Text
                    А. К МАТВЕЕВ
Атомная
шизика
Допущено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов физических
специальностей вузов
Москва «Высшая школа» 1989


ББК 22.38 М 33 УДК 539.1 Рецензенты: кафедра физики Московского инженерно- физического института (зав. кафедрой-д-р физ.-мат. наук, проф. А. С. Александров); акад. АН УССР А. И. Ахиезер Матвеев А. Н. МЗЗ Атомная физика: Учеб. пособие для студентов вузов.-М.: Высш. шк., 1989.-439 с: ил. ISBN 5-06-000056-7 Книга представляет собой пятый том курса общей физики (первые четыре тома вышли ранее). Большое внимание уделено анализу экспери- экспериментальной ситуации, приведшей к возникновению квантовой теории Подробно анализируется физическое содержание основных квантовых понятий и математического аппарата, используемого для описания дви- движения микрочастиц, рассматриваются основные явления физики атома и явления, обусловленные свойствами атомной оболочки, а также некоторые релятивистские квантовые явления. 1604090000D309000000) 504 М 00^89 Ш'89 ББК S3 ISBN 5-06-000056-7 © А. Н. Матвеев, 1989
Оглавление Предисловие Введение 1 § 1- §2. §3. §4. §5. КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Фотоэффект Открытие фотоэффекта Эксперимен- Экспериментальные факты Противоречие законов фотоэффекта представлениям классиче- классической физики Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта Внутренний и ядерный фо- фотоэффекты Импульс фотона Селектив- Селективный фотоэффект Эффект Коми гона Томсоновское рассеяние Опыты Баркла Опыты Комптона Рассеяние света с кор- корпускулярной точки зрения Расчет эффек- эффекта Комптона Наблюдение индивидуаль- индивидуальных актов столкновения Флуктуации интенсивности светово- светового потока Флуктуации интенсивности светового потока Опыты Вавилова Флуктуации интенсивности во взаимно когерентных волнах Флуктуации интенсивности в по- поляризованных лучах Опыт Брауна и Твисса Поляризация фотонов Поляризация электромагнитных волн Поляризационные явления в одноосных кристаллах Применимость понятия по- поляризации к отдельному фотону Фотон Поляризация фотона Суперпозиция со- состояний Интерференция фотонов Интерференция электромагнитных волн Корпускулярная интерпретация опытов Винера Корпускулярная интерпретация опыта Юнга Стационарное состояние Задачи 2 ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА КОРПУСКУЛ § 6. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах Рентгеновское излучение Формула Брэг- Брэгга-Вульфа Методы наблюдения диф- дифракции волн на кристаллах Способ Лауэ Способ Брэгга Способ Дебая- Шерера Учет преломления рентгенов- рентгеновских лучей 9 11 18 24 29 § 7. Эффект Рамзауэра Таунсенда Классификация столкновений электро- электронов с атомами Поперечное сечение Средняя длина свободного пробега Экспериментальное определение попе- поперечного сечения упругого столкновения электрона с молекулами Эффект Рам- Рамзауэра и Таунсенда Интерпретация эф- эффекта Рамзауэра-Таунсенда § 8. Волны де Бройля Уравнения де Бройля Плоские волны и фазовая скорость Волновой пакет и групповая скорость Несостоятельность гипотезы волнового пакета § 9. Экспериментальные подтверждения волновых свойств корпускул Длина волн де Бройля Опыты Дэвидсо- Дэвидсона и Джермера Учет преломления элект- электронных волн Опыты Томсона и Тарта- ковского Опыты по дифракции элект- электронов без использования кристаллов Опыты с нейтронами и молекулярными пучками Опыты при очень слабых по- потоках частиц 52 § 13. Атомные спектры Возбуждение спектров излучения Экспе- Экспериментальные закономерности в линей- линейчатых спектрах Комбинационный прин- принцип Несовместимость закономерностей 56 59 65 § 10. Уравнение для волн де Бройля Уравнение Гельмгольца для волн де Бройля Уравнение Шредингера Задачи 66 33 3 ДИСКРЕТНОСТЬ АТОМНЫХ СОСТОЯНИЙ § 11. Излучение черного тела 68 Классическая теория излучения черного тела Концентрация мод колебаний 41 Формула Рэлея - Джинса Формула Вина Формула Планка Противоречие форму- формулы Планка закономерностям класси- классической физики Дискретность квантовых состояний и введение представления о 46 квантовании энергии Квантовые перехо- переходы Спонтанные и вынужденные перехо- переходы Коэффициенты Эйнштейна Условия равновесия Формула Планка § 12. Опыты Франка-Герца 75 Идея опытов Франка-Герца Схема опытов Интерпретация результатов 4g опыта 78
4 Оглавление излучения с классическими представле- представлениями § 14. Ядерная модель атома Две модели строения атома Формула Резерфорда Опыты Резерфорда Заряд ядра Распределение заряда в атоме Не- Несовместимость планетарной модели ато- атома с представлениями классической фи- физики Постулаты Бора Правила кван- квантования Обобщение правил квантования на эллиптические орбиты Спектральные серии атома водорода Энергия иониза- ионизации атома водорода Спектр иона гелия Учет движения ядра Изотопический сдвиг спектральных линий Недостатки теории Бора § 15. Опыты Штерна и Герлаха Орбитальный магнитный момент атома по классической теории Движение маг- магнитного момента в магнитном поле Опыт Штерна и Герлаха Задачи 4 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ § 16. Уравнение Шредингера Уравнение Шредингера Стационарные состояния Математические требования к волновой функции Условие нормиров- нормировки волновой функции Собственные функции и собственные значения Орто- Ортогональность собственных функций Ха- Характер статистических закономерностей квантовой механики Уравнение Шредин- Шредингера, зависящее от времени Плотность заряда и плотность тока Принцип супер- суперпозиции состояний § 17. Основные сведения из теории опера- операторов Описание физических величин в класси- классической физике Описание физических ве- величин в квантовой механике Определе- Определение оператора Линейные операторы Сумма и произведение операторов Ком- Коммутирующие и антикоммутирующие операторы Собственные значения и собственные функции линейных операто- операторов Линейные самосопряженные (эрми- (эрмитовы) операторы Ортогональность собственных функций Условие само- самосопряженности произведения двух само- самосопряженных опера горов Нормировка собственных функций Полнота системы собственных функций Вырожденные собственные значения Непрерывный спектр собственных значений Формула для суммы произведений собственных функций 81 92 95 § 18. Представление динамических пере- переменных посредством операторов Постулаты квантовой механики Вычис- Вычисление средних значений динамических переменных Оператор координаты Опе- Оператор импульса Гамильтониан Момент импульса частицы Оператор полной энергии Оператор произвольной функ- функции динамических переменных Условие одновременной измеримости различных динамических переменных Принцип до- дополнительности Чистые и смешанные состояния Соотношение неопределенно- неопределенностей Соотношение неопределенностей Гейзенберга Соотношение неопределен- неопределенностей между произвольными физиче- физическими величинами Соотношение неопре- неопределенности для проекции момента им- импульса на ось Z Соотношение неопре- неопределенности для энергии Интерпретация соотношения неопределенностей ПО 98 § 19. Задачи 5 § 20. §21. Изменение динамических перемен- переменных во времени Дифференцирование операторов по вре- времени, скобки Пуассона Квантовые урав- уравнения Гамильтона Интегралы движения Теоремы Эренфеста 122 126 104 § 22. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ Что такое представление? 128 Различные представления функций Мат- Матричные элементы операторов Коорди- Координатное представление Линейные конечномерные векторные пространства 130 Линейное векторное пространство Ли- Линейно независимые векторы Размер- Размерность линейного пространства и его базис Скалярное произведение векто- векторов Сопряженные векторы Операторы Представление векторов и операторов в ортонормированном базисе Собствен- Собственные векторы и собственные значения опе- оператора Условие полноты ортонормиро- ванного базиса Построение ортонорми- рованного базиса Связь между пред- представлениями вектора в различных бази- базисах Связь между представлениями опе- оператора в различных базисах Функции от операторов Производная от оператора по параметру Линейные бесконечномерные вектор- векторные пространства 142 Бесконечномерный вектор Скалярное произведение Условие полноты и нор- нормировка базисных векторов Свойства 5-функции Дирака Бесконечномерные
Оглавление 5 операторы Собственные значения и собственные векторы Коммутатор опе- операторов X к Я Соотношение взаимно- взаимности операторов X и Й. § 23. Постулаты квантовой механики Смысл аксиоматического представления физической теории Постулаты кванто- квантовой механики Обобщение постулатов на многие степени свободы § 24. Различные представления квантовой динамики Картина динамики Шредингера Карти- Картина динамики Гейзенберга Картина взаи- взаимодействия Стационарные состояния Задачи 7 § 30. АТОМ ВОДОРОДА И ВОДОРОДО- ПОДОБНЫЕ АТОМЫ 150 153 160 §31. § 32. 6 § 25. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ Свободное движение частицы Волновые функции Нормировка на дли- длину периодичности Непрерывный спектр Плотность заряда и плотность тока § 26. Частица в одномерной потенциаль- потенциальной яме Бесконечно глубокая яма Одномерная яма конечной глубины Случай Е > Еа0 Случай Е <Еп0 167 8 § 27. Линейный гармонический осциллятор Линейный осциллятор Нулевая энергия Волновые функции Четность собствен- Задачи ных функций Теория излучения Прави- Правила отбора для осциллятора Интенсив- Интенсивность излучения § 28. Движение в поле центральной силы. Ротатор 173 Собственные значения и собственные функции Момент импульса Закон сох- сохранения Четность Собственные функ- функции и собственные значения ротатора Правила отбора Классификация состоя- состояний по моменту импульса § 29. Прохождение микрочастиц через по- потенциальный барьер 179 Определение потенциального барьера Коэффициент прохождения и коэффи- коэффициент отражения Прямоугольный по- потенциальный барьер Потенциальный барьер произвольной формы Холодная эмиссия электронов из металла Радио- Радиоактивный а-распад Задачи 185 Стационарные состояния атома во- водорода и спектр излучения Собственные значения и собственные функции Радиальные волновые функ- функции Правило отбора для п Распределе- Распределение плотности в электронном облаке Схема уровней энергии водородного ато- атома и спектр излучения Учет конечности массы ядра Гамильтониан с учетом конечности мас- массы ядра Сдвиг энергетических уровней Водородоподобные атомы и системы Определение и общая характеристика Водородоподобные ионы и изотопы во- водорода Позитроний и мюоний Мюон- ные атомы Лдронные атомы Ридбер- говские атомы § 33. Атомы щелочных металлов Собственные значения энергии щелоч- щелочных металлов Правила отбора Резонан- Резонансная линия Главная серия Первая по- побочная (или диффузная) серия Вторая побочная (или резкая) серия Спектры других щелочных металлов 164 § 34. Дублетная структура спектров ще- щелочных металлов и спин электрона Экспериментальные факты Спин элект- электрона Собственный магнитный момент электрона Сущность спин-орбитального взаимодействия Объяснение закономер- закономерностей расщепления линий 162 188 193 195 198 202 206 МАГНИТНЫЙ И МЕХАНИЧЕ- МЕХАНИЧЕСКИЙ МОМЕНТЫ АТОМА § 35. Орбитальный момент электрона Источники атомного магнетизма Орби- Орбитальный момент электрона по квантовой теории Модуль и ориентировка орби- орбитального магнитного момента Гиромаг- Гиромагнитное отношение § 36. Оператор спина электрона Спин Оператор спина Оператор проек- проекции спина на произвольное направление Среднее значение проекции спина, нахо- находящегося в определенном состоянии Ве- Вероятность проекции спина на заданное направление 208 211
6 Оглавление 214 § 37. Магнитный и механический моменты атома Сложение орбитального момента и спи- спина. Угол между орбитальным и спино- спиновым моментами. Полный магнитный мо- момент электрона. Векторная модель атома. Сложение моментов импульса в общем случае. Правила сложения спиновых маг- магнитных моментов. Возможные типы связи. (L-S)-CBR3b. Полный магнитный момент атома. Множитель Ланде § 38. Квантово-механическое описание спина в магнитном поле 220 Уравнение Шредингера для спина в маг- магнитном поле. Прецессия спина § 39. Магнитомеханические эффекты 222 Физическая природа эффектов. Опыт Эйнштейна - де Гааза. Прецессия атомов в магнитном поле. Эффект Барнетта § 40. Экспериментальные методы измере- измерения магнитных моментов 225 Метод отклонения атомов в неоднород- неоднородном магнитном поле. Метод магнитного резонанса Задачи 230 ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ Стационарная теория возмущений в случае невырожденных собственных значений 232 Постановка задачи. Оператор возмуще- возмущения. Вычисление поправок к собствен- собственным функциям и собственным значе- значениям. Постановка задачи в теории столк- столкновений. Борновское приближение. Фор- Формула Резерфорда § 42. Стационарная теория возмущений в случае вырожденных собственных значений 238 Ортогонализация собственных функций, принадлежащих вырожденному собст- собственному значению. Снятие вырождения § 43. Нестационарная теория возмущений 241 Постановка задачи. Уравнение Шрединге- Шредингера в представлении взаимодействия. Вы- Вычисление поправок к волновым функциям Задачи 244 Ю ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ § 44. Мультиплетная структура термов атомов и линий излучения как ре- результат спин-орбитального взаимо- взаимодействия 246 § 41. Спин-орбитальное взаимодействие. Муль- типлетность энергетических уровней. Мультиплетность линий излучения. Пра- Правило отбора для L. Правило отбора для S. Правило отбора для J. Мультиплетная структура спектров щелочных элемен- элементов. Мультиплетность спектров щелоч- но-земельных элементов. Мультиплет- Мультиплетность спектров атомов с тремя опти- оптическими электронами. Правило мульти- плетностей § 45. Эффект Зеемана 249 Смысл слабого магнитного поля. Рас- Расщепление энергетических уровней при помещении атома в магнитное поле. Рас- Расщепление линий излучения. Сложный эффект Зеемана. Простой эффект Зее- Зеемана § 46. Эффект Пашсна Бака 252 Сильное поле. Расщепление уровней. Расщепление линий излучения § 47. Эффект Штарка 254 Эффект Штарка первого порядка в атоме водорода. Равенство нулю первой по- поправки к энергии основного состояния. Расщепление уровней первого возбуж- возбужденного состояния. Квадратичный эф- эффект Штарка § 48. Взаимодействие двухуровневого ато- атома с когерентным резонансным излу- излучением 257 Двухуровневый атом. Уравнение Шре- Шредингера. Решение уравнения Шрединге- Шредингера. Обсуждение физического содержания решения § 49. Динамика спина в переменном маг- магнитном поле 259 Постановка задачи. Уравнение Шредин- Шредингера. Решение уравнения. Прецессия спина § 50. Теория дисперсии Задачи теории дисперсии. Нахождение волновой функции. Атомная диэлектри- диэлектрическая восприимчивость 261 265 § 51. Комбинационное рассеяние Дипольное приближение. Рэлеевское рас- рассеяние. Комбинационное рассеяние Задачи 268 11 §52. МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ Атом гелия 270 Непригодность старой теории Бора. Уравнение Шредингера. Решение задачи в случае пренебрежения взаимодействи-
Оглавление 7 ем между электронами и без учета спи- спинов электронов Тождественность раз- различных электронов Обменное вырожде- вырождение Симметрия волновых функций Об- Обменное вырождение и симметрия волно- волновых функций с учетом взаимодействия между электронами Волновые функции электрона с учетом спина Математиче- Математическая формулировка принципа Паули Взаимодействие между электронами § 53. Приближенные методы расчета сложных атомов Недостаточность теории возмущений Вариационный метод Метод Ритца Ме- Метод самосогласованного поля Статисти- Статистический метод § 54. Электронные конфигурации и идеаль- идеальная схема заполнения оболочек Электронные конфигурации Последова- Последовательность заполнения этектронных обо- оболочек Правило Хунда Периодичность химических свойств элементов § 55. Периодическая система элементов Менделеева Обозначение электронных состояний За- Заполнение электронных состояний в пер- первых трех периодах Отклонения от идеальной схемы заполнения оболочек § 56. Трансурановые элементы Причины нестабильности трансурановых элементов Характеристика полученных трансурановых элементов Причины чрезвычайно малых времен жизни очень тяжелых трансурановых элементов § 57. Рентгеновские спектры Рентгеновское излучение Особенности рентгеновских спектров Объяснение осо- особенностей рентгеновских спектров Закон Мозли Дублетный характер рентгенов- рентгеновских спектров МОЛЕКУЛЫ Задачи 12 § 58. Химическая связь Типы химической связи связь Ионная связь § 61. Валентность. Метод валентных свя- связей 312 Инертные газы Валентность Метод ва- валентных связей § 62. Структура молекул Метод молекулярных орбиталей Пред- Представление структуры методом валентных связей Направленные валентности ато- атомов Гибридизация Кратные связи меж- 313 279 283 286 288 292 296 и вращательные ду атомами § 63. Колебательные спектры молекул Энергетические состояния молекулы Вращение двухатомных молекул Враще- Вращение многоатомных молекул Вращатель- Вращательные спектры Колебания двухатомных молекул Колебания многоатомных моле- лекул Вращательно-колебательные спекг- ры § 64. Электронные спектры молекул Принцип Франка Кондона Классифи- Классификация электронных состояний молекулы Отбор переходов между колебательны- колебательными состояниями Предиссоциация Лю- Люминесценция Задачи 316 324 330 13 ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ § 65. Типы связи в кристаллах 332 Возникновение кристаллической структу- структуры Энергия взаимодействия атомов Ионная связь Ковалентная связь Водо- Водородная связь Металлическая связь Мо- Молекулярная связь понятия зонной теории 298 Ковалентная § 59. Ион молекулы водорода. Метод ор- орбиталей Приближение Борна Оппенгеймера Ион молекулы водорода Качественное рас- рассмотрение Метод орбиталей § 60. Молекула водорода Волновые функции Энергия взаимо- взаимодействия Равновесное расстояние Пол- Полный спин молекулы Параводород и ор- товодород 304 307 § 66. Основные твердых тел 335 Теорема Блоха Одномерная модель кри сталла Кронига Пенни Проводники и диэлектрики Естественные полупровод- полупроводники Примесные полупроводники § 67. Переход металл металл 344 Энергия Ферми Переходы и контакты Возникновение разности потенциалов на переходе металл - металл Расчет разно- разности потенциалов Термоэлектричество Эффект Пельтье Эффект Томсона § 68. Полупроводники 350 Примесные уровни Скорость электро- электронов Ускорение электронов Эффектив- Эффективная масса Дырки Подвижность носи- носителей Рекомбинация Применение одно- однородных полупроводников
8 Оглавление 69. p-n-Переходы и транзисторы 356 Возникновение р-и-перехода. Распределе- Распределение электронов и дырок в р-и-переходе. Электрический ток через р-л-переход. Вольт-амперная характеристика. Ем- Емкость р-л-перехода. Диод. Туннельный диод. Выпрямление тока. Детектирова- Детектирование. Стабилитрон. Светоизлучающий диод. Биполярный транзистор. Включе- Включение по схеме с обидам эмиттером. Вклю- Включение по схеме с общей базой. Включение по схеме с общим коллектором. Полевые транзисторы. Интегральные схемы 70. Сверхпроводимость 369 Сверхпроводимость. Критическое поле. Критическая плотность тока. Эффект Мейсснера. Сверхпроводники первого и второго рода. Остаточное сопротивление металлов. Спаривание электронов. Энер- Энергетическая щель. Фазовая когерентность. Квантование магнитного потока. Коле- Колебания тока в сверхпроводящем кольце. Туннелирование электронов через ди- диэлектрический слой. Эффекты Джозеф- сона. Квантовые интерферометры. Высо- Высокотемпературная сверхпроводимость 15 КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 14 РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ § 71. Релятивистские волновые уравнения 382 Область релятивистских эффектов в атомной физике. Общие замечания о ре- релятивистских уравнениях. Уравнение Клейна - Гордона. Уравнение Дирака. Волновая функция свободного электрона § 72. Релятивистские эффекты в атомной физике 393 Уровни энергии бесспиновой частицы в кулоновском поле. Тонкая структура уровней энергии атома водорода. Состо- Состояния с отрицательной энергией § 73. Физические свойства вакуума 400 Опыты Лэмба и Ризерфорда. Физические свойства вакуума § 74. Измерение в квантовой механике 404 Материальная точка квантовой механи- механики. Состояние движения. Измерение в классической механике. Измерение в квантовой механике. Статистический ансамбль систем. Детерминированное и недетерминированное изменение состоя- состояния. Редукция состояния § 75. Элемент физической реальности и проблема полноты квантовой меха- механики 411 Соотношение неопределенностей. Инде- Индетерминизм. Рассуждения ЭПР и элемен- элементы физической реальности. Проблема полноты квантовой теории. Квантово- механическая корреляция и несепара- несепарабельность квантовой системы § 76. Квантовые корреляции 416 Корреляция спинов в синглетном состоя- состоянии. Схема эксперимента типа ЭПР с поляризациями. Измерение линейной по- поляризации фотонов. Вычисление коэффи- коэффициента корреляции поляризаций § 77. Корреляционные эксперименты 423 Возбуждение источника каскадного из- излучения пар фотонов. Эксперименты с одноканальными анализаторами. Экспе- Эксперименты с двухканальными анализато- анализаторами § 78. Неравенства Белла и физическая реальность 425 Локальный характер законов классиче- классической физики. Неравенства Белла. Экспе- Экспериментальная проверка неравенств Бел- Белла. Физическая реальность. Эксперимен- Эксперименты с переключаемыми анализаторами § 79. Физическая реальность и здравый смысл 430 Приложение 435 Предметный указатель 436
Предисловие Предмет атомной физики весьма обширен и не может быть очерчен в краткой замкнутой формулировке. Кратко можно лишь сказать, что к атомной физике относятся вопросы строения атомных обо- оболочек и изучение явлений, обусловленных свойствами и процессами в атомных оболочках. Все это составляет громадную область исследований, многие части которой получили самостоятельное наименование. Атомная физика как раздел курса общей физики включает в себя рассмотрение лишь явлений, в которых наиболее просто и очевидно проявляются фундаментальные квантово-меха- нические закономерности, позволяющие сформулировать кванто- во-механические понятия и соответствующую модель этой области явлений. Овладение физической моделью состоит не только в ее индуктивной формулировке на основе обобщения наблюдений, опытных данных и эксперимента, но и в ее дедуктивных примене- применениях. При отборе материала по последнему критерию большое значение имеет актуальность соответствующих вопросов для фун- фундаментального образования современного физика. Круг явлений, в которых наиболее просто и очевидно проявля- проявляются квантово-механические закономерности, определяется в пер- первую очередь их очевидной несовместимостью с классическими представлениями. К этому кругу относятся прежде всего явления, обусловленные волново-корпускулярным дуализмом в движении микрочастиц. Построение модели такого движения привело к фор- формулировке уравнения Шредингера, которое является новым урав- уравнением физики и не может быть «выведено» из ранее известных уравнений. Однако в физике давно было известно, что любые волны описываются соответствующим волновым уравнением. Историче- Исторически и логически уравнение Шредингера возникло как уравнение для волн де Бройля. Такой подход к уравнению Шредингера является наиболее простым и естественным в рамках индуктивной фор- формулировки физической модели в курсе общей физики. Однако необходимо со всей возможной полнотой подчеркнуть, что при этом речь идет не о возникновении еще одной новой области физики, которая описывается соответствующим новым дифферен- дифференциальным уравнением, а о новой области физики, модель которой может быть описана и без дифференциального уравнения Шредин- Шредингера. С этой точки зрения более целесообразно начинать изложение квантово-механической модели в матричной формулировке, в ко- которой она и была открыта Гейзенбергом. Однако из педагогических соображений более предпочтительно рассматривать матричную формулировку после уравнения Шредингера как представление. Применение общей теории охватывает анализ широкого круга вопросов квантовой физики. В этом смысле рассмотрение атома водорода и простейших случаев движения микрочастиц следует рассматривать лишь как подготовку к квантово-механическому
10 Предисловие анализу более реальных ситуаций, которые изучаются в после- последующих главах книги. В гл. 5 дается абстрактная аксиоматическая формулировка ос- основных положений квантовой механики, выходящая за пределы курса и более подробно обсуждаемая в квантовой механике. Этот материал является факультативным и может быть пропущен при чтении без ущерба для понимания остальных разделов книги. Однако для более полного понимания сути квантовой механики и ее принципиального отличия от классической теории эту главу жела- желательно изучить факультативно. Для этого достаточно математиче- математической подготовки в объеме стандартного курса линейной алгебры и отчетливого понимания материала, изложенного в первых четырех главах книги. Автор благодарен академику АН УССР А. И. Ахиезеру и кафед- кафедре общей физики МИФИ (зав. кафедрой - проф. А. С. Александров) за внимательное рецензирование рукописи и ценные замечания.
Введение В предшествующих четырех томах курса дано изложение класси- классической физики. Ее достаточно краткое определение гласит: классической называется физика, в которой роль квантовых законо- закономерностей пренебрежимо мала. На первый взгляд кажется, что это определение бессодержатель- бессодержательно, поскольку оно говорит не о том, чем является классическая физика, а о том, чем она не является. Однако такой взгляд обманчив, потому что существует только единая физика, квантовая по своей сущности, и определение классической физики как той части единой физики, в которой роль квантовых закономерностей пренебрежимо мала, безусловно содержательно. Содержательность такого определения классической физики реализуется лишь после изучения квантовых закономерностей. Поэтому во введении в атом- атомную физику необходимо обсудить основные особенности классиче- классической физики без ссылки на квантовые закономерности. Основными понятиями классической механики являются поня- понятия материального тела, материальной точки, движения материаль- материальной точки по определенной траектории и силы как причины тех или иных особенностей движения материальных тел и точек. Хотя классическая физика в современном понимании начинается с Нью- Ньютона, основные понятия и представления, на которых она базирует- базируется, зародились задолго до него. Они постепенно возникли в челове- человеческом сознании с самых древних времен в процессе практической деятельности человека. Практическая деятельность также свиде- свидетельствовала, что все материальные тела имеют протяженность, занимают определенное место в пространстве и располагаются определенным образом друг относительно друга. Эти наиболее общие свойства материальных тел отразились в сознании человека в виде понятия пространства, а математическая формулировка этих свойств была выражена в виде системы геометрических понятий и связей между ними. Практическая деятельность человека также свидетельствовала о том, что окружающий его материальный мир находится в процессе постоянных изменений. Свойство материаль- материальных процессов иметь определенную длительность, следовать друг за другом в определенной последовательности и развиваться по этапам и стадиям отразилось в человеческом сознании в виде понятия времени. Перечисленные выше основные понятия классической механики и понятия пространства и времени явились фундаментом, на кото- котором покоилось развитие всей классической физики до наших дней. В процессе развития уточнялись взаимосвязь этих понятий и сами понятия, но они постоянно были основой классической физики. Наиболее важный результат этого развития состоит в установлении неразрывности связи пространства, времени, материи и движения. В философском плане развитие этих идей нашло свое завершение в
12 Введение учении диалектического материализма. Для диалектического мате- материализма пространство и время являются формами существования материи и поэтому немыслимы без материи, а движение есть способ существования материи. Материя, пространство, время и движение всегда существуют в неразрывной связи друг с другом. Механика Аристотеля содержала в себе основные идеи общего подхода к описанию механического движения материальных тел. Эти идеи полностью сохранили свое значение и в механике Ньюто- Ньютона, однако теория движения Аристотеля после примерно двухтыся- челетнего господства была заменена теорией Ньютона. Аристотель считал, что все движения материальных тел можно разделить на две категории: «естественные» и «насильственные». «Естественные дви- движения» осуществляются сами по себе, без каких-либо воздействий. Ставить вопрос о причине «естественных движений» бессмысленно. Точнее говоря, на вопрос: почему осуществляется некоторое «ес- «естественное движение»? - всегда имеется готовый, не требующий размышлений ответ: потому что это движение естественное, проис- происходящее именно так, а не иначе, без каких-либо внешних воздейст- воздействий. «Насильственные движения» сами по себе не происходят, а осуществляются под влиянием внешних воздействий, описываемых с помощью понятия силы. На вопрос: почему осуществляется некоторое «насильственное движение»? - ответ гласит: потому что на тело действует сила, под влиянием которой оно движется так, как движется. Естественными Аристотель считал движения легких тел вверх, тяжелых тел вниз и движение небесных тел по небесной сфере. Остальные движения насильственные. Заметим, что если тело покоится в результате невозможности осуществить «естественное движение», то этот покой «насильственный». Например, если тело покоится на горизонтальном столе, то отсутствие его движения по вертикали является «насильственным» и обусловливается наличием соответствующей силы, действующей в вертикальном направлении, а отсутствие его движения по горизонтали обусловливается отсутст- отсутствием силы, действующей в горизонтальном направлении. Это пока- показывает, что закон движения не может быть положен в основу опре- определения силы, хотя силу и можно находить из закона движения. Это замечание полностью относится и к попыткам использования второго закона Ньютона как определения силы. В механике Аристотеля сила обусловливает скорость тела, а понятие об ускорении отсутствует. В механике Ньютона «естественным движением» в том смысле, как его понимал Аристотель, является прямолинейное равномерное движение материальной точки. В формулировке первого закона Ньютона устанавливаются условия, при которых это «естественное движение» (инерциальное) осуществляется. Он позволяет выбрать такую систему координат, в которой такие «естественные движе- движения» существуют. Вторым законом Ньютона устанавливается, что сила обусловливает не скорость материальной точки, а ее ускоре-
Введение 13 ние, причем не вообще ускорение, а ускорение в той системе координат, в которой при отсутствии силы скорость тела была бы постоянной, т. е. движение было бы «естественным». Как и в механике Аристотеля, сила учитывает влияние внешних условий на движение тела. Источниками силы являются материальные тела, и, следовательно, сила является количественной мерой взаимодейст- взаимодействия материальных тел. Третий закон Ньютона устанавливает, что сила, с которой одно из взаимодействующих тел действует на другое, равна по абсолютной величине, но направлена противопо- противоположно силе, с которой это другое тело действует на первое. Вопрос о силах в таком плане в механике Аристотеля не ставился. Таким образом, теория движения Ньютона является принци- принципиально новым шагом относительно теории Аристотеля. Среди главных новых моментов следует отметить все вопросы, связанные с введением систем координат, включая вопрос о принципе относи- относительности, вопрос о свойствах взаимодействия тел, новое уравнение движения и дальнейшую разработку вопроса о пространстве и времени. Однако основные понятия механики Аристотеля и подход к проблеме движения в механике Ньютона сохранились без сущест- существенных изменений. Следующим крупным шагом явилось создание специальной теории относительности. Ее революционный характер выразился в новом подходе к проблеме пространства и времени. В результате этого неразрывная связь пространства, времени и движения стала основополагающим моментом физической теории. Однако по свое- своему содержанию специальная теория относительности полностью относится к классической физике. В результате создания общей теории относительности неразрывная связь пространства, времени, движения и материи стала основополагающим моментом наиболее общей физической теории. По своему содержанию общая теория относительности, так же как и специальная, полностью относится к классической физике. Теории, в которых существенны закономерно- закономерности специальной или общей теории относительности, называют релятивистскими. Если в этих теориях несущественны квантовые закономерности, то они полностью относятся к классической фи- физике. Механика точки Ньютона явилась основой для построения механики совокупностей точек, составляющих материальные тела, среды и т.д. Если движение отдельных точек описывается в соот- соответствии с законами Ньютона, то соответствующая теория отно- относится полностью к классической физике. Во многих случаях в механике тела или среды используется представление о сплошной среде, когда масса считается как бы непрерывно «размазанной» в пространстве, а движение элемента массы в бесконечно малом объеме описывается законами механики точки. Механика сплошных сред при этом условии относится также к классической физике. В связи с этим о механике твердого тела необходимо сделать такое
14 Введение замечание. Уравнения движения твердого тела включают три урав- уравнения для координат центра масс и три уравнения моментов. Строго говоря, эти шесть уравнений не могут быть выведены только на основании трех законов Ньютона для материальной точки. Для их вывода необходимо использовать дополнительное к законам Ньютона предположение, что силы взаимодействия мате- материальных точек, составляющие твердое тело, центральны. Однако это не изменяет принадлежности механики твердого тела к класси- классической физике. При анализе движения системы многих реальных точек, каждая из которых движется в соответствии с законами Ньютона, динами- динамическое описание системы неосуществимо с технической, непригодно с теоретической и бесполезно с практической точек зрения. В системах многих частиц возникают новые закономерности движе- движения, обусловленные наличием большого числа частиц в системе, которые называются обычно статистическими. Статистическая фи- физика, элементарными динамическими законами которой являются законы Ньютона, относится к классической физике и называется обычно классической статистической физикой. Следует, однако, отметить, что последовательное и полное обоснование ее возможно лишь с использованием квантовой теории. Во всех рассмотренных выше разделах классической физики объектом исследования была материя в форме вещества. Другой формой материи, в исследовании которой физика достигла больших успехов, стала полевая форма. Электрические и магнитные явления открыты очень давно, но теория этих явлений развивалась сравни- сравнительно медленно и лишь в 60-х годах XIX столетия была завершена созданием теории Максвелла. После этого были открыты электро- электромагнитные волны, которые существуют независимо от породивших их зарядов и токов. Это послужило экспериментальным доказа- доказательством самостоятельного существования электромагнитного по- поля и обосновало представление об электромагнитном поле как о форме существования материи. Движение этой формы материи описывается уравнениями Максвелла. Они представляют закон движения электромагнитного поля и описывают его порождение движущимися зарядами. Действие электромагнитного поля на заря- заряды, носителями которых является материя в корпускулярной фор- форме, описывается силой Лоренца. Основными понятиями, на кото- которых основываются уравнения Максвелла, являются напряженность и индукция электромагнитного поля в точках пространства, изме- изменяющиеся с течением времени, электромагнитное поле, порожден- порожденное зарядом, движущимся аналогично материальной точке по определенной траектории, и действующее на заряд. Это показывает, что теория, основанная на уравнениях Максвелла, относится к классической физике, релятивистски инвариантна и полностью от- относится к релятивистской классической физике. После открытия полевой формы существования материи в виде
Введение 15 электромагнитных волн и создания электромагнитной теории света появилась реальная возможность решить вопрос о законах взаимо- взаимопревращения материи в полевой и корпускулярной форме, или, другими словами, решить вопрос о взаимопревращении излучения и вещества. Казалось, что эту задачу можно успешно решить в рамках классической физики, поскольку каждая из этих форм материи хорошо описывается соответствующей классической тео- теорией. Первое указание на недостаточность классической физики для понимания взаимоотношения этих двух форм материи было полу- получено при анализе излучения черного тела, когда необходимо было допустить дискретность актов испускания света. Затем были откры- открыты корпускулярные свойства излучения и волновые свойства элект- электронов и других частиц. Эти открытия показали, что не существует барьера между корпускулярной и полевой формами материи, что эти формы взаимно проникают друг в друга и существуют в диалектическом единстве. Экспериментальное исследование и ана- анализ этого диалектического единства привели к необходимости коренного пересмотра основных представлений классической физи- физики и созданию квантовой теории. Диалектическое противоречие между полевой и корпускулярной формами материи на уровне мышления выступает как противоре- противоречие между непрерывным и дискретным. Анализом этого противо- противоречия занимались философы и ученые на продолжении всей истории интеллектуального развития человечества. Его содержание было выяснено в рамках диалектического метода. В физической реально- реальности это противоречие снимается квантовым объектом, взятым в диалектическом единстве его противоположностей. Создание физи- физической теории такого объекта, получившей название квантовой теории, является не только крупнейшим шагом в развитии физики, но и весьма важным событием в интеллектуальном прогрессе человечества, все последствия которого в настоящее время невоз- невозможно предугадать. Это становится очевидным, если вспомнить, что после создания квантовой механики многие даже выдающиеся физики продолжали мыслить в рамках рефлектирующего сознания, которому чуждо понимание отсутствия тождественности между диалектическим единством и наличностью его противоположно- противоположностей. Об этом свидетельствует появление таких теорий, как теория «скрытых параметров», «волны-пилота» и другие неудавшиеся по- попытки интерпретации квантовой механики, а также ее различные широко известные «парадоксы». Это показывает, что развитие общефилософских и гносеологических проблем, стимулированных квантовой механикой, является задачей не только физиков. Это развитие обусловливается диалектическим взаимодействием конк- конкретного знания к общефилософских и гносеологических категорий. В классической физике очень четко конкретизируются и находят свое воплощение философские категории диалектики, а методоло- методологические принципы физических исследований имели большое влия-
16 Введение ние на разработку гносеологических вопросов. В ней полно и всесторонне воплощена сущность взаимного влияния и взаимопро- взаимопроникновения науки и философии. Это обстоятельство имеет большое мировоззренческое значение. Во всех предшествующих четырех томах курса мировоззренческим вопросам уделено должное внима- внимание. Достаточно полное освещение нашло диалектическое единство пространства, времени, движения и материи, что отразилось также и в ряде структурных особенностей курса. В частности, неприемле- неприемлемо, как это часто делается, раскрывать содержание понятий про- пространства, времени и движения в рамках кинематики без установ- установления органической связи между ними, а начало изложения вопроса о связи этих понятий с понятием материи откладывать до динами- динамики, когда раскрывается понятие массы. Такой разрыв противоречит самой сущности пространства и времени как форм существования материи, а движения-как способа ее существования. Этот разрыв ликвидируется изложением в самом начале курса физической кине- кинематики, вводящим читателя в круг идей теории относительности, которая дает достаточно ясное воплощение в конкретной науке положения диалектического материализма о неразрывной связи пространства, времени, движения и материи. Суть этого диалекти- диалектического единства прослеживается и уточняется в последующих разделах курса. Достаточно полное отражение в курсе классической физики находят вопросы всеобщей связи явлений, неуничтожаемо- сти материи и движения, причинности и детерминизма, трактовки законов как форм выражения связи явлений и т. д. Одним словом, в классической физике воплощение в конкретном знании общих фи- философских категорий диалектики столь полно и совершенно, что самым актуальным становится вопрос о характере незавершенности этого конкретного знания и о содержании незавершенности единст- единства конкретного знания с общефилософскими и гносеологическими категориями. Актуальность этого вопроса обусловливается тем, что только незавершенность конкретного знания и его единства с общефилософскими и гносеологическими категориями является источником и движущей силой развития как конкретного знания, так и философских и гносеологических категорий. В рамках класси- классической физики эта незавершенность выступает лишь в потенциаль- потенциальной форме и не составляет действительного отрицания завершен- завершенности. Отрицание достигнутой в классической физике завершенно- завершенности знания и его единства с общефилософскими и гносеологически- гносеологическими категориями осуществляется лишь в рамках квантовой физики и в соответствии с диалектикой отрицания приводит не только к дальнейшему развитию физики, но и дает мощный стимул разра- разработке общефилософских и гносеологических проблем.
1 Фотоэффект Эффект Комптона 1 КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Флуктуации интенсивности светового потока Поляризация фотонов При взаимодейст- взаимодействии электромагнитного излучения с веществом наблюдаются явле- явления, свидетельствующие о дис- дискретном характере взаимодейст- взаимодействия, когда обмен энергией и им- импульсом между полем излучения и веществом осуществляется пор- порциями излучения, называемыми квантами или фотонами. Понятие фотона не связано с представле- представлением о концентрации энергии и импульса кванта в малом прост- пространственном объеме, который можно обозначить словом «кор- «корпускула». Однако дискретный ха- характер взаимодействия становится наглядным при использовании представления о корпускуле и свя- связанных с ней понятий. Интерференция фотонов 2 219
18 1 Корпускулярные свойства электромагнитных волн 1. Фотоэффект Рассматривается первое эксперименталь- экспериментальное свидетельство корпускулярных свойств электромагнитного излучения, теоретиче- теоретическое истолкование которых привело к ус- установлению понятия фотона Открытие фотоэффекта. При генера- генерации электромагнитных волн посредст- посредством возбуждения электрических коле- колебаний в открытом контуре с разряд- разрядником Г. Герц обнаружил A887), что длина искры между металлическими электродами разрядника увеличива- увеличивается, если катод освещается ультра- ультрафиолетовым светом. Другими слова- словами, падающий на металлический ка- катод ультрафиолетовый свет облегчает проскакивание искры между катодом и анодом. Это наблюдение положило начало экспериментальным работам В. Гальвакса, А. Столетова, П. Ленар- да и др., в которых была выяснена физическая сущность наблюдаемого явления и установлены его основные количественные характеристики. Са- Само явление получило название внеш- внешнего фотоэффекта. Экспериментальные факты. При облучении ультрафиолетовым светом отрицательно заряженного электро- электроскопа (рис. 1,я) происходит его раз- разрядка (рис. \,б). Положительно заря- заряженный электроскоп (рис. 2, а) при облучении не разряжается (рис. 2,6). Это значит, что при падении света на металлический шарик электроскопа из него удаляет- удаляется в окружающее пространство отри- отрицательный заряд. Возможное предположение о том, что при облучении шарику электро- электроскопа передается положительный за- заряд из окружающего пространства, отвергается результатом опыта с по- положительно заряженным электроско- электроскопом. Для изучения количественных ха- характеристик этого явления использо- использовалась установка, показанная схема- схематически на рис. 3. В откачанный до высокого вакуума резервуар впаяны металлический катод К и анод Ан, между которыми создается регули- регулируемая потенциометром R разность потенциалов, измеряемая вольтмет- вольтметром V. Сила тока, проходящего меж- между катодом и анодом, определяется амперметром А. Через трубку Т ка- катод может облучаться светом. Если облучения катода нет, то и ток между катодом и анодом отсутст- отсутствует. При наличии облучения возни- возникает электрический ток, сила которо- которого зависит от разности потенциалов, интенсивности светового потока, ма- материала катода и частоты света. Яс- Ясно, что существование тока обеспечи- обеспечивается движением отрицательных за- зарядов, которые покидают поверх- поверхность катода под влиянием облуче- облучения. Однако природа носителей заря- зарядов не была известна до 1900 г., когда Ленард доказал, что падающее на катод ультрафиолето- ультрафиолетовое излучение выбивает из материала катода электроны. В этом состоит физическое содер- содержание внешнего фотоэффекта, кото- который обычно называют просто фото- фотоэффектом. Зависимость силы фототока / от частоты со падающего на катод свето- светового потока при постоянных плот- плотности потока энергии S и разности потенциалов U показана на рис. 4. При частотах меньше согр фототок не возникает. Зависимость I (U) при S = const и со = const показана на рис. 5. При положительных значениях разности потенциалов электроны уско- ускоряются от катода к аноду, при отри- отрицательных-их ускорение происходит в обратном направлении. При нуле- нулевой разности потенциалов имеется
§ 1. Фотоэффект 19 поток электронов от катода к аноду. Это означает, что выбиваемые из катода электроны по- покидают поверхность катода с некото- некоторой скоростью и благодаря этому достигают анода. Для их остановки и прекращения фототока необходимо приложить тормозящую разность потенциалов Uo. При увеличении разности потен- потенциалов фототок увеличивается и стре- стремится к току насыщения /нас. Ток насыщения является возрастающей функцией плотности светового пото- потока S. Тормозящая разность потенциа- потенциалов Uo от плотности светового пото- потока энергии S не зависит. Зависимость Uo (со) показана на рис. 6. На рис. 7 ток насыщения /нас представлен как функция от плотности потока энергии S. При тормозящем потенциале Uo (см. рис. 5) электроны, покинувшие поверхность катода с максимальной скоростью fMaKC, полностью теряют эту скорость. По закону сохранения энергии, qU0 = 1/2meviaKC, A.1) где те - масса электрона, q - его заряд. Заметим, что заряд электрона q = — е и тормозящий потенциал Uo отрица- отрицательны, а их произведение qU0 поло- положительно. Наличие фототока насы- насыщения (см. рис. 5) и прямая пропор- пропорциональность силы фототока насы- насыщения /нас плотности светового пото- потока энергии S (рис. 7) свидетельствуют, что число электронов, выбиваемых из ка- катода в единицу времени, пропорцио- пропорционально плотности светового потока. Заметим, что Uo в A.1) не совпа- совпадает с показаниями вольтметра, из- измеряющего тормозящее напряжение, и отличается от этих показаний на контактную разность потенциалов В) С 1 При облучении ультрафиолетовым светом отрицательно заряженный металлический ша- шарик разряжается При облучении ультрафиолетовым светом положительно заряженный шарик сохраняет свой заряд Схема установки для экспериментального ис- исследования законов фотоэффекта
20 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн Зависимость силы фототока / от частоты со при S = const и U = const ¦й Зависимость силы фототока / от разности потенциалов U при S = const и со = const lUolt Зависимость тормозящей разности потенциа- потенциалов Uo от частоты ю Зависимость тока насыщения /нас от плотности светового потока S между материалами анода и катода. Это обстоятельство необходимо учесть при количественном анализе явления. Экспериментальные закономер- закономерности, выраженные графиками на рис. 4-7, можно сформулировать в виде законов внешнего фотоэффекта: 1. Существует граничная частота света югр, ниже которой для данного материала катода фотоэффект отсут- отсутствует, независимо от плотности све- светового потока энергии и продолжи- продолжительности облучения катода (см. рис. 4). 2. Электроны покидают поверх- поверхность катода с энергиями от нуля до максимальной 1/2 те Гмакс, которая не зависит от плотности светового пото- потока энергии [см. рис. 5, A.1)] и линейно зависит от частоты (см. рис. 6). 3. При фиксированной частоте из- излучения число электронов, выбитых из катода в единицу времени, прямо пропорционально плотности светово- светового потока энергии [см. рис. 7, 5, A.1)]. Было предпринято также изучение времени запаздывания появления фо- фототока относительно начала облуче- облучения катода световым потоком. Како- Какого-либо запаздывания обнаружить не удалось. В первоначальных опытах было показано, что время запаздыва- запаздывания меньше 10  с. Позднейшие из- измерения доказали, что это запаздыва- запаздывание меньше 10~9 с. Противоречие законов фотоэффек- фотоэффекта представлениям классической фи- физики. Законы фотоэффекта находятся в резком противоречии с классиче- классическими представлениями о волновой природе света. В рамках волновых представлений о свете качественно фотоэффект может быть объяснен следующим образом. Электрический вектор электромагнитной волны ус- ускоряет электроны в материале катода.
1. Фотоэффект 21 Благодаря этому электроны в метал- металле начинают «раскачиваться», ампли- амплитуда их вынужденных колебаний воз- возрастает. При достижении достаточно большой энергии электрон покидает катод, т. е. происходит внешний фото- фотоэффект. Однако объяснить количест- количественные закономерности фотоэффекта оказалось невозможно. Амплитуда вынужденных колебаний электрона в волновой картине излучения пропор- пропорциональна амплитуде колебаний век- вектора напряженности электрического поля падающей на катод электромаг- электромагнитной волны. Плотность светового потока энергии прямо пропорциональ- пропорциональна квадрату амплитуды колебаний напряженности электрического поля волны. Следовательно, максимальная скорость покидающих катод фото- фотоэлектронов должна увеличиваться с возрастанием плотности светового потока энергии. В действительности же скорость фотоэлектронов не зави- зависит от нее. Не согласуется также с волновыми представлениями очень малое время запаздывания в фото- фотоэффекте. Время запаздывания, кото- которое дают расчеты, оказывается во много раз большим эксперименталь- экспериментальной верхней оценки времени запазды- запаздывания. Наличие граничной частоты *+ Фотоэффект не является прямым свиде- свидетельством корпускулярных свойств света. Корпускулярные свойства света обнару- обнаруживаются в результате анализа всей со- совокупности экспериментально открытых законов фотоэффекта. Несовместимость законов фотоэффекта с классическими представлениями о свойствах электромагнитных волн про- проявляется не при качественном, а при ко- количественном подходе к его анализу. * Чем определяется числовое значение гра- граничной частоты? Почему максимальная энергия электро- электронов, покидающих катод, не зависит от плот- плотности потока энергии падающего на него из- излучения? Как можно качественно в волновой картине излучения объяснить фотоэффект? фотоэффекта также несовместимо с волновыми представлениями. Уравнение Эйнштейна для фотоэф- фотоэффекта. М. Планк для теоретического вывода предложенной им формулы излучения черного тела (см. § 11) вы- вынужден был предположить A900), что энергия атомов, испускающих и по- поглощающих электромагнитную энер- энергию, может иметь лишь дискретный набор значений. Разность между со- соседними значениями энергии в этом дискретном наборе равна Й со (Й-по- (Й-постоянная, со - круговая частота, входя- входящая в формулу Планка). При этом вопрос об энергетической структуре электромагнитного излучения План- ком не рассматривался. Для объяснения фотоэффекта Эйн- Эйнштейн предположил A905), что поток энергии световой волны не является непрерывным, а представля- представляет собой поток дискретных порций энергии, называемых квантами или фотонами. Энергия фотона, соответствую- соответствующая свету с частотой со, равна E = R(o, A.2) где Ц= 1,05-КГ34 Дж-с. Фотон, столкнувшись с электро- электроном в металле, передает ему всю свою энергию A.2). При столкнове- столкновении фотона со свободным электро- электроном передача последнему всей энер- энергии фотона невозможна (см. § 2). В металле электроны, обеспечиваю- обеспечивающие электропроводность, называются свободными, однако они взаимодей- взаимодействуют между собой и другими элект- электрическими зарядами кристаллической решетки. Поэтому они в динамичес- динамическом смысле связаны и могут пол- полностью поглотить всю энергию фото- фотона. Если эта энергия достаточно вели- велика, то электрон может преодолеть удерживающие его в металле силы и
22 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн выйти из металла. Естественно, что в этом процессе соблюдается закон со- сохранения энергии, который можно записать в виде H(Q = A + l/2mevlaKC, A.3) где 1/гте1;макс^максимальная кинети- кинетическая энергия электрона непосредст- непосредственно после преодоления сил, удержи- удерживающих его в объеме металла, и вы- выхода за пределы объема; Л-работа выхода (работа, совершенная электро- электроном для преодоления сил, удержи- удерживающих его в объеме металла). Соот- Соотношение A.3) называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта. Уравнения A.2) и A.3) полностью объясняют все особенности фотоэф- фотоэффекта. Плотность светового потока1 энер- энергии прямо пропорциональна плот- плотности потока фотонов, т. е. числу фо- фотонов, проходящих 1 м2 поперечного сечения потока за 1 с. Число выбитых в единицу времени электронов прямо пропорционально плотности потока фотонов. Отсюда следует, что число электронов, покинувших объем ме- металла в единицу времени, прямо про- пропорционально плотности светового потока (третий закон фотоэффекта). Кинетическая энергия фотоэлектрона по уравнению A.3) зависит только от энергии фотона, выбившего электрон из катода, и не зависит от того, сколь- сколько других фотонов столкнулось с дру- другими электронами, т. е. не зависит от плотности светового потока энергии (второй закон фотоэффекта). Из A.3) также видно, что при энергии падаю- падающего фотона, меньшей работы вы- выхода электрона из металла, фотоэф- фотоэффект невоможен. Этим объясняется наличие красной границы в фотоэф- фотоэффекте (первый закон фотоэффекта). Граничная частота согр измеряется экспериментально, а работа выхода вычисляется с помощью уравнения A.3) при Рмакс = 0: А = Л<отр. A.4) Работа выхода различна для раз- различных металлов и составляет обыч- обычно несколько электрон-вольт. Напри- Например, красная граница фотоэффекта (в длинах волн) равна для калия, натрия и меди 551; 543 и 277 нм, что соот- соответствует работам выхода 2,25; 2,28 и 4,48 эВ. Время запаздывания при фо- фотоэффекте на основании изложенных представлений равно времени движе- движения электронов до поверхности ме- металла после столкновения с фотоном, т. е. чрезвычайно мало и находится в согласии с экспериментом. Если бы фотоэффект объяснялся постепенной «раскачкой» электронов электричес- электрическим полем волны, то время запазды- запаздывания было бы чрезвычайно боль- большим. Для того чтобы преодолеть си- силы, удерживающие его в металле, электрон должен накопить энергию, равную работе выхода А. Если сред- средняя плотность потока энергии свето- световой волны (S), а эффективная пло- площадь, на которой поглощается энер- энергия световой волны, сообщаемая электрону, ctj$, то в течение времени At электрону сообщается энергия аэф<5> At и, следовательно, время за- запаздывания равно At « A/(a3(t){S)). Эффективная площадь оэф имеет по- порядок квадрата атомных размеров. Для условий эксперимента ^ и (S) имеют такие значения, что время за- запаздывания оказывается чрезвычайно большим. Например, для А = 1 эВ, стэф= 1(Г2Ом-5, <S> = 1(Г3 Вт/м2 получаем At « 104 с. Милликен Р. Э. A868-1953) про- провел A914-1916) тщательные измере- измерения фотоэффекта и с большой точ- точностью подтвердил справедливость уравнения A.3). Уравнение A.1) с уче-
1. Фотоэффект 23 том A.3) и A.4) записывается в виде | Uo | = (Н/е) (со - соср), где е = 1,60 х o ср х 10 19 Кл-элементарный заряд. Именно эта линейная зависимость | Uo | от со, показанная на рис. 6, яви- явилась предметом исследований Мил- ликена и использовалась им для опре- определения h = е | Uo | /(со — соср). Было получено наиболее точное для того времени значение постоянной Планка /г = 2тг/г = 6,56-10~34 Дж-с. Внутренний и ядерный фотоэффек- фотоэффекты. Во внешнем фотоэффекте энергия фотона передается электронам, сос- составляющим в металле электронный газ. Однако может случиться, что фо- фотон передает энергию электрону, свя- связанному с атомом металла, и выры- вырывает его из атома. Электрон стано- становится свободным электроном внутри твердого тела, способным участво- участвовать в образовании электрического тока. Такое явление называется внут- внутренним фотоэффектом. Ядерным фотоэффектом называ- называется явление поглощения очень ко- коротковолнового излучения (рентге- Эйнштейн Альберт A879-1955) Один из основателей современной физики. Родился в Германии, с 1893 г. жил в Швейцарии, с 1914 г.-в Германии, в 1933 г. эмигрировал в США. Один из создателей частной теории относит елыюсти. Основоположник обшей теории относительности. Автор фундаментальных трудов по квантовой теории света (установил понятие фотона, законы фотоэффекта, предсказал индуцированное излучение). Развил молекулярно- статистическую теорию броуновского движения и внес вклад в квантовую статистику новского или у-излучения) ядрами атома, в результате которого проис- происходит вылет нуклонов (протонов и нейтронов) из ядер. Импульс фотона. Пусть на тело перпендикулярно его поверхности па- падает световой поток волн с частотой со, который поглощается телом. В классической электродинамике пока- показано, что давление света на поверхность тела равно объемной плотности электро- электромагнитной энергии и1. Поскольку каждый фотон несет энергию Лео, концентрация фотонов равна н'ДЛсо). Фотоны движутся к по- поверхности тела по нормали со ско- скоростью с. Следовательно, число фо- фотонов, падающих в единицу времени на единицу поверхности тела, равно си>/(/гсо). Универсальный характер со- соотношения между массой и энергией позволяет заключить, что, обладая энергией, фотон должен об- обладать также и массой, а поскольку он движется, он должен иметь также и определенный импульс. Следовательно, при поглощении фотонов телу передается их импульс, а следовательно, возникает сила дав- давления на поверхность тела. При падении фотонов на поверх- поверхность по нормали давление равно суммарному импульсу фотонов, по- поглощенных в единицу времени по- поверхностью единичной площади. Этот суммарный импульс pcw/(Ha>), если р-импульс отдельного фотона. По- Поскольку давление равно объемной плотности энергии w, получаем уравне- уравнение для определения импульса фотона pcwl(H<u) = w, A.5) из которого следует, что = Пк, A.6) где к = со/с = 2п/Х-волновое число,
24 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн А. = сТ = 2лсДо-длина волны, Г = = 2тг/ю- период. Равенство A.6) можно также полу- получить непосредственно, пользуясь со- соотношением между массой и энерги- энергией. Поскольку энергия фотона задает- задается формулой A.2), его инертная масса равна m = Е/с2 = Вт/с2 и, следова- следовательно, импульс выражается в виде р = пгс = Лю/с. Заметим, что фотон не может покоиться, и поэтому речь идет о массе фотона, движущегося со скоростью света. Масса же покоя фо- фотона равна нулю. Поскольку импульс-векторная ве- величина, соотношение A.6) принимает вид Р = Як, A.7) где к-волновой вектор, по направле- направлению совпадающий с нормалью к фронту волны, а по модулю равный волновому числу. Селективный фотоэффект. Рассмот- Рассмотренные явления обусловливают кор- корпускулярные свойства электромагнит- электромагнитных волн. Однако при определенных условиях в фотоэффекте, называемом селективным, проявляется наличие волновых свойств фотонов (см. § 4). 2. Эффект Комптона Обсуждается экспериментальное доказательство правильности формул, связывающих энергию и импульс фотона с частотой и волновым векто- вектором электромагнитных волн. Томсоновское рассеяние. После от- открытия A895) В. К. Рентгеном A845- 1923) электромагнитного излучения большой частоты (рентгеновские лу- лучи) возник вопрос об их рассеянии в веществе. В то время была общепри- общепринятой модель строения атома, пред- предложенная Дж. Дж. Томсоном A856- 1940). Атом представлялся в виде не- непрерывного размазанного в неболь- небольшом объеме положительного заряда с вкрапленными в него точечными электронами (в целом атом электри- электрически нейтрален). Под влиянием на- напряженности электрического поля па- падающей на атом световой волны электроны приобретают колебатель- колебательное движение с частотой волны и сами становятся источником вторич- вторичного излучения, называемого рассеян- рассеянным. Частота рассеянного излучения равна частоте падающего на атом излучения. Такое рассеяние теоретически ис- исследовано Дж. Дж. Томсоном A900) и получило название томсоновского. Рассеяние свега на изолированном свободном электроне в рамках клас- классической электродинамики также яв- является томсоновским. Пусть в поло- положительном направлении оси Z рас- распространяется электромагнитная вол- волна, напряженность S = (f0cos cut элек- электрического поля которой коллинеар- на оси X (рис. 8). При нерелятивистс- нерелятивистской скорости движения электрона можно пренебречь его взаимодейст- взаимодействием с магнитным полем световой волны и записать уравнение движения в виде тех = qS = qScosait, B.1) где те и q = —е-масса покоя и заряд электрона (отрицательный), ё0 и со- амплитуда напряженности электри- электрического поля волны и частота волны; точками обозначаются производные по времени. Плотность потока энер- энергии электромагнитных волн равна S = сег B.2) а мощность излучения электромаг- электромагнитной энергии точечным зарядом q, движущимся с ускорением х, опреде- определяется по формуле 071 ?0 С B.3)
§ 2. Эффект Комптона 25 Подставляя х = qS/me из B.1) в B.3) и выражая S1 через S по равенству B.2), запишем B.3) в виде Р = inriS/3, B.4) где г0 = е2/Dкеотес2) - классический радиус электрона, значение которого получено из представления о том, что вся энергия покоя электрона тес2 имеет электромагнитное происхожде- происхождение и равна энергии е2/Dпгого) элек- электромагнитного поля заряда е, распре- распределенного по сфере радиуса г0, т. е. из равенства тес2 = е2/Dяеого). Мощ- Мощность Р в B.4)-энергия, рассеянная в единицу времени электроном из пото- потока электромагнитной энергии падаю- падающей волны. Поскольку S- плотность потока энергии, из B.4) заключаем, что а = 8яг2/3 = 6,65 ¦ 109 м2 B.5) представляет эффективную площадь, при попадании на которую электро- электромагнитная волна полностью рассеи- рассеивается. Эта площадь называется попереч- поперечным сечением томсоновского рассея- рассеяния на свободном электроне. Видно, что оно не зависит от длины падаю- падающей на электрон волны. Длина волны рентгеновского из- излучения порядка размеров атомов, а их частота много больше собствен- собственных частот колебаний электронов в атомах. Поэтому рассеяние рентге- рентгеновского излучения на атомах сво- сводится к рассеянию на отдельных элек- электронах атомов, а поперечное сечение рассеяния на атоме является просто суммой поперечных сечений B.5) рас- рассеяния на электронах, входящих в атом (aa = aZ, где Z- порядковый номер элемента), и не зависит от дли- длины волны рентгеновского излучения. Это позволило в свое время опреде- определить число электронов в атоме. К расчету томсоновского рассеяния света сво- свободным электроном Схема экспериментальной установки Комп- Комптона Рассеяние рентгеновских лучей на атоме (томсоновское) отличается от рассеяния видимого света (рэлеевско- го), которое зависит от частоты из- излучения. Опыты Баркла. Баркла экспери- экспериментально изучал A909) томсоновс- томсоновское рассеяние рентгеновских лучей. Его интересовало распределение ин- интенсивности рассеянного излучения по различным направлениям. Теоре- Теоретически оно было хорошо известно как распределение интенсивности из- излучения линейного осциллятора. Барк- Баркла нашел хорошее согласие резуль- результатов своих экспериментов с пред- предсказаниями теории для достаточно «мягкого» рентгеновского излучения. Однако для «жесткого» рентгеновско- рентгеновского излучения Баркла отметил качест- качественное несогласие экспериментальных результатов с теорией. В то время не существовало методов измерения дли-
26 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн 10 Зависимость интенсивности рассеяния Р в раз- различных направлениях от длины волны ны волны рентгеновского излучения. М. фон Лауэ A912) и несколько позд- позднее В. Л. Брэгг разработали такой ме- метод измерения на основе изучения дифракции рентгеновских лучей на кристалле и открыли путь к опытам Комптона. Опыты Комптона. А. X. Комптон изучал A922-1923) не только распре- распределение интенсивности рассеянного ** Эффект Комптона состоит в изменении частоты излучения при его рассеянии на свободных электронах. Рассеяние излу- излучения на свободных электронах по сво- своему физическому содержанию сводится к столкновению фотонов с электронами. Эффект Комптона является эксперимен- экспериментальным доказательством наличия у фо- фотона импульса. * Почему эффект Комптона удается наблюдать лишь в опытах с рентгеновским излучением? Почему в рассеянном излучении наблюдается несмещенная частота? Почему при рассеянии высокоэнергетических у-квантов несмещенной частоты не наблюда- наблюдается? Изложите принципиальную схему наблюде- наблюдения индивидуальных актов столкновения фо- фотонов с электронами. излучения в зависимости от направ- направления, но и измерил длины волн этого излучения. Схема экспериментальной установки Комптона показана на рис. 9. Почти монохроматическое рентгеновское излучение с длиной волны А,о от источника И направля- направлялось на графитовую мишень М, кото- которая рассеивала излучение по различ- различным направлениям. В направлении угла 0 с помощью кристалла К и детектора D измерялись как интен- интенсивность, так и длина волны рассеян- рассеянного излучения. Результаты этих экс- экспериментов для некоторых направле- направлений рассеяния показаны схематически на рис. 10. Видно, что при углах G, отличных от нуля, в рассеянном излу- излучении наряду с длиной волны Хо при- присутствует вторая компонента излуче- излучения с длиной волны А, > Хо. Появление в рассеянном излуче- излучении длины волны, отличной от длины волны рассеиваемого излучения, по- получило название эффекта Комтона. Комптоном было показано, что изме- изменение длины волны ДА, = А. — А.о про- пропорционально sin2 @/2) и не зависит от А.о, а коэффициент пропорциональ- пропорциональности равен 0,048• 10 ° м, т.е. фор- формула, описывающая эффект Компто- Комптона, имеет вид АХ = 0,048 • 100 sin2 F/2) м. B.6) Рассеяние света с корпускулярной точки зрения. Если считать, что свет состоит из фотонов, каждый из кото- которых несет энергию /гю и импульс Лк, то картина рассеяния света электро- электронами сводится к столкновению между фотонами и электронами. Свободный электрон не может поглотить или ис- испустить фотон, потому что при этом не могут быть одновременно соблю- соблюдены законы сохранения энергии и импульса. В результате столкновения фотон
§ 2. Эффект Комптона 27 изменяет не только направление свое- своего движения, но и частоту, так как часть своей энергии он при столкнове- столкновении передает электрону. Следователь- Следовательно, энергия фотона при столкновении уменьшается, а длина волны увеличи- увеличивается. Этот эффект можно эксперимен- экспериментально измерить лишь для достаточ- достаточно коротких длин волн, лежащих при- примерно в рентгеновском диапазоне. Кванты рентгеновского излучения об- обладают очень большими энергиями и импульсами по сравнению с энер- энергиями и импульсами фотонов види- видимого света. В результате столкнове- столкновения с квантами рентгеновского излу- излучения электрон приобретает очень большие импульсы и при математи- математическом расчете необходимо пользо- пользоваться релятивистскими формулами зависимости массы от скорости. Расчет эффекта Комптона. Схема столкновения фотона с электроном изображена на рис. 11. До столкнове- столкновения электрон считается покоящимся. Импульс налетающего на электрон фотона равен йк. В результате столк- столкновения электрон приобретает им- Комптон Артур Холли A892-1962) Американский физик Открыл Комгион-эффекг, доказав наличие импульса у отдельного фотона и К выводу формулы эффекта Комптона пульс ту, а импульс рассеянного фо- фотона равен йк'. Законы сохранения импульса и энергии при столкновении записы- записываются следующим образом: Як = Як' + ту, B.7) Ясо + тес2 = Ясо' + тс2, B.8) где трс2- энергия покоя электрона, тс2 = mec2/y/\ — v2/c2 - полная энер- энергия электрона после столкновения. Принимая во внимание, что к = = со/с, к' = со'/с, после несложных ал- алгебраических преобразований из B.7) и B.8) получаем тес2 (со - со') = Йсосо' A - cos 9). B.9) Так как со = 2пс/Х0, со' = 2пс/Х, то Х~Х0 Я - = -(l-cos9), B.10) 2пс тес где X — Хо = АХ - изменение длины волны при столкновении. Оконча- Окончательно АХ = [4пИ/(тес)-] sin2 (9/2) = 2^sin2 (9/2), B.11) где Хс = 2пП/(тес) = 0,024 • 100 м B.12) -комптоновская длина волны элек- электрона. Она значительно меньше длин волн рентгеновского излучения. Фор- Формула B.11) великолепно согласуется с экспериментальными результатами Комптона B.6). Это доказывает пра- правильность представлений о корпуску- корпускулярных свойствах электромагнитных
28 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн 0 -I 12 Схема опыта Боте и Гейгера волн и их количественном описании с помощью формул A.2) и A.7). В своих экспериментах Комптон обнаружил также, что некоторая часть рассеяния происходит без изме- изменения длины волны (см. рис. 10). Это объясняется тем, что большинство фотонов рассеивается в результате столкновения с внешними электрона- электронами атомов, которые связаны очень слабо с атомом и ведут себя при столкновении как свободные электро- электроны. Для них справедлива формула B.11). Однако некоторая часть фото- фотонов проникает в глубь атомов и стал- сталкивается с внутренними электронами, которые очень сильно связаны с ато- атомом, что эквивалентно столкновению фотона не со свободным электроном, а с атомом. Формула B.11) остается справедливой и для этого случая, но под те надо понимать не массу элек- электрона, а массу атома, которая в тыся- тысячи раз больше массы электрона. Сле- Следовательно, изменение длины волны при столкновении в тысячи раз мень- меньше, т. е. его практически нет. Этим объясняется присутствие в рассеян- рассеянном излучении несмещенной компо- компоненты. Этим же объясняется отсутствие эффекта Комптона для видимого све- света. Энергия фотонов видимого света мала даже по сравнению с энергией связи внешних электронов атома, и столкновение происходит с целым атомом без изменения длины волны фотона. Если наблюдать эффект Комптона для у-квантов, энергия ко- которых существенно больше энергии фотонов рентгеновского излучения, то в рассеянии наблюдается только смещенная компонента, потому что энергия у-квантов очень велика по сравнению с энергией связи любого электрона атома. Наблюдение индивидуальных ак- актов столкновения. В опытах Компто- Комптона индивидуальные акты столкнове- столкновения фотона с электроном не наблюда- наблюдались, а изучался лишь совокупный результат столкновений фотонов с электронами. Однако уже в 1923 г. Боте и Вильсон наблюдали электро- электроны отдачи от индивидуального акта столкновения фотона с электроном. В 1925 г. Боте и Гейгер доказали, что электрон отдачи и рассеянный фотон появляются одновременно (рис. 12). Счетчики фотонов Ф и электронов Э устанавливаются симметрично отно- относительно рассеивателя Р, в котором под действием излучения И происхо- происходит Комптон-эффект. Счетчики Ф и Э включены в схему С совпадений, т. е. в электрическую схему, которая по- позволяет фиксировать лишь те случаи, когда фотон и электрон в соответ- соответствующих счетчиках появляются од- одновременно. Результат эксперимента показал, что число одновременных фиксаций элек- электрона и фотона в счетчиках много больше того, которое можно было бы ожидать при некоррелированном по времени появлении электрона и фо- фотона. Так было достоверно доказано су- существование индивидуального столк- столкновения фотона с электроном. В том же 1925 г. Комптон и Саймон с по- помощью камеры Вильсона измеряли
§ 3. Флуктуации интенсивности светового потока 29 углы между направлением движения электрона отдачи и фотона. Электрон отдачи в камере Вильсона оставляет заметный след, но рассеянный фотон никакого следа не оставляет. Однако если он будет поглощен другим ато- атомом с испусканием фотоэлектрона, то след последнего хорошо виден в камере. Прямая линия, соединяющая точку возникновения электрона отда- отдачи и фотоэлектрона, принимается за траекторию фотона. Поскольку иден- идентифицировать фотоэлектрон и элек- электрон отдачи абсолютно достоверно нельзя, для получения надежных ре- результатов необходимо было исполь- использовать большой статистический ма- материал. Анализ углов разлета надежно подтвердил применимость законов сохранения к индивидуальным актам столкновения. В 1927 г. была непос- непосредственно измерена энергия электро- электронов отдачи, которая оказалась в пол- полном согласии с предсказаниями тео- теории эффекта Комптона. 3. Флуктуации интенсивности светового потока Анализируются эксперименты, свидетельствую- свидетельствующие о независимости друг от друга поведения отдельных фотонов в световом потоке. Флуктуации интенсивности светового потока. Поскольку в световом потоке энергия распределена не равномерно в пространстве, а переносится отдель- отдельными фотонами, она и по времени должна восприниматься дискретны- дискретными порциями. Однако концентрация фотонов при обычных условиях столь велика, что световой поток воспри- воспринимается как непрерывный поток энергии. Как и во всякой другой ста- статистической системе, флуктуации мак- макроскопических величин уменьшаются при убывании числа частиц системы. Следовательно, при достаточном уменьшении интен- интенсивности светового потока можно надеяться обнаружить флуктуации интенсивности как следствие флуктуа- флуктуации концентрации фотонов в свето- световом потоке. Изучение этих флуктуации не только демонстрирует существование фотонов, но и позволяет исследовать их статистические свойства. Такие опыты были проведены С. И. Вавило- Вавиловым A891-1951). Опыты Вавилова. Флуктуации ин- интенсивности светового потока в опы- опытах Вавилова регистрировались не- непосредственно человеческим глазом, обладающим чрезвычайно большой чувствительностью. Поэтому необхо- необходимо сделать несколько замечаний о возникновении зрительного ощуще- ощущения. Оно возникает при попадании света на сетчатую оболочку глаза. В сетчатке глаза имеются воспринима- воспринимающие элементы двух типов: колбочки и палочки. Колбочки в основном сосредоточены в областях сетчатой оболочки вблизи оптической оси гла- глаза и обеспечивают цветовое зрение. Палочки же сосредоточены главным образом в периферических областях сетчатой оболочки глаза, дальше от оптической оси, и обеспечивают серое периферическое или сумеречное зре- зрение, которое не различает цветов. Однако чувствительность палочек во много раз больше, чем чувствитель- чувствительность колбочек. Человеческий глаз имеет опреде- определенный порог чувствительности. Это означает, что если на определенный участок сетчатой оболочки глаза по- попадают вспышки света с определен- определенной длиной волны и определенной продолжительности, то существует некоторое минимальное число фото- фотонов во вспышке, которое глаз еще
30 1 Корпускулярные свойства электромагнитных волн К Ф 13 Схема опытов Вавилова воспринимает как вспышку и ниже которого глаз не ощущает вспышки. Это число фотонов и определяет по- порог чувствительности глаза для дан- данных условий. Если в последовательности вспы- вспышек в среднем имеется число фото- фотонов, существенно большее порога чувствительности, так что в результа- результате флуктуации оно не становится меньшим порога чувствительности, то глаз будет фиксировать каждую вспышку. Однако если в глаз направ- направляются вспышки, в которых среднее число фотонов находится на пороге чувствительности глаза, то вспышки, в которых число фотонов больше по- порога чувствительности, будут зафик- зафиксированы глазом, а вспышки, в кото- которых число фотонов меньше порога чувствительности, не будут замечены. Следовательно, при наблюдении вспы- вспышек вблизи порога чувствительности глаза можно непосредственно глазом зафиксировать флуктуации числа фо- фотонов во вспышках. Вавиловым было #* Независимость флуктуации интенсивно- интенсивности во взаимно когерентных волнах сви- свидетельствует о корпускулярной природе излучения. Независимость флуктуации интенсивности в обыкновенном и не- необыкновенном лучах, вышедших из двоякопреломляющей призмы, свиде- свидетельствует о том, что понятие поляриза- поляризации относится к отдельному фотону. * Почему для исследования флуктуации кон- концентрации фотонов необходимо пользоваться малыми плотностями потоков энергии? установлено, что порог чувствитель- чувствительности глаза в области сумеречного зрения составляет от нескольких де- десятков фотонов до нескольких сотен, испытывая значительные колебания для различных наблюдателей. Свет от источника И в опытах Вавилова (рис. 13) проходит через от- отверстие в диске D и попадает в фильтр Ф, который пропускает лишь волны с определенной длиной волны (в опы- опытах использовался зеленый свет). За- Затем, пройдя через коллиматор К, свет попадает в глаз. Кроме того, на пути света поставлен фильтр, не изобра- изображенный на схеме, с помощью которо- которого можно непрерывно изменять ин- интенсивность света. Глаз фокусируется на источник В слабого света. Благо- Благодаря этому луч света, проходящий через отверстие диска, попадает на периферический участок сетчатой обо- оболочки глаза. Диск D с помощью дви- двигателя вращается с частотой 1 об/с. Форма и площадь отверстия в диске таковы, что свет может проходить в него в течение 7ю времени оборота диска, а в течение 0,9 времени оборо- оборота свет в глаз не попадает и глаз отдыхает. Таким образом, при вра- вращении диска создается последователь- последовательность вспышек длительностью 0,1 с с интервалами 0,9 с между вспышками. В момент возникновения зритель- зрительного ощущения вспышки наблюда- наблюдатель нажатием ключа делает отметку на движущейся ленте хронографа. На той же ленте отмечаются периоды времени прохождения отверстия дис- диска перед глазом наблюдателя. Со- Сопоставляя отметки вспышек на ленте, сделанные наблюдателем, с отметка- отметками периодов прохождения отверстия перед глазом наблюдателя, можно определить, возникает или нет зри- зрительное ощущение вспышки. Вначале, когда яркость вспышек
3 Флуктуации интенсивности светового потока 31 не очень мала, наблюдатель отмечает каждую вспышку. При уменьшении яркости наступает такая стадия, ког- когда соответствие между вспышками, отмечаемыми наблюдателем, и пе- периодами времени прохождения от- отверстия диска перед глазом наблюда- наблюдателя нарушается - наблюдатель отме- отмечает не все вспышки. Это означает, что в некоторых вспышках число фо- фотонов ниже порога чувствительности, а в некоторых-выше. Математичес- Математическая обработка полученного из наблю- наблюдений материала позволила устано- установить, что в этих опытах действитель- действительно наблюдаются статистические флук- флуктуации числа фотонов в отдельных вспышках светового потока. Флуктуации интенсивности во взаим- взаимно когерентных волнах. С помощью описанной методики Вавиловым были исследованы флуктуации интенсив- интенсивности во взаимно когерентных вол- волнах. Волна от источника S (рис. 14) бипризмой Френеля П разделяется на две взаимно когерентные волны. На экране R в области пересечения волн возникает интерференционная карти- картина, наличие которой свидетельствует о взаимной когерентности волн, т. е. о существовании постоянных фазовых соотношений между ними. Здесь мы не принимаем во внимание некоторые тонкости, связанные с частичной ко- когерентностью волн, поскольку это не вносит ничего существенного в прин- принципиальную сторону обсуждаемого вопроса. Вне области пересечения волн (на рис. 14 вне закрашенной об- области) интерференционная картина не образуется и можно наблюдать неин- терферирующее излучение от мнимых источников S' и S". Вспышки излуче- излучения источника S бипризмой Френеля трансформируются во вспышки взаим- взаимно когерентных излучений мнимых источников S' и S". Методикой Вави- 14 Схема получения взаимно когерентных волн делением волнового фронта с помощью бипри- бипризмы Френеля 15 Схема получения поляризованных лучей с помощью призмы Волластона лова можно изучить флуктуации чис- числа фотонов во вспышках каждого из источников и корреляцию этих флук- флуктуации между собой. Эти исследова- исследования показали, что флуктуации числа фоюнов во взаим- взаимно когерентных вспышках излучения происходят независимо друг от друга. Флуктуации интенсивности в поля- поляризованных лучах. Другой важный опыт Вавилова касался флуктуации в поляризованных лучах. Луч света S, проходя сквозь призму Волластона В (рис. 15), распадается на два луча S' и S", которые линейно поляризованы в двух взаимно перпендикулярных на- направлениях. Исследуя флуктуации чис-
32 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн u 16 Схема опыта Брауна и Твисса 17 Зависимость корреляции интенсивности пото- потоков G (х) ла фотонов в лучах S' и S", Вавилов показал, что эти флуктуации происходят независимо друг от друга. Это означает, что понятие поляри- поляризации относится к отдельному фото- фотону, а процесс поляризации состоит в том, что некоторый фотон в луче S, пройдя призму Волластона, движется дальше либо в луче S', либо в луче S", приобретая соответствующую поля- поляризацию. Опыт Брауна и Твисса. В опыте была количественно исследована кор- корреляция флуктуации интенсивности в световом пучке вдоль направления его распространения. Световой пучок S (рис. 16) разделяется полупрозрач- полупрозрачной пластиной А на два пучка, кото- которые направляются к фотоприемникам П1 и П2, находящимся на разных расстояниях от А. Силы токов от фотоприемников, пропорциональные интенсивностям соответствующих све- световых потоков, в корреляторе К пре- преобразуются в силу тока пропорцио- пропорционально произведению сил токов от фотоприемников П1 и П2. Измеряют- Измеряются также силы тока It и 12 от этих фотоприемников. Средние значения этих сил токов равны: {/t) = {/2) = Ясно, что /t и 12 пропорциональ- пропорциональны интенсивности светового потока S в различные моменты времени. Про- Промежуток времени х между этими мо- моментами определяется разностью А хода лучей от А до фотоприемников (предполагается, что время движения сигнала от фотоприемников до кор- коррелятора одинаково). Следовательно, х = А/с и силы токов можно записать в виде /х = I(t), I2 = I(t + x). Измеряе- Измеряемой в эксперименте величиной яв- является C-1) На рис. 17 приведена зависимость G(x), найденная в опытах Брауна и Твисса. При очень малых х значение G(x) очень близко к единице, при уве- увеличении х оно уменьшается. При больших х функция G(x) практически постоянна. Для объяснения такого поведения G(x) необходимо принять во внима- внимание флуктуации интенсивности света в пучке. Если бы флуктуации не было, то при всех значениях х было бы G(x) = 1. Однако при наличии флук- флуктуации ситуация меняется. Для флук- флуктуации можно определить характер- характерный масштаб времени, а следователь- следовательно, и расстояний вдоль пучка. Если х меньше характерного времени флук- флуктуации, то в корреляторе все время
§ 4. Поляризация фотонов 33 регистрируются примерно одинако- одинаковые силы токов и G(t) близка к едини- единице. При увеличении т корреляция между силами токов в корреляторе нарушается, максимумы силы тока в одном канале попадают на миниму- минимумы в другом и т. д., в результате чего G(x) уменьшается. Когда т превосхо- превосходит характерное для флуктуации вре- время, его увеличение не вносит измене- изменения в соотношение токов в каналах и значение (?(т) остается постоянным. Функция G(x) свидетельствует о наличии флуктуации концентрации фотонов в световом пучке и дает ин- информацию о статистических свойст- свойствах фотонов. 4. Поляризация фотонов Обсуждаются экспериментальные доказатель- доказательства применимости понятия поляризации к от- отдельному фотону. Вводится понятие о состоя- состоянии движения фотона и обсуждается смысл су- суперпозиции состояний. Поляризация электромагнитных волн. Поляризация электромагнитных волн определяется поведением вектора на- напряженности электрического поля вол- волны, который всегда перпендикулярен лучу. При линейной поляризации ко- конец вектора напряженности с началом на луче в фиксированный момент вре- времени при перемещении по лучу опи- описывает синусоиду на плоскости, в ко- которой лежат луч и вектор напряжен- напряженности. Эта плоскость называется плос- плоскостью колебаний вектора напряжен- напряженности электрического поля. Плос- Плоскостью поляризации называется плос- плоскость (в которой колеблется вектор магнитной индукции волны), перпен- перпендикулярная плоскости колебаний век- вектора напряженности электрического поля. Однако плоскость поляризации в этом смысле в настоящее время практически не используется и поля- ? 219 ризация описывается посредством ха- характеристики электрического вектора волны. Кроме линейной поляризации имеются круговая и эллиптическая. При круговой поляризации конец век- вектора напряженности с началом на луче при перемещении по лучу в фик- фиксированный момент времени описы- описывает винтовую линию на круглом ци- цилиндре, осью которого является луч, а при эллиптической - винтовую ли- линию на эллиптическом цилиндре, при- причем луч проходит через центры эл- эллиптических сечений цилиндра (не че- через фокусы эллипсов в сечении!). В фиксированной точке пространства на луче при линейной поляризации конец вектора $ колеблется по гар- гармоническому закону по линии колеба- колебаний, при круговой и эллиптической поляризации конец вектора S описы- описывает соответственно окружность и эллипс с центром на луче в плоскости, перпендикулярной лучу. Круговая и эллиптическая поляризация бывают правой и левой в зависимости от на- направления движения конца вектора вокруг луча. С помощью принципа суперпозиции для напряженности элек- электрического поля волну с круговой или эллиптической поляризацией можно представить в виде суперпозиции двух линейно поляризованных волн с вза- взаимно перпендикулярными направле- направлениями поляризациия. Поэтому при анализе поляризации электромагнит- электромагнитных волн достаточно ограничиться линейной поляризацией. Поляризационные свойства света наиболее отчетливо проявляются в анизотропных средах, а особенно просто-в одноосных кристаллах. По- Подробно эти вопросы рассматривают- рассматриваются в оптике. Здесь мы остановимся лишь на явлениях, помогающих разъяснить проблему поляризации фотонов.
