Введение в современную теорию чисел - Манин Ю.И., Панчишкин А.А.

Author: Манин Ю.И. Панчишкин А.А.
Tags: теория чисел математика
ISBN: 978-5-94057-511-5
Year: 2009
Similar
Классическое введение в современную теорию чисел
Алгебраическая теория чисел
Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел
Азы теории чисел.
Text
                    Классические
НАПРАВЛЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Введение
в современную
теорию чисел
Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин

Классические
НАПРАВЛЕНИЯ В МАТЕМАТИКЕ
Ю. И. МАНИН, А. А. ПАНЧИШКИН
Введение
в современную
теорию чисел
Москва
МЦНМО
2009
УДК 511
ББК 122.130
М23
Манин Ю. И., Панчишкин А. А.
М23 Введение в современную теорию чисел.— М.: МЦНМО, 2009.—	I
552 с.: ил.
ISBN 978-5-94057-511-5
Предлагаемая читателю книга — это переработанная и дополненная версия кни-
ги «Теория чисел I. Введение в теорию чисел» Ю. И. Манина и А. А. Панчишкина
(Москва, ВИНИТИ, 1989), и её английского перевода (Encyclopeadia of Mathe-
matical Sciences, v. 49, Springer-Verlag, 1995). Книга состоит из вводных глав к раз-
личным разделам теории чисел. Все главы объединены общей концепцией: вместе
с читателем пройти от наглядных примеров теоретико-числовых объектов и задач,
через общие понятия и теории, развитые на протяжении долгого времени, к неко-
торым новейшим достижениям и видениям современной математики и наброскам
для дальнейших исследований. Новые разделы, написанные для данного издания,
включают в себя сжатое изложение доказательства Уайлса большой теоремы Фер-
ма, недавно открытый полиномиальный алгоритм проверки на простоту числа, обзор
счёта рациональных точек на многообразиях и другие сюжеты; заключительная часть
книги посвящена арифметическим когомологиям и некоммутативной геометрии.
ББК 122.130
Первый тираж издания осуществлен при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту №04-01-14095.
Юрий Иванович Манин, Алексей Алексеевич Панчишкин
ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННУЮ ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ
Редактор С. О. Горчинский
Подписано в печать 22.04.2009 г. Формат 60 х 90 V16- Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 34. Тираж 1500 экз. Заказ № 15993
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83.	f
Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького.
197110, Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, 15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio®mccme.ru	J
© Манин Ю.И., Панчишкин А. А., 2009.
ISBN 978-5-94057-511-5	© МЦНМО, 2009.
I
Оглавление
Предисловие......................................................... 11
Введение............................................................ 13
Часть I. Задачи и приемы
Глава 1. Элементарная теория чисел.................................. 21
§1.1	. Задачи о целых числах. Делимость и простота................. 21
1.1.1.	Системы	счисления ..................................... 21
1.1.2.	Простые	и составные числа.............................. 22
1.1.3.	Основная теорема арифметики и алгоритм Евклида......... 25
1.1.4.	Вычисления с классами вычетов.......................... 26
1.1.5.	Квадратичный закон взаимности и распознавание простоты
числа ........................................................ 29
1.1.6.	Распределение простых чисел	........................... 32
§1.2	. Диофантовы уравнения первой и второй степени................ 37
1.2.1.	Уравнение ах + by = с.................................. 37
1.2.2.	Диофантовы системы линейных уравнений.................. 38
1.2.3.	Уравнения второй степени............................... 40
1.2.4.	Принцип Минковского—Хассе	для квадратичных форм ....... 43
1.2.5.	Уравнение Пелля........................................ 45
1.2.6.	Представление целых чисел и квадратичных форм квадратичны-
ми формами.................................................... 46
1.2.7.	Связь с аналитической теорией чисел ................... 51
1.2.8.	Эквивалентность бинарных квадратичных форм............. 54
§1.3	. Кубические уравнения........................................ 56
1.3.1.	Проблема существования рационального решения........... 56
1.3.2.	Сложение точек на кубической кривой.................... 57
1.3.3.	Строение группы рациональных точек на кубической кривой . . 59
1.3.4.	Кубические сравнения по простому модулю ............... 66
§	1.4. Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби....... 68
1.4.1.	Диофантовы приближения иррациональных чисел............ 68
1.4.2.	Ряды Фарея............................................. 69
1.4.3.	Непрерывные (цепные) дроби............................. 70
1.4.4.	ЗЬг-эквивалентность чисел.............................. 71
1.4.5.	Периодические цепные дроби. Решение уравнения Пелля .... 72
§1.5	. Диофантовы приближения и иррациональность................... 73
1.5.1.	Идеи доказательства иррациональности числа £(3)........ 73
4
Оглавление
1.5.2.	Мера иррациональности числа........................... 74
1.5.3.	Теорема Туэ—Зигеля—Рота, трансцендентные числа,
диофантовы уравнения......................................... 75
1.5.4.	Вывод тождеств (1.5.1) и (1.5.2)...................... 77
1.5.5.	Рекуррентные последовательности ап	и	Ьп .............. 78
1.5.6.	Трансцендентные числа и седьмая проблема Гильберта.... 80
1.5.7.	Работа Ю. В. Нестеренко о [610]	..................... 80
Глава 2. Некоторые приложения элементарной теории чисел............ 81
§2.1	. Разложение и кодирование с открытым ключом.................. 81
2.1.1.	Временные затраты для разложения чисел................ 81
2.1.2.	Односторонние функции и кодирование с открытым ключом . . 81
2.1.3.	Криптосистема с открытым ключом....................... 82
2.1.4.	Статистика и массовое производство простых чисел...... 84
2.1.5.	Вероятностные методы проверки на простоту............. 85
2.1.6.	Проблема дискретного логарифма и протокол обмена ключами
Диффи—Хэллмана .............................................. 86
2.1.7.	Вычисление дискретного логарифма для эллиптических кривых
над конечными полями (ECDLP)................................. 86
§2.2	. Детерминированные проверки на простоту..................... 87
2.2.1.	Тест на простоту Адлемана—Померанса—Румели: основные
идеи......................................................... 88
2.2.2.	Гауссовы суммы и их использование в тестах на простоту .... 89
2.2.3.	Детальное описание теста на простоту.................. 94
2.2.4.	Простые числа лежат в классе Р ....................... 97
2.2.5.	Алгоритм М. Аграваля, Н.Каяля и Н.Саксены.............101
2.2.6.	Практические и теоретические доказательства простоты.
Алгоритм ЕСРР (Elliptic Curve Primality Proving), построенный
Ф. Морэном, [142]..................................... 101
2.2.7.	Арифметические прогрессии из простых чисел ...........102
§2.3	. Разложение больших чисел на множители......................103
2.3.1.	Сравнение сложности тестов на простоту и разложения чисел
на множители................................................ 103
2.3.2.	Разложение чисел и квадратичные формы ................104
2.3.3.	Вероятностный алгоритм CLASNO.........................105
2.3.4.	Метод цепных дробей (СFRAC) и вещественные квадратичные
поля........................................................ 107
2.3.5.	Использование эллиптических кривых.....................НО
Часть II. Идеи и теории
Глава 3. Индукция и рекурсия.......................................115
§3.1	. Элементарная теория чисел	с	точки зрения логики.............115
3.1.1.	Элементарная теория	чисел.............115
3.1.2.	Логика................................................116
§3.2	. Диофантовы множества.......................................117
Оглавление
5
3.2.1.	Перечислимость и диофантовы множества...................117
3.2.2.	Диофантовость перечислимых множеств.....................118
3.2.3.	Свойства диофантовых множеств...........................118
3.2.4.	Диофантовость и уравнение Пелля.........................119
3.2.5.	График экспоненты диофантов.............................119
3.2.6.	Диофантовость и биномиальные коэффициенты...............120
3.2.7.	Биномиальные коэффициенты как остатки...................120
3.2.8.	Диофантовость факториала................................120
3.2.9.	Факториал и алгоритм Евклида ...........................121
3.2.10.	Дополнительные результаты..............................121
§3.3	. Частично рекурсивные функции и перечислимые множества.......122
3.3.1.	Частичные функции и вычислимые функции..................122
3.3.2.	Простейшие функции......................................122
3.3.3.	Элементарные операции над частичными функциями .........122
3.3.4.	Частично рекурсивное описание функций...................123
3.3.5.	Другие рекурсивные функции..............................125
3.3.6.	Дальнейшие свойства рекурсивных функций.................127
3.3.7.	Связь с множествами уровня..............................127
3.3.8.	Связь с проекциями множеств уровня......................128
3.3.9.	Теорема Матиясевича.....................................128
3.3.10.	Существование некоторых биекций........................128
3.3.11.	Операции на примитивно перечислимых множествах ........130
3.3.12.	Функция Гёделя.........................................130
3.3.13.	Свойства перечислимых множеств ........................131
§3.4	. Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость.......131
3.4.1.	Алгоритмическая нераспознаваемость и неразрешимость....131
3.4.2.	План доказательства теоремы Матиясевича.................132
Глава 4. Арифметика алгебраических чисел............................134
§4.1	. Алгебраические числа: реализации и геометрия................134
4.1.1.	Присоединение корней многочленов .......................134
4.1.2.	Расширения Галуа и элементы Фробениуса..................136
4.1.3.	Тензорное произведение полей и геометрическое изображение
алгебраических чисел......................................... 138
4.1.4.	Единицы, логарифмическое отображение и регулятор........141
4.1.5.	Точки решетки в выпуклом теле...........................142
4.1.6.	Вывод теоремы о единицах из леммы о выпуклом теле......144
§4.2	. Разложение простых идеалов, дедекиндовы кольца и нормирования. . . 145
4.2.1.	Простые идеалы и однозначность разложения на множители . . 145
4.2.2.	Конечность числа классов................................147
4.2.3.	Разложение простых идеалов в расширениях ...............148
4.2.4.	Разложение простых идеалов в циклотомических полях .....150
4.2.5.	Простые идеалы, показатели и нормирования...............152
§4.3	. Локальные и глобальные методы...............................154
4.3.1.	р-адические числа.......................................154
4.3.2.	Приложения р-адических чисел к решению сравнений.......158
6
Оглавление
4.3.3.	Символ Гильберта........................................159
4.3.4.	Алгебраические расширения поля и поля Тэйта ............161
4.3.5.	Нормализованные нормирования ...........................163
4.3.6.	Точки числовых полей. Формула произведения .............165
4.3.7.	Адели и идели...........................................167
4.3.8.	Геометрия аделей и иделей...............................170
§4.4	. Теория полей классов..........................................174
4.4.1.	Абелевы расширения поля рациональных чисел..............174
4.4.2.	Элементы Фробениуса числовых полей и отображение взаимно-
сти Артина.................................................... 177
4.4.3.	Теорема Чеботарёва о плотности простых идеалов..........179
4.4.4.	Закон разложения и отображение взаимности...............179
4.4.5.	Ядро отображения взаимности.............................180
4.4.6.	Символ Артина...........................................181
4.4.7.	Глобальные свойства символа Артина......................181
4.4.8.	Связь символа Артина и локальных символов...............183
4.4.9.	Свойства локального символа ............................184
4.4.10.	Явная конструкция абелевых расширений локального поля и вы-
числение локального символа .................................. 185
4.4.11.	Абелевы расширения числовых и функциональных полей .... 188
§4.5	. Группа Галуа в арифметических задачах.........................191
4.5.1.	Деление круга на п равных частей .......................191
4.5.2.	Расширения Куммера и символ степенного вычета...........195
4.5.3.	Когомологии Галуа.......................................198
4.5.4.	Когомологическое определение локального символа.........201
4.5.5.	Группа Брауэра, закон взаимности и принцип
Минковского—Хассе..............................................203
Глава 5. Арифметика алгебраических многообразий.......................209
§5.1	. Арифметические многообразия: схемы конечного типа над кольцом це-
лых чисел.............................................................209
5.1.1.	Решение уравнений и кольца..............................209
5.1.2.	Множество решений систем................................209
5.1.3.	Пример: «язык сравнений»................................210
5.1.4.	Эквивалентность систем уравнений........................210
5.1.5.	Решения системы как гомоморфизмы К-алгебр...............210
5.1.6.	Спектр кольца ..........................................211
5.1.7.	Функции на спектрах.....................................211
5.1.8.	Топология пространства Spec А...........................212
5.1.9.	Схемы...................................................215
5.1.10.	Точки схемы со значениями в кольцах....................217
5.1.11.	Решение уравнений и точки схем ........................217
5.1.12.	Теорема Шевалле .......................................218
5.1.13.	Некоторые геометрические понятия.......................219
§5.2	. Геометрические методы изучения диофантовых уравнений..........221
5.2.1.	Основные вопросы........................................221
Оглавление
7
5.2.2.	Геометрическая классификация ..........................223
5.2.3.	Существование рациональных точек и препятствия к принципу
Хассе..........................................................224
5.2.4.	Конечные и бесконечные множества решений...............227
5.2.5.	Число точек ограниченной высоты .......................230
5.2.6.	Высота и геометрия Аракелова...........................233
5.2.7.	Рациональные многообразия..............................234
§5.3	. Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы. . . . 236
5.3.1.	Алгебраические кривые и римановы поверхности...........236
5.3.2.	Эллиптические кривые...................................238
5.3.3.	Кривая Тэйта и ее точки конечного порядка..............245
5.3.4.	Теорема Морделла—Вейля и когомологии Галуа.............247
5.3.5.	Абелевы многообразия и якобианы........................252
5.3.6.	Формула Зигеля и числа Тамагавы........................259
§5.4	. Диофантовы уравнения и представления Галуа..................266
5.4.1.	Модуль Тэйта эллиптической кривой......................266
5.4.2.	Теория комплексного умножения .........................268
5.4.3.	Характеры /-адических представлений....................271
5.4.4.	Представления в характеристике р.......................272
5.4.5.	Модуль Тэйта числового поля ...........................273
§5.5	. Теорема Фальтингса и проблемы конечности в диофантовой геометрии 276
5.5.1.	Сведение гипотезы Морделла к гипотезе	Шафаревича ......276
5.5.2.	Теорема Шафаревича.....................................278
5.5.3.	Переход к абелевым многообразиям.......................279
5.5.4.	Проблемы конечности и гипотеза Тэйта...................281
5.5.5.	Сведение гипотез Тэйта к свойству конечности для изогений . . 282
5.5.6.	Высота Фальтингса—Аракелова............................284
5.5.7.	Гипотеза Т и поведение высоты при изогениях............287
Глава 6. Дзета-функции и модулярные формы...........................289
§6.1	. Дзета-функции арифметических схем...........................289
6.1.1.	Определение дзета-функций .............................289
6.1.2.	Аналитическое продолжение дзета-функций................291
6.1.3.	Схемы над конечным полем и теорема Делиня..............291
6.1.4.	Дзета-функции и тригонометрические суммы...............295
§6.2	. L-функции, теория Тэйта и явные формулы.....................300
6.2.1.	L-функции рациональных представлений Галуа.............300
6.2.2.	Формализм Артина ......................................302
6.2.3.	Пример: дзета-функция Дедекинда........................305
6.2.4.	Характеры Гекке и теория Тэйта.........................306
6.2.5.	Явные формулы..........................................314
6.2.6.	Группа А. Вейля и ее представления ....................316
6.2.7.	Дзета-функции, L-функции и мотивы .....................318
§6.3	. Модулярные формы и эйлеровы произведения....................324
6.3.1.	Связь между алгебраическими многообразиями и L-функциями 324
6.3.2.	Классические модулярные формы..........................325
8
Оглавление
6.3.3.	Приложение: кривая Тэйта и полустабильные эллиптические
кривые .......................................................327
6.3.4.	Аналитические семейства эллиптических кривых и конгруэнц-
подгруппы.....................................................329
6.3.5.	Модулярные формы относительно конгруэнцподгрупп.......329
6.3.6.	Теория Гекке..........................................332
6.3.7.	Примитивные формы ....................................337
6.3.8.	Обратная теорема в форме Вейля........................339
§6.4	. Модулярные формы и представления Галуа.....................344
6.4.1.	Сравнения Рамануджана и представления Галуа	..........344
6.4.2.	Связь с конструкцией Эйхлера—Шимуры ..................346
6.4.3.	Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля ........................347
6.4.4.	Гипотеза Берча—Свиннертона—Дайера.....................348
6.4.5.	Гипотеза Артина и параболические формы................355
6.4.6.	Модулярные представления над конечными полями.........358
§6.5	. Автоморфные формы и программа Ленглендса...................359
6.5.1.	Связь классических модулярных форм с теорией	представлений 359
6.5.2.	Автоморфные Л-функции ................................363
6.5.3.	Принцип функториальности Ленглендса...................366
6.5.4.	Автоморфные формы и гипотезы Ленглендса ..............367
Глава 7. Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм.........369
§7.1	. Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и высшие законы взаимности . . . 369
7.1.1.	Задача Пьера де Ферма (1601 —1665)................... 369
7.1.2.	Ошибка Г. Ламе........................................370
7.1.3.	Краткий обзор замечательного доказательства Уайлса ...371
7.1.4.	STW-гипотеза .........................................373
7.1.5.	Связь с квадратичным законом взаимности ..............373
7.1.6.	Полное доказательство STW-гипотезы ...................374
7.1.7.	Модулярность полустабильных кривых ...................377
7.1.8.	Структура доказательства теоремы 7.13 (полустабильной STW-
гипотезы)..............................................378
§7.2	. Теорема Ленглендса—Туннелла и модулярность по модулю 3.....380
7.2.1.	Представления Галуа: подготовка.......................380
7.2.2.	Модулярность по модулю р..............................382
7.2.3.	Переход от параболических форм веса один к параболическим
формам веса два........................................383
7.2.4.	Предварительный обзор этапов доказательства теоремы 7.13
о модулярности.........................................384
§7.3	. Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформа-
ций ...............................................................385
7.3.1.	Представления Галуа над локальными	нётеровыми алгебрами 385
7.3.2.	Деформации представлений Галуа........................386
7.3.3.	Модулярные представления Галуа........................388
7.3.4.	Допустимые деформации и модулярные	деформации.........390
7.3.5.	Универсальные кольца деформаций.......................392
Оглавление
9
§7.4	. Основная теорема Уайлса и критерии изоморфизма локальных колец. . 394
7.4.1.	Идеи доказательства основной теоремы 7.33 ............. 394
7.4.2.	Сюръективность отображения cps..........................395
7.4.3.	Построения универсального кольца деформаций ............396
7.4.4.	Набросок построения универсального кольца модулярных де-
формаций Ts....................................................397
7.4.5.	Универсальность и теорема плотности Чеботарёва..........399
7.4.6.	Критерии изоморфизма локальных колец....................399
7.4.7.	Второй критерий изоморфизма локальных колец и /-структуры 400
§7.5	. Шаг индукции по Уайлсу: применение критериев и когомологии Галуа 401
7.5.1.	Шаг индукции по Уайлсу при доказательстве	основной теоремы
7.33 ................................................... 401
7.5.2.	Формула, связывающая #Ф/?Е и #Ф/?Е,:	подготовка.........403
7.5.3.	Группа Зельмера и Ф/?Е..................................404
7.5.4.	Инфинитезимальные деформации............................404
7.5.5.	Деформации типа ........................................406
§7.6	. Относительный инвариант, основное неравенство и минимальный случай 410
7.6.1.	Относительный инвариант.................................410
7.6.2.	Основное неравенство ...................................412
7.6.3.	Минимальный случай......................................414
§7.7	. Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприво-
димости .............................................................416
7.7.1.	Теорема об абсолютной неприводимости ...................416
7.7.2.	От р = 3 к р = 5........................................419
7.7.3.	Семейства эллиптических кривых с фиксированным р5,£.....420
7.7.4.	Окончание доказательства................................422
Часть III. Аналогии и вйдения
Глава 111-0. Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание . . 427
§111.1	. Аналогии и различия между числами и функциями: точка на бесконеч-
ности, архимедовы свойства и т.д.....................................427
III.	1.1. Формула Коши о вычетах и формула произведения .......427
III.	1.2. Арифметические многообразия..........................428
III.	1.3. Бесконечно малые окрестности слоев ..................428
§111.2	. Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью, циклы и функции Гри-
на (по Жилле—Суле)...................................................429
III.2.1.	Арифметические	группы Чжоу............................430
III.2.2.	Арифметическая теория пересечений и теорема
Римана—Роха	.........................................431
III.2.3.	Геометрическое описание замкнутых слоев над бесконечностью 433
§Ш.З. Теория ^-функций, локальные множители для оо, Г-множители Серра
и общее описание дзета-функций, как определителей арифметических Фро-
бениусов: программа Денингера........................................435
III.3.1. Архимедовы L-множители................................437
III.3.2. Формулы Денингера.....................................437
10
Оглавление
§111.4. Предположение, что недостающие геометрические объекты —неком-
мутативные пространства.............................................438
I1I.4.1. Типы и примеры некоммутативных пространств и как с ними
обращаться. Некоммутативная геометрия	и арифметика.438
III.4.2. Общие сведения о спектральных тройках................442
Ш.4.3. Содержание части III: описание основных этапов данной про-
граммы ..................................................443
Глава 8. Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
(по К. Конзани и М. Марколли, [2771)............................... 446
§8.1	. Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова..................446
8.1.1.	Мотивировки и контекст работы Конзани—Марколли ........446
8.1.2.	Аналитическая конструкция вырождающихся кривых над пол-
ными локальными полями и геометрия Аракелова (по Мамфор-
ду, см. [601]) ...............................................447
8.1.3.	Группы Шоттки и новые перспективы в геометрии Аракелова . . 452
8.1.4.	Гиперболические тела с ручками.........................456
8.1.5.	Геометрия Аракелова и гиперболическая геометрия .......459
§8.2	. Когомологические конструкции, архимедов оператор Фробениуса и ре-
гуляризованные определители.........................................463
8.2.1.	Архимедовы когомологии ................................463
8.2.2.	Локальный множитель и архимедовы	когомологии...........467
8.2.3.	Когомологические конструкции...........................468
8.2.4.	Дзета-функция специального слоя и кручение Райдемайстера 469
§8.3	. Спектральные тройки, динамика и дзета-функции...............472
8.3.1.	Динамическая теория на бесконечности...................475
8.3.2.	Гомотопический фактор..................................476
8.3.3.	Фильтрация ............................................478
8.3.4.	Гильбертово пространство и градуировка.................479
8.3.5.	Алгебра Кунца—Кригера .................................479
8.3.6.	Арифметические поверхности: гомологии и когомологии....482
8.3.7.	Архимедовы множители с точки зрения динамики ..........484
8.3.8.	Динамическая теория для кривых Мамфорда ...............484
8.3.9.	Когомологии пространства УУ(Д/Г)г......................488
8.3.10.	Спектральные тройки и кривые Мамфорда.................491
§8.4	. Редукция по модулю оо.......................................492
8.4.1.	Гомотопические факторы и «редукция по модулю бесконечно-
сти» .........................................................492
8.4.2.	Отображение Баума—Конна................................494
Литература..........................................................496
Предметный указатель................................................546
Предисловие
Данная книга — переработанная и дополненная версия книги «Теория
чисел I. Введение в теорию чисел» Ю. И. Манина и А. А. Панчишкина, из-
данной в 1989 г. в Москве (издательство ВИНИТИ) [72], а также англий-
ского перевода [549] 1995 г. (Springer-Verlag).
Исходно книга была задумана как часть большого проекта «Encyclope-
dia of Mathematical Sciences». Соответственно, нашей задачей было напи-
сать ряд вводных эссе к различным главам теории чисел и провести чита-
теля от наглядных примеров теоретико-числовых объектов и задач через
общие понятия и теории, развитые на протяжении долгого времени многими
исследователями, к некоторым ключевым моментам современной матема-
тики и важным, порой еще смутным, наброскам для будущих поколений.
При подготовке данного издания, мы попытались сохранить исходную
концепцию нетронутой. Представлено много точных определений, но ино-
гда отсутствуют детали и полные доказательства. Мы попытались показать
логику теоретико-числовой мысли и осветить широкий контекст, в котором
совершаются многие конструкции, но для более детального изучения соот-
ветствующего материала читателю рекомендуется обратиться к исходным
статьям или другим монографиям. К сожалению, из-за недостатка времени
и места нам пришлось опустить много значительных результатов.
Новые разделы, написанные для этого издания, включают в себя сжа-
тый образ доказательства Уайлса большой теоремы Ферма и описание
соответствующей техники, возникающей из сочетания различных теорий
изложенных во второй части книги; часть III целиком посвящена ариф-
метическим когомологиям и некоммутативной геометрии; также в книгу
включен обзор счета точек на многообразиях с большим числом рацио-
нальных точек, недавно открытый полиномиальный алгоритм проверки на
простоту и некоторые другие сюжеты.
Более детальное описание содержания книги, а также советы для даль-
нейшего чтения находятся во введении.
Авторы с радостью выносят глубокую благодарность проф. М. Мар-
колли за ее существенное содействие при подготовке последней части но-
вого издания. Мы очень благодарны проф. Анри Коэну за его помощь
по улучшению книги, особенно главы 2. Особую благодарность мы хотим
выразить проф. Ю. Чинкелю за очень полезные советы, замечания и улуч-
шения; он любезно переписал §5.2 для данного издания. Мы благодарны
Р. Хиллу и А. Гевиртцу за редактирование некоторых новых разделов это-
12	Предисловие
го издания, а также Ст. Кюнляйну (Саарский Университет) за детальный
список замечаний по первому изданию.
Мы выражаем глубокую благодарность Институту Фурье (UJF, Gre-
noble-1) и Математическому институту Макса Планка (Бонн) за велико-
лепные условия для работы и замечательную атмосферу.
Мы также очень благодарны Рут Аллевельт, Катрионе М. Бирн и Мар-
тину Петерсу (издательство Springer-Verlag) за их внимание к нашей ра-
боте и за практическую помощь.
Авторы сердечно благодарят С. О. Горчинского за очень большую ра-
боту по подготовке издания нашей книги.
Ю. И. Манин
А. А. Панчишкин
Введение
Теория чисел среди математических дисциплин выделяется скорее пси-
хологической установкой, чем предметом «целые числа». Более сильное
утверждение было бы неверным: в теоретико-числовых работах исследу-
ются и алгебраические, и трансцендентные числа; или, вообще, не числа,
а, скажем, аналитические функции очень специального вида {ряды Дири-
хле, модулярные формы}', или геометрические объекты {решетки, схемы
над Z). Принадлежность результатов статьи к теории чисел определяется
принятой автором системой ценностей: если арифметика в нее не входит,
то и статья не теоретико-числовая, хотя бы в ней шла речь исключительно
о сравнениях и классах вычетов; если же входит, то что угодно — дина-
мические системы или теория гомотопий — может оказаться мощным тео-
ретико-числовым инструментом. Только по этой причине комбинаторика
и теория рекурсивных функций обычно не считаются теоретико-числовы-
ми дисциплинами, а теория модулярных форм считается.
В этой книге мы будем понимать теорию чисел широко. К тому есть
серьезные основания.
Прежде всего, целые числа образуют первичную материю математики
вообще (точнее, одну из двух первопричинных материй; вторая — это «фи-
гуры», геометрия). История элементарной теории чисел поэтому столь же
длинна, как история всей математики, а историю современной математики
можно было бы условно начинать с того момента, когда «числа» и «фигу-
ры» прочно объединились в идее координатизации, которая, по замечанию
И. Р. Шафаревича, лежит в основе алгебры, см. [108].
Далее, целые числа как универсум идеи дискретного являются также
универсумом любых логических конструкций, в том числе любых математи-
ческих рассуждений, оформленных как таковые. Мы подчеркиваем, что ма-
тематика как акт индивидуального творчества, конечно, к логике не сводит-
ся, но в коллективном сознании нашей эпохи существует в виде потенци-
ально завершимой огромной и точной логической конструкции. Если этот
образ постоянно размывается его, так сказать, нежизненностью, то и вос-
станавливающие его тенденции сильны; сейчас к ним добавились компью-
терная реальность с ее чрезвычайно жесткими требованиями к логической
структуре математической продукции в виде программного обеспечения.
Пониманием того, что свойства целых чисел суть свойства дискрет-
ного вообще и, стало быть, свойства мира математических рассуждений
14
Введение
в частности, мы обязаны математике двадцатого века, в первую очередь
Гильберту и Гёделю. При желании это понимание может быть оформлено
внутри математики в виде теоремы о том, что задача доказуемости внутри
любой формальной системы равносильна задаче о разрешимости в целых
числах подходящего диофантова уравнения (см. ниже). Этот парадоксаль-
ный факт — свидетельство того, что теория чисел, будучи малой частью
математического знания, в потенции все это знание содержит. Если зна-
менитая метафора Гаусса о теории чисел нуждается в оправдании, его
можно усмотреть в цитированной теореме.
Если бы мы поставили перед собой (неразрешимую) задачу дать очерк
теории чисел в целом, то, следуя довольно традиционным принципам клас-
сификации, мы могли бы разделить его примерно на следующие части.
•	Элементарная теория чисел.
•	Арифметика алгебраических чисел.
•	Теоретико-числовая структура континуума (теория приближений,
трансцендентные числа, геометрия чисел в стиле Минковского, метриче-
ская теория чисел и т. д.).
•	Аналитическая теория чисел (круговой метод, экспоненциальные
суммы, ряды Дирихле и явные формулы, модулярные формы).
•	Алгебро-геометрические методы в теории диофантовых уравнений.
•	Разное («мусорный ящик»).
Мы, однако, предпочли другую систему акцентов и разделили этот ма-
териал, опустив (по незнанию или недостатку места) огромное количество
важных результатов, на три следующие части.
Часть I. Задачи и приемы. Отбирая материал для этой части, мы
исходили из следующего.
В теории чисел, как ни в какой другой области математики, велика
роль изобретательства, математического остроумия, которое может про-
явить молодой человек с минимумом знаний или профессионал с иной
подготовкой. Элементарных задач, до сих пор нерешенных или полуре-
шенных, очень много. Теоретико-числовое воспитание — это воспитание
вкуса; никто не может сказать заранее, что проблема о дружественных
числах — плохая задача, а гипотеза Ферма — хорошая, но за нее нельзя
браться с голыми руками.
В элементарной теории чисел накоплен набор поставленных и решен-
ных классиками задач (гл. 1), впоследствии выросших в теоремы, и прие-
мов работы, впоследствии ставших большими теориями. Более того, этот
^«...Mathematik ist die Konigin von Wissenschaften und Arithmetik die Konigin von
Mathematik. ...in alien Relationen sie wird zum ersten Rank erlaubt». Gauss. («Математика —
царица наук, а теория чисел — царица математики. Она часто оказывается служанкой
астрономии и других естественных наук, но во всех отношениях она возводится в высший
ранг». Гаусс. Sartorius von Waiterhausen. Gauss zum Gedachtniss. (Лейпциг, 1856), c. 79.)
Введение
15
набор пополняется, хотя и реже, чем хотелось бы: пример тому — дока-
зательство иррациональности числа £(3) по Апери. Знакомство с таким
набором, вероятно, полезно любому профессионалу.
Чтобы не ограничиваться очень давно известными результатами, мы
подчеркнуто внимательны к алгоритмической стороне дела, а также к та-
ким современным приложениям теории чисел, как кодирование с открытым
ключом (гл. 2). Вообще, теоретико-числовые методы обработки информа-
ции, ориентированные на компьютерную математику (например, быстрое
преобразование Фурье), — это область, в которой классическая элемен-
тарная теория чисел молодеет и приобретает новое дыхание.
Часть II. Идеи и теории. Здесь мы хотели изложить последующее
состояние ряда теоретико-числовых концепций, в которых частные приемы
и задачи систематизируются, аксиоматизируются и попадают в монографии
и книги, ориентированные на экспертов.
Элементарная теория чисел с такой точки зрения состоит из всех тео-
рем, которые можно вывести из аксиом Пеано, самым сильным средством
среди которых является аксиома индукции. В такой формулировке она
приобретает математический вкус и долго развивается как часть матема-
тической логики — теория рекурсивных функций. С доказательством за-
мечательной теоремы Матиясевича в ней выделился законченный тео-
ретико-числовой фрагмент — теория диофантовых множеств, — который
достоин завершать любой курс элементарной теории чисел.
Диофантовым множеством называется любое подмножество натураль-
ных чисел, которое совпадает с проекцией на одну из осей множества це-
лых решений диофантова уравнения от нескольких переменных. Теорема
Матиясевича утверждает, что любое множество, порождаемое алгоритмом
(на техническом языке — перечислимое), диофантово. В частности, тако-
во множество номеров доказываемых теорем любой формальной системы,
скажем, всей аксиоматизированной математики (гл.З).
Следующая крупная глава современной арифметики (гл. 4) связана с
расширением области целых чисел до области целых алгебраических чи-
сел. Последняя не является конечно порожденным кольцом, и сходство
с классической арифметикой сохраняют лишь ее подкольца, состоящие из
целых чисел конечных расширений поля Q. Исторически необходимость
расширения кольца Z была вызвана прямыми арифметическими нужда-
ми, скажем, для исследования уравнения Ферма методом спуска очень
полезна теория делимости в кольце, порожденном корнями из единицы.
Но постепенно на первый план выдвигалось принципиально новое обстоя-
тельство— существование фундаментальной группы симметрий теории чи-
сел— группы Галуа поля всех алгебраических чисел Gal(Q/Q). Вероятно,
Гаусс был первым, кто ясно понял это. Уже в его юношеской работе о по-
16
Введение
строении правильных многоугольников подчеркнуто, что возможность по-
строения циркулем и линейкой зависит не от видимой геометрической сим-
метрии задачи, а от глубоко скрытой симметрии Галуа. Его последующее
глубокое обдумывание квадратичного закона взаимности (семь или восемь
доказательств!) показывает, что он предвидел его истинную роль в совре-
менной теории полей классов. К сожалению, в современных курсах эле-
ментарной теории чисел обычно не объясняют, почему квадратичный закон
взаимности есть нечто большее, чем красивый курьез. Суть же дела состо-
ит в том, что простые числа, традиционный материал арифметики, имеют
второе, скрытое воплощение в виде элементов Фробениуса в группе Га-
луа. Как таковые, они действуют в качестве симметрий на алгебраические
числа, и понимание этого действия кодирует много больше теоретико-чис-
ловых фактов, чем обычные сведения о распределении простых чисел в Z.
Следующие две главы этой части нашего обзора посвящены алгеб-
ро-геометрическим методам, дзета-функциям схем над целыми числами
и модулярным формам. Три эти дисциплины, тесно связанные, доставля-
ют основной арсенал технических средств для исследования диофантовых
уравнений.
Для геометра алгебраическое многообразие есть множество всех реше-
ний полиномиальной системы уравнений, скажем, над комплексными чис-
лами. У него есть целый ряд инвариантов, прежде всего топологических:
размерность, числа Бетти, группы (ко)гомологий; далее, аналитических:
геометрический род, когомологии степеней канонического пучка, модули,
наличие групповой структуры и т. п. Важнейший принцип состоит в том,
что эти инварианты определяют качественные черты соответствующей ди-
офантовой задачи: может ли система уравнений иметь бесконечное мно-
жество решений, как оно велико, каково поведение числа решений ограни-
ченного размера, какими алгоритмами можно изучать его структуру и т. д.
(см. гл. 5). Это лишь принцип, а не теорема; но его конкретные воплоще-
ния принадлежат к самым важным достижениям теории чисел двадцатого
века: программа А. Вейля и ее реализация А. Гротендиком и П. Делинем,
доказательство гипотезы Морделла Г. Фальтингсом.
Дзета-функции (см. гл. 6) — это аналитическая техника для превра-
щения качественных утверждений в количественные. Самым принципиаль-
ным средством в этой технике являются «явные формулы», восходящие
к Риману, который в своем знаменитом мемуаре открыл третье (историче-
ски второе) лицо простых чисел — нули дзета-функции. Двойственность,
связывающая нули различных дзета-функций с решениями диофантовых
уравнений над конечными и алгебраическими полями, находится в центре
внимания современной арифметики.
Модулярные формы со времен Эйлера и Якоби доставляли красивые
и загадочные теоретико-числовые результаты; одно только сравнение ко-
Введение
17
эффициентов Фурье тэта-ряда и его разложения в линейную комбинацию
рядов Эйзенштейна и параболических форм позволяет получить массу за-
мечательных тождеств. Последние десятилетия значительно прояснили то,
что посредством преобразования Меллина модулярные формы дают также
ключ к аналитическим свойствам различных дзета-функций.
Материал, заслуживающий включения в эту центральную часть обзора,
огромен, и мы слишком многое обошли молчанием или упомянули скоро-
говоркой. Мы опустили также классические методы, многократно изло-
женные в монографиях, такие как круговой метод Харди—Литлвуда
и метод тригонометрических сумм Виноградова, в надежде, что они
найдут отражение в других статьях в общем контексте аналитической тео-
рии чисел (см. [108], [45], и т. д.). Мы едва затронули вопросы, связанные
с диофантовыми приближениями и трансцендентными методами, в част-
ности знаменитые методы Гельфонда—Бейкера и Гельфонда—Шнайдера
(см. [341], [614], [149], [817], [228], [190] и т. д.).
Программа Ленглендса имеет целью проникновение в структуру
группы Галуа поля алгебраических чисел и завязывает в сложный узел
гипотетические свойства представлений этой группы, дзета-функции
и модулярные (автоморфные) формы.
Наконец, в конце второй части мы попытались дать обстоятельное опи-
сание чудесного доказательства Уайлса великой теоремы Ферма, а также
гипотезы Шимуры—Таниямы—Вейля, являющегося удивительным при-
мером сочетания различных глубоко развитых теорий, таких как алгеб-
раическая теория чисел, теория колец, алгебраическая геометрия, теория
эллиптических функций, теория представлений, теория Ивасавы и теория
деформаций представлений Галуа. Уайлс использовал много сложной тех-
ники и идей, принадлежащих ему и многим другим математикам (К. Рибет,
Г. Фрей, И. Хеллегуарш, Ж.-М. Фонтен, Б. Мазур, Х.Хида, Ж.-П. Серр,
Дж. Туннелл и др.).
Это поистине историческое событие подвело итог целой эпохе в теории
чисел и в то же время открывает новый период развития, который тес-
но переплетается с осуществлением общей программы Ленглендса. Дей-
ствительно, гипотеза Таниямы—Вейля может быть рассмотрена как спе-
циальный случай общего предполагаемого соответствия Ленглендса между
арифметическими алгебраическими многообразиями (мотивами), представ-
лениями Галуа и автоморфными формами.
Часть III. Аналогии и видения. Эта часть была задумана как ил-
люстрация некоторых общих интуитивных идей, стоящих за современным
взглядом на теорию чисел. Один из таких сюжетов можно было бы на-
звать аналогии между числами и функциями. Мы включили под этим
заголовком введение в некоммутативную геометрию, геометрию Аракело-
18
Введение
ва, программу Денинигера, идеи Конна о формуле следа в некоммутатив-
ной геометрии и нулях дзета-функции Римана, и т. д. Отметим прекрас-
ную книгу [427], которая представляет собой обзор определяющих гипотез
в арифметической алгебраической геометрии. Они включают в себя гипо-
тезы Бейлинсона, гипотезу Берча—Свиннертона-Дайера, Шимуры—Та-
ниямы—Вейля, гипотезы Тэйта и др. Обратим также внимание на работы
[795], [849], [545], [546] о многообещающих достижениях в области ги-
потез Старка.
В геометрии Аракелова пополнение арифметической поверхности до-
стигается за счет расширения группы дивизоров формальными линейны-
ми комбинациями «замкнутых слоев над бесконечностью». Двойствен-
ный граф любого такого замкнутого слоя может быть описан в терминах
бесконечной связки ограниченных геодезических в гиперболическом теле
с ручками, снабженном униформизацией Шоттки. В последней главе 8,
во многом основанной на недавних работах Катерины Конзани и Матиль-
ды Марколли, рассматривается арифметическая поверхность над кольцом
целых элементов числового поля со слоями рода g > 2. Можно исполь-
зовать теорию Конна, чтобы связать гиперболическую геометрию с архи-
медовыми когомологиями Денингера и когомологиями конуса локальной
монодромии V вокруг арифметической бесконечности.
Мы используем стандартную систему ссылок внутри книги.
Рекомендуемая дальнейшая литература
Множество интересных докладов по теории чисел содержится в трудах
международных математических конгрессов в Мадриде, 2006 г., в Пекине,
2002 г., в Берлине, 1998 г., и в Цюрихе, 1994 г. (см. [652], [651], [650]).
Довольно подробное представление о развитии различных областей
теории чисел можно получить из следующих докладов на семинаре Бурба-
ки: [312], [165], [345], [624], [235], [728], [193], [729], [625], [377], [475]
[531], [816], [112], [338], [575], [257], [203], [544], [323], [483], [218],
[413], [635], [636], [241], [258], [259], [170].
Более детальное изложение теории алгебраических чисел, диофантовой
геометрии и теории трансцендентных чисел можно найти в томах «Теория
чисел»-2, -3, и -4, вышедших в серии «Современные проблемы матема-
тики. Фундаментальные направления» (либо в томах Number Theory II,
III и IV в Encyclopaedia of Mathematical Sciences) см. [52], [504], [341].
Существует также великолепная монография И.Нойкирха [612], допол-
ненная книгой [613]. Рекомендуется книга [126] по арифметической гео-
метрии, возникшая после летней школы для аспирантов в Математическом
институте в IAS/Park City.
ЧАСТЬ I
ЗАДАЧИ И ПРИЕМЫ
ГЛАВА 1
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
§1.1. Задачи о целых числах. Делимость и простота
1.1.1.	Системы счисления. Запись натурального числа п по основа-
нию т, m = {dk-\dk-2--d\do)rn, означает, что
n = dk-\mk X-Vdk_2mk 2 4-...4-do,
где dt — цифры по основанию т (целые числа от 0 до т — 1). Число цифр,
которое требуется для записи числа п по основанию т, равно
k = [logm п\ 4- 1 =	+ Г
L m J Llog/nJ
где log % обозначает натуральный логарифм числа х > 0. Удобный способ
выполнения операций сложения и умножения над натуральными числами,
применяемый в компьютерах, состоит в использовании записи натураль-
ных чисел по основанию т = 2. Двоичная цифра (т. е. 0 или 1) называет-
ся «бит» (английское «bit» — это сокращение от «binary digit»). Анализ
школьных способов сложения и умножения натуральных чисел «в стол-
бик» показывает, что для сложения двух чисел, записанных с помощью k
и / бит, / < k, требуется k булевых операций (бит-операций), состоящих
в сложении соответствующих цифр с запоминанием и переносом в следу-
ющий разряд, в то время как для умножения этих чисел нужно не более
чем 2kl бит-операций, см. [461], [469]. Число бит-операций характеризу-
ет в основном время, которое затрачивается компьютером для выполнения
этих действий. Любопытно, что существует быстрый метод для умножения
двух чисел, записанных с помощью не более чем k бит, который требует
O(k log log log/г) бит-операций вместо O(k2) при умножении в столбик,
см. [461].
Кроме того, имеется нижняя оценка: не существует способа перемно-
жения двух произвольных чисел, запись которых занимает не более чем k
бит, за время, меньшее чем (k log &/(log log &)2). Время, которое требуется
для перехода от двоичной записи числа п к записи по основанию т, легко
оценивается величиной O(k2) = 000g2 /г), поскольку для этого требуется
22	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
O(k) делений с остатком, для каждого из которых нужно O(kl) бит-опе-
раций (при делении в столбик), где / — число бит для записи числа т
(например, / = 4 для т = 10, так как 10 = (1010)2).
Указанные способы сложения, умножения, деления с остатком нату-
ральных чисел, а также перехода от записи по одному основанию к записи
по другому основанию являются примерами алгоритмов, т. е. процедур
для проведения вычислений, явно описанных шаг за шагом, см. [74], [357],
[70], [544]. Полиномиальным алгоритмом мы будем называть такой ал-
горитм для проведения вычислений с натуральными числами п\, П2, ..., пГ,
записанными с помощью k\, /?2, ...» kr бит, что число требуемых для его
выполнения бит-операций оценивается величиной O(kdl ...kdr) (для целых
чисел d\, d2, ..., dr). В приведенных примерах алгоритмы являются поли-
номиальными, см. [469], [461], [544], [675].
1.1.2.	Простые и составные числа. Два факта, которые лежат в ос-
новании теории чисел, безусловно, таковы: а) каждое целое число п > 1 до-
пускает единственное представление в виде п = pf1 Р22 ••• Р“г♦ где Pi < •••
... < рг — простые числа, а, >0—целые числа (основная теорема ариф-
метики), б) простых чисел бесконечно много. Прежде чем практически
находить такое разложение для заданного числа п, необходимо уметь от-
личить простое число от составного. Наиболее древний алгоритм отде-
ления простых чисел от составных — это решето Эратосфена (примерно
274 г. до н. э.). Если п — простое число, то этот алгоритм дает также и все
простые числа, меньшие п, а для составного п позволяет установить наи-
меньший простой делитель (см. [21], [469]), хотя работает медленно: число
операций в общем случае превышает /г/2, т. е. экспоненциально зависит от
длины записи числа п. Бесконечность числа простых чисел была немного
раньше установлена Евклидом (около 300 г. до н. э.): если бы множество
простых чисел было конечным, то, умножив все эти числа друг на друга
и прибавив к результату 1, мы получили бы число, не делящееся ни на
одно простое число, а это невозможно. Другое доказательство этого факта
(по Эйлеру) состоит в рассмотрении следующего произведения по простым
числам р:
п('4) =п('4+?+-)'
р 4	7 р 4
Если бы было лишь конечное число простых чисел р, то из однозначно-
сти разложения натуральных чисел п на простые множители следовало
оо
бы, что число (1.1.1) должно совпадать с суммой ряда 52 м-1, который,
как известно, расходится, что приводит к противоречию.n=l
Более быстрый способ распознавания простоты числа нашел Фибонач-
чи (1202 г.): для этого достаточно разделить п на все натуральные числа,
не превосходящие [у/п\ (см. [21], [815], [114]), и число операций деле-
§1.1]	Задачи о целых числах. Делимость и простота	23
ния с остатком, необходимых для определения простоты числа п, сразу
же уменьшится и не будет превосходить [\/п]. Следующий большой сдвиг,
произошедший в проблеме проверки простоты, связан с тем, что в середине
XVII столетия была установлена следующая теорема.
Теорема 1.1 (малая теорема Ферма). Пусть а, п— произвольные
взаимно простые числа. Тогда если п — простое число, то справед-
ливо сравнение
ап~' = 1 (modл), т. е. ап~{ - 1 делится на п. (1.1.2)
Условие (1.1.2), вообще говоря, не обеспечивает простоты числа п,
а лишь позволяет установить, что п составное, если это условие не вы-
полнено, хотя в последнем случае не дается никакого разложения числа п
на множители. Число п называется псевдопростым по основанию а, если
НОД(а, п) = 1 и выполнено сравнение (1.1.2). Составные числа п = 561 =
= 3 • 11 • 17, 1105 = 5-13-17, 1729 = 7-13-19 являются псевдопростыми
для всех а, взаимно простых с п. Такие числа называются числами Кар-
михаэля (Кармайкла), см. [469], [524]. Множество таких чисел беско-
нечно— это доказано в работе [4]. Отметим, что для числа п, свободного
от квадратов, условие того, что р — 1 делит п — 1 (для всех р | п), эквива-
лентно тому, что п — число Кармихаэля.
Однако большим преимуществом необходимого условия простоты (1.1.2)
является быстрота его проверки. Дело в том, что вычисление больших сте-
пеней ат (mod п) удобно делать по методу «повторного возведения в квад-
рат». Если
т = п — 1 =	12* 1 4“	2 4“... 4* do
— двоичное представление числа п - 1 с dk-\ = 1 и di = 0, 1, то определим
последовательно числа г\ = а и
	г2 (mod л), если dk-\-i = 0,
G+1 = <	ar2 (mod л), если dk-\-i = 1.
В результате ап~[ = rk (modл), так как
ап~х = (... ((a2+rf*-2)2a^-3)2 ...)ad°.
Алгоритм возведения в степень работает очень быстро: он является
полиномиальным, требуя не более чем 3[log2 п\ умножений по модулю п
для нахождения числа г^, так как k = [log2 п\ 4- 1. Более того, эта теорема,
а также ее обобщения и частичные обращения являются одной из основ-
ных составляющих современных быстрых методов проверки простоты
натуральных чисел.
24	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
Эта идея была использована в недавней работе М. Аграваля, Н. Каяля
и Н. Саксены: полиномиальный вариант условия (1.1.2) привел к быстрому
детерминированному алгоритму проверки на простоту (за полиномиальное
время O(log/z)12+e), см. §2.2.4.
Любопытно, что появление малой теоремы Ферма было связано с рас-
смотрением чисел Fn = 22П — 1, причем Ферма считал, что все они простые,
хотя смог это проверить лишь для п < 4. Однако в следующем столетии
Эйлер нашел разложение на множители числа F$ = 4294967297 = 641 х
х 6700417. Ни одного нового простого числа Ферма больше не бы-
ло найдено, и многие математики считают сейчас, что их больше нет,
см. [627].
История поисков больших простых чисел связана с простыми числа-
ми Мерсенна вида Мр — 2Р — 1, где р —другое простое число. Причи-
на этого состоит в следующем критерии Люка\ число Mk (k 2) тогда
и только тогда является простым, когда оно делит число Lk-\, где чис-
ла Ln определяются рекуррентным соотношением L\ =4, Ln+\ = L2—2
(так что £2 = 14, £3 = 194, £4 = 37634, ...). Поэтому простоту числа Mk
проверить значительно легче, чем простоту других чисел того же поряд-
ка. Числа Мерсенна играют важную роль и в некоторых других пробле-
мах теории чисел. Евклид обнаружил, что если число 2Р — 1 — простое,
то число 2Р-1(2Р — 1) является «совершенным», т. е. равно сумме своих
собственных делителей (например, 6=1 + 2 + 3, 28 =1+2 + 4 + 7+14,
496 =1 + 2 + 4 + 8+16 + 31 +62+124 + 248), а Эйлер доказал, что все
четные совершенные числа имеют указанный вид. Неизвестно, существу-
ют ли вообще нечетные совершенные числа. Интересно, что это один из
обескураживающих примеров, по-видимому, разумного вопроса, который
еще не привел к появлению никаких новых областей, идей или приемов
в теории чисел.
Первые восемь простых чисел Мерсенна были известны Эйлеру (для
р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31). В последнее время простота многих чисел
Мерсенна проверена с помощью компьютеров, например сорок второе из-
вестное число Мерсенна, открытое Мартином Новаком 26 февраля 2005 г.,
равно 225964951 - 1. Оно имеет 7816230 десятичных знаков. Поэтому оно
является не только самым большим известным простым числом Мерсенна,
но и вообще самым большим простым числом, найденным на сегодняш-
ний день1). В главе 4 будут рассмотрены некоторые другие современные
методы проверки на простоту, в частности использующие эллиптические
кривые (алгоритм ЕСРР, построенный Аткиным и Морэном).
О См. новые достижения и историю этого вопроса на http://www.mersenne.org и
http://mathworld.wolfram.com/news/; например, два предыдущих числа равны 20996011
и 24036583. Другой недавний результат — разложение М953 (Ф. Бар, Йенс Франке и
T. Клейньюнг (2002 г.)). — Прим. Ю. Чинкеля и А. Коэна.
§ 11]
Задачи о целых числах. Делимость и простота
25
1.1.3.	Основная теорема арифметики и алгоритм Евклида. Для це-
лых чисел а и b запись а | b обозначает, что а делит Ь, т. е. для некоторого
целого числа d имеем b = ad\ если р — простое число и а — неотрицатель-
ное целое число, то запись ра || п означает, что ра — это наивысшая сте-
пень числа р, делящая п. При этом число d называется р-показателем
числа п и обозначается ordpAi. Теорема об однозначности разложения
произвольного натурального числа п в произведение простых чисел (с точ-
ностью до порядка сомножителей) эквивалентна своему следствию: если
некоторое простое число р делит ab, то р | а или р | Ь. Другое следствие
состоит в методе отыскания всех делителей числа п, записанного в виде
произведения степеней простых чисел: делители являются произведениями
тех же простых чисел р в степенях, не превосходящих ordp п. Наиболь-
ший общий делитель НОД(а, Ь) целых чисел а и b — это наибольшее
целое число [21], [469], делящее одновременно а и Ь:
НОД(а, 6) = П pmin^rdp^)’ordp^\
р
Аналогично наименьшее общее кратное НОК(а, Ь) чисел а и b — это на-
именьшее положительное целое число, делящееся одновременно на а и Ь:
НОК(а, b) = pmax<ordp^’ordp^\
р
Если разложения целых чисел а и b в произведение простых чисел
неизвестны, то для нахождения НОД(а, Ь) можно воспользоваться до-
вольно быстро работающим алгоритмом, который называется алгорит-
мом Евклида и состоит в следующем: в предположении, что а b 1,
вычисляется последовательность хо, *2, •••, где хо = а, =Ь и x/+i
равно остатку от деления х/_ i на х/, до тех пор пока не получено х^ = 0;
в результате НОД(а, b) — Xk-\ совпадает с последним ненулевым остат-
ком. Число делений с остатком в алгоритме Евклида не превосходит
51og10max{|a|, |&|} («теорема Ламе»), см. [461], [848]. Наибольшее чис-
ло делений с остатком реализуется для двух последовательных чисел Фи-
боначчи а = Uk, b = Uk-\, где	при i 1, щ> = и\ = 1. Из ал-
горитма Евклида следует и быстрый способ нахождения таких целых чи-
сел А и В, что
Аа + В6 = НОД(а, Ь).	(1.1.3)
Для этого находим последовательно такие числа А/ и В/, что xz- = Azxo +
4- В/Xi, полагая Ao = В\ = 1, Ai — Bq = 0,
Az_|_i = А/_! - tAt, Bt+\ = Bz-i - tBi, для i 1,
где t определено из равенства xi+i = xz-i — tx\. Поскольку Xk-\ =
= НОД(а, b), мы получаем решение уравнения (1.1.3): А = A^-i, В = Bk~\.
26	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
Алгоритм Евклида дает способ доказательства основной теоремы ариф-
метики в форме эквивалентного ей утверждения о том, что если р | ab, то
р | а или р | Ь, где р — простое число, а, b — целые числа. Действитель-
но, если р\а, то НОД(а, р) = 1 по определению простого числа и в силу
алгоритма Евклида имеем аи + pv = 1 для некоторых целых чисел и и v.
Умножая обе части на Ь, получаем равенство abu + pbv = b, из которого
видно, что р | Ь.
1.1.4.	Вычисления с классами вычетов. С точки зрения алгебры,
множество целых чисел Z является коммутативным ассоциативным коль-
цом с единицей, т. е. множеством с двумя коммутативными и ассоциа-
тивными операциями (сложение и умножение), связанными друг с другом
законом дистрибутивности: для любых a, b, с е Z выполняется равенство
a{b + г) = ab + ас. Понятие делимости в кольцах связано с понятием иде-
ала. Идеалом / в коммутативном ассоциативном кольце R называется
подмножество в /?, замкнутое относительно сложения, содержащее вместе
с произвольным элементом ас/ и его противоположный элемент: —а € /,
а также замкнутое относительно умножения на произвольные элементы из
кольца.
Идеал вида / = aR называется главным идеалом, порожденным эле-
ментом а, и обозначается символом (а). Тогда отношение делимости а | b
в кольце /?, т. е. соотношение b = ас для некоторого с е R, равносильно
включению соответствующих главных идеалов:
(b) С (а) (или b е (а)).
В кольце Z деление с остатком на наименьший положительный элемент
в идеале / / {0} показывает, что все идеалы главные, т. е. всякий ненуле-
вой идеал / имеет вид (N) = NZ для натуральных чисел N > 1. При этом
идеалы, максимальные по включению, в точности соответствуют простым
числам. Остатки от деления на N подразделяют все целые числа на непе-
ресекающиеся классы
a = a + ?VZ,
множество которых также образует кольцо, обозначаемое
Z/NZ = Z/(/V) = {0, Т, ..., ЛГЙ}.
Часто в задачах теории чисел вычисления в кольце Z можно сводить к вы-
числениям в кольце вычетов Z/NZ. Это доставляет ряд удобств, напри-
мер, на многие элементы из Z/?VZ можно делить, оставаясь в пределах
этого кольца (в отличие от целых чисел, где всегда определено только
деление на ±1). Действительно, если число а взаимно просто с N, т. е.
НОД(а, N) = 1, то класс а обратим, так как в этом случае согласно урав-
Задачи о целых числах. Делимость и простота
27
нению (1.1.3) существуют такие целые числа х, у, что ах + Ny = 1, по-
этому а • х = Г. Так получаются все обратимые элементы кольца вычетов
Z/WZ, которые образуют группу по умножению, обозначаемую (Z/WZ)X.
Порядок этой группы, т. е. число таких элементов а, что НОД(а, N) = 1
и 1 < а < N - 1, обозначается <р(ЛО {функция Эйлера). Название проис-
ходит из обобщения малой теоремы Ферма, принадлежащего Эйлеру:
аф(Л/) _ f в кольце z/?VZ, т. е.
глл	(1L4)
' = 1 (mod/V) для таких элементов а, что НОД(а, N) = 1.
Вот простое доказательство: если
Р = П F a€(Z/WZ)x,
be(Z/nZ)*
то отображение В i—> аВ является перестановкой множества (Z//VZ)X, по-
этому произведение
J] (ab)=cFw fl b
совпадает с обратимым элементом Р, деление на который показывает, что
^ф(ло _ f Мы часто будем пользоваться записью a = b (mod /V) для целых
чисел а, b и натурального числа /V, которая означает, что а = В в кольце
Z/?VZ, т. е. N делит разность целых чисел а и 6, см. [21].
Если число N разложено в произведение N = N\ = ... = Nk попарно
взаимно простых чисел, то имеется разложение
Z/WZ^Z/W1Z® ...®ZMZ	(1.1.5)
в прямое произведение колец, что эквивалентно китайской теореме об
остатках: для любых вычетов at (modM),	найдется такое
целое число а, что а = а/ (modiVi) (i — 1, ..., k). Практический поиск чис-
ла а можно быстро осуществить, применяя повторно алгоритм Евклида.
Положим Mi = N/Ni, тогда числа Л4, и /V/ по условию взаимно просты,
т. е. НОД(Л4/, Ni) = 1, и в силу алгоритма Евклида (1.1.3) существуют та-
кие целые числа X/, что Х/Л), = 1 (mod/V,). Положим теперь
k
a = Y^aiXiMi.	(1.1.6)
1 = 1
Тогда мы видим, что для каждого i все члены в сумме (1.1.6), кроме /-го
члена, делятся на Nj, поскольку Nj | Mi при / i. Следовательно, число а
искомое, так как для всех i мы имеем a = aiMiXi=at (modM). Кроме
того, из разложения (1.1.5) вытекает и разложение мультипликативной
28
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
группы'.
(Z//VZ)X ^(Z/^Z)xe...®(ZMZ)x,	(1.1.7)
из которого, в частности, следует, что ср(Л/) = <p(/Vi) •	• ср(Л/*).
В специальном случае, когда N = q — простое число, кольцо вычетов
Z/pZ является полем: в нем обратим любой элемент, отличный от нуля.
Часто это поле обозначается символом F^. В этом случае группа (Z/pZ)x
циклическая, т. е. она совпадает с множеством степеней некоторого (неод-
нозначно определенного) элемента t = tq. Не существует ни одного эффек-
тивного (т. е. полиномиального) алгоритма нахождения таких первообраз-
ных корней.
Напомним гипотезу Артина (о первообразных корнях): если а е Z не
равно —1 или совершенному квадрату, то количество М(х, а) таких про-
стых чисел р^х, что а является первообразным корнем по модулю р,
ведет себя асимптотически как С(а)тс(х), где С(а) константа, зависящая
только от а, а определение функции тс(х) см. в п. 1.1.6 (другая знаме-
нитая гипотеза Артина (о голоморфности Л-рядов) будет обсуждать-
ся в п. 6.4.5). В частности, существует бесконечно много таких простых
чисел р, что а является первообразным корнем по модулю р. До сих
пор никто не доказал эту гипотезу даже для случая одного выбранно-
го а. Существуют частные результаты, например о бесконечности мно-
жества таких простых чисел р, что порядок числа а делится на наиболь-
ший простой множитель числа р — 1 (см., например, [593], [403], и [206]).
Также до сих пор неизвестен эффективный алгоритм вычисления дис-
кретного логарифма, (или индекса) x = ind/(a), определяемого для
обратимого вычета a (mod q) по формуле
a = tx (modq), 0<%<р-1.	(1.1.8)
Важнейшим открытым вопросом является само существование такого ал-
горитма. Однако в том случае, когда все простые множители числа q — 1
невелики, существует удобный способ нахождения дискретного логарифма
ind/(a) (см. [469], с. 98). Прежде всего, для каждого простого числа р,
делящего q — 1, вычисляются корни степени р из единицы
Гру. = ;№-1)/р	(/ =0, 1, .... р - 1),
в мультипликативной группе (Z/pZ)x (для вычисления высоких степеней t
используется метод повторного возведения в квадрат из п. 1.1.2).
Пусть таблица вычетов rpj уже составлена для всех р | (q - 1) и q - 1 =
= П р^р —разложение числа q — 1. В силу китайской теоремы об
р\(я-1)
остатках (1.1.5) достаточно найти х (mod ра₽) для всех р | (q - 1). За-
§1.1]	Задачи о целых числах. Делимость и простота	29
фиксируем р, а = ctp > 0 и будем искать х (mod ра) в виде
х = х0 4-Xip + ... 4-%а-1Ра-1 (mod ра) (0^xz<p).
Для нахождения первой цифры Хо вычисляется степень a{q~[^p е (Z/pZ)x,
которая является корнем степени р из единицы, так как aq~{ = 1 (modp).
Из сравнения а = tх (mod q) вытекает, что
a(q-l)/p _ tx(q-\)/p = tx0(q-\)/p = Гр^ (mod^
Поэтому, сравнивая q^-^/p с элементами таблицы {rpj}, полагаем xq рав-
ным тому значению /, для которого a^q~^p = rpj (modp). Чтобы найти
следующую цифру х\, заменим а на ai = a/tx\ Тогда
ind/(fli) = ind/(a) - xq = x} p + ... 4- xapa-1 (mod pa).
Поскольку ai является р-й степенью, получим, что
а^/р = 1 (mod?)
и
а(<7-1)/р2 = ^(х-х0)(<7-1)/р2 = ^(Х|+х2Р+...)(<7-1)/р = {Х\((]-\)/р _ Гр*
Затем Х[ находится как такое значение /, для которого а^“9/₽2 =
= rpj (modp). Остальные цифры xz находятся по индукции.
При фиксированных q и t одну и ту же таблицу можно использовать
для вычисления дискретных логарифмов различных элементов (алгоритм
Сильвера—Полига—Хэллмана, см. [469]). Неудобство возникает, если
число q — 1 делится на большое число р, из-за большого размера табли-
цы {rpj}. На трудоемкости вычисления в общем случае дискретного ло-
гарифма (так же как и разложения на множители) основаны интересные
приложения к вопросам охраны информации (криптографии), см. §3.1
([315], [410], [114], [619], [620], [374]).
1.1.5. Квадратичный закон взаимности и распознавание простоты
числа. Пусть р и q — нечетные простые числа. Тогда согласно выдаю-
щейся теореме, установленной Гауссом, если р = q = 3 (mod 4), то разре-
шимость сравнения х2 = р (mod q) равносильна неразрешимости сравне-
ния х2 = q (mod р). Во всех остальных случаях, если одно из сравнений
разрешимо, то и другое разрешимо. Этот квадратичный закон взаимно-
сти Гаусса использовался им для составления обширных таблиц простых
чисел. Более тонкое, чем сравнение (1.1.2) малой теоремы Ферма, необ-
ходимое условие простоты, применявшееся Гауссом, основано на свойстве
цикличности мультипликативной группы (Z/azZ)x для простых чисел п. Из-
влекая для нечетного простого п квадратный корень из левой и правой
частей сравнения (1.1.2), мы получаем а(л-1)/2 = 1 или —1 по модулю п
30
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
в зависимости от того, является ли а квадратом по модулю п или нет, т. е.
а(«-0/2 = Q) (modл),	(1.1.9)
где —символ Лежандра: для простого числа п по определению
если а = 0 (mod/г),
если а = b2 (mod л), b е (Z/mZ)x ,
иначе.
Заранее мы не знаем, простое число п или составное, и в условии (1.1.9)
вместо символа Лежандра используется символ Якоби который
вводится для нечетного положительного числа п и любого целого числа а,
определенного по модулю п: если дано разложение п = р\... р^ на простые
множители (которые могут повторяться), то по определению
где —символ Лежандра. Хотя в определении (1.1.10) участвует раз-
ложение числа п на простые множители, фактическое вычисление этого
символа не требует знания такого разложения и делается очень быстро.
Для этого применяется расширенный квадратичный закон взаимно-
сти	,п 1Ч 1Ч
и два его дополнения
где Р, Q — нечетные взаимно простые натуральные числа, а также свой-
(а 1 а,о \	/ а,\ \ ( а? \ Т-»
—= I -jj-H Вычисления проводятся
по той же схеме, что и в алгоритме Евклида, и требуют не более чем
С logmax(P, Q) делений с остатком.
Число п называется эйлеровым псевдопростым по основанию а, если
НОД(а, п) = 1 и выполнено условие (1.1.9). Оказывается, не существует
эйлеровых псевдопростых чисел п, аналогичных числам Кармихаэля:
если для всех а, а е (Z/mZ)x выполнено сравнение (1.1.9), то п являет-
ся простым числом. Этот факт легко выводится из китайской теоремы об
остатках применительно к мультипликативной группе (Z/mZ)x. Более то-
го, недавно найдены любопытные свидетельства в пользу предположения
о том, что для составного числа п наименьшее число а, для которого уело-
§ 11]
Задачи о целых числах. Делимость и простота
31
вие (1.1.9) не выполняется, не превосходит 2 logп log logп (см. [815]).
Именно условие (1.1.9) лежит в основе быстрых современных способов
распознавания простоты числа я, рассмотренных в гл.2, см. [114], [578],
[524], [15].
В отличие от распознавания простоты, гораздо труднее разлагать на
множители «случайные» большие числа, см. §2.3.
В заключение этого пункта отметим, что поиски «явных формул» для
простых чисел были традиционным предметом занятий бескорыстных лю-
бителей теории чисел на протяжении долгого времени. Эйлер указал мно-
гочлен х2 + х + 41, принимающий длинный ряд только простых значений.
Но давно было известно, что множество значений многочлена /(х>, ...
..., хл) е Z[xi, ..., хп\ в целых точках не может состоять лишь из простых
чисел, например, потому что если р, q—два достаточно больших про-
стых числа, то сравнение f(x\, ..., хл) = О (mod pq) разрешимо (бесконеч-
но многими способами). Тем не менее, оказалось, что множество простых
чисел совпадает с множеством положительных значений, которые прини-
мает при неотрицательных целых значениях аргументов многочлен степени
25 от 26 переменных — букв английского алфавита при неотрицательных
целых значениях переменных:
F(a, b, с, d, е, f, g, h, /, /, k, I, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z) =
= (k + 2){ 1 - [wz + h + j - q]2 - [(gk 4- 2g 4- k + 1)(Л 4- /) 4- h - z]2 -
-	[2n + p + q + z - e]2 - [ 16(£ + 1)3(£ + 2)(n + I)2 4- 1 - f2]2 -
-	[e3(e 4- 2)(a 4- I)2 4- 1 - o2]2 - [(a2 - l)p2 4- 1 - x2]2 -
-	[16r2p4(a2 -1)4-1- u2]2 -
-	[((a 4- u2(u2 - a))2 - 1)(л 4- 4dp)2 4- 1 - (x 4- cu)2]2 -
-	[n 4-1 4- v - y]2 - [(a2 - I)/2 4- 1 - m2]2 - [ai 4- k 4- 1 - I - i]2 -
-	[p 4- l(a - n — 1) 4- b(2an 4- 2a - n2 - 2n - 2) - m]2 -
-	[q 4- y(a - p - 1) 4- s(2ap 4- 2a - p2 - 2p - 2) - x]2 -
-	[z 4- pl(a - p) + t(2ap - p2 - 1) - pm]2}.	(1.1.13)
Этот многочлен был предложен в работе [444] (см. также гл. 3). Отметим
индуктивное определение простых чисел с помощью рекуррентной форму-
лы из работы [356]
Рл+1 —
1	1	(1	(—1)г
— log2 I 4-	2Р‘\-Р‘г _ 1
\	г=1 1^/1	п
(1.1.14)
полученное средствами комбинаторики.
32
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
1.1.6. Распределение простых чисел. При первом взгляде на табли-
цу простых чисел нельзя объяснить, почему одно число является простым,
а другое составным. В поисках закономерностей распределения простых
чисел многие математики составляли большие таблицы простых чисел.
В таблице Пелля 1668 г. перечислены все простые числа до 105. Лемер
опубликовал ставшую широко известной таблицу простых чисел до 107
[522]. Современные таблицы [645] позволяют быстро определить просто-
ту любого числа п < 25 • 109 с помощью необходимого условия простоты
из малой теоремы Ферма 2Л-1 = 1 (mod я) и содержат все псевдопростые
числа Ферма п <25- 109, т. е. составные числа, для которых выполнено
указанное сравнение.
Более интересен вопрос о законах, определяющих поведение простых
чисел. Существование таких закономерностей обнаруживается, если изоб-
разить график функции
тс(х) — Card {р простое | р < х}.
Эта функция увеличивается на 1, если х — простое число. Уже на графике
функции тс(х), х 100, видно, что, за исключением небольших колебаний,
тс(х) возрастает вполне регулярно, см. рис. 1.1. Если же расширить область
определения от 100 до 50000, то эта регулярность становится особенно
отчетливой, см. рис. 1.2.
10000 20000 30000 40000 50000 х
Рис. 1.2
Другой способ выяснения закономерностей распределения простых
чисел состоит в вычислении отношения х/тс(х), которое при больших х
оказывается близким к logx (см. табл. 1.1).
Глядя на эту таблицу, можно заметить, что при переходе от одной
степени 10 к последующей отношение х/тс(х) увеличивается примерно на
2,3 «log 10; действительно, справедливо соотношение
TtW~i^7’ т‘е'	1 ирн*-*00’	(1.1.15)
§ 111
Задачи о целых числах. Делимость и простота
33
Таблица 1.1
X	к(х)	х/к(х)
10	4	2,5
100	25	4,0
1000	168	6,0
10000	1229	8,1
100000	9592	10,4
1 000000	78498	12,7
10000000	664 579	15,0
100000000	5761455	17,4
1 000000000	50847543	19,7
10000000000	455052512	22,0
которое называется асимптотическим законом распределения про-
стых чисел. Его предположил Гаусс в пятнадцатилетием возрасте при изу-
чении таблицы простых чисел. Однако доказано оно было лишь в 1896 г.
Адамаром и Валле Пуссеном аналитическими методами [42], [649], [45].
Первый выдающийся результат на пути к обоснованию асимптотического
закона был получен в 1850 г. П. Л.Чебышёвым [98], который показал, что
0,89-^- < л(х) < 1,11-^—.
logx	log*
Его доказательство использует свойства делимости биномиальных коэф-
фициентов и элементарно, т. е. не использует теории функций комплексной
переменной. Элементарное доказательство асимптотического закона полу-
чили Сельберг и Эрдёш в 1949 г. [705], [96]. Еще более точное прибли-
жение функции к(х) предположил сам Гаусс. Составляя вручную таблицы
простых чисел, он заметил, что в окрестности достаточно большого чис-
ла х простые числа встречаются среди всех натуральных чисел с частотой,
близкой к l/(logx), и предложил приблизить тс(х) интегральным лога-
рифмом
Li(x) =
J log/
Это наблюдение Гаусса уточнил Риман [677]. Он пришел к выводу, что
вероятность того, что некоторое большое число х является простым, бу-
дет с большей точностью задаваться функцией 1/logx, если учитывать
не только сами простые числа, но и их степени, причем квадрат простого
числа считать за половину простого, третью степень — за треть и т. д. Это
приводит к следующему приближению, см. [850], [677], [675]:
тс(х) + |тс(>/х) 4- |тс(\/х) + ... « Li(x).
z	о
Эту зависимость можно обратить, воспользовавшись свойствами функ-
ции Мёбиуса \i(n), которая является функцией натурального аргумента п
(1.1.16)
34	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
и определяется следующим образом:
' 1,	если п = 1, , ч 0,	если п делится на квадрат простого числа, и(я) =	. (—1) , если п есть произведение k различных простых чисел.	(1.1.17)
Обозначим функцию, стоящую в левой части формулы (1.1.16), через F(x):
00 1 F(x)=12 пк(х'/л)- Л=1	(1.1.18)
Тогда справедливо соотношение п—\	(1.1.19)
которое приводит к формуле Римана для количества простых чисел
я(х)«/?(х) = £^1л(х'/я). п=\	(1.1.20)
Доказательство соотношения (1.1.19) выводится из следующего свойства
функции Мёбиуса [21]:
_	1, если п = 1, d|n	[0, если л >1.	(1.1.21)
Действительно, преобразуем правую часть формулы (1.1.20), учитывая со-
отношение (1.1.21):
£ mF(x'/n) = £(^ £	=
л=1	п=\ х т=\	7	п=1 т=1
= f f	ни) = «М.
и=1 т\и	и=1 х	d\u 7
что и требовалось. Приведенное вычисление является примером преоб-
разования Мёбиуса, основанного на свойстве (1.1.21), которое часто ис-
пользуется в элементарной теории чисел и доказывается несложным ком-
бинаторным рассуждением. Именно, пусть п = П!=1 РР > где Pi —различ-
ные простые числа. Тогда d | п и [1(d) = (—1)\ если d является произве-
дением в точности k различных простых чисел из заданного множества
§ 1.П
Задачи о целых числах. Делимость и простота
35
всех s простых делителей числа п. Такая возможность реализуется в точ-
ности для Q) различных делителей числа п. Если d делится на квадрат
одного из чисел р,, то = 0, и при s > 1 (т. е. п > 1) мы получаем
£>(«) = i>l)*Q) = (1 - I)2 = о,
d\n	k=0
что доказывает соотношение (1.1.21).
Функцию, стоящую в правой части формулы (1.1.20) в честь Римана
обозначают через /?(х). Как видно из табл. 1.2, взятой из работ [675],
[676], [850], /?(х) представляет собой удивительно хорошее приближение
к тс(х):
Таблица 1.2
X	Л(х)	л(х)
100000000	5761455	5761552
200000000	11 078937	11079090
300000000	16252325	16252355
400000000	21336326	21336185
500000000	26355867	26355517
600000000	31324703	31324622
700000000	36252931	36252719
800000000	41 146179	41 146248
900000000	46009215	46009949
1000000000	50847534	50847455
Для функции /?(х) можно использовать выражение с помощью ком-
плексного логарифмического интеграла Н(х), определенного равенством
.. u~cv ez
li(e“+w) = ~dz	(1.1.22)
— oo+w
При х>2 функция Н(х) отличается от Li(x) на константу li(2)« 1,045.
Функция Римана
/?(х) = £^Н(х1/п) =
/1=1
= li(x) - li(x1/2) - li(x1/3) - | li(xI/5) + li(xl/6) - ...
Л	u	□	D
является целой функцией переменного log(x), заданной быстро сходящим-
ся степенным рядом:
V—>
/?(х) = 1 + > —----------тт,
v 7	Z-/ т\тЦт + 1)
/и=1
(1.1.23)
36	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
где х = е‘,
OQ
C(S)=^n-s= И (l-p-s)-‘	(1.1.24)
п=\	р простое
— дзета-функция Римана (ряд (1.1,24) абсолютно сходится при
Re(s)> 1).
В заключение этого пункта отметим, что, хотя Риман и не доказал
асимптотического закона распределения простых чисел, он сделал нечто
гораздо более удивительное — дал явную формулу для точного значения
тс(х). Эта формула выглядит так:
00 я
= ВД - р(х») + 5 (ai _“|og|j - Iog2, (1.1.25)
где суммирование ведется по корням дзета-функции Римана C(s), ана-
литически продолженной на все числа s G С, 5	1, а
Fo(x)= |im ^+A+FSX~^
обозначает функцию, которая получается, если несколько сгладить сту-
пенчатую функцию (1.1.18). Формула (1.1.25), опубликованная Риманом
в 1859 г., была доказана Мангольдтом в 1895 г. Отметим, что ряд по р
в формуле (1.1.25) лишь условно сходится и порядок суммирования за-
дается абсолютной величиной корней р [45], [292]. Корни эти (помимо
так называемых «тривиальных» корней р = —2, —4, —6, ..., дающих
незначительный вклад в общую сумму) являются комплексными числа-
ми с вещественной частью, заключенной между 0 и 1; первые десять из
них таковы [850], [675], [676]:
Р1 = ^ + 14,134735/,	pi = - 14,134735/,
р2 = | + 21,022040/,	Р2 = 5 - 21,022040/,
рз = | + 25,010856/,	рз = ^ - 25,010856/,
р4 = 1 + 30,424878/,	р4 = 1 - 30,424878/,
р5 = 1 + 32,935057/,	р5 = 1 - 32,935057/.
Легко показать, что если £(р) = 0, то и £(р) = 0. Из формулы (1.1.25) сле-
дует оценка
тс(х) - li(x) = О(хе logx),
(1.1.26)
§ 1.2]	Диофантовы уравнения первойи второй степени	37
Где 0 = sup Rep. Если бы было известно, что 0 < 1, то оценка (1.1.26) была
бы нетривиальной. К сожалению, известно лишь, что на прямой Re(s) = 1
нет корней, см. [431], [45]. Знаменитая гипотеза Римана о том, что ве-
щественная часть нетривиального корня равна 1/2, еще никем не доказана.
Из нее следовало бы, что справедлива оценка
тс(х) = li(x) + О(х^2 log %).
Однако эти вопросы уже далеко выходят за рамки элементарной тео-
рии чисел (см. также монографии [ВК94], [ВоОб]). Явные формулы типа
формулы Римана—Мангольдта и дзета-функции будут обсуждаться ниже,
см. часть II, гл. 6, §6.2.
§ 1.2.	Диофантовы уравнения первой
и второй степени
1.2.1.	Уравнение ах + by = с. В этом параграфе все буквы (коэф-
фициенты и неизвестные в уравнениях) означают целые числа. Докажем,
что множество
/(а, Ь) = {с: уравнение ах + by = с разрешимо (в целых числах)}
имеет вид dZ, где d — наибольший общий делитель чисел а и Ь. В са-
мом деле, нетрудно проверить, что если q, С2 € /(а, Ь), то Ci ± С2 € /(а, Ь)
и ес\ е 1(а, Ь) для всех е € Z. Все числа с из множества /(а, Ь) делятся на
общие делители чисел а и 6, а значит, и на d = НОД(а, Ь), причем из алго-
ритма Евклида (1.1.3) следует, что d е 1(а, Ь). Следовательно, /(а, Ь)—
идеал кольца Z, совпадающий с (d) = dZ (см. п. 1.1.4). Таким образом,
уравнение
ах + Ьу=с	(1.2.1)
разрешимо, только если d делит с: с = de. Конкретное решение находит-
ся с помощью алгоритма Евклида: если аХ + bY = d, то а(еХ) + Ь(еУ) = с
и числа xq = еХ, у$ = еУ удовлетворяют уравнению (1.2.1). Теперь мы по-
лучили все целочисленные решения:
X = Хо -	у = уо + (b/d)t,
где t — произвольное целое число. Действительно, из равенств ах + by = с,
ахо + Ьуо = с следует, что
ax + by — (axQ + Ьу0) = a(x-xQ) + b(y - у 0) = 0, у -уо= -	,
и из взаимной простоты чисел a/d и b/d следует, что у — z/o = (a/d)t
Для некоторого целого числа /, следовательно, xq — х = (b/d)t. Уравне-
38	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
ние (1.2.1) дает первый пример общей проблемы: для системы уравнений
Л1(Х1, ...» хп) = 0,	...» Fm(x\, хп) = 0,	(1.2.2)
заданной целочисленными многочленами F/(xi, ..., хп) € Z[xi, ..., хп], най-
ти все целочисленные (или все рациональные) решения. Для уравнения
(1.2.1) задача нахождения рациональных решений тривиальна. Если в си-
стеме (1.2.2) все уравнения Fi = 0 линейные, то и для нее все рациональ-
ные решения легко находятся последовательным исключением неизвест-
ных (например, по методу Гаусса).
1.2.2.	Диофантовы системы линейных уравнений. Опишем общий
прием нахождения всех целочисленных решений системы (целочисленных)
линейных уравнений, записанной в матричной форме
Ах = Ь,	(1.2.3)
где
fan а12 ... aln\	fхЛ	fbA
4= .................. €Mm,n(Z),	х = I ... I , b = ... .
am2 ••• amn J	\Xn J	\bmj
С помощью теории элементарных делителей матрицы эта задача также
сводится к применению алгоритма Евклида. Элементарным преобразова-
нием над Z строк матрицы назовем преобразование, при котором к некото-
рой строке прибавляют другую, умноженную на целое число, а остальные
строки не меняют. Проверяется, что применение такого преобразования
эквивалентно умножению исходной матрицы слева на некоторую матрицу
U е SLm(Z) (целочисленную матрицу с определителем, равным 1). Анало-
гичное преобразование столбцов равносильно умножению матрицы спра-
ва на V е SL^Z). Матрицы U, V имеют вид Е/ДХ) = Е + Хе,; (где X —
целое число, а матрица в/; имеет единственный ненулевой элемент в /-й
строке, /-м столбце, равный 1) и называются элементарными матрицами
над Z. Применение нескольких таких преобразований с элементарными
матрицами
^ESU(Z), Vi,..., V/GSU(Z)
приводит матрицу к виду UAV (U =	V = V\ ... V/, а целочислен-
ные решения соответствующей системы уравнений
UAVy = Ub	(1.2.4)
и исходной системы (1.2.3) взаимно однозначно соответствуют друг другу
по формуле х = Vy. Теперь наибольший общий делитель d\ элементов мат-
рицы А можно найти повторным применением алгоритма Евклида к ее
элементам а^, используя элементарные преобразования строк и столбцов
и при необходимости меняя знак строки так, что преобразованная матри-
§ 1-2]
Диофантовы уравнения первойи второй степени
39
ца Д' примет вид
(dx 0 ... 0\
А' = ° л
А[
\0	/
Д'= и'AV'.
Затем то же рассуждение можно повторить для Л' и воспользоваться
индукцией. Полученная в результате матрица примет диагональный вид
/d\ 0 0 ... 0\
dz
= UAV.
(1.2.5)
\о ...... О/
Теперь мы получаем решение преобразованной (а поэтому и исходной)
целочисленной системы линейных уравнений:
0/М
, У\ = I •
\Уп/
где при / = 1, ..., г целые числа yt находятся из простейших соотноше-
ний diyi = Ci, с = Ub, а при / > г, а = 0 принимают произвольные целые
значения. Критерий совместимости над Z системы уравнений (1.2.4) те-
перь очевиден: он определяется условиями di | q для всех i г, С/ = 0 при
i > г. Числа di называются элементарными делителями матрицы А, а
d\ ...-di совпадают с наибольшими общими делителями всех миноров
порядка i матрицы А, так что di | dz+i при i = 1, ..., г — 1. Поэтому си-
стема (1.2.4) (и (1.2.3)) совместна над Z в том и только в том случае, когда
у матрицы Л и у расширенной матрицы (А\Ь) совпадают НОД всех миноров
порядка i, i = 1, 2, ..., т. Отсюда следует и такая формулировка критерия
совместности над Z системы (1.2.3): для этого необходимо и достаточно,
чтобы была разрешима соответствующая система сравнений
Ах = b (mod N)
по любому натуральному модулю W > 2. Критерий такого рода называется
принципом Минковского—Хассе и часто встречается в задачах диофан-
товой геометрии, см. п. 1.2.4 и §4.5, 5.3.
Гораздо менее простым является вопрос о поиске «наименьшего» це-
лочисленного решения, который относится к большому направлению, на-
зываемому геометрией чисел, Зигель [751], [93] показал, что система
линейных уравнений
а/1%1 4-... + ainXn = 0 (z = 1, ..., т),
п> т, где aij — целые числа, не все равные нулю и ограниченные величи-
ной В, имеет нетривиальное целочисленное решение (хь ..., хп) с коорди-
40	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
натами, ограниченными величиной 1 4- (пВ)т^п~т}, Если строки матрицы
А = (aij) линейно независимы, a d —наибольший общий делитель мино-
ров порядка т матрицы Л, то более точная верхняя граница для решений
имеет вид (d-1 ^/det(/lT • А))[^п~т}. Обобщение этой оценки на алгебра-
ические числовые поля было предложено Бомбьери и Ваалером в работе
[185] с использованием тонких результатов геометрии чисел (теория Мин-
ковского последовательных минимумов квадратичных форм, см. [220].
Трудной и важной для приложений является задача о поиске реше-
ния линейной диофантовой системы в неотрицательных целых числах
(задача целочисленного линейного программирования). Отметим такой
ее вариант, как задача укладки рюкзака: для данного множества нату-
ральных чисел {а,} (/ = 1, ..., п) и b найти набор чисел еь ..., гп е {0, 1}
с условием 52^8/ — Ь (см. [469], [525]). Трудность решения этой задачи
i=\
(в смысле количества необходимых операций) нашла любопытные прило-
жения в криптографии — теоретическом шифровании, см. гл. 2.
1.2.3.	Уравнения второй степени. Для диофантова уравнения
п	п
f(x\, Х2, хп) = 52aiix‘xi + 52Ьм + с = 0	(1.2.6)
Kj	/=1
находить целочисленные решения значительно труднее, чем рациональные,
хотя и эта задача уже нетривиальна. Известный пример связан с рацио-
нальной параметризацией окружности х2 + у2 = 1 по формулам уни-
версальной подстановки
2/	1 — t2
х = ^~р' У = Т+Р <X = COS<P> i/ = sin(p« ^ = tg(<p/2)),	(1.2.7)
из которой следует описание всех примитивных пифагорейских троек
(X, У, Z), X2 + У2 = Z2, НОД(Х, У, Z) = 1, по формулам X = 2ии, У =
= и2 — v2, Z = и2 4- V2, где и > v > 0 — взаимно простые числа противо-
положной четности. Для этого надо в формулах (1.2.7) положить t = u/v,
X=xZ, Y=yZ, Z = u2 + v2.
Вообще, при отыскании рациональных решений уравнения (1.2.6) удобно
перейти к квадратичной форме
п
F(X0, Х\, ...,%«)= 52 hX‘Xi =
м=о
п	п
= 52 faXiXj + 2 52 МХ0 + /ооХо2, (1.2.8)
ij=\	i = \
§ 1.2]	Диофантовы уравнения первойи второй степени	41
где fa = f ji = ач/2, если 1 < i < j п, fu = аи, /о; = Ао = Ь,/2, если i =
= 1, 2, п, foo = с. Для этого надо заменить неоднородные коорди-
наты X], хп на однородные Xq, Х\, .Хп по формулам X, = х,Хо
(/ = 1, 2, ..., п). Квадратичная форма F(X) является однородным много-
членом второй степени, который удобно записывать в матричной форме
F(X)=XT4fX, Хт = (Хо, *1,
с матрицей Ар = ([^). Если существует рациональное решение Х°
Ф (0, ..., 0)т уравнения F(X) = 0, то говорят, что F представляет нуль
над полем рациональных чисел. Это уравнение определяет квадрику Qp,
которую мы будем рассматривать как гиперповерхность в комплексном
проективном пространстве СР2:
Qf = {(z0 :zi : ...:z„) e CP" | F(z0, zb z„) = 0}.
Напомним, что пространство СР2 состоит из прямых (zo :	: zn) в век-
торном пространстве Сл+1, проходящих через начало координат, с на-
правляющим вектором (zo, Zj, ..., zn) ± (0, ..., 0). Рациональное реше-
ние Х° = (Х§, X°, ..., Х^) (0, ..., 0) определяет точку (Х° : Хр :...: Х^)
на квадрике Qp. Остальные рациональные точки (рациональные реше-
ния) легко найти: они совпадают с точками пересечения квадрики Qp со
всевозможными прямыми, выходящими из Х° в направлении вектора с ра-
циональными координатами. Надо только, чтобы точка Х° не была «вер-
мут
шиной» на Qp, т. е. чтобы выполнялось равенство (Х°) 0 хотя бы для
одного i = 0, 1, ..., п. Если это условие выполнено для всех точек квадри-
ки Qp, то такая квадрика называется невырожденной; это равносильно
тому, что матрица AF G Мп+[ (Q) формы F невырождена: det Ар 0. Гео-
метрически этот прием означает проектирование квадрики Qp на гипер-
плоскость с центром в точке Х° = (Xq : Х^ :...: X®) («стереографическая
проекция»). Если У0 = (Yq : У^ :...: У°) — другая точка с рациональны-
ми координатами, то точки прямой, проходящей через Х° и У0, имеют
вид Х04-^У°, где и, v — параметры на этой (проективной) прямой, при-
чем (и : и) = (1 : 0) отвечает решению Х°: F(X®, Xf\ ..., Х%) = 0. Подбе-
рем рациональное значение v 0 и и G Q так, чтобы выполнялось равен-
ство
F(uX® + уУ°) = 0.
Поскольку F(uX®) = u2F(X°) = 0, применим разложение Тейлора много-
члена F(Xq, Х\, ..., Хп) в точке иХ°:
m2F(X°) + uv	+ и2Л(У°) = 0.
42	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
Если F(y0) = 0, то положим v = 1, и = 0. Если F(YQ) / 0, то находим
v = -uJ2^(X°)Y^/F(Y°).	(1.2.9)
Случай, когда из формулы (1.2.9) получается v = 0, отвечает касанию
квадрики Qf и данной проективной прямой. Случай F(YQ) =0 отвеча-
ет в неоднородных координатах «асимптотическому направлению», когда
вторая точка пересечения прямой и квадрики «уходит на бесконечность»,
соответствуя бесконечному значению неодно-
а родного параметра t = v/u на прямой. При-
мером рассмотренной конструкции, записан-
ным в неоднородных координатах, явля-
, ’ ются формулы (1.2.7): чтобы найти все па-
J► ры (х, у) рациональных чисел, для кото-
I рых х2 + у2 = 1, х / 0, у / 0 и точка (х, у)
лежит в первом квадранте плоскости, рас-
смотрим прямую / с угловым коэффициен-
Д(0 -1)	том /, проходящую через точки (0, -1) и (х, у)
(см. рис. 1.3). Если х, у е Q, то и t е Q. Об-
рис 1 з	ратно, если параметр t рационален, то коорди-
наты точки пересечения прямой / с указанной
на рисунке единичной окружностью определяются как корни квадратно-
го уравнения с рациональными коэффициентами, причем один из корней
известен и отвечает точке (0, —1), а второй дает формулы (1.2.7).
При нахождении рациональных решений уравнения
F(X0,^i, ...,%«) = 0	(1.2.10)
с квадратичной формой (1.2.8) можно считать, что форма F диагональна:
метод Лагранжа выделения полных квадратов дает замену переменных
X = CY с рациональной невырожденной матрицей С е Мп+\(Q), det С / 0,
Ут = (Ко» , ¥п), Для которой
F(X) = G(Y) = а0У02 + ai У2 + - + anY^,
G(Y) = Y\CjAfC)Y, а0, ai,....a„eQ.
Для однородных уравнений типа (1.2.10) нет существенной разницы между
их целочисленными и рациональными решениями: после умножения на
подходящее целое число любое рациональное решение становится цело-
численным, и его можно считать примитивным, т. е. имеющим взаимно
простые в совокупности координаты. Наиболее фундаментальным фактом
теории квадратичных форм над полем рациональных чисел является сле-
дующий результат.
§ 1.2]	Диофантовы уравнения первойи второй степени	43
1.2.4. Принцип Минковского—Хассе для квадратичных форм.
Теорема 1.2. Цело численная квадратичная форма F(xi, ..., хп)
ранга п представляет нуль над полем рациональных чисел тогда и
только тогда, когда сравнение F(x\, ..., хп) = 0 (mod/V) имеет при-
митивное решение для всех натуральных чисел N и форма F пред-
ставляет нуль над полем вещественных чисел (т. е. она неопреде-
ленная), см. [14], [222].
Конечно, утверждение «только тогда» тривиально: достаточно рассмот-
реть по модулю N и над К целочисленное решение (xj, х%, ..., хл), кото-
рое, как сказано, можно считать примитивным; примитивность решения
сравнения по модулю N означает, что хотя бы одна из координат взаимно
проста с N (обратима в кольце вычетов Z/WZ). Приведем красивое дока-
зательство этой теоремы для случая, рассмотренного Лежандром: п = 3,
F(xi, х2, x3) = aixf+ а2*2+азХз (aia2a3/0)
(см. [14], [432], теорема Лежандра).
Неопределенность формы означает, что не все коэффициенты а\, а%, а3
одного знака. Умножив форму при необходимости на — 1, мы придем к слу-
чаю, когда два коэффициента положительны, а один отрицателен. Кроме
того, мы можем считать числа а\, а%, аз целыми, свободными от квадратов
и взаимно простыми в совокупности, так как их можно сократить на наи-
больший общий делитель. Далее, если, например, а\ и а2 имеют общий
простой делитель р, то, умножив форму на р и взяв рх и ру за новые
переменные, мы получим форму с коэффициентами а\/р, а%/р и раз. По-
вторяя этот процесс несколько раз, мы заменим нашу форму формой вида
ах2 + by2 - cz2,	(1.2.11)
в которой целые положительные числа а, b и с попарно взаимно просты
(и свободны от квадратов). Пусть теперь р — какой-нибудь простой дели-
тель числа с, отличный от 2. Можно показать, что поскольку для исходной
формы F существует примитивное решение сравнения F(x) = 0 (mod р1)
для любого / > 1, сравнение ах2 + £н/2 = 0 (mod р) имеет нетривиальное
решение (хо, Уо). Следовательно, можно предполагать, что z/o^O, и вы-
полняется разложение на множители
ах2 + by2 = ау^'(ху0 + ух0)(ху0 - ух0) (mod р).
Аналогичные разложения имеют место по модулю нечетных р, делящих
коэффициенты а и Ь, а при р = 2 выполняется сравнение
ах2 + by2 - cz2 = (ах + by - cz)2 (mod 2).
Таким образом, для любого простого числа р, делящего 2abc, существу-
ют линейные формы и от х, у, z с целыми коэффициентами
44
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
такие, что F =	(mod р). Теперь с помощью китайской теоре-
мы об остатках (см. п. 1.1.4) найдем такие линейные формы Цх, у, z)
и М(х, у, z) над Z, чтобы
L(x, у, z) = L(p)(x, у, z) (mod р),
Л4(х, у, z) = М(р)(х, у, z) (mod р)
для всех р | abc, и мы получим
ах2 + by2 - cz2 = Цх, у, z)M(x, у, z) (modabc). (1.2.12)
Будем придавать переменным %, р, z целые значения, удовлетворяющие
условиям
О^хсУЬс, 0^p<\/ac, §^z <Vab.	(1.2.13)
Если исключить из рассмотрения тривиальный случай а = b = с = 1 (см.
п. 1.2.3), то не все числа Vbc, Vac, Vab целые и число троек (%, р, z),
удовлетворяющих условиям (1.2.13), строго больше чем Vbc • Vac • Vab =
= abc. Следовательно, для некоторых двух различных троек (хь у\, Z\)
и (*2, //2, 22) справедливо сравнение
L(x\, у 1, Zi) = Цх2, //2» 22) (mod abc),
откуда в силу линейности формы L получаем
Цх^, Уо, 20) = 0 (modabc)	(1.2.14)
для хо = Xi - Х2, ро = У\ ~ У2, 20 = Zi - 22. Из сравнений (1.2.12), (1.2.14)
вытекает, что
axQ + bz/o - cZq = 0 (modabc),	(1.2.15)
а из неравенств (1.2.13) для (xj, у\, z\), (Х2, у%, 22) имеем |xq| < Vbc, |ро| <
< Vac, |zo| < Vab. Поэтому имеют место неравенства
-abc < axfj + bz/o - czq < 2abc,
а из сравнения (1.2.15), таким образом, следует, что справедливо одно из
двух равенств
axo + byo - czq = 0	(1.2.16)
или же
ахо + byQ - czq = abc.	(1.2.17)
В случае (1.2.16) теорема доказана; если же выполнено равенство (1.2.17),
то доказательство следует из тождественного преобразования
a(xozo + Ьу0)2 + Ь(рО2о - ах0)2 - c(z$ + ab)2 = 0.
Решение является нетривиальным, по крайней мере при z2 4- ab 0, а при
Zq 4- ab = 0 тройка (zq, a, 0) является нулем.
§ 1-2]
Диофантовы уравнения первойи второй степени
45
В формулировке Лежандра диофантово уравнение
а\х2 4- й2%2 + аз*з = О
имеет нетривиальное целочисленное решение в том и только в том случае,
когда разрешимы сравнения
х2 = -а2йз (modai), х2 = -а]а3 (mod02), x2 = -aja2 (modаз),
причем предполагается, что aj, a2, аз — свободные от квадратов попарно
взаимно простые целые числа, не все одинакового знака. Можно дока-
зать, что рациональная квадратичная форма от пяти и более переменных
всегда представляет нуль над Q, если, конечно, она невырождена, т. е. не
сводится к форме от меньшего числа переменных. В общем случае суще-
ствуют эффективные методы, чтобы установить, представляет ли квадра-
тичная форма рациональный нуль. Эти методы основаны на информации,
которую можно извлечь из вещественных и конгруэнциальных рассмотре-
ний. Однако кольцо вычетов Z//VZ может иметь делители нуля, что делает
утомительным обращение со сравнениями, и применяется другой подход,
связанный с формулировками в терминах р-адических чисел, который
будет рассмотрен ниже (см. п. 4.2.5, 4.3.1, 5.3.5 и [222]).
1.2.5. Уравнение Пелля. Для неоднородных задач разница между це-
лыми и просто рациональными решениями существенна. Например, если
d — натуральное число, то рациональные решения уравнения
х2 — dy2 = \	(1.2.18)
находятся тривиально. Уравнение (1.2.18) в целых числах, где d —число,
свободное от квадратов, известно как уравнение Пелля. Допустим, что
уравнение (1.2.18) имеет нетривиальное решение (хо, //о)» *о > 0, z/o > 0.
Это решение называется наименьшим, если при х = xq, у = уо линей-
ная форма х 4- у/dy принимает наименьшее значение на множестве всех
целых положительных решений уравнения (1.2.18). Не существует двух
наименьших решений: если предположить, что таковы (xj, у\) и (х2, //2),
то Xi - Х2 = (z/2 - y\)Vd, что противоречит иррациональности чис-
ла \fd. Можно показать, что всякое решение уравнения (1.2.18) име-
ет вид (±хл, ±//л), где хп 4- \fdyn = (хо 4- y/dyo)n, п — натуральное чис-
ло, (хо, //о) — наименьшее решение. Наиболее естественное доказательство
основано на рассмотрении множества чисел а 4- b\/d с рациональными а
и Ь. Это множество является полем, которое обозначается К =Q(y/d)
и представляет собой векторное пространство размерности 2 над Q. Мно-
жество А = Z 4- Z\/d —подкольцо в /С Рассмотрим отображение <ра: 0 и->
1—> ар умножения элемента ре Д’ на фиксированное число ct = а + b\/d;
тогда сра — это линейное преобразование поля К над Q (например, в ба-
46
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
зисе {1, \fd} матрица <ра равна
). Определитель det<ра называют
(алгебраической) нормой числа а и обозначают
Na = N/c/Q(a) = а2 - db2.
По свойствам определителей
N(ap) = Na• Лф (a, 0 € К).	(1.2.19)
Теперь наша задача свелась к тому, чтобы найти все элементы a € Д, для
которых N(a) = 1. Из свойства (1.2.19) следует, что это множество являет-
ся группой по умножению, в которой положительные элементы образуют
циклическую подгруппу:
{аеД|а>0, N(a) = 1} = (%о +
где (%о, Уо) — наименьшее решение с положительными коэффициентами
хо, Уо-
В классической теории чисел известно несколько способов нахождения
наименьшего решения, один из них описан ниже в § 1.4 и основан на поиске
наилучших приближений иррационального числа y/d рациональными чис-
лами х/у. Совершенно иной способ предложил Лежен Дирихле: в 1837 г.
он нашел связь решений уравнения Пелля со значениями тригономет-
рических функций. К примеру, для d = 13 из его формулы следует, что
*о + yvfd = т)2, где
. 2к . 5к . 6к
П =
sin i3sin 13Sin 13
sin
eQ(vT3)
13 Sln 13 sm 13
к . Зк . 4к
см. [316], [14], [560]. Позже Кронекер в 1863 г. дал явную формулу
для %о + yvfd через специальные значения эллиптических функций (см.
[480], [754], [838]).
Решение самых общих уравнений второй степени с двумя неизвест-
ными в целых числах с помощью целочисленных замен переменных можно
свести к уравнениям типа уравнения Пелля.
1.2.6. Представление целых чисел и квадратичных форм квадра-
тичными формами. Пусть f(x\, ...,хп), g(y\, ->-,Ут)— целочисленные
квадратичные формы с матрицами А = АТ € Л4Л(Й) и В = Вт € Mm(Z):
п
f(x) = f(x\, ..., xn) = 57 aijXiXj = Л[х] = хтЛх,
i./=l
g(y) = g(yi.......Ут) = £ bijyiy, = B[i/] = y*By,
§ 12]
Диофантовы уравнения первойи второй степени
47
где приняты обозначения А[х]=хтАх, В[у] = утВу, хт = (xj, ..., х„),
у1 = (t/j, ..., ym). Будем говорить, что квадратичная форма f пред-
ставляет форму g над Z, если для некоторой целочисленной матрицы
С € Мп,т^А выполнено тождество
f(Cy) = g(y), т. е. А[С]=В.	(1.2.20)
В частности, при т = 1 пусть g(y) — by2, тогда определение (1.2.20) эк-
вивалентно тому, что f представляет над Z число Ь\ для некоторых целых
чисел ri, ..., сп, выполнение соотношения f(c\, ..., cn) = b.
Рассмотренное выше уравнение Пелля является частным случаем го-
раздо более трудной задачи о представлении целых чисел квадратич-
ными формами. Лагранж доказал, что всякое целое число b > 0 предста-
вимо суммой четырёх квадратов. Этот факт выводится из более трудной
теоремы Гаусса о том, что целое положительное число b тогда и только
тогда является суммой трех квадратов, когда оно не является числом
вида 4Л(8/ — 1), где k, / е Z. Действительно, отсюда вытекает, что если
b > 0 — целое число, то его можно записать в виде 4*а, где а не делится
на 4, и при а = 1, 2, 3, 5, 6 (mod 8) число а есть сумма трех квадратов
и это же верно для Ь. Если это не так, т. е. а = 7 (mod 8), то а - 1 явля-
ется суммой трех квадратов; в этом случае а является суммой четырех
квадратов и это же верно для Ь, см. [720], [222]. Пусть
rk(n) = Card{(ni, ..., n^)eZ^ | п2 4-... + п2 = п} (1.2.21)
— число представлений п в виде суммы k квадратов. Так, например, гг(5) =
= 8, поскольку
5 = 22 + I2 = 22 + (-1)2 = (—2)2 + I2 = (—2)2 + (-1)2 =
= I2 + 22 = (-1)2 + 22 = I2 + (—2)2 = (-1)2 + (-2)2.
В большом числе случаев найдены формулы для чисел представлений
гь(п) (обширную литературу см. в книге Л. А. Когана [47]). Приведем лишь
классический результат Якоби, см. [603], [720], [121]:
r4(n) = 1 d|n
если n нечетно,
если п четно.
(1.2.22)
d\n, d нечетно
Метод доказательства этой теоремы основан на введении производящей
функции для чисел r*(n):
^2rk(n)qn=	= 0(т)*,
п=о	(щ..nk)e%k
48
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
1ДС	-	-	2
9(т) = qn (q = ехр{2гат})	(1.2.23)
— тэта-функция, которая рассматривается как голоморфная функция
на верхней комплексной полуплоскости Н = {т е С 11т(т) > 0} и обладает
рядом замечательных аналитических свойств.
Эти свойства позволяют однозначно охарактеризовать 04(т) как эле-
мент некоторого конечномерного векторного пространства голоморфных
функций на Н, а именно модулярных форм веса 2 относительно группы
Го (4), где
Го(Л/) =	€SL2(Z)| Л/делите}. (1.2.24)
Другими словами, голоморфный дифференциал 04(т)^т не меняется
при дробно-линейных преобразованиях т (ат 4- 6)(ст + d)-1 с матрицей
/а
(	) е Го(4) и удовлетворяет условиям регулярности роста в «парабо-
ле d J
лических вершинах»; подробнее такие функции будут рассмотрены ниже,
см. §6.3. Конечномерность пространства позволяет однозначно восста-
новить все коэффициенты Фурье функции 04(т) по двум первым, откуда
выводятся формулы (1.2.22). Этот прием является очень общим: для поло-
жительно определенной квадратичной формы /(хь ..., х&) = Л[х], 2az/,
an G Z, можно составить тэта-ряд
оо
9(т; /)= S е(/(х)т) = ^г(/; n)q",	(1.2.25)
xe%k	«=о
где	,
е(т) = ехр{2тит} = q, r(f; ri) = Card {х G V | /(х) = п}
— число представлений целого числа п 0 квадратичной формой /; то-
гда ряд (1.2.25) является некоторой модулярной формой веса k/2 на
верхней комплексной полуплоскости, что позволяет получать различные
точные формулы для чисел r(f; п).
Последние достижения в представлении целых чисел в виде суммы
квадратов, сделанные Г. Шимурой, можно найти в [745], [746].
Приведем одну из точных формул, принадлежащую А. Н. Андрианову
(см. [4], [94]): если f = х2 + у2 4- 9(z2 4- /2), то 0(т; f) является модуляр-
ной формой веса 2 относительно Го(36) и для простого числа р, (р, 6) = 1,
выполняется равенство
р— 1 о
Л/; /’) = 5(P + 1)-|Z(411);	0-2.26)
х=0 Р
в сумме справа стоит символ Лежандра, см. п. 1.1.4.
§ 1.2]
Диофантовы уравнения первойи второй степени
49
Традиционной областью применения производящих функций являет-
ся комбинаторика и теория разбиений. Пусть р(п) — число разбиений
натурального числа п в сумму натуральных неубывающих слагаемых:
р(1) = 1: 1 = 1;
р(2) = 2: 2 = 2, 1+1;
р(3) = 3: 3 = 3,	2 + 1,	1 + 1 + 1;
р(4) = 5:4 = 4,	3 + 1,	2+2, 2+1 + 1,	1 + 1 + 1 + 1;
р(5) = 7:5 = 5,	4 + 1,	3+2, 3+1 + 1,	2+2+1, 2+1 + 1 + 1,	1 +1 +1 +1	+1.
Тогда для производящей функции для	р(и) справедливо тождество	Эй-
лера (см. [226], [121]):
1 + ^p(n)qn = J](l	при|?|<1.	(1.2.27)
п=1	т=1
Действительно, непосредственное перемножение показывает, что
П(1 -qmr' = ГР1 +<7'" + <72,п+<73'"+ •••) =
= (1 +<7 + <72 + <73 + ...) х (1 +	+ ...) х ...
... х (1 + qk+ q2k+ q3k + ...) х ...=	^i+2«2+3a3+...(
яз^О-
а р(п) как раз и есть число решений в целых числах а\, а%, аз, ..., ^0
«уравнения с бесконечным числом переменных»
а\ 4“ 2ci2 4” Заз — п.
Оказывается, тэта-ряды квадратичных форм тесно связаны с бес-
конечными произведениями типа (1.2.27): к примеру, при |^| < 1, z /0
справедливы тождества (см. [121])
znqn2 = [J(l — q2m+2)(l + zq2m+l)(l + z-lq2m+l) (Якоби),
п=—oo	т=0
\^qn(n+\)/2 __ J^J(1 _g2m)(i	(Гаусс),
n=0	m=\
которые следуют из более общего тождества Коииг.
1	(1 - д)(1 — qa)...(\ — aqn~l)tn = -гт- (1 - atqm)
(1-<?)(1-<72)...(1-<?«) U (l-tqr*’
при |<?| < 1, |/| < 1, аеС. (1.2.28)
50
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
В последнее время было открыто много новых тождеств, содержащих бес-
конечные произведения и связанных с квадратичными формами и систе-
мами корней простых алгебр Ли, а также с характерами простых ко-
нечных групп, см. [536].
Впечатляющим примером использования производящих функций явля-
ется данное Борчердсом [186] доказательство гипотез Конвея и Нортона
о связях между т. н. простой группой монстра М (а также другими про-
стыми спорадическими группами) и модулярными функциями. Эта группа
является наибольшей простой конечной спорадической группой, ее поря-
док равен
808017424794512875886459904961710757005754368000000000 =
= 246 • З20 • 59 • 76 • II2 • 133 • 17 • 19 • 23 • 29 • 31 • 41 • 47 • 59 • 71.
Размерность наименьшего нетривиального неприводимого комплекс-
ного представления группы М равна 196883, что на 1 меньше первого
нетривиального коэффициента в (/-разложении знаменитой эллиптической
модулярной функции j(q). На самом деле
j(q) = q~l + 744 + 196884? + 21493760?2 +...,
и другие коэффициенты в разложении функции j оказываются простыми
комбинациями размерностей (или, другими словами, следов тождественных
операторов) представлений группы М.
Конвей и Нортон предположили в [281], что функции jg(q), получае-
мые при замене следов тождественных операторов на следы выбранного
элемента g из М, являются модулярными функциями «рода нуль». Други-
ми словами, если Gg— подгруппа в SL2(IR), оставляющая инвариантным
jg(q), то фактор верхней половины комплексной плоскости по Gg явля-
ется сферой без конечного числа точек, соответствующих параболическим
вершинам группы Gg, см. §6.3.
Доказательство этих гипотез настолько же выдающееся, насколько
и они сами, исходно названные лунными гипотезами. Оно использует тео-
рию вертексных алгебр и обобщенных алгебр Каца—Муди, см. [475].
Оказывается, некоторые вопросы квантовой теории поля связаны с мо-
дулярными свойствами (/-разложений, см. [318]. Например, открытым во-
просом является модулярность следующего (/-разложения:
Хх'лх+вх+с
__________
где Х = (хь ...,x„)eZn, л>1, (q)m = (l-q)(\-q2)-...-(l-qm), Ае
е M„(Q), В е Qn, с е Q (это было сообщено А. Коэном в беседе с одним
из авторов).
§ 1.2]	Диофантовы уравнения первойи второй степени	51
Свойства симметричности производящих рядов были также использо-
ваны Уайлсом при доказательстве большой теоремы Ферма и гипотезы
Шимуры—Таниямы—Вейля (см. [841], [798], [289] и гл. 7). В этом за-
мечательном доказательстве традиционный метод доказательства от про-
тивного представлен в следующем виде: если ар +bp = ср, abc^O для
простого числа р > 5 (где (а, 6, с) — примитивное решение), то с трой-
кой чисел (а, 6, с) можно связать некоторую производящую функцию f =
= faj),c ’ Н —► С, определенную на верхней полуплоскости Пуанкаре Н. Ее
задание рядом Фурье с первым коэффициентом, равным 1, объясняется
в §7.1. Оказывается, эта функция обладает слишком большим количе-
ством симметрий, заключающихся в том, что она является параболической
модулярной формой веса 2 и уровня 2, и, следовательно, f = 0 (см. §6.3),
что противоречит построению f.
1.2.7. Связь с аналитической теорией чисел. Помимо рассмотрен-
ных точных тождеств, существуют разнообразные методы получения асимп-
тотических оценок для чисел типа г(/, и) и р(п) при п —► сю, в частности
метод Харди—Литлвуда {круговой метод), его варианты и обобщения
(см. [19], [20], [22], [56], [426], [108], [312]
Эти методы связаны с тем, что коэффициенты а{п) некоторого произ-
водящего ряда
Л(т) = a(n)qn (q = ехр{2шт} = е(т))
л=0
можно находить с помощью интегральной формулы Коши
= h $ F{x)q~n~{ dq.	(1.2.29)
|<7|=г<1
Последующие рассуждения можно успешно применять ко многим слу-
чаям, когда окружность радиуса один является «естественным» контуром
для функции F(t), а корни из единицы, лежащие на этом контуре, являются
«наихудшими существенными особенностями» (иллюстрирующим приме-
ром является правая часть равенства (1.2.27)). Идея заключается в том,
чтобы разбить область интегрирования на две части: 1\ (вклад корней из
единицы относительно малой степени) и /2 (все остальное), а потом попы-
таться доказать, что /2 намного меньше, чем 1\, Для изучения асимптоти-
ческого поведения области 1\ и для оценки /2 часто используются точные
или приближенные функциональные уравнения на F(t), формула сумми-
рования Пуассона и т. д.
Например, для оценки р(п) Харди, Литлвуд и Рамануджан положи-
ли г = е~2^п2. В терминах переменной т они предложили интегрировать
по отрезку Ln = {т = х + iy | 0 х 1, у = 1/гг2}, который они раздели-
ли на две части следующим образом: 1\ является объединением попарно
52	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
непересекающихся отрезков = {х | |х - p/q \ < l/2qn* (8 > 1)}, где p/q
пробегает все рациональные числа между 0 и 1, знаменатель которых не
превосходит п\ /2 является дополнением к 1\.
Применительно к тождеству (1.2.27) это дает асимптотическую форму-
лу Харди—Рамануджана
рк\п
pln> = waj +
где
(см. [226]).
Позднее этот метод был усовершенствован К. Радемахером, который
нашел точную формулу, выражающую р(п) через бесконечную сумму, сла-
гаемые в которой соответствуют (всем) корням из единицы.
Для квадратичных форм с использованием кругового метода А. В. Ма-
лышев получил следующий важный результат [56]: пусть k 4, Дхь ...
..., Xfc) — положительная целочисленная форма определителя d,n — нату-
ральное число. Тогда для г(/; п) при п —> оо имеет место асимптотическая
формула
k/2
r(f; п) =	+ О(^/4+3/2«*/4"1/4П
где //(/; п) — «особый ряд» задачи, полученный в результате подсчета
интеграла по /1, а О-константа зависит лишь от k и е > 0, причем //(/; п)
является произведением вида
rootf;	«)>
р
где
r„(/;n)= lim p-m<*-‘> Card{x е (Z/pmZ)* I ftx) = 0 (mod р"1)}
т—>оо
— р-адическая плотность, a r^f; п) — некоторая вещественная
плотность решений уравнения /(х) = п, и основной вклад в величину
г(/; п) получается поэтому за счет «поднятия» решений в ТЪ/pm7L и в R
(см. также п. 5.3.6). Отсюда при выполнении некоторых условий сравни-
мости для п и / следует представимость формой f числа п при п > C(d).
Для малого числа переменных k = 2, 3 этот метод, однако, не работает
и требуются более тонкие подходы (см. [54], [30], [94], [55], [703]).
Существенное видоизменение и упрощение было внесено в круговой
метод И. М. Виноградовым (см. [19], [20], [22] ). Он предложил заменить
Диофантовы уравнения первойи второй степени
53
Рис. 1.4
тэта-ряд типа (1.2.25) конечной тригонометрической суммой
$N(V,f) = ^2 e(/WT)-
\xt\<N
(1.2.30)
которая при ограничении на вещественную ось является очень интерес-
ной быстро колеблющейся функцией переменного т Е R (см. рис. 1.4, 1.5,
изображающие в некотором масштабе графики функций cos(2tc£2/az),
sin(2TcZs3//z), п = 5, п = 3; хорошо видны «пики» этих графиков в ок-
рестностях рациональных точек с небольшими знаменателями).
Из свойств ортогональности
если /г = 0,
если h Е Z\{0},
(1.2.31)
получается, что
1
§ О/v (т; f)e(-nx)dx = Card{x = (xj, ..., x^) E Z* | /(x) = n, |xj < N}
о
(ср. с формулой (1.2.29) и равенством =2шйт).
Круговой метод в форме Виноградова позволил ему доказать, что каж-
дое достаточно большое нечетное число является суммой трех простых
54
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
чисел (в 1742 г. Гольдбах предположил, что каждое четное число, боль-
шее 2, является суммой двух простых чисел), а также существенно умень-
шить число слагаемых G(k) в проблеме Варинга (1770 г.) о представлении
больших натуральных чисел суммой k-x степеней. Полученное Карацу-
бой [46] улучшение оценки Виноградова составляет k(2 log/? + 2 log log & +
+ 12). Интересные результаты об асимптотике G(k) по отношению к k log/?
были получены Р. С. Воаном и Т.Д. Вооли (см. [809], [810]).
Более подробные рассмотрения, связанные с техникой аналитической
теории чисел, выходят за рамки нашей книги, и мы отсылаем читателя
к монографиям [20], [22], [86], [10], [426], [226], [108]. Отметим только,
что подсчет числа решений диофантовых уравнений с помощью соотно-
шений ортогональности типа (1.2.31) встречается в теории чисел в самых
различных вариантах, см. ниже §5.1, 5.2. Этот прием привел к широко-
му распространению тригонометрических сумм типа (1.2.30) (в частности
гауссовых сумм, сумм Якоби и Клостермана, см. §2.2) в арифметиче-
ских задачах.
Использование гармонического анализа в арифметике сейчас активно
развивается в некоммутативном многомерном варианте. К примеру, дву-
мерным арифметическим аналогом соотношений ортогональности (1.2.31)
является построение базиса Гекке в пространствах модулярных форм,
ортогонального относительно скалярного произведения Петерсона (см.
§6.3).
1.2.8. Эквивалентность бинарных квадратичных форм. Две квад-
ратичные формы f, geZfxi, ..., хп] называются целочисленно эквива-
лентными, если они представляют друг друга над Z (см. п. 1.2.6).
Будем обозначать форму f(x, у) = Ах2 + Вху + Су2 (Л, В, С е Z) так-
же через (Л, В, С). Форма f(x, у) = (Д, В, С) называется примитивной,
если числа А, В, С EZ взаимно просты в совокупности. Дискриминант
§ 12]
Диофантовы уравнения первойи второй степени
55
формы f(x, у) равен Д = В2 — 4АС. Назовем f(x, у) и g(x, у) собствен-
но эквивалентными, если для некоторой матрицы \	] е SL2(Z) вы-
/ /
полняется равенство
ftx, У) = g(mx + ^у, kx + ly).
Гаусс установил, что множество С1(Д) классов собственной эквива-
лентности примитивных форм дискриминанта Д О конечно и является
конечной абелевой группой относительно закона композиции квадра-
тичных форм, если Д не является квадратом. Для определения закона
композиции рассматривается квадратичное поле
К = <9(\/Д) =	= {х + yy/d Iх, у е Q},
где d — число, свободное от квадратов. Тогда Д = De2, где D — дис-
криминант квадратичного поля /С, D = d при d = \ (mod 4) и D — Ad
при d = 2, 3 (mod 4), а с — некоторое натуральное число. Любой эле-
мент а = х + y\/~d € К является корнем характеристического многочлена
t2 - 2xt + (х2 - dy2) = - а)(/ - а') (х, у € Q),
где а' = х - y\/d — элемент, сопряженный к а, Тг(а) = а + а' = 2х, N(a) =
= аа' = х2 - dy2 — след и норма числа а. Элемент а называется целым
над Z, если Тг(а), N(a) € Z; множество всех целых элементов а € К обра-
зует кольцо
О = (1, о) = {т + то | т, п € Z},
где о = \/d при d = 2, 3 (mod 4), и о = (1 + \/d)/2 при d = 1 (mod 4).
Для произвольного натурального числа с определено также подкольцо
Ос ~ Z + сО = (1, со). Дробным идеалом над Ос называется такая ад-
дитивная подгруппа
М = (а, р) = {та + яр | т, л € Z} С /С,
что ОСМ С М и {а, р} линейно независимы над Z. Произведение ММ\
дробных идеалов М = (а, р), М\ = (аь Pi) также является дробным иде-
алом над Ос, который как абелева группа порожден произведениями aaj,
aPi, росi, ррi. Дробные идеалы над Ос образуют абелеву группу по умноже-
нию с нейтральным элементом Ос = (1, со). Сопоставим каждому дробно-
му идеалу М над Ос некоторую квадратичную форму дискриминанта Д =
= De2. Пусть N(M) = Card Ос/М — норма дробного идеала М = (a, Р) с
С Ос над Ос. Будем считать, что базис {а, р} упорядочен условием на
Y — —p/a: Im у > 0 при d < 0 и Irr y > О при d > 0, где 1гг у — у — ирраци-
ональная часть числа у = х + y\/~d. Поставим в соответствие базису {а, р}
56	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
квадратичную форму
f(x, у) = Ах2 + Вху + Су2 =
Можно проверить, что /(х, у) — примитивная целочисленная форма
дискриминанта А = В2 - 4АС.
Назовем дробные идеалы Л4 и М\ эквивалентными в узком смыс-
ле, если М = уМ\ для некоторого y€/(x, N(y)>0 (при d <0 условие
N(y) >0 выполняется всегда). Тогда имеется взаимно однозначное соот-
ветствие между классами собственной эквивалентности бинарных прими-
тивных форм дискриминанта А = De2 и классами эквивалентности в узком
смысле дробных идеалов над Ос. Указанное взаимно однозначное соответ-
ствие задает естественную групповую структуру на множестве С1(А), от-
носительно которой нейтральный элемент представлен квадратичной фор-
мой / = (1, 0, -А/4), если А четно, или (1, 1, (1 - Д)/4), если А нечетно.
В вычислениях обычно используются приведенные формы (Л, В, С), для
которых А > 0, -А В < А, НОД(Л, В, С) = 1. Если А < 0, то С1(Д) = 1
в точности для следующих значений: -А = 4, 8, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163
при с = 1; 16, 12, 28 при с = 2; 27 при с = 3 (см. п. 5.4.1).
§ 1.3.	Кубические уравнения
1.3.1.	Проблема существования рационального решения. Для це-
лочисленных кубических форм F(X, Y, Z) от трех переменных уже не
известно никакого общего алгоритма, позволяющего установить суще-
ствование нетривиального решения над Q, хотя изучено большое число
конкретных уравнений, например уравнений вида
aX3 + t>Y3 + cZ3 = 0
(см. [707], [708]). Оказывается, для кубических форм перестает, вооб-
ще говоря, выполняться принцип Минковского—Хассе: уравнение ЗХ3 +
+ 4У3 + 5Z3 = 0 не имеет нетривиальных решений в целых числах, хотя
имеет вещественные решения, и для всех натуральных N > 1 сравнение
ЗХ3 + 4У3 + 5Z3 = 0 (modAO имеет примитивное решение. Нарушение
принципа Минковского—Хассе может быть измерено численно при помо-
щи группы Шафаревича—Тэйта, см. §5.3.
В 80-х гг. Д. Р. Хит-Браун [402] установил, что любая невырожденная
кубическая форма от 10 и более переменных с целыми коэффициентами
представляет рациональный нуль (невырожденность формы F(X\, Х2, ...
..., Хп) означает, как и в п. 1.2.3, что форма F и одновременно все ее произ-
водные (dF/dXi)(X\, ..., Хп) не имеют общих нетривиальных комплексных
§ 1-3]
Кубические уравнения
57
нулей). Ч. Хооли [424] доказал принцип Минковского—Хассе для невы-
рожденных кубических форм от девяти переменных. До этого Давенпорт
и Бёрч показали, что существуют невырожденные кубические формы от
9 переменных, не представляющие нуль над Q. Интересен общий факт
о формах нечетной степени d, установленный Бёрчем: если число перемен-
ных N N(d) (N(d) зависит только от d), то существует нетривиальный
нуль над Q, см. [158].
Эти важные результаты получены круговым методом из п. 1.2.7 (см.
[108], [312]).
1.3.2.	Сложение точек на кубической кривой. Кубическая форма
F(X, У, Z) задает кривую С на проективной плоскости Р2:
C = {(X:Y : Z) elP2 \ F(X, Y, Z) = 0},	(1.3.1)
причем мы считаем, что координаты в форме (1.3.1) — комплексные чис-
ла. Если на С лежит хотя бы одна рациональная точка О и кривая С —
невырождена, то можно найти такую обратимую (бирациональную) замену
переменных (над полем Q), после которой форма F примет вид
Y2Z - X3 - aXZ2 - bZ3 (a, be Q)	(1.3.2)
(вейерштрассова форма), причем точка О перейдет в решение (0:1:0)
для формы (1.3.2), а условие невырожденности для кривой (1.3.1) станет
эквивалентно тому, что 4а3 4- 2762 0. Невырожденная кубическая кривая
с рациональной точкой называется эллиптической кривой. В неоднородных
координатах (х, у) (X = xZ, У = yZ) уравнение кривой (1.3.2) примет вид
у2 = х3 -|- ах 4- Ь,	(1.3.3)
причем кубический многочлен справа не имеет кратных комплексных кор-
ней (его дискриминант — 4а3 - 27b2 отличен от нуля), а точка (0:1:0)
в этой записи станет бесконечно удаленной точкой. Существует красивый
геометрический способ превратить множество рациональных точек C(Q) на
кривой С в абелеву группу с нейтральным элементом О е C(Q) («метод
секущих и касательных»), см. [109], [221] и [465]. Если Р, Q eC(Q), то
проводим через Р и Q проективную прямую, пересекающую С в однознач-
но определенной третьей точке Р' е C(Q); затем проводим прямую через О
и Р', а точку ее пересечения с С назовем суммой точек Р и Q, обозна-
чив ее P+Q (см. рис. 1.6). Аналогично определяется точка 2Р=Р+Р, если
использовать касательную, проходящую через точку Р (см. рис. 1.7).
Если Р = (х\, у\), Q = (x2,yi) в неоднородных координатах, причем
х2, то Р 4- Q = (%3, Уз), где
Хз = -Х| -х2+ Р1 ~У2) , Уз = У' — хз)~У1-	(1-3.4)
\Xj — %2 '	Х| — %2
58	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
/Зх2 + а\2	Зх2 + а	Ч1	/1 о с\
х3 = -2х!-h 1-^—1 , //3 = 2jZ1 (*1 “* * * * * * * * хз) + //ь	(1.3.5)
Если Xi = Х2, но у\ — -у?, то точка Р + Q = О бесконечно удаленная; она
выбрана нейтральным элементом группового закона, поэтому в данном
случае Р = - Q (см. также [460]).
Описанный метод дает возможность размножать рациональные точки
Р € C(Q), рассматривая кратные пгР е C(Q), а также их суммы с другими
точками (если таковые имеются).
Для вырожденных кубических кри-
вых описанный метод неприменим. Пусть,
к примеру,
С: #2 = х2 + х3 (1.3.6)
— кривая, изображенная на рис. 1.8.
Тогда любая прямая, проходящая че-
рез точку (0,0), имеет лишь одну точ-
ку пересечения с кривой С: если урав-
нение прямой у = /х, то мы получаем из
уравнения (1.3.6), что х2(/2 - х - 1) = 0.
Рис. 1.8	Корень х = 0 соответствует точке (0, 0);
кроме того, мы имеем еще один корень
х = f2 - 1. Из уравнения прямой мы получаем, что у = t(t2 - 1). Поэто-
му, хотя и нельзя определить групповой закон, как выше, мы находим все
рациональные точки на С с помощью рациональной параметризации:
х — t2 - 1, у = t(t2 - 1). Вообще, кривая С: f(x, у) = 0, допускающая па-
раметризацию х = cp(Z), y=ty(t) с помощью некоторых рациональных
функций с коэффициентами из поля К, называется рациональной над К.
§ 1.3]	Кубические уравнения	59
Это означает, что соотношение /(<р(/), ф(0) = 0 выполняется тождественно
относительно независимой переменной t.
1.3.3.	Строение группы рациональных точек на кубической кри-
вой. Наиболее выдающаяся особенность метода секущих и касатель-
ных— это возможность сводить нахождение всех рациональных решений
кубического уравнения (1.3.1) к нахождению лишь конечного их числа.
Точнее, имеет место следующий результат.
Теорема 1.3 (теорема Морделла). Абелева группа C(Q) конечно
порождена (см. [591], [221], [592], [500], [730] и приложение Ю. И. Ма-
нина к [602]).
Согласно теореме о строении конечно порожденных абелевых групп
имеется разложение C(Q) = A х Zr, где А — конечная подгруппа всех то-
чек кручения, Z(r) — произведение г бесконечных циклических групп; чис-
ло г называют рангом кривой С над Q. О группе кручения А уже давно бы-
ло кое-что известно. Так, Нагелль и позднее Лутц [535] получили следую-
щий интересный результат, дающий одновременно метод для явного опре-
деления точек кручения конкретных кривых: если Р = (хр, ур) — рацио-
нальная точка кручения на кривой, заданной уравнением у2 = х3 + ах + Ь,
то её координаты хр и ур являются целыми числами, причём ур равно
или 0, или какому-нибудь делителю дискриминанта D = -4а3 - 27b2 дан-
ной кривой. В 1976 г. Б. Мазур доказал, что подгруппа кручения А над Q
может быть изоморфна лишь одной из пятнадцати групп
Z/mZ (т^ 10, т= 12), Z/2Z х Z/2vZ (v 4),	(1.3.7)
причем все возможности реализуются (см. Мазур [557]).
Вычисление ранга г остаётся открытой проблемой. Местр построил
примеры кривых ранга, не меньшего 14 (см. [572]), где приведен так-
же сравнительно простой пример кривой С: у2 + 9767// = х3 4- 3576х2 +
4- 425х — 2412 с рангом г > 9 !). Имеется предположение о том, что ранг
может быть сколь угодно велик. В своем обзоре [561] Мазур связывает
это предположение с гипотезой Сильвермана (см. [757]) о том, что для
любого натурального числа k найдётся свободное от кубов целое положи-
тельное число, которое по крайней мере k различными способами может
быть представлено в виде суммы двух кубов.
0 Мартин и Макмиллан (2000 г.) нашли эллиптическую кривую ранга не ниже 24:
/ + ху + у = хз _ 120039822036992245303534619191166796374% +
4- 504224992484910670010801799168082726759443756222911415116
(другие примеры см. на сайте http://www.math.hr/~duje/tors/rankhist.htnil). —Прим.
Ю. Чинкеля.
60
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
Примеры. 1. Кривая С задается уравнением у2 + у = х3 — х, целочис-
ленное решение которого даёт пример, когда произведение двух последо-
вательных целых чисел равно произведению некоторых других трёх по-
следовательных чисел. Тогда группа Д тривиальна, а группа точек C(Q)
(с бесконечно удаленной точкой в качестве нейтрального элемента) яв-
ляется бесконечной циклической группой, причем в качестве её образу-
ющей можно взять точку Р = (0, 0). Точки вида тР указаны на рис. 1.9.
В любопытной табл. 1.3 из обзора Мазура, приведенной с его любезного
разрешения, указаны абсолютные величины Х-координат (в примитивной
однородной форме) точек вида тР, причем т пробегает нечетные числа
от 9 до 59. В этом легко убедиться с использованием PARI (см. [151])
>	е = ellinit([0, 0, 1, —1,0])
>	q = [0, 0]
>	for (k = 4, 29, abs( numerator( ellpow(e, q, 2 * k + 1)[1]))).
Тот факт, что последние цифры строк этой таблицы почти точно ло-
жатся на параболу, не случаен и связан со свойством квадратичности
высоты точек на эллиптических кривых (см. п. 5.3.2).
§ 13]
Кубические уравнения
61
Таблица 1.3
20
116
3741
8385
239785
59997896
1849037896
270896443865
16683000076735
2786836257692691
3148929681285740316
342115756927607927420
280251129922563291422645
804287518035141565236193151
743043134297049053529252783151
3239336802390544740129153150480400
2613390252458014344369424012613679600
12518737094671239826683031943583152550351
596929565407758846078157850477988229836340351
2385858586329829631608077553938139264431352010155
56186054018434753527022752382280291882048809582857380
2389750519110914018630990937660635435269956452770356625916
65008789078766455275600750711306493793995920750429546912218291
8633815035886806713921361263456572740784038065917674315913775417535
43276783438948886312588030404441444313405755534366254416432880924019065
5930760454696426589489567617397943244827292346871145123187277732858766713896
2. Пусть кривая С задана уравнением z/2 + // = х3 — 7х + 6 Тогда
C(Q) = Z3, а свободные образующие этой группы даются решениями (1, 0),
(2, 0), (0, 2). (см. [210]).
3. Таблица 1.4 была любезно подготовлена для настоящего издания
книги Анри Коэном, использовавшим компьютерную программу PARI,
[151]. В таблице содержатся ранги г и порождающие групп Мордел-
ла—Вейля кривых X3 + У3 = AZ3 при натуральных бесквадратных числах
А < 500; она исправляет и уточняет таблицы Зельмера (см. [707], [708]),
приведенные в первом издании данной книги, см. [549]. Отметим три значе-
ния А = 346, 382, 445, для которых Коэн доказал, что г = 1, однако метод
точек Хегнера для вычисления образующих (см. §6.4.4) занимает слишком
много времени. Тем не менее, это вычисление было выполнено Кр. Делоне
(Лион), см. таблицу 1.5.
К настоящему времени такие таблицы продолжены до А < 70000 (Сте-
фенс). Как заметил с их помощью Дон Загир, доля кривых с рангом г = 0
составляет примерно 38,3%, с рангом г = 1 — примерно 48,9%, с чётным
рангом г >2 — примерно 11,7%, а с нечетным рангом г^З — пример-
но 1,1%, причем с ростом А процентное соотношение этих случаев слабо
меняется.
62
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
Таблица 1.4
Число образующих g и базисные решения уравнения X3 + У3 = AZ3,
где А свободно от кубов и А 500
А	g	(X, Г, Z)	А	g	(X, Г, Z)
6	1	(37, 17,21)	Q4	1	(15642626656646177,
7	1	(2, -1, 1)			-15616184186396177,
9	1	(2, 1, 1)			590736058375050)
12	1	(89, 19, 39)	97	1	(14, -5, 3)
13	1	(7, 2, 3)	98	1	(5, -3, 1)
15	1	(683, 397, 294)	103	1	(592, -349, 117)
17	1	(18, -1,7)	105	1	(4033, 3527, 1014)
19	2	(3, —2, 1), (5, 3, 2)	106	1	(165889, -140131, 25 767)
20	1	(19. 1, 7)	107	1	(90, 17, 19)
22	1	(25469, 17299, 9954)	110	2	(181, -71, 37), (629, 251, 134)
26	1	(3, -1, 1)	114	1	(9109, -901, 1878)
28	1	(3, 1, 1)	11	i	(5 266097, -2 741617,
30	2	(163, 107, 57), (289, -19, 93)	1	1	1029364)
31	1	(137, -65, 42)	117	1	(5, —2, 1)
33	1	(1853, 523, 582)	194	1	(184223499139, 10183412861,
34	1	(631, -359, 182)	1 40		37045412880)
35	1	(3, 2, 1)	124	2	(5, -1, 1), (479, -443, 57)
37	2	(4, -3, 1), (10, -1, 3)	126	2	(5, 1, 1), (71, -23, 14)
42	1	(449, -71, 129)	127	2	(7, -6, 1), (121, 120, 7)
43	1	(7, L2)	130	I	(52954777, 33728183,
49	1	(И, -2, 3)			11285694)
50	1	(23417, -11267, 6111)	132	2	(2089, -901, 399), (39007,
51	1	(730511,62641, 197028)			-29503, 6342)
53	1	(1872, -1819,217)	133	1	(5, 2, 1)
58	1	(28747, -14653, 7083)	134	1	(9, 7, 2)
61	1	(5, -4, 1)	139	1	(16, —7, 3)
62	1	(11,7, 3)	140	1	(27 397, 6623, 5301)
63	1	(4,-1, 1)	141	1	(53 579249, -52310249,
65	2	(4, 1, 1), (191, -146, 39)			4 230030)
67	1	(5353, 1208, 1323)	142	1	(2 454839, 1858, 530595)
68	1	(2 538 163, -472663, 620505)	143	1	(73, 15, 14)
69	1	(15409, -10441,3318)	151	1	(338, -95, 63)
70	1	(53, 17, 13)	153	2	(70, -19, 13), (107, -56, 19)
71	1	(197, -126, 43)	156	1	(2627, -1223, 471)
75	1	(17351, —11951, 3606)	157	1	(19964887, -19767319,
78	1	(5563, 53, 1302)			1 142148)
79	1	(13, —4, 3)	159	1	(103750849, 2 269079,
84	1	(433, 323, 111)			19151 118)
85	1	(2 570 129, —2 404889, 330498)	161	1	(39, -16, 7)
86	2	(13, 5, 3), (10067, -10049, 399)	163	2	(11,-3, 2), (17,-8, 3)
87	1	(1 176498611, -907929611,	164	1	(311 155001, -236283589,
		216266610)			46913867)
89	1	(53, 36, 13)	166	1	(1 374582733040071,
90	1	(1241, -431,273)			-1 295038816428439,
91	2	(4, 3, 1), (6, -5, 1)			136834 628063958)
92	1	(25903, -3547, 5377)	169	1	(8, —7, 1)
§ 1.3)
Кубические уравнения
63
Продолжение таблицы 1.4
А	g	(X, Y, Z)	А	g	(X, Y, Z)
170	1	(26353, 14957, 5031)	229	1	(745, -673, 78)
171	1	(37, 20, 7)	231	1	(818567, -369503, 129186)
172	1	(139, -103, 21)	233	1	(124253, -124020, 3589)
		(2 419913540753, 1 587207-	236	1	(248957, 209827, 47 106)
17/	1	867247, 468227201 520)	238	1	(53927, 3907, 8703)
		(110623913,8 065063,	241	1	(292, -283, 21)
1 /о	1	19668222)	244	1	(99, -67, 14)
179	1	(2 184480, -1 305053, 357833)		9	(571049, -511271, 59787),
180	1	(901, 719, 183)	ZH'O	z	(2 043883,-1 767 133,
182	2	(11,5, 2), (17, 1,3)			230685)
1 QQ	о	(14, 13, 3), (295579, -190171,	247	1	(20, -11,3)
loo	2	46956)	94Q	1	(275 657 307 291 045 075 203-
		(56182393, 15590357,		1	684958997, -275522784-
186	1	9 911895)			968298556737485593813,
187	1	(336491, -149491, 57070)			4 974480998065387679-
1 (1Q	1	(135477799, -116157598,			603368524)
1Уо	1	16825599)	251	1	(4284, -4033, 373)
195	1	(68561, -54521,9 366)	254	2	(19, -1,3), (587, 437, 104)
197	1	(2339, -2142, 247)	258	1	(2 195839, -2 047231, 198156)
198	1	(1801, -19, 309)	259	1	(13, -5, 2)
201	2	(16, 11,3), (3251, 124, 555)		i	(36326686731 109813,
202	1	(2 884067, 257437, 491652)	ZOU	1	9 746422253537867,
OAQ	Г)	(229, 32, 39), (2426, -2165,			5 691827727610864)
zUo	2	273)	267	1	(861409, -342361, 130914)
205	1	(8191, -6651, 1094)	269	1	(800059950, -786434293,
206	1	(5211, -4961,455)			45728263)
209	2	(52, -41,7), (125, -26,21)	271	2	(10, -9, 1), (487, -216, 73)
О1 Л		(1387, 503, 237), (3961, -2071,	273	2	(19, 8, 3), (190,-163, 21)
Z1U	2	633)	974	i	(111035496427236122887,
211	1	(74 167, 66458, 14925)	Z/		-43257922194 314055637,
О1 О		(337 705939853, -315091-			16751 541 717010945845)
Z12	1	652237, 32429956428)	97е!	1	(424560439, -309086839,
		(64313150142602539525-	Z / о		55494828)
213	1	717, 46732 739212871 851-	277	1	(209, -145, 28)
		099283, 12000095230802-	278	1	(13, 3, 2)
		028099750)	279	1	(7, -4, 1)
01 л		(307277703127, -244 344-	9Я9	2	(117217, -96913, 13542),
214	1	663377, 40697090945)	ZOZ		(2 814607, 1 571057,
215	1	(6,-1, 1)			452772)
217	2	(6, 1, 1), (9, -8, 1)	283	1	
		(7, -5, 1), (279469, -61469,	9Я4		(7 722 630 462 000 896 449 941 -
218	2	46270)	Zo^t	i	136589, -1 293813622621-
		(17, 10, 3), (168704, -36053,			939303367981, 1 174877-
219	2	27897)			194 362 780 234 594 343 698)
222	1	(5 884 597, 858653, 972855)	285	1	(18989, 1531,2886)
223	1	(509, 67, 84)	286	1	(323, 37, 49)
ООО	<	(46323521, -27319949,	287	1	(248, 121, 39)
zzo	1	7 024059)	289	1	(199, 90, 31)
64
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
Продолжение таблицы 1.4
А	g	(X, Y, Z)	А	g	(X, Y, Z)
294	1	(124559, -103391, 14118)		1	(1 909159356457,
295	1	(34901, -16021,5068)	ООО	1	-1 746345039913,
301	1	(382, 5, 57)			165073101648)
303	1	(2 659949, 67051,396030)	366	1	(2 08027, -1 675277, 228885)
305	1	(86, -81, 7)	367	1	(42349, 526, 5915)
306	1	(6697, -3943, 921)	370	2	(7, 3, 1), (70523, 19387, 9861)
308	1	(199, 109, 31)	372	1	(2 717893, 630107, 379470)
qna	9	(20, 7, 3), (272540932,	373	1	(1604, -1595, 57)
ОмУ		-142217089, 38305371)	377	1	(469, -237, 62)
310	1	(5 011613, -190493, 740484)	379	2	(15, —7, 2), (917, -908, 39)
313	1	(22, -13, 3)	380	1	(1009, -629, 127)
314	1	(241, -223, 21)	382	1	
316	1	(7, -3, 1)	385	1	(20521, -17441,2054)
Q 1 О	1	(6 462443919765751305499,	386	1	(9, —7, 1)
ОIУ	1	-6 182025219694143438-	387	1	(8, -5, 1)
		499,472407353310304-	388	1	(4659, -3287, 553)
		561 590)	4Q0	9	(3043, 467, 417), (4373, -863,
321	1	(13 755277819, 8 670272669,	OaU		597)
		2 164318002)	4Q1	1	(590456252061289,
322	1	(1873, 703, 278)	ОУ 1	1	80084 103077 160)
323	1	(252, 71, 37)		1	(4 045451855513988711059,
325	1	(128, 97,21)	ОуО	1	2 369 372 172 284 459 347 309,
330	1	(1621, 1349, 273)			597 046 969 413 536 968 336)
331	1	(И, -ю, 1)		1	(1 439245 403, -573627403,
333	1	(397, -286, 49)	иУЧ-	1	192088390)
	9	(7, —2, 1), (390997, 260243,	395	1	(7891, -7851, 266)
ООО		61 362)	4QA	1	(46789273, -37009657,
337	1				5 074314)
	1	(1 392097139, -345604139,	397	2	(12, -11, 1), (360, 37, 49)
ооУ	I	198626610)	399	2	(22, 5, 3), (401, 328, 63)
341	1	(6, 5, 1)	409	।	(585699417548405371,
342	2	(7, -1, 1), (1253, -1205, 86)	T’UZ		102798361240815491,
	9	(16543, 8297, 2454), (389699,			79502362839530631)
От’О		-190979, 53292)	403	1	(53, -22, 7)
346	1		407	2	(7, 4, 1), (33733, -33634, 939)
	9	(40283, -15227, 5622),	409	1	
О^тО		(2 706139, 425861,385230)	4 1 1	1	(186871897, 49864 103,
349	1	(23, -14,3)	Ч1 I	1	25292280)
355	1	(2 903959, 2 617001, 492516)	413	1	(2575, -2103, 266)
	1	(15026630492 061476041-	414	1	(68073157, 32528843,
ООО		947013, 4 709632 110011-	Ч 1 ч	1	9 454410)
		335573393177, 2 098221-	418	1	(76267, 25307, 10323)
		141580681446554 589)	49Л	9	(2213, 1567, 327), (10459,
357	1	(19207, 6497, 2742)	т-ZU		-6679, 1263)
358	1	(7 951661, 2 922589, 1 138095)	421	1	(19690, 4699, 2639)
осп	1	(77 517180, 50972869,	422	1	(15, 1,2)
ООУ	1	11855651)	425	1	(2393, 1007, 326)
§ 1-3]
Кубические уравнения
65
Окончание таблицы 1.4
А	g	(X, Г, Z)	А	g	(X, Y, Z)
427	1	(25, -16, 3)	457	1	(41,31,6)
428	1	(1 294057, -1 190053, 104013)	458	1	(953039, -761375, 97482)
429	1	(16739, 14 149, 2598)	ДАЛ	I	(248 768189, -234795689,
430	1	(5 989967,3 449393, 841204)	чии	1	17466345)
431	1	(701, -270, 91)	462	2	(3779, 379489), (11969, -7811,
433	2	(37, 35, 6), (223, -222, 7)			1389)
Л9£	9	(32779, -1459, 4326), (3 784-	463	1	(403, -394, 21)
		049,2 981071,570276)	ДАА	1	(1 212356942047, -1 197-
Л Q&	о	(19, 17, 3), (1 330019,		1	072217207, 52307828958)
‘too	Z	-1 224071, 105957)	466	1	(464 540708319337302841,
Л Qft	1	(12636764083, 11 127850973,			88798763256715446551,
ЧоО		1 979215602)			60057801943830995598)
439	1	(571, -563, 26)	467	1	(1170, -763, 139)
441	1	(13, 11,2)	468	2	(7, 5, 1), (859, -763, 74)
АЛЛ	1	(4 174254535499, -726500-	469	2	(13, -12, 1), (26, -17, 3)
ЧЧЧ	1	109131,546201297768)	473	1	
445			474	1	(568871, -453689, 57627)
44А	о	(23, -5, 3), (4 286417,	477	2	(89, 70, 13), (12040, -11881,
Т’Т’О	£	—4 285265, 52212)			523)
447	1	(4 405301, -382301, 576030)	481	1	(43, 29, 6)
449	1	(323, 126, 43)	483	1	(2 401741, 1 945259, 352830)
450	1	(21079, 11 321,2886)	484	1	(236521, -176021,25235)
ЛАО	1	(851498679025552429,	485	1	(8, -3, 1)
404	1	224535817 897760071,	490	1	(193229, -73159, 24039)
		111 626 729 681 785 675)	4QQ	1	(8 432715268961, -1 057596-
ЛА7	9	(23, 4, 3), (50167097,	Чои	1	310369, 1 066758076384)
ЧЭО	Z	39331207, 7 447188)	494	1	(59, -33, 7)
4^4	1	(753 389 202 595 029 867 852-	495	1	(342361, -57241,43212)
“тиН	1	290245746241 110629,	497	2	(55, 16, 7), (7411, -6772, 579)
		-204264638826527324-	доя	о	(611 137, -490123, 60543),
		892641927694862943879,	ЧУо		(16811001, -15250751,
		97368775947767167139-			933765)
		892682703702288385)	499	1	
Таблица 1.5
Базисные решения уравнения X3 4- У3 = AZ3 для А = 346, 382, 445
А	г	|(Х, У, Z)
346	1	(47 189 035 813 499 932 580 169 103 856 786 964 321 592 777 067, 42 979 005 685 698 193 708 286 233 727 941 595 382 526 544 683, 8 108 695 117 451 325 702 581 978 056 293 186 703 694 064 735)
382	1	(58 477 534 119 926 126 376 218 390 196 344 577 607 972 745 895 728 749, 16 753 262 295 125 845 463 811 427 438 340 702 778 576 158 801 481 539, 8 122 054 393 485 793 893 167 719 500 929 060 093 151 854 013 194 574)
445	1	(362 650 186 970 550 612 016 862 044 970 863 425 187, -58 928 948 142 525 345 898 087 903 372 951 745 227, 47 432 800292 536072 666333861 784516450 106)
66
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
4. Кривая С: у(у + 1) = х(х — 1)(х + 2) имеет ранг, равный двум, а кри-
вая С: у (у + 1) = х(х — 1)(х + 4) имеет ранг г = 2, ср. с уравнением кривой
ранга 1 из примера 1.
5. Рассмотрим кривую у2 = х3 + 877х. Как показано в [229], образую-
щая по модулю кручения группы рациональных точек на этой кривой имеет
х-координату
_ 37549428127162193105504069942092792436201
Х ~ 6215987776871505425463220780697238044100 ’
Это дает определенное представление о трудностях «наивного» элемен-
тарного подхода для нахождения точек бесконечного порядка на эл-
липтических кривых (см. [221], [238], [239]).
1.3.4. Кубические сравнения по простому модулю. Пусть р — про-
стое число, F(Xo, Х2) € Z[Xi, Х2, Хз] — кубическая форма, невырож-
денная по модулю р. Это значит, что для любого поля /<, содержащего
поле вычетов Fp (т. е. поля характеристики р), следующие формы степе-
ни 3 и 2:	_ др
F, (/ = 0,1,2)
С/Л/
не имеют общих нетривиальных нулей над /<, где
Г(*о, XbX2)eFp[X0, Xi, Х2]
обозначает форму, полученную из F рассмотрением ее коэффициентов по
модулю р, см. [57], [465], [466].
Как над полем рациональных чисел, простые алгебро-геометрические
идеи можно применить и к полю К положительной характеристики. В этом
случае нормальная форма становится несколько более сложной. Сделав
замену проективных координат и перейдя к неоднородной форме записи,
мы всегда можем привести уравнение F = 0 к виду
у2 + а\ху + а$у = х3 + azx2 + щх + а§,
причем «ь а2, 03» а±, а^еК и
Д = -^8 - 8b% - 27Ь% + 962Мб / 0,
где
62 = 0i+402, 64 = 204 + 0103, 6б = аз + 40б-
сз
Также используется обозначение /? =	где
с4 = Ь2 - 2464,	= -bl + З66264 - 216&6-
Затем это уравнение может быть еще упрощено при помощи преобразо-
ваний вида х и2х' + г, у t—> и3yf + su2x'r + / , и получается следующее
(см. [791], [466]).
§1.3]
Кубические уравнения
67
1.	Если р / 2, 3, то
у2 = х3 + а4% + а6 с Д = -16(4а3 + 27а|) / 0.	(1.3.8)
2.	При р = 2 условие / = 0 равносильно тому, что а\ = 0, и уравнение
преобразуется к следующему виду: если а\ /0 (т. е. / ^0), то, выбирая
подходящие г, мы можем получить а\ = 1, аз = 0, а± = 0 и уравнение
принимает вид
у2 + ху = х3 + а%х2 + аб,	(1.3.9)
где условие гладкости задается просто неравенством Д 0. Предположим
теперь, что а\ = 0 (т. е. / = 0). В этом случае уравнение преобразуется в
У2 + азУ = х3 + щх + а6,	(1.3.10)
и условие гладкости в этом случае задается неравенством аз 0.
3.	Если р = 3, то
у2 = х3 -и д2х2 + а4х + Яб	(1.3.11)
(в этом случае кратные корни также недопустимы).
В однородных координатах во всех случаях добавляется «бесконеч-
но удаленное решение» О = (0: 1 : 0). Как посчитать число решений таких
кубических сравнений? Ясно, во-первых, что число этих решений, обра-
зующих вместе с точкой О абелеву группу C(FP), не превосходит 2р + 1:
точка О и не больше 2р пар (х, у), удовлетворяющих условиям (1.3.8)
(1.3.9), (1.3.10) и (1.3.11) при р = 2, 3, так как для каждого такого х € Fp
найдутся не больше двух значений t/eFp. Однако лишь половина эле-
ментов из F* являются квадратами, поэтому можно ожидать, что лишь
в половине случаев из элемента х3 -h ах + b можно извлечь квадратный
корень у (предположив, что элементы х3 + ах + b разбросаны случайно
в поле Fp, см. [469], с. 157). Более точно, пусть /(х) =	—символ Ле-
жандра (см. п. 1.1.5), определение которого означает, что число решений
уравнения у2 = и в поле Fp равно 1 + у(ы), тогда мы получаем следующую
формулу для числа решений кубического сравнения:
CardC(Fp) = 1 +	(1 + х(х3 + ах + £>)) = р + 1 + 5? Х(*3 + ах + ь)-
хе^р	хе^р
Коблиц в [469] сравнивает взятие суммы со «случайным блужданием»,
при котором делается шаг вперед, если /(х3 + ах + b) = 1, и шаг назад,
если х(х3 + ах -I- Ь) = — 1. Из теории вероятностей известно, что рассто-
яние от исходной точки после р шагов при случайном блуждании будет
иметь порядок у/р. И действительно, это так: сумма всегда ограничена
величиной 2у/~р.
68	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
Теорема 1.4 (теорема Хассе, |400|). Пусть Np = CardC(Fp), тогда
|Afp-(p + l)|^2/p.
Элементарное доказательство этого факта было дано в 1956 г. (см.
[57]). С тех пор было развито множество других доказательств, как ал-
гебро-геометрических, так и элементарных. Обзор элементарных методов
можно найти в [90], [91], [92].
Проблемы распределения автоморфизмов Фробениуса для различ-
ных р, а также распределения разности Np — (р + 1) (см. [506]) связа-
ны с гипотезой Сато—Тэйта (см. гл. I в [716] и п. 6.5.1) 0.
Структура абелевой группы Е^р) точек на эллиптической кривой ис-
пользуется во многих арифметических вопросах. В частности, случай,
когда эта группа циклическая большого порядка, приводит к проблеме
ECDLP («Elliptic curve discrete logarithm problem», проблема дискретного
логарифма для эллиптической кривой), которая очень важна для прило-
жений в криптосистемах с открытым ключом, см. [466].
§ 1.4.	Задачи о континууме:
приближения и непрерывные дроби
1.4.1.	Диофантовы приближения иррациональных чисел.
Поскольку число \/2 иррационально, квадратичная форма х2 — 2у2 не
обращается в нуль при целых значениях х, у, отличных от нуля; наи-
меньшее значение |х2 — 2у21, которое может достигаться при таких х, у,
равно 1:
х2-2//2 = ±1,	(1.4.1)
что приводит к уравнению Пелля, имеющему бесконечно много решений,
(см. п. 1.2.5):
Эти решения дают все лучшие и лучшие приближения к числу д/2 с ро-
стом у (см. [561], с. 209). Этот список состоит из всех наилучших при-
ближений числа д/2 в следующем смысле: рациональная дробь а/b (Ь > 0)
называется наилучшим приближением числа а, если для всякой другой
рациональной дроби c/d с тем же или меньшим знаменателем выполнено
условие
|da - с| > |&а - а\ (Q<d^b, a/b^c/d).
^По поводу доказательства гипотезы Сато-Тэйта в 2006 г. Л. Клозелем, М. Харрисом,
Н. Шеферд-Бароном и P. Тэйлором (L. Closel, М. Harris, N. Shepherd-Baron and R. Taylor), см.
http://en.wikipedia.org/wiki/Sato-Tate_conjecture; Clozel L., Harris M., Taylor R.
Automorphy for some ^-adic lifts of automorphic mod £ Galois representations. Taylor R.
Automorphy for some ^-adic lifts of automorphic mod £ Galois representations, II; Harris M.,
Shepherd-Barron N., Taylor R. A family of Calabi-Yau varieties and potential automorphy.
§ 14]
Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби
69
Таблица 1.6
X	У	х/у
1	1	1,0
3	2	1,5
7	5	1,4
17	12	1,416...
41	29	1,4137...
99	70	1,41428...
239	169	1,414201...
577	408	1,414215...
1393	985	1,4142132...
3363	2376	1,4142136...
Из определения следует несократимость дроби а/b, дающей наилучшее
приближение. Все решения (х, у) уравнения (1.4.1) получаются из наи-
меньшего по правилу
х + у/2у = (1 + х/2)я.
Это пример следующего общего принципа: получить все решения неко-
торой диофантовой проблемы из конечного их числа [561]. Ниже будет
указан ряд случаев, в которых этот принцип выполнен.
1.4.2.	Ряды Фарея. Один из способов поиска хороших приближений
связан с рядами Фарея порядка л, где — возрастающая после-
довательность всех несократимых дробей, расположенных между 0 и 1,
знаменатели которых не превосходят п\
?п = {а/Ь | 0 а b п, (a, b) = 1}.	(1.4.2)
Эти дроби (без названия) упоминались в круговом методе в п. 1.2.7. Ряд
Фарея порядка п = 5 имеет вид:
Г1 1121323411
У’5- 15’ 4’ 3’ 5’ 2’ 5’ 3’ 4’ 5’ 1 Г
Теорема 1.5 (1397 ]). Для любого вещественного числа а найдет-
ся такой элемент а/b е Fn, что
|а-(аЛ)1^	+!))•	(1.4.3)
Идея доказательства этой теоремы состоит в том, чтобы превратить
отрезок [0,1] в окружность, склеив 0 и 1, а затем построить специальное
разбиение окружности с помощью точек Фарея. Точка Фарея Р — это по
а 4- а'	.
определению медианта двух последовательных членов ряда Фарея
~7, е Fn, так что ~ < Р < Аркой Фарея называется дуга получен-
ной окружности, соединяющая две соседние точки Фарея. Доказательство
70
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
(1-4.4)
(1.4.5)
теоремы следует теперь из того факта, что длина арки Фарея, содержащей
представителя а/b, заключена между числами
В свою очередь, эта оценка получается из свойства a'b - b'a = 1 двух
соседних членов ряда Фарея. В этой теореме число а не обязательно ир-
рационально, так что мы получаем также сведения о приближении рацио-
нальных чисел рациональными же числами с меньшими знаменателями.
При иррациональном а из теоремы следует, что неравенство
имеет бесконечно много решений а/b. Например, если а/Ь — наилучшее
приближение числа а, то неравенство (1.4.4) следует из неравенства (1.4.3)
при п = Ь. Быстрый способ нахождения наилучших приближений даёт
теория непрерывных дробей, с помощью которой доказывается, что для
иррациональных чисел 0 более сильное неравенство
h -I *
I	Ь I	у/БЬ^
имеет бесконечно много решений а/Ь.
1.4.3.	Непрерывные (цепные) дроби ([95], [291], [397]). Если
а € К — произвольное вещественное число, то определим последователь-
ность целых чисел а, и действительных чисел а/ по правилам ао = [ао]
(целая часть числа ао: ао — 1 < [ао] ао), az+i = l/(az- — az), af+i = [af+i ]
(i 0). Так получается (простая) цепная дробь:
1
1
а = ао +
а2 + •
1
1
Um Н-----
am+l
которая более компактно записывается в виде
ot = [a0; at, а2, ..., ат, am+i]
(1.4.6)
a = ао Н-—г ——г... ——г-----.
а1 + 1^2+1 I am+l
Число am+i называют остатком цепной дроби (1.4.6). Если в формуле
(1.4.6) удалить am+i, то получится конечная цепная дробь Ст = [ао; ад ...
..., ат], которая называется подходящей дробью (конвергентной) по-
рядка т и представляет собой рациональное число Ст = Ат/Вт, где числа
§14)
Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби
71
Ат и Вт можно последовательно вычислить, исходя из начальных условий
Л-2 = В-i = 0, Л-i = В_2 = 1 и рекуррентных соотношений
Л*+1 =cik+\Ak + Ak_\,
(1.4.7)
Bjfc+i = a^\Bk + Bk-\ (k = -1, 0, 1, ...).
Если число а иррационально, то otm / 0 для всех т е N, подходящие дроби
чётного порядка образуют возрастающую, а нечетного порядка—убываю-
щую последовательность; обе эти последовательности сходятся к числу а.
Результат предельного перехода записывается в виде (бесконечной) цеп-
ной дроби
a= [a0;	а2, ...» ak, ...].
Цепная дробь конечна тогда и только тогда, когда a — рациональное чис-
ло. Доказательство всех этих фактов почти непосредственно вытекает из
соотношений (1.4.7): проверяется, что
BkAk-i - АкВк_\ =(-!)*.	k>\,
(1.4.8)
ВкАк-2 - АкВк_2 = (-1)* 1ак,
Ak-i	Ак	_ (-1)*	Ак 2	Ак	(-Г)к~'ак	П49)
Bk-\	&k BkBk_\'	Вй_2	Bk	BkBk_2
Степень приближения числа а подходящими дробями также устанавлива-
ется с помощью соотношений (1.4.9): справедливы неравенства
1	I	Ат\ 1
Вт(Вт 4- Bm+1) I	Вт\ ВтВт^\'
(1.4.10)
из которых следует описание всех наилучших приближений числа а как
подходящих дробей Ат1Вт, т^Л.
1.4.4.	$Ь2-эквивалентность чисел. Рассмотрим остатки цепной
дроби
a = [ao; aj, a2l	= [aoi 01,^2, ...» 0m-i>
Из определений следует, что
+ Дт-2
Вт-\^т + Вт-2
(1.4.11)
Числа а и 0 € К называются 5Ь2(2)-эквивалентными, если a = j для
некоторой матрицы (а € SL2(Z) (т. е. a, b, с. d G Z, ad — be = 1).
\с dj
Равенство (1.4.11) показывает, что числа а и (-l)mam эквивалентны,
/1 л q\	f(~^)mAm-i Ат-2\
так как в силу соотношения (1.4.8) имеем I	I € SL2(Z).
\(— 1) Вт-\ Bm-2J
72	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
Поэтому для эквивалентности чисел аир необходимо и достаточно, что-
бы совпадали некоторые их остатки (теорема Серре, см. [95]). Так, все
рациональные числа SL2(Z) эквивалентны.
1.4.5.	Периодические цепные дроби. Решение уравнения Пелля.
Рассмотрим бесконечную периодическую непрерывную дробь периода k,
а = [а0; аь а*0_ь а*0,	а*о+А_1],	(1.4.12)
периодичность означает, что а^т — вт при т &о- Тогда а является квад-
ратичной иррациональностью, что вытекает из соотношения (1.4.11) для
остатков.
Пример. Разложение \/3 в цепную дробь имеет вид
х/З = [1; 1,2, 1,2, 1,2, ...].
Действительно, цепная дробь справа, очевидно, удовлетворяет уравне-
нию
х = 1 Ч-----j—,	т. е. 2х + х2 = 3 + 2х,
откуда следует, что х = \/3.
Практически удобно использовать следующий алгоритм для построения
подходящих дробей и остатков квадратичной иррациональности вида
а = (Ро + УЛ/)/(?о
(для свободного от квадратов натурального числа N), где Pq, Qo, N— це-
лые числа, причем предполагается, что Qq делит N — Р%. Именно, положим
последовательно
^/+1 = aiQi ~ Pli Qi+\ — (N — P^+^/Qi, i = 0, 1, 2, ...
Тогда все Р/, Qi — целые числа, Qt делит N — Р?^ и
В отличие от быстро возрастающих числителя и знаменателя подходя-
щей дроби Ci —Ai/Bi, числа Pi и Qi сравнительно небольшие. Так, если
|Ро| < VNy 0 < Qo < то для всех i 1 имеем (см. [675], [461])
0<P/<xZv, 0<Qt<2y/N, A?-NB? = (-l)i+'Qi+i.
На z-м шаге вычисления проводятся в четыре действия:
1)	Pi+l = [x/V] - Ri (Ro = 0),
2)	Q,+1 = (N - P?+i)/Qi (<?-> = (N - Po2)/<?o),
3)	ai+i = [(Pi+i + [V?V])/(?i+l],
§1.5]
Диофантовы приближения и иррациональность
73
4)	/?/+1 = остаток от деления + [\/W] на Q/+i.
Этот алгоритм можно эффективно применять для поиска наименьшего
решения уравнения Пелля\ если а2 — Nb2 = 1, то а2 1 + N, b2 1,
\1-Vn\ =_______!____<——
\ь I b(a + b^N) 2b2jN'
поэтому в силу п. 1.4.3 дробь а/b является одной из подходящих дробей
для иррациональности \/N.
Пример. Наименьшее решение уравнения х2 — 43у2 = 1: х = 3482, у =
= 531. Оно найдено с помощью вычислений, представленных в табл. 1.7.
Таблица 1.7
i	—2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
at			6	1	1	3	1	5	1	3	1	1
Pi			0	6	1	5	4	5	5	4	5	1
Qi			1	7	6	3	9	2	9	3	6	7
Ri			0	5	1	2	1	1	2	1	5	0
Ai	0	1	6	7	13	46	59	341	400	1541	1941	3482
Bi	1	0	1	1	2	7	9	52	61	235	296	531
Д? - 43B?			—7	6	-3	9	—2	9	-3	6	—7	1
§ 1.5.	Диофантовы приближения и иррациональность
1.5.1.	Идеи доказательства иррациональности числа ^(3). Уди-
вительным математическим открытием последнего времени, показавшим
большие нераскрытые возможности элементарных методов в теории чи-
сел, явилось доказательство иррациональности числа
оо
С(3) = £>-3,
Л=1
найденное французским математиком Апери, впервые изложенное им в
июне 1978 г. на конференции Journees Arithmetiques (в Люмини, Марсель).
Мы следуем неформальному изложению этого доказательства Ван дер
Поортеном [648], который отмечает первоначальное недоверие к доказа-
тельству, воспринятому многими сначала как набор таинственных утвер-
ждений.
1.	Для любых чисел а\, а<^ ... выполняется равенство
Z-,(x + fll)...(x + a*) х-	U '
Я=1
74	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
2.	Справедливо соотношение
= "5;'1
3.	Рассмотрим рекуррентное соотношение:
п3ип - (З4м3 - 51м2 + 27м - 5)u„-i + (м - 1)3м„_2 = 0, м > 2, (1.5.3)
и пусть Ьп — последовательность, определенная начальными условиями
ft0= 1,	=5 и соотношением (1.5.3). Тогда все числа Ьп целые. Пусть
ап — последовательность, определенная соотношением (1.5.3) и началь-
ными условиями ао = 0, а\ = 6. Тогда знаменатели рациональных чисел ап
делят 2[1, 2, ..., м]3, где [1, 2, ..., м] обозначает наименьшее общее крат-
ное чисел 1, 2, ..., м.
4.	Последовательность ап1Ьп сходится к £(3) достаточно быстро, что
позволяет установить иррациональность числа £(3). Кроме того, для е > 0
и всех целых чисел р, q > 0 при достаточно большом q справедливо нера-
венство
К(3) - || >	0= 13,41782...	(1.5.4)
Имеет место разложение в непрерывную дробь
С(3) =-----------------------^-6------------------,	(1.5.5)
Р(0)---------------------------------------
Р(1)--------------------------------
(n - I)6
р(п - 1)------------
р(п) - ...
| 4096 I	л6
3105-1 ” (З4л3 + 51л2 + 27л + 5)—|
ГСК = 6 I 1 I 64	| 729
’	5-1 117-1 535-1 1436-1
1.5.2.	Мера иррациональности числа. В §1.4 отмечена связь свой-
ства числа р быть иррациональным с существованием бесконечно многих
хороших рациональных приближений p/q, т. е. таких приближений, что
выполнено неравенство
к (гН?2’
Аналогично устанавливается следующее достаточное условие иррацио-
нальности: если существует 8 > 0 и такая последовательность {pn/qn} ра-
§ 1-5]
Диофантовы приближения и иррациональность
75
(1.5.6)
циональных чисел {рп/Яп} /Р, что
то р — иррациональное число. Применение этого критерия дает интерес-
ную меру иррациональности числа: если |р — — I < и последователь-
1 1
ность qn монотонно возрастает таким образом, что qn < q*n+* при боль-
ших п и х > 0, то для любого фиксированного е > 0 и всех достаточно
больших целых чисел р, q > 0 справедливо неравенство
|в _ 1 >_______!_____
Г qn Г ^UW(S-x)+e-
Интересен случай, когда qn возрастает геометрически, т. е. qn, С, а > 0.
Тогда в качестве х можно взять сколь угодно малое положительное чис-
ло, а показатель степени в формуле (1.5.7) переходит в число 1 + (1/8),
называемое также степенью иррациональности числа р.
Любопытно, что метод Апери оказался применим также и к числу
(1.5.7)
оо	2
№) = 52„-2 = i.,
Л=1
трансцендентность которого давно известна. Однако из доказательства
Апери вытекает неравенство
6'= 11.85078...	(1.5.8)
для е > 0 и всех достаточно больших q, и установлено, что степени ирра-
циональности чисел £(3) и к2 не больше чем 0' и 0 соответственно.
1.5.3.	Теорема Туэ—Зигеля—Рота, трансцендентные числа, дио-
фантовы уравнения (см. [684], [290], [89], [93], [ПО], [561]).
Эта знаменитая теорема утверждает, что если р — алгебраическое чис-
ло, т. е. корень многочлена
f(X) = апХп + ап_\Хп 1 +... + а0 (fl; € Z),
то для произвольного фиксированного е > 0 и достаточно больших чисел q
справедливо неравенство
Другими словами, если взять произвольные положительные константы С
и е, то найдется лишь конечное число приближений х/у числа р, удовле-
76	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
творяющих неравенству
В частности, если неравенство (1.5.6) имеет место для последователь-
ности с 8> 1, то число р трансцендентное (т. е. не алгебраическое). Но,
оказывается, лишь подмножество трансцендентных чисел нулевой меры
выделяется этим условием.
Отметим, что теорема Туэ—Зигеля—Рота имеет очень важные прило-
жения в теории диофантовых уравнений, объяснить которые проще всего
на примере конкретного уравнения, например
X3-5Y3 = m (т/0)	(1.5.11)
для некоторого фиксированного целого числа т. Это уравнение по ви-
ду напоминает уравнение Пелля, однако его степень больше двух. Если
(х, у) — решение уравнения (1.5.11), то справедливо неравенство
(с=л (L512)
Однако если выбрать е > 0 так, что 2 + е < 3, то из теоремы Рота вытека-
ет, что решений неравенства (1.5.12), а значит, и уравнения (1.5.11) лишь
конечное число. Используя алгебро-геометрические приемы, но основы-
ваясь по существу на тех же идеях, Зигель установил следующий общий
результат.
Теорема 1.6 (Зигель, 1929 г.). Пусть f(X, Y) — некоторый непри-
водимый многочлен с целыми коэффициентами. Тогда уравнение
/(X, У) = 0	(1.5.13)
имеет только конечное число целочисленных решений, за исключе-
нием двух следующих специальных случаев'.
а)	кривая f(X, Y) = 0 допускает рациональную параметризацию',
при подстановке в уравнение (1.5.13) ненулевых рациональных дро-
бей X = p(t)/q(t), Y = r(t)/s(t) е Q(0 это уравнение превращается
в тождество',
б)	проективизация кривой (1.5.13) имеет не более двух точек на
бесконечности.
В частности, лишь конечное число целочисленных решений имеет урав-
нение Туэ /(х, у) = т, где /(х, у) е Z[x, у] —неприводимая форма степе-
ни п 3. А. О. Гельфонд (см. [28]) показал, что эффективная граница для
числа решений уравнения Туэ может быть получена, если иметь доста-
точно хорошие нижние оценки для модуля линейной формы от логариф-
мов алгебраических чисел оц, ..., (с целыми коэффициентами). Такие
§ 1.51
Диофантовы приближения и иррациональность
77
оценки были получены Бейкером, и с их помощью был решен ряд важ-
ных арифметических задач. К числу этих задач, помимо решения и оценок
числа решений диофантовых уравнений (см. [89], [91], [695], [614], [490],
[491 ]), относятся также эффективные оценки чисел классов эквивалентно-
сти квадратичных форм и чисел классов алгебраических числовых полей
(см. [146], [770], [771]). Эффективная верхняя граница (см. [614] [89],
[749])
yv < хи < exp exp exp exp 103
была получена методом Бейкера для уравнения Каталана
xv -уи = \,
которое является примером экспоненциального диофантова уравнения.
Систематические сведения о таких уравнениях можно найти в книге [749].
В 1843 г. Каталан поставил вопрос, являются ли числа 8 и 9 един-
ственными последовательными совершенными степенями. Недавнее реше-
ние этой проблемы П. Михайлеску (давшим утвердительный ответ) стало
одним из самых ярких арифметических достижений за последние пять лет,
см. [577], [170].
1.5.4.	Вывод тождеств (1.5.1) и (1.5.2). Прежде всего, равенство
к
У а,а2 а,_,	1 _ ata2 ак^	(1.5.14)
(х + а,)...(х + аА) х (х+ а1)...(х+ ак)
легко устанавливается, если записать правую часть в виде
Ло - Л/g
Д1Д2 ... ak-\
(х +	... (х + а^)
и заметить, что каждый член в сумме слева равен Ak—\ — Аь. Теперь со-
отношение (1.5.1) непосредственно вытекает из равенства (1.5.14).
Далее, положим х = я2,	= — k2 и возьмем k < К < п — 1. Тогда мы
получим
y-l (-I)!2 _ J_____________________(—1)п~'(и—I)!2	__1_ _ 2(— 1)я~‘
(я2-I2)... (я2 —&2) /г2 /г2(/г2— I2)... (/г2 — (п— I)2) /г2
Напишем гп=
1 k\(n - k)\
2 k3(n + k)l
, тогда

(— l)fe-1 (£ - I)!2
(я2- I2)... (я2 —/г2)
78
Элементарная теория чисел
[Гл. 1
и мы получаем
* «-1	/V 1	/V / 1И-1
^252(-1)Л(елЛ-ея-1л) = ^^з -2Z2 /2п\ =
л=1 Л=1	л=1	п=\ п\п)
= £<- 1)‘(е«.« - е») = £ —ТУТКЖ + £ ЧЧ	<к515>
•=' “ЧТЮ -О
Теперь второе тождество (1.5.2) вытекает из этого равенства (1.5.15),
если заметить, что сумма
стремится к нулю при N -* ос
1.5.5.	Рекуррентные последовательности ап и Ьп. Напишем рекур-
рентное соотношение (1.5.3), которому удовлетворяют ап и Ьп:
nzan - Р(п - 1)ал-1 + (п - 1)3а„_2 = О,
п3Ьп - Р(п - 1 )£>„-! + (п - 1)3г>„_2 = о,
где Р(п — 1) = р(п) = 34л3 — 51 п2 + 27п — 5. Если умножить первое ра-
венство на Ьп_\, а второе на ап_\ и вычесть одно из другого, то мы получим
n3(anbn_i - an-ibn) = (п — l)3(an-ibn_2 - ап_2Ьл-\).
Вспомним начальное условие а\Ьц — а^Ь\ = 6- 1 -0-5 = 6, из которого
выводится равенство
апЬп_\ -ап-\Ьп = -^	(1.5.16)
и тривиально получается соотношение
1= Т.	<к5-|7>
k=n+l
При этом надо действовать по индукции, начав с равенства
с(3)-^=с(3).
Величину чисел Ьп нетрудно оценить с помощью соотношения
Ьл - (34 - 51П-’ +27п"2 - 5п~3)Ьп-1 + (1 - Зп"1 + Зп~2 - п~3)Ьл_2 = 0.
Поскольку «линеаризованный характеристический многочлен» этого со-
отношения равен х2 - 34х + 1 и имеет корни 17 ± 2л/2 = (1 ± л/2)4, мы
§1.5]
Диофантовы приближения и иррациональность
79
получим
bn = O(an), a = (l+v/2)4.
Если теперь принять на веру утверждение о том, что числа Ьп целые,
а знаменатели чисел ап делят 2[1, 2, ..., /г]3, то уже легко закончить до-
казательство. Положим
Рп =2[1, 2, п]3ап, qn =2[1, 2........п]36я,
где рп, qn gZ. Величину [1, 2, ..., п\ можно оценить, пользуясь законом
распределения простых чисел в самой грубой форме: 1	Тогда
р^х
[1, 2,	pl|og"/|ogPl JJnwпп/108,1 = еп.
р^п	р^.п
Следовательно, qn = О(апе3п) , а значит,
|С(3) - ^| = <Ж~2) = O(a-2n) = O(q~^)
с константой 8 = (loga - 3)/(loga + 3) = 0, 080529 ...> 0. По критерию
иррациональности из п. 1.5.2 мы получаем утверждение (1.5.6), в котором
степень иррациональности не больше чем 1 + (1/8) = 0.
Утверждение о знаменателях чисел ап и Ьп — один из трудных шагов
доказательства. Апери доказал этот факт, явно построив последователь-
ности ап и Ьп:
л=о
2т*(п\(п + т\
(1.5.18)
где
п	k
Сп-к = 52 + 52
т=\	т=\
Утверждение о том, что числа ап целые, следует из этих формул, а оцен-
ку знаменателей чисел Ьп дает следующий факт: все числа
2[1, 2, .... п]Ч,*(" + *)
целые. Доказательство проводится с помощью оценки наибольшей сте-
пени, в которой каждое простое число р входит в знаменатель каждого
слагаемого в сумме (1.5.18), определяющей cn,k-
Дальнейшие свойства иррациональности значений дзета-функции в по-
ложительных нечетных целых числах изучались недавно в работах [678],
[855], [145], см. также [854]. В частности, В. В.Зудилин доказал, что по
крайней мере одно из чисел £(5), £(7), £(9), £(11) иррационально.
80	Элементарная теория чисел	[Гл. 1
Производятся интересные попытки доказать иррациональность кон-
станты Эйлера, а также понять ее арифметическую природу, см. [765].
В работе [159] константа Эйлера у интерпретируется как экспоненциаль-
ный период. При этом по определению кольцо периодов Р порождается
числами вида <о, где X — гладкое алгебраическое многообразие размер-
ности d, определенное над Q, D СХ —дивизор с нормальными пересе-
чениями, gjgQ^(X)— алгебраическая дифференциальная форма степени
d на X, а у G //^(Х(С), D(C); Q), см. гл. 5. Это кольцо было предложено
М. Л. Концевичем и Д. Б. Загиром в [476] (см. также [301]).
1.5.6.	Трансцендентные числа и седьмая проблема Гильберта. По-
лезно сравнить приведенное элементарное доказательство с развитой тео-
рией трансцендентных чисел, т. е. чисел, не являющихся корнями мно-
гочленов с рациональными коэффициентами. Существование таких чисел
установлено Лиувиллем в 1844 г.; затем Эрмит доказал трансцендент-
ность числа е (1873 г.), а Линдеман (1883 г.) — трансцендентность числа тс
(см. [147], [614], [110]). В рамках общей теории А. О. Гельфонда [27])
и Шнайдера получено решение седьмой проблемы Гильберта, см. [417],
[93]: доказать, что «степень аР при алгебраическом основании а и алгеб-
раическом иррациональном показателе 0, как, например, число 2^, или
ек = /-2/, есть всегда или трансцендентное число, или по крайней мере
иррациональное»; «...считаем очень вероятным, что такая функция, как,
например, показательная, которая, очевидно, для всех рациональных зна-
чений аргумента z принимает алгебраические значения, с другой стороны,
будет всегда принимать для алгебраических иррациональных значений z
трансцендентные значения».
Изложение теории трансцендентных чисел выходит за рамки нашей кни-
ги, и мы рекомендуем читателю фундаментальную монографию А. Б. Шид-
ловского [110] и прекрасную книгу Н. И. Фельдмана [93], содержащую по-
дробное изложение вопросов, относящихся к решению седьмой проблемы
Гильберта.
1.5.7.	Работа Ю. В. Нестеренко о [610). Одним из наиболее впе-
чатляющих достижений в теории трансцендентных чисел за последнее де-
сятилетие является работа Ю. В. Нестеренко об алгебраической независи-
мости чисел тс и см. [610] и [611]. Этот результат основан на изуче-
нии степени трансцендентности поля, порожденного числами, связанны-
ми с модулярной функцией /(т). Также, все тем же сильнейшим методом,
в [610] установлена алгебраическая независимость чисел к, и
В процессе доказательства этого результата исходная проблема сводит-
ся к нахождению оценки на меру алгебраической независимости чисел тс
ГЛАВА 2
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 2.1.	Разложение и кодирование с открытым ключом
2.1.1.	Временные затраты для разложения чисел. Для того чтобы
перемножить два простых числа р < q, используя их двоичное разложение,
достаточно произвести C(log^)2 битовых операций (см. п. 1.1.1). Предпо-
ложим теперь, что нам дано произведение п = pq и требуется найти исход-
ные числа р и q. Если р ~ q ~ у/п, то наивный перебор всех чисел d < у/п
потребует более чем	. ।
Су/п = С ехр{ log /г I
делений с остатком. Такой экспоненциальный рост времени работы де-
лает невозможным разложение даже относительно небольших чисел, по
крайней мере пока не будут придуманы более эффективные алгоритмы.
Например, рассмотрим разложение
(1071 - 1)/9 = 241573142393627673576957439049 х
х 45994811347886846310221728895223034301839. (2.1.1)
-При определенном терпении числа в правой части можно перемножить
на листке бумаги за один или два часа. Тем не менее, разложение полу-
ченного результата методом перебора займет около Ю10 лет работы (при
учете того, что одно деление занимает 10“9 секунд; см. [759], [633], [848],
[16]).
Впервые разложение (2.1.1) было найдено в 1984 г. при помощи супер-
компьютера CRAY и самых передовых методов разложения чисел, которые
позволили сделать эту задачу если не дешевой, то по крайней мере выпол-
нимой.
2.1.2.	Односторонние функции и кодирование с открытым клю-
чом. Можно рассматривать двоичную запись числа п = pq как некото-
рое послание, которое может быть также закодировано и разными дру-
гими способами, например через двоичные записи чисел р и q. Правила
перехода от одной формы записи к другой могут быть названы с точки
зрения теории информации шифрованием и расшифровкой. Экспери-
ментально установлено, что некоторые легко вычислимые функции очень
трудно обратить (их называют односторонними функциями). Поэтому
82	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
естественно пробовать использовать такие функции в криптографии. На-
помним, что криптография изучает проблемы обращения с информацией,
связанные с сохранением и нарушением секретности сообщений. Одно-
сторонние функции используются в так называемых схемах шифрования
с открытым ключом, которые были предложены с семидесятых годах XX в.,
совершив настоящую революцию в этой области.
Перед тем как объяснить работу таких схем, необходимо обратить вни-
мание на то, что, тем не менее, не существует ни одной теоретической
нижней оценки на сложность вычислений, которая бы подтверждала наше
экспериментальное наблюдение о том, что сложность разложения чисел
намного превосходит сложность перемножения. В принципе, нельзя ис-
ключать возможность того, что в конце концов найдется очень эффектив-
ный алгоритм разложения чисел (или обращения какой-нибудь другой из
односторонних функций). Это является одной из основных проблем тео-
рии вычислительной сложности (см., например, [357], [315] [252], [114],
[16]). Если, однако, считать верным этот экспериментальный факт, то его
можно использовать для построения новых систем кодирования с многими
замечательными свойствами.
Опишем теперь первую «криптосистему с открытым ключом», открытую
Л. Аллеманом, Р. Ривестом и А.Шамиром в 1978 году, см. [114], [115].
2.1.3.	Криптосистема с открытым ключом. Предположим, что су-
ществуют пользователи U\, U%, U3, ... Время от времени некоторой паре
пользователей необходимо обменяться сообщениями, которые должны
оставаться секретными для всех остальных пользователей.
В классической криптосистеме они должны сначала разделить между
собой ключи и держать их в секретности. Система с открытым ключом
обходит последнее ограничение: для секретного попарного общения до-
статочно использования лишь доступной всем информации. Такая система
может быть построена следующим образом.
1.	Каждый пользователь (// выбирает два больших простых числа pi
и qt вместе с двумя остатками в/, di (modfl/), где щ — ptqt, так, чтобы
выполнялось условие ezdz = 1 (mod<p(Aiz)), где <p(ttz) = (pz - l)(pz - 1) обо-
значает функцию Эйлера (см. 1.1.4).
2.	Числа (в/, rii) объявляются всем пользователям.
Утверждается, что практически невозможно вычислить dz, зная лишь
(в/, щ), так что числа di можно рассматривать как секретные данные,
известные лишь одному пользователю (/,. Действительно, покажем, что
эффективный алгоритм нахождения di должен был бы также эффек-
тивно раскладывать на множители числа я/, что предположительно яв-
ляется невыполнимо сложным. Предположим, что нам известны чис-
ла di. Тогда ср(/г/) делит eidi — 1. Если бы мы знали сами числа <p(flz),
то мы бы могли легко найти pz и pz, поскольку pz + pz = щ + 1 — <p(nz)
§ 2.11	Разложение и кодирование с открытым ключом	83
и pi - qi = \/(р/ + qi)2 - 4iti. Можно показать, что уже знание числа,
кратного <р(м/), достаточно для нахождения pi и р, (см. [578], [815]).
3.	Предположим теперь, что пользователь Ui желает передать поль-
зователю U} зашифрованное сообщение, являющееся последовательно-
стью битов. Сначала он разделяет эту последовательность на блоки дли-
ны [log2 rij], а затем рассматривает каждый блок как некоторый остаток
т (modn7) и наконец шифрует его как остаток b = те> (modtt;). Таким
образом, пара (я/, в/) служит, как шифрующий ключ /-го пользователя
(напомним, что она известна всем).
4.	Получив зашифрованное сообщение, пользователь Uj дешифрует
каждый блок b (mod л/), вычисляя остаток bdi (mod/z7) (напомним, что
ему известен дешифрующий ключ dj). Это легко проверить при помощи
малой теоремы Ферма (см. п. 1.1.4).
Ясно, что детали этой схемы могут меняться до бесконечности. На-
пример, можно построить процедуру аутентификации («электронная под-
пись»), которая имеет вид секретных посланий от пользователя (// к поль-
зователю Uj, позволяющих пользователю Uj убедить третью сторону («су-
дью»), что послания действительно отправлены пользователем Ui, а не
подделаны самим Uj. Это может оказаться решающим для некоторых фи-
нансовых протоколов.
Обозначим через Ei отображение шифрования посланий, адресованных
к пользователю Ui, и через Di —дешифрование. Тогда Е/ является обще-
известным, в то время как Ц известно лишь самому пользователю Ui.
Для любого послания М имеем О/(Е/(Л4)) = Л4 и Е/(Ц(Л4)) = М. Поль-
зователь Ui, посылающий свое послание М пользователю Uj, использует
в качестве своей подписи S = Di(M) и передает для Uj его зашифрован-
ный вариант Ej(S). В свою очередь, пользователь Uj вычисляет сначала
S = Dj(Ej(S)), а потом M = Et(S), используя открытый ключ Е/. Адресат
может убедить судью в том, что послание М действительно пришло от
пользователя Ui, поскольку, лишь только применяя Е/, возможно преоб-
разовать S в исходное содержательное послание М. С другой стороны,
адресат не может подделать подпись S, поскольку ему не известно Di.
Рассмотрим теперь шифрование с открытым ключом с точки зрения
теории чисел, а не теории информации. Мы покажем, как некоторые клас-
сические теоретико-числовые результаты могут быть применены к двум
конкретным проблемам в этой области.
Проблема 1. Как находить большие простые числа?
Необходимо отметить, что нам действительно необходим эффективный
метод массового производства «достаточно случайных» больших простых
чисел, для того чтобы пользователь мог вычислить (при помощи мощного
компьютера) его собственную пару (р/, qi), будучи уверенным в том, что
другой пользователь получит другую пару.
84
Некоторые приложения элементарной теории чисел
[Гл. 2
Проблема 2. Как разлагать большие числа?
Эта проблема является центральной для третьей стороны, желающей
взломать данную криптосистему, а также, разумеется, для ее разработчи-
ков, желающих обеспечить ее надежность (см. [315], [114], [448]).
По словам А. Уайлса [842], одним из изменений в теории чисел за по-
следние двадцать лет является то, что она стала частично прикладной об-
ластью (возможно, следует сказать, что она вновь стала применяемой на
практике наукой, как и более чем две тысячи лет назад). Криптосисте-
мы с открытым ключом изменили наш взгляд на сохранение секретности
и шифрование. Система RSA зависит от практической сложности разло-
жения чисел. Стоящие с семнадцатого века вопросы построения больших
простых чисел, проверки на простоту и разложения чисел на сомножители
ставят теперь новые и конкретные проблемы. Насколько могут быть быст-
рыми алгоритмы нахождения ответов на эти вопросы? Проблема проверки
на простоту уже решена (см. п. 2.2.4, п. 2.2.6). Две другие проблемы еще
не получили своего теоретического решения, тем не менее, первая из них
кажется более простой, чем другая.
2.1.4. Статистика и массовое производство простых чисел. Асимп-
тотический закон распределения простых чисел (или теорема о простых
х
числах) утверждает, что к(х) ~
(см. п. 1.1.6). Таким образом, можно
начать с наивного предположения о том, что если N не слишком мало по
сравнению с х, то между х и х + М должно быть около TV/ logx простых
чисел. Например, если наименьшее простое число, следующее за х, огра-
ничено величиной х + (logx)M, то можно просто последовательно прове-
рить х, х + 1, х + 2, ... Сложность нахождения простых чисел будет тогда
того же порядка, что и сложность используемого алгоритма проверки на
простоту. Если можно положить М = 1, то для нахождения простого числа
порядка около 2100 надо будет сначала построить случайное число х того
же порядка, а потом проверить около (log 1О,оо)/2 « 115 нечетных чисел.
Если существует тест на простоту для у, сложность которого является
многочленом от log у, то это становится выполнимой задачей.
Ниже мы обсудим эффективные вероятностные тесты на простоту.
Следует заметить, что, тем не менее, такое отсутствие больших про-
межутков между простыми числами не является доказанным и, возможно,
даже неверно. Все известные результаты о промежутках между простыми
числами дают верхние оценки, являющиеся лишь степенями от х (см. [404],
[421], [850]). Приведем некоторые из них:
(2.1.2)
л(х + х9) - тс(х) С(0)^
§2.1]
Разложение и кодирование с открытым ключом
85
при 0> Н/20, где С(0) является положительной функцией. Для почти
всех х известен более сильный результат:
л	Г0
тс(х + %0) — тс(х) > 0,15--,
logx
если 0 > 1/12.
Интересное обсуждение больших промежутков между простыми чис-
лами можно найти в [675], с. 84, а также в [421] и [850].
2.1.5.	Вероятностные методы проверки на простоту. Некоторые из
современных эффективных методов проверки на простоту на самом деле
проверяют более простое свойство, связанное с понятием псевдопростых
чисел Эйлера (см. п. 1.1.5). Напомним, что п называется псевдопростым
числом Эйлера по модулю 6, если п и b взаимно просты и
6(П-1)/2 = Q) (mod/г).	(2.1.3)
Простые числа являются псевдопростыми по модулю любого числа Ь: это
следует из того факта, что (Z/nZ)x —циклическая группа (см. п. 1.1.5).
Сразу же видно, что сравнение (2.1.3) не выполнятся при составном п по
крайней мере для половины остатков в ^L/nL}*. Вероятностный тест на
простоту, основанный на этом замечании, заключается в проверке срав-
нения (2.1.3) скажем, для нескольких сотен случайно выбранных чисел Ь.
Числа я, прошедшие такой тест, иногда называются «коммерческими про-
стыми числами». Коммерческие простые числа используются в криптоси-
стемах с открытым ключом, несмотря на то что, строго говоря, их простота
не была установлена никаким тестом.
Оказывается, их простота может быть выведена из предположения ис-
тинности обобщенной гипотезы Римана о нулях L-функции Дирихле.
А именно, из этой гипотезы можно вывести, что выполнение сравнения
(2.1.3) для всех b < 2(logn)2 влечет за собой простоту числа п (см. [578],
[815]). Для того чтобы проверить это условие, достаточно произвести
O((logfl)4+c) делений с остатком для любого выбранного е > 0.
Этот алгоритм проверки на простоту, называемый тестом на про-
стоту Соловэя—Стрессена, имеет много интересных вариантов, на-
пример тест Миллера—Рабина (см. [764]), [578], [655], [675], [699],
[469]). Он основан на следующем понятии строгой псевдопростоты.
Предположим, что число п является псевдопростым по модулю Ь, так
что bn~[ = 1 (mod л). Вычислим теперь все последовательные квадратные
корни из правой и левой частей, т. е.	для i — 1, ..., s, где число
t = (п - 1)/2S нечетно. Если п — простое число, то первый остаток в этой
последовательности, отличный от 1, должен быть равен -1. Будем назы-
вать число п строго псевдопростым, если либо Ь* = 1 (mod и), либо для
86	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
некоторого 0 < г < s выполняется равенство
b2'1 = -l (modга).	(2.1.4)
Тест Миллера—Рабина заключается в проверке этого условия для мно-
жества случайно выбранных чисел Ь.
Ф.Морэн заметил в работе [589], что на практике алгоритм Мил-
лера—Рабина требует довольно много времени, поскольку необходимо
вычислять много экспонент от остатков. Более быстрый метод ЕСРР
обсуждается в п. 2.2.6.
В п. 2.2.4 описывается недавно открытый важный теоретический факт,
утверждающий, что простые числа могут быть распознаны за полино-
миальное время. Это было сделано в работе М. Аграваля, Н.Каяля и
Н.Саксены [117], которые заметили, что полиномиальный вариант малой
теоремы Ферма (1.1.2) приводит к быстрому детерминированному алго-
ритму тестирования на простоту: время этого алгоритма равно O(log12 /V),
где для функции /(/V), зависящей от N, выражение б(/(А)) обозначает
O(t(N) • po/g(log/(/V))), где poly — некоторый многочлен.
2.1.6.	Проблема дискретного логарифма и протокол обмена клю-
чами Диффи—Хэллмана. Обмен ключами по Диффи—Хэллману явля-
ется первой опубликованной криптосистемой с открытым ключом [315].
Для того чтобы передать важную информацию Бобу, Алиса использует
этот алгоритм следующим образом: вместе с Бобом они выбирают простое
число р и целое число g, которое имеет порядок р - 1 по модулю р (т. е.
gp~l = 1 (mod р), но gn 1 (mod р) для любого положительного числа
п < р — 1). Алиса выбирает случайное число п < р, а Боб выбирает слу-
чайное число т< р. Алиса посылает Бобу число gn (mod р), а Боб посы-
лает Алисе число gm (mod р). Теперь Алиса вычисляет секретный ключ:
s = gmrl = (gm)n (mod р).
Аналогичным образом Боб вычисляет свой секретный ключ:
s = gmn = (gn)m (mod р).
Потом Алиса использует ключ s и посылает Бобу зашифрованный вариант
своего послания. Боб, который также знает ключ s может его дешифро-
вать.
Другие лица могут знать оба числа gn (mod р) и gm (mod р), но они
не смогут использовать их для достаточно быстрого получения т, и, или
gmn (mod р).
2.1.7.	Вычисление дискретного логарифма для эллиптических кри-
вых над конечными полями (ECDLP). Структура абелевой группы на
точках E(FP) эллиптической кривой используется во многих арифмети-
ческих вопросах. В частности, тот случай, когда эта группа циклическая
§ 2.2]	Детерминированные проверки на простоту	87
большого порядка, приводит к проблеме ECDLP (эта аббревиатура возни-
кает от английского выражения «Elliptic curve discrete logarithm problem»,
«Проблема дискретного логарифма для эллиптической кривой»), которая
является очень важной для приложений к криптографии с открытым клю-
чом, см. [466], [471], [472], [352], [570], [473]. Эта идея была независимо
предложена Нилом Коблицом и Виктором Миллером в 1985 г., и с тех
пор было проведено огромное число исследований на эту тему. Вычисли-
тельная задача, от которой зависит надежность криптосистем, заключается
в проблеме дискретного логарифма для эллиптических кривых: если даны
эллиптическая кривая Е над конечным полем F7 и две точки Р, Q € E(¥q),
то требуется найти такое целое число X (при условии, что оно существу-
ет), что Q = [Х]Р. Если размер поля q достаточно большой и если эллип-
тическая кривая Е не относится к одному из специальных типов, то эта
вычислительная задача считается очень сложной.
Многочисленные применения арифметической алгебраической геомет-
рии к криптографическим конструкциям обсуждаются в [352], [570] и во
многих других замечательных источниках, в частности в [470], где так-
же рассматриваются некоторые детали проблемы вычисления порядков
групп точек на эллиптической кривой. Например, для криптографии имеют
значение такие старые теоретико-числовых вопросы, как существование
бесконечного числа простых чисел Софи Жермен и простых чисел Мер-
сенна.
§ 2.2. Детерминированные проверки на простоту
Вероятностные проверки на простоту, осуществляемые за полиноми-
альное время, существуют уже много лет. Имеется хорошо известный де-
терминированный алгоритм, работающий за почти полиномиальное время
((logn)logloglogrt), построенный Адлеманом, Померансом и Румели (1983 г.),
см. [114], [524], [252], и алгоритмы с использованием случайных последо-
вательностей, построенные Гольдвассером и Килианом ([375], [376]), Ат-
кином и Морэном ([142]), а также Адлеманом и Хуангом ([116]), которые
устанавливают как простоту, так и разложимость за полиномиальное время
от всех входных данных. Этот метод доказательства простоты, использу-
ющий эллиптические кривые и называющийся ЕСРР, был в дальнейшем
развит Ф. Морэном, см. [587].
В августе 2002 г. М. Агравалем, Н. Каялем и Н. Саксеной из ПТ (Ин-
дийский технологический институт, Канпур) был найден детерминирован-
ный полиномиальный алгоритм. Среди прочего, в этом параграфе мы рас-
скажем и об этом результате.
Опишем некоторые детерминированные проверки на простоту.
88
Некоторые приложения элементарной теории чисел
[Гл. 2
1.	Адлеман, Померане и Румели (1983): этот алгоритм имеет субэкспо-
ненциальное время работы, но доказательство того, что он правильно ра-
ботает, безусловно (т. е. не использует ни одной не доказанной гипотезы).
2.	Открытие последнего времени, утверждающее, что простые чис-
ла распознаваемы за полиномиальное время, сделанное М. Агравалем,
Н.Каялем и Н.Саксеной, которые нашли, что полиномиальный вариант
малой теоремы Ферма (1.1.2) приводит к быстрому детерминированному
алгоритму проверки на простоту: время этого алгоритма равно O(log12 ri),
где для функции /(я), зависящей от я, выражение О(/(я)) обозначает
O(t(n) • poly(\ogt(n))).
3.	Эллиптические кривые и доказательство простоты, алгоритм ЕСРР
(это сокращение от английского выражения «Elliptic Curve Primality Prov-
ing», «Доказательство простоты при помощи эллиптической кривой»),
построенный Ф. Морэном, см. [142], [587], [588].
2.2.1.	Тест на простоту Адлемана—Померанса—Румели: основные
идеи. Существует два основных варианта этого алгоритма, см. [114],
[524], [252]: более простая, вероятностная версия и детерминированная
версия. Время работы детерминированной версии ограниченно величиной
(logn)clogloglogn,
где с является эффективной константой. Степени этого выражения растут
настолько медленно, что эта оценка может быть названа «почти полиноми-
альной». Все предыдущие детерминированные проверки на простоту име-
ли экспоненциальное время работы (например, тест Полларда, описанный
в работах [639], [675], требует около
пВ+е = ехр{ + е) logn}
операций).
Данный алгоритм состоит из следующих этапов.
1.	Проверяется ряд условий, обобщающих сравнение (2.1.3) для сим-
вола Якоби. Если число п не удовлетворяет ни одному из этих условий,
то оно составное.
2.	Если число п проходит первый этап, то тест строит небольшое мно-
жество целых чисел, содержащее все делители г числа и, не превосходя-
щие \/п. Остается проверить, делится ли п на хотя бы одно число из этого
списка.
3.	Множество возможных делителей г определяется по их остаткам по
модулю целого числа $ > у/п, которое, в свою очередь, является произ-
ведением нескольких различных простых чисел q. Вследствие китайской
теоремы об остатках (см. соотношение (1.1.5)) достаточно задать г (modt?)
для каждого числа q, делящего $.
§ 2.2]	Детерминированные проверки на простоту	89
4.	Каждое число q, делящее s, удовлетворяет следующим условиям:
q— 1 является произведением нескольких различных простых чисел, взятых
из фиксированного множества {ро, , р*}. Эти простые числа называются
начальными простыми, а числа q называются евклидовыми простыми
числами, поскольку они построены методом, используемом в доказатель-
стве Евклида бесконечности множества простых чисел:
q = 1 + Ро°р“' ... р^",	а,=0или1.
Для того чтобы оценить время работы, необходимо использовать одну
трудную теорему из аналитической теории чисел (см. [649]), из которой
следует, что даже для небольшого числа начальных простых чисел про-
изведение всех евклидовых простых чисел, порожденных ими, может быть
очень большим. Более точно, при заданном п можно построить множество
начальных простых чисел {ро, ..., р&}, произведение t которых ограничено
величиной	, , ,
log(nC2logloglog'') (п>ее),	(2.2.1)
тогда как произведение соответствующих евклидовых простых чисел огра-
ничено снизу величиной у/п:
S= Д q > у/п,	(2.2.2)
где С2 является вычислимой положительной константой. Заметим, что
в данной ситуации число евклидовых простых чисел ограничено сверху
величиной тс(/ + 1) < t + 1. Для любого п 1О350 можно положить t =
= 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13 • 17 • 19.
5.	Для нахождения г (mod q) в действительности используется вычис-
ление дискретного логарифма ind(r, g, q) для всех возможных г по отно-
шению к фиксированной образующей g группы (Z/pZ)x. Эти логарифмы,
в свою очередь, определяются через их остатки ind(r, g, q) (mod pj, где pz-
пробегает все начальные простые числа. Это вновь следует из китайской
теоремы об остатках.
Опишем теперь этот алгоритм более детально.
2.2.2.	Гауссовы суммы и их использование в тестах на простоту.
Для нечетного q критерий Эйлера =q(n-\)/2	может быть за-
писан в виде
(п \	л —1 </ —1 п—1
= (-1)^-(modл),	(2.2.3)
что дает формулу для вычисления символа квадратичного вычета числа п
по модулю q. В обсуждаемом здесь алгоритме используются обобщения
этой формулы для символа вычета произвольной р-й степени по модулю
начальных простых чисел р. Для того чтобы объяснить эти обобщения,
90	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
необходимо ввести понятие гауссовых сумм, которые были изначально ис-
пользованы в одном из доказательств Гаусса квадратичного закона взаим-
ности (см. ниже).
Число решений сравнения хр = а в группе (Z/(?Z)X вычисляется при
помощи характера Дирихле порядка р по модулю q, который является
гомоморфизмом /: (Z/(?Z)X -*СХ. Каждый такой характер определяется
образом ехр{£ • 2ш/р} образующей g группы (Z/(?Z)X. Число таких харак-
теров равно р, если р делит q - 1, и 1 в противном случае. Для простого
числа q имеем равенство
Card{x е (Z/«7Z)x|xp =а}=	Х<«)-	(2.2.4)
xlxp = l
В частности, для р = 2 эта сумма равна 1 + (a/q). Сумма в правой части вы-
ражения (2.2.4) становится равной нулю тогда и только тогда, когда /(а) /
/ 1 для некоторого /. Это происходит, только если р | (q — 1) и а не являет-
ся р-й степенью по модулю q. Если р не делит q — 1, то обе части равны 1.
Наконец, если р|(р — 1), и а является р-й степенью, то обе части равны р.
Один из походов к гауссовым суммам заключается в их рассмотрении как
дискретных аналогов гамма-функций T(s), которые задаются интегралом
°о	,
ф)=$еЛ!7	(2.2.5)
о	у
при Re(s) > 0. Здесь подынтегральное выражение равно произведению ад-
дитивного квазихарактера группы К (т. е. гомоморфизма у ь-► е~у) и муль-
типликативного квазихарактера у ь-► ys группы Кх. Оно интегрируется по
множеству положительных чисел по отношению к мультипликативной ин-
вариантной мере dy/y.
Для того чтобы получить гауссову сумму, надо заменить К на Z/WZ для
некоторого N > 1, е~у на аддитивный характер Z/MZ —> Сх : у	=
= ехр{2к//дг}, a ys на мультипликативный характер /: (Z/?VZ)X —> Сх. Ха-
рактер Дирихле /: Z—>С, соответствующий / и также обозначаемый че-
рез х, определяется как /(я) = х(а (m°d М) ^ля (а, ЛА) = 1 и %(а) = 0 для
(а, ЛО > 1. По определению гауссова сумма G(x) равна
л/—1
0(x) = ExW-	(2.2.6)
Х=1
Для а е Z часто используются следующие обозначения:
/v-i
Ga(X) = ExW-
Х=1
Вследствие своей очевидной схожести формулы (2.2.5) и (2.2.6) определя-
ют функции с многими похожими свойствами.
§2.2]
Детерминированные проверки на простоту
91
Для того чтобы их сформулировать, нам потребуется важное понятие
примитивного характера Дирихле. Характер / примитивный по моду-
лю N, если он не индуцирован ни с какого характера по модулю М для
некоторого собственного делителя М числа N. Эквивалентно, ограниче-
ние х на каждую подгруппу Нм = ((1 +MZ)/(1 + /VZ))X не тривиально.
Для примитивного характера / выполняются равенства
Gfl(x) = x(a)G(X) (a€Z),	(2.2.7)
GW = X(-1)G(X),	(2.2.8)
|G(x)|2 = /V.	(2.2.9)
Свойство (2.2.7) соответствует интегральной формуле
^e~a!)ys^-=a-sr(s) (Re(s) > 0),
о у
а свойство (2.2.9), записанное в виде G(x)G(x-1) = х(—1)Л/. соответствует
функциональному уравнению
Г($)Г(1 -S) =
S Sill
Из равенств (2.2.7)—(2.2.9) сразу же выводится квадратичный закон
взаимности. Докажем, например, основную формулу
(?)(')=<2-210»
где / и q — нечетные простые числа. Сначала заметим, что символ квад-
ратичного вычета х(а) = является примитивным характером Дирихле
по модулю q. Соответствующая квадратичная гауссова сумма G(x) явля-
ется элементом циклотомического кольца алгебраических чисел R = Z[CJ.
В любом коммутативном кольце выполняется сравнение (а + Ь)1 =
= al + bl (mod//?), так как биномиальные коэффициенты С{ делятся на /.
Поскольку х1(а) = х(я) = ±1, имеем
G(x)' = Gz(xz) (mod//?), GZ(XZ) = x(7)G(x).
так что
G(x)z-' = (|) (mod//?).	(2.2.11)
С другой стороны, x = X» и из свойства (2.2.9) следует, что
G(x)2 = x(-1)9 = (-1)^^.	(2.2.12)
92	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
2/ —1
Выражая левую и правую части формулы (2.2.11) как G(/) “2”, получаем
д-i /-1 /-1	// \
(-1)= (i) (mod//?).	(2.2.13)
Наконец, из соотношения (2.2.13) и критерия Эйлера
/-i fl\
= (~) (mod/)
следует свойство (2.2.10).
Также для Z//VZ существует аналог бета-функции
=	f (Re(s), Re(/) > 0).
0	У
Эта функция называется якобиевой суммой, построенной по двум харак-
терам Дирихле х, ф (mod/V). По определению
ЛХ>Ф) = 52 Х(ХЖ1-Х)= 52 ХО/ЙхФЙ1+//)	(2.2.14)
х (modAf)	у (mod/V)
(равенство этих двух выражений может быть установлено при помощи за-
мены переменных у(\ — х) ь->х, х(1 +//)»-> у\ Если /, ф и /ф являются
примитивными характерами по модулю N, то
АХ-Ф) = ^^=ЛФ-Х).	(2-2.15)
что соответствует классическому равенству B(s, t) = Г($)Г(/)/Г($ + /).
Действительно, вычислим произведение
О(Х)О(Ф)= 52 Х(да(Ф)= 52 ХФМ^Ф«С(Ф). (2.2.16)
х (mod N)	х (mod /V)
Применяя соотношение (2.2.7), получаем
Фиус/ф) = олф) = 52
у (modW)
так что выражение (2.2.16) становится равным
52 (хФ)(х)Фш*1+г/) = 52 Ф(//)С1+ихФ) =
х,у (mod/V)	у (mod/V)
= 52 Ф(Л(1+//)О(хФ) = ЛФ>х)О(хФ).
у (mod N)
§2.2]
Детерминированные проверки на простоту
93
Установим теперь некоторые полезные сравнения, используемые в те-
сте на простоту. Пусть р и q — два простых числа, p\(q — 1), / — харак-
тер Дирихле порядка р по модулю q. Выберем образующую t = tq группы
(Z/pZ)x и положим г]р = х(^). Это примитивный корень р-й степени из
единицы, a G(x) € R = Z[£₽,	= Z[£PJ. Пусть теперь I — простое число,
отличное от р и q. Из соотношения (2.2.7) выводится, что
G(X)Z =/(/)-'G(/) (mod//?).	(2.2.17)
Применяя последовательно это сравнение р — 1 раз, получаем
G(x)/P"' Х(0-/₽ ' G(X/₽ ) (mod//?),
поэтому
G(x)z₽"-'=x(/)‘l (mod//?),	(2.2.18)
так как lp~{ — 1 (mod p). Теперь соотношение (2.2.18) можно переписать
в виде	_	___
(G(x)p)(Z₽-'-,)/'’ = x(0 (mod//?),
что обобщает формулу (2.2.13).
Важно то, что G(x)p принадлежит меньшему кольцу Z[£p] (для р =2
это в точности Z). Более того, G(/)p можно выразить через суммы Якоби:
при р > 2 имеем
р-2
G(x)₽ =Х(~ П Лх» X*)-	(2-2.19)
/=1
Для доказательства этого тождества достаточно почленно перемножить
формулы
для i = 1, 2, ..., р — 2, учитывая, что соотношение (2.2.8) может быть за-
писано в виде G(/p-1)G(x) = G(x)G(x) = х(“0^-
Равенство (2.2.19) используется в сочетании со следующим сравнени-
ем, доказанным Ивасавой (см. [437], теорема 1):
Лх“- X*) =	(mod(X)2),
где (X) = (1 - £р) является простым идеалом в кольце Z[£p]. Таким об-
разом,
G(X)P = -Х(-(mod (X)2),	(2.2.20)
что становится точным равенством при р = 2.
94	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
2.2.3.	Детальное описание теста на простоту.
1.	На предварительном этапе (см. §2.2.1 (4)) вычисляется число t =
= П-=о Pi> являющееся произведением начальных простых чисел, удовле-
творяющих соотношениям (2.2.1) и (2.2.2):
t < (logw)C2loe|og|°g'1, S= J] q > \/п.
qj-\\t
Как уже было замечено, для п < 1О350 можно положить / =2-3-5-7-11 х
х 13-17-19. В общем случае для отыскания t используется метод проб
и ошибок, а простота евклидовых простых чисел проверяется примитив-
ным перебором. Поскольку каждое число q ограничено величиной t + 1,
а количество чисел q ограничено величиной тс(/ + 1) < / + 1, предваритель-
ный этап требует не более чем (logtt)C3,oglog,og'z операций для некоторой
эффективной константы сз. Также на этом этапе следует проверить, что
(я, s) = (п, t) = 1 (иначе число п составное, и алгоритм останавливается).
2.	Теперь необходимые условия для простоты, по существу имеющие
вид (2.2.18), могут быть проверены для каждой такой пары р, р, что
р | (р - 1), q | s, и для каждого характера Дирихле / (modp) порядка р.
Удобно менять q при фиксированном р. Для каждого q вычисляется по-
рождающая tq группы (Z/pZ)x. Характеры Дирихле соответствуют прими-
тивным корням из единицы т)р. Условие простоты, соответствующее тройке
(р,	X)» заключается в следующем:
=т](Х) (modn/?).	(2.2.21)
где т)(х) является р-м корнем из единицы (вследствие соотношения (2.2.18)
для простого числа п выполняется равенство т)(/) = /(л)). Для провер-
ки формулы (2.2.21) надо разложить левую часть по Z-базису кольца
R = Z[£p, и сравнить ее покоординатно с правой частью.
3.	Если выполняются все сравнения (2.2.21), то вычисляется множе-
ство, содержащее виртуальные простые делители г числа п, не превос-
ходящие у/п. Объясним сначала, как это делается в простейшем случае,
когда пр~{ — 1 не делится на р2 ни для какого р. В этом случае имеем
просто
г = nl (mod s) для некоторого / е {0, 1, ..., /}.
Действительно, если г\п, то положим
гР-1 _ 1
/р(г) ='р_, _ ‘ (modp), /p(r)eZ/pZ. (2.2.22)
Тогда
1Р (гг') = 1Р (г) + 1Р (г'), 1Р (n) = 1.	(2.2.23)
§ 2.2]	Детерминированные проверки на простоту	95
Если число г простое, то из соотношения (2.2.18) следует, что
G^rP~'	(mod г/?).
Представим (rp~l - l)/(np_| - 1) в виде а/b, где b = 1( (mod р)), так что
lp(r) = а( (mod р)). Из формул (2.2.21) и (2.2.22) вытекает равенство
Х(г) = Х(г)" = G(X)'’(rP’'-|)	=г)(Х)а (modrR),
и, наконец,
X(r) = 71(x)Z',,r) (г >2).	(2.2.24)
Из аддитивности (2.2.23) следует, что равенство (2.2.24) выполняется во-
обще для всех делителей числа я, а не только для простых. В частности,
при г — п получаем т)(х) = /(и), поскольку lp{ri) = 1.
Итак, мы установили, что если пр~х — 1 не делится на р2, то для любой
тройки (р, р, х) имеем равенство
х(Н = х(«)/₽(г)-
так что г = и! (modp), где i = lp(r) (mod р) для всех р.
4.	В общем случае выполняется равенство пр~} — 1 = phu, 1, где р
не делит и. Вычисления становятся более длинными, но время работы по-
прежнему ограниченно выражением (logfl)cloglog,og'z для, возможно, очень
большой константы с. Вновь для каждой тройки (р, р, /) имеется сравне-
ние (2.2.21):
G(X)₽h“ = П(Х) (modлЯ)- h = h(p,q,y)^\.
Определим ш(х) как наименьшее такое i е {1, 2, ..., /г}, что G(x)p M срав-
нимо со степенью £р по модулю nR. Если ш(/) > 2, то число О(/)рИх) м =
= (С(х)р)рИХ) 2“ принадлежит кольцу Z[£p], для которого можно выбрать
Z-базис в виде {1, £>р, ..., £р-2}. Также на данном этапе надо проверять
следующие дополнительные условия:
для каждого j е {0, 1, ..., р — 1} по крайней мере один
из коэффициентов элементов С(х)рИх) “ — взаимно (2.2.25)
прост с п по отношению к данному базису.
Если это утверждение неверно, то число п составное, поскольку оно
имеет нетривиальный общий делитель с одним из коэффициентов.. В про-
тивном случае, как и выше, можно доказать, что rp~x = 1 (mod pw^) для
всех г | /г, и что при данном р для всех троек (р, р, /) выполняется равенство
Х(г) = x(v7) для некоторого i е {0, 1, ...,	(2.2.26)
96	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
где v (mod q) — однозначно определенный остаток, для которого
X(v) = г)'(х), Т)'(Х) = С(х)рИХ)И (mod nR). (2.2.27)
Также можно определить корень из единицы /(v) G Z[£p], используя яко-
биевы суммы (см. [524]). Выберем такие a, b G Z, что
р2 не делит ab(a + Ь), р2 не делит ((а + Ь)р - ар - Ьр)
(например, а = b = 1 при р < 3 • 109, р / 1093, 3511). Используя соотно-
шение (2.19), можно доказать, что
Чх) =Лха, X*) (modnZ[Cp]).
5.	Теперь надо соединить все вычисления для получения такого остат-
ка v по модулю s, чтобы каждый потенциальный делитель г | п, г < у/п,
удовлетворял сравнению г = vl (mods) для некоторого /, 0 < i < t. Ввиду
китайской теоремы об остатках достаточно найти для каждого q | s такую
степень k, что v = tq (modg). С этой целью для каждого p\(q — 1) вы-
берем характер /, для которого /(/^) = ^р. Из соотношения (2.2.27) сле-
дует равенство /(/*) = £* =т]'(х)» которое определяет k (mod р) и, нако-
нец, v (mods).
6.	Остается проверить, делит ли п какое-нибудь из чисел Г/, определя-
емых соотношениями
г-i = V (mod s), 0 п < s, 0 < i /,
Число п, прошедшее все эти проверки, является простым. На практике
этот алгоритм является очень быстрым (см. [252], [15]).
Проверка простоты часто может быть проведена быстрее за счет следу-
ющего элементарного соображения.. Если s не делится ни на один квадрат
и делит п — 1, а для каждого qi\s существует такое a, G (Z/mZ)x, что
НОД(а-л-|)/?‘ - 1, п) = 1, а"-' = 1 (modn),	(2.2.28)
то каждый простой делитель р числа п сравним с 1 по модулю s. Действи-
тельно, из соотношений (2.2.28) следует, что порядок элемента
в группе (Z/pZ)x равен р/. Так как pz|(p - 1), получаем, что s|(p - 1).
В частности, если s > у/п, то число п простое. Разумеется, чтобы приме-
нить это наблюдение, необходимо знать достаточно большой делитель s
числа п — 1.
Вариант этой идеи используется в некоторых схожих проверках на про-
стоту в [524], [375] и в ЕСРР, см. §2.2.6. Этот прием также использовался
в доказательстве того, что /?юз1 является простым числом (см. [847]), где
§ 2.2]	Детерминированные проверки на простоту	97
Rn == (10" — 1 )/9. Известно, что при меньших значениях п простыми явля-
ются лишь только /?2,	/?23 и /?317- Очень нетривиальное разложение
на простые сомножители числа /?71 было задано равенством (2.1.1).
После работы Гольдвассера и Килиана Аткиным и Морэном был раз-
работан общий тест на простоту, который имеет вероятностно полиноми-
альное время (более подробное обсуждение ЕСРР см. в [142], а также
в конце этого параграфа). Адлеман и Хуанг изменили в [116] алгоритм
Гольдвассера—Килиана и получили алгоритм с использованием случай-
ных последовательностей, работающий за полиномиальное время и всегда
отвечающий, является ли входное число простым.
2.2.4.	Простые числа лежат в классе Р. Теперь мы расскажем о не-
давно сделанном открытии, утверждающем, что простые числа можно рас-
познать за полиномиальное время (см. [117]). Оно принадлежит М. Аг-
равалю, Н.Каяле и Н. Саксене, которые заметили, что полиномиальный
вариант малой теоремы Ферма (1.1.2) приводит к быстрому детерминиро-
ванному алгоритму проверки на простоту: время этого алгоритма задается
функцией O(log12fl), где для функции /(и), зависящей от и, выражение
б(/(я)) обозначает O(t(ri} • po/z/(log/(fl))).
Этот алгоритм основан на следующем полиномиальном варианте малой
теоремы Ферма (1.1.2).
Теорема 2.1. Пусть р и а — такие целые числа, что НОД(а, р) = 1.
Тогда число р простое в том и только том случае, если
(х - а)р = хр - a (mod pZ[x]).
Пусть требуется проверить простоту числа п. Если п простое, то, оче-
видно, тест
Test(a, г): (х - а)п=хп - a (mod (хг - 1, п))	(2.2.29)
достигнет цели (т. е. выдаст ответ «истина») для всех целых чисел а и г.
Результат Аграваля—Каяля—Саксены утверждает, что, наоборот, если
Test (а, г) является истиной для всех целых чисел а и г в промежутке
0 < г <С log6 п, 0 < a log4 п и п не имеет ни одного простого сомножителя
<С log4 п, то п — простое число или степень простого числа. Здесь и ниже
все константы, подразумеваемые в знаке <С, являются абсолютными.
Так как выполнение теста Test(a, г) требует времени не более чем
O(r2 log3 п) или даже О(г1 log24"5 п), если использовать быстрое преоб-
разование Фурье для перемножения многочленов и чисел по модулю п, это,
как и требовалось, дает детерминированный полиномиальный алгоритм,
поскольку очевидно, что проверка того, является ли п нетривиальной сте-
пенью, может быть сделана за полиномиальное время. Напомним, что
быстрое преобразование Фурье (обозначаемое FFT от английского сло-
восочетания «Fast Fourier Transform») является быстрым алгоритмом, сво-
98	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2	Я
дящим от О(г2) к O(r log г) число перемножений коэффициентов, требу-	I
емых для перемножения двух многочленов степени г, а также сводящим I
от O(logn2) к O(logn log log я) время перемножения двух целых чисел по
модулю п. На самом деле результат, доказанный Агравалем, Каялем и Сак- ?
сеной, несколько более сильный: он утверждает, что возможно точно найти :
единственное число г <С log6/г, для которого выполнение Test(a, г) для
всех а log4 п является достаточным для установления простоты п. Это
улучшает наибольшее возможное время работы алгоритма от O(log18+c п)
до O(log12+c п). По известной гипотезе о плотности множества простых
чисел Софи Жермен реальное время работы равно всего лишь O(log6+e п)
(простые числа Софи Жермен — это такие нечетные простые числа q, что
г = 2q + 1 также является простым):
Предположение 2.2 (о плотности множества простых чисел Софи
Жермен).
#{^ < х: q и 2q 4- 1 простые} ~ С --
log2 х
Заметим, что здесь имеется очевидная аналогия с асимптотическим за-
коном распределения простых чисел (1.1.15) (т. е. с соотношением для
плотности множества всех простых чисел, меньших или равных %):
х: q простое} ~ К • :-Х-.
log2x
Более точно, результаты Аграваля—Каяля—Саксены, из которых сле-
дует вышесказанное утверждение, заключаются в следующем. Будем обо-
значать через Р(т) наибольший простой делитель целого числа т, а через
ог(т) —порядок элемента т (mod г), где г произвольное простое число,
не делящее т.
Предложение 2.3. Для любого п существует такое простое число
г < log6 л, что Р(ог(п)) 2 Jr log л.
Предложение 2.4. Пусть целое число п и простое число г\п удо-
влетворяют следующим условиям'.
а)	Р(ог(п)) > I,
б)	Test(a, г) является истиной для а = 1, 2, ..., /,
в)	у числа п нет простых делителей, меныиих I,
где I = 2jr\ogn. Тогда п является степенью простого числа.
Доказательство использует результат Фуври [347] и Бэйкера—Хар-
мэна [148], утверждающий положительность плотности множества про-
стых чисел г, для которых Р(г — 1) > г2/3. Этот результат, доказываемый
при помощи теории решета, является сложным, но не столь неожиданным,
поскольку легко видеть положительность плотности множества таких це-
лых чисел пг, что Р(т) > т2^ (или даже Р(т) > тс при любом фиксиро-
ванном с< 1). Действительно, количество целых чисел т^х, имеющих

§2.2]
Детерминированные проверки на простоту
99
простой делитель q > хс для с равно £2 1х/<71, что асимптотиче-
xc<q^x
q простое
ски равно log( 1/с)х при большом х. Покажем, что при достаточно большой
абсолютной константе С для каждого целого числа п существует простое
число г, удовлетворяющее условиям
(2 log п)6 О (С log и)6, ог (п) > г^3,	Р(г-\)> г2/3.	(2.2.30)
Действительно, из только что сформулированного результата следует, что
количество простых чисел г < х = (С log/г)6, для которых Р(г - 1) > г2/3,
, х C6logrt6	„
не превосходит стс(х) ~ log(Cnj'* Где С является некоторой абсолютной
константой. Для количества простых чисел, меньших (2 log /г)6, выполняет-
ся оценка <С , для количества чисел г < х, для которых оЛп) г1/3,
loglogn „д, с	г \	,
C4l°gn5
имеется оценка	— -—р—, поскольку все такие простые числа г делят
число	g g
г1/3
а для количества простых делителей числа N имеется оценка
/ log/2 x2/3logn = С4 log/г5
X—j log(/ log п)	log log/г	log log n '
Из этого следует, что для достаточно, большой константы С существует
„ м	log л6
по крайней мере	|Og п простых чисел, удовлетворяющих условиям
(2.2.30). Пусть г — такое простое число и q = Р(г — 1). Тогда q является
простым числом, делящим г — 1, но не делящим (г — 1 )/ог(п} (поскольку
(г — 1)/ог(я) < г2/3 < q), так что q делит ог(п) и
Р(ог(л)) О f2/3 2л/г log/2.	□
Идея доказательства предложения 2.4 заключается в рассмотрении це-
лых чисел п1 р1 и nk р1 ив установлении того, что существуют две различ-
ные пары (/, /) и (6, /), для которых nl pi =nkpl (mod г).
Положим q = P(pr(ri)). Так как q — простое число, оно должно де-
лить ог(п) для некоторого простого делителя р числа п. Расширение полей
К =FP[£], где £ является нетривиальным r-м корнем из единицы, имеет
степень d = ог(р) q. Пусть G — подгруппа в /<х, порожденная С — 1,
£ — 2, ..., £ — /. Тогда выполняется неравенство
|G|>(	{	),	(2.2.31)
100
Некоторые приложения элементарной теории чисел
[Гл. 2
поскольку элементы (£ - l)d,(C - 2)^2... (^ - l)d' (d{ 0, ^di < d) груп-
пы G попарно различны (линейные функции х— 1, ..., х — I являются
различными неприводимыми многочленами по модулю р вследствие пред-
положения в), и £ не может удовлетворять полиномиальному уравнению
степени меньше d). С другой стороны, утверждается, что
|G|<n2^,	(2.2.32)
когда п не является степенью р, и это доказывает утверждение, так как
из неравенства (2.2.31) и из того, что d^ q I, следует неравенство
Для доказательства неравенства (2.2.32) обозначим через os (s е Z) ав-
томорфизм поля /<, при котором £i->£s. Для любого g^K* выполня-
ется равенство vp(g) = gp, а для любого g € G выполняется равенство
a«(g) = gn вследствие предположения б). Поэтому vs(g) = gs для любо-
го числа s вида пр1. Пусть S = {npi: 0	0*}- Если п не является
степенью числа р, то эти элементы попарно различны, |S| > г и мы мо-
жем найти s s', s € S, для которого s = s' (mod г). Но тогда gs = os(g) =
= Os' = gs • Взяв в качестве g образующую циклической группы G, из это-
го можно вывести, что |G| |s — s'| < п2^, что и требовалось доказать.
Таким образом, алгоритм проверки простоты заключается в следую-
щем. Вначале проверяется, что ни один из корней n^k (2 < k < log2 ri)
не является целым. Потом последовательно проверяются простые числа
Г > 4 log2 п, пока не будет найдено такое, для которого г — 1 имеет простой
делитель q 20*logn, удовлетворяющий сравнению n{r~x^q ф 1 (mod г).
По предложению 2.3 для наименьшего такого г выполняется оценка г
<С log6 п. Теперь проверяются условия б) и в) предложения 2.4; п является
простым тогда и только тогда, когда оба они выполняются.
Замечание 2.5. Заметим, что наименьшее г, удовлетворяющее усло-
вию предложения 2.3, не только удовлетворяет условию г <С log6 п, но
также очень близко к минимальному возможному значению Го = [4log2].
Например, занимающая две строки программа для PARI проверяет, что
для п = Ю300 + 1 подходит уже число 1908707, являющееся вторым про-
стым числом, большим го» и что при п = 10'1 + 1 (/ ^ 300) для достижения
результата никогда не надо проверять более чем 10 простых чисел ли-
бо рассматривать числа, большие чем го + 186 (общее время вычисление
составляет около 2 секунд на стационарном компьютере SUN).
Данная версия была предложена Дэном Бернстайном, который слегка
улучшил исходный вариант от 6 августа 2002 г.; его вклад заключается
в использовании неравенства (	п2^, см. [588], [161] и [589].
§2.2]
Детерминированные проверки на простоту
101
2.2.5.	Алгоритм М.Аграваля, Н. Каял я и Н. Саксены. (см. [117, с. 4],
и [589, с. 4]).
Вход: целое п > 1
если (я имеет вид ab, b > 1) выход СОСТАВНОЕ;
г := 2;
пока (г < п) {
если (г простое) {
если (г делит л) выход СОСТАВНОЕ;
найти наибольший простой делитель q для г — 1;
г —1
если 4v/rlog2 м) и (п ч (mod г))
остановка;
г := г + 1;
для а = 1 до 2y/r log2 п
если ((х — а)п = (хп — a) (mod(xf — 1, я))) выход СОСТАВНОЕ;
выход ПРОСТОЕ;
Теорема 2.6. Данный алгоритм выводит ПРОСТОЕ тогда и только
тогда, когда п является простым числом.
Замечание 2.7. На практике всегда можно найти число г порядка
O((logAi)2), удовлетворяющее условиям алгоритма. Это приводит к оценке
на сложность вида O((logfl)6) в наилучшем случае.
2.2.6.	Практические и теоретические доказательства простоты.
Алгоритм ЕСРР (Elliptic Curve Primality Proving), построенный
Ф. Морэном, 1142]. Вопросы практического доказательства простоты
чисел с тысячами знаков, а также массового производства больших про-
стых чисел подробно обсуждаются в [589].
Ф. Морэн заметил, что даже алгоритм Миллера все-таки достаточ-
но длинный, поскольку в нем необходимо считать экспоненты от остат-
ков. Величина (log/г)6 из алгоритма AKS подсказывает порядок степени
многочленов, с которыми приходится работать. На практике почти все-
гда можно найти г = c(log2 я)6, где с ^64. Например, если п = 2512, то
в наилучшем случае г = 64(log2 я)6 = 224 > 16 • 106, и это приводит к ра-
боте с плотными многочленами, занимающими более 1 гигабайта, что уже
очень сложно.
Предположим, что мы хотим доказать простоту числа п — 109 + 7 (ко-
торое действительно является простым). Используя реализацию алгоритма
AKS, предложенную Е.Томе, с процессором GMP 4.1 на персональном
компьютере с 700 MHz, положим г = 57287, что приведет к $ = 14340
102	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
(см. [589]). Каждое промежуточное вычисление занимает 44 секунды, из-
за чего общее время составляет более чем 7 дней. Если использовать
непосредственно условие (2.2.29), то можно положить (г, q, s) = (3623,
1811, 1785), и тогда работа займет 1,67 х 1785 секунд, т. е. около 49
минут. Наилучшей тройкой является (г, q, s) = (359, 179, 4326), которая
приводит к общему времени, равному 6 минут 9 секунд.
Можно сравнить эти алгоритмы с алгоритмом, использующем якобиевы
суммы (описание этого алгоритма, очень похожего на описанный в §2.2.1
см. в [249]), а также с другим эффективным алгоритмом, а именно с ЕСРР
(Elliptic Curve Primality Proving), построенным Ф. Морэном.
Алгоритм ЕСРР действительно очень быстро получает ответ на вопрос
простоты (за время O((log/z)4)). В нем используются эллиптические кри-
вые Е над Z/azZ и элементарное наблюдение о сравнениях (2.2.28), при-
мененное к группам типа E(Z/mZ). Эта программа выводит длинный спи-
сок чисел, из которого следует строгое доказательство простоты исходного
числа. Общая идея заключается в построении убывающей последователь-
ности простых чисел, в которой из простоты следующего числа вытекает
простота предыдущего.
Алгоритм ЕСРР позволяет даже доказать простоту чисел, занимающих
512 бит, за 1 секунду, занимающих 1024 бит — за 1 минуту, а занимаю-
щих 10000 бит — за разумное время (составляющее около одного месяца).
В соответствии с [589] кажется, что даже если удастся уменьшить число г
в алгоритме AKS, это все равно не предоставит алгоритма, более эффек-
тивного на практике, чем ЕСРР
2.2.7.	Арифметические прогрессии из простых чисел. Одно важное
открытие, сделанное в [383] Б. Ж. Грином и Т. Тао, утверждает, что мно-
жество простых чисел содержит арифметические прогрессии произволь-
ной длины (см. [783], [379], а также http://primes.utm.edu/top20/, где
приведены интересные численные примеры длинных арифметических про-
грессий из простых чисел).
Гипотеза о том, что существует сколь угодно длинная арифметическая
прогрессия из простых чисел, всегда была широко известным классиче-
ским фольклором. В истории теории чисел [314], написанной Диксоном,
говорится, что около 1770 г. Лагранж и Варинг оценили, насколько боль-
шой может быть разность арифметической прогрессии из L простых чисел.
В [383] было доказано, что существуют арифметические прогрессии
любой длины. Доказательство состоит из трех основных частей. Первая
из них — теорема Шемереде, утверждающая, что любое подмножество
множества целых чисел, имеющее положительную плотность, содержит
арифметические прогрессии произвольной длины. Вторая — некий принцип
переноса. Он позволяет вывести из теоремы Шемереде, что любое под-
множество достаточно псевдослучайного множества положительной отно-
§ 2.3]	Разложение больших чисел на множители	103
сительной плотности содержит прогрессии произвольной длины. Третьей
составляющей является недавний результат Голдстона и Йильдирима, см.
[373]. Используя его, можно поместить простые числа внутрь псевдослу-
чайного множества, состоящего из «почти простых» чисел и имеющего
положительную относительную плотность.
В 1993 г. Морэн, Притчар и Тиссен (см. [590]) показали, что
11410337850553 + 46090986942006
является простым числом для k = 0, 1, ..., 21. В 2003 г. Маркус Фринд
нашел пример арифметической прогрессии той же длины, состоящей из
больших чисел:
376859931192959 + 185492797690206, 6 = 0, 1, ..., 21.
Основная теорема из [383] доказывает обсуждаемую выше гипотезу.
Теорема 2.8 (теорема 1.1 из |383|). Множество простых чисел
содержит арифметические прогрессии длины 6 для всех 6.
Также был установлен несколько более сильный результат.
Теорема 2.9 (теорема 1.2 из [383]). Пусть А — произвольное под-
множество в множестве простых чисел положительной относи-
тельной верхней плотности, т. е,
limsupTt(W)-1 |Д Г) [1, А/]| > 0,
/V—>оо
где тс(Л7) обозначает количество простых чисел, меныиих или рав-
ных N. Тогда А содержит арифметические прогрессии длины 6 для
всех k.
§ 2.3.	Разложение больших чисел на множители
2.3.1.	Сравнение сложности тестов на простоту и разложения чи-
сел на множители. Пусть п > 1 —целое число. Задача нахождения таких
чисел a, b > 1, что n = ab, может быть разделена на два шага: сначала
надо установить их существование (это решается любым тестом на про-
стоту), а потом явно их найти (т. е. совершить разложение). На практике,
тест на простоту, описанный в п. 2.2.1, не дает конкретных делителей чис-
ла п. Действительно, если число п не проходит этот тест, то это значит, что
оно не удовлетворяет одному из необходимых условий из п. 2.2.3 (б), так
что алгоритм останавливается, до того как мы доходим до этапа вычисле-
ния возможных делителей. Следовательно, такой алгоритм раскладывает
на множители лишь простые числа и те числа п, у которых есть маленькие
делители, а именно делители чисел s и t, определяемых в п. 2.2.1.
104
Некоторые приложения элементарной теории чисел
[Гл. 2
Как было упомянуто в §2.1, эффективный алгоритм разложения на
множители можно использовать для взламывания стандартных криптоси-
стем с открытым ключом. По этой причине разложение чисел стало при-
кладной задачей, привлекающей немало усилий и средств (см. [633], [759],
[469]). Тем не менее, время работы наилучшего известного алгоритма раз-
ложения уже не позволяет разложить число м, являющееся произведением
двух 150-значных простых чисел. Теоретическая оценка (см. [250]) на вре-
мя работы имеет порядок
ехр
| Уу logn-«
(2.3.1)
и для 300-значного числа п это потребует биллионы лет. Это заставило
Одлыцко спросить, показывает ли оценка (2.3.1) реальный уровень слож-
ности проблемы разложения чисел или просто мы не замечаем чего-то
существенного, см. [633].
В любом случае, прогресс в разложении некоторых конкретных боль-
ших целых чисел (см. [848], [815]) в основном происходит благодаря но-
вым техническим возможностям или параллельным вычислительным схе-
мам, а не открытию идейно новых алгоритмов. Последние достижения см.
в [544].
2.3.2.	Разложение чисел и квадратичные формы. Если п = х2 - у2,
то в большинстве случаев х — у является нетривиальным делителем числа
п. Это простое замечание приводит к «алгоритму разложения Ферма»,
который в общем случае требует О(пУ2) операций, но более эффективен,
если п является произведением двух мало отличающихся чисел t и s. Тогда
п = х2 - у2, где х = (/ + s)/2, у = (t — s)/2. Данный алгоритм заключается
в вычислении х2 — п для всех значений х, начиная от [у/п] + 1, пока не
будет найден совершенный квадрат. Подобные рассуждения могут быть
полезны и в других задачах (см. [204]). Также этот прием можно обобщить,
используя другие квадратичные формы в алгоритмах разложения чисел
([469], [675]).
Рассмотрим мнимое квадратичное поле Q(\/—м). Пусть число п сво-
бодно от квадратов. Обозначим через С/(А) группу классов идеалов это-
го поля (см. п. 1.2.8, п. 4.2.2). Элементы этой группы можно отождествить
с классами Z-эквивалентности примитивных положительно определенных
квадратичных форм вида Дх, у) = ах2 -I- Ьху + су2 с отрицательным дис-
криминантом А = Ь2 — 4ас, где А = — п, если п = 3 (mod 4), и А = —4м,
если п = 1 (mod 4) (здесь предполагается, что п нечетно). Обозначим через
а = (а, Ь, с) такую форму. Будем называть форму а амбиговой, если она
принадлежит одному из типов (а, 0, с), (а, а, с) или (а, Ь, а) (см. [358],
[739]). Дискриминант амбиговой формы обладает явным разложением:
§2.3]
Разложение больших чисел на множители
105
—Д = 4ас (соответственно а(4с - а), (2а - Ь)(2а + Ь)) при а = (а, 0, с)
(соответственно (а, а, с), (а, Ь, а)). Можно легко увидеть, что выполня-
ется и обратное утверждение (см. [14]): разложение такого типа числа Д
определяет амбигову форму. С другой стороны, существуют независимые
методы построения амбиговых форм, которые основаны на следующем
свойстве: неопределенные формы представляют элементы второго порядка
в группе классов С/(Д). В 1971 г. Д.Шэнкс придумал довольно быстрый
алгоритм, позволяющий разложить п за О(п{^) операций и определить
структуру группы С/(Д). Этот метод использует аналитическую формулу,
открытую Дирихле:
Ц1,Ха) = ^= WA) = |С/(Д)|).
Здесь Хд(т) = (“У a L(l, /д) является значением в точке s = 1 для
Л-функции Дирихле
сю
х)=52 x(m)m~s=Па - x(p)p-s)-1-
т=\	р
Приближенная формула
верна с относительной ошибкой меньше 0,1% при 132000. Элемен-
ты группы классов строятся при помощи таких малых простых чисел р,
что ) = 1. Они представлены формами Fp = (р, Вр, Ср), коэффициен-
ты которых удовлетворяют соотношению Д = В2 — 4рСр и которые мо-
гут быть найдены из условия Д = В2 (mod р). Зная число классов /г(Д) =
= |С/(Д)|, удается построить элементы второго порядка, начиная с эле-
мента х = Fp, вычисляя его наибольшую нечетную степень, делящую /г(Д),
а потом последовательно возводя в квадрат, пока на получится 1.
2.3.3.	Вероятностный алгоритм CLASNO (см. ([644], [733]). Идея
использования группы С/(Д) в алгоритмах разложения чисел может быть
существенно развита. Данный алгоритм не требует вычисления /г(Д), и его
время работы оценивается величиной L = exp{^logAi • log log /г}, которая
растет медленнее, чем любая положительная степень числа п. Предпо-
ложим для начала, что простые делители числа /г(Д) малы, или, скорее,
что /г(Д) делит k\ для некоторого малого k. Возьмем случайный элемент
х е С1(А), скажем х = Fp при некотором р, для которого (Д/р) = 1, и вы-
106	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
числим = хнечетная степень 4^a k\. тогда Среди последовательных квадра-
тов, начиная с В&, должен найтись элемент порядка 2. Нам необходимо
знать точное значение k\ можно лишь надеяться, что некоторое малое k
подойдет. Если нам удастся найти его, то мы разложим Д за O(k) операций.
В противном случае можно попробовать применить тот же самый прием
для поля Q(y/—ап), где а является некоторым малым числом, свободным
от квадратов.
Для того чтобы обосновать эту процедуру в общем случае, можно пред-
положить, что для переменной а число классов /г(Да) поля Q(\/—an) ведет
себя как случайное число, меняющееся в некоторой окрестности числа п^2
(эта оценка следует из формулы Дирихле). Потом можно оценить вероят-
ность того, что /г(Да) составлено лишь из малых простых чисел. Для этого
обозначим через Ф(х, у) количество натуральных чисел, не превосходя-
щих х и не делящихся ни на одно из простых чисел, не меньших чем у (их
можно назвать «//-гладкими»). Положим k = La, а > 0. Вероятность того,
что случайное число порядка я1/2 будет //-гладким, равна Ф(м1//2, /Д/я1/2.
Теперь надо изучить поведение функции Ф(х, у)/у. Дикман (см. [420])
показал, что оно существенным образом зависит от значения log х/log//.
А именно, для любого и > 0 существует предел lim^-^oo Ф(//“, у)/у. Этот
предел называется функцией Дикмана р(и) и однозначно определяется сле-
дующими свойствами:
р(и) = 1	при 0 < и 1,
р,(и) = -р(ц~-1-) прим>1.
В точке и= 1 функция р(и) непрерывна. При и-*оо имеем р(и) = и(-1+о(1)Д
Де Брейн ([208]) доказал, что
W, у) = у“?(и) (1 + Ое (1о^ 1))),
где у 2, 1 < и < (log //)3/5-е для некоторого положительного е.
Тем не менее, в нашем случае L* растет медленнее, чем любая поло-
жительная степень числа я, так что теорема Дикмана неприменима. Необ-
ходимая оценка была получена лишь недавно:
^(n^2,La) = n^/L^4^\
См. детали в [420].
Возвращаясь к изначальному алгоритму разложения чисел на множи-
тели, мы видим, что при заданном k = [La] его время работы ограничено
величиной La, а вероятность успеха составляет около Л-1/4а. Следова-
тельно, общее число попыток должно быть около Л1/401, а общее время
работы ограничено выражением £/*-ь(1/4«)4-е, е > о. Эта оценка минимальна
§2.3]
Разложение больших чисел на множители
107
при а = 1/2 (т. е. k = Л1/2), и тогда результат составляет Разумеется,
теоретически процесс может никогда не закончиться при очень плохих п,
но это маловероятно.
Приведем пример оценки
—— ~и и, когда и существенно меньше,
чем у (ее простое доказательство см. в [466, с. 137]). Пусть у & 106 (так
что тс(//) « 7 • 104, a log у «14) и х « 1048. Тогда отношение натуральных
чисел, не превосходящих х и являющихся произведением простых чисел,
не превосходящих у, составляет около 1/224.
2.3.4.	Метод цепных дробей (CFRAC) и вещественные квадра-
тичные поля (см. [469], [848], [675], [845]). Улучшая метод Ферма, по-
пытаемся найти такие решения х, у сравнения х2 = у2 (mod/г), что х не
сравнимо с ±у (mod я). Тогда либо НОД(х 4- у, п), либо НОД(х - у, п)
является нетривиальным делителем числа я, так как п делит (х 4- у)(х — у),
но не делит ни х 4- у, ни х - у. Будем искать х среди произведений та-
ких чисел X/, что наименьший по абсолютной величине остаток х2 (mod я)
является произведением малых простых чисел. Пусть у также является
произведением этих простых чисел. Более точно, рассмотрим множество
В = {р\, р2, ..., ph}, все элементы которого являются простыми числами,
кроме, возможно, числа р\, которое может быть равно -1. Будем назы-
вать такое множество базисом разложения для п. Также будем называть
В-числом каждое такое целое число Ь, что наименьший по абсолютной ве-
личине остаток b2 (mod я) является произведением (степеней) элементов
из В. Пусть xz является семейством В-чисел, a az = П/=1 Р^' —соответ-
ствующие минимальные остатки чисел х2 (mod я). Положим
ez = (е/i, е/2, • • •, e/л) е Fg, где ez/ = az/ (mod 2).
Предположим, что сумма векторов ez равна нулю (mod 2). Пусть
х = Пх/ (mod л),
h
</ = ГИ'’
/=1
где
i
Тогда х2 = у2 (mod п).
Пример 2.10. ([466, с. 133]). Пусть п = 4633, В = {—1, 2, 3}. Тогда
X! = 67, Х2 = 68, хз = 69 являются В-числами, поскольку
672 = -144 (mod 4633), 682 = -9 (mod 4633), 692 = 128 (mod 4633).
Более того, е। = (1, 0, 0), €2 = (L 0, 0), ез = (0, 1,0), так что можно поло-
жить х = Х1Х2 = 67,68 = —77 (mod 4633), с — 2Y23Y3 = 2332 = 36. Помимо
108
Некоторые приложения элементарной теории чисел
[Гл. 2
этого, —77 не сравнимо с ±36 (mod 4633). Итак, мы получаем нетриви-
альный делитель 41 = НОД(-77 + 36, 4633) числа п = 4633.
Разумеется, если нам не повезет, то может случиться, что х =
= ±у (mod я). Тогда надо выбрать новые элементы X/ или даже новый ба-
зис В. Эффективный метод поиска В-чисел использует цепные дроби ве-
щественных квадратичных иррациональностей. Пусть х > 1 —веществен-
ное число, х = [ао» #1, • ••] —его разложение в цепную дробь. Положим
Ai/Bi = [ао, ai, ..., aj. Эти подходящие дроби могут быть вычислены из
рекуррентных соотношений А_% — В-\ — 1» ^-1 = ^-2 = 0 и Л/ = а/Л,-1 +
+ Л/_2, Bi = atBi-\ ± Bi_2. Из равенства
Aj _ Л/4-1 _ z . у-4-1	1
Bi	В^ 1	j BiBi+{
следует, что
|Л2 -х2В2|<2х,	(2.3.2)
поскольку
-х| • |у+х| <5,2д-Г-(2х +
В частности, можно найти разложение в цепную дробь для х = у/п при
помощи алгоритма, описанного в § 1.4, и а, образуют периодическую по-
следовательность. Так как Л2 = Л2 - пВ? (mod а), неравенство (2.3.2) по-
казывает, что абсолютное значение наименьшего остатка Л2 (mod а) огра-
ничено величиной 2 у/п, которая может помочь при поиске В-чисел. Одна-
ко числа Л/ быстро становятся большими даже по отношению к а, и для
упрощения вычислений Л2 (mod п) используется сравнение
Л2_! = (-1)‘ф (modn),	(2.3.3)
где Qi является знаменателем числа х, = (у/п + Pi)/Qi для Л2 (mod /г), т. е.
у/п = [ао, аь аг, ..., az, xj.
На самом деле, формально применяя рекуррентные соотношения к у/п, мы
получаем
/- _ х __ Aj-\Xj + Aj-2 __ Aj[y/n + PjAj-i QjAj-2
Bi-\xt + Bi-2 Bi-iy/n + PiBi_} ± Q/B/-2
Сравнивая коэффициенты при 1 и у/п, получаем
QiAi-2 + В/Л/-1 = aBz-i,
QiBi-2 + PiBi_\ — Л/-1.
§ 2.3]	Разложение больших чисел на множители	109
Разрешая эту систему относительно Qi, мы видим, что
(Д_2В/-1 -	=пВ?_| - Л?_].
Но коэффициент при Qi равен (-1/-1. Это доказывает сравнение (2.3.3).
Напомним также, что Л, Qi могут быть вычислены при помощи одного
очень эффективного метода, который мы сформулируем в несколько изме-
ненном виде. Пусть %о = (Л) + \/n)/Qo— квадратичная иррациональность,
для которой Qo делит п — Р%. Положим X/ = (Р/ + y/n)/Qi. Тогда
Pi+i= щ Qi - Pi, щ = [Pi + y/n/Qi ],	(2.3.4)
Qz + l — Qi-\ 4“ (Pi ~ +	(2.3.5)
Это следует непосредственно из равенства X/+i = l/(xz- — az), или
Pj 4- у/п _	Q/+1
Qi	Pi^+Vf
Если данный метод не обеспечивает требуемое количество В-чисел, то
можно повторить вычисления для ап вместо п, где а — малое число, сво-
бодное от квадратов. Число требуемых операций оценивается выражением
La/8/2 = ехр|У| log /г log log
(ср. с п. 2.3.3). Практическая эффективность этого алгоритма была про-
демонстрирована его применением к числу Ферма Fq = 2128 — 1 (см. [597],
[845]).
Опишем теперь построенный Шэнксом элегантный алгоритм SQUFOF,
который также основан на арифметике вещественных квадратичных полей
(см. [675], [845]). Он состоит из двух этапов.
1. В формулах положим (2.3.4), (2.3.5) хо = у/п, т. е. Ро = О, Qo= 1-
Будем вычислять хт, пока не дойдем до такого нечетного числа т, что
Qm_\ — t2 для некоторого натурального числа t. Из сравнения (2.3.3)
следует, что A2rn_2 = t2 (mod я). Предположительно, при помощи алго-
ритма Евклида исходя из этого можно найти делитель числа п, равный
НОД(Лт_2 ± / , п). Тем не менее, на практике Лт-2 обычно бывает слиш-
ком большим, для того чтобы его можно было вычислить непосредственно,
так что в этом случае наша тактика должна быть изменена.
2. Положим Ро = Qo = Л Хо = (^о 4- \fn)/Q^ и будем вычислять
«хвосты» разложения в цепную дробь для хЬ, а именно X/ = (Pi + \/n)/Qi.
Будем повторять это до тех пор, пока не найдется такое xqi что Pq = Pq+\.
Из формулы (2.3.4) и (2.3.5) будет следовать, что
aqQq = 2Pq, Qq делит п - P2q.
110	Некоторые приложения элементарной теории чисел	[Гл. 2
Следовательно, либо Qq, либо Qq/2 делит п. Если этот делитель тривиаль-
ный, то надо заменить п на ап для малого а и повторить все вычисления за-
ново. Используя обычный калькулятор для разложения числа, не превос-
ходящего 109, удобно записывать промежуточные результаты в виде таб-
лицы. Таблица 2.1 изображает ход вычислений для м = 11111 = 41 -271. В
общем случае q составляет около мг/2 (в нашем примере мг = 7, р = 4).
Данный алгоритм основан на том факте, что порядок дробного идеала
(1, %о) в группе С1 (4м) равен двум, и на втором этапе неявным образом вы-
числяется соответствующая амбигова форма. Число операций оценивается
величиной я1/4. Поскольку
Таблица 2.1
0	1	2	3	4	5	6	7
105	2	2	4	5	2	7	
0	105	67	87	97	88	94	81
1	86	77	46	37	91	25 = 52	
37	3	1	1	3			
81	104	73	25	82	82		
5	59	98	107	41	107		
~ _ 82 + х/ТТТТТ _ х/ТТТТТ
41	~Л+	41	’
идеал (1,%4) соответствует неявной форме (41,0,-11111/41), или
(41, 0, —271), дискриминант которой равен 4м.
2.3.5. Использование эллиптических кривых. Общая идея исполь-
зования вычислений в конечных группах (например, в группе классов) для
разложения числа м нашла самые неожиданные реализации при помощи
различных типов групп.
1. (р — 1)-мепгод Полларда. Предположим, что у числа м имеется та-
кой простой делитель р, что порядок группы (Z/pZ)x «гладкий», т. е. р — 1
делит k\ для не очень больших k, скажем, k < 100000. Тогда можно посту-
пить следующим образом: последовательно вычислить = 2z! — 1 (тобм),
используя рекурсивное соотношение = (az + l)z+1 - 1 (modM) и най-
ти наибольший общий делитель НОД(м^, м); он будет делится на р ввиду
малой теоремы Ферма. Это условие не выполняется, если не существует
числа р | м, для которого р — 1 гладкое (см. [639]). В качестве подходя-
щей замены можно попробовать использовать мультипликативную группу
полей Fpr порядка рг — 1. Так, при г = 2 получаем (р -h 1)-алгоритм Вил-
льямса (см. [844]).
2. Гораздо более широкие перспективы использования различных ко-
нечных групп для алгоритмов разложения чисел открывают эллиптиче-
ские кривые над конечными полями. Их использование приводит к од-
§ 2.3]	Разложение больших чисел на множители	111
ному из наиболее быстрых известных алгоритмов разложения чисел, тре-
бующему O(L1+s) операций, см. [526].
Выберем случайную эллиптическую кривую Г и точку Р на ней. Для
этого выберем случайные целые числа а, xq, Уо и положим
b = у$ — 4х$ — ах0, Р = (х0, у0).
Тогда Р = (xq, Уо) —точка на кривой, определяемой уравнением
Г: у2 = 4х3 4- ах 4- b
(см. п. 1.3.3). Это эллиптическая кривая над®, если кубический многочлен
в правой части не имеет кратных корней. Также можно предположить,
что дискриминант этого многочлена взаимно прост с п\ иначе либо мы
получаем нетривиальный делитель числа л, либо следует изменить кривую.
На проективной плоскости кривая Г определяется однородным урав-
нением
y2Z = 4Х3 = aXZ2 + Z3 (X = xZ, У = yZ).
Взяв его по модулю простого числа р, получаем эллиптическую кривую
над = Z/pZ. Ее нулем является точка Ог = (0 : 1 :0), а порядок груп-
пы T(Fp) равен р + 1 — ар, причем выполняется неравенство \ар \ < 2у/~р
(теорема Хассе, см. п. 1.3.3).
Теперь, предположив, что (р + 1 — ар) | k\ для некоторого р\п и ма-
лого k, вычислим последовательно координаты точек Pi = i\P (mod п) на
проективной плоскости над Z. Простое число р должно делить Z-коор-
динаты точки Pk, а также НОД(/г, Z&). Если нам повезло, то O(k) опе-
раций приведут к нетривиальному делителю числа п. Иначе следует взять
новую кривую, не тратя много времени на безуспешный выбор («страте-
гия ранних прерываний»). Для того чтобы оптимизировать выбор числа
k при каждой пробуемой кривой, а также число попыток, возьмем р — п^.
Вероятность успеха при k = [£/] составляет около
^(^А ^”) ~ г -р/2а+о(1)
(см. п. 3.3). Следовательно, мы рассмотрим Z?/2a случайных эллиптиче-
ских кривых с отмеченными точками, в то время как для каждой из них
число операций может быть оценено величиной La. Общее число опера-
ций Ла+3/2а минимально при а = уф/2. В наихудшем случае a = 0 = 1/2,
получаем е > 0.
Отметим, что наши оценки основаны на следующей эвристической ги-
потезе: порядки групп r(Fp) ведут себя по отношению к свойству гладко-
сти как случайные числа, взятые в интервале (р — 2у/р 4- 1, р + 2у/р 4- 1).
Вера в эту гипотезу усиливается изучением классов изоморфных эллипти-
ческих кривых по модулю простых чисел, см. [526].
112
Некоторые приложения элементарной теории чисел
[Гл. 2
Также следует заметить, что были построены еще некоторые крипто-
системы, использующие эллиптические кривые, см. [466].
Существует построенный Диксоном вероятностный алгоритм (см.
[317]), грубая оценка времени работы которого составляет около
O(LV^),
а также несколько вероятностных алгоритмов, использующих линейные
или квадратичные решёта, с ожидаемым временем работы
О(ЛЛ) и O(L)
соответственно, см. [643], [815].
Много других интересных алгоритмов и компьютерных программ можно
найти в книге Ризеля [675]. Также там можно найти некоторые эвристи-
ческие аргументы в пользу существования алгоритмов, которые должны
были бы быть намного более быстрыми, чем любой из ныне существую-
щих.
Более поздняя информация о разложении больших целых чисел и но-
вые рекорды могут быть найдены в [250] и на Web-странице Ф. Морэна.
ЧАСТЬ II
ИДЕИ И ТЕОРИИ
ГЛАВА 3
ИНДУКЦИЯ и РЕКУРСИЯ
§3.1.	Элементарная теория чисел с точки
зрения логики
3.1.1. Элементарная теория чисел. Почти весь материал, изложен-
ный в первой части, относится к элементарной теории чисел (ЭТЧ). Объем
этого понятия можно определить строго, прибегнув к средствам матема-
тической логики, однако для это нужно ввести нормальный язык ариф-
метики и фиксировать принятую систему аксиом (ту или иную версию
аксиом Пеано). Чтобы не входить в неуместные подробности, мы ограни-
чимся интуитивными указаниями. В ЭТЧ есть исходные понятия и аксио-
мы, формализующие интуицию о натуральных (или целых) числах, а также
методы конструкции новых понятий и методы доказательств. Основное
средство конструкции — рекурсия. В простейшем случае предположим,
что мы хотим определить какое-то свойство Р(п) натурального числа п.
Делая это методом рекурсии, мы объясняем, как узнать, истинно или
ложно свойство Р(п + 1), если мы уже знаем истинность или ложность
свойств Р(1), ..., Р(п). Скажем, свойство «п,— простое число» можно
определить так: «1 не простое; 2 не простое; п -h 1 ^3 — простое чис-
ло, если никакое из простых чисел среди 1, 2, ..., п не делит я+ 1».
Аналогично основное средство доказательства в ЭТЧ — индукция. Что-
бы доказать методом индукции утверждение «V п Р(п) истинно», мы до-
казываем, скажем, свойство Р(1) и импликацию «V п из Р(п) следует
Р(п+ 1)».
Еще в первых исследованиях аксиоматики теории чисел (Пеано, Френе)
было установлено, что все эмпирические относимые к ЭТЧ понятия (дели-
мость, простое число), функции (число делителей, функция Эйлера <р(я),
тс(х)) и теоремы (малая теорема Ферма, квадратичный закон взаимности
и др.) могут быть соответственно построены рекурсией или доказаны по
индукции [682], [70].
Иногда случается, что результат допускает элементарную формулиров-
ку, но его элементарное доказательство неизвестно. Например, асимпто-
х
тический закон распределения простых чисел к(х) ~ при желании
можно сформулировать элементарно, считая, что х пробегает лишь нату-
116	Индукция и рекурсия	[Гл. 3
ральные значения, и заменив logx, скажем, на VOi его элементарное
доказательство было получено лишь в конце сороковых годов Сельбергом,
тогда как аналитическое доказательство было известно к тому времени уже
полвека.
3.1.2.	Логика. Логическое исследование ЭТЧ привело к новым кон-
кретным теоретико-числовым результатам, о которых будет рассказано
ниже, но, возможно, еще важнее было то обстоятельство, что стало го-
раздо яснее место ЭТЧ внутри математики вообще.
Мы подчеркнем три аспекта.
1.	ЭТЧ как математическая дисциплина принципиально не может быть
«самодостаточной». Как бы ни выбрать ее систему аксиом, всегда будут
существовать элементарно формулируемые и истинные, но элементарно
не доказуемые арифметические утверждения (см. [369]).
Поэтому исторически сложившаяся практика пользоваться для уста-
новления теоретико-числовых фактов анализом (Эйлер, Якоби, Дирихле,
Риман, Харди и Литлвуд и др.), геометрией (Минковский, Эрмит и др.),
алгебраической геометрией (А. Вейль, Гротендик, Делинь и др.) и, вообще,
любыми средствами имеет глубокие основания.
2.	ЭТЧ с помощью формальной логики может служить для модели-
рования любой аксиоматизированной математической дисциплины внутри
элементарной теории чисел (Гёдель).
При таком моделировании мы забываем о содержательном смысле
определений и теорем нашей теории и оставляем информацию лишь об их
формальной структуре и о синтаксических правилах вывода одних утвер-
ждений из других.
Перенумеровав методом Гёделя все синтаксически правильные утвер-
ждения натуральными числами, мы затем можем написать программу, или
алгоритм, перечисления всех доказуемых результатов нашей теории (ее
теорем). Моделью теории, таким образом, становится определенная с по-
мощью (многократной) рекурсии функция /: Z+ —>Z+ (первое Z+— это
номер порождаемой теоремы, второе — номер утверждения теории). Вме-
сто того чтобы спросить, доказуема ли теорема номер п, мы можем спро-
сить, разрешимо ли уравнение Дх) = п.
Хотя уравнение Дх) = п определяется в терминах ЭТЧ, оно, вообще го-
воря, далеко не диофантово, ибо функция f не является многочленом. Как
показано в замечательном ряде работ, завершенном Ю. В. Матиясевичем
(см. [554]), можно тем не менее заменить получившуюся задачу на эк-
вивалентную диофантову (десятую проблему Гильберта), а именно най-
ти такой многочлен с целыми коэффициентами РДхь ..., хш; я), что раз-
решимость уравнения — n эквивалентна разрешимости уравнения
РДх; п) = 0, хе (Z+)"2. Отыскание Pf по f при этом вполне эффектив-
но (так же как отыскание f по системе аксиом исходной теории).
§ 3.2]	Диофантовы множества	117
В этом смысле проблема доказуемости любого математического ре-
зультата эквивалентна теоретико-числовой задаче стандартного вида. (Чи-
татель, привыкший думать не о «доказуемости», а об «истинности», дол-
жен в этом месте сознательно проявить некоторую разумную осторож-
ность. После теоремы Гёделя—Коэна о независимости, скажем, контину-
ум-гипотезы от стандартных аксиом теории множеств ему должно быть
ясно, что «истинность», в отличие от «доказуемости», есть скорее фило-
софское понятие, и мы не можем ожидать его точного сведения к матема-
тическому определению.)
3.	ЭТЧ доставляет рамки для точной формулировки и исследования
понятий алгоритма и (полу)вычислимой функции, причем эти понятия,
воплощенные в теории рекурсивных функций, являются много более уни-
версальными, чем это можно было бы ожидать a priori (тезис Чёрча см.
[70], [682], [88]).
Теория рекурсивных функций имеет как общематематическое, так и
прикладное значение. Ее методами доказывается и теорема Матиясеви-
ча, сформулированная выше.
В следующем параграфе мы сформулируем некоторые основные ре-
зультаты теории рекурсивных функций, которые представляют непосредст-
венный теоретико-числовой интерес. После этого будут приведены точные
определения и некоторые сведения о доказательствах.
§ 3.2.	Диофантовы множества
3.2.1.	Перечислимость и диофантовы множества.
Определение 3.1. Подмножество Е С (Z+)m, т 1, называется дио-
фантовым, если существует такой многочлен с целыми (или, что то же
самое, с натуральными) коэффициентами
Р(/1, ..., tm\ Xi, ..., хл),
что
(6, ..., tm)eE <=> 3 (хь ...,xn)e(Z+)n, P(t, х) = 0.
Всякое диофантово множество Е перечислимо в следующем нефор-
мальном смысле слова: имеется детерминированный алгоритм, который по
мере работы в каком-то порядке выписывает все члены этого множества
(формальное определение дано в следующем параграфе). Действительно,
будем перебирать систематически все элементы множества (Z+)'”-M, под-
ставлять их в Р и, если получится нуль, выписывать первые т координат.
Мы получим растущий список элементов множества Е, в пределе исчер-
пывающий Е.
118	Индукция и рекурсия	[Гл. 3	|
f
3.2.2.	Диофантовость перечислимых множеств.
Теорема 3.2. Наоборот, любое перечислимое множество Е дио-
фантово. Определяющий его многочлен Р может быть эффективно
построен по описанию алгоритма, порождающего Е.
Поскольку a priori кажется, что перечислимых множеств гораздо боль-
ше, чем диофантовых, ясно, что в доказательстве придется устанавливать
диофантовость некоторых неожиданных множеств. Дж. Робинсон обна-
ружила, что эта задача облегчается, если постулировать диофантовость
множества {(а, Ь, с)\а = Ьс}, а Ю. В. Матиясевич [75] обосновал этот по-
следний шаг. Ниже мы продемонстрируем несколько красивых примеров,
используемых при этой конструкции, которые являются чисто теорети-
ко-числовыми, но сначала сформулируем следующее общее свойство.
3.2.3.	Свойства диофантовых множеств.
Предложение 3.3. Класс диофантовых множеств содержит мно-
жества уровня многочленов с целыми коэффициентами и замкнут
относительно операций конечного прямого произведения, конечно-
го пересечения и проекции.
Это следует прямо из определения. Достаточно заметить, что если мно-
жества Е, F С (Z+)m отвечают полиномам Р, Q соответственно, то Е П/7
отвечает Р2 + Q2, EUF отвечает PQ, а Е х F отвечает Р2 + Q2, где Q
получается из Q переименованием первых т переменных.
Приведем теперь ключевую арифметическую лемму о диофантовости
множества, связанного с решениями уравнения Пелля (важно, что одна из
координат растет как экспонента другой).
Пусть х2 — dy2 — 1 — уравнение Пелля (d е Z+ — целое число, не яв-
ляющееся полным квадратом). Его решения (х, у) е (Z+)2 образует цикли-
ческую полугруппу относительно закона композиции: если (xi, у\) — реше-
ние с наименьшей первой координатой, тогда любое другое решение имеет
вид (х„, уп); где п € Z+ и
хп + y„Vd = (Xi +z/iVd)n.
Число п назовем номером решения (ср. с п. 1.2.5).
Координаты хп, уп растут экспоненциально с ростом п, так что множе-
ство решений уравнения Пелля, а также его проекции на оси хну являются
диофантовыми множествами логарифмической плотности. Это еще не то,
что нужно: основная трудность состоит в том, чтобы включить номер реше-
ния п в число координат диофантова множества — только тогда мы полу-
чим возможность применить дальнейшие соображения. Это и делается ниже.
Удобно использовать d = а2 - 1, а е Z+, когда (х\, у\) = (а, 1). Урав-
нение х2 — (а2 — I)//2 = 1 назовем a-уравнением. Определим две последо-
вательности хп(а), уп(а) как координаты его л-решения:
хя(а) + yn(a)Va2 - 1 = (а + Va2 - 1)".
&
§3.2]
Диофантовы множества
119
Формальное определение хп(а) и уп(ц) как многочленов от а легко дать ин-
дукцией по п. Тогда Хл(а), уп(а) будут иметь смысл для всех п € Z и а € С.
В частности, хл(1) = 1, уп(\) = п; при этом все выводимые ниже формулы
останутся справедливыми.
3.2.4.	Диофантовость и уравнение Пелля.
Предложение 3.4. Множество Е: у = yn{d), а > 1, в (у, п, (^-про-
странстве является диофантовым.
Идея диофантова восстановления п по (//, а) состоит в замечании, что
в силу сравнения
уп(а) = п (mod (а - 1))
пара (у, а) однозначно определяет п, если только п < а — 1. Чтобы перей-
ти к общему случаю, введем вспомогательное Л-уравнение с большим А
и его я-е решение, которое определяется так, чтобы использовать п лишь
в диофантовом контексте.
Кроме основных переменных у, п, а, вводятся шесть вспомогательных:
х; х', £/'; A; Xj, yi. Положим далее
Е1: у л, а > 1;
Е3: у' = 0 (mod 2x2z/2);
Е5: А = а + х/2(х/2 - а);
Ет. у \ - у = 0 (modx'2);
£2: х2 - (а2 - I)//2 = 1;
Ец \ х'2 — (а2 - Ijy12 = 1;
£6: х2 - (А2 - l)i/? = 1;
Е6: у\ =п (mod2y).
При этом все множества £ диофантовы и рг£' = £, где £' = f)?_|£,. Для
проверки этого факта используются следующие свойства:
yk(a) = k (mod (а - 1));	(3.2.1)
если a = b (mode),	то yn(a)==yn(b) (mode);	(3.2.2)
если yi(a) = у,(а)хп(а),	а > 1,	
	то i = / или i = —{ (mod 2n);	(3.2.3)
если у,(а)2 \у,(а),	то у, (а) | /.	(3.2.4)
Свойства (3.2.1)—(3.2.4) выводятся из равенства
Хп±т(а) = хп(а)хт(а) ± (а2 - \)уп(а)ут(а).
хп±т(а) = ±хп(а)ут(а) + хт(а)уп(а).
3.2.5.	График экспоненты диофантов. Докажем, что множество Е:
у = ап в (у, а, ^-пространстве диофантово.
Достаточно проверить диофантовость множества Ео = Е П{а: а> 1}.
При а > 1 индукцией по п в обозначениях (3.2.4) легко получается нера-
венство
(2а - 1)" <yn+i(a) (2а)п.
120
Индукция и рекурсия
[Гл. 3
Отсюда выводится, что
ап = [i/n+i (Na)/yn+\(Л/)]
при достаточно большом N. Точнее, Eq есть проекция множества Е\:
а>1; 0<yn+i(N)y - yn+i(Na) <yn+i(у); N>4n(y + Q;
и диофантовость множества Е\ получается тогда с помощью введения три-
виальных вспомогательных соотношений у1 = уп+\{К) и у = yn+\(Nd).
3.2.6.	Диофантовость и биномиальные коэффициенты.
Предложение 3.5. Множество Е: г — n^k, в (г, k, ^-про-
странстве диофантово.
3.2.7.	Биномиальные коэффициенты как остатки.
Лемма 3.6. Если и > nk, то биномиальный коэффициент ра-
вен остатку от деления [(« + l)n/uk] на и.
Доказательство вытекает из формулы бинома
п	k-\
(u+\y/uk= £	+
/=/?+!	z=0
поскольку первая сумма делится на и, а последняя меньше единицы при
и > nk.
Доказательство предложения 3.5 проводится по той же схеме, в кото-
рой вспомогательные переменные — это и, v, а соотношения таковы:
Е1: и > nk\ Е2: v — [(« + l)n/uk];
Eq: r = v(modu); Е$: г <v\ Eq: n^k.
5
Из леммы непосредственно следует, что Е = рг (J Ez. Диофантовость Е\
/=1
следует из диофантовости экспоненты; диофантовость Е3, Е4 и Eq очевидна.
Диофантовость множества Е2 становится очевидной, если представить Е2
в виде
(и + 1)" ukv < (и + 1)" + uk
и снова воспользоваться диофантовостью экспоненты.
3.2.8.	Диофантовость факториала.
Предложение 3.7. 1. Множество Е: m = k\ диофантово.
2. Множество	.
в пространстве (х, у, р, q, k) диофантово.
Доказательство является некоторым усложнением рассуждений из
п. 2.2.6, 2.2.7, причем используется следующая лемма.
§3.2)
Диофантовы множества
121
3.2.9.	Факториал и алгоритм Евклида.
Лемма 3.8. 1. Если k>0 и п> (2k)M, то
2.	Пусть а>0 — такое целое число, что а = 0 (mod (qkk\)) и а>
>2p~[pk+i. Тогда
= a-I[a2*+I(l +а-2)р/‘7]	+ a~2)p/q].
Доказательство леммы следует из несложных элементарных выкладок,
а предложение 3.7 доказывается по той же схеме.
3.2.10.	Дополнительные результаты. Установленные выше диофан-
товы представления непосредственно используются в доказательство об-
щей теоремы Матиясевича. С другой стороны, их же можно использовать
при рассмотрении промежуточных экспоненциально-диофантовых пред-
ставлений интересных конкретных множеств. В качестве примера рассмот-
рим простые числа. По теореме Вильсона число р простое о (р — 1)! + 1
делится на р. Поэтому множество простых чисел является проекцией мно-
жества решений системы уравнений
[ р = f +1.
[ ар - bq = 1,
которое диофантово в силу диофантовости множества, задаваемого равен-
ством q = /!.
Любое диофантово подмножество Е с Z+ совпадает с множеством всех
натуральных значений некоторого многочлена с целыми коэффициентами
(на подходящем октанте (Z+)/v). Действительно, если Е — проекция мно-
жества P(t\ Xi, ..., хп) = 0, то Q(t; Х\, ..., хп) = /(1 - Р2) — подходящий
многочлен. Так можно построить многочлен Q, множество натуральных
значений которого состоит в точности из простых чисел. (Нужно заме-
тить, однако, что Q будет принимать также бесконечно много других целых
неположительных значений, и избежать этого нельзя.)
Числа Фибоначчи образуют последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...;
= +ип. Дж. Джоунз нашел, что, в отличие от простых чисел, эта
последовательность совпадает с множеством положительных значений мно-
гочлена пятой степени от двух переменных несложного вида (см. [70])
2а46 + a3b2 - 2a2b3 - а5 - ab4 + 2а.
Хотя, как мы уже отмечали, вопрос о доказуемости любой теоремы
в принципе сводим к диофантову уравнению, конкретные задачи могут быть
122
Индукция и рекурсия
[Гл. 3
сведены к диофантову уравнению в явном виде. Мы отсылаем читателя
к очень интересной и информативной статье [294]. В этой статье, в част-
ности, дана диофантова форма гипотезы Римана и проблемы четырех
красок.
§ 3.3.	Частично рекурсивные функции
и перечислимые множества
3.3.1.	Частичные функции и вычислимые функции. В этом пара-
графе приводится точное определение класса частичных функций из (Z+)m
в (Z4-)22, который считается адекватной формализацией класса (полу)вы-
числимых функций и позволяет дать определение перечислимых множеств.
Через D(f) обозначается область определения частичной функции /, см.
[682], [70].
3.3.2.	Простейшие функции. Введем функции
sue: Z+ —> Z4",	suc(x) =x + 1;
jW. (z+)rt-*Z+, 1(Л)(Х!, ..., xn) = 1,	n>0;
pif: (Z+)"	..., xn) = Xi, n 1.
3.3.3.	Элементарные операции над частичными функциями.
1.	Композиция (или подстановка). Она ставит в соответствие паре
функций f из (Z+)m в (Z+)" и g из (Z+)" в (Z+)p функцию h = go f из
(Z+)m в (Z+)p, которая определяется так:
D(go f) =	= {х е (Z+r: х е D(/), ZW € D(g)},
(g ° /)(х) = g(f(x)) (x e D(g о /)).
2.	Соединение. Эта операция ставит в соответствие частичным функ-
циям ft из (Z+)m в (Z+)"', z = 1, ..., k, функцию (/i, ..., fk) из (Z+)m
в (Z+)n‘ х ... х (Z4")'2*, которая определяется так:
О((Л,...,/,)) = О(Л)п...пО(/д
(/ь	/*)(*!, ...» Хт) = (/1(хЬ ..., Хт), ..., /ИХ1, ..., Хт)).
3.	Рекурсия. Эта операция ставит в соответствие паре функций f из
(Z4")'2 в Z4- и g из (Z4")'24’2 в Z функцию h из (Z4")'24’1 в Z4", которая
определяется рекурсией по последнему аргументу:
/i(xi, ...,хл, l) = /(xi, ...,хл)	(начальное условие);
ft(xi, ..., хл, k + 1) = g(xj, ..., хп> k, /z(xi, ..., хл, k)) при k 1
(рекурсивный шаг).
§ 3.3]	Частично рекурсивные функции и перечислимые множества	123
Область определения D(h) описывается также рекурсивно:
(хь...,х„, 1)еО(/г) о (хь .... х„) €£>(/);
(xi, хп, k + 1) € D(h) (xi, х„) € £>(/)
И
(%1, ..., хп, k, /z(xj, ..., хл, /г)) € D(g) при k 1.
4.	Операция р. Эта операция ставит в соответствие частичной функ-
ции f из (Z+)'z+1 в Z+ частичную функцию h из (Z+)n в Z+, которая
определяется так:
D(h) = {(Х|,	х„) е (Z+)m: Зхл+1 > 1 f(xit хп, х„+)) = 1
и (xi....хп, k) € D(f) для всех k xn+i},
/г(Х|, ..., х„) = min{x„+i: f(xh ...,хп, х„+() = 1}.
В общих чертах роль операции [1 состоит во введении функций, задан-
ных «неявно». Кроме того, она позволяет вводить в вычисление перебор
объектов для отыскания нужного объекта в бесконечном семействе. Три
особенности операции р следует отметить немедленно.
Выбор минимального числа у, для которого f(xi, ..., хл, у) = 1 требу-
ется, конечно, для обеспечения однозначности функции h.
Область определения функции h на первый взгляд представляется ис-
кусственно суженной: если, скажем, Дхь ..., хл, 2) = 1, a f(xj, ..., хл, 1)
не определено, мы считаем функцию /z(xi, ..., хп) не определенной, а не
равной 2. Причина этого состоит в желании сохранить интуитивную полу-
вычислимость функции h.
Наконец, все описанные операции, кроме операции ц, если их приме-
нять ко всюду определенным функциям, дают в результате всюду опреде-
ленную функцию. Для [1 это, очевидно, не так: это единственная операция,
ответственная за возникновение частичных функций.
3.3.4.	Частично рекурсивное описание функций.
Определение 3.9. 1. Последовательность частичных функций Д, ...
..., fa называется частично рекурсивным (соответственно примитивно ре-
курсивным) описанием функции fa = /, если f\ — одна из простейших
функций; fi для всех i 2 либо является простейшей функцией, либо
получается применением одной из элементарных операций к некоторым
из функций /1, ..., fi-\ (соответственно одной из элементарных операций,
кроме [1).
2. Функция f называется частично рекурсивной (соответственно при-
митивно рекурсивной), если она допускает частично рекурсивное (соответ-
ственно примитивно рекурсивное) описание.
124
Индукция и рекурсия
[Гл. 3
Многочлены с положительными значениями. Сначала установим
рекурсивность сумм и произведений.
1.	Сумма sum2! (Z+)2 —► Z+, (xi, x2)	+ *2-
Рекурсия no x2 исходя из начального условия Х\ + 1 = suc(xi) посред-
ством рекурсивного шага х\ -F k + 1 = suc(sum2(xi, k)).
2.	Сумма sumn: (Z+)rt —>Z+, (xj, ..., xn) У^Х/, n 3.
Считая известным, что функция sum^-i рекурсивна, получаем sumrt с по-
мощью соединений и композиции:
sumrt = sum2 o(sum„_! о (prf, ..., pr^_j), xrt).
Другой вариант — рекурсия по хп исходя из начального значения sue о
osunirt-i посредством рекурсивного шага:
п-1
У X! + k + 1 = suc(sumrt(xi, ..., xrt_i, k)).
Эта многозначность рекурсивных описаний, даже «естественных», будет
все возрастать.
3.	Произведение prod2: (Z+)2 —► Z+, (xj, х2) xix2.
Рекурсия по х2 исходя из начального условия xj посредством рекурсивного
шага x\(k + 1) =x\k + xi = sum2(xi&, Xi).
4.	Произведение prodrt: (Z+)n —>Z+, (xi, ..., хл) —>xi, ..., xn,
03: prodZI = prod2o(prodrt_1(pi7, ..., pr^), xn).
5.	«Вычитание единицы»: Z+ —►Z4",
x - 1, если x 2,
x >—> x — 1 = <
1, если x = 1.
Рекурсия применяется к функциям
/: Z+-*Z+, f = 1Ь£ = рф (Z+)3—>Z+: (xb x2, x3) ~x2,
в результате получается функция ft(xj, х2) = х2 — 1, поэтому х — 1 = рг^ °
о h о (х, х), где х = рг{ (х).
6.	«Усеченная разность» (Z+)2 -»Z+: (xi, х2) •—> xj - х2 =
xj — Х2, если Xi > х2;
1, еслих^хг.
(3.3.1)
§3.3]
Частично рекурсивные функции и перечислимые множества
125
Эта функция получается применением рекурсии к функциям
/(xi) = xi - 1,	g(X\, х2, х3) = х3 - 1.
Пусть F: (Z+)n—>Z+, где F — любой многочлен от Х[, ...,хп с це-
лыми коэффициентами, принимающий только значения из Z+. Если все
коэффициенты многочлена F неотрицательны, то F есть сумма произве-
дений функций pif: (xi, ..., хп) х/. Иначе F = F+ - F~, где коэффици-
енты многочленов F+ и F~ неотрицательны, а значение неусеченной раз-
ности во всех точках из (Z+)n совпадает со значением усеченной разности
— F~ по предположению о многочлене F. В дальнейшем будет ис-
пользоваться рекурсивность функций (х\ - х2)2 + 1 или h = (/ - g)2 + 1,
где функции /, g рекурсивны: Этот прием позволяет отождествлять «мно-
жество совпадения» f = g с «множеством 1-уровня» h = 1, с которым
удобнее работать.
3.3.5.	Другие рекурсивные функции. «Ступенька»:
= *
при X Хо,
при х > хо; a, b, х е Z+.
При хо = 1 она получается рекурсией с начальным значением а и по-
следующим Ь. В общем случае
s“f(x) = sf'b(x + 1 — Х0).
Определим функцию гет(х, у) = остаток от деления у на х, лежащий
в [1, х] (у нас нет нуля!). Имеем
гет(х, 1) = 1; гет(х, у + 1) = <
если гет(х, у) = х;
sue о гет(х, у), если гет(х, у) / х.
Применим следующий искусственный прием. Рассмотрим ступеньку
s(x) = 2 при х 2, s(l) = 1 и положим
<р(х, у) = s((rem(x, у) - х)2 + 1).
Очевидно,
гет(х, у) х <=> <р(х, у) = 1,
гет(х, у) = х <=> <р(х, у) = 2,
откуда следует, что
гет(х, у 4- 1) = 2suc(rem(x, у)) - ср(х, у) suc(rem(x, у)).
Итак, мы получили определение rem рекурсией.
126
Индукция и рекурсия
[Гл. 3
Обобщением этого приема является «рекурсия с альтернативами»:
h(x\, ...,хп, 1) = /(Х|, хл);
(3.3.2)
h(X\, ..., Хл, k + 1) = £((Х1, ..., Хл, Й, /l(X], ..., хл, k)),
если выполнено условие
G(xi, ..., х„,	/г), i = 1, ..., т.
Взаимоисключающие условия С, приведем к виду
Ci выполнено о epi (xi, ..., хп\ k\ h(x\, ..., хп, k)) = 1	(3.3.3)
(всюду определенная рекурсивная функция, принимающая только значения
1 и 2). Тогда рекурсивный шаг можно описать так:
т
h(x\, ..., хп, k + 1) = 2^2gi(xi, хп, k, й(Х|, ..., хп, k)) -
<=1	(3.3.4)
т
Е (&•?;)(* 1...хп, k, й(хь .... хл, /г)).
i=i
Этот прием позволяет установить примитивную рекурсивность следу-
ющих функций, которые понадобятся в дальнейшем.
Неполное частное:
qt(x, у) = <
у
целая часть
х
У 1
если - > 1,
х
У 1
если - < 1.
х
Имеем
qt(x, 1) = 1;

qt(x, у + 1)= qt(x, у)+ 1,
если гет(х, у + 1) / х,
если гет(х, у + 1) / х, у + 1 / х,
если у + 1 = х.
К стандартному виду (3.3.3) условия приводятся с помощью функций
s((rem(x, у + 1) - х)2 + 1),
$((гет(х, у 4- 1) - х)2 + 1) os((x - у - I)2 -h 1),
s((x -у - 1)2 + 1),
где
s(l) = 1, s(x>2) = 2; §(!) = 2, s(x^2) = l,
§3.3]
Частично рекурсивные функции и перечислимые множества
127
Функция radx— целая часть у/х. Имеем
rad(l) = 1;
rad(x + 1) =
radx,
rad x + 1,
если qt(radx + 1, x + 1) < radx + 1,
если qt(radx + 1, x + 1) = radx + 1.
Эти условия приводятся к стандартному виду (3.3.2) похожим образом.
Функция min(x, у):
{min(x, ц), если х < ц,
min(x, у) + 1, если х > у.
Функция тах(х, у) определяется аналогично.
3.3.6.	Дальнейшие свойства рекурсивных функций. Если функция
Дхь ..., хл) рекурсивна, то функции
Хп	Хп
5/ = ^2/(Х1....Pf = П /(X), ...,х„_|,/г)
k=\	k=\
рекурсивны. Кроме того, рекурсивны функции, которые получаются из f
а) любой перестановкой аргументов;
б)	введением любого числа фиктивных аргументов;
в)	отождествлением членов любой группы аргументов (Дх, х) вместо
Дх, у) и т. д.).
Отображение f: (Z+)m —> (Z+)n рекурсивно, если и только если все его
компоненты рг? о f рекурсивны.
Определение 3.10. Множество Е с (Z4")'2 называется перечислимым,
если существует такая частично рекурсивная функция /, что Е = D(f) (об-
ласть определения).
Обсуждение в §3.1 и 3.2 показывает, что интуитивный смысл пере-
числимости таков: существует программа, которая распознает элементы х,
принадлежащие Е, но, возможно, не умеет распознавать элементы, не при-
надлежащие Е. Позже будет дано другое описание перечислимых мно-
жеств, которое объяснит этимологию названия: это множества, все эле-
менты которых могут быть получены (возможно, с повторениями и неиз-
вестном порядке) с помощью некоторой «порождающей» их программы.
Из свойств частично рекурсивных функций вытекает следующий про-
стой факт.
3.3.7.	Связь с множествами уровня.
Предложение 3.11. Следующие три класса множеств совпадают'.
а) перечислимые множества;
б)	множества уровня частично рекурсивных функций;
в)	множества \-уровня частично рекурсивных функций.
f
128	Индукция и рекурсия	[Гл. 3
--------------------------------------------------------------- j
Гораздо более трудным утверждением является следующий результат
и его следствия.	;
3.3.8.	Связь с проекциями множеств уровня.
Теорема 3.12. Следующие два класса множеств совпадают'.
а)	перечислимые множества;
б)	проекции множеств уровня примитивно рекурсивных функций
со значениями в Z+.
Среди примитивно рекурсивных функций содержатся многочлены с ко-
эффициентами из Z+. Напомним, что диофантовыми множествами на-
зываются проекции множеств уровня таких многочленов и что теорема
Матиясевича теперь может быть сформулирована точно.
3.3.9.	Теорема Матиясевича.
Теорема 3.13. Перечислимые множества диофантовы, следова-
тельно, эти два класса совпадают.
Ниже в этом параграфе изложен план доказательства теорем 3.12 и
3.13.
Назовем временно проекции уровней примитивно рекурсивных функций
примитивно перечислимыми множествами. В первой части доказательства
теоремы 3.12 устанавливается, что примитивно перечислимые множества
перечислимы, а во второй части — обратное включение.
Итак, пусть f(x\, ..., хп, хл+1, • ••, *п+т)— некоторая примитивно ре-
курсивная функция, Е — проекция ее 1-уровня на первые п координат.
Построим явно такую частично рекурсивную функцию g, что Е = D(g).
Разберем отдельно три случая в зависимости от коразмерности проек-
ции: т = 0; 1 или т 2.
Случай а): т = 0. Тогда множество Е является множеством 1-уровня
функции f и перечислимо по предложению 3.3.7.
Случай б): т= 1. Положим
g(Xf, .... хп) = min{хя+|: f(xi.хп, xn+i)= 1}.
Очевидно, функция g частично рекурсивна и D(g) = Е.
Случай в): т 2. Мы сведем этот случай к предыдущему с помощью
следующей леммы, важной во многих других вопросах и имеющий принци-
пиальный интерес (отсутствие понятия размерности в «рекурсивной гео-
метрии»).
3.3.10.	Существование некоторых биекций.
«Лемма 3.14. Для всех т 1 существует такое взаимно однознач-
ное отображение	Z+ —► (Z+)m, что
а)	функции =	примитивно рекурсивны для всех I,
1 / ^т;
б)	обратная функция	(Z+)m —>Z+ примитивно рекурсивна.
§3.3]
Частично рекурсивные функции и перечислимые множества
129
Использование леммы. Применим лемму в ситуации п. 3.3.9 в). Так,
положим (при т 2)
£(*1....хп, у) = f(xit ...,хп, t^(y).t™(y)).
Очевидно, функция g примитивно рекурсивна вместе с f. Легко прове-
ряется, что множество Е совпадает с проекцией 1 -уровня функции g на
первые п координат. Так как это проекция коразмерности 1, мы свели этот
случай к уже разобранному.
Доказательство леммы. Случай т = 1 тривиален. Проведем
индукцию по т, начиная с т = 2.
Конструкция /(2). Сначала построим явно т(2): (Z+)2 -*Z+, положив
т(2)(Х1, х2) = ^((%1 + х2)2- X) — Зх2 + 2).
Легко проверяется, что если пронумеровать пары (хь Х2) € (Z+)2 в «кан-
торовском порядке», расположив их по возрастанию xi + хг, а внутри
группы с данным Xi +*2 — по возрастанию хь то t(2)(xi, Х2) будет как
раз номером пары (х\, Х2) в этом списке. Тем самым, функция т(2) вза-
имно однозначна и примитивно рекурсивна (следует использовать п. 3.3.4
и рекурсивность функции qt из п. 3.3.5 для учета 1/2).
Восстановление пары (xi, Х2) по ее номеру у является элементарной
задачей и приводит к следующим формулам для обратной функции /(2):
t(24y)=y~^ \12У~74~12 ( у/2У~1~12 +1)’
t?4y)=^2y-74-±
~№(у) + 2.
Здесь [z] обозначает целую часть числа z. Проверка примитивной рекур-
сивности этих функций проводится с помощью результатов и приемов из
п.3.3.4-3.3.6.
Конструкция т^З. Предположим, что функции
уже построены и проверены их свойства. Положим, прежде всего,
Т(т)(Х|, .... хт) = т<2)(т(т-|)(Х1.хот_1),	хт).
Ясно, что функция т(т) примитивно рекурсивна и взаимно однозначна. Ре-
шив уравнение
Т(2)(т(,"_|)(Х1, ...» Хт-1), Хт) = у
в два приема, получим для обратной функции формулы
= 42)(«/)<	= ^-‘^(У^ 1 < i пг - 1.
По индуктивному предложению функции примитивно рекурсивны.
130
Индукция и рекурсия
[Гл. 3
Этим доказана лемма и завершена первая часть доказательства теоре-
мы 3.12.
Вторая часть доказательства. Установим, что всякое перечисли-
мое множество примитивно перечислимо. Начнем со следующего легко
проверяемого свойства класса примитивно перечислимых множеств.
3.3.11.	Операции на примитивно перечислимых множествах.
Лемма 3.15. Класс примитивно перечислимых множеств замкнут
относительно следующих операций', конечное прямое произведение,
конечное пересечение, конечное объединение, проекция.
Пусть теперь Е — некоторое перечислимое множество. Реализуем его
как 1-уровень частично рекурсивной функции f из (Z+)n в Z+ по предло-
жению 3.3.7 и заметим, что для доказательства примитивной перечислимо-
сти множества Е достаточно проверить примитивную перечислимость гра-
фика Г/ С (Z+)rt х Z+. Действительно, ясно, что Е является множеством
1-уровня проекции на первые п координат множества Г/ П [(Z+)n + {1}].
Кроме того, множество {1} с Z+ примитивно перечислимо по свойствам из
п. 3.3.4, и если мы докажем, что множество Г/ примитивно перечислимо, то
из леммы 3.3.11 будет следовать то же самое для Е. Итак, окончательная
редукция нашей задачи выглядит так: доказать, что графики частично ре-
курсивных функций f примитивно перечислимы. С этой целью проверяет-
ся, что а) графики простейших функций примитивно перечислимы; б) если
даны функции с примитивно перечислимыми графиками, то у функции, ко-
торая получается из них применением одной из элементарных операций,
также примитивно перечислимый график.
Устойчивость относительно рекурсии и [i-оператора является наиболее
тонким фактом. Для этого используется следующая красивая и полезная
лемма.
3.3.12.	Функция Гёделя.
«Лемма 3.16. Существует примитивно рекурсивная функция
Gd(fc, /) {функция Гёделя) со следующим свойством', для любого N G
G Z+ и любой конечной последовательности а\, ..., а^ eZ+ длины N
существует такое f G Z+, что Gd(£, t) = а* при всех k, \
{иными словами, Gd(&, t)) — это такая последовательность функций
от аргумента k, пронумерованная значениями параметра t, что
любая функция от k на сколь угодном большом интервале 1,... ,N мо-
жет быть представлена подходящим членом последовательности).
В доказательстве сначала удобно положить
gd(u, k, t) = rem(l + kt, и)
и показать, что функция gd обладает тем же свойством, что и Gd, если
разрешить подбирать {и, t) G (Z+)2. После этого можно будет положить
Gd(£, у) = gd(/}2)(z/), k,
§ 3.4]	Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость 131
где /(2): Z+ —> (Z+)2— изоморфизм из леммы 3.3.10. Избавление от лиш-
него параметра и в Gd(£, /), по сравнению с gd(u, k, t), несущественно.
3.3.13.	Свойства перечислимых множеств. Теорема 3.3.8 показыва-
ет, что если множество Е перечислимо, то существует программа, «порож-
дающая Е» (ср. с п. 3.3.6). Действительно, пусть Е — проекция на первые п
координат 1-уровня примитивно рекурсивной функции /(xj, ..., хл, у). По-
рождающая Е программа должна перебирать векторы (х\, ..., хл, у), ска-
жем в канторовском порядке, вычислять f и подавать на выход (х\, ..., хп)
в том и только в том случае, когда f = 1. В силу примитивной рекурсивно-
сти функции /, порождающая программа рано или поздно выпишет любой
элемент множества Е и ничего кроме него и не может навечно застрять
на элементе, не принадлежащем Е. Однако если Е пусто, мы этого можем
никогда не узнать.
Множество Е с (Z+)rt называется разрешимым, если оно и его до-
полнение перечислимы. Интуитивно это означает, что есть программа, по
каждому элементу множества (Z4")'2 выясняющая, принадлежит ли он Е
или нет. Эти множества можно охарактеризовать как множества уров-
ня общерекурсивных всюду определенных частично рекурсивных функций
или же как множества, характеристическая функция которых рекурсивна.
Чтобы установить эти свойства, используется следующий результат.
Предложение 3.17. Для того чтобы частичная функция g из
(Z+)n в Z+ была частично рекурсивной, необходимо и достаточно,
чтобы ее график был перечислим.
§ 3.4. Диофантовы множества
и алгоритмическая неразрешимость
3.4.1.	Алгоритмическая нераспознаваемость и неразрешимость.
Прежде чем объяснить, как доказывается теорема 3.13 о совпадении
класса диофантовых множеств и класса перечислимых множеств, приведем
несколько интересных приложений этой теоремы. Из логики известно су-
ществование перечислимых, но не разрешимых множеств. Из объединения
этого результата, теоремы 3.13 и тезиса Чёрча вытекает неразрешимость
десятой проблемы Гильберта (см. п. 3.1.2).
Прежде всего, любое натуральное число есть сумма четырех квадра-
тов целых чисел (теорема Лагранжа, п. 1.2.6). Поэтому разрешимость
уравнения f(x\, ..., хп) = 0 в (Z+)n равносильна разрешимости уравнения
f(l+52^- •••’1+&0 =0
'	Z=1	/=1	'
132
Индукция и рекурсия
[Гл. 3
в Z4". Следовательно, достаточно установить алгоритмическую неразре-
шимость массовой проблемы «распознавания наличия решений» в (Z+)\
Пусть Е с Z+ — перечислимое, но неразрешимое множество. Предста-
вим его в виде проекции на /-координату множества 0-уровня многочле-
на ft = /(/; xi, ..., хп) = 0, f е Z[/, xi, ..., хп]. Уравнение До = 0; /о € Z+,
разрешимо, если и только если t^eE. Согласно общему принципу (тезис
Чёрча) интуитивная вычислимость эквивалентна частичной рекурсивно-
сти функции. Отсюда вытекает, что соответствующая массовая пробле-
ма для семейства {ft} алгоритмически разрешима, если и только если
характеристическая функция множества Е вычислима. Однако по вы-
бору Е это неверно: хотя Е перечислимо, дополнение к Е не перечис-
лимо.
Таким образом, разрешимость в целых числах нераспознаваема уже
для подходящего однопараметрического семейства уравнений. Число неиз-
вестных в нем (и вообще коразмерность проекции, подразумеваемой в тео-
реме 3.3.9) может быть сведено до 9 (Ю. В. Матиясевич). Точный минимум
неизвестен, его нахождение — очень интересная проблема.
3.4.2.	План доказательства теоремы Матиясевича. Временно вво-
дится класс множеств, промежуточный между перечислимыми и диофан-
товыми. Чтобы определить его, рассмотрим отображение, которое ста-
вит в соответствие каждому подмножеству Е с (Z+)n новое подмножество
F С (Z+)n по следующему правилу:
(xi, ..., хп) е F о V k € [1, хп\ (xi, ..., хп_ 1, k) € Е.
В этом случае будем говорить, что Е получилось из Е применением ограни-
ченного квантора общности по я-й координате. Аналогично определяется
применение по любой координате.
Определение-лемма. Рассмотрим следующие три класса подмно-
жеств в (Z4")'2 при всевозможных п.
I.	Проекции множеств уровня примитивно рекурсивных функций.
II.	Наименьший класс множеств, содержащий множества уровня
многочлена с целыми коэффициентами и замкнутый относительно
операций конечного прямого произведения, конечного объединения,
конечного пересечения, проекции и ограниченного квантора общ-
ности.
III.	Проекции множеств уровня многочленов с целыми коэффици-
ентами.
Тогда
а)	Класс I совпадает с классом перечислимых множеств, а класс
III — с классом диофантовых множеств; множества класса II будем
называть D-множествами;
б)	Справедливы включения'. I D II D III.
§3.4]
Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость
133
Завершающие шаги теоремы Матиясевича состоят из редукций, подоб-
ных уже описанным. Критическое место — доказательство того, что класс
диофантовых множеств замкнут относительно применения ограниченного
квантора общности. Здесь и используются диофантовы представления кон-
кретных множеств, построенных в § 1.2, для проверки того, что применение
функции Гёделя не нарушает диофантовости.
Отметим, что в [647] Б. Поонен изучал десятую проблему Гильберта
для больших подколец в Q в связи с гипотезой Мазура о многообразиях
над Q, для которых топологическое замыкание рациональных точек име-
ет бесконечно много компонент (до сих пор не известно ни одного такого
многообразия). Для поля рациональных чисел десятая проблема Гильберта
является большим открытым вопросом. При попытках нахождения ответа
на него использовались два общих подхода: один заключается в изучении
аналогичного вопроса для других глобальных полей (таких, как поле ра-
циональных функций ₽<?(/) над конечным полем) и в переносе методов на
поле Q; другой заключается в поиске доказательств для очень больших
подколец в Q. Связь этой проблемы с арифметической и алгебраической
геометрией была изучена в [419], см. также [748].
ГЛАВА 4
АРИФМЕТИКА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
§4.1. Алгебраические числа: реализации и геометрия
4.1.1.	Присоединение корней многочленов. Идея расширения по-
ля рациональных чисел возникла, в частности, благодаря попыткам ре-
шить конкретные диофантовы уравнения. Использование иррациональных
чисел, являющихся корнями многочленов с рациональными коэффициен-
тами, часто позволяет привести такие уравнения к более удобной форме.
Интегрирующий пример связан с уравнением Ферма (см. [14], [87], [325],
[665])
xn+yn=zn (п>2).	(4.1.1)
Неразрешимость уравнения (4.1.1) в ненулевых целых числах при п > 2
была установлена в работе Уайлса [841], а также в работе Уайлса и Тэйло-
ра [798] о гипотезе Шимуры—Таниямы—Вейля и большой теореме Фер-
ма, см. гл. 7. Уайлс использовал сложную технику и идеи, принадлежа-
щие ему и многим другим математикам (К. Рибет, Г. Фрей, И. Хеллегуарш,
Ж.-М. Фонтен, Б. Мазур, Х.Хида, Ж.-П. Серр, Дж. Туннелл и др.). Это
поистине историческое событие подводит итог целой эпохе в теории чисел.
Заметим, что еще до работы Уайлса Фальтингс доказал (см. гл. 5, § 5.5),
что число примитивных решений (х, у, z) (т. е. таких, что НОД(х, у, z) =
= 1) конечно для всех п > 2. Если п— нечетное простое число, то левая
часть уравнения (4.1.1) преобразуется в произведение:
п—1
П(х +£*</) = 2я,	(4.1.2)
/?=0
где £ = ехр{2тс//гг} — первообразный корень степени п из 1. Используя
свойства делимости произведения в левой части уравнения (4.1.2), можно
доказать, что уравнение (4.1.1) неразрешимо в целых числах, не делящих-
ся на п (т. е. установить первый случай теоремы Ферма'. n\xyz), если
предположить, что в кольце R = Z[£] справедливо свойство однозначности
разложения на простые множители (Куммер). Однако это свойство выпол-
нено далеко не всегда: Масли и Монтгомери [553] нашли все такие п\ их
§4.1]
Алгебраические числа: реализации и геометрия
135
оказалось 29: из них простыми являются п = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Тем не
менее, до работы Уайлса справедливость первого случая теоремы Ферма
была установлена для бесконечно многих простых чисел, см. [113], [347],
[380].
Пусть а — некоторый комплексный корень неприводимого многочлена
ftx) = хп 4- ап-\хп~] + ... + ао € Q[x] с рациональными коэффициентами
at € Q. Если k = Q(ot) — наименьшее поле, содержащее а, то любой его
элемент 0 имеет вид 0 = г(а), где г(х) — многочлен степени degr(x) < п,
а правила действий в Q(ot) таковы, как с остатками по модулю многочле-
на f в кольце многочлен. Другими словами, имеется изоморфизм поля k
с факторкольцом Q[x](f), и k является я-мерным Q-векторным простран-
ством (с базисом 1, а, ..., ал-1). Выбор базиса дает еще одну реализацию
элементов поля k как квадратных матриц размера п х п: элементу 0 € k от-
вечает матрица линейного отображения срр: х 0х. В базисе 1, а, ..., ал-1
эндоморфизм <ра записывается матрицей (сопровождающая матрица)
	/0 0 ..	. 0 —а0 \
	1 0 ..	0 — а\
д« =	0 1 ..	. 0 - аг
	\0 0 ..	
а наименьшее подкольцо алгебры матриц Mn(Q), содержащее Ла, отож-
дествляется с k. Каждый элемент 0 € k является корнем характеристиче-
ского многочлена эндоморфизма <рр, его определитель и след обозначаются
N(0), Тг(0) и называются соответственно нормой и следом элемента 0. Би-
линейная форма В: k х k -* Q, определенная по правилу В(и, о) = Tr(iw),
является невырожденной. Элемент 0 € k называется целым, если коэффи-
циенты Ь[ характеристического многочлена
det(X • 1Л - <рр) = Х" + ftn-iX"-1 + ... + 60 € Q[X]
— целые рациональные числа. Это условие равносильно тому, что коль-
цо Z[0] — конечно порожденная абелева группа. Множество всех целых
чисел поля k будет обозначаться О = Ok, и оно также является конечно
порожденной абелевой группой — свободным Z-модулем с базисом , ...
..., Определитель билинейной формы В(и, v) в таком базисе назы-
вается дискриминантом D = Dk поля k и не зависит от выбора базиса
Z-модуля О^
Идея выполнения символьных операций над корнями многочленов при-
вела к теории алгебраических расширений полей, для которых можно про-
вести рассмотренные конструкции. Если k с К — два поля и размерность
[К : k] конечна, то для любого элемента 0 € К аналогично определяют-
136
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
ся N/</fe(P) и Тгкд(р). Требование невырожденности формы Вк/ь(ц, v) =
= Тгкд(иг>) является одним из определений сепарабельного расширения.
В этом случае всегда можно найти такой элемент у € К, что К = &(у) (тео-
рема о примитивном элементе) [494], [108].
Присоединение корней всех неприводимых многочленов из &[Х] к ос-
новному полю k приводит к конструкции алгебраического замыкания k.
Это поле, однозначно определенное с точностью до изоморфизма и состо-
ящее из элементов, алгебраических над k, само алгебраически замкнуто:
любой многочлен f(X) е &[Х] имеет корень а € k, если deg / > 0. Когда пи-
шут Q, то часто имеют в виду конкретную реализацию этого поля в виде
множества всех комплексных чисел z € С, являющихся корнями много-
членов с рациональными коэффициентами.
4.1.2.	Расширения Галуа и элементы Фробениуса (см. [494], [530]).
В общей ситуации пусть K/k — конечное сепарабельное расширение,
k с К С k. Тогда K/k называется расширением Галуа, если для всех
вложений X: К —*k над k (т. е. Х(х) = х при х € k) выполнено условие
\(К) = К. В этом случае автоморфизмы X: К —> К над k образуют группу
G(K/k) — Aut(K/&) порядка п = [К : k], которая называется группой Га-
луа, а расширение K/k называется тогда расширением Галуа. В дальней-
шем результат действия о е G(K/k) на элемент х е X будет обозначаться
х°, либо ох, так что выполнено равенство (то)(х) = т(ох), хта — (х°)т (ле-
вое действие G(K/k) на X).
Теорема 4.1 (основная теорема теории Галуа). Существует вза-
имно однозначное соответствие между подгруппами Н с G(K/k)
и промежуточными полями L, k с Lc К, определенное по правилу
Н »-> Кн = {X е К: х° = х для всех о € И},
HL — {о е G(K/ky. х° = х для всех х е L}.
При этом соответствии нормальные подгруппы Н < G(K/k) отвеча-
ют расширениям Галуа L/k, причем G(L/k) = G(K/k)/Ht.
Пример 4.2 (конечные поля). Пусть К = F^— конечное поле из q
элементов, тогда q = pf и F7 — векторное пространство степени / над
простым подполем Fp = Z/pZ [530]. Для любого целого числа г > 0 в ал-
гебраическом замыкании F^ содержится ровно одно расширение поля F^
степени г,	_
F^r = {х € F^: xq = х},
так как xqf~{ = 1 для всех элементов мультипликативной циклической
группы F*r. Поэтому расширение F^r/F^ является расширением Галуа,
причем группа Галуа циклическая порядка г,
G(Fr/F?) = {l, Fr9, F^ .... Fr;-1},
где Fr^ : х xq —автоморфизм Фробениуса.
§ 4.11	Алгебраические числа: реализации и геометрия	137
Пример 4.3 (круговое поле). Пусть Z>m— первообразный корень
степени т из 1, тогда поле Km = QKm) содержит все корни многочле-
т— 1
на Хт - 1 = П “ £т) и поэтому является расширением Галуа. Если
z=0
о € G(Km/Q), то элемент тоже должен быть первообразным корнем
степени т из 1, так что о^т —	(а, т) = 1. Если £* —другой перво-
образный корень, то о(£*) = £*а; поэтому сопоставление ома (modm)
дает каноническое отображение G(ftm/Q) —»(Z/mZ)x, которое является
изоморфизмом. Для доказательства достаточно установить, что круговой
многочлен
т—\
<м*)= П
/=1
О',т)=1
— неприводимый многочлен над Q. Во-первых, Хт - 1 = П ФДХ), поэтому
d\m
Фт(Х) = П (Xm/d - l)u(d) € Z[X] — функция Мёбиуса). Неприводи-
d\m
мость устанавливается с помощью редукции многочленов Z[X] —* FP[X] по
модулю р: f(X) »-> /(X) G FP[X] и с помощью эндоморфизма Фробениу-
са /(X)»—> Т(Х)Р — Т(Хр) в кольце FP[X]. Предположим противное: пусть
многочлен Фт(Х) приводим и
Фт(Х) = МХ)...[г(Х)
— его разложение на неприводимые многочлены в кольце Z[X]. Докажем,
что для всех a (modm), (a, m) = 1, если = 0, то и fi(C^) = 0. Вос-
пользуемся существованием такого простого числа р, что р = а (modm).
Многочлен Хт — 1 взаимно прост со своей производной тХш-1_в кольце
FP[X], так как р\т, а следовательно, многочлены /ДХ), ..., Jr(X) по-
парно взаимно просты. Если теперь /Д^) = 0 для какого-нибудь // 1,
то = 0, и поэтому fi(X) делит fj(Xp), а значит, f\(X) делит f j(Xp) =
= (fj(X))p. Это противоречит взаимной простоте многочленов /ДХ) и f ДХ).
Заметим, что нетрудно избавиться от предположения о существовании
р с условием р = а (modm): для этого рассматривается разложение на
простые множители а = р*1 ... p$s и редукция по модулю pz, / = 1, ..., s,
см. [14], [494], [230], [501], [821].
Напомним, что характером Дирихле х по модулю m называется гомо-
морфизм х- (Z/mZ)x —*СХ, который часто рассматривается как функция
на множестве Z, причем х(х) = х(х mod если (х, m) = 1, и х(х) = 0,
если (х, m) > 1 (см. п. 2.2.2). Согласно доказанной теореме существует
канонический изоморфизм G(Km/ty) = (Z/mZ)x, поэтому характер Ди-
рихле х задает гомоморфизм рх: Gal(Q/Q)—>СХ с помощью проекции
Gal(Q/Q) Gal(Km/Q).

138	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
Теорема 4.4 (теорема Кронекера—Вебера). Для любого гомомор-
физма конечного порядка р: Gal(Q/Q) -* Сх существует такой ха-
рактер Дирихле х, что р = рх, см. [101], [137], [230].
Эквивалентная формулировка: любое расширение Галуа К/Q с комму-
тативной группой Gal(K/Q) (абелево расширение) содержится в некотором
круговом расширении.
Замечательно то, что элементы группы Галуа Gal(/(m/Q) отвечают про-
стым числам р (точнее, р (mod m)) для р | т. Наиболее глубокие резуль-
таты алгебраической теории чисел связаны с обобщениями теоремы Кро-
некера—Вебера. Например, Серр и Делинь установили соответствие меж-
ду такими неприводимыми двумерными представлениями р: Gal(Q/Q) —►
—> GL2(C), что det р = рх для нечетного характера Дирихле и прими-
тивными параболическими формами веса один (см. §6.4) (теорема
Серра—Делиня). Предположительно это соответствие является взаимно
однозначным и представляет собой двумерный вариант теоремы Кроне-
кера—Вебера.
4.1.3.	Тензорное произведение полей и геометрическое изобра-
жение алгебраических чисел. Чтобы получить удобную геометрическую
реализацию поля алгебраических чисел k, мы используем тензорное произ-
ведение k 0 R. Конструкции, использующие тензорное произведение полей
и колец, очень распространены в алгебраической теории чисел, поэтому мы
начнем с более общего результата.
Теорема 4.5 (теорема о тензорном произведении полей). Пусть
K/k — конечное сепарабельное расширение, К = £(у), L/k— некото-
рое другое расширение, причем
т
i=\
— разложение на неприводимые множители в кольце L[X]. Тогда
имеет место изоморфизм колец
К ®kL = П£ ’
i=\
где Li = L[X\/(gi(X))— конечные расширения поля L, содержащие К
(при вложении Xi*. К Li),
Ыг(у)) = r(X) (mod &•(%))
(см. [225], [230]).
Доказательство этой теоремы проводится подобно доказательству ки-
тайской теоремы об остатках: элементы г(у) 0^ I (/ е L, г(Х) е &РФ
al
§4.1]	Алгебраические числа: реализации и геометрия	139
порождают К L, а изоморфизм задается формулой
r(Y) ®k I ~ (/rW (mod gx (X)), ..., /r(X) (mod ^(X)))
Следствие 4.6. Для любого элемента 0 е К рассмотрим его харак-
теристический многочлен /р(Х) е k[X] в расширении K/k и характе-
ристические многочлены fa е ЦХ] элементов Х/(0) е Ц над L. Тогда
т
/р(Х) = П /рДХ). В частности,
/=1
т
ЛАк/*(Р) = ПМд,/д(Х/(₽)),	(4.1.3)
i=\
т
Тгк/А(р) = ПТг^^(Р))-	С4-1-4)
/=1
Если в качестве L взять k, то т = п и Хь ...» \п — все различные вло-
жения Xj: К —* k,
^Х) = (Х-Х^))...(Х-^))-
Поэтому для любого 0 € K/k мы имеем
п	п
*МР) = Пм₽), Тгк/* = Ех< <4-15)
Z = 1	Z = 1
Геометрическое изображение алгебраических чисел получается, если
положить E = R, /C=Q(y), k = Q. Пусть /Y(X) = (X — yi)... (X - yr,) х
х(Х2 + oqX + 0i)... (X2 + аГ2Х + 0Г2) — разложение минимального много-
члена /Y(X) € Q[X] для у на неприводимые многочлены над полем действи-
тельных чисел, тогда
К = Q(y) ® = ^Г1 х СГ2	(4.1.6)
(изоморфизм R-алгебр) или К R = Rn (изоморфизм R-векторных про-
странств) и п—Г\ Н-2г2. Пусть Xi, ..., ХГ1, ..., ХГ1+Г2 — вложения из п. 4.1.2,
тогда набор X = (Xi, ..., ХГ1+Г2) задает вложение К в Rn, а все вложения
поля К в поле комплексных чисел таковы:
X1, ..., Хг।, Х^। 1, х^। 1, •. •, Хг। _|_f2, Xf। _|_f2.
Решеткой M в векторном пространстве R" будем называть такую дис-
кретную подгруппу McRrt, что факторгруппа Rn/Af компактна (в есте-
ственной топологии). Любая решетка М С R" является свободной абеле-
вой группой, натянутой на какой-нибудь базис в], ..., еп в R".
140
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
Если О — кольцо целых элементов поля /(, то можно проверить, что
его образ М = Х(О) С является решеткой, причем
DK = (-4)'2 vol2(R"/X(O)),	(4.1.7)
где DK— дискриминант поля К (см. п. 4.1.1), а vol^/Al)— объем
основного параллелограмма {£/=1 xiei'-	1} решетки М = (еь ...
..., еп) по обычной мере Лебега в R". Пусть, например, К = Q(a) — квад-
ратичное поле, где а2 = d и целое число d свободно от квадратов. Тогда
вычисление характеристического многочлена элемента £ = а + 6а (где а,
b — рациональные числа) показывает, что <9 = Z[(o], где
со = 1	и D% = d	при d = 1 (mod 4),
(о = а	и D^=^d при d = 2, 3 (mod 4).
Если d положительно, то геометрическим изображением числа £=a + 6a
будет точка Х(£) = (а + by/d, а — by/d). В случае мнимого квадратичного
поля (d < 0) изображением числа £ = a + 6a будет точка a + iby/\d\ на
комплексной плоскости. Поскольку Z[o] = (1, со), при положительном d
мы имеем
vo1(R2/Z[q] ) =
если d = 1 (mod 4),
если d = 2, 3 (mod 4),
а при отрицательном d получаем
vo1(C/Z[g>]) = <
если |d| = 3 (mod4),
если \d \ = 1, 2 (mod 4).
Вид решетки целых чисел квадратичного поля в R2 иллюстрирует рис. 4.1
для d = -1 и рис. 4.2 для d = 2.
Рис. 4.2
Рис. 4.1
§4 11
Алгебраические числа: реализации и геометрия
141
4.1.4.	Единицы, логарифмическое отображение и регулятор. В
кольце Z есть только два обратимых элемента: 1 и —1. Группа единиц,
т. е. обратимых элементов, кольца целых элементов Or поля алгебраиче-
ских чисел К устроена менее тривиально, но ее строение поддается пол-
ному описанию. Эта группа обозначается или Ек, а к нахождению
ее элементов сводится ряд интересных задач элементарной теории чисел,
например решение уравнения Пелля (п. 1.2.5)
x2-dy2 = l	(4.1.8)
(где натуральное число d свободно от квадратов). Действительно, если
ре 0%, то Np и (Np)-1 =N(P-1) — целые рациональные числа, поэтому
Np = ±1. Наоборот, если р е Or и Np = ±1, то ре Следовательно,
любое решение уравнения (4.1.8) в целых числах х, у дает некоторую еди-
ницу р = х + у а. вещественного квадратичного поля К = Q(ot), а2 = d, так
как Np + (х + y\/d)(x - y\fd\ Из общей теоремы Дирихле о строении
группы единиц произвольного поля алгебраических чисел К следует,
в частности, что для К = Q(Vd) выполняется равенство Е% = {±ел: п е Z},
где е — фундаментальная единица (она однозначно определена тре-
бованием, что число Xi(е) = a + b\/d наименьшее с условием Xi(e) > 1).
Так, множество решений уравнения (4.1.8) в целых числах отождествляет-
ся с подгруппой в Ек, имеющей вид {ieg/м € Z}, где ео = *о + У№ отвечает
наименьшему решению (хо, уо), однозначно определенному условием ми-
нимальности числа Xi (ео) = хо + y<yfd > 1. Для описания группы единиц
в общем случае используется вложение X: К К К = ВТ2 х Cf2 и ло-
гарифмическое отображение
/: (BV1 х С2)х ->1Г1+Г2,
где если i Oi, то Л (х) = log|х|, //: Rx —* R, а если i > ц, то /<(х) = log|х|2,
li: Сх —> R. При отображении / о X умножение элементов в поле пере-
ходит в сложение векторов пространства КГ1+Г2. Если х € /(, то мы знаем,
что	________ _________________
Nx = X! (х)... ХГ1 (х) • ХГ1+1 (х)Хг,+j (х)... ХГ1+Г2 (х)ХГ1 +Г2 (х)
в силу соотношения (4.1.3), поэтому
Г1+Г2
/,(Х,(х)) = log|Nx|.
1=1
В частности, образ /Х((9£) группы единиц лежит в гиперплоскости
V = l(Xi, ...,хГ1+Г2)еГ’+Г2
О+Г2
У? х‘=о
1=1
142	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
V = Rr, г = Г\ 4- Г2 - 1. Ядром отображения /: (К Oq R)x -* Rfl+f2 явля-
ется компактное подмножество
{±1р X Sr2 cF1 X С2 =
где S = {z е C/|z| = 1} — окружность. Следовательно, логарифмическое
отображение дает довольно эффективный способ изображения группы еди-
ниц: ядро отображения /X: Е/< —»Rri+r2 состоит лишь из конечного чис-
ла элементов (корней из единицы, лежащих в /(). Действительно, только
конечное число элементов дискретного множества Х(О/<) попадает в ком-
пактное множество Кег/ CF. Основная теорема о строении группы
единиц (Дирихле) — это утверждение о том, что образ ГК(Ек) является
(полной) решеткой в V = Rr (г = r\ 4-	- 1). Другими словами, найдут-
ся такие элементы ei, ..., ег е Ек, что любая единица е Е Е/< однозначно
представляется в виде е = ...гпггу где щ eZ,r^ — некоторый корень из 1,
лежащий в /С В частности, элементы еь ..., ег мультипликативно незави-
симы: /X(ei), ..., /Х(ег) образуют базис векторного пространства V. Рас-
смотрим теперь объем vol( V//X(E/<)) основного параллелепипеда решетки
единиц (по мере подпространства V, заданной мерой Лебега в R"). Тогда
величина	tzl//nzc
vol(V//X(Ez<))
Як =------7=т=т—
vr + 1
называется регулятором поля и равна абсолютной величине опреде-
лителя
/1X1 (Е1)	/2X2(21)	••• //]-+-Г2 Х/-|-+-Г2 1)
/1X1 (е<)	/2X2(2,-)	• •• //|4-/-2Х/-1+г2(2/-)
(Г1+Г2) 1 (ri 4-гг) 1 • •• (п 4-г2) 1
4.1.5.	Точки решетки в выпуклом теле. Сейчас мы опишем геомет-
рическую идею, на которой основано доказательство теоремы о единицах
и других интересных фактов (оценки дискриминантов).
Теорема 4.7 (лемма Минковского о выпуклом теле). Пусть М—
решетка в R", А = vol(Rrt/M), и пусть XcF — центрально сим-
метричное выпуклое тело конечного объема v = vol(X). Тогда если
v >2пА, то существует элемент а € Л4 А X, а 0.
Для доказательства удобно рассмотреть решетку 2М с R" с объемом
фундаментального параллелепипеда vol(Rrt/2M) = 2" А. Тогда при есте-
ственном проектировании тела X С R" на фундаментальный параллелепи-
пед Rn/2M обязательно возникнут самоперекрытия образа тела X, так как
vol(X) больше объема фундаментального параллелепипеда. Поэтому най-
дутся две такие различные точки Zi, Z2 € X, Z\ Z2, что Z\ = Z2 (mod2M),
т. е. (zi — Z2}/2 е М. Мы получаем требуемое: точка (zi — Z2}/2 / 0 лежит
§4.1)
Алгебраические числа: реализации и геометрия
143
в теле X в силу его выпуклости и центральной симметричности, т. е.
2\ -Z2 = Z! 4- (~Z2)
2	2
(если z G X, то и —z € X).
Вот примеры выпуклых тел, к которым применяется лемма Мин-
ковского. Пусть
х° = (х?, .... х° +,2) € К ®Q R, IN(x°)I = П |х?1 П K+iI2 / °-
/=1 /=1
Положим
1Г(х°) = {х е К |х;| < |х?|, i = 1, .... г( + г2}-
Для положительного числа а положим
(J(a) = х е К R
£М + 252 Ixr.-b/l < а
<=1	/=1
Вычисление объемов этих тел показывает, что
уо1(1Г(х0)) = 2Г|лГ2|М(х°)|, vol(t/(a)) =2г'(^у2^.	(4.1.9)
Применяя к ним и к решетке М = \(Ок) лемму Минковского (при Д =
= 2~Г2у/\Вк\ в силу соотношения (4.1.7)) получаем, что
а)	для произвольных констант с, > 0 (/ = 1, ..., и 4- г2) с условием
i=\	j=\
найдется такой ненулевой элемент cte Ок, что
|Х/(а)|<С/ (f = 1, ...,/4 4-г2),	(4.1.10)
для этого надо взять х° G К R с |х?| = Ci (/ = 1, ..., r\ 4- г2) и a G lF(x°);
б)	для а (nlQ) 2У|О/(|) найдется элементр G Ок, Р/ 0, из мно-
жества U(а), т. е.
jj|X/(P)| + 2j;|kr)+/(p)|<a,
/=1 /=1
откуда в силу неравенства между средним арифметическим и средним гео-
метрическим следует оценка
(4.1.И)
144
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
из которой вытекает оценка для дискриминанта
\DK \ > f-У'2 — = f^yr2—е2'2-0/(6л) (0 < 0 < 1)
1 Kl V4/	(п!)2	\4/ 2тт
показывающая, что \Dr\ растет вместе с п.
Приведем другие замечательные следствия леммы Минковского.
Теорема 4.8 (теорема Эрмита, 1863 г.). Существует лишь конеч-
ное число алгебраических числовых полей с заданным значением дис-
криминанта.
Теорема 4.9 (теорема Минковского, 1891 г.).Если K/Q, то
Рк|>1.
Доказательства этих теорем см. в [836].
Из приведенной оценки для дискриминанта следует, что для больших п
справедливо неравенство |1/7г > (7,3)Г1/7г(5,8)Г2/7г, но в настоящее вре-
мя установлены значительно более сильные оценки для дискриминанта:
|> (188)r,/"(41 )Г2/" (при больших л), см. [618], [53], полученные
с помощью аналитических свойств дзета-функции Дедекинда и явных фор-
мул (см. п. 6.2.3, 6.2.5).
4.1.6.	Вывод теоремы о единицах из леммы о выпуклом теле. Рас-
смотрим гиперповерхность Тс = {х е К 0 К: |Nx| = с} (для фиксированно-
го с > 0), которая переходит при логарифмическом отображении в гипер-
плоскость
Г	г1+г2
V'logc = < У € КГ|+Г2: 52 у‘ = logc р
I	Z = 1	J
Группа единиц Ек действует на Тс посредством умножений на Х(е), е G Ек,
которые при логарифмическом отображении переходят в сдвиги на векторы
/Х(е), переводящие V^gc в себя. Число орбит этого действия на множестве
Тс П Х(С\) конечно для любого фиксированного с. Действительно, доста-
точно установить, что если N(ot) = N(0) = с eZ и а = £ (mode) в кольце
Ок, то а/£еЕ/(. Для этого заметим, что а делит свою норму N(a) = c,
поэтому число
а	а
лежит в Ок', аналогично а/£ G Ок, т. е. а/£ G Ек=О^.
Воспользуемся теперь результатом п. 4.1.5 и возьмем какое-нибудь
тогда для любого элемента х G Тс найдется такой отличный от нуля эле-
мент a G Ок, что Х(а) G №(х). Воспользуемся этим фактом, для того что-
бы доказать, что факторгруппа V//X(E/<) компактна, т. е. что множество
§4.2)
Разложение простых идеалов,дедекиндовы кольца и нормирования 145
V = Vo полностью покрывается сдвигами некоторого ограниченного мно-
жества на векторы вида /Х(е), геЕк. Это свойство достаточно доказать
для любой гиперплоскости, параллельной V, например для Viogc, вместо
Vo. Для произвольного а € Ок, а 0, рассмотрим множество Ус(а) с Vjogc,
состоящее из всех таких у = l(x) е Vjogc, что Х(а) € №(х). Тогда множества
Ус(а) ограничены, Ус(ае) = Ус(а) + /Х(е) для е е Ек и из леммы о выпук-
лом теле следует, что любой элемент у € V|ogc содержится в каком-либо из
множеств Ус(а). С другой стороны, мы уже знаем, что существует лишь ко-
нечное число классов элементов а € Ок с нормой |N(oc) | < с относительно
ассоциированности, т. е. действия группы Е&. Тогда если {а/} — конечная
система представителей этих классов, то искомое ограниченное множе-
ство— это, например, объединение |J Ус(а/). Это доказывает утверждение
о компактности, а дискретность следует из аналогичного свойства
множества Х(Оу<) и того обстоятельства, что на каждой поверхности Тс
логарифмическое отображение является сюръективным открытым отоб-
ражением на V|ogc.
§ 4.2. Разложение простых идеалов,
дедекиндовы кольца и нормирования
4.2.1.	Простые идеалы и однозначность разложения на множите-
ли. Первоначальной целью теории идеалов Дедекинда было стремление
распространить идеи и результаты Куммера об уравнении Ферма на более
общий класс показателей. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей.
Идеалом а кольца R называется подгруппа ас/? аддитивной группы коль-
ца с условием Ra с а. Идеал а называется простым, если из включения
ab е а следует, что либо аеа, либо b е а, т. е. факторкольцо R/a не имеет
делителей нуля. Идеал вида (а) = Ra для ае R называется главным иде-
алом, тогда условие делимости b на а в кольце R эквивалентно включению
b € (а). Символом (а/), i е /, обозначается наименьший идеал, содержащий
все элементы а/, i € /. Элемент к е R называется простым, если из ра-
венства тс = Ьс следует, что либо Ь, либо с — обратимый элемент кольца R.
Причина неоднозначности разложения на простые элементы в кольце свя-
зана с тем, что простому элементу к не всегда отвечает простой идеал (к).
Пример 4.10. Пусть R =	тогда имеется два существенно раз-
личных разложения на простые элементы:
21 = 3 • 7 = (1 + 2\/-5)(1 - 2\/-5).
Проверка показывает, что никакие отношения различных сомножителей не
лежат в кольце R. Однако однозначность разложения можно восстановить,
если перейти от простых элементов к простым идеалам. Действительно,
146
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
следующие идеалы являются простыми’.
р! = (3, 7=3-1),
Рз = (7, 7=5-3),
Р2 = (3, 7=5-2),
р4 = (7, 7=5 - 4).
Это следует из разложений
X2 + 5= (X - 1)(Х -2) (mod3),
X2 + 5 = (X - 3)(Х - 4) (mod 7),
например,
/?/Р1 = Z[X]/(3, X - 1, X2 + 5) *£ F3[Х]/(Х - 1) *£ F3,
поскольку (X — 1, X2 + 5) = X — 1 в кольце Рз[Х]. Аналогично доказыва-
ется, что имеют место разложения
(3) = р1р2,	(7) = рзр4, (1+27=5) = р1рз, (1 - 27=5) = р2р4,
и разложение (21) = Р1Р2Р3Р4 является уже однозначным разложением в
произведение простых идеалов, но идеалы (3), (7), (1 + 2\/^5), (1 — 2\/^5)
не простые.
Дедекиндовым кольцом называется коммутативное ассоциативное
кольцо с единицей без делителей нуля, в котором выполнено свойство од-
нозначности разложения ненулевых идеалов в произведение простых иде-
алов. Эквивалентно требовать, что кольцо R нётерово (т. е. каждый его
идеал конечно порождён), целозамкнутое (содержит все целые над R
элементы из своего поля частных) и все ненулевые простые идеалы мак-
симальны (т. е. /?/р — поле).
Можно доказать, что кольцо Z|\A3| из нашего примера дедекиндово.
Вообще, из приведенной характеризации дедекиндовых колец следует, что
для произвольного числового поля /(, [Д': Q] < оо, кольцо целых чисел О %
является дедекиндовым. Отсюда же видно, что никакое собственное под-
кольцо таковым уже не является из-за нецелозамкнутости. Например,
кольцо Z[\/5] не дедекиндово: идеал (1 - \/5) вообще нельзя разложить
в произведение простых идеалов, однако большее кольцо
= ОК
уже дедекиндово, К = Q(x/5).
Таким образом, в этом классе колец можно построить хорошую тео-
рию делимости, рассматривая вместо элемента кольца а соответствующий
главный идеал (а), а вместо простых элементов — простые идеалы. Од-
нако класс дедекиндовых колец весьма узок, хотя хорошую теорию дели-
мости можно построить в гораздо более широком классе колец. Например,
§4.2]
Разложение простых идеалов,дедекиндовы кольца и нормирования 147
в кольце многочленов k[x\, ..., хп\ над полем k имеет место однозначность
разложения на простые элементы (неприводимые многочлены), но неверно
свойство существования и единственности разложения идеала в произве-
дение простых идеалов. Например, идеал (х2, у) С k[x, у] вообще не имеет
такого разложения. Этим, в частности, объясняется недоверие к простым
идеалам Дедекинда со стороны Кронекера, который стал развивать другую
идею изучения делимости, основанную на теории показателей, которая
будет описана ниже (см. п. 4.2.5 и §4.3). Историю спора между сторонни-
ками Дедекинда и Кронекера прекрасно описал Г. Вейль [823].
Дробные идеалы. Пусть пока Ок — кольцо целых чисел в поле К,
[К : Q] < оо. Назовем дробным идеалом такой ©/(-подмодуль а С К, что
аа С О к для некоторого а € К х. Тогда из свойства дедекиндовости выво-
дится, что вместе с а будет дробным идеалом и подмодуль
а~' = {хеК: хаСОк}.
Если а, b—дробные идеалы, то ab С К также дробный идеал. Таким обра-
зом, дробные идеалы образуют мультипликативную группу 1к с единичным
элементом О к. Из дедекиндовости кольца Ок вытекает, что //< является
свободной абелевой группой, базисом которой служат ненулевые простые
идеалы р С ©/<: каждый идеал а € //< однозначно записывается в виде
а = Р?...р^ (M/eZ).
Нормой простого идеала р называется число элементов конечного поля
©к/р : Np = |©/</р|, а норма произвольного элемента а € //< определяется
по мультипликативности. Если а = (а) — главный идеал, то N(a) = |Noc| =
= |N/</qoc|: умножение на а является эндоморфизмом решётки ©к, и можно
проверить, что абсолютная величина его определителя совпадает с индек-
сом его образа: (©/< : (a)) = N((a)).
4.2.2.	Конечность числа классов. Каждому элементу а€Кх мож-
но однозначно сопоставить идеал (а)е//<, и мы получим гомоморфизм
Кх //(. Образ этого гомоморфизма называется группой главных иде-
алов и обозначается Рк- Факторгруппа С1к = 1к/Рк называется группой
классов идеалов. Следующий результат — это ещё одно следствие леммы
Минковского.
Теорема-определение 4.11. Группа (31% конечна, а её порядок
\С1К\ = hx называется числом классов идеалов поля К, см. [14] [230].
Действительно, если некоторый класс идеалов представлен элементом
а^1к, тогда можно считать, что a С ©к (при необходимости можно за-
менить а на Ма, где М — натуральное число, и избавиться от всех зна-
менателей). Согласно лемме Минковского (см. п. 4.1.5), найдётся такой
(2 \ г2 у-
y|D/<|Na. Поскольку
148	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
а — идеал, мы имеем С а, или Ок с а-1 а. Теперь видно, что индекс
(а-1а: Ок) = (Ок : аа-1) ограничен сверху константой (?)	так
как	_____
(OK-.aa-') = \N(a)\Na-1 <(±) Ут
Если а' — произвольный дробный идеал, содержащий Ок, и (а': Ок) = г,
то г~[Ок За' D Ок- Но ясно, что число промежуточных дробных идеа-
лов а' между Ок и г~*Ок конечно. Отсюда следует теорема, поскольку
индекс г принимает лишь конечное число значений.
Позже мы увидим, что эта теорема и теорема о единицах не только име-
ют схожие доказательства (использующие лемму Минковского), но и яв-
ляются частями общего результата о строении группы иделей числового
поля (см. [230], [836]).
Число классов играет исключительно важную роль в теории чисел. На-
пример, условие 1гк = 1 равносильно тому, что в кольце Ок разложение
на простые элементы однозначно. Другой пример: теорема Куммера из
п. 4.1.1 о первом случае теоремы Ферма справедлива и для таких простых
показателей п, что Ьк не делится на п, где К = О(ехр{2ш/п}) — круговое
поле.
Возможность получить формулы для числа классов Iik связана с дзе-
та-функцией Дедекинда (см. соотношения (6.2.20)—(6.2.25)).
На протяжении многих лет был сделан целый ряд эксперименталь-
ных и эмпирических наблюдений насчет группы классов числовых полей.
А. Коэн и X. В.Ленстра младший предложили в [251] один эвристиче-
ский принцип, который успешно предсказывает статистическое распре-
деление группы классов идеалов мнимых квадратичных числовых полей,
а также вполне вещественных абелевых числовых полей. Из гипотезы Ко-
эна—Ленстры следует много численно проверенных фактов, см., например,
[517], где также обсуждается связь с теоремой Леопольдта о зеркальном
отражении (Spiegelungssatz); см. [527].
4.2.3.	Разложение простых идеалов в расширениях. Если К — чис-
ловое поле с кольцом целых Ок и р — простое число, то главный идеал
(р) = рОк разлагается в произведение простых идеалов:
(p) = p*'p*’...ps4	(4.2.1)
Вид разложения (4.2.1) для простых чисел р является важнейшей ха-
рактеристикой поля К\ если, скажем, K/Q — расширение Галуа, то поле
К однозначно определяется по множеству таких р, что (р) = Р1Р2 •••₽«»
п = [/( : Q] (произведение п различных простых идеалов). Эти простые
числа называются вполне распадающимися в К. В общем случае зада-
ча определения вида разложения (4.2.1) для всех р является очень труд-
ной и связана с наиболее глубокими проблемами алгебраической теории
§4.2]
Разложение простых идеалов,дедекиндовы кольца и нормирования 149
чисел («некоммутативная теория полей классов», см. ниже §6.4). Одна-
ко для абелевых расширений К D Q, т. е. расширений Галуа с коммута-
тивной группой G(K/Q), такое разложение известно; оно зависит от кон-
грунэнц-условий на р, т. е. только от вычета числа р по модулю некоторо-
го натурального числа, связанного с данным полем. Дадим явное описание
разложения простых идеалов для круговых полей К = Q( л/Т) и квадра-
тичных полей К = Q(V/d). Это можно сделать с помощью очень общего
приема, применимого к расширению R С S двух коммутативных целостных
колец, причем предполагается, что S — конечно порожденный /?-модуль.
В этом случае каждый элемент а € S является корнем унитарного мно-
гочлена f(X)eR[X] (со старшим коэффициентом, равным 1). Например,
можно взять
ftX) = MX) = r, + an_1r,-| + ... + ...a0, а, € R
(характеристический многочлен). Пусть р— максимальный идеал в R. Че-
рез а обозначим образ элемента а в факторкольце S/pS.
Теорема 4.12 (теорема о разложении максимального идеала).
Предположим, что для некоторого элемента cteS справедливо ра-
венство S/pS = (/?/р)[а] и п = deg /а(Х) = dim/?/p S/pS. Выберем такие
унитарные многочлены g\ (X), ..., gr(X) е /?[Х], что
Ш = gi ёг№ег (modp/?[X])	(4.2.2)
и gi(X) (modp/?[X]) различны и неприводимы в кольце (/?/р)[Х]. Тогда
идеалы ф/ = (р, £/(а)) максимальные и справедливо разложение
pS = ^f’ ...^.	(4.2.3)
Доказательство утверждения о максимальности идеалов ф/ следует из
изоморфизма
S ~ RW ~ (R/P)[X]
Ъ £i(X),P giW
и неприводимости многочленов gi(X) (modp/?[X]), а разложение (4.2.3) —
из аналога теоремы о тензорном произведении (см. п. 4.1.2)
-3.5^ (/?/р) = Ц—
при d = 2, 3 (mod 4),
Пример 4.12 а. Квадратичные расширения К = Q(Vd) (d € Z свобод-
но от квадратов), О % = Z[g>], где
Q =	/o(X)=X2-d
W = ^_L, мх) = х*-х-^-
при d = 1 (mod4).
150
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
Результат о разложении простых чисел в К удобно формулируется
в терминах квадратичного характера у# поля /С По определению
/к — единственный примитивный характер Дирихле порядка 2 по мо-
дулю \Dk\ с условием хк(-1) = sgnD/(, где Dk —дискриминант поля
Dk = 4d или d при d = 2, 3 (mod 4) или d = 1 (mod 4) соответственно.
Этому условию удовлетворяет характер (см. [14], гл. 2)
	(idl)’	если d = 1 (mod 4),
X*W = <	(_ i и*-n/2 ( (_ l)(x2-l)/8+(x-l)(d'-1)/4	если d = 3 (mod 4), если d — 2d\ df = 1 (mod 2)
Тогда разложение простых чисел р в Ок имеет вид
{РР\ р^р'	и Np = Np' = p	прихк(р)	=	1,
р, Np = р2	(т. е. р остается простым)	при Хк(р)	=	-1,
р2, Np = p	при хк(р)	=	0.
Для доказательства надо применить теорему с R = Z, S = Ок, а = о
и посмотреть на разложение квадратичного многочлена f^(X) (mod р), ко-
торый либо имеет два различных корня, либо неприводим, либо имеет крат-
ный корень над в указанных трех случаях, в зависимости от равенств
/И/7) = 1» Хх(Р) = или Хк(Р) = 0- Этот результат можно переписать
в виде тождества (ср. с. п. 6.2.3)
П(1 - Np-S) = (1 - P"s)(l - xK(p)p~s) (sec). (4.2.4)
р|(р)
Пример 4.13 б. Круговое поле К = Кт = Q(Cm). Воспользуемся тем
обстоятельством, что Ок = Z[£m], и рассмотрим расширение Z[Cn] М
причем в качестве /а(Х) возьмем Фт(Х) (п. 4.1.2). Доказательство совпа-
дения Ок с Z[£m] довольно тонкое, хотя и элементарное: оно использует
вычисление дискриминанта кольца R — Z[£m], равного
/тт	’
\Р\т	)
см. [14].
4.2.4.	Разложение простых идеалов в циклотомических полях.
Теорема 4.15. 1. Пусть р\т, тогда
р/? = pi •... • pr, Np,- = pf,
§4.2]
Разложение простых идеалов,дедекиндовы кольца и нормирования 151
где pz С R — различные простые идеалы, причем число f равно по-
рядку элемента р (modm) в (Z/mZ)x и f • г = <р(т).
2. Если т= р*' -... - p*s, то
/>,/? = (₽!^ = р!',
где <р(р“') =	- 1), а число f равно порядку элемента pi
(тоАтр^1) в №1тр~*1Т}* и f'rf = <p(mp“a').
Доказательство. Отметим прежде всего, что для простых иде-
алов р с Ок число f = logp Np совпадает со степенью расширения конеч-
ных полей [Ок/р: Z/pZ], а также с порядком автоморфизма Фробениу-
са х »—> хр, порождающего циклическую группу порядка f — группу Галуа
G((<9/</p)/(Z/pZ)). Применив далее теорему о разложении, мы видим, что
достаточно установить вид разложения многочлена Фт (X) (mod р) в коль-
це FP[X] на неприводимые многочлены.
Из этой теоремы вытекает, что вид разложения идеала (р) на про-
стые идеалы зависит только от значения р (modm). В частности, идеал
(р) вполне распадается в ОКт <=> р = 1 (modm). Полезное наблюдение
состоит в том, что разложение идеала (р) в Окт определяется действием
элемента Фробениуса Frp в кольце Окт/(р), причем в случае р] т этот
элемент может рассматриваться как элемент группы Галуа'.
(Frp:	- р (mod т) е (Z/mZ)x = G(^/Q).
Для дальнейших приложений полезно переформулировать результат
теоремы 4.15 с помощью характеров Дирихле /: (Z/mZ)x -*СХ. Кон-
дуктором характера / называется наименьшее такое натуральное чис-
ло т(х), что гомоморфизм / можно определить по модулю т(/), т. е. про-
пустить х через естественную проекцию:
(Z/mZ)x Д (Z//n(x)Z)x Д Сх.
Соответствующий характер /о (modm(/)) называется примитивным ха-
рактером Дирихле, ассоциированным с /. Тогда теорема 4.15 равносильна
тождеству (см. п. 6.2.3)
f[(l-Np-s)= П (l-xo(p)p"s) (see). (4.2.5)
р|р	x(modm)
Действительно, из теоремы вытекает, что левая часть имеет вид (1 — p~^s)r
при р\т и (1 - p~f'sY' при р | т, где f — порядок р (modm) в (Z/mZ)x
(соответственно /'— порядок остатка р (modm') в (Z/m'Z)x, где
т' = mp“ordp(m)). Остается проверить, что при р\т справедливо тож-
152
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
дество
(1-ГУ = П (1-х(р)7).	(4.2.6)
X (mod т)
Пусть [1/ — группа корней степени f из 1, тогда
\-Т<= П(!-С7).
Если учесть, что для любого £ € р; существует ровно г таких характеров
X (modm), что /(р) = С то отсюда вытекают (4.2.6) и (4.2.5) [14], [495],
[720].
4.2.5.	Простые идеалы, показатели и нормирования. Альтернатив-
ный подход к теории делимости возник из анализа понятия тс-показателя
ordK а элемента а / 0, a G R для простого элемента к из кольца R с од-
нозначным разложением на множители: ordK а — это наибольшая степень
элемента тс, делящая а в /?, и имеет место разложение а = ... nkrr, где
ki = ordK/ а, е G Rx —обратимый элемент из R.
Функция ordK однозначно продолжается на поле частных К коль-
ца R до гомоморфизма ordK: /<х —> Z, так что выполнены следующие свой-
ства:
1)	ordK(afe) = ordK а + ordn b Ча, b e К x,
2)	ordK(a + b) min(ordKa, ordK6) Va, b e K\
3)	а делит b в R <=> ordK a ordR b Vit',
4)	izR = {a e R: ordK a > 0} простой идеал в /?,
5)	/? = {x e /<х : ordKx OVk} U {0}.
Обобщая, можно для произвольного поля К ввести понятие показате-
ля v как функции v\ Кх —*Z, удовлетворяющей условиям:
1) v(ab) = v(a) + v(b) Ча, b G /< x,
2) v(a + b) min(v(a), v(b)) 4a, b eKx.
Чаще вместо v используется нормирование |x|p,u: для фиксированного
р, 0 < р < 1, положим |х |рд> = ри(х), |0|р,у = 0.
Определение 4.16. Нормированием | • | поля К называется такая фун-
кция х и-► |х| с неотрицательными значениями, что
1)	\ab\ = \a\-\b\4a,beKx,
2)	\a + b\^\a\ + \b\4a,beK\
3)	|х| =0 х = 0.
Нормирование называется неархимедовым, если вместо условия 2) вы-
полнено более сильное:
2') \а + b\ max(|a|, \Ь\)Ча,ЬеКх.
Так, функция | • |р,у является неархимедовым нормированием по опре-
делению. Нормирование вида |х| = |х|рл, называется дискретным. Приме-
§ 4.2]	Разложение простых идеалов,дедекиндовы кольца и нормирования 153
ром такого нормирования является р-адическое нормирование \а/Ь\р =
= pwdpb-ordpa 2) поля Q. Обычная абсолютная величина |х| числа
х е Q задает (архимедово) нормирование Q.
Если | • | — неархимедово нормирование поля К, то подмножество О —
= {х е К: |х|	1} является кольцом с единственным максимальным идеа-
лом р = {х € О: |х| < 1}, которое называется кольцом нормирования. Для
дискретного нормирования | • | = | • |р,и показателя v используется обозна-
чение /?(У) = О, р(У) = р, причем р(У) — главный идеал, порожденный любым
таким элементом к € К, что и (тс) = 1, т. е. u(n) = 1.
Теперь теорию делимости на целостном кольце R с полем част-
ных К можно строить с помощью семейства показателей = М» если
выполнены следующие условия:
1)	а делит b в R о v(a) v(b) Vv € а;
2)	для всех аеК* выполняется равенство v(a) = 0 для почти всех v еЕ
(т. е. кроме конечного их числа);
3)	множество R(V) = {х € К : и(х) 0} U {0} определяет v однозначно;
4)	/?= П *(»)•
Если такое семейство Е существует, то определена группа дивизоров
Т> = Т>ъ как свободная абелева группа с базисом Е, элементы которой
записываются аддитивно как ^kivi или мультипликативно как П₽*Ь
и определен гомоморфизм 1	1
div: К х -> Р, div(x) = [J p“w.
v es
Класс колец с теорией делимости существенно шире класса деде-
киндовых колец и допускает чисто алгебраическую характеризацию. При
этом для построения показателей используется лишь часть ненулевых про-
стых идеалов кольца. Если попытаться для простого идеала р С R опре-
делить показатель v, положив v(a) = min{tt 0: а е р"} для а € /?, то это
удастся лишь тогда, когда локализация /?р (относительно р) кольца R явля-
ется нётеровым целозамкнутым кольцом с единственным ненулевым про-
стым идеалом, где
/?р = {х = £:а, beR, 6£р}.
Идея использования нормирований вместо простых идеалов, возник-
шая при изучении алгебраических чисел, оказалась весьма плодотворной
в алгебраической геометрии, развитие которой, в свою очередь, привело
к ряду открытий в самой теории чисел (см. ниже гл. 5 и 6).
В заключение этого параграфа отметим, что все нормирования поля Q
имеют вид либо |х|а (0 < а < 1), где |х| — обычная абсолютная величина
154
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
числа xeQ, либо |х|* (а>0), где |х|р— р-адическое нормирование
числа х е Q {теорема Островского, (см. [14], [230])).
§ 4.3.	Локальные и глобальные методы
4.3.1.	р-адические числа. Идея расширения поля Q в теории чисел
встречается в различных вариантах. Например, вложение Q С R часто да-
ет полезные необходимые условия существования решений диофантовых
уравнений над Q и над Z. Важное свойство поля R — его полнота: любая
фундаментальная последовательность {ocrt}rt=i в R имеет предел а (фун-
даментальность означает, что для произвольного е > 0 малы абсолютные
величины |ал - ат| < е для всех п, т, больших некоторого натурального
числа N = N{z)). Кроме того, все элементы R являются пределами фунда-
ментальных последовательностей {ая}^, ал € Q.
Аналогичная конструкция существует и для всех р-адических норми-
рований | • |р поля Q (см. §4.2):
I * |р • Q = {х € R |х 0}
\а/Ь\р = р^ь~^а,	|0|р=0,
и приводит к полю р-адических чисел Qp dQ. Эта общая конструкция
«присоединения пределов фундаментальных последовательностей» отно-
сительно некоторого нормирования | • | поля k называется пополнением.
В результате получается поле k с нормированием, также обозначаемом
| • |, причем поле k полное, a k однозначно вкладывается в k в виде всюду
плотного подполя с сохранением нормирования, см. [14], [463].
Как отмечено в конце §4.2, все нормирования поля Q сводятся ли-
бо к абсолютной величине, либо к | • |р, поэтому все пополнения поля
Q— это либо поле действительных чисел, либо поля р-адических чисел
Qp. Использование всевозможных вложений Q С Qp (р — простое число)
и Q С R часто значительно упрощает ситуацию в арифметических зада-
чах. Замечательный пример дает теорема Минковского—Хассе, см. [14],
[222], [230]. Уравнение
Q(xi, х2, ..., хл) = 0,	(4.3.1)
заданное квадратичной формой Q(xi, х2, ..., хл) = 'LaijXiXj, а1} € Q, имеет
нетривиальное решение в рациональных числах в том и только в том слу-
чае, когда оно нетривиально разрешимо над R и над Qp для всех простых
чисел р. Для нахождения решений уравнений над Qp можно эффективно
применять приемы, взятые по аналогии из анализа над R, такие как «ме-
тод касательных Ньютона» {лемма Гензеля, см. п. 4.3.2). Наиболее
§4.3]
Локальные и глобальные методы
155
простым способом можно ввести р-адические числа как выражения вида
а = атрт+ am+ipm+l + ...,	(4.3.2)
где ai е {0, 1, ...» р - 1} — цифры (по основанию р), а т € Z. Удобно за-
писывать а в виде последовательности цифр, бесконечной влево:
{т— 1 нулей
... 1 ат ООО... 00(Р), если т О,
,..а\а^а_\ -..ат(Р), если т < 0.
Эти выражения образуют поле, в котором операции выполняются так же,
как для натуральных чисел п =	+ а\р + ... + агрг, записанных по ос-
нованию р. Следовательно, в этом поле лежат натуральные, а потому и все
рациональные числа. Например,
-1 = (р - 1) + (р - 1)р + (р - 1)р2 + ... = ...(р - 1)(р - 1)(Р);
= а0 + аор + а0р2 + ... = ...аоаоао(Р).
Если п € N, то выражение для — п = (— 1) • п вида (4.3.2) получается, если
перемножить указанные выражения для —1 и для п. Вообще, если а € Q,
то запишем а = с - где а, с € Z, b е N, 0 а < Ь, т. е. а/Ь — правиль-
ная дробь. Тогда по элементарной теореме Эйлера р^ — 1 =bu, u € N,
поэтому
а _ аи
~b~ 1 - рф(^) ’
причем аи < bu = рг — 1, г = <р(6). Теперь мы видим, что запись по основа-
нию р числа аи имеет вид аг-\ -..а^, следовательно, выражение (4.3.2)
а	_
для числа а = с — - получается как сумма выражения для с е Z и
а
-- = ...а^аг-\ ...а^аг-\	•
г цифр Г цифр
Например, для р = 5 имеем
9 о 5 о . 5-2232 о -	,	7
_=2--=2 + -;—с = 2,	а = 5,	Ь = 7,
причем
2235 = 32412(5) = 3 • 54 + 2 • 53 + 4 • 52 + 1 • 5 + 2,
поэтому
у = ...324120324120324122(5).
156
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
Нетрудно проверить, что пополнение поля Q относительно р-адической
метрики | • \р отождествляется с полем «р-адических разложений» вида
(4.3.2). При этом |ос|р = р-т, где в выражении (4.3.2) ат ^0 (см. [462]).
Любопытно сравнить разложения (4.3.2), «бесконечные влево», с раз-
ложениями действительных чисел а € К, «бесконечными вправо»:
a = amam-i ...ао, a_j... = am10m 4- am_j 10m-1 + ... + ао 4- a\ 10-1 4-...,
где di € {0, 1, ..., 9} — цифры, am / 0. Разложения такого типа по любому
натуральному основанию приводят к одному и тому же полю R; при этом
они неоднозначны, к примеру, 2,000... = 1,999... Разложения (4.3.2) все-
гда однозначно определены, что создает дополнительные вычислительные
удобства.
Поле является полным метрическим пространством с тополо-
гией, определенной системой «открытых дисков» вида
Ua(r) = {х: |х - а\ < г} (х, a € Qp, г > 0)
(или «замкнутых дисков» Da(r){x: |х - а\ < г}). При этом и t/a(r), Da(r)
являются открыто-замкнутыми множествами с топологической точки зре-
ния.
Важное топологическое свойство поля Qp — его локальная компак-
тность: все диски конечного радиуса компактны. В этом проще всего
убедиться на языке последовательностей, показав, что каждая последова-
тельность элементов диска Da(r) имеет в этом же диске предель-
ную точку. Эта предельная точка легко ищется с помощью р-адических
цифр (4.3.2) последовательно, справа налево, и используется тот факт, что
у всех элементов число знаков «после запятой» ограничено фиксиро-
ванным числом. В частности, диск
= £>о(1) = U: |х|р 1} = {х = а0 + ахр + а2р2 4-...}
— компактное топологическое кольцо, элементы которого называются це-
лыми р-адическими числами, при этом Zp совпадает с замыканием мно-
жества обычных целых чисел Z в Qp. Кольцо Zp является локальным,
т. е. имеет единственный максимальный идеал pZp = 1) с полем выче-
тов Zp/pZp = Fp. Множество обратимых элементов единиц кольца Zp —
это
Z* =Zp\pZp = {х: |х|р = 1} = {x = a0 + aip + а2р2 + ...: а0 ^0}.
Для каждого элемента х € Zp определен его представитель Тейхмюлле-
ра о(х) = lim хр (предел всегда существует и удовлетворяет уравнению
п—>оо
<о(х)р = о(х), и справедливо сравнение х = о(х) (mod р)). Например, для
§4.3]
Локальные и глобальные методы
157
р = 5 имеем
о(1) = 1;
<о(2) = 2	+ 1 • 5 + 2 • 52	+ 1	• 53 + 3 •	54 + ...;
о(3) = 3	+ 3 • 5 + 2 • 52	+ 3	• 53 + 1 •	54 + ...;
о(4) = 4	+ 4 - 5 + 4 - 52	+ 4	- 53 + 4 -	54 + ... = -1;
w(5) = 0.
Кольцо Zp можно описать еще как проективный предел колец
Ап = Z/pnZ относительно гомоморфизмов редукции <рп: Ап —> Ап~\ по мо-
дулю рп~х. Последовательность
(4.3.3)
образует проективную систему, занумерованную целыми числами п 1.
Проективный предел системы (4.3.3) — это кольцо limA« со следующим
п
универсальным свойством: однозначно определены такие гомоморфизмы
проекции пл: Пт	—► Ап, что для произвольного кольца В и системы го-
п
моморфизмов фл: В —> Ап, согласованных друг с другом условием фл—1 =
=	° фл при п 2, существует единственный гомоморфизм ф: В А, для
которого фл = Т1п ° ф , см. [462], [720]. Для кольца Zp построение гомомор-
физмов проекции Т1п: Zp —> Ап и проверка универсального свойства выте-
кают из записи его элементов с помощью «цифр» (4.3.2). Аналогично
Z* =lnn(Z/p'IZ)x
' п
(проективный предел групп). Для описания группы Z* положим v = 1, если
р > 2, и v = 2, если р = 2, и определим
и = Up = {х € Z* : х = 1 (mod pv)} = £>, (p"v).
Тогда U = Zp (изоморфизм мультипликативной и аддитивной групп). Для
построения этого изоморфизма заметим, что
U U/Up\
п
и определим изоморфизмы конечных групп
арп: и/ирП ^Z/pnZ,	(4.3.4)
положив
((1 + Pv)fl) = a (mod рп) (а е Z).
Простая проверка показывает, что отображения (4.3.4) корректно опреде-
158	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
лены и являются изоморфизмами. Таким образом, группа U — это тополо-
гическая циклическая группа, в качестве образующей которой можно взять
1 + pv. Другое доказательство следует из свойств функции, определенной
оо
степенным рядом log( 1 + х) =	(— \)пЛЛхп/п которая задает изоморфизм
из U на pZp.	Л=1
Справедливы разложения
Q* = рг X Z£, Z* = (Z/pvZ)x X и.	(4.3.5)
4.3.2. Приложения р-адических чисел к решению сравнений. Воз-
никновение р-адических чисел в работах Гензеля было тесно связано
с проблемой решения сравнений по модулю рп, а применение их к тео-
рии квадратичных форм его учеником Хассе привело к элегантной фор-
мулировке теории квадратичных форм над рациональными числами, не
использующей рассмотрений в кольцах вычетов вида Z/рп%, работать
с которыми утомительно из-за наличия делителей нуля. Из представле-
ния кольца Zp в виде проективного предела Zp = limZ/p^Z вытекает, что
' п
если /(xi, ..., хп) € Zpjxi, ..., хп], то сравнения
/(xi, ..., хп) = 0 (mod рп)
разрешимы при любом п 1 тогда и только тогда, когда уравнение
/(xi, ..., хп) = 0
разрешимо в целых р-адических числах. Эти решения можно находить
с помощью р-адического варианта метода касательных Ньютона.
Теорема4.17 (лемма Гензеля). Пусть f(x)eZp[x]—многочлен од-
ной переменной х, /'(х) € %р[х] — его формальная производная и для
некоторого ао € Zp выполнено начальное условие
|Дао)///(ао)2|р<1.	(4.3.6)
Тогда существует единственное такое а € Zp, что
/(а) = 0, |а - а0|р < 1.
Доказательство проводится с помощью рассмотрения последователь-
ности
"	/'(«п-1)
и ее предела а с учетом формального разложения Тейлора многочлена /(х)
вточкех = ал_1 (см. [225], [14], [720]).
Например, если /(х) = хр~х - 1, то любое ао е {1, 2, ..., р - 1} удо-
влетворяет условию |/(ао)|р < 1, в то время как /'(ао) = (р - l)aQ-2 0
(mod р), поэтому начальное условие (4.3.6) выполнено. Корень а сов-
падает при этом с единственным представителем Тейхмюллера числа
§4.3]
Локальные и глобальные методы
159
а0 : а = <о(ао). Описанный метод применим и к многочленам многих пе-
ременных, но уже без сохранения единственности находимого решения,
см. [14], [463], а также [462], [720].
Еще одно приложение леммы Гензеля связано с описанием квадратов
поля для произвольного элемента
а = ртс € Q* (m € Z, v € Z*),
свойство быть квадратом в равносильно тому, что
а)	если р > 2, то т € 2Z и v = v (mod р) е ((Z/pZ)x)2 (т. е.	= 1,
где (--0 —символ Лежандра (см. п. 1.1.5));
б)	если р = 2, то т € 2Z и v = 1 (mod 8).
Разрешимость уравнения х2 = а в Qp в условиях а) и б) выводится
из леммы Гензеля, а необходимость их вытекает из более тривиальных
рассмотрений по модулю р и по модулю 8.
Как следствие мы получаем, что факторгруппа
а)	при р >2 изоморфна Z/2Z х Z/2Z с системой представителей
{1, р, V, vp}, (^) = -1;
б)	при р = 2 изоморфна Z/2Z х Z/2Z х Z/2Z с системой представи-
телей {±1, ±5, ±2, ±10}.
4.3.3.	Символ Гильберта. В этом пункте мы допускаем значение р = оо
и считаем тогда, что Qoo = IR. Символ Гильберта (символ норменного
вычета)
/ fa'b\ fa,b\ .
(а, Ь)=[	) = [ —) =(а, Ь)р
\ р / Р '
для а, b е Q* определяется равенством
{1, если форма ах2 + by2 — z2 имеет
нетривиальное решение в
— 1 в противном случае.
Ясно, что (а, Ь) зависит только от а, Ь по модулю квадратов. Существует
несимметричная форма этого определения. Именно, (a, b) = 1 тогда и толь-
ко тогда, когда
а = z2 — by2 для некоторых у, z е Q₽.	(4.3.7)
Действительно, из соотношения (4.3.7) следует, что (1, у, z) — нетривиаль-
ный нуль квадратичной формы ax2 + bx2-z2. Наоборот, если (хо, z/o, ^о) —
некоторый нетривиальный нуль, то остальные нули получаются с помощью
160
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
геометрического приема проведения секущих через точку (хо, //о» <^о) с на-
правляющим вектором, имеющим координаты из Qp (см. п. 1.2.3). Поэтому
можно считать, что xq 0, тогда у = роДо, z = Zq/xo удовлетворяют со-
отношению (4.3.7)
Локальные свойства символа Гильберта'.
а)	(а, Ь) = (Ь, а);		(4.3.8)
б)	(aiа2, Ь) = («I, Ь)(а2у Ь),	(а, bib2) = (a, b])(a, Ь2);	(4.3.9)
в)	если (а, b) = 1 для всех Ь,	то а € (Qp)2;	(4.3.10)
г)	(а, -а) = 1 для всех а;		(4.3.11)
д)	если р 2, оо и |а|р = \Ь\Р	= 1, то (а, b) = 1.	(4.3.12)
В частности, при фиксированном b все ау для которых (a, b) = 1 об-
разуют группу по умножению. Уравнение (4.3.7) выражает тот факт, что
а является нормой из квадратичного расширения Qp(Vb)/Qp (см. [14],
[222], [230], [720]).
Вычисление символа Гильберта позволяет полностью решить «гло-
бальный» вопрос о представлении нуля рациональными квадратичными
формами (с помощью теоремы Минковского—Хассе). Если, скажем,
Q(x, у, z) = ах2 + by2 + cz2 (a, b, с € Q, с / 0),	(4.3.13)
то форма (4.3.13) представляет нуль над полем Q <=> для всех р (включая
р = оо) выполняется равенство (-a/c, -b/c)p = 1. Этот критерий являет-
ся весьма эффективным, так как \а\р = \b\p = 1 для почти всех р, причем
в этом случае (a, b)p = 1, если р /= 2, оо, согласно свойству (4.3.12). Вы-
пишем теперь таблицу для (а, Ь)р\
Таблица 4.1
Символ Гильберта для р > 2. Здесь и обозначает такое число v Е Z, что = — 1,
а е = 1, если —1 Е (Qp )2 (т. е. если р = 1 (mod 4)), и е = — 1 в противном случае
ь а	1	V	Р	ри
1	4-1	4-1	4-1	4-1
V	4-1	4-1	-1	-1
Р	4-1	-1	е	-е
ри	4-1	-1	—е	е
Глобальное свойство символа Гильберта (формула произведения).
Пусть a, b е Qx. Тогда (a, b)p = 1 для почти всех р и
П (а, 6)р = 1.	(4.3.14)
р
(включая р=оо)
§4.3|
Локальные и глобальные методы
161
Формула (4.3.14) равносильна квадратичному закону взаимности
(см. п. 1.1.5). Действительно, по свойству (4.3.12) имеем |а|₽ — \b\p = 1 для
почти всех р, и в этом случае (a, b)p = 1, если р 2, оо. Обозначим левую
часть равенства (4.3.14) через /(а, Ь). По свойствам (4.3.9) имеем
f(a(a2, b) = f(ai, b)f(a2, b),
f{a, bib2) = f(a, bi)f(a, b2),
и можно проверить, что f(a, b) = 1, когда а и b пробегают множество об-
разующих группы Qx: —1,2, q — нечетное простое число.
Таблица 4.2
Символ Гильберта в случае р = 2
ь а	1	5	-1	-5	2	10	—2	-10
1	4-1	4-1	4-1	4-1	4-1	4-1	4-1	4-1
5	4-1	4-1	4-1	4-1	-1	-1	-1	-1
-1	4-1	4-1	-1	-1	4-1	4-1	-1	-1
-5	4-1	4-1	-1	-1	-1	-1	4-1	4-1
2	4-1	-1	4-1	-1	4-1	-1	4-1	-1
10	4-1	-1	4-1	-1	-1	4-1	-1	4-1
—2	4-1	-1	-1	4-1	4-1	-1	-1	4-1
-10	4-1	-1	-1	4-1	-1	4-1	4-1	-1
В дальнейшем нам понадобится также следующее глобальное свойство
нормирований | • |р и | • |оо, аналогичное формуле (4.3.14).
Формула произведения для нормирований. Пусть aeQx, тогда
|а|р = 1 для почти всех простых чисел р и
П Ир = 1-	(4.3.15)
р
(включая р=оо)
Действительно, если а € Qx, то
а = ± П pVp(a\
р^оо
где vp(a) е Z и vp(a) = 0 для почти всех р. Тогда
|a|p = p~Vp{a} при оо и |a|oo = pVp{a}.
Р^Ж
Более подробно глобальные свойства нормирований рассматриваются в
п. 4.3.6.
4.3.4.	Алгебраические расширения поля и поля Тэйта. Пусть
К/Qp — конечное расширение. Тогда К порождается над примитивным
162	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
элементом а е К, причем а — корень многочлена
f(x) = xd + ad-iXd~l + ... + а0 € Qp[x]
степени d = [/< : Qp]. Нормирование | • \р поля Qp допускает единственное
продолжение на К, определенное формулой
l₽lp=(/|NW(₽)|p,	(4.3.16)
где Nk/qp(0) — алгебраическая норма элемента (3 € К. Эта формула одно-
значно определяет нормирование | • |р на алгебраическом замыкании Qp
поля Единственность продолжения несложно выводится из локаль-
ной компактности поля как конечномерного векторного пространства
над Qp: все нормы поля К над Qp эквивалентны (как и для пространства
R"), а из мультипликативности следует, что они просто совпадают. Од-
нако проверка неравенства \а -h b\p < тах(|а|р, |6|р) для а,Ь^К менее
тривиальна (см. [230], [836]).
На Q^ определена функция ordp р = - logp |р|р, согласованная с опре-
делением ordp на Qp. При этом ordp(/<x) — аддитивная подгруппа в jZ
(согласно соотношению (4.3.16)), поэтому
ordp/e = -Z,
р е
где е — натуральный делитель числа d, называемый индексом ветвления
расширения K/typ.
Положим
Ок = {х е К: \х\р 1}, рк = {х е К: \х\р < 1},	(4.3.17)
тогда рк — максимальный идеал в Ок и поле вычетов Ок/рк являет-
ся конечным расширением простого поля Fp степени f (степень инер-
ции), причем выполнено равенство d = е • f. Для каждого элемента х е Ок
определен его представитель Тейхмюллера
G)(x) = lim xpf\ о(х) = х (rnodpx),	(4.3.18)
п—*оо
удовлетворяющий уравнению ^(x)pf = о(х). Отображение со задает гомо-
морфизм группы обратимых элементов
О*=Ок\рк = {хеОК'. Ир = 1}
кольца Ок на группу корней степени pt — 1 из 1 в К, обозначаемую [1р/_н
а также изоморфизм
Ырк)* со;.	(4.3.19)
§4.3]
Локальные и глобальные методы
163
Строение мультипликативной группы Кх описывается аналогично раз-
ложениям (4.3.5): если [Д' : Qp] = dy то
/e=irzxO*, Окх“№)хх1/к, (4.3.20)
где тс — образующая главного идеала рк (произвольный элемент тсе/Сх
с условием ordp тс = 1/е),
(/к={хе^: |х-1|р<1} = О1(Г;/0.
Эта группа несложно описывается как прямое произведение d экземпля-
ров аддитивной группы и конечной группы, состоящей из корней из 1
р-примарной степени, содержащихся в /(.
Пример 4.18. Если е= 1, то расширение K/Qp называется нераз-
ветвленным. В этом случае f = d и представители Тейхмюллера порож-
дают расширение К над Q₽, поэтому К = Qp(v/T), где N = pd — 1.
Если e = d, то расширение K/typ называется вполне разветвленным.
К примеру, если £— примитивный корень степени рп из 1, то Qp(C)/Qp
вполне разветвлено степени d = рп — рп~{ =у(рп\ причем (ср. с п. 4.2.4)
=	(4.3.21)
Поле Тэйта. Для р-адических чисел существует развитая теория ана-
литических функций, в которой роль поля комплексных чисел играет поле
Ср = Q₽, определяемое как пополнение поля Qp по его единственному
нормированию с условием \р\р = р-1. Оказывается, что поле Ср алгеб-
раически замкнуто. Положим
G) р - {х Е Ср: |х|р 1}, р = {х с Ср: |х|р < 1}.
Тогда Ор и р уже не компактны и поле Ср не локально компактно. Кроме
того, (9р/р = ₽р.
4.3.5.	Нормализованные нормирования. Если F — произвольное
локально компактное поле, то можно утверждать, что его топология зада-
ется некоторым нормированием. Этот факт выводится из существования
на каждой локально компактной топологической группе G меры Ха-
ара d{i, т. е. меры, инвариантной относительно групповых сдвигов х gx
(х, g е G):
/(x)dp(x) = f(x)d[i(gx) = f(g~l x)d[i(x)
G	G	G
для всех интегрируемых функций f: G —> R. Такая мера определена од-
нозначно с точностью до положительной константы. Общая конструкция
меры d[i нам не понадобится (см. [822]), и мы укажем лишь конкретные
ее примеры.
164
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
Если G = R (аддитивная группа), то d\i = dx (мера Лебега) и d(x4-a) =
= dx, а ей. А если G = Rx — мультипликативная группа, то d\i = dx/x.
Если G = С, z = х + iy € С, то d\i = dx dy.
Если K/Qp — расширение степени d и q = pi —число элементов поля
вычетов то мера d[x аддитивной группы однозначно определяется
числом d\i = ц(О/() = с > 0; при этом [i(a 4- рк) = cq~x, так как все
множества а 4- рк (а е ) имеют одинаковую меру Ок = U (а 4- рк).
a (mod рк)
Вообще, для п е Z и а е К имеем
V(a + pnK) = cq-n.	(4.3.22)
Всякая мера d[i на аддитивной группе локально компактного поля F
определяет нормирование || • ||: F —дляаЕ Fx число ||ос|| есть мно-
житель, на который отличаются две меры Хаара d[i(x) и d[i(ax) на F:
p(atO = l|a|m	(4-3.23)
где U — некоторое открытое множество положительной меры
p(L/) = §<Mx).
и
Свойство мультипликативности
||оср|| = ||а||.||р|| (а,реЛх)	(4.3.24)
непосредственно следует из равенства (4.3.23). Если топология поля F
недискретна (т. е. не все подмножества открыты), то можно проверить,
что диски конечного радиуса Dr(d) = {х: ||х - а|| г} компактны и при
этом функция || • || непрерывна, а значит, и ограничена на любом таком
диске, в частности,
|| 1 +ос|| С для ||ос|| 1	(4.3.25)
для положительной константы С 1. Из оценки (4.3.25) получаем нера-
венство
||«4-р|| ^Стах(||а||, ЦРЦ) Va.peF,	(4.3.26)
более слабое, чем в определении нормирования в §4.2. Такие функции
называются обобщенными нормированиями. Если, например, F — С, то
возьмем U = {z = х 4- iy'. |z| < 1}, тогда \l(wU) = |ш|2[л(£7), где |ш|2 = ww,
и неравенство (4.3.26) выполнено с С = 4. Однако если для всех п е N
выполнено неравенство ||/г|| < 1, то С = 1, так что || • || — неархимедово
нормирование.
В частности, для расширения K/Q>p, [/С : Q₽] = d, положим
U = OK, a = (meZ,veOxK),
§4.3]
Локальные и глобальные методы
165
гдерк = (тс). Тогда ||ос|| = q т = р ?т. Поскольку р = кеи(и е (9£), мы по-
лучаем
Цр||=Ге = р-е/,
а с другой стороны
||р||=р(ре>к)/р(е>к) = \ок/Рок\-' = P~d,
откуда получается доказательство формулы d = ef.
4.3.6.	Точки числовых полей. Формула произведения. Два (обоб-
щенных) нормирования || • ||i и || • ||2 некоторого поля F (см. п.4.3.5) на-
зываются эквивалентными, если ||x||j = ||х||£ для всех х е F и констан-
ты с > 0. Класс эквивалентных нормирований поля F называется точкой
поля F и обозначается буквой v, а символом Fv обозначается пополнение
поля F по одному из эквивалентных нормирований в классе v.
Теорема Островского (см. §4.2) означает, что точки поля Q — это
v — р (р — простое число) или х = оо. Если точка v неархимедова, то той
же буквой v обозначается показатель поля F, нормализованный условием
v(Fx) = Z.
Перечислим точки конечных расширений F поля Q. Для этого доста-
точно построить продолжения нормирований поля Q на расширение F,
поскольку ограничение любого нормирования поля F на подполе Q дает
одно из известных нормирований поля Q. Более общим образом, пусть
F/k — конечное сепарабельное расширение поля k с нормированием | •
(например, k = Q и v = р или v = оо), Дх) € k[х] —неприводимый много-
член степени n = [F : k], корнем которого является примитивный элемент а
расширения F/k, и пусть
т
Лх) = П^М (£/(*)€ Цх])	(4.3.27)
/=1
— разложение многочлена Дх) в произведение различных многочленов
gj(x), неприводимых над L, где L = kv (пополнение относительно v).
В силу теоремы о тензорном произведении (см. п. 4.1.3) имеет ме-
сто изоморфизм колец
F^kL^Y[Lj,	(4.3.28)
/=1
где Lj =L[x]/(gi(x)) — конечное расширение поля L, в которое вклады-
вается поле F с помощью Х7-: F F L-+ Lj.
В п. 4.3.4 мы видели, что на Lj существует единственное нормирование,
продолжающее | • |„ с L = kv (где оно задано как на пополнении). Будем
обозначать это нормирование поля Lj тем же символом | • и определим
166	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
нормирование | • \vj на поле F, положив
l₽k/ = |X/(P)|v	(4.3.29)
для 0 е Fx.
Несложно показать, что нормирования | • \vj различны и что они явля-
ются единственными такими продолжениями нормы | • |у на поле F, что при
этом изоморфизм (4.3.28) является изоморфизмом топологических колец.
Таким образом, существует не более чем n=[F : k] продолжений норми-
рования | • |у поля k на F, которые совершенно явно задаются форму-
лой (4.3.29), если считать, что разложение (4.3.27) известно, и учесть, что
по формуле (4.3.16) мы имеем
1МР)1> = "У№.д(Мр))|„
(itj = [Li : L] = deggy (x) —локальная степень).
Чтобы получить соответствующее нормализованное нормирование
|| • ||vj, надо положить
llPIk/ = |Nby/UMP))l
для р е Fx. Тогда для 0 G Fx справедливо равенство
т
ПН₽1Ь./ = 1^/*(₽)Ь.	(4.3.30)
Z=1
т
поскольку Nf/jt(P) = П Мд.д(Р) в силу формулы (4.1.3).
/=1
Формула произведения для нормализованных нормирований. Пусть
&/Q— конечное расширение, a G kx и | • |у пробегает все нормализованные
нормирования поля k. Тогда [oc|u = 1 для всех V, кроме конечного их числа,
и справедливо равенство
ПН = 1-	(4.3.31)
V
Этот факт устанавливается с помощью формулы (4.3.30), в которой
надо вместо F/k положить &/Q, учесть, что N^(a)eQx, и применить
формулу произведения (4.3.15).
Глобальные поля. Так называются поля, которые являются либо конеч-
ными расширениями поля Q (числовые поля), либо конечными сепарабель-
ными расширениями поля F^(/), где F7 — поле из q элементов и элемент t
трансцендентен над F7 (функциональные поля положительной характери-
стики), см. [138], [137], [836], [225], [143].
§ 4.3]	Локальные и глобальные методы	167
Во всех глобальных полях имеют место формула произведения и схо-
жее описание всех нормализованных нормирований. Многие задачи о нату-
ральных числах имеют полезные аналогии в функциональных полях. Эти
аналогии изучаются более успешно методами алгебраической геометрии
и являются богатым источником для интуиции применительно к числовому
случаю (см. §4.5, 5.2, 6.5 и предварительный обзор части III).
4.3.7.	Адели и идели. В арифметических вопросах кольцо Z полез-
но рассматривать как решетку в R, т. е. дискретную подгруппу аддитив-
ной группы локально компактного поля R с компактной факторгруппой
R/Z, изоморфной окружности. Оказывается, для произвольного глобаль-
ного поля k можно канонически построить такое «наименьшее» локально
компактное кольцо А*, содержащее k как решетку (т. е. k — дискретное
подкольцо в Afe с компактной аддитивной факторгруппой А*/£). Кольцо
А*, называемое кольцом аделей поля k, строится с использованием вло-
жений k kv (где v пробегает множество Е = Е* всех точек поля k) как
подкольцо в произведении [J kv, состоящее из всех бесконечных векторов
v GS
а = («и)иеЕ» € kv, у которых со, € Ov для почти всех v (согласно п. 4.3.6
число архимедовых точек v не больше чем п = [k : Q], поэтому почти все
точки v е Е неархимедовы и определено компактное подкольцо Ov С kv,
если k — числовое поле):
Afe = J а = (otj € kv: ctv е Ov для почти всех v I. (4.3.32)
L	z?gs	J
Топология пространства А& определяется открытыми множествами вида
=	(4.3.33)
ves v&s
где S пробегает конечные подмножества S С Е, a Wv —открытые подмно-
жества в kv. Множество компактно (имеет компактное замыкание),
если все множества Wv ограничены, поэтому А& является локально ком-
пактным топологическим кольцом, в которое k вложено диагонально:
k Э а	(..., а, а, .. .)иег Е Afe С kv
(в силу п. 4.3.6 мы имеем |а|у = 1 для а е kx и почти всех v е Е). Отме-
тим, что полное произведение П kv слишком велико и не является локаль-
но компактным: по определению топологии произведения проекция любо-
го открытого множества У С на kv совпадает со всем kv для по-
чти всех и, поэтому множество U никогда не является компактным, имея
некомпактный образ при непрерывном отображении проектирования на
168
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
координату kv. Приведенная конструкция называется ограниченным топо-
логическим произведением топологических пространств kv относительно
системы компактных подмножеств Ov, определенных для почти всех ко-
ординат v. Сходимость последовательности	где = (<*n,v)v
к р = (ру)у с Ай означает, что для любого е>0 и для любого конечно-
го множества S С Е найдется такое натуральное число W, что выполнены
следующие условия:
l)^v-^eOv Vn>N Vv£S,
2) |ал,у - pjv < е Чп > N Vu е S.
Каждый ненулевой главный адель а, т. е.
а = (..., а, а, .. .)„ е k с Afe,	(4.3.34)
можно отделить от нуля окрестностью вида (4.3.33), где S = {vgE: а^<9у},
поэтому поле k дискретно в Ай- Компактность факторгруппы АйД име-
ет содержательное объяснение с точки зрения теории двойственности
Понтрягина локально компактных коммутативных топологических групп:
факторгруппа АйД изоморфна группе k всех непрерывных характеров
дискретной группы k. Напомним, что для локально компактной коммута-
тивной группы G группа ее непрерывных характеров
G = Homcontin(G, S1)	(4.3.35)
(где S1 = {z С Сх : |z| = 1}) также является локально компактной группой,
причем Слл = G, и точной последовательности групп
1 — Gj — G -+ G2 -> 1
с непрерывными гомоморфизмами отвечает точная последовательность
1 G2 — G Gj — 1
групп характеров. При сопоставлении G G конечные группы переходят
в конечные, дискретные группы — в компактные и обратно, а для связной
группы G группа G не имеет кручения. Если Н С G — замкнутая подгруппа,
то ее аннулятор
/У3- = {х е G: xW = 1}	(4.3.36)
изоморфен (G/Hy\
В простом примере Z С R имеем Z = S1, S1 = Z, а группа R самодвой-
ственна: R = R (числу t е R отвечает характер х »—> е2ш/х), причем Z1 = Z.
Можно проверить, что аддитивная группа Ай самодвойственна и эле-
менту a G Ай отвечает характер (0	х(а(3)) G Ай, где / — произвольный
фиксированный нетривиальный характер Ай с условием x(fe) = 1, при этом
й^^ = (АйД)л.
§ 4.3]	Локальные и глобальные методы	169
Рассмотрим подробнее A = Aq для случая k = Q. Для а = (ау)еА
определяются дробные части {ау} (при v = р надо воспользоваться циф-
ровой записью (4.3.2) и положить {ар} = а_\р~1 + ... + атрт при т < 0).
Тогда для почти всех v имеем {ау} = 0 и число {ос} = Е{ау} рационально.
Характер / е А определяется по формуле
₽ >-> ехр{-2та{роо}} • ЭД ехр{2та{р„}},	(4.3.37)
и для всех 0 е Q имеем /(0) = 1.
Для каждой компоненты v определен характер	0н->
I—> ехр{2тс£{р}} (0 е QJ, задающий самодвойственность локально компакт-
ного поля (у = р, оо) аналогичным образом: элементу t е отвечает
характер х /у(/х). Отсюда же следует описание факторгруппы
A/Q = R/Z х Zp,	(4.3.38)
р
которое устанавливается вычитанием из аделя а € А его дробной части
{а} = ^{aJeQ.	(4.3.39)
и/оо
Факторгруппа А/Q из формулы (4.3.38) компактна по теореме А.Н. Ти-
хонова о произведении компактов. Для произвольного числового поля k
полезно использовать изоморфизм топологических колец
Afc = k Aq,	(4.3.40)
из которого следуют изоморфизм аддитивных групп А^+) = (А^)", п —
= [k : Q], а также утверждения о дискретности подгруппы k С А& и ком-
пактности факторгруппы А&/&. Можно проверить также, что аналогичный
изоморфизм имеет место для произвольного расширения глобальных полей
F/k:AF^F®kAk.	(4.3.41)
Группа иделей (см. [230], [836]). Множество обратимых элементов
любого коммутативного кольца R образует группу /?х по умножению, в ко-
торой топология задается с помощью вложения х »—> (х, х-1) в топологиче-
ское произведение R х /?, для того чтобы взятие обратного элемента было
непрерывной операцией. Группой иделей Jk поля k называется группа об-
ратимых элементов А£ кольца аделей А*. Группа Jk представляет собой
ограниченное топологическое произведение групп k* по отношению
к компактным подгруппам (9х, заданным для неархимедовых нормирова-
ний v е Е.
170	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4 Я
4.3.8. Геометрия аделей и иделей. Вложение элементов числового I
поля k в его кольцо аделей А& во многом напоминает геометрическое изоб- I
ражение целых чисел О = Ok в виде решетки в R-алгебре	1
Z?oo = /2 0qIR=	©С'2,	(4.3.42) j
u|oo	f
Эту аналогию можно провести значительно дальше. Рассмотрим меру Ха- |
ара [1 на локально компактной (аддитивной) группе А*, которую можно '
задавать на открытых множествах вида (4.3.33) по формуле
=	(4-3.43)
ues
где [jlv(Ov) = 1 при v {оо (т. е. если v — неархимедова точка), d\iv = dx при
kv = R (мера Лебега), d[iv = \dz Л dz\ =2dxdy при kv = С Э z = х + iy.
Если (3 — {(%} G Jk — произвольный идель, то его содержанием называ-
ется множитель |р|, на который отличаются две меры Хаара [1(£х) и [1(х)
на А&:
р(Рх) = |р|р(х).	‘	(4.3.44)
Из описания (4.3.43) меры р ясно, что |Р| = П1Ри|и, где | • |„ — норма-
р
лизованное нормирование из класса точки v: |x|u =х, если xekv=R,
\z|у = zz, если z G kv = С.
На компактной факторгруппе А^/й определим меру р с помощью обще-
го понятия фундаментального множества: если Г — дискретная подгруппа
в локально компактной группе G, то под фундаментальным множеством X
для G по модулю Г понимается полное множество представителей классов
смежности, обладающее дополнительными свойствами измеримости. С по-
мощью ограничения меры Хаара а группы G на подмножество X получа-
ется однозначно определенная мера Хаара на G/Г, которая обозначается
той же буквой, причем a(G/T) = а(Х).
Построение фундаментального множества X для А&/&: выберем Z-
базис <01, ..., группы целых элементов О С k, который также является
базисом векторного пространства = k R над R и задает изомор-
П
физм 0: R" —^оо по формуле 0((«i, ..., ип)) = £ Если обозначить
1=1
через / промежуток 0 < t < 1 в R, то 0(/л) является фундаментальным
параллелограммом решетки О в (см. п. 4.1.3). Теперь в качестве X
возьмем
Х = В(1п) х	(4.3.45)
ufoo
(фундаментальное множество для А^Д).

§4.3]
Локальные и глобальные методы
171
Для доказательства заметим, что множество 4- k всюду плотно в Afe.
Это утверждение известно как теорема об аппроксимации и являет-
ся вариантом китайской теоремы об остатках (см. п. 1.1.5). Далее,
koo х —открытая подгруппа в Afe, значит, для любого х е Afe най-
дется такое число т) е k, что х — т) е х П Ov. Условие того, что неко-
торый другой элемент г)' е k обладает таким же свойством, равносильно
тому, что т) - т)' е Ov для всех неархимедовых точек и, т. е. т) - т)' е О. По-
этому при подходящем выборе т) можно считать что проекция элемента
х — т) на koo лежит в 0(/л): у^ = 0(и), и е /л, причем и определяется этим
однозначно, что и требовалось.
Первое приложение построенной меры на Afe/fe — простое доказатель-
ство формулы произведения (4.3.31): если 0 е kx с Jk — главный идель, то
0&х = kx в Jk и 0 определяет гомеоморфизм фактора Afe/fe, следовательно,
две меры Хаара ц(0х) и [i(x) должны совпасть, т. е. в силу соотношения
(4.3.44) мы получаем
IPI = П 1Р“ 1“ = И(₽А*А)/И(А*/Л) = 1.
V
Вычислим меру [i(Afe/&). Вид фундаментального множества (4.3.45) по-
казывает, что для этого достаточно вычислить объем фундаментального
параллелограмма 0(/") в k^, что уже было сделано в п. 4.1.3 ((4.1.7)),
и мы получаем
н(А*А) = |п*|,/2.
(4.3.46)
где Dk = det(Tr(0/0;)) — дискриминант поля k (мы учли при этом, что ме-
ра d\iv на koo = Rri ф С2 = отличается степенью 2 от меры Лебега
и|оо
на компоненте kv = С, когда d\iv(z) =<2dxdy = \dz A dz\ для z = x 4- iy 6
eC^^).
Рассмотрим величину, равную
(9 \ Г 2
-) |£>а||/2,	(4.3.47)
тс/
которая важна для выяснения вопроса о наличии ненулевой точки 0 ре-
шетки k с Afe, лежащей в параллелотопе, т. е. множестве вида
У(С) = {х = (х„)„е A*: VueS*, |xv|B	(4.3.48)
где с = (cv) — набор положительных чисел, почти всех равных 1 и опреде-
ленных для всех точек v поля k.
Лемма 4.19 (Блихфельдт). Пусть числа cv таковы, что
П^>с = (?)'°М«
Тогда найдется точка 0 е kx П И(с) с Afe.
172
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
Доказательство. Рассмотрим вспомогательное множество V(c'),
где с' = (с') (u € Е),
с' = cv, если v — неархимедова точка,
с' = у, если kv = К,
с'= у, если£и=С.
Тогда объем V(c') легко вычисляется:
p(V(c')) = Q)'2	> 1^11/2-
V
Другими словами, мера множества V(c') больше меры фундаментально-
го множества для А^Д, стало быть, найдутся две различные точки у,
//' € И(с'), имеющие одинаковый образ в k, т. е. у — у' € k и мы получаем
для числа p = z/ — yf е kx следующие оценки:
|р|у max(|z/Jy, |z/'|u) < cVl если v — неархимедова,
|Р|р sj2max(|i/u|u, |«/'|u) если kv =К,
IP|U < 4max(|i/u|u, |z/'|a) s£ca, если =C.
Лемма доказана.
Обратимся теперь к строению группы иделей. Рассмотрим гомомор-
физм | • |: Jk —►	переводящий у = (yv)v е Jk в \у \ = П \yv|„. Обозначим
V
через его ядро, тогда J^ является замкнутой подгруппой, а в силу форму-
лы произведения (4.3.31) мы получаем kx cJk- Важнейшим результатом
теории числовых полей является следующая теорема.
Теорема 4.20. Факторгруппа J^/k^ компактна.
Доказательство выводится из леммы Блихфельдта подобно выводу
теоремы Дирихле о единицах из леммы Минковского о выпуклом теле (см.
п. 4.1.6).
Эта теорема эквивалентна объединению теоремы Дирихле о едини-
цах и теоремы о конечности числа классов (см. п. 4.1.6, 4.2.2), которые
сами легко выводятся из этой теоремы с помощью рассмотрения следую-
щих отображений.
Дивизориальное отображение. Пусть Ik — группа дробных идеалов
(дивизоров), т. е. свободная (аддитивная) группа с множеством неархиме-
довых точек в качестве базиса. Определим
div: Jk —> Ik.	div((xD)) = v(xv) • v,	(4.3.49)
v]oo
§ 4.3]	Локальные и глобальные методы	173
где v обозначает, как было условлено, показатель для точки v с услови-
ем v(kx) = Z. Тогда заметим, что div(J^) = 4, поскольку изменение одной
лишь архимедовой компоненты хж = (хУ)и|сю иделя х е Jk не меняет div(x).
Если div(£x) = Pk — подгруппа главных идеалов в дискретной группе 4, то
мы получаем эпиморфизм div: J^/k* —► Ik/Pk = Clk компактной группы на
дискретную, образ которого компактен и дискретен, а поэтому и конечен.
Логарифмическое отображение и S-единицы. Пусть S с — ко-
нечное множество точек, содержащее множество всех архимедовых
точек. Множество таких элементов т)Е/гх, что |т)|у = 1 для всех v£S,
образует группу по умножению, которая обозначается Es и называется
группой S-единиц.
Теорема4.21 (теорема о S-единицах). Группа Es является прямой
суммой конечной циклической группы и свободной абелевой группы
ранга s — 1, где s — число точек в S (см. [495]).
Доказательство подобно доказательству теоремы Дирихле (см. п. 4.1.4).
Рассматривается логарифмическое отображение
Г. Jk~+	(4.3.50)
s раз
(где —аддитивная группа вещественных чисел), задаваемое формулой
/((•^и)и) = (• • •»	...)v^5.
Это отображение непрерывно, а его образ содержит некоторый базис век-
торного пространства Rs (если S = Еоо, то отображение / сюръективно).
С помощью отображений (4.3.49) и (4.3.50) несложно описать фун-
даментальные множества для 4/6 х и J^/kx (см. [836, с. 137—139]),
а также вычислить объем у(/^//гх) относительно меры Хаара у на про-
исходящей из разложения
(4.3.51)
Iх I
в котором
Y —	—мера Хаара на Д,
V
определенная условиями
YV(OX) = 1,	если v — неарихмедова точка,
dyv(x) = |х| —1 dx,	если kv = R, хей,
dyv(z) = (zz)-1 \dz A dz\, если z e C = kv.
Тогда справедлива формула
y(j'k/kx) = 2fl (2it)r2hR/w = xk,	(4.3.52)
174
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
причем h = \Clk\ — число классов поля k, R=Rk— регулятор, aw=wk—
число корней из 1, содержащихся в k, см. п. 4.1.3. Эта формула означает,
что для каждого числа т> 1 в R множество С(т) в 4/&х, определен-
ное с помощью неравенств С(т) = {х € 4/йх : 1	|х| т}, имеет меру,
равную
y(C(m)) = Xk \ogrn.	(4.3.53)
Величины /?, /г, D, т. е. регулятор, число классов и дискриминант,
являются важнейшими инвариантами числового поля k. Эти величины,
участвующие в формулах объемов фундаментальных множеств (4.3.46)
и (4.3.52), не независимы: согласно глубокому результату Брауэра—Зигеля
(см. [492], [500]) для последовательности, состоящей из числовых полей
km степени AZm = [^m-Q] И удовлетворяющей условию Пт/ log\Dkm I -+ 0 при
т —> оо, справедлива асимптотика
Rkm) ~ log(|DAJ1/2).	(4.3.54)
Группа классов иделей
Ck=Jk/k*
играет ключевую роль в описании всех абелевых расширений числового
поля (теория полей классов), см. §4.4.
Если k = Q, то имеют место изоморфизмы
VQx=R^ х ]]Z*,	(4.3.55)
р
4/Qx=IIzp-	(4.3.56)
р
Они легко устанавливаются с помощью деления иделя а € Jq на его диви-
зор div(a) = pvp^p\ который в данной ситуации является рациональным
р
числом; в результате получается элемент а ♦ sign(aoo) div(a)-1 из правой
части формулы (4.3.55).
§ 4.4.	Теория полей классов
4.4.1.	Абелевы расширения поля рациональных чисел ([137], [230],
[836]). Один из центральных объектов алгебраической теории чисел —
полная группа Галуа G = G(Q/Q) поля Q всех алгебраических чисел над Q,
а также ее подгруппы Н С G конечного индекса, отвечающие конечным
расширениям &/Q:	_
H = Gk = G(Q/k) с G.
§ 4.4]	Теория полей классов	175
С топологической точки зрения G является компактной вполне несвязной
группой с топологией проконечной группы (проективного предела конечных
факторгрупп):
G=HmG/G* = HrnG(fc/Q),
где Gk — подгруппы, отвечающие нормальным конечным расширениям
&/Q, которые тем самым замкнуты и открыты в G.
Теория полей классов доставляет чисто арифметическое описание
максимальной абелевой (хаусдорфовой) факторгруппы G£b = Gk/Gck, где
Cck — замыкание коммутанта группы G&, причем это описание дается для
всех групп Галуа G£b произвольных глобальных (числовых и функциональ-
ных) полей k. Одна из форм описания группы G£b состоит в вычислении
всех характеров (одномерных комплексных представлений) полной
группы Gk-
Топологическое строение бесконечных групп Галуа подобно строению
компактных аналитических групп Ли над полем р-адических чисел Q₽,
таких как SLn(Zp), Sprt(Zp) и др. Идея применения аналитических ме-
тодов, теории представлений групп и алгебр Ли к изучению групп Галуа
бесконечных расширений получила большое развитие в последние десяти-
летия и связана с некоммутативными обобщениями теории полей классов
(см. §6.5).
Опишем вначале группу Gq, основываясь на теореме Кронекера—Ве-
бера о том, что любое абелево расширение поля Q, т. е. расширение &/Q
с коммутативной группой Галуа G(£/Q), содержится в некотором поле де-
ления круга Кт = Q(Cn), где ^т — примитивный корень из 1 (см. п. 4.1.2).
Имеет место изоморфизм
(Z/mZ)x Gm = Gal(Kw/Q).	(4.4.1)
сопоставляющий классу вычетов a (modm) € (Z/mZ)x, (а, т) = 1, авто-
морфизм о = оа = фт(я) € Gm, заданный условием =£“. Арифмети-
ческий изоморфизм (4.4.1) позволяет рассматривать характеры Дирихле
/: (Z/mZ)x —>СХ как одномерные представления рх: G—>СХ груп-
пы G посредством разложения
рх: G	Gm Ь (Z/mZ)х Л Сх,	(4.4.2)
где G Gm — гомоморфизм ограничения, рх = X °	° причем каж-
дый характер р: G —> Сх имеет такой вид: р = рх для некоторого /. К при-
меру, квадратичное расширение k = Q(Vd) содержится в круговом расши-
рении <Q>(C|d|)» гДе D = Dk — дискриминант поля k, что легко усмотреть
непосредственно: если х = /d — квадратичный характер поля k, a G(x) —
его гауссова сумма, то G(x)2 = D, а поэтому G(x) = ±VD е K\d\’, налом-
176	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
ним, что /о — однозначно определенный квадратичный примитивный ха-
рактер по модулю |О| с условием xo(“l) = sgnD. Поле k отвечает по
теории Галуа подгруппе Кегр С Gq, р = pXD, индекса 2.
Максимальное абелево расширение Qab является по теореме Кронеке-
ра—Вебера объединением всех Кт, поэтому его группа Галуа совпадает
с проективным пределом групп Gm = (Z/mZ)x, т. е.
Gab^lim(Z/mZ)x,
где проективный предел берется по гомоморфизмам проекции (Z/miZ)x —►
—> (Z/m2Z)x для m2 | т\. Следовательно, группа Gab совпадает с группой
П Zx обратимых элементов кольца Z = П Zp (проконечного пополнения
р	р
кольца целых чисел).
Более инвариантная формулировка основана на введении кольца аделей
А и его мультипликативной группы J = Ах —группы иделей (см. п. 4.3.7,
4.3.8). Группа J состоит из таких бесконечных векторов
0t = («оо; «2, «3, •••) €КХ х JjQp, .
р
что ар е Zp для почти всех р, причем топологическое произведение U\ —
= RX х IfZp открыто, а факторгруппа Ax/Gi дискретна. Согласно соот-
р
ношению (4.3.55) мы имеем 7/Qx =Я£ х П^х, где — мультиплика-
р
тивная группа положительных чисел.
Группа Gab изоморфна тогда факторгруппе группы //Qx по ее связной
компоненте:
Gab = fl Z* “ //R*Qx.	(4.4.3)
р
Для установления этого изоморфизма важно то обстоятельство, что эле-
менты всех групп Gm, а значит, и Gab имеют арифметическую природу
и отвечают простым числам. Именно, каждому простому числу р, не деля-
щему т, отвечает элемент Фробениуса о =	: Си Ст- Множество всех
простых чисел, переходящих в фиксированный элемент а е Gm, бесконечно
по классической теореме Дирихле о простых числах в арифметической
прогрессии: оно совпадает с множеством простых чисел вида р = а + km
(k € Z), где а = фт(а). Автоморфизм а называется элементом Фробени-
уса Frp по следующей причине: если рассмотреть кольцо От = всех
целых элементов из Кт, то на факторкольце От1р®т автоморфизм <зр
действует как автоморфизм Фробениуса Frp(x) = хр. При этом вид разло-
жения идеала рОт на простые идеалы зависит только от образа простого
числа р в группе Галуа Gm (см. п. 4.1.2). Идея сопоставления просто-
§4.4]
Теория полей классов
177
му числу (простому идеалу) элемента группы Галуа (Э. Артин) приводит
к изоморфизму (4.4.3), в котором элементу Фробениуса Frp отвечает класс
иделя
пр = (1, 1, ..., 1, р, 1, ...) b//R*Qx.
Полю Кт отвечает открытая подгруппа
t/m = K;x]J(l+/nZp)X X П2₽С/,
р\т	р\т
причем Gm = J/UmQ*, см. [496]. Именно в таком виде этот результат удоб-
но переносить на общий случай группы G|b для конечных расширений &/Q.
Заметим, что множество всех примитивных характеров Дирихле можно
отождествить с дискретной группой характеров конечного порядка группы
классов иделей посредством проекции
W = JR^ х JJZX —> (Z/mZ)x S Gm,
p
поскольку такие характеры тривиальны на связной компоненте R^. Абе-
левы расширения поля Q взаимно однозначно соответствуют открытым
подгруппам в //R*QX, каждая из которых есть пересечение ядер конеч-
ного числа характеров Дирихле.
4.4.2.	Элементы Фробениуса числовых полей и отображение вза-
имности Артина. Пусть К — числовое поле, [/< : Q] = п, ~ мно“
жество всех конечных точек (нормализованных дискретных нормиро-
ваний) поля /(, которые однозначно отвечают простым идеалам / О
в кольце целых элементов Ок поля /(:
pv = {xeOK: |х|у < 1}.
Поле вычетов k(v) = Ок/pv конечно, и число его элементов равно Nv =
= Puegu, где pv =charfc(u), f — степень поля k(v) над FPo. Нормализо-
ванное™ нормирования | • |„ означает, что для х е Ок выполняется равен-
ство
v(x) = - logafo |x|v (|x|v = Nv~v{x)).	(4.4.4)
Индекс ветвления ev точки v — это число v(pv), и имеет место разложе-
ние рОк = П Pv-
v,v(p)>0
Пусть L/K — конечное расширение Галуа с группой Галуа G(L/K), и
пусть w — некоторая точка поля L, которая продолжает точку v поля К.
Определим действие группы Галуа G(L/K) на нормированиях w (точнее,
на множестве точек поля L) по формуле w аш,
= |х |oi.
178	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
Если точки и, w неархимедовы, ру, — соответствующие им простые
идеалы, то ош определяется идеалом	Автоморфизм Галуа
о € G(L/K) дает изоморфизм пополнений aw: Lw —> Low как нормирован-
ных пространств над Kv-
Группа разложения Gw вводится как подгруппа
Gw = {с € G(L/K): ow = ш} с G(L/K).	(4.4.5)
По определению Gw = {a G G: атш = w} = тС^т-1. С другой стороны, из
конструкции продолжения нормирований выводится, что действие группы
Галуа G(L/K) на множестве точек w, делящих v, транзитивно; следова-
тельно, все подгруппы Gw С G(L/K) сопряжены (см. [836]).
Группой инерции lw С Gw называется ядро естественного гомомор-
физма Gw = G(LW/Kv) —> G(l(w)/k(v))	— поле вычетов точки w).
Факторгруппа Gw/Iw = G(l(w)/k(v)) порождается элементом Фробениуса:
G(l(w)/k(v)) = (Fray) ’ FrIiy(x) = xNv. Нормирование w называется нераз-
ветвленным, если Iw = {1}; тогда Gw = (Fr^,); из определений следует, что
Frw = т-1 Fr^y т, и в этом случае определен класс сопряженности элемента
Fr^y в группе G(L/K), зависящий только от точки v. Принтом все неархи-
медовы точки, кроме конечного их числа, неразветвлены; для таких точек v
положим
Гь/к(и) = (класс сопряженности Fr^, w | v).	(4.4.6)
Если группа G(L/K) коммутативна, то правая часть равенства (4.4.6) со-
стоит из одного элемента.
Закон взаимности Артина указывает расположение элементов Фро-
бениуса Fl/k(v) в коммутативных группах Галуа G(L/K). Пусть S — конеч-
ное множество точек поля /(, включающее все неархимедовы точки, а так-
же точки, разветвленные в L/К. Обозначим через Is свободную (муль-
типликативную) абелеву группу с образующими ру для точек v £ S. Тогда
сопоставление v Fl/k\v) G G(L/K) продолжается до гомоморфизма
Fl/k-!S -*G(L/K),	(4.4.7)
который называется отображением взаимности Артина,
Fl/k (П Р"Л = П Fl/kW1'.	(4.4.8)
\u£S / v&S
Теория полей классов дает явное описание ядра гомоморфизма (4.4.7)
(см. п. 4.4.5). Утверждение о сюръективности отображения взаимности
(4.4.7) было открыто раньше и вытекает из общей теоремы Чебота-
рёва о плотности простых идеалов; эта теорема представляет собой
далекое обобщение теоремы Дирихле о простых числах в арифметической
прогрессии (см. [229], [720], [716], [231]).
§4.4]
Теория полей классов
179
Пусть Р — некоторое подмножество в множестве Е^ всех неархимедо-
вых точек поля /С Для каждого целого числа х 1 обозначим через ах(Р)
число таких точек v е Р, что Nv х. Говорят, что множество Р имеет плот-
ность а 0, если существует предел
lim
х—>оо
ах(Р)
ах&к)
= а.
(4.4.9)
Не всякое множество имеет плотность. Например, если К = Q, а Р — мно-
жество простых чисел, первая десятичная цифра которых равна 1, то Р
вообще не имеет плотности.
По теореме о распределении простых чисел имеем ах(Е^) ~ x/logx,
поэтому условие (4.4.9) эквивалентно асимптотике
ах(Р) = ax/logx + o(x/logx).	(4.4.10)
4.4.3.	Теорема Чеботарёва о плотности простых идеалов.
Теорема 4.22. Пусть L/K — конечное расширение Галуа числово-
го поля К и X — подмножество в G(L/K), инвариантное относи-
тельно сопряжения. Обозначим через Рх множество точек v е Е^,
неразветвленных в L таких, что класс элемента Фробениуса v ле-
жит в X: Fl/k(v)cX. Тогда плотность Рх существует и равна
Card X/ Card G(L/K).
Доказательство основано на аналитических методах; вводится поня-
тие аналитической плотности (плотности Дирихле) множества Р как
предел
lim	(4.4,11)
-,+ М А)
Доказательство существования и вычисление предела для множества
Р = Рх можно провести с помощью L-функций Артина (см. п. 6.2.2);
отсюда уже выводится утверждение о плотности множества Рх в смыс-
ле (4.4.9) (см. [230], [492]).
4.4.4.	Закон разложения и отображение взаимности. Если L/K —
абелево расширение, то закон разложения простого идеала ру в Ol полно-
стью определяется порядком f элемента Fl/k(v) € G(L/K)\ в этом случае
. где$ = (0(£//<):(о)), причем f = f(wt/v) = deg^/degv =
= [l(Wi): &(v)] —относительная степень поля классов. Этот факт вы-
текает из транзитивности действия группы Галуа G(L/K) на точках w, де-
лящих v. В частности, точка v полностью распадается (т. е. f = 1 и точка v
неразветвлена) тогда и только тогда, когда Fl/r(v) = 1 € G(L/K).
Из теоремы 4.22 видно, что конечное расширение Галуа L/K однознач-
но определяется (в фиксированном алгебраическом замыкании /() множе-
ством Spl^ точек, вполне распадающихся в L/K. Закон взаимности
180	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
Артина дает, в частности, описание этого множества, если расширение
L/К абелево. Для неабелевых расширений пока существуют лишь приме-
ры описания Spl^; однако эти примеры служат основанием весьма общих
гипотез {программа Ленглендса, см. §6.5), определяющих одни из ос-
новных направлений исследований в современной алгебраической теории
чисел.
4.4.5.	Ядро отображения взаимности. Прежде чем сформулировать
точный результат о ядре отображения (4.4.7), напомним, что относительная
норма Njl/k (ш) точки w из конечного расширения L/К числового поля К
определяется как р^и) (или f(w/v) • v в аддитивных терминах), где
f{w/v) = degay/degv — [/(ш): &(v)] = logNu
— относительная степень поля классов вычетов. Кроме того, рассмотрим
дивизориальное отображение (см. формулу (4.3.49))
divs: V-/s, divs(a) = П Р„(а) е Is,
vgS
где S — множество, состоящее из всех архимедовых точек v е и то“
чек v, разветвленных в расширении L/К. Пусть L/K — абелево расшире-
ние числового поля К, f = П₽^ — некоторый идеал в (3%, делящийся на
достаточно высокие степени r(v) простых идеалов ру, разветвленных в L.
Для каждой архимедовой точки v е ^2^ зафиксируем вложение
а ь- a{v) е С, К Kv С С,
индуцирующее нормирование V, и пусть
= {и €	: Kv — К, = С для w/v}.
Определим подгруппы Pl/kWF С Is:
PA/K(f) = {divs(a): аеКх, а = 1 (modf), > 0 Vu е Е^к}, (4.4.12)
=	(4.4.13)
— подгруппа, порожденная относительными нормами простых делителей
тех точек v (или ру), которые неразветвлены в L/K.
Теорема 4.23 (закон взаимности Артина). Пусть L/K — абелево
расширение. Тогда
KerFL/K=PL/K{f)^L/K(j).
(4.4.14)
§4.4]
Теория полей классов
181
Следствие 4.24 (описание группы Галуа). Для абелева расширения
L/К отображение взаимности (4.4.7) индуцирует изоморфизм
4.4.6.	Символ Артина. Рассмотрим группу иделей Jr и определим
сюръективный гомоморфизм
(., L/К): 4 G(Л//0, s м (s, L/K),	(4.4.15)
с помощью отображения взаимности (4.4.7). Для произвольного иделя
s eJf( подберем такой главный идель a G /Сх, что |ocsy - 1 |v < е для v G S
и для достаточно малого е > 0. Определим дивизор (см. формулу (4.3.49))
div(as) =	€ /S-
V
Тогда символ Артина определяется равенством
(s, L/K) =	= FL/K(<Hv(as)).	(4.4.16)
Следует особо подчеркнуть, что для корректной определенности сим-
вола Артина на иделях (см. формулу (4.4.16)) существенно, что выполнен
закон взаимности на идеалах в форме (4.4.14). Действительно, условие
на элемент а в соотношении (4.4.16) выполнено, если div(a) G Pl/kW) при
подходящем выборе f. Теперь закон взаимности (4.4.14) переходит в утвер-
ждение о том, что Кегф/ук совпадает с Kx^l/k^l> где Nl/rJl— подгруппа
относительных норм иделей из
= (ПNU//<„(РшЛ •	(4.4.17)
/у
Таким образом, символ Артина из формулы фдд (4.4.16) определен для
классов иделей s еСц =Jr/K\ причем Fl/k(v) = ^l/k(s(v)\ где s(y) —
это класс иделя (..., 1, тсу, 1, ...), где € Кх —локальная униформизу-
ющая, т. е. элемент, удовлетворяющий условию у(тсу) = 1. Гомоморфизм
фл/к • Ск G(L//Q непрерывен, и его ядро открыто-замкнуто опять в си-
лу соотношения (4.4.14).
4.4.7.	Глобальные свойства символа Артина. Пусть Н — подгруппа
некоторой конечной группы G, тогда определен гомоморфизм переноса
Ver: G/[G, G] Н/[Н, Н],	(4.4.18)
для которого Ver(g[G, G]) = П /z(g, г), где г пробегает систему предста-
reR
вителей левых смежных классов R для G/Н, а элемент /z(g, г)еН опре-
делен условием gr = gr h(g, г), где gr G R— представитель для gr в R.
182	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
1.	Существует взаимно однозначное соответствие между открытыми
подгруппами U с С к и конечными абелевыми расширениями L/K, причем
символ (4.4.16) индуцирует изоморфизм Cr/U —> G(L/K), ядро U которого
совпадает с норменной подгруппой: U — Nqk(Cl) (см. формулу (4.4.17)).
2.	Пусть К'/К — произвольное конечное расширение. Тогда для а е Сц>
справедливо равенство
(N^/Ha), L/K) = (a, LK'/K').	(4.4.19)
3.	Пусть L'/K — конечное нормальное расширение, L/K — его макси-
мальное абелево подрасширение и /С — промежуточное подполе в L'/K,
над которым поле L' абелево. Тогда
(a, L'/K') = Ver(a, L/K),	(4.4.20)
где Ver—гомоморфизм переноса (4.4.18).
4.	Пусть L'/K — (нормальное) подрасширение расширения L/K, тогда
для всех а е С к справедливо равенство
(a, L'/K) = (а, L/K).	(4.4.21)
5.	Пусть а — изоморфизм поля К на а/С, o€Aut/(. Тогда для всех
а € С % справедливо равенство
(аа, gL/gK) = а(а, Л/Л)а"1.	(4.4.22)
Черта в предыдущих формулах означает ограничение автоморфизма на
подполе (см. [230], [467], [137], [836]).
Эти свойства позволяют распространить определение символа Артина
на бесконечные абелевы расширения L/K. Соответствие
s (s, L/K) = lim(s, Lv/K),	(4.4.23)
V
где Lv/K пробегает все конечные подрасширения L/К, позволяет опреде-
лить при помощи свойства 4 отображение из С& в G(L/K), образ которого
всюду плотен. Поскольку подгруппы конечного индекса в С к и G(Kab /К)
находятся во взаимно однозначном соответствии, группа G(Kab/К) изо-
морфна проконечному пополнению группы Сц и совпадает с факторгруп-
пой группы Ск по ее связной компоненте, а гомоморфизм удовлетворяет
правилам преобразования 2, 4, 5.
Отметим, что другой подход к теории полей классов был развит Й. Ной-
кирхом, см. гл. 4—6 в [612].
Для проконечной группы G, на которой определен сюръективный гомо-
морфизм d \ G —> Z, и для G-модуля А, на котором определено «гензелево
нормирование, связанное с d», можно построить элементарным образом
§4.4]	Теория полей классов	183
гомоморфизмы взаимности; если к тому же А удовлетворяет так называ-
емой аксиоме полей классов (утверждение о нулевых по номеру и (— 1)-х
когомологиях Л), то гомоморфизмы взаимности являются изоморфизмами.
Из такой абстрактной теории полей классов можно вывести как глобаль-
ную, так и локальную теории полей классов, а также классическую форму-
лировку глобальной теории полей классов, использующую лучевую группу
классов вместо иделей. Подход Нойкирха позволяет меньше использо-
вать когомологические методы, необходимые для построения теории полей
классов.
4.4.8.	Связь символа Артина и локальных символов. Предполо-
жим, что символ Артина на иделях (4.4.16) существует. Для конечного
абелева расширения L/К, неархимедовой точки v поля и ее продолже-
ния w на поле L рассмотрим пополнения Kv и Lw и группу разложения
G. cG(L/K), G^G(M^),
которая в абелевом случае не зависит от выбора w. Рассмотрим вложение
iv • Ку * проекцию на v-компоненту jv: —> Ку , где iv отображает
хЕ Ку в элемент из У#, у которого ^-компонента равна х, а остальные
компоненты равны 1. Положим
фи = §l/k ° — (*, Lw/Kv)v.	(4.4.24)
Тогда можно проверить, что образ гомоморфизма ф лежит в группе раз-
ложения Gy. Гомоморфизм фу: Ку —► Gv называют локальным гомо-
морфизмом Артина (или гомоморфизмом норменного вычета). Если
х = (Ху) G /к, то справедливо разложение
<к/Нх) = П'Мх*)’	(4-4.25)
V
поскольку
х = lim (JJ /и(Ху)\
S Ves )
(предел по возрастающему семейству {S} конечных множеств точек поля К).
Произведение (4.4.25) на самом деле конечно, так как если компонен-
та Ху является и-единицей и точка v неразветвлена, то xv является нор-
мой в Lw/Kv‘- для некоторого элемента yw£tw имеем xv =
причем существование такого элемента устанавливается по лемме Гензеля
(см. п. 4.3.2).
Таким образом, знание локальных отображений Артина фу эк-
вивалентно знанию глобального отображения Артина $l/k- В класси-
ческих работах локальные отображения изучались при помощи глобальной
теории; в частности, было показано, что они зависят только от локального
184	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
расширения Lw/Kv и не зависят от глобального расширения L/К, из ко-
торого они были выведены. Современное изложение теории полей классов
(например, в работах [230], [836]) в этом смысле противоположно клас-
сическому: сначала дается независимая и чисто локальная конструкция
отображений
9.: К* ->GV = G(LV/KV)4	(4.4.26)
где Lv —некоторое конечное расширение поля Kv- Затем доказывается, что
произведение 0у удовлетворяет тем свойствам, которые однозначно ха-
v
растеризуют гомоморфизм фд/к, причем важнейшая часть доказательства
состоит в проверке формулы произведения:
0у (а) = 1 для всех а е К х.	(4.4.27)
V
В случае квадратичного расширения L = K(\/b) образ Qv(a) принадлежит
группе {±1} = Gal(L/K) и совпадает с символом Гильберта, определенным
в п. 4.3.3, а формула произведения, установленная в п. 4.3.3, эквивалентна
квадратичному закону взаимности Гаусса, который тем Самым становится
частным случаем общего закона взаимности Артина (4.4.14).
Конструкция отображения (4.4.26) для произвольных абелевых расши-
рений Ли/Ку обычно проводится средствами теории когомологий Галуа
(см. §4.5, а также [713], [714], [230], [467], [52]). Более непосредствен-
ную конструкцию 0у не так давно предложил Хазевинкель [401], [41]. Оно
основано на явном анализе когомологических конструкций в малых раз-
мерностях, ср. с подходом Нойкирха, [612].
4.4.9.	Свойства локального символа. Для символа
% = ф. = (•, Lw/Kv).Kx ~^GV
эти свойства вполне аналогичны свойствам 1—5 из п. 4.4.7 с заменой
Gk	на	G(L/K) на Gv и фдд на 0у. Кроме того, гомомор-
физм 0у отображает группу единиц Uv = О* поля Kv на группу инерции
Iw С Gv. Если Lw/Kv неразветвлено, то для любого а е К* имеем
ер(а) = Fr"<a),	(4.4.28)
где Fry € Gy —элемент Фробениуса расширения и показатель v поля Kv
нормализован условием u(Kyx) = Z. Так же как и фдд, локальный сим-
вол можно перенести на бесконечные абелевы расширения и определить
гомоморфизм 0у: К* —> G(K*b/Kv), где КуЬ— максимальное абелево рас-
ширение Ку, и мы получаем описание группы Галуа
G(K*b/Kv) = (К*)л Z х О*	(4.4.29)
§4.4)
Теория полей классов
185
(здесь Л обозначает проконечное пополнение). При изоморфизме (4.4.29)
группа Галуа G(K^/Kv) — G(fqv/¥qv) максимального неразветвленного рас-
ширения К™ поля Kv переходит в Z, а группа инерции !w = Iv изоморфно
отображается на всю группу единиц О*:
(4.4.30)
(поле К™ можно определить как максимальное расширение поля /(, для
которого продолжение показателя v (см. п. 4.3.4) удовлетворяет условию
^nr)x)=Z).
Ниже приведена замечательная явная конструкция максимального абе-
лева расширения К„ь локального неархимедова поля Kv, обобщающая
описание Q^b с помощью присоединения корней из 1 к полю Qp.
4.4.10.	Явная конструкция абелевых расширений локального поля
и вычисление локального символа (см. [533], [230], [399], [713], [100],
[238], [49]). Рассмотрим сначала модельный пример поля Qp, у которого
любое абелево расширение содержится в круговом, т. е. Qpb = Qp(l^oo)»
где Гоо = U Wn, Wn = {£ G = 1}, U^oo — множество всех корней из
п>1
единицы из Qp. Пусть Wpoo = |J —подмножество всех корней из 1
ш>0
р-примарной степени, a = |J Wn— подмножество корней из 1 степе-
ней, не делящихся на р. Тогда
Гоо = Voo X Гроо, Qp(roo) = Qp(Koo). Qp(^poo)
и имеет место разложение
G(Qpb/Qp) = G(Qp(V00)/Qp) х G(Q,(W»/Q,).	(4.4.31)
Здесь Qp(Kx>) — максимальное неразветвленное расширение (см. пример
из п.4.3.4), для которого vp(Qp(Voo)x) = Z и
G(Q,( VoJ/Qp)	G(FP/FP) *Z = (Frp), (4.4.32)
а поле Qp(lFpoo)=UQp(W,pm) является объединением всех вполне развет-
т
вленных абелевых расширений Qp. Группу Галуа G(Qp(IFpoo)/Qp) можно
описать с помощью ее действия на множестве Wp^ корней из 1 р-при-
марной степени; для этого заметим, что
Епс1Гроо ^Zp, AutU^poo ^Zx,
сопоставив р-адическому числу а = ао + а\р -I- а%р2 + ... € Zp в цифро-
вой записи (1.3.2) эндоморфизм [<*]:£»—► для £ G Wpoo:
^det^o+a|P+...+Qm_1P"-') если Wpm с Wpao
186
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
Из действия группы Галуа на группе №роо получается гомоморфизм
V G(Qp(lTpoo)/Qp) Aut	(4.4.33)
который можно назвать одномерным р-адическим представлением Га-
луа (циклотомическим представлением), причем (4.4.33) — изоморфизм.
Оказывается, локальный символ 9р(а) = (a, Qpb/Qp) € G(Qpb/Qp) для
произвольного элемента а = рти (те %, и € Z*) можно описать с помо-
щью изоморфизмов (4.4.32) и (4.4.33):
Ег™ на поле ОДЦ»),
-1] на поле Qp(U^poc).
Содержательный альтернативный подход к этой конструкции состоит
в том, чтобы рассмотреть множества Е рОО   U
т^\
Ма) = <
Epm = {w = ^-\:^eWpm},
являющиеся группами относительно операции, заданной формулой
+ W2 + Ш1Ш2 (^1, W2 € Ероо),
причем для всех w € Ер^ имеем |ш|р < 1. При этом Ер состоит из корней
многочлена
fp(X) = (X + 1)р - 1 = рХ + (Qx2 +... + ХР,
который после деления на X становится неприводимым (по условию непри-
водимости Эйзенштейна), а его корни порождают поле <Q)p(Ep) степени
р - 1 над Qp.
Рассмотрим итерации многочлена fp(X)\
fp2(X) = fp(fp(X)) = ((X + l)P -V)P -1,
fpm(X) = fp„-,(fp (X)).
Тогда группа Epm совпадает с множеством корней многочлена fpm (X) и изо-
морфна p~rnTtp/rLp\ очевидные вложения Ерт сЕ рт+\ при этом изомор-
физме становятся вложениями p~mZp/Zp с р~т~Хг£>р/г£>р, и мы видим,
что Epoo^Qp/Zp, EndEpoo = ZP, Qp(Epoo) = Qp(U^poo), а изоморфизм
(4.4.33) принимает вид
8p: G(Qp(Epoo)/Qp)^i AutEpoo ^Z^.	(4.4.34)
Аналогичное построение можно провести для любого конечного рас-
ширения Kv поля Qp с кольцом нормирования Ov, максимальным идеалом
§4.4]
Теория полей классов
187
ру = (тс) с образующей тс, и (тс) = 1, и q = |Ou/pv |- Рассмотрим многочлен
ДХ) = /л(Х)=кХ+ХЛ	(4.4.35)
тогда многочлен [К(Х)/Х = тс + Х^-1 неприводим по критерию неприводи-
мости Эйзенштейна. Последовательно определим итерации
Тогда множества корней многочленов fKm(X),
Whm = {xeKv:	=	(4.4.36)
вложены друг в друга, т. е. W^m С ^Дт+i, и на них можно определить
структуру группы, изоморфной р^"т/(9у(= Оу/р^), относительно которой
вложения множеств С W^m^\ становятся вложениями групп p~m/(9y с
Ср7т-1/(9и- В результате получается группа, аналогичная группе всех
корней из 1 р-примарной степени:
^/.ое= U wf.m = Kv/Ov,	(4.4.37)
гп^Л
и определено действие элементов а € Ov = End/C/C^ на U^tOO, обознача-
емое символом [a]/: хм [а]/Х, причем справедливо равенство [к]Дх) =
= /я(х).
Действие группы Галуа на корнях многочленов fKrn(X) дает некоторое
представление, аналогичное (4.4.33):
G(KV/KV) Aut ГЛоо О*.	(4.4.38)
Обозначим символом Кк поле, отвечающее ядру гомоморфизма (4.4.38),
тогда Кп — абелево расширение поля Kv в силу изоморфизма
V G(KM^O*,	(4.4.39)
и мы получаем описание всех абелевых расширений поля Kv- К„ь =
= К™ - Кп, где К™ = KviVoo) — максимальное неразветвленное расшире-
ние поля Kv (Кх> — группа всех корней из 1 степени, не делящейся на р),
G(K"r/Kv) *	Z = (РгД	(4.4.40)
К- = U Kv(W[m)— объединение всех вполне разветвленных абелевых
tn^\
расширений поля Kv-
Описание символа норменного вычета
1.	Для иеО* элемент Qv(u) = (u, Kk/Kv)v действует на с помо-
щью элемента [w-1]/.
2.	Символ норменного вычета (тс, Kn/Kv)v равен 1.
188
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
3.	Символ 0у(а) элемента а = тсти (т G Z, и G О*) действует на К™ как
Fi; е G(KSr/Kv).
Замечательная особенность конструкции группового закона на множе-
стве состоит в том, что поле Кк не зависит от выбора униформизую-
щей тс и многочлена f{X) G Ov [X], от которого лишь требуется выполнение
следующих свойств
1) f(X) = кХ (mod deg 2),	(4.4.41)
2) f(X)=Xq (mod тс).	(4.4.42)
Более того, вместо многочлена f можно использовать любой элемент мно-
жества Fn степенных рядов f(X) G СЦ[Х]] со свойствами (4.4.41), (4.4.42).
Построение указанного группового закона проводится с помощью тео-
рии формальных групп {формальные законы Любина—Тэйта).
4.4.11. Абелевы расширения числовых и функциональных полей.
Для поля рациональных чисел Q теорема Кронекера—Вебера (п. 4.4.1)
также дает явное описание всех абелевых расширений с помощью действия
группы Галуа на корнях из 1, которые можно рассматривать как специаль-
ные значения экспоненты: = ехр{2тс//л}. Аналогичная теория существу-
ет и над мнимым квадратичным полем К = Q(\Zd), абелевы расширения
которого строятся с помощью действия группы G(K/K) на точках конеч-
ного порядка эллиптической кривой с комплексным умножением (точнее,
на координатах этих точек, см. §5.4), что составляет содержание тео-
рии комплексного умножения. В более классических терминах абелевы
расширения описываются с помощью специальных значений эллиптиче-
ских функций и /-инвариантов, соответствующих решеткам с комплекс-
ным умножением. Действие группы Галуа на эти значения явно описывает-
ся в терминах арифметики мнимого квадратичного поля («Jugendtraum»,
«мечта юности» Кронекера), см. замечательную книгу С. Влэдуца [812].
Знаменитая двенадцатая проблема Гильберта состоит в том, чтобы для
произвольного числового поля К, [К : Q] < оо, указать способ построения
всех абелевых расширений с помощью действия группы Галуа на специ-
альные значения некоторых специальных функций (таких как экспонента
и эллиптические функции).
Определенный прогресс в решении этой проблемы достигнут для по-
лей СМ-типа, т. е. вполне мнимых расширений вида К = F{\T^a) вполне
вещественного поля F. Это означает, что F порождено корнем многочлена
с рациональными коэффициентами, который над R разлагается на линей-
ные множители, а число atF вполне положительно, т. е. положительно
для любого вложения F в R. Эта теория основана на изучении многомер-
ных абелевых многообразий с комплексным умножением на элементы из К.
Для вещественных квадратичных полей К описание некоторых абелевых
§ 4.4]	Теория полей классов	189
расширений составляет содержание теории «вещественного умножения»
Шимуры. Однако в указанных случаях ситуация менее удовлетворительна,
чем для Q и для мнимого квадратичного поля /(, так как эти конструкции
не дают всех абелевых расширений основного поля. Иное положение дел
в функциональном случае конечного расширения поля рациональных
дробей F<7(7). Здесь имеется превосходное описание всех абелевых рас-
ширений К в терминах эллиптических модулей В. Г. Дринфельда (и соот-
ветствующих им эллиптических функций в положительной характеристике,
см. [35]). Этот результат является наглядным примером аналогии между
числами и функциями.
Идея описания расширений поля К с помощью действия G(K/K) на
некоторых группах и на других алгебраических объектах является очень
плодотворной: на ней основаны многие примеры явного построения и неа-
белевых расширений основного поля /С Полное описание таких расшире-
ний в терминах представлений Галуа и связанных с ними объектах анализа
и алгебраической геометрии является составной частью грандиозной про-
граммы Ленгледса, см. §6.5.
Основное содержание новой книги Йосиды [849] составляет изучение
специальных значений, задаваемых экспонентой производной в s = 0 ча-
стичной дзета-функции выбранного класса идеалов а в числовом поле F.
Такие специальные значения являются важными инвариантами, которые
гипотетически связаны с единицами абелевого расширения числового поля
и должны были бы давать ответ на двенадцатую проблему Гильберта.
Пусть F — вполне вещественное поле, т. е. F 0 R = R" как R-алгебра.
Следуя Шинтани, специальные значения в неположительных целых точках
частичной дзета-функции
^(а, «) = Е N^~S
lea
ICOF
являются рациональными числами, которые могут быть выражены в тер-
минах некоторых производящих рядов, обобщающих производящий ряд
для чисел Бернулли, см. [747].
Эти производящие ряды связаны с некоторыми неканонически опреде-
ленными «разложениями на конусы» в F 0R (см. также [414], гл. I).
Предполагаемые абсолютные периоды описываются в [849] в терми-
нах функции, геометрически строящейся исходя из разложения на конусы,
чей главный член задается периодами абелевых многообразий СМ-типа
для произвольного СМ-поля, что является более явной формой гипотезы
Колмеца [256].
На данный момент о СМ-периодах известно крайне мало, единствен-
ным содержательным фактом для F = Q является классическая формула
190	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
Чоула—Сельберга,
... -а\2 тт тл (a\w*W/2h ,	(L'(0, х)1
KP/((zd, id)2 ~ П г h)	= d • exPj zkx) Г
где К —мнимое квадратичное поле с дискриминантом -d, w — число кор-
ней из единицы в /(, h — порядок группы классов Д', / — характер Дири-
хле, соответствующий К [233], а рк(., .) — это множитель из разложений
Шимура—Йосиды для абсолютных периодов. Также, используя якобиан
кривой Ферма, Г. В. Андерсон обнаружил, что в случае циклотомических
полей СМ-периоды связаны с логарифмической производной Л-функций
Дирихле в s = 0:
т)€б-
где Г) — характер Дирихле, а— произвольное комплексное вложение поля
/(, и [1(a) — ±1 или 0 (см. [120]).
В 1970-х и 80-х годах Гарольд Старк (см. [774]) высказал гипоте-
зы о значениях в s = 1 и s = 0 комплексных Л-рядов Артина, связанных
с расширениями числовых полей К/F. Систематический подход к гипоте-
зам Старка представлен в книге Тэйта, см. [795]. В общих словах, эти ги-
потезы рассматривают специальные значения Л-функции Артина числовых
полей и их аналогов, связывая их с некоторыми «регуляторами S-единиц»
и аналогичными объектами.
Более точно, гипотеза S (о единицах), обсуждаемая в главе II в [849],
формулируется в терминах частичной дзета-функции
lGOF,(l^=e
связанной с элементом а из группы Галуа СаЦ/С//7) абелевого расширения
К вполне вещественного поля F, разветвленного только над одной бес-
конечной точкой F (здесь обозначает символ Артина). Гипотеза S
утверждает существование такой единицы е в /(, что
^(0, а) = е°
для каждого a G Gal(^F)- Существует метод, позволяющий вывести ги-
потезу S о единицах из следующей гипотезы о действии группы Галуа:
/£(Х)\° = с(х°)
V (х) )	*(Х°)‘
§ 4.5]	Группа Галуа в арифметических задачах	191
Здесь х € G обозначает (неабелевый) неприводимый характер расширения
Галуа К поля F с конечной группой Галуа G = Gal(/(/F), с(х) — главный
член разложения в ряд Тэйлора его L-функции Артина в s = 0:
L(s, х, K/F) = Cids'™ + O(srW+1), 0 < r(x) e Z,
а /?(х) обозначает обобщенный регулятор, который является определите-
лем матрицы размера г(х), состоящей из линейных комбинаций с алгебра-
ическими коэффициентами абсолютных значений единиц поля /С
За последнее время получены важные достижения в изучении инвари-
антов лучевой группы классов вполне вещественного поля F и в их ариф-
метических интерпретациях (обобщение теоремы Штикельбергера, обоб-
щение дедекиндовых сумм как некоторых коциклов и т. д.) Недавно в ра-
ботах [545], [546] была дана интерпретация гипотез Старка, использу-
ющая понятия из некоммутативной геометрии.
§ 4.5. Группа Галуа в арифметических задачах
4.5.1. Деление круга на п равных частей. Задача деления круга на п
равных частей (см. [358], [29]) по форме является геометрической, однако
ее решение, данное Гауссом, существенно опиралось на арифметические
рассмотрения. Построение правильного семнадцатиугольника — это пер-
вое математическое открытие Гаусса, записанное им в дневник 30 марта
1796 г., за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет. До этого были
известны способы построения правильного треугольника, пятиугольника,
пятнадцатиугольника, а также тех многоугольников, которые получаются
из них путем последовательного удвоения числа сторон. С алгебраической
точки зрения построение правильного n-угольника эквивалентно тому, что-
бы на комплексной плоскости построить корни степени п из 1, т. е. корни
уравнения
Г1- 1=0,	(4.5.1)
имеющие вид
2 к/?	. 2к& Г 2k/Zz lai	i / л с
с* = cos----h i sin — = exp<----k k = 0, 1, ..., n - 1.	(4.5.2)
n	n r I n )
Предположив, что задан отрезок единичной длины, можно при помощи
циркуля и линейки строить новые отрезки, длина которых получается из
длин имеющихся отрезков при помощи следующих операций: сложения,
вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. После-
довательное проведение этих операций позволяет строить любое число,
192	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
лежащее в таком поле L, которое является объединением башни квадра-
тичных расширений
L = Lm Э...ЭЛ1 dLq = Q,	(4.5.3)
где	di еЦ, и можно доказать, что никакие другие точки
комплексной плоскости не могут быть построены циркулем и линейкой
ИСХОДЯ ТОЛЬКО ИЗ ТОЧКИ 2=1.
Поэтому способ построения величины z = а (если он существует) дол-
жен быть основан на построении башни полей вида (4.5.3) для поля L,
порожденного множеством корней неприводимого многочлена f(X) G Q[X]
с одним из корней, равным а (поле разложения многочлена /). По теории
Галуа квадратичному расширению L\/Q отвечает подгруппа Gi = G(L/L\),
имеющая индекс 2 в группе всех симметрий Галуа Go = G(L/Q) множества
корней многочлена f(X). Действие подгруппы G\ разбивает это множество
на две части, причем сумма всех элементов каждой части лежит в по-
ле L\ и порождает его, являясь инвариантной относительно автоморфиз-
мов из Gj. На следующем шаге каждую из этих частей надо разбить на две
части с помощью действия на корни элементами подгруппы G% = G(L/Li)
(индекса 2 в Gi) и т. д., пока не получим подмножество корней, состоящее
из одного элемента z = а.
Например, для корня из единицы а = Ei из соотношения (4.5.2) непри-
водимый многочлен /(X) — это круговой многочлен ФЛ(Х), корни которого
Zk ((&, п) = 1) являются примитивными, а симметрии Галуа имеют вид
Оа •	~ £ka (mod л) (# (Z//1Z) ).
Для п = 5 имеем Go = {оъ ог, <*з» а подгруппа Gi = {oi, aj дает раз-
биение множества примитивных корней на две части: {ei, £4} и ез}. При
этом Фб(х) = х4 + х3 + х2 + х + 1, откуда следует, что
sf 4* £1 4“ 1 4* Е| 1 4~ Е2 ^ = 0.
Положив и = £1 + £4, мы получим, что
2 । in	—14“ х/5	— 1 — х/5
и 4" и — 1 = 0,	£1 4“ £4 = -2---’ Е2 4“ Ез = -------,
откуда следует построение правильного пятиугольника. В случае п= 17
интуиция Гаусса подсказала ему способ группировки корней многочлена
Ф17(х) =х16 4-х15 4-... 4- 1 с помощью симметрий, хотя теории Галуа еще
не существовало! Группа симметрий Go = (Z/17Z)X является циклической
порядка 16 с образующей 3 (mod 17) (первообразный корень), и идея Гаус-
са состояла в том, чтобы перейти к более удобной нумерации корней
(см. рис. 13). Присвоим корню Zk новый номер / (обозначается €[/]), если
k = 3l (mod 17), / = 0, 1, ..., 15, и пусть Г/ обозначает автоморфизм а^.
§4.5]
Группа Галуа в арифметических задачах
193
Рис. 4.3
Тогда
TiE[m] = е[т+1 ] (m, / (mod 16))	(4.5.4)
и соответствующие подгруппы имеют вид
Go = {7b, Гь ..., Г15}, G2 = {70, Г4, Г8, Г12},
Gj = {То, Г2,	, Г14}, G3 = {To, Г8}.
Приведем реализацию только что описанной идеи. Прежде всего заметим
что
£1 4-е2 + ... -Нею = £[0] +£[1] "Ь ••• + Е[15] = “1	(4.5.5)
(сумма геометрической прогрессии). Обозначим через om,r сумму корней
ер] с теми номерами /, которые дают остаток г при делении на т. Получаем
<*2,0 = Е[0] + Е[2] + ••• + Е[14] = У7 ^/£[0],
Г/GGi
<*2,1 =Е[1] +Е[3] + •••+Е[15] = 5? W’
Г/GGi
Из равенства (4.5.5) видно, что
<*2,0 “И <*2,1 = “К
и почленное перемножение показывает, что
<*2,0 ‘ <*2,1 = 4(С[0] + £[1 ] + ... + £[15]) = “4.
Теперь, воспользовавшись теоремой Виета, мы найдем о2>о и o2j как
корни квадратного уравнения х2 4- х - 4 = 0:
х/17—1	— д/Т7—1
<*2,0 =
2
<*2,1 =
2
194
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
они порождают поле К\ = Q(x/17). Мы учли, что О2,о><*2,ь в каждую
из сумм корни входят со своими сопряженными, и в первом случае на-
до сложить и удвоить вещественные части чисел 8ь 82, 84, 8в, а во вто-
ром — чисел ез, 85, 8б, с?. Подобным же образом имеем 04,0 + 04,2 = аг.о,
C4j + 04,3 = 02,1, и перемножение с помощью формулы (4.5.4) показыва-
ет, что 04,0 * <*4,2 = <*2,о + <*2,i = “1, значит, 04,0, <*4,2 — корни уравнения
х2 + <*2,о* -1-1=0, порождающие поле
<4о = | • (/17- 1 + \/з4-2/Т7),
<42 = | • (VT7 - 1 - ^/34 — 2л/17).
Точно так же
<4! =	1 .	(-/17-	1 + т/з4 + 2/17),
<43 =	| •	(-/17 -	1 - Уз4 + 2У17).
Аналогично находим
<4,0 = S[0] + Е[8] = 2 COS	| • (о2,0	+	(<4о)2 - 4О4,| )	=
= |  (/17 - 1 + ^34-2/17)	+ | • д/17 4- 3/Т7 - У170 + 38/17,
что уже дает возможность построить правильный 17-угольник при помощи
циркуля и линейки.
В общем случае я-угольника с п = 2гр[1 ... prss, где pi —нечетные про-
стые числа, мы видим, что
G(Q(^)/Q)^(Z/mZ)x.
Рассмотрение башни (4.5.3) квадратичных расширений показывает, что
возможность построения правильного /г-угольника равносильна тому, что
число
|(Z/ziZ)x| =<p(n) = 2r~'(p1 - l)p['-l...(ps - 1)рр-'
является степенью двойки, т. е. п = 2Гр\ ... ps, причем все pi — простые
числа вида pt = 2т‘ + 1. Из простоты числа pz следует также, что пока-
затель nti сам должен быть степенью двойки, так как mz делит pt — 1 по
теореме Лагранжа для циклической группы (Z/pzZ)x, и мы получаем,
что построение возможно только для чисел вида п = 2Гр\ •... • ps, где pt —
простые числа Ферма, о которых шла речь в п. 1.1.2. Доказательство этого
утверждения Гаусс не опубликовал: «Хотя границы нашего сочинения не
позволяют привести это доказательство, мы думаем, что надо все же на это
§ 4.5]	Группа Галуа в арифметических задачах	195
указать, для того чтобы кто-либо не пытался искать еще других случаев,
кроме тех, которые указаны нашей теорией... и не тратил бы зря своего
времени».
4.5.2. Расширения Куммера и символ степенного вычета ([225],
[230], [467]). Пусть дано поле К, содержащее примитивный корень сте-
пени т из 1, где т — фиксированное натуральное число, которое не де-
лится на характеристику поля /(. Покажем, что циклические расширения
L/К степени, делящей т,— это так называемые куммеровы расширения
К(\/а)/К (ае К). В приложениях поле К является либо числовым, либо
его пополнением. Любое расширение L/К, содержащее корень а много-
члена Хт - а, содержит все его корни а,	Пусть а — элемент
группы Галуа G(K( у/а)/К). Пусть выбран корень а уравнения Хт = а. То-
гда автоморфизм а вполне определен, если известен образ элемента а при
действии а: а° = £*а. В частности, если а — элемент порядка т в муль-
типликативной группе К* /(К*У\ то многочлен Хт — а неприводим и аг
является m-й степенью только в том случае, если т | г. В этом случае
отображение (modm) дает изоморфизм группы Галуа G(K(\/a)/K)
на циклическую группу Z/mZ.
Пусть теперь L — произвольное циклическое расширение степени т
поля К. Явно построим такой элемент b е К, что L = K(y/b). Пусть а —
образующий элемент циклической группы G(L/K), и пусть L = КМ для
примитивного элемента у € L. Тогда элементы у, у°, ..., у°™ образуют
базис L над полем К. Образуем сумму
т-\
(4.5.6)
s=0
Тогда р° = £-1|3 и 0 0, поскольку элементы у, у°, ..., у°т ' линейно неза-
висимы над К; следовательно, [}т € К и 0Г £ К при 0 < г < т, т. е. 0m = b
является элементом порядка т в факторгруппе Кх/(К*)т, и предыдущее
рассуждение показывает, что поле К($) является циклическим расширени-
ем степени т, содержащимся в L, так что L = К( у/b). Подобным же обра-
зом проверяется, что два циклических расширения К( \/а) и K(y/b) поля К
одинаковой степени совпадают тогда и только тогда, когда а = Ьгст для
некоторых с е К и г е Z, где (г, m) = 1. Приведенные утверждения мож-
но объединить в одно, сказав, что для данного поля К D р™ и его группы
Галуа Gr = G(K/K) имеет место изоморфизм
/<хЖхГ^Нот(Ск,^),	(4.5.7)
где е /<: С™ = 1} и char К )(т (изоморфизм Куммера). Для по-
строения изоморфизма (4.5.7) по данному аеКх выберем такой элемент
196	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
Y е К\ что у"1 = а и тогда для о е Gk формула <ра(о) = y°/y будет зада-
вать некоторый гомоморфизм <ра: Gk Тот факт, что этим задается
изоморфизм (4.5.7), вытекает из общей теоремы Гильберта 90 о кого-
мологиях мультипликативной группы: Hx(Gk, Кх) = {0} (см. п.4.5.3).
Пусть теперь — числовое поле, С /(, р = — простой диви-
зор, отвечающий неархимедовой точке v поля К. Разложение просто-
го дивизора р поля К в поле К(\/а) сводится к изучению расширения
Kv(\/a) локального поля (по теореме о продолжении нормирований, см.
п. 4.3.6). Можно считать, что а лежит в кольце Ок целых элементов поля
/<, и предположим, что р\та. Тогда разложение максимального идеа-
ла р с Ок определяется по разложению многочлена Хт - a (modp) над
полем Ок/р (по лемме из п. 4.2.3); это разложение состоит из попарно
различных неприводимых множителей степени /, где f — степень поля
классов вычетов, т. е. наименьшее такое натуральное число, что сравне-
ние at =хт (modp) разрешимо в <9к/р. При этом идеал р неразветвлен
в L = К( у/а) и р =	•... • tyWr (f • г = m). В частности, дивизор р вполне
распадается, если f = 1, т. е. сравнение хт = a (modp) разрешимо.
Определим символ степенного вычета. Для этого рбозначим через S
множество точек поля /(, которые или делят т, или являются архимедо-
выми, а для элементов ai, ..., а/ G /<х обозначим через S(a\, ..., а/) мно-
жество всех элементов из S, а также тех нормирований v, для которых
|a/|v	1 при некотором /. Для a G /<х и точки v £ S(a) определим символ
степенного вычета 6 с помощью равенства
v	\v ) v ’
(4.5.8)
где L = K(y/a), ?l/k(v) £G(L/K)— глобальный символ Артина (см.
п. 4.4.6). Число Gpm не зависит от выбора у/a, и можно проверить,
что
<4м>
Согласно определению Fqk(v) как элемента Фробениуса равенство (4.5.8)
равносильно сравнению (v/a)Nu-1 = (modpy), из которого вытекает,
что т | (Nv — 1) и
a(Nv-D/m = (modpy)	(4.5.10)
(обобщенный критерий Эйлера), поскольку группа (Ov/pv)x является
циклической порядка Nv — 1. Для произвольного дивизора
ь = П р"<и) е /S(a)
I
§ 4.5]	Группа Галуа в арифметических задачах	197
(а\ гт (а\п^
положим - = II -	, тогда
a£S(a)W
(^a)Fw(b> =	(4.5.11)
где FL/K(b)— глобальный символ Артина, и выполняется равенство
Ш = (ь-ь'е (45|2>
Для любого простого дивизора v S(a) эквивалентны следующие утвер-
ждения:
" ©='
2) сравнение хт = a (modpy) разрешимо при х е Ov\
3) уравнение х171 = а разрешимо при х е Kv (решение сравнения из
утверждения 2 можно поднять до решения уравнения из утверждения 3
по лемме Гензеля над кольцом Ov, см. п. 4.3.2).
Для целого идеала b с Ок значение символа (-) зависит только от
a (mod b), если а еОк- Таким образом, определен характер степени т\
хь: (Ок/Ь)х-^, Xb(a) = (f).	(4-5.13)
Кубический закон взаимности. Пусть К = Q(Cs) = Q(\/~3), т = 3.
Тогда Ок = Z[C3] — кольцо главных идеалов и если р = ру = (тс) для про-
стого элемента тс, то для кубического символа будем использовать обо-
значение вместо Назовем простой элемент тс примарным, если
тс = 2 (mod 3), т. е. или к = q — простое рациональное число, q = 2 (mod 3),
или Ntc = р = 1 (mod3), тс = 2 (mod3). Можно проверить, что среди обра-
зующих р, р{3, существует ровно одно примарное число. Пусть pi = (tcj),
р2 = (тег), TCi, тс2 — примарные числа и Npj ^Np2/3. Тогда справедлив
закон взаимности (см. [328], [432])
(?)=©• <4'544’
Биквадратичный закон взаимности. Пусть ги = 4, К = Q(0, Ок =
= Z[z] — целые гауссовы числа. Назовем элемент а е Ок примарным,
если <х = 1 (mod(l +/))3. Тогда проверяется, что в каждом простом идеа-
ле р, р{2, можно выбрать примарную образующую, причем единственным
образом. Если pi = (tci), р2 = fe), tcj, тег — взаимно простые примарные
числа, то справедлив закон взаимности (см. [328], [432])
f Е1Л =	])(№-!)/4M(Nn2-l)/4)	(4 5 15)
\К1 /	\К1 /'
198	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
4.5.3. Когомологии Галуа. Теория когомологий групп дает регулярный
способ извлечения арифметической информации из групп Галуа, действую-
щих на различных объектах: алгебраических числах, классах иделей, точ-
ках алгебраических многообразий и алгебраических групп и др., см. [712],
[713], [714], [230], [432], [467], [50], [836]. Пусть G — некоторая ко-
нечная (или проконечная) группа, действующая на некотором G-модуле А
(с дискретной топологией). Группы когомологий G с коэффициентами в А
определим с помощью комплекса коцепей. Рассмотрим абелевы группы
C°(G, А)=А,
Cn(G, Л) = | f: G х х G —»А: f непрерывно, n > 11
п раз
(сложение функций поточечное, а непрерывность функции f е Cn(G, А)
означает, что функция f(g\, ..., gn) зависит только от смежного класса
элементов gi по некоторой открытой нормальной подгруппе в G).
Формула
(dnf)(gl....gn+l) = glf(g2, •••, gn+l) +
п
+ $2(-l)'7(gb •••’ &gi+i’ •••- £«+') + (- 1)"+1/(gi. ". Sn) (4.5.16)
i=l
определяет гомоморфизм dn: Cn(G, Л) -* Crt+I(G, Л), причем справедливо
равенство dndn-\ = 0.
Группа Zn(G, Л) = Кегб/л называется группой я-коциклов, а группа
Bn(G, Л) = Irndfl-i (при п 1) — группой я-кограниц; в силу свойства
dndn_\ = 0 имеем Bn(G, Л) с Zn(G, Л) и определены группы когомоло-
гий
{Kerdrt/Imdrt-i при п^ 1,
1	(4.5.17)
Kerdo	прил = 0.
Если п = 0, то
HQ(G, А) = AG = {а е A: ga = a для всех g е G}.	(4.5.18)
При п = 1 назовем отображение f: G —> А скрещенным гомоморфиз-
мом, если для всех g\, gzt G справедливо равенство
f(gig2) = f(gi) + gif(g2).	(4.5.19)
Скрещенный гомоморфизм распадается, если при некотором фиксиро-
ванном a G А его можно записать в виде f(g) = a — ga и Н[(й,А) яв-
ляется факторгруппой группы всех скрещенных гомоморфизмов из G в А
§4.5]
Группа Галуа в арифметических задачах
199
по подгруппе, образованной распадающимися скрещенными гомоморфиз-
мами. Если действие G на А тривиально, то Hl(G, Л) — это группа всех
обыкновенных гомоморфизмов (с условием непрерывности).
При п = 2 элементы группы //2(G, Л) взаимно однозначно соответству-
ют классам эквивалентности расширений группы G с помощью А\ для рас-
ширения
0->Л->С->С->1	(4.5.20)
и для всех g е G выберем некоторое поднятие g в G (т. е. выберем сечение
g^g проекции G—>G). Определим функцию f: GxG—*A, f(g\, gz)€A,
равенством
gl-g2 = f(gl, g2)gl~g2-	(4.5.21)
Тогда функция f является 2-коциклом группы G со значениями в А, Если
заменить выбор представителей g (т. е. выбор сечения G -* G), то f изме-
нится на кограницу, значит, класс функции f в //2(G, Л) зависит только от
расширения (4.5.20). Группа //2(G, Сх) называется также мультиплика-
тором Шура группы G. Если L/K — расширение Галуа с группой Галуа
G = G(L/K), действующей на G-модуле Lx, то //2(G, L)x интерпретиру-
ется как группа Брауэра, см. п. 4.5.5.
Для действия группы Галуа G = G(L/K) на Lx справедлива следующая
теорема.
Теорема 4.25 (теорема Гильберта 90). Имеет место равенство
Hl(G(L/K),Lx) = {l}.
Идея доказательства этого важного факта та же, что и в описании
циклических расширений из п. 4.5.2. Пусть /: G-> Lx —произвольный
скрещенный гомоморфизм, feZl(G, Lx). В мультипликативной записи
это означает, что для всех g, h eG имеем f(h)g = f(gh)/f(g) G Lx. Под-
берем такое число b^Lx, что для всех geG выполняется равенство
[(g) = Ь/Ьё. Для этого выберем примитивный элемент у расширения L/K,
так что числа yg(g G G) образуют базис L над /(, поэтому число
b = Ylf(^hheL
heG
отлично от нуля. Применив к обеим частям равенства (4.5.21) элемент gtG,
получим
bg = X = Е f^eh = Ag)“' E f^h)xeh = Kgr'b
heG	heG	heG
(по формуле левого действия (уЛ)£ =	(g, h G G)). Этот прием усред-
нения известен также как построение резольвенты Лагранжа в тео-
рии разрешимых расширений полей (использование нормального бази-
200
Арифметика алгебраических чисел
[Гл. 4
са не является здесь необходимым если заметить, что гомоморфизмы g:
L* —> Л*, х —> х§ линейно независимы над L по теореме Артина о харак-
терах (Е. Artin), поэтому найдётся у € Л*, такой, что b не равен нулю).
Свойства групп когомологий.
1.	Для произвольной точной последовательности G-модулей
0—>А—>С^0
определена точная последовательность когомологий
О -> //°(G, Л) //°(G, В) -> /7°(G, С) /У1 (G, Л) —
— №(G, B)^H'(G, С)^> H2(G, А)Hn(G, Л)->
-+Hn(G, B)-^Hn(G, C)^Hn+l(G, Л)—>... (4.5.22)
Пример 4.26 (теорема Куммера). Пусть поле К содержит группу
всех корней из 1 степени т из К и char К не делит т. Для произвольного
расширения Галуа L/К с группой Галуа G = G(L/K) отображение х хт
задает гомоморфизм G-модулей v: Лх —> Лх, и имеется точная последова-
тельность
Переходя к когомологиям (4.5.22), мы получаем точную последователь-
ность
tf°(G, pw) -+ tf°(G, Lx) tf°(G, Lx) -+
^//1(G,^)^//I(G,LX)^... (4.5.23)
Так как G действует на тривиально, группа Н1 (G, рт) совпадает с груп-
пой Hom(G, pm), и, очевидно,	является частью группы L\
неподвижной относительно действия группы G = G(L/K): (LX)G = Кх.
Кроме того, HQ(G, = и H'(G, Lx)= 1 по теореме Гильберта 90.
В результате получается точная последовательность
1 Кх Л #х -► Hom(G, рш) - 1,
равносильная изоморфизму Куммера
Kx/(/<x)^Hom(G,^).
2. Пусть Н — открытый нормальный делитель в G, А — некоторый
G-модуль, тогда имеется точная последовательность
0—>H'(G/H, AH)^Hl(G, Л)—Л),	(4.5.24)
где Inf обозначает гомоморфизм инфляции, который происходит из рас-
ширения коцикла f на G/Н до коцикла J на G со значениями в А77 с А,
§4.5]
Группа Галуа в арифметических задачах
201
a Res — гомоморфизм ограничения, который дается ограничением коцик-
лов на подгруппу Н с G.
3. ^-произведения. Пусть А, В, С —три G-модуля и задано G-инва-
риантное спаривание о: А х В —> С (т. е. для любых g е G, аеА, b €В,
выполняется равенство g(aob) = gao gb). Например, если А = В — неко-
торое кольцо, на котором группа G действует тривиально, то умножение
в А является таким спариванием.
Любое G-инвариантное спаривание А х В С индуцирует для п 0
и т 0 некоторое билинейное отображение
Hn(G, А) х Hn(G, В) /Г+7С, С),	(4.5.25)
которое называется ^-произведением и определено на коциклах по сле-
дующему правилу. Если f G Cn(G, Л), е Cm(G, В), то коцепь
(f°f')(gl, •••. gn+m) = f(gi, •••, gn)°(gl   gn}f'{gn+\, gn+m)
(4.5.26)
является коциклом, имеет место равенство
dn+m(f о /') = dnf о /' 4- (-1)7 о dmff
и формула
=ТИ' eHn+m(G, С)
корректно определяет ^-произведение (4.5.25).
Справедливо равенство
а Д^р = (-1УД„+т(а р).	(4.5.27)
Если Л = В = С — коммутативное кольцо, на котором G действует три-
виально, a G Hn(G, Л), р G Hm(G, Л), то
ач>р = (-1)лтроа.	(4.5.28)
4.5.4. Когомологическое определение локального символа. Пусть
К — конечное расширение поля р-адических чисел Q₽. Локальный символ
Артина является отображением
9: /Сх -+	= lim G(L/X)	(4.5.29)
7”
мультипликативной группы /<х в группу Галуа максимального абелева рас-
ширения (т. е. объединения всех абелевых расширений L/K)\ он был опи-
сан в §4.4 с привлечением мощных глобальных средств — закона вза-
имности Артина. Однако, как отмечалось, символ 0 можно определить
независимо и чисто локально, а затем из его свойств уже вывести глобаль-
ный закон взаимности, доказав формулу произведения (4.4.27).
202	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
Определим для данного aG/(x его образ 0(a) = 0^д(а) G G(L/K)
(в расширении L/К) с помощью характеров / G Hom(G(L//(), Q/Z); эле-
мент 0(a) конечной абелевой группы G(L/K) однозначно определен, если
заданы все значения /(0(a)) для всех характеров /. Заметим, что
Hom(G(L//(), Q/Z) = H'(G(L/K), Q/Z),
и воспользуемся точной последовательностью
0 Z -> Q Q/Z О,
из которой получается изоморфизм
А,: Н1 (G(L/K), Q/Z)	H2(G(L/K), Z),	(4.5.30)
если написать длинную когомологическую последовательность (4.5.22) и
учесть, что когомологии однозначно делимой группы Q тривиальны:
H\G(L/K), Q) = {0} при/^1.
Мы видели в п. 4.5.3, что
//'(С(Л//ОЛХ) = {0}.
Кроме того, имеют место следующие фундаментальные факты о когомоло-
гиях мультипликативной группы:
а)	H3(G(L/K), Lx) = {0};
б)	существует вложение
inv/(: tf2(G(L/K), Lx) — Q/Z.	(4.5.31)
Образ элемента 0 G H2(G(L/K), Lx) при вложении (4.5.31) называется
инвариантом элемента 0. Для конечного расширения L/К группа
H2(G(L/K), Lx) циклическая и имеет порядок [L : АГ].
Теперь рассмотрим спаривание
Lx х %-+LX ((х, т)^хт),
которому отвечает ^-произведение групп когомологий
H°(G(L/K), Lx) х H2(G(L/K), Z) - H2(G(L/K), Lx),
причем
Hq(G(L/K), Lx) = Kx, ^eH2(G(L/K),%)
и ач>Д1Хее//2(О(Л//0, Lx)
при ae Kx. Положим
X&L/K (a)) = 'nv* (a A i x).
(4.5.32)
§4.5]
Группа Галуа в арифметических задачах
203
Тогда 0л/к(а) — корректно определенный элемент группы G(L/K) и, пере-
ходя к проективному пределу, можно определить элемент
9(a) = lim 0д,/к (а) е G^
L
исходя из следующего свойства согласованности. Рассмотрим башню (абе-
левых) расширений Галуа К С L' с L, и пусть G = G{L/K), Н = G(L/U).
Пусть — характер группы G/Н и /— соответствующий характер груп-
пы G. Тогда если ae^x индуцирует элемент sa = 0£/к(а) G G и эле-
мент s' е G/Н при проекции G —> G/H, то x(sa) = X^a)- Это следует из
определения инварианта xC$a) = inv/((a о Al/) и того факта, что отобра-
жение инфляции переводит /7 (соответственно Aj/') в характер / (соот-
ветственно в Al/), с использованием коммутативной диаграммы
(L')x)----125----* //2(G, Lx) (4.5.33)
Q/Z
Содержательное определение inv^ и свойство согласованности связаны
с группой Брауэра и будут приведены в следующем пункте. Эта согла-
сованность и позволяет определить символ (4.5.29).
Если в поле К содержится корень степени т из единицы Си, то можно
определить символ норменного вычета (а, 0) степени т для а, 0 G /<х
условием
0L/HP)^ = (a,P)v^	(4.5.34)
в котором L = K{\/a) — циклическое расширение, 0^д(0)— локальный
символ (4.5.32). Значения (а, 0) являются корнями из единицы степени
т и удовлетворяют следующим условиям:
1)	(аа', 0) = (а, 0)(а', 0);
2)	(а, 00') = (а, 0)(а, 0');
3)	(а, 0)(0, а) = 1;
4)	из равенства (а, 0) = 1 для всех 0 е /<х следует, что a G (Кх)т
5)	(а, 0) = 1 тогда и только тогда, когда 0 является нормой в расши-
рении K(qfa)/K.
Символ (а, 0) можно интерпретировать как [J-произведение некото-
рых одномерных групп когомологий. Вычислениям этого символа посвя-
щены работы [49], [100].
4.5.5. Группа Брауэра, закон взаимности и принцип Минковско-
го—Хассе. Напомним сначала основные сведения о группе Брауэра про-
извольного поля К (см. [538], [66], [713], [726], [97]).
204	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
Конечномерная алгебра А над полем К называется простой цен-
тральной над К, если существует такое п 1, что А К = Мп(К) (К —
алгебраическое замыкание поля К, а Мп—алгебра (п х я)-матриц). Тен-
зорное умножение индуцирует на множестве (классов с точностью до изо-
морфизма) центральных простых К-алгебр структуру коммутативной по-
лугруппы. Следующее отношение эквивалентности превращает ее в группу:
алгебра А эквивалентна В, если существуют такие m, п 1, что алгебра
А Мт(К) изоморфна В Мп(К). Все матричные алгебры над К эк-
вивалентны друг другу и составляют нулевой класс. Класс алгебры Л°,
инверсной к А (т. е. состоящей из тех же элементов, что и Л, и с тем
же сложением, но с умножением в обратном порядке), обратен классу А.
Действительно, каноническое отображение А Л° —> End/< А (эндомор-
физмы линейного пространства Л), которое ставит в соответствие элементу
х 0 у € А Л° умножение на х слева и на у справа, является изомор-
физмом: либо его ядро тривиально, либо алгебра А Л° проста, а ее раз-
мерность совпадает с размерностью End/< Л, т. е. с (dim# Л)2.
Группа классов эквивалентности центральных простых алгебр над К
называется группой Брауэра поля К и обозначается ВгК. Она допуска-
ет еще следующее когомологическое описание.
Пусть L/K — некоторое расширение поля К. Оно называется полем
расщепления К-алгебры Л, если А L = Mn(L). Эквивалентные алгеб-
ры имеют общие поля расщепления. Пусть Вг(К, L) — подмножество груп-
пы Брауэра, состоящее из классов алгебр с полем расщепления L. Оно
является подгруппой. Предположим теперь, что L/K — расширение Галуа
с группой Галуа G = G(L/K). Тогда можно установить следующий фунда-
ментальный изоморфизм:
Вг(Л\ L)^H2(G, L*).	(4.5.35)
Он допускает различные описания. Мы укажем одно из них, так называемую
конструкцию «скрещенных произведений». Оно состоит в явном построе-
нии центральной простой алгебры над К по заданной «системе факторов»,
т. е. по коциклу {ag^} е Z2(G, Lx). Эта алгебра строится так:
Л = ф Leg,
geG
egeh = agyhegh для всех g, h eG4
ega = g(a)eg для всех g e G.
Ее размерность над К, очевидно, равна [L: К]2. Мы опускаем проверку
всех нужных свойств конструкции; отметим лишь, что ассоциативность ал-
гебры А равносильна тому, что коцепь «структурных констант» {аё^}
является в действительности коциклом.
§4.5]
Группа Галуа в арифметических задачах
205
Условие расщепления алгебры А над расширением L имеет важные
арифметические приложения. Положим N = п2 и выберем какой-нибудь
базис {ан а/v} в А над /(. Если воспользоваться изоморфизмом
F:A®KR^Mn(K),	(4.5.36)
то все элементы
N
а = Xia'1 е (х/ е К)
i = \
станут матрицами F(a) G Мп(К). Тогда можно проверить, что отображе-
ния т(а) = tr(F(a)), v(a) = det(F(a)) являются полиномиальными функци-
ями от %1, ..., xyv с коэффициентами в основном поле и называются
соответственно приведенным следом и приведенной нормой элемента
аеА [836],
т(а) = 1д(%1,	• • • ♦ *n) — линейная форма,
v(a) = Фл(хь %2, ..., xn) — однородный многочлен степени п.
Поскольку F(ab) = F(a)F(b) при изоморфизме (4.5.36), мы имеем v(ab) =
= v(a) • v(b). Но в алгебре с делением любой ненулевой элемент а обратим,
поэтому Ф/| не представляет нетривиального нуля над полем К. Однако
если А 0	= Mn(L), то Фд представляет нетривиальный нуль над Ц при
этом изоморфизме решения уравнения
ФД%1, ..., xN) =0 (х/G Л)	(4.5.37)
в точности соответствуют вырожденным матрицам.
Опишем теперь локальный инвариант (см. [230], [713])
inv/(: Вг/< —Q/Z	(4.5.38)
в том случае, когда К — это конечное расширение поля Qp. Пусть А —
центральная алгебра с делением (тело) над полем К,[А : К] = п2. По-
казатель v = vr поля К единственным способом продолжается до пока-
зателя Va на Л, совпадающего с v на центре К алгебры А. Например,
можно сначала продолжить v на полные поля /((а) для а G А и воспользо-
ваться согласованностью таких продолжений по свойству единственности
продолжения нормирований на конечные расширения полных полей. Рас-
сматривая редукцию алгебры А по модулю показателя va, можно прове-
рить, что А содержит максимальное коммутативное подтело L, неразветв-
ленное над центром /(. При этом элемент 8 g Вг/(, соответствующий А,
расщепляется над L, т. е. 8 G H2(G(L/K), Lx). Неразветвленное расши-
рение L/К не единственно в Л, однако все такие расширения сопряже-
ны по теореме Сколема—Нётер. Эта теорема утверждает, что любой
206	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4
изоморфизм L в А над К индуцирован некоторым внутренним автомор-
физмом алгебры А. Следовательно, существует такой элемент Л, что
= L и внутренний автоморфизм х уху”1, ограниченный на подпо-
ле Л, совпадает с автоморфизмом Фробениуса Гг^д. Более того, элемент у
определяется однозначно с точностью до множителя из группы Lx. Пусть
Va : Ах —> -Z— продолжение vr на А, Тогда можно определить inv# 8 как
п /1 \
образ элемента г>д(у) в группе (-Zj/ZcQ/Z. Это определение можно
сформулировать иначе, заметив, что отображение х »—> упху~п равно Ег2д
и поэтому тождественно, так как n = [L:K]. Следовательно, элемент ул
коммутирует с элементами из L и чп = с е Lx,
VaM = ±vA(Yn) = ^va(c) = ^vi№-	(4.5.39)
Поэтому
inv8=^ (c = k1lu),
где u e	— униформизующий элемент в L, т. e. = 1, Vl(u) = 0.
Перейдем к глобальному случаю и рассмотрим расширение Галуа чис-
ловых полей L/К с группой Галуа G = G(L/K). Для точки v поля К пусть
Gv С G обозначает группу разложения некоторого продолжения w точ-
ки v на L; мы знаем, что подгруппа Gv однозначно определена по и, если
расширение L/К абелево (см. §4.4). Вложение L-+ Lw индуцирует гомо-
морфизм
фр: H2{G, L*)-*H2(Gv, L*).	(4.5.40)
Проверяется, что для элемента ote//2(G, Lx) образы сраа обращаются
в нуль для почти всех v (кроме конечного их числа): если у коцикла
{agth} £ Z2(G, Lx), представляющего а, все значения ag^ принадлежат Ох
и расширение Lw/Kv неразветвлено, то Hl(Gv, Ох) = 0 при i 1. Этот
факт выводится из точной последовательности когомологий, соответству-
ющей точной последовательности
1 ~^ОХ ^Lx —> Z —* 0,
и является вариантом леммы Гензеля (п. 4.3.2).
Таким образом, существует корректно определенное отображение
H2(G,L*)^®H2(Gv,L*),	(4.5.41)
V
где w — фиксированное продолжение точки v и суммирование произво-
дится по всем простым точкам v поля /(. В этой ситуации локальные ин-
варианты
inNKv-.H2(Gv,Lx)^Q/Z
§ 4.5]	Группа Галуа в арифметических задачах	207
индуцируют отображение
®/72(Gv, L*)-^Q/Z,	(4.5.42)
V
которое определяется как суммирование локальных инвариантов.
Локально-глобальный принцип Минковского—Хассе утверждает,
что последовательность
0 H2(G, Лх) - ©//2(G“, L*) -> Q/Z, (4.5.43)
V
полученная с помощью отображений (4.5.41) и (4.5.42), точна.
Точная последовательность (4.5.43) играет ключевую роль во многих
вопросах арифметики. Например, утверждение о том, что отображение
(4.5.41) является вложением, равносильно тому, что для формы приве-
денной нормы
\>(а) = Фд(%1, х2, ...,х„2)	(4.5.44)
справедлив принцип Минковского—Хассе, т. е. она представляет нетри-
виальный нуль над полем L тогда и только тогда, когда она представляет
нетривиальный нуль над всеми его пополнениями.
Утверждение о точности в среднем члене ф//2(би, Л*) полностью
описывает классы алгебр с делением Л, расщепляемые над L. Они взаимно
однозначно соответствуют наборам чисел 0 < i(v) < п, сумма которых
делится на п; при этом для некоторой алгебры А с классом 8 G H2(G, Lx)
выполняется условие inv^ cpv(8) = i(v)/n G (l/n)Z/Z.
Наконец, утверждение о том, что для 8 G H2(G, Lx) всегда выполнено
равенство
$2inv*» (ч*0 <8)) = ° € Q/z-
V
эквивалентно, в сущности, формуле произведения для локальных симво-
лов (4.5.38) и глобальному закону взаимности.
Действительно, если а = (ау)у G Jr —некоторый идель, то глобальный
символ Артина 0(а) G Gfi определяется как предел 0(a) = lim П ОДаД
S uGS
причем произведение конечно, а локальные символы 0у(ау) задаются усло-
вием
x(%(«v)) = inv/(0(a„ Д,х)	(4.5.45)
(см. соотношение (4.5.32)) для всех характеров / е №(G^, Q/Z).
Если же a G /<х, т. е. ay = a G Кх для всех V, то для произвольного
характера / G H}(G^, Q/Z) имеем
хШМ =52'пУ/<»(о(ч-'Л|х)=0>
\ V	/ V
208	Арифметика алгебраических чисел	[Гл. 4	|
так как элемент
a4>Alxe//2(G^,Q/Z)
лежит в глобальной группе Брауэра.
В случае, когда расширение L/К циклическое, с помощью чисто кого-
мологических приемов строится канонический изоморфизм
H\G(L/K}, Lx)^Kx/Nl/kL*	(4.5.46)
и из точной последовательности (4.5.43) вытекает следующий результат.
Теорема 4.27 (теорема Хассе о нормах). Если ае Кх, L/K — цик-
лическое расширение, то ae^t/xL* тогда и только тогда, когда
а £ ^lw/kvLw для всех точек v поля К.
В частности, пусть G — группа порядка 2, так что L = K(Vb). Тогда
Nl/k(x + y\/b) = х2 — by2, и потому а представимо в форме х2 — by2 то-
гда и только тогда, когда такое представление локально существует всюду.
Отсюда следует, что квадратичная форма Q(x, у, z) над К от трех пе-
ременных имеет нетривиальный нуль над К тогда и только тогда, когда
она имеет нетривиальный нуль в каждом пополнении поля К. Переходя
к произвольному п, мы можем получить теорему Минковского—Хассе
о том, что квадратичная форма имеет нуль тогда и только тогда, когда она
локально имеет нуль всюду (см. [230], [222]).
Как было отмечено Б. Морозом (Математический институт Макса
Планка, Бонн), теорема Хассе о нормах имеет место и для некоторых
нециклических расширений, что доставляет интересные примеры выполне-
ния принципа Минковского—Хассе, в то время как теорема 6.11 на с. 309
из [85] дает интересные когомологические условия для выполнения теоре-
мы Хассе о нормах.
ГЛАВА 5
АРИФМЕТИКА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ
§5.1. Арифметические многообразия: схемы конечного
типа над кольцом целых чисел
5.1.1.	Решение уравнений и кольца ([64], [71], [109], [108], [195]).
Изучение алгебраических уравнений—древнейшая математическая наука.
В новые времена мода и удобство диктуют обращение к кольцам. Замена
системы уравнений некоторым кольцом является шагом, аналогичным рас-
смотрению конечных расширений полей вместо корней конкретных много-
членов.
Рассмотрим систему уравнений X:
Fi(Tj) = 0 (ielJeJ).
Здесь /, J — некоторые множества индексов, Tj — независимые перемен-
ные, Fi — многочлены из кольца	Кольцо К называется основным
кольцом или кольцом констант. О системе X говорят, что она определе-
на над К- Что следует называть решением системы X? Одно определение
напрашивается: решение есть такой набор элементов (/;), / € /, кольца /(,
что Fi(tj) = 0 для всех i е /. Однако это определение слишком ограничи-
тельно: нас могут интересовать решения, не принадлежащие /(, например
комплексные корни многочлена с рациональными коэффициентами. Вооб-
ще, пусть L — некоторая /(-алгебра.
5.1.2.	Множество решений систем.
Определение 5.1. Решением системы X со значениями в /(-алгебре L
называется такое семейство элементов	tj^L, что Fi(tj) = O для
всех i е /. Множество всех таких решений обозначается X(L).
Поскольку любое кольцо является Z-алгеброй, для любой системы
с целыми коэффициентами можно рассматривать ее решения в любом
кольце.
Пусть /: L\ —> L2 — гомоморфизм К-алгебр, т. е. отображение, кото-
рое одновременно является гомоморфизмом /(-модулей и колец. Сопо-
ставляя каждому решению (/7) системы X со значениями в Ц решение
(/(/;)) этой же системы со значениями в L2, получаем отображение мно-
жеств X(L\) ^X(L2).
210	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
5.1.3.	Пример: «язык сравнений». Пусть п — целое число вида
4m + 3. Вот классическое доказательство того, что п не является сум-
мой двух квадратов целых чисел: иначе было бы разрешимо сравнение
+ Г22 = 3 (mod 4): простейший перебор показывает, что это не так. С на-
шей точки зрения, это рассуждение означает следующее. Пусть
X: 7’|2 + 7’22-« = 0 (K = Z).
Мы хотим доказать, что X(Z) = 0. Рассмотрим гомоморфизм редукции
Z —> Z/4Z; он определяет отображение множеств решений X(Z) —>X(Z/4Z).
Если бы множество X(Z) было непусто, то и X(Z/4Z) было бы непусто,
а это не так. Вообще, для любой системы уравнений X с целыми коэф-
фициентами справедливо следующее определение: если X(L) = 0 для ка-
кого угодно нетривиального кольца L (в котором 0^ 1), то и X(Z) = 0.
Практически обычно проверяются конечные кольца Z/mZ и поле ве-
щественных чисел R. Более правильным с теоретической точки зрения
является рассмотрение р-адических полей и кольца аделей (см. гл. 4,
§4.3). Ряд самых глубоких результатов теории диофантовых уравнений
связан с вопросом, когда верно обратное утверждение («принцип Мин-
ковского—Хассе»). Прототипом их является теорема Лежандра', пусть
K = Z,
Х:а17’12 + а27’22 + а37’з2 = 0;
если X(Z) = {(0, 0, 0)}, то хотя бы для одного из колец L = Z/mZ (т / 0, 1)
или L = R имеем X(L) — {(0, 0, 0)} (см. [14], гл. 1, §7; гл. 1, п. 1.2.4).
5.1.4.	Эквивалентность систем уравнений.
Определение 5.2. Две системы уравнений X, Y с одними и теми же
неизвестными, заданные над кольцом /(, называются эквивалентными,
если X(L) = Y(L) для любой К-алгебры L.
Среди систем уравнений, которые эквивалентны данной, мы можем
рассмотреть «самую большую», которая однозначно определяется. Пусть
Р — идеал в кольце многочленов К[Т/], порожденный левыми частями си-
стемы уравнений X : {/Д7)] = 0}. Легко понять, что система уравнений,
полученная приравниванием к нулю всех элементов идеала Р, эквивалент-
на данной системе уравнений и является максимальной в том смысле, что
если к ней добавить еще одно уравнение F = 0, в ней не содержащееся, то
получится новая, не эквивалентная данной система. Чтобы в этом убедить-
ся, достаточно в качестве /(-алгебры L взять факторкольцо К[Т']/Р, где
Т- — независимые переменные. В этом кольце решением исходной системы
будет tj = Т- (mod Р), в то время как F(tj) = 0, потому что F Р.
5.1.5.	Решения системы как гомоморфизмы К-алгебр. Резюмируя
сказанное, имеем X(L) = Нот/<(Л, L), где А = K[Tj]/P, Нот^ — множе-
ство гомоморфизмов /(-алгебр.
§5.1]	Арифметические многообразия	211
Система X называется совместной, если X(L) / 0 для некоторой нену-
левой /(-алгебры L, и несовместной в противном случае. Доказанное пред-
ложение показывает, что система X несовместна лишь в том случае, когда
ее алгебра нулевая, т. е. 1 е Р.
Итак, установлена эквивалентность двух языков:
(система уравнений X над коль-1 ( К-алгебра А с выделенной 1
1 цом К с неизвестными Г7, jeJ j 1 системой образующих /у, jeJ j *
Г решение системы X1 Г гомоморфизм К-алгебр
[ в/(-алгебре A j [	A-+L
При использовании языка колец нет необходимости рассматривать
фиксированную систему образующих (/;). Опуская ее, мы отождествляем
системы уравнений, получающиеся друг из друга взаимно обратной заме-
ной множества неизвестных. Каждый элемент кольца А играет роль одной
из «неизвестных»; значение, которое эта неизвестная принимает в дан-
ном решении системы, совпадает с ее образом при гомоморфизме А —> L,
соответствующем этому решению.
В традиционной алгебраической геометрии рассматривается алгебра-
ически замкнутое поле К = К и аффинное алгебраическое многообразие
Z <^Кп определяется как множество нулей некоторой системы многочле-
нов Fi(T\, ..., Тп) еК[Т\, ..., Тп]. При этом кольцо регулярных алгебраи-
ческих функций А = K[Z] на множестве Z описывается как факторкольцо
К[Т\У ..., Tn]/Pz по идеалу Pz всех многочленов, обращающихся в нуль
на Z. Такие кольца характеризуются как конечно порожденные кольца
над К без нильпотентных элементов. Отказ от такого ограничения на А
позволяет перейти к построению абстрактной теории многообразий (схем),
основополагающая идея которой состоит в том, чтобы превратить любое
(коммутативное) кольцо А в кольцо (модифицированных) функций на неко-
тором топологическом пространстве Spec Л (спектре кольца).
5.1.6.	Спектр кольца.
Определение 5.3. Множество всех простых идеалов кольца Л, отлич-
ных от Л, называется спектром кольца А и обозначается Spec А. Элемен-
ты х е Spec Л называются точками спектра и обозначаются также рх с А.
Напомним, что простота идеала рх означает, что факторкольцо А/рх
не имеет делителей нуля; его поле частных обозначается через /?(х).
5.1.7.	Функции на спектрах. Пусть /еЛ и хе Spec А Положим
/(%) = f (mod рх); мы считаем, что Дх) принадлежит полю частных /?(х)
кольца А/рх.
В дальнейшем, говоря о функциях на Spec Л, мы обычно подразуме-
ваем элементы из А; таким образом, всякой точке х е Spec Л приписано
свое поле /?(х), и этим полям принадлежат значения функций на Spec Л.
212	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Разным элементам кольца могут соответствовать одинаковые функции на
спектре; их разность тогда представляет нулевую функцию, т. е. принад-
лежит всем простым идеалам. Все нильпотентные элементы заведомо со-
держатся в этом пересечении; верно и обратное, см. [195], [691]. По этой
причине в традиционной теории кольца функций на алгебраических мно-
гообразиях не содержат нильпотентов.
Превратим теперь Spec Л в топологическое пространство. Минималь-
ное условие согласованности топологии с имеющимся набором функций
состоит в том, чтобы множество нулей любой функции было замкнутым.
5.1.8.	Топология пространства Spec А. Для любого семейства
элементов ЕсА обозначим через H(E)cSpecA множество всех точек
хе Spec А, для которых /(х) = О при всех feE. Тогда множества V(E)
составляют систему всех замкнутых множеств некоторой топологии про-
странства Spec А, которая называется топологией Зарисского или спек-
тральной топологией, см. [374].
Любой гомоморфизм колец <р: А—>В индуцирует непрерывное отоб-
ражение а<р: Spec В —> Spec А, при котором для у е Spec В выполняется
равенство (a<p)(z/) = <р—1 (Pz/), причем <р“1 (ру) — простой идеал кольца А.
Множество V(E) само является спектром: V(E) = Spec(A/Pf), где Ре —
идеал, порожденный всеми элементами f е Е, а канонический гомомор-
физм А —> А/Ре отвечает замкнутому вложению V(E) Spec А.
Открытые подмножества U с Spec А все получаются из «больших от-
крытых множеств» вида U = D(f) = Spec А [ 1//], являющихся дополнени-
ями к V(f): для любого Е С А имеем Spec А \ И(Е) = U £)(/).
Пространства Spec А имеют очень неклассическую топологию: они, как
правило, неотделимы. Если х е Spec А —любая точка, то ее замыкание
имеет вид
{%} = р| V(E) = V ( U еА = V(px) = {у е Spec А, ру D рх},
ЕСрх	\ЕСрх /
т. е. пространство {х} изоморфно Spec А/рх, и только точки, соответствую-
щие максимальным идеалам, замкнуты. Отношение у е {х} выражают ино-
гда, говоря, что у есть специализация точки х: оно равносильно включе-
нию рх с ру. Если кольцо А не имеет делителей нуля, то (0) е Spec А —
точка, замыкание которой есть Spec А («общая точка»). Таким образом,
точки спектра лежат как бы на разных уровнях. Выше всех находятся за-
мкнутые точки; на следующем уровне — точки, специализации которых за-
мкнуты, ..., на z-м уровне — точки, специализации которых принадлежат
уровням с номерами < (/ — 1). Вершина этой перевернутой пирамиды —
«общая точка» (0), если А не имеет делителей нуля, или конечное число
точек, если А—любое нётерово кольцо. Наглядные представления, свя-
§5.1]	Арифметические многообразия	213
занные с этой картинкой, лежат в основе теории размерности в алгебраиче-
ской геометрии. Последовательность точек xq, х\, хп топологического
пространства X называется цепочкой длины п с началом xq и концом хп,
если xi /x/+i и является специализацией точки х, (для всех I > О,
iп — 1). Высотой точки х е X называется верхняя грань длин цепочек
с началом х. Размерностью dimX топологического пространства X назо-
вем верхнюю грань высот его точек.
Например, в пространстве X = SpecA[7i, ..., Тп] (К — поле) имеется
цепочка длины /г, соответствующая цепочке простых идеалов (0)c(7i)c
С...С(71, ..., 7Л). Поэтому dimX ^п. Аналогично dim SpecZ[7j, ..., Тп]
имеется цепочка (0) с (р) С (р, 7\) С (р, 7j, Т^) С ... На самом
деле в обоих случаях имеет место точное равенство. Истоки этого опреде-
ления размерности можно проследить у Евклида: (замкнутые) точки огра-
ничивают линии, линии ограничивают поверхность и т. д.
Рассмотрение топологического пространства Spec А одновременно с
кольцом А является богатым источником геометрической интуиции не толь-
ко в традиционной ситуации /(-алгебр функций на алгебраических множе-
ствах (над алгебраически замкнутым полем К), но и для колец арифме-
тического типа, которые можно определить как факторкольца вида
Z[7j, ..., Тп]/Р для некоторого идеала Р.
Отсюда возникают интересные аналогии между числами и функциями.
Например, целые расширения колец во многом аналогичны накрыти-
ям комплексных многообразий (в частности, римановых поверхностей).
Пусть <р: R с S — целое расширение колец, так что S — конечно порож-
денный /?-модуль. Тогда соответствующее накрытие а<р: SpecS -* Spec/?
сюръективно, причем подмножество SpmS максимальных идеалов S так-
же отображается сюръективно на Spm/? (см. [64], [109]).
Для xGSpec/? слой (аср)-1(х) описывается как SpecS/<p(px)S. Для
х G Spm /? строение S/q(px)S описывается теоремой о разложении мак-
симального идеала (см. п. 4.2.3). В частности, неразветвленность °<р в
точке х G Spm/? (т.е. когда аср не имеет кратных точек на (а<р)“1 (х)) озна-
чает, что факторкольцо S/q(px)S не имеет нильпотентов и является прямой
суммой полей.
Пример 5.4. На рис. 5.1 (см. [109], т. 2, с. 12) изображено накры-
тие fl<p: SpecZ[z] —> SpecZ, отвечающее целому расширению ZcZ[z],
z2 = —1. Если со и со' — общие точки пространств SpecZ и SpecZ[z], то
(а%>)—1 (со) = со'. Остальные точки пространства SpecZ замкнуты и отве-
чают простым числам. По определению (а<р)”1 ((р)) состоит из простых
идеалов Z[Z], делящих р. Эти идеалы главные; их число равно двум, если
р = 1 (mod 4), и равно одному, если р = 2 или р = 3 (mod 4). Мы видим,
что единственная точка ветвления накрытия аср — это точка (2) кратности
214
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
Spec Z[/]
(2+0	(3+2z)
SpecZ -о----------о-----о----о-----о-----о—	—«си
(2)	(3)	(5)	(7) (11) (13)
Рис. 5.1
два. Отметим, что пространства SpecZ и SpecZ[z] одномерны (как и ал-
гебраические кривые), причем пространство SpecZ по многим признакам
аналогично римановой сфере (проективной прямой Р!(С)). Эта аналогия
иллюстрируется двумя глубокими результатами алгебраической теории чи-
сел. Первый из них — теорема Минковского (1891 г.) о том, что у поля Q
отсутствуют неразветвленные расширения, а второй — теорема Эрмита
(1957 г.): у числового поля К, [/С, Q] < оо, существует лишь конечное чис-
ло расширений L/К заданной степени с фиксированными точками ветвле-
ния (см. п. 4.1.5). Применительно к римановым поверхностям аналогичные
факты утверждают отсутствие у римановой сферы неразветвленных на-
крытий, а также конечность числа неизоморфных накрытий данной степени
компактной римановой поверхности X произвольного рода gx, неразветв-
ленных вне конечного множества S точек поверхности X. Эти утверждения
несложно выводятся из формулы Гурвица для рода gy компактной ри-
мановой поверхности У, накрывающей X:
2gY-2 = deg(/)(2gx - 2) + ^(еР - 1),	(5.1.1)
Per
где ер — индексы ветвления накрытия /: У —> X в точках Р е У, deg(/) —
степень накрытия (максимальное число прообразов точки). Для дока-
зательства второго утверждения используется также описание фундамен-
тальной группы tci(X\S) римановой поверхности X с выколотыми точ-
ками из конечного множества S. Группа tcJX \S) допускает совершенно
явное описание в терминах образующих и соотношений, а накрытия дан-
ной степени п, неразветвленные вне S, отвечают ее подгруппам индекса /г,
которых имеется лишь конечное число. Отметим, что эта аналогия послу-
жила исходным пунктом для глубоких гипотез конечности, выдвинутых
в докладе И. Р. Шафаревича [105] в Стокгольме (1962 г.). Эти гипотезы
определили ход исследований, которые привели в итоге к доказательству
знаменитой гипотезы Морделла о конечности числа рациональных точек
на алгебраической кривой рода g 2 над числовым полем (теорема Фаль-
тингса из [332], см. §5.5).
§5.1]
Арифметические многообразия
215
5.1.9.	Схемы. Основным объектом современной алгебраической гео-
метрии являются схемы. К их числу относятся топологические простран-
ства Spec Л, рассматриваемые вместе с кольцом А в качестве «кольца
функций» (аффинные схемы). Общее определение схем как топологиче-
ских пространств X, снабженных таким пучком колец (9%, что пара (X, Ох)
локально изоморфна аффинной схеме, приведено в [14], гл. V, §3, и в [398].
Для любого открытого множества U с X определено кольцо (9% (£7), и для
каждой точки х е X найдется такая окрестность (/а Э х, что (/а = 5ресЛа
для некоторого кольца Ла = <9/((/а). Любую схему (X, Ох) можно полу-
чить из семейства аффинных схем (5ресЛа, Ла) с помощью некоторого
процесса склейки по открытым множествам i/a П t/p. Пучок Ох называется
структурным пучком схемы X, и для аффинной схемы X = Spec Л структур-
ный пучок определяется так, что выполнены условия
Ох(Х)=А, Ox(D(f))=A[\/f] (feA).
Схемы образуют категорию, в которой морфизмами являются не-
прерывные отображения топологических пространств, локально заданные
с помощью гомоморфизмов колец и соответствующих отображений спек-
тров (см. п. 5.1.8).
Схема с заданным морфизмом X —> Spec/(, где /( — некоторое кольцо,
называется схемой над /(, а морфизм — структурным морфизмом. В этом
случае все аффинные схемы, локально определяющие данную схему, а так-
же все поля вычетов /?(х) (х G X) являются /(-алгебрами.
Схема называется неприводимой, если ее топологическое простран-
ство X неприводимо, т. е. в нем любое непустое открытое множество всю-
ду плотно. Эквивалентное условие: если X = Xi U Х2, где Х[ и Х2 — замкну-
тые подмножества, то либо X =Xj, либо X =Х%. Понятие неприводимой
схемы обобщает понятие примерного многочлена (т. е. некоторой степе-
ни неприводимого многочлена).
Схемой геометрического типа называют схему, локально задан-
ную спектрами конечно порожденных /(-алгебр над некоторым полем /(,
а схемой арифметического типа или Z-схемой конечного типа — схе-
му, которая локально задается спектрами колец арифметического типа
(см. п. 5.1.8). Такие кольца отвечают замкнутым подсхемам
Spec(Z[7’1, ..., 7>)сА£
в аффинном пространстве над Z,
A^SpecZITj, ..., Тп].
Указанные два класса схем (арифметического и геометрического ти-
па) имеют непустое пересечение, состоящее из схем конечного типа над
конечным полем F^. Для них геометрическая интуиция наиболее тесно
216	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
переплетается с арифметикой. С точки зрения элементарной арифмети-
ки примерами таких схем служат системы сравнений по простому модулю.
Мы будем постоянно возвращаться к этому классу схем. Если, напри-
мер, X —> Spec Ок —схема арифметического типа над кольцом Ок целых
элементов числового поля /(, р с Ок — простой идеал с полем вычетов
Ок/р = F^, то определена редукция X (modp) = X ®ок F^ —> SpecF^, рас-
смотрение которой часто облегчает изучение схемы X и ее точек.
Для всякой схемы X геометрического или арифметического типа можно
определить размерность как число dimX, равное максимальной длине
цепочки
Zo С Zj с ... С Zrt, Z/ ^4 Z/+i
замкнутых неприводимых подпространств пространства X. Если арифме-
тическая схема X сама неприводима, х — ее общая точка, /?(х) — соответ-
ствующее поле вычетов, то размерность dimX совпадает с размерностью
Кронекера поля /?(х), т. е. равна степени трансцендентности этого поля
над своим простым подполем, увеличенной на единицу, если char/?(x) = 0.
В частности,
dim А^ — dim SpecZ[xi, ..., хп\ = п + 1.
Пример 5.5. Проективное пространство над кольцом К. Пусть
S = /С[7Ь, ..., Тп\ —кольцо многочленов, градуированное с помощью сте-
пени, S = ф Sd, где Sd — множество однородных многочленов степени d.
Обозначим через S+ идеал ф S^. Определим множество ProjS как мно-
d>Q
жество всех однородных простых идеалов р в S, которые не содержат це-
ликом S+. На Proj S можно задать топологию, указав в качестве замкнутых
множеств все подмножества вида
И(а) = {р е Proj S: р D а}
для однородных идеалов а кольца S (см. [398], с. 108). Чтобы определить
пучок колец на Proj S, рассмотрим локализацию частных /<[7о, ..., Тп]^...тп)
и ее подкольца Л/= К[7о/7}, ..., 7^/7}]. Положим Ui = Spec Л/, Ui} =
= D(Tj/Ti) cUi. По определению = SpecЛ/у, где At; = At [Ti/T}] со-
стоит из элементов F(7o, Т^/ТРТ? е/<[7о, ..., Тп\{т0...тп)у Для которых
F— форма степени p+q. Отсюда следует, что Л/у и Л7/ совпадают
в /С[7о, ..., Тп](т0...тп), и мы имеем естественные изоморфизмы <р/у: UijUji,
которые позволяют провести склейку аффинных схем ({//, Л/). В результа-
те склеивания мы получим схему Р£ над /<, топологическое пространство
которой совпадает с ProjS, а структурный морфизм P£—>Spec/< задан
вложением К во все кольца Л, в качестве констант.
4
§5.1]
Арифметические многообразия
217
5.1.10.	Точки схемы со значениями в кольцах. Если X —> Spec К —
схема над /(, L — некоторая K-алгебра, то Л-точкой схемы X называет-
ся морфизм схем Spec L -+Х над Spec/(, a X(L) = Morspec/((SpecL, X)
обозначает множество всех Л-точек схемы X над /(. Если L — поле, то
соответствующие точки называются геометрическими.
Пример 5.6. 1. Пусть X = А|, К = %, L = Fq — поле из q элементов,
тогда элементы множества
X(L) = Morspecz(SpecF.,X) = Hom(Z[7’1, ..., Tn],Fq)
отвечают наборам (/ь ..., tn) е F", которые, в свою очередь, отвечают го-
моморфизмам, переводящим 7} в t{. Таким образом, CardX(F^) = qn.
2.	Пусть X = Р|, К = Z, L — 2,/NZ, — кольцо вычетов по модулю /V, то-
гда точки X(Z/WZ) отвечают таким наборам (/0 : t\ ...'.tn) £ (Z/WZ)n+1,
что tt e(Z/WZ)x, хотя бы для одного /, причем эти наборы рассмат-
риваются с точностью до умножения на Xe(Z/MZ)x. Если, например,
ti е (Z/WZ)X, то образ SpecZ/WZ лежит в (// (см. п. 5.1.9) и точка ло-
кально задается гомоморфизмом из
Нот(Д, Z/WZ) = Hom(Z[T0/T/, ..., Т„/Л], Z/WZ),
при котором Tj переходит в tj (/ =0, ..., п). Число этих точек нетрудно
подсчитать:
CardWNZ) =«" [J = ^vj- П<‘ -	I5'1'2»
p\N	р\Н
5.1.11.	Решение уравнений и точки схем. Мы видим, что решение
диофантовых уравнений и систем сводится к нахождению точек схем ариф-
метического типа с коэффициентами в Z и в Q. Действительно, любая
система многочленов над кольцом К вида
Fz(r1,...,7'n)eMr1,...,rn] (Ze/)
определяет некоторый идеал ас/([Г1, ..., Тп] и задает аффинную схе-
му X с топологическим пространством И(а) и кольцом К[Т\, ..., Тп]/а. Для
К-алгебры L точки из X(L) взаимно однозначно соответствуют таким на-
борам (/i, ..., tn) е Ln, что Fi(t\, ..., tn) = 0 (z е /).
Если же FJTo, ..., Тп)еК[Тв, ..., Тп] (Ze/)— однородные формы над/(,
то однородный идеал а в градуированном кольце /([7Ь, ..., Тп], порожденный
этимих формами, определяет проективную схему X = Proj/([7o, ..., Гл]/а
над /(, топологическое пространство которой совпадает с пространством
Р(а) (из п. 5.1.9) и получается склейкой аффинных схем (И(а) П (Л, Л//сч),
где az — идеал в Л/, порожденный элементами из а. Точки X(L) такой
схемы X с коэффициентами в /(-алгебре L отождествляются с таки-
218	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
ми наборами точек проективного пространства (/о ’ t\ ‘ •••'• tn) 6 P(L), что
Fz(/0, Л, tn)=0 (iel).
Если L — поле, то множество Р^(Л) является объединением
П(Л) = А£(^)иР"-Ш	(5-1.3)
где
A^(L) = {(/0:/i	/о^О}
— множество Л-точек аффинной подсхемы Uq bPJ,
Р"-‘(Л) = {(t0-. 6 e^iLY. /о = 0}
— бесконечно удаленная гиперплоскость, отвечающая замкнутой под-
схеме
РпчЦГь Гл] С ProjZJTb, Г,, Тп].
Отметим, однако, что если L не является полем, то равенство (5.1.3) уже
не имеет места: это хорошо видно из примера кольца L = Z/MZ, разобран-
ного выше. Но над любым кольцом по системе неоднородных многочленов
..., Тп) (i е Г) можно построить систему однородных многочленов
Fi(T0, Tlt...,Tn) = rodeg/Wi/7o, -, Тп/Т0),	(5.1.4)
которая задает продолжение аффинной подсхемы V(a) С Uq = А£ до ПР°“
ективной подсхемы V(a)cP£, где a — однородный идеал в /([То, Т\, ...
..., Тп], порожденный многочленами /\ (/ €/).
5.1.12.	Теорема Шевалле ([14], [819]).
Теорема 5.7. Пусть подсхема X с над конечным полем К =
задана таким однородным многочленом F(T) = F(Tq, ..., Тп) степени
d = deg/7, что п+\> d (где Т = (То, ..., Тп)). Тогда множество X(F^)
непусто.
Доказательство. Поскольку F(0, 0, ..., 0) = 0, достаточно уста-
новить существование еще одного нуля t = (/о, • • ♦, tn) G F"+1. Пусть Np —
число решений уравнения F(tn, ..., tn) = 0 в F"+1. Докажем, что р | Np, где
р — характеристика поля F^. Для этого рассмотрим вспомогательный мно-
гочлен 1 — F(T)q~[, который принимает значение 1 в нулях многочлена F
и значение 0 в других точках. Таким образом,
Nf= £ (1-W).	(5.1.5)
где Np — класс вычетов Np (mod р), рассматриваемый как элемент по-
ля F^.
§5.1]
Арифметические многообразия
219
Лемма 5.8. Пусть iq, i\, in — неотрицательные целые числа.
Тогда
= 0,	(5.1.6)
/ег;+1
кроме случая, когда все I; отличны от нуля и делятся на q - 1.
Действительно, предположим сначала, что п = 0. Если i = 0, то
52 tQ = q = O в F^. Если же i ^0, то воспользуемся тем, что группа F*
t&Fq
циклическая (с образующей 6 eF*), тогда из условия q - Iff вытекает
равенство
..	Al?-»'' _ I
/ег, *=о
В общем случае
Е 4° - t‘n = (Е 'о°) • (Е 'И - (Е ** Y
eFj+1	MGFf /	\/GF<7	/	\/€Ff	/
что доказывает лемму.
Для доказательства теоремы рассмотрим произвольный одночлен
7,q°7'|1 ...Т1пп, встречающийся в 1 — F(T)q~[. Поскольку этот многочлен име-
ет степень d(q — 1), хотя бы для одного / должно выполняться неравенство
ij <q — 1, так как в противном случае степень рассматриваемого одночле-
на была бы не меньше (п + 1)(^ - 1), а мы предположили, что d < п + 1.
Из леммы теперь следует, что
Е
/gf;+1
Так как 1 — F(T)q~x является линейной комбинацией одночленов и свобод-
ного члена, отсюда следует, что Np = 0, т. е. р | Np.
5.1.13.	Некоторые геометрические понятия. В этом пункте мы крат-
ко расскажем о некоторых понятиях из алгебраической геометрии много-
образий над полем, которые будут использоваться в дальнейшем. Более
подробное изложение читатель может найти, например, в [109] или [398],
а также в обзорах по алгебраической геометрии, вышедших в серии «Со-
временные проблемы математики. Фундаментальные направления».
1.	Неприводимые компоненты. Каждое /(-многообразие (т. е. гео-
метрическая схема над полем К без нильпотентов в ее структурном пучке)
является конечным объединением своих неприводимых компонент. После
перехода к конечному расширению основного поля К неприводимая ком-
понента может оказаться приводимой (в этом случае ее неприводимые
компоненты образуют орбиту действия соответствующей группы Галуа).
220	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5 S
Многообразие, остающееся неприводимым после перехода к любому ал- |
гебраическому расширению основного поля, называется абсолютно (или
геометрически) неприводимым. Для каждого неприводимого многообразия
корректно определена размерность.
2.	Особые точки. Точка х е V может быть особой или неособой (ре-
гулярной). Среди многочисленных эквивалентных определений регулярно-
сти, возможно, следующее является наиболее коротким: точка х регулярна
тогда и только тогда, когда пополнение локального кольца Ох (относитель-
но тх-адической топологии, где пгх — максимальный идеал) изоморфно
кольцу формальных степенных рядов над k(x) = Ох/хпх. Регулярные точ-
ки образуют открытое по Зарисскому подмножество в V. Если V задано
однородным уравнением F(x\, ..., хп) = 0 в проективном пространстве, то
система дополнительных уравнений подмногообразия особых точек имеет
вид dF(x)/dxi = 0.
Точки пересечения. Точки пересечения двух неприводимых компонент
всегда особы.
Род и особые точки. Существование особых точек может решительно
изменить как геометрические, так и арифметические свойства многообра-
зия. Например, род неособой кубической кривой на проективной плоскости
равен одному; множество ее рациональных точек над, скажем, Q достаточ-
но мало (см. §5.3 ниже). Когда у кубической кривой присутствует двойная
особая точка, род ее неособой модели уже равен нулю, а множество ее
рациональных точек становится намного больше.
3.	Вложения и высоты. Многообразие V, заданное абстрактно при
помощи склейки аффинных карт, может быть как вложимо, так и невло-
жимо в проективное пространство. Многообразие, заданное как подмного-
образие в проективном пространстве, допускает и другие, неэквивалентные
вложения. Выбор такого вложения (при условии его существования) явля-
ется крайне важной дополнительной структурой. В геометрии это приводит
к различным видам индукции (слоение на гиперплоскости и т.д.). С точ-
ки зрения алгебры, это позволяет производить большинство вычислений
с когомологиями пучков при помощи разнообразных результатов конеч-
ности и об обращении в нуль. В арифметике выбор вложения приводит
к понятию высоты рациональной точки, которое используется в большин-
стве численных задач диофантовой геометрии.
Дивизоры и обратимые пучки. Следует сказать несколько слов о диви-
зорах и обратимых пучках, повсеместно используемых геометрических поня-
тиях, обобщающих идеи гиперплоского сечения и проективного вложения.
Дивизоры Картье. Рассмотрим неприводимое многообразие V. Ди-
визор Картье на V задается в некотором аффинном покрытии V = |J Ui
семейством элементов {//}, где —рациональные функции на Ui. На пе-
ресечении Ui П Uj требуется, чтобы выполнялось равенство Д = для
эд I
§ 5.2]	Геометрические методы изучения диофантовых уравнений	221
некоторой регулярной на пересечении функции и,/, обратная к которой
также регулярна. Два семейства {/J и {§/} определяют один и тот же ди-
визор, если fi = Uigi для всех /, где щ —функции, регулярные на Ui вме-
сте со своими обратными. Дивизоры образуют группу Div(V) относительно
естественного умножения: {fi}{gt} = {figi}- Каждое гиперплоское сечение
задает дивизор. Если все семейства {/,} регулярны, то такой дивизор на-
зывается эффективным. Каждая ненулевая рациональная функция на V
задает дивизор Картье (/) = {//} = {/}, называемый главным дивизором.
Группа Пикара. Обратимый пучок на V — это локально свободный
одномерный Оу-модуль £. Множество таких пучков с точностью до изо-
морфизма является группой Pic(V) относительно тензорного произведе-
ния. Каждый дивизор Картье D определяет обратимый пучок O(D): его
сечения над Ui отождествляются с элементами из f~xOur Таким образом,
пространство £(£>) = Г(Р\ 0(D)) совпадает с множеством рациональных
функций, состоящим из нулевой функции и из таких ненулевых функций /,
что дивизор (f) + D является эффективным. Это пространство называется
линейной системой дивизора D.
Наоборот, рациональное сечение пучка С определят такой дивизор
Картье D, что C = O(D). Таким образом, имеется сюръективный гомо-
морфизм Div(V) —> Pic(V). Его ядро в точности совпадает со множеством
главных дивизоров.
Обильные пучки. На проективном пространстве имеется выделенный
обратимый пучок (9(1). Каждый морфизм <р: V —>F* определяет обрати-
мый пучок £ = <р*((9( 1)). Пучки £, получаемые при помощи замкнутых вло-
жений ср, называются очень обильными. Пучок С называется обильным,
если какая-то его положительная степень очень обильна.
4.	Канонический пучок. Для неособого многообразия V можно опре-
делить локально свободный Ох-модуль О*, ранга d = dim(V), состоящий из
1-форм. Его d-я внешняя степень оу называется каноническим пучком
на V. Его численные свойства очень сильно влияют на арифметику много-
образия V (см. следующий параграф). Для V = F2 имеем и>у = О(—п — 1),
так что пучок 1 обилен. В то же время, множество рациональных точек
крайне велико. Когда же обилен сам пучок соу, предположительно боль-
шинство рациональных точек сконцентрировано на собственном замкнутом
по Зарисскому подмножестве.
§ 5.2. Геометрические методы изучения
диофантовых уравнений
5.2.1.	Основные вопросы. Рассмотрим конечную систему полиноми-
альных уравнений с коэффициентами в Z. Как объяснялось в §5.1, такая
222	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
система определяет арифметическую схему X, ее множество целых точек
X(Z), а также множество X(L) ее точек со значениями в произвольном
кольце L, например в кольце О, состоящем из целых элементов некоторо-
го числового поля.
Пусть X — гладкое проективное алгебраическое многообразие над чис-
ловым полем К, максимальный порядок которого равен О = ОК. В этом
случае К-точки многообразия X совпадают с его О-точками, что позволяет
рассматривать Х(К) вместо Х(О).
В теории чисел рассматриваются различные свойства множества /(-ра-
циональных точек Х(К) многообразия X. В алгебраической геометрии изу-
чаются свойства множества Х(С), рассматриваемого как топологическое
пространство, аналитическое многообразие или алгебраическое многооб-
разие (или, более общим образом, изучаются множества X(L) для различ-
ных алгебраически замкнутых полей L). В теории диофантовых уравнений
геометрические методы используются для того, чтобы связать геометрию
Х(С) с арифметическими свойствами Х(К).
Актуальность этих методов лучше всего видна для сравнений или, в бо-
лее общем случае, для многообразий над конечными полями. В своих зна-
менитых записках (см. [825]) А. Вейль сформулировал несколько гипотез
относительно числа точек таких схем и предположил существование такой
теории когомологий для многообразий над полями конечной характеристи-
ки, для которой из аналога теоремы Лефшеца следовали бы некоторые из
этих гипотез. А. Гротендик и его последователи развили такую теорию ко-
гомологий, а П. Делинь завершил реализацию программы Вейля, доказав
в полной общности гипотезу Вейля—Римана. В §6.1 мы кратко расскажем
об этих результатах.
В этом параграфе мы дадим обзор некоторых известных взаимосвязей
между геометрией и арифметикой над числовыми полями.
А. Пусто или нет множество Х(/()?
В. Конечно или нет множество Х(К)? Плотно ли оно в X?
С. Если Х(К) бесконечно, то каков рост функции
N(H; В) := Card {х е Х(К)\Н(х) В}?
Здесь Н обозначает некоторую функцию «высоты» (на самом деле экспо-
ненту от нее), а именно, при выбранных однородных координатах на F2 D X
имеем
Н(хо, хп)= тах(|х,|„).
t>6Val(/O '
D. Можно ли описать множество Х(К) как в некотором смысле конечно
порожденную структуру?
§ 5.2]	Геометрические методы изучения диофантовых уравнений	223
Также для каждого из этих вопросов представляет интерес его алго-
ритмическое решение. Тем не менее, из теоремы Матиясевича следует, что
ответ на эти вопросы не может быть дан для всех многообразий. Вме-
сто этого можно пробовать доказывать условные утверждения вида «если
Х(С) обладает такими-то геометрическими свойствами (например, явля-
ется одномерным неприводимым неособым многообразием, проективной
алгебраической группой, многообразием флагов и т.д.), то Х(К) облада-
ет такими-то арифметическими свойствами (соответственно, конечно, ко-
нечно порождено; N(H; В) растет, как степень В и т.д.)». Ожидается, что
стабильно, т. е. при рассмотрении конечного расширения поля К и откры-
того по Зарисскому подмножества U в X, существует взаимосвязь между
множеством рациональных точек множества U и геометрическими инва-
риантами многообразия X.
Ниже мы кратко обсудим некоторые результаты такого типа, разделяя
их по вопросам А—D.
5.2.2.	Геометрическая классификация. Одним из основных геомет-
рических инвариантов гладкого проективного многообразия X является его
канонический класс Кх (см. §5.1). Очень грубо можно расклассифициро-
вать алгебраические многообразия в соответствии с обильностью антика-
нонического класса -Кх или самого класса Кх- Многообразия с обиль-
ным классом — Кх называются многообразиями Фано, с обильным клас-
сом Кх — многообразиями общего типа, а остальные — многообразия-
ми промежуточного типа. В более тонких классификационных теори-
ях, как и во многих арифметических приложениях, необходимо допускать
некоторые «слабые» особенности и вводить другие инварианты, такие, как
размерность Ко дайры, конус эффективных и обильных дивизоров и т. д.
Для размерности один описанная выше классификация совпадает с то-
пологической классификацией римановых поверхностей: род 0, > 2 и g = 1
соответственно. Многообразия Фано размерности два называются поверх-
ностями дель Пеццо. Над алгебраически замкнутым полем они изоморфны
следующим поверхностям:
Р2, Р'хР1, Sd,
где Sd является раздутием многообразия Р2 в 9 — d точках, и их степени
равны d = 1, ..., 8. Поверхности промежуточного типа включают в себя
абелевы поверхности и их факторы, КЗ-поверхности и поверхности Энри-
квеса. Классификация многообразий Фано в размерности три была боль-
шим достижением Псковских и Мори—Мукаи, см. [43], [44], [595], [596],
завершившим работу итальянской школы, в особенности Г. Фано. Приме-
рами являются кубики, квартики в Р4 или двойные накрытия простран-
ства Р3, разветвленные в поверхности степени 6. Интересными трехмер-
ными многообразиями промежуточного типа являются трехмерные много-
224
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
образия Калаби—Яу. Известно, что в каждой размерности число семейств
многообразий Фано конечно.
В некотором смысле многообразия Фано похожи на проективные про-
странства. Как мы видели, поверхности дель Пеццо над С бирационально
изоморфны Р2. В общем случае многообразия Фано обладают следующи-
ми свойствами, очень важными для арифметических приложений: через
каждую точку на X проходит определенная над С рациональная кривая
антиканонической степени не выше dim/ 4- 1, и любые две точки могут
быть соединены цепочкой рациональных кривых. Тем не менее, неизвестно,
всякое ли многообразие Фано доминируется проективным пространством.
5.2.3.	Существование рациональных точек и препятствия к прин-
ципу Хассе. Пусть X — алгебраическое многообразие, определенное над
числовым полем К. Очевидно, необходимым условием того, что Х(К) непу-
сто, является неравенство X(KV) 0 для каждого пополнения Kv поля К.
Если это условие является также и достаточным, то говорят, что для X
выполняется принцип Хассе (или Минковского—Хассе).
В.	А. Псковских нашел контрпример к принципу Хассе для системы
двух квадратичных форм от пяти переменных (см. [42]) .
(%о - 2%1)(%о - 3%i) 4- %з +%4 = О,
%о*1 - ^2 = 0.
Проективная поверхность Y определена над полем рациональных чисел Q,
имеет гладкие точки во всех пополнениях поля Q, но не имеет Q-pa-
циональных точек.
Используя круговой метод, можно доказать, что принцип Хассе выпол-
няется для полных пересечений в проективных пространствах, размерность
которых достаточно велика по сравнению со степенью. Б. Дж. Бёрч дока-
зал следующий общий результат.
Пусть многообразие / CF1"1 задается г уравнениями. Предположим,
что размерность подмногообразия, состоящего из особых точек на X, мень-
ше чем
п - 1 - r(r + l)(d - l)2d-1,
где d обозначает степень многообразия X в Р"-*. Тогда для X выполняется
принцип Хассе. В частности, он верен для
а)	квадрик размерности не меньше 3 (от числа переменных п 5);
б)	пересечений двух квадрик размерности не меньше 10 (при п 13);
в)	кубических гиперповерхностей размерности не меньше 15 (при 17).
Высказывается гипотеза, что принцип Хассе выполняется при п 9 для
случая б) и при п 10 для случая в); последнюю гипотезу доказал над Q
Ч.Хооли (см. [424]).
§5.2]
Геометрические методы изучения диофантовых уравнений
225
Наилучшие известные результаты для случая б) получили Ж.-Л. Кол-
лио-Телен, Ж.-Ж. Сансюк и П. Свиннертон—Дайер.
Разумеется, случай квадрики является классическим. Для кубических
форм от 3 и 4 переменных принцип Хассе может не выполняться. Идей-
ный подход к высшим препятствиям к существованию рациональных точек
был предложен в [63], [66]. Он основывается на принципе Минковско-
го—Хассе для групп Брауэра числовых полей (см. точную последователь-
ность (4.5.43) в §4.5), и на построенном Гротендиком обобщении группы
Брауэра на случай схем. Имеется следующая диаграмма:
фВг(Ха)
Вг(Х)
X
о Вг(Ю
' '	S inVV
фВг(Ха)---------Q/Z^O
V
Более подробно, если X — схема над полем К, то элемент а е Вг(Х) пред-
ставлен семейством полупростых алгебр, параметризованных точками мно-
гообразия X. В частности, для любого расширения полей L D К и L-точки
х е X(L) имеется естественная специализация а(х) G Вг(А) с очевидными
функториальными свойствами. Предположим, что Х(^)/0 для каждого
v и что для каждого набора точек (xv)v gX(A), где А обозначает кольцо
аделей поля /(, существует такое a G Вг(Х), что
^2 inva(a(xa)) /0.
и
Тогда (xv)v не может принадлежать Х(К) и говорят, что у X имеется нетри-
виальное препятствие Брауэра—Манина к принципу Хассе.
Один из простейших примеров, когда препятствие Брауэра—Манина
нетривиально, представляет кубическая проективная поверхность X над Q:
з
z(x + z)(x + 2z) = JJ(x +	+ 0(z)2z),
z=l
где 0(z) — три корня многочлена
03 + 7(0 + I)2 = О
(этот пример был построен Свиннертоном—Дайером). Его множество
адельных точек непусто.
Локальные рассмотрения показывают, что можно построить два эле-
мента ai, й2 из группы Брауэра этой поверхности со следующими свой-
ствами:
1) если v / 7, то локальные инварианты cii(xv) равны нулю для любой
точки xv gX(Qv);
2) для любой точки xyGAXQy) либо inv7(ai(x7))/0, либо inv7(fl2(*7))/0-
226	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Следовательно, для такой поверхности не выполняется принцип Хассе.
Ж.-Л. Коллио-Телен, Ж.-Ж. Сансюк и Д. Каневский построили таб-
лицу, состоящую из диагональных кубических поверхностей
ах3 + by3 4- cz3 + du3 = О
с целыми коэффициентами в пределах [-500, 500], которые везде локаль-
но имеют точки и для которых нет препятствия Брауэра—Манина. Ком-
пьютерный поиск показал, что все эти поверхности имеют рациональные
точки. Поэтому можно было бы предположить, что из отсутствия пре-
пятствия Брауэра—Манина следует существование рациональной точки
для всех диагональных кубических поверхностей, или, возможно, для всех
неособых кубических поверхностей, или даже для всех неособых рацио-
нальных поверхностей (т. е. таких, для которых над С существует бирацио-
нальная параметризация двумя независимыми переменными). Эта гипотеза
была доказана для так называемых обобщенных поверхностей Шатле, за-
даваемых уравнением вида у2 — az2 = Р(х), где а не является квадратом,
а Р — многочлен степени три или четыре.
Препятствие Брауэра—Манина было глубоко исследовано для трех
классов многообразий:
1)	рациональные поверхности;
2)	главные однородные пространства линейных алгебраических групп,
особенно алгебраических торов;
3)	главные однородные пространства эллиптических кривых и, в более
общем случае, абелевых многообразий.
Исторически класс 3 был первым примером. Однако он возник в иной
форме, в теории групп Шафаревича—Тэйта, классическое описание кото-
рой будет дано в следующем параграфе. Ее связь с препятствием Брауэ-
ра—Манина объясняется в [63].
Ж.-Л. Коллио-Телен и Ж.-Ж. Сансюк развили геометрический аналог
этого препятствия, который был назван препятствием для спуска.
Предположим, что для многообразия X над полем К мы каким-то об-
разом построили такие доминирующие морфизмы
4ToX(/0 = |jA(r((/0).
Тогда можно установить пустоту множества Х(К), показав, что для каждого
Yi существует такое пополнение что Yi(KV(i)) = 0. С другой стороны,
если множество Х(К) непусто, а многообразия К в каком-то смысле про-
ще, чем X, например рациональны, то таким образом для множества Х(К)
получается явное описание.
Коллио-Телен и Сансюк развили систематический способ построения
таких семейств, основываясь на понятии торсора. Они показали, что для
§ 5.2]	Геометрические методы изучения диофантовых уравнений	227
неособых рациональных многообразий такие семейства спуска обладают
следующими свойствами:
а)	препятствие для спуска не выполняется тогда и только тогда, когда
не выполняется препятствие Брауэра—Манина для X.
б)	препятствие Брауэра—Манина не выполняется для многообразий У/.
Используя технику торсоров, Скоробогатов (см. [760]) построил при-
мер поверхности с тривиальным препятствием Брауэра—Манина, и не
удовлетворяющей принципу Хассе. Эта поверхность имеет нетривиальную
фундаментальную группу, и препятствие к существованию рациональной
точки может быть интерпретировано в терминах неабелева спуска (см. так-
же [761] и [394]).
5.2.4.	Конечные и бесконечные множества решений. Как только
установлено, что множество рациональных точек Х(К) на алгебраическом
многообразии X над числовым полем К непусто, возникает вопрос, явля-
ется ли это множество конечным или, например, плотным в X. Опишем для
начала известные результаты для случая гладких проективных кривых.
1.	Пусть X — кривая рода нуль. Тогда для X выполняется принцип Хас-
се. Более точно, кривая X может быть задана однородным квадратичным
уравнением в
аТ$ + ЬТ? + сТ$ = 0,
а локальные условия могут быть проверены алгоритмически. Если Х(К)^0,
то кривая X изоморфна так что множество Х(К) = К U {оо} плотно по
Зарисскому в X.
2.	Если род кривой X равен 1, то множество Х(К) может быть пу-
стым, конечным или бесконечным. Даже над Q неизвестно ни одного до-
стоверно обоснованного алгоритма, позволяющего различить эти случаи.
Тем не менее, существуют алгоритмы, работающие на практике. В [65]
был предложен алгоритм для ответа на вопрос о конечности множества
Х(К) при условии, что известна его непустота. Если предположить истин-
ность одной общей гипотезы об эллиптических кривых (а именно гипотезы
Бёрча—Свиннертона—Дайера, см. §6.4 и [65]), то можно вывести кор-
ректность этого алгоритма. Кроме того, X(L) всегда становится бесконеч-
ным после подходящего конечного расширения поля К.
3.	Если у кривой X род больше 1, то Х(К) всегда конечно. Это составля-
ет содержание знаменитой гипотезы Морделла, доказанной Г. Фальтинг-
сом. Подробности этого доказательства можно найти в трех следующих
параграфах.
Заметим, что такое различное арифметическое поведение прекрасно со-
относится с классификацией одномерных алгебраических многообразий,
приведенной в параграфе 5.2.2. Существует надежда, что это свойство со-
храняется и для высших размерностей. Бомбьери предположил для по-
228	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
верхностей, а Ленг и Войта предположили в общем случае, что рациональ-
ные точки на многообразиях общего типа всегда содержатся в собствен-
ном подмногообразии, т. е. никогда не плотны по Зарисскому (см. [500]
и [813]). Эти гипотезы также обобщают теорему Туэ—Зигеля—Рота.
Они имеют косвенные подтверждения в функциональном случае см. [561],
[616]. У этой гипотезы есть много замечательных следствий: неединствен-
ность препятствия Брауэра—Манина для общих гиперповерхностей [693],
равномерная (по К) верхняя оценка на число рациональных точек на
кривой рода g 2 и т. д., см. [213].
Можно поставить вопрос об обратной гипотезе. Это требует несколько
более аккуратного рассмотрения. Во-первых, необходимо допускать пере-
ход к конечным расширениям основного поля (уже коники могут не иметь
ни одной рациональной точки). Таким образом, рассматривается потенци-
альная плотность, т. е. плотность по Зарисскому после перехода к под-
ходящему конечному расширению основного поля. Во-вторых, X может
и не быть многообразием общего типа, но обладать этальным накрытием,
доминирующим многообразие общего типа. В этом случае рациональные
точки на X также не могут быть плотны в топологии Зарисского. В раз-
мерности два рациональные точки потенциально плотны на следующих по-
верхностях:
1) поверхности дель Пеццо;
2) абелевы поверхности, поверхности Энриквеса и поверхности ти-
па КЗ, допускающие эллиптическое слоение или с бесконечной группой
автоморфизмов, см. [181].
Для всех трехмерных многообразий Фано, кроме двойных накрытий
Р3, разветвленных в поверхности степени 6, имеет место потенциальная
плотность, см. [396], [182].
Чтобы увидеть, как доказываются такие результаты, предположим, что
существует нетривиальный рациональный морфизм /: С-*Х, где С —
кривая рода 0 или 1, для которой С(К) бесконечно. Тогда, разумеется,
Х(К) также бесконечно. Семейства таких вложенных кривых часто можно
построить при помощи геометрических методов.
Примеры. 1. Каждое число ае/С* может быть представлено беско-
нечным числом способов как сумма трех кубов из К. Действительно, одно
представление дается формулой
а = (з^ + к + Зб)3^3 " 36)3 + (~а3 + 35й + 36)3 + (33°2 + З5а)3>-
Этому соответствует такая геометрическая картинка: для неособой куби-
ческой поверхности X и для любой точки х е Х(К) обозначим через Сх
пересечение X с касательной плоскостью к X в точке х. Если х не при-
надлежит ни одной прямой, лежащей на X, то Сх является плоской куби-
§ 5.2]	Геометрические методы изучения диофантовых уравнений	229
ческой кривой с двойной точкой в х. Следовательно, ее род равен нулю,
и на ней есть рациональная точка (см. часть I, §1.3) (это рассуждение
следует немного изменить для некоторых вырожденных случаев).
2.	В 1769 г. Эйлер предположил, что уравнение
х4 + z/4 4- z4 = и4	(5.2.1)
не имеет нетривиальных решений. Эта гипотеза была опровергнута Н. Д. Эл-
кисом в 1988 г. Он нашел решение
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
и доказал, что на самом деле существует бесконечного много решений,
построив эллиптическую кривую, лежащую на поверхности (5.2.1), с бес-
конечным числом точек. Потенциальная плотность рациональных точек на
этой квартике, и на самом деле на любой гладкой квартике, содержащей
прямую, была доказана в [396], [181]. Поясним стоящую за этими ре-
зультатами геометрию: для поверхности X четвертой степени, содержащей
прямую t, рассмотрим одномерное семейство плоскостей Р2 с Р3, содер-
жащих L Для каждой плоскости Р2 из этого семейства ее пересечение
с X является кривой степени четыре, содержащей £. Кривая, дополни-
тельная к £, является плоской кривой степени три, пересекающей £ в трех
точках. Таким образом, X допускает эллиптическое слоение над Р1 с об-
щим слоем, являющимся кривой рода 1, и с рациональным трисечением
I. В общем случае отсюда следует, что множество рациональных точек на
X плотно в топологии Зарисского уже над основным полем. В нескольких
вырожденных случаях для получения плотности по Зарисскому множества
рациональных точек следует перейти к конечному расширению основного
поля.
3.	Разумеется, можно найти еще больше точек на X, если удастся по-
строить отображение Рл —>Х или Л —>Х, где А —абелево многообразие
с большим множеством А(К), и т.д. Для построения таких отображений
существует множество геометрических методов. Например, диагональное
трехмерное многообразие четвертой степени
x4+y4+z4 + t4 + u4 = 0
геометрически унирационально, т. е. доминируется поверхностью Р3. Тем
не менее, неизвестно, всякое ли гладкое трехмерное многообразие четвер-
той степени унирационально.
4.	Существует другой общий метод доказательства бесконечности мно-
жества Х(К)'. если X имеет бесконечную группу автоморфизмов G, то орби-
та Gx точки х может быть бесконечна. Примерами поверхностей типа КЗ
с бесконечной группой автоморфизмов являются гиперповерхности (муль-
ти)степени (2, 2, 2) в Р1 х Р1 х Р1.
230	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
5.2.5. Число точек ограниченной высоты. Начнем с одного эври-
стического соображения. Рассмотрим систему уравнений
Fi(xq, ..., хп) = 0,	/ = 1, ..., г,	(5.2.2)
где Fi — форма степени dt с целыми коэффициентами. Положим
Л/(В) = Card {(хо,	, х„) е Zn+I: Н(х) := тах(|х,|) < В}.
Чтобы догадаться, каков порядок роста N(B), можно воспользоваться сле-
дующей идеей. Сначала заметим, что в имеется около точек,
высоты которых не превосходят В. Далее, Fi принимает примерно около
Bdi значений в этих точках. Предполагая, что вероятность того, что значе-
ние Fi равно нулю, составляет около B~di и что эти события независимы
для разных z, получаем
N(B)^Bn^~^di,	(5.2.3)
Степень правой части в соотношении (5.2.3) обладает красивой геометри-
ческой интерпретацией: если проективное многообразие X, определяемое
уравнениями (5.2.2), является неособым полным пересечением, то его ан-
тиканонический пучок — Кх задается по формуле
-Kx^O(n+\-^di),
где пучок 0(1) индуцирован на X с Op»(l). Следовательно, можно пере-
формулировать соотношение (5.2.3) более общим и более точным образом,
учитывая при этом различные контрпримеры для слишком уж оптимистич-
ных переформулировок: порядок роста N(B) равен Ва, а > 0, когда пучок
—Кх обилен, и равен O(BZ) для любого е > 0, когда пучок Кх обилен, если
выбросить из X некоторые подмногообразия «накопления точек» и перейти
к достаточно большому основному полю.
Эти гипотезы были впервые точно сформулированы В. В. Батыревым
и Ю. И. Маниным. Не вдаваясь в подробности, добавим несколько общих
замечаний.
1. Для получения стабильной картины, допускающей использование
геометрических понятий и конструкций, следует переходить к конечным
расширениям полей.
2. Проблемы счета точек следует рассматривать по отношению к про-
извольным обратимым пучкам, а не только —Кх- Последний пучок может
и не быть обильным, например, он может быть равным нулю.
Первым шагом в реализации этой программы является теория высот,
восходящая к одной старой конструкции А. Вейля.
Пусть X — проективное алгебраическое многообразие над числовым
полем /(, и пусть С — обратимый пучок на X. Рассмотрим все пополнения
§ 5.2]	Геометрические методы изучения диофантовых уравнений	231
Kv поля А. Обозначим через | • |„: К —► R локальную норму, которая явля-
ется нормирующим множителем для аддитивной меры Хаара относитель-
но умножения на соответствующий элемент из Kv- Имеется классическая
формула произведения f[a Ии = 1 Для любого xe^x. Если А — одномер-
ное векторное пространство над А, то пусть || •	: А —> R обозначает такую
норму, что || аК || v= |a|v || X ||у для всех аеК и X G А. Обратимый пучок С
может рассматриваться как семейство одномерных пространств, парамет-
ризованное многообразием X, и можно определить допустимую метриза-
цию на нем как семейство метрик || • ||<, для каждого v на каждом слое
пучка С с естественными свойствами непрерывности (см. [500]). После
задания такого метризованного пучка L = (£, || • ||<,) высота по отношению
к нему является функцией Х(К) —определяемой по формуле
HL(x) :=JJ||s(x) ||Л	(5.2.4)
V
где s обозначает локальное сечение пучка £, не равное нулю в точке х (от
его выбора ничего не зависит благодаря формуле произведения).
Полный список свойств высоты приводится в [500]. Упомянем здесь
лишь следующие из них.
1.	С точностью до функции типа ехр{0(1)} высота не зависит от
выбора метризации и мультипликативна по С. Поэтому можно говорить
просто о Нс, если рассматриваемый вопрос не зависит от такого выбора.
2.	Если пучок С обилен, a U С X — открытое по Зарисскому подмно-
жество, то число
А(/(£; В) := Card {х G U(K) | Нс(х) В}
конечно для каждого В.
3.	Выполняется равенство
Npn(-Kx; В) = сВ(1 +о(1))	(5.2.5)
для всех п > 0 и числовых полей К (это теорема С. Шануэла, доказанная
в 1979 г.).
Естественным обобщением соотношения (5.2.5) является следующая
гипотеза.
Гипотеза5.9 (о линейном росте — первая версия). Пусть/ — глад-
кое многообразие с обильным классом -Кх, и пусть г — ранг группы
Пикара X. Тогда существует достаточно малое открытое по Зарисскому
подмножество U, для которого при достаточно большом основном поле
выполняется равенство
Nu(-Kx\ B) = cBlog(B)r-'(l +о(1)).	(5.2.6)
232	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Ясно, что эта гипотеза неверна для многообразий без рациональных то-
чек или для кубических поверхностей, содержащих рациональные прямые,
поскольку каждая из них даст вклад в асимптотику, состоящий примерно
из В2 рациональных точек. Это очевидные необходимые условия.
Таким образом, если для кубической поверхности X все ее 27 прямых
определены над основным полем, a U сХ —дополнение к этим прямым, то
Wy(-Kx;B) = cBlog(B)6(l +J(1)).
Нижние оценки такого вида были доказаны над Q в [762]. При этом неиз-
вестно ни одной нетривиальной верхней оценки.
Рассмотрим теперь многообразие X С Р3 х Р3, задаваемое формой
(мульти)степени (1,3)
з
=°
/=0
над полем /(, содержащим \/Г.
Проекция на х-координаты снабжает X структурой слоения над Р3
с общим слоем, являющимся кубической поверхностью. Плотное по За-
рисскому подмножество слоев соответствует кубическим поверхностям,
все 27 прямых которых определены над /(, вносящим вклад В log(B)6
в N(B). Тем не менее, ранг группы Пикара X равен 2, и гипотеза 5.9 пред-
сказывает существование Slog(B) точек, (—-высота которых ограни-
чена числом В, что приводит к противоречию, см. [154]. Более тонкий под-
ход к гипотезе о линейном росте, учитывающий такие структуры слоений,
приводится в [155].
С другой стороны, гипотеза 5.9 выполнена для многообразий, близких
к алгебраическим группам. Ее уточнение, сделанное Пейром, можно найти
в [634], а обобщение на случай произвольных обильных линейных рассло-
ений содержится в [152] и [155]. Для следующих многообразий известны
точные асимптотики, совместимые с приведенными выше гипотезами:
—	гладкие полные пересечения малых степеней (например, [158]);
—	распадающиеся гладкие поверхности дель Пеццо степени 5 над Q,
см. [202];
—	обобщенные многообразия флагов, см. [349];
—	торические многообразия, см. [154];
—	гладкие эквивариантные компактификации для G/U (горосфериче-
ские многообразия), где G — полупростая группа, a U С G —мак-
симальная унипотентная подгруппа, см. [779];
—	гладкие эквивариантные компактификации для GJ, см- [227];
—	гладкие биэквивариантные компактификации унипотентных под-
групп, см. [738];
§5.2]
Геометрические методы изучения диофантовых уравнений
233
— замечательные компактификации полупростых групп присоединен-
ного типа, см. [736], [737].
В общем случае для многомерных многообразий известно совсем мало.
Геометрические соображения, основанные на теореме Мори, утверждаю-
щей, что через любую точку на многообразии Фано X проходит рациональ-
ная кривая степени на выше dimX + 1, приводят к оценке
Nu(£-, В)>сВ^и'С}
для любого открытого по Зарисскому подмножества U С X, достаточно
большого К и для некоторых положительных констант с > О, 0((/, L) > 0.
Батыреву и Манину принадлежат гипотезы о наилучших возможных зна-
чениях P(t/, L), связанные с теорией Мори.
Дальнейшие достижения в этой области отражены в книге [660].
5.2.6.	Высота и геометрия Аракелова. С. Ю. Аракелову (см. [9] и
§111.2) принадлежит блестящая идея рассматривать эрмитовы метри-
зации различных линейных объектов, связанных с алгебраическими мно-
гообразиями, таких как обратимые пучки, касательные расслоения и т.д.,
для того чтобы компактифицировать арифметические схемы над числовы-
ми полями на арифметической бесконечности. В частности, для каждой
кривой корректно определена минимальная модель над (9, которая назы-
вается арифметической поверхностью (поскольку к геометрической раз-
мерности добавляется одна арифметическая). Добавляя метрики на бес-
конечности, Аракелов построил теорию пересечений арифметических ди-
визоров. С этой точки зрения высоты становятся индексом пересечения
(более точно, взятой от него экспонентой), см. [125], [502]
Эта теория была широко обобщена Г. Жилле и К. Суле (см. [367], [368],
[767]) вслед за некоторыми размышлениями в [71].
На рис. 5.2 изображена минимальная арифметическая поверхность V
(это понятие было определено и много изучалось И. Р. Шафаревичем, см.
[106], [734]. Ее слои над замкнутыми точками из Spec(O/<) могут быть
V2
Рис. 5.2
234	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
неособыми («невырожденными», или быть «хорошей редукцией») либо
особыми (быть «плохой редукцией»). Рациональные точки общего слоя со-
ответствуют горизонтальным арифметическим дивизорам; существуют так-
же вертикальные дивизоры (компоненты замкнутых слоев) и «вертикаль-
ные дивизоры на бесконечности», добавляемые формально вместе с опре-
деляемыми ad hoc их индексами пересечения с другими дивизорами при
помощи функции Грина (см. §111.2).
Конструкция Аракелова сыграла выдающуюся роль в доказательстве
Фальтингса и в последующем развитии его работы. Мы откладываем более
подробное обсуждение геометрии Аракелова и ее связи с некоммутативной
геометрией до гл. 8.
5.2.7.	Рациональные многообразия. Существенный класс многооб-
разий Фано, обобщающих кривые рода 0, составляют рациональные мно-
гообразия V: по определению для таких многообразий поле рациональ-
ных функций k(V) над замыканием основного поля констант К является
чисто трансцендентным расширением поля k. Рациональные многообра-
зия во многих отношениях проще других классов алгебраических много-
образий, и выяснение рациональности конкретного многообразия значи-
тельно облегчает его изучение. Часто встречаются также многообразия,
близкие к рациональным: унирациональные, расслоения с рациональной
базой и другие, см. [73]. На исключительную важность класса рациональ-
ных многообразий указывает и то обстоятельство, что к нему относятся
линейные алгебраические группы.
Основными арифметическими вопросами относительно рационально-
го многообразия V или некоторого класса таких многообразий являются
следующие
1.	Будет ли V рационально над основным полем А?
2.	Имеется ли на V хотя бы одна А-рациональная точка (бесконечно
много А-рациональных точек)?
3.	Как описать множество 1^(А), если оно непусто?
Пусть X — некоторый класс рациональных многообразий. Возможны
следующие ситуации (в порядке возрастания сложности), в которых можно
сказать, что мы справляемся с ответом на основные вопросы 1, 2, 3:
А. Любое многообразие V е X является А-рациональным.
Б. Если многообразие V еХ имеет хотя бы одну неособую А-точку,
то оно A-рационально. Если А —числовое поле, то из существования на
V(Kv) неособой Аи-точки для всех пополнений Kv поля А следует суще-
ствование неособой A-точки на V(K) (гладкий принцип Хассе).
В. Если многообразие V е X имеет хотя бы одну неособую A-точку, то
оно А-унирационально, т. е. его поле функций A(V) вкладывается в чисто
трансцендентное расширение поля А. На множестве V(K) имеется такое
«хорошее» отношение эквивалентности, что если поле А конечно порожде-
§5.2]
Геометрические методы изучения диофантовых уравнений
235
но над простым подполем или локально, то число классов конечно и каж-
дый класс есть образ К-точек некоторого К-рационального многообра-
зия. Если К — числовое поле, гладкий принцип Хассе не выполняется,
но можно явно описать препятствие к его выполнению, и это препятствие
единственно.
В работе [73] описаны интересные классы многообразий, для которых
выполнены свойства А, Б, В. Отметим некоторые результаты об арифме-
тике рациональных неособых проективных поверхностей. Основным инва-
риантом такой поверхности является ее группа классов дивизоров, опре-
деленных над алгебраическим замыканием поля /(, т. е. группа Пикара
Pic V. Этот инвариант обладает несколькими структурами: это свобод-
ная абелева группа конечного ранга, решетка относительно скалярного
умножения, определенного индексом пересечения дивизоров, и модуль
относительно действия группы Галуа G%. При переходе от И к поверхно-
сти V, бирационально изоморфной V над /(, т. е. такой, что K(Vf) = K(V),
группа Pic И, вообще говоря, меняется, хотя это изменение можно просле-
дить. Однако группа когомологий Галуа Hx(Gr, Pic V) является конечной
группой и бирациональным инвариантом неособой проективной поверх-
ности.
Эквивалентность Брауэра и R-эквивалентность. Опишем еще два
полезных бирациональных инварианта, см. [66].
Пусть V — гладкое рациональное многообразие над К и пусть V(K) —
множество К-рациональных точек V. Две точки Р, Q е V(K) называются
R-эквивалентными, если существуют такой набор /(-точек P=Pq, Р\, ...,
Рп = Q и такой набор /(-морфизмов /, :£//—> V (/ = 1, ..., п), что Ut С Р1,
О, ooet/,, Д(0) = P/-i, А(оо) = Р/. Множество V(K)/R классов /(-точек
по отношению /?-эквивалентности является бирациональным инвариантом.
Другое отношение эквивалентности — эквивалентность Брауэра.
Пусть L/K— некоторое расширение Галуа с группой Галуа G=G(L/K).
Каждому элементу из L(V)X можно поставить в соответствие его дивизор
на V — элемент группы дивизоров Картье Div (V 0 L) (см. п. 5.1.13).
Группа G действует согласованно на L(V)X и на Div (V 0 L), что позволяет
определить естественный гомоморфизм групп когомологий
H2(G, L(V)X) -> H2(G, Div (V ® L)).
Положим по определению
Вг(И, Л) = Ker (№(G,	^H2(G, Div (V ® L)).
Элементы группы Вг(И, L) можно интуитивно представить себе как те
классы алгебр с делением над функциональным полем K(V), которые рас-
щепляются над L(V) и не имеют особенностей на V. Определен гомо-
морфизм специализации: для всех PeV(K), Р\ SpecK—>К, возникает
236	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
гомоморфизм Вг(И, L) —> Вг(К, L): А ^А(Р). Две точки Р, Q G V(K) на-
зываются Вг-эквивалентными, если для всех A G Br(V, L) выполняется
равенство А(Р) = A(Q). Множество И(К)/Вг—бирациональный инвари-
ант для проективных гладких многообразий, и эквивалентность Брау-
эра зависит не от всей группы Вг(И, L), а только от ее факторгруппы
Вг(И, L)/Br(K, L).
Элементы из группы Вг(И, L) также могут быть использованы для
построения препятствий к выполнению принципа Хассе, ср. с п. 5.2.3,
см. [66], [73].
§ 5.3.	Эллиптические
кривые, абелевы многообразия и линейные группы
5.3.1.	Алгебраические кривые и римановы поверхности. С гео-
метрической точки зрения наиболее простыми многообразиями, заданными
диофантовым уравнением или системой над числовым полем К, являют-
ся алгебраические кривые С, т. е. одномерные многообразия (см. п. 5.1.9).
Так, плоская кривая в А2К задается неоднородным уравнением
Л(х, г/) = 0	(F(x, у)еК[х, у])	(5.3.1)
или же однородным уравнением
G(X, У, Z) = ZdegFF(X/Z, У/Z) = 0	(5.3.2)
в проективной плоскости. Каждая алгебраическая кривая может быть
получена выбрасыванием конечного числа точек из проективной кривой.
Для каждой проективной кривой С существуют неособая проективная мо-
дель С' и морфизм С' —> С, являющийся изоморфизмом вне особых точек
кривой С. Кривая С' называется (полной) неособой моделью поля раци-
ональных функций на ней. С точностью до изоморфизма она однознач-
но определяется этим функциональным полем. Если X — алгебраическая
кривая над К в некотором проективном пространстве более высокой
размерности, то, рассматривая линейные проекции, можно отобразить X
на плоскую кривую С, также определенную над К, причем это отображе-
ние дается изоморфизмом К(Х) = К(С) полей рациональных функций на X
и на С. Рациональные точки Х(К) и С (К) также тесно связаны, что су-
щественно для решения диофантовых уравнений. К примеру, система двух
уравнений второй степени в трехмерном пространстве (см. п. 6.4.4, форму-
ла (6.4.14))
X2 + Y2 = Z2, ^ХУ = п (X, У, ZeQ+),
§5.3)
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 237
возникающая в задаче о конгруэнтности числа п, определяет алгебраиче-
скую кривую, которую можно отобразить на плоские кривые
Ci: и2 = и4 - п, С2: z/2 = х3 — п2х.	(5.3.3)
Однако кривая С, полученная как образ кривой X, уже, как правило, не
является гладкой кривой, даже если кривая X гладкая.
Пусть, к примеру, (хо, //о) £ К2 — особая точка на кривой (5.3.1). Поло-
жив в этом уравнении х = хо + и\х - хо), У = Уо 4- v(y - z/o), в результате
мы получим, что
F(x, у) = Ф2(и, v) + Ф3(и, v) + ... + $d(u, и),
где Ф/(и, v) G K[z/, v] суть однородные формы степени /, d — deg/7. Осо-
бая точка (хо, //о) называется простой двойной точкой, если форма Ф2(и, v)
распадается в произведение двух ненулевых непропорциональных линей-
ных форм (возможно, над квадратичным расширением основного поля К).
Гладкую кривую X с всегда можно так удачно спроектировать на плос-
кую кривую С, что эта кривая будет иметь лишь простые двойные точки.
С рациональными точками изХ(К) при отображении на С(К) не произойдет
особых неприятностей: могут только «склеиться» две точки Xi, х2 G Х(К),
переходящие в простую особую точку cp(xi) = ср(х2) G С(К) при отображе-
нии <р: X —> С.
Если X с Рд- —гладкая кривая в проективном пространстве, то множе-
ство Х(С) точек X над полем С является компактной римановой поверхно-
стью, вложенной в комплексное проективное пространство СРЛ. Известно,
что справедливо и обратное: любая компактная риманова поверхность Z
аналитически изоморфна множеству комплексных точек некоторой глад-
кой проективной алгебраической кривой над полем С. Г. В. Белый дал ин-
тересный критерий того, что поверхность Z можно задать алгебраической
кривой над числовым полем К: для этого она должна допускать накрытие
на сферу Римана СР1, разветвленное только над точками 0, 1 и оо, см. [12].
Род g проективной неособой кривой X (и ее функционального поля)
может быть определен (и вычислен) несколькими различными способами.
Вот некоторые из них.
1.	Род равен размерности пространства Г(Х, о/) регулярных диффе-
ренциальных 1-форм на X (дифференциалов первого рода).
2.	Если К = С, то g можно также определить как топологический род,
т. е. как число ручек компактной римановой поверхности Х(С), состоящей
из комплексных точек кривой X.
3.	Рассмотрим проективное вложение X с Как было сказано выше,
в общем случае невозможно взять п — 2: кривая может не иметь неособой
плоской модели. Пусть d —степень плоской проекции С кривой X, у ко-
торой лишь простые двойные точки, a v— число этих двойных точек (над
238	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
замыканием основного поля). Тогда
Одним из центральных результатов теории алгебраических кривых яв-
ляется теорема Римана—Роха. Чтобы ее сформулировать, нам понадобят-
ся несколько определений.
Пусть D—дивизор Картье на неособой проективной кривой X. Для
него определена степень deg(D): дивизор Картье на неособой кривой мо-
жет быть отождествлен с формальной линейной целочисленной комбина-
цией (геометрических) точек, и степень является суммой коэффициентов
в этой линейной комбинации.
Напомним, что каждый обратимый пучок £ изоморфен пучку вида O(D)
(см. п. 5.1.13). Хотя дивизор D и не определен однозначно пучком £, его
степень определена корректно. Следовательно, можно говорить о степе-
ни обратимого пучка deg(£) = deg(Z)). В частности, deg(ox) = 2g — 2, где
g— род кривой X. Такой дивизор К = Кх, что со/ ~О(Кх), называется
каноническим дивизором. Пучок С обилен тогда и только тогда, когда
его степень положительна. Если deg£ < 0, то Г(Х, £) = 0. Заметим также,
что пространство £(£>) = Г(Х, 0(D)) может быть отождествлено с линей-
ной системой дивизора D (см. п. 5.1.13).
Для дивизора D положим 1(D) = dim Г(Х, O(D)) = dim C(D). Теорема
Римана—Роха для кривых утверждает следующее:
1(D) - l(K - D) = deg(£>) - g 4- 1.	(5.3.4)
5.3.2.	Эллиптические кривые. Гладкая проективная кривая X рода 1
над произвольным полем Д, у которой множество Х(К) непусто, называет-
ся эллиптической кривой (см. также [460]). Выбор любой точки о ЕХ(К)
однозначно определяет некоторый коммутативный групповой закон на Х(К)
с точкой о в качестве нейтрального элемента. Для этого используется
теорема Римана—Роха (см. п.5.3.1) с g=l. Существует единствен-
ный (с точностью до пропорциональности) всюду регулярный дифферен-
циал со G Г(Х, со/), дивизор которого Кх имеет степень 2g — 2 = 0 (и даже
Дх = 0, но это пока не используется). Пусть Р\, Р% G Х(К) —две /(-раци-
ональные точки. Рассмотрим дивизор D = Р\ + Р% — 2о и применим соот-
ношения (5.3.4) для дивизора D 4- о:
l(D 4- о) - l(Kx — D — о) = deg(£) 4- о) - g + 1 = 1.
Поскольку deg(Kx — D — o) = — 1, мы имеем l(Kx -D — o) = Q (см. п. 5.3.1)
и мы получаем, что dim£(Z) 4- о) = 1, т. е. существует единственная с точ-
ностью до пропорциональности ненулевая функция f е C(D 4- о), для ко-
торой дивизор ([) 4- D 4- о эффективен и deg((/) 4- D 4- о) = 1. Это озна-
чает, что дивизор (f) + D 4- о является Д-рациональной точкой, обозна-
§5.3]
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 239
чаемой Р3 = Pi ф Р2 е Х(К). Совершенно аналогично устанавливается, что
отображение Р н-> Р - о е Div°(X) задает биекцию множества Х(К) на фак-
торгруппу Pic°(X, К) группы /(-рациональных дивизоров нулевой степени
по подгруппе главных /(-рациональных дивизоров. Эта биекция и задает
групповой закон (Р\, Р2) Рз на множестве Х(К).
Любая эллиптическая кривая изоморфна гладкой плоской кубике. Для
доказательства заметим, что по теореме Римана—Роха 1(D) = deg D для
любого дивизора D > 0, в частности l(mo) = т (т е N). Выберем непосто-
янную функцию f G £(2о). Тогда ordo/ = —2, так как С(о) состоит толь-
ко из констант. Пусть h G £(3о) \ £(2о), тогда ordoh = —3. Учтем, что
dim£(6o)=6, но можно указать семь функций из £(6о): 1, /, /2, /3, /г,
//г, //г2. Поэтому между ними должна существовать линейная зависимость:
а0 4- а\ f + а2/2 + а3/3 + b^h + b\fh + b2fh2 = 0.	(5.3.5)
Таким образом, функции [ и h определяют отображение X на кубическую
кривую Y СР2, которая задается уравнением (5.3.5) в неоднородных ко-
ординатах, и проверяется, что Y — гладкая кривая. Точка о при этом пе-
рейдет в бесконечно удаленную точку (0:1:0), а групповой закон будет
описываться методом секущих и касательных (часть I, п. 1.3.2).
Уравнение (5.3.5) можно упростить при помощи некоторой замены пе-
ременных и привести его к следующему виду, называемому вейерштрассо-
вой нормальной формой над произвольным полем /(:
у2 4- а\ху + азу = х3 4- а2х2 + а4х + аь,
причем ai, а2, аз, а4,	€ К и
Д = -b%bs - 8bl - 27bl + 9b2bAbQ ± 0,
где
b2 = а2 4- 4a2, 64 = 2a4 4-aia3, b^ = al + 4a^.
сз
Также используется обозначение / = д, где
с4 =	- 2464, Сб = “^2 + 366264 - 216£>б °.
Затем это уравнение можно еще упростить при помощи преобразова-
ний вида х »—> и2х'4-г, у и3у1 4- su^x'r 4-1, и получается следующее
(см. [791], [466]).
1.	При р /2, 3 выполняется равенство
у2 = х3 4- а4х 4- аб, где Д = -16(4а3 4- 27а| 0).	(5.3.6)
Гсб определено по Тэйту, и соответствует Eq на кривой Тэйта (как алгебраический аналог
gs), см. п. 5.3.3 и 6.3.3.
240	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
2.	При р = 2 условие j = 0 равносильно тому, что а\ = 0, и уравнение
преобразуется к следующему виду: если а\ ^0 (т. е. /^0), то, выбирая
подходящие г, s, /, мы можем получить а\ = 1, аз = 0, а4 = 0, и уравнение
принимает вид
у2 4- ху = х3 4- а%х2 4- Яб,	(5.3.7)
где условие гладкости задается просто неравенством Д 0. Предположим
теперь, что а\ = 0 (т. е. j = 0). В этом случае уравнение принимает вид
у2 + азу = х3 4- я4х 4- Яб	(5.3.8)
и условие гладкости задается неравенством аз ± 0.
3.	При р = 3 выполняется равенство
у2 = х3 4- д2х2 4- а4х 4- а§	(5.3.9)
(в этом случае кратные корни также недопустимы).
Если char Л 2, 3, то эллиптическую кривую Е обычно задают в вей-
ерштрассовой форме
У2 = 4х3 - g2x - §3,	(5.3.10)
где х, у — неоднородные координаты. Дискриминант
A = g23 - 27g32	(5.3.11)
отличен от нуля. Коэффициенты gz и g3 определены с точностью до пре-
образований g2|-^w4g2 и g3'-+ifig3> (иеКх). Модулярный инвариант /
эллиптической кривой Е имеет вид
а3	ст3
/=2633g3_g227gpl728^.	(5.3.12)
Две эллиптические кривые имеют один и тот же инвариант тогда и только
тогда, когда они становятся изоморфными над алгебраическим замыкани-
ем основного поля К. Форма уравнения (5.3.10) является традиционной
и происходит из классических результатов о комплексной униформизации
эллиптических кривых.
Риманова поверхность £(С) эллиптической кривой Е над С является
тором С/Л, т. е. факторгруппой пространства С по решетке
Л = {z = п\ 4-	п\,	1тт>0}.	(5.3.13)
Покажем, как по решетке Л построить некоторую эллиптическую кривую Е
и получить затем с помощью этой конструкции любую эллиптическую кри-
§ 5.3]	Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы	241
вую. Для этого рассматривается функция Вейерштрасса
p(z) = p(z, Л) = ^ + 52	(5.3.14)
<оел\{0}
и ее производная
р'(г) = Л) = —2 V 77-Ц2 •	(5.3.15)
Ряды, задающие p(z) и p'(z), абсолютно сходятся для всех геС\Л
и определяют эллиптические функции относительно Л, т. е. мероморфные
двоякопериодические функции f(z) (J(z 4- со) = f(z) для всех соеЛ). Все
эллиптические функции относительно решетки Л образуют поле, которое
порождено над С функциями p(z) и p'(z). Сами эти функции связаны со-
отношением
р'(2)2 = 4p(z)3 - g2p(z) - g3,	(5.3.16)
где
§2=6° 52 g3 = 140 £	(5-3J7)
coGA\{0}	coGA\{0}
Зададим эллиптическую кривую ETcPc над С уравнением (5.3.10),
в котором g2 = gziy) и £3 = £з(т) определены соотношениями (5.3.17). То-
гда определено отображение
С/Л —ЕТ(С),	(5.3.18)
при котором
z — (p(z) : p'(z): 1), если z Л,
0 и-► (0 : 1 : 1) (бесконечно удаленная точка на ЕТ(С)).
Отображение (5.3.18) является комплексно-аналитическим изоморфизмом.
Чтобы построить обратное отображение ЕТ(С) на С/Л, надо рассмотреть
дифференциал
(б-3-19)
у	V 4x3 - £2Х - £3
на римановой поверхности ЕТ(С) и интегрировать его по контуру, соеди-
няющему фиксированную начальную точку с переменной конечной точ-
кой. Этот интеграл зависит от выбора контура, но при изменении кон-
тура он изменится на период, т. е. на некоторый элемент решетки; сле-
довательно, получается корректное отображение ЕТ(С)—С/Л, обратное
к (5.3.18).
242
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
Согласно классической теореме Якоби в теории эллиптических функ-
ций дискриминант Д = Д(т) кривой Ех имеет вид
Д = (2тт)12^ JJ (1 — 4/"1)24 = (2тг)12	(5.3.20)
т(1) = 1, т(2) = —24,	т(3) = 252, т(4) = -1472
для всех таких т G С, что 1тт > 0, q = ехр{2тс/т}, где Д(т) 0 (1тт > 0);
функция п »-> т(л) называется функцией Рамануджана.
Инвариант кривой Ех определяется формулой
/(т) = 1728^3 (т)3/Д(т) = 1 + 744 + ^2 c(n)qn	(5.3.21)
4	п=\
(с(1) = 196884, с(2) = 21493760, и т.д.),
и из аналитических свойств функции /(т) выводится, что функция (5.3.21)
принимает все комплексные значения.
Чтобы любую эллиптическую кривую Е над С получить теперь из неко-
торой решетки Л, надо задать Е уравнением вида у2 = 4х3 — g$x ~ ёз
с инвариантом /°, определенным формулой (5.3.12), и подобрать затем
такое число т, что /(т) = /°, воспользовавшись тем, что /(т) принимает
в верхней полуплоскости все комплексные значения. Тогда эллиптическая
кривая Ет: у2 = 4х3 - й(т)х - £з(т) изоморфна Е над С, так как име-
ет тот же инвариант, поэтому g® =	£з = и6£з(т) для некоторого
иеС\
Условие того, что точки верхней полуплоскости тит' задают изоморф-
г- с	, ат + Ь
ные эллиптические кривые Ех и Ет/, состоит в том, что т =----7 для
, А\	ст 4-а
(а о\
некоторой целочисленной матрицы ( I с определителем, равным 1.
\с d J
Действительно, тогда должен существовать некоторый комплексно-ана-
литический изоморфизм
С/ЛТ^С/ЛТ/.
Всякий такой изоморфизм должен задаваться умножением на некоторое
комплексное число и G Сх: Лт = иЛт/, откуда видно, что пара (и, ит') яв-
ляется базисом решетки Лт, т. е. и = ст 4- d, uV = ах + b для а, b, с, d G Z,
причем определитель ad — be равен 1, в силу того что все три бази-
са (1, т'), (и, ит') и (1, т) одинаково ориентированы. В этом случае мы
имеем
£2(т') = u4£2(t),	g3(V) = u6g3(T),	(5.3.22)
где и = ст 4- d G Сх. Следовательно, классы эллиптических кривых над С с
точностью до изоморфизма отвечают элементам факторпространства Н/Г,
§5.3)
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 243
где
Н = {т€С: 1тт>0}	(5.3.23)
— верхняя комплексная полуплоскость, а группа
Г = SL(2, Z) = { (“ J) : a, b, с, d 6 Z, ad - be = 1}	(5.3.24)
действует на Н дробно-линейными преобразованиями.
При изоморфизме С/Лт—>£Т(С) структура факторгруппы С/Лт пере-
ходит в алгебраический групповой закон на £Т(С). Это следует из теоре-
мы сложения для эллиптических функций, которая выражает + Z2)
в терминах функций p(zi) и р(гг): если, к примеру, Z\ — Z2 Л, то
Р(г, + г2) = -₽(.,)- ₽te) + i	(5.3.25)
или, в координатах (%, у) для вейерштрассовой формы (5.3.10),
г,- Г.
4 \Х| - Х2/
где
Р\ = (Х1, У\), Р2 = (х2, //2), Рз = Р\ ® Р2 = (Хз, Уз\
С топологической точки зрения С/Л является поверхностью рода 1,
которую можно представлять себе как параллелограмм {ui + и^'. 0 < и\,
U2 < 1} с отождествленными противоположными сторонами (см. рис. 5.3).
Точки конечного порядка. Пусть Е — эллиптическая кривая над не-
которым полем К. Для натурального числа п обозначим символом Еп ядро
отображения умножения на п,
пЕ: £(Л) — £(Л), пЕ(t) = nt.	(5.3.26)
Если функция £ определена над полем комплексных чисел, то из изомор-
физма С/Л Е(С) непосредственно вытекает, что
Еп = Ъ/пЪ х Z/nZ.
Рис. 5.3
244
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
Действительно, прообразами точек из Еп в С служат точки решетки -Л,
а в С/Л они задают элементы подгруппы ^Л/Л с С/Л. Например, точки
О, 2~~ являются представителями подгруппы -ь/к и точки поряд-
ка 2, т.е. i, |, 1 при изоморфизме (5.3.18) переходят в точки вида
(%,, 0) (f = 1, 2, 3), где Xi суть корни многочлена 4х3 — g%x — g$. В этом
случае
₽'(!) = ₽'(!) = ₽'(^) = о
и
4х3 - g2x - g3 = 4(х - ei)(x - е2)(х - е3),
где
ei=^G)’
e2 = pQ).
Точки третьего порядка геометрически можно интерпретировать как
точки перегиба кривой Е(С), Ез = Z/3Z х Z/3Z.
Для произвольного поля К морфизм Пе: Е —> Е имеет степень п2 (он
задается многочленами степени п2 в однородных координатах), и справед-
лив следующий результат: если (charЛ, п) = 1, то
Е(Л)„ Z/mZ х Z/nZ,	(5.3.27)
а если char Л = р, то для п = pm, т е N, выполняется соотношение
Е(Л)рЛ ^(Z/pmZ)Y£,	(5.3.28)
где ye = 0 или 1, см. [59], [496], [350]. Эти результаты выводятся из ал-
гебраических свойств морфизма Пе-
Поле К(Еп), порожденное координатами всех точек Ел, является рас-
ширением Галуа поля К. Если К — числовое поле, то действие G(K/K) на
группе Еп ~ Z/nZ х Z/azZ задает представление
р„: G(K/K) — GL(2, Z/nZ),	(5.3.29)
образ которого изоморфен группе Галуа G(K(En)/K). Поле К(Еп) во многом
аналогично полю деления круга на п частей. Оно явно описывается, одна-
ко, вообще говоря, является уже неабелевым над К. Это первый пример
из большой серии примеров, приводящих к некоммутативным обобщениям
теории полей классов.
Известно, что одномерное представление det рп группы Gk — G(K/K)
совпадает с циклотомическим характером Gk, т. е. с представлением, за-
данным с помощью действия Gk на группу корней степени п из 1.
В частности, все такие корни содержатся в поле К(Еп). Важнейшей до-
§5.3]
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 245
полнительной структурой на группе Еп является невырожденное кососим-
метрическое спаривание (спаривание Вейля)
еп.Е(К)пхЕ(К)п^^	(5.3.30)
которое совместимо с действием группы Gr. Спаривание (5.3.30) опреде-
ляется чисто алгебраически с помощью рассмотрения для каждой точки
Р е Еп функции fp е К(Е) с дивизором пР — пО. Для эллиптической кри-
вой Е над С спаривание Вейля принимает вид (с учетом изоморфизма
£(С) С/А)
еп: -А/А х -А/А —>
,	"	, "	(5.3.31)
о ( а + С +dt\ ________ 2ni(ad—bc)/n
Cfl I	,	I - tz
\ n n )
5.3.3. Кривая Тэйта и ее точки конечного порядка (см. [793], [409,
с. 343]). Запишем уравнение Вейерштрасса для эллиптической кривой
С/(2ш)А —> Сх/(^) (и »-> ехр{и})
в следующем виде:
Г2 = 4%з _ Е±х + (Х = p(2Kiu, (2iu)A), Y = р'(2лш, (2iu)A)),
используя ряды Эйзенштейна (см. также §6.3.2, соотношение (6.3.7))
z ч	2(2iu)k Вь	ч го • i
Gk^) = > . И1+т2т) = (&C-1)! “2^+ 2^ал"1^ехР^2тсшт^
L n=l
_ 2(2ni)*
“ (* - 1)!
(2Tu)*Bft p
=------M~Ek’
 (~5k) 1 “ j^52CT*-i(«)exP{2^«T}
W=1
(5.3.32)
где штрих у знака суммы обозначает, что суммирование идет по (т\, т^) ф
/(0’0)’
£а(т) = 1 - — У'о*_1(п)ехр{2пшт},
Вк^
a£_j(fl) = ^dk~\ a Bk — k-e число Бернулли. В частности, получаем
d\n
оо
12(2тс/)4£2(т) = £4=1-1- 240	03(n)qn (q = ехр{2тс/т},
п=\
оо
-216(2ш)6^з(т) = £6 = 1 - 504 Y^^(ri)qn.
Л=1
246
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
Перейдем к переменным %, у, сделав замену
X = x + -^>, K = x + 2i/,
и получим новое уравнение кривой (с коэффициентами в Z[[g]]):
Tate(q): у2 4- ху = х3 4- B{q}x 4- С(^),
где
B(q) = -5(^40) = -5^о3(п)^ =
П=1	П=1	(5.3.33)
С(П} = Г _ цГ£4-»\ _ 7/£б- 1\1 = V (7и5 + 5пУ
W 12 L \ 240 7	1—504 /1	12^	1 - qn
п=1
Это уравнение определяет эллиптическую кривую над кольцом Z((q)) с ка-
ноническим дифференциалом в)сап, равным
dx _ dX
2у + х~ Y '
Пусть N 1 — натуральное число. Положим
Tate(qNy. у2 4- ху = х3 4- B(qN)x 4- C(qN\
Если t = ехр{2тсш}, то точки порядка N на эллиптической кривой Tate(qN)
соответствуют значениям
t=VNqi (0^/,-1),
^ = exPtvr
а их координаты задаются соотношениями
________. nNnt-----°® nnNn
x(t\ = V —1— -------2 V —------
Z^ll-qNnff £Z-^\_qNnt'
л=1
nnNn
= 12 (1	+	1 - qNnt ’
«CZ	n=l
Для арифметических приложений кривой Тэйта крайне важно, что эти ко-
ординаты принадлежат кольцу Z[^,
Доказательство использует тождество
^u + n)-k = -^цу ^пк~'е2п‘пи (k ^2, ueZ).
nez	«=1
§ 5.3]	Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 247
Для решетки Л = 2tcz(Z 4- tZ) выполняются равенства
X = р(2тсш) =
= (2tuT2Au~2 + УУ ((u + /ит + п)-2 - (пгт + «)-2)\ =
\ m.neZ	/
= (2ш)-2157 57(ц + тт+л)-2 - 2 57 57(fflT+«)-2 - 2^(2) ] =
\meZn6Z	т=\ лег	/
= 57 £ ne2Ki(u+mz)n - 2 57 J пеЫтт + .	(5.3.34)
п=1	т=1п=1
из чего следуют требуемые выражения для x{t) и y{t).
5.3.4. Теорема Морделла—Вейля и когомологии Галуа. Фундамен-
тальным фактом об эллиптических кривых над числовым полем К является
следующая теорема.
Теорема 5.10 (теорема Морделла—Вейля) ([839], [500], [730] и
приложение Ю. Манина к [602]). Абелева группа Е{К) конечно порож-
дена, т. е.
E(K) = E(K)[ors®ZrE,	(5.3.35)
где E(/Qtors — конечная группа {подгруппа кручения), — ранг груп-
пы Е над К {неотрицательное целое число).
Доказательство этой теоремы проводится методом бесконечного
спуска. Она выводится с помощью свойств высоты из слабой теоремы
Морделла—Вейля: для любого натурального числа п группа Е{К)/пЕ{К)
конечна (фактически, достаточно выполнения этого свойства для п — 2).
Этот последний результат устанавливается с помощью варианта теории
Куммера для поля К{Еп). Рассматривается расширение К{{\/п)Е{К))/К{Еп),
полученное присоединением к К{Еп) координат всех точек Q G Е{К) та-
ких, что He{Q) = P. Тогда это расширение является конечным абелевым
расширением показателя, делящего п. Этот факт выводится из теоре-
мы Эрмита о том, что у заданного числового поля число расширений
фиксированной степени с фиксированными точками ветвления конечно:
проверяется, что в данном случае разветвлены только простые дивизо-
ры, делящие число п, а также те, по модулю которых Е имеет плохую
редукцию, причем степень расширения K{Q, Еп)/К{Еп) делит п2. Что-
бы теперь получить отсюда конечность группы E{Kn)/nE{K), использу-
ются группы когомологий Галуа H1{Gr, Е{К)) и H1{Gk, Еп). При i =0
имеем H°{Gk, E{K)) = E{K)Gk =Е{К). Рассмотрим точную последователь-
ность	_
0 — Еп Е{К) Е{К) — 0,	(5.3.36)
248	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
в которой эпиморфность правой стрелки означает, что группа Е(К) явля-
ется делимой: для любой точки Р е Е(К) и любого натурального числа п
можно подобрать такую точку Q е Е(К), что Пе(Q) = Р. Из последователь-
ности (5.3.36) получается точная последовательность когомологий
E(K) ^E(K)^H'(GK,En)^H'(GK, Е(К» Л Е(К)),
которую можно записать в такой форме:
О—> Е(К)/пЕ(К)—> Н{(Ок, En)^H'(GK, Е(К))п^0.	(5.3.37)
Группа H1(Gr, Еп) бесконечна, но образ Е(К)/пЕ(К) лежит в некого-
рой ее конечной подгруппе, которую мы опишем. Будем использовать
для этого геометрическую интерпретацию элементов групп № (Gy<, Еп) и
Е(Ю): элементы а е H[(Gk, Еп) отвечают классам изоморфизма
п-накрытий кривой Е над /(, а элементы Pg/Z^G^, £(/<)) интерпрети-
руются как классы изоморфизма главных однородных пространств X кри-
вой Е над /(, см. [505], [714].
Накрытие С Л Е называется п-накрытием, если существует такой
изоморфизм алгебраических кривых (не групп) С К = Е К, что
коммутативна диаграмма
С К * Е ®к К
Е К
Для построения коцикла, отвечающего а, надо выбрать точку Р G Е(К), ее
прообраз Q G аг\Р) и точку Qi G Е(К), переходящую в Q G С(К)
при биекции С (К) = Е(К). Тогда определен коцикл
ао = Qi е Q° G Еп (oeGK).	(5.3.38)
Если же X — главное однородное пространство кривой Е над /<, то
по определению существует изоморфизм X К = Е К и задан мор-
физм Е х X —>Х, определенный над /<, который при расширении основ-
ного поля до К переходит в групповой закон на Е(К), если учесть изо-
морфизм X К = Е К. В частности, для любых точек Q, Qi G Х(К)
однозначно определена их разность Q е Qi G Е(К). Чтобы построить по X
некоторый 1-коцикл, рассмотрим произвольную точку Р^Е(К) и точку
Р\ G Х(^), соответствующую ей при биекции Х(К) = Е(К). Тогда определен
коцикл
о ~ ро = Р\ е Р°х G Е(К) (о G GK).	(5.3.39)
§ 5.3]	Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 249
Условие тривиальности коцикла 0 означает, что кривая X имеет /(-рацио-
нальную точку, что очень важно для диофантовой геометрии. При измене-
нии точки Р е Е(К) коциклы (5.3.38) и (5.3.39) изменяются на некоторую
кограницу и поэтому корректно определяют классы когомологий.
В этих геометрических терминах можно интерпретировать и точную по-
следовательность (5.3.37). В частности, точке Р € Е(К) отвечает /г-накры-
тие
tp о пе'. Е -* £,	(5.3.40)
где tp(P') = Р Ф Р' — групповой сдвиг на Е. Возьмем точку Q е Е(К) с ус-
ловием ripiQ) = Р, тогда tp о пе = Пе о Iq, т. е. сдвиг /q : Е ® К Е ® К
является /(-изоморфизмом алгебраических кривых, после применения ко-
торого накрытие (5.3.40) переходит в морфизм умножения на п. Отсю-
да видно, что полученные таким образом накрытия становятся тривиаль-
ными над полем К' — к(^Е(К)^, т.е. они записываются коциклами из
Z(G(K’/К), Еп) и поэтому лежат в конечной подгруппе
Мп = Infl (H'(G(K7K), Еп)) с H'(GK, Еп),
порядок которой оценивается через степень поля /(' над /(. Этим завер-
шается доказательство слабой теоремы Морделла—Вейля.
Метод спуска работает следующим образом: выберем в Е(К) конечное
число представителей
Pl, ..-,Ps
классов из Е(К)/пЕ(К). Для логарифмической высоты h(P) выполняется
следующее неравенство:
h(P) < const + n~2h(nP + Ро),
где Pq — фиксированная точка, Р меняется, а константа не зависит от Р.
Поэтому существует такая константа С, что если h(P) > С, то
где Pt сравнимо с Р по модулю п. Следовательно, Р может быть представ-
лено как линейная комбинация элементов
P\,.^PS
и точек, высота которых меньше С, и число которых конечно.
Точная последовательность (5.3.37) дает метод получения оценок свер-
ху для ранга Ге. Действительно, если п — р — простое число и М —
некоторая конечная подгруппа в Еп), содержащая образ группы
250	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Е(К)/пЕ(К)у то из точной последовательности (5.3.37) вытекает, что
ге rkz/pZM - rkz/pZE(/()p,	(5.3.41)
и оценка будет улучшена, если удастся определить коядро гомоморфиз-
ма Е(К)/пЕ(К) —> М. Построение, возможно, меньшей подгруппы М ис-
пользует связь локальных и глобальных свойств кривой Е. Для каждой
точки v поля выберем какое-нибудь продолжение w на К и обозна-
чим через Gv с G% соответствующую группу разложения Gv = G(KW/KV).
Тогда для любого Gk-модуля А определены гомоморфизмы ограничения
H1(Gr, Л) —> Hl(Gv, Л), которые приводят к следующей точной диаграмме:
о----- Е(Ю/пЕ(К)-------- Hl(GK, Еп)	Е(К»п----> 0
₽=П₽»
V
Y	Y	Y
0^ПЕ(К„)/пЕ(К„)^1\Н'(С„, EJ — WPlGu, E(Kw))„-+0
v	V	V
в которой обозначает композицию ограничения и отображения, индуци-
рованного вложением Е(К) —> E(KW\ Положим
Ш(£, К) = IJ Ш(Е, К)п, Ш(£, К)п = Кегр.	(5.3.42)
neN
Группа Ш(Е, К) называется группой Шафаревича—Тэйта эллиптиче-
ской кривой Е над /С, а ее элементы соответствуют классам изоморфизма
главных однородных пространств кривой Е над /С, имеющих -рацио-
нальную точку во всех пополнениях Kv поля /С
Интерпретация группы Шафаревича—Тэйта в терминах группы Брау-
эра, а также ее связь с препятствием Брауэра—Манина объясняются
в [538].
Соответственно, группа
S(£, К)п = а-1 (Ш(£, К)п)	(5.3.43)
называется группой Зельмера кривой Е над /С, а ее элементы интерпре-
тируются как те /г-накрытия С —>Е, у которых кривая С имеет /С-раци-
ональную точку для всех и. Имеет место точная последовательность
0 -> Е(К)/пЕ(/0 S(E, К)п Ш(Е, К)п 0.	(5.3.44)
Таким образом, группа Ш(Е, К) является когомологическим препят-
ствием для определения структуры группы Е(К). Имеется гипотеза о том,
что группа Ш(Е, К) конечна. Для эллиптических кривых над полем раци-
ональных чисел с рангом ге = 0, 1 эту гипотезу доказал В. А. Колывагин
[50]. Ранее К. Рубин (см. [685]) построил первые примеры эллиптиче-
ских кривых с комплексным умножением и конечной группой Шафаре-
§5.3)
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 251
вича—Тэйта. Позже К. Като расширил эти результаты на класс эллипти-
ческих кривых без комплексного умножения, см. [698].
Эти важные результаты тесно связаны с параметризацией эллиптиче-
ских кривых модулярными функциями и со свойствами дзета-функций
эллиптических кривых, которые будут рассмотрены ниже, см. гл. 6.
Рассмотрим более подробно свойства высоты ho: Е(К) —> R, связанной
с дивизором D, или, что равносильно, с обратимым пучком O(D) степе-
ни d на кривой Е, необходимые для спуска в теореме Морделла—Вейля.
Поскольку отображение Пе имеет степень п2, нетрудно проверить, что
hDonE ~ n2h[).	(5.3.45)
Исходя из соотношения (5.3.45) определяется каноническая высота Не-
рона—Тэйта	к, ОА/
hD(x) = lim hD(2%(x))/22N.	(5.3.46)
N—>oo
Если дивизор задает проективное вложение кривой Е, то ho задает квад-
ратичную форму на Е(К), которая положительно определена по модулю
кручения, а ее продолжение
hd : Е(К)	R -* R
имеет вид d ♦ bo, где d = deg О, bo: E(K) ®zR->R — положительно опре-
деленная квадратичная форма, не зависящая от D, которая задает ска-
лярное произведение в векторном пространстве E(K) R. Естественное
отображение
E(K)-+E(K) 0zR
имеет своим ядром конечную группу E(/QtOrs, а образом — решетку в ^-мер-
ном евклидовом пространстве E(K) R со скалярным произведением, оп-
ределенным квадратичной формой &о‘
{Р, Q) = |[&о(Р + (?) - b0(P) - b0(Q)].
Поэтому область ho < log В в этом пространстве является шаром радиуса
(d~[ log В)1/2. Число точек в этом шаре асимптотически пропорционально
его объему, который равен const • (log(B))r£/2. Константа в этом выражении
зависит от объема фундаментальной области для решетки E(/Q/E(/()tors»
который может быть подсчитан следующим образом. Пусть точки Р\,
Р2, Рг образуют базис свободной части группы Е(К). Тогда объем па-
раллелепипеда, натянутого на векторы Pi в пространстве Е(К) 0z R, равен
н = Н(Е, К) = ;/det((/’i, Pfrj)	(5.3.47)
и называется регулятором эллиптической кривой Е над К.
252	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Мазур (см. [558]) доказал гипотезу о равномерной ограниченности кру-
чения эллиптических кривых над Q. Мерель обобщил этот результат на
случай произвольного числового поля, см. [571]. Кроме того, Мазур до-
казал, что группа кручения £(Q)tOrs эллиптической кривой Е над Q может
быть изоморфна лишь одной из пятнадцати групп
Z/mZ (m^lO, m=12), Z/2Z х Z/2vZ (v^4),
причем все эти возможности реализуются.
Имеется предположение о том, что над Q существуют эллиптические
кривые сколь угодно большого ранга г^. Местр построил примеры эл-
липтических кривых ранга 14 (см. [572]), подбирая уравнение кривой
таким образом, чтобы по модулю многих простых чисел получалась эл-
липтическая кривая над F₽, имеющая возможно большее число Fp-точек.
В таких примерах для оценки снизу ранга кривой используется высота
Нерона—Тэйта. В работе [561] приведен любопытный пример вычис-
ления ранга и группы £(Q) эллиптической кривой £, заданной уравнени-
ем
-206//2 = х3 - х2 + 1/4.
Строятся три точки в группе Морделла—Вейля £(Q), имеющие наимень-
шую высоту Нерона—Тэйта:			
точка	X	У	высота Нерона—Тэйта
Pi	__15 8	7 32	1,52009244
Р2	55 8	43 32	2,05430703
Рз	55 98	47 1372	2,42706090
С помощью спуска доказывается, что Ге < 3, а вычисление высоты поз-
воляет заключить, что точки Р\, Р2, Р% линейно независимы. Группа кру-
чения, которую для каждой конкретной кривой можно эффективно опреде-
лить р-адическими методами, оказывается в данном случае тривиальной,
поэтому группа £(Q) = Z3 порождена точками Р\, Р2, Рз.
Для данной эллиптической кривой величины |£(Q)torsЬ ге, Н(Е, К),
|Ш(£, К)\ (гипотетически конечная), а также множество простых чисел, по
модулю которых данная кривая имеет плохую редукцию, являются важней-
шими арифметическими инвариантами эллиптической кривой. Мы увидим,
что все эти величины связаны воедино свойствами дзета-функции эл-
липтической кривой (см. п. 6.4.4).
5.3.5. Абелевы многообразия и якобианы ([602], [489], [824]).
Многомерным обобщением понятия эллиптической кривой является абе-
лево многообразие. По определению абелево многообразие А над по-
§ 5.3]	Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 253
лем К — это гладкое проективное многообразие с групповой структур-
ной, определенной морфизмами над К: А х А -> А ((х, у) х + //), А А
(х i__> — х). Можно показать, что на проективном многообразии любая та-
кая структура коммутативна, поэтому и используются аддитивные обозна-
чения. Пусть А и В —два абелевых многообразия. Гомоморфизмом из А
в В называется морфизм X: А —> В, удовлетворяющий условию
Х(х + //) = Х(х) + Х(//).
Предположим, что А и В имеют одинаковую размерность. Тогда сюръек-
тивность гомоморфизма X: А(К) —> В(К) эквивалентна тому, что ядро КегХ
конечно; при этом X называется изогенией из Л в В, а многообразия А
и В — изогенными. Если К(А), К(В) — поля рациональных функций на
А и В соответственно, X — изогения, заданная в однородных координатах
многочленами над /<, то по определению
degX = [К(А):К(В)]
и degX = | КегХ|, если (char /(, degX) = 1. В частности, морфизм гид: х »—>
тх является изогенией, и если (char /(, m) = 1, то
Ат = А(К)т = Кег/пл * (Z/mZ)4
где g = dim А — размерность многообразия, так что определено пред-
ставление Галуа
РпГ' G к —> Aut с GL^^Z/ztiZ),	(5.3.48)
причем
Irnpm~G(tf(Am)/A),
где К(Ат) — поле, порожденное координатами точек порядка т на А. Важ-
нейшая мотивировка изучения абелевых многообразий состоит в том, что
они дают большой запас представлений Галуа (5.3.48), явно описывающих
интересные классы расширений поля /(. Так же как и для эллиптических
кривых (т. е. для g= 1), на группе Ат определено невырожденное косо-
симметрическое спаривание
Ст * А(К)т * А(К)т >	(5.3.49)
согласованное с действием группы Галуа, которое позволяет считать, что
Irnpm С GSpg(Z/mZ) с GL2g(Z/mZ),
где GSpg обозначает группу симплектических подобий: для произвольного
кольца R выполняется равенство
GSpg(/?) = {Ме GL2g(/?): ‘MJgM =	e /?х},	(5.3.50)
254
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
,	( ° £Л	с
где Jg = I	] —стандартная симплектическая матрица, Eg — еди-
\—0 /
ничная матрица. Фактически на Ат имеется много таких спариваний, за-
висящих от выбора поляризации на А (см. ниже).
Если А — абелево многообразие над С, то комплексное многообра-
зие Л (С) изоморфно комплексному тору О/A, где А — некоторая решет-
ка пространства Cg. Чтобы произвольный комплексный тор С^/А имел
структуру абелева многообразия, необходимо и достаточно, чтобы на
существовала такая R-значная R-билинейная форма £(z, w), что
1)	£(z, w) = —E(w, z) (кососимметричность),	(5.3.51)
2)	£: A x A —> Z (целочисленность на решетке),	(5.3.52)
3)	форма £(z, iw) является R-билинейной
симметрической положительно определенной формой. (5.3.53)
Форма Е называется римановой формой на комплексном торе С^/А;
она определяет эрмитову риманову форму
H(z, w) = E(iz, w) + z£(z, w)	(5.3.54)
на C^.
Форма E не определена однозначно, поэтому часто рассматривают па-
ру (Л, //), где Н — невырожденная эрмитова форма. Введем понятие эк-
вивалентности эрмитовых римановых форм Н[ и Н2, состоящее в том,
что для некоторых натуральных чисел П\, G N выполняется равенство
П\Н[ = П2Н2. Поляризация многообразия А тогда вводится как класс эк-
вивалентности Н римановых форм (с представителем //). Напомним, что
классификация невырожденных кососимметрических целочисленных форм
на решетке А = Z2^ выглядит несложно: всегда можно выбрать такой ба-
зис {Xi, Х2» •••» решетки А, что
£(Х/, Х7) = £(Xg+/, Xg+7) = 0 при 1 z, / g,
£(Х/, Xg+/) = etbij	при 1 z, / g,
где в], ..., eg — натуральные числа, удовлетворяющие условию в] | в2, ...,
eg-[ | eg; определитель бе!д£ формы в произвольном базисе А равен чис-
лу (e^2 ... eg)2. Отсюда видно, что при g = 1 существует ровно одна
поляризация, заданная (с точностью до пропорциональности) матрицей
0 0^; в общем случае поляризация с определителем бе!д£ = 1 зада-
ется матрицей Jg (в некотором базисе А) и называется главной поляри-
зацией.
§ 5.3]	Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 255
Понятие поляризации можно определить и чисто алгебраически (над
произвольным полем /<). Сначала вводится класс поляризации проек-
тивного вложения A^PN многообразия А в /V-мерное проективное
пространство как семейство таких вложений (содержащее данное вложе-
ние как один из элементов), что выполнены следующие условия: любой
элемент семейства может быть получен из любого другого путем взятия
левой композиции с групповым сдвигом на Л и правой композиции с про-
ективным линейным преобразованием причем для каждого члена се-
мейства предполагается также, что если L пробегает все гиперплоскости
в то прообраз L в А пробегает все эффективные дивизоры, линейно
эквивалентные некоторому фиксированному дивизору в А. Поляризаци-
ей называется класс эквивалентности дивизоров {D} на А относительно
такой эквивалентности, которая задана групповыми сдвигами и линей-
ной эквивалентностью дивизоров, причем требуется, чтобы для некото-
рого натурального числа пг класс {mD} для дивизора mD происходил из
некоторого класса поляризации проективного вложения (см. [134], [561],
[602]).
Над полем комплексных чисел дивизор гиперплоского сечения опреде-
ляет элемент во вторых целочисленных когомологиях многообразия Л (С),
что, в свою очередь, задает риманову форму Е вследствие явного описания
кольца когомологий тора как внешней алгебры первых когомологий. Раз-
витие этой аналогии приводит к следующему определению поляризации,
эквивалентному предыдущим.
Определение 5.11. Алгебраической поляризацией абелевого много-
образия А называется класс обильных дивизоров {D} с точностью до ал-
гебраической эквивалентности.
Якобиан алгебраической кривой ([108], [489]). Пусть X — кривая
над полем /(, Pic°X — ее группа классов дивизоров нулевой степени, опре-
деленных над К. Тогда Pic°X можно реализовать как множество геометри-
ческих точек некоторого абелева многообразия J =Jx над /(, которое на-
зывается якобиевым многообразием (или якобианом) кривой X. В слу-
чае К = С структура Jx описывается теоремой Абеля. Пусть а = Е/г/Р/,
Sazz = 0. Это означает, что а = дС, где С — некоторая одномерная цепь.
Пусть {(di, ..., cog} — базис пространства регулярных дифференциалов на
X, где g — род кривой. Рассмотрим точку
f •••’ eC?-
\c c /
Она определена с точностью до вектора из решетки периодов Н\(Х, Z)
дифференциалов со,. Теорема Абеля утверждает, что Pic°X при этом отоб-
ражении отождествляется с тором С8/Н\(Х, Z). Решетка Н\(X, Z) удовле-
творяет соотношениям Римана', в пространстве существует такая эрми-
256
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
това метрика, относительно которой решетка Н[(Х, Z) двойственна себе.
Следовательно,
Н^Х, %)л^Сё/Н1(Х, Z),
где Н\ (X, Z)A обозначает группу характеров Н\ (X, Z). Это показывает, что
группа Pic0 X в некотором смысле «заменяет» группу одномерных когомо-
логий кривой X.
Свойства якобиевых многообразий.
1.	Выполняется равенство dim// = g (g— род кривой X).
2.	Jx является абелевым многообразием, и Jx(K) = Pic°X.
3.	Для двух кривых X, У, их якобиевых многообразий Уд и /у и для
каждого отображения конечной степени f: X —> У определен морфизм ал-
гебраических групп
который индуцирован гомоморфизмом групп дивизоров.
4.	На Jx существует каноническая главная поляризация, которая дается
как класс {0} некоторого дивизора 0 (дивизор Пуанкаре). Для построения
дивизора 0 рассматривается отображение Абеля
ср: X —	(5.3.55)
переводящее точку х € Х(К) в класс cl(x - Р), где Р е Х(К) — фиксирован-
ная точка. Продолжим ср на группу дивизоров по линейности. Ядро отоб-
ражения <р на дивизорах степени 0 состоит из главных дивизоров. Пусть
g = род X = dim Jx. Рассмотрим отображение
где ц — сложение и ф— сквозное отображение. Образ отображения ф сов-
падает с Jx: это вытекает из теоремы Римана—Роха. Если мы рассмотрим
сквозное отображение
={P}xXg-' ~^JX,
то его образом и будет 8-дивизор Пуанкаре.
Многие арифметические и алгебраические свойства кривых можно све-
сти к соответствующим свойствам их якобианов. Примером является тео-
рема Торелли (см. [830], [134]), утверждающая, что класс изоморфизма
гладкой проективной кривой X над С определяется однозначно по клас-
су изоморфизма ее якобиана, рассматриваемого вместе с канонической
поляризацией. Использование теоремы Торелли — один из ключевых мо-
ментов в доказательстве теоремы Фальтингса и более ранних конструк-
циях А. Н. Паршина и Ю. Г. Зархина, см. [37], [853], [630], [82], [39]; это
позволяет заменить кривую поляризованным абелевым многообразием без
потери арифметической информации.
§5.3]
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 257
Если кривая X определена над К, то якобиан Jx и его каноническая
поляризация также определены над К, а если на кривой X есть /(-рацио-
нальная точка Р 6 Х(К), то отображение (5.3.55) также определено над /(.
Можно показать также, что если X —алгебраическая кривая над чис-
ловым полем К, имеющая хорошую редукцию по простому идеалу р с Ок,
то якобиан Jx с каноническим проективным вложением (которое задано
дивизором 30) также имеет хорошую редукцию в точке р.
Для произвольного абелева многообразия А над числовым полем К
справедлива теорема Морделла—Вейля: абелева группа А(К) конечно
порождена, т. е.
A(K)^A(K)[ors®Zr\
где A(/0tors — конечная абелева группа, Гд —ранг абелева многообразия А
над К (см. [500], [824]).
Кроме того, можно определить группы Зельмера S(A, К)т и груп-
пу Шафаревича—Тэйта Ш(А, К), которая предположительно является
конечной группой.
Для дивизора D на А определена высота Нерона—Тэйта
ho: А(К) К К,
и если дивизор D задает проективное вложение, то по ho можно построить
каноническую метрику на Гд-мерном векторном пространстве A(K)
не зависящую от выбора конкретного такого дивизора D. Определено
отображение
A(K)-^A(K)®zR
с ядром A(/Qtors- Образом этого отображения является некоторая решетка,
объем фундаментальной области которой обозначается Н(А, К) и называ-
ется регулятором абелева многообразия А над К.
Как и для эллиптической кривой, имеется оценка числа
N(A, D, В) = Card{x € A(K)\hD(x) log В}
следующего вида:
N(A, D, B)~clogBr^2,
где константа с выражается через порядок кручения |Л (/0tors|» регулятор
Н(А, К) и степень обильного дивизора D. Аналогом этой асимптотики яв-
ляется гипотеза Берча—Свиннертона—Дайера о поведении Л-функ-
ции многообразия А в центре критической полосы (см. гл. 6, §6.4).
Важнейшее значение для арифметики имеют кольцо End А всех эндо-
морфизмов абелева многообразия А (над /<) и алгебра EndA®zQ над
полем Q. Можно показать, что эта алгебра является полупростой.
Абелево многообразие А называется простым, если End A	Q — про-
стая алгебра. Разложению End A Q = /?i ф ... ф Rs в сумму простых
258	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
подалгебр соответствует разложение абелева многообразия А с точностью
до изогении\ существует такое абелево многообразие В, изогенное Л, что
В = В\ х ... х Bs
и Bi—абелевы многообразия и End В/ ®zQ = ft см. [489].
Пусть Е — риманова форма, определенная некоторой поляризаци-
ей абелева многообразия А над С. Тогда на алгебре End/l®zQ мож-
но определить инволюцию Розатти р (т. е. антиизоморфизм порядка 1
или 2) равенством Е(кх, у) = Е(х, Хр//), где X е End Л ®z Q. Такую инво-
люцию можно определить и в случае поля положительной характеристики.
О классификации алгебр эндоморфизмов с инволюцией см. более по-
дробно в [602], а также [489], [742].
Если К—числовое поле, g=l, то возможны только случаи
Ег^Л®£<Ц) = О) или k, где k — мнимое квадратичное поле. В послед-
нем случае Л—эллиптическая кривая с комплексным умножением:
ее можно задать как комплексный тор вида С/Ат (см. формулу (5.3.18))
для некоторого т е k, 1тт > 0.
Приведем аналитическую конструкцию множества Ag классов изомор-
физма абелевых многообразий над С с главной поляризацией и покажем,
что всякое такое абелево многообразие можно задать как комплексный
тор С^/Ат, где
А = Ат = {п\ 4- т/22 : п\, П2 Е т е Hg}, (5.3.56)
ат — элемент верхней полуплоскости Зигеля.
Hg = {т е GLg(C): Imт — положительно определена}.
Пусть Л — абелево многообразие, заданное в виде тора /А с римановой
формой Е, detA^ = 1, определяющей главную поляризацию на А. Тогда
выберем такой базис {coj, б>2, •••, что (£(со/, со/)) = Jg- Матрица
Q = ((*>!, (О2,	^2g)
размера g х 2g называется матрицей периодов абелева многообразия Л.
Если написать Q = (Qi, Q2), где Qi, Q2^Afg(C), то из условий (5.3.51)
и (5.3.53) следует, что
Q2-% -^1 -% = 0,	(5.3.57)
2z(Q2 •	— 0/^2) > 0 (положительно определена).
Из этих соотношений вытекает, что Qi, Q2 £ GLg(C) и	е Hg.
Тогда комплексное-аналитическое многообразие Л (С) изоморфно тору
С^/Ат, на котором риманова форма задается по следующему правилу:
£(Х| +^У[, Х2+ТУ2) = ‘Х}У2-1Х2У1
§ 5.3]	Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 259
для векторов столбцов xj, yi, Х2, У2 6 Многообразия С^/Ат и С^/Ат
изоморфны в том и только в том случае, когда
т' = (Дт + В)(Ст + О)-'
..	(А В\
для некоторой матрицы М = I I из группы
Spg(Z) = {М = (Л eSL2g(Z): ‘MJgM = Jg], (5.3.58)
которая называется зигелевой модулярной группой рода g. Множе-
ство Ag поэтому описывается как однородное пространство H^/Sp^(Z),
где действие элементов М G Sp^(Z) на Hg дается формулой
М(т) = (Лт + В)(Ст + £))-'.
Можно показать, что Ag является комплексно-аналитическим про-
странством размерности g{g + 1)/2, которое допускает структуру нор-
мального квазипроективного многообразия, определенного над полем ра-
циональных чисел. «Общий элемент» А семейства Ag является простым
абелевым многообразием с кольцом эндоморфизмов End А = Z.
Если наложить дополнительные условия на поляризацию абелева мно-
гообразия А, на алгебру эндоморфизмов End Л Q и зафиксировать до-
полнительную структуру на множестве Ат точек конечного порядка т
{структура уровня), то семейства таких многообразий А также мо-
гут быть явно описаны аналитически (семейства абелевых многообразий
с PEL-структурой: polarization, endomorphisms, level, см. [742]). Такие
семейства приводят к интересным алгебраическим многообразиям {мно-
гообразиям Шимуры), определенным над числовыми полями, которые
также называются многообразиями модулей абелевых многообразий с
PEL-структурой; действие группы Галуа на точках этих многообразий мо-
дулей можно описать в терминах действия на самих абелевых многообра-
зиях (отвечающих этим точкам) и на связанных с ним и PEL-структурах.
5.3.6. Формула Зигеля и числа Тамагавы. Мы остановимся лишь на
одном аспекте теории линейных алгебраических групп, имеющем принци-
пиальное значение и для других вопросов арифметики. Эти исследования
позволяют придать количественную форму теореме Минковского о том,
что наличие нетривиального нуля квадратичной формы над Q равносиль-
но существованию нетривиального нуля над всеми пополнениями: и R.
Аналогичный факт имеет место и для разрешимости над Q уравнения
S[X] = Т (S[X] = ‘XSX),	(5.3.59)
где S G Alm(Q), Т G Mn{Q>) — матрицы Q-рациональных квадратичных
форм qs и qr, а решения ищутся среди матриц X G Afm<rt(Q).
260	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Рассмотрим подробнее случай, когда S и Т являются матрицами цело-
численных положительно определенных квадратичных форм, отвечающих
решеткам As CF, Лг cR", на которых длина векторов задана посред-
ством qs и qr соответственно. Целочисленная матрица X е	удо-
влетворяющая условию (5.3.59), задает тогда отображение —>As, со-
храняющее расстояние. Таким образом, т^п. Обозначим через N(S, 7)
число таких отображений, т. е. число целочисленных представлений фор-
мы qr квадратичной формой qs. Родом формы qs называется множество
qr таких квадратичных форм qs>, которые рационально эквивалентны qs.
Род формы распадается на конечное множество классов форм относитель-
но целочисленной эквивалентности (обозначаемое символом /). Формула
Зигеля дает значение величины N(S, Т) — некоторого взвешенного усред-
нения чисел N(SX, Т) по представителям Sx классов форм, принадлежащих
данному роду (хе/). Более точно, обозначим через ш(х) порядок группы
автоморфизмов Sx (решетки Л$х) и определим массу рода S (или вес ро-
да S) формулой
Masse(S) = £J-	(5.3.60)
xei к
Предположим, что N(SX, 7) 0 хотя бы для одного х е /, т. е. что решет-
ка Ат локально вложима в As (существует вложение Ат Q —► As Q,
сохраняющее метрику), и рассмотрим усреднение
N(S, Т) = ( N(SX, 7)>(хА /Masse(S).
\ х€/	/
Формула Зигеля (см. [431, с. 671]) выражает это среднее через про-
изведение локальных множителей:
N(S, Т) = cm_nc-'aoo(S, 7)7),	(5.3.61)
р
где Ck = 1 при k > 1 или k = 0 и С\ = 1/2, а локальные множители в правой
части определяются так: для каждого простого числа р обозначим через
N(S, Т\ рг) число решений сравнения
S[X] = 7(mod pr) (X е M^(Z/prZ))	(5.3.62)
и введем локальную плотность
ap(S,T) = lim cm_„+lN(S, Т; pr)/prd,	(5.3.63)
где d=mn — n(n +1 )/2 (выражение под знаком предела в формуле (5.3.63)
не зависит от г при достаточно большом г е N). Аналогично вводится
«oo(S, Т) с заменой р-адической метрики на обычную: рассмотрим окрест-
§5.3]
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 261
ность V матрицы S в пространстве симметрических матриц
{Т = ^)еМт^:1Т=Т}
с мерой, заданной формой ctT = Л dtij, и пусть
U = {Х = (Xij) е : fXSX е V}
в пространстве Д4тл(К) с мерой (3% = Ndxij (/ = 1, ..., m; j = 1, ..., n).
Положим тогда	1,1 r
0<oo(S, T) = c lim %—.	(5.3.64)
v-sjotr
V
Произведение в формуле (5.3.61) берется по простым числам р в возрас-
тающем порядке; оно абсолютно сходится, если 3 и т - п /2.
В специальном случае Т = S мы имеем N(S, S) = l/Masse(S) и форму-
ла (5.3.61) переходит в формулу Минковского—Зигеля (см. [726, с. 671])
Masse(S) = cmax(S, S)~'	s)"'-	(5.3.65)
р
Если же п = 1, Т = (/), то число N(S, Т) — это количество целочислен-
ных представлений натурального t квадратичной формой qs.
Отметим, что для почти всех простых чисел р (кроме конечного их чис-
ла) любое решение сравнения (5.3.62) получается в результате подъема
некоторого решения соответствующего сравнения по модулю р (с помо-
щью леммы Гензеля); в этом случае мы имеем
ap(S, Т) = Np(S’J' р\	(5.3.66)
что позволяет явно написать почти все локальные множители в произведе-
нии (5.3.61) и выразить его через специальные значения некоторых дзета-
функций (например, значения дзета-функции Римана в последовательных
целых точках).	m
Рассмотрим пример квадратичной формы qs = заданной единич-
ной матрицей S — Im.	/=1
Формула Минковского-Зигеля даёт сумму обратных чисел к порядкам
групп автоморфизмов всех предствителей классов эквивалентности решё-
ток данного рода (см. [752], [222], [282], гл. 16).
В частном случае чётных унимодулярных решёток ранга m = 2k = О
(mod8), эта формула значит, что, с точностью до эквивалентности для
каждого k, если их число равно Qi, • • • , Qhk, то справедливо соотношение
hk 1
0<?,(г) =т*£А(-г),
262	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
где Wi число автоморфизмов форм Qi, тэта-ряд формы, а
нормализованный ряд Эйзенштейна k — т/2 веса (с постоянным членом
равным 1, и
k 2k 4 8 4Л — 4 ’
см. и §5.3.3, §6.3. Если т делится на 4, то формула (5.3.65) принимает
следующий вид (см. [726, с. 673]):
.. ч (1 -2"*)(1 +e2[-k)\B2B4...B2k\
где fc = m/2, е = (-1)™/2, В/ — числа Бернулли. При т, не делящемся
на 4, существуют аналогичные формулы. Например, при т = 9 имеется
ровно два класса в роде формы /9 и Masse(/g) = 17/2786918400 Случай
т = 3 был рассмотрен в работе [703].
Опишем теперь доказательство формулы Зигеля, использующее тео-
рию интегрирования на локально компактной группе G = От(А) матриц,
ортогональных относительно S, с коэффициентами в кольце аделей А.
Группа Goo = От (К) компактна в силу положительной определенности
формы S, поэтому G содержит открытую компактную подгруппу
Q = Goo xJ]G(Sp),
р
где G(SP) = Om(^p) — группа автоморфизмов р-адической решетки Xs,p =
= Ks®%p (сохраняющих квадратичную форму qs). Подгруппа Г = ОШ((0)
ортогональных матриц с рациональными коэффициентами дискретна в G
и rnQ = AutAs — (конечная) группа автоморфизмов решетки As. Для
каждого х = (Xy)t, е G (v = р или v = 00) определена такая решетка Asx,
что А$х 0 Qy = Xy(As 0 Qu). Согласно варианту теоремы Минковско-
го—Хассе имеется изоморфизм А$х 0 Q = А$ ® Q и двойные классы QxF
группы G по модулю Q и Г интерпретируются как классы форм Sx (х е /).
Конечная группа Гх = Г2ПхГх-1 порядка ш(х) является группой авто-
морфизмов решетки А$х. На группе G ниже будет построена такая мера
Хаара т, инвариантная относительно левых и правых групповых сдвигов,
что объем vol(G/r) компактного множества G/Г = (Jxe/ Г2хГ/Г однозначно
определен (а не только с точностью до множителя). Эта мера называется
мерой Тамагавы на G, а число vol(G/F) — числом Тамагавы. Имеет место
формула
vol(G/r) = vol(Q/rx) = vol(Q) 1/ш(х).	(5.3.67)
хе/	хе/
Пусть g— замкнутая подгруппа в G, y = gAF. Предположим, что
объем vol(g/y) конечен. Рассмотрим непрерывную функцию <р с компакт-
ным носителем на G/g, инвариантную относительно левых сдвигов аргу-
§ 5.3]	Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 263
мента на элементы из Q, и для х е G положим
Nx(q>) =
Эта сумма конечна и зависит только от двойного класса Qxr. Рассмотрим
взвешенное усреднение N(cp) величин Nx(<p) для %, пробегающих /,
£ Nx(cp)/^(x)
N(<p) = х6' , , , , 	(5.3.68)
S 1/Их)
хе/
Стандартные приемы интегрирования тогда показывают, что
* = ж5*>*	<5-3-69>
' 7 G/g
при условии, что меры на группах G, g и однородном пространстве G/g
выбраны согласованно.
Формула Зигеля получается из равенства (5.3.69), если в качестве g
взять ортогональную адельную группу относительно квадратичного моду-
ля W над Q, определенного условием W ф (Аг 0 Q) = As 0 Q. Группа у
является группой рациональных точек из g, а однородное пространство
G/g отождествляется с множеством вложений Лг0А—>As0A, сохра-
няющих квадратичные формы. В качестве ср берется характеристическая
функция для множества тех вложений Аг 0 А —> Л$ 0 А, которые перево-
дят Аг 0 Zp в As 0) Zp. Величины ст_п и ст переходят в числа Тамагавы
и т(О^) соответственно. Для х = (xv)v е G функция <р(х) = q(xg)
имеет вид	где фею = 1 на С^, а срр(хр) — характеристическая
функция O^(Zp), поэтому интеграл в формуле (5.3.69) равен произведению
5 dXoo-JJ dxP>
Gca/goo	Р Gp/gp
где Gp = Ozn(Zp), gp = Om_rt(Zp), и можно доказать, что относительно
этой меры на G выполняется равенство
«оо(5, Г)=	5	^*0О’ otp(5, 7) = 5 dxp-	(5.3.70)
Goo/goo	Gp/gp
Вычисление значения
т(От) = vol(G/r)
тогда можно провести также с помощью формулы (5.3.69), положив п = 1
и воспользовавшись известными асимптотиками для чисел представле-
ний N(S, t) при / —> оо, полученными, например, круговым методом (при
этом случаи т = 2, 3 разбираются отдельно).
264	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Опишем теперь меру Тамагавы на G; формулы (5.3.70) вытекают из
этого описания, см. [230], гл. X.
Пусть V — алгебраическое многообразие над числовым полем /(, ко-
торое является связной алгебраической группой. Если dim V = п, то на
V существует ненулевая левоинвариантная форма со степени п, опреде-
ленная над /(, причем она определена однозначно с точностью до посто-
янного множителя X € /<х. Построим с помощью формы со меру на группе
V(Ak) адельных точек многообразия V. Для этой цели необходимо сна-
чала зафиксировать меру Хаара на аддитивной группе Ку, где v —
нормализованное нормирование поля /(. Для этого положим [iv(Ov)= 1,
если нормирование v неархимедово, d\iv = dx при kv = R (мера Лебега),
d\tv = \dz A dz\ при z = x + iy e kv = С. Тогда в силу соотношения (2.3.42)
выполняется равенство
И(Ак//0 = ID/dA
где Dk —дискриминант поля /(, р— мера Хаара на А#, определенная
как произведение локальных мер Определим меру на сле-
дующим образом. В окрестности каждой точки Р на V фор*ма со определена
выражением
со = f(x) dx\ A ... A dxn,
где %i, ..., xn—локальные параметры в точке Р, которые сами являются
рациональными функциями х, е K(V), и f е K(V)— рациональная функция,
регулярная в точке Р. Тогда функцию f можно записать как формальный
степенной ряд от X/ с коэффициентами из /(, поскольку многообразие ли-
нейной алгебраической группы всегда неособо. Если координаты х? точ-
ки Р принадлежат полю Kv, то f является степенным рядом от tt = X/ — х®
с коэффициентами из Kv, сходящимся в некоторой окрестности начала ко-
ординат в Ку. Значит, существует такая окрестность U точки Р в V(Kv),
что отображение ср: х —> (Л(х), ..., tn(x)) является гомеоморфизмом этой
окрестности на окрестность U' начала координат в К", причем указан-
ный степенной ряд сходится в (/'. В U' мы имеем положительную ме-
ру |/(x)|yd/i •• dtn, где dt[ •• dtn — произведение мер х ... х на
К"; поднимем ее на U с помощью ср, тогда мы получим положительную
меру (Оу на U. В явной форме, если g — непрерывная вещественнозначная
функция на V(Kv) с носителем в (У, то
= 5 Я(ф-1(0)^1 dtn,
и W
причем еду на самом деле не зависит от выбора локальных параметров х,.
Если произведение
(5.3.71)
§5.3]
Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы 265
абсолютно сходится, то мы определим меру Тамагавы формулой
т=|^Гл/2П^-	(5-3.72)
V
Если произведение (5.3.71) не сходится абсолютно, то необходимо ввести
поправочные множители Ху > 0, обеспечивающие сходимость таким обра-
зом, чтобы произведение
ПхДЖ))
уже абсолютно сходилось. Мера Тамагавы (относительно {Ху}) определя-
ется формулой
т = |ПкГ"/2Пх-‘о„.	(5.3.73)
V
В любом случае т не зависит от выбора со, ибо если мы заменим со на ссо
(с G /<х), то (ссд)у = |c|y6)u и П kk = 1 по формуле произведения (4.3.31).
Пусть k(v) обозначает поле вычетов относительно неархимедовой точки
v, и пусть = V ® k(v)— редукция многообразия V по модулю соот-
ветствующего простого идеала С Ov. Тогда можно показать, обобщая
лемму Гензеля, что для почти всех v имеет место равенство
uv(V(Ov)) = (Nv)"" Card V<v\k(v)),	(5.3.74)
где Nv обозначает число элементов в k(v), a V^(k(v))— группа точек из
с коэффициентами в k(v).
Примеры. Если V =Ga (аддитивная группа), то
ои(К(<9и)) = рда) = 1;
если V =Gm (мультипликативная группа), то
Nv - 1	1
0ДУ(0^) = 2£—1 = 1-
' ' 77 Nv Nv
если V = GLW, то
если V = SLf„, то
Произведение
ПО - (N^j7) =^k(s)
266	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
сходится при Re s > 1, но расходится при s = 1 (£k(s) обозначает дзета-
функцию Дедекинда поля /(). Следовательно, произведение
сходится для V = SLm, но не сходится для V = GLm. В последнем случае
в качестве множителей сходимости можно взять числа Xv = 1 — 77-. В бо-
Nu
лее общей ситуации можно доказать, что если V = G — полупростая алгеб-
раическая группа, то произведение (5.3.71) абсолютно сходится (и потому
множители сходимости не нужны). Связь чисел Тамагавы с арифметиче-
скими исследованиями Зигеля по квадратичным формам была обнаружена
А. Вейлем в конце 50-х гг. Он высказал тогда гипотезу (доказанную впо-
следствии Коттвицом) о том, что если V = G —связная односвязная полу-
простая алгебраическая группа над числовым полем, не содержащая мно-
жителей исключительного типа Е$ч то t(G) = 1. Для произвольной связной
редуктивной группы G над К Сансюк и Коттвиц установили, что
I Pic(G)[
|UI(G)| ’
где III(G)— группа Шафаревича—Тэйта, a Pic(G) — группа Пикара аф-
финного многообразия (линейной алгебраической группы) G, см. [477].
Эскин, Рудник и Сарнак (см. [331]) дали новое доказательство зна-
менитой формулы Зигеля; они использовали гармонический анализ для
получения асимптотической формулы распределения целых точек на неко-
торых аффинных многообразиях. В частности, они по-новому доказали
теорему Зигеля для неопределенных квадрик (при п — 1, т 4), и из это-
го вывели, что число Тамагавы любой специальной ортогональной груп-
пы равно 2. Это приводит к общему результату Зигеля при помощи вы-
числения адельных объемов относительно меры Тамагавы. Заметим, что
Е. Пейр рассматривал в [634] высоты и меры Тамагавы на многообразиях
Фано.
§ 5.4.	Диофантовы
уравнения и представления Галуа
5.4.1.	Модуль Тэйта эллиптической кривой. Пусть Е — эллипти-
ческая кривая, определенная над числовым полем /С Тогда группа Галуа
GK = G(K/K) действует на группе Еп точек, порядок которых делит нату-
ральное число /г, Еп = (Z//iZ)2 и определено представление (5.3.29)
(fn: Gk —> GL2(Z/nZ) = Aut En.
Пусть теперь I — простое число, п = 1т. Положим
7’z(£) = lim£/m^Zf, Vz(£) = £z(£)®ZzQz^Qf, (5.4.1)
т
§5.4]
Диофантовы уравнения и представления Галуа
267
где Z/ — кольцо целых /-адических чисел, а предел берется по гомомор-
физмам Eim Е1т-\ умножения на /. Соответствующий гомоморфизм
Р/: GK Aut Vi(E) GL2(QZ)	(5.4.2)
является представлением группы Gr над полем Q/, и Imp/ = Gz являет-
ся замкнутой подгруппой в GL2(Zz) = Aut7}(E), причем спаривание Вей-
ля (5.3.30) задает изоморфизм det р/ с представлением G% на одномерном
векторном пространстве
= T/(pt)0Z/Qz, Ti (pt) = lirnpt/m
m
(модуль Тэйта корней /-примарной степени из 1).
Из недавних результатов Фальтингса следует, в частности, что Gr-мо-
дуль 7/(Е) определяет кривую Е однозначно с точностью до изогении.
Серр установил (см. [716]), что образ Imp/ является для почти всех
простых чисел I наибольшим возможным, т. е. совпадает с Aut7/(E) =
= GL2(Z/), при условии, что эллиптическая кривая Е не специальна в том
смысле, что EndE = Z (кривая без комплексного умножения). Более того,
индекс подгруппы cprt(Gy<) в АиЦЕл) = GL2(Z/nZ) ограничен константой,
не зависящей от кривой Е и поля /(, см. [609], [757].
Эффект уменьшения образа cprt(G/<) связан с наличием К-рациональ-
ных точек конечного порядка (или /(-рациональных подгрупп таких то-
чек). Если, к примеру, существует такой базис Р, Q группы Еп над Z//1Z,
что точка Р является /(-рациональной, т. е. Р е Еп(К), то Р° = Р для всех
/1 *\
о е G/(, и тогда Initio записывается матрицами вида (	) в GL2(Z/mZ).
\0 */
Если же при этом еще и подгруппа (Q) является /(-рациональной, т. е.
(Q)° = (Q), то этот образ состоит из матриц [ 1	]. Таким образом, ре-
\0 */
зультат Серра очень тесно связан с теоремой Мазура об ограниченности
кручения эллиптических кривых над Q, см. [558].
Пусть А — абелево многообразие размерности g, тогда определен мо-
дуль Тэйта
Т/(А) = lim Кег(Л ^А)^^ё, У,(Л) = Tt(A) Qz ~Z^
m
и определено представление (см. формулу (5.3.48))
Р/: GK Aut Vi(A) GSp2^(Q/).	(5.4.3)
Для многообразий A, EndA=Z, которые составляют «основную часть»
абелевых многообразий данной размерности, также известны результаты
о максимальности образа р/.
268
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
Изучение представлений р/ основано на рассмотрении редукции эллип-
тических кривых (абелевых многообразий) по простому модулю ру, где v —
неархимедова точка поля /(. Условие, что редукция Ev—E (modpy) яв-
ляется хорошей, эквивалентно следующему: существует абелева схема Ev
над Specв смысле Мамфорда (см. [602]), общий слой которой равен Е
(т. е. Ev 0ov Kv—E®k а замкнутый слой есть эллиптическая кривая
Ev = Ev k(v) над полем вычетов k(v) = О/ру. Определен (геометри-
ческий) эндоморфизм Фробениуса Fv кривой Ev (возведение координат
в степень Nv = |£(v)|).
Пусть pv обозначает характеристику поля вычетов k(v) и I — простое
число, не равное pv. Обозначим через Gv (соответственно /у) группу раз-
ложения (группу инерции) некоторого продолжения v точки v на алгеб-
раическое замыкание К (см. п. 4.4.2). Если Е имеет хорошую редукцию
в точке v, то v определяет (по лемме Гензеля) изоморфизм Eim с соответ-
ствующей группой для кривой Еу. В частности, группа инерции /у действует
тривиально на Е/т, Т/(Е), V/(E) (в таком случае говорят, что представление
V[(E) неразветвлено в v), и корректно определен автоморфизм Фробени-
уса p/(Ffy) (так как FryCGy//y), который соответствует геометрическому
эндоморфизму Фробениуса Fv кривой Ev. Поэтому
det Р/(Fry) = det(Fy) = Nv = Cardfe(v),	(5.4.4)
и величина
det( 1 - p/(Fry)) = det( 1 - Fv) = 1 - Tr Fv + Nv (5.4.5)
равна числу &(у)-точек кривой Ev.
Обратно, имеет место следующий результат.
Теорема5.12 (критерий Нерона—Огга—Шафаревича). Если пред-
ставление Vi(E) неразветвлено в точке v для некоторого / / pv, то
Е имеет хорошую редукцию в точке v (см. [757], [731], гл. 4).
5.4.2.	Теория комплексного умножения ([225], гл. XIII, [496], [742]).
Одна из центральных задач алгебраической теории чисел, сформулирован-
ная Гильбертом как его двенадцатая проблема, состоит в том, чтобы дать
явную конструкцию абелевых расширений числового поля /С Если К = Q,
то по теореме Кронекера—Вебера (см. п. 2.1.2) максимальное абелево рас-
ширение Qab является круговым и
G(Qab/Q)^nZP-
р
Если К — мнимое квадратичное расширение, то теория комплексного
умножения позволяет построить /СаЬ с помощью эллиптических кривых Е
с комплексным умножением на К и их точек конечного порядка. По
определению для таких кривых End Е Q = К. Если Е(С) = С/Г для ре-
§ 5.4]	Диофантовы уравнения и представления Галуа	269
шетки Г С С, то в этом случае
End Е = {z е С: гГ с Г} = Of = Z + fOK с Ок,
где Ок — кольцо целых чисел поля К, / — некоторое натуральное чис-
ло, поскольку любое подкольцо в Ок имеет вид Z + [Ок для некоторого
/ем.
Теорема 5.13. Эллиптические кривые Е с заданным кольцом эн-
доморфизмов Oj находятся во взаимно однозначном соответствии
(с точностью до изоморфизма) с элементами группы Cl(Of) (группы
классов проективных модулей ранга 1 над Of).
Действительно, если Г — решетка, отвечающая Е, то Г — такой (^-мо-
дуль, что Г Q = /(, т. е. проективный модуль ранга 1 над Of. Обратно,
если задан ©/-модуль как решетка Г, то С/Г является эллиптической кри-
вой, причем Епб(С/Г) — это кольцо умножений Г, т. е. Of. Следовательно,
число hf кривых с заданным кольцом эндоморфизмов Of (с точностью до
изоморфизма) конечно и имеет порядок, равный CardC/(©/).
Каждой кривой Е отвечает ее /-инвариант: для кривой Е, заданной
уравнением в вейерштрассовой форме, имеем
/(£) = 1728g3/(g3 - 27^2) (£: У2 = 4х3 - g2x - g3).	(5.4.6)
Рассмотрим случай f = 1.
Теорема 5.14 (Вебер—Фютер). 1. Числа j(E) целые алгебраиче-
ские.
2.	Если а — j(E) — одно из этих чисел, то К(и) является максималь-
ным абелевым неразветвленным расширением поля К и G(K(<x)/K) =
= С1(Ок), причем действие G(K(ct)/K) на множестве чисел {/(Е)} тран-
зитивно.
Существует ровно девять квадратичных колец Of, для которых f = 1
и hf — 1, а именно, Z[x/^d], где d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. Соот-
ветствующие эллиптические кривые имеют по теореме Вебера—Фюте-
ра рациональный инвариант. Значения инварианта для них таковы:
/=26-33, 26 • 53, О, -З3 • 53, —215, —215-33,
-218 • З3 • 53, -215 • З3 • 53 • 113, —218 • З3 • 53 • 233 • 293.	<5'4’7)
В общем случае f > 1 числа /(Е) также целые алгебраические для всех
таких многообразий Е, что EndE = Of, и для всех о € Gal(X//Q можно яв-
но описать действие о на /(Е). Это описание зависит только от ограничения
о на КаЬ, которое по закону взаимности Артина задается некоторым
иделем s eJk'
ак.ь=ф/((5) ^K-.JK^G(Kab/K)).
270	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Именно, если Г — решетка, отвечающая кривой Е, то можно определить
решетку £-1Г: если s = ($„)„ (sv е Kv, v —точки поля), то $-1Г опреде-
ляется требованием
($—‘Г) 0Z Ov = s~’(Г ®z Ov)
(для неархимедовых точек v).
Теорема 5.15. Пусть /($-1Г) обозначает такой инвариант эллип-
тической кривой Е', что Е'(С) = С/$-1Г. Тогда
j(E)° = /(«-’Г).	(5.4.8)
Из этого результата вытекает, что ДЕ) е /<аЬ.
Для доказательства этих результатов рассматривается действие о е
е Gal(/</A3 на коэффициенты уравнения (5.4.6), в результате которого по-
лучается эллиптическая кривая
Еа: у2 = 4х3 - g%x - g%;
для нее j(E°) = j(E)°. Очевидно, что End(E°) = End(E) = Of, поэтому мно-
жество {/(Е)°: ое Gal(^/A)} конечно и числа /(Е) алгебраические. Сле-
довательно, кривую Е можно определить над некоторым полем алгебраи-
ческих чисел L. Если ограничение а на Е является автоморфизмом Фро-
бениуса
o\L=EL/K(v) = Frv,
то формулу (5.4.8) можно установить, рассматривая редукцию Е (mod ЭД,
где ф— простой дивизор поля Е, делящий р. Тогда формула (5.4.8) пере-
ходит в теорему Хассе о том, что
j(Ef'°=j(pj'r),	(5.4.9)
где р с Ок —простой идеал с условием (р, /) = 1, и р; = Of А р.
Таким образом, инварианты /(Е) порождают расширение
G(K^/K) = Cl(Of), но поле К =	eu*e не совпадает со всем /СаЬ, и,
чтобы получить /<аЬ, надо присоединить к полю К(\у, координаты всех точек
конечного порядка на какой-либо эллиптической кривой Е, EndE = <9/<.
Более точно, пусть Е — некоторая эллиптическая кривая с комплекс-
ным умножением, определенная над полем алгебраических чисел Е D А,
и EndE Q = К, тогда образ /-адического представления
pz: Gl^ Aut УДЕ) = GL2(Q/)	(5.4.10)
является абелевой группой и содержится в (Z/ ®z<9/()x, причем индекс
группы Imp/ в GL2(Z/) конечен и ограничен константой, не зависящей
от /. По теории полей классов представление р/ пропускается через Gab,
и для каждого иделя s = (su)u€/l определен элемент р/($)=р/(о), где
§ 5.4]	Диофантовы уравнения и представления Галуа	271
aeGal(£/£), о |^ь= Можно доказать, что существует единствен-
ный непрерывный гомоморфизм е:	удовлетворяющий условию
е(х) = Nl//<(x) для всех х е £х, и
pz(s) = e(s)]jNz.„//<o(s7l)
И/
для всех s € 4 и всех /.
Абелевы l-адические представления (5.4.10) и действие Gl на ин-
вариантах /(£) явно описывают теорию полей классов для поля /(. Мы
видим, что в случае комплексного умножения группа Imp/, являясь абе-
левой, значительно меньше, чем в общем случае.
Аналогичная теория (в менее завершенном виде) существует и для абе-
левых многообразий СМ-типа, т. е. таких многообразий А, что алгебра
End A Q является вполне мнимым квадратичным расширением неко-
торого вполне вещественного поля степени g = dimA, см. [742].
5.4.3.	Характеры Z-адических представлений. Таким образом, каж-
дой эллиптической кривой Е над числовым полем К можно сопоставить
целую систему /-адических представлений р/: G/< —> Aut 7/(£) = GL2(Z/)
на модуле Тэйта Ti(E). Согласно соотношениям (5.4.4) и (5.4.5) имеется
важная формула для следов автоморфизмов Фробениуса:
Тг p/(FrD) = Nv + l - NV(E),
где v — неархимедова точка, по модулю которой £ имеет хорошую ре-
дукцию, (и, /) = 1, NV(E) = Card Ev(k(v)) — число &(и)-рациональных то-
чек на £у. Значения характера /Р/ = Тг р/ /-адического представления р/
оказываются интересной арифметической функцией (от аргумента v). Ни-
же мы увидим, что список примеров такого рода весьма богат и включает
функцию Рамануджана т(р), числа представлений простых чисел поло-
жительно определенными целочисленными квадратичными формами и др.
Характер /р представления р определяет это представление с точностью
до изоморфизма, если известно, что представление р — полупросто (разла-
гается в прямую сумму неприводимых представлений). Для модулей Тэйта
эллиптических кривых и абелевых многообразий это свойство известно,
см. [332], [334], [335], [39].
Замечательное свойство конечности характеров /р непрерывных ко-
нечномерных /-адических представлений р было открыто Фальтингсом при
доказательстве гипотезы Морделла: характер /р однозначно определяется
по конечному числу его значений
XP(Fry) = Тг p(Fry) (и е Q, Q — конечное множество),
где Fry обозначает класс элемента Фробениуса, причем предполагается,
что представление р неразветвлено для всех v, не принадлежащих фикси-
Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
рованному конечному множеству S точек поля /<. В этой ситуации пред-
ставление р пропускается через представление группы Gs = G(Ks/K), где
Es—максимальное расширение поля К, неразветвленное вне S. Таким
образом, для каждой точки v S однозначно определено xP(Fru). Постро-
им теперь такое конечное множество Q точек поля Е, что Q A S = 0 и Fry
однозначно определяется значениями xP(Fry) для v е Q. Пусть L/К обо-
значает композит всех расширений Галуа поля /С, неразветвленных вне
S, степени не выше /2л , где п равно размерности представления р. Тогда
по теореме Эрмита (см. п. 4.1.5) L/К конечно. Найдем такое множе-
ство Q, не пересекающееся с S, что элементы из классов сопряженно-
сти Fry, v е Q, заполняют всю группу Галуа G(L/K). Существование та-
кого множества вытекает из теоремы плотности Чеботарёва (см. п. 4.4.3).
Проверим, что множество Q удовлетворяет всем требованиям теоремы.
Пусть pi и р2—два представления, характеры которых совпадают на
элементах из классов сопряженности Frv, v е Q. Рассмотрим представле-
ние
pi х р2: Zz[G] ->AMQ/) х Mn(Qi)
групповой алгебры Z/[G]. Его образ М является Zz-подмодулем ранга не
выше 2м2. По построению множества Q элементы (pi х р2)(ЕгД veQ,
порождают М/1М как векторное пространство над F/, и, следовательно,
модуль М над Z/ (по лемме Накаямы для конечно порожденных модулей
над локальным кольцом Z/, см. [195], [691]). Рассмотрим теперь линейную
форму
ftai, а2) = Тг (аО - Тг (а2) (аь а2 е AMQ/))
на М. По условию
X₽,(FM = X₽2(FM (veQ),
и, следовательно, /(a i, а2) = 0 на всем Z/-модуле М, поскольку f = 0 на
его образующих (pi х p2)(Fry), v е Q. Стало быть, хР1 = Хр2» и теорема до-
казана, (см. [39], [298], [784]).
5.4.4.	Представления в характеристике р. Пусть Е — эллиптиче-
ская кривая над конечным полем k из q = pd элементов. Рассмотрим ее
модуль Тэйта
ТР(Е) = lim Кег(£(й) С E(k)) * Z*,	(5.4.11)
т
где у — 0 или у = 1. Определено представление
рр: Gal(£/&)—> Aut ТР(Е)	(5.4.12)
топологически циклической группы G(k/k).
§ 5.4]	Диофантовы уравнения и представления Галуа	273
Если ТР(Е)^О, то End£®zQ является мнимым квадратичным по-
лем К и EndE = Of — подкольцо кондуктора f в (9; =Z+/C?k (/	1).
Можно показать, что тогда
1)	простое число р не делит кондуктор /;
2)	простое число р полностью распадается в /(.
Если ТР(Е) = О, то De = EndE®zQ является алгеброй с делением
размерности 4 над полем Q, которая распадается во всех простых чис-
лах I Ф р: Dl Q/ = Af2(Q/). При этом EndE является максимальным
порядком в De. Такие кривые Е называются суперсингулярными.
Увеличение алгебры эндоморфизмов в положительной характеристи-
ке происходит за счет эндоморфизма Фробениуса F7 кривой Е, который
является чисто несепарабельной изогенией: его ядро имеет лишь одну
геометрическую точку над k. В частности, если Fq е Z С EndE, то так-
же 7'р(Е)=0. Дальнейшие сведения о точках конечного порядка в по-
ложительной характеристике, в том числе и для абелевых многообразий,
см. в [59], [496], [602].
5.4.5.	Модуль Тэйта числового поля ([107], [237], [436], [438],
[567]). Модуль Тэйта якобиева многообразия Jc кривой С является функ-
тором из категории кривых над полем k в категорию Z/-модулей. Если
поле k конечно, то поле функций k(C) на кривой С во многом анало-
гично числовому полю, и Ивасава предложил аналогичную конструкцию
для числового поля К вместо k(C). Предположим, что поле k алгебраиче-
ски замкнуто. Тогда группу Jim можно интерпретировать как группу Галуа
неразветвленного накрытия Ст —> С кривой С, где Ст есть прообраз кри-
вой С, вложенной в /, относительно морфизма /]”. Можно показать, что
поле	есть максимальное абелево неразветвленное /-расширение
т
поля k(Q. Его группа Галуа в точности совпадает с 7/(Jc); это дает со-
держательную интерпретацию модуля Тэйта для алгебраически замкнутого
поля k. Но если поле k незамкнуто (например, k — конечное поле), то оно
может быть незамкнуто и внутри k(Jim); например, k(J[m) содержит корни
из 1 степени 1т (значения спаривания Вейля). В случае конечного поля k
этого почти достаточно: для некоторого конечного расширения k'/k вы-
полняется равенство
£=ЙП (и^(М) =и/г'(С/-),
т	т
где k — алгебраическое замыкание поля k. Действительно, образ группы
Ga\(k/k) в AutT, CGL2^(Z/) будет топологически циклической группой,
а ее пересечение с /-силовским нормальным делителем
S = {А е GL2g(Zz): А = 1 (mod/)}
274	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
является /-подгруппой конечного индекса, поэтому если заменить поле k
на его конечное расширение k', степень которого взаимно проста с /, то k
будет /-расширением конечного поля k', т. е.
£=и*'(Ы-
т
Итак, Г/ есть (для конечного поля констант k) группа Галуа расшире-
ния k(C)cA^\ где k = |Jm	— максимальное неразветвленное
абелево /-расширение поля k(C).
Теперь это определение можно перенести на числовой случай. Пусть
К — числовое поле, Кт =	=	Л(/) э К— максимальное
абелево неразветвленное /-расширение. Пусть
Ti(fq = G(A^/K),	(5.4.13)
тогда Т[(К) является проективным пределом /-групп (про-/-группой), в
частности Z/-модулем. Ивасава, который ввел этот модуль (называемый
также модулем Ивасавы), установил, что пространство
V/(K) = Q/
конечномерно. Описание модуля 7}(K) использует теорию полей клас-
сов, согласно которой группа Галуа максимального абелева неразветвлен-
ного расширения числового поля L изоморфна группе классов С/^. По-
этому, обозначив через С1^ /-компоненту этой абелевой группы, мы по-
лучим
7’z(/0 = HmC/^,
где обратный предел берется по отображениям норм идеалов.
На 7/(АГ) действуют группа Галуа G(K/K) и ее подгруппа
r = G(K/Ki) = ^i.
На классе идеала а € С/^9 это действие задается формулой
(geG(K/K)l
а для соответствующего элемента h G G(A^/K) идеал аё отвечает по тео-
рии полей классов элементу g~xhg (в силу соотношения (4.4.22)).
Ивасава рассмотрел 7} (К) как модуль над групповым кольцом
A = Z/[r] ^[[7]]
(кольцо формальных степенных рядов Z/). Пользуясь только своей клас-
сификационной теоремой для таких модулей, он смог получить формулу
§ 5.4]	Диофантовы уравнения и представления Галуа	275
для порядка С1$, верную при т т&.
log/ Cl^ =\т + \х1т 4- const.	(5.4.14)
При некоторых дополнительных предположениях он явно описал А-мо-
дуль 7/(Q) для всех / 4001. Этот модуль оказался циклическим, и можно
указать каноническую образующую его аннулятора, которая по существу
совпадает с произведением /-адических L-функций Куботы—Леопольдта,
см. [436], [482], [107], [53].
Справедливость этого утверждения в общем случае («основная гипо-
теза» теории Ивасавы) была установлена в 1984 г. Мазуром и Уайлсом
для абелевых полей, см. [567], [568]. В соответствии с основной гипо-
тезой теории Ивасавы модуль групп классов идеалов может быть опи-
сан, как фактор кольца Ивасавы А по явно задаваемому главному идеалу.
Позже К. Рубин нашел более непосредственное доказательство, использу-
ющее понятие эйлеровых систем, введенное Колывагиным, см. приложение
к [501].
В работах Ферреро—Вашингтона [343], [342], [821] доказана другая
гипотеза Ивасавы о том, что для любого абелева расширения К/Q и лю-
бого простого числа / инвариант [1 модуля 7} (К) равен нулю, откуда следует
конечная порожденность 7/ (К) как Z/-модуля. Кроме того, доказана гипо-
теза Вашингтона, согласно которой в круговом Z/-расширении любого
абелева поля порядки групп С1^ при р^1 стабилизируются для всех
достаточно больших т , см. [820].
Совсем недавно равенство нулю инварианта Ивасавы р для всех вполне
вещественных числовых полей было доказано Д. Барским, см. [150]. Ин-
вариант [1 для р-адических L-функций Гекке изучал Х.Хида в [415].
Методы Ивасавы получили большое развитие в дальнейших исследо-
ваниях, связанных с рассмотрением A-модулей различной природы: про-
исходящих из групп Зельмера абелевых многообразий (модули Мазура),
см. [65], [68], [540], [559], [560], [561], из эллиптических единиц в абе-
левых расширениях полей СМ-типа, см. [560], [679], из точек Хегнера на
модулярных кривых, см. [50], [237], [239], [385], [685].
Новые подходы к доказательству основной гипотезы в различных си-
туациях открыты В. А. Колывагиным [474], предложившим более широкую
концепцию эйлеровых систем, включающую все изученные до этого си-
туации как частные случаи.
О последних достижениях в области эйлеровых систем можно прочи-
тать в [687], [451], [452], [565].
Интересные эйлеровы системы могут быть построены в некоторых слу-
чаях исходя из элементов Бейлинсона в -группах модулярных кривых
при помощи метода Ранкина—Сельберга, см. [698]. В [179], [346] был
определен аналог групп Зельмера и Шафаревича—Тэйта для произволь-
276
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
ного мотива над числовым полем F, см. также новую книгу Б. Мазура
и К. Рубина [565].
Отметим также существование ОЦ2)-варианта теории Ивасавы, пред-
ложенного Коутсом и др., см. [241], [243]. Основную ОЬ(2)-гипотезу
для эллиптических кривых без комплексного умножения описали недав-
но Дж. Коутс, Т. Фукайя, К. Като, Р. Суджата и О. Веньякоб в [242].
§ 5.5.	Теорема Фальтингса
и проблемы конечности в диофантовой геометрии
5.5.1.	Сведение гипотезы Морделла к гипотезе Шафаревича. Од-
ной из фундаментальных гипотез в диофантовой геометрии долгое время
была доказанная теперь гипотеза Морделла.
Теорема 5.16 (Фальтингс, |332|). Если X — проективная неосо-
бая алгебраическая кривая рода g ^2, определенная над числовым
полем К, a L/K — конечное расширение, то множество Х(Е) конечно.
Заметим, что до доказательства Фальтингса это не было установлено
ни для одной кривой X.
Однако была известна теорема Зигеля, являвшаяся сильным резуль-
татом конечности до теоремы Фальтингса.
Теорема 5.17 (Зигель). Если X — аффинная неособая кривая рода
g 1, определенная над кольцом целых элементов числового поля
О С К, a Os С О — подкольцо, состоящее из S-целых элементов (для
произвольного конечного множества S), то множество X(Os) ко-
нечно.
Здесь Os С К обозначает подкольцо
Os = {х е К: Vv е S, v неархимедово, |х|и < 1},
где S С Val(K) — конечное множество нормирований поля К.
Отправной точкой исследований, которые привели к решению про-
блемы Морделла, послужили две гипотезы, выдвинутые И. Р. Шафареви-
чем (см. [106]), относящиеся к классификации алгебраических кривых X
рода g 1 над полем алгебраических чисел с фиксированным множе-
ством S точек плохой редукции 2).
2)3а изложением другого доказательства гипотезы Морделла, данного Бомбьери и Вой-
той, мы отсылаем читателя к [184], [814]. Это совершенно новое доказательство основано
на методах из теории диофантовых приближений и из арифметической теории пересечений.
Фальтингс в [336] упростил и расширил эти методы для доказательства двух давних гипо-
тез Ленга относительно целых точек на абелевых многообразиях и рациональных точек на
их подмногообразиях, а Е. Бомбьери впоследствии еще упростил эти рассуждения и получил
относительно элементарное доказательство гипотезы Морделла.
§ 5.5]	Теорема Фальтингса и проблемы конечности	277
1.	Гипотеза конечности. Если g 2 (или g = 1 и Х(К) / 0), то для
данных g, К, S существует лишь конечное множество таких кривых (с точ-
ностью до /(-изоморфизма). Множество это будет обозначаться символом
Ш(£, К, S).
2.	Гипотеза о множестве плохой редукции. Если множество S пу-
сто и К = Q, то таких кривых не существует, т. е. Ill(g, Q, 0) = 0.
Эти проблемы обобщают теоремы Эрмита и Минковского в теории
числовых полей (см. п. 4.1.5).
А. Н. Паршин показал (см. [82], [83]), как проблему Морделла можно
свести к этой гипотезе конечности; его замечательная конструкция приве-
дена ниже. Гипотеза Шафаревича и связанная с ней гипотеза Тэйта
были позднее доказаны Фальтингсом (см. [332], а также доклад Делиня
на семинаре Бурбаки [298]).
Подробное изложение всех этих вопросов читатель найдет в обзо-
ре [39].
Конструкция А. Н. Паршина состоит в построении такого отображения
а: Х(К)UI(g', К', S')	(5.5.1)
для некоторых других данных g', Kf, S', что его слои конечны. Образом
точки РеХ(К) является некоторая кривая Хр G III(g', К', S'), которая
строится в несколько шагов.
1.	Отобразим кривую X в ее якобиан J с помощью отображения Абе-
ля (5.3.55) (?р: X —> J и рассмотрим морфизм 2j: J -+J умножения на 2.
Определим вспомогательную кривую Х\ как прообраз кривой X при этом
отображении {расслоенное произведение):
Х}----^Х
фр
Кривая Х\ гладкая, определена над тем же полем К, а ее род вычисляет-
ся по формуле Гурвица (5.1.1) и равен gi, где 2gi — 2 = 22g(2g — 2), так
как X] —— неразветвленное накрытие степени 22g = Card/2- Прообраз
точки Р является рациональным дивизором D = Dp на Х\ степени 22g.
2.	Строится накрытие Хр-+Х\ степени 2, разветвленное только над
точками из D. Такое накрытие существует, имеет род gf = g(Xp), который
также вычисляется по формуле Гурвица
2g' - 2 = 2(2gi - 2) + 22g = 22g+l (2g - 2) + 22g,
t. e.
g'= 22g+1(g — 1) + 22g_| + 1,
278	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
и можно проверить, что кривая Хр определена над некоторым полем ал-
гебраических чисел /С [KfК] < оо, зависящим только от данных
g, К, S, но не от точки Р е Х(К), причем Хр имеет хорошую редукцию вне
множества S' неархимедовых точек поля К', которые лежат над S и над
простым числом 2. Конструкция Хр аналогична конструкции 2-накрытия
по рациональной точке на эллиптической кривой (5.3.40); так же устанав-
ливается, что редукция полученной кривой хорошая вне S', а конечность
расширения К' /К выводится затем из теоремы Эрмита,
Доказательство того факта, что слои отображения (5.5.1) конечны, яв-
ляется чисто геометрическим и даже относится скорее к теории римановых
поверхностей. Действительно, сквозное отображение Хр —♦ X разветвле-
но ровно над одной точкой, а именно над Р, Если бы было бесконечно
много точек Р, для которых кривые Хр были бы изоморфны, например,
некоторой кривой У, то мы получили бы бесконечно много отображений
У —кривых рода не ниже 2, разветвленных над различными точками
кривой X. Среди этих отображений бесконечно много неизоморфных, по-
скольку порядок группы аналитических изоморфизмов римановой поверх-
ности Х(С) конечен и не превосходит 84(g - 1), см. [428], [561]. В ре-
зультате мы приходим к противоречию с классической теоремой де Фран-
чиса: если У — замкнутая риманова поверхность, то существует лишь ко-
нечное число непостоянных отображений f : У —> Z в замкнутые римано-
вы поверхности Z рода gz 2 (с точностью до изоморфизма), см. [348],
[732].
Отметим, что теорема де Франчиса сама является частным случа-
ем гипотезы Морделла над функциональными полями (над полем С(/)).
Этот вариант проблемы Морделла был решен Ю. И. Маниным, см. [60],
[61].
5.5.2.	Теорема Шафаревича ([106], [716]). Гипотеза конечности бы-
ла доказана И. Р. Шафаревичем (см. [106]) для гиперэллиптических кри-
вых как следствие теоремы Зигеля о конечности числа S-целых точек на
аффинной алгебраической кривой, род которой больше нуля. Приведем до-
казательство этого результата для эллиптических кривых и запишем X = Е
в вейерштрассовой форме
Е: у2 = 4х3 - g'2x - g'3	(g^ g'3 e Л).	(5.5.2)
Заметим, что если эллиптическая кривая Е имеет хорошую редукцию вне
S, то ее уравнение можно привести к виду
У2 = 4х3 - g2x - g3 с g2, g3 &Os, & = gl~ 27gl e Os (5.5.3)
(предполагается, что S — конечное множество, содержащее 2 и 3). Дей-
ствительно, если v S, то над локальным кольцом Ov кривую Е можно
§ 5.5]	Теорема Фальтингса и проблемы конечности	279
привести к виду
у2 = 4х3 - g2,vx - gitV с g2.„, g3tV е Ov П К, Да e О*.	(5.5.4)
В силу свойства единственности вейерштрассовой формы (5.5.2) найдется
такой элемент uv е /< х, что
g2,v = «а §2, g3,v =^,g'3, Да = U12 Д,
и можно считать, что uv = 1 для почти всех v.
Можно также считать, что кольцо S-целых чисел Os является кольцом
главных идеалов, поэтому для некоторого элемента выполнены ра-
венства v(u) = v(uv) для всех v S и после замены х на и~2х, у на и~3у
уравнение (5.5.2) кривой Е принимает вид
У2 = 4х3 - g2x - g3,
где
g2 = «4£2- g3 = u6gi Д = и12Д',
и мы получаем, что Д е О$ .
Теперь мы можем умножить Д на любое число и е (<9£)12, не изме-
няя класса изоморфизма кривой. Из варианта теоремы Дирихле (о группе
S-единиц, см. п. 4.3.8) вытекает, что группа О$/(О$ )12 конечна. Таким об-
разом, существует такое конечное множество М С О£, что любая эллип-
тическая кривая указанного типа может быть приведена к форме (5.5.3)
с gii G. Os у Д е М. Однако при заданном Д уравнение
(У3-27И2 = Д
задает аффинную кривую рода 1, которая имеет лишь конечное число ре-
шений в Os по теореме Зигеля, см. [751], [490], [537].
На этой же идее основано и доказательство полупростоты модуля Тэйта
эллиптической кривой (см. [716]).
5.5.3.	Переход к абелевым многообразиям. Для доказательства ги-
потезы Шафаревича для произвольной кривой X рода g 1 над полем /(
с точками плохой редукции, содержащимися в S, кривой X сопоставляется
ее якобиево многообразие А = 7%, снабженное канонической главной поля-
ризацией 0, определенной над тем же полем /С При этом А имеет хорошую
редукцию вне S, и X определяется парой (Л, 0) однозначно с точностью до
изоморфизма над К (по теореме Торелли, см. [830]). Докажем, что и над
основным полем К число классов /(-изоморфизма кривых X, которым от-
вечает одна и та же пара (Л, 0), конечно. Для этого надо зафиксировать
некоторое натуральное число т 3 и рассмотреть расширение К(Ат)/К,
полученное присоединением координат точек порядка т на Л. Расшире-
ние К{Ат)/К не разветвлено вне множества S U {делители т}, и все рас-
ширения вида К(Ат)/К имеют ограниченную степень, следовательно, по
280
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
теореме Эрмита (см. п. 4.1.5) все они содержатся в некотором конечном
расширении К'/К, не зависящем от X и А.
Покажем, что классы рассматриваемых кривых (с точностью до /('-изо-
морфизма) образуют конечное множество. Если а е G(K/K') и ср — изо-
морфизм двух кривых с одинаковым якобианом, сохраняющий поляриза-
цию, то а = <р° о<р-1 индуцирует тождественное отображение на Ат. Из-
вестно, что тогда а — тождественное отображение (см. [602], с. 241): мат-
рица 7}(а) € Aut 7/(А) = GSp^(Z/) с коэффициентами из Z является уни-
тарной относительно инволюции	определенной инвариантной от-
носительно а поляризацией (инволюции Розатти), т. е. аар = 1. Поэтому
характеристические корни со, матрицы 7/(а) — целые алгебраические чис-
ла, равные по абсолютной величине 1 для всех архимедовых нормирований,
т. е. со/ —некоторые корни из 1. По условию (а — 1) = т$ для некоторого
Р € End А, т. е.  - 1 = где 0,- — целые алгебраические числа, откуда
вытекает, что со/ = 1.
Чтобы перейти от поля /(' к /(, нужно использовать факт о конечности
/(-форм кривой X, изоморфных X над /(': такие формы классифициру-
ются с точностью до К-изоморфизма конечным множеством когомологий
Hl(G(K'/K), АиЫХ)), см. [714].
Таким образом, гипотеза Шафаревича для кривых сводится к анало-
гичному утверждению для абелевых многообразий, точнее, к утвержде-
нию о конечности множества III^(g, /(, S) классов /(-изоморфизма пар
(А, 0), где А — абелево многообразие над К с хорошей редукцией вне ко-
нечного множества S, dimA = g, 0 — поляризация степени 1, определенная
над К. Как мы видели в п. 5.3.5, классы С-изоморфизма пар вида (А, 0) —
это точки на модулярном многообразии Зигеля Л^(С) = H^/Sp^(Z), кото-
рое является квазипроективным нормальным многообразием и может быть
определено над Q.
Другая ключевая идея, предложенная А. Н. Паршиным для решения
проблемы Морделла, состояла в том, чтобы сопоставить элементам мно-
жества LLI^(g, /(, S) точки множества Ag(K) и доказать, что они име-
ют ограниченную высоту при некотором проективном вложении Ag. При
этом отображение IU^J,(g, /(, S) —> Ag(K) не инъективно, так как понятие
С-изоморфизма пар (А, 0) может не совпадать с понятием /(-изоморфиз-
ма. Однако легко убедиться, что это отображение имеет конечные слои:
для поля К', рассмотренного выше, соответствующее отображение
К', S')-*Ag(K')
уже является вложением, и аналогичное рассуждение показывает, что слои
отображения
К', S')
(5.5.5)
конечны (теорема конечности для форм абелева многообразия).
§5.5]
Теорема Фальтингса и проблемы конечности
281
Рассмотрение абелевых многообразий А = Jx вместо кривых X оказа-
лось очень плодотворным: многообразию А можно сопоставить его модуль
Тэйта У/(Л) = Ti(Л) 02/ Q/ (/ — простое число) как модуль над группой
Галуа Gk; если X: А —> В — изогения над /(, то проверяется, что соответ-
ствующее отображение
W VZ(B)
является изоморфизмом Gr-модулей, причем множество S точек плохой
редукции одно и то же для А и для В. Поэтому доказательство утверждения
о конечности множества LLI^(g, /(, S) разбилось на два этапа.
I. Доказательство конечности числа Gr-модулей М = , которые мо-
гут быть изоморфны модулям Тэйта И/(Л) абелевых многообразий с дан-
ными g, К, S.
II. Конечность числа классов К-изоморфизма пар (Л, 9), для которых
G/<-модуль РДЛ) изоморфен некоторому фиксированному модулю М.
5.5.4.	Проблемы конечности и гипотеза Тэйта. Воспользуемся свой-
ством однозначной определенности характера представления р/: Ск —>
—>AutV/(A) своими значениями на конечном множестве элементов Fry
(и е Q), где Q — конечное множество, Q A S = 0, зависящее только от дан-
ных g, Ку S (см. п. 5.4.3). По теореме А. Вейля для абелевых многообразий
над конечным полем (см. п. 4.1.3), которая обобщает теорему Хассе для эл-
липтических кривых (см. п. 1.3.4), число Тг (p/(Fry)) является целым и не
превосходит по модулю 2g\/NF, поэтому для всех I число возможностей
для характеров представлений р/ конечно (см. п. 5.4.3).
Следовательно, утверждение I сводится к доказательству полупростоты
Ск-модуля Vi (Л): для любого Q/-подпространства W в У/(Л), являющего-
ся Gk -подмодулем, найдется такой эндоморфизм и € Блёк (Л)	Q/, что
и2 = и и uVi(A) = W, т.е. подпространство (1 — и)У/(Л) является Gk-ин-
вариантным дополнением к W в У/(Л).
В свою очередь, доказательство утверждения II также разбивается на
несколько этапов.
1.	Пусть HTiy(g, /С, S) обозначает множество классов /(-изоморфиз-
ма абелевых многообразий (без поляризации) с данными g, Ку S, тогда
отображение
Ш^(£, К, 3)-»ШЛК(£,*,$)	(5.5.6)
имеет конечные слои.
2.	Гипотеза Тэйта об изогениях. Для произвольного гомоморфиз-
ма X: Л —> В абелевых многообразий над К рассмотрим соответствующее
отображение V/(X): У/(Л) —> Vi(B) (гомоморфизм Ск-модулей). Тогда
а)	если Gk-модули V/(A) и V/(B) изоморфны, то многообразия А и В
изогенны над К;
282	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5 I
б)	естественные вложения	я
End/<(i4)0z^/c->EndG/( Ti(A) и ЕЫ/сИ^ф/^ЕЫ^ Vi(A) (5.5.7) I
являются биекциями.
3.	Теорема конечности для изогений. Множество абелевых многооб-
разий В над /< (с точностью до К-изоморфизма), для которых существует i
изогения А —> В, конечно.
Утверждение 1 несложно и сводится к тому, чтобы показать для абелева
многообразия А конечность числа поляризаций 9 степени 1, определенных
над К (с точностью до /(-изоморфизма поляризованных многообразий).
Это утверждение выводится из следующих рассмотрений. Главную по-
ляризацию 9 можно рассматривать как изоморфизм 9: А —> Л^7 = Pic0 Л,
где /4V —двойственное абелево многообразие. Если X: (Л, 91) —> (Л, 9г) — I
изоморфизм, согласованный с поляризациями 91 и 92, то коммутативна |
диаграмма	!
А	А	%
S|	02		|
А-—+А	•
I
т. е.	I
91=Xvo92oX.	(5.5.8) ;
Зафиксируем изоморфизм 9о: End А = End Av, тогда сопоставление X i—> Xv :
перейдет в инволюцию Розатти р относительно 9о и все автоморфизмы ;
вида инволюции 9g1 о 9/ будут инвариантны относительно р : (Э^1 о9/)р = ?
= 9q 1 о 9/, причем 9q" 1 • (Xv о 9/ о X) = Хр о о 9/ о X и соотношение (5.5.8) |
перейдет в равенство	1
0-1 о 9i =X₽o(9q 1 о92)оХ.	(5.5.9)
Это равенство показывает, что наше утверждение аналогично утверждению
о конечности числа классов унимодулярных квадратичных форм с точно-
стью до целочисленной эквивалентности. Более точно этот факт форму-
лируется так: если Е — порядок в некоторой полупростой алгебре Е Q
с инволюцией р, то группа Ех, действующая по формуле (х, /г)»—>хр/гх
(х е Ех) на множестве всех эрмитовых элементов (/г = /гр) из Е с фикси-
рованной нормой, имеет лишь конечное число орбит. В данном случае надо
взять Е = End Л и воспользоваться полупростотой алгебры End Л Q.
Свойства а) и б) из утверждения 2 сводятся к свойству полупростоты
модуля Vi (Л) применительно к многообразиям Л2 и Л х В.
5.5.5.	Сведение гипотез Тэйта к свойству конечности для изоге-
ний. Плодотворный подход к доказательству теоремы о полупростоте и ги-
i
§5.5]
Теорема Фальтингса и проблемы конечности
283
потез Тэйта был предложен Ю. Г. Зархиным в 1975-1977 гг.: он показал,
что для любого поля К эти свойства можно вывести из свойства 3 (которое
также называется гипотезой Т) с помощью открытого им «кватернион-
ного приема», см. [37]. Этот прием позволил Ю. Г. Зархину доказать гипо-
тезы Тэйта над глобальными полями положительной характеристики (над
конечным полем эти гипотезы были доказаны самим Тэйтом, см. [789]).
Достаточно показать, что End/<(Л)	End^(7/(Л) ®Z/ Q/). Рас-
смотрим невырожденное кососимметрическое спаривание (см. п. 5.3.5).
eD: Tt(A) х Tt(A) Zz(l) = limp/»,
т
отвечающее обильному дивизору D на А, и пусть W — максимальный изо-
тропный G/c-подмодуль в Т/(Д)02/ Q/, a Wm— образ множества 7/(Л)П
П W в фактормодуле
Ti(A)/lmTt(A) = Aim = Кег(Л Л),
так что имеется коммутативная диаграмма
Из гипотезы Т следует, что среди многообразий А^ должно суще-
ствовать бесконечное множество /(-изоморфных между собой, и пусть
Д(т) — фиксированный изоморфизм. Возьмем
ит = X"1 О Vm о ХШо е End/<(/4) 0z Qz
и положим
и= lim ит € End/((/4) ®z Q/.
т—>оо
Легко проверить, что 7/(и) восстанавливает Gr-подмодуль W как свой
образ:
Ti(u)(Ti(A)®z{ Qi) = W.
Пусть теперь W — произвольный G/(-подмодуль в Епдох(Г/(Л) ® Q/).
Покажем, что для некоторого идемпотента и е Епб/<(Л) 0 Q/, и2 = и, вы-
полнено равенство
u(Ti(A)®ZlQi) = W.	(5.5.10)
Это доказывается с помощью рассмотрения многообразия Л8 и построения
некоторого максимального изотропного Gk-подмодуля
1Г<8> с Endo, (7/(Д8)
284	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
отвечающего W, к которому затем применяется уже доказанное утвержде-
ние.
Рассмотрим проекции р,: А8—(Z = 1, 2,	8), и пусть Di =
8	4
£)(8) _ Di —дивизоры на Л8, О(4) = £ О,- п А4 —дивизор на А4. Возь-
z=i	/=1
мем числа a, b, с, d е Q/, удовлетворяющие соотношению а2 4- 62 4- с2 +
+ d2 = — 1, и положим
—Ь	-с	—d^
I _ b	a	d	с
с	—d	а	b
\d	с	-b	а)
Можно проверить, что Q • / = 14, где 14 — единичная матрица. Рассмотрим
/ как элемент в End^ (Ti(Л4)	Q/) и положим
Г1 = {(х,/х):хеГ4},
№2 = {(х, -/х):хе(Г4)±},
где (UP4)1 определяется по кососимметрической форме е4, связанной с ди-
визором £И4). Тогда W\ А М72 = {0}, множества IF], W% ортогональны отно-
сительно спаривания eg, связанного с дивизором £>(8), и G/(-подмодуль
r(8) = Wi + Г2 С EndGjT/И8) ®Z/ Qz)
является максимальным изотропным подмодулем относительно eg, кото-
рый мы стремились построить. В силу доказанного существуют такие эле-
менты и\, ..., ug е EndGxC4) ®z Q/, что
8
<8>z, Q;) = rl + IF2.
/=1
Правый идеал, порожденный элементами и\, ..., ug в End/<(A) ®z Q/,
порождается некоторым идемпотентом и, так как эта алгебра полупро-
ста (см. п. 5.3.5). Построенный элемент удовлетворяет требуемому усло-
вию (5.5.10).
5.5.6. Высота Фальтингса—Аракелова. Таким образом, гипотеза
Морделла сведена к гипотезе Т (свойство 3 из п. 5.5.4) о конечности
числа классов /(-изоморфизма абелевых многообразий, которые К-изо-
генны данному многообразию А. Доказательство гипотезы Г основано
на введении канонической высоты h(A) абелева многообразия А над К,
определение которой было предложено Фальтингсом под влиянием идей
С. Ю. Аракелова, см. [9]. Одним из основных свойств высоты h является
следующий принцип.
§5.5|
Теорема Фальтингса и проблемы конечности
285
Принцип конечности. Для данных g, К и действительного числа b
число классов /(-изоморфизма абелевых многообразий А над К размер-
ности g, удовлетворяющих условию h(A) < 6, конечно.
Кроме того, высота h(A) удовлетворяет свойству ограниченности
относительно изогений: для K-изогенных многообразий А и В разность
|/г(Л) - h(B)\ равномерно ограничена по Л и В.
Гипотеза Т является следствием этих важнейших свойств канонической
высоты; оба эти свойства доказаны Фальтингсом, см. [332].
Для определения высоты /г(Л) рассмотрим сначала произвольное од-
номерное векторное пространство L над К, снабженное для всех точек v
поля К некоторой v-адической нормой || • ||„: L —> R, которая удовлетворя-
ет условию ||Xs||v = |Х|у||s||v, где |X|U — нормализованное ^-нормирование
элемента X € Кх. Предположим, что для s € L \ {0} равенство ||$||у = 1 вы-
полнено для всех точек v, за исключением конечного их числа. По формуле
произведения (4.3.31) имеем |Х|У = 1 для X € Кх, поэтому произведение
v
[J ||s||у не зависит от выбора s. Определим степень пространства L фор-
V
мулой
degZ. = — logJJ ||$||0.	(5.5.11)
V
Пусть Ок С К — кольцо целых элементов. Задание норм || • ||и для всех
неархимедовых точек v равносильно заданию целочисленной структуры,
или Ок -формы, LoK, т. е. такого проективного Ок-модуля ранга 1, что
Вок ®ок К = L. Для этого надо положить
L&K = {s е L: ||s||v С 1, v— неархимедовы точки}.
Наоборот, если задан Ок-модуль LoK С L, удовлетворяющий условию
Lqk ®ок К = L,
то норма || • ||у определяется с помощью изоморфизма векторных про-
странств LoK ®ок KV=KV, при котором LoK Ov отображается на Ov
(и — неархимедова точка). Если s € LoK\{0}, то Ок • s — подмодуль в LoK и
Card(Lc>K/C?K-s) = ni|s||v-1.
Рассмотрение архимедовых метрик || • ||у (о | оо) является заменой поня-
тия целочисленной структуры и равносильно заданию эрмитовой формы
(•, на одномерном комплексном пространстве La = L ®к,а С для всех
вложений о: К —> С, отвечающих точкам V. При этом
№ = «>У2.	е^и KV=K	(5.5.12)
||s||v = (s, s)a,	если Kv = С.
286	Арифметика алгебраических многообразий	[Гл. 5
Пусть А — абелево многообразие над /<, а 6>(Л) = Q^[A] —одномер-
ное /(-векторное пространство регулярных (алгебраических) дифферен-
циальных форм максимальной размерности на Л, определенных над К
(g = dim4).
Если К — числовое поле, то для всех точек v на <д(Л) имеется есте-
ственная v-адическая норма || • ||у.
1.	Для неархимедовых точек v норма || • определяется с помощью
теории Нерона, которая позволяет определить минимальную модель A&v
многообразия А над (% и одномерный Ov-модуль u>(Aqv) с каноническим
изоморфизмом
u(Aov) Kv = <о(Л) Kv	(5.5.13)
Эти нормы определяют О к-модуль и>(А)ок.
2.	Для архимедовых точек и, заданных вложениями о :/(<-+С, норма
|| • ||у определяется с помощью эрмитовых форм
<“’₽><, = 7^ S аЛР’	(5’5Л4)
V 7 л (С)
на со(Л)0 = б)(Л) а С, причем аЛ|3 является 2^-мерной дифференци-
альной формой, которая интегрируется по (топологически) 2^-мерному
многообразию Л(С).
В терминах этих норм на 6>(Л) высота /г(Л) многообразия А определя-
ется так (см. (5.5.11)):
/z(4) = P^degWH).	(5.5.15)
К примеру, если К =Q и а — одна из образующих ±а в Z-модуле ы(А)%
(дифференциал Нерона), то
\ |а Л а| ].
Л (С)	/
Доказательство принципа конечности для высоты h(A) разбивается
на следующие шаги.
1.	Редукция к утверждению о конечности для абелевых много-
образий, допускающих главную поляризацию. Это опять можно сделать
с помощью «кватернионного приема» Ю. Г. Зархина, который доказал, что
если А — произвольное абелево многообразие над /<, а Л v —двойственное
многообразие, то на абелевом многообразии А4 х (Л47)4 всегда существует
главная поляризация (см. [853]).
2.	Изучение пространства модулей Ag/Q классов ^-изоморфизма
пар (Л, 9), где 9 — главная поляризация многообразия Л. Это нормаль-
ад = 4'’8(^
§5.5]
Теорема Фальтингса и проблемы конечности
287
ное алгебраическое многообразие некомпактно при и различные
его компактификации устроены достаточно сложно, см. [334]; dimX^ =
= gig + 1)/2- Если g = 1, то Ag является аффинной прямой над Q, пара-
метризующей эллиптические кривые с помощью эллиптического модуляр-
ного инварианта (5.3.12). Пара (Л, 0), определенная над /(, задает точку
7(Л, 0) е Ag(K), и можно определить высоту точек ДЛ, 0) для различных
проективных вложений многообразия Ag, определенного над Q.
3.	Каноническое проективное вложение Ag строится с помощью
зигелевых модулярных форм, которые можно рассматривать как глобаль-
ные сечения линейных расслоений, совпадающих с некоторой кратностью
канонического линейного расслоения на Ag, см. [38], [39], [340]. Такая
высота точки /(Л, 0) называется модулярной высотой. Сравнение высоты
Фальтингса /г(Л) с модулярной высотой показывает, что эти две высоты
не очень отличаются. Отсюда следует принцип конечности, поскольку
имеется только конечное число классов изоморфизма пар (Л, 0) над К,
у которых модулярная высота соответствующих точек модулей ограничена
(см. п. 5.2.5).
Указанные три шага только обозначают стратегию доказательства
принципа конечности; выполнение этой программы требует весьма слож-
ной техники, см. также обзор Мазура [561].
5.	5.7. Гипотеза Т и поведение высоты при изогениях. Согласно
принципу конечности из п. 5.5.6 гипотеза Т и гипотеза Морделла сво-
дятся к утверждению о том, что для /(-изогенных многообразий Л и В
величина \h(A) — h(B)\ ограничена.
Доказательство выводится из теорем I и II, приводимых ниже.
Теорема I. Пусть р — простое число, неразветвленное в К. Су-
ществует конечное множество М = М(К, р, g) простых чисел, удо-
влетворяющих следующему условию. Если А — абелево многообразие
размерности g над К, имеющее хорошую редукцию во всех точках,
лежащих над р, а 5(Л) — множество всех простых чисел, над кото-
рыми лежат точки плохой редукции многообразия А, то для любой
изогении А —> В, степень которой не делится ни на одно простое
число из Ми 5(Л), выполняется равенство h(A) = /г(В).
В частности, для абелева многообразия Л над К найдется такой ко-
нечный набор М простых чисел, что имеется лишь конечное множество
абелевых многообразий В над К (рассматриваемых с точностью до /(-изо-
морфизма), для которых существует /(-изогения Л —> В, степени, не деля-
щейся ни на одно простое число из М.
Теорема II. Пусть А — абелево многообразие над К, I — произ-
вольное фиксированное простое число. Множество абелевых много-
образий В, для которых существует К-изогения А —> В степени 1т
(т 1), конечно (с точностью до К-изоморфизма).
288
Арифметика алгебраических многообразий
[Гл. 5
Доказательство теорем I и II проводится с помощью формул, явно зада-
ющих поведение высоты h(A) при изогениях. В хорошем случае (теорема 1)
эта высота не меняется, поскольку тогда можно определить изоморфизм
соответствующих метризованных модулей <о(А) и о(В) (степени ко-
торых равны).
Доказательство теоремы 2 проводится от противного, и строится такая
последовательность /(-изогений абелевых многообразий
А В(1)	В(2)	В(п+\)
что ядра и^=Кег(Л—образуют /-делимую группу. Применение извест-
ных результатов о строении и свойствах /-делимых групп позволило дока-
зать, что последовательность h(B^) стабилизируется начиная с некоторого
по, и теорема 2 получается применением принципа конечности для высоты.
Гипотеза Т непосредственно выводится из теорем I и II, так как любую
изогению А —> В можно разложить в композицию изогений
Л —> В(о) —> B(i)	В(л) = В,
удовлетворяющих следующим условиям:
а)	степень изогении А —> В(0) не делится ни на одйо простое число из
конечного множества М U S(A) = {/ь /2, ..., 1п} из теоремы I;
б)	степень изогении Вц_\) —> Вщ является степенью простого числа /,.
Согласно теореме I, существует лишь конечное число возможностей
для многообразия В(0) (с точностью до /(-изоморфизма). Согласно тео-
реме II, примененной к абелеву многообразию В(0) и простому числу Л,
существует лишь конечное число возможностей для многообразия B(i)i,
и индуктивное рассуждение показывает, что и для многообразия В = В(„)
имеется лишь конечное число возможностей (см. [39], с. 383-384). Этим
полностью завершается доказательство гипотезы Морделла, а также ги-
потезы Т, гипотезы Шафаревича и гипотез Тэйта.
В п. 5.5.1 было упомянуто о второй гипотезе Шафаревича. Ее мож-
но переформулировать как утверждение о несуществовании гладких соб-
ственных схем над SpecZ относительной размерности 1 и рода не ниже 1.
Геометрический аналог этой гипотезы полностью исследован и обсужда-
ется в [105] как мотивировка для изучения арифметического случая.
В 80-х гг. Ж.-М. Фонтен [344] и независимо В. А. Абрашкин (см. [39])
доказали, что над кольцами целых полей алгебраических чисел Q, Q(\/-T),
^(хЛ^), Q(x/~3), Q(x/-7), Q(x/2), Q(x/5), Q(^T) не существует гладких
абелевых схем.
ГЛАВА 6
ДЗЕТА-ФУНКЦИИ И МОДУЛЯРНЫЕ ФОРМЫ
§6.1. Дзета-функции арифметических схем
6.1.1.	Определение дзета-функций ([64], [107], [715]). Пусть X —
схема конечного типа над SpecZ (см. §5.1). Замкнутые точки х е X выде-
ляются условием конечности поля вычетов /?(х) точки х; число элементов
поля /?(х) называется нормой точки х и обозначается N(x). Множество
всех замкнутых точек обозначается X и является дискретным топологиче-
ским пространством.
Дзета-функция схемы X определяется как эйлерово произведение
ЦХ, s) = Ц(1 - N(x)-S)-'.	(6.1.1)
хех
В случае X = SpecZ определение (6.1.1) приводит к дзета-функции Ри-
мана £(s) в силу тождества Эйлера:
С(5) = £п-5 = П(1-Р_5Г‘.	(6.1.2)
П=1	р
Для арифметической схемы существует лишь конечное число точек с дан-
ной нормой, поэтому произведение (6.1.1) представляет собой формальный
ряд Дирихле 22X1 ann~s с Целыми коэффициентами.
Теорема 6.1. Произведение (6.1.1) абсолютно сходится при Res >
> dimX, где dimX — размерность схемы (см. п. 5.1.9).
Доказательство этого факта можно свести к следующим частным слу-
чаям:
а)	X = SpecZ[7i, ..., Тп\, тогда произведение приобретает вид
С(Х, S) = По - Pn~sr' = Us - П)-,	(6.1.3)
р
б)	X = SpecFp[7’i, ..., Гл], тогда
C(X,s) = (l-p"_Tl.	(6.1.4)
290
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
Равенство (6.1.3) вытекает из соотношения (6.1.4), которое, в свою оче-
редь, получается из следующего подсчета числа замкнутых точек произ-
вольного многообразия X над конечным полем F7 (q = pr).
Пусть rik = Card {x e X: Nx = qk] — число замкнутых точек с нор-
мой qk, a v/ = CardX(Fg/) — число геометрических точек со значениями
в ¥qi (т. е. морфизмов SpecF^/ -+Х).
Лемма 6.2. Числа vi и конечны и связаны друг с другом тож-
деством
Vi=^knk.	(6.1.5)
k\i
Этот факт вытекает из того, что для данной точки х е X, удовлетворя-
ющей условию Nx = qk, существует ровно k вложений полей /?(х)	F^/,
т. е. морфизмов SpecF^ —> Spec/?(x) ^->Х, при k | /.
Теперь мы получаем
оо
s)	= П(1 - Q~ksrn^
k=\
оо	ОО оо	-kms
10gC(X, s) = -J21og(l ~ q~ks}nk = ^^nkq—^- =
k=\	k=\ m=\
(Мы сделали замену переменной I = km и учли равенство (6.1.5).)
Если X = SpecF^f7*1, ...,	Тп],	то	у/ —qln (число точек аффинного про-
странства	над F^/). Поэтому	при	q =	р мы имеем
°° nin	°°	n-i(s-n)
\ogWp, s)=^2 7- • p~ls=52 ~i— = -	- pn~s}'
l=\	l=\
что доказывает равенство (6.1.4).
В обоих случаях (6.1.3) и (6.1.4) при Res >dimX имеет место абсо-
лютная сходимость произведения (6.1.1).
Аналогично устанавливается (см. [64]), что
(6-1.7)
C(Pz, s) = П П 0 - Р^~т}Г' = П C(S - т).
р т=0	т=0
§6.1]
Дзета-функции арифметических схем
291
6.1.2.	Аналитическое продолжение дзета-функций. Существует ги-
потеза, что функцию £(Х, s) можно продолжить на всю ^-плоскость; эта
гипотеза доказана для многих схем. В общем случае известен лишь более
слабый результат.
Теорема 6.3. Функция £(Х, s) допускает мероморфное аналити-
ческое продолжение в полуплоскость Re(s) > dimX - 1/2.
Особенности функции £(Х, s) в полосе dim / — 1/2 < Re(s) dim/
имеют следующий вид.
Теорема 6.4. Предположим, что схема X неприводима, и пусть
R(X) — поле вычетов ее общей точки.
1.	Если char/?(X) = 0, то единственным полюсом функции £(Х, $)
при Re(s) > dim/ - 1/2 является точка s = dim / и этот полюс про-
стой.
2.	Если char/?(X) = р 0, то пусть q — такая высшая степень чис-
ла р, что R(X) содержит поле F^. Единственными особенностями
функции ^(Х, s) при Re(s) >dimX — 1/2 являются простые полюсы
в точках
s = dimX + =^ (neZ).	(6.1.8)
log?
Следствие 6.5. Для любой непустой схемы X точка s = dimX яв-
ляется полюсом функции ^{s, X), и его порядок которого равен числу
тех неприводимых компонент схемы X, размерность которых равна
dim/.
Следствие 6.6. Областью абсолютной сходимости ряда Дирихле
ЦХ, s) является полуплоскость Res > dimX.
Теоремы 6.3 и 6.4 глубже, чем теорема 6.1. В их доказательстве ис-
пользуется вариант гипотезы Римана для кривых X над F^, доказанный
А. Вейлем, см. [825], [715], [76], [507].
6.1.3.	Схемы над конечным полем и теорема Делиня ([300]). Если
X —схема над F^, то для всех х е X поле R(x) является конечным расши-
рением поля F^, поэтому Nx = ?degx, где число degx называется степенью
точки х. При изучении функции £(Х, s) в этом случае удобно рассматри-
вать новую переменную t = q~s, тогда
^(X,s) = Z(X,?-s),	(6.1.9)
где Z(X, t)—степенной ряд, заданный произведением
Z(x, 0 = П<* -<de8X)_1-
хех
Если nk = Card {х е X: degx = k},	= CardX(F^), то мы видели, что
оо I
logZ(X,/) = ^vZp vt = ^knk,	(6.1.10)
/=1	k\l
292
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
поэтому

Равенство (6.1.10) принимают иногда за определение дзета-функции и пи-
шут
Z(X, O = expj^CardX(F?,)-у >.
L=i
(6.1.12)
Замечательное свойство дзета-функций Z(X, t) — их рациональность
от переменной t—установлено Дворком, см. [321]. Утверждение о ра-
циональности имеет прямой арифметический смысл: числа V/, т. е. числа
решений системы уравнений в конечных полях ¥qi, должны удовлетворять
некоторому рекуррентному соотношению вида
п-1
»1+п = ^2^1+1
i=0
для достаточно больших / (и, т/ — некоторые фиксированные константы).
Легко проверяется также, что рациональность функции Z(X, f) эквива-
лентна существованию комплексных чисел oq и 0/, для которых
(6.1.13)
/ *
при всех / > 1. Действительно, это получается взятием логарифмической
производной от тождества
па-*/*)
Z(x'= П(1-₽/0
/
с учетом формулы (6.1.11).
Для исследований функции Z(X, /) фундаментальное значение имеет то
обстоятельство, что число можно представить как число неподвижных
точек некоторого отображения Fk, действующего на множестве геометри-
ческих точек X(F^).
Определение 6.7. Морфизм Фробениуса F: X —>Х схемы X над F^
определяется на любой аффинной открытой подсхеме Spec/lcX с по-
мощью гомоморфизма колец a^aq; на топологическом пространстве X
морфизм F действует тождественно.
Определено отображение множеств (уже не тождественное!)
F:X(F,)^X(F.),	(6.1.14)
§6.1]
Дзета-функции арифметических схем
293
и множество X(F^) совпадает с множеством неподвижных точек отображе-
ния Fk: X(F^) —> X(F^): точку (peX(F^) можно представить гомоморфиз-
мом <р: А —>F7, где Spec Л — аффинное открытое множество, содержащее
cp(SpecF^). Точка Fk{q) определяется гомоморфизмом
/-<?(// (/еЛ).
Мы видим, что условие <р € X(F^*) равносильно включению Im<p с F^ с F7
и (f(f)qk = <р(/), так как F^ ={х е F<?: xqk = х}.
Предположение о рациональности дзета-функции было одной из ги-
потез, сформулированных А. Вейлем в 1949 г. Данное Дворком доказа-
тельство рациональности представляет собой первый важный шаг на пути
к доказательству этих гипотез. Завершающий шаг был сделан в 1973 г.
Делинем, получившим доказательство так называемой «гипотезы Римана»
для алгебраических многообразий X/¥q.
Когда X — гладкое проективное многообразие над F^, гипотезы Вейля
формулируются так (см. [825], [300], [579]):
W1) {рациональность)
Р\{Х, t)... P2d_\{X, t)
Z(A-')= JW.O-WO '	<6115)
где d = dimX, и каждая из функций РГ{Х, t)— многочлен с коэффициен-
тами из С и РГ(Х, 0) = 1;
W2) {целость)
P0(X,t)=l-t, P2d(X, t) = l -qdt,	(6.1.16)
и каждый из многочленов Pr(X, t) равен П(1 - где — целые ал-
гебраические числа;
W3) {функциональное уравнение)
Z(\/qdt) = ±qd*/2t*Z(t),	(6.1.17)
где х—эйлерова характеристика многообразия X, которая определяет-
ся алгебраически как / = (Д • Д) (индекс самопересечения диагонали Д С
СХ хХ);
W4) {гипотеза Римана), каждое из чисел и их сопряженных по
абсолютной величине равно qr^2\
W5) если X является редукцией гладкого проективного многообразия Y
над числовым полем, то степень многочлена РГ{Х, I) равна r-му числу Бет-
ти комплексного многообразия У(С).
В частности, если X — кривая над F^, то все эти свойства были уста-
новлены Вейлем, и
294	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
где L(t) = nf£i(l “	€ Z[/] (g — род кривой X), причем
|Ol| = ... = |O2g| = 7g,
откуда с помощью соотношений (6.1.11), (6.1.13) получаем
2g
Card = ?‘ + 1 - £ ы?,
/=1
| Card Ж,) - qk - 1| <2g^q.
Элементарное доказательство оценок (6.1.19) нашел С. А. Степанов,
см. [90], [91], [92], [183].
Доказательство гипотез Вейля основано на идее из теории компактных
топологических многообразий. Если на таком многообразии V действу-
ет некоторый эндоморфизм F, то для числа v(F) его неподвижных точек
(надлежащим образом определенного) справедлива знаменитая формула
Лефшеца
dim V
.	(6.1.20)
/=0
(под знаком суммы стоят следы линейных операторов, которые индуциру-
ет эндоморфизм F на пространствах когомологий Hl(V) с комплексными
коэффициентами). В этой ситуации можно ввести аналог (логарифмиче-
ской производной) дзета-функции v(Fk)tk, и его нетрудно вычис-
лить. Пусть (ос/;)/=1 ь, —характеристические корни линейного оператора
Hl(F) = F\H /(У) на a bi = dimHl(V)— числа Бетти, тогда
Ь,	dim V bt
TrH‘(Fk) = £< v(Fk) = £(-1)'
/=1	z=0	/ = 1
поэтому
oo	dim V	bt / oo \
k=\	i=0	/ = 1 V=1	/
dim V	bi	. dim V
= (6L2I>
1=0	/ = 1	4	i=0	j
Зададим теперь ряд Z(t) условиями Z(0) = 1 и
'ж=Ёл*
§6.1]
Дзета-функции арифметических схем
295
тогда из соотношения (6.1.21) мы получим
dim V / bt	\ (—О'
Z«=I1
/=0 \/ = 1	/
Тем самым, в модельной задаче Z-функция оказывается рациональной
и вычисляется до конца. Основываясь на этом, А. Вейль высказал гипо-
тезы W1)—W5) и доказал их для кривых и абелевых многообразий. Для
этих многообразий он ввел понятие, представляющее собой аналог группы
Н'(Х), и доказал формулу Лефшеца того же вида, что и в топологическом
случае. Этим понятием является модуль Тэйта Ti(Jx) якобиана кривой
X над F7 (соответственно абелева многообразия над F^). В общем случае
аналоги (топологических) групп Н1 были построены Гротендиком (эталь-
ные когомологии Н[{(Х, Q/)) с помощью видоизменения самого понятия
топологического пространства, которое он предложил заменить на неко-
торую категорию накрытий (в топологическом случае объекты — открытые
множества, а морфизмы — их естественные вложения, см. [388]).
Использование групп Н^(Х, Q/) и более общих групп когомологий пуч-
ков (в этальной топологии) позволило Делиню доказать гипотезы Вейля
(см. [300], [303], [450], а также [388, SGA5]).
6.1.4.	Дзета-функции и тригонометрические суммы ([450], [454],
[107]). Традиционный способ подсчета числа решений сравнения или си-
стемы сравнений по простому модулю связан с использованием триго-
нометрических сумм. Формулы для величин у,- = CardX(F^) можно по-
лучать с помощью характеров Дирихле /: F* —>СХ (мультипликативных
характеров поля F^). Тождественный характер е считается равным 1 на
всем множестве F^. Если т делит q — 1, то имеет место соотношение
CardfxeF,: хт = а} =	Х(а)-	(6.1.22)
Рассмотрим гауссову сумму характера / е:
g(x) = 12 х«Тг(х)>
где Тг: F^ ->FP —след, Ц = 1Д / 1.
В работах Хассе и Давенпорта 1934 г. была обнаружена связь между
тригонометрическими суммами над конечными полями и нулями дзета-функ-
ций, см. [293], [432], гл. 11, §3, теорема 2, а также [388, SGA5].
Пример 6.8. Дзета-функция гиперповерхности. Пусть
X: а^ + ахТ™ + ... + апТ™ = Ъ
296
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
— гиперповерхность в Рл над причем ао, а\, ..., ап еF* и g =
= 1 (modm). Тогда
,6L23>
где P(t) обозначает многочлен
И fl -(-l)n+l^Xo(ao1) --X«(an‘)^(Xo)---g(Xn)^\
причем /о, Хь •••» Хл — произвольные наборы (п + 1)-характеров Дирихле
X/: F* —> Сх, удовлетворяющих условиям
Х«/е, хГ = е, ХоХ1-Хл=е-
Доказательство формулы (6.1.23) основано на подсчете величин vz- =
= CardX(F^) с помощью равенства (6.1.22) через суммы Якоби и суммы
Гаусса (см. п. 2.2.2) и использовании соотношения Давенпорта—Хассе:
для произвольного нетривиального характера Дирихле х поля F7 опреде-
лим характер х' = X ° N поля ¥qi, где N: Fxz —> Fx — норменное отобра-
жение, тогда справедливо равенство
-g(x') = (-^(x))Z-	(6.1.24)
Соотношение (6.1.24) позволяет явно указать числа вида а/ и 07-, для ко-
торых при всех / > 1 выполняется равенство
CardX(F?,) =
/ i
откуда по формуле (6.1.13) следует соотношение (6.1.23).
В классической теории оценки тригонометрических сумм применялись
для оценки числа геометрических точек многообразий над конечными по-
лями. Обратно, оценки из гипотезы А. Вейля W4) могут успешно исполь-
зоваться для изучения тригонометрических сумм довольного общего вида.
Приведем простой пример (см. [108], с. 87).
Пусть /(Г) € Fp[7], 0 < deg f = т < р и = 1, £ / 1. Тогда имеет ме-
сто оценка
р-1
х=0
ту/р.
(6.1.25)
Для доказательства рассматривается вспомогательная кривая ур — у =
= /(х). Она неприводима в силу условия на deg/. Кривую, полученную
разрешением особенностей ее проективного замыкания, обозначим че-
§6.11
Дзета-функции арифметических схем
297
рез X и рассмотрим проекцию X—>Р!, заданную по формуле (х, //)»-> х.
Тогда
Ц(1 - N(?)-s)-‘ = П По- N(?)-s)-’.	(6.1.26)
хЕрГ п(?)=х
Равенство тс(£) = оо выполнено для единственной точки £еХ, и соот-
ветствующее внутреннее произведение равно (1 — p~s)~l. Если тс(£) оо,
то предположим, что уравнение ур — у = /(хо) разрешимо в поле Fp(xq)
(£ = (%0, z/0)). Тогда слой к над Хо состоит из р точек вида
(*о, М (*о,//о+1),	• , (*о, Уо + Р - 1)
с нормой N(xo) и внутреннее произведение равно (1 — N(xo)-S)-P. Иначе
оно равно (1 — N(xo)-ps)-1. Разрешимость уравнения ур — у = а в Fp(xo)
равносильна тому, что
degxo-l
ТгГр(х0)/₽Да) = 0, т.е. аР‘ = °>
i=Q
или
12 f^p'=£ Ж )' = Е =°-
i	i	P(x)=0
где в последней сумме х пробегает все корни неприводимого многочлена Р,
отвечающего замкнутой точке Хо = тс(£) еР^оо. Таким образом, внутрен-
нее произведение в выражении (6.1.26) равно
р-1
г=0
где
Х(Р) = ^Р\ ЦР)= Е Ах), N(P) = pdegp.
Р(х)=0
Положив t = p~s, мы видим, что
р-1
Z(X, /) = (!- /)-• П По - xWdegT',
Р г=0
где Р пробегает все неприводимые унитарные многочлены из Fp [/]. Выде-
лив множители, в которых г = 0, получаем
1	р~х
г(Л''»= o-wiTo П По -
298	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Для любого многочлена G со старшим коэффициентом 1 положим
X(G)= £ Х(О = ^<0).
G(x)=0
где пх — кратность корня % многочлена G. Функция / мультипликатив-
на, поэтому мы получаем равенство
= -xWdegpr' =YA(GYtieeG-
Р	G
Можно проверить, что Lr(t) является многочленом и degLr(f) < deg/,
а коэффициент при первой степени t равен
р-1
Е ХГ(Г - а) = Е ?ЧТ~а} = Е ^(а)-
aGFp	aeFp	а=0
Но каждая из этих сумм равна сумме некоторых (обращенных) корней
функции Z(X, t). Число этих корней равно degLr(t) < deg/, а каждый
из них не превосходит по абсолютной величине, откуда вытекает оцен-
ка (6.1.25).
Применение когомологической техники и методов теории представле-
ний к изучению тригонометрических сумм общего вида над конечными
полями получило большое развитие в работах Катца [450], [454], [455],
а также Делиня и др. в 70—80-х гг. XX в., см. [300], [303], [209], а так-
же [388, SGA5]. В этих исследованиях тригонометрическая сумма интер-
претируется как след некоторого оператора (оператора Фробениуса или
оператора монодромии), действующего в пространстве сечений специ-
ально построенного пучка на алгебраическом многообразии. Таким спосо-
бом общие тригонометрические суммы строятся с помощью групп когомо-
логий с компактным носителем на подходящем накрытии Артина—Шрай-
ера W некоторого аффинного многообразия V. Тогда оценка тригономет-
рических сумм может быть сведена к оценке А. Вейля W4) применитель-
но к гладкой компактификации многообразия W при условии, что такая
компактификация существует (в примере был рассмотрен случай кривых).
В общем случае неизвестно даже существование такой компактификации,
однако эту трудность можно обойти с помощью техники из второй части
работы Делиня о гипотезе Вейля [303], содержащей широкое обобщение
этих гипотез. Это обобщение указывает собственные значения элемента
Фробениуса для когомологий с компактным носителем пучков на произ-
вольных многообразиях, в то время как первоначальная формулировка ги-
потез относится, по существу, к постоянным пучкам на гладком проектив-
ном многообразии. Впечатляющие примеры того, как работают обобщения
гипотез А. Вейля, даны Катцом на примере оценок многомерных сумм Кло-
§6.11	Дзета-функции арифметических схем	299
стермана (см. [454])
К1(р, п, а) = ^2 expj y-(xi + ...+х„) 1
*1 бГр
xi-...-xn=a
и установления свойств их равномерной распределенности по а е F*
при р —> оо. Для /-адического пучка на алгебраической кривой над конеч-
ным полем свойства равномерного распределения локальных следов Фро-
бениуса естественно формулируются в терминах некоторой полупростой
алгебраической группы GgeOm над полем Q/, которая определяется как за-
мыкание по Зарисскому образа геометрической фундаментальной группы
данной кривой в соответствующем /-адическом представлении. При до-
вольно общих предположениях и выборе вложения Q/ в С так получается
комплексная группа GgeOm(C), элементам Фробениуса после нормализа-
ции отвечают точки в пространстве классов сопряженных элементов
максимальной компактной подгруппы К группы С8еот(С), а равномерная
распределенность понимается в смысле пространства с мерой Д по-
лученной из меры Хаара на группе К. Для многомерных сумм Клостер-
мана эта конструкция приводит к группам
Ggeom = Sp(ft) Для четного п и произвольного р,
Ggeom = Sl(n) для нечетного рп,
Ggeom = SO (я) для р = 2 и нечетного п 3, п 7,
а также Ggeom = G2 для р = 2, п = 7.
Этими методами устанавливаются и свойства равномерной распределен-
ности нормализованных гауссовых сумм (см. [454])
6(a) =	) = 1 ^2 ф(х)ха(х), |0(а)| = 1,
где ф— нетривиальный аддитивный характер группы Fq, / — образующая
циклической группы мультипликативных характеров группы F*, 1 < а <
< q — 2. Катц доказал, что для фиксированного г 1 набор г «углов»
(0(а+1), 0(а+ 2)....0(а + г)) е (S1)'
для 0 ^а ^q — 2 — г становится равномерно распределенным относитель-
но меры Хаара на (S1)r при q оо.
Интересная конструкция /-адического преобразования Фурье пучков
на Ап предложена Брилинским и Ломоном, см. [209], [455].
Эти результаты тесно связаны с гипотезой Сато—Тэйта о равно-
мерном распределении на отрезке [0, тс] аргументов срр автоморфизмов
300	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Фробениуса относительно меры - sin2 (fdcf (для параболических форм f
без комплексного умножения) (см. гл. I в [716], [576] и п. 6.5.1). О по-
следних достижениях в этой области можно узнать из [456], [457], [576],
[692].
§ 6.2. L-функции, теория Тэйта и явные формулы
6.2.1. L-функции рациональных представлений Галуа. Пусть К —
числовое поле, — множество его точек (классов эквивалентных норми-
рований),
p:GK —>GL(V)	(6.2.1)
— представление группы Галуа Gr = G(K/K) в конечномерном векторном
пространстве V над полем F нулевой характеристики, которое обычно бу-
дет предполагаться вложенным в С (в примерах и приложениях F = Q/,
С или Q). Назовем представление р неразветвленным над неархимедовой
точкой v, если для всех точек w поля К, делящих v, выполнено равенство
р(/(^)) = {1 v}, где /(йу) — группа инерции точки w над v. В этой ситуации
представление р пропускается через факторгруппу
G(-)//(-) Gk{v} = G^/p^/^/p.))
где G(Dy) — группа разложения точки ш, Gk(v) — группа Галуа алгеб-
раического замыкания O^/pw поля вычетов k(v) = Ok/$v с канониче-
ской образующей — автоморфизмом Фробениуса Fry(x) = xNu. При дру-
гом выборе точки ш, продолжающей v, элемент p(Fry) меняется на сопря-
женный, поэтому определены класс сопряженности элемента Фробениуса
Fu p = {p(Frv)} и характеристический многочлен
Pv^(t) = det(l v ~tFv^,	(6.2.2)
Предположим, что Е — числовое поле, вложенное в С. Назовем пред-
ставление р рациональным (соответственно целым) над £, если существует
такое конечное множество точек ScS/(, что
а) для всех v € Sx\S представление р неразветвлено над v,
б) коэффициенты многочлена Pv#(t) лежат в £ (в кольце целых О к).
Пусть s — комплексное число, v S. Тогда
d
Pv.^v-S) = det(l v - (Nv)-SF„,₽) = П(1 - Xi.JNv)-5),
/=1
где d = dim V, — алгебраические числа (отождествляемые с комплекс-
ными числами при фиксированном вложении /:	С).
§ 6.2]	L-функции, теория Тэйта и явные формулы	301
Определим Е-функцию рационального представления
Цр,5) = ПРи,р(№-5)-'.	(6.2.3)
v&S
Это формальный ряд Дирихле ann~s с коэффициентами из Е. Во
всех известных случаях существует такая константа с, что |Х/^| < (Nv)c,
что влечет сходимость ряда (6.2.3) в некоторой правой полуплоскости (точ-
нее, при Re(s) > 1 -he).
Существуют различные способы дополнить произведение (6.2.3) ко-
нечным числом недостающих множителей, отвечающих точке v е S. Если
v — неархимедова точка, то рассматривают подпространство в И, со-
стоящее из элементов, неподвижных при действии групп инерции для
точек ш, делящих v. Если представление р разветвлено в v, то / V
(возможно, что — {0}). Корректно определены элемент p(Fry)|и ха-
рактеристический многочлен
Pv^t) = det (1 V(v) - /p(FrD)| yw),
степень которого меньше d в разветвленном случае. Положим
Lp(p, s) = Pv,p(Nu-s)-‘.
Если v — архимедова точка, то определение множителей ЕДр, $) можно
дать, если на V имеется некоторая дополнительная структура (структу-
ра Ходжа), и эти множители выражаются тогда в терминах следующих
функций (см. таблицу в [301], а также п. Ш.3.1):
rR(S) = тс“^2Г(х/2), Гс(х) = 2(2Tt)-sr(s).	(6.2.4)
Дополнительные множители важны при изучении функциональных урав-
нений Е-функций. Если положить
Л(р,5) = П^(р,«),	(6.2.5)
V
то в ряде важных случаев удается доказать, что функции (6.2.5) допускают
аналитическое продолжение на всю $-плоскость и удовлетворяют некото-
рому функциональному уравнению, связывающему Л(р, s) и A(pv, k - s),
где pv — представление, контраградиентное к р, k — некоторое число.
Пример 6.9. Если /— примитивный характер Дирихле, то по теореме
Кронекера—Вебера характеру / отвечает такое одномерное представле-
ние рх: Gq Сх, что
оо
МРх^) = П(1 -X(P)P_S)_1 =Ms, х) =	•
Р	/2=1
302
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
Пусть 8 = 0 или 1, так что выполнено условие у(— 1) = (—I)8. Тогда
Л(Рх> «) = rR(s + 8)L(px, s) = 5(s, X)
и имеет место функциональное уравнение
Л(Рх
1 — $) = г8^^Л(рх, $),
g(x) х
(6.2.6)
где Сх— кондуктор характера Х, причем функция £(s, Х) голоморфна на
всей s-плоскости, если характер Х нетривиален. Если характер Х тривиа-
лен, то функция £(s) = 7c-s/2r(<s/2)£(s) имеет единственный простой полюс
в точке s = 1 и выполнено функциональное уравнение
£(1 - s) = 5(S)	(6.2.7)
(символ g(x) в (6.2.6) обозначает гауссову сумму по модулю Сх).
6.2.2. Формализм Артина. Описанное определение Е-функций L(p, s)
принадлежит Артину (см. [134]), рассмотревшему случай представлений
с конечным образом Imp. В этой ситуации представление всегда Е-раци-
онально для некоторого конечного расширения Е поля* Q и полупросто (по
теореме Машке о представлениях конечных групп), а поэтому р одно-
значно определяется своим характером
Х₽(£) = ТгР(£) (яеОк)-
Если р — произвольное рациональное представление, то функция Цр, s)
однозначно определяется характером Хр: для этого достаточно рассмотреть
формальную логарифмическую производную ряда (6.2.3)
= - Е Е Е К,	(6.2.8)
v&S z = l т=\	v,m
где F™v обозначает класс сопряженности m-х степеней элементов из клас-
са FPtV. Часто используется обозначение ЦХр, s) = Цр, s).
Если
Р/: GK-+ GL(K) (/ = 1,2)
— два рациональных представления с характерами Х/ = Trpz, то определе-
ны также представления
pi Ф р2 • Ок —> ОЦИ1 ф И2),
(6.2.9)
pi 0 Р2* Gk —> ОЦИ1 0 И2),
характеры которых равны /1 + /2 и XiX2 соответственно, причем
L(Xi4-X2,s) = L(X1,s)MX2,s).	(6.2.10)
§6.2]
L-функции, теория Тэйта и явные формулы
303
Если К1 /К — произвольное конечное расширение, р'— представление
группы Gk' с характером то определено индуцированное представ-
ление р = Ind^,, р', характер которого дается формулой
Х<£) = 12 x'(Y-'gY),	(6.2.11)
yeGK/GKt
где у пробегает полную систему представителей левых смежных классов
G/< по G/</, и предполагается, что характер продолжен нулем на всю
группу G/(.
В этих обозначениях справедливо равенство
Цр, s) = L(p', s) (р = Ind£, р').	(6.2.12)
Если /С/К — конечное расширение Галуа, то — нормальная под-
группа конечного индекса. Для любого представления р группы G% (раци-
онального над Е) определим ограничение на подгруппу
Gk' : pi = Resp, pi: GK> -> GL(V).
Тогда имеет место формула факторизации Артина
L(pi,s) = П Цр ® Рх-s)degx,	(6.2.13)
XGlrrG(Kz//<)
где произведение берется по всем неприводимым представлениям фактор-
группы G^/G^ = G(Kf/К) с характерами /, deg/ = /(1) (предполагается,
что поле Е содержит при этом значения всех характеров /, представляю-
щие собой некоторые суммы корней из единицы).
В общем случае представление р всегда можно заменить полупростым
представлением, не изменяя его характера. Для этого рассматривается
композиционный ряд
У= И0)Э И(1)3...э Vtm> = {0},
состоящий из р-инвариантных подпространств с неприводимыми фактор-
пространствами	(0</<m-l). При этом представление р
группы Gk в пространстве
V =	ф У(1)/И2) ф ... ф у(т-1)/у(т)	(6.2.14)
полупросто, Е-рационально и имеет тот же характер, что и р; р называется
полупростой оболочкой представления р и однозначно определяется своим
характером.
Представлениер: G% GL(V) называется абелевым, если Imp — абе-
лева группа; в этом случае можно считать, что р определено как представ-
304	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6 Я
ление группы G^b = Gk/G£, где G£ — минимальная замкнутая подгруппа Я
в Gk, содержащая все коммутаторы, р: G^b —> GL(V).	S
Примеры таких представлений (на модуле Тэйта Vi(E) эллиптической I
кривой с комплексным умножением и на модуле Тэйта И/ Qi) = Q, (1) корней 1
/-примаркой степени из 1) были даны в §5.3 и 5.4.	|
Если же Im р — конечная группа (не обязательно абелева), то для неко- |
торого конечного расширения Галуа К'/К выполняется равенство Кегр= |
= G/</ и используется обозначение	|
L(s, х, K'//<) = L(p, s),	(6.2.15) j
где x — характер соответствующего представления
р: G(K'//() —► GL(V).
Функции вида L(s, х» Kz/К) называют L-функциями Артина; их можно
сводить к произведениям абелевых L-функций расширений поля К с по-
мощью формализма Артина и знаменитой теоремы Брауэра', если х —
характер представления некоторой конечной группы G (над С), то суще-
ствуют такие циклические подгруппы G; C G и их одномерные характе-
ры х/, что
Х = £>1п<х,- (a,GZ).	(6.2.16)
i
Если G = G(K'/К), то Gi = G(Kf/Ki) и из соотношений (6.2.10), (6.2.12)
вытекает, что
L(s, х, К'/Ю = П^5’ хь	(6.2.17)
Свойства абелевых L-функций числовых полей хорошо изучены и ана-
логичны свойствам L-рядов Дирихле: функция L(s, К'/Ki) допуска-
ет голоморфное аналитическое продолжение, за возможным исключени-
ем простого полюса в точке s = 1, если характер х/ тривиален. Отсюда
следует существование мероморфного аналитического продолжения лю-
бых L-функций Артина. Однако по-прежнему далека от доказательства
гипотеза Артина о голоморфности функций L(s, х» Kf/К) для харак-
теров неприводимых нетривиальных представлений G(Kf/К) так же, как
и обобщенная гипотеза Римана о том, что все нули ^-функций (6.2.17)
в полосе 0 < Re(s) < 1 лежат на прямой Re(s) = Трудность задачи го-
ломорфного продолжения L-функций Артина связана с отсутствием нело-
кального определения этих рядов в общем случае (в абелевом случае такое
определение дается с помощью рядов Дирихле, имеющих «периодические»
коэффициенты).
Тем не менее, в ряде интересных случаев гипотеза Артина была уста-
новлена при помощи преобразования Меллина автоморфных форм. Общее
§6.2]
L-функции, теория Тэйта и явные формулы
305
описание Л-рядов Артина в терминах автоморфных форм дается програм-
мой Ленглендса (см. §6.4, 6.5).
6.2.3.	Пример: дзета-функция Дедекинда. Пусть X = SpecO/<,
Ок — кольцо целых чисел поля /(. Дзета-функция Дедекинда поля К —
это бесконечное произведение
CK(s) = C(X,s)= J] (1-Np-Sr‘,
РСОк
которое абсолютно сходится при Res > 1, допускает аналитическое про-
должение на всю комплексную плоскость с единственным простым полю-
сом в точке s = 1 и вычетом, равным (см. [14], [836])
res^ (s) = hK2r> (2лр —%==,	(6.2.18)
s=l	WkV\Dk\
где Iir —число классов, R% — регулятор, Dr —дискриминант, —число
корней из единицы поля К и
К ®QR^Rfl eQcf2.
С точки зрения L-функций £k(s) отвечает тривиальному представлению
группы Gk (т. е. ограничению тривиального представления группы Gq на
G/<), поэтому если G(K/Q) — расширение Галуа, то по формуле фактори-
зации (6.2.13) имеем
CHs) = C(s) П Ms.X.Wegx. (6.2.19)
XGlrrG(K/Q)
где произведение берется по неприводимым нетривиальным представле-
ниям группы G(K/Q). Если расширение К/Q абелево, то из соотноше-
ния (6.2.19) следует формула для числа классов (см. [820])
поскольку ress=i£(s) = 1. Значения L(l, /) нетрудно вычислить: пусть у—
характер кондуктора Сх, тогда
а)	если х(—1) = — 1, то
Ц1,Х) = Т £	(6-2.21)
Х (fe.cx)=l
0<fe<Cx
кроме того,
ЦО, х) =	52 ЙХ(Й); в частнос™< ЦО, Хз) =	(6.2.22)
Х (£,Сх)=10<£<Сх
306	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
где хз(^) — (ср. с функциональным уравнением (6.2.6), также см. [414,
с. 66]); равенство (6.2.22) будет использовано в §7.2 при нахождении сво-
бодного члена ряда Эйзенштейна веса один;
б)	если /(-1) = 1, х / е, то
L(1,X) = -^ Е X(*)log|l(6.2.23)
х (ft.Cx)=l
0<£<Сх
где = ехр{2тс/'/Сх}— примитивный корень из 1 степени Сх, g(x) — гаус-
сова сумма. Формулы (6.2.21), (6.2.23) позволяют получить существенную
информацию о числе классов, регуляторе и строении группы классов С1к
абелевых полей, в частности круговых и квадратичных полей (см. [14]).
Если К — квадратичное поле дискриминанта D = Dk > 0, то
= Е х(^) logsin(7rfe/£>),	(6.2.24)
0<k<D/2
где е— фундаментальная единица поля /С, е > 1.
Если D = Dr < -4, то
hK = -\D\-' £ Х(^ = (2-Х(2))-' Е Х(*).	(6.2.25)
(k,D)=\	(&,£))= 1
0<£<|£>|	0<£<|£>|/2
и для оставшихся полей Q(\/^T) и Q(x/—3) выполняется равенство = 1.
Отметим, что существует и чисто арифметическое доказательство фор-
мулы для числа классов (6.2.25) в случае D^ \ (mod 8), найденное
Б. А. Венковым, см. [18]. Число
г , ч , D 2Г* (2к)Г2
х/( = resSx (s) = hKRK-~7=	(6.2.26)
s=i	wKy/\DK\
имеет содержательную интерпретацию как объем фундаментальной об-
ласти относительно меры р1 на группе J[K = {хе//<: ||х||= 1},
происходящей из нормализованной меры Хаара [1х на группе Jk (см. §4.3).
6.2.4.	Характеры Гекке и теория Тэйта ([230], [492], [836]). Абеле-
вы L-функции числового поля К можно описать с помощью теории полей
классов, которая, в частности, утверждает, что неприводимые представ-
ления группы СдЬ над С взаимно однозначно соответствуют характерам
конечного порядка группы классов иделей Ск — Jk/Kx. В классической
теории такие характеры известны как «периодические» характеры груп-
пы дробных идеалов поля К: для некоторого целого идеала пг с Ок пусть
S =	: ру делит пг} U EJJ? (конечное множество), Ед? — множество архи-
медовых точек. Пусть Is — свободная абелева группа, порожденная про-
§ 6.2]	L-функции, теория Тэйта и явные формулы	307
стыми идеалами, взаимно простыми с пг,
Р(т) = {хе/(х: хе 1 (modmOy) для v е S}.	(6.2.27)
Тогда для каждого одномерного представления р: G^b —>СХ существуют
целый идеал пг и такой характер /: Is —>СХ, тривиальный на подгруппе
главных дивизоров (Р(т)) вида (х), xeP(m), что p(Fr^) =/(рД Обобще-
нием Л-рядов Дирихле являются функции
L(S, х) = П(1 -X(Pf)Np7s)_| = 52 X(n)Nn“s< (6.2.28)
v*s	п+тп=ок
где п пробегает целые идеалы, взаимно простые с пг.
Гекке ввел новый класс характеров и Л-функций, которые уже не сво-
дятся, вообще говоря, к Л-функциям рациональных представлений Галуа !).
Эти характеры отвечают произвольным непрерывным гомоморфизмам
ф: JK/KX ^Сх	(6.2.29)
и в классических терминах описываются так: существуют такой идеал
пг С Ок и такой гомоморфизм /: Is —> Сх, что для всех х е Р(т) выпол-
няется равенство
х((*)) =	(6-2.30)
и|оо
где Ту: К С — вложение, ||х||v = |тух— соответствующее норма-
лизованное нормирование, tv, о е R, av е Z, если Kv = С, и av = 0 или 1,
если Kv — К. Поскольку /((х)) зависит только от дивизора (х), надо требо-
вать, чтобы правая часть равенства (6.2.30) была равна 1 для всех единиц
е € Р(т) А Ек. Идеал т, для которого выполняется условие (6.2.30), можно
выбрать наименьшим; этот наименьший идеал называется кондуктором
характера / и обозначается также пг = f(/). Условие (6.2.30) накладывает
некоторые ограничения на набор чисел tv, а и aVy и можно проверить, что
эти наборы образуют подгруппу группы (Z/2Z)fl ®Zr2 фКГ1+Г2 фй, изо-
морфную (Z/2Z)r‘ ®Zr2 ®Qr|+r2-1 фС (см. гл. 8 в [225], а также [107]
и [492]).
Соответствие между характерами фи/ задается с помощью гомомор-
физма взятия дивизора иделя (см. [230], гл. VIII])
divs: 4 ^/s, х = (хЛ~Пр”<Хо)’ (6.2.31)
V
1)В теории чисел используется следующая терминология: «грёссенхарактер» (по-русски),
«Grossencharaker» (по-немецки) и «grossencharacter» (по-английски).
308	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
и его сечения тс: 7s —>/к, которое определяется выбором локальных уни-
формизующих тсу е Ov (и(тсу) = 1, v^S): простой идеал ру переходит в
идель тс(и) = (... 1, тсу, 1, ...), у которого единственная нетривиальная ком-
понента имеет номер v и равна nv. Тогда характер ф отвечает единствен-
ному гомоморфизму х, для которого х(ри) = ф(тс(и)), причем построенное
соответствие является взаимно однозначным.
Примеры. 1. Если ф(х) = ||x||s = os(x), то m = (9/< и
X(py) = Np7s, fy = -Ims, o = -Res, av = 0.	(6.2.32)
2. Если К — мнимое квадратичное поле, К С С, то для произвольного
X существует такой идеал т, что
(У \ а
щ) |х|5 = xa\x\s~a	(6.2.33)
(для всех х е К\ х = \ (modm), а е Z).
3. Если К — вещественное квадратичное поле, К С R, то
X((x))=x2,ti₽/logE|x|s	(6.2.34)
для х = 1 (modm), х, х' > 0, р € Q, где е — фундаментальная единица поля,
К, х х' — квадратичное сопряжение.
Интерпретация характеров Гекке как характеров группы классов иде-
лей принадлежит Шевалле, см. [230]. Тэйт построил общую теорию, в рам-
ках которой устанавливается аналитическое продолжение и функциональ-
ное уравнение всех функций L(s, /); мы опишем вкратце основные положе-
ния этой теории, использующей анализ Фурье применительно к числовым
полям, см. [495], [787].
Каждый характер ф: /к/Кх —>СХ можно рассматривать как функцию
на Jk и разложить в произведение
Ф(х)=п<м-*д
V
где фу: К* —>СХ —квазихарактеры (непрерывные гомоморфизмы), при-
чем для почти всех v квазихарактер фу неразветвлен, т. е. фу ((9 х) = 1 (в си-
лу непрерывности характера ф). При этом |фу(ху)| = |Ху|g; число о = Кефу
называется вещественной частью квазихарактера фу.
Исходным пунктом теории Тэйта является представление локального
множителя L-функции Гекке
L(s, Х) = П(1 -X(Pv)N₽rs)-1 = $2 X(n)Nn“s (6.2.35)
V	n+m=C>
в виде некоторого интеграла по локально компактной группе К* с мерой
Хаара [1х, нормализованной условием pix ((9х) = 1.
§ 6.2]	L-функции, теория Тэйта и явные формулы	309
Пусть с \ К* —>СХ —неразветвленный квазихарактер. Имеем
c = U w-
Вычислим сначала § c(x)dpx(x), для этого положим х = Куе; тогда
Kot
5 c(x)dpx(x) = / 5 ^(еЖх(е)у(тс") = с(тси)'1
ко»	W	)
(в силу мультипликативной инвариантности рх(тслх) = рх(х)).
Если Rec > 0, то отсюда следует, что квазихарактер с интегрируем на
множестве Ov\{0} = |J и
§ c(x)dp*(x) = ^2 $ c(x)djiax(x) = ^2c(K„)', = (l-фи))_|. (6.2.36)
ОЛ(О)	п>0я"О„х	п^О
Если с — фуОя, то с(ку) = x(pu)Np“s в силу соотношения (6.2.30) и выра-
жение (6.2.36) является множителем Л-функции (6.2.35).
Более существенно, что все произведение (6.2.35) тоже можно интер-
претировать как инвариантный интеграл по некоторой группе. Множество
(9Д{0} в формуле (6.2.36) характерно для аддитивной, а не мультиплика-
тивной теории; в теории Тэйта важно использование аддитивной и муль-
типликативной структур вместе.
Пусть G — локально компактная абелева группа с мерой Хаара р;
символом ZJ(G) обозначим пространство интегрируемых функций на G.
Если ру— мера Хаара на аддитивной группе Kv. удовлетворяющая усло-
вию ри(<9у) = 1, тогда вычисление, аналогичное (6.2.36), показывает, что
(X) = (1 - Np;1)-1	(6.2.37)
|Х|у
(в силу мультипликативной инвариантности меры dpy(x)/|x|y). В частно-
сти, условие f е Lx(Ky) эквивалентно тому, что /(х)|х|“! € L{(KvY
Введем обозначение: для квазихарактера с\ К* -+ Сх и f € L\(KV) по-
ложим
^(/,С)= $ f(x)c(x)d^(x)	(6.2.38)
к*
и предположим, что fc^Lx(Ky) при Rec>0. Тогда если f = &о0\{о} —
характеристическая функция множества С\Д{0}, а квазихарактер с нераз-
ветвлен, то при Re((py<ds) > 0 имеем
Uf. U) = (1 - x(Pv)Npu-s)-‘.
310	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Далее, рассмотрим функцию f(x) = Y]fv(xv) на аддитивной группе аде-
V
лей А^, где fv^C[(Kv) и fv=bOv\^ для неархимедовых точек v. Для
квазихарактера с \ Jr/К* положим
С(/, С) = 5 f(x)c(x)d[ix(х) = П f S fv(xv)c(xv)d[ix(хи)\.
Тогда из вычисления (6.2.36) следует, что
W, = L(s, х) П <Ms),	(6.2.39)
ues
и в сделанных предположениях интеграл (и произведение) (6.2.39) абсо-
лютно сходится, если Re((pos) > 1. Аналитическое продолжение для функ-
ции L(s, /) строится с помощью интегрального представления (6.2.39),
в котором вспомогательные множители СД/и, фи<о5) (s € S) сводятся в
приложениях к гауссовым суммам и Г-функциям.
Техника аналитического продолжения основана на аппарате аддитив-
ного преобразования Фурье на группе А#, который включает следующие
основные моменты (см. [492], [105], [836]).
I. Выбор двойственности. Зафиксируем аддитивный характер
	X: Ак/К ^Сх,	Х(х) — Ху (Ху), V
где обычно пола! Ху(Ху) = <	га ют ехр{-2тс/Ху}, ехр{-4тс/ Re(Xy)},	если Kv — К; ecли^y =С;	(6.2.40)
Тогда определен	ехр{2л/{ТгкР/Ор хи}}, если [Kv: QJ < <х>. 1Ы изоморфизмы локально компактных коммутативных	
групп:	_	_
Kv — Kv,
(где Kv, &к —соответствующие группы характеров); при этих изоморфиз-
мах
х (Хх: У •-> Цух)) (х,у&Ак),
xv >-> (Хх0: У K(yxv)) (xv, у е Kv).
II. Самосогласованные меры. Строятся такие нормализованные меры
(It, и П^, что для преобразований Фурье
V
7(х)= f(y)X(xy)dp(y), 7у(ху)= fv(y)K(xvy)diiv(y) (6.2.41)
Ах	Kv
§6.2]
/.-функции, теория Тэйта и явные формулы
311
выполняются формулы обращения в следующей форме:
7(-х) = /(x), 7„(-xv) = fv(xv)	(6.2.42)
(при условии, что fv е L'(KV), f & L'(AK)).
Если v — неархимедова точка, то пусть bv с Ov —локальная диффе-
рента,
Ь^1 = {х € Kv : Ха(х//) = 1 для всех у € Оа},
b/с с Ок — глобальная дифферента,
Ь-1 = {х € /(: Tf/</q(xi/) е Z для всех у € Ок }.
Тогда мера (I определяется так:
Nba l/2pta,
= < dx,
2dx dy,
если точка v неархимедова,
если x e Kv = К,
если z = x 4- iy e Kv — C.
(6.2.43)
Важное свойство самосогласованной меры р состоит в том, что \L(kx/K) = 1;
при этом ЬкОи = Ьу и Nb/< = |О/<|.
В конкретных вычислениях используется соотношение ортогонально-
сти: для всякого характера X на компактной группе G выполняется равен-
ство
{u(G), если X = id,
Г	(6.2.44)
О, если X id.
Отсюда вытекает равенство
5 \v(xy)d\iv(y) = 8Ьр(х) • ра(Ov)
о„
и свойство самосогласованности (6.2.42) для неархимедовых точек v.
III. Формула суммирования Пауссона. Пусть f такая непрерывная
функция на Ад-, что |/| и |/| суммируемы на с Ак и ряд /(х + °0
равномерно сходится на всяком компактном подмножестве в А/</К. Тогда
52/(«) = 52 7(«).	(6.2.45)
aGK	aGK
Следствие 6.10. В сделанных предположениях для всех aeJf( спра-
ведливо равенство
52/(аа) = ||а|Г,^7(а-1а).	(6.2.46)
312
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
Перейдем к основному положению — выводу функционального урав-
нения для ^-функций. Потребуем, чтобы функция |/(х)|||х||° ПРИ любом
о> 1 была интегрируема на группе иделей тогда при Re((pos) > 1
определен интеграл
С(/, фыД = 5	(X).	(6.2.47)
Jk
Теорема 6.11. Функция ) продолжаема на всю s-плоскость,
и выполняется функциональное уравнение
ф^) = С(Лф-‘«1_5).	(6.2.48)
Для доказательства интеграл (6.2.47) разбивается на две части
С(/, с) -	fcdu* (с = фо5).
И»1	MCI
В силу условия на f первый интеграл сходится для всех с. Второй интеграл
преобразуем с помощью формулы Пуассона. Имеем
fcdu* = § A /(/x)c(/x)dpt’(x)\dv,
Mid	)
где dpt1 — мера на совместимая с d[i, и dv=\dt/t\ — мера на J/JlK =R^;
затем
§ f(tx)c(tx)dy.1 (х) — § / 57	>
J'k	С'к W*	J
где мера на С]к = J]K/KX индуцируется мерой dpt1. Внутренняя сумма равна
с(<х) 52 /(^ха) = с(/х) Р>2 Ktxa) ~	=
абХх	\аеХ	/
= c(tx)(||/х 1Г' £ 7(/-'х-‘а) - /(0)\ =
\ аек	/
=с(/х)Л|/х|г1 52 /а-’*-’») + ц/х||-,/(О) - дол
\ аекх	/
Положим теперь и — t~l, у = х-1; мера в JK\, очевидно, не меняется. Под-
ставляя результат под знак интеграла, для квазихарактера Ci = g)]C-1 =
= ф_|(д1_5 получаем
5 fcd[ix = 7cidptx +	§ c(/x)(||/x||-l?(0) - ftO))dpt*dv.
1|х||С1	1И1>1	RICic'
§6.2]
L-функции, теория Тэйта и явные формулы
313
Второй интеграл справа легко вычисляется с помощью соотношения ор-
тогональности (6.2.44); в результате мы получим, что
где х/( =р1(/1 /К*). Сумма двух интегралов в формуле (6.2.49) — целая
функция от s; функциональное уравнение (6.2.48) получается из (6.2.49)
формальным применением формулы обращения (6.2.42).
В качестве примера получим классический вид функционального урав-
нения для дзета-функции Дедекинда поля А. Положим fv=b&v для
неархимедовых точек V,
ехр{-тсх2},
£,(x)=J
(ехр{-2tc|z|2},
если Kv — К,
если Kv = С.
Тогда (см. соотношения (6.2.4))
^v(fv,s) = ^v(fv,s) = rKv(s) (Kv^KCl
и мы получаем, что
W, ^ = rR(syTc(sY^K(sl
С(А G>(_s) = \DK |(,/2>-srR(l - S)'TC(1 - S)4K(1 - s),
отсюда следует функциональное уравнение
AHs) = AK(l-s),	(6.2.50)
в котором
Л/^^) = |DK|s/2rR(Sprc(s)r4/((s).
В общем случае для произвольного квазихарактера можно предпола-
гать, что 22	=0 (заменив при необходимости s). Положим
и|оо
если Kv — К,
если Kv — С,
Dy, = \DK|N(f(x)); gv(x) = Е(х0Хр)(ет1р “(x)) — гауссова сумма ({е} —систе-
ма представителей смежных классов С>*/(1 + f(x)Ow), v(x) = u(f(x)) > ®)-
Тогда имеет место функциональное уравнение (см. [492], с. 161)
Ях)Л(«,х) = Л(1-5,х),
(6.2.51)
314
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
в котором
Л(5, Х) = Df П Lv(s, х) • L(S, Х),	(6.2.52)
и | ОС
а константа
r(x) = iMN(f(x))-1/2 П gv(x) П Х(ЬР"')
vesx vgsx
равна по абсолютной величине единице (Sx = {v | pv делит f(/)}, М =
= Е Ы)-
6.2.5. Явные формулы ([495], [827], [835], [594]). Мы уже отмечали
связь между нулями дзета-функции Римана £(s) и вопросом о поведении
тс(х) = 52 1 (Р— простые числа); эта связь выражается в явной формуле
р<х 2^	lZ.
для функции 52О/0тс(х|/9 через нули функции £(s), лежащие в критиче-
i=i
ской полосе 0 Res 1 {формула Римана—Мангольдта, см. п. 1.1.6).
Обобщение этой формулы применительно к Л-рядам Гекке A(s, /) бы-
ло предложено А. Вейлем и основано на разложении этой функции по ее
нулям (см. определение (6.2.52)).
Будем считать, что Re/ = 0 и выполнено нормировочное предположе-
ние 52 Положим 8Х = 1, если / = 1, и 0 в остальных случаях, тогда
и|оо
из доказательства теоремы о функциональном уравнении (6.2.48) выводит-
ся, что
[s(s - 1)]8хЛ(«, х)
является целой функцией порядка 1 и потому, по общей теореме из тео-
рии функций комплексной переменной, разлагается в произведение Вей-
ерштрасса, имеющее вид
A(s, х) = ax«As[s(s - 1)Г8* ПО -	(6-2.53)
СО
где со = (3 + iy пробегает все нули функции A(s, /) с их кратностями, а ах,
Ьх — некоторые константы. Основной результат формулируется как равен-
ство, связывающее сумму значений некоторой функции на степенях про-
стых идеалов с суммой значений преобразования Меллина этой функции
в нулях А-функции (6.2.53).
Рассмотрим комплекснозначную функцию F: R —> С, для которой су-
ществует такая константа а > 0, что F(x)e(I/2+fl)lxl G Li(R).
Тогда преобразование Меллина
$(s) = F{x)e(s~^x dx
— ос
§6.2]
Л-функции, теория Тэйта и явные формулы
315
представляет собой функцию, голоморфную в полосе -а < Res < 1 + а.
Предположим, что функция F удовлетворяет следующим дополнительным
требованиям.
А. Функция F непрерывно дифференцируема всюду, кроме конечного
числа точек а/, где F(x) и F'(x) имеют только разрывы первого рода, причем
F(a,) = i[F(aI+0) + F(a(-0)].
Б. Для некоторого числа b > 0 справедливы оценки
Л(х) = O(e-(1/2+ft)lxl)t F’(x) = O(e-(|/2+ft)lxl)
при |х | —> оо.
Тогда Ф($) = 0(|/1-1) равномерно в полосе -а1 < о < 1 + а', если 0 <
< а1 < b (а = Res, t = Ims).
Явная формула. В сделанных предположениях сумма ^2 Рас"
\х\<Т
пространенная на все нули со = 0 + /у функции L(s, /), удовлетворяющие
условиям 0 0 1 и |у| < Г, стремится к некоторому пределу при Т оо,
и этот предел равен
lim V Ф(ы)=5х Г Г(х)(Л-е"2) dx+F(O) Iog4x-
Т —>оо	J
|Y|<T	-оо
-Е Silx(₽)"/7dogNpn)+x(P)-,'/?(logNp_")]WV(FV), (6.2.54)
Р,л	и|оо
где Ах = к-'1 (27r)-2'*DxN(f(x)),
Fv(x) = F(x)e-“^ (nv = [Л„ : К]),
a Wv обозначает функционал, определенный равенством
Wv(g)= lim 5 О - e~y'M)Kv(x)g(x)dx -2g(0)logX ,
X—>oo
oo
причем Kv(x) определяется формулами
g(l/2—|a„|)|x|
Kv(x) = |eX_e_x| . при nv = 1;
g—(l/2)|avx|
Kv(X) = [gX/2—-х/2| ’	ПРИ «V = 2.
Явная формула (6.2.54) открывает богатые возможности для изуче-
ния тонких вопросов о распределении простых идеалов и образов элемен-
тов Фробениуса в абелевых представлениях для числовых полей. Имеется
316	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6 Я
аналог этих формул и в случае глобальных полей положительной характе- I
ристики, который позволяет очень точно оценивать число точек на кривых 1
над конечными полями и имеет другие приложения.	I
Логическая структура доказательства равенства (6.2.54) проста и ос-
нована на изучении интеграла от функции &(s)d logA(s, /) по некото-
рому специальному контуру, причем используется двоякое представление
логарифмической производной A'(s, x)/A(s, /), происходящее из эйлеро-
ва произведения для L(s, /) и из произведения Вейерштрасса (6.2.53).
Используются только следующие результаты арифметического происхож-
дения:
а)	ограниченность величины \L(s, /)| в каждой правой полуплоскости
Re(s) 1 + а, а > 0;
б)	функциональное уравнение (6.2.51) для A(s, /);	|
в)	ограниченность функции А($, /) в любой полосе оо Res ^ai с |
исключенными окрестностями полюсов.	|
6.2.6. Группа А. Вейля и ее представления ([794], [836]). Существу- I
ет конструкция, позволяющая рассматривать одновременно комплексные ;
представления групп Галуа и квазихарактеры числового поля, а также
L-функции этих объектов. Эта конструкция связана с понятием группы :
Вейля, которое мы вкратце опишем.
Пусть F — локальное или глобальное поле, Fs — его сепарабельное
алгебраическое замыкание. Для любого конечного расширения Е/F в Fs
пусть Ge = G(FS/Е) (открытая подгруппа в Gf). Пусть
СЕ = {
Je/E\
Е\
если Е — глобальное поле,
если Е — локальное поле.
Относительная группа Вейля We/f может быть определена как рас-
ширение групп
0 - СЕ We/f G(E/F) 0,	(6.2.55)
класс изоморфизма которого определен канонической образующей cce/f
группы когомологий H2(G(E/F), Се) = {u-e/f) (эта образующая определя-
ется по теории полей классов, см. §4.4).
Более инвариантным является следующее определение, позволяющее
рассматривать все расширения Е/F одновременно.
Абсолютная группа Вейля Wf вводится как топологическая груп-
па вместе с непрерывным гомоморфизмом <р: Wp—>Gf, образ которого
всюду плотен, удовлетворяющая следующим дополнительным условиям
(см. [794], с. 74-75):
W1) существуют изоморфизмы ге - Се —► W/?b, где We =cp-I(Gf), Е —
конечное расширение (U7^b = We/W^ W£— замыкание коммутанта We),
§6.2]
L-функции, теория Тэйта и явные формулы
317
причем композиция
СЕ -+ G>b
ге
является гомоморфизмом теории полей классов (правая стрелка дается
гомоморфизмом <р);
W2) пусть w е WF и о = <р(ш) G GF, тогда для всякого поля Е следую-
щая диаграмма коммутативна:
изоморфизм,
индуцированный
отображением о
СЕ №£аЬ
сопряжение
с помощью w
СЕ<, W*
W3) для Е' с Е коммутативна диаграмма
Се'
гомоморфизм,
индуцированный
включениемЕ' СЕ ,,
Се
r-^ Wfi
перенос
(см. п. 4.4.7)
W4) естественное отображение
WF -+ WE/F = wf/wce
задает изоморфизм
WF lim WE/f
(можно проверить, что это определение относительной группы Вейля We/f
эквивалентно данному выше).
Построить группу WF можно исходя из определенных ранее относи-
тельных групп Вейля We/f с использованием свойств классов &e/f- Из
факта существования группы WF со свойствами W1)—W4), в свою оче-
редь, вытекают все основные теоремы теории полей классов (в локальном
и глобальном случае).
Существует гомоморфизм w ||ш|| группы WF в группу который
при изоморфизме rF\ Cf^W^ отвечает норме иделей из Cf=Jf/Fx
(F — глобальное поле) или нормализованному нормированию элементов
из Cf = Fx (F — локальное поле). В силу соотношения ЦЛ^е/лосПе = ||а||Е
ограничение этой норменной функции ||ш|| на WF на подгруппу We явля-
ется норменной функцией для We, поэтому индекс Е опускается. Прове-
ряется, что ядро Wp гомоморфизма w ||ш|| компактно.
Связь между локальными и глобальной группами Вейля. Пусть
F — глобальное поле, v — его точка, продолженная на F. Тогда суще-
318
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
ствует естественное вложение 0У: WFv —> WF, согласованное с вложениями
iv '• Gfv —» Gf и Е* Се для всех E/F, [Е : F] < оо.
Представления групп Вейля. Обозначим через M(G) множество
классов изоморфизма конечномерных комплексных представлений р: G —>
—► GL(V) топологической группы G. Квазихарактером будем называть не-
прерывный гомоморфизм /: G —>СХ (одномерное комплексное представ-
ление). Пусть peM(WF). Используя изоморфизм rF: Ср мы мо-
жем отождествить квазихарактеры группы WF с квазихарактерами группы
CF. Например, для s е С мы будем обозначать через квазихарактер
группы WF, отвечающий квазихарактеру с »—> ||с||^, где ||с||^— норма эле-
мента с е Cf- Тогда = ||ш||5.
С другой стороны, поскольку ср: WF —> GF — гомоморфизм с плотным
образом, множество M(Gf) можно отождествить с некоторым подмноже-
ством множества Представления из этого подмножества называют
представлениями типа Галуа. Представление р является представлени-
ем типа Галуа тогда и только тогда, когда группа p(WF) конечна.
При этих отождествлениях характер / группы GF отождествляется
с характером группы CF, которому он соответствует при гомоморфизме
закона взаимности.
Используя вложения 0^: WFv —>	А. Вейль определил L-функции
L(p, s) представлений peM(Wp), которые включают L-функции Артина
и Гекке как частные случаи, причем для этих L-функций справедлив фор-
мализм Артина {L-функции Гекке—Вейля). Кроме того, для представ-
лений р е М( WF) справедлив аналог теоремы Брауэра, позволяющий сво-
дить L-функции L(p, s) к произведениям целых степеней L-функций Гекке
с квазихарактерами конечных расширений Е. Точная формулировка тео-
ремы о функциональном уравнении функций L(p, s) и определение всех
локальных множителей обсуждаются в [794].
А. Вейль установил явные формулы типа (6.2.54) для введенных им
L-функций L(p, s) и предположил для них справедливость обобщенной ги-
потезы Римана, а также гипотезы Артина. Любопытно, что обе эти гипоте-
зы сводятся к свойству положительности функционала, стоящего в правой
части явных формул типа (6.2.54) для этих L-функций.
Кроме комплексных представлений, можно ввести /-адические пред-
ставления группы Вейля WF, а также согласованные системы таких пред-
ставлений. Тэйт приводит в [794] гипотезы, указывающие на универсаль-
ный характер представлений группы Вейля (комплексных и /-адических)
в теории чисел.
6.2.7. Дзета-функции, L-функции и мотивы ([62], [301]). Мы виде-
ли на примере дзета-функции Дедекинда ^(s), что дзета-функция £(Х, s)
арифметической схемы X может выражаться через L-функции представле-
ний Галуа. Эта связь является универсальной в следующем смысле.
§6.2]
/.-функции, теория Тэйта и явные формулы
319
Пусть X —* Speech —такая арифметическая схема над кольцом целых
чисел Ок числового поля /(, что ее общий слой Хк =Х ®ок К является
гладким проективным многообразием над К размерности d, и пусть
С(Х,5) = ПС(Х(Р), $)
р
—	дзета-функция, где Х(р) = X 0 ок(Ок/р)— редукция по модулю р с Ок-
Вид функции £(Х(р), s) дается гипотезой Вейля W4, и если все редукции
Х(р) —гладкие проективные многообразия над полем вычетов <9/</р =
то
2d
ЦХ, 5) = Пл,(Х,5)(-”'+1,	(6.2.56)
i=0
где
Lt(X, s) = ПЛ,Р(Х, Np-S)-’, Р,,Р(Х. t) е Q[/J,
р
—	многочлены, входящие в разложение дзета-функции
2d
С(Х(рМ) = П/>.р(Х, Np-s)<-”'+l.
/=0
Для доказательства гипотезы W4 («гипотезы Римана над конечным
полем», см. п. 6.1.3) Делинь отождествил функции Li(X, s) с ^-функциями
некоторых /-адических (рациональных) представлений Галуа
рхд: GK->Aut^t(^, Qz);
Li(X, s) = L(px,z,s),
где группа Gk = G(K/K) действует на группах /-адических когомологий
Q/) с помощью переноса структуры
Хк = Хк®К
Spec К Spec К (osAutK).
Если Хц —алгебраическая кривая, то имеется изоморфизм Gk-модулей
Н^Хц, Q/) = vdJ) = W ®Z/ Qz
(Г/(/) — модуль Тэйта якобиана J = JxK кривой Х/<),
320	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
(V/(pt) = 7/(р) 0z, Q/— модуль Тэйта корней /-примарной степени из 1),
и мы получаем
L0(X,s) = ^(s), L2(X,s)=Ck(s-1),
а функция
LdX, s) = ЦХ, s) =	Np-5)-1
р
(где degPiiP(X, /) = 2g, g — род кривой Хц) часто называется Л-функцией
кривой (в отличие от дзета-функции).
Для топологических многообразий классы когомологий могут быть
представлены с помощью циклов (по двойственности Пуанкаре) или с по-
мощью клеток, если многообразие является CW-комплексом. Гротендик
предположил, что аналог клеточного разбиения должен существовать и для
алгебраических многообразий над полем К. При этом разложение дзе-
та-функции на множители (6.2.56) должно соответствовать разложению
многообразия на «обобщенные клетки», которые являются уже не алгеб-
раическими многообразиями, а мотивами — элементами некоторой катего-
рии Л4/(, которая строится исходя из категории Vr гладких проективных
многообразий над К в несколько шагов.
Шаг 1. Строится аддитивная категория в которой группы
Нот(Л4, N) — векторные пространства над Q, и контравариантный функ-
тор Я* из Vk в М'к, биективный на объектах. Категория снабжена
дополнительными структурами:
а)	тензорное произведение 0 со стандартными свойствами ассоциа-
тивности, коммутативности и дистрибутивности;
б)	функтор Я* переводит несвязные объединения многообразий в сум-
мы, а произведения — в тензорные произведения (с помощью изоморфизма
функторов, совместимого с коммутативностью и ассоциативностью:
Я*(Х х Y) = H*(X)®H*(Y)).
При этом группа Нот(Я*(У), //*(%)) вводится как некоторая группа
классов соответствий между X и Y: для гладкого проективного многооб-
разия X над К через Zl(X) обозначается векторное пространство над Q,
базисом которого является множество замкнутых неприводимых подсхем
коразмерности /, а через ZlR(X)— его фактор по отношению некоторой
разумной эквивалентности (например, рациональной, алгебраической, чис-
ленной или когомологической относительно какой-нибудь теории когомо-
логий: Бетти, /-адических и т.д.). Далее, в определении мотивов, предло-
женном Гротендиком
Нот(//*(У), Н*(Х)) = Z*mm(X х У).
§6.2]
L-функции, теория Тэйта и явные формулы
321
Шаг 2. Строится категория Ateff,K эффективных мотивов над К. Она
получается из с помощью формального присоединения образов проек-
торов (идемпотентных эндоморфизмов): в ней каждый проектор возникает
из разложения в прямую сумму (категории с таким свойством и с тензор-
ными произведениями называются категориями Каруби, см. [301]).
Шаг 3. Теперь необходимо добавить к категории Л4е^/< все степени мо-
тива Тэйта Q(l) = L-1, где L = Q(-l) = /^(Р1) —так называемый объект
Лефшеца, соответствующий образу проектора из Нот(Р1,Р1), задавае-
мому циклом pt хР1 (pt — точка на Р1). В результате получается кате-
гория АЛ к- Она может быть построена при помощи универсальной кон-
струкции, позволяющей обратить функтор
М -+ М 0 Q(-1) = М(-1).
Каждый объект в категории имеет вид М(п), где М — объект из ка-
тегории A4eff,/(’ п е Существование алгебраических циклов на произве-
дении X х X, которые определяли бы проекторы в категории Л4'к и соот-
ветствовали бы проекции на Н1(Х) в любой теории когомологий, является
одной из самых глубоких и трудных гипотез в алгебраической геометрии.
Из этого, в частности, следовало бы существование разложения
2d
Н*(Х) = (£)Н1(Х)
1=0
в категории
Тем не менее, если изменить определение Нот на шаге 1, то можно из-
бежать этих двух проблем. А именно, вместо ZlR(X) можно рассматривать
всю соответствующую группу выбранной теории когомологий (например,
(X, Q), Hllt(X, или абсолютные циклы Ходжа в случае нулевой
характеристики основного поля, см. [305], гл. 2).
Тогда категория Mr оказывается Q-линейной жесткой абелевой кате-
горией. Правило коммутативности тензорного умножения, возникающее из
симметрии между X х У и У х X, задается в этой категории по формуле
: Hr (X) 0 HS(Y) = HS(Y)® Hr(X\ (-V)rsv 0 u,
из чего вытекает, что ранг
гк(ВД) = £(-1)' dim НГ(Х)
(более точно, здесь уже рассматривается некоторая когомологическая ре-
ализация мотива НГ(Х), см. ниже) может быть отрицателен (на самом деле
он совпадает с эйлеровой характеристикой мотива X).
Шаг 4. Категория Мк получается из Mr изменением описанного выше
правила коммутативности тензорного произведения, в котором убирает-
322	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
ся множитель (-l)rs. Такая категория является уже Q-линейной тан-
накиевой категорией, образованной прямыми суммами слагаемых вида
МсНГ(Х)(т), см. [301].
Таннакиевы категории характеризуются тем свойством, что каждая та-
кая категория (снабженная функтором слоя) может быть реализована как
категория конечномерных представлений подходящей (про-)алгебраичес-
кой группы.
В частности, описанную выше категорию мотивов можно рассматри-
вать как категорию конечномерных представлений некоторой (про-)алге-
браической группы (так называемой мотивной группы Галуа).
Любая стандартная теория когомологий Н на Vk (т. е. функтор из ка-
тегории Vk в абелеву категорию, для которого выполняются разложение
Кюннета и несколько стандартных функториальных свойств) может быть
продолжена на категорию мотивов Л4к, в которой Нот определяется ал-
гебраическими циклами (так, как это было сделано сначала на шаге 1).
При этом выбор эквивалентности циклов играет роль и связан с некото-
рыми гипотезами.
Для построения L-функций мотивов используются следующие реали-
зации (имеющие место также для мотивов из категории Л4/<, построенной
при помощи абсолютных циклов Ходжа).
1. Реализация Бетти Нв' для поля /(, вложенного в С, X G ОЫУк)
определены группы (топологических) когомологий (векторные простран-
ства над Q)
Н:Х^Н*(Х(С), Q) = HB(X).
На комплексных векторных пространствах Нв(Х)®С определена бигра-
дуировка Ходжа, имеющая место также и для произвольного мотива М
над К:
НВ(М) С = ®Hp'q(M) (hp'q = dime HBq(M)),
причем HBq(M) = HqBp{M). Если cR, то комплексное сопряжение на
Х(С) дает инволюцию на Нв(М), комплексификация которой меняет
местами HBq(M) и НВР(М). Эту инволюцию можно рассматривать как
элемент Фробениуса на бесконечности.
2. l-адическая реализация Нр. если char/C / /, X G ОЫу^), то опре-
делены группы /-адических когомологий (векторные пространства над Q/)
Н.Х^Н№к> ^ = Ht(X).
На векторных пространствах Hi(X) действует группа Галуа Gk, поэтому
для мотива М над К определено /-адическое представление
Pmj ' Gk AaiiHi(M).
§6.2]
L-функции, теория Тэйта и явные формулы
323
Нетривиальное предложение заключается в том, что для мотивов над
числовым полем К эти представления Е-рациональны для некоторого чис-
лового поля Е, Е С С, в смысле п. 6.2.1, и что коэффициенты характери-
стических многочленов Еи,Рч/(0 не зависят от /.
По общей конструкции из п. 6.2.1 определена L-функция
Е(Л4, s) = Lv(М, s) (и— неархимедовы точки поля Д'),
v
где LV(M, s)”1 = Eu,PAf/(yVv“s)_1 —многочлены от переменной t =p^s с
коэффициентами в Е.
Для архимедовых точек v выбирается вложение ту: К <-► С, задаю-
щее v, и множители LV(M, s) определяются по виду разложения Ходжа
комплексного векторного пространства Нв(М) С = ^Н^д(М) и по дей-
ствию инволюции Еоо (см. таблицу в [301], п. 5.3, а также п. Ш.3.1).
Для произведения
Л(М, s) = J]Lv(M,s) (иеЕк)
V
предположительно выполнено функциональное уравнение вида
Л(Л4, s)=e(M, $)Л(М, 1 -s),
где М — мотив, двойственный к М (все его реализации двойственны реа-
лизациям мотива Л4), а е(Л4, s) как функция от s является произведением
некоторой константы на некоторую экспоненту.
Кроме того, справедливо равенство
Л(Л4(л), $) = Л(Л4, s + п).
Мотив Л4 называется однородным веса w, если hp'q = 0 для р + q / w.
В этом случае положим Re(M) = — w/2. Из гипотезы Вейля W4 (см. п. 6.1.3)
следует, что если S — достаточно большое конечное множество точек, то
ряд Дирихле
LS(M, s) = []Lp(M, s)
v£S
абсолютно сходится при Re(M) + Re(s) > 1. Для точек s, лежащих на гра-
нице абсолютной сходимости, т. е. таких, что Re(M) + Re(s) = 1, имеются
следующие гипотезы (обобщающие теорему Адамара и Валле-Пуссена):
а)	функция Ls(M, s) не обращается в нуль при Re(M) + Re(s) = 1;
б)	функция Ls(M, s) голоморфна, за исключением случая, когда мо-
тив М имеет четный вес —2п и содержит в качестве сомножителя мотив
Q(/i); в этом случае, предположительно, имеется полюс в точке s = 1 — п.
324	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Например, для мотива Q(— 1) выполняются соотношения
=	Q),
Wz(Q(-l))^l//(ti) = 7’;(p) ®Z/QZ,
w = 2, п = -1,
и функция
MQ(-l), s) = Ck(s - 1)
имеет простой полюс в точке s = 2.
Имеются общие гипотезы о соответствии между мотивами и согла-
сованными системами l-адических представлений, которые во многом
определяют сейчас направление арифметических исследований, см. [126],
[797], [143], [188], [794]. Отметим, что по теореме Фалътингса абелево
многообразие однозначно с точностью до изогении определяется /-адиче-
скими представлениями на его модуле Тэйта (см. §5.5).
Этот важный результат также играет решающую роль в чудесном дока-
зательстве Уайлса великой теоремы Ферма: для того чтобы показать, что
каждая полустабильная эллиптическая кривая Е над Q-допускает моду-
лярную параметризацию (см. §7.1), благодаря теореме Фальтингса доста-
точно проверить, что L-функция представления Галуа рРэ£ для некоторо-
го простого числа р совпадает с преобразованием Меллина модулярной
формы веса два (Уайлс использовал р=3 и р = 5). Другими словами,
производящий ряд такого представления, определяемый через следы эле-
ментов Фробениуса, является модулярной формой веса два, что доказыва-
ется с помощью вычисления всех возможных деформаций редукции этого
представления Галуа по модулю р.
§ 6.3.	Модулярные формы и эйлеровы произведения
6.3.1.	Связь между алгебраическими многообразиями и £-функ-
циями. Еще один способ построения L-функций связан с модулярны-
ми формами (более общим образом, с автоморфными формами), которые
можно рассматривать как некоторые специальные функции на веществен-
ных редуктивных группах G(R) (или на связанных с ними симметрических
областях). Эти функции, являясь по виду объектами анализа, оказывают-
ся тесно связанными с а) диофантовыми уравнениями (арифметическими
схемами) и б) представлениями Галуа. Связь между этими тремя типами
объектов осуществляется посредством отождествления соответствующих
им L-функций. Нетривиальный пример связи а) и б) дается доказатель-
ством теоремы Фальтингса: функция L\(A, s), построенная по мотиву
НХ(А), однозначно определяет абелево многообразие А над числовым по-
§6.3]
Модулярные формы и эйлеровы произведения
325
w  1Г/ИК\1А  W жТглтЛЛТв W fl АГ/ЯИК11А fl W VT/г^
Рис. 6.1
лем с точностью до изогении: для этого достаточно даже знать лишь ко-
нечное число эйлеровых множителей (см. §5.5)
L\iV(A, s) = det( 1 - Np7s Fr„ |Г((4))-1 (I {chary).
В современной теории автоморфные формы рассматриваются вместе
с порожденными ими бесконечномерными представлениями групп G(R)
и G(A) (в функциях на этих группах), где А — кольцо аделей поля Q;
это позволяет изучать L-функции автоморфных форм с помощью методов
теории представлений групп вида G(Q₽), G(R) и G(A) [188], см. §6.5.
График на рис. 6.1 построил Кэртис Т. МакМуллен. Он изображает
действие группы SL2(Z) на И.
6.3.2.	Классические модулярные формы. Классические модуляр-
ные формы вводятся как функции на верхней комплексной полуплоско-
сти H = {zeC: Imz>0}, которая является однородным пространством
группы G(R) = GL2(R):
H = GL2(R)/O(2)Z,	(6.3.1)
Z = I 0^ |x e Rx | — центр группы G(R), 0(2) — ортогональная груп-
пу br\
) с положительным определителем
Су dy J
действует на Н дробно-линейными преобразованиями; на смежных клас-
сах (6.3.1) это действие определяется групповыми сдвигами.
Пусть Г — подгруппа конечного индекса в модулярной группе SL2(Z).
Голоморфная функция f: HI —> С называется модулярной формой целого
веса k относительно модулярной группы Г, если
а) выполнено условие автоморфности
f((arz + by)/(CyZ 4- dr)) = (CyZ + dy)kf(z)	(6.3.2)
Для элементов у € Г;
па. Группа GLj (R) матриц у =
326
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
б) функция f регулярна в параболических вершинах z eQU/oo (т.е.
в неподвижных точках параболических элементов группы Г); это означает,
что для любого элемента о= С d) функция	k
допускает разложение в ряд Фурье по неотрицательным степеням q^N =
= e(z/N) для некоторого натурального числа N. По традиции пишут
q = e(z) = ехр{2тс/г}.
Функция
оо
/(z) = Е a(ti}e(nz/N)
л=0
называется параболической формой, если она обращается в нуль в пара-
болических точках (т. е. в ряды Фурье функций из условия б) входят лишь
положительные степени q^N), см. [498], [581], [622], [94], [77].
Комплексное векторное пространство модулярных (соответственно па-
раболических) форм веса k относительно группы Г обозначается Л4^(Г)
(соответственно 5^(Г)).
Фундаментальным фактом теории модулярных форм является конечно-
мерность пространств Л4^(Г); при этом Л4^(Г)Л4/(Г) С Л4^+/(Г). Прямая
оо
сумма Л4(Г) = ф Л4^(Г) образует градуированную алгебру над С с ко-
*=о
печным числом образующих.
Примером модулярных форм относительно Г = SL2(Z) веса k 4 слу-
жат ряды Эйзенштейна
Gk(z) = (mi + m2z)~k	(6.3.3)
(штрих указывает, что (т\, m2) (0, 0)), для которых условие авто-
морфности (6.3.2) непосредственно выводится из определения. При этом
Gk(z) = 0 для нечетных k и
Gk(z) =
2(2ni)k	8^	( \ ( \
оглу) +
L n=i
(6.3.4)
где Qfc-i (п) =	1» &k — k-e число Бернулли. Градуированная алгебра
d\n
A4(SL2(Z)) изоморфна кольцу многочленов от независимых переменных
G4 и G$.
Множество И/ SL2(Z) можно отождествить с множеством классов изо-
морфизма над С эллиптических кривых: для каждого z е Н комплексный
тор C/(Z + zZ) аналитически изоморфен римановой поверхности эллип-
§ 6.3]	Модулярные формы и эйлеровы произведения	327
тической кривой
У2 = 4х3 - g2(z)x - g3(z),	(6.3.5)
где gi(z) = 60G4(z), g3(z) = 140G6(z).
/a b\
При замене z на y(z) для у = (	) € SL2(Z) решетка Л2 = Z + zZ
d)
заменяется на эквивалентную ей решетку
Лу(2) = Z + y(z)Z = (cz + d)-1(Z + zZ) = (cz + d)~l Л2,
при этом кривая (6.3.5) заменяется на изоморфную ей кривую, для которой
giMz)) = (cz + d)4g2(z), g3(y(z)) = (cz + d)6g3(z).
Дискриминант кубического многочлена в правой части уравнения (6.3.5)
является параболической формой веса 12 относительно группы Г =
= SL2(Z):
2“4(&3 - 27gf) = 2-4(2л)|2е(г) Д(1 - е(лгг))24 =
т=\
= 2~4(2к)12У^т(п)е(пг),	(6.3.6)
л=1
где т(л) — функция Рамануджана. Функция
j(z) = 1728 3 _g2_ 2 = | + 744 + £ c(n)qn (6.3.7)
^2 2'£з	4	п=\
мероморфна в Н и оо и инвариантна относительно Г = SL2(Z). Она слу-
жит примером модулярной функции относительно SL2(Z) и называется
модулярным инвариантом.
6.3.3.	Приложение: кривая Тэйта и полустабильные эллиптиче-
ские кривые ([793], [409], с. 343, [722], с. 276). Будем использовать
следующую измененную форму уравнения Вейерштрасса из п. 5.3.3 (с ко-
эффициентами из Z[[^]]):
Tate(q): у2 + ху = х3 + B(q)x + C(q),	(6.3.8)
где
✓	\	оо	оо	з п
= -5fer) “= 5Е FV'
х	7	п=1	п=1
f Ел -1\	(6.3.9)
~5(“240“) “ 7( -504 ) _	1	(7я5 + 5п3)<7л
CW)-	12	“12 2^ \-qn ’
328
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
причем E4(q) и Eq(q) равны с точностью до умножения на константу ря-
дам G2 и G3 соответственно и £4(0) = £б(0) = 1. Это уравнение определя-
ет эллиптическую кривую над кольцом Z((p)), для которой канонический
дифференциал ыСап равен
dx _ dX
2у +х Y ’
где переменные х, у определяются заменой
Х = х + ^’ У = Х + 2У
из п. 5.3.3.
Теперь возьмем такое произвольное р-адическое число peQ*, что
kip < 1-
Тогда для любого t € Qp/(?) можно рассмотреть ряд
ОО	„
— fl J.
<6-3.10)
Кроме того, определена кривая Тэйта Eq над полем Qp, заданная уравне-
нием (6.3.8), в котором
оо з п
"=‘	(6.3.11)
п=1
Теорема 6.12 (Тэйт). Существует Qp— аналитический изомор-
физм
^/(q)^Eq(QP), t ~ (x(t), y(t)),
где		х(0		(1	qnt - qnt)2	00 1 - qnt'
						n=\
	<	«/(/) к		(1	(qnt)2 - qnt)3	00 1 _qnt' n=\
Более того, для любой полустабилъной эллиптической кривой Е над
Qp, редукция которой по модулю р особая, существует такое р-ади-
ческое число peQ*, что \q\p < 1 и эллиптическая кривая Е изо-
морфна Eq (над неразветвленным расширением Q_p(y/ E4(q}) степени
1 или 2).
§ 6.3]	Модулярные формы и эйлеровы произведения	329
6.3.4.	Аналитические семейства эллиптических кривых и конгру-
энцподгруппы. Для натурального числа N определены конгруэнцпод-
группы
Г0(ЛО = {у е SL2(Z): Су = 0 (mod А)};	(6.3.12)
Г! (TV) = {у е Г0(А): ar = dr = 1 (mod А)};	(6.3.13)
Г(А) = {у е SL2(Z): у = 1 (mod А)}.	(6.3.14)
Вообще, подгруппа FgSL2(Z) называется конгруэнцподгруппой, если
Г эГ(А) для некоторого натурального числа А. Фундаментальные обла-
сти конгруэнцподгрупп таковы: а) Н/Го(А), б) Н/Г1(А), в) Н/Г(А). Их
нетрудно отождествить соответственно с множествами классов изомор-
физма над С следующих наборов:
а)	(Е; (Р))— эллиптическая кривая Е и циклическая подгруппа по-
рядка А, (Р) С Е(С), Card(P) = А;
б)	(Е; Р) — эллиптическая кривая Е над С и точка Р порядка N на
этой кривой;
в)	(Е, <р) = (Е, Р, Q) — эллиптическая кривая Е над С и фиксирован-
ный изоморфизм
ср: Z/AZ ф Z/AZ Е(С)н,
удовлетворяющий условию
cp*e/v = ехр{2тс/ det /N},
—спаривание Вейля (5.3.30). Таким образом, <р задает такой базис
в группе точек порядка N
P,Qe E(C)yv = (Р) Ф (Q) = ЩКЪ ф Z/AZ,
что eN(P, Q) = ехр{2тс//Л/}.
Для этого отождествления надо сопоставить точке z € И следующие
наборы:
а)	(С/Л2; <1/А> (modA2));
б)	(С/Л2; 1/А (modAz));
в)	(С/Л2; 1/А, z/A (modA2)).
6.3.5.	Модулярные формы относительно конгруэнцподгрупп. При
рассмотрении модулярных форм удобно использовать обозначение
(/ kx)(^) = detYi/2f(Y(z))(crz+ dr)~/t	(6.3.15)
Для действия целого веса k элемента у =	е GL^(R) на произволь-
ной функции f: IHI —> С.
330
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
Пусть ф — некоторый характер Дирихле, определенный по модулю N. 1
Положим	I
Л1И^,ф) = {/ёЛ1НГ1(Л0): fUr = |(dr)/	I
для всех у € Го (Л/)},	(6.3.16) I
(6.3.17) 1
Имеют место разложения	I
Л4НГ)(М)= Ф Mk(N,W; <МГ!(Л0)= ф Sk(N, ф). I
ф (mod N)	ф (mod N)	t
Для произвольной модулярной формы h € Mk{N, ф), k 1, определе- |
но скалярное произведение Петерсона с параболической формой f е
eSk(N, ф) по формуле	j
(f,h}N= $ f(z)h(z)yk~2dxdy,	(6.3.18) J
H/r0(/V)	j
где z — x + iy, Н/Го(Л0 обозначает фиксированную фундаментальную об-
ласть действия Го(Л0 на И, и имеет место ортогональное разложение
Mk(N, ф) = ф) ® W, ф),	(6.3.19)
где 8k(N, ф) — подпространство рядов Эйзенштейна, базис которого со-
вершенно явно описывается и состоит из функций типа (6.3.3), см. [498],
[407], [742], [581].
Арифметическое происхождение модулярных форм хорошо видно на
примере тэта-рядов. Пусть
Q(X) = ± 'ХАХ
— целочисленная положительно определенная квадратичная форма от
четного числа 2k переменных с четной матрицей А = (aij), а1} € Z,
ап е 2Z, k 2, где *Х = (xj, Х2, ..., Х2Д X — вектор-столбец. Свяжем с
Q(X) тэта-ряд
0(z;Q) = ^2 e(Q(M)z) = ^a(n)e(nz),	(6.3.20)
MgZ2*	л=о
где
(в.3.21)
а(п) = а(п; (?) = Card {Л4 € Z2*: Q(M) = п}
— число представлений натурального числа п квадратичной формой Q. t
§ 6.3]	Модулярные формы и эйлеровы произведения	331
Пусть N —уровень формы Q, т. е. такое наименьшее натуральное число
jV, что NA~[ —четная целочисленная матрица. Доказывается, что 0(z; Q)e
eMk(N> Ед), где ед(^) = (у) —квадратичный характер, связанный с дис-
криминантом Д формы Q(X), см. [622], [47], [94].
Теория модулярных форм позволяет получать оценки, а иногда и точные
формулы для чисел вида а(п; Q). Для этого тэта-функция (6.3.20) пред-
ставляется в силу разложения (6.3.19) в виде суммы ряда Эйзенштейна
Ek(z; Q)	Q)e(nz) е £k(N, ед)	(6.3.22)
n=0
и параболической формы
Sk(z- (?) = £bk(n; Q)e(nz) &Sk(N, ед). (6.3.23)
п=1
Коэффициенты р^(м; Q) представляют собой некоторую элементарную тео-
ретико-числовую функцию, подобную (л). Для коэффициентов bk(n\ Q)
справедлива знаменитая оценка
Ь(п) = О (п^+£), е > 0,	(6.3.24)
которая была известна как гипотеза Рамануджана—Петерсона, до
того, как была доказана Делинем (см. [300]), который сначала свел эту
гипотезу к гипотезам Вейля (п. 6.1.3, см. также [296]), а затем ее доказал.
В частности, для функции Рамануджана оценка Делиня имеет вид
|т(р)| <2ри/2 (р — простые числа).
Применительно к тэта-ряду (6.3.20) оценка (6.3.24) означает, что
а(л; (?) = р*(л; (?) + otnT*), е > 0.	(6.3.25)
Доказательство оценки (6.3.24) основано на алгебро-геометрической
интерпретации параболических форм f е5^(Г) четного веса k как крат-
ных дифференциалов', для всех у € Г выражение
f(z)(dz)kV	(6.3.26)
не меняется при замене z на y(z), а поэтому определено на модулярной
кривой Хг — И/Г, т. е. на проективной алгебраической кривой, римано-
ва поверхность которой компактна и получается добавлением конечного
числа точек к факторпространству Н/Г. В частности, при k = 2 выраже-
ние f(z)dz является голоморфным дифференциалом на Хг; в этом случае
оценка (6.3.24) установлена впервые Эйхлером, см. [326], а также [742],
[583].
332	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Многочисленные примеры формул для чисел вида а(п\ Q) можно найти
в книге Л. А. Когана [47], а также в работах [4], [55], [407] и др.
6.3.6. Теория Гекке. На примере рядов Эйзенштейна и тэта-рядов
обнаруживается интересное обстоятельство: коэффициенты Фурье а(п)
модулярных форм оказываются мультипликативными функциями (или ли-
нейными комбинациями таких функций). Для функции Рамануджана т(я)
(6.3.6) свойства мультипликативности
х(тп) = х(т)т(п) при (m, п) = 1,
(6.3.27)
т(рг) =т(р)т(рг-1) - р11т(рг-2) (р — простое число, г 2),
вероятно, уже не доказуемы элементарными средствами и могут служить
одним из примеров к теореме Гёделя (см. гл.З). Причину свойств мульти-
пликативности объясняет теория Гекке, существенно использующая функ-
ционально-аналитическое поведение модулярных форм (см. [407], [5],
[498]).
ОО
Пусть т — натуральное число, f(z) = ^2 a(n)e(nz) — функция на Н.
п=0
Тогда определены функции
f IL/k(m)(z) = ^a(mn)e(nz) = mk/2-1	J-
п=0	и (mod т)
(6.3.28)
ОО	/ Л\
f | Vk(m)(z) = ^2 a(tt)e(mnz) = f(mz) = m~k/2f |A P J.
n=\
Если бы оператор f»—> f | Uk(m) действовал в пространстве модуляр-
ных форм А4*(У, ф), то можно было бы надеяться найти в этом простран-
стве базис функций, собственных относительно этих операторов, и мы бы
получили для коэффициентов Фурье равенство
а(тп) = \(т)а(п) (п е N),
где \(т) — собственные значения,
f I и=
Это и означало бы искомую мультипликативность. Но если f е Mk(N, ф),
то, вообще говоря, можно лишь утверждать, что
f I Uk(m), f | Vk(m) e Mk(mN, ф),	(6.3.29)
и условие
f | Uk(m) € Mk(N, ф)
§6.3]
Модулярные формы и эйлеровы произведения
333
выполнено только в случае, если т делит N. В общем случае для т,
взаимно простых с Af, положение можно исправить, заметив, что мат-
71
рицы I J в определении Uk(m) (см. соотношения (6.3.28)) образуют
часть полной системы представителей смежных классов Го(Л0\Д™(Л0, где
Дт(/У) обозначает множество
f	fa b\ i	1
Дт(Л0 = s Y = ( I a, b, c, d e Z, c = 0 (modM), det у = m f,
[	V dj'	)
инвариантное относительно умножения на элементы из Го(Л0- В качестве
полной системы представителей можно взять множество
{(о d) 1°’d > °’ ad = т’ Ь = °’  ’ ’ d ~ 1}’	(6.3.30)
Это позволяет уже определить вместо Uk(m) оператор Г^(ги), действующий
в пространстве A4^(/V, ф), называемый оператором Гекке\
f»f\Tk(m) = т^~'	I* °’	(6-3.31)
a
где a = (a° e Го(Л0\Дт(Л0, (m, N) = 1. Действие Tk(m) на разложе-
\ca d<J
ние Фурье легко вычисляется с помощью явного представления (6.3.30):
f I Tk(m) = 57	f I t/*(m//ni)V*(/ni) =
m\\m
= a(0) 57 ф(«?1)т*-1 + 57 57 ^(W|)/n*_|a(/nn//nf)e(nz), (6.3.32)
mjm	л=1 rri]\(m,n)
где считается, что a(x) = 0 при x Z.
Перемножение систем представителей (6.3.30) показывает, что опера-
торы Tk(m), где (т, /V) = 1, умножаются по правилу
Tk(m)Tk(n) = 57 T'k{mn/m2i)if(tn^tnk~{.	(6.3.33)
\(т,п)
В частности, все операторы Tk(m) коммутируют. Если f е A4*(/V, ф) —
собственная функция всех операторов Tk(m) при (m, N) = 1, т. е.
f | Tk(m) =	((т, /V) = 1),	(6.3.34)
то из соотношения (6.3.33) вытекает, что
т\\(т,п)
334	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Для коэффициентов Фурье а(п) из соотношения (6.3.34) следуют равен-
ства	. ,
а(0)	= ХДги)а(0),
„	Г'1'"/ 2м/ X *-1 г / х / х (6.3.35)
т\\(т,п)
В частности, при п = 1 имеем
a(m)=Xz(m)a(l),	(6.3.36)
поэтому при а( 1)/0 функция а(т) пропорциональна Х(т) (для (m, М)= 1).
Все эти свойства особенно красиво записываются с помощью рядов
Дирихле: для функции
f(z) = ^Ta(n)e(nz) ё ф),
п—0
удовлетворяющей соотношению (6.3.34), положим
Ln(s, f)= 52 Mn)n~s>
л=1
<Я«=1	(6-3.37)
Rn(s,[)= 52 a(n)n~s.
л=1
(«Л)=1
Тогда выполняется тождество следующих (формальных) рядов Дирихле:
I) разложение в эйлерово произведение
Ln(s, /) = П11-Х/(р)р-5+ф(р)/-1-25]-';	(6.3.38)
pfW
II) /?Ж /) = a(l)Lyv(s, /).
Действительно, из закона умножения (6.3.33) следует, что для различ-
ных простых чисел pf-, Pi\N, выполняется равенство
x/(4'...ph = x/(p»')...x/(pr4
поэтому
Ln(s, Л) = П( £xz(ps)p-Ss Y
p]N \8=0	/
а каждый степенной ряд суммируется с помощью соотношения
Х/(р)Х/(р8)=Х/(р8+1) + ф(р)р*-’Х/(р8-1) (8^1).	(6.3.39)
Второе тождество вытекает из равенства (6.3.36).
§ 6.3]	Модулярные формы и эйлеровы произведения	335
Сходимость рядов (6.3.37) для Res » О получается из оценок коэффи-
циентов а(п):
а)	если f е Mk(N, ф), то справедлива оценка
|а(п)| = О(/?-1+Е), е>0,	(6.3.40)
а ряды Дирихле (6.3.37) абсолютно сходятся при Res > k.
б)	если f е Sk(N, ф), то справедлива оценка Делиня (6.3.24):
|a(n)| = 0(nV+e),	(6.3.41)
причем L(s, f) и /?(s, /) абсолютно сходятся при Res > (k + 1 )/2.
Оценки (6.3.40) и особенно (6.3.41) используют тонкие арифметические
свойства коэффициентов а(п). Однако с помощью только аналитических
свойств функции f(z) (голоморфность и условие автоморфности (6.3.2))
можно легко получить более грубые оценки:
а)	\а(п)\ = O(nk) при f е Mk(N, ф);
б)	\а(п)| = O(nk/2) для f е Sk(N, ф); последняя оценка использует то,
что |/(z)| = О(е~2пу) {у -* оо, z = х + iy).
Построение базиса собственных функций операторов Гекке основано
на метризации Петерсона (6.3.18). Можно проверить, что операторы
Tk(m) на Sk(N, ф) являются нормальными для (m, N) = 1 относительно
скалярного произведения Петерсона. Более точно, эти операторы ф-эрми-
товы: для всех /, he Sk(N, ф) имеет место равенство
ф(т)(/ | П(т), h)N = {f,h\ Tk(m))N.	(6.3.42)
По общей теореме линейной алгебры семейство коммутирующих нор-
мальных операторов можно привести к диагональному виду в некото-
ром общем ортогональном базисе пространства 5^(?V, ф) (т. е. элемен-
ты этого базиса — собственные функции всех операторов Гекке 7^(т)
при (т, Л0 = 1). Такой базис называется базисом Гекке. Если же на-
туральное число т состоит только из простых делителей уровня N, то
вместо операторов 7\(т) используются операторы Uk(m) (см. соотноше-
ние (6.3.28)), действующие в Mk(N, ф). Однако такие операторы уже не
являются нормальными и диагонализируемыми на 5^(/V, ф).
Преобразование Меллина модулярных форм и его аналитическое
продолжение. Пусть f = ^%LQa(n)e(nz) eA4k(N, ф). Тогда ряд Дирихле
оо
/?(s, f) = Ri(s, f) = ^a(n)n~s,
л=1
абсолютно сходящийся при Res > 0, можно аналитически продолжить на
всю комплексную плоскость, используя представление этого ряда в виде
336	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
преобразования Меллина модулярной формы f :
(2it)-sr(s)/?(s, /) = \	~ a(0)]ys~l dy (Res » 0).	(6.3.43)
о
Это получается почленным интегрированием ряда
оо
f(iy) - а(0) = ^2 а(”) ехр{-2ипу}
п=\
с помощью интегрального представления Т-функции
T(s) = е~уys~l dy (Res>0).
о
Пространство всех рядов Дирихле вида R(s, [) для f е , ф) мож-
но охарактеризовать их аналитическими свойствами. Следуя [5], приведем
эту характеризацию в случае N = 1.
Теорема А. Пусть f е Mk =	Тогда ряд Дирихле R(s, f)
мероморфно продолжается на всю комплексную плоскость, причем
функция
A(s, /) +	(6.3.44)
где
X(s,f) = ^rs^)R(s, f),
является целой. Имеет место функциональное уравнение
Л(/г - s, /) = (-1 )fe/2A(s, f).	(6.3.45)
Теорема Б. Каждый ряд Дирихле
R(s) = У2а(п)п~5,
л=1
имеющий не более чем степенной порядок роста коэффициентов,
допускающий мероморфное аналитическое продолжение на все s е С
и удовлетворяющий условиям (6.3.44) и (6.3.45), имеет вид R(s, f) для
некоторой модулярной формы
/eA4* = A4fe(SL2(Z)).
Действительно, используя преобразование Меллина (6.3.43), получаем
A(s, /) = ^ [f(iy) ~ a(O)Jys~1 dy (Res > k + 1).
о
§ 6.3]	Модулярные формы и эйлеровы произведения	337
Так как /(—1/z) — zkf(z), мы имеем
ОС	1
Л($, f)= ^lf(iy) -a(0)]ys~l dy -	+$f(iy)ys~' dy =
1	0
o°	oo
= §	~ a(ty]ys~' dy -	+ $ f(—\/iy)y~x~s dy =
=	- «(0)](ys~' + ikyk-s-')dy -
Функция f(iy) — /(0) экспоненциально стремится к нулю при у оо, по-
этому последний интеграл абсолютно сходится для всех s и является голо-
морфной функцией от s. Это доказывает утверждение (6.3.44). Последнее
выражение для A(s, f) при замене s k — s умножается на ik, откуда вы-
текают функциональное уравнение (6.3.45) и теорема А.
Для доказательства теоремы Б достаточно воспользоваться обратным
преобразованием Меллина и тем обстоятельством, что модулярная группа
/1 1\ /о -1\
SL2(Z) порождается матрицами ( Q 1 и ( I.
С естественными техническими усложнениями теоремы А и Б перено-
сятся на модулярные формы целого веса относительно конгруэнцподгрупп
группы SL2(Z). Теорему, аналогичную теореме А, называют при этом пря-
мой теоремой, а аналог теоремы Б — обратной. Обратная теорема в форме
А. Вейля (см. [833], [834]) формулируется в терминах рядов Дирихле
оо
Л*($, х) = (2K)-sr(S)£x(«)a(«)n-s,	(6.3.46)
п=\
где х — произвольный примитивный характер Дирихле. Если предполо-
жить, что ряд /?($) = a(n)n~s абсолютно сходится при $=&-8,
8 > 0, и для любых х (mod г), (г, N) = 1, функции (6.3.46) являются целы-
ми, ограниченными в любой вертикальной полосе и удовлетворяют некото-
рому функциональному уравнению, связывающему А*($, х) и А*(£ — s, х),
то можно утверждать, что a(n)e(nz) eSk(N, ф) (т. е. модулярность
характеризуется с помощью рядов Дирихле; точный вид функционального
уравнения см. в [833]).
6.3.7.	Примитивные формы. Аткин и Ленер сделали важное допол-
нение к теории Гекке, построив вполне приемлемую теорию операторов
Гекке для всех т, включая делители уровня. Начнем с простого приме-
ра (мы следуем [498], [94] и [360]). Рассмотрим двумерное пространство
512(Г0(2)), содержащее /2(2) = А (2г), Л(г) = А(г). Эти функции имеют
одинаковые собственные значения для всех операторов Г12(р), р ^2, од-
338	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
нако они линейно независимы. В связи с этим возникает вопрос: какие
дополнительные ограничения надо наложить на f e$k(N, ф), чтобы соб-
ственные значения ХДт) ((m, N) = 1) определяли f однозначно.
Для ответа на этот вопрос сначала вводится подпространство старых
форм 5£м(Г1(Л0) С5^(Г1(Л/)) как сумма образов отображений
V(d'): 5НГ! (A//d)) -> 5НГ! (/V)) (см. (6.3.28))
для всех делителей d > 1 уровня N и для всех делителей d' числа d. По-
ложим
Векторное пространство новых форм точного уровня N определяется затем
как ортогональное дополнение:
Sk(N, <|0 = <S£ld(Af, <|0 ф S^(N, <|0.	(6.3.47)
Основной результат теории Аткина—Ленера состоит в том, что если
f € 5£ew(?V, ф) является собственной функцией операторов Гекке 1\(т) для
всех m, (N, т) = 1, то форма f определена собственными значениями од-
нозначно с точностью до пропорциональности, причем можно считать, что
а(1) = 1. Примитивной формой f кондуктора N называется нормализован-
ная собственная функция операторов Гекке f е S£ew(/V, ф), удовлетворяю-
щая условию а(1) = 1. Для таких параболических форм f автоматически
выполняется условие f | U(q) = a(q)f для q | N, причем имеет место эйле-
рово разложение
оо
L(s, f) = ^2a^n~s =
л=1
= П0 -а(<7)<7-Т'П(1 -a(p)p-s+^p)pk-'-2s)-', (6.3.48)
q\N	p]N
в котором |а(^)|	если характер ф не может быть определен по
меньшему модулю N/q, а если характер ф определен по модулю N/q, то
a(q)2 — Ф(^)^-1 ПРИ условии, что q2\N, и а(д) = 0 в противном случае
(т. е. когда q2 | N), см. [528].
Пусть
/(г) = ^a(n)e(nz) &Sk(N, <|>)
л=1
— примитивная параболическая форма кондуктора Cf, Cf | N, Если поло-
жить
7 Л _1\	_____ 00 ______
RCZ)=(_ А )’ /₽(г) = /(-г) = Уа(пНпг)€5^,ф),
§ 6.3]	Модулярные формы и эйлеровы произведения	339
то для некоторого комплексного числа Х(/), удовлетворяющего условию
|Х(/)| = 1, выполняется соотношение
f\kW(Cf) = W)F.	(6.3.49)
Примитивные параболические формы данного кондуктора можно охарак-
теризовать с помощью равенства (6.3.49), которое эквивалентно функци-
ональному уравнению соответствующего ряда Дирихле (см. [528])
Us, Л = П(1 -a(7)7“s)-1 П(1 ~a(p)p~s +<Mp)/_|_2s)_| =
<71CZ	p\Cf
= ПО _Uq)q~sr' ПК1 --«'(р)р-5)] _ 1,
4\Ct	p\Cf
где
«(р)а'(Р) = Ф(Р)Р*"', ot(p) + а'(р) = а(р).	(6.3.50)
Если ПОЛОЖИТЬ
Л(«, /> = (-7=) r(s)L(s, /),
то это функциональное уравнение имеет вид
A(fc -s, f)= ik/2WM, fp).	(6.3.51)
Для примитивного характера Дирихле /, кондуктор Сх которого вза-
имно прост с С/, модулярная форма
/х(2) = £ x(n)a(n)e(nz) ё Sk(CfC2x, ф/2)	(6.3.52)
n=l
является примитивной кондуктора С[С* (ср. соотношение (6.3.51) с
(6.3.45)).
6.3.8.	Обратная теорема в форме Вейля. Обратное утверждение,
рассматривающее аналитические свойства рядов вида (6.3.52), было най-
дено А. Вейлем (см. [833]), который дал необходимое и достаточное усло-
оо
вие для того, чтобы ряд Фурье f(z) = a(n)e(nz) представлял модуляр-
п=1
ную форму из Sk(N, ф), в терминах рядов Дирихле
A(s, f, х) = (2it)-sr(s)'^xU)a(n)n-s,
Л=1
где х — характер Дирихле.
340
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
Пусть f е Sk(N, ф), а х — примитивный характер (modm). Рассмотрим
подкрутку
/х(2) = £х(«)а(/гН«2) = Х(-1)/$2 х(а)(о
п=\	a (modm)
где G(x) = 52 x(a)e(a/m) — гауссова сумма. Покажем, что
a (mod т)
fx(z)eSk(Nm2, фу2),
когда (т, N) = 1. Более того, если f |	= C\fp, то
/xl^ = Gx/^ = Cx/x|K,	(6.3.53)
где
Сх = С,^|Х(-Л0ф(т)г	(6.3.54)
g I WN(z) = g | (° "’)(z) = Nk^zkg{—l/Nz),	(6.3.55)
g^z) = g I K(z) = g(-z) = ^a(n; g)e(nz)
n=0
(заметим, что = (-1)*).
Эти утверждения следуют из хорошо известных свойств гауссовых
сумм.
Лемма 6.13. Пусть G&(x) = 52 x(a)e(ab/m)- Рассмотрим при-
a (mod пг)
митивный характер Дирихле х по модулю т. Тогда
a)	Gft(x) = xWG(x)>
б)	G(X)G(X) = X(-1H-
Мы видим, что соотношение (6.3.53) равносильно тождеству
1® Е йС)=с«'|® Е Э"-
a (mod т)	a (mod пг)
и можно поменять местами операторы в правой части следующим образом:
Гх/1® Е <>,..=
a (mod т)
a (mod т)
-cxQS> X xWlC)l«W
a (mod т)
§6.3]
Модулярные формы и эйлеровы произведения
341
вследствие равенства /I(д	I KWNmz = f I К ( ™	WNtn2 мы можем
заменить а на —а. Заметим также, что
/	( т —Ь\	.р.
где у(а, Ь) = п ) е Го (А), поскольку
WNx(a, b)m, Ь, 0, пг, °) = WNm2, -Nab = 1 ((mod пг)).
Перепишем теперь соотношение (6.3.53) в следующем виде:
(-1)‘С(Х) £ Ж/1О =
a (mod tn)
= CxG(x)^O) £	(6.3.56)
a (modm)
Легко видеть, что
f\KWN = (-l)kf I wNK = (-1)*(CJ I K)K = (-1)*СГ/,
f I KWNy(a, b) =	= (-1)*СГ*ф(™Г'Л
поэтому из равенства (6.3.56) следует формула (6.3.54) для Сх.
Для дальнейшего нам также понадобится равносильная запись соот-
ношения (6.3.56) в следующем виде:
£ xWl(o “)=ФИ) £	<6-3’57)
a (mod т)	a (mod m)
где используется, что —Nab = 1( (modm)).
Преобразование Меллина непосредственно приводит к равенству:
Л*($, f, х) = Cxik(Nm2)^~s N*(k - s, fp, x).
Рассмотрим теперь обратную ситуацию.
Теорема 6.14 (А. Вейль, 1967). Предположим, что ряд
R(s) = '$2a(n)n~s
п=1
с комплексными коэффициентами а(п) абсолютно сходится при
s — k — 6, 8 > О, и что для каждого характера / (modm) простого
кондуктора m(m\N) функция A*(s, /, /) целая, ограниченная влю-
342	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
бой вертикальной полосе и удовлетворяет функциональному урав-
нению	k
Л*(х, f, х) = Cxik(Nm2)?~s Л* (k - $, /₽, х),
где f₽(z) = 52 a(n)e(nz),
л=1
cx = c,^gx(-W(^)-
Тогда ряд
f(z) = ^a(n)e(nz)
л=1
является параболической формой из Sk(N, ф).
Другими словами, автоморфные свойства таких рядов могут быть вы-
ведены из функционального уравнения и аналитических свойств рядов
(6.3.52)
Набросок доказательства. Рассмотрим группу GL+(2, R), группо-
вую алгебру C[GL+(2, R)] и ее правый идеал
QzcC[GL+(2, R)],
состоящий из всех таких w е C[GL+(2, R)], что f | w = 0.
/а Ь\
Требуется показать, что для каждого у = (	) € Го(N)
\с а)
соотношение w = (ф(б/) - у) = ф(б/)(1 - ф(а)у) € Q/.
/ т
Рассмотрим сначала элементы вида у = у(а, Ь) = (
\—Na
и покажем, что
(1 -ф(т)г(а, &))€«/
выполняется
-Ь
п
для всех у(а, Ь) = (	), m, п е S, где множество S состоит из всех
\-Nb п /
простых чисел пг, для которых выполняется функциональное уравнение
при всех х (modm).
Лемма 6.15. Равенство (6.3.57) равносильно следующему утвер-
ждению'. для любых b, b' (mod m), удовлетворяющих условию (Ь, т) —
= (bf, т) = 1, выполняется соотношение
(1 - ф(т)т(а, b))(™	= (1 - ф(т)у(а',	(modfy). (6.3.58)
Доказательство леммы 6.15 является простой проверкой: для всех та-
ких b', b" (modm), что (b', m) = (ft", m) = 1, можно умножить обе части
равенства (6.3.57) на х(6") - х(Ь') и просуммировать по всем характерам
X, см. [833].
§6.3]
Модулярные формы и эйлеровы произведения
343
Для завершения доказательства теоремы 6.14 остается показать, что
1 — ф(а)у € Q/ для всех остальных элементов у = (& е Го(ЛГ).
\/ V кг С4 /
Сначала предположим, что с = 0, у =
ция f периодична с периодом 1. Далее, пусть
(о . Тогда f = f | у, так как функ-
Тогда
b = 0, y=C i)er0(AO.
\Nc 1 /
1 0\ _ /0 -1\/1 -П/0 -1\
JVcl)\N ОАО 1/lv О/
и, следовательно,
/1 (й ?)=f I G ") =«-о*/1 й й) =
= (-!)*/|№^(о ~^W» = f\KW»KCo ~1)^ =
= cj|(’ ci')KWN = CiClf = f,
где используются хорошо известные свойства операторов /( и W^:
KWN = (-V)kWNK, Г2 = (-1)2,
а также то, что условие f \ KWh = C\f равносильно функциональному
/ а Ь\
уравнению при /= 1, пг — 1. Наконец, если у = (	\ € Го(Л0, Ь^О,
то выберем такие s, t е Z, что m = а + Nbs, п = d + Nbt Е S, Тогда
1 0\ / т b\ / 1 0\
-Nt l)\Nb' n)\—Ns 1/
из чего следует, что
f \ x = <\>(n)f = ^(d)f.
Это доказывает свойство автоморфности; остается проверить, что фун-
кция f равна нулю в параболических точках. Будем использовать абсолют-
ную сходимость ряда
/?(s) = y^a(n)n~s
п=1
в точках s = k - 8, 8 > 0. Из этого легко выводится аналитическими мето-
дами, что \ f(x + iy)\ = О(у~м) при у —> оо. Это означает, что f является
параболической формой из Sk(N, ф).
344	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
§ 6.4.	Модулярные формы и представления Галуа
6.4.1.	Сравнения Рамануджана и представления Галуа. Новая глава
в теории модулярных форм, и вообще в арифметике, была открыта Серром
и Делинем, которые обнаружили связь модулярных форм с представлени-
ями Галуа; эти результаты подняли на новый уровень понимание универ-
сальной роли модулярных форм в теории чисел и объяснили целый ряд за-
гадочных фактов о различных арифметических функциях. К этим фактам
относятся оценка Рамануджана—Петерсона |т(р)| < 2рн/2 для функции
Рамануджана, а также сравнение Рамануджана
(mod 691).	(6.4.1)
d\n
Первоначальный результат в этом направлении относился к нормализо-
ванным параболическим формам
/(z) = ^a(n)e(riz) е <SHSL2(Z)), k = 12, 16, 18, 20, 22, 26,
Л=1
когда dim5^(SL2(Z)) = 1 и а(п) е Z для всех п G N. Серр предположил (см.
[716], [717]), а Делинь доказал (см. [296]), что для каждой из шести пе-
речисленных параболических форм и любого простого числа I существуют
такие непрерывные представления (см. [296])
Р/: G(Kz/Q)^GL2(Zz)	(6.4.2)
(Ki — максимальное алгебраическое расширение поля Q, разветвленное
только в простом числе /), что образ p-элемента Фробениуса F^p = p/(Frp)
при имеет характеристический многочлен t2 — a(p)t + pk~\ где
а(р)— Р~н коэффициент соответствующей параболической формы, k —
ее вес.
Утверждение о характеристическом многочлене можно выразить иначе,
сказав, что представление р/ является Z-целым в смысле п. 6.2.1 и выпол-
нено равенство
(1 - a(/)/"s + /ft-‘-2s)L(s, f) = Upi, s).	(6.4.3)
Этот результат позволил полностью исследовать сравнения по просто-
му модулю I для коэффициентов а(п). Оказалось, что такие сравнения су-
ществуют только в случае, если / является исключительным простым чис-
лом в том смысле, что образ Imp/ не очень велик (не содержит SL2(Z/)):
тогда между редукцией по модулю I следа Тг/^р = а(р) и ее определите-
лем pk~x должны быть выполнены некоторые соотношения, которые ведут
к сравнениям между а(р) и pk~x по модулю /. Например, для функции
§6.4]
Модулярные формы и представления Галуа
345
Рамануджана т(п) при k= 12 и / = 691 образ представления р/ (mod/)
лежит в подгруппе верхних треугольных матриц (* * ) (mod/), причем
/?₽р^Со 1) (mod/)’
откуда следуют соотношение т(р) = р11 + 1 (mod /) и, в силу мультиплика-
тивности, сравнение (6.4.1). Свиннертон—Дайер установил, что если про-
стое число / исключительное, то могут выполняться лишь следующие типы
сравнений, см. [782]:
а)	существует такое целое число т, что а(п) = птвь-\-2т(п) (mod/),
если п является квадратичным невычетом (mod /) (в этом случае
/рт *	\
F₽.p=(0 рк-,-т) (mod/));
б)	а(п) = 0 (mod /), если п — квадратичный вычет (mod /);
в)	p[~ka(p)2 = 0, 1, 2, 4 (mod/).
Для функции Рамануджана т(я) исключительными простыми являются
только простые числа / = 2, 3, 5, 7, 23, 691.
Конструкция представлений р/ является алгебро-геометрической и ос-
нована на изучении /-адических когомологий многообразия Куги—Сато
Ер, которое определяется как расслоенное произведение w = k — 2 эк-
земпляров универсальной эллиптической кривой Ер —> Хг над модулярной
кривой Хг = Н/Г, Г = SL2(Z) (см. п. 6.3.2, а также [111]).
Многообразие Е™ определено над Q, а его комплексная и алгебраиче-
ская размерность равна w 4- 1 = k — 1, и Делинь показал, что в качестве
р/ можно взять некоторое двумерное подпредставление в представлении
G(Q/Q) на группе /7^-1(Ер^, Q/); другими словами, форме f соответству-
ет мотив Mf веса k — 1, входящий в разложение многообразия Еу.
На произвольные примитивные параболические формы четного веса
результат Делиня распространил Рибет.
Представление Галуа р/=р^/, отвечающее параболической форме /,
неприводимо; если же f — ряд Эйзенштейна, f еЛ4^(Л/, ф), который яв-
ляется собственной функцией операторов Гекке, то легко построить при-
водимое l-адическое представление р/, у которого характеристические
многочлены образов элементов Фробениуса ЕР1Р совпадают с
1 -\f(p)p-s + Wp)pk-'~2s (f I Tk(p) = \f(p)f)
для l^£p, lp\N. Формула (6.3.35) показывает, что если а(0)^0, то
ХДр) = 1 -р ф(р)р^-1, поэтому в качестве р/ можно взять прямую сумму
1 Ф (рф ® Х/-1)> где Xz; G(Qab/Q)_-> Z/X (Х/(^гр) = Р)~циклотомический
характер, рф: G(Qab/Q) —> Qx С Q* —одномерное представление, отвеча-
346
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
ющее (по теореме Кронекера—Вебера) характеру ф. Для рядов Эйзен-
штейна Л-функция такого представления совпадает с произведением
£($)£($ - k + 1, ф) = П((1 - P~s)(l - Ф(Р)Р*"'”)Г1
р
и является преобразованием Меллина от f.
6.4.2.	Связь с конструкцией Эйхлера—Шимуры. Истоки конструк-
ции Делиня лежат в исследованиях Эйхлера дзета-функций модулярных
кривых; эти функции могут быть описаны с помощью преобразований
Меллина параболических форм веса 2 (см. [326]).
Если Г — конгруэнцподгруппа, то параболические формы f €£2 (Г)
взаимно однозначно соответствуют голоморфным дифференциалам f(z)dz
на модулярной кривой Хг = И/Г, поэтому dim S2(Г) = g — g(Xr) (род кри-
вой Хг). Формулы для рода кривых Хг (и вообще, для размерностей про-
странств А4б(Г) и £&(Г) при k 2) можно найти в книге Шимуры [742].
Если Г = Го(А0, то используется обозначение Хг = Xo(W); выберем в про-
странстве 52(Го(М) базис Гекке {Д, fg} и рассмотрим соответствую-
щие эйлеровы произведения L(s4 fa) (см. соотношение (6:3.37)).
Эйхлер установил, что дзета-функция модулярной кривой Xq(N)
имеет вид
C(S)C(S - 1)Що(А0, «Г1,
где L-функция L(Xq(N), s) совпадает, с точностью до р-множителей, от-
вечающих делителям уровня W, с произведением
g
А)-
/=]
Напомним, что L-функция ЦХ, s) совпадает с L-функцией /-адического
представления Gq на модуле Тэйта якобиана Jx =Jq(N) кривой X —Xq(N).
В терминах функций L(s, fi) можно описать и разложение якобиана
Jq(N) в произведение простых абелевых многообразий (с точностью до изо-
гении):
Jq(N)^A! х..,хАг.	(6.4.4)
Можно доказать, что алгебра эндоморфизмов End Л; 0zQ = К} является
вполне вещественным расширением поля Q, которое порождается соб-
ственными значениями операторов Гекке ХДт) ((m, N) = 1) на некоторой
параболической форме
оо
/(z) = ^а(пИп2)е<$2(Г0(ЛО).
л=!
§ 6.4]	Модулярные формы и представления Галуа	347
При ЭТОМ
=	Г),
а
где а пробегает все вложения о: К)> —► R, а
ГЦ) = а(п)°е(пг) € 52(Го(Л0).	(6.4.5)
п=\
В частности, [Kj : Q] = dim Aj.
Подробное изложение этих результатов содержится в книге Шимуры
[742].
Интересен случай, когда g(X^(N)) = 1, что имеет место для N = 11, 14,
15, 17, 19, 20, 21, 24, 27, 32, 36, 49. В этом случае 52(Го(М)) порождается
примитивной параболической формой с целыми коэффициентами Фурье.
Если N = 11, то
оо
/(-г) = т)(Х)2т](! lz)2, T](z) = e(z/24) JJ (1 - е(тг)) (6.4.6)
m=\
— эта-функция Дедекинда, а если N = 36, то
f(z) = y)2(12z)9(z),	(6.4.7)
где 9(z) = 52 e(n2z)— тэта-функция, см. [350].
nez
6.4.3.	Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля ([583] [786], [833],
[350], [359]). Эта гипотеза обсуждается более подробно в гл. 7 в связи
с большой теоремой Ферма, которая была окончательно доказана Уайлсом
в [841], [798], как и гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля (STW) для по-
лустабильных эллиптических кривых (см. также [583] [786], [833], [350],
[359]). Гипотезу STW доказали в полной общности в 1999 г. Ш. Брейль,
Б. Конрад, Ф. Даймонд, и Р. Тэйлор (см. детали в [288], а также в гл. 7).
Эллиптическая кривая Е над Q называется модулярной эллиптиче-
ской кривой (кривой Вейля), если существует непостоянный Q-рацио-
нальный морфизм : Xq(N) -* Е. Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля
утверждает, что каждая эллиптическая кривая над Q модулярна. Чис-
ло N, которое можно выбрать наименьшим, называется аналитическим
кондуктором кривой Е. В этом случае кривая Е имеет хорошую ре-
дукцию по модулю всех простых чисел р, не делящих N, а ее Л-функция
совпадает с преобразованием Меллина некоторой параболической формы
f € 52(Го(Л0):
ЦЕ, s) = L(s, f).
348	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6 Я
В частности, функция ЦЕ, s) допускает голоморфное аналитическое про- 
должение и удовлетворяет функциональному уравнению	9
/ 9тг \ -s	I
A(E, s) = (	) Г($)£(Е, s) = ±А(Е, 2 - s).	1
\vA /	I
Таким образом, эта гипотеза является очень естественной и вместе с тем I
удивительной, устанавливая соответствие	между	объектами совершенно *
различной природы: эллиптическими кривыми над Q и примитивны- |
ми параболическими формами веса 2 с целыми коэффициентами. До |
доказательства Уайлса эта гипотеза была доказана для многих эллипти- |
ческих кривых, к которым относятся, в частности, кривые с комплексным
умножением. Для этих кривых /-адическое представление на модуле Тэй-
та абелево, а его Е-функция совпадает с Е-функцией некоторого харак-
тера Гекке (т. е. грёссенхарактера) мнимого квадратичного поля. Анали-
тическое продолжение и функциональное уравнение таких Е-функций из-
вестны (см. п. 6.2.4), поэтому из обратной теоремы Вейля выводится, что
ЦЕ, s) = L(s, f) для некоторой параболической формы, что равносильно
гипотезе Шимуры—Таниямы—Вейля. В рассмотренных примерах %о(36)
имеет комплексное умножение на Q(\/—3), а кривая ХоО'1) не имеет ком-
плексного умножения.
Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля имеет ряд поразительных
арифметических следствий, к числу которых относится и большая теорема
Ферма, см. [841], [798], [671], [583], [350], [727] и гл. 7.
Имеется аналог гипотезы Таниямы—Вейля, дающий описание всех
простых абелевых многообразий, у которых степень алгебры эндоморфиз-
мов равна размерности многообразия, как простых факторов якобианов
модулярных кривых, см. [727], [834].
6.4.4.	Гипотеза Берча—Свиннертона—Дайера ([175], [788], [65],
[238], [50], [685] и [126]). Смысл этой глубокой гипотезы состоит в свя-
зи важнейших арифметических инвариантов эллиптической кривой Е над
числовым полем К с поведением Е-функции
ЦЕ, s) = L(E/K, s)
в точке s = 1. Этими инвариантами являются ге = rkE(K) (ранг кривой Е
над К), E(A)tors — группа кручения, Re —регулятор (определитель высо-
ты Нерона—Тэйта Не на E(K)/E(K)[ors cRr£), Ш(Е, К) — группа Ша-
фаревича— Тэйта эллиптической кривой Е над К. По определению
ЦЕ, s) = ]}£„(£, $),	(6.4.8)
V
где
LV(E, s)-‘ = 1 - a(p„)Nu-s + Nu’-2s, a(pv) = Nv + 1 - CardE(OK/pv)
§ 6.4]	Модулярные формы и представления Галуа	349
для точек хорошей редукции кривой Е (modpy), и
LV(E, s)-1 = 1 - a(py)Nu-s, a(pv) = ±1 или О
в зависимости от вида плохой редукции эллиптической кривой Е (modpy)
(считается, что эллиптическая кривая Е уже определена на и совпадает
со своей минимальной моделью Нерона, см. §5.2).
В силу «гипотезы Римана над конечным полем» (W4) из п. 6.1.3
справедлива оценка |a(pv)| < 2\/Nu, откуда вытекает абсолютная сходи-
мость произведения ЦЕ, s) для Res >3/2. Однако этого недостаточно:
для формулировки указанной гипотезы надо принять предположение Хас-
се—Вейля о существовании голоморфного аналитического продолжения
функций L(E, s) на все s е С.
Гипотеза Берча—Свиннертона—Дайера (BSD) состоит из двух
частей (см. [171], [175]):
а)	порядок нуля пе = ords=i ЦЕ, s) совпадает с рангом ге;
б)	во второй части допускается, что группа Ш(£, К) конечна; тогда
при s —> 1 должна выполняться асимптотика
Ц£. s) ~(* -	(6.4.9)
IM7'/ I
где М = [J mv — явно вычисляемое произведение локальных множителей
ueSf
Тамагавы по конечному множеству Sf, включающему архимедовы точки
и точки плохой редукции кривой Е, где mv = § |<о|у, со — дифференциал
E(KV)
Нерона на Е, см. [171], [175], [65].
К примеру, для /( = Q кривую Е можно задать уравнением
у2 4- а^ху 4- а%у = х3 4- а%х2 4- а^х 4- а§ (at е Z),	(6.4.10)
которое минимально в том смысле, что абсолютное значение его дискри-
минанта минимально; при этом дифференциал Нерона имеет вид dx/Qy 4-
4- aix 4- аз) (см. [757])
Гипотеза BSD тесно связана с гипотезой Таниямы—Вейля, посколь-
ку из аналитических свойств функции ЦЕ, s) = 52X1 a(n)n~s и Функ-
ций ЦЕ, х, s) = 52X16Z(AZ)x(AZ) s выводятся модулярные свойства функ-
ции f(z) = 52X1 a(n)e(nz) по обратной теореме А. Вейля (см. п. 6.3.8). Во
всех случаях, когда известно аналитическое продолжение функций ЦЕ, s),
кривая Е является кривой Вейля и выполняется функциональное уравнение
/ о- \ “s
ЦЕ, s) = MX Г($)£(£, s) = е(£)Л(£, 2 - s),	(6.4.11)
\V7V /
где число е(£) = ±1 называется знаком эллиптической кривой.
350	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Именно для кривых Вейля известны отдельные результаты о справед-
ливости гипотезы BSD, которые мы вкратце опишем. Пусть отображе-
ние <р: Xq(N) -* Е определяет кривую Вейля Е кондуктора А, со — диффе-
ренциал Нерона. Тогда прообраз <р*<д совпадает, с точностью до множите-
ля, с дифференциалом
/(z)~^ = 2Tcz/(z)dz на Xq(N),
f е52(Го(Л0) — примитивная параболическая форма уровня N. При этом
ЦЕ, s) = L(s, f) и справедливо равенство
/оо
ЦЕ, 1) = 2тс f(iy)dy.	(6.4.12)
о
Интеграл абсолютно сходится в силу экспоненциального убывания функ-
ции f(iy) при у —> оо и у —> 0 и в существенном совпадает с множителем
Тамагавы из формулы (6.4.9).
Теорема 6.16 (Коутс, Уайлс [238]). Пусть Е/К — эллиптическая
кривая с комплексным умножением и либо К = Q, либо К совпадает
с полем комплексного умножения. Тогда из условия Ге 1 следует,
что пе 1, т.е. ЦЕ, 1) = 0.
Доказательство этой теоремы основано на явном вычислении специ-
ального значения из формулы (6.4.12), которое пропорционально множи-
телю Тамагавы тж с коэффициентом пропорциональности из Qx, и из
существования точки бесконечного порядка выводится, что этот множитель
пропорциональности делится на бесконечно много простых чисел, а поэто-
му равен нулю.
Обобщение этого результата в другом направлении принадлежит Грин-
бергу, см. [384]: пусть E/Q— эллиптическая кривая с комплексным ум-
ножением. Тогда если число пе нечетно, то либо 1, либо группа
ЕЩЕ, Q) бесконечна и содержит делимую подгруппу Qp/Zp для любого
простого р / 2, 3, по модулю которого Е имеет хорошую обыкновенную
редукцию (на Е (mod р) существует нетривиальная геометрическая точка
порядка р над Fp). Развивая эти исследования, К. Рубин и В. А. Колывагин
(см. [685]) построили примеры кривых Е/Q с комплексным умножением
с конечной группой ЕЩЕ, Q) и доказали следующий глубокий факт: если
для такой кривой Ге = ff(Q) > 1 и е(Е) = — 1, то пе 3. К примеру, кри-
вая Е: у2 = х3 — 226х имеет ранг 3 (образующие группы E(Q) по модулю
кручения: (-1, 15), (-8, 96), (121/4, 1155/8)) и е(Е) = -1; следовательно,
пе 3 (ср. с примерами в п. 6.3.2). Эти результаты были обобщены Ка-
то на случай кривых без комплексного умножения при помощи эйлеровых
систем, см. [452], [565].
§6.4]
Модулярные формы и представления Галуа
351
Указанные здесь результаты хотя и относятся к L-функциям комплекс-
ного аргумента, основаны на р-адической теории и свойствах р-адиче-
ских L-функций, у которых и аргумент, и область значений являются уже
не комплексными, а р-адическими. Эти функции позволяют проследить
р-адическое поведение специальных значений вида L(£, /, 1) (где /—
характер Дирихле), являющихся алгебраическими числами (с точностью
до множителя типа т^), а значит, и р-адическими числами. Кроме того,
р-адические Л-функции описывают поведение групп Зелъмера и Шафа-
ревича— Тэйта данной эллиптической кривой над абелевыми расшире-
ниями основного поля К, совпадающего с полем К = Q или с полем ком-
плексного умножения данной эллиптической кривой, см. [65], [68], [540],
[436], [240], [567], [566], [241], [259], [253].
Важные результаты, касающиеся гипотезы BSD для модулярных кри-
вых (включая кривые с комплексным умножением), получили Гросс и За-
гир, см. [385], [386], [239].
Они доказали, что если для эллиптической кривой Вейля Е выпол-
няется равенство пе = 1, то ге 1. Кроме того, они установили суще-
ствование таких эллиптических кривых £/Q, для которых пе 3. Эти
результаты основаны на теории специальных точек на модулярных кри-
вых (точек Хегнера). Еще в XIX в. было известно, что можно строить
решения уравнения Пелля, используя либо значения тригонометрических
функций (Дирихле), либо значения тэта-функции Дедекинда (Кронекер;
см. §1.2). Хегнер в работе [408] впервые успешно использовал значе-
ния эллиптических модулярных функций для построения рациональных
точек на эллиптических кривых, что позволило эффективно найти все од-
ноклассные мнимые квадратичные поля. В работах Берча, дополнившего
и прояснившего идеи Хегнера (см. [174], [176]) впервые установлено су-
ществование рациональных точек бесконечного порядка на некоторых эл-
липтических кривых без явного выписывания координат этих точек и про-
верки того, что они в действительности удовлетворяют уравнению кри-
вой. Пусть <р: Xq(N) —> £ —униформизация Вейля эллиптической кривой
£/Q. Выше отмечалось (см. п. 6.3.4), что множество Н/Го(А0 С%о(А0(С)
описывает классы изоморфизма над С изогений Ez —> EZ/(P) с цикличе-
ским ядром (Р) порядка /V, где £2(С) = C/(l, z) — меняющаяся эллип-
тическая кривая, отвечающая точке z G И. Пусть — мнимое квадра-
тичное поле дискриминанта D < 0 с кольцом целых чисел (9, и предпо-
ложим, что существует такой идеал i с (9, что O/i ^'h/N'h (это выпол-
нено, например, если D = квадрат (mod4/V) и (D, 2W) = 1). Тогда изоге-
нии С/(9—соответствует точка z на Н/Го(А0, и можно прове-
рить, что эта точка рациональна над гильбертовым полем классов Hr
(максимальным абелевым неразветвленным расширением поля /(). Точ-
ка <p(z) =у G Е(Нк) называется точкой Хегнера на £, см. [408]; тогда
352
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
точка
Ук = £ у°еЕ(Ю
°eG(HK/K)
уже определена над /С Берч и Стефенс провели обширные вычисления
в попытке выяснить, при каких условиях точка у к имеет бесконечный по-
рядок, и предложили гипотезу о существовании формулы, которая при
Е(Е, 1) = 0 выражает специальное значение L'(E, 1) через произведение
гИоо и высоты Нерона—Тэйта h(yx) точки у к, см. [174]. Указанную гипо-
тезу доказали Гросс и Загир, см. [385].
Эти исследования получили значительное развитие в работах В. А. Ко-
лывагина (см. [50]), который показал, что если Е(Е, 1)^0 и точка у%
имеет конечный порядок, то группы E(Q) и Ш(Е, Q) конечны, доказав
в этом случае первую часть гипотезы BSD. Методы, развитые Колываги-
ным (см. [474]), позволяют находить эффективно в терминах /(, Е и у%
число, аннулирующее группы E(Q) и Ш(Е, Q). Это позволяет прибли-
зиться в рассмотренной ситуации и к доказательству второй части ги-
потезы BSD. Развитая Колывагиным теория эйлеровых систем позво-
ляет с единой точки зрения рассмотреть гауссовы суммы, эллиптические
и круговые единицы, а также точки Хегнера и дает подход к доказатель-
ству «основной гипотезы» типа Ивасавы (см. п. 5.4.5) об описании мо-
дулей Ивасавы, связанных с этими объектами, в терминах р-адических
L-функций.
Точки Хегнера позволяют построить на эллиптических кривых Вей-
ля много рациональных точек, определенных над полями классов мнимых
квадратичных полей.
Мазур сформулировал ряд гипотез относительно поведения групп Мор-
делла—Вейля в башнях полей классов мнимого квадратичного поля с ог-
раниченным ветвлением (см. [560], [564]). Они утверждают, что точки Хе-
гнера являются, в правильном смысле, большинством рациональных то-
чек над полями из этих башен (в предположении, что эллиптическая кри-
вая не имеет комплексного умножения на исходное мнимое квадратичное
поле).
Ватсал (см. [807]) и Корнут (см. [283]) доказали вариант этой гипотезы.
Отметим, что в некоторых случаях сравнительно легко устанавливается
обращение в нуль значения Е(Е, 1), в то время как найти точку бесконеч-
ного порядка на кривой Е очень непросто. В примере Касселса—Бремне-
ра Е: у2 — х3 + 877х (см. [224], [221]) равенство Е(Е, 1) = 0 следует из
нечетности эллиптической кривой Е, а образующая группы E(Q)/E(Q)tors =
= Z выглядит весьма громоздко (см. п. 1.3.2).
Результаты Гросса и Загира нашли неожиданное приложение в знаме-
нитой проблеме Гаусса об определении всех мнимых квадратичных полей
§6-4]
Модулярные формы и представления Галуа
353
с числом классов h(-d), равным данному числу h. Ранее все та-
кие поля были найдены для h = 1 и h = 2, см. [408], [1], [146], [313], [770],
[771].
В 1976 г. Голдфельд показал (см. [370], [372]) что если существу-
ет такая параболическая форма f €<5*(Го(А0), у которой L(s, f) обладает
в центре критической полосы нулем достаточно большого порядка (3 или
4, в зависимости от k и N), то для любого натурального числа h 1 можно
явно указать эффективную границу для таких d, что h(—d) = h. Нужная
параболическая форма была затем найдена: Местр доказал (см. [574]), что
эллиптическая кривая
у2 -|- у = х3 - 7х + 6	(6.4.13)
кондуктора 5077 и ранга 3 (E(Q) = Z3 с образующими (1, 0), (2, 0), (0, 2))
(см. также [210]) является кривой Вейля, т. е. обратное преобразование
Меллина функции
Е(Е, s) = '^a(n)rTs
п=\
является параболической формой
оо
/(z) = £>(и)е(л2) 6 52(Го(5О77)).
п=\
Из нечетности кривой Е (т. е. е(Е) — — 1) и из результатов Гросса и Загира
выводится, что пе 3, поэтому f — искомая параболическая форма. Ис-
пользование функции f в теореме Голдфельда позволяет доказать, что для
любого натурального числа Т 1 существует такая эффективно получае-
мая константа В(7) > 0, что если d обладает Т различными простыми де-
лителями, то справедлива оценка h(-d) В(7) logd. Если же d — простое
число, то d logd < 55/z(—d). Этот результат позволил найти все такие d,
что h(-d) = 3, см. [623]
Про последние достижения о формулах Гросса—Загира можно узнать
из работ [166] и [187].
Модулярные формы и Е-функции эллиптических кривых были плодо-
творно применены в работе Дж. Туннелла (см. [805], [350]) к классической
диофантовой задаче о конгруэнтных числах: найти простой способ опре-
делить, является ли данное натуральное число площадью прямоугольного
треугольника с рациональными сторонами. Например, число 6 — это пло-
щадь треугольника со сторонами 3, 4, 5, следовательно, 6 — конгруэнтное
число. В то время как N = 6 — наименьшая возможная площадь треуголь-
ника с целочисленными сторонами, можно найти прямоугольный треуголь-
ник с площадью N = 5 и рациональными сторонами 3/2, 20/3, 41/6. Тот
354	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
факт, что N = 1 не является конгруэнтным числом, доказывается методом
бесконечного спуска Ферма.
Действительно, предположив, что Z > Y > X > 0 — рациональные чис-
ла, удовлетворяющие условиям
X2 + Y2 = Z2, \xY = N,	(6.4.14)
мы получим
(X + У)2 = z2 + 4N, (X-Y)2 = Z2-4N.	(6.4.15)
Перемножение уравнений (6.4.15) показывает, что положительные рацио-
нальные числа и = Z/2 и v = (У2 — Х2)/4 удовлетворяют уравнению
v2 = и4 - №.	(6.4.16)
Положим теперь N = 1 и запишем числа и, v > 0, и, v е Q, в несократимой
записи и = a/b, v = c/d. В результате при N = 1 мы получим из (6.4.16)
с2Ь4 = a4b2 - b4d2 = (а4 - Ь4) • d2.
Учитывая, что (с, d) = 1, (а4 — b\ b4) = 1, имеем b4 = d2, т. е. выполнено
равенство
а4 — Ь4 = с2.	(6.4.17)
Выберем числа а, 6, с, удовлетворяющие соотношению (6.4.17), с мини-
мальным возможным тах{а, 6, с}. Перепишем формулу (6.4.17) в виде
(а2 — с)(а2 + с) = Ь4 и учтем, что любое простое число, одновременно де-
лящее два сомножителя а2 — с и а2 + с, делит также и 2а2, и 2с, откуда
в силу взаимной простоты чисел а и b имеем (а2 - с, а2 + с) = 1 или 2.
Однако произведение этих сомножителей есть четвертая степень, поэтому
возможны два случая
( а2 — с = 2С4ч	j a2-c = 8D\
| a2 + c = 8D4 ИЛИ ( а2 + с = 2С4,
где С > О, С нечетно и (С, D) = 1. В обоих случаях имеем а2 = С4 + 4D4,
то есть 4D4 = (а — С2)(а + С2). Рассмотрение множителей а — С2 на 4- С2
показывает, что а 4- С2 = 2А4 и а — С2 = 2В4, откуда следует, что нату-
ральные числа А, В, С удовлетворяют уравнению А4 - В4 = С2, причем
тах{Л, В, С} < тах{а, 6, с}, что приводит к противоречию.
С другой стороны, несложно показать, что кривая (6.4.16) бираци-?
онально изоморфна плоской эллиптической кривой EN, вейерштрассова
форма которой имеет вид у2 = х3 — N2x. Для того чтобы это показать,
§ 6.4]	Модулярные формы и представления Галуа	355
можно использовать замену переменных
„ _ х2 - N2 v _ 2Nx 7 _х2 + N2
У	У	У
приводящую к соотношениям (6.4.14).
Рассмотрение редукции по простым модулям приводит к тому, что все
точки конечного порядка из EN(Q)— это в точности те точки, у которых
у = 0, а также точка на бесконечности. Таким образом, мы получаем тот
замечательный факт, что число N конгруэнтно тогда и только тогда, когда
группа EN(Q) бесконечна.
Дж. Б.Туннелл доказал в 1983 г., что если нечетное натуральное чис-
ло N конгруэнтно, то
Card {(х, у, z) € Z3: 2х2 + у2 + 8z2 = N } =
= 2 Card {(х, у, z) € Z3: 2х2 + у2 + 32z2 = М}.
Предполагая справедливость гипотезы Берча—Свиннертона—Дайера для
эллиптических кривых вида EN, он показал, что это условие является так-
же достаточным.
В связи с гипотезой Таниямы—Вейля отметим результат Г. В. Белого,
см. [12]: всякая алгебраическая кривая, определенная над полем алгебра-
ических чисел, допускает накрытие на проективную прямую, разветвленное
лишь над тремя точками 0, 1, оо и определенное над числовым полем; из
этого результата следует, в частности, что эллиптические кривые над Q
допускают униформизацию модулярными формами относительно подгрупп
конечного индекса в SL2(Z), не обязательно являющихся конгруэнцпод-
группами. Этот результат позволил решить обратную задачу Галуа над
некоторыми круговыми расширениями поля Q и построить расширения та-
ких полей, имеющие в качестве группы Галуа заданную конечную простую
группу, порожденную двумя образующими. Ранее И. Р. Шафаревич решил
обратную задачу Галуа над Q для конечных разрешимых групп, см. [103].
6.4.5.	Гипотеза Артина и параболические формы ([306], [510],
[513], [804] [411], [422], [362]). Соответствие между примитивными
параболическими формами веса 2 относительно Го(А^) и эллиптически-
ми кривыми, которое устанавливает гипотеза Шимуры—Таниямы—Вей-
ля (см. также гл. 7), имеет замечательный аналог применительно к пара-
болическим формам веса 1. Ленглендс предположил, а Делинь и Серр
точно сформулировали связь примитивных параболических форм f(z) =
= 52X1 л(л)е(иг) £ <51 (N, Ф) с неприводимыми двумерными комплексными
представлениями Галуа
РГ G(Q/Q)^GL2(C).
(6.4.18)
356	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Примитивность формы f включает условия
f h Т(р) = a(p)f, а(1) = 1 ((р, /V) = 1).	(6.4.19)
Делинь и Серр доказали существование таких неприводимых представ-
лений р[, неразветвленных вне делителей числа N, что 1) det р/- =рф яв-
ляется одномерным представлением, отвечающим по теореме Кронеке-
ра—Вебера нечетному характеру ф: (Z/A/Z)x —>СХ, ф(-1) = -1; 2) об-
раз F^p = p;(Frp) p-элемента Фробениуса Frp имеет след TrFp^ = а(р)
для всех (р, N) = 1. Для рядов Эйзенштейна f е A4i(W, ф), удовлетворя-
ющих условиям (6.4.19), такие представления легко строятся и являются
прямыми суммами характеров.
Замечательным следствием этой конструкции является доказательство
гипотезы Рамануджана—Петерсона для веса k = 1:
|а(р)| 2р(*-|)/2 = 2.	(6.4.20)
Действительно, число TrFPiP=a(p) является суммой двух корней из 1,
поэтому оценка (6.4.20) выполняется для параболических форм (впрочем,
при k = 1 это верно и для рядов Эйзенштейна).
Гипотеза Рамануджана—Петерсона связана с гипотезой Сато—Тэй-
та о равномерном распределении аргументов <р₽ автоморфизмов Фробе-
ниуса на отрезке [0, тс] относительно меры — sin2 cprfcp (см. гл. I в [716],
[576] и п. 6.5.1).
Построение представления р; использует редукцию (mod/) /-адиче-
ских представлений, связанных с модулярными формами веса k 2. До-
казывается, что данная параболическая форма f веса 1 имеет по модулю
некоторого простого идеала такие же коэффициенты Фурье, как некото-
рая параболическая форма g старшего веса 6 > 2. Затем проверяется, что
/-адическое представление pg (mod/) можно поднять в нулевую характе-
ристику. В результате получается искомое комплексное представление р^,
для которого свойства 1) и 2) справедливы, поскольку они выполнены по
модулю бесконечно многих простых чисел.
Условия 1) и 2) на представление р[ означают, что L(s, f) (преобразо-
вание Меллина функции f) совпадает с L-рядом Артина представления
pz, т.е.
L(s,/) = L(P/,s),	(6.4.21)
и из аналитических свойств рядов L(s, f) (см. п. 6.3.6) вытекает, что функ-
ция L(pf, s) голоморфна. Для комплексных представлений р: G(Q/Q)—>
—> GL2OC) утверждение о голоморфности функции Цр, s) составляет со-
держание гипотезы Артина, которая тем самым доказана для пред-
ставлений вида р = Р[. Наоборот, если известна голоморфность функций
L(p 0 х, s) для некоторого двумерного представления р с нечетным опре-
§ 6.4]	Модулярные формы и представления Галуа	357
делителем det р и всех характеров Дирихле /, то существование парабо-
лической формы f веса 1, удовлетворяющей условиям 1) и 2), можно вы-
вести из обратной теоремы А. Вейля (см. п. 6.3.8). При этом образ p(Gq)
в PGL2CC) может быть изоморфен только следующим группам:
1)	группе диэдра; в этом случае представление р мономиально (ин-
дуцировано некоторым характером циклической подгруппы);
2)	А4 (тетраэдральный случай);
3)	S4 (октаэдральный случай);
4)	А5 (икосаэдральный случай).
Леглендс и Туннел доказали гипотезу о существовании параболической
формы /, для которой р = р/, в случаях 2) и 3). Справедливость гипотезы
Артина в случае 4) остается открытым вопросом, хотя Булер (см. [411])
привел пример представления типа 4), для которого гипотеза Артина спра-
ведлива. При этом Кегр = G(Q)/K), где К есть поле разложения многочлена
х5 + 10х3 - 10х2 + 35х- 18,
a N = 800. Р. Тэйлор предложил интересную программу доказательства ги-
потезы Артина для икосаэдральных представлений Галуа (последние до-
стижения см. в [797]).
Кондуктор Артина. Число N в конструкции Серра—Делиня полу-
чило интерпретацию как кондуктор Артина представления р^, кото-
рый определен для произвольного конечномерного представления Галуа
р: Gq —> GL(V) с конечным образом по следующему правилу. Пусть р —
простое число, р — некоторый простой идеал кольца О С Q всех целых
алгебраических чисел, р € р, тогда определена группа разложения
G^ = (а € Gq | ар = р),
образ которой изоморфен группе Галуа некоторого расширения F/typ,
p(G(₽)) = G(F/QP). Пусть vf — нормализованный p-показатель поля F,
т. е. Vf(Fx) = Z. Определим подгруппы ветвления
Gpj) D Gpj D ... D 6 р,т = {1 у}
условием
Gpi = {а е G(F/Q): vF(x - а(х)) > i для всех х е Of},
и пусть VPyi = VGpi. В частности, GPto— подгруппа инерции, и нераз-
ветвленность представления р над р эквивалентна тому, что V = Vp$.
Определим кондуктор Артина (см. [134], [136], [713])
N =N(p) = Y[pn^\	(6.4.22)
р
358	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
где показатель п(р, р) определяется равенством
00	1
п(р, Р) = Е (G П G ) dim v^‘	(6-4-23)
. * \up,0 • up,i)
i=u
и является целым числом (по данному определению это число только раци-
онально). При этом п(р, р) = dim V/Vp^ + bp(V), где число bp(V) называ-
ется диким инвариантом представления р над р. Можно показать, что для
одномерных представлений кондуктор Артина совпадает с кондуктором ха-
рактера группы классов иделей, соответствующего данному представлению
по теории полей классов, см. [713].
6.4.6.	Модулярные представления над конечными полями ([727]).
На основе глубокого анализа предыдущих конструкций Серр в 1987 г. пред-
ложил универсальное описание нечетных двумерных неприводимых пред-
ставлений Галуа над конечными полями с помощью модулярных параболи-
ческих форм. Пусть р — простое число, р — простой идеал кольца всех це-
лых алгебраических чисел О С Q, р € р, О/р = Fp. Назовем представление
р: Gq—>GL(2, Fp)	(6.4.24)
модулярным типа (N, k, ф), если для некоторой модулярной формы
оо
/(г) = 52 a(n)e(nz) е Sk(N, ф),
Л=1
собственной относительно операторов Гекке, а(1) = 1, выполнено условие
Tr(Fp,z) = a(/) (modp)	(6.4.25)
для простых чисел /, I \Np.
Серр предположил, что всякое нечетное неприводимое представле-
ние (6.4.20) является модулярным причем (N, р) = 1, и дал явное опи-
сание чисел /V, k и характера ф, предположив также, что эти числа /V, k
наименьшие возможные, удовлетворяющие условию (N, р) = 1. Согласно
этой гипотезе число N определяется по ветвлению р вне простого числа р
так же, как кондуктор Артина:
/V = П
1*р
Вес k определяется по свойствам ветвления над простым числом р, а ха-
рактер ф находится из условия на определитель
det р = ф(/)/Хе—1 (modp) (l\Np).
Серр привел многочисленные примеры конкретных представлений р,
для которых можно указать соответствующую параболическую форму f
со значениями N, k и ф, предсказанными этой гипотезой.
§ 6.5]	Автоморфные формы и программаЛенглендса	359
Гипотезы Серра о модулярности всех нечётных двумерных представле-
ний Галуа над конечными полями были доказаны в 2007 г. Ч. Кхаре и Ж.-
П. Винтенберже, с использованием методов М. Кисина, Ж.-М. Фонтэна
и Р. Тэйлора (см. материалы Летней школы в Марселе-Люмини, июль
2007 г.).
Отметим замечательные следствия гипотезы Серра. Во-первых, из нее
вытекает гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля для эллиптических кри-
вых над Q и для простых абелевых многообразий с вещественным умноже-
нием (см. п. 6.4.3 и гл. 7). Кроме того, из гипотезы Серра следует большая
теорема Ферма. Это можно показать с помощью эллиптической кривой
Фрея—Хеллегуарша Е : у2 = х(х — А)(х + В), где
А = ар, B = bp, С = ср, a,b,ceZ, р > 5,
— целые числа, удовлетворяющие условию А + В 4- С = 0, АВС Ф 0 (ре-
шение уравнения Ферма). Согласно приведенной гипотезе представление
Галуа
р: Gq-+ Autfp = GL2(FP)
на точках порядка р эллиптической кривой Фрея—Хеллегуарша должно
соответствовать параболической форме / G 52(Го(2)). Однако
dimS2(r0(2)) = g(X0(2)) = 0,
поэтому такой параболической формы f не существует (см. гл. 7).
Другой подход к доказательству несуществования эллиптических кри-
вых Фрея—Хеллегуарша состоит в применении к соответствующей ариф-
метической поверхности (схеме над SpecZ размерности 2) методов теории
неособых проективных поверхностей общего типа над алгебраически за-
мкнутым полем нулевой характеристики (неравенство Богомолова—Ми-
яоки—Яо, см. [582], [631].
§ 6.5. Автоморфные формы и программа
Ленглендса
6.5.1.	Связь классических модулярных форм с теорией представ-
лений ([188], [637]). Область определения классических модулярных
форм (верхняя полуплоскость И) является однородным пространством Н =
= GL2(R)/O(2)Z (см. п. 6.3.1) редуктивной группы GL2(R). Поэтому лю-
бую модулярную форму
сю
/(z) = ^a(n)e(nz) е Mk(N, ф) с АЫ1» (6.5.1)
л=0
360
Дзета-функции и модулярные формы
можно поднять до функции f на группе GL2(R), удовлетворяющей условию
инвариантности
fag) = Kg) для всех Y е Г/v с GL2(R),
где Г/v = {у G SL2(Z): y = 1 (modAf)}. Для этого надо положить
f /(g(0)/(g, О-*, если det g > О,
f(g) = r^”l4i'	ё	(6.5.2)
I f(g(-i))Kg, ~i) < если det g < О,
где g - (а е GL2(R), j(g, z) = | det g|-1/i) 2(cz + d) — множитель авто-
ус d J
морфности. При этом
fag) = exp{—ikQ}Kg),
/cos 6 — sin6\
если x = (	^ I — вращение на угол 9.
Рассмотрим группу GL2(A) невырожденных матриц с коэффициентами
в кольце аделей А и ее подгруппу
U(N) = [g = 1 х И gp € GL2(A): gp е GL2(ZP),
i) (modA'Zp)}- (6ЛЗ)
Тогда из китайской теоремы об остатках (теорема об аппроксима-
ции) следует разложение в смежные классы
ГлД GL2(R) = GL2(Q)\ GL2(A)/t/(/V),	(6.5.4)
что позволяет рассматривать f как функцию на однородном пространстве
(6.5.4) или даже на адельной группе GL2(A).
Действие на функцию f групповыми сдвигами аргумента определяет
некоторое представление тс = тс/ группы GL2(A) в пространстве гладких
комплекснозначных функций на GL2(A), при котором
Mh)K(g) = Kgh) (g, h e GL2(A)).
Условие того, что представление тс; неприводимо, имеет замечатель-
ную арифметическую интерпретацию и эквивалентно тому, что f является
собственной функцией операторов Гекке Т^(р) (для почти всех р). В этом
случае представление к = тс; допускает разложение в бесконечное тензор-
ное произведение
тс = (^)tcd,	(6.5.5)
V
где тсу —представления групп GL2(Qy) (v — р или оо).
§6.5]
Автоморфные формы и программаЛенглендса
361
Жаке и Ленглендс в качестве исходного пункта для построения /.-фун-
кций избрали неприводимые допустимые представления групп GL2(Qu)
(см. [439], [188]), которые поддаются классификации и явному описанию.
Так, для представлений тсу в разложении (6.5.5) можно проверить, что для
почти всех v = vp представление тсу имеет вид тсу = Ind(^ti ® [i2), т.е. ин-
дуцировано с одномерного представления группы диагональных матриц
(Pl	j =Ц2(Х)Р|(1/),
где р,: Q* —>СХ —неразветвленные квазихарактеры (см. п. 6.2.4). Это
позволяет определить элемент
hP = n . I е GL2(C)
\ 0	ц2(р)7
и эйлерово произведение (/.-функцию автоморфного представления к)
Цк, 5) = J] •$) = П det( 12 - p-s/zp)-1	(6.5.6)
P&S	p<£S
(произведение по всем простым числам, кроме конечного их числа).
Оказывается, функция L(k, s) по существу совпадает с преобразова-
нием Меллина модулярной формы f:
L(s, f) = L(iths + (k- 1)/2).
Понятие примитивной формы f также приобретает содержательный
смысл: соответствующая функция /, лежащая в пространстве некоторого
неприводимого представления к, должна иметь максимальный стабилиза-
тор. Теорию Аткина—Ленера можно переформулировать как утверждение
об однократности вхождения представления п; в представление GL2(A) на
пространстве квадратично-интегрируемых функций.
Более общим образом, автоморфное представление вводится как
неприводимое подпредставление адельной редуктивной группы G(A) в про-
странстве функций на G(A) с некоторыми условиями гладкости и убывания.
Элементы пространства автоморфного представления называются авто-
морфными формами.
Жаке и Ленглендс построили для неприводимых допустимых авто-
морфных представлений тс группы GL2(A) аналитическое продолжение
/.-функций /.(тг, s) и установили функциональное уравнение, связывающее
/.(тс, $) и L(k, 1 - s), где if—контраградиентное представление. Для функ-
ций L(n/, s) такое функциональное уравнение переходит в функциональное
уравнение Гекке (типа (6.3.45)).
Отметим, что в понятие автоморфного представления в смысле
Жаке—Ленглендса включаются как частные случаи
362
Дзета-функции и модулярные формы
[Гл. 6
1) классические эллиптические модулярные формы,
2) вещественно-аналитические волновые модулярные функции Мааса,
3) модулярные формы Гильберта,
4) вещественно-аналитические ряды Эйзенштейна типа (cd)
ys
\cz + d\2s ’
5) L-ряды Гекке с грёссенхарактерами (более точно, их обратное
преобразование Меллина),
6) автоморфные формы на кватернионных алгебрах и т. д.
Интересные классы эйлеровых произведений связаны с конечномер-
ными комплексными представлениями
г: GL2(C)GU(C).
Положим
Цтс, г, s) =	г, s),	(6.5.7)
р
где L(np, г, s) = det(lm — p~sr(hp))~\ Произведение (6.5.7) абсолютно
сходится, если Res^>0, и предположительно допускает аналитическое
продолжение, удовлетворяющее некоторому функциональному уравнению,
см. [188], [143], [509], [301], [716].
Эта гипотеза доказана в некоторых частных случаях, например, ко-
гда г = Symz St — симметрическая степень стандартного представления
St: GL2(C) -> GL2(C), a i = 2, 3, 4, 5, см. [735].
Гипотеза Рамануджана—Петерсона, доказанная Делинем (см.
оценку (6.3.24)), переформулируется как утверждение о том, что собствен-
ные значения элементов hp е GL2(C) равны по модулю 1, если f — пара-
болическая форма.
Из предположения об аналитических свойствах функций (6.5.7) мож-
но вывести следующую гипотезу Сато—Тэйта о распределении углов
элементов Фробениуса: если а(р) = е1<9р (0 <рр тс) — собственное значе-
ние элемента hp, то углы <р₽ предположительно распределены равномерно
на отрезке [0, тс] по мере -sin2<pd<p (см. [716]), если f — параболиче-
ская форма без комплексного умножения, т. е. ее преобразование Меллина
не совпадает с Л-функцией характера Гекке мнимого квадратичного поля.
Недавно эту гипотезу частично доказали Л. Клозель, Р. Тэйлор, М. Харрис
и Н. Шеферд-Бэрон 2). В случае комплексного умножения аналитические
свойства функций сводятся к свойствам L-функций с характерами Гекке,
описанными в п. 6.2.4 (см. [716]), откуда выводится равномерная распре-
деленность углов (рр.
2)Точнее, для эллиптических кривых с нецелым инвариантом. М. Харрис и Р. Тэйлор были
удостоены премии Института Clay (Clay Research Awards Announced on April 17, 2007).
§ 6.5]	Автоморфные формы и программаЛенглендса	363
По своей арифметической природе числа е1Ц*р близки к знакам гауссо-
вых сумм ot(p) = g<x)/jp, где g(y) = ^=' Х(и)е(и/Р), X (modр) — при-
митивный характер Дирихле. Даже если / — квадратичный характер, то
число а(р) равно 1 или i и вычисляется довольно тонко, см. [14]. Если /—
кубический характер, т. е. /3 = 1, то р = Ы + 1, а суммы g(/) лежат внутри
1-го, 3-го или 5-го секстанта комплексной плоскости. Методы теории ав-
томорфных форм позволили решить проблему Куммера о распределении
аргументов кубических гауссовых сумм с помощью кубического аналога
тэта-рядов — автоморфных форм на трехлистном накрытии группы GL2
(см. [302], [405], [481]).
6.5.2.	Автоморфные £-функции ([188]). Подход Жаке—Ленглендса
позволил перенести ряд понятий и результатов об L-функциях на слу-
чай автоморфных представлений редуктивных групп над глобальным по-
лем К. Пусть G—линейная редуктивная группа над /(, Сд = G(A/<)—
группа ее точек с коэффициентами в кольце аделей поля /С Автоморфные
представления часто определяются как представления, лежащие в регу-
лярном (гладком) представлении группы G&, а символом 2l(G/A) обо-
значается множество классов эквивалентности неприводимых допустимых
автоморфных представлений группы Сд. Такие представления допуска-
ют разложение тс = ® ли, где v €	—точки поля /С, тсу —представления
групп Gv = G(KV)- Для построения L-функций вводится понятие L-груп-
пы Ленглендса LG. Рассматривается набор корневых данных (см. [188],
[769])
фо(0) = (Х*(7), А, Х*(7), Av)	(6.5.8)
группы G; здесь Т — максимальный тор группы G (над сепарабельным
замыканием основного поля), Х*(7) — группа характеров, Х*(7) — груп-
па однопараметрических подгрупп тора Г, Д (соответственно Av) — базис
системы корней Ф(С, Т) относительно тора Т (соответственно двойствен-
ный базис кокорней). Связная компонента LG° группы Ленглендса опре-
деляется как комплексная редуктивная группа, корневые данные которой
получаются обращением фо > Фо » т-е- изоморфны набору данных вида
фо(С)х/ = (Х*(7), Д\ Х*(7), Д).	(6.5.9)
Если G — простая группа, то с точностью до центральной изогении она
характеризуется одним из типов Ап, Вп, .... G2 классификации Киллин-
га—Картана. Известно, что отображение фо »—> фд переставляет типы Вп
и Сп, а остальные типы оставляет на месте. Таким образом, если G = Sprt
(соответственно G SpJ, то LG° = S02«+i(C) (соответственно LG°=
Spin2n+1(C)). Группа LG определяется как полупрямое произведение LG°
на группу Галуа G(KS/К) расширения /С основного поля /(, над ко-
торым G расщепляется (т. е. тор Т становится изоморфным (GLi)f). Та-
364	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
кое полупрямое произведение вводится с помощью действия группы Галуа
Гк = Gal(/Cs//Q на группе LG°, которое определяется с помощью действия
Г/< на множестве максимальных торов, определенных над /С.
Важнейший классификационный результат теории Ленглендса состоит
в том, что если 7t=07ty e2l(G//<), то для почти всех v представлению тсу од-
v
позначно сопоставляется полупростой класс сопряженности hv в группе LG.
Теперь можно определить автоморфные L-функции. Пусть г: LG —►
—> GLm(C) — конечномерное представление группы LG. Положим
L(tc, r, s) = J7 L(Tcy, г, s),	(6.5.10)
v&S
S — конечное множество точек поля /(,
Л(тс^, г, s) = det(\т - Nu-5^))-1.
Ленглендс показал, что если тс € 2t(G//(), то произведение (6.5.10) аб-
солютно сходится при достаточно большом значении Res, см. [509]. Про-
изведение (6.5.10) определяет автоморфную L-функцию лишь с точностью
до конечного числа эйлеровых множителей, но это обстоятельство не иг-
рает большой роли в вопросах, связанных с аналитическим продолжением
этих функций, хотя и важно для функционального уравнения. Перечень ги-
потез об аналитических свойствах функций (6.5.10) содержится в обзоре
Бореля [198].
Более современные введения в теорию автоморфных L-функций и про-
грамму Ленглендса можно найти в работах [211], [212], [434].
Для группы G = GL^ и стандартного представления г = rn = St: LG°
GL^C) основные аналитические свойства функций (6.5.10) уже дока-
заны (см. [440], [363], [735], [441], а также [212], [211], [246]).
На случай группы G = GLrt перенесена теорема об однократности
(аналог теории Аткина—Ленера) (см. [141], [581], [528]), которая тесно
связана с теоремой о необращении в нуль: L(it, rn, s) ± 0, если Res = 1
и тс — параболическое представление.
Для группы GL3 установлена обратная теорема типа Вейля (см.
п. 6.3.8): если все L-функции вида L(tc 0 /, Г3, s) (где /— характер Гекке,
к — неприводимое допустимое представление) голоморфно продолжаются
на s е С, то представление тс реализуется в пространстве параболических
форм (см. [440]). Более поздние результаты для случая GL„ см. в [247].
Интересные классы L-функций, связанных с зигелевыми модулярными
формами, были введены и изучены А. Н. Андриановым, (см. [5], [6], [7]).
Они имеют глубокий арифметический смысл и возникают в задаче о чис-
ле представлений целочисленных положительно определенных квадратич-
ных форм заданной квадратичной формой (как производящие функции
§6.5]
Автоморфные формы и программаЛенглендса
365
или тэта-функции). Эти числа представлений входят в формулу Зигеля,
рассмотренную выше (см. п. 5.3.6). С точки зрения теории автоморфных
представлений, зигелевы модулярные формы отвечают автоморфным фор-
мам на симплектической группе G = G Sprt. В этом случае двойственная
L-группа Ленглендса совпадает с универсальным накрытием Spin2rt+1(C)
ортогональной группы SO2«+i(C) (спинорной группой). Для построения
Л-функций используются два вида представлений А-группы
lG = Spin2n+1(C) х Gal(№//Q: p2n+i
и rn, где p2n+i —стандартное представление ортогональной группы, а гп —
спинорное представление размерности 2п. При этом ортогональная группа
реализуется как
SO2n+1 (С) = {g е SL2n+1 (С): ‘ gGng = Gn}
с матрицей квадратичной формы
/0„	1„ 0\
1 п On 0
V ... 0 1/
/1
\о
0\
1/
Если л =	€ 2l(G Spn, К), то для почти всех v представлению тг„ от-
V
вечает класс сопряженности hv в LG, образ которого в SC^+i^) пред-
ставлен диагональной матрицей
Р2л+|(Лр) = {а|.р, • а(..., aj, 1},
а в спинорном представлении — матрицей
fn(hV) = {Ро,и> Ро,и^1,и» •••» Po.uOQi	...},
причем для каждого пг^п рассматриваются всевозможные произведения
вида
Po,u°Q|,v • • •	1 И < *2 < • • • < Он П-
Элемент hv однозначно определен с точностью до действия группы
Г. Вейля Wn, порожденной подстановками
ро,и Н-> Ро,и^/,и ,	, &j,V |—>	(/*7^ 1)
и перестановками координат az>, «2,и, ..., ал>и.
Для автоморфных L-функций вида Цтс/, гл, $), где тс/—автоморфное
представление группы G(A) над Q, отвечающее параболической форме
Зигеля относительно группы Гл = Sprt(Z), п = 2, А. Н. Андрианов устано-
вил существование мероморфного аналитического продолжения и функ-
366	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
ционального уравнения и исследовал, для каких параболических форм f
эти L-функции голоморфны, см. [5], [6]. Аналитические свойства таких
функций связаны с вариантом теории новых форм для случая зигелевых
модулярных форм при п = 2, см. [8].
А. Н. Андрианов, В. Л. Калинин в работе [7] изучили аналитические
свойства стандартных L-функций зигелевых модулярных форм L(n/, ргл+ь
s), где тс/ отвечает модулярной форме Зигеля f рода п относительно кон-
груэнцподгруппы rg(Af) С Sprt(Z). При п = 1 эти L-функции совпадают
с симметрическими квадратами рядов Гекке, исследованными Шимурой.
В [180] и [363] был разработан общий метод удвоения, позволяющий
явно строить многие автоморфные L-функции.
Дальнейшие аналитические свойства автоморфных L-функций.
Мы даем ссылку на пленарный доклад Сарнака [692] на Международном
математическом конгрессе 1998 г. и на другие связанные с этой темой
статьи [435], [456], [457], [534], [458].
В [435] обсуждаются четыре фундаментальные гипотезы: (А) гипоте-
за Римана; (В) проблема подвыпуклости; (С) обобщенная гипотеза Ра-
мануджана; (D) гипотеза Берча—Свиннертона—Дайера. Другой задачей,
связанной с гипотезой (D), является проблема специальных значений, на-
пример вопрос об обращении в нуль L-функции в специальной точке на
критической прямой.
Аналитические и арифметические свойства новых классов автоморф-
ных L-функций изучаются с классической точки зрения в новых книгах
Шимуры [744], [746] с помощью развитой теории рядов Эйзенштейна для
редуктивных групп.
6.5.3.	Принцип функториальности Ленглендса ([188], [143], [360],
[78], а также [516], [413], [214], [244], [529], [211]). Этот важный прин-
цип устанавливает связь между автоморфными представлениями различ-
ных редуктивных групп Н и G. Гомоморфизм L-групп и: LH -^LG, свя-
занных с Н и G, называется L-гомоморфизмом, если его ограничение на
£//°(С) есть комплексно-аналитический гомоморфизм в LG°(C) и тождест-
венно на группе Галуа Gk- Принцип функториальности формулируется
с помощью полупростых классов сопряженности hv, которые соответствуют
локальным компонентам некоторого неприводимого допустимого пред-
ставления тс = 0тсу группы //(Ак), и включает следующие утверждения:
а)	локально', для почти всех v существует неприводимое допустимое
представление и*(тсу) группы Gv = G(KV), которому соответствует полу-
простой класс сопряженности u(hv) в группе LG;
б)	глобально: существует такое неприводимое допустимое представле-
ние тс' = ®тс^ е 2l(G//<), что тс' = и*(тсу) для почти всех V. В этой ситуации
представление тс' называют также подъемом (lifting) представления тс.
§6.5]
Автоморфные формы и программаЛенглендса
367
В частности, согласно этому принципу любая автоморфная 1-функ-
ция вида 1(тс, г, s), где г: LG -* GLm(C), должна совпадать с 1-функцией
1(г*(к); rm, s) полной линейной группы GLm, где гт— стандартное пред-
ставление 1-группы L GL^ GLm(C). Такие 1-функции называют стан-
дартными, и, как отмечалось, их аналитические свойства уже частично
изучены.
Мощным инструментом изучения подъема автоморфных форм явля-
ется формула следа Сельберга (см. [143], [706], [131], [132]), которая
представляет собой наиболее сильное обобщение связи между характе-
рами неприводимых представлений и классами сопряженных элементов,
хорошо известной для конечных групп.
С принципом функториальности автоморфных форм тесно связана про-
блема параметризации множества классов эквивалентности неприводимых
допустимых представлений группы G над локальным или глобальным по-
лем с помощью представлений Галуа (точнее, с помощью гомоморфизмов
группы Вейля основного поля (см. п. 6.2.6) в L-группу LG, рассматривае-
мую над С в локальном случае либо над всеми пополнениями Е\ некоторого
числового поля Е в глобальном случае). Предполагается, что любому до-
пустимому гомоморфизму группы Вейля соответствует непустое конечное
множество (1-пакет) классов неприводимых допустимых представлений
группы G(KV) или G(A/<) (гипотеза Ленглендса). При этом соответствии
1-функция представления группы А. Вейля (см. п. 6.2.6) отождествляется
с 1-функцией соответствующего автоморфного (неприводимого допусти-
мого) представления редуктивной группы.
Применительно к группе G = GLi эта гипотеза составляет основное со-
держание теории полей классов (локальной и глобальной), устанавливая со-
ответствие между характерами группы классов иделей (в глобальном слу-
чае) или же характерами мультипликативной группы (в локальном случае).
Переход от группы GLi к произвольным редуктивным группам пред-
ставляет собой наиболее широкое некоммутативное обобщение теории по-
лей классов. Частные случаи, отвечающие классическим модулярным фор-
мам, группе GL2 и двумерным представлениям Галуа (комплексным и
/-адическим), которые были представлены в этой главе, выглядят как мно-
гообещающее начало теории, призванной связать воедино алгебраические
многообразия (мотивы), представления Галуа и автоморфные формы (ав-
томорфные представления). Прекрасное введение в программу Ленглендса
содержится в работах [211] и [245].
6.5.4.	Автоморфные формы и гипотезы Ленглендса. О последних
достижениях в теории автоморфных форм и их приложений можно прочи-
тать в работах [487], [516], [413], [214], [395], [529]. За последнее деся-
тилетие в изучении автоморфных форм был достигнут значительный про-
гресс.
368	Дзета-функции и модулярные формы	[Гл. 6
Фундаментальной проблемой теории чисел является описание пред-
ставлений группы Галуа Ga\(Fs/F), где Fs обозначает сепарабельное за-
мыкание глобального поля F, в то время как фундаментальной проблемой
теории групп является нахождение спектрального разложения простран-
ства L2(G(F)\G(Ap)) автоморфных форм для редуктивной группы G над/7.
Отметим лишь некоторые работы о локальной гипотезе Ленглендса
(для G = GLn(K) на локальным полем /(): [413], [214], [395], и [515], где
рассматривался общий случай в положительной характеристике.
Также упомянем работу Лаффорга о глобальной гипотезе Ленглендса
в положительной характеристике, см. [516], [487], [514], в которой было
установлено соответствие Ленглендса для G = GLr при любом г над функ-
циональным глобальным полем F = F<7(X) характеристики р > 0, где X —
гладкая проективная кривая над F^. О геометрической версии соответствия
Ленглендса можно прочитать в работе [211], а также в [615], где приведе-
но доказательство гипотезы Френкеля—Гейтсгори—Каждана—Вилонена
для общих линейных групп.
ГЛАВА 7
БОЛЬШАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И СЕМЕЙСТВА
МОДУЛЯРНЫХ ФОРМ
§7.1. Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и высшие
законы взаимности
7.1.1. Задача Пьера де Ферма (1601 —1665). Данная глава основа-
на на лекционных курсах, прочитанным вторым автором в Ecole Normale
Superieure de Lyon (февраль—май 2001), в Московском государственном
университете (май 2001) и в Institut Fourier (октябрь—декабрь 2001). До-
казательство Уайлса большой теоремы Ферма и гипотезы Шимуры—Тани-
ямы—Вейля представляет собой замечательный пример сочетания различ-
ных идей и теорий из предыдущих глав, таких как алгебраическая теория
чисел, теория колец, алгебраическая геометрия, теория эллиптических кри-
вых, теория представлений, теория Ивасавы и теория деформаций пред-
ставлений Галуа.
Пьер де Ферма (1601 —1665) сформулировал свою самую известную
проблему (в 1637 г.) на полях перевода «Арифметики» Диофанта (см. так-
же [409] и [453]):
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos
quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quad-
ratum potestatem in duos ejusdem nominis fas est dividere: cujus
rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exi-
guitas non caperet.
(Невозможно разделить куб на два куба, или четвертую сте-
пень на две четвертых степени, или, обобщая, любую степень
больше второй, на две такие же степени. Я нашел этому по-
истине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки,
чтобы вместить его.)
На современном языке «большая теорема Ферма» (часто называемая
в англоязычной литературе «Fermat’s Last Theorem» или FLT) говорит,
что
%п цп — 2п
прим >2	’ => xyz = 0	(FLT(n))
X, у, Z G Z
370	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Как написал Рем Мурти в [605], «Большая теорема Ферма занимает
особое место в истории цивилизации. Своей внешней простотой она всегда
притягивала к себе как любителей, так и профессионалов... Все выглядит
так, как если бы все это было задумано неким высшим разумом, кото-
рый в течение веков развивал различные направления мысли лишь затем,
чтобы потом воссоединить их в один захватывающий сплав для решения
большой теоремы Ферма. Ни один человек не может претендовать на то,
чтобы быть экспертом во всех идеях, использованных в этом „чудесном
доказательстве". В эпоху всеобщей специализации, когда каждый из нас
знает „все больше и больше о все меньшем и меньшем", совершенно необ-
ходимо иметь обзор этого шедевра, такой, как приводится в данной книге»
(речь идет о [583].)
Ниже перечислены ранние достижения в области большой теоремы
Ферма:
случай п = 4 (сам Ферма в письме к Гюйгенсу);
случай и = 3 (Эйлер в 1753 г.);
случай п = 5 (Дирихле, Лежандр, 1825 г.);
случай п = 7 (Г. Ламе, 1839 г.; случай я =14 был доказан до этого
Дирихле в 1832 году);
«первый случай» FLTj(p), где р — произвольное простое число, для
которого р = 2р + 1 также является простым (Софи Жермен в письме
к Гауссу в 1820 г.):
ХР + ур = 2Р,
=> хУг = 0 (mod р)	(FLTi(p)).
X, у, 2 t: ал
7.1.2.	Ошибка Г. Ламе. 1 марта 1847 г. французский математик Г. Ламе
сообщил Парижской академии наук, что он нашел полное доказательство
БТФ, основанное на тождестве
х» + //'’ = (х + £/)(х + Сг/)-...-(х + Ср-1//), С = Ср = ехр{^}, р/2,
и использующее однозначность разложения на простые множители в кольце
2[СР].
На это мгновенно отреагировал Ж.Лиувилль фразой: «N’y a-t-il pas
la une lacune a remplir?» («Нет ли здесь пробела, который необходимо
заполнить?»), и, действительно, спустя несколько месяцев, О. Коши нашел
пример неоднозначного разложения на простые сомножители в й[^2з] (см.
[806, с. 4]).
Работа Е. Куммера. В 1847 г. Е. Куммер ввел понятие регулярного
простого числа р, которое на современном языке определяется следую-
щим образом:
для любого идеала / С Z[£p] (/р главный => / главный).
§7.1]	Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и законы взаимности 371
Он доказал FLT(p) для всех регулярных простых р (за что ему была дана
Золотая медаль Парижской академии наук в 1850 г.). Наименьшим ирре-
гулярным числом является р =37, см. [14], [409].
7.1.3.	Краткий обзор замечательного доказательства Уайлса (см.
также [778], [688], [31]). В своих лекциях в Newton Institute в июне 1993 г.
Эндрю Уайлс объявил о том, что он доказал значительную часть гипо-
тезы Шимуры—Таниямы—Вейля (STW) и как следствие большую тео-
рему Ферма (используя более ранний результат К. Рибета [671]). Окон-
чательная исправленная версия этого доказательства, доделанная вместе
с Р. Тэйлором, появилась в [841] и [798]. В этом поистине чудесном до-
казательстве стандартный метод reductio ad absurdum («от противного»)
представлен в следующем виде: если ар + bp = ср, abc / 0 для некоторо-
го простого числа р 5 (где (а, Ь, с) — примитивное решение), то можно
построить ненулевую голоморфную функцию f = fa,b,c: Н -* С, определен-
ную на верхней полуплоскости Пуанкаре Н и задаваемую некоторым рядом
Фурье, первый коэффициент которого равен 1. Оказывается, эта функция
обладает слишком большим количеством симметрий, приводящих к равен-
ству f = 0, которое противоречит ее построению.
Следующая группа симметрий будет играть важную роль во всем даль-
нейшем обсуждении:
Г0(ЛО = ((“?) е SL2(Z) I y = О (modAol С SL2(Z).
[о/	I	J
Эта группа называется конгруэнцподгруппой уровня N, а соответству-
ющая компактная риманова поверхность
Xo(/V) = Го(Л0\Й, где И := И U Q U /оо,
называется модулярной кривой уровня N. Функция f: И-* С называ-
ется модулярной параболической формой веса 2 относительно группы
Го(М), если дифференциал = f(z)dz спускается вниз до голоморфного
дифференциала на т. е. если он голоморфен и инвариантен относи-
тельно действия Го (АО:
Va=(;₽)er»OT. z(^)=(Y2 + S)!Z«.
и /(%) = 0 для всех х € Q U /оо. Будем обозначать С-векторное простран-
ство таких форм через 5г(Л0 — (^o(M)J его размерность dim52(A0 равна
роду кривой Ло(АО)-
Основной момент состоит в том, чтобы показать, что f = fa,b,c является
(нетривиальной) модулярной параболической формой веса 2 относительно
группы Го(2): f G <$2(2). Однако %о(2) = S (где S обозначает сферу Римана)
не имеет нетривиальных дифференциалов, что приводит к противоречию.
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Доказательство существования ненулевой функции /, обладающей эти-
ми свойствами, начинается с рассмотрения кривой Фрея—Хеллегуарша
Е = EaPj^p: у2 = Рз(х), где Р3(х) = х(х - ар)(х + Ьр) (7.1.1)
(без потери общности можно предположить, что ар = — 1 (mod 4), а b чет-
но). Сразу заметим, что дискриминант кубического многочлена Рз равен
(abc)2p 0. Следовательно, проективное замыкание Е аффинной кривой,
задаваемой уравнением (7.1.1), является гладкой кривой рода 1 и имеет
рациональную точку на бесконечности. Рассмотрим следующий произво-
дящий ряд\ для каждого простого / определим
Nt(E) = #{(х, у) е Ff I у2 = Р3(х) (mod I)},	(7.1.2)
bl = bl(E) = l-Nl(E),
g = gE,s = ^bne2^,	(7.1.3)
п^\
где =П,_	+
n^l	l(£S 1
a S обозначает некоторое конечное множество простых чисел, содержащее
все простые делители дискриминанта многочлена Р3. В частности, в опре-
делении (7.1.3) имеем &i = l.
Легко видеть, что ряд g сходится и, следовательно, определяет голо-
морфную функцию на верхней полуплоскости Пуанкаре И, а также что
Ni(E) = / +	где (j) °^означает символ Лежандра.
х (mod/)
Теперь требуется показать следующее:
— модулярность: если Е является полустабильной эллиптической
кривой, ТО производящий ряд g— gE модулярен, — это является основ-
ной составляющей доказательства;
— контроль уровня', существует такая модулярная форма f доста-
точно малого уровня Nq = N(E, р), что коэффициенты ее ряда Фурье сов-
падают с коэффициентами ряда Фурье функции g по модулю подходящего
простого идеала Хр. Оказывается, для кривой Фрея—Хеллегуарша Nq = 2.
Замечание 7.1. В соответствии с теоремой Фальтингса модулярность
ряда g = gE,s равносильна существованию модулярной параметризации
срл/: Хо (АО -> Е,
так как в таком случае эллиптическая кривая Е изогенна фактору якобиана
Jq(N), который происходит из параболической Гекке-собственной формы,
равной производящему ряду (7.1.3) (см. п. 6.4.3).
§7.11
Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и законы взаимности
373
7.1.4.	STW-гнпотеза.
Гипотеза 7.2 (Шимура—Танияма—Вейль). Для эллиптической кри-
вой Е, определенной над Q, существуют такое конечное множество про-
стых чисел S и такое число N=N(E, S)eN, что производящий ряд g=gESi
задаваемый формулой (7.1.3), будет модулярной формой веса 2 и уровня N.
Если множество S исключительных простых чисел минимально, то N
равно минимальному кондуктору кривой Е.
Пример 7.3. Пусть
Е\у2 + у = х3 - х2 <=> (у + (1/2))2 = х3 - х2 + |, S = {11}
Тогда производящий ряд задается равенством
g = Q П(> ~7m)2(l — qiint)2 =
т^Л
= q-2q2-q3 + 2q4 +q5 + 2q6 -2q7 + ... e S2(l 1).
1	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31		10007	
Ni ь.	4 —2	4 -1	4 1	9 —2	—	9 4	19 -2	19 0	24 -1	29 0	24 7		9989 18	
7.1.5.	Связь с квадратичным законом взаимности ([288]). Гипоте-
за 7.2 может рассматриваться как далеко идущее обобщение квадратич-
ного закона взаимности Гаусса. Действительно, для произвольного d е Z
рассмотрим
N^d) =#{х € F, | х2 = d (mod l)\
т.е. Ni(d)=\ + (j) = <
de(Fzx)2,
d = 0 (mod/),
d£(F/)2.
По квадратичному закону взаимности Ni(d) зависит лишь от I (mod4|d|),
и производящий ряд
g = ^bne2ninz, где	(7Л’4)
принадлежит в действительности конечномерному комплексному вектор-
ному пространству, состоящему из формальных рядов Фурье с коэффици-
ентами, периодичными по модулю 4|d|. На самом деле производящий ряд
374	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
(7.1.4)	построен по представлению Галуа
Р = Рх/ Gq - {±1} = GL,(Z) (рхД«) = (£))
и поэтому имеет ту же природу, что и ряд (7.1.3).
7.1.6.	Полное доказательство STW-гипотезы. STW-гипотеза была
доказана в полной общности в 1999 г. Ш. Брейлем, Б. Конрадом, Ф. Дай-
мондом и Р. Тэйлором (см. [288]). В 1994 г. Э. Уайлс доказал эту гипотезу
для важного подмножества, состоящего из полустабильных эллиптиче-
ских кривых. Этого было достаточно для того, чтобы вывести FLT из STW,
поскольку если бы кривая Фрея—Хеллегуарша существовала, то она бы-
ла бы полустабильной. Мы поясним понятие полустабильности ниже. Из
теоремы К. Рибета (1986 г.), (см. [671]), которая была высказана как ги-
потеза Г. Фреем осенью 1984 г., кривая Фрея—Хеллегуарша не может
быть модулярной, так как ее производящий ряд имел бы в этом слу-
чае слишком много симметрий. Значит, из полустабильной STW-гипотезы
вытекает FLT вследствие немодулярности кривой Фрея—Хеллегуарша.
Отметим, что полная STW-гипотеза нужна, например, для того чтобы
доказать, что
ар + Ьр = с3 => abc = 0 для р 5.
Это можно доказать, используя кривую, аналогичную кривой Фрея—Хел-
легуарша; однако эта кривая уже не будет полустабильной.
Контроль уровня', существование модулярной формы f минимального
уровня Nq = N(E, р), построенной по Е и р, получается как следствие
следующей теоремы Мазура—Рибета (которая лишь кратко обсуждается
в данной главе, в то время как детальное изложение можно найти в [671],
[322]).
Теорема Мазура—Рибета формулируется в терминах кондуктора Ар-
тина М(ро) представления Галуа
р0: Gal(Q/Q) GL2(Fp)
и в терминах формального степенного ряда
£ = £₽о = ЕМ"е1Ш]],
который можно связать с каждым таким представлением. Если ряд g яв-
ляется g-разложением (по модулю максимального идеала в кольце целых
алгебраических чисел, делящего р) модулярной формы веса 2 и некоторого
уровня Af, то говорят, что представление ро модулярно веса 2 и уровня N.
При этом предположении (и при некоторых других условиях, включа-
ющих в себя неприводимость представления ро, см. теорему 7.4) теорема
Мазура—Рибета устанавливает существование модулярной формы мини-
§7.1]	Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и законы взаимности 375
мального уровня W(po), сравнимой с рядом g е Fp[[<?]] (по модулю просто-
го идеала). В частности, этот прекрасный результат может быть применен
к представлению Галуа
ро = рр,£: Gal(Q/Q) —> GL2(FP),
задаваемому действием группы Галуа на точках порядка р на Е. Будем ис-
пользовать обозначение Nq = N(p, Е) = W(po) для Af(po). Предполагая мо-
дулярность эллиптической кривой Е, можно вывести модулярность пред-
ставления Галуа ро, а из этого вытекает существование модулярной формы
минимального уровня Л((ро) с этим свойством. Оказывается, для кривой
Фрея—Хеллегуарша N(p, Е) = /V(po) = 2, и этого достаточно для вывода
FLT из STW.
Ниже мы приводим лишь несколько формулировок и коротких ком-
ментариев, связанных с результатами о модулярных формах минимального
уровня.
Теорема7.4 (Мазур—Рибет). Пусть р^З— простое число. Пусть
ро: Gal(Q/Q) —> GLz^p) — неприводимое представление Галуа, моду-
лярное веса 2 и уровня N, который не имеет делителей, являющихся
квадратами.
Если представление ро конечно в простом числе р, то оно мо-
дулярно веса 2 и уровня W(po), где W(po) обозначает кондуктор Ар-
тина представления ро (см. формулу (6.4.18)). Если представление ро
не является конечным в простом числе р, то оно модулярно веса 2
и уровня pN(?o).
Замечание 7.5. 1. Условие «ро конечно в простом числе р» является
локальным условием, рассматривающим ограничение ро\dp на группу раз-
ложения в простом числе р. Это условие означает, что po|z)p возникает из
конечной плоской групповой схемы над (см. статью Тэйта в [583]).
2. Из общего свойства представления Галуа
ро: Gal(Q/Q) -> GL2(FP),
связанного с параболической формой веса N, следует, что Af(po) должно
делить N (см. п. 6.4.2 и [322]).
Доказательство теоремы 7.4 состоит из двух частей. В первой части,
Мазур, рассматривает те простые числа /, которые делят N/N(po) и не
сравнимы с 1 по модулю р. Во второй части, Рибет, рассматривает произ-
вольные простые числа / р; это возможно за счет умножения уровня на
простой делитель q, который потом может быть удален из уровня вслед-
ствие первой части.
Теорема 7.6 (Мазур). Пусть р ^3 — простое число. Пусть
р0: Gal(Q/Q)-> GE2(FP)
376
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
— неприводимое представление Галуа, модулярное веса 2 и некото-
рого уровня N. Предположим, что I — простое число, не сравнимое
с 1 (mod р), N делится на I, но не делится на I2, представление р0
неразветвлено в простом числе I, если I р, и представление ро ко-
нечно в простом числе р, если I = р.
Тогда представление ро модулярно веса 2 и уровня N/1.
Теорема 7.7 (Рибет). Пусть р ^3 — простое число. Пусть
ро- Gal(Q/Q) —> GL2(FP)
— неприводимое представление Галуа, модулярное веса 2 и некото-
рого уровня N. Предположим, что простое число I р таково, что
N делится на I, но не делится на I2, и что представление ро нераз-
ветвлено в I.
Тогда существует простое число q, не делящее N, сравнимое
с -1 (mod р) такое, что р0 модулярно веса 2 и уровня qN/l.
Следствие 7.8. Пусть Е — полустабильная эллиптическая кривая.
Предположим, что производящий ряд
g = gE,s =Y^bnqn EZ[[q]]
n^l
модулярен (m.e. что	для некоторого N). Тогда для пред-
ставления Галуа	_
рр,£: Gal(Q/Q)->GL2(Fp)
выполняются условия теоремы 7.4. Следовательно, существует та-
кая модулярная форма
/ = £^€^[[7]]
п^\
веса 2 и минимального уровня Nq, с коэффициентами в кольце ал-
гебраических чисел Oq с Q С С, что
/eS2(A0) и V/ £ S, ai = bi (modXp)
для некоторого максимального идеала \р с содержащего р (в
частности, / 0).
Следствие 7.9. Если р^5, то кривая Фрея—Хеллегуариш
Е = Бартер • У2 = *(* “ ар)(х + Ьр)
при ар = — 1 (mod 4) и четном b не может быть модулярной.
Действительно, используя кривую Тэйта (см. п. 6.3.6), для данного слу-
чая можно вычислить кондуктор Артина: оказывается, Nq = 2. С дру-
гой стороны, пространство S2(2) нулевое, поскольку S2(2) = Qi(Xq(2)) = 0.
§7.1]	Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и законы взаимности 377
Следовательно, по теореме 7.4 форма f тождественно равна нулю, откуда
получается противоречие с тем, что ее первый коэффициент равен 1.
7.1.7. Модулярность полустабильных кривых. Основная цель этой
главы — объяснить доказательство Уайлса модулярности полустабильных
эллиптических кривых, определенных над Q.
Определение 7.10. 1. Эллиптическая кривая £, определенная над Q,
называется полустабильной в простом числе /, если можно выбрать ее
уравнение вида Ф(х, у) = 0 таким образом, что
Ф(х, у) GZ/[x, у] и	(7.1.5)
особые точки редукции Ф(х, у) G F/[х, у] простые (7.1.6)
(т. е. квадратичная часть многочлена Ф(х, у) в каждой особой точке (xq, //о)
невырождена; напомним, что особая точка (хо, уо) — это такая точка, что
Ф(*о, Уо) = Фх(хо, Уо) = Уь) = 0.
2. Эллиптическая кривая £, определенная над Q, называется полуста-
бильной, если она полустабильна во всех простых числах /.
Замечание 7.11. Определение 7.10 чисто геометрическое. Однако по-
нятию полустабильности можно дать и чисто алгебраическое определе-
ние 7.18, используя униформизацию Тэйта, см. п. 6.3.6: эллиптическая кри-
вая £ полустабильна тогда и только тогда, когда представления на
модулях Тэйта кривой £ удовлетворяют следующему условию:
Ур, V/ р Рр,е(Л) сопряжено подгруппе в (q *),
где // С Gq = Gal(Q/Q) обозначает подгруппу инерции.
Пример 7.12. 1. Рассмотрим кривую Фрея—Хеллегуарша £, задан-
ную уравнением у2 = х(х — ар)(х -I- Ьр), где р 5 — простое число. Будем
предполагать, что b четно и что ар = — 1 (mod 4). После замены х = 4Х,
у — 8 У + 4Х получаем следующее уравнение:
Y2 + XY = Х3 + уХ2 + 8Х, Y = - ~	~ 1, ъ =
‘	4	16
Точка (X, У) = (0, 0) является в действительности единственной особой
точкой (mod 2), а квадратичная часть в ней равна
Г У2 + XY, если 8 делит ар + 1,
[ X2 + XY + У2, если 8 не делит ар + 1.
Таким образом, в обоих случаях эллиптическая кривая £ полустабильна
в простом числе I = 2.
378	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Предположим теперь, что / 2, ар + Ьр = ср и l\abc. Тогда редукция
исходного уравнения имеет вид у2 = х2(х - a) (mod/), где а^О (напом-
ним, что НОД(а, 6, с) = 1). Единственной особой точкой в этом случае
является (х, у) = (0, 0), а квадратичная часть у2 — ах2 невырождена.
2. Модулярная эллиптическая кривая %о(15): у2 = х(х + 32)(х - 42)
полустабильна, в то время как кривая Е : у2 = х(х - 32)(х + 42) не по-
лустабильна.
Теперь сформулируем основной результат данной главы.
Теорема 7.13 (полустабильная STW-гипотеза, Э. Уайлс (1994 г.)).
Каждая полустабильная эллиптическая кривая модулярна.
Следствие 7.14. Кривые Фрея—Хеллегуарша Е — ЕаР^Р,ср не суще-
ствуют, и, следовательно, теорема FLT(p) верна для всех простых
Р^5.
7.1.8. Структура доказательства теоремы 7.13 (полустабильной
STW-гипотезы).
I.	Модулярность по модулю р (дляр = 3, 5). Пусть Е: //2 = Р3(х)—
эллиптическая полустабильная кривая. Можно считать, что Р%(х) eZ[x];
пусть g = gE,s = 52 bnqn 6	—производящий ряд, связанный с этой
кривой	п^1
b/=l-Nl(E) = - £ (^),
х (mod/)
где (у) обозначает символ Лежандра. Можно построить модулярную
форму /г= 52 спЦп	для которой с/ =bi (modXp) для всех I £$,
п^\
где S обозначает конечное множество исключительных простых чисел,
а Хр С — простой идеал, содержащий р. Эта проблема была решена
только для р = 3 (теорема Туннелла—Ленглендса—Серра) при предполо-
жении абсолютной неприводимости по модулю 3 представления
р3£: Gal(Q/Q)-> GL2(F3)
(на точках порядка 3 на Е). Это условие не всегда выполняется, и это
было отмечено Уайлсом как значительная трудность в его доказательстве.
В мае 1993 г. Э. Уайлс нашел путь, чтобы обойти эту трудность; он нашел
способ перейти в этой проблеме от р = 3 к р = 5. При этом он использо-
вал такое семейство эллиптических кривых Е/, что все представления р5£/
изоморфны и существует кривая Е' = Е/о в данном семействе с абсолютно
неприводимым представлением р3£/. Это позволило заменить в указанном
выше рассуждении Е на Е', см. §7.7.
II.	Модулярный подъем. Этот ключевой результат утверждает, что
любой ряд/г = 52	6 С?[М] с коэффициентами из конечного расшире-
п^\
ния О кольца Zp (с максимальным идеалом X), удовлетворяющий некото-
§7-1)
Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и законы взаимности
379
Рис. 7.1
рым необходимым условиям для модулярности и обладающий свойством
V/ £ S, Ci = ci (modX)
является автоматически модулярной формой (которая называется подъ-
емом ряда h (modX) или допустимой деформацией ряда /г). Необходи-
мые условия могут быть сформулированы в терминах абсолютной не-
приводимости представлений Галуа, построенных по модулярным формам
(эти условия также используются в теореме 7.4 Рибета). Другими словами,
можно показать, что при этих условиях любой допустимый подъем ряда
h (mod X) является на самом деле модулярным.
III.	Абсолютная неприводимость. Можно доказать, что условия аб-
солютной неприводимости выполняются для представлений Галуа
Рр,£: Gal(Q/Q)-> GL2(FP)
либо при р = 3, либо при р = 5.
IV.	Конец доказательства: переход от р = 3 к р = 5. Рассмотрим
ряд h = g (производящий ряд нашего представления). В соответствии с
шагом I этот ряд является допустимой деформацией модулярной фор-
мы h (mod3) (при выполнении условий абсолютной неприводимости при
р = 3), а из шага II следует, что в этом случае g должно быть модуляр-
ной формой. В ином случае шаг III показывает, что условия абсолютной
неприводимости выполняются при р = 5. Более того, из шага II вытекает,
что g' = gE'$ является модулярной формой. Из построения кривой Е' яс-
но, что ряд g' (mod 5) = g (mod 5) € F5 [[<?]] тоже удовлетворяет условиям
из шага II для модулярного подъема (при р = 5). Следовательно, g также
модулярно и в этом случае.
380	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Основные этапы замечательного доказательства Уайлса представлены
на схеме 7.1, являющейся русским переводом схемы, взятой из [688], с. 6,
с любезного согласия К. Рубина, А. Сильверберг и Американского мате-
матического общества.
В следующем параграфе мы рассмотрим теорему Ленглендса—Туннелла.
§ 7.2. Теорема Ленглендса—Туннелла
и модулярность по модулю 3
7.2.1. Представления Галуа: подготовка. Напомним, что каждому
простому числу / и максимальному идеалу Хс (9q, делящему /, соответ-
ствует подгруппа разложения О/ в группе Галуа Gal(Q/Q) автоморфизмов
поля QcC, а также подгруппа инерции // = /\//:
GQ = Gal(Q/Q)
U
GZ=DX/Z = {geGal(Q/Q) | g(X)=X}^Gal(Qz/Qz)
V	(7.2.1)
// =/x/z={grenz I VxgOq, g(x)=x (modX)}=Gal(Qz/Qzir),
Di/li * Gal(Fz/Fz) = (Frobz),	Frobz (x)=xl,
Frobz cGal(Fz/Fz),
где Q"r обозначает максимальное неразветвленное расширение /-адиче-
ского поля Qz. При фиксированном / все подгруппы Di = Ох// сопряжены
между собой вследствие транзитивности действия Gal(Q/Q) на максималь-
ные идеалы X, делящие /. Это означает, что для каждого / элемент Фро-
бениуса Frobz корректно определяет класс сопряженности подмножеств
группы Gq, являющихся смежными классами по соответствующим под-
группам инерции /x/Z.
Определение 7.15. 1. Пусть А —топологическая алгебра над Оп-
ределим представление Галуа над А как непрерывный гомоморфизм
р: Gq GU(A).
2. Представление р является неразветвленным в /, если p(/z) = {1};
в этом случае корректно определен след tr(p(Frobz)) G А.
3. Представление р называется приводимым, если существует такая
матрица С G GL„(A), что
VgeG.j. C_|p(g)Ce {(”)}.
§ 7.2]	Теорема Ленглендса—Туннеллаи модулярность по модулю 3	381
Арифметические примеры.
1. Циклотомический характер. Пусть А = Zp, п = 1, р =	Gq—>
->%р —характер группы Gq, определяемый действием на корни из еди-
ницы степени pr: limptpr = Z₽. Для каждого I Ф р выполняется равенство
Xp(Frob/) = /eZ^.r
2. Для эллиптической кривой Е над Q имеем Е(С) = C/(coi, <02) (тео-
рема Вейерштрасса). Следовательно, для каждого положительного целого
числа т группа точек т-кручения
Е[т] := Кег(и >—> mu) = (Z/mZ)2
кривой Е определяет Gq-модуль: рт<£: Gq GL^^/m^). Положив т = рг
и переходя к пределу
Нт £[/] = Z*.
Г
получаем представление Галуа
Рр.Е • Gq —> GLzfflp)
со следующими свойствами:
det рр£ =ХР, представление рр^ неразветвлено во всех
простых числах / { р&Е, (7.2.2)
для этих простых чисел tr(Frob/) = / + 1 - #E(F/),	(7.2.3)
где Ё обозначает редукцию кривой Е (mod /) (которая в этих случаях будет
хорошей вследствие критерия Нерона—Огга—Шафаревича, см. п. 5.4.1).
Теорема 7.16 (Ленглендс—Туннелл—Серр). Пусть Е — эллипти-
ческая кривая, и пусть
рр,£: Gal(Q/Q) —> GL2(FP)
обозначает представление на точках порядка р кривой Е. Пред-
положим, что представление рз,£ неприводимо. Тогда существуют
такая параболическая форма
h = ^cnqn, сп(=О®,
п^1
веса 2 и такой максимальный идеалу с (9q, делящий 3, что для каж-
дого I, не принадлежащего конечному множеству S = S(E),
а = I + 1 - #E(FZ) (modX3).
382
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
Доказательство объясняется в п. 7.2.2 и 7.2.3. Оно использует комму-
тативную диаграмму
Ф:ОЕ2(₽з)	GL2(Z[v/z2]) С GL2(C)
id	._
(mod(l+V=2))
GL2(F3)
где Ф обозначает двумерное неприводимое комплексное представление
группы GL2(F3), задаваемое равенствами
*о=о *(;-;)=о -го-
Замечание 7.17. Отметим, что гомоморфизм Ф является сечением ес-
тественного гомоморфизма
GL2(Z([O2]) - GL2(F3),
индуцированного редукцией по модулю (1 + 02):
Z[O2] -> Z[O2]/(1 + 02) SF3.
7.2.2.	Модулярность по модулю р. Модулярность произвольного
неприводимого представления Галуа по модулю 3, устанавливаемая в до-
казательстве теоремы 7.16, является частным случаем следующей более
общей гипотезы Серра, выдвинутой в работе [727] (см. п. 6.4.6).
Пусть р — простое число, р — простой идеал кольца целых алгебра-
ических чисел OcQ, делящий р (т.е. р Ер). Будем говорить, что пред-
ставление
р: Gq—>GL2(FP)	(7.2.4)
модулярно типа (N, k, /), если существует модулярная форма (см. п. 6.3.5)
/г(г) = 52 cne(nz) € Sk(N, у) (e(z) = exp{2xzz}),
n=\
собственная относительно всех операторов Гекке, нормализованная усло-
вием с\ = 1 и такая, что для всех простых чисел l\Np представление р
неразветвлено в / и выполняется сравнение
Тг p(Frob/)=Q (modp).	(7.2.5)
Серр предположил, что каждое нечетное неприводимое представление
(7.2.4) модулярно для некоторого N, не делящегося на р. Он также дал
явное описание чисел /V, k и характера /, предполагая, что N и k — ми-
нимальная пара, удовлетворяющая условию (N, р) = 1. Следуя гипотезе
Серра, число N можно определить по ветвлению представления р вне про-
§7.2]
Теорема Ленглендса—Туннеллаи модулярность по модулю 3
383
стого числа р, подобно тому как это делается для кондуктора Артина:
w =/V(p) = U
Вес k определяется ветвлением представления р в простом числе р, а ха-
рактер /: (Z/W)x —> Qx может быть получен из определителя представле-
ния р следующим образом:
det p(Frob/) = x(/)/fe-1 (modp) (l\Np).
Cepp заметил (см. [727]), что для представлений со значениями в GL^Fa)
(р = 3) данная гипотеза легко выводится из общего результата Ленг-
лендса—Туннелла, см. [513], [804], [362] и §6.5. Теорема Ленглендса—
Туннелла говорит, что всякое нечетное двумерное представление Галуа
р: Gq-^GL2(C) с разрешимым образом модулярно. Более точно, пусть
оо
gp = 52 является производящим рядом для р, т. е. таким рядом, коэф-
п=1
фициенты которого равны коэффициентам L-ряда Артина представления р
(см. п. 6.2.2, 6.4.5)
оо	!
52 м = П det(1 _/-Sp(FrObZ)|i///)=	s)’
где GL2(C) = GL(V), V = С2 и // —подгруппа инерции для /. Тогда теоре-
ма Ленглендса—Туннелла утверждает, что gg является модулярной фор-
мой веса один и является параболической формой, если представления р
неприводимо (см. п. 6.4.5).
Чтобы увидеть, как этот результат влечет за собой доказательство тео-
ремы 7.16, рассмотрим комплексное представление р = Ф о р3 Е. Разумеет-
ся, образ представления р разрешим, поскольку он изоморфен подгруппе
разрешимой группы GL2(F3).
7.2.3.	Переход от параболических форм веса один к параболи-
ческим формам веса два. Теперь мы построим параболическую форму
оо
h — 52 cnQn веса два, исходя из с параболической формы g веса один,
Л=1
получаемой из теоремы Ленглендса—Туннелла. Для этого используются
ряды Эйзенштейна веса k, построенные по характеру Дирихле / (обобща-
ющие ряды из п. 6.3.1):
В 00
^,х(г) =	+ 52 ^{d)dk~'e{nz) € Mk(N, Х),	(7.2.6)
п=\ d\n
ох. 00
£ft,x(z) = 1 -	52 £ X(d)dk-'e(nz) е Mk(N, х),	(7.2.7)
*'х n=l d\n
384	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
где k 1, a Bk^ — k-e обобщенное число Бернулли (или число Бернул-
ли—Леопольдта), определяемые равенством
У' Bk.xtk У' х(а)^еа<
2_/ k\ ’ 2^ eNt _ i •
а=1
Для сходимости при k = 1, 2 требуется, чтобы характер / был нетриви-
альным. Важным свойством этих чисел является то, что
В частности, когда N = 3, k = 1, a /(d) = /з(^) = (—rf/З) является нечет-
ным характером Дирихле, имеем В1,Хз = —1/3. Таким образом,
оо
£1,хз(2) = 1 +	X)-
/1=1 d\n
Для окончания доказательства теоремы 7.16 определим параболическую
форму h = 22 cnQn, сп € Oq [[<?]], как произведение
/	ОО	X
Л = &£1.хз =	( 1	) =:12Сл^"’ Cn
/ \	n=l d\n	/	n^l
Тогда h будет параболической формой веса 2 со всеми требуемыми свой-
ствами: в качестве S возьмем множество всех простых чисел, делящих 3N,
где W —уровень формы gp; тогда для любого / S,
ci = b[ = l + 1 - £(F/) (modp)
где p c Oq — произвольный максимальный идеал, содержащий 1 +
7.2.4.	Предварительный обзор этапов доказательства теоремы 7.13
о модулярности.
I. Любая эллиптическая кривая Е над Q «модулярна по модулю 3»,
если соответствующее ей представление Галуа рз^ неприводимо.
II. Вместе со свойствами (7.2.2) и (7.2.3) утверждение шага I пред-
ставляет собой лишь необходимое условие модулярности, а именно мо-
дулярность по модулю р = 3. Эти условия могут быть использованы как
отправная точка для доказательства модулярности в полустабильном слу-
чае. Мы переформулируем утверждение о модулярности как условие на
изоморфизм некоторых «колец деформаций».
Более точно, пусть О D — кольцо целых элементов в конечном
расширении К Тогда О является дискретно нормированным коль-
цом; будем обозначать через X его максимальный идеал.
Рассмотрим параболическую форму h = £ cnQn £ Oq[[g]] (например,
/1>1
форму, построенную выше) и выберем такой максимальный идеал Хр с Оф
§ 7.3] Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций 385
ЧТО	_
О^/Хр = Fp D О/\ D Fp.
Тогда смысл этапа II заключается в том, что если мы рассмотрим произ-
вольный степенной ряд
h = ^cnqn, c„GO,
п^\
над локальным кольцом О, удовлетворяющий некоторым необходимым
условиям на модулярности и неприводимости, а также условиям сравни-
мости
Ci = Ci (modXp) для всех / вне конечного множества S,
то ряд h должен быть модулярным, т. е. он совпадает с разложением в ряд
Фурье некоторой модулярной формы. Напомним, что мы зафиксировали
вложение ip: Q с-> Qp D О D X, удовлетворяющее условию
z7'(X)cXpC(9qCQ,
так что мы можем рассматривать h как образ при вложении 1Р ряда с ко-
эффициентами из (9q[[^]].
Замечание 7.18 (Алгебраический смысл полустабильности кри-
вой Е). Используя униформизацию Тэйта, см. п. 6.3.6, можно легко по-
казать, что эллиптическая кривая Е полустабильна тогда и только тогда,
когда представления на модулях Тэйта кривой Е удовлетворяют усло-
вию
Vp,Vl / р	сопряжено подгруппе в *),
где // С Gq = Gal(Q/Q) обозначает подгруппу инерции.
§ 7.3. Модулярность представлений Галуа
и универсальные кольца деформаций
7.3.1. Представления Галуа над локальными нётеровыми алгебра-
ми. Производящий ряд h, возникающий на этапе II доказательства тео-
ремы 7.13, можно рассматривать как производящий ряд представления
Галуа. В этом параграфе мы изучим проблему модулярности некоторых
представлений Галуа
р: Gq —> GL^(/1),
коэффициенты которых принадлежат локальной (9-алгебре А с макси-
мальным идеалом тпл- Здесь, как и раньше в §7.2, (9dZp обозначает
386	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
кольцо целых в конечном расширении К D Q₽. Таким образом, О являет-
ся дискретно нормированным кольцом. Пусть X обозначает максимальный
идеал в О. Предположим также, что
А/тА =O/\ = k dFp.
Определение 7.19. Пусть С = Со обозначает категорию локальных нё-
теровых (9-алгебр, снабженных гомоморфизмом аугментации тс: Л —> (9: ее
объекты задаются как пары
С = Со = {И, тс): тс: А -+ О сюръекция},
а морфизмы определяются коммутативными треугольниками
А-----1---^А'
О
Пример 7.20. Приведем следующие примеры (9-алгебр:
а)	Л = (9 = ZP;
б)	Л = (9[[ХЬ	пгд = (Х,	..., ап) для
некоторых фиксированных ;
В) Л=2/,[[Х]]/(Ж-Рп)) = {(а, b)eZ2p:a = b (mod//1)},
гл/, = {(a, b) е pZp: а = b (mod р")} пд(а, Ь) = а.
Определение 7.21. 1. Зафиксируем представление ро: Gq —> GLm(/?)
над конечным полем k, определенным выше. Тогда поднятием ро до р
со значениями в А является такое представление р: Gq—>GLw0), что
р (modm^) =ро-
2. Два поднятия р: Gq —> GLm0) и р': Gq—>GLm(A) называются
строго эквивалентными, если существует такая матрица С е GLm(4),
что С = lm (mod ггц) и
р'(£Г) = C-1p(g)C для всех g е Gq.
3. Деформация ро в А — это класс строго эквивалентных поднятий ро
до А.
7.	3.2. Деформации представлений Галуа. Пусть р: Gq—>Ок2(Л) —
представитель в некотором классе деформаций представления ро: Gq—>
-+GL2(£):
GL2H)
Gq----GL2(£)
§ 7.3] Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций 387
Для заданного представления ро: Gq —> GLm(&) над конечным полем k
введем обозначение
S = {/ — простое число : ро (//) / 1т } •
Для того чтобы рассматривать лишь конечные множества деформаций
представления ро, зафиксируем также тип деформаций Р = РЕ, где Е
обозначает такое конечное множество простых чисел, что Е A S = 0.
Основным открытием в чудесном доказательстве Уайлса является ме-
тод подсчета двух различных типов объектов:
1)	представления Галуа, имеющие заданный тип и построенные по
эллиптическим кривым над Q;
2)	примитивные параболические формы веса 2, собственные функ-
ции операторов Гекке имеющие заданный уровень W, с коэффициентами
из Q.
Рассмотрим двумерное представление ро: Gq—> 01^(6) над конечным
полем k и определенные выше множества S и Е.
Определение 7.22. 1. Деформация р в А представления ро имеет тип
Р = Ps, если выполняются следующие условия а)—г):
а)	представление р неразветвлено вне множества S U Е U {р};
б)	det р =	: Gq —> Z*	Лх является циклотомическим характером;
/1 *\
в)	для всех таких / € S, что I р, выполняется условие p|Z/ ~ I 1
(полустабильность в /);
г)	ограничение р|пр удовлетворяет некоторым локальным условиям
(является «хорошим»). Это означает, что р|р является либо «плоским»,
либо «обыкновенным».
«Плоское» означает, что для любого идеала конечного индекса а с А
редуцированное представление р (moda): Gq —> GLm(A/a) приходит из
конечной групповой плоской схемы над Zp.
«Обыкновенное» означает, что
р|ор ~	*) (для некоторого неразветвленного характера /)•
2. Деформация р представления ро называется допустимой, если она
имеет тип для некоторого конечного множества Е.
О конечных плоских групповых схемах можно прочитать в [796].
Наша цель — показать, что любая допустимая деформация р моду-
лярного представления ро: Gq —> GL2(&) также является модулярной (при
некоторых условиях на абсолютную неприводимость представления ро).
Замечание 7.23. Из определения 7.22 следует, что любая допустимая
деформация р типа Ps пропускается через проекцию
Gq —> Gss = Gal(Qss/Q),
388	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
где обозначает максимальное алгебраическое расширение поля Q,
неразветвленное вне = S U Е U {р}.
7.	3.3. Модулярные представления Галуа. Мы уже встречались с мо-
дулярными представлениями Галуа над конечными и над локальными по-
лями в §6.1 и §7.2. Рассмотрим теперь более общее понятие модулярного
представления Галуа р: Gq —> GL2(/4) над кольцом А. Вместо того, чтобы
фиксировать модулярную форму
A(z) = '^T/cne(nz) е Sk(N, х)
п=\
типа (N, k, х), собственную относительно операторов Гекке, нормализо-
ванную условием Ci = 1 и такую, что Тг p(Frob/) выражается через С/ для
всех / \Np, мы будем использовать такой гомоморфизм подходящей Z-ал-
гебры Гекке тс: Т'(Л/) —>А, что Тг p(Frob/) будет выражаться через тс(7/)
для всех «хороших» операторов Гекке Г/ (соответствующих простым чис-
лам lj/Vp, см. п. 6.3.6).
Напомним, что существует изоморфизм (см. п. 6.3.1)
ro(AO/Ti(A/) = (Z/WZ)x, ad = (“ b) (modr,(A0)b+d (modW).
Определение 7.24. 1. Ромб-оператор (d), действующий на прямой
сумме
Мк(К) = Мк(Г1(КУ)= ф Mk(N, ф),
ф (mod /V)
определяется равенством
{d)f = f\kod = (cz +
В частности, для любой формы f е А4*(Г|(Л0) имеем
f е Mk(N, ф) « Me (Z/jVZ)x, (d)f = ty(d)f.
ОО
2.	Для всех форм /(z) = ^2 ane(nz) из Л4&(Л0 определено действие
л=0
операторов Гекке Ti (см. соотношение (6.3.32)) по формуле
Ttf = Ulf + lk-'Vl </>(/),
где
Ulf = a[ne(nz),
п=0
оо
= ^an((l)(f))e(lnz).
л=0
§ 7.3] Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций 389
3.	Алгебра Гекке Т'(М над Z определяется как
Т'(Л0 = ^[7}, (d): \l\N, dG(Z/WZ)x].
Определение 7.25. Представление Галуа над кольцом А называет-
ся модулярным уровня N, если существует такой гомоморфизм колец
тс: T'(/V) —> А, что для всех простых чисел / \ N выполняются равенства
Г tr p(Frobz) = Tt(7’z),
( det p(Frobz) = л((/))/*-1
(см. [778] и п. 6.4.1). Согласно Гекке и Петерссону (см. п. 6.3.6) действие
Т'(Л0 на комплексном векторном пространстве Sk(N) может быть ортого-
нально диагонализировано. Предположим, что {/}— собственный ортого-
оо
нальный базис и что каждая форма f(z) = 52 ane(nz) G Sk(N) примитивна.
«=о
Тогда a\ = 1 и Tif = aif, где at gOq. Как и раньше, зафиксируем вло-
жение ip \ Q^Qp и рассмотрим конечное расширение К поля Q₽, со-
держащее все 1р(аГ), для которых /\Np (существование такого конечного
расширения К объясняется в [742], гл. 3). Пусть О D Zp — кольцо целых
элементов в поле К, и пусть X обозначает его максимальный идеал.
В формулировке следующей теоремы Q отождествляется с его обра-
зом z’p(Q) С Qp. Так, мы отождествляем элементы а/ G i~1 (<9) С Q с /р(а/),
опуская символ ip.
Теорема 7.26 (Эйхлер—Шимура—Делинь). Для любого простого
числа р и для любой примитивной параболической формы
f(z) = ane(nz) е Sk(N, х),
п=0
собственной относительно операторов Гекке, существует такое
модулярное представление р = рдх с коэффициентами в А = О, что
к: Т[ ai.
Идея конструкции. Предположим для простоты, что k = 2, харак-
тер х тривиален и ап G Z (п 1). Рассмотрим голоморфный дифференци-
ал Of = f(z)dz\ положим О = Zp и X = pZp. Далее, рассмотрим решетку
периодов (см. п. 5.3.6 и п. 6.3.2)
| у замкнутый путь на Xq(N)\ с С.
\ Y	/
Оказывается, тогда Е = Ef = С/А/ — эллиптическая кривая, определенная
над Q. Рассмотрим представление Галуа
Р/,р = Рдх = Рр.Е • Gq —► GL2(Zp).
390	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
В соответствии с ко игр у энц-соотношением Эйхлера—Шимуры
tr(ppi£(Frob/)) = a/ = / + l-#£(F/), det(pp,£(Frob/)) = I для всех/fpW,
где Ё обозначает редукцию Е (mod /) (которая в данном случае хорошая
по критерию Нерона—Огга—Шафаревича, [716]). На самом деле, эллип-
тическая кривая Е изогенна фактору якобиана соответствующему
параболической форме /, заданной рядом (7.1.3) (см. п. 6.4.3).
Если Q>({an)n^i) ±Q, но k = 2 и характер у тривиален, то рдр можно по-
лучить из абелева многообразия с вещественным умножением (см. [742]).
Когда k > 2 или характер у нетривиален, конструкция более сложная
(см. [296]), но эти случаи не используются в доказательстве Уайлса.
Для того чтобы определить тс: T(N)^>A, положим тс(Х) = ХДХ) для
каждого X G Т'(Л0, где f\X = ХДХ)/ и ХД7/) = ai G О С А. Это задает го-
моморфизм
л: T'(/V)-M.
7.3.4. Допустимые деформации и модулярные деформации. Рас-
смотрим снова локальную О-алгебру А с максимальным идеалом ггц, где
О D Zp обозначает (как и в § 7.2) кольцо целых элементов в конечном рас-
ширении К D Qp. Так, О является дискретно нормированным кольцом, а X
обозначает его максимальный идеал. Предположим также, что
Л/пгд = О/\ = k D Fp,
и зафиксируем двумерное представление ро: Gq—>GL2(&) над конечным
полем k вместе с множествами S и Е, как и раньше.
Пусть р: Gq —> GL2C4) обозначает представителя в классе деформаций
ро - Gq —> GL2(fe), имеющих тип
GL20)
Gq GL2(£)
Определение 7.27. Пусть DA^(A) обозначает множество всех допу-
стимых деформаций представления ро типа a DM^(A) — подмножество
в DA^(A), состоящее из всех модулярных деформаций представления ро
типа
Мы увидим, что множество DA^(A) конечно (на самом деле сопостав-
ление А и-> DA^(A) является функтором со значениями в конечных множе-
ствах, см. [31]). Основная теорема из доказательства Уайлса утверждает,
что при подходящих условиях на ро оба множества совпадают для любой
алгебры А из описанных выше.
§ 7.3] Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций 391
Рассмотрим подгруппу
индекса 2, соответствующую единственному квадратичному расширению
поля Q, неразветвленному вне р.
Теорема 7.28 (модулярность допустимых деформаций). Предпо-
ложим, что ро: Gq—»GL2(&) — модулярное представление над ко-
нечным полем k и что его ограничение
абсолютно неприводимо.
Тогда
DAv(A) = DMv(A).	(7.3.1)
Иными словами, каждая допустимая деформация модулярна.
Замечание 7.29. 1. При предположениях теоремы 7.28 можно утвер-
ждать, что оба представления ро и р полустабильны во всех простых чис-
лах / eS.
2. Из сильного условия абсолютной неприводимости ограничения пред-
ставления ро (тривиально) следует, что и само это представление абсо-
лютно неприводимо. Этот факт важен для теоремы 7.4 Мазура—Рибета,
которую мы переформулируем теперь в таком виде.
Теорема 7.30 (К. Рибета о существовании минимальной деформа-
ции). Предположим, что ро: Gq —> GL2(&) — модулярное и абсолют-
но неприводимое представление над конечным полем k. Тогда мно-
жество DM$(A) минимальных деформаций представления ро непу-
сто (т. е. существует модулярная деформация р представления ро
минимального уровня А(ро), где Af(po) равно кондуктору Артина
представления ро).
Единственность минимальной модулярной деформации выводится из
теории Аткина—Ленера.
Пример 7.31 (Кривая Фрея—Хеллегуарша). Рассмотрим вновь кри-
вую Е = Еар,ьр,ср> где ар = — 1 (mod 4), 2|&, р 5, и пусть ро = ?р,е'- Gq
GL2(FP). Тогда справедливы следующие утверждения.
1.	Выполняется равенство Мро) = 2 (см. [727, с. 201]).
2.	Для кривых Фрея—Хеллегуарша справедливо равенство |E[2](Q)| = 4,
поскольку точки порядка 2 соответствуют корням кубического многочлена
х(х — ар)(х + Ьр). Используя этот факт, можно показать, что представле-
392	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
ние ро неприводимо при р 5 по теореме Мазура, см. [557]: единственные
возможности (с точностью до изоморфизма) для группы точек кручения
в E(Q) — следующие:
Z/aiZ (1 ^az^ 10 и п= 12),
Z/2Z х Z/2azZ (1 ^az^4).
Предположим, что Gq-модуль V = E[p] имеет GQ-инвариантную пря-
мую W, определенную над F₽. Если бы прямая W была неподвижна под
действием Gq поточечно, то группа E(Q) имела бы подгруппу кручения,
изоморфную Z/2Z х Z/2pZ, что противоречило бы теореме Мазура. Если
бы, напротив, прямая W была неподвижна под действием Gq лишь как
прямая над F₽, то факторкривая Е' = Е/W, изогенная Е, была бы тоже
определена над Q. Можно показать, что тогда эллиптическая кривая Е'
должна иметь рациональную точку порядка р и три точки порядка 2, что
опять противоречило бы теореме Мазура (см. [409]).
3.	Если предположить модулярность представления ро (по модулю р),
то достаточно применить лишь теорему Рибета 7.30, чтобы вывести, что
эллиптическая кривая Е = Еар,ьр,ср не может существовать. Однако дока-
зать модулярность представления ро представляется возможным, только
доказав модулярность представления рр ^; именно из-за этого использу-
ется теорема 7.28 (о модулярности допустимых деформаций).
7.	3.5. Универсальные кольца деформаций. Нам необходимо пока-
зать, что при предположениях теоремы 7.28 выполняется равенство
DA^(A) = DMZ(A)
для любой локальной нётеровой (9-алгебры А с максимальным идеа-
лом и для любого двумерного представления ро: Gq—>GL2(&), рас-
смотренного выше (Л/пгд = (9/X = k D Fp).
Переформулировка тождества (7.3.1). Мы будем использовать
представимость двух функторов
DA?, э DMy, : Cq —> SeASfin
(для любого конечного множества Е). Это означает, что существуют такие
«универсальные» объекты (называемые универсальными кольцами дефор-
маций) /?£, Те е Со. что для любой алгебры А е Со выполняется соотно-
шение
DAz(A) = HomCc?(/?s, Л) э ОЛ1Е(Л) = НотСо(ТЕ, А).
В частности, сделав подстановку А = ТЕ, получаем канонический морфизм
срЕ: /?Е Те	(7.3.2)
§ 7.3] Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций 393
и канонические универсальные пары
/р <>univ\ __ /пр -tiniv. тосЦ
(ае, Ре ) и (Ке, Ре ),
связанные коммутативной диаграммой
G
GL2(/?e)
(7.3.3)
Q	ФЕ
GL2(Te)
Чтобы посчитать число элементов в множествах DA^(A) и DM^(A),
необходимо использовать правильный выбор аугментаций в локальных ал-
гебрах /?s и Те:
: /?е —► О,
тстЕ : Те О
Замечание 7.32. (Ж.-П. Серр) Универсальные кольца деформаций /?е
и Те топологически порождаются элементами tr(pEn,v(Frob/)) е /?е Для всех
простых / S$.
Этот факт означает также, что оба универсальных представления
pusniv: Gq GL2(/?e), p£niv- mod-: Gq GL2(TE)
определяются своими следами (см. [31]).
Следовательно, возможно определить аугментации значения следую-
щими условиями:
tr puEniv(Frob/)~az	(7.3.4)
кТе: tr puEniv- mod-(Frobz)~ah
где ai e О являются коэффициентами Фурье параболической формы Ри-
бета
/(z) = '^ane(nz) е Sfe(No)
п=0
минимального уровня (такой, чтобы ее представление Галуа рдХ соответ-
ствовало деформации р е DM^(O)).
Будем обозначать через
Р = Р/Л: Gq->GL2(C>)
соответствующее модулярное представление Галуа минимального уров-
ня Nq,
394	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Используя отображение (7.3.2), можно интерпретировать теорему 7.28
как изоморфизм локальных нётеровых (9-алгебр /?е и Те.
Теорема 7.33 (основная теорема об изоморфизме универсальных
колец деформаций). В предположениях теоремы 7.28 канонический
морфизм (7.3.2)
фг • R'l —► Те
универсальных колец деформаций является изоморфизмом в кате-
гории Со.
§ 7.4. Основная теорема Уайлса и критерии
изоморфизма локальных колец
7.4.1.	Идеи доказательства основной теоремы 7.33. Вновь рас-
смотрим локальную (9-алгебру А с максимальным идеалом тд, где (9 D
обозначает (как и в § 7.2) кольцо целых элементов в конечном расшире-
нии К О является дискретно нормированным кольцом, и пусть X
обозначает максимальный идеал в (9. Как обычно, предположим, что
Л/тд = (9/X = £dFp,
и зафиксируем двумерное представление ро: Gq —> GL2(&) над конечным
полем k вместе с описанными выше множествами S и Е.
Напомним, что модулярное представление Галуа
р = Рдх • Gq —> GL2((9)
минимального уровня No, построенное в теореме Рибета 7.30, принад-
лежит (непустому) множеству	Оно задает отмеченный элемент
в каждом из множеств DM^(A) с DA^(A). Представление р используется
в явной конструкции универсального кольца модулярных деформаций Те,
см. [583].
Сюръективность отображения <ps: —► Те (7.3.2) можно легко вы-
вести из того факта (см. замечание 7.32), что универсальные кольца дефор-
маций /?е и Те топологически порождаются элементами tr(p^n,v(Frobz)) €
е /?е, соответствующими простым числам / £ Е$, см. ниже п. 7.4.2.
Инъективность отображения <ps: —► Те была доказана Уайлсом
с помощью индукции по Е. Для простого числа /, не лежащего в Е$, поло-
жим Е' = Е U {/}. Уайлс вывел биективность отображения фЕ' из биектив-
ности отображения срЕ, используя некий критерий изоморфизма локальных
колец. Этот критерий был сформулирован в терминах некоторых инвари-
антов (открытых Уайлсом ранее весной 1991 г., см. введение к его ста-
тье [841 ]). Однако для того чтобы начать индукцию, было необходимо рас-
§7.4]
Основная теорема Уайлса и критерии изоморфизма локальных колец 395
смотреть случай Е = 0 (база индукции). Именно этот момент и вызвал про-
блему, после того как было объявлено о полном доказательстве большой
теоремы Ферма в 1993 г., и был доделан в 1994 г. Э. Уайлсом и Р. Тэйлором,
которые использовали горизонтальный вариант теории Ивасавы вместе со
вторым критерием изоморфизма локальных колец. В этом параграфе мы
опишем эти критерии и дадим явные конструкции универсального кольца
деформаций /?е (принадлежащие Х.Ленстре и Б. Мазуру).
7.4.2.	Сюръективность отображения tps. При выводе сюръектив-
ности предположим доказанным существование универсальных колец де-
формаций /?s, Ts 6 Со. Таким образом, для любой алгебры A G Со имеем
DA^(A) = HomCo(/?E, Л) D DM^(A) = HomCo(TE, Л),
из чего следует (при А = Те) существование канонического морфизма
(7.3.2)
фЕ • R'l —* Те.
Лемма 7.34. Пусть А = /?е (соответственно А = Те), и обозначим
через Л° подкольцо в А, являющееся топологическим замыканием
О-подалгебры в А, порожденной всеми элементами tr(p£n,v(Frob/))G/?E
(соответственно tr(p£niv- mod(Frob/)) G Те). Тогда Л° = А.
Эту лемму можно вывести из следующего соображения.
Предложение 7.35. Пусть Л° С А — два локальных кольца с мак-
симальными идеалами, удовлетворяющими условию
ГПдО = ГПд А Л°,
и с одинаковым полем вычетов k. Пусть представление
р : G —> GLm(A)
произвольной группы G над А таково, что
1)	представление р = р (modm/i) абсолютно неприводимо',
2)	trp(o) G Л° для всех а е G.
Тогда представление р сопряжено над А некоторому представлению
р°: G —» GLm(/4°).
Доказательство предложения 7.35.
Пусть В обозначает Л°-подалгебру в Мт(А), порожденную p(G). Об-
раз алгебры В в Mm(k) является центральной простой алгеброй над ко-
нечным полем k. Из тривиальности группы Брауэра для конечного поля k
(см. п. 4.5.5) следует, что образ алгебры В в Mm(k) совпадает со всей ал-
геброй Mm(k). Выберем элементы в\, ..., ет2 из В, редукция которых по
модулю тп/1 образует стандартный базис в Mm(k) = В (modm/i). Покажем,
что е\, ..., ет2 образуют базис для В над Л°. Вследствие леммы Накаямы
396
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
элементы из В могут быть выражены в виде
т2
ь = aie'^ где aiе
i=\
Следовательно,
т2
tr(b • lej) = tr(e, • fej) для j = 1, ..., m2.	(7.4.1)
i=\
Положим
Cij = tr(e,•'£/) e Л0.
Выполняется сравнение (с/7) = /т2 (modulo), поэтому коэффициенты реше-
ния системы (7.4.1) принадлежат локальному кольцу Л°. Пусть V С —
Л°-подмодуль, конечно порожденный столбцами элементов из В. Тогда
V = (Л°)т свободен и В —> End(V) = МШ(Л°) по лемме Накаямы. Таким
образом, исходное представление над А изоморфно построенному пред-
ставлению G в V над Л°.
7.4.3.	Построения универсального кольца деформаций /?£. Пред-
положим, что представление ро абсолютно неприводимо.
Для доказательства существования /?е можно либо прибегнуть к кри-
терию Шлезингера (см. статью Мазура в [583]), либо использовать вме-
сто этого более явный метод X. В.Ленстры (см. статью Барт де Смита
и X. В.Ленстры в [583]).
Рассмотрим сначала конечную группу G и определим (9-алгебру O[G, т]
через порождающие
/ = 1,.... т; geG},
и следующие соотношения:
т
X^^XfiX* =	g,heG.
/=1
Поскольку эти соотношения повторяют те, которым удовлетворяют мат-
ричные элементы произвольного представления группы G, из этого следу-
ет, что для любой алгебры АеСо существует каноническое отождествление
Hom0_aig((9[G, m], А) = Hom(G, GLw0)).	(7.4.2)
Подставляя А = О/\ — /? в формулу (7.4.2), получаем гомоморфизм 0-ал-
гебр тсо, соответствующий ро:
Hom0_aig(0[G, m], k) = Hom(G, GLw(fe))
lb	lb
тсо	<—	po
§ 7.4J
Основная теорема Уайлса и критерии изоморфизма локальных колец 397
Пусть то = Кег тсо; определим (9-алгебру Rg как пополнение (9[G, т] по
идеалу то:
Rg = limO[G,
n
Теперь рассмотрим проконечную группу:
Gs = lim Gj.
j
Положим
Rj = RGi, R^ = \mRj.
i
Можно проверить, что
a)
Hom₽0(G, GLmC4)) = Homo_a;g(/?s, Д);	(7.4.3)
б)	/?е является локальной нётеровой (9-алгеброй (чтобы показать это,
используется равномерная оценка на размерность касательного простран-
ства Rj и абсолютная неприводимость представления ро).
7.4.4.	Набросок построения универсального кольца модулярных
деформаций Те. Снова зафиксируем двумерное модулярное представле-
ние ро: Gq —> GL2(&) над конечным полем k вместе с множествами S и Е,
определенными выше.
Слегка изменим определение 7.24 алгебры Гекке в § 7.3, а именно, пусть
Т(Е) = (9[Т/, Uq, (d): l\N^ de(Z/NZ)\ q eSuE].
Будем рассматривать T(We) как подалгебру в Endo (9), где
Afe = />IplK’
qes /~es
a S2(^e, О) обозначает (9-подмодуль в (9[[g]], порожденный всеми такими
формальными ^-разложениями вида
£/р(ап)^е(9[Ы],
ЧТО	_
f = ^anqn&S2(N^Q)
является параболической формой с коэффициентами ап Е Qui“l(O).
Пусть
/ = f0 = ^2anqn
398 Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм[Гл. 7j
обозначает модулярную форму Рибета из теоремы 7.30, связанную с дву-
мерным представлением р0: Gq —> GL2(&) над конечным полем k.
Напомним, что построенное по Рибету модулярное представление Галуа
Р = Рдх: Gq —> GL2(O),
имеющее минимальный уровень Nq, принадлежит (непустому) множеству
DM$(O) (см. теорему 7.30). Для каждого рассмотренного выше множе-
ства Е определим ряд
k = ^2an(fc)qn,
п>1
убирая из преобразования Меллина формы / эйлеровские сомножители,
соответствующие Ге Е:
Ц/е, s) = ^an(fs)n-s =
= П(1 - М”Т‘ Пи- atrs + /1 -2s) -1.	(7.4.4)
l\N^
Рассмотрим теперь следующий идеал в алгебре Гекке:
Me = (^, Ti — ai, Uq — а^, ^)z^EuSU|p^	(7.4.5)
На самом деле этот идеал простой, поскольку
Л4е = Кег(Т(Е)—►£[[<?]]),
7} а/ (modX),
Uif I-» ад (mod К),	(7.4.6)
Tf^O
(/0EuSu{p},?eS, ГеЕ),
а кольцо £[[<?]] является областью целостности.
Определим Те как пополнение Т(Е) относительно идеала А4е:
Те = limT(E)/A4£.
п
Легко проверить, что Те является конечной плоской локальной нётеровой
О-алгеброй (т. е. что это свободный О-модуль конечного ранга). Аугмен-
тация Те -* О определяется с помощью /.
Теорема 7.36. Существует единственное с точностью до изо-
морфизма допустимое представление Галуа
pupiv. mod.. Gq _> GL2(Te)	(7.4.7)
§ 7.4]	Основная теорема Уайлса и критерии изоморфизма локальных колец 399
со следующими свойствами-.
tr(p£niv- mod (Frob,)) = Tlt
det (p£niv mod (Frobz)) = /(/ £ E U S U {p}).
Уайлс построил универсальное представление pjP'v mod с помощью тео-
ремы Эйхлера—Шимуры 7.26, склеивая вместе все модулярные деформа-
ции типа Для этого он использовал теорию псевдопредставлений. От-
метим, что в этой конструкции существенно выполнение сильного условия
абсолютной неприводимости ограничения
из теоремы 7.28.
7.4.5.	Универсальность и теорема плотности Чеботарёва. Напом-
ним теорему 4.22, сформулировав ее в следующей форме.
Теорема 7.37 (теорема плотности Чеботарёва). Пусть L/K — ко-
нечное расширение числовых полей, и пусть X — непустое подмно-
жество в G(L/K), инвариантное относительно сопряжений. Обо-
значим через Рх множество, состоящее из таких нормирований
vety, неразветвленных в L, что классы элементов Фробениуса
этих нормирований принадлежат Х\ Fl/k(Px) С X. Тогда множество
Рх бесконечно и его плотность равна Card X/Card G(L/K).
Следствие 7.38. Канонический морфизм (7.3.2) <рЕ:	—>Те сов-
местим с аугментациями и тстЕ.
Действительно, следы представлений тс#Е и тстЕ о <рЕ принимают одина-
ковые значения на подмножестве, состоящем из элементов Frob/(/ £Е$)
(которое плотно в группе Ges). Отсюда следует, что соответствующие уни-
версальные деформации эквивалентны, и, значит, в силу универсальности
они совпадают.
7.4.6.	Критерии изоморфизма локальных колец. Чтобы доказать,
что канонический морфизм (7.3.2)
Фе - Re Те
универсальных колец деформаций является изоморфизмом (в категории Со),
используется индукция по Е. Пусть Е' = Е U {/} для некоторого простого
числа I, не лежащего в Es. Уайлс вывел биективность отображения ср^'
из биективности отображения <ps, используя некий критерий изоморфиз-
ма локальных колец. Этот критерий формулируется в терминах некоторых
инвариантов, которые будут описаны ниже. Для того чтобы начать индук-
цию, необходимо разобрать случай Е = 0; это было сделано с помощью
второго критерия изоморфизма локальных колец.
400 Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм[Гл. 7j
Определение 7.39. Локальная нётерова (9-алгебра А называется пол^
ным пересечением, если:
а)	она является свободным (9-модулем конечного ранга;
б)	4-O[[Xlt...,XdWi, ...,Л)
(см. [555]).
Мы будем использовать следующие инварианты локальной О-ал-
гебры А:
/д = Кегкд, Фл =/л//^, т)Л = тгд(Апп/л) с О. (7.4.9)
Эти инварианты называются, соответственно, ядром аугментации, ка-
сательным пространством и модулем конгруэнции.
Пример 7.40. 1. Пусть А = О = Zp, тогда Фл = 1А/1% = {0}.
2. Пусть A = ZP[[X, Y]]/(X(X - р), Y(Y - р)), ФА = Z/pZ х Z/pZ, то-
гда г)д = (р2). Аугментация задается по формуле
кд(/) = /(0, 0)eZp, А.
Кольцо А — полное пересечение.
3. Пусть A=ZP[[X, Y]]/(X(X — р), Y(Y — р), XY), ФА=%/р%х%/pZ,
тогда г]А = (р). Аугментация задается по формуле
кл(/) = /(0, 0)eZp.
В этом случае А не является полным пересечением.
Теорема 7.41 (критерий I). Пусть ср: А -+ В— сюръективный го-
моморфизм в категории Со. Следующие условия эквивалентны'.
а)	ср изоморфизм двух локальных О-алгебр, являющихся полными
пересечениями',
б)	#ФЛ #(9/г)В < оо;
б)	= #О/г]В < оо.
Замечание 7.42. В первом варианте своего доказательства Уайлс сде-
лал допущение, что кольцо В горенштейново (т. е. В = Нот(В, (9) —
свободный В-модуль ранга 1). Это ограничение было снято позднее X. Лен-
строй.
Следствие 7.43. Алгебра А еСо является полным пересечением
тогда и только тогда, когда
= #®/т\А < ОО.
Это доказывается с помощью применения критерия I к тождественному
отображению id^ : А —> А.
7.4.7.	Второй критерий изоморфизма локальных колец и /-струк-
туры. Рассмотрим следующие идеалы:
Jm —	..., <£>т(5пУ) c(9[[S|, ..., Sn]],
§7.5]
Шаг индукции по Уайлсу:применение критериев и когомологии Галуа 401
где
^(Sj) = (14-	- 1, ..., ^(Sn) = (14-Snym - 1, Jo = (Si, , Sn).
Определение 7.44. Пусть <p: A —> В — сюръективный морфизм в ка-
тегории Cq. Говорят, что ср допускает J-структуру, если существует
семейство коммутативных диаграмм, занумерованных натуральными чис-
лами т € N:
О[[Т},...,Тп]]
<9[[Si, ..., Sn]]
|ст"'
Л	D
Ат
со следующими свойствами, выполненными при любом т\
a)	Zm — сюръекция;
б)	<рт — сюръекция;
в)	Ат/ 1§Ат = А и Bm/J^Bm = В;
г)	Bm/JmBm — свободный модуль конечного ранга над (9-алгеброй
©[[Si,
Теорема 7.45 (критерий II). Пусть <р: А -+ В— сюръективный го-
моморфизм в категории Со* Если гомоморфизм <р допускает J-струк-
туру, то он является изоморфизмом двух локальных О-алгебр, яв-
ляющихся полными пересечениями.
Доказательство обоих критериев принадлежат коммутативной алгебре.
За их изложением мы отсылаем читателя к [583], [798].
§ 7.5. Шаг индукции по Уайлсу:
применение критериев и когомологии Галуа
7.5.1.	Шаг индукции по Уайлсу при доказательстве основной тео-
ремы 7.33. В п. 7.4.3—7.4.4 мы объяснили, почему существуют универ-
сальные кольца деформаций /?е, Т^еСо. Они представляют функторы
деформаций и модулярных деформаций соответственно. Это означает, что
для любого кольца А е Со верны равенства
DA^(A) = Homc0(/?E, Л) Э £М4еИ) = Ното, (Те, Л).
В частности, подставляя А = Те, получаем канонический морфизм (7.3.2):
Фе ’ Be —► Те,
402	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
а канонические универсальные пары	ж
/п ^Liniv\ .. /пр univ. mod.\	?
(Ке, Ре ) и Us, Ре )
связаны коммутативными диаграммами:
R^—oU„hGL2(/?E)
\ / 9'/>f
K/?s\^	Gq	ФЕ
^univ.^mod^
РЕ GL2(Te)
(см. п. 7.4.5).
Напомним основную теорему 7.33, сформулировав ее в следующем ви-
де.
Теорема 7.46 (основная теорема). Предположим, что ро: Gq—>
—> GL2(fe) — такое модулярное представление над конечным полем k,
что ограничение
P°Ig , I £-1 X
q( V(-1) 2 р ]
абсолютно неприводимо. Тогда канонический морфизм (7.3.2)
Фе • /?е —* Те
универсальных колец деформаций является изоморфизмом полных
пересечений (в категории Со).
Замечание 7.47. 1. Мы уже видели в п. 7.4.3, что морфизм cps сюръ-
ективен.
2.	Напомним, что А. Уайлс доказал инъективность морфизма <ps-
/?е Те, используя индукцию по Е. Пусть Е' = Е U {/} для простого чис-
ла /, не лежащего в Es- Уайлс вывел биективность морфизма срЕ' из биек-
тивности фЕ, используя первый критерий изоморфизма локальных колец
(см. п. 7.4.6). Этот критерий формулируется в терминах инвариантов, вве-
денных в п. 7.4.9. Для того чтобы начать индукцию, требуется рассмотреть 1
случай Е = 0. Это было сделано с помощью второго критерия изоморфиз-
ма локальных колец, описанного в п. 7.4.6.
Шаг индукции. Рассмотрим
E' = EU{/}, P' = Pes 7? = 7?е, А=/?е, В=Те'.
Сделаем предположение индукции, т. е. допустим, что
Фе • Rz —► Те.
1
§7.5]
Шаг индукции по Уайлсу:применение критериев и когомологии Галуа 403
Из этого следует равенство следующих инвариантов:
#$Re = #О/г)Те < оо.	(7.5.1)
Для первого критерия достаточно вывести из условия (7.5.1) неравенство
#Ф^, #0/^, <оо.	(7.5.2)
Левая часть этого неравенства контролируется некоторой группой кого-
мологий Галуа. Правая часть будет вычислена с помощью определите-
ля, представляющего относительный инвариант который связывает
#О/т)тЕ, с #(9/т)те. Фундаментальное неравенство между этими двумя
выражениями завершает шаг индукции.
База индукции: минимальный случай. В п. 7.6.3 мы построим /-струк-
туру для сюръективного морфизма срф. По второму критерию (см. п. 7.4.6)
из этого будет следовать, что кольца и Т$ изоморфны и являются пол-
ными пересечениями.
7.5.2.	Формула, связывающая #ФдЕ и #ФдЕ,: подготовка. Ниже
в п. 7.5.5 объясняется формула, связывающая #Ф/?Е с #Ф/?Е/ с помощью
группы когомологий Галуа с коэффициентами в некотором GQ-модуле, ко-
торый мы сейчас опишем. Пусть
7= f<D = ^anqn
обозначает модулярную форму Рибета из теоремы 7.30, построенную по
двумерному модулярному представлению ро: Gq—>GL2(£) над конечным
полем k.
Напомним, что построенное по Рибету модулярное представление Галуа
р = р/д: Gq —► GL2((9)
имеет минимальный уровень No, задаваемый теоремой 7.30, и принадлежит
(непустому) множеству
Рассмотрим редукцию
р (modX"): Gq - GL2(O/X").
Мы будем использовать конечные Gq-модули определяемые по фор-
муле
A»=Ad°(modX„)cM2(0/X'!).
Обозначение Ad объясняется ниже, см. п. 7.5.4. Зафиксируем изоморфизм
О-модулей О/\п и \~п/О с помощью выбора униформизующей в X. Тогда
имеется вложение
= Ad₽- (n,odV) С Ad°(p К/О) =
404
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
7.5.3.	Группа Зельмера и Чтобы вычислить инвариант #Ф#2,
А. Уайлс установил изоморфизм (9-модулей
НотС)_то(](Ф/?Е, К/О) = SelpE с Л/1 (Gq, АД
где
Selps = //K(Gq, Х₽)
— обобщенная группа Зельмера. Это конечный (9-подмодуль в (бес-
конечном) (9-модуле /^(Gq, АД Группа SelpE содержится в (обыч-
ной) ^-группе Зельмера, которая является конечным (9-подмодулем Seis
в /У1 (Gq, Ар), состоящим из всех классов когомологий, неразветвленных
вне Е U S U {р} (ср. с (5.3.36)):
SelE(Xp-) := {х е //‘(Gq, Х₽): V/ £S, ResJQ х = 0},	(7.5.3)
где Res^Q х обозначает ограничение х на подгруппу инерции Ц.
7.5.4.	Инфинитезимальные деформации. Рассмотрим представле-
ние р: G —> ОЕЯ(А) группы G. Оно определяет структуру А[С]-модуля на
свободном A-модуле М = Ап, где действие G задается с помощью р. Будем
также рассматривать следующие A [G]-модули:
Ad(M) = ЕпсЦ М, g: х »-► p(g)xp(g)_1	(7.5.4)
U
Ad(M)tr=0 = End^r=0(A4)(A[G]-подмодуль).
Определение 7.48. 1. Расширение модуля М с помощью М является
короткой точной последовательностью А[С]-модулей вида
а 3
0 —4 М—->Е—-М —♦ 0.
2. Рассмотрим кольцо А[е], порожденное над А элементом е, удо-
влетворяющим соотношению е2 = 0. Имеется отображение проекции тсе=о-
А[е] —> А, которое переводит е в 0. Под инфинитезимальной деформа-
цией представления р: G —> GLrt(A) мы будем подразумевать такое пред-
ставление р': G —> ОЕл(А[е]), что р = тсе=оор/:
GU(A[e])
GU(A)
§ 7.5] Шаг индукции по Уайлсу:применение критериев и когомологии Галуа 405
3. Две инфинитезимальные деформации р', pf: G —> GLrt(A[e]) называ-
ются строго эквивалентными, если существует такая матрица С € 1п +
4- еМл(А[е]), что
p'(g) = C~'p'(g)C для всех g е G.
Замечание 7.49. Инфинитезимальная деформация может рассматри-
ваться как первый шаг при построении произвольной деформации.
Теорема 7.50. Существуют канонические биекции между тремя
следующими множествами а), б) и в):
a)	Hl(G, Adp);
б)	множество Ext^Al, Л4), состоящее из классов эквивалентно-
сти расширений модуля М с помощью М;
в)	множество классов строгой эквивалентности инфинитези-
мальных деформаций представления р.
Доказательство. Рассмотрим расширение
а Р
0—>Е—+0.
Заметим, что М — свободный A-модуль. Следовательно, мы можем вы-
брать сечение ср: Л4 —> Е отображения р, являющееся морфизмом А-моду-
лей, но не A[G]-модулей.
Это значит, что для всех т G М и g е G выполняется соотношение
£<p(g-l/n) - <р(лг) е Ker(P) = Im(a),
поскольку
- ?(/«)) = 1 т> - = °-
Из этого мы получаем следующий 1-коцикл (представляющий класс ко-
гомологий в H{(G, Ad(p))):
Tg := (т^ог'(£ср(£_|т) -<р(/п))} € ЕпсМ(Л4) = Adp.
Условие коцикла эквивалентно тому, что представление
p'(g):=(l« + E7’g)p(^)
является инфинитезимальной деформацией.
Наоборот, каждый коцикл {7^} G H'(G, Adp), определяет расширение
М	А[е] = М ф гМ с действием, задаваемым с помощью р'.	□
Замечание 7.51. Если det р' = det р, то из импликации
det(l„ + £Eg)p(g) = detp(g) =>tr^ = 0
следует, что H[(G, Ad°p) описывает деформации с фиксированным детер-
минантом.
406
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
7.5.5. Деформации типа Для того чтобы дать определение де-
формаций типа Ds, рассмотрим сначала отображения ограничения
Resp«: //'(Gq, X) ^//'(£>/, X),
которые используются при определении обобщенных групп Зельмера.
Примеры вычислений групп Зельмера (ср. с §5.3, §4.5). Из ко-
роткой точной последовательности 0—>В—»С—>0 трех G-модулей
возникает длинная точная последовательность групп когомологий (4.5.22):
0->//°(Д)->//°(В) —//°(С) —	(7.5.5)
-+Н'(А)^Н'(В)-+ где Нп(А) = Hn(G, Л).
Будем использовать эту последовательность для вывода теории Куммера.
Пример 7.52 (теория Куммера и квадратичные характеры). Пусть
К — поле, содержащее группу корней из единицы степени т в К.
В дальнейшем будем считать, что char К не делит пг. Для произволь-
ного расширения Галуа L/К с группой Галуа G = Ga\(L/K) отображение
х хт определяет гомоморфизм G-модулей v: Lx —>ЛХ, и возникает
точная последовательность
4/<х ^1.
Переходя к группам когомологий (см. п. 4.5.3), получаем следующую длин-
ную точную последовательность:
H°(GK, рш) H°(GK, Xх) 4 H°(GK, Kx) -
^Hi(GK,[im)^H'(GK,Kx)^H'(GK,Kx)^...	(7.5.6)
Поскольку G действует тривиально на [im, из этого следует, что //’(G,
совпадает с группой Hom(G, pm). Группа //°(G, Lx) является инвариант-
ной частью относительно действия группы Галуа, т. е.
tf°(G, Lx) = (Lx)Qa[(L/K} = Кх.
Также HQ(G, [im) = um и //’(G, Lx) — {1} по теореме Гильберта 90. Таким
образом, имеем следующую точную последовательность:
1 Кх 4 Кх -+ Hom(GK, pw) 1,
которая равносильна изоморфизму Куммера:
Kx/(Kx)m^Hom(GK^m).
В частности, положив т = 2 и К = Q, мы видим, что
//‘(Gq, {±1}) = QX/(QX)2 * Hom(GQ, р2).
§ 7.5] Шаг индукции по Уайлсу:применение критериев и когомологии Галуа 407
Здесь правая часть является (бесконечным) множеством, состоящим из
всех квадратичных характеров группы Gq.
Зафиксировав конечное множество простых чисел Е, получаем биек-
цию
1 \\ ~ Г конечное множество всех квадратичных
" = t характеров Gq, неразветвленных вне Е J ‘
Пример 7.53 (последовательность инфляции-ограничения и ло-
кальная двойственность Тэйта). Пусть Н — открытая нормальная под-
группа в G, и пусть А является G-модулем. Тогда имеется следующая
точная последовательность «инфляции-ограничения» (ср. с (4.5.24)):
0-4	Ан)	Л)
A)g/h ->H2(G/H, Ан). (7.5.7)
Теорема 7.54 (локальная двойственность Тэйта). Пусть X — ко-
нечный Di-модуль, где Di = Gal(Q//Q/) С Gq, и пусть п = |Х|. Мы бу-
дем также рассматривать двойственный модуль
X* = Hom(X, pn) ((gx‘)(x) = gx*(g~'x).
Тогда выполняется следующее:
а)	группы Hl(Di, X) конечны для всех 1^0 и тривиальны при i 3;
б)	существует невырожденное спаривание
X) х H2~‘(Di, X*) —> H2(D[, Q*) sQ/Z;
в)	если I f |X|, то подгруппы неразветвленных классов
H\Dl/lhXh), H'lDt/hAX*)1')
аннулируют друг друга относительно указанного выше спарива-
ния',
г)	эйлерова характеристика модуля X может быть найдена по
следующей явной формуле:
#H'(DhX) = и/(#Х) =
#H°(Dh X)  #H*(Dh X)	#H*(Dh X*)  #Ht(Dh X*Y
Обобщенные группы Зельмера.
Определение 7.55. Пусть X — конечный Gq-модуль, и предположим,
что у нас имеется семейство £ = {Л/} подгрупп Li cH'(Di, X), которые
конечны по теореме 7.54. Будем предполагать, что для / Е выполняется
равенство
Li = Кег(//'(О;, X) —> H'(/h X)).	(7.5.8)
408
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
Группа Зельмера, связанная с семейством £ = {£/}, определяется равен-
ством
Sel£(X) = {xe//'(GQ, Х):У1 Resjfx) e £/}.	(7.5.9)
Замечание 7.56. Из соотношений (7.5.8), (7.5.3) следует, что Selr(X)c
cSelE(X).
Интерпретация ФдЕ как обобщенной группы Зельмера. Рассмот-
рим конечный Gq-модуль Х\п = Ad°p (modXrt), где
р: Gq —+ GL2(O)
обозначает модулярное представление Рибета минимального уровня (см.
теорему 7.30). Зафиксируем тип (соответствующий ветвлению) и рас-
смотрим касательное пространство Ф#Е = Эта группа была интер-
претирована Уайлсом с помощью обобщенных групп Зельмера, связанных
со следующим семейством С:
' Ker(tf1 (О/, Хх«) -> Н1 (//, Xv)),	если
H\Di,XXn)4	если
Ll= | Кег(//’(О/, Хх») ->
//*(/,, Хх»/Х°))гХ° = {(° J)}, если
l^s\
1 = р\
(7.5.10)
/ е Еи5.
Положим //pe(Gq, = Selr(Xx«) для семейства £, определенного
соотношением (7.5.10).
Теорема 7.57. Существует изоморфизм конечных О-модулей
Ното.^Л/^//^, О/Хп) =	Хх»).
Лемма 7.58. Существует изоморфизм конечных О-модулей
Нот*(т#Е/(Х, т|Е), k) = H^(Gq, Ad°p0).
Доказательство. По теореме 7.50 отображение ограничения
Homc>.aig(/?E, £[е]) Э ср»—> <p|m«E :	пг^Е) -»k
задает канонический изоморфизм
Homc>-aig(fa, *[е]) Нот*(тяЕ/(Х, пг^Е), /г).
Действительно, всякое такое ср обращается в нуль на (X, пг#Е) и опреде-
ляется ограничением на пг#Е по формуле
/?s Э х »-> с(х) 4- еср(% - i(x)) G k 4- ek.
§ 7.5] Шаг индукции по Уайлсу:применение критериев и когомологии Галуа 409
Здесь рассматривается отображение
l: /?s —>	—> Z?с—> /?s,
являющееся канонической проекцией, причем <р тождественно на
В силу универсального свойства кольца /?е отображение <р может быть
отождествлено с инфинитезимальной деформацией
рх: Gq —> GL2(fe[e])
представления р0 типа Ds, т. е. с элементом из //^(Gq, Ad°po). Из этого
следует утверждение леммы.	□
Чтобы вывести теорему 7.57 из леммы 7.58, надо заменить на
(//?Е, где = Кег(тс#Е : Ле —> О), используя вариант леммы Накаямы
(мы опускаем детали).
Рассмотрим теперь бесконечный модуль X = X? = limA\n. Применяя
теорему 7.57 и переходя к индуктивному пределу, получаем изоморфизм
Ното.то(](Ф/?Е, К/О) —> ljm//j,E(GQ, Хх») = SehE.
Теперь объясним связь между #ФдЕ и #Ф^. Можно получить яв-
ную формулу для #Ф/?Е из когомологической точной последовательности
Пуату—Тэйта.
Однако для шага индукции по Уайлсу достаточно более слабого ре-
зультата, а именно
#Ф^#ФяЕ •#//*(//, X)D', гдеЕ' = Еи{/}.	(7.5.11)
Это неравенство и конечность входящих в него выражений следует из по-
следовательности
0 SehE SehE, H'(h, X)Dl,
которая может быть выведена из последовательности инфляции-ограни-
чения (7.5.7) (мы используем тот факт, что X неразветвлено в /, т. е. что //
действует тривиально на X):
,	Inf .	Res
0 — Hx(Di/h,X)	►
-> H2(Dt/IhX) —> H2(Di, X). (7.5.12)
Шаг индукции: переформулировка. Сделав предположение индук-
ции, будем считать, что имеется изоморфизм
срЕ • Ле —► Те,
из которого следует равенство соответствующих инвариантов (7.5.1). В со-
ответствии с первым критерием достаточно доказать неравенство (7.5.2).
410	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Его левая часть контролируется группами когомологий Галуа: из неравен-
ства (7.5.11) мы видим, что
#Ф/?Х, #Ф/?Е •#№(//, Х)°', гдеЕ' = Еи{/}.
Правая часть будет вычислена ниже с помощью относительного инва-
рианта Т]£',е, который связывает #(9/т]тЕ, и
= #О/т)тЕ • #О/тсте(г)е',е).
Ниже мы объясняем основное неравенство между этими величинами,
из которого будет следовать шаг индукции.
§ 7.6.	Относительный инвариант, основное неравенство
и минимальный случай
7.6.1.	Относительный инвариант. Напомним, что мы используем сле-
дующие инварианты локальной (9-алгебры А (введенные в формуле (7.4.9)):
/д = КегтсЛ, $А=1А/12А, гц =тсд(Апп/Л) С С»
(«ядро аугментации», «касательное пространство» и «модуль конгруэн-
ции» соответственно).
По предположению индукции имеется изоморфизм (9-алгебр, являю-
щихся полными пересечениями,
фЕ • Ле —> Те,
и из этого следует тождество (встречавшееся под номером (7.5.1))
#Ф/?Е = #<?Л)ТЕ < ОС.
По первому критерию достаточно вывести из соотношения (7.5.1) нера-
венство (7.5.2):
< °°’
где S' = Е U {/}. Левая часть неравенства контролируется группой кого-
мологий Галуа: из соотношения (7.5.11) мы знаем, что
#Ф/?Е, ^#ФЛе •#//'(//, X)D', гдеЕ' = Еи{/}.
Правая часть будет вычислена ниже с помощью некоторого относитель-
ного инварианта Г)е',е, который связывает #(9/т)тЕ, и
= #(9/т)те • #(9/тсе(т)е',е)-
§ 7.6] Относительный инвариант, основное неравенство и минимальный случай 411
По определению
T)TS = тстЕ (Апп/Те ) с О, Т)ТЕ, = тстЕ, (Апп/те/ ) с О. (7.6.1)
Заметим, что в силу универсальности кольца Те имеется коммутативная
диаграмма
ПУ У
TEz—— ТЕ	(7.6.2)
*ТЕ\^	^/*ТЕ
О
Из этого мы получаем, что
О D тг)тЕ, = т)тЕ • кте(т]е'.е),	(7.6.3)
где
Т)Е',Е = Ле',е(Апп/те,).
Последняя величина называется относительным инвариантом мор-
физма тсе'.е-
Явное вычисление инварианта, использующее конструкцию универ-
сального кольца модулярных деформаций Те из п. 7.4.4, приводит к тому,
что
T)S'.E = *£',е(Апп/тб,) = (/ - 1 )(7}2 - (/ + I)2) € Те. (7.6.4)
За этим стоят вычисления, связанные с редукцией модулярных кривых
(см. [31]). Мы опускаем детали.
Ниже мы объясним основное неравенство между этими величинами:
#//'(/,, X)D‘ #О/лТг(т)е'.е). где Е' = Е U {/}.	(7.6.5)
Их этого неравенства вытекает шаг индукции. Определение относительно-
го инварианта, возникающего в правой части неравенства (7.6.5), требует
выбора аугментаций тстЕ и тс#Е, которые должны быть заданы по формуле
(7.3.4):
KRv- trp^^FrobzJ^a/,
кТб: trpr-mod (Frobz) ~at,
где at 6 О — коэффициенты Фурье параболической Гекке-собственной
формы Рибета
/(г) = апв(пг) € Sk(N0)
п=0
минимального уровня (построенной по представлению Галуа рдх, соответ-
ствующему деформации р € DM $(£>)).
412
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
7.6.2.	Основное неравенство. Применив вычисление значения тстЕ,
заданного по формуле (7.3.4), к введенному выше относительному инвари-
анту г)е'.е, получаем следующее равенство:
1ТТЕ (Т)£',£) = *тЕ((/ - 1 )(7’/2 - (/ + 1 )2)) = (/ - 1 )(а2 - (/ + 1 )2) е О. (7.6.6)
Заметим, что величина (7.6.6) не равна нулю благодаря оценке Делиня
ктЕ(^.Е) = (/-1)(а2-(/ + 1)2)/0.
Докажем основное неравенство (7.6.5) в следующей явной форме.
Теорема 7.59. Рассмотрим конечный Gq-модуль Х\п =Ad°p (modX"),
где
р: Gq —+ GL2((9)
обозначает модулярное представление Рибета минимального уров-
ня (см. теорему 7.30). Выполняется следующее неравенство'.
^ #£>/(/- 1)(а2 - (/+ I)2), гдеЕ' = Еи{/}. (7.6.7)
Доказательство. Будем использовать вычисление определителя.
Поскольку действие // на Х\п тривиально при I |Af(p), из этого следует,
что
H'(h, X-f,)D‘ = Ногтю,(Л, Хх»).	(7.6.8)
Заметим, что // = Gal(Qz/Q"r), где Q"rDp₽oo обозначает максималь-
ное неразветвленное расширение поля Qz (которое содержит все корни из
единицы степени р, поскольку р ф I).
Это означает, что существует каноническая сюръекция
// —>ZP(1) = limply
< п
(здесь правая часть обозначает группу Галуа максимального куммеровско-
го р-расширения поля Q"r).
Далее, заметим, что порядок конечного модуля Х\п равен некоторой
степени числа р. Следовательно, любой гомоморфизм из множества (7.6.8)
пропускается через Z₽(l). Таким образом, выполняется равенство
HomD,(//, Хх») = Ногтю,(Zp(l), Хх») =Xx«(-l)D/,	(7.6.9)
где
ХХл(-1) = Xv Zp(-1), Zp(-1) = Hom(Zp(l), Zp).
В силу минимальности представления р оно неразветвлено в / и действие
// на Х\п = Ad°p (modXn) тривиально. Поэтому
Xx»(-1)D' =Xx»(-l)D'//' = Xv(-1 )Frob' = Ker(Frob/ - l)|Xx„(_u. (7.6.10)
§ 7.6] Относительный инвариант, основное неравенство и минимальный случай 413
Таким образом, мы можем вычислить
# Ker(Frobz - 1 )|xx„(-i) = #Coker(Frobz - l)|xx„(-i) =
= #Coker(Frobz - 1	1>) O/\n #Coker(Frobz -	=
= #0/det(Frobz - l)|Ad°(p)(—!)>	(7.6.11)
и надо лишь проверить, что
#O/det(Frobz - l)|Ado(₽)(_0 = #0/(1 - 1)(а2 - (/ + I)2).
Для доказательства этого равенства надо явно вычислить собственные
значения оператора Frob/ — 1 на Ad°(p)(— 1). Пусть а = а/ и £ = £/—соб-
ственные значения оператора Frob/, действующего на (9-модуле М — О\
соответствующем модулярному представлению Рибета. Верны соотношения
<х + £ = а/, а£ = /.
Будем теперь рассматривать собственные значения оператора Frob/ отно-
сительно его действия на следующих (9-модулях:
—	на М = Нот(Л4, (9) собственные значения оператора Frob/ равны
{а-1, г1};
—	на End тИ = М ® М собственные значения оператора Frobz равны
{1, 1, ар-1, (За-1}; чтобы это увидеть, заметим, что
/1
О
о
\0
О
1
О
О
о
о
ot(3_|
о
О
О ’
Ра"1/
три собственных зна-
21 = 21 ра-'= £ = £)•
ар I ’Р ар / /’
— на Ad°(p)(—1) у оператора Frobz собственные значения равны
J1 “2
V* /2 Г
это следует из того, что Ad°(p)(— 1) = Ad°(p) 0zp Zp(— 1), а оператор
Frobz действует на Zp(—1) умножением на
— наконец, собственные значения оператора Frobz — 1 на Х(— 1) равны
/1-1 —-1 £-11
] /	*’ /2	*’ /2	1 Г
— на Ad°p С End М у оператора Frobz есть
чения:	2	2
ТОЛЬКО
414	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Таким образом,
/1	\ / а2 \ / в2 \
det(Frobz - 1)U(-d = (j - 1Д72 - 1 j (j2 - J =
(/-1)(/2-а2)(/2-р2) _
/б
_ (/- 1)(/4 -/2(а2+ p2)+ а2р2) _
“/5“
(/-l)(/2+1-(а2+р2)) _ (/— 1)(а2 — (/+ I)2)
/3	/3
Это доказывает основное неравенство (7.6.7), поскольку / G (9х является
единицей□
7.6.3. Минимальный случай. Мы сохраняем обозначения и предпо-
ложения из основной теоремы 7.33. Для завершения ее доказательства
остается рассмотреть минимальный случай Е = 0 и установить, что верна
следующая теорема.
Теорема 7.60. Сюръективный морфизм
ср#: /?0 —► Т0
в категории Со представляет собой изоморфизм локальных О-ал-
гебр, являющихся полным пересечением.
Доказательство * 2). Мы построим /-структуру для сюръектив-
ного морфизма ср0. По второму критерию из п. 7.4.6 это будет обозначать,
что /?0 и Т0 являются изоморфными полными пересечениями.
Можно доказать, что (9-алгебра R$ имеет п топологических порожда-
ющих, где
п = dim* Seh0(Ad°(po)(l)),
Ad°(po)(l) обозначает тензорное произведение Ad°(po) Fp(1), a Fp(l)
есть представление, соответствующее гомоморфизму Gq —> Gal(QQip)/Q).
Более того, для каждого т G N существует конечное множество простых
чисел
Qtn = {Qт\ч • • • ч Qmn}	(7.6.12)
со следующими свойствами:
— qmj = 1 (mod рт) (о рт делит #(Z/?m/Z)x);
!)Нетрудно видеть, что единственное неравенство (7.6.11), возникшее в ходе доказатель-
ства теоремы 7.59, становится равенством при достаточно большом п, так что для предела
X = lim Х\п на самом деле выполняется равенство X)D‘ = #(9/пте(>1е',е)-— Прим,
перев.
2)При переводе ряд деталей доказательства был восполнен С. Горчинским с использова-
нием [289].
§ 7.6] Относительный инвариант, основное неравенство и минимальный случай 415
— все собственные значения оператора po(Frob^7) из k попарно различ-
ны;
- QwnS = 0;
— О-алгебра Ат = RQm имеет п топологических порождающих.
Для построения множества простых чисел, удовлетворяющего первым
трем условиям, не требуется ничего, кроме теоремы плотности Чебота-
рёва (см. п. 4.4.3). Основную трудность представляет последнее условие,
для вывода которого используются лемма Накаямы и явная формула для
порядков конечных групп Зельмера, получаемая из точной когомологиче-
ской последовательности Пуату—Тэйта. Мы опускаем здесь детали, делая
ссылку на работу [289].
Начнем определять /-структуру, используя конечные множества про-
стых чисел Qm следующим образом:
Ат —	— А = /?0, В = Т$.
Фальтингс доказал, что для каждого q = qmj € Qm ограничение универ-
сального представления р^™ (см. §7.3.5) на группу инерции Iq пропуска-
ется через максимальный р-фактор Д7 порядка рт> группы (Z/^Z)X:
Iq Gal(Q(^)/Q) (Z/gZ)x Д.
(см. приложение Фальтингса к [841 ]). Покажем, как с помощью этого на Rqm
удается построить дополнительную структуру алгебры над (9[ДД (т. е. над
групповой алгеброй, которая возникает также и в теории Ивасавы при по-
строении пополненного группового кольца A=Zp[[Zp]] = limZp[Z/pmZ]).
А именно, ограничение диагонализуется, причем можно канонически
выбрать одномерное подпредставление, которое для каждого q позволяет
определить некоторый характер Iq -+ Rqm (см. [289], лемма 2.44). Из вы-
шесказанного следует, что этот характер пропускается через Д^, что и дает
искомую структуру. Так, на Rqm (и, по универсальности, на Т@т) возникает
дополнительная структура <9[Д^, х ... х Д^]-алгебры.
Далее, заметим, что
ОД] <9[[S]]/^Z(S), где ^(S) = (1 + S)^ - 1
и что имеется изоморфизм
□[Д9т1 х...хД^-OnSb-.-. WAn, (7.6.13)
где Jm = (um,(Si), .... wm„(Sn)) с.........  m	= (mi, .... m„).
Отметим, что в обозначениях из п. 7.4.7 имеется вложение Jm С //и» где
т = maxmz . Далее, можно проверить, что по построению RQm/hRQm —
и T<?m/7oT<?m ~т0-
416
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
Из одного результата де Шалита о структуре некоторых алгебр Гек-
ке следует, что является свободным модулем конечного ранга над
O[[Si, ..., Srt]]//m (см. [583]; доказательство этого результата использует
ромб-операторы (или «0-операторы») в алгебрах Гекке T(Ms)).
Из всего сказанного следует, что во введенных выше обозначениях на
сюръективном морфизме <р: А -+ В из формулировки теоремы 7.60 возни-
кает/-структура: для каждого т е N существует семейство коммутативных
диаграмм
<9[[Sb ..., S„]]
jCT"'
О[[Х|>
со следующими свойствами:
а)	— сюръекция;
б)	фт — сюръекция;
в)	Ат/1^Ат — Л,	В т/J^Bm — В\
г)	Bm/JmBm — свободный модуль конечного ранга над (9-алгеброй
Для завершения доказательства теоремы 7.60 остается лишь применить
второй критерий изоморфизма локальных колец из п. 7.4.7: если ср: А ——
сюръективный морфизм в категории Со, допускающий /-структуру, то это
изоморфизм (9-алгебр, являющихся полными пересечениями.	□
§ 7.7. Окончание доказательства Уайлса и теорема
об абсолютной неприводимости
7.7.1. Теорема об абсолютной неприводимости. В этом парагра-
фе мы объясняем вывод по Уайлсу гипотезы Шимуры—Танияма—Вейля
(теорема 7.13) из теоремы о модулярности допустимых деформаций 7.33.
Для применения теоремы 7.33 надо построить для эллиптической кри-
вой абсолютно неприводимое представление Галуа ро над конечным по-
лем k.
Теорема 7.61 (о неприводимости). Пусть
Е: у2 = 4х3- g2x - g3
обозначает полу стабильную эллиптическую кривую над Q, задан-
ную в форме Вейерштрасса. Предположим, что оба представления
Галуа рз,£ и р^Е приводимы.
§ 7.7] Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприводимости 417
Тогда для имеется лишь четыре возможности'.
Г 25	52-2413	5-293 5-21131
/£ € | 2 ’	23 ’	25 ’ 215 j
и кривая Е модулярна.
Доказательство. Модулярность эллиптической кривой Е в этих
исключительных случаях можно проверить непосредственно, используя,
например, таблицы Кремоны [284] (см. также [686], лемма 9).
Будем использовать параметризацию множества классов эквивалент-
ностей эллиптических кривых, см. п. 6.3.2, соотношение (6.3.12):
Го(Л0\Н ~
f(E С 1 I эллиптическая кривая над С вместе 1 /	~
V ’ N) I с циклической подгруппой порядка N J / (изоморфизм)
Это множество отождествляется с множеством С-точек аффинной алгеб-
раической кривой Уо(А0, а С-точки ее гладкого замыкания по Зарисскому
Xq(N) (называемого модулярной кривой) являются компактным фактором
Го(А0\Й. Обе кривые определены над Q. Дополнение аффинной кривой
XQ(N)(C)\YQ(N)(C)	Го(М\(0 и оо)
состоит из параболических вершин (классов эквивалентностей парабо-
лических точек относительно Го(М)). Они определены над Q по теоре-
ме Манина—Дринфельда. При этих отождествлениях рациональные точки
^o(N)(Q) соответствуют множеству
(£, С„)
эллиптическая кривая над Q
вместе с GQ-инвариантной
циклической подгруппой порядка
yyj j (изоморфизм)1
Следовательно,
*o(AO(Q) ~
параболические
вершины
эллиптическая кривая Е над Q
вместе с GQ-инвариантной
циклической подгруппой порядка N
(изоморфизм)1
Пример 7.62. Модулярная кривая Хо(15) имеет 4 параболические точ-
ки и является на самом деле эллиптической кривой, которую можно за-
дать уравнением у2 = х(х + 32)(х - 42), со следующими рациональными
418	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
точками 3):
~ / (0, 0), (-9, 0), (16, 0), ею 1
°( )(Q)	| (_4, ±20)), (3б ±180)
Теперь предположим, что представление рз,£* приводимо. Тогда суще-
ствует GQ-инвариантная циклическая подгруппа Сз С E(Q) порядка 3, а
если и р5э£ является неприводимым представлением, то существует GQ-ин-
вариантная циклическая подгруппа С5 С E(Q) порядка 5.
Таким образом, мы получаем GQ-инвариантную циклическую подгруппу
С15 = Сз + С5 с E(Q),
которая соответствует одной из четырех точек типа (Е, С15) в множестве
/о(15)(О!)\{вершины},
и явное вычисление инварианта	завершает доказательство теоремы 7.61.
□
Предложение 7.63 (|729|, предложение 1). Пусть Е — полуста-
бильная эллиптическая кривая над Q. Тогда либо
— гомоморфизм ро = рз,£ сюръективен, либо
— образ po(Gq) сопряжен подгруппе в < Г j >, т. е. представление
ро приводимо.	'
Доказательство. Пусть 0 обозначает образ представления ро
при отображении в РОЬ2(Кз) = ©4. Каждый элемент g е Gq переходит
в некоторую перестановку € 64 множества, состоящего из четырех пря-
мых в F|.
Предположим, что не выполняется ни условие а), ни условие б). Тогда
0^64, но нет ни одной неподвижной точки. Вспомним, что ро нечетно
и в то же время выполняется равенство
det(p0(g)) = sgn(^) € {±1} € F3X : GL2(F3) — F3X.
Из этого следует, что 0 не содержится в 2Ц. Значит, либо 0 = Э4 —
= ((1234), (14)(23)) (группа диэдра), либо 0 С Э4 является подгруппой ин-
декса 2 в Э4. В обоих случаях группа 0аЬ = 0/[0, 0, ] имеет порядок 4.
Однако представление ро полу стабильно, и из-за этого для любого / / 3
3) Вычисление на PARI/GP:
>	е= ellinit([0, —7, 0, —144, 0]);
> elltors(e)
У	. = [8, [4, 2], [[36, 180], [0, 0]]]
>	Р = [36, 180]; Q = [0, 0];
>	elladd(e, Р, Q)
7. = [-4, 20]
§ 7.7] Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприводимости 419
образ ро(Л) сопряжен подгруппе в | J ) - Z/3Z. Поскольку порядок
группы в не делится на 3, из этого следует, что ро(Л) = 1. С другой сторо-
ны, группа Галуа максимального абелева расширения поля Q, неразветв-
ленного вне 3, изоморфна Z£. Поэтому у нее нет ни одной факторгруппы
порядка 4, что противоречит тому факту, что |0аЬ| = 4.	□
Заметим, что аналогичный результат верен для всех р/^, включая I = 5,
см. [722], предложение 21.
Лемма 7.64 (Ж.-П. Серр, 1729]). Пусть Е — такая полустабиль-
ная эллиптическая кривая над Q, что представление рз^ неприво-
димо. Тогда ограничение
P°IGQ(v^3)
абсолютно неприводимо.
Доказательство. Будем использовать то, что рз^ нечетно. Пред-
положим, что ограничение Роне является абсолютно неприводимым
и что существует одномерное подпространство W с Е[3] 0 F3, инвариант-
ное относительно G^^fy <1 Gq. Тогда подпространство Wx тоже будет
Сф(узз)-инвариантным, где т обозначает образ комплексного сопряжения.
Из этого следует, что образ ро(С^(утз)) обладает собственным базисом,
и поэтому он коммутативен.
Однако в силу предположений леммы 7.64 и предложения 7.63 гомомор-
физм ро сюръективен. Следовательно, образ 1т(С^(узз)) в	= 64
не коммутативен (так как он является подгруппой 64 индекса не боль-
ше 2). Это противоречие доказывает лемму 7.64.	□
Теорема 7.61 становится в этом случае «теоремой об абсолютной непри-
водимости». В частности, для рз^ выполняются предположения теоре-
мы 7.28 о модулярности допустимых деформаций.
7.7.2.	От р = 3 к р = 5. Пусть Е — полустабильная эллиптическая
кривая над Q. В соответствии с п. 7.7.1 возможны лишь три случая:
1)	представление ро = рз,Е неприводимо;
2)	представление ро = Р5,е неприводимо;
. Г 25	52-2413	5 • 293 5-2113
€ [ 2 ’	23	’	25 ’	215
В теореме 7.61 было замечено, что в четырех исключительных случаях
кривая Е модулярна. Как было упомянуто после леммы 7.64, в случае 1)
представление рз,£ удовлетворяет условиям теоремы 7.28 о модулярности
допустимых деформаций. Следовательно, будучи допустимой деформаци-
ей представления рз,Е, представление рз^ модулярно. Из этого следует
модулярность эллиптической кривой Е. Случай 2) рассматривается в сле-
дующей теореме.
420	Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм	[Гл. 7
Теорема 7.65 (|729]). Пусть Е — такая полустабильная эллип-
тическая кривая над Q, что представление pst£ неприводимо. Тогда
существует такая эллиптическая кривая Е' над Q, что р^/ ~р5£
и представление рз,£/ абсолютно неприводимо.
Доказательство данной теоремы разбирается в п. 7.7.3.
Покажем, как из этого следует теорема 7.13. То же рассуждение, что
и в случае 1), показывает, что кривая Е' модулярна. Следовательно, пред-
ставление р5,£/ модулярно. Однако р5,£/ изоморфно р5,£, и поэтому пред-
ставление р5.£ также модулярно.
Проверим теперь, что представление ps,£ удовлетворяет предположе-
ниям теоремы 7.28. Покажем, что ограничение Р5,£ |gQ(n/5) абсолютно непри-
водимо, если р5,£ неприводимо.
Действительно, для комплексного сопряжения т € G^^ выполняется
следующее условие:
det рад (т) = -1 => рад(т) ~ (q -j).
Поскольку оба собственных подпространства оператора Р5,е(т) определе-
ны над F5, из неприводимости над F5 следует абсолютная неприводимость
(т. е. над F5). Здесь мы используем то, что из неприводимости представле-
ния р5,£ следует неприводимость ограничения ps,£ |gQ(V5) » так как подгруп-
па верхнетреугольных матриц в GL2CF5) имеет индекс 6, больший двух,
а представление р5,£ сюръективно по замечанию после предложения 7.63.
Итак, для представления рад выполняются все предположения теоре-
мы 7.28 о модулярности допустимых деформаций.
Значит, представление ps,£ модулярно, поскольку оно является допу-
стимой деформацией представления рад. Поэтому сама кривая Е тоже
модулярна, что доказывает гипотезу Шимуры—Танияма—Вейля (теоре-
ма 7.13) и для этого случая.
Итак, остается объяснить доказательство теоремы 7.65.
7.7.3.	Семейства эллиптических кривых с фиксированным рад.
Мы объясним, как получить кривую E'e{Et} в качестве слоя эллипти-
ческого расслоения Et —> , определенного над Q, в котором рад, ~рад
для всех /, причем Е = Е/о для некоторого /о-
Вновь рассмотрим модулярную кривую, но на этот раз ассоциирован-
ную с конгруэнц-подгруппой Г(5) (см. формулу (6.3.14)).
Будем использовать модулярную параметризацию множества классов
эквивалентности эллиптических кривых, см. п. 6.3.4:
эллиптическая кривая над С /
вместе с изоморфизмом ► /	~
ср: E[N]^(Z/NZ}\ ср* det=eN,E' ' (изомоРФизм)
Г(А/)\Н - { (£, ср)
§ 7.7] Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприводимости 421
где
£n,e: E[N] Л E[N] ->
обозначает спаривание Вейля, которое можно алгебраически определить
по формуле (6.3.31). Напомним, что над полем С для эллиптической кривой
Е = C/(l, z) выполняются равенства
£[ЛГ] =	0/(1. z) (Z//VZ)2; eNJ> = exp{±2ra(ad - bc)/N}.
Далее, модулярная кривая X(N) является алгебраической кривой, опре-
деленной над циклотомическим полем Q(^),	= ехр{2тс//Л0 и такой, что
риманова поверхность X(N)(C) может быть отождествлена с компактным
фактором Г(Л0\Н, причем
Х(Л0(С)	Г(Л0\Й, H = HuQUoo;
У(Л0(С) ~ Г(А)\Н
для аффинной алгебраической кривой У(Л0, определенной над Q(Cv) (см.
п. 6.4.2).
Для того чтобы работать с кривыми, определенными над Q, зафиксиру-
ем эллиптическую кривую Е над Q и рассмотрим такую скрученную кривую
Хе над Q, что она имеет аффинную модель Ye над Q, удовлетворяющую
следующему модулярному описанию:
{эллиптическая кривая над С л /	~
(Е' ср) вместе с изоморфизмом I /	~
(f.E'[N]^E[N],(f*eN,E=eN,E>l/ (аморфизм)
Это описание задает множество Q-рациональных точек на YE:
YE(<Q) -
(Е', Ч>)
эллиптическая кривая над Q вместе
с изоморфизмом GQ-модулей
ф: Ef[N] E[N], (f*eN,E = &n,E'
f{изоморфизм)'
Заметим, что Хе изоморфна X{N) над С (и даже над Q(Cv)).
Для наших целей важен случай N = 5. Для него имеется следующее
явное описание кривой Хе, принадлежащее К. Рубину и А. Сильверберг
(см. [688] и [583]).
Предложение 7.66 ([686|, предложение 11). Пусть Е — эллипти-
ческая кривая над Q и Хе — соответствующая ей кривая над Q,
получаемая из Х(5) описанной выше процедурой.
422
Большая теорема Ферма и семейства модулярных форм
[Гл. 7
Тогда род кривой Хе равен 0 и существует явная параметризация
ф: Р1—> Хе над Q, где 1(Et, <рт),	(7.7.1)
Et -. у2 = х3 + fE(t)x + gE(t), fE, £e€QM. (7-7.2)
« deg(/£) = 30, deg(gf) = 20.
При этой параметризации элементы t eQ находятся во взаимно
однозначном соответствии с элементами из Ke(Q).
Заметим, что по построению существует изоморфизм GQ-модулей
<р: Е'[5] ^Е[5].
Другими словами, для каждого t € Q имеем р5,Е, ~ps,E-
Для окончания доказательства теоремы 7.65 нам надо выбрать элемент
Е' — Et в этом семействе (/ € Q) таким образом, чтобы 1) представление
рз,Е, было бы неприводимо и 2) кривая Et была бы полустабильной.
7.7.4.	Окончание доказательства. Для того чтобы представление рз^
было неприводимым, рассмотрим подходящую модулярную скрученную
кривую ХЕ над Q, а именно имеющую аффинную модель YE над Q, до-
пускающую следующее явное описание:
< (Е', <р, С3)
Y'(C) ~ ---------------
эллиптическая кривая над С вместе
с изоморфизмом
ф: Ez[5]-^->Е[5], ф*е5>Е = е5Е/, |С31 = 3
(изоморфизм
Это описание задает множество Q-рациональных точек на YE таким об-
разом:
(Е', Ф, С3)
y'(Q) ~
E/q, С3 С E(Q) (Gq-подмодуль, |Сз| = 3)
вместе с изоморфизмом Gq-модулей
ф: Ez[/V] —»Е[/У], ф*^,е =
(изоморфизм
Заметим, что кривая ХЕ изоморфна над С компактному фактору
(Г(5)ПГ0(3))\Й.
Род кривой ХЕ может быть вычислен с помощью классической техники,
описанной в гл. I книги Шимуры [742]; оказывается, что g(XE) = 9.
По теореме Фальтингса (см. §5.5) YE(Q) является конечным множе-
ством. Таким образом, для всех, кроме конечного числа, t € Q представ-
ление рз,Ег неприводимо.
§ 7.7] Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприводимости 423
Чтобы доказать полустабильность, заметим, что
—	для всех / 5 выполняется условие
Р5.£,|// ~P5.fl// ~ {(о I)}
и из этого непосредственно вытекает полустабильность при всех таких /
вследствие ее алгебраического определения;
—	при / = 5 полустабильность следует из явного уравнения (7.7.1) кривых
вследствие ее геометрического определения 7.10: если t стремится к /о
в 5-адической топологии, то коэффициенты минимального (5-адическо-
го) уравнения для Et сходятся в 5-адической топологии к коэффици-
ентам минимального (5-адического) уравнения для Е = Eto. Таким об-
разом, кривая Et становится полустабильной в числе 5 для всех t € Q,
достаточно близких к /о-
Наиболее важные моменты доказательства Уайлса. Вот те из них,
которые были перечислены самим Уайлсом в введении к его статье [841]:
— открытие весной 1991 г. инвариантов т)д (известных на тот момент как
«модули конгруэнции» Хиды для случая р-адических алгебр Гекке);
—	переход отр = 3кр = 5 (найденный в мае 1993 г.);
—	открытие /-структур («горизонтальная теория Ивасавы») в сентябре
1994 г.
Интересное описание истории этих вопросов дается в [598].
ЧАСТЬ III
АНАЛОГИИ И ВИДЕНИЯ
ГЛАВА Ш-0
ВВОДНЫЙ ОЧЕРК ЧАСТИ III: МОТИВИРОВКИ
И ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ
§ 111.1. Аналогии и различия между числами
и функциями: точка на бесконечности, архимедовы
свойства и т. д.
Эта часть была задумана как объяснение некоторых общих интуи-
тивных идей, стоящих за современным взглядом на теорию чисел. Один
из таких сюжетов можно было бы назвать аналогиями между числами
и функциями.
III. 1.1. Формула Коши о вычетах и формула произведения. Объ-
ясним, следуя [767], с. 3, в чем заключается аналогия между числовым
полем, т. е. конечным расширением поля Q, и полем C(S) мероморфных
функций на гладкой полной кривой S.
Формула Коши о вычетах дает один из примеров такой аналогии:
1>л/)=ЕКе5*(т)=0’	<Ш11)
xGS	xgS
где Resx обозначает вычет дифференциальной формы в точке х.
Для рационального числа f € Q* имеет место формула произведения
|/| = ПрМ/).	(III.1.2)
р
где р пробегает все целые простые числа, a vp(f) е Z обозначает р-адиче-
ское нормирование числа /.
Если положить
Woo(/) = -log|f|eK,
то тождество (III. 1.2) можно будет переписать в виде
SM/)log(p) + Voo(/) = 0.	(HI. 1.3)
р
Это числовой аналог тождества (III. 1.1), выполняемого для поля C(S).
В частности, из этого примера видно, что полная кривая S соответствует
аффинной схеме Spec(Z), к которой добавили точку на бесконечности (для
428 Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание	[Гл. III-0
этой точки вместо дискретного нормирования надо использовать архиме-
дову норму).
111.1.2. Арифметические многообразия. Изучим более общий слу-
чай: рассмотрим арифметическое многообразие X, т. е. проективную регу-
лярную схему, плоскую над Z.
Другими словами, рассматривается система полиномиальных уравнений
Л(Л), ..., ^) = /2(Г0, ..., 7’yv) = ... = /m(7’0, ..., 7\) = 0, (III.1.4)
где /1, ..., fm е Z[7o, ..., Т/у] — однородные многочлены с целыми коэф-
фициентами. Это определяет проективную схему X = Proj(S), где S обо-
значает фактор Z[7o, ..., Тц] по идеалу, порожденному Д, ..., fm. Каж-
дой (схемной) точке схемы X соответствует простой однородный идеал Р
в S, не содержащий идеал аугментации (То, ..., Тц). Структурный морфизм
/: X Spec Z сопоставляет идеалу Р пересечение Р П Z. Слой отображе-
ния f над простым целым числом (специальный слой) является многооб-
разием /-1(pZ) — Х/р = Proj(S/pS) над полем из р элементов. Общим
слоем является многообразие /-1((0)) =Xq = Proj(S Q) над полем Q.
Мы предполагаем, что схема X регулярна и морфизм f плоский, т. е. что S
свободно от кручения. Из этого следует, что слой Х/р гладкий для по-
чти всех простых р, кроме конечного числа, где слой может быть даже
и неприведен, как, например, для q на рис. Ш-0.1.
Подобно тому как мы пополнили схему SpecZ, прибавляя к ней точ-
ку оо, «пополним» схему X, являющуюся семейством многообразий над
SpecZ, добавляя к ней комплексное многообразие Х^ =Х(С), т.е. мно-
жество комплексных решений системы (III. 1.4), рассматриваемое как слой
над бесконечностью. Будем рассматривать все полученное семейство как
аналог комплексного многообразия У, расслоенного над гладкой полной
кривой S при помощи плоского собственного отображения g: Y-^S.
Если f имеет одномерные слои, то размерность по Круллю схемы X рав-
на двум (мы будем называть ее арифметической поверхностью). Заме-
тим, что целое решение системы (III. 1.4) является рациональной точкой
на X(Z) =X(Q) СХ(С), т. е. сечением структурного морфизма /.
111.1.3. Бесконечно малые окрестности слоев. Можно также рас-
сматривать редукции схемы X (определенной над Z) по модулю рп для
некоторого простого числа р. Переход к пределу при я—>оо определяет
р-адическое пополнение схемы Х%. Его можно рассматривать как «бес-
конечно малую окрестность» слоя над р.
Эта картина становится намного более сложной на арифметической
бесконечности из-за отсутствия подходящего определения «редукции по
модулю оо», с помощью которого можно было бы определить замкнутый
слой. С другой стороны, существует явный аналог р-адического пополне-
ния. Он задается римановой поверхностью (гладкой проективной алгебра-
III.2] Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью, циклы и функции Грина 429
ической кривой над С), определяемой уравнением алгебраической кривой
над Q за счет вложения Q С С,
X(C)=X®Q Spec(C),
где абсолютное значение | • | заменяет для бесконечности р-адическое нор-
мирование.
§ 111.2. Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью,
циклы и функции Грина (по Жилле—Суле)
Для того чтобы оценивать «размеры» рациональных точек, С. Ю. Ара-
келов (см. [9]) предложил блестящую идею рассматривать эрмитовы
структуры на различных линейных объектах, связанных с алгебраиче-
скими многообразиями (обратимые пучки, касательное расслоение и т. д.).
Рассмотрим алгебраическое векторное расслоение Е над X, наделенное
гладкой эрмитовой метрикой h несоответствующем голоморфном вектор-
ном расслоении на Х^. Пара Е = (Е, ft) будет называться эрмитовым
векторным расслоением над X. Такие объекты позволяет компактифици-
ровать арифметические схемы над числовыми полями на арифметической
бесконечности.
Следуя программе Аракелова ([9], [125]), с каждым алгебраическим
многообразием X над числовым полем можно связать пополненное
арифметическое многообразие X размерности dim(X) + 1,
X —* SpecC^ = SpecC\ U {ooi, ..., oof},
где Ок обозначает максимальный порядок в /(, a {ooi, ..., oor} — множе-
ство точек на оо поля К (см. [368], [767], [502]).
Для алгебраического числового поля степени п =	: Q], имеющего
п = г\ + 2г2 вложений
а: К-С,	(III.2.1)
существует г = г\ + г2 архимедовых точек, где г\ обозначает число ве-
щественных вложений, а г2 — число пар сопряженных комплексных.
Компактифицируя Spec(9/< за счет добавления архимедовых точек
{ooi, ..., оог}, получаем также п комплексных многообразий Ха(С), соот-
ветствующих вложениям а: К -*С. При этом на г\ из этих многообразий
действует комплексная инволюция.
В частности, для каждой кривой корректно определена минимальная
модель над О, которая называется арифметической поверхностью (по-
скольку мы добавили одну арифметическую размерность к геометриче-
ской). Добавляя метрики на бесконечности, Аракелов построил теорию
430
Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание
[Гл. III-0
Рис. III-0.1. Арифметическая поверхность
пересечений арифметических дивизоров. С этой точки зрения высоты ста-
новятся индексом пересечения, см. [125], [502]
Эта теория была широко обобщена А.Жилле и Кр. Суле (см. [367],
[368], [767]) с использованием некоторых наблюдений и размышлений
в [71]. На рис. Ш-0.1, взятом из [767], с. 4, с любезного согласия Кр. Суле
и Cambgridge University Press, изображается арифметическая поверх-
ность.
Ее слои над замкнутыми точками из Spec(C\) могут быть неособыми
(«невырожденными», или быть «хорошей редукцией») либо особыми (быть
«плохой редукцией»). Рациональные точки общего слоя соответствуют го-
ризонтальным арифметическим дивизорам; существуют также вертикаль-
ные дивизоры (компоненты замкнутых слоев) и «вертикальные дивизоры
на бесконечности», добавляемые формально вместе с определяемыми ad
hoc индексами их пересечения с другими дивизорами при помощи функции
Грина, см. [767].
Конструкция Аракелова сыграла выдающуюся роль в доказательстве
Фальтингса и в последующем развитии его работы.
111.2.1.	Арифметические группы Чжоу. Пусть/ — арифметическое
многообразие, а Ё— эрмитово векторное расслоение над %. Для Ё можно
построить характеристические классы со значениями в арифметиче-
ских группах Чжоу.
П1.2] Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью, циклы и функции Грина 431
А именно, арифметическим циклом является пара (Z, g), состоящая из
алгебраического цикла на X, т. е. конечной суммы ^2 ла2а, иа е Z, где Za —
а
замкнутые неприводимые подсхемы на X фиксированной коразмерности р,
и потока Грина g для Z. Под этим понимается, что g— вещественный
поток на Хоо, который удовлетворяет условиям E^o(g) = (-1)^-1 g и
ddcg + bz=^	(Ш.2.2)
где со — поток, ассоциированный с некоторой гладкой формой на Хоо,
а 8/ — поток, задаваемый интегрированием по Z^:
МП) = Е«« S П	(Ш.2.3)
a Z«(C)
для каждой гладкой формы г) подходящей степени (здесь F^ обозначает
морфизм, индуцированный комплексным сопряжением F^ на Х^).
.—р
Арифметической группой Чжоу CH (X) является абелева группа,
состоящая из арифметических циклов, профакторизованных по подгруппе,
порожденной парами вида (0, ди + ди) и (/, - log |/|2), где и и и обозна-
чают произвольные потоки подходящей степени, а f—дивизор ненулевой
рациональной функции f на некоторой неприводимой замкнутой подсхеме
коразмерности р - 1 в X.
111.2.2.	Арифметическая теория пересечений и теорема Римана—
—
Роха. Важным свойством арифметических групп Чжоу CH (X) является
их функториальность, описанная в [767].
Если заданы два арифметических цикла (Z, g) и (Z', g'),то необходимо
построить функцию Грина для их пересечения. Формула
g" = <og' + gbZ',
где со определяется равенством (Ш.2.2), использует произведение двух по-
токов gbzf. Чтобы придать этому строгий смысл, надо показать, что в ка-
честве g можно взять гладкую форму на Х^ - Z^ с логарифмическими
особенностями ВДОЛЬ Zqo-
Тогда для эрмитова расслоения Е на X становится возможным опре-
делить характеристические классы, в частности характер Черна
ch(E) € ф CHР (X) ® Q.	(П1.2.4)
Этот класс удовлетворяет обычным аксиоматическим свойствам характе-
ра Черна, но зависит от выбора метрики на Е. Он является аддитивным
лишь для ортогональных прямых сумм, в то время как в общем случае
это неверно, и его неаддитивность на точных последовательностях зада-
ется вторичным характеристическим классом Ботта—Черна. Аналогичные
432 Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание	[Гл. Ш-0
результаты верны и для класса Тодда Td(E) (см. гл. IV в [767]). Арифме-
тическая теорема Римана—Роха формулируется в терминах этих классов
для собственного плоского морфизма f: X —> Y как формула для первого
класса Черна отображения прямого образа на эрмитовых векторных
расслоениях.
Основное приложение этого результата дает асимптотическое поведе-
ние вида
/г°(Л, Ё®ГЛ) > (7^)i^+l«d+l + log«)	(III.2.5)
для обильного линейного расслоения L с положительной метрикой, где
й°(Л, Ё 0 Ln) равно логарифму числа таких глобальных сечений
s 6 Н°(Х, Е ® L"),
что ||х|| < 1 для каждого х € Aoo, Ld+i € К обозначает арифметический ин-
деке самопересечения, a d + 1 равно размерности по Круллю схемы X.
В [337] можно найти обсуждение арифметической теоремы Римана—
Роха. Как там объясняется, теорема Римана—Роха—Хирцебруха дает
формулу для эйлеровой характеристики /(Е) алгебраического векторно-
го расслоения Е на алгебраическом многообразии X в терминах характе-
ристических классов X и Е: /(Е) = [Td(X) • ch(E)]dirn%. Ее относительный
вариант, теорема Римана—Роха—Гротендика, утверждает, что для алгеб-
раического морфизма f: X —> Y и алгебраического векторного расслое-
ния Е на X выполняется равенство ch(/*E) = /*(Td(X|y)-ch(E)) в кольце
Чжоу, и содержит теорему Римана—Роха—Хирцебруха в качестве частно-
го случая, когда Y является точкой. Теорема Римана—Роха—Хирцебруха
доказывается при помощи эллиптических дифференциальных операторов
и аналитических методов или при помощи кобордизмов. С другой сторо-
ны, доказательство теоремы Римана—Роха—Гротендика проще и более
алгебраично.
Это доказательство было рассмотрено в [337] для арифметического
случая.
Для этого случая данные выглядят следующим образом: морфизм ариф-
метических многообразий /: X —> У, оба из которых определены над од-
ним и тем же арифметическим многообразием В (например, Spec(C\)),
и арифметическое векторное расслоение Е над X. Необходимо рассмат-
ривать следующие объекты: 1) группу К(Х) классов эквивалентностей
арифметических расслоений Е, 2) арифметическое кольцо Чжоу А*(Х),
3) характер Черна ch: /<(Х) —»А*(Х), 4) арифметический прямой образ
/*: /<(Х) —> /((У), 5) класс Td^(X|У) G А*(Х) и 6) произведение в А*(Х), со-
ответствующее пересечению. Тогда арифметическая теорема Римана—Роха
1П.2] Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью, циклы и функции Грина 433
должна была бы утверждать равенство ch(/*E) = /*(Td/?(X|y)<h(E)) в коль-
це Л* (У) для арифметического расслоения Е € К(Х), Таким образом, тео-
рема Римана—Роха—Хирцебруха должна была бы иметь место при Y =
= В = Spec(C\), что было впервые доказано Г. Фальтингсом для случая
арифметической поверхности (т. е. когда Х% — кривая) и компоненты сте-
пени 2 кольца Чжоу, см. [333]. Использованный при этом метод заклю-
чался в построении форм объема на когомологиях. Доказательство Фаль-
тингса вызвало новый интерес к этой теме, и вскоре был достигнут быст-
рый прогресс: Делинь обобщил формы объема на многие другие случаи,
а Жилле и Суле развили арифметическую теорию пересечения для произ-
вольных многообразий и вместе с тем эрмитову /(-теорию. Впоследствии
они объединили усилия с Висмутом, и им удалось определить детерминант
когомологий арифметических многообразий, см. [177]. Так возникает есте-
ственный вопрос о существовании теоремы типа Римана—Роха для этого
детерминанта. Оказалось, что даже для случая проективных пространств
непосредственное обобщение классической теоремы Римана—Роха невер-
но. Для исправления этого явления был введен вторичный класс /?(х) таким
образом, чтобы модифицированная версия (использующая /?) уже была
бы верной. Висмут и Лёбо смогли доказать теорему типа Римана—Роха
для замкнутых вложений, из которой после некоторой дополнительной
работы следует теорема Римана—Роха для детерминантных расслоений,
см. [767].
Теория пересечений и арифметическая теорема Римана—Роха обсуж-
дались также в докладе Ж.-Б. Боста на семинаре Бурбаки [190] (см. так-
же [194])
111.2.3.	Геометрическое описание замкнутых слоев над бесконеч-
ностью. Общее изображение арифметической поверхности над Spec(C>y<)
выглядит следующим образом (см. [552, с. 94]):
Хр	Xspec(C\)	XSpec(O/()	???
I	I	I	i
р	Spec(OK)	Spec(C\)	а
причем не существует явного геометрического описания замкнутых слоев
над архимедовыми точками.
Можно формально расширить группу дивизоров на арифметической
поверхности, добавив к ней вещественные линейные комбинации непри-
водимых «замкнутых вертикальных слоев над бесконечностью» ^2ХаЕа.
Здесь слои Еа рассматриваются лишь как формальные символы, для кото-
рых нет никакой геометрической модели. Удивительно, что эрмитова гео-
метрия комплексного многообразия Ха(С) оказывается достаточной, для
того чтобы определить вклад таких дивизоров в теорию пересечений на
434
Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание
[Гл. III-0
арифметической поверхности, даже без явного понимания самих замкну-
тых слоев.
Основная идея геометрии Аракелова заключается в том, что доста-
точно работать с «бесконечно малой окрестностью» Ха(С) слоев Fa, для
того чтобы корректно построить теорию пересечений.
В классической геометрии вырождений алгебраических кривых над
диском А со специальным слоем над 0 аналогичное утверждение говори-
ло бы, что геометрия специального слоя полностью определяется общим
слоем (см. [552], §3 гл.3). Это очень сильное требование на тип вырож-
дения: например, раздутие точек на специальном слое никак не отслежи-
вается изучением одного лишь общего слоя. Развивая такую аналогию,
следует ожидать, что слой над бесконечностью должен вести себя так
же, как во вполне вырожденном случае; обсуждение этой темы можно
найти в §8.2.3. В этом случае имеется максимальное вырождение, при ко-
тором все компоненты замкнутого слоя изоморфны Р1 и геометрия вырож-
дения целиком закодирована в двойственном графе, который описывает
в чисто комбинаторных терминах то, как склеены эти компоненты Каждой
компоненте замкнутого слоя соответствует вершина двойственного графа,
а каждой двойной точке — ребро.
Для арифметической поверхности (dimX = 1) локальные кратности
пересечения двух конечных горизонтальных неприводимых дивизоров D\
и £>2 на Хок задаются по формуле
[Dj, D2] = [£>1, Z>2]fin + [£>Ь ^2]inf,
где первый член вычисляет вклад конечных точек (т. е. того, что происходит
над Spec(O/<)), а второй член является вкладом архимедовых точек (т. е.
той части пересечения, которая происходит над арифметической бесконеч-
ностью).
В то время как первый член вычисляется в алгебро-геометрических
терминах исходя из локальных уравнений дивизоров £)/ в точке Р, второй
член определяется как сумма значений функций Грина ga на римановых
поверхностях Ха(С):
, D2\inf = -	-
а \ P.Y	/
в точках
{ЛУ₽=1........ [*(£,) :KJ} С Хв(С),
где K(Dt) обозначает конечное расширение поля /(, определяемое дивизо-
ром Dt. Здесь ea = 1 для вещественных вложений и еа = 2 для комплексных
вложений (более детальный анализ этих понятий из геометрии Аракелова
см. в [128], [368], [767], [502]).
Ш.З]	^-функции, локальные множители для оо, Г-множители Серра 435
Еще одно свидетельство аналогии между архимедовыми и вполне вы-
рожденными слоями возникает из явного вычисления функции Грина в ар-
химедовых точках, сделанного в [542] в терминах униформизации Шоттки
римановой поверхности Х«(С), которое более детально обсуждается в § 8.1.
Для конечных точек данная униформизация обладает аналогом, выража-
ющимся в терминах р-адических групп Шоттки, лишь для вполне вырож-
денного случая. Другим источником мотивирующих свидетельств является
когомологическая теория локальных множителей для архимедовых точек,
построенная К. Конзани в [276] для произвольных алгебраических много-
образий, см. детали в §8.2. Эта общая конструкция показывает, что полу-
чающееся в результате описание локального множителя для архимедовых
точек как регуляризованного детерминанта более всего походит на случай
вполне вырожденной редукции над конечной точкой.
Оба эти результата могут быть представлены в свете некоммутативного
пространства, задаваемого спектральной тройкой (Од, 7Y, Р), обсуждае-
мой в §8.3, которая состоит из С*-алгебры О а (или, обобщая, из глад-
кой подалгебры в С*-алгебре) вместе с ее представлением в ограниченных
операторах на гильбертовом пространстве Н и из оператора Р на W, удо-
влетворяющего основным свойствам классического оператора Дирака D
(квадратный корень из оператора Лапласа) на гладком спинорном много-
образии.
§ 111.3. Теория ^-функций,
локальные множители для оо, Г-множители Серра
и общее описание дзета-функций, как определителей
арифметических Фробениусов: программа Денингера
(См. [719], [310], [311], [520], и §7 гл.4 в [552].)
Важнейшим инвариантом арифметического многообразия является его
L-функция. Она задается через произведение вкладов от конечных и от
архимедовых точек,
П Lp(//m(X), $),	(Ш.3.1)
р6Spec Ок
см. §6.2.7. Необходимость рассматривать вклады и от архимедовых то-
чек видна уже в случае «аффинной прямой» Spec(Z), где возникает дзета-
функция Римана, записываемая через эйлерово произведение следующим
образом:
С(5) = П(1-р-‘)-'.	(Ш.3.2)
р
436 Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание	[Гл. III-0
Для получения же удобного функционального уравнения надо рассмотреть
произведение
C(s)-C(s)r(s/2)K-S/2,	(1П.З.З)
которое включает в себя вклад и от архимедовой точки, выражаемый через
гамма-функцию.
Аналогия с алгебраической геометрией и с гипотезами Вейля (см. п. 6.1.3)
подсказывает, что функциональное уравнение является вариантом «двой-
ственности Пуанкаре», которая имеет место для компактного ориентиро-
ванного многообразия, откуда следует необходимость «компактифициро-
вать», добавляя архимедовы точки (и архимедовы слои арифметических
многообразий).
Когда мы рассматриваем арифметическое многообразие над конечной
точкой р G Spec(O/<), тот факт, что его редукция определена над конечным
полем положительной характеристики, позволяет определить некоторый
специальный оператор, а именно геометрический оператор Фробени-
уса Fr*, действующий на подходящей когомологической теории (на эталь-
ные когомологии) и индуцированный автоморфизмом Фробениуса <рр из
Gal(Fp/Fp).
Локальный L-множитель из формулы (Ш.3.1) для конечной точки со-
держит в себе информацию о действии геометрического оператора Фробе-
ниуса, выраженную следующим образом:
Lv(Hm(X), s) = det (1 - FrJ N(p)-s\Hm(X, .	(III.3.4)
Здесь мы рассматриваем действие геометрического оператора Фробени-
уса Fr* на инвариантах относительно группы инерции Нт(Х,
в этальных когомологиях; более точное определение этих арифметических
структур выходит за рамки наших целей. Постараемся определить вклад
от архимедовых точек в произведение (Ш.3.1), дав краткое эвристическое
объяснение формулы (Ш.3.4).
Для гладкого проективного многообразия X (произвольной размерности),
определенного над Q, будем использовать обозначение X:=X®Spec(Q).
Можно также записать локальный L-множитель (III.3.4) как
Lp(Hm(X), s) = J] (1,	(III.3.5)
XGSpec(FrJ)
где Нт(Х, — (обобщенное) собственное подпространство относи-
тельно оператора Фробениуса, соответствующее собственному значению X.
Важным следствием является то, что локальный Л-множитель в (III.3.5)
определяется данными
Qz/’.Fr;),
(III.3.6)
Ш.31
С-функции, локальные множители для оо, Г-множители Серра
437
состоящими из векторного пространства, имеющего когомологическую ин-
терпретацию, и линейного оператора, действующего на нем.
IH.3.1. Архимедовы L-множители. Поскольку для этальных кого-
мологий имеется изоморфизм сравнения с сингулярными когомологиями
Бетти	. _
Н\Х, Qz) ^/Г(Х(С), Q) 0QZ,	(III.3.7)
это показывает, что для получения информации о «замкнутом слое» над
арифметической бесконечностью можно работать с гладким комплексным
многообразием Х(С), полагая, что вклад от архимедовых точек в /.-функ-
цию может быть выражен в терминах когомологий Hl(X(C), Q) (или в тер-
минах когомологий де Рама с комплексными коэффициентами).
Напомним, что ожидаемый вклад от архимедовых точек определяется
при помощи Г-множителей, построенных по структуре Ходжа (см. [719])
//'”(Х(С))= ф //™(Х(С)).
p+q=m
А именно, рассматривается следующее произведение гамма-функций:
ЦН, s) = <
Пр<^Гс($ - p)hP'q,	если т нечетно,
ПР<9ГС(« - р)лм -rR(S-/n/2r/2+ X
(1П.3.8)
х -Гк($ — т/2 + 1)л™/2' , если т четно,
где Н = Нт(Х(С)), s ёС, hp’q = dime НР'9(Х(С)), a hp<± обозначает раз-
мерность подпространства в НР,Р(Х(С)) с собственным значением ±(-1)р
относительно С-линейной инволюции Foo, задающейся комплексным со-
пряжением на многообразии Х(С). Напомним, что как было определено
в (6.2.4)
Гс(з) = 2(2к)-5Г(з), rR(s) = 7t-s/2r(s/2), где Г(з) = Ve~‘ts^.
X	I
Попытаемся найти общую картину того, что происходит в конечных и бес-
конечных точках. В частности, это должна быть такая подходящая ин-
терпретация локальных множителей (III.3.4) и (III.3.8), при которой обе
формулы будут иметь одинаковый вид.
I1I.3.2. Формулы Денингера. В [307], [309] и [310] Денингер выра-
зил оба локальных множителя (III.3.4) и (III.3.8) как некоторые бесконеч-
номерные определители.
Напомним, что детерминант Рэя—Зингера оператора Г, у которого чи-
стый точечный спектр с конечными кратностями {mx}xeSpec(7), определяется
по формуле
det(s - 7) :=exp|-^Cr(s, z)|2=0},
(Ш.3.9)
438 Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание	[Гл. III-0
где дзета-функция для Т определяется как
Cr(s, z)= £2 m^s-\rz-	(III.3.10)
XESpec(T)
Подходящие условия на сходимость этих выражений в случае локаль-
ных множителей описаны в [543]. Кр. Денингер показал, что соотношение
(III.3.4) может быть переписано в виде
Lv(Hm(X), S)"1 = det(s -©,)	(HI.3.11)
для оператора со спектром
Spec(s-e,) = {i^(^(s-otx)+zi): neZ, XeSpec(Fr;)} , (III.3.12)
где = X, а кратности соответствующих собственных значений равны
некоторым числам d^n = не зависящим от п.
Более того, локальный множитель на бесконечности (III.3.8) также мо-
жет быть переписан в подобном виде:
= detf^-(s - Ф)|ИД	(III.3.L3)
оо \ ZK	/
где Нт является бесконечномерным пространством, а Ф — линейный опе-
ратор со спектром Брес(Ф) = Z и конечными кратностями. Этот опера-
тор имеет смысл «логарифма оператора Фробениуса» для арифметической
бесконечности.
Сравнивая формулы Денингера (Ш.3.12) и (III.3.13), естественно спро-
сить, какова когомологическая интерпретация данных
(Wm, Ф),	(III.3.14)
аналогичная в некотором смысле неархимедовым данным (III.3.6).
§ 111.4. Предположение, что недостающие гео-
метрические объекты — некоммутативные пространства
В этом параграфе мы увидим, как когомологическая интерпретация па-
ры (Wm, Ф) приводит к понятию спектральных троек и некоммутативных
пространств, см. §8.2.
111.4.1. Типы и примеры некоммутативных пространств и как с ни-
ми обращаться. Некоммутативная геометрия и арифметика. Следуя
гл. 1 из [552], напомним некоторые основные понятия некоммутативной
геометрии, построенной Конном, см. [264], [268], которая расширяет сред-
III.4]	Недостающие геометрические объекты — некоммутативные пространства 439
ства обычной геометрии, для того чтобы работать с факторпространствами,
для которых обычное «кольцо функций» (т. е. кольцо функций, инвариант-
ных относительно соответствующего отношения эквивалентности) слиш-
ком мало, чтобы захватить информацию о «внутренней структуре» точек
факторпространства. Часто для таких пространств функциями на факто-
ре оказываются лишь константы, в то время как нетривиальное кольцо
функций, помнящее структуру исходного отношения эквивалентности, мо-
жет быть определено при помощи некоммутативной координатной алгебры,
аналогичной некоммутативным переменным в квантовой механике.
Следуя А. Конну (см. [264], с. 85), приведем простейший пример не-
коммутативного факторпространства, рассмотрев множество Y = {а, Ь} из
двух элементов а и Ь. В этом случае алгебра С(У) комплекснозначных
функций на Y является коммутативной алгеброй С ф С, состоящей из диа-
гональных матриц размера 2x2. Есть два способа задать совпадение то-
чек а и b из Y при отношении эквивалентности а ~ Ь.
1. Первый способ заключается в том, чтобы рассмотреть подалгебру
А С С(У) функций на У, которые принимают одинаковые значения в точ-
ках а и b: f(a) = f(b).
2. Второй метод заключается в рассмотрении большей алгебры ВэС(?),
состоящей из всех 2 х 2-матриц:
ffaa fab\
4ba fbb'
(это функции на графике отношения эквивалентности).
Связь между этими двумя алгебрами выражается через понятие силь-
ной эквивалентности по Морите для С*-алгебр (см. [673]). Это от-
ношение, похожее на эквивалентность по Брауэру (см. п. 4.5.5), сохраняет
многие инварианты С*-алгебр, такие как К-теория и топология простран-
ства неприводимых представлений. Можно интерпретировать
= faa, = fbb
как чистые состояния из В в смысле квантовой механики, которые дают
эквивалентные неприводимые представления алгебры В = М2 (С).
Заметим, что если а и b не эквивалентны, то по второму методу мы по-
лучаем лишь алгебру диагональных матриц, потому что график отношения
эквивалентности состоит лишь из пар (а, а) и (6, Ь).
Приведем другой простой пример (см. [264], с. 87, и [552], §2 гл. 1),
в котором две описанные выше алгебраические операции взятия фактора 1
и 2 приводят к очевидно различным (и даже не сильно эквивалентным по
Морите) алгебрам.
Рассмотрим топологическое пространство У = [0, 1] х {0, 1} с отноше-
нием эквивалентности 1Z: (х, 0) ~ (%, I) для х е (0, I), и пусть X = Y/1Z—
440 Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание	[Гл. III-0
(нехаусдорфово) факторпространство. Таким образом, Y = 1\ U /2 является
дизъюнктным объединением двух копий /1 и /2 отрезка [0, 1], а фактор-
пространство X = Y/1Z получается с помощью склейки двух внутренностей
отрезков /1 и /2, но не их концов.
Следуя первому методу, надо взять непрерывные функции f на У, ин-
вариантные относительно соответствующего отношения эквивалентности,
а именно алгебру А = С([0, 1]), которая гомотопна С, и Kq(A)=Z. По
второму методу надо рассмотреть функции на графике отношения эквива-
лентности и получить алгебру
В = {/ € С([0, 1]) ® М2СС): /(0) и /(1) диагональны},
которая является интересной нетривиальной алгеброй (мы рассматриваем
общий элемент х е М2(С([0, 1]) как непрерывное отображение t»—> x(t) €
еМ2(С)). Заметим, что пространством неприводимых представлений ал-
гебры В является само пространство X = Y/1I и /(-теория В гораздо менее
тривиальна, чем у алгебры А = С([0, I]).
В общем случае «квантовые пространства» определяются как обобще-
ния соответствия Гельфанда—Наймарка
X (локальное компактное хаусдорфово пространство) <=>
<=> Со(Х) (абелева С*-алгебра)
за счет снятия предположения о коммутативности в правой части. Тогда
само соответствие становится определением того, что стоит в левой части:
некоммутативного пространства.
Идея сохранения информации о структуре отношения эквивалентности
при описании факторпространств имеет аналоги с построенной Гротенди-
ком теории стэков в алгебраической геометрии. Такие факторы возникают
из слоений, а также в последнее время стали появляться в теории чисел
и арифметической геометрии начиная с [194], где было построено некомму-
тативное пространство, связанное с теорией полей классов. Это простран-
ство, рассматриваемое как пространство одномерных Q-решеток с точно-
стью до соизмеримости, связывает эффект самопроизвольного нарушения
симметрии в статистической квантовой механике с математикой теории Га-
луа. Подобное пространство использовалось в [269] и [267] для получения
спектральной реализации нулей дзета-функции Римана. Некоторые другие
интересные примеры (см. [274], [275]) интерпретируют дифференциальные
операторы на модулярных формах (скобки Ранкина—Коэна) в терминах
алгебр Хопфа некоммутативных пространств, связанных со слоениями ко-
размерности один. Оказывается, модулярная алгебра Гекке возникает как
«голоморфная часть» алгебры некоторого некоммутативного пространства
(см. [272]).
III.4]
Недостающие геометрические объекты — некоммутативные пространства 441
Отметим существование некоммутативных эллиптических и модуляр-
ных кривых, см. предыдущую ссылку.
Добавим в этот список другие интересные примеры, возникающие из кон-
струкции, приведенной в [542], и описывающие вполне вырожденные слои
над «арифметической бесконечностью» для арифметических многообразий
над числовыми полями, см. [277]. В гл. 8 описывается, как теория Кон-
на показывает связь этой конструкции с подходом Денингера (см. [307]),
предложившего интерпретировать гамма-множители Серра дзета-функций
как бесконечные регуляризованные определители некоторых оо-адических
отображений Фробениуса, действующих на некоторых новых когомологи-
ческих пространствах. Об этих пространствах рассказывается в § 8.2.
Понятие изоморфизма некоммутативных пространств и эквива-
лентность по Морите. В некоммутативной геометрии для получения хо-
рошего понятия изоморфизма некоммутативных пространств обычные изо-
морфизмы С*-алгебр оказываются слишком узкими, в то время как пра-
вильное определение изоморфизма некоммутативных пространств соответ-
ствует эквивалентности С*-алгебр по Морите (см. [546], § 1.3).
Определение 111-0.1 (категория Мориты). Пусть А, В—два ассо-
циативных кольца. Морфизмом по Морите А В является по опреде-
лению класс изоморфных бимодулей дМд, которые проективны и конечно
порождены по отдельности как модули над А и В.
Композиция морфизмов задается через тензорное произведение дМв ®в
®в М'с, или, более коротко, дМ®яЛ4'с.
Если мы сопоставим бимодулю дМд функтор
Мос1д —> MocIb : Na »-> N	Мв,
то композиция таких функторов будет также задаваться описанным выше
тензорным произведением, а изоморфизмы функторов будут равносильны
изоморфизмам соответствующих бимодулей.
Будем представлять объект А из (двойственной) категории Мориты как
некоммутативное пространство, правые Л-модули будут соответствовать
пучкам на этом пространстве, а тензорное произведение на дМв— функ-
тору обратного образа. Хотя мы решили работать с правыми модулями,
переход к двойственным кольцам позволяет заменять во всех наших утвер-
ждениях правые модули на левые.
Два бимодуля дМв и в^д с выбранным изоморфизмами
дМ ®в Na аАа и bN	Mb —> в^в
определяют взаимно обратные изоморфизмы по Морите (эквивалентно-
сти) между А и В. Основной пример такого изоморфизма возникает при
В = Mat (/г, Л), М = аАпв и N = вАпд.
442
Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание
[Гл. Ш-0
Приведем кратко основные факты из теории Мориты.
А. Характеризация функторов S: Mod^ —»Mods вида Na*-*
N ®дМв- Это в точности функторы, удовлетворяющие двум эквива-
лентным условиям:
а)	функтор S точен справа и сохраняет прямые суммы;
б)	функтор S обладает правым сопряженным функтором Т:
Mode —>Mod/4 (который естественно изоморфен Homfi(Af6, *)).
Будем называть такие функторы непрерывными.
В. Характеризация таких непрерывных функторов S, что функ-
тор Т также непрерывен и ST = 1. Пусть S задается бимодулем дЛ4д,
а Т — бимодулем 5У4. Тогда дЛ4 Na = дАд. Более того, в этом случае
в)	модули Мв и bN проективны;
г)	модули дМ и Na являются категорными образующими.
В частности, эквивалентности Mod/i -* Mods автоматически являются
непрерывными. Следовательно, любая пара взаимно обратных эквивалент-
ностей должна быть задана как пара бипроективных биобразующих, как
описано выше.
С. Конечная порожденность и сбалансированность. Каждый пра-
вый модуль Мв может быть рассмотрен как бимодуль дЛ4в, где А = В' :=
:= EndB(Mfi). Аналогично можно построить кольцо В" = А' := End/i^M).
Модуль Мв называется сбалансированным, если В" = В. Такое же опре-
деление можно дать и для левого модуля. В этих обозначениях выполня-
ется следующее утверждение:
д)	модуль Мв является категорной образующей тогда и толь-
ко тогда, когда в'М — сбалансированный и конечно порожденный
проективный модуль.
Свойства а)—д) могут служить мотивировкой для приведенного выше
определения категории Мориты.
Средства некоммутативной геометрии. Далее следует список неко-
торых технических средств, используемых для вычисления различных ин-
вариантов и для извлечения важной информации из геометрии:
—	топологические инварианты: К-теория;
—	циклические когомологии и когомологии Хохшильда;
—	гомотопические факторы, собирающее отображение (Баум—Конн);
—	метрические структуры: оператор Дирака, спектральные тройки;
—	характеристические классы, дзета-функции.
В части III напоминаются некоторые из этих понятий, начиная с опе-
ратора Дирака и спектральных троек.
111.4.2. Общие сведения о спектральных тройках. Напомним ос-
новы построенной Конном теории спектральных троек. За более полным
изложением мы отсылаем читателя к [265], [264], [273].
III.4]
Недостающие геометрические объекты — некоммутативные пространства 443
Определение 111-0.2. Спектральная тройка (Л, W, D) состоит из ин-
волютивной алгебры А вместе с представлением
р:Л->Б(И)
в ограниченных операторах на гильбертовом пространстве Н и операто-
ром D (называемым оператором Дирака) на Н, который удовлетворяет
следующим свойствам:
а)	оператор D самосопряженный;
б)	для каждого X R резольвента (£) - X)”1 является компактным опе-
ратором на W;
в)	для каждого а € Л коммутатор [£), а] —ограниченный оператор на Н.
Замечание Ш-0.3. Свойство б) из определения III. 1.1 обобщает эл-
липтичность стандартного оператора Дирака на компактном многообра-
зии. Обычно инволютивная алгебра А, удовлетворяющая свойству в), мо-
жет быть выбрана как плотная подалгебра в С*-алгебре. Это происхо-
дит, например, если рассматривать гладкие функции на многообразии как
подалгебру коммутативной С*-алгебры непрерывных функций. В класси-
ческом случае риманова многообразия свойство в) равносильно условию
Липшица, и, следовательно, выполняется для большего класса, чем класс
гладких функций.
Более подробно спектральные тройки обсуждаются в §8.3.
Ш.4.3. Содержание части Ш: описание основных этапов данной
программы. Мы объединили в этой части несколько новых различных
тем, связанных с геометрией Аракелова и некоммутативной геометрией.
Во всех них используется много алгебраических средств, например груп-
пы когомологий и некоммутативные кольца.
Глава 8 начинается с описания в §8.1 униформизации Шоттки и гео-
метрии Аракелова, основанного на геометрических конструкциях из [542].
В п. 8.1.2, следуя [601], мы рассказываем об аналитической конструкции
вырождения кривых над полными локальными полями. Потом в п. 8.1.5
приводится один результат из [542] о связи функции Грина из геомет-
рии Аракелова, определенной на римановой поверхности Х(С), с унифор-
мизацией Шоттки и геодезическими на трехмерном гиперболическом теле
с ручками Хг.
В этой главе мы объясняем, следуя [277], как при помощи теории
Конна выразить связь между этими конструкциями и подходом Денин-
гера (см. [307]), который предложил интерпретировать гамма-множители
Серра для дзета-функций как бесконечные регуляризованные определи-
тели некоторых оо-адических отображений Фробениуса, действующих на
два типа когомологических пространств. Пространства архимедовых ко-
гомологий описываются в §8.2, а пространства динамических когомо-
логий— в §8.3.
444 Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание	[Гл. III-0
В §8.2 дается описание когомологической теории для архимедовых
слоев на поверхности Аракелова. Данные результаты основаны на общей
теории, имеющей место для любого арифметического многообразия, по-
строенной в [276] (мы следуем интересному обсуждению архимедовых ко-
гомологий в [280] и в [552], гл. 4). Эта конструкция позволяет дать более
тонкое описание архимедовых когомологий Н*Г, введенных Денингером
в [307].
Основываясь на этой конструкции и следуя [277], в п. 8.2.2 мы даем
описание когомологических спектральных данных (Д, W, Ф), где алгебра А
возникает из действия SL(2, R) на некоторых группах когомологий.
В теореме 8.3 показано, как восстановить альтернированное произве-
дение в архимедовых множителях из дзета-функции спектральной тройки.
В §8.3 приводится другая конструкция, связанная со взятым из [542] опи-
санием двойственного графа слоя над бесконечностью. Здесь при-
водится геометрическая модель для двойственного графа, основанная на
торе отображения некоторой динамической системы Т на канторовском
множестве.
Также рассматривается одно некоммутативное пространство, описываю-
щее действие группы Шоттки на ее предельном множестве и параметризу-
ющее «компоненты замкнутого слоя над бесконечностью». Это простран-
ство представлено алгеброй Кунца—Кригера Од, описанной в п.8.3.5.
Далее для этого некоммутативного пространства строится спектраль-
ная тройка, описанная в терминах представления на коцепях «динамиче-
ских когомологий», определяемых в терминах связки ограниченных геоде-
зических внутри тела с ручками. В обеих конструкциях, представленных
в гл. 8, оператор Дирака совпадает с градуированным оператором Ф, кото-
рый является «логарифмом оператора типа Фробениуса» на архимедовых
когомологиях. На самом деле архимедовы когомологии вкладываются в ди-
намические когомологии совместимым образом с действием вещественного
Фробениуса так что локальный множитель может быть вновь восста-
новлен из этих данных. Кроме того, в §8.4 «редукция по модулю беско-
нечности» выражается в терминах гомотопического фактора, связанного
с некоммутативным пространством Од и ^-отображением Баума—Конна,
см. [157].
Рекомендуемая дополнительная литература к части III. Работы
А. Конна о формуле следа в некоммутативной геометрии и нулях дзета-
функции Римана, [267], [269], работа Ж.-Б. Боста [191] об алгебраических
листах алгебраических слоений над числовыми полями и работы [194],
[272], [273], [274], [162], проливающие новый свет на связь между фи-
зикой и теорией чисел через некоммутативную геометрию (см. также за-
мечательные статьи П. Картье [216], [217], [218] на связанные с этим
темы).
III.4] Недостающие геометрические объекты — некоммутативные пространства 445
Приведем еще одну ссылку на архив по теории чисел и физике, нахо-
дящийся на сайте http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/physics.htm,
на котором можно найти очень полезный материал и библиографию о свя-
зи между квантовой механикой, статистической механикой, р-адической
и адельной физикой, формулой следа Сельберга, теорией струн и кванто-
вой космологией, теорией рассеяния, динамической и спектральной дзета-
функцией, формулами следа и явными формулами, специфическими дзета-
функциями, логикой, языками, некоммутативной геометрией, случайными
матрицами, анализом Фурье, фрактальной геометрией, числами Бернулли,
рядами Фарея, ^-простыми числами Берлинга, золотым сечением, дзета-
функциями и ^-функциями.
ГЛАВА 8
ГЕОМЕТРИЯ АРАКЕЛОВА
И НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(ПО К.КОНЗАНИ И М. МАРКОЛЛИ, |277|)
§8.1. Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
8.1.1. Мотивировки и контекст работы Конзани—Марколли. Ос-
новной мотивировкой в этой главе является желание обогатить до некото-
рой степени формальную картину геометрии Аракелова на арифметической
бесконечности (см. [125], [502], [368], [71] и п. 5.2.6). Мы попытаемся опи-
сать геометрические и алгебраические объекты, которые играют роль соот-
ветственно «оо-адического пополнения» полного арифметического много-
образия Аракелова, его «замкнутого слоя над бесконечностью» и «редук-
ции по модулю оо» в духе работы Мамфорда [601]. Наше изложение будет
следовать статье [542], а также более поздним работам [277], [278],[279],
[276], которые многое прояснили о слоях над арифметической бесконеч-
ностью.
В дальнейшем объясняется, как можно использовать построенную Кон-
ном теорию спектральных троек (см. [265], [267], [264] и §8.3), для того
чтобы связать гиперболическую геометрию с арифметическими когомоло-
гиями Денингера.
Напомним начало словаря, переводящего классические понятия на язык
операторов в гильбертовом пространстве W:
комплексная переменная — оператор в Н
вещественная переменная — самосопряженный оператор (8.1.1)
бесконечно малая — компактный оператор
С арифметической точки зрения алгебраические числа могут быть по-
лучены в коммутативной геометрии как значения алгебраических функций,
в то время как в некоммутативной геометрии они получаются как значения
следов проекторов или, обобщая, как значения подходящих наблюдаемых
на состояниях. В обоих случаях действие группы Галуа удается контроли-
ровать, если оно коммутирует с некоторыми «геометрическими» эндомор-
физмами, или соответствиями, которые определены над основным полем.
Некоторые интересные примеры некоммутативных пространств возни-
кают из геометрических конструкций в [542].
§8.1]	Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова	447
Выбор используемых в этом параграфе структур связан с идеей Мам-
форда (см. [601] и п. 8.1.2), заключающейся в том, что р-адические кри-
вые с максимально вырожденной редукцией допускают (по существу един-
ственную) р-адическую униформизацию Шоттки. Эту геометрическую
картину можно использовать и для архимедового случая.
В работе [542] было построено «заполнение» X римановой поверх-
ности X, являющееся подходящим трехмерным многообразием, снабжен-
ным метрикой постоянной отрицательной кривизны, для которого X служит
границей и которое может быть определено при помощи униформизации
Шоттки, описанной в п. 8.1.3.
В [542] было также доказано, что функция Грина на X может быть
выражена в терминах геометрии геодезических на X.
Это наводит на одну интересную аналогию, в которой множество всех
замкнутых геодезических на X и множество геодезических с одним концом
на X играют соответственно роль «оо-адического пополнения» поверхно-
сти схемы X и его «замкнутого слоя над бесконечностью» в духе работы
Мамфорда [601]. Понятие «редукции по модулю оо» также может быть
интерпретировано в этих терминах.
Предварительные понятия и обозначения. В этом параграфе че-
рез К будет обозначаться одно из следующих полей: а) поле комплексных
чисел С, б) конечное расширение поля Q₽. В случае б) будем обозна-
чать через Ок кольцо целых элементов в поле К, через пг с Ок —его
максимальный идеал, а через к € пг — униформизуюшую (таким образом,
пг = (тс)). Будем также обозначать через k поле вычетов (9/пг.
Пусть Н' (или просто Н3 = И') — трехмерное вещественное гипер-
болическое пространство, т. е. фактор
Н' = SU(2)\PGL(2, С).
Оно может быть также описано как верхнее полупространство И' ~ С х R+,
снабженное гиперболической метрикой. Группа PSL(2, С) действует изо-
метриями на И'. Комплексная проективная прямая Р’(С) отождествля-
ется с конформной границей на бесконечности многообразия И', а дей-
ствие PSL(2, С) на И' поднимается до действия на И' := И' UP1 (С), при-
чем группа PSL(2, С) действует на Р!(С) дробно-линейными преобразо-
ваниями.
8.1.2. Аналитическая конструкция вырождающихся кривых над
полными локальными полями и геометрия Аракелова (по Мамфор-
ду, см. [6011). Идея изучения р-адических аналогов классической уни-
формизации кривых и абелевых многообразий принадлежит Джону Тэйту
(см. [793]), который показал, что если К является полным неархимедовым
локальным полем, а Е — эллиптическая кривая над К, j-инвариант ко-
448
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
торой не цел, то Е допускает аналитическую униформизацию. Отметим,
что данная униформизация не является тем голоморфным отображением
тс:	♦ Е,
которое могло бы обобщать универсальное накрытие
тс: С —> Е (= замкнутые точки эллиптической кривой над С),
а вместо этого представляет из себя голоморфное отображение
к2: А^\{0}—
обобщающее бесконечное циклическое накрытие тег, определенное над по-
лем С:
14 (г) =
где —один из двух периодов эллиптической кривой Е. Здесь понятие
голоморфности отображения используется в смысле теории неархимедо-
вых функций Грауэрта и Реммерта, см. [382]. Униформизацию К2 можно
представить в явном виде, если рассмотреть вложение Е в и предста-
вить три однородные координаты точки тс2(г) как три сходящихся всюду
ряда Лорана.
Чтобы объяснить, что происходит с кривыми большего рода, рассмот-
рим несколько более подробно интересные аналогии, возникающие между
вещественными, комплексными и р-адическими структурами на PGL(2)
(следуя Брюа, Титсу и Серру, см. [721]).
А.	Вещественный случай: PSL(2, R) действует изометрично и тран-
зитивно на верхнюю полуплоскость Н, а граница отождествляется с RP1
(вещественная прямая и оо), см. рис. 8.1.
В.	Комплексный случай: PGL(2, С) действует изометрично и транзи-
тивно на верхнее полупространство И', а граница отождествляется с СР1,
§8.Ц
Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
449
Рис. 8.2
см. рис. 8.2. Действие PGL(2, С) на И' задается формулой
, v / (cz 4- d)(az 4- 6) 4- асх2 _____х______\
\ \cz 4- d|2 4- |с|2х2 \cz 4- d|2 4- |с|2х2/
С.	Неархимедов случай: PGL(2, К) действует изометрично и транзи-
тивно на дереве Брюа—Титса А (вершины которого соответствуют под-
группам gPGL(2,	ребра имеют длину 1 и соответствуют подгруп-
пам вида gBg~\ где В состоит из элементов вида
f (a b\ I .	, 1
1 \ d) Г’	G “ € Ок, с € m, ad £ пг >
по модулю (9£), а концы этого дерева отождествляются с АТ1 (см. [724]
и [601], с. 131), см. рис. 8.3.
[случай card(fc) = 3]
Рис. 8.3
450	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
Для каждой вершины v в дереве Д имеется изоморфизм множества
ребер, содержащих v, с &Р1, определенный однозначно с точностью до
действия PGL(2, k) (где k = Ок/пг).
Если рассмотреть в первом случае дискретную подгруппу без элемен-
тов конечного порядка TcPSL(2, R), для которой факторпространство
PSL(2, К)/Г компактно, то возникает униформизация Кёбе
И —Н/Г = Х
произвольной компактной римановой поверхности X рода g 2.
Если во втором случае Г с PGL(2, С) — дискретная подгруппа, дей-
ствующая разрывно хотя бы в одной точке на СР1 (клейнова группа), ко-
торая, кроме того, является свободной с п порождающими и не содержит
ни одного унипотентного элемента, то в соответствии с теоремой Маскита
(см. [601]) Г является так называемой группой Шоттки, т. е. если обо-
значить через Qr область разрывности действия Г на Р!(С), то область
Qr связна и с точностью до гомеоморфизма мы получаем униформизацию
(И' U Qr) —(Н' U Qr)/r = {заполненный тор с п ручками}
гомео
и _ и	и
Пг —Пг/Г — {граница, поверхность рода п}
гомео
Факторпространство
X/c = Qr/r	(8.1.2)
является римановой поверхностью рода g = п, а накрытие Qr —> Х/с назы-
вается униформизацией Шоттки поверхности Х/с. Каждая комплексная
риманова поверхность Х/с допускает униформизацию Шоттки.
Униформизация Шоттки тс имеет и р-адический аналог.
Для третьего случая пусть Г с PGL(2, К) — произвольная дискретная
подгруппа, состоящая целиком из гиперболических элементов. Тогда в со-
ответствии с одним результатом Ихары группа Г свободна. Пусть она по-
рождена п элементами, и пусть Qr — множество замкнутых точек на Р^,
в которых Г действует разрывно (или, что равносильно, Qr — множество
точек, которые не являются пределами неподвижных точек для элементов
из Г).
Тогда, как было доказано в [601], существуют кривая С рода п и го-
ломорфный изоморфизм
л: Qr/Г^С.
Более того, Д/Г имеет очень красивую интерпретацию как граф, описыва-
ющий специализацию кривой С над кольцом Ок. А именно, выполняются
следующие утверждения:
§8.11
Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
451
1.	Существует такой наименьший подграф
(Д/Г)о С Д/Г,
ЧТО
тт 1 (Д/Г)о —> тс 1 (Д/Г) и (Д/Г)о конечен.
Рис. 8.4
2.	У кривой С имеется каноническая специализация С над , где С —
особая кривая арифметического рода п, образованная копиями с конеч-
ным числом пар ^-рациональных точек, образующих после их склеивания
простые двойные точки. Такая кривая С называется k-распадающейся
вырожденной кривой рода п.
3.	Множество С(К), состоящее из К-рациональных точек кривой С,
естественно изоморфно множеству концов графа Д/Г; множество С(&),
состоящее из ^-рациональных точек кривой С, естественно изоморфно
множеству ребер графа Д/Г, которые содержат вершины из (Д/Г)о (при
этом компоненты кривой С соответствуют ребрам графа Д/Г, содержащим
определенную вершину из (Д/Г)о, а двойные точки кривой С — ребрам
графа (Д/Г)о); наконец, отображение специализации
С(К) —»C(k)
452
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
совпадает при сделанных отождествлениях с отображением
{концы графа (Д/Г)} —> {ребра графа Д/Г, содержащие (Д/Г)о}>
которое сопоставляет каждому концу графа Д/Г последнее ребро в самом
коротком пути от этого конца к подграфу (Д/Г)о.
Пример 8.1. На приведенном ниже рис. 8.5 изображен случай, когда
род равен 2 и кривая С имеет две компоненты, каждая из которых содержит
одну двойную точку и которые пересекают друг друга один раз. Поскольку
все кривые С, построенные описанным выше образом, обладают свойством
2, они относятся к вырожденным кривым. Основная теорема из [601]
утверждает, что каждая кривая С, вырождающаяся таким образом, имеет
единственную аналитическую параметризацию вида тс: Qr/Г —> С.
Рис. 8.5
8.1.3.	Группы Шоттки и новые перспективы в геометрии Аракело-
ва. В [277] было дано общее описание архимедовых и вполне распадаю-
щихся вырожденных слоев на арифметической поверхности, использующее
операторные алгебры и теорию Конна спектральных троек в некомму-
тативной геометрии, см. [264]. Некоторые из более поздних результатов
о некоммутативной интерпретации вполне распадающихся вырожденных
слоев на арифметической поверхности приведены в [279].
Пусть X — арифметическая поверхность, определенная над Spec(Z)
(или над Spec(<9/<) для некоторого числового поля К), общий слой которой
X/q является гладкой алгебраической кривой. Тогда Х/с как риманова по-
верхность всегда допускает униформизацию при помощи группы Шоттки
Г. Подобно р-адической униформизации Мамфорда алгебраических кри-
вых (см. [601]), риманова поверхность Х/с может быть интерпретирована
как граница некоторого трехмерного многообразия Хг, определяемого как
фактор вещественного гиперболического трехмерного пространства Н' по
действию группы Шоттки Г. Во внутренности пространства Хг нахо-
дится бесконечная связка ограниченных геодезических.
§8.1]
Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
453
В [542] аракеловская функция Грина на Х/с была выражена в тер-
минах расположения геодезических в Хг, при этом связка геодезических
интерпретировалась как двойственный граф Q «замкнутого слоя над бес-
конечностью» поверхности X.
Униформизация Шоттки и группы Шоттки. Топологически ком-
пактная риманова поверхность X рода g получается из склейки сторон
4£-угольника. Соответственно фундаментальная группа имеет вид
К1(Х) = (а\, ag, bi, bg |b,] = 1),
i
где образующие и bi обозначают стороны многоугольника.
Для случая g = 1 параллелограмм является фундаментальной обла-
стью действия Ki(X) = Z2 на плоскость С, а X = C/(Z + Zt) является эл-
липтической кривой.
Для рода g 2 можно замостить гиперболическую плоскость И пра-
вильными 4 g-угольниками, а действие фундаментальной группы на это
разбиение реализуется при помощи изометричного действия подгруппы
Ki(X) = G с PSL(2, К) на И. Это наделяет компактную риманову поверх-
ность X гиперболической метрикой и фуксовой униформизацией
X = G\H.
Другим, менее известным способом униформизации компактной римановой
поверхности является униформизация Шоттки.
Напомним кратко некоторые общие факты о группах Шоттки.
Группой Шоттки ранга g 1 является чисто локсодромичная дис-
кретная подгруппа Г С PSL(2, С), изоморфная свободной группе ранга g.
Группа PSL(2, С) действует на Р!(С) при помощи дробно-линейных пре-
образований
Таким образом, Г также действует на Р!(С).
Обозначим через Лг предельное множество действия группы Г.
Можно увидеть, что Лг содержится в Р1 (С) и является наименьшим непу-
стым Г-инвариантным замкнутым подмножеством. Это множество также
можно описать как замыкание множества притягивающих и отталкива-
ющих неподвижных точек z±(g) локсодромичных элементов g е Г. Для
случая g = 1 предельное множество состоит из двух точек, но при g 2
оно обычно является фракталом некоторой хаусдорфовой размерно-
сти 0 8 = сНгп/ДЛг) < 2 (см. рис. 8.6, взятый из [604] и http://klein.
math. okstate. edu/IndrasPearls/gallery/GeneralSchottky. gif С любезного
соглашения Дэвида Дж. Райта и Cambridge UP).
454
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
Рис. 8.6. Предельное множество группы Шоттки
Напомним, что понятие хаусдорфовой размерности определено для до-
вольно широкого класса подмножеств А с и совпадает для кривых
и поверхностей с обычной размерностью. Для фрактальных множеств ха-
усдорфова размерность (см. [130] !)) может не быть целым числом. Обо-
значим через Qr = Qr(C) область разрывности для действия группы Г,
т. е. дополнение к Лг в Р1 (С).
Факторпространство Хг := Н'/Г топологически изоморфно телу с g
ручками, а фактор
Хс = Qr/Г
является римановой поверхностью рода g. Накрытие Qr —> Хс назы-
вается униформизацией Шоттки поверхности Хс. Для каждой рима-
новой комплексной поверхности Хс существует униформизация Шоттки.
Тело с ручками Хг может быть компактифицировано за счет добавления
на бесконечности конформной границы Хс так, чтобы при этом получалось
пространство Хг := Хг U Хс = (И' U Qr)/r.
Пусть {у,}^! —множество порождающих группы Шоттки Г. Будем ис-
пользовать обозначения := у”1 при / = 1, ..., g. Существуют 2g та-
кие жордановы кривые Ck на сфере Р1 (С) с попарно непересекающимися
^Семейство /? = {fiz}z6N подмножеств Bt С называется е-покрытием множества А,
если AcU^i и V/ diam(£i)^e. Определим сначала	J2(diarnfiz)5, где ин-
фимум берется по всем е-покрытиям. Тогда хаусдорфову размерность можно определить как
dim//(А) = sup{6: lime_>o = +оо}. Можно проверить, что размерность регулярной кривой
равна 1 и что размерность регулярной поверхности равна 2. В качестве примера дробной раз-
мерности можно рассмотреть 3-адическое множество Кантора, состоящее из вещественных
чисел вида - £ где € {0, 2}, хаусдорфова размерность которого равна log2/log3.
и—i ™
§8.1)
Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
455
Рис. 8.7. Униформизация Шоттки
внутренностями D&, что соответствующие элементам дробно-л инейные
преобразования переводят внутренность кривой Ck во внешность кривой
Cj при \i — / | = g. Кривые Ck задают маркировку группы Шоттки. Для
классических групп Шоттки эта маркировка является окружностями. Фун-
даментальная область для действия классической группы Шоттки Г на
Р*(С) является внешностью ко всем 2^-окружностям (см. рис. 8.7, взятый
из лекций [552]).
Фуксова униформизация и униформизация Шоттки. Отметим, что,
в отличие от фуксовой униформизации, для которой накрытие Н является,
в частности, универсальным накрытием, в случае униформизации Шоттки
поверхность Qr далеко не односвязна, являясь дополнением к канторов-
скому множеству.
Соотношение между фуксовой униформизацией и униформизацией
Шоттки задается при помощи перехода к накрытию, соответствующему
нормальной подгруппе W(а 1, ..., ag) в tci(X), порожденной половиной об-
разующих {fli, ..., ag}:
Поверхность с границей: одновременная униформизация. Для то-
го, чтобы лучше увидеть униформизацию Шоттки, можно связать ее с од-
новременной униформизацией через верхнюю и нижнюю полуплоскости,
которая приводит к римановым поверхностям с краем, склеенным по нему.
Группа Шоттки, задаваемая вещественными параметрами, т. е. лежащая
в PSL(2, R), называется фуксовой группой Шоттки (см. рис. 8.8, взя-
тый из лекций [552], рис.З). Фуксова группа Шоттки G, рассматриваемая
как группа изометрий гиперболической плоскости И, или, что равносильно,
диска Пуанкаре, определяет фактор G\H, который устроен топологически
как риманова поверхность с краем.
Квазиокружностью для Г называется жорданова кривая С в Р!(С),
инвариантная относительно действия группы Г. В частности, такая кри-
456
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
Рис. 8.8. Классическая и фуксова группа Шоттки
вая содержит предельное множество Лг. Существование квазиокружности
для произвольной римановой поверхности Х(С) рода g 2 установлено
Боуэном, см. [196], [552].
Пусть Р!(С)\С = QiUQ2- Тогда для накрывающего отображения
тег: Qr —> Я(С) образ
С = тсг(С П Qr) С Х(С)
является множеством кривых на Х(С), которые разрезают риманову по-
верхность на две поверхности с краем, униформизованные соответственно
при помощи Qi и Q2.
Определены конформные отображения
а,: Qz Ut, Ux U U2 = P1 (СДР1 (К)	(8.1.3)
где Ui =Н=верхняя и нижняя полуплоскости в Р*(С), а
Gi = {а/га/“1 |у€Г}, =Г
являются фуксовыми группами Шоттки Gi С PSL(2, R). Здесь Г обозна-
чает Г-стабилизатор каждой из двух связных компонент в Р1(С)\С.
Таким образом, компактная риманова поверхность получается как
Х(С)=Х! и х2,
дХ}=С=дХ2
где Xi = Ui/Gi — риманова поверхность с краем С (см. рис. 8.9, взятый из
лекций [552], рис.4).
В том случае, когда Х(С) имеет вещественную структуру i: X—>Х
и множество неподвижных точек Fix(i) = Х(К) этой инволюции непусто,
мы получаем, что на самом деле С =X(R), а квазиокружность — это про-
сто РЦК).
8.1.4.	Гиперболические тела с ручками. Действие группы Шоттки
Г С PSL(2, С) ранга g на Р!(С) с помощью дробно-линейных преобразо-
ваний расширяется до изометричного действия на И3. Для классической
группы Шоттки фундаментальная область в И3 задается внешностью к 2g
§8.1|
Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
457
Рис. 8.9. Фуксовы группы Шоттки: римановы поверхности с краем
полусферам над окружностями Ck СР!(С) (см. рис. 8.10, взятый из лек-
ций [552], рис. 5).
Фактор
Хг = Н3/Г	(8.1.4)
топологически является телом с g ручками, заполняющим риманову по-
верхность Х(С) (см. рис. 8.11, взятый из лекций [552], рис. 6).
Рис. 8.10. Случай рода два: фундаментальная область в И3
458
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
Рис. 8.11. Тело с двумя ручками: фундаментальные области в И3
С метрической точки зрения Хг является вещественным гиперболи-
ческим трехмерным многообразием бесконечного объема, для которого
Х(С) — конформная граница на бесконечности: Х(С) = ЗХг.
Обозначим через Хг компактификацию, получаемую за счет добавле-
ния конформной границы на бесконечности:
Хг = (Н3 U Пг)/Г.	(8.1.5)
Для случая нулевого рода в качестве конформной границы на беско-
нечности для И3 мы получаем просто сферу Р^С), которую следует рас-
сматривать как единичный диск для модели Пуанкаре.
Для случая рода один получается заполненный тор Н3/^2, где q € С*
действует как q(z, у) = (qz, \q\y) на модели верхнего полупространства
с конформной границей на бесконечности, являющейся униформизован-
ной по Якоби эллиптической кривой C*/^z.
В этом случае предельное множество состоит из точек {0, оо}, обла-
стью разрывности является С*, а фундаментальной областью — кольцо
{|^| < |z| < 1} (внешность к двум окружностям).
Связь между униформизацией Шоттки и обычной евклидовой унифор-
мизацией комплексного тора X = C/(Z + tZ) задается при помощи отоб-
ражения q = ехр{2тс/т}.
Для случая g 2 предельное множество Аг является канторовским
множеством с интересной динамикой действия группы Г. Как раз эта ди-
§8.1]	Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова	459
намика действия группы Шоттки на ее предельном множестве и определяет
интересное некоммутативное пространство.
Геодезические на Хг. Гиперболическое тело с ручками Хг имеет бес-
конечный объем, но оно содержит область конечного объема, являющуюся
деформационным ретрактом для Хг- Она называется «выпуклой сердце-
виной» для Хг и может быть получена из рассмотрения геодезической
оболочки предельного множества Лг в И3, а потом факторизации относи-
тельно действия Г.
Будем отождествлять различные классы бесконечных геодезических
на Хг-
Замкнутые геодезические: поскольку группа Г чисто локсодромична,
для каждого у € Г существуют две неподвижные точки {^±} е Р!(С). Гео-
дезические в И3 UP1 (С) с концами в двух таких точках {^±} для данного
у € Г соответствуют замкнутым геодезическим на факторе Хг.
Ограниченные геодезические: для геодезических из И3 UP1 (С), оба
конца которых принадлежат предельному множеству Аг, их образы в Хг
являются геодезическими, заключенными внутри выпуклой сердцевины
для Хг.
Неограниченные геодезические: это геодезические в Хг, которые
в конце концов выбираются из выпуклой сердцевины навстречу к конформ-
ной границе на бесконечности Х(С). Они соответствуют геодезическим на
И3 UP1 (С), хотя бы один конец которых лежит на Qr-
Для случая рода один имеется единственная примитивная замкнутая
геодезическая, а именно образ в факторе геодезической в И3, соединя-
ющей 0 и оо. Ограниченные геодезические соответствуют геодезическим
в Н3, исходящим из 0 или оо.
Наиболее интересный случай возникает при g 2, когда ограниченные
геодезические образуют сложную связку внутри Хг- Топологически она
является обобщенным соленоидом, а именно локально это произведение
прямой на канторовское множество.
8.1.5.	Геометрия Аракелова и гиперболическая геометрия. В этом
пункте описывается один результат из [542] о связи аракеловской функции
Грина на римановой поверхности Х(С) с униформизацией Шоттки и геоде-
зическими на трехмерном гиперболическом теле с ручками Хг.
Аракеловская функция Грина. Если на гладкой компактной римано-
вой поверхности Х(С) задать дивизор
Л = ^тх(к)
X
с носителем в |Л| и выбрать положительную вещественно-аналитическую
2-форму d\i на Х(С), то функция Грина = gA будет вещественно-
460	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
аналитической функцией на Х(С)\|Л|, однозначно определяемой следую-
щими условиями.
Уравнение Лапласа', на gA выполняется равенство
00gа = Tu(degC4)d^ - 8д),
где обозначает 8-поток <р »-> ^2 тху(х).
Особенности: если z — локальная координата в окрестности точки х,
то функция gA — тх log |z| локально вещественно-аналитична.
Нормировка: gA удовлетворяет равенству
gAd\i = 0.
X
Если В = ^пу(У) —Другой дивизор, причем |Л| П |В| = 0, то выраже-
ние £И(Л, В) ^nyg^A(y) симметрично и билинейно по Л и В. В общем
у
случае такие выражения g^ зависят от выбора р, который равносилен вы-
бору вещественно-аналитической римановой метрики на Х(С), совмести-
мой с комплексной структурой.
Однако для специального случая дивизоров степени нуль, т. е. когда
deg Л = deg В = 0, числа £И(Л, В) = g(A, В) конформно инварианты.
Для римановой сферы Р!(С) и такой мероморфной функции wa на ней,
что div(^) = Л, имеем равенство
§(Л, В) = log П |we(!0|n* = Re $	(8.1.6)
где ув —произвольная 1-цепь с границей В.
Формула (8.1.6) может быть обобщена для дивизоров степени нуль Л
и В на римановой поверхности большего рода, если заменить логариф-
мический дифференциал йшд/(шд) на дифференциал третьего рода (ме-
роморфный дифференциал с ненулевыми вычетами) сод с чисто мнимыми
периодами и вычетами, равными пгх в точках х. Это дает формулу
£(Л, B) = Re$GM.	(8.1.7)
Yfl
Таким образом, можно явно выразить g(A, В) через базис в дифференци-
алах третьего рода с чисто мнимыми периодами.
Двойное отношение и геодезические. Основным шагом при выра-
жении аракеловской функции Грина через геодезические на гиперболиче-
ском теле с ручками Хг является одно очень простое классическое утвер-
ждение из гиперболической геометрии, а именно тот факт, что двойное
отношение четырех точек на Р!(С) может быть выражено через геодези-
§8.1]
Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова
461
Рис. 8.12. Двойное отношение и длины геодезических
ческие во внутренности И':
log|(а, Ь, с, d)\ = -ordist(a * {с, d}, b * {с, d}).	(8.1.8)
Здесь ordist обозначает ориентированное расстояние, а запись а * {с, d}
соответствует точке пересечения геодезической {с, d} в И' с концами в точ-
ках с, d € Р!(С) и единственной геодезической, выходящей из а и пересе-
кающей {с, d} под прямым углом (см. рис. 8.12, взятый из лекций [552],
рис. 8).
Дифференциалы и униформизация Шоттки. Следующий важный
шаг заключается в явном построении базиса в дифференциалах третьего ро-
да с чисто мнимыми периодами на римановой поверхности X(C)=T\Qr при
помощи униформизации Шоттки. Данная конструкция использует усред-
нение по группе Г выражений, состоящих из двойных отношений
(о, Ь, с, d) :=;а ~ У ~м-	(8.1.9)
х	' (а - d)(c - b)	v 7
Обозначим через С(у) множество представителей для Г/(у2), а через
S(y) — класс сопряженности элемента у в Г.
Пусть wa — такая мероморфная функция на Р1 (С) с дивизором А =
= (а) — (ft), что носитель |Д| лежит в дополнении к открытой окрестности,
содержащей Лг.
После выбора точки го € Qr ряд
»(a)-(b) = 52 log (a, b, yz, yz0}	(8.1.10)
rer
является поднятием на Qr дифференциала третьего рода на римановой
поверхности Х(С) с выбранной униформизацией Шоттки. Такие диффе-
ренциалы имеют вычеты ±1 в образах точек а и b в Х(С), и у них нулевые
462	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
периоды относительно а*, где {а^, bk}k=\g обозначают образующие груп-
пы гомологий поверхности Х(С).
Аналогично поднятия дифференциалов первого рода на Х(С) получа-
ются из рассмотрения рядов
(Оу = d log(/zz+(Y), hz~(y), z, Zo),	(8.1.11)
леС(у)
где {z+(y), z”(y)} обозначает пару, состоящую из притягивающей
и отталкивающей неподвижных точек относительно элемента y С Г.
Ряды (8.1.10) и (8.1.11) абсолютно сходятся на компактном множестве
К С Qr, когда dim# Аг < 1. Более того, они не зависят от выбора непо-
движной точки zo € Qr-
В частности, если задать образующие {Y*}f=i группы Шоттки Г, то из
рядов (8.1.11) получится базис в голоморфных дифференциалах, которые
удовлетворяют условиям
§<oY/ = 2лУ-1\/.	(8.1.12)
а*
Теперь можно, используя линейную комбинацию голоморфных дифферен-
циалов <oYa, подправить мероморфные дифференциалы У(а)-(Ь) таким об-
разом, чтобы новые мероморфные дифференциалы имели чисто мнимые
периоды относительно bk. Пусть Х/(а, Ь) — такие коэффициенты, что диф-
ференциалы третьего рода
•= У(а)—(Ь) -	(8.1.13)
/
имеют чисто мнимые периоды. Тогда коэффициенты Л/(а, Ь) удовлетворя-
ют системе уравнений
^Xz(a, 6)oY/=Re$v(a)_((>)= 52 log\(a, b, z+(h), z~(h))\. (8.1.14)
/	bk	heS(gk)
Итак, получается, что аракеловская функция Грина на поверхности Х(С)
с выбранной униформизацией Шоттки может быть вычислена по формуле
g((a) - (b), (с) - (d)) = 5>g|(a, b, he, hd)\ -
her
ё
52 \og\{z+(h),z~(h),c,d}\. (8.1.15)
/=i	heS(gl)
Заметим, что, по-видимому, этот результат указывает на то, что выбор
униформизации Шоттки следует рассматривать как дополнительные дан-
ные для геометрии Аракелова на арифметической бесконечности. Впрочем,
§8.2|
Когомологические конструкции
463
как уже было замечено, по крайней мере для вещественных архимедовых
точек униформизация Шоттки определяется вещественной структурой.
Функция Грина и геодезические. Функцию Грина можно явно вычис-
лить через геодезические, используя формулу (8.1.8) вместе с полученным
выражением (8.1.15):
- (b), (с) - (d)) = ordist(g * {he, hd}, b * {he, hd}) +
her
ё
+ ^Xi(a,b) °rdist(z+(/i) * {c, d}, z~(h), *{c, d}). (8.1.16)
/=i	hes(gl)
Коэффициенты X/(a, b) также могут быть выражены через геодезические
при помощи уравнения (8.1.14).
§ 8.2. Когомологические конструкции,
архимедов оператор Фробениуса
и регуляризованные определители
8.2.1. Архимедовы когомологии. Рассматривая приведенные выше
формулы Денингера (III.3.12) и (III.3.13), естественно спросить, какова же
когомологическая интерпретация данных (Wm, Ф) (см. формулу (III.3.14)).
В работе [276] К. Конзани дала общий ответ на этот вопрос для случая
произвольных арифметических многообразий любой размерности, пред-
ложив когомологическую интерпретацию для пары (Нт, Ф), возникшей
в проведенных Денингером вычислениях архимедовых L-множителей через
регуляризованный определитель.
Ее конструкция была мотивирована аналогией между геометрией на
арифметической бесконечности и классической геометрией вырождений
над диском. Она ввела двойной комплекс дифференциальных форм с эн-
доморфизмом N, представляющим собой «логарифм монодромии» вокруг
специального слоя над арифметической бесконечностью, который строит-
ся по образцу комплекса близких циклов в геометрическом случае (более
точно, по его резольвенте). Определение комплекса близких циклов и его
резольвенты, на которой основывается дальнейшая конструкция, довольно
технично. Более наглядно можно представить себе связанный с ним ком-
плекс исчезающих циклов геометрического вырождения (см. рис. 8.13,
взятый из лекций [552], рис. 15).
Опишем конструкцию из [276] (см. также [280]). Когомологическая
теория, стоящая за данными (III.3.14), строится в несколько шагов.
Пусть X = Х(С) — комплексное кэлерово многообразие.
Рис. 8.13. Исчезающие циклы
Шаг 1. Рассмотрим сначала бесконечный биградуированный комплекс
С = Q(X)®C[U,	й-1],	(8.2.1)
где Q’(X) обозначает комплекс де Рама дифференциальных форм на X, a U
и Й — формальные переменные, причем переменная U имеет степень два,
а переменная Й имеет степень нуль.
Введем на этом комплексе дифференциалы
d'c := Hd, d'^ :=	- д),	(8.2.2)
и полный дифференциал 8с = d'c + d^.
Имеется также скалярное произведение
(а ® Ur ® Пк, р ® Us ® й') := (a, p)8r.s8*.,,	(8.2.3)
где (а, Р) — обычное произведение Ходжа дифференциальных форм
(а, р) = $аЛ*С(р),	(8.2.4)
х
С(р) = (/йу-ф для р 6 М-ЦХ).
Шаг 2. Будем использовать фильтрацию Хожда
Fpttm(X):= ф Q^(X),	(8.2.5)
p'+q=m,
Р'^Р
§8.2]
Когомологические конструкции
465
для того чтобы определить векторные подпространства в комплексе (8.2.1)
вида
em,2r= ф Fm+r-kam(X) ® иг ® nk (8.2.6)
p+q=m
£^max{0,2r+m}
и Z-градуированное векторное пространство
С = ф em’2r.	(8.2.7)
•=2r+m
Шаг 3. Перейдем к вещественным векторным пространствам, рассмат-
ривая
Т = (£)c=id,	(8.2.8)
где с обозначает комплексное сопряжение.
В терминах пересечений фильтраций Ходжа
Г’=ГАГ,	(8.2.9)
и выполняется равенство
Т= ф Г"’2',	(8.2.10)
•=2r+m
ГДе	п
Tm,2r= ф rm+r~kQm(X) ® иг ® пк.	(8.2.11)
p+q=m
/г^тах{0,2г+т}
Заметим, что Z-градуированное комплексное векторное пространство С'
является подкомплексом в С' относительно дифференциала dfc. Используя
ортогональный проектор Р1- на С относительно произведения (8.2.5), по-
лучаем второй дифференциал du=P^dfQ. Аналогично df = dfc и d" = P^d'c
определяют дифференциалы на Z-градуированном вещественном вектор-
ном пространстве Т через соответствующие пересечения индексов ком-
плекса С’. Используя подмножества
А/м = {(г, k) 6 Z2 | k > х(р, q, г)},	(8.2.12)
где
х(р, q, г) := max < 0, 2г + т, ——<?l + 2r + m I (8.2.13)
(см. рис. 8.14, взятый из лекций [552], рис. 16), можно определить веще-
ственное векторное пространство Т через образующие:
Г = 1&(а®иг	(8.2.14)
где (г, k) е Xp.q, ot = £ + £ a U fi^(X).
466
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
Рис. 8.14. Пересечения, определяющие комплекс на архимедовой бесконечности
Операторы. На комплексе (Т, 8) есть интересные структуры, задава-
емые действиями некоторых линейных операторов.
Имеются операторы N и Ф, соответствующие «логарифму монодромии»
и «логарифму Фробениуса». Они имеют вид
N = Uh, $ =	(8.2.15)
удовлетворяют соотношениям [Af, d'] = [N, d"]=0 и [Ф, й'] = [Ф, d"]=0
и поэтому определяют действия на когомологиях.
Более того, существует еще один важный оператор, соответствующий
оператору Лефшеца на дифференциальных формах,
L:	®Пк,	(8.2.16)
где со — кэлерова форма на многообразии X. Этот оператор удовлетворяет
равенству [L, d'] = [L, d"] = 0 и также спускается на когомологии.
Пары операторов (N и (Ь,Ф) удовлетворяют интересным коммута-
ционным соотношениям
[Ф, /V] = -N,	[Ф, L] = L,
которые можно рассматривать как задающие действие кольца дифферен-
циальных операторов
С[Р, Q]/{PQ-QP = QY
Представления SL(2, R). Другой важной составляющей в структуре
комплекса (Т, 8) являются две инволюции
S:	а ® Ur ® h2r+m+l а ®	® П2г+т+1,	(8.2.17)
5:	а ® Ur ® hk^ С(*а) ® Ur-(n~m> ® tik.	(8.2.18)
§8.2]
Когомологические конструкции
467
Эти отображения вместе с нильпотентными операторами W и L опреде-
ляют два представления сЛ и oR группы SL(2, К), задаваемые явно на
образующих	v(s) = (o s-')’ seK* «(0 = (J J), leR	(8.2.19) /0 -1\ W (1 о)
по формулам	aL(v(s)) = s~n+m,	aR(y(s)) = s2r+'", <?(«(/)) = exp{/L},	</(«(/)) = exp{M/},	(8.2.20) ^(w) = (V^\)nCS, gr(w) = CS.
Из этих двух представлений следует, что oL поднимается до действия
ограниченными операторами в гильбертовом пополнении пространства Т
относительно произведения (8.2.4), в то время как действие подгруппы
v(s), s еК*, в SL(2, К), индуцированное представлением oR, продолжа-
ется на гильбертово пространство до действия неограниченными плотно
определенными операторами.
8.2.2.	Локальный множитель и архимедовы когомологии. К. Кон-
зани показала в работе [276], что данные (Wm, Ф) из формулы (III.3.14)
можно отождествить с парой (Н(Т, 8)^=0, Ф), где Н(Т, 8) — гиперкого-
мологии (когомологии относительно полного дифференциала 8) комплекса
Т, а Н(Т, 8)^=0 — ядро отображения, индуцированного оператором N на
когомологиях. Оператор Ф — это действие на когомологии одноименного
оператора из формул (8.2.15). К. Конзани назвала Нт = Н(Т, 8)/v=0 архи-
медовыми когомологиями. В работе [276] было также показано, что эти
группы когомологий могут быть получены как куски когомологий конуса
монодромии N. Это комплекс
Сопе(Л0’=ТфТ[+1]
(8.2.21)
с дифференциалом D = (	). Комплекс (8.2.21) наследует положи-
тельно определенное произведение с Т, которое спускается на когомо-
логии. Представление oL группы SL(2, R) на Т определяет представ-
ление на Cone(M)'. Соответствующее инфинитезимальное представление
doL: g —> End(T) алгебры Ли g = 51(2, R) поднимается до представления
универсальной обертывающей алгебры t/(g) на Т и на конусе Cone(M)'.
468	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
Так получается представление в алгебре ограниченных операторов на гиль-
бертовом пополнении конуса Сопе(А)’ относительно произведения.
Теорема 8.2. Для тройки
(Л, И, Р) = (t/(g), ИГ(Сопе(Л0'), Ф)
выполняется свойство = а (1 +Р2)-1/2 — компактный опера-
тор. Коммутатор [Р, а] является ограниченным оператором для
всех а е t/(g), и данная тройка 1+-суммируема.
Таким образом, (Л, W, Р) обладает основными свойствами спектраль-
ной тройки, подтверждая тот факт, что логарифм Фробениуса Ф следует
рассматривать, как оператор Дирака. Тем не менее, здесь не возникает
инволютивной подалгебры С*-алгебры.
В любом случае, этой структуры достаточно для рассмотрения дзета-
функции такой «спектральной тройки». В частности, мы можем восстано-
вить альтернированное произведение локальных Л-множителей на беско-
нечности из дзета-функции спектральной тройки.
Теорема 8.3. Рассмотрим дзета-функцию
Са,Ф(5) = Тг(а|Ф|"5),
где а = oL (ш). Тогда
2п
tetAs)=T[UHm(X), s/-1»1"
00,0/, (^),Ф
m—Q
8.2.3.	Когомологические конструкции. В оставшейся части этого
параграфа мы дадим, следуя [277], некоторые объяснения когомологи-
ческой теории архимедовых слоев на поверхности Аракелова. Тем не ме-
нее, нет необходимости ограничиваться случаем dimX = 1, поскольку в
[276] была построена общая теория для произвольных арифметических
многообразий (см. также интересное обсуждение архимедовых когомоло-
гий в [552], гл. 4). Эта конструкция позволяет дать другое определение
и уточнить понятие архимедовых когомологий Н*Г, введенных Денинге-
ром в работе [307].
Пространства когомологий //(X*) являются бесконечномерными ве-
щественными пространствами, снабженными действием оператора моно-
дромии N и эндоморфизма Ф. Группы когомологий /Г(Х*) на самом деле
совпадают с группами Н(Т, 5)|(/=(2ш)-' из предыдущего пункта. Группы Я*г
можно отождествить с подпространствами УУ-инвариантов (т. е. Кег(ЛО), на
которые Ф (после ограничения) действует следующим образом. Оператор
монодромии определяет целочисленную четную градуировку на
§8.2]
Когомологические конструкции
469
где каждая компонента градуировки все еще бесконечномерна. Будем на-
зывать эту градуировку весовой. Она индуцирует соответствующую гра-
дуировку на подпространстве
H(X*)N=0:=^gr^H(X*).
•^Р
Слагаемые gr^pH^X*) являются конечномерными вещественными про-
странствами, на которые Ф действует умножением на вес р.
Для неособой проективной кривой Х/х, определенной над х = С или R,
можно дать простое описание для gr%pH'(X*) (-^2р): по предложе-
нию 2.23 из [277] //(Х*)ЛГ = О изоморфны бесконечной прямой сумме
копий некоторого конечномерного пространства, скрученных по Ходжу-
Тэйту. При х = С эти пространства совпадают с когомологиями де Рама
HqR(X/q, R) римановой поверхности Х/с.
Мотивировки для определения этих комплексов возникают из класси-
ческой теории смешанных структур Ходжа алгебраических вырождений
над диском (и ее арифметического двойника, теории весов операторов
Фробениуса). Обозначения /Л(Х*), /Л(Х*), используемые в этом
пункте, чисто формальные. А именно, X*, X* и У являются лишь симво-
лами, причиной их выбора служит аналогия с конструкцией Стинбринка
в [775], в которой X*, X* и У обозначают соответственно геометрический
общий слой, дополнение к специальному слою и сам специальный слой
некоторой модели. Пространство // (X*) является группой гиперкогомоло-
гий двойного комплекса К ' вещественных скрученных дифференциальных
форм, на которых можно определить дополнительную структуру поляри-
зованного модуля Лефшеца.
Построение всей этой теории мотивируется надеждой, что слои ариф-
метического многообразия над арифметической бесконечностью должны
быть рассматриваемы так, как будто в них происходит полустабильная
и даже более того, «максимально вырожденная или вполне распадающа-
яся» редукция, см. обсуждение этого вопроса в п. III.2.3. Было бы есте-
ственно думать, что конструкция комплекса К' для римановой поверхно-
сти Х/х, структура и поведение которых дают арифметическую информа-
цию, связанную с «таинственными» слоями над бесконечностью на ариф-
метической поверхности, согласована с интуицией Аракелова, согласно
которой эрмитовой геометрии на Х/х должно быть достаточно для вос-
становления геометрии пересечений в слоях над бесконечностью.
8.2.4.	Дзета-функция специального слоя и кручение Райдемай-
стера. В этом пункте, следуя §3.5 из [277], мы поясним, что для слу-
чая dimX = 1 выражение из теоремы 8.3 можно проинтерпретировать как
кручение Райдемайстера, и расскажем как это связано с дзета-функци-
ей слоя над арифметической бесконечностью.
470	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
Дадим сначала определение дзета-функции специального слоя полу-
стабильного семейства, на котором основано аналогичное понятие для
арифметической бесконечности.
Пусть X — регулярная, собственная и плоская схема над Spec(A), где
Л—дискретно нормированное кольцо с полем частных К и с конечным по-
лем вычетов k. Предположим, что у X геометрически приведенные, связ-
ные и одномерные слои. Обозначим через т) и v соответственно общую
и замкнутую точку на Spec(A), а через fj и v — соответствующие геомет-
рические точки. Предположим, что специальный слой Xv семейства X яв-
ляется связным эффективным дивизором Картье с простыми нормальными
пересечениями, определенными над k = k(v). Такое вырождение иногда на-
зывается полустабилъным семейством над Spec(A).
Пусть Nv обозначает число элементов в k. Определим дзета-функцию
специального слоя Xv следующим образом (и — переменная):
Zx^u) = P^P^Ty Л(м) = ае1(1-Гм|Я%,адЧ (8.2.22)
где /* — геометрический оператор Фробениуса, т. е. отображение, индуци-
рованное морфизмом Фробениуса f: Х&-+Ху на когомологических инва-
риантах относительно инерции в v.
Многочлены Pi(u) тесно связаны с характеристическими многочленами
Фробениуса Fi(u) = det(u • 1 - /* | Hl(X^ Q^)/tr) по формуле
Р'(и) = ub‘Fi(u~l), bi = deg(Fi).	(8.2.23)
Дзета-функция Zxv(u) обобщает для полустабильного слоя описание
дзета-функции Хассе—Вейля, определенной для гладкой проективной
кривой над конечным полем.
Основываясь на этой конструкции, дадим следующее определение для
случая слоя арифметической поверхности над архимедовой точкой:
<8-2-24>
где
Pq(u) := det hr- ,	(8.2.25)
а = Ф|№)Л,=0.
Для того чтобы увидеть, как это связано с результатом теоремы 8.3, на-
помним вкратце одно простое наблюдение, принадлежащее Милнору (см.
[580] §3). Предположим, что задан конечный симплициальный комплекс L
вместе с отображением Т: L —> L, и выберем поле коэффициентов х. Тогда
§8.2]
Когомологические конструкции
471
кручение Райдемайстера тг($) задается через альтернированное произве-
дение характеристических многочленов Fq(s) для х-линейных отображений
Т„ . Hq(L, х)—> Hq(L, х):
xr(s) ~F0(s)/?i(s)-1F2(s) ... FJs)*1.	(8.2.26)
Кроме того, пусть £r(s)—дзета-функция Вейля отображения Т:
tr(s) = P0(Sr'Pi(s)P2(s)-' .../>„($)*',
где многочлены Pq(s) отображения Г* связаны с характеристическими
многочленами Fq(s) по формуле (8.2.23), a bq — q-e числа Бетти комплек-
са Л.
Тогда выполняется очевидное соотношение между дзета-функцией и
кручением Райдемайстера:
Cr(s-|)Tr(s)=SxW>	(8.2.27)
где /(Л) — эйлерова характеристика комплекса L.
Аналогично можно вывести соотношения между дзета-функцией слоя
над бесконечностью, определенного равенством (8.2.24), и альтернирован-
ным произведением гамма-множителей:
________Lc(Hl(X/C, С), *)____= Fp(s) • F2(s)	2 28.
MW/с. С), s) • Z.c(W/c. С), s) Fi(s) ’	' ' ’ ’
где
ад :="(£-£)	<8-2-29'
$q=$\Hq(X^N=o. По этой причине можно рассматривать выражение (8.2.28)
как кручение Райдемайстера слоя над арифметической бесконечностью:
Тф(«) :=	(8-2.30)
Итак, соотношение между дзета-функцией и кручением Райдемайстера
задается следующим образом.
Предложение 8.4. Дзета-функция 2ф из формулы (8.2.24) и кру-
чение Райдемайстера тф из формулы (8.2.30) связаны уравнением
2ф(з_|)тф(«) = sg-2exslogs,
где g — род римановой поверхности Х/с, а х = 2 — 2g — ее эйлерова
характеристика.
472
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
Действительно, это следует из простого непосредственного вычисления
регуляризованных определителей. А именно, проведем следующие вычис-
ления (для случая q = 0, 1):
P4«)=tet(^-«|0=exp|-/>9^((2Ti)z^(l+tm) г)|г=0
°°	I

где bq —числа Бетти поверхности Х/с. Случай q = 2 аналогичен, но из-за
присутствия собственного значения -hl в спектре Фг возникает выражение
Р2(и) = ехр|-62^((2л)2ы 2C(l/u, z) - Q - 1)	=
/1	_3/2 12К“
= Гс( - — 1) и А'1е и .
Итак, мы получаем, что
Z$(s-i) = Lc(H°(X/c, С), s) • LC(H2(X/C, С), s)„g_2,Yylogs
LC(H'(X/C, С), s)
§ 8.3.	Спектральные тройки, динамика и дзета-функции
Как мы уже видели, в теории Аракелова пополнение арифметической
поверхности получается за счет расширения группы дивизоров формаль-
ными линейными комбинациями «замкнутых слоев над бесконечностью».
В [542] дается следующее описание этих слоев: двойственный граф лю-
бого такого замкнутого слоя имеет вид бесконечной связки ограниченных
геодезических на гиперболическом теле с ручками, снабженном унифор-
мизацией Шоттки.
Содержание этого параграфа основано на разделах 4—6 из [277] и
на [279]. Мы приводим некоторую новую конструкцию когомологических
спектральных данных (А, И, Ф), связанную с описанием из [542] двой-
ственного графа слоя над бесконечностью. Мы будем использовать гео-
метрическую модель двойственного графа, в которой он рассматривается
как тор отображения некоторой динамической системы Т на канторов-
ское множество. Также мы будем рассматривать некоммутативное про-
странство, описывающее действие группы Шоттки на ее предельное мно-
жество и параметризующее «компоненты замкнутого слоя на бесконеч-
ности». Оно соответствует алгебре Кунца—Кригера Од. С этим неком-
мутативным пространством связана спектральная тройка, получаемая из
§ 8.3|	Спектральные тройки, динамика и дзета-функции	473
представления на коцепях комплекса «динамических когомологий», опре-
деляемых в терминах сцепления ограниченных геодезических в теле с руч-
ками. Так же как и для архимедовых когомологий из предыдущего пара-
графа (§8.2), оператор Дирака совпадает с градуированным оператором
Ф, который представляет собой «логарифм оператора типа Фробениуса»
на архимедовых когомологиях. Действительно, архимедовы когомологии
вкладываются в динамические когомологии, причем вложение совместимо
с действием вещественного оператора Фробениуса Foo, так что локальный
множитель может быть вновь восстановлен по этим данным. Изоморфизм
двойственности на когомологиях конуса N соответствует спариванию ди-
намических гомологий и когомологий. Это подсказывает существование
двойственности между монодромией N и динамическим отображением 1 — 7.
Понятие спектральной тройки в некоммутативной геометрии представ-
ляет собой правильное обобщение классической структуры риманова мно-
гообразия. Оба понятия совпадают для коммутативных пространств. В
контексте обычной римановой геометрии определение бесконечно малого
Элемента ds на гладком спинорном многообразии может быть выражено
в терминах обратного оператора к классическому оператору Дирака D. Это
ключевое замечание служит причиной для построения теории спектраль-
ных троек. В частности, геодезическое расстояние между двумя точками на
спинорном многообразии может быть найдено при помощи оператора О-1
(см. [264], § VI). Спектральной тройкой, описывающей классическое рима-
ново спинорное многообразие, является набор (Д, Н, D), где А — алгебра
комплекснозначных гладких функций на многообразии, Н — гильбертово
пространство интегрируемых в квадрате спинорных сечений, a D — клас-
сический оператор Дирака (квадратный корень из лапласиана). Эти данные
полностью и однозначно определяют риманову геометрию на многообра-
зии. Оказывается, будучи сформулированным в таком виде, понятие спек-
тральной тройки распространяется на более общие некоммутативные про-
странства, для которых данные (Д, Н, D) состоят из С*-алгебры А (или,
обобщая, из гладкой подалгебры С*-алгебры) вместе с представлением
в ограниченных операторах на гильбертовом пространстве Н и операто-
ра D на Н, который удовлетворяет основным свойствам оператора Дирака.
Понятие гладкости определяется по D: гладкие элементы из А по опре-
делению принадлежат пересечению областей определения степеней произ-
водной, задаваемой коммутатором с |D| (где |D| = \/D • D*). Несмотря на
то что основной геометрической структурой, описываемой теорией спек-
тральных троек, является риманова геометрия, в более тонких случаях,
например в кэлеровой геометрии, дополнительная структура может быть
легко выражена через дополнительные симметрии.
Во всех конструкциях этой главы оператор Дирака D получается из
градуирующего оператора, связанного с фильтрацией на коцепях ком-
474	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
плекса, вычисляющего динамические когомологии. Ограничение этого опе-
ратора на подпространство, отождествляемое с архимедовыми когомоло-
гиями, совпадает с «логарифмом Фробениуса» из [276] и [307].
Эта структура еще более обогащает геометрическую интерпретацию ар-
химедовых когомологий, придавая ей смысл спиноров на некоммутативном
пространстве, при котором логарифм Фробениуса, введенный в [307], иг-
рает роль оператора Дирака.
Преимущество данной конструкции заключается в существовании со-
вершенно аналогичных формулировок для случая кривых Мамфорда. Это
позволяет дать единое описание архимедовых и вполне распадающихся
вырожденных слоев на арифметической поверхности.
Пусть X — арифметическая поверхность, определенная над Spec(Z)
(или над 5рес((9к), ДЛЯ числового поля К), общий слой которой X/q —
гладкая алгебраическая кривая.
Пусть р — конечная точка, над которой X имеет вполне распадаю-
щуюся вырожденную редукцию. Тогда пополнение X р в точке р общего
слоя поверхности X является распадающейся вырожденной стабильной
кривой над (называемой также кривой Мамфорда), униформизованной
действием р-адической группы Шоттки Г. Двойственный граф редукции
кривой X р совпадает с конечным графом, получаемым как фактор дерева
Дг по действию группы Г.
Кривая X р изоморфна голоморфным образом фактору подмножества
концов дерева Брюа—Титса Д для по действию Г. Таким образом,
при данном подходе дерево Брюа—Титса для р заменяет гиперболическое
пространство И' для «бесконечности», а аналогом связки ограниченных
геодезических в Хг являются пути в Дг/Г, бесконечные в обе стороны.
По аналогии с архимедовой конструкцией в параграфе 8.3.8 описы-
вается динамическая система (УУ(Дг/Г), 7), где Т обозначает обратимое
отображение сдвига на множестве УУ(Дг/Г) бесконечных в обе сторо-
ны путей на графе Дг/Г. Первая группа когомологий //1(1^(Дг/Г)т’, Z)
тора отображения УУ(Дг/Г)г, определяемого по Г, наследует естествен-
ную фильтрацию, при помощи которой определяются динамические кого-
мологии. Имеется также алгебра графа Кунца—Кригера С* (Дг/Г), и,
как и в случае арифметической бесконечности, удается построить спек-
тральную тройку. Оператор Дирака связан с градуирующим операто-
ром Ф, который позволяет вычислить локальный множитель через регуля-
ризованный определитель, как и в [311], [310]. В [278] был рассмотрен
возможный способ расширения этой конструкции на случай точек, над
которыми нет распадающейся вырожденной редукции. Эта работа бы-
ла стимулирована конструкцией т. н. пространства пены («foam space»)
в [66] и [279]. Отметим, однако, что, в отличие от локального множителя
над бесконечностью, множитель над неархимедовыми точками использу-
§ 8.3]	Спектральные тройки, динамика и дзета-функции	475
ет полный спектр, D, а не только его положительную или отрицательную
части. Кажется, что эта разница должна соответствовать присутствию сто-
ящего за этим некоторого геометрического пространства, возникающего из
геометрии петель и проявляющего себя, как петли в неархимедовом слу-
чае и как «полупетли» (голоморфные диски) для арифметической беско-
нечности.
Еще одно важное различие между архимедовым и неархимедовым слу-
чаями таково. Над архимедовой бесконечностью локальный множитель
описывается в терминах дзета-функции оператора Дирака D (см. [277],
[307]). С другой стороны, для получения правильной нормировки, как
в [310], над неархимедовой точкой необходимо рассматривать поворот опе-
ратора Дирака на мнимую единицу: D^iD. Этот поворот соответствует
так называемому повороту Вика, который перемещает полюсы (нули ло-
кального множителя) на вещественной прямой в полюсы на мнимой прямой
и является проявлением перехода от сигнатуры Минковского к евклидо-
вой сигнатуре it t. Еще в [543], с. 135, было замечено: возможно, что
^движение в мнимом времени» отвечает за то, что нули функции
Г($)-1 чисто вещественны, в то время как нули всех неархимедовых
эйлеровых множителей чисто мнимые. Поэтому ожидается, что бо-
лее тонкая конструкция должна была бы использовать некоторый вариант
спектральной тройки для сигнатуры Минковского 2).
8.3.1.	Динамическая теория на бесконечности. Опишем некото-
рые средства из теории динамических систем, используемые для построе-
ния когомологических пространств в стиле Денингера над арифметической
бесконечностью. В параграфе 8.4 мы объясним, как эти пространства мо-
гут быть использованы для описания Г-множителей для арифметической
поверхности как некоторых дзета-регуляризованных определителей и «ре-
дукции по модулю оо» при помощи некоммутативной геометрии (теории
спектральных троек).
Поскольку униформизующая группа Г является свободной группой, су-
ществует простой способ описания ограниченных геодезических на теле
с ручками Хг (определяемом формулой (8.1.4)). Множество таких гео-
дезических можно отождествить с Лг хгАг за счет указания концов в
И3 U Р1 (С) по модулю действия Г.
Если выбрать систему порождающих {у, }?=1 группы Г, то будет опре-
делена биекция между элементами из Г и множеством допустимых путей
в графе Кэли группы Г, а именно множеством приведенных слов из букв
{у/}2£1, где используется обозначение y/+g :=у”! при i = 1, ..., g.
2)Б. Мазур, см. [563]. «Архимедовы и неархимедовы явления все еще остаются, по сути де-
ла, запутанным образом различными. Возможно, в следующем веке появится более глубокое
понимание связи между ними...»
476	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
В дальнейшем будут рассматриваться множества 5+ и 5, состоящие
соответственно из бесконечных вправо и бесконечных в обе стороны до-
пустимых последовательностей в {у,}^:
5+={аоа)...а<...	a,+i /a~lVi еN},	(8.3.1)
S = {...а-т...а_1аоа\ ...ае... |а; е a/+i / ar'Vi е Z). (8.3.2)
Условие допустимости означает лишь то, что позволяются только «привег
денные» слова из образующих, т. е. без возможных сокращений.
На пространстве S можно ввести топологию, порожденную подмноже-
ствами вида Ws(x, £) = {у G S\xk = yk, £} и Wu(x, £) = {у G S\x^ = yk,
k £}, где x G 5, a £ G Z.
Ha 5 действует двусторонний оператор сдвига Т по формуле
Г(... а_т ... а_\ ао #1 •••	•••) =
= (••• 0-m+i •••	^2 •••	•••) (8.3.3)
Перейдем теперь от этой дискретной динамической системы (5, 7) к по-
токовой надстройке над ней, получая тор отображения.
Следующее топологическое пространство определяется через про-
странство Смейла (5, Т) и будет рассматриваться как геометрическая
реализация «двойственного графа», связанного со слоем над арифметиче-
ской бесконечностью на арифметической поверхности X.
Определение 8.5. Тор отображения (потоковая надстройка) ди-
намической системы (5, Т) определяется как
ST :=5 х [0, 1 ]/(х, 0) - (7х, 1).	(8.3.4)
Топологически это пространство является соленоидом, т. е. расслоени-
ем над S1 со слоем, равным канторовскому множеству.
8.3.2.	Гомотопический фактор. Пространство St является очень ес-
тественным пространством, связанным с некоммутативным простран-
ством
Лг xrAr^S/Z,	(8.3.5)
где Лг — предельное множество действия группы Г, а действие Z опре-
деляется в (8.3.5) через обратимый сдвиг Т из формулы (8.3.3). Это про-
странство задается при помощи С*-алгебры
А = С(5) xi г Z,	(8.3.6)
описывающей действие сдвига Т на вполне несвязном пространстве S.
Имеется также и гомотопический фактор (см. [157] [262])
St = S x^R.	(8.3.7)
§8.3]
Спектральные тройки, динамика и дзета-функции
477
С точностью до гомотопии это коммутативное пространство является
геометрической моделью для некоммутативного пространства (8.3.5),
где некоммутативное пространство (8.3.5) отождествляется, как и в п. 8.4.1,
с факторпространством слоения (8.3.7), общий слой которого стяги-
ваем (и равен К).
Для изучения таких пространств используются методы /(-теории.
Отметим, что С*-алгебра C(S) является коммутативной AF-алгеброй
(приближенно конечномерной 3)), а именно, прямым пределом конечномер-
ных коммутативных С*-алгебр, порожденных характеристическими функ-
циями «цилиндров», т. е. подмножеств в 5, состоящих из последователь-
ностей, у которых фиксирован некоторый конечный участок.
Существует точная последовательность Пимзнера—Войкулеску
(см. [638]), имеющая в нашем случае вид
Кх (А)-----K0(C(S))8-^ K0(C(S))
>.	|	(8.3.8)
Кх (C(S)) ---Кх (C(S)) -----К0(А)
где А = С (5) xi т Z. В нашем случае пространство вполне несвязно, и по-
этому K$(C(S)) = С(5, Z) (локально постоянные целочисленные функции),
поскольку это прямой предел Ко-групп конечномерных коммутативных
С*-алгебр, и по той же причине K\(C(S)) = 0. Таким образом, точная по-
следовательность приобретает вид
0->^(C(5) xrZ)-C(<S,Z)8=^r-C(5,Z),
Ko(C(S) *т Z) -+ 0,
где Ко(С(5) X7Z) = C(5, Z)r. Вследствие того что сдвиг Т топологи-
чески транзитивен, т. е. обладает плотной орбитой, выполняется также
равенство К\ (C(S) Х1Г Z) = С(5, Z)r = Z.
На языке динамических систем это соответственно инварианты и ко-
инварианты обратимого сдвига Т (см. [197], [629]).
Эту точную последовательность можно описать более геометрически
в терминах гомотопического фактора при помощи изоморфизма Тома
и р-отображения
р: /r+l(<Sr)^tf*+l(<Sr, Z)->X.(C(S) xrZ). (8.3.10)
Так получаются равенства
K1(4)^//°(5r) = Z, Л0(Л)^Я'(5г).
^Обозначение AF происходит от английского термина approximately finite dimensional.
478
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
Группу когомологий Н[(St) можно отождествить с группой когомологий
Чеха, соответствующей гомотопическим классам отображений [5г, t/(l)]:
имеется изоморфизм	.
C(<S, Z)y =// («Sy, Z),
задаваемый явно отображением
f »-> [ехр{2ш7/(%)}],	(8.3.12)
где f е С(5, Z), а [•] обозначает гомотопический класс.
8.3.3.	Фильтрация. Рассмотрим теперь группу когомологий Hl(Sr, Z)
и вспомним следующее явное комбинаторное описание когомологий тора
отображения /У1 (5г, Z).
Можно отождествить И1 (St, Z) с ^-группой С*-алгебры, являющей-
ся полупрямым произведением для действия Т на 5,
H[(ST, Z)^Kq(C(S) xrZ).	(8.3.13)
Теорема 8.6. Группа когомологий Hx(St, Z) удовлетворяет сле-
дующим свойствам. Отождествление (8.3.13) снабжает H[(St,Z)
фильтрацией свободными абелевыми группами Fq^ F\ ... ^ Fn^
..., где rankFo = 2g и rankFn = 2g(2g — \)n~[(2g - 2) + 1 при n 1,
так что
Hx(St, Z) = limF„.
n
Действительно, из шестичленной точной последовательности Пимзне-
ра—Войкулеску следует, что группа Kq(C(S) хг Z) равна коядру отобра-
жения 1 — Г, действующего по формуле — на Z-модуле С(5, Z) =
—Kq(C(S)):
C(S, Z)t = C(5, Z)/B(S, Z) P/8P,	(8.3.14)
где P C C(5, Z) — множество функций, зависящих лишь от «будущих ко-
ординат», а 8 — оператор, определяемый по формуле 8(/) = f - f о Т.
Последнюю группу можно отождествить с функциями на предельном
множестве Лг, поскольку каждая точка на Лг описывается бесконечной
допустимой последовательностью из образующих у/ и обратных к ним.
Таким образом, Р совпадает с множеством
С(5+, Z) = С(ЛГ, Z),
рассматриваемым как подмодуль в Z-модуле С(5, Z), состоящем из функ-
ций, зависящих лишь от будущих координат. Поэтому Р обладает фильтра-
оо
цией V = |J Рп, где Рп порождено характеристическими функциями под-
л=0
множеств вида 5+(ш), состоящих из последовательностей, начинающихся
со слова ш, имеющего длину не более чем п 4- 1. Учитывая соотношения
между ними, получаем, что Рп — свободная абелева группа, порожденная
§ 8.3]	Спектральные тройки, динамика и дзета-функции	479
характеристическими функциями подмножеств где w имеет дли-
ну в точности п + 1. Количество таких слов равно 2g(2g - 1)", и поэтому
гапкРл = 2g(2g - 1)л. Отображение 8 определяет морфизм 8: Рп -*
с одномерным ядром, задаваемым постоянными функциями.
Получаемые в итоге факторы
Fn~ Pnft>Pn—\
свободны от кручения (см. теорему 19 в §4 из [629]) и имеют ранги
гапкЛп = 2g(2g - 1)"~1 (2^f - 2) + 1
при 1, а Ло = Ро имеет ранг 2g. Имеются вложения Fn<^>Fn+\, ин-
дуцированные вложениями	а Р/ЪР является прямым преде-
лом Fn относительно этих вложений. Итак, мы получаем фильтрацию на
H{(ST, Z):
//1(5bZ) = limFrt.
п
t 8.3.4. Гильбертово пространство и градуировка. Удобно рассмат-
ривать комплексное векторное пространство
Рс = С(Аг, Z) 0 С
и соответствующую точную последовательность, вычисляющую когомоло-
гии с комплексными коэффициентами:
0-C^Pc-^Pc^W'(5r, С)^0.	(8.3.15)
Комплескное векторное пространство Рс лежит внутри гильбертова про-
странства:
Pc С Г = Л2(ЛГ, dy),
где [1 обозначает меру Паттерсона—Сулливана на предельном множестве,
удовлетворяющую равенству
Y*dp = |Y'|dim«<Ar>dp,
dim//(Ar) обозначает хаусдорфову размерность, а |у'| — модуль произвол-
НОЙ.
Это определяет гильбертово пространство С вместе с фильтрацией Рп
конечномерными подпространствами. При таком подходе естественно рас-
смотреть соответствующий градуирующий оператор
О =	(8.3.16)
п
где Пл обозначает ортогональную проекцию на Рп, а П„ = Щ © Пл_1
8.3.5.	Алгебра Кунца—Кригера. Динамика действия группы Шотт-
ки Г на её предельном множестве Аг очень красиво описывается одним
480	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
некоммутативным пространством. Оно задается при помощи алгебры Кун-
ца—Кригера, которая заключает в себе тонкую информацию о действии
группы Шоттки на ее предельном множестве. Для того чтобы определить
эту алгебру, рассмотрим (2g х 2^)-матрицу А, задающую условие допу-
стимости на последовательности в 5: эта матрица состоит из {0, 1}, причем
Ai} = 1, если \1 - /| / g, и Aij = 0 в ином случае.
Напомним, что частичной изометрией называется линейный опера-
тор S, удовлетворяющий соотношению S = SS*S.
Алгебра Кунца—Кригера О а (см. [285], [286]) определяется как уни-
версальная С*-алгебра, порожденная частичными изометриями Si,...,
...,S2^ (напомним, что частичная изометрия — это оператор S удовле-
творяющий соотношению S = SS*S), для которых выполняются соотно-
шения
Y^SjS*=l,	(8.3.17)
/
S‘Si = ^AijSiS*.	(8.3.18)
j
Следующий результат указывает на связь этой алгебры с группой Шоттки.
Предложение 8.7. Имеется изоморфизм
ОА^С(К^^Т.	(8.3.19)
С точностью до стабилизации (т. е. с точностью до тензорного умноже-
ния на алгебру компактных операторов в сепарабельном бесконечномер-
ном гильбертовом пространстве) эта алгебра допускает еще одно описание
как полупрямое произведение:
Ол ^л xirZ,	(8.3.20)
где ТА является некоторой АТ-алгеброй (приближенно конечномерной
алгеброй, т. е. прямым пределом конечномерных С*-алгебр).
Рассмотрим коцепной комплекс гильбертовых пространств
О С £ A
Предложение 8.8. У С*-алгебры Од имеется точное представле-
ние в гильбертовом пространстве Z?(Ar, d\i).
Это можно доказать следующим образом.
Обозначая через Ън = dim//(Аг) хаусдорфову размерность, рассмотрим
операторы
(7’//)(x):=|(y-|)/(x)|8»/2/(Y-1x) и (P,/)(x):=Xy,W/«.	(8-3.21)
где у/ —образующие группы Г, a — характеристическая функция ци-
линдра S+(y) для элемента у С Г.
§8.3]
Спектральные тройки, динамика и дзета-функции
481
Предложение 8.9. Операторы
(8.3.22)
/
являются частичными изометриями на С, удовлетворяющими со-
отношениям алгебры Кунца—Кригера для матрицы А, задающей
допустимые последовательности из формулы (8.3.1). Таким образом,
алгебра Кунца—Кригера Од отождествляется с подалгеброй огра-
ниченных операторов на гильбертовом пространстве £2(Лг, ц), по-
рожденной операторами St из формулы (8.3.22).
В самом деле, операторы Pi являются ортогональными проекторами,
т. е. PiPj = bijPj. Для композиций T*PjTi выполняется равенство
{/(х), если Л(х) = х,
О иначе.
Действительно, при х — giу имеем
Y^TtPjT^x) = XA‘iKPif(gr'giy) =
i	i
= T* (HA4Pi\№ =	- P‘+s)f(y) = f(giy) = /(X).
\ / /
В оставшемся случае при х / giy имеем
52 AijlTi'PjTiMx) = $2 AijTi'Piftgr'x) = Т* 52 Aii+gpi+gf(gi+gx) = 0,
/	/	i
где последнее равенство следует из того, что матрица перехода А удо-
влетворяет условию At i+g = 0. Из этого вытекает, что для Si выполняет-
ся
5(5* = 52Л/7’*Ру7’; = Р/.
/
Из того что для проекторов Pi справедливо равенство — Л следу-
ет соотношение (8.3.17). Более того, поскольку 7/7* = 1, а все элементы
матрицы Aij являются либо нулями, либо единицами, имеем также
s*si=52 A^PkT^Pj=52(а7)2 Pj=52 AijPj.
М	/	/
Итак, сделав замену Pj = SjS*, из формулы (8.3.17) получаем (8.3.18).
Алгебра Кунца—Кригера Од может быть описана в терминах действия
свободной группы Г на ее предельном множестве Лг (см. [680], [768]),
482	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
и при этом Од можно рассматривать как некоммутативное простран-
ство, заменяющее классический фактор Лг/Г.
Спектральные тройки для групп Шоттки. Рассмотрим диагональное
действие алгебры Од на гильбертовом пространстве Н = £ ф £ и опреде-
лим оператор Дирака равенствами
^|гФо = — 52 + 1 )(ПЛ Ф 0) 2>|офх: = — 52	® ^л)-	(8.3.23)
л	л
Теорема 8.10. Если для группы Шоттки Г выполняется условие
dim//(Ar) < 1, mo данные (Од, Н, Р), для которых рассматривается
диагональное действие Од наН= £ ф £, определяемое представле-
нием (8.3.22), и оператор Дирака из соотношений (8.3.23), опреде-
ляют ^-суммируемую спектральную тройку, которая не будет ко-
нечно суммируемой.
Основным моментом в этом утверждении является условие совмести-
мости алгебры и оператора Дирака, а именно то условие, что коммутаторы
[Р, а] являются ограниченными операторами для всех а € C^lg, где (9^lg—
инволютивная алгебра, алгебраически порожденная всеми операторами Si,
удовлетворяющими соотношениям Кунца—Кригера.
Это следует из оценки нормы для коммутаторов ||[Р, SJ || и ||[Р, S*]||
через ряды Пуанкаре для группы Шоттки (мы используем, что 8# < 1)
£>Т, s = 1 >Ьн,
уег
где хаусдорфова размерность 8# является показателем сходимости ряда
Пуанкаре.
Размерность я-го собственного подпространства оператора Т> равна
2g(2g - 2)л-1 (2g — 2) при п 1, 2g при п = 0 и 2g(2g — 2)-л-1 (2g — 2)
при п < — 1, так что спектральная тройка не является конечно суммиру-
емой, поскольку |Р|2 не принадлежит классу операторов с определенным
следом.
Тем не менее, данная тройка является 9-суммируемой, поскольку для
операторов ехр{-/Р2} определен след при всех t > 0.
Используя описание некоммутативного пространства (8.3.20) как полу-
прямого произведения AF-алгебры на действие сдвига, Уд Z, возможно
найти 1 -суммируемую спектральную тройку. Для этого плотная подалгебра
не должна содержать ни одного элемента группы.
8.3.6.	Арифметические поверхности: гомологии и когомологии.
Для частного случая арифметических поверхностей имеется отождеств-
ление (найденное в [276], [277])
И’(Cone, Ф)*«'ФЙ',	(8.3.24)
§8.3]
Спектральные тройки, динамика и дзета-функции
483
где Н обозначает архимедовы когомологии, а Н — двойственное к ним
пространство относительно инволюции S из формулы (8.2.17).
Можно расширить отождествление
U: Н' ^Vc£,
рассматривая подпространство W в гомологиях H\(St) топологического
пространства Смейла, связанного с униформизацией Шоттки поверхности
Х(С) таким образом, что W = Данная группа гомологий H\(St) име-
ет очень простое комбинаторное описание и может быть вычислена как
прямой предел
Hr (ST. Z) = lim/Qv,
/v
где группы ТС/v являются свободными абелевыми группами ранга
(2g - 1)^ 4- 1 для четного N и ранга (2g -1^4- (2g - 1) для нечетно-
го N, При этом Z-модули /Q порождены замкнутыми геодезическими,
представленными периодическими последовательностями в 5 с длиной пе-
риода У 4- 1. Заметим, что эти замкнутые геодезические не обязаны быть
примитивными.
В терминах примитивных замкнутых геодезических группу гомологий
можно представить в виде
оо
Hi(ST,Z) = ®KN,
N=Q
где Нц — свободные абелевы группы, для которых
d\N
(\i(d) — функция Мебиуса).
Существует естественное спаривание между гомологиями и когомоло-
гиями, задаваемое соотношением
(-, •): Fn х K,N -> Z, ([fl, х) = Nf(x).	(8.3.25)
Оно определяет градуированное подпространство С. H\(ST, Z), двой-
ственное к V С H[(St). При отождествлении
С H'(ST)
|s	|Q	(8.3.26)
Z)
оператор Дирака (8.3.23) переходит в логарифм Фробениуса
'Plvev = Ф-н1 © и' 	(8.3.27)
484	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
8.3.7.	Архимедовы множители с точки зрения динамики. Динами-
ческая спектральная тройка, описанная в теореме 8.10, не является конеч-
но суммируемой. Тем не менее, по ней возможно восстановить локальный
множитель на арифметической бесконечности.
Как и предыдущем пункте, рассмотрим фиксированную архимедову
точку, задаваемую вещественным вложением a:	так что соответ-
ствующая риманова поверхность Х/r является ортосимметрической глад-
кой вещественной кривой рода g 2. Динамическая спектральная тройка
позволяет дать новое описание архимедова множителя
U(Hl(X^, R), s) = rc(s)g.
Предложение 8.11. Рассмотрим дзета-функции
Сда(5,г):= £ Тг(к(Р)П(Х,О))(5-Х)-г,	(8.3.28)
kGSpec(D)
где к(У) — ортогональный проектор на замыкание относительно
нормы 0 ф V в Н. Для соответствующего регуляризованного опре-
делителя выполняется равенство
exp{-^CK(V),D/2K(s/2iT, z)|2=o}“‘ = LC(H'(X), s) (8.3.29)
(см. предложение 6.8 из [277]).
8.3.8.	Динамическая теория для кривых Мамфорда. Пусть К —
конечное расширение поля Qp, а Д/<—дерево Брюа—Титса, связанное
с G = PGL(2, К). Напомним основные факты о действии группы Шотт-
ки на дереве Брюа—Титса и на С*-алгебрах графов. Более детальное
изложение содержится в [541], [601] и [279].
Напомним, что дерево Брюа—Титса строится следующим образом.
Рассматривается множество свободных О-модулей ранга 2: Л4 с V. Два
таких подмодуля считаются эквивалентными (Л41 ~ М2), если существу-
ет такой элемент X е К*, что М\ = ХМ2. Группа GL( V), состоящая из ли-
нейных автоморфизмов V, действует на множестве таких модулей сле-
ва'.
gM = {gm I т е Л4}, g е GL(V)-
Заметим, что соотношение М\ ~ М2 равносильно условию, что М] и М2
принадлежат одной орбите относительно действия центра К* С GL(V). По-
этому группа G = GL(V)//(* действует (слева) на множестве классов эк-
вивалентных модулей.
Обозначим через Д^ множество таких классов, а через {Л4} — класс
модуля М. Поскольку (9 — область главных идеалов и у каждого моду-
§8.31
Спектральные тройки, динамика и дзета-функции
485
Рис. 8.15. Графы Дг/Г для рода g = 2 и соответствующие слои
ля М имеется две образующие, из этого следует, что
{М|}, {Л)2}е Д^, М| jM2 => М\/М2 ~ О/т1 ф O/mk, I, /г е N.
После умножения модулей М\ и М2 на элемент из Л* вложение
Mi D М2 будет сохранено, и поэтому корректно определено число
d({Mi}, {M2}) = \l-k\.	(8.3.30)
Граф Д/< группы PGL(2, К) является бесконечным графом с множе-
ством вершин Д°, в котором две вершины {Л41}, {Л^} смежные, т.е. со-
единены ребром, тогда и только тогда, когда rf({A4j}, {Л^г}) = 1 (см. [541]
и [601].)
Для группы Шоттки Г с PGL(2, К) имеется наименьшее поддерево
Др с Д/g содержащее оси всех элементов из Г. Множеством концов под-
дерева Др в Р1 (К) является Лг, т. е. предельное множество для Г. Группа
Г переводит дерево Д'г само в себя таким образом, что фактор Др/Г явля-
ется конечным графом, совпадающим с двойственным графом замкнутого
слоя минимальной гладкой модели алгебраической кривой С/К, голоморф-
но изоморфной Хг-=^г/Г (см. [601], с. 163). Существует наименьшее
поддерево Дг, на которое действует Г, причем таким образом, что Дг/Г
является (конечным) двойственным графом стабильной ^-распадающейся
редукции С. Если род слоев равен хотя бы 2, т. е. когда у группы Шоттки
имеется по крайней мере g 2 образующие, кривая Хг называется кривой
Шоттки—Мамфорда.
Возможные графы Дг/Г и соответствующие слои для случая рода 2
показаны на рис. 8.15.
Опишем теперь динамическую систему, связанную с пространством
УУ(Д/Г) путей на дискретном дереве Д, на котором действует группа Г.
В частности, нас будут интересовать случаи, когда Д = Д/g Аг-
486	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
Напомним, что подсдвигом конечного типа Sa, связанного с
(2g х 2^)-матрицей Л, состоящей из нулей и единиц, является подмно-
жество в 5, заданное по формуле
SA ={(••• Yi-m • • • Yi_, Y/oYi, ••• Yim ••	= 1 Vfe € Z}.
Очевидно, что на подсдвигах конечного типа действует оператор сдви-
га Т.
Для Д = Дг в качестве динамической системы получается подсдвиг
конечного типа, связанный с действием группы Шоттки Г на предельном
множестве Лг, того же типа, какой был рассмотрен в [277].
Пусть V С Дг — конечное поддерево, множество ребер которого со-
стоит из выбранных представителей для каждого Г-класса (по одному для
каждого класса). Это фундаментальная область для действия Г в слабом
смысле (следуя терминологии из [541]), поскольку некоторые вершины
могут отождествляться под действием Г. Пусть V сРЦК)— множество
концов всех бесконечных путей, начинающихся в точках из V.
Рассмотрим множество УУ(Дг/Г) бесконечных в обе стороны путей на
конечном графе Дг/Г. Это бесконечные в обе стороны допустимые после-
довательности букв конечного алфавита, задаваемого сторонами поддере-
ва V с выбранной одной из двух возможных ориентацией. Рассмотрим на
УУ(Дг/Г) топологию, порожденную подмножествами
(со, £) = {<5 € И>(Дг/Г): о* = k > £}
и
Wm(g>, £) = {£€ У^(Дг/Г): о* = со*, k £}
для со € УУ(Дг/Г) и £ € Z. Относительно этой топологии пространство
УУ(Дг/Г) оказывается вполне несвязным компактным хаусдорфовым про-
странством.
Обратимый сдвиг Г, задаваемый по формуле (7Ъ)& = о&+1, являет-
ся гомеоморфизмом пространства УУ(Дг/Г) на себя. Можно вновь опи-
сать динамическую систему (УУ(Дг/Г), Т) в терминах подсдвига конечного
типа.
Лемма 8.12. Пространство УУ(Дг/Г) с действием обратимого
сдвига Т является подсдвигом конечного типа, где УУ(Дг/Г) = 5д,
а А—матрица направленных ребер конечного графа Дг/Г.
Пример рода два. Для случая кривой Мамфорда—Шоттки рода g = 2
возможные деревья Дг показаны на рис. 8.16.
В первом случае на рис. 8.16 дерево Дг является просто графом Кэли
свободной группы Г от двух образующих, и поэтому можно отождествить
бесконечные в обе стороны пути на Дг с бесконечными в обе стороны
приведенными словами, состоящими из образующих группы Г и обратных
§8.3]
Спектральные тройки, динамика и дзета-функции
487
Рис. 8.16. Графы Дг/Г для рода g = 2 и соответствующие деревья Дг
к ним. Матрица направленных ребер равна
/1 1 о 1 \
1110
0 111
\ 1 о 1 1 /
Во втором случае на рис. 8.16 буквами а = е,, b = е<1 и с = ез помечены
ориентированные ребра графа Дг/Г, так что возникает соответствующее
множество букв Е = {а, Ь, с, а, Ь, с} для ребер накрывающего дерева Дг-
Выбор образующих для группы Г ~ Z * Z, действующей на Дг, осуществ-
ляется за счет отождествления образующих gi и g2 группы Г с последова-
тельностями ребер ab и ас. Бесконечные в обе стороны пути на дереве Дг
являются допустимыми бесконечными в обе стороны последовательностя-
ми таких букв, причем допустимость определяется матрицей направленных
ребер
/ 0	1	000	1	\
10 10 0 0
0	10 10	0
0	0	10 10
0	0	0 10	1
\ 1	0	0 0 1	0	/
488
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
Третий случай на рис. 8.16 аналогичен. Выбор образующих группы
Г ~ Z * Z, действующей на Лг. задается при помощи aba и с. Бесконечные
в обе стороны пути на дереве Лг являются допустимыми бесконечными
в обе стороны последовательностями букв алфавита Е = {а, Ь, с, а, Ь, с},
причем допустимость определяется матрицей направленных ребер
	/ °	0	1	0	0	1 \
	1	1	0	0	0	0
	0	0	1	1	0	0
А =						
	0	1	0	0	1	0
	1	0	0	0	1	0
	1 0	0	0	1	0	1)
Конструкция аналогична и в случае рода g > 2 для различных возмож-
ных конечных графов Дг/Г. Матрица направленных ребер тогда может
быть записана в блочном виде как
an ai2
«21 «22
где каждый блок az/- является (#(Дг/Г)У х #(Дг/Г)+)-матрицей с
a12=az12, «21 =<41 и «11 =а22-
8.3.9.	Когомологии пространства W(A/r)r. Пусть Д = Дг. Мы
будем отождествлять группу первых когомологий //1(УУ(Дг/Г)г, Z) с
группой гомотопических классов непрерывных отображений УУ(Дг/Г)г в
окружность. Пусть С(УУ(Дг/Г), Z) обозначает Z-модуль целочисленных
непрерывных функций на УУ(Дг/Г), и пусть
С(УУ(Дг/Г), Z)r := Сокег(8)
для 8(/) = f — f о Т. Выполняется следующий аналог теоремы 8.6.
Предложение 8.13. Отображение / [ехр{2ш7/(%)}], сопоставля-
ющее элементу f е С(УУ(Дг/Г), Z) гомотопический класс отображе-
ний УУ(Дг/Г)г в окружность, задает изоморфизм
С(УУ(Дг/Г), Z)r -//’(^(Дг/Рг, Z).
Более того, имеется фильтрация на С(УУ(Дг/Г), Z)r свободными
^-модулями
FoCFi C...cFn...
§ 8.3]	Спектральные тройки, динамика и дзета-функции	489
рангов 0п — 6rt-i + 1, где вп — число допустимых слов длины п + 1 в со-
ответствующем алфавите, так что
//'(W(Ar/r)r, Z) = limF„.
—>
п
Факторы Fn+\/Fn также свободны от кручения (см. [279]).
Пространство УУ(Дг/Г)г соответствует пространству «ограниченных
геодезических» на графе Д/с/Г, где сами геодезические с этой точки зре-
ния являются просто бесконечными в обе стороны путями на Дк/Г.
В частности, замкнутая геодезическая является образом при отображе-
нии факторизации тег '•	—> Д/(/Г бесконечного в обе стороны пути на
дереве Брюа—Титса Д/<, концы которого задаются парами z+(y), г-(у)
неподвижных точек относительно некоторого элемента у е Г. Аналогич-
но ограниченная геодезическая — это элемент о € УУ(Д/</Г), являющий-
ся образом при отображении факторизации бесконечного в обе стороны
пути на Д/(, оба конца которого лежат на ЛгСРЦЛ). Это значит, что
ограниченная геодезическая является путем вида со = тег (<5) для некоторо-
го о € УУ(Дг/Г). По построению всякий такой путь является осью в Дг.
Орбиты в УУ(Дг/Г) относительно действия обратимого сдвига Т би-
ективно соответствуют орбитам дополнения к диагонали в Лг х Лг отно-
сительно действия группы Г. Таким образом, мы видим, что И^Дг/Пг
задает геометрическую реализацию пространства «ограниченных геодези-
ческих» на графе Дк/Г. Во многом это подобно тому, что в случае геомет-
рии на арифметической бесконечности мы использовали тор отображения
сдвига Т в качестве модели связки ограниченных геодезических в гипер-
болическом теле с ручками.
Как и в случае арифметической бесконечности, можно рассмотреть точ-
ную последовательность Пимзнера—Войкулеску, вычисляющую Л-группы
С*-алгебры, являющейся полупрямым произведением С(ТУ(Дг/Г)) Z:
О -> /7°(ЖДг/Г)г, Z) С(УУ(Дг/Г), Z) С(И>(Дг/Г), Z) —
Я*(>У(Дг/Г)г, Z) —»0. (8.3.31)
В соответствующей последовательности
О //0(УУ(Дг/Г)г, х) — Р	Р — //' (>У(Дг/Г)7-, х) — 0	(8.3.32)
когомологий //*(УУ(Дг/Г)т’, х), где x=R или С, можно считать, что вектор-
ное пространство Р получается, как для арифметической бесконечности,
тензорным умножением на х аналогичного Z-модуля Р С С(УУ(Дг/Г), Z),
состоящего из функций будущих координат Р ~ С(УУ+(Дг/Г), Z). Он об-
ладает фильтрацией P = \JPn- Здесь Рп отождествляется с подмодулем
п
490
Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
[Гл. 8
в C(W+(Ar/r), Z), порожденным характеристическими функциями для
УУ+(Дг/Г, р) С УУ+(Аг/Г), где р е W*(Ar/T) — конечный путь р = Шо ...
...шп длины /2 4-1, а УУ+(Аг/Т, р) — множество бесконечных путей
со е W+(Ar/T), для которых = Wk при 0 < k < п 4- 1. Эта фильтрация
определяет группы Fn = Рп/ЪРп-\, являющиеся членами фильтрации ди-
намических когомологий кривой Мамфорда, как и в предложении 8.13.
В дальнейшем мы вновь используем одинаковые обозначения для свобод-
ного Z-модуля Рп, состоящего из функций, зависящих от не более чем
п 4- 1 последующей координаты, и для векторного пространства, получае-
мого тензорным умножением Рп на х.
Чтобы получить пополнение пространства Р коцепей в последователь-
ности (8.3.32), можно рассмотреть гильбертово пространство £ = L2(Ar, pt),
определенное относительно меры на Аг = ЗАг, задаваемой своими зна-
чениями на открыто-замкнутых подмножествах вида Г(г>), состоящих из
концов всех путей на Аг, выходящих из вершины v, следующим образом:
p(V(v)) = q-d<v}-',
где q = card(O/m).
В [277], §4, было показано, каким образом тор отображения St под-
сдвига конечного типа (5, 7), связанного с предельным множеством группы
Шоттки, сюръективно отображается на связку ограниченных геодезиче-
ских внутри гиперболического тела с ручками при помощи отображения,
разрешающего все точки пересечения различных геодезических. В случае
кривой Мамфорда, для которого трехмерное гиперболическое тело с руч-
ками заменено на тело Брюа—Титса А/<, аналогом сюръективного отобра-
жения из St на связку ограниченных геодезических является отображение
из УУ(Аг/Г)г в двойственный граф к Аг/Г. Ниже приводится описание
этого отображения.
Как и раньше, будем записывать элементы из W(Ar/T) как допусти-
мые бесконечные в обе стороны последовательности
U =	...Wi_xWiQWix ...win...,
где Wik ={eik, — ориентированные ребра графа Аг/Г. Будем считать,
что каждое ориентированное ребро w имеет длину один, так что оно
может быть параметризовано как w(t) = {е(/), с} для 0 < t < 1, a =
= {е(1 — t), —е}. Поскольку со G —допустимая последовательность ори-
ентированных ребер, имеем Ш/Д1) = о^+1(0)е Д<?>.
Будем рассматривать отображение из накрывающего пространства
УУ(Дг/Г) х К для W(Ar/r)y в |Дг|, заданное по формуле
£(ы, т) = ш,|т|(т - [т]).	(8.3.33)
§8.3]	Спектральные тройки, динамика и дзета-функции	491
Здесь |Лг | обозначает геометрическую реализацию графа. По построению
отображение Ё удовлетворяет условию Е(Ты, т) = £(со, т + 1), и поэтому
оно пропускается через отображение £, определенное на факторе:
£: W(Ar)r^|Ar|.	(8.3.34)
Так можно получить отображение в |Аг/Г|, рассматривая композицию
отображения факторизации относительно действия Г, тег: Дг —► Дг/Г, т. е.
£ := кг о £: W(Ar)r |Аг/Г|.	(8.3.35)
Итак, мы получаем следующее утверждение.
Предложение 8.14. Отображение Ё из формулы (8.3.35) является
непрерывной сюръекцией из тора отображения	в геомет-
рическую реализацию |Дг/Г| конечного графа Аг/Г.
8.3.10.	Спектральные тройки и кривые Мамфорда. Рассмотрим
гильбертово пространство Н = £ ф £ и оператор Р, определяемый фор-
мулами
где Пл=Пл—Пл_1 —ортогональные проекторы, ассоциированные с филь-
трацией Рп, целое число R — длина слов, представляющих образующие
группы Г (ее можно считать одинаковой для всех образующих, возможно,
после раздутия конечного числа точек на специальном слое, как объяснено
в [278]), a g = card((9/m).
Теорема 8.15. Рассмотрим дерево Аг, соответствующее р-ади-
ческой группе Шоттки, действующей на Ац.
1.	Определено представление алгебры С* (Дг/Г) в ограниченных
линейных операторах на гильбертовом пространстве £.
2.	Данные (С* (Дг/Г), W, Р), где алгебра С* (Аг/Г) действует диа-
гонально наН= £ ф £, а оператор Дирака Т> определен по форму-
ле (8.3.36), образуют спектральную тройку.
Напомним, что для кривой X над глобальным полем К, которая полу-
стабильна во всех точках плохой редукции, локальный эйлеровский мно-
житель в точке v имеет следующее описание ([719]):
Lv(Hl(X), s) = det(l — Fr* N(v)~s\Hl (X,	.	(8.3.37)
Здесь Fr* обозначает геометрический оператор Фробениуса, действующий
на £-адические когомологии многообразия X = X 0 Spec(K), где К — ал-
гебраическое замыкание поля К, а I — простое число, взаимно простое с
числом q, обозначающим порядок поля вычетов &(и) в v. Символ N обо-
значает норменное отображение. Определитель считается на инвариантах
492	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
относительно инерции Н[(Х, Q^)/o для v (это совпадает со всей группой
//’(Х, Ш для тех точек v, в которых редукция хорошая).
Предположим, что над точкой v возникает £(г>)-распадающаяся вы-
рожденная редукция. Тогда пополнение кривой X в точке v будет кривой
Мамфорда Хг. В этом случае эйлеровский множитель (8.3.37) принимает
следующий вид:
Lv(Hl(Xr), $) = (! — q~T8-	(8-3.38)
Это можно вычислить при помощи регуляризованного определителя
det (s) = Lv(H'(Xr), s)~',	(8.3.39)
оо,к(У),/Р
где
det (s) := expf-^p.+U, 0)} exp{-C'.(I>._(s, 0)},	(8.3.40)
oo,a,zP
Cw©,+(s, z) :=	52 Tr(aIIx)(s + X)-2,
XGSpec(zP)nz[0,oo)
< 	(0.0.4 1)
_(s, z) :=	52 Тг(аПх)(х + X) .
XeSpec(zl>)nz(—00,0)
Элемент a = tc(V) является проекцией на линейное подпространство V в W,
которое получается при помощи вложения когомологий двойственного гра-
фа Дг/Г в пространство коцепей динамических когомологий.
§ 8.4.	Редукция по модулю оо
В данном параграфе, основанном на разделах 7 и 8 из [277], «редукция
по модулю бесконечности» описывается в терминах гомотопического фак-
тора, связанного с некоммутативным пространством Од из предыдущего
§8.3 и с [i-отображением Баума—Конна. Используя гомотопический фак-
тор, можно также описать геометрическую модель двойственного графа.
8.4.1.	Гомотопические факторы и «редукция по модулю бесконеч-
ности». В предыдущих параграфах мы описали (некоммутативную) гео-
метрию слоев на арифметической поверхности над арифметической беско-
нечностью в терминах двойственного графа, полученного из рассмотрения
двух факторпространств
Аг/Г и Аг х г Аг ~ 5/Z,	(8.4.1)
на которые Z действует при помощи обратимого сдвига Г, см. §4.2 из [277].
Мы рассматривали эти пространства как множества вершин и ребер двой-
ственного графа. Их некоммутативная геометрия была изучена с точки зре-
ния теории Конна спектральных троек.
§ 8.4]	Редукция по модулю оо	493
Другой фундаментальной конструкцией в некоммутативной геометрии
(см. [262]) являются гомотопические факторы. Это коммутативные
пространства, которые представляют, с точностью до гомотопии, геометри-
ческие модели для соответствующих некоммутативных пространств. Сами
некоммутативные пространства, как можно показать в нашем случае, воз-
никают как факторпространства слоений над гомотопическими факторами
со стягиваемыми слоями.
Ключевым моментом в наших рассмотрениях является то, что гомо-
топический фактор для некоммутативного пространства 5/Z в точности
равен тору отображения, который представляет собой геометрическую мо-
дель двойственного графа,
Sr=SxzR,	(8.4.2)
где некоммутативное пространство 5/Z можно отождествить с факторпро-
странством естественного слоения над пространством (8.4.2), общий лист
которого стягиваем (и равен R). С другой стороны, случай некоммутатив-
ного пространства Лг/Г также очень интересен. Действительно, для него
гомотопический фактор возникает очень естественно и как раз описы-
вает так называемую «редукцию по модулю оо» в [542].
Напомним вкратце, как устроено отображение редукции в неархимедо-
вом случае для кривых Мамфорда (см. [542], [601]).
Пусть К — конечное расширение поля Qp, и пусть Ок — его кольцо це-
лых элементов. Обычно правильный аналог архимедова случая получается
за счет «перехода к пределу», если заменить К на его замыкание по Тэйту
в Ср (см. [542] §3.1), однако для наших целей достаточно рассмотреть
случай конечного расширения.
Роль гиперболического пространства И3 для неархимедова случая иг-
рает дерево Брюа—Титса Т^т, с вершинами, описываемыми равенством
Т^т = {Ок — решетки ранга 2 в двумерном пространстве К}/К*.
Валентность вершин в Твт равна IIP1 (C\/m)|, где пг — максимальный иде-
ал. Длина каждого ребра в Твт равна log |C\/m|. Множество концов в Твт
можно отождествить с Х{К) = IP1 {К). Это аналог конформной границы
Р*(С) для И'. Геодезические соответствуют бесконечным в обе стороны
путям в Твт без возвращений (самопересечений). Зафиксируем вершину
Vo в Твт- Она соответствует замкнутому слою Хок ®(Ок/ы) с выбран-
ной Ок -структурой Хок. Каждый элемент х	однозначно опреде-
ляет выбор подграфа е(ио, х) в Твт с вершинами (vo, Vi, ...) вдоль бес-
конечного в одну сторону пути без самопересечений с концом в х. Подгра-
фы е(ио» *)k с вершинами (vo, Vi, ... Vk) соответствуют редукции (modm*),
а именно
{e(v0, x)k;xe Х(К)} — XOl((OK/mk).
494	Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия	[Гл. 8
Таким образом, конечные графы e(v^ x)k представляют (Рк/пг^-точки, а
бесконечный граф e(vo, х) представляет редукцию точки х.
Группа Шоттки Г в неархимедовой ситуации является чисто локсодро-
мичной свободной дискретной подгруппой в PSL(2, К) с g образующими.
Бесконечные в обе стороны пути на Твт с концами в парах неподвиж-
ных точек х±(у) относительно элементов у Е Г составляют комбинаторное
дерево Т группы Г внутри Твт- Это аналог того, что Н3 является объеди-
нением сдвигов фундаментальной области для действия группы Шоттки,
которую можно рассматривать как «трубчатую окрестность» графа Кэ-
ли Т группы Г, вложенного в И3.
Концы дерева Т С Твт образуют предельное множество АгСР^А).
Дополнение Qr = PI(A)xAr дает униформизацию кривой Мамфорда
Х(К) ~ Qr/Г. В свою очередь, Х(К) можно отождествить с концами фак-
торграфа Твт/Г точно так же, как в архимедовом случае риманова поверх-
ность является конформной границей на бесконечности тела с ручками Хг.
Таким образом, отображение редукции получается из рассмотрения
бесконечных в одну сторону путей e(v, х) в Твт/Г, которые начинаются
в вершине v конечного графа Т/Г и конец которых х является точкой на
Х(К), в то время как конечные графы e(v, x)k представляют (9/с/пг^-точки.
Это подтверждает тот факт, что правильный аналог отображения ре-
дукции в архимедовом случае получается из рассмотрения геодезических
в И3 с одним концом, лежащим на Qr» а другим — на Аг, как сказано
в [542]. Применяя лемму 4.9 из [277], легко видеть, что множество таких
геодезических можно отождествить с фактором Qr хгАг. Аналогом ко-
нечных графов e(v, x)k, определяющих редукции по модулю т*, является,
таким образом, фактор И3 хг Аг.
Заметим, что факторпространство
Аг хгН3 = Лг хг£Г	(8.4.3)
является в точности гомотопическим фактором Аг относительно действия Г,
где ЕГ = И3, а классифицирующее пространство равно ВГ = Н3/Г = Хг
(см. [262]). И в этом случае мы обнаруживаем, что некоммутативное про-
странство Аг/Г является факторпространством слоения над гомотопиче-
ским фактором (8.4.3) со стягиваемыми листьями Н3.
8.4.2.	Отображение Баума—Конна. Взаимосвязь между некомму-
тативными пространствами (8.4.1) и гомотопическими факторами (8.4.2)
и (8.4.3) является примером одной очень общей сильной конструкции,
а именно ^-отображения (см. [157], [262]). В частности, в случае не-
коммутативного пространства С(5) xir Z соответствующее ^-отображение
р: K*+i(ST) = H*+'(ST,	(8.4.4)
§8.4]
Редукция по модулю оо
495
является изоморфизмом Тома, который отождествляет (8.3.11) с (8.3.12)
и восстанавливает точную последовательность Пимзнера—Войкулеску
(8.3.8), как это описано в [261]. Как объясняется в [277], отображение
ц из формулы (8.4.4) сопоставляет классу в Л-теории 8 € К*+1(5 x^R)
индекс оператора Дирака вдоль долготы с коэффициентами в 8. Этот
индекс является элементом из K-теории полупрямого произведения алгебр
С(5) Xi г Z, а ^-отображение является изоморфизмом. Аналогично для слу-
чая некоммутативного пространства С(Аг) х Г, где имеется слоение над
тотальным пространством с листьями И3, отображение
[Г /С+1(ЛГ xrH3)-»/G(C(Ar) хГ)	(8.4.5)
вновь задается оператором Дирака вдоль долготы с коэффициентами
в 5еК*+1(Лг ХгН3). В этом случае рассмотренное выше отображение
является изоморфизмом, поскольку гипотеза Баума—Конна с коэффици-
ентами доказана для случая G = SOo(3, 1), гдеН3 = G/К а Г с G — группа
Шоттки, см. [449].
В частности, подход к некоммутативному пространству С(Лг) х Г с точ-
ки зрения теории спектральных троек позволяет строить циклы, которые
можно спаривать с классами из К-теории, построенными геометрически
при помощи ^-отображения.
Для завершения аналогии с отображением редукции в случае кривых
Мамфорда, помимо конечных графов e(v, х)ь, соответствующих гомото-
пическим факторам (8.4.2), рассмотрим также бесконечные в одну сторо-
ну пути e(v, х), соответствующие геодезическим в Хг, параметризованным
множеством Лг хг Ог- Так, пространство, полностью описывающее «ре-
дукцию по модулю бесконечности», является компактификацией гомото-
пического фактора
Лг хг (Н3 U Qr),	(8.4.6)
где пространство ЕГ = Н3 U Qr соответствует компактификации класси-
фицирующего пространства
ВГ = Н3/Г = Хг до ВГ = (Н3иОг)/Г = ХгиХ/с
при помощи присоединения конформной границы на бесконечности к ги-
перболическому телу с ручками.
Литература
[1]	Абрашкин В. А. Нахождение двуклассных мнимых квадратичных полей с
четным дискриминантом методом Хегнера // Мат. заметки. 1974. Т. 15, №2.
С. 241—246.
[2]	Автоморфные формы, представления и L-функции / Перев. с англ, и франц.
М.: Мир, 1984. (Математика. Новое в заруб, науке; Вып. 34).
[3]	Алгебра и теория чисел с приложениями // Избранные доклады семинара
Н.Бурбаки. М.: Мир, 1987.
[4]	Андрианов А. Н. Представление чисел некоторыми квадратичными формами
в связи с теорией эллиптических кривых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965.
Т. 29. С. 227—238.
[5]	Андрианов А. И. Эйлеровы произведения, отвечающие модулярным формам
Зигеля рода 2 // Успехи матем. наук. 1974. Т. 29, вып.З. С. 44—109.
[6]	Андрианов А.Н. Мультипликативная арифметика зигелевых модулярных
форм // Успехи матем. наук. 1979. Т. 34, вып. 1. С. 67—135.
[7]	Андрианов А. И., Калинин В.Л. Об аналитических свойствах стандартных
дзета-функций зигелевых модулярных форм // Мат. сб. 1978. Т. 106, №6.
С. 323—339.
[8]	Андрианов А. Н., Панчишкин А. А. Сингулярные операторы Фробениуса на
зигелевых модулярных формах с характерами и дзета-функции // Алгебра и
анализ. 2000. Т. 12, №2. С. 64—99.
[9]	Аракелов С. Ю. Теория пересечений дивизоров на арифметической поверх-
ности // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1974. Т. 38, №6. С. 1179—1192.
[10]	Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригоно-
метрических сумм. М.: Наука, 1987.
[11]	Башмаков М. И. Когомологии абелевых многообразий // Успехи матем. на-
ук. 1972. Т. 27, №6. С. 25—66.
[12]	Белый Г. В. О расширения Галуа максимального кругового поля // Изв. АН
СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43, №2. С. 267—267.
[13]	Богомолов Ф.А. Точки конечного порядка на абелевом многообразии Ц Изв.
АН СССР. Сер. матем. 1980, Т. 44, №4. С. 782—803.
[14]	Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.
[15]	Василенко О.Н. Современные способы проверки простоты чисел: Обзор //
Киб. сб. 1988. №25. С. 162—188.
[16]	Введение в криптографию / Под общей ред. В. В. Ященко. 2 изд., испр. СПб.:
ИД «Питер», 2001.
Литература
497
[17]	Венков А. Б., Проскурин Н.В. Автоморфные функции и пробелма Кумме-
ра // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37, №3. С. 134—165.
[18]	Венков Б. А. Исследования по теории чисел: Избр. труды. Л.: Наука, 1981.
С.91 —125.
[19]	Виноградов И.М. Избранные труды. М.: АН СССР, 1952.
[20]	Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: На-
ука, 1971.
[21]	Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.
[22]	Виноградов И.М., Карацуба А. А. Метод тригонометрических сумм в тео-
рии чисел // Алгебра, математическая логика, теория чисел, топология: Сб.
обзорных статей к 50-летию ин-та. Тр. МИАН СССР. 1984. Т. 168. С. 4—30.
[23]	Воронин С.М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит,
1994.
[24]	Воронин С. М. Избранные труды. Математика / Под ред. А. А. Карацубы.
М.: изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006.
[25]	Воскресенский В.Е. Алгебраические торы. М.: Наука, 1977.
[26]	Галочкин А. И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А. Б. Введение в теорию
чисел. М.: Изд-во МГУ, 1984.
[27]	Гельфонд А. О. Избранные труды. М.: Наука, 1973.
[28]	Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. М.: Наука, 1983. (По-
пулярные лекции по математике; Вып. 8).
[29]	Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2002.
[30]	Голубева Е. П., Фоменко О. М. О дзета-функции системы форм Ц Зап. науч,
семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. 1977. Т. 67. С. 156—166.
[ЗА]Дармон Г. Гипотеза Шимуры—Таниямы (d’apres Wiles) // Успехи матем.
наук. 1995. Т. 50, вып. 3(303). С. 33—82.
[32]	Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей третьей степени //
Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1940. 11. С. 1—340.
[33]	Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах /
Перев. с древнегреч. М.: Наука, 1974.
[34]	Долгачев И. В., Паршин А. И. Дифферента и дискриминант регулярных
отображений // Мат. заметки. 1968. №4. С. 519—523.
[35]	Дринфельд В. Г. Эллиптические модули. I, II // Матем. сб. 1974. Т. 94(136),
№,4(8). Р. 594—627; 1977. Т. 102(144), №2. Р. 182—194.
[36]	Ершов Ю.А. Теория нумераций. 4.2: Вычислимые нумерации морфизмов.
М.: Наука, 1977.
[37]	Зархин Ю. Г. Теорема конечности для абелевых многообразий над функци-
ональными полями конечной характеристики // Функц. анализ и его прил.
1974. Т. 8, №4. С. 31—34.
498
Литература
[38]	Зархин Ю.Г., Манин Ю.И. Высота на семействах абелевых многообра-
зий // Матем. сб. 1972. Т.89, №2. С. 171 — 181.
[39]	Зархин Ю.Г., Паршин А.Н. Проблемы конечности в диофантовой геомет-
рии // Ленг С. Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986. С. 369—438.
[40]	Зудилин В. В. Об оценках меры линейной независимости для значений неко-
торых аналитических функций: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1995.
[41]	Ивасава К. Локальная теория полей классов / Перев. с японского. М.: Мир,
1983.
[42]	Псковских В. А. Контрпример к принципу Хассе для системы двух квадра-
тичных форм от пяти переменных Ц Мат. заметки. 1970. Т. 10. С. 253—257.
[43]	Псковских В. А. Трехмерные многообразия Фано. I // Изв. АН СССР. Сер.
матем. 1977. Т. 41, вып.З. С. 516—562.
[44]	Псковских В. А. Трехмерные многообразия Фано. II // Изв. АН СССР. Сер.
матем. 1978. Т.42, вып.З. С.506—549.
[45]	Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1975.
[46]	Карацуба А. А. О функции G(n) в проблеме Варинга // Изв. АН СССР. Сер.
матем. 1985. Т. 49, №5. С. 935—947.
[47]	Коган Л. А. О представлении целых чисел положительно определенными
квадратичными формами. Ташкент: Фан, 1971.
[48]	Колмогоров А.Н. К логическим основам теории информации и теории веро-
ятностей // Пробл. передачи информации. 1969. Т.5, вып.З. С.З—7.
[49]	Колывагин В. А. Формальные группы и символ норменного вычета // Изв.
АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43, №5. С. 1054—1120.
[50]	Колывагин В. А. Конечность E(Q) и Q) для подкласса кривых Вейля //
Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т. 52, №3. С. 522—540.
[51]	Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука,
1989.
[52]	Кох X. Основные структуры теории алгебраических чисел // Итоги науки и
техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направле-
ния. Т. 62. Теория чисел —2. М.: ВИНИТИ, 1990. С. 5—308.
[53]	Кузьмин Л. В. Поля алгебраических чисел // Итоги науки и техники. Алгебра.
Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1984. Т. 22. С. 117—204.
[54]	Линник Ю.В. Избранные труды. Л.: Наука, 1979.
[55]	Ломадзе Г. А. Формулы для числа представлений чисел некоторыми регу-
лярными и полурегулярными тернарными квадратичными формами, принад-
лежащими двуклассным родам // Acta arithm. 1978. Т. 34, №2. С. 131—162.
[56]	Малышев A.B.Q представлении целых чисел положительными квадратич-
ными формами // Тр. Мат. ин-та АН СССР. Т. 65. 1962.
[57]	Манин Ю. И. О сравнении третьей степени по простому модулю // Изв. АН
СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. С. 673—678.
Литература
499
[58]	Манин Ю. И. Алгебраические кривые над полями с дифференцированием //
Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т. 22, №6. С. 737—756.
[59]	Манин Ю. И. О матрице Хассе—Витта алгебраической кривой Ц Изв. АН
СССР. Сер. матем. 1961. Т. 25. С. 153—172.
[60]	Манин Ю. И. Доказательство аналога гипотезы Морделла для алгебраиче-
ских кривых над функциональными полями // Докл. АН СССР. 1963. Т. 152,
№5. С. 1061—1063.
[61]	Манин Ю. И. Рацинальные точки алгебраических кривых над функциональ-
ными полями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1963. Т. 27, №6. С. 395—1440.
[62]	Манин Ю. И. Соответствия, мотивы и моноидальные преобразования Ц Мат.
сб. 1968. Т. 77, №4. С. 475—507.
[63]	Манин Ю.И. Тонкая структура высоты Нерона—Тэйта Ц Мат. сб. 1970.
Т. 83, №3. С. 331—348.
[64]	Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии. Ч. 1: Аффинные схемы.
М.: Изд-во МГУ, 1970.
[65]	Манин Ю. И. Круговые поля и модулярные кривые // Успехи матем. наук.
1971. Т. 26, №6. С. 7—78.
[66]	Манин Ю. И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика. М.: На-
ука, 1972.
[67]	Манин Ю.И. Параболические формы и дзета-функции модулярных кри-
вых // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, № 1. С. 19—66.
[68]	Манин Ю. И. Неархимедово интегрирование и р-адические L-функции Жа-
ке—Ленглендса // Успехи матем. наук. 1976. Т. 31, вып. 1. С. 5—54.
[69]	Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Советское радио, 1979.
[70]	Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Советское радио, 1980.
[71]	Манин Ю.И. Новые размерности в геометрии Ц Успехи матем. наук. 1984.
Т. 34, вып. 6. С. 47—73.
[72]	Манин Ю.И., Панчишкин А. А. Введение в теорию чисел // Итоги науки
и техники. Соврем, пробл. матем. Фундам. направления. Т. 49. М.: ВИНИТИ,
1989. С. 5—348.
[73]	Манин Ю.И., Цфасман М.А. Рациональные многообразия: алгебра, гео-
метрия, арифметика // Успехи матем. наук. 1986. Т. 41, №2. С. 43—94.
[74]	Марков А. А. Теория алгорифмов // Тр. МИАН. Т. 42. 1954.
[75]	Матиясевич Ю.В. Диофантовы множества // Успехи матем. наук. 1972.
Т. 22, вып. 5. С. 185—222.
[76]	Нисневич Л. Б. О числе точек алгебраического многообразия в простом ко-
нечном поле //Докл. АН СССР. 1954. Т. 99. С. 17—20.
[77]	Панчишкин А. А. Модулярные формы Ц Итоги науки и техники. Алгебра.
Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1981. Т. 19. С. 135—180.
500
Литература
[78]	Панчишкин А. А. Автоморфные формы и принцип функториальности Ц Ав-
томорфные формы, представления и L-функции. М.: Мир, 1984. С. 249—286.
[79]	Панчишкин А. А. Неархимедовы автоморфные дзета-функции. М.: Изд-во
МГУ, 1988.
[80]	Паршин А.Н. Арифметика алгебраических многообразий Ц Итоги науки
и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1971. С. 111—152.
[81]	Паршин А.Н. Минимальные модели кривых рода 2 и гомоморфизмы абеле-
вых многообразий, определенных над полем конечной характеристики // Изв.
АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, № 1. С. 67—109.
[82]	Паршин А. Н. Модулярные соответствия, высоты и изогении абелевых мно-
гообразий // Тр. МИАН. 1973. Т. 122. С. 211—236.
[83]	Паршин А.Н., Шафаревич И.Р. Арифметика алгебраических многообра-
зий Ц Алгебра, математическая логика, теория чисел, топология: Сб. статей
к 50-летию ин-та // Тр. МИАН. 1984. Т. 168. С. 72—97.
[84]	Платонов В.П. Арифметическая теория алгебраических групп Ц Успехи
матем. наук. 1982. Т. 37, №3. С.З—54.
[85]	Платонов В.П., Рапинчук А. С. Алгебраические группы // Итоги нау-
ки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. Т. 21. М.: ВИНИТИ, 1983.
С. 80—131.
[86]	Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.
[87]	Постников М.М. Теорема Ферма. М.: Наука, 1978.
[88]	Сложность вычислений и алгоритмов / Под ред. В. А. Козмидиади, А. Н. Мас-
лова, В. Н. Петри. М.: Мир, 1974.
[89]	Спринджук В. Г. Классические диофантовы уравнения от двух неизвестных.
М.: Наука, 1982.
[90]	Степанов С. А. Рациональные точки алгебраических кривых над конечными
полями Ц Актуальные проблемы аналитической теории чисел. Минск: Наука
и техника, 1974. С. 224—241.
[91	] Степанов С. А. Диофантовы уравнения: алгебра, математическая логика, те-
ория чисел, топология: Сб. обзорных статей к 50-летию ин-та Ц Тр. МИАН.
1984. Т. 168. С. 31—45.
[92]	Степанов С. А. Арифметика алгебраических кривых. М.: Наука, 1991.
[93]	Фельдман Н.И. Седьмая проблема Гильберта. М.: Изд-во МГУ, 1982.
[94]	Фоменко О. М. Приложения терии модулярных форм к теории чисел // Итоги
науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1977. Т. 15.
С. 5—91.
[95]	Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Наука, 1978.
[96]	Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. М.: Наука, 1979.
[97]	Чеботарёв Н. Т. Введение в теорию алгебры. М.: ОГИЗ, 1949.
Литература
501
[98]	Чебышев П.Л. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1955.
[99]	Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. М.: Гостехиздат, 1947.
[100]	Шафаревич И. Р. Общий закон взаимности Ц Мат. сб. 1950. Т. 26.
С. ИЗ—146.
[101]	Шафаревич И. Р, Новое доказательство теоремы Кронекера—Вебера Ц Тр.
матем. ин-та АН СССР. 1951. Т. 38. С. 382—387.
[102]	Шафаревич И.Р. Построение полей алгебраических чисел с заданной раз-
решимой группой Галуа // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18, №6.
С. 525—578.
[103]	Шафаревич И.Р. Показатели эллиптических кривых // Докл. АН СССР.
1957. Т. 114, №4. С. 714—716.
[104]	Шафаревич И.Р. Группа главных однородных алгебраических многообра-
зий //Докл. АН СССР. 1959. Т. 124. № 1. С.42—43.
[105]	Шафаревич И.Р. Поля алгебраических чисел // Proc. Int. Congr. Math.
Stockholm. 1962. С. 163—176.
[106]	Шафаревич И.Р. Алгебраические поверхности Ц Тр. МИАН. Т.75. 1965.
[107]	Шафаревич И.Р. Дзета-функция. М.: Изд-во МГУ, 1969.
[108]	Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры // Итоги науки и техники. Со-
врем. пробл. матем. Фундам. направления. Т. 11. Алгебра-1. М.: ВИНИТИ,
1987.
[109]	Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М.: МЦНМО, 2007.
[НО] Шидловский А. Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987.
[111]	Шокуров В. В. Интегралы Шимуры параболических форм // Изв. АН СССР.
Сер. матем. 1980. Т. 44, №3. С. 670—718.
[112]	Abbes A. Hauteurs et discretude (d’apres L. Szpiro E. Ullmo et S. Zhang) //
Seminaire Bourbaki, Exp. №825. Asterisque. 1997. Vol. 245. P. 141—166.
[113]	Adleman L.M., Heath-Brown D.R. The first case of Fermat’s last theorem //
Invent. Math. 1985. Vol. 79, №2. P. 409—416.
[114]	Adleman L.M., Pomerance C., Rumely R. C. On distinguishing prime numbers
from composite numvers from composite number // Ann. Math. 1983. Vol. 117.
P. 173—206.
[115]	Adleman L.M., Rivest R. L., Shamir A. A method for obtaining digital aigna-
tures and public-key cryptosystems // Comm. ACM. 1978. Vol. 21. P. 120—126.
[116]	Adleman L.M., Huang, Ming-Deh A. Primality testing and abelian varieties
over finite fields. Berlin: Springer-Verlag, 1992. (Lecture Notes in Math.;
Vol. 1512).
[117]	Agrawal M.,Kayal N., Saxena N. Primes is in P // Ann. Math. 2004. Vol. 160.
p. 781—793.
502
Литература
[118]	Alford W.-R., Granville A., Pomerance C. There are infinitely many Carmichael
numbers // Ann. Math. 1994. Vol. 139. P. 703—722.
[119]	Alling N., Greenleaf N. Foundations of the theory of Klein surfaces. Berlin:
Springer-Verlag, 1971. (Lecture Notes in Math.; Vol. 219).
[120]	Anderson G. IF. Logarithmic derivatives of Dirichlet L-functions and the periods
of abelian varieties // Comp. Math. 1982. Vol. 45. P. 315—332.
[121]	Andrews G. E. The theory of partitions. Addison-Wesley, 1976. [Имеется пе-
ревод: Эндрюс Г. Теория разбиений. М.: Наука. 1982.]
[122]	Andrianov A. N, Modular descent and the Saito—Kurokawa conjecture //
Invent. Math. 1979. Vol. 53, №3. P. 267—280.
[123]	Antonescu C., Christensen E. Spectral triples for AF C*-algebras and metrics
on the Cantor set. Preprint http://arxiv.org/abs/math/0309044
[124]	Apostol T.M. Introduction to analytic number theory. New York: Springer-Ver-
lag, 1998.
[125]	Arakelov S. M. Theory of intersections on the artihmetic surface // Proc. Int.
Congr. Math. Vancouver. 1974. P. 405—408.
[126]	Arithmetic algebraic geometry (Park City, UT, 1999) / Ed. B. Conrad, K. Rubin.
Providence, RI: AMS, 2001. (IAS/Рагк City Math. Ser.; Vol. 9). P. 143—232.
[127]	Arithmetic geometry / Ed. G. Cornell, J. H. Silverman. New York: Springer-Ver-
lag, 1986.
[128]	Arithmetic geometry / Papers from the conference held at the University of
Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30—August 10, 1984, Ed. G. Cornell,
J. H. Silvermann. New York; Springer-Verlag, 1986.
[129]	Arithmetic of higher-dimensional algebraic varieties // Proceedings of the Work-
shop on Rational and Integral Points of Higher—Dimensional Varieties held in
Palo Alto, CA. December 11—20, 2002 / Ed. B. Poonen, Yu. Tschinkel. Boston,
MA: Birkhauser Boston, Inc., 2004. (Progr. Math.; Vol. 226).
[130]	Arneodo A. L’analyse multifractale des signaux // Images des mathematiques
2004. CNRS I Ed. Et.Ghys J.Istas. Fevrier 2004. P. 7—14.
[131]	Arthur J. The trace formula for noncompact quotients // Proceedings of Inter-
national Congr of Math. Warsaw, 1983. P. 849—859.
[132]	Arthur J., Clozel L. Simple algebras, base change and the advanced theory of
the trace formula. Princeton, NJ: PUP, 1989. (Ann. Math. Stud.; Vol. 120).
[133]	Arthaud N. On Birch and Seinnerton—Dyer’s conjecture for elliptic curves with
complex multiplication // Comp. Math. 1978. Vol. 37, №2. P. 209—232.
[134]	Artin E. ZurTheorie derL-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren Ц Abh.
Math. Semin. Univ. Hamburg. 1930. Vol. 8. P. 292—306.
[135]	Artin E. Algebraic numbers and algebraic functions / Lecture Notes J. Adam-
son. New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1967.
Литература
503
[136]	Artin Е. The collected papers of Emil Artin. Reading, Mass.; London: Addison—
Wesley Publishing Co., Inc., 1965.
[137]	Artin E., Tate J. Class field theory. New York; Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc.,
1968.
[138]	Artin E., Whaples G. Axiomatic characterization of fields by the product for-
mula I I Bull. Amer. Math. Soc. 1945. Vol. 51, №7. P. 469—492.
[139]	Atiyah M.F., Bott R. A Lefchetz fixed point formula for elliptic complexes: I //
Ann. Math. 1967. Vol. 86. P. 374—407.
[140]	Atiyah M.F., Patodi V./(., Singer I.M. Spectral asymmetry and Riemannian
geometry. I // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1975. Vol. 77. P. 43—69.
[141]	Atkin A., Lehner J. Hecke operators on Го(т) // Math. Ann. 1970. Vol. 185.
P. 134—160.
[142]	Atkin A. O. L., Morain F. Elliptic curves and primality proving// Math. Comput.
1993. Vol. 61, №203. P. 29—68.
; [143] Automorphic forms, representations and L-functions Ц Automorphic forms,
representations and L-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State
Univ., Corvallis, Ore., 1977) / Ed. A. Borel, W. Casselman. Providence, RI:
AMS, 1979. Parts 1—2. (Proc. Sympos. Pure Math.; Vol. 33). [Имеется пере-
вод: Автоморфные формы, представления и L-функции: Пер. с англ, и франц.
Вып. 34. М.: Мир, 1984. 288 с. (Математика. Новое в зарубежной науке).]
[144]	Ах J. Zeros of polynomials over finite fields Ц Amer. J. Math. 1964. Vol. 86.
P. 255—261.
[145]	Ball K., Rivoal T. Irrationalite d’une infinite de valeurs de la fonction zeta aux
entiers impairs // Invent. Math. 2001. Vol. 146. P. 193—207.
[146]	Baker A. Imaginary quadratic fields with class number 2 // Ann. Math. 1971.
Vol. 94, №1. 139—152.
[147]	Baker A. Transcendental number theory. Cambridge: Univ. Press, 1975.
[148]	Baker R.H., Harman G. The Brun—Titchmarsh Theorem on average // Pro-
ceedings of a conference in Honor of Heini Halberstam. 1996. Vol. 1. P. 39—103.
[149]	Barre-Sirieix K., Diaz G., Gramain F., Philibert G. Une preuve de la con-
jecture de Mahler-Manin // Invent. Math. 1996. Vol. 124, № 1—3. P. 1—9.
[150]	Barsky D. Sur la nullite de p-invariant d’lwasawa des corps totalement reels.
Preprint, Univ. Paris 13. P. 1—97, 24 mai 2004.
[151]	Batut C., Belabas D., Bernardi H., Cohen H., Olivier M. The PARI/GP
number theory system, http://pari.math.u-bordeaux.fr
[152]	Batyrev V.V., Manin Yu J. Sur le nombre des points rationnels de hauteur
borne des varietes algebriques // Math. Ann. 1990. Vol. 286, № 1—3. P. 27—43.
[153]	Batyrev V. I/., Tschinkel Y. Rational points on some Fano cubic bundles Ц
C.R.Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1996. Vol. 323 № 1. P. 41—46.
504
Литература
[154]	Baty rev V. I/., Tschinkel Y. Manin’s conjecture for tone varieties // J. Algebraic
Geom. 1998. Vol. 7, № 1. P. 15—53.
[155]	Batyrev V.V., Tschinkel Y. Tamagawa numbers of polarized algebraic va-
rieties I Nombre et repartition de points de hauteur bornee (Paris, 1996) Ц
Asterisque. 1998. №251. P. 299—340.
[156]	Baum P., Karoubi M., Roe J. On the Baum—Connes conjecture in the real
case // Q. J. Math. 2004. Vol. 55, №3. P. 231—235.
[157]	Baum P., Connes A., Geometric A-theory for Lie groups and foliations //
Enseignement Math. (2). 2000. Vol. 46, № 1—2. P. 1—35.
[158]	Birch B. J. Forms in many variables Ц Proc. Royal Soc. Sec. A. 1961/1962.
Vol. 265. P. 245—263.
[159]	Belkale P., Brosnan P. Periods and Igusa local zeta functions // Int. Math.
Res. Not. 2003. №49. P. 2655—2670.
[160]	Beardon A. F. The Geometry of discrete groups. Springer-Verlag, 1983. (Grad-
uate Texts in Math.; Vol. 91). [Имеется перевод: Бертон А.Ф. Геометрия
дискретных групп. М.: Наука, 1986.]
[161]	Bernstein D.J. Proving primality after Agrawal, Kayal and Saxena.
http://cr.yp.to/papers.html#aks, 25/01/2003.
[162]	Berry M.V. Riemann’s zeta function: a model of quantum chaos? Quantum
chaos. Berlin; Heidelberg: Springer, 1986. (Lecture Notes in Physics; Vol. 263).
P. 1 —17.
[163]	Berry M., Keating LH = qp and the Riemann zeros // Supersymmetry and
Trace Formulae: Chaos and Disorder / Ed. J. P. Keating, D. E. Khmelnitskii, I. V
Lemer. Plenum Press, 1999. P. 355—367.
[164]	Bers L. Uniformization by Beltrami equations // Comm. Pure Appl. Math. 1961.
Vol. 14. P. 215—228.
[165]	Bertrand D. Groupes algebriques et equations differentielles lineaires // Semi-
naire Bourbaki, Exp. №750. Asterisque. 1992. Vol. 205. P. 183—204.
[166]	Bertolini M., Darmon H. A rigid analytic Gross—Zagier formula and arithmetic
applications // Ann. of Math. (2). 1997. Vol. 146. P. 111 —147.
[167]	Bertolini M., Darmon H. A Birch and Swinnerton—Dyer conjecture for the
Mazur—Tate circle pairing // Duke Math. J. 2004. Vol. 122, № 1. P. 181—204.
[168]	Beurling A. A closure problem related to the zeta function // Proc. Nat. Ac.
Sci. 1955. Vol. 41. P. 312—314.
[169]	Bhargava M. Higher composition laws. I. A new view on Gauss composition,
and quadratic generalizations // Ann. of Math. (2). 2004. Vol. 159, №1.
P. 217—250.
[170]	Bilu Yu. F. Catalan’s conjecture (after Mihailescu) // Asterisque. 2004. Vol. 294.
P. 1—26.
[171]	Birch B.J. Conjectures concerning elliptic curves // Proc. Sympos. Pure Math.
Providence, RI: AMS, 1965. Vol. 8. P. 106—112.
Литература
505
[172]	Birch В. J. Heegner points on elliptic curves // Symp. math. Int. naz. alta mat.
London; New York, 1975. Vol. 15. P. 441—445.
[173]	Birch B.J., Davenport H. On a theorem of Davenport and Heilbronn // Acta
Math. 1958. Vol. 100. P. 259—279.
[	174] Birch B. J., Stephens N. Heegner’s construction of points on the curve y2 = x3—
-1728<?2. 1983. (Progr. Math.; Vol. 39). P. 119.
[175]	Birch B.J., Swinnerton-Dyer H.P. Notes on elliptic curves // J. reine and
angew. Math. 1963. Vol. 212. P. 7—25; II. 1965. 218. P. 79—108.
[176]	Birch B.J., Swinnerton-Dyer H.P. The Hasse problem for rational surfaces //
J. reine und angew. Math. 1975. Vol. 274/275. P. 164—174.
[177]	Bismut J.-M., Gillet H., Soule C. Analytic torsion and holomorphic determinant
bundles. I, II, III // Comm. Math.Phys. 1988. Vol. 115, № 1. P. 49—78; № 1.
P. 79—126; №2. P. 301—351.
[178]	Bloch S., Gillet H., Soule C. Algebraic Cycles on Degenerate Fibers // Arith-
metic Geometry (Cortona, 1994). Cambridge: CUP, 1997. (Sympos. Math.;
XXXVII). P.45—69.
[179]	Bloch S., Kato K. L-functions and Tamagawa numbers of motives // The Gro-
thendieck Festschrift, Vol. 1. Boston: Birkhauser Boston, 1990. (Progr. Math.:
Vol. 86). P. 333—400.
[180]	Bocherer S. Uber die FunktionalgleichungautomorpherL-Funktionen zur Sie-
gelschen Modulgruppe // J. Reine Angew. Math. 1985. Vol. 362. P. 146—168.
[181]	Bogomolov F.A., Tschinkel Yu. On the density of rational points on elliptic
fibrations // J. Reine Angew. Math. 1999. Vol. 511. P. 87—93.
[182]	Bogomolov F.A., Tschinkel Yu. Density of rational points on elliptic ^3 sur-
faces // Asian J. Math. 2000. Vol.4, №2. P.351—368.
[183]	Bombieri E. Counting points on curves over finite fields (d’apres S. A. Stepa-
nov) // Seminaire Bourbaki, Exp. №430. Berlin: Springer, 1974. (Lecture Notes
in Math.; Vol. 383). P. 234—241.
[184]	Bombieri E. The Mordell conjecture revisited // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa
Cl. Sci. (4). 1990. Vol. 17, №4. P.615—640.
[185]	Bombieri E., Vaaler J. On Siegel’s lemma // Invent. Math. 1983. Vol. 73.
P. 11—32.
[186]	Borcherds R.E. Monstrous moonshine and monstrous Lie superalgebras //
Invent. Math. 1992. Vol. 109. P. 405—444.
[187]	Borcherds R. E. Correction to: «The Gross—Kohnen—Zagier theorem in higher
dimensions» [Duke Math. J. 1999. Vol. 97, №2. P. 219—233] // Duke Math.
J. 2000. Vol. 105, № 1. P. 183—184.
[188]	Borel A. Automorphic L-functions // Proc. Symp. Pure Math. 1979. Vol. 33.
P. 27—61. [Перев. яз.: Борель А. Автоморфные L-функции Ц Автоморфные
формы, представления и L-функции. М.: Наука, 1984. С. 113—179.]
506
Литература
[189]	Bornemann F. Primes is in P, une avancee accessible a «I’homme ordinaire» //
Gazette des Math. 2003. №98. P. 14—30.
[190]	Bost J.-B. Theorie de 1’intersection et theoreme de Riemann—Roch arithme-
tiques // Seminaire Bourbaki, Exp. №731. Asterisque. 1991. Vol. 201—203.
P.43—88.
[191]	Bost J.-B. Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields // Publ.
Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 2001. №93. P. 161—221.
[192]	Bost J.-B., Gillet H., Soule C. Heights of projective varieties and positive Green
forms//J. Amer. Math. Soc. 1994. Vol. 7. P. 903—1027.
[193]	Bost J.-B. Periodes et isogenies des varietes abeliennes sur les corps de nombres
(d’apres D. Masser et G. Wiistholz) // Seminaire Bourbaki, Exp. № 795. Asteris-
que. 1996. Vol. 237. P. 115—161.
[194]	Bost J-В., Connes A. Hecke Algebras, Type III factors and phase transitions
with spontaneous symmetry breaking in number theory // Selecta Math. (N. S.).
1995. Vol. 1, №3. P. 411—457.
[195]	Bourbaki N. Commutative algebra. Paris: Hermann, 1972. [Имеется перевод:
Бурбаки H. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971.]
[196]	Bowen R. Hausdorff dimension of quasi-circles // Publ. Math. IHES. 1979.
Vol. 50. P. 11—25.
[197]	Boyle M., Handelman D. Orbit equivalence, flow equivalence, and ordered
cohomology // Israel J. Math. 1996. Vol. 95. P. 169—210.
[198]	Brauer R. On the zeta-functions of algebraic number fields. II // Amer. J. Math.
1950. Vol. 72, №4. P. 739—746.
[199]	Bremner A., Guy R. K. Unsolved problems. A dozen difficult diophantine dilem-
mas // Amer. Math. Mon. 1988. Vol. 95, № 1. P. 31—36.
[200]	Bren R.P. An improved Monte Carlo factorization algorithm // BIT. 1980.
Vol. 20. P. 176—184.
[201]	Brent R.P., Pollard J.M. Factorization of the eighth Fermat number // Math.
Comput. 1981. Vol. 36. P. 627—630.
[202]	de la Breteche R. Nombre de points de hauteur bomee sur les surfaces de del
Pezzo de degre 5 // Duke Math. J. 2002. Vol. 113, №3. P. 421—464.
[203]	Breuil Ch. Integration sur les varietes p-adiques (d’apres Coleman, Colmez) //
Seminaire Bourbaki, Exp. №860. Asterisque. 2000. Vol. 266. P. 319—350.
[204]	Brillhart J. Fermat’s factoring method and its variatns // Congresus Numer-
antium. 1981. Vol. 32. P. 29—48.
[205]	Brillhart J., Lehmer D. H., Tuckerman B., Wagstaff S. S. Factorisations of
bn ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 up to high powers. Providence, RI: AMS,
1983. (Contemporary Mathematics; Vol. 22).
[206]	Brudern J., Godinho H. On Artin’s conjecture. II. Pairs of additive forms //
Proc. London Math. Soc. (3). 2002. Vol. 84, №3. P. 513—538.
Литература
507
[207]	Bruhat F. Distributions sur un groupe localement compact et applications a
1’etude des representations des groupes p-adiques // Bull. Soc. Math. France.
1961. Vol. 89. P. 43—75.
[208]	de Bruijn N. G. On the number of positive integers x and free of prime factor
> у I I Ind. Math. 1951. Vol. 12. P.50—60.
[209]	Brylinski J. L. Transformations canoniques, dualite projective, theorie de Lef-
schetz, transfromation de Fourier et sommes trigonometriques // Asterisque.
1986. Vol. 140/141. P. 3—134.
[210]	Buhler J., Gross B., Zagier D. On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer
for an elliptic of rank 3 // Math. Comput. 1985. Vol. 44. P. 473—481.
[211]	Bump D., Cogdell J. W., de Shalit E., Gaitsgory D., Kowalski E., Kudla S. S.
An introduction to the Langlands program / Lectures presented at the Hebrew
University of Jerusalem, Jerusalem. March 12—16, 2001. Ed. J. Bemstein,
S. Gelbart. Boston, MA: Birkhauser Boston, Inc., 2003.
[212]	Bump D. Automorphic forms and representations. Cambridge: CUP, 1997.
[213]	Caporaso L., Harris J., Mazur B. Uniformity of rational points // J. Amer.
Math. Soc. 1997. Vol. 10, № 1. P. 1—35.
[214]	Carayol H. Preuve de la conjecture de Langlands locale pour GL„: travaux
de Harris—Taylor et Henniart // Seminaire Bourbaki, Exp. № 857. Asterisque.
2000. №266. P. 191—243.
[215]	Cartier P. Des nombres premiers a la geometrie algebrique (une breve histoire
de la function zeta) Ц Analyse diophantienne et geometrie algebrique. Paris:
Univ. Paris VI, 1993. Vol.3. (Cahiers Sem. Hist. Math.; Ser. 2). P. 51—77.
[216]	Cartier P. An introduction to zeta functions Ц From number theory to physics
(Les Houches, 1989) / Ed. Waldschmidt and al. Berlin: Springer, 1992. P. 1—63.
[217]	Cartier P. La folle journee, de Grothendieck a Connes et Kontsevich: evolution
des notions d’espace et de symetrie // Les relations entre les mathematiques
et la physique theorique. Bures-sur-Yvette: Inst. Hautes Etudes Sci., 1998.
P. 23—42. (Перевод на англ.: A mad day’s work: from Grothendieck to Connes
and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry // Bull. Amer.
Math. Soc. (N.S.). 2001. Vol. 38. №4. P. 389—408).
[218]	Cartier P. Fonctions polylogarithmes, nombres polyz£tas et groupes pro-
unipotents // Seminaire Bourbaki, Exp. №885. Asterisque. 2002. Vol. 282.
P. 137—173.
[219]	Cartier P., Voros A. Une nouvelle interpretation de la formule des traces
de Selberg // The Grothendieck Festschrift, Vol. II. Boston, MA: Birkhauser
Boston, 1990. (Progr. Math.; Vol. 87). P. 1—67.
[220]	Cassels J.W.S. An introduction to the geometry of numbers. Berlin, 1959.
[Имеется перевод: Касселе Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.]
[221	] Cassels J. W. S. Diophantine equations with special reference to elliptic curves //
J. London Math. Soc. 1968. Vol. 12. №1. P. 113—160; 1968. Vol. 12, №2.
508
Литература
Р. 5—48; 1966. Vol. 41. Р. 193—291. [Имеется перевод: Касселе Дж. Диофан-
товы уравнения со специальным рассмотрением эллиптических кривых Ц
Математика: Сб. перев. Т. 12. №1. М.: Мир, 1968. С. 113—160; 12. №2.
С. 5—48.]
[222]	Cassels J. W.S. Rational quadratic forms. London: Acad. Press, 1978. (London
Mathematical Society Monographs; Vol. 13). [Имеется перевод: Касселе Дж.
Рациональные квадратичные формы. М.: Мир, 1982.]
[223]	Cassels J. W. S. Arithmetic on curves of genus one // J. reine. und angew. Math.
1959. Vol. 202. P. 52—99.
[224]	Cassels J. W. S., Bremner A. On the equation y2 = x(x2 -I- p) // Math. Comput.
1984. Vol. 42. P. 257—264.
[225]	Cassels	Frolich A. Algebraic number theory // Proc. Int. Congr.
London Math. Soc. Washington, D. C.: Thompson, 1967. [Имеется перевод:
Алгебраическая теория чисел / Под ред. Дж. Касселса, А. Фрёлиха. М.: Мир,
1969.]
[226]	Chandrasekharan К. Arithmetical functions. Berlin et al.: Springer, 1970.
[Имеется перевод: Чандрасекхаран К. Арифметические функции. М.: Нау-
ка, 1975.]
[227]	Chambert-Loir A., Tschinkel Y. On the distribution of points of bounded
height on equivariant compactifications of vector groups // Invent. Math. 2002.
Vol. 148, №2. P. 421—452.
[228]	Chambert-Loir A. Theoremes d’algebricite en geometrie diophantienne (d’apres
J.-B. Bost, Y. Andre, D. & G. Chudnovsky) // Seminaire Bourbaki, Exp. №886.
Asterisque. 2002. Vol. 282. P. 175—209.
[229]	Chebotarev N. G. Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzak-
len, welche zu einer gegebenen substitutions Klasse gehoren // Math. Ann.
1925. Vol. 95. P. 151—228.
[230]	Chevalley C. La theorie du corps de classes // Ann. Math. 1940. Vol. 41.
P. 394—418.
[231]	Chevalley C. Deux theoremes d’arithmetique //J. Math. Soc. Jap. 1951. Vol.3.
P. 36—44.
[232]	Chowla S. The last entry in Gauss’ diary // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1949.
Vol. 35. P. 244—246.
[233]	Chowla S., SelbergA. On Epstein’s zeta-function // J. fGr die reine und angew.
Math. 1967. Vol. 227. P. 86—110
[234]	Clozel L. Base change for GL(rt) // Proceedings of the International Congress of
Mathematicians. Vol. 1, 2 (Berkeley, Calif., 1986). Providence, RI: AMS, 1987.
P. 791—797.
[235]	Clozel L. Nombre de points des varietes de Shimura sur un corps fini (d’apres
R.Kottwitz) // Seminaire Bourbaki, Exp. №766. Asterisque. 1993. Vol. 216.
P. 121 — 149.
Литература
509
[236]	Coates J. On Iwasawa’s analogue of the Jacobian for totally real number fields //
Anal. Number Theory. Proc. Symp. Pure Math. 1973. P. 51—61.
[237]	Coates J. The work of Gross and Zagier on Heegner points and the derivatives of
L-series // Seminaire Bourbaki, Exp. №633. Asterisque. 1984. Vol. 85. P. 1 —16.
[Имеется перевод: Коутс Дж. Работа Б. Гросса и Д. Загира о точках Хегнера
и производных L-рядов // Алгебра и теория чисел (с приложениями). М.:
Мир, 1987. Р. 239—256.]
[238]	Coates J., Wiles A. On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer // Invent.
Math. 1977. Vol. 39, №3. P. 223—251.
[239]	Coates J. The work of Gross and Zagier on Heegner points and the derivatives
of L-series // Seminar Bourbaki, Exp. 633. Asterisque. 1986. Vol. 133—134.
P.57—72.
[240]	Coates J. On p-adic L-functions // Seminaire Bourbaki, Exp. №701. Asteris-
que. 1989. Vol. 177—178. P. 177—178. [Имеется перевод: Коунтс Дж. р-ещл-
ческие L-функции Ц Труды семинара Н. Бурбаки за 1989 г. М.: Мир, 1991.]
\ [241] Coates J. Iwasawa algebras and arithmetic // Seminaire Bourbaki, Exp. №896.
* Asterisque. 2003. Vol. 290. P. 37—52.
[242]	Coates J., Fukaya T., Kato K., Sujatha R., Venjakob O. The GL2 main con-
jecture for elliptic curves without complex multiplication // Publ. Math. Inst.
Hautes Etudes Sci. 2005. Vol. 101.
[243]	Coates J., Schneider P., Sujatha R. Links between cyclotomic and GL2 Iwa-
sawa theory. Kazuya Kato’s fiftieth birthday // Doc. Math. 2003. Extra Vol.
P. 187—215 (electronic).
[244]	Cogdell J. W., Kim H. H., Piatetski-Shapiro I. /., Shahidi F. Functoriality
for the classical groups Ц Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 2004. № 99.
P. 163—233.
[245]	Cogdell J. W., Kim H.H., Murty M. Lectures on automorphic L-functions //
Fields Institute Monographs. Providence, RI: AMS, 2004. Vol. 20.
[246]	Cogdell J. IF., Piatetski-Shapiro 1.1. Converse theorems for GLn // Publica-
tions Mathematiques de 1T.H.E. S. 1994. №79. P. 157—214.
[247]	Cogdell J. IF., Piatetski-Shapiro 1.1. Converse theorems, functoriality, and
applications to number theory // Proceedings of the International Congress
of Mathematicians. Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Higher Ed. Press, 2002.
P. 119—128.
[248]	Cohen H., Lenstra H. IF., Jr. Primarily testing and Jacobi sums // Math.
Comput. 1984. Vol. 42, № 165. P. 297—330. [Имеется перевод: Коэн X., Лен-
стра X. Тесты простоты и суммы Якоби Ц Киб. сб. 1987. № 24. Р. 101 —159.]
[249]	Cohen Н. A course in computational algebraic number theory. Berlin: Sprin-
ger-Verlag, 1996. (Graduate Texts in Math.; Vol. 138).
[250]	Cohen H. Advanced topics in computational number theory. New York: Sprin-
ger-Verlag, 2000. (Graduate Text in Math.; Vol. 193).
510
Литература
[251]	Cohen И., Lenstra Н. W.Jr. Heuristics on class groups of number fields Ц
Number theory. Noordwijkerhout 1983 (Noordwijkerhout, 1983). Berlin: Sprin-
ger, 1984. (Lecture Notes in Math.; Vol. 1068). P. 33—62;
[252]	Cohen H., Lenstra H. W.Jr. Primality testing and Jacobi sums // Math. Com-
put. 1984. Vol. 42. P. 297—330.
[253]	Coleman R., Mazur B. The eigencurve. Galois representations in arithmetic
algebraic geometry (Durham, 1996). Cambridge: CUP, 1998. (London Math.
Soc. Lecture Note Ser.; Vol. 254). P. 1 —113.
[254]	Colliot-Thelene J.-L., Sansuc J-J. La descente sur les varietes rationelles. I //
Journees de Geometrie Algebrique d’Angers, Juillet 1979/Algebraic Geometry,
Angers, 1979. Alphen aan den Rijn: Sijthoff & Noordhoff, 1980. P. 223—237.
[255]	Colliot-Thelene J.-L., Sansuc J-J. La descente sur les varietes rationelles. II //
Duke Math. J. 1987. Vol. 54. P. 375—422.
[256]	Colmez P. Periodes des varietes abeliennes a multiplication complexe // Ann.
of Math. 1993. Vol. 138. P. 625—683.
[257]	Colmez P. Fonctions L p-adiques // Seminaire Bourbaki, Exp. №851. Asteris-
que. 2000. Vol. 266. P. 21—58.
[258]	Colmez P. Les conjectures de monodromie p-adiques // Seminaire Bourbaki,
Exp. №897. Asterisque. 2003. Vol. 290. P. 53—101.
[259]	Colmez P. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer p-adique Ц Seminaire
Bourbaki, Exp. №919. Asterisque. 2004. Vol. 294. P. 251—319.
[260]	Computational methods in number theory, Vol. 1, 2 / Ed. H.W. Lenstra,
Jr. R. Tijdeman. Amsterdam: Math. Centrum, 1982. (Math. Center Tracts;
Vol. 154, 155).
[261]	Connes A. An analogue of the Thom isomorphism for crossed products of a
C*-algebra by an action of R // Adv. in Math. 1981. Vol. 39, № 1. P. 31—55.
[262]	Connes A. Cyclic cohomology and the transverse fundamental class of a foli-
ation // Geometric methods in operator algebras (Kyoto, 1983). Harlow: Long-
man Sci. Tech., 1986. (Notes in Math. Ser; Vol. 123). P. 52—144.
[263]	Connes A. Compact metric spaces, Fredholm modules, and hyperfiniteness //
Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1989. Vol. 9. P. 207—220.
[264]	Connes A. Noncommutative geometry. Academic Press, 1994.
[265]	Connes A. Geometry from the spectral point of view // Lett. Math. Phys. 1995.
Vol. 34, №3. P. 203—238.
[266]	Connes A. Formule de trace en Geometrie non commutative et hypothese de
Riemann // C.R.Acad. Sci. Ser. A-В. Paris, 1996.
[267]	Connes A. Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the
Riemann zeta function // Selecta Math. (N. S.). 1999. Vol. 5, № 1. P. 29—106.
[268]	Connes A. A short survey of noncommutative geometry // J. Math. Phys. 2000.
Vol. 41, №6. P. 3832—3866.
Литература
511
[269]	Connes A. Noncommutative geometry and the Riemann zeta function // Math-
ematics: Frontiers and Perspectives / Ed. V. Arnold et al. Providence, RI: AMS,
2000. P. 35—54.
[270]	Connes A. Nombres de Betti L? et facteurs de type //b d’apres D. Gaboriau
et S.Popa // Seminaire Bourbaki, Exp. №920. Asterisque. 2004. Vol. 294.
P. 321—333.
[271]	Connes A., Kreimer D. Renormalization in quantum field theory and the Rie-
mann—Hilbert problem. II: The p-function, diffeomorphisms and the renormal-
ization group // Comm. Math. Phys. 2001. Vol. 216, № 1. P. 215—241.
[272]	Connes А., Marcolli M. From physics to number theory via noncommutative
geometry // Frontiers in number theory, physics, and geometry. Berlin: Springer,
2006. P. 269—347.
[273]	Connes A., Moscovici H. The local index formula in noncommutative geome-
try // Geom. Funct. Anal. 1995. Vol. 5, №2. P. 174—243.
[274]	Connes A., Moscovici H. Modular Hecke algebras and their Hopf symmetry //
Moscow Math. J. 2004. Vol. 4. P. 67—109.
[275]	Connes A., Moscovici H. Rankin—Cohen brackets and the Hopf algebra of
transverse geometry // Moscow Math. J. 2004. Vol. 4. P. 111—130.
[276]	Consani C. Double complexes and Euler L-factors // Compositio Math. 1998.
Vol. 111. P.323—358.
[277]	Consani C., Marcolli M. Noncommutative geometry, dynamics and oo-adic
Arakelov geometry // Selecta Math. (N.S.). 2004. Vol. 10. P. 167—251.
[278]	Consani C., Marcolli M. Spectral triples from Mumford curves // International
Math. Research Notices. 2003. Vol. 36. P. 1945—1972.
[279]	Consani C., Marcolli M. New perspectives in Arakelov geometry // Number
theory. Providence, RI: AMS, 2004. (CRM Proc. Lecture Notes; Vol. 36).
P. 79—100.
[280]	Consani C., Marcolli M. Archimedean Cohomology Revisited // Noncommu-
tative geometry and number theory. Wiesbaden, 2006. (Aspects Math.; E36).
P. 109—140.
[281]	Conway J.H., Norton S. Monstrous moonshine // Bull. London. Math. Soc.
1979. Vol. 11. P. 308—339.
[282]	Conway J.H., Sloane NJ. A. Sphere Packings, Lattices and Groups. 3rd ed.
New York: Springer-Verlag, 1998. [Имеется перевод: Конвей Дж., Слоэн Н.
Упаковки шаров, решетки и группы. Т. 1,2. Издательство: М.: Мир, 1990.]
[283]	Cornut Ch. Mazur’s conjecture on higher Heegner points // Invent. Math. 2002.
Vol. 148, №3. P. 495—523.
[284]	Cremona J. E. Algorithms for Modular Elliptic Curves. 2nd ed. Cambridge: CUP,
1997.
512
Литература
[285]	Cuntz J. A class of C*-algebras and topological Markov chains II: Re-
ducible chains and the £x/-functor for C*-algebras // Invent. Math. 1981.
Vol. 63. P. 25—40.
[286]	Cuntz J., Krieger W. A class of C*-algebras and topological Markov chains //
Invent. Math. 1980. Vol. 56. P. 251—268.
[287]	Dalbo F. Codage des geodesiques fermees des quotients de 1’espace hyper-
bolique par un groupe libre. Influence des transformations paraboliques // Semi-
naire Gaston Darboux de Geometric et Topologie Differentielle, 1994—1995
(Montpellier). Montpellier, 1995. Vol. 3. P. 3—19.
[288]	Darmon H. A proof of the full Shimura—Taniyama—Weil conjecture is an-
nounced Ц Notices of the AMS. 1999. Vol. 46, №11. P. 1397—1401.
[289]	Darmon H., Diamond F., Taylor R. Fermat’s Last Theorem. In: [330].
P.2—140.
[290]	Davenport H. The work of К. E. Roth // Proc. Int. Congr. Math. Edinburgh.
1958. LVII—LX. Cambridge: Univ. Press. 1960.
[291]	Davenport H. The higher arithmetic. London: Hutchinson, 1968. [Имеется
перевод: Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. М.:
Наука, 1965.]
[292]	Davenport Н. Miltiplicative number theory. New York: Springer, 1980. [Имеется
перевод: Давенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. М.: Наука, 1971.]
[293]	Davenport Н., Hasse Н. Die Nullstellen der Kongruenz Zetafunktion in gewis-
sen zyklischen Fallen // J. reine und angew. Math. 1935. Vol. 162. P. 151 —182.
[294]	Davis M., Matijasevic Ju., Robinson J. Hilbets’s tenth problem. Diophantine
equations: positive aspects of a negative solution // Proc. Symp. Pure Math.
1974. Vol. 23. P. 323—378.
[295]	Dedekind R. Mathematische Werke. Vol. I, IL New York: Chelsea, 1969.
[296]	Deligne P. Formes modulaires et representations /-adiques // Seminaire Bour-
baki, Exp. №355. 1968/69. P. 139—192. [Имеется перевод: Делинь П. Моду-
лярные формы и /-адические представления Ц Серр Ж. -П. Абелевы /-ади-
ческие представления и эллиптические кривые. М.: Мир, 1973. С. 154—186.]
[297]	Deligne Р. Theorie de Hodge. II // Publ. Math. IHES Paris. 1971. №40.
P. 1—57. [Имеется перев.: Делинь П. Теория Ходжа. II // Математика: Сб.
перев. 1973. Т. 17, №5. С. 3—56.]
[298]	Deligne Р. Preuve des conjecture de Tate et de Shafarevitch // Seminaire
Bourbaki, Exp. №616. Asterisque. 1985. Vol. 121 —122. P. 1 —17. [Имеется пе-
ревод: Делинь П. Доказательство гипотез Тэйта и Шафаревича // Алгебра
и теория чисел (с приложениями). М.: Мир, 1987. Р. 100—124.]
[299]	Deligne Р. Les constantes des equations fonctionnelles des fonctions L. Berlin:
Springer, 1973. (Lecture Notes in Math.; Vol. 349). P. 501—595.
[300]	Deligne P. La conjecture de Weil. I // Pubis Math. Inst, hautes etud. sci. 1974.
Vol. 43. P. 273—307. [Имеется перевод: Делинь П. Гипотеза Вейля. I // Успехи
мат. наук. 1975. Vol. 30, №5. Р. 159—190.]
Литература
513
[301]	Deligne Р. Valeurs de fonctions L et periodes d’integrales. Automorphic forms,
representations and L-functions // Proc. Symp. Pure Math. Amer. Math. Soc.
Corvallis. Ore. 1977. Part 2. Providence, RI: AMS, 1979. Vol. 33. P. 313—346.
[302]	Deligne P. Sommes de Gauss et revetements de SL(2) [d’apres S. J. Patter-
son] I I Seminaire Bourbaki, Exp. №539. Berlin: Springer, 1980. (Lecture Notes
in Math.; Vol. 770). P. 244—277.
[303]	Deligne P. La conjecture de Weil. II // Publ. Math. IHES. 1981. Vol. 52.
[304]	Deligne P., Husemoller D. Survey of Drinfel’d modules // Current trends in
arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985). Providence, RI: AMS,
1987. (Contemp. Math.; Vol. 67). P. 25—91.
[305]	Deligne P., Milne L, Ogus A., Shih K. Hodge cycles, motives and Shimura
varieties // Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. Berlin: Springer-Ver-
lag, 1982. (Lecture Notes in Math.; Vol. 900).
[306]	Deligne P., Serre J. -P. Formes modulaires de poins 1 // Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup. (4). 1974. Vol. 7. P. 507—530.
[307]	Deninger C. On the Г-factors attached to motives // Invent. Math. 1991.
Vol. 104. P. 245—261.
[308]	Deninger C. Evidence for a cohomological approach to analytic number theory //
First European Congress of Mathematics, Vol. I (Paris, 1992). Basel: Birkhauser,
1994. (Progr. Math.; Vol. 119). P. 491—510.
[309]	Deninger C. Local L-factors of motives and regularized determinants Ц Invent.
Math. 1992. Vol. 107, № 1. P. 135—150.
[310]	Deninger C. Motivic L-functions and' regularized determinants // Motives
(Seattle, WA, 1991). Providence, RI: AMS, 1994. Parti. (Proc. Sympos. Pure
Math.; Vol. 55). P. 707—743.
[311]	Deninger C. Number theory and dynamical systems on foliated spaces Ц
Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 2001. Vol. 103, №3. P.79—100.
[312]	Deshouillers L-M. Letude des formes cubiques rationnelles via la methode du
cercle, d’apres D. R. Heath-Brown, C. Hooley et R.C. Vaughan // Seminaire
Bourbaki, Exp. №720. Asterisque. 1990. Vol. 189—190. P. 155—177. [Имеет-
ся перевод: Дезуйе Ж.-М. Изучение рациональных кубических форм кру-
говым методом (по Д. Р. Хит-Брауну, К. Холи и Р. Бону // Труды семинара
Н. Бурбаки за 1990 г. М.: Мир, 1996. С. 115—132.]
[313]	Dearing М. Imaginare quadratische Zahlkorper mit der Klassenzahl Eins //
Invent. Math. 1968. Vol. 5, №3. P. 169—179.
[314]	Dickson L.E. History of the theory of numbers. Vol. I—III. Chelsea, 1952.
[315]	Diffie W., Hellman M. E. New directions in cryptography//IEEE Trans. Inform.
Theory. 1976. Vol. 22. P 644—654.
[316]	Dirichlet P.G.L., Dedekind /. Vorlesungen uber Zahlentheorie. New York:
Chelsea, 1986. [Имеется перевод: Дирихле П.Г. Теория чисел / В обработке
и с дополнениями Дедекинда. М.; Л.: ОНТИ, 1938.]
514
Литература
[317]	Dixon J.D. Factorization and primarility tests // Amer. Math. Mon. 1984.
Vol. 91. P. 333—352.
[318]	Dolan L., Goddard P., Montague P. Conformal field theory, triality and the
Monster group I I Phys. Lett. В 236. 1990. №2. P 165—172.
[319]	Drinfeld V. G. Langlands conjecture for GL(2) over functional fields // Proc. Int.
Congr. Math. (Helsinki, 1978). Helsinki: Acad. Sci. Fennica, 1980. P. 565—574.
[320]	Duke W., Friedlander J., Iwaniec H. Representations by the Determinant and
Mean Values of L-Functions. In Sieve Methods // Exponential Sums and their
Applications in Number Theory. Cambridge: CUP, 1997. P. 109—115.
[321	] Dwork B. On the rationality of the zeta-function // Amer. J. Math. 1959. Vol. 82.
P. 631—648.
[322]	Edixhoven S.J. Serre’s conjecture. In: [583]. P. 209—241
[323]	Edixhoven B. Rational elliptic curves are modular (after Breuil, Conrad,
Diamond and Taylor) // Seminaire Bourbaki, Exp. №871. Asterisque. 2002.
Vol. 276. P. 161 —188.
[324]	Edwards H.M. Riemann’s zeta-function. New York: Acad. Press, 1974.
[325]	Edwards H.M. Fermat’s last theorem. A genetic introduction to algebraic
number theory. New York: Springer, 1977. [Имеется перевод: Эдвардс Г.М.
Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию
чисел. М.: Мир, 1980.]
[326]	Eichler М. Quaternare quadratische Formen und die Riemannsche vermutung
fijr die Kongruenzzetafunktion// Arch. Math. 1954. Vol. 5, №4—6. P. 355—366.
[327]	Eichler M. The basis problem for modular forms and the traces of the Hecke
operators // The basis problem for modular forms. Berlin: Springer, 1973.
(Lecture Notes in Math.; Vol. 320). P. 75—151.
[328]	Eisenstein G. Beitrage zur Theorie der elliptischen Funktionen // J. reine und
angew. Math. 1847. Vol. 35. P. 135—274.
[329]	Elkies N.D. On A4 + В4 + C4 = D4 // Math. Comput. 1988. Vol. 51, № 184.
P. 825—835.
[330]	Elliptic curves, modular forms & Fermat’s last theorem // Proceedings of the
Conference on Elliptic Curves and Modular Forms held at the Chinese University
of Hong Kong, Hong Kong, December 18—21, 1993 /Ed. J. Coates, S.T. Yau.
2nd ed. Cambridge, MA: International Press, 1997.
[331]	Eskin A., Rudnick Z., Samak P. A proof of Siegel’s weight formula Ц Internat.
Math. Res. Notices. 1991. №5. P. 65—69.
[332]	Fallings G. Endlichkeitssatze fiir abelschen Varietaten Ober Zahlhorpern //
Invent. Math. 1983. Vol. 73, №3. P. 349—366.
[333]	Fallings G. Calculus on arithmetic surfaces // Ann. Math. (2). 1984. Vol. 119,
№ 2. P. 387—424.
Литература
515
[334]	Fallings G. Arithmetische Kompaktifizierung des Modulraums der abelschen
Varietaten // Workshop Bonn 1984 (Bonn, 1984). Berlin: Springer, 1985.
(Lecture Notes in Math.; Vol. 1111). P. 325—383.
[335]	Fallings G. Recent progress in arithmetic algebraic geometry // Abstracts
Int. Congr. Math. Berkeley: Princeton Univ., 1986. P. 4—6. [Имеется перевод:
Фальтингз Г. Новейшие достижения в арифметической алгебраической гео-
метрии // Межденародный конгресс математиков в Беркли. М.: Мир, 1991.
С. 105—113.]
[336]	Fallings G. Diophantine approximation on abelian varieties Ц Ann. Math. (2).
1991. Vol. 133, №3. P. 549—576.
[337]	Fallings G. Lectures on the arithmetic Riemann-Roch theorem / Notes taken
by S. Zhang. Princeton, NJ: PUP, 1992. (Ann. Math. Stud.; Vol. 127).
[338]	Fallings G. Curves and their fundamental groups (following Grothendieck,
Tamagawa and Mochizuki) // Seminaire Bourbaki, Exp. №840. Asterisque.
1998. Vol. 252. P. 131 —150.
[339]	Fallings G. A new application of Diophantine approximations // A panorama
of number theory or the view from Baker’s garden (Zurich, 1999). Cambridge:
CUP, 2002. P. 231—246.
[340]	Fallings G., Wilstholz G. Rational points. Braunschweig: Vieweg, 1984.
[341]	Feldman N.I., Nesterenko Yu. V. Transcendental numbers // Number theory,
IV. Berlin: Springer, 1998. (Encyclopaedia Math. Sci; Vol. 44). P. 1—345.
[342]	Ferrero B. Iwasawa invariants of Abelian number fields // Math. Ann. 1988.
Vol. 234, № 1. P. 9—24.
[343]	Ferrero B., Washington L. C. The Iwasawa invariant vanishes for Abelian
number fields // Ann. Math. 1979. Vol. 109, №2. P. 377—395.
[344]	Fontaine T.-M. Il n’y variete abeliennes sur Z // Invent. Math. 1985. Vol. 81.
P. 515—538.
[345]	Fontaine J.M. Valeurs Speciales des fonctions L des motifs // Seminaire Bour-
baki, Exp. №751. Asterisque. 1992. Vol. 206. P. 205—249. [Имеется перевод:
Фонтен Ж.-М. Значения L-функций в целых точках // Труды семинара
Н. Бурбаки за 1992 г. М.: Мир, 2001. С. 187—238.]
[346]	Fontaine J.M., Perrin-Riou В. Autour des conjectures de Bloch et Kato:
cohomologie galoisiennes et valeurs de fonctions L Ц Motives. (Seattle, WA,
1991). Providence, RI: AMS, 1994. Part 1. (Proc. Sympos. Pure Math.; Vol. 55).
P. 599—706.
[347]	Fouury E. Theoreme de Brun—Titchmarsh: application au theoreme de Fer-
mat // Invent. Math. 1985. Vol. 79, №2. P. 383—407.
[348]	de Franchis M. Un teorema sulle involuzioni irrazinali // Rend. circ. mat.
Palermo. 1913. Vol. 36. P. 368.
[349]	Franke J., Manin Yu. I., Tschinkel Yu. Rational points of bounded heigth on
Fano varieties // Invent. Math. 1989. Vol. 95. P. 421—435.
516
Литература
[350]	Frey G. Some aspects of the theory of elliptic curves over number fields // Expos,
math. 1986. Vol. 4, № 1. P. 35—66.
[351	] Frey G. Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations //
Ann. Univ. Sarav. Ser. Math. 1986. Vol. 1, № 1.
[352]	Frey G. Applications of arithmetical geometry to cryptographic construc-
tions // Finite fields and applications (Augsburg, 1999). Berlin: Springer, 2001.
P. 128—161.
[353]	Frohlich A. Galois module structure and Artin L-functions // Proc. Int. Congr.
Math. Vancouver. 1974. Vol. 1. 1975. P. 351—356.
[354]	Galbraith S. Supersingular curves in cryptography Ц Advances in cryptology—
ASIACRYPT 2001 (Gold Coast). Berlin: Springer, 2001. (Lecture Notes in
Comput. Sci.; Vol. 2248). P. 495—513.
[355]	Galois E. Oeuvres mathematiques. Paris: Gauthier Villars, 1897. [Имеется пе-
ревод: Галуа Э. Сочинения. М.; Л.: ОНТИ, 1936.]
[356]	Gandhi J.M. Formulae for the я-prime // Proc. Washington state Univ. Conf,
on Number theory (Washington State Univ. Pullman, 1971). Pullman, Wash.:
Dept. Math., Washington State Univ., 1971. P. 96—106.
[357]	Garey M. R., Johnson D. S. Computers and intractability: A Guide to the theory
of AP-completeness. San Francisco: Freeman, 1979. [Имеется перевод: Гэри
M., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.:
Мир, 1982.]
[358]	Gauss С. -F. Disquisitiones Arithmeticae. Yale Univ. Press, 1966. [Имеется пе-
ревод: Гаусс К.-Ф. Арифметические исследования // Труды по теории чисел.
М.: Изд-во АН СССР, 1959.]
[359]	Gelbart S. Elliptic curves and automorphic representations Ц Adv. Math. 1976.
Vol. 21, №3. P. 235—292.
[360]	Gelbart S. Automorphic forms on adele groups. Princeton, NJ: PUP, 1975.
(Ann. Math. Stud.; №83).
[361]	Gelbart S. Automorphic forms and Artin’s conjecture / Modular functions of
one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Berlin:
Springer, 1977. (Lecture Notes in Math.; Vol. 627). P. 241—276.
[362]	Gelbart S. Three lectures on the modularity of p£ 3 and the Langlands reciprocity
conjecture. In: [583]. P. 153—207.
[363]	Gelbart S., Piatetski-Shapiro /., Rallis S. Explicit constructions of auto-
morphic L-functions. Berlin: Springer-Verlag, 1987. (Lecture Notes in Math.;
Vol. 1254). P 1 — 152.
[364]	Gilkey P.B. Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah—Singer
Index Theorem. Boca Raton, FL: CRC Press, 1995. 2 ed. (Studies in Adv.
Mathematics).
[365]	Gillet H., Soule C. Intersection sur les varietes d’Arakelov // C. r. Acad. sci.
Paris. Ser. 1. 1984. Vol. 299, № 12. P 563—566.
Литература
517
[366]	Gillet Н., Soule С. Classes caracteristiques en theorie d’Arakelov // C. R. Acad.
Sci. Paris, Ser. 1. 1985. Vol. 301. P. 439—442.
[367]	Gillet H., Soule C. Analytic torsion and arithmetic Todd genus / With an ap-
pendix by D. Zagier//Topology. Vol. 30. 1991. P. 21—54.
[368]	Gillet H., Soute C. An arithmetic Riemann—Roch theorem // Invent. Math.
1992. Vol. 110, №3. P 473—543.
[369]	Godel K. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia mathematica und
verwandter. Systeme I // Monatsh. Math. 2006. Vol. 149. P. 1—30. [Reprinted
from Monatsh. Math. Phys. 1931. Vol. 38, № 1. P. 173—198.]
[370]	Goldfeld D. M. The class number of quadratic fields and the conjectures of
Birch and Swinnerton— Dyer // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4).
1976. Vol.3, №4. P. 623—663.
[371]	Goldfeld D. A spectral interpretation of Weil’s explicit formula // Jorgenson J.,
Lang S., Goldfeld D. Explicit formulas. Berlin: Springer-Verlag, 1994. (Lecture
Notes in Math.; Vol. 1593). P. 135—152.
* [372] Goldfeld D. M. Gauss class number problem for imaginary quadratic fields //
Bull. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 13. P. 23.
[373]	Goldston D., Yildirim C.Y. Higher correlations of divisor sums related to
primes. I: Triple correlations // Integers. 2003. Vol.3.
[374]	Goldwasser S. Mathematical foundations of modern cryptography: computa-
tional complexity perspective. In: [652]
[375]	Goldwasser S., Kilian J. A probably correct and probable fast primality test:
Preprint. MIT, 1985 // Proc. 18th Ann. ACM Symp. on the theory of comput
(STOC). Berkeley. May 28—30. 1986.
[376]	Goldwasser S., Kilian J. Primality testing using elliptic curves // J. ACM.
1999. Vol. 46, №4. P. 450—472.
[377]	Goode J.B. H.L. M. (Hrushovski—Lang—Mordell) // Seminaire Bourbaki,
Exp. №811. Asterisque. 1997. Vol. 241. P. 179—194.
[378]	Gouvea F. A marvelous proof // Amer. Math. Monthly. 1994. Vol. 101, №3.
P. 203—222.
[379]	Gowers T. A new proof of Szemeredi’s theorem // GAFA. 2001. Vol. 11.
P. 465—588.
[380]	Granville A., Monagan M.B. The first case of Fermat’s last theorem is true
for all prime exponents up to 714 591 416091 389 // Trans. Amer. Math. Soc.
1988. Vol. 306, № 1. P. 329—359.
[381]	Gramain F. Quelques resultats d’independance algebrique // Proceedings of
the International Congress of Mathematicians. Vol. II. Berlin, 1998; Doc. Math.
1998. Extra Vol. II. P. 173—182 (electronic).
[382]	Grauert H., Remmert R. Analytische Stellenalgebren / Unter Mitarbeit von
O. Riemenschneider. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1971. (Die Grund-
lehren der mathematischen Wissenschaften; Bd. 176). [Имеется перевод: Грау-
эрт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.]
518
Литература
[383]	Green В. J., Tao T. The primes contain arbitrary long arithmetic progressions //
Ann. of Math. (2). 2008. Vol. 167, №2.
[384]	Greenberg R. On the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture // Invent. Math.
1983. Vol. 72, №2. P. 241—266.
[385]	Gross В. H., Zagier D. B. Heegner points and derivatives of L-series // Invent.
Math. 1986. Vol. 84. P. 225—320.
[386]	Gross В. H., Kohnen Ж, Zagier D. Heegner points and derivatives of L-series.
II // Math. Ann. 1987. Vol. 278, № 1—4. P. 497—562.
[387]	Grosswald E. Topics from the theory of numbers. Boston, MA: Birkhauser,
1984. 2nd ed.
[388]	Grothendieck A. et al. Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie—
1960—69. SGA1, SGA2, SGA3, SGA4, SGA5, SGA6, SGA7, SGA8.
SGA1: Revetements etales et groupe fondamental. 1960—1961. Berlin: Sprin-
ger-Verlag, 1971. (Lecture Notes in Math.; Vol. 224).
SGA2: Cohomologie locale des faisceaux coherents et theoremes de Lefschetz
locaux et globaux. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1968. (Advanced
Studies in Pure Mathematics; Vol. 2).
SGA3: Schemas en groupes. 1962—1964. 1970. (Lecture Notes in Math.;
Vol. 151, 152; 153). SGA4: Theorie des topos et cohomologie etale des schemas.
T. 1—3. 1972, 1973. (Lecture Notes in Math.; Vol. 269, 270, 305).
SGA5: Cohomologie etale. Berlin: Springer-Verlag, 1977. (Lecture Notes in
Math.; Vol. 569).
SGA6: Cohomologie/-adique et fonctionsL. 1965—1966. 1977. (Lecture Notes
in Math.; Vol. 589).
SGA7: Theorie des intersections et theoreme de Riemann—Roch. 1966—1967.
1971. (Lecture Notes in Math.; Vol. 225).
SGA8: Groupes de monodromie en geometrie algebrique. 1967—1969. 1972/3.
(Lecture Notes in Math.; Vol. 288, 340).
[389]	Guillemin V. Lectures on spectral theory of elliptic operators // Duke Math. J.
1977. Vol. 44, №3. P. 485—517.
[390]	Guillemin V., Sternberg S. Geometric asymptotics. Providence, RI: AMS,
1977. (Math. Surveys.; Vol. 14). [Имеется перевод: Гийемин В., Стернберг С.
Геометрические асимптотии. М.: Мир, 1981.J
[3911	Guillen, F., Navarro Aznar V. Sur le theoreme local des cycles invariants //
Duke Math. J. 1990. Vol. 61, № 1. P. 133—155.
[392]	Guy R.K. Unsolved problems in number theory. Berlin; Heidelberg; New York:
Springer, 1981. (Problem books in Mathematics; Vol. 28).
[393]	Haran S. Riesz potentials and explicit sums in arithmetic // Invent. Math. 1990.
Vol. 101. P. 697—703.
[394]	Harari D., Skorobogatov A. N. Non-abelian cohomology and rational points //
Compositio Math. 2002. Vol. 130, №3. P. 241—273.
Литература
519
[395]	Harris М. The local Langlands conjecture for GL(n) over a p-adic field, n < p //
Invent. Math. 1998. Vol. 134. P. 177—210.
[396]	Harris J., Tschinkel Y. Rational points on quartics // Duke Math. J. 2000.
Vol. 104, №3. P. 477—500.
[397]	Hardy G.H., Wright E.M. An introduction to the theory of numbers. Oxford:
Univ. Press, 1979.
[398]	Hartshorne R. Algebraic geometry. New York: Springer, 1977. [Имеется пере-
вод: Хартсхорн P. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981.]
[399]	Hasse Н. Vorlesungen fiber Zahlentheorie. Berlin: Springer, 1984. [Имеется
перевод: Хассе Г. Лекции по теории чисел. М.: ИЛ, 1953.]
[400]	Hasse Н. The Riemann hypothesis in function fields. Philadelphia: Pensylvania
State Univ. Press, 1989.
[401]	Hazewinkel M. Formal groups and applications. Acad. Press, 1978.
[402]	Heath-Brown D.R. Cubic forms in 10 variables // Number theory, Noordwij-
kerhout 1983 (Noordwijkerhout, 1983). Berlin: Springer, 1984. (Lecture Notes
in Math.; Vol. 1068). P. 104—108.
[403]	Heath-Brown D. R. Artin’s conjecture for primitive roots // Quart. J. Math.
1986. Vol. 37, № 145. P. 27—38.
[404]	Heath-Brown D.R. The number of primes in a short interval Ц J. reine und
angew. Math. 1988. Vol. 389. P. 22—63.
[405]	Heath-Brown D. R., Patterson S.J. The distribution of Kummer sums at prime
arguments Ц J. reine und angew Math. 1979. Vol. 310. P. 111 —130.
[406]	Hecke E. Algebraische Zahlentheorie. New York: Chelsea, 1929. [Имеется пе-
ревод: Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М. Л.: Гостехиздат,
1940.]
[407]	Hecke Е. Mathematische Werke. Gottingen: Vandenhoeck und Reprecht, 1959.
[408]	Heegner H. Diophantische analysis und Modulfunktionen // Math. Z. 1952.
Vol. 56. P. 227—253.
[409]	Hellegouarch Y. Invitation aux mathematiques de Fermat—Wiles. Paris: Mas-
son. 1997. (Enseignement des Mathematiques Enseignement des Mathema-
tiques).
[410]	Heilman M. E. The mathematics of public-key cryptography // Set. Amer. 1979.
Vol. 241. P. 146—157.
[411]	Henniart G. Une forme icosaedrale de poids 1 // Seminaire Delange—Pisot—
Poitou, 18e annee: 1976/77, Theorie des nombres, Fasc.2. Paris: Secretariat
Math., 1977. Exp. №24, 7. P. 24/01—24/07.
[412]	Henniart G. On the local Langlands conjecture for GL(n): the cycle case //
Ann. of Math. (2). 1986. Vol. 123, № 1. P. 145—203.
[413]	Henniart G. Progres recents en fonctorialite de Langlands // Seminaire Bour-
baki, Exp №890. Asterisque. 2002. Vol. 282. P. 301—322.
520
Литература
[414]	Hida Н. Elementary theory of L-functions and Eisenstein series // London
Mathematical Society Student Texts. Cambridge: CUP, 1993. Vol. 26.
[415]	Hida H. The Iwasawa р-invariant of p-adic Hecke L-functions. Preprint. 2002.
http://www.math.ucla.edu/~hida
[416]	Hida H. p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties. New York: Sprin-
ger-Verlag, 2004. (Springer Monographs in Math.).
[417]	Hilbert D. Mathematical problems. Int. Congress Math. Paris. 1900. Math-
ematical developpements arising from Hilbert problems // Proc. Symp. Pure
Math. Providence, RI: AMS, 1976. Vol.28. P. 1—34. [Имеется перевод: Гиль-
берт Д. Математические проблемы // Проблемы Гильберта / Под редакцией
П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.]
[418]	Hilbert D. Die Theorie der algebraischen Zahikdrper // Gesammelte Abhand-
lungen. Erster Band. Zahlentheorie. New York: Chelsea Publishing Co., 1965.
P. 63—363.
[419]	Hilbert’s tenth problem: relations with arithmetic and algebraic geometry /
Papers from the workshop held at Ghent University, Ghent, November 2—5,
1999, Ed. J. Denef, L. Lipshitz, T. Pheidas, J. van Geel. Providence, RI: AMS,
2000.
[420]	Hildebrand A. On the number of positive integers x and free of prime factors
у // J. Number Theory. 1986. Vol. 22. P. 289—307.
[421]	Hildebrand A. Gaps between prime numbers // Proc. Amer. Math. Soc. 1988.
Vol. 104, № 1. P. 1—9.
[422]	Hiramatsu Toyokazu. Theory of automorphis forms of weight 1. Tokyo, 1988.
(Adv. Stud. Pure Math. Vol. 13: Invest. Number Theory). P. 503—584.
[423]	Hooley Ch. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge:
CUP, 1976. (Cambridge Tracts in Math.; Vol. 70). [Имеется перевод: Хооли К.
Применение методов решета в теории чисел. М.: Наука, 1987.]
[424]	Hooley Ch. On nonary cubic forms // J. reine und anges Math. 1988. Vol. 386.
P. 32—98.
[425]	Hriljac P. Heights and Arakelov’s intersection theory // Amer. J. Math. 1985.
Vol. 107, № 1. P. 23—38.
[426]	Hua L. -K., Wang Y. Application of number theory to numerical analysis. Berlin;
Heidelberg; New York: Springer, 1981.
[427]	Hulsbergen W. W. J. Conjectures in arithmetic algebraic geometry / A Survey.
Braunschweig: Friedr. Vieweg& Sohn, 1994. 2nd ed. (Aspects of Mathematics;
E18).
[428]	Hurwitz A. Mathematische Werke. Bd. II: Zahlentheorie, Algebra und Geom-
etric. Basel—Stuttgart: Birkhauser, 1963. (Herausgegeben von der Abteilung
far Mathematik und Physik der Eidgendssischen Technischen Hochschule in
Zurich)
Литература
521
[429]	Hua L. -К. Abschatzungen von Exponentialsummen und ihre Anwendungen in
der Zahlentheorie. Leipzig: Teubner, 1959. [Имеется перевод: Хуа Л-К. Метод
тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М.: Мир, 1964.]
[430]	lhara У., K.Ribet, Serre J-P. eds. Galois Groups over Q. Berlin; Heidelberg;
New York: Springer-Verlag, 1989.
[431]	Ingham A. E. The distribution of prime numbers. Cambridge: Univ. Press,
1932. [Имеется перевод: Ингам A.E. Распределение простых чисел. М.; Л.:
ОНТИ, 1936.]
[432]	Ireland К., Rosen М. A classical introduction to modem number theory. Berlin;
Heidelberg; New York: Springer, 1982. [Имеется перевод: Айерланд К., Ро-
узен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир,
1987.]
[433]	Iwaniec Н. Spectral theory of automorphic fucntions and recent developments
in analytic number theory // Proc. Int. Congr. Math. 1986. Vol. 1. Berkely, 1987.
p. 444—456.
[434]	Iwaniec H. Topics in classical automorphic forms. Providence, RI: AMS, 1997.
• (Graduate Studies in Mathematics; Vol. 17).
[435]	Iwaniec H., Samak P. Perspectives on the analytic theory of L-functions.
GAFA 2000 (Tel Aviv, 1999) // Geom. Funct. Anal. 2000. Spec. Vol. Part II.
p 705—741.
[436]	Iwasawa K. Lectures on p-adic L-functions. Princeton, NJ: PUP, 1972. (Ann.
Math. Stud.; Vol. 74).
[437]	Iwasawa K. A note on Jacobi sums // Symp. Math. 1975. Vol. 15. P. 447—459.
[438]	Iwasawa K. Collected papers. Vol. I, II / Ed. and with a preface by I. Satake,
G. Fujisaki, K. Kato, M. Kurihara, S. Nakajima. With an appreciation of Iwasa-
wa’s work in algebraic number theory by J. Coates. Tokyo: Springer-Verlag,
2001.
[439]	Jacquet H., Langlands R.P. Automorphic forms on GL(2). Berlin: Springer-
Verlag, 1970. (Lecture Notes in Math.; Vol. 114). [Имеется перевод: Жаке 5.,
Ленглендс Р. Автоморфные формы на GL(2). М.: Мир, 1973.]
[440]	Jacquet Н., Piatetski-Shapiro /. /., Shalika J. A. Automorphic forms on GL(2).
I // Ann. Math. 1979. Vol. 109, № 1. P. 169—212.
[441	] Jacquet H., Shalika J. A. A non-vanishing theorem for zeta functions of GL„ //
Invent. Math. 1976. Vol. 38, № 1. P. 1 — 16.
[442]	Jacquet H., Shalika J. A. On Euler products and the classification of automor-
phic forms // Amer. J. Math. 1981. Vol. 103, №4. P. 777—815.
[443]	Jannsen U. Mixed Motives and Algebraic А-Theory. Berlin: Springer-Verlag,
1990. (Lecture Notes in Math.; Vol. 1400).
[444]	Jones J. P„ Sato D., Wada H., Wiens D. Diophantine representation of the set
of prime numbers // Amer. Math. Mon. 1976. Vol. 83, №6. P. 449—464.
522
Литература
[445]	Julia В. Statistical theory of numbers // Number theory and physics (Les Hou-
ches, 1989). Berlin: Springer, 1990. (Springer Proc. Phys.; Vol. 47). P. 276—293.
[446]	Kac V. G. Infinite-dimensional algebras, Dedekind’s T)-function classical Mobius
function and the very stange formula // Adv. in Math. 1978. Vol. 30. P. 85—136.
[447]	Kac M. Statistical independence in probability, analysis and number theory. New
York, 1959. (The Carus Mathematical Monographs; Vol. 12).
[448]	Kahn D. The Codebreakers: the story of secret writing. New York: Macmillan,
1967.
[449]	Kasparov G.G. /(-theory, group C*-algebras, and higher signatures (Con-
spectus) // Novikov conjectures, index theorems and rigidity. Vol. 1 (Ober-
wolfach, 1993). Cambridge: CUP, 1995. (London Math. Soc. Lecture Note Ser.;
Vol. 226). P. 101 —146.
[450]	Katz N. M. An overview of Deligne’s proof of the Riemann hypothesis for
varieties over finite fields // Proc. Symp. Pure Math. 1976. Vol. 76. P. 275—305.
[451]	Kato K. Euler systems, Iwasawa theory, and Selmer groups // Kodai Math. J.
1999. Vol. 22, №3. P. 313—372.
[452]	Kato K. Tamagawa number conjecture for zeta values // Proceedings of the
International Congress of Mathematicians, Vol. II (Beijing, 2002). Beijing: Hig-
her Ed. Press, 2002. P. 163—171.
[453]	Kato K.Jturokawa N., Saito T, Number Theory. I / Fermat’s Dream. Pro-
vidence, RI: AMS, 2000. (Translations of Mathematical Monographs; Vol. 186).
[454]	Katz N, M. Gauss sums, Kloosterman sums and monodromy group. Princeton:
PUP, 1988.
[455]	Katz N. M., Laumon G. Transformation de Fourier et majoration de sommes
exponentielles// Publ. Math. IHES. 1985. Vol. 62. P. 361—418.
[456]	Katz N., Sarnak P. Random matrices, Frobenius eigenvalues, and monod-
romy // American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. 45. Pro-
vidence RI: AMS, 1999.
[457]	Katz N., Sarnak P. Zeroes of zeta functions and symmetry // Bull. Amer. Math.
Soc. (N. S.). 1999. Vol. 36, № 1. P. 1—26.
[458]	Kim H., Shahidi F. Symmetric cube L-functions for GL2 are entire // Ann.
Math. 1999. Vol. 150. P. 645—662.
[459]	KUngen H. Uber die Werte Dedekindscher Zetafunktionen // Math. Ann. 1962.
Vol. 145. P. 265—272.
[460]	Knapp A. IF. Elliptic curves. Princeton, NJ: PUP, 1992. (Math. Notes; Vol. 40).
[Имеется перевод: Кнэрр Э. Эллиптические кривые. М.: Факториал Пресс,
2004. 487 с.]
[461]	Knuth D.E. The art of computer programming. Vol. 2 / Seminumerical algo-
rithms. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1981. [Имеется перевод: Кнут Д.
Искусство программирования для ЭВМ. Т. 2: Получисленные алгоритмы. М.:
Мир, 1977.]
Литература
523
[462]	Koblitz N. p-adic numbers, p-adic analysis and zeta-functions. New York:
Springer, 1984. [Имеется перевод: Коблиц H. р-адические числа, р-адиче-
ский анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982.]
[463]	Koblitz N. p-adic analysis: a short course on recent work. London; Cambridge,
1980. (London Math. Soc. Leet. Note Ser.; Vol. 46).
[464]	Koblitz N. Why study equations over finite fields? // Math. Mag. 1982. Vol. 55.
P. 144—149.
[465]	Koblitz N. Introduction to elliptic curves and modular forms. Springer, 1984.
(Graduate Texts in Math.; Vol. 97). [Имеется перевод: Коблиц H. Введение
в эллиптические кривые и модулярные формы. М.: Мир, 1988.]
[466]	Koblitz N. A course in number theory and cryptography. New York et al.:
Springer, 1987.
[467]	Koch И. V. Galoissche Theorie der p-Erweiterungen. Berlin: VEB Deutscher
Verlag d. Wiss, 1970. [Имеется перевод: Кох X. Теория Галуа р-расширений.
М.: Мир, 1973.]
[468]	Koch Н. V. Unimodular lattices and self-dual codes // Proceedings of the
International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berkeley, Calif., 1986). Provi-
dence, RI: AMS, 1987. P. 457—465.
[469]	Koblitz N. A course in number theory and cryptography. 2nd ed. New York:
Springer-Verlag, 1994. (Graduate Texts in Math.; Vol. 114).
[470]	Koblitz N. A survey of number theory and cryptography // Number theory.
P. 217—239; Trends Math. Basel: Birkhauser, 2000.
[471]	Koblitz N. Algebraic aspects of cryptography. Berlin: Springer-Verlag, 1998.
(Algorithms and Computation in Math.; Vol.3).
[472]	Koblitz N. Cryptography. Mathematics unlimited-2001 and beyond. Berlin:
Springer, 2001. P. 749—769.
[473]	Koblitz N. Good and bad uses of elliptic curves in cryptography // Mose. Math.
J. 2002. Vol. 2, №4. P. 693—715, 805—806.
[474]	Kolyvagin V.A. Euler systems // The Grothendieck Festschrift. 1990. Vol. II.
P. 435—484.
[475]	Kontsevich M. Product formulas for modular forms on 0(2, n) (after
R.Borcherds) // Seminaire Bourbaki, Exp. №821. Asterisque. 1997. Vol.245.
P. 41—56.
[476]	Kontsevich M., Zagier D. Periods //Mathematics Unlimited-2001 and Beyond.
Berlin: Springer, 2001. P.771—808.
[477]	Kottwitz R. Tamagawa numbers // Ann. Math. 1988. Vol. 127. P. 629—646.
[478]	Kraitchik M. Theorie des Nombres. Vol. 2. Paris: Gauthier—Villars, 1926.
[479]	Kranakis E. Primality and gryptography. Chichester: John Wiley & Sons, 1986.
(Wiley-Teubner Series in Computer Science).
524
Литература
[480]	Kronecker L. Ober die Auflosung der Pellschen Gleichung mittels elliptischer
Funktionen // Monatberichte der Koniglichen Preuss. Akademie der Wissens-
chaften zu Berlin, 1863. P. 44—50. [Kronecker L. Leopold Kronecker’s Werke;
Bd.4. P. 219—225.]
[481]	Kubota T. On automorphic functions and the reciprocity law in a number field.
Tokyo: Kinokuhiya book-store Co., 1969. (Leet. Math. Depart. Math. Kyoto
Univ.; Vol. 2). [Имеется перевод: Кубота T. Об автоморфных функциях и за-
коне взаимности в числовых полях // Математика: Сб. пер. 1970. Vol. 14, № 6.
С. 3—37.]
[482]	Kubota Т., Leopoldt H.-W, Eine p-adische Theorie der Zetswerte. I // J. reine
und anges Math. 1964. Vol. 214/215. P. 328—339.
[483]	Kudla St. S. Derivatives of Eisenstein series and generating functions for arith-
metic cycles // Seminaire Bourbaki, Exp. №876. Asterisque. 2002. Vol. 276.
P. 341—368.
[484]	Kummer E.E. Collected papers. Vol. 1. New York: Springer, 1975.
[485]	Kurokawa N. Multiple sine functions and Selberg zeta functions // Proc. Jap.
Acad, Sci. Ser. A. 1991. Vol. 67, №3. P. 61—64.
[486]	Labesse J.-P. La formule des traces d’Arthur—Selberg // Seminar Bourbaki.
Asterisque. 1986. № 133—134. P. 73—88.
[487]	Lafforgue L. Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands // Invent.
Math. 2002. Vol. 147, № 1. P. 1—241.
[488]	Landi G. An introduction to noncommutative spaces and their geometries.
Berlin: Springer-Verlag, 1997. (Lecture Notes in Physics. New Series m: Mono-
graphs; Vol. 51).
[489]	LangS. Abelian varieties. New York: Interscience, 1959.
[490]	Lang S. Integral points on curves // Publ. Math. IHES. 1960. [Имеется пере-
вод: Ленг С. Целочисленные точки на кривых // Математика: Сб. пер. 1961.
Vol. 5, №6. С. 35—53.]
[491]	Lang S. Diophatine geometry. New York: Interscience. 1962.
[492]	LangS. Algebraic numbers. Mass.; Palo Alto; London: Addison-Wesley, 1964.
[Имеется перевод: Ленг С. Алгебраические числа. М.: Мир, 1966.]
[493]	Lang S. Les formes belineaires de Neron et Tate // Seminaire Bourbaki,
Exp. №274. Paris: AMS, 1995. P 141 —166.
[494]	Lang S. Algebra. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1965. [Имеется перевод:
Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.]
[495]	Lang S. Algebraic number theory. Reading, Mass: Addison-Wesley: 1970.
[496]	LangS. Elliptic functions. Reading, Mass.; London; Amsterdam: Addison-Wes-
ley, 1973. [Имеется перевод: Ленг С. Эллиптические функции. М.: Мир,
1984.]
Литература
525
[497]	Lang S. Introduction to algebraic and Abelian functions. New York: Springer,
1983. 2nd ed. (Graduate Texts in Math.; Vol. 89). [Имеется перевод: Ленг С.
Введение в алгебраические и абелевы функции. М.: Мир, 1976.]
[498]	Lang S. Introduction to Modular Forms. New York; Berlin; Heidelberg: Sprin-
ger-Verlag, 1976. [Имеется перевод: Ленг С. Введение в теорию модулярных
форм. М.: Мир, 1979.]
[499]	Lang S. Elliptic curves: Diophantine analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1978.
(rundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of
Mathematical Sciences]).
[500]	Lang S. Fundamentals of Diophantine Geometry. New York: Springer, 1983.
[Имеется перевод: Ленг С. Основы диофантовой геометрии. М.: Мир, 1986.]
[501]	Lang S. Cyclotomic fields. New York: Springer-Verlag, 1978. (Graduate Texts
in Math.; Vol. 59).
[502]	Lang S. Introduction to Arakelov theory. New York: Springer-Verlag, 1988.
[503]	Lang S. Old and new conjectured Diophantine inequalities // Bull. Amer. Math.
Soc. (N. S.). 1990. Vol. 23, № 1. P. 37—75.
[504]	Lang S. Number theory. Ill Ц Diophantine geometry. Encyclopaedia of Math-
ematical Sciences. Berlin: Springer-Verlag, 1991. Vol. 60.
[505]	Lang S., Tate J. Principal homogeneous spaces over Abelian varieties // Amer.
J. Math. 1958. Vol. 80. P. 659—684.
[506]	Lang S., Trotter H. Frobenius distributions in GL2-extensions. Distribution of
Frobenius automorphisms in GL2-extensions of the rational numbers. Berlin;
New York: Springer-Verlag, 1976. (Lecture Notes in Math.; Vol. 504).
[507]	Lang S., Weil A. Number of points of varieties in finite fields // Amer. J. Math.
1954. Vol. 76. P. 819—827.
[508]	Langlands R. P. Euler products / A James K. Whittemore Lecture in Mathe-
matics given at Yale University, 1967, Yale Mathematical Monographs, 1. New
Haven, Conn.: Yale University Press, 1971. [Имеется перевод: Ленглендс
Р.П. Эйлеровы произведения // Математика: Сб. перев. 1971. Т. 15, №1.
С. 14—43.]
[509]	Langlands R. Р. Euler Products / A James К. Whittemore Lecture in Mathe-
matics given at Yale University, 1967, Yale Mathematical Monographs, 1. New
Haven, Conn.: Yale University Press, 1971.
[510]	Langlands R.P. On Artin’s L-functions Ц Rice University Studies. 1970.
Vol. 56. P. 23—28.
[511]	Langlands R. P. On the functional equation satisfied by Eisentein series. Berlin:
Springer-Verlag, 1976. (Lecture Notes in Math.; Vol. 544).
[512]	Langlands R.P. Automorphic representations, Shimura varieties, and motives.
Ein Marchen // Automorphic forms, representations and L-functions (Proc.
Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977). Part 2. Pro-
vidence RI: AMS, 1979. (Proc. Sympos. Pure Math.; XXXIII). P. 205—246.
526
Литература
[513]	Langlands R.P. Base change for GL(2). Princeton, NJ: PUP, 1980. (Ann.
Math. Stud.; Vol. 96).
[514]	Langlands R.P. Featured Review MR1875184 (2002m:l 1039) on [487].
[515]	Laumon G., Rapoport M., Stuhler U. P-elliptic sheaves and the Langlands
correspondence // Invent. Math. 1993. Vol. 113, №2. P. 217—338.
[516]	Laumon G. The work of Laurent Lafforgue. In: [652]. P. 91—97.
[517]	Lee Y. Cohen—Lenstra heuristics and the Spiegelungssatz: number fields // J.
Number Theory. 2002. Vol. 92, № 1. P. 37—66.
[518]	LeVeque IF. Fundamentals of number theory. Reading, Mass.; London; Amster-
dam: Addison-Wesley, 1977.
[519]	Lebendige Zahlen: Fiinl Exkursionen / W. Borho, D. Zagier, J Rohlfs, H.-P. Kraft,
J.C.Jantzen. Basel: Birkhauser Verlag, 1981. (Mathematische Miniaturen
[Mathematical Miniatures]; Vol. 1). [Имеется перевод: Живые числа. Пять
экскурсий / В. Боро, Д. Цагир, Ю. Рольфе и др. // Сб. перев. М.: Мир, 1985.]
[520]	Leichtnam Е. An invitation to Deninger’s work on arithmetic zeta functions //
Geometry, spectral theory, groups, and dynamics. Providence, RI: AMS, 2005.
(Contemp. Math.; Vol. 387). P. 201—236.
[521]	Lehmer D.H. Hunting big game in the theory of numbers // Scr. math.
1932—33. Vol. 1. P. 229—235.
[522]	Lehmer D.H. List of prime numbers from 1 to 10006721. New York: Hafner
Publishing Co., 1956.
[523]	Lenstra A.K- Fast and rigorous factorization under the generalized Riemann
hypothesis // Proc. Kon. ned. akad. wetensch. 1988. Vol. 91, №4. P. 443—454.
[524]	Lenstra H. IF., Jr. Primality testing algorithms (after Adleman, Rumely and
Williams) // Seminaire Bourbaki. Berlin: Springer, 1981 (Lecture Notes in
Math.; Vol. 901). P. 243—257. [Имеется перевод: Ленстра Г. (мл.) Алгоритмы
проверки на простоту (по Эдлману, Румми и Уильямсу) // Алгебра и теория
чисел (с приложениями). М.: Мир, 1987. С. 47—66.]
[525]	Lenstra Н. IF., Jr. Integer programming and cryptography // Math. Intel!. 1984.
Vol. 6, №3. P. 14—19.
[526]	Lenstra H. IF., Jr. Factoring integers with elliptic curses // Ann. Math. 1987.
Vol. 126, №3. P. 649—673.
[527]	Leopoldt H. IF. Zur Strukture der 1-Klassengruppe galoischer Zahlkorper //
J. Reine Angew Math. 1958. Vol. 199. P. 165—174.
[528]	Li IF. Newforms and functional equations // Math. Ann. 1975. Vol. 212.
P. 285—315.
[529]	Li IF. Recent developments in automorphic forms and applications // Number
theory for the millennium. II (Urbana, IL, 2000). Natick, MA: A К Peters, 2002.
P. 331—354.
[530]	Lidl R., Niederreiter H. Finite fields. Addison-Wesley, 1983. [Имеется перевод:
Л идя Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2 т. М.: Мир, 1988.]
Литература
527
[531]	Loeser F. Exposants p-adiques et theoremes d’indice pour les equations diffe-
rentielles p-adiques (d’apres G. Christol et Z. Mebkhout) // Seminaire Bourbaki,
Exp. №822. Asterisque. 1997. Vol. 245. P. 57—81.
[532]	Lubin J., Tate J. Formal complex multiplication in local fields // Ann. Math.
1965. Vol. 81. P. 330—387. [Имеется перевод: Любин Дж., Тэйт Дж. Фор-
мальное комплексное умножение в локальных полях // Математика: Сб. пе-
рев. 1968. Vol. 12, № 1. С. 48—54.]
[533]	Lutz Е. Sur 1’equation У2 = X3 - АХ - В dans les corps p-adiques // J. reine
und angew Math. 1937. Vol. 177. P. 238—247.
[534]	Luo IF., Rudnick Z., Samak P. On the generalized Ramanujan conjecture
for GL(n) Ц Automorphic forms, automorphic representations, and arithmetic
(Fort Worth, TX, 1996). Providence, RI: AMS, 1999. Part 2. (Proc. Symp. Pure
Math.; Vol. 66). P. 301—310.
[535]	Lutz E. Sur 1’equation Y2 = X3 - AX - В dans les corps p-adiques //J. reine u.
angew. Math. 1937. Vol. 177. P. 238—247.
[536]	Macdonald /. G. Affine Lie algebras and modular forms // Seminare Bourbaki.
Berlin: Springer, 1981 (Lecture Notes in Math.; Vol. 901). P. 258—276. [Име-
ется перевод: Макдональд И. Г. Аффинные алгебры Ли и модулярные фор-
мы // Алгебра и теория чисел (с приложениями). М.: Мир, 1987. С. 67—83.]
[537]	Mahler Н. Uber die rationalen Punkte and Kurven vom Geschlecht Eins // J.
reine und anges Math. 1934. Vol. 170. P. 168—178.
[538]	Manin Yu. /. Le groupe de Brauer Grothendieck en geometrie Diophantienne //
Actes Congr. Int. Math. (Nice, 1970). T. 1. Paris: Gautier—Villars, 1971.
p 401—411. Manin(1970b)
[539]	Manin Yu. I. A course in mathematical logic. New York: Springer-Verlag, 1977.
[540]	Manin Yu. I. Modular forms and number theory // Proc. Int. Congr. Math.
Helsinki. 1978. P. 177—186.
[541]	Manin Yu.L p-adic automorphic functions // J. of Soviet Math. 1976. Vol. 5.
P. 279—333. См. также: Манин Ю.И. р-адические автоморфные функции //
Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. 1974. Т. 3. С. 5—92.
[542]	Manin Yu. /. Three-dimensional hyperbolic geometry as oo-adic Arakelov geom-
etry // Invent. Math. 1991. Vol. 104, №2. P. 223—243.
[543]	Manin Yu. I. Lectures of zeta functions and motives (according to Deninger and
Kurokawa) / Columbia University Number Theory Seminar (New York, 1992) //
Asterisque. 1995. Vol. 228. P. 121 —163.
[544]	Manin Yu. L Classical computing, quantum computing, and Shor’s factoring
algorithm // Seminaire Bourbaki, Exp. №862. Asterisque. 2000. Vol. 266.
p 375—404.
[545]	Manin Yu.L Von Zahlen und Figuren. Preprint, math.AG/0201005. 2002.
[546]	Manin Yu. /. Real Multiplication and noncommutative geometry // The Legacy
of Niels Henrik Abel. Berlin: Springer, 2004. P. 685—727.
528
Литература
[547]	Manin Yu. I., Marcolli M. Holography principle and arithmetic of algebraic
curves // Adv. Theor. Math. Phys. 2001. VoL3, №5.
[548]	Manin Yu. I., Marcolli M. Continued fractions, modular symbols, and non-
commutative geometry // Selecta Math. (N. S.). 2002. Vol. 8 №3. P. 475—520.
[549]	Manin Yu. I., Panchishkin A. A. Number Theory I: Introduction to Number
Theory. Berlin: Springer, 1995. (Encyclopaedia of Math. Sci.; Vol. 49). P. 1—303.
[550]	Montgomery H.L. Topics in multiplicative number theory. Berlin: Springer-
Verlag, 1971. (Lecture Notes in Math.; Vol. 227). [Имеется перевод: Монтго-
мери X. Мультипликативная теория чисел. М.: Мир, 1974.]
[551]	Marcolli М. Limiting modular symbols and the Lyapunov spectrum // J. Num-
ber Theory. 2003. Vol. 98, №2. P. 348—376.
[552]	Marcolli M. Lectures on Arithmetic Noncommutative Geometry. Vanderbilt
University, 2004. P. 1 —129. arXiv:math/0409520
[553]	Masley J. M., Montgomery H. L. Cyclotomic fields with unique factorization //
J. reine und anges Math. 1976. Vol. 286/287. P. 248—256.
[554]	Matiyasevich Yu. V. Hilbert’s Tenth Problem / With a foreword by M. Davis.
Cambridge, MA; London, England: MIT Press, 2004.
[555]	Matsumura H. Commutative Algebra. New York: Benjamin, 1970.
[556]	Matsuzaki K., Taniguchi M. Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. New
York: Oxford Univ. Press, 1998. (Oxford Mathematical Monographs).
[557]	Mazur B. Modular Curves and the Eisenstein Ideal // Publ. Math. I. H. E. S.
1977. Vol. 47. P. 33—186.
[558]	Mazur В. I. Rational points on modular curves // Modular functions of one
variable, V (Proc. Second Intemat. Conf., Univ. Bonn, Bonn, 1976. Berlin:
Springer, 1977. (Lecture Notes in Math.; Vol. 601). P. 107—148.
[559]	Mazur В. I. On the arithmetic of special values of L-functions //Invent. Math.
1979. Vol. 55, №3. P. 207—240.
[560]	Mazur B. /. Modular curves and arithmetic // Proceedings of the International
Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Warsaw, 1983). Warsaw: PWN, 1984.
Vol. 1. P. 185—211.
[561]	Mazur B.I. Arithmetic on curves // Bull. Amer. Math. Soc. 1986. Vol. 14, №2.
P. 207—259.
[562]	Mazur B. On some of the mathematical contributions of Gerd Fallings //
Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Ber-
keley, Calif., 1986). Providence, RI: AMS, 1987. P. 7—12.
[563]	Mazur B. The theme of p-adic variation. Mathematics: frontiers and perspec-
tives. P. 433—459. Providence, RI: AMS, 2000.
[564]	Mazur B., Rubin K. Studying the Growth of Mordell—Weil // Documenta
Math. 2003. Extra Volume: Kazuya Kato’s Fiftieth Birthday. P. 585—607.
Литература
529
[565]	Mazur В., Rubin К. Kolyvagin systems // Mem. Amer. Math. Soc. 2004.
Vol. 168.
[566]	Mazur B.L, Swinnerton-Dyer H.P.F. Arithmetic of Weil cuves // Invent.
Math. 1974. Vol. 25. P. 1—61.
[567]	Mazur B.L, Wiles A. Analogies between function fields and number fields //
Amer. J. Math. 1983. Vol. 105. P. 507—521.
[568]	Mazur B.L, Wiles A. Class fields of Abelian extensions of Q // Invent. Math.
1984. Vol. 76, №2. P. 179—330.
[569]	Mehta M.L. Random matrices. Boston, MA: Academic Press, 1991. 2nd ed.
[570]	Menezes A. Elliptic curve public key cryptosystems. Boston, MA: Kluwer
Academic Publishers, 1993.
[571]	Merel L. Bomes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nom-
bres // Invent. Math. 1996. Vol. 124, № 1—3. P. 437—449.
[572]	Mestre J.-L. Construction d’une courbe elliptique de rang 12 // C. R. Acad.
Sci. Paris Ser. I Math. 1982. Vol. 295, № 12. P. 643—644.
[573]	Mestre J. -L. Courbes de Weil et courbes supersingulieres // Seminar on number
theory, 1984—1985 (Talence, 1984/1985). Talence: Univ. Bordeaux I, 1985.
Exp. № 23, 6.
[574]	Mestre J. -L. Courbes de Weil de conducteur 5077 // C. R. Acad. Sci. Paris
Ser. I Math. 1985. Vol. 300, № 15. P. 509—512.
[575]	Michel P. Progres recents du crible et applications (d’apres Duke, Fouvry,
Friedlander, Iwaniec) Ц Seminaire Bourbaki, Exp. №842. Asterisque. 1998.
Vol. 252. P. 185—209.
[576]	Michel P. Repartition des zeros des fonctions L et matrices aleatoires // Semi-
naire Bourbaki, Exp. №887. Asterisque. 2002. Vol. 282. P. 211—248.
[577]	Mihdilescu P. A class number free criterion for Catalan’s conjecture // J.
Number Theory. 2003. Vol. 99, №2. P. 225—231.
[578]	Miller G. L. Riemann’s hypothesis and tests for primality // J. Comput. System
Sci. 1976. Vol. 13, № 13. P. 300—317. [Имеется перевод: Миллер Г.Л. Гипо-
теза Римана и тесты простоты // Киб. сб. 1986. №23. С. 31—50.]
[579]	Milne LS. Etale cohomology. Princeton, NJ: PUP, 1980. (Princeton Math.
Series; Vol. 33). [Имеется перевод: Милн Дж. Этальные когомологии. М.:
Мир, 1983.]
[580]	Milnor J. М. Infinite cyclic coverings // Conference on the Topology of Manifolds
(Michigan State Univ., E. Lansing, Mich., 1967). Boston, Mass.: Prindle, Weber
& Schmidt, 1968. P. 115—133.
[581]	Miyake T. Modular forms / Transl. from the Japanese by Y. Maeda. Berlin:
Springer-Verlag, 1989. (Springer Monographs in Math.).
[582]	Miyaoka Y. On the Chern numbers of surfaces of general type // Invent. Math.
1977. Vol. 42. P. 225—237.
530
Литература
[583]	Modular forms and Fermat’s last theorem / Papers from the Instructional
Conference on Number Theory and Arithmetic Geometry held at Boston Univer-
sity, Boston, MA, August 9—18, 1995; Ed. G. Cornell, J. H. Silverman, G. Ste-
vens. New York: Springer-Verlag, 1997.
[584]	Modular functions of one variable. V—VI // Proc. Int. Conf. Bonn. July 2—14.
1976 / Ed. J.-P. Serre, D. B. Zagier. Berlin; New York: Springer-Verlag, 1977.
(Lecture Notes in Math.; №601, 627).
[585]	Monier L. Algorithms de factorization d’entiers. Paris: IRIA, 1980. P. 313—324.
[586]	Montgomery H. The pair correlation of zeros of the zeta function // Analytic
number theory. Providence, RI: AMS, 1973. P. 181—193.
[587]	Morain F. Primality proving using elliptic curves: an update / Ed. J. P. Buhler //
Algorithmic number theory (Portland, OR, 1998). Berlin: Springer-Verlag, 1998.
(Lecture Notes in Comput. Sci.; Vol. 1423). P. 111 —127.
[588]	Morain F. La primalite en temps polynomial (d’apres Adleman, Huang; Agra-
wal, Kayal, Saxena) // Seminaire Bourbaki, Exp. №917. Asterisque. 2004.
Vol. 294. P. 205—230.
[589]	Morain F. Primalite theorique et primalite pratique, AKS vs. ECPP:
www.lix.polytechnique.fr7~morian/aks-f.pdf
[590]	Moran A., Pritchard P., Thyssen A. Twenty-two primes in arithmetic progres-
sion // Math. Comput. 1995. Vol. 64, №211. P 1337—1339.
[591]	Mordell L.J. On the rational solutions of the indeterminate equation of the third
and the fourth degrees //Proc. Cambridge Phil. Soc. 1922. Vol. 21. P. 179—192.
[592]	Mordell L.J. Diophantine equations. New York: Acad. Press, 1969.
[593]	Moree P. A note on Artin’s conjecture // Simon Stevin. 1993. Vol. 67, №3—4.
P. 255—257.
[594]	Moreno C.J. Explicit formulas in the theory of automorphic forms // Number
Theory Day (Proc. Conf., Rockefeller Univ., New York, 1976). Berlin: Springer,
1977. (Lecture Notes in Math.; Vol.626). P.73—216.
[595]	Mori S., Mukai S. Classification of Fano 3-folds with B2 2 // Manuscripta
Math. 1981/82. Vol. 36, №2. P. 147—162.
[596]	Mori S., Mukai S. Erratum: «Zlassification of Fano 3-folds with B2 2 [Manu-
scripta Math. 1981/82. Vol.36, №2. P. 147—162.]» // Manuscripta Math.
Vol. 110, №3. P. 407.
[597]	Morrison M.A., Brillhart J. A method of factoring and the factorization of F7 //
Math. Comput. 1975. Vol. 29. P. 183—205.
[598]	Mozzochi C.J. The Fermat diary. Providence, RI: AMS, 2000.
[599]	Mumford D. A remark on Mordell’s conjecture // Amer. J. Math. 1965. Vol. 87,
№4. P. 1007—1016.
Литература
531
[600]	Mumford D. On the equations defining abelian varieties. I // Invent. Math. 1966.
Vol. 1. P. 287—354. [Имеется перевод: Мамфорд Д. Об уравнениях, опреде-
ляющих абелевы многообразия // Математика: Сб. перев. 1970. Vol. 14, № 1.
С. 104—136; I // Математика: Сб. перев. 1970. Vol. 14, №2. С.334; II //
Математика: Сб. перев. 1970. Vol. 14, №5. С.З—61; III // Математика: Сб.
перев. 1971. Vol. 15, №2. С.29—55.]
[601]	Mumford D. An analytic construction of degenerating curves over complete
local fields // Compos. Math. 1972. Vol. 24. P. 129—174.
[602]	Mumford D. Ableian varieties. Oxford: Univ. Press, 1974. [Имеется перевод:
Мамфорд Д. Абелевы многообразия. М.: Мир, 1971.]
[603]	Mumford D. Tata lectures of theta. I—II. Boston et al.: Birkhauser, 1983—1984.
[Имеется перевод: Мамфорд Д. Лекции о тэта-функциях. М.: Мир, 1988.]
[604]	Mumford D., Series С., Wright D. Indra’s Pearls. The visions of Felix Klein.
New-York: Cambgridge University Press, 2002.
[605]	Murty R. Review (Math. Reviews, 99k:l 1004) on [583]
[606]	Narasimhan M. S., Nori M. V. Polarizations on an Abelian variety // Proc.
Indian Acad. Sci. Math. Sci. 1981. Vol. 90, №2. P. 125—128.
[607]	Narkiewicz W. Elementary and analytic theory of algebraic numbers. Warsaw:
Polish Sci. Publ., 1974.
[608]	Neron A. Modules, minimaux des variets abeliennes sur les corps locaux et
globaux // Publ. IHES. 1964. Vol. 21. P. 367—482.
[609]	Neron A. Hauteurs et fonctions theta // Rend. Semin. Mat. Fis. Milano. 1976.
Vol.46. P. Ill —135.
[610]	Nesterenko Yu. V. Algebraic independence of к and // Number theory and its
applications (Ankara, 1996). New York: Dekker, 1999. (Lecture Notes in Pure
and Appl. Math.; Vol. 204). P. 121 — 149.
[611]	Nesterenko Yu. V. On the algebraic independence of numbers. A panorama of
number theory or the view from Baker’s garden. ZQrich, 1999. P. 148—167;
Cambridge: CUP, 2002.
[612]	Neukirch J. Algebraic number theory / Translated from the 1992 German
original and with a note by N. Schappacher, With a foreword by G. Harder.
Berlin: Springer-Verlag, 1999. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaf-
ten [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]; Vol. 322).
[613]	Neukirch J., Schmidt A., Wingberg K. Cohomology of number fields. Berlin:
Springer-Verlag, 2000. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
[Fundamental Principles of Mathematical Sciences]; Vol. 323).
[614]	New advances in transcendence theory // Proceedings of the Symposium on
Transcendental Number Theory held at the University of Durham (Durham,
July 1986) / Ed. A. Baker. Cambridge: Univ. Press, 1988.
[615]	Ngo B.Ch. Preuve d’une conjecture de Frenkel—Gaitsgory—Kazhdan—Vilo-
nen pour les groupes lineaires generaux // Israel J. Math. 2000. Part A. Vol. 120.
P. 259—270.
532
Литература
[616]	Noguchi J. A higher dimensional analogue of Mordell’s conjecture over function
fields // Math. Ann. 1981. Vol. 158. P. 208—212.
[617]	Noncommutative geometry and number theory / Where Arithmetic meets Geom-
etry and Physics; Ed. C. Consani, M. Marcolli. Wiesbaden: Friedr. Vieweg &
Sohn, 2006. (Aspects of Math.; E37).
[618]	Odlyzko A.M. Some analytic estimates of class numbers and discriminants //
Invent. Math. 1975. Vol. 29, №3. P. 275—286.
[619]	Odlyzko A.M. Discrete logarithms in finite fields and their cryptographic sig-
nificance // Advances in cryptology (Paris, 1984). Berlin: Springer, 1985. (Lec-
ture Notes in Comput. Sci.; Vol. 209). P. 224—314.
[620]	Odlyzko A.M. New analytic algorithms in number theory // Proceedings of
the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berkeley, Calif., 1986).
Providence, RI: AMS, 1987. P. 446—475.
[621]	Odlyzko A.M., Riele H.J. Disproof of the Merlens conjecture // J. reine und
angewm. Math. 1985. Vol. 357. P. 138—160.
[622]	Ogg A.P. Modular forms and Dirichlem series. Benjamin, 1965.
[623]	Osterte J. Nombres de classes des corps quadratiques imaginaires // Semin.
Bourbari 36-e ann. 1983/84. №631. P. 1 —14. [Имеется перевод: Остерле Ж.
Числа классов мнимых квадратичных полей // Алгебра и теория чисел (с при-
ложениями). М.: Мир, 1987. С. 219—238.]
[624]	Oesterle J. Polylogarithmes // Seminaire Bourbaki, Exp. № 762. Asterisque.
1993. Vol. 216. P. 49—67.
[625]	Oesterle J. Travaux de Wiles (et Taylor, ...). II // Seminaire Bourbaki,
Exp. №804. Asterisque. 1996. №237. P. 333—355.
[626]	Odlyzko A. M. On the distribution of spacings between zeros of zeta functions //
Math. Comput. 1987. Vol. 48. P. 273—308.
[627]	Ore O. Invitation to Number Theory. New York: Random House, 1969. (New
Mathematical Library Series, Vol. 20). [Имеется перевод: Ope О. Приглашение
в теорию чисел. М.: Наука, 1980.]
[628]	Panchishkin A. A. Two variable p-adic L functions attached to eigenfamilies of
positive slope // Invent. Math. 2003. Vol. 154. P. 551—615.
[629]	Parry IF., Tuncel S. Classification problems in ergodic theory. Cambridge:
Cambridge University Press, 1982. (London Math. Soc. Lecture Notes Series.;
Vol. 67).
[630]	ParShin A.N. Quelques conjectures de finitude en geometrie Diophantienne //
Actes Congr. Int. Math. Paris: Gauthier-Villars, 1970. Vol. 1. P. 467—471.
[631]	ParShin A.N. The Bogomolov—Miyaoka—Yau inequality for the arithmetical
surfaces and its applications // Seminaire de Theorie des Nombres, Paris
1986—87. Boston: Birkhauser, 1988.
[632]	Patterson S. An introduction to the theory of the Riemann zeta function.
Cambridge: CUP, 1988. (Cambridge Studies in advanced mathematics; Vol. 14).
Литература
533
[633]	Peterson I. Uncommon factoring // Science News. 1985. Vol. 127, № 13. March
30. P. 202—203.
[634]	Peyre E. Hauteurs et mesures de Tamagawa sur les varietes de Fano // Duke
Math. J. 1995. Vol. 79, №,1. P. 101—218.
[635]	Peyre E. Points de hauteur bomee et geometrie des varietes (d’apres Y. Manin et
al.) I/ Seminaire Bourbaki, Exp. № 891. Asterisque. 2002. Vol. 282. P. 323—344.
[636]	Peyre E. Obstructions au principe de Hasse et a 1’approximation faible //
Seminaire Bourbaki, Exp.№931. Asterisque. 2005. Vol. 299. P. 165—193.
[637]	Piatetski-Shapiro /. /. Classical and adelic automorphic forms, an introduction //
Automorphic forms, representations and А-functions (Proc. Sympos. Pure
Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2. Providence, RI: AMS,
1979. (Proc. Symp. Pure Math. Amer. Math.; Vol. 33). P. 185—188.
[638]	Pimsner M., Voiculescu D. Exact sequences for /(-groups and Ext-groups of
certain cross-product C*-algebras // J. Operator Theory. 1980. Vol.4, №1.
P. 93—118.
[639]	Pollard J. M. Theorems on factorization and primality testing // Proc. Cam-
bridge Phil. Soc. 1974. Vol. 76. P. 521—528.
[640]	Pollicott M. Kleinian groups, Laplacian on forms and currents at infinity //
Proc. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. НО. P. 269—279.
[641]	Polya G. Collected papers. Cambridge: M. I.T. Press, 1974. (Mathematicians
of Our Time; Vol. 7, 8).
[642]	Pomerance C. Recent developmetns in primality testing // Math. Intell. 1981.
Vol. 3. P. 97—105.
[643]	Pomerance C. Analysis and comparison of some integer factoring algorithms //
Computational methods in number theory, Part I, II. Amsterdam, 1983. (Math.
Centrum Tracts; Vol. 154; 155).
[644]	Pomerance C. Fast, rigorous factorization and discrete logarithm algorithms //
Discrete algorithms and complexity (Kyoto, 1986). Boston, MA: Academic
Press, 1987. (Perspect. Comput.; Vol. 15). P. 119—143.
[645]	Pomerance C.4 Selfridge J. L.y Wagstaff S. S. The pseudoprimes to 25 • 109 //
Math. Comput. 1980. Vol. 35. P. 1003—1026.
[646]	Pomerance C., Wagstaff S. S. Implementation of the continued fraction integer
factoring algorithm // Congressus Numerantium. A Conference Journal on
Numerical Themes. 1983. Vol. 37. P.99—118.
[647]	Poonen B. Hilbert’s tenth problem and Mazur’s conjecture for large subrings of
Q I I J. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 16, №4. P. 981—990.
[648]	Poorten A. van der. A proof that Euler missed... Apery’s proof of the irrationality
of C(3): An informal report // Math. Intell. 1979. Vol. 1, №4. P. 195—204.
[649]	Prachar K. Primzahlverteilung. Berlin, 1957. [Имеется перевод: Прахар К,
Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.]
534
Литература
[650]	Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. 1,2/ Held
in Ztirich, August 3—11, 1994. Ed. S. D. Chatterji. Basel: Birkhauser Verlag,
1995.
[651]	Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. I / Invited
plenary lectures. Appendix. Held in Berlin, August 18—27, 1998. Doc. Math.
1998, Extra Vol. I. Documenta Mathematica, Bielefeld, 1998. front matter and
P. 1—662 (electronic).
[652]	Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Vol. I // Plenary
lectures and ceremonies. Held in Beijing, August 20—28, 2002 / Ed. T. Li. With
1 CD-ROM [Windows]. Beijing: Higher Education Press, 2002. x+657 P.
[653]	Putnam /. C*-algebras from Smale spaces // Can. J. Math. 1996. Vol. 48, № 1.
P. 175—195.
[654]	Putnam L, Spielberg J. The structure of C*-algebras associated with hyperbolic
dynamical systems // J. Funct. Anal. 1999. Vol. 163. P. 279—299.
[655]	Rabin M. O. Probabilistic algorithms for testing primality // J. Number Theory.
1980. Vol. 12. P. 128—138.
[656]	Rademacher H. Lectures of elementary number theory. Krieger, 1977.
[657]	Ramakrishna R. Lifting Galois representations // Invent. Math. 1999. Vol. 138.
P. 537—595.
[658]	Ramanujan S. On certain arithmetical functions // Trans. Cambridge Phil. Soc.
1916. Vol. 22. P. 159—184.
[659]	Rankin R.A. Contribution to the theory of Ramanujan’s function т(/г) and
similar arithmetical functions. I—II // Proc. Cambridge Phil. Sol. 1939. Vol. 35.
P. 351—372.
[660]	Rational points on algebraic varieties / Ed. E. Peyre, Yu. TschinkeL Basel: Birk-
hauser, 2001. (Progr. Math.; Vol. 199).
[661	] Ray D. B., Singer I. M. Analytic torsion for complex manifolds // Ann. of Math.
(2). 1973. Vol. 98. P. 154—177.
[662]	Raynaud M. Schemes en groupes de type (p, ..., p) // Bull. Soc. Math. France.
1974. Vol. 102. P. 241—280.
[663]	Raynaud M. Around the Mordell conjecture for function fields and a conjecture
of Serge Lang // Algebraic geometry (Tokyo/Kyoto, 1982). Berlin: Springer,
1983. (Lecture Notes in Math.; Vol. 1016). P. 1 — 19.
[664]	Renault J. A groupoid approach to C*-algebras. Berlin: Springer, 1980. (Lecture
Notes in Math.; Vol. 793).
[665]	Ribenboim P. 13 lectures on Fermat’s last theorem. New York: Springer, 1979.
[666]	Ribenboim P. The book of prime number records. New York: Springer-Verlag,
1988.
[667]	Ribenboim P. The new book of prime number records. Berlin; Heidelberg; New
York: Springer-Verlag, 1996.
Литература
535
[668]	Ribet К. A. Galois representations attached to eigenforms with Nebentypus //
Modular functions of one variable, V (Proc. Second Intemat. Conf., Univ.
Bonn, Bonn, 1976). Berlin: Springer, 1977. (Lecture Notes in Math.; Vol. 601).
P. 17—52.
[669]	Ribet K.A. On /-adic representations attached to modular forms. II // Glasgow
Math. J. 1985. Vol. 27. P. 185—194.
[670]	Ribet K.A. Raising the level of modular representations // Semin. Theor.
Nombres, Paris 1987—88. Boston, MA: Birkhauser Boston, 1990. (Progr. in
Math.; Vol.81). P.259—271.
[671]	Ribet K.A. On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular
forms // Invent. Math. 1990. Vol. 100, №2. P. 431—476.
[672]	Ribet K., Stein IF. Lectures on Serre’s conjectures. In: [126] P. 143—232
[673]	Rieffel M.A. Strong Morita equivalence of certain transformation group (^-al-
gebras // Math. Ann. 1976. Vol. 222. P. 7—23.
[674]	Riemann B. Gesammelte mathematische Werke. Leipzig, 1892. [См. также:
Риман Б. Сочинения. М.; Л.: ГТТИ, 1948.]
[675]	Riesel Н. Prime numbers and computer methods for factorization. Boston, MA:
Birkhauser Boston Inc., 1985. (Progr. Math.; Vol. 57).
[676]	Riesel H.4 Gohl G. Some calculations related to Riemann’s prime number
forumla // Math. Comput. 1970. Vol. 24. P. 969—983.
[677]	Riemann B. Uber die Anzahl der Primzahlen unter Einer Gegebenen GroB e //
Montasb. der Berliner Akad. 1858. Vol. 160. P. 671—680.
[678]	Rivoal T. Proprietes diophantiennes de la fonction zeta de Riemann aux entiers
impairs http: //theses-EN-ligne. in2p3. f r/documents/archivesO/OO/
00/12/67/index_fr.html, PhD T. Rivoal, Universite de Caen, 2001.
[679]	Robert G. Unites elliptiques et formules pour le nombred de classes des exten-
sions abeliennes d’un corps quadratique imaginaire // Bull. Soc. Math. France.
1973. №36. P.5—77.
[680]	Robertson G. Boundary actions for affine buildings and higher rank Cuntz-
Krieger algebras. In [681]
[681	] Robertson G. Boundary actions for affine buildings and higher rank Cuntz—Krie-
ger algebras // C*-algebras (MGnster, 1999) / Ed. J. Cuntz, S. Echterhoff.
Berlin: Springer-Verlag, 2000. P. 182—202.
[682]	Rogers H.J. Theory of recursive funcitons and effectire computability. New York
et al.: McGraw—Hill Book Company, 1967. [Имеется перевод: Роджерс X.
Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.]
[683]	Rosen К. Н. Elementary number theory and its applications. Reading, MA:
Addison-Wesley, 1984.
[684]	Roth K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955.
Vol. 2. P. 1—20.
536
Литература
[685]	Rubin К. Tate—Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with
complex multiplication // Invent. Math. 1987. Vol. 89. P. 527—560.
[686]	Rubin K. Modularity of mod 5 representations. In: [583]. P. 463—474.
[687]	Rubin K. Euler systems and modular elliptic curves // Galois representations in
arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996). Cambridge: CUP, 1998. (London
Math. Soc. Lecture Note Ser. Vol. 254). P. 351—367.
[688]	Rubin K., Silverberg A. A report on Wiles’ Cambridge lectures // Bull. Amer.
Math. Soc. (N.S.). 1994. Vol. 31. P. 15—38.
[689]	Ruelle D. Non-commutative algebras for hyperbolic diffeomorphisms Ц Invent.
Math. 1988. Vol. 93. P. 1—13.
[690]	Saito M. Modules de Hodge Polarisable // Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1988.
Vol. 24. P. 849—995.
[691]	Samuel P., Zariski O. Commutative algebra. Vol. 1. New York: Springer,
1975—1976. [Имеется перевод: Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная
алгебра. Т. 1. М.: ИЛ, 1963.]
[692]	Samak Р. L-functions. Proceedings of the International Congress of Math-
ematicians. Vol. I. Berlin, 1998; Doc. Math. 1998. Extra Vol. I. P. 453—465
(electronic).
[693]	Samak P., Wang L. Some hypersurfaces in P4 and the Hasse-principle //
C.R.Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1995. Vol. 321, №3. P. 319—322.
[694]	Schanuel S. Heights in number fields // Bull. Soc. Math. France. 1979. Vol. 107.
P. 433—449.
[695]	Schmidt W.M. Diophantine approximation. Berlin: Springer, 1976. (Lecture
Notes in Math.; Vol. 785).
[696]	Schoof R.J. Elliptic curves over finite fields and the computation of square roots
mod p //Math. Comput. 1985. Vol.44. P.483—494.
[697]	Scholl A. Motives for modular forms // Invent. Math. 1990. Vol. 100. P. 419—430.
[698]	Scholl A. An introduction to Kato’s Euler systems. Galois representations in
arithmetic algebraic geometry (Durham, 1996). Cambridge: CUP, 1998. (London
Math. Soc. Lecture Note Ser.; Vol. 254). P. 379—460.
[699]	Schroeder M. R. Number theory in science and communications. Berlin: Sprin-
ger-Verlag, 1984. (Springer Series in Information Sciences; Vol. 7).
[700]	Schroder H. К-theory for real C*-algebras and applications. Harlow: Longman
Scientific Technical, 1993. (Pitman Research Notes in Mathematics Series;
Vol. 290).
[701]	Schneider P. Introduction to the Beilinson Conjectures // Beilinson’s conjec-
tures on special values of L-functions. Boston; New York: Academic Press, 1988.
(Perspect. Math.; Vol. 4). P. 1—35.
[702]	Schneider Th. Einfiihnjng in die transzendenten Zahlen. Berlin; Heidelberg;
New York: Springer-Verlag, 1957.
Литература
537
[703]	Schulze-Pillot R. Thetareihen positiv definiter quadratischer Formen // Invent.
Math. 1984. Vol. 75. P. 283—299.
[704]	Seiler E. Gauge Theories as a problem of constructive Quantum Field Theory
and Statistical Mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 1982. (Lecture Notes in
Physics; Vol. 159).
[705]	Selberg A. An elementary proof of the prime number theorem // Ann. Math.
1951. Vol. 85. P. 203—362.
[706]	Selberg A. Collected papers. Vol. 1, 2. Berlin: Springer-Verlag, 1989; 1991.
[707]	Selmer E.S. The diophantine equation ax2 + by3 + cz3 = 0 //Acta Math. 1951.
Vol. 85. P. 203—362.
[708]	Selmer E.S. Ditto completion on the tables // Acta Math. 1954. Vol.92.
P. 191 —197.
[709]	Seminaire de theorie des nombres. Paris, 1984—85 / Ed. C. Goldstein, Vol. 8.
Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 1986. (Progr. Math.; Vol. 63).
[710]	Seppala M. Computation of period matrices of real algebraic curves // Discrete
Comput. Geom. 1994. Vol. 11, № 1. P. 65—81.
[711]	Serre J.-P. Geometrie algebrique et geometrie analytique // Ann. Inst. Fourier.
1955/56. Vol. 6. P. 1—42. [Имеется перевод: Cepp Ж-П. Геометрия алгебра-
ическая и аналитическая // Собрание сочинений. Т. 2. М.: МЦНМО, 2004.
С. 134—166.]
[712]	Serre J. -Р. Groupes algebriques et theorie du corps de classes. Paris: Hermann,
1958. [Имеется перевод: Cepp Ж -П. Алгебраические группы и поля классов.
М.: Мир, 1968.]
[713]	Serre J.-P. Corps locaux. Paris: Hermann, 1963.
[714]	Serre J.-P. Cohomologie Galoisienne. Berlin et al.: Springer, 1964. [Имеется
перевод: Cepp Ж.-П. Когомологии Галуа. М.: Мир, 1968.]
[715]	Serre J. -Р. Zeta-functions and L-functions // Arithmetical Algebraic Geometry
(Proc. Conf. Purdue Univ., 1963). New York: Harper & Row, 1965. P. 82—92.
[Имеется перевод: Cepp Ж. -П. Дзета-функции и L-функции // Успехи матем.
наук. 1965. Т. 60, №6. С. 19—26.]
[716]	Serre J.-P. Abelian Z-adic representation and elliptic curves. New York: Ben-
jamin, 1968. [Имеется перевод: CeppЖ.-П. Абелевы Z-адические предсатв-
ления и эллиптические кривые. М.: Мир, 1973.]
[717]	Serre J. -Р. Une interpretation des congruences relatives a la fonction т de Ra-
manujan // Semin, theor. nombres Delange—Pisot—Poitou. Fac. Sci. Pa-
ris. 1967—1968. 1969. Vol.9, №1. P. 14/01 —14/17. [Имеется перевод:
Cepp Ж-П. Интерпретация сравнений, связанных с функцией т Рамануд-
жана // Собрание сочинений. Т. 3. М.: МЦНМО, 2007. С. 502—517.]
[718]	Serre J.-P. Zeta and L-functions // Arithmetical Algebraic Geometry. New York,
1965. P.82—92. [Имеется перевод: Cepp Ж-П. Дзета-функции и L-функ-
ции // Собрание сочинений. Т. 3. М.: МЦНМО, 2007. С. 217—226.]
538
Литература
[719]	Ser re J.-P. Facteurs locaux des fonctions zeta des varietes algebriques (definit-
ions et conjectures) // Sem. Delange—Pisot—Poitou. Exp. № 19. 1969/70.
[720]	Serre J.-P. Cours d’arithmetique. Paris: Press univ. France, 1970. [Имеется
перевод: Cepp Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.]
[721]	Serre J.-P. Cohomologie des groupes discrets // Prospects in mathematics
(Proc. Sympos., Princeton Univ., Princeton, NJ, 1970). Princeton, NJ: PUP,
1971. (Ann. Math. Stud.; Vol. 70).
[722]	Serre J. -P. Proprietes galoisiennes das points d’ordre fini des courbes ellipti-
ques // Invent. Math. 1972. Vol. 15. P. 259—331.
[723]	Serre J.-P. Representations Z-adiques // Alg. Numb. Theory. Proc. Taniguchi
Int. Symp. Div. Math. Kyoto. 1976. №2. Tokyo, 1977. P. 117—193.
[724]	Serre J.-P. Arbres, amalgames, SL2 / Avec un sommaire anglais, Redige avec
la collaboration de Hyman Bass, Asterisque, №46. Paris, 1977. [Перевод на
англ.: Serre J.-P. Berlin: Springer-Verlag, 1980.]
[725]	Serre J. -P. Sur le nombre des points rationnels d’une courbe algebrique sur un
corps fini // С. r. Acad. sci. 1983. Ser. 1. 296. P. 397—402.
[726]	Serre J. -P. Oeuvres. Vol. I—III. Berlin: Springer, 1986. [См. также: СеррЖ-П.
Собрание сочинений. Т. 1—3. М.: НМУ, МЦНМО, 2003—2007.]
[727]	Serre J. -Р. Sur les representations modulaires de degree 2 de Gal(Q/Q) // Duke
Math. J. 1987. Vol. 54, № 1. P. 179—230.
[728]	Serre J.-P. Cohomologie galoisienne: progres et problemes // Seminaire Bour-
baki, Exp. №783. Asterisque. 1995. Vol. 227. P. 229—257.
[729]	Serre J.-P. Travaux de Wiles (et Taylor,...). I // Seminaire Bourbaki, Exp. № 803.
Asterisque. 1996. Vol. 237. P. 319—332.
[730]	Serre J.-P. Lectures on the Mordell—Weil theorem / Translated from the French
and edited by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt, With a foreword
by Brown and Serre. 3rd ed. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1997.
(Aspects of Mathematics).
[731]	Serre J.-P., Tate J. Good reduction of Abelian varieties and applications //
Ann. Math. 1968. Vol. 88. №3. P. 492—517. [Имеется перевод: Cepp Ж-ГТ,
Тэйт Дж. Хорошая редукция абелевых многообразий // Серр Ж-П. Собра-
ние сочинений. Т.З. М.: МЦНМО, 2007. С. 474—501.]
[732]	Severi F. Sugli integral! abeliani riducibili // Rend. Acad. Lincei. Ser. V. 1914.
Vol. 23. P. 581—587.
[733]	Seysen M.A. A probabilistic factorization algorithm with quadratic forms of
negative discriminant // Math. Comput. 1987. Vol. 48. P. 757—780.
[734]	Shafarevich /. Lectures on minimal models and birational transformations of
two-dimensional schemes. Bombay: Tata Institute, 1966.
[735]	Shahidi F. On the Ramanujan conjecture and finiteness of poles for certain
L-functions// Ann. Math. 1988. Vol. 127. P. 547—584.
Литература
539
[736]	Shalika J. A., Takloo-Bighash R., Tschinkel Yu. Rational points on compacti-
fications of semi-simple groups of rank 1 // Arithmetic of higher-dimensional
algebraic varieties (Palo Alto, CA, 2002). Boston, MA: Birkhauser, 2004. (Progr.
Math.; Vol. 226). P. 205—233.
[737]	Shalika J. A., Takloo-Bighash R., Tschinkel, Yu. Rational points and auto-
morphic forms // Contributions to automorphic forms, geometry, and number
theory. Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 2004. P. 733—742.
[738]	Shalika J. A., Tschinkel Yu. Height zeta functions of equivariant compactifica-
tions of the Heisenberg group // Contributions to automorphic forms, geom-
etry, and number theory. Baltimore, MD: Johns Hopkins Univ. Press, 2004.
P. 743—771.
[739]	Shanks D. Class number, a theory of factorization, and genera // Proc. Sympos.
Pure Math. 1970. Vol. 20. P. 415—440.
[740]	Shanks D. Solved and unsolved problems in number theory. 2nd ed. Chelsea,
1978; 3rd ed. Chelsea, 1985.
[741]	Shimura G. A reciprocity law in nonsolvable extensions // J. reine und angew
Math. 1966. Vol. 221. P. 209—220.
[742]	Shimura G. Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions.
Princeton: PUP, 1971. [Имеется перевод: Шимура Г. Введение в арифмети-
ческую теорию автоморфных функций. М.: Мир, 1973.]
[743]	Shimura G. Euler products and Eisenstein series. Published for the Conference
Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; Providence, RI: AMS,
1997. (CBMS Regional Conference Series in Math.; Vol. 93).
[744]	Shimura G. Arithmeticity in the theory of automorphic forms. Providence, RI:
AMS, 2000. (Mathematical Surveys and Monographs; Vol. 82).
[745]	Shimura G. The representation of integers as sums of squares // Amer. J. Math.
2002. Vol. 124. №5. P. 1059—1081.
[746]	Shimura G. Arithmetic and analytic theories of quadratic forms and Clifford
groups. Providence, RI: AMS, 2004. (Mathematical Surveys and Monographs;
Vol. 109).
[747]	Shintani T. On evaluation of zeta functions of totally real algebraic number fields
at non-negative integers //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec. IA. 1976. Vol. 23. №2.
P. 393—417.
[748]	Shlapentokh A. A ring version of Mazur’s conjecture on topology of rational
points, Intemat // Math. Res. Notices. 2003. №7. P. 411—422.
[749]	Shorey C. L., Tijdeman R. Exponential diophantine equations. X. Cambridge et
al.: CUP, 1986.
[750]	Shoup V. NTL: A Library for doing Number Theory, Web page:
http://shoup.net/ntl/ 2002.
[751]	Siegel C.L. Uber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen //
Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. KI. 1929. P. 41—69.
540
Литература
[752]	Siegel С. L. Uber die analytische Theorie der quadratische formen // Ann. Math.
1935. Vol. 36. P. 527—606.
[753]	Siegel C. L. Einfiihrung in die Theorie der Modulfunktionen л-ten Grades Ц
Math. Ann. 1939. Vol. 166. P. 617—657.
[754]	Siegel C. L. Lectures on advanced analytic number theory. Bombay: Tata Inst.,
1965. (Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Math.; Vol. 23).
[755]	Sierpinski W. A selection of problems in the theory of numbers. Pergamon
Press, 1964.
[756]	Silverberg A. Open questions in arithmetic algebraic geometry. In: [126].
P. 143—232.
[757]	Silverman J.H. The arithmetic of elliptic curves. New York: Springer-Verlag,
1986. (Graduate Texts in Math.; Vol. 106).
[758]	Silverman J.H. Wieferrich’s criterion and the abc-conjecture Ц J. Number
theory. 1988. Vol. 30, №2. P. 226—237.
[759]	Simmons G.J. Cryptology: the mathematics of secure communication Ц Math.
Intell. 1979. Vol. 1, №4. P. 233—246.
[760]	Skorobogatov A. Beyond the Manin obstruction // Invent. Math. 1999. Vol. 135,
№ 2. P. 399—424.
[761]	Skorobogatov A. Torsors and rational points. Cambridge: CUP, 2001. (Cam-
bridge Tracts in Mathematics; Vol. 144).
[762]	Slater J. B., Swinnerton-Dyer P. Counting points on cubic surfaces. I: Nombre
et repartition de points de hauteur bornee (Paris, 1996) // Asterisque. 1998.
№251. P. 1 — 12.
[763]	Sloane N.J. A. Recent bounds for codes, sphere packings and related problems
obtained by linear programming and other methods // Papers in algebra, analysis
and statistics (Hobart, 1981). Providence, RI: AMS, 1982. (Contemp. Math.;
Vol. 9). P. 153—185.
[764]	Solovay R., Strassen V. A fast Monte Carlo test for primality // SIAM J.
Comput. 1977. Vol. 6. P. 84—85; Erratum. 1978. Vol. 7. P. 118.
[765]	Sondow J. Criteria for irrationality of Euler’s constant Ц Proc. Amer. Math.
Soc. 2003. Vol. 131, №11.
[766]	Sow/e Ch. Regulateurs / Seminar Bourbaki, Exp. №644. Asterisque. 1986.
Vol. 133/134. P. 237—253.
[767]	SouU> Ch., Abramovich,D., Burnol J.F., Kramer J.K. Lectures on Arakelov
Geometry. Cambridge: CUP, 1992. (Cambridge Studies in Advanced Mathe-
matics; Vol. 33).
[768]	Spielberg J. Free-product groups, Cuntz—Krieger algebras, and covariant
maps // Internal. J. Math. 1991. Vol.2, №4. P.457—476.
[769]	Springer T.A. Linear algebraic groups. Boston: Birkhauser, 1981. [Имеется
перевод: Спрингер T. Теория инвариантов. М.: Мир, 1981.]
Литература
541
[770]	Stark Н. М. К complete determination of complex quadratic fields of class-num-
ber one // Mich. Math. J. 1967. Vol. 14, № 1. P. 1—27.
[771]	Stark H.M. One the «Gap» in a theorem of Heegner // J. Number Theory.
1969. Vol. 1, №1. P. 16—27.
[772]	Stark H. M. Hilbert’s twelfth problem and L-series // Bull. Amer. Math. Soc.
1977. Vol. 83, №5. P. 1072—1074.
[773]	Stark H. M. Class fields and modular forms of weight one Ц Modular functions
of one variable, V (Proc. Second Intemat. Conf., Univ. Bonn, Bonn, 1976).
Berlin: Springer, 1977. (Lecture Notes in Math.; Vol. 601). P. 277—287.
[774]	Stark H. L-functions at s = l. I // 1971. Adv. Math. Vol.7. P.301—343;
II. 1975. Vol. 17. P.60—92; III. 1976. Vol. 22. P.64—84; IV. 1980. Vol. 35.
P. 197—235.
[775]	Steenbrink J. Limits of Hodge structures // Invent. Math. 1976. Vol. 31.
P. 229—257.
[776]	Stein IF. An Explicit Approach to Number Theory (a forthcoming book, based
on a Course Math 124 (Fall 2001), cf. http://modular.fas.harvard.edu/
edu/Fall2001/124/lectures/)
[777]	Stepanov S. A. Codes on algebraic curves. New York: Kluwer Academic Pub-
lishers, 1999.
[778]	Stevens G. An overview the proof of Fermat’s Last Theorem. In: [583]. P. 1—16.
[779]	Straach M., Tschinkel Yu. Height zeta functions of toric bundles over flag
varieties // Selecta Math. (N. S.) 1999. Vol. 5, №3. P. 325—396.
[780]	Sullivan D. On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of
hyperbolic motions // Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the
1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook N. Y., 1978).
Princeton, NJ: PUP, 1981. (Ann. of Math. Stud.; Vol. 97). P. 465—496.
[781]	Swinnerton~Dyer H. P. F. The conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer and of
Jate // Proc. Conf, on Local Fields. Berlin—Heidelberg—New York: Springer,
1967.
[782]	Swinnerton-Dyer H.P.F. On Z-adic representations and congruences for co-
efficients of modular forms. 1973. (Lecture Notes in Math.; Vol. 350). P. 1—56.
[783]	Szemeredi E. On sets of integers containing no k elements in arithmetic
progression // Acta Arith. 1975. Vol. 27. P. 299—345.
[784]	Szpiro L. Seminaire sur les pinceaux de courbes de genre au moin deux //
Asterisque. 1981. Vol. 86.
[785]	Szpiro L. La conjecture de Mordell (d’apres G. Fallings) // Semin. Bourbaki,
Exp.№619. Asterisque. 1985. Vol. 121—122. P.83—103. P. 1—21. [Имеется
перевод: Шпиро Л. Гипотеза Морделла (по Фальтингсу) // Алгебра и теория
чисел (с приложениями). М.: Мир, 1987. С. 125—150.]
[786]	Taniyama Y. L-functions of number fields and zeta-functions of Abelian vari-
eties //J. Math. Soc. Jap. 1957. Vol. 9. P. 330—336.
542
Литература
[787]	Tate J. Fourier analysis in number fields and Hecke’s zeta-function: Thesis.
Princeton, 1950.
[788]	Tate J. On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric
analog I I Seminaire Bourbaki, Exp. №306. Paris: Soc. Math. France, 1995.
Vol. 9. [Имеется перевод: Тэйт Дж. О гипотезах Берча и Свиннертона-Дай-
ера и их геометрическом аналоге // Математика: Сб. перев. 1968. Vol. 12,
№6. С. 41—55.]
[789]	Tate J. Endomorphisms of Abelian varieties over finite fields // Invent. Math.
1966. Vol. 2. P 134—144. [Имеется перевод: Тэйт Дж. Эндоморфизмы абе-
левых многообразий над конечными полями // Математика: Сб. перев. 1968.
Vol. 12, №6. С. 31—40.]
[790]	Tate J. Algebraic cycles and poles of zeta-functions // Arithmetical Algebraic
Geometry (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963). N.Y.: Harper and Row, 1965.
P. 93—100.
[791]	Tate J. Algebraic formulas in arbitrary characteristic. Appendix 1 to [496].
[792]	Tate J. Algebraic cohomology classes: Preprint. Woods hall, 1964. [Имеется
перевод: Тэйт Дж. Алгебраические классы когомологий // Успехи матем.
наук. 1965. Т. 20, №6. С. 27—40.]
[793]	Tate J. The Arithmetic of Elliptic Curves // Invent. Math. 1974. Vol. 23.
P. 179—206.
[794]	Tate J. Number theoretic background. Automorphic forms, representations, and
^-functions // Proc. Symp. Pure Math. Amer. Math. Soc. 1977. Part 2. 1979.
P. 3—26.
[795]	Tate J. Les conjectures de Stark sur les fonctions L d’Artin en s = 0. Boston,
MA: Birkhauser Boston Inc., 1984. (Progr. Math.; Vol. 47).
[796]	Tate J. Finite flat group schemes. In: [583]. P. 121 —154.
[797]	Taylor R. Galois representations. In: [652]. P. 449—474.
[798]	Taylor R., Wiles A. Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras // Ann.
Math. (2). 1995. Vol. 141, №3. P. 553—572.
[799]	The Grothendieck Festschrift. Vols. I—III / Ed. P. Cartier, L. Illusie, N. M. Katz,
G. Laumon, Yu. Manin, K. A. Ribet. Boston, MA: Birkhauser Boston Inc., 1990.
(Progr. Math.; Vol. 86—88).
[800]	Theorie des nombres. Number Theory / Ed J.-M.de Koninck, Cl. Levesque.
Berlin: Walter de Gruyter, 1989.
[801]	Thompson J.G. Finite groups and modula functions // Bull. London. Math.
Soc. 1979. Vol. 11, №3. P. 347—351.
[802]	Titchmarsh E. C. The theory of the Riemann zeta-function. Oxford: Univ. Press,
1951. [Имеется перевод: Титчмарш E. К. Теория дзета-функции Римана. М.:
ИЛ, 1953.]
Литература
543
[803]	Tsfasman М.А., Vladut S.G. Algebraic-geometric codes. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers Group, 1991. (Mathematics and its Applications (Soviet
Series); Vol. 58).[См. также: Влэдуц С. Г., Ногин Д. Ю., Цфасман М.А. Ал-
геброгеометрические коды. Основные понятия. М.: МЦНМО, 2003.]
[804]	Tunnell J. В. Artin’s Conjecture for representations of octahedral type // Bull.
AMS. New series. 1981. Vol.5, №2. P. 173—175.
[805]	Tunnell J.B. A classical Diophantine problem and modular forms of weight
3/2 // Invent. Math. 1983. Vol. 72. P. 323—334.
[806]	van der Poorten A. Notes on Fermat’s last theorem / A Wiley—Interscience
Publication. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1996. (Canadian Mathematical
Society Series of Monographs and Advanced Texts).
[807]	Vatsal V. Special values of anticyclotomic L-functions // Duke Math. J. 2003.
Vol. 116, №2. P.219—261.
[808]	Vaughan R.C. The Hardy—Littlewood method. Cambridge: Univ. Press, 1981.
[Имеется перевод: Вон P. Метод Харди—Литлвуда. М.: Мир, 1985.]
' [809] Vaughan R. С., Wooley Т. D. On Waring’s problem: some refinements. Proc.
London Math. Soc. (3) 1991. Vol. 63. P.35—68.
[810]	Vaughan R.C., Wooley T.D. Further improvements in Waring’s problem, IV:
higher powers // Acta Arith. 2000. Vol. 94. P. 203—285.
[811]	Viete F. The analytic art. Kent State Univ. Press, 1983.
[812]	Vladut G. Kronecker’s Jugendtraum and modular functions. New York: Gor-
don and Breach Science Publishers, 1991. (Studies in the Development of
Modern Mathematics; Vol. 2).
[813]	Vojta P. Diophantine approximations and value distribution theory. Berlin:
Springer-Verlag, 1987. (Lecture Notes in Math.; Vol. 1239). P. 1 —132.
[814]	Vojta P. Arithmetic and hyperbolic geometry // Proceedings of the International
Congress of Mathematicians. Vol. I, II. Kyoto, 1990; Tokyo: Math. Soc. Japan,
1991. P. 757—765.
[815]	Wagon S. Primality testing // Math. Intel!. 1986. Vol. 8, №3. P. 58—61.
[816]	Waldschmidt M. Sur la nature arithmetique des valeurs de fonctions mod-
ulates // Seminaire Bourbaki, Exp. № 824. Asterisque. 1997. Vol. 245.
P. 105—140.
[817]	Waldschmidt M. Diophantine Approximation on Linear Algebraic Groups //
Grundlehren. Series 326. Springer-Verlag, 2000.
[818]	Wagstaff S.S., Jr., Smith J.W. Methods of factoring large interes. Berlin:
Springer, 1987. (Lecture Notes in Math.; Vol. 1240). P. 281—303.
[819]	Warning E. Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herm Chevalley // Abh.
Math. Semin. Hamburgh. 1936. Vol. 11. P. 76—83.
[820]	Washington L. C. The non-p-part of the class number in a cyclotomie Zp-ex-
tension // Invent math. 1978. Vol. 49, № 1. P. 87—97.
544
Литература
[821]	Washington L.C. Introduction to cyclotomic fields. New York et. al.: Springer,
1982.
[822]	Weil A. [.’integration dans les groupes topologiques et ses applications. Paris:
Hermann, 1940. [Имеется перевод: Вейль А. Интегрирование в топологиче-
ских группах и его применения. М.: ИЛ, 1950.]
[823]	Weyl Н. Algebraic theory of numbers. Princeton: PUP, 1940. [Имеется перевод:
Вейль Г. Алгебраическая теория чисел. М.: ИЛ, 1947.]
[824]	Weil A. Sur les curbes algebriques et les varietes qui s’en deduisent. Paris:
Hermann, 1948; 1951.
[825]	Weil A. Number of solutions of equation in a finite field // Bull. Amer. Math.
Soc. 1949. Vol. 55. P. 497—508.
[826]	Weil A. Jacobi sums as «Grdssencharaktere»//Trans. Amer. Math. Soc. 1952.
Vol. 73. P. 487—495.
[827]	Weil A. Sur les «formules explicites» de la theorie des nombres premiers //
Commun. semin. Math. Univ, de Lund (dedee a M. Riesz). 1952. P.252—265.
[828]	Weil A. Arithmetic on algebraic varieties // Ann. Math. 1953. Vol. 53, №3.
P. 412—444.
[829]	Weil A. Sur la theorie du corps de classes // J. Math. Soc. Japan. 1951. VoL3.
[830]	Weil A. Zum Beweis des Torellischen Satzes // Nachr. Akad. Weiss. Gottingen.
1957. Vol. 1. P. 33—53.
[831]	Weil A. Sur certains groupes d’operateursunitaires// Acta Math. 1964. Vol. 111.
[832]	Weil A. Fonctions zeta et distributions // Seminaire Bourbaki, Asterisque. 1966.
Vol. 312.
[833]	Weil A. Uber die Bestimmung Dirichletscher Reiben durch Functional glei-
chungen // Math. Ann. 1967. Vol. 168. P. 149—156. [Имеется перевод: Вейль
А. Об определении рядов Дирихле через функциональные уравнения // Ма-
тематика: Сб. перев. 1970. Vol. 14, №6. С. 133—141.]
[834]	Weil A. Dirichlet series and automorphic forms. Berlin: Springer-Verlag, 1971.
(Lecture Notes in Math.; № 189).
[835]	Weil A. Sur les formules explicites de la theorie des nombers. [Имеется перевод:
Вейль А. О явных формулах в теории чисел // Изв. АН СССР. Сер. матем.
1979. Vol. 36. С. 3—18.]
[836]	Weil A. Basic number theory. Springer, 1974. [Имеется перевод: Вейль А.
Основы теории чисел. М.: Мир, 1972.]
[837]	Weil A. La cyclotomie jadis et naguere // Z. Enseignement Math. 1974. Vol. 20.
P. 247—-263.
[838]	Weil A. Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker. Berlin: Sprin-
ger, 1976. [Имеется перевод: Вейль А. Эллиптические функции по Эйзен-
штейну и Кронекеру. М.: Мир, 1978.]
[839]	Weil A. Ouevres scientifiques. New York: Springer, 1979.
Литература
545
[840]	Wells R. 0. Differential analysis on complex manifolds. New York: Springer-Ver-
lag, 1980. 2nd ed. (Graduate Texts in Math.; Vol. 65). [Имеется перевод:
Уэллс P. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М.:
Мир, 1976.]
[841]	Wiles A. Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem // Ann. Math. (2).
1995. Vol. 141. №3. P. 443—551.
[842]	Wiles A. Twenty years of number theory // Mathematics: frontiers and pers-
pectives. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000. P. 329—342.
[843]	Williams H.C. Primality testing on a computer // Ars Combinatoria. 1978.
Vol. 5. P. 127—185. [Имеется перевод: Уильямс X. Проверка простоты на
компьютере // Киб. сб. 1986. №3. С. 51—99.]
[844]	Williams H.C. А р + 1 method of factoring // Math. Comput. 1982. Vol.39.
P. 225—234.
[845]	Williams H.C. Factoring on a computer // Math. Intell. 1984. Vol.6, №3.
P. 29—36.
г [846] Williams R.F. Classification of subshifts of finite type // Ann. of Math. (2).
1973/1974. Vol. 98, 99. P. 120—153, 380—381.
[847]	Williams H.C., Dubner H. The primality of R1031 // Math. Comput. 1986.
Vol. 47, №176. P. 703—711.
[848]	Wunderlich M. C. Implementing the continued fraction factoring algorithm on
parallel, machines // Math. Comput. 1985. Vol. 44. P. 251—260.
[849]	Yoshida H. Absolute CM-Periods. Mathematical Surveys and monographs.
Providence, RI: AMS, 2003. (Mathematical Surveys and Monographs; Vol. 106).
[850]	Zagier D. First 50 million prime numbers // Math. Intell. 1977. P. 42—71.
[Имеется перевод: Цагир Д. Первые 50 миллионов простых чисел //Живые
числа. Пять экскурсий. М.: Мир, 1985.]
[851]	Zagier D. Eisenstein series and the Riemann zeta-function Ц Automorphic
forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979). Bombay: Tata Inst.
Fundamental Res., 1981. (Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math.; Vol. 10).
P. 275—301.
[852]	Zagier D. Values of zeta functions and their applications / First European Con-
gress of Mathematics. Vol. II. Basel: Birkhauser, 1994. (Progr. Math.; Vol. 120).
P. 497—512.
[853]	Zarhin Ju G. A finiteness theorem for unpolarized Abelian varieties over num-
ber fields with prescribed places of bad reduction // Invent. Math. 1985. Vol. 79.
P. 309—321.
[854]	Zudilin W. Zeta values on the Web http://wain.mi.ras.ru/zw/
[855]	Zudilin W. On the estimates of the measure of linear independence for values
of certain analytical functions // PhD Thesis, Moscow State University, 1995.
Предметный указатель
абелево расширение 149, 185, 189
---функциональных полей 188
---числовых полей 188
автоморфизм Фробениуса 137
р-адическая цифра 156
р-адический логарифм 158
р-адическое число 154
AF-алгебра 477, 480
алгебра Кунца—Кригера 480, 481
алгебраическая норма 46
алгебраически целый элемент 135
алгебраическое замыкание поля 136
алгоритм 22, 117
—	вероятностный проверки на
простоту 85
—	Евклида 25
—	квадратичное решето 112
—	построения подходящих дробей
и остатков квадратичной
иррациональности 72
— разложения Ферма 104
---чисел (р - 1)-методом
Полларда 110
-------CFRAC 107
-------CLASNO 105
-------SQUFOF 109
-------Вилльямса 110
-------Шэнкса 105
—	решения уравнений Пелля 46
—	Сильвера—Полига—Хэллмана 29
алгоритмическая нераспознаваемость
131
аналогия между числами и функциями
427
аракеловская функция Грина 453
арифметическая бесконечность 233,
429
арифметические группы Чжоу 430
асимптотический закон распределения
простых чисел 33
базис Гекке 54
— разложения 107
бета-функция 92
биквадратичный закон взаимности 197
бит 21
быстрое преобразование Фурье 97
вейерштрассова форма 57
----- нормальная 239
вещественное умножение 189
высота 231
— рациональной точки 220, 222
высоты в геометрии Аракелова 233,
430
вычислимая функция 117, 122
гамма-функция 90
гауссова сумма 54, 89
геометрическая реализация поля
алгебраических чисел 139
геометрия Аракелова 233, 429
— чисел 39
гипотеза Артина 28
		о первообразных корнях 28
		об L рядах 28
—	Гольдбаха 54
—	Морделла 227, 276
—	о линейном росте 231
—	Римана 37, 122
-----обобщенная 85
— Сато—Тэйта 68, 300, 356
—	Серра о представлениях Галуа над
конечными полями 382
—	Шафаревича 276
Предметный указатель
547
гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля
369
гипотезы Вейля 222
— Старка 191
главный идеал 147
гладкое натуральное число 106, 110
глобальные поля 166
гомоморфизм инфляции 200
— норменного вычета 183
— переноса 181
граф Кэли 475, 486
группа Брауэра поля 203
----схемы 225
— Галуа 15, 136, 174
— главных идеалов 147
— Зельмера модуля Галуа 404
----обобщенная модуля Галуа 404
f-----эллиптической кривой 404
— иделей 169
— инерции 178
— классов 147
----идеалов 104, 147
---- иделей 174
— когомологий 198
----свойства 200
----точная последовательность 200
— Пикара 221
— разложения 178
— Шафаревича—Тэйта 56, 226
— Шоттки 450, 452, 453
двенадцатая проблема Гильберта 188,
189
действие группы Галуа на множестве
точек поля расширения 177
дерево Брюа—Титса 449, 484
десятая проблема Гильберта 116, 131
дзета-функция Римана 36
— Хассе—Вейля 470
диагональная кубическая поверхность
226
дивизор арифметический 233, 430
— главный 221
— канонический 238
— Картье 220
— эффективный 221
дивизориальное отображение 172
динамическая система 485
диофантово множество 15, 117
—	уравнение 38
---- квадратичное 40
----линейное 38
дискриминант 144
—	квадратичного поля 150
—	квадратичной формы 55
—	кругового поля 150
—	полинома 372
— поля алгебраических чисел 140
— числового поля 135, 171
— эллиптической кривой 372
дробный идеал 147
S-единица 173
единица числового поля 141
задача укладки рюкзака 40
закон взаимности Артина 178, 180,
207
----квадратичный 16, 29, 90, 161,
184, 373
---- кубический 197
— композиции для квадратичных
форм 55
идеал 26, 145
— главный 26, 145
— дробный 147
— максимальный 146
— простой 145
изоморфизм Тома 477
инварианты локальной нётеровой
(9-алгебры 400, 410
индекс ветвления 162, 177
— пересечения 233, 430
иррациональность числа £(3) 74
касательное пространство 400, 410
категория Мориты 441
квадратичная форма амбигова
бинарная 104
548
Предметный указатель
квадратичная форма примитивная 54
----- эквивалентная 54
квадратичные формы собственно
эквивалентные 55
квадратичный характер 150
квадрика 41
квазихарактер 90
китайская теорема об остатках 27,
138, 171
когомологии Галуа 198
кограница 198
кольцо р-адических целых чисел 156
— а дел ей 167
—	вычетов 26
—	горенштейново локальное 400
—	Дедекинда 146
—	нётерово 146
—	нормирования 153
— целозамкнутое 146
— целых чисел поля 135, 146
коммерческое простое число 85
компактификация арифметической
схемы 233, 429
конгруэнц-соотношение
Эйхлера—Шимуры 390
конгруэнцподгруппа 371
кондуктор характера Дирихле 151
конструкция скрещенных
произведений 204
конструкция Эйхлера—Шимуры 390
коцикл 198
коэффициенты Фурье 17
кривая вырождающаяся 447
— кубическая 57, 220
-----вейерштрассова форма 57
— Тэйта 245, 327
— Шоттки—Мамфорда 485
— эллиптическая над конечным
полем 110
криптография 40, 81—84, 104, 112
критерий Люка 24
— Эйлера 89
-----обобщенный 196
кручение Райдемайстера 469
кубическая форма 66, 225
кубические сравнения по простому
модулю 66
лемма Блихфельдта 171
— Гензеля 154, 158, 206
— Минковского о выпуклом теле 142
логарифм р-адический 158
— дискретный 28, 89
— интегральный 33
локальная степень 166
локальный гомоморфизм Артина 183
— инвариант 205
— символ Артина, когомологическое
определение 201
максимальный идеал 146
малая теорема Ферма 23
матрица направленных ребер 487
мера иррациональности 74
— мультипликативная инвариантная
90
— фундаментального множества для
класса иделей 173
-------для числового поля в его
кольце аделей 171
— Хаара 163
---кольца аделей 170
метод Апери 73
— Виноградова 52
— касательных Ньютона 154, 158
— повторного возведения в квадрат
23
—	секущих и касательных 57
—	Харди—Литлвуда 51
минимальный кондуктор 373
многообразие 219
—	абсолютно (или геометрически)
неприводимое 220
—	общего типа 223
—	промежуточного типа 223
—	Фано 223
модуль конгруэнции 400
—	Лефшеца 469
модулярная кривая 371
Предметный указатель
549
модулярная параболическая форма
371
модулярные формы 16
мотивная группа Галуа 322
мультипликатор Шура 199
наибольший общий делитель 25
наименьшее общее кратное 25
некоммутативное пространство 440,
476, 482
неособая модель (поля) 236
непрерывные (цепные) дроби 70
неразветвленное нормирование 178
нётерово кольцо 146
норма алгебраического числа 135, 139
—	идеала 147
—	относительная 180
—	приведенная 205
нормальная форма кубической кривой
по модулю простого числа 66
нормирование 152
— р-адическое 153
—	дискретное 152
—	неархимедово 152
—	нормализованное 163
—	обобщенное 164
—	, эквивалентность 165
область разрывности 454
обратная теорема в форме Вейля 339
ограниченное топологическое
произведение 168
ограниченный квантор общности 132
односторонние функции 81
оператор сдвига 476
основная теорема арифметики 22
основной параллелограмм 140
особая точка 220
особый ряд 52
относительная степень поля классов
179
относительный инвариант 410
отображение взаимности Артина 178
первообразный корень 28
перечислимое множество 15, 117, 122,
127
плотность вещественная 52
—	Дирихле 179
—	локальная 52
—	множества точек 179
поверхность арифметическая 233, 429
—	дель Пеццо 223
—	Шатле 226
подходящая дробь 70
поле р-адических чисел 154
—	вычетов 177
— квадратическое 140
— квадратичное 107, 149
— конечное 137
— круговое 137, 150
—	локально компактное 163
—	полное 154
—	пополнение 154
—	СМ-типа 188
—	Тэйта 163
—	частных 152
полиномиальный алгоритм 22
полное пересечение 400
полустабильный случай 374
поляризация алгебраическая абелева
многообразия 255
пополнение поля 154
последовательность
инфляции-ограничения 407
потоковая надстройка 476
предельное множество действия 453,
476
представитель Тейхмюллера 156, 162
представление Галуа 17
---конечное 375
---модулярное 382, 388
—	двоичное 23
—	квадратичной формой 46
—	нуля квадратичной формой 41
—	циклотомическое 186
преобразование Меллина 17
препятствие Брауэра—Манина 225
—	для спуска 226
приближения наилучшие 68
550
Предметный указатель
примитивно перечислимое множество
128
принцип Минковского—Хассе 39, 57,
207, 208, 224
-----для квадратичных форм 43
проблема Варинга 54
— четырех красок 122
программа Ленглендса 17, 180, 189,
305
произведение ограниченное
топологическое 168
^-произведение 201
производящая функция 49
производящий ряд 372
простая центральная алгебра 204
простейшая функция 122
простой элемент 145
пространство Смейла 476
простые числа Мерсенна 24, 87
-----Софи Жермен 87
-----Ферма 24
псевдопростое число строгое 85
-----Эйлера 85
пучок канонический 221
— метризованный обратимый 231
— обильный 221, 238
— обратимый 221
— очень обильный 221
разложение простых идеалов 148
разрешимое множество 131
расширение Галуа 136
— неразветвленное 163
— нормирования 162, 165
расширения Куммера 195
рациональная параметризация
окружности 40
— поверхность 226
регулярная точка 220
регулярное простое число 370
регулятор числового поля 142, 174
редукция плохая и хорошая 234, 430
резольвента Лагранжа 199
рекурсивная функция 117, 123
решетка в действительном векторном
пространстве 139
решето Эратосфена 22
риманова поверхность 452, 454
род проективной неособой кривой 237
ряд Эйзенштейна 245
ряды Фарея 69
связка ограниченных геодезических
452
семейство спуска 227
сепарабельное расширение 136
символ Артина 181
— Гильберта 159, 184
—	Лежандра 30
— норменного вычета 159, 203
—	степенного вычета 196
—	Якоби 30
система факторов 204
скалярное произведение Петерсона 54
скрещенный гомоморфизм 198
след алгебраического числа 135, 139
—	приведенный 205
содержание иделя 170
сопровождающая матрица 135
спектральные тройки 452
степень дивизора 238
—	инерции 162
—	обратимого пучка 238
—	поля 177
стереографическая проекция 41
сумма Клостермана 54
—	Якоби 54
схема 215
—	аффинная 215
таннакиева категория 322
тезис Чёрча 132
тело с g ручками 454
тензорное произведение полей 138
теорема Брауэра—Зигеля 174
—	Гёделя 116
— Гёделя—Коэна 117
— Гильберта 90, 199
— Дирихле о единицах 148, 172
Предметный указатель
551
теорема Дирихле о простых числах
176
---о строении групп единиц 142
— Зигеля 276
— Кронекера—Вебера 138, 175, 188
— Ламе 25
— Леопольдта о зеркальном
отражении 148
— Матиясевича 116, 128, 223
— Минковского 144
— Минковского—Хассе 154, 208
—	Морделла 59
—	Мори 233
—	о примитивном элементе 136
—	о конечности числа классов 172
—	о простых числах 84
—	о расширении максимального
идеала 149
—	о тензорном произведении полей
138
—	об аппроксимации 171
—	основная теории Галуа 136
—	Островского 165
—	плотности Чеботарёва 399
—	Римана—Роха для кривых 238
—	Серра—Делиня 138
—	Сколема—Нетер 205
—	Ферма 148
—	Хассе 67
—	Хассе о нормах 208
—	Чеботарёва о плотности простых
идеалов 179
—	Эрмита 144
теория двойственности Понтрягина
168
—	делимости 153
—	комплексного умножения 188
—	полей классов 175
тест на простоту
Адлемана—Померанса—Румели
88-97
—	Миллера—Рабина 85
—	Полларда 88
—	Соловэя—Стрессена 85
тождество Эйлера для производящей
функции 49
тор отображения 476
торсор 226
точка особая 220
— поля 165
— регулярная 220
точки конечного порядка на кривой
Тэйта 245, 327
точная последовательность
Пимзнера—Войкулеску 477
тригонометрическая сумма 53
тройки Пифагора 40
тэта-функция 48
униформизация Шоттки 447, 450, 454
уравнение Пелля 45, 68, 73, 118, 141
---, наименьшее решение 45
— Ферма 134, 148
уровень 371
форма автоморфная 361
формальные законы Любина—Тэйта
188
формула Дирихле для числа классов
Дирихле 105
—	Коши 51
—	произведения для
нормализованных нормирований
166
---для нормирований 161
---для символов Гильберта 160
—	произведения для локальных
символов 207
—	Чоула—Сельберга 190
—	Якоби 47
фундаментальное множество 170
---для классов иделей 173
---для числового поля в его кольце
аделей 170
функция Гёделя 130
—	Дикмана 106
—	Мёбиуса 33
552
Предметный указатель
функция Римана 35
—	Эйлера 27
характер Дирихле 90, 137
---примитивный 91, 151
характеристические классы 430
целое число р-адическое 156
целозамкнутое кольцо 146
целочисленное линейное
программирование 40
цепная дробь 107
цепные дроби периодические 72
цифра 21
—	р-адическая 156
числа Кармайкла 23
—	Фибоначчи 25, 121
число Бернулли 245
—	классов числового поля 147, 174
—	псевдопростое 23
—	разбиений 49
—	рациональных точек на кривой 227
—	совершенное 24
—	Ферма 109
—	эйлерово псевдопростое 30
эвристика Коэна—Ленстры 148
эйлерова характеристика 471
Эйхлера—Шимуры
конгруэнц-соотношение 390
эквивалентность по Морите 441
БЬг-эквивалентность чисел 71
элемент Фробениуса 176
элементарное преобразование
столбцов 38
----- строк 38
элементарные делители 39
— операции над частичными
функциями 122
эллиптический модуль 189
эрмитова метризация 233
— структура 429
эрмитово векторное расслоение 429
ядро аугментации 400, 410
якобиева сумма 92
Нашей задачей было написать ряд вводных
эссе к различным главам теории чисел
и провести читателя от наглядных примеров
теоретико-числовых объектов и задач через
общие понятия и теории, развитые на
протяжении долгого времени многими
исследователями, к некоторым ключевым
моментам современной математики и важным,
порой еще смутным наброскам для будущих
поколений.
ISBN 978-5-94057-511-5
9 785940 575115 >