поля алгебраических чисел через <р(а) обозна-
чим число классов вычетов по модулю а, состоящих из чисел, взаимно про-
стых с а (обобщение теоретико-числовой функции Эйлера). Доказать, что
если целые дивизоры а и Ь взаимно просты, то
<р(аЬ) = <р(а)<р(Ь).
5. Доказать формулу
’’(«)='v«‘>n(*-sy
в которой р пробегает все простые дивизоры, делящие целый дивизор а.
6. Доказать, что для любого целого числа а, взаимно простого с целым
дивизором а, имеет место сравнение а4^ s 1 (mod а) (обобщение тео-
ремы Эйлера). Доказать, что для любого целого а и простого дивизора р
поля алгебраических чисел справедливо сравнение a,N^ = a (mod р) (обоб-
щение малой теоремы Ферма).
7. Доказать формулу (с)=Аг(а), в которой с пробегает все дели-
с
тели целого дивизора а (включая е и а).
260
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
{ГЛ, ш
8. Пусть |1, (s = .'V(y) — 1) — система вычетов по простому мо-
дулю V, не делящихся на у. Доказать, что тогда |i... —1 (mod у) (ана-
лог теоремы Вильсона).
9. Используя задачу 2 § 6 гл. II, доказать, что в каждом классе дивизо-
ров поля алгебраических чисел К степени п = s + 2t и дискриминанта D
содержится целый дивизор а, для которого
I 4 V п! -----
2V(a)< — -ЛЩ.
\ / п
10. Показать, что для квадратичных полей, дискриминанты которых рав-
ны 5, 8, 12, 13, —3, —4, —8, —11, число классов дивизоров равно 1.
И. Показать, что число классов дивизоров поля Q С]/— 19) равно 1.
12. Доказать, что в поле О (?), где ? — первообразный корень 5-й сте-
пени из 1, разложение целых чисел на простые множители однозначно.
13. Показать, что для поля Q ("|/ — 23) число классов дивизоров равно 3.
14. Пусть Ki, К2 тп К3 — кубические поля, указанные в задаче 21 § 2
гл. II. Показать, что число 5 в полях Kt и К2 остается простым дивизором,
а в поле К3 раскладывается в произведение 5 = уу'у" трех различных про-
стых дивизоров первой степени. Показать, далее, что число 11 раскладыва-
ется в произведение 11 = qq'q" трех различных простых дивизоров в поле Kt
и остается простым в поле К2. (Отсюда следует, что Kt, К2 и д3 различны.)
15. Пусть примитивное целое число 0 s К является корнем многочлена
Эйзенштейна относительно простого числа р. Используя результат задачи 9
§ 5, доказать, что р не входит в индекс числа 0.
16. Пусть простое число р меньше степени п поля алгебраических чи-
сел К. Доказать, что если в К существует целое примитивное число, индекс
которого не делится на р, то число р в поле К не может раскладываться
в произведение п различных простых дивизоров первой степени.
17. Основываясь на задачах 18 и 19 § 5, доказать, что простое рацио-
нальное число разветвляется в поле алгебраических чисел К (т. е. делится
на квадрат простого дивизора) тогда и только тогда, когда оно входит в
дискриминант поля К.
18. Пусть простой дивизор у не делит числа 2 и не делит определите-
ля 6 квадратичной формы /(^i, ..., яп) с целыми коэффициентами из поля
алгебраических чисел К. Для целого аеХ, не делящегося на у, положим
(—) =+1,если сравнение Е2 == a (modp) разрешимо в кольце целых чи-
\ У /
сел поля К, и ^-2.^ = —1 в противном случае. Доказать, что число N реше-
ний сравнения
/(zi, ..., хп~) = 0 (mod у)
выражается формулами
К = N (у)”-1, если п нечетное;
N = Л’ (у)"-1 + (Г)-'2б ) N (y)(n~2)/2 (7V (у)’- 1),
\ У /
если п четное.
19. Пусть а — дивизор поля алгебраических чисел К, и пусть а”1 = (а) —
главный дивизор. Доказать, что в поле К ( у' а.) дивизор а становится
главным.
20. Доказать, что для любого поля алгебраических чисел К существует
такое конечное расширение KjK, что всякий дивизор а поля К является
главным дивизором, если его рассматривать в поле К,
§ 7]
ДИВИЗОРЫ В ПОЛЯХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
261
21. Пусть в кубическом поле К простое число р раскладывается в про-
изведение р == W'9" трех различных простых дивизоров, и пусть а — целое
число из К. Доказать, что если Sp(a) =0 и ру' | а, то у" | а и, следова-
тельно, р|а.
22. Доказать, что число классов дивизоров поля Q (0), 03 = 6, равно 1.
(Согласно задаче 24 § 2 гл. II числа 1, 0, 02 образуют фундаментальный
базис поля Q (0).)
23. Доказать, что в кубическом поле X = Q(0), 0Л = 6, не существует
чисел a =/= 0 вида х + у0 со взаимно простыми целыми рациональными х
и у, для которых Л'(a) = 10z3 (z целое рациональное). Вывести отсюда, что
уравнение х3 + бу3 = 10z3 (а значит, и уравнение 3z3 + 4у3 -|- 5z3 = 0) не
имеет нетривиальных решений в целых рациональных числах.
Указание. Предполагая, что числа а существуют, доказать, что они
имеют вид a = a0£3, где | — целое число поля К, а а0 — одно из следующих
шести чисел:
А.ц, Кр,в, Хр,е2, /.v, Xve, Xve2.
Здесь Х = 2— 0 (У(Х) = 2), ц = 0 —1 (7У(ц) = 5), V = (02 + 0 + I)2 =
— 13 + 80 + 302 (7V(v) = 5-53), е= 1 — 60 + 302 — основная единица по-
ля К (задача 4 § 5 гл. II). При доказательстве воспользоваться задачей 21,
примененной к числу а0, задачами 17 и 22, а также разложением в поле К
чисел 2, 3 и 5 на простые множители. Далее, полагая | = и + г0 + ю02,
запишем
a = ао^з = ф + ^0 + Q02
где Ф, ’Р и Q — целочисленные кубические формы от переменных и, v и w.
Показать, что для каждого из шести значений а0 уравнение Q (и, v, w) = 0
имеет только тривиальное решение в рациональных (и 3-адических) числах.
24. Пусть а и Ь — взаимно простые натуральные числа, свободные от
квадратов, и пусть d = ab2 > 1. Показать, что в поле Q (frd ) разложение
числа 3 в произведение простых дивизоров имеет вид
З = у3, если d^+1 (mod 9),
3 = y2q (у ф q), если d=+l(mod9).
Указание. В случае d=±l (mod 9) рассмотреть нормы 7V(co — 1),
Л'(ю), У(ю + 1), где
ш = -д- (1 4- О V ab2 -J- т V a2b),
a = ±1, т= ±1, оя = т5^1 (mod3).
25. Пусть 0 — примитивное целое число поля алгебраических чисел К,
<р(й)—его минимальный многочлен и р— простое рациональное число, не
входящее в индекс числа 0. Предположим, что по модулю р имеет место
разложение
ф («) <₽! («Л • • • <Рт (*)em (mod р),
где ф1, ..., <рт — неприводимые попарно различные по модулю р целочислен-
ные многочлены степеней ft, ..., /т соответственно. Доказать, что разложе-
ние числа р в произведение простых дивизоров поля К имеет вид р = !>/•• •
€ еп
... fm , где различные простые дивизоры р±, ..., ут имеют соответственно
степени /ъ ..., /т, при этом <р<(0) =0 (mod yi) для каждого i — 1, ..., т.
262
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. ш
Указание. Воспользоваться тем, что каждое целое число из К срав-
нимо по модулю с целочисленной линейной комбинацией степеней 0 s
(s>0).
26. Пусть простое рациональное число р не входит в индекс целого при-
митивного числа 0 поля К. Доказать, что при любом целом рациональном х
число 0 + х не делится в поле К на простой дивизор, входящий в р, степе-
ни выше первой. Доказать, далее, что 0 + х не делится на произведение
двух различных простых дивизоров первой степени, входящих в р.
27. Обобщая предшествующую задачу, доказать (в тех же предположе-
ниях), что при любых целых рациональных xq, ..., xr-i число 0Г+
+ гг_10’'-1 -|- ... -|- х0 не делится на произведение J.'i... J)s различных про-
стых дивизоров, входящих в р, степеней ... /„ если только fi + ...
г.
28. Пусть число классов дивизоров поля алгебраических чисел К рав-
но 2. Доказать, что для любого а =£ 0 из кольца D целых чисел поля К (не
являющегося единицей) число т простых сомножителей л, во всяком раз-
ложении а = Л1... лт на простые множители зависит только от а. (Спра-
ведливо и обратное утверждение: если в кольце D разложение на простые
множители не однозначно, по для любого а всякое разложение а = Л1...
... лт имеет одно и то же число простых сомножителей л<, то для поля К
число классов дивизоров равно 2.)
§ 8. Квадратичное поле
В этом параграфе мы рассмотрим несколько подробнее теорию
дивизоров для случая квадратичного поля. Начнем с описания
простых дивизоров.
1. Простые дивизоры. Так как всякий простой дивизор явля-
ется делителем одного и только одного простого числа, то для
описания всех простых дивизоров в каком бы то ни было поле
алгебраических чисел достаточно указать, как каждое простое
рациональное число р раскладывается в этом поле в произведение
простых дивизоров. Согласно равенству (3) § 7 в случае квадра-
тичного поля (для которого п = 2) числа тп, fi, е( могут принимать
лишь следующие значения:
1) т — 2, А = Л = 1, 6, = е2 =
2) пг = 1, / = 2, е = 1;
3) т = 1, /=1, е = 2.
Соответственно этому мы получаем, что в квадратичном поле
возможны три типа разложения:
1) Р = №', N(y) =Nty) =р,
2) р = $, 7V()))=p2;
3) p = V2, Nty)=p.
Наша задача состоит, следовательно, в том, чтобы выяс-
нить, чем определяется тип разложения для того или иного про-
стого числа р. Ответ может быть без труда получен из теоре-
мы 8 § 5.
В п. 1 § 7 гл. II было показано, что каждое квадратичное по-
ле однозначно представляется в виде Q(yrd), где d — целое ра-
циональное число, свободное от квадратов.
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
263
§ 81
Рассмотрим сйачала нечетное простое число р. Если р не вхо-
дит в d, то оно не входит и в дискриминант многочлена х2 — d,
корень которого порождает наше поле. Следовательно, по теоре-
ме 8 § 5 для р имеет место первый или второй тип разложения
в зависимости от того, будет ли приводим многочлен х2 — d по
модулю р или не будет. Это в свою очередь зависит от того, будет
ли d квадратичным вычетом по модулю р или невычетом.
Если p\d, то d = pd„ где di не делится на р, так как d сво-
бодно от квадратов. Равенство pdi = (Vd)2, (d,, р) = 1, показывает,
что все простые дивизоры, входящие в р, входят в него в четной
степени, а это возможно только при третьем типе разложения.
Таким образом, для нечетного р мы будем иметь первый, второй
или третий тип разложения в зависимости от условий: 1) р f d,
I= 1; 2) р f d, (— ) = — 1; 3) p\d. Заметим, что поскольку
дискриминант D поля равен d или 4d (теорема 1 § 7
гл. II), то во всех этих условиях d можно заменить на D.
Остается рассмотреть случай р = 2. Предположим сначала,
что 2 f D. Согласно теореме 1 § 7 гл. II это имеет место при D =*
= d^l(mod4). Ясно, что Q( Vd) = Q (®), где <о + ~ИД-
Минимальным многочленом для ю является, очевидно, многочлен
ж2 + х + ' (1)
Так как дискриминант базиса 1, со нечетен, то, опять применяя
теорему 8 § 5, получаем, что для 2 имеет место первый или вто-
рой тип разложения в зависимости от того, будет ли многочлен
(1) приводим по модулю 2 или не будет. Очевидно, что много-
член х2 + х + а приводим по модулю 2 тогда и только тогда, когда
2| а. Таким образом, при 2 D для 2 первый и второй тип разло-
жения определяются соответственно условиями D = t (mod 8) и
D = 5 (mod 8).
Докажем теперь, что если 2 [Л, то для 2, так же как и для
р 2, имеет место третий тип разложения. Действительно, если
2|Д, то d — 2d', 2 < d' и из равенства
2d' = (Vd)2, 2 -Г d',
так же как и в случае нечетного р, получаем, что для 2 имеет
место третий тип разложения. Если же 2_Г d, то d = 3 (mod 4)
(теорема 1 § 7 гл. II) и в равенстве (1 + Vd)2 = 2a целое число
a = Л + Yd взаимно просто с 2, так как его норма
N («)_« + «.’
264
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ, П1
не делится на 2. Следовательно, и в этом случае для 2 мы имеем
третий тип разложения.
Сформулируем полученный результат.
Теорема 1. В квадратичном поле с дискриминантом D для
простого числа р разложение
р = V2, Мр) == р,
имеет место тогда и только тогда, когда р является делителем D.
Если нечетное р не входит в D, то
Р = ДО', ?=#})', N (у) = N ($') = р при (-£-) = 1;
P = V, (у) = р2
D\ .
при J = — 1.
Если число 2 не входит в D (.значит, D = i (mod 4)), то
2 = W', АЩ>) = JVCp') = 2 при Z)=l(mod8);
2 = j), 2VCp)==4 при I) за 5 (mod 8).
2. Закон разложения. Согласно теореме 1 тип разложения
простого нечетного р определяется вычетом D (или d) по модулю
„ (р\ I d \ ,
р, точнее, значением символа Лежандра J как функции
от знаменателя р. В связи с этим возникает вопрос, нельзя ли
переформулировать теорему 1 так, чтобы тип разложения опреде-
лялся вычетом р по некоторому постоянному модулю (зависящему
только от поля). Чтобы найти эту новую формулировку, восполь-
зуемся законом взаимности для символа Якоби.
Символ Якоби определен, как известно, для целого с=/=0
и нечетного положительного Ь, взаимно простого с с. Закон вза-
имности для этого символа утверждает, что при нечетном с
/ \ ь-i с-1 .
(_£_) = (_п 2 2 i^i
\Ь (| с|/
(доказательство для с < 0 легко сводится к случаю положитель-
ного числителя).
Пусть р — произвольное нечетное простое число. Если t/ = D =
ss 1 (mod 4), то
Р-1 d—1
(2)
так как четно. Если же d = 3 (mod 4), то
. . . . Р-1 d-i, . .
4 - 4)-(-i)2 2 1г4 -(-<
Р-1
(3)
§ 8]
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
265
J_1
так как —нечетно. Наконец, при d — 2d , 2 f d' мы имеем
п \ / ,\ \ Р2-1 , Р-1 d'-l
D | _ I | — (_ 1)8 2 2
Р 1 \ Р J \pl\p) '
р
|d'l.
(4)
Значение символа Якоби (рщ) или (руду ) зависит, очевид-
но, только от вычета р по модулю |(2| или \d'I. Если d = 1 (mod4),
так что дискриминант D поля 0(^(2) равен d, то зависит
только от вычета р по модулю |(2| = |Z>|. Если (2 = 3 (mod 4)
и, следовательно, D = 4d, то ) зависит уже не только от
вычета р по модулю |(2|, ио и от числа (—1)<р-1)/2, т. е. от выче-
та р по модулю 4; следовательно, J зависит в итоге от выче-
та р по модулю 41(71 = |/?|. Наконец, если (2 = 2(2', D = 4d = 8d',
то (]-згг) зависит от вычета р по модулю 1(2'1, (—1)(р 1)/2— от
вычета р по модулю 4, а(— 1)^р -1^8 —от вычета р по модулю 8.
п /
Следовательно, в этом случае зависит от вычета р по мо-
дулю 8ld'l = |Р|. Мы видим, таким образом, что во всех слу-
чаях тип разложения простого нечетного числа р определяется
его вычетом по модулю |Л|, так что все простые числа, имею-
щие один и тот же вычет, т. е. лежащие в одной арифметической
прогрессии вида а+ IDIx, имеют один и тот же тип разложения.
Этот a priori совершенно не очевидный вывод и является прин-
ципиально наиболее важным свойством закона разложения про-
стых чисел в квадратичном поле.
Чтобы сформулировать эту новую форму закона разложения
более четко, рассмотрим на целых числах х, взаимно простых
с дискриминантом D, функцию %(rc), полагая
при
при
при
d = l (mod 4),
(2 = 3 (mod 4),
(2 = 2d'
(5)
(в случае (2=2, 3(mod4) выражения (—1)(1-1>/2 и (—1)х 18
имеют смысл, так как ввиду четности дискриминанта D === 4(2
число х нечетно)^
266
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
В проведенном выше рассуждении, показывающем, что при
( D )
нечетном р значение —J зависит только от вычета р по моду-
лю |Р|, мы нигде не пользовались простотой р. Поэтому то же
рассуждение дает нам, что %(а:) зависит только от вычета х по
модулю |Р|. Далее, легко проверяется, что если (я, D) = 1 и
(х', D) = 1, то %(хх') = %(а:)х(а:/). Все это показывает, что функ-
цию % можно рассматривать как гомоморфизм мультипликативной
группы классов вычетов по модулю 1271, взаимно простых с D,
в группу второго порядка, состоящую из чисел +1 и —1. Такие
функции, доопределенные нулевыми значениями на числах, не
взаимно простых с D, называются числовыми (квадратичными)
характерами.
Определение. Числовой характер х по модулю |Z?I, зна-
чения которого ^(х) на целых х, взаимно простых с D, определя-
ются равенствами (5), называется характером квадратичного
поля Q(/d).
Возвращаясь к равенствам (2), (3) и (4), мы видим, что раз-
ложение для простого нечетного р, ле входящего в О, будет пер-
вого или второго типа в зависимости от того, будет ли %(р) равно
+ 1 или —1. Этот же результат справедлив, оказывается, и для
р = 2. В самом деле, если 2 -f D, то D 1 (mod 4) и, значит, х (2) =
= (тЩчт0 Равно +1 ПРИ 2) = 1 (mod 8) и —1 при D =
= 5 (mod 8).
Нами получена, таким образом, следующая новая формули-
ровка закона разложения в квадратичном поле.
Теорема 2. В терминах характера х квадратичного поля
Q ( разложение рациональных простых чисел в произведение
простых дивизоров определяется условиями'.
P = W', У=?М
ЛЧр) =N(y') — р, если
N($) = рг, если
р = р2, 7V(p) = р, если
%0>) = 1;
х(р) = -1;
Х(р) = 0.
Все целые рациональные числа в зависимости от значения на
них характера х разбиваются на три группы, каждая из которых
является объединением нескольких полных классов вычетов по
модулю |Р|. Согласно теореме 2 тип разложения зависит от того,
в какую из этих групп попадает простое число р.
Такой закон разложения, как в квадратичном поле, когда тип
разложения определяется только вычетом простого числа р по
некоторому постоянному модулю, имеет место и для некоторых
других полей. Так обстоит дело, например, для полей деления
круга (см. гл. V, § 2, п. 2). Однако далеко не все поля алгебраи-
ческих чисел обладают аналогичными законами разложения. Так
как знание законов разложения в полях алгебраических чисел
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
267
§ 8]
дает возможность решать многие теоретико-числовые задачи (см.,
например, следующий пункт и § 2 гл. V), то интересно было бы
знать, каковы те поля, в которых закон разложения имеет только
что описанный простой вид. Ответ на этот вопрос дает теория
полей классов. Оказывается, что такими полями являются те нор-
мальные расширения поля рациональных чисел, группа Галуа ко-
торых абелева. К их числу относятся, конечно, все квадратичные
поля, имеющие циклическую группу второго порядка в качестве
группы Галуа. Простейший пример неабелева поля дает нам ку-
бическое поле, если только его дискриминант не есть полный
квадрат, например поле Q(0), где 03 — 0 — 1 = 0. Для этого поля,
следовательно, нельзя найти такое число М, чтобы тип разложе-
ния простого числа р в произведение простых дивизоров зависел
только от вычета р по модулю М.
Теория полей классов решает, впрочем, гораздо более общий
вопрос, чем тот, с которым мы встретились. Она описывает закон
разложения простых дивизоров произвольного поля алгебраиче-
ских чисел к на множители в некотором расширении К/к, если
группа Галуа этого расширения абелева (мы говорили выше об
очень частном случае, когда к = Q). Теория полей классов имеет
много теоретико-числовых применений. Так, она позволяет пере-
нести доказанные в гл. I теоремы о квадратичных формах с ра-
циональными коэффициентами на квадратичные формы с коэф-
фициентами из произвольного поля алгебраических чисел к, по-
нять с более глубокой точки зрения теорию родов, которую мы
изложим в п. 4, доказать теорему о существовании простых ди-
визоров в заданном классе дивизоров и т. д. С теорией полей
классов можно познакомиться по книгам [1] и [6].
Не меньшее число арифметических задач приводит к лежаще-
му за пределами теории полей классов вопросу о законах разложе-
ния простых чисел в полях с неабелевой группой Галуа. Об этих
законах разложения известно в настоящее время очень мало.
3. Представление чисел бинарными квадратичными формами.
В п. 5 § 7 гл. II мы видели, что существует взаимно однозначное
соответствие между классами собственно эквивалентных прими-
тивных бинарных квадратичных форм и классами подобных в
узком смысле модулей квадратичного поля (в случае D < 0 рас-
сматриваются только положительно определенные формы). С дру-
гой стороны, согласно теореме 6 § 6 полные модули, принадлежа-
щие максимальному порядку (т. е. идеалы поля), взаимно одно-
значно соответствуют дивизорам. Естественно поэтому ожидать,
что теория дивизоров в квадратичном поле имеет определенные
связи с теорией тех примитивных форм, дискриминант которых
совпадает с дискриминантом поля.
Чтобы соответствие между классами форм и классами модулей
распространить на дивизоры, мы должны, очевидно, слегка изме-
нить понятие эквивалентности дивизоров.
268
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
Определение. Два дивизора а и b квадратичного поля
Q ( V^d) называются эквивалентными в узком смысле, если в
Q (l^d) существует такое число а =/= О, что Mot) > 0 и а = Ь(а).
Так как для мнимых квадратичных полей нормы всех отлич-
ных от нуля чисел положительны, то в них эквивалентность ди-
визоров в узком смысле совпадает с обычной (определение п. 2
§ 7). Те же рассуждения, что и для модулей (см. и. 5 § 7 гл. II),
показывают, что в вещественном поле Q(l^d) новое понятие
эквивалентности дивизоров совпадает со старым тогда и только
тогда, когда норма основной единицы е поля ©(V^d) равна —1.
Если же Ме) = +1, то каждый класс дивизоров относительно
обычной эквивалентности распадается ровно на два класса диви-
зоров, эквивалентных в узком смысле. Таким образом, число h
классов дивизоров в узком смысле также конечно и, согласно ска-
занному, связано с числом h классов дивизоров в обычном смысле
соотношением:
h = h при
h = h при
h = 2h при
d<0;
d>0,
d > 0,
Ms) = -1;
Me) = +1.
Теорема 4 § 7 гл. II в применении к модулям, принадлежащим
максимальному порядку поля Q (V^d) с дискриминантом D, те-
перь может быть переформулирована следующим образом: клас-
сы дивизоров в узком смысле квадратичного поля Q ( V^d) нахо-
дятся во взаимно однозначном соответствии с классами собственно
эквивалентных примитивных бинарных квадратичных форм дис-
криминанта D (положительно определенных при D < 0).
Попробуем применить результаты пп. 1 и 2 к вопросу о пред-
ставлении чисел бинарными формами.
Согласно теореме 6 § 7 гл. II натуральное число а представля-
ется некоторой формой дискриминанта D тогда и только тогда,
когда в поле ©(V^d) существует целый дивизор с нормой а (мы
знаем, что норма дивизора совпадает с нормой соответствующего
ему модуля). Но нормы всех целых дивизоров могут быть охарак-
теризованы с- помощью теоремы 2. Действительно, согласно этой
теореме норма 2V(p) простого дивизора равна простому числу
р, если %(р)=0 или %(р) = 1, и равна квадрату простого числа,
если %(р) = —1. Следовательно, число а представимо в виде нор-
мы Ma) целого дивизора a = поля Q( p^d) тогда и толь-
ко тогда, когда все простые числа р, для которых х(р) = —1,
входят в а в четной степени.
Найденному условию мы можем придать несколько другой
вид, если воспользуемся символом Гильберта, определение кото-
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
269
§ 8]
рого было дано нами в и. 3 § 6 гл. I. Вычислим Для всех
простых чисел р, не входящих в D. Пусть а = ркЬ, где Ъ не де-
лится на р. Согласно свойствам символа Гильберта мы имеем:
(a, D\ lb, D\! DV1 I D\k , xh ,c, „ „
Ы=гг/Ы =Ы z(p) при p¥=2’ D>
f n\ ь-i o-i d2-i . d2-i
= (-1) 2 ' 2 8 =(-l) 8 =x(2)fe при p = 2, 2\D
(в случае p = 2, 2 f D следует учесть сравнение D s 1 (mod 4)).
Полученные формулы доказывают вторую часть следующей
теоремы.
Теорема 3. Для того чтобы натуральное число а представ-
лялось некоторой бинарной формой дискриминанта D, необходи-
мо и достаточно, чтобы оно не содержало простых чисел р
с условием %(р) = —1 в нечетной степени. Для этого в свою оче-
редь необходимо и достаточно, чтобы
1| = + 1 для всех р { D.
\ Р ]
Так как целые числа а и аЪ2 одновременно представляются или
не представляются формами дискриминанта D, то мы можем ог-
раничиться рассмотрением чисел а, свободных от квадратов.
Если р 2, р -f D и р Т а, то, как мы знаем, = + !•
Следовательно, теорема 3 накладывает па число а лишь конечное
число условий, причем в этих условиях участвуют только вычеты
простых делителей числа а (свободного от квадратов) по мо-
дулю Ш1.
Теорему 3 можно было бы легко вывести из теоремы 7 § 7,
гл. II. Мы привели доказательство, опирающееся на теорему 2,
желая обратить внимание на связь вопроса о представлениии чи-
сел формами дискриминанта D с вопросом о разложении на мно-
жители в соответствующем квадратичном поле.
Полученный результат дает нам, однако, не совсем то, что мы
хотели бы получить. Действительно, нам желательно было бы
иметь критерий представимости числа а формами из заданного
класса собственно эквивалентных форм, а теорема 3 дает нам ус-
ловие представимости а формами из какого-нибудь класса. В свя-
зи с этим возникает следующий вопрос. Нельзя ли классы форм
так разбить на непересекающиеся группы (по возможности более
мелкие),, чтобы для любого а все формы, представляющие это
число а (если конечно, они существуют), содержались в некото-
рой одной определенной группе? Такое разбиение классов форм
на группы было найдено Гауссом. Он® связано с рассмотрением
рациональной эквивалентности квадратичных форм.
270
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
Определение. Говорят, что две примитивные бинарные
квадратичные формы данного дискриминанта D принадлежат
одному роду, если они рационально эквивалентны.
Так как целочисленно эквивалентные формы тем самым и ра-
ционально эквивалентны, то все формы одного и того же класса
входят в один род. Таким образом, каждый род является объеди-
нением нескольких классов форм. Отсюда, в частности, следует,
что число родов форм (данного дискриминанта D) конечно.
В и. 5 § 7 гл. I для бинарных рациональных неособенных форм
/ были введены инварианты ер(у), где р — простое число или сим-
вол °°. В нашем случае примитивных форм j дискриминанта D
определитель равен----D, поэтому ev (/) = где а ¥= 0 —
произвольное число, рационально представимое формой /.
Пусть G — некоторый род форм. Так как все формы из G име-
ют одни и те же инварианты, то мы можем положить ep(G) =
= еР(у), где / — произвольная форма из рода G.
Пусть а — отличное от нуля число, представимое формой У.
Согласно второму утверждению теоремы 3 мы имеем ер (/) =
= ) = 1 Для всех ПРОСТЫХ Pi не входящих в D. Далее,
е„(у) = 1, так как в случае D < 0 мы рассматриваем только по-
ложительно определенные формы. Следовательно, для любого рода
G форм дискриминанта D мы имеем
eP(.G) = 1 при p]D tl р = °°. (6)
Каждый род G однозначно определен, таким образом, инварианта-
ми ep(G), где р пробегает все простые делители дискриминанта D.
Условие представимости чисел формами некоторого фиксиро-
ванного рода G может быть сформулировано следующим образом.
Теорема 4. Для того чтобы целое а>0 допускало целочис-
ленное представление некоторой формой рода G, необходимо и
достаточно, чтобы при всех р выполнялось равенство
f а, В\ / /1.
Доказательство. Необходимость условия очевидна. Если
У я. D \
же для некоторого а мы имеем —J = ер(&) при всех р, то
ввиду (6) 1 ПРИ всех Р У В. Но в таком случае соглас-
но теореме 3 число а представляется некоторой формой f дискри-
минанта D, а так как ер (У) = = ^(G), то у принадлежит
роду G, и теорема 4 доказана.
Утверждение теоремы 4 интересно в том отношении, что оно
характеризует представимость числа а некоторой формой из рода
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
271
§ 8]
G лишь вычетом числа а по модулю |Z)| (при условии, что а вооб-
ще представимо какой-нибудь формой дискриминанта D, т. е. при
условии, что при всех Р 1 В). Действительно, все
значения Для р I D зависят только от вычета а по моду-
лю Ш]. В случае, когда разбиение форм на роды совпадает
с разбиением на классы (т. е. когда каждый род состоит только
из одного класса), теорема 4 дает нам, следовательно, идеальный
ответ на вопрос о представлении чисел бинарными формами.
В общем же случае этот результат улучшить нельзя. Это зна-
чит, что, какой бы дискриминант D (максимального порядка) мы
ни взяли и какую бы совокупность классов форм этого дискрими-
нанта ни рассмотрели, если эта совокупность не состоит целиком
из нескольких родов, то не существует такого модуля т, что
представимость числа какой-нибудь формой нашей совокупности
зависит только от вычета этого числа по модулю т. В частности,
если род состоит не из одного класса, то не существует характе-
ристики чисел, представимых классом, в терминах их вычетов по
некоторому модулю. Доказательства этих фактов вытекают из
теории полей классов и основываются на том, что (если ограни-
читься простыми числами) представимость простого числа форма-
ми некоторой совокупности классов можно интерпретировать
в терминах типа разложения этого числа на простые дивизоры
в некотором поле L. Это поле L только в том случае будет иметь
абелеву группу Галуа над полем рациональных чисел, когда наша
совокупность классов состоит из нескольких родов (см. по этому
поводу работу 1781).
Займемся теперь исследованием вопроса о числе родов. Пусть
Pt, ..., pt — все попарно различные простые делители дискрими-
нанта D. Согласно (6) каждый род однозначно определяется на-
бором инвариантов е = (С). Эти инварианты не могут быть
произвольны, так как, выбрав форму / е G и число а =# 0, пред-
ставимое формой f, мы имеем (формула (17) § 7 гл. I)
61 • • Ъ = П ер (G) == П = 1
р р \ г /
(в произведениях р пробегает все простые числа и символ °°).
Покажем, что полученное нами соотношение
et...et = i (7)
между числами е4 = ±1 является не только необходимым, но и
достаточным, для того чтобы эти числа являлись инвариантами
некоторого рода G.
Обозначим через к{ показатель степени, с которым pi входит
в D (к{ равно 1 для всех р(^2 и равно 2 или 3 для pf = 2). Для
каждого i = 1, ..., t выберем целое а{, не делящееся на pt, для
272
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
( aVD\
которого I---I — eir а затем определим целое а из системы
\ Pi /
сравнений
a = a;(modft‘)
Для любого а, удовлетворяющего этим сравнениям, мы имеем
(в силу свойств символа Гильберта)
fa.D\ (avD\
\ Pi 1 \ Pi J
Наша задача состоит сейчас в том, чтобы среди значений а найти
такое, для которого = 1 при всех р f D. Воспользуемся
для этой цели теоремой Дирихле о простых числах в арифмети-
ческой прогрессии (см. § 3 гл. V). Так как все значения а взаим-
но просты с D и образуют класс вычетов по модулю ] D | = Ц М
то по теореме Дирихле среди них найдется нечетное простое чис-
ло q. Для него мы имеем:
'a, D\
------- =
. pi )
= 1 при pl D, p=£2
и p=£q;
q—1 D-l
= (- 1) 2 2 = 1
при 21 D.
n(q,D\
= 1
p \ P J
(q,D\ .
ei • • • et[~J = откуда
вола также равно 1.
дает нам, следовательно, равенство
ввиду (7) следует, что значение сим-
Таким образом, существует натуральное а (и даже простое),
для которого
(a, D\ . , „
—— I — 1 при р 1 D.
По теореме 3 число а представляется некоторой формой / дискри-
минанта D. Если эта форма принадлежит роду G, то
et>i(G) = ^j = ei
Этим и доказано наше утверждение о существовании рода с на-
перед заданными инвариантами (удовлетворяющими, конечно, со-
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
273
§ 8]
отношению (7)). Так как число всех возможных наборов значений
е« = ±1 с условием (7) равно 2‘~‘, то, следовательно, число всех
родов форм дискриминанта D также равно 2‘-1. Сформулируем
полученный результат.
Теорема 5. Пусть pt, pt — все попарно различные про-
стые делители дискриминанта D квадратичного поля Для
любого набора значений е,- = ±1 (1 i t) с условием е,... е< = 1
существует род G форм дискриминанта D, для которого = е,.
Число всех родов форм дискриминанта D равно 2<-1.
Замечание!. Изложенная в этом пункте теория родов для
форм, дискриминант которых совпадает с дискриминантом D
максимального порядка квадратичного поля, может быть развита
также и для форм дискриминанта Df.
Замечание 2. Если каждый род форм отрицательного дис-
криминанта Df2 состоит только из одного класса, то для числа
представлений целых чисел, взаимно простых с /, фиксированной
формой дискриминанта Df может быть указана простая формула
(см. задачу 18). Таблица известных значений дискриминантов
Df < 0 с одноклассными родами приведена в конце книги. Воп-
рос о том, исчерпывает ли эта таблица все значения отрицатель-
ных дискриминантов, для которых каждый род форм состоит из
одного класса, к настоящему времени не решен. Доказано только,
что число таких дискриминантов конечно. Для четных Df из
приведенной таблицы числа------% Df2 были найдены еще Эйлером
и названы им удобными числами. Удобные числа применялись
Эйлером для разыскания больших простых чисел на основе сле-
дующего их свойства: если произведение ab взаимно простых на-
туральных чисел а и Ъ равно одному из удобных чисел и если
форма ах2 + by2 представляет число q существенно одним спосо-
бом (при взаимно простых х и у), то это число q простое (см. за-
дачу 19). Например, разность 3049 — 120г/2 только при у = 5 яв-
ляется квадратом, значит, число 3049 представляется формой
х2 + 120г/2 единственным образом: 3049 = 72 + 120 • 52, и поэтому
оно простое. Этим приемом Эйлеру удалось установить простоту
многих больших по тому времени простых чисел. Ясно, что, чем
больше удобное число, тем меньше требуется испытаний для вы-
яснения вопроса о единственности представления.
4. Роды дивизоров. Полученные в п. 3 результаты о родах
форм позволяют сделать некоторые заключения о строении груп-
пы классов (в узком смысле) дивизоров квадратичного поля. Пе-
ренесем для этого определение родов на дивизоры.
Согласно теореме 6 § 6 каждому дивизору а (целому или дроб-
ному) взаимно однозначно соответствует идеал а, состоящий из
тех чисел поля, которые делятся на й. В случае квадратично-
го поля каждому базису {а, [)} модуля а, удовлетворяющему
274
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
(ГЛ. Ш
условию (10) § 7 гл. II, соответствует примитивная форма
<8)
При переходе к другому базису модуля а (с тем же условием (10)
§ 7 гл. II) форма f заменяется собственно эквивалентной формой.
Равенство (8) сопоставляет, стало быть, дивизору а целый класс
собственно эквивалентных форм. Это отображение и устанавли-
вает взаимно однозначное соответствие между классами дивизо-
ров в узком смысле и классами собственно эквивалентных форм
дискриминанта D, о котором уже говорилось в начале и. 3.
Определение. Два дивизора квадратичного поля принад-
лежат одному роду, если соответствующие им классы форм со-
держатся в одном и том же роде форм (т. е. рационально экви-
валентны).
Так как эквивалентным в узком смысле дивизорам соответ-
ствует один и тот же класс форм, то каждый род дивизоров яв-
ляется объединением нескольких классов дивизоров (в узком
смысле).
Род дивизоров, соответствующий роду форм G, мы будем обо-
значать той же буквой G. Под инвариантами ep(G) рода дивизо-
ров G подразумеваются аналогичные инварианты соответствую-
щего класса форм. Для инвариантов ep(G) имеет место формула
ep(G) = (^^j, (9)
где а — произвольный дивизор из рода G. В самом деле, по опре-
делению инвариантов ev (G) = где а — отличное от нуля
рациональное число, представимое формулой /(х, у) вида (8),
соответствующей дивизору <t. Но форма Ntax + fiy) представляет
все квадраты рациональных чисел, в частности она представляет
ЛЧа)2. Следовательно, f(x, у) представляет ЛЧа), а это и доказы-
вает формулу (9).
Род дивизоров Go, все инварианты которого равны 1, называ-
ется главным .родом. Все дивизоры а из главного) рода характе-
ру (a), D\ . _
ризуются условием —j = 1 при всех р. Отсюда следует,
что главный род является группой относительно умножения диви-
зоров — подгруппой группы всех дивизоров. Очевидно, далее, что
произвольный род дивизоров G является смежным классом aG0
по подгруппе Go, где a — произвольный дивизор из рода G. Но
совокупность всех смежных классов по подгруппе Go является
естественным образом группой — фактор-гругшой группы всех
дивизоров по подгруппе Go. Мы можем, следовательно, совокуп-
ность всех родов рассматривать как группу. Она называется груп-
§ 8]
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
275
пой родов. Согласно теореме 5 порядок группы родов равен 2'-1,
где t — число различных простых делителей дискриминанта D.
Дадим характеристику рода дивизоров в терминах самих ди-
визоров (без привлечения форм).
Теорема 6. Два дивизора а и а4 квадратичного поля при-
надлежат одному и тому же роду тогда и только тогда, когда
в поле существует такое число у с положительной нормой, что
Ma1)=2V(a)2V(y).
Доказательство. Выберем в идеалах а и базисы {«,[)}
и {а1? рД, удовлетворяющие условию (10) § 7 гл. II. Тогда диви-
зорам а и будут соответствовать формы
/(1,9) = ^£±И =
Согласно теореме 11 § 1 Дополнения формы / и Д рационально
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует хоть одно
рациональное число ¥= 0, представимое одновременно этими фор-
мами, т. е. когда
N (a) N (aj \S, si =7= op
Отсюда и следует утверждение теоремы.
Для дивизоров главного рода мы имеем следующую важную
характеристику.
Теорема 7. Дивизор а принадлежит главному роду тогда и
только тогда, когда он эквивалентен в узком смысле квадрату
дивизора.
Доказательство. Пусть дивизор а принадлежит главно-
му роду. Так как единичный дивизор принадлежит главному ро-
ду, то по теореме 6 существует число 7, для которого 2V(a) = #(7).
Заменив а на эквивалентный ему дивизор а(у—*), мы можем
считать, что 2V(a) = 1. Чтобы выяснить, при каком условии воз-
можно это равенство, разложим дивизор а в произведение про-
стых дивизоров. При этом мы отделим простые дивизоры у,-, для
которых существует другой простой дивизор с той же нормой
(первый тип разложения по терминологии п. 1), от всех осталь-
ных простых дивизоров Qj:
«=1Ь5?пг
г 3
Так как N (^) = N (р$) = р{ и N (<h) = qj (где г9 равно 2 или 1),
то условие Жа) = 1 д^ет нам
nai+bi ТТ rici л
Рг =1-
i 3
276
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. Ш
Простые числа и q, попарно различны, поэтому Ь* = — а, и
Cj = 0, а значит,
Но SiVi = Pi, поэтому 1 ~ Pi, откуда следует, что
(знак ~ здесь означает эквивалентность дивизоров в узком
смысле).
Обратно, если а ~ Ь2, т. е. а = Ь2(а), 2V(a)>0, то 2V(a) = 2V(fi),
где p = 2V(6)a, а значит, по теореме 6 а принадлежит глав-
ному роду.
Теорема 7 доказана.
Рассмотрим теперь группу ® классов дивизоров в узком смыс-
ле. Если каждому классу С е® мы поставим в соответствие тот
род G, в котором этот класс содержится, то получим гомоморфизм
группы классов 6 на группу родов. Его ядром является совокуп-
ность тех классов, которые содержатся в главном роде Ga. По
теореме 7 класс С' содержится в главном роде тогда и только
тогда, когда он является квадратом некоторого класса из ®. Та-
ким образом, ядром гомоморфизма группы S на группу родов яв-
ляется подгруппа ®2, состоящая из квадратов С2 классов С е ®.
Применяя теорему о гомоморфизме из теории групп и вспоминая,
что группа родов имеет порядок 2‘~\ приходим к следующему
результату.
Теорема 8. Фактор-группа ®/®2 группы S классов дивизо-
ров в узком смысле по подгруппе квадратов имеет порядок 2t_1,
где t — число различных простых делителей дискриминанта D
квадратичного поля.
Значение теоремы 8 состоит в том, что она дает нам некоторые
сведения о строении группы ®. Согласно теореме 1 § 5 Дополне-
ния группа <5 может быть разложена в прямое произведение цик-
лических подгрупп. Из теоремы 8 легко следует, что среди этих
подгрупп ровно t — 1 будут иметь четный порядок. В частности,
мы получаем следующий факт.
Следствие. Число классов дивизоров (в узком смысле)
квадратичного поля нечетно тогда и только тогда, когда его дис-
криминат содержит только одно простое число.
Такими полями являютсяС)( ]/ — 1), Q( У2),. — 2), Q( р)
с простым р вида 4п + 1 и Q ( ]^ — (?) с простым q вида 4п + 3.
Приведенные нами факты принадлежат к очень небольшому
числу известных результатов о строении группы классов ди-
визоров.
§ 8]
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
277
~ Задачи
1. Доказать, что характер % квадратичного поля с дискриминантом D
в терминах символа Гильберта может быть выражен формулой
%(а) = П(—У (я,Р) = 1.
p|ov р 1
2. Пусть дискриминант D квадратичного поля не делится на 8. Доказать,
что тогда для всякого целого числа 7 квадратичного поля, взаимно простого
с D, сравнение
х2 == Л'(7) (mod]!)])
разрешимо относительно целого рационального х.
3. Те классы чисел по модулю |Z>|, которые сравнимы с нормами це-
лых чисел квадратичного поля, взаимно простых с дискриминантом Z), об-
разуют подгруппу II в группе G всех классов чисел mod |Z>|, взаимно про-
стых с D. Доказать, что индекс (G : II) равен 2г, где t — число различных
простых делителей дискриминанта D.
4. Пусть Н* обозначает группу тех классов вычетов по модулю | D |, ко-
торые сравнимы с нормами целых дивизоров квадратичного поля, взаимно
простых с D. Доказать, что (G : Я*) = 2.
5. Доказать, что для любого числа 7 с положительной нормой из квад-
n lNM,D\ ,
ратичного поля с дискриминантом D при всех р имеем ——— I = 1.
\ Р /
6. Доказать, что целые дивизоры а и Ь, взаимно простые с D, тогда и
только тогда принадлежат одному роду, когда при некотором целом 7 вы-
полнено сравнение
А (а) =Я(7)ЛГ(Ь) (mod |О|).
7. Показать, что в вещественном квадратичном поле, дискриминант ко-
торого содержит только одно простое число, норма основной единицы
равна —1.
8. Показать, что нетождественный автоморфизм а: а->а® квадратично-
го поля Q ("|/d) однозначно определяет на группе дивизоров автоморфизм
о: а-* а®, для которого (aa) = (a) ° при всех а=^=0. Выяснить, как дейст-
вует автоморфизм а на простых дивизорах.
9. Автоморфизм > о группы дивизоров, определенный в задаче 8, естест-
венным образом индуцирует автоморфизм с: С-+Са группы классов диви-
зоров ® (в узком смысле). Именно, если <1 е С, то Са есть тот класс, который
содержит а°. Класс С называется инвариантным, если Са = С. Доказать, что
класс С инвариантен тогда и только тогда, когда С2 есть главный класс.
10. Доказать, что подгруппа группы классов дивизоров ® (в узком смыс-
ле), состоящая из инвариантных классов, имеет порядок 2г-1 (t— число раз-
личных простых делителей дискриминанта).
11. Доказать, что если в квадратичном поле А(₽) = 1, то существует
такое а, что
Я (а) > 0, ₽ = ±
12. Показать, что в каждом; инвариантом классе С имеется дивизор а,
для которого а°-= а.
13. Пусть Pi, ..., Pt—все попарно различные простые дивизоры, деля-
щие дискриминант D. Показать, что в каждом инвариантом классе С имеется
ровно два представителя вида
!<«!<...<<*<», - * = о,1,
278
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
[ГЛ. III
14. Подгруппа тех инвариантных классов, которые содержатся в глав-
ном роде, раскладывается, очевидно, в прямое произведение нескольких ци-
клических групп второго порядка. Доказать, что число этих циклических
сомножителей равно числу инвариантов группы классов ® (в узком смыс-
ле), делящихся на 4 (относительно определения инвариантов конечной абе-
левой группы см. п. 1 § 5 Дополнения).
15. Показать, что число положительных делителей г дискриминанта О,
свободных от квадратов и удовлетворяющих условию
(г,О\ 4
I--- I = 1 при всех р,
равно числу вида 2“. Показать, далее, что число инвариантов группы клас-
сов ®, делящихся на 4, равно и — 1.
16. Пусть т — натуральное число, взаимно простое с _индексом f по-
рядка С/ в максимальном порядке квадратичного поля <й(1/^)- Доказать, что
число модулей в Q("|/d) с кольцом множителей £);, содержащихся в £)/ и
имеющих норму т, равно числу целых дивизоров поля Q С|/ d) с нормой_т.
17. Доказать, что число целых дивизоров квадратичного поля Q (}/d) с
нормой т равно 2 Х(г), где % — характер поляЩ^/^), а г пробегает все
rlrn
делители натурального числа т.
18. Пусть gt(x, у), ..., gs(x, у) —полная система попарно неэквивалент-
ных положительных примитивных квадратичных форм дискриминанта
Dp < О (D — дискриминант максимального порядка поля Q ("|/d)), и пусть
т — натуральное число, взаимно простое с f. Доказать для числа N всех
представлений числа т всеми формами gi, ..g, формулу
r|m
где
Гб при D = —3, /=1,
И = (4 при £>==—4, / = 1,
12 при Z>/2<—4.
19. Пусть g(x, у)—положительная форма дискриминанта Dp <—Ь и
q — натуральное число, взаимно простое с Dp. Предположим, что каждый
род форм дискриминанта Dp состоит из одного класса. Доказать, что если
уравнение g(x, у) = q имеет ровно 4 решения в целых взаимно простых х
и у, то число q простое.
20. В обозначениях задачи 11 § 7 гл. II доказать, что для числа hf клас-
сов подобных модулей квадратичного поля (в обычном смысле), принадле-
жащих порядку С/, имеет место формула
где % — характер квадратичного поля (р пробегает все простые делители
числа /).
21. Показать, что простое число представляется формой ж2 + Зу2 тогда и
только тогда, когда оно имеет вид 3« + 1.
22. Показать, что форма ж2 — 5у2 представляет все простые числа вида
10n ± 1 и не представляет простых чисел вида 10п ± 3.
23. Показать, что натуральное т представляется формой ж2 + 2у2 со
взаимно простыми ж и у тогда и только тогда, когда оно имеет вид
„а а аг
тп = 2 ...р?,
КВАДРАТИЧНОЕ ПОЛЕ
279
§ 8]
где а = 0 или 1, а каждое простое нечетное щ имеет вид 8п +1 или
8п + 3.
24. Доказать, существование квадратичных полей (вещественных и мни-
мых) со сколь угодно большим числом, классов дивизоров.
25. Пусть pi, ..., pg — все попарно различные простые числа, входя-
щие в дискриминант D квадратичного поля Q ("|/d)- Равенства
= (— 1)“^, 1
V Pi /
определяют матрицу (ац) с элементами из поля вычетов по модулю 2. Обо-
значим через р ранг этой матрицы (в поле GF(2)_), Доказать, что число ин-
вариантов группы классов дивизоров поля Q Cl/d) (в узком смысле), деля-
щихся на 4, равно s — р — 1.
26. Пусть р и q — простые числа, причем р 2 и q Ф р (mod 4). Дока-
зать, что число классов дивизоров поля Q ("|Х— pq) делится на 4 тогда и
только тогда, когда | — I = 1.
\Р /
27. Пусть pi, ..., рв — различные простые числа вида 4n + 1, и пусть
d = pi.. .р, = 1 (mod8). Доказать, что каждый род дивизоров поля
<Q Cl/—d) состоит ria четного числа классов.
28. Пусть Q("|/d) — вещественное квадратичное поле, в дискриминант
которого не входят простые числа вида 4« + 3, и е — основная единица поля
Q(Vd). Доказать, что если главный род дивизоров iio.thQ(V^) состоит из
нечетного числа классов (в узком смысле), то ЛДе) = —1.
29. Пусть р — простое число вида 8га + 1. Доказать, что число классов
дивизоров поля Q (]/— р) делится на 4.
Добавление при корректуре
В статьях [159], [160] показано’, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для бесконечного числа простых показателей
I. Более того, если через s(N) мы обозначим число тех l^N,
для которых справедлив первый случай теоремы Ферма, и через
— число всех простых l^N, то в(Лг)/л(Лг) -> 1 при 2V->-<».
Можно сказать, другими словами, что первый случай теоремы
Ферма справедлив для «почти всех» I. С другой стороны, из
доказанной недавно теоремы Фалтингса очень просто вытекает,
что теорема Ферма верна для «почти всех» натуральных показа-
телей. (См. [161].)
Г л а в a IV
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
В § 7 гл. I нами была доказана теорема Минковского — Хассе
о представлениях нуля рациональными квадратичными формами.
Как сама формулировка этой теоремы, так и ее доказательство
требуют вложения поля рациональных чисел Q в поле р-адиче-
ских чисел и в поле вещественных чисел Qoo, т. е. вложения
во все пополнения поля Q. Метод решения задач теории чисел,
использующий вложения рассматриваемого основного поля в его
пополнения, носит название локального метода. Этот метод при-
водит к особенно важным арифметическим следствиям, когда он
применяется не только к полю рациональных чисел, но и к про-
извольному полю алгебраических чисел. Локальный метод явля-
ется также одним из основных инструментов при изучении полей
алгебраических функций.
В этой главе мы изложим ряд общих фактов, связанных с ло-
кальным методом в случае произвольного основного поля, а затем
в качестве применения локального метода приведем доказатель-
ство одного из самых глубоких фактов, относящихся к представ-
лению чисел неполными разложимыми формами (см. определение
п. 3 § 1 гл. II). Речь идет о замечательной теореме Туэ, гласящей,
что неопределенное уравнение /(я, у) — с, где /(ж, у) — целочис-
ленный неприводимый однородный многочлен степени >3, имеет
лишь конечное число решений в целых числах. Сам Туэ доказал
эту теорему с помощью теории рациональных приближений к
алгебраическим числам. Доказательство, основанное на привлече-
нии локального метода, принадлежит Сколему. В доказательстве
Сколема приходится, правда, наложить одно небольшое ограниче-
ние на многочлен f(x, у), зато это доказательство более прозрачно,
чем первоначальное доказательство Туэ.
§ 1. Поля, полные относительно показателей
1. Пополнение поля по показателю. В § 4 гл. I мы видели,
что каждому простому числу р, т. е. каждому простому дивизору
поля рациональных чисел Q, соответствует р-адическая метрика
Фр поля Q, пополнение по которой приводит нас к полю р-ади-
ческих чисел Qp. При определении метрики фр мы не используем
никаких свойств поля Q, кроме факта существования р-адиче-
ского показателя vP (см. формулу (1) § 4 гл. I). Поэтому построе-
ние аналогичных пополнений возможно и для произвольного по-
§ U
ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ
281
ля к, если в нем имеется теория дивизоров. Действительно, если
простому дивизору'}) ноля к соответствует показатель vy = V,' то,
выбрав вещественное р, 0 < р < 1, мы можем на к определить
метрику <р = фу, полагая
фСг)=р',(1), х^к, (1)
а затем, следуя методу п. 1 § 4 гл. I, построить пополнение к = ку
поля к по этой метрике. (То, что функция (1) является метрикой,
проверяется очевидным образом.) Поле к$ называется у-адическим
пополнением поля к. Пополнение к = к$, очевидно, не зависит
от того, какая рассматривается на к теория дивизоров. Оно вполне
определено заданием лишь одного показателя v = v?. В силу
этого мы его будем называть также пополнением, к по показателю
v. В настоящем параграфе мы изучим некоторые свойства таких
пополнений, а также их конечных расширений.
Пусть к — пополнение поля к по показателю v. Покажем, что
показатель v може£ быть естественным образом продолжен до
показателя v поля к. В самом деле, в п. 1 § 4 гл. I мы видели,
что метрика ф поля к (см. (1)) может быть продолжена до метри-
ки ф поля к так, что если а е к и а = lim ап, где ап е к, то
П-»оо
ф (а) = lim ф (ап). Но в нашем случае нуль является единственной
П->оО
предельной точкой для множества значений ф(а), a е к, поэтому
последовательность {ф(а„)1 либо сходится к нулю (если а = 0),
либо, начиная с некоторого места, стабилизируется (если а ^О).
Следовательно, последовательность {v(a„)l стремится к бесконеч-
ности при а = 0 и также стабилизируется при а =/= 0. Мы можем
поэтому положить v (а) = lim v (ап). Легко проверяется теперь,
эо
что так определенная функция v(a) (значения которой не зависят,
очевидно, от выбора последовательности {«„}) является показате-
лем поля к, причем v(a)=v(a) для всех а к. Очевидно также,
что метрика ф поля к связана с показателем v соотношением
ф (а) = р*а\ а к.
В дальнейшем аналогично тому, как это мы уже делали в
случае поля р-адических чисел (см. п. 4 § 3 гл. Расходимость в
поле к будет выражаться в терминах показателя v (вместо мет-
рики ф).
Пусть 0 — кольцо показателя v, т. е. кольцо тех элементов
а^к, для которых v(a) >0 (см. п. 1 § 4 гл. III). Покажем, что
замыкание 0 кольца 0 в поле к совпадает с_ кольцом показателя
v (замыканием А любого подмножества A cz к называется совокуп-
282
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
ность всех тех элементов из к, которые являются пределами после-
довательностей элементов из А). В самом деле, если а^О, то
а = lim ап, где ап е о, откуда v (а) == lim v (fln)>0. Обратно, пусть
П->со 71—>оо
v(a) > 0. Так как а является пределом последовательности эле-
ментов из к, то для всякого натурального п найдется такой эле-
мент ап е к, что v(a — я„) > п. Тогда а = lim ап, причем
71—» оо
v(a„) = v(a — (а — а„)) > min (v(a), v(a — я„)) > 0,
т. е. ап е о-. Наше утверждение, таким образом, доказано.
Согласно теореме 2 § 4 гл. III в кольце о с точностью до ассо-
циированности имеется только один простой элемент л, характе-
ризуемый условием х(л) = 1. Он же будет простым элементом и
в кольце о (так как х(л) = 1). Обозначим через Sv и 2- поля
вычетов показателей v и v соответственно (см. конец п. 1 § 4
гл. III). Так как сравнение в кольце о по модулю л равносильно
аналогичному сравнению и в кольце О, то мы имеем естественный
изоморфизм поля Sv в поле 2-. С другой стороны, для всякого
а е о существует элемент я = о, для которого v(a — я) 5s 1, т. е.
a = a(modn). Последнее означает, что отображение Sv->2- яв-
ляется изоморфизмом на все поле S-. В силу этого изоморфизма
поле вычетов 2- обычно отождествляют с Sv.
2. Представление элементов в виде рядов. В этом пункте мы
будем считать, что к — полное поле относительно показателя v
(т. е. полное поле относительно метрики (1)). Кольцо о показа-
теля v называется в этом случае кольцом целых элементов поля к.
Через л мы обозначим какой-нибудь фиксированный простой эле-
мент кольца о.
Поле вычетов S показателя v мы будем в этом случае называть
также полем вычетов поля к.
Для рядов в поле к справедливо, очевидно, все то, что было
сказано в п. 4 § 3 гл. I о р-адических рядах; в частности, справед-
лива теорема 8 § 3 гл. I.
Выбрав произвольно целые an (т^п< °°), рассмотрим ряд
S ^плп. (2)
Так как v(ann") = v(a„) + п > п, то апл" -> 0 при п -► <», т. е. об-
щий член ряда (2) стремится к нулю. Следовательно, ряд (2)
сходится и его сумма равна некоторому элементу из к. В связи
с этим возникает вопрос, нельзя ли всякий элемент из к пред-
ставить в виде суммы (2), и если это возможно, то нельзя ли (по-
добно случаю поля р-адических чисел, теорема 10 § 3 гл. I) ука-
§ 1]
ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 283
зать для элементов из к некоторые канонические представления
такого рода. Ответ оказывается утвердительным.
Выберем в кольце о какую-нибудь полную систему вычетов S
по модулю л. Относительно системы S мы будем предполагать,
что 0 s S, т. е. что в классе элементов кольца о, делящихся на л,
в качестве представителя взят нуль.
Теорема 1. Пусть к — полное поле с показателем v, О —
кольцо целых элементов поля к, л -— простой элемент в о и S —
полная система вычетов {содержащая нуль) кольца о по модулю л.
Тогда всякий элемент а^к может быть представлен в виде сум-
мы ряда
СО
а = У, а{Л1, (3)
г=т
в котором ai^S {m^i< <»), и такое представление единственно
{при фиксированной системе вычетов S и фиксированном- л).
Доказательство. Для а = 0 имеем представление 0 =
ОО
= У 0-л*.Пусть а=#0. Если v(a) = тп, то v(an-m)=0. Элемент
4=0
ал-т из о сравним по модулю л с некоторым элементом из о,
скажем с ат. Так как ал~т — ат~ л£, где t е о, то
а = атлт + £лт+*.
Предположим, что для некоторого п > т нами найдено представ-
ление
a = атлт + ... + а^л"-1 + ц„лп,
где а{ е S (т г X п — 1), «= 0. Выберем такое ап «= 5, что ?]n s ап
(mod л). Так как цп = ап + Цп-цЛ, где ц„+1 е О, то для а получаем
представление
a = атлт + ... + а„л” + цп+1лп+1.
Продолжим этот процесс до бесконечности. Так как v(t]nn;") 5= п,
то 7]„л71 -► 0 при п оо, а значит, а = 2 агпг-
г=т
Если в ряде (3) не все коэффициенты ап равны нулю, то мож-
но считать, что am =/=(). В этом случае v(am) =0, так как в кольце
О все элементы, не делящиеся на л, являются единицами. Но
тогда
(00 \
2 1 = v (атлт) = т.
i=m J 1
Отсюда следует единственность представления для сс = О. Пред-
положим теперь, что для а Ф 0 мы имеем два представления:
00 00
a = 2 aini — 2 aini> ai> ai e
i=m i=m’
284
. ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
(ГЛ. IV
Если в этих представлениях ат 0 и пт' =/= 0, то по только что
доказанному т = т'. Пусть уже установлено, что аг = для
ОО оо
т < i < п (п > т). Умножим равенство 2 = 2 aiIti на л_п.
г—п г=п
Переходя к сравнению по модулю л, мы получим, что ап = ап
(mod л), а так как an<^S и то ап = ап. Этим теорема 1
доказана.
Заметим, что в случае, когда к = Qp, л = р и 5 = (0, 1, ...
..., р — 1), теорема 1 превращается в теорему 10 § 3 гл. I.
Следствие. В обозначениях теоремы 1 каждый целый эле-
мент ае/с однозначно представляется в виде
а = а0 + щл + ... + а„лп + ..., а„ е S. (4)
Легко видеть, что для рядов в поле к справедлива теорема 9
§ 3 гл. I. В силу этого сходящиеся ряды в к можно перемножать
по обычным правилам анализа. В частности, с рядами вида (2)
мы можем обращаться как со степенными рядами от л. Но при
выполнении действий над рядами вида (3) по правилам степенных
рядов надо иметь в виду, что при сложении и умножении двух та-
ких рядов в результате может получиться ряд вида (2), в котором
коэффициенты а„ уже не принадлежат системе вычетов S. В этом
случае полученный рйд мы должны преобразовать к виду (3), за-
меняя последовательно каждый коэффициент ъе о его вычетом
ап е 5, определяемым равенством ап = ап + лу„, и присоединяя
на каждом шаге элемент е с к следующему коэффициенту.
Замечание 1. Представление элементов в полном поле
с показателем в виде рядов (3) зависит, конечно, от выбора сис-
темы представителей 5. Среди множества различных систем пред-
ставителей во многих важных случаях существуют «наилучшие»
системы, обладающие свойством мультипликативной замкнутости
или даже являющиеся подполями поля к (см. по этому поводу
задачи 7—И).
Замечание 2. Полученные нами здесь результаты являют-
ся обобщениями аналогичных фактов для случая поля р-адических
чисел (см. п. 4 § 3 гл. I). Следует предупредить, однако, что
теорема 6 § 3 гл. I для произвольных полных полей с показа-
телем перестает быть справедливой. Она сохраняется только для
тех полей к, для которых поле вычетов S кольца о по простому
элементу л конечно. Так же обстоит дело и с теоремами 1 ц 2
§ 5 гл. I (в которых под F надо понимать многочлен с коэффици-
ентами из о). Что касается теоремы 3 § 5 гл. I, то она вместе с
доказательством почти дословно переносится на случай произволь-
ного полного поля к с показателем. В дальнейшем мы восполь-
зуемся следствием этой теоремы в следующей форме: если для
многочлена F(X) с целыми коэффициентами из к и для целого
§ 1] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 285
£ s к мы имеем F{V »0 (mod л) и F'(^) ^0 (mod л), то в к суще-
ствует целый элемент 6, для которого £s=0(modn) и Е(0) = О.
3. Конечные расширения полного поля с показателем. Пусть
к — полное поле относительно показателя v0. Над этим полем су-
ществует достаточно много конечных расширений (см. задачу 9
§ 3 гл. III). Пусть К — расширение поля к степени п. По теоре-
ме 5 § 4 гл. III на поле К существует показатель v, являющийся
продолжением v0. Нашей целью является доказательство того,
что продолжение v в данном случае- существует только одно,
а также, что относительно показателя v поле К полно.
Пусть L — подмножество поля К, являющееся линейным про-
странством над полем к, и ..., cos —базис L над к. Каждый
элемент а из L однозначно представляется тогда в виде
а = щец + ... + as<Ds, а, е к. (5)
Если Vo(ai)^2V (i=l, ..., s), то по свойствам показателей
v(cc) > min vtfiMD,) > eN + min v(<0;),
где e обозначает индекс ветвления показателя v относительно vQ
(см. определение п. 3 § 4 гл. III). Покажем, что и, обратно, все
коэффициенты а,- в разложении (5) будут сколь угодно малыми
относительно v0, если только элемент а е L будет достаточно мал
относительно v. (Напомним, что «малые» элементы относительно
метрики вида (1) характеризуются большим значением показате-
ля v.) Более точно это означает, что для любого N можно найти
такое М, что неравенства v0(ai) Э5 N (г — 1, ..., s) будут справед-
ливы всякий раз, когда v(a) > М. При $ = 1 это утверждение
очевидно. Доказательство его в общем случае проведем индукцией
по s. Пусть s 2, и пусть вопреки нашему утверждению для не-
которого N существуют элементы a е L со сколь угодно большим
значением v(a), для которых хоть один коэффициент а( в разло-
жении (5) удовлетворяет неравенству v0(a4)<2V. Можно считать,
очевидно, что этому неравенству каждый раз удовлетворяет пер-
вый коэффициент щ. Для любого натурального л мы можем тогда
выбрать элемент ar е L, для которого v(a,) > г + eN и в то же
время коэффициент в разложении
ат = я<1г)о)1 + ... + asr)cos, a(r) е к,
удовлетворяет неравенству v0 (a^) < N. Рассмотрим последова-
тельность {fi,}, где
₽г =*= = ©! + Ь(2Г)®2 + ... + b(pas. (6)
Так как v (0r) = v (ссг) — ev0 (a^), то v(fjr) > г. Разности
₽г+1-₽г = 2(^+1)-^Г))®|
1=2
286
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
все принадлежат подпространству размерности $ — 1 (порожден-
ному элементами <в2, ..и,), и для них
v(^r+i — ^r) min (v(₽r+i ), v(^r))>r,
т. е. v(fJr+i — fJr) -> °° при г-»- оо. Но тогда по индуктивному пред-
положению при любом i = 2, ..$ мы имеем также
-> оо при г->оо.
Следовательно, в силу полноты поля к (см. теорему 7 § 3 гл. I)
последовательность сходится к некоторому элементу
Ъг е к. Переходя теперь в равенстве (6) к пределу при г со и
замечая, что -> 0, получаем равенство
со i + Ь2и2 +... + bs(f), = О,
которое противоречит, однако, линейной независимости элементов
<оъ ..., <в„ над полем к. Полученное противоречие и доказывает
наше утверждение.
Возьмем теперь в качестве L все поле К. Если последователь-
ность {аг} элементов из К фундаментальна, т. е. v(ar+i — «г) -*00
j (г)1 ОО
при г-*о°, то по доказанному все последовательности }r=i,
определяемые разложениями
аг = а^о^ + ... + ап^п, a(i} s к (7)
(здесь ai, ..., (On — базис К над к), будут сходящимися в поле к.
Но тогда вместе с ними сходящейся будет и последовательность
{аг}. Это доказывает полноту поля К относительно показателя v.
Кроме того, мы видим, что сходимость в поле К по показателю v
однозначно определена сходимостью в поле к (относительно по-
казателя Vo).
Из последнего факта легко вытекает единственность продолже-
ния показателя v0 на поле К. В самом деле, пусть помимо v суще-
ствует другое продолжение v', отличное от v. По независимости
показателей в поле К существует тогда элемент а, для которого
v(a)>0 и v/(a) = 0. Последовательность {а’7 будет, очевидно,
сходиться к нулю относительно показателя v, но не будет сходя-
щейся относительно показателя v' (поскольку v'(ccr+1 — ссг) ==
= v'(a —1) не стремится к бесконечности). Этим получено проти-
воречие, так как по доказанному сходимость в К не зависит от
продолжения показателя v0 на поле К.
Нами получена, таким образом, следующая теорема.
Теорема 2. Пусть к — полное поле относительно показате-
ля vо и К — его конечное расширение. Для показателя v0 суще-
ствует только одно продолжение v на поле К. Поле К полно от-
носительно v, и для любого базиса <й±, ..., и„ расширения К/к
последовательность {ar}, ar е К, будет сходящейся тогда и только
g 1] поля, полные’ относительно показателей 287
тогда, когда все последовательности {а^} (1 i определен-
ные разложениями (7), сходятся в поле к.
4. Целые элементы. Обратимся к изучению взаимоотношений
между кольцом о целых элементов полного поля к относительно
показателя v0 и кольцом О целых элементов конечного расшире-
ния К/к. Так как для показателя v0 мы имеем только одно про-
должение v на поле К, то по теореме 6 § 4 гл. III кольцо £) (т. е.
кольцо показателя v) совпадает с целым замыканием кольца О
в поле К. Следовательно, для любого элемента а е О его норма
Ма)=#вд(а) принадлежит О, и, значит, норма Me) всякой
единицы е кольца О является единицей в кольце О. Пусть теперь
сс^£). Так как и не является единицей в О, то Met-1) =
= 2V(a)-1 принадлежит О и не является единицей в О. Но в таком
случае Ma) = (Met)-1)-1 не принадлежит кольцу 0. Этим дока-
зана следующая теорема.
Теорема 3. Для того чтобы элемент а из конечного расши-
рения К/к полного поля с показателем был целым, необходимо и
достаточно, чтобы его норма Ng/h(a) была целым элементом в к.
Следствие. Элемент К является единицей кольца D
тогда и только тогда, когда его норма Me) есть единица
кольца 0.
Кольца о и О мы можем рассматривать, конецно, как кольца,
в которых имеется теория дивизоров. Обозначим через риф (един-
ственные) простые дивизоры этих колец. Степень инерции / диви-
зора ф относительно р, т. е. степень (S: 20) поля вычетов S поля
К над полем вычетов поля к, называется в данном случае
также степенью инерции расширения К/к. Аналогично индекс
ветвления е дивизора ф относительно р называется индексом
ветвления расширения К/к. Если л0 и л — простые элементы ко-
лец о и D соответственно, то, как мы знаем,
л0 = лве, (8)
где е — единица кольца О.
Пусть So — некоторая полная система вычетов в кольце о по
модулю л0. Как и ранее, мы будем предполагать, что 0е Sa.
Легко видеть, что если классы вычетов ©i, ...,©/ из S образуют
базис расширения S/So, то совокупность S, состоящая из линей-
ных комбинаций
«!©! + ... + «;©/, (9)
где а,, ..., af независимо друг от друга пробегают все элементы из
So, является полной системой вычетов в кольце О по модулю л.'
Определение. Базис 0,, ..., 0„ поля К над к называется
фундаментальным, если все 0; целые и в разложении
а = яД + ... + а„0„, щ е к
любого целого К все коэффициенты а4 являются целыми в к.
288
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
(ГЛ. IV
Теорема 4. Пусть к — полное поле относительно показате-
ля уа и К — его конечное расширение индекса ветвления е и сте-
пени инерции f. Пусть, далее, So и S — поля вычетов полей к и
К .соответственно. Если я— простой элемент кольца целых эле-
ментов поля К, а Юц и,-— классы вычетов из S, образующие
базис S над So, то система элементов
а,н}, г=1, / = 0, 1, ..., е —1, (10)
является фундаментальным- базисом расширения К/к.
Доказательство. Докажем прежде всего, что элементы
(10) линейно независимы относительно к. Допуская противное,
/ е-1
предположим, что 2 .2 = 0, где й« — элементы из к, не
1=1 j=o
равные нулю одновременно. Мы можем считать, что все ац целые
и хоть один из них есть единица в о (если это не так, то наше
соотношение надо умножить на подходящую степень простого
элемента поес). Пусть /0 (О«£/о«£е —1) есть наименьший ин-
декс, для которого существует такое i0 (1 < ia /), что — еди-
ница в о. Следовательно, если / < /0, то v0(«y) 1 для всех i. Так
f _ _ f
как 2 ®у ®1 =/= то сумма 2 аИ„аг не делится на л, а поэтому
i=l 0 1=1 0
для элемента
/
7=2
1=1 “
/ / \
мы имеем v (у) = j0 + v ( 2 «у0®1 I — /о- С другой стороны,
f
У = — 2 2 ацвцл*.
1=1 э/за
Если j < jo, то v(flt3®«nj) = j + v(a,j) > ev0(fl>j) > e > /0. Если же
j > jo, то v(ai;tt>.nJ) = j + v(a*j) > j > jo. Следовательно,
v (?) > min v (й|/в{л1) > /0.
Полученное противоречие и доказывает линейную независимость
элементов (10) над полем к.
Пусть теперь a — произвольный элемент из О. ,В силу след-
ствия теоремы 1 мы имеем сравнение
a ss Во + + • • • + Be-in"-1 (mod ле),
где В« — элементы из некоторой фиксированной системы вычетов
£ в кольце D по модулю л. В качестве S мы возьмем систему вы-
четов, состоящую из чисел вида (9). Так как л0 и л® ассоцииро-
ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ
289
S п
ваны в О (см. равенство (8)), то сравнения в кольце О по модулям
По и ле эквивалентны. Мы имеем, следовательно, сравнение
Г е-1
а = У 2 (mod л0), ау s 50#
1=1 1=0
а значит,
f е-1
а = 2 2 ay’ffljni + ЛоКр ат е О.
1=1 j=o
Аналогично
/ е-1
“1=22 fly’iOini + л0а2, а2 е ЯУ е ^о*
1=1 1=0
Продолжая этот процесс до бесконечности, получим последова-
тельность равенств
/ е-1
“п = 2 2 a(y’®i^ + noa„+i, ссп+1 е о, а(у’ (= SQ.
1=1 1=0
При фиксированных i и j имеем бесконечную последовательность
ОО
{ауЧ. Рассмотрим ряд У, а^л". Поскольку с$ целые, то этот
ряд сходится и его сумма ai} есть целый элемент поля к, т. в.
atj о. Докажем, что
/ е-1
а — 2 2 ЯуПЦЛЛ (И)
1=1 1=0
Действительно, по построению элементов аь сс2 . . . мы имеем
п—1 / f е—I \
CZ = У) I йц 1 OTq -f- JTqO-ny
r=0 \ i=l /
/ f e-1 \
откуда следует, что разность а — I У, У, яу<в4л> I делится на л£
\ г=1 3=0 /
(в кольце О). Поскольку это верно для любого п, то эта разность
должна быть равна нулю, и равенство (11) доказано.
Если р — произвольный элемент из К, то при некотором тп
элемент [Зл™ будет целым. Представив его в виде (11), мы видим,
что является линейной комбинацией элементов (10) с коэффи-
циентами из к. Таким образом, система (10) есть базис поля К
над к, а так как для целого а^К в представлении (11) все коэф-
фициенты aiS принадлежат О, то этот базис фундаментальный.
Теорема 4 доказана.
Так как число элементов в базисе (10) равно /е, то мы имеем
также следующий результат.
290
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
Теорема 5. Индекс ветвления е и степень инерции / ко-
нечного расширения К/k полного поля с показателем связаны со
степенью п = (К: к) соотношением je = п.
Положим Nr/r (л) = л™м, где и — единица кольца 0. Перехо-
дя в равенстве (8) к нормам, мы получим
Nk.Hi (По) = л” = NK/h (лее) = Tt™eueNKjh (е) = л™ещ
где v — также единица в 0. Отсюда следует, что п — тпе (и и = 1),
а значит, m — f. Таким образом, степень инерции / расширения
К/к может быть определена также равенством
/ = VoGVkvJh)), (12)
где л — простой элемент кольца целых элементов поля К. Отсю-
да легко получаем, что для любого а из поля К справедлива
формула
VodVx/tfa)) =/v(a). (13)
Заметим, что равенство (12) и теорема 5 являются также не-
посредственными следствиями теоремы 5 и формулы (12) из § 5
гл. III.
Определение. Если е = 1, то расширение К/к называется
неразветвленным. Если же е = п, то К/к называется вполне
разветвленным.
Из теоремы 5 следует, что степень инерции неразветвленного
расширения совпадает со степенью этого расширения. Для вполне
разветвленных расширений поле вычетов S совпадает с 3»
(в смысле естественного отождествленпя), т. е. каждый целый
элемент из К сравним по модулю л с целым элементом из к.
Можно показать (задача 12), что в случае, когда поле вычетов
S поля К сепарабельно над полем вычетов 20 поля к для расши-
рения К/к, существует однозначно определенное промежуточное
поле Т, такое, что расширение Т/к не разветвлено, а К/Т вполне
разветвлено. Поле Т называется полем инерции расширения К/к.
5. Поля формальных степенных рядов. К числу полных по-
лей относительно показателя относятся поля формальных сте-
пенных рядов. Эти поля конструируются следующим образом.
Пусть ка — произвольное поле. Совокупность о всех формаль-
ных рядов вида
а0 +aLt +a2t2 + ... + antn + ..., ап (= kQ, (14)
от переменной t относительно обычных действий над степенными
рядами образует коммутативное кольцо с единицей 1. Это кольцо
не имеет делителей нуля, и единицами в нем являются, как легко
видеть, те и только те ряды (14), у которых ао=^О. Поле отноше-
ний кольца о и называется полем формальных степенных рядов
от t над полем кй. Оно обозначается через k0{t}. Аналогично слу-
чаю поля р-адических чисел (см. и. 3 § 3 гл. I) всякий отличный
9 1] ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ 291
от нуля элемент £ поля ka{t} однозначно представляется в виде
t = tm(c0 + cti + ... + cntn +...), c„efc0, c0 ¥= 0,
с некоторым целым m (положительным, отрицательным или рав-
ным нулю). Полагая v(g)=m при | ¥= 0 и v(0) = °°, мы полу-
чаем показатель v, относительно которого поле k0{t}, как легко
проверяется, полно. Кольцо показателя v совпадает, очевидно,
с кольцом О рядов вида (14). В качестве простого элемента в о
можно взять t. Так как два ряда вида (14) сравнимы по модулю t
тогда и только тогда, когда их свободные члены совпадают, то
получаем, что в каждом классе вычетов кольца 0 по модулю t име-
ется единственный представитель из ка. Таким образом, поле вы-
четов So поля А%{Д естественным образом изоморфно полю к0.
Легко видеть, что поле формальных степенных рядов k0{t}
есть не что иное, как пополнение поля рациональных функций
А:0(А) по показателю, соответствующему неприводимому многочле-
ну А из кольца кй[1] (см. задачу 7 § 4 гл. I).
Так как к0 <= k(.{t) и Ar0 « So, то характеристика поля формаль-
ных степенных рядов совпадает с характеристикой его поля вы-
четов. Это свойство, оказывается, и характеризует поля формаль-
ных степенных рядов среди всех полных полей относительно по-
казателей. Именно, если характеристика полного (относительно
показателя) поля к совпадает с характеристикой его поля выче-
тов, то в к существует подполе /с0, элементы которого образуют
полную систему вычетов по модулю простого элемента л. Но при
такой системе вычетов действия над рядами (3) будут произво-
диться по правилам действий над степенными рядами, а значит,
к будет полем формальных степенных рядов от л с коэффициен-
тами из ка. Доказательство существования подполя кл в общем
случае довольно сложно, и мы проводить его не будем.
(Два частных случая, в которых доказательство сравнительно
нетрудно, указаны в задачах 7 и 11.)
Если к0 — расширение поля ка, то fc0 {t} является, очевид-
но, расширением поля А:0{Д, при этом, если кй/к0 кочнечно, то
А'о {А}/^о {0 также конечно и имеет ту же степень. Другой спо-
соб построения конечных расширений поля ka{t} состоит в его
изоморфном вложении в поле кй{и}, при котором t ->• ип (и нату-
ральное). Если мы отождествим поле k0{t} с его образом при
этом отображении, т. е. положим t = ип, то к0{и} будет конечным
расширением k0{t} степени п. Ясно, что ка{и} получается из
kfAt} присоединением корня n-й степени из t.
В случае полей характеристики нуль к этим двум типам рас-
ширений сводятся любые * конечные расширения поля А:0{Д.
Точнее, имеет место следующий факт.
Теорема 6. Пусть ка — поле характеристики нуль. Каждое
конечное расширение К/k поля формальных степенных рядов
292
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
к = k0{t} индекса ветвления е является подполем расширения вида
к0{и}, где кп— конечное расширение над к0 и ue = t.
Доказательство. Обозначим через 20 ц 2 поля вычетов
полей к и К соответственно, через / — степень инерции расшире-
ния К/к, через л — какой-нибудь простой элемент поля К и для
любого целого g*=K через £ — класс вычетов из S, содержащий
В в качестве представителя. Элементы поля kQ образуют, как мы
видели, естественную систему представителей для классов выче-
тов из So. Покажем прежде всего, что и в поле К существует
подполе S, содержащее ко и являющееся полной системой пред-
ставителей для классов вычетов пз 2. Так как всякое конечное
расширение поля нулевой характеристики является простым, то
S = S0(g), где В — некоторый класс вычетов из 3. Обозначим
через F минимальный много_член элемента § над 20. Заменяя все
коэффициенты многочлена F (являющиеся классами вычетов из
20) соответствующими вычетами из к0, мы получим неприводимый
над ко многочлен F степени /, для которого
F(g) 0 (mod л) и F'(Q & 0 (mod л).
Согласно замечанию 2, сделанному в конце и. 2, в поле К суще-
ствует такой целый элемент 0, что 0 = | и ZX0) = 0. Рассмотрим
подполе S = &о(0) поля К. Так как 0 является корнем неприво-
димого многочлена степени / с коэффициентами из к0, то (S: к0)=
= / и каждый элемент из S однозначно представляется в виде
«о + «!0 + ... + Я/-10/_1, ai^k0.
Соответствующие этим элементам классы вычетов по модулю л
(ввиду равенства 0 — g) совпадают с классами вычетов d0 + +
+ ... + at-^s~l. Но поскольку S = S0(g) и (3:20)=/, то такие
линейные комбинации исчерпывают собой без повторений все
классы вычетов из 2. Этим и доказано, что элементы подполя 5
(являющегося конечным расширением поля ко) составляют пол-
ную систему представителей из классов вычетов 2.
Согласно теореме 1 поле К является полем формальных сте-
пенных рядов от л с коэффициентами из S, т. е. К = 5{л}. Тео-
рема 6 была бы доказана (причем в более сильной форме), если
бы удалось показать, что простой элемент л можно выбрать так,
чтобы он был корнем степени е из t. Однако такой выбор л в са-
мом поле К не всегда возможен, и нам надо будет поэтому пе-
рейти к некоторому конечному расширению кй поля коэф-
фициентов S.
Ввиду (8) мы имеем равенство
t = л'е,
(15)
ПОЛЯ, ПОЛНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПОКАЗАТЕЛЕЙ
293
§ И
где е — единица кольца целых элементов поля К. Обозначим че-
рез а тот элемент из S, для которого a = e(modn), и через к0
поле S (у а) (если а = у® при некотором у е S, то к'о = S). Поле
формальных степенных рядов К' = к0 {я} содержит, очевидно,
К в качестве подполя и является конечным расширением к. По-
кажем, что оно уже может быть представлено в виде ^{н}, где
ue — t. Рассмотрим многочлен G(X)=Xe — е. Так как в поле К'
мы имеем
G(y) 0 (mod л) и G'(y) & 0 (mod л),
где через у обозначен корень У а, то в К' существует единица т],
для которой ц = у (mod л) и ц® = 8 (здесь мы опять применили
упоминавшееся уже замечание из и. 2). Заменим теперь простой
элемент л поля К' элементом и = лц. Тогда К' может рассматри-
ваться также как поле формальных степенных рядов от и над
полем к0, т. е. К' = к0{и}, при этом ие = t ввиду (15). Доказа-
тельство теоремы 6 окончено.
Замечание. Теорема 6 перестает быть справедливой для
произвольных конечных расширений поля формальных степенных
рядов к = k0{t} характеристики р =/= 0. Однако она сохраняется
как легко видеть, для тех расширений К/к, для которых поле
вычетов S сепарабельно над So и индекс ветвления е не делит-
ся на р.
Задачи
1. Нетривиальная метрика q> поля к называется дискретной, если для
ее значений <p(z), х е к, нуль является единственной предельной точкой.
Доказать, что всякая дискретная метрика связана с некоторым показате-
лем v поля к соотношением (1).
2. Пусть к — полное поле с показателем, К/к — конечное расширение и
01, ..., 0„— фундаментальный базис поля К над к. Показать, что элементы
= 2 aHQi' агз е *-
также образуют фундаментальный базис К над к тогда и только тогда, ког-
да все ац целые и определитель det (<zi3) является единицей в к.
3. Пусть сохраняются обозначения теоремы 4. Для произвольного эле-
/ е—г
мента а = 22»(ау е к} из К положим m = min Vo(a,3). Показать,
i=l з=о
что если /о есть наименьшее значение индекса /, для которого существует
такое i — io, что vo(aгoз) = ,?г^ т0 v(«) = /о + ет> ГДе v — показатель
поля К.
4. Доказать, что каждый элемент из поля формальных степенных рядов
не принадлежащий к0, трансцендентен над полем к0.
5. Доказать, что в условиях теоремы 6 подполе S cz К, содержащее к0
и являющееся полной системой представителей из классов вычетов поля К,
определено однозначно.
294
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
6. Доказать, что если поле к0 алгебраически замкнуто и имеет характе-
ристику нуль, то для поля формальных степенных рядов к = ка{1} при лю-
бом натуральном п существует только одно конечное расширение степени п,
а именно к t ). (Единственность понимается с точностью до изоморфизма,
оставляющего элементы из к на месте.)
7. Доказать, что если характеристика поля вычетов 2 полного поля К
с показателем равна нулю, то в л существует подполе S, являющееся пол-
ной системой представителей для классов вычетов из 2, и, следовательно,
К = 8 {л}, где л — произвольный простой элемент в кольце целых элемен-
тов поля К. (При доказательстве использовать тот факт, что всякое поле
может быть получено из простого подполя чисто трансцендентным расшире-
нием с последующим алгебраическим расширением.)
8. Показать, что в условиях задачи 7 подполе S единственно, если поле
вычетов 2 алгебраично над простым подполем.
9. Пусть К — полное поле с показателем и 2 — его поле вычетов. Дока-
зать, что если 2 есть совершенное поле характеристики р (в котором воз-
ведение в степень р является автоморфизмам), то в X существует, и при-
том единственная «мультипликативно замкнутая» система представителей 5
из классов вычетов е2, обладающая тем свойством, что если а е S и
jieS, то s S. (Представителем яе S класса £ является предел а =
= Jim , где ап — представители классов .)
П->оо
10. Сохраняя те же обозначения, предположим, что 2 есть конечное по-
ле* из pf элементов. Доказать, что в поле К многочлен — t раскладывает-
ся на линейные множители и все его корпи образуют мультипликативно
замкнутую систему представителей S для классов вычетов из 2.
11. Предположим, что поле К задачи 9 имеет ту же характеристику р,
что и его совершенное поле вычетов 2. Доказать, что тогда мультиплика-
тивно замкнутая система представителей S будет и «аддитивно замкнутой»
и. значит, будет подполем поля К, так что К = 5{л}, где л — простой эле-
мент поля К.
12. Пусть К — конечное расширение полного поля к с показателем. Пред-
положим. что поле вычетов 2 поля К сепарабельно над полем вычетов 2о
поля к. Показать, что тогда среди промежуточных полей L, к cz L <^К, не
разветвленных над к, существует максимальное поле Т (содержащее в себе
все другие не разветвленные над к промежуточные поля). Поле вычетов
поля Т совпадает с 2, и его степень (Т : к) равна (2 : 20).
13. Пусть /(X) = Xм + <ziXm-1 + ... + am — неприводимый многочлен с
коэффициентами из полного поля с показателем. Доказать, что если свобод-
ный член ат целый, то все остальные коэффициенты а4, ..., am_i так-
же целые.
14. Пусть £ — первообразный корень степени р“ из 1 (s 1). Доказать,
что поле Qp (£) имеет степень (р — 1)р3-1 над полем р-адических чисел Qp.
Доказать, далее, что расширение Qp (Q/Qp вполне разветвлено.
15. Пусть — первообразный корень степени р из 1. Доказать, что
16. Пусть к — полное поле с показателем, К! к— его конечное расши-
рение, 2 и 20 — поля вычетов К и к соответственно. Доказать, что если
расширение 2/2о сепарабельно, то для Kjk существует степенной фундамен-
тальный базис (т. е. £) = о[0], 0еО, где £) и о — кольца целых элемен-
тов К и к).
Указание. Доказать, что если 2 = 2О(0), то представитель 0еО
можно выбрать так, что /(0) будет простым элементом кольца £). Здесь
многочлен /(1) e_o[t] таков, что /(<) е 2o[t] является минимальным много-
членом элемента 0 е 2.
§ 2] КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЕМ - 295
17. Доказать, что в полном поле с показателем бесконечное произведе-
оо
ние JJ (! + «„)• ап ¥=—1, сходится тогда и только тогда, когда ап-»-0
П=1
при п -> оо.
§ 2. Конечные расширения поля с показателем
Пусть к — произвольное поле с показателем Vy и К/к— его
конечное расширение. Кольцо о = Оу показателя Vy мы будем
рассматривать как кольцо, в котором имеется теория дивизоров
с единственным простым дивизором р. Согласно теореме 1 § 5
гл. III в целом замыкании О кольца О в поле К мы имеем тео-
рию дивизоров с конечным числом простых дивизоров SP,, ..., Фт
(все они являются делителями ₽).
Пусть $ — один из простых дивизоров кольца О й — по-
полнение поля К по показателю vsg. Те элементы из К^, которые
являются пределами элементов из к, образуют подполе, тополо-
гически изоморфное пополнению fry поля к по показателю v?.
В силу изоморфного вложенпя Ау->Юр будем в дальнейшем
считать, что ку является подполем поля К$. Пусть К =
= /c(czi, ..., аг). Элементы ai — К принадлежат также и и,
будучи алгебраичными над к, они алгебраичны п над Ау. Следо-
вательно, расширение fcy (а1? . .., аг)/йу конечно (причем его
степень не превосходит степени К/к\ а значит, по теореме 2 § 1
поле fcy («1, .. ., аг) полно. Каждый элемент из К^ является пре-
делом последовательности элементов из X, поэтому из включения
К сс Ау (а15 . .., аг) и полноты /су (ап . .., ат) следует, что А'щ с:
ст ку (а15 .. ., аг), а так как справедливо и обратное включение,
то Хщ = ку (а15 ..., аг). Этим мы доказали, что расширение К$/ку
конечно, при этом
(^:/fy)<(K:A-).
Так как поля вычетов показателей Vy и совпадают с по-
лями вычетов пополнений ку и Хщ (см. конец п. 1 § 1), то
степень инерции дивизора ф относительно |) совпадает со сте-
пенью инерции расширения К^/ку. Очевидно также, что индекс
ветвления дивизора $Р относительно ? совпадает с индексом
ветвления К^/ку. Согласно теореме 5 § 1 числа и ещ связаны
со степенью : ку) соотношением = ngj.
Далее в этом параграфе мы предположим, что расширение
К/к сепарабельно, и в этом предположении изучим связи между
296
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
пополнениями Xqjp . ..,Я® поля К по всем продолжениям по-
казателя Vy.
Пусть coj, ..со„ — базис расширения К/к. Если для элемен-
та а е К в представлении
а = . + апсоп, а^к, (1)
все коэффициенты щ будут малы относительно у (т. е. малы от-
носительно показателя Vy), то этот элемент а будет, .очевидно,
мал относительно каждого простого дивизора ?s- Справедливо и
обратное утверждение.
Лемма 1. Для любого целого N можно "указать такое М,
что для всех коэффициентов as в разложении (1) будут выпол-
няться неравенства Vy (aj) N, если только v® (а)~^М при всех
s = 1, ..., т.
Доказательство. Пусть «ц, .. ., ап — взаимный базис
для базиса соt, ..., тп (см. и. 3 § 2 Дополнения; здесь мы вос-
пользовались сепарабельностью расширения К/kd. Тогда
ai = $Рк/а (оно*) = 8р асо*.
Обозначим через е, индекс ветвления относительно у и через
р простой элемент в кольце Оу показателя v?, так что es = v®g(p).
Положим М = max (esN — v™ (со?)). Если теперь v® (а)^Мпри
s,/ *s 5
всех s, то при фиксированном / имеем
v® (aco*)>es2V = v® (рл),
~s rs
а значит, асо* = рлу, где v®^ (у) О (1 < $ < т). По теореме 6 § 4
гл. III элемент у принадлежит целому замыканию кольца Оу
в поле К, поэтому Spyecy т. е. Vy(Spy)^O, откуда
Vy (aj) = Vy(Sp(aco*)) = Vy(piVSpy)>2V,
и лемма 1 доказана.
Следствие. Если последовательность {аД элементов поляК
является фундаментальной относительно каждого простого диви-
зора S]3s (s = 1, ..., m), то все последовательности {«jr)}£Lj., опре-
деляемые разложениями
аг = + ... + апГ)соп, а'р е к,
фундаментальны относительно у.
Рассмотрим теперь пополнения 7^®^ ..., А^® поля К по всем
простым дивизорам ..., и составим прямую сумму
А® ф ... ф которую мы обозначим через К у Элементами
§ 2] КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЕМ 297
этой прямой суммы являются последовательности £ = (|ъ ..gm),
где е К^, ..., Определим сложение и умножение
таких последовательностей покомпонентно. Этим мы превратим
Ку в кольцо. Для любого уе положим
..., ?т) = ("Г?!, ..., у?т).
Кольцо Ку становится теперь линейным пространством над по-
лем ку. Если степень К^ над ку мы обозначим через ns, то раз-
мерность пространства Ку над ку будет, очевидно, равна
П1 + ... + пт. (2)
В кольце Ку естественным образом можно определить поня-
тие сходимости. Именно, будем говорить, что последовательность
{(£1Г)» • • •, сходится к элементу (£,, ..., gm),
если при любом $ последовательность сходится к со-
гласно сходимости в поле . Легко видеть, что относительно
этого понятия сходимости операция умножения в кольце Ку на
элементы из ку непрерывна. Другими словами, если у = lim у(г>
Г-*ОО 1
У<г) G= ку и В = lim gri, ?(г) е= Ку, то
Г-*оо
lim y(r)g'r) = у?. (3)
Г-»оо
Определим теперь отображение К -> Ку, полагая
а — (а, ..., а)е Ку, К.
Так как К с: К^ при любом s, то последовательность (а, ..., а)
является элементом из Ку. Ясно, что отображение а а опре-
деляет изоморфизм поля К в кольцо Ку. Образ поля К при этом
изоморфизме мы обозначим через К.
Во избежание недоразумений заметим, что компоненты про-
изведения уа = (уа, . .., уа), у <= ку, которые по виду представ-
ляются одинаковыми, на самом деле, как правило, различны,
так как произведение уа зависит от того, в каком поле мы
его рассматриваем, и для различных К^ оно имеет, вообще го-
воря, разные значения, даже когда ау е Ау
Теорема 1. Если ®i, ..., — базис сепарабельного расши-
рения KJk, то а>1, ..., <Вп образуют базис кольца Ку как линей-
ного пространства над ку.
298
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
Доказательство. Покажем сначала, что К всюду плотно
в Ку, т. е. что каждый элемент из Ку является пределом после-
довательности элементов из К. Пусть | £„) — произ-
вольный элемент из Ку, 5s е K$s(s = 1, • • •, Так как К всюду
плотно в К^ , то для любого натурального г существует такой
элемент аР К, что (£s — ct^)^ г- Согласно теореме 4 § 4
гл. Ill в К найдется элемент а(г>, для которого v<ps(v/sr) — a<r))^=
при всех s = l, ..., т. Для элемента а<г) мы имеем
vsps ~ “(r)) r’ s = l,
а это и означает, очевидно, что последовательность [a |r=i эле-
ментов из К сходится в кольце Ку к элементу
Представим каждый элемент а(г) в виде
„(Г) _ Ат) , , Ат) (г) ,
(X — (0^ “Г . • • "т* U/i (Oft, Clj
Так как последовательность {а<г)1 фундаментальна относи-
тельно каждого простого дивизора S₽s, то по следствию леммы 1
последовательности все фундаментальны относительно р,
а поэтому имеют пределы в ку. Положим у, = lim ajr) (j = l, ...
r->oo
..., n). Так как для всякого«£ /.'С /г, и любого 5 е Ку, очевидно,
«5 = «В, (4)
П XS П
то а(г) = У, = У Переходя в этом равенстве к пре-
2=i j=i
делу при и учитывая свойство (3), мы получаем, что
5 = lim а(г) = У Yjcoj.
Г-»ОО 1
Этим доказано, что элементы <о; составляют систему образующих
линейного пространства Ку. Остается проверить, что они линей-
но независимы над ку. Пусть
Т1®1 + • • • + = 0, Yj ££ ку.
Так как к всюду плотно в ку, то yj = limajr), где а(р е к. По-
г-*оо
ЛОЖИМ
„(г) — I I Jr\-, = V
Ct — (Z£ (Bi -f- . . . “Т“ dn €£ Л.
Тогда lim cc(r) == lim 2 ajr><aj = 2 = 0-Это значит, что в по-
ле К последовательность {а(г)} является нулевой относительно
§ 2] КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ С ПОКАЗАТЕЛЕМ 299
всех простых дивизоров 5₽s (s — 1, ..т). Но в таком случае по
следствию леммы 1 нулевыми относительно р будут все последо-
вательности в поле к, а значит, Ч1==0, "(„ = 0.
Доказательство теоремы 1 закончено.
Замечание. В терминах тензорного произведения алгебр
теорема 1 означает, что алгебра Ку над полем ку изоморфна
тензорному произведению K®hky, т. е. может быть получена
из К (как алгебры над к) расширением основного поля к до ку.
По доказанному размерность линейного пространства Ку над
ку равна п = {К: к). С другой стороны, эта размерность равна
сумме (2). Сопоставляя это с тем, что ns = п$ — e$sf$ , мы при-
ходим к равенству У бф/ф = п (ф пробегает все простые дивизо-
ры кольца ©). Нами получено, таким образом, другое доказатель-
ство теоремы 7 § 5 гл. III.
Теорема 2. Обозначим через <р(Х) характеристический мно-
гочлен элемента К относительно сепарабельного расширения
К/k и через <рф (X) его характеристический многочлен относи-
тельно расширения К^/ky. Тогда
<р(Х) = Пфф (*)•
?!
Доказательство. В линейном пространстве Ку рассмот-
рим линейное преобразование
п
Если = 2 ат1 е fc, то в силу (4) имеем также
I
Это показывает, что характеристический многочлен нашего пре-
образования совпадает с характеристическим многочленом мат-
рицы (аг!), т. е. совпадает с <р(Х). Рассмотрим теперь в Ку дру-
гой базис (над А’у). Пусть (j = 1, ..., ns~) — какой-нибудь
базис расширения К$/ку (з = m). Если через мы
обозначим тот элемент из Ку, у которого s-я компонента равна
Рч, а все прочие равны нулю, то совокупность элементов
s = 1, ..., m; j = 1, ..., п, (5)
составит, очевидно, новый базис кольца Ку (над Ау). Пусть
300
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
(ГЛ. IV
так что (X) — это характеристический многочлен матрицы
(yjP). Легко видеть теперь, что матрицей линейного преобразо-
вания S, -* ccg в базисе (5) будет клеточно диагональная матрица
с клетками (уд’) на главной диагонали. Это и доказывает' тео-
рему 2.
Для элементов а из К введем понятие локальной нормы
ТУф (а) и локального следа Spqj (а):
(а) = Nk^ (а), Spqj (а) = ЗрКф/йу (а).
Из теоремы 2 очевидным образом вытекают следующие форму-
лы:
Nu/h (а) = Л И’ sPK/fe (а) = S 8рф (а). (6)
SPIV W
Первая из этих формул вместе с равенством (13) § 1 дает нам
соотношение
Vp (ХК/Ь (ос)) = s /фVsn (а), (7)
ад?
которое в § 5 гл. III было доказано другим способом.
Теорема 3. Выберем в поле К (сепарабельном над к) при-
митивный элемент 6, так что K = k(Q), и обозначим через ф(Х)
его минимальный многочлен относительно к. Все простые диви-
зоры ..., ф,п поля К, делящие р, находятся во взаимно одно-
значном соответствии с множителями из разложения
ф(Х)=ф1(Х)...фот(Х)
на неприводимые множители в кольце 7ср[Х]. Для простого ди-
визора соответствующий ему многочлен ф8(Х) совпадает с ми-
нимальным многочленом элемента 0 е над полем к$.
Доказательство. По теореме 2 многочлен ф(Х), являясь
характеристическим многочленом для 0 относительно К/к, равен
произведению фДХ)... фот(Х), где фДХ) — характеристический
многочлен для 0 относительно K^Jk^. Множитель ф8(Х) одно-
значно определен, таким образом, простым дивизором $8. Но, как
мы видели в начале пункта, = к^ (0),^0 е К с K^s, поэтому
каждый из многочленов q>„(X) неприводим над ку, и теорема 3
доказана.
Замечание. Предположим, что кольцо о (с полем отноше-
ний fc) есть произвольное кольцо с теорией дивизоров и V — один
из простых дивизоров кольца 0. В случае конечного сепарабель-
ного расширения KJk теорема 3 дает нам, очевидно, описание
всех простых дивизоров $ в целом замыкании D кольца о в К,
делящих р (точнее, дает их число тп и произведения /$).
S 3]
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
301
§ 3. Разложение многочленов на множители
в полном поле с показателем
В связи с теоремой 3 § 2 важно иметь удобный приём для
разложения многочленов на неприводимые множители в полном
поле с показателем. В этом параграфе мы покажем, что в таких
полях разложение многочлена с целыми коэффициентами вполне
определяется его разложением по модулю некоторой степени
простого элемента.
Лемма. Пусть о — подкольцо произвольного поля к, и пусть
g(X) и h(X) — многочлены степеней тип соответственно с ко-
эффициентами из о. Если результант p = R(.g, h) многочленов
g и h отличен от нуля, то для любого многочлена КХ) е ofXl
степени ^m + п — 1 в кольце oLX] существуют такие многочлены
ф(Х) и ф(Х) степеней ^п — 1 и ^m — 1 соответственно, что
р/(Х)=^(Х)ф(Х) + Л(Х)ф(Х). (1)
Доказательство. Положим
m п т+п—1
g(X) = 2 а{хт~1, k(X) = £ biXn-{, l(X)= 2
i=0 г=0
п—1 т—1
ф (X) = 2 щх*-1-*, ф (X) = 2 vixm~1~i.
г=0 г=0
Для определения т + п неизвестных иа, ..., vQ, ..., vm-i
приравняем в равенстве (1) коэффициенты при одинаковых сте-
пенях X. Мы получим систему т + п уравнений:
2 uTus + 2 bTvs = рщ, г = 0, 1, ..., т + п — 1.
r+s=j r+s=i
Определитель этой системы равен
а
а0
п
п т
(на свободных местах стоят нули), т. е. равен результанту р =
= R(g, h). По условию р¥=0, поэтому система имеет (единствен-
ное) решение, и так как все ее свободные члены рс{ делятся на
302
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
р, то значения неизвестных и{ и vt будут принадлежать кольцу о.
Лемма доказана.
Пусть теперь к — полное поле относительно показателя v, о —
. кольцо целых элементов из к и л — простой элемент в о. Два
многочлена /(X) и fi(X) из кольца о[Х] называем сравнимыми
по модулю лк и пишем /(X) /,(Х) (mod лА), если сравнимы по
тому же модулю их коэффициенты при одинаковых степенях X.
Теорема 1. Пусть для многочлена /(X) е о(Х] степени
т + п в кольце оГХ] существуют такие многочлены gdX) и h(AX.)
степеней тип соответственно, что: 1) старшие коэффициен-
ты j и gcho совпадают, 2) результант R(go, h3) отличен от нуля
и 3) если v(R(.g0, h0)) = т, то
/(X) g0(X)fc0(X) (mod л2г+1). (3)
Тогда в о(Х] существуют многочлены g(X) степени m и h(X)
степени п, для которых
/(X) = g(X)MX); g(X)^gB(X), h{X)^h^X) (modnr+i)
и старшие коэффициенты g(X) и h(X) совпадают со старшими
коэффициентами ga(X) и h0(.X) соответственно.
Доказательство. Для каждого k > 1 мы индуктивно
построим многочлены <рке о[Х] степени 1 и ips*= сте-
пени — 1 так, чтобы для многочленов
gk = go + лг+1<р1 + . . . + лг+*ф»,
hk = Ло + лг+11р! + ... + лг+й1р!1
выполнялось сравнение
/ = gkhk (mod л2г+й+1). (4)
Пусть многочлены ф,, ..., срй-1 и ф,, ..., ipk-i с требуемыми свой-
ствами уже построены, так что
f^=gk-ihk-l + n2r+kl, (5)
где Z(X)eo[X]. Многочлены go и gk-t, а также h0 и hk-i имеют
одинаковые старшие коэффициенты, поэтому в силу первого ус-
ловия КХ) имеет степень ^m + n— 1. Далее, gk-i = g0,
as h0 (mod лг+1), поэтому
R(gk-i, h^) = R(g0, ho) (mod nr+1),
а значит, v(.R(gh~,i, hh-t)) =r. По Лемме в кольце ofX] существу-
ют многочлены <pft и ipft степеней 1 и 1 соответствен-
но, для которых
= Vi<Ps- (6)
Проверим, что ф* и ip4 удовлетворяют необходимым требованиям.
8 3]
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
303
Так как gft = gft-i + jTr+\pft, hk = hk-i + лг+,,фл, то ввиду (5) и (6)
/ - gA = n2T+hl - nT+k(.gk-^k + Aft-itfft) — л2r+2ft<pfti)?ft = -n2r+2\p»t»,
откуда и следует сравнение (4) (ибо 2к>к + 1).
Рассмотрим теперь в о[Х] многочлены
оо оо
g (*) = go + 2 rt-+*cpft, h (X) = h0 + 2
fe=l fe=l
коэффициенты которых (кроме старших) являются суммами схо-
дящихся рядов. Так как g = gk и h = hk (mod nr+,1+1), то
gh = gkhk (mod nr+'1+1),
а значит, в силу (4)
f = gh (mod nr+ft+1).
Поскольку последнее сравнение верно при любом к, то / = gh,
и теорема 1 доказана.
Замечание. Из доказательства теоремы 1 легко следует,
что если gQ и ho вместо (3) удовлетворяют условию f = g0ho
(modns), s > 2r + 1, то g и h могут быть выбраны так, чтобы вы-
полнялись сравнения g = g.-s, h = ho (mod ns-r).
Рассмотрим один важный частный случай теоремы 1.
Многочлен /(X) е о[Х] будем называть примитивным, если
хоть один из его коэффициентов является единицей в 0. Пусть
S — поле вычетов кольца о по простому элементу л. Заменяя в
многочлене / <= оЕХ] все его коэффициенты соответствующими
классами вычетов из S, мы получим многочлен / с коэффициен-
тами из поля S. Предположим, что в кольце StX] для f имеет
место разложение
/ = gaho, (7)
в котором сомножители go и ho взаимно просты. Многочлены go
и ho из кольца о[Х] мы можем, конечно, выбрать так, чтобы, во-
первых, степень ga совпадала со степенью go и, во-вторых, чтобы
совпадали степени и старшие коэффициенты многочленов / и
goho. Рассмотрим результант R(.g0, ho) многочленов, go и ho, т. е.
определитель вида (2). Заменяя в этом определителе все элемен-
ты на соответствующие классы вычетов по модулю л, мы полу-
чим определитель, который^ будет равен, очевидно, результанту
R(go, h0) многочленов g0 и ha (старший коэффициент ho, возмож-
но, равен нулю). Результант R(go, h0) отличен от нуля, так как
по выбору go_ старший коэффициент g0 отличен от нуля и много-
члены go и h0 по условию взаимно просты. (Напомним, что для
двух многочленов с произвольными старшими коэффициентами
результант равен нулю тогда и только тогда, когда эти много-
члены имеют общий множитель или же когда их старшие коэф-
фициенты оба равны нулю.) Следовательно, 7?(go, кя) ^0 (modл),
304
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
т. е. v(7?(g0, Ао)) = г==О. Равенство (7) равносильно сравнению
/ s goha (mod л). Мы видим,-таким образом, что для и h0 вы-
полнены все условия теоремы 1 (при г = 0), а потому можно
сформулировать следующее утверждение.
Теорема 2 (лемма Хензеля). Пусть f(X)— примитивный
многочлен с коэффициентами из кольца о целых элементов пол-
ного поля с показателем. Если в поле вычетов S кольца о по
простому элементу для многочлена J е SLX] имеет место раз-
ложение
f — goh®, go, ho s otX]
co взаимно простыми g0 и ha, то в otX] существуют такие много-
члены g и h, что
№)=вШХ),
причем g — go, h = h9 и степень g равна степени gQ.
При помощи полученной нами теоремы 1 мы можем теперь
решить вопрос о разложении многочленов с коэффициентами из
полного поля к с показателем на неприводимые множители. Ог-
раничимся рассмотрением многочленов /(X) с целыми коэффи-
циентами и со старшим коэффициентом 1 (если старший коэф-
фициент многочлена из о[Х] степени п равен а, то мы можем
умножить этот многочлен на ап~1 и взять аХ за новую перемен-
ную). Так как для кольца о[Х] сохраняется пзвестная теорема
Гаусса о разложении многочленов с целыми коэффициентами, то
все неприводимые делители таких многочленов /(X), старшие
коэффициенты которых равны 1, будут также принадлежать
кольцу о[Х].
Если многочлен /(X) не имеет кратных корней (в конечных
расширениях поля к), то его дискриминант Dlf) = ±R(f, f') от-
личен от нуля. Пусть d = v(D(f)), и пусть в кольце о[Х] имеет
место сравнение
f — <Pi<p2.. • ф™ (mod nd+1), (8)
в котором старшие коэффициенты многочленов ф3 (так же, как
и /) все равны 1. Положим h, = ф2... фт. Так как для дискрими-
нанта произведения двух многочленов имеет место формула
/)(ф1р) =/)(ф)/)(1р)/?(ф, ip)2,
и £>(/) ss D^ih,) (mod nd+1), так что у(Р(ф1Л1)) = d, то d > 2г,
где г = у(.Н(ф1, А4)). По теореме 1 (см. замечание в конце ее
доказательства) в кольце о[Х1 существуют такие многочлены
gi(X) и /,(Х), что f — gtfi и A es ф2... фт (mod nd-r+1). Но d — r>
> d — 2r> d,= v(Z)(/i)), поэтому аналогичным образом для мно-
гочлена fi найдем разложение fi = gzf2 и т. д. В конце концов
мы получим разложение
/(x) = gla)...gm(x),
(9)
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
305
§ 3]
в котором многочлены g„ е о[Х] имеют те же степени, что
и <ps.
Если разложение (8) выбрано с наибольшим возможным т,
то все многочлены gB, очевидно, неприводимы над полем к, и мы
получаем следующий результат.
Теорема 3. Если для многочлена fiX) разложение (8) по
модулю л<!+1 выбрано с наибольшим возможным значением т,
то разложение этого многочлена на неприводимые в к множите-
ли имеет вид (9), где каждый из многочленов gs имеет ту же
степень, что и соответствующий ему многочлен <ps.
Для теоремы 3 также особо отметим тот частный случай,
когда d = 0, т. е. когда D(f) является единицей в 0. В этом слу-
чае разложение (8) (при переходе к полю вычетов S) совпадает
с разложением _ _
/ = <р!...<рт (10)
на неприводимые множители в кольце 2[Х]. Поэтому мы имеем
следующее
Следствие. Если для многочлена f(X)eoLX] дискриминант
D(.f) является единицей в 0 и если в кольце SIX] разложение /
на неприводимые множители имеет вид (10), то в о[Х] сущест-
вуют такие неприводимые над к многочлены gi, ..., gm, что / =
“ gi • • • gm U gi = (pl, . . ., gm = фт.
Это утверждение, конечно, очевидным образом вытекает так-
же из теоремы 2.
Задачи
1. Пусть к — полное поле с показателем, К)к — конечное сепарабельное
расширение с индексом ветвления е, о и £> — кольца целых элементов полей
к и К соответственно, л0 и л — их простые элементы. Доказать, что если
элемент ие£) делится па л, то 8рк/ь(а) делится на л0. Вывести отсюда,
что 8рк/л(л1-е£>) с о. Перенести, далее, утверждения задач 12 и 16 § 2
гл. II па рассматриваемый случай и доказать, что в случае е > 1 для каж-
дого элемента ОеОс характеристическим многочленом /(() значение /'(0)
делится па л.
2. Пусть к — конечное расширение поля р-адических чисел, е — его ин-
декс ветвления над Qp и л — простой элемент поля к. Предположим, что к
содержит первообразный корень степени р из 1, так что е делится на р — 1
(задача 14 § 1). Доказать, что всякое целое а <= к, которое == 1 (mod л™+1),
где т = ре/(р— 1) = ps = е + s, является р-й степенью некоторого эле-
мента из к. (Воспользоваться тем, что если = 1 + ле+г7 (7 целое), г > s,
р = лее-1, то (1 + лг7е)р (mod ле+г+1)- Применить затем задачу 17 § 1.)
3. В условиях задачи 2 предположим, что целое а сравнимо с 1 по мо-
дулю л"‘, но не является р-й степенью элемента из к. Доказать, что тогда
^является неразветвленным расширением степени р. (Найти харак-
теристический многочлен f(t) элемента 0 = л—— 1) и убедиться, что
f'(0) является единицей; применить затем последнее утверждение за-
дачи 1.)
4. Сохраняя условия задачи 2, предположим, что целое а е к удовлет-
воряет условиям.: a =1 (modл/1), 1 (modn'1+1), (7s, р) = 1, h < тп. =
= ерЦр — 1). Доказать, что тогда а не является р-й степенью элемента
06
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
из А и что расширение л(у/а)/Лвполпе разветвлено. (Рассмотреть показа-
тель степени, с которым простой элемент поля к (>/а)входит в разность
р-1 .
1 —а = JJ (l-i'i-'a), где £ —первообразный корень степени р из 1.)
1=0
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел
1. Описание метрик. В п. 2 § 4 гл. I нами было выяснено, что
всевозможные пополнения поля рациональных чисел Q — это
поля р-адических чисел Qp и поле вещественных чисел Q». Те-
перь мы решим это вопрос для случая произвольного поля алгеб-
раических чисел к. Согласно сказанному в начале § 1 каждому
простому дивизору р поля к соответствует р-адическое пополне-
ние к^, т. е. пополнение по метрике <py(z) = р 15 , х к(0 <Zp<Z
< 1). Метрику фр мы будем называть у-адической метрикой
поля к. Для ответа на интересующий нас вопрос о возможных
пополнениях поля к нам следует, очевидно, выяснить, какие еще
метрики помимо р-адических пмеются в полях алгебраических
чисел.
Пусть ср — произвольная нетривиальная метрика поля алгеб-
раических чисел к. Рассматривая ее лишь на рациональных чис-
лах, мы получаем метрику ф0 поля Q. Покажем прежде всего,
что вместе с ф метрика ф0 также нетривиальна. Выберем в к ка-
кой-нибудь базис <щ, ..., над Q. Для любого £ = щец + ...
... + ап(лп (щ е Q) мы имеем
ф(£) ф0(«1)ф,(ы1) + ... + фо(а„)ф(£о„).
Если бы метрика ф0 была тривиальной, то, поскольку ф9(а() 1,
имело бы место неравенство
2 <Р (®i)
г=1
при всех с е /г. Но это невозможно, так как все значения нетри-
виальной метрики не могут быть ограничены.
Согласно теореме 3 § 4 гл. I метрика ф0 совпадает либо с
/г-адической метрикой фр (.г) = pVp( \ 0 < р < 1, либо с метрикой
1х|р, 0 < р 1 (ieQ). Разберем сначала первый случай. Обо-
значим через Ор кольцо p-целых рациональных чисел (кольцо по-
казателя vp) и через £)р его целое замыкание в к. Если <ot, ...
..., й„ — фундаментальный базис поля к, то всякое а <= ©Р пред-
ставляется в виде а = + ... + апап с коэффициентами а( из
ор. Но фР(щ) 1, поэтому
Ф (а)< 2 ф (®i),
i=l
§ 4j МЕТРИКИ ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 307
а так как вместе с а все степени а* (к > 0) также принадлежат
Dp, то ф(а) 1. Отсюда легко теперь следует, что <р(е) = 1 для
всех единиц кольца DP. Согласно теореме 7 § 4 гл. III каждое
отличное от нуля число £е к однозначно представляется в виде
g = (1)
где е — единица в Dp, а л1? ..., лт — некоторая фиксированная
система попарно не ассоциированных простых элементов. (Число
| принадлежит Dp тогда и только тогда, когда /^>0.) Если бы
<р(л,) = 1 при всех i, то <р(|) было бы равно 1 при всех из к.
Это, одпако, противоречит нетривиальное™ <р. Предположим, что
ф(л<) < 1 и <р(л3) < 1 для двух различных индексов i и j. Выбе-
рем натуральные к и I так, чтобы <р(л1)', + ф(л3)г < 1. Числа л*
и nlj взаимно просты в кольце Dp, поэтому согласно лемме 2 § 6
гл. III в Dp существуют такие а и ,В, что
1 = ал* + pnj.
Но тогда
1 = ф(1) ф(а)ф(л()л + ф(р)ф(л3)г фСлЭ'* + ф(л3)' < 1,
и мы опять получили противоречие. Таким образом, существует
только один простой элемент л,-, для которого ф(л,) < 1. Обозна-
чим через р и Vy соответствующие ему простой дивизор и пока-
затель. Так как в разложении (1) показатель kt равен Vp (5), то,
обозначая через р1 значение ф(л<), будем иметь
<Р(Ю = Р?(5)- (2)
Взяв здесь | = р, находим, что р = р£, где е — индекс ветвления
простого дивизора $. Полученная формула (2) показывает, что
метрика ф совпадает с р-адической метрикой фр, соответствую-
щей простому дивизору р.
Перейдем теперь к изучению случая, когда ф0(ж) = 1ж1р,
0 < р С 1 (ieQ).
Пополнение поля Q по метрике |а:|₽ дает, как мы знаем, поле
вещественных чисел (независимо от значения р). Как и в п. 2
§ 7 гл. I, обозначим его через Qoo- Продолжением метрики |adp,
xeQ, на поле Qoo будет, очевидно, метрика |а|₽, При-
соединяя к полю Qoo корень i = V—1, мы получаем поле комп-
лексных чисел (С. Покажем, что метрика |а|₽ поля Qoo может
быть продолжена на поле единственным образом, а именно
с помощью метрики |glp, где 1^1 обозначает модуль комплексного
числа |. Пусть ф — какое-нибудь продолжение. Тогда ip(£) = 1
для всех ^е£с условием ]£| = 1. В самом деле, если бы это
было пе так, то для некоторого £ мы имели бы ф(£) > 1 и
308
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
||| =1. Выбрав натуральное число п и положив £n = а + Pi (а,,
Р е Qoo), мы получили бы
ф(£п) ф(а) + ф(р)ф(i) С 1 + ip(i),
поскольку ф(а) = 1а1р 1 и аналогично ф(£) 1. Но это невоз-
можно, так как ф(£)”> 1 + ip(i), если только п достаточно велико.
Пусть теперь g — произвольное отличное от нуля комплексное
число. По доказанному ф(^/|^|) = 1. Следовательно, ф(|) =
= ф(|^|) = |£|р, что и требовалось доказать.
Каждое поле алгебраических чисел к степени п = s + 2t
(см. п. 1 § 3 гл. II) имеет п различных изоморфизмов в поле
комплексных чисел (С (s вещественных и t пар комплексных).
Пусть а — какой-нибудь один из них. Если для любого £ е к мы
положим
ф0(|) = |о(|) 1Р,
то функция фо будет, очевидно, _метрикой поля к, причем ф0(ж) =
= |я?!р при х е Q. Если а и о— сопряженные изоморфизмы,
то |о(|)I = |о(£)| = lo(g) I, а значит, соответствующие им метрики
<ра и совпадают. Мы имеем, таким образом, s + t метрик поля
к, совпадающих на Q с метрикой Ыр.
Пусть теперь ф — произвольная метрика поля к, совпадающая
на Q с метрикой I х Iр. На пополнении кч поля к по этой метрике
однозначно определена непрерывная метрика ф, совпадающая на
к с ф. Ясно, что замыкание Q поля рациональных чисел в
топологически изоморфно полю вещественных чисел Qoo- Если
через о мы обозначим (единственный) топологический изомор-
физм Q на Qoo, то для всякого yeQ будем иметь ф(у) = 1о(у)1₽.
Выберем в к примитивное число 6, так что к = Q(0), и обозначим
через /(X) минимальный многочлен числа 6 над Q. При разло-
жении /(X) на неприводимые множители в поле вещественных
чисел мы имеем $ линейных и t квадратных множителей. Следо-
вательно, и в поле Q имеет место разложение
/(X) = (х- ej... (х - es)(x2+Pix + ?1)... (х2+Pix + ?().
Так как /(0) = 0, то 0 должно быть корнем одного из этих сомно-
жителей.
Предположим сначала, что 0 = 04. Так как OeQ и, следова-
тельно, X = Q(0)c:Q, то изоморфизм о: Q-*-Qoo индуцирует
на к вещественный изоморфизм п: к-*-(Е, при этом, если то
ф(^)=ф(^) = 1о(^)|р.
Метрика ф совпадает, таким образом, с фв. Кроме того, мы видим,
что в этом случае к9 = Q, т. е. пополнение к,с топологически изо-
морфно полю вещественных чисел.
§ 4]
МЕТРИКИ ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
309
Предположим теперь, что 0 — корень одного из квадратных
трехчленов. В этом случае (Q (0): Q) = 2, а поэтому изоморфизм
о: Q -> Qoo _ молит быть продолжен (двумя способами) до изомор-
физма о: Q(0)->C. Индуцированное этим изоморфизмом вложе-
ние о: A-Я? будет, очевидно, комплексным изоморфизмом к в по-
ле комплексных чисел С. По доказанному на (£ существует
только одна метрика, совпадающая на Q» с метрикой 1а1р,
а именно |т]1р, т] еС. Следовательно, для любого £ е к мы имеем
ф(|) =<р(|) = 1о(£)|₽,
т. е. ф = фа при комплексном изоморфизме о; поле fc, (совпадаю-
щее с Q(0)) топологически изоморфно полю всех комплексных
чисел.
Нами доказана, таким образом,
Теорема 1. Всякая нетривиальная метрика ф поля алгеб-
раических чисел к степени п = s + 2t совпадает либо с у-адиче-
ской метрикой
фу (?) = pVt,<g), 0 < р < 1, 1*=к,
соответствующей простому дивизору р, либо с одной из s + t мет-
рик вида
фД) = lo(g)lp, 0<р^1, l^k,
где с —изоморфизм поля к в поле всех комплексных чисел (С.
Определение. Пополнение к^ поля алгебраических чисел
к по метрике фу называется полем у-адических чисел.
Из теоремы 1 следует теперь, что все пополнения поля алгеб-
раических чисел к исчерпываются полями р-адических чисел, по-
лем вещественных чисел (при $ > 0) и полем комплексных чисел
(при t> 0).
Чтобы подчеркнуть аналогию между метриками фу и ф„,
полю алгебраических чисел к степени п = s + 2t приписывают
s + t = r новых объектов р£, „, ..., рг> „, называемых бесконечны-
ми простыми дивизорами, которые взаимно однозначно соответ-
ствуют всем метрикам вида фя. Обычные простые дивизоры, что-
бы отличать их от бесконечных, называют тогда конечными
простыми дивизорами. Бесконечный простой дивизор р = <» на-
зывается вещественным, если он соответствует метрике фя с веще-
ственным изоморфизмом с, и называется комплексным, если свя-
занная с ним метрика" ф0 = фа отвечает паре сопряженных комп-
лексных изоморфизмов о и о.
В случае поля рациональных чисел Q существует единствен-
ный бесконечный (вещественный) простой дивизор р„, который
мы фактически уже ввели в п. 2 § 7 гл. I и обозначали там сим-
310
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
волом оо. Все простые дивизоры р,, ..1рт поля к, соответствую-
щие продолжениям р-адического показателя vP на к, являются
делителями числа р (которое мы можем рассматривать как диви-
зор поля Q). Аналогично этому бесконечные простые дивизоры
Pi, оо, ..рг, оо называются делителями” рт, так как соответствую-
щие им метрики являются продолжениями метрики lzl° поля ра-
циональных чисел.
Рассматривавшееся в § 2 кольцо в применения к расши-
рению к/Q и к простому рациональному числу р совпадает с
кольцом кр последовательностей (gt, ..., £m), где | е kv,. Размер-
ность кольца кр как линейного пространства над полем р-адпче-
скпх чисел Qp равна п = (к: Q) (теорема 1 § 2). Аналогичным
понятием в случае бесконечного простого дивизора является
кольцо кРоо, состоящее из последовательностей (|ъ ..., |,+1,...
..., gs+(), где (l^i^s) принадлежат полю вещественных чи-
сел, a cs+i — полю комплексных чисел. Кольцо кРдо,
являющееся линейным пространством размерности п = (/« : Q) над
полем вещественных чисел Ск>, совпадает, таким образом, с коль-
цом 6s’', которое мы рассматривали в гл. II и которое являлось
основным инструментом при изучении группы единиц и классов
модулей поля алгебраических чисел к. Не меньшую роль кольцо
бУДет играть в § 1 гл. V.
2. Соотношение между метриками. Для каждого простого ди-
визора р поля к (как конечного, так и бесконечного) введем по-
нятие связанной с ним нормированной метрики <р9, определяемой
специальным выбором значения р. Если р — конечный простой
дивизор, то нормированная метрика фу определяется равенством'
<ру а) = (i/N (v))v”(l\
где 2V(j>) — норма дивизора р. Для бесконечного вещественного
соответствующего вещественному изоморфизму о: к—по-
лагаем
(ру (s) = | и (В) |, £ к.
Наконец, если V — бесконечный комплексный простой дивизор,
соответствующий паре сопряженных комплексных изоморфизмов
о и о, то нормированная метрика фу определяется формулой
Фу© = |а©Г2 = |Б^)|2 = о©Б(ё).
Относительно последнего случая следует отметить, что функция
1о(^)12, строго говоря, не является метрикой в смысле определе-
ния п. 1 § 4 гл. I, так как для нее неравенство треугольника 2’
не соблюдается. Однако ввиду того, что 1о(£)12 является квадра-
том метрики, эта функция также .может быть использована для
$ 4]
МЕТРИКИ ПОЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
311
определения сходимости на поле к, а потому может рассматри-
ваться нами наравне с метриками.
Для любого g 0 из к мы имеем, очевидно, только конечное
число простых дивизоров р, для которых фр (^) =7^1- В силу этого
имеет смысл формально бесконечное произведение ТТ Ф« (В)-
Теорема 2. Для любого g ¥= 0 из поля алгебраических чи-
сел к значения фу (В) всех нормированных метрик удовлетворяют
соотношению
П Фр (В) = 1
Ч)
(р пробегает все простые дивизоры поля к, как конечные, так и
бесконечные).
Доказательство. Обозначим через Р и Р' произведения
значений ф? (£), распространенные соответственно на все беско-
нечные и на все конечные р, так что произведенпе, стоящее в ле-
вой части равенства (3), равно РР'. По определению нормирован-
ных метрик для бесконечных р мы имеем
Р=П|а(В)| = |П^©Н|Аг(В)|
а | g I
(здесь о пробегает все n = s + 2f изоморфизмов к в поле ff).
С другой стороны, по формуле (1) § 7 гл. Ill норма главного ди-
визора (£) = ТТ (здесь р пробегает все конечные простые
Р
дивизоры) равна
И (|) I = N (П = П N
\ » 1 Р
что и доказывает теорему.
Задачи
1. Пусть cpi, ..., <fr (г = s 4- t) — метрики поля алгебраических чисел
к степени п == s + 21, соответствующие бесконечным простым дивизорам.
Доказать, что для любого i = 1, ..., г в к существует число gi, для которого
<Pi (gi) > 1. <P;(g/) < 1, Показать, далее, что метрики q?i, ..., фг оп-
ределяют различные сходимости на к.
2. Показать, что всякое соотношение вида
ПШу.
ф»(£) ”=1>
р '
между нормированными метриками фу поля алгебраических чисел к явля-
ется следствием соотношения (3), т. е. что это равенство выполняется для
всех | е к* лишь при условии m^ = m при любом р.
312
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
§ 5. Аналитические функции в полных полях
1. Степенные ряды. Некоторые сведения о рядах в полном
поле к с показателем v нам уже известны (см. п. 2 § 1 этой гла-
ОО
вы и п. 4 § 3 гл. I). Так, мы знаем, что в поле к ряд 2 ап схо-
п=1
дптся тогда и только тогда, когда ап -+ 0 при /г->°о; что сходя-
щиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать на
постоянный множитель; что для сходящихся рядов справедливо
сочетательное свойство. Известно, далее, что при любой переста-
новке членов сходящегося ряда его сходимость не нарушается и
сумма не меняется. Отсюда легко следует, что если произведения
оо оо
«Д членов двух СХОДЯЩИХСЯ рядов 2 аг~ s и 2 = t выпи-
i=i ;=1
сать в каком-нибудь порядке и составить из них ряд, то этот
ряд будет сходящимся и его сумма будет равна st.
Отметим для дальнейшего одну простую теорему о двойном
ряде. Напомним, что двойной ряд
оо
2 «у (1)
и=1
тп. п
называется сходящимся к сумме з, если 2 2 при т, п -*
1=1 3=1
-» оо. Ряды
ос / оо \ оо / оо \
21 2 «у I > 2 ( 2 ац)
г=1 ' 3=1 / 3=1 \ г=1 /
называются повторными рядами двойного ряда (1).
Теорема 1. Если для любого N почти для всех пар (i, j)
имеем v(a1})>N, то двойной ряд (1) сходится и его сумма равна
суммам обоих повторных рядов, которые также сходятся. Если
из членов двойного ряда (1) образовать каким-нибудь способом
простой ряд, то он тоже будет сходиться, и к той же сумме.
Доказательство этой теоремы совсем просто, и мы предостав-
ляем его читателю.
Степенным рядом в поле к называется ряд вида
/ (ж) = 2 апхп = а0 + агх + ... + апхп +... ,« (2)
71=0
где ап~ к. Если ряд (2) сходится при х = ха s к, то он сходится
и для всех тех х^к, для которых v(x) > v(x0). Действительно,
для всех таких х мы имеем v(ana:")^v(an2:o)’ п поэтому вместе
с ап:со общий член апхп также стремится к нулю при п -* Та-
ким образом, если через у, мы обозначим minv(a:), где х пробе-
I! 5] АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПОЛНЫХ ПОЛЯХ 313
гает все значения из к, при которых ряд (2) сходится, то область
сходимости этого ряда будет характеризоваться условием v(a:) > у.
(или он будет сходиться при всех х).
ОО
Если мы имеем два степенных ряда = 2 апХп и
п=о
оо
= 2 Ъпхп, то под их произведением hix) понимается степенной
п=0
ряд, полученный формальным перемножением данных рядов,
СО
т. е. ряд 2 спХп, где сп = 2 ai^i- Пусть ряды ДСг) и /2(х)
п=0 i+j=n
сходятся при vGr) > у, и vix) > у2 соответственно. Очевидно, что
тогда hix) будет сходящимся при vGr) > max (yt, у,2) и его сумма
будет равна /1(л;)/2(ж).
Степенной ряд /(ж) в своей области сходимости является не-
прерывной функцией от х. Действительно, все члены апхп при
n 5s 1 будут сколь угодно малы, если только значение для х до-
статочно мало. Отсюда следует, что /(г) -> а0 = /(0) при х -*• 0,
т. е. функция /(ж) непрерывна в точке х = 0. Пусть теперь с —
произвольное значение из области сходимости ряда fix). Заменим
каждый член апхп выражением anic + y)n. Раскрыв здесь скобки
и просуммировав все такие многочлены, мы получим степенной
РЯД fAy). Это приводит нас к формуле
/(c + y)=/e(y), (3)
справедливой для любого у из области сходимости ряда fix). По
доказанному /с(у) -> /с(0) при у -> 0, поэтому /(ж) /(с) при
х с, и непрерывность /(ж) при х = с доказана.
Функция /(гс), определенная в некоторой области полного по-
ля с показателем и представимая в этой области сходящимся сте-
пенным рядом, называется аналитической функцией.
Рассмотрим степенной ряд
д(у) = 61У + ... + Ь„у" + ...
без свободного члена. Результат формальной подстановки ряда
giy) в ряд fix) (вместо х) будет степенным рядом Fiy) от у.
Именно, если
anigiy))n = сппуп + с„, п+1Уп+1 + ..., (4)
то
Fiy) = а0 + Ci,у + (с12 + с22)у2 +... + (сщ + с2„ + ... +• спп)уп + ...
Теорема 2 (о подстановке ряда в ряд). Пусть ряд fix) схо-
дится при vix) > у.. Если в указанных выше обозначениях для
некоторого у^к ряд giy) сходится и vibmym) > у при всех тга > 1,
то ряд Fiy) также сходится и
Fiy) = figiy)).
314
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
Доказательство. Рассмотрим двойной ряд
(5)
г,Э
В силу (4) имеем сптут = 2 апЬа уа* ... Ъауап. Пусть
«!+...-!-ап=т
N = min v (bmym). Тогда
ТП
V (сптут) > min (v (anba yai ... ЪапуапУ) > v (ап) + nN.
alt...,ccn
Так как N = v(xo) при некотором х0 и при х = х0 ряд fix) схо-
дится, то v (ап) + nN = v(an#o)—>- сю, а значит, и v(cnmpm)
при п -> оо равномерно для всех т. Далее, при фиксированном п
ряд (4) сходится (как произведение сходящихся рядов), поэтому
v(c„m?/m)-> оо при т->оо. Этим доказано, что для двойного ряда
(5) выполнено условие теоремы 1. В силу этой теоремы оба по-
вторных ряда для (5) сходятся и имеют одну и ту же сумму.
Теперь остается лишь заметить, что
Р (У) = «о + 5 (2сг}У3) и /Иу)) = «о +
3 \ i 1 i \ 3
и теорема 2 доказана.
В следующих двух параграфах мы будем рассматривать также
аналитические функции от п переменных, т. е. функции, предста-
вимые в виде степенных рядов
/Сч, ...,хп) = 2 Ч-^Т1 • • • хпп-
...ап>0
Предположим, что ряд f(xIf ..., хп) в n-мерном пространстве пад
полным полем с показателем сходится в области v(z,)>7V (i =
= 1, ..., п). Если с= (съ ..., сп) — точка из этой области, то,
аналогично случаю одной переменной (применив теорему 1), лег-
ко можно получить тождество
f(Xi + Ci, . . ., Хп + С„) = /c(Xi, ..., xj,
справедливое для всех точек из области v(xi') > N (в этом тожде-
стве степенной ряд /с также сходится при м(х.) >iV).
2. Показательная и логарифмическая функция. В этом пунк-
те мы предположим, что к есть конечное расширение поля р-ади-
ческих чисел Qp. Через v мы обозначим показатель поля к, че-
рез е — индекс ветвления к относительно Qp и через л — про-
стой элемент кольца целых элементов в к.
6 5]'
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПОЛНЫХ ПОЛЯХ
315
Рассмотрим в поле к степенные ряды
. х Хп
ехрх = 1 +-jj+ 2f+ ... + ^ + •••, (6)
1п(1+ ж) = ж-^-+ ... + (-1)п-1^-+ ... (7)
Выясним область сходимости ряда (6). Так как простое число р
t Г п 1 , Г п
входит в п! с показателем 1—1 +
00
+ ..., то
а значит,
/ X- I /
v 1^-1 — т (х) — v (и!) > п I v (ж)
Если теперь v (ж) > - Д то
сходится. С другой стороны,
имеем
!хп\
v I _ -> сю при п -* <х>,
\n! j
при V (ж) р — 1 И ПРП
И ряд
п= ps
(8)
(6)
мы
/ сп \
V ) = nV (ж) — е (ps-i + ...
+ р + 1) —
п — 1 ( , , е \ , е-е
= ПУ (ж) — е-= п V (ж)-7 ч-7 -С-т
' р — 1 \ р — 1 I р — 1/> — 1»
а значит, для таких ж общий член ряда (6) не стремится к нулю.
Этим доказано, что ряд (6) сходится для тех п только тех ж, для
которых у(ж) >х, где х = [р—-~1] Ф°Рмальное перемножение
степенных рядов ехр ж и ехр у дает, как легко видеть, ряд
ехр (ж + у), поэтому при у(ж) > х и v(p) > х имеет место формула
ехр (х + у} = ехр ж ехр у. (9)
Обратимся теперь к ряду (7). Если у(ж) С 0, то v(xn//j) не
стремится к бесконечности при п и поэтому для таких ж
ряд (7) не сходится. Пусть теперь у(ж) > 1. Если п = рапи
(nt, р) — 1, то ра < п и v (и) = еа s£C е откуда
v (ж”/я) = nv (ж) — v (n) nv (ж) — е
а значит, у(ж”/п) °° при иТаким образом, ряд (7) сходит-
ся тогда и только тогда, когда у(ж) > 1.
Если у(ж) 1, то элемент е = 1 + ж является, очевидно, еди-
ницей в кольце о целых элементов поля к, при этом е = 1 (mod л).
316
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
(ГЛ. IV
Обратно, если для единицы выполнено последнее сравнение, то
она имеет вид е = 1 + а:, где v(z) > 1. Такие единицы кольца О
называются главными единицами поля к. Ряд (7) определяет, та-
ким образом, функцию In е на мультипликативной группе всех
главных единиц поля к. Покажем, что для любых двух главных
единиц Ё1 и е2 имеет место формула
In (6,62) = In е, + In е2. (10)
Пусть ei = l + x, е2 = 1 + г/, и пусть v(t/)>v(z), так что y — tx
с целым t и
(1 + #)(! + у) = 1 + (£ + 1)х + tx2.
Будем рассматривать выражение (i + 1 )х + tx2 как степенной ряд
от х, все члены которого принадлежат области сходимости ряда
ln(l + z). Так как формальная подстановка этого выражения
в ряд ln(l + z) дает нам In (1 + х) + In (1 + tx), то ввиду тео-
ремы 2 получаем равенство
In (! + (/ + 1)х + tx2) = In (1 + х) + In (1 + tx),
которое и доказывает формулу (10).
Формальная подстановка ряда (7) в ряд (6), а также ряда
expz — 1 в ряд (7) дает нам следующие формальные тождества:
exp In (1 + х) = 1 + х, (11)
1пехря = 2:. (12)
Поскольку здесь речь идет о формальных равенствах, то для их
проверки мы можем считать х комплексной переменной и вос-
пользоваться теоремой о подстановке ряда в ряд для комплексных
степенных рядов (см., например, [17], с. 206—208). Чтобы выяс-
нить, при каких условиях формальные тождества (11) и (12)
можно рассматривать как равенства в поле к, обратимся к тео-
реме 2. Согласно этой теореме равенство (11) будет справедливо,
если все члены ряда Ind + z) удовлетворяют условию у(хп/п) >
> и. При п = 1 это дает нам условие v(x) > и. Но если v(x) > х,
то vGr’Vn) > тгх > х при 1 sS п р — 1 и
v (хп/п) — — 1) х — v (п) >
_ , .. е In п е(п — 1) ( In р In п \ _ п
> (П — 1)---7 — е i— = -Ц---' ——л-------7 0
' 'р— 1 1П р 1Пр \р— 1 71 — 1/^
при п > р > 2 (здесь мы воспользовались тем, что функция
при Z>2 монотонно убывает). Следовательно, равенство (11)
справедливо при условии v(x) > х. Кроме того, мы видим, что
при том же условии v(ln (1 + х)) > х. Перейдем к формуле (12).
Из (8) следует, что при v(x) > х все члены ряда ехрж—1 содер-
жатся в области сходимости ряда InU + z), а значит, формула
(12) справедлива для всех тех х, для которых ехр х имеет смысл.
§ 5]
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ПОЛНЫХ ПОЛЯХ
317
Обозначим через А аддитивную группу всех тех х е к, для
которых v(x) > х, и через М — мультипликативную группу еди-
ниц е = 1 + х, х^А. По доказанному отображение в -* in в
(е е М) является гомоморфизмом группы М в группу А. Пока-
жем, что отображение х -> ехр х является гомоморфизмом А в М.
Ввиду (9) мы должны, очевидно, лишь проверить, что v(xn/n\) >
> и при всех х^А и всех Пусть ps^n<pa+1. Тогда
(хп )
VknT / — — 1) И — 6
п
.р'2
(га — 1) е
Р — 1
era / — 1
что и требовалось получить. Формулы (11) и (12) показывают те-
перь, что отображения In: М -> А и exp: А -> М взаимно одно-
значны и обратны друг другу. Мы доказали, таким образом, сле-
дующий результат.
Теорема 3. Отображение х-^ехрх является изоморфиз-
мом аддитивной группы всех тех целых чисел поля к, которые
делятся на ли I х = ——
\ IP —1
на мультипликативную группу
главных единиц е, сравнимых с 1 по модулю л*. Обратный изо-
морфизм осуществляется отображением е -> In е (для е
s 1 (mod л”)).
Что касается отображения в -> log в на всей группе главных
единиц, то оно, вообще говоря, уже не является изоморфизмом
(задача 5). Кроме того, значение In 8 не обязательно является
целым.
Наряду с функцией ех в вещественном анализе рассматрива-
ют также показательную функцию ах = еж1ла. Ее аналогом в по-
ле к является функция
т)х — exp (z In д),
(13)
где т] — главная единица поля к. Эта функция определена, оче-
видно, при условии v(x) > х — v (In т|). Если поэтому Т] s
ss 1 (mod л”), то т]1 будет иметь смысл при всех целых х из к,
при этом для значений rf будет выполнено сравнение
^1(тойлх). Для показательной функции (13) в случае т]s
s 1 (mod л”) при любых целых х и у имеют место формулы
(Д')1' = П4'-
(14)
Задачи
1. Доказать, что функция /(ж), аналитическая при ц (в полном
поле с показателем v) и имеющая бесконечно много нулей в области
v(z) > [1, тождественно равна нулю.
2. Пусть к — поле характеристики 0, полное относительно неархимедо-
вой метрики ф (задача 4 § 4 гл. I). Предположим, что метрика ф такова,
что ф(р) <1 для некоторого простого рационального числа р. Доказать, что
318
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
область сходимости ряда 1п(1-|-ж) в поле к характеризуется условием
<р(ж) < 1, а область сходимости ряда ехр х — условием ф (ж) < Р (р).
3. При тех же условиях определить область сходимости рядов
* х^п-1
зтх = 2. (-1)" 1 (2n- 1)!’
п=1
Я2П
cos* = 2 (-1)n(W
n=o
4. Найти ошибку в следующем доказательстве иррациональности чис-
ла л. Число л есть наименьшее положительное число, для которого sin л =
= 0. Пусть л рационально. Так как л > 3. то его числитель должен делить-
ся либо на нечетное простое число р, либо на 22 (в последнем случае по-
ложим р = 2). Отсюда следует, что ряды sin х и cos а: в поле р-адических
чисел Qp сходятся при х = л. Но ввиду формулы
sin (х -|- у) — sin х cos у -|- cos х sin у
из равенства sin л = 0 вытекает, что sin пл = 0 при любом натуральном п.
Функция sin ж имеет, таким образом, в своей области сходимости бесконеч-
но много пулей. Следовательно, согласно задаче 1 она тождественно равна
нулю, и мы получили противоречие.
5. Пусть к — конечное расширение поля р-адических чисел Ор и е —
главная единица поля к. Показать, что In е = 0 тогда и только тогда, ког-
да 8 есть корень степени ps (s > 0) из 1.
6. Сохраним все обозначения пункта 2. Главные единицы е, которые
== 1 (modл'1), образуют, очевидно, мультипликативную группу Мк. Все це-
лые числа поля к, делящиеся на л\ образуют аддитивную группу Ak. До-
казать, что при к 5г % отображение е -> In е, е е ДА является изоморфиз-
мом группы Mk на группу Ак (обратным изоморфизмом будет отображение
х ->• ехр х, х е Ак).
7. Доказать, что в полном поле с показателем область сходимости сте-
ОО
пенного ряда / (ж) = 2 ап*” содержится в области сходимости его произ-
п—о
водной f' (ж) = 2 папж”-1. Показать на примере, что области сходимости
рядов /(ж) и f{x) могут не совпадать (даже в случае поля нулевой харак-
теристики) .
8. Доказать, что в кольце 2-целых чисел сумма
п2 пЗ
+ £
2 3
2П
п
делится на сколь угодно большую степень двойки, если только п достаточ-
но велико.
9. Доказать, что все коэффициенты яп ряда
( ХР ХР2 \ ™
Ер (х) = ехр I ж -f- ? -f- 2 Н” • • • I = апхП
? п=о
являются p-целыми рациональными числами (р простое).
Указание. Доказать, что число
а
•Р
МЕТОД СКОЛЕМА
319
§ 6]
равно числу элементов в симметрической группе п-й степени, порядок ко-
торых есть степень р, и применить теорему о том, что для любого делите-
ля d порядка конечной группы G число элементов « е С. удовлетворяющих
уравнению ud = 1, делится на d.
10. Доказать, что Ер (г) = JJ (1 — хт^-р,{т)/т ПрОдегает все на_
(m,j>)=l
туральные числа, взаимно простые с р, ц(т) — функция Мёбиуса).
И. Пусть г|—главная единица из конечного расширения поля р-адиче-
ских чисел и х — целое р-адическое число. Выберем последовательность на-
туральных чисел {а„}, сходящуюся к х. Доказать существование предела
lim Т] п и его независимость от выбора {ап} (см. задачу 14 § 3 гл. I). До-
П->оо
казать, далее, что функция i]x = lim т) п обладает свойствами (14) и в об-
П-*оо
щей области определения совпадает с функцией (13).
12. Пусть /с — конечное расширение поля р-адических чисел степени
инерции / относительно Qp. Показать, что группа всех единиц в кольце це-
лых элементов поля к есть прямое произведение содержащейся в к группы
корней степени pf — 1 из 1 и подгруппы главных единиц (использовать
задачу 10 § 1).
Замечание. Функцию In можно распространить на всю группу еди-
ниц кольца целых элементов поля к. Именно, если е — 0ц, где 0 — корень
степени pf — 1 из 1 и ц — главная единица, то полагаем In е = In ц.
6. Метод Сколема
В этом параграфе мы изложим принадлежащий Сколему метод
исследования неопределенных уравнений вида
F{xl, ..хт) = с, (1)
где F — неприводимая разложимая неполная форма (см. п. 3 § 1
гл. II), а с — рациональное число. Этот метод основан на при-
менении простых свойств локальных аналитических многообразий
над полем SP-адических чисел, доказательства которых изложены
в следующем параграфе.
1. Представление чисел неполными разложимыми формами.
Согласно п. 3 § 1 гл. II уравнение (1) может быть записано
в виде
Ntx^i + . . . + XmjJLm) = а (2)
или
rV(cc) = а, а^М, (3)
где щ, ..., ji,„ — числа из некоторого поля алгебраических чисел
к, а М ~ {щ, ..., цт} — модуль, порожденный этими числами
(а — рациональное число). Заменив, быть может, форму F цело-
численно эквивалентной ей формой, мы можем добиться того, что-
бы в представлении (2) образующие щ, ..., цга модуля М были
линейно независимыми над полем рациональных чисел Q. По ус-
ловию модуль М неполный, поэтому m<Zn = (к'. Q).
В гл. II мы видели, как находятся все решения уравнения (3),
если М — полный модуль поля к. Естественно поэтому для реше-
320
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
пия уравнения (3) вложить модуль М в полный модуль М и най-
ти, пользуясь методами гл. II, все решения уравнения N(a) = а,
а е М, а затем отобрать из них те решения а, которые содер-
жатся в М.
То, что любой модуль в к можно вложить в полный модуль,
очевидно. Для этого достаточно дополнить любым образом систе-
му линейно независимых чисел р.(, ..., цт до базиса p-i, ..., цп
поля к и положить ;!/ = ..., цД.
Если все а е М, для которых N(a) — а, уже найдены, то мы
получим все решения уравнения (3), если среди этих а е М вы-
делим те, у которых в представлении
а = Х1Ц1 + ... 4- ХпЦп
коэффициенты хт+1, ..., хп равны нулю. Чтобы условия xmJrt =
= 0, ..., хп = 0 выразить непосредственно через а, удобно вос-
пользоваться взаимным базисом Цх, ..., р,* для базиса p,t, ..., цп
(см. Дополнение, § 2, п. 3). Так как след Sp равен 0 при
i^/и равен 1 при i = j, то Xi = Эрац* Отсюда сле-
дует, что числа а = принадлежащие подмодулю М, характери-
зуются условиями
Sp ац* = 0, i — т + 1, ..., п. (4)
Согласно теореме 1 § 5 гл. II все решения уравнения N(a) =
= я, а е М, записываются в виде
а = ... Err, 1 < j < h, (5)
где у4, ..., — некоторое конечное множество чисел модуля М
с нормой а, еп ..., ег — система независимых единиц поля к и
щ, ..., иг — произвольные целые рациональные числа. В силу
(4) решение уравнения (3) равносильно, таким образом, решению
h систем уравнений вида
Зр^цГех1 ... е"г) = 0, i = т + 1, ..., п, (6)
относительно целых рациональных ut, ..., иг (здесь у — одно из ур.
Пусть К — поле алгебраических чисел, содержащее все поля,
сопряженные с к, и пусть щ, ..., оп — все изоморфизмы к в К.
Так как Sp | = щ(£) + ... + оп(§) для любого |е к, то систему (6)
можно переписать так:
2 •.. <Tj(er)Ur = 0,, i = т + 1, ..., п. (7)
j=i
Ясно, что для доказательства конечности числа решений уравне-
ния (3) нам достаточно показать, что каждая из систем вида (7)
имеет лишь конечное число решений в целых рациональных чис-
лах ult иг.
МЕТОД СКОПИМА
321
§ 61
Замечание. Совокупность чисел поля к, записываемых
и иг
в виде ei . .. ег , где ..., иг пробегают все целые рациональные
числа, назовем мультипликативной подгруппой поля к и обозна-
чим через U. Все .решения уравнения (3) совпадают, очевидно,
с числами из пересечений
М Л у377, 7 = 1, • •h. (8)
Вместо любого из множеств (8) можно рассмотреть подобное ему
множество у^М П U. Мы видим, таким образом, что задача о на-
хождении решений уравнения (1) сводится к задаче о пересече-
нии модуля и мультипликативной подгруппы поля к. Добавим
к этому, что вместо модуля М в пересечениях (8) можно взять ли-
нейное пространство L (над полем Q), натянутое на ц(, ..., цт.
Действительно, так как y,U <= М и L \\ М = М, то ЛИ y,U =
= М П
2. Связь с локальными аналитическими многообразиями. Идея
метода Сколема заключается в том, что в некоторых случаях уда-
ется доказать конечность числа решений уравнения (1), показав,
что система (7) имеет лишь конечное число решений даже в том
случае, если неизвестные щ, ..., пг искать среди целых ^-адиче-
ских чисел (т. е. среди целых элементов пополнения -^sp), где $ —
произвольно выбранный простой дивизор поля К. При таком рас-
ширении области возможных значений неизвестных мы можем
интерпретировать совокупность решений системы (7) как локаль-
ное аналитическое многообразие в r-мерном пространстве и для их
исследования применить свойства этих многообразий.
Разрешая переменным щ, ..., и? в левых частях уравнений (7)
принимать ф-адцческие значения, мы сталкиваемся, однако, с тем
затруднением, что показательная функция е'1 = exp (win е) оп-
ределена для любого целого £Р-адического числа и только в слу-
чае, когда е удовлетворяет сравнению е = 1(шо(1фи) (х— целое
число, зависящее лишь от поля см. конец § 5). Эта трудность
обходится следующим образом. Согласно задаче 6 § 7 гл. III су-
ществует такое натуральное число q, что для любого целого числа
а е К, не делящегося на $, справедливо сравнение
сР = 1 (mod^*). (9)
Любой показатель и, в формуле (5) можно записать в виде
Ui = pi + qvi, 0<pi<7, i^eZ,
u ur
и, следовательно, для единицы e = е/ ... er имеет место пред-
ставление е = о.б! ... er , I = 1, .. ., q , где бг — одно из qr
чисел &!1 ... ег ,
Мы получаем, таким образом, для чисел а вида (5) новое пред-
ставление, в котором вместо стоят ef, а вместо конечного мно-
322
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IY
жества чисел — конечное же множество чисел уД. Так как е<
являются единицами, то для них и для о/еЭ выполнено сравне-
ние (9), а следовательно, функция о, (^“определена для любого
целого SJS-адического числа и е Твр. Мы доказали следующий ре-
зультат.
Лемма 1. За счет, быть может, другого выбора чисел у,- и 8S
в формулах (5) можно добиться того, чтобы функции а,(е()и были
определены для всех целых чисел и поля К^.
В дальнейшем мы будем предполагать это условие выполнен-
ным без дополнительных оговорок.
Вернемся к системе уравнений (7). Приняв во внимание фор-
мулы (9) и (13) § 5, мы можем эти уравнения переписать в виде
п
2 -4ц exp Lj (и1, ..., щ) = 0, i = m + 1, ..., п, (10)
3=1
Г
где Lj (ult ..., ur) = 2 uk log oj (e,h), Ац = Так как ле-
вые части уравнений (10) представляются в виде степенных рядов,
сходящихся для всех целых ф-адическпх и,, ..., иг, и, следователь-
но, являются аналитическими функциями, то все решения систе-
мы (10) можно интерпретировать как локальное аналитическое
многообразие (в окрестности произвольного решения) в смысле
определения § 7.
Число неизвестных в системе (10) равно г, а число уравнений
равно п — пг. Естественно ожидать, что многообразие, определен-
ное этой системой, состоит из конечного числа изолированных то-
чек, если п — пг > г. Вспомним, что число г появилось в связи
с теоремой Дирихле о единицах и равно s +1 — 1, где s — число
вещественных, a t — число пар комплексных изоморфизмов поля к
в поле комплексных чисел. Так как n = s + 2t, то условие п —
— пг^т равносильно условию t > пг — 1. В простейшем интерес-
ном случае пг = 2 это условие означает, что t > 1, т. е. что среди
полей, сопряженных с к, имеется по крайней мере одна пара
комплексных. Этот случай, приводящий к теореме Туэ, и будет
разобран нами в следующем пункте.
Предположим, что система (10) имеет бесконечно много реше-
ний (щ8, ..., nrs), s = 1, 2, ... Ввиду свойства компактности коль-
ца целых $-адических чисел (см. теорему 6 § 3 гл. I и замеча-
ние 2 в конце п. 2 § 1 настоящей главы) из этой последователь-
ности решений можно выдейить сходящуюся подпоследователь-
ность, предел которой мы обозначим через и*, .. ., и*. Ясно, что
точка (и15 ..., и* также удовлетворяет системе (10) и, значит, ле-
жит на многообразии, определяемом этими уравнениями, при этом
она обладает тем свойством, что в любой ее. окрестности лежит
бесконечно много других точек многообразия. Вместо uit иг
S 6]
МЕТОД СКОЛЕМА
323
введем новые переменные vT по формулам
Ui = U* + Vi,
Система (10) перепишется тогда в виде
У, A*j ехр Lj (vi, ..., vr) = 0, i = т + 1, .. ., п, (И)
j=i
где нами положено A*j— ехр Lj (и*, ..., и*). Свободные члены
рядов, стоящих слева в уравнениях (11), равны нулю. Обозначим
через V локальное аналитическое многообразие (в окрестности
точки (0, ..., 0)), определяемое системой (11) (см. определение
§ 7). Так как это многообразие не сводится к одной точке (в лю-
бой окрестности начала содержится бесконечно много других то-
чек многообразия), то по теореме 2 § 7 на V лежит аналитиче-
ская кривая, т. е. существует такая система формальных степен-
ных рядов (o^i), ..., (orU) (не равных одновременно нулю и без
свободных членов) с коэффициентами из конечного расширения
поля Ку, что ряды
Pj(f) = L^aSt), ..., (orU)) (12)
удовлетворяют тождественно соотношениям
п
У, A*j ехр Pj(t) = 0, i = т + 1, ..., п.
3=1
Нами получен, таким образом, следующий результат.
Теорема 1. Если уравнение (1) имеет бесконечное число ре-
шений, то хотя бы на одном из локальных аналитических много-
образий вида (11) (для некоторого 7 = 7, и некоторой точки
(их, . .., и*)) лежит аналитическая кривая.
Эта теорема и является основой метода Сколема. Она сводит
вопрос о конечности числа решений уравнения (1) к доказатель-
ству того, что система вида (11) не имеет решений в формальных
степенных рядах от одной переменной, т. е. что на соответствую-
щем локальном аналитическом многообразии нет аналитических
кривых.
Заметим, что между п рядами P3(i), определенными равенства-
ми (12), имеется п — г линейных соотношений
п
У BijPj (i) == 0, 1 с j п — г,
3=1
так как они являются линейными комбинациями г степенных
рядов cofe(Z). Таким образом, наличие на многообразии V аналити-
ческой кривой влечет за собой разрешимость (в степенных рядах
324
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
Ptit) без свободных членов) системы
2 A^expP^t) = О,
j=i
2 B^Pj (о = о,
j=i
т + 1 «О i п,
(13)
— г = f + 1,
в которой отдельно уравнения первой и второй групп липейпо не-
зависимы. (Линейная независимость уравнений первой группы
следует из того, что определитель (letcr,(yp*), квадрат которого
равен дискриминанту базиса ур;, отличен от пуля, а потому ранг
матрицы (Лу) im+i^i^n, 1 sS j '5 п) п, следовательно, матри-
цы (Л*,)равен п — т.) Если мы предположим выполненным усло-
вие п — т ~?i г, то общее число уравнений в системе (13) будет 5 s п.
3. Теорема Туэ. Теорема Туэ гласит, что если форма /(х, г/) =
= аохп + + ... + апуп от двух переменных с целыми рацио-
нальными коэффициентами неприводима п имеет степень п ~?i 3,
то уравнение
fix, у) — с (14)
имеет конечное число решений в целых числах. Так как форма от
двух переменных всегда разложима и при п>2 неполная, то
уравнение (14) входит в класс рассматриваемых нами уравнений
(1). Здесь т = 2, и поэтому условие t > т — 1, при котором можно
надеяться на применение метода Сколема, означает, как уже от-
мечалось, что t > 1, т. е. что уравнение fix, 1) = 0 имеет хотя бы
один комплексный корень. В таком случае говорят, что форма
fix, у) имеет комплексных! корень. В этом предположении мы п
докажем теорему Туэ методом Сколема. Иначе говоря, мы до-
кажем следующее утверждение.
Теорема 2. Если целочисленная неприводимая форма, fix, у)
степени п^З имеет хотя бы один комплексный корень, то урав-
нение fix, у) = с имеет конечное число решений в целых числах.
Доказательство. Будем считать, что у формы fix, у)
коэффициент а0 прп хп равен 1 (если это не так, то мы умножим
уравнение (14) на «о-1 и заменим аох на х). Положим & = Q(0),
К = Q (015 ..., 0П), где числа 0 = 01, 02, . 0П определены раз-
ложением
fix, 1) = ix + 0i) ... ix + 0„).
Для каждого f = 1, ..., n через щ обозначим изоморфизм поля к
в К, при котором 0 Oj. Так как j(x, у) = N(x + уВ) (N обозначает
норму относительно расширения k/'Q.), то уравнение (14) мы мо-
жем записать в виде (3), где под М надо понимать модуль {1, 0}.
Таким образом, в рассматриваемом случае pt = 1, ц2 = 0 (иг = 2).
§ 6]
МЕТОД СКОЛЕМА
325
Предположим, что уравнение (3) для модуля М = {1, 0) имеет
бесконечно много решений a = x+yQ. Тогда при некотором
у = Yj е к бесконечно много этих решений представляется в виде
(5), где независимые единицы е!5 ..ег поля к подчинены требо-
ванию леммы 1. Соответствующие- нашим решениям а показатели
Ui, ..иг в равенствах (5) будут удовлетворять системе (10).
Выберем среди решений а последовательность аь а2, • • • так, что-
бы соответствующие им точки
(uis, ..., urs), s = 1, 2, ..(15)
сходились к некоторой точке (и*, . . ., и*). Согласно и. 2 локальное
аналитическое многообразие 7, определяемое уравнениями (11),
содержит аналитическую кривую юДН, ..., <or(i) и для всякой та-
кой кривой па V ряды (12) удовлетворяют некоторой системе
вида (13).
Дальнейшее доказательство теоремы 2 основывается на сле-
дующем важном вспомогательном результате.
Лемма 2. Пусть дана система уравнений
п
2 а^-ехрР, = 0, i = 1, . . ., Пу,
3=1
5) = 0, i = 1, .. ., n2,
J=i
(16)
в которой уравнения первой и второй групп в отдельности линей-
но независимы. Если п^ = п — 2, п~_ ~?i 2 и если система имеет ре-
шение в формальных степенных рядах P^f), ..., Pn(t) без свобод-
ных членов, то P^t) =P}(.t) по крайней мере для двух различных
индексов к и j. (Коэффициенты ац и а также коэффициенты
степенных рядов P/t) принадлежат произвольному полю характе-
ристики 0.)
Доказательство этой леммы мы приведем ниже, а сейчас по-
кажем, как из этой леммы вытекает теорема 2.
Согласно лемме 2 для всякой кривой соДН, ..., (orU) на V по
крайней мере для двух различных индексов к и j выполняется
равенство Рй(£) =РДН, т. е.
РДсщП), ..., (оДО = L/co/t), ..., ®r(t)). (17)
Рассмотрим в r-мерном пространстве точек (щ, ..., щ) много-
образие W, определенное уравнением
П (Lk (^1, • •, Ur) — Lj (щ, ..., vr)) = 0.
Из (17) следует, что всякая кривая, принадлежащая локальному
аналитическому многообразию V, принадлежит также и W. Но
► To^ta^no теореме 3 § 7 V <= W, т. е. все точки многообразия V,
326
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
содержащиеся в достаточно малой окрестности начала, принадле-
жат также и W.
С другой стороны, мы покажем сейчас, что среди точек (rls, ...
..., vrs) е V, s = 1, 2, ..., связанных с точками (15) соотношением
*
uis = щ + Vis и сходящихся к началу, имеется только конечное
число точек, принадлежащих многообразию W. Это противоречие
и докажет теорему 2.
Пусть а = х + г/0 и а' = х' + y'Q — два числа из последова-
тельности {а,}, для которых соответствующие точки из V принад-
и иг ф
лежат многообразию Lk = Lj. Если а = ySi ... ег и щ = щ +
+ щ, ТО
* *
(“) = (?) (Ejp ... Oj (Er)Ur Oj (еУ1 ... a, (er)“r =
— Cj exp Lj , vr)
и аналогично щ(а) — cftexp Lk(.Vt, ..., vr), откуда
щ(а)/с, = aft(a)/cft.
Точно таким же образом мы найдем, что
Oj(a')/c,- = <jft(a')/cft.
Оба последних равенства вместе дают нам
я + yGj _ * + yQk
Р + y'Qj ~ х' + /0/
откуда (ху' — x'y)(Qk — 0,) =0, а так как 0,t =# 0„ то
ху' - х'у = 0.
Последнее означает, что х + yQ = d(x' + y'Q) с некоторым рацио-
нальным d. Переходя к нормам и учитывая, что N(a) = N(a'),
получаем равенство dn = 1, откуда d = ±l и, следовательно,
а' = ±а.
Итак, на каждом из п(п — 1)/2 многообразий Lk = Lj, объеди-
нение которых совпадает с W, содержится не более двух точек
из V, соответствующих числам последовательности {<zs}. Но тогда
на W имеется не более п(п — 1) таких точек. Следовательно, в лю-
бой окрестности начала мы имеем точки многообразия V, не при-
надлежащие W, а значит, V (как локальное аналитическое много-
образие) не может содержаться в W, вопреки полученному ранее
включению V <= W. Полученное противоречие, как уже говорилось,
и доказывает теорему 2.
Доказательство леммы 2. Так как по условию первая
группа уравнений линейно независима, то мы можем (при надле-
жащей нумерации) выразить expP, (i=l, п— 2) через
ехр/’„_1 и ехрР„:
ехр Pj = щ ехр Pn-i + bi ехр Рп. (18)
§ 6]
МЕТОД СКОЛЕМА
327
Если я, = 0, то из равенства ехр Р, = bi ехр Р„, сравнивая свобод-
ные члены, находим, что bi = 1 и, следовательно, Р, = Рп- Мы мо-
жем, таким образом, предполагать, что все at отличны от нуля.
Положим
Р. — Рп = Qi, i = 1, ..., п — 1,
и предположим, что все Qi отличны от нуля. Равенство (18)
дает нам
ехр Qi = Я; ехр Qn-i + bi, (19)
откуда, дифференцируя по t (см. задачу 10), получаем
Q'г ехр Qi = а&п-! ехр Qn^. (20)
Равенства (19) п (20) приводят нас к соотношениям
Qi — Qn-i ехР Qn-i с _|_ ехр i’ i — 1, ..., п 2, (21)
где с{ =
Воспользуемся теперь второй группой уравнений (16). По
условию среди них имеется по крайней мере два линейно незави-
симых. Но тогда, как легко видеть, мы можем найти нетривиаль-
ное соотношение между Q„ ..., Qn-i'.
2 diQi = 0-
i=i
Продифференцировав это тождество и заменив Q, выражениями
(21), мы получим
Qn-i expQn^ I 2 —i-----Нт-------1--) — 0,
vn i кчгп c.-]-exp (?„_! exp2„_1?/
а так как Qn-i ¥=0 n exp ()n-i =¥= 0, to
- 0 (22)
ci + eXP <?„-i
(мы здесь считаем cn-i = 0).
Равенство (22) может иметь место только в случае, когда ра-
циональная функция
П-1 Z?
2 -4- (23)
ci + z
г==1 1
тождественно равна нулю. В самом деле, если это не так, т. е.
функция (23) равна <p(z)/i|?(z), причем <p(z) ¥= 0, то ввиду равен-
ства <р(ехр (?„_,) = 0 мы получаем, что отличный от константы
формальный степенной ряд ехр является корнем алгебраиче-
328
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
ского уравнения, вопреки утверждению задачи 4 § 1. Очевидно,
что функция (23) может обратиться тождественно в нуль только
при условии, что ск = Cj по крайней мере для двух различных ин-
дексов к и /. Но тогда из равенств (19) мы найдем, что
а,
ехР Ph = — exp Pj,
откуда легко следует равенство PK = Pj. Лемма 2 доказана.
Замечание. Метод Сколема дает возможность доказать
конечность числа целых решений уравнения (14). Однако он не
дает алгоритма для нахождения самих решений. Причина этого
следующая. После того как доказано, что система (7) имеет ко-
нечное число целых ф-адических решений, можно легко указать
алгоритм для последовательного вычисления коэффициентов
в разложении любого из этих решений по степеням простого эле-
мента. Однако не существует алгоритма, который на основании
конечного числа коэффициентов давал бы возможность судить,
пмеем ли мы дело с целым рациональным решением.
Этим недостатком обладает и доказательство, данное самим
Туэ.
Бейкеру удалось найти эффективный метод для определения
всех решений уравнений (14) (см. [58]). Именно, основываясь на
оценках линейных форм от логарифмов алгебраических чисел,
Бейкер доказал существование такой эффективно вычислимой
константы С, зависящей от коэффициентов формы /, ее степени п
и числа с, что для всех целочисленных решений (х, у) уравнения
(14) справедливы неравенства
\х\<С, \у\<С.
Например, можно положить С = exp (nr Arn + (In | с |)”+2), где
r = 32zz(n + 2)2 и. А — максимум абсолютной величины коэффици-
ентов формы f.
Метод Бейкера позволяет также явно вычислить константу,
которая ограничивает сверху дискриминанты всех одноклассных
мнимых квадратичных полей. О решении проблемы десятого
дискриминанта было сказано в конце п. 2 § 7.
Заметим в заключение, что Зигель доказал конечность числа
целых решений для гораздо более широкого класса уравнений
F(x, у) = 0, где F — многочлен с целыми коэффициентами, удов-
летворяющий очень слабым ограничениям (уравнение F =0
должно определять кривую, которая нерациональна, т. е. не до-
пускает параметризации x = q>(t), y = ^(t), где <р и if) — рацио-
нальные функции от £). При этом теорема Зигеля справедлива и
для решений в целых числах фиксированного поля алгебраиче-
ских чисел (см. [30], гл. VII). К настоящему времени неизвестен,
МЕТОД СКОЛЕМА
329
§ 6]
однако, метод эффективного нахождения всех решений уравнений,
которые рассматриваются в теореме Зигеля.
4. Замечания о формах с большим числом переменных. В свя-
зи с теоремой Туэ возникает вопрос: при каком условии уравне-
ние вида (1) с неполной разложимой формой имеет лишь конеч-
ное число решений в целых числах? В некоторых случаях такие
уравнения могут иметь бесконечное число решений. Примером
может служить уравнение
х1 + 4у4 + 9z4 — 4х2у2 — 6x2z2 — 12y2z2 = N(x + уУ2 + zV3) = 1
(норма берется в расширении Q( У 2, У^/О). Это уравнение име-
ет две бесконечные серии решений, задаваемые формулами:
х + z/V2 = ±(1 + V2)", z = 0;
х + zT3 = ±(2 + V3)n, у = 0.
Причина этого явления заключается в том, что, полагая z = 0
или у = 0, мы получаем из нашей формы квадрат полной формы:
(х2 — 2у2)2 и (x2 — 3z2)2 соответственно. Это означает, что модуль
{1, 1/2, V3), соответствующий нашей форме, содержит полный
подмодуль меньшего поля, а пменпо:
{1, /2)cQ(/2) и {1,/3}cQ(/3).
Опишем общий тип форм, обладающих аналогичным свой-
ством. Запишем уравнение (1) в виде (3) и рассмотрим линейное
подпространство L (над Q), порожденное числами модуля М. Мо-
дуль М назовем вырожденным, если соответствующее ему про-
странство L содержит подпространство L', подобное некоторому
подполю к’ к, причем к' не является ни полем рациональных
чисел, ни мнимым квадратичным полем.
Покажем, что для вы рожденного модуля уравнение (3) имеет
бесконечно много решений (во всяком случае, для некоторых а).
Действительно, если L' = у/с' (7 е к) и М' = L' 0 М, то у-1М' —
полный модуль поля к'. По определению вырожденного модуля
для поля к’ число основных единиц в любом порядке пе равно
нулю, поэтому уравнение
= (24)
имеет бесконечное число решений (если только оно имеет хотя бы
одно решение). Положим а1 = Nk/Q (у) аг, где г = (fc : к'). Так как
Nk/Q (Ь) = (NkyQ®)rNk/Q (у) = а
и |у е М' с М (для любого удовлетворяющего уравнению (24)),
то уравнение Nk/Q (л) = ле-^> имеет бесконечно много
решений.
330
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
Основная гипотеза об уравнениях вида (1) заключается в том,
что каждое такое уравнение имеет лишь конечное число решений
в целых числах, если только соответствующий ему модуль не яв-
ляется вырожденным.
В. Шмидт доказал эту гипотезу в общем виде [119]. Его ме-
тод, так же как и первоначальный метод Туэ, основан на теории
приближений алгебраических чисел рациональными.
Задачи
1. Пусть ряд /(f) = аа + аЦ + a2t2 + ... с целыми р-адическими коэф-
фициентами сходится для всех целых р-адических значений t. Доказать, что
если
vp (^i) < Vp (ан), к == 2, 3, ...,
то уравнение /(f) =0 имеет ровно одно целое р-адическое решение при
Vp(a<i) Vp(fli) и не имеет целых р-адических решений при vp(a0) < vp(ai).
2. Пусть d > 1 —натуральное число, свободное от кубов, и пусть (а, Ь)
и (ai, 61)—два нетривиальных (отличных от (1, 0)) решения уравнения
х3 -J- dy3 = 1
(в целых рациональных числах). В кубическом поле К = Q (д/d) положим
е = а + Ъ у d, е, = а± ~f- 61 । ~d. Доказать, что тогда еи = е“ при некото-
рых целых рациональных и и и, из которых хотя бы одно не делится на 3.
3. Сохраняя обозначения предшествующей задачи, предположим,, что
d = ±1 (mod 9). Тогда в поле К имеет место разложение 3 = р3 (задача 24
§ 7 гл. III), а значит, степень р-адического пополнения К$ поля К над по-
лем 3-адических чисел Qg равна 3. Считая, что v Ф 0 (mod 3), положим
t = u/v. Доказать, что число t (рассматриваемое как целое 3-адическое чи-
сло) является корнем уравнения
ОО
2 апе' = °> (*)
П—2
где ап = Sp ((In ц)п), ц = в3. (Здесь Sp означает, след относительно рас-
ширения Л'у/О3. ) Доказать, что ряд, стоящий в левой части уравнения («•),
сходится при всех целых 3-адических значениях t.
Указание. Доказать, что Sp(ln ц) = 0 и Sp щ =3, "И = в®.
4. Для коэффициентов ап ряда (*) доказать, что
v3(a2) = v3(a3) = Ц + 3, v3(an) > ц + 3 при п > 3,
где ц = v3(a363d) (v3 — 3-адический показатель).
Указание. Воспользоваться тем, что если ц = 1 + Зх, х = aby^de, то
о
log г| = Зх — х2 9х3 (mod 34+|i),
а также тем, что след любого элемента из кольца 23 [pd] делится на 3
(Z3 — кольцо целых 3-адических чисел).
5. Основываясь на задачах 1—4, доказать, что уравнение г3 + dy3 = 1
при d Ф ±1 (mod 9) имеет не более одного нетривиального решения в це-
лых рациональных числах.
331
ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
§ 71
6. Доказать утверждение предшествующей задачи для случая, когда
<г = ±1 (mod 9).
Указание. Принять во внимание, что число 3 в поле рас-
кладывается в произведение 3 = ?2q (задача 24 § 7 гл. III), и перенести
утверждения задач 3 и 4 па прямую сумму К3 = (см. § 2). Лога-
рифмическая функция на К, определяется точно так же, как и на поле: ряд
будет сходящимся для всех тех | = (a, р) eJts, для которых а и 0 явля-
ются главными единицами полей К и соответственно. След Sp(g) оп-
ределяется как след матрицы линейного преобразования (|'еХ3),
и поэтому для элементов из -К он совпадает со следом соответствующих чи-
сел из К. (Относительно задач 2—6 см. работу Б. Н. Делоне [44].)
7. Пусть ряд /(<) = а0 + ait + а212 + ... с целыми р-адическими коэф-
фициентами сходится при всех целых р-адических значениях t. Доказать,
что если ап является р-адпческой единицей и as == 0 (mod р) при всех s > п,
то уравнение /(<) =0 имеет пе более п целых р-адических решений.
8. Пусть целочисленная последовательность
Up, Hi, . . ., Кп, . . . (* * I
удовлетворяет рекуррентному соотношению в„ = а\ип-\ +... + amun-m
(ат =£ 0) с целыми рациональными коэффициентами ац ..., ат. Предполо-
жим, что многочлен ср(х) = хт—— ... — ат не имеет кратных кор-
ней. Доказать, что тогда существует такое натуральное число М, что для
всех индексов п из одного и того же фиксированного класса вычетов по мо-
дулю М либо все значения ип совпадают, либо никакое число не встречает-
ся среди этих значений бесконечно много раз.
Указан и е. Воспользоваться формулой ип = A a'j + ... + (а; —
корпи ф(х’)) и тем, что при надлежащем простом р и натуральном М функ-
ции = ехр (z In будут аналитическими функциями для всех целых
р-адических х.
9. В обозначениях предшествующей задачи предположим, что все кор-
ни а, ()<'!<' т) многочлена <f(x) и все отношения at/aj (I =# /) не явля-
ются корнями из 1. Доказать, что тогда никакое целое число не встречается
в рекуррентной последовательности (*«) бесконечно много раз (если толь-
ко она пе состоит сплошь из нулей).
10. Пусть f(y)—произвольный степенной ряд. a g(x)—степенной ряд
без свободного члена с коэффициентами из некоторого поля. Положим
/’(.г) = /(g(,г)). Доказать, что
F' (х) = /' (g(x))g' (х).
11. Пусть Р(1) ф 0 — формальный степенной ряд без свободного члена
над произвольным полем характеристики 0. Доказать, что если
п
2 ai ехр (t) =0, где не все равны нулю, то р, — р- по крайней мере
г=1
для двух значений индексов к /.
12. Доказать утверждение леммы 2 в предположениях п\ = п — 1, п2 —
= 1 и П\ = 1, п2 = п — 1.
§ 7. Локальные аналитические многообразия
Пусть к — поле характеристики нуль, полное относительно
показателя v, и <р — метрика, соответствующая показателю v.
В этом параграфе под н-мерным пространством Ип мы будем по-
нимать совокупность последовательностей (ai, ..., a„), называв-
332
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
мых точками, компоненты которых принадлежат к или конечным
расширениям ноля к. Под е-окрестностью нулевой точки в
будет подразумеваться совокупность точек (а15 ..ап), удовлет-
воряющих условиям ф(а>)<е (i = l, ..п) (е — вещественное
положительное число).
Рассмотрим совокупность степенных рядов /(ж,, ..хп) от п
переменных с коэффициентами из к, сходящихся в некоторой
8-окрестности нулевой точки (для каждого ряда своя окрестность).
Легко видеть, что все такие ряды образуют кольцо. Обозначим
это кольцо через £). Мы иногда будем писать /(X) вместо
f(Xi, . . ., Хп).
Определение. Совокупность V точек (at, ..., «„) е Цп,
принадлежащих некоторой ^окрестности нуля и удовлетворяю-
щих системе уравнений
Д(Х) = 0, ..., /т(Х) = О, (1)
где jSX), ..., jm{X) — степенные ряды из кольца £) без свободного
члена, называется локальным аналитическим многообразием пли,
короче, локальным многообразием.
Два локальных многообразия мы будем считать равными, если
они совпадают в некоторой е-окрестностп нуля.
Локальные многообразия можно, конечно, рассматривать
в окрестности произвольной точки пространства кп. Нулевая точка
нами выбрана для удобства обозначений.
Пусть V — некоторое локальное многообразие. Совокупность
всех степенных рядов /(X) е О, обращающихся в нуль во всех
точках многообразия V, принадлежащих некоторой е-окрестно-
сти нуля, образует, очевидно, идеал кольца О. Этот идеал в £) мы
будем обозначать через §1г. Очевидно, что элементы фактор-
кольца = £) можно рассматривать как функции на точках
многообразия V, принадлежащих некоторой е-окрестности нуля
(для каждой функции своя окрестность). Ввиду этого фактор-
кольцо О называется кольцом аналитических функций на V.
Определение. Локальное многообразие V называется не-
приводимым, если кольцо функций £)№,v на V не имеет делителей
нуля. В противном случае V называется приводимым.
Исследование локальных многообразий основывается на трех
простых фактах, из которых один относится к алгебре, а два дру-
гих — к свойствам степенных рядов. Мы приведем их без доказа-
тельств, ограничившись ссылками.
Лемма 1. Для пг многочленов g^t), ..., gm{t) из кольца k[t\,
старшие коэффициенты которых равны 1, существует система
..., hr целочисленных многочленов от их коэффициентов, об-
ладающая тем свойством, что при частных значениях коэффици-
ентов из к условия hi = 0, ..., hr = 0 необходимы и достаточны
§ 7] ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 333
для того, чтобы многочлены gSt), ..., gm(t) имели общий корень
в некотором конечном расширении поля к.
Если m = 2, то г = 1 и h. является результантом многочленов
gi и g2. Общий случай легко сводится к случаю тп = 2. Доказа-
тельство содержится в книге [5].
Лемма 2. Пусть в степенном ряде fkx,, ..хп) е О наимень-
шая степень входящего в него члена равна к^1 и коэффициент
при Хп отличен от нуля. Тогда в кольце £) можно найти степенной
ряд е(х,, ..хП с отличным от нуля свободным членом, такой,
что
/ (X) е (X) = Хп + <Р1 (ац, , ^-i) Хп~1 + ... + <рй fo, ..., хп-Т),
где — степенные ряды от переменных Xi, ..xn-i с ну-
левыми свободными членами.
Доказательство этой леммы содержится в книге [11].
Заметим, что условие необращепия в нуль коэффициента при
Хп, выполнение которого предполагается в лемме 2, всегда может
быть достигнуто при помощи неособенного линейного преобразо-
вания переменных. При этом, как легко видеть, если мы имеем
несколько степенных рядов Д, ..., fm, то линейное преобразование
можно выбрать так, чтобы это условие выполнялось для всех них
одновременно.
Лемма 3. Всякий идеал 31 кольца Q имеет конечную систему
образующих, т. е. в нем существуют такие ряды ht, ..., hs, что
всякий ряд представляется в виде
h = gji, + ... + gshs,
где gi, ..., g„ — некоторые ряды из £).
По поводу доказательства леммы 3 см. книгу [3]. Заметим, что
в этой книге и в книге Зигеля речь идет о рядах над полем комп-
лексных чисел, однако приведенные в них доказательства дослов-
но переносятся и па наш случай полного поля с показателем.
Лемма 3 нам нужна для доказательства следующего ре-
зультата.
Теорема 1. Каждое локальное многообразие является объ-
единением конечного числа неприводимых локальных много-
образий.
Доказательство. Пусть многообразие V определяется
уравнениями (1). Если V приводимо, то в D существуют степен-
ные ряды f и g, не обращающиеся в нуль в точках V, сколь угод-
но близких к нулевой точке, такие, что произведение fg равно
нулю во всех точках V из некоторой 8-окрестности нулевой точки.
Обозначим через V, и многообразия, определяющие уравне-
ния которых получаются из системы (1) приписыванием уравне-
ний ДХ)=0 и g(X) = 0 соответственно. Очевидно, что V\ и
334
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
являются собственными подмногообразиями V, причем
V = V, U к.
Если многообразия ТД и неприводимы, то теорема доказана.
Если же одно из них приводимо, то мы можем аналогичным обра-
зом и его представить в виде объединения двух собственных под-
многообразий. Повторяя этот процесс, мы либо придем к пред-
ставлению многообразия V в виде объединения конечного числа
неприводимых многообразий (что нам и нужно), либо получим
бесконечную последовательность многообразий
V = V0^V^y^... (2)
Докажем, что второй случай невозможен. Рассмотрим для этого
идеалы Sly. многообразий Vt. Из (2) следует, что
(3)
Обозначим через SI объединение идеалов 21у.. Согласно лемме 3
идеал 21 порождается конечной системой рядов hh ..., hs. Так как
каждый ряд из SI содержится в некотором идеале 21 уъ то сущест-
вует такое к, что все ряды hi, ..., hs содержатся в Sly^.IIo тогда
§1 cz 2lyft и, следовательно, 21 yft = Slyft+1 = ..., а это противоречит
включениям (3). Теорема 1, таким образом, доказана.
Мы изложим сейчас общий прием исследования локальных
многообразий, основанный на редукции к многообразиям в про-
странстве меньшего числа измерений.
Пусть многообразие V в пространстве кп определяется урав-
нениями (1). Предполагая V отличным от %", мы можем считать,
что ряды ft, ..., fm (т^1) не равны тождественно пулю. До-
пустим, что нами уже сделано такое линейное преобразование
переменных, что все многочлены /г удовлетворяют условиям лем-
мы 2. Тогда по этой лемме в кольце О существуют такие степен-
ные ряды еДХ), ..., ет(Х) с отличными от нуля свободными
членами, что
fi^i ~ Si ~ 4“ + . . . + CPifep (ч)
где ф« = фц(^1, ..., жп-1) — степенные ряды от п — 1 переменных
с нулевыми свободными членами. Так как еДХ) ¥=0 в некоторой
е-окрестности нуля, то многообразие V задается также системой
уравнений
gdX)=0, ..., gm(X)=0, (5)
левые части которых являются многочленами от хп со старшими
коэффициентами, равными 1. К этим многочленам мы можем при-
менить лемму 1. Соответствующие многочлены hi, ..., hr от коэф-
фициентов многочленов gY, ..., gm будут степенными рядами от
§ 7] ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 335
xt, . • ^n-i без свободных членов, и так как все фу сходятся в не-
которой e-окрестности нуля, то сходящимися в той же окрестно-
сти будут и ряды hi, ..., hT.
Рассмотрим в пространстве Р-1 локальное многообразие W,
определяемое уравнениями
hdxi, ..., xn-i) = 0, ..., hr(xi, ..., Xn-i) = 0.
Очевидно, что точка (а)? ..., an-1)e%n~1 принадлежит W тогда и
только тогда, когда все многочлены g4(at, ..., a„-i, хп) имеют
общий корень, т. е. существует такое а„, что (а4, ..., a„-t, an) *=
е V. Таким образом, W является проекцией многообразия V на
гиперплоскость х„ = 0. При этом каждая точка (а4, ..., an-4) е W
является проекцией конечного числа точек (ab ..a„-4, an) е V,
так как ап определяется как общий корень многочленов g4(a4, •..
..., are~i, хп). Переход от многообразия V к его проекции W по-
служит нам основным методом исследования локальных много-
образий.
Определение. Кривой в пространстве Тсп называется систе-
ма п целых формальных степенных рядов <щ(£), ..., <о„(() без сво-
бодных членов с коэффициентами из поля к или некоторого его
конечного расширения, причем не все (пД! тождественно равны
нулю.
Для наших целей нам пе будет нужды предполагать ряды
иД) = + ... сходящимися и даже проще будет этого
не делать. Таким образом, кривая задается не множеством своих
точек, а набором рядов оц(£). В связи с этим принадлежность
кривой к локальному многообразию будет пониматься несколько
иначе, чем обычно.
Определение. Мы будем говорить, что кривая соДО, ...
..., принадлежит многообразию V, если для любого ряда
ftXi, ..., хп) из идеала Sir степенной ряд /((O4U), ..., (о„(£)) тож-
дественно равен нулю.
Основное нужное нам свойство локальных аналитических
многообразий состоит в следующем.
Теорема 2. Всякое локальное многообразие или совпадает
с нулевой точкой, или содержит некоторую кривую.
Доказательство ведется индукцией по размерности п.
По лемме 3 идеал Sir имеет конечное число образующих. Мож-
но поэтому считать, что в качестве системы (1), определяющей
многообразие V, взята система образующих идеала 91г. При п = 1
многообразие V состоит только из нулевой точки, если хоть одип
из рядов /, не равен тождественно нулю, и совпадает с Й1, если
все ft тождественно равны нулю. Во втором случае любой ряд <о(£)
Удовлетворяет системе (1).
Пусть теперь п > 1. Утверждение теоремы очевидно, если все
А тождественно равны нулю (или если тп = 0). Можно поэтому
считать, что все ряды А, ..., /т (тп > 0) не равны нулю. Пред-
336
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
[ГЛ. IV
положим также, что эти ряды удовлетворяют условиям леммы 2,
так что вместо уравнений (1) мы можем для задания V взять
уравнения (5), где gt определены равенствами (4). Рассмотрим
в пространстве проекцию W многообразия V. Для W по ин-
дуктивному предположению теорема 2 справедлива. Если W сов-
падает с нулевой точкой, то многообразие V будет определяться
системой уравнений
gi(0, ..., О, хп) = 0, 1 < i < т,
т. е. тоже будет совпадать с нулевой точкой. Если же W отлично
от нуля, то в W содержится кривая иДН, ..., (o„_1(i). Обозначим
через к, конечное расширение поля к, в котором содержатся ко-
эффициенты степенных рядов сц, ..., Из определения
многообразия W следует, что при подстановке рядов ®ДЛ, ...
..., со„_ДП в ряды gi, ..., gm вместо zi7 ..., xn-i мы получим
т многочленов от хп:
..., <on_1(i), ж„), 1 '< i '< т, (6)
коэффициенты которых принадлежат полю ki{t} формальных сте-
пенных рядов от t над и которые будут иметь общий корень
хп = £ в некотором конечном расширении Q поля kv{t}. По тео-
реме 6 § 1 поле Q содержится в поле формальных степенных ря-
дов к'{и}, где if = t при некотором натуральном е, а к' — конеч-
ное расширение над кх. Элемент £ можно поэтому представить
в виде степенного ряда = со (и) с коэффициентами из к'. Так как
g является корнем многочленов (6), старшие коэффициенты кото-
рых равны 1, а все остальные коэффициенты являются целыми
элементами поля ЛДД, то ряд to(u) является целым элементом
поля к'{и}, т. е. он не содержит членов с отрицательными степе-
нями и. Далее, в представлении (4) все ряды <ру не имеют свобод-
ных членов. Подставив в (4) вместо xt, xn-t ряды ®Дме), ...
..., соп-Дле), а вместо хп — ряд ®(и) и обратив внимание на сво-
бодный член полученного ряда, мы получим, во-первых, что сво-
бодный член ряда ®(м) равен нулю и, во-вторых, что
gi(®i(iie), ..., a>nSue), <а(а)) = 0, К i < т.
Так как ряды оц, ..., «>„_! не все равны нулю, то набор степенных
рядов (оДпе), ..., (оге_Дп°), (о(н) является кривой в Tf. По пред-
положению ряды ..., /т, а значит, и ряды gi, ..., gm порождают
идеал 91г. Следовательно, для любого ряда ..., хп) из Sly
справедливо равенство
/(ыДл®), ..., ®„-Дие), <о(и)) = 0,
а значит, кривая соДл®), ..., <оп-Дл®), со(л) принадлежит много-
образию V. Теорема 2 доказана.
§ 7] ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ 337
Теорема 3. Если V и V' — два локальных многообразия в
Цп, причем V не содержится в V', то в Tin существует кривая, при-
надлежащая V и не принадлежащая V'.
Доказательство. Мы можем предполагать, что много-
образие V неприводимо, так как в противном случае V можно за-
менить одной из его неприводимых компонент.
Пусть многообразие V' определяется уравнениями
FAX) = 0, ..., FAX) = 0,
где Fj — ряды из кольца £). Так как V Ф V', то хотя бы один из
рядов Fj не обращается тождественно в нуль на точках из V
(в любой сколь угодно малой окрестности нулевой точки). Обозна-
чим этот ряд через F(X) и докажем, что многообразию V принад-
лежит такая кривая соДО, ..., ©«(f), что
FtaAt), ..., ©„(О) ¥= 0.
Доказательство этого факта мы проведем индукцией по п.
Мы можем, очевидно, считать, что ряд F(X) удовлетворяет
условию леммы 2, так что существует ряд е(Х) = е(^, ..., хп) е
ей с отличным от нуля свободным членом, для которого
е (X) (X) = G (ж1; .. ., хп) = Хп + 1 + • • • + Ф/и (7)
где ..., — ряды от Xi, ..хп-1.
В случае V = Ип (в частности, при п = 1) утверждение теоре-
мы 3 справедливо очевидным образом: достаточно, например,
взять = ... = (!)„_.,(/) = 0, ©„(/) = t. Если же то мы
рассмотрим проекцию Wмногообразия V (здесь мы пред-
полагаем, что условию леммы 2 наряду с F(X) удовлетворяют
и все ряды ..., определяющие многообразие V; это достига-
ется, как мы знаем, линейным преобразованием переменных).
Вместе с V многообразие W также неприводимо, так как кольцо
функций па нем, т. е. фактор-кольцо = On-i, является
подкольцом кольца функций £>/21у = О на V (наряду с £)n_t £)
мы имеем, также включение §lwcz§lv). Для каждого ряда /е£)
через / условимся обозначать соответствующую функцию из О.
Из равенств (4) следует, что
1 + • • • + Tiftj = 0,
а значит, функция хп является целым элементом кольца £) от-
носительно подкольца £)n-i. Отсюда следует, что функция
G = Хп + Хп j+ . . . + Tpft, Ipj ©тг—1,
также является целым элементом относительно
338
ЛОКАЛЬНЫЙ МЕТОД
/ГЛ. IV
Выберем равенство
& + Г/G8-1 +... + Г. = О, Ls е= ©п_ь (8)
с наименьшим возможным з. Ясно, что здесь Ls ¥= 0, так как
иначе мы могли бы сократить на G и получить равенство с мень-
шим значением з. Ряд Ls е ©n-i не обращается, таким образом,
в нуль в точках многообразия W (в любой окрестности). По ин-
дуктивному предположению в пространстве %"-1 существует кри-
вая ®i(i), ..., со,-ДН, которая принадлежит многообразию W и
для которой Lda>df), . ¥=0. В доказательстве теоремы 2
мы видели, что тогда в %" существует кривая вида и/гг8), ...
..., <1)п.-1(ме), cii(ii), принадлежащая многообразию V. Проверим,
что для этой кривой
СХсоДп0), ..., Иг.-Дп'), <й(п))¥=0
и, следовательно, эта кривая пе принадлежит многообразию V'.
Действительно, если бы ряд, стоящий слева, был тождественно
равен нулю, то ввиду (8) мы имели бы равенство
Ldadud, ..., <й„-1(не)) = О
или, после замены ие па t,
Ld^dt'), (Лп-dt'l') = О,
а это не так по выбору кривой adt'), (Hn-dt). Теорема 3, таким
образом, доказана.
Глава V
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
В главе III мы видели, насколько важной характеристикой
арифметических свойств поля алгебраических чисел является
число h его классов дивизоров. В силу этого для числа h хоте-
лось бы найти явное выражение через какие-то простейшие ве-
личины, связанные с данным полем К. Для произвольного поля
алгебраических чисел эта задача до сих пор не решена, но для
ряда полей, наиболее интересных с точки зрения теории чисел
(например, для квадратичных полей и полей деления круга), та-
кие формулы найдены.
Число классов дивизоров является некоторой характеристикой
совокупности всех дивизоров поля К. Поскольку все дивизоры
выражаются через простые, а число простых дивизоров бесконеч-
но, то в конечном счете число h определяется некоторой беско-
нечной конструкцией. В этом, по-видимому, и кроется причина
того, что при определении h приходится рассматривать бесконеч-
ные произведения, ряды и другие аналитические понятия. Аппа-
рат математического анализа применяется для решения многих
задач теории чисел. В настоящей главе мы рассмотрим этот ме-
тод па примере задачи о числе классов дивизоров.
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров
1. Дзета-функция Дедекинда. Определение числа классов ди-
визоров h поля алгебраических чисел К основывается па рас-
смотрении так называемой дзета-функции Дедекинда £K(s), опре-
деляемой рядом
<d
а ' '
где а пробегает все целые дивизоры поля К, а А(а) обозначает
норму дивизора а. Мы докажем, что ряд, стоящий в правой ча-
сти равенства (1), сходится при 1 < s < оо и представляет собой
в этом промежутке непрерывную функцию от вещественного ар-
гумента s. Далее мы получим формулу
lim (,? — 1) (s) = hx, (2)
s-»i+o
где х — некоторая константа, простым образом зависящая от по-
ля К, которая будет вычислена в процессе доказательства.
340
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Ценность формулы (2) обусловлена тем, что для функции
£K(s) имеется разложение в бесконечное произведение
М*) = П—(3)
р 1 —-------
N (P)s
распространенное на все простые дивизоры р поля К, которое
носит название тождества Эйлера. Если для некоторого поля К
мы достаточно хорошо знаем его простые дивизоры (точнее, зна-
ем законы разложения простых рациональных чисел в произве-
дение простых дивизоров поля К), то для этого поля формулы
(2) и (3) дают возможность получить явное выражение для h.
На этом пути закопченные формулы для h нами будут получены
в последующих параграфах для случая, когда К — квадратичное
или круговое поле.
Разобьем ряд (1) на сумму h рядов
где а пробегает все целые дивизоры из данного класса дивизо-
ров С, а внешнее суммирование ведется по всем h классам С.
Для доказательства сходимости ряда (1) нам достаточно, очевид-
но, показать, что каждый из рядов
а-с ’
сходится при s > 1. Далее, если мы докажем, что для каждого
класса С существует предел lim (.s- — 1) /с (s) и что этот предел
«->i+o
один и тот же для всех классов С, то, обозначая его через х, мы
и получим формулу (2).
Преобразуем ряд (4) в ряд, распространенный на некоторые
целые числа поля К. Выберем в обратном классе дивизоров С-1
целый дивизор Д. Тогда для любого аеС произведение аа' бу-
дет главным дивизором:
аа' = (а), а^К.
Ясно, что отображение а-*(</.), а^С, устанавливает (при фик-
сированном а') взаимно однозначное соответствие между целыми
дивизорами а из класса С и главными дивизорами (а), делящи-
мися на а'. Принимая во внимание равенство jV(a)JV(a') = |JV(<x)I,
мы получаем, что
a^^o(пlcctЯ.,)
где суммирование ведется по всем главным дивизорам поля К,
§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 341
делящимся на а'. Так как два главных дивизора (aj и (а2) рав-
ны тогда и только тогда, когда числа at и а2 ассоциированы, то
можно считать, что в ряде (5) суммирование ведется по полному
набору попарно не ассоциированных целых чисел ¥= 0 поля К,
делящихся на а'.
Чтобы придать ряду (5) еще более удобную для исследования
форму, воспользуемся геометрическим изображением чисел по-
ля К точками в и-мерном вещественном пространстве Rn =
и в логарифмическом пространстве Rs+* (здесь п = s + 2t — сте-
пень поля К, см. пн. 1 и 3 § 3 гл. II). Мы определим сейчас в
R” такой конус X, что среди ассоциированных между собой чи-
сел поля К существует одно и только одно, геометрический образ
которого принадлежит X (под конусом здесь понимается тело
в Rn, которое вместе с точкой х Ф 0 содержит и весь луч £.г,
О < £ < оо).
В § 3 гл. II (все обозначения которого мы здесь сохраняем)
равенством (13) был определен гомоморфизм х -> 1(х) мульти-
пликативной группы точек х е Rn с ненулевой нормой N(x)
в аддитивную группу векторов логарифмического пространства
R*+/. Если е4, ..., ег — некоторая система основных единиц по-
ля К, то векторы Z(e±), ..., Z(er), как мы знаем, образуют базис
подпространства размерности г = s + t — 1, состоящего из тех то-
чек (А.х, . . ., 'ks+t) Rs+t, для которых 7ц + ... + Zs+.( = 0. По-
скольку вектор
I* = (1, . . ., 1; 2, . .., 2)
' ~ - -
не принадлежит этому подпространству, то система векторов
Z*, Z(E1), ..., Z(er) (6)
является базисом Rs+f. Всякий вектор I (:г) е Rs+; (ж е Rn,
N(x) =#= 0) можно представить, следовательно, в виде
ZU) = &* + ^(61) + ... + grZ(8r), (7)
где g, ..., gr — вещественные числа.
Через т обозначим порядок группы корней из 1, содержа-
щихся в поле К.
Определение. Фундаментальной областью для поля К на-
зывается подмножество X пространства Rn, состоящее из всех
тех точек х, которые удовлетворяют следующим трем условиям:
1° 1У(ж) ¥= 0;
2° в разложении (7) коэффициенты (г = 1, ..., г) удовлет-
воряют неравенствам 0 < 1;
3° 0 arg Xi < 2л/m,
где xt — первая компонента точки х.
342
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Заметим, что при s > 1 число т равно 2, поэтому условие 3°
в этом случае означает попросту, что Xi > 0.
В следующем пункте мы увидим, что фундаментальная об-
ласть X является конусом в Там же будет доказана
Теорема 1. В каждом классе ассоциированных между собой
целых чисел (¥=0) поля К имеется одно и только одно число,
геометрическое изображение которого в пространстве Rn содер-
жится в фундаментальной области X.
Вернемся к ряду (5). Если через мы обозначим /г-мерную
решетку в Rn, состоящую из изображений х (а) е R" целых
чисел а^К, делящихся на а.', то ввиду равенства |АГ(а)| =
= |2VGr(oc))| мы можем ряд (5) переписать в виде
/C(S) = 7V« 2 TVTTP (8)
где суммирование ведется по всем тем точкам х = х(ад решетки
К, которые содержатся в X.
В п. 4 нами будет доказан один общий результат о рядах,
в которых суммирование ведется по всем точкам решетки, ле-
жащим в некотором конусе (теорема 3). В применении к нашему
случаю этот результат показывает, что ряд (8) сходится при
S > 1 и
lim (s — 1) 2 -------------
s-н+о
V
T’
(9)
где А — объем основного параллелепипеда решетки 2R, a v —
объем тела Т, состоящего из тех точек х фундаментальной обла-
сти X, для которых |1VU) I «£ 1.
Ввиду теоремы 2 § 4 гл. II и равенства (3) § 6 гл. II для А
имеем формулу
A=AjV(a')/m (10)
^4
где D — дискриминант поля К. Что касается объема v тела Т, то
он будет вычислен нами в п. 3. Именно, мы найдем, что
v = 2’n‘R/zre, (И)
где R —регулятор поля К. Из (9), (10) и (11) легко получаем
теперь, что
lim (s — 1) /с (s) =---т=,
s-л+о m"|/|.D|
а так как
с
то этим установлен следующий основной результат этого пара-
графа.
§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 343
Теорема 2. Для поля алгебраических чисел К степени п ~
*= s + 2Z ряд
сходится для всех s > 1 и имеет место формула
lim (s — 1) U (s) = h.
f-ito m ИI -° I
где h — число классов дивизоров, D — дискриминант и R — регу-
лятор поля К, а пг — число содержащихся в К корней из 1.
Перейдем теперь к доказательству тех утверждений, которы-
ми мы пользовались при выводе теоремы 2.
2. Фундаментальная область. Считая £ вещественным поло-
жительным, вычислим Z(^) ей'1', где хе5!‘. Лг(ж)¥=0. В силу
равенств (12) § 3 гл. II мы имеем:
1Д1-х) = Ing + 1Дх) при l^k^s;
Z.w(^) = 2Ing + ls+j(.x) прп
Отсюда следует, что К^х) = In g • I* + Kx), а значит, в разложе-
нии векторов ZGr) и Z(|z) через базис (6) коэффициенты при
ZleJ, ..., Z(er) для обоих векторов одинаковы. Так как к тому
же NC&) = ^,nN{x) ¥=0 и arg (t^cR = arg#!, то для всякой точки а:
из фундаментальной области X весь луч Хл также принадлежит
X, т. е. область X является конусом в R" (тело X не пусто, так
как в нем содержится, например, точка ж(1), являющаяся изо-
бражением числа leA’).
Лемма 1. Каждая точка у £?, для которой Лт(г/)=#О, од-
нозначно представляется в виде
у = хх(е), (12)
где х — точка из фундаментальной области X, я е — единица
поля К.
Доказательство. Разложим вектор Z(y) по элементам
базиса (6):
Ку) = ц1* + YiZZet) + ... + iyrZ(8r),
и каждое вещественное у,- (/= 1, ..., г) представим в виде
Ъ = к, + gj,
где к, целое рациональное и 0 < 1. Полагая т| = е^1 ... е^г,.
рассмотрим точку z = yx(t]~i). Мы имеем
Z(z) = Ку) + Z(tt‘) = Ку) - кМ - ... - к№ =
... = ^1* + g1Z(8i) + . . . + £rZ(8r).
344
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[гл: v
Пусть теперь arg z, = ср. При некотором целом к
____ 2л/с 2л
о ф----------< —.
т т
При изоморфизме а->оДа) (а^К) корни т-й степени из 1 по-
ля К отображаются на корни m-й степени из 1 поля всех комп-
лексных чисел ff. Обозначим через £ тот корень т-й степени из
1 (он будет первообразным), для которого
/о. 2<гс * •
Oi (С) = cos---f- I sin —.
1 V5/ m m
Докажем, что точка x = zx(t,~h) принадлежит фундаменталь-
ной области X. В самом деле,
Z(x) = Z(z) + Z(S“ft) = i(z) = ?Z* + ^Z(81) + ... + |rZ(er),
причем 0 g3 < 1, так что условия 1° и 2° выполнены. Далее,
Xl — = z1o1(£)_'[, поэтому
7 2л 2лА
arg Х1 = arg zx — к — = ф — —,
откуда 0 arg Xl < 2л/т. Таким образом, х е X. Замечая теперь,
что ж(а)-1 = ж(а-1), мы получаем
у = гж(ц) = xxCt^xkv^ = хх(е),
где е = £*т]. Представление точки у в виде (12), таким образом,
получено. Остается доказать единственность такого разложения.
Пусть, помимо (12), у = х'х(е'), где х'^Х п в' — единица в К.
Так как жж(е) =ж'г(е/), то
Их) 4- Z(e) = Z(x') + Z(e').
Векторы Z(e) и Z(e') являются целочисленными линейными ком-
бинациями векторов Z(e-l), ..Z(er), в то время как коэффициен-
ты при этих векторах в разложениях /(ж) и Их') через базис (6)
все неотрицательны и меньше единицы (условие 2° в определе-
нии фундаментальной области). В силу этого из последнего ра-
венства следует, что Z(e') = Z(e), а значит, e' = eSo, где So — ко-
рень т-й степени из 1 (см. п. 4 § 3 гл. II). Равенство ж(е') =
= ;r(e)a;(So) дает нам теперь, что x = x'x(t,i>\ а значит,
Ху = ХуОу (So)-
По условию 3° для точек х и х’ фундаментальной области спра-
ведливы неравенства
О arg ху < 2л/т, 0 еД arg Х1 < 2л/т,
поэтому 0 larg OjZSo) I < 2л/га, а так как оД^о) есть корень
степени т из 1, то последнее неравенство возможно лишь при
условии arg Gi(So) = 0. Но в таком случае иД£о) = 1 и So = !•
§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 345
Этим показано, что е'==е и, следовательно, х'=х. Лемма 1 до-
казана.
Доказательство теоремы 1. Пусть [J — произвольное, от-
личное от нуля целое число из К. По лемме 1 существует раз-
ложение х($)=хх(е'), где х^Х, а 8 — единица. Число а = ^8~1
ассоциировано с [}, и его геометрическое изображение х(а) (сов-
падающее с точкой х) принадлежит области X. Далее, в силу
единственности разложения (12) число а условиями [} = осе и
ж(ос) е X определено однозначно, а это и доказывает теорему 1.
В качестве примера найдем фундаментальную область для
квадратичных полей.
Предположим сначала, что К — вещественное квадратичное
поле, так что п= s = 2, £ = О, r = s + t—1 = 1. Мы будем счи-
тать, что К является подполем поля всех комплексных чисел (С,
а также, что в качестве первого изоморфизма щ: К->(Е (см.
п. 1 § 3 гл. II) взят тождественный изоморфизм. Если 8 — основ-
ная единица поля К, то —е, 1/е, —1/е будут также основными
единицами, поэтому можно предположить, что 8 > 1. Если
.т = (.г,, .г,) е R2. Х\х) = х,х2 Ф 0, то Кх) = (In Ire,!, 1п|ж21). Раз-
ложение (7) в данном случае имеет вид
Z(x) = B(l, 1) + В1(1П8, —In е).
Фундаментальная область X определяется здесь, очевидно, ус-
ловиями
ж,>0, ж2^0, 0 gt < 1.
Легко видеть, что In Ixt I = In Ix21 + 2gf In 8, а значит, | xt I =
= | лт2 | . Условие 0 < 1 можно заменить поэтому следу-
ющим:
1 > 1 Ж2|I\X11 > 8-2.
Фундаментальная область X состоит, таким образом, из точек,
заштрихованных на рис. 7 (стороны углов, ближайшие к поло-
жительному лучу осп xt, к X не причисляются).
Пусть теперь К — мнимое квадратичное поле. Так как здесь
s = 0, t = 1, то г = .$ + t — 1 = 0. Фундаментальная область X со-
стоит, следовательно, из тех точек х = у + iz, для которых
2У(ж) = у2 + z2 ¥= 0, 0 arg х < 2п/т
(см. рис. 8, К = Q ( 3), т = 6).
3. Вычисление объема. Займемся здесь вычислением п-мерно*
го объема тела Т, состоящего из тех точек х фундаментальной
области X, для которых l7V(a:)| 1. Тот факт, что этот объем
существует и отличен от нуля, будет получен нами в процессе
вычисления. (В случае квадратичного поля, тело Т отмечено на
рис. 7 и 8 двойной штриховкой.)
346
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Докажем прежде всего, что тело Т ограничено. На каждом
луче, входящем в состав конуса X, существует одна и только
одна точка х, для которой |ДДж) I — 1. Обозначим через S множе-
ство всех этих точек. Ясно, что Т состоит из всех отрезков §ж
(О < g 1), где х пробегает все точки из S.
В разложении (7) произвольной точки с ненулевой
нормой сравним суммы компонент векторов, стоящих слева и
справа. В силу формулы (15) § 3 гл. II слева эта сумма равна
1п1Мж)1. Справа же ввиду соотношения (18) § 3 гл. II она рав-
j
на |(s + 21) = nt,. Это показывает, что £ = — In | IV (ж) |, и разло-
жение (7) мы можем, следовательно, переписать в виде
l(x) = ±-ln\N(x)]-l* +U(eJ+ ... +U(8r). (13)
Если теперь жеS, то In |ДДж) I = О, и поэтому точка Дж) =
= (Д (ж), . .., ls+t (х)) е Rs+i представляется в виде Дж) =
= giKeJ +... + %гДе), где 0^gi<l. Отсюда следует, что суще-
ствует такая константа р, что 1}(х) < р, а тогда Iхк\ < ер при
1 к s и |жа+,| < ер/2 при l<j<t для всех x^S (см. обозна-
чения (13) и (12) § 3 гл. II). Этим доказано, что множество S,
а значит, и тело Т ограничены.
S И
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ
347
Вместо тела Т мы рассмотрим другое тело, простым образом
связанное с Г и обладающее тем преимуществом, что оно опре-
деляется более простыми условиями, а это облегчит нам наши
исследования. Сформулируем предварительно следующую почти
очевидную лемму.
Лемма 2. Если 8 есть единица поля К, то при линейном
преобразовании ххх(&) пространства йп объемы тел не ме-
няются.
Действительно, при любом неособенном линейном преобразо-
вании евклидова пространства объем тела умножается па абсо-
лютную величину определителя
матрицы этого линейного преоб-
разования (см. формулу (2) § 4
гл. II). Согласно доказанному в
п. 1 § 3 гл. II определитель пре-
образования х-* хх(Е) равен
2V(.t(s)), т. е. равен 2V(e) = ±l.
Обозначим теперь, как и ра-
нее, через g тот корень степени пг
2л
из 1, для которого Од (g)—cos +
+ г sinРассмотрим множест-
ва Т„ (.к = 0, 1, ..., тп—1), по-
лучающиеся из Т линейным пре-
образованием х -* хх(.^К) (То — Т).
По лемме 2 имеем v(Tk) = v(T)
(если только хоть один из этих
как
объемов существует). Так
| N (хх (е)) | = | N (х) N (е) | = | N (X) I,
1(хх№У) = 1(х) + Z(e) = ZW,
arg {хх (Cft))i = arg хг + ~ к,
то (см. определение фундаментальной области X, п. 1) тело Тк
состоит из тех точек х е Rn, для которых:
1) 0< 1Жг)1 1;
2) в разложении (13) коэффициенты g£ удовлетворяют нера-
венствам 0 < 1;
о\ 2лА? 2л ..
3) — <^^<—(^+1).
Отсюда следует, что Го, 1\, ..., Tm-i попарно не пересекают-
тп—1
ся и что их объединение U Tk определяется условиями 1) и 2)
1 fe=0
(без условия 3)).
348
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
т—1
Обозначим через Т множество тех точек же J Тк, для ко-
к=0
торых ж, > О, xs > 0 (см. (2) § 3 гл. II). Зафиксируем произ-
вольно s знаков 6lt ..., 6S (б, = ±1). Умножение точек из R”
на точку (6ц ..., 1, ..., 1) е 8s’* = Rn является линейным
преобразованием R?i, не меняющим объема тел (так как норма
этой точки равна ±1). Подвергая множество Т всем таким ли-
нейным преобразованиям, мы получим 2s попарно не пересекаю-
т—1
щпхся множеств, объединение которых совпадает с U Tk. Если
_ О
мы докажем, что Т имеет отличный от нуля объем v, то отсюда,
очевидно, будет следовать существование объема и для Г, при-
чем будет иметь место формула
03 _
ИП = - (14)
(Для вещественного квадратичного поля Т является частью Т,
расположенной в первой четверти, а для мнимого квадратичного
поля Т совпадает с единичным кругом без центра, см. рис. 7 и 8.)
Векторное равенство (13) равносильно следующей системе
равенств:
т
(*) = -^ 1ч IУ (ж) I + 2 ёИ (8й). 7 = 1, • • •, S + t,
k=i
где ej = 1, если I С j s, и = 2, если s + lC/Cs + l. Сделаем
замену переменных по формулам
xh = р&, к = i, ..., s,
У1 = р, w cos <pj, Zj = ps+j sin cpj, 7 = 1,..., t.
(В соответствии с обозначениями n. 1 § 3 гл. II вещественные
У; и Zj определяются равенствами xs+j = yj+iZj, 1 С /C l.) Яко-
биан этого преобразования, как легко подсчитать, равен
€ ^4* / е.
ps+1...ps+;. Так как 7^(ж) = 1пр/ и У(ж) = Цр/ (мы считаем
ж, > О, ..., ж„>0), то в новых переменных р15 ..., ps+(, <pj, ...,
тело Т определяется условиями:
1) Pi>0, ..., ps+f>0,
<1;
2) в равенствах
1ирр' =
Г
+ 2 (6ft)
А=1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ
349
§ 1]
(/ = 1, ..s + t) коэффициенты Вл удовлетворяют неравенствам
О Вл < 1 (А = 1, ..., г).
Поскольку эти условия на переменные qh, ..<рг не наклады-
вают ограничений, то каждая из них (независимо от других) про-
бегает все значения из промежутка [0, 2л). Вместо pi, ..ps+i
введем теперь новые переменные В, Вь • • •» ёг по формулам
1пр? = — м + 2 7 = 1> • + (15)
k=i
Складывая все эти равенства и замечая, что
S-f-t s + t
2 ej = п, 2 Zj (eft) = 0, ’ (16)
j=i j=i
получим ' .
s + t
^ = ПР?. (17)
j=i
Тело T определяется теперь условиями
0<В^1, О С Bs < 1, * = 1, ..., г.
Существование объема v = v(T) стало теперь очевидным. Так как
9Л-Ь-](Р}
dlh~ ejL^k>'
то якобиан преобразования (15) равен
J = Pl 4ч (m • i •• 4ч ч
Ps+« Ps+f 7 /„ V
ng 7 W (ei) * ч+t •• "7 ^s+t(er) es+t
es+t is+t (ех) • • • k+t (er)
Сложим в последнем определителе все строчки с первой. Учи-
тывая (16) и (17) и вспоминая определение регулятора R поля К
(см. гл. II, § 4, п. 4), получаем | J |=—-------------• Теперь уже
2 Ps+i • • • Ps+t
легко находим объем г:
v = ... dXi .. . dxsdy1dz1 ... dytdzt =
(т) J
= ... pi+1 ... pt+tdpj, ... dps+tdtp! ... d(pt =
(t)
350
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
2Л 2Л
= J Йф] . . . У dtpt j . . . J Ps+1 . . . Ps+idpi • . • </ps+t =
о о
= 2tnt У ... У | J | ps+1 . .. ps+(dBt/§i • •. <Йг=
1 i i
= n'R j dl У d^ ... J db = nfR.
0 0 0
Подставляя найденное значение v в (14), получаем окончательно:
у(Г) = 2sn‘R//n.
4. Принцип Дирихле. Рассмотрим сначала функцию £K(s) для
случая, когда К есть поле рациональных чисел Q. Так как в
поле Q целые дивизоры могут быть отождествлены с натураль-
ными числами п и при этом N(n) = п, то
ос
= (is)
п
Таким образом, для поля рациональных чисел ^-функция Деде-
кинда совпадает с £-функцией Римана £(s). Докажем, что при
•s > 1 ряд (18) сходится. Так как функция 1/жя при возрастании
х > 0 убывает, то
П+1 п
при этом левое неравенство имеет место при п 3s 1, а правое —
при п > 2. Для натурального N > 1 мы получаем, следователь-
но, что
Так как при s > 1 интеграл 1 -г- сходится, то правое неравен-
J Xs
1
ство и доказывает сходимость ряда (18). Далеё, для $>1 мы
имеем
оо оо
<Ш<1+
Л х > х
1 1
или
-Ц < £ (s) < 1 + -Ц.
S — 1 в ' S — 1
§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 351
Умножая эти неравенства на s - 1 и устремляя s к единице, при-
ходим к важному соотношению:
lim (s — 1) g (s) = 1, (19)
S->l + 0
дающему представление о порядке роста функции £(з) при s1.
Перейдем теперь к доказательству одной общей аналитико-
геометрической теоремы о рядах, принадлежащей Дирихле.
Пусть в пространстве R задан конус X, на котором опреде-
лена вещественная положительная функция F(x), х е X. (Мы
считаем, что точка (0, ..., 0) не принадлежит конусу X.)
На функцию F и на конус X накладываются следующие условия:
1) для любой точки х^Х и любого вешественного g>0
справедливо равенство F^x~) =^nF{z)',
2) тело Т, состоящее из тех точек х е X, для которых F(x')
1, ограничено и имеет отличный от нуля n-мерный объем
к = к(Т).
Точки конуса, в которых F(x) = 1, образуют поверхность,
пересекающую каждый луч конуса только в одной точке и отсе-
кающую от конуса ограниченное тело с отличным от нуля объе-
мом. Ясно, что задание такой поверхности в X равносильно
определению функции F(x).
Предположим, что в й’г задана и-мерная решетка ЙЛ с объе-
мом основного параллелепипеда Д. Рассмотрим ряд
И»)- 2 яЬ- (2»>
распространенный на все точки х решетки ЙЛ, содержащиеся в
конусе X. Этот ряд зависит, таким образом, от конуса X, функ-
ции F и решетки К.
Теорема 3. При соблюдении только что сделанных обозна-
чений и предположений ряд (20) сходится при всех s > 1 и
lim = v/\. (21)
s->1+0
Доказательство. Для каждого вещественного г > 0 че-
рез ПЛГ обозначим решетку, получающуюся из ЙЛ сжатием в г раз.
Объем основного параллелепипеда решетки ЙЛГ равен, очевидно,
—• Если 2V(r) есть число точек решетки ЙЛГ, содержащихся в
теле Т, то по определению объема имеем
V = v (Г) = lim N (г) = Д lim (22)
Г-»оо Г Г-»со Г
Рассмотрим тело гТ, получающееся из Т расширением в г раз.
Ясно, что Х(г) равно также числу точек решетки ЙЛ, содержа-
щихся в гТ, а это в свою очередь равно числу точек х е ЙЛ П X,
352
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
для которых Fix) «3 гп. Все точки из 2R Л X расположим в виде
последовательности {ж4} так, чтобы
О < F(.Xi) Fixt) < F(%ii)
Положим F (xh) = rh. Точки xt, ..xh принадлежат телу гкТ,
поэтому Nirh) ^к. В то же время при любом е > 0 точка хк не
принадлежит телу (г4 — г)Т, следовательно, Nirk — e,)<k. Таким
образом,
Nirk — е) < к ^Nirk),
Л' (г.—е) I г, —е Vn д- Лг (г.)
откуда ------— —-— < — <------— Переходя здесь к пре-
(rft-e) \ rk / rk rh
делу при к -*• с», т. е. при гк ->• и принимая во внимание (22),
получим
1 • к v
11Ш 7Г7—7 = “Г-
fe-»oo F (;<+) Д
(23)
~ 1 к3
Сравним ряд g (s) = У --------- с рядом (18). Так как lim------ =
0 k=lF(xk) b->°°Fixk)
= (i?/A)s=^0, то вместе с рядом (18) ряд (20) также сходится
(если, конечно, s>l). Пусть е — сколь угодно малое веществен'
ное положительное число. В силу (23) имеем
для всех достаточно больших к к0, откуда
при всех s > 1. Умножим это неравенство на s —1 и устремим s
fe0-i
к единице справа. Так как lim (s — 1) Т = 0’ т0 в силУ (19)
fe=l к
оо
lim (s — 1) У — = 1. Учитывая, с другой стороны, что
8-1+0 к
&о~1
lim (s — 1) У —-—- = 0, мы приходим к неравенствам
*->1 /- (^ft)
-j-—e<lim (s—l)g(s)<Iim (s — 1)g(s)<~ + e,
s—1+0 s—1+0
которые ввиду произвольности e и доказывают теорему 3.
§ 1] АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ЧИСЛА КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ 353
Замечание. В равенствах (21) и (22) легко подмечаются
некоторые общие черты. Чтобы сходство между этими равенст-
вами сделать более отчетливым, предположим, что объем А ос-
новного параллелепипеда решетки ЗЯ равен 1, и перепишем их
в виде
lim (s-l)£(S) = r, (21')
s-»l+0
lim^A^r) = и. (22')
r-»oo Г
Оба предела дают нам одно и то же число — объем тела Т. Оп-
ределение объема равенством (22') включает в себя следующие
операции. Решетка ЗЯ сжимается в г раз, и подсчитывается число
Мт) точек сжатой решетки 2ЛГ, содержащихся в Т. Затем чпсло
ДЧг) умножается на объем — основного параллелепипеда ре-
шетки ЗЭТг, и, наконец, находится предел произведения — А'(г)
г
при г -> оо. По такой же схеме мы приходим к объему и в ра-
венстве (21'). Здесь сумма £(s) играет роль числа Аг(г), множи-
тель (s— 1) соответствует множителю — и предельный переход
s -> 1 + 0 — предельному переходу г -> <».
Вернемся к фундаментальной области X поля алгебраических
чисел К. Так как функция F(x) = |2V(x)I удовлетворяет услови-
ям 1) и 2), то к ряду (8) можно применить теорему 3, а значит,
этот ряд сходится при $ > 1 и для него справедливо соотно-
шение (9).
Этим мы закончили доказательство всех тех утверждений,
которыми пользовались в п. 1, и тем самым завершили доказа-
тельство теоремы 2.
5. Тождество Эйлера. Чтобы формулу (2) можно было исполь-
зовать для вычисления числа классов дивизоров h, надо иметь
возможность вычислить предел lim (s — 1) (s) другим спосо-
s-»l + O
бом. В некоторых случаях это удается сделать, если восполь-
зоваться представлением £K(s) в виде некоторого бесконечного
произведения, известным под названием тождества Эйлера.
Теорема 4. При s>l функция £K(s) может быть представ-
лена в виде сходящегося бесконечного произведения
м = П—
где р пробегает все простые дивизоры поля К.
354
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
1
N (y)as
= 1 +
Доказательство. Для каждого простого дивизора р имеем
Ц = 1 + - +
л _------------------1-А’ (»)’
N (У)5
Пусть -iV — произвольное натуральное
простые дивизоры, норма которых не
жая абсолютно сходящиеся ряды (24) для V =
(24)
число и ft- — все
превосходит N. Перемно-
рг, получим
П (1—-
JV(y)«.X\ А (у)'
1
У/ ... У/
S'—,
^,.77^=0••• 7 ) a N (a)S’
где а в сумме У, пробегает все те целые дивизоры поля К, раз-
ложение которых в произведение степеней простых дивизоров
содержит лишь простые дивизоры с нормой, не превосходящей N.
Сравним ряд У с рядом («) = У 1—. Поскольку в ряде У
JV (а) “
встретятся все. те целые дивизоры, норма которых то
1
Я (а)8'
х(у)<х \ -V (у)8/
Так как при s> 1 ряд (1) сходится, то
У* 1
при N -> оо, а это и доказывает теорему.
Значение теоремы 4 состоит в том, что она в соединении с
теоремой 2 устанавливает связь между числом h и простыми ди-
визорами поля К. Как уже отмечалось в п. 1, если все простые
дивизоры поля К нам известны, то, пользуясь теоремой 4, левую
часть соотношения (2) можно будет вычислить другим способом, •
а это даст нам законченную формулу для h. С другой стороны,
тот факт, что v,h =/= 0, позволяет сделать важные выводы о про-
стых дивизорах поля К. Например, взяв в качестве К круговое
поле, мы придем в § 3 настоящей главы к теореме Дирихле о
распределении
прогрессиях.
простых рациональных чисел в арифметических
Задачи
1. Используя
ряд У-------
сходится.
сходимость ряда У — (s>l), доказать, что при s> 1
п8
П=1 п
где у пробегает все простые дивизоры поля К, также
§ 2]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ
355
2. Пользуясь результатом задачи 1, доказать сходимость произведения
JJ--------j, s>l. Вывести отсюда сходимость ряда —-—-
’ 1 — N (p)s а N
3. Пусть ал и bk (k > 1) —вещественные положительные числа, причем
bh °°
lim — = с. Доказать, что если ряд У, сходится при s > 1 и
fe->oo ak ft=1
lim (s— 1) У а® = А,
«-1+о k=i
то ряд У bsk также сходится (при s > 1) и
/1=1
lim (s — 1) У bs. = сА.
s-»i+o k=1
4. Пусть С — произвольный класс дивизоров поля алгебраических чи-
сел К. Обозначим через Z(g, С) число целых дивизоров а из класса С, для
которых N(о.) g. Доказать, что
, Z (g, С) 2S+WR
lim --?— = z = ——7=r.
s^oo s
5. Пусть ф(а) обозначает число целых дивизоров поля алгебраических
чисел К с нормой а. Доказать, что
_ у
? (s) ns'
где сп = ц (й)\|/Д. j (ц(о) — функция Мёбиуса).
d|n ' !
§ 2. Число классов дивизоров кругового поля
Пусть т — натуральное число и £ — первообразный корень
степени т из 1. Так как все корни т-й степени из 1 изобража-
ются на комплексной плоскости точками, которые делят единич-
ную окружность на т равных частей, то поле Q (С) принято на-
зывать полем деления окружности на т частей или, короче,
т-круговым полем. В этом параграфе, пользуясь теоремами 2 и
4 § 1, мы найдем формулу для числа h классов дивизоров про-
извольных круговых полей. Для этой целп мы должны будем
предварительно выяснить, каким образом в этих полях простые
рациональные числа раскладываются в произведение простых
Дивизоров. Мы начнем с определения степени поля Q (£).
1. Неприводимость кругового многочлена. Степень поля Q (С)
равна, как известно, степени минимального многочлена числа £
над полем рациональных чисел Q. В этом пункте мы докажем,
356
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
что минимальным многочленом числа £ является многочлен
Фт=Фот(0= П (i-^)
(произведение распространено на приведенную систему вычетов
по модулю т), корнями которого являются все первообразные
корни т-й степени из 1. Так как степень Ф,„ равна значению
функции Эйлера (р(тп), то отсюда будет следовать равенство
(Q : Q) = <р (т).
Многочлен Фт(£) называется многочленом деления окружно-
сти на т частей или m-круговым многочленом.
Докажем прежде всего, что Ф™ имеет целые рациональные
коэффициенты. Для т = 1 это очевидно (Ф^г—1). Доказатель-
ство в общем случае проведем индукцией по т. Так как каждый
корень m-й степени из 1 является первообразным корнем неко-
торой степени d\m, то
r-l = II(Dd,
d
где d пробегает все делители числа т. По индуктивному предпо-
ложению многочлен F = JJ Ф<; имеет целые рациональные коэф-
d=£m
фициенты, и к тому же его старший коэффициент равен 1. В си-
лу этого Фт = (tm — D/F также имеет целые рациональные ко-
эффициенты.
Обозначим, как всегда, через Z кольцо целых рациональных
чисел, через FP— поле вычетов по простому модулю р и для
каждого a e Z через а — соответствующий класс вычетов из
Fp. Если в многочлене /(f) с целыми рациональными коэффици-
ентами мы заменим все коэффициенты их классами вычетов по
модулю р, то получим многочлен f(f) с коэффициентами из по-
ля ?р. Очевидно, что отображение ff является гомоморфиз-
мом кольца Z [£] на кольцо Fp [£]. Так как (/ + g)p — fp + gp и
по малой теореме Ферма ар = a (a s Z), то в кольце Fp [t] спра-
ведлива формула
(/(*))” = /(£”). (1)
Положим h — tm — 1. Если простое число р не входит в т,
то многочлен h из Fp [£] взаимно прост со своей производной,
и, следовательно, он не имеет кратных множителей. Замечая те-
перь, что Фт является делителем h, мы приходим к следующему
утверждению.
Лемма 1. Если простое рациональное число р взаимно про-
сто с т, то многочлен Фт из кольца FP[Z] не имеет кратных
множителей.
Если /(#) есть минимальный многочлен числа то Фт = fG,
где G, так же как и f, принадлежит кольцу Z [£]• Для любого
простого числа р, взаимно простого с тп, степень также явля-
§ 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 357
ется первообразным корнем m-й степени из 1, т. е. Фт(£р)=0.
Докажем, что £р — корень /. Если это не так, то G(£p) = 0. Рас-
смотрим тогда многочлен H(t) = G(tp). Поскольку Я(£) = G(£p) =
= 0, то Н делится на f, т. е. H = fQ, где <?eZ[t]- Перейдем
в равенстве Н = jQ к полю вычетов Fp. Мы получим H = fQ.
Но в силу свойства (1) Ж£) = G(ip) = (GU))P, поэтому
GP = JQ.
Пусть ф — какой-нибудь неприводимый множитель многочлена /
(в кольце Fp [£]). Из последнего равенства вытекает, что G де-
лится на ф. Но тогда из равенства Фт = /G будет следовать, что
Фт делится на ф2, что, однако, противоречит лемме 1. Таким об-
разом, £р не может быть корнем G(Z), а значит, он является кор-
нем /(£).
Если теперь — произвольный корень Фт, то t,' = th, где к
взаимно просто с т. Пусть к = ptp2... ps. По только что дока-
занному t,1 есть корень /(/). Аналогично, взяв вместо £ корень
£Р1, заключаем, что £Р1Р2—корень /(£). Рассуждая так далее, мы
получим в конце концов, что и является корнем /(£).
Таким образом, все корни Фт являются также корнями мно-
гочлена /, а поэтому Фт = f. Полученный результат мы можем
сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 1. При любом натуральном т круговой многочлен
Фт неприводим над полем рациональных чисел.
Следствие. Степень т-кругового поля Q(£), £m=l, равна
tf(m) (где q>(m) — функция Эйлера).
Замечание. Поле Q (С) деления круга па т частей нор-
мально над Q, и его группа Галуа естественным образом изо-
морфна группе приведенных классов вычетов по модулю пг.
Именно, если (а, т) = 1, то соответствие £ t,a определяет авто-
морфизм Оа расширения Q OQ п отображение а -> Щ индуци-
рует изоморфизм группы классов приведенных вычетов по
модулю т (порядка <р(т)) на группу Галуа расширения
Q(£)/Q. Таким образом, круговые поля являются абелевыми
расширениями поля рациональных чисел Q. Согласно теории
Галуа всякое промежуточное поле F, Qcz EcrQ(£), также абе-
лево над Q. Все промежуточные поля F для всех т-круговых
полей — это, оказывается, вообще все абелевы расширения над
Q: согласно знаменитой теореме Кронекера — Вебера каждое по-
ле F, нормальное над Q и с абелевой группой Галуа, является
подполем некоторого кругового поля. (Доказательство теоремы
Кронекера — Вебера, основанное на привлечении полей р-адпче-
ских чисел, приведено в [53], см. также [38].)
Теорема Кронекера — Вебера позволяет дать обозримое опи-
сание всех абелевых расширений над Q. Для этого надо при-
влечь группу X всех примитивных числовых характеров, указан-
358
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
ную в задаче 15 § 5 Дополнения. Пусть X — конечная подгруп-
па группы X. Выберем натуральное т, делящееся на ведущие
модули всех характеров из X, и рассмотрим m-круговос поле
К = Q,(С), £т=1, группу Галуа которого обозначим через G.
Группу X можно отождествить с группой характеров группы G,
полагая ш) = 1. Обозначим через Н подгруппу
в G, состоящую из тех о е G, для которых /(о) = 1 при всех
% е X, и через F — подполе Я-инвариантных элементов из К.
Легко видеть, что поле F определено группой X однозначно, т. е.
что оно не зависит от выбора т. Можно показать, далее, что
отображение X -* F является взаимно однозначным соответствием
между всеми конечными подгруппами группы $ и всеми конеч-
ными абелевыми расширениями поля Q. Поле F при этом будет
вещественным тогда и только тогда, когда все характеры из X
четные.
2. Закон разложения в круговом поле. Так как степень
m-кругового поля Q (С) равна <р(тп), то числа
j g £Ф(т)-1 (2)
образуют базис Q (С) над Q.
Можно показать, что числа (2) образуют фундаментальный
базис поля Q (£.)• Другими словами, кольцо целых чисел поля
Q (?) (максимальный порядок) совпадает с кольцом Z [?]. При
простом т = 1 этот факт будет доказан в п. 1 § 5 этой главы.
Лемма 2. Если простое число р не входит в тп, то оно не
входит также и в дискриминант Я = 0(1. ?, ..., ?'r<m)_1) базиса (2).
Доказательство. Дискриминант D равен, как известно,
дискриминанту Я(Ф„) кругового многочлена Фот. Класс вычетов
D (Фт) е Fp числа О(Фт) по модулю р совпадает, очевидно,
с дискриминантом ЖФт) многочлена Фт е FP [£]. Но Фт(Я не
имеет кратных корней (лемма 1), поэтому ЖФт)=#0, а значит,
D = Й(Ф„) не делится на р.
Лемма 3. Если в поле алгебраических чисел К содержится
первообразный корень степени тп из 1, то для любого простого
дивизора р поля К, взаимно простого с тп, Жр) = 1 (mod тп).
Доказательство. Пусть © — кольцо целых чисел поля К,
р — простое рациональное число, делящееся на р, и ? — первооб-
разный корень степени тп из ,1 (?еО). В п. 1 мы видели, что в
поле вычетов ©/р, являющемся расширением поля Fp, много-
член V11 — 1 не имеет кратных корней (так как ртп). Следова-
тельно, классы вычетов 1, ?, ..., из ©/р попарно различны.
Ясно, что эти классы образуют группу по умножению порядка
тп — подгруппу в мультипликативной группе поля вычетов ©/р.
Порядок последней группы равен Жр) — 1. Но порядок конечной
группы делится на порядок любой ее подгруппы, поэтому Жр) — 1
делится на тп, а это и требовалось доказать.
§ 2]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ
35^
Теорема 2. Пусть для простого числа р, не входящего в т,
через / обозначено наименьшее натуральное число, для которого
pf = 1 (mod m), и пусть g = ф(т)//. Тогда в m-круговом поле
Q (£) для р имеет место разложение
p = Vi-.-'fs,- (3)
где простые дивизоры у,, ..р., попарно различны и У(р,) = р1.
Доказательство. Так как (р, тп) == 1, то по лемме 2 р
не входит в дискриминант базиса (2), и поэтому согласно теоре-
ме 8 § 5 гл. III для р будем иметь разложение вида (3). Нам ос-
тается только определить степень каждого простого дивизора
и доказать, что число всех )); равно ф(т)//.
Пусть у — какой-нибудь из простых дивизоров у,- и s — его
степень, так что 2V(!p) = р’. По лемме 3 р” = 1 (mod пг), а значит,
s > /. Для доказательства обратного неравенства рассмотрим поле
вычетов £>/р в кольце © целых чисел поля Q (0 по модулю ».
Согласно следствию леммы п. 4 § 7 гл. III в каждом классе вы-
четов из £)/у имеется представитель вида
1
1= 2 (4)
j=o
где а, — целые рациональные числа. Возведем (4) в степень р}.
Так как р! = 1 (mod m), то £р/= £. Учитывая, далее, что
(а + = + pp^modp) при любых а и р из £), а также, что
apf 5= a (mod р) при любом целом рациональном а, мы из (4) по-
лучим сравнение
^^(modV).
Таким образом, произвольно взятый класс вычетов | s £)/р яв-
ляется корнем многочлена tpf — t. Но в любом поле число кор-
ней многочлена не превосходит его степени, поэтому ps =5 р{ и,
значит, s /. Сопоставляя это неравенство с полученным ранее,
мы получаем, что s = /.
Нами доказано, таким образом, что все простые дивизоры у,
из разложения (3) имеют одну и ту же степень /, равную пока-
зателю числа р по модулю ш. Применяя теперь теорему 8 § 5
гл. III, мы устанавливаем, что число g простых дивизоров р, рав-
но’ср(т)//. Теорема 2 доказана.
3. Выражение h через значения Z-рядов. Обратимся к дзета-
функции £к(«) тп-кругового поля К = Q (£), = 1. Воспользо-
вавшись тождеством Эйлера (теорема 4 § 1) и объединив в нем
вместе все те множители, которые соответствуют простым диви-
зорам V, делящим одно и то же простое рациональное р, можно
360
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
записать
И) = ПП—-
р р|р 1 _-
(5)
(внешнее произведение распространяется на все простые рацио-
нальные числа р). Множители, соответствующие простым дивизо-
рам у, делящим т, образуют конечное произведение. Обозначим
его через
G(S) = n(i--A-r1
yjm \ A (V) /
Если (р, m) = 1, то для всякого простого дивизора р, делящего р.
имеем N (р) = pfp, где fP — показатель числа р по модулю
скольку число различных р, делящих р, равно <р(т)//р
ма 2), то
(6)
т. По-
(теоре-
(7)
(p,m)=l \ р 1 /
Каждый сомножитель из этого произведения преобразуем
удобному для исследования виду. Для этого воспользуемся раз-
ложением
к более
/р 1
(8)
2л
где е = е,р = cos -г-
'р
, . . 2л
+ I Sin Т-.
/р
1 р~ 1 /
Теперь произведение
А=0
_ _Р |
Р*)
содержит (р(т) сомножителей, и это число сомножителей одно п
то же для всех р. Оказывается, что сомножители для различных
р можно так сопоставить друг другу, что бесконечное произведе-
ние, стоящее в правой части равенства (7), распадается в произ-
ведение ср(т) множителей, имеющих довольно простой вид. Это
разложение основывается на понятии характера по модулю т.
Нужные здесь сведения о характерах изложены в § 5 Дополнения.
Обозначим через Gm группу классов вычетов в кольце целых
рациональных чисел по модулю т, состоящих из чисел, взаимно
простых с т. Класс р е Gm с представителем р имеет порядок /р.
Следовательно, для любого характера % группы Gm значение %(р),
являясь корнем степени /Р из 1, должно совпадать с некоторым
е\ Обратно, если выбрать произвольно один из корней е\ то на
циклической подгруппе {р} группы Gm, порожденной классом р,
существует один и только один характер для которого хДр) =
= е\ По теореме 3 § 5 Дополнения этот характер %, можно про-
§ 2]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ
361
должить qp(7n)//j> способами до характера группы Gm. Таким обра-
зом, если % будет пробегать все характеры группы Gm, то %(/>) даст
нам все корни еь (& = 0, 1, ../р— 1), причем каждый корень е*
встретится ровно ф(иг)//р раз. Подставляя выражение (8) в фор-
мулу (7), получаем, следовательно,
:k(^) = g(S) п п1 О)
(p,m)~1 z \ Р /
(внутреннее произведение распространяется на все характеры х
группы Gm).
Вместо характеров на группе Gm мы будем теперь рассматри-
вать числовые характеры по модулю т (см. п. 3 § 5 Дополне-
ния). Так как х(р) = 0 для всякого р, входящего в т, и для вся-
кого числового характера х 130 модулю т, то равенству (9) мож-
но придать вид
Р X \ Р /
(здесь р пробегает уже все простые числа, ах —все числовые
характеры по модулю тп). Меняя порядок умножения, мы прихо-
дим к формуле
(S) = G (s) П L (*, x),
X
(10)
в которой использовано следующее обозначение:
L (s, х)
[I-------------
р 1 - X (P)/Ps
(И)
Заметим, что во всех только что проведенных выкладках предпо-
лагалось, что s > 1 (при этом условии все операции над беско-
нечными произведениями легко могут быть обоснованы).
Замечание. В формуле (10) множитель G(s) может быть
опущен, если под х будем понимать примитивные характеры по
всем модулям d, являющимся делителями т; см. по этому поводу
задачи 13—16.
Множитель L(s, Хо) из произведения (10), соответствующий
единичному характеру х», лишь простым множителем отличается
от ^-функции Римана g(s). В самом деле, так как х»(р) = 1 при
(р, т) = 1 и Хо(р) = 0 при (р, т) > 1, то
£(*,Хо) = П \ (8>1).
(р,т)=11 — 1/р
С другой стороны, применив теорему 4 § 1 к полю рациональных
ТТ 1
чисел Q, мы получаем £ ($) — II-----------Таким образом,
pl- 1/у>
£ (s, Хо) = | П—‘1US)- Подставляя это выражение в
\р|т 1 — Ир /
362
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
(10), получаем следующую окончательную формулу для £K(s):
С>1, (12)
Х^Х0
где нами положено (см. (6))
F(s) = n(!- —, Г-П(1-ДУ
у|т \ АДр) / р|т \ р ]
Изучит подробнее функции Ids, %). Рассматривая абсолютно
оо
сходящийся при s > 1 ряд и заменив разложение (24)
п=1 п
§ 1 равенством
1 = у /X (р)\к
7 (р) I ns / ’
Ps
мы, почти дословно повторяя доказательство теоремы 4 § 1 (ис-
пользовав лишь мультипликативное свойство характера у), легко
получим, что
ОО
£(*,%)= 2 ЦД s>i- (13)
п=1 п
Ряд, стоящий в правой части равенства (13), называется L-ря-
дом или рядом Дирихле для числового характера %. Нашей бли-
жайшей целью является доказательство того, что для неединич-
ного характера % L-ряд сходится не только при s > 1, но также
и при s > 0 (конечно, в промежутке 0 < s 1 сходимость будет
неабсолютной). Установим для этого следующую лемму.
Лемма 4. Пусть последовательность комплексных чисел {ап}
п
(га = 1, 2, ...) такова, что суммы Ап = У, ah ограничены, т. е.
h=l
|ЛП| С С при всех га Тогда ряд
п=1 п
сходится при всех вещественных s>Q. Для любого а >0 в про-
межутке [а, °о) сходимость будет равномерной, так что сумма
f(.s) является непрерывной функцией от s (в области сходимости
(0, оо)).
Доказательство. Зафиксируем произвольно о>0. Для
любого е>0 найдется такое п0, что —<е при всех п>п0. При
п°
тех же га > По также — < е, если только s > о. Пусть М > N > п0.
эт ®
§ 2]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ
363
Тогда
для всех s из промежутка [о, °°). Лемма 4 доказана.
Следствие. Для неединичного характера х ряд Дирихле
L(s, %) сходится при s>0 и представляет в промежутке (0, °°)
непрерывную функцию.
Действительно, если х X», то 2 X (^) = 0, если к пробегает
полную систему вычетов по модулю пг. Представим произвольное
натуральное п в виде п = mq + г, 0 =5 г < т. Тогда Ап =
п г
= 2 X (&) = 2 X (к), откуда | Ап |< г < т.
k=l k=l
Возвращаясь к функции £K(s), умножим равенство (12) на
s — 1 и перейдем к пределу при s -> 1 + 0. В силу соотношения
(19) § 1 мы получим, что
lim (s-l)U(s) = ^(l) П L (1,х),
x^Xq
где
Г (». X) ~ 2
п=1
(14)
(15)
Заметим, что поскольку ряд (15) сходится не абсолютно, то надо
иметь в виду, что его члены расположены в порядке возрастания
п. Сопоставляя (14) с теоремой 2 § 1, получаем для чпсла h сле-
дующую формулу: __
b = 'W£Ml) П Л(1,х) (16)
2S+WR х^х0
i
(здесь w обозначает число корней из 1, содержащихся в К). По-
лученное выражение (16) для числа классов дивизоров кругового
поля еще нельзя считать окончательным, так как оно содержит
бесконечные ряды Л(1, х). Суммирование этих рядов мы прове-
дем в следующем пункте.
Замечание. В соответствии с замечанием к формуле (10)
множитель F(l) в формуле (14) также будет отсутствовать, если
X будет пробегать все примитивные характеры для всех ведущих
модулей d#=l, являющихся делителями числа т (задача 16).
364
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Можно показать, что для любого абелева расширения E/Q,
соответствующего конечной подгруппе X группы числовых при-
митивных характеров £ (см. замечание в конце п. 1) справедли-
ва формула
lim (s — l)&(s) = П ^(1, Х)<
Но XSX.X^l
где X пробегает все характеры из X, кроме единичного. Сопостав-
ление этой формулы с теоремой 2 § 1 дает возможность полу-
чить формулу для числа классов дивизоров 7i(F) поля F. Если
Р — вещественное абелево расширение поля рациональных чисел
степени п (в этом случае все характеры х*=Х четные), то s = п,
t = 0, w = 2, п мы получаем формулу
п щ,7),
~\/D(F) xex.x^i л
в которой R(E) — регулятор и D{F) — дискриминант поля F.
4. Суммирование рядов L (1, х). Считая, что х — неединичный
характер по модулю т, обратимся к ряду (13). Опуская в нем
слагаемые, равные нулю, и замечая, что yf.rii') = х(п2) при ni —
®^re2(modm), мы можем его переписать следующим образом
(здесь существенно, что s> 1):
L (s> X) = 2 Z (*) 2 i
(x,m)=l n=x(modm) n
(внешнее суммирование ведется по приведенной системе вычетов
оо
по модулю т). Внутренний ряд представим в виде -д, где
jl при п = х (mod т),
Сп (0 при п ф. х (mod т).
Чтобы найти удобную запись для коэффициентов с„, обратим
внимание на следующую очевидную формулу:
"vi1 tk 1т ПРИ r = 0(modm),
й =о (0 при r^O(modm),
где £ = cos— -pi sin----первообразный корень степени т из 1.
Подчеркнем здесь, что, в то время как при алгебраических иссле-
дованиях кругового поля нам было безразлично, какой именно
первообразный корень m-й степени из 1 мы обозначаем через £,
сейчас, при аналитических выкладках, нам надо четко фиксиро-
вать один из этих корней. Мы имеем, следовательно,
т—1
fc=o
§ 2]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ
365
• Таким образом,
xk
Выражение, стоящее в скобках, в случае простого т = р нам уже
встречалось в § 2 гл. I и называлось там гауссовой суммой. Да-
дпм определение гауссовых сумм для произвольных т.
Определенпе. Пусть £— фиксированный первообразный
корень степени пг из 1 и % — числовой характер по модулю пг.
Выражение
ta (х) — 5 х (ж) £ох,
xmod m
еде х пробегает полную (или приведенную) систему вычетов по
модулю т, называется гауссовой суммой, соответствующей харак-
теру х и целому рациональному числу а.
Гауссова сумма Ха(%) зависит, таким образом, не только от х
и вычета а по модулю пг, но и от выбора первообразного корня
£. Мы в дальнейшем будем предполагать, что в качестве £ взят
2л . . 2л „ _
корень cos — + i sin —. 1 ауссова сумма с таким значением £ на-
зывается нормированной.
Сумму тДх) мы будем обозначать также через т(/).
Если характер х неединичный, то
Ъ (X) = S X U) = °-
(х,т)=1
Полученное нами выражение для ряда L(s, у) мы можем поэтому
переписать в виде
W—1 ос
L (*, х) = 2Tfe (х) 2
fe=l n=l
t,-nh
-nk
—— можем применить лемму 4 (Z~k 1 при к ¥= О,
п=1 п
mr
поэтому Tj t,~nk = 0). Согласно этой лемме наш ряд сходится
п=1
при 0 < $ < оо и представляет в этом промежутке непрерывную
функцию от з. В силу этого в последнем равенстве мы можем
положить s = 1 и в результате получим
т—1 оо
fe=l П=1
366
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ.-f
Чтобы найти сумму внутреннего ряда, обратимся к степенному
ОО
ряду Zj —• Известно, что он сходится в круге |zl < 1 и пред-
п=1
ставляет там ветвь функции —In (1 — z), мнимая часть которой
(т. е. коэффициент при i) содержится в промежутке (—л/2, л/2).
Поскольку наш степенной ряд в точке z = (на единичной
окружности) также сходится, то по теореме Абеля
п=1
а значит,
т—1
Шх) = ~ 2Мх)1п(1-Гй). (17)
й=1
Для ряда L(l, /) получено, таким образом, конечное выражение.
Подставляя его в (16), находим формулу для числа классов диви-
зоров кругового поля, уже не содержащую бесконечных рядов.
Формула (17) может быть исследована дальше и значительно
упрощена. В следующем пункте мы проведем это исследование,
но не для общего случая, а лишь для примитивных характеров /•
В § 5 мы применим полученные результаты к исследованию фор-
мулы для h в случае поля деления круга на простое число частей.
Именно в этом случае формула для числа классов дивизоров
имеет особенно важные приложения.
5. Ряды Z(l, х) Для примитивных характеров. Докажем, что
если х — примитивный характер по модулю т и (а, т) = г > 1, то
Та(/) = 0.
Положим т = rd. Ясно, что t,a является первообразным корнем
степени d из 1, а потому £°z = Ъ,а, если только z = 1 (mod J).
Возьмем в качестве z число, для которого (z, т) = 1, zM (mod d)
и %(z) =/= 1 (существование такого z обеспечено теоремой 4 § 5
Дополнения). Так как вместе с х произведение zx также пробе-
гает полную систему вычетов по модулю т, то
та (х) = 2 X М :агж = X (z) 2 X (^) £>ах = X (z) Та (х)-
х mod т х mod т
Так как %(z) =# 1, то отсюда следует, что то(%) = 0.
Далее, если (а, т) = 1, то та(%) = х(а)-1т(%).
В самом деле, так как вместе с х произведение ах также про-
бегает полную систему вычетов по модулю т, то
X («) тй (х) = 2 X (ах) С* = тх (х) = т (х).
х mod т
§ 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 367
Формулу (17) в случае примитивного характера % мы можем,
следовательно, переписать в виде
L(l,x) = -^ 2 7(й)1п(1-Гй). (18)
Обратимся к изучению суммы
S-, = 2 %(&)ln(l-rfe) (19)
(к пробегает приведенную систему вычетов по модулю иг). Ис-
следование суммы 5Х приводит нас к двум существенно различ-
ным по виду результатам. Для разграничения этих двух случаев
нам надо ввести следующее определение.
Определенпе. Числовой характер х называется четным,
если 0 = 1 (и, следовательно, х(—х}=у^х) при всех целых
ж), и называется нечетным, если %(—1) = — 1 (в этом случае
Х(—х) = —х(ж)).
Так как
(x(-i))2 = x((-i)2)=x(i) = i,
то х(~~1)=2Ы> поэтому всякий характер х будет либо четным,
либо нечетным.
Тригонометрическая форма числа 1 — при 0 < к < m име-
ет вид
1 — С = 2 sin — cos hr---+ г sin hr----Ь
й m I 12 ml 12 ml r
n-r it "П- А* тг
причем — — — — <чг; поэтому
r 2 2 m 2
In (1 - rft) = In 11 - i +
Далее, так как 1 — Z~k и 1 — сопряжены между собой, то
in(i-e)=in|i-^i-^(|-^).
(Подчеркнем еще раз, что обе последние формулы справедливы
лишь при условии, что к находится среди наименьших положи-
тельных вычетов по модулю иг.)
Предположим теперь, что характер х (а значит, и у) четный.
Заменив в сумме (19) к на —к, получим
• 5Х= s xwin(i-e),
(fe,m)=i
368
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
что при сложении с (19) дает нам
25х = 2 хШ1п(1-Г\) + 1п(1-е)] =
= 2 2 %(фп|1-е| = 2 2 %(A)ln2sinJ.
(k,m)=i
0<й<пг
Если же характер х нечетный, то, опять заменив в (19) к на
—к, мы получим _
s-, = - 2 х(Л)1п(1-ех
(k,m)=l
откуда
2S-, = 2 х(А0[М1-Гй)-1п(1-е)] =
(S,m)=l
= 2 2 xw
(k,m)=i \2 т 1
0<h<m
Учитывая, что S х (&) = 0 (ведь характер % неединичяый), и
(k,m)=l
принимая во внимание (18), мы приходим к следующему ре-
зультату.
Теорема 3. Пусть %— примитивный характер по модулю
m > 1. Если % четный, то
^(1,х) = -^ 2 х(^)1п|1-е| =
(h,m)=l
2 WnsinJ. (20)
(k,m)=i
0<fe<m
Если же х нечетный, то
Л(1,х) = ^ 2 (21)
0<k<.m
Задачи
1. Доказать, что если % — примитивный характер по модулю т, то
|т (х) I = Т«-
Указание. Следовать доказательству теоремы 4 § 2 гл. I.
2. Пусть р—нечетное простое число, р* = (—1) !р~1)/2р. Доказать, что
квадратичное поле Q ("|/р*) содержится в поле деления круга на р частей
(использовать задачу 5 § 2 гл. I при а = b = 1).
3. Доказать, что всякое квадратичное поле содержится в некотором кру-
говом поле.
4. В обозначениях задачи 6 § 5 Дополнения доказать равенство
Та(х) = Ta(%i)
(при определении гауссовых сумм Ta(Xi) предполагается, что в качестве пер-
вообразного корня степени mt из 1 взят корень \ где £ — первообраз-
ный корень степени т из 1, участвующий в определении суммы то(х))-
§ 2] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КРУГОВОГО ПОЛЯ 369
5. Пусть простое число р не входит в т, и пусть / есть наименьшее на-
туральное число, для которого pf = 1 (modm). Доказать, что многочлен
Фт(г) с коэффициентами из (см. п. 1) в кольце [t] раскладывается
в произведение <p(m)/f неприводимых множителей, каждый из которых име-
ет степень /. (Ввиду теоремы 8 § 5 гл. III это дает нам второе доказатель-
ство теоремы 2.) ___
6. Пусть р — простое нечетное число. Рассматривая поле О(~|/ — 1) и со-
поставляя для этого поля теорему 1 § 8 гл. III с теоремой 2 настоящего па-
раграфа, получить равенство!—1) = (— 1)(р-1Р2 (первое дополнение к квад-
\ Р /
ратичному закону взаимности).
7. Пусть р и <? #= 2 — различные простые числа, К — поле деления кру-
га на q частей и g — число различных простых дивизоров поля К, входящих
в разложение числа р. Пользуясь критерием Эйлера I — ) == (mod q),
\q /
доказать, что (= (— l)g.
\ <1 /
8. Сохраняя те же обозначения, рассмотрим квадратичное подполе
к =Q(l/q* )поля К, д* = (—1) Положим / = (q — l)/g. Доказать, что
если р разлагается в поле к в произведение двух простых дивизоров, то g
четно, а если р остается простым в к, то / четно. Основываясь на теореме 1
§ 8 гл. III, показать далее, что при р Ф 2
Таким образом, р разлагается в к тогда и только тогда, когда g четно.
Указание. В случае q = 1 (mod 4) воспользоваться задачей 7 и по-
(-р \ I а ''\ I (i^ \
— = I — = 1 следует X = = 1.
\ ? J \ Р / \Р /
9. Из предшествующих двух задач вывести квадратичный закон взаим-
/ х / \ g-1
НОСТИ |Р-)|-Я-)=(— 1)г г.
\ QJ \ Р / _
10. Доказать, что если простое q =£= 2 в поле Q (Д/2 ) разлагается в про-
изведение двух простых дивизоров и q = 1 (mod 4), то q = 1 (mod 8). (Рас-
смотреть разложение q в полеО (Д/2 , Д/ — 1) деления круга па 8 частей.)
И. В обозначениях задач 7 и 8 показать, что число р = 2 разлагается
в поле к в произведение двух простых дивизоров тогда и только тогда, ког-
да g четно.
12. Сопоставляя результат предшествующей задачи с теоремой 1 § 8
I 2 \
гл. III, доказать, что равенство — = + 1 эквивалентно сравнению ?* =
\ g /
== 1 (mod8), т. е. что (—1)^2—1^8 (второе дополнение к квадрати-
чному закону взаимности).
13. Доказать, что в поле деления круга на рк частей для простого чис-
ла р имеет место разложение
Р = Рт g = <p(pft) = ph~l(P~ 1), W) = P-
14. Пусть пг = phm', (p, m') = 1, и пусть f есть наименьшее натураль-
ное число, для которого pf = 1 (mod т'). Доказать, что в поле деления круга
370
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД.
[ГЛ. V
па т частей разложение простого числа р имеет вид
Р = (?! ...?g)e, Ntyi)=P1,
где е — фСр*), fg = <p(m') (<р— функция Эйлера).
15. Доказать, что для функции G(s), определенной равенством (6), спра-
ведлива формула
см=П П
pjm xmodm'
где р пробегает все простые делители числа т, а % (при данном р) пробе-
гает все числовые характеры по модулю т', т = р^т', р \ т.
16. Используя задачу 9 § 5 Дополнения, равенство (10) и формулу пред-
шествующей задачи, доказать, что для дзета-функции gK(s) поля деления
круга на т частей имеет место разложение
Ц L(s,x),
dim xmodd
X примит
где d пробегает все делители числа т (включая 1 и т), а х (при данном <?)
пробегает все примитивные характеры по модулю а. Вывести отсюда, что
lim (s — 1) gg (5) = JJ А(1.Х)-
s-*l—0 d/m Xmodd
d^l х примит
§ 3. Простые дивизоры первой степени
В § 2 мы использовали теоремы 2 и 4 § 1 для вычисления
числа h классов дивизоров в круговых полях. В этом параграфе
мы покажем, что, наоборот, из наличия формулы (2) § 1 с отлич-
ной от нуля правой частью можно сделать важные выводы о про-
стых дивизорах первой степени и о простых числах в арифмети-
ческих прогрессиях.
1. Существование простых дивизоров первой степени.
Теорема 1. В произвольном поле алгебраических чисел К
существует бесконечно много простых дивизоров первой степени.
Доказательство. Согласно теореме 4 § 1 для функции
£K(s) имеет место разложение
Так как сходящееся бесконечное произведение отлично от нуля,
то gx(s) 0 при всех s>l. Прологарифмировав равенство (1),
мы получим
ОО
(2)
Выделим в этом равенстве сумму
Р(в) = У-А-, (3)
§ 3]
ПРОСТЫЕ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
371
в которой суммирование распространено по всем простым диви-
зорам Vi пбля К первой степени. Если через G(s) мы обозначим
сумму всех остальных слагаемых, то равенство (2) можно будет
переписать в виде
lnU(s)=P(s) + G(s). (4)
Пусть / обозначает степень простого дивизора V, так что Nty) —
= pf. Если / > 2, то
ОО оо
у 1 у 1 = 1 2_
mN С ~ - 1 р^
Если же / — 1, то
оо оо
у 1 у 1 _ 1 2
. mN (р)™ С р™ ~ / (/ - 1) < р* ’
Так как для каждого простого рационального числа р имеется
не более п = (А’ : Q) простых дивизоров поля К, делящих р, то
для G(s) мы получаем, таким образом, оценку
2п
откуда следует, что функция G(s) ограничена при s -* 1 + 0.
С другой стороны, из соотношения (2) § 1, в котором x/i #= 0,
следует, что 1н£к(«) вместе с £K(s) стремится к бесконечности
при s -> 1 + 0. Следовательно, ввиду (4) это же справедливо и
для T’(s), а значит, сумма (3) не может состоять лишь из конеч-
ного числа слагаемых. Таким образом, число простых дивизоров
р! первой степени бесконечно, и теорема 1 доказана.
Заметим, что приведенное доказательство бесконечности про-
стых дивизоров первой степени использует ту же идею, на кото-
рой основано одно из доказательств бесконечности простых чисел
(см. задачу 1).
2. Характеризация нормальных расширений законами разло-
жения простых дивизоров первой степени. Пусть к — поле алгеб-
раических чисел и А — его конечное расширение. Всякий простой
дивизор V поля к в поле К представляется в виде произведения
степеней простых дивизоров ф поля К, делящих р (см. равенст-
во (2) § 5 гл. III). Такое разложение характеризуется набором
индексов ветвления и степеней инерции дивизоров ф от-
носительно к. В связи с этим под законом разложения в расши-
рении К/к понимают соответствие, сопоставляющее каждому р
набор чисел е$ и для всех 4J, делящих р.
Естественно возникает вопрос, характеризуется ли расшире-
ние своим законом разложения? Мы покажем, что для случая
372
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
нормальных расширений ответ утвердительный. Более того, нор-
мальное расширение К/к однозначно определено уже указанием
тех простых дивизоров у поля к, абсолютная степень инерции ко-
торых равна 1 и для которых esp = = 1 при всех $|р.
Определение. Простой дивизор р поля к называется
вполне распадающимся в конечном расширении К/к, если с^ =
= = 1 для всех простых дивизоров $ поля К, делящих р.
Согласно теореме 7 § 5 гл. III простые дивизоры р поля к,
вполне распадающиеся в расширении К/к степени п, характери-
зуются разложением р = S& ...
Для конечного расширения К/к через QXK/к) обозначим мно-
жество всех простых дивизоров поля к, имеющих абсолютную
степень инерции 1 и вполне распадающихся в К.
Теорема 2. Пусть Kjk и KJk — конечные нормальные рас-
ширения поля алгебраических чисел к {содержащиеся в некото-
ром объемлющем их поле). Если Q(Kt/k) = Q(K2/k), то К{ = К2.
Мы докажем несколько более общую теорему 2', из которой
теорема 2 будет вытекать в качестве очевидного следствия.
Все рассматриваемые здесь поля мы будем предполагать со-,
держащимися в некотором объемлющем их поле. В этом случае
для двух полей К п L однозначно определен пх композит KL как
наименьшее поле, содержащее К и L.
Теорема 2'. Пусть К/k и L/k— конечные расширения поля
алгебраических чисел к, причем расширение К/к нормально. По-
ле L содержится в К тогда и только тогда, когда Q(L/k) ^Q(K/k).
Докажем предварительно следующий вспомогательный факт.
Лемма. Пусть К/k и L/k— конечные расширения поля ал-
гебраических чисел к. Тогда
QtKL/k) = Q(K/k) Л Q{L/k).
Доказательство. Пусть р — простой дивизор поля к пер-
вой степени. Если р вполне распадается в KL, то, как это легко
следует из задачи 21 § 5 гл. III, он будет вполне распадающимся
п в промежуточных полях К и L. Обратно, пусть р вполне распа-
дается в К и в L. Воспользуемся теоремой 3 § 2 гл. IV. Согласно
этой теореме минимальный многочлен всякого элемента из К
пли из L (над полем к) в р-адическом пополнении ку целиком
раскладывается на линейные множители. Это значит (теорема 11
§ 2 Дополнения), что все изоморфизмы расширений К/к и L/k
в надлежащее расширение поля ку, при котором каждый элемент
из к отображается на себя, отображают К и L внутрь поля ку.
Но в таком случае всякий изоморфизм расширения KL/k в рас-
ширение поля kyi тождественный на к, также отобразит KL
внутрь поля ку, а значит, минимальный многочлен всякого эле-
мента из KL над к в поле ку раскладывается на линейные мно-
§ 31
ПРОСТЫЕ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
373
жители. Применяя опять теорему 3 § 2 гл. IV, заключаем, что р
вполне распадается в поле KL. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2'. Если LczK, то £1(К/к)
содержится в Q(L/k) (как уже отмечалось, это очевидным обра-
зом следует из задачи 21 § 5 гл. III).
Обратно, предположим, что ОХК/к) <= Q(L/k). Рассмотрим ком-
позит М = KL. Согласно лемме имеет место равенство
Q(m) =Q(£/A0. (4°)
Пользуясь этим равенством, мы докажем, что М = К, откуда и
будет следовать включение L^K. На самом деле мы докажем
даже более сильное утверждение. Именно, из доказательства бу-
дет видно, что равенство М = К следует уже из ослабленного
включения Q{Klk') — А <= Q(M/k), где А — произвольное конечное
подмножество в Q(K/k).
Согласно п. 1 мы имеем
1п^(5) = 1-^ + ^0(а), (4')
гр <* W
где $ и £1 пробегают все простые дивизоры первой степени полей
К и М соответственно, a G0(s) и G/s) — ограниченные функции
при з 1 + 0.
Обозначим через А множество тех простых дивизоров из
Q(K/k), которые разветвлены в М (согласно следствию теоремы 8
§ 5 гл. III подмножество А конечно). Пусть, далее, и —
множества тех простых дивизоров первой степени полей К и М
соответственно, которые не делят простых дивизоров поля к, со-
держащихся в А. Мы можем считать, что в равенствах (4') и
(4")$ий пробегают все простые дивизоры из ЗЯ0 и ЭЛ соответ-
ственно. В самом деле, те слагаемые, которые соответствуют де-
лителям дивизоров из А, мы можем отнести к функциям G0(s) и
G,(s), не нарушая их ограниченности при з 1 4- 0.
Пусть 43 е 8ЭТ0 и V — простой дивизор поля к, делящийся на 43.
Ясно, что индекс ветвления ву, и степень инерции дивизора
43 относительно к равны 1. Но тогда в силу нормальности расши-
рения К/к (см. конец п. 3 § 5 гл. III) то же будет иметь место
и для всех простых дивизоров поля К, делящих V, и, следова-
тельно, у е Q(K/k), т. е. р вполне распадается в К. Но тогда,
в силу условия теоремы (равенство (4°)), у будет вполне распа-
даться и в М, откуда очевидным образом следует, что
43 = £11 . . . От,
где все О< принадлежат Э1, т = {М: К) — степень расширения
М/К и 2V(43) =2V(Qj), 1 i т (последнее следует из того, что
374
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
$₽ и Qj являются делителями одного и того же простого рацио-
нального числа р).
Обратно, если и О является делителем простого диви-
зора ф поля К, то, очевидно, ^ е ®о-
Из доказанного следует теперь, что
У _L_ = m У ,
а значит, разность тп In £K(s) — In £м(«) является ограниченной
функцией при s -> 1 + 0.
С другой стороны, из соотношения (2) § 1 следует, что для
любого поля алгебраических чисел К функция In («) — In __ -
ограничена при з 1 + 0. Следовательно, ограниченной должна
быть и функция (тп—1) In s _ t, что возможно лишь при тп—
= (М : К) = 1. Таким образом, М = К, а значит, Ас К.
Теорема 2' и вместе с ней теорема 2 доказаны.
3. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической про-
грессии.
Теорема 3 (теорема Дпрпхле). В каждом классе вычетов
по модулю т, состоящем из чисел, взаимно простых с пг, содер-
жится бесконечно много простых чисел.
Доказательство. В то время как в п. 1 нами был ис-
пользован факт необращенпя в нуль предела (2) § 1, доказатель-
ство теоремы Дирихле основывается на том, что A(l, для
любого неедпничного характера у по модулю тп, что очевидным
образом следует из формулы (16) § 2.
Рассмотрим разложение A-ряда A(s, у) в бесконечное произ-
ведение:
Шй-Лр-ЦТ- <5>
р \ р I
Из сходимости этого бесконечного произведения следует, что для
всякого числового характера у по модулю тп (в том числе и для
единичного характера у0) L(s, у) отлично от нуля при всех s > 1.
Можно поэтому в промежутке (1, <») рассмотреть комплексно-
значную функцию lnA(s, %). При этом, поскольку логарифмиче-
ская функция неоднозначная, надо иметь в виду какую-нибудь
определенную ее ветвь. Выбор этой ветви осуществим следую-
щим образом. Возьмем логарифм от каждого сомножителя в бес-
конечном произведении (5), причем значение для него выберем
так, чтобы имело место разложение
§ 3]
ПРОСТЫЕ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
375
Просуммировав ряды (6) для всех р, мы получим
2 - 1П (1 - ЭД = 2^ + R (з, X),
О ' Р ' V Р
где R (з, 7) = 2 I У~ Х — + • • • I (абсолютная сходи-
р \3 /
мость всех встречающихся здесь рядов при s > 1 очевидна). Зна-
чение для In L(s, %) выбираем теперь таким образом, чтобы для
всех s > 1 было справедливо равенство
In L (*, %) = 2 + R (s’ %)-
n P
(7)
Заметим, что для единичного характера /0 значение In L(s, /о)
будет вещественным.
Оценим функцию R(s, %):
। т? (s, х) । < 2 2 sn < 2 р (р _ 1)
р n=2 Р р г
2 n(n-pi)
п=1
Таким образом, |7?(з, хИ < 1 для всех s> 1.
Наряду с числовыми характерами х будем рассматривать ха-
рактеры '.обозначая их той же буквой х) на группе Gm классов
вычетов по модулю т, взаимно простых с т. Пусть С пробегает
все классы из группы Gm. Так как %(р) = х(О при р^С, то
(напомним, что у^р) =0, если р делит т). Полагая
/эд = 24
Р=С Р
равенству (7) можно придать вид
1пД(з,х) = 2%(ШЭД) + R(s,%).
(8)
Так как число всех характеров по модулю т равно ф(т), то ра-
венства (8) для всех х можно рассматривать как систему ф(т)
линейных уравнений с ф(т) неизвестными /(s, С) (свободные
члены которой равны разностям In L(s, %) — R(s, %)). Чтобы из
этой системы найти /(s, А) (Л е Gm), умножим (8) на х^~‘),
а затем просуммируем по всем характерам х- Мы получим
2 X ЭД1) Ш Д (S, X) = 2 2 % ЭД1) / (*, С) + Ra (s), (9)
х ex
где для Ra(s) = 2х(^~Х) 7? (s, х) имеет место оценка |T?A(s)| <_
х
< <р(тп) при всех s > 1. Согласно формуле (6) § 5 Дополнения
376 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
сумма 2х(СМ-1) равна <р(т) при С = Л и равна нулю при
х
С¥=А, поэтому равенство (9) может быть переписано в виде
In L (з, х0) + 2 X (Л-1) In L (s, x) = <₽ H / (s, Л) + RA (*)• (10)
X^X-o
Этим из системы (8) мы нашли значение /(s, Л).
Устремим теперь s к единице справа. Если х^Хо, то -^(s> х) **
-> Л(1, %), при этом 7Л1, х)^=0, как было отмечено в начале до-
казательства. Следовательно, сумма, стоящая в левой части ра-
венства (10) (распространенная на все неединичные характеры),
будет иметь конечный предел. Перенося эту сумму в правую
часть п объединяя ее с 2?a(s), получим равенство
In IAs, Хо) = cp(m)/(s, Л) + TA(s\ (11)
где ТА остается ограниченным при з 1 + 0.
Если мы предположим теперь, что число простых чисел в клас-
се А конечно, то функция f(s,A) = 2 — будет иметь конечный
р =А Р
предел при s1, а тогда вся правая часть равенства (11) будет
ограниченной при s -► 1 + 0. Это, однако, невозможно, так как
lim L (s, /„) == оо,
s^i+o
что следует из равенства L (з, /0) = С (s) Ц(1 —у )• Полученное
р|тп \ р J
противоречие и доказывает теорему 3.
Теореме Дирихле можно дать следующее уточнение. Положим
А (Р,т)=1 Р
Разделим равенство (11) на ф(ттг) и просуммируем по всем клас-
сам Л е Gm- Мы получим
1п£(з, Хо) = /(з) + Ш), (12)
где Т(з) ограничено при з -> 1 + 0. Приравняем правые части (11)
и (12), разделим полученное равенство на cp(m)/(s) и перейдем
к пределу при з 1 + 0. Мы придем тогда к равенству
2 4
lim =~ГТ
s-»l+0 VI <₽ (™)
(p,m)=i Р
Полученная формула говорит о том, что в определенном смысле
простые числа, взаимно простые с иг, распределяются равномерно
по классам вычетов modm (с одинаковой плотностью).
ПРОСТЫЕ ДИВИЗОРЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
377
§ 3]
Замечание 1. Поле деления круга на т частей, т. е. поле
Q (€)» S’" = 1, является нормальным расширением поля рацио-
нальных чисел Q, и его группа Галуа G порядка <р(т) естествен-
ным образом изоморфна группе приведенных классов вычетов по
модулю т. Именно, каждому классу вычетов с представителем Zc,
(к, т) = 1, взаимно однозначно соответствует автоморфизм о из
G, для которого = V1. Каждому простому числу р, не входяще-
му в т, мы можем, следовательно, однозначно сопоставить авто-
морфизм о из G (для которого £° = £р). Скажем в этом случае,
что р принадлежит автоморфизму о. Теорема Дирихле будет оз-
начать теперь, что каждому автоморфизму о принадлежит беско-
нечно много простых чисел (с одной и той же плотностью рас-
пределения по всем автоморфизмам). В такой формулировке
теорема Дирихле допускает обобщение на случай произвольного
расширения Галуа поля рациональных чисел. Это обобщение, из-
вестное как закон плотности Н. Г. Чеботарева, состоит в сле-
дующем.
Пусть K/Qi— расширение Галуа поля рациональных чисел
Q с группой Галуа G. Пусть, далее, р — простое число, взаимно
простое с дискриминантом поля К. Для каждого простого диви-
зора SP поля К. делящего р, однозначно определен автоморфизм
as G такой, что для любого целого а из К справедливо сравне-
ние а"3 = а,р (mod Sp). При замене SP на другой простои делитель
числа р автоморфизм о заменится на сопряженный с ним элемент
группы G, п этим способом мы получим все сопряженные с о
элементы. Говорят, что простое число р принадлежит так постро-
енному классу сопряженных элементов группы G. В 1923 г.
Н. Г. Чеботарев показал [52], что плотность множества простых
чисел, принадлежащих данному классу сопряженных автоморфиз-
мов, равна отношению числа элементов в классе к порядку груп-
пы G. В частности, каждому классу принадлежит бесконечно
много простых чисел.
Замечание 2. Теорема 3 дает нам информацию о простых
числах р, удовлетворяющих сравнению р = а (mod т), или, в дру-
гих терминах, конечному набору неравенств
фрДр —«)<еь 5 = 1, е; > О,
где Tpj — метрики, соответствующие всем простым делителям
pt, ..., рг числа т. При такой интерпретации теорему Дирихле
можно сопоставить с асимптотическим законом распределения
простых чисел, дающим информацию о «плотности» простых чи-
сел, удовлетворяющих условию |а;| <ЛГ (т. е. величина которых
в смысле архимедовой метрики не превосходит заданной ве-
личины N).
Доказательство теоремы Дирихле, как мы видели, основыва-
ется на том, что L(l, %)¥=(). Доказательство асимптотического
378
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
закона распределения простых чисел основывается на неравен-
стве -£(1 + it) =/= 0 для вещественных т. Уже это обстоятельство
наводит на мысль о существовании аналогий между функциями
Л(о, /) и £(о + гт) от вещественного аргумента о. Семейство
L-функций параметризуется числовыми характерами х, второе
семейство — вещественными числами т.
Покажем, что подмеченная аналогия простирается далыпе и
проявляется в родстве параметризаций. Каждый характер х с ве*
дущим модулем т однозначно распространяется до гомоморфизма
группы (Q*)m тех не равных 0 рациональных чисел, числители
и знаменатели которых взаимно просты с иг, в группу комплекс-
ных чисел, по модулю равных 1, и этот гомоморфизм непрерывен
относительно топологии, определенной конечным набором неархи-
медовых метрик <рР1, . . ., срРг- Можно считать поэтому, что все
функции L(o, х) параметризуются непрерывными (в указанном
смысле) гомоморфизмами групп типа (Q*)m в единичную окруж-
ность. С другой стороны, функция £(о+гт) от вещественного ар-
гумента ст может быть записана в виде
ОО
+ (13)
п
rjifi фт(п) = п~*. Так как фДптп) = фт(тг)-фт(77г) и ;ф1'(гг)| = 1, то
функцию мы можем однозначно продолжить до непрерывного
гомоморфизма всей мультипликативной группы Q* в единичную
окружность (непрерывность здесь понимается в смысле обычной
архимедовой метрики). Таким образом, и здесь функции £(о +
+ гт) могут быть параметризованы непрерывными гомоморфизма-
ми (характерами) группы Q* в единичную окружность.
Мысль о наличии аналогий между функциями L(o, у) и
£(о + гт) подкрепляется также сравнением приведенной выше
формулы (13) с формулой (13) § 2.
В свете изложенных соображений аналогом гипотезы Римана
о нулях функции £($) в полосе 0<о<1 будет предположение:
Т(о, у) Ф 0 при вещественных о > 1/2. Хотя это утверждение,
как п классическая гипотеза Римана, тоже не доказано, оно
представляется более «арифметическим» ее аналогом и поэтому
может оказаться доступнее. В следующем параграфе мы отметим
один частный случай, когда аналог гипотезы Римана для Л-рядов
принимает особенно простой вид.
Задачи
1. Показать, что разность между функциями ln£(s) и g(s) = 'V-l.
р Р3
(р пробегает все простые рациональные числа) ограничена при х -> 1 + 0.
2. Пусть P(s)—функция, определенная равенством (3). Доказать, что
1
разность Р (s) — In s ~ ограничена при s-> 1 + 0.
g 4)
число Классов дивизоров квадратичного поля
379
3. Целое рациональное число а называется вычетом п-й степени по про-
стому модулю р, если разрешимо сравнение хп = a (modp). Доказать, что
для любого а 'и любого п существует бесконечно много простых чисел р,
по модулю которых а является вычетом ге-й степени.
4. Пусть целые числа <ц, ..., ап таковы, что а*1 ... а*’! является квад-
ратом тогда и только тогда, когда все четные. Доказать, что для любого
набора знаков е(. ..., еп (е, = ±1) существует бесконечно много простых
чисел р =/= 2 (пе делящих ю, ..., а„), для которых
Указание. Рассмотреть сумму
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля
1. Формула для числа классов дивизоров. Пусть К=Q( Yd)—
квадратичное поле (d — свободное от квадратов целое рациональ-
ное число). Согласно теореме 2 § 8 гл. III в поле К для разложе-
ния простого рационального числа р в произведение простых ди-
визоров могут представиться следующие возможности:
1) р = фр', р#=р', JV(p) =Мр') =/>, если /(р) = 1;
2) р = У, ДЧр) = р2, если %(/>) = —1;
3) Д = Р2, ДЧр) = р, если х(д)=О;
где х — характер квадратичного поля К (см. определение п. 2
§ 8 гл. III). Следовательно, в произведении
т \
Ar (V)8/
множители, соответствующие числу р. будут соответственно равны:
3) 1 - 1.
Ps
Во всех трех случаях вносимый числом р множитель может
быть записан в виде
А - % Wr1
V psJ \ р /
Так как Ц (1------) 1 =£(•$) (теорема 4 § 1, примененная к полю
р \ Р I
380
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
рациональных чисел), то для £K(s) получаем представление
^(s) = s(s)n(i-^?r. (1)
р \ р 1
Бесконечное произведение, стоящее в правой части, является
1-рядом IAs, %) для характера % (по модулю |Р|, где D — дискри-
минант поля К\ и так как этот характер неедшшчный, тэ L(s, %)
есть непрерывная функция в промежутке 0 < s < °° (следствие
к лемме 4 § 2). Умножим (1) на s — 1 и перейдем к пределу при
$ -* 1 + 0. Учитывая равенство (19) § 1, получаем
lim (s — l)U(s) = £(1,Х)-
s^i+o
Воспользуемся теперь теоремой 2 § 1. Так как для веществен-
ного квадратичного поля з = 2, i = 0, zn = 2, R = lne (e > 1 —
основная единица поля), а для мнимого s = 0, t=i, R=l, то
для числа классов дивизоров поля К имеем формулы
L (1, х) при d > 0,
m прий<о.
(Заметим, что число т, т^е. число содержащихся в К корней из 1,
равно 4 для К = Q( — 1), равно 6 для A"=Q( ~\[— 3) и равно 2,
для всех остальных мнимых квадратичных полей; см. п. 3 § 7
гл. II.)
В следующем пункте мы докажем, что характер квадратичного
поля с дискриминантом D является примитивным характером по
модулю |Р| (см. определение п. 3 § 5 Дополнения), а также,
что он четный для вещественных полей и нечетный — для мнимых.
Мы можем поэтому воспользоваться формулами (20) и (21) § 2
для значения Б(1, у). Чтобы получить законченные формулы для
/г, нам надо еще знать точное значение для нормированных гаус-
совых сумм т(%) = Ti(%). В_п. 3 настоящего параграфа мы увидим,
что сумма t(/J равна 1Л для вещественных полей и равна
il |£>| —для мнимых. Учитывая это и замечая, что в случае ве-
щественного поля %(Р —ж) = х(аг), мы можем сформулировать
следующую теорему (в целях упрощения формулы для h в случае
мнимого поля мы отбросили поляО(]/"—1) и —3) с дис-
криминантами —4 и —3, для которых т равно соответственно 4
и 6; для этих полей h = 1).
Теорема 1. Число классов дивизоров h вещественного квад-
ратичного поля с дискриминантом D выражается формулой
л== —2 X (ж) In sin (2)
(x,D)=l
0<х<О/2
§ 4]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ
381
где е > 1 — основная единица поля, а мнимого квадратичного
поля с дискриминантом D < —4 — формулой
h = — 2 X (ж) х. (3>
1 1 (х,О)=1
0<ж <|Л|
В обоих случаях % обозначает характер рассматриваемого по-
ля, определенный в п. 2 § 8 гл. III (формулы (5)).
Отметим несколько теоретико-числовых следствий, вытекаю-
щих из теоремы 1. Начнем с формулы (2). Если мы введем в рас-
смотрение число
(4>
где а и Ъ пробегают натуральные числа из промежутка (О, D/2),
взаимно простые с D, удовлетворяющие соответственно условиям
%(а) = +1 и %(&) = —!, то эту формулу можно будет переписать
в виде е'1 — т]. Отсюда следует, что ц — единица нашего квадра-
тичного поля, причем т] > 1 (так как е > 1). Таким образом, имеет
место следующая неожиданная теорема.
Теорема 2. Для вещественного квадратичного поля К
с дискриминантом Due характером % число г] вида (4) принад-
лежит этому полю К, является в нем единицей и связано с основ-
ной единицей е > 1 соотношением Д1 = ц, где h — число классов
дивизоров поля К.
Несмотря на всю простоту формулировки, теорема 2 до сих
пор не доказана элементарными средствами. Более того, чисто
арифметическим путем пе удается доказать даже, что ц > 1.
А между тем из неравенства ц > 1 можно извлечь некоторые вы-
воды о распределении квадратичных вычетов по простому модулю
р=1(тос14). Действительно, для квадратичного поля О('Ир)
дискриминант равен р, а характер /(ж) совпадает с символом
Лежандра Мы имеем поэтому неравенство
ь
р
. ла
sin —
р
в котором а и Ъ пробегают соответственно все квадратичные вы-
четы и невычеты по модулю р из промежутка (0, р/2). В силу
монотонности функции sinz на промежутке (0, л/2) из этого не-
равенства следует, что все значения лЬ/р «в среднем» больше
значений ла/р, т. е. что квадратичные вычеты по модулю р «тя-
готеют» к началу промежутка (0, р/2), а невычеты — к концу (об-
щее число вычетов и невычетов на промежутке (0, р/2) при
р^ 1 (mod 4), очевидно, одинаково).
382
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
1ГЛ. V
Более определенные сведения о распределении квадратичных
вычетов можно получить для простых чисел р = 3 (mod 4), если
рассмотреть формулу (3) для поля Q(l^—р).
Займемся сначала преобразованием формулы (3) к несколько
более простому виду в общем случае. В ближайших выкладках
мы положим |Z>1 = т.
Предположим сначала, что т четно. Простая проверка пока-
зывает (задача 9), что в этом случае х^ -f- у) = —% (г), и фор-
мула (3) дает нам
откуда h = у Zj Х(ж). Заметим, что условие четности т рав-
0<з:<т/2
посильно равенству %(2) = 0.
Пусть теперь т нечетно. Так как характер х мнимого квадра-
тичного поля нечетный, т. е. %(—1) = —1 (как уже отмечалось,
это будет доказано в следующем пункте, теорема 6), то из (3)
получаем
hm — — 2 X (л1) л- — У X (та ~ з?) {т — х) =
0<х<т/2 о<х<т.2
= — 2 3 X (^) ^ + та 2- XU). (5)
0<x<m/2 0<x<m '2
С другой стороны,
hm =— 2 7ЛХ)Х— 2 Х(та—ж) (та — ж) =
0< х<т о<хст
х четное хчетное
= — 4 2 X (2лг) х + та 2 X (2л:),
0<х<т/2 0<х<т,'2
откуда
•/гтах (2) = — 4 2 7. (т)х + т 2 X U)- (6)
0<x<m/2 0<х<т/2
Исключая сумму 2 X (х) х из (5) и (6), приходим к равенству
й(2-х(2))= 2 XU).
Так как это равенство справедливо, как показано выше, и для
четных та (поскольку х(2) =0 при 2 I та), то нами получена сле-
дующая теорема.
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ
383
§ 4]
Теорема 3. Для числа классов дивизоров мнимого квадра-
тичного поля с дискриминантом D < —4 и с характером % спра-
ведлива формула
= 2-/(2) 2 X (#)• (7)
л ' ' 0<x<|D|/2
(х,Г>)=1
Применим теорему 3 к случаю поля 0(1^—р\ где р — про-
стое число вида 4п + 3. Так как — р = 1 (mod 4), то, следовательно,
в этом случае D = —р и значение характера %(я:) совпадает с сим-
волом Лежандра Замечая, что число слагаемых в сумме
V1 / х\ Iр — 1 п , Л
2_! — нечетно — = Ln + 1 , а потому н сама сумма не-
0<х<р/2 ' ? ' ' '
четна, а также, что %(2) = 1, если р = 1 (mod 8), и /(2) = —1, если
p^3(mod8), мы получаем из теоремы 3 следующий результат.
Теорема 4. Для простого числа р вида in + 3 число классов
дивизоров поля Q( У — р) нечетно и равно
h = V — У при р = 7 (mod 8),
h = -g- (И — jV) при /? = 3 (mod 8),
где V — число квадратичных вычетов по модулю р, содержащихся
в промежутке (0, />/2), a N — число невычетов из того же про-
межутка.
Из теоремы 4 очевидным образом вытекает, что V > N. Таким
образом, для простого модуля р вида in + 3 на промежутке
(О, р/2) число квадратичных вычетов больше числа невычетов
(на число, делящееся на 3, если только /7 = 3 (mod 8), />=АЗ).
Полученное утверждение, несмотря на свою простоту, принад-
лежит к числу глубоких фактов теории чисел. Оно нами получено
как простое следствие того, что число h по своему смыслу поло-
жительно и, значит, выражение, стоящее в правой части формулы
(7), также положительно. Однако знак этого выражения опреде-
ляется в конечном итоге знаком гауссовой суммы Ti(%), а в п. 3
мы увидим, что определение знака тД/) представляет собой весь-
ма трудную задачу.
Формула для числа h мнимых квадратичных полей в случае
D 1 (mod 8) может быть доказана чисто арифметическим путем.
Это доказательство найдено Б. А. Венковым. Оно основано на
теории представлений бинарных форм суммой трех квадратов ли-
нейных форм и на тонких свойствах непрерывных дробей (см.
[42]). В случае же мнимых полей с D = 1 (mod 8) (как и в случае
вещественных полей) чисто арифметический вывод формулы для
h до сих пор не получен. Не существует также элементарного
доказательства того факта, что для простого модуля р вида 8и + 7
384 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
в промежутке (0, р/2) содержится больше квадратичных вычетов,
чем невычетов.
Замечание 1. Элементарными средствами можно доказать
(задача 7), что для простого р = 8п + 7 в промежутке (0, р/2)
содержится одинаковое число нечетных квадратичных вычетов и
нечетных невычетов. В силу этого для числа h поля 0(1^— р),
р = 1 (mod 8), имеем также формулу h=V* — N*, где V* и N* —
соответственно число четных квадратичных вычетов и невычетов
modр, содержащихся в (0, р/2).
Замечание 2. В конце § 3 был сформулирован аналог ги-
потезы Римана для L-рядов: L(s, '/j ^0 при вещественных s > 1/2.
Если х — квадратичный характер, то его значения %(п) веще-
ственны, и поэтому L(s, %) — вещественная непрерывная функция
от вещественного аргумента ,s > О (следствие леммы 4 § 2). По-
лученная нами в п. 1 формула, выражающая число h квадратич-
ного поля через L(l, %), показывает, что L(l, %)>0. Гипотеза
для L-рядов приобретает, следовательно, вид: L(s, %) > 0 при
«>1/2. Это утверждение (если только оно справедливо) выража-
ет свойство квадратичных вычетов скапливаться больше к нача-
лу промежутка (0, |£>|) (аналогично свойству, вытекающему из
теоремы 4).
2. Характер квадратичного поля. Докажем здесь все те ут-
верждения о характере квадратичного поля, которыми мы поль-
зовались в п. 1.
Теорема 5. Характер % (по модулю iZ>|) квадратичного
поля с дискриминантом D примитивен.
Доказательство. В силу теоремы 4 § 5 Дополнения нам
достаточно показать, что для любого простого числа р, входяще-
го в D, существует такое х, что (х, D) = 1, х = 1 (mod и
у(х) = —1. Рассмотрим сначала случай р ¥= 2. Выберем какой-
нибудь квадратичный невычет s по модулю р и найдем целое х
из системы сравнений
, л \ Л I Л 21DI)
,'t = s(modp), ж = 1 unod ? J.
Пользуясь формулами (5) § 8 гл. III, легко устанавливаем, что
во всех случаях % (г) = = — 1.
Пусть теперь р = 2. Если d = 3 (mod 4), D = 4d, то, удовлет-
ворив сравнениям
z^3(mod4), х = 1 (mod 2IcZ[),
будем иметь у(х) = (—1)(х-1)/2 = — 1. Если же d = 2d', D = 4d =
= 8d', то для числа х, удовлетворяющего сравнениям
х = 5 (mod 8), х = 1 (mod4|d'|),
имеем x(z) =[(— 1/ж -1^8 = — 1.
8 4]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ
385
Примитивность характера % доказана.
Теорема 6. Характеры вещественных квадратичных полей
все четные, а мнимых квадратичных полей — все нечетные.
Д о к а_з а т е л ь с т в о. Пусть х — характер квадратичного по-
ля Q(]/d). Вычислим пользуясь формулами (5) § 8
гл. III. Если d=l (mod 4), то
|rf|—1 d—1 |rf|—1
X(-l) = [I^-)=(-l) 2 =(-i) 2 2 .
Если d = 3 (mod 4), to
|d| -1 d—1 1d| —1
X(-1) = -(T^- =-(-!) 2 =(-l)2 2.
\ I u I /
Если, наконец, d = 2d', то
d'—I d'—l |d'|—1
x(-!)=(-!) 2 ((=!)= (-1) 2 2 .
Но для нечетного а имеем
a _ 1 I a I _ 1 | Я-1 = 0 (mod 2) при a > 0„
~2 । 2 = I — 1 при a < 0.
Х(~1) =
Следовательно, во всех случаях
1 при d>0,
— 1 при d<0.
Теорема 6 доказана.
3. Гауссовы суммы для квадратичных характеров. При выводе
формулы для числа классов дивизоров квадратичного поля нами
была использована формула для значения нормированной гаус-
совой суммы т(х). Напомним, что гауссова сумма тДх) характера
X по модулю m называется нормированной, если в ее определении
(см. § 2 п. 4 этой главы) в качестве первообразного корня тп-й
степени из 1 взят корень £ = cos — + i sin —. Займемся здесь
вычислением значения т(х). _
Согласно теореме 5 характер х квадратичного поля Q(Vd)
с дискриминантом D является примитивным числовым характером
по модулю |О|. Кроме того, он удовлетворяет условию х2 = Хо»
где х° — единичный характер. Последнее, очевидно, равносильно
тому, что значениями характера х являются числа ±1 (и, конеч-
но, нуль).
Определение. Неединичный числовой характер х назы-
вается квадратичным, если х2 = Хо-
Характерами квадратичных полей исчерпываются, оказывает-
ся, вообще все примитивные квадратичные числовые характеры
386
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
(по всевозможным модулям). Действительно, согласно задаче 8
примитивные квадратичные характеры существуют лишь для мо-
дулей вида г и 4г (по одному характеру) и для модулей вида 8г
(по два характера), где г — нечетное натуральное число, свободное
от квадратов (в случае нечетного модуля г>1). Совокупность
этих модулей совпадает, очевидно, с совокупностью модулей вида
1.01, где D пробегает дискриминанты всех квадратичных полей.
Замечая, что для |О|=8г имеется два квадратичных поля:
Q(/2?) и Q(/^2F), а также, что по модулю 8г один прими-
тивный квадратичный характер четный, а другой нечетный, мы и
получаем, что все квадратичные поля находятся в естественном
взаимно однозначном соответствии со всеми примитивными квад-
ратичными числовыми характерами.
Значения гауссовых сумм для примитивных квадратичных
характеров определяются следующей теоремой.
Теорема 7. Пусть % — примитивный квадратичный харак-
тер по модулю тп.. Тогда для нормированной гауссовой суммы
т/х) = т(х) имеем-.
[ Yт, если % (— 1) = 1;
т (%)= .,/- , .
[iYm, если х(—1) = — 1.
Доказательство. Мы ограничимся здесь полным доказа-
тельством теоремы 7 лишь для простого нечетного модуля р, так
как именно этот случай содержит главные принципиальные
трудности. Переход от простого нечетного к произвольному мо-
дулю осуществляется уже сравнительно легко. В конце доказа-
тельства мы укажем на основные моменты этого перехода.
2 jt 2 jt
Итак, пусть р — простое нечетное h£=cos ——|- i sin-^-. Так
как неединичный квадратичный характер % по модулю р совпа-
дает с символом Лежапдра (задача 4 § 2 гл. I), то, следо-
вательно, для нормированной гауссовой суммы т(%) мы имеем
представление
х X г /
(штрих у суммы означает, что х пробегает приведенную систему
вычетов по модулю р). Найдем комплексно сопряженное число
т(%). Так как £ = £_t, то
ш) = 2' М гж = 2' (V) - (йг-)т (х)- (8)
С другой стороны, согласно теореме 4 § 2 гл. I
т(х)т(х) — р. (9)
§ 4]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ
387
Из равенств (8) и (9) следует теперь, что
т(х)2 = (-^)р = (-1)(г”1)/2р,
а значит,
[ ± Vр, если р = 1 (mod 4),;
т ('/) = ( (10)
(±гк Р, если р = 3 (mod 4).
Для завершения доказательства теоремы 7 (при т = р), казалось
бы, остается совсем немного: надо только определить знак при
Ур и ill р. Однако именно в определении этого знака и лежит вся
трудность доказательства.
Преобразуем сумму т(%) к несколько другому виду. Пусть а
пробегает все квадратичные вычеты по модулю р, а b — все невы-
четы. Тогда, очевидно,
г(%) = 2са-£:ь.
а Ь
но i + 2£a + S£b = 0, поэтому
а Ъ
т(х) = 1 + 2£^.
a
Если х пробегает значения 0, 1, ..., р — 1, то хг будет пробегать
по модулю р значение 0 и все квадратичные вычеты, каждый
ровно по два раза. В силу этого гауссову сумму т(%) мы можем
записать также в виде
Р-1 2
т(х)=2Г. (И)
х=о
Введем в рассмотрение матрицу
Л 1 1 ...1 X
11 g g2 ... г?-1 \
Л = (^)04Ж1У<г)_1 = I । j-2 . .g2(p-D I.
£Р-1 g2(p-l) . . . £<Р~1>2 /
Ввиду формулы (11) гауссова сумма т(%) совпадает со следом
этой матрицы А. Если поэтому через Xi, ..., мы обозначим ее
характеристические числа (с учетом кратностей), то будем иметь
т(%) = Xi +... + (12)
Вычисление т(%) свелось, таким образом, к нахождению характе-
ристических чисел матрицы А.
388
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Возведем А в квадрат. Так как
v м = V = (р при х + у ° (mod
10 при х + у^О (mod р),
то
/р о ...о\
Д2 __ I О О ... р j
\0 р ...о/
Характеристические числа матрицы А2 совпадают, как известно,
с квадратами
V, ..., (13)
характеристических чисел для А. Но, с другой стороны, характе-
ристический многочлен для А2 легко может быть вычислен. Он
равен (t — p)(p+1)/2(t + р)<г,-1)/2. Следовательно, в ряде чисел (13)
имеется (р + 1)/2 чисел, равных р, и (р —1)/2 чисел, равных — р.
Отсюда легко получаем, что каждое из совпадает с одним из
чисел ±Ур, ±Пр, при этом, если а, 6, с и d обозначают кратности
характеристических чисел Ур, — Ур, Пр и —Пр соответственно, то
а+Ь = (р + 1)/2, c + d = (p-l)/2. (14)
Сумму (12) мы можем теперь переписать в виде
т(%) = (а — b + (с — (15)
Сопоставляя это с (10), находим, что
а — &=±1, с = d при р = 1 (mod 4), )
а = Ъ, с — d = ± 1 при р = 3 (mod 4). j
Для определения кратностей а, Ъ, с и d нам не хватает еще од-
ного соотношения между ними. Чтобы найти недостающую зави-
симость, вычислим определитель матрицы А. Так как det(n2) =
«=р?(-1)р(р-*’/2э то
det Л = ±ip(p_<)/'2pp/2. (17)
Определитель det Л является определителем Вандермонда, поэто-
му, вводя дополнительное обозначение ц = cosy- + i sin —, мы
имеем
det А = П (Г — С') = П T)r+s(1f-s — n(r~s)) =
р—l>r>s>0 r>s
= П V+s П (2i sin П sin
r>s r>s \ P J , P
§ 4]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ
389
так как
р-lr-l Р-1
2 о- + *)='2 2<г + *) = 2= 2р(-Ч^-)
r>S Г=1 5=0 г=1
делится на 2р. Сравним полученное выражение для det А с (17).
Так как sin я >• 0 при 0=Сз<ггСр—1, то в (17) должен
стоять знак плюс. Таким образом, det Л = ip<p-1)/2pp/2. С другой
стороны, мы имеем
det А = П = (- l)b 1С (~ if PP/Z = i2b+c~V/2.
й=1
Оба результата вместе приводят нас к сравнению
2Ъ + с — d = р1-—^ (mod 4),.
di
из которого, приняв во внимание (14) и (16), выводим
а — Ъ = 1 — 2Ъ = + 1 — = 1 (mod 4) при р == 1 (mod 4),
c-d = -^ + 2& =
= — 2~~ = 1 (то^ 4) при /7 = 3 (mod 4).
Полученные сравнения показывают, что в равенствах (16) разно-
сти а — Ъ и с — d равны +1, а это ввиду (10) дает нам окон-
чательно:
У р ПРИ р = 1 (mod 4),
Т(Х) = ,lZ- о , ...
iy р при р = 3 (mod 4).
Доказательство теоремы 7 для случая простого нечетного мо-
дуля тга = р закончено.
Для доказательства теоремы в общем случае следует восполь-
зоваться утверждением задачи 4 § 2. Эта задача показывает, что
нормированная гауссова сумма т(%) для примитивного квадра-
тичного характера % по модулю т простым образом выражается
через нормированные гауссовы суммы для неединичного характе-
ра по модулю 4, двух примитивных характеров по модулю 8 и
квадратичных характеров по модулям простых нечетных р. Так
как все эти гауссовы суммы нам известны (относительно моду-
лей 4 и 8 см. задачи 10 и 11 настоящего параграфа), то формула
упомянутой задачи 4 § 2 позволяет найти явное выражение и
для т(%). Пусть, например, мы имеем характер
X (х) = (- 1)^+^ (х, 2r) = 1
390 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
по модулю т = 8г, где г — нечетное натуральное число, свободное
от квадратов. Если r = pt...p., то для % имеем разложение
Ph
Pi
Обозначим через а число тех простых чисел среди ph ..ко-
торые = 3 (mod 4). Тогда
г2—1 г—1
r(x) = 2i/2i“/r(-l) 8 2 (|)П
\ Г / k+j
— А-С2
= i“+1 Vm (- 1) 2 “ = Vm =
= = | если X(- i) = (-
[ i если %(—1) =(—l)®+i=—4.
Аналогичным образом вычисляются суммы т(%) и для других,
примитивных квадратичных характеров.
Приведенное нами доказательство теоремы 7 (для простого мо-
дуля) предложено Шуром. Другое доказательство, принадлежащее
Кронекеру, содержится в задачах 13—16.
Задачи
1 j зт
1. Зная, что основная единица поля Q (1/5) равна —-= 2 соз -g-,
вычислить число h для этого поля с помощью формулы (2).
2. Вычислить число h для полей Q (1/—5) и<2 (1/—23).
3. Доказать, что произвольное квадратичное поле с дискриминантом D
является подполем поля деления круга на т = частей.
4. Пусть р — простое нечетное и £ — первообразный корень степени р
из 1. Доказать, что круговое поле Q (£) содержит одно и только одно квад-
ратичное подполе. Этим подполем является Q(l/p ), если р = 1 (mod 4),
и Q ("|/—р) > если р = 3 (mod 4). (При решении этой и следующей задач
использовать основную теорему теории Галуа.)
5. Независимо от теоремы 2 доказать, что для простого р = 1 (mod 4)
число
где а и b пробегают соответственно все квадратичные вычеты и невычеты по
модулю р из промежутка (0, р[2), является единицей квадратичного поля
О (и р)- Доказать, далее, что норма этой единицы равна —1.
6. Используя второе утверждение задачи 5, показать, что число клас-
сов дивизоров поля Q("|/p), р — простое =1 (mod 4), нечетно, а также
что норма основной единицы этого поля равна —1.
7. Доказать, что для простого модуля р вида 8ге + 7 среди нечетных чи-
сел из промежутка (0, р/2) имеется одинаковое число квадратичных выче-
тов и невычетов.
§ 4]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ КВАДРАТИЧНОГО ПОЛЯ
391
8. Доказать, что примитивные квадратичные характеры существуют
только для модулей т вида г, 4г и 8г, где г нечетное натуральное, свободное
от квадратов (в случае нечетного модуля r> 1). Показать, далее, что все
примитивные квадратичные характеры исчерпываются характерами:
X (х) = (ж> г) = Для модуля г;
X (х) = (— j, (х, 2r) -- 1, для модуля 4г;
X2—1 [ X—1
х (•*) = (— 1) 8 2 Нг
(х, 2r) = 1, для модуля 8г.
9. Доказать, что для любого примитивного квадратичного характера х
по четному модулю т (= 4г или = 8г с нечетным г) справедлива формула
/ т \
X I * + -j-\ = — х (ж).
10. Проверить, что нормированная гауссова сумма для характера х(ж) —
= (—2) = 1, по модулю 4 равна Т[(х) = 2г.
И. Проверить, что для примитивных характеров
X' (х) = (—
и
о
X —1 J X —1
X" (х) = (— 1) 8 2 (2^х) по модулю 8
нормированные гауссовы суммы равны ti(x') = 2)2 и ti(x") = 2г}'2.
12. Провести доказательство теоремы 7 для произвольного модуля.
2л 2л
13. Пусть р — простое нечетное число и £=cos-^- + i sin —. Положим
(P-l)/2
6= JJ Доказать, что 62 = (—1)<в-*)/2р.
х=1
Таким образом, 62 совпадает с квадратом т2 гауссовой суммы т =
Р-1 , .
-2 v>
ж—1
14. В тех же обозначениях показать, что
/— 2\ I ~]/р при psi (mod 4),
\ Р ) liVp ПРИ P = 3(mod4).
Далее, полагая X = 1 — tj, доказать, что в порядке Z[£] справедливо
сравнение
6 s Х(р-1)/2 (mod X(₽+1)/2).
15. Доказать, что в кольце Z [£] имеет место сравнение
(-у) Г = т / (mod Л<р+1)/2).
х=1 ' 7 ' '
392
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
р-1
Указание. Разложить сумму (1 — 7)х ио степеням X
Х=1
и воспользоваться тем, что
т_( ° (mod р') ПРИ 0 < m < р — 1,
1—1 (modp) при т = р — 1.
Х=1
16. Основываясь на двух предшествующих задачах, показать, что
{]/р при р si (mod 4),
г-|/р при p = 3(mod4).
17. В линейном пространстве размерности р над полем комплексных чи-
сел рассмотрим линейный оператор Т, матрица которого в базисе е0, ei, ...
..., ep_t равна А — (t,xy)ostx, yetp-i- Обозначим через Хо единичный и через
X* квадратичный характеры по модулю р. Все остальные (невещественные)
характеры по модулю р разбиваются на пары сопряженных друг с другом
характеров Хь хг (i = 1, ..., г — (р— 3)/2). Для каждого числового харак-
р-!
тера % по модулю р положим а (х) = х (х) ех- Показать, что T(a(x)) =
_ 1
= т(х)«(х), если X =¥= Хо и Т(«(Хо)) = (Р — 1)е0 — «(хо). Найти матрицу
оператора Т в базисе
V “Uo)’ « (Xi)’ «(*1)’ .-.,«(ХГ), а(Хг).
Показать, далее, что
det А = (— D/2 т р(Р-1)/2 JJ
1=1
(учесть формулу т(х) = х(—1)т(х))-
18. Получить теорему 7 (для простого m = р), сравнивая значение det А
в задаче 17 с формулой (18).
§ 5. Число классов дивизоров поля деления круга
на простое число частей
1. Разложение числа h на два множителя. Полученные нами
в § 2 этой главы равенства (16) и (17) дают для числа классов ди-
визоров иг-кругового поля формулу, которая уже не содержит
бесконечных рядов и произведений. Все же эта формула остав-
ляет некоторую неудовлетворенность, так как в ней число клас-
сов h, являющееся по своему смыслу натуральным числом, выра-
жается через иррациональные и комплексные числа. В настоя-
щем параграфе мы займемся преобразованием формулы для h
к более законченному виду, ограничившись, однако, лишь случаем
поля деления круга на простое число частей.
Итак, пусть I = 2m + 1 — простое число и К = Q (?) — поле
деления круга на I частей. Для удобства изложения мы будем
здесь считать, что К является подполем поля всех комплексных
§ 5] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 393
с, с. 2л • • 2л # у
чисел, и под 5 понимать корень £ = cos — + i sin-7- (точно фикси-
l 4
рованное значение корня £ необходимо при проведении аналити-
веских выкладок). Вычислим для поля К величины, стоящие пе-
ред произведением в формуле (16) § 2. Так как степень (К: Q)
равна I — 1 (следствие теоремы 1 § 2) и все изоморфизмы К в по-
ле комплексных чисел комплексные (здесь они являются на самом
деле автоморфизмами поля К), то s = 0, t = (Z — 1)/2 = т. Число
w корней из 1, содержащихся в К, по лемме 3 § 1 гл. III равно
2Z. Норма главного дивизора 1 = (1 — £) равна N(D = Nd — £) = I
(см. равенство (5) § 1, гл. III), поэтому дивизор I простой, и для
числа Z согласно лемме 1 § 1 гл. III мы имеем разложение Z =
==1‘-1. Множитель Fd) в формуле (12) § 2, следовательно, равен
Займемся вычислением дискриминанта поля К.
Теорема 1. Числа 1, £, ..., £г-2 образуют фундаментальный
базис l-кругового поля К = Q(£).
Доказательство. Так как при $ 0 (mod Z) характери-
стический многочлен числа равен Х'~1 + Х1~2 + ... + Х+ 1, то
( — 1, если ss£0(modZ),
(Z — 1, если s = 0 (mod Z).
Пусть
а = «0 + «!?+... + яг-2?г-2, а, Q,
— произвольное целое число из К. Нам надо доказать, что для
него все коэффициенты щ — целые рациональные числа. Так как
— целое, то след
1—2 1—2
Sp (а£~й — а?) = Znfe — X «i + X = lah
i=Q i=Q
является целым рациональным числом (0 /с Z — 2). Положим
lak = bk, 1 — £; = X и рассмотрим число
la = ba + b& + ...+ Ъ^1-2 = с0 + сД + ... + с,_Дг-2,
где вместе с bk все ch — также целые рациональные числа. Пока-
жем, что коэффициенты ск все делятся на Z. Если для с0, ..., ck-t
(0 k < I — 2) это уже установлено, то мы рассмотрим послед-
нее равенство как сравнение по модулю /.',+1 (в кольце целых чи-
сел поля К). Так как 1 = 0 (modX*4'1) (лемма 1 § 1 гл. III), то это
сравнение дает нам ckKk = 0 (modXfe+1), откуда легко следует, что
ск делится на X, а значит, по лемме 2 § 1 гл. Ill cft делится и на Z.
Таким образом, все коэффициенты ск делятся на Z. Но в таком
случае вместе с ними на Z должны делиться и все коэффициенты
т. е. все ак должны быть целыми. Теорема 1 доказана.
394
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Следствие. Дискриминант l-кругового поля при простом
1-1
I > 2 равен (- 1) 2 I1'2.
Действительно, ввиду формул (1) дискриминант поля К равен
определителю
— 1 l — l
i — l —1
det(SPr+’)i^_i =
-1 -1
-1 —1
- 1 I - 1
l-i -1
— 1 —1
-1 — 1
порядка I — 1 (вместо базиса теоремы 1 здесь взят базис £, £2, ...
С'-1).
Формулу (16) § 2 для случая Z-кругового поля К мы можем
теперь переписать в виде
(2)
2 Rx^x0
где R — регулятор поля К, wi = (Z—1)/2 и х пробегает все число-
вые характеры по модулю I, отличные от единичного характера %0.
Так как по формуле (2) все величины, стоящие вне произве-
дения, вещественны и положительны, то эта формула, очевидно,
сохранится, если все сомножители ZX1, х) в произведении мы за-
меним их модулями |L(1, %)|.
По простому модулю I все числовые характеры =# х» примитив-
ны, поэтому при дальнейшем преобразовании выражения для h
мы можем воспользоваться теоремой 3 § 2. Выделим для этого
отдельно все четные и нечетные характеры. Пусть g — некоторый
фиксированный первообразный корень по модулю Z и 0 — перво-
образный корень степени Z — 1 из 1. Группа числовых характеров
по модулю I циклична и имеет порядок I — 1. Если через х мы
обозначим тот из характеров по модулю Z, для которого x(g) = О-1,
то все его степени х, Х\ • , Хг~‘ = Хо исчерпают собой всю груп-
пу характеров по модулю Z, при этом все характеры %2h будут
четными, а х2*-1 — нечетными, так как
1) = x(g'!-1)/2)s = 0(,-1)з/2 = (—I)3.
Ввиду формулы (20) § 2 и теоремы 4 § 2 гл. I для четных
характеров х2* (1 k С (Z — 3)/2) мы имеем
1Ж X2ft)| =
1-2 _ г
2x2ft(gr)ln|l-^ I
г—о
Если мы возьмем г — —}- s, где 0 = иг, то ввиду
§ 5] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 395
соотношения
l-^m+s = l-rfiS (3)
имеем равенство 02ft(m+s) In j 1 — + | = 0гйз In 11 — 5s*!, а потому
2 62ftrin|i-:* * * * * g,|.
г=0
1^(1,
Аналогично формулу (21) § 2 мы можем применить к нечет-
ным характерам х2й-1. Обозначим через gs наименьший положи-
тельный вычет числа gs по модулю I. Тогда
1-1 1—2 1 — 2
2 (г) г = 2 -/Л'-1 ter1 gs = 2 g,0(2ft"1)s = f (02й-1)*
7=1 S=0 S=0
Z-2
где через F обозначен многочлен F (X) = S g&Xs. Следовательно,
s=o
1Шх2М1 = ^Иб2й-1)1-
Подставляя найденные значения для |А(1, %2*)I, ICftC/n—1, и
|L(1, х2й-1)15 1 k^Zm, в равенство (2), получаем
h = Л0Л*, (4)
где нами положено
Л* = ,-^1^(0)m ••• ^(0г’2)|-
(5)
(6)
В следующих пунктах мы докажем, что каждое из чисел 7г0 и
h* является натуральным числом. Формула (4) дает нам, следо-
вательно, представление числа h в виде произведения двух нату-
ральных множителей.
Замечание 1. Иногда h* обозначают через ht, а — че-
рез h2 и называют их соответственно первым и вторым множите-
лем числа h.
Замечание 2. Множитель 7г0 равен числу классов диви-
зоров подполя Q (£ + £-1) степени (Z—1)/2, состоящего из всех
вещественных чисел поля Q(£) (см. задачи 1—4). '
2. Множитель h0. Введем для краткости записи обозначение
а, = 1п И — £®г|, г>0.
Ввиду равенства (3), справедливого при любом $>0, мы имеем
ат+г = аг. Это значит, что значения аТ зависят лишь от вычета
396
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
числа г по модулю тп = (Z — 1)/2. Если мы положим
тп—1 /тп—1
А = П 2 92Аг«г
й=1 \ г-0
то формула (5) перепишется в виде
9т—1
^ = ^-14). (7)
Покажем, что произведение (а0 + щ + ... + am-i)A с точностью до
знака равно определителю
А — det —
а0 ai ••• ат-1
а1 а2 а0
ат—1 а0 • • • ат—2
Рассмотрим циклическую группу G порядка да, порожденную
первообразным корнем 92 степени да из 1. Функции О к
«С да— 1, Хй.(02г) = 92г\ являются, очевидно, характерами груп-
пы G. Определим на группе G функцию /, полагая /(02г) = аг.
Тогда, согласно задаче 13 § 5 Дополнения, наше произведение
примет вид
т—1 / тп—1 \ т—1 /т—1 \
П £02'!Ч =П ВДН/Г) =
й = о \ г=о / &=0 \г=0 /
= det (/(O2(!“J))) = det •
Замечая, что матрицы (а;_3) и (а<+}) отличаются между собой
лишь расположением столбцов, мы и приходим к желаемому ре-
зультату.
Сумма а0 + dt + ... + am-i отлична от нуля, так как
(8)
ввиду соотношения (5) § 1 гл. III и формулы (3). Если поэтому
в определителе А мы выделим множитель (8), то, сократив на
него, получим новое выражение для А. Прибавив в А все столбцы
к какому-нибудь одному, мы получим столбец, все элементы ко-
торого равны сумме (8). Следовательно, с точностью до знака
выражение А равно определителю А', получающемуся из А заме-
ной одного его столбца на единицы. Если теперь в А' мы вычтем
первую строчку из остальных, то этим докажем, что модуль |Л|
равен абсолютной величине любого из миноров порядка да — 1
матрицы
(9)
1
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
397
§ 5]
Рассмотрим первообразный корень
Т] = — = cos ~ + i sin -4“
\ L I-
степени 21 из 1. Так как ц2 = то
1-^ = = ft_x sin (fat/Z)
1 — >] — i]-1 sin(ji/Z) '
При к 0 (mod Z) отношение слева является единицей поля К
(см. доказательство леммы 1 § 1 гл. III); следовательно, числа
при всех к Ф 0 (mod Z) также являются единицами в К. Эти еди-
ницы, очевидно, вещественны и при 1 к < I положительны.
Для поля К мы имеем m = (l— 1)/2 пар комплексных изомор-
физмов в поле комплексных чисел. Поскольку среди чисел £,
*.g у
сг, .. . ? £ нет сопряженных, то изоморфизмы
Щ: 7 = 0, 1, .., т-1,
попарно не сопряжены (для каждого Oj сопряженным будет изо-
морфизм с '= +>).
Обозначим через г абсолютную величину абсолютно наимень-
шего вычета числа gr по модулю I. Тогда
(i-O(i-?) = ±^r-iep
Подвергая это равенство действию автоморфизма о3, мы получим
(1 - ^Г+;’)/(1 - Л = ± (ал)"г-1а;(9-),
откуда, переходя к модулям и логарифмируя, находим, что
«г+з- — а, = ln|crj(e-)|. (11)
Покажем, что когда г принимает значения 1, ..., т — 1, то г
пробегает числа 2, ..., т. В самом деле, если g( = ' (mod Z),
1 i да — 1, то gs~‘ = ±1 (mod Z) и 0 j — i (Z — 3)/2, а это
возможно лишь при j — i = 0. Отсюда следует, что все значения
г попарно различны, а так как они удовлетворяют неравенству
2 г да = (Z — 1)/2 и число их равно да —1, то каждое из чи-
сел 2, ..., да является некоторым г.
В силу равенства (11), мы получаем, таким образом, что мат-
рица (9) отличается от матрицы
(In | (0й)|)г-«й<т (12)
398
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
лишь расположением строчек, а значит, модуль |Л| равен также
абсолютной величине любого из миноров порядка т — 1 мат-
рицы (12).
Обратимся теперь к системе основных единиц поля К. Соглас-
но лемме 4 § 1 гл. III всякая единица поля К является произве-
дением степени £ на вещественную единицу. В силу этого основ-
ные единицы 81, ..., 8m-i мы можем выбрать вещественными и
положительными. Ясно, что тогда всякая вещественная положи-
С1 ет—1
тельная единица представляется в виде81 ... &m-i с целыми ра-
циональными с.. Рассматривавшиеся нами в п. 3 § 3 гл. II функ-
ции Z/a), а^К, в данном случае имеют вид Z3(a) = In |<ty(a)l2 =
= 2 In I a/a) I, — 1. Составим для основных единиц
81, . . ., 8m-! матрицу
(In | Oj (8i) (13)
Так как матрица (6) § 4 гл. II получается из (13) умножением
всех строчек на 2, то по определению регулятора R абсолютная
величина любого из миноров порядка т — 1 матрицы (13) равна
R/2m-'.
Все единицы 0ft вида (10) при к = 2, ..., т вещественны и по-
ложительны, поэтому их выражения через основные единицы
га—1
имеют вид — Ц 8|А\ к = 2, ..., с целыми рациональными
i=i
771— 1
см. В силу равенств In | (Г; (0^) | = 2 сы In | (Е0 | матрица (12)
i=i
является произведением матрицы (скг) на матрицу (13).
Отсюда следует, что каждый минор порядка пг — 1 матрицы
(12) равен произведению det(cw) на соответствующий минор мат-
рицы (13), а значит, \А | = Idet (cw)|R/2M_1. Сопоставляя это с ра-
венством (7), получаем окончательно
h0 — ]det (cw)l.
Так как все cw целые рациональные и /г0 0, то этим доказано,
что h0 — натуральное число. Более того, ввиду леммы 1 § 6 гл. II
мы получили также следующий результат.
Теорема 2. Множитель /г0 числа классов дивизоров 1~круго~
вого поля К равен индексу (Е: Ео) группы Ео, порожденной еди-
ницами
g _ sin (kn/l) k — 2 г 1
* sin (л/Z) ’ ’ '' ‘ ’ 2 ’
поля К, в группе Е всех вещественных положительных единиц
поля К.
В связи с замечанием 2 в конце п. 1 этот результат интересно
сопоставить с теоремой 2 предшествующего параграфа.
§ 5] . ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 399
Замечание. Доказанная нами теорема 2, несмотря на свое
изящество, мало пригодна для фактического вычисления числа h0.
Дело в том, что для вычисления индекса (Е : Ео) необходимо
знать систему основных единиц поля Ко = Q(£ + £-1), а ее на-
хождение при больших I является трудно осуществимой задачей
даже для современных вычислительных машин. В силу этого
информацию о A0(Z) приходится извлекать, используя косвенные
соображения. Известно [105], например, что если L — подполе
поля Ко, то htL) —делитель числа МК0~). Пользуясь этим утверж-
дением, мы можем в отдельных случаях доказать, что > 1.
Так, число классов дивизоров вещественного квадратичного поля
Q(V257) равно 3 (см. замечание 1 к табл. 3 в конце книги), по-
этому согласно задаче 4 § 4 число Л0(257) делится на 3 (этот
факт был известен еще Куммеру). Другое соображение основано
на оценке снизу для дискриминантов полей данной степени (см.
[ИЗ], [114]). Именно, зная оценки снизу для дискриминантов
вполне вещественных полей в зависимости от степени, можно
указать для некоторых малых степеней оценку сверху для числа
классов h данного вполне вещественного поля. Индивидуальное
просеивание возможных значений для h (с привлечением извест-
ных общих теорем) позволяет в ряде случаев найти точное зна-
чение для h. Этот подход развит в работе [105]. К сожалению,
он применим лишь для небольшого числа полей небольших сте-
пеней.
В [105] установлено, что 7z0(Z) = 1 для всех нечетных простых
I 67. Получен также следующий условный результат. Пусть Н —
гильбертово поле классов над К, т. е. максимальное абелево не-
разветвленное расширение поля К. В [102] доказано, что h0W = 1
для 71 С I С 157 и Ло( 163) = 4 при условии, что для поля Н спра-
ведлива обобщенная гипотеза Римана о нулях дзета-функции
Дедекинда £H(s).
Вандивер выдвинул гипотезу, что A0(Z) никогда не делится
на I. Сейчас справедливость этой гипотезы проверена [1421 для
всех простых К 125 000 (на основе критерия Вандивера, см. ко-
нец п. 1 § 7 гл. V). Долгое время предполагалось, что для всех I
справедливо неравенство A0(Z) < I. Если бы это было так, то
справедливость гипотезы Вандивера вытекала бы отсюда три-
виальным образом. Однако в последнее время [121] найдено про-
стое число I = 11 290 018 777, для которого A0(Z)>Z. Именно, так
как Z = 1 (mod 4), то Q(]/7) содержится в Z-круговом поле. Чис-
ло классов дивизоров этого вещественного квадратичного подполя
равно 2685 = 3 • 5 179. Далее, Z=l(mod3), поэтому Z-круговое
поле содержит циклическое кубическое подполе. В [121] удалось
вычислить число классов этого кубического поля, и оно оказалось
равным 6 209 212 = 4 223 • 6961. Согласно сказанному выше для
нашего I число Zi0(Z) делится на 2685 • 6 209 212.
400
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
1ГЛ. V
3. Множитель h*. Докажем, что число h*, определяемое
равенством (6), также является натуральным числом. Про-
изведение В — F\Q)F(Q3).. ,F(0!_2) является, с одной стороны,
целым алгебраическим числом поля Q (0), где 0 — первообразный
корень степени I— 1 из 1. С другой стороны, оно рационально,
так как ввиду (4) и (6) |5| = т—(2Z)’"-1. Следовательно, В целое
йо
рациональное, и нам остается проверить, что В делится на 2т~‘ и
на 1т~1 (по условию Z=H=2). Проверим сначала первое.
Как и в п. 1, через gs мы обозначаем наименьший положитель-
ный вычет числа gs по модулю I, где g — фиксированный перво-
образный корень по модулю I. Так как
gm+s + g, = gm+s + g‘ = gs(g{l~i',/i + 1) = 0(mod Z),
то g,n+s + gs = Z. Отсюда следует, что числа gm+s и gs разной чет-
ности. Будем рассматривать в кольце целых чисел поля Q(0)
сравнения по модулю 2. Ввиду равенства 0“ = — 1 при нечетном
к мы имеем
F(0ft) =
т—1 т—1 т—1
= S (gsefts + gm+seft(m+s)) = 2 (gs-gm+s)0ftss 2 efts(mod2),
8=0 8=0 8=0
откуда 5(04(1 — 0й) = 0(mod 2). Это показывает, что произведение
5(1 — 0)(1 — 03)... (1 — 0г~2)
делится на 2m. С другой стороны, так как 0 и 02 — первообразные
корни степени Z — 1 и (Z— 1)/2 соответственно, то
1—2 , . т-1
Z-l = n(l-0fe), = JJ (1 _ 02S),
Й=1 Z 8=1
откуда (1 — 0)(1 — 0s)... (1 — 0г-2) = 2.
Этим и доказано, что В делится на 2m~t.
Для доказательства делимости В на Z”1-1 найдем сначала раз-
ложение числа Z на простые дивизоры поля Q (0) • Так как Z вза-
имно просто с Z—1 и Z = KmodZ— 1), то по теореме 2 § 2 число
I раскладывается в произведение cp(Z—1) различных простых
дивизоров, причем норма каждого из них равна Z. Пусть q —
один из этих простых дивизоров. Числа 0, 1, 0, ..., 0!-2 попарно
несравнимы по модулю q (см. доказательство леммы 3 § 2), поэто-
му они образуют полную систему вычетов по модулю q. Ввиду
сравнения
Z-2
1 — gi-1 = П (1 — 0^) = 0 (mod Z) (14)
Й=0
§ 5] ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА 401
q должно быть делителем некоторой разности 1 — О*#. Если 1 —
— Q“g = 0 (mod q) и 1 — 0sg = 0 (mod q), то О'1 = 9s (mod q), а значит,
gs _ 0s Таким образом, q является делителем одной и только
одной разности 1 —0*g из разложения (14). Покажем’ что к здесь
взаимно просто с Z—1. Если (к, I— l)=d, то, возводя сравнение
1 s Qkg (modq) в степень (Z—l)/d, мы получим, что g(i-i)/<i — 1
делится на q, а значит, делится и на I. Последнее же возможно
только при d — 1.
Если целое а е Q (0) делится на qlZ, то ZV(a) делится на
W(q) = I. Обратно, из делимости Ma) па Z следует, что а делится
хоть на один из простых дивизоров, входящих в Z. Все <p(Z—1)
разностей 1 — 0ftg, для которых к взаимно просто с Z — 1, имеют,
очевидно, одну и ту же норму, и эта норма делится на Z, поэтому
каждая из этих разностей делится на некоторый простой дивизор,
входящий в Z.
Мы доказали, таким образом, что при любом к, взаимно про-
стом с Z — 1, существует, и притом только один, простой дивизор,
делящий Z (обозначим его через qft), для которого
1 — 6kg 0 (modqj, (15)
а также что для всех s, не взаимно простых с Z — 1, разность
1 — 05g не делится ни на один из простых дивизоров qs. Разложе-
ние числа Z в поле Q(0) мы можем записать в виде
> = п
(fe,/-!)=!
где к пробегает приведенную систему вычетов по модулю Z — 1.
Вернемся к вопросу о делимости числа В на Z”1-1. Так как
в кольце целых чисел поля Q(0) имеет место сравнение
Z-2
F (0*) (1 - g0*) 2 (1 - g®h) =
= 1 — (g0ft)!-1 = 1 — g1-1 = 0 (mod Z),
то М(0Й)(1 — g0k) делится на Z. По доказанному отсюда следует,
что F(.Qk) делится па Z при (Zc, Z— 1) > 1 и делится на Zq^1 при
{к, I— 1) = 1. Условимся при (к, I— 1) > 1 под q», понимать еди-
ничный дивизор. Тогда можно будет сказать, что /?(0'!) делится
на Zq^-1 при любом к. Произведение В = F(0)М(03)... F(9''2) де-
лится, следовательно, на
1т ТТ „-I 1т ТТ л-1 ?т-1
1 11 = Z 11 qft = I
и тот факт, что h* есть целое число, доказан.
Замечание. Явные формулы, полученные нами для чисел
h классов дивизоров круговых и квадратичных полей естественно
приводят к вопросу: для каких полей алгебраических чисел к
имеют место аналогичные формулы. Тот факт, что полученные на-
ми формулы для h связаны с характерами групп Галуа, показыва-
402
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
ет, что здесь существенна нормальность поля к над Q и комму-
тативность его группы Галуа. И действительно, можно легко
вывести совершенно аналогичные формулы для любого поля к,
являющегося абелевым расширением поля рациональных чисел Q.
Надо только воспользоваться законами разложения простых рацио-
нальных чисел в таких полях к, которые дает нам теория полей
классов.
Общая теория полей классов дает нам законы разложения про-
стых дивизоров р произвольного поля алгебраических чисел к в
конечном абелевом расширении К/к. Можно поэтому попытаться
искать формулы для отношения h{K)/h{k) чисел классов дивизоров
этих полей. В этом направлении известны только разрозненные
результаты. Формулы для отношения h(K)/h(.k) мы имеем в слу-
чае, когда к — квадратичное мнимое поле. Результаты здесь по-
хожи на теорему 2: формулы имеют вид индекса группы, порож-
денной некоторыми специальными единицами, в группе всех еди-
ниц поля К (см. [49], [50], [116]). Другой интересный случай,
в котором имеют место аналогичные формулы, обнаружил Гекке.
Он высказал очень правдоподобные предположения, согласно ко-
торым отношение h(K)lh(.k) должно иметь совсем элементарное
выражение, аналогичное формуле (7) п. 1 § 4 или формуле (6) п. 1
настоящего параграфа, если к — чисто вещественное расширение
поля рациональных чисел, а К — его чисто мнимое квадратичное
расширение. Условия, накладываемые па к и К. означают, что при
любом изоморфном вложении поля к в поле комплекс-
ных чисел ff поле ф(7с) содержится в поле вещественных чисел,
и, далее, если К = Мц), то ф(р) < 0 для любого вложения ф.
Сам Гекке доказал высказанную гипотезу в работе [80] для слу-
чая вещественных квадратичных полей к. Случай кубических по-
лей рассматривался Рейдемейстером в статье [117]. Однако, как
замечает Зигель (см. [130], сноска в конце введения), в работе
[117] имеется ряд неясных мест.
4. Условие взаимной простоты h* с I. В п. 3 § 7 гл. III мы ви-
дели, насколько важно было бы иметь критерий, позволяющий
узнавать, взаимно просто ли число h с I пли нет, т. е. является ли
простое число I регулярным или иррегулярным. Так как h = hah*,
то число I будет регулярным тогда и только тогда, когда оба
множителя h0 и h* не делятся на I. В этом пункте мы найдем
условие, необходимое и достаточное для того, чтобы множитель
h* не делился на I. Так как в следующем параграфе мы увидим,
что h0 также не делится на I, если (Л*, Z) = 1, то это условие бу-
дет одновременно и критерием регулярности I.
Сохраняя обозначения предшествующего пункта, рассмотрим
отношение
В _____ тт р (9й)
г"1"1 “ 1
(16)
§ 51 число классов дивизоров поля Деления круга 403
(мы здесь главный дивизор (а) отождествляем с числом а). Ввиду
формулы (6) число h* делится на I тогда и только тогда, когда це-
лое рациональное число (16) делится на какой-нибудь простой ди-
визор qs, (s, I— 0 = 1, скажем на q;_2 = q-1, т. е. когда хоть один
из целых дивизоров MB’QqjZ"1 (к = 1, 3, ..., 1 — 2) делится на q-4.
Для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы хоть
при одном к = 1, 3, ..., I — 2 дивизор F(.Qk)<\k делился на q-i»
Покажем, что при к = I — 2 = — l(mod I — 1) последнее условие
не имеет места. В самом деле, 0“‘g ^l(mod q_J согласно (15),
поэтому
1—2
F (6-1) = 2 (e-igy = l - 1 == - 1 (mod q-j),
r=0
т. e. ^(б-1) не делится на q_,, а значит, F(O-'Jq-, не делится на qli.
Таким образом, для делимости к* на I необходимо и достаточно,
чтобы хоть при одном к=1, 3, ..., I — 4 число F(9ft) делилось
на qii-
До сих пор па выбор первообразного корня g по модулю I мы
не накладывали никаких ограничений. Теперь же мы предполо-
жим, что g удовлетворяет сравнению
g‘~l = 1 (mod I2)
(если g этому условию не удовлетворяет, то вместо него надо
взять g + xl с надлежащим х). Так как сравнение (14) выполня-
ется теперь по модулю Р, то 1 — 8kg делится на q| при любом /с,
взаимно простом с 1 — 1. В частности,
0 = g(mod qlj).
При таком выборе g условие делимости F(Qk) на q-i находится
совсем просто. Действительно, в силу сравнения
1-2 1—2
F(№) = 2 gsQsh = 2 (modqij
s—0 s=0
число F(Qk) делится на qli тогда и только тогда, когда
1—2
S gsg*h = 0 (mod Z2). (17)
s=o
Желая условие (17) преобразовать к более удобному виду, рас-
смотрим сравнения
gs — gs + Zas(mod I2), O^sCZ — 2, (18)
где a, — целые числа. Если обе части сравнения (18) мы возведем
в степень к + 1 (к — 1, 3, ..., I — 4), то получим
ge(ft+1) + (к + 1) gshlas s= g^+v + (&+!) gsfe (gs — gs) (mod Z2),
26*
404
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
т. е.
gZ1 = (А + 1) geg* - kgs^\ (mod Z2)- (19)
Просуммируем сравнения (19) по' всем s = 0, 1, ..1 — 2. Так как
gh+l Kmod Z) при к + 1 =5 Z — 3 и g'~l = l(mod I2), то
Z £s(fe+1) = -—= 0 (mod Z2)
8=0 ё
Z-2 Z-2
и, следовательно, У g?+1 = (k + 1) У gsgsk (mod Z2). Ho k+ 1
8=0 s=o
^0 (modZ), поэтому условие (17) равносильно сравнению 5ft+1 =
1—2 l—l
= У g?+1 = У +1 = о (mod Z2).
S=0 n=l
Нами доказана, таким образом, следующая теорема:
Теорема 3. Для того чтобы число h* не делилось на Z,
необходимо и достаточно, чтобы ни одно из чисел
Sh=^nh, к = 2,Д .. ., Z — 3, (20)
п—1
не делилось на I2.
Заметим, что все числа Sh при к 0 (modZ—1) делятся на Z
(см. сравнение (10) § 8).
Переформулируем теорему 3 в терминах чисел Бернулли (опре-
деление чисел Бернулли и их некоторые свойства изложены в
§ 8). Так как числа 2, 4, ..., Z —3 не делятся на Z—1, то по
теореме Штаудта (теорема 4 § 8) числа Бернулли В2, Bt, ...,
являются Z-целыми (не содержат Z в знаменателе). Далее, для
сумм Sh мы имеем сравнения
Sk = Bhl (modZ2), * = 2, 4, ..., Z-3, (21)
(в кольце Z-целых чисел; см. сравнение (И) § 8). Следовательно,
справедлива
Теорема 4. Число h* не делится на I тогда и только тогда,
когда числители чисел Бернулли В2, В., ..., 7?г_3 не делятся на I.
Например, так как числители чисел В2, В,„ Be, Bs, Bl0, Bi2, Blt
не делятся на 17, то число Z = 17 регулярно.
Замечание. Для определения взаимной простоты числа h*
с Z нет надобности находить точные значения чисел Бернулли.
Достаточно рекуррентные соотношения (2) § 8 рассмотреть как
сравнения по модулю Z и из этих сравнений найти последовательно
Да, Вь, ..Bi-S. Число h* будет взаимно просто с Z тогда и только
тогда, когда все эти числа не делятся на Z.
5. Замечание об операторной структуре группы классов ди-
визоров. В последние годы найдены глубокие результаты, с новой
точки зрения освещающие строение группы классов дивизоров
Z-кругового поля К= Q (£),£' = 1. Именно, применяя к диви-
§ 5]
ЧИСЛО КЛАССОВ ДИВИЗОРОВ ПОЛЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
405
зорам поля К автоморфизмы его группы Галуа G, мы превращаем
группу дивизоров © в G-операторную группу (см. задачу 20 § 5
гл. III). Так как подгруппа главных дивизоров инвариантна отно-
сительно автоморфизмов из G, то и группа классов дивизоров ®
поля К приобретает структуру G-операторной группы. То же,
разумеется, относится и к ее Z-примарной компоненте ®г. Строение
последней G-операторной группы и описывается упомянутыми
результатами (см. [84], [28]). Хотя они относятся к случаю Ь-кру-
гового поля при произвольном п, мы приведем их лишь при п — 1.
Эти результаты получены, правда, при одном ограничительном
предположении: число he классов дивизоров вещественного под-
поля поля К не должно делится на I. Возможно, что па самом
деле это условие не накладывает на I никаких ограничений: есть
основания предполагать, что А, не делится на I для всех I (в этом
состоит гипотеза, высказанная Вандивером, см. замечание в кон-
це п. 2). Во всяком случае, как уже упоминалось в конце п. 2,
h0 не делится на I для I <' 125 000. Приняв условие 0 (mod Z),
можно доказать следующий поразительный факт:
Примарная 1-компонента группы классов дивизоров 1-круго-
вого поля является G-операторной группой с одной образующей.
Поясним точный смысл этого утверждения. Пусть L — кольцо
Z-целых рациональных чисел и А = LLG1 — групповое кольцо груп-
пы G над L. Умножение на элементы из G превращает А в G-
операторпую группу (G-модуль). Сформулированная теорема оз-
начает, что ®г как G-операторная группа является гомоморфным
образом G-группы А.
Можно даже в явном виде указать идеал J кольца А, являю-
щийся ядром этого гомоморфизма. Для каждого а = 1, ..., р — 1
через оа обозначим такой автоморфизм поля К = Q (£), что
Z-1
по(^) = и положим ® Тогда
а—1
J =(а “) П А, (22)
где пересечение рассматривается в групповом кольце Q [G] над
полем рациональных чисел. Таким образом, имеет место G-опера-
торный изоморфизм
®, « А/Л (23)
Из этой формулы можно получить еще более явные следствия.
Пусть lm — показатель абелевой Z-группы ®г. Группа ®г может
рассматриваться как мультипликативно записанный модуль над
фактор-кольцом Z/ZmZ. В группе обратимых элементов послед-
него кольца содержится мультипликативная циклическая группа
порядка Z — 1, и поэтому существует Z — 1 гомоморфизмов группы
G в мультипликативную группу кольца Z/ZmZ- Эти гомомор-
406
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
физмы <рг (г=1, I — 1) однозначно характеризуются условием
<рг(Оа) — ат (mod I).
Для каждого г через 21г обозначим подгруппу группы сосгоя-
/ \ <pr(a-)
щую из тех элементов х, для которых о (х) = х при всех о е о.
Для группы 6; имеет место разложение в прямое произведение
G-операторных подгрупп = Ц Из формул (22) и (23)
Г=1
можно вывести, что все 9ГГ — циклические Z-примарные группы,
причем $lr 1 тогда и только тогда, когда г нечетно, г > 1 и число
Бернулли Bt-r делится на I.
Без использования гипотезы Вандивера определены лишь по-
рядки групп 21г. Предположим сначала, что г нечетно. Согласно
задаче 4 § 3 гл. I поле Z-адических чисел Q; содержит корни
степени I — 1 из 1, при этом каждому целому Z-адическому числу
а, не делящемуся на Z, однозначно соответствует корень 0, 0'-1 = 1,
такой, что a = 0(modZ). Это дает возможность рассматривать гомо-
морфизмы срг как характеры группы G (или группы обратимых
классов вычетов по модулю Z), значения которых содержатся в
Qz. А тогда все обобщенные числа Бернулли Вщч,г (см. § 8,
замечание 1) также можно трактовать как элементы поля Q/.
Доказано, что порядок группы 21г равен | 2lr | = I r, mr —
= Vz(51>rPr).
Пусть теперь г четно. В Z-примарной компоненте фактор-груп-
пы £’/£’о (обозначения теоремы 2) характер <рг выделяет подгруппу
(так же, как выше, была определена группа 21г). Доказано, что
порядки групп 21г и Sr совпадают (если гипотеза Вандивера спра-
ведлива, то 2lr = Sr — единичная подгруппа).
Эти результаты получены на основе глубоких связей между
круговыми полями и модулярными функциями (см. [69]).
Задачи
1. Пусть Kd — подполе, состоящее из всех вещественных чисел /-круго-
вого поля Q (J), 'Ql — 1- Показать, что Кй совпадает с Q (£+ £-1) и имеет
степень (Z —1)/2. Доказать, далее, что дискриминант поля Кй равен 1(г-3)/2,
а его регулятор Ro связан с регулятором R поля Q (£) соотношением R =
= 2<г-3)'2К0.
2. Пусть р простое, отличное от I, и / наименьшее натуральное, для ко-
торого pf = 1 (mod I). Доказать, что в поле Ко число р разлагается в про-
I — 1
изведение простых дивизоров степеней / при t нечетном и в произве-
дение (I— l)/f простых дивизоров степеней //2 при / четном.
3. Доказать, что для дзета-функции -K0(,s) поля Ка имеет место со-
отношение
lim («-!)?к (s)= IJ Л(1,х).
° Х*Хо
УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
407
5 61
где X пробегает все четные числовые характеры по модулю I, отличные от
единичного характера Хо-
4. Доказать, что число классов дивизоров вещественного подполя
Q (S + S-1) /-кругового поля равно множителю /?3 числа классов поля Q (Q.
5. Доказать для множителя h* формулу
1
= (2Z)”1-1 I (^"Ч-i+j ^i+j)o<i,j«m—1 I’
где gs — наименьший положительный вычет числа g3 по модулю I = 2т + 1
(g — первообразный корень по модулю Z).
6. Вычислить множитель h* при I = 7.
7. Показать, что простое число 37 иррегулярно.
§ 6. Условие регулярности
Целью этого параграфа является доказательство того, что в
случае, когда множитель h* числа классов дивизоров /-кругового
поля не делится на I, множитель h0 также не делится на I и, зна-
чит, простое число I регулярно. Попутно мы докажем здесь также,
что для регулярного I всякая единица поля К = Q (£), сравнимая
по модулю I с целым рациональным числом, является Z-й степенью.
На этом утверждении, известном под названием леммы Куммера,
основывается доказательство второго случая теоремы Ферма для
регулярных показателей. Как условие регулярности, так и лемма
Куммера являются, как мы увидим, простыми следствиями того
факта, что при I ] h* в l-адическом пополнении К\ поля К =
= Q (£), I = (1 — £), значения log б!-1 (k = 2, 3, .. ., (Z —1)/2) об-
разуют базис совокупности целых «вещественных» 1-адических
чисел с нулевым следом (единицы 0R определены равенствами
(10) § 5).
1. Поле l-адических чисел. Круговое поле К = Q (£), £ =
2л , . . 2л , ..
= cos — + isin—, при простом / о имеет, как мы знаем, сте-
пень Z — 1, и в нем разложение Z на простые множители имеет
вид Z = li_1, где I = (! — £)— простой дивизор первой степени.
Рассмотрим l-адическое пополнение поля К. Элементы
этого пополнения будем называть l-адическими числами. Полное
поле Ki содержит подполе, естественным образом изоморфное по-
лю Z-адических чисел Qz (это подполе совпадает с замыканием
поля Q в В силу этого естественного изоморфизма можно
считать, что Qz С2
Так как I является единственным простым дивизором, деля-
щим Z, то ввиду теоремы 1 § 2 гл. IV степень расширения K.\/Qi
равна I — 1 = (A':Q). По этой же причине (см. (6) § 2 гл. IV)
для любого а е К имеет место равенство
ЛСк/о(а) = ЛСк1/ог(а). (1)
408
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Лемма 1. В кольце целых l-адических чисел существует та-
кой простой элемент А, что:
1) ;Л‘ + / = 0,
2) А — l(mod А2).
Условиями 1) м 2) элемент А определен однозначно.
Ввиду равенства (5) § 1 гл. III мы имеем
(1 _ £)'-i= Ц + 0 (1 + £ + £2) • • • (1 + £ + • • • + ")•
Перейдем здесь к сравнению по модулю простого элемента 1 — £
поля Лд(напомним, что Vj (1 —£) = 1). Поскольку g l(mod 1 — £)
и (Z — 1)! + 1 = 0(mod Z) (теорема Вильсона), то
-(1 2-3 ... (Z - 1) - 1 (m0d 1 - С).
Покажем, что l-адическая единица а = —Z/(l — £)!-1, сравнимая с
1 по модулю 1 — £, может быть представлена в виде а = у'-1.
Рассмотрим для этого многочлен F(X) = Х‘~' — а. Так как Е(1)
= 0 (mod 1 — £) н /''(1) 0 (.mod 1 — £), то в существует еди-
ница у, для которой Е(у) = 0 (см. конец п. 2 § 1 гл. IV). Таким
образом, а = у'-1, что и утверждалось. Полагая теперь А = (£ — 1 )у,
мы получаем простой элемент А с требуемыми свойствами. Всякое
другое А15 удовлетворяющее первому условию леммы, имеет вид
А0, где 0 — корень степени Z —1 из 1. Но из сравнения А0
= A(modA2) следует, что O^KmodA). Если бы корень 0 был
отличен от 1, то Z — 1 делилось бы на А, что невозможно. Следова-
тельно, 0 = 1 и, значит, А, = А. Лемма 1 доказана полностью.
В дальнейшем без специальных оговорок под А будет пони-
маться простой элемент поля К\, однозначно определенный ус-
ловиями леммы 1.
Для каждого к, взаимно простого с Г, соответствие оп-
ределяет автоморфизм сц расширения К/Q. Если о — любой из
этих автоморфизмов, то функция х'(а) = лу (о (а)), явля-
ется показателем поля К, и этот показатель является продолжени-
ем Z-адического показателя х, поля Q. Но для V/ существует
только одно продолжение на поле К, а именно Vj. Следовательно,
х' = Vj, а значит, щ (о (а)) = vj (а) при любом Отсюда
легко следует, что при автоморфизме о всякая фундаментальная
последовательность элементов из К (относительно метрики, соот-
ветствующей простому дивизору I) переходит опять в фундамен-
тальную последовательность. Это дает возможность продолжить
автоморфизмы о = щ поля К на поле К\. Именно, если § =
= lim an(ane К), то можно положить
П->оо
а (|) = lim а (ап)
П-»оо
§ 61
УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
409
(легко проверяется, что о(|) не зависит от выбора последователь-
ности {ап}, а также, что отображение g -+ о(^) является автомор-
физмом расширения Лц/Q;).
Так как для расширения Ац/Qz степень инерции равна 1,
а индекс ветвления I — 1, то по теореме 4 § 1 гл. IV все целые
I-адические числа однозначно представляются в виде
а0 + аД +... + «г-2Хг 2
(2)
с целыми Z-адическпми а,.
Подполе вещественных чисел поля К состоит из тех as К,
которые не меняются при автоморфизме o-i: £ -> £-1. Посмотрпм,
какие I-адические числа инвариантны относительно O-t. Так как
X'-1 = — I, то и (о-ДХ))'-1 = —Z, а значит, o_t(X)=X0, где 0 —
корень степени Z — 1 из 1. Согласно задаче 4 § 3 гл. I корень 0
содержится в Q/, поэтому
aii (X) = о-! (о-! (X)) = п-i (OX)=0tJ-i (X) = 02Х,
а так как, с другой стороны, о?-! (X) = X, то 0 = ±1. Если бы
0 = 1, то произвольное l-адическое число, представляющееся в
виде (2) с Z-адическпми коэффициентами не менялось бы при
действии автоморфизма о_ц а это на самом деле не так. Следова-
тельно, 0 = —1 и о-ДХ) = —X. Таким образом, при действии авто-
морфизма О-! в поле не будут меняться лишь 1-адические
числа вида
тп—1
2 &A2i, bi е Qz, т = (3)
г=0
I _j
Все эти числа образуют подполе в К\ степени т = —над Q;.
Будем их называть для удобства «вещественными» 1-адическими
числами.
Вычислим след I-адического числа (2) (относительно расшире-
ния Лд/Qz). Для любого i = l, . •I — 2 матрица линейного пре-
образования £-> ХТ; (£ е Лц) в базисе 1, X, ..., X1-2 будет иметь
на главной диагонали нулевые элементы (поскольку X'-1 = —Z),
поэтому Sp^/Q (Хг) = 0 (при i = l, ..., Z —2). Отсюда вытекает,
что след числа (2) равен a0(Z —1). Все l-адические числа нулевого
следа (относительно Qz) характеризуются, следовательно, тем,
что для них в разложении (2) коэффициент аа равен нулю.
Нас в дальнейшем будет интересовать совокупность всех
«вещественных» целых l-адических чисел с нулевым следом. На
основании вышеизложенного можно заключить, что 591 совпадает
410
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
со всеми линейными комбинациями
т—1
2 M2i
i=l
(4)
с целыми Z-адическими коэффициентами bi.
На поле мы можем рассматривать функции In е и ехр а,
определяемые степенными рядами (см. п. 2 § 5 гл. IV). Так как
индекс ветвления е расширения Ац/Q; равен Z — 1, то для этого
-7 -е.- + 1 равно 2, а значит, ряд ехра схо-
t -1 J
расширения число
дится для всех целых а е Ад, делящихся на А2. Функция log е
определена, как мы знаем, для всех главных единиц поля К^.
Если е — главная единица поля А)1( т. е. е = 1(шойА), то
при любом автоморфизме мы имеем также щ(е) = KmodA),
а значит, 1пщ(е) имеет смысл. Но тогда (следствие 1 теоремы 11
§ 2 Дополнения)
SpKl/<Qz е —
!-i / X .
= S (In е) = 2 ln (e)) = ln П^(е) = ln e
k=l h \ h / \ 11 I .
Предположим теперь, что e — единица поля К. Ясно, что s
будет единицей и в поле К\, однако log s может пе иметь смысла,
так как е, вообще говоря, не будет главной единицей в К^. Мы
будем иметь, однако, сравнение e^«(modA) при некотором не
делящемся па I целом рациональном числе а. Но a'~l = l(mod Z),
поэтому е'-1 l(mod А), т. е. е'-1 уже будет главной единицей в
А?р Логарифм logs'-1 имеет, следовательно, смысл, при этом вви-
ду формулы (1)
SPKj/q, (in е'"1) = In pVKj/Qzez-1) = In = 0,
т. e. целое I-адическое число In e'-1 имеет нулевой след. Если
е — вещественная единица поля AZ, то In е'-1, очевидно, также бу-
дет «вещественным».
Итак, для любой вещественной единицы е поля К 1-адическое
число In б'-1 принадлежит множеству 3W, т. е. оно может быть
представлено в виде (4). В частности, это справедливо и для еди-
ниц 0А (7с = 2, 3, ..., т — (1— 1)/2), определенных формулами (10)
§ 5. Таким образом, мы имеем
InOfe-1 = 2 < к (5)
с целыми Z-адическими коэффициентами Ъи.
УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
411
§ 6]
Нашей задачей является доказательство того, что в случае,
когда множитель h* числа классов дивизоров поля К не делится
на I, I-адические числа 1н0{-1 образуют базис 3W над кольцом
целых Z-адических чисел в том смысле, что всякое £е одно-
значно представляется в виде их линейной комбинации с целыми
Z-адическими коэффициентами. Для этого, очевидно, достаточно
показать, что det(Z>M) является Z-адической единицей, т. е. что
det (Ьм) 0 (mod Z).
2. Некоторые вспомогательные сравнения. Ряд ехр ж в поле
Кг сходится лишь для целых ж, делящихся на А2. В связи с этим
в некоторых случаях вместо ряда ехр ж целесообразно рассмат-
ривать многочлен
г- / \ л . х , । , 1
Е (х) — 1 + у + 2] + • • + (I _
получающийся из ехр ж отбрасыванием всех членов степени >Z
(вместо Z можно было бы взять любое натуральное число, но нам
будет полезным именно такое определение). Так как коэффициен-
ты р при к «£ Z — 1 являются целыми Z-адическими числами,
то Е(ж) будет главной единицей поля К\ при любом целом ж О
(mod А).
Мы знаем, что формальное произведение рядов ехр ж и ехр у
равно ряду ехр (ж + у). Отсюда легко следует, что
2?(ж)2?(г/) = 2?(ж + у) + F(x,y), (6)
где F(x, у) — многочлен с целыми Z-адическими коэффициентами,
все члены которого имеют степень >Z.
Лемма 2, В кольце целых l-адических чисел справедливо
сравнение £(А)'= l(modА2''1).
X
Положим Е(х) = 1 + ж^(ж), где g (ж) = 1 + + • • • + —
многочлен с целыми Z-адическими коэффициентами. Тогда
Е (ж)г = 1 + C}xg (ж) + ... + С1ГГ (xg (ж)/-1 + xlg (х)1 =
= 1 + lh (ж) + xlg (ж)1,
где Л(ж) — многочлен опять-таки с целыми Z-адическими коэф-
фициентами. С другой стороны, ввиду (6) имеем также
Жж)! = №) + ж!Жж),
а значит,
гл(ж) =^ + ^-2+ ... +^^! + жгН(ж), (7)
где Жж) = Mix) — g(x)c. Сравнивая в этом равенстве коэффициен-
ты при одинаковых степенях ж, видим, что все коэффициенты
412
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Н(х) — целые Z-адические числа, делящиеся на I. Сокращая (7)
на I, приходим к равенству
lx2 ll~2xl~r I
h (х) = X + -gj- + • • • + + Х G (*)»
где G(x~) имеет целые Z-адические коэффициенты. Полагая здесь
х = к, получаем сравнение h(X) = A(modA'), а значит,
ZA(A)^ZA(modA2'-‘). (8)
Далее, так как g(X) l(modA), то g(X)'s l(modA'), откуда
А'#(А)'A'(mcd А2'). (9)
В силу (8) и (9) имеем теперь
ЕШ1 = 1 + 1кШ + A;g(A)! 1 + ZA + Аг = Kmod А2'-1)
(так как ZA + A! = O), что и требовалось доказать.
Лемма 3. При любом натуральном к имеет место сравнение
Е(кЮ = (mod Аг).
В силу формулы (6) //(//А) E(A)*(mod А'), поэтому достаточно
доказать лемму для случая к = 1.
По определению простого элемента А мы имеем t, — 1 +
+ A(modA2). С другой стороны, 7?(А) 1 + A(mod А2), поэтому
£_17ДА) = l(modА2). Положим
Г‘^^) = 1+А2-у,
где у целое 1-адическое. Возводя это равенство в Z-ю степень и
учитывая лемму 2, получаем сравнение
У (zA2 + уА4 + . .. + у,-1А2^ = 0 (mod А2'-1).
Выражение, стоящее в скобках, делится точно на А!+1, поэтому
у ss 0 (mod А1-2), откуда (;~’7?(А) 1 (mod А'), что и доказывает
лемму.
Рассмотрим также многочлен
Л(1 + ж) = х-^+ ... +(-1)г'2^, (9*)
получающийся из ряда log (1 + х) отбрасыванием членов степени
>Z.
Лемма 4. Если целое l-адическое число а делится на А2, то
L(1 + а) = In (1 + a)(mod Аг).
УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
413
§ 61
Действительно, при п > 1 имеем
> I + {п _ 1} + ( 1Ц _ JEZL) I
' InZ V — 1 п —1/^
(см. п. 2 § 5 гл. IV).
Лемма 5. Если ei и е2— главные l-адические единицы, то
Liifa) = L(e4) + L(e2)(mod А').
Так как ряд log (1 + х + у + ху) равен сумме рядов log (1 + х)
и log (1 + у), то
L( 1+ж + г/ + жг/)=£(1+ж)+ L(! + ;/) + G(x, у),
где многочлен б(ж, у) содержит члены степени >Z с целыми Z-ади-
ческими коэффициентами. Утверждение леммы 5 следует теперь
из того, что G(x, г/) = 0 (mod Аг), если только жиг/ делятся на А.
Лемма 6. В кольце целых \-адических чисел справедливо
сравнение
IAQ = A(mod А').
Для доказательства воспользуемся формальным равенством
log ехр ж = ж. Из этого равенства легко следует, что
£(£(ж))=ж + Я(ж),
где Жж) — многочлен, все члены которого имеют степень >Z и
целые Z-адические коэффициенты. Положив здесь ж = А и вос-
пользовавшись леммой 3 при k = 1, мы и получим требуемое
сравнение.
Замечание. Пусть 31 — мультипликативная группа классов
вычетов группы главных l-адических единиц по модулю А! и
$ — аддитивная группа классов вычетов целых l-адических чисел,
делящихся на А, по тому же модулю Аг. Легко показать, что ото-
бражение е -> £(е) (на главных l-адических единицах е) индуци-
рует изоморфизм группы 31 на группу $. Обратный изоморфизм
$->31 индуцируется при этом отображением «->£’(«) (а =
= 0(mod А)).
3. Базис вещественных целых l-адических чисел в случае
(ft*, Г) =1. Вернемся к вопросу, поставленному в конце п. 1. Что-
бы выяснить, делится ли det(6M) на Z или нет, нам достаточно
знать коэффициенты bki лишь по модулю Z. Ясно, что два целых
l-адических числа вида (2) сравнимы между собой по модулю I
тогда и только тогда, когда у них соответствующие коэффициенты
при степенях А сравнимы по модулю I (в кольце целых Z-адических
чисел). Отсюда следует, что для вычисления по модулю I коэффи-
циентов Ьм вместо In 0ft-1 мы можем взять любое сравнимое с
ним по модулю I (т. е. модулю А'-1) целое I-адическое число.
414
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Сохраним здесь все обозначения п. 2 § 5. Главная единица
0{-1 вещественна; следовательно, она сравнима с 1 по модулю X2,
а значит, по лемме 4
(modV). (10)
Займемся вычислением L (0ft-1). Так как 0fe = —трП1 то
9L=(i + s+... + e-iy (~
Но gs KmodA.), поэтому
1 + £ +... + J;*"1 s к (mod А),
откуда (! + £ + ...+ S*-1)' = к1 (mod А'), а так как к1 = к (mod Az-i),
то
(1 + £ + ... + £*-!)' к (modАг-‘).
Таким образом,
0‘-1 0ft^ (- l)1-ft = к (- T])ft-1 (mod Аг-1),
или
еГ -1 е-1)(г+1)/2 (mod А'-1).
По лемме 5 мы имеем
L (0Г) L fc-1) - L fczl) + (А - 1) Ц-1L (£) (mod А1-1).
\ Л / \ «Л } £1
гт о К — 1 Е (АА) — 1 / , «г-1\
Но по лемме 3 S-tt—----------d---- (modА ), поэтому, учитывая
/ГЛ «Л
лемму 6, получаем лЛ
L (О^-1) = L 4 - L (mod Аг-1).
Докажем теперь, что
т —1 r 2k
L -1 - 2 (^J + х-л (x). (1»
где многочлен 7?(ж) имеет целые Z-адические коэффициенты,
а Вгк — числа Бернулли (см. § 8 этой главы). Воспользуемся
00 R
х 5? ° п П
тождеством ——- = Z х *
е 1 п=0
Так как Bt = —1/2, а все осталь-
ные числа Бернулли с нечетным индексом равны нулю, то наше
тождество можно переписать в виде
1 1 V Bzk „2fe-i
es_i 2 x-^(2k)lX ’
§ 6]
УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
415
После интегрирования получим
In
е*-1
X
£ = "V ^2fe
2 (2/с)! 2к Х
(12)
(свободный член ряда равен нулю, так как при х — 0 функция,
стоящая слева, обращается в нуль). Из формулы (12) легко те-
перь получить равенство (11). Подставляя в (11) вместо х значе-
ние /сХ, находим
(E’(Wi) — 1\ кк
\ кк ) 2
”^В2.к^(
(2i)!2i (mo(l^ )»
а значит,
d (л _______________________________ i.2i\ ^2i
L (6Г) S 2 2i (27)! 2Г - <mod <12*>
i=l
Этим доказано, что коэффициенты Ъи в равенствах (5) удовлетво-
ряют сравнениям
= (2г)1'2г~ (mod/)’ 2<Z<m.= —2-,: 1.
Но тогда det (&fti) сравним по модулю l с определителем
22 — 1 24 — 1 ... 2г~з _i
ТУ (—1> Bn 3“ — i з4 — i ... зг“3 -1
H (2г)! 2г ................................•
тг — 1 m4 — 1 ... тг“3 — 1
Выписанный определитель легко сводится к определителю Ван-
дермонда. Он равен произведению
П (г2 - s2) = П (г + s) (г - 8),
s<t
в котором все множители не делятся на I. Если теперь 7г * О
(mod Z), то числители чисел Бернулли В2, . ., 5г_3 не делятся на I,
и мы получаем, что det (bhi) 0 (mod I).
Этим нами доказана следующая теорема:
Теорема 1. Если h* 0 (mod/), то целые «вещественные»
l-адические числа с нулевым следом однозначно представляются
в виде линейных комбинаций
m
(13)
fc=2
с целыми l-адическими коэффициентами ак.
Замечание. Полученному результату можно дать другую
интерпретацию, которая приводит к постановке более общего и
416 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
(2л \
cos —) — подполе веществен-
ных чисел Z-кругового поля (задача 1 § 5). Замыкание Кь поля
K.s в поле Кг совпадает, очевидно, с подполем «вещественных»
l-адических чисел, в котором мы имеем фундаментальный базис
1, А2, ..., А2(т-1). Теорема 1 в других терминах означает, что си-
стема т — 1 независимых единиц (/с = 2, ..., т) поля Ко
остается независимой при погружении ее в группу главных еди-
ниц поля Кй (которая рассматривается как мультипликативно
записанный модуль над кольцом Z; целых Z-адических чисел;
задача 11 § 5 гл. IV).
Отмеченный только что факт связан с понятием р-адического
регулятора. В п. 4 § 4 гл. II был введен обычный «веществен-
ный» регулятор произвольного поля алгебраических чисел. Для
его определения выбирается какая-нибудь система основных еди-
ниц поля. Точно таким же образом может быть определен регу-
лятор R(elt ..., ег) любой системы из r = s + t~ 1 единиц. (Ясно,
что единицы ..., ег будут независимыми тогда и только тогда,
когда их регулятор отличен от нуля.) Следуя определению обыч-
ного регулятора, вводим следующее понятие.
Пусть F — вполне вещественное поле алгебраических чисел
степени п над Q и р — произвольное простое число. Для поля F
мы имеем п различных изоморфизмов щ, ..., оп в алгебраическое
замыкание поля р-адических чисел Qp. Пусть, далее, et, ..., ег
(г = га —1)— система независимых единиц поля F. Все образы
Oi(8j) являются, очевидно, единицами в некотором конечном рас-
ширении поля Qp, а значит, согласно замечанию к задаче 12
§ 5 гл. IV, имеют смысл р-адические логарифмы 1пщ(е3). Следуя
рассуждениям п. 4 § 4 гл. II, легко убедиться, что в матрице
(1па;(е})), l=Si=SH, l=S/:Cr,
все миноры порядка г = п — 1 отличаются друг от друга лишь
множителем ±1. Это определенное с точностью до знака общее
значение миноров порядка г указанной матрицы и называется
р-адическим регулятором системы единиц е1? ..., ег поля F и
обозначается через Rp(ei, ..., ег). Если ..., ег — система основ-
ных единиц поля F, то ее р-адический регулятор, зависящий толь-
ко от F, называется р-адическим регулятором вполне веществен-
ного поля F и обозначается через RP(F). Это — некоторое число
из конечного расширения поля р-адических чисел QP (опреде-
ленное с точностью до знака). Ясно, что р-адический регулятор
произвольной системы et, ..., ег независимых единиц в F связан
с р-адическим регулятором поля F соотношением
RP(ei, ..., еЗ = aRP(F),
где а — индекс подгруппы, порожденной единицами ei, ..., ег и
S 6]
УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
417
корнями из 1, в группе всех единиц. (Относительно обобщений
на случай произвольных полей алгебраических чисел см. [38].)
Вернемся к теореме 1. Автоморфизмы oi, ..., ат расширения
К0/О. можно рассматривать как изоморфизмы поля Ко в замы-
кание Ко. Припишем к системе (5) равенство 1 = 1. Подвергая
полученную систему равенств действию автоморфизмов о|( ..., от
и переходя к определителям,, легко получим, что
mR; (6'-1, ..., е'г1) = det (М /5,
где D — дискриминант базиса 1, л2, ..., поля Ко над Qp
Из последнего равенства и теоремы 1 следует утверждение: если
I — регулярное простое число и Ко — вещественное подполе I-
кругового поля, то Z-адический регулятор R^K,) отличен от нуля.
Леопольдтом высказана гипотеза о том, что для любого впол-
не вещественного поля алгебраических чисел F и для любого
простого числа р всегда RP(F)=/=O. Возникшая таким образом
«проблема р-адического регулятора» оказалась связанной с мно-
гими вопросами теории полей алгебраических чисел. Однако до
сих пор эта проблема остается нерешенной. Решена она (поло-
жительно) лишь в некоторых весьма частных случаях, например,
для вещественных подполей полей деления круга.
В случае, когда в F имеется только один простой дивизор Ф,
делящий р, условие RP(F)¥=O равносильно тому, что всякая
независимая система единиц вполне вещественного поля F оста-
ется независимой (над кольцом Zp) при погружении ее в группу
главных единиц пополнения Fqj.
4. Критерий регулярности и лемма Куммера. Полученная тео-
рема 1 теперь уже легко позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 2. Если для l-кругового поля R(£) множитель h*
числа классов дивизоров не делится на I, то множитель h0 также
не делится на I.
Доказательство. Допуская, что ha = (Е: Ео) делится
на I (см. обозначения теоремы 2 § 5), мы найдем вещественную
положительную единицу е <= Е, которая сама не содержится в
Ео, но ег <^Е0, т. е.
ТП
г’ = П & (14)
ft=2
с целыми рациональными с;„ причем не все ch делятся на I (в
противном случае единица е принадлежала бы Ео). Возводя ра-
венство (14) в степень Z—1, а затем логарифмируя (в поле Кт)1
получим
m
I In ez-1 = У! ch In Q'tF1. (15)
fe=2
0 другой стороны, так как значение In e,_1 принадлежит 591, то
. - 27 _ — _ _ _ — .
418
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ, V
для него должно существовать представление вида (13), сравни-
вал которое с ИЗ), заключаем, что все отношения -----целые
Z-адическпе числа. Это, однако, невозможно, так как пе все ск
делятся па I. Полученное противоречие и доказывает теорему 2.
Следствие. Простое число 1^3 регулярно тогда и только
тогда, когда числители чисел Бернулли В2, Bi, ..., В;_3 не делят-
ся на I.
Теорема 3 (лемма Куммера). Пусть I — регулярное про-
стое рациональное число. Если некоторая единица е 1-кругового
поля Q (£) сравнима по модулю I с целым рациональным чис-
лом, то она является l-й степенью другой единицы.
Доказательство. Пусть a (modZ). Покажем прежде
всего, что е — вещественная единица. Если е = с веществен-
ной единицей е1? то е, = b (mod X2) с целым рациональным b и
'Д =1 +/,?. (mod А,2). Из сравнения а=6(1 + /сА) (mod А2) следует
теперь, что к 0 (mod Z), и наше утверждение доказано. Так
как —1 = (—!)', то можно предположить, что е > 0, т. е. е^Е.
Из сравнения е'~’ а’~' = 1 (mod Z) следует, что In е'”1 = О
(mod Z), а потому в силу теоремы 1
1пе;~1 = 2 Zcft In 9й-1 (16)
h=2
с целыми Z-адическими cft. С другой стороны, так как подгруппа
Ео имеет конечный индекс в Е, то е“ е Еа при некотором нату-
ральном а и, следовательно,
m
= П 0? (17)
h=2
с целыми рациональными dk. Мы можем, очевидно, считать, что
показатели a, d2, ..., dm взаимно просты в совокупности (так как
в группе Е нет элементов конечного порядка, то на их общий
делитель в (17) можно сократить). Возводя равенство (17) в сте-
пень Z — 1, а затем логарифмируя (в поле К$, мы получим
ТП
а1пег-1 = У, dh In 0д-1.
h=2
Сравнивая это с равенством (16), приходим к равенствам
dk = lack, k = 2, ..., m.
Так как числа аск целые Z-адические, то отсюда следует, что все
dk делятся на Z, а значит, е“ является Z-й степенью: е“ = е^, где
Et^Eo. Одновременно ввиду условия (a, d2, ..., dm) = 1 мы по-
, § 7] ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 419
лучаем, что а взаимно просто с I, поэтому 1 = аи + lv при целых
рациональных и и п, откуда
а это и требовалось доказать.
Задачи
2л 2л
1. Пусть р — простое число вида in + 1, t — cos —-|- i sin —, A =
5- t ~ 1 TT
= £ — t, m = —2—• Положим
p—1 _(/
k=i
А.Я / я \ 1
где 0. = sin-- sin— , 1 sg к p — 1. Показать, что в р-круговом поле
« р \ р j
Q (5) имеет место сравнение
L (^Р-1) кт - - 2Вт Vp (mod г.”"1).
Здесь L обозначает функцию, определенную равенством (9*), а Вт— число
Бернулли. (Использовать сравнение (12*) и сравнение задачи 14 § 4.)
2. Пусть в = 2’ + U\p >1 — основная единица и h — число классов ди-
визоров квадратичного поля <Q ("|/р)’гД° простое р == 1 (mod4). Основываясь
па предшествующей задаче и теореме 2 § 4, доказать сравнение
р — 1
hU = ТВт (mod р), т = —%—
(см. [40] и [55]).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма
для регулярных показателей
1. Теорема Ферма.
Теорема 1. Для регулярного простого числа Г^З урав-
нение
x‘ + yl — z‘ (1)
неразрешимо в целых отличных от нуля рациональных числах
х, У, z.
Доказательство. Допустим, что целые взаимно простые
числа х, у и z (отличные от нуля) удовлетворяют уравнению (1).
Так как первый случай теоремы Ферма нами уже разобран в
и. 3 § 7 гл. III, то сейчас мы предположим, что одно (и только
одно) из этих чисел делится на I. Будем считать, что z делится
на I (если, например, у делится на Z, то равенство (1) мы пере-
пишем в виде Xх + (—z)! = (— у)!).
420
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Пусть z = Zftz0, где (z0, Z) = 1, к > 1. Так как в Z-круговом поле
Q (£) для числа I мы имеем разложение I = (1 — £)(-1е, где е —
единица поля Q(£) (лемма 1 § 1 гл. III), то в поле Q(£) ра-
венство (1) может быть записано в виде
. a;;+yI = e(l-0'’n4, (2)
где т = к(1 — 1) > 0. Для доказательства теоремы достаточно по-
казать, что равенство вида (2) невозможно. Мы докажем не-
сколько больше. А именно, будет установлено, что равенство вида
(2) невозможно не только в целых рациональных числах х, у
и z0, взаимно простых с Z, но даже и в том случае, когда под
х, у и z0 будем понимать любые целые числа поля Q(£), взаимно
простые с 1-?. Допуская противное, т. о. допуская, что равен-
ства вида (2) все же существуют, выберем из них то, у которого
показатель т > 1 наименьший. Чтобы не вводить новых обозна-
чений, будем считать, что этим равенством является (2). Числа
х, у и z0 теперь обозначают, стало быть, некоторые целые числа
из Q(C), взаимно простые с 1 — £, а е — некоторую единицу поля
Q©.
Как и в § 6, через I мы обозначим простой дивизор (1 —£)
поля Q(£)- Разложим левую часть равенства (2) па линейные
множители и перейдем в этом равенстве к дивизорам. Мы по-
лучим
i -1
nu+ez/)=w (3)
h~Q
где дивизор a = (z0) взаимно прост с I. Так как Zm>Z>0, то
из (3) следует, что хоть один из множителей слева делится на I.
Но х + t,'y — х + £>кУ — £*(1 — £’"А)у, поэтому все числа
x + Z,ky (Osg/c^Z —1) (4)
делятся па I. Если бы при 0 к < i I — 1 имело место сравне-
ние х + ^у = х + g'y (mod I2), то мы имели бы также ^hy(1 — gi_ft) =
=0 (mod I2), а это невозможно, так как tfy взаимно просто с
I, а 1 — t,'~h ассоциировано с 1 — £. Таким образом, числа (4) по-
парно несравнимы по модулю I2, а значит, отношения
(х + ^у)/(!-£), Zi = 0, 1, ..., Z-1
попарно несравнимы по модулю I. Но 2V(l) = Z, поэтому эти от-
ношения образуют полную систему вычетов по модулю I и одно
из них, следовательно, делится па I. Отсюда следует, что среди
чисел (4) одно (и только одно) делится на I2. Так как в равенст-
ве (2) вместо у мы можем взять любое из чисел £sy, то можно
считать, что именно х + у делится на I2 и, значит, все остальные
числа х + tky, делясь на I, не делятся на I2. Из того, что левая
часть равенства (3) делится по крайней мере на I1-1 I2 = Г+‘, сле-
дует теперь, что т > 1.
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
421
§ 7]
Обозначим через m общий наибольший делитель дивизоров
(х) и (у). Поскольку х и у не делятся на I, то и m не делится
на I. Ясно, что (х + £ky) делится на 1m, а (х + у) делится даже на
p^-D+'m. Положим
(ж + у) = l'(m-I)+1mc0, Cr + S*!/) = lmcft, & = 1, ..., I— 1
и докажем, что дивизоры с0, G, ..., cz_, попарно взаимно просты.
В самом деле, если бы G и ск (0 < i < к I — 1) имели общий де-
литель J), то из делимости х + Vy и х + Vy на W следовало бы,
что Qytt — и ж(1 — также делятся на Inp), откуда в свою
очередь вытекала бы делимость х и у на пр), что противоречит
определению ш.
Записывая (3) в виде m!l!mc0Ci •.. G—i = делаем вывод (по-
скольку cfe попарно взаимно просты), что
cfe = al (0</£<Z-1),
а значит,
{X + у) = 1г(т~1)+Ы, (5)
+ = (6)
Выразив т из (5) и подставив в (6), получим
(х + = (х + у) (7)
откуда следует, что дивизор главный’(ибо I = (! — £)).
Воспользуемся теперь регулярностью числа I. Так как число клас-
сов дивизоров поля Q (£) не делится на I, то по следствию тео-
ремы 3 § 7 гл. III дивизор также главный, т. е.
аьа0-1 = (-?-), 1, (8)
\ Pfe /
где ак и — целые числа поля Q(£). Дивизоры щ (1^Ы1-1)
и а0 взаимно просты с I, поэтому можно считать, что числа ak
и не делятся на I. Равенство главных дивизоров эквивалентно
равенству соответствующих чисел с точностью до множителя,
являющегося единицей. Следовательно, в силу (7) и (8) мы имеем
+ + 1, (9)
\ Pfe /
где eft — единица поля Q(£).
Обратимся теперь к следующему очевидному равенству:
(х + &)(1 + £) - (х + ?у) ь= $(х + у).
Умножив его на (1 —и воспользовавшись равенствами
422
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
(9) прр к = 1 и к == 2, получим
(X + Р) (-^)' 8,(1 + О - (х + у) е2 = (х + у) С(1 - С)'(т-1).
откуда
(«1₽2)г - еу(ПГу(«2₽1)г = - t)l(rn^ OX
Мы получили, таким образом,, равенство вида
a, + eop' = e'(l-£)'l’'-1Y, (10)
где а, и 7—целые числа из Q(£), не делящиеся на I, а е0 и
е' — единицы поляО(£). Преобразуем его к виду (2).
Выше мы видели, что тп > 1, следовательно, m — 1 > 0 и
Z(/n —1)ЭИ, а значит, а' + е0(У 0 (mod Г). Так как взаимно
просто с I, то существует такое целое что [ф' = 1 (mod Г).
Умножив последнее сравнение на [/', получаем
е0 — <o!(mod Г),
где и = —оф'— целое число поля Q(£). Так как У(1) — I, то
всякое целое число из Q (£) сравнимо по модулю I с целым ра-
циональным числом. Но если co = a (mod I), то ®г = аг (mod Zl),
а значит, единица е0 сравнима по модулю Г с целым рациональ-
ным числом. По лемме Куммера (теорема 3 § 6; здесь мы опять
пользуемся регулярностью Z) единица е0 является Z-й степенью в
Q(£), т. е. е0=т1!, где ц — также единица поля Q(£)- Равенство
(10) принимает теперь вид
а'+ (цр)' = е'(1-:)'(т-,,7г.
Мы получили равенство такого же типа, как и (2), с той, однако,
разницей, что показатель тп заменен здесь на тп—1. Но это не-
возможно, так как тп было выбрано наименьшим. Полученное
противоречие показывает, что уравнение (1) не имеет решений
в целых отличных от нуля "х, у и z, среди которых одно делится
на Z, т. е. что для регулярного показателя Z справедлив второй
случай теоремы Ферма. Теорема 1, таким образом, доказана.
Что касается второго случая теоремы Ферма для иррегуляр-
ных -показателей, то здесь к настоящему времени известно очень
мало, и вопрос о справедливости теоремы Ферма в общем случае
остается открытым. Наиболее существенные результаты в этом
направлении принадлежат Вандиверу. Им получены достаточные
признаки, выполнение которых обеспечивает справедливость вто-
рого случая теоремы Ферма для данного конкретного иррегу-
лярного Z. Один из этих признаков (наиболее пригодный для
фактического использования) состоит в следующем.
Пусть Z — некоторое иррегулярное простое число. Согласно
критерию Куммера (следствие теоремы 2 § 6) числитель по край-
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
423
§ 71
ней мере одного из чисел Бернулли Б2о, 2 С 2а С I — 3, делится
на I. Пара (Z, 2а) в этом случае называется иррегулярной. Пусть
(I, 2at), ..(Z, 2а„) — все различные иррегулярные пары для дан-
ного Z (так что s равно индексу иррегулярности zi(Z) числа Z). Фик-
сируем иррегулярную пару (Z, 2а). Выберем натуральное к так,
чтобы число р = 1 + kl было простым и меньшим Z2 — Z (такое
к всегда найдется), и натуральное t так, чтобы th^l (mod р).
Полагаем, далее,
т
d = rl~ia, т =
Т=1
т 1
^ПГ-1Г2“
г г—i
I
Критерий Вандивера утверждает, что если для каждой ирре-
гулярной пары (Z, 2а), т. е. для каждого а = а4, ..., as имеем
(>2а =Z= 1 (modp), то для рассматриваемого Z второй множитель
h0 числа классов Z-кругового поля пе делится па Z и для этого
Z справедлив второй случай теоремы Ферма.
Практическое использование критерия Вандивера возможно
только благодаря применению быстродействующих вычислитель-
ных машин. В настоящее время с помощью вычислительных ма-
шин справедливость теоремы Ферма проверена [142] для всех
показателей Z < 125 000. Любопытно при этом отметить, что для
всех иррегулярных Z из указанного промежутка критерий Ван-
дивера привел к положительному ответу при t = 2 и при наи-
меньшем допустимом значении к.
Заметим, что все имеющиеся критерий по проверке второго
случая теоремы Ферма для конкретных показателей Z действуют
лишь при условии, что ha не делится на Z. Если окажется, что
гипотеза Вандивера неверна и будет обнаружено простое Z, деля-
щее Ло, то для него у нас пока пет никаких средств решить во-
прос о справедливости второго случая теоремы Ферма.
Теорема Ферма о решениях уравнения хп + уп — zn в целых
числах может рассматриваться как вопрос о рациональных ре-
шениях уравнения х" + уп = 1. С этой точки зрения теорема Фер-
ма — это частный случай общей теории о рациональных решени-
ях уравнения Ftx, у) — 0, где F(x, у) — многочлен с рациональ-
ными коэффициентами. В этой общей теории в последнее время
получен весьма существенный результат, из которого, в част-
ности, следует, что для любого показателя п > 3 число целых
рациональных решений уравнения хп + уп |= г" во всяком случае
конечно (если, разумеется, не различать пропорциональные ре-
шения). Другими словами, на кривой Ферма xn + yn — i При
п > 3 имеется лишь конечное число рациональных точек.
424
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Результат, о котором идет речь, получен Фалтингсом в ра-
боте [76]. Его формулировка в общем случае выглядит следую-
щим образом. Пусть Fix, у) — абсолютно неприводимый много-
член, коэффициенты которого — алгебраические числа. Кривая,
определяемая уравнением Fix', y)—Qr имеет некоторую геомет-
рическую характеристику, называемую родом. Род кривой есть
неотрицательное целое рациональное число g. Теорема Фалтингса
утверждает, что если g > 2„ то уравнение Fix, у) = 0 имеет лишь
конечное число решений в любом фиксированном поле алгебраи-
ческих чисел К (конечной степени над Q). Если многочлен
Fix, у) имеет степень п и кривая Fix, у)=0 пе имеет особых
точек (в том числе и бесконечно удаленных), то ее род g равен
in — 1)(лг — 2)/2. Следовательно, уравнение Ферма xn + yn>=l при
п'^ 4 имеет конечное число решений не только в поле рациональ-
ных чисел Q, но и в любом фиксированном поле алгебраических
чисел К.
Теорема Туэ, которая была доказана нами в и. 3 § 3 гл. IV,
также является весьма частным случаем теоремы Фалтингса,. из
которой следует, что уравнение fix, у)'=с, где fix, у)—форма
степени п > 3 без кратных сомножителей, имеет лишь конечное
число решений в любом заданном поле алгебраических чисел К,
даже если рассматривать произвольные, пе обязательно целые,
содержащиеся в К значения для х и у. (Случай формы f степе-
ни п = 3 под теорему Фалтингса не подходит.) То же самое от-
носится и к теореме Зигеля, приведенной в конце п. 3 § 6 гл. IV.
Если кривая Fix, у) = 0 имеет род g > 2, то утверждение о ко-
нечности числа решений уравнения Fix, у) = 0 в любом фикси-
рованном поле алгебраических чисел также следует из теоремы
Фалтингса.
Уравнения степени п 3 вообще являются исключениями в
общей теории неопределенных уравнений с двумя неизвестными.
Случай многочлена первой степени тривиален. Уравнение второй
степени, левая часть которого не распадается на линейные мно-
жители, определяет кривую рода g = 0. Если в этом уравнении
перейти к однородным координатам, то мы придем к вопросу о
представлении нуля квадратичной формой от трех переменных.
Для случая поля рациональных чисел этот вопрос был разобран
нами в и. 2 § 7 гл. I. Но если для квадратичной формы от трех
переменных мы знаем хотя бы одно представление нуля, то мы
можем с помощью простых формул найти все ее представления
нуля, и среди них будет бесконечно много непропорциональных
представлений (см. теорему 7 и замечание к ней в п. 3 § 1
Дополнения).
Если кривая степени 3 не имеет особых точек, то ее род ра-
вен 1 (случай, когда особые точки существуют, исследуется со-
всем просто). Для кривых рода 1 (их называют также эллипти-
ческими кривыми) к настоящему времени имеется хорошо
S 7]
ВТОРОЙ СЛУЧАЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
425
разработанная глубокая теория с многочисленными приложения-
ми. Одна из ее особенностей — это возможность введения на мно-
жестве рациональных точек эллиптической кривой групповой
операции. С теорией эллиптических кривых и ее арифметически-
ми приложениями можно познакомиться, например, по обзорным
статьям Дж. Касселса [12] и Тейта [37].
Примерами уравнений 3-й степени с бесконечным числом ра-
циональных решений являются х3 + у3 = 6 и х3 + у3 = 9 (см. [9],
с. 340). Из последнего примера вытекает также, что кривая Фер-
ма х3 + у3 = 1 имеет бескопечпо много точек с координатами из
поля 0(^3).
2. Бесконечность числа иррегулярных простых чисел. В пре-
делах имеющихся таблиц число регулярных простых чисел боль-
ше числа иррегулярных. Однако неизвестно, будет ли это верно
для любого промежутка (1, 2V). Более того, до настоящего време-
ни открытым является вопрос о том, будет ли вообще число
регулярных чисел бесконечным. В связи с этим представляет
интерес следующая теорема (см. [85] и [68]).
Теорема 2. Число иррегулярных простых чисел бесконечно.
Доказательство теоремы 2 основывается па некоторых свой-
ствах чисел Бернулли. Эти свойства сформулированы и доказаны
нами в следующем параграфе.
Пусть pi, ..., ps — произвольная конечная система иррегу-
лярных простых чисел. Теорема 2 будет доказана, если мы най-
дем иррегулярное простое число р, отличное от pt, ..., ps. По-
ложим
п — rkpt — 1)... (ps — 1).
Так как для числа Бернулли B2k мы имеем
-> оо при к -> оо
(см. конец § 8), то при достаточно большом натуральном г ра-
циональное число BJn будет по абсолютной величине больше 1.
Пусть р — простое число, входящее в его числитель (при несо-
кратимой записи). Если бы (р —1)|щ то по теореме Штаудта
(теорема 4 § 8) число р входило бы в знаменатель Вп, а это не
так по выбору р. Таким образом, (р — 1) \ п и, следовательно, р от-
лично от pi, ..., ps (и отлично от 2). Обозначим через тп остаток
от деления п па р— 1, так что п = тп + а(р — 1). Ясно, что тп
четно и 2 < гм < р — 3. Вместе с п число тп также пе делится па
р — 1. Воспользовавшись теперь так называемым сравнением
Куммера (теорема 5 § 8), мы получаем в кольце p-целых рацио-
нальных чисел сравнение
Bjm = BJn (modр).
Но Bjn = 0 (mod р), поэтому Bjm я 0 (mod р) и Вт 0 (mod р).
426
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Так как т равно здесь одному из чисел 2, 4, ..р — 3, то по
следствию теоремы 2 § 6 число р иррегулярно. Теорема 2 до-
казана. ~„
Некоторое уточнение теоремы 2, проливающее также свет и
на вопрос о распределении иррегулярных простых чисел, дает
следующий результат [108J. Пусть иг >2— произвольное нату-
ральное число и G = (Z/mZ)*—мультипликативная группа
приведенных (обратимых) классов вычетов по модулю т. Пусть,
далее, Н — произвольная собственная подгруппа группы (7 (Я =/=
¥= G). Тогда в объединении тех классов приведенных вычетов по
модулю т, которые не входят в И, содержится бесконечно много
иррегулярных простых чисел р. В частности, бесконечно много
таких иррегулярных р, которые ^1 (mod иг), иг > 2, или ^±1
(mod иг), <р(иг)>2. В то же время пока мы не знаем ни одного
такого т > 2, для которого класс чисел = 1 (mod иг) содержал
бы бесконечно много иррегулярных р (автор приведенной выше
работы доказал, что объединение двух единичных классов = 1
(mod 3)иМ (mod 4) содержит бесконечно много иррегулярных
р). В связи с отмеченными результатами упомянем, что имею-
щиеся в настоящее время таблицы иррегулярных простых чисел
(см. [86],, [87] и [142]) дают основание предположить, что для
любого модуля иг > 2 иррегулярные простые числа асимптоти-
чески равномерно распределены по всем <р(иг) классам приведен-
ных вычетов по модулю иг (для всех простых чисел такая равно-
мерность распределения установлена в п. 3 § 3 гл. V).
Задачи
1. Доказать, что уравнение х3 + у3 = 5з3 не имеет решений в целых от-
личных от нуля рациональных числах.
2. Доказать бесконечность числа иррегулярных простых чисел вида
4п + 3 (использовать задачи 9 и 10 § 8).
§ 8. Числа Бернулли
Докажем здесь те свойства чисел Бернулли, которыми нам
приходилось пользоваться в предшествующих параграфах.
Все рассматриваемые ниже степенные ряды сходятся в неко-
торой окрестности начала координат, и их радиусы сходимости
легко могут быть определены. Мы не будем, однако, интересо-
ваться вопросами сходимости, так как для наших целей достаточ-
но рассматривать эти ряды формально (исключение составляет
лишь доказательство теоремы 6).
Определение. Рациональные числа Вт (иг>1), определя-
емые разложением
-F-7 = 1+2^im’
е 1 т=1
называются числами Бернулли.
(1)
S 8]
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
427
Условимся в следующих сокращенных обозначениях. Если
f(x) = а0 + aiX + ... +а„хп — многочлен, то под /(Б) мы будем
понимать число а0 + аДЦ + ... + апВп. Аналогично, если /(ж, t) —
ОО
степенной ряд вида 5 fn{x)tn, где fn(х) — многочлены, то под
п— о
оо
/(Б, £) будем понимать ряд Пользуясь этими обо-
п=0
значениями, разложение (1), например, определяющее числа Бер-
нулли, можно записать в виде
Легко видеть, далее, что для любого числа а
^at^Bi — ^(ti4-B)i
(для доказательства следует перемножить ряды, стоящие слева).
Теорема 1. Для чисел Бернулли имеет место рекуррентное
соотношение
(1 + ВУ'“ — Вт = 0 при т^2, (2)
которое в развернутой форме имеет вид
1+ 2^Bft = 0, ш>2.
ii=i
Для доказательства перепишем равенство (1) в виде
t = е(1+в)< — ев‘.
Сравнивая здесь коэффициенты при членах tm/m\ (m^2'), мы и
получаем соотношение (2).
При т = 2 формула (2) дает нам 1 + 2Б, = 0, а значит,
Б, = —1/2.
Теорема 2. Все числа Бернулли с нечетными индексами,
кроме Bi, равны нулю'.
BZm+i = 0 при пг > 1. (3)
Равенства (3) равносильны, очевидно, тому, что функция
е 1 т=2
четная, а это легко проверяется.
428
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Приведем значения первых двенадцати чисел Бернулли с чет-
ными индексами:
д ____ 1 Г> ______ __ 1 р ________ 1 р ________ 1 /) __ 5
2 — 6 ’ 4 — 30 ’ ~ 42 ’ 8 — 30 ’ 1,10 — 66 ’
р _ 691 о _ 7 п _ 3617 д 43 867
°™ — 2730 ’ 14 6 ’ 510 , ^18 — 7д8 ,
р 174 611 D 854 513 р 236 364 091
20 330 , -«22 138 > О21 — 2730
Числа Бернулли связаны с суммами степенен чисел натураль-
ного ряда. Положим
5,*(re) = lft + 2ft + ... + (re-l)ft.
Теорема 3. Для сумм Sk{n) имеет место формула
(тп + l)5mW = (га + B)m+1 — В"*4’1, m > 1, (4)
или в развернутом виде
m
(m + 1) Sm (га) = 2 Chm+1Bhnm+l-h,
h=0
(Bo = 1). (5)
Действительно, выражение, стоящее в правой части равенства
tm+1
(4), равно коэффициенту при , -тт, в ряде e(n+B)t — eBt. С дру-
\пг -j- 1)’
гой стороны,
ent — 1
e(n+B)t _ eBt = eBt (ent _ 1) = t 1
1
OO /n — 1 \
2(2-
m=l \r=l }
г=о
т=1
(m+l)STO (»)t™+1
(m + l)!
( tto и доказывает формулу (4).
__Заметим, что при п = 1 формула (4) совпадает с равенством (2).
Теорема 4/(теорема Штаудта). Пусть р — простое число
итп — четноеДисло. Если {р — ХДтп, то Вт является р-целым
(т. е. Вт не содержит р в знаменателе). Если же (р — 1)|иг, то
рВт есть p-целое число и pBm^—l (modp).
Положим в формуле (5) п = рг (г > 1) и перепишем ее в виде
Sm (рг)
Рт
•пг—1
5- = 2OTc-+A/(m'w-
fe=o ~
(6)
Очевидно, что при достаточно большом г сумма, стоящая справа,
§ 8]
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
429
будет p-целым числом. Далее, при к > 1 мы имеем
pfe—1p-i
sm(pfe+i)= 2 5 (u + vP*)m^
u=o v=0
pfc-l
= p 2 um + mpk 2 wm-1 2 y = pSm (ph) (mod ph+1),
U=0 U V
а значит, разность
5mGfe+1)
Sm I. л
№ J , /b 1 •)
p1
(7)
является числом целым. Из того факта, что числа (6) и (7) р-це-
sm (р) „
лые, следует теперь, что разность —-------tsm также есть р-це-
лое число.
Нами доказано, таким образом, что рВт является p-целым и
рВт = Sm(p) (mod р) • (8)
в кольце p-целых чисел.
С другой стороны, имеют место сравнения:
Sm(p) = — 1 (modp), если (р— Dim; (9)
Sm(.p) = 0 (modp), если (p-Dfm. (10)
В самом деле, если (р — Dim, то ж” ^1 (modp) при 1 С х
р — 1, а значит,
р-i р-i
Sm(p) = 2 гт 2 1 = Р — 1 = — 1 (mod р).
X—1 х=1
выбрав первообразный корень g по мо-
р— 2 , ...
Если же (р — 1) т, то,
дулю р, мы будем иметь
р-i
Хт 2i Smr = гт_. 0 (mod р),
К—1 Г^О S 1
8т (р)
так как gp~l = 1 (modр) и gm Ф 1 (mod р).
Сопоставляя теперь (8) и (10), мы получаем, что если (р — 1) 1
t т, то рВт = 0 (mod р), а значит, Вт является p-целым. Из срав-
нений (8) и (9) следует второе утверждение теоремы 4.
В случае m «S р — 1 число р — 1 не является делителем чисел
к<т, поэтому все Bh при к < m являются p-целыми, и, значит,
все слагаемые в сумме, стоящей справа в равенстве (6), делятся
на р2. Следовательно, справедливо следующее утверждение.
Следствие. Если р¥=2 и m^p — i (т четное'), то
pBm Sm{p) (mod р2). (11)
430
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Теорема 5 (сравнение Куммера). Если р простое и р — 1
Вт
не делит четное положительное тп, то число — является р-це-
лым и имеет место сравнение
(modp). (12)
m р — 1 m ' Г' ' '
Другими словами, отношения (при (р —Df пг) имеют пе-
риод р — 1 по модулю р.
Приведем доказательство, основанное па одном сравнении
Вороного (см. [7], т. 1, с. 7—23).
Воспользуемся опять формулой (6). Из этой формулы следует
сравнение
Sm(pr)== prBm (mod р2г CTm), (13)
где om — наименьшее целое неотрицательное число такое, что все
рациональные числа । Bhp m (0 к m — 1) являются р-це-
лымп. Пусть а — целое число, взаимно простое с р. Для каждого
i = 1, ..., рт — 1 через bt обозначим наименьший положительный
вычет произведения ai по модулю рг:
ai = bi + prqt, 0 < bt< pr.
(14)
Ясно, что все bi — это те же числа 1, .. ., рг — 1, но расположен-
ные в другом порядке. Из (14) следует, что
m.m ттп. , 1 г .у , о-,
a I s=bi + mbi Qi р (mod р2г)
и, следовательно,
(рг—1 \
S Рт (mod Р2Г),
1=1 /
/рг—1 \
т. е. (am — 1) Sm (pr) = т [ У b™~1qi\pr (mod р2г)- Вместе с (13)
\ г=1 /
это дает нам сравнение
/ рТ—1 \
(ат — 1) Вт = т I У b™-1qi I (mod pr-am).
\ i=l /
Будем теперь считать, что г> ст + чр{тп), и в качестве а возьмем
первообразный корень по модулю р. Тогда ат — 1 не будет де-
литься на р (поскольку р — 1 не делит т по условию), и мы по-
лучаем, что Вт/m является p-целым числом.
§ 8] ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 431
Далее, пусть т' т (mod р — 1), и пусть г выбрано большим,
чем om + vP(m) и От’ + vp(m'). Тогда
В ,'Г~1
(ат—])-^ = 2 (mod Р)
1=1
И
В рГ-1
(а”*' —1)-—= 2 Ь™'~1(Р (modp).
i=l
Но хт = хт' (modp) при любом целом х, поэтому Вт//т' =
s= Bmhn (mod р), и теорема 5 доказана.
Теорема 6. Для чисел Бернулли В2т имеет место формула
52m = (-lf-1^gu2m), (15)
(2л)
где t,(2m') — значение ^-функции Римана £(s) при s = 2m.
Для доказательства воспользуемся разложением функции
1
Д“~7 па простейшие дроби:
4-00 оо
_j_=_±+y —1—= _± + ± + У__________________-___• аб)
Р - 1 2 „ ~ 2ш» 2 г ~ I' + (2лп)2 V '
Это разложение можно, например, вывести из чаще встречающе-
гося в учебниках разложения для котангенса
оо
. 1 , V 2z
etg z = Hz, —---s,
z ^2-w
eiz + e-iz 2i
воспользовавшись тем, что etg z = i -r---------r- = i + -^z--
glZ - e 12. e2l2 - |
(16) следует, что
Из
оо
-J— = 1 - _L + 2 2
e1 — 1 2 f -H (2лп)“
и так как —-----------7
t' + (2 ли)"
00
тп=1
(- If-1
то
t
4 — 1
оо оо
= 1—1+ 2 2 2 (-i)7”-1
п=1 т=1
Рт
(2лп)2т
t , X1 / л \”i-i 2g (2т) ,2т
Т + (" 1} •
432
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[ГЛ. V
Сопоставив это равенство с разложением (1) и приравняв коэф-
фициенты, мы и получим равенство (15).
Из формулы (15) можно получить представление о росте чи-
сел l-Bzml при возрастании индекса. Так как £(2m) > 1 и (2т)! >
> (2m/e)2m (это следует из известной формулы Стирлинга), то
/ т \2Ш
] В2т I > 2 I — I . В частности, мы получаем, что
В
2т
2т
при т оо.
—> оо
Замечание 1. Формуле (15) можно придать более естест-
венную с теоретико-числовой точки зрения форму, исключив из
нее трансцендентные величины. Как хорошо известно, функция
£(s) допускает аналитическое продолжение па всю плоскость
комплексного переменного s, является на ней мероморфной функ-
цией с единственным полюсом первого порядка в точке s = 1
(с вычетом 1) и удовлетворяет функциональному уравнению
^-^(l-s^cos^rCOUs),
(17)
где Г(а) — гамма-функция. Положим здесь s = 2m. Так как
Г(2т) = (2m — 1)!, то формула (15) преобразуется к виду
£(1 — 2m) = — 52m/(2m) (т>1). Если теперь принять во внима-
ние, что при m> 1 одновременно £(—2т) = 0 и B2m+i = 0, то
приходим к формуле
£(1 — п) = — BJn, п>1. (18)
Формулы (18) указывают нам на наличие глубоких свойств функ-
ции £(s), выражающихся в арифметической природе некоторых
ее значений.
Формулы, аналогичные формуле (18), имеют место и для зна-
чений L-функций L(s, %), рассматривавшихся в § 2 настоящей
главы. Именно, если % — примитивный числовой характер по мо-
дулю т > 1, то L(s, х) допускает аналитическое продолжение до
голоморфной функции па всей комплексной плоскости и для лю-
бого натурального п 1 имеет место формула
L(A — п, i) = —Bnt1i/n. (19)
В этой формуле В„ * — обобщенные числа Бернулли, связанные
с числовым характером х (все они содержатся в поле, получаю-
щемся присоединением к Q всех значений характера у).
Обобщенные числа Бернулли оказались весьма полезными в
теории круговых полей. В частности, с их помощью можно дать
более простые выражения для множителя Л*(2) числа классов.
Приведем определение обобщенных чисел Бернулли Вп> х и сфор-
мулируем некоторые их простейшие свойства.
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
433
§ 81
Пусть т — произвольное натуральное число (допускается
т— 1) и % — фиксированный примитивный числовой характер по
модулю т. Числа Вп х определяются разлон;ением по степеням t
мероморфной функции, стоящей слева:
т оо
V X («) teal _ V R tn
<7-~1 п=0 ”•
Если т = 1 и % = 1 — единичный характер (т. е. %(а) — 1 при
всеУ целых рациональных а), то Вп1=Вп при п > 2, Bh , = 1/2.
Аналогом соотношения (2) (в развернутой форме) для чисел Вп>х
является формула
п—1 т
СпВ^7_тп~к = п>1.
k=l а=1
В частности, при % ¥= 1 (ттъ > 1) имеем
- т
®о,х = 0,. *i,x = — X (а) а-
а^=1
Далее, /?„, х = 0, если х^-!) (—I)71, т. е. если характер х и чис-
ло п разной четности, кроме случая п = 1 и % = 1 (это аналог
теоремы 2). Обобщением для (5) является формула
(гт \ п
2 /(«)«")= 2 Скп+1Вкл(гт)”+1-к.
а=1 / k~0
Пользуясь обобщенными числами Бернулли, мы можем фор-
мулу (21) § 2 для нечетного примитивного характера х по мо-
дулю т переписать в виде L (1а х) = ~~ Отсюда полу-
чается повое выражение для первого множителя h* числа клас-
сов дивизоров Z-кругового ноля:
h*—h*(l) = 2l П
Х(—1)=—1 '
где х пробегает все нечетные характеры по простому модулю I.
Замечание 2. Сравнение Куммера (12) допускает обобще-
ние па случай модуля, являющегося степенью простого числа р.
Именно, если тип — четные натуральные числа, не делящиеся
на р — 1 и удовлетворяющие сравнению т = п (mod (р — 1)рЧ, то
(1 — pm~l)Bm/m= (1 — pn~l)BJn (modpw+1). (20)
Доказательство сравнений (20) основывается на тех Hie сообра-
жениях, что и доказательство теоремы 5 (см. [38], с. 239). Этим
сравнениям можно придать следующий смысл. Будем считать,
что р ¥= 2, и для четного а = 0, 2, ..., р — 3 через Са обозначим
434
аналитический метод
(ГЛ. V
множество натуральных чисел тп, сравнимых с а по модулю
р — 1. На числах т е Са зададим функцию
Fa(m) = (1 — рт~1)Вт/т. (21)
Сравнения (20) означают, что при а ¥= 0 функция Fa{m) непре-
рывна на Са в смысле р-адической метрики (значения Fa(m) и
Fa(n) сколь угодно близки друг к другу, если только аргументы
т и п достаточно близки). Но множество Со всюду плотно в коль-
це целых р-адических чисел Zp, поэтому функцию /'’„(иг) можно
продолжить до непрерывной функции на Zp с целыми р-адиче-
скими значениями.
Леопольдт [99] обратил внимание па следующее обстоятель-
ство. В силу формулы (18) функция Fa может быть задана также
равенством
Ео(тп) = —(1 — р’""1)^! — тп), т^Са.
Распространение функции Fa с Са на Zp можно иптерпретиро-
f 1 \
вать теперь как р-адическое продолжение функции — (1---- £ (s),
заданной на точках 1 — тп, тп <= Са, па все кольцо целых р-адиче-
ских чисел Zp- Обозначим это продолжение через £P>o(s). Все
функции о($) при а = 2, 4, . . ., р — 3 являются аналитическими
функциями от р-адического аргумента s е Zp- (Связи между
введенными функциями будут отмечены в замечании 3.)
Некоторое усовершенствование приведенной конструкции по-
зволяет построить функцию 0(s) и при а = 0. Ее значения
0(1 —тп) при met'o также совпадают с — (1 — р’"-1)£(1 — т),
однако эта функция будет голоморфной во всех точках s е Zp,
кроме точки s = l, где опа имеет особенность — полюс 1-го
порядка.
Подчеркнем еще раз, что построенные нами функции £p> „(з)
(число их равно (р — 1)/2) являются р-адическими продолжения-
ми функции —(1-------у ) £ (з), а не дзета-функции Римана £(з).
\ Р' )
Этому обстоятельству, т. е. необходимости введения указанного
множителя, можно дать следующее эвристическое объяснение
(но не строгое обоснование). Умножение £(з) на множитель
1----- означает, что из эйлерова произведения для £(s) выбро-
Р
шеи сомножитель, соответствующий простому числу р. При пере-
ходе от эйлерова произведения к ряду это соответствует
удалению из ряда всех слагаемых с п, делящимися на р. А при-
сутствие таких слагаемых явно привело бы к р-адической расхо-
димости ряда. (Выбрасывание из ряда членов, влекущих очевид-
ную расходимость, является обычным приемом регуляризации
расходящихся рядов; специфика нашего случая заключается в
§ 81
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
435
том, что эту операцию мы производим при s = 1 — rri, т. е. вне
области сходимости Re s > 1 ряда 2В”8')
Замечание 3. Аналогичным образом могут быть построены
р-адические продолжения и для L-рядов ZL(s, %) с произвольным
примитивным характером х- Основную роль в этом построении
играют обобщенные числа Бернулли х и формула (19).
Согласно задаче 3 § 3 гл. I отображение с —у (с) = lim с*>п,
п-»оо
(с, р) = 1, является примитивным характером по модулю
р, значения которого у(с) содержатся в кольце целых р-адиче-
ских чисел. Рассматривая произвольный числовой характер х,
мы можем считать, что все его значения %(а), а значит, и все числа
Ь’„ х содержатся в некотором конечном расширении поля Qp.
Имеет место следующий результат.
Для произвольного примитивного числового характера х и
произвольного простого числа р существует р-адическая функция
Lp(s, %), определенная па целых р-адических числах з (кроме
точки s = 1 в случае единичного характера х= D, обладающая
свойством
—«,Х) = -(1-(ХТ"п)(р)-Р?г“1)^„,х?-п/и, п>1. (22)
Если х 1, то LP(s, х) — аналитическая функция. Если же х= 1,
то ЛР(з, 1) — мероморфная функция целого р-адического аргумен-
та s с единственным полюсом 1-го порядка в точке s = 1. Для
нечетного характера х функция Ер(з, х) равна тождественно
пулю. Если же х — четный характер, то LP(s, у) — ненулевая
функция.
Для характера х = 1“ и для т е Са имеем
LP(1 — т, у") = —(1 — рт~'')Вт/т = Еа{т}.
Таким образом, построенные в замечании 2 функции о(з) сов-
падают с Lp(s, уа).
Пусть теперь F — вещественное абелево расширение поля ра-
циональных чисел степени п, соответствующее конечной подгруп-
пе X группы числовых характеров Ж (см. замечание в конце п. 1
§ 2). Так как F — вполне вещественное поле, то, согласно заме-
чанию к теореме 1 § 6, для F и для произвольного простого
числа р определен р-адический регулятор Кр(/Д. Справедлива,
оказывается, следующая формула:
2"~Ч (f) Rp (Л
.W)
Х6Х,Х¥=1
(23)
П
1
в которой h(F) — число классов, дивизоров и D(F)—дискрими-
нант поля F (р-адический регулятор и квадратный корень из
дискриминанта определены с точностью до знака, поэтому в ра-
венстве (23) необходимо надлежащее согласование этих знаков).
436 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД [ГЛ. V
Приведенная формула является р-адическим аналогом фор-
мулы, указанной в конце п. 3 § 2. Там же отмечалось, что для
вещественных подполей деления круга р-адический регулятор
отличен от нуля. Следовательно, для четных числовых характе-
ров х всегда £р(1, %) ¥=0.
В р-адическом поле число 1 может быть представлено в виде
предела чисел вида 1 — п с натуральными п. Поэтому ввиду фор-
мулы (22) значения £Р(1, %) могут быть р-адически аппроксими-
рованы обобщенными числами Бернулли. Это дает возможность
вывести сравнения (по модулю pw), связывающие левую часть
формулы (23) с числами В„, х.
По поводу замечаний 1, 2 и 3 см. работы [98], [99], [90],
[28], [31].
Замечание 4. Клинген и Зигель показали, что для любого
вполне вещественного поля алгебраических чисел К значения
дзета-функции Дедекинда £K(s) в целых отрицательных точках
всегда являются рациональными числами. Это открывает воз-
можность построения р-адических продолжений и для таких
функций (см. [131], [36]).
Задачи
1. Доказать, что (х + В)т = (х — 1 — 5)m, т 1.
7 1 [ 1 \
2. Доказать, что I + В I = I — 1I Вт
3. Пусть р — простое число =0= 2. Доказать, что
(P-D/2 р-i // 2 \ \
2 х 2 (mod/,)-
SC=1
4. Пусть р > 3 — простое число вида 47г + 3. Доказать, что число h клас-
сов дивизоров мнимого квадратичного поля Q (Д/—р)удовлетворяет срав-
нению
h = —25(р+1)/2 (mod р).
5. Доказать, что при простом р > 3
1+4“+“т+• • •+=° (m°d
6. Доказать формулу
7 s \т
(кх + В)т = к™-1 У Ь + —+ в|
S=0 4 '
(к и т — натуральные числа).
7. Для функции tg х имеет место разложение
я2”-1
tg* — rn(2n —1)!’
п«=г
§ 8]
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
437
где Тп = 22п(22п — 1) —Доказать, что все коэффициенты Тп—‘нату-
ральные числа.
8. Доказать, что при m i> 1
2B2m == 1 (mod 4).
9. Пусть q — такое простое число, что 2<? + 1 составное (например, q ~
s= 1 (mod3)). Доказать, что числитель числа Бернулли B2q содержит (в не-
сократимой записи) простое число вида 4я -{- 3.
10. Пусть pi, ..., ps — простые числа, большие 3, М — {pi — 1) ...
... (ра — I) и q — натуральное число, удовлетворяющее сравнению q ==
== 1 (mod АГ). Доказать, что пи одно из простых чисел pi, ..., ps не входит
в числитель дроби Biql(2q).
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем
характеристики #=2
В этом параграфе мы изложим ряд общих сведений о квад-
ратичных формах над произвольным полем. В случае общеиз-
вестных фактов мы ограничимся лишь формулировкой результа-
тов. Через К будем обозначать, без дополнительных оговорок,
произвольное поле, характеристика которого отлична от 2. Для
любой прямоугольной матрицы А через А' обозначается транс-
понированная с А матрица.
1. Эквивалентность квадратичных форм. Квадратичной фор-
мой над полем К называется однородный многочлен второ!! сте-
пени с коэффициентами из К. Всякую квадратичную форму /
п
можно записать в виде /= 2 Яцхрг,-, гДе аи~ал- Симметри-
гд=1
ческая матрица А = (aiS) называется матрицей квадратичной
формы f. Заданием своей матрицы квадратичная форма вполне
определена с точностью до наименования переменных. Опреде-
литель d = det А называется определителем квадратичной формы
f. Если d = 0, то форма f называется особенной, в противном слу-
чае — неособенной. Обозначая через X столбец из переменных
х,, х2, . . хп, мы можем квадратичную форму / записать в виде
f — X'AX.
Пусть вместо переменных xlt ..., хп введены новые перемен-
ные ijt, . .., уп по формулам
п
= 2 сиУр 1 i п, сц е К.
3=1
В матричной форме это линейное преобразование можно запи-
сать в виде X — CY, где Y — столбец из переменных yt, ..., у„,
& С — матрица (су). Подставив в квадратичную форму / вместо
Xi, ..хп их выражения через г/i, ..., у„, мы получим (после вы-
полнения всех необходимых действий) новую квадратичную
форму g (также над полем К) от переменных у^ ..у„. Матрица
Ai квадратичной формы g равна
At = C'AC. (1)
Две квадратичные формы fug называются эквивалентными,
/ ~ g, если существует неособенное линейное преобразование пе-
S 1]
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
439
ременных, при котором одна из этих форм переходит в другую
(с точностью до наименования переменных). Из формулы (1)
вытекает
Теорема 1. Если две квадратичные формы эквивалентны,
то их определители отличаются друг от друга на не равный нулю
множитель, являющийся квадратом в К.
Пусть 7 — произвольный элемент из К. Если в К существуют
элементы а15 ..а,., для которых /(а,, ..а„) = 7, то говорят,
что квадратичная форма j представляет у. Другими словами, эле-
мент 7 представим формой /, если он является значением этой
формы при некоторых значениях переменных. Легко видеть, что
эквивалентные квадратичные формы представляют одни и те же
элементы поля К.
Мы говорим, далее, что форма / представляет в поле К нуль,
если существуют пе равные одновременно пулю значения пере-
менных = (l^isSn), при которых /(а,, ..., а„)=0.
Свойство формы представлять нуль сохраняется, очевидно, при
переходе к эквивалентной форме.
Теорема 2. Если квадратичная форма f от п переменных
представляет элемент а¥=0, то она эквивалентна фюрме вида
ocxi + g . .., хп),где g — квадратичная форма от n—i пере-
менных.
Относительно доказательства этой теоремы заметим лишь сле-
дующее. Если /(oci, ..., а„) = а, то не все аг равны нулю, поэто-
му мы можем построить неособенную матрицу С, первая строчка
которой будет состоять из сц, .. ., ап. Если теперь форму / мы
подвергнем линейному преобразованию переменных с матрицей
С, то получим форму, у которой коэффициент при квадрате пер-
вой переменной будет равен а. Далее доказательство проводится,
как обычно.
Если матрица квадратичной формы диагональна (т. е. все
коэффициенты при произведениях различных переменных равны
пулю), то такую форму будем называть также диагональной. Из
теоремы 2 легко следует
Теорема 3. Всякая квадратичная форма над полем К при
помощи неособенного линейного преобразования переменных мо-
жет быть преобразована в диагональную форму. Другими слова-
ми, всякая квадратичная форма эквивалентна некоторой диаго-
нальной форме.
В терминах матриц теорема 3 означает, что для любой сим-
метрической матрицы А существует такая неособенная матрица
С, что матрица С АС диагональна.
2. Прямая сумма квадратичных форм. Так как наименование
переменных не играет существенной роли, то мы можем считать,
что две данные квадратичные формы / и g не имеют общих пере-
менных. В этом случае форма f+g называется прямой суммой
форм / и g и обозначается через f + g (не смешивать с обычным
440
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
сложением квадратичных форм, содержащих одни и те же пере-
менные). Очевидно, что если g ~ h, то f-t-g~ f + h. Оказывается,
последний факт допускает обращение.
Теорема 4 (теорема Витта). Пусть f, g и h — неособенные
квадратичные формы над полем К. Если формы f+g и f + h
эквивалентны, то формы g и h также эквивалентны.
Доказательство. Пусть /о—диагональная форма, экви-
валентная форме /. Тогда, как отмечено выше, / 4- g ~ /0 4- g и
j 4- h ~ /0 4- h, откуда /0 4- g ~ /0 4- h. Таким образом, мы можем
считать, что / — диагональная форма. Легко видеть теперь, что
для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай, ко-
гда / = ах$, а¥=0. Обозначим через А и В матрицы форм g и h
соответственно. Так как формы ах^ 4- g и ахо 4- h эквивалентны,
/у
то существует матрица С = I такая, что
Y ^'\[а
S’ Q'l \0
0\/у 5\ /а 0\
Л/ \Т QI = (О В Г
(Здесь S обозначает строчку, а Т — столбец.) Из этого равенства
получаем
Чга + Т'АТ = а, (2)
yaS 4- T'AQ = 0, (3)
S'aS + Q'AQ = B. (4)
Нам надо доказать, что существует неособенная матрица Со, та-
кая, что С0ЛС0 = В. Матрицу Со будем искать в виде
С„ = Q + ITS,
где элемент | должен быть надлежащим образом подобран. В си-
лу (2) и (3) имеем
С'0АС0 = (Q' + 1ST) A(Q + %TS) =
= Q'AQ + IS'T'AQ + IQ'ATS + tfS'T’ATS =
= Q'AQ + a[a-f)l2-2^]S'S.
Согласно равенству (4) последнее выражение будет равно матри-
це В, если (1 — 72)^2 — 2-fg = 1. Полученное уравнение, которое
можно записать также в виде В2 — (7В 4-I)2 = 0, относительно не-
известной § при любом 7 е К имеет в поле К решение £0 (на-
помним, что характеристика К не равна 2). Таким образом, мы
нашли матрицу Со = Q 4- ^0TS, для которой С0АС0 = В. Так как
по предположению матрица В неособенная, то Со — также неосо-
бенная. Теорема 4, таким образом, доказана.
S и
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
441
3. Представление элементов поля.
Теорема 5. Если неособенная квадратичная форма пред-
ставляет нуль в поле К, то она представляет также все элемен-
ты из К.
Доказательство. Так как эквивалентные формы пред-
ставляют одни и те же элементы поля, то достаточно доказать
теорему для диагональной формы /= aAxl + ... + апх2п. Пусть
«iai + • . + ап&п = 0 — представление нуля, и пусть у — произ-
вольный элемент поля К. Мы можем считать, что 0. Прида-
дим переменным х3, ..хп значения:
^i = a1(l + i), агк = аь(1 — t), k — 2,...,n,
где t — новая переменная. Подставив эти значения переменных
в нашу форму /, получим
/* = /* = 2ахоф — 2a3a|f — ; .. — 2anaznt =
Если мы теперь положим t = —^-5, то получим значение /* = у.
Теорема 6. Неособенная квадратичная форма / представ-
ляет элемент у =/= 0 из К тогда и только тогда, когда форма
— Ухо + / представляет нуль.
Доказательство. Необходимость условия очевидна. До-
пустим, что — у«о + / (ах, . .., an) = 0, причем не все at равны
/ a an\
нулю. Если а0 ¥= 0, то У = / — , . . ., — . Если же а0 = 0, то
\ “о о /
форма / представляет нуль, а тогда, по теореме 5, она представ-
ляет все элементы поля К.
Замечание. Из доказательства теоремы 6 ясно, что мы
получим все представления элемента у формой /, если только
нам будут известны все представления нуля формой — ух% -j- /
(достаточно знать все те представления, для которых хаУ=(У). Та-
ким образом, вопрос о представлениях неособенными квадратич-
ными формами отличных от нуля элементов поля К целиком
сводится к вопросу о представлениях нуля для неособенных
форм, число переменных которых на единицу больше. 4
Теорема 7. Если для формы /, представляющей нуль, из-
вестно какое-нибудь одно представление нуля, то можно найти
неособенное линейное преобразование переменных, при котором
форма f преобразуется к виду yiyz + g(y3, . .., y„).
Доказательство. Следуя доказательству теоремы 5,
прежде всего находим такие аь ..., ап, что /(ах, ..., а„) = 1.
По теореме 2 мы можем преобразовать / к виду жх+/х (ж3, • • •, жп)-
Так как для формы х{ 4- /1 мы знаем представление нуля, то
найдутся, очевидно, такие £4, ..., ^п, что Л(^2, . ^n) = —1-
442
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Опять применяя теорему 2, приводим ft к виду — х® + 8 (Уз> • • •» Уп)’
ПЛтагая Xi — х2 — yt, Xt + х2 = у2, получаем требуемый ре-
зультат.
Замечание. Предположим, что для всякой квадратичной
формы над полем К, представляющей пуль в этом поле, мы уме-
ем находить хотя бы одно представление нуля. Тогда любую не-
особенную форму мы сможем преобразовать к виду
У1У2 + • . • + yzs-tyis + h(y2.+i, • ., Уп\ (5)
где форма h уже не представляет нуля. Для произвольного пред-
ставления нуля формой (5) значение хоть одной из переменных
yt, У^ • • •? yzs-it yzs отлично от нуля. Чтобы найти все те пред-
ставления, для которых, например, yt = (Xi 0, мы должны пере-
менным у3, ..., уп придать произвольные значения а3, . .., а„,
а значение для у2 определить из уравнения
СС1У2 + аз«4 + ... + g(a2s+i, • •., an) = 0.
Таким образом, задача эффективного нахождения всех представ-
лений нуля (в поле 'К) произвольной неособенной квадратичной
формой будет решена, если только будет известен критерий, по-
зволяющий узнавать, представляет данная форма нуль или нет,
и, кроме того, если будет указан алгоритм, с помощью которого
для всякой формы, представляющей нуль, можно будет найти
хоть одно представление нуля.
Теорема 8. Пусть поле К содержит более пяти элементов.
Если диагональная форма агх1 + ... + ап.Гп, щ е К, представ-
ляет в поле К нуль, то для нее существует такое представление
нуля, при котором значения всех переменных отличны от нуля.
Доказательство. Докажем сначала, что если «с,2 ==).¥=
¥= 0, то для любого Ъ Ф 0 существуют такие отличные от пуля
элементы а и 3, что аа2 + ?ф2 = Л. Для доказательства этого фак-
та рассмотрим тождество
a-1)2 , ,
(t+1)3 (t+1)2
Умножив это тождество на «g2 = К, мы получим
/ + 4 \2 / 2? \2
+ЧД)=х- <б>
Выберем теперь в поле К элемент 7 Ф 0 так, чтобы значение
t = t0 =-^- было отлично от ±1. Поскольку каждое из уравнений
Ьх2 — a = 0 и Ьх2 + а = 0 относительно х имеет в поле К не более
двух решений, то всего в поле К имеем самое большее пять эле-
ментов, которые нельзя взять в качестве у. Так как по условию
поле К содержит более пяти элементов, то требуемый элемент 7
8 И
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
443
отличны от
называются
представля-
существует. Полагая в тождестве (6) t —t0, получаем
+ b( 2|' У —Л
и наше утверждение доказано. Теперь уже легко завершить до-
казательство теоремы. Если представление ахЙ + ... + antn = О
таково, что 0, ..., £г 0, gr+1 = ... = £„ = О, где г > 2, то, по
доказанному, можно найти такие а =^= 0 и 3 О, что аг$ = ага2 +
Д- аг+1р2, и мы получаем представление, у которого число не
равных нулю значений переменных на единицу больше. Повто-
ряя этот прием несколько раз, мы наконец придем к такому
представлению, у которого все значения переменных
нуля.
4. Бинарные квадратичные формы. Бинарными
квадратичные формы от двух переменных.
Теорема 9. Все неособенные бинарные формы,
ющие нуль в поле К, эквивалентны между собой.
Действительно, по теореме 7 все такие формы эквивалентны
форме г/1у2.
Теорема 10. Для того чтобы бинарная квадратичная фор-
ма f с определителем d =# 0 допускала представление нуля, необ-
ходимо и достаточно, чтобы элемент — d был квадратом в К (т. е.
-d = a2, аеЮ.
Доказательство. Необходимость условия вытекает из
теорем 1 и 7. Обратно, если / = ах2 + by2 и — d — — ab = а2, то
/(а, а) = аа2 + Ьа2 = 0.
Теорема 11. Для того чтобы две неособенные бинарные
квадратичные формы fug были эквивалентны над полем К, не-
обходимо и достаточно, чтобы, во-первых, их определители отли-
чались на множитель, являющийся квадратом в К, и, во-вторых,
чтобы в К существовал хоть один отличный от нуля элемент,
представимый одновременно обеими формами fug.
Доказательство. Необходимость обоих условий очевидна.
Для доказательства достаточности выберем в К элемент а ¥= 0,
представимый формами f и g. По теореме 2 формы fug эквива-
лентны соответственно формам вида fi = ах2 + f>y2 и = ах2 +
+ $'у2. Но по первому условию «3 должно отличаться от оД>’ на
множитель, являющийся квадратом, поэтому 3'= Зч2, Yе К,
а значит, Д ~ gr и f ~ g.
Задачи
1. Доказать, что особенная квадратичная форма всегда представля-
ет нуль.
2. Доказать, что для особенных квадратичных форм теорема 5, вообще
говоря, не имеет места.
3. Доказать, что если бинарная форма х2— ау2 представляет элементы
Tfi и 7г из К, то она представляет, и их произведение 7^2.
444
алгебраическое дополнении
4. Показать, что теорема 8 перестает быть справедливой для полей, чи-
сло Элементов которых не превосходит пяти.
5. Рассмотрим разбиение всех неособенных квадратичных форм от п =
= 0, 1,2, ... переменных над данным, полем К на так называемые классы
Витта (нуль мы трактуем здесь как неособенную форму от пустого мно-
жества переменных п считаем, что эта форма не представляет нуля). Мы го-
ворим, что формы fi и /г принадлежат одному и тому же классу Витта
[ft] = [/2], если при приведении этих форм к виду (5) формы h (не пред-
ставляющие нуля) для обеих форм, содержат одно и то же число перемен-
ных и эквивалентны. Сложение классов Витта определяется формулой
[/1] + [fz] = [fi 4- /г] - Показать, что относительно этого действия сложения
классы Витта образуют группу.
6. Определить группу классов Витта для квадратичных форм над полем
вещественных чисел и над полем комплексных чисел.
7. Доказать, что всякая квадратичная форма над конечным полем пред-
ставляет нуль, если только число ее переменных не менее трех (характе-
ристика =£ 2).
8. Доказать, что всякая неособенная квадратичная форма над конечным
полем 2 характеристики 2 от п 2 переменных представляет все эле-
менты а #= 0 из 2.
9. Доказать, что над конечным полем (характеристики 2) всякая
квадратичная форма от п переменных с определителем d #= 0 эквивалентна
форме ж* + ... + ^n-i + ^п-
10. Доказать, что две неособенные квадратичные формы от п перемен-
ных над конечным полем 2 характеристики ^=2 с определителями <?i и d2
эквивалентны тогда и только тогда, когда d? = rfig2 при некотором § У= 0
из 2. Таким образом, для любого п 1 над полем 2 существует ровно два
класса эквивалентных квадратичных форм от п переменных.
11. Пусть 2— конечное поле характеристики ^=2. Доказать, что группа
классов Вптта над полем 2 есть циклическая группа 4-го порядка, если —1
не является квадратом в 2, и есть прямое произведение двух циклических
групп 2-го порядка, если —1 = е2 (se 2).
12. Доказать, что группа классов Витта над полем К (характеристи-
ки #= 2) есть периодическая абелева группа показателя 2, если только в
этом поле —1 является квадратом.
§ 2. Алгебраические расширения
Ряд теорем этого параграфа приведен без доказательств. Их
доказательства читатель может найти, например, в книгах
[5], [16].
1. Конечные расширения. Если поле Й содержит поле к
в качестве подполя, то говорят, что Й является расширением
поля к. Желая подчеркнуть, что й рассматривается как расшире-
ние поля к, пишут Q/k. Если поле К есть подполе поля Й, со-
держащее А, т. е. к с: К Й, то К называется промежуточным
полем расширения Й/А.
Всякое расширение Й//с можно рассматривать как линейное
(векторное) пространство над полем к (относительно действий
сложения в Й и умножения на элементы из к).
Определение. Расширение К/к называется конечным,
если поле К, рассматриваемое как линейное пространство над к,
имеет конечную размерность. Эта размерность называется сте-
§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 445
пенью расширения К/к и обозначается через (К: к). Всякий
базис поля К как линейного пространства над к называется ба-
зисом расширения К/к.
Если расширение К/к конечно, то для всякого промежуточ-
ного поля Ка расширения KJk и К/Ка, очевидно, также конечны.
Справедливо и обратное утверждение.
Теорема 1. Пусть Ко — промежуточное поле расширения
К/k. Если расширения К/К^ и KJk конечны, то К/k также ко-
нечно и его степень равна произведению степеней расширений
К/Ко и KJk:
{K:k]=JK:KJ{Ka-.k].
Доказательство. Пусть 04, ..., 0т — базис К/К,,, а и15 ...
..., со„ — базис KJk. Так как каждый элемент из К может быть
представлен в виде линейной комбинации произведений <в,-0,-,
то расширение К/k конечно. Далее, легко видеть, что эти произ-
ведения линейно независимы над к, поэтому {К : к) — тп.
Для любого поля к через kJ] обозначается кольцо многочле-
нов от переменной t с коэффициентами из к.
Пусть QJk — расширение поля к. Элемент называется
алгебраическим над к, если он является корнем некоторого отлич-
ного от пуля многочлена /(<) из кольца k[t]. Выберем среди всех
многочленов /(f) (для которых а является корнем) многочлен
<pU)=7^O наименьшей степени и со старшим коэффициентом 1.
Так как каждый /(f) делится на <p(i) (в противном случае не рав-
ный нулю остаток от деления f на <р имел бы а своим корнем и
имел бы степень, меньшую степени ср), то указанными условиями
многочлен <p(f) определен однозначно. Он называется минималь-
ным многочленом алгебраического элемента к относительно
поля к. Минимальный многочлен ср s &[f] всегда неприводим, так
как из разложения ср gh следует, что а является корнем либо
g(f), либо hit). Любой элемент a s к алгебраичен над к, и его
минимальным многочленом является t — а. Элемент |s Q, не
являющийся алгебраическим относительно к, называется транс-
цендентным над к.
Расширение QJk называется алгебраическим, если всякий эле-
мент а е Q алгебраичен относительно к.
Теорема 2. Всякое конечное расширение К/k алгебраично.
Теорема 3. Пусть элемент а из расширения О./к алгебраи-
чен над к, и пусть его минимальный многочлен <p(i) е &[£] имеет
степень т. Тогда степени 1, а, ..., а”1-1 линейно независимы над
к и все их линейные комбинации
ай +а1а +... +ат~1ат~1 (1)
с коэффициентами а{ из к образуют промежуточное поле, обо-
значаемое через к(а). Расширение к(а)/к конечно и имеет сте- .
пень тп.
446
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Для сложения двух элементов поля На), написанных в виде
(1), мы должны, очевидно, сложить соответствующие коэффици-
енты. Чтобы произведение элементов £ = g(a) и T\ = h(a), где
g(i) и h(f) — многочлены из 7с[?] степени Сиг — 1, также пред-
ставить в виде (1), надо разделить gh на <р с остатком:
’ gtt')h(t') = + r(t),
где степень r(i) не превосходит т — 1; так как <р(а) = 0, то Вл =
= r(a). Таким образом, действие умножения в расширении ккаНк
вполне определено заданием минимального многочлена <р(£)
элемента а.
Пусть а17 ..., а3 — конечная система элементов поля Q, ал-
гебраических над к, и пусть т,, ..., ms — степени их минималь-
ных многочленов относительно к. Совокупность всех линейных
комбинаций элементов
«11 ... ass, 0 ^.r1<Z т1, .. ., 0 rs < ms,
с коэффициентами из к является промежуточным полем. Оно
обозначается через k(ai, ..., as) и называется полем, порожден-
ным элементами ои, ..., as. Его степень над к не превосходит
произведения m,... ms.
Всякое конечное расширение К/к, содержащееся в Q, может
быть представлено в виде К — k(at, ..., a3) при некоторых
а,, ..., а,.
Определение. Конечное расширение К/к называется
простым, если в нем существует такой элемент 0, что K = k(Q).
Всякий элемент ^К, для которого K — k(Q), называется при-
митивным элементом поля К относительно к.
Примитивные элементы поля К над к характеризуются, оче-
видно, тем, что степени их минимальных многочленов равны сте-
пени расширения К/к.
Теорема 4. Пусть £1/к и £Т/к— два расширения поля к,
и пусть алгебраические над к элементы 9ей и 0' е Q' имеют
один и тот же минимальный многочлен <р(£). Тогда существует,
и притом только один, изоморфизм поля А:(0) на поле /с(0'), при
котором 0 0' и а -* а при а^к.
Пусть m — степень многочлена <р(£). Изоморфизм /с(0) к(в'),
о котором говорится в теореме 4, совпадает с отображением
Но + Н10 + ... + am-,0"1-1 ->• a0 + «10' + ... + am-l0'm~‘ (2)
(a0, • • •, flm-i — произвольные элементы поля к).
До сих пор мы рассматривали конечные расширения К/к,
которые содержались в заранее заданном расширении Q./k. Перей-
дем теперь к вопросу о построении конечных расширений над
фиксированным основным полем к.
§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 447
Теорема 5. Пусть к — поле. Для любого неприводимого
многочлена <р(Й из кольца А;[£] степени п существует конечное,
расширение К/k степени п, в котором этот многочлен <р имеет
корень. С точностью до изоморфизма, оставляющего элементы из
к на месте, расширение К/к единственно. Если го(0) = 0, 0 е К,
то К = 7с(0).
Поле К (в случае п>1) строится следующим образом. Выбе-
рем некоторый новый объект 0 и рассмотрим совокупность К
всех формальных линейных комбинаций
а0 4- Я10 + ... + a„-t6n~l (3)
с коэффициентами «, из к. Если через g(i) мы обозначим много-
член а0 -+ att + ... + ап-^п~', то выражение (3) можно будет
записать также в виде g(0). Пусть £ = g(0) и ц = /г(0) — две
линейные комбинации вида (3) (g и h — многочлены из kit} сте-
пеней CJh —1). Обозначим через sit) сумму git) + hit), а через
rlt) — остаток от деления произведения glt)hlt) на (pit). Положим
В + п = $(0), = г(0). Легко проверяется теперь, что относитель-
но этих действий множество К является требуемым полем.
Следствие. Для любого многочлена fit) kit} существует
конечное расширение К/к, в котором fit) раскладывается на ли-
нейные множители.
Поле к, над которым не существует конечных расширений,
отличных от к, называется алгебраически замкнутым. Алгебраи-
ческая замкнутость поля к характеризуется, очевидно, тем, что
в кольце МЙ все многочлены раскладываются на линейные мно-
жители.
2. Норма и след. Пусть К/к — конечное расширение степени
п. Для произвольного а^К отображение £(£еК) явля-
ется линейным преобразованием К (как линейного пространства
над к). Характеристический многочлен falt) этого линейного пре-
образования называется также характеристическим многочленом
элемента а^К относительно расширения К/k. Если сш, ..., и„ —
базис расширения К/ки
п
сссо| = У a^jOj, a,j еее к, (4)
i=i
то, как известно, falt) = det ItE — (щ3)), где E — единичная мат-
рица n-го порядка.
Теорема 6. Характеристический многочлен fa(t) элемен-
та а К относительно расширения К/k равен степени его мини-
мального многочлена (palt) относительно к.
Доказательство. Пусть
cpalt) = Г + с1Г-1 + ... + ст.
По теореме 3 степени 1, а, ..., а”1-1 образуют базис расширения
kla)/k. Если 015 ..., 0. — базис K/kla), то в качестве базиса К/к
448
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
можно взять произведения
0lt a0i, ат-101; 0„ а0„ am-*0s.
Матрицей линейного преобразования £ а£ в этом базисе будет,
очевидно, клеточно диагональная матрица, все s диагональных
клеток которой совпадают с матрицей
/ 0 1 0 0 0 \
1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 0 0 1 j"
\ ' ст cih—1 ст—2 ~с2 ~CJ
Ее характеристический многочлен, как легко подсчитать, равен
tm + . + ст, т. е. равен <paU). Следовательно, /а = Фа,
и теорема 6 доказана.
Так как при переходе от одного базиса пространства к друго-
му матрица линейного преобразования заменяется подобной мат-
рицей, то определитель, и след матрицы (atj), определяемой ра-
венствами (4), не зависят от выбора базиса coj, ..., <вп.
Определение. Определитель det (afJ) матрицы (a,-j) из
п
разложений (4) называется нормой, а ее след Sp (a^) — У, a{i —
1=1
следом элемента ае К относительно расширения К/к. Норма
и след обозначаются соответственно через NK/tS.a) и Sp K/ft(a)
или, короче, через 2V(a) и Sp (a).
При а^к матрицей линейного преобразования В (Is
е К) будет диагональная матрица аЕ. Поэтому для элемента а
из основного поля к имеем NK/k(a) == ап, Sp x/k(a) = па. Так как
при умножении и сложении линейных преобразований их матри-
цы (при фиксированном базисе) умножаются и складываются,
то для любых элементов а и 3 из К имеем формулы
NK/h(a$) = NK/h(.a')NK/k^'), (5)
Spx/ft (a+ 0) = SpK/fl (a) + SpK/ft (₽). (6)
Матрица линейного преобразования В (а е к, К) по-
лучается из матрицы преобразования g умножением всех
элементов на а. Поэтому имеет место также формула
SpK/fc (аа) = a SpK/ft (а), а^к, а^К. (7)
Если а.=/= 0, то ввиду неособенности преобразования | а% нор-
ма 7VK/fe(a) также отлична от нуля. Формула (5) означает, следо-
вательно, что отображение a ->• NK!k(a) являртся гомоморфизмом
мультипликативной группы К* поля К в мультипликативную
группу к* поля к. Что касается отображения а -> SpK/fl(a), то
ввиду (6) и (7) оно является линейной функцией на К со значе-
ниями в основном поле к.
§ 2] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ 449
Теорема 7. Пусть Q/k — расширение, в котором характе-
ристический многочлен fa(t) элемента а К относительно конеч-
ного расширения К/k целиком раскладывается на линейные мно-
жители-.
fa(t) = (t — аД ... (t — a„).
Тогда
NK/h(a) =«!%.. .a„, SpK/k(a) = aI + a2 + ... + a„.
Доказательство. Если
fa(t) = det (tE — (a,,)) = tn + + ... + a„,
to at = — Sp (ац'), an = (—1)" det (ay). С другой стороны, по фор-
мулам Виета
ccj + a2+ ... + an = — at, at&2... an = (—!)”«„,
это и доказывает теорему.
Теорема 8. В обозначениях теоремы 7 для характеристи-
ческого многочлена fy(t) элемента у = g(a) & K(g(t) & kit]) в поле
Q имеет место разложение
(f — g(aj)(i —g(a2))... (t — g(a„)). (8)
Доказательство. Прежде всего заметим, что коэффи-
циенты многочлена (8), являясь симметрическими выражениями
от ai, ..., ап, принадлежат полю к. Пусть <рт(£) — минимальный
многочлен элемента у над к. Подвергая равенство <pT(g(a))=0
действию изоморфизма к(а) -+ к(а{) (при котором а-*а4 и а -► а
при а^к), мы получим <pT(g(af)) = 0. Все корни многочлена
(8) являются, таким образом, корнями неприводимого над к мно-
гочлена <рт(£), а это возможно лишь при условии, что он является
степенью <рт(£). Для окончания доказательства остается приме-
нить теорему 6.
Пусть к<= KczL — цепочка конечных расширений. Выберем
для К/к и L/К базисы вц, ..., и 0t, ..., 0m соответственно.
Для произвольного 7 s L положим
ТП П
y9j == CXjs CZjsG)j == &jsir
s=l r=i
Так как yco^j = 2 то SpL/K (у) = 2йян- С другой сто-
s, г 7 ij
роны, мы имеем также
®Рк/й (SPl/K (?)) = ®₽к/л(? = S a«fi'
Следовательно, для любого 7 s К
Spr/t ('f) — Spjt/t (Spt/jt (^)). (9)
Аналогичная формула имеет место и для нормы (задача 2).
450
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
3. Сепарабельные расширения.
Определение. Конечное расширение К/к называется се-
парабельным, если линейная функция £ ->• SpK/k (g), с^К, не
равна тождественно нулю.
Если характеристика поля к равна нулю, то SpK/(1(l) = n =
— (К: к). Следовательно, все конечные расширения поля характе-
ристики нуль сепарабельны. Это же, очевидно, справедливо и
для тех конечных расширений поля характеристики р, степень
которых не делится на р.
Выберем в конечном, сепарабельном расширении К/к базис
со,, ..., соп и рассмотрим матрицу
(Sp (ojitoj)) (10)
Если бы определитель этой матрицы был равен нулю, то в поле
к нашлись бы элементы с,, ..., с„, не равные нулю одновремен-
но, для которых
п
У Cj Sp = 0, i = 1, . . ., n.
3=1
Полагая у = Ci©, + ... + с„юп, мы можем последние равенства
переписать в виде
Зр(сО(7)=О, i=l, ..., п. (И)
Пусть — произвольный элемент из К. Так как у =/= 0, то £ мож-
но представить в виде £ = а^у + ... + ап(япу, а{^к, откуда
ввиду (6), (7) и (11) получаем, что SpB = O. Это, однако, проти-
воречит сепарабельности К/к. Таким образом, для сепарабельных
расширений матрица (10) всегда неособенная.
Определение. Определитель det(Sp (юг-<пл)) называется
дискриминантом базиса ©,, ..., ©„ конечного сепарабельного рас-
ширения К/k и обозначается через Dtoi, ..., ю„).
По доказанному дискриминант любого базиса конечного сепа-
рабельного расширения является отличным от нуля элементом
основного поля.
Пусть coj, ..., Ип— другой базис расширения К/к, и пусть
п
И; = У CjjCOj, i= 1, . . . , П.
3=1
Матрица (Sp(©i©j)) равна произведению (сч)(8р (©,©,)) (с,•,)'
(штрих обозначает транспонированную матрицу), поэтому
D (X, ..., con) = (det (с;>))2 D (ьц, . .., иэт). (12)
Таким образом, дискриминанты двух различных базисов отлича-
ются друг от друга на множитель, являющийся квадратом эле-
мента из основного поля.
Зафиксируем для расширения К/к какой-нибудь базис ©,, ...
..., ©п. Тогда для произвольных элементов ct, ..., сп поля к су-
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
451
§ 2]
ществует (и притом только один) элемент а&К, для которого
Sp (cOitz) = с(, i = п. (13)
Действительно, представив а в виде а =* ссдсщМ-... + zn(B„ (х}&к)
и подставив это выражение для а в равенства (13), мы получим
для определения xs систему п линейных уравнений с п неизвест-
ными и с отличным от нуля определителем. В частности, в поле
К можно найти п таких элементов и*, . .., ип, что
, [1 при i = /,
Sp (йЦСО; ) = { . (14)
v 3! (0 при 1=£]. '
Эти п элементов со* линейно независимы над к, так как если
Ci®! + . . . + cncon = 0 (С{ е к), то, умножая это равенство на ом
и переходя к следу, мы находим, что Ci =• 0 при всех i = 1, ..., п.
Определение. Базис их, . . ., и* сепарабельного расшире-
ния К/к, однозначно определяемый равенствами (14), называется
взаимным базисом для базиса ©i, ..., ©„•
Взаимный базис дает возможность записать в явном виде зна-
чения для коэффициентов af е к в разложении
а = ttj®! + ... + а„и„
произвольного элемента а из К. В самом деле, взяв след от про-
изведения a©i, мы получим формулы
а, = Sp(a®*), i = 1,
Предположим, что минимальный многочлен <p(i) некоторого
элемента а из сепарабельного расширения К/к раскладывается
целиком на линейные множители в расширении Q/k:
q)(£) = (t — сс±) ... (£ — am).
Из формулы (9) очевидным образом следует, что вместе с К/к
расширение к(а)/к также сепарабельно. Так как минимальный
многочлен ср является также и характеристическим многочленом
для а относительно к(а/)/к, то ввиду теорем 7 и 8
тп
SPwa)/fear =
а поэтому для дискриминанта 2X1, а, ..., am~l)=D базиса
1, а, ..а”1-1 расширения к(.а/)/к имеет место выражение
D = det { У, а]+= det(aj)-det(cxs) = JJ (сХ| — о^)2.
\ s=l /0«г,7<т—X
Но D ¥= 0, поэтому а,- =/= а,-, и мы доказали следующий, факт.
452
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Теорема 9. Минимальный многочлен любого элемента из
сепарабельного расширения не имеет кратных корней (в том
поле, где он раскладывается на линейные множители).
Элемент а из алгебраического расширения поля к называется
сепарабельным над к, если его минимальный многочлен <jpa(f) е
е &[/] не имеет кратных корней, и называется несепарабелъным
в противном случае. Согласно теореме 9 все элементы из конеч-
ного сепарабельного расширения К/к сепарабельны над к. Об-
ратно, если элемент а сепарабелен над к, то расширение kia)/k
сепарабельно.
Теорема 10 (о примитивном элементе). Всякое конечное
сепарабельное расширение К/k является простым, т. е. в нем су-
ществует такой элемент 0, что К ~ /с(0).
Теорема 11. Для конечного сепарабельного расширения
К/k степени п существует ровно п (и не более) изоморфизмов в
надлежащее расширение £2/к, при которых каждый элемент из к
отображается на себя. Если щ, ..., — все эти изоморфизмы, то
для любого элемента а^К его характеристический многочлен
fait) в поле Q имеет разложение
fa(t) = it — щ(а))(£ — о2(а)). ..it — onia)).
Элементы о4(а), ..., onia) (принадлежащие полю Q) называ-
ются сопряженными с элементом аеК. Образы оАК), ..., cniK)
поля К при изоморфизмах о« называются полями, сопряженными
с полем К. Если 0 — примитивный элемент поля К над к, то
очевидно, GiiK) => kiaiiQ)).
Следствие 1. В тех же обозначениях имеем
NK/ki^ = Oi(a)o2(a)... о„(а),
SpK/Jt (а) = о/а) + а2(а) + ... + ап(а).
Следствие 2. Для произвольного конечного расширения
поля рациональных чисел степени п существует ровно п изомор-
физмов в поле комплексных чисел.
Пусть coi, ..., <г»п — базис К/k. Так как Sp(tOj(O;) =
п
= 2 (мг) (®j), то матрица (Sp (сщсщ)) представляется в виде
s=l
произведения (щ(«ц))'(щ(с1ц)) (штрих обозначает транспонирова-
ние), а поэтому для дискриминанта базиса имеем также сле-
дующую формулу:
Di&i, ..., con) = (det(щ(<щ)))2. (15)
4. Нормальные расширения. Алгебраическое расширение Q/к
называется нормальным, если для любого элемента а е Q его
минимальный многочлен <ра(£) е /сШ в кольце Q[i] целиком рас-
кладывается на линейные множители.
Теорема 12. Всякое конечное расширение К/k можно по-
грузить в конечное нормальное расширение L/k ikcz К<= L).
S 2J
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
453
Если К = к(а!, ..as) и <pt(f), ..<p»(i) — минимальные мно-
гочлены элементов alt ..as относительно к, то в качестве L
можно взять расширение над К, в котором многочлен /(£) =»
“ Ф1(£)... cps(i) раскладывается на линейные множители (следст-
вие теоремы 5) и которое порождается всеми корнями /(£).
Пусть характеристика поля к равна р. Элемент а из алгебраи-
ческого расширения поля к называется чисто несепарабельным,
если содержится в к при некотором целом m > 0. Алгебраи-
ческое расширение Q/& называется чисто несепарабелъным, если
все элементы из Q чисто несепарабельны над к. Чисто несепа-
рабельное расширение нормально.
Автоморфизм о поля К (изоморфное отображение К на себя)
называется автоморфизмом расширения К/к, если o(a)=a при
всех a s к. Совокупность всех автоморфизмов расширения К/к
образует группу (произведение автоморфизмов пит определя-
ется как произведение отображений: (от)(ж) = о(т(ж)), х^К).
Если расширение К/к конечно, то его группа автоморфизмов G
также конечна и ее порядок не превосходит степени расширения
(К : к).
Определение. Конечное расширение К/к называется рас-
ширением Галуа, если порядок его группы автоморфизмов G ра-
вен степени (.К: к). Сама группа G называется в этом случае
группой Галуа расширения Галуа К/к.
Теорема 13. Для того чтобы конечное расширение К/к
было расширением Галуа, необходимо и достаточно, чтобы оно
было нормальным и сепарабельным.
Если G — произвольная конечная группа автоморфизмов поля
К, то через К° обозначают подполе неподвижных элементов, т. е.
тех элементов а&К, для которых о(«)=а при всех o^-G. Если
(? — группа автоморфизмов конечного расширения К/k, то это
расширение будет расширением Галуа тогда и только тогда,
когда Ка = к.
Если характеристика поля к равна 0, то понятие конечного
расширения Галуа над к совпадает с понятием конечного нор-
мального расширения.
Теорема 14. Пусть к — поле характеристики р, К/к —
конечное нормальное расширение, G — его группа автоморфизмов
и Ка = К° — подполе неподвижных элементов. Тогда К/Кв—
расширение Галуа с группой Галуа G, a KJk — чисто несепара-
белъное расширение.
Задачи
1. Пусть Q = к(х) есть поле рациональных функций от х с коэффици-
ентами из поля к. Доказать, что всякий элемент из Q, не принадлежащий к,
трансцендентен над к.
2. Пусть к с: К cz L — цепочка конечных расширений. Доказать, что для
любого 0 <= L справедлива формула
N Кп(Кь/к(Д)) = ЛТ/л(0).
454
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
(Предположить сначала, что L = Я(0), и рассмотреть для расширения L/k
базис o>,0J', где со; —базис К/к.) _ _
3. Найти в расширении Q С]/2 , "|/3 ) поля рациональных чисел Q при-
митивный элемент и выразить через него числа }'2 и ]3.
4. Доказать, что конечное расширение К/к является простым тогда и
только тогда, когда для этого расширения существует только конечное чис-
ло промежуточных полей.
5. Пусть к — произвольное поле характеристики j 0. Доказать, что
многочлен f (i) = iP — 1 — а (а е /с) либо целиком раскладывается в поле к
на линейные множители, либо неприводим. Показать, далее, что во втором
случае расширение k(Q)/k, где /(0) = 0, сепарабельно.
6. Пусть к0 — поле характеристики р 0 и к = ко (х) — поле рацио-
нальных функций от х с коэффициентами из к0. Показать, что многочлен
/(t) = t? — х неприводим в* кольце &[4]. Доказать, далее, что расширение
Лг(О)/Аг, где /(0) = 0, несепарабельно.
7. Доказать, что если для конечного расширения К/к степени п сущест-
вует п различных изоморфизмов в некоторое расширение Я/А-, оставляю-
щих элементы из к на месте, то это расширение К/к сепарабельно.
8. Пусть к — произвольное поле характеристики ф р, содержащее пер-
вообразный корень степени р из 1. Доказать, что если элемент а <= к не
является p-ii степенью элемента из к. то : й) = р.
9. Пусть К/к — конечное сепарабельное расширение и <р — линейная
функция на линейном пространстве К над полем к со значениями в к. До-
казать, что в поле К существует, и притом единственный, элемент а такой,
что
<₽(£) = SpK/ft(ag), "£<^К.
§ 3. Конечные поля
Поле 2 называется конечным, если оно состоит из конечного
числа элементов. Примером конечного поля является поле вы-
четов Fp в кольце целых рациональных чисел Z по простому
модулю р. Все конечные поля имеют простую характеристику,
и если характеристика некоторого конечного поля 2 равна р, то
это поле содержит простое подполе (не имеющее собственных
нодполей), которое изоморфно полю FP. Можно поэтому считать,
что Fpcr2. Расширение 2/FP, очевидно, конечно. Если его
степень равна т и если (щ, ..., ат — базис 2 над Fp, то каждый
элемент ^е2 однозначно представляется в виде £ = с1<в1 + ...
... + ста>т, где Ci независимо друг от друга пробегают все р эле-
ментов из Fp- Так как число всех таких линейных комбинаций
равно рт, то этим мы доказали, что число элементов любого ко-
нечного поля равно степени его характеристики.
Мультипликативная группа 2* конечного поля 2 является,
разумеется, конечной абелевой группой. Выясним ее строение.
Лемма. Конечная подгруппа G мультипликативной группы
К* произвольного поля К всегда циклична.
Доказательство. Покажем сначала, что если в абелевой
группе G существуют элементы порядков пг и п, то в G сущест-
вует также .элемент, порядок которого равен общему наименьше-
му кратному к чисел тип. Пусть элементы х и у из G имеют
КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
455
§ 3]
порядки тип соответственно. Если (т, п) — 1, то произведение
ху имеет, как легко видеть, порядок к — тп. В общем случае,
используя канонические разложения чисел т и п в произведения
степеней простых чисел, мы можем найти для них представления
в виде произведений
т = momi, п = п^
таких, что (иг0, п0) = 1 и к = тап0. Элементы х 1 и у 1 имеют по-
т1 П1
рядки т0 и п0 соответственно, а их произведение х у имеет
порядок к = тапа.
Пусть теперь G — конечная подгруппа порядка g мультипли-
кативной группы поля К. Если т есть наибольший из порядков
элементов группы G, то, очевидно, т g. С другой стороны, из
только что доказанного легко следует, что порядок любого элемен-
та из G является делителем т, т. е. все элементы группы G яв-
ляются корнями многочлена tm — 1. Но в любом поле многочлен
степени т не может иметь более т корней, поэтому g С т. Та-
ким образом, g = т, а это и означает, что группа G циклична.
Применяя доказанную лемму к интересующему нас случаю
конечного поля, получаем следующий факт.
Теорема 1. Мультипликативная группа конечного поля,
состоящего из рт элементов, есть циклическая группа порядка
pm - 1. '
Следствие. Всякое конечное расширение конечного поля
является простым.
Действительно, если 0 — образующий элемент группы 2*,
то, очевидно, Fp(0) = 2- Для промежуточного поля 20 тем более
2О(0)=2.
Из теоремы 1 вытекает также, что все элементы из 2 явля-
ются корнями многочлена tvm—t, а так как степень этого много-
члена равна числу элементов в 2, то в кольце 2[t] имеем раз-
ложение
Г-£ = П(^)
(% пробегает все элементы поля 2).
Теорема 2. Для простого числа р и любого натурального m
существует, и с точностью до изоморфизма только одно, конечное
поле, состоящее из рт элементов.
Доказательство. По следствию теоремы 5 § 2 над полем
Fp существует расширение Й/Fp, в котором многочлен — t
раскладывается на линейные множители. Обозначим через 2
совокупность всех его корней (содержащихся в Q). Так как в лю-
бом поле характеристики р справедлива формула
(z±y)*m~a?m±ypm,
то сумма и разность любых двух элементов из 2 также принад-
456
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
лежат 2. Совокупность 2 замкнута, очевидно, и относительно дей-
ствий умножения и деления (если делитель не нуль). Следова-
тельно, 2 является подполем поля Q. Многочлен tp — t не имеет
кратных корней (так как его производнаяpmtp -1 — 1 = — 1 не
обращается в нуль ни при каких значениях переменной £), по-
этому 2 состоит из рт элементов. Существование конечного поля
из рт элементов доказано.
Пусть теперь 2 и 2' — два расширения степени т над Fp.
Выберем в 2 примитивный элемент 0 (следствие теоремы 1) и
обозначим через <p(i) его минимальный многочлен. Так как cp(i)
является делителем многочлена t — t, а. последний многочлен
раскладывается на линейные множители и в 2', то q>(i) имеет
корень О'е2'. Расширение Fp (9')/Fp имеет степень, равную
степени многочлена cp(i), т. е. т, а потому Fp(9')=2'. Су-
ществование изоморфизма поля 2 на 2' следует теперь из теоре-
мы 4 § 2.
Конечное поле пз рт элементов обозначают обычно через
GF(pm) (и называют также полем Галуа — Galois field).
Следствие. Над конечным полем 20 = GF(pT) существуют
неприводимые многочлены произвольной степени п.
Действительно, рг — 1 является делителем ргп — 1, поэтому
все корни многочлена —t в поле 2 = GF(prn) образуют под-
поле, изоморфное полю 20. Мы можем, следовательно, считать,
что 2о с 2. Минимальный многочлен какого-нибудь примитив-
ного элемента 0 е2 относительно 20 будет неприводимым много-
членом из кольца 20[i] степени п, так как
(2 : 20) = (2 : FP)/(20 :F Р) = rnlr = п.
Заметим в заключение, что для выяснения того, является ли
данное конечное коммутативное кольцо полем, достаточно лишь
проверить, что оно не имеет делителей нуля. В самом деле, пусть
£) есть конечное кольцо без делителей нуля и пусть а — отлич-
ный от нуля элемент из £). Если axi = ах2, то a(xi — а:2) = 0, от-
куда Xi = х2. Таким образом, при различных хх и х2 произведе-
ния axi и ах2 также различны, и, значит, вместе с х произведе-
ние ах пробегает все элементы кольца £). Но в таком случае при
любом Ъ Ф 0 уравнение ах = Ъ разрешимо в £>, т. е. все отличные
от нуля элементы кольца О образуют группу по умножению.
Задачи
1. Показать, что число r(m) различных неприводимых многочленов сте-
пени m в кольце Fp [t], старшие коэффициенты которых равны 1, выража-
ется формулой
d|m ' ' s
(<f пробегает все делители m, а ц(к) обозначает функцию Мёбиуса).
§ 3]
КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
457
2. Найти все неприводимые многочлены второй степени над полем
Г = GF[(5).
3. Показать, что поле GF(pm) содержится в поле GF(pn) (в смысле
изоморфного вложения) тогда и только тогда, когда т | п.
4. Какую степень над Fp имеет поле разложения многочлена tn — 1?
5. Пусть 2 = GF(pm). Показать, что отображения сг;:
(i — 0, 1, ..т — 1) являются попарно различными автоморфизмами по-
ля 2 и что каждый автоморфизм 2 совпадает с одним из щ.
6. Пусть рТ — д, 2о = GF (д) и 2— конечное расширение поля степе-
ни п. Доказать, что отображения ge2, i = 0, 1, ..., п — 1, со-
ставляют полную систему п попарно различных автоморфизмов поля 2, не
меняющих элементов из 20. Показать, далее, что характеристический много-
член Д(г) элемента geS относительно 2/20 в поле 2 имеет разложение
(использовать теорему 8 § 2). Вывести отсюда, что
SP2/E0 (Е) = ? + б’ -Г • • + NS/S() (?) = ^+9+-+9”-1.
7. Доказать, что конечное расширение конечного поля всегда се-
парабельно.
8. В обозначениях задачи 6 показать, что всякий элемент поля 20 яв-
ляется нормой некоторого элемента из 2.
9. Пусть 2 = GF(pmr), рт = д, ае2. Доказать, что в поле 2 уравне-
ние © — § = а разрешимо тогда и только тогда, когда а4-а9+ ... + а? =
= 0.
10. Пусть е — первообразный корень простой степени р из 1. Так как
элементы простого подполя 20 = GF(у) поля 2 = GF (рт) являются клас-
сами вычетов в кольце целых рациональных чисел по модулю р, то имеет
смысл степень eSp1t при любом [ е 2 (след берется относительно расшире-
ния 2/20). Доказать, что
2esP^a=f° при а=/=0,
(у”1 при а = 0.
И. Пусть % — характер мультипликативной группы поля 2= GF(pm),
рт = q (относительно определения характеров см. § 5). Продолжим х на
все поле 2, положив X (0) = 0- Выражение
(7.) = 2 X© eSp“£, яе2,
les
являющееся комплексным числом, называется гауссовой суммой в конечном
поле 2. Предполагая, что характер х отличен от единичного характера Хо.
доказать формулы
Мх) = Х(а)-1И(х), «¥=0, 1 та(х) | = Тз, а¥=0,
2 та W = 0.
«7=0
12. Пусть /> #=2. Так как все квадраты в мультипликативной группе 2*
поля 2 = GF (рт) образуют подгруппу индекса 2, то, полагая ф (а) = + 1,
если а 0 является квадратом, и ф (а) = —1 в противном случае, мы
458
алгебраическое дополнение
получаем характер ip группы 2*. Доказать, что при оф =И= О
ТаОЮтцСФ) =t(—
13. Доказать, что при а 0 2 ~ а) = —
IG2
14. Пусть f(xt, ..., хп)— неособенная квадратичная форма определите-
ля 6 с коэффициентами из 2 = GF(pm), р™ = q, рф2, и пусть а —произ-
вольный элемент из 2. Доказать, что в поле 2 число решений N уравнения
/(zi, ..., хп) = а выражается формулами
Л’ = q2r + 5rip ((—1)габ), если п = 2r + 1,
Лт — q2r~l + wgr~Ii|)((—1)г6), если п = 2г,
*
где со = —1 при а=£0 и й = j - 1 при а = 0.
15. Пусть р и q — различные нечетные простые рациональные числа.
Для целого х соответствующие классы вычетов из полей GF (р) и GF(q)
будем обозначать той же буквой х. Для поля GF(q) выберем расширение Д,
в котором многочлен — 1 раскладывается на линейные множители, и че-
рез е обозначим какой-нибудь первообразный корень степени р из 1, содер-
( ¥ \
жащийся в Д. Символ Лежандра I — I совпадает, очевидно, с характером,
для поля GF(p), указанным в задаче 12. Так как его значениями яв-
( х \
ляются ±1, то можно считать, что I — Д. Доказать, что для «гауссовой
суммы»
xsGF(p) \ 1 !
имеют, место равенства
р-1
т2 = (- 1) 2 Р, (1)
т9 = ( «Л т. (2)
\Р )
16. Используя представление — | = р<9-1^2 символа Лежандра в поле
V q /
GF(q), вывести из формул (1) и (2) закон взаимности Гаусса
Р-1 ч-1 .
2 ’ 2 [ | _ /9. |
\q) \pj
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах
В этом параграфе под кольцом везде понимается коммутатив-
ное кольцо с единичным элементом 1 и без делителей нуля.
1. Делимость в кольцах. Пусть D — кольцо. Если для эле-
ментов аи^ОизО существует такой элемент что =
= а, то говорят, что а делится на делит а), и пишут р1а.
Так как D не имеет делителей нуля, то равенством = а эле-
мент § определен однозначно. Понятие делимости в произвольных
§ 4] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ 459
кольцах обладает, очевидно, всеми свойствами делимости для це-
лых рациональных чисел. Например, если чф и [И а, то yla.
Элемент 8е О, являющийся делителем единичного элемента
1, называется единицей кольца © (или обратимым элементом).
Теорема 1. Все единицы кольца £) образуют группу по
умножению.
Доказательство. Пусть Е есть совокупность всех еди-
ниц кольца ©. Если и ц^Е, то ее' = 1 и цт)' = 1 при не-
которых е' и ц' из ©. Но тогда er|(e/r)/) = 1, а значит, ei]e£.
Так как 1^Е и для каждой единицы е элемент е', определяемый
равенством ее'= 1, также является единицей, то Е — группа,
а это и утверждается теоремой.
Элементы а ¥= О и р ¥= О кольца © называются ассоциирован-
ными, если они делятся друг на друга. Из равенств а = и =
= ац т] «= ©) следует, что а — откуда 1 == ец (так
как с< =А 0 и в кольце нет делителей нуля). Таким образом, ас-
социированность двух элементов #=0 из © означает, что они от-
личаются друг от друга на множитель, являющийся единицей
в ©.
Пусть ц Ф 0 — элемент кольца ©, не являющийся единицей.
Говорят, что элементы ос и j) из © сравнимы между собой по
модулю ц, и пишут oc^p(modp), если их разность ос — ? де-
лится на ц. Для сравнений по модулю ц также справедливы
обычные свойства сравнений в кольце целых чисел. Для любого
а е © через ос обозначим совокупность всех элементов из ©,
сравнимых с а по модулю ц. Совокупность ос называется клас-
сом вычетов по модулю ц. Равенство а = р, очевидно, имеет
место тогда и только тогда, когда осs Р (mod ц). В множестве
классов вычетов по модулю ц можно определить сумму и про-
изведение классов, полагая
ОС + Р = ОС + оф = оф.
Поскольку в кольце © сравнения по модулю ц можно почленно
складывать и перемножать, то так определенные сумма и произ-
ведение классов не зависят от выбора представителей (вычетов)
ос и р. Простая проверка показывает, что относительно введен-
ных действий все классы вычетов по модулю ц образуют комму-
тативное кольцо с единичным элементом 1 (возможно, с делите-
лями нуля). Оно называется кольцом классов вычетов по моду-
лю ц.
Если в каждом классе вычетов по модулю ц выбрать по
представителю, то совокупность S всех таких представителей
называется полной системой вычетов по модулю ц. Полная си-
стема вычетов S характеризуется, следовательно, тем, что всякий
элемент кольца © сравним по модулю ц с одним и только с од-
ним элементом из S.
460
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
2. Идеалы. Подмножество А кольца © называется идеалом,
если оно является подгруппой аддитивной группы кольца £) и
если для любого a s А и любого | е D произведение принад-
лежит А. Подмножество, состоящее из одного нуля, а также все
кольцо О являются тривиальными примерами идеалов. Первый
из этих идеалов называется нулевым, а второй — единичным.
Пусть а15 ..., ат — произвольные элементы кольца £>. Оче-
видно, что совокупность А всех линейных комбинаций .
... + gmam этих элементов с коэффициентами из £> является
идеалом кольца £>. Он называется идеалом, порожденным элемен-
тами ai, ..., ат, и обозначается через А = (а15 ..., am). Элементы
ab ..., am называются при этом образующими идеала А. В об-
щем случае не для всякого идеала существуют конечные системы
образующих. Идеал А называется главным, если для него су-
ществует система образующих, состоящая из одного элемента,
т. е. еслп он имеет вид А = (а). Ненулевой главный идеал (о^
состоит, очевидно, из тех элементов кольца £>, которые делятся на
а. Нулевой и единичный идеалы главные: нулевой идеал порож-
дается нулем, а единичный — произвольной единицей е кольца £>.
Два главных идеала (а) и (Р) совпадают тогда и только тогда,
когда а п Р ассоциированы между собой.
Пусть А п В — два идеала кольца £>. Совокупность всех эле-
ментов | eD. представимых в виде
| = +... + a,p„
где и $^В (s > 1), является также идеалом в £>. Этот
идеал называется произведением идеалов А и В и обозначается
через АВ. Так как умножение идеалов коммутативно ц ассоциа-
тивно, то все идеалы (коммутативного) кольца О образуют отно-
сительно действия умножения коммутативную полугруппу.
Два элемента а и из О называются сравнимыми по модулю
идеала А, в обозначении а^р(тойЛ), если их разность a —р
принадлежит А, т. е. если а и j) принадлежат одному и тому же
классу смежности по аддитивной подгруппе А. Ясно, что срав-
нение a = р (mod А) имеет место тогда и только тогда, когда a =
= р, где под у понимается класс смежности по подгруппе А с
представителем у е О. Отношение сравнимости по модулю идеала
в случае главного идеала (ц) совпадает со сравнимостью по мо-
дулю элемента ц (см. п. 1). Рассмотрим фактор-группу £>/Л
аддитивной группы кольца D по подгруппе А. В случае, когда
подгруппа А есть идеал, в фактор-группе £>/Л можно определить
умножение. Именно, для а и р, из £>/Л положим
сф = а^.
Если а = а( и p = pf, то ввиду равенства a^j — ар = аДР1 — р)4-
+ p(ai — а) и ввиду того, что ai — а и р4 — Р принадлежат А,
§ 4] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ 461
имеем аф4 оф (mod Л)_(здесь существенно, что Л —идеал),
а значит, произведение оф не зависит от выбора представителей
а и р. Легко проверяется, что относительно этого действия умно-
жения, а также действия сложения а + j) = а + р фактор-группа
©/Л является кольцом. Кольцо ©/Л называется фактор-кольцом
кольца © по идеалу Л. В случае главного идеала (ц) фактор-
кольцо ©/(ц) совпадает с кольцом классов вычетов по модулю ц.
3. Целые элементы. Всякое кольцо о (коммутативное и без
делителей нуля) можно вложить в поле. Чтобы показать это,
рассмотрим совокупность всех формальных дробей а/b, где а и
Ъ — элементы из о, причем Ъ ¥= 0. Две дроби а/b и c/d называ-
ются равными тогда и только тогда, когда ad = be. Сложение и
умножение определяем формулами
а с ad-^bc ас ас
b d bd ’ b d bd’
Легко проверяется, что эти действия согласованы с условием
равенства, а также что относительно них все рассматриваемые
дроби а/Ъ образуют поле. Обозначим это поле через ка. Если дро-
би вида а/1=ас/с (с#=0) мы отождествим с элементами я =
то о будет подкольцом поля к0. Каждый элемент из к0 является,
очевидно, отношением двух элементов из о.
Пусть теперь О — произвольное поле, содержащее о в качестве
подкольца. Совокупность к всех отношений а/b, где а и b при-
надлежат о (6=/=0), является подполем поля Q. Это подполе на-
зывается полем отношений кольца 0. Легко видеть, что поле к
изоморфно построенному выше полю ко, а значит, оно определено
кольцом о однозначно (с точностью до изоморфизма).
Определение. Пусть кольцо о содержится в поле Q.
Элемент ае Q называется целым относительно о, если он явля-
ется корнем многочлена с коэффициентами из о, старший коэф-
фициент которого равен 1.
Так как всякий элемент является корнем многочлена
t — а, то все элементы из о являются целыми относительно 0.
Пусть 0)1; ..., сот — произвольные элементы из Q. Совокуп-
ность М всех линейных комбинаций щсщ + ... + amt>)m с коэффи-
циентами ai <= о назовем о-модулем в й с конечным числом обра-
зующих, а сами элементы сщ, ..., сот — образующими о-модуля
М. Так как 1 <= о, то все со,- содержатся в М.
Лемма 1. Если о-модулъ М с конечным числом образующих
является кольцом, то все его элементы целые относительно о.
Доказательство. Мы можем, конечно, считать, что не
все оц равны нулю. Пусть а — произвольный элемент из М, Так
как при любом i произведение а®; принадлежит М, то
тп
а®, = 2 «у®;, ai, e о, i = 1, ..., m.
7=1-
462
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Отсюда следует, что det (аЕ — (а«)) =0 (Е— единичная матрица
порядка тп). Таким образом, элемент а является корнем много-
члена f(t) = det (tE— (ay)) с коэффициентами из о и со старшим
коэффициентом 1, а это и доказывает лемму.
Теор е м а 2. Совокупность D всех целых относительно о
элементов из Q является кольцом.
Доказательство. Нам надо проверить, что сумма, раз-
ность и произведение двух целых элементов а и из Q являют-
ся также целыми элементами поля Q. Если а и j) являются соот-
ветственно корнями многочленов
Г - amim_I a15 tn - bntn~l -...-b^
где а,- и bj — элементы из о, то
a'" = a, + a2a + ... + amam-1, = 6, + &2{3 + ... +
Отсюда легко следует, что 0-модуль, состоящий из всех линей-
ных комбинаций произведений
a'’jP, 0 I < тп, 0 < j < п, (1)
с коэффициентами из о, является кольцом (так как произведение
ak$l при любых к > 0 и I > 0 может быть представлено в виде
линейной комбинации элементов (1) с коэффициентами из о). По
лемме 1 все элементы этого кольца целые относительно о; в част-
ности, целыми будут a + 3 и оф. Теорема 2 доказана.
Определение. Пусть о — подкольцо поля Q. Совокупность
О всех элементов Q, целых относительно о, называется целым
замыканием кольца о в поле Q.
Определение. Подкольцо поля К называется цело-
замкнутым в К, если его целое замыкание в К совпадает с ©0.
Кольцо о называют просто целозамкнутым, если оно целозамк-
нуто в своем поле отношений к.
Теорема 3. Пусть о — подкольцо поля Q. Целое замыкание
£) кольца о в поле Q целозамкнуто в £2.
Доказательство. Пусть 0 — произвольный элемент из
О, целый относительно ©, так что
0п = <Х1 + ос20 + ... + a„0n_1, (2)
где все а,- принадлежат ©. Нам надо доказать, что 0 Для
каждого i = l, ..., п при некотором иг,- имеет место равенство
тг
а™1 = 2 а^аф-1, аие о (3)
7=1
(так как а,- целый относительно о). Рассмотрим 0-модуль М, по-
рожденный произведениями
oci1 ... a„n0ft, 0 <3 ki < иг,, 0 <3 к < п. (4)
Из (2) и (3) легко следует, что всякое произведение сД'-.-аДЮг
$ 4] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ 463
« неотрицательными показателями может быть выражено в виде
линейной комбинации элементов (4) с коэффициентами из о,
а значит, модуль М является кольцом. По лемме 1 все элементы
из М целые относительно о. Целым, в частности, является и 9,
а это и требовалось доказать.
Лемма 2. Пусть кольцо о целозамкнуто в своем поле отно-
шений к, и пусть старший коэффициент многочлена f(t)е о[Д
равен 1. Тогда, если старший коэффициент делителя kltl
многочлена /(£) равен 1, то q>(t)so[t].
Доказательство. Рассмотрим над полем к расширение
О./к, в котором /(£) раскладывается на линейные множители
(следствие теоремы 5 § 2). Все корни /(f) принадлежат, очевид-
но, целому замыканию © кольца о в поле Q. В частности, кольцу
© принадлежат п все корни cp(i). Но из разложения ф(0 —
= А — цА .. At — ys) следует тогда, что все коэффициенты q>(.t)
принадлежат ©, а так как © П к = о (ввиду целозамкнутости о),
то эти коэффициенты принадлежат о, что и требовалось доказать.
Из леммы 2 очевидным образом вытекает следующий факт.
Теорема 4. Пусть кольцо о целозамкнуто в своем поле от-
ношений, и пусть Q/k — алгебраическое расширение поля к. Для
того чтобы элемент а е О был целым относительно о, необходи-
мо и достаточно, чтобы все коэффициенты его минимального
многочлена принадлежали о.
4. Дробные идеалы.
Определение. Пусть © — произвольное кольцо и К —
его поле отношений. Подмножество Ас К, содержащее отличные
от нуля элементы, называется идеалом поля К (относительно
кольца ©), если оно обладает свойствами’.
1) А является группой относительно действия сложения’,
2) для любого и любого se© произведение ga принад-
лежит А;
3) в поле К существует такой элемент у^О, что уА <= ©.
Идеал А называется целым, если он содержится в ©, и дроб-
ным в противном случае.
Понятие целого идеала в К совпадает, таким образом, с поня-
тием ненулевого идеала кольца ©.
Если А и В — два идеала поля К, то под их произведением
АВ понимается совокупность всех элементов це= К, представи-
мых в виде
у = ociPi +... + am^m, m Э* 1, а,-е А, s В, 1 i тп.
Очевидно, что произведение двух идеалов поля К является также
идеалом поля К. (В применении к целым идеалам введенное ум-
ножение совпадает с обычным умножением идеалов в кольцах.)
Если А и В — два идеала поля К (относительно ©), то через
А : В обозначается идеал поля К, состоящий из всех тех § е К,
464
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
для которых £5 <= А. Легко видеть, что
А: В= П 40-1,
РгВ,р?Ч)
где 0 пробегает все отличные от нуля элементы идеала В.
Идеал 7© ("f s К*), состоящий из произведений где £
пробегает все элементы из ©, называется главным идеалом
поля К.
Задачи
1. Идеал А кольца © называется максимальным, если А Ф © и если вся-
кий промежуточный идеал В (для которого А с В cz О) совпадает либо с А,
либо с О. Доказать, что идеал А максимален тогда и только тогда, когда
фактор-кольцо £)/А есть поле.
2. Пусть в поле Q имеем подкольца о cz ©п ст ©. Доказать, что если каж-
дый элемент из ©0 целый над о и каждый элемент из О целый над ©о, то
все элементы из О целые над о.
3. Доказать, что если кольцо о целозамкнуто, то кольцо многочленов
c[Z] с коэффициентами из с также целозамкнуто.
4. Пусть © — подкольцо поля К, обладающее свойством: если элемент
0 из X не содержится в ©, то g-1 е ©. Доказать, что кольцо © цело-
замкнуто.
5. Пусть в кольце © с полем отношений К выполнено следующее усло-
вие: если для элемента В 0 из К все его степени (п 0) содержатся
в некотором главном (дробном) идеале 7© то ;е©. Доказать, что
тогда кольцо О целозамкнуто. Кольцо О, удовлетворяющее условию задачи,
называется вполне целозамкнутым.
6. Доказать, что если целозамкнутое кольцо нётерово (всякий идеал
кольца порождается конечной системой элементов), то оно и вполне це-
лозамкнуто.
7. Пусть К = Q (ж)— поле рациональных функций от -одной перемен-
ной х над полем рациональных чисел Q. Каждый элемент из К од-
нозначно представляется в виде
где многочлены / и g из Q [ж] таковы, что g(0) = 1 и /(0) = а =0= 0. Зафик-
сируем простое рациональное число р и обозначим через © подмножество
в К, состоящее, помимо нуля, из тех элементов и е К*, для которых в пред-
ставлении (5) либо m > 0, либо m = 0 и рациональное число а — f-(0) не
содержит р в знаменателе (в несократимой записи). Нетрудно проверить,
что © — подкольцо поля К. Доказать, что кольцо © целозамкнуто, но не яв-
( 1
ляется вполне целозамкнутым (все степени — ,п 0, содержатся в глав-
\ Р /
ном идеале ж-1©).
8. Пусть © — кольцо с полем отношений К. Идеал поля К (относитель-
но ©) называется d-идеалом, если он является пересечением некоторого се-
мейства главных идеалов поля К (вообще говоря, дробных). Доказать сле-
дующие утверждения:
1) если пересечение системы d-идеалов ненулевое, то оно является
d-идеалом;
2) вместе с А идеал fA (у е К*) также является d-идеалом;
3) для d-идеала А и любого идеала В поля К идеал А : В является
d-идеалом;
4) если для идеалов А и В имеем АВ = ©, то Л и В являются
d-идеалами.
S 5]
ХАРАКТЕРЫ
465
§ 5. Характеры
В этом параграфе мы изложим некоторые сведения о харак-
терах конечных абелевых групп и числовых характерах.
1. Строение конечных абелевых групп. Строение произволь-
ных конечных абелевых групп определяется следующей тео-
ремой.
Теорема 1. Всякая конечная абелева группа может быть
представлена в виде прямого произведения циклических под-
групп.
Согласно задачам 1 и 2 конечная циклическая группа нераз-
ложима в прямое произведение собственных подгрупп тогда и
только тогда, когда ее порядок есть степень простого числа. Если
поэтому в некотором разложении конечной абелевой группы G
в прямое произведение G-— At X ... X А3 циклические сомножи-
тели Л,- не допускают дальнейшего разложения, то их порядки
являются степенями простых чисел. Разложение группы G в
прямое произведение неразложимых сомножителей определено,
вообще говоря, неоднозначно. Однако набор порядков неразложи-
мых циклических сомножителей At определен для данной группы
G единственным образом. Эти порядки (являющиеся степенями
простых чисел) называются инвариантами конечной абелевой
группы. Произведение всех инвариантов данной группы равно,
очевидно, ее порядку.
2. Характеры конечных абелевых групп.
Определение. Характером конечной абелевой группы G
называется гомоморфное отображение G в мультипликативную
группу поля всех комплексных чисел.
Другими словами, характер группы G — это такая не обра-
щающаяся в нуль комплекспозначная функция х на G, для ко-
торой
%(a:y) =%(z)x^y) (D
при любых хну из G.
Так как при всяком гомоморфизме групп единичный элемент
отображается на единичный, то /(1) = 1, т. е. значение всякого
характера х на единичном элементе группы всегда равно еди-
нице. Если элемент х & G имеет порядок А, то
(x(x))'I = x(a:'1) =х(1) = 1, (2)
т. е. уфх) является корнем степени к из 1. Если пг есть наиболь-
ший из порядков элементов группы G, то согласно задаче 3 по-
рядок всякого элемента из G будет делителем пг. Любое значение
х(х) является, следовательно, корнем степени пг из 1, а значит,
характеры можно определить также как гомоморфизмы G в груп-
пу корней m-й степени из 1.
Представим группу G в виде прямого произведения цикличе-
ских - подгрупп: G = {щ} X ... X {as}. Так как каждый элемент
466
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
х е G может быть записан в виде
х = а/... as , (3)
а в силу (1) X (%) = Х(а1)й1 • • • X(as)fts, то получаем, что характер
X вполне определен значениями у^а,), ..., %(а,). Если щ имеет
порядок т>, то ввиду (2) х(щ) есть корень степени т( из 1.
Обратно, выберем произвольно для каждого i = 1, ..., s какой-
нибудь корень ef степени т; из 1 и для элемента х е G, представ-
ленного в виде (3), положим
Х(ж) = ей1 ... 6Х (4)
Легко видеть, что значение (4) не зависит от выбора показателей
к{ в представлении (3) (каждый показатель к; определен по мо-
дулю иг,), а также что так определенная однозначная функция
X на G удовлетворяет условию (1) и является, следовательно,
характером группы G. Корень е,- можно выбрать mt способами,
поэтому мы имеем всего пц ... ms различных функций х вида (4).
Мы получили, таким образом, следующую теорему.
Теорема 2. Число всех характеров конечной абелевой груп-
пы равно ее порядку.
Определим умножение характеров. Для характеров х и 7.'
группы G положим
^yy^ix) =у{х')у'(.х), x^G.
Очевидно, что функция хх' также является характером группы
G. Характер Хо, для которого хо(^) = 1 при всех х G, называ-
ется единичным. Ясно, что хХо — X для любого характера х- Если
для произвольного характера х группы G мы положим
у(х) = у(х), x^G,
где х(^) — комплексно сопряженное число для %(х), то функция
X также будет характером группы G, при этом XX = Х°- Так как
умножение характеров, очевидно, ассоциативно, то мы получаем,
что все характеры конечной абелевой группы относительно вве-
денного действия умножения образуют группу.
Пусть G = {а} — циклическая группа порядка т и е — фикси-
рованный первообразный корень степени т из 1. Обозначим
через х тот характер группы G, для которого у(а) = е (и, значит,
Х(а*) == eft)• Так как у£\а) — ег, то характеры Хо = Х”\ X, X2, •••
• • X™-1 попарно различны и, следовательно, исчерпывают собой
всю группу характеров группы G. Мы видим, таким образом, что
группа характеров для конечной циклической группы также цик-
лична. В общем случае легко может быть доказана теорема:
всякая конечная абелева группа изоморфна своей группе ха-
рактеров.
ХАРАКТЕРЫ
467
§ 5]
В произвольной абелевой группе G порядка п рассмотрим
подгруппу Н порядка т. Если характер % группы G рассматри-
вать лишь на элементах подгруппы Н, то полученная функция
будет, очевидно, характером группы Н. Обозначим этот характер
через х- Ясно, что отображение % % является гомоморфизмом
группы характеров X группы G в группу характеров Y подгруп-
пы Н. Обозначим через А его ядро. Характеры % из А характе-
ризуются тем, что %(z) => 1 при всех z<=H. Если 7,е/1. а х и х'
принадлежат одному и тому же классу смежности G по Н, то,
очевидно, %(z)= х(ж').Полагая %(л:) = %(х), где /е/1, а х — класс
смежности G по Н с представителем хе G, мы получаем одно-
значную функцию х на фактор-группе GUI., и эта функция явля-
ется характером группы G/Н. Обратно, если ip — произвольный
характер фактор-группы G/Н, то, положив
xtx') = ij?(х), х е G,
мы получим характер %<= А, для которого % = Так как при
отображении % % ('/.еЛ) различным характерам из А отве-
чают различные характеры фактор-группы G/Н, то нами дока-
зано, что число характеров %, принадлежащих А, равно числу
характеров группы G/Н, т. е. равно п/т (теорема 2). Но в таком
случае образ группы X при гомоморфизме % % (группы X в
группу У) будет иметь порядок п : = т, а так как по теореме
2 группа У также имеет порядок т, то этот образ совпадает с У.
Это значит, что всякий характер группы Н имеет вид % при некото-
ром характере % группы G. Ясно, что число характеров % <= X,
индуцирующих один и тот же характер на Н, равно n/m = (G :Н'>.
Нами доказана следующая теорема.
Теорема 3. Если G — конечная абелева группа и Н — ее
подгруппа, то любой характер группы Н может быть продолжен
до характера группы G и число таких продолжений равно ин-
дексу (G : Я).
Следствие 1. Если х — отличный от единицы элемент из
G, то существует такой характер % группы G, что %(х) ¥= 1.
Действительно, рассмотрим циклическую группу {х} = Я.
Так как ее порядок больше 1, то на Я существует неедйничный
характер %', для которого, следовательно, x'Gr) ¥= 1. Продолжив
до характера группы G, мы и получим требуемый характер %.
Следствие 2. Если элемент х из G не содержится в под-
группе Н, то существует характер % группы G, для которого
%(z) ¥= 1 и — 1 для всех ze Я.
Действительно, единичный характер группы Я можно продол-
жить до неединичного характера подгруппы {х, Н}, который в
свою очередь может быть продолжен до характера группы G.
468
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Установим теперь некоторые соотношения между значениями
характеров. Если %0 — единичный характер, то 'fc(x') = 1 при всех
xe=G, а потому У гХ.0(х) = п, где п — порядок группы G. Пред-
хеб
положим, что характер % отличен от Хо, так что %(z) 1 для
некоторого z е G. Если х пробегает все элементы группы G, то
zx также будет пробегать все элементы из G. Полагая 5 = 2 "/„(я),
хес
имеем, следовательно,
5 = 2 Х(») = 7.(^.
x~G
Ввиду условия /(z) =/= 1 полученное равенство возможно лишь
при 5 = 0. Таким образом, мы имеем формулу:
x=G
рг, если X = Zo,
(О, если Х=#Хо-
(5}
Значение любого характера % на единичном элементе группы
равно единице, поэтому У х (1) = п (здесь и далее % пробегает
%
все характеры группы G). Положим Т = У/. (т). По следствию 1
X
теоремы 3 существует характер %', для которого (если
х¥=1). Вместе с % произведение также пробегает все харак-
теры группы G. Поэтому
т = 2 (х'х) U) = 2 7/ (*) х (*) = х' (*) т,
7 7.
а так как х ^^ 1, т0 Т = 0. Этим доказана формула:
[п, если х — 1,
2x(z) = L ,л (6)
х (0, если х =5^1. v '
3. Числовые характеры. Для натурального числа тп через G-.
обозначим группу относительно действия умножения классов вы-
четов по модулю m целых рациональных чисел, взаимно простых
с тп. Класс чисел по модулю т, содержащий а в качестве пред-
ставителя, будем обозначать через а.
Каждому характеру х группы Gm мы можем естественным об-
разом сопоставить функцию х* на всех целых рациональных
числах а, взаимно простых с т, полагая %*{а) =у^а). Распрост-
раним эту функцию х* на все целые рациональные числа,
считая, что х*(н)=0, если только а и т не взаимно просты.
Так полученная функция х* (определенная на всех целых рацио-
нальных числах) называется числовым характером по модулю т.
В дальнейшем х* будет обозначаться той же буквой х> чт° и ис-
ходный характер на группе Gm. Ясно, что различные характеры
ХАРАКТЕРЫ
469
§ 5]
группы Gm порождают различные числовые характеры, так что
число числовых характеров по модулю тп равно ф(тга).
Из определения легко вытекают следующие свойства число-
вых характеров:
1° Для любого целого рационального а значение у(а) есть
комплексное число, причем ¥= 0 тогда и только тогда, когда
а взаимно просто с т.
2° Если а -- a (mod т), то ^(а) = %(az).
3° Для любых целых рациональных а и 5 имеем /(аб) =
= х(а)%(Ь).
Оказывается, что числовые характеры этими тремя свойства-
ми вполне характеризуются. Действительно, пусть функция т)
удовлетворяет условиям 1°—3°. Для класса a^Gm, (а, т) — 1,
положим х(а)=ц(а). В силу 2° значение %(а) не зависит от вы-
бора представителя а, в силу 1° оно отлично от нуля. Кроме того,
если (а, т) = 1 и (Ь, т) = 1, то по условию 3°
%(а5) = х(аЬ) = т](аб) = т] (а) р (Ь) = х(а)х(5).
Таким образом, х есть характер группы Gm, причем соответст-
вующий ему числовой характер х* совпадает с функцией т].
Пусть т'— натуральное число, делящееся на т. Каждому
характеру х по модулю т мы можем сопоставить естественным
образом некоторый характер у' по модулю т'. Именно, если а
взаимно просто с т' (а значит, и с т), то полагаем у'(а) = у(а);
если же (а, т') >1, то у'(а) = 0. Числовая функция у' удовлет-
воряет всем трем условиям 1°—3°, а потому является числовым
характером по модулю тп . Будем говорить, что у индуцирован
характером у.
Определение. Если для некоторого характера у по моду-
лю тп существует такой собственный делитель d числа тп и та-
кой характер у, по модулю d, что Xi индуцирует у, то этот ха-
рактер у называется непримитивным; в противном случае он
называется примитивным.
Теорема 4. Для того чтобы характер у по модулю тп был
примитивным, необходимо и достаточно, чтобы для любого соб-
ственного делителя d числа тп среди чисел х, сравнимых с еди-
ницей по модулю d и взаимно простых с тп, существовало такое,
для которого у(х) 1.
Доказательство. Если характер у непримитивный, то
он индуцируется некоторым характером Xi по модулю d, где d —
собственный делитель тп. Это значит, что для любого х, взаимно
простого с тп, имеет место равенство ykx)=ySx). Если при этом
x^l(modd), то ytx) = уАх) = 1. Обратно, предположим, что
для некоторого собственного делителя d числа тп имеем ykx) =
= 1, если только (х, тп) — 1 и x^l(modrf). Для всякого а, вза-
имно простого с d, мы можем найти такое а', что (а', тп) = 1 и
a’s a (mod d). Положим у^а) = у(а'). Значение у^а) не зависит
470
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
от выбора а'. В самом деле, если а' = a" (mod й), где а" также
взаимно просто с т, то а" = ха' (mod тп) при некотором х, вза-
имно простом с т. Поскольку a:^l(modd), то, в силу условия
теоремы, %(о:) = 1, а тогда %(а") = %(а:)%(а/) = %(а'). Полагая,
далее, хДа) = 0, если (a, d~) ¥= 1, мы получаем числовую функ-
цию которая, как легко видеть, является числовым харак-
тером по модулю d. Так как Xi(®)=X^) при (a, ni) = 1, то %
индуцируется характером Этим доказательство теоремы 4
закопчено.
Рассмотренные в настоящем пункте числовые характеры часто
называют также характерами Дирихле.
Задачи
1. Показать, что конечная циклическая группа, порядок которой есть
степень простого числа, неразложима в прямое произведение собственных
подгрупп.
2. Пусть порядок конечной Циклической группы G равен произведению
взаимно простых чисел к и I. Доказать, что G можно представить в виде
прямого произведения двух подгрупп порядков к и I.
3. Пусть а — элемент максимального порядка конечной абелевой груп-
пы G. Доказать, что циклическая подгруппа {а} выделяется в G прямым
сомножителем.
4. Пусть к — натуральное число. Доказать, что элемент х конечной абе-
левой группы G является к-a степенью в G тогда и только тогда, когда
X (а.) = 1 для всех тех характеров % группы G, для которых х* == Хо (Хо —
единичный характер).
5. Пусть G — конечная абелева группа порядка п. Выпишем в каком-
нибудь порядке ее элементы ац, ..., хп и ее характеры Xi, • • •> X"- Доказать,
что матрица ( —Х4 (®,-) унитарна.
6. Пусть пц. ..., т>, — попарно взаимно простые натуральные числа и
т = mi... mk. Доказать, что для всякого характера % по модулю т сущест-
вуют однозначно определенные характеры %, по модулю пц (i — 1, ..k)
такие, что для любого целого рационального а справедливо равенство
Х(а) — Х1(а) - Хь(,'г)- (Для каждого i характер %, определяется равенством
Х,(а) = Х (а'), где а' определено сравнениями а' =s a (mod пц), а' == 1
7. Доказать, что если в условиях задачи 6 характер х по модулю т при-
митивен, то для каждого i = 1, ..., к характер х» 110 модулю т. также
примитивен.
8. Пусть dl и d2— делители натурального числа т и d = (dt, d2). До-
казать, что если характер х по модулю т индуцируется некоторым характе-
ром по модулю di и индуцируется некоторым характером по модулю d2, то
он индуцируется также и некоторым характером по модулю d.
9. Доказать, что каждый характер х по модулю т индуцируется прими-
тивным характером по некоторому однозначно определенному модулю /
(являющемуся делителем т). Число / называется ведущим модулем ха-
рактера %.
10. Доказать, что число примитивных характеров по модулю т равно
ц(й)Ч>1 — ) (d пробегает все делители числа т, ц — функция Мёбиуса,
. <i\in \ d J
<р — функция Эйлера).
§ 5]
ХАРАКТЕРЫ
471
И. Доказать, что по модулю т примитивные характеры существуют
тогда и только тогда, когда т либо нечетно, либо делится на 4.
12. Пусть 8 есть линейное пространство над полем комплексных чисел,
состоящее из функций / на элементах конечной абелевой группы G с комп-
лексными значениями /(о), о <= G. Для каждого элемента co е G через
обозначим оператор сдвига, действующий по формуле (T№f) (о) = /(соо). До-
казать, что все характеры х группы G являются собственными векторами
операторов Та. Чему равны соответствующие собственные числа?
13. Сохраним обозначения предшествующей задачи и рассмотрим для
фиксированной функции /еЙ квадратную матрицу А = (/(от-1) )0, т, где
пит пробегают все элементы группы G, расположенные в некотором по-
рядке. Доказать, что определитель этой матрицы равен Ц ( 5 / (о) X (о) J
х к о /
(о пробегает все элементы, а х— все характеры группы G).
Указание. Матрица А является матрицей оператора Т = У, / (со) Т:л
со
в базисе, состоящем из функций Zo, для которых
fl при о = т,
а Х (О при о т.
Найти собственные числа оператора Т.
14. Доказать утверждение задачи 13, рассматривая определитель про-
изведения матрицы (х(о))х, а на матрицу А.
15. Пусть Хс и Ха — два примитивных числовых характера с ведущими
модулями /1 и /г. Обозначим через m общее наименьшее кратное чисел fi
и /2 и через х — характер по модулю т, для которого х(а) = Xi(a)%2(«)
для всех а, взаимно простых с т. Однозначно определенный примитивный
характер, который индуцирует характер х, называется произведением Хс'Хг
примитивных характеров х< и Ха- Доказать, что все примитивные числовые
характеры (для всевозможных ведущих модулей) относительно введенного
действия умножения образуют группу.
16. Пусть G — конечная абелева группа и X — ее группа характеров.
Каждой подгруппе Н группы G сопоставим подгруппу а (Я) в группе ха-
рактеров X, состоящую из тех которые аннулируют Н (т. е. для
которых x(z) — 1 при всех Показать, что а является взаимно од-
нозначным соответствием между всеми подгруппами группы G и всеми
подгруппами ее группы характеров X. При этом соответствии включения
Hi с: Я2 и а(Я1) дэа(Я2) равносильны.
17. Пусть S — конечное поле характеристики р и пусть
“ л-r ‘tn ‘In d 2jtm — . z.
if (a) = e2n,(a/P) = cos —— i sin-^~, a <= = SQ, ae Z.
Для фиксированного и e X положим
Xa© = t(Sps/S(ag), US-
Показать, что соответствие a x«> a e S, является изоморфизмом аддитив-
ной группы поля S на группу ее характеров.
18. Пусть Wp — группа корней из 1 всех степеней рт при всех т 1
(группа типа р°°). Показать, что группа характеров группы Wp изоморфна
аддитивной группе всех целых р-адических чисел.
ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА 1
Число h классов дивизоров и основная единица е >» 1 вещественных
квадратичных нолей Q ("|/^)? 2 d + 101, d свободно от квадратов, о) =*
_ 1 Д/d дри d = j (mod 4) и w = Yd при d == 2, 4 (mod 4).
d . h Е Л7(е) d Е Me)
2 1 1 + СО -1 53 1 3+со —1
3 1 2— w 55 2 89+12© +1 +1
5 1 (0 —1 57 1 131+40©
6 1 5д-2со 8+Зсо +1 58 2 99+13© —1
7 1 + 1 59 1 530- -69© +1
10 2 3+© —1 61 1 17- -5© —1
11 1 10+3© + 1 62 1 634 Г-8© +1
13 1 1+© —1 65 2 7- -2© —1
14 1 15+4© +1 66 2 65- -8© +1
15 2 4+© + 1 67 1 48 842-| -5967© +1
17 1 3+2© —1 69 1 11-, -3© +1
19 1 170+39© +1 70 2 251- -ЗОсо +1
21 1 2+со +1 71 1 3480- -413© +1
22 1 197+42© 24+5© + 1 73 1 943- -250© —1
23 1 +1 74 2 43- -5© —1
26 2 5+© —1 77 1 4- -(0 +1
29 1 2+© -1 78 2 53- -6© +1
30 2 11+2© +1 79 3 80- -9©
31 1 1520+273© + 1 82 4 9ч -(0 —1
33 1 19+8© +1 83 1 82- -9© +1
34 2 35+6© + 1 85 2 4-, -(О —1
35 2 6+© +1 86 1 10 405- -1122© +1 +1
37. 1 5+2© —1 87 2 28- -3©
38 1 37+6© +1 89 1 447- -106© -1
39 2 25+4© +1 91 2 1574- -165© +1
41 1 27+10© —1 93 1 13-, -3(0 +1
42 2 13+2© + 1 94 1 2 143 295- -221 064© +1
43 1 3482+531© +1 95 2 39- -4© +1
46 1 24335+3 588© +1 97 1 5035- -1138© —1
47 1 48+7© +1 101 1 9-i -2© —1
51 2 50+7© +1
Замечание. Таблица 1 извлечена из работы [83], в которой h и е
вычислены для всех d < 2025. Вычисление числа h основано на утвержде-
нии задачи 15 § 7 гл. II.
о со -ч к₽> со о •<! о сл со н< со оо *-~з сл £* •-* со о сл со го н* с© оо -л и>» со и— о о ~л со to о се сл js со и- о cd -4 о сл со to -
l^^tO>^tOb*^b*^tOh^i^t0^b*tOt0^^tOtS'(OCO^^rOH*^^H*^^^tOtOtC^tOLOi-*-tOtOH1‘^tOtOi-.^tOH^ S’
liiiillititiiiliiililtttit । ++-ь1 +++i. ttttlt+Itliiti j (3)W
bStOtOrOtObOMCOtOrOtOtOtOhStOt^tOtOrorOtotOhObStOtOtObOtObOtObObOtOIOtOtOH^F^^b^^H^i-^H^i-^b^^Hj. СП Сл СЛ СЛ Си СЛ tS» js js J>- CO Co co co CO CO CO to № № to tO tO »-x r*- i-*. о О О О О О CD CD CD СО CD CD CD 00 00 00 00 00 00 <1 Сл W © О © Cfc СП C? C O ^1 О CO tO C2 № <1 Ст W О CD © Cl CO tO ~ Ч СЛ C? >-* Q Ч О Сп tO PL
tOCOkfc*COb^^h^tOtOh^F^tO^O^d^tOCOF^OOCOtOb3^b3i-*.tOb^i-*b^4si-*>-ktO'tOtOi-*i-^H^dStOh^^bOtOtOtOtOCO S’
±littitit1±±++1++1+ tttttttiititiittlitlitliitilit 0?
С0^СЯ^^ОС0<1ОС010^С000<11^С0ь^ОС0^СлС010н*ОС0СлС0н^О’<1<^СЛС0('0*-;'-00,<]к₽>С0Н‘'С0-<1ОСпС010с0 Cu
bi^tO*^>^kfc'b^tOCO^»^COtOt0^tOF^i^tOi^i-^tOtOb^i-*tOtObO'-A‘kfc*^tOtOtO'-A‘tOi-*'-A‘b^rfj*tOHfc^fctObObOi-^i-^tO S’
iliiiiiitittii11liitiitiii।t।+।+ttitIt1litlitliit N(e)|
^^^^^^^^^^J^^^^COCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCOCO tOH^H^H^Hki-^-hA.F^OOOOOCDCOcDcDcDCDCDcDCDOOOOOOOOOOOO-^l^-<I'<J*<l,<IOOOC5CnCnCnCnCncnJ>>i+>‘J>.4S>J>> _H»»COOO>3CHCOb*OcD*JC5CotO^COOO-~JCntfSCOi-A-CDCDC5CnCOt0^cD*Jrf^CO’-A-0*JOCntOcOOO*^?CnJ>»COCD^OCn^ a
h^^tO^tO^hOJXF^tOtOtOtOCnOOb^F^tsSbS^tO^^MtOf-Kb^FAF^tOtOh^tO^b^tOtOtOCO^tOtOtOi-^i-^^OtOh^ S’
Liittiitliiti'itItliit'titti+i+।ilitllittitlltlit co,
CDcDOcDOCDOOOOOOOOOOOO^^i^^l-Kj^oOOOOOOCnCHCnCnCnCn4>«>₽'4>'J:i*J^rf>’COCOCoCOCOCoCoCOL'ObOrotO D00'<^W^O*J!lnC0M^DC0-t'C0^CO4a0nC0M^C0,<Oli'C0'N‘D'<C10TC0t<OK<10'i^W^CO4DN: a
Cnb^^rorO>^^>^b0^rCtOb*i^roCObObOCOH*b^Cs3FA^>.H‘b3^>^^H*.tOh^tOH^dSCOOOCn4>'h^J>.rf>-F^H^tObOCOtOF^ S’
tittliitlitliittttitiiit11liitilitItliitttlittttt w*
и
Й
S
й
>
to
И
Й
И
Я
к
474
ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА 3
Число h классов дивизоров вещественных квадратичных полей Q (Д/2),
d свободно от квадратов, 2 sg d < 150 000.
В таблице приведены все встречающиеся значения h для всех 91 189
вещественных квадратичных полей Q (1/d) с d в указанных пределах
(d = 2, 3, ..149 999) [147]. В колонке справа (/(7г)) указано, сколько раз
данное k встречается для всех d < 150 000. Наконец, в третьей колонке
приведено наименьшее значенпе d для данного h.
h М) d h • /0>) d h fW d
1 20 574 2 28 324 5 626 55 1 106 537
2 26 427 10 29 16 49 281 56 38 39 999
3 2 677 79 30 ИЗ 11 665 57 2 41 617
4 18 573 82 31 4 97 753 58 7 27 226
5 943 401 32 397 15 130 60 18 78 745
6 3 453 235 33 И 55 339 61 1 126 499
7 462 577 34 47 19 882 62 3 68179
8 6 898 226 35 8 25 601 63 1 57 601
9 311 1 129 36 165 18 226 64 23 71 290
10 1 237 1 111 37 7 24 337 66 3 87 271
11 176 1 297 38 33 19 834 68 12 53 362
12 2 434 730 39 6 41 614 70 5 56 011
13 124 4 759 40 179 16 899 72 11 45 511
14 563 1 534 41 1 55 966 74 1 38 026
15 115 9 871 42 30 47 959 76 7 93 619
16 1 970 2 305 43 3 14 401 78 1 136 159
17 62 7 054 44 82 И 026 80 3 94 546
18 385 4 954 45 7 32 401 84 3 77 779
19 48 15 409 46 14 49 321 86 2 110 926
20 788 3 601 47 1 78 401 87 2 90 001
21 43 7 057 48 92 21 610 88 3 56 170
22 163 4 762 49 1 70 969 94 2 99 226
23 20 23 593 50 8 54 769 96 4 50 626
24 838 9 634 51 1 69 697 100 2 131 770
25 30 24 859 52 28 23 410 108 1 140 626
26 110 13 321 53 1 69 694 110 1 125 434
27 20 8 761 54 8 49 834 116 1 116 554
' Замечание 1. Всего имеется 303 простых числа р, меньших 2000
(включая р = 2). Из них для двадцати шести простых чисел:
р = 79, 223, 229, 257, 359, 443, 659, 733, 761, 839,
1091, 1171, 1223, 1229, 1367, 1373, 1489, 1523, 1567,
1627, 1787, 1811, 1847, 1901, 1907, 1987
— число h поля Q ("]//>) равно 3. Для семи значений:
р = 401, 439, 499, 727, 1093, 1327, 1429
— число h равно 5 и для четырех значений:
р = 577, 1009, 1087, 1601
— оно равно 7. Одно поле при р = 1129 имеет h = 9 (с циклической груп-
пой классов дивизоров), и одно поле при р = 1297 имеет h = 11. Для всех
ТАБЛИЦЫ
475
остальных 264 простых чисел р < 2000 число классов дивизоров поляО (1/р)
равно 1 (см. [83]).
Замечание 2. Из десяти тысяч квадратичных полей Q(T/p), р —
простое, р = 1 (mod 4), р О 225 217, только семь полей имеют нецикличе-
скую группу классов дивизоров [92]. Для этих семц полей р равно
32 009, 62 501, 114889, 142 097, 151 141, 153 949, 220217
и для всех них группа классов (порядка 9) имеет инварианты (3, 3).
Замечание 3. Имеются примеры полей Q("|/p) с простым р, р =
== 1 (mod 4), когда группа G классов дивизоров имеет инварианты другого
типа [92], [125]:
> | 1 129 841 | 1 510 889 | 1 777 441 | 2 068 117 | 24 137 573
G [ (5,5) | (5,5) | (15,5) | (7,7) | (39,3)
Группа классов дивизоров поля Q ("|/3 • 14 935 391) имеет инварианты (3, 3, 3),
см. [126].
Замечание 4. С. Курода [93] вычислил таблицы значений числа
h = /г(р) классов дивизоров полей Q("|/p)i (mod 4), для всех простых
р^ 2776817. Всего имеется 100 811 таких полей. Из них только 22 528 по-
лей имеют /г(р) > 1 [93]. Таким образом, доля одноклассных полей на ука-
занном промежутке среди полей <Q (Ч/р)> Р = 1 (mod 4), составляет 77,65%.
(Отметим, что для первых десяти тысяч простых р = 1 (mod 4), т. е., для
р 225 217, число одноклассных полей Q ("]/ р) равно 7954, так что доля од-
нокласных полей с увеличением промежутка несколько уменьшилась.)
Замечание 5. Данные таблицы 3 и предшествующего замечания
показывают, что среди вещественных квадратичных полей имеется доволь-
но много одноклассных. Однако мы не знаем, будет ли их число бесконеч-
ным. В п. 2 § 7 гл. III мы отмечали, что вообще до сих пор неизвестно,
конечно или бесконечно число одноклассных полей алгебраических чисел.
Одноклассные поля часто встречаются и среди кубических полей (см. таб-
лицы 8 и 9). Для более высоких степеней ввиду трудностей, связанных
с большим объемом вычислений, у нас весьма мало сведений о полях с
ft = 1. В связи с этим интересен пример мнимого одноклассного поля сте-
пени 480, приведенный в работе [155]. Стоит отметить также, что согласно
работе [158] для любого простого числа р существует бесконечно много
полей алгебраических чисел, группа классов дивизоров которых имеет р-при-
марную компоненту, изоморфную наперед заданной конечной абелевой
р-группе. В частности, имеется бесконечно много полей, для которых число
классов h не делится на произвольное фиксированное простое число р.
Замечание 6. В отличие от работы [83], вычисление h в [147] ос-
новано на формуле Л = У1?£(1, х)/(21пе), полученной нами в п. 1 § 4гл.У,
476
ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА 4
Число h классов дивизоров мнимых квадратичных полей Q (V—а)»
а свободно от квадратов, 1 а < 500.
а h а h а h а h а А а h. а . h
1 1 71 7 143 10 215 14 287 14 365 20 434 24
2 1 73 4 145 8 217 8 290 20 366 12 435
3 1 74 10 146 16 218 10 291 4 367 9 437 20
5 2 77 8 149 14 219 4 293 18 370 12 438 8
6 2 78 4 151 7 221 16 295 8 371 8 439 15
7 1 79 5 154 8 222 12 298 6 373 10 442 8
10 2 82 4 155 4 223 7 299 8 374 28 443 5
11 1 83 3 157 6 226 8 301 8 377 16 445 8
13 2 85 4 158 8 227 5 302 12 379 3 446 32
14 4 86 10 159 10 229 10 303 10 381 20 447 14
15 2 87 6 161 16 230 20 305 16 382 8 449 20
17 4 89 12 163 1 231 12 307 3 383 17 451 6
19 1 91 2 165 8 233 12 309 12 385 8 453 12
21 4 93 4 166 10 235 2 310 8 386 20 454 14
22 2 94 8 167 11 237 12 311 19 389 22 455 20
23 3 95 8 170 12 238 8 313 8 390 16 457 8
26 6 97 4 173 14 239 15 314 26 391 14 458 26
29 6 101 14 174 12 241 12 317 10 393 12 461 30
30 4 102 4 177 4 246 12 318 12 394 10 462 8
31 3 103 5 178 8 247 6 319 10 395 8 463 7
33 4 105 8 179 5 249 12 321 20 397 6 465 16
34 4 106 6 181 10 251 7 322 8 398 20 466 8
35 2 i 107 3 182 12 253 4 323 4 399 16 467 7
37 2 ! 109 6 183 8 254 16 326 22 401 20 469 16
38 6 1 ПО 12 185 16 255 12 327 12 402 16 470 20
39 4 I 111 8 186 12 257 16 329 24 403 2 471 16
41 8 ! 113 8 187 2 258 8 330 8 406 16 473 12
42 4 114 8 190 4 259 4 331 3 407 16 474 20
43 1 115 2 191 13 262 6 334 12 409 16 478 8
46 4 118 6 193 4 263 13 335 18 410 16 479 25
47 5 119 10 194 20 265 8 337 8 411 6 481 16
51 2 199. 10 195 4 266 20 339 6 413 20 482 20
53 6 123 2 197 10 267 2 341 28 415 10 483 4
55 4 127 5 199 9 269 22 345 8 417 12 485 20
57 4 129 12 201 12 271 11 346 10 418 8 487 7
58 2 130 4 202 6 273 8 347 5 419 9 489 20
59 3 131 5 203 4 274 12 349 14 421 10 491 9
61 6 133 4 205 8 277 6 353 16 422 10 493 12
62 8 134 14 206 20 278 14 354 16 426 24 494 28
65 8 137 8 209 20 281 20 355 4 427 2 497 24
66 8 138 8 210 8 282 8 357 8 429 16 498 8
67 1 139 3 211 3 283 3 358 6 430 12 499 3
69 8 141 8 213 8 285 16 359 19 431 21
70 4 142 4 214 6 286 12 362 18 433 12 ,
ТАБЛИЦЫ
477
ТАБЛИЦА 5 .
Число h классов дивизоров мнимых квадратичных полей Q (^/— р) для
простых р, 500 < р < 2000.
V h р h р h V h .р h л
503 21 739 5 983 27 1229 38 1487 37 1741 26
509 30 743 21 991 17 1231 27 1489 20 1747 5
521 32 751 15 997 14 1237 14 1493 22 1753 20
523 5 757 10 1009 20 1249 32 1499 13 1759 27
541 10 761 40 1013 26 1259 15 1511 49 1777 24
547 3 769 20 1019 13 1277 34 1523 7 1783 17
557 18 773 26 1021 22 1279 23 1531 1Г 1787 7
563 9 787 5 1031 35 1283 11 1543 19 1789 26
569 32 797 30 1033 12 1289 36 1549 18 1801 28
571 5 809 32 1039 23 1291 9 1553 40 1811 23
577 8 811 7 1049 44 1297 12 1559 51 1823 45
587 7 821 30 1051 5 1301 50 1567 15 1831 19
593 24 823 9 1061 26 1303 И 1571 17 1847 43
599 25 827 7 1063 19 1307 И 1579 9 1861 38
601 20 829 22 1069 30 1319 45 1583 33 1867 5
607 13 839 33 1087 9 1321 24 1597 14 1871 45
613 10 853 10 1091 17 1327 15 1601 56 1873 12
617 12 857 32 1093 10 1361 60 1607 27 1877 34
619 5 859 7 1097 36 1367 25 1609 28 1879 27
631 13 863 21 1103 23 1373 18 1613 42 1889 72
641 28 877 10 1109 50 1381 26 1619 15 1901 42
643 3 881 40 1117 14 1399 27 1621 18 1907 13
647 23 883 3 1123 5 1409 36 1627 7 1913 36
653 14 887 29 1129 16 1423 9 1637 38 1931 21
659 И 907 3 1151 41 1427 15 1657 16 1933 18
661 18 911 31 1153 16 1429 22 1663 17 1949 70
673 12 919 19 1163 7 1433 36 1667 13 1951 33
677 30 929 36 1171 7 1439 39 1669 26 1973 42
683 5 937 20 1181 46 1447 23 1693 22 1979 23
691 5 941 46 1187 9 1451 13 1697 28 1987 7
701 34 947 5 1193 36 1453 14 1699 И 1993 24
709 10 953 32 1201 16 1459 И 1709 42 1997 42
719 31 967 11 1213 10 1471 23 1721 52 1999 27
727 13 971 15 1217 32 1481 52 1723 5
733 14 977 20 1223 35 1483 7 1733 34
478
ТАБЛИЦЫ
ТАБЛИЦА 6
«Нетривиальные» группы классов дивизоров мнимых квадратичных по-
лей С(Д/ — т) для 0 < т < 24 000 (см, [141]).
Группа G классов дивизоров поля Q (Д/— т) называется «тривиальной»,
если ее инварианты (среди которых каждый следующий является делите-
лем предыдущего) имеют вид а, 2,..2. В противном случае G называется
«нетривиальной». «Тривиальная» группа однозначно определяется своим; по-
рядком и числом простых делителей дискриминанта поля О(Д/— т). В таб-
лице для поляО(Д/—т) с «нетривиальной» группой G в колонке справа
указаны инварианты группы G. Все поля Q (Д/— т) с 0 < т < 24 000, не
приведенные в таблице, имеют «тривиальные» группы классов дивизоров.
m G т G т G т G
974 12, 3 5 614 8, 4 8 366 28,4 10 295 32, 4
1 513 4, 4 5 703 18, 3 8 446 12, 4 10 366 16, 4
1 582 4, 4 5 795 8, 4 8 522 30, 3 10 414 20, 4
1 590 4, 4, 2 5 857 12, 3 8 555 8, 4 10 549 8, 4, 2
1 598 8,4 5 910 4, 4, 2 8 633 16, 4 10 605 4, 4,2, 2
1 886 16, 4 5 986 8,4 8 638 8,4 10 718 16, 4
1 918 4,4 6 001 8, 4 8 671 16,4 10 759 12, 4
2 329 8,4 6 014 24, 4 8 701 8,4,2 10 790 12, 4, 2
2 379 4, 4 6 085 6, 6 8 710 4, 4, 2 10 798 12, 3
2 437 6, 3 6 123 4, 4 8 738 16, 4 10 803 4, 4
2 542 4,4 6 221 42, 3 8 751 24, 3 10 961 32, 4
2 702 12, 4 6 226 12, 6 8 790 8, 4, 2 11 001 6, 6, 2
2 993 12,4 6 286 12, 4 8 878 8,4 11 199 20, 5
3 026 12, 4 6 355 4, 4 8 942 24, 4 11 326 24, 4
3 262 8, 4 6 398 16, 4 8 974 16, 4 11 534 44, 4
3 299 9, 3 6 402 4, 4, 2 9 069 12, 6 11 651 18, 3
3 358 8,4 6 494 24, 4 9 118 8, 4 11 713 4, 4, 2
3 502 4,4 6 497 8, 8 9 214 16,4 11 822 20, 4
3 886 6, 6 6 583 12, 3 9 266 36,4 11 966 32, 4
3 934 8, 4 6 690 6, 6, 2 9 385 12, 6 12 002 20, 4
4 027 3, 3 6 789 6, 6, 2 9 422 24, 4 12 013 6, 6
4 318 8, 4 6 910 6, 6 9 497 24, 3 12 067 6, 3
4 369 12. 4 6 914 36, 3 9 503 20, 4 12 095 32, 4
4 486 10, 5 6 953 16, 4 9 510 8, 4, 2 12 118 6, 6
4 633 8, 4 7 006 20, 4 9 554 40, 4 12 131 12, 3
4 658 16, 4 7 059 8, 4 9 574 18, 3 12 206 48, 4
4 718 16, 4 7 081 16, 4 9 595 4,4 12 207 20, 4
4 777 8, 4 7 361 28,4 9 673 12, 4 12 282 6, 6, 2
4 810 4,4, 2 7 582 8,4 9 809 32, 4 12 394 18, 3
4 895 16, 4 7 585 4, 4, 2 9 881 28, 4 12 451 5, 5
5 037 4, 4, 2 7 769 24,4 9 934 12, 3 12 453 6, 6, 2
5 069 12, 6 7 966 8, 8 9 955 4, 4 12 481 12, 6
5134 16, 4 7 977 6, 6 10 001 40, 4 12 505 8,4,2
5 142 6, 6 8 103 12, 4 10 015 18,3 12 595 4, 4
5 190 8,4,2 8126 40, 4 10 074 8,4,2 12 638 32, 4
5 306 12, 6 8 242 6, 6 10 081 12,4 12 710 16, 4, 2
5 417 24, 3 8 322 8, 4, 2 10173 6, 6 12 837 6, 6, 2
ТАБЛИЦЫ
479
Продолжение табл. 6
т G т G т G т G
12 937 8, 4 15 929 32, 4 18 555 6, 6 21 418 18, 3
12 994 12, 4 15 934 16,4 18 649 16, 4 21 449 24, 6
13 022 16, 4 16 049 30, 6 18 721 32, 4 21 454 24, 4
13 073 16, 4 16 201 20, 4 18 761 32, 4 21 571 8,4
13 143 16,4" 16 238 12,12 18 814 20,4 21 605 24, 4, 2
13 317 8, 4, 2 16 301 78, 3 18 922 10, 5 21 755 16,4
13 342 12,4 16 441 28, 4 19 187 12, 3 21 895 24, 4
13 359 24, 4 16 446 10,10 19 286 42, 3 21 922 20, 4
13 398 4, 4, 2, 2 16 582 10, 5 19 346 44, 4 21 930 6, 6, 2, 2
13 677 8,4,2 16 609 24, 4 19 427 9, 3 21 998 20, 4
13 678 8, 4 16 627 6, 3 19 545 6, 6, 2 22 055 40, 4
13 727 28, 4 16 710 8,4,2 19 590 12, 4, 2 22 127 16, 8
13 817 28, 4 16 769 28, 4 19 618 12, 4 22 222 12, 4
13 829 54, 3 16 782 10, 10 19 651 6, 3 22 321 8, 8, 2
13 906 16,4 16 814 48, 4 19 677 6, 6, 2 22 395 6, 6
14 033 36, 3 16 870 6, 6, 2 19 679 54, 3 22 443 6, 3
14 062 12, 4 16 887 24, 4 19 726 20, 4 22 481 60, 3
14 126 36, 4 16 895 24, 4 19 762 8, 8 22 654 16, 4
14 155 4,4 17 131 6, з 19 919 45, 3 22 711 42, 3
14 162 20, 4 17 146 42, 3 19 947 4, 4 22 717 10, 5
14 334 18, 6 17 266 16, 4 19 981 12, 4, 2 22 763 8, 4
14 446 20, 4 17 282 36, 3 19 982 28, 4 22 862 12. 4, 2
14 462 24, 4 17 399 54, 3 20 002 12, 4 22 873 12, 4
14 473 12, 4 17 402 12, 4, 2 20 091 8, 4 22 965 12, 6, 2
14 547 4,4 17 422 12, 4 20 129 60, 3 23 095 16, 4
14 606 10, 10 17 427 4, 4 20 155 4, 4 23 137 16, 4
14 637 4, 4, 2, 2 17 561 12, 12 20 162 36, 4 23 142 4, 4, 2, 2
14 722 8, 4 17 574 12, 4, 2 20 310 12, 4,2 23 155 8, 4
14 730 6, 6, 2 17 723 18, 3 20 366 44, 4 23165 12, 6, 2
14 795 8, 4 17 751 28, 4 20 398 8, 4, 2 23 178 12, 6
15 049 12, 6 17 753 24, 4 20 445 8, 4, 2, 2 23 190 16, 4, 2
15 326 48, 4 18 021 10, 10 20 654 44, 4 23 329 24, 4
15 389 20,10 18 046 24, 4 20 658 8,4,2 23 377 16, 4
15 538 16, 4 18 158 40, 4 20 734 24, 4 23 439 36, 4
15 549 12,4, 2 18 278 12, 4, 2 20 737 16, 4 23 585 16, 4, 2
15 655 24, 4 18 285 4, 4, 2, 2 21 018 6, 6, 2 23 605 12, 6
15 658 10, 5 18 286 16,4 21 098 16,4,2 23 683 6, 3
15 742 16, 4 18 362 30, 3 21 190 8, 4, 2 23 862 6, 6, 2
15 805 8, 4, 2 18 409 28,4 21 233 28, 4 23 871 24, 4
15 806 44, 4 18 458 18, 6 21 243 8,4 23 910 8, 8, 2
15 910 8,4,2 18 542 28,4 21 395 16, 4 23 953 24, 4
Замечание. К настоящему времени известны многочисленные при-
меры мнимых квадратичных полей, для которых группа классов дивизо-
ров G имеет более двух инвариантов, делящихся на одно и то же нечетное
простое число. Некоторые из них можно найти в работах [74], [111], [120],
[126], [127], [151].
Приведем отдельные примеры. Для не простых т даны их разложения
на простые сомножители. Справа указаны (примарные) инварианты группы
классов G поля Q (Д/— т).
<480
ТАБЛИЦЫ
m G
4724490703 1571310110659 699234050083 282910884511 41-1827827279 2-5-7-17-19-1034639 2-23-31-43-131-18131 29-59-32 413 613-88 799 11-17-23-31-73 14 935 391 2-3-47-3943 131-61 699 320 931 167-12 409-42 169 83 309 629 817 222 637 549 223 1171-1439-153 441 403 (3, 3, 3, 3, 5, 53) (3, 3, 3, 3, 5, 11, 43) (9, 3, 3, 3, 19, 25) (27, 3, 3, 3, 631) (2, 9, 9, 3, 3, 103) (2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3. 3, 25) (8, 4, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 7) (8, 4, 3, 3, 3) (2, 3, 3, 3, 5, 5) (8, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3) (81, 3, 3, 5) (8, 2, 2, 3, 3, 3) (2, 2, 3, 3, 3, 19, 499) (8, 2, 3, 3, 3, 3, 181) (4, 9, 3, 3, 3, 181) (3, 5, 5, 5,19, 61) (4, 2, 5, 5, 5, 5, 2957)
ТАБЛИЦА 7
Дискриминанты известных порядков мнимых квадратичных полей, для
которых каждый род принадлежащих им модулей состоит из одного класса
I. Дискриминанты максимальных порядков (шестьдесят пять значений):
— 3 — 43 —148 —340 — 595 —1320
— 4 — 51 —163 —372 — 627 —13S0
— 7 — 52 —168 —403 — 660 —1428
— S — 67 —187 —408 — 708 —1435
—11 — 84 —195 —420 — 715 —1540
—15 — 88 —228 —427 — 760 —1848
—19 — 91 —232 —435 — 795 —1995
—20 —115 —235 —483 — 840 —3003
—24 —120 —267 —520 —1012 —3315
—35 —123 —280 —532 —1092 —5460
-40 —132 —312 -555 —1155
II. Дискриминанты немаксимальных порядков
чений):
(тридцать шесть зна-< '
—3-22 —4-22 —7-82 —15-42 —88-22 —408-22
—З-З2 —4-32 —8-22 —15-82 —120-22 —520-22
—3-42 —4-42 —8-32 —20-32 —168-22 —760-22
—3-52 —4-52 —8-62 —24-22 —232-22 —840-22
-3-72 —7-22 —11-32 —35-З2 —280-22 —1320-22
—3-82 —7-42 —15-22 —40-22 —312-22 —1848-22
Удобные числа Эйлера:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30,
33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105,
112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280,
312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.
ТАБЛИЦЫ
481
ТАБЛИЦА 8
Число Л классов дивизоров вполне вещественных кубических полей дис-
криминанта < 100 000 (см. [ЮЗ]).
Кубическое поле Q (0) называется вполне вещественным, если для не-
го s = 3, t = 0, т. е. если все его изоморфизмы в поле комплексных чисел
вещественны. Если минимальный многочлен числа 0 раскладывается в Q (9)
целиком на линейные множители, то <2 (0) называется циклическим. Ес-
ли же это не так, го мы имеем тройку сопряженных кубических полей, и
такая тройка засчитывается в таблице только один раз. Всего имеется 4804
вполне вещественных кубических поля с дискриминантами < 100 000. Сре-
ди них 51 поле — циклическое. В таблице для каждого из приведенных в ней
интервалов указано число всех вполне вещественных кубических полей с
дискриминантами из этого интервала и число полей с данным k (в пре-
делах таблицы h 9).
Число полей с данным Л
Границы для дискриминанта. Общее число полей 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1—10 000 .382 358 9 14 1 ——
10 001—20 000 450 408 20 20 2 — — — — —
20 001—30 000 467 415 26 21 2 2 — 1 — .—
30 001-40 000 479 425 24 24 2 4 — — — .—
40 001—50 000 485 418 29 33 3 1 1 —— — —
50 001—60 000 500 442 27 23 1 1 2 3 1 .—
60 001—70 000 490 417 32 33 3 4 — — — 1
70 001—80 000 509 436 35 36 3 3 2 — — —
80 001—90 000 514 432 44 33 2 2 — 1 — .—
90 001—100 000 528 442 42 37 1 2 2 2 — —
Замечание 1. Некоторые из дискриминантов < 100000 имеют по
два, три и четыре вполне вещественных кубических поля (не сопряженных
между собой). В каждом из десяти интервалов таблицы содержится
16, 8, 5, 3, 4, 2, 4, 4, 1, 4
циклических кубических поля соответственно.
Замечание 2. В статье [125] указано одно семейство циклических
кубических полей, среди которых для дискриминантов 3132, 15 0132, 88 5132,
110 5632 число классов дивизоров h равно 7, 127, 511, 553 соответственно.
ТАБЛИЦА 9
Число классов h для чисто кубических полей Q (y ai), 1 < т < 1Q4
(m = ab2, а > Ь, а и Ь свободны от квадратов).
В таблице приведены все значения h, встречающиеся для 8122 чисто ку-
бических полей т)с т в указанных пределах. В колонке справа (/(Л))
указано, сколько раз это h встречается для всех т < 10 000. Наконец, в
третьей колонке приведено наименьшее значение т для данного h [60].
h /(Л) т h /(Л) . ТП I h ЯЛ) m
1 596 2 1 6. 952 39 и 7. 2348
2 285 11 7 26 235 12 359 43
3 1847 7 8 32 141 13 5 1049
4 87 113 9 1258 70 14 7 514
5 37 263 10 9 303 15 97 267
482
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 9
h /(Л) m Л ЛЛ) m h 7(Л) т
16 17 9 1 681 8511 80 1 4799 243 6 3913
18 674 65 81 77 1298 252 3 2786
19 2 667 84 9 1737 254 1 8002
20 6 761 87 2 4103 255 1 2751
21 51 213 90 27 970 264 1 7297
22 4 281 93 , 1 2748 270 4 4593
24 96 229 96 5 4307 276 1 4093
26 1 3403 99 8 995 279 1 5149
27 385 182 102 4 2374 288 1 5826
28 6 509 105 4 2737 297 3 648/
30 38 524 108 87 511 300 1 9931
32 3 2399 111 2 5737 306 2 4694
33 19 1618 117 4 5215 312 1 9938
34 1 1719 120 10 1727 315 2 5359
36 262 322 126 23 1141 324 10 2198
37 2 5545 127 1 2741 336 1 8005
39 7 2597 128 1 5987 342 1 3907
40 2 2733 129 1 2946 351 3 3605
41 1 6659 132 3 3045 360 1 7985
42 21 515 135 11 1015 369 1 5829
44 2 4817 136 1 3209 372 1 7133
45 68 763 141 1 6991 378 3 3155
48 30 561 144 17 1730 390 1 9591
49 1 8171 150 1 8431 396 2 7997
51 4 1037 153 2 3661 405 6 7970
52 1 4793 154 1 9041 432 4 6878
54 172 614 156 2 7461 435 1 8006
56 2 857 162 36 813 459 1 9254
57 5 1541 168 2 2747 480 1 7415
58 1 6814 171 1 9198 486 4 6162
60 14 997 175 1 5711 576 1 4291
63 29 1005 180 12 2702 585 1 9262
64 1 9749 186 1 4099 612 1 7995
66 5 3482 189 7 6430 630 1 9933
68 1 9521 192 2 7925 648 1 4097
69 4 3590 198 7 3374 696 1 5503
70 1 3467 201 2 2723 747 1 2743
71 1 3539 216 17 2765 756 1 8030
72 90 741 222 1 5823 972 1 9709
74 1 3581 225 3 5362 1017 1 8615
75 3 1657 230 1 4451 1170 1 7999
78 9 1801 240 2 5835 1296 1 8827
Замечание 1. В пределах таблицы для 7409 полей h равно 2а3? и
для остальных 713 полей h делится на простое число > 5. Для значений т
в пределах каждой тысячи число полей Q (у'-да) с h = 1 равно соответственна
98, 64, 56, 61, 65, 55, 49, 54, 44, 50.
Число полей Q f’/й) т < 10 000, для которых h делится на
’ 2, 3, 5, 7, 11, 13> 17> 19-
ТАБЛИЦЫ
483
равно соответственно
3510, 6954, 369, 202, 62, 36, 19, 9.
Замечание 2. Число классов дивизоров поля Q(у^т) при малых
значениях т можно найти в [9], [124]. Число h для чисто кубических по-
лей рассматривается также в [125], [146], [148], [149], [150].
Замечание 3. Если q — простое число и q = 2 (mod3), то число
классов дивизоров поля Q(yr/) не делится на 3. Обозначим через п(ж)
число простых чисел q, которые сравнимы с 2 по модулю 3 и которые не
превосходят х, и через g(x) — число тех q х, для которых число классов
поля q равно 1. Отношение имеет поразительную тенденцию
к «постоянству» (см. [146] и [148]). В пределах проведенных вычислений
это отношение вплоть до х — 101 000 колеблется в небольших пределах,
принимая значения вблизи 0,47 и 0,48. Аналогичный феномен проявляется
еще ярче (см. [150]), если ограничиться полями Q (j/"r) для простых
г = 17 (mod 18) (в этом классе полей значительно реже встречаются чет-
ные h). Пусть п(х) и g(x) имеют тот же смысл, что и выше, но примени-
тельно к простым г, которые ==17 (mod 18). В этом случае в промежутке
2000 < х < 200 000 отношение принимает значения около 0,61,
п (х)
достигая локального минимума 0,603 вблизи х = 38 000 и локального макси-
мума 0,627 вблизи х = 70 000. К сожалению, в обоих случаях у нас пет
никаких аргументов, которые подкрепили бы предположение, что отмечен-
, g к
ная стабильность отношения сохранится для сколь угодно боль-
ших q или г.
Отметим попутно, что поле ©(у^2 000 145 629) одноклассно [149].
ТАБЛИЦА 10
Множитель h* = h*(l) числа классов дивизоров Z-крутового поля для
простых I < 300.
В таблице для h* указано разложение на простые множители, кроме
двух случаев I = 233 и I = 269: числа, отмеченные звездочкой, составные,
однако их разложение па простые сомножители неизвестно (см. [112],
[97]).
1 Л* 1 Л* 1 Л*
3 1 29 2-2-2 61 41-1861
5 1 31 3-3 67 67-12739
7 1 37 37 71 7-7-79241
И 1 41 11-11 73 89-134353
13 1 43 211 79 5-53-377911
17 1 47 5-139 83 3-279405653
19 1 53 4889 89 113-118401449
23 3 59 3-59-233 97 577-3457-206209
484
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 10
1 h*
101 103 107 109 ИЗ 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 5-5-5-5-5-101-601-18701 5-103-1021-17247691 3-743-9859-2886593 17-1009-9431866153 2-2-2-17-11853470598257 5•13•43•547 - 883•3079•626599 3•3•35•5•53•131•1301•4673706701 17•17•47737•46890540621121 33•47•47•277277•967 -1188961909 3•3•149•512966338320040805461 7 -11•И281•25951•1207501•312885301 5-13-13-157-157-1093-1873-418861-3148601 2-2-181-23167-365473-441845817162679 И•499•5123189985484229035947419 520297•23116972571729362851870621 5•1069•14458667392334948286764635121 5•5•5•37•41•61•1321•2521 - 5488435782589277701 И•1351263•612771091•36733950669733713761 6529-15361•29761•91969•10369729•192026280449 2-2-2-5-1877-7841•9398302684870866656225611549 3-3•3•3•19•727•25645039•207293548177•3168190412839 3•3•7 - 7-41•71 -181•281 - 281•421•1051•12251113981701• •4343510221
223 227 229 233 239 7•43-17909933575379•117575377318513424804483726447 5 - 2939 -2939 - 2939•1692824021974901•13444015915122722869 1317-457•7753•705053•47824141•414153903321692666991589 233•1433•1042818810684723912819200922459107271266041 * 2-2-2-2-2-2-3-5-511123-14136487-123373184789- - 22497399987891136953079
241 251 4747•13921 -15601•2359873126767281•518123008737871423891201 7-11-348270001•9631365977251• •369631114567755437243663626501
257 263 257-20738946049-1022997744563911961561298698183419037149697 13-263-787-385927- •418759100955678867328189444629948074260186283
269 13-40170973189- •7157703949875286788563837229656316512687317037*
271 И-31•37•271•811•1201•1621-15391•21961•7288651•20238391• -751928131-666587726641
277 2 -2•2•2•17•47•47 - 829•89977-1371353-4873333•30697273• -1776834909244716811072486129
281 11•И•17•4141•401•3235961 - 64523056921• • 977343139976233968569461075411406081
283 3 • 3 • 283 • 2064523 • 393'41481709417 • • 5484646647490654799157896194266098076673
293 33-293•38901409•52561753•354041533•19844792749• • 702405566998249462609754079833
Замечание 1. Первые семь нечетных простых чисел исчерпывают
собой все I с h*(l) =1 (см. [138], [106]). Существует гипотеза [100], что
функция h*(l) строго возрастает для всех простых 7 19. В свое
время Куммером было высказано предположение, что h*(l) при Z->oo
ТАБЛИЦЫ
485
асимптотически выражается формулой
/ I
Однако до настоящего времени вопрос о справедливости этого утверждения
остается открытым. Доказана лишь следующая более слабая формула
In h* (Z) 1
получающаяся из формулы Куммера логарифмированием [54], [129]. Рост
функции h*(l) мажорируется сверху оценкой [100]:
h* (Z) < 2Z
I \(z-i)/4
24 'I
/
Замечание 2. В настоящее время известны все m-круговые поля,
для которых h(m) < 1()!. Всего таких полей пятьдесят семь (при перечис-
лениях круговых полей следует исключать значения тп = 4к + 2, так как
они определяют те же самые круговые поля, что и значения m =2/; + 1).
Если h(m) — 1 (т. е. в максимальном порядке поля деления круга на m
частей имеет место однозначность разложения на простые множители), то
m равно одному из следующих двадцати девяти значений [106]:
3, 4. 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21,
24, 25, 27, 28, 3?, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84.
Все тп, для которых 2 h(m) еС 10, исчерпываются значениями из следую-
щей таблицы [104] (число круговых полей с h еС 10 равно 29 +15 = 44).
h(m) | 2 | 3 | 4 [ 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
m | 39,56 |23, 52 , 72, 120 | 51,801 Нет | 63 | 29.68 |з1, 57, 9б| 55
ТАБЛИЦА 11
Иррегулярные простые числа < 8000.
Всего имеется 1006 нечетных простых чисел, меньших 8000. Из них 609
регулярных и 397 иррегулярных. Рядом с иррегулярным простым числом I
в соседней колонке справа указаны все номера 2а чисел Бернулли
(2 2а sj I — 3), числители которых делятся на I. Нумерация чисел Бер-
нулли четная: В2 — 1/6, В4 = —1/30 и т. д. В случае нескольких значений
2а (для данного Z) они выписаны друг под другом в порядке возрастания.
Общее число иррегулярных пар (Z, 2а), приведенных в таблице, равно 502
(см. [47] и [86]).
1 2а 1 2а 1 2а 1 2а
37 32 233 84 353 186 461 196
59 44 257 164 300 463 130
67 58 263 100 379 100 467 94
101 68 271 84 174 194
103 24 283 20 389 200 491 292
131 22 293 156 401 382 336
149 130 307 88 409 126 338
157 62 311 292 421 240 523 400
110 347 280 433 366 541 86
486
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 11
1 2а 1 2а 1 2а 1 2а
547 270 1153 802 1847 954 2557 1464
486 1193 262 1016 2579 1730
557 222 1201 676 1558 2591 854
577 52 1217 784 1871 1794 2574
587 90 866 1877 1026 2621 1172
92 1118 1879 1260 2633 1416
593 22 1229 784 1889 242 2647 1172
607 592 1237 874 1901 1722 2657 710
613 522 1279 518 1933 1058 2663 1244
617 20 1283 510 1320 2671 404
174 1291 206- 1951 1656 2394
338 824 1979 148 2689 926
619 428 1297 202 1987 510 2753 482
631 80 220 1993 912 2767 2528
226 1301 176 1997 772 2777 1600
647 236 1307 382 1888 2789 1984
242 852 2003 60 2154
554 1319 304 600 2791 2554
653 48 1327 466 2017 1204 2833 1832
659 224 1367 234 2039 1300 2857 98
673 408 1381 266 2053 1932 I 2861 352
502 1409 358 2087 376 2909 400
677 628 1429 996 1298 950
683 32 1439 574 2099 1230 2927 242
691 12 1483 224 2111 1038 2939 332
200 1499 94 2137 1624 1102
727 378 1523 1310 2143 1916 2748
751 290 1559 862 2153 1832 2957 138
757 514 1597 842 2213 154 788
761 260 1609 1356 2239 1826 2999 776
773 732 1613 172 2267 2234 ЗОИ 1496
797 220 1619 560 2273 876 3023 2020
809 330 1621 980 2166 3049 700
628 1637 718 2293 2040 3061 2522
811 544 1663 270 2309 1660 3083 1450
821 744 1508 1772 3089 1706
827 102 1669 388 2357 2204 3119 1704
839 66 1086 2371 242 3181 3142
877 868 1721 30 2274 3203 2368
881 162 1733 810 2377 1226 3221 98
887 418 942 2381 2060 3229 1634
929 520 1753 712 2383 842 3257 922
820 1759 1520 2278 3313 2222
953 156 1777 1192 2389 776 3323 3292
971 166 1787 1606 2411 2126 3329 1378
1061 474 1789 848 2423 290 3391 2232
1091 888 1442 884 2534
1117 794 1811 550 2441 366 3407 2076
1129 348 698 1750 2558
1151 534 1520 2503 1044 3433 1300
784 1831 1274 2543 2374 3469 1174
968
ТАБЛИЦЫ
487
Продолжение табл. 11
1 2а 1 2а 1 2а 1 2а
3491 2544 4219 4190 5119 4086 6173 5008
3511 1416 4243 2712 5167 4112 5894
1724 4146 5179 4732 6217 4186
3517 1836 4259 3580 5189 1102 6247 1492
2586 3726 5209 644 3474
3529 3490 4261 2068 2928 6257 4272
3533 2314 4339 214 5227 308 6263 3286
3136 4349 2052 5231 3466 4226
3539 2082 4409 636 5297 4810 . 6287 4452
2130 672 5303 4156 5034
3559 344 4421 3768 5309 158 6317 2354
1592 4451 2896 5351 1948 6329 5102
3581 1466 2978 5399 1482 6337 1956
3583 1922 4457 444 5413 1702 6343 750
3593 360 4493 746 5441 4726 5820
642 4519 848 5443 1710 6367 1190
3607 1976 4523 456 5477 1150 6373 2838
3613 2082 4561 436 5479 1826 4226
' 3617 16 4591 2292 4802 6379 218
2856 3596 5501 666 6421 438
3631 1104 4637 3618 5527 5206 6449 4884
3637 2526 4639 3226 5531 3438 5830
3202 4657 1578 5557 3196 6451 3236
3671 1580 2416 5569 938 6491 346
3677 2238 4110 5573 2032 6521 236
3697 1884 4663 216 5639 2672 6529 1564
3779 2362 4278 5641 4580 6547 734
3797 1256 4679 3592 5258 6569 1692
3821 3296 4691 3450 5669 2218 1776
3833 1840 4751 3768 2680 6571 1744
1998 4783 252 5689 348 6577 1312
3286 4793 2636 5701 2450 6619 1952
3851 216 4813 2620 5783 2200 3170
404 4861 4678 5791 1258 6659 2950
3853 748 4889 2924 5813 4284 4014
3881 1686 4903 3106 5821 1150 6689 5252
2138 4909 1462 5839 2308 6701 5484
3917 1490 4943 492 5861 3554 6733 1690
3967 106 4951 1914 5897 2996 6763 4144
3989 1936 2468 5903 3970 6218
4001 534 3890 5000 6230
4003 82 4957 3812 5923 4240 6779 3994
142 4969 1940 5927 3642 6793 2686
2610 4973 4208 5939 342 6823 4952
4021 3228 5009 1544 5014 6827 4108
4027 2332 4956 5953 3274 6833 2254
4049 1854 5039 594 6007 912 5144
4051 3548 . 5077 3092 6011 5870 6857 6676
4073 3620 5081 3016 6037 3396 6863 6406
4129 1784 5099 1378 6043 1226 6949 2432
4157 658 5101 190 6091 702 6971 2010
2322 5107 4872 6101 2008 6997 1746
488
ТАБЛИЦЫ
Продолжение табл. 11
1 2а 1 2а 1 2а 1 2а
7001 4842 7211 898 7537 2264 7817 7346
7039 1454 7213 1436 7547 5644 7823 3298
7057 4154 6930 7559 116 7829 1392
4972 7229 6236 7591 2620 7853 3494
7069 1478 7309 324 7607 3594 7901 2472
2570 7321 348 7643 5026 4286
7109 290 7351 1466. 7681 368 7907 584
7121 1502 7411 4712 7687 1246 7919 3888
7127 6798 7459 5286 3216 7927 6448
7177 962 7487 2500 6516 7937 3980
7187 3906 7489 4250 7691 2218 7949 2506
7207 1670 7499 3642 7727 950 3436
5774 7507 6924 3756 7951 4328
• 7963 4748
ТАБЛИЦА 12
Иррегулярные простые числа < 125 000, имеющие индекс иррегуляр-
ности 4 и 5.
В колонке справа указаны номера 2а чисел Бернулли В2а (2а sg Z —3),
числители которых делятся на I. Таблицы 12 и 13 (а также приведенные
ниже замечания) извлечены из статьи [142].
1 2а
12 613 308 502 9 400 10 536
15 737 6 352 7 454 12 486 13 078
43 189 9 454 14 464 26 380 35 578
56 263 10 770 21 958 52 530 55 200
72 337 2 346 15 858 44 354 68 030
76 289 11 860 25 284 26 406 72 266
77 783 5 590 52 114 52 246 73 092
78 233 10 400 32 084 46 620 47 364 64 628
84 067 16 322 43 722 44 246 44 79.
94 693 11 636 54 754 76 326 80 650 84 726
102 559 6 076 50 092 54 402 66162
108 179 9 344 15 048 56 432 78 964
109 789 10 734 44 536 44 836 105 520
109 843 . 16 464 25 396 27 844 84 202
109 891 36 552 56 682 '69 590 103 212
115 727 36 360 71 962 101 956 112 830
115 901 33 582 68 462 90 922 95 722
120 557 42 760 93 110 95 380 101 758
ТАБЛИЦЫ
489
Напомним (п. 3 § 7 гл. III), что если для данного I среди чисел Бер-
нулли В2, ..., Bi-i имеется ровно г чисел, делящихся на I, то г называется
индексом иррегулярности простого нечетного I. Число I регулярно, если его
индекс иррегулярности равен нулю. Обозначим через лДх) число простых
нечетных чисел < х, индекс иррегулярности которых равен г. Если л (я)
обозначает число всех нечетных простых чисел, не превосходящих х, то
ли) = 2 яг(ж)-
г>0
При х = 125 000 имеем следующую таблицу:
Г 1 » 1 1 1 2 1 з | 5 | <6
М*) | 7128 | 3559 1 875 | 1 153 | 16 I 2 1 о
Таким образом, среди 11 733 нечетных простых чисел < 125 000 имеется
7128 регулярных и 4605 иррегулярных.
Основываясь на допущении, что числители чисел Бернулли равномерно
распределены в классах вычетов по любому простому модулю, и привле-
кая вероятностные соображения, Зигель в работе [129] выдвинул гипотезу,
что среди всех нечетных простых чисел доля регулярных простых чисел
составляет
т. ,е. около 61% (об этом мы упоминали в п. 3 § 7 гл. III). Те же эвристи-
ческие аргументы Зигеля позволяют также предположить, что
Приведенная формула довольно хорошо согласуется с табличными данны-
ми, однако мы не имеем никаких подходов к ее доказательству. Если она
верна, то, в частности, получаем, что для любого натурального г существует
бесконечно много иррегулярных простых чисел с индексом иррегулярно-
сти г (в то же время их плотность очень быстро убывает с увеличением г).
Иррегулярная пара (см. п. 1 § 7 гл. V) вида (Z, I — 3) впервые появ-
ляется при I = 16 843. Иррегулярные пары вида (Z, I — 5) и (Z, I — 9) мы
имеем при I '== 37 и Z = 67 соответственно. В то же время для всех I <
< 125 000 мы не встречаем ни одной иррегулярной пары вида (I, I — 7).
Согласпо одному сравнению Вороного при I ~ 3 (mod 4) пара (Z, (Z +
4-1)/2) всегда регулярна. Если же l~l (mod 4) и 1< 125000, то
(Z, (Z— 1)/2)—также регулярная пара. Однако, верно ли это для всех
I = 1 (mod 4), неизвестно. Последний вопрос особенно пнтересен в связи с
утверждением задачи 2 § 6 гл. V ([46], [55]).
В пределах I < 125 000 не встречается пи одной иррегулярной пары
(Z, 2а), для которой В2а делилось бы па I2. Однако более вероятным являет-
ся предположение, что существуют Z, для которых Z21 Вйа, 2 < ?а < I — 3.
Известен отрезок из 27 последовательных простых чисел, состоящий
сплошь из регулярных чисел; он начинается с I — 17 881. Наибольший из-
вестный отрезок последовательных иррегулярных простых чисел содержит
11 простых чисел и начинается с I — 8597.
В связи е замечанием в конце и. 3 § 7 гл. III (с. 252) интересен вопрос,
как часто встречаются последовательные иррегулярные пары, т. е. пары
вида (Z, 2а) и (Z, 2а + 2). В пределах таблицы 11 мы встречаем две таких
пары при I — 491 и I = 587. В статье [87] отмечается, что для всех I <
< 30000 других последовательных иррегулярных пар нет.
Согласно теореме Дирихле (п. 3 § 3 гл. V) при любом модуле m все
простые числа равномерно распределены по классам приведенных вычетов.
490
ТАБЛИЦЫ
Данные работы [142] позволяют предположить, что иррегулярные простые
числа также равномерно распределяются по всем <р(т) классам приведен-
ных вычетов. Для т = 3, 4, 5 распределение иррегулярных простых чисел
< 125 000 по классам вычетов выглядит следующим образом:
т Г (0 m Г <0
3 1 2 2282 2323 5 1 2 1114 1193
4 1 3 2283’ 2322 3 4 1149 1149
Здесь в колонке ы указано число иррегулярных простых чисел
< 125 000, которые (mod т).
ТАБЛИЦА 13
Разложение на простые множители числителей N2a чисел Бернулли В2а
(в несократимой записи) для 2а 60.
2а N2a
2 1
4 1
6 1
8 1
10 5
12 691
14 7
16 3617
18 43867
20 283'617
22 11-131-593
24 103-2294797
26 13-657931
28 7-9349-362903
30 5'1721'1001259881
32 37-683-305065927
34 17-151628697551
36 26315271553053477373
38 19-154210205991661
40 137616929•1897170067619
42 1520097643918070802691
44 11-59-8089•2947939•1798482437
46 23•383799511•67568238839737
48 653•56039.153289748932447906241
50 5'5-417202699•47464429777438199
52 13-577-58741•401029177•4534045619429
54 39409'660183281'1120412849144121779
56 7•11316116397919088082706840550550313
58 29-67-1867076235242049•37349583369104129
60 2003-5549927•109317926249509865773025015237911
ТАБЛИЦЫ
491
Замечание: В книге [144] содержатся значения чисел Бернулли В2в
для 2а 124. Более обширная таблица чисел Бернулли (для 2а 250)
приведена в статье [153]. В этой работе указаны целые числа Cia та-
кие, что В2а = С2а—S(i/p), где р пробегает простые числа, для ко-
торых (р—1) | 2а. В [153] отмечается также, что авторами вычислены
числа Бернулли для 2а еС 836 и соответствующая таблица передана
на хранение в редакцию журнала (архив UMT — Unpublished Mathematical
Tables).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Помимо работ, цитируемых в тексте, в список литературы включены
несколько книг, сыгравших особенно важную роль в развитии вопросов,
излагаемых в настоящей книге. Конечно, наш перечень весьма далек от
полного. Обширная библиография, охватывающая работы до 1970 г., приве-
дена в книге [33].
I. МОНОГРАФИИ II ОБЗОРЫ
1. Алгебраическая теория чисел/Под ред. Касселса Дж., Фрёлиха А.—
М.: Мир, 1969.
2. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.— М.: Наука,.
1964; 2-е изд., 1972.
3. Б о х и е р С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных пере-
менных,—М.: ИЛ, 1951.
4. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.— М.: Мир, 1971.
5. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра,— М.: Наука, 1976; 2-е изд. 1979.
6. Вейль А. Основы теории чисел.— М.: Мир, 1972.
7. В о р о н о й Г. Ф. Собрание сочинений,— Киев: Изд-во АН УССР,
т. 1 и т. 2, 1952; т. 3, 1953.
8. Г а у с с К. Ф. Арифметические исследования (Disquisitiones arithme-
ticae).—В кп.: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел.—М.: Изд-во АН
СССР, 1959, с. 7—583.
9. Д е л о н е Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей
степени.— Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1940, т. 11, с. 1—340.
10. Дирихле П. Г. Л. Лекции по теории чисел.— М.— Л.: ОНТИ,
1936.
11. Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных пе-
ременных.— М.: ИЛ, 1954.
12. Касселе Дж. Диофантовы уравнения со специальным рассмотре-
нием эллиптических кривых.— Математика. Сб. пер., 1968, т. 12, № 1,
с. 113—160; № 2, с. 5—48.
13. Касселе Дж. Рациональные квадратичные формы.— М.: Мир,
1982.
14. Кох X. Теория Галуа р-расширенпй,— М.: Мир, 1973.
15. Ленг С. Алгебраические числа.— М.: Мир, 1966.
16. Л е н г С. Алгебра.— М.: Мир, 1968.
17. М а р к у ш е в и ч А. И. Краткий курс теории аналитических функ-
ций. 4-е изд.,— М.: Наука, 1978.
18. М а т и я с е в ич Ю. В. Диофацтовы множества,—Успехи мат. наук,
1972, т. 27, № 5(167), с. 185—222.
19. Семинар по комплексному умножению.— Математика. Сб. пер., 1968,
т. 12, № 1, с. 55—95.
20. Хассе X. Лекции по теории чисел.— М.: ИЛ, 1953.
21. Шевалле К. Введение в теорию алгебраических функций от
одной переменной.— М.: Физматгиз, 1959.
22. Э д в а р д с Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение
в алгебраическую теорию чисел.— М.: Мир, 1980.
23. Е1 с h 1 е г М. Quadratische Formen und orthogonale Gruppen.— Ber-
lin: Springer-Verlag, 1952.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
493
24. Н a s s е Н. Uber die Klassenzahl abelscher Zahlkorper.— Berlin: Aka-
-demie-Verlag, 1952.
25. H a s s e H. Zahlentheorie.— Berlin: Akademie-Verlag 1968.
26. H i 1 b e r t D. Die Theorie der algebraischen Zahlkdrper.— Jahresbe-
ficht Deutsch. Math.—Vereinigung, 1897, Bd. 4, S. 175—546. ' [In.: Hil-
bert D. Gesammelte Abhandlungen.—New York: Chelsea, 1965 S. 63—363.]
27. I r e 1 a n d K., Rosen M. A classical introduction to modern num-
ber theory.— New York — Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1982.
28. I was a wa K. Lectures on p-adic L-functions.— Ann. Math. Studies
№ 74.—Princeton — New Jersey: Princeton Univ. Press, 1972. ’ ’
29. L a n g S. Abelian varieties.— New York — London: Interscience Pub-
lishers, 1959.
30. Lang S. Diophantine geometry.—New York —London: Interscience
Publishers, 1962.
31. Lang S. Cyclotomic fields.—New York — Heidelberg — Berlin: Sprin-
ger-Verlag, 1978; v. 2, 1980.
32. L a n g S. Units and class groups in number theory and algebraic
geometry.— Bull. Arner. Math. Soc (N. S.), 1982, v. 6, № 3, p. 253—316.
33. N a r k i e w i c z W. Elementary and analytic theory of algebraic num-
bers.— Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1974.
34. О ’ M e a г а О. T. Introduction to quadratic forms.— Berlin: Springer-
Verlag, 1963.
35. R i b e n b о i m P. 13 lectures on Fermat’s last theorem.— New York —
Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1979.
36. Serre J.—P. Formes modulaires et Fonctions zeta p-adiques.— Leet.
Notes Math., 1973, № 350, p. 191—268.
37. Tate J. The arithmetic of elliptic curves.—Inventiones math., 1974,
v. 23, № 3—4, p. 179—206.
38. Washington L. C. Introduction to cyclotomic fields.— New York —
Heidelberg — Berlin: Springer-Verlag, 1932.
39. W e i 1 A. Sur les courbes algebriques et les varietes qui s’en dedui-
sent.— Act. Sci. Ind., № 1041.— Paris: Hermann, 1948.
II. СТАТЬИ
40. Абрашкпн В. А. Нахождение двухклассных мнимых квадратич-
ных полей с четным дискриминантом методом Хегнера.— Мат. заметки, 1974,
т. 15 № 2, с. 241—246.
41. Архипов Г. И., Карацуба А. А. О локальном представлении
нуля формой.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1981, т. 45, № 5, с. 948—961.
42. В е н к о в Б. А. О числе классов бинарных квадратичных форм
отрицательных определителей. I и II.— Изв. АН СССР. Сер. 7, отд. физ.-мат.
наук, 1928, № 4—5, с. 375—392; № 6—7, с. 455—480. [См. также в кн.: Вен-
ков Б. А. Исследования по теории чисел. Избранные труды.— Л.: Наука,
1981, с. 91—125.]
43. Г о л о д Е. С., Шафаревич И. Р. О башне полей классов.—
Изв. АН СССР. Сер. мат., 1964, т. 28, № 2, с. 261—272.
44. Делоне Б. Н. Решение неопределенного уравнения x3q + yz = 1.—
Изв. Российской АН. Сер. 6, 1922, т. 16, с. 273—280.
45. Д е м ь я н о в В. Б. О кубических формах в дискретно нормирован-
ных полях.— Докл. АН СССР, 1950, т. 74, К» 5, с. 889—891.
46. К и с е л е в А. А. Выражение числа классов идеалов вещественных
квадратичных полей через числа Бернулли.— Докл. АН СССР, 1948, т. 61,
№ 5, с. 777—779.
47. К о б е л е в В. В. Доказательство великой теоремы Ферма для всех
простых показателей, меньших 5500.— Докл. АН СССР, 1970, т. 190, № 4,
с, 767—768.
494
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
48. Н и с н е в и ч Л. Б. О числе точек алгебраического многообразия в
простом конечном поле.— Докл. АН СССР, 1954, т. 99, № 1, с. 17—20.
49. Н о в и к о в А. П. О числе классов полей комплексного умноже-
ния,— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, т. 26, № 5, с. 677—686.
50. Н о в и к о в А. П. О числе классов полей, абелевых над квадратпч-
но-мнимым полем.—Изв. АН СССР. Сер. мат., 1967, т. 31, № 3, с. 717—726.
51. С т е п а н о в С. А. Сравнения с двумя неизвестными,— Изв. АН
СССР. Сер. мат., 1972, т. 36, № 4, с. 683—711.
52. Ч е б о т а р е в Н. Г. Определение плотности совокупности простых
чисел, принадлежащих к заданному классу подстановок,— Изв. Российской
АН. Сер. 6, 1923, т. 17, с. 205—250. [См. также в кн.: Чеботарев Н. Г.
Собрание сочинений, т. 1.— М.— Л.: Изд-во АН СССР, 1949, с. 27—65.]
53. Шафаревич И. Р. Новсйэ доказательство теоремы Кронекера —
Вебера.—Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1951, т. 38, с. 382—387.
54. A n k е п у N. С., С h о w 1 a S. The class number of the cyclotomic
field.— Canadian J. Math., 1951, v. 3, № 4, p. 486—494.
55. Ankeny N. C., Cliowla S. A further note on the class number
of real quadratic fields.—Acta arithm., 1962, v. 7, № 3, p. 271—272.
56. Ax J. Zeroes of polynomials over finite fields.—Amer. J. Math., 1964,
v. 86, № 2, p. 255—261.
57. A x J., К о c h e n S. Diofantine problems over local fields. I.— Amer.
J. Math., 1965, v. 57, № 3, p. 005—630.
58. В а к e г A. Contributions to the theory of diophantine equations.—
Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1968, v. A263, № 1139, p. 173—208.
59. В а к e г A. Imaginary quadratic fields with class number 2,— Ann.
Math., 1971, v. 94, № 1, p. 139—152. [Русский перевод: Математика. Сб. пер.,
1972, т. 16, № 5, с. 3—14.]
60. В а г г u с a n d Р., Williams Н. С., В a n i u k L. A computatio-
nal technique for determining the class number of a pure cubic field.— Math.
Comput., 1976, v. 30, № 134, p. 312—323.
61. Birch B. J. Homogeneous forms of odd degree in a largo number
of variables.— Mathematika, 1957, v. 4, № 8, p. 102—105.
62. Birch B. J. Diophantine analysis and modular functions.— Algebr.
Geom., London, 1969. p. 35—42. [Русский перевод: Математика. Сб. пер., 1971,
т. 15, № 3, с. 173—176.]
63. Birch В. J., Lewis D. J., Murphy Т. G. Simultaneous quadra-
tic forms.— Amer. J. Math., 1962, v. 84, № 1, p. 110—115.
64. В i г c h B. J., Me Cann K. A criterion for the p-adic sulubility of
diophantine equations.— Quart. J. Math., 1967, v. 18, № 69, p. 59—63.
65. В о m b i e г i E. Counting points on curves over finite fields (d’apres
S. A. Stepanov).— Leet. Notes Math., 1974, № 383, p. 234—241.
66. В г a u e г R. A note on systems of homogeneous algebraic equati-
ons.— Bull. Amer. Math. Soc., 1945, v. 51, p. 749—755.
67. В г ii c k n e r H. Zum ersten Fall der Fermat’schen Vermutung.—
J. reine und angew. Math., 1975, Bd. 274/275, S. 21—26.
68. С а г 1 i t z L. Note on irregular primes.— Proc. Amer. Math. Soc., 1954,
v. 5, № 2, p. 329-331.
69. С о a t e s J. The work of Mazur and Wiles on cyclotomic fields.—
Leet. Notes. Math., 1981, № 901, p. 220—2'42.
70. Davenport H. Cubic forms in sixteen variables.— Proc. Roy. Soc.,
London, 1963, v. A272, № 1350, p. 285—303.
71. D a v e n p о г t H., Lewis D. J. Homogeneous additive equations.—
Proc. Roy. Soc., London, 1963, v. A274, № 1359, p. 443—460.
72. D e n e f J. The rationality of the Poincare series associated to the
p-adic points on a variety.— Inventiones math., 1984, v. 77, № 1, p. 1—23.
73. D e u r i n g M. Imaginare quadratische Zahlkorper mit der Klassen-
zahl Eins.— Inventiones math., 1968, v. 5, № 3, p. 169—179.
74. D i a z у D i a z F. On some families of imaginary quadratic fields.—
Math. Comput., 1978, v. 32, № 142, p. 637—650.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
495
75. Е i с h 1 е г М. Eine Bemerkung zur Fermat’schen Vermutung.— Acta
arithm., 1965, v. 11, № 1, p. 129—131.
76. F a 11 i n g s G. Endlichkeitssatze fiir abelsche Varietaten fiber Zahl-
korpern.— Inventiones math., 1983, v. 73, № 3, p. 349—366.
77. G г о s s B., Z a g i e r D. Points de Heegner et derivees de foncti-
ons.— C. r. Acad. Sci., Paris, 1983, t. 297, ser. 1, № 2, p. 85—88.
78. H a s s e H. Zur Geschlechtertheorie in quadratischen Zahlkorpern.—
J. Math. Soc. Japan, 1951, v. 3, № 1, p. 45—51.
79. H e a t h - В г о w n D. R. Cubic forms in ten variables.— Proc. London
Math. Soc., 1983, v. 47, № 2, p. 225—257.
80. H e c k e E. Bestimmung der Klassenzahl einer neuen Reihe von algeb-
raischen Zahlkorpern.— Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.— phys. KL, 1921,
№ 1, S. 1—23. [He eke E. Mathematische Werke.—Gottingen: Vanden-
hoeck — Ruprecht, 1970. S. 290—312.]
81. Heegner K. Diophantische Analysis und Modulfunktionen.—Math.
Z., 1952, Bd. 56; № 3, S. 227—253.
82. I g u s a J. Some observations on higher degree characters.— Amer. J.
Math., 1977, v. 99, № 2. p. 393—417.
83. I n с e E. L. Cycles of reduced ideals in quadratic fields. Mathemati-
cal tables, v. 4.— London: British association for the advancement of science,
1934.
84. I was a wa K. A class number formula for cyclotomic fields.— Ann.
Math., 1962, v. 76, № 1, p. 171—179.
85. J e n s e n K. L. Om talleoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske
tai — Nyt Tidsskrift f. Math., 1915, v. 26, p. 73—83.
86. J о h n s о n W. On the vanishing of the Iwasawa invariant gp for
p < 8000,— Math. Comput., 1973, v. 27, № 122, p. 387—396.
87. Johnson W. Irregular primes and cyclotomic invariants.— Math.
Comput., 1975, v. 29, № 129, p. 113—120.
88. Ken ku M. A. Determination of the even discriminants of complex
quadratic fields of class-number 2,— Proc. London Math. Soc., Ser. 3, 1971,
v. 22. № 4, p. 734—746.
89. Kneser M. Kleine Losungen der diophantischen Gleichung ax2 +
+ by2 ,=» cz2.— Abhandl. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1959, Bd. 23, S. 163—
173.
alle diejenigen
in die Zahlern
nicht vorkom-
90. К u b о t a T., L e о p о 1 d t H. W. Eine p-adische Theorie der Zeta-
werte.— J. reine und angew. Math., 1964, Bd. 214/215, S. 328—339.
91. Kummer E. E. Algemeiner Beweis des Fermat’schen Satzes dass die
Gleichung x'- -J- = ?• durch ganze Zahlen unlosbar ist, fiir
Potenz-Exponenten X, welche ungerade Primzahlen sind und
1 (
der ersten — v.—3) Bernoulli’schen Zahlen als Faktoren
2
men.— J. reine und angew. Math., 1850, Bd. 40, S. 130—138.
92. L a k e i n R. B. Computation of the ideal class group of certain comp-
lex quartic fields. IL—Math. Comput., 1975, v. 29, № 129, p. 137—144.
93. L a k e i n R. B. Review of UMT file: Kuroda S. Table of class
numbers, h(p) greiter than 1, for fields Q(^p), /> = 1 (mod 4) eC 2 776 817.—
Math. Comput., 1975, v. 29, № 129, p. 335—336.
94. Lang S., Weil A. Number of points of varieties in finite fields.—
Amer. J. Math., 1954, v. 76, № 4, p. 819—827.
95. L e h m e r D. H. On Fermat’s quotient, base two.— Math. Comput.,
1981, v. 36, № 153, p. 289—290.
96. L e h m e r D. H., L e h m e r E., Vandiver H. S. An application
of high-speed computing to Fermat’s last theorem.— Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 1954, v. 40, № 1, p. 25—33. .
97. L e h m e r D. H., M a s 1 e у J. M. Table of the cyclotomic class num-
bers h*(p) and their factors for 200 < p < 521.—Math. Comput., 1978, v. 32,
№ 142, p. 577—582.
496
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
98. Leopold! Н. W. Eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Zah->
len.— Abhandl. math. Semin. Univ. Hamburg, 1958, Bd. 22, S. 131—140.
99. L e о p о 1 d t H. W. Zur Arithmetik in abelschen Zahlkorpern.— J. rei-
ne und angew Math., 1962, Bd. 209, № 1—2, S. 54—71.
100. L e p i s t б T. On the growth on the first factor of the class number
of the prime cyclotomic field.— Ann. Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, 1974,
№ 577, p. 3-21.
101. Lewis D. J. Cubic homogeneous polynomials over p-adic number
fields.— Ann. Math., 1952, v. 56, № 3, p. 473—478.
102. Linden F. J. van der. Class number computations of real abe-
lian number fields.— Math. Comput., 1982, v. 39, № 160, p. 693—707.
103. L 1 о r e n t e P., О n e t о A. V. On the real cubic fields.— Math. Corn-
put., 1982, v. 39, № 160, p. 689—092. t
104. M a s 1 e у J. M. Solution of small class number problems for cyclo-
tomic fields.— Compositio Math., 1976, v. 33, № 2, p. 179—186.
105. M a s 1 о у J. M. Class numbers of real cyclic number fields with
small conductor.—Compositio Math., 1978, v. 37, № 3, p. 297—319.
106. M a s 1 e у J. M., Montgomery H. L. Cyclotomic fields with uni-
que factorization.— J. reine und angew Math., 1976, Bd. 286/287, S. 248—2'56.
107. Mat tuck A., Tate J. On the inequality of Castelnuovo — Seve-
ri.— Abhandl. Math. Sem. Univ. Hamburg, 1958, Bd. 22, № 3—4, S. 295—299.
[Русский перевод: Математика. Сб. переводов, 1960, т. 4, № 2, с. 25—28.]
108. Metsankyla Т. Distribution of irregular prime numbers.— J. rei-
ne and angew. Math., 1976, Bd. 282, S. 126—130.
109. M e u s e r D. On the rationality of certain generating functions.—
Math. Ann., 1981, Bd. 256, № 3, S. 303—310.
110. Mirimanoff D. Sur le dernier tlicoreme de Fermat.— C. r. Acad.
Sci., Paris, 1910, t. 150, № 4, p. 204—206.
11. Neild C., Shanks D. On the 3-rank of quadratic fields and the
Euler product.— Math. Comput., 1974, v. 28, № 125, p. 279—291.
112. Newman M. A table of the first factor for prime cyclotomic
fields.— Math. Comput., 1970, v. 24, № 109, p. 215—219.
113. Odlyzko A. M. Lower bounds for discriminants of number
fields.- Acta arithm., 1976, v. 29, № 3, p. 275—297.
114. Odlyzko A. M. Lower bounds for discriminants of number fields.
IL— Tohoku Math. J., 1977, v. 29, № 2, p. 209—216.
115. P 1 e a s о n t s P. A. B. Cubic polynomials over algebraic number
fields.— J. Number Theory, 1975, v. 7, № 3, p. 310—344.
116. Ramachandra K. Some applications of Kronecker’s limit for-
mulas.— Ann. Math., 1964, v. 80, № 1, p. 104—148.
117. R e i d e m e i s t e r K. Uber die Relativklassenzahl gewisser rela-
tivquadratischer Zahlkorper.— Abhandl. math. Semin. Univ, Hamburg, 1929,
Bd. 1, S. 27-48.
118. Rib et K. A modular construction of unramified p-extensions of
Q (pp). — Inventiones Math., 1976, v. 34, № 3, p. 151—162.
119. Schmidt W. M. Linearformen mit algebraischen Koeffizienten.
IL— Math. Ann., 1971, Bd. 191, № 1, S. 1—20.
120. S c h о о f R. J. Class groups of complex quadratic fields.— Math.
Comput., 1983, v. 41, № 163, p. 295—302.
12'1 . Seah E., Washington L. C., Williams H. C. The calcula-
tion of a large cubic class number with an application to real cyclotomic
fields.— Math. Comput., 1983, v. 41, № 16B, p. 303—305.
122. Selfridge J. L., Nicol C. A.[ Vandiver H. S.-Proof of Fer-
mat’s last theorem for all prime exponents less than 4002.— Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A., 1955, v. 41, № 11, p. 970—973.
123. Selmer E. S. The diophantine equation ax3 -|- by3 -f- cz3 = 0.—
Acta Math., 1951, v. 85, № 3—4, p. 203—262.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
497
124. Selmer Е. S. Tables for the purely cubic field К (J^m). — Avhandl.
utg. Norske vid. Akad. Oslo. Mat.— uaturvid. KI., 1955, № 5, p. 1—38.
125. Shanks D. The simplest cubic fields.— Math. Comput., 1974, v. 28,
№ 128, p. 1137—1152.
126. Shanks D. Class groups of the quadratic fields found by F. Diaz
у Diaz.— Math. Comput., 1976, v. 30, № 133, p. 173—178.
127. Shanks D., Serafin R. Quadratic fields with four invariants
divisible by 3.— Math. Comput., 1973, v. 27, № 121, p. 183—187.
128. Shanks D., Williams H. C. Gunderson’s function in Fermat’s
last theorem.— Math. Comput., 1981, v. 36, № 153, p. 291—295.
129. Siegel C. L. Zu zwei Bemerkungen Kummers.— Nachr. Akad. Wiss.
Gottingen. II. Math.— Phys. KL, 1964, № 6, S. 51—57.
130. Siegel C. L. Bernoullische Polynome und quadratische Zahlkor-
per.—Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.— Phys. KL, 1968, № 2, S. 7—38.
[Siegel C. L. Gesammelte Abhandlungen, Bd. 4,— Berlin: Springer-Verlag,
1979, S. 9-40.]
131. Siegel C. L. Uber die Fourierschen Koeffizienten von Modulfor-
men.— Nachr. Akad. Wiss. Gottingen. Math.— Phys. KL, 1970, № 3, S. 15—56.
[Siegel C. L. Gesammelte Abhandlungen, Bd. 4.— Berlin: Springer Verlag,
1979, S. 98—139.]
132. S k u 1 a L. Divisorentheorie einer Halbgruppe.— Math. Z., 1970,
Bd. 114, № 2, S. 113-120.
133. S k u 1 a L. Eine Bemerkung zu dem ersten Fall der Fermat’schen Ver-
mutung.— J. reine und angew. Math., 1972, Bd. 253, S. 1—14.
134. Stark H. M. A complete determination of the complex quadratic
fields of class-number one.— Michigan Math. J., 1967, v. 14, № 1, p. 1—27.
135. Stark И. M. A transcendence theorem for class-number problems.
II.— Ann. Math., 1972, v. 96, № 1, p. 174—209.
136. Stark H. M. On complex quadratic fields with class-number two.—
Math. Comput., 1975, v. 29, № 129, p. 289—302.
137. Ter j anian G. Un contre-exemple 5 une conjecture d’Artin.—
C. r. Acad. Sci., Paris, 1966, t. AB262, № И, p. A612.
138. U c h i d a K. Class numbers of imaginary abelian number fields,
III.— Tohoku Math. J., 1971, v. 23, № 4, p. 573-580.
139. Vandiver H. S. Fermat’s last theorem and- the second factor in
the cyclotomic class number.— Bull. Amer. Math. Soc., 1934, v. 40, № 2,
p. 118—126.
140. Vandiver H. S. Examination of methods of attack of the second
case of Fermat’s last theorem.— Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 1954, v. 40, № 8,
p. 732—735.
141. Wada H. A table of ideal class groups of imaginary quadratic
fields.— Proc. Japan Acad., 1970, v. 46, № 5, p. 401—403.
142. Wagstaff S. S. (Jr.) The irregular primes to 125 000.— Math. Com-
put., 1978, v. 32, № 142, p. 583—591.
143. Warning E. Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Che-
valley,— Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg 1935, Bd. 11, № 1—2,
S. 76—83.
144. Washington L. C. On Fermat’s last theorem.— J. reine und an-
gew. Math., 1977, Bd 289, S. 115—117.
145. W i e f e r i c h A. Zum letzten Fermatschen Theorem.— J. reine und
angew. Math., 1909, Bd. 136, S. 293—302.
146. Williams H. C. Certain pure cubic fields with class-number one.—
Math. Comput., 1977, v. 31, № 138, p. 578—580. ’
147. Williams H. C., Broere J. A computational technique for
evaluating £(1, %) and the class number of a real quadratic field.— Math.
Comput., 1976, v. 30, № 136, p. 887—893.
148. Williams H. C., Cormack G., Seah E. Calculation of the
regulator of a pure cubic field.— Math. Comput., 1980, v. 34, № 150, p. 567—611.
498
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
149. W111 i a m s Н. С., D u е с k G. W.. Schmid В. К. A rapid method
of evaluating the regulator and class number of a pure cubic field.— Math.
Comput., 1983, v. 41, № 163, p. 235—286.
150. Williams H. C., Shanks D. A note on class-number one in
pure cubic fields.— Math. Comput., 1979, v. 33, № 148, p. 1317—1320.
ДОПОЛНЕНИЕ ПРИ КОРРЕКТУРЕ
*.
151. Diaz у Diaz F., Shanks D., Williams H. C. Quadratic
fields with 3-rank equal to 4.— Math. Comput., 1979, v. 33, № 146, p. 836—840.
152' . Keller W., Loh G. The criteria of Kummer and Mirimanoff
extended to include 22 consecutive irregular pairs.— Tokyo J. Math., 1983,
v. 6, № 2. p. 397-402.
153. Knuth D. E., Buckholtz T. J. Computation of tangent, Euler,
and Bernoulli numbers.— Math. Comput., 1967, v. 21, № 100, p. 663—688.
154. К r a s n e r M. Sur le premier cas du theoreme de Fermat.— C. r. Acad.
Sci., Paris, 1934, t. 199, № 4, p. 256—258.
155. Martinet J. Petits discriminants.— Ann. Inst. Fourier, 1979, t. 29,
№ 1, p. 159—170.
156. T a t e у a m a K. On the ideal class groups of some cyclotomic
fields.— Proc. Japan Acad., 1982, v. A58, № 7, p. 333—335.
157. Wada H. Some computations of criteria of Kummer.— Tokyo J.
Math., 1980, v. 3, № 1, p. 173—176.
158. Y a h a g i O. Construction of number fields with prescribed Z-class
groups.— Tokyo J. Math., 1978, v. 1, № 2, p. 275—283.
159. Adleman L. M., II e a t h - В г о w n D. R. The first case of Fer-
mat’s last theorem.— Inventiones Math., 1985, v. 79, № 2, p. 409—416.
160. F о и v г у E. Theoreme de Brun — Titchmarsh; application au theoreme
de Fermat.— Inventiones Math., 1985, v. 79, № 2, p. 383—407.
161. Heath-Brown D. R. Fermat’s last Theorem for «almst all» expo-
nents.— Bull. London Math. Soc., 1985, v. 17, pt. 1, № 64, p. 15—16.
ПЕРЕЧЕНЬ СТАНДАРТНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Z — кольцо целых рациональных чисел
Zp— кольцо целых р-адических чисел
Q — поле рациональных чисел
Qp — поле р-адических чисел
Fp = Z/pZ — поле вычетов по простому модулю р
Fq = GF (q) — конечное поле, содержащее q элементов
К = <0^— поле вещественных чисел
— вещественное m-мерное пространство
С — поле всех комплексных чисел
К* — мультипликативная группа поля К
Spa = SpK/i(a), N(а) = Л^д-/л(а) —след и норма элемента а из конеч-
ного расширения К/к поля к
R = R (К) — регулятор поля алгебраических чисел К
Вт — числа Бернулли (в четной нумерации: T?2r+i = 0 при г 1)
h = h (К) — число классов дивизоров поля алгебраических чисел К
h* = h*(p)—первый множитель числа классов дивизоров поля деле-
ния круга па р частей
Ло = ha(p) — второй множитель числа классов дивизоров поля деле-
ния круга на р частей
g(s) —дзета-функция Римана
'Ск(г) — дзета-функция Дедекинда
а | Ъ — а делит Ъ
а \ Ь — а не делит Ь
/ а \
I — I — символ Лежандра
(a, (J) — символ Гильберта в поле р-адических чисел
символ Гиль^е₽та (Л”* рациональных а и Ь) в поле Qp вклю-
чая р = оо
[^] —целая часть вещественного числа £
Re a, Im a — вещественная а и мнимая Ъ части комплексного числа
а = а + Ы
А с: В — включение, допускающее равенство
<р(т) —теоретико-числовая функция Эйлера
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная норма дивизора 241
— степень инерции дивизора 241
Абсолютно неприводимый многочлен
17
Абсолютный инвариант 169
— индекс ветвления дивизора 241
Автоморфизм расширения поля 453
Аддитивный характер 23
Алгебраически замкнутое поле 447
Алгебраический элемент расширения
445,
Алгебраическое расширение 445
— число 94
Аналитическая кривая 323
— функция 313
Ассоциированные числа модуля 106
— элементы кольца 459
Базис модуля 99
— расширения поля 445
— решетки 118
Бернуллиевы числа 426
Бесконечные простые дивизоры 309
Бинарная квадратичная форма 443
Ведущий модуль числового характе-
ра 470
Вещественное квадратичное поле 152
Вещественный бесконечный простой
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Взаимно простые дивизоры 191
Взаимный базис 451
— модуль 111
Витта группа классов квадратичных
форм 444
Вполне вещественное кубическое по-
ле 481
— разветвленное расширение полно-
го поля с показателем 290 —
— целозамкнутое кольцо 464
Второй множитель числа классов ди-
визоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
Выпуклое множество 129
Вырожденный модуль 329
Вычет n-й степени 379
Галуа группа 453
Гауссова сумма 21, 365
Гауссова сумма в копечпом поле 458
Гильберта символ 65
Главная единица полного поля с по-
казателем 316
— р-адпче.ская едпница\39
Главный дивизор 192 \
— идеал 460
— — в поле отношений относитель-
но подкольца 463
Группа Витта классов квадратичных
форм 444
— классов дивизоров 245
— — подобных модулей квадратич-
ного поля 156, 158
— подобных модулей квадратично-
го поля 158
— родов 274—275
Дедекиндово кольцо 232
Деление с остатком 186
Делимость идеалов в поле отноше-
ний дедекиндова кольца 240
Дзета-функция Дедекинда 339
— Римана 350
Диагональная квадратичная форма
439
Дивизор 192, 236
— главный 192
— дробный 236
— единичный 192
— поля алгебраических чисел 231
— целый 236
Дирихле ряд 362
— характер 470
Дискретная метрика 239
Дискретное множество точек 118
Дискриминант базпса в конечном
расширении 450
— бинарной квадратичной формы
159
— конечного сепарабельного расши-
рения поля отношений Кольца с
теорией дивизоров 230
— полного модуля 110
— поля алгебраических чисел 110
— порядка в поле алгебраических
чисел 110
Дробный идеал 463
---в поле отношений относитель-
но подкольца 463
d-идеал 464
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
501
Евклидово кольцо 18Q
Единица — обратимый элемент коль-
ца 459
— р-адическая 28
— поля алгебраических чисел ПО
— порядка 106
Единичный дивизор 21, 192
— пдеал кольца 460
— характер 21, 466
Замыкание подмножества в полном
поле 281—282
Идеал в поле отношений кольца 463
— кольца 460
Инвариантный класс дивизоров квад-
ратичного поля 277
Инварианты конечной абелевой груп-
пы 465
Индекс ветвления конечного расши-
рения полного поля с показателем
287
— — показателя 207
— — простого дивизора 217
— иррегулярности простого нечет-
ного числа 252, 490
— целого примитивного числа 111
Индуцированный показатель па под-
поле 207
Иррегулярная пара 423
Иррегулярное простое число 251
Квадратичная форма 438
Квадратичное поле 149
Квадратичный числовой характер
266
Класс Витта квадратичных форм 444
— вычетов 459
— дивизоров 245
— подобных модулей 143
Кольцо аналитических функций на
локальном многообразии 332
— классов вычетов по модулю эле-
мента 459
— — — — — дивизора 231
— Крулля 201
— множителей 103
— показателя 203
— с теорией дивизоров 191, 192
— целых чисел алгебраического чи-
слового поля 109
---элементов полного поля отно-
сительно показателя 282
Комплексный бесконечный простой
дивизор 309
— изоморфизм поля алгебраических
чисел 112
Конечное поле 456
— расширение поля 444
Конечный простой дивизор 309
Конус в вещественном пространстве
Кривая, принадлежащая локальному
многообразию 335
Круговое поле 355
Круговой многочлен 356
Логарифмическое изображение ал-
гебраических чисел 122
— пространство 122
Локальное аналитическое многообра-
зие 332
Локальный метод 280
Максимальный идеал 464
Метризованное поле 41
Метрика архимедова 47
— дискретная 293
— поля 41
— пеархимедова 47
— нормированная 310
— р-адпческая 33
— у-адпческая 306
— тривиальная 41
Минимальный идеал 240
— многочлен алгебраического эле-
мента 445
Мнимое квадратичное поле 152
Многочлен Эйзенштейна 111, 229
Множитель полного модуля 103
Модуль в поле алгебраических чисел
97
Модулярная фигура 168
— функция 168
— эквивалентность 168
Мультипликативный характер 20
Неполная разложимая форма 99
— решетка 118
Неполный модуль 99
Неприводимое локальное многообра-
зие 332
Непримитпвный характер 469
Неразветвленное расширение полно-
го поля с показателем 290
Неразветвленный простои дивизор в
конечном расширении 226
Несепарабельный элемент алгебраи-
ческого расширения 452
Нечетный числовой характер 367
Нётерово кольцо 239
Норма дивизора 219
— модуля 144
— точки 115’
— элемента 448
502
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нормальное расширение поля 452
Нормированная гауссова сумма 385
— метрика 310
Нулевой идеал кольца 460
Обобщенные числа Бернулли 432—
433
Образующие модуля 97
Обратимый элемент кольца 459
Общее наименьшее кратное дивизо-
ров 191, 237
Общий наибольший делитель диви-
зоров 191, 237
Ограниченная р-адпческая последо-
вательность 35
Ограниченное множество точек 118
Однозначность разложения па мно-
жители 185
Одпоклассное поле алгебраических
чисел 247
Определитель квадратичной формы
438
Основная единица вещественного
квадратичного поля 152
Основной параллелепипед решетки
119
Основные единицы поля алгебраиче-
ских чисел 133
--- порядка 133
Первый множитель числа классов
дивизоров кругового поля 395
— случай теоремы Ферма 176
Период приведенного числа вещест-
венного квадратичного поля 173
Подобие модулей в поле алгебраиче-
ских чисел 98
— — квадратичного поля в узком
смысле 159
Показатель поля 196
— р-адический 30, 199
Поле алгебраических чисел 94
— вычетов показателя 203
— — полного поля с показателем
282
— Галуа 453
— инерции конечного расширения
полного поля с показателем 290
— отношений кольца 461
— р-адических чисел 32
— р-адических чисел 309
— формальных степенных рядов 290
Полная разложимая форма 99
— решетка 118
— система вычетов 459
Полное метризованное поле 42
— поле относительно показателя 282
Полный модуль 99
Пополнение р-адическое 281
— поля по метрике 42
-------показателю 281
Порядок в поле алгебраических чи-
сел 104
Представление нуля квадратичной
формой 439
— элементов поля квадратичной
формой 439
Приведенное число вещественного
квадратичного поля 172
— — мнимого квадратичного поля
167
Приведенный базис плоской решет-
ки 164
— модуль вещественного квадратич-
ного поля 172
— — мнимого квадратичного поля
167
Приводимое локальное многообразие
332
Примитивная форма 159
Примитивное число поля алгебраи-
ческих чисел 95
Примитивный многочлен в полном
поле с показателем 303
— числовой характер 469
— элемент конечного расширения
446
Продолжение показателя 207
Произведение дробных идеалов 463
— идеалов 460
— классов подобных модулей квад-
ратичного поля 157
— модулей 110
Промежуточное поле 444
Простое конечное расширение 446
Простой дивизор 192
— идеал 240
— элемент кольца 185
Прямая сумма квадратичных форм
439
Пуанкаре ряд 55
р-адический регулятор вполне ве-
щественного поля алгебраических
чисел 416
р-адическое продолжение дзета-
функции Рпмапа 434
p-целое рациональное число 29
Разветвленный простой дивизор в
конечном расширении 226
Разложимая форма 94
Расширение Галуа 453
— поля 444
Регулярное простое число 251
Регулятор поля алгебраических чи-
сел 134
— порядка 134
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
503
Решетка в вещественном пространст-
ве 118
Род биэарных квадратичных форм
270
— дивизоров в квадратичном поле
274
Ряд Дирихле 362
— Пуанкаре 55
Свойство ПОЛЯ Сг 69
Сдвиг множества 119
Сепарабельное расширение 450
Сепарабельный элемент алгебраиче-
ского расширения 452
Символ Гпльберта 65
— Хассе 73
Система образующих модуля 97
След элемента 448
Собственная эквивалентность бинар-
ных квадратичных форм 159
Сопряженное поле 452
Сопряженный изоморфизм поля ал-
гебраических чисел ИЗ
— элемент 452
Соседнее слева приведенное число в
вещественном квадратичном поле
173
— справа приведенное число в ве-
щественном квадратичном поле
173
Сравнимость элементов кольца по
модулю дивизора 231
Степенной ряд 312
Степень инерции конечного расши-
рения полного поля с показателем
287
— — простого дивизора относитель-
но подполя 221
— конечного расширения поля 444,
445
Сумма Гаусса 21
— идеалов в поле отношений деде-
киндова кольца 240
Сходимость в метризованном поле
41
— р-адическая 37
Теория дивизоров 191
— полей классов 267
Тождество Эйлера 340, 353
Топологический изоморфизм 42
Трансцендентный элемент расшире-
ния поля 445
Тривиальная метрика 41
Удобные числа Эйлера 273, 481
Умножение дивизоров 235
Умножение полных модулей в по-
лях алгебраических чпсел 110
Унпмодулярная матрица 93
Фактор-кольцо 461
Фундаментальная область 341
— последовательность 42
Фундаментальный базис конечного
расширения полного поля с пока-
зателем 287
--- поля алгебраических чисел
110
---целого замыкания кольца по-
казателя 221
Функция Эйлера на дивизорах 259
Характер абелевой группы 465
— Дирихле 470
— единичный 21
— квадратичного поля 266
Характеристический многочлен 447
Хассе символ 73
Целое алгебраическое число 109
— замыкание кольца 462
— р-адическое число 26
Целозамкнутое кольцо 462
Целочисленная эквивалентность
форм 93
Целый идеал в поле отношений от-
носительно подкольца 463
— элемент относительно кольца 461
— — — показателя 203
— — полного поля с показателем
282
Центрально симметричное множест-
во 129
Четный числовой характер 367
Числа Берпулли 426
Числовой характер 468
Число классов дивизоров 245
Чпсто кубическое поле 112
— несепарабельпое расширение по-
ля 453
— несепарабельный элемент 453
Эйзенштейна многочлен 111, 229
Эйлера тождество 340, 353
— функция па дивизорах 259
Эквивалентность дивизоров 244
---квадратичного поля в узком
смысле 268
— квадратичных форм 438
— метрик 47
Эффективность задания решетки 140
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................. ..... 7
Глава I. Сравнения............................................... 9
§ 1. Сравнения по простому модулю.............................11
1. Суммы степеней вычетов (И). 2. Теоремы о числе решений
сравнений (12). 3. Квадратичные формы по простому модулю
(14).
§ 2. Тригонометрические суммы.................................1о
1. Сравнения и тригонометрические суммы (16). 2. Суммы сте-
пеней (19). 3. Модуль гауссовой суммы (22).
§ 3. р-адические числа........................................25
1. Целые р-адические числа (25). 2. Кольцо целых р-адических
чисел (28). 3. Дробные р-адические числа (31). 4. Сходимость в
поле р-адических чисел (32).
§ 4. Аксиоматическая характеристика поля р-адических чисел . 40
1. Метризованные поля (40); 2. Метрики поля рациональных чи-
сел (45).
§ 5. Сравнения и целые р-адические числа......................48
1. Сравнения и уравнения в кольце Zp (48). 2. О разрешимо-
сти некоторых сравнений (50).
§ 6. Квадратичные формы с р-адическими коэффициентами . . 58
1. Квадраты в поле р-адических чисел (58). 2. Представление
пуля р-адическими квадратичными формами (59). 3. Бинарные
формы (62). 4. Эквивалентность бинарных форм (66). 5. Заме-
чания о формах высших степеней (68).
§ 7. Рациональные квадратичные формы..........................75
1. Теорема Минковского — Хассе (75). 2. Формы от трех пере-
менных (77). 3. Формы от четырех переменных (83). 4. Фор-
мы от пяти и более переменных (85). 5. Рациональная эквива-
лентность (86). 6. Замечания о формах высших степеней (87).
Глава II. Представление чисел разложимыми формами ... 91
§ 1. Разложимые формы.........................................92
1. Целочисленная эквивалентность форм (92). 2. Построение
разложимых форм (94). 3. Модули (97).
§ 2. Полные модули и их кольца множителей.....................99
1. Базис модуля (99). 2. Кольца множителей (103). 3. Едини-
цы (105). 4. Максимальный порядок (108). 5. Дискриминант
полного модуля (110).
§ 3. Геометрический метод....................................112
1. Геометрическое изображение алгебраических чисел (112).
2. Решетки (117). 3. Логарифмическое пространство (121).
4. Геометрическое изображение единиц (123). 5. Первые сведе-
ния о группе единиц (124).
§ 4. Группа единиц............................................126
1. Критерий полноты решетки (126). 2. Лемма Минковского
(127). 3. Структура группы единиц (131). 4. Регулятор (133).
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Решение задачи о представлениях рациональных чисел пол-
ными разложимыми формами..................................136
1. Единицы с нормой +1 (136). 2. Общий вид решений уравне-
ния ЛЦд.) = а (137). 3. Эффективное построение системы основ-
ных единиц (138). 4. Числа модуля с данной нормой (142).
§ 6. Классы модулей.......................................143
1. Норма модуля (143). 2. Конечность чпсла классов (146).
§ 7. Представление чисел бинарными квадратичными формами . 149
1. Квадратичные поля (149). 2. Порядки в квадратичном по-
ле (150). 3. Едпнппы (152). 4. Модули (155). 5. Соответствие
между модулями и формами (158). 6. Представление чпсел би-
нарными формами п подобие модулей (161). 7. Подобие моду-
лей в мнимом квадратичном поле (164).
Глава III. Теория делимости ........... 175
§ 1. Некоторые частные случаи теоремы Ферма...............175
1. Связь теоремы Ферма с разложением на множители (175).
2. Кольцо Z[£] (177). 3. Теорема Ферма в случае однозначно-
сти разложения на множители (180).
§ 2. Разложение на множители..............................184
1. Простые множители (184). 2. Однозначность разложения
(185). 3. Примеры неоднозначного разложения (187).
§ 3. Дивпзоры.............................................190
1. Аксиоматическое описание дивизоров (190). .2. Единствен-
ность (192). 3. Целозамкнутость колец с теорией дивизоров
(195). 4. Связь теории дивизоров с показателями (195).
§ 4. Показатели...........................................202
1. Простейшие свойства показателей (202). 2. Незавпспмость
показателей (203). 3. Продолжение показателей (206). 4. Су-
ществование продолжений (211).
§ 5. Теория дивизоров для конечного расширения .... 214
1. Существование (214). 2. Норма дивизоров (216). 3. Степень
инерции (220). 4. Конечность чпсла разветвленных простых ди-
визоров (226).
§ 6. Дедекиндовы кольца...................................231
1. Сравнения по модулю дивизора (231). 2. Сравнения в деде-
киндовых кольцах (232). 3. Дивизоры п идеалы (234). 4. Дроб-
ные дивпзоры (236).
§ 7. Дивизоры в полях алгебраических чисел................241
1. Абсолютная норма дивизора (241). 2. Классы дивизоров (244).
3. Приложение к теореме Ферма (250). 4. Вопросы эффектив-
ности (253).
§ 8. Квадратичное поле....................................262
1. Простые дивизоры (262). 2. Закон разложения (264). 3. Пред-
ставление чисел бинарными квадратичными формамп (267).
4. Роды дивизоров’ (273).
Добавление при корректуре ............................... 279
Глава IV. Локальный метод................................. 280
§ 1. Поля, полные относительно показателей................280
1. Пополнение поля по показателю (280). 2. Представление
элементов в виде рядов (282). 3. Конечные расширения полного
поля с пЬказателем (285). 4. Целые элементы (287). 5. Поля
(формальных степенных рядов (290).
§ 2. Конечные расширения поля с показателем...............295
§ 3. Разложение многочленов на множители в полном поле с по-
казателем 301
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 4. Метрики поля алгебраических чисел........................306
1. Описание метрик (306). 2. Соотношение между метриками
(310).
§ 5. Аналитические функции в полных полях.....................312
1. Степенные ряды (312). 2. Показательная и логарифмическая
функция (314).
§ 6. Метод Сколема............................................319
1. Представление чисел неполными разложимыми формами
(319). 2. Связь с локальными аналитическими многообразия-
ми (321). 3. Теорема Туэ (324). 4. Замечания о формах с боль-
шим числом переменных (329).
§ 7. Локальные аналитические многообразия.....................331
Глава А7. Аналитический метод....................................339
§ 1. Аналитическая формула для числа классов дивизоров . . 339
1. Дзета-функция Дедекинда (339). 2. Фундаментальная об-
ласть (343). 3. Вычисление объема (345). 4. Принцип Дирихле
(350). 5. Тождество Эйлера (353).
§ 2. Чпсло классов дивизоров кругового поля...................355
1. Неприводимость кругового многочлена (355). 2. Закон разло-
жения в круговом поле (358). 3. Выражение h через значения
Л-рядов (359). 4. Суммирование рядов Л(1, %) (364). 5. Ряды
Б(1, '/) для примитивных характеров (366).
§ 3. Простые дивизоры первой степени..........................370
1. Существование простых дивизоров первой степени (370).
2. Характеризация нормальных расширений законами разло-
жения простых дивизоров первой степени (371). 3. Теорема
Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии (374).
§ 4. Число классов дивизоров квадратичного поля...............379
1. Формула для числа классов дивизоров (379). 2. Характер
квадратичного поля (384). 3. Гауссовы суммы для квадратич-
ных характеров (385).
§ 5. Чпсло классов дивизоров поля деления круга на простое чис-
ло частей......................................................392
1. Разложение числа 7г на два множителя (392). 2. Множитель
h0 (395). 3. Множитель 7г* (400). 4. Условие взаимной простоты
7г* с I (402). 5. Замечание об операторной структуре группы
классов дивизоров (404).
§ 6. Услоипе регулярности.....................................407
1. Поле I-адических чисел (407). 2. Некоторые вспомогательные
сравнения (411). 3. Базис вещественных целых 1-адических
чисел в случае (7г*, 1) = 1 (413). 4. Критерий регулярности п
лемма Куммера (417).
§ 7. Второй случай теоремы Ферма для регулярных показателей . 419
1. Теорема Ферма (419). 2. Бесконечность числа иррегулярных
простых чисел (425).
§ 8. Числа Бернулли 426
Алгебраическое дополнение................................... . 438
§ 1. Квадратичные формы над произвольным полем характеристи-
ки #= 2 .....................................................438
^Эквивалентность квадратичных форм (-438). 2. Прямая сумма
квадратичных форм (439). 3. Представление элементов поля
(441). 4. Бинарные квадратичные формы (443).
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Алгебраические расширения.............................444
1. Конечные расширения (444). 2. Норма и след (447). 3. Сепа-
рабельные расширения (450). 4. Нормальные расширения (452).
§ 3. Конечные поля.........................................454
§ 4. Некоторые сведения о коммутативных кольцах .... 458
1. Делимость в кольцах (458). 2. Идеалы (460). 3. Целые эле-
менты (461). 4. Дробные идеалы (463).
§ 5. Характеры.............................................465
1. Строение конечных абелевых групп (465). 2. Характеры ко-
нечных абелевых групп (465). 3. Числовые характеры (468).
Таблицы.............................................' . 472
Список литературы..............................................492
Перечень стандартных обозначений...............................499
Предметный указатель...........................................500