34 1 Корпускулярные свойства электромагнитных волн Поляризационные явления в одно- одноосных кристаллах. Оптическая ось одноосного кристалла характеризует направление, при распространении в котором луч света ведет себя как в изотропной среде, т. е. распространя- распространяется в среде при любой поляризации с одной и той же скоростью (при дан- данной частоте). Однако при неколли- неколлинеарности луча и оси одноосного кристалла ситуация существенно из- изменяется. Через луч, направленный под углом к оптической оси, и опти- оптическую ось можно провести плос- плоскость, называемую главной (рис. 18). В этом направлении возможными яв- являются лишь лучи света, вектор на- напряженности электрического поля ко- которых колеблется либо в главной плоскости («необыкновенный» луч), либо перпендикулярно главной плос- плоскости («обыкновенный» луч). Ско- Скорость необыкновенного луча зависит от угла между лучом и оптической осью; скорость обыкновенного луча одинакова по всем направлениям (по- (поэтому он и называется обыкновен- обыкновенным). Если луч света падает на плос- плоскую поверхность одноосного кристал- кристалла, вырезанного параллельно оптичес- оптической оси по нормали к поверхности (рис. 19), то в кристалле распростра- распространяются два пространственно совпада- совпадающих луча с взаимно перпендикуляр- перпендикулярными направлениями линейной поля- поляризации. При угле падения, отличном от нуля (рис. 20), происходит прелом- преломление каждого из лучей в соответст- соответствии со скоростью распространения света в кристалле, т. е. при показателе преломления п = c/v, где с-скорость света в вакууме, v- скорость света в кристалле. Поэтому после преломле- преломления обыкновенный и необыкновенный лучи имеют различные направления и начинают пространственно разделять- разделяться, т. е. падающий луч испытывает 18 Главная плоскость Напряженность электриче- электрического поля ?и у необыкновенного луча, & ± - у обыкновенного 19 Поведение луча при падении по нормали на поверхность кристалла, вырезанного парал- параллельно оптической оси 20 Двойное лучепреломление 21 Истолкование закона Малюса
4. Поляризация фотонов 35 двойное лучепреломление. При выхо- выходе из кристалла лучи пространствен- пространственно разделены и обладают взаимно перпендикулярными направлениями линейной поляризации (рис. 20). Это обстоятельство используется для по- получения поляризованных световых лучей. Интенсивность лучей зависит от состава падающего излучения. Если линейно поляризованный луч падает нормально к поверхности и угол между направлением колебаний вектора S и оптической осью равен C (рис. 21), то в соответствии с прин- принципом суперпозиции вектор $ представляется в виде суммы вектора Sе, параллельного оптической оси, и вектора $0, перпендикулярного этой оси. Первый из векторов является вектором напряженности необыкно- необыкновенного луча, а второй - обыкновен- обыкновенного. Отсюда следует, что амплитуда колебаний необыкновенного луча рав- равна Ае = Asm$, а обыкновенного Ао = Acos C, где А-амплитуда падаю- падающего луча. Для интенсивностей /0 и 1е обыкновенного и необыкновенного лучей получается закон Малюса: Io = /sin2 р, Ie = /cos2 р, D-1) где /-интенсивность падающего све- света. При р = 0 из кристалла выходит только необыкновенный луч, а при Р = л/2-только обыкновенный. Имеются кристаллы, которые по- поглощают либо обыкновенный, либо необыкновенный луч. Тогда на вы- выходе из них образуется только один луч с соответствующей линейной по- поляризацией. Например, в кристалле турмалина уже на пути около 1 мм практически полностью поглощается обыкновенный луч, а в герапатите один из лучей поглощается полностью уже при толщине 0,1 мм. Такие крис- кристаллы используются в качестве по- поляризаторов или анализаторов света. а) Arp 22 Зависимость силы фототока насыщения от дли- длины волны в нормальном (а) и селективном (б) фотоэффекте Электромагнитная теория света, изучаемая в волновой оптике, позво- позволяет полностью описать поляриза- поляризационные явления. Здесь необходимо дать трактовку этих явлений в рамках представлений о фотонах. Применимость понятия поляриза- поляризации к отдельному фотону. Изложен- Изложенные в § 3 опыты по исследованию флуктуации числа фотонов в поляри- поляризованных лучах позволили сделать вывод о применимости понятия поля- поляризации к отдельному фотону. Име- Имеются и другие эксперименты, которые подтверждают этот вывод. Среди них важнейшее значение имеют опыты по селективному фото- фотоэффекту. На рис. 22, а показана зави- зависимость силы фототока насыщения от длины волны для нормального фотоэффекта, подробно рассмотрен- рассмотренного в § 2, а на рис. 22, б-для селек- селективного. Из рис. 22 можно заклю- заключить, что более энергичные коротко- коротковолновые фотоны значительно эффек- эффективнее выбивают электроны из ка- катода. Однако зависимость, представ-
36 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн ленная на рис. 22, а, не всегда имеет место. Для некоторых металлов, у которых красная граница лежит дале- далеко в красной области спектра или даже в инфракрасной (например, у щелочных металлов), зависимость си- силы тока насыщения от длины волны представлена на рис. 22, б. Видно, что имеется резко выраженный максимум силы тока насыщения. Такой фото- фотоэффект называется селективным. На- Наличие красной границы селективного фотоэффекта и применимость к нему законов нормального фотоэффекта позволяют заключить, что он, как и нормальный фотоэффект, объясняет- объясняется столкновением отдельного фотона с электроном. В этом смысле селек- селективный фотоэффект не отличается от нормального. Отличие состоит в том, что селективный фотоэффект сильно зависит от поляризации падающего света и от угла падения. Общий ха- характер этих экспериментальных зави- зависимостей может быть резюмирован так: при приближении плоскости коле- колебаний вектора ё в падающей линейно поляризованной плоской волне к плос- плоскости падения значение максимума тока насыщения растет и достигает самого большого значения при сов- совпадении этих плоскостей (при фик- фиксированном угле падения); при увели- увеличении угла между плоскостью колеба- колебаний вектора ё и плоскостью падения селективный фотоэффект ослабляется и, когда эти плоскости становятся перпендикулярными друг другу, пре- превращается в нормальный фотоэффект (в этом случае вектор ё в волне ко- колеблется в направлении, параллель- параллельном поверхности металла); значение максимума тока насыщения увеличи- увеличивается с увеличением угла падения, т. е. увеличивается с увеличением нор- нормальной к поверхности металла со- составляющей вектора ё. Таким обра- образом, в селективном фотоэффекте надежно обнаруживается зависимость фотоэф- фотоэффекта от поляризации падающего света. Так как селективный фотоэффект обусловлен столкновением отдельно- отдельного фотона с электроном, то понятие поляризации применимо к отдель- отдельному фотону, т. е. можно говорить о поляризации фотонов. Применимость понятия поляриза- поляризации к отдельным фотонам можно также доказать опытами по двойному лучепреломлению при очень малых интенсивностях света, когда через кристалл одновременно могут пройти лишь одиночные фотоны. Все явления двойного лучепреломления, включая поляризацию, осуществляются при этом без всяких изменений по сравне- сравнению с явлениями при нормальных интенсивностях света. Это доказыва- доказывает применимость понятия поляриза- поляризации к отдельному фотону. Фотон. Прежде чем обсудить смысл понятия поляризации фотона, необхо- необходимо сделать несколько замечаний о самом понятии фотона. Под фотоном понимается физи- физический объект, связанный с электро- электромагнитным излучением, который при взаимодействии излучения с вещест- веществом выступает всегда как единое це- целое, характеризуемое энергией Е = /и» и импульсом р = йк, где со и к-час- к-частота и волновое число излучения. Не сущее 1вует части фотона, а существуе'1 только целый фотон. Слово «существовать» здесь ис- используется в наиболее правильном с точки зрения автора смысле: «сущест- «существовать - это значит взаимодейство- взаимодействовать». Поэтому неприемлемо представление о фотоне как о некотором пространственно
§ 4. Поляризация фотонов 37 распределенном объекте, различные «части» которого находятся в различ- различных областях (или точках) простран- пространства. Нельзя представить себе фотон как некоторую пространственную об- область, заполненную электромагнит- электромагнитным полем. Нельзя соотнести отдель- отдельному фотону напряженность электри- электрического поля, которой характеризует- характеризуется электромагнитная волна. Однако нельзя себе представить фотон и в виде точечного объекта, который в каждый момент времени занимает определенное положение в пространстве и, следовательно, дви- движется по определенной пространствен- пространственной траектории. Такое представление противоре- противоречит всем экспериментальным фактам, связанным с волновыми свойствами электромагнитного излучения. Напри- Например, любой луч, связанный с электро- электромагнитной волной, может рассматри- рассматриваться как возможная траектория фо- фотона, а фотон представляется как объект, движущийся одновременно по всем лучам. Представление о пре- пребывании фотона в какой-то простран- пространственной точке лишено смысла еще и потому, что он не может находиться в покое и движется со скоростью света. Фотон нельзя представить мо- моделью, описываемой классическими образами. Он является квантовым объектом, который нельзя себе представить с помощью классических образов. Од- Однако человек не обладает другими образами и понятиями, кроме клас- классических. Поэтому мы вынуждены от- отказаться от попытки представить себе фотон с помощью классических обра- образов, но можем описать фотон с по- помощью классических понятий, не пре- претендуя на наглядное представление. Используемая для этого модель не является классической. Она называет- называется квантовой и правильно описывает не только отдельные физические фак- факты, но и всю совокупность явлений атомного и субатомного мира. В определенных физических си- ситуациях модель квантового объекта сводится в своей существенной части либо к классической модели волны, либо к классической модели мате- материальной точки. В этих случаях кван- квантовый объект приобретает наглядный классический образ и хорошо описы- описывается соответствующей классической моделью. Одновременное обладание кванто- квантовым объектом корпускулярными и волновыми свойствами называется корпускулярно-волновым дуализмом. Корпускулярно-волновой дуализм яв- является, с одной стороны, препятстви- препятствием для выработки наглядного образа атомного и субатомного мира, а с другой стороны, счастливым обстоя- обстоятельством, позволяющим без нагляд- наглядных образов познать его законы. Все, что было сказано о квантовом объек- объекте, относится не только к фотону, но и к другим атомным и субатомным объектам. Поляризация фотона. На первый взгляд кажется, что наиболее естест- естественно учесть поляризацию отдельных фотонов отнесением свойства поляри- поляризации к отдельным фотонам, т. е. счи- считать, что фотон характеризуется энер- энергией, импульсом и поляризацией. Однако такой подход был бы оши- ошибочным, потому что существуют раз- различные виды поляризации - линейная, круговая, эллиптическая, а один и тот же фотон в зависимости от обстоя- обстоятельств может обладать любой из этих поляризаций. Поэтому поляризацию необходимо отнести не к свойствам фотона, а к состоянию его движения.
38 1. Корпускупярные свойства электромагнитных волн Мы говорим, что фотон находит- находится, например, в состоянии линейной поляризации, и описываем характе- характеристики фотона в этом состоянии. Понятие состояния является одним из самых важнейших при описании кван- квантового объекта, в данном случае - фо- фотона. Оно является новым понятием, не имеющим классического аналога. Рассмотрим подробнее это поня- понятие на примере двойного лучепрелом- лучепреломления. Пусть речь идет о нормальном падении линейно поляризованного света на кристалл, вырезанный па- параллельно оптической оси (см. рис. 19). В кристалле распространяются обыкновенный и необыкновенный лу- лучи с взаимно перпендикулярными на- направлениями линейной поляризации. Для упрощения анализа явления на первом этапе будем считать, что в качестве кристалла взят турмалин, в котором уже на пути 1 мм обыкно- обыкновенный луч полностью поглощается. Следовательно, на выходе из доста- достаточно толстой пластинки имеется только необыкновенный луч, направ- ** Селективный фотоэффект является пря- прямым экспериментальным свидетельством применимости понятия поляризации к от- отдельному фотону. Фотон нельзя представить себе как про- пространственно распределенный объект, различные части которого находятся в различных областях (или точках) про- пространства. Нельзя представить себе фо- фотон как некоторую область пространства, заполненную электромагнитным полем. Нельзя соотнести фотону напряженность электрического или магнитного поля, ко- которым характеризуется электромагнитная волна. * Какая особенность селективного фотоэффек- фотоэффекта свидетельствует о применимости понятия поляризации к отдельному фотону? Какие аргументы свидетельствуют, что поля- поляризация не является характеристикой фотона наряду с его энергией и импульсом, а является характеристикой состояния его движения? В чем состоит принципиальное отличие су- суперпозиции состояний фотона и суперпози- суперпозиции электромагнитных волн? ление колебаний вектора S в котором коллинеарно оптической оси. Интер- Интерпретируем это явление с точки зрения поляризации фотонов. Исторически сложилось так, что линейная поляризация плоской элек- электромагнитной волны характеризуется положением плоскости, в которой ко- колеблется вектор напряженности маг- магнитного поля. Однако при рассмотре- рассмотрении распространения волн в диэлек- диэлектрических средах обычно анализиру- анализируется поведение вектора напряженнос- напряженности электрического поля волны. По- Поэтому в качестве характеристики по- поляризации фотона удобнее брать плос- плоскость, в которой колеблется вектор &. Эту плоскость и будем называть плоскостью поляризации фотона, ес- если он находится в состоянии линей- линейной поляризации. В качестве первого опыта рас- рассмотрим нормальное падение плос- плоской электромагнитной волны на крис- кристалл турмалина (см. рис. 19), когда вектор ё волны коллинеарен опти- оптической оси. Волна без изменения ин- интенсивности пройдет через пластинку. С точки зрения поляризации фотонов этот опыт интерпретируется следую- следующим образом. Каждый из фотонов, падающих на пластинку, находится в состоянии с линейной поляризацией в плоскости, в которой лежит оптичес- оптическая ось кристалла. Для сокращения словесных выражений говорят также, что фотон линейно поляризован в этой плоскости. При входе в кристалл линейная поляризация фотона сохра- сохраняется и он беспрепятственно прохо- проходит через кристалл. На выходе из кристалла появляется столько же фо- фотонов, сколько в него вошло. Если в нормально падающей на кристалл турмалина волне вектор S колеблется перпендикулярно оптичес- оптической оси, то волна полностью погло-
§ 4. Поляризация фотонов 39 щается и на выходе из кристалла ее нет. С точки зрения поляризации фо- фотонов интерпретация этого опыта состоит в следующем. Все падающие на кристалл фотоны линейно поляри- поляризованы в плоскости, перпендикуляр- перпендикулярной оптической оси. При движении в кристалле фотоны с такой поляриза- поляризацией поглощаются и поэтому на вы- выходе из кристалла нет фотонов. Теперь рассмотрим случай, когда в падающей по нормали волне линия колебаний вектора S составляет угол Р с оптической осью (см. рис. 21). По закону Малюса D.1), на выходе из кристалла наблюдается линейно по- поляризованная волна, линия колебаний вектора §г в которой параллельна оптической оси, а отношение интен- интенсивности выходящей волны и интен- интенсивности входящей равно cos2 р. Это означает, что отношение числа про- прошедших через кристалл фотонов к числу падающих равно cos p. Значит, доля sin2 P падающих на кристалл фотонов поглотилась. Поляризация вышедших из кристалла фотонов от- отличается от поляризации падающих. Как эти экспериментальные факты интерпретировать с точки зрения по- поляризации фотонов? Можно себе представить, что фо- фотон, поляризованный под углом Р к оптической оси, при достижении по- поверхности кристалла не может даль- дальше двигаться в нем с той же линейной поляризацией. Он должен получить поляризацию либо в плоскости, па- параллельной оптической оси, либо пер- перпендикулярной. Поэтому он на входе в кристалл скачком изменяет свою поляризацию в одну из этих плоскос- плоскостей. Доля фотонов, сделавших скачок в состояние поляризации параллель- параллельно оптической оси, пропорциональна cos2 P, а перпендикулярно оси-sin2 p. Фотоны с параллельной оптической оси поляризацией проходят кристалл без потерь, а с перпендикулярной- поглощаются в кристалле. Вопрос о том, почему фотон изменяет свою поляризацию на параллельную или перпендикулярную оптической оси, не может быть исследован эксперимен- экспериментально и находится вне рамок науч- научного рассмотрения. Описание измене- изменения поляризации может быть осу- осуществлено с помощью вероятностно- вероятностного подхода: вероятность того, что фотон изменит свою поляризацию на параллельную оптической оси, про- пропорциональна cos2 P, а на перпенди- перпендикулярную оси - sin2 p. Вероятность того, что каждый из фотонов обяза- обязательно изменит свою поляризацию, выражается равенством sin2 р + + cos2 р = 1. Такая интерпретация достаточно удовлетворительно описывает все ко- количественные закономерности и отве- отвечает на все законные вопросы. Тем не менее такая интерпретация неудов- неудовлетворительна. Чтобы в этом убе- убедиться, рассмотрим кристалл (см. рис. 19), в котором оба луча света распространяются без поглощения. Как показывает эксперимент и объяс- объясняет электромагнитная теория света, на выходе из кристалла наблюдается эллиптически поляризованная волна. Чтобы это объяснить с точки зрения поляризации фотонов, придется до- допустить, что на выходе из кристалла фотоны совершают скачкообразное изменение своей поляризации из ли- линейной в эллиптическую, причем обе группы фотонов с различной линей- линейной поляризацией совершают пере- переход в одно и то же состояние эллипти- эллиптической поляризации. Чтобы построить теорию такого перехода, необходимо считать, что поведение фотонов с взаимно перпендикулярными поляри- поляризациями коррелировано между собой,
40 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн что противоречит эксперименту (см. § 3). Это доказывает неудовлетвори- неудовлетворительность интерпретации с помощью скачков поляризации фотонов. К это- этому надо добавить, что описание ста- стационарного состояния (а речь идет именно о состоянии неизменного по времени явления) с помощью скачков из одного состояния в другое неудов- неудовлетворительно с принципиальной точ- точки зрения. Суперпозиция состояний. В класси- классической физике важную роль имеет принцип суперпозиции. Ему удовлет- удовлетворяют все величины, поведение ко- которых описывается линейными диф- дифференциальными уравнениями. На рис. 21 представлен принцип супер- суперпозиции для напряженности электри- электрического поля: вектор напряженности ё является суммой напряженностей ёе и ё0, т.е. ё = §е + ё0. Благодаря этому плоскую линейно поляризован- поляризованную волну, представленную вектором ё (см. рис. 21), можно описать в виде суперпозиции двух плоских линейно поляризованных во взаимно перпен- перпендикулярных направлениях волн, ха- характеризующих напряженности ёе и ё0. Это было использовано при обос- обосновании закона Малюса. Принцип су- суперпозиции для электромагнитного поля позволил полностью объяснить все поляризационные явления в кри- кристаллах. Для последовательной ин- интерпретации поляризации фотонов необходимо использовать некоторый аналог принципа суперпозиции для электромагнитных волн. Таким ана- аналогом является принцип суперпози- суперпозиции состояний. Принимая во внимание, что поля- поляризация является не свойством фото- фотона, а свойством его состояния, напра- напрашивается такая формулировка прин- принципа суперпозиции для поляризации фотонов (см. рис. 21): состояние поля- поляризации фотона, характеризуемое на- направлением вектора S', является сум- суммой состояний поляризаций, характе- характеризуемых векторами ёе и ё0. Други- Другими словами, фотон в состоянии линейной поляри- поляризации находится в состоянии супер- суперпозиции двух взаимно перпендику- перпендикулярных состояний линейных поляри- поляризаций, ориентированных в произволь- произвольном направлении относительно исход- исходной линейной поляризации. Наглядно понять суперпозицию напряженностей электрического поля очень легко-это просто правило па- параллелограмма для сложения векто- векторов. Понять наглядно суперпозицию состояний фотона нельзя-фотон на- находится одновременно и в состоянии поляризации, характеризуемом век- вектором ёе, и в состоянии поляризации, характеризуемом вектором ё0. Если учесть, что его состояние можно представить бесчисленным числом состояний других двух взаимно пер- перпендикулярных поляризаций, то ста- становится ясной безнадежность попыт- попытки наглядного истолкования принци- принципа суперпозиции состояний. Тем не менее для облегчения размышлений и использования принципа суперпози- суперпозиции применяется иногда такая «на- «наглядная» картина: фотон беспрерыв- беспрерывно переходит из состояния одной по- поляризации в состояние взаимно пер- перпендикулярной поляризации, причем относительное время пребывания фо- фотона в каждой из поляризаций опре- определяется углом C (см. рис. 21). Принцип суперпозиции состояний позволяет полностью и непротиворе- непротиворечиво объяснить все явления, связан- связанные с поляризацией фотонов. Состоя- Состояние падающего на кристалл фотона (см. рис. 19)-это суперпозиция со- состояний линейной поляризации, одна из которых параллельна оптической
§ 5. Интерференция фотонов 41 оси кристалла, а другая - перпендику- перпендикулярна. При движении в кристалле состояние фотона продолжает быть суперпозицией двух взаимно перпен- перпендикулярных состояний. Одно из них- это состояние линейной поляризации, соответствующей обыкновенному лу- лучу, а другое-необыкновенному. По- Поэтому группа фотонов, вошедших в кристалл, не распадается на две груп- группы фотонов, одна из которых нахо- находится в состоянии параллельной оп- оптической оси линейной поляризации, а другая - в состоянии перпендикуляр- перпендикулярной оптической оси линейной поляри- поляризации. Она продолжает быть одной группой фотонов в состоянии супер- суперпозиции этих двух поляризаций. На выходе состояние фотона продолжает по-прежнему быть суперпозицией взаимно перпендикулярных состоя- состояний линейных поляризаций. Эта су- суперпозиция может оказаться линей- линейной, круговой или эллиптической по- поляризацией в зависимости от обстоя- обстоятельств (толщины и свойств кристал- кристаллической пластины). 5. Интерференция фотонов Описываются интерференционные опыты при малых интенсивностях светового потока, из ко- которых делается вывод о существовании явления интерференции при наличии лишь одного фо- фотона. Этот вывод выражается словами: «фотон интерферирует сам с собой». Обсуждается ин- интерпретация явлений интерференции в рамках корпускулярных представлений. Интерференция электромагнитных волн. Интерференция электромагнит- электромагнитных волн подробно изучена в элект- электромагнетизме и оптике. Математи- Математически волна любой природы в одно- однородной среде описывается универ- универсальным волновым уравнением 1 32Ф(г,0 У2Ф(г,О~-^ Л = °> Eл) где Ф-скалярная величина, характе- характеризующая волну, v- скорость волны. Для электромагнитной волны Ф- любая из проекций напряженности электрического и магнитного полей или векторного потенциала на оси декартовой системы координат. В вакууме v = с - скорость света. При гармонической зависимости Ф(г, t) от времени, одинаковой для всех точек пространства, полагаем Ф(г,0 = Ф(г)е-'ш'. E.2) Подставив E.2) в E.1), находим для Ф(г) уравнение У2Ф(г) + *с2Ф(г) = 0, E.3) где к = co/f = 2n/(vT) = 2тсД, Г-пе- Г-период, Х-длина волны. Уравнение Гельмгольца E.3) уни- универсально для описания координат- координатной зависимости характеристик гар- гармонических волн. В рамках этого уравнения по- построена теория Кирхгофа дифракции и интерференции света, которая блестяще подтверждается громадным экспериментальным материалом. Это уравнение описывает правильно так- также и другие гармонические волны, например акустические, гидродина- гидродинамические и т.д. Поэтому напраши- напрашивается вывод, что оно является уни- универсальным уравнением для описания гармонических волн любой природы. Отметим, что при его выводе частота гармонических волн предполагалась постоянной (со = const). Это будет использовано при обсуждении воз- возможного вида уравнения для описа- описания движения частиц с отличной от нуля массой покоя (см. § 10, 16). В световом диапазоне напряжен- напряженности электромагнитного поля волны - ненаблюдаемые величины из-за большой частоты колебаний (со ~ 1015 с), поскольку измеряется всегда среднее значение по конечному
42 1 Корпускулярные свойства электромагнитных волн X I о Сг 23 Опыт Винера промежутку времени, которое равно нулю при усреднении напряженности электромагнитного поля волны по периоду колебаний или многим пе- периодам. Поэтому в световом диапа- диапазоне электромагнитных волн вели- величины Ф(г, t) ненаблюдаемы Наблю- Наблюдаемыми являются энергетические величины светового потока, пропор- пропорциональные квадрату амплитуды напряженности электрического поля волны. Можно говорить также об объемной плотности электромагнит- электромагнитной энергии волны как о наблюдае- наблюдаемой величине. Эти величины одно- однозначно связаны между собой. Если $0 - амплитуда напряженности ли- линейно поляризованной плоской волны, то средняя объемная плот- плотность электромагнитной энергии в вакууме равна w = 1/2ео<яо, а средняя плотность потока энергии выра- выражается формулой <S> = cw, где с- скорость света в вакууме. Интерференция обусловливается суперпозицией напряженностей элект- электромагнитных полей интерферирую- интерферирующих волн, а проявляется она как из- изменение средней объемной плотности энергии или как изменение среднего потока энергии электромагнитных волн в пространстве. Из изложенного можно сделать два важных вывода. Во-первых, если световой поток представить как поток фотонов, то необходимо допустить, что концент- концентрация фотонов в потоке пропорцио- пропорциональна квадрату амплитуды напря- напряженности электрического поля волны (и ~ Sо) Во-вторых, нельзя пред- представить интерференцию как процесс «суперпозиции фотонов» Корпускулярная интерпретация опытов Винера. Электромагнитная природа света была впервые экспери- экспериментально подтверждена в классичес- классических опытах О. Винера A890), который наблюдал интерференцию от двух монохроматических световых волн, распространяющихся навстречу друг другу. Такие движущиеся в противо- противоположных направлениях взаимно ко- когерентные волны возникают в резуль- результате отражения от зеркала световой волны, падающей на него по нор- нормали. При отражении от металличес- металлического зеркала фаза колебаний вектора напряженности электрического поля волны изменяется на п, что обеспечи- обеспечивает соблюдение равенства нулю тан- тангенциальной составляющей электри- электрического поля на поверхности металла. Направляя ось Z по нормали к по- поверхности зеркала, а ось Х-колли- неарно линии колебаний вектора на- напряженности S электрического поля волны (рис. 23), можно для падающей и отраженной волн написать: 8 j = 8 lx (z, t) = So cos (ш + kz), E.4) 8г = 82x (z, t) = 80 cos (со/ - kz + n),
$ 5. Интерференция фотонов 43 где приняты одинаковыми ампли- амплитуды падающей и отраженной волн и учтено изменение фазы волны при отражении на п. В результате супер- суперпозиции волн возникает стоячая волна, напряженность которой S = 6 j 4" & 2 = = 2?0 cos (kz - я/2) cos (со/ + я/2) = = — 2$0 sin kz sin Ш. E.5) Следовательно, распределение ин- интенсивности интерференционной кар- картины по оси Z b E.6) (рис. 23). Поскольку расстояние между пучностями в интерференцион- интерференционной картине очень мало ( « 0,3 мкм), Винер измерил почернение в тонком светочувствительном слое А В (поряд- (порядка к/20), расположенном под очень малым углом ф к поверхности зер- зеркала (рис. 23). Если расстояния между пучностями по нормали к поверх- поверхности зеркала равны к/2, то в наклон- наклонном тонком светочувствительном слое эти расстояния равны d — — к/B sin ср), т. е. при достаточно ма- малых углах ф могут быть сделаны достаточно большими и их можно измерить. Предсказания электромаг- электромагнитной теории света в опытах Винера полностью подтвердились. Кроме того, они доказали, что фотографи- фотографическое действие обусловлено электри- электрической напряженностью поля волны, а не индукцией магнитного поля волны. Для корпускулярной интерпрета- интерпретации опытов Винера надо принять во внимание физику явлений, обусловли- обусловливающих фотографический процесс. Светочувствительный слой состоит из частиц галоидного серебра (бромис- (бромистое серебро), рассеянного в желатине. При попадании света на частицу галоидного серебра в ней возникают центры восстановленного серебра. Это центры проявления. Частицы, в которых имеются центры проявле- проявления, восстанавливаются при проявле- проявлении светочувствительного слоя до металлического серебра. Там, где нет центров проявления, частицы оста- остаются галоидными. После проявления при «фиксации» частицы галоидного серебра удаляются и в слое остается лишь металлическое серебро в мелких частицах, которые образуют по- почернение слоя. При использовании представления о фотонах образование центров про- проявления объясняется поглощением фотонов частицами галоидного се- серебра. Частицы галоидного серебра равномерно распределены по объему светочувствительного слоя. Вероят- Вероятность поглощения фотона галоидной частицей для фотонов фиксированной частоты может считаться постоянной. Число поглощенных фотонов в неко- некотором физически бесконечно малом объеме пропорционально произведе- произведению числа частиц галоидного серебра в этом объеме, вероятности поглоще- поглощения фотона и концентрации фотонов. «Почернение» объема, с одной сто- стороны, пропорционально числу погло- поглощенных фотонов, а с другой стороны, интенсивности E.6) интерференцион- интерференционной картины. Отсюда заключаем, что концентрация фотонов в стоячей волне пропорциональна ~<?osin2/cz, т. е. изменяется на длине стоячей волны и определяется квадратом амплитуды ($0 sin kzJ колебаний вектора напряженности электричес- электрического поля в соответствующих точках стоячей волны. Поглощение фотона частицей га- галоидного серебра означает физи- физически обнаружение фотона в области этой частицы. Поглощение фотона галоидной частицей является случай-
44 1 Корпускулярные свойства электромагнитных волн 24 Интерференционный опыт Юнга ным процессом и может описываться лишь вероятностными методами. Из- Изложенные рассуждения позволяют сделать заключение, что плотность вероятности обнаружить фотон вблизи координаты z пропор- пропорциональна | $0 sin kz | 2, т. е. квадрату амплитуды напряженности электри- электрического поля волны. Этот вывод важен для корпуску- корпускулярной интерпретации интерферен- интерференции электромагнитных волн, но он не означает, что фотон обладает коор- координатами и движется по какой-то траектории. Для корпускулярной интерпретации явле- явлений интерференции электромагнитных волн необходимо допустить, что концен- концентрация фотонов в электромагнитной вол- волне пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического поля вол- волны. Отсюда нельзя сделать заключение, что амплитуда волны может рассматри- рассматриваться как волновая функция фотона, но это важно при обсуждении физического смысла волновой функции. Что означает утверждение, что «фотон интер- интерферирует сам с собой», и что доказывает справедливость этого утверждения? Как интерпретируется возникновение интер- интерференционной картины при суперпозиции взаимно когерентных излучений двух одномо- довых лазеров, если «фотон интерферирует сам с собой»? Корпускулярная интерпретация опыта Юнга. Опыт Юнга A801) по интерференции света от двух взаимно когерентных источников сыграл историческую роль при переходе от теории истечения Ньютона к волно- волновой теории света. Взаимно коге- когерентными источниками являются две щели Sl и S2 в непрозрачном экране, на который падает плоская волна (рис. 24). От каждой из щелей в точку экрана с координатой у приходит луч света, дающий на экране интенсив- интенсивность освещения /0 = 1/2&о ПРИ закрытой другой щели. При откры- открытых одновременно двух щелях интен- интенсивность E.7) E.8) : <f o(l + cos 5) = = 2I0(l +cos5), где 5 = 2nd/(kl) - разность фаз между интерферен- цирующими волнами; d, А., /-соот- /-соответственно расстояние между ще- щелями, длина волны света, расстояние между непрозрачным экраном и экра- экраном, на котором наблюдается интер- интерференция. Таким образом, интенсив- интенсивность интерференционной картины в точках экрана не равна сумме интен- сивностей от щелей по отдельности. Отличие обусловливается разностью фаз волн от щелей. Отсюда для кор- корпускулярной интерпретации опыта Юнга возникают чрезвычайно боль- большие трудности. Если каким-то обра- образом приписать отдельному фотону фазу, тогда необходимо считать, что 8 в E.7) является разностью фаз двух фотонов, прошедших через различ- различные щели. Но это противоречит за- закону сохранения энергии, поскольку два фотона при попадании в одну точку экрана выделяют энергию, не равную сумме их энергий. При неко-
§ 5. Интерференция фотонов 45 торых условиях (cos 5 = — 1) они могут взаимно уничтожить друг друга, при других (cos5 = ^-выде- ^-выделенная энергия в два раза больше, чем сумма энергий фотонов. Ясно, что такая интерпретация неприемле- неприемлема. Поэтому не представляется возможным припи- приписать фотону характеристику, анало- аналогичную фазе электромагнитной волны. Характеристика, аналогичная фазе волны, принадлежит не фотону, а состоянию, которое описывает его движение. Это означает, что интерференцию необходимо описать как явление, происходящее при наличии лишь од- одного фотона. Но прежде это надо проверить экспериментально. Для экспериментальной проверки утверждения, что возникновение ин- интерференционной картины не обу- обусловлено одновременным участием в процессе большого числа фотонов, были поставлены многие интерферен- интерференционные опыты с очень малыми ин- тенсивностями света, когда можно было быть уверенным, что одновре- одновременно в образовании интерферен- интерференционной картины участвует не более одного фотона и, следовательно, интерференционная картина обра- образуется последовательным попаданием на экран отдельных фотонов. Резуль- Результаты этих опытов однозначно свиде- свидетельствуют, что движение отдельного фотона в интер- интерференционных опытах не зависит от наличия других. Фотон интерфери- интерферирует сам с собой. Распределение интенсивности в ин- интерференционной картине, как и в опы- опыте Винера, характеризуется квадра- квадратом амплитуды напряженности элек- электрического поля волны, образующе- образующегося в результате суперпозиции интер- интерферирующих волн. Другими словами, квадрат амплитуды электрического поля в точке экрана характеризует плотность вероятности обнаружения фотона в этой точке. Поскольку в теории дифракции, основанной на уравнении E.3), вели- величина | Ф(г) | имеет смысл амплитуды электрического поля волны, можно сказать, что | Ф(г) |2 характеризует плотность вероятности обнаружения фотона вблизи точки с радиусом-век- радиусом-вектором г, т. е. уравнение E.3) при корпускулярной интерпретации описывает не коорди- координаты фотона, а позволяет найти плот- плотность вероятности его обнаружения в различных точках пространства. Кор- Корпускулярное описание не позволяет также говорить о движении фотона по какой-то траектории. Не имеет смысла говорить, что фотон прошел через ту или иную щель. Изложенные соображения о кор- корпускулярной интерпретации интерфе- интерференции и истолкование смысла урав- уравнения E.3) в рамках этой интерпрета- интерпретации будут использованы при обсуж- обсуждении вопросов движения микрочас- микрочастиц с учетом их волновых свойств. Стационарное состояние. Явления интерференции описываются решени- решением Ф(г) уравнения E.3). Можно ска- сказать, что функция Ф(г) описывает со- состояние движения фотона в явлениях интерференции. Состояние движения Ф(г) не зависит от времени и осущест- осуществляется при постоянной частоте со = = const. Такое состояние движения называется стационарным. Главное свойство стационарного состояния, посредством которого описывается движение фотона, за- заключается в его единстве. Фотон при- принадлежит состоянию в целом, и нель- нельзя состояние разделить на части. Например, в интерференционном опыте Юнга (рис. 24) состояние фо-
46 1. Корпускулярные свойства электромагнитных волн тона описывается функцией Ф(г), этой области значениями функции являющейся решением уравнения Ф(г), потому что E.3), имеющей определенное значе- нельзя соотнести движение фотона с ние в любой точке пространства, его пребыванием в различных облас- Однако нельзя сказать, что фотон при тях пространства и нельзя предста- своем движении проходит последова- вить единое во всем пространстве со- тельно различные области простран- стояние движения фотона слагаю- ства, в которых состояние его движе- щимся из состояний его движения в ния описывается относящимися к отдельных областях пространства. Задачи 1.1. Работа выхода у лития равна 2,46 В, а красная граница фотоэффекта у цезия равна 639 нм. Найти красную границу у лития и работу выхода у цезия. 1.2. Длина волн видимой части спектра лежит в пределах от \t = 0,4 мкм до Х2 = 0,75 мкм. В каких пределах заключены энергия квантов видимого света и скорости электронов, энергия которых равна энергии квантов видимого света? 1.3. Мощность Р солнечного светового потока на Земле в полдень составляет около 1,3 кВт/м2. Считая для простоты, что солнечный световой поток монохроматичен с длиной волны X = 0,6 мкм, определить концентрацию фотонов. 1.4. Какой скоростью должен обладать электрон для того, чтобы иметь такой же импульс, как и фотон с X = 0,1 нм? 1.5. Работа выхода для серебра равна А = 4,28 эВ. Определить, до какого потенциала зарядится серебряный шарик, удаленный от других тел, если его облучить монохроматическим светом с длиной волны X = 10~7 м. 1.6. Какую энергию приобретает электрон отдачи при рассеянии кванта с длиной волны X = 0,1 нм на угол 6 = 90°? 1.7. Работа выхода для цинка равна 4,3 эВ. Какова кинетическая энергия электронов, выбивае- выбиваемых из цинка излучением с длиной волны 253,7 нм? 1.8. Известно, что красная граница фотоэффекта у натрия, выраженная в длинах волн, равна 545 нм. Чему равен тормозящий потенциал, если падающее на катод излучение имеет длину волны 200 нм? 1.9. Рассеяние рентгеновского излучения с длиной волны 0,24 нм на электронах наблюдается под углом 60°. Найти длину волны рассеянных под этим углом фотонов и угол рассеяния электронов отдачи. 1.10. Определить число фотонов в импульсе рубинового лазера (К = 698,3 нм) с энергией 1 Дж. 1.11. Фотон, длина волны которого 7,08 нм, сталкивается с покоящимся электроном и рассеи- рассеивается на угол 30°. Под каким углом к первоначальному направлению фотона движется электрон отдачи и какова его энергия? 1.12. Фотон с энергией 2 эВ испытывает лобовое столкновение с электроном, движущимся навстречу фотону с кинетической энергией 20 ГэВ. Какова энергия фотона после столкно- столкновения? Ответы 1.1. 504 нм; 3,1109 Дж. 1.2. 1,6-3,2 эВ; 106 м/с - 0,73-106 м/с. 1.3. 1,3 • 1013 фотонов/м3. 1.4. 0,7-107 м/с. 1.5.8 В. 1.6. 280 эВ. 1.7. 0,6 эВ. 1.8.3,92 В. 1.9. 0,36 нм; 40,9°, 1.10. 3,46-1018. 1.11. 15°; 80 эВ. 1.12. 7,6 ГэВ.
Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах Эффект Рамзауэра-Таунсенда 8 Волны де Бройля Экспериментальные подтверждения волновых свойств корпускул 2 ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА КОРПУСКУЛ При прохождении электронов через газы и кристал- кристаллы наблюдаются явления дифрак- дифракции и интерференции, которые свидетельствуют о волновых свойствах электронов. В дальней- дальнейшем было экспериментально до- доказано наличие волновых свойств у всех других корпускул, т. е. до- доказана всеобщность волновых свойств корпускул. Проявление волновых свойств усиливается при уменьшении массы и скорости корпускул. 10 Уравнение для волн де Бройля
48 2 Волновые свойства корпускул 6. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах Описываются методы наблюдения дифракции рентгеновских лучей на кристаллах. Рентгеновское излучение. Рентгеновс- Рентгеновское излучение возникает при бомбар- бомбардировке анода быстрыми электрона- электронами (рис. 25), ускоренными большой разностью потенциалов. Раскаленная металлическая нить Н испускает элек- электроны (электроны термоэмиссии), ко- которые, пройдя через сетку-катод С, попадают в ускоряющее электричес- электрическое поле между катодом С и анодом А. Из анода в результате удара в него электронов испускается рентгеновс- рентгеновское излучение. Все это происходит в объеме с высоким вакуумом, показан- показанном штриховой линией. В обычных условиях используются разности по- потенциалов порядка 100 кэВ. Однако имеются установки с использованием электронов с энергией в миллион электрон-вольт. Оно генерируется также в виде тормозного излучения в бетатронах и синхротронах (синхро- тронное излучение). Рентгеновское из- излучение является электромагнитным, длина волн которого заключена при- примерно между 10 и 0,001 нм. Однако такой взгляд на природу рентгеновс- рентгеновского излучения возник не сразу. Рент- Рентген предполагал A895), что открытые им лучи являются продольными све- световыми волнами, хотя и не настаивал на этом представлении. В принципе правильные представления на приро- природу рентгеновских лучей высказал Стоке A897). Он считал, что это элек- электромагнитное излучение, которое воз- возникает в результате торможения элек- электрона при ударе о катод. Тормозя- Тормозящийся электрон эквивалентен пере- переменному току, который, как это было уже известно из опытов Герца, гене- генерирует электромагнитные волны. Однако в отличие от опытов Герца при торможении электронов на аноде отсутствует колебание тока, и поэто- поэтому Стоке представил рентгеновское излучение в виде электромагнитного импульса. Окончательное выяснение природы рентгеновских лучей как электромагнитных волн стало воз- возможным в 1912 г., когда М. Лауэ предложил опыты по дифракции рентгеновских лучей, не только дока- доказавшие их волновую природу, но и позволившие измерять длину волны. Формула Брэгга-Вульфа. Кристалл представляет совокупность атомов или молекул, закономерно и упорядо- ченно расположенных в узлах про- пространственной кристаллической ре- решетки. Поведение волн анализиру- анализируется с помощью принципа Гюйген- Гюйгенса - Френеля, который позволил успешно построить теорию интерфе- интерференции и дифракции электромагнит- электромагнитных волн в световом диапазоне. В соответствии с этим принципом каж- каждая точка волнового фронта рассмат- рассматривается как источник вторичных волн, которые интерферируют между собой с учетом возникающих при этом фазовых соотношений. Отраже- Отражение волны от плоской поверхности сводится к тому, что каждая точка поверхности становится источником вторичных волн. Они интерферируют между собой и дают отраженную вол- волну под углом отражения, равным углу падения. При падении волны на кристалл узлы его кристаллической решетки становятся источниками вторичных волн. Если узлы расположены в од- одной плоскости, то произойдет отра- отражение волны от плоскости под углом отражения, равным углу падения. Ин- Интенсивность отраженной волны зави- зависит от того, насколько плотно узлы кристаллической решетки покрывают
§ 6 Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах 49 плоскость: с уменьшением плотности покрытия поверхности узлами умень- уменьшается интенсивность отражения. Через узлы пространственной кри- кристаллической решетки можно провес- провести много плоскостей (рис. 26), и каж- каждая из них будет отражать волну в таком направлении, чтобы угол отра- отражения был равен углу падения, при- причем это условие не зависит от длины волны: волны всевозможных длин от- отражаются одинаково. Однако в дейст- действительности отражение в данном на- направлении происходит не только от одной плоскости, но и от всех других плоскостей, параллельных данной. Все эти волны, отраженные от раз- различных плоскостей, когерентны меж- между собой, поскольку порождаются одной и той же первичной волной. Другими словами, при отражении волны от семейства параллельных по- поверхностей происходит деление ам- амплитуды между вторичными отра- отраженными волнами, распространяю- распространяющимися под углом отражения, рав- равным углу падения. Если разность фаз между вторичными волнами кратна 2л, то они усилят друг друга и под углом отражения будет действитель- действительно распространяться отраженная волна. Если же эта кратность отсутст- отсутствует, то никакой отраженной волны не будет. Условие, при котором про- происходит отражение от системы парал- параллельных поверхностей, называется условием Брэгга - Вульфа. Выведем это условие. Как видно на рис. 27, разность хода между лучами 1 и 2, отражен- отраженными от соседних поверхностей, равна \BC\-\AD\. F.1) Учитывая, что \АВ\ + \ВС\ = = 2с//cos G, \AD\ = 2c/tg0sine, полу- получаем 25 Схема генерации рентгеновских лучей 26 Отражение волны от плоскостей, проведенных через узлы кристаллической решетки \ е.| /1 /г 27 К выводу формулы Брэгга-Вульфа А = 2dfcosQ = 2u?cos9. 2u?sin2e/cos9 = F.2) Разность фаз между волнами, отра- отраженными от соседних поверхностей, равна 5 = к А = BяД)Д. Конструктив- Конструктивная интерференция этих волн прои- произойдет при условии 5 = 2кт (т = 1, 2,3, ... ). Следовательно, на основе F.2) условие отражения волны от сис- 4 219
50 2 Волновые свойства корпускул темы параллельных плоскостей имеет вид 28 Лауэграмма 29 Схема исследования монокристалла по спо- способу Дебая-Шерера 30 Реализация способа Брэгга при неподвижном кристалле = ml, F.3) где d- расстояние между плоскостя- плоскостями, А,-длина волны излучения. Это условие записывают также не с по- помощью угла падения 6, а с помощью угла скольжения а = я/2 — 0: 2dsina = т'к. F.4) Формулы F.3) или F.4) выражают условие Брэгга-Вульфа. Если на систему параллельных по- поверхностей падает немонохромати- немонохроматическая волна, то отразится лишь ее составляющая, длина которой удов- удовлетворяет условию F.3). Если в па- падающей немонохроматической волне такая составляющая отсутствует, то отраженная волна не возникает. Мо- Монохроматическая волна отразится от системы поверхностей лишь при углах 0, удовлетворяющих уравнению F.3). Таким образом, от каждой системы параллельных по- поверхностей, проведенных через узлы пространственной кристаллической решетки кристалла, для каждой дли- длины волны в определенном направле- направлении получается интерференционный максимум (или, возможно, в несколь- нескольких направлениях). Наблюдение этих интерферен- интерференционных максимумов позволяет сде- сделать заключение о длине волны, если пространственная структура кристал- кристалла известна, и, наоборот, если изве- известна длина волны, то можно сде- сделать заключение о структуре крис- кристалла. При выводе формулы Брэгга- Вульфа F.3) не учитывалось прелом- преломление волн при входе и выходе из кристалла, что нетрудно сделать. Однако для длин волн рентгеновского диапазона коэффициент преломления очень мало отличается от 1.
§ 6. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах 51 Методы наблюдения дифракции волн на кристаллах. Известны три способа наблюдения дифракции волн на кристаллах. 1. Способ Лауэ. Монокристалл облучается рентгеновским излуче- излучением с непрерывным спектром. Каж- Каждая из систем параллельных поверх- поверхностей, проведенных через узлы мо- монокристалла, отражает в соответст- соответствующем направлении определенную длину волны. Интенсивность отра- отраженного луча будет заметной лишь в том случае, когда атомы в отражаю- отражающих плоскостях расположены доста- достаточно плотно. Поэтому практически будет наблюдаться отражение лишь от небольшого числа систем плоскос- плоскостей. Если на пути лучей, отраженных от различных систем плоскостей, по- поставить фотопластинку, то на ней получается система пятен - лау- эграмма (рис. 28). Зная геометрию опыта, можно установить соотноше- соотношение между лауэграммой, структурой кристалла и длинами волн. 2. Способ Брэгга. В этом слу- случае кристалл облучается монохрома- монохроматическим рентгеновским излучением. Исследуется отражение от определен- определенной системы параллельных атомных плоскостей при вращении монокрис- монокристалла. В соответствии с формулой F.4) отражение происходит лишь при некоторых углах скольжения. Изме- Измерив угол и знак X, по формуле F.4) можно рассчитать d для системы параллельных плоскостей, от которой происходит отражение. Вместо вращения кристалла при практическом осуществлении опыта часто бывает удобнее изменять на- направление падающих лучей, оставляя кристалл неподвижным (рис. 30). В принципиальном отношении это ни- ничего нового по сравнению с враще- вращением кристалла не содержит. 3. Способ Дебая - Шерера. Монокристаллы достаточно больших размеров получать трудно. Гораздо проще получить порошок, который состоит из маленьких монокристал- монокристаллов, ориентированных беспорядочно. Кроме того, часто возникает необ- необходимость исследовать поликрис- поликристаллы вместо монокристаллов по другим обстоятельствам. Для этого применяется способ Дебая-Шерера. Если данный поликристаллический порошок облучать монохроматичес- монохроматическим рентгеновским излучением, то среди составляющих его монокрис- монокристаллов всегда найдутся такие, ориен- ориентация которых относительно падаю- падающего пучка удовлетворяет условию Вульфа-Брэгга F.4). Если в направ- направлении падающего луча установить фотопластинку, то ввиду аксиальной симметрии отраженных лучей на плас- пластинке они оставят след в виде коль- кольца (рис. 29). Так как отражение одно- одновременно происходит от разных си- систем поверхностей и имеются от- отражения различных порядков, т. е. при различных значениях т в формуле F.4), то на фотопластинке наблю- наблюдается система колец. Зная геомет- геометрию опыта, длину волны и располо- расположение колец, можно сделать заклю- заключение о структуре монокристаллов, а при известной структуре можно вы- вычислить длину волны. Все три способа наблюдения ди- дифракции волн на кристаллических структурах были успешно использо- использованы для изучения дифракции рент- рентгеновских лучей. Это позволило экспериментально доказать электро- электромагнитную природу рентгеновского излучения и определить длину волны рентгеновского излучения, поскольку межатомные расстояния кристаллов можно оценить независимо от диф- дифракции рентгеновских лучей, зная
52 2 Волновые свойства корпускул удельную массу и атомную (или мо- молярную) массу. Это позволило уста- установить, что длины волн рентгеновс- рентгеновского излучения имеют порядок разме- размеров атомов и поэтому осуществить с ними интерференционный опыт типа опыта Юнга (см. рис. 24) весьма за- затруднительно. Впрочем, позднее были осуществлены опыты и такого типа. На основании дифракционных явле- явлений были созданы приборы, позво- позволяющие измерить с большой точ- точностью длины волн рентгеновского излучения. Это открыло дорогу к ши- широкому кругу экспериментов в облас- области физики рентгеновских лучей, при- приведших к открытию новых явлений, например эффекта Комптона (см. § 2). Основанный на этих явлениях рентгеноструктурный анализ остался и до настоящего времени одним из очень эффективных методов изучения структуры вещества. Использование дифракции на кристаллах для управ- управления рентгеновскими лучами лежит в основе рентгеновской оптики, полу- получившей особенно большое развитие в последние годы. Учет преломления рентгеновских лу- лучей. Преломление рентгеновских лу- лучей обусловлено разной скоростью распространения волн в среде и в вакууме. Различие в фазовых скорос- скоростях волн приводит к изменению условия Брэгга - Вульфа F.3). В этом случае (см. рис. 27) надо принять во внимание, что угол падения 0ПД не равен углу преломления 0пр. Поэтому вместо F.1) для оптической разности хода получаем выражение А = = п{\АВ\ + \ВС\)- \AD\, где «-по- «-показатель преломления среды от- относительно вакуума (если луч падает на поверхность кристалла из вакуу- вакуума). Эта формула справедлива как при п > 1, так и при п < 1. Заметим, что для рентгеновских лучей п < 1. Учитывая, что \АВ\ + \ВС\ = = 2d/cosQnp, \AD\ = 2?/18епряпепд, и принимая во внимание закон прелом- преломления sin 0np/sin 0пд = и, вместо F.2) находим А = 2dn/cosQnp + 2dnsin2 0np/cos9np = = 2ndcosQnp. F.5) Тогда условие отражения [см. F.3)] имеет вид 2ndcos 9пр = тХ, F.6) где 0пр-угол преломления (а не паде- падения!), Х-длина волны в вакууме (а не в среде!). 7. Эффект Рамзауэра - Таунсенда Обсуждаются эксперименты, позволившие сде- сделать вывод о наличии явления дифракции во взаимодействии отдельного электрона с отдель- отдельным атомом Классификация столкновений электро- электронов с атомами. При прохождении че- через газ электроны сталкиваются с молекулами газа. Столкновения, не сопровождающиеся изменением внут- внутренней энергии молекул газа, назы- называются упругими. Кинетическая энер- энергия электрона при упругом столкнове- столкновении практически не меняется. Строго говоря, некоторая доля кинетической энергии переходит в кинетическую энергию молекулы или, наоборот, приобретается от молекулы в зависи- зависимости от условий столкновения, од- однако эта доля по порядку величины равна отношению масс электрона и молекулы, т.е. (те/тыол) ~ 10~4, и ею можно пренебречь. Столкновения, в результате кото- которых внутренняя энергия молекулы и кинетическая энергия электрона изме- изменяются, называются неупругими. Не- Неупругие столкновения бывают двух родов. При неупругом столкновении первого рода электрон отдает часть
§ 7. Эффект Рамзазуэра Таунсенда 53 своей энергии на возбуждение моле- молекулы. Это столкновение может, в частности, привести к ионизации мо- молекулы, т. е. к отрыву от молекулы одного или нескольких электронов. Кинетическая энергия электрона при неупругом столкновении первого ро- рода уменьшается. Неупругие столкновения второго рода могут происходить лишь между молекулами в возбужденных состоя- состояниях и электронами. В результате столкновения часть энергии возбуж- возбуждения молекулы или вся эта энергия передается электрону, кинетическая энергия которого увеличивается. Внутренняя энергия молекулы при этом уменьшается. При столкновении с молекулой (или атомом) электрон движется с ускорением и, следовательно, может испустить фотон. В результате энер- энергия электрона уменьшится. Следова- Следовательно, этот процесс может рассмат- рассматриваться как неупругое столкновение, которое отличается от неупругого столкновения первого рода лишь тем, что потерянная электроном энергия переходит не к молекуле, а уносится излученным фотоном. Поперечное сечение. Столкновение электрона с молекулой, приводящее к тому или иному результату, является случайным событием и может описы- описываться только вероятностно. Вероят- Вероятность столкновения с конкретным ре- результатом описывается с помощью понятия поперечного сечения. Электрон считается точечной час- частицей, а молекула, столкновение с которой рассматривается, моделируется в виде шара, площадь поперечного сечения которого а. Это воображае- воображаемая, а не геометрическая площадь. Ее значение для одной и той же моле- молекулы различно для разных процессов. Площадь а принимается такой, чтобы 31 К определению поперечного сечения вероятность рассматриваемого резуль- результата столкновения была равна веро- вероятности того, что электрон, двигаясь в газе прямолинейно без взаимодей- взаимодействия, сталкивается с одной из моле- молекул. Пусть электрон падает на площадь S объема, в котором расположены молекулы с концентрацией п0 (рис. 31). В слое толщиной dx в направлении движения электрона находится число молекул n0Sdx, а сумма их попереч- поперечных сечений, которая как бы закры- закрывает собой часть площади S, равна dS = on0Sdx. Отсюда следует, что ве- вероятность попадания электрона в одну из молекул в слое dx anodx. G.1) Это определение поперечного се- сечения а рассматриваемого процесса. Вероятность d& может быть либо вычислена теоретически, либо изме- измерена экспериментально, а поперечное сечение а определяется по формуле G.1). Средняя длина свободного пробега. Если столкновение электрона с моле- молекулой независимо от других молекул, то вероятность события растет про- пропорционально х. Длина пути (/) , при которой эта вероятность равна еди- единице, называется средней длиной сво- свободного пробега. Для ее определения
54 2. Волновые свойства корпускул Схема опыта по определению поперечного се- сечения упругих столкновений электрона с моле- молекулами газа 33 Зависимость поперечного сечения упругого рас- рассеяния электронов на атомах аргона от энергии электрона из G.1) получаем уравнение аи0 <7> = = 1, из которого следует, что </> = 1/(аи0). G.2) Эта величина характеризует длину пути, который в среднем проходит электрон среди молекул, прежде чем произойдет изучаемое событие. Экспериментальное определение по- поперечного сечения упругого столкнове- столкновения электрона с молекулами. Пучок электронов движется в направлении положительных значений оси X в газе (рис. 32). Электроны, сталкиваясь с молекулами газа, меняют направле- направление своего движения и выбывают из пучка. Поэтому плотность потока электронов в пучке уменьшается по мере их движения вдоль оси X. Ясно, что ослабление плотности потока элек- электронов d/ при прохождении слоя dx газа равно числу столкновений элект- электронов пучка с молекулами газа в этом слое. Так как вероятность столкнове- столкновения каждого из электронов пучка рав- равна G.1), то ослабление плотности по- потока электронов равно Id0>. Отсюда получаем следующее уравнение для плотности потока электронов в пучке: dl(x) = - I(x)anodx. G.3) Знак минус учитывает, что плотность потока электронов убывает с ростом х, т.е. по мере продвижения пучка в газе. Решение G.3) имеет вид 1(х) = /@)ехр( — ап0х) = = /@)ехр(-*/</». G.4) Плотность потока электронов мо- может быть измерена, например, с по- помощью цилиндра Фарадея, концент- концентрация молекул газа известна по дав- давлению и температуре. По этим дан- данным можно вычислить поперечное се- сечение: —U™ „.5, пох 1{х) Эффективное сечение упругого рас- рассеяния зависит от энергии. Очевидно, что чем больше энергия электрона, тем меньше он будет отклоняться при столкновении от направления своего движения при прочих равных усло- условиях. Это означает, что поперечное сечение упругого рассеяния электрона атомами уменьшается с увеличением энергии электрона. Это уменьшение подтверждается более точными коли- количественными расчетами. Эффект Рамзауэра - Таунсенда. Рамзауэр исследовал A921) упругое рассеяние электронов на атомах арго- аргона при энергиях электрона от меньше чем одного до нескольких десятков
§ 7. Эффект Рамзауэра-Таунсенда 55 электрон-вольт. Одновременно ана- аналогичные исследования проводились Таунсендом. Они измерили зависи- зависимость поперечных сечений упругого рассеяния электронов на молекулах газа в зависимости от энергии элект- электрона. В результате этих исследований было обнаружено замечательное явле- явление, получившее название эффекта Рамзауэра-Таунсенда. Оно состоит в следующем. При уменьшении энергии электрона от нескольких десятков электрон-вольт поперечное сечение его упругого рассеяния на аргоне рас- растет, как это и предсказывается тео- теорией. Затем при энергии электрона около 16 эВ поперечное сечение до- достигает максимума и при дальнейшем уменьшении энергии электрона умень- уменьшается. При энергии электрона при- примерно 1 эВ поперечное сечение близко к нулю и затем начинает увеличи- увеличиваться (рис. 33). Увеличение эффективного сечения с ростом энергии электрона и тем более почти полное исчезновение рас- рассеяния вблизи энергии 1 эВ нельзя понять с точки зрения классических представлений, так как при этой энергии атомы аргона становятся как бы несущест- несуществующими для электронов и электро- электроны пролетают сквозь них без столк- столкновения. Дальнейшие опыты показа- показали, что такое удивительное поведение поперечного сечения упругого рассея- рассеяния электронов свойственно не ** Эффект Рамзауэра и Таунсенда обуслов- обусловлен дифракцией электронных волн на молекулах газа. По физическому со- содержанию этот эффект аналогичен обра- образованию «пятна Пуассона» при дифрак- дифракции света на непроницаемом круглом экране. * Чем определяется энергия электрона, при ко- которой наблюдается эффект Рамзауэра и Таун- Таунсенда? только атомам аргона, но и атомам всех инертных газов. Интерпретация эффекта Рамзауэ- Рамзауэра-Таунсенда. В течение нескольких лет после открытия эффект Рамзауэ- Рамзауэра-Таунсенда не находил удовлетво- удовлетворительной интерпретации. Лишь не- несколько лет спустя стало ясно, что он является доказательством наличия у электронов волновых свойств. Интересно отметить, что точно такой же эффект наблюдали пример- примерно за 100 лет до опытов Рамзауэра- Таунсенда с рассеянием корпускул, которые, по теории Ньютона, обра- образовывали световые пучки. Но в то время это привело к почти мгновен- мгновенному отказу от корпускулярной тео- теории света Ньютона и торжеству вол- волновой теории Френеля, которая была прямой наследницей теории Гюйген- Гюйгенса, вытесненной примерно за полтора века до этого из науки корпускуляр- корпускулярной теорией Ньютона. Корпускуляр- Корпускулярная теория Ньютона была господст- господствующей примерно в течение полутора веков, но после экспериментального обнаружения эффекта, аналогичного эффекту Рамзауэра-Таунсенда, была в течение нескольких месяцев всеми отвергнута. Напомним эту историю. Юнг наблюдал A801) интерферен- интерференцию (см. рис. 24), однако при ее истолковании ограничился лишь ка- качественными соображениями. Поэто- Поэтому его идеи не получили общего при- признания. Созданием теории дифракции и интерференции занялся Френель. Он развил теорию в предположении, что свет является волновым движением, а не потоком корпускул, как это прини- принималось в теории Ньютона. Когда Френель изложил A818) свою работу по дифракции света на заседании Французской Академии наук (он участвовал в конкурсе на решение проблемы дифракции и интерферен-
56 2. Волновые свойства корпускул ции света), то Пуассон отметил, что из его теории следует весьма парадок- парадоксальный результат: если на пути пуч- пучка света поставить непрозрачный круглый экран, то за экраном в цент- центре тени должно наблюдаться светлое пятно («пятно Пуассона»). Такая воз- возможность в рамках господствовав- господствовавших в то время представлений о при- природе света казалась невероятной. Судьей мог быть только эксперимент. Френель (теоретик) поставил такой эксперимент совместно с Араго, и они обнаружили за непрозрачным экра- экраном светлое пятно. Судьба корпуску- корпускулярной теории Ньютона была решена этим экспериментом - корпускуляр- корпускулярная теория была отвергнута. Эффект Рамзауэра - Таунсенда объясняется совершенно аналогично возникновению пятна Пуассона, если предположить, что электрон ведет себя как волна. Когда длина волны электрона имеет порядок диаметра атома, должна наблюдаться хорошо выраженная дифракция и за атомом возникает своеобразное «пятно Пуас- Пуассона», т. е. электрон как бы проходит сквозь атом без отклонения и попе- поперечное сечение его рассеяния на атоме близко к нулю. Однако для осознания волновых свойств электрона потребовалось не- несколько лет. 8. Волны де Бройля Обсуждаются уравнения де Бройля и свойства волн де Бройля. Показывается несостоятель- несостоятельность представления о частице как о волновом пакете. Уравнения де Бройля. Наличие у света корпускулярных свойств в течение длительного времени оставалось не- незамеченным. После обнаружения у электромагнитных волн корпускуляр- корпускулярных свойств возникает вопрос, не обладают ли, в свою очередь, мате- материальные частицы волновыми свойст- свойствами. Утвердительный ответ на этот вопрос дал де Бройль, выдвинув ги- гипотезу, что все материальные части- частицы обладают не только корпускуляр- корпускулярными, но и волновыми свойствами. Необходимо было вывести соотноше- соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц. Ясно, что эти соотношения должны быть реля- релятивистски инвариантными. Состояние движения мате- материальной частицы характеризуется четырехмерным вектором энергии- импульса (px,py,pz,iE/c). Плоская волна характеризуется совокупностью величин (kx,ky,kz, ico/c), которые так- также образуют четырехмерный вектор. Релятивистски инвариантное соотно- соотношение между этими двумя векторами должно иметь следующий вид: Р, Р, р, Е ..^ (81) со где h'- некоторая постоянная, или E = h'a, р = /г'к, (8.2) где р и к - трехмерный вектор импуль- импульса частицы и волновой вектор. Де Бройль отождествил постоянную h' в (8.2) с универсальной постоянной Я, входящей в формулы A.2) и A.7), т.е. принял, что W = Н, (8.3) где Л = 1,05-10~34 Дж ¦ с - постоянная Планка. Основанные на этом предпо- предположении эксперименты в последую- последующем полностью это обосновали. Со- Соотношения Е = Псо, (8.4) = /гк, (8.5) выражающие связь между кор- корпускулярными и волновыми свойст- свойствами частиц, называются уравнения- уравнениями де Бройля.
8 Волны де Бройля 57 Плоские волны и фазовая ско- скорость. Из оптики известно, что плос- плоская волна с частотой со и волновым вектором к может быть представлена в комплексной форме в виде функции Ч'(г,0 = ^е-'(ш'-кг), (8.6) где А -амплитуда волны. На основа- основании уравнений (8.4) и (8.5) можно сказать, что волновые свойства час- частицы, имеющей импульс р и энергию Е, описываются плоской волной г, 0 = Ле - -(?( - р г) н (8-7) Фазовой скоростью волны назы- называется скорость, с которой движутся точки волны с постоянной фазой. Если ось X направлена по вектору р, то условие постоянства фазы Et — — рх — const. Фазовая скорость волн де Бройля вычисляется в результате дифференцирования этого уравнения по времени: Е - pdx/dt = О, (8.8) откуда — = v^ ш тс2 mv (8.9) где и-скорость частицы. Бройль Луи Виктор де A892-1987) Французский физик, один из создателей квантовой теории Открыл волновую природу электрона Автор работ по теории атомного ядра, распространения электромагнитных волн в волноводах, истории и методологии физики 34 Распределение амплитуд в группе волн Так как v < с, то фазовая скороеib волн де Бройля всегда больше скорости света. Однако это не составляет како- какого-либо противоречия с теорией отно- относительности, которая запрещает су- существование скоростей, больших ско- скорости света. Утверждение теории от- относительности справедливо лишь для процессов, связанных с переносом массы и энергии. Фазовая же ско- скорость волны не характеризует ско- скорость переноса энергии и массы час- частицы. Их перенос характеризуется скоростью частицы, которая опреде- определяется не фазовой, а групповой ско- скоростью волн де Бройля. Волновой пакет и групповая ско- скорость. Из плоских волн можно по- построить группу волн, т. е. совокуп- совокупность волн, волновые числа которых /с заключены в достаточно узком ин- интервале. Математически эту группу волн можно представить следующим образом: 2л J (8.10) где А {к) отлична узком интервале от нуля лишь в волновых чисел (к0 — е, к0 + е) (рис. 34). Множитель 1/Bл) введен для того, чтобы согласо- согласовать выражение (8.10) с обозначения- обозначениями, принятыми в теории интегралов Фурье.
58 2. Волновые свойства корпускул Волновой пакет, представляемый функцией (8.10), зависит от (х, t). Он отличается от нуля в некоторой области значений х, а его форма и размеры меняются с течением време- времени. Из общих свойств преобразова- преобразований Фурье можно сделать заключение о длине волнового пакета в простран- пространстве: чем в более узком интервале волно- волновых чисел амплитуда А (к) в (8.10) отлична от нуля, тем больше про- пространственные размеры волнового пакета. Если амплитуда А(к) отлична от нуля в достаточно малом интервале значений волнового числа к вблизи к0, то функцию co(fc) можно разло- разложить в ряд Тейлора в точке к„ и ограничиться первым членом по к — — к0: со(/с) = ю0 + (к — к0) dcoo/dfco, (8.11) где ю0 = ю(/с0), dtflo/dfco = dco/dfe | . Тогда [см. (8.10)] Ч* = ехр {- / [со0 - fc0(doo0/d/c0)]f} x (8.12) Формула (8.10) при t = 0 прини- принимает вид ** Волна де Бройля описывает волновые свойства микрочастиц, но не свидетель- свидетельствует о возможности представления микрочастиц волнами. Микрочастицы нельзя также представить волновым паке- пакетом Волны де Бройля обладают диспер- дисперсией в свободном пространстве (в ваку- вакууме). Групповая скорость волны де Брой- Бройля равна скорости микрочастицы, а ее фазовая скорость всегда больше скоро- скорости света. * Каково универсальное соотношение между групповой и фазовой скоростями волн де Бройля' A(k)elkxdk, (8.13) где *Р (х, 0) описывает волновой пакет в пространстве в начальный момент времени. Из (8.13) следует, что 1 2тг (8.14) Тогда [см. (8.12)] ак0 xexp[-/K-/co^)f]. (8.15) Амплитуда этого волнового пакета №.01 = (8.16) Следовательно, волновой пакет в первом приближе- приближении движется бе 5 изменения формы. Скорость ею движения опреде- определяется дифференцированием по / условия постоянства аргумента функ- функции в правой части (8.16): А ... .. (8.17) dt\ dk0 ) Она называется групповой скоростью волнового пакета и равна vT = d(o/dk\ (8.18) Для волн де Бройля vT = dco/d/c = dE/dp. Учитывая, что Е = с получаем (8.19) + т%сг,
§ 9. Экспериментальные подтверждения волновых свойств корпускул 69 vT = cpljp2 + т20с2 = с2р/Е = = c2mv/(mc2) = v. (8.20) Групповая скорость волны де Бройля равна скорости частицы, свойства которой описываются по- посредством этих волн. Сравнение (8.20) с (8.9) приводит к весьма важному универсальному со- соотношению между фазовой и группо- групповой скоростями волн де Бройля: v*vT = c2. (8.21) Формула (8.20) наводит на мысль представить частицу в виде волново- волнового пакета. Такая идея каже1ся очень привлекательной, потому что в одном образе объединяет волну и час- частицу, но она несостоятельна. Несостоятельность гипотезы вол- волнового пакета. Главный аргумент против этой гипотезы заключается в следующем. Частица является ста- стабильным образованием. В процессе своего движения частица как таковая не изменяется. Такими же свойствами должен обладать и волновой пакет, претендующий представлять частицу. Поэтому надо потребовать, чтобы с течением времени волновой пакет сохранял свою пространственную форму или по меньшей мере сохранял свою ширину. Однако именно этим необходимым свойством волновой пакет не обладает: только в первом приближении, как это видно из (8.15), он сохраняет свою форму и ширину. Учет следующих членов в разложе- разложении (8.11) показывает, что волновой пакет с течением времени расплы- расплывается и не сохраняет ни свою форму, ни ширину. Причиной расплывания волнового пакета является дисперсия фазовых скоростей составляющих его волн, вследствие чего более быстрые волны уходят вперед, а более медлен- медленные отстают от волн со средней ско- скоростью. Поэтому представление частицы в виде вол- волнового пакета несостоятельно. Однако такое заключение спра- справедливо лишь для волн, описываемых линейными уравнениями. Для нели- нелинейных волн ситуация другая-воз- другая-возможны уединенные волны («солито- ны»), которые пространственно со- сосредоточены в малой области про- пространства и распространяются без из- изменения своей формы и размеров. Хотя солитоны были открыты более 100 лет назад, особенно большой ин- интерес возник к ним в настоящее время в связи с решением некоторых задач квантовой механики. Затем солитон- ные решения были найдены во мно- многих явлениях, описываемых нелиней- нелинейными дифференциальными уравне- уравнениями. Солитоны также рассматрива- рассматривались в качестве кандидатов на роль частиц. Однако достаточно удовлет- удовлетворительных результатов в этом на- направлении не получено. 9. Экспериментальные подтверждения волновых свойств корпускул Описываются эксперименты по проверке правиль- правильности представленнй о волновых свойствах кор- корпускул. Длина волн де Бройля. Волновые свойства наиболее отчетливо прояв- проявляются в явлениях дифракции, усло- условия наблюдения которой определя- определяются длиной волны. Длина волн де Бройля частиц очень мала. Первона- Первоначально покоящаяся частица с зарядом е и массой т в результате прохожде- прохождения разности потенциалов U приоб- приобретает скорость v, которую можно определить из закона сохранения энергии, имеющего в случае нереля- нерелятивистских скоростей v « с вид l/2mv2 = eU, (9.1)
60 2 Волновые свойства корпускул 35 Полярная диаграмма интенсивности отражен- отраженного пучка электронов от монокристалла ни- никеля Схема опыта Дэвидсона и Джермера 37 Зависимость интенсивности отраженного пучка электронов от кристалла никеля при изменении их энергии (угол падения пучка постоянен) откуда v = y/2eU/m. Длина волны де Бройля X = 2яйД/2ет(У (9.2) Для электрона е = 1,6-109 Кл, т = 9,Ы0~31 кг и X = ^150/17-1(Г10 м = A,2Д/и)нм, (9 3) где [/-напряжение, В. Из (9.3) сле- следует, что при энергиях электронов порядка нескольких электрон-вольт длина волн де Бройля имеет порядок 1 нм, т.е. порядок атомных расстоя- расстояний в кристаллах. Поэтому волновые свойства электронов при таких энер- энергиях можно обнаружить в опытах по дифракции на кристаллах (см. § 6). Опыты Дэвидсона и Джермера. Дэвидсон и Джермер наблюдали от- отражение электронного пучка от по- поверхности кристалла. В первом опыте на монокристалл никеля направляли электроны с энер- энергией в несколько десятков электрон- вольт. Затем, изменяя угол падения электронов на поверхность кристал- кристалла, фиксировали изменение интенсив- интенсивности отраженного пучка. Зависи- Зависимость интенсивности отраженного пучка от угла скольжения а показана на рис. 35. На полярной диаграмме отчетливо виден максимум интенсив- интенсивности отражения при угле а0. Во втором опыте при фиксирован- фиксированном угле падения электронного пучка на кристалл измерялась интенсив- интенсивность отраженного пучка в зависи- зависимости от энергии (т. е. от изменяю- изменяющейся разности потенциалов). Интен- Интенсивность пучка отраженных электро- электронов измерялась по силе тока от кол- коллектора электронов К (рис. 36). Ре- Результаты эксперимента показаны на рис. 37. Результаты опытов Дэвидсона и Джермера получили объяснение A927) как проявление волновой при- природы электронов и дали количествен- количественное подтверждение справедливости формул де Бройля. В теоретическом плане анализ дифракции электронных волн пол- полностью совпадает с дифракцией рент- рентгеновских лучей (см. § 6). В опытах Дэвидсона и Джермера дифракция электронных волн наблюдалась по
методу Брэгга. Атомная структура кристаллов никеля известна из опы- опытов по дифракции рентгеновских лу- лучей. Длина электронных волн дается формулой (9.3), а угол, при котором наблюдается максимум интенсивнос- интенсивности отражения, может быть найден по формуле Вульфа-Брэгга. Сравнение полученного результата с экспери- экспериментально найденным значением а0 позволяет произвести сравнение фор- формулы де Бройля с экспериментом. Формула де Бройля была достаточно хорошо подтверждена. Во втором опыте при неизменном угле скольжения а максимум отра- отражения наблюдается при условии т. е. максимумы отражения отстоят друг от друга на равном расстоянии у/и. В эксперименте характер зави- зависимости (9.5) подтвердился (рис. 37), однако наблюдалось некоторое рас- расхождение с предсказаниями теории. Стрелками на рис. 37 показаны поло- положения максимумов по теории. Видно, что между положениями эксперимен- экспериментальных и теоретических максимумов наблюдается систематическое рас- расхождение, которое уменьшается с уве- увеличением энергии электронов. Систе- Систематический характер расхождений между теорией и экспериментом сви- свидетельствует о том, что в теории от- отсутствуют некоторые существенные факторы. В данном случае при вы- выводе формулы Вульфа - Брэгга не принято во внимание преломление электронных волн. Учет преломления электронных волн. Для вывода электрона из объема металла требуется затратить энергию, равную работе выхода A.4). Следовательно, при входе электрона в металл его энергия и скорость уве- увеличиваются и соответственно изменя- изменяется фазовая скорость волн де Брой- Бройля. Это означает, что на поверхности металла происходит преломление электронных волн. Показатель преломления п волны относительно вакуума равен отноше- отношению фазовой скорости г;фв волны в вакууме к фазовой скорости v^Q в среде: Для волн де Бройля справедливо со- соотношение (8.9), и поэтому (9.6) при- принимает вид Дальнейший вывод «оптической» разности хода А = АГи, где Дг- гео- геометрическая разность хода, точно та- такой же, как при выводе формулы Вульфа - Брэгга F.3) на основании рис. 27; надо лишь учесть преломле- преломление электронных волн. Понимая под А «оптическую» разность хода, вместо F.1) получаем (рис. 27 с уче- учетом преломления)
62 2 Волновые свойства корпускул Электронограммы листков серебра (а) и золота (ff) в опытах Томсона и Тартаковского 39 Интенсивность волны при дифракции на пря- прямолинейном крае полубесконечной плоскости \BC\)-\AD\. (9.10) Учитывая, что \АВ\ + \ВС\ = = 2й?/со8 0пр, \AD\ = 2dtg 9np sin 0ПД, находим Д = 2dn/cos 9пр - 2Л8впрапвпд, (9.11) где 0пр и 0пд-углы падения и прелом- преломления. По закону Снеллиуса, sin 0ПД = = nsin0np. Тогда [см. (9.11)] A = 2ndcosQnp. (9.12) Отсюда находим условие Вульфа- Брэгга с учетом преломления: 2nufcos9np = m^ (9.13) где Х-длина волны электрона вне металла, Эпр-угол преломления, т- целое число. Эту формулу можно выразить через угол падения 8ПД, учитывая, / - sin2 0пр = что cos 0„г = пр Idjn1 - sin2 8„„ = ml. (9.14) Поскольку sin0njI = cos а, где а-угол скольжения, условие (9.14) может быть записано также в виде Idjn2 -cos2a = mX.. (9.15) Опыты Томсона и Тартаковского. Для наблюдения дифракции электро- электронов Томсон и Тартаковский исполь- использовали метод Дебая-Шерера. При пропускании пучка электронов через металлическую поликристаллическую пластину рассеянные электроны должны дать на фотографической пластинке систему интерференцион- интерференционных колец (см. § 6). В опытах Томсона и Тартаковс- Тартаковского такая система интерференцион- интерференционных колец действительно наблюда- наблюдалась. Однако для объяснения резуль- результата этих опытов возможно предпо- предположение, что система интерферен- интерференционных колец порождается не рас- рассеянными электронами, а вторичным рентгеновским излучением, возни- возникающим в результате падения пучка электронов на пластину. Для того чтобы убедиться в ошибочности та- такого предположения, на пути рас- рассеянных электронов между металли- металлической пластинкой и фотопластинкой создается дополнительное магнитное поле. Оно не влияет на рентгенов- рентгеновское излучение и, следовательно, не должно искажать интерференционной картины, если она порождается рент- рентгеновским излучением. Если же ин- интерференционная картина порожда- порождается рассеянными электронами, то
9 Экспериментальные подтверждения волновых свойств корпускул 63 магнитное поле должно ее исказить. Такого рода проверка показала, что дифракционная картина обусловли- обусловливается именно электронами, а не вто- вторичным рентгеновским излучением. Г. П. Томсон осуществил опыты с быстрыми электронами A7,5- 56,5 кэВ), а П. С. Тартаковский - со сравнительно медленными (до 1,7 кэВ). Вид электронограмм листков серебра и золота приведен на рис. 38. Количественный анализ результа- результатов опытов полностью подтвердил правильность уравнений де Бройля. Опыты по дифракции электронов без использования кристаллов. С точ- точки зрения классических представле- представлений о дифракции электромагнитных волн описанные выше опыты демон- демонстрируют дифракцию электронных волн посредством деления их ампли- амплитуды. Дифракция электронных волн наблюдается также посредством де- деления их волнового фронта. Одним из классических опытов такого рода является дифракция волн на прямолинейном крае полубеско- полубесконечной плоскости, которая количест- количественно анализируется с помощью спи- спирали Корню. В результате дифракции возникают полосы, параллельные прямолинейному краю экрана, види- видимость которых постепенно уменьша- уменьшается при удалении от края экрана. Под экраном интенсивность дифраги- дифрагированной волны плавно уменьшается (рис. 39). В одном из опытов (Берш, 1956) использовались электроны с энергией ** Явление дифракции микрочастиц на кри- кристаллах и в других условиях служит экспериментальным доказательством на- наличия волновых свойств микрочастиц. Наличие явлений дифракции при очень малых концентрациях потоков частиц слу- служит экспериментальным доказательством волновых свойств отдельных микроча- микрочастиц. 34 кэВ (к = 5-10 12 м), которые ди- дифрагировали на краю пленки А12О3. Полученные фотографии дифрак- дифракционной картины аналогичны карти- картинам, давно известным из оптических опытов (рис. 40), и количественно со- соответствуют формулам де Бройля. В других опытах (Мелленштадт и Дю- Дюкер, 1956) с электронными волнами наблюдалась дифракция, аналогич- аналогичная дифракции света с помощью би- бипризмы Френеля. Роль бипризмы Френеля для электронных волн вы- выполняло неоднородное электростати- электростатическое поле (рис. 41), которое возни- возникает при наличии разности потенциа- потенциалов между нитью Н и электродами Э. Потенциал нити должен быть выше потенциала электродов, чтобы при пролете мимо нити на электроны дей- действовали силы притяжения. Получен- Полученная при этом дифракционная картина полностью соответствует количест- количественным предсказаниям с помощью формул Френеля. Были проведены также и другие опыты по дифракции электронных волн. Все они надежно подтвердили наличие у электрона волновых свойств и правильность формул де Бройля при количествен- количественном описании этих свойств. Опыты с нейтронами и молекуляр- молекулярными пучками. Длина волны де Брой- Бройля обратно пропорциональна массе частицы. Следовательно, при той же скорости длина волны нейтрона или молекулы в тысячи раз меньше, чем длина волны электрона. Для успеш- успешного наблюдения дифракции волн на кристаллах необходимо, чтобы длина волны была порядка расстояний меж- между узлами кристаллической решетки. Поэтому для наблюдения дифракции тяжелых частиц необходимо пользо- пользоваться частицами с достаточно малы- малыми скоростями. В случае нейтронов можно поль-
64 2 Волновые свойства корпускул 40 Картина распределения интенсивности волны при дифракции электронной волны на прямо- прямолинейном крае полубесконечной плоскости С «2 41 Схема осуществления опыта по дифракции электронных волн, аналогично опыту по диф- дифракции света с помощью бипризмы Френеля: So-источник электронов, S,, S2-мнимые источники зоваться «тепловыми нейтронами», т.е. нейтронами, энергия которых имеет порядок энергии молекул газа при комнатной температуре (« 300 К). Нетрудно подсчитать, что при таких энергиях длина волны нейтрона имеет порядок 10Ом и, следовательно, пригодна для осуществления опытов по дифракции на кристаллах. В ка- качестве источников нейтронов исполь- используются ядерные реакции. Хотя темпе- температура нейтронов в обычных ядерных реакторах несколько выше комнат- комнатной, а длина их волны соответствен- соответственно меньше 10 ~10 м, явление дифрак- дифракции нейтронов на кристаллах все же удается наблюдать. Интенсивность пучка отраженных от кристалла ней- нейтронов измеряется с помощью счет- счетчиков нейтронов. Одним из счетчиков медленных нейтронов является счет- счетчик, наполненный соединениями бора (чаще всего треххлористым бором). Действие счетчика основано на ядер- ядерной реакции 10В(л,аOЫ. В результате реакции нейтрона с 10В образуется а-частица, т. е. заряженная частица. Число образующихся а-частиц опре- определяется по силе ионизационного тока, проходящего через камеру счет- счетчика, находящегося под определен- определенным электрическим напряжением (разностью потенциалов). Нейтроны могут регистрироваться также с по- помощью фотопластинок. Таким обра- образом, с нейтронными пучками могут проводиться такие же опыты по ди- дифракции, как и с электронами. Анало- Аналогичными способами проводятся опыты с молекулярными (и атом- атомными) пучками. Опыты с нейтронными и молеку- молекулярными (атомными) пучками пол- полностью подтвердили уравнение де Бройля в применении к тяжелым кор- корпускулам. Благодаря этому было экспериментально доказано, что вол- волновые свойства являются универсаль- универсальным свойством всех частиц. Они не обусловлены какими-то особенностя- особенностями внутреннего строения той или иной корпускулы, а отражают общий закон движения частиц. Опыты при очень слабых потоках частиц. Описанные выше опыты про- производились с пучками частиц. Поэто- Поэтому возникает вопрос: являются ли наблюдаемые волновые явления вы- выражением свойств пучка частиц или свойств отдельных частиц? Иначе говоря, можно ли объяснить наблю- наблюдаемые в этих опытах волновые эф- эффекты результатом взаимодействия частиц друг с другом? Для выяснения этого вопроса В. Фабрикантом, Л. Биберманом и
§ 10. Уравнение для волн де Бройля 65 Н. Сушкиным были поставлены A949) специальные опыты по дифрак- дифракции электронов в условиях, исклю- исключающих взаимодействие дифраги- дифрагирующих электронов между собой. Электроны направлялись на кристалл с очень малой интенсивностью. Бла- Благодаря этому в кристалле не могло дифрагировать одновременно более одного электрона и исключалась воз- возможность взаимодействия между ними в качестве причины дифракции. Дифракционная картина при «инди- «индивидуальной» дифракции электронов оказалась абсолютно идентичной картине дифракции от обычного электронного пучка. Так было дока- доказано, что волновыми свойствами об- обладает индивидуальная частица. 10. Уравнение для волн де Бройля Записывается уравнение Гельмгольца для вол- волны де Бройля, характеризующей движение час- частицы в потенциальном поле. Уравнение Гельмгольца для волн де Бройля. Уравнение Гельмгольца E.3) описывает волны разнообразной при- природы в однородных средах и вакууме с постоянной частотой. Постоянство длины волны не предполагается. По- Поэтому представляется разумным при- применить это уравнение для описания волн де Бройля, характеризующих вол- волновые свойства корпускул. Соотношение де Бройля ? = йсо A0.1) показывает, что условие со = const Уравнение Гельмгольца успешно описы- описывает волны разнообразной природы. Оно было успешно применено для анализа явлений дифракции электромагнитных волн. Это делает вероятным успешность применения уравнения Гельмгольца для описания волн де Бройля. При каких условиях можно применять уравне- уравнение Гельмгольца для описания волн? влечет за собой удовлетворение ра- равенства Е = const. Следовательно, уравнение Гельмгольца можно при- применить для волн де Бройля при опи- описании движения корпускул в потен- потенциальных полях, когда их полная энергия постоянна: Е = p2lBm) + Еп = const, A0.2) где р2/Bт) = Ек - кинетическая и Еп- потенциальная энергия корпускулы. Из соотношения де Бройля р = Йк A0.3) с учетом A0.2) следует равенство к2 =Bт/Й2) (?--?„). A0.4) Подставляя выражение A0.4) для к2 в E.3), получаем уравнение V2 «Р(г) + Bт/Й2) (Е-Ел)*?(г) = 0, A0.5) называемое стационарным уравне- уравнением Шредингера. Уравнение Шредингера. Изложен- Изложенные в § 5 и в начале этого параграфа соображения делают весьма вероят- вероятным предположение, что уравнение A0.5) правильно описывает движение корпускул с учетом их волновых свойств. Однако правильность этого предположения может быть подтвер- подтверждена лишь согласием выводов из этого уравнения с результатами экс- эксперимента. Уравнение A0.5) является уравне- уравнением в частных производных, кото- которое имеет решение для непрерывной, однозначной и конечной во всех точ- точках функции 4* (г) не при всех зна- значениях Е, а лишь при определенных значениях, называемых собствен- собственными. Шредингер после формулировки этого уравнения сразу же применил его к атому водорода и получил для собственных значений энергии спектр, точно совпадающий со спектром ато- 5-219
66 2. Волновые свойства корпускул ма водорода по старой теории Бора, претация физического содержания который с большой точностью совпа- этого уравнения явилась предметом дал со всеми известными эксперимен- многочисленных работ и дискуссий, тальными данными. Так было пока- продолжающихся до настоящего вре- врезано, что уравнение A0.5) действи- мени. В частности, важным является тельно правильно описывает движе- вопрос о физическом смысле функции ние электрона в потенциальном элек- Ч* (г), которая называется волновой трическом поле. функцией. Если функцию Ф(г) в E.3) Оно было принято в качестве ос- интерпретировать так, как в § 5, то новного уравнения стационарных сое- |*Р(г)|2 при соответствующей нор- тояний квантовой механики практи- мировке следует считать плот- чески сразу же после его опублико- ностью вероятности нахождения час- вания Шредингером. Однако интер- тицы в точке г. Задачи 2.1. Какова длина волны де Бройля протона и электрона, энергия которых равна средне] i кинетической энергии теплового движения молекул при комнатной температуре? 2.2. Постоянная кристаллической решетки равна d = 6,5 нм. Пучок электронов падает н. естественную грань монокристаллов. Угол скольжения электронного пучка а = 30°. На блюдение отраженных электронов производится под углом, равным углу падения. Пре небрегая преломлением электронных волн, определить энергии электронов, при которы > наблюдаются два первых максимума отражения. 2.3. В опытах по дифракции электронов на поликристаллической фольге найдено, что диаметр дифракционного кольца, соответствующего отражению первого порядка от плоскостей > межплоскостным расстоянием d, равен г = 310~2м. Расстояние от фольги до экран,. /=15- 10~2 м. Найти d. Энергия электронов 200 эВ. 2.4. Имеется кристалл NiO с простой кубической структурой, аналогичной структур кристалла NaCl, молярная масса вещества которого М = 7,469-10 кг/моль, плотность р = 7,45-103 кг/м3. Найти угол, под которым должен быть ориентирован кристалл относительно направления падающего рентгеновского излучения с длиной волны X = 0,2 нм, чтобы получить брэгговское отражение первого порядка. 2.5. Определить длину волны де Бройля электрона, кинетическая энергия которого 1,6-107 Дж 2.6. Найти энергию и импульс рентгеновского фотона с длиной волны 0,1 нм, а также кинетическую энергию и импульс электрона, длина волны де Бройля для которого имеет тс же значение 0,1 нм. 2.7. Чему равна длина волны де Бройля электрона, релятивистская масса которого 5,25• 10~30 кг' 2.8. Чему равна длина волны де Бройля электрона, движущегося со скоростью 0,9 скорости света? 2.9. Чему равны волновое число к и длина волны де Бройля электрона с кинетической энергией Е. = 240 эВ? Ответы 2.1. 0,15 нм; 6,5 нм. 2.2. 1,68 эВ; 6,7 эВ. 2.3. 0,31 нм. 2.4. 29,6°. 2.5. 0,125 нм. 2.6. 12,4 кэВ; 6,6- 104 кг м/с; 154 эВ; 6,6-104 кг м/с. 2.7. 0,42 нм. 2.8. 0,106 нм. 2.9. 7,94 1010 м; 0,0792 нм.
11 Излучение черного тела 3 12 Опыты Франка и Герца ДИСКРЕТНОСТЬ АТОМНЫХ СОСТОЯНИЙ 13 Атомные спектры 14 Ядерная модель атома Энергия атомной системы не может изменяться не- непрерывно. Атомная система может обладать лишь определенным на- набором значений энергии, образу- образующим дискретный ряд. Энергия атомной системы квантована. Каждое из возможных значений энергии относится к конкретному состоянию атомной системы. Пе- Переход от одного атомного состоя- состояния к другому совершается скач- скачком. Возможные состояния атом- атомной системы составляют дискрет- дискретный набор атомных состояний. 15 Опыты Штерна и Герлаха
68 3. Дискретность атомных состояний 11. Излучение черного тела Описывается развитие проблемы излучения чер- черного тела, при решении которой физика впервые встретилась с квантовыми закономерностями. Излагаются первоначальное решение этой проб- проблемы Планком и элементарная квантовая теория излучения черного тела. Классическая теория излучения черно- черного тела. В последней четверти XIX в. было завершено построение термо- термодинамики и создана теория электро- электромагнитных явлений. Термодинамика удовлетворительно описывала широ- широкий круг явлений, связанных с вещест- веществом, т.е. с корпускулярной формой материи. Теория электромагнетизма удовлетворительно описывала явле- явления, связанные с электромагнитным полем и, в частности, с электромаг- электромагнитными волнами и светом, электро- электромагнитная природа которого была теоретически открыта Максвеллом. В форме электромагнитных волн электромагнитное поле обрело свое самостоятельное существование, не- независимое от зарядов и токов, ко- которыми оно порождается. В науку вошло представление о полевой фор- форме материи в виде излучения. Возник вопрос о законах взаимопревращения материи в полевой и корпускулярной форме, или, другими словами, вопрос о взаимопревращении излучения и вещества. Представлялось естествен- естественным, что этот вопрос можно решить в рамках классической физики, по- поскольку каждая из форм материи хо- хорошо описывалась соответствующей классической теорией. Первое указа- указание на недостаточность классической физики для понимания взамоотноше- ния этих форм материи было полу- получено при изучении излучения черного тела. Из опыта известно, что раскален- раскаленные до высоких температур тела на- начинают светиться, т. е. испускать электромагнитные волны видимого диапазона. При более низких темпе- температурах тела самостоятельно не све- светятся, но излучают преимущественно электромагнитные волны вне види- видимого диапазона. Поэтому прежде все- всего возник вопрос о законах этого излучения. Необходимо было найти зависимость энергетической свети- светимости от температуры. Энергетиче- Энергетическая светимость М определяется как мощность излучения dP с элемента поверхности по всем направлениям, отнесенная к площади элемента по- поверхности da: M = dP/da. A1.1) Стефан показал A874), что энерге- энергетическая светимость равна мощности излучения с единицы поверхности: М = гаТ4, A1.2) где 8^1- коэффициент излучения теплового излучателя, или просто коэффициент излучения (коэффициент черноты); Т- термодинамическая тем- температура; a = 5,67-10~8 Втм~2 х х К ~4-постоянная Стефана-Больц- мана (не зависит от физической при- природы излучающей поверхности). Падающее на поверхность тела из- излучение поглощается лишь частично. Отношение поглощенной энергии к падающей равно коэффициенту пог- поглощения а ^ 1. Для темных тел, силь- сильно поглощающих падающую на них энергию, а близко к единице, а для светлых тел, отражающих большую часть падающего на них излучения, a является малой величиной. Тела, ко- которые поглощают всю падающую на них энергию (а = 1), называются чер- черными. При анализе взаимодействия тела с излучением прежде всего возникает вопрос о характере термодинамиче- термодинамического равновесия между ними. В ус- условиях термодинамического равнове-
§11. Излучение черного тела сия температура тела постоянна, и, следовательно, в единицу времени оно и поглощает, и испускает одина- одинаковую энергию излучения. Излучение, находящееся при этих условиях в равновесии с телом, на- называется тепловым. На основании общих термодина- термодинамических представлений Кирхгоф по- показал A895), что е = а независимо от температуры тела, причем это равен- равенство справедливо для каждой длины волны в отдельности. Это означает, что коэффициент излучения черного тела равен единице (е = 1), т. е. черное тело является наиболее эффективным излучателем тепловой радиации. Со- Соотношение A1.1) при е = 1 для чер- черного тела было теоретически полу- получено Больцманом A884) и поэтому называется законом Стефана- Больц- мана, а а-постоянной Стефана- Больцмана. Закон Стефана-Больцма- на показывает, что мощность излу- излучения поверхности черного тела зави- зависит только от температуры и не зави- зависит от физических свойств поверх- поверхности. Экспериментально тепловое излу- излучение черного тела воспроизводилось как излучение из небольшого отвер- отверстия достаточно большой полости (рис. 42). Излучение, попавшее через отверстие в полость, в результате многократных поглощений на ее внутренних стенках всегда практиче- практически полностью поглотится. Следова- Следовательно, поверхность отверстия ведет себя как черное тело и выходящее из него излучение является равновесным тепловым излучением. Эксперимен- Экспериментальное изучение энергии излучения с этой поверхности полностью под- подтвердило закон Стефана-Больцмана A1.1). Энергия равновесного теплового излучения определенным образом 42 Модель черного тела распределена по длинам волн. Ис- Исследуя теоретически этот вопрос, В. Вин показал A893), что в плот- плотности распределения энергии тепло- теплового излучения черного тела по дли- длинам волн имеется максимум, прихо- приходящийся на длину волны Х,макс, ко- которая определяется соотношением >w^=2,9-10-3m-K, A1.3) называемым законом смещения Вина. Экспериментальные исследования его хорошо подтвердили. Были приложены значительные усилия для теоретического вывода распределения энергии теплового из- излучения по длинам волн. Не удава- удавалось получить распределение, кото- которое имело бы максимум. Были полу- получены лишь формулы, которые удов- удовлетворительно описывали спектр теп- теплового излучения лишь для доста- достаточно малых и достаточно больших длин волн. Концентрация мод колебаний. В рамках классических представлений стенки полости моделировались как совокупность классических осцилля- осцилляторов, которые могут обмениваться энергией с излучением в полости. Из- Излучение в полости в условиях равно- равновесия представляется в виде сово- совокупности стоячих волн или мод коле- колебаний. Полость удобно выбрать в виде куба с ребром L(pnc. 43). Стоя- Стоячая волна образуется лишь в том
70 3. Дискретность атомных состояний 43 К расчету концентрации мод 44 К расчету концентрации мод в сферической системе координат случае, если бегущая волна после отражения от двух противоположных граней куба и прохождения пути 2L возвращается в исходную точку с фа- фазой, отличающейся от первоначаль- первоначальной на 2пп, где «-целое число. Не ограничивая общности, можно при- принять, что двукратное отражение от граней либо не вносит в фазу волны никаких изменений, либо изменяет фазу на 2л. Поэтому условие образо- образования стоячих волн в каждом из изме- измерений куба k-2L=2nn или krL= kyL= ппу, kTL= пп, A1.4) A1.5) Число волн dN, волновые числа которых заключены между (кх, кх + + dkx), (ку, ку + dky), {kz, kz + dkz), рав- равно числу целых чисел, заключенных в интервале (пх, пх + dnx), {пу, пу + dny), (nz, nz + d«z), и поэтому dN = dnx dny dnz = {L/nf dkx dky dkz. A1.6) Расчет удобно вести в сферических координатах, считая, что по оси прямоугольной декартовой системы координат отложены кх, ку, kz (рис. 44). Поскольку волновые числа кх, к , kz положительны, в сферических координатах A1.6) принимает вид dN = (L/nK A/8) 4пк2 dk. A1.7) Учитывая, что к = ю/с, находим кон- концентрацию стоячих волн: dN IF i со 2п2 dco. A1.8) Поскольку электромагнитная волна обладает двумя возможными поляри- поляризациями, полная концентрация стоя- стоячих волн в два раза больше A1.8) и равна :dco. A1.9) L3 со л2с3 Каждая из стоячих волн назы- называется модой колебаний, а число мод A1.9) равно числу степеней свободы колебаний, которыми представлено излучение в полости. Если {?) яв- является средней энергией излучения, приходящейся на одну степень свобо- свободы, то плотность энергии излучения в полости со ПС A1.10) Вопрос о нахождении распределе- распределения энергии равновесного излучения по спектру сведен к определению средней энергии моды колебаний. В A1.10) для удобства записано распре- распределение по частотам. От него легко перейти к распределению по длинам волн с помощью соотношения со = = 2кс/1.
§11. Излучение черного тела 71 Формула Рэлея-Джинса. Для на- нахождения средней энергии (?¦) в A1.10), приходящейся на одну степень свободы, можно воспользоваться классической теоремой о равнорас- равнораспределении энергии по степеням сво- свободы: на каждую степень свободы в классической статистической системе приходится энергия 1/2кТ. У гармони- гармонического осциллятора средняя кинети- кинетическая энергия равна средней потен- потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна кТ. Поскольку в усло- условиях термодинамического равновесия в полную статистическую систему входят излучение в полости и осцил- осцилляторы стенок полости, это означает, что средняя энергия, приходящаяся на одну моду колебаний в полости, (Е) = кТ. A1.11) Подставляя A1.11) в A1.10), находим равенство со A1.12) называемое формулой Рэлея-Джин- Рэлея-Джинса. Она была предложена A900) Д. У. Рэлеем A842-1911) и несколько подробнее обоснована Д. Д. Джинсом A877-1946). Эта формула распреде- распределения теплового излучения по спектру дает достаточно хорошее согласие с экспериментом при малых частотах. При больших со спектральная плот- плотность A1.12) значительно больше наблюдаемой, а при со -> оо полу- получается недопустимое соотношение И^,-> оо. Кроме того, полная объем- объемная плотность излучения W= J wmdco = оо, A1.13) что также недопустимо. Поэтому формула Рэлея-Джинса не дает пра- правильного описания всего спектра из- излучения. Формула Вина. В. Вин A864-1928) предположил A896), что каждая мода колебаний является носителем энер- энергии ?Хсо), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число AN /N возбужденных мод опре- определяется распределением Болъцмана: Отсюда средняя энергия, приходящая на моды с частотой со, <?> = E(m)AN/N = Е(<д)е~тт). A1.15) Из общих термодинамических со- соображений Вин заключил, что энер- энергия моды с частотой со пропорцио- пропорциональна частоте: is(co) = /гсо. Коэффи- Коэффициент пропорциональности здесь дан в современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то вре- время еще не была известна. Формула A1.10) с учетом A1.15) принимает вид ^(Т)^е— A1Л6) пс Она называется формулой Вина и дает хорошее согласие с экспериментом в области достаточно больших частот. Если, например, взять спектр солнеч- солнечного излучения, то с помощью фор- формулы Рэлея-Джинса удается описать лишь частоты, много меньшие той, на которую приходится максимум плотности излучения, а с помощью формулы Вина-только большие час- частоты, далеко за максимумом. Проме- Промежуточную область описать не уда- удалось. Формула Планка. Поскольку все попытки описать весь спектр излуче- излучения черного тела, основываясь на тео- теоретических представлениях классичес- классической физики, не удались, М. Планк предложил A900) интерполяционную формулу, которая при малых часто- частотах переходит в формулу Рэлея- Джинса, а при больших-в формулу
72 3. Дискретность атомных состояний Вина: Ясо3 A1.17) где й = 1,05-10 34 Дж-с-постоянная Планка. При /ко « кТформула A1.17) переходит в A1.12), а при Йсо » кТ-в A1.16). Формула A1.17) дала блестя- блестящее согласие с экспериментом и пол- полностью описала все особенности из- излучения черного тела. В частности, из нее нетрудно получить как формулу Стефана-Больцмана A1.1), так и за- закон смещения Вина A1.3). Противоречие формулы Планка закономерностям классической физи- физики. В рамках классической физики формулу A1.17) получить не удается. В формуле A1.10) {?) является сред- средней энергией излучения, приходя- приходящейся на частоту оз. Естественно предположить, что в состоянии Черными называются тела, которые по- поглощают всю падающую на них электро- электромагнитную энергию. Черное тело является наиболее эффек- эффективным излучателем тепловой радиации. Распределение энергии по спектру излу- излучения черного тела описывается форму- формулой Планка. Закон смещения Вина определяет длину волны, на которую приходится макси- максимальная плотность распределения энер- энергии теплового излучения черного тела по длинам волн. Закон Стефана-Больцмана утверждает, что энергетическая светимость поверхно- поверхности пропорциональна четвертой степени абсолютной термодинамической темпера- температуры. Направление распространения, поля- поляризация и фаза волны вынужденного из- излучения совпадают с соответствующими характеристиками вынуждающего излу- излучения. Положение максимума спектральной плотности излучения черного тела зави- зависит от шкалы, для которой определяется спектральная плотность излучения. Мак- Максимум спектральной плотности излуче- излучения по шкале частот приходится на более длинные волны, чем по шкале длин волн. В чем состоит причина различного положения этого максимума. термодинамического равновесия она равна средней энергии осцилляторов, излучающих и поглощающих излуче- излучение этой частоты. Если бы этого ра- равенства не было, то энергия должна была бы перетекать от поля излучения к осцилляторам или наоборот. Тогда под ¦(?) можно понимать среднюю энергию осцилляторов, испускающих излучение частотой со. Распределение числа осциллято- осцилляторов по энергиям должно подчиняться распределению Больцмана. Следова- Следовательно, число осцилляторов, имею- имеющих энергию Е, N{E) = Ae~E/lkT) = Ае-"Е [а = 1/(/сТ)]. A1.18) В классической физике осциллято- осцилляторы могут иметь всевозможные энер- энергии, т.е. Е в A1.18)-непрерывная ве- величина. Средняя энергия осциллято- осцилляторов в этом случае A je-E'<kT)d? о 3 ш — f e-«E dE = kT. да { A1.19) Подставляя A1.19) в A1.10), полу- получаем формулу Рэлея-Джинса A1.12). Это не удивительно, потому что при выводе A1.19) мы провели в явном виде вычисления, которые при выводе формулы A1.12) содержались в тео- теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы статистической системы. Вычисления, приведшие к A1.19), сделаны для того, чтобы най- найти путь к теоретическому выводу формулы A1.17), которая просто уга- угадана. На этом пути Планком был сделан первый шаг к созданию кван- квантовой теории.
§ 11 Излучение черного тела 73 Дискретность квантовых состояний и введение представления о квантова- квантовании энергии. Для теоретического вы- вывода формулы A1.17) Планк предпо- предположил, что осциллятор может обла- обладать не любой энергией, а лишь дис- дискретным набором энергий, пропор- пропорциональных минимальной энергии Ех: Еп = пЕ1(п = 0,\,2,--.). (П.20) Средняя энергия осциллятора ^п% ea?i - 1 кТ Подставим A1.21) в A1.10): со2 Е, еЕ1/(*Т) _ j' A1.21) A1.22) где Ег остается пока неизвестной ве- величиной. Для того чтобы эта фор- формула совпала с интерполяционной формулой, правильно описывающей спектр излучения черного тела, необ- необходимо принять Е1=П(й. A1.23) Планк Макс A858-1947) Немецкий физик, основоположник квантовой теории Ввел A900) квант действия и, исходя из идеи квантов, вывел закон излучения, названный его именем Таким образом, чтобы получить формулу A1.17), правильно описыва- описывающую спектр излучения черного тела, пришлось допустить, что осциллятор не может обладать любой энергией, а может иметь лишь дискретный набор энергий. Осцилляторами моделиру- моделируются атомы вещества стенок обо- оболочки полости. Следовательно, внутренняя энергия атомов не может изменяться непрерывно, а изменяется скачками, т. е. атом может обладать лишь энергией из некоторого дис- дискретного ряда значений. Это обсто- обстоятельство выражается также словами, что энергия атома квантуется. Если характеризовать состояние атома его энергией, то можно ска- сказать, что состояния атома дискретны. Представление о квантовании энергии и о дискретности атомных состояний совершенно чуждо клас- классической физике, поскольку там сос- состояние движения механической систе- системы и ее энергия могут изменяться только непрерывно. Квантовые переходы. Каждое из дискретных состояний атома характе- характеризуется своей энергией. В этом сос- состоянии атом пребывает некоторое время, и состояние называется ста- стационарным. При переходе в другое состояние с меньшей энергией раз- разность энергий АЕ испускается в виде кванта света, частота со которого свя- связана с энергией АЕ соотношением со = AE/h. Может быть также совер- совершен переход из стационарного сос- состояния с меньшей энергией в стацио- стационарное состояние с большей энергией, но для этого необходимо, чтобы энер- энергия АЕ была сообщена атому извне. Это случается при поглощении ато- атомом кванта света частотой со = AE/h. Спонтанные и вынужденные пере- переходы. Пользуясь представлением о переходе атомов из одного стацио-
74 3. Дискретность атомных состояний нарного состояния в другое при по- поглощении и излучении квантов света, можно простым методом, предло- предложенным Эйнштейном, получить фор- формулу Планка для излучения черного тела. Пусть имеется замкнутая полость, стенки которой нагреты до некоторой температуры Т и излучают и погло- поглощают фотоны. При излучении фотона атом переходит с более высокого энергетического уровня на более низ- низкий энергетический уровень. При по- поглощении фотона наблюдается пере- перескок атома с более низкого энерге- энергетического уровня на более высокий. Таким образом, с более низкого энергетического уров- уровня на более высокий энергетический уровень атом может перейти только в результате поглощения фотона, т. е. только вынужденно, в результате воз- воздействия на него поля излучения. Самопроизвольно, или спонтанно, т. е. без воздействия внешнего поля излучения, атом перейти на более вы- высокий энергетический уровень не мо- может, так как это противоречило бы закону сохранения энергии. Возможны переходы атома с более высокого энергетического уровня на более низкий двух видов: во-первых, вынужденные, обусловленные внеш- внешними по отношению к атому причи- причинами; во-вторых, самопроизвольные, или спонтанные, обусловленные внутренними причинами. Коэффициенты Эйнштейна. В рав- равновесном состоянии справедлив прин- принцип детального равновесия, согласно которому прямые и обратные процес- процессы по каждому пути должны компен- компенсировать друг друга. Применим прин- принцип детального равновесия к двум стационарным состояниям атома, характеризующимся квантовыми чис- числами пит. Энергии этих квантовых состояний обозначим Еп и Ет, причем для определенности Еп > Ет. Прямы- Прямыми и обратными процессами явля- являются квантовые переходы атома меж- между стационарными состояниями. С уровня п на уровень т возмож- возможны как спонтанные, так и вынужден- вынужденные переходы, а с уровня т на уро- уровень «-только вынужденные. Обоз- Обозначим Апт отнесенную к единице вре- времени вероятность, что атом из состо- состояния п спонтанно перескакивает в сос- состояние т, излучив фотон энергии h<u = Еп — Ет. Если Nn-концентрация атомов на уровне п, то в единицу времени в единице объема спонтанно на уровень т перейдет число атомов <m = NnAnm. A1.24) Обозначим Впт отнесенную к еди- единице времени и единице спектральной плотности излучения вероятность то- того, что атом вынужденно, под воздей- воздействием внешнего поля излучения, перейдет из состояния п в состояние т с излучением фотона, энергия кото- которого йсо = Еп — Ет. Число атомов, вы- вынужденно перешедших в единице объема в единицу времени с уровня п на уровень т, <m = NnwaBnm. A1.25) Наконец, пусть Втп - отнесенная к единице времени и единице спект- спектральной плотности излучения вероят- вероятность того, что атом вынужденно перейдет с уровня т на уровень п с поглощением кванта Йсо = Еп — Ет. Очевидно, что если Nm - концентра- концентрация атомов на уровне т, то в единицу времени в единице объема на уровень п вынужденно перейдет число атомов vl = Wm wra Вт„. A1.26) Величины Апт, Впт, Втп называются коэффициентами Эйнштейна. Условия равновесия. В случае рав- равновесия концентрации Nn и Nm в сое-
§12. Опыты Франка-Герца 75 тояниях питне должны изменяться со временем. Это означает, что час- частота переходов с верхнего уровня на нижний равна частоте переходов с нижнего уровня на верхний: vc + vB = vB A127) Принимая во внимание A1.24) — A1.26), получаем Nn Алт + Nn wa Bnm = Nm wa Вт„. A1.28) Согласно распределению Больцмана, концентрация атомов с энергией Е пропорциональна ехр [ — Е/{кТ)~]\ Nn = Ae~En«kT\ Nm = Ае~Е>п№Т). A1.29) Подставляя A1.29) в A1.28), находим A1.30) -условие равновесия между излуче- излучением и черным телом. Формула Планка. При неограни- неограниченном увеличении температуры спектральная плотность излучения w0) должна увеличиваться до беско- бесконечности {wa -> оо при Т-> оо). По- Поэтому, разделив обе части A1.30) на wm при Т-* оо, находим Впт = Втп, A1.31) т. е. вероятность вынужденного пере- перехода с верхнего уровня на нижний равна вероятности вынужденного перехода с нижнего уровня на верх- верхний. С учетом A1.31) из A1.30) следует, что спектральная плотность излуче- излучения 1 W°'~ r "n г A1.32) Теоретически определить AnJBnm в формуле A1.32) элементарная кванто- квантовая теория излучения черного тела не в состоянии. Однако можно восполь- воспользоваться следующими соображения- соображениями. При достаточно малых частотах, когда И(о/(кТ) « 1, ехр [/гсо/(/сГ)] х 1 + + h(o/(kT), формула A1.32) прини- принимает вид А„т кТ AL33) Сравнение A1.33) с формулой Рэлея- Джинса A1.12) показывает, что AJBnm = /ш3/(я2с3). A1.34) Поэтому [см. A1.32)] Ясо3 1 A1.35) п2съ - Г Это формула Планка для излучения черного тела. Таким образом, соображения, ос- основанные на представлении о стацио- стационарных состояниях атомов и об излу- излучении атомов как результате перехо- перехода атома из одного квантового состо- состояния в другое, позволяют получить закон излучения черного тела. Однако элементарная теория излучения весь- весьма несовершенна.Ее основным недос- недостатком является невозможность вы- вычисления коэффициентов Эйнштейна. Отношение коэффициентов A1.34) приходится находить с использова- использованием аргументов, лежащих вне рамок теории. Лишь последовательная кван- квантовая теория позволила теоретически вычислить коэффициенты Эйн- Эйнштейна. 12. Опыты Франка-Герца Описываются опыты, давшие первое прямое экспериментальное доказательство дискретнос- дискретности атомных состояний. Идея опытов Франка - Герца. Опыты Франка и Герца A913) дали прямое доказательство дискретности атом- атомных состояний. При неупругих столк- столкновениях первого рода (см. § 7) между электроном и атомом происходит пе- передача энергии от электрона к атому.
76 3. Дискретность атомных состояний 45 Схема опытов Франка-Герца 46 Вольт-амперная характеристика, полученная в опытах Франка и Герца Электрон может иметь любую кине- кинетическую энергию. Если внутренняя энергия атома изменяется непрерыв- непрерывно, то при столкновениях электронов с атомами передается любая порция энергии, совместимая с законом со- сохранения. Напомним, что ввиду боль- большой разницы масс электрона и атома изменение кинетической энергии ато- атома при столкновениях невелико и при необходимости учитывается по фор- формулам классической механики. Если состояния атомных систем дискретны, то внутренняя энергия ато- атомов при столкновении изменяется лишь на конечные значения, равные разности энергий атома в стационар- стационарных состояниях. Следовательно, при неупругом столкновении электрон может передать атому лишь опреде- определенную порцию энергии. Измеряя энергии, передаваемые электроном ато- атому при столкновении, можно сделать заключение о разности энергии со- соответствующих состояний атома. В этом и заключается идея опытов Франка-Герца. Схема опытов. Между горячим ка- катодом К и сеткой А приложена раз- разность потенциалов U, которая уско- ускоряет электроны, покидающие поверх- поверхность катода (рис. 45). Электроны ускоряются в атмосфере паров ртути при малом давлении около 1 мм рт. ст. (« 130 Па). В процессе движения электроны испытывают столкновения с атомами ртути. За сеткой А рас- расположена пластина В. Между сеткой А и пластиной В приложен неболь- небольшой задерживающий потенциал U3 (»0,5 В). Таким образом, в про- пространстве между сеткой А и пласти- пластиной В электроны тормозятся. Если некоторый электрон проходит сетку А с энергией, меньшей 0,5 эВ, то он не доходит до пластины В. Только электроны, энергии которых при про- прохождении сетки больше 0,5 эВ, по- попадают на пластину В. Их число мо- может быть измерено по силе тока, иду- идущего через амперметр G. В экспериментах снималась вольт- амперная характеристика (рис. 46). Максимумы силы тока отстоят друг от друга на равных расстояниях. Рас- Расстояние между последовательными максимумами к 4,9 В. Первый мак- максимум расположен при U = 4,1 В. Од- Однако это - измеряемая вольтметром разность потенциалов между катодом и сеткой-анодом. Фактическая же раз- разность потенциалов несколько отлича- отличается от этого значения (в ускоряющих трубках с горячим катодом катод и анод сделаны из различных метал- металлов). Следовательно, между катодом и анодом существует некоторая кон- контактная разность потенциалов, кото- которая ускоряет электроны даже в от- отсутствие приложенной извне разности
§ 12. Опыты Франка-Герца 77 потенциалов. В опытах эта контакт- контактная разность потенциалов была равна 0,8 В. Поэтому, чтобы получить фак- фактическую разность потенциалов, ко- которая ускоряет электроны, необходи- необходимо к U прибавить 0,8 В. Это приводит к сдвигу всей кривой на рис. 46 впра- вправо на 0,8 В. Расстояние между мак- максимумами от этого не изменяется, но первый максимум попадает на раз- разность потенциалов 4,9 В. Интерпретация результатов опыта. Чтобы объяснить такой характер вольт- амперной характеристики, необходи- необходимо допустить, что при столкновении электронов с атомами ртути послед- последние могут поглощать лишь дискрет- дискретные порции энергии, равные 4,9 эВ. При энергии электронов, меньшей 4,9 эВ, их столкновения с атомами ртути могут быть только упругими и электроны приходят на сетку с энер- энергией, достаточной для преодоления запирающего потенциала между сет- сеткой А и пластиной В. Когда разность потенциалов достигнет 4,9 эВ, элект- электроны при неупругом столкновении с атомами ртути вблизи сетки отдадут им всю свою энергию и уже не смогут преодолеть запирающей разности по- потенциалов между сеткой А и пласти- пластиной В. Следовательно, на пластину В могут попасть лишь электроны, не испытавшие неупругого столкновения, и поэтому при разности потенциалов 4,9 В сила тока начинает уменьшаться. Когда разность потенциалов достига- достигает такого значения, что достаточное число электронов после неупругого столкновения успевает приобрести энер- энергию, необходимую для преодоления Опыты Франка и Герца A913) дали пря- прямое экспериментальное доказательство дискретности атомных состояний. Что такое резонансные потенциалы и какие характеристики атомных состояний они по- позволяют определить? задерживающего потенциала, начина- начинается новый рост силы тока. При до- достижении разности потенциалов 9,8 В электрон после одного неупругого столкновения приходит к сетке с энер- энергией х 4,9 эВ, достаточной для второ- второго неупругого столкновения. При вто- втором неупругом столкновении электрон теряет всю свою энергию и не до- достигает пластины В. Поэтому сила тока начинает уменьшаться (второй максимум на вольт-амперной харак- характеристике). Последующие максиму- максимумы объясняются аналогично. Из опы- опыта следует, что разница в энергии основного сосшяния атома ртути и ближайшего возбужденного состоя- состояния равна 4,9 эВ, что и доказывает дискретность состояний атомных сис- систем. Аналогичные опыты в дальней- дальнейшем были произведены с другими атомами. Для всех них были полу- получены характерные разности потенциа- потенциалов, называемые резонансными потен- потенциалами. Для калия резонансный по- потенциал равен 1,63 В, для натрия- 2,12 В и т.д. Резонансный потенциал соответствует переходу атома с ос- основного состояния (с минимальной энергией) в ближайшее возбужденное состояние. Однако у атома кроме ближайшего (первого) возбужденного состояния имеется множество других возбужденных состояний. Поэтому ес- если атому сообщить энергию, доста- достаточную для перехода в более высокое возбужденное состояние, он такой пе- переход может совершить. Для исследо- исследования высших степеней возбуждения атома используется несколько видо- видоизмененная методика, однако прин- принцип исследования не меняется и нет необходимости описывать соответст- соответствующие опыты. Все опыты такого рода приводят к заключению, что
78 3 Дискретность атомных состояний состояния атомных систем изменяют- изменяются лишь дискретно. Представление о дискретности атом- атомных состояний противоречит класси- классической механике. Это означает, что классическая механика неприменима для описания поведения атомных сис- систем. 13. Атомные спектры Излагаются экспериментальные закономерности атомных спектров и анализируется их несов- несовместимость с классическими представлениями об излучении Возбуждение спектров излучения. Ма- Материальные тела являются источника- источниками электромагнитного излучения. В принципе существует два вида излуче- излучения, различающихся способом их воз- возбуждения: 1) тепловое излучение; 2) различные виды люминесцен- люминесценции: а) электролюминесценция, б) хе- милюминесценция, в) флуоресценция. Тепловое излучение возникает в ре- результате нагревания тел. При столкновении друг с другом атомы и молекулы приобретают энер- энергию, переходя в возбужденное состоя- состояние. Затем эту энергию они излучают. Таким образом, источником энергии при тепловом из- излучении является кинетическая энер- энергия теплового движения атомов и мо- молекул. Люминесценцией называются все виды испускания света, в которых кинетическая тепловая энергия несу- несущественна для механизма возбужде- возбуждения. Электролюминесценцией называ- называется свечение в электрических разря- разрядах всех видов. Хемилюминесцещией называется излучение, когда возбуж- возбуждение атомов происходит в результа- результате химических реакций. Флуоресцен- Флуоресценция -это излучение атомов, возбуж- возбужденных в результате поглощения света. Во второй половине прошлого сто- столетия были проведены многочислен- многочисленные и тщательные исследования спект- спектров излучения. Оказалось, что спектр излучения молекул состоит из широ- широких размытых полос без резких гра- границ. Такого рода спектры были на- названы полосатыми. Спектр излучения атомов имеет совсем другой вид. Он состоит из отдельных, резко обозна- обозначенных линий. В связи с этим спектры атомов были названы линейчатыми. Для каждого элемента имеется впол- вполне определенный излучаемый им ли- линейчатый спектр. Вид линейчатого спектра не зависит от способа воз- возбуждения атома. По спектру можно определить элемент, которому он при- принадлежит. Линии в спектрах располагаются закономерно. Найти закономерности расположения линий излучения в ли- линейчатых спектрах и объяснить эти закономерности было важнейшей за- задачей физического исследования. Пер- Первые шаги были сделаны в направле- направлении подбора эмпирических формул, которые бы правильно описывали по- положение отдельных линий в спектрах. Первый удачный шаг был сделан Баль- мером, нашедшим эмпирическую фор- формулу для части линий излучения в спектре атома водорода. Экспериментальные закономерности в линейчатых спектрах. Анализ эмпи- эмпирического материала по линейчатым спектрам показал, что отдельные ли- линии в спектрах могут быть объедине- объединены в группы линий, которые принято называть сериями. Бальмер открыл A885), что линии в видимой части спектра водорода можно представить следующей простой формулой: ю„2 = ЯA/22 - 1/и2) (л = 3, 4, 5, ...), A3.1) где R-постоянная величина, ю„2-час-
§13. Атомные спектры 79 тота излучения соответствующей ли- линии. Эта серия линий называется се- серией Балъмера. Лайман открыл A906) другую се- серию линий, лежащую в ультрафиоле- ультрафиолетовой части спектра атома водорода: сол1 = R(l/l2 - l/п1) (и = 2, 3, 4, ...). A3.2) Эта серия называется серией Лаймана. Пашен открыл A908) серию в ин- инфракрасной части спектра атома во- водорода: со„3 = ДA/32 - 1/и2) (« = 4, 5,6, ...). A3.3) Эта серия называется серией Пашена. В дальнейшем в инфракрасной час- части спектра водорода были открыты также другие серии: серия Брэкета ю„4 = ЛA/42-1/«2) (и = 5, 6, 7, ...), A3.4) серия Пфундта 2 - 1/п2) (п = 6, 7, 8, ...). ш„5 = (/ /) ( , ) A3.5) Рассмотрение формул A3.1) — A3.5) для частот спектральных серий по- показывает, что каждая из частот явля- является разностью двух величин, завися- зависящих от целого числа. Если A3.6) $>|е Комбинационный принцип Ритца утверж- утверждает, что все линии в спектре излучения атома могут быть представлены как ком- комбинации спектральных термов атома. Однако не все мыслимые комбинации спектральных термов атома соответству- соответствуют фактически существующим линиям в спектре. Некоторые комбинации являются запрещенными. Правила, показывающие, какие комбина- комбинации термов возможны, а какие запреще- запрещены, называются правилами отбора. >|с В чем состоят главные противоречия между экспериментальными закономерностями из- излучения атомов и предсказаниями классичес- классической теории излучения? то каждую излученную частоту мож- можно представить в виде разности вели- величин A3.6) при различных значениях целых чисел: со„, = ТA) - Т(п). A3.7) Серия линий получается по формуле A3.7), если одно из целых чисел фик- фиксировано, а другое пробегает все це- целые значения, большие фиксирован- фиксированного целого числа. Комбинационный принцип. Таким образом, излучение атома водорода характеризуется величинами T(n) = R/n2 (n= 1, 2, 3, ...), A3.8) которые называются спектральными термами. Все излучаемые частоты могут быть представлены как комбинации спектральных термов вида A3.7). Это правило, сформулированное Ритцем A908), называется комбинаци- комбинационным принципом Ритца. Исследование спектров более слож- сложных атомов показало, что частоты линий их излучения также представ- представляются в виде разностей спектраль- спектральных термов, характерных для данно- данного атома, но формулы для термов бывают несколько сложнее, чем фор- формула A3.6) для атома водорода. Наи- Наиболее простыми термами, похожими на термы атома водорода, являются термы щелочных металлов: Т(п) = RJ(n + aJ, A3.9) где а и R1- некоторые постоянные величины. Комбинационный принцип утверж- утверждает, что все линии в спектре излучения атома могут быть представлены как ком- комбинации спектральных термов атома. Однако не все мыслимые комби- комбинации спектральных термов атома со- соответствуют фактически существую-
80 3. Дискретность атомных состояний щим линиям в спектре. Некоторые комбинации термов являются запре- запрещенными. Правила, показывающие, какие комбинации термов возможны, а какие запрещены, называются пра- правилами отбора. Первоначально пра- правила отбора были установлены эмпи- эмпирически, затем объяснены теорети- теоретически. Несовместимость закономерностей излучения с классическими представ- представлениями. Исходя из классических пред- представлений непонятен факт устойчи- устойчивого существования материальных тел. Многочисленными эксперимен- экспериментами было установлено, что в атомы материальных тел входят положитель- положительные и отрицательные заряды. Извест- Известно было также, что они заключены в конечном объеме, определяемом раз- размерами атома. По теореме Ирншоу, между зарядами возможно лишь ди- динамическое равновесие. Следователь- Следовательно, необходимо считать, что положи- положительные и отрицательные заряды в атоме находятся в относительном дви- движении, точный закон которого для данного рассуждения несуществен. Но если заряд находится в постоянном движении в пределах конечного объ- объема, он должен двигаться с ускоре- ускорением. Классическая электродинамика утверждает, что ускоренно движущий- движущийся заряд излучает электромагнитные волны, с которыми уносится соответ- соответствующая энергия. Следовательно, за- заряды в атоме должны постоянно те- терять энергию в виде электромагнит- электромагнитного излучения. Это означает, что стационарное состояние атомов не- невозможно, т. е. невозможно устойчи- устойчивое существование материальных тел. Поэтому классическая электродина- электродинамика в применении к атомным явле- явлениям находится в глубоком противо- противоречии с экспериментом. Если отвлечься от только что ука- указанного противоречия и допустить, что энергия, потерянная атомом на излучение, каким-то образом компен- компенсируется, то все же классическая тео- теория не может объяснить закономер- закономерности в линейчатых спектрах. По клас- классической теории, излучение является следствием ускоренного движения за- зарядов. Если это движение периоди- периодическое, то для определения частот излучения необходимо движение за- зарядов представить в виде ряда Фурье, в котором присутствуют основная частота и частоты, кратные основной. Таким образом, в спектре излучения должны присутствовать основная час- частота излучения и обертоны с частота- частотами, кратными основной частоте, т. е. серия должна представлять набор ли- линий, частоты которых расположены на равном расстоянии друг от друга. Однако это противоречит тому, что наблюдается в эксперименте. Если предположить, что различные линии данной серии принадлежат к различ- различным основным частотам, то из линий всех серий можно выбрать ряд линий, частоты которых друг от друга рас- расположены на равном расстоянии. Но таких рядов линий в спектрах не на- наблюдается. В частности, не удается объяснить сгущение линий. Напри- Например, в серии Бальмера A3.1) при уве- увеличении п частоты спектра приближа- приближаются к предельной частоте «оо,2 = lLR, A3.10) а разность между соседними частота- частотами неограниченно уменьшается. Та- Такое поведение частот противоречит тому, что можно было бы ожидать на основе классической теории излучения. Таким образом, экспериментальные закономерности из- излучения атомов находятся в серьез- серьезном противоречии с предсказаниями классической теории излучения. Толь-
§14. Ядерная модель атома 81 ко принципиальные изменения клас- классических представлений могут при- привести к объяснению закономерностей излучения атомов. Комбинационный принцип служит выражением своеоб- своеобразия новых законов, управляющих внутриатомными движениями. 14. Ядерная модель атома Рассматриваются опыты Резерфорда, привед- приведшие к установлению ядерной модели атома. Излагается элементарная квантовая теория Бора строения и излучения атома водорода и ее эле- элементарное обобщение на эллиптические орбиты с учетом конечной массы ядра. Две модели строения атома. В начале XX в. реальность атомов стала обще- общепризнанной; установлено существова- существование положительных и отрицательных зарядов и открыт носитель отрица- отрицательного заряда - электрон; носитель положительных зарядов (протон) ос- оставался неизвестным, но существова- существование положительных ионов известно. Было ясно, что атомы составляют сложную электрическую систему, имею- имеющую размер порядка 10"8 см. На повестку дня встал вопрос о строении атома. Поскольку в целом атом нейтра- нейтрален, положительные и отрицательные заряды, входящие в атом, должны взаимно компенсироваться. Теорети- Теоретически существовали две модели строе- строения атома. Согласно первой модели (модель Томсона), по всему объему атома с некоторой объемной плот- плотностью распределен положительный заряд. Электроны погружены в эту среду из положительного заряда. Элек- Электроны взаимодействуют с элемента- элементами положительно заряженной среды атома по закону Кулона. При откло- отклонении электрона от положения равно- равновесия возникают силы, которые стре- стремятся возвратить его в положение равновесия. Благодаря этому возни- возникают колебания электрона. Колеба- Колебания электронов обусловливают излу- излучение атомов. Вторая модель приписывала ато- атому строение, аналогичное строению Солнечной системы: в центре нахо- находится положительно заряженное яд- ядро, вокруг которого, подобно плане- планетам, движутся электроны, удерживае- удерживаемые у ядра силами кулоновского при- притяжения. Каково строение атома в действи- действительности, мог решить только экспе- эксперимент. Задача состояла в том, чтобы определить распределение электричес- электрического заряда в атоме. Основная идея заключалась в использовании того факта, что законы рассеяния заряжен- заряженных частиц атомами зависят от рас- распределения заряда в атоме. Зная эту зависимость, можно по рассеянию за- заряженных частиц на атомах опреде- определить распределение заряда в нем, т.е. экспериментально исследовать строе- строение атома. Формула Резерфорда. Точечные за- заряды взаимодействуют по закону Ку- Кулона. Поэтому прежде всего необхо- необходимо рассмотреть теорию рассеяния на силовом кулоновском центре. Рассмотрим движение точечной частицы с массой тх и зарядом eZY в кулоновском поле другой точечной частицы с массой т2 и зарядом eZ2 (рис. 47). Будем считать, что масса второй частицы много больше массы первой частицы (т2»т1), так что вторую частицу можно считать не- неподвижной. Из механики известно, что при движении в поле центральных сил наряду с энергией сохраняется также и момент импульса. Поэтому т1 {г2 + г2ф2)/2 + ZxZ2e2lDniQr) = E = = const, A4.1) — тхгг<$ = L = const = myvb, A4.2) 6 219
82 3. Дискретность атомных состояний 47 К определению траектории движения заряжен- заряженной частицы Ji 48 К выводу формулы Резерфорда где и-скорость рассеиваемой частицы на бесконечности, Ь- прицельное рас- расстояние, т. е. расстояние наименьшего сближения частиц, если бы взаимодейст- взаимодействие между ними отсутствовало. Точ- Точками обозначены производные по времени. Введем новую независимую пере- переменную р = 1/г и учтем, что dr dr dcp d/l\dcp L dp dt dcp dt d(p\p) dt mLdq>' Тогда [см. A4.1)] .dcp 4ne0L2 Дифференцируя это выражение по ф, получаем для определения р уравне- уравнение P ^ _ 4ns0L2 общее решение которого р = С + A coscp + 2? sin ср. Постоянные А и В могут быть найдены из условий: г -* оо, г sin ф -* b при ф -> п. Тогда А = С, В = \/Ь и A4.3) примет вид l/(rsincp) = Cctg(cp/2) + l/b. A4.4) Полагая в A4.4) г -» оо, ф -> 0, на- находим угол рассеяния: 9 1 4-K?Qm,v2b °tg2 = ~ ЬС = ZZg2 ' <14-5) В эксперименте мы не можем из- измерить прицельное расстояние b при единичном рассеянии на угол 0. По- Поэтому необходимо перейти к стати- статистическим характеристикам рассеяния. Дифференциальное поперечное сече- сечение do упругого рассеяния в угол между 0 и 0 + d0 определяется в со- соответствии с формулой G.1), как от- отношение числа частиц dNg, рассеян- рассеянных в угол между 0 и 0 + d0, к потоку падающих частиц N: da = dNJN. A4.6) Из A4.5) следует, что все частицы, прицельные расстояния которых за- заключены между b и b + d6, будут рассеяны в угол между 0 и 0 — d0. Число частиц с прицельными расстоя- расстояниями между b и b + db равно числу частиц, падающих на кольцевую пло- площадь радиусом b и шириной db: Дифференциальное поперечное се- чение = 2nb\db\ = = к : ctg(9/2) sin2 (9/2) de, A4.3) где при вычислении взят модуль \db\, чтобы избежать отрицательного зна- знака, поскольку поперечное сечение яв- является положительной величиной. От- Отрицательный знак указывает на то, что при увеличении прицельного рас-
§ 14 Ядерная модель атома 83 стояния Ь угол рассеяния уменьша- уменьшается. Последнюю формулу можно за- записать следующим образом: „2 \2 Jn dc = -^ sm4(9/2)' A4.8) Здесь dQ = 2n sin 0d9 - телесный угол между конусами с углами 0 и 0 + d9 (рис. 48). Формула A4.8) называется форму- формулой Резерфорда. С ее помощью Ре- зерфорд проанализировал результа- результаты своих опытов по рассеянию а-час- тиц на атомах и установил структуру атомов. Опыты Резерфорда. Для своих опы- опытов Резерфорд воспользовался а-час- тицами, которые вылетают из атомов радиоактивных элементов. Альфа-час- Альфа-частица является ядром атома гелия, т. е. несет с собой положительный заряд 2е и имеет массу, равную примерно четырем массам протона. Поэтому для анализа рассеяния а-частиц мож- можно воспользоваться формулой A4.8) с Z^ = 2. Масса атомов, на которых рассеиваются а-частицы, предполага- предполагается много большей массы а-частиц. Однако от этого ограничения легко освободиться, если под массой т1 в формуле A4.7) понимать приведен- Резерфорд Эрнст A871-1937) Английский физик, один из создателей учения о радиоактивности и i-троении атома Открыл альфа- и бета-излучение и объяснил его природу Создал совместно с Ф Соди теорию радиоактивности, предложил планетарную модель атома, осуществил первую искусственную ядерную реакцию ную массу системы из двух взаимо- взаимодействующих частиц. Пучок а-частиц известной интен- интенсивности направляется на тонкую ми- мишень. Альфа-частицы рассеиваются на атомах мишени. Мишень берется достаточно тонкой для того, чтобы избежать многократных рассеяний, т. е. чтобы наблюдаемое отклонение а-частиц было результатом одного рассеяния. Число а-частиц, рассеивае- рассеиваемых атомами мишени на различные углы, подсчитывается с помощью спе- специальных счетчиков. Формула A4.8) с учетом A4.6) определяет число частиц, рассеянных одним рассеивающим центром. Если же число рассеивающих центров рав- равно п, то число рассеянных в телесный угол dQ частиц равно ( Ze2 V dO dNM=nN\ — , A4 9) \47ieo»i1!>2/ sin4 (8/2) где Ze-заряд ядра рассеивающего атома. Если зафиксировать телесный угол dQ = const, в котором подсчиты- ваются частицы под различными уг- углами рассеяния 0, то из A4.9) по- получаем dNfn) sin4 F/2) = const. A4.10) В эксперименте прежде всего было проверено соблюдение условия A4.10). Оказалось, что хотя каждый из со- сомножителей в левой части равенства A4.10) изменялся в тысячи раз, их произведение с большой точностью оставалось постоянным. Это означа- означает, что формула A4.9) правильно опи- описывает рассеяние и роль многократ- многократных рассеяний несущественна. Заряд ядра. Все величины в фор- формуле A4.9), за исключением Z, либо известны, либо могут быть измерены в эксперименте. Следовательно, эта формула позволяет определить число Z для рассеивающих атомов. Оказа-
84 3 Дискретность атомных состояний лось, что число Z равно порядковому номеру элемента в периодической системе элементов Менделеева. Это показало, что элементы в периодической системе элементов располагаются не по воз- возрастанию атомной массы, а по увели- увеличению заряда Ze. Это первый важный вывод из опы- опытов Резерфорда. Распределение заряда в атоме. Вто- Второй важный вывод касается распре- распределения заряда в атоме. Многие час- частицы отклоняются на большие углы 0, т. е. на углы 0 = тс/2 и больше. Такие большие углы отклонения воз- возможны, если положительный заряд ядра сосредоточен в объеме, линей- линейные размеры которого меньше при- прицельного расстояния, соответствую- соответствующего по формуле A4.5) этим углам отклонения, т. е. меньше, чем Ze2 _ Ze2 ^макс ~ ~л 7 77-vv ~л т^~ > V1 ^- * * / 4тсе0 (m1 v 12) 4яео?к где ?к-кинетическая энергия а-час- тиц. В опытах Резерфорда использо- использовались частицы с Ек % 5 МэВ. При этих условиях для Z = 8 находим по формуле A4.11), что 6макс ж 0,25-10 2 см. Так как линейные размеры атома имеют порядок 10"8 см, то заряд, взаимодействие с которым вызвало рассеяние на такие большие углы, со- сосредоточен в очень малой области атома. Если представить себе, что по- положительный заряд атома распреде- распределен по достаточно большому объему, то рассеяние на большие углы не происходит. Предположим, что по- положительный заряд равномерно рас- распределен по объему сферы радиусом г0. Поле вне сферы будет таким же, как и в случае, когда весь заряд сосре- сосредоточен в центре сферы. Поэтому а-частица на расстояниях г > г0 дви- движется так же, как и в случае, когда заряд сосредоточен в центре сферы. На расстояниях же г < г0 на а-частицу действует сила лишь со стороны заря- заряда, расположенного внутри сферы с радиусом г, т. е. сила, меньшая той, которая бы действовала на нее, если бы весь заряд был сосредоточен в центре сферы. Таким образом, если заряд равномерно распределен по сфе- сфере радиусом г0, то при проникнове- проникновении а-частицы в область, занятую зарядом, сила, действующая на а-час- а-частицу, ослабевает. Поэтому ее откло- отклонение уменьшается по сравнению с тем случаем, когда весь заряд сосре- сосредоточен в центре сферы. Если радиус г0 достаточно велик, а энергия а-час- тиц не очень мала, отклонения на большие углы вообще невозможны. Если отклонения на большие углы происходят, то можно заключить, что заряд сосредоточен в области поряд- порядка ймакс [см. A4.11)]. При энергиях а-частиц, которые были доступны Ре- зерфорду в его опытах, можно было заключить, что положительный заряд атома сосредо i очен в области порядка 10 ~ '3 см Эта область называется ядром атома. Вокруг ядра движутся элект- электроны. Поскольку размеры атомов имеют порядок 10"8 см, можно за- заключить, что расстояние электро- электронов от ядра имеет тот же порядок 10 ~8 см. Масса электронов очень ма- мала по сравнению с массой атомов. Отсюда следует, что в основном вся масса атома сосредоточена в его яд- ядре. Следовательно, опыты Резерфор- Резерфорда подтверждают планетарную мо- модель атома: в центре атома находится тяжело положительно заряженное ядро, во круг которого, подобно планетал вокруг Солнца, вращаются легкие от рицательно заряженные электроны.
14 Ядерная модель атома 85 Несовместимость планетарной мо- модели атома с представлениями класси- классической физики. Благодаря наличию центростремительного ускорения у дви- движущихся вокруг ядра электронов они должны непрерывно излучать элект- электромагнитные волны. В результате по- потери энергии на излучение радиус ор- орбиты электронов должен непрерывно уменьшаться и в конце концов элект- электроны должны упасть на ядро, т. е. с точки зрения классической физики атом в виде планетарной модели во- вообще существовать не может. С точки зрения классической фи- физики частота излучения атома должна совпадать с частотой обращения элект- электронов и содержать также частоты, кратные этой основной частоте. Та- Такой характер спектра излучения на- находится в полном противоречии с на- наблюдаемыми закономерностями атом- атомных спектров. Были сделаны попытки учесть также релятивистские эффекты излучения электрона, движущегося во- вокруг ядра, и объяснить наблюдаемые закономерности атомных спектров. Однако эти попытки также не увенча- увенчались успехом. Классическая планетарная модель атома не может быть также согласо- Бор Нильс Хенрик Давид A885-1962) Датский физик, один из основателей современной физики Создал теорию атома, основанную на планетарной модели и квантовых представлениях, которые легли в основу квантовой механики Автор важных pa6oi по теории металлов, теории атомного ядра и ядерных реакций, общим вопросам философии естествознания вана с выводами из теории излучения черного тела и опытов Франка-Гер- Франка-Герца о дискретности атомных состоя- состояний. С классической точки зрения электрон может описывать вокруг яд- ядра всевозможные орбиты, обладая не- непрерывным спектром энергий. Идея о дискретном ряде возможных орбит электрона в атоме находится в глубо- глубоком противоречии с классической пла- планетарной моделью атома. Таким образом, с одной стороны, опыты Резерфорда подтверждают пла- планетарную модель атома. С другой стороны, исходя из планетарной мо- модели атома и пользуясь представле- представлениями классической физики оказалось невозможным объяснить целый ряд установленных экспериментальных фак- фактов и закономерностей. Необходимо было ввести в физику новые пред- представления. Этот революционный шаг был сделан Н. Бором. Постулаты Бора. Для объясне- объяснения новых экспериментальных фактов Н. Бор сформулировал два постулата. 1. Атомы могут длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состоя- состояниях. Энергии стационарных состоя- состояний Et, Е2, Еъ, ... образуют дискрет- дискретный спектр. 2. При переходе атома из одного начального стационарного состояния с энергией Еп в другое конечное со- состояние с энергией Ет(Ет < Еп) про- происходит излучение кванта света, причем (o = (En-EJ/h. A4.12) Правила квантования. Энергии ста- стационарных состояний определяются правилом квантования. Если рассмот- рассмотреть круговые орбиты электронов в атоме, то, согласно Бору, стационар- стационарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент импуль- импульса L электрона равен целому числу
86 3. Дискретность атомных состояний 49 Схема боровских круговых орбит и перехо- переходов между ними Е,зВ 1 0- -2- -4- -6- -8- -10- -12- -13- -13,53 Ш Серия Пашена Серия Бальмера Серия Лаймана 50 Уровни энергии стационарных состояний электрона в атоме водорода постоянных Планка й: L = nh (и= 1,2, 3, ...)• A4.13) Целое число и называется квантовым числом. Это правило квантования выделя- выделяет из всего множества орбит, до- допускаемых классической механикой, лишь дискретное множество орбит, характеризуемых условием A4.13). С помощью этого правила кванто- квантования нетрудно найти круговые ста- стационарные орбиты водородоподоб- ного атома и соответствующие энер- энергии. В водородоподобном атоме элек- электрон с зарядом е вращается вокруг ядра с зарядом Ze. Масса ядра много больше массы электрона. Поэтому ядро можно считать неподвижным, а электрон - движущимся вокруг ядра по окружности радиуса г. Действующая на электрон со сто- стороны ядра сила притяжения Ze2/Dneor2) равна центростремительному ускоре- ускорению электрона v2/r, умноженному на его массу: Ze2/DK?0r2) = mv2/r. A4.14) Потенциальная и полная энергии элект- электрона в поле ядра равны соответст- соответственно En= - Ze2/DKE0r), Е = ЕК + ЕП= - ге2/С&П?0г). A4.15) Из правила квантования следует, что m2v2=n2h2/r2. A4.16) Исключая из A4.14) и A4.16) v, получаем радиус стационарной орбиты 4яеп/г2 A4.17) Радиус первой орбиты (« = 1) в атоме водорода (Z = 1) равен ао = ^ те = 0,529 - м A4.18) и называется первым воровским ра- радиусом. Схематически круговые ста- стационарные орбиты в атоме водорода изображены на рис. 49. Энергия Еп электрона, находяще- находящегося на и-й стационарной орбите, определяется формулой A4.15), в ко- которой под г следует понимать радиус
14 Ядерная модель атома 87 гп п-й орбиты. Следовательно, mZ2e4 I Л_2^2(:2 „2 ' Е = A4.19) Эта формула описывает уровни энер- энергии стационарных состояний электро- электрона в атоме водорода (рис. 50). При п —» оо уровни энергии сгущаются к своему предельному значению Ет — 0. Состояние атома с наименьшей энер- энергией (п = 1) называется основным. Обобщение правил квантования на эллиптические орбиты. Круговые ор- орбиты являются частным случаем орби- орбиты электрона, движущегося в куло- новском поле ядра. В общем случае движение электрона происходит по эллиптическим орбитам. Обобщение правил квантования на эллиптические орбиты было выполнено Ч. Вильсо- Вильсоном и А. Зоммерфельдом. ¦ Механическая система с j степеня- степенями свободы описывается с помощью обобщенных координат ql (i = 1, 2, ..., j) и обобщенных импульсов pt, которые определяются формулой р, = dEJdq,, где Ек- кинетическая энергия систе- системы, q- производные по времени от обобщенных координат. Если систе- система имеет j степеней свободы, то на ее движение с помощью j квантовых чи- чисел nl (i = 1, 2, ..., j) накладывается j квантовых условий, имеющих вид §pldql = 2nhnl (я,= 1, 2, 3, ...; /=1,2,...,/). A4.20) В этом выражении в качестве обобщен- обобщенных координат qt выбираются такие координаты, которые разделяются, т. е. в которых каждый импульс р1 является функцией только от соот- соответствующей обобщенной координа- координаты qr В качестве области интегриро- интегрирования выбирается вся область изме- изменения соответствующей переменной. Условия A4.20) позволяют из всего мыслимого по классической теории множества движений выделить неко- некоторое счетное множество фактически допустимых движений, т. е. прокван- товать движение системы. Рассмотрим квантование эллипти- эллиптических орбит водородоподобного ато- атома. В качестве обобщенных коорди- координат выберем полярный угол ф и рас- расстояние г электрона от начала ко- координат совпадающего с точкой на- нахождения ядра, имеющего заряд eZ. Кинетическая энергия Ек = 72ш(г2 + г2ф2) A4.21) и, следовательно, обобщенные им- импульсы pv = дЕк/дц> = тг2ф = const, pr = dEJdf = mf, где постоянство pQ-следствие цент- центрального характера действующих сил. Запишем закон сохранения энергии: Е = Ек - Ze2/{4nEor) = = (Pr + рЦг2IBт) - Ze2/Dne0r). A4.22) Поскольку в случае плоского движе- движения система обладает двумя степеня- степенями свободы, всего имеется два кван- квантовых условия A4.20): §/yi<p = 2лПп„, A4.23) §prdr = 2кПпг, A4.24) где целые числа п^ и пг называются азимутальным и радиальным кванто- квантовыми числами. Из условия р<р = L = const следует, что p, = L = nJ, A4.25) где учтено, что ф изменяется от 0 до 2л. Чтобы выполнить радиальное кван- квантование A4.24), надо выразить обоб- обобщенный импульс рг в виде функции от
88 3 Дискретность атомных состояний г. Из A4.22) следует рг = (А + 2В/г + + С/г2I'2, где А = 2тЕ, В = mZe2/{4ne0), С = n\Ji2. A4.26) Поэтому условие радиального кванто- квантования A4.24) имеет вид §{А + 2B/r + C/r2I'2 dr = 2пПпг, A4.27) причем область интегрирования вклю- включает в себя все возможные значения г, т. е. от минимального значения до максимального и обратно до мини- минимального. Минимальные и максималь- максимальные значения г являются теми зна- значениями, при которых подынтеграль- подынтегральное выражение обращается в нуль. Физически это соответствует тому, что в этих точках максимального приближения электрона к ядру и мак- максимального удаления электрона от ядра радиальная скорость электрона обращается в нуль, а следовательно, обращается в нуль и радиальный им- импульс рг = тг = 0. Интеграл A4.27) вы- вычисляется обычными методами и равен §(А + 2В/г + С/г2I'2 dr = = - 2ni (у/С - В/у/Л) (i = у/^Л). Итак, iZe2 m Отсюда Е=- Z2eim Ъ2п2г1П2 (пг Z2eAm 1 ?2 „2 ' A4.28) где введено целое положительное число п = пг + и„, A4.29) называемое главным квантовым чис- числом. Сравнивая выражение A4.28) для энергии стационарных состояний в случае эллиптических орбит с выра- выражением для энергии A4.19) в случае круговых орбит, мы видим, что для эллиптических орбит получаются те же значения энергии, что и для круго- круговых орбит, с той лишь разницей, что входящее в выражение энергии для круговых орбит квантовое число ока- оказывается суммой азимутального и ра- радиального квантовых чисел. Условия- Условиями квантования A4.23) и A4.24) из непрерывного множества всевозмож- всевозможных эллипсов отбираются лишь опре- определенные эллипсы, размеры и форма которых определяются квантовыми числами nv и пг, причем все эллипсы, для которых п9 + nr = const, энергети- энергетически эквивалентны определенной кру- круговой орбите. Спектральные серии атома водоро- водорода. В соответствии с условием частот Бора излучение атома происходит при переходе электрона с одной ста- стационарной орбиты на другую. Поль- Пользуясь выражением A4.28), находим, что частота излучаемого света со„, = R(l/l2 - \/п2), A4.30) A4.31) где R = Z2e4m/{32n2?2)h3). Формула A4.30) по виду совпадает с формулами A3.1)-A3.5), найденными эмпирически для частот, излучаемых атомом водорода. Величина R, вы- вычисленная по A4.31), при Z=l с очень большой точностью совпадав i с величиной R в формулах A3.1)-A3.5), которая была найдена эксперимен- экспериментально. Формула A4.30), полученная на основе элементарной квантовой теории Бора, правильно описывает спектр атома водорода. Различные серии в спектре излуче- излучения атома водорода образуются в результате перехода электрона с внеш- внешних орбит на определенную внутрен- внутреннюю орбиту.
14 Ядерная модель атома Серия Бальмера A3.1) испускается в результате переходов электрона с третьей, четвертой орбит и т.д. на вторую орбиту. Эти переходы пока- показаны стрелками на рис. 49. Серия Лаймана A3.2) получается в результа- результате переходов электрона со второй, третьей орбит и т. д. на первую орби- орбиту (штриховые стрелки). Остальные серии соответствуют переходам на третью, четвертую орбиты и т.д. Переходы, приводящие к излуче- излучению различных линий в спектре ато- атома водорода, могут быть также изо- изображены на схеме уровней энергии атома. На рис. 50 стрелками показа- показаны переходы, приводящие к излуче- излучению линий серии Бальмера, Лаймана и Пашена. Энергия ионизации атома водорода. Если атом поглощает энергию извне, то энергия электрона увеличивается и он переходит на более внешнюю ор- орбиту. Если сообщенная электрону энергия достаточно велика, то он мо- может перейти на орбиту с п = go, т.е. покинуть пределы атома. В результа- результате этого атом ионизуется. Энергия, необходимая для этого, называется энергией ионизации. Энергия иониза- ионизации для атома водорода в основном состоянии (п = 1) на основании A4.19) равна ?и„„ = теА/C2п2Е20И2) = 13,6 эВ. A4.32) ^ .1. Главной особенностью столкновений а- частиц достаточно большой энергии с атомами, свидетельствующей об ядерной модели атома, является изменение на- направления движения «частиц в результа- результате столкновения на очень большие углы, близкие к 180 -ц Почему в модели атома Томсона невозможно отклонение а-частиц в результате столкнове- столкновения с атомом на очень большие углы, близкие к 180"? В чем планетарная модель атома несовмес- несовместима с представлениями классической физи- физики? В чем состоят главные недостатки теории атома Бора? Это теоретическое значение для энер- энергии ионизации находится в хорошем согласии со значением, полученным в результате экспериментальных изме- измерений. Спектр иона гелия. Простейшим после атома водорода водородоподоб- ным атомом является ион гелия Не+. Вокруг ядра с зарядом Z = 2 в этом атоме вращается один электрон. Фор- Формула A4.30) в рассматриваемом слу- случае может быть записана следующим образом: й„, = 4ЯA//2-1/и2), A4.33) где R = те*1{Ъ2п\2фъ) A4.34) -постоянная Ридберга для атома во- водорода. В крайней ультрафиолетовой час- части спектра иона гелия лежит серия &яЛ= 4ЛA/12-1/«2). A4.35) Серия -1/(л/2J] A4.36) имеет частоты, которые при п = 4, 6, ... совпадают с соответствующими частотами серии Лаймана [см. A3.2)]. При п = 3, 5, 7, ... формула A4.36) приводит к частотам, лежащим меж- между частотами серии Лаймана A3.2). Аналогичное положение у серии A4.37) = Л[1/22-1/(и/2J], линии которой через одну совпадают с бальмеровскими линиями водорода. Эти линии первоначально наблюда- наблюдались в спектрах некоторых звезд и ошибочно приписывались водороду. Впоследствии они были получены в лабораторных условиях при свечении чистого гелия. Однако более тщатель- тщательные измерения положения линий по-
90 3. Дискретность атомных состояний казали, что полного совпадения меж- между линиями спектра водорода и со- соответствующими линиями спектра иона гелия не наблюдается. Учет движения ядра. Это различие обусловлено конечностью массы яд- ядра. При расчете водородоподобного атома, приведшего к формуле A4.19), предполагалось, что ядро неподвиж- неподвижно, т. е. имеет бесконечную массу. В действительности же масса ядра тя конечна. Поэтому фактически и электрон и ядро движутся вокруг об- общего центра масс. При рассмотрении задачи двух тел необходимо перейти в систему коор- координат, связанную с центром масс. Все вычисления сохраняют силу, только при этом массу электрона т надо заменить приведенной массой и.: = mmj(m + тя) = т/тя), A4.38) где тя- масса ядра. В результате по- постоянная Ридберга по формуле A4.38) равна Z2 4 ^z2 4 1 е и. Z е т 1 32я2е§Й3 т/тя т/тя' A4.39) где Rx = Z2eAm/C2n2z2.h3) A4.40) является значением постоянной Рид- Ридберга в предположении бесконечной массы ядра. Поэтому формулы для частот ато- атома водорода и иона гелия выглядят следующим образом: ю„, = т/тн \1 п' 1 Т2~ т/тНе 04.41) A4.42) где тн и тНе-массы ядер водорода и гелия. Поскольку mHe ~ 4тн, точного совпадения между линиями в спектре атома водорода и соответствующими линиями в спектре иона гелия не долж- должно быть. Измерение разницы в по- положении линий блестяще подтверди- подтвердили формулы A4.41) и A4.42). Изотопический сдвиг спектральных линий. Аналогичное положение со сдвигом линий должно наблюдаться у изотопов атома водорода. Изото- Изотопами называются элементы, заряд яд- ядра которых одинаков, а массы раз- различны. Иначе говоря, ядра изотопов содержат одинаковое число прото- протонов, но разное число нейтронов. Так как химические свойства элементов определяются строением внешней час- части электронной оболочки атома, то химические свойства изотопов весьма близки друг к другу, поскольку их электронные оболочки почти иден- идентичны. Важнейшими из изотопов во- водорода являются дейтерий и тритий. Ядро атома дейтерия, называемое дейтроном, состоит из протона и ней- нейтрона. Ядро атома трития, называе- называемое тритоном, состоит из протона и двух нейтронов. Различие в массах ядер различных изотопов приводит к сдвигу линий друг относительно друга в их спект- спектрах излучения. Этот сдвиг линий на- называется изотопическим. Он невелик. Например, для дей- дейтерия *о = Л»/A + m/mD), RH = RJ(\ + т/тн) A4.43) и, следовательно, RD- RH& Дж {m/mH - m/mD) « «Rxm/{2mH), A4.44) где mD x 2тн, m « mH. Тогда раз- разность частот излучения Аю « юш/Bтн) « со/4000. A4.45)
§ 14. Ядерная модель атома 91 Эта разность частот надежно под- подтверждена экспериментом. Атомы дейтерия присутствуют в обыкновенной воде в составе молекул тяжелой воды, т.е. молекул воды, в которых атомы водорода замещены атомами дейтерия. Пропорция ато- атомов дейтерия в обыкновенной воде небольшая: примерно один атом дей- дейтерия приходится на пять с полови- половиной тысяч атомов водорода. Поэтому линии излучения дейтерия по срав- сравнению с линиями излучения водорода очень слабы. По сдвигу этих линий можно вычислить массу изотопов, а по интенсивности линий сделать за- заключение о концентрации изотопов. Этот метод анализа изотопного со- состава веществ по изотопическому сдви- сдвигу линий излучения широко использу- используется в практике. Недостатки теории Бора. Теория Бора явилась крупным шагом в по- понимании новых квантовых законо- закономерностей, с которыми столкнулась физика при изучении явлений микро- микромира, отчетливо показала непримени- неприменимость классической физики для опи- описания внутриатомных явлений. Эври- Эвристическая ценность теории Бора со- сохраняется до настоящего времени: не давая всегда достаточно точных и надежных количественных результа- результатов, она позволяет отчетливо клас- классифицировать и качественно интер- интерпретировать многие явления. Однако с самого начала выяви- выявились существенные недостатки теории Бора. Прежде всего эта теория не была ни последовательно классичес- классической, ни последовательно квантовой, а была полуклассической, полукванто- полуквантовой теорией. Недостаточность теории Бора вы- выявилась уже при ее применении к атому водорода: давая правильно зна- значения частот спектральных линий, она не позволяла вычислять их ин- интенсивности. За пределами теории ос- оставались также вопросы поляриза- поляризации, когерентности. Теория не могла объяснить дублетный характер спект- спектров щелочных металлов. Попытки построить в рамках теории Бора тео- теорию атома гелия, простейшего после водорода атома, окончились неуда- неудачей. Вне теории Бора оставался во- вопрос о квантовании многоэлектрон- многоэлектронных систем, благодаря чему она не может объяснить существование об- обменных сил, ответственных за хими- химические связи в молекулах. В теории Бора оставался неясным вопрос о кван- квантовании непериодических движений. Наконец, теория Бора не могла объ- объяснить дифракцию частиц. Поэтому теория Бора явилась очень важным, но все же переходным эта- этапом от классической механики к по- последовательной квантовой механике. Пример 14.1. В спектре излучения водорода вблизи линии с длиной вол- волны A.J =486,1320 нм обнаруживается линия с Х2 = 485,9975 нм. Имеются основания предполагать, что эта линия принадлежит спектру излучения изотопа водорода. Опре- Определить изотоп. Из A4.19) и A4.39) следует, что IJX2 а A - m./mJAl - mjm2), A4.46) где те, т1, т2-массы электрона, ядра атома водорода и ядра неизвестного изотопа. Поэтому (те/т2 - те/т2 - - mjmj A4.47) где отброшены величины второго по- порядка малости по сравнению с те/т1 и те/т2. С учетом mjmv — 1/1835 из A4.47) заключаем, что те/т2 = 1/3727 и, следовательно, т2/т1 «2. Если
92 3. Дискретность атомных состояний предположение о принадлежности ли- линии излучения спектру изотопа водо- водорода правильно, то изотоп-дейтерий. 15. Опыты Штерна и Герлаха Описываются опыты, в которых впервые было обнаружено явление пространственного кванто- квантования, и обсуждается его теоретическая интер- интерпретация. Орбитальный магнитный момент ато- атома по классической теории. Электрон, движущийся по замкнутой орбите во- вокруг ядра, эквивалентен круговому току, магнитный момент которого Pm = eS/T, A5.1) где Г-период обращения электрона; S - площадь, охватываемая орбитой электрона. В поле центральных сил момент импульса L является интегра- интегралом движения: mr2d(p/df = L = const, A5.2) где m- масса электрона, г, ф-поляр- ф-полярные координаты (рис. 51). Начало си- системы координат совпадает с ядром. Площадь эллиптической или круго- круговой орбиты электрона S = 72 J r2d<p. A5.3) Из A5.2) получаем d(p = [L/(mr2)~\ dt и, следовательно, S = - [ |>2L/(mr2)] dt = TL/Bm). A5.4) Поэтому [см. A5.1)] 1 е р =—L. т 2т A5.5) Магнитный и механический моменты являются векторами. Из их определе- определения как векторных величин следует, что для положительно заряженной частицы направления магнитного и механического моментов совпадают, а для отрицательно заряженной час- частицы они противоположны. Поэтому, обозначая алгебраическое значение заряда точечной частицы q, можно написать Pm = 2т A5.6) Для электрона q = — е; т —его масса. Из A4.13) видно, что естественной единицей орбитального момента яв- является постоянная Планка ft. Поэто- Поэтому для электрона A5.6) целесообраз- целесообразно представить в виде A5.7) где = еЩ2т) A5.8) -магнетон Бора. Величина L/h без- безразмерна и поэтому A5.7) дает значе- значение магнитного момента в единицах магнетона Бора: цв = 9,27-1(Г24 А-м2. A5.9) Движение магнитного момента в магнитном поле. Из курса электри- электричества и магнетизма известно, что в однородном магнитном поле с маг- магнитной индукцией В атом с постоян- постоянным магнитным моментом соверша- совершает, подобно гироскопу, прецессионное движение вокруг направления индук- индукции магнитного поля, называемое ларморовой прецессией. Для орбиталь- орбитального движения электрона круговая частота прецессии (ларморова часто- частота) равна (oL = [iBB/n. A5.10) Однако однородное магнитное по- поле не в состоянии само по себе из- изменить угол между направлениями индукции магнитного поля и магнит- магнитного момента атома. В однородном магнитном поле не возникает также никаких сил, действующих на атом в
целом и стремящихся сообщить ему ускорение. В неоднородном магнитном поле на атом с магнитным моментом рт действует сила Fx = 9m-dB/dx, Fy = pm-8B/dy, F2 = Vm-dB/8z. A5.11) Так как атом электрически нейтрален, то других сил, действующих на него в магнитном поле, нет. Следовательно, изучая движение атома в неоднород- неоднородном поле, можно измерить его маг- магнитный момент. Пусть атом движется в направле- направлении оси X, а неоднородность маг- магнитного поля создана в направлении оси Z (рис. 52). Считая, что магнит- магнитное поле направлено вдоль оси Z, можем положить Вх = О, Ву = О, BZ = = Bz и переписать формулы A5.11) в виде Fx=pJSBJdx, Fy=pJdBJdy, Fz=Pmz8BJdz. A5.12) Неоднородное магнитное поле созда- создается в достаточно длинном магните посредством придания полюсам в пер- перпендикулярной оси X плоскости фор- формы, показанной на рис. 53. Магнит- Магнитное поле симметрично относительно плоскости у = 0. Предполагается, что атом движется в этой плоскости и, следовательно, справедливо утвержде- утверждение, что Вх = 0. Равенство Ву = 0 на- нарушается лишь в небольших областях у краев магнита. Этот краевой эффект не оказывает существенного влияния на траекторию атома в целом и им можно пренебречь. Это позволяет на- написать уравнения A5.11) в виде A5.12). Из тех же обстоятельств следует, что dBJdx, dBJdy = 0, и формула A5.12) принимает вид Fx = 0, Fy = 0, F, = pJdBJdz. A5.13) Прецессия атомов в магнитном поле Форма полюсов магнитов для создания не- неоднородного магнитного поля не изменяет проекции pmz магнитного момента атома на направление ин- индукции поля, dBz/dz также при не- небольшом отклонении от оси X в на- направлении оси Z может считаться по- К расчету движения магнитного момента в неоднородном магнитном поле Момент импульса и орбитальный магнитный момент электрона, движущегося вокруг ядра
94 3. Дискретность атомных состояний 54 Область отложения атомов серебра в опыте Штерна - Герлаха стоянной, равной (dBJdzH на оси. Поэтому уравнение движения атома в пространстве между магнитами m&vjdt = Pmz{dBjdzH, A5.14) где т- масса атома. Следовательно, при прохождении пути а между маг- магнитами атом отклоняется от оси X на расстояние z = Pmz(8BJ8z)o(a/vJ/Bm), A5.15) где а-путь атома вдоль оси X в пространстве между магнитами (см. рис. 52); v- скорость атома по оси X. Выйдя из пространства между магни- магнитами, атом продолжает двигаться под постоянным углом к оси X по прямой линии и нетрудно вычислить его пол- полное отклонение от оси X на любом расстоянии от магнита. Значения ве- величин (dBJdzH, a, v, т, входящих в формулу A5.15), известны и по от- отклонению z можно определить pmz. ** В однородном магнитном поле не возни- возникает сил, действующих на атом в целом и сообщающих ему ускорение. Однородное магнитное поле не изменяет угол между направлениями индукции магнитного по- поля и магнитного момента атома. В неоднородном магнитном поле на атом в целом действует сила, сообщающая ато- атому ускорение. =Н Чем отличается соотношение между механи- механическим и магнитным моментами электрона, обусловленными его орбитальным движени- движением, и между спином и собственным магнит- магнитным моментом электрона? Опыт Штерна и Герлаха. О. Штерн предложил A921) идею эксперимента по измерению магнитного момента атома, который был выполнен им совместно с В. Герлахом A922). По классическим представлениям в пучке атомов магнитные моменты направ- направлены под всевозможными углами к оси Z и, следовательно, pmz в A5.15) принимает весь интервал значений от IPj ДО - IpJ, где |рт|-модуль маг- магнитного момента. Пучок атомов вдоль оси X (см. рис. 52) распределяется на экране П между А и В. Наибольшие отклонения испытывают атомы, маг- магнитные моменты которых коллинеар- ны оси Z. По этим отклонениям мож- можно определить модуль магнитного момента атома. Штерн и Герлах проводили опыты с атомами серебра. Пучок атомов серебра образовывали в результате нагрева до высокой температуры ме- металлических паров в замкнутом со- сосуде С. Выходящий из маленького отверстия сосуда С пучок атомов се- серебра коллимировали системой диа- диафрагм и направляли между полюсами магнита. В области движения атомов был создан высокий вакуум. При по- попадании на холодную пластину П ато- атомы серебра осаждались на ней. Плот- Плотность отложений атомов пропорцио- пропорциональна интенсивности пучка атомов и времени падения пучка на пластину. Результат опыта оказался весьма за- загадочным. Все атомы в плоскости у = О сконцентрировались около то- точек А и В (см. рис. 52), а в области между А и В никаких атомов не ока- оказалось. Атомы пучка вблизи плоскос- плоскости у = 0 также сконцентрировались вблизи своих максимально возмож- возможных отклонений. Область отложения атомов серебра на пластине П за- закрашена на рис. 54. Получается, что магнитные моменты атомов направ-
§ 15. Опыты Штерна и Герлаха 95 лены параллельно оси Z, а под углом частиц. В дальнейшем аналогичные к оси Z направлены быть не могут, результаты были получены в опытах т. е. приходится признать, что с медью, золотом и рядом других ориентация магнитных моментов от- атомов. носительно магнитного поля изменя- Объяснение количественных резуль- ется дискретно. татов этого опыта стало возможным Это явление получило в дальней- лишь в 1925 г., когда был открыт спин шем название пространственного кван- электрона. Было установлено, что тования (см. § 35, 37). Таким обра- магнитный момент атома серебра зом, дискретны не только атомные обусловлен не орбитальными момен- состояния, но дискретны также и ори- тами электронов, а внутренним маг- ентировки магнитных моментов ато- нитным моментом электрона, связан- мов во внешнем магнитном поле, что ным с его внутренним механическим является также принципиально но- моментом, называемым спином (см. вым свойством движения атомных § 37). Задачи 3.1. В спектре звезды Сириуса максимум интенсивности излучения приходится на длину волны X = 0,29 мкм. Определить температуру поверхности Сириуса. 3.2. На тонкую пластинку золотой фольги толщиной d = 0,5 • 10~* см нормально к поверхности падает узкий пучок а-частиц с интенсивностью N = 103 частиц/с и энергией 6 МэВ. Сколько рассеянных а-частиц будет зарегистрировано в течение 5 мин в интервале углов между 59 и 61°? Плотность золота р = 19,4 г/см3. 3.3. На какое максимальное расстояние приблизится к ядру урана протон при лобовом ударе, если его первоначальная скорость равна v = 0,5-101 м/с? 3.4. После прохождения тонкой пластины из золотой фольги а-частица с энергией 4 МэВ отклонилась на угол 60°. Вычислить прицельный параметр. 3.5. Длина волны резонансной линии в спектре атомарного водорода равна Хр — 121,5 нм, а длина волны границы серии Бальмера составляет Хт = 365 нм. Найти ионизационный потенциал атома водорода. 3.6. Мощность излучения точечного заряда е дается формулой Р= [l/Fneo)]e2|v|2/c3. Считая, что электрон в атоме вращается по окружности радиусом г0 = 100 м, оценить «время жизни» атома по классической теории. 3.7. Вычислить полную энергию электрона в атоме водорода на первой, второй и третьей орбитах (эВ). 3.8. Пользуясь результатами предыдущей задачи, вычислить первый потенциал возбуждения атома водорода. 3.9. Система из электрона и позитрона, движущихся вокруг общего центра масс, называется позитронием. Масса позитрона равна массе электрона, а заряд позитрона положителен и по модулю равен заряду электрона. Найти расстояние между позитроном и электроном в основном состоянии и вычислить ионизационный потенциал. 3.10. Какова скорость а-частицы, кинетическая энергия которой 3,84 МэВ? 3.11. Мишень из натрия (Z = 11, молярная масса М = 2,3-10~2 кг/моль, плотность р = 9,3 х х 103 кг/м3) рассеивает 104 а-частиц в определенном направлении за 1 с. Сколько частиц будет рассеяно в том же направлении за 1 с золотой фольгой (Z = 79, М = 0,197 кг/моль) такой же толщины? 3.12. Некоторая фольга рассеивает за 1 с 106 частиц на углы больше 10°. Сколько частиц за 1 с при неизменном потоке падающих частиц будет рассеяно под углами между 10 и 30° такой же фольгой, но в два раза меньшей толщины?
96 3 Дискретность атомных состояний 3.13. Чему равно прицельное рассеяние, если а-частица с кинетической энергией 8 МэВ на ядре золота рассеялась под углом 45°' 3.14. Рассчитайте значение следующих величин в планетарной модели атома водорода для электрона, движущегося по круговой орбите, радиус которой равен первому боровскому радиусу E,3 нм) а) угловой частоты, б) линейной скорости, в) кинетической энергии, г) потенциальной энергии, д) полной энергии 3.15. В условиях задачи 3 14 найти центростремительное ускорение электрона и центро- центростремительную силу 3.16. Для электрона, находящегося на первой боровской орбите, найти частоту обращения, силу кругового тока, магнитную индукцию, которая возникает в центре круговой орбиты электрона 3.17. Найти длину волны де Бройля для электрона, находящегося на третьей орбите (я = 3) атома водорода 3.18. В какое квантовое состояние (п = ') переходит атом водорода, находящийся в основном состоянии (п = 1) при поглощении фотона с энергией 12,1 эВ7 3.19. На какое минимальное расстояние приблизится а-частица с энергией 10 МэВ при лобовом столкновении с ядром золота (Z = 79)9 3.20. В опыте Штерна Герлаха (рис 52) градиент магнитного поля 3Bz/dz = 500 Тл/м, длина пути пучка между полюсами магнита а = 0,1 м, расстояние от магнита до экрана 1 м, используемые в опыте атомы серебра имеют проекции магнитного момента на ось Z, равные цв Температура печи, из которой выпускается пучок атомов серебра, равна 600 К Найти расстояние на экране между двумя пятнами, образовавшимися в результате расщепления пучка атомов серебра на два пучка 3.21. Найти длины волн коротковолновых границ серий Лаймана и Пашена в спектре излучения атома водорода Ответы 3.1. 104 К 3.2. 24 3.3. 102 м 3.4. 5,1 10 14 м 3.5. 13,6 В 3.6. 3 10 uc 3.7. -13,6 эВ -3,4 эВ, -1,8 эВ 3.8. 10,2 В 3.9. 1 06 10~10 м, 6,8 эВ 3.10. 1,37 107 м/с 3.11. 1,25 105 с ' 3.12.4,27 105с ' 3.13.2,6 10 13 м 3.14. а) 4,1210'° с, б) 2,19 10° м/с, в) 13,2 эВ, г) -27,2 эВ, д) —13,6 эВ 3.15.9,13 10io м/с2 8,31 10 10 Н 3.16.7 ю'5 Гц, 1,13 мА, 13,3 Тл 3.17. 0,1 нм 3.18. 3 3.19. 2,3 10 14 м 3.20. 0,039 м 3.21. 91,2 нм, 820,6 нм
16 Уравнение Шредингера 4 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 17 Основные сведения из теории операторов 18 Представление динамических переменных посредством операторов 19 Изменение динамических переменных во времени Квантовая меха- механика изучает объект, который не встречается в классической физике и называется квантовым. В клас- классической физике он проявляет се- себя либо частицей, либо волной в зависимости от обстоятельств, од- однако теряя при этом часть свойств квантового объекта. Поэтому клас- классические образы, понятия, прост- пространственно-временные соотноше- соотношения и т.д. в применении к кван- квантовому объекту, теряют свой при- привычный смысл, но используются за неимением других, а также по- потому, что квантовый объект яв- является нам всегда в такой ситуа- ситуации, когда эти образы, понятия, пространственно-временные соот- соотношения и т.д. имеют (хотя и при- приблизительно) свой привычный смысл. В квантовой модели не- необходимы также и другие образы, понятия и т.д., не имеющие клас- классических аналогов, но позволяю- позволяющие объяснить наблюдаемые за- закономерности без наглядного представления о происходящем. 7 219
98 4. Основные положения квантовой механики 16. Уравнение Шредингера Обсуждаются условия применимости уравнения Шредингера, свойства волновой функции и ее нормировка, физический смысл собственных функций и собственных значений, принцип су- суперпозиции состояний. Уравнение Шредингера. Изложенные в § 10 соображения, которые привели к формулировке уравнения Шредингера A0.5), следует рассматривать лишь как наводящие соображения. Уравнение Шредингера A0.5) яв- является новым уравнением физики, не являющимся дифференциальным урав- уравнением классической физики. Его диф- дифференциальная форма является лишь наиболее близким к классической фор- форме представлением. Свидетельством квантового характера этого уравне- уравнения является присутствие в нем по- постоянной Планка И. Уравнение Шредингера записыва- записывается в двух наиболее распространен- распространенных формах. Его запись в форме V2? (г) + Bm/h2) [? - Еп (г)] V (г) = 0 A6.1) более удобна для нахождения функ- функции Ч'(г) как решения дифференци- дифференциального уравнения. Другая форма записи ЕЧ>, A6.2) где Я= -[_П2/Bт)-]У2 + Еп(т), A6.3) более удобна для исследования прин- принципиальных вопросов квантовой ме- механики и обобщения уравнения Шре- Шредингера. Обе формы записи будут в дальнейшем обсуждаться и использо- использоваться. Стационарные состояния. Уравне- Уравнение Шредингера A6.1) описывает со- состояние движения корпускулы, кото- которое не изменяется во времени и осу- осуществляется при постоянной энергии корпускулы. Такое состояние называ- называется стационарным. Ошибочно ду- думать, что в стационарном состоянии корпускула каким-то образом переме- перемещается с течением времени из одной точки в другую, движется по какой-то траектории и т.д. Движение корпус- корпускулы в классической механике пони- понимается как ее перемещение в про- пространстве с течением времени. Движе- Движение корпускулы в квантовой механике понимается в более широком фило- философском смысле (Аристотель) как из- изменение вообще. Поэтому движение связано не с пребыванием в стационарном состоянии, а с измене- изменением стационарного состояния. Это имеет глубокий смысл, потому что в мире что-то происходит только тог- тогда, когда что-то изменяется. Если ни- ничего не изменяется, то ничего и не происходит. Если бы все составные части мира перешли в стационарное состояние, то этот переход был бы величайшим событием в истории Вселенной, после которого она перестала бы существо- существовать. С этим событием могло бы сравниться лишь другое событие, ког- когда из некоторого стационарного со- состояния Вселенная перешла в неста- нестационарное состояние, в котором она и пребывает сейчас. Это другое ве- величайшее событие - возникновение Все- Вселенной. Возможно, «большой взрыв», происшедший около 10-15 млрд. лет назад, в результате которого образо- образовалась Вселенная, и был этим перехо- переходом из стационарного состояния в нестационарное. Но этого никто не знает, потому что о состоянии Все- Вселенной до взрыва современная наука не может сообщить ничего вразуми- вразумительного, хотя уже давно занимается этим вопросом. Состояние Вселенной в целом не является стационарным, но ее состав-
§ 16. Уравнение Шредингера .99 ные части (например, атомы) могут находиться в стационарных состояни- состояниях. Однако если бы они пребывали вечно в этих состояниях, то с ними ничего не происходило бы и наука не знала бы об их существовании. Их существование обнаруживаем тогда, когда они изменяют свое стационар- стационарное состояние. В сущности говоря, только это и интересует науку, а не сами по себе стационарные состоя- состояния. Однако, чтобы изучить измене- изменения стационарных состояний, необхо- необходимо знать сами стационарные со- состояния. Другими словами, стационарные состояния никаких со- событий в физическом мире не пред- представляют, но позволяют понять и опи- описать события, происходящие в физи- физическом мире. Стационарные состоя- состояния являются фундаментальным ис- исходным моментом описания физичес- физического мира. О физических свойствах стационар- стационарных состояний уже говорилось в § 5, и здесь нет необходимости повторять сказанное. Отметим только еще раз наиболее фундаментальное свойство стационарного состояния - его единст- единство в том смысле, которое разъяснено в § 5. Из физических свойств стаци- стационарных состояний вытекают мате- математические требования, которые предъявляются к волновой функции Ч* (х, у, z), описывающей стационар- стационарное состояние. Математические требования к вол- волновой функции. Волновая функция Ч* является решением дифференциаль- дифференциального уравнения A6.1), а \Ч* (х, у, z)\2 - плотностью вероятности нахождения частицы в точке (x,y,z). Другими сло- словами, | Ч* (х, у, г) |2 dxdydz - вероятность нахождения частицы в объеме dxdydz в окрестности точки (x,y,z). Отсюда следует, что функция Ч* должна быть непрерыв- непрерывной, однозначной и конечной во всех точках. Если потенциальная энергия En{x,y,z) имеет поверхности разрыва непрерывности, то на таких поверх- поверхностях функция Ч* и ее первая произ- производная должны оставаться непрерыв- непрерывными. В области пространства, где Еп обращается в бесконечность, волно- волновая функция Ч* должна быть равна нулю. Непрерывность Ч* требует, что- чтобы на границе этой области функция Ч* обращалась в нуль. Условие нормировки волновой функ- функции. Волновая функция определяется линейным уравнением с точностью до постоянного множителя, который мож- можно выбрать так, чтобы удовлетворить интерпретации YV\2 — 4/*Ч/ как плот- плотности вероятности. Так как Ч^ЧМхгфхк- вероятность нахождения частицы в элементе объема dxdydz, то jvp*?dxd>>dz = i A6.4) показывает, что частица существует и находится где-то в пространстве. Ин- Интегрирование в A6.4) распространено на все пространство, хотя эффективно оно сводится к интегрированию по той области пространства, где плот- плотность вероятности нахождения части- частицы отлична от нуля, т. е. области, где частицы наверняка нет (|Ч^|2 = 0), ис- исключаются из интегрирования в A6.4). Равенство A6.4) называется усло- условием нормировки волновой функции. Такая нормировка возможна при дис- дискретном спектре собственных значе- значений. При непрерывном спектре собст- собственных значений интеграл от ITI2 об- обращается в бесконечность и поэтому используется другая нормировка, о которой сказано ниже. Собственные функции и собствен- собственные значения. Уравнение Шредингера A6.1) имеет решения, удовлетворяю- удовлетворяющие перечисленным выше требовани- требованиям не при любых значениях Е, а лишь
100 4. Основные положения квантовой механики при некоторых, которые будем обоз- обозначать Е1, Е2, ..., Еп, ... . Значения Е, при которых A6.1) имеет решения, обладающие указанными свойствами, т.е. Е1, Е2, ..., Еп, ..., называются собственными значениями, а функции Ч\, 4*2, ..., ?„, ..., являющиеся решениями уравнения A6.1) при Е = = Е2, Е = Е2, ..., Е = Еп, ...,-собст- ...,-собственными функциями, принадлежащи- принадлежащими собственным значениям Ех, Е2, ...,?„• Ортогональность собственных функ- функций. Две собственные функции, при- принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл от произведения одной из этих функций на функцию, комп- комплексно сопряженную с другой, взятый по всей области интегрирования, ра- равен нулю. Для доказательства выпишем урав- уравнение Шредингера в виде A0.5) для функции х?п и комплексно сопряжен- сопряженной с ней функции *?*¦: V2xPn + Bm/h2)(En - ЕП)Ч?„ = 0, A6.4а) V2vF*. + Bm/h2) (?„, - Еп) Ч>*. = 0. A6.46) Умножая первое уравнение на Ч1*, второе-на ^n и вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем En,)V*4>n = 0. A6.5) Разность первых двух членов можно преобразовать по формуле _ ш п *) = divA, A6.6a) где А = УУ,, - Ч'УЧ1* . A6.66) Поэтому предыдущее равенство мож- можно записать следующим образом: div A + Bm/h2)(En - ?„.)Ч>*Т„ = 0. A6.7) Проинтегрируем последнее соотно- шение по некоторому объему V: JdivAdF+ Bm/ti2)(En - Е„)$4'*.4lndV = 0. V V A6.8) Первый интеграл по теореме Гаусса - Остроградского можно преобразо- преобразовать в интеграл по поверхности S, ограничивающей объем V: jdivAdK= |A-dS = \AnAS. A6.9) Принимая, что V'-> оо, и считая, что на бесконечности функции Ч* стре- стремятся к нулю достаточно быстро, так что А стремится к нулю быстрее, чем \/г2, где r-радиус сферы, внутри ко- которой заключен рассматриваемый объ- объем, получаем (?„-?„) j Ч*.ЧяйУ=0. A6.10) К->оо Значит, при Еп Ф ?„¦ S^W^xdydz = 0 (пф ri). A6.11) Таким образом, собственные функции, принадлежа- принадлежащие различным собственным значе- значениям, ортогональны друг другу. Условие нормировки и условие ортогональности: i A6Л2) где 8ПП,- символ Кронекера. Характер статистических законо- закономерностей квантовой механики. При интерпретации волновой функции бы- было отмечено, что квантовая механика допускает лишь вероятностные пред- предсказания о поведении частиц. Хорошо известно, что и в классической статис- статистической механике дается также лишь вероятностное предсказание о поведе- поведении частиц. Однако между закономерностями
§ 16. Уравнение Шредингера 101 статистической классической физики и статистическими закономерностями квантовой механики существует прин- принципиальное различие. Статистические закономерности классической физики являются резуль- результатом взаимодействия большого чис- числа частиц, поведение каждой из кото- которых описывается динамическими за- законами классической механики. Как только число рассматриваемых час- частиц становится достаточно малым, статистические закономерности клас- классической физики перестают действо- действовать, а соответствующие статистичес- статистические понятия (например, температура) теряют смысл. По-другому обстоит дело со статистическими закономер- закономерностями в квантовой механике, ко- которые выражают свойства индивиду- индивидуальных микрочастиц и имеют место даже при наличии лишь одной части- частицы. Как показали эксперименты, мик- микрочастица обладает как корпускуляр- корпускулярными, так и волновыми свойствами. Поэтому для описания ее движения неприменимы методы и понятия, ко- которые использовались в классической физике в отдельности для формули- формулировки теории движения корпускул и распространения волн. Квантовая ме- механика выработала новые представле- представления о движении микрочастиц и о ха- характере закономерностей, управляю- управляющих их движением. Неоднократно делались попытки придать статистическим закономер- закономерностям квантовой механики характер статистических закономерностей клас- классической физики. Смысл этих по- попыток сводится к следующему. Счи- Считается, что состояние микрочастицы характеризуется не только физически- физическими величинами, которые может изме- измерить экспериментатор посредством макроприборов, но и «скрытыми па- параметрами». Причем у частиц, со- состояния которых характеризуются од- одной и той же волновой функцией Ч1, «скрытые параметры» имеют различ- различные значения, какой-то статистичес- статистический разброс и вследствие этого дви- движения микрочастицы описываются ста- статистически. В качестве наглядного при- примера может быть взято взаимодейст- взаимодействие частицы с флуктуациями вакуума (см. § 73), в результате чего движение частицы уподобляется движению бро- броуновской частицы. Однако все по- попытки в этом направлении не увенча- увенчались успехом. Эксперименты по изу- изучению квантовых корреляций, выпол- выполненные в последние годы (см. гл. 15), показывают, что все эти попытки в рамках локального подхода несостоя- несостоятельны в принципе. Этими экспе- экспериментами не исключается возмож- возможность нелокальных теорий «скрытых параметров». Однако вряд ли поиски таких теорий перспективны. Уравнение Шредингера, зависящее от времени. Уравнение Шредингера A6.1) определяет стационарные со- состояния и не зависит от времени. Как изменяется волновая функция с течением времени? Каким уравне- уравнением определяется это изменение? Для ответа на эти вопросы поступим следующим образом. Представим вол- волновую функцию, зависящуТо от вре- времени, в виде (E=h(o), A6.13) где *Р (г) - решение уравнения Шре- Шредингера A6.2): ^2 + Ф{1)- A6Л4) Принимая во внимание очевидное ра- равенство М) г, t) = A6.15) i dt ' можно уравнение A6.14) записать так:
102 4 Основные положения квантовой механики лат(г, о / и 2 i dt \ 2т A6.16) Оно называется уравнением Шредин- Шредингера, зависящим от времени. Волновая функция *Р (г, /) должна удовлетворять тем же требованиям, которые налагаются на функцию *Р (г), т. е. функция *F (r, t) должна быть не- непрерывной, однозначной и конечной. Кроме того, очевидно, что Ч** (г, t) Ч1 (г, t) = Ч** (г) Ч» (г) A6.17) и, следовательно, условие нормиров- нормировки сохраняется с течением времени, т. е. если оно выполняется для одного какого-либо момента времени, то оно справедливо и для всех последующих моментов времени. Изменение волновой функции во времени описывается уравнением Шредингера A6.16), которое, таким Понятие движения в квантовой механике нельзя связать со стационарным состоя- состоянием, потому что в стационарном состоя- состоянии ничего не происходит и нет движения в широком (философском) смысле этого слова. Движение связано с изменением стационарного состояния, и только при изменении стационарного состояния можно говорить, что в мире что-то из- изменяется и, следовательно, происходит. Поэтому нельзя описать движение в кван- квантовой механике без стационарного со- состояния, хотя само по себе оно не есть движение. Наиболее фундаментальным свойством стационарного состояния является его единство. Перечислите основные математические требо- требования к волновой функции Откуда эти требо- требования возникают' В чем состоит фундаментальное свойство ста- стационарного состояния, называемое его един- единством' Чем отличаются статистические закономер- закономерности квантовой механики от статистических закономерностей классической физики' В чем состоит отличие принципа суперпози- суперпозиции квантовой механики от принципа супер- суперпозиции классической физики' образом, выражает принцип причин- причинности в квантовой механике. Плотность заряда и плотность то- тока. Запишем уравнения Шредингера для волновой функции *F и комплекс- комплексно-сопряженной функции Ч/*: h2 i dt hd^* 2m ^_ . i dt 2m = 0. A6.18a) A6.186) Умножая A6.18а) на 4"*, a A6.186) на *P и вычитая почленно из второго уравнения первое, получаем dt dt h2 h + —D/V24/* - 4/*V24/) = 0. 2m A6.19) Учитывая, что yV2T* - 4i*V24/ = divD/V4'* - 4/*V4/), dt dt dt и вводя обозначения 2m p = A6.20a) A6.206) где q- заряд частицы, можно уравне- уравнение A6.19) записать следующим об- образом: A6.21) Уравнение такого вида в электроди- электродинамике выражает закон сохранения заряда, если под р понимать плот- плотность заряда, а под j-плотность тока. Поэтому A6.20а) и A6.206) являются квантово-механическими выражения- выражениями соответственно плотности тока и плотности заряда, а уравнение A6.21) представляет закон сохранения заряда.
§ 16 Уравнение Шредингера 103 Принцип суперпозиции состояний. Как уже было сказано, волновая функ- функция определена лишь с точностью до постоянного множителя, т. е. две вол- волновые функции, отличающиеся толь- только постоянным (комплексным или действительным) множителем, опи- описывают одно и то же состояние. Это обстоятельство выше было исполь- использовано для нормировки волновой функции. Между различными состояниями системы существуют соотношения, в результате которых возникают новые состояния. Суть этих соотношений выражается принципом суперпозиции состояний - одним из важнейших прин- принципов квантовой механики, который заключается в следующем: если квантовая система может на- находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями 4Jl и Ч*2, то она может находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией T = a1vP1 +а2Ч>2, A6.22) где аг и а2- произвольные, в общем случае комплексные числа. Равенство A6.22), представляющее принцип суперпозиции квантовой ме- механики, по своей форме совпадает с Шредингер Эрвин A887-1961) Австрийский физик, один из создателей квантовой теории. Разработал волновую механику и доказал ее идентичность матричной механике Гейзенберга. Сформулировал основное уравнение квантовой механики, носящее его имя выражением принципа суперпозиции в классической физике, однако его содержание существенно иное. В клас- классической физике некоторая физичес- физическая величина, получающаяся в ре- результате суперпозиции, является ком- комбинацией величин, вступающих в су- суперпозицию. Например, напряжен- напряженность поля, получающегося в резуль- результате суперпозиции, в каждой точке равна сумме напряженности полей, вступающих в суперпозицию. В кван- квантовой механике ситуация совершенно другая. Пусть рассматривается неко- некоторая физическая величина, которая в состоянии Тх имеет значение L1; а в состоянии 4*2-значение L2. Выраже- Выражение «физическая величина в состоя- состоянии 4*j имеет значение Lt» означает следующее: если измерять эту величи- величину у системы, которая описывается волновой функцией *Р,,тов результа- результате этого измерения всегда получается значение L1. По смыслу суперпози- суперпозиции в классической физике следовало бы ожидать, что измеряемая величи- величина в состоянии *Р имеет некоторое значение, являющееся комбинацией величин L[HLj. Мы говорим здесь о комбинации величин, имея в виду са- самый общий случай, потому что при суперпозиции в классической физике не все физические величины комбини- комбинируют между собой по линейным фор- формулам (в качестве примера можно взять энергию электромагнитного по- поля). Однако в квантовой механике при измерении физической величины в со- состоянии Ч* получается не какая-то комбинация из L1 и L2, а только одно из двух значений: либо L15 либо L2; какое конкретно из этих значений по- получится в результате измерения, мо- может быть предсказано только вероят- вероятностно и зависит от соотношения коэффициентов ах и а2 (см. § 18). Та- Таким образом, содержание принципа
104 4. Основные положения квантовой механики суперпозиции квантовой теории A6.22) существенно отличается от содержа- содержания принципа суперпозиции в класси- классической физике. Второе существенное различие прин- принципов суперпозиции квантовой и клас- классической физики состоит в следую- следующем. Если в классической физике име- имеются, например, два одинаковых ко- колебания, то в результате их супер- суперпозиции получается новое колебание, отличное от исходных, причем физи- физические величины в новом колебании имеют, вообще говоря, иные значе- значения, чем в исходных колебаниях, участ- участвующих в суперпозиции. В квантовой теории сложение двух одинаковых со- состояний сводится к умножению вол- волновой функции на постоянную вели- величину и, следовательно, приводит к тому же состоянию, потому что вол- волновые функции, отличающиеся посто- постоянным множителем, описывают одно и то же состояние. Физические вели- величины в результате такой суперпози- суперпозиции не изменяют своих значений, по- потому что не изменяется состояние. Принцип суперпозиции показыва- показывает, что из имеющихся квантовых состояний можно образовать многими способа- способами новые состояния и каждое состоя- состояние можно рассматривать как резуль- результат суперпозиции двух или многих других состояний, причем бесконеч- бесконечным числом способов. Суперпозиция квантовых состоя- состояний является физическим принципом, но представление состояния как ре- результата суперпозиции других состоя- состояний является чисто математической процедурой и всегда возможно неза- независимо от физических условий. Одна- Однако насколько это целесообразно и какое именно представление целесо- целесообразно, зависит от конкретных фи- физических условий. Математическое следствие прин- принципа суперпозиции A6.22) выражает- выражается следующим требованием: уравне- уравнение, которому удовлетворяет волно- волновая функция, должно быть линейным, потому что только для линейных урав- уравнений сумма решений с произволь- произвольными коэффициентами является так- также решением. В эксперименте прове- проверяется непосредственно принцип су- суперпозиции состояний, а заключение о линейности уравнений выводится из результатов этих экспериментов. 17. Основные сведения из теории операторов Излагаются математические сведения из теории операторов, необходимые для понимания мате- математического аппарата квантовой механики. Описание физических величин в клас- классической физике. В математическом аппарате квантовой механики боль- большое значение имеет понятие опера- оператора. В классической механике каж- каждая физическая величина характеризу- характеризуется ее числовым значением в той или иной точке пространства, в тот или иной момент времени. Например, ско- скорость частицы описывается в каждый момент времени вполне определен- определенными числами vx, vy, ^-проекциями скорости на оси координат. Иначе говоря, физические величины класси- классической механики описываются функ- функциями координат и времени. В общем случае функцией называ- называется правило, по которому числу или совокупности чисел ставится в соот- соответствие другое число или совокуп- совокупность чисел. Задача классической ме- механики состоит в отыскании функцио- функциональных зависимостей между различ- различными величинами. Описание физических величин в квантовой механике. В квантовой ме- механике физические величины, вообще
§ 17. Основные сведения из теории операторов 10Б говоря, не могут иметь определенные числовые значения. Рассмотрим, на- например, величину, характеризующую местонахождение частицы. В класси- классической механике местоположение час- частицы в каждый момент времени опи- описывается тремя числами-координа- числами-координатами частицы. В квантовой механике можно говорить лишь о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства. Эта вероят- вероятность вычисляется с помощью волно- волновой функции. Но волновая функция не позволяет представить координаты местонахождения частицы как функ- функции времени. Квантовая механика по- позволяет вычислять лишь вероятность той или иной координаты и ее среднее значение. Например, если имеется очень большое число совершенно иден- идентичных, независимых друг от друга физических систем, которые описыва- описываются одинаковой волновой функцией, то при измерении числового значения какой-либо физической величины по- получаются в каждом измерении, во- вообще говоря, ее различные числовые значения. Квантовая механика пред- предсказывает вероятность получения то- того или иного числового значения из-' меряемой величины. В связи с этим в квантовой механике физическая ве- величина характеризуется не ее число- числовым значением, а оператором, кото- которым эта физическая величина пред- представляется. В данной конкретной си- ситуации числовое значение физической величины неопределенное, а опера- оператор, который описывает физическую величину, вполне определен. Определение оператора. Функции осуществляют связь одних чисел с другими числами. Операторы осущест- осуществляют связь одних функций с другими функциями. Оператором называется правило, с помощью которого каждой функ- функции из некоторого множества функ- функций сопоставляется функция из того же или некоторого другого множест- множества функций. Операторы обозначают буквами со значком Л сверху,например А, В и т.д. Если оператор А выражает пра- правило, согласно которому функции и сопоставляется функция v, то это сим- символически записывается в виде v = Au. A7.1) Если, например, оператор А означает дифференцирование . d А = —' dx то v будет производной от и: d du v = Аи = —и = — dx dx Линейные операторы. Правила, с помощью которых одним функциям ставятся в соответствие другие функ- функции, могут быть самыми разнообраз- разнообразными, т. е. операторы могут иметь самые разнообразные свойства. В квантовой механике для того, чтобы удовлетворить принципу суперпози- суперпозиции состояний, используются лишь линейные операторы. Оператор А называется линейным, если для лю- любых функций Mt и иг из рассматри- рассматриваемого класса функций и для любых постоянных чисел ах и а2 выполняется равенство А{а1и1 + а2и2) = а1Аи1 + а2Аи2. A7.2) Сумма и произведение операторов. Если для любой функции и Си = Аи + Ви, С^и = А±и — Вги, С2и = А2{В2и), A7.3) то С, С,, С2 называются соответст- соответственно суммой операторов^! и В, раз- разностью операторов Ах и Вх и произве-
106 4 Основные положения квантовой механики дением операторов А2 и В2. С = А + В, Q = Л, - Bv С2 = Л2Я2. A7.4) Алгебраические свойства суммы и разности операторов аналогичны ал- алгебраическим свойствам суммы и раз- разности чисел: можно группировать слагаемые, изменять их порядок и т. д. Но алгебраические свойства произведения операторов значитель- значительно отличаются от алгебраических свойств чисел: произведение операто- операторов зависит от порядка сомножите- сомножителей в этом произведении: АВ Ф ВА, A7.5) т. е. произведение операторов, вооб- вообще говоря, некоммутативно. Рассмот- Рассмотрим пример, когда в качестве опера- оператора А берется умножение на коор- координату х, а в качестве оператора В- оператор дифференцирования, т. е. А = х, В = d/dx, тогда АВ = xdu/dx и d d d В Аи = —хи = и + х — и = A + х—)и. Ах Ах dx Поэтому ЯЁ = * —, В А = 1 + х — и dx dx А А х~ = АВф 1 +jc—= ВА. A7.6) Ах Ах Коммутирующие и антикоммути- рующие операторы. Операторы А и В называются коммутирующими, если их произведение не^зависит от поряд- порядка сомножителей: А В =^ВА. Если для двух операторов А и^ В выполняется равенство АВ = — ВА, то эти опера- операторы называются антикоммутирую- щими. Оператор А В-ВА называется ком- коммутатором операторов А и В я обоз- обозначается следующим образом: АВ - ВА = [Л, В]. A7.7) Антикоммутатором операторов А и В называется оператор [ЛГВ]+ = АВ+ВА. A7.8) Собственные значения и собствен- собственные функции линейных операторов. Если в^ результате применения опера- оператора А к некоторой функции и полу- получается та же функция и, умноженная на некоторое число X, то Аи = Хи. A7.9) Если функция и непрерывна, одно- однозначна и конечна, то она называется собственной функцией оператора А, принадлежащей собственному значе- значению X. Число X называется собствен- собственным значением оператора А. Обычно оператор и его собственное значение обозначаются одной и той же буквой. Совокупность собственных значе- значений оператора называется его спект- спектром. Если оператор А является линей- линейным дифференциальным оператором, то, как доказывается в теории линей- линейных дифференциальных уравнений, его спектр может быть как дискрет- дискретным, т. е. состоящим из ряда чисел, так и непрерывным, т. е. состоящим из непрерывного множества чисел, заключенных в некотором интервале значений. Может случиться, что часть спектра будет дискретной, часть-не- часть-непрерывной. Линейные самосопряженные (эрми- (эрмитовы) операторы. В квантовой меха- механике применяются не любые линей- линейные операторы, а лишь самосопря- самосопряженные, или эрмитовы, операторы. Оператор А называется самосопря- самосопряженным, если для любых двух функ- функций и и v A7.10) где интегрирование производится по всей области изменения независимых переменных, совокупность дифферен- дифференциалов которых обозначена dV.
§ 17 Основные сведения из теории операторов 107 Важнейшее свойство самосопря- самосопряженных операторов, обусловливаю- обусловливающих их применение в квантовой меха- механике, состоит в том, что собственные значения самосопряжен- самосопряженных операторов являются действи- действительными числами. Доказательство этого положения следует из равенства A7.10). Пусть А будет самосопряженным оператором, а м-собственная функция, принадле- принадлежащая собственному значеию X. Тог- Тогда Аи = Хи, или Я*и* = Х*и*. Приняв в A7.10) v — и, имеем X\u*udV=X*\u*udV A7.11) или \ = 1*, A7.12) т. е. собственное значение X самосоп- самосопряженного оператора А является дей- действительным числом. Ортогональность собственных функ- функций. Собственные функции линейного самосопряженного оператора, принад- принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг другу, т. е. интеграл по всей области измене- изменения независимых переменных от произ- произведения одной из них на функцию, комплексно сопряженную с другой, равен нулю. Пусть ип и ит~собствен- ит~собственные функции оператора Л, принадле- принадлежащие различным собственным зна- Н=* Функцией называется правило, по кото- которому числу сопоставляется число, а опе- оператором называется правило, по которо- которому функции сопоставляется функция. Собственные значения эрмитовых опера- операторов вещественные числа Собственные функции эрмитовых опера- операторов, принадлежащие различным соб- собственным значениям, ортогональны друг другу. * Что такое вырожденные собственные значе- значения? Чем отличаются условия нормировки для дис- дискретного и непрерывного спектров собствен- собственных значений' Что такое полнота системы собственных функций линейных операторов' чениям Хп и Хт. Тогда высказанное утверждение может быть математиче- математически записано в виде равенства \u*umdV=0(m*n). A7.13) Докажем это утверждение. Собствен- Собственные функции ип и ит удовлетворяют уравнениям Аип = Хпип, Аит = Хтит, A7.14) причем Хп и Хт~действительные чис- числа, поскольку оператор А является самосопряженным. Из условия само- самосопряженности A7.10), записанного для ип и ит в виде ^]J A7.15) с учетом A7.14) следует, что {Xm-Xn)\u*numdV=Q. A7.16) Так как Хт Ф Хп, то получаем A7.13), что и требовалось доказать. Условие самосопряженности произ- произведения двух самосопряженных опера- операторов. Пусть операторы А и В само- самосопряженные, т. е. удовлетворяют ус- условию A7.10). Учитьгвая самосопря- самосопряженность оператора А, имеем \v*ABudV = \(Bu)A*v*dV. A7.17) Из условия самосопряженности опе- оператора В следует \(Bu)A*v*dV= \{A*v*)(Bu)dV = = \uB*A*v*dV. A7.18) Таким образом, \V*ABudV=\uE*A*v*dV. A7.19) Отсюда видно, что произведение двух самосопряженных операторов является самосопряжен- самосопряженным оператором только в том случае, когда эти операторы коммутируют. Нормировка собственных функций. Собственные функции определяются лишь с точностью до произвольного постоянного множителя. Этот мно- множитель можно подобрать так, чтобы собственные функции были нормиро-
108 4. Основные положения квантовой механики ваны на единицу: lu*uKdV= I. A7.20) Полнота системы собственных функций. В теории линейных операто- операторов доказывается, что система собст- собственных функций широкого класса ли- линейных операторов является полной ортогональной системой функций, т. е. не существует функции, которая была бы ортогональной всем функ- функциям системы. Исходя из этого ут- утверждения доказывается, что любая функция, удовлетворяющая весьма широким математическим условиям, которые в физических приложениях, как правило, выполняются, может быть разложена по полной ортого- ортогональной системе собственных функ- функций линейного оператора, т. е. пред- представлена в виде бесконечного ряда и = ахиу + а2и2 + ... + апип + ..., A7.21) где «„-постоянные числа, называе- называемые коэффициентами разложения. Эти коэффициенты разложения могут быть найдены путем умножения обеих частей равенства A7.21) на собствен- собственную функцию uf и интегрирования по области изменения переменных. Вви- Ввиду условия A7.13) все интегралы спра- справа, за исключением члена с номером /, обращаются в нуль, а интеграл от произведения ufut на основании A7.20) равен единице. Поэтому для коэффи- коэффициента а{ в A7.21) получаем a; = $u?udV. (П.22) Отметим, что собственные функции могут нумероваться не одним индек- индексом, а некоторой совокупностью ин- индексов. В этом случае в выписанных выше формулах под индексами, кото- которыми обозначают собственные функ- функции, следует понимать совокупность индексов, а суммирование в A7.21)- как суммирование по различным со- совокупностям индексов. Условия орто- ортогональности A7.13) и A7.20) можно записать в виде единой формулы: 1 (и = т), A723) Если п и т означают некоторую сово- совокупность индексов, то п = т пони- понимается как равенство соответствую- соответствующих индексов из совокупностей, обо- обозначенных пит. Вырожденные собственные значе- значения. Пусть одному и тому же собст- собственному значению принадлежит не одна собственная функция, а несколь- несколько. В этом случае данное собственное значение называем вырожденным. Собственные функции, принадлежа- принадлежащие вырожденному собственному зна- значению, вообще говоря, не ортого- ортогональны друг другу, но ортогональны другим собственным функциям, при- принадлежащим другим собственным значениям. Однако с помощью про- процесса ортогонализации (см. § 21) соб- собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значе- значению, всегда можно подобрать так, чтобы они были ортогональны друг другу. Непрерывный спектр собственных значений. В предшествующем изложе- изложении формулы выписывались приме- применительно к дискретному спектру соб- собственных значений. В случае непре- непрерывного спектра некоторые формулы изменяются. Пусть оператор А имеет непрерывный спектр собственных зна- значений к. Собственную функцию, при- принадлежащую собственному значению X, обозначим мд, причем предпола- предполагается, что число X изменяется не- непрерывно. Условие ортогональности A7.13) собственных функций, принадлежа- принадлежащих различным собственным значе- значениям, полностью сохраняется для не- непрерывного спектра:
17. Основные сведения из теории операторов 109 V=O{X^X'). A7.24) Однако нормировать собственные функции непрерывного спектра на единицу, как в дискретном спектре, нельзя, потому что интеграл от квад- квадрата модуля собственной функции не- непрерывного спектра обращается в бесконечность: \u*uxdV= °°- A7.25) Поэтому собственные функции непре- непрерывного спектра нормируют с по- помощью дельта-функции <"¦*> A7.27) ставляют непрерывное множество чи- чисел ал и находятся из условия о (X = 0), причем оо | 6(X)dX= 1. Основное свойство 8-функции, кото- которое легко доказывается с помощью 1еоремы о среднем, состоит в том, что для широкого класса функций/(X) выполняется равенство внутри («, *)]. A7.28) Таким образом, 8 (к) является пре- предельным случаем некоторой функции, которая стремится к нулю во всех точках X, отличных от нуля, а вблизи нуля стремится к бесконечности так, что интеграл по области, включаю- включающей нулевую точку, равен единице. Вместо условия ортонормированно- сти A7.23) для дискретного спектра в случае непрерывного спектра имеем $ulux.dV=S(X-X'). A7.29) Разложение некоторой функции по собственным функциям непрерывного спектра имеет вид и = \ахихЛХ, A7.30) причем коэффициенты я, теперь со- со= faAdX5(Г - X) = а,.. A7.31) Если спектр отчасти непрерывный, отчасти дискретный, то разложение некоторой функции по собственным функциям является суммой ряда A7.21) и интеграла A7.30): " = 1аЛ + К"А. A7.32) п причем коэффициенты ап и аЛ опре- определяются формулами A7.22) и A7.31). Суммирование и интегрирование в A7.32) распространено на всю об- область изменения соответствующих переменных. Формула для суммы произведений собственных функций. Из формулы A7.21) для разложения произвольной функции по системе собственных функ- функций может быть получено важное со- соотношение для суммы произведений собственных функций. Подставляя A7.22) в A7.21), находим и (х) = ? я,м,(х) = Я2~>*(х') «,(*)]• A7.33) Сравнивая A7.33) с A7.28), заклю- заключаем, что ? uf(x') u,(x) = 5(jc - x'). A7.34) 1 Аналогичное соотношение може1 быть получено и в случае непрерыв- непрерывного спектра. Подставляя A7.31) в A7.30), находим и(х) = jaxux(x)dX = = \ux(x)dX\ul (х') и (х') dx' — = \dx'u{x')\ut(x')ux(x)dX. A7.35) Отсюда следует, что \ut(x') ux(x) dX = 5 (х - х'). A7.36)
110 4. Основные положения квантовой механики 18. Представление динамических переменных посредством операторов Излагается физическая интерпретация матема- математическою аппарата квантовой механики Постулаты квантовой механики. В классической механике для описания движения частиц используются коор- координаты, импульсы частиц и другие физические величины, называемые ди- динамическими переменными. В каждый момент времени они имеют опреде- определенные числовые значения. Главная задача описания движения частиц в классической механике состоит в оп- определении зависимости динамических переменных от времени. В квантовой механике можно го- говорить лишь о вероятности того или иного значения динамической пере- переменной и о среднем значении динами- динамической переменной, а не об ее опреде- определенном числовом значении в данный момент времени и изменении этого значения со временем. Поэтому клас- классическое описание движения частицы и выражение динамических перемен- переменных в виде функций времени теряют смысл. Основные положения кванто- квантовой механики аксиоматически могут быть сформулированы в виде следую- следующих четырех постулатов (более об- общая формулировка этих постулатов дана в § 23). 1. Состояние движения частицы описывается волновой функцией Ч*. 2. Каждая динамическая перемен- переменная представляется определенным ли- линейным эрмитовым оператором. 3. При измерении числового зна- значения некоторой динамической пере- переменной, изображаемой оператором А, с определенной вероятностью по- получается одно из чисел Хх, Х2, ..., А.п,..., являющихся собственными значения- значениями оператора Л. Вероятность получения при изме- измерении того или иного значения Х.; вычисляется с помощью следующего правила. Обозначим^ ип собственные функции оператора А измеряемой ди- динамической переменной которые составляют полную орто- нормированную систему, и разложим нормированную волновую функцию Ч* по этой системе собственных функ- функций: Вероятность того, что при измере- измерении динамической переменной А бу- будет получено числовое значение Хп, равна \ап\2. 4. Волновая функция Ч* подчиняет- подчиняется уравнению Шредингера A6.16). Вычисление средних значений дина- динамических переменных. В теории ве- вероятностей среднее значение вели- величины (/4), принимающей значения Хп(п = 1, 2, ...) с вероятностями \а„\2, вычисляется по формуле <л> = 2>„к12- A8Л) и Это правило может быть обобщено: среднее значение динамической пере- переменной, представляемой оператором А, в состоянии, характеризуемом вол- волновой функцией Ч/, задается фор- формулой <Л> = ^*A4>dV. A8.2) Если представить Ти^в виде рядов A7.21) и подставить получен- полученные ряды в A8.2), то, произведя необ- необходимые действия, получим формулу A8.1), что доказывает обоснован- обоснованность A8.2). Оператор координаты. Операторы, представляющие динамические пере- переменные, должны быть самосопряжен- самосопряженными эрмитовыми операторами. Вы-
18. Представление динамических переменных посредством операторов 111 бор их конкретного вида определяется согласием полученных с их помощью результатов с экспериментами. Величина Ч**(л:) Ч'(.х) характери- характеризует плотность вероятности нахожде- нахождения частицы в точке х (для простоты написания формул рассматриваем случай одного измерения). Следова- Следовательно, среднее значение координаты (х) = jy?*{xL'(x)xdx = ^*(x)xvf(x)dx. A8.3) Сравнение A8.3) с A8.2) показывает, что в качестве оператора координаты х следует выбрать оператор умноже- умножения на эту координату, т. е. примене- применение оператора координаты х к неко- некоторой функции f(x) сводится к умно- умножению этой функции на х: xf(x) = = xj[x), т. е. оператор х = х. Оператор импульса. Для нахожде- нахождения оператора импульса вспомним, что, согласно гипотезе де Бройля, свободная частица, имеющая импульс рх, представляется плоской волной с волновым числом кх = pjh и часто- частотой ю = Efh. Поэтому следует потре- потребовать, чтобы уравнение на собствен- собственные значения для импульса РхУ=РхЧ> A8.4) имело решение в виде плоских волн: Ч> = At~Hcoi-kxx) = ^e-'¦<*'-"**>, A8.5) где А - несущественная для данного вопроса нормировочная постоянная. Сравнение A8.4) с A8.5) показы- показывает, что в качестве оператора им- импульса рх следует выбрать оператор П д A8.6) При таком выборе оператора рх урав- уравнение A8.4) удовлетворяется функ- функцией A8.5). Аналогично выражаются и другие составляющие оператора импульса. Поэтому в векторной фор- форме оператор импульса можно за- записать в виде дх A8.7) где i2-opTbi. ^, r 2p Гамильтониан. В классической фи- физике функцией Гамильтона называет- называется полная энергия, выраженная через импульсы и координаты частиц. Для одной частицы полная энергия сво- сводится к сумме кинетической и потен- потенциальной энергий: Н(т,р)=р2/Bт) + ЕМ A8.8) В квантовой механике функции Гамильтона должен соответствовать оператор. Он получается в результате подстановки в A8.8) вместо р опера- оператора р из A8.7): Я = Ъп EJr) = - f- V2 + ?п 2 A8.9) Момент импульса частицы. В клас- классической физике момент импульса частицы определяется как векторное произведение радиуса-вектора части- частицы на ее импульс: L = rxp A8.10) или в координатном виде Lx = УРг ~ ZPy- Ly = zPx-xPz, A8.11) Lz = хру - урх. В квантовой теории проекциям мо- момента импульса ставятся в соответст- соответствие операторы следующим образом: L Оператор полной энергии. Опера- Оператор полной энергии Ё следует выбрать
112 4. Основные положения квантовой механики так, чтобы его собственные значения были равны энергии Е частицы. Най- Найдем его возможный вид на примере свободной частицы, обобщив резуль- результат на общий случай. Необходимо потребовать, чтобы уравнение ЁЧ = Р? A8.13) имело решение в виде плоской волны A8.5), описывающей свободную ча- частицу с энергией Е. Легко заметить, что Е--Ц. i dt A8.14) Найденный для частного случая вид оператора полной энергии A8.14) обобщается на произвольный случай. Оператор произвольной функции динамических переменных. Приведен- Приведенные примеры операторов наводят на мысль, что если имеется некоторая функция F(x, p) динамических пере- переменных (х, р), то соответствующий этой функции оператор F получается заменой величины р ее операторным выражением A8.7). Во всех приведен- приведенных выше случаях это правило вы- выполняется. Однако в общем случае поступать так нельзя, поскольку получающийся при этом оператор г х, I не является самосопряжен- \ / дх/ ным и, следовательно, не может быть использован в квантовой механике. Так можно поступать лишь в том случае, когда получающийся опера- оператор самосопряжен. В частности, если F{x, p) = F^x) + F2(p), A8.15a) то соответствующий оператор запи- записывается следующим образом: 'Ь ё\ A8.156) Условие одновременной измеримо- измеримости различных динамических перемен- ных. Выше было отмечено, что при измерении динамической переменной получается вполне определенное чис- числовое значение лишь в том случае, когда волновая функция, описываю- описывающая систему, является собственной функцией измеряемой динамической переменной. Но собственные функции операторов различных динамических переменных, вообще говоря, различ- различны, поэтому различные динамиче- динамические переменные не могут при измере- измерениях одновременно давать определен- определенные числовые значения. Однако при определенном условии это возможно. Необходимым и достаточным усло- условием является коммутативность опера- операторов этих динамических перемен- переменных. Доказательство необходимости условия состоит в следующем. Пусть операторы А к В имеют общие собственные функции и, следо- следовательно, соответствующие динами- динамические переменные одновременно из- измеримы. Тогда из уравнений Яи = аи, Ви = рм A8.16а) находим, что АЁи = $Аи = $аи, A8.166) BAu = aBu = afiu. A8.17) Отсюда видно, что операторы А и В коммутируют: АВ = ВА. A8.18) Доказательство достаточности ус- условия проводится следуклцим обра- образом. Если операторы А и В коммути- коммутируют, то, обозначив для определенно- определенности собственную функцию оператора В через и, т. е. считая, что Ви = $и, A8.19) можно на основании A8.18) и A8.19) написать В~Аи = АВи = $Аи. A8.20) Это означает, что функция Аи-собст- Аи-собственная функция оператора В, принад-
§ 18. Представление динамических переменных посредством операторов 113 лежащая собственному значению р\ Но, согласно A8.19)^ собственной функцией оператора В, принадлежа- принадлежащей собственному значению р, яв- является функция и. Следовательно, функции Аи и и совпадают с точ- точностью до числового множителя а: Аи = аи. A8.21) Это равенство показывает, что м-соб- м-собственная функция оператора А, т.е. операторы В и А имеют общую соб- собственную функцию и поэтому соот- соответствующие им динамические пере- переменные одновременно измеримы. Тео- Теорема доказана. Принцип дополнительности. Из из- изложенного выше следует, что в кван- квантовой механике для описания движе- движения частиц нельзя пользоваться од- одновременно всеми теми переменны- переменными, которыми пользуются при описа- описании движения частиц в классической механике. Координата и соответст- соответствующий этой координате импульс частицы могут быть примером пары таких переменных. Следовательно, в квантовой механике состояние движе- движения описывается меньшим числом пе- переменных и является менее подроб- подробным, чем в классической физике, опи- описанием. Выберем всевозможные физические величины, операторы которых ком- коммутируют между собой. Эти величи- величины одновременно имеют определен- определенные значения. Их совокупность дает полное квантово-механическое описа- описание и составляет полный набор вели- величин в квантовой механике, хотя в классической механике для полного описания движения необходимо поль- пользоваться одновременно с этими ве- величинами также и другими. Выбрав в качестве полного набора величин некоторые конкретные вели- величины (например, в числе прочих- координаты), мы исключим из рас- рассмотрения другие (в данном случае в числе прочих - импульсы), операторы которых не коммутируют с ними и, следовательно, не могут входить в тот же самый полный набор. Однако эти другие величины, в свою очередь, могут входить в другой полный набор, которым можно также пользоваться для описания движения. В частности, можно пользоваться координатами и временем и тогда получим описание системы, рассматриваемой в про- пространстве и времени, но можно поль- пользоваться и импульсно-энергетически- ми переменными и тогда получается описание, в котором как бы теряется связь с пространством и временем. Таким образом, ситуация такова: ли- либо выбирается один полный набор величин, тогда при рассмотрении фи- физического явления нельзя учесть неко- некоторые важные особенности, которые связаны с величинами, не входящими в рассматриваемый набор, либо вы- выбирается другой полный набор вели- величин и тогда теряется то, что связано с величинами первого набора. В этом и состоит сущность принципа дополни- дополнительности. Из изложенного видно, что прин- принцип дополнительности является про- просто констатацией ситуации, которая существует в квантовой механике. Но при истолковании принципа дополни- дополнительности необходимо иметь в виду следующие обстоятельства. Прежде всего возникает вопрос об источнике дополнительности. Очевид- Очевидно, что дополнительность возникает вследствие тех же обстоятельств, в результате которых возникают и дру- другие квантовые закономерности, т. е. обусловливается свойствами микро- микрочастиц, из-за чего их нельзя рассмат- рассматривать ни с чисто корпускулярной, ни с чисто волновой позиции. В некото- 8 219
114 4 Основные положения квантовой механики ром смысле принцип дополнитель- дополнительности и есть констатация наличия этих двух сторон в одном явлении. Поэтому попытка связать принцип дополнительности с существованием двух классов измерительных прибо- приборов и с какими-то особенностями из- измерения некорректна. Далее необходимо определить зна- значение принципа дополнительности. Иногда односторонне подчеркивается различие двух сторон дополнительно- дополнительности и забывается об их единстве. Го- Говорится, что можно принять во вни- внимание одни стороны явления, но тог- тогда из виду ускользают другие, и на- наоборот. Однако необходимо заметить, что речь идет о различных подходах к рассмотрению одной и той же объек- объективной сущности. Поэтому различ- различные подходы к изучению и истолкова- истолкованию явлений не исключают, а допол- дополняют друг друга. Всестороннее изуче- изучение явления возможно лишь тогда, когда оно действительно изучается со всех сторон. Принцип дополнитель- дополнительности и указывает на то обстоятель- обстоятельство, что в явлении имеется несколько сторон. Неправильное толкование принципа дополнительности состоит в попытке свести его содержание к требованию изучать явления только с какой-либо одной стороны. Чистые и смешанные состояния. Для того чтобы полностью опреде- определить волновую функцию, описываю- описывающую данное состояние, необходимо посредством измерений задать пол- полный набор динамических переменных. Волновая функция рассматриваемого состояния является собственной функ- функцией операторов, представляющих полный набор физических величин. При этом условии волновая функция определяется полностью и дает мак- максимально полное описание системы, которое возможно в квантовой меха- механике. Такого рода состояния, описы- описываемые полностью определенной вол- волновой функцией, называются чисты- чистыми. В чистых состояниях осуществ- осуществляется максимально полное описание состояния квантовой системы. Однако в квантовой механике воз- возможны и такие состояния, которым не соответствует никакая волновая функция. Это возможно в том случае, когда по каким-либо причинам нель- нельзя определить состояние с помощью полного набора величин и надо до- довольствоваться неполным описанием. В этом случае в результате измерений физических величин в рассматривае- рассматриваемой системе можно установить: а) какие чистые состояния у?1, Ч*2, Ч*3, ••• присутствуют в исследуемом состоянии, поскольку известно, каким чистым состояниям соответствуют те или иные значения физических ве- величин; б) вероятности 0>Y, 2Р2, 3?ъ, ..., с которыми чистые состояния Ч'1, Ч*2, 4*3, ... присутствуют в исследуемом состоянии, поскольку вероятность может быть вычислена по относи- относительной частоте появления того или иного результата измерения. Однако по этим данным невоз- невозможно построить волновую функцию исследуемого состояния, потому что в ожидаемом на основании принципа суперпозиции представлении Ч/ = Х«„*„ A8.22) П известны лишь квадраты модулей коэффициентов \а„\2 = &п, но неизве- неизвестны сами коэффициенты. Коэффи- Коэффициенты а„ известны лишь с точностью до фазовых множителей ехр(/а„). Та- Таким образом, волновая функция в этом случае остается неопределенной. Состояния, которым нельзя сопоста-
18 Представление динамических переменных посредством операторов 11Б вить никакую волновую функцию, на- называются смешанными. Смешанные состояния описывают- описываются набором волновых функций х?1, 4*2, *Р3, ... чистых состояний, входя- входящих в смешанное состояние, и набо- набором вероятностей #l5 ^2, t^3, ..., с которыми чистые состояния Ф15 Ч 2, Ч'з, ... входят в смешанное. Зная наборы волновых функций чистых состояний и соответствующие вероятности, можно вычислять сред- средние значения физических величин в смешанном состоянии. Если физичес- физическая величина представлена операто- оператором А, то ее среднее значение (A) = X^nj*P* A4'ndV. A8.23) П Сравним A8.23) с формулой для среднего в чистом состоянии, т. е. в том случае, когда состояние описыва- описывается формулой A8.22): (А) = A8.24) Гейзенберг Вернер A901-1976) Немецкий физик, один из создателей современной физики, создатель квантовой механики (в матричной формулировке), автор принципа неопределенности Автор важных работ по структуре атомного ядра, релятивистской квантовой механике, квантовой теории поля, теории ферромагнетизма, философии естествознания Сравнение A8.23) с A8.24) показы- показывает, что в выражении для среднего в чистом состоянии присутствует до- дополнительный член, учитывающий интерференцию различных состоя- состояний, входящих в чистое состояние. Следовательно, смешанное состояние есть некогерентная смесь составляю- составляющих его чистых состояний, а чистое состояние есть когерентная смесь со- составляющих его чистых состояний. Примером смешанного состояния может служить состояние молекул газа, находящегося в тепловом равно- равновесии, если имеется в виду их тепло- тепловое движение (а не внутреннее состоя- состояние). В этом случае волновыми функ- функциями чистых состояний, входящих в смешанное состояние, являются плос- плоские волны, а соответствующие ве- вероятности даются распределением Максвелла. Соотношение неопределенностей. Вычислим коммутатор операторов координаты х и импульса р. Учиты- Учитывая A7.7), находим . ^ И 6 И х. X] =- — Х-Х-— = -. i ox i ox i A8.25) Аналогичные соотношения получа- получаются и для других проекций ко- орцинаты и импульса. Различные проекции этих операторов, очевидно, коммутируют. Например, [рх. У] = 0. A8.26) Из A8.25) следует, что координата и импульс при измерении не могут давать одновременно определенных значений. Измеряя одновременно у частицы в некотором состоянии ко- координату и импульс, мы будем по- получать значения этих величин, раз- разбросанные около некоторых средних. Такой разброс величин в математике характеризуется дисперсией или сред-
116 4 Основные положения квантовой механики ним квадратичным отклонением. Со- Соотношение неопределенностей, уста- установленное Гейзенбергом и поэтому называемое соотношением неопре- неопределенностей Гейзенберга, выражает связь между дисперсией координаты и импульса частицы. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Обозначим (х) и <(/?) средние значения координаты и им- импульса частицы (для простоты написания рассматриваем одно изме- измерение). Дисперсии, характеризующие разброс величин около их средних значений, вычисляются по формулам <(ДхJ> = <(х-<х»2> = <х2>- -2<х<х» + <х>2 = <х2>-<х>2, A8.27) ((АрJ} = ((р- (р)J) = </> - 2(р(р}) + + <Р>2 = <У> - <РУ- A8.28) Для дальнейших расчетов удобно вы- выбрать такую систему координат, в которой средняя величина координа- координаты частицы и ее средний импульс равны нулю: (х) = 0, (р) = 0. В этой системе координат <(АхJ> = <х2>= dx, A8.29) ((АрJ) = (р2) = J 4>*(x)p24>(x)dx = д2к?(х) ' дх2 dx. A8.30) — ее Соотношение неопределенностей устанавливает связь между ~J( (AxJ ) и yj((АрJ). Для нахождения этой связи рассмотрим интеграл dx dx, A8.31) Одновременно измеримы динамические переменные, которые представляются коммутирующими операторами. Состояния, описываемые полностью определенной волновой функцией, на- называются чистыми состояниями Состоя- Состояния, которым нельзя сопоставить никакой волновой функции, называются смешан- смешанными состояниями. Смешанные состоя- состояния описываюся набором волновых функций чистых состояний, входящих в смешанное состояние, и вероятностями, с которыми чистые состояния входят в смешанное состояние. Соотношение неопределенностей являет- является математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так и волно- волновых свойств. Поэтому оно является объек- объективной закономерностью, отражающей объективные свойства микрочастиц, и не обусловливается теми или иными особен- особенностями измерения соотвествующих ве- величин в конкретном эксперименте. Как вычисляются средние значения динамиче- динамических переменных' Напишите выражения для операторов коорди- координаты, импульса, момента импульса, потенци- потенциальной энергии Что такое гамильтониан и оператор полной энергии частицы? Что можно сказать об операторе функции динамических переменных' являющийся положительно-опре- положительно-определенной функцией вещественной переменной ?. Он равен I(Q = A{,2-B{, + C, A8.32а) где А = J х2Ч7*ЧМх= <(АхJ>, A8.326) В= - dx *—)dx = dx/ = - f x—( Л dx + [ Ч?*ЧЧх= 1, A8.32в) С = d? dx = d dx dx d24> '~d? dx = A8.32r)
§ 18. Представление динамических переменных посредством операторов 117 Условие положительности величины /(Q на основании теоремы о корнях квадратного уравнения имеет вид МС>82. A8.33) Отсюда, заменив А, В, С их выраже- выражениями из A8.326) —A8.32г) и извлекая из обеих частей неравенства корень квадратный, получим соотношение не- неопределенностей >>Й/2, A8.34) где <(ALJ> и ((ДМJ)-средние квад- квадратичные отклонения рассматрива- рассматриваемых физических величин: <(ALJ> = <(L- <L»2>, <(ЛМJ> = <(М-<М»2>, A8.37) которое показывает, что импульс и координата частицы не могут одно- одновременно иметь определенные значе- значения и минимально возможное произ- произведение дисперсий координат и им- импульсов ограничивается постоянной Планка. Величины ^/((ДхJ) и ^/((АрJ} не могут быть одновремен- одновременно равными нулю. Соотношение не- неопределенностей является математи- математическим выражением наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств. Соотношение неопределенностей между произвольными физическими величинами. Соотношение неопре- неопределенностей A8.34) может быть обоб- обобщено на произвольные физические ве- величины. Пусть имеются две физичес- физические величины L и М, операторы ко- которых 1иМ. Методом, который был использован при получении соотно- соотношения неопределенностей A8.34), может быть получено также и соот- соотношение неопределенностей для вели- величин Lu M, если только известен ком- коммутатор этих операторов: [L, М] = Ж, A8.35) где К-эрмитов оператор. Это соот- соотношение имеет вид - 1 A8.36) а | (К) |-модуль среднего значения К. Введем обозначения AL = L- <L>, AM = M - <М> A8.38) и аналогично A8.31) рассмотрим интеграл I(Q = \\(t,AL-iAML>\2dV, A8.39) который является положительно- определенной функцией ?. Используя свойство^ самосопряженности опера- операторов AL и ДМ и определение сред- среднего, имеем = %AL- (AMJ}'VdV= С , ДМ]> + iAM*L>*dV= - iAML>dV = , ДМ] + A8.40) <(АМJ>. Принимая J3O внимание, что [ДЬ, ДМ] = [L, М] = г К, и пользуясь усло- условием A8.33) неотрицательности A8.40), находим: 1 A8.41) что и требовалось получить. Обычно для упрощения соотноше- соотношение A8.41) записывают в виде A8.42) При этом необходимо учесть, что AL и ДМ в A8.42)-корни квадратные из дисперсий. Таким образом, соотношение не- неопределенностей, которое существует между физическими величинами, полностью определяется правилом
118 4. Основные положения квантовой механики коммутации этих физических вели- величин. Отсюда, в частности, следует, что если операторы двух физических величин коммутируют, то эти физи- физические величины могут иметь одно- одновременно определенные значения, так как произведение их дисперсий равно нулю [см. A8.17)]. Рассмотрим некоторые примене- применения общей формулы A8.42) к конкрет- конкретным случаям. Прежде всего получим с ее помощью соотношение неопре- неопределенности для координаты и им- импульса, найденных в A8.34) непосред- непосредственным вычислением. Соотношение коммутации для оператора импульса и координаты дается формулой A8.25). Сравнивая эту формулу с A8.35), видим, что надо принять L=px, M = х, iK = A8.43) Принимая во внимание, что | (К) = = h, можно общее соотношение A8.41) с учетом A8.43) записать в виде г>;Дй, A8.44) что совпадает с A8.34). В соответ- соответствии с A8.42) это соотношение обыч- обычно записывают более просто: 1 AprAx ^ -й. 2 A8.45) Соотношение неопределенности для проекции момента импульса на ось Z. В цилиндрической системе координат движение частицы вокруг оси Z характеризуется величиной азиму- азимутального угла ф и проекцией момента импульса частицы на ось Z. Оператор проекции момента импульса на ось Z дается формулой A8.12). Нетрудно с помощью формул преобразования координат найти вид этого оператора в цилиндрической системе координат: П д U = . A8.46) Перестановочное соотношение для ср и L находится аналогично A8.25): A8.47) Следовательно, в формуле A8.35) надо положить L=LZ, М = ф, iK = fi/i, A8.48) тогда [см. A8.42)] 1 ALzAq> 3*-/г. A8.49) Этой формулой описывается связь не- неопределенности углового положения частицы с неопределенностью проек- проекции ее углового момента на направле- направление, перпендикулярное плоскости, в которой отсчитывается угол ф. Со- Соотношение A8.49) означает, что если угол ф для частицы задан, то проек- проекция момента импульса частицы на ось Z становится совершенно неопре- неопределенной. И, наоборот, если движе- движение частицы характеризуется проек- проекцией ее момента импульса на ось Z. то нельзя говорить ни о каком опре- определенном положении частицы по азимутальному углу. Соотношение неопределенности для энергии. Коммутатор для оператора h 8 энергии частицы Е — — и времени i ot t имеет вид [?,/] = -- A8.50) и, следовательно, соответствующее соотношение неопределенности 1 AEAt 5s -П. 2 A8.51)
§ 18. Представление динамических переменных посредством операторов 119 Хотя по виду соотношение A8.51) аналогично соотношениям A8.49) и A8.45), его смысл совершенно иной. Это обусловлено двумя обстоятель- обстоятельствами. 1. Величиной, которая измеряется в эксперименте, является не полная энергия какого-то состояния, а раз- разность энергий при переходе системы из одного состояния в другое. 2. Время непрерывно течет, по- поэтому нет той «средней точки», от- относительно которой можно было бы рассматривать At как разброс каких- то моментов времени. Нетрудно видечь, чю ли два об- обстоятельства связаны друг с другом. Вследствие этого интерпретировать A8.51) аналогично интерпретации формул A8.49) и A8.45) невозможно. Ясно, что из-за отсутствия «не- «неподвижной средней точки» At в A8.51) может иметь только смысл продол- продолжительности. С другой стороны, переходя от разброса энергии АЕ к разбросу разности энергии двух со- состояний А(Е — Е'), надо удвоить правую часть неравенства, поскольку знаки изменения АЕ и АЕ' могут быть произвольными. Поэтому [см. A8.51)] А(Е- E')At^H. A8.52) В этом соотношении под At следует понимать отрезок времени, в течение которого реализуется переход систе- системы из состояния с энергией Е в со- состояние с энергией ?". Заметим, что это не есть продолжительность само- самого перехода из одного состояния в другое, а продолжительность того от- отрезка времени, на котором это со- событие происходит. Под А(Е — Е') понимается разброс выделяющейся при переходе энергии. Проще всего это иллюстрируется на примере из- излучения атомов. При переходе элек- электрона в атоме из одного состояния в другое излучается квант света. Одна- Однако известно, что спектральные линии излучения имеют определенную есте- естественную ширину. Это означает, что излученные кванты не имеют строго определенных энергий, что соответ- соответствует разбросу в значениях разности энергий при переходе атома из одно- одного квантового состояния в другое. Этот разброс в формуле A8.52) пред- представляется величиной Л (Е — Е'). Таким образом, по естественной ширине линий излучения можно опре- определить А(Е — Е'), а затем с помощью формулы A8.52) вычислить время жизни атома в возбужденном состоя- состоянии относительно этого перехода: At = z*H/A(E-E'). A8.53) Отсюда можно определить вероят- вероятность того, что система в единицу времени перейдет из одного состоя- состояния в другое. Эта вероятность равна обратному значению времени жизни системы относительно рассматривае- рассматриваемого перехода: &> = 1/т % А(Е - Е')/П. A8.54) Соотношение неопределенности для энергии особенно ясно показыва- показывает, что существование соотношений неопределенности для величин в кван- квантовой механике обусловливается не какими-то особенностями измерения, а внутренними особенностями самих квантовых систем. Интерпретация соотношения не- неопределенностей. Соотношение не- неопределенностей - это математичес- математическое выражение наличия у частиц как корпускулярных, так и волновых свойств. Поэтому оно является объек- объективной закономерностью, отражаю- отражающей объективные свойства частиц, и
120 4. Основные положения квантовой механики не обусловливается теми или иными особенностями измерения соответ- соответствующих величин в конкретном экс- эксперименте. В процессе своего исторического развития человечество выработало понятия о закономерностях движения корпускул и о закономерностях вол- волнового движения. Эти понятия были выработаны для макроскопических явлений. Они используются и при описании микроскопических явлений. Но они не адекватны реальным свой- свойствам микрочастиц, которые не ведут себя ни как корпускулы, ни как вол- волны. Соотношение неопределенности и отражает ту степень погрешности, которая допускается, когда эта слож- сложная сущность частиц игнорируется, и поведение частиц описывается с по- помощью понятий и величин, свой- свойственных чисто корпускулярной или волновой картине. Для понимания явлений микромира мы не обладаем другими понятиями, кроме понятий, свойственных чисто корпускулярной и чисто волновой картине. Поэтому весь анализ явлений микромира мы вынуждены вести в рамках этих поня- понятий, которые неадекватно, односто- односторонне и неполно отражают свойства объектов микромира. Если эти поня- понятия абсолютизировать и не учиты- учитывать их односторонность и неполно- неполноту, то при анализе явлений микро- микромира возникают многочисленные противоречия. Их наличие и служит объективным доказательством недо- недостаточности понятий макроскопичес- макроскопического опыта для теории движения микрочастиц. Эти противоречия устраняются, если учесть соотноше- соотношение неопределенностей. Значит, поня- понятия макроскопического опыта можно применять к анализу явлений микро- микромира лишь учитывая соотношение не- неопределенностей. При познании зако- закономерностей микромира оно такой же важный элемент, как и сами поня- понятия, которыми при этом пользуются. Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего важность соотно- соотношения неопределенностей для анали- анализа явлений микромира, движение электрона в основном состоянии ато- атома водорода. В теории Бора точеч- точечный электрон движется по орбитам, которые квантованы. Однако его дви- движение по квантованной орбите ничем не отличается от механического пере- перемещения частицы вдоль траектории в классической механике. В рамках квантовой механики нельзя говорить о движении электрона по траектории, но можно говорить о вероятности местонахождения электрона в той или иной области пространства. Это обстоятельство также связано с прин- принципом неопределенности: если элек- электрон зафиксирован в какой-то точке пространства в какой-то момент вре- времени, то его импульс, а следователь- следовательно, и скорость становятся полностью неопределенными и понятие траекто- траектории теряет смысл. Распределение ве- вероятностей координат электрона в атоме водорода рассмотрено в § 30. Здесь достаточно заметить, что име- имеются вероятности пребывания элект- электрона достаточно далеко от ядра и достаточно близко. Наиболее вероят- вероятным расстоянием в основном состоя- состоянии является расстояние до первой боровской орбиты в теории Бора. Это заключение в принципе может быть подтверждено экспериментально. В настоящее время проведено доста- достаточно много измерений распределе- распределения плотности электронного облака в атомах и эти измерения находятся в хорошем согласии с предсказаниями квантовой механики. Как показывает опыт, у всех ато- атомов водорода в основном состоянии
18. Представление динамических переменных посредством операторов 121 энергия ионизации одна и та же. Это означает, что полная энергия электро- электрона в основном состоянии постоянна. Полная энергия слагается из двух частей: положительной кинетической энергии и отрицательной потенциаль- потенциальной энергии. Полная энергия электро- электрона в основном состоянии атома водо- водорода равна примерно — 13,6 эВ. Предположим, что мы не принимаем во внимание соотношения неопре- неопределенности и хотим понять распре- распределение вероятностей электрона в рамках корпускулярной картины. Тогда мы сразу же приходим к про- противоречию. В самом деле, рассмо!- рим достаточно далекую от ядра точку, в которой электрон с опре- определенной вероятностью может на- находиться. Потенциальная энергия, ко- которую имеет электрон в этой точке, известна [?п = — е*/DneQr)~\. При до- достаточно большом расстоянии она может быть больше — 13,6 эВ, на- например равна — 12,5 эВ. Тогда, для того чтобы полная энергия была равна —13,6 эВ, как это дается экспе- экспериментом, необходимо считать кине- кинетическую энергию электрона в этой точке отрицательной, что бессмыс- бессмысленно. Таким образом, неосмотри- неосмотрительное применение корпускулярных понятий к анализу эксперименталь- экспериментальных фактов сразу же привело к про- противоречию. Однако рассуждение, при- приведшее к противоречию, недопустимо из-за наличия соотношения неоп- неопределенности, поскольку понятие о положении электрона непригодно для описания движения электрона в ато- атоме. Математически это выражается в том, что, зафиксировав координату электрона, мы неправомочны в даль- дальнейших рассуждениях говорить об импульсе, а следовательно, и о ки- кинетической энергии как об определен- определенной величине. Поэтому нельзя считать, что элек- электрон в атоме одновременно имеет некоторые импульс и координаты. Следует заметить, что речь идет именно о том, что электрон не имеет определенных значений импульса и координаты, а не о том, что их нельзя одновременно измерить. Принцип неопределенности позволяет оценить, с какой точностью можно приближен- приближенно описать движение электрона в рам- рамках картины движения точечной части- частицы по какой-то траектории с опреде- определенной скоростью, т. е. не о том, с какой точностью справедливы кван- квантовые понятия, а о том, с какой точ- точностью справедливы классические понятия. Нетрудно видеть, что в слу- случае атома представление о движении электрона по некоторой траектории вообще ни в каком приближении не- невозможно. Это связано с тем, что если в качестве неопределенности импульса взять его максимально возможное значение, то для неопре- неопределенности координат получаются значения, имеющие порядок разме- размеров атома. В других случаях с доста- достаточной точностью можно говорить о движении электрона по траектории. Например, если заряженная частица пролетает в среде с перенасыщенным паром, то она оставляет за собой след. В этом случае приемлемо пред- представление о движении частицы вдоль следа в пределах некоторой области, поперечные размеры которой вычис- вычисляются по соотношению неопреде- неопределенности. Пример 18.1. Волновая функция электрона в атоме водорода в состоя- состоянии с наименьшей энергией где а0 = 4пе0 И2/{те2) = 0,529 х х 10 ~Ом- радиус первой боровской орбиты. Собственная функция опера-
122 4 Основные положения квантовой механики тора импульса Найти вероятность того, что импульс электрона в атоме водорода заклю- заключен по модулю между р и р + dp. Находим волновую функцию элек- электрона в атоме водорода в /7-пред- ставлении: С(р) = BтгЙ)-3/2 = BтгЙ)-3/2(л;ао3)-1/2 j Вычисление интеграла удобно вести в сферических координатах с полярной осью, направленной вдоль р: Jexp(— r/a0 — ip-r/fi)dV = 2л jVdr x о + i х [ ехр (— г/а0 — ipr cos 9/ft) d cos 0 = X = l2nH/(ipy] J {exp[(- l/a0 + *>/?>] - о - exp[(- 1/й0 - i/?//i)r]}rdr = = %nalhAl{h2 + a2oP2J. Следовательно, плотность вероятно- вероятности, что импульс электрона равен р, дается выражением Интегрируя его по всем направле- направлениям импульса р, т. е. умножая на элемент объема в пространстве им- импульсов 4iip2dp, находим вероятность того, что импульс электрона заклю- заключен по модулю между р и р + dp: 32alfisp2 к(П2 + а2/?2L Пример 18.2. Пользуясь соотноше- соотношением неопределенности Гейзенберга, оценить минимальную энергию элек- электрона в атоме водорода. По соотношению неопределенно- неопределенности импульс электрона р % В/а и его кинетическая энергия Ек = р2/Bт) = = Н2/Bта2), где а-линейный размер атома (по порядку величины), т- масса электрона. Потенциальная и полная энергии электрона равны со- соответственно Еп — — е2/Dкг0а), Е = = Ек + Еа = П2/Bта2) - е2/Dпгоа). Полная энергия Е = Е(а) при малых а положительна [? (а -* 0) -> оо], а при больших а - отрицательна и стре- стремится при этом к нулю [? (а -> -> оо)-» —0]. Поэтому она имеет ми- минимум при значении а0, определя- определяемом из условия дЕ(а)/да = 0: а0 = = 4ке0Н2/(те2). При а = а0 движение электрона в атоме водорода устойчи- устойчиво, а полная энергия равна Е(а0) = = — те4/C2к2ВоН ), что в данном слу- случае совпадает с точным значением минимальной энергии по теории Бора A4.19) и с соответствующим резуль- результатом квантовой теории атома водо- водорода C0.24). Значение а0 совпадает с радиусом Бора A4.18) атома водо- водорода. Такое точное совпадение результатов является случайным и не содержит в себе какого-либо более глубокого смысла, поскольку в ис- исходных предпосылках речь шла лишь о порядках величин. 19. Изменение динамических переменных во времени Описывается переход от представления кванто- квантовой динамики посредством изменяющейся во времени волновой функции к представлению с помощью зависящих от времени операторов динамических переменных. Дифференцирование операторов по вре- времени, скобки Пуассона. С течением времени средние значения динамичес- динамических переменных, вообще говоря, из- изменяются. Дифференцируя обе части равенства (А) = \4'*A4'dV A9.1) по времени, получаем
§ 19, Изменение динамических переменных во времени 123 дА dt >*А—dK dt -Ay?AV + A9.2) Принимая во внимание, что / dt ' i dt перепишем A9.2) в виде At J dt i A9.3) A9.4) Пользуясь эрмитовостью оператора Н, второй интеграл в правой части равенства можно преобразовать: где коммутатор [Я, А] =-[#, Л]_ =-(НА-АЙ) A9.8) h И называется, по аналогии с классичес- классической механикой, квантовыми скобками Пуассона. Эта аналогия проистекает из следующих обстоятельств. В клас- классической механике полная производ- производная по времени динамической пере- переменной А, являющейся функцией ко- координат, импульсов и времени, дается формулой dA dA \^fdAdxt дААр>\ :t dt dpi dt, A9.10) A9.5) = Воспользовавшись уравнениями Га- Гамильтона Axt dH dpt dH dt dp- At dx- где Я-функция Гамильтона A8.8), получаем равенство АА дА X^fdHdA 8A дН\ I \ | I At dt L-i\dpi 8xt dpi dxj dA dt Окончательно d Г (dA i _ _ ] — (A)= \4>*< — + -(HA-AH)\4>AV. dt J I dt И ) A9.6) Таким образом, производная от среднего значения динамической переменной представлена как среднее значение от некоторого оператора. Естественно этот последний оператор принять за определение производной от оператора динамической перемен- переменной. Обозначая производную от оператора А символом dA/dt, на основании A9.6) можно написать ^ = 6А + [Й,А1 A9.7) ™_ dt dt A- в котором величина A9.11) . , дА дН\ [Я, А-]=) I— — - — —) A9.12) /__i\dpioxi dpidXf/ i называется скобками Пуассона. Ана- Аналогия между A9.7) и A9.11) позволи- позволила назвать оператор A9.8) квантовы- квантовыми скобками Пуассона. Если оператор А или величина А явно от времени не зависят, то формулы A9.7) и A9.11) принимают вид dA АА A9Л4) Квантовые уравнения Гамильтона. Аналогия между квантовыми и клас- классическими формулами идет еще даль- дальше. Классическое уравнение A9.14) определяет изменение произвольной
124 4 Основные положения квантовой механики динамической величины со временем и является уравнением для этой ди- динамической переменной. В частности, она содержит в себе уравнения движе- движения. Взяв в качестве А в этом уравне- уравнении величину х, находим djc дНдх дхдН дН — = [Я, х] = = —.A9.15) dt dp дх dp дх dp Аналогично выбрав в качестве А ве- величину р, получим dp дНдр дрдН дН dr ' dp дх dp дх дх A9.16) Таким образом, уравнение A9.14) со- содержит в себе уравнения движения в форме Гамильтона. Уравнение A9.13) является кван- квантовым уравнением для оператора А, которым изображается некоторая ди- динамическая переменная, т. е. это урав- уравнение определяет закон изменения со- соответствующей динамической пере- переменной. Взяв в качестве динамичес- динамических переменных оператор координа- координаты и импульса частицы, получим следующие квантовые уравнения дви- движения в форме Гамильтона: ** = гд *]. ^ = Ся, /д. At dt A9.17) В правых частях этих уравнений стоят квантовые скобки Пуассона, опре- определяемые равенством A9.8). Интегралы движения. Пусть опера- оператор А некоторой динамической пере- переменной не зависит явно от времени и коммутирует с гамильтонианом. Тог- Тогда на основании A9.7) имеем dA A9.18) A9.19) т.е. среднее значение этой перемен- переменной постоянно. Постоянной остается также и вероятность найти при из- измерении динамической переменной А то или иное числовое значение А„. Чтобы это показать, заметим, что вероятность »п = Kl2 = IJи„*(г)*(г, t)dV\\ A9.20) где и^ - собственная функция операто- оператора А, принадлежащая собственному значению Ап; Ч*-волновая функция стационарного состояния, в котором производится измерение А. Незави- Независимость ЗРп от времени становится очевидной, если в явном виде выписать аргументы а„ = К (г, /)«F(r, t)d\ = е-гЕ"Л|У(гК*(г)с1К A9.21) где ?(г, t) = exp(-iEt/HL'(r). Ясно, что \ап\2 не зависит от времени, что и требовалось доказать. Теоремы Эренфеста. Вычислим квантовые скобки Пуассона [Я, х], [Я, рх~\. Так как оператор координаты х коммутирует с оператором потен- потенциальной энергии Еп(г), входящей в оператор Гамильтона, и, кроме того, он коммутирует со всеми составляю- составляющими оператора импульса, за исклю- исключением составляющей рх, то [Я, i] = ЧЙх - хй) = Н (р2хх- хр2х). A9.22) = [рхх)рх + Но + {h/i)px = (*px + H/i)px + Bh/i)px. Следовательно, [Я, х] = = pjm. Учитывая A9.7), находим В этом случае <^4) с течением вре- времени не изменяется, так как из A9.18) г*: _ г ft х~\ = —. следует, что d? ' m A9.23)
19. Изменение динамических переменных во времени 125 Аналогичные равенства получаются и для других составляющих оператора координаты и импульса. Производную от оператора ко- координаты естественно отождествить с оператором скорости. Равенство A9.23) показывает, что в квантовой механике между оператором скоро- скорости и оператором импульса существу- существует такое же соотношение, какое в классической механике между скоро- скоростью и импульсом. Вычислим теперь квантовую скоб- скобку Пуассона [Я, рх~\. Так как оператор рх коммутирует с оператором кинети- кинетической энергии, то У*-к A9.26) [Я, /У = -AEJX - /г ) = - ~ К A9.24) дх Аналогичные равенства получаются и для других составляющих импульса. Но оператор — dEJdx является опе- оператором проекции силы на ось х: - — ЁП = РХ. A9.25) дх Поэтому второе уравнение Гамиль- Гамильтона A9.17) можно записать в виде Квантовая динамика может быть пред- представлена либо посредстом не зависящих от времени операторов динамических переменных и зависящей от времени вол- волновой функции, либо посредством зави- зависящих от времени операторов динамиче- динамических переменных и не зависящей от вре- времени волновой функции. Возможны так- также представления, при которых зависи- зависимость от времени распределена опре- определенным способом между операторами и волновой функцией. В квантовой механике средние значения координаты и импульса частицы, а также силы, действующей на нее, связаны ме- между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классичес- классической механики. Запишите квантовые уравнения Гамильтона для операторов координат и импульсов. В чем состоит аналогия между классическими и квантовыми уравнениями Гамильтона? т. е. оператор производной от им- импульса равен оператору силы. На основании формулы A9.6) с учетом A9.23) и A9.24) получаем -г at m 6Ё или в развернутом виде 1 dt. d| dt p^dv |T*/5 J xlPd дх A9-27) A9.28) A9.29) A9.30) Таким образом, производная по вре- времени от средней координаты (х) равна среднему импульсу, деленному на массу частицы, а производная от среднего импульса {рх} равна сред- средней силе <(— dEJdx}. Следовательно, в квантовой механике средние значе- значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующие на нее, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, т. е. при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как из- изменяются значения этих величин в классической механике. Эти утверждения, записанные в виде уравнений A9.29), A9.30), на- называются теоремами Эренфеста. Если обе части уравнения A9.29) продифференцировать по времени, а производную по времени от (рх} в правой части результирующего урав- уравнения исключить с помощью A9.30), то получается квантовый аналог
126 4. Основные положения квантовой механики уравнения движения Ньютона: х дх, s-x,- V — -, Это уравнение показывает, что средняя координата частицы и средняя сила в квантовой механике находятся в таком же соотношении, в каком координата частицы и сила находятся в классической механике, т. е. связаны уравнением движения Ньютона. Пример 19.1. Гамильтониан заря- заряженной частицы, движущейся в маг- магнитном поле, где А - оператор вектор-потенциала магнитного поля, являющийся функ- функцией координат. Найти оператор ско- скорости частицы v в магнитном поле и правила коммутации различных ком- компонент оператора скорости между собой. По определению оператора скоро- скорости как производной от оператора радиуса-вектора частицы, пользуясь правилами дифференцирования опера- операторов, находим * = df/df = (i/h)(HT -тЙ) = (l/m)(p - qk), . _П8_ . УХ X у i ()у * и два других аналогичных соотноше- соотношения, получающихся в результате циклической перестановки индексов. Учитывая, что В = rot А, находим: m iqh ш2 Задачи Найти коммутатор операторов x(&/dx) и Л. Предполагая, что^А и В-некоммутирующие эрмитовы операторы, указать, какие из операторов: а) АВ, б) АВ — ВА, в) АВ + ВА, г) ABA, д) А" (л-целое положительное число) - эрмитовы. Вычислить коммутатор [/>", х]. Найти распределение импульсов частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме (см. рис. 55), волновая функция которой в х-представлении задана формулой B6.9). Для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме, рассмотренной в задаче 4.4, найти <> <(АJ> <(ДJ> 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. </>, <(^)> <()> 4.6. Определить волновую функцию волнового пакета 00 = А\ ехр [- а(к - fc0J] exp(ikx)dk. где А - нормировочная постоянная, а и к0 - вещественные числа (а > 0). Найти <((Дл:J) и ({АрJу для этого волнового пакета. Ответы 4.1.x 4.2. в, г, д. 4.3. -i/mp"-1. 4.4. Га/[4яй)] |/(и_) + (-1)"+1/(«+)|2 = sin и/и, и+ = (жПп ± арIBП). 4.5. 0; и2т?й2/а2; (я2/12)[1 - 6/(л2^)]. 4.6. ( Bто)-'1/4ехр[//с0д: - х2/Dа)]; <(АхJ> = а; ?(/>) =[2а/(т:й2)]1/4ехр[-а(р - >2] <(АJ> й/D) где /(и) = /Dа)]; <(Ах -Ро)>2];
20 Что такое представление? 5 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 21 Линейные конечномерные векторные пространства В абстрактной формулировке квантовой механи- 22 ки наиболее четко и ясно выяв- выявляется ее принципиально отлич- Линейные бесконечномерные ныи от классической механики векторные пространства подход к описанию движения частиц. 23 Постулаты квантовой механики 24 Различные представления квантовой динамики
128 5 Основные понятия теории представлений 20. Что такое представление? На примерах представления функций в виде рядов и интегралов р<пьясняется смысл понятия «представление» Различные представления функций. Функция и может быть с помощью формулы A7.21) разложена по пол- полной системе собственных функций не- некоторого оператора А. Совокупность коэффициентов разложения ап пол- полностью определяет функцию и. По- Поэтому вместо и можно пользоваться совокупностью коэффициентов ап, ко- которая описывает функцию и, но в другом представлении; выданном слу- случае в том, где оператор А диагоналей, или в ^-представлении. Смысл вы- выражения «оператор диагоналей» бу- будет сейчас пояснен. Матричные элементы операторов. Не только функции, но и операторы можно задавать в различных пред- представлениях. Пусть имеется некоторый оператор В: и = Bv. B0.1) Зададим функции и и и в Л-представ- лении, т. е. в виде коэффициентов раз- разложения по полной системе собствен- собственных функций ип оператора А: и = Ъапип, B0.2) v = ТЬпип. B0.3) Подставив эти выражения в B0.1), умножив полученное равенство на щ и проинтегрировав, получим ак = ЪВкпЬп, B0.4) где Вкп = \u%BundV. B0.5) Из B0.4) следует, что совокупность чисел Вкп, которую можно записать в виде матрицы, связывает волновые функции и и v в /1-представлении. Сами числа Вкп называются матрич- матричными элементами оператора В. Если вычисляются матричные эле- элементы оператора А в Л-представле- Л-представлении, т. е. в качестве собственных функций выбираются собственные фукнкции оператора А, то Акп = = \Ъкп (Аип = Хпип). B0.6) Отличными от нуля являются лишь матричные элементы с к — п, являю- являющиеся диагональными элементами матрицы (Акп). Это означает, что матрица оператора в его собственном представлении диагональна. Теперь ясен смысл выражения «в том пред- представлении, где оператор А диаго- диагоналей». Координатное представление. Ста- Стационарное состояние квантового объ- объекта (электрона и т. д.) во всем пред- предшествующем изложении описывалось волновой функцией Ч* = ^(x^.z), ко- которую удобно обозначать *?(х), по- понимая под х всю совокупность про- пространственных переменных. Эту функ- функцию можно представить в виде раз- разложения по некоторой ортонорми- рованной полной системе собствен- собственных функций ип в виде Ч(х) = Ъа„ия(х), B0.7) где an = \wn(xL(x)dx B0.8) -числа. Совокупность всех {ап\ опре- определяется волновой функцией Ч/, если известно W, и полностью определяет Ч*, если известна эта совокупность. Функции ип являются собственными функциями ^ некоторого линейного оператора А и удовлетворяют урав- уравнениям Аип = Апип, B0.9) где Л ^-собственные значения опера- оператора А. Поэтому совокупность {ап}- волновая функция стационарного со- состояния *F в том представлении, в
§ 20. Что такое представление? 129 котором оператор А диагоналей, или в А-представлении. Взяв в качестве оператора А га- гамильтониан Й, получим собственные функции *?п уравнения Шредингера ЙЧ1п = EnWn, B0.10) где Еп - собственные значения энер- энергии. Разложение волновой функции *Р по собственным функциям х?п име- имеет вид Ч/ = Х6„1РП, B0.11) П Ъп = jT'NKd.v, B0.12) Совокупность {/?„} описывает функ- функцию *? в ^-представлении, или в энер- энергетическом представлении, или в представлении, в котором гамильто- гамильтониан Н диагоналей. Энергетическое представление часто используется в квантовой механике при рассмотре- рассмотрении различных вопросов. Широко ис- используется также импульсное пред- представление, или /^-представление, в ко- котором в качестве собственных функ- функций ип используются собственные функции оператора импульса A8.7). Операторы в этих представлениях описываются матрицами вида B0.5). Об этих матрицах говорят как об операторах в соответствующем пред- представлении (^-представлении, /?-пред- ставлении и т. д.). Отсюда ясно, что все изложенное выше о квантовой механике с помощью волновой функ- функции ^Vfx), операторов координаты х = х, операторов импульса рх — = (h/i)d/dx и т. д. может быть сформулировано без использования координат. Другими словами, волно- волновая функция *?(х), оператор коорди- координаты х = х, оператор импульса рх = = (fi/ijd/дх и т. д. сами являются представлением более абстрактных величин, лежащих в основе квантовой механики. Это конкретное представ- ление называется координатным или х-представлением. Для решения мно- многих задач оно наиболее целесообраз- целесообразно и просто. Однако для решения других задач предпочтительнее поль- пользоваться каким-либо другим пред- представлением, например импульсным, или ^-представлением. Примеры та- такого рода будут встречаться и в этой книге. Важно отметить, что задача при этом может быть сформулиро- сформулирована и решена непосредственно, на- например в ^-представлении, минуя ко- координатное представление. Выбор то- того или иного представления диктуется особенностями задачи. Исследование общих вопросов теории обычно про- проводят без конкретного представления, т. е. в абстрактном представлении квантовой механики. В § 16-19 основные положения квантовой механики были сформули- сформулированы в ^-представлении. Переход к изложению квантовой механики в абстрактном представлении аналоги- аналогичен, например, переходу в класси- классической механике или электродинами- электродинамике от координатного изложения тео- теории к бескоординатному. Для этого используется понятие вектора и все операции выражаются в виде опера- операций непосредственно с векторами. Надобность в координатной системе при этом отпадает. Основным понятием квантовой механики, с помощью которого опи- описывается состояние, является вектор, называемый вектором состояния. Однако в отличие от классической механики вектор состояния даже для одной частицы является бесконечно- бесконечномерным. Совокупность всех таких векторов составляет пространство, в котором оперирует квантовая меха- механика. Для удовлетворения принципа суперпозиции состояний квантовой механики это пространство должно
130 5. Основные понятия теории представлений быть линейным. Обобщение свойств трехмерных векторов на многомер- многомерные векторы конечного числа измере- измерений проводится без всяких осложне- осложнений. Переход к бесконечномерным векторам требует некоторых уточне- уточнений. Поэтому сначала будет изложена теория конечномерных векторных пространств (см. § 21), а затем (см. § 22) даны уточнения теории для перехода к бесконечномерным век- векторным пространствам. 21. Линейные конечномерные векторные пространства Излагаются основные понятия и результаты теории конечномерных векторных пространств. Линейное векторное пространство. Ли- Линейным векторным пространством называется совокупность векторов {vj, v2, v3, ...}, для которых определе- определены: 1) операция сложения, удовлетво- удовлетворяющая требованиям: а) сумма любых двух векторов принадлежит тому же пространству; б) коммутативности B1.1а) v? + у. = Vj в) ассоциативности B1.16) г) существования нулевого элемен- элемента 0, для которого при любом v,- справедливо равенство v,. + 0 = v;; B1.1в) д) существования для каждого эле- элемента V, такого единственного эле- элемента ( — V,), что 2) операция умножения векторов на скаляры {а, C, ...}, удовлетворяю- удовлетворяющая требованиям: а) замкнутости (т. е. произведение любого вектора на скаляр принадле- принадлежит тому же пространству); б) распределительности умножения (а + p)v,. = <xv,. + р\., B1.2а) a(v,- + Vj) = av,- + aVj-; B1.26) в) сочетательности умножения <z(pv,) = (ap)v,. B1.2в) Совокупность чисел {a, P, ...} на- называется полем, на котором определе- определено рассматриваемое векторное про- пространство. Если скаляры-веществен- скаляры-вещественные числа, то векторное пространство вещественно, а если комплексные- комплексное. Все эти определения являются прямым обобщением правил опери- оперирования с трехмерными векторами обычного пространства. Линейно независимые векторы. Со- Совокупность векторов {vx, v2, ..., vj называется линейно независимой, если между ними не существует линейного соотношения вида ЩУ1 = 0. B1.3) за исключением тривиального случая, когда все а, = 0. Если между векторами возможно равенство B1.3), то любой из векто- векторов \j при uj ф 0 может быть выражен через остальные. Разномерность линейного простран- пространства и его базис. Пространство имеет размерность п, если в нем не сущест- существует больше чем п линейно незави- независимых векторов. Если в «-мерном пространстве имеются некоторые п линейно независимых векторов vl5 v2, ..., vn, то любой другой вектор v может быть выражен через эти ли- линейно независимые векторы, потому что совокупность векторов {v, vl5 v2, ..., vn}, no определению, линейно за-
21 Линейные конечномерные векторные пространства 131 висима, т. е. выполняется равенство п av+ ? ад = 0> B1.4) из которого следует, что у=- I (a,/a)v,. B15) 1 — 1 Нетрудно доказать, что коэффициен- коэффициенты разложения v по векторам v, в B1.5) единственны. В самом деле, ес- если имеется другое представление у= t РЛ> B1-6) 1 = 1 то, вычитая B1.6) почленно из B1.5), получаем 0= X (-a,/a-p,)v,. B1.7) Отсюда ввиду линейной независимос- независимости v, следует, что -a,/a-p, = 0, B1.8) т.е. р, = —a,/a. Единственность пред- представления B1.5) доказана. Совокупность векторов v, называ- называется базисом пространства, а коэф- коэффициенты р,- проекциями вектора v в этом базисе. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение векторов v, и \j, обозначаемое <Х1^), является числом, удовлетворяющим следую- следующим требованиям: 1) (и.1и.) ^ 0 @ только при v, = 0), B1.9а) 2) <i>,|»,> = <«,| «,>*, B196) 3) <w1|a«J + Pt;t> = = a<t>,|i>/> + p<t;1|»,>. B1 9в) В формулах B1.9) для обозначения скалярного произведения вместо круг- круглых использованы угловые скобки, а вместо точки - вертикальная черта. Это позволит в последующем перей- перейти к обозначениям Дирака для векто- векторов, которые наиболее удобны для квантовой механики. В B1.96) звез- звездочкой обозначено комплексное со- сопряжение. Кроме того, надо обратить внимание, что в B1.9) буквы vt и v} набраны светлым шрифтом, а не по- полужирным, т. е. векторный характер v, и v обозначен угловыми скобками, а не полужирным шрифтом. Равенство B1.9в) показывает, что скалярное произведение линейно от- относительно второго вектора в произ- произведении. Однако относительно перво- первого вектора оно антилинейно: <at>, + р\К> = a*(Vl\vk) + Р*<^К>. B1.9г) Это соотношение получается из B1.9в) с учетом B1.96) следующим образом: <ai>, + Ри,К> = (vk\avl + р\>* = Модулем или нормой вектора на- называется число |v| = y/(v\vy. Век- Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Совокупность векторов {е1? е2, ..., е„} называется ортонормированной, если для всех векторов этой совокупности соблюдаются условия <е,к,> = 8„, B110) где 5,^-символ Кронекера. Скалярное произведение удовлет- удовлетворяет важному неравенству K«>,k>i2<ki2-i«>,i2. Bi.li) называемому неравенством Шварца. В обычном трехмерном пространстве оно очевидно, потому что косинус угла между векторами по модулю
132 5 Основные понятия теории представлений равен или меньше единицы. Для дока- доказательства в общем случае рассмот- рассмотрим вектор v^.-v/^lO/KI2. B1.12а) Соотношение B1.9а) для него при- принимает вид (vl-vJ(v]\vl)/\v]\2\vl-vJ(vJ\vl)/\vJ\2) = = <v,\v]y-(vJ\vl)(vl\vJ}/\vJ\2- (v]\vl)*(vJ\vl}(vJ\vjy/\vX = B1.126) где в последнем равенстве использо- использована формула B1.96). Из B1.126) сле- следует B1.11), что и требовалось до- доказать. В трехмерном обычном простран- пространстве известно неравенство треуголь- треугольника: длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сто- сторон. В общем случае многомерных векторов неравенство треугольника записывается в виде Для доказательства этого неравенст- неравенства заметим, что B1.14) где = 2Re(vt\Vjy. Поскольку для любого комплексного числа z справедливо неравенство Rez ^ \z\, соотношение B1.14) прини- принимает вид \vl + vJ\2^\vl\2 + \v]\2 + 2\(vl\v]y\. B1.15) Отсюда с учетом B1.11) следует не- неравенство = (\v,\ + \Vj\J, B1.16) эквивалентное B1.13). Сопряженные векторы. В теории ли- линейных векторных пространств боль- большое значение имеют понятия контра- вариантного и ковариантного векто- векторов и соответствующих проекций. Эти векторы при переходе от одного базиса к другому преобразуются по- разному. Однако при рассмотрении векторных пространств нельзя огра- ограничиться лишь одним типом векто- векторов (контравариантным или кова- риантным), потому что при этом не удается решить важнейшую задачу теории - анализ инвариантов преоб- преобразований. Обычно контравариант- ные и ковариантные величины разли- различаются положением обозначающих их индексов. Например, еа-ковариант- ный вектор, е^-контравариантный вектор. Эти векторы принадлежат различным линейным векторным пространствам. Поэтому их нельзя складывать между собой. Скалярное произведение определяется как опера- операция умножения между ковариантным и контравариантным векторами, что и обеспечивает инвариантность этого произведения. Лишь после введения метрики пространства можно скалярное про- произведение выразить либо только че- через ковариантные, либо только через контравариантные величины и как бы ликвидировать различие между кова- риантными и контравариантными век- векторами. В квантовой механике вектор со- состояния характеризуется обычно не одним, а несколькими параметрами или символами. Выносить эти пара- параметры и символы в индекс вектора не всегда удобно или даже возможно. Поэтому Дирак предложил специаль-
21 Линейные конечномерные векторные пространства 133 ное обозначение для векторов, кото- которое учитывает требования к удобству написания векторов и операций с ни- ними в квантовой механике. Вектор обозначается символом | ), внутри ко- которого в строке выписываются па- параметры или символы, относящиеся к вектору. Если, например, вектор ха- характеризуется парой чисел п, т, то он записывается как |и,т); если симво- символом ®, то в виде | ® >, если буквой и,, то |t\> и т.д. Пространство векторов |i>,) кван- квантовой механики является комплекс- комплексным. Вместо того чтобы говорить о контравариантных и ковариантных векторах, говорят о векторах и сопря- сопряженных векторах. Каждому вектору | f,) сопоставляется сопряженный ему вектор | f,) +. Совокупность векторов If,)" составляет линейное векторное пространство наряду с линейным век- векторным пространством, образуемым совокупностью векторов |и,). Скла- Складывать векторы этих различных про- пространств нельзя. Все операции над векторами должны проводиться в пределах каждого из пространств. Эти пространства связаны между со- собой определением скалярного произ- произведения, которое и порождает метри- метрику пространства. Сопряженный вектор записывает- записывается как ( и, | = | v,) +. Скалярное произ- произведение вектора 11\) на | v Л записы- записывают в форме |f,)+ ¦ |Vj} = <f,|• |Vj) = = (v, | fj). Знаки | ¦ |, стоящие между t;, и v , играют лишь роль указателя, разделяющего перемножаемые векто- векторы, и поэтому заменены одной верти- вертикальной чертой. Это делает запись скалярного произведения компактной и удобной. Левая угловая скобка*' с чертой относится к вектору (|, а правая-к вектору | ). Это дало основание Дира- Дираку назвать вектор < | бра-вектором, а вектор | )-кет-вектором. Поэтому часто линейное пространство кет-век- кет-векторов называют кет-пространством, а бра-векторов - бра-пространством. Операторы. Операция сложения векторов и умножения векторов на скаляры характеризует свойства век- векторного пространства. Операции над векторами описываются оператора- операторами, которые обозначают буквами или другими символами со значками над ними, например A, L, % и т.д. Оператор А определяет правило, по которому вектору | *Р) пространства кет-векторов сопоставляется вектор | ф) того же векторного пространст- пространства, т. е. по заданному вектору | Ч1) определяется вектор | ф). Это со- сопоставление записывают в виде ра- равенства *' Скобка bracket (англ.) B1.17) и говорят, что оператор А действует вправо на вектор Iх?), в результате чего получаем вектор |ф). Оператору А, действующему в кет-пространстве, соответствует со- сопряженный оператор А + , действую- действующий в пространстве бра-векторов, по такому правилу^: если оператор А, действуя вправо на векгор IT), дает |ф), то оператор А +, действуя влево на вектор (?1, дает <ф|: <Ф| = <?М + . B1.18) Отметим, что оператор А + действует только на век- горы <(*Р|, а оператор Л-только на векторы | Ч1). Принцип суперпозиции состояний в квантовой механике требует, чтобы в качестве операторов использова- использовались только линейные операторы. Оператор А называется линейным, ее-
134 5. Основные понятия теории представлений ли он для любой пары векторов | ср ) и | Ч*) и любых комплексных чисел а и Р удовлетворяет условию B1.19) Суммой операторов Я к В назы- называется оператор А + Ё = С, который для любого вектора |Ч*) удовлетво- удовлетворяет требованию С\ Ч*> = А | ?> + В\ ?> = {А + В) | ?>. B1.20) Произведением операторов^ А и В на- называется оператор АВ = D, который при всех векторах |Ч*) обеспечивает выполнение соотношения D|T> = А{В\Х?)) = АВ^). B1.21) Если АВ = ВА, то операторы А и В коммутируют друг с другом, если же АВ ф ВА, то не коммутируют. Произведением числа а и операто- оператора А называется оператор В = аЯ, удовлетворяющий для любого векто- вектора | У) равенству В\Ч>) = а(А\Ч')) = аА\Чу. B1.22) Умножая B1.17) слева на <^| и B1.18) справа на |?), получаем ра- равенства B1.23) . B1-24) из которых с учетом B1.96) следует, что (У\А+Ю = ША\У)*, B1.25) где звездочка означает комплексное сопряжение. Равенство B1.25) выра- выражает основное свойство сопряженных операторов. С помощью этого соот- соотношения с учетом линейности опера- операторов и свойств скалярного произве- произведения векторов, выражаемых равенст- равенствами B1.9), нетрудно доказать сле- следующие правила сопряжения произ- произведений и сумм операторов: (Я + Й)+ =А+ +В\(АВ)+ = В+А+, (аА)+ = а*А + , (А+)+ = А. B1.26) Оператор А называется самосо- пряженным^или эрмитовым, если для него Я+ = Я. Равенство B1.25) в этом случае >У B1.27) выражает основное свойство эрмито- эрмитова оператора. Единичным I называется такой оператор, который любой вектор | Ч*) оставляет без изменения: B1.28) Нулевым 0 называется оператор, переводящий любой вектор | Ч/) в нулевой вектор |нуль): б B1.29) Обратным к А называется опера- оператор А, удовлетворяющий равенст- равенствам АА'1 =А^1А=1. B1.30) Заметим, что не любой оператор име- имеет обратный. Унитарным называется оператор А, удовлетворяющий условиям АА+=А + А = Т. B1.31) Отсюда следует, что для унитар- унитарного оператора между собой совпа- совпадают его обратный и сопряженный. Нетрудно показать также, что произ- произведение двух унитарных операторов является унитарным и что скалярное произведение не изменяется при оди- одинаковом унитарном преобразовании входящих в него векторов. Представление векторов и операто- операторов в ортонормированием базисе. Фор- Формулой B1.6) любой вектор может быть представлен в виде разложения по любой совокупности линейно не- независимых векторов. Из этой сово- совокупности посредством ортогонализа-
§ 21 Линейные конечномерные векторные пространства 136 ции [см. B1.76)—B1.82)] можно по- построить совокупность п ортонорми- рованных векторов, которые обозна- обозначим |/> (/= 1, 2, ..., и). Они удовле- удовлетворяют условиям ортонормирован- ности B1.10), которые в обозначениях Дирака имеют вид <<!/> = V B1.32) Разложение B1.6) произвольного вектора \v} по ортонормированному базису из векторов |/) записываем также очень компактно: п \v}= I ".10. B1-33) 1 = 1 где i;,-проекции вектора \v} на орты |/> базиса. Умножая B1.33) слева на (у'| и принимая во внимание B1.32), получаем п п ОI У> = X 1>;<Л0= Z V,?>j, = VJ- i=l i=l B1.34) Формула B1.34) позволяет находить коэффициенты vv в разложении B1.33). Совокупность чисел {vx, i?2, ..., vn} полностью определяет вектор | v) в заданном базисе из векторов 11), 12), ..., |«). Эта совокупность назы- называется представлением вектора \ v) в базисе из векторов | /). Все операции с векторами могут быть выражены по- посредством операций над совокуп- совокупностью его проекций. Кет-вектор | Vs) в представлении заданного базиса принято записывать в виде столбца его проекций: B1.35) Операторы в заданном базисе представляются в виде матриц. Запи- Записав векторы |Ч*)и|ф)вB1.17)в виде разложения B1.33) где ф7 = </|ф>, Ч*, = </1Ч*>-проек- </1Ч*>-проекции векторов | ф) и | Ч*) на орты \j}, | />. получаем B1.37) В B1.36) и B1.37) суммирование по / и j распространяется на все орты базиса и пределы суммирования в явном виде не указываются. Анало- Аналогично будем поступать и в дальней- дальнейшем, когда это не может привести к недоразумению. Умножая B1.37) сле- слева на (Лс| и учитывая, что (k\jy = bkj, (/с | /) = 8kl, находим B1.38) B1.39) где Akl = (k\A\i) - матричные элементы оператора А. Выразив векторы 14х) и |ф) в виде B1.35), запишем B1.17) как матрич- матричное равенство B1.40) в котором правило умножения зада- задается формулой B1.38). Таким обра- образом, в ортонормированном базисе операторы представляются квадрат- квадратными матрицами, а действие опера- оператора на вектор сводится к умножению матрицы на столбцы из проекций век- вектора. Все действия над операторами могут быть выражены в виде дей- действий над матрицами. В частности, сложение операторов сводится к сло- сложению соответствующих элементов их матриц; умножение операторов-к
136 5 Основные понятия теории представлений умножению матриц; умножение числа на оператор -к умножению числа на все элементы представляющей его матрицы. Выражения сопряженных векторов и матриц могут быть найдены анало- аналогично. Разложение сопряженного к |d) вектора (у| записывается анало- аналогично B1.33): <»l= I SX'I. B1-41) 1 - 1 где ?,,-проекции вектора (г| на орты (/| сопряженного базиса. Умножая равенство B1.41) справа на [/), на- находим <ф> = ^. B1.42) Отсюда на основании B1.176) следу- следует, что (v\j)* = ?,* = </| v > = Vj, где Vj определено в B1.34). Тогда [см. B1.41)] <!>1=5>Г<'1- B1.43) I Поэтому сопряженный вектор (v\ в заданном базисе выражается совокуп- совокупностью чисел {v*, v*, ..., V*}, ком- комплексно сопряженных с совокуп- совокупностью чисел [vt, , ..., и„}. Скаляр- Скалярное произведение (v\v) = !«,%,. B1.44) Поэтому сопряженный вектор запи- запишем в виде строки чисел <i)|-> (г?, i>*, ...,t>*), B1.45) что позволяет образовать скалярное произведение по правилу умножения строк и столбцов матрицы. Поэтому в базисном представлении векторов операция сопряжения сводится к за- замене столбца на строку и комплексно- комплексному сопряжению элемешов строки: ->(и*, v*,..., v*). B1.46) Скалярное произведение векторов |p>=5>,|i>, |w>=5>,|i> B1.46а) с учетом B1.43) равно <и'|р> = 2>;4 BL466) 1 Выражая в B1.18) бра-векторы <*Р| и (ф| в виде B1.43), получаем соотношение Еф*</1 = 1^,*<'М + ' B1-47) умножение которого справа на |к) приводит к равенству (p* = ^4>*(i\A+\k}. B1.48) I По формуле B1.25) имеем А:к = (i\A+ \k) = (k\A\i) = At, B1.49) где Ак1 совпадает с B1.39). Следова- Следовательно [см. B1.48)], фГ=1*,*Л,. B1-50) В матричном виде это равенство за- записывается так: B1.51) Значит, матрица, представляющая со- сопряженный оператор Л+, получается из матрицы оператора А транспони- транспонированием строк и столбцов и комп- комплексным сопряжением элементов мат-
§ 21. Линейные конечномерные векторные пространства 137 рицы: х2 л, А*п А* 2 А* А„2 А*21 А*22 А* '" Апп ¦ А*п1 - А*п2 - А* B1.52) Это правило выражает основное свой- свойство B1.25) сопряженных операторов в матричном виде. Свойство B1.27) эрмитовости оператора выражается равенствами Aki = Aik. Единичный оператор представляется матрицей с отличными от нуля диагональными элементами, равными единице. Собственные векторы и собствен- собственные значения оператора. Собственным вектором оператора А называется та- такой вектор |v), действие оператора на который сводится к умножению вектора на число, называемое собст- собственным значением оператора. Уравне- Уравнение на собственные значения и собст- собственные векторы имеет вид A\v) = A\v). B1.53) В уравнении B1.53) собственное зна- значение оператора А обозначено той же буквой А, что и оператор, но без символа . В базисном представлении это уравнение имеет вид B1.40): А,. А, 12 42i A22 п2 где B1.54) Матричное уравнение эквивалентно системе п линейных уравнений для определения п неизвестных величин vt, которые удобно представить в виде ^ = 0 (i= 1,2,..., л). А 11 А21 А А А А 22 А 12 — п2 А ... а ... а ... а In 2л пп B1.55) Чтобы эта система уравнений имела нетривиальные решения, детерминант ее определителя должен быть равным нулю: = 0. B1.56) Уравнение B1.56) является алгебраи- алгебраическим уравнением и-й степени и имеет п корней. Эти корни называют- называются собственными значениями операто- оператора А. Среди корней могут быть и одинаковые. В этом случае говорят о вырожденных собственных значениях. Для каждого невырожденного соб- собственного значения решение системы уравнений B1.55) дает соответствую- соответствующую собственную функцию. Если все п собственных значений невырожден- невырожденные, то имеется п различных собст- собственных функций. Важное свойство эр- эрмитовых операторов состоит в том, что их собственные значения вещест- вещественны. Для доказательства рассмот- рассмотрим уравнение B1.53) на собственные значения, которое после умножения слева на (v | приводит к равенству <>|Л|!;> = Л<1>|!;>. B1.57) Сопряженное с B1.57) соотношение имеет вид (v\A+\v) = A*(v\v}. B1.58) Для эрмитовых операторов А+ = А и это соотношение имеет вид равенства (v\A\v) = A*(v\v). B1.59) Вычитая почленно B1.59) из B1.57), находим 0 = (Л -A*)(v\v). B1.60)
138 5 Основные понятия теории представлений Посколъку(и| и) Ф О, из B1.60) следу- следует, что А = А*, B1.61) т. е. собственное значение А вещест- вещественно. Собственные векторы, принадле- принадлежащие различным собственным зна- значениям, ортогональны. Обозначим эти различные собственные значения А, и Aj, а собственные функции \А1), \А}). Тогда A\Al) = Al\Al), B1.61а) A\A])=A]\Ajy. B1.616) Умножая B1.61а) на (Aj\, a B1.616)- на |Л,>, получаем (AJ\A\Al} = Al(AJ\Al), B1.62а) (A,\A\AJ} = AJ(Al\AJ). B1.626) Сопряженное с B1.626) соотношение с учетом эрмитовости А имеет вид (А]\А\А1) = А*{А]\А1). B1.63) Вычитая почленно B1.63) из B1.62а), находим ;К>. B1-64) B1.65) Так как А1 - А* ф 0, то что и требовалось доказать. Если собственное значение вырож- вырождено, то ему принадлежат несколько собственных функций, число которых равно числу одинаковых собственных значений (степени вырождения). Лю- Любая линейная комбинация этих собст- собственных функций принадлежит тому же собственному значению, т. е. число собственных функций бесконечно, но число линейно независимых функций равно степени вырождения. Поэтому можно сказать, что собственные функ- функции, принадлежащие вырожденному собственному значению, образуют собственное подпространство, раз- размерность которого равна степени вы- вырождения. В этом подпространстве исходя из некоторой системы линейно независимых векторов можно ортого- нализацией построить ортонормиро- ванный базис подпространства. Век- Векторы этого ортонормированного ба- базиса ортогональны не только друг другу, но и всем собственным векто- векторам, принадлежащим другим собст- собственным значениям, как это следует из B1.65). Итак, каждый эрмитов опе- оператор имеет ортонормированный ба- базис собственных векторов. В базисе собственных ортонормированных век- векторов матрица эрмитова оператора диагональна, причем диагональными элементами матрицы являются ве- вещественные собственные значения эр- эрмитова оператора. Собственные значения унитарного оператора выражаются комплексны- комплексными числами, равными по модулю еди- единице, а его собственные функции, при- принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны. Для дока- доказательства рассмотрим уравнения для различных собственных функций \Als) и \А]У, принадлежащих различным собственным значениям Аг и А} уни- унитарного оператора А: А\А1У = А1\А,у, B1.66а) А\А]') = A}\A}y. B1.666) Сопряженным с B1.666) является урав- уравнение (Aj\A+ = A*(Aj\. B1.67) Умножая обе части B1.66а) слева на соответствующие части уравнения B1.67), получаем /Л I А А I А \ — A A i A I A > ^^ 1 6Х i Отсюда с учетом B1.31) находим A - А^А^А^А,) = 0. B1.69) Тогда
§ 21 Линейные конечномерные векторные пространства 139 А*А,= B1.70) B1.71) и утверждение доказано. Вырожденные собственные значе- значения унитарных операторов анализи- анализируются аналогично вырожденным соб- собственным значениям эрмитовых опе- операторов, как это рассмотрено выше. Условие полноты ортонормирован- ного базиса. Разложение произволь- произвольного вектора | г) по ортонормирован- ному базису |/> имеет вид где Подставив в B1.72) выражение v, из B1.73), находим B1.74) Стоящее в B1.74) справа в круглых скобках выражение является операто- оператором, который при действии на вектор \v} оставляет его без изменения, т.е. является единичным оператором Г: I |/></| = /". B1.75) Равенство B1.75) играет фундамен- фундаментальную роль в теории линейных век- векторных пространств и называется условием полноты ортонормированно- го базиса. Построение ортонормированного ба- базиса. Исходя из любой системы п ли- линейно независимых векторов li^), |u2) , ..., |i>n), можно построить орто- нормированный базис следующим способом. Сначала построим и взаимно ор- ортогональных векторов. В качестве первого вектора 11) возьмем вектор |1> = К>- B1.76) Непосредственной проверкой убежда- убеждаемся, что ортогональный к B1.76) вектор может быть представлен в виде |2> = К>-Ц><1|в2>/<1|1>, B1.77) поскольку <1|2> = <1|с2>-<1|!;2> = 0. B1.78) Аналогично, третий ортогональный B1.72) вект°Р B1.73) ><> >. B1.79) Непосредственно проверкой убежда- убеждаемся, что <1|3> = 0, <2|3> = 0. Та- Таким образом, общее представление fc-ro ортогонального вектора выража- выражается формулой к - X 1у> О К >/</!./>• B1-80) Вектор |к) ортогонален всем пре- предыдущим векторам 11), |2), ..., | к — 1 >. Ортонормированный базис- базисный вектор получается посредством нормировки взаимно ортогональных векторов |/с): B1.81) Векторы | ек) удовлетворяют усло- условию ортонормированности (е,\ек} = 81к. B1.82) Связь между представлениями век- вектора в различных базисах. Представ- Представлением вектора \v) в ортонормиро- ванном базисе | ех), | е2), ..., \еп} яв- является совокупность проекций (eju), (е2 | Vs), ..., (en\v]) этого вектора на орты базиса. Записав вектор |d> в виде разложения по ортам другого
140 5 Основные понятия теории представлений базиса |ь->= может быть сопоставлен оператор B1.83а) f(A)= i - 1 находим формулу, связывающую проекции вектора в различных бази- базисах: l»> = X B1.836) Эта формула выражает связь между представлениями вектора в различ- различных базисах. Видно, что она полу- получается непосредственно в результате использования соотношения B1.75): = I <e*K><eil«>>. B1-84) i - l Связь между представлениями опе- оператора в различных базисах. Оператор в базисе представляется матричными элементами. Связь между матричны- матричными элементами оператора в различ- различных базисах легко находится в ре- результате представления единичного оператора в виде B1.75): B1-85) Функции от операторов. Изопреде- ления линейного оператора А и опе- операций сложения, умножения операто- операторов и умножения оператора на ска- скаляр, выражаемых формулами B1.20)- B1.23), следует, что функции /(*)= а„х" B1.86) B1.87) Оператор J{A) [см. B1.87)] называет- называется функцией f(A) оператора А. Ясно, что это определение имеет смысл лишь тогда, когда ряд B1.86) сходит- сходится по крайней мере для всех значений х, равных собственным значениям оператора А. Если же область значе- значений х, для которых ряд B1.86) схо- сходится, ограничена^™ вопрос о выра- выражении функции /(Л) формулой B1.87) требует дополнительного исследова- исследования. Например, ряд X ех= Y. •«"/«! B1.88) п = О позволяет найти оператор ехр А для весьма широкого класса операторов Я, а ряд 1/A-*)= I х", B1.89) л = О сходящийся лишь в области | х \ < 1, допускает определение оператора 1/A — А) лишь для весьма ограничен- ограниченного класса операторов А. Производная от оператора по пара- параметру. Если оператор Л зависит от параметра а, т.е. А — А (а), то произ- производная по а дается формулой dA(a) [А (а + Да)- A(af\ —-- = ton — — . B1.90) da да - о L Да J В базисном представлении матрич- матричные элементы оператора d^(a)/da выражаются производными по а от соответствующих матричных элемен- элементов оператора А. Важным для квантовой механики является оператор А(а) = ехр(аВ), B1.91) где В -эрмитов оператор. Выбирая в
§ 21. Линейные конечномерные векторные пространства 141 качестве базиса представления собст- собственный базис оператора В, находим &А (a)/da = Sexp (аВ) = В А (а) = Л (а) В. B1.92) Такую же формулу можно получить и непосредственно из представления оператора ехр (а В) в виде ряда B1.88): J CO p,tl Dfl Х> иг*" ~ 1 R" da ~ ~ п\ n = 1 -1 fr -1 и! Г.П рП И! B1.93) Это доказательство справедливотак- же и для неэрмитова оператора В. Из B1.92) заключаем, что решением диф- дифференциального уравнения для опера- оператора А di(a)/da = BA(a) B1.94) является B1.95) где D = А{0). В B1.95) предполагается независимость оператора D от а и существование экспоненциального опе- оператора в правой части равенства. Пример 21.1. В трехмерном про- пространстве состояний в базисе собст- собственных векторов | 1), |2), |3) опера- оператор Н и операторы физических вели- величин А и В имеют вид 1 0 о\ /о 1 о\ 0 0 1 У I 0 0 2 2 0 0 В = b 0 0 1 . 0 1 0 Система находится в состоянии | ? ) = = а|1> + р|2> + у|3>, где|Т>-нор- мированный кет-вектор. Проанализи- ровать представленную этими данны- данными ситуацию. Из условия нормировки |*Р) сле- следует, что <Ч'|Ч/> = |а|2 + |р|2 + + |у|2=1. Собственные значения энергии равны ?\ = йсо, Е2 = Лео, Ег = 2Ясо. Вероятность при измере- измерении энергии получить результаты Йсо или 2/го) равны | а |2 + | р |2 или | у \2. В результате измерений система пере- переходит в стационарные состояния »2 р21/2 > » > Собственными векторами опера,- тора А служат векторы (| 1) + |2))/v/2, (| 1) — 12))/v/2, | 3 ), а соответствую- соответствующие собственные значения равны а, — а, 2а. Вероятности получения при измерении физической величины А в состоянии | *Р) значений а, — а, 2а равны |a + P|2/2, |a-j3|2/2, |y|2. В результате измерения А система пе- переходит в стационарные состояния |1> |2»2^2 >|2»212 (|> |»^, (|>|», | 3). Величина А может быть измерена одновременно с В. Собственными век- векторами оператора В являются векторы |1> (|2> |3»21/2 (|2>|3»2Г'2 > > » (>|» а соответствующие собственные зна- значения равны 2b, b, —b. Вероятности получения при измерении физической величины В в состоянии I Ш ) значений 2b, b, -Ь равны |a|2, Ip + yl2^ IP — у|2/2. В результате измерения В система переходит в собственные со- состояния оператора В, зависимоегь от времени которых представляется в виде e"iMt|l>, (e"fa"|2> +е~2|< Одновременное измерение энергии и В невозможно, за исключением слу- случая, когда a = 1, р = у = 0. Если кет-вектор | Ч*) представляет состояние системы в момент времени
142 5. Основные понятия теории представлений t = О, то в момент t Ф 0 состояние системы описывается кет-вектором |ЧЧ/)> = е~;ю'а|1> + е~'ш'р|2> + + е у|3). Средние значения раз- различных величин А и В задаются фор- формулами (А) = (а*р + В*а + 2|у|2)а, <5> = B|а|2 + р*уе-1Ю1 + у* Ре1™') Ь, из которых следует, что dt = о, At ф о. 22. Линейные бесконечномерные вектор- векторные пространства Излагаются основные понятия и результаты теории бесконечномерных векторных прост- пространств. Бесконечномерный вектор. Из опреде- определения размерности векторного про- пространства заключаем, что в нем число линейно независимых векторов бес- бесконечно. Следовательно, ортонорми- рованный базис состоит из бесконеч- бесконечного числа ортов и в базисном пред- представлении вектор описывается беско- бесконечным числом проекций. Теория линейного конечномерно- конечномерного векторного пространства, рассмот- рассмотренная в § 21, справедлива при любых конечных размерностях, в том числе и сколь угодно больших. Это означает, что теория бесконечномерных линей- линейных векторных пространств может быть построена исходя из теории ко- конечномерного векторного простран- пространства при стремлении числа измерений к бесконечности, т. е. обобщением ре- результатов § 21 на случай бесконечного числа измерений. Из-за отсутствия наглядного об- образа бесконечномерного абстрактно- абстрактного вектора целесообразно при обоб- обобщении теории конечномерного векто- вектора исходить из базисного представ- представления, в котором вектор характери- характеризуется совокупностью чисел, взятых в определенной последовательности. Число членов последовательности равно размерности пространства. В этом представлении обобщение тео- теории конечномерных линейных вектор- векторных пространств на бесконечномер- бесконечномерный случай сравнительно просто. Рассмотрим функцию f(x), задан- заданную на интервале (а, Ь). Разобьем этот интервал на отрезки, ограничен- ограниченные точками JCj = а, х2, хъ, ..., х„ = Ъ, причем точки записаны в порядке воз- возрастания х. Совокупность чисел {/(*i), Rx2), f(x3), ..., /(*„)} будем рассматривать как базисное пред- представление кет-вектора [см. B1.35)] B2.1) Соответствующий бра-вектор [см. B1.45)] (и,/I - (Г (*i), f (*2), ¦ • • > /*(*„)} ¦ B2.2) Совокупность п чисел, равных зна- значениям функции д(х) в тех же точках х1, х2, ..., хп, является базисным представлением вектора \п, д}. Ана- Аналогично можно говорить и о других векторах, которые образуются значе- значениями других функций в точках xt, х2, ¦ ¦ ¦, хп. Этим путем осуществляет- осуществляется построение всех возможных векто- векторов линейного векторного «-мерного пространства. Совокупность значе- значений \f(x1),f(x2), ...,f(xn)} описывает приближенно поведение функции f(x) на интервале (а, Ь). Увеличение числа точек разбиения интервала (а, Ь) и соответствующее уменьшение интер- интервала между точками приводят в пре- пределе при п -> оо к базисному представ- представлению вектора, число проекций кото- которого бесконечно, т. е. к бесконеч-
§ 22. Линейные бесконечномерные векторные пространства 143 номерному вектору. Следовательно, функцию /(х) можно рассматривать как базисное представление бесконеч- бесконечномерного кет-вектора | со,/) = |/): I/>-/(*), < Л-/•(*)• B2.3) Здесь число /(х)-проекция вектора |/> на орт |х), т.е. /М = <•*!/>, B2.4) где (х| = |х> + . Формулы B2.3) и B2.4) являются в сущности лишь обо- обобщением обозначений и понятий на случай бесконечномерных векторов. Однако их смысл в случае бесконеч- бесконечномерных векторных пространств не- необходимо уточнить. Скалярное произведение. В конеч- конечномерном случае скалярное произве- произведение векторов \п,д) B2.5) в соответствии с B1.466) выражается формулой B2.6а) Она имеет определенный смысл и мо- может быть использована при любом сколь угодно большом значении п, но не имеет смысла при п -» оо и, следо- следовательно, нуждается в видоизменении при обобщении на бесконечномерное линейное пространство. Это видоиз- видоизменение очевидно: при переходе от дискретных значений х, к непрерывно изменяющейся величине х сумма в B2.6а) переходит в интеграл, т. е. ска- скалярное произведение бесконечномер- бесконечномерных векторов |д) и |/), базис- базисные представления которых задаются функциями д(х) и f(x), выражается формулой B2.66) Условие полноты и нормировка ба- базисных векторов. Условие B1.75) пол- полноты базисных векторов | х ) с учетом непрерывности х имеет тот же вид, но с заменой суммы на интеграл: ь \\x'){x'\dx' = I. B2.7) а Умножим обе стороны равенства B2.7) слева на (х| и справа на |/): B2.8) На основании B2.4) равенство B2.8) принимает вид ь Кх I х'\ /Тг'Ыг' — fix) 177 е)) а Отсюда следует, что <х|х') =0 при х Ф х', а в бесконечно малой е-окрест- ности точки х = х' функция (х | х') отлична от нуля, причем B2.10) где использована теорема о среднем. Следовательно, <x|x')dx'= 1 B2.11) при бесконечно малом е. Это озна- означает, что при х' = х функция (х|х') обращается в бесконечность, но так, что интеграл от нее по области, вклю- включающей точку х, равен единице. Функция 5 (х — х') = < х | х' >, обла- обладающая такими свойствами, как 8(х-х') = 0 (х'Фх), B2.12) |5(x-x')dx'= I
144 5. Основные понятия теории представлений является 8-функцией Дирака. С ее по- помощью условие ортонормированнос- ти базисных функций | х ) при непре- непрерывно изменяющейся переменной х имеет вид Свойства S-функции Дирака. Она является четной функцией своего ар- аргумента. Это следует из B2.13): 8(.v - х') = <х|х'> = <х'|.*>* = 5*(л-' - л-) = = 8(.г'-.х:), B2.14) поскольку 8-функция вещественна. При наличии под интегралом произ- производной от 8-функции по первой пере- переменной в ее аргументе d d §' (х - х') = — g (х - х') = - — 5 (х - х') dx dx B2.15) вычисление производится следующим образом: ,d5(.v-x') J8'(x - x')/(x')dx' = \— -f(x')dx' = = — J 5 (x - x')/(x') d.v' - —/(*). B2.16) dx dx Это вычисление можно осуществить также, произведя в подынтегральном выражении замену: d §' {х - х') = 8 (х - х') —, B2.17) dx' причем оператор d/dx' действует на все функции под интегралом, которые сопровождают 8' (х — х'). Вычисление интегралов при наличии в подынтег- подынтегральном выражении производных от 8-функции более высокого порядка удобно производить с помощью за- замены d"?,(x-x'\ d" = 5(х-х') —. B2.18) dx" dx'" Можно представить 5-функцию в виде предела от функции, которая отлична от нуля лишь в сколь угодно малой области вблизи точки х, одна- однако принимает в этой области такие значения, что интеграл по области равен единице. Например, функция axAeXPL B2.19) симметрична относительно точки х и является четной функцией своего ар- аргумента. При любом а = 1. Очевидно, что : = х). Следовательно, lim fa(x -х') = Ь(х- х'). B2.20) B2.21) B2.22) Такого рода представлений 8- функции в виде предела других функ- функций существует бесконечное множест- множество. Можно ее выразить также в виде производной по х' от функции, кото- которая везде постоянна, за исключением точки х' = х, где она испытывает раз- разрыв непрерывности с изменением зна- значения на 1. Другие полезные представления 8-функции могут быть получены из теории рядов и интегралов Фурье. Например, известные из теории ин- интегралов Фурье соотношения = -J= J e-'^'/(x')dx', f(x) = ~^= ] f(k)eikxdk, записанные в виде равенства 00 Г 1 00 - со 1_2я - се B2.23а) B2.236) elkix'x)dk\f{x')dx', B2.24)
§ 22. Линейные бесконечномерные векторные пространства 146 показывают, что 1 2тг B2.25) Бесконечномерные операторы. Их свойства целесообразно рассмотреть на примерах конкретных бесконечно- бесконечномерных операторов, которые играют главную роль в квантовой механике. Бесконечномерный оператор опре- определяется в полной аналогии с конеч- конечномерным как правило, по которому бесконечномерному вектору | Ч*) со- сопоставляется бесконечномерный век- вектор |ф> [см. B1.18)]: B2.26) В базисном представлении действие оператора сводится к преобразова- преобразованию проекций вектора | Ч*) в проек- проекции вектора | ф ), т. е. к преобразо- преобразованию функции Ч* (х) в функцию ф (х). Рассмотрим оператор D, действия ко- которого в базисном представлении сводятся к преобразованию функции Ч* (х) в ее производную ф (х) = dT/dx. Для соответствующих векторов ра- равенство B2.26) принимает вид >. B2.27) Так же как и в случае конечного числа измерений, бесконечномерные опера- операторы в базисном представлении описываются матричными элемента- элементами, образующими бесконечномерные матрицы. Умножая обе части уравнения B2.27) слева на <х|, получаем = <x|D|4/>, B2.28) где учтено соотношение B2.4). При- Принимая во внимание B2.7), перепишем B2.28) в виде B2.29) Сравнивая B2.29) с B2.16), находим выражение .цля матричного элемента оператора D в ортонормированном базисе векторов |х): (x\D\x')=Dxx, = 8'(x-x') = d = 8(х-х') —, B2.30) ах' где использовано равенство B2.15). Заметим, что в Dxx, — 8' (х — х') пре- предусмотрено интегрирование по вто- второму индексу х', а действие оператора сводится к взятию производной по первому индексу х. Формула B2.29), представленная в виде dT/dx = ф (х) = { ЬХХЧ> (л') djc', B2.31) аналогична B1.38) и отличается от нее только тем, что величины /с и / в B1.38) принимают дискретные значе- значения, а величины х и х' в B2.31) не- непрерывны. Бесконечномерный опера- оператор Dxx. является бесконечномер- бесконечномерной матрицей, аналогичной матрице в равенстве B1.40), и его применение к вектору в базисном представлении сводится к интегрированию по вто- второй переменной х'. Однако записать Dxx. в виде матрицы затруднительно, а представить его действие в виде результата интегрирования слишком громоздко. Учитывая, что }5(х - x')^(')d' dx' d dx B2.32) можно показать, что действие опера- оператора D в х-представлении сводится к взятию производной d4*/dx без вся- всякого интегрирования по переменной х', т. е. просто как оператор диффе- дифференцирования. Именно такая про- процедура обычно применяется при вы- вычислении действия оператора D. Од- Однако при этом необходимо помнить 10 219
146 5. Основные понятия теории представлений условный характер такой процедуры, потому что в базисном представле- представлении оператор D, как и все другие линейные операторы, описывается матрицей. Оператор в не является эрмито- эрмитовым оператором, потому что D*x. = 8'*(х - х') = 6'(х- х') = = -bl(x'-x)=-D,x, B2.33) . . (х) Кхх,Ч> (х') dxdx' = d4*(x') 5( ')V dx' dx, B2.38) < 4» | X. | Ф >* = q | V* (x) Kxx, ф (x1) dxdx']* в то время как для эрмитова опера- оператора должно было бы выполняться равенство D*XX=DX.X. B2.34) Чтобы сделать оператор D эрмито- эрмитовым, необходимо умножить его на чисто мнимое число, которое принято выбирать в виде — / = — yj — 1. Полу- Получающийся в результате этого опера- оператор K=-*iD B2.35) удовлетворяет условию эрмитовости B1.25): К*,- = (- ifijT = iD*, = - iDxx = Кх.х. B2.36) Однако для бесконечномерных опера- операторов выполнение равенства B2.36) является лишь необходимым услови- условием эрмитовости, но не достаточным. Чтобы в этом убедиться, возьмем два вектора | ф ) и | *Р ), представления которых в базисе векторов \х} да- даются функциями ф (х) и *Р (х) на интер- интервале (а, Ь). Эрмитов оператор К дол- должен удовлетворять соотношению B2.37) Вычислим левую и правую части B2.37) в базисном х-представлении: = /Ч>(х)Ф*(х)|* - / x, B2.39) где произведено интегрирование по частям. Видно, что = /Ч*(х)ф*(х)|Ь. B2.40) а Следовательно, условие эрмито- эрмитовости B2.37) для оператора ? не вы- выполняется, т. е. удовлетворение усло- условию B2.34| еще недостаточно, чтобы оператор К был эрмитовым. Еще не- необходимо, чтобы правая B2.40) была равна нулю: часть в 1'Ч'(х)ф*(х)| - B2.41) т. е. оператор Я, определенный ра- равенствами B2.36), является эрмито- эрмитовым лишь в том случае, когда проек- проекции образующих его векторов в ба- базисном представлении удовлетворя- удовлетворяют условиям B2.41). Эти условия со- соблюдаются лишь при функциях, об- обращающихся в нуль на границах ин- интервала (a, b), a также при периоди- периодических функциях, у которых период в целое число раз меньше длины инер- вала b — а, т. е. равен (Ь — а)/п, п = = 1,2,..., благодаря чему на гра- границах интервала (а, Ь) они имеют одно и то же значение.
22 Линейные бесконечномерные векторные пространства 147 Если интервал (а,Ь) бесконечен, т. е. а = — оо, b = оо, то требования к функциям для удовлетворения усло- условия B2.41) необходимо уточнить. Если при х -+ — оо их-+оо функции стремятся к нулю, то соблюдение условий B2.41) очевидно. Однако представляется вероятным, что име- имеется и другой класс функций, которые в определенном смысле удовлетворя- удовлетворяют условию B2.41), хотя и не стре- стремятся к нулю при х -* ± оо. Возьмем в качестве примера функции е1кх при всевозможных вещественных значе- значениях параметра к. Они являются ос- осциллирующими функциями при х -> -* ± оо и не стремятся к опреде- определенному пределу. Не стремится к определенному пределу и произведе- произведение е1кхе~1к'х при кфк', хотя при к = к' предельные значения равны 1 и условие B2.41) соблюдается. При к ф Ф к' предельное значение произведе- произведения функций при х -* оо определяется как среднее значение по бесконечному интервалу, начинающемуся со сколь угодно большого значения х, и если при этом значении произведение стре- стремится к нулю, то в соответствующем векторном пространстве оператор К эрмитов. Для функций е'кх это усло- условие имеет вид lime')[Xe""IX = = tan - [ e'(k- L-*oo a B2.42) т. е. оператор ft действительно эрми- эрмитов в пространстве соответствующих векторов Собственные значения и собствен- собственные векторы. Проблема нахождения собственных значений и собственных векторов в бесконечномерном век- 10* торном пространстве значительно усложняется. Во-первых, уравнение B1.56) для определения собственных значений может быть в принципе за- записано и решено для сколь угодно большой степени п. В результате можно получить п собственных значе- значений и соответствующее число собст- собственных векторов. Однако эти собст- собственные векторы заведомо не могут составить полную систему линейно независимых векторов для образова- образования базиса векторного пространства, поскольку пространство бесконечно- бесконечномерно. Во-вторых, наличие совокуп- совокупное! и бесконечного числа ортонорми- рованных векторов в бесконечномер- бесконечномерном линейном векторном пространст- пространстве не гарантирует полноту образован- образованного из векторов этой совокупности базиса, потому что при вычитании из этой совокупности конечного числа векторов в ней по-прежнему остается их бесконечное число. Рассмотрим решение этой пробле- проблемы на примере оператора К. Уравне- Уравнение B1.53) для определения собствен- собственных функций и собственных значений имеет вид К\к) = к\к), B2.43) где к-собственное значение, |fc>- собственный вектор оператора Я, принадлежащий собственному значе- значению к. Будем решать это уравнение в базисном представлении. Удобно пе- перейти к х-представлению. Умножим обе части B2.43) на (х| слева: <x|K|k> = fc<x|k>. B2.44) Преобразуя левую часть этого урав- уравнения аналогично B2.29), находим (х\К\к) = j(x\K\x')(x'\k}dx' = B2.45)
148 5. Основные понятия теории представлений где К = — if). Обозначая (.х | к ) = = ^(х), получаем вместо B2.44) уравнение для определения собствен- собственных значений и собственных функций: d -1йхЧ>к(х)-кЧк(х). B2.46) Его решение у?к{х) = Аёкх, B2.47) где Л - произвольная постоянная, Не- Непроизвольный вещественный пара- параметр, который является собственным значением оператора - id/dx, входя- входящего в B2.46). Функция vPk(x) для области — оо < х < оо может быть принята в качестве собственной функ- функции, принадлежащей собственному значению Не. Она удовлетворяет усло- условию B2.42). Формально функция B2.47) удов- удовлетворяет уравнению B2.46) не толь- только при действительных, но и при комплексных значениях к. Однако при комплексных значениях Не условие B2.42) не удовлетворяется и, следо- следовательно, К не эрмитов оператор. Пространство функций, которые мо- могут быть нормированы либо на еди- единицу, либо на 5-функцию Дирака, на- называется физическим гильбертовым пространством. В математике гиль- гильбертовым пространством функции называется векторное пространство, которое содержит только собствен- собственные векторы, нормируемые на едини- единицу. Однако в квантовой механике чрезвычайно большая роль принадле- принадлежит несобственным векторам, кото- которые не могут быть нормированы на единицу, а нормируются на 5-функ- 5-функцию Дирака. Это приводит к необхо- необходимости соответствующего расшире- расширения понятия гильбертова пространст- пространства. Принимается, что теорема о пол- полноте базиса, образованного собствен- собственными векторами эрмитова оператора, справедлива также для физического гильбертова пространства, в назва- названии которого для сокращения слово «физическое» обычно опус- опускается. Значение постоянной А в B2.47) находится из условия нормировки ^к(х) на 8-функцию и поэтому прини- принимается равным 1Д/2тг [см. B2.25)]: (к\к ¦>"f (к\х) (x\k')dx = = — e-'{k-k')xdx = 8(k-k'), B2.48) 2я J где (д: | Не) = хРк(х) и учтено равенство B2.25). Таким образом, проекции вектора |к) в базисе векто- векторов | х ) задаются функциями Ч\(х): |fc>-»(l/>/2i0ei*x. B2.49) Поскольку Х-эрмитов оператор, совокупность векторов | Не) образует полный базис, по которому можно разложить произвольную функцию |/), принадлежащую гильбертову пространству: f(k)=(k\f)= (k\x)(x\f)dx = e'ikxf{x)dx. B2.50) Разложение функции |/) по базису векторов |х) имеет вид eikxf(k)dk. B2.51)
22 Линейные бесконечномерные векторные пространства 148 Сравнение этих формул с B2.23) показывает, что преобразование Фу- Фурье дает переход от представления вектора в одном полном базисе | л ) к его представлению в другом полном базисе | /с) . Оба эти базиса одинаково пригодны для представления векто- векторов, принадлежащих гильбертову пространству Базис из векторов |/с) генериру- генерируется эрмитовым оператором К, мат- матричные элементы которого в этом базисе равны (к\К\к'} = = к'(к\к'} = к'Ь{к-к') B2 52) Обозначим X - оператор, которым ге- генерируется базис из векторов |х) Собственные векторы | х ) , по опреде- определению оператора X, удовлетворяют уравнению Х\х) = х\х), B2 53) и, следовательно, матричные элемен- элементы оператора X в этом базисе равны (х'\Х\х) = х5(х' -х) B2 54) Результат действия оператора X на вектор |/) обозначим |ф). |ф> B2 55) Тогда = */(*) = <*|ф> = Ф(х) B2 56) Следовательно, (р(х) = xf(x) и дейст- действие оператора X на вектор |/) сво- сводится в х-представлении к умноже- умножению на х проекций/(х) этого вектора: X\f(x)) = \xf(x)), B2 57) где под | xf(x)) понимается кет-век- тор, проекции которого на базисные векторы |х) равны х/(х). Коммутатор операторов X и Й. Действиям операторов X я К на кет- вектор |/) соответствуют в х-пред- х-представлении следующие операции над проекциями вектора' X\f)^xf{x), B2 58a) B2 586) B2 59а) B2 596) Следовательно, XK\f)-> -IX ах dx и поэтому d/W ix—¦ h .d/(x) dx + + if(x) = if(x) - it|/> B2 60) Поскольку I/)-произвольный кет- вектор, из B2.60) получаем [_X,K] = it B2 61) Это важное коммутационное соотно- соотношение между X и К, которые явля- являются основными операторами кван- квантовой механики. Большинство других операторов квантовой механики j$bi- ражается в виде функции от I и I = = ЯК, где й-постоянная Планка. Соотношение взаимности операто- операторов ^и К. Матричные элементы опе- операторов X и К в своих собственных базисах даются выражениями B2 54) и B2.52). Найдем матричный элемент оператора X в собственном базисе оператора К: " 2* J k)xdx = B2.62)
150 5 Основные понятия теории представлений где при переходе от первого интег- интеграла ко второму произведена замена переменной интегрирования х -* — х, или, другими словами, учтено, что 5(к' -к) = 5(/с - к'). Обозначим /(/с) проекции вектора |/) в базисе опера- оператора К. Из B2.62) следует, что проек- проекции вектора % |/) в этом базисе равны idf(k)/dk. Проекции вектора $ |/) в собственном базисе К на основании B2.52) выражаются в виде kf(k). С учетом B2.58) заключаем, что проекции векторов л|/)иХ|/>в базисе оператора ? равны соответ- соответственно xf(x) и —Jdf(x)/dx, а в ба- базисе оператора К - соответственно idf(k)/dk и kf(k). 23. Постулаты квантовой механики Излагается абстрактная формулировка кванто- квантовой механики Смысл аксиоматического представле- представления физической теории. Физическая теория всегда возникает как резуль- результат наблюдений, опыта и эксперимен- экспериментальных исследований, приводящих к построению физической модели соот- соответствующей области явлений. Мо- Модель формулируется и описывается на математическом языке и называется теорией данной группы явлений. Все обширное содержание теории можно свести к небольшому числу основных положений, из которых посредством логических и математических опера- операций можно получить все следствия теории. Совокупность этих основных положений принято называть аксио- аксиомами или постулатами теории. Вся классическая механика Ньютона ба- базируется на трех постулатах - законах Ньютона; вся классическая электро- электродинамика-на уравнениях Максвелла и т.д. Изложение теории исходя из ее постулатов является наиболее крат- кратким и в большинстве случаев наи- наиболее изящным. Оно широко исполь- используется в теоретической физике. Однако при этом предполагается, что физическая модель и соотношение используемых в модели понятий с физической реальностью имеют ясное и непротиворечивое толкование, а само аксиоматическое изложение тео- теории не затушевывает ее эксперимен- экспериментального происхождения. Аксиомати- Аксиоматическая формулировка физической тео- теории - результат экспериментальных и теоретических исследований, а от- отнюдь не инструмент этих исследова- исследований. Тем не менее это важный фактор физических исследований, потому что в наиболее ясной и краткой форме представляет проблему соотношения физической теории и физической реальности. В первых четырех главах этой книги были изложены эксперимен- экспериментальные факты, которые привели к возникновению квантовой механики, а также основные положения кванто- квантовой механики в наиболее привычном представлении - координатном. Это представление кажется некоторой мо- модификацией моделей классической физики и выглядит наиболее «естест- «естественным» и «понятным». Однако именно благодаря этому оно наиме- наименее приемлемо для изложения су- существа квантовой механики и часто приводит к его искажению. Напри- Например, квантовая механика излагается как теория, основанная на дифферен- дифференциальном уравнении Шредингера, а затем говорится об «операторном ме- методе» квантовой механики. При та- таком подходе невозможно вообще по- понять суть квантовой механики, по- потому что при этом не учитывается различие физической природы дина- динамических переменных классической и
§ 23. Постулаты квантовой механики 151 квантовой физики. Этим же обстоя- обстоятельством обусловливаются некото- некоторые «парадоксы» квантовой механи- механики, которые по своей сути являются недоразумениями. Поэтому целесо- целесообразно сформулировать основные положения квантовой механики в абстрактном представлении, когда все Э1И 1 рудное 1 и устраняются сами собой. Постулаты квантовой механики. Целесообразно сформулировать основ- основные положения квантовой механики для наиболее простого случая нереля- нерелятивистского движения отдельной час- частицы в одном измерении. Обобщение этих положений на случай многих частиц и многих измерений будет об- обсуждено в конце параграфа. Посту- Постулаты квантовой механики могут быть сформулированы в виде следующих четырех положений. 1. Состояние движения частицы представляется вектором j Ч*(г) > в гильбертовом пространстве. 2. Независимые динамические пе- переменные, соответствующие класси- классическим координате х и импульсу р частицы, представляются эрмитовы- эрмитовыми операторами X и Р, матричные элементы которых в собственном ба- базисе оператора X равны (х\Х\х') = хд(х-х'), (х\Р\х')= ~тЪ'(х-х'). B3.1) B3.2) Другие динамические переменные, соответствующие классическим функ- функциям F(x,p), представляютсяэгжи- товыми операторами F {X, Р) — = F(x^X,p^P). 3. В состоянии | Ч*) измерение ди- динамической переменной А дает с ве- вероятностью 0>(Л) = \(Л \у?)\2 одно из собственных значений А операто- оператора А. В результате этого измерения сис- система переходит из состояния |*Р) в состояние | А ). 4. Вектор состояния | Ч/(г)) под- подчиняется уравнению Шредингера idt B3.3) где Н = Н(Х, Р) - оператор Гамиль- Гамильтона, получающийся из гамильто- гамильтониана Н(х,р) соответствующей клас- классической проблемы по правилу Й(Р) Р) Смысл и содержание этих посту- постулатов достаточно подробно были рассмотрены в ^-представлении (см. гл. 4). Здесь необходимо сделать лишь несколько пояснительных заме- замечаний. В постулате 2 далеко не всегда понятно, как построить оператор P(?,P) = F{x->Jt,p-+P). Пусть, на- например, F = хр = рх.^ Поэтому не ясно, будет ли F(X,P) = XP или F (X, Р) =jP%, хотя эти операторы раз- различны (X, Р Ф РХ). Универсального правила преодоления этой трудности не существует. В рассматриваемом случае используется прием симметри- симметризации ^и принимается, что F (X, Р) = = (X Р + РХ)/2. Однако уже для вто- второй С1епени или выше х или р в произведении этот прием не может быть применен. Задача сводится к нахождению такого правила написа- написания оператора, которое приводило бы к согласию выводов теории с ре- результатами экспериментов. В постулате 3 в случае вырожден- вырожденного собственного значения А для вычисления 0>(А) надо принять во внимание полную проекцию состоя- состояния | Ч*) на подпространство, принад- принадлежащее вырожденному собствен- собственному значению. Например, если соб- собственное значение А вырождено дву- двукратно (А = Ах = А2), то в простран-
152 5. Основные понятия теории представлений стве векторов, принадлежащих этому собственному значению, можно пост- построить некоторый ортонормирован- ный базис \А,1} и \А,2). Тогда ?(А) = | (А, 11 Ч> > | 2 + | < А, 21Ч» > | 2 . B3.4) В случае непрерывного спектра собственных значений оператора А величина |<Л|?)|2 в постулате 3 дает не вероятность, а плотность ве- вероятности, поскольку собственные векторы | А ) в этом случае нормиро- нормированы не на 1, а на 5-функцию. Полная вероятность получить при измерении какое-либо значение А равна, конеч- конечно, единице: <> B3.5) В частности, спектр собственных значений оператора координаты X непрерывен. Волновая функция *Р(х) = (х|Ч*) позволяет находить не вероятность нахождения частицы в точке х, а плотность вероятности | *Р(х) | 2; вероятность нахождения час- частицы в интервале dx вблизи х равна | Ч'(х) | 2 dx. Однако вектор | *Р) содер- содержит информацию не только о место- местонахождении частицы, но и об ее им- импульсе. Плотность вероятности для частицы иметь импульс р дается проекцией ЧЧр) = О'|Ч/) вектора со- состояния | *?} на базисный вектор | р ) оператора Р. Существуют динамичес- динамические переменные, для которых нет классического аналога. В этом случае оператор динамических переменных должен быть построен так, чтобы да- давать результаты, согласующиеся с экспериментом. Обобщение постулатов на многие степени свободы. В этом случае моди- модифицируется лишь постулат 2, осталь- остальные остаются без изменения. Этот постулат может быть сформулирован так: N степеням свободы, относящимся к N декартовым координатам хх, х2, ..., xN классической системы, в кван- квантовой теории соответствуют N взаимно коммутирующих операторов Собственный координатный базис | х1, х2, ... , xN ) этих операторов нор- нормируется условиями <х,, х2, ... ,xN\x'1,x'2, ... ,x'N} = - х'2)...5(xN - x'N). B3.6) Связь векторов состояния |Ч*> с вол- волновыми ФУНКЦИЯМИ VP(X1, Х2, . . . , Xjy) в х-представлении и действия опера- операторов Xt и Pi в этом представлении выражаются формулами B3.7а) B3.76) B3.7в) = 44*!, х2, ...,xN), - Операторы динамических переменных образуются по правилу Формулировка этих правил спра- справедлива лишь в декартовых коорди- координатах, потому что только в них спра- справедливо в х-представлении простое описание действия операторов X и Р по схеме ^l-->xi, Pt -> — Шд/дхг Лишь после формулировки и записи уравнений в декартовых координатах для решения полученных дифферен- дифференциальных уравнений можно перехо- переходить к любым другим координатам заменой переменных.
24. Различные представления квантовой динамики 1БЗ 24. Различные представления квантовой динамики Описываются различные представления кванто- квантовой динамики - картины Шредингера, Гейзен- берга и картина взаимодействия. Картина динамики Шредингера. Эво- Эволюция системы во времени описыва- описывается уравнением Шредингера^B3.3), в котором операторы ihd \ dt, X и Р от времени явно не зависят. Оператор Н для консервативной системы также не зависит явно от времени. Но в прин- принципе уравнение B3.3) справедливо и при явной зависимости Й от времени. Вся эволюция системы описывается изменением вектора состояния | *? (t)) во времени, в то время как операторы динамических переменных от времени не зависят. Следовательно, вся кван- квантовая динамика системы представле- представлена изменением во времени вектора состояния. Такая картина квантовой динамики системы называется карти- картиной Шредингера. Уравнением, описы- описывающим квантовую динамику систе- системы в этой картине, является уравне- уравнение Шредингера B3.3). Рассмотрим случай, когда опера- оператор Н не зависит явно от времени. С учетом B1.92) видно, что решение уравнения B3.3) имеет вид \V (t)} = = U(t)\4> @)}, B4.1) где U{t) = exp{-iHt/n). Если выражающий экспоненту ряд сходится, то B1.1) дает решение урав- уравнения Шредингера, которое полезно для многих применений. Заметим, что в тех случаях, когда ряд не сходится, формула B4.1) может быть тем не менее использована для выработки приемов, с помощью которых может быть найдено приближенное решение. Оператор 1/@ = е B4.2а) удовлетворяет операторному уравне- уравнению — — О = HU B4.26) г dt и называется пропагатором. Он осу- осуществляет преобразование вектора состояния от одного момента време^ ни к другому. Поскольку оператор Н эрмитов, пропагатор U унитарен [см. B4.2а)]: U+(t)U(t) = r. B4.3) Унитарность оператора U (i) обеспе- обеспечивает сохранение нормы вектора состояния в процессе его изменения во времени: = <ччо)| 1/+(О0(г)|ЧЧО)> = B4.4) где B4.5) Таким образом, нормировка век- вектора состояния сохраняется с тече- течением времени, меняется лишь его «направление» в гильбертовом прост- пространстве. Изменение вектора состоя- состояния со временем сводится к его «вра- «вращению» в гильбертовом пространст- пространстве. При явной зависимости Й от вре- времени имеется искушение записать ре- решение уравнения B3.3) аналогично B4.1) в виде =ехр| ~f "- "о B4.6) Формально B4.6) удовлетворяет урав- уравнению B3.3), однако не представляет решения, так как экспоненциальный оператор не может быть опеределен степенным рядом. Это обусловле-
154 5. Основные понятия теории представлений но некоммутативностью операторов H(t), относящихся к разным момен- моментам времени H(ty)H(t2) - H(t2)H(tl) ФО (t! Ф t2)B4.7) Для нахождения оператора JJ(t) в этом случае и представления с его помощью решения в виде 0 B4.8) разобьем интервал времени @, t) на N участков одинаковой длины A (t = = NA), причем А выбирается очень малым, а N соответственно очень большим. Решение уравнения Шре- дингера B3.3) для / = А можно с точ- точностью до величин первого порядка по А представить в виде /А B4.9) С точностью до величин первого по- порядка по А равенство B4.9) в экспо- экспоненциальной форме записывается в виде соотношения = ехр| --Д#(О)||ЧЧО)>. B4.10) Аналогично находим |ЧЧ2Д)>=ех = ехр --ДЯ(Д) ехр --ДЯ(О) |?@)>. L fi J L Л J B4.11) Продолжая этот процесс, окончатель- окончательно получаем = { П ехр --^ Ввиду некоммутативности операторов Н для различных моментов времени нельзя в B4.12) произвести сложение показателей экспонент и при А -> 0 перейти к интегралу, получив форму- формулу вида B4.6). Необходимо^дать та- такое определение оператора JJ{t), кото- которое обеспечивало бы более позднее применение оператора ЙA2) по срав- сравнению с оператором H(tt), если t2 > tv Другими словами, оператор H(t) дол- должен стоять левее всех операторов, относящихся к предшествующим мо- моментам времени. Такое определение дается с помощью процедуры упоря- упорядочения интеграла по времени, обо- обозначаемой символом Т, которая ма- математически выражается в виде U(t) = N - 1 = lim П ехр[-(г/й)Я(шД)Д]. B4.13) JV-» com = О Оператор B4.13) связывает векторы состояния | Ч'@) )> и |*Р@) форму- формулой B4.8). Он унитарен, поскольку представляет собой произведение унитарных операторов. Следователь- Следовательно, и при явной зависимости гамиль- гамильтониана И от времени изменение вектора состояния |44f)> во времени является «вращением» в гильберто- гильбертовом пространстве. В общем случае пропагатор \J{t2,t^), описывающий переход от вектора состЬяния \xV{t1)') к вектору состояния \x?(t2)'), имеет вид [см. B4.13)] U(t2,г,) = Т{ехр[-(i/Й) |Я(/')с!Г|}. B4.14) Нетрудно доказать, что он удовлет- удовлетворяет следующим условиям: B4.15) B4.12)
§ 24. Различные представления квантовой динамики 15Б Картина динамики Гейзенберга. В картине Шредингера динамика систе- системы представляется вращением векто- вектора состояния в гильбертовом про- пространстве, базис пространства непод- неподвижен и операторы динамических пе- переменных не зависят от времени в этом базисе. Можно по своему усмот- усмотрению привести базис во вращатель- вращательное движение. В результате вращение вектора состояния относительно ба- базиса изменится, а операторы станут зависимыми от времени. Динамика системы при этом распределится со- соответствующим образом между дина- динамикой операторов и динамикой век- вектора состояния. Такое распределение динамики можно произвести бесчис- бесчисленными способами, выбирая различ- различные «вращения» базиса. Один из крайних случаев, когда вся динамика переносится на вектор состояния, на- называется картиной Шредингера. Дру- Другой крайний случай, когда вся дина- динамика переносится на операторы, на- называется картиной Гейзенберга. В картине I ейзенберга вектор состоя- состояния постоянен. Промежуточные слу- случаи называются промежуточными картинами динамики. Все эти картины динамики совершенно эквивалентны. Из промежуточных картин наиболее важной является представление взаи- взаимодействия, используемое в неста- нестационарной теории возмущений (см. § 48). Обозначая операторы и векто- векторы в картине Шредингера индексами Ш, а в картине Гейзенберга - индек- индексами Г, запишем уравнение Шредин- Шредингера в виде оператором Ят в состоянии дается формулой т-| B4.16) Среднее значение динамической пере- переменной, представляемой в картине Шредингера независимым от времени где использована формула B4.8). За- Зависящий от времени оператор Ar(t)=U+(t)AmU(t) B4.18) является оператором динамической переменной А в картине Гейзенберга. Не зависящий от времени вектор со- состояния ^(О)) может рассматри- рассматриваться как вектор состояния в карти- картине Гейзенберга |Ч*Г> = |Ч*ш@)>. B4.19) Само собой разумеется, вместо | Ч'(О)) в качестве не зависящего от времени вектора состояния в картине Гейзен- Гейзенберга можно взять вектор |4V(;0)), но использовать при этом для вычис- вычисления Ar{t) в B4.18) пропагатор B4.14). Уравнение движения для операто- операторов Ar(t) в картине Гейзенберга по- получается непосредственно дифферен- дифференцированием B4.18) по времени: ihdAr/dt = АГЙГ - НГАГ = [ЛГ.ЯГ]. B4.20) Это уравнение является уравнением движения в картине Гейзенберга. Оно эквивалентно уравнению Шрединге- Шредингера, но в нерелятивистской квантовой механике применяется реже. Однако в релятивистской квантовой теории по- поля более предпочтительна во многих случаях картина динамики Гейзен- Гейзенберга. Картина взаимодействия. Рассмот- Рассмотрим наиболее важный случай про- промежуточной картины, когда оператор Гамильтона Нт состоит из не зави- 'ш Р.) и за- сящеи от времени части „ висящей от времени части Й\ц>A): #ш@ = #18» + #№('). B4.21) Уравнение Шредингера для вектора
156 5. Основные понятия теории представлений состояния |Ч/Ш(г)) имеет вид B4.22) Перейдем к промежуточной кар- картине, в которой вращение базиса ге- генерируется оператором ??$'(')> удов- удовлетворяющим уравнению И d ГГ(°) — Й(°)/7@) AАТ>,\ idt Ш~ Ш Ш" { ' Если бы в B2.21) было H$(t) = 0, то с помощью оператора 0(щ можно было бы полностью снять вращение с век- вектора состояния и перейти к картине Гейзенберга. Однако при H$(t) ф О оператор t/'щ' снимает с вектора со- состояния |*Р@) лишь часть вращения. Остальная часть вращения генериру- генерируется гамильтонианом //^(О- Очевид- Очевидно, что > B4.24) где |VPB(?))-вектор состояния во вра- вращающемся базисе. Отметим, что в B4.24) все величины относятся к мо- моменту времени /, а момент времени /0 характеризует начало отсчета време- времени, поскольку OfflUJo) — ?• Индекс «в» указывает, что этот вектор ха- характеризует состояние в картине взаимодействия. Из B2.24) следует, что B4.25) и поэтому т. е. при t = t0 кет-вектор состояния в картине взаимодействия совпадает с кет-вектором в картине Шредингера. Это означает, что в этот момент осуществляется переход во вращаю- вращающийся базис. B4.25) по времени: df df 18' Принимая во внимание, что Уравнение для 1^@) может быть найдено дифференцированием B4.26) B4.27) -гамильтониан Й^ во вращающемся базисе, окончательно запишем урав- уравнение B4.26) в виде B4.28) Следовательно, эволюция вектора состояния в картине взаимодействия определяется гамильтонианом #вЧ Зависимость операторов динамиче- динамических переменных от времени во вра- вращающемся базисе опеределяется опе- оператором Offl в соответствии с B4.18) формулой ^ <л _ G@| + Л Um B4.29) а уравнение движения для операторов в картине взаимодействия дается формулой B4.20) в виде idt v B4.30) Физические результаты теории в кар- картине взаимодействия и в картине Шредингера, конечно, одни и те же, как это следует из соотношений /)>, B4.31) Э) /7@)+ | А \ _ )>, B4.32)
24 Различные представления квантовой динамики 1Б7 которые доказываются с помощью B4.24) и B4.29). Стационарные состояния. Пропага- тор U(t) в картине Шредингера наи- наиболее естественно выразить в энерге- энергетическом представлении. В качестве ортонормированного базиса в этом случае берутся собственные векторы | Е) не зависящего от времени опера- оператора Гамильтона Я, принадлежащие собственным значениям энергии Е. Векторы | Е ) удовлетворяют не зави- зависящему от времени уравнению Шре- Шредингера: О\ р\ _ с-1 с-\ С74 W\ Вектор состояния |Ч*@) по формуле B1.74) может быть представлен в виде B4.34) где aE(t) = (?|Ч/(?)). Применяя слева к обеим частям равенства B4.34) опе- оператор ih-z— ft, получаем (iKd/dt-fi)\4>(t)y = O = B4.35) Отсюда из-за полноты и ортонорми- рованности базиса \Е) получаем уравнения для каждого значения Е г"Еф. B4.39) Для непрерывного спектра собствен- собственных значений Е сумма в B4.39) заме- заменяется интегралом. Состояние, опи- описываемое зависящими от времени векторами i At = EaE(t), B4.36) B4.37) B4.38) Сравнивая B4.38) с определением пропагатора B4.8), получаем решения которых W//4\ —tilt/ft = %@)e Следовательно [см. B4.34)], -iEl/K B4.40) называется стационарным. Такое наз- название обусловлено тем, что в этом состоянии вероятность ?Р(А) получить в измерении динамической перемен- переменной, представляемой оператором А, значение А не зависит от времени: др(А, i) = \{A\ E(t)) |2 = \(А | ?>е"'?"л |2 = = \(А\Е)\2 =d?{A,0). B4.41) Таким образом, понятие стационарного состояния не означает его независимости от време- времени, а отражает лишь независимость от времени результатов измерения динамических переменных. Пример. 24.1. Рассмотрим линей- линейный осциллятор в представлении чи- чисел заполнения состояний (линей- (линейный осциллятор в х-представлении см. § 27). Гамильтониан линейного осцил- осциллятора Я = р2/Bт) + DJc2/2 B4.42) при переходе к операторам Р = plJmHa, X = принимает вид B4.43) Н = (Иа>/2)(Х2 + Р2). B4.44) Коммутатор операторов 1иР равен 1 -• - К* л-, : ~Z\-X'Pi = 1- п B4.45) Для дальнейших вычислений це-
158 5 Основные понятия теории представлений лесообразно перейти к оператору а = (X + iP)/y/2 B4.46а) и сопряженному с ним оператору а+ = (X - iP)lyJl, B4.466) которые не являются эрмитовыми. Из B4.46) следует, что аа+ =(j?2 + /52-/[X,.P])/2 = = l/2(X2 + P2 + l), B4.47a) а+а = (X2 + Р2 + i[_X,P])/2 = = l/2(X2 + P2-l), B4.476) и поэтому X1 + Р2 = аа+ + а+а = 2а+а + 1, B4.48а) [я,а+] = 1. B4.486) С учетом B4.48 а) можно предста- представить гамильтониан B4.43) в виде Я = /ко(а+а+ 1/2) = где оператор N = a+d B4.49) B4.50) является эрмитовым. Обозначим |л) собственный век- вектор оператора Й, принадлежащий собственному значению п. Собствен- Собственный вектор |и) предполагается нор- нормированным <и|я) = 1. Докажем, что собственные значения оператора N неотрицательны. Из соотношений (n\N\n) = <и|й+<3|и> =«и|а+) = |<а|и»|2 > 0, Й\п) = п\п), (n\N\n) = = п<п|и> = п B4.51) следует неравенство п *z 0, которое требовалось доказать. Кет-вектор а+|и) является соб- собственным вектором оператора JV, принадлежащим собственному значе- значению и + 1, как это следует из со- соотношений если принять во внимание, что кет- вектор а+|«) не равен нулю. Спра- Справедливость последнего утверждения обосновывается вычислением квадра- квадрата модуля этого вектора: \а+ \п)\2 = ((п\а)(а+ \п)) = (п\аа+ \п) = = (п\а+а+ l\n) = (n\fi + 1|и> = = (п + 1)<и|и> = п + 1 ^ 1, B4.52) поскольку п ^ 1. Аналогично показывается, что кет-вектор а | п) при « ^ 0 является собственным вектором N, принадле- принадлежащим собственному значению п — 1, а при п = 0 и только при п = 0 он является нулевым вектором, т. е. а 10> = 0: $(а\п)) = (&+й)а\п} = (М+ + |и» = й+йа+ \п) = а+(а+а B4.51) >. B4.53) Так как п ^ 0, то а 10> = 0. Из B4.51) и B4.53) заключаем, что действие операторов а и а+ на соб- собственные векторы оператора Й дает другие собственные векторы операто- оператора N, за исключением действия опера- оператора а на вектор |0). Действуя по- повторно операторами а+ и а на вектор |«), можно получить последователь- последовательность собственных векторов операто- оператора N, принадлежащих собственным значениям п, п + 1, п + 2, п + 3, ... и и — 1, и — 2, и — 3, ... Во втором слу- случае процесс ограничен условием не- неотрицательности собственного значе- значения, однако нулевое собственное зна- значение оператора N не исключается. Кет-вектор с нулевым собственным значением обозначается 10) и для не- го й 10) = 0, где справа стоит нулевой вектор. Повторное применение опера- оператора а+ к вектору 10) дает последова- последовательность собственных векторов опе- оператора N, принадлежащих собствен-
§ 24. Различные представления квантовой динамики 159 ным значениям этого оператора, со- составляющим последовательность це- целых положительных чисел п = О, 1, 2, ... Это означает, что собственные значения энергии гамильтониана B4.49) ?„ = /га)(" +72)- B4.54) Поскольку вектор а+\п) пропорцио- пропорционален нормированному собственному вектору \п + 1), можно выбрать фазу нормированного вектора | и) так, й - чтобы было 0 0 0 0 0 10 0 0 0 _[ 0 ф 0 0 0 0 0 0 /4 0 /О 1 0 0 0 0 .\ 00^/2 0 0 0 . о о о ./з о о B4.59) 0 0 0 0 0 1 /п+ 1 ,а+\п). \ 0 0 0 О О У5 B4.55) Отсюда Из B4.46) получаем операторы X = (а+ Р = Ца+ - д)/у/2, B4.60) х(а+J|«-2> = ...= матричные представления которых сле- 1 («+П0>. B4.56) ДУЮТ из B4.59): , и! '0100 1 0 ф 0 Базисные векторы | и) ортонорми- х = — I 0 N/2 0 рованы. ф. \ о о Jl О Из B4.55) находим матричные эле- элементы оператора а+: /п -у/2 0 0_ -ч 0 0 15„.„+1. Так как а = (а менты оператора а (ri\a\n} = s/nbn.<n_l. B4.57) , то матричные эле- B4.61) Вектор произвольного состояния | *P(t)> B4 58) может быть представлен в виде Матрицы операторов а+ий имеют вид = Хг е ~ я
160 5. Основные понятия теории представлений Задачи 5.1. 5.2. 5.3. Вычислить коммутатор Ге , ?]. Вычислить функцию е'"^' Ч* (х). В момент t = 0 вектор состояния гармонического осциллятора задан соотношением 1* @)> = X сп\п). Найти вектор состояния |ЧР (t) > системы в момент времени t и вычислить ОХ </>>•" 5.4. Вычислить в состоянии |и> линейного осциллятора {х), {р), <(Дл:J> и ((АрJ}. 5.5. Известно, что А В - В А = 1. Найти А В2 - В2 А = ? Ответы 5.1. aexp(iap/h). 5.2. Ч(х + a). 5.3. Ес„ехр [-ф + 72)сог]|и>; Уйсо/СЕ^и + l)/2 (С„С*„ + 1е'и'-С*С„+1е-и()-5.4.0; 0; (и + l/2)ha/D; (n + i/2)mhw. 5.5. 2Д.
25 Свободное движение частицы 6 26 Частица в одномерной потенциальной яме ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ X арактер энерге- 27 тического спектра частицы опреде- определяется в первую очередь областью Линейный гармонический движения-для конечной области осциллятор он ДИСКретен для бесконечной- непрерывен. Спектры других дина- динамических переменных также зави- сят от области изменения пере- менных. Потенциальный барьер для микрочастиц не составляет не- непреодолимого препятствия. 28 Движение в поле центральной силы. Ротатор 29 Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер 1-219
162 6. Простейшие случаи движения микрочастиц 25. Свободное движение частицы Обсуждается свободное движение час]ицы в не- неограниченном пространстве и возможность его приближенного представления посредством нормирования волновых функций на длину периодичности Волновые функции. В случае свобод- свободного движения внешние силы отсут- отсутствуют. Ограничимся рассмотрением движения в одном измерении. Опера- Оператор Гамильтона Я и уравнение Шредингера можно записать следую- следующим образом: П2 д2 #=-— —, B5.1) 2т дх2' П2 2т дх2 ' Положив получим для уравнение B5.2) B5.3) B5.4) решение которого 1' + В^"''х1", B5.5) где учтено, что импульс рх свободной частицы связан с ее энергией соотно- соотношением рх = yJlmE, А и В-произ- В-произвольные постоянные. Первое слагаемое в B5.5) описы- описывает движение частицы в положитель- положительном направлении оси X, а второе-в отрицательном. Чтобы в этом убе- убедиться, надо вернуться к функции B5.3) и посмотреть [с учетом B5.5)], в каком направлении перемещаются точки постоянной фазы у первого и второго слагаемых функции B5.3). Например, условие постоянства фазы первого члена имеет вид Et — рхх = = const. Дифференцируя это равенст- равенство по t, убеждаемся, что фазовая ско- скорость направлена вдоль положитель- положительного направления оси X. Аналогично анализируется второе слагаемое фун- функции B5.5). Рассматривая для опреде- определенности движение в положительном направлении, необходимо положить В = 0. Тогда на основании B5.3) за- замечаем, что волновая функция сво- свободной частицы имеет вид плоской волны: ) = Ac-aE'-"'K)'!t. B5.6) Уравнение B5.4) имеет однознач- однозначное, конечное и непрерывное решение при любой энергии Е. Это означает, что спектр энергий свободной части- частицы непрерывен. л Очевидно, что скобки Пуассона L"'Px] B случае свободной частицы равны нулю: [Д&] = 0. B5.7) Следовательно, импульс свободной частицы - интеграл движения, т.е. импульс свободной частицы равен по- постоянной величине. Кроме того, из равенства нулю коммутатора B5.7) следует, что энергия свободной части- частицы и ее импульс являются одно- одновременно измеримыми величинами. Нормировка на длину периодичнос- периодичности. Поскольку спектр собственных значений свободной частицы непре- непрерывен, нормировка собственных функций на единицу невозможна, так как J 4/ = /l2 J dx = оо, B5.8) и следует пользоваться условием нор- нормировки на 5-функцию. Однако вмес- вместо этого часто пользуются способом нормировки на длину периодичности, который заключается в следующем. Предположим, что нас интересует движение частицы на участке длиной L. В этом случае можно рассматри- рассматривать не все бесконечное пространство, а лишь участок длины L. Вне этого
§ 25. Свободное движение частицы 163 участка волновую функцию можно считать периодически повторяющей- повторяющейся, т. е. можно наложить на волновую функцию следующее условие перио- периодичности: 4>0(x + L) = *?0(x). B5.9) Ясно, что после этого частица уже не может считаться полностью сво- свободной, ее движение ограничено усло- условием B5.9). Благодаря этому спектр энергии частицы перестает быть не- непрерывным. Однако, если длина L вы- выбрана достаточно большой, отличие движения частицы от свободного мо- может быть сколь угодно малым. Спектр энергии может быть най- найден из условия B5.9), которое с уче- учетом B5.6) принимает вид Ле1(г + Цл/* = Ле'ч>-/* B5.10) или е">^й=1. B5.11) Следовательно, рх не может при- принимать произвольные значения, а мо- может принимать лишь дискретный ряд значений рхп, определяемых на осно- основании B5.11) равенством pxn = 2nTinJL, B5.12) где пх-целое число. Таким образом, введение условия периодичности B5.9) приводит к переходу от непре- непрерывного спектра к дискретному: Е„ = p2sjBm) = 2п2Тг2п2х/(тЬ2). B5.13) В дискретном спектре необходимо воспользоваться условием ортонор- мированности A7.23), которое в дан- данном случае имеет вид L/2 L/2 5п„-= J V*n4>ondx = A2 J с2к1{"-"')кйх = -L/2 -L,2 __ 2 sin п(п — п') JA2L (п = п'), тг(и-п') "(.О {пфп'). B5.14) Отсюда следует, что A2L = 1, А = 1/,Д, B5.15) и система ортонормированных функ- функций записывается следующим обра- образом: ц>оп(х) = ё'хп^ь ~l'2 = L ~ ll2eikxnx, Рхп = 2nhnJL, kxn = 2nnJL. B5.16) Воспользовавшись формулой B5.13) для собственных значений энергии, нетрудно убедиться, что если L имеет макроскопические размеры, то диск- дискретные уровни Еп находятся очень близко друг к другу, почти сливаясь в непрерывный спектр. Благодаря это- этому при использовании вместо волно- волновых функций непрерывного спектра волновых функций с нормировкой на длину периодичности мы допускаем не очень большую погрешность, но зато часто очень сильно упрощаем вычисления и интерпретацию полу- полученных результатов. Не следует забы- забывать, что все же эти результаты при- приближенные и спектр свободного дви- движения в неограниченной области яв- является непрерывным. Непрерывный спектр. В случае не- непрерывного спектра волновое число кх принимает непрерывный ряд значе- значений, а волновая функция Чкх(х) = А^ЛхХ. B5.17) Условие нормировки на 8-функцию имеет вид = Aj J е'(*х-*^х<Ьс = 6(кя-*у. B5.18) В теории интегралов Фурье доказывается равенство яГ: J е'^'Ых = 5(/с - к'). B5.19)
164 6. Простейшие случаи движения микрочастиц Сравнение B5.18) с B5.19) пока- показывает, что Ах = 1Ду2я, и система функций непрерывного спектра, нор- нормированных на 8-функцию, приобре- приобретает вид Ч?кх(х) = Bя)" J/V4 кх = Рх/П. B5.20) Плотность заряда и плотность тока. Из B5.6) вытекает, что дЧ/дх = (ipjh)^, 84>*/дх = - (ipJHL?*, поэтому A6.20) для плотности тока и заряда выражаются формулами - Ч>*дЧ>/дх) = B5.21а) B5.216) = (qpJm)\A\2, т.е. Л = B5.22) что находится в согласии с выраже- выражением для плотности тока, известным из классической электродинамики. Для упрощения написания формул все вычисления в этом параграфе про- проводились применительно к одной координате. Аналогичные вычисле- вычисления справедливы для двух других координат и волновую функцию сво- свободной частицы в трех измерениях *Р (г, i) можно представить как произ- произведение ЧЧг, t) = Ч(х, t)*?(y, tL(z, t). B5.23) причем каждая из функций в правой части равенства определяется форму- В свободном пространстве энергия и им- импульс частицы обладают непрерывными спектрами значений. Для удобства вычислений волновую функцию свободной частицы можно нор- нормировать на длину периодичности. Одна- Однако при этом спектр энергии частицы ста- становится дискретным, а волновая функ- функция-приближенной. Если длина пери- периодичности выбрана достаточно большой, отличие движения частицы от свободного может быть сделано достаточно малым. лой вида B5.6). Волновая функция свободной частицы в трех измерениях г, t) = Ле-Чй-р-Ю/я, B5.24а) где Е = р2/Bт) = (р2х+ р) + Р2)/Bт), B5.246) А = Bтг)~3/2- нормировочная постоян- постоянная. При нормировке на объем перио- периодичности аналогично условию B5.15) находим нормировочную постоянную: л /г т т \ — 1/2 /О? *>О А = (LxLyLz) , (Z5./5) где Lx, Ly, Lz-длины периодичности в направлении осей X, Y, Z соответст- соответственно. Волновая функция при этом равна Тл,.П„п. — (Lxbybz) е "х "у "z , B5.26а) Кх = 2nnJLx, k = 2nny/Ly, B5.266) knz = 2nnJLz, где пх, пу, nz-целые независимые числа. Для непрерывного спектра вместо формулы B5.20) находим волновую функцию: Ч\(г) = BяГ3'2е*-' (к = р/Й). B5.27) Вместо B5.21) и B5.22) получаем: ' m, p = q\A\2, B5.28) pv. B5.29) 26. Частица в одномерной потенциальной яме Анализируются основные свойства движения ча- частицы в одномерной бесконечно глубокой яме и яме конечной глубины и отмечается существова- существование типично квантового явления проникновения частицы за границы потенциальной ямы конеч- конечной глубины. Бесконечно глубокая яма. Потенциаль- Потенциальная энергия частицы в зависимости от координаты х изображена на рис. 55.
26. Частица в одномерной потенциальной яме 165 На интервале @, а) потенциальную энергию можно принять равной ну- нулю, а вне этого интервала она обра- обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не может выйти за пределы @, а), или, как говорят, она находится в потен- потенциальной яме. Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциаль- потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция *Р вне интер- интервала @, а) равна нулю. Так как она непрерывна, то равна нулю в точках х = а, х = 0. Таким образом, для *Р (х) получаем следующие граничные ус- условия: *?(а) = 0. B6.1) Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия рав- равна нулю, имеет вид d247dx2 + х2? = 0, у,2 = 2тЕ/П2. B6.2) Общее решение этого уравнения хо- хорошо известно: х?(х) = A sin (юс) + В cos (юс). B6.3) Граничное условие Ч* @) = 0 дает В = 0, B6.4) а из граничного условия Ч* (а) = 0 следует, что ¦на = пк, х„ = пп/а (п = 1, 2, ...). B6.5) Это условие квантует движение ча- частиц. На основании B6.5) и определе- определения энергии через и в B6.2) получаем для уровней энергии выражение Еп = Н2у.ЦBт) = П2п2п21Bтаг)(п = 1,2,3,...). B6.6) Эта формула показывает, что сущест- существует некоторая минимальная, не рав- равна нулю энергия ?1 = П2п2/Bта2), B6.7) соответствующая основному состоя- состоянию движения частиц. Волновая функ- функция этого состояния 55 Потенциальная яма = Asm(nx/a) B6.8) ни в какой точке внутри ямы в нуль не обращается. Это свойство волновой функции основного состояния имеет общий характер: волновая функция основного состоя- состояния не имеет узлов, т. е. не обращает- обращается в нуль внутри рассматриваемой области, а может обращаться в нуль лишь на границах. Из B6.7) видно, что минимальная энергия с уменьшением линейных раз- размеров ямы увеличивается. Физическая причина этого заключается в том, что при уменьшении линейных размеров ямы уменьшается длина волны де Бройля частицы, соответствующая основному состоянию, а уменьшение длины волны де Бройля означает уве- увеличение энергии частицы. Таким образом, уточнение лока- локализации частиц неизбежно сопровож- сопровождается увеличением энергии частицы. Это одно из проявлений принципа неопределенности. Поскольку спектр дискретен, усло- условие нормировки а а J 4'*4'dx = A2\ sin2 (юс) dx = А2а/2 = 1 о о для нормировочного множителя дает значение A =j2~fa. Поэтому система собственных функ- функций имеет вид
166 6. Простейшие случаи движения микрочастиц 56 Потенциальная яма конечной глубины Ч?я(х) = ^2/а sin (ппх/а). B6.9) Одномерная яма конечной глубины. Предполагается (рис. 56), что при л; < 0 потенциальная энергия обра- обращается в бесконечность. Значит, ча- частица не может проникнуть в область х < О и, следовательно, в этой области волновая функция равна нулю. По- Поэтому достаточно найти волновую функцию в областях I и II при х > О, заметив, что в точке х = О из-за не- непрерывности волновая функция обра- обращается в нуль. Уравнение Шредингера в областях / @ < х < а) и Я (а < х < оо) имеет вид (I) Ц>[ + у\ '?1 = О, у.\ = 2тЕ/П2, (II) Ч + Bт/П2)(Е - Еп0)Ч>2 = 0. B6.10) Случай Е > Ем. Уравнение Шредин- Шредингера в области II (И)Ч + х|Ч«2 = 0, х! = Bт/В2)(Е - ?п0) > 0, Если по закону сохранения энергии час- частица может двигаться лишь в ограничен- ограниченной области пространства, то спектр ее энергии дискретен, при неограниченной области движения непрерывен. В потенциальной яме конечной глубины имеется лишь конечное число собствен- собственных значений энергии. Если глубина ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энергии не существует. Сформулируйте условия на границах беско- бесконечно глубокой ямы и ямы конечной глубины. Чем обусловливается различие между ними? Может ли частица проникнуть в некоторую область пространства с нарушением закона сохранения энергии? а в области / оно имеет вид B6.10; I). Решения для различных областей можно записать следующим образом: *! = Ах sin(x1;c) + S^osfx,*), B6.12) = /*2sin[x2(x-a)] + + Z?2cos[x2(x — a)]. Из условия Ч/1@) = 0 следует, что Bt = 0, а условия непрерывности функ- функции и ее производной ?, (а) = ?2 (а), Ч", (а) = Ч (а) B6.13) дают для коэффициентов А2 и В2 следующие выражения: А2 =(x1^41/x2)cos(x1a), В2 = Alsin(y.1a). B6.14) Эти условия могут быть всегда удовлетворены. Поэтому в случае Е > Еп0 спектр энергии непрерывен, частица при своем движении не лока- локализована в конечной области прост- пространства, ее движение инфинитно. Случай Е < Еп0. Уравнение Шре- Шредингера в области // имеет вид (И) Ч - к2х?2 = 0, к2 = Bm/h2) (Еп0 - ?) > 0. B6.15) В области / уравнение остается без изменения. Решения для областей / и // представляются функциями B6.11) (l)y?l=Aisin(y,1x), (II) Т2 = С2е D2ek B6.16) Так как волновая функция везде должна быть конечной, а е** при х -> оо неограниченно возрастает, то D2 в формуле B6.16; II) необходимо принять равным нулю. Условия сшивания B6.13) в рас- рассматриваемом случае: ^lsin(x1«)= C2exp( — ка), B6.17) ^1x1cos(x2a) = — кС2 ехр (— ка). Разделив почленно второе уравнение
§ 27. Линейный гармонический осциллятор 167 на первое, получим условие квантова- квантования энергии: x1ctg(x1cr)= -к. B6.18) Для графического решения этого урав- уравнения удобно сделать следующие пре- преобразования: sin(x1a) = [l +ctg2x1a)r1/2 = 21/2 (Еп0 - E)/EY1/2 = (Е/Ел0I12. Но 'E=rm1/s/2m и, следовательно, уравнение B6.18) принимает вид sin у = (Hlj2ma2EnO) у (у = х,а). B6.19) Это уравнение решается с помощью построения, указанного на рис. 57. В качестве решений берутся не все пере- сечения прямой z = {Ну/^2та2ЕиО) с синусоидой z = sin>', а лишь те, ко- которые согласуются со знаком в урав- уравнении B6.18), т. е. точки пересечения в четных четвертях. Этим значениям уп, которых имеется конечное число, соответствуют энергии „ = Я2у2„/Bта2). B6.20) Таким образом, в потенциальной яме с конечной глу- глубиной имеется конечное число собст- собственных значений энергии. Если глубина Еп0 ямы слишком мала, то может случиться, что ни одного собственного значения энер- энергии не существует, т. е. стационарного движения частицы в конечной обла- области нет. В классической механике при Е < ?пОчастица не может проникнуть в область х > а. В квантовой же меха- механике все иначе. Волновая функция при х > а, согласно B6.16; II), имеет вид х?2(х) = С2е-кх. B6.21) 57 К вычислению корней уравнения B6.19) Эта функция быстро убывает при удалении от точки х = а в сторону возрастающих значений х, но не рав- равна нулю при х — а. Это означает, что имеется некоторая вероятность того, что частица с энергией Е < EIl0 все же проникнет в область х > а. Этот эффект обусловливает важное кванто- квантовое явление прохождения микрочас- микрочастиц через потенциальный барьер. 27. Линейный гармонический осциллятор Рассматривается квантовая теория движения ли- линейного гармонического осциллятора и с по- помощью принципа соответствия выводится фор- формула излучения. Линейный осциллятор. Потенциальная энергия многих физических систем имеет в некоторых точках простран- пространства минимум. Разлагая в окрестно- окрестности минимума потенциальную энер- энергию в ряд, имеем где х-отклонение от положения рав- равновесия, и принимаем без ограниче- ограничения общности, что Еп@) — 0. Если ча- частица совершает малые колебания около положения равновесия, то в ряде можно ограничиться только пер- первым членом. Частицу, совершающую гармонические колебания, будем на- называть гармоническим осциллятором.
168 6. Простейшие случаи движения микрочастиц Гармонические осцилляторы иг- играют большую роль при исследова- исследовании малых колебаний систем около положения равновесия, в частности колебаний атомов в кристаллах, мо- молекулах и т.д. Оператор Гамильтона для осцил- осциллятора в квантовой теории имеет вид Н = Р21Bт) + тю2х2/2, B7.1) где {d2EJ8x\ = та2, а уравнение Шредингера записывает- записывается следующим образом: d2*?/dx2 + Bm/h2)(E - таJх2/2)у? = 0. B7.2) Для дальнейших вычислений удобно перейти к безразмерной переменной \ = Jnmjh x. B7.3) Обозначая проншодные но 4 штри- штрихами, имеем V" + (X - ?,2)Ч = О, B7.4) где X = 2Е/(П(й). B7.5) Для определения асимптотическо- асимптотического поведения Ч/ на бесконечности за- заметим, что при ^2 » X в уравнении B7.4) можно пренебречь X по сравне- сравнению с Е,2 и записать его в виде Тяс Ц Т„ ^ U. Отсюда следует, что Решение со знаком плюс в экспоненте надо отбросить, поскольку оно не удовлетворяет требованию конечно- конечности. Волновую функцию Ч* будем искать в виде чу = i?Tac = ve~i2/2. B7.6) Чтобы функция *Р оставалась конеч- конечной, v не должно расти на бесконеч- бесконечности быстрее, чем ехр(?2/2). Для функции v получаем следующее урав- уравнение: v"-2ty' + (X-l)v = 0. B7.7) Представим функцию v в виде ряда v(x) = а0 + ах I + а2 \2 + ... +ак? + .... B7.8) Подставляя B7.8) в B7.7), имеем *=1 + (I - 1) = 0. Сумма бесконечного степенного ряда тождественно равна нулю только в том случае, когда коэффициенты при всех степенях независимой перемен- переменной равны нулю. Приравнивая нулю сумму коэффициентов при одинако- одинаковых степенях, получаем следующие рекуррентные соотношения для опре- определения коэффициентов ак: ак + 2(к + 2){к + 1) - 2как Отсюда ак + 2 = акBк -1)ак = 0. B7.9) 2)(fc + 1)]. B7.10) При к-* со получаем а* + г/я* « 2Д- Это означает, что представляемая бесконечным рядом B7.8) функция растет как ехр(^2). Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разложение ехр(?2) в ряд: 2/(к/2 + 1)! +... = Мы имеем
§ 27. Линейный гармонический осциллятор 169 что и доказывает высказанное выше утверждение. Ряд B7.8) должен обры- обрываться. Оборвем ряд на члене с номе- номером п, т. е. будем считать, что а„ ф О, а„ + 2 = 0. Из B7.10) находим \ = Хя = 2п+1, B7.11) тогда энергия осциллятора Е„ = Па{п + 1/2) (п = 0, 1, 2, ...). B7.12) Нулевая энергия. При п = 0 из формулы B7.12) получается, что ми- минимальная энергия осциллятора равна Ео = 1/2 Па. То, что минимальная энергия ос- осциллятора не равна нулю, обусловле- обусловлено специфическими квантовыми свой- свойствами системы и связано с соотно- соотношением неопределенности. Если бы энергия частицы была равна нулю, то частица покоилась бы и ее импульс и координата имели бы одновременно определенные значения, что противо- противоречит требованиям соотношения не- неопределенности. То, что минимальная энергия ос- осциллятора не равна нулю, можно до- доказать экспериментально. Для этого надо исследовать изменение рассея- рассеяния света кристаллами при изменении температуры. Рассеяние света обусловливается колебаниями атомов. С уменьшением температуры амплитуда колебаний атомов уменьшается, стремясь, со- согласно классической механике, к ну- нулю, в результате чего должно исчез- исчезнуть рассеяние света. В квантовой механике при понижении температу- температуры средняя амплитуда колебаний должна стремиться не к нулю, а к некоторому пределу, обусловленному наличием нулевой энергии колебаний. Поэтому и рассеяние света при пони- понижении температуры должно стремить- стремиться к некоторому пределу. Именно та- такой ход интенсивности рассеяния на- наблюдается в экспериментах. Волновые функции. Из рекуррент- рекуррентных соотношений B7.10) следует, что четность полинома B7.8) совпадает с четностью числа п. Поэтому полином имеет вид vn{x) = aj? + а„ _ ?" ~ 2 + ... + f aa (п четное), ^с, (п нечетное). Положим ап = 2" и определим осталь- остальные коэффициенты по рекуррентным формулам B7.10), в которых X = In + 1. Для коэффициентов ак имеем ак(%-\- 2к) = акBп - 2к) = = -ак + 2(к + 2)(к+ 1), или ап- 2 = -аПп(п ~ D/B-2) = -2"и(и- = 2"-4n(n - 1)(и - 2)(и - 3)/2! и т.д. Полином B7.13), в котором а„ = 2", а К = 2« + 1, называется полиномом Эрмита и обозначается //„(^): Н„© = B1;)" - B^ " 2п(п - 1)/1! + + B^)"-4«(и - 1)(и - 2)(л - 3)/2! - ... . B7.14) Легко убедиться непосредственным дифференцированием, что полином Эрмита B7.14) можно представить в виде Hn(Q = (- l)"e<2d"e-*2/d^"- B7.15) Таким образом, волновая функция *РВ, принадлежащая собственному значению Еп [см. B7.12)], выражается формулой B7.16) Нормировочные коэффициенты Сп находятся из условия J
т.е. функции Ч'(х) и 4/( — х) удовлет- удовлетворяют одному и тому же волновому уравнению и принадлежат одному и тому же уровню энергии. Если уро- уровень энергии невырожден,то функции *Р (х) и Ч* (— х) могут отличаться лишь постоянным множителем А : ? (х) = = АЧ ( — х). Заменяя в последнем вы- выражении л: на — х, имеем Ч* (— х) = = АЧ (х) или Ч* (х) = А2х? (х). Отсюда следует, что А2 = 1, Л = ±1. Итак, если потенциал есть четная функция координаты, то все собственные функ- функции либо четные, либо нечетные. Четность собственных функций. Уравнение Шредингера в одном изме- измерении имеет вид Так как Ня(%) = (- 1)V2 d"e^2/d^n, то интеграл в правой части выражения можно представить в более удобной форме: При наличии вырождения собст- собственные функции уравнения Шрединге- Шредингера не обязательно обладают опреде- определенной четностью. Однако всегда можно найти такие линейные комби- комбинации собственных функций, кото- которые будут обладать определенной четностью. У гармонического осциллятора волновые функции Ч*„(х) B7.16) яв- являются четными при четном п и не- нечетными при нечетном п. Теория излучения. В § 11 излучение черного тела было рассмотрено полу- полуклассическим способом. При этом оказалось невозможным в рамках квантового расчета определить коэф- коэффициенты Эйнштейна для вероятно- вероятностей квантовых переходов. Лишь вос- воспользовавшись принципом соответст- соответствия, т. е. путем замены классических величин квантово-механическими, уда- удалось найти коэффициенты Эйнштей- Эйнштейна. В классической теории энергия из- излучения, отнесенная к единице време- времени, задается формулой 6ЕКЛ /At = [У/Fяе0 сзд (гJ, B7.18) где г-ускорение излучающего заряда. В квантовой теории средняя энер- энергия излучения может быть представ- представлена в виде dEJdt = Nm.AmHia, B7.19) где множитель JVnn, учитывает статис- статистические свойства электронов, а Апп. - отнесенная к единице времени вероятность квантового перехода из состояния п в состояние п', при кото- котором излучается квант с энергией Лео. Необходимо пояснить смысл мно- множителя Nnn.. Очень важную роль в анализе явлений микромира имеет принцип Паули (см. § 54). В приме- применении к электронам он гласит, что в
§ 27. Линейный гармонический осциллятор 171 одном и том же квантовом состоянии не может находиться более одного электрона. Иначе говоря, не может быть двух электронов, имеющих оди- одинаковые наборы квантовых чисел. Из- Излучение, описываемое формулой B7.19), происходит в результате пере- перехода из квантового состояния п в квантовое состояние «'. Если в состо- состоянии п' уже имеется электрон, то та- такой переход невозможен и множитель Nm. равен нулю. Этот множитель ра- равен также нулю и в том случае, когда состояние п свободно, т.е. отсутст- отсутствует электрон, который мог бы совер- совершить переход. Если же состояние п занято, а состояние п' свободно, то множитель Nnn, равен единице. Рассмотрим переходы между дву- двумя стационарными состояниями *РП и ЧР„. с энергиями Еп и Еп,. Волновая функция системы является суперпози- суперпозицией лих состояний: там, получаем Чтобы воспользоваться принци- принципом соответствия, необходимо в фор- формуле B7.18) произвести усреднение как по координатам, так и по времени и полученный результат приравнять выражению B7.19). Производя усред- усреднение радиуса-вектора г по координа- Н=* Минимальная энергия линейного осцил- осциллятора не равна нулю, что находится в согласии с требованиями соотношения неоп ределен ности. В области больших квантовых чисел дви- движение квантово-механической системы с хорошей точностью может описываться формулами классической механики. Вероятности переходов квантовой систе- системы, в результате которых происходит из- излучение, характеризуются матричными элементами радиуса-вектора. * Определите понятие четности собственных функций. Запишите правила отбора для осциллятора. + С* Сп. г„„. е'°" + С*. С„ г„.„ е-'и(, B7.20) где « = (?¦„- Еп.)/П. Из B7.20) следует, что d2<r>/d/2=-co2(QCn.rnn.ei'°' + + С* С„ е-'- г...), B7.21) так как первые два члена не зависят от времени и при дифференцировании исчезают. Возведем B7.21) в квадрат и по- полученное равенство усредним по вре- времени, в результате чего члены, содер- содержащие экспоненциальные временные множители, обратятся в нуль и по- получится равенство <|d2<r>/dr2|2>, = 2@4|CJ2|Q|2|rnn,|2 B7.22) (угловые скобки ( ), обозначают ус- усреднение по времени). Подставим B7.22) в B7.18). Полученный резуль- результат на основании принципа соответ- соответствия следует приравнять выражению B7.19): Nnn. Лпп. И со = [<?2 со4/C яе0 с3)] | С. |2 х х|Сп.| B7.23) В случае стационарных состояний величина \С„\2 есть вероятность на- нахождения электрона на уровне п. При излучении же происходит скачко- скачкообразный переход электрона из состо- состояния п в состояние и', благодаря чему коэффициенты Сп и С„. изменяются скачком. Вычислить, чему при этом равно произведение | С„ |2 | Сп. |2, обычная квантовая механика не поз- позволяет. Чтобы получить формулу, согласующуюся с экспериментом, не- необходимо положить N = 1С I2 1С I2
172 6 Простейшие случаи движения микрочастиц Следует еще раз отметить, что обосновать справедливость этого равенства квантовая механика не в состоянии. Для коэффициента Апп, получается выражение Л„- = [<72 со3/C к е0 сг ЯД | г„„. |2. B7.24) Отсюда по формулам A1.31) и A1.35) имеем *»• = Вп.„ = тс2 с3 Ап„,/(Н со3) = [тс2 д2/ (Зтсео/г2)]|г„„.|2. B7.25) Таким образом, вероятности пере- переходов квантовой системы, в резуль- результате которых происходит излучение, характеризуются матричными эле- элементами радиуса-вектора. Если матричный элемент радиу- радиуса-вектора равен нулю, то данный переход запрещен. Переходы, при которых матричный элемент радиу- радиуса-вектора отличен от нуля, называ- называются разрешенными. Правила, указы- указывающие разрешенные и запрещенные переходы, называются правилами от- отбора. Правила отбора для осциллятора. Для нахождения правил отбора для осциллятора необходимо вычислить матричные элементы: *«¦ = 1 4:(x)x4K.(x)dx, B7.26) где функции *Рп(х) задаются форму- формулой B7.16). Подставляя в B7.26) W* и *РЯ, и переходя к переменной инте- интегрирования ?, [см. B7.3)], получаем - 00 Принимая во внимание рекуррент- рекуррентное соотношение находим J с-<2ня Учитывая B7.17), имеем /ф 5„_1>в. + _ + >/(и+1)/2 8. + ,,„.]. B7.27) Из этого выражения следует, что матричный элемент отличен от нуля лишь для переходов, при которых квантовое число и изменяется на единицу. Это означает, что правило отбора для осциллятора имеет вид Ди=±1. B7.28) Интенсивность излучения. Веро- Вероятность перехода характеризуется коэффициентом Эйнштейна: Ам. = W co3/C n е0 с3 Й)] | *„. |2. B7.29) Поэтому интенсивность спектральной линии, излучаемой при рассматрива- рассматриваемом переходе, л,П1 А,„1 = [?2<о4/Cяеос3)]|хя,|1_1|2. B7.30) Воспользовавшись выражением для матричного элемента xn n_t [см. B7.27)], формулу B7.30) представим в виде h,»~i = \Я2 ю2/Fт1е0 т с3)] Н со п. Выразив квантовое число п через энергию по формуле B7.12), оконча- окончательно получим К -1 = \Яг ©7F л е0 т с3}] (Еп - Ео). B7.31) По классической теории, интенсив-
§ 28 Движение в поле центральной силы. Ротатор 173 ность излучения осциллятора где Л-амплитуда колебаний осцил- осциллятора, которая связана с энергией Е осциллятора соотношением Е='/2 т со2 А2. Следовательно, /кл = [<72со2/(б71?отС3)]?. B7.32) Сравнение B7.32) с B7.31) показы- показывает, что в области больших кванто- квантовых чисел, когда нулевой энергией Ео можно пренебречь по сравнению с энергией Еп, квантовая формула B7.31) излучения осциллятора совпа- совпадает с классической формулой B7.32). Следует отметить, что это утвержде- утверждение имеет общий характер: в области больших квантовых чисел движение квантово-механической сис- системы с хорошей точностью может описываться формулами класси- классической механики. Пример 27.1. Найти волновые функции стационарных состояний и уровни энергии гармонического ос- осциллятора, находящегося в однород- однородном электрическом поле напряжен- напряженности $. К энергии осциллятора в отсутст- отсутствие электрического поля добавляется потенциальная энергия - q ё х заряда в однородном электрическом поле. В результате оператор Гамильтона имеет вид Н = рг1Bт) + т со2 х2/2 - qgх. В уравнении Шредингера l + ^{Е_т(йх/2 + qgx)y = 0 перейдем к новой переменной г\ = = х — q$/(m со2) и получим -пил2 г|2/2] Ч» = 0. Это уравнение совпадает с уравне- уравнением для осциллятора в отсутствие электрического поля, но с изменен- измененным на q1 $2/B m со2) выражением собственной энергии. Следовательно, собственные значения энергии равны Е„ = h со (п + 1/2) - q2 <f 2/B m со2) (и = 0, 1, 2,...) и волновые функции имеют такой же вид, как и для линейного осциллятора в отсутствие электрического поля. Однако при графическом изображе- изображении они сдвигаются вдоль оси X на qg/im®2). 28. Движение в поле центральной силы. Ротатор Обсуждаются оператор момента импульса, его собственные значения и принадлежащие им собственные функции. Собственные значения и собственные функции. Стационарные состояния частицы, движущейся в центрально- симметричном поле, описываются уравнением Шредингера, записанным в виде V2 ? + B т/П2) IE - ЕП (г)] Т = 0. B8.1) Потенциальная энергия Еп(г) в этом случае есть функция расстояния частицы до центра сил. Если от де- декартовых координат перейти к сфе- сферическим, то уравнение B8.1) разде- разделяется. Как известно, оператор Лап- Лапласа V2 в сферических координатах имеет вид
174 6 Простейшие случаи движения микрочастиц где Ч* = -^ Т^ Uin 6 — + -—- —. B8.3) sin 9 В 9 V 39/ sin 9 д ф Подставляя B8.2) в уравнение Шре- дингера и полагая Т(г, 9, ф) = R(r) 7(9, ф), B8.4) получаем 1 d /г 2d_R\ dr) 2т 1 Так как левая и правая части этого равенства зависят от различных не- независимых переменных, то эти части по отдельности должны быть равны- равными одной и той же постоянной, кото- которую мы обозначим X. Таким образом, для радикальной функции R и сферической функции 7@, ф) получаем уравнения 1 d / „dR\ [2m 1Е-Еа(г)-\- r2 dr ,dR\ Jr~) ? B8.5) \ д ( dY\ I d2Y sin 9— + — -+X, 7=0. sin9d9\ 39/ sin2в дф2 B8.6) В уравнение B8.5) входит потен- потенциальная энергия Еп(г). Поэтому вид радикальных функций и собственные значения энергии определяются кон- конкретным видом поля, в котором дви- движется частица. Уравнение B8.6) для всех сферически-симметричных полей одинаково и допускает дальнейшее разделение переменных. Полагая B8.7) и обозначая постоянную разделения ц2, для функций РиФ находим сле- следующие уравнения: d2 Ф/d ф2 + ц2 Ф = 0, Id/ dP\ г sin 9 — + sin9d9\ d8/ B8.8) - sin2 Q B8.9) Общее решение уравнения B8.8) име- имеет вид Ф(ф) = А е"" + Яе~""". Из требования однозначности ре- решения вытекает, что ц должно быть любым положительным или отрица- отрицательным целым числом. Поэтому все собственные функции уравнения B8.8) могут быть представлены формулой Фт(ф) = B7с)-1'2 е1"" (т = 0, + 1, ±2,...). B8.10) Перейдя в уравнении B8.9) к незави- независимой переменной ? = cos 0, можно это уравнение записать в виде Р = 0. т B8.11) Функция P(cos 0) должна быть не- непрерывной и конечной при всех углах 0. Чтобы удовлетворить этому усло- условию, параметр X должен быть равен Х = 1A+1), где /-неотрицательное целое число. Решение уравнения B8.11) при этом может быть представлено как 1 cf+m Р? = -г- A - 12Т12 ;— (V - 1)', B8.12) где Р?'-присоединенные функции Ле- жандра. Отметим, что при заданном / чис- число m может принимать лишь 2 / + 1 различных значений: ш= -/, -1+ \,...,1-\,1. B8.13) Условие нормировки для функ- функции Ч* J^*^ dxdydz= I
28 Движение в поле центральной силы Ротатор 175 сводится к двум уравнениям: J R* R r2 d г = 1, B8 14) о я 2я JsinGde J 1* Yd<p= I B8 15) о о Запишем собственные функции уравнения B8 6) следующим образом 17 @, ф) = СТ е""" РТ (cos 9) Воспользовавшись интегралами \ 2 (/ + т)' f FT (х) РТ (х) d x = 5,,, находим 1 4л (/+т)' YT Итак, Г2/+ 7(в,ф)= L 4я 1 (/- х РТ (cos 9) B8 16) Момент импульса. Выражение для оператора момента импульса части- частицы задается формулами A8 12) Най- Найдем правила коммутации для проек- проекций этого оператора Вычислим ком- коммутатор 8 8 8z 8y Н\2( 8 8 = - х j f^2 д2 8x8y 82 — )C Z 8z8y, = ihL. + ху—г — х }dz2 д 'Ту 8 % — z + ZX 8y8x 8y8z 8x8z B8 17а) Циклической перестановкой ин- индексов х, у, z легко найти остальные два коммутационных соотношения LyLz-LzLy = iH Lx, B8 176) L2Lx-LxLz = iH Ly B8 17в) Из некоммутативности между со- собой операторов проекций импульса следует, что различные проекции им- импульса не могут одновременно иметь определенные значения Легко показать, что операторы Lx, Ly, Lz коммутируют с оператором квадрата момента импульса В — = II + Ц + Ц, т е Lx Г2 - Е 4 = О, LyD-DLy = O, B8 18) Lz П - В Lz = О Таким образом, любая из проек- проекций импульса и квадрат момента им- импульса могут иметь одновременно определенное значение В сфери- сферической системе координат И ( д 8 \ Lx = - - sin ф —- + ctg 9 cos ф —- , i \ В Q 8 ф/ . hi 8 8 \ L = - cos ф —- - ctg 6 sin ф — , 1 \ 8 9 8 ф/ Lz = - - , ( о ф L2=-n2V20lp, B8 19) где оператор V|, „, определяется ра- равенством B8 3) На основании уравнения B8 6) с Х = 1A+\) и B8 10) следует, что
176 6. Простейшие случаи движения микрочастиц собственные значения операторов L2 и Lz равны соответственно L2 = П1{1 +1) (/ = 0, 1, 2,...), B8.20а) Lz = Hm (m = 0, ±1, ±2,..., ±/). B8.206) Последние формулы дают кванто- квантовые значения модуля момента им- импульса и проекции момента импуль- импульса частицы на ось Z. Напомним, что, коль скоро проекция Lz имеет опреде- определенное значение, две другие проекции Lx и Ly определенных значений иметь не могут. В качестве направления оси Z может быть выбрано любое на- направление. Следует отметить, что все выводы о моменте импульса дви- движения и его проекциях имеют совер- совершенно общий характер и не зависят от того, в каком конкретном поле движутся частицы. Эти выводы выражают кванто- во-механические свойства момента как физической величины. Закон сохранения. Оператор кине- кинетической энергии ?. = p2/Bm)=-[/J2/2rn)]V2 = 2т г1 дг\ дг) 2т г2 с учетом B8.20) может быть записан в виде ЁК = Ё„ + L2/Bmr2), где Екг = - 1Г г2г-оператор 2т г2 дг \ дг) кинетической энергии радиального движения. Таким образом, гамильто- гамильтониан при движении частицы в цент- центрально-симметричном поле Еп(г) мо- может быть представлен следующим образом: Принимая во внимание, что опе- операторы Lx, L Lz, L2 зависят только от угловых переменных и, следова- следовательно, коммутируют с функциями и операторами, зависящими только от г, а также учитывая, что Lx, L , Lz коммутируют с L2, видим, что все операторы Lx, Ly, Lz, t2 коммутируют с гамильтонианом. Это означает, что все эти операторы являются интегра- интегралами движения в центрально-симмет- центрально-симметричном поле. Аналогичное положе- положение наблюдается и в классической механике. Принимая во внимание правила коммутации между различ- различными проекциями момента, заклю- заключаем, что при движении в централь- центрально-симметричном поле одновременно имеют определенные значения энер- энергия, квадрат полного момента им- импульса и проекция момента импульса на какое-либо направление. Четность. Рассуждения, проведен- проведенные в § 26 о четности функции в одном измерении, могут быть непос- непосредственно обобщены на случай трех измерений. Если произвести отраже- отражение координат относительно начала, т.е. заменить х на — х, у на — у, z на —z, то гамильтониан не изменится (V2 при таком преобразовании, оче- очевидно, не изменяется). Следователь- Следовательно, собственные функции, принадле- принадлежащие невырожденным собственным значениям, должны обладать опреде- определенной четностью, а из собственных функций, принадлежащих вырожден- вырожденным собственным значениям, всегда можно составить такие комбинации, которые обладают определенной чет- четностью. Напомним еще раз, что вы- выражение «волновая функция обладает определенной четностью» означает, что если в волновой функции коорди- координаты х, у, z одновременно заменить на —х, —у, —z, то арифметическое значение функции не изменится, а ее знак либо не изменится, либо изме- изменится на обратный. В первом случае
§ 28. Движение в поле центральной силы. Ротатор 177 функция четная, во втором-нечетная. Для нахождения четности волно- волновых функций, описывающих движе- движение в центрально-симметричном по- поле, заметим, что отражение коорди- координат относительно начала, т.е. замена х-*¦ —х, у-* —у, z-> — z, в сфериче- сферической системе координат сводится к замене Оная — 0 и ф на ф + я при неизменном г. Следовательно, чет- четность в B8.4) совпадает с четностью Щ Ф). Множитель е""<р имеет четность т, так как gimbp + ж) __ ( ^yn^inup а четность функции Pf, согласно B8.12), совпадает с четностью числа I — т. Это очевидно, если учесть, что множитель A — ^2)т11 является четной функцией относительно изменения зна- знака у Ъ, = cosB, а четность производной определяется числом 21 — (I + т) = = / — т. Четность произведения двух функций зависит от четности сомно- сомножителей. Поскольку четность одного из сомножителей совпадает с чет- четностью числа т, а четность другого сомножителя совпадает с четностью числа / — т, четность их произведения совпадает с четностью числа т + (I — т) = /. Это означает, что четность сфериче- сферической функции YT зависит только от четности квантового числа /. Следова- Следовательно, и четность полной волновой функции частицы, движущейся в цент- центрально-симметричном поле, совпа- совпадает с четностью квантового числа /. Число / определяет модуль момен- момента импульса: Однако для удобства говорят, что момент импульса равен / = 0, 1, 2, .... 12 219 Квантовое число / называют орби- орбитальным квантовым числом, а кван- квантовое число т-магнитным. Поэтому четность волновой функции частицы, движущейся в центрально-симметрич- центрально-симметричном, поле совпадает с четностью ор- орбитального квантового числа, или, короче, с четностью момента импуль- импульса частицы. Собственные функции и собствен- собственные значения ротатора. Простейшим движением частицы в центрально- симметричном поле является ее дви- движение на неизменном расстоянии от центра (жесткий диполь). Такая систе- система называется ротатором. Задача о ротаторе имеет применение при ис- исследовании спектров молекул. Поскольку для ротатора г = const, не ограничивая общности, можно по- положить Еп (г) = 0. Уравнение Шредин- гера для ротатора имеет вид Wlv ? + {2та21Пг)Е^ = 0, B8.21) где а-радиус ротатора. На основа- основании сказанного (см. § 27) заключаем, что собственные значения энергии ро- ротатора равны Е, = [Л2/Bша2)]/(/+ 1) = IH2/BJ)VA+ 1), B8.22) где J = та2 - момент инерции ротато- ротатора. Собственными функциями являют- являются функции Yf (Q, q>), определяемые выражением B8.16). Пусть / = 0. Тог- да т = 0 и yg = 1Д/4я. В случае / = 1 имеется три собственных функции с /и = — 1, т = 0, т= + 1. При / = 2 кратность вырождения равна пяти. В табл. 1 даны формулы для простей- простейших функций. Поскольку |У71 не зависит от угла Ф, распределение плотности вероят- вероятности местоположения частицы яв- является аксиально-симметричным. Это распределение графически можно изобразить на плоскости Z, X, откла-
178 6. Простейшие случаи движения микрочастиц Распределения плотности электронного облака дывая \Р?\ по радиусу-вектору в на- направлении угла Э. На рис. 58 изобра- изображено распределение плотности ве- вероятности для / = 0, 1. В табл. 1 даны выражения для ряда функций У7 и соответствующих шюшостей вероят- вероятности |УЛ . Правила отбора. Для вычисления матричного элемента от z = a cos 0 = = а|, где ? = cos0, примем во внима- внимание рекуррентное соотношение 1)] РТ+ г + 1. B8.23) Тогда х (— /т'ф + imq>) dn = = а(Ср')*СТ{[A' -ш'+ 1)] х ;'тф)<Ю + + /тф) d?i }, где CJ" - нормировочные коэффициен- коэффициенты, которые нет необходимости вы- выписывать. При т' = т, Г + \ = I пер- первый интеграл отличается от нуля, а второй равен нулю, а при т' = т, /' — 1 = / первый интеграл равен нулю, а второй отличен от нуля. Таким образом, получаем следующие пра- правила отбора: Am = О, Д/ = + 1. B8.24) Однако эти правила отбора не яв- являются полными, так как необходимо еще рассмотреть координаты х и у. Введем для удобства величину т) = х + iy = a sin8 e'*. Таблица 1 Состояние гг I = 0, m = 0 y<j= if Г^- 1, т = О У? = [3/Dя)]  cos 9 1, y} = -[3/(8ic)]1/2sineeI» = 4- 1 1, УГ1 = [3/(87t)]1/2sinGe- = - 1 2, т = О У§ = [5/Dя)]  [C/2) cos2 0 - 1/2] 2, т = 2 У! = [15/C2я)]  sin2 в е2'" 2, т = 1 У^ = -[15/(8jc)] 1/2 sin 9 cos в-е1» 2, yf' = [15/(8л)]  sin 9 cos 9 • е"'" = - 1 2, Yi2 = [15/C2л)]1/2-ып2 вс 2'да = -2 = [5/D7C)][C/2)cos2e-l/2] 4 2 = [15/(87t)]sin29cos2e = [15/(87t)]sin29cos29 |2 = [15/C2д)]8.п49
§ 29. Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер 179 Рассмотрим матричный элемент >7<Ю. B8.25) Воспользовавшись рекуррентным со- соотношением 7 = B/ + I)-1 (РГЛ1 - *Г-+Л находим, что B8.25) отлично от нуля при Дт= ±1, Д/= ±1. Таким образом, правило отбора для ротатора Ат = 0, ±1; Д/= ±1. B8.26) Пользуясь этими правилами отбора, находим для частот, излучаемых при переходах, формулы Ei - Ei±i «1,1+1 = Z = п 1A'= 1-1), B8.27) Отрицательный знак частоты показы- показывает, что при соответствующем пере- переходе происходит не излучение, а по- поглощение кванта этой частоты. Классификация состояний по мо- моменту импульса. Состояния движения электрона с различными моментами импульса имеют специальные назва- названа* Радиальные функции и собственные зна- значения энергии при движении в централь- центрально-симметричном поле определяются конкретным видом поля. Зависимость волновой функции от углов для всех сфе- сферически-симметричных полей одинакова и описывается сферическими функция- функциями. * Сформулируйте все правила коммутации мо- момента импульса и его проекций. Чем определяется четность сферической функции? Сформулируйте правила отбора для ротатора. Как классифицируются состояния по моменту импульса? ния. Если квантовое орбитальное чис- число / равно нулю, то говорят, что электрон находится в s -состоянии, при / = 1 -в /^-состоянии и т.д. Таблица 2 Орбитальное Состояние число / 0 1 р 2 d 3 / 4 9 При рассмотрении движения элек- электронов говорят об 5-электронах, /j-электронах, (/-электронах и т. д. Это означает, что имеются в виду элек- электроны, орбитальные квантовые числа которых равны 0, 1, 2 и т.д. Говоря о ^-состоянии, J-состоянии и т.д., име- имеют в виду состояния движения, в ко- которых орбитальное квантовое число равно 1, 3 и т.д. 29. Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер Рассматриваются прохождение микрочастиц че- через потенциальный барьер и соответствующие физические явления. Определение потенциального барьера. Потенциальным барьером называется область пространства, где потенциаль- потенциальная энергия больше, чем в окружаю- окружающих областях пространства. Рассмот- Рассмотрим для примера наипростейший случай одномерного движения с по- потенциальным барьером прямоуголь- прямоугольной формы (рис 59). В областях / (- оо < х < 0) и III (а < х < оо) потенциальную энергию частицы, не ограничивая общности, можно считать равной нулю. Область II @ < х < а), где потенциальная энергия частицы равна Епо, является потенциальным барьером. Если частица, имеющая энергию Е, движется в области / в положи- 12*
180 6. Простейшие случаи движения микрочастиц 59 Прямоугольный потенциальный барьер тельном направлении оси X, т. е. по направлению к потенциальному барье- барьеру, то, по классической теории, при Е < Еп0 частица не сможет преодо- преодолеть потенциального барьера, по- поскольку ее энергия недостаточна для этого. В результате частица отразит- отразится от потенциального барьера, изме- изменив направление своего движения на обратное. В случае Е > Еп0 частица наверняка преодолеет потенциальный барьер и попадет в область ///, где будет продолжать двигаться с преж- прежней энергией в положительном на- направлении оси X. Однако квантовая механика при- приводит к заключению, что в случае Е < Еп0 существует определенная ве- вероятность проникновения частицы че- через потенциальный барьер из области / в область ///, а для Е > Еп0 сущест- существует определенная вероятность отра- отражения частицы от потенциального барьера. Явление проникновения ча- частицы через потенциальный барьер называют туннельным эффектом. Он имеет большое значение в некоторых физических процессах. Коэффициент прохождения и коэф- коэффициент отражения. Явление прохож- прохождения через потенциальный барьер и отражения от него характеризуется с помощью коэффициента прохожде- прохождения D потенциального барьера и коэффициента отражения R. Эти коэф- коэффициенты определяются как отноше- отношение плотности потока отраженных и прошедших частиц к плотности пото- потока падающих частиц. Очевидно, что D + R=\. B9.1) Прямоугольный потенциальный барьер. Рассмотрим для определенно- определенности случай Е < Еп0 и найдем коэф- коэффициенты D и R. Уравнение Шредин- гера в различных областях имеет сле- следующий вид: П1 ф" 4- к2 Ф — 0 к2 — 7mF/fi2 = к2 "-к22Ч2 = 0, к22 = Bт/П2)(Ел0- = О, к2 = 2тЕ/П2 s к2, B9.2) где штрихами обозначены производ- производные по х. В области / имеются как падаю- падающая, так и отраженная волны: х?1 = Ахекх + B^~ik\ B9.3) а в области /// — только прошедшая волна, движущаяся в положительном направлении оси X: Ф2 = Л3е'*(*-0). B9.4) В области // общее решение имеет, очевидно, вид 4*2 = А2е~к2х + В2ск2\ B9.5) Плотность потоков падающих, отра- отраженных и прошедших частиц равна соответственно ;пад = (Пк/т) K|2,y0Tp = - (Нк/т) l^^2, Лрош = №1т) \АЪ\2, По определению, D = 1./прош|/1л,ад1 = M3l2/Mil2, B9.6) R = \JoTP\/UnJ = IB^/IA,]2. B9.7) Из условий непрерывности волно- волновой функции и ее производной в точ- точках х = 0, х = а находим следующие соотношения между коэффициентами: А^ + В1=А2 + В2, B9.8а) = Аъ B9.86)
§ 29. Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер 181 ik(A1-Bl) = k2(B2-A2), B9.8b) к2(В2ек2" - А2е~к2а) = ikAv B9.8г) Из B9.8г), B9.86) следует, что Здесь Так как |1 — in\ = \\ + in\, то из последних двух уравнений следует, что \А2\ » |2?2|. Поэтому можно поло- положить В2 = 0. Решая уравнения B9.8), находим В1=(\ - in)(n - i)ek2aA3/Dn). Отсюда для коэффициента прохожде- прохождения получаем выражение 16и2 И,|2 -exp{-[8m(?nO-?)]1/2a/?}. A + и2J B9.9) Коэффициент прохождения не слиш- слишком мал тогда, когда Для электрона (т — 9,1 • 10~31кг) м. 4=* Потенциальным барьером называется область пространства, где величина по- потенциальной энергии больше, чем в окру- окружающих областях пространства. Туннельным эффектом называется про- проникновение частицы через потенциаль- потенциальный барьер. При туннельном эффекте в области потенциального барьера наруша- нарушается закон сохранения энергии. * Как объясняется холодная эмиссия электро- электронов из металла? Чем объясняется очень большой интервал значения постоянной радиоактивного а-рас- пада? 60 Потенциальный барьер произвольной формы Если, например, Еп0 — Е « 1 эВ = = 1,6-10" Дж, то коэффициент про- прохождения отличен от нуля при а к к 10~1Ом. В макроскопических явле- явлениях туннельный эффект не играет существенной роли. Потенциальный барьер произволь- произвольной формы. Потенциальный барьер произвольной формы можно прибли- приближенно представить в виде последова- последовательности потенциальных барьеров прямоугольной формы (рис. 60). Чис- Число частиц, проникших черех некото- некоторый прямоугольный барьер, будет на- начальным числом частиц, падающих на следующий прямоугольный барьер, и т. д. Поэтому коэффициент прохож- прохождения барьера определится прибли- приближенно как произведение коэффициен- коэффициентов прохождения через прямоуголь- прямоугольные потенциальные барьеры. Число- Числовой множитель, стоящий в B9.9) при экспоненте, при плавном изменении потенциальной энергии является мед- медленно меняющейся функцией. Таким образом, для потенциального барьера Еп (х) произвольной формы коэффи- коэффициент прохождения равен = Doexp  ли B9.10) Холодная эмиссия электронов из металла. Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер приво-
182 6 Простейшие случаи движения микрочастиц 61 К объяснению «холодной эмиссии» электронов из металла: ^-напряженность электрического поля дит к холодной эмиссии электронов из металла. Электроны в металле удерживаются некоторыми силами притяжения, так что для удаления электрона из металла необходимо за- затратить определенную работу. Это означает, что потенциальная энергия электрона вне металла больше, чем внутри него, причем на границе ме- металл-вакуум потенциальная энергия резко возрастает (рис. 61). Электроны внутри металла занимают наинизшие энергетические уровни. Если вблизи поверхности металла имеется элект- электрическое поле порядка 108 В/м, кото- которое стремится вырвать электроны из металла, то электроны начинают по- покидать поверхность металла. Это яв- явление называется холодной эмиссией. В рамках классической механики оно непонятно: электрическое поле в ме- металл не проникает и изменяет потен- потенциальную энергию лишь вне металла (штриховая линия на рис. 61). Для того чтобы покинуть металл, элек- электронам необходимо преодолеть по- потенциальный барьер. Однако их энергия меньше, чем высота потен- потенциального барьера. Поэтому электро- электроны не могут покинуть металл. Можно было бы предположить, что внешнее поле понижает высоту потенциально- потенциального барьера, благодаря чему высота барьера оказывается меньше, чем энер- энергия электронов в металле. При этом предположении возникновение «холод- «холодной эмиссии» можно было бы объяс- объяснить также и в рамках классической механики, но тогда ток эмиссии дол- должен быть весьма большим и подчи- подчиняться таким закономерностям, ко- которые не наблюдаются эксперимен- экспериментально. Поэтому предположение о понижении высоты потенциального барьера должно быть отброшено. Явление холодной эмиссии элект- электронов из металла объясняется кван- квантовым туннельным эффектом. Вычис- Вычисление коэффициента прохождения сводится к вычислению интеграла I который равен 1 = ^Sf(?п0 " где '2т[Еп(х) - E]dx, ~ и 1 *¦ i пи / — —/ ' Ъеп Так как ток эмиссии пропорционален коэффициенту прохождения барьера, то в соответствии с формулой B9.10) зависимость плотности тока эмиссии от напряженности электрического по- поля должна иметь вид Такая зависимость хорошо подтверж- подтверждается экспериментом. Радиоактивный а-распад. Из опы- опыта известно, что многие тяжелые эле- элементы самопроизвольно испускают а-частицы, т.е. ядра гелия, имеющие заряд 2е и массу, примерно в четыре раза большую, чем масса протона.
§ 29 Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер 183 Вылетев из ядра, а-частицы ускоряют- ускоряются кулоновским полем ядра. Закон а-распада определяется тем, что с точки зрения внешних условий он происходит самопроизвольно. Число diV распавшихся атомов в тече- течение промежутка времени At пропор- пропорционально этому промежутку и числу атомов N, которые могут испытать распад: dN=-XNdt. B9.11) Коэффициент пропорциональности X называется постоянной распада. Ин- Интегрирование уравнения B9.11) при- приводит к формуле N(t) = ,-ж B9.12) где JV0-число радиоактивных атомов в момент t — 0; N(t)- число радиоак- радиоактивных атомов, не испытавших рас- распада к моменту времени t. Величина X у различных радиоактивных эле- элементов изменяется в очень значитель- значительных пределах от 106 с до 1018 с. Объяснение такого большого разбро- разброса в числовом значении Х-наиболее трудная задача теории. Вторым трудным вопросом яв- является вопрос об энергии а-частиц, вылетающих из ядра в результате радиоактивного распада. Не ясно, по- почему эта энергия сравнительно мала. Опыты Резерфорда по бомбардиров- бомбардировке а-частицами ядер радиоактивных элементов показали, что а-частицы могут приближаться к ядру на очень малые расстояния, которые зависят от энергии а-частиц. В момент мак- максимального сближения вся кинетиче- кинетическая энергия а-частицы переходит в ее потенциальную энергию. После этого а-частица силами кулоновского от- отталкивания снова разгоняется и при- приобретает кинетическую энергию, при- примерно равную первоначальной. В 62 Изменение потенциальной энергии в о ядра момент максимального сближения а-частицы и ядра захват а-частицы и изменение ядра не происходит; это означает, что а-частица находится вне ядра. Отсюда можно заключить, что при радиоактивном распаде а-части- а-частицы вылетают из ядра с расстояний от центра ядра меньших, чем расстояние между ядром и бомбардирующей яд- ядро а-частицей. Поэтому кулоновские силы отталкивания должны ускорять а-частицу, образовавшуюся в резуль- результате радиоактивного распада, силь- сильнее, чем а-частицу, которая при бом- бомбардировке приблизилась к ядру. Следовательно, энергия а-частиц, об- образовавшихся в результате радиоак- радиоактивного распада, должна быть боль- больше энергии а-частиц, которыми бом- бомбардируется ядро, если эта бомбарди- бомбардировка не сопровождается захватом а-частиц и изменением ядра. Однако опыт показывает, что это не так. В действительности энергия а-частиц, являющихся продуктом радиоактив- радиоактивного распада, значительно меньше той, которую можно было бы ожи- ожидать на основании только что изло- изложенных соображений. Дело обстоит так, что как будто бы а-частица начи-
184 6. Простейшие случаи движения микрочастиц нает ускоряться кулоновским полем отталкивания ядра с больших рас- расстояний, чем размеры ядра. Это об- обстоятельство нельзя понять в рамках классических представлений. Радиоактивный а-распад нашел свое объяснение в туннельном эффек- эффекте. Потенциальная энергия положи- положительно заряженной а-частицы в поле положительно заряженного ядра яв- является положительной и возрастает обратно пропорционально расстоя- расстоянию от ядра при уменьшении этого расстояния (рис. 62). Если бы, кроме сил кулоновского отталкивания, ни- никаких других сил не существовало, то частица не смогла бы удержаться в ядре. Однако при некотором малом расстоянии в действие вступают боль- большие ядерные силы притяжения, кото- которые удерживают а-частицу в ядре. Эти ядерные силы притяжения резко уменьшают потенциальную энергию (притяжение!), в результате чего в области, имеющей размеры ядра, для а-частицы образуется потенциальная яма, которая от внешнего простран- пространства отделена потенциальным барье- барьером. По классической механике, по- покинуть ядро могут только те а-части- а-частицы, энергия которых больше высоты потенциального барьера. Однако экс- эксперименты по бомбардировке ядер показывают, что энергия а-частиц, вылетающих из ядра, меньше высоты потенциального барьера. Следова- Следовательно, а-частицы, вылетающие из ядра, проникают через потенциаль- потенциальный барьер посредством туннельного эффекта. Найдем связь между постоянной распада X и коэффициентом прохож- прохождения D. Двигаясь в ядре, а-частица сталкивается со стенками потенциаль- потенциального барьера. Вероятность проник- проникнуть через потенциальный барьер при одном столкновении равна D. В еди- единицу времени, очевидно, число столк- столкновений равно п = v/Br), где v — ско- скорость а-частиц в ядре, г-радиус ядра. Если общее число атомов есть N, то число атомов dN, испытавших а-рас- а-распад в результате проникновений а-ча- а-частиц через потенциальные барьеры в течение времени d/, равно dN= -NnDdt. Тогда X = vD/Br) = [vD0 /Bг)] ехр (- /), где B9.13) Величина rl находится из условия т.е. rt = 2Ze2/E. Учитывая, что ro«rv при вычис- вычислении интеграла величину г0 можно заменить нулем, тогда 2Zez/E / = [(8m?I/2/fi] J JlZe2l{Er) - 1 dr. 0 Полагая BZe2/E) sin2 x = г, находим я/2 J cos2jcdx = о B9.14) В результате вылета из ядра а-час- а-частицы заряд в ядре уменьшается на два элементарных заряда, а число частиц в ядре уменьшается на два протона и два нейтрона, которые вхо- входят в состав а-частицы и улетают вместе с ней. В результате а-распада образуется новое ядро, которое, в свою очередь, может быть радиоак- радиоактивным. Совокупность ядер, обра-
§ 29. Прохождение микрочастиц через потенциальный барьер 185 зующихся друг из друга в результате а-распада, образует семейство ядер. Пусть Ео-энергия вылета а-час- тицы из ядра, являющегося родона- родоначальником семейства, и Е = Ео + + АЕ~ энергия вылета а-частицы из какого-либо ядра семейства. Как по- показывает эксперимент, энергия а-час- тиц у различных ядер семейства из- изменяется мало по сравнению с энер- энергией а-частиц. Это означает, что АЕ « Ео и, следовательно, Из B9.13) с учетом B9.14) следует, что \пХ = ln[i;D/Br)] — 2n^/2mZe2/(Fis/E0) + + K^bnZe2AE/(HEl12), т. е. ЫХ = а + ЬАЕ, B9.15) где a = In [t>D/Br)] - — 2ny/2mZe2/(H^/E0) x const, b = ns/bnZe2l(HEl12) к const. Формула B9.15) выражает уста- установленный экспериментально закон Гейгера-Нэттола о линейной зави- зависимости логарифма постоянной рас- распада от разницы в энергиях вылета а-частиц. Эта формула хорошо объясняет сильное различие постоян- постоянных распада у различных радиоактив- радиоактивных ядер семейства: хотя величины а, Ь, АЕ от ядра к ядру изменяются не очень сильно, величина X, стоящая под знаком логарифма, изменяется значительно. Количественные измерения пока- показывают, что объяснение а-распада с помощью туннельного эффекта хоро- хорошо согласуется с экспериментом. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. Задачи Потенциальная энергия Еп частицы равна 0 при х<0 и Еп0 при х>0. Частица движется слева направо с полной энергией Е > Еп0. Найти коэффициент отражения и коэффициент прохождения через потенциальный порог. Для электрона в одномерной потенциальной яме шириной 0,2 нм найти минимальную энергию Et (на первом энергетическом уровне), разность энергий Е2 — Е1, а также длину волны фотона с энергией Е2 — Е1. В первом приближении маятник можно рассматривать как осциллятор. Определить энергию нулевых колебаний маятника длиной 1 м, находящегося в гравитационном поле Земли. Какая доля электронов с энергией 1 эВ пройдет через потенциальный барьер высотой 8 эВ и толщиной 0,5 и 0,3 нм? Можно считать, что захваченная ядром а-частица находится в потенциальной яме. Считая, что радиус ядра равен 1,4-10" 15 м, а высота потенциального барьера на поверхности ядра составляет 4 МэВ, определить отнесенную к 1 с вероятность выхода а-частицы из ядра при ее энергии 1 и 2 МэВ. Найти спектр энергий изотропного гармонического осциллятора, гамильтониан которого чг1 в2\ d . . 2т \ох" о Поток электронов с энергией 1 эВ движется к потенциальному прямоугольному барьеру высотой 10 эВ и бесконечной ширины. На каком расстоянии от поверхности потенциаль- потенциального барьера плотность потока 'Гмела электронов уменьшится в е раз по сравнению с плотностью потока на поверхности?
186 6. Простейшие случаи движения микрочастиц 6.8. Найти вероятность того, что электрон в основном состоянии линейного осциллятора находится в пределах области его движения по классической теории. 6.9. Чему равна вероятность нахождения электрона вне классических границ его движения для линейного осциллятора в первом возбужденном состоянии? 6.10. Волновая функция, описывающая состояние движения частицы в потенциальной яме (см. рис. 55), имеет вид Ч* = Ах(а — х). Найти разложение Ч* по собственным функциям частицы в потенциальной яме. 6.11. Чему равна средняя энергия частицы в состоянии, описываемом волновой функцией Ч* в задаче 6.10? 6.12. Считая, что положительный заряд Ze распределен равномерно в объеме ядра радиуса 5-10 м, найти энергию связи отрицательного точечного заряда q = — е, помещенного в центр ядра. Вычислить по соотношению неопределенностей импульс и энергию электрона, заключенного в объеме ядра. Может ли электрон находиться в ядре? Ответы 6.1. [A - V1 - Ев0/Е)/A + V< - Еа0/Е)У-, D^1 - Еп0/Е)/(\ + у/\ - En0/Ef. 6.2. 0,939 МэВ; 2,82 МэВ; 0,44-10~3 нм. 6.3. 104 Дж. 6.4. 2,2-10~6; 4,3-10 *. 6.5. 0,0423; 0,124. 6.6. Пш(пх + пу + 1); л, = 0,1,2,...; л =0,1,2,...; со = (D/m). 6.7. 0,325 нм. 6.8. 0,8427. 6.9. 0,1116. 6.10. (8Aa*/n3)[sin(nx/a) + A/27)sin(Зях/а) + A/125) х х sinEпх/а) + ...]. 6.11. 1,013Я,. 6.12.-4 МэВ; 4-10"io кг-м/с; 80 МэВ; нет.
30 Стационарные состояния атома водорода и спектр излучения 7 АТОМ ВОДОРОДА И ВОДОРОДОПОДОБНЫЕ АТОМЫ 31 Учет конечности массы ядра 32 Водородоподобные атомы и системы 33 Атомы щелочных металлов Атом водорода- простейшая реальная атомная сис- система, для которой были получены точные решения уравнений кванто- квантовой механики. Блестящее совпаде- совпадение теории с результатами экс- экспериментов стало первым реша- решающим подтверждением справед- справедливости квантово-механического подхода к изучению явлений микромира. 34 Дублетная структура спектров щелочных металлов и спин электрона
188 7. Атом водорода и водородоподобные атомы 30. Стационарные состояния атома водорода и спектр излучения Рассматриваются свойства собственных функ- функций, энергетический спектр атома водорода и распределение электронной плотности в различ- различных состояниях, а также спектр излучения. Собственные значения и собственные функции. Атом водорода является простейшим атомом. Он состоит из протона и электрона, между кото- которыми действует сила электрического притяжения \_Еп{г) = — е/Dяеог)]. Масса протона во много раз больше массы электрона, поэтому приближен- приближенно протон можно считать покоящим- покоящимся. Энергия такой системы из двух частиц определяется посредством ре- решения уравнения для радиальной час- части волновой функции (см. § 28): 1 d AR 2m F E + _5f! 4яё0г = 0.C0.1) Для общности в последнем урав- уравнении заряд ядра примем равным Ze. Решая C0.1) при Z > 1, найдем энер- энергетические уровни положительного иона, у которого сохранился лишь один электрон. Для краткости по- положим А = - 2тЕ/П 2, 2B = 2mZe2/Dnsofi2) C0.2) и введем новую независимую пере- переменную р = г/лг. (зо.з) Уравнение (ЗОЛ) примет при этом вид R" ¦ ?*¦ + Р ! 4+ В П =0 C0.4) (штрихами обозначены производные по р). Найдем асимптотическое пове- поведение R при р -» оо. В этом случае членами, пропорциональными 1/р и 1/р2 в уравнении C0.4), можно пре- пренебречь, в результате чего уравнение принимает вид R" - R/4 % 0. C0.5) Следовательно, при р -* оо R~e~»12. C0.6) Решение с положительной экспо- нентой отбрасывается из-за требова- требования конечности волновой функции. При р -> 0 главными членами урав- уравнения являются члены с максималь- максимальной степенью р в знаменателе. По- Поэтому при р -> 0 R" + 2R'/p - 1A + l)R/p2 = 0. C0.7) Считая, что при р -у 0 решение R ве- ведет себя как R~py, C0.8) и учитывая, что C0.9) получаем из C0.8) для определения у уравнение 7G - 1) + 27 - /(/ + 1) = 0. C0.10) Переписав уравнение C0.10) в виде у2 + у - /(/+ 1) = 0, C0.11) находим его решения: у j • C0.12) Решение C0.12) с у = - / — 1 необ- необходимо отбросить, потому что оно не является конечным в начале коорди- координат, как это видно из C0.8). Таким образом, при р -> 0 Я~р'. C0.13)
§ 30. Стационарные состояния атома водорода и спектр излучения 189 Полагая R = e~(plv, C0.14) получаем вместо C0.5) для функции v уравнение pv" + [2A + 1) - р>' + - I - l)v = 0. C0.15) Исследование асимптотического поведения R при р -> оо и р -»0 по- показывает, что функция i; на беско- бесконечности должна расти медленнее, чем ехр(р/2), а в нуле должна быть постоянной или равной нулю. По- Поэтому эту функцию следует искать в виде v= L ak P ¦ k = 0 Подставляя ряд C0.16) в уравнение C0.15) и перегруппировывая члены, получаем + ? [2(/+ \)к + к(к- \)-]акрк~1=0. к = 0 C0.17) Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях р в этом ряде, находим рекуррентные соотно- соотношения для определения неизвестных коэффициентов ак ак(В/^А - I - 1 - к) + + ак+1(к + 1)[2(/+ 1) + /с]=0, C0.18) которые приводят к формуле C0.19) Какова кратность вырождения уровней энер- энергии атома водорода? Сформулируйте правило отбора для главного квантового числа. В чем состоит физический смысл распределе- распределения плотности в электронном облаке? Из последнего соотношения следует: ak+1/ak = (l -ek)/(k+ 1), ек = (I + 1 + В/^А)/(к + 21+ 2). C0.20) Ясно, что lim гк -+ 0. Поэтому начи- к*а к-*аа ная с некоторого члена к = к0 спра- справедливо неравенство C0.21) причем при достаточно больших к0 величина гк может быть сделана сколь угодно малой. Неравенство C0.21) показывает, что начиная с к = C0.16) = к0 члены ряда C0.16) растут быст- быстрее, чем члены 00 A - eA"V = Z — ряда „ \к C0.22) Поэтому функция v, определяемая бесконечным рядом C0.16), растет быстрее, чем функция C0.22). Число гк может быть выбрано сколь угодно м?лым. Следовательно, если v пред- представляется бесконечным рядом C0.16), то функция C0.14) на беско- бесконечности обращается в бесконеч- бесконечность, что недопустимо. Поэтому ряд C0.16) не может быть бесконечным. Оборвем его на к, т. е. будем считать, что ак ф 0, ак + 1 = ак + 2 = ... = 0. Из формулы C0.19) видно, что условие обрыва ряда имеет вид B/J~A - / - 1 - к = 0. C0.23) Учитывая значения величин В и А, определенных в C0.2), находим сле- следующее выражение для уровней энер- энергии водородоподобного атома: ?¦= - "у2 4 1 где п = 1 + к+\. C0.24а) C0.246)
190 7 Атом водорода и водородоподобные атомы Целые числа п, I и к называются соответственно главным квантовым числом, орбитальным квантовым чис- числом и радиальным квантовым числом. Поскольку / и к могут принимать значения 0, 1, 2,.. и т.д., главное квантовое число принимает значения и = 1,2, 3, .... C0.25) Радиальные волновые функции. Уравнение C0.15) для функции v с учетом C0.23) может быть переписа- переписано следующим образом: pv" + [2A + 1) — р] i/ + + (и - / - l)i? = 0. C0.26) Рассмотрим функцию /=e-pps+«. C0.27) Дифференцируя эту функцию по s, получаем уравнение р/'+ р/-(* + <?)/=0. C0.28) Дифференцируя его s + 1 раз, нахо- находим pfs+2) + {q+\- p)/(s+1) + {s+ 1)/<S) = 0. C0.29) Введем теперь новую функцию g no формуле /<s> = e-PpV C0.30) Подставляя это выражение в урав- уравнение C0.29) и сокращая на множи- множитель е^р*, получаем для g уравне- уравнение - \)(q + s)(q + s - s_2 P "••¦ Pfif" C0.31) Решения уравнения C0.31) называют- называются полиномами Лагерра Qj{p). Из C0.30) с учетом C0.27) следует, что C0.32) Сравнение C0.31) с C0.26) показы- показывает, что уравнения совпадают, если в C0.31) 4 = 2/+1, n-/-l=s = fc. C0.33) Следовательно, v = NnlQ?l}J\(p) C0.34) и радиальная волновая функция, являющаяся собственной функцией уравнения C0.4), записывается сле- следующим образом: Лы = ^е^2р'е<2( + »(Р) (к = п-1-1). C0.35) Коэффициент Nn[ находится из усло- условия нормировки: C0.36) где г = р/Bу/А), причем А дается ра- равенством C0.2). Представив в интег- интеграле, входящем в C0.36), один из полиномов Лагерра в виде ^ а другой-в виде ряда C0.37) C0.38) и вычисляя интеграл по частям, полу- получаем
§ 30. Стационарные состояния атома водорода и спектр излучения 181 l)! !- -Ц21 + 1 = B/+fc+ l)fc!2(/ Поэтому 1). причем a0 = = Z/(aonJ, - радиус первой боровской орбиты в атоме водорода. Окончательно волновые функции водородоподобного атома могут быть записаны в виде 4Vm = *»*7(e,<P), C0.39а) где 121+ 1(/-т)! ——)- f- 4я (/ + т)! / Z \з/2 / 4 = — / e~"V0Bl + 1'(p) W V(n-/-l)!(n + l)! РУ»-'-'Ф'' C0.396) p = 2Zr/(na0), a0 = 4пв0П2/(те2) (n = 1, 2, 3, ... ; / = 0, 1, 2, ...,«- 1; m= -/,-/+ 1,...,/- 1,/)• C0.39b) Уровни энергии Е„ вырождены. Уров- Уровню с номером п принадлежит число состояний I I 1=и2. C0.40) 1 = 0 m=-l Правило отбора для л. Нетрудно заметить, что ^0 C0.41) при любых соотношениях между и и п'. Это означает, что правило отбора для главного кванто- квантового числа имеет вид Аи-любое число. C0.42) Распределение плотности в элект- электронном облаке. В сферических коорди- координатах местоположение электрона в атоме характеризуется величинами г, 9, ф. В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона, а смысл имеет лишь ве- вероятность местонахождения электро- электрона в той или иной области прост- пространства. Для наглядности можно го- говорить об электронном облаке как о распределенном в пространстве во- вокруг ядра. Плотность распределения электронного облака в каждой точке пропорционально плотности вероят- вероятности для электрона находиться в этой точке. Физический смысл распределения плотности в электронном облаке за- заключается в следующем. Если имеет- имеется очень большое число совершенно одинаковых атомов и если в каждом из этих атомов произведено измере- измерение местоположения электрона, то число случаев, когда электрон ока- окажется в том или ином элементе объема, пропорционально вероятнос- вероятности нахождения электрона в этом эле- элементе объема. Таким путем можно в принципе проверить предсказания теории и получить физическую интер- интерпретацию распределения плотности в электронном облаке. Плотность вероятности местопо- местоположения частицы дается квадратом модуля волновой функции. В рас- рассматриваемом случае волновая функ- функция имеет вид C0.35). Элемент объема в сферических координатах
192 7. Атом водорода и водородоподобные атомы 10a0 15a0 20а0 Распределение плотности электронного облака для круговых орбит 20а0 Распределение плотности электронного облака для эллиптических орбит равен dxdydz = г2 sin 9 d0 dcp dz. Сле- Следовательно, вероятность того, что ко- координаты электрона заключены между (г, г + dr), @,0 + d9) и (ср, ф + + dcp), равна 4>Zm (r, 9, <р)?„,га (г, 9, Ф)г2 sin 9 d9 dcp dr. C0.43) Прежде всего исследуем распреде- распределение электронной плотности в ра- радиальном направлении. Для этого воспользуемся для Ч* ее выражением по C0.39) и произведем усреднение по углам 0 и ср. В результате останется лишь зависимость от г, описываемая функцией Rnl. Формула C0.43) пока- показывает, что распределение плотности в радиальном направлении характе- характеризуется функцией Dnl(r) = R2nlr2. C0.44) Рассмотрим наиболее существен- существенные особенности этого распреде- распределения. При к = 0, / = п — 1 орбиты явля- являются круговыми. Чтобы в этом убе- убедиться, заметим, что модуль момента импульса равен | L| = | г х р | = — mvrsin(r,\). При фиксированном модуле скорости v, или, что то же самое, при фиксированной энергии, момент импульса имеет максималь- максимальное значение, когда sin (г, v) = 1, что осуществляется при круговой орбите. Максимальное значение момента им- импульса при п = const в квантовой тео- теории достигается при / = и — 1 (при фиксированном п). Следовательно, состояния с / = п — 1 соответствуют движениям по круговым орбитам классической теории. Для этих со- состояний <2Ь2( + 1) = 1 = const, Rnl = = rnnat f*~PlZ n«-l ,, = const e" D(r) = const е pp2 C0.45) Вид функции D(r) представлен на рис. 63. Из условия dD/dp = 0 находим радиус, при котором дости- достигается максимум плотности rn = n2a0/Z, C0.46) совпадающий с боровским радиусом соответствующей орбиты. При к Ф 0 орбиты эллиптические. Полином Лагерра к-й степени имеет к корней. Поэтому функция D(r) к раз обращается в нуль (рис. 64). Схема уровней энергии водородно- водородного атома и спектр излучения. По- Поскольку формулы C0.24а) и A4.19) не отличаются, схема уровней атома во- водорода, полученная по формуле C0.24а), совпадает со схемой уровней по теории Бора (см. § 14). Частоты
§ 31. Учет конечности массы ядра 193 излучения и различные серии спектра атома водорода описываются фор- формулами, полученными в теории Бора. Поэтому повторять их нет необхо- необходимости, и мы лишь отметим разли- различие в интерпретации формул. Теория Бора не могла объяснить, почему зна- значение я = 0в формуле A4.19) должно быть отброшено. В формуле же C0.24а) значение п = 0 исключается, поскольку п — I + к + I, а/и/с могут принимать только нулевые или поло- положительные значения. Второе различие заключается в интерпретации харак- характера движения и квантовых перехо- переходов. В теории Бора считается, что электрон движется по орбите вокруг ядра по законам классической меха- механики. Отличие от классической элект- электродинамики состояло в том, что электрон не излучает при ускоренном движении. Вне классической механики оставался также вопрос о выборе орбиты (правило квантования Бора). Излучение в теории Бора объяснялось законом сохранения энергии при пе- переходе электрона с одной орбиты на другую. В квантовой механике интерпре- интерпретация движения электрона другая. Прежде всего нельзя говорить о дви- движении электрона по какой-то траекто- траектории, т.е. нельзя представить коорди- координаты электрона как функции времени. Это связано с общими особенностями вероятностного описания движения микрочастиц в квантовой механике. Поэтому вместо представления о дви- движении электрона по определенной орбите употребляется представление о состоянии движения электрона, описываемого той или иной волновой функцией, т. е. говорят, что электрон находится в том или ином состоянии. Состояние движения электрона не всегда имеет даже какой-то прибли- приближенный классический аналог. Напри- 13 219 мер, при / = 0 орбитальный момент импульса электрона равен нулю. В классической интерпретации это со- соответствует движению электрона вдоль радиуса, т.е. электрон при своем движении должен пересекать область, занятую ядром. Такое дви- движение в классической механике невоз- невозможно. В квантовой же механике со- состояние с нулевым орбитальным мо- моментом импульса существует-это ,у-состояние электрона. Распределение электронного облака в этом состоя- состоянии сферически-симметрично. Отсут- Отсутствие орбитального момента им- импульса электрона, находящегося в 5-состоянии, надежно подтверждено экспериментами. Переход электрона с одной орби- орбиты на другую в теории Бора связан с представлением о пространственном перемещении электрона, переход же электрона из одного состояния в дру- другое в квантовой механике не связан с пространственным движением элект- электрона. 31. Учет конечности массы ядра Вычисляется сдвиг энергетических уровней, обусловленный конечностью массы ядра. Гамильтониан с учетом конечности массы ядра. Поскольку масса ядра много больше массы электрона, мы пренебрегли движением ядра, т. е. считали массу ядра бесконечной. Фак- Фактически же масса ядра конечна, и поэтому электрон и ядро движутся вокруг общего центра масс. Это дви- движение ядра оказывает некоторое, хо- хотя и небольшое, влияние на спектр. Обозначим: г: - радиус-вектор электро- электрона, а г2-радиус-вектор ядра. Импуль- Импульсы и массы электрона и ядра пусть будут соответственно pt и т, р2 и М. Очевидно, полный гамильтониан системы ядро - электрон имеет вид
194 7 Атом водорода и водородоподобные атомы = — р\ + — р\- 2тУ1 2МИ2 Ze2 4Л801Г! -Г2| C1.1) В уравнении Шредингера ЕЧ = НХ? C1.2) перейдем от векторов г1 и г2 к другим переменным по формулам гц = (тг,+М г2)/(ш + М), C1.3) г = гх-г2. C1.4) Вектор гц-радиус-вектор, проведен- проведенный к центру масс системы ядро- электрон, а г - радиус-вектор от ядра к электрону. Из C1.3) и C1.4) следует, что C1.5) Ze2 4 я е0 г' где , В2 V2 = C1.7) д2 в2 Тогда [см. C1.2)] --V2 2ц 2М„ Z.2 4яеп г C1.8) В Вх 8 дх д t Вх 2 Тогда 1 , т ' 1 М 1 д2ч 8х\ т + 8 Вх 1 т (т + МJ В2Ч дх22- М 1 М т т + т д2Ч> дх2 a2vi 8x1 д2* Г дх 82*>, 8 М 8ха' М 8 + М дхц 2 82Ч т + М дхдх^ i V 2 2 т + М V 82Ч> 8х8ха 1 1 1 - = ~ -\ , \i m M Сдвиг Полагая = m + М. энергетических уровней. T = e'w«4'(r), C1.9) где функция ехр (гк • гц) описывает равномерное движение центра масс системы, получаем для функции Ч'(г) уравнение 4ле0 г. = 0, где (т + М) д ха Формулы для у и z аналогичны C1.6). Поэтому гамильтониан C1.1) в новых переменных имеет вид 2 LVm M) т + М ** Изотопический сдвиг уровней энергии свидетельствует о том, что массу электро- электрона в атоме нельзя считать размазанной по электронному облаку. C1.10) C1.10а) -кинетическая энергия равномерного движения системы как целого, \1 = тМ/(т + М) C1.11) -приведенная масса системы элек- электрон-ядро. Очевидно, что, не огра- ограничивая общности, центр масс систе- системы электрон - ядро можно считать неподвижным и положить Ец = 0. Тогда C1.10) сведется к уравнению 2ц/ Ze2 \ V2«F + -^U + - ГР = 0, C1.12)
§ 32. Водородоподобные атомы и системы 1Э5 совпадающему с уравнением Шредин- гера для частицы с приведенной мас- массой ц, которая движется в куло- новском поле неподвижного ядра. Поэтому все полученные выше ре- результаты сохраняют силу, если везде массу электрона т заменить на приве- приведенную массу C1.11). В частности, для энергии стационарных состояний вместо C0.24а) получаем формулу \iZ2e* I mZ2e* I si Zl E=- 32 л2 т 32тг2с2/г2 п2 \ ( m , 1 +m/M C1.13) Она показывает, что частоты излучения оказываются сдви- сдвинутыми относительно тех положений, которые они должны были бы зани- занимать, если бы масса ядра была бес- бесконечной. Сдвиг зависит от массы ядра. Следовательно, линии излучения раз- различных изотопов оказываются сдви- сдвинутыми друг относительно друга. Этот сдвиг называется изотопиче- изотопическим (см. § 14). В ^-состоянии атома водорода «электронное облако» сферически- симметрично. Наличие изотопическо- изотопического сдвига уровня энергии в этом слу- случае подтверждает, что нельзя элек- электрон в этом состоянии считать «раз- «размазанным» по области электронного облака в виде непрерывного распре- распределения его массы. 32. Водородоподобные атомы и системы Дается классификация водородоподобных ато- атомов и систем, описываются их свойства и ко- количественные характеристики. Определение и общая характеристика. Водородоподобными атомами и сис- системами называются структуры, сое- тоящие из двух точечных масс, между которыми действуют электрические силы притяжения. Прототипом всех водородоподобных атомов и систем является атом водорода, состоящий из протона с зарядом е и электрона с зарядом —е. В § 30, 31 для придания формулам общности заряд одной из взаимодействующих частиц принят равным Ze. Поэтому все формулы § 30, 31 применимы ко всем водородо- подобным атомам и системам. Для атома водорода Z = 1, а массы Мят равны соответственно массам прото- протона и электрона. Водородоподобные ионы и изотопы водорода. Водородоподобными иона- ионами (в порядке возрастания Z) явля- являются Не+ (Z = 2), Li++ (Z = 3), Ве+ + + (Z = 4) и т.д. Из формул C0.46) и C0.24а) следует, что радиус первой боровской орбиты (и соответ- соответственно других орбит) в атомах Не, Li, Be в Z раз меньше, чем в атоме водорода, а ионизационный потен- потенциал в Z2 раз больше, если прене- пренебречь небольшой поправкой на изме- изменение приведенной массы. В изотопах водорода (дейтерий и тритий) протон замещен соответст- соответственно на дейтрон, состоящий из про- протона и нейтрона, и тритон, состоящий из протона и двух нейтронов. По- Поэтому у дейтерия и трития Z = 1, как и у атома водорода, а различие в энергетических уровнях обусловли- обусловливается лишь неодинаковостью приве- приведенных масс. Поскольку массы дей- дейтрона и тритона больше массы про- протона примерно в два и три раза соот- соответственно, относительная разность приведенных масс для протона, дей- дейтрона и тритона имеет порядок 10~3. Это означает, что радиусы орбит и ионизационные потенциалы для дей- дейтерия и трития практически совпа- совпадают с соответствующими величи-
196 7 Атом водорода и водородоподобные атомы нами для атома водорода. Неболь- Небольшое различие в приведенных массах приводит к изотопическому сдвигу частот спектральных линий излуче- излучения. Относительное значение изото- изотопического сдвига имеет порядок 10 ~3 частоты излучения. Позитроний и мюоний. Позитро- Позитронием называется водороподобная система, состоящая из позитрона е+ и электрона е~. Позитрон имеет массу электрона и единичный положитель- положительный заряд. Для этой системы Z = 1, а приведенная масса почти в два раза меньше приведенной массы для ато- атома водорода. Поэтому радиус боров- ской орбиты у позитрония в два раза больше, а ионизационный потенциал в два раза меньше, чем соответст- соответствующие значения у атома водорода. Мюоний состоит из положитель- положительного мюона ц+ и электрона. Мюон аналогичен по своим свойствам пози- позитрону, но имеет массу, примерно в 207 раз большую массы позитрона. Он относится, так же как позитрон и электрон, к классу частиц, называ- называемых лептонами, которые не участ- участвуют в сильных взаимодействиях. Мюон нестабилен, и его время жизни равно примерно 2,2 мкс. Для мюона Z= 1, а приведенная масса практи- практически равна приведенной массе атома водорода. Поэтому боровский радиус и ионизационный потенциал у мю- ония практически равны соответст- соответствующим величинам атома водорода. Позитроний и мюоний являются нестабильными атомами. Нестабиль- Нестабильность мюония определяется неста- нестабильностью мюона, а время его жиз- жизни-временем жизни мюона. Неста- Нестабильность позитрония обусловлива- обусловливается возможностью взаимной анниги- аннигиляции позитрона и электрона, в ре- результате которой образуются у-кван- ты. Существует два вида позитрония: ортопозитроний, у которого спины позитрона и электрона параллельны, и парапозитроний, у которого спины позитрона и электрона антипарал- лельны. Ортопозитроний аннигили- аннигилирует в три у-кванта за время 1,4 х х 10 ~7 с, а парапозитроний-в два у-кванта за время 1,25-10 ~10 с. Мюонные атомы. Таким термином обозначаются атомы, заряд ядра ко- которых Ze, а электрон замещен отри- отрицательным мюоном ц~. Масса и вре- время жизни отрицательного мюона рав- равны соответствующим величинам по- положительного мюона, а его заряд имеет отрицательный знак. Все фор- формулы § 30, 31 остаются для мюонных атомов без изменения, надо лишь в них заменить массу электрона на мас- массу отрицательного мюона, которая в 207 раз больше. В результате полу- получается, что входящая в формулы при- приведенная масса увеличивается в 186 раз. У мюонного атома, получаемого в результате замещения в атоме водо- водорода (Z = 1) электрона на отрица- отрицательный мюон, радиус боровской ор- орбиты в 186 раз меньше, а ионизацион- ионизационный потенциал в 186 раз больше зна- значений соответствующих величин у атома водорода. Частоты спектраль- спектральных линий также увеличиваются в 186 раз по сравнению с частотами спект- спектральных линий атома водорода, ис- испускаемых при аналогичных перехо- переходах п -у п'. Это означает, что пере- переходы между низшими энергетиче- энергетическими уровнями приводят к излуче- излучению в рентгеновской области спектра. У мюонных атомов с большим значением Z (т. е. с очень тяжелыми ядрами) можно пренебречь поправ- поправкой на приведенную массу и в фор- формулах § 30 учитывать лишь замену массы электрона на массу мюона. Поэтому боровский радиус тяжелых
§ 32. Водородоподобные атомы и системы 197 мюонных атомов уменьшается в 207 Z раз, а ионизационный потенциал возрастает в 207 Z2 раз по сравнению со значением этих величин у атома водорода. При Z порядка 10^ радиус боровских орбит имеет порядок 10~15 м, а ионизационные потенциа- потенциалы - порядок нескольких мегаэлек- трон-вольт. Размеры тяжелых ядер хорошо изучены, и применение этих оценок к конкретным мюонным ато- атомам показывает, что орбита мюона в этих атомах попадает внутрь ядра. Ясно, что такая ситуация несовмес- несовместима с допущением о точечности за- зарядов, в предположении справедли- справедливости которого были выведены фор- формулы § 30. Необходимо учесть, что заряд распределен по объему ядра. Это приводит к некоторым объем- объемным эффектам. Они существуют, на- например, и в водородоподобных ио- ионах, но малы и не имеют существен- существенного значения. В мюонных атомах с тяжелыми ядрами эти эффекты весь- весьма значительны. Более точная теория с учетом объемных эффектов показы- показывает, что все вышеизложенное о тяже- тяжелых мюонных атомах качественно сохраняет свое значение. Это озна- означает, что энергетический спектр мю- мюонных атомов очень чувствителен к внутренней структуре ядра и может быть использован для изучения этой структуры. ** Водородоподобными атомами и система- системами называются структуры, состоящие из двух точечных масс, между которыми действуют электрические силы притяже- притяжения. К ним относятся водородоподобные ионы и изотопы водорода, позитроний и мюоний, мюонные атомы, адронные ато- атомы. Атом, внешний электрон которого на- находится в очень сильно возбужденном состоянии, т.е. имеет очень большое главное квантовое число, называется рид- берговским. Размеры ридберговских ато- атомов очень велики по атомной шкале. Мюонные атомы имеют конечное время жизни, определяемое временем жизни ц~-мюона («2,2 мкс). Обычно наряду с мюоном в атомной оболочке присутствуют и электроны, но их роль пренебрежимо мала, потому что мюон в среднем находится значи- значительно ближе к ядру, чем электроны. После захвата ц~ -мюона на сравни- сравнительно дальнюю орбиту (возбужден- (возбужденное состояние) мюонные атомы пере- переходят в основное состояние с испус- испусканием квантов электромагнитного излучения или безызлучательно с выбросом электронов из оболочки атома. Адронные атомы. Это атомы, за- заряд ядра которых равен Ze, а элек- электрон замещен отрицательным адро- ном. Адронами называются частицы, которые в отличие от лептонов участ- участвуют в сильных взаимодействиях. Ад- роны с полуцелым спином называют барионами, а с целым спином-мезо- спином-мезонами. К барионам относят протон и антипротон, нейтрон и антинейтрон, гипероны сигма, кси и др., к мезо- мезонам - тг-мезоны, Х-мезоны и др. За- Заметим, что мюоны к мезонам не от- относятся. В адронных атомах наряду с электромагнитным существенную роль играет сильное взаимодействие. Поэтому формулы § 30 для адронных атомов могут рассматриваться лишь как первое приближение и дают гру- грубую оценку радиусов орбит и иониза- ионизационных потенциалов. Однако для возбужденных состояний роль силь- сильного взаимодействия существенно уменьшается ввиду короткодейству- короткодействующего характера сильных взаимо- взаимодействий и формулы § 30 достаточно хорошо описывают адронные атомы. Например, при использовании этих
198 7. Атом водорода и водородоподобные атомы формул получается, что в системе протон - антипротон приведенная масса увеличивается в 918 раз, радиус орбиты уменьшается в 918 раз, а энергия ионизации возрастает в 918 раз по сравнению со значением соот- соответствующих величин у атома водо- водорода. В системе протон -/С-мезон приведенная масса в 633 раза больше приведенной массы атома водорода и соответствующим образом изменя- изменяются радиус орбиты и ионизацион- ионизационный потенциал. Ридберговские атомы. Ридбергов- ским называется атом, электрон кото- которого находится в сильно возбужден- возбужденном состоянии, т. е. имеет очень боль- большое главное квантовое число п. О таком электроне или атоме говорят, что он находится в высоком ридбер- говском состоянии. Радиус орбиты электрона, нахо- находящегося в состоянии с главным квантовым числом я, равен а = а0 и2, где а0 = 5,3-10~J1 м-радиус первой боровской орбиты. Отсюда видно, что, например, при п = 100 радиус орбиты а = 5,3-10 7м является очень большим по атомной шкале (это во много сотен раз больше, чем среднее расстояние между атомами в кристаллической решетке твердого тела). Площадь геометрического по- поперечного сечения такого атома, пропорциональная п4, в 108 раз боль- больше, чем в основном состоянии с п = 1, ионизационный потенциал в п2 = 104 раз меньше, т.е. равен 1,36-10~3 эВ. Несмотря на слабую связь, время жизни ридберговских атомов сравни- сравнительно велико. Расстояние между со- соседними возбужденными уровнями мало, поскольку 1/и2 — \/(п + IJ да « 2/и3. Поэтому исследование энерге- энергетических уровней ридберговских ато- атомов требует экспериментальной тех- техники сверхвысокого разрешения. Понятие ридберговского атома относится не только к водородо- подобному атому. Внешний электрон в сильно возбужденном состоянии на- находится далеко от ядра и окружаю- окружающего ядро электронного облака ос- остальных электронов, которые в сово- совокупности для него составляют заря- заряженную область. Если электрон в своем движении не проникает сущест- существенно в эту область, то можно счи- считать, что он движется в кулоновском поле с эффективным зарядом Z = 1, и воспользоваться результатами, полу- полученными для ридберговских состо- состояний атома водорода. Изучение рид- ридберговских состояний атомов имеет большое значение для радиоастроно- радиоастрономии, физики плазмы и лазерной фи- физики. 33. Атомы щелочных металлов Изучаются энергетические уровни и спектры из- излучения атомов щелочных металлов. Собственные значения энергии щелоч- щелочных металлов. Атом водорода явля- является простейшим атомом, и его рас- расчет оказывается возможным сравни- сравнительно простыми аналитическими ме- методами. Для других атомов задача значительно усложняется и прихо- приходится пользоваться приближенными и численными методами. Однако для щелочных металлов многие важные результаты могут быть получены сравнительно просто. Это обусловле- обусловлено их строением. Щелочные металлы в периодиче- периодической системе Менделеева следуют за благородными газами: литий следует за гелием, натрий-на неоном, ка- калий-за аргоном и т. д.-и имеют на один электрон больше, чем соответст- соответствующие благородные газы. Атомы благородных газов характеризуются
33. Атомы щелочных металлов 199 очень большой устойчивостью. Что- Чтобы их ионизировать, требуется доста- достаточно большая энергия. Щелочные металлы одновалентны и их сравни- сравнительно легко ионизировать. Поэтому структура электронной оболочки щелочного металла весьма характер- характерна. Если атом щелочного металла имеет всего Z электронов, то можно утверждать, что Z — 1 электронов атома образуют структуру атома благородного атома, а последний электрон связан с этими электронами и ядром весьма слабо. Таким обра- образом, первые Z — 1 электронов и ядро обра- образуют остов с зарядом + е, в эффектив- эффективном поле которого движется элек- электрон, называемый валентным. Таким образом, щелочные атомы являются водородоподобными ато- атомами, однако не полностью. Дело в том, что внешний электрон несколько деформирует оболочку первых Z — 1 электронов и несколько искажает их поле. Поэтому потенциальную энер- энергию валентного электрона можно представить в виде ?»w=-4^G+7^ + -)' <ззл) где - Су е2/Dпг0 г2), - С2 е2/Dпеог3) —поправки, учитывающие отличие поля атомов щелочных металлов от поля атома водорода. В вычислениях мы ог- ограничимся учетом лишь первой поправ- поправки — Сх е 1D п е0 г2). Тогда все вычис- вычисления § 30 остаются без изменения, на- надо лишь в выражении для потенциаль- потенциальной энергии учесть ее значение по C3.1). Вместо уравнения C0.1) получаем 1 d d 2 т 4ле0 г ¦ + 1 4tie0 г2 Я2 /(/ + 1) Тт~~'г2 = 0. C3.2) Переписав это уравнение следую- следующим образом: 1 d / A R\ [2 т 2 т е2 d7 Е + Я 4тге0 г --[/(/+ 1) - С! • 2те2/Dпе0 /г2)] >Ч> = 0, C3.3) -видим, что оно полностью совпа- совпадает с уравнением C0.1), если поло- положить /(/+ 1) - С\-2 те2/Dпе0 И2) = /'(/' + 1), C3.4) причем во все последующие вычисле- вычисления § 30 вместо величины / войдет величина /', определяемая формулой C3.4). Решение квадратного уравне- уравнения C3.4): /2±l/t + + C1me2Bneoh2)y2. C3.5) Отрицательные значения /' дол- должны быть отброшены, поскольку они приводят к бесконечности волновой функции в нуле. Окончательно выра- выражение C3.5) для /' может быть пред- представлено в виде г =-72 + 72 [B/+1J - -С1-2те2(пе0П2)Т12 = 7 7 1Jяе0Я2]}1/2. C3.6) Если Сх = 0, то /' = /. Член, со- содержащий С15 учитывает поправку на искажение поля. Если оно мало, этот член также мал, поэтому {1-С1-2те2/[B/+ IJ ле0 Я2]}1/2 = = 1 - Сх те2/1B1 + IJ %е0 Я2]. C3.7) Тогда т е C3.8) Из формулы C3.1) видно, что С1 имеет размерность длины. Чтобы
200 7. Атом водорода и водородоподобные атомы второй член был малым по сравне- сравнению с первым, надо, чтобы (CJr0)« « 1, где г0 - расстояние от ядра до ближайшего электрона. Учитывая, что в формуле C3.8) те2/Dпг0 И2) = = 1/а0, где ао~радиус первой боров- ской орбиты, мы убеждаемся, что по- поправочный член в C3.8) действитель- действительно мал. Главное квантовое число C0.246) заменяется числом - Сх те где 72) 4лго/г2] ~1 = ), C3.9а) и (I) = - Q те2/Ш + 72) • 4тгб0 Й2], C3.96) а формула C0.24а) для уровней энер- энергии заменяется формулой 32 тг т е ¦Е20Н2(Г + к+ IJ 1 C3.10) в которой для Е введено два индекса, поскольку теперь энергия зависит не только от главного квантового числа п, но и от орбитального квантового числа /. Зависимость энергии от орбиталь- орбитального квантового числа составляет принципиальное отличие уровней энергии атомов щелочных металлов от уровней энергии атома водорода. Схему уровней энергии атомов щелочных металлов нельзя предста- представить в функции лишь одного главного Принципиальным отличием энергетичес- энергетического спектра щелочных металлов от энер- энергетического спектра атома водорода явля- является зависимость энергии от орбиталь- орбитального квантового числа. Сформулируйте правила отбора для перехо- переходов оптического электрона в щелочных ме- металлах. Какими переходами обусловлено излучение резонансной линии, главной серии, первой побочной (диффузной) серии, второй побоч- побочной (резкой) серии? квантового числа: уровни энергии, со- соответствующие одному и тому же главному квантовому числу, но с раз- различными орбитальными числами, не совпадают друг с другом. В качестве примера на рис. 65 приведена схема уровней атома лития. Наинизшим уровнем энергии является 25-состоя- ние (п = 2,1 = 0), поскольку состояние с и = 1 уже занято двумя электро- электронами, образующими остов водородо- подобного атома. Ближайшим по энергии состоянием является состоя- состояние ся = 2и /=1, т.е. 2/7-состояние. Показанное на рис. 65 взаимное рас- расположение уровней качественно легко может быть получено из формул C3.9) и C3.10). Схема уровней других щелочных металлов имеет аналогичную струк- структуру. В качестве примера на рис. 66 дан вид спектра испускания атома натрия. Правила отбора. Излучение проис- происходит в результате перехода оптичес- оптического электрона с одного энергетичес- энергетического уровня на другой. Однако не все переходы возможны. Возможными являются лишь переходы, разрешен- разрешенные правилами отбора, которые сов- совпадают с правилами отбора для одноэлектронного атома [см. B8.26) и C0.42)]: Ли-любое число, Д/= +1, C3.11) т.е. главное квантовое число может изме- изменяться на любое значение, а орби- орбитальное квантовое число-лишь на единицу. Это означает, что возможны пере- переходы лишь между соседними по / уровнями, т.е. между s- и /?-состоя- ниями, между р- и ^-состояниями, между d- и /-состояниями и т. д. (см. рис. 65). Резонансная линия. Наибольшее
§ 33. Атомы щелочных металлов 201 число атомов в соответствии с рас- распределением Больцмана находится в наинизшем энергетическом состоя- состоянии. У атома лития оптический элек- электрон при этом занимает 2 s-состояние (см. рис. 65). Его ближайшее возбуж- возбужденное состояние есть 2/?-состояние, в котором по распределению Больц- Больцмана находится большинство воз- возбужденных атомов. Поэтому следует ожидать, что линия излучения при переходах из 2 ^-состояния в 2^-сос- тояние является наиболее интенсив- интенсивной. Кроме того, интенсивность линии излучения зависит от вероят- вероятности соответствующего перехода. Обычно линия излучения при пере- переходе между первым возбужден- возбужденным состоянием атома и основным является самой интенсивной. Поэто- Поэтому она называется резонансной ли- линией. Частота этой линии лития обоз- обозначается так: т. е. частота со излучается в результате перехода электрона из состояния 2р в состояние 2 s. Главная серия. Поскольку при пе- переходах главное квантовое число п может изменяться на любое значение, допустимы переходы в состояние 2 s из любых р-состояний. Получаю- Получающаяся в результате этих переходов серия линий называется главной. Ее частоты условно обозначены в виде (O = 2s-mp(m = 2,3,4,...), C3.13) т. е. частота со излучается в результате переходов электрона из состояний тр (т = 2, 3, 4,...) в состояние 2s. В спектре атома лития имеются кроме главной и другие серии. Важ- Важнейшие из них следующие. Первая побочная (или диффузная) серия. Частоты этой серии a = 2p-md (m = 3, 4, 5,...). C3.14) Схема уровней атома лития: /главная серия; //-резкая серия; III -диффузная серия 66 Спектр испускания атома натрия Серия называется диффузной потому, что ее линии несколько размыты, не очень резки. Причина такой диффуз- ности линий объяснена ниже. Вторая побочная (или резкая) се- серия. Частоты этой серии @ = 2p-ms (m = 3, 4, 5,...). C3.15) Причина того, почему линии этой серии в отличие от линий диффузной
202 7 Атом водорода и водородоподобные атомы серии являются резкими, очевидна из дальнейшего. Следующая серия, получающаяся в результате переходов электрона из /-состояний в 3 ^-состояние, лежит в инфракрасной части спектра. Нетруд- Нетрудно построить также и другие серии, однако, чтобы не загромождать изло- изложения, мы ограничились наиболее су- существенными сериями. Спектры других щелочных метал- металлов. Мы рассмотрели более подробно лишь спектр лития. Спектр осталь- остальных щелочных металлов имеет анало- аналогичную структуру. Необходимо лишь принять во внимание, какое состоя- состояние является основным. Например, у натрия основное состояние есть 3 ^-состояние. Поэтому резонансной линией у натрия является линия ю = = 35 — Ър. Формула частот главной серии (m = 3,4,5,...). C3.16) Аналогично формулам C3.14) и C3.15) могут быть записаны форму- формулы для диффузной и резкой серий спектра излучения атома натрия. 34. Дублетная структура спектров щелоч- щелочных металлов и спин электрона Обсуждается природа спин-орбитального вза- взаимодействия и вычисляется значение обуслов- обусловленного им расщепления спектральных линий у щелочных металлов Экспериментальные факты. При анализе спектров щелочных металлов с помощью спектроскопических при- приборов высокой разрешающей силы обнаруживается, что каждая из линий излучения в действительности рас- расщеплена на две линии, т. е. является дублетом. Расщепление имеет следующие ярко выраженные закономерности: а) у линий главной серии расщеп- расщепление не является постоянным, а ме- меняется от линии к линии; б) у линий диффузной серии рас- расщепление одинаково у всех линий; в) у линий резкой серии расщепле- расщепление также одинаково. Наличие расщепления у линий по- показывает, что энергия уровней зави- зависит не только от главного квантового п и орбитального / чисел, но и от некоторой дополнительной величины, которая несколько изменяет энергию уровней. Ясно, что это изменение энергии уровней имеет порядок энер- энергии расщепления линий, которая очень мала. Поэтому этот дополни- дополнительный фактор дает небольшую по- поправку к энергии, определяемой фор- формулой C3.10). Можно сказать, что электрон имеет некоторую дополни- дополнительную степень свободы, которая сказывается при излучении. Если обо- обозначить квантовое число, соответст- соответствующее этой дополнительной степени свободы, ms, то энергия уровней элек- электрона зависит от трех квантовых чи- чисел * = *.,., <34Л> а не от двух, как предполагалось в C3.10). Спин электрона. Таким образом, в физике впервые пришли к необходи- необходимости приписать электрону внутрен- внутреннюю степень свободы. В дальнейшем был открыт ряд других явлений, для объяснения которых оказалось не- необходимым предположить наличие у электрона внутренней степени свобо- свободы. Пришлось допустить, что элек- электрон обладает собственным механи- механическим моментом импульса, назы- называемым спином электрона. Кроме спина электрон также обладает маг- магнитным моментом. Для количественного согласия
§ 34. Дублетная структура спектров щелочных металлов и спин электрона 203 теории с экспериментом механиче- механический момент импульса электрона- спин-по модулю должен быть равен E=1/2), C4.2) где h - постоянная Планка. Поскольку спин есть момент импульса, формула C4.2) записана в полной аналогии с B8.20а) для орбитального момента импульса частицы. Проекции момен- момента импульса на некоторое направле- направление даются формулой B8.206). Из C4.2) с учетом B8.206) следует, что проекция спина на избранное направ- направление может иметь лишь два зна- значения: LS2 = ms И К = 1/2, т, = -1/2). C4.3) Спин является квантовой величи- величиной, не имеющей классического ана- аналога. Однако некоторую связь спина с классическими образами можно про- проследить. Представим электрон окруж- окружностью радиуса г, по которой равно- равномерно распределена масса с линейной плотностью те/Bпг). Направим ось вращения электрона перпендикулярно плоскости окружности через ее центр и обозначим v линейную скорость точек окружности при вращении. Мо- Момент импульса электрона с учетом релятивистского изменения массы ра- равен merv/^/\ — v2/c2. Скорость v с уче- учетом C4.3) определяется из уравнения те rv/y/l - v2/c2 = Л/2. C4.4) Она равна v = с/y/l + с2/а2, а = ЛД2 те г). C4.5) При г -у 0 электрон стягивается в точ- точку, v -» с, а проекция момента импуль- импульса на ось вращения сохраняет свое значение /г/2. Таким образом, в рам- рамках классических образов можно представить существование точечного объекта, который обладает собствен- собственным моментом импульса, т.е. спи- спином. Однако описать классическими образами поведение спина не удается. Собственный магнитный момент электрона. Для объяснения экспери- экспериментальных фактов наряду со спином допускается наличие у электрона маг- магнитного момента, который связан со спином соотношением Ц,, q= -е. C4.6) Отсюда с учетом C4.3) следует, что относительно некоторого произволь- произвольного направления магнитный момент электрона может ориентироваться лишь двумя способами, когда его проекции на это направление равны цк= + еЛ/Bт). C4.7) Наличие магнитного момента у электрона позволяет объяснить дуб- дублетный характер спектров щелочных металлов, так как он дает дополни- дополнительное взаимодействие, которое на- называется спин-орбитальным. Оно обу- обусловлено энергией взаимодействия магнитного момента с внешним маг- магнитным полем, равной ?п=-цВ. C4.8) Сущность спин-орбитального вза- взаимодействия. Пусть вокруг ядра дви- движется один электрон. Так как элек- электрон движется в кулоновском поле ядра и никакого магнитного поля нет, то на первый взгляд не видно, из-за чего может появиться дополнитель- дополнительная энергия взаимодействия. Ясно, что нельзя представить себе, что маг- магнитный момент электрона взаимодей- взаимодействует с магнитным полем, создавае- создаваемым самим электроном при его дви- движении, хотя бы потому, что в точке нахождения электрона это поле не определено. Наличие спин-орбиталь- спин-орбитального взаимодействия можно доказать двумя способами. Во-первых, движу-
204 7. Атом водорода и водородоподобные атомы щийся магнитный момент ц обладает электрическим дипольным моментом Ve = v х ц/с2. C4.9) Энергия взаимодействия этого ди- польного момента с кулоновским по- полем ядра ?„=-р,-?, C4.10) где $ - напряженность кулоновского поля ядра в точке нахождения элек- электрона. Подставляя C4.9) в C4.10), получаем, что энергия взаимодейст- взаимодействия магнитного момента электрона с кулоновским полем ядра Еп= -(v хц)-?/с2. C4.11) Другой способ доказать наличие спин-орбитального взаимодействия состоит в следующем. Перейдем в систему координат, связанную с элек- электроном, движущимся вокруг ядра. В этой системе электрон покоится в на- начале координат, а ядро движется во- вокруг электрона. При своем движении положительно заряженное ядро соз- создает в точке нахождения электрона магнитное поле Вэф, которое приво- приводит к появлению энергии взаимодей- взаимодействия [см. C4.8)]. Поскольку магнит- магнитный момент может ориентироваться лишь двумя способами относительно направления Вэф, энергия взаимо- При анализе спектров щелочных метал- металлов с помощью спектроскопических при- приборов высокой разрешающей способно- способности обнаруживается дублетный характер линий излучения. Это показывает, что энергия уровней атома зависит не только от главного квантового числа п и орби- орбитального числа /, но и от некоторой до- дополнительной величины. Этой величиной является спин и связанный с ним соб- собственный магнитный момент электрона. В чем состоит сущность спин-орбитального взаимодействия? Как образуется дублетный характер линий из- излучения при учете спин-орбитального взаимо- взаимодействия? Проследите это расщепление для главной, резкой и диффузной серий. действия может принимать лишь два значения: Еп = ц5 ¦ Вэф = + еН Вэф/B т) C4.12) [см. C4.7)]. Энергия спин-орбиталь- спин-орбитального взаимодействия прибавляется или вычитается от энергии соответст- соответствующего уровня электрона C3.10). В результате этого каждый уровень рас- расщепляется на два подуровня. Расщеп- Расщепление уровней энергии на подуровни, обусловленное спин-орбитальным взаимодействием, называется тонкой структурой уровней. Однако не каж- каждый уровень имеет тонкую структуру, т.е. не каждый уровень расщеплен: s-уровни синглетны, никогда не рас- расщепляются, что связано с особеннос- особенностями движения электронов в .s-состо- янии. В ^-состоянии электронное об- облако распределено сферически-сим- сферически-симметрично вокруг ядра и движение яв- является радиальным, поскольку орби- орбитальный момент равен нулю. Следо- Следовательно, в s-состояниях спин-орби- спин-орбитальное взаимодействие отсутствует и соответствующие энергетические уровни являются синглетными. Тонкая структура энергетических уровней полностью объясняет осо- особенности спектра излучения щелоч- щелочных металлов. Рассмотрим для при- примера спектр лития. С учетом тонкой структуры все уровни энергии атома лития (см. рис. 65) дублетны, за ис- исключением 5-уровней, которые син- синглетны. Рассмотрим переходы между ними. Энергия спин-орбитального вза- взаимодействия очень мала. Это обсто- обстоятельство наводит на предположение, что при оптических переходах ориен- ориентировка спина не меняется. Более строгое теоретическое рассмотрение этого вопроса показывает, что это действительно так, т. е. правило от- отбора для квантового числа ms при
34. Дублетная структура спектров щелочных металлов и спин электрона 205 оптических переходах может быть за- записано следующим образом: Ams = 0. C4.13) Объяснение закономерностей рас- расщепления линий. Исследуем прежде всего главную серию (рис. 67). Оче- Очевидно, что переходы с близко распо- расположенных друг к другу уровней р на один и тот же уровень s дают две близко расположенные линии излу- излучения, т.е. дублет. Расщепление раз- различных уровней р различно; следова- следовательно, расщепление различных дуб- дублетов главной серии щелочных метал- металлов также различно, что и наблюда- наблюдается в эксперименте. Рассмотрим резкую серию, кото- которая получается в результате пере- переходов с ^-уровней на 2/?-уровень (рис. 68). В этом случае расщепление у линий серии одно и то же, поскольку у всех линий оно обусловливается расщеплением одного и того же уров- уровня 2р. Линии в дублете резки, потому что это действительно две линии, т. е. дублет. Диффузная серия получается в ре- результате переходов с й?-уровней на 2/?-уровень (рис. 69). Расщепление уровней d много меньше, чем расщеп- расщепление уровня 2р. Фактически при переходах с уровней d на уровень 2р излучаются три линии, поскольку изображенный штриховой линией пе- переход запрещен правилами отбора. Однако две линии, получающиеся при переходе с двух расщепленных уров- уровней d на один и тот же уровень р, расположены весьма близко друг к другу и практически сливаются. Бла- Благодаря этому они воспринимаются как одна размытая линия. Расщепле- Расщепление же между парой линий и оди- одиночной линией значительно. Поэтому в целом все эти три линии восприни- воспринимаются как дублет из размытых ли- -2s 67 Схема переходов с уровней р на уровень 2.$ с учетом тонкой структуры -4s -3s 68 Схема переходов с i-уровней на 2/>-уровень i d 69 Схема переходов с rf-уровней на 2/?-уровень ний, а вся серия названа диффузной. Расщепление дублета у всех линий серии одно и то же, поскольку оно определяется расщеплением одного и того же уровня 2р. Таким образом, дублетный харак- характер линий спектра излучения щелоч-
206 7. Атом водорода и водородоподобные атомы ных металлов и водорода объясня- Однако это не единственный фактор, ется наличием у электрона магнит- определяющий расщепление. Вторым ного момента, или, что то же самое, фактором являются релятивистские спин-орбитальным взаимодействием, эффекты, которые учтены в § 72. Задачи 7.1. Найти энергетические уровни для частицы с массой т, движущейся в сферической потенциальной яме, когда Еп(г) = 0 при г < а и Еп(г) = оо при г > а. 7.2. Квант с энергией й ш = 20 эВ выбивает электрон из атома водорода, находящегося в основном состоянии. С какой скоростью будет двигаться электрон? 7.3. Вычислить скорость, которую приобретает атом водорода в результате излучения кванта света при переходе электрона со второго уровня на первый. На сколько благодаря этому уменьшится длина волны кванта? 7.4. Рассчитать для атома позитрония границу серии Бальмера, энергию ионизации и длину волны резонансной линии излучения. 7.5. Найти разницу Ак между длинами волн серии Бальмера у дейтерия, образующуюся в результате перехода электрона с уровня п = 3 на уровень п = 2. 7-6. Область, где кинетическая энергия частицы по закону сохранения энергии становится отрицательной, является в классической механике запрещенной. В квантовой механике абсолютного запрета на пребывание частицы в этой области нет. Найти для атома водорода в основном состоянии область, в которой электрон не может находиться по законам движения классической механики, и вычислить вероятность того, что он находится в этой области по законам движения квантовой механики. 7.7. Чему равны потенциалы ионизации ионов Не+ и Li + +? 7-8. Электрон находится в атоме водорода в состоянии 2 s. Какова вероятность того, что он находится в области, запрещенной классическими законами движения? 7.9. Найти наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в состоянии 2 s. Ответы 7.1. n2R2n2/{2ma2). 7.2. 1.5-106 м/с. 7.3. 3,25 м/с; 6,6- 1<Г7 нм. 7.4. 1,845 нм; 6,8 эВ; 243 нм. 7.5. 0,18 нм. 7.6. г>2а0; 0,238. 7.7. 54 В; 122 В. 7.8. 0,188. 7.9. 5,236 а0.
35 Орбитальный момент электрона 8 36 Оператор спина электрона МАГНИТНЫЙ И МЕХАНИЧЕСКИЙ МОМЕНТЫ АТОМА 37 Магнитный и механический моменты атома 38 Квантово-механическое описание спина в магнитном поле 39 Магнитомеханические эффекты 40 Экспериментальные методы измерения магнитных моментов М агнитный и ме- механический моменты атома обус- обусловлены магнитным и механиче- механическим моментами орбитального движения электронов и собствен- собственными магнитными моментами и спинами электронов. Полные маг- магнитный и механический моменты атома слагаются из составляющих их моментов по различным схе- схемам, определяемым особенностя- особенностями спин-орбитального взаимо- взаимодействия. Важным фактором при сложении моментов является раз- различное гиромагнитное отношение для орбитального движения элект- электрона и его спина. Связь между механическим и магнитным мо- моментами в числе прочего обуслов- обусловливает магнитомеханические эф- эффекты.
208 8 Магнитный и механический моменты атома 35. Орбитальный момент электрона Дается характеристика орбитального магнитно- магнитного и механического момента электрона в рамках квантово-механических преде гавлений Источники атомного магнетизма. Маг- Магнетизм атома обусловлен тремя при- причинами: а) орбитальным движением элек- электронов; б) магнитным моментом электро- электрона; в) магнитным моментом атомно- атомного ядра. Магнитное поле, обусловленное магнитным моментом ядра, обычно много меньше магнитного поля, по- порождаемого орбитальным движением электронов и спином электронов, и поэтому здесь не принимается во внимание. Орбитальный момент электрона по квантовой теории. В § 15 был рас- рассмотрен орбитальный момент элек- электрона по классической теории. Было показано, что между орбитальным магнитным моментом ц( электрона и его моментом импульса Le сущест- существует соотношение A5.7). Рассмотрим этот вопрос по квантовой теории. Если состояние электрона описы- описывается функцией *?, то [см. плотность тока A6.20а)] j = [iqRIBme)~\Drs/4* - T*V4')) (q = - e). C5.1) В сферической системе координат со- составляющими оператора V являются д/дг, A/г) д/dQ и (sin9/r) д/дц>, поэтому iqh drj' Ж/' ~5 ~ ~5 '• Оф Оф Поскольку функции R (г) и PJ" (cos0) в выражении C0.39а) являются дей- действительными функциями, из C5.2) следует, что Л=Л = 0, C5.3) а отличной от нуля является лишь составляющая тока в направлении ко- координатной линии ф, т. е. в широтном направлении: / =—^— т Ч> , 2, C5.4) v mjsinQ где те-масса электрона, т-магнит- т-магнитное квантовое число. Вычислим магнитный момент ато- атома, обусловливаемый током C5.4). Через площадку dc, направленную перпендикулярно координатной ли- линии ф, протекает ток d/=^da, C5.5) который создает магнитный момент dp.,2 = SdI, C5.6) где S = nr2 sin2 0- площадь, обтекае- обтекаемая элементом тока 6.1. Таким обра- образом, т da и, следовательно, т 2nrsin0da *n C5.7) C5.8) Вдоль трубки тока |*Ри/т|2 по- постоянно, а 2rtrsin9da = dУесть объем этой трубки тока. По условию нор- нормировки, C5.9) C5.10) и, следовательно, C5.2) яп -т. Учитывая, что, по квантовой тео- теории,
§ 35. Орбитальный момент электрона 209 Llz = hm, C5.11) можно C5.10) записать в виде C5.12) rlz 2me tz> совпадающем с A5.5) классической теории. Поскольку в качестве оси Z можно взять любое направление, соотноше- соотношение справедливо для проекций на любое направление. Таким образом, можно заключить, что соотношение A5.7) между орбитальными механи- механическими и магнитными моментами остается справедливым также и в квантовой теории. Модуль и ориентировка орбиталь- орбитального магнитного момента. Соотноше- Соотношение A5.7) с учетом B8.20а) и B8.206) показывает, что модуль магнитного момента, обусловленного орбиталь- орбитальным движением электрона, C5.13) где цв = ей/Bте)-магнетон Бора. Проекции магнитного момента на некоторое направление в соответ- соответствии с формулой B8.206) равны 'C5.14) ** Соотношение между магнитным и меха- механическим орбитальными моментами в квантовой и классической теории одина- одинаково. Собственный магнитный момент и спин электрона не имеют классических аналогов. Гиромагнитное отношение для орбиталь- орбитального движения равно 1, а для спина равно 2. * Какие значения может принимать проекция орбитального магнитного момента на задан- заданное направление? Чему равен модуль орбитального магнитного момента? Какой смысл имеет угол между направлением магнитного момента и заданным направлени- направлением? 70 Схема возможных ориентировок магнитного момента т. е. всего возможны 2/ + 1 способа ориентации магнитного момента от- относительно избранного направления. Очевидно, что углы, которые образуют вектор L, с некоторым из- избранным направлением, например с осью Z, могут быть найдены по формуле cos(iz, L,) = L,2/|L,|, C5.15) где iz- единичный вектор в направле- направлении оси Z, (iz, Ь,)-угол между L, и осью Z. Учитывая B8.20а) и B8.206), перепишем C5.15): cos(i2, L,) = тД//(/+1). C5.16) Поскольку максимальное абсолютное значение т — 1, из формулы C5.16) следует, что угол (iz, L,) не может быть равен 0 или п, т.е. нельзя себе представить, что вектор L, ориенти- ориентируется строго вдоль некоторого на- направления. Это и понятно, потому что если бы это было так, то, зная модуль вектора L, и его ориентиров- ориентировку, можно было бы одновременно определить его три проекции на оси координат. Но это запрещается пра- правилами коммутации для операторов Lx, Ly, Lz. Схематически различные возможные ориентировки магнитного момента изображены на рис. 70. Эта дискретность в ориентировке магнит- 14-219
210 8. Магнитный и механический моменты атома 71 Прецессия момента импульса ного момента называется обычно пространственным квантованием. Оно было подтверждено в опытах, которые изложены в § 15. То обстоятельство, что невозмож- невозможно одновременно измерить все три проекции вектора L,, а можно лишь измерить модуль вектора | L, | и одну из его проекций, может быть нагляд- наглядно интерпретировано следующим об- образом. Представим себе, что вектор L, прецессирует вокруг избранного направления (рис. 71). В этом случае вполне определенное значение имеет лишь проекция вектора L, на направ- направление, вокруг которого он прецесси- прецессирует. Две другие проекции вектора L, на направления, лежащие в плоскос- плоскости, перпендикулярной оси прецессии, остаются полностью неопределен- неопределенными. Напомним еще раз, что наиболее разительным отличием кван- квантового представления об орбиталь- орбитальном моменте от классического яв- является то, что в ^-состоянии орбиталь- орбитальный момент равен нулю. Дать ка- какую-то классическую интерпретацию этого явления с точки зрения клас- классических представлений невозможно. Заметим, что, как следует из C5.13), орбитальный магнитный мо- момент электрона в ^-состоянии также равен нулю. Гиромагнитное отношение. Отно- Отношение модуля магнитного момента к модулю механического момента в еди- единицах е/Bте) называется гиромагнит- гиромагнитным отношением. Иначе говоря, если отношение этих величин представить в виде L 2m, ¦0- C5.17) то безразмерное число д называется гиромагнитным отношением. Гиро- Гиромагнитное отношение характеризует соотношение между магнитным и механическим моментами системы. Из формулы A5.7) следует, что е 2mZ C5.18) Сравнение C5.18) с C5.17) показы- показывает, что для орбитального магнит- магнитного и механического моментов элек- электрона гиромагнитное отношение gL равно единице, т. е. д, = 1. C5.19) Гиромагнитное отношение для спина электрона может быть найдено из формулы C4.7). Эта формула может быть записана в виде Hs/Ls = 2e/Bme). C5.20) Следовательно, гиромагнитное от- отношение для спина равно 2: gs = 2. C5.21) Отличие гиромагнитного отношения для спина от гиромагнитного отно- отношения для орбитального движения имеет существенное значение при рас- рассмотрении полного механического и магнитного моментов атома.
(; 36 Оператор спина электрона 211 36. Оператор спина электрона Дается представление оператора спина в базисе собственных векторов оператора одной из его декартовых проекций Спин. Из экспериментальных данных по дублетной структуре спектров ще- щелочных металлов (см. § 33) следует, что электрон обладает собственным моментом импульса, получившим на- название спина. Объяснить возникнове- возникновение спина какой-то классической мо- моделью оказалось невозможным. Спин является первоначальным свойством электрона, и задача заключается не в том, чтобы объяснить, а в том, чтобы описать его. Поскольку спин является момен- моментом импульса в классическом описа- описании, он является вектором s, проек- проекции которого на оси декартовой си- системы координат обозначаются, как обычно, sx, sy, sz. Векторный характер спина предопределяет его свойства при классическом описании явлений. В частности, его можно складывать с другими моментами импульса по правилу параллелограмма и с орби- орбитальными моментами импульса. Однако его принципиальное отличие от орбитального момента импульса обусловливается тем, что орбиталь- орбитальный момент импульса как динамичес- динамическая переменная выражается через другие динамические переменные - декартовы координаты и импульсы, в то время как динамическая перемен- переменная, названная спином, через другие известные динамические переменные не выражается. Оператор орбитального момента импульса легко получается по общим правилам перехода от классического описания к квантовому посредством замены классических величин на со- соответствующие операторы, как это сделано в § 18. Значение оператора позволяет найти его собственные функции и собственные значения, коммутационные соотношения раз- различного рода и описать все квантовые свойства орбитального момента им- импульса. Оператор спина таким путем получить нельзя, потому что он в классической картине не может быть выражен через динамические пере- переменные - декартовы координаты и импульсы. Здесь полезно напомнить, что речь идет именно о выражении в декартовых координатах. Переход к другим координатам можно произ- произвести лишь после записи оператора динамической переменной по этому правилу в декартовых координатах (см. § 23). Поскольку спин не может быть представлен как функция ко- координат и импульсов, оператор спина не может быть построен аналогично оператору орбитального момента им- импульса. Однако ясно, что как опера- оператор момента импульса он должен удовлетворять коммутационным со- соотношениям B8.17) и B8.18). Для объяснения экспериментальных ре- результатов необходимо считать соб- собственные значения любой декартовой проекции оператора спина равным Я/2 и — Я/2 [см. C3.3)]. Этих данных достаточно, чтобы решать квантово- механические задачи со спином, не имея в явном виде выражения для оператора спина и волновых функ- функций. Однако для многих расчетов предпочтительнее иметь явный вид оператора спина. Оператор спина. На любое направ- направление, в качестве которого можно выбрать положительное направление оси Z, проекция спина может быть равной либо Л/2, либо — Л/2. Обо- Обозначим sz оператор, относящийся к проекции спина на ось Z. Собствен- Собственный вектор этого оператора, при-
212 8 Магнитный и механический моменты атома надлежащий собственному значению /г/2, обозначим | Z, + ), а собствен- собственному значению (— h/2)-\Z, — ). В обозначении вектора спина (см. гл. 5) знак плюс показывает, что проекция спина ориентирована в направлении положительных значений оси Z, а знак минус-в противоположном. Яс- Ясно, что уравнения на собственные зна- значения оператора s имеют вид + >, C6.1а) C6.16) \Z,-)=(-n/2)\Z,-). Перейдем к базисному представле- представлению вектора спина, выбрав в качестве базисных векторов | Z, + ) и | Z, — ), которые ортонормированы. В этом представлении проекции вектора |Z, + ) даются числами A, 0), а вектора \Z, — )-числами @, 1), которые при- принято писать в виде столбцов: C6.2) Операторы в базисном представле- представлении выражают матрицами, элемен- элементами которых являются матричные элементы оператора. В своем соб- собственном представлении оператор диагоналей. Учитывая, что сопряжен- сопряженные вектора \Z, + ) + и | Z, — ) + [см. B1.46)] выражаются в виде строк из комплексно-сопряженных величин C6.2), запишем #* Спин не имеет классического аналога и в классической картине не может быть выражен через динамические перемен- переменные декартовы координаты и импульсы. Поэтому оператор спина не может быть построен аналогично оператору орби- орбитального момента импульса, но, будучи оператором момента импульса, он дол- должен удовлетворять тем же коммутацион- коммутационным соотношениям. Операторы проекций спина в его соб- собственном представлении даются матрица- матрицами C6.5)-C6.7). \Z, + > + = <Z, + | = A, 0), |Z, - > + = = <Z, - | = @, 1). C6.3) Умножая C6.1) слева скалярно на C6.3), получаем следующие выраже- выражения матричных элементов оператора sz в его собственном представлении: <Z, + \sz\Z, + > = Л/2, <Z, + \SZ\Z, -) = 0, <Z, - \SX\Z, + > = 0, <Z, - \St\Z, - > = = - Л/2. C6.4) Таким образом, матрица опера- оператора sz в его собственном пред- представлении имеет вид Для получения в том же пред- представлении выражения для операторов Зу и Зх необходимо воспользоваться коммутационными соотношениями B8.17) и B8.18), которые дают урав- уравнения для определения элементов матриц §у и sx. He приводя мате- математических выкладок, запишем их в виде "'" '¦ C6.6, 0/ - i C6.7) Матрицы C6.5)-C6.7) эрмитовы и удовлетворяют требованиям кванто- квантовой механики. Векторный оператор S = ($х, Sr sz) C6.8) является оператором спина. С учетом C6.5)-C6.7) получаем . C6.9) Из C6.9) следует, что собственное значение оператора квадрата спина равно Зй2/4 = h2s(s+ 1), где s = = 7г> что совпадает с C3.2) после
§ 36. Оператор спина электрона 213 извлечения квадратного корня. Это выражение находится в полной ана- аналогии с формулой B8.20а) для соб- собственных значений оператора квадра- квадрата орбитального момента импульса и иллюстрирует физическую природу спина как момента импульса, не имеющего классической интерпрета- интерпретации. Без дальнейших пояснений оче- очевидно, что полученные для опера- оператора спина выражения справедливы не только для спина электрона, но и для спина 7г любой другой частицы. Оператор проекции спина на произ- произвольное направление. Направление ха- характеризуем единичным вектором п. Ясно, что проекции этого вектора на оси декартовой системы координат даются формулами пх = п ¦ ix = sin 9 cos <p, пу = n-ij, = sin 0 sin ф, C6.10) nz = n-i2 = cos0, где ф- полярный и аксиальный углы сферической системы координат с по- полярной осью Z. Проекция спина на направление п равна ?п = п • s = njx + п/у + njz = — sin 0 cos q>sx + sin 0 sin ф sy + cos Qsz = /г/cosO U где sx, s , sz определены равенствами C6.6), C6.7) и C6.5). Собственные значения X оператора sn и принад- принадлежащие им собственные векторы |иД > находим из уравнения *в|пД> = А.|пД>. C6.12) Уравнение B1.56) для определения собственных значений для оператора C6.11) имеет вид (/г/2) cos 0 - X (И/2) sin 0е ~ * (Я/2) sin ве" -(Я/2)совв-Я, = X2 - (/г/2J cos2 0 - (П/2J sin2 0 = 0 C6.13) и поэтому собственные значения равны \t = И/2, Х2= - И/2. C6.14) Этот результат находится в пол- полном соответствии с основным свойст- свойством спина электрона иметь на любое направление лишь два значения про- проекции. Принадлежащие собственным значениям C6.14) ортонормирован- ные собственные векторы обозначим |п, + > и |п, — ). В базисе векторов | Z, + ), | Z, — ) они могут быть пред- представлены в виде |n, + > = a1|Z, + > + p1|Z,->, | п, — ) = a21Z, + ) + р21Z, — >, где постоянные щ, [$;(/ = 1, 2) удов- удовлетворяют условиям нормировки |a,|2 + IP,l2 = l 0"=1,2). C6.16) Подставляя C6.15) в C6.12), находим ax = cos @/2) е-1*12, р\ = sin @/2) е'"/2, а2 = - 5Ц1@/2)е~!*/2, р2 = cos@/2)ei<p/2. C6.17) Поэтому собственные векторы C6.15) имеют вид /cos @/2) е" ^ Vsin@/2)eil?>/2 '-sin(e/2)e-'"/^ cos @/2) е'" In,+ > = In,-> = C6.18) C6.19) Непосредственной проверкой убеж- убеждаемся, что эти векторы ортонорми- рованы: <п + |п,+> = <п,-|п,->= 1, <п,-|п,+> = <п,+ |п,-> = 0. C6.20) Среднее значение проекции спина, находящегося в определенном состоя- состоянии. Опыт Штерна - Герлаха (см. § 15) позволяет определить, находится ли спин в состоянии | п, + ) или | п, — ).
214 8 Магнитный и механический моменты атома На выходе из аппарата, используемо- используемого в опыте, образуются два пучка атомов, в одном из которых все ато- атомы будут в спиновых состояниях | п, + ), а в другом -1 п, — ). Если про- производить измерение проекции спина на направление п у атомов в состоя- состоянии | п, + ), то всегда в результате измерения получается + Я/2. При из- измерении проекции спина на направле- направление п у атомов, находящихся в со- состоянии | п, — ), всегда в результате измерения получается — Я/2. Такая ситуация совместима с представлени- представлением о спине как о классическом векторе (моменте импульса), который в со- состоянии | п, + ) совпадает по направ- направлению с п. Это представление еще сильнее подкрепляется расчетом сред- средних значений проекции спина на оси координат: <п, + | sx | п, + > = (П/2) sin (9/2) cos (9/2) х х (ё" + е") = (/г/2) sin 9 cos ср, <п, + | sy | п, + > = (П/2) sin (9/2) cos (9/2) х х (- /е" + i е " '¦») = (Й/2) sin 9 sin ф, <n, + |4|n,+>=(?/2)[cos2(9/2)- - sin2 (9/2)] = (/г/2) cos 9. C6.21) Отсюда с учетом C6.10) следует ра- равенство <n, + \s\a, + > = (fi/2)n, C6.22) которое совместимо с представлени- представлением о спине как о классическом век- векторе, совпадающем в состоянии | п, + ) по направлению с п и по модулю равном Л/2. Но такое представление о спине неправильно. Оно было бы оправданным, если бы при каждом измерении проекции спина в состоя- состоянии | п, + ) на оси X, Y, Z получились значения C6.21). В действительности в результате каждого измерения про- проекции спина на любую из этих осей равны либо + Л/2, либо —Я/2, однако с различной вероятностью. Это озна- означает, что спин нельзя представить в виде классического вектора, но его образ в виде классического вектора полезен при вычислении средних зна- значений проекций и интерпретации ре- результатов. Все изложенное справедливо так- также в приложении к спину в состоянии | п, — ) с учетом равенства <п,-|§|п,->=-(Л/2)п. C6.23) Вероятность проекции спина на за- заданное направление. При измерении проекции спина в состоянии | п, + > на направление, отличное от п, получа- получаются значения й/2 и — Я/2, но с раз- различными вероятностями. Вероятнос- Вероятности ^>(Z, +) и 3?{Z, -) проекций +Я/2 и — Я/2 на ось Z по общему правилу даются соотношениями &(Z, -) = | <Z, - | n, + >|2 = sin2 (9/2). C6.24) Измерение проекции спина у боль- большого числа N атомов в состоянии |п, + ) дает в N + = Л? cos2 @/2) случа- случаях результат Я/2 и в N_ = ./V sin2 (9/2) случаях результат — Я/2. 37. Магнитный и механический моменты атома Излагается векторная модель магнитного и ме- механического моментов атома и даются количест- количественные характеристики модели. Сложение орбитального момента и спи- спина. Наряду с орбитальным механичес- механическим и магнитным моментом элект- электрон обладает внутренним механичес- механическим моментом, или спином, и соот- соответствующим ему спиновым магнит- магнитным моментом [см. C4.2) и C4.6)]. Полный момент импульса электрона является суммой орбитального мо- момента и спинового моментов:
§ 37. Магнитный и механический моменты атома 21S C7.1) Учитывая C7.3) и C7.2), находим где L, - орбитальный момент импуль- импульса электрона, Ls-ero спин. Известно, что модуль момента импульса всегда квантуется формулами вида cos(L,,LJ = | L, | = hjW+X), | L. | = Hjs{s+\). C7.2) Так как полный момент Lj- является также моментом импульса, то его модуль \Lj\ = fiJj(j+\), C7.3) где j- квантовое число полного мо- момента. Определим/ Возможные про- проекции векторов L, и Ls на ось Z нам известны: L,. = Ят, (т, = -/,-/+ 1,...,/- 1,0, C7.4а) Lsz = hms (ms = - s = - 1/2; ms= -s+l = 1/2). C7.46) Из C7.1) следует, что Ljz = Llz + Lsz. C7.5) Проекция полного момента на вы- выбранное направление квантуется ана- аналогично C7.4а) и C7.46): Ljz = /ни, (т. = -j, -j + 1,.. .J - 1,т). C7.6) Сравнивая C7.6) с C7.5) и учиты- учитывая C7.4), видим, что при данном / квантовое число j может принимать два значения: J= /+1/2,./=/- 1/2. C7.7) Угол между орбитальным и спи- спиновым моментами. Для определения угла между орбитальным и спиновым моментами возведем обе части ра- равенства C7.1) в квадрат: L2 = L,2 + L2 + 21L, 11L, | cos (L,, LJ. C7.8) Отсюда следует, что cos(L,, LJ = (Lj - Lf - Ls2)/BL,y. C7.9) C7.10) Два возможных угла между вектора- векторами L, и Ls получаются из этой фор- формулы при jl = l + s = l+ 1/2, j2 = l-s = l- 1/2. В связи с формулой C7.10) возни- возникает вопрос: что следует понимать под углом между L, и Ls, если нельзя говорить о каком-то конкретном на- направлении каждого из этих векторов в пространстве? Этот угол имеет сле- следующий смысл. В отсутствие внешне- внешнего момента сил полный момент им- импульса сохраняется, т. е. вектор L;- постоянен. Следовательно, векторы L, и Ls прецессируют вокруг вектора Lj и их проекции на направление L, имеют вполне определенные значе- значения. Нетрудно вычислить также и угол между каждым из векторов и вектором Lj. Поскольку L,, Ls и L, лежат в одной плоскости, ясно, как вычислить угол между L, и Ls и о каком угле идет речь. Полный магнитный момент элект- электрона. Полный магнитный момент электрона равен сумме векторов орби- орбитального магнитного момента элект- электрона и спинового магнитного момента: ty = fc + |i,. C7-11) причем ц, и ц5 определяются форму- формулами A5.7) и C4.6). Гиромагнитное отношение для спи- спинового момента не равно гиромаг- гиромагнитному отношению для орбитально- орбитального момента. Поэтому [см. C7.11)] вектор пол- полного магнитного момента электрона не коллинеарен вектору полного ме- механического момента.
216 8. Магнитный и механический моменты атома Векторная модель атома. Полный механический и магнитный моменты атома слагаются из механических и магнитных моментов и спинов и спи- спиновых магнитных моментов электро- электронов, образующих электронную обо- оболочку атома. Однако поведение век- вектора полного механического (и маг- магнитного) момента атома зависит от способа и последовательности сложе- сложения отдельных слагаемых. Прежде всего рассмотрим общий метод сло- сложения моментов импульса с учетом пространственного квантования. Сложение моментов импульса в об- общем случае. Правило для сложения моментов импульса в простых случа- случаях можно получить в результате не- несложных рассуждений. Общая теория сложения угловых моментов приво- приводится в соответствующих математи- математических руководствах. Пусть имеются два орбитальных момента L, и L, модуль которых определяется квантовыми числами lt и /2, т.е. C7.12) Орбитальный момент и спин при обра- образовании полного момента суммируются как векторные величины, но с учетом про- пространственного квантования. Возможны различные способы образова- образования полного момента атома из орбиталь- орбитальных моментов и спинов электронов. На- Наиболее распространенными являются (/, /)-связь и (L, SJ-связь, но встречаются так- также и промежуточные типы связи. Из-за различия гиромагнитных отноше- отношений для орбитального движения и спина полный магнитный момент атома, вообще говоря, не коллинеарен полному механи- механическому моменту. Чем определяется тип связи, которой осуще- осуществляется образование полного момента ато- атома? В каких пределах может изменяться значение множителя Ланде? Как классифицируются состояния атома по квантовым числам полного спина, орбиталь- орбитального момента и полного момента атома? Модуль суммы моментов LL = L,i+L,2 C7.13) с учетом пространственного кванто- квантования равен \LL\ = LL = H^L(L+1), C7.14) причем квантовое число L может при- принимать одно из следующих значений: 121 1 C7.15) Число способов, которыми могут складываться два момента, равно чис- числу возможных значений L [см. C7.15)]. Пусть для определенности 1Х > 12. Тог- Тогда формула C7.15) может быть за- записана в виде L=/1 + /2,/1+/2-l,...,/I-/2. C7.16) В этой последовательности чисел до нуля не хватает 1, 2, ..., /t — /2 — 1, т. е. /t — /2 — 1 чисел. Поэтому число членов в этой последовательности равно (/1+/2)-(/1-/2-1) = 2/2+1. C7.17) Аналогично рассматривается слу- случай /2 > /t, для которого число раз- различных способов взаимной ориента- ориентации равно 2/t + 1. Поэтому можно сказать, что число способов, которы- которыми механические моменты с орби- орбитальными квантовыми числами 1Х и /2 могут складываться с учетом про- пространственного квантования, дается формулой /2)+l, C7.18) где min (/x, /2) означает меньшее из чисел /t и /2. Проекции полного момента LL на избранное направление, например на ось Z, даются формулой вида C7.4а): LLz = hmL(mL = -L, -L+ \,...,L- \,L). C7.19)
§ 37. Магнитный и механический моменты атома 217 Следовательно, полное число раз- различных ориентации полного момента LL относительно избранного направ- направления равно 2L + 1. Правила сложения нескольких мо- моментов получаются в результате по- последовательного применения правила для сложения двух моментов, кото- которое только что изложено. Правила сложения спиновых маг- магнитных моментов. Эти правила ана- аналогичны только что изложенным. Пусть имеется N электронов, векторы спинов которых равны Lsi B= 1, 2, ..., N). Полный спиновый момент всех электронов определяется векто- вектором Ls, равным сумме векторов спи- спинов отдельных электронов: Ls = Z Lsi, 1 = 1 причем модуль этого вектора C7.20) ¦ 1). C7.21) Квантовое число полного спина S мо- может принимать следующие значения: S = C7.22) I V2N> V2N - Ь-, О, (при N четном), ' 72N, V2^ - Ь-, 1/2 (при N нечетном). Это правило является применением правила сложения моментов C7.15), поскольку у2лг = У2 + у2 +... + 72 • C7-23) Возможные проекции полного спи- спина электронов на ось Z даются фор- формулой Lsz = %s (ms = - S, - S + 1, ..., S - 1, S), C7.24) т. е. число возможных ориентации пол- полного спина равно 2S + 1. Возможные типы связи. Свойства атома зависят от того, как происхо- происходит образование полного момента атома. Можно представить два пути. 1. Орбитальный момент каждого электрона атома складывается со спи- спиновым моментом этого электрона, образуя полный момент электрона L,-. После этого полные моменты Ly различных электронов атома склады- складываются между собой, образуя полный момент атома L,. Такая связь электро- электронов в атоме называется (/, у)-связью. 2. Орбитальные моменты различ- различных электронов атома складываются друг с другом, образуя полный орби- орбитальный момент атома LL. Спины отдельных электронов складываются друг с другом, образуя полный спино- спиновый момент атома Ls. После этого полный орбитальный момент атома складывается с полным спиновым мо- моментом атома, образуя полный мо- момент атома Ь,. Такая связь электро- электронов в атоме называется (Ь,5)-связью. Можно, конечно, представить и некоторую промежуточную связь, ког- когда часть электронов связывается по схеме (/, 7')-связи, а часть электронов связывается по схеме (L, 5)-связи и полный момент атома образуется как сумма полных моментов этих групп электронов. Однако такой комбини- комбинированный случай на практике не игра- играет существенной роли. Какая из возможных связей осу- осуществляется фактически, зависит от характера взаимодействия между элек- электронами. Если энергия взаимодейст- взаимодействия спина электрона с его магнитным моментом больше, чем энергия вза- взаимодействия орбитального и спино- спинового моментов электрона с другими электронами, то осуществляется (/',/)- связь. Если же сила взаимодействия меж- между спиновыми и орбитальными мо- моментами всех электронов больше, чем сила взаимодействия между спино-
218 8. Магнитный и механический моменты атома 72 Векторное сложение орбитального и спинового механического и магнитного моментов атома вым и орбитальным моментами каж- каждого электрона, то осуществляется (L, 5)-связь. Анализ экспериментального мате- материала показывает, что в большинстве случаев осуществляется (L, 5)-связь. Поэтому в теории строения атомов эта связь играет главную роль. (L-5)-связь. В соответствии со сказанным полный момент атома L, = LL + LS, C7.25) где L, -полный орбитальный момент атома, образованный из орбитальных моментов отдельных электронов в со- соответствии с формулами C7.13)—C7.15); Ls-полный спиновый момент атома, образованный из спинов отдельных электронов в соответствии с форму- формулами C7.20)-C7.24). По формулам сложения моментов из C7.25) следует, что модуль пол- полного момента атома дается формулой = L+S,L \L-S\). C7.26) Число способов, которыми может быть образован полный момент ато- атома при данном квантовом числе L полного орбитального момента ато- атома и при данном квантовом числе S полного спина атома, равно NLS = 2min(L,S)+ 1. C7.27) Обычно S < L, и поэтому число спо- способов NLS = 2S+l. C7.28) Проекция полного момента на ось Z по общим правилам может при- принимать следующие значения: Lj, = Hmj (т} = -J, -J + 1,..., .7 - 1, J). C7.29) Таким образом, различное число способов ориентации полного момен- момента атома относительно произвольно- произвольного направления равно 2J + 1. Поскольку квантовое число / ор- орбитального момента отдельного элек- электрона равно целому числу или нулю, квантовое число L полного орбиталь- орбитального момента атома может быть рав- равно также либо целому числу, либо нулю. Это следует из C7.15). Из C7.22) видно, что квантовое число S полного спина может быть либо целым числом, либо полуцелым. Отсюда на основании формулы C7.27) заключаем, что квантовое число J полного момента атома может быть либо целым, либо полуцелым в зави- зависимости от квантового числа полного спина. Если полный спин атома полу- полуцелый, то и квантовое число полного момента атома полуцелое. При це- целом спине полный момент атома так- также целый. Полный магнитный момент атома. Полный магнитный момент атома ^полн равен векторной сумме полного орбитального магнитного момента HL и полного спинового магнитного момента ц5 (рис. 72): ИполН = ^ + И5, C7.30)
37. Магнитный и механический моменты атома 219 причем ¦ 2те _ Я , C7.31) C7.32) Так как гиромагнитное отношение для спина в два раза больше, чем гиромагнитное отношение для магнит- магнитного момента, то полный магнитный момент атома не лежит на одной линии с полным механическим мо- моментом. В изолированном атоме как изолированной механической системе полный механический момент постоя- постоянен. Следовательно, вектор Lj сохра- сохраняет свое направление в пространст- пространстве, а векторы полного орбитального момента LL и полного спина Ls пре- цессируют вокруг направления пол- полного момента. Благодаря этому век- векторы полного орбитального и маг- магнитного моментов также прецессиру- ют вокруг направления полного меха- механического момента и вместе с ними прецессионное движение совершает и полный магнитный момент атома Цполн- Полный магнитный момент атома Иполн = ^ + »11. C7-33) где fij-составляющая полного маг- магнитного момента, параллельная пол- полному механическому моменту; ц^- составляющая полного магнитного момента, перпендикулярная направ- направлению полного механического мо- момента. Прецессионное движение со- совершается быстро. Поэтому в явлени- явлениях, зависящих от полного магнитного момента атома, происходит обычно усреднение полного магнитного мо- момента атома по многим периодам прецессии. Среднее значение перпен- перпендикулярной составляющей полного магнитного момента равно нулю. По- Поэтому среднее значение полного маг- магнитного момента сводится к ]ij, т. е. к составляющей полного магнитного момента в направлении полного ме- механического момента. В связи с этим, когда говорят о полном магнитном моменте атома, имеют в виду имен- именно эту составляющую и говорят, что это полный магнитный момент ато- атома. Множитель Ланде. Полный маг- магнитный момент атома можно рассчи- рассчитать по схеме сложения моментов (рис. 72): \\j = |iLcos(Lt, L nscos(Ls, L,). C7.34) Переписав C7.25) в виде Ls = C7.35a) C7.356) и возводя последние равенства в квад- квадрат, получим аналогично C7.21) сле- следующие формулы для косинусов уг- углов между соответствующими век- векторами: cos(LL, Lj) = J(J + 1) + L(L+ 1)-S(S+ 1) , C7.36а) cos(Ls,L,) = J(J + l) + S(S+ 1)-L(L+ 1) 1) , C7.366) где для Lj, L\, L\ использованы фор- формулы C7.26), C7.14) и C7.20). Учи- Учитывая, что 1), C7.37а) C7.376) [|хв = eh/Bme)- магнетон Бора], мож- можно с учетом C7.36а) и C7.366) пред- представить C7.34) в виде
220 8 Магнитный и механический моменты атома ~J(J+ 1) + L(L+ 1)-S(S + 1) + 2 J(J + 2y/j(J+l) S(S+ l)-L(L+ 1) C7.38) где J(J S{S+ 1)- 2J(J + 1) C7.39) называется множителем Ланде. Из C7.38) видно, что множитель Ланде является гиромагнитным отношени- отношением для полного магнитного и механи- механического моментов атома. Если полный спин атома равен нулю и полный момент атома опреде- определяется исключительно орбитальным моментом, то S = О, J = L и из C7.39) следует, что g} = gL= 1, как это и должно быть для гиромагнитного от- отношения орбитального момента. Ес- Если полный орбитальный момент ато- атома равен нулю и полный момент атома определяется только спиновым моментом, то L = 0, j' = S и из C7.39) следует, что gs = gs = 2, как это и должно быть для гиромагнитного от- отношения спина. В общем случае мно- множитель Ланде является рациональной дробью. Классификация состояний атома производится по квантовому числу полного спина атома S, по квантово- квантовому числу полного орбитального мо- момента атома L и по квантовому числу полного момента атома J. Орбиталь- Орбитальный момент атома обозначается бук- буквами S, P, D, F, ... в полной аналогии с одноэлектронными состояниями по следующей схеме: Таблица 3 Число Состояние Полный момент атома указыва- указывается индексом внизу справа у символа орбитального состояния атома: Sj, Pj и т.д. Например, символ S1/2 означа- означает, что у атома L= 0, J = 1/2, символ О3/2-что у атома L = 2, J = 3/2 и т. д. Полный спин характеризуется обуслов- обусловленной им мультиплетностью тер- термов, которая равна 25 + 1. Число 2S + 1 ставится слева вверху у симво- символа орбитального состояния. Напри- Например, символ 2S1/2 показывает, что у атома L = 0, J = i/2, S = 1/2, символ D3/2 -что у атома L= 2, J = 3/2, S = = 1/2 и т.д. Такое написание состоя- состояний атома является общепринятым. 38. Квантово-механическое описание спина в магнитном поле Описывается метод работы с оператором спина и волновыми функциями спина Уравнение Шредингера для спина в магнитном поле. Магнитный момент щ, находящийся в магнитном поле с индукцией В, обладает потенциаль- потенциальной энергией ?п=-ц5-В. C8.1) Если не учитывать движения носи- носителя магнитного момента, то C8.1) представляет его полную энергию и, следовательно, оператор Гамильтона имеет вид Я=-о\-В, C8.2) где (is и 6-операторы магнитного момента и индукции магнитного по- поля. Оператор спинового магнитного
§ 38. Квантово-механическое описание спина в магнитном поле 221 момента щ связан с оператором спи- спина s соотношением C4.6): ?s = (q/m)s, q = - е, т = те, s = Ls. C8.3) Тогда Й= -(q/m)B-s, C8.4) где принято во внимание, что поря- порядок следования операторов В и s не имеет значения, поскольку они дейст- действуют на разные переменные и ком- коммутируют. С учетом C8.4) уравнение Шредингера выглядит очень просто: C8.5) Принимая во внимание C6.5)-C6.7), напишем В s = BJX + Bysy + Bzsz = 2»Л Br - iB, 2VB +Ш„ -В. п в, C8.6) Индукция магнитного поля, на- направленного по оси Z, равна В = = @,0, Bz), тогда [см. C8.5)] Из C8.7) видно, что собственные зна- значения энергии равны Е, = - qRBJAm); E2 = qhBJ(bn\ а собственные функции совпадают с C6.2). Прецессия спина. Уравнение Шре- дингера с гамильтонианом C8.4), за- зависящее от времени, при В = (О, О, В2) имеет вид h d /1 О idt \0 — Ъ C8.8) где цв = - qhlGm) = eH/Bme). Решение этого уравнения ищем в виде суперпозиции собственных функ- функций C6.2) оператора спина с коэффи- коэффициентами а+, а_, зависящими от вре- времени: C8.9) или C8.10) Подставляя C8.10) в C8.8), находим уравнения для а+ (t) и а_ (t): - "^Р = Еа+ D - "^ = - Еа_ (t), i dt i dt C8.11) где Е = yiBBz. Решение уравнений C8.11): a + (t) = a + @)e"iE'lh, a_{t) = a_ @)е'?'/я. C8.12) Следовательно, = (а\ @)eiE"\ а* (О)^"*). C8.13) Условие нормировки выражается ра- равенством C8.14) Теперь необходимо найти средние значения проекций спина на оси ко- координат: = (Й/2) [_а\ @) а _ @) exp (i2Et/H) + + а+ @)а* @)ехр(-uEt/Щ, C8.15) = (Й/2) х [а + @) at @) exp (- П.ЕЩ - - a*+@)a_@)exp(uEt/H)'], где для sz, sx и s использованы вы- выражения C6.5)-C6.8). Из C8.15) сле- следует, что (iz) не зависит от времени,
222 8. Магнитный и механический моменты атома a (sx} и (sy,y изменяются гармони- гармонически по времени. Начальная фа- фаза колебаний учитывается комплекс- комплексностью величин й+@)иа. @). Поэто- Поэтому, не ограничивая общности, можно считать а+ @) и а_ @) вещественными и записать формулы C8.15) в виде <4> = a + a_ficos{2Et/n), C8.16) ($у) = a+a_ftsinBEt/Fi). Проекция вектора спина на ось Z неизменна по времени, а его проекция на плоскость XY вращается вокруг оси Z с угловой скоростью 2E/fi — — eBJme и приводит к прецессии спи- спина вокруг направления индукции Bz магнитного поля, что совпадает с вы- выводами из классической теории дви- движения магнитного момента в магнит- магнитном поле, если при этом учесть число- числовое значение гиромагнитного отно- отношения для спина. 39. Магнитомеханические эффекты Описываются магнитомеханические эффекты и дается их количественная характеристика. Физическая природа эффектов. Между магнитным моментом \ij и механи- механическим моментом Lj атома существу- существует соотношение у = где ^-гиромагнитное отношение. Ес- Если ориентировка магнитного момен- момента атома в пространстве меняется, меняется и ориентировка механичес- механического момента атома так, чтобы со- соотношение C9.1) соблюдалось. Если под действием некоторых причин маг- магнитный момент атома изменяется, со- соответствующим образом изменяется и механический момент. Эта связь взаимна. Явления, возникающие бла- благодаря существованию этой связи меж- между механическим и магнитным мо- моментами, называются магнитомеха- ническими эффектами. Пусть некоторый магнетик намаг- намагничен. Это означает, что магнитные моменты атомов магнетика направ- направлены преимущественно в направле- направлении намагничивания. Благодаря это- этому и механические моменты атомов имеют преимущественное направле- направление. Суммируя почленно левые и пра- правые части равенства C9.1) по всем атомам магнетика, получаем ц = yL, C9.2а) где -магнитный момент образца; C9.26) C9.2b) - суммарный механический момент атомов образца. Если намагничива- намагничивание образца меняется, то меняется и суммарный механический момент ато- атомов образца. Образец в целом являет- является замкнутой механической системой. Его полный механический момент есть сумма моментов атомов и момента образца как целого. Полный механи- механический момент замкнутой системы со- сохраняется. Следовательно, если сум- суммарный механический момент атомов образца меняется, должен изменяться и момент образца как целого, чтобы их сумма осталась без изменения. По- Поэтому если изменить намагничивание образца, то образец как целое должен приобрести определенный момент им- импульса. Опыт для обнаружения тако- такого магнитомеханического эффекта был поставлен Эйнштейном и де Гаазом A914).
§ 39. Магнитомеханические эффекты 223 Опыт Эйнштейна-де Гааза. На тон- тонкой упругой нити (рис. 73) подвешен цилиндрический образец, который мо- может перемагничиваться под влиянием продольного магнитного поля, созда- создаваемого током, текущим по соленои- соленоиду, охватывающему образец. Из фор- формулы C9.2) видно, что изменение маг- магнитного момента образца 5ц и изме- изменение механического момента всех атомов образца 5L связаны соотно- соотношением 5ц = y5L. C9.3) Обозначив Lo6 механический момент образца и приняв во внимание, что момент электромагнитного поля от- относительно оси вращения в рассмат- рассматриваемой геометрии равен нулю, за- запишем закон сохранения момента для замкнутой системы: L + Lo6 = const. C9.4) Отсюда следует, что 5L=-5Lo6, C9.5) и формула C9.3) приобретает вид 5Lo6 = 5ц/у, C9.6) причем мы опустили векторные обо- обозначения, помня, что величины 5Lo6 и 5ц направлены вдоль оси возможного вращения образца на упругой нити. Таким образом, если намагничивание образца изменяется на 5ц, то образец в целом приобретает момент импуль- импульса 5Lo6 и благодаря этому начинает вращаться вокруг своей оси и закру- закручивает нить. Кинетическая энергия вращения образца переходит в потен- потенциальную энергию закрученной нити. Измерив угол закручивания и зная механические параметры нити и об- образца, можно вычислить у и q}. Момент импульса 5Lo6 образца связан с угловой скоростью его вра- вращения 5ю формулой 6Lo6 = J5co, C9.7) 73 Схема опыта по наблюдению магнитомехани- ческого эффекта где J - момент инерции относительно оси вращения. Кинетическая энергия равна У2./EсоJ. Если D- модуль кру- кручения нити, то при закручивании нити на угол 9 потенциальная энергия рав- равна 1/2DQ2. Закон сохранения энергии при закручивании записывается так: l/2J(baJ = У2?>92. C9-8) Если ю0-частота собственных колеба- колебаний образца, то она связана с моду- модулем кручения D нити и моментом инерции J образца соотношением J&1 = D. C9.9) Подставляя в C9.7) выражение 5Lo6 из C9.6) и исключая 5ш с помощью C9.8) и C9.9), находим у = - <во5ц/(Вв). C9.10) Все величины в правой части мо- могут быть в принципе измерены в эксперименте и у может быть вычис- вычислена. Зная у, по формуле C9.1) мож- можно определить гиромагнитное отно- отношение. Практически произвести измере- измерение угла закручивания при одном пе- ремагничивании затруднительно из- за его малости при разумных значе- значениях всех остальных параметров. По- Поэтому вместо этого пользуются мно-
224 8. Магнитный и механический моменты атома 74 Прецессия атома в магнитном поле гими последовательными перемагни- чиваниями образца с частотой, рав- равной частоте собственных колебаний. Благодаря этому при каждом пере- магничивании угол отклонения об- образца увеличивается и колебания об- образца постепенно нарастают. Ампли- Амплитуда этих колебаний определенным образом связана с у, и, измерив ее, можно вычислить у и гиромагнитное отношение. Эйнштейн и де Гааз произвели опыт с ферромагнитным образцом. Их опыт подтвердил наличие магни- томеханического эффекта. Для гиро- гиромагнитного отношения д} они полу- получили значение 2. В то время этот результат был совершенно непонятен, поскольку из картины движения элек- электронов в атоме по орбите следовало, что гиромагнитное отношение ДОЛЖ- ДОЛЖМежду механическим и магнитным мо- моментами атома существует определенное соотношение. Если ориентировка одного из моментов в пространстве изменяется, то соответствующим образом изменяется и ориентировка другого момента. Возни- Возникающие благодаря этой связи явления называются магнитомеханическими эф- эффектами. Чему равна ларморова частота прецессии атома в магнитном поле? Каким механизмом намагничения обусловли- обусловливается эффект Барнетта? но быть равным единице. В дальней- дальнейшем был открыт спин электрона, для которого гиромагнитное отношение равно 2. Поэтому можно было пред- предположить, что магнетизм ферромаг- ферромагнетиков обусловлен спиновым маг- магнетизмом электронов. Фактически в опытах Энштейна и де Гааза было экспериментально измерено гиромаг- гиромагнитное отношение для спина. Эта точка зрения на происхождение фер- ферромагнетизма была в дальнейшем подтверждена многими другими тео- теоретическими и экспериментальными работами. Прецессия атомов в магнитном по- поле. Прежде чем переходить к другому магнитомеханическому эффекту, рас- рассмотрим поведение атома в магнит- магнитном поле. Из электродинамики из- известно, что на магнитный момент ц в магнитном поле действует момент сил М = цхВ. C9.11) Но атом обладает механическим мо- моментом и ведет себя с этой точки зрения как гироскоп. Под влиянием момента C9.11) механический момент атома начинает прецессировать во- вокруг вектора В (рис. 74). Как извест- известно, скорость изменения момента им- импульса равна моменту действующих сил: M = nxB. C9.12) Выражая в C9.12) вектор и по форму- формуле C9.1), можно C9.12) переписать: dhj/dt = dj х L,, со, = -д3 \_qlBme)~] В. C9.13) Если сравнить C9.13) с уравнени- уравнением движения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, то видно, что Lj прецессирует вокруг В с угловой частотой соу. Если магнитный момент атома возникает
§ 40. Экспериментальные методы измерения магнитных моментов 225 вследствие орбитального движения электронов, то д} — gL в формуле C9.13) равно единице. Частота @L = eB/Bme) C9.14) называется ларморовой частотой пре- прецессии атома в магнитном поле. Не- Нетрудно видеть, что благодаря прецес- прецессии всех атомов в магнитном поле в одном и том же направлении возника- возникает дополнительный магнитный мо- момент, который приводит к намагни- намагничиванию образца. Такого рода ме- механизм намагничивания называется диамагнетизмом. Эффект Барнетта. Эффект Бар- нетта является магнитомеханическим эффектом, противоположным эффек- эффекту Эйнштейна-де Гааза. Пусть обра- образец начал вращаться с некоторой уг- угловой частотой. Каждый из атомов представляет из себя гироскоп, кото- который сохраняет неизменным направле- направление оси своего вращения в простран- пространстве. Следовательно, механические и магнитные моменты атомов остают- остаются неподвижными в пространстве. Но это означает, что благодаря враще- вращению образца как целого имеется пре- прецессионное движение атомов относи- относительно образца. Такое прецессионное движение атомов относительно об- образца эквивалентно намагничиванию. Следовательно, в результате враще- вращения образец намагничивается. Направ- Направление намагничивания совпадает с на- направлением оси вращения. Намагни- Намагничивание определяется угловой ско- скоростью вращения. Поскольку угловая скорость прецессионного движения атомов относительно образца равна угловой скорости вращения образца, из формулы C9.14) можно заклю- заключить, что вращение образца с угловой скоростью ю эквивалентно помеще- помещению образца в магнитное поле: В = 2те<о/е, C9.15) т. е. намагничивание образца будет таким же, как и при наличии маг- магнитного поля C9.15). Отметим, что это явление обусловлено диамагнит- диамагнитным механизмом намагничивания, а не парамагнитным или ферромагнит- ферромагнитным. Эксперимент подтвердил качест- качественно и количественно эффект Бар- Барнетта. Таким образом, теоретические представления о связи механического и магнитного моментов атомов хоро- хорошо подтверждены экспериментально. 40. Экспериментальные методы измерения магнитных моментов Описываются принципы экспериметальных ме- методов измерения магнитных моментов. Метод отклонения атомов в неодно- неоднородном магнитном поле. Этот метод совершенно аналогичен методу, ис- использованному в опыте Штерна и Герлаха (см. § 15). Если J-квантовое число полного механического момента атома, то число проекций магнитного момента атома на некоторое направление рав- равно 2J + 1, а значения этих проекций Vjz = VB9jmj(mj= -J.-J + \,...,J - 1,J). D0.1) По числу пучков, на которые рас- расщепляется первоначальный пучок, можно определить J, а по отклонению расщепившихся пучков - гиромагнит- гиромагнитное отношение. Однако точность это- этого метода невелика. Поэтому он имеет лишь вспомогательное значе- значение и дает главным образом качест- качественные результаты. Метод магнитного резонанса. Схе- Схематическое устройство прибора для изучения магнитного резонанса пока- показано на рис. 75. Пучок атомов на своем пути проходит магнитные по- поля, создаваемые магнитами А, С, D. 15 219
226 8. Магнитный и механический моменты атома 75 Схема опыта по наблюдению магнитного резонанса для измерения магнитного момента Магнитами А и D создаются сильно неоднородные магнитные поля, гра- градиенты которых направлены проти- противоположно друг другу и перпендику- перпендикулярно направлению движения пучка. Магнит С создает однородное маг- магнитное поле в перпендикулярном дви- движению пучка направлении. Диафраг- Диафрагма S между магнитами А и С выде- выделяет из потока атомов узкий пучок. Источник атомов О и приемник П атома расположены вдоль оси при- прибора. Из источника О атомы испускают- испускаются не только параллельно оси, но и под небольшими углами к оси. В отсутствие магнитных полей через диафрагму S проходят лишь атомы, испущенные источником вдоль оси. При включении магнитных полей атомы, испущенные -из О вдоль оси, не могут пройти диафрагму S, по- поскольку под действием силы взаимо- взаимодействия их магнитных моментов с неоднородным магнитным полем они отклоняются от первоначального на- направления. Однако другие атомы, ко- которые источником О были испущены под некоторым углом, пройдут через диафрагму S (рис. 75). После этого атомы попадают в однородное маг- магнитное поле с индукцией Во, в кото- котором их магнитные моменты прецес- сируют вокруг направления Во с час- частотами со, = д/оь, coL = еВ0/Bте) D0.2) [см. C9.13)]. Однако при этой прецес- прецессии угол между магнитным момен- моментом и индукцией магнитного поля не изменяется. Пройдя однородное маг- магнитное поле, атом попадает в неодно- неоднородное магнитное поле магнита D, градиент которого направлен проти- противоположно градиенту магнитного по- поля магнита А. Поскольку угол между магнитным моментом атома и осью Z не изменился, а направление гра- градиента магнитного поля изменилось на обратное, сила, действующая на атом, также изменила свое направле- направление на обратное. Благодаря этому траектория пучка атомов искривляет- искривляется к оси прибора и при подходящей геометрии прибора и градиентах маг- магнитных полей пучков атомов попа- попадает в приемник П атомов и регист- регистрируется там. Как показывает экспе- эксперимент, интенсивность прошедшего пучка в отсутствие магнитных полей и при включенных полях практически одна и та же. Пусть теперь в области однород- однородного магнитного поля магнита С соз- создано дополнительное магнитное по- поле, магнитный вектор Вх которого вращается в плоскости, перпендику- перпендикулярной направлению Во магнитного поля (рис. 76). Благодаря взаимодей- взаимодействию магнитного момента Uj и до- дополнительного магнитного поля Вх возникает момент сил Mi = \ij x B1; D0.3) который стремится изменить угол между Hj и Во. Пусть частота враще- вращения со дополнительного магнитного поля Bj совпадает с частотой прецес- прецессии (й3 атома (со = со7) и вращение происходит в том же направлении, что и прецессия. Тогда очевидно, что взаимное расположение Hj и В, с
§ 40. Экспериментальные методы измерения магнитных моментов 227 течением времени остается неизмен- неизменным и благодаря этому момент силы М j, стремящийся изменить угол меж- между \ij и Во, действует в одном и том же направлении. Если врашение до- дополнительного магнитного поля и прецессия происходят в противопо- противоположных направлениях, то момент сил D0.3) половину времени стремится увеличить угол между ц,7 и Во, а половину времени стремится умень- уменьшить его. В среднем никакого эффек- эффекта наблюдаться не будет. То же самое справедливо, если направления вра- вращений совпадают, но частоты не сов- совпадают. В последнем случае, если разность частот невелика, определен- определенный эффект будет наблюдаться, но он слабее, чем когда частоты совпадают. Если в процессе прохождения од- однородного магнитного поля Во угол между магнитным моментом атомов и направлением магнитного поля из- изменяется, то траектория атомов в неоднородном поле магнита также изменяется. Следовательно, соответ- соответствующие атомы уже не попадут в приемник П атомов. Таким образом, если снять кривую зависимости тока атомов от частоты вращения допол- дополнительного магнитного поля, то она будет иметь вид, показанный на рис. 77. Кривая имеет резонансный характер и обладает резко выражен- выраженным минимумом. Измерив частоту шмин вращающегося поля, соответст- соответствующего минимуму тока атомов, мы получаем частоту прецессии оо7 = сомин атомов в однородном магнитном по- поле. Затем по формуле D0.2) опреде- определяем гиромагнитное отношение: д} = oo,/cot = coMHH/coL, coL = eBJBme). D0.4) Вместо вращающегося дополни- дополнительного магнитного поля можно пользоваться линейно осциллирую- в. 76 Вращающееся магнитное поле в области маг- магнита С П Зависимость тока атомов от частоты вращаю- вращающегося магнитного поля Линейно осциллирующее поле как суперпо- суперпозиция вращающихся полей щим магнитным полем. Его можно представить как суперпозицию двух полей, вращающихся в противопо- противоположных направлениях (рис. 78). Ком- Компонента, направление вращения кото- которой противоположно направлению прецессии атома, никакого действия на атом не производит. Другая ком- компонента поля вращается в том же направлении, что и направление пре- прецессии, и изменяет угол между маг- магнитным моментом атома и направле- направлением магнитного поля. Таким обра- образом, линейно осциллирующее магнит-
228 8. Магнитный и механический моменты атома ное поле с этой точки зрения пол- полностью эквивалентно вращающемуся полю. В описанной картине изменения уг- угла между магнитным моментом ато- атома и индукцией магнитного поля мы пользовались классическими по- понятиями. При квантовом подходе этот процесс интерпретируется сле- следующим образом. Дополнительное осциллирующее магнитное поле экви- эквивалентно наличию квантов электро- электромагнитного излучения hat, где ю-ча- ю-частота осциллирующего поля. Эти кванты могут быть поглощены ато- атомом, в результате чего в магнитном поле энергия атома ?¦„= -\iyB = ~\i]zB0 D0.5) изменяется. Это изменение может произойти только в результате пере- переориентировки атома в пространстве, т. е. при изменении проекции uJz маг- магнитного момента в магнитном поле. Аналогично, атом может излучить квант энергии йю и изменить свою ориентировку в магнитном поле. Изменение энергии при переориенти- переориентировке атома АЕп = - B0A\iJz = - BogjHBAmj. D0.6) Правило отбора для квантового чис- числа ту. Дт, = 0, ±1. D0.7) Поэтому формула D0.6) принимает вид АЕ = где D0.8) D0.9) Очевидно, что поглощение и ис- испускание атомами квантов наиболее интенсивно происходит в том случае, когда энергия квантов /гсомин допол- дополнительного поля равна энергии воз- возможной переориентировки атомов: АЕ — /гсо„ D0.10) Отсюда с учетом D0.8) находим усло- условие резонанса: «мин = 0./%., D0.11) т. е. условие D0.4), которое в данном случае получено на основе квантовых представлений. Резонансный метод позволяет с большой точностью определить гиро- гиромагнитное отношение д}. Если из других опытов известно значение J, то магнитный момент 1)- D0л2) Величина J может быть определена либо методом отклонения атомов в неоднородном магнитном поле, либо из оптических наблюдений (см. § 44). Для вычисления значений орби- орбитального и спинового моментов мож- можно использовать формулу для мно- множителя Ланде: Какой основной недостаток метода отклоне- отклонения атомов в неоднородном магнитном поле? Благодаря чему в резонансном методе вместо вращающегося дополнительного магнитного поля можно пользоваться линейно осцилли- осциллирующим магнитным полем? J(J S(S 2J(J + 1) D0.13) Величина S в D0.18) может быть определена по мультиплетности спект- спектров (см. § 44). При известных gJt J, S по формуле D0.13) вычисляется L. В
40. Экспериментальные методы измерения магнитных моментов 229 результате этого известны все кван- квантовые числа атома и спиновый, орби- орбитальный и полный магнитные момен- моменты атома. Пример 40.1. Рассмотреть кванто- во-механическими методами поведе- поведение полного момента атома водорода в основном состоянии при прохожде- прохождении магнитного поля между магни- магнитами С (рис. 75), считая, что в плос- плоскости XY действует пульсирующее магнитное поле Вх = fi10cos(co/) (рис. 78). Не ограничивая общности, можно считать, что пульсирующее поле кол- линеарно оси X, т.е. В = E10cos (at), 0,BQ). В основном состоянии атома водорода j=1/2, и, следовательно, его полный момент описывается опе- операторами спина C6.5)-C6.7). При анализе поведения магнитного мо- момента можно не учитывать движения атома как целого и при j — 1/2 пред- представить гамильтониан в виде C8.4), в котором В s = Во 2Vfi10cos(coO -Во У D0.14) Зависящее от времени уравнение Шре- дингера имеет вид -75"*»- В10со$(ш) B10cos(at) -Вп D0.15) где цв-магнетон Бора, \*?(t)} дается формулами C8.9) и C8.10). Отсюда hda + i dt /ida_ = \1вВоа+ + \iBB 10cos(Ш)а_ , ; dt = \iBBl0 cos (Ш)а + - D0 16) Обозначив соо = 2[iBB0/ft, a>1 = = 2\iBBlQ/ti и переходя к новым не- независимым переменным Ь+ = a+exp(/co0f/2), 6_ = а_ехр( — ia>ot/2), D0.17) вместо D0.16) получаем idb + /dt = (rodeos(соЛехр(jcoQ0b_, Uft ir-> В произведениях cos (ш) ехр (+ i(o0t) члены с ехр [ + г (со + соо) г] быстро ос- осциллируют и вносят малый вклад в db±/dt. Ими можно пренебречь по сравнению с членами, в которые вхо- входят ехр [ + г(со — ю0)?]. Поэтому с достаточно хорошим приближением уравнения D0.18) можно представить в виде idb./dt = 0 19) Посредством перехода в D0.19) к уравнению второго порядка находим решение этой системы Ь+ = Л! ехр (ив . t) + A2exp(ico t), m 2Q) Ъ _ = - D/coj \_A! © + ехр (к» +t)+ (W-M) + Л2Ш- ехр(гсо_/)]ехр[/(со — ю0)/], где At и А2-постоянные интегриро- интегрирования, ю± = 7г {(«о - w) ± + [(со0-соJ + ю?/4]}. D0.21) При начальных условиях Ь+@)=1, ft_@) = 0 из D0.20) находим At = со_/(ш_ — со + ), А2 = — со + /(со_ — ю+), D0.22) и, следовательно, вероятности ^+ (/) и 0> _ (t) ориентировки момента атома в положительном и отрицательном на- направлениях оси Z даются выраже- выражениями &+(t) = b%b+ =cos2(nr/2) + + (соо - юJ [(соо - соJ + ш?/4] sin2 (Qt/2), D0.23) *l2 co2/4]-1sin2(fi//2),
230 8. Магнитный и механический моменты атома где BJ + 1=2) с полным моментом Q = co+-co_ = [(со0 - соJ + со2/4]1/2 J = 72 • B общем случае при не рав- D0 24) ном НУЛЮ полном моменте атома име- имеется 2J + 1 уровней энергии. Резонан- характеризует частоту изменений Сы осуществляются при таких часто- ориентации момента вдоль оси Z. тах осциллирующего поля, при кото- При Bl0« Bo, coj « соо вероят- рых энергия квантов поля равна раз- разность 0> _(t) в максимуме существенно ности энергий между различными отлична от нуля лишь при со->соо и энергетическими уровнями системы, достигает единицы при со = щ. Вид- как это было пояснено выше в рамках но, что энергия кванта поля при этом полуклассической картины взаимо- АЕ = /гсоо = 2\хвВ0 D0.25) действия магнитного момента с маг- магнитным полем. Математически зада- равна разности энергий между со- ча в Этом случае сводится к решению стояниями двухуровневой системы системы 2J + 1 уравнений. Задачи 8.1. Магнитный момент атома, равный по модулю двум магнетонам Бора, направлен под углом 30° к индукции магнитного поля, по модулю равной 3 Тл. Найти энергию взаимодействия магнитного момента с полем. 8.2. Полное орбитальное квантовое число атома L= 3. Вычислить максимальную допол- дополнительную энергию, которую приобретает атом в поле с индукцией 5 Тл. 8.3. Определить максимальный и минимальный углы между орбитальными моментами импульса двух электронов, у которых /, = 2 и /2 = 3. 8.4. Чему равны квантовые числа J полного момента импульса электрона и соответствующие модули полного момента импульса? 8.5. Чему равны множители Ланде для атомов с одним валентным электроном, у которых L= 0, 1, 2? 8.6. Чему равен эффективный магнитный момент атома, у которого L= 2, J = 3/2, S = l j-?. 8.7. В опыте Штерна - Герлаха узкий пучок атомов серебра, находящихся в нормальном состоянии, проходит со скоростью v — 1000 м/с сильно неоднородное магнитное поле протяженностью о = 410~2ми падает на пластину, расположенную на расстоянии 10"' м от места выхода пучка из магнитного поля. Расщепление при этом равно 1 мм. Определить градиент магнитного поля. 8.8. Найдите энергию и момент импульса электрона в атоме водорода в состояниях Зр и Ар. 8.9. Определить орбитальный магнитный момент, создаваемый электроном, движущимся в плоскости, перпендикулярной индукции однородного магнитного поля 0,2 Тл, если кине- кинетическая энергия электрона 15 кэВ. 8.10. Найти макисмальную энергию орбитального магнитного момента электрона в состоянии 4 р, находящегося в магнитном поле с индукцией 0,25 Тл. 8.11. Чему равен орбитальный момент импульса протона (квантовое число /) с энергией 5 эВ, движущегося в плоскости, перпендикулярной индукции однородного магнитного поля 6,3 мТл? 8.12. Выразить проекцию спина на плоскость X У через квантовые числа j и ms. 8.13. Найти угол между спиновым и орбитальным моментами электрона в З^-состоянии. 8.14. Найти разность энергий двух состояний 32/>э/2 и 32Р112 в атоме водорода. Ответы 8.1. 3-10" эВ. 8.2. 0,87-10~4 эВ. 83. 160°; 45°. 8.4. 7/2; 5/2; йч/бЗ/2; й^/35/2. 8.5. g!(L= 0) = 2; «,(!-= 0 = 2/3, 4/3; g,(L = 2) = 4/5; 6/5. 8.6. 2^75 цв/5. 8.7. 2-103 Тл/м. 8.8. 1,51 эВ; 1,48-104Джс; 0,85 эВ; 1,48-104 Джс. 8.9. 1,2 ¦ 10~14 А-м2. 8.10. 3,28-104 Дж. 8.11. /»1026. 8.12. h\s(s+ l)-mj. 8.13. 135°. 8.14. 2,2310" эВ.
9 41 Стационарная теория возмущений ТРПРМО RHQ М VI11 CU 1/1 М в случае невырожденных ItUr/IH bUo МУ Щ t H И И собственных значений Точное решение уравнения Шредингера в большин- большинстве случаев в аналитическом виде невозможно. Теория возмущений является важнейшим методом 42 приближенного решения уравне- „ . ния Шредингера. Стационарная теория возмущении к м ^ в случае вырожденных собственных значений 43 Нестационарная теория возмущений
232 9. Теория возмущений 41. Стационарная теория возмущений в случае невырожденных собственных значений Излагается метод получения приближенных соб- собственных значений не зависящего от времени оператора Гамильтона и соответствующих соб- собственных функций в случае невырожденных соб- собственных значений. Постановка задачи. Уравнение Шре- дингера является линейным диффе- дифференциальным уравнением, сложность решения которого зависит от вида потенциальной энергии и от числа измерений пространства, в котором решается задача. В большинстве слу- случаев решение уравнения - сложная ма- математическая задача, которая не мо- может быть выполнена с помощью изу- изученных в математике функций. По- Поэтому часто приходится применять приближенные методы решения за- задач, т. е. находить собственные значе- значения и собственные функции не точно, а приближенно. Главнейшим из при- приближенных методов решения кванто- во-механических задач является тео- теория возмущений. Оператор возмущения. Представим оператор Гамильтона системы в виде суммы двух операторов: Н = Я<0) + V, D1.1) причем точное решение задачи для оператора Гамильтона Я*0' предпола- предполагается известным, т. е. известны соб- собственные функции и собственные зна- значения уравнения: #0)?i0) = ?<,0L'i0). D1.2) Если бы оператор V в D1.1) был равен нулю, то решение задачи свелось бы к уравнению D1.2). Однако в дейст- действительности оператор не равен нулю и необходимо решить уравнение ?T. D1.3) Теория возмущений позволяет сделать это приближенно в предполо- предположении «малости» оператора V, кото- который называется возмущением. Мате- Математический критерий «малости» опе- оператора Убудет выяснен в дальнейшем. По смыслу задачи ясно, что этот опе- оператор можно считать «малым» в том случае, когда собственные значе- значения уравнения D1.3) мало отличают- отличаются от собственных значений уравнения D1.2) и собственные функции уравне- уравнения D1.3) во всех точках простран- пространства мало отличаются от соответ- соответствующих собственных функций урав- уравнения D1.2). Таким образом, задача теории возмущений состоит в том, чтобы исходя из известных соб- собственных значений и собственных функций уравнения D1.2) найти с оп- определенной степенью точности собст- собственные значения и собственные функ- функции уравнения D1.3). В этом параграфе рассмотрен слу- случай, когда собственные значения уравнения D1.2) являются невырож- невырожденными и гамильтониан не зависит от времени. Вычисление поправок к собствен- собственным функциям и собственным значе- значениям. Будем искать ту собственную функцию и собственное значение урав- уравнения D1.3), которые при 9=0 пере- переходят в собственную функцию Ч*!^ и собственное значение ?1^' невозму- невозмущенного уравнения D1.2). Обозначим эти искомые собственные функции и собственные значения Ч/т и Ет. Разло- Разложим искомую собственную функцию 4*m по собственным функциям Ч*!,01 невозмущенного уравнения D1.2): Ч* = V С Ч*'0' D1 4) п Подставляя это разложение в уравне- уравнение D1.3), находим X (Ет - Я<0)) С„Т«0) = ? VCX»0)- D1-5)
§ 41. Стационарная теория возмущений 233 Умножая обе части D1.5) на ЧЧ0'* и интегрируя по всему пространству с учетом ортонормированности собст- собственных функций, получаем Ck(Em-Ek^) = ^VknCn, D1.6а) Л где Vkn = | ?i°>* VV^ dxdydz D1.66) - матричные элементы оператора воз- возмущения, вычисленные с помощью невозмущенных функций. Представим искомые величины Ет и С„ в виде разложений в ряд Ет = ?<?> + ?<|> + Е^ + ..., D1.7) С„ = С<°> + С'1' + СУ + .... D1.8) считая Е^] и С(п1] величинами того же порядка малости, что и матричные элементы возмущения; Е\%] и С(„р) счи- считаются величинами р-то порядка ма- малости относительно матричных эле- элементов возмущения. Подставляя разложения D1.7) и D1.8) в D1.6) и приравнивая между собой величины одного и того же порядка малости, получаем 0, D1.9а) D1.96) D1.9в) Эта система уравнений может быть решена методом последовательных приближений. Решение уравнения D1.9а): СУ = 8кт,Е^ = Е%\ D1.10) Подставляя D1.10) в D1.96), полу- получаем =Vkm. D1.11) При к = m из D1.11) находим первую поправку к собственной энергии: З.1'^™,. D1-12) а при /с ^ т - коэффициенты С!1» = VkJ(E^ - ?<°>). D1.13) Коэффициент С^' этой формулой не определяется. Он может быть найден из условия нормировки, имеющего с точностью до величин первого поряд- порядка малости следующий вид: = 1 + C<J» + СУ = 1, D1.14) т.е. + су* = о. D1.15) При выводе D1.14) принято во вни- внимание, что если коэффициенты Сп в разложении D1.4) выразить в виде рядов D1.8), то искомая функция 00 Ш _ V ф('> 1 т Zj х т ' i = 0 где - поправка г-го порядка малости к искомой волновой функции. Мнимая часть в коэффициенте определяет фа- фазу волновой функции. Фаза волновой функции несущественна. Не ограни- ограничивая общности, эту мнимую часть можно считать равной нулю, а из D1.15) следует С11' = О D1.16) С учетом D1.13) поправка к волновой функции в первом приближении мо- может быть представлена в виде t где штрих означает, что в этой сумме член с п = т отсутствует. Очевидно, что требование «малости» возмуще- возмущения имеет вид
234 9. Теория возмущений D1.18) т. е. матричные элементы энергии воз- возмущения должны быть малыми по сравнению с разностями соответству- соответствующих невозмущенных уровней энер- энергии. Следующая поправка к собствен- собственному значению энергии находится в результате решения уравнения D1.9в). Подставив в это уравнение величины нулевого и первого порядков из D1.10), D1.12) и D1.13), получаем + ¦ v v 'кп упт D1 19) где член 1 — Ъкт учитывает условие D1.16). Отсюда находим , у у рB)_у 'тп'пт г (О) _ D1.20) где штрих у знака суммы означает, что член с п = т в этой сумме от- отсутствует. Следует отметить, что по- поправка второго приближения к энер- энергии нормального состояния всегда от- отрицательна. Это видно из формулы D1.20), поскольку в случае основного состояния Е(т} является минимальной энергией и все члены в сумме отри- отрицательны. При к Ф т из формулы D1.19) по- получаются выражения для Cjt2), а с их помощью-выражения для собствен- собственных функций с точностью до величин второго порядка малости. Тогда V V /Ы2\ тп km . *кп пт (к ф т, п ф т). D1.21) Выписанные выше формулы без труда обобщаются на случай непре- непрерывного спектра собственных значе- ний: вместо сумм в соответствующих формулах следует понимать интегра- интегралы по значениям энергии непрерыв- непрерывного спектра. Если спектр собствен- собственных значений частично дискретен, частично непрерывен, то в соответст- соответствующих формулах имеется сумма по дискретному спектру энергии, а ин- интеграл-по непрерывному спектру энергии. Например, вместо D1.17) по- получается формула ?<!> = пт р@) ^ m (О) \т/@) ния, характеризуе величин v; E[0' D1.22) где v-совокупность величин, пол- полностью определяющих состояние; Ех- собственное значение энергии состоя- состояуемого совокупностью принадлежит непре- непрерывному спектру собственных значе- значений, Ti0'- соответствующая волновая функция непрерывного спектра собст- собственных значений. Пример 41.1. Рассмотреть в пер- первом (борновском) приближении упру- упругое рассеяние заряженной частицы при столкновении с неподвижным си- силовым центром. Постановка задачи в теории столк- столкновений. Если параллельный пучок частиц, например электронов, падает на некоторую частицу, например атом, то в результате взаимодействия с этим атомом частицы пучка могут, во-первых, изменить направление своего движения и, во-вторых, пре- претерпеть изменение энергии. Если столкновение произошло без измене- изменения энергии сталкивающихся частиц, то говорят об упругом столкновении (рассеянии). Столкновение с измене- изменением энергии сталкивающихся частиц называется неупругим.
§ 41. Стационарная теория возмущений 235 В опыте измеряется число частиц, рассеиваемых в единицу времени в телесный угол сЮ в направлении, сос- составляющем угол 0 с первоначальным направлением движения частиц (см. рис. 47). Если ось Z сферической сис- системы координат направить вдоль первоначального направления движе- движения рассеиваемых частиц, а начало координат совместить с рассеиваю- рассеивающим центром, то направление движе- движения частиц после рассеивания может быть охарактеризовано полярным углом 9 и азимутальным углом ф. Пусть число частиц, рассеянных в указанный угол в единицу времени с потерей энергии 8, равно dNE. Это число, очевидно, пропорционально числу N частиц, падающих в единицу времени на единицу площади в пер- первоначальном потоке, и пропорцио- пропорционально телесному углу dQ. Таким об- образом, da, = dNJdN = q (e, 0, ср) dfi, D1.23) где q (г, 0, ср) - коэффициент пропор- пропорциональности, da6 имеет размерность площади и называется дифферен- дифференциальным эффективным сечением для неупругого рассеяния в угол dQ с по- потерей энергии е. Величина ст8 = \dNJN = NJN = J?F,e,<p)dQ, D1.24) где интеграл взят по полному телес- телесному углу, называется полным эффек- эффективным сечением неупругого рассея- рассеяния с потерей энергии е. Очевидно, что Nc = NaE D1.25) -число частиц, отнесенных к единице времени, которые при столкновении потеряли энергию е [концентрация частиц первоначального потока равна N = N частиц/(м2-с)]. Таким образом, задачей теории столкновений является вычисление Дифференциального эффективного се- сечения, знание которого позволяет полностью характеризовать распре- распределение рассеянных частиц по углам и энергиям. Борновское приближение. Рассмот- Рассмотрим упругое рассеяние, когда в ре- результате столкновения энергия частиц не изменяется. В этом случае можно не принимать во внимание внутрен- внутреннюю структуру атома и считать его точечным силовым центром, в поле которого происходит движение рас- рассеиваемых частиц. Пусть это поле является сферически-симметричным. Обозначим Еп(г) потенциальную энер- энергию рассеиваемой частицы в поле рассеивающего центра. Уравнение Шредингера в этом случае E?. D1.26) Потенциальная энергия Еп(г) опреде- определена с точностью до произвольной постоянной. Эту произвольную пос- постоянную можно выбрать так, чтобы на бесконечности потенциальная энер- энергия обращалась в нуль (isn(oo) = 0). Частица после рассеяния уходит на бесконечность лишь в том случае, когда ее полная энергия больше нуля. Таким образом, при решении уравне- уравнения D1.26) нас интересует случай ?H. Обозначив к2 = 2тЕ/П2, V(r) = 2mEn(r)/H2, D1.27) где т- масса рассеиваемой частицы, можно уравнение D1.26) записать в виде \72х? + к2х? = У(г)Ш D1 28) После рассеяния, удалившись на дос- достаточно большое расстояние от рас- рассеивающего центра, рассеиваемые частицы движутся как свободные вдоль радиусов, проведенных от рас- рассеивающего центра. Поэтому после рассеивания движение частиц описы- описывается расходящейся волной. Падаю-
236 9. Теория возмущений щие частицы до рассеяния, очевидно, описываются плоской волной. Следо- Следовательно, интересующее нас решение уравнения D1.28) является суперпози- суперпозицией падающей плоской волны *F0 и рассеянной волны Ф: Ч/ = 4/0 + Ф. D1.29) Выбирая ось Z системы координат в направлении движения потока частиц до рассеивания, можно функцию *F0 представить в виде Ч>0 = L-3/2eife, D1.30) где L-размер куба периодичности, который удобно выбрать равным L= 1м. При такой нормировке поток падающих частиц на основании B5.21а) равен JV=;z/e=p/m = i)(c-1-M-2). D1.31) На больших расстояниях г от рассеи- рассеивающего центра функция Ф имеет вид сферической расходящейся волны: , D1.32) где А @) - амплитуда рассеянной вол- волны, которая из-за центральной сим- симметрии рассеивающего поля не зави- зависит от угла ф. Ток рассеянных частиц на основании формулы B5.21а) равен Л = ieh ф8Ф^_ф,8Ф\ = еу\Ат\2 2т\ дг drj D1.33) и, следовательно, число частиц, рас- рассеиваемых в единицу времени в те- телесный угол dQ, dN = (jje) г2 АО. = v\A(Q) |2dfi. D1.34) Поэтому на основании D1.23) и D1.31) имеем da F) = 9(9)сЮ = dN/N = \AF)\2d?l. D1.35) Таким образом, для нахождения диф- дифференциального эффективного сече- сечения необходимо вычислить амплиту- амплитуду рассеянной волны. В борновском приближении эта амплитуда вычис- вычисляется с помощью теории возмуще- возмущений, когда в качестве возмущения бе- берется потенциальная энергия рассеи- рассеиваемой частицы в поле рассеивающе- рассеивающего центра. Подставляя D1.29) в D1.28) и пренебрегая УФ как величиной вто- второго порядка малости, получаем для определения Ф уравнение У2Ф + к2Ф = FT0. D1.36) Его решение хорошо известно из кур- курса дифференциальных уравнений: 1 ГКг')*о(г')е(к (г ~г) Ф(г) = -— — ¦ dx'dy'dz', 4я J | г' - г | D1.37) где dx'dy'dz' - элемент объема интег- интегрирования, радиус-вектор которого г'. В этом решении автоматически учте- учтены только расходящиеся волны. Для нахождения амплитуды Л (9) надо получить для Ф(г) асимптоти- асимптотическое выражение при больших зна- значениях г. Обозначим п0 единичный вектор в направлении оси Z, a n = = г/г - единичный вектор в направле- направлении движения частицы после рассея- рассеяния (см. рис. 47). Тогда |г' - r| = V(r' - гJ = (г2 + г'2 - 2гт')х/2. Поэтому для г » г' ¦ Г — П'Т1 + ..., D1.38) где многоточием обозначены члены порядка г'/г и выше. Подставляя D1.38) в D1.37) и пренебрегая в зна- знаменателе п • г' по сравнению с г, полу- получаем при больших г 1 е'кг Ф(г) = fea'(ll°-')'rV(r'):d;c'd/dz') 4л г D1.39)
41 Стационарная теория возмущений 237 где учтено значение ^(г) по D1.30) и принято во внимание, что z' = г' • п0. Сравнение D1.39) с D1.32) показы- показывает, что А (9) = - — f е'^-о-"' гУ(г') dx'dy'dz'. D1.40) 4л; Удобно ввести обозначение К = /с(по-п), |К| = К = к|п0 — п 1 = = 2Ып@/2). D1.41) Тогда D1.40) с учетом D1.27) можно записать в виде А(В)=-—~\ An Ъг rEn(i')dx'dy'dz'. D1.42) На основании D1.35) дифференциаль- дифференциальное эффективное сечение равно da(9) ... 1 Bт\г г — X 1б7Г2\Й2 D1.43) Не вдаваясь в подробности условий применимости приближения Борна, отметим лишь, что это приближе- приближение всегда пригодно при достаточно большой энергии рассеиваемых час- частиц. Формула Резерфорда. Приближе- Приближение Борна можно использовать для нахождения рассеяния частиц куло- новским центром (см. §14). Потен- Потенциальная энергия a-частица, заряд ко- которой 2е, в поле ядра номера Z имеет вид EJr) = 2Ze2/Dn?or). D1.44) Подставляя D1.44) в D1.42), находим ,iK r' Л(9) = - 4тг2еой2 -dx'd/dz', D1.45) где тх -масса а-частицы. Для вычис- вычисления этого интеграла ось Z сфериче- сферической системы координат направим вдоль вектора К. Тогда е* dx'dy'dz' = 2 я я iK/cosS' = Jd/V2 J dcp' Jsin6'd9' ;—, D1.46) 0 0 0 Г где 9' - угол между К и г'. Интегрируя D2.46) по ф' и по углу 9', находим оо / = Dк/К) \ sin(Kr')dr'. D1.47) о Этот интеграл не является сходя- сходящимся в обычном смысле. Однако его можно представить как предел друго- другого интеграла, сходящегося в обычном смысле, с помощью формулы СО 00 | sin(Xr')dr' = lim j e-"sin(AV)dr'. 0 a-0 О D1.48) Интеграл, стоящий в правой части равенства D1.48), легко вычисляется с помощью интегрирования по частям: 00 j e""'sin(Xr')dr' == X/(a2 + К2). D1.49) о Поэтому из D1.47) с учетом D1.48) и D1.49) окончательно получаем / = 4п/К2. D1.50) Следовательно, Принимая во внимание, что К2 = 4/с2 sin2 (9/2) = Dmlv2/H2) sin2 (9/2), D1.52) на основании D1.43) находим ' Ze' У/ sin4(9/2) D1.53) Итак, если в падающем потоке в еди- единицу времени на единицу поверхности падает N частиц, то дифференциаль-
238 9. Теория возмущений ное сечение рассеяния в телесный угол dfi = 2n sin 9d0 dJV Ze2 dfi D1.54) N- \4яеот1г2/ sin4 (9/2)' что совпадает с формулой A4.7), по- полученной по классической теории. Таким образом, первое борновское приближение для рассеяния на непод- неподвижном кулоновском центре дает ре- результат, совпадающий с результатом классической теории. Пример 41.2. Пространственный ро- ротатор с моментом инерции J и элект- электрическим дипольным моментом р по- помещен в однородное электрическое поле ё. Рассматривая электрическое поле ё как возмущение, вычислить первую неисчезающую поправку к ос- основному энергетическому уровню ро- ротатора. Направляя полярную ось Z сфери- сферической системы координат вдоль век- вектора ё, можно энергию возмущения записать в виде V= — р • ё = — рё cos G. Волновые функции пространственно- пространственного ротатора и собственные значения энергии определяются формулами B8.16) и B8.22). В частности, для основного состояния Первая поправка к энергии находится по формуле D1.12): $f^ = 0. Поэтому надо вычислить вторую поправку по формуле D1.20). Прежде всего учтем, что матричные элементы энергии возмущения между основным невозмущенным состоянием и други- другими невозмущенными состояниями равны V™ = F'omo = ||У1,0)*КУ<т) sin 9dedcp = где использовано условие ортонорми- рованности для шаровых функций. Отсюда по формуле D1.20) находим ?<2) _ 0 1/00 V Im Т/00|2 ' 10 1 -Е\0) ¦ Е[0) J. 42. Стационарная теория возмущений в случае вырожденных собственных значений Излагается метод получения приближенных собственных значений не зависящего от времени оператора Гамильтона и соответствующих соб- собственных функций в случае вырожденных собст- собственных значений. Ортогонализация собственных функ- функций, принадлежащих вырожденному собственному значению. В случае вы- вырожденных собственных значений по- поправка вычисляется к собственному значению, которому принадлежит не одна собственная функция, а несколь- несколько. Как известно, собственные функции, принадлежа- принадлежащие одному и тому же вырожденному собственному значению, вообще го- говоря, не ортогональны друг другу. Однако всегда можно выбрать орто- ортогональные функции с помощью про- процесса ортогонализации. Пусть функции ?<„%, 4%, ..., *?<¦$. принадлежат вырожденному собственному значению Е^ и не ортогональны между собой. Очевид- Очевидно, что любая линейная комбинация этих собственных функций D2.1) является также собственной функ- функцией, принадлежащей тому же собст- собственному значению Е^- Коэффи-
§ 42. Стационарная теория возмущений 239 циенты аа.р. в формуле D2.1) могут быть выбр'аны так, что функции Ч1^ будут ортонормированными. Если записать условие ортонормирован- ности функций Ч^., то число уравне- уравнений относительно коэффициентов ах р получается меньше, чем число кс/эффициентов. Следовательно, этим уравнениям можно всегда удовлет- удовлетворить, построив тем самым орто- нормированные собственные функции Ч^' . Поэтому при вычислениях можно всегда предполагать, что соб- собственные функции, принадлежащие вырожденному собственному значе- значению, ортонормированы. Рассмотрим ортогонализацию в случае двукратного вырождения. Пусть неортогональными собствен- собственными функциями, принадлежащими одному и тому же собственному зна- значению, будут функции Ч^ и Чр (они нормированы на 1). В соответствии с формулой D2.1) можно написать для искомых ортогонализированных функций следующие выражения: Пользуясь тем, что число условий, налагаемых на функции в процессе ортогонализации, меньше числа коэффициентов, имеющихся в нашем распоряжении, можно положить ах р = 1, аа р = 0, т.е. принять Ч*а = Ч^ . Тогда условие ортого- ортогональности функций х?а и Ч^ дает уравнение из которого следует, что ах р = = - СаХ2р2, где С = ffl^^dh Поэтому а последний неизвестный коэффи- коэффициент аа р определяется из условия нормирован функции *Fa : Снятие вырождения. Пусть собст- собственное значение Е1°] вырождено. Обо- Обозначим Ш@) ш<0) ортогонализированные собственные функции, принадлежащие этому соб- собственному значению. В разложении D1.4) каждый член, соответствующий вырожденному значению, заменяется суммой членов по всем волновым функциям, принадлежащим этому собственному значению. Например, вместо члена п = т, согласно D2.2), имеется сумма членов: Г Ф(°) О- С *Vm 4- 4- С Ф@) *- тх1 * тсц ' *" mot2 "> ' ' ' mot ma ' D2.3) Уравнения D1.9а, 41.96) приобретают следующий вид: D2.4) D2 51 = О, <т0) - ЕР) = 0, /"(О) p(l) i /-A) Е-(О) _ *-• та '-'т ' та. ^ т — СA) Е{0) -УК С@) Из D2.4) получаем С^ = 0 0=1,2, ... У), D2.6) а0) = 0 (и = т). Следовательно, вместо D2.5) нахо- находим систему уравнений: _ V V D2.7) Эта система уравнений относи- относительно коэффициентов Cffi имеет не- нетривиальное решение, если ее опре- определитель равен нулю. При записи определителя одинаковые у всех вели-
240 9 Теория возмущений чин индексы т для упрощения отбра- отбрасываем: V{/@) _ г (О) »р@) , ^@) ш@) , <0)Й) V — Еа) «Л К  = 0. D2.8) Это уравнение i-й степени относи- относительно ЕA). Решив его, найдем /, вообще говоря, различных поправок к собственной энергии: jf(D = ?•*> ?'Ч Е^ D2 9) Поскольку возмущение V предпола- предполагается малым, Elmi малы. Таким обра- образом, вместо одного вырожденного значения энергии получается ряд близких уровней энергии: при наложении возмущения вырож- вырожденный уровень энергии Е^ расщеп- расщепляется на ряд близких уровней, определенных в первом приближении формулой г* г*/01 i г*( 11 / * 1 *t *\ г* ^= н '"' _1_ h VАI ( 1 == I / 7 1 D2.10) Это означает, что вырождение сни- снимается. Снятие вырождения может бьиь как полным, так и частичным. В последнем случае вырождение после наложения возмущения остает- остается, но имеет меньшую кратность, чем первоначальное. Каждому значению Е{„) {j = — 1,2,... ,0 уравнения D2.8) соответ- соответствует решение (С|?> и), С{®1 О),... , Cmi О)) уравнения D2.7). Найдя i реше- решений'этого уравнения, получим i собст- собственных функций нулевого приближе- приближения с учетом возмущения. Каждому уровню энергии Ет] (у = 1,2, ... , у) соответствует в этом приближении собственная функция 1 D2.11) а Может случиться, что матричные элементы переходов Vmai та между состояниями одной и той'же7 энергии равны нулю. Тогда поправка первого порядка Е^ к энергии равна нулю и необходимо вычислить поправку вто- второго приближения. В этом случае уравнение D2.4) и его решение D2.6) остаются без изменения, но вместо D2.5) надо взять уравнение второго приближения D1.9в). Для рассматри- рассматриваемых коэффициентов Cj?2. оно имеет вид /7B) _ ^т D2.12) причем в сумме отсутствуют члены, соответствующие рассматриваемому вырожденному уровню энергии, по- поскольку соответствующие величины Vma mx равны по условию нулю. С другой стороны, уравнение D1.96) для членов С[г) при к Фт имеет вид cf (i40)-40)) = D2.13) 1 где Ci0) при пфт обращается в нуль. Следовательно, поэтому уравнение D2.12) принимает вид /-(О) рB) _ пФт Kmct »Zj ¦ 15) Приравнивая определитель из коэф- коэффициентов при CmxJ в D2.15) к нулю, получаем уравнение для определения второй поправки Effi
§ 43 Нестационарная теория возмущений 241 „фт Е-т &n Решения этого уравнения дают по- поправки к невозмущенным уровням энергии и приводят к снятию вырож- вырождения, если поправки Е(„] первого приближения равны нулю. 43. Нестационарная теория возмущений Излагается метод нахождения волновых функ- функций зависящего от времени уравнения Шредин- Шредингера, когда оператор Гамильтона явно зависит от времени Постановка задачи. В стационарной теории возмущений рассматривается постоянно существующее возмуще- возмущение. Нестационарная теория возму- возмущений позволяет изучить процесс появления возмущения. Поскольку в этом случае полный гамильтониан (включающий возмущение) зависит от времени, энергия не сохраняется и поэтому стационарных состояний не существует. Следовательно, в этом случае задача о нахождении поправок к собственным значениям энергии не возникает. Задача состоит в прибли- приближенном вычислении волновых функ- функций уравнения виде разложения по волновым функ- функциям ^О) ; ot D3.1) в котором V(r, t) - зависящее от вре- времени возмущение. Волновые функции Ч*{,0)(г, f) стационарных состояний, удовлетворяющие уравнению D3.2) предполагаются известными. Уравнение Шредингера в представ- представлении взаимодействия. Представим искомую волновую функцию Ч*(г, t) в '(О) D3.3) с коэффициентами Cn(t), зависящими от времени. Подставляя D3.3) в D3.1) и учитывая D3.2), получаем D3.4) Умножая обе части D3.4) на Ч^' и интегрируя полученное равенство по всему пространству, находим D3.5) где Утп@ = №*(г, 0 Р^°)(г, t)dxdydz D3.6) - матричные элементы оператора возмущения, вычисленные с по- помощью собственных волновых функ- функций невозмущенного уравнения, зави- зависящих от времени. Уравнение D3.5) является точным уравнением и назы- называется уравнением Шредингера в пред- представлении взаимодействия. В разложении D3.3) коэффициен- коэффициенты Cn{t) изменяются так, что норми- нормировка волновой функции на единицу сохраняется. Докажем это. Запишем условие нормировки: D3.7) Покажем, что если условие D3.7) вы- выполнено при каком-либо одном мо- моменте времени, например начальном, то оно выполняется и при любом последующем моменте времени. Для доказательства умножим D3.5) на С* и просуммируем по т: =I VmnClCn D3.8) 16 219
242 9 Теория возмущений С другой стороны, умножая комп- комплексно сопряженное к D3.5) уравнение на Ст и суммируя по т, получаем = I К. Ct Ст = X С С: С„, D3.9) т,п myti где последнее равенство-результат изменения обозначений индексов сум- суммирования. Вычитая почленно D3.8) из D3.9), находим - Vmn). D3.10) Если оператор возмущения эрми- эрмитов, то F?m = Vmn и, следовательно, правая часть равенства D3.10) обра- обращается в нуль. Значит, D3.11) что и требовалось доказать. Таким образом, условие нормировки D3.7) с течением времени сохраняется. Вычисление поправок к волновым функциям. Уравнение D3.5) можно решать по методу последовательных приближений, взяв за величину пер- первого порядка малости возмущение V. Представим коэффициенты Ст в виде D3.12) где коэффициент С{„' имеет тот же порядок малости, что и возмущение V, коэффициент С(т является величи- величиной второго порядка малости отно- относительно возмущения и т. д. Подставив D3.12) в D3.5) и при- приравнивая между собой величины оди- одинакового порядка малости, получаем систему уравнений D3.13) в которой С(„0) определяются из на- начальных условий. Пусть в начальный момент вре- времени, когда включается возмущение, система находилась в стационарном состоянии, описываемом функцией Ч"р0). Тогда С<°> = S. D3.14) = у V 5 —V ¦ ^ is 'mnvnp ' тр- Отсюда = 0, 1,2, ...), так как в начальный момент в раз- разложении D3.3) имеется лишь один член номера п = р. Уравнение D3.13) для нахождения первой поправки принимает вид D3.15) D3.16) Итак, волновые функции первого приближения найдены. Аналогично могут быть вычислены и последую- последующие приближения. Пример 43.1. Найти вероятность поглощения фотона атомом, находя- находящимся в электромагнитном поле. Для электромагнитного поля в ва- вакууме в отсутствие зарядов запишем ?(х,i) = -ЗА(г,t)/dt, В = V х А. При V • А = 0 имеем Монохроматическая плоская вол- волна круговой частоты со описывается формулой А(со; г, /) = 2Ао(со) cos (k • г - со/ + ф J = = А0(и) {ехр [г(к • г - со/ + срJ] + + ехр[-/(кт-со/ + сри)]}. Если со = кс, то S = — 2coAo(a>)sin (кт — со/ + фш),
§ 43. Нестационарная теория возмущений 243 В = -2к х Ao(co)sin(kr - ш + <pj. При квантовом описании электро- электромагнитного поля объемная плотность энергии равна /koN(co)/V, а при клас- классическом она дается выражением (ео<У2 + Я2/Ио)/2 = = 4eo(B2^o(ra)sin2 (k-г - ш + cpj, откуда средняя объемная плотность энергии за период н^ = 2еосо2 Л о (со). Приравняем ее H(uN((u)/V: Плотность потока энергии /(со) = 2ео@2АЦ(о)с = [N{<u)h(o/V]c= wac. Гамильтониан бесспиновой частицы Для электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze потенциал ср = = — Ze/Dneor) и, следовательно, при наличии внешнего электромагнитно- электромагнитного поля 1 Ze2 л Г- Кулоновская калибровка обеспечива- обеспечивает коммутируемость операторов V и А: V(A*P) = (V- Тогда имеем: / dt В слабых полях квадратичный по А член весьма мал по сравнению с ли- линейным и им можно пренебречь. Ис- Используя D3.1), где 2те 4яеог' P(r,0=--A-V. те Пространственная часть собствен- собственных функций XIIS,O) (r, t) уравнения D3.2) дается соотношениями C0.39), а вре- временная часть представляется множи- множителем ехр ( — /?¦„ t/H), причем собствен- собственное значение энергии дается форму- формулой C0.246). Собственные значения вырождены, а собственные функции, принадлежащие вырожденному соб- собственному значению, ортогональны. При расчетах (см. § 42) каждое со- состояние, принадлежащее вырожден- вырожденному собственному значению, надо рассматривать как самостоятельное. Если при t = 0 атом находился в состоянии ^(г, /), то для амплитуды вероятности того, что он в момент t находится в состоянии Ч*т (г, /), имеем где = JY* (г) А • г) dx dy dz. Пусть излучение почти монохро- матично и сконцентрировано в узком интервале частот Аю вблизи макси- максимальной частоты соо. Тогда А (г,/) = j Л0(ш){ехр[г(кт - Ш + cpj] + Aw + ехр [-/(к¦ г - со? + фш)]} dco, Ci.1)W= - запишем ^o^-co)f]d/'- О J ехр(-гфш)<Ч'И||ехр(-гкт) х тсдю x Ao(co)V|Tp>dcojexp(/(O)BIp+ a>)/']dr'. о В общем случае продолжительность
244 9. Теория возмущений импульса излучения много больше периода 2л/со световой волны, из- излучаемой атомом при переходе/» -» т. Очевидно, что С\^] (t) близко к нулю для всех частот со, которые не очень близки к сошр. При со «сотр первый член С^} (?) отличен от ну- нуля, а второй пренебрежимо мал. В этом случае Ет — Ер + /ко, следо- следовательно, первый член описывает поглощение фотона (Ет > Ер). При сошр = — со, Ет = Ер — Ясо отличен от нуля второй член, а первый равен нулю. Следовательно, второй член описывает испускание фотона (Ет < < Ер). Поскольку для заданных т,р эти две ситуации взаимоисключаю- взаимоисключающие, каждый из процессов может рас- рассматриваться отдельно с помощью соответствующего члена CU* (?)• Кроме того, надо учесть, что излучение некогерентно и, следовательно, при расчете интерференционные члены отсутствуют. Вероятность нахождения системы в состоянии т в момент времени t равна I Ctf>(f)|2 = ~ J б («>)/(',«> - «V>dco, Q (со) = | < Уи | exp (Л • г) Ао (со) • V | Ч», > |2, /(/,со-сотр) = = {1 - cos [(со - сотр)/]}/(со - сотр). Функция/имеет очень острый и узкий максимум при со = сотр. Поэтому в Cm* @ пределы интегрирования мож- можно растянуть от — оо до + оо и ис- использовать теорему о среднем в мак- максимуме подынтегрального выражения: \^4t)\2 = ~Q(vmp)t. Вероятность 0>тр поглощения фотона TYlp Задачи 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. В гамильтониане изотропного гармонического осциллятора, рассмотренного в задаче 6.6, добавляется возмущение V = Хху (X -константа). Найти первую поправку к энергии первого возбужденного уровня. Простой гармонический осциллятор, колеблющийся вдоль оси Z, находится в основном состоянии. При г = 0 включается электрическое поле с напряженностью 6 (?) = = <Уоехр(— 1/х) вдоль оси, приводящее к появлению в гамильтониане возмущения V — = — qxiS(t) Определить вероятность того, что осциллятор будет найден в возбужденном состоянии при t -> оо К гамильтониану B7 1) линейного осциллятора добавляется возмущение ах2. Найти поправки первого и второго порядков к энергии с помощью теории возмущений. Получить точное решение задачи при наличии возмущения и сравнить с приближенным. К гамильтониану B7 1) добавляется возмущение рх3. Найти первую и вторую поправки к энергии. Найти поправку первого порядка к уровням энергии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме [см. рис. 55, формула B6.6)], если имеется возмущение V(x) = 0 при О < х < а/2 и V(x) = Vo при а/2 < х < а. Найти поправку АЕ к энергии Ех основного состояния электрона в атоме водорода, обусловленную учетом гравитационного взаимодействия протона массы тр и электрона массы те. Гравитационная постоянная G = 6,672- 10~и Нм2кг~2. Ответы 9.1. ± + 72)а2й/Bт2ш3), (п + l/2)HJa 9.2. q2SWl\_2mH(a{i2(S>2 + 1)]. 9.3. (n + 72)аЛ/(тш); - (n . 9.4. 0; - C0л2 + 30n + 11)Р2Й2/(8т3со). 9.5. VJ2. / ( 9.6. АЕ/Е, = 8,8-КГ
44 Мультиплетная структура термов атомов и линий излучения как результат спин-орбитального взаимодействия 45 Эффект Зеемана 46 Эффект Пашена-Бака 10 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ЭЛЕКТРОМАГНИТ- ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ПОЛЕМ 47 Эффект Штарка 48 Взаимодействие двухуровневого атома с когерентным резонансным излучением 49 Динамика спина в переменном магнитном поле Влияние внешне- внешнего электромагнитного поля на атом сводится к изменению энер- энергетических уровней и состояний атома, а также свойств симметрии соответствующих волновых функ- функций. Общий подход к рассмотре- рассмотрению вопросов взаимодействия атома с электромагнитным полем состоит в том, что атом и электро- электромагнитное поле рассматриваются как единая система, для которой уравнение Шредингера решается подходящими в конкретной ситуа- ситуации методами. 50 Теория дисперсии 51 Комбинационное рассеяние
246 10 Взаимодействие атома с электромагнитным полем 44. Мультиплетная структура термов атомов и линий излучения как результат спин-орбитального взаимодействия Рассматривается характер связи мультиплет- ности спектра с особенностями спин-орбиталь- спин-орбитального взаимодействия. Спин-орбитальное взаимодействие. При рассмотрении дублетной струк- структуры термов щелочных металлов было показано, что она обусловли- обусловливается взаимодействием магнитного момента оптического электрона с его орбитальным движением, т.е. спин- орбитальным взаимодействием (см. § 34). Мультиплетность определяется числом возможных взаимных ориен- ориентации спина электрона и его орби- орбитального момента, т.е. числом раз- различных способов образования полно- полного момента атома при данных значе- значениях спина и орбитального момента атома. В случае щелочных металлов это число равно двум, поскольку спин равен 7г- Мультиплетность энергетических уровней. Все рассуждения § 34 могут быть непосредственно обобщены на случай более сложных атомов. В слу- случае (L-S)- связи все спины электро- электронов связываются между собой и об- образуют полный спин атома, а все орбитальные моменты атомов связы- связываются между собой и образуют пол- полный орбитальный момент атома. Таким образом, полный спиновой магнитный момент атома взаимодей- взаимодействует с орбитальным движением всех электронов атома, описываемым полным орбитальным моментом ато- атома, т.е. в атоме имеется спин-орби- спин-орбитальное взаимодействие. Оно зависит от спинового и орбитального маг- магнитного моментов и от их взаимной ориентировки. Число взаимных ориен- ориентировок было вычислено в § 37: Nts = 2min(L, S) + 1. D4.1а) Обычно min(L, S) = S и эта формула сводится к виду NLS = 2S+l. D4.16) Каждая взаимная ориентировка LL и Ls дает свою энергию взаимодейст- взаимодействия, которая и обусловливает расщеп- расщепление соответствующего энергетичес- энергетического уровня атома, т.е. мультиплет- ную структуру термов атома. Муль- Мультиплетность линий излучения порож- порождается мультиплетностью энергети- энергетических уровней атома. Мультиплет- Мультиплетность уровней атома определяется формулами D4.1а, б). Мультиплетность линий излучения. Мультиплетность линий излучения порождается мультиплетностью энер- энергетических уровней атома. Мульти- Мультиплетность линий излучения связана с мультиплетностью энергетических уровней правилами отбора для кван- квантовых чисел орбитального, спинового и полного моментов атома при опти- оптических переходах^ Эти правила отбо- отбора получаются из правил отбора для оптических переходов отдельного электрона (см. § 28). Правило отбора для L. Если взаи- взаимодействие между различными элект- электронами не очень велико, то происхо- происходят лишь такие переходы, при кото- которых скачок совершается одним элект- электроном, правило отбора для которого Д/=±1. D4.2) Из формулы D4.2) следует, что кван- квантовое число полного момента также может изменяться лишь на ± 1, т.е. правило отбора для числа L имеет вид AL= ± 1. D4.3) Если взаимодействие между электро- электронами очень интенсивно, то два (и больше) электрона одновременно
§ 44. Мультиплетная структура термов атомов и линий излучения 247 могут совершить переход, при ко- котором AL=0. D4.4) Но этот случай осуществляется редко. Правило отбора для S. Поскольку при оптическом переходе отдельного электрона спиновое число отдельного электрона не меняется, т. е. As = О, заключаем, что правило отбора для полного спина AS = 0. D4.5) Правило отбора для J. Это пра- правило отбора получается в результате комбинации правил D4.3)-D4.5): AJ = 0, +1, D4.6) причем переход из состояния J = 0 в состояние J = 0 невозможен. Мультиплетная структура спект- спектров щелочных элементов. Спектр энергетических уровней щелочных элементов с учетом мультиплетности изображен на рис. 79 на примере калия. Образование главной и резкой серий показано на рис. 67 и 68 соот- соответственно (см. § 34). Образование диффузной серии несколько сложнее и показано на рис. 69. Правило отбора D4.6) запрещает оптический переход между 2D5I2 и 2Р1/2, поскольку для него AJ = + 2. Поэтому фактически при указанных переходах излучается триплет. Однако линии излучения в результате переходов 2D5I2 -> 2Р3/2 и D3/2 -> 2Рц2 очень близки друг к другу и почти сливаются, поэтому линия размыта. Поскольку этот три- триплет получается от переходов между дублетными уровнями, он называется ложным дублетом (рис. 80). Мультиплетность спектров щелоч- но-земельных элементов (Не, Be, Mg, Са и др.). Щелочно-земельные эле- элементы имеют два оптических элект- электрона. Из дальнейшего видно, что пол- ный момент атома обусловливается спинами и орбитальными моментами этих двух электронов, поскольку спи- спины и орбитальные моменты осталь- остальных электронов взаимно компенси- компенсируются. Следовательно, полный спин атома в соответствии с формулой C7.11) может быть либо 0, либо 1: S = 0,1. D4.7) Спектр энергетических уровней калия с учетом мультиплетности
248 10. Взаимодействие атома с электромагнитным полем к U to -4- -8- -12- -16- -20- -24- -24,47 81 Парагелий Ортогелий Энергетические уровни парагелия и ортогелия ч; 1 J .3 .2 -1 82 Схема переходов из 3D в 23Р При S = 0 по формуле D4.16) на- находим NLS = 2S+ 1 = 1, D4.8) т.е. энергетические уровни синглетны. Если S — 1, то NLS = 2S+ 1 = 3, D4.9) т.е. соответствующие уровни три- плетны. Следовательно, имеется два сорта атомов щелочно-земельных элементов: атомы, энергетические уровни которых синглетны, и атомы, у которых они триплетны. Примером могут служить атомы парагелия и ортогелия (рис. 81). Спины двух электронов ортогелия направлены в одном направлении E=1), и его энергетические уровни триплетны. Спины двух электронов парагелия на- направлены в противоположных на- направлениях (S = 0), и его энергетичес- энергетические уровни синглетны. Отметим, что наинизший уровень ортогелия лежит выше наинизшего энергетического уровня парагелия. Это обусловлено принципом Паули (см. § 52). Поскольку при п = 1 нельзя иметь два электрона с одним и тем же направлением спина, второй электрон ортогелия располагается на оболочке п = 2, благодаря чему увеличивается энергия наинизшего состояния атома. Правила отбора D4.5) запрещают превращение парагелия в ортогелий и наоборот при оптических переходах, т. е. термы с различной мультиплет- ностью не комбинируют. В связи с этим спектр парагелия образуется в результате переходов между синглет- ными уровнями и состоит из синглет- ных линий. Возможные переходы по- показаны на рис. 81. Переходы с уровня 1Р на уровень \lS дают линии глав- главной серии парагелия. Линии, полу- получающиеся при переходе с уровня 1Р на уровень 2^, образуют вторую главную серию. Спектр ортогелия получается от переходов между триплетными уров- уровнями и имеет более сложный харак- характер. Энергетические уровни S-состоя- ний по-прежнему синглетны. Но эти уровни обычно обозначают 3S. В этом случае указатель мультиплет-
§ 45 Эффект Зеемана 249 ности 3 характеризует не мультиплет- ность уровня S (он всегда синглетен), а мультиплетность того семейства термов, которому принадлежит этот уровень. В данном случае это три- триплеты. Главная серия спектра орто- ортогелия получается вследствие перехо- переходов с уровней 3Р на уровень 23S и состоит из обычных триплетов. Рез- Резкая серия образуется от переходов с уровней 3S на уровень 23Р и состоит также из обычных триплетов. Слож- Сложнее строение линий, получающихся в результате переходов из состояний 3D в 23Р (рис. 82). Всего излучается шесть линий. Эти линии группируют- группируются в три группы: в первой-одна ли- линия, во второй-две близко располо- расположенные линии и в третьей-три близ- близко расположенные линии. В целом эти группы линий воспринимаются как триплет. Лишь при более сильном разрешении видны шесть линий, на- называемые сложным триплетом, по- поскольку они образованы в результате переходов между триплетными уров- уровнями. Мультиплетность спектров атомов с тремя оптическими электронами (В, А1 и др.). Формула C7.11) показывает, что в этом случае возможны два зна- значения полного спина: S=1/i, a) S = 3/>. б) D4.10) Мультиплетность термов атомов при L-S-связи определяется числом различных способов образования полного момента атома при данных значениях спина и орбитального момента атома. Мультиплетность линий излучения опре- определяется мультиплетностью термов и пра- правилами отбора для спина, орбитального и полного моментов при оптических пере- переходах. Правило мультиплетностей: термы ато- атомов или ионов с четным числом электро- электронов имеют нечетные мультиплетности; термы атомов или ионов с нечетным чис- числом электронов имеют четные мульти- мультиплетности. В первом случае (S = 1/2) термы являются дублетными, во втором (S = 3/2) мультиплетность термов равна 2(э/2) +1=4, D4.11) т.е. термы-квартеты. Спектр полу- получается легко с помощью правил от- отбора. Рекомендуется отобрать разре- разрешенные переходы между уровнями в качестве упражнения. Правило мультиплетностей. Фор- Формула D4.16) для мультиплетности термов в комбинации с формулой C7.11) для возможных значений пол- полного спина атома позволяет сформу- сформулировать следующее правило муль- мультиплетности термов: термы атомов или ионов с четным числом электронов имеют нечетные мультиплетности; термы атомов или ионов с нечетным числом электронов имеют четные мультиплетности. 45. Эффект Зеемана Приводятся количественные характеристики простого и сложного эффектов Зеемана. Смысл слабого магнитного поля. Когда атом помещен в магнитное поле, его полная энергия слагается из двух частей: из внутренней энергии атома и из энергии взаимодействия магнитного момента атома с магнит- магнитным полем. Энергия взаимодействия определяется индукцией магнитного поля и ориентировкой и модулем магнитного момента. Если магнитное поле не очень велико, то спин-орби- спин-орбитальное взаимодействие в атоме сильнее, чем взаимодействие орби- орбитального магнитного момента и спи- спинового магнитного момента в от- отдельности с внешним магнитным полем. При этом условии связь между спиновым и орбитальным мо- моментами не разрывается, т. е. и в маг-
250 10. Взаимодействие атома с электромагнитным полем ntj mflj -3/2 % -Vi % -Й -2/з "Уз ¦Уг 1 -Уг -1 83 Расщепление энергетических уровней атома натрия, переходы между которыми обусловли- обусловливают излучение главной серии нитном поле продолжает осуществ- осуществляться (Ь-Б)-связь. Благодаря этому с магнитным полем взаимодействует полный магнитный момент как целое. Полный магнитный момент атома в этом случае прецессирует вокруг на- направления индукции магнитного по- поля. Если же индукция внешнего поля очень велика, то связь между спи- спиновым и орбитальным моментами разрывается. Это явление называется эффектом Пашена-Бака (см. § 46). В этом параграфе мы рассмотрим слу- случай не очень сильных магнитных по- полей, когда спин-орбитальная связь не разрывается. Расщепление энергетических уров- уровней при помещении атома в магнит- магнитное поле. Если квантовое число пол- полного момента атома J, то число воз- возможных ориентации магнитного мо- момента относительно магнитного поля 2J + 1. Каждой ориентации соответст- соответствует своя энергия взаимодействия. Следовательно, энергетический уро- уровень атома в состоянии с полным моментом J при помещении атома в магнитное поле расщепляется на 2J+1 подуровень. В слабом магнит- магнитном поле энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем меньше энергии спин-орби- спин-орбитального взаимодействия. Следова- Следовательно, расщепление энергетических уровней на 2J + 1 подуровень при по- помещении атома в магнитное поле имеет меньшую величину, чем естест- естественное мультиплетное расщепление уровней, обусловленное спин-орби- спин-орбитальным взаимодействием. В качестве примера рассмотрим расщепление уровней атома натрия, переходы между которыми приводят к излучению главной серии (рис. 83). Энергетический уровень 2Р3/2 с пол- полным моментом J = 3/2 расщепляется на четыре подуровня, соответствую- соответствующие четырем возможным ориента- циям полного момента относительно магнитного поля (/и, = — ъ/2, — V2> 1/2, 3/2). Энергетические уровни 2Pi/2 и 2S1/2 с полным моментом J = /2 расщепляются на два подуровня каж- каждый, которые соответствуют двум возможным ориентациям полного магнитного момента относительно индукции магнитного поля (ntj = = — 1/2, 1/2). На рис. 83 принято во внимание, что естественное мульти- мультиплетное расщепление энергетических уровней больше, чем расщепление, обусловленное помещением атома во внешнее магнитное поле. Расщепление линий излучения. По- Поскольку картина энергетических уров- уровней при помещении атома в магнит- магнитное поле существенно изменилась и усложнилась, значительно услож- усложняется и спектр излучения атома. Для нахождения линий излучения прини- принимаем во внимание следующие пра- правила отбора для переходов:
§ 45. Эффект Зеемана 251 AL= + 1, D5.1а) AJ=O, ±1 D5.16) (J = О не комбинирует с J = 0), Дт7 = 0, +1 (комбинация т} — 0 и rrij = О запрещена для AJ = 0), D5.1в) AS = O. D5.1г) В данном случае последнее правило отбора не играет роли. С помощью правил нетрудно выяснить возмож- возможные переходы, которые для главной серии указаны стрелками на рис. 83. Видно, что всего возможно 10 раз- различных переходов. Каждый из них приводит к излучению отдельной линии в спектре излучения. Таким образом, при помещении атома нат- натрия в магнитное поле каждый дублет главной линии серии излучения нат- натрия расщепится на 10 линий. Соот- Соответствующим образом на большее число линий расщепятся и другие линии в спектре излучения. Явление расщепления линий спектра излуче- излучения при помещении атома в слабое внешнее магнитное поле называется аномальным или сложным эффектом Зеемана. Слово «аномальный» имеет историческое происхождение. Перво- Первоначально было изучено и понято рас- расщепление линий в спектре излучения некоторых атомов на три линии. Это расщепление было названо нормаль- нормальным, хотя в действительности оно Слабым магнитным полем считается такое поле, энергия взаимодействий с которым орбитального магнитного мо- момента и спинового магнитного момента меньше, чем энергия спин-орбитального взаимодействия. Благодаря этому с маг- магнитным полем взаимодействует полный магнитный момент атома как целое, а спин-орбитальная связь не разрывается. В этом случае наблюдается сложный (или «аномальный») эффект Зеемана. Если полный спин атома равен нулю, то в сла- слабом поле наблюдается простой (или «нормальный») эффект Зеемана. является менее нормальным, чем то, которое рассматривается сейчас и которое получило название аномаль- аномального. Нормальный, или простой, эффект Зеемана рассмотрен ниже. Сложный эффект Зеемана. Полная энергия атома во внешнем магнитное поле Е = Ет - fij В = Е@) - \ljz В, D5.2) где ?<0) - внутренняя энергия атома, ( —(V В) -энергия взаимодействия полного магнитного момента атома с магнитным полем. При переходе ато- атома из одного энергетического состоя- состояния A) в другое B) излучается квант с энергией /ко12= Е2 — Е1 = = to-01^,-^2», D5.3) где со = 2??0) — Е[0) — частота кванта, излученного при соответствующем переходе в отсутствие внешнего маг- магнитного поля. Учтем, что \iJzB = gj\iBmjB = gjHG>Lmj, D5.4) где coL = еВ/Bте)-ларморова часто- частота, a 9j = 1 + [_J{J + 1) + S{S + 1) - - L(L+ 1)]/[2J(J + 1)]-множитель Ланде. С учетом D5.4) уравнение D5.3) переписывается следующим образом: j2mj2 - д}т}]), D5.5а) со12 = ю - где rrij и в соответствии с прави- правилом отбора D5.1 в) могут отличаться лишь на 0, +1: т, - mJi = 0, ± 1. D5.56) Формула D4.5а) дает расщепление линий при сложном эффекте Зеемана, т.е. разность между частотой линий, излученной в отсутствии магнитного поля, и частотой, соответствующей линии при наличии магнитного поля:
2Б2 10 Взаимодействие атома с электромагнитным полем Асо = со12 - со = aL{gJimJi - gjm,^. D5.6) Расщепление линий, равное coL, назы- называется нормальным зеемановским рас- расщеплением. Так как д,т5х-д}т12 D5.7) -рациональная дробь, то из формулы D5.6) можно заключить, что расщеп- расщепление линий при сложном эффекте Зеемана равно рациональной дроби от нормального зеемановского рас- расщепления coL. Рассмотрим в качестве примера расщепление для дублета главной се- серии натрия (рис. 83). Справа на ри- рисунке указано значение д3т} для каж- каждого уровня натрия в магнитном по- поле. Вычислив разности этих величин для разрешенных переходов, получа- получаем по формуле D5.6) следующие зна- значения для расщеплений различных линий: Аю coL 5 4 3 2 1 3' 3' 3' 3' 3' 1 D5.8) Характерным для сложного эф- эффекта Зеемана является расщепление линий в магнитном поле на большое число компонент, причем расщепле- расщепление переменно и равно рациональной дроби от нормального зеемановского расщепления. Сложный эффект Зее- Зеемана наблюдается в не очень сильном магнитном поле. Простой эффект Зеемана. Предпо- Предположим, что полный спиновый момент атома равен нулю: S = 0. D5.9) В этом случае J = L, gj = gL = 1. D5.10) С учетом D5.56) формула D5.6) при- принимает вид / + 1\ Г + соь, Aco = coL I 0 ) = < 0, D5.11) V-l/ l-cot, i. е. каждая линия излучения расщеп- расщепляется на три, а расщепление равно нормальному зеемановскому расщеп- расщеплению. Такого рода расщепление ли- линий называется нормальным или про- простым эффектом Зеемана. Он явля- является частным случаем сложного эф- эффекта Зеемана и наблюдается у ато- атомов, полный спин которых равен ну- нулю, т. е. в спектрах с синглетными линиями. 46. Эффект Пашена — Бака Даются количественные характеристики эффек- эффекта Пашена-Бака Сильное поле. Сложный эффект Зее- Зеемана наблюдается в слабом магнит- магнитном поле, когда энергия взаимодейст- взаимодействия магнитного момента атома с маг- магнитным полем меньше энергии спин- орбитального взаимодействия. Если индукция магнитного поля достаточ- достаточно велика, то энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем становится больше энергии спин-орбитального взаимодействия, благодаря чему связь между орби- орбитальным и спиновым моментами раз- разрывается. Спиновый магнитный мо- момент и орбитальный магнитный мо- момент атома начинают самостоятель- самостоятельно взаимодействовать с магнитным полем, т.е. каждый из них самостоя- самостоятельно прецессирует вокруг направ- направления индукции магнитного поля (рис. 84). Явление разрыва спин-орби- спин-орбитальной связи в сильном магнитном поле называется эффектом Пашена- Бака. Расщепление уровней. Поскольку орбитальный магнитный момент и спиновый магнитный момент атома
46 Эффект Пашена-Бака 263 самостоятельно взаимодействуют с магнитным полем, энергия взаимо- взаимодействия атома с магнитным полем равна сумме энергий взаимодействия орбитального и спинового магнитных моментов с магнитным полем. По- Поэтому вместо формулы D5.2) можно написать E = Em-]iLB-\is В, D6.1) где (— \iL • В) - энергия взаимодействия орбитального магнитного момента с магнитным полем, ( — \is ¦ В) - энергия взаимодействия спинового магнитно- магнитного момента с магнитным полем. По определению сильного поля, расщепление энергетических уровней в результате взаимодействия с маг- магнитным полем в данном случае боль- больше естественного мультиплетного расщепления. В качестве примера рассмотрим расщепление в сильном магнитном поле уровней S и Р атома натрия, которое для слабого поля изображено на рис. 83. Расщепление этих уровней в сильном магнитном поле показано на рис. 85. Прежде всего заметим, что из-за разрыва спин-орбитальной свя- связи нельзя говорить о полном моменте атома. Благодаря этому уровень 2Р1/2 уже не отличается от уровня 2Р3/2, поскольку оба они теперь характери- характеризуются одинаково как уровни с одним и тем же значением L= 1 и независи- ;1:* Сильным магнитным полем считается такое поле, энергия взаимодействия с которым магнитного момента атома боль- больше энергии спин-орбитального взаимо- взаимодействия. В результате спин-орбитальная связь разрывается. Явление разрыва спин-орбитальной связи в сильном маг- магнитном поле называется эффектом Па- Пашена-Бака. Линии излучения расщепля- расщепляются на три линии с величиной расщепле- расщепления, равной нормальному зеемановскому расщеплению, т. е. в результате эффекта Пашена Бака сложный эффект Зеемана превращается в простой. 84 Разрыв спин-орбитальной связи '"I \ 0 < Уг Уг ,14 % -Чг -Уг 85 Схема возможных переходов в главной серии излучения атома натрия при наличии эффекта Пашена - Бака мо направленным спином электрона. Орбитальный момент атома при L= = 1 может тремя способами ориенти- ориентироваться относительно индукции маг- магнитного поля (mL = —1, 0, 1). Это дает три значения энергии взаимо- взаимодействия и приводит к расщеплению уровня Р на три подуровня (рис. 85). При каждой ориентировке орбиталь- орбитального магнитного момента спиновый магнитный момент может независи- независимо ориентироваться двумя способа- способами. Благодаря этому каждый из трех
254 10 Взаимодействие атома с электромагнитным полем орбитальных подуровней расщепля- расщепляется на два спиновых подуровня. В результате получается, что уро- уровень 2Р в сильном магнитном поле расщепляется на шесть подуровней. Так как L= 0, то расщепление уровня 2S происходит лишь вследствие ориен- ориентировки спинового магнитного мо- момента, т.е. на два подуровня. Расщепление линий излучения. Пользуясь правилами отбора D5.1а), D5.1 г), можно найти разрешенные пе- переходы. При этом особенно необхо- необходимо принять во внимание правило D5.1 г), т.е. постоянство спинового квантового числа. На рис. 85 стрелка- стрелками обозначены возможные переходы для главной серии атома натрия. Все- Всего излучается шесть линий. Посколь- Поскольку расщепление, обусловленное ори- ориентировкой спина во внешнем маг- магнитном поле, в Р-состоянии и в S-coc- тоянии одно и то же, эти шесть линий попарно сливаются в три и в спектре излучения наблюдается триплет. Рас- Расщепление нетрудно рассчитать по формуле D6.1), которую удобно пред- представить в виде цЬгВ-ц32В. D6.2) Аналогично формуле D5.3) получаем -(HSiZ-Hs2Z)fi. 2 D6.3) Учитывая, что \iLzB = h(almL, nSz = 2Ha>Lms, D6.4) и принимая во внимание правила от- отбора AmL = 0, +1, Ams = 0, D6.5) находим из D6.3) Доо = «о12 — <о = cbl I 0 V D6.6) т.е. расщепление линий равно нор- нормальному зеемановскому расщепле- расщеплению. Следовательно, в сильном маг- магнитном поле линии излучения рас- расщепляются на три линии с расщеп- расщеплением, равным нормальному зеема- зеемановскому ращеплению, т. е. наблюда- наблюдается простой эффект Зеемана. Други- Другими словами: эффект Пашена-Бака есть превраще- превращение сложного эффекта Зеемана в про- простой в сильных магнитных полях Хотя в сильном магнитном поле спин-орбитальная связь разорвана, определенное спин-орбитальное взаи- взаимодействие все же существует. Одна- Однако энергия этого взаимодействия меньше энергии взаимодействия ор- орбитального и спинового магнитного моментов с магнитным полем. Если учесть это «остаточное» спин-орби- спин-орбитальное взаимодействие, то оно дает дополнительное мультиплетное рас- расщепление, приводящее к возникнове- возникновению тонкой структуры линий в эф- эффекте Пашена-Бака, которая здесь не рассматривается ввиду ее малости. 47. Эффект Штарка Даются количественные характеристики эффек- эффекта Штарка Эффект Штарка первого порядка в атоме водорода. Рассмотрим расщеп- расщепление энергии атома водорода, по- помещенного во внешнее однородное электрическое поле напряженностью $. Направим ось Z по напряженности электрического поля и введем сфери- сферическую систему координат (г, 8, ф) с началом в центре атома. Потенциальная энергия электрона в этом внешнем электрическом поле равна Еп = — qSz = — qSr cosQ = eSrcosQ {q = ~e). D7.1)
47 Эффект Штарка 256 Эту энергию можно рассматривать как возмущение к гамильтониану #0) = р2/Bте) - e2/Dnsor), D7.2) описывающему движение электрона в кулоновском поле ядра атома водо- водорода. П отенциал ьную энергию D7.1) можно рассматривать как возмуще- возмущение, если внешнее поле достаточно слабо по сравнению с внутриатом- внутриатомными полями. Это хорошо соблю- соблюдается, потому что внутриатомные поля очень велики. Например, напря- напряженность кулоновского поля в атоме водорода на первой боровской орби- орбите а0 равна Равенство нулю первой поправки к энергии основного состояния. Собст- Собственные функции оператора D7.2) даются формулой (ЗО.39а) при Z = 1. В § 30 было показано, что четность этих собственных функций совпадает с четностью орбитального квантово- квантового числа /. Оператор возмущения D7.1) является нечетной функцией, так как функция меняет знак при от- отражении относительно начала коор- координат. Это означает, что если в ка- качестве невозмущенных функций взять функции C0.39а), то матричные эле- элементы оператора возмущения D7.1) отличны от нуля лишь для переходов между состояниями с противополож- противоположными четностями. В частности, пер- первая поправка к уровню энергии атома водорода в нормальном состоянии (п = 1) равна нулю. Расщепление уровней первого воз- возбужденного состояния. Первое воз- возбужденное состояние атома водорода (и = 2) четырехкратно вырождено (я2 = 4), квантовые числа / и т при- принимают значения @,0), A,0), A,1), A,-1) Поскольку матричные эле- элементы возмущения D7.1) отличны от нуля лишь для переходов с различной четностью, нас могут интересовать только матричные элементы перехо- переходов между / = 0 и / = 1. Так как D7.1) не зависит от угла ср, то матричные элементы возмущения отличны от ну- нуля лишь для переходов без изменения магнитного числа т, т.е. для перехо- переходов между состояниями @,0) и A,0). Таким образом, отличным от нуля является лишь матричный элемент v — v — v — 'О ~ КОО,1О ~ '10,00 ~ = e^J4>2,10rcosQ4>2t00dxdydz = D7.6) Таким образом, уровень и = 2 в атоме водорода расщепляется на три. Поэтому при переходе атома на уро- уровень и = 1 в спектре излучения вместо причем индекс п = 2 в обозначениях матричного элемента здесь не выпи- выписывается. Уравнение D2.8) принимает в данном случае следующий вид: С учетом значений VafyS это уравнение упрощается и сводится к равенству
256 10. Взаимодействие атома с электромагнитным полем одной линии должны наблюдаться три, расположенные очень близко друг от друга. Однако вырождение снято не полностью (не все корни получились различными). Это связа- связано с тем, что поле атома в однород- однородном внешнем электрическом поле симметрично относительно отраже- отражения в плоскости, проходящей через ядро атома в направлении поля, в данном случае через ось Z. Поэтому состояния, получающиеся друг из друга посредством такого отражения, должны иметь одинаковую энергию. Таким образом, оставшееся вырож- вырождение является следствием того, что возмущение не нарушило всех свой- свойств симметрии исходного гамиль- гамильтониана. Учитывая D7.6), можно найти коэффициенты (Cg0, C?o, С°1и С? t) при волновых функциях ^2 ось ^2 ю» Ч'г.п, ^11 - 1- Например, при Еа) = = Vo = — Ъеёай система уравнений для искомых коэффициентов имеет вид _ V Г<0) -I- V Г<0) — П ^=0. D7.7) Отсюда следует, что Со' = CV8, С?,' = С<°>_ , = 0 D7.8) и соответствующая волновая функция Д)@) _ *A, 2) — "Г () | •ЧО)Ш(О) 2,00 <~ Ь10 '2,10 ** Эффектом Штарка называется расщепле- расщепление уровней энергии атома во внешнем однородном электрическом поле. Это расщепление может быть как линейным по внешнему полю, так и квадратичным в зависимости от характера вырождения уровней энергии в отсутствие внешнего поля. в данном случае равна ФA0) = №О)оо + ЧЧюУчД D7.9) где коэффициенты С^ = С^ найдены из условия нормировки функции Ф^0* на единицу. Аналогично находится и функция ФB0): Наиболее общая волновая функция, соответствующая решению .б^1' = = ?V} = 0 и описывающая оставшие- оставшиеся вырожденные состояния, имеет вид Ф?!4, = С® *2il, + C<1°»_ t Ч>«\ _ ,, D7.11) причем коэффициенты С^' и С\0)_ t произвольны с точностью до норми- нормировочного множителя. Можно, в част- частности, положить Квадратичный эффект Штарка. Отметим, что наличие смещения кван- квантовых уровней, пропорциональное первой степени напряженности элек- электрического поля, связано с тем, что в атоме водорода происходит /-вырож- /-вырождение, т. е. энергия атома не зависит от орбитального квантового числа /. В общем случае вырождения по / нет, а при заданных квантовых числах (п, 0 наблюдается вырождение по маг- магнитному числу т(т = 0, ±1, ±2, ..., + 1) всего 21+ 1 состояний. Однако в этом случае различные волновые функ- функции, принадлежащие вырожденному состоянию («,/), обладают одинако- одинаковой четностью и матричные элементы энергии возмущения равны нулю. Следовательно, первая поправка, ли- линейная относительно напряженности поля, равна нулю. Смещение кванто- квантовых уровней пропорционально ёг. Этот эффект называется квадратич- квадратичным эффектом Штарка. Величины смещений уровней энергии находятся в результате решения D2.16).
§ 48. Взаимодействие двухуровневого атома с когерентным резонансным излучением 267 48. Взаимодействие двухуровневого атома с когерентным резонансным излучением Описывается квантовая картина поведения двух- двухуровневого атома в поле когерентного резо- резонансного излучения. Двухуровневый атом. Наиболее прос- простая ситуация при взаимодействии электромагнитного излучения с ато- атомом возникает тогда, когда можно считать, что излучение влияет лишь на два состояния атома, а его влияние на остальные состояния пренебрежи- пренебрежимо мало. Ясно, что возможность та- такого подхода обусловливается как свойствами энергетического спектра и состояний атома, так и свойствами излучения. Для этого необходимо, чтобы излучение было достаточно когерентным, ширина ли- линий излучения была достаточно ма- малой и, кроме того, центральная часто- частота со линии излучения находилась в резонансе с частотой квантового пе- перехода между соответствующими энергетическими уровнями, т. е. выполнялось условие со = (Е2 — — Е^/В, где Е1 и Е2 > Ег - собствен- собственные значения энергии квантовых сос- состояний атома. Если выполнение этого условия оказывается достаточным для того, чтобы можно было пре- пренебречь взаимодействием излучения с другими квантовыми состояниями атома, то атом рассматривается как двухуровневый. Для упрощения рас- расчетов пренебрегают также конеч- конечностью времени когерентности, счи- считая излучение монохроматичным с частотой со, поскольку учет конеч- конечности ширины линии излучения при выполнении условий, обеспечиваю- обеспечивающих возможность рассматривать атом как двухуровневый, тривиален. По тем же соображениям волну можно считать линейно поляризованной. Уравнение Шредингера. Длина элек- электромагнитной волны много больше размеров атома, и поэтому во всем объеме атома напряженность элек- электрического поля волны может быть принята постоянной и равной ? = ?0cos(co<). D8.1) Потенциальная энергия электрона в электрическом поле напряженности S равна К= — qx-8 = - дт ¦ 8 0 cos (со?) (q = - е). D8.2) где начало координат помещено в центр атома и г -радиус-вектор элек- электрона. Взаимодействием электрона с магнитным полем волны пренебрега- пренебрегаем, поскольку оно имеет релятивист- релятивистский порядок малости по сравнению с электрическим взаимодействием. Обо- Обозначив оператор Гамильтона для электрона в атоме в отсутствие внеш- внешнего поля Н{0\ запишем уравнение Шредингера в атоме при наличии внешнего поля D8.1) в виде = [Я@) dt = [Я D8.3) где V(t) = -qr-i0 cos (to/) D8.4) - оператор энергии взаимодействия, соответствующий классическому вы- выражению энергии взаимодействия D8.2). Волновые функции стационар- стационарных состояний ^(г) и 4*2 (ГХ относя- относящихся к рассматриваемым уровням энергии, удовлетворяют уравнениям Шредингера, независимым от време- времени: E^i = Я*0»1?!, ?2Т2 = Я@)Т2. D8.5) Волновые функции х?г и Ч*2 ортонор- мированы. Волновую функцию *Р (г, ?), удовлетворяющую D8.3), ищем в ви- виде
258 10. Взаимодействие атома с электромагнитным полем Ч> (г, t) = a, (t) Ч\ (г) + а2 (/) ?2 (г). D8.6) Подставляя D8.6) в D8.3), получаем hda, Hda2 Lit/ ±\и _ / d/ ' i At 2 = al(Hm+ a2(Hm + F)?2 D8.7) Умножая слева D8.7) на Т* и ?* и интегрируя обе части равенства по пространственным переменным с уче- учетом условия ортонормированности функции "Fj и Т2 находим ---Г = а1Е1 +alFll +«2^1 i dt fida-, i dt D8.9) D8.10) Vtj = z D8.11) - матричные элементы оператора 9. Решение уравнения Шредингера. Уравнения D8.9) и D8.10) упрощают- упрощаются, если Fu = 0 и V22 = 0. Это обус- обусловлено свойствами симметрии вол- волновых функций Ч\ и *F2. С учетом D8.4) выражение D8.11) может быть записано в виде V;j = — qS0 cos (со/) J Ч*? (г) гЧ*у (г) dx dy dz. D8.12) Поскольку функции Ч*,- обладают оп- определенной четностью и, следователь- следовательно, Ч'Г(-г)Ч',(-г) = Ч'Г(г)Ч',(г), за- замечаем, что |KP1*(r)r4'i(r)dxd>'dz = 0 D8.13) и поэтому с учетом D8.12) Кп = 0, F22 = 0. В результате этого уравне- уравнения D8.9) и D8.10) упрощаются: Hda1 i dt = a1El +a2V nda2 i dt +a2E2. Для решения этой системы уравне- уравнений перейдем к новым неизвестным функциям 6,(?) и b2(t) по формулам aj(t) = bj(t) exp (- iEjt/H) (/=1,2). D8.15) Уравнения D8.14) принимают вид Hdb, --.-T = b1V i dt P [i(E2 - E,) t/K] = D8.8) nw2 ^ D8.16) где E2 — El = Лю. Учитывая, что соб- собственные функции определяются лишь с точностью до фазового множителя, можно всегда подходящим выбором этого фазового множителя сделать матричные элементы D8.12) вещест- вещественными числами и положить Vl2 = V2l = 2Ш cos (oof) = Пп{еш + е'ш), D8.17а) где l2, ^D8.176) а множитель 2Й введен для удобства. Подставим D8.17) в D8.16): &L D818) i— = ubx A + е1Ш). dt Величина Q, имеющая размер- размерность с, в уравнении D8.18) опре- определяет скорость изменения Ьх и Ъ2. При не очень больших амплитудах S0 электрического поля волны она до- достаточно мала по сравнению с ю. Это означает, что решение уравнения D8.18) представляет сравнительно мед-
49 Динамика спина в переменном магнитном поле 259 ленное изменение Ъх и Ь2, на которое накладываются быстрые колебания с частотой со. От этих быстрых колеба- колебаний можно избавиться, произведя усреднение уравнения по периоду 2я/ю, в течение которого />х и Ь2 из- изменяются незначительно и могут счи- считаться постоянными. В результате усреднения получаем 1 dt = Ub2 db2 '~dt~ D8.19) где <e±2irar) = 0. Представление ре- решения этих уравнений в виде Ьг @ = cos (ПО, Ь2 @ = - /sin (ПО D8.20) обеспечивает нахождение двухуровне- двухуровневого атома при t = 0 в состоянии х?1, поскольку Ь2{0) - 0. С учетом D8.20) и D8.15) можно вместо D8.6) напи- написать Ч* (г, 0 = cos (П, 0 е"'?''/й Ч\ (г) - -<?г'/«Ч»2(г). D8.21) Очевидно, что *Р (г, /) нормировано на единицу. Обсуждение физического содержа- содержания решения. Из D8.21) следует, что с течением времени электрон переходит из состояния, описываемого волно- волновой функцией Ч11, в состояние х?2. Вероятность обнаружить его в сос- состояниях 1 и 2 в момент времени t равна соответственно cos (Q t) и sin2(Q?). Таким образом, электрон с частотой П осциллирует между сос- состояниями. Среднее значение дипольного мо- момента р= -qS-т равно где D8.22) D8.23) D8.24) Учитывая, что р12 = р21 и значения а у и а2 по D8.22), можно представить D8.23) в виде < р > = - р 12 sin BП 0 sin (to 0- D8.25) Следовательно, дипольный момент осциллирует с частотой внешнего поля волны ©, а амплитуда этих осцилляции изменя- изменяется сравнительно медленно с часто- частотой 2Q. Максимального значения диполь- дипольный момент достигает в тот момент времени, когда cos (Ш) = sin (О г) = / 49. Динамика спина в переменном магнитном поле Описывается квантовая динамика спина в переменном магнитном поле Постановка задачи. В § 38 был по- построен оператор спина и с его по- помощью полностью рассмотрено дви- движение спина в постоянном магнитном поле, которое сводится к его прецес- прецессии. Проекция спина на направление индукции магнитного поля является интегралом движения. Изменение на- направления спина на обратное не про- происходит. В переменном магнитном поле картина движения спина коренным образом изменяется и возможно из- изменение его направления на обратное. Спин в магнитном поле имеет два энергетических состояний и, следова- следовательно, является двухуровневой си- системой. Все двухуровневые квантовые системы обладают рядом общих свойств, которые, в частности, были рассмотрены в § 48 на примере двух- двухуровневого атома. Спин в перемен- переменном магнитном поле ведет себя ана- аналогично двухуровневому атому в переменном электрическом поле.
260 10. Взаимодействие атома с электромагнитным полем Будем считать, что составляющая магнитного поля по оси Z постоянна, а составляющая в плоскости XY из- изменяется со временем: В = В0 + ВA)(/), D9.1) где В@) = (ОАД<20)),ВA)(г) = [^ХЧ&уи{1)Щ. D9.2) Оператор Гамильтона для спина в магнитном поле определяется форму- формулой C8.4) и имеет вид Я = - (g/m)(B@> + BA)) • s. D9.3) Оператор спина s выражается фор- формулами C6.5) —C6.7). Напомним, что формулы C6.5)-C6.8) дают представ- представление спина в базисе собственных век- векторов его Z-проекций. Уравнение Шредингера. Зависящее от времени уравнение Шредингера с гамильтонианом D9.3) имеет вид ПА ?(/) > = Н ?(/) >, D9.4) / At где на основании C8.6) qh ( Щ 2т Wxl) + D9.5) В последующем для упрощения написания формул учтем, что — qfi/Bm) = еН/Bте) = \iB- магнетон Бора. Решение уравнения. Решение урав- уравнения D9.4) ищем в виде |Ч»(г)> = a+(t)\Z, + > + a_(/)|Z, - >, D9.6) где |Z, + ) и \Z, — )-базисные функ- функции в собственном представлении оператора спина [см. C6.2)]. Под- Подставляя D9.6) в D9.4) и принимая во внимание C6.2), получаем iAtXa + • D9-7) Тогда ~7~d7 D9.8) / At Для упрощения дальнейших вы- вычислений будем считать, что индук- индукция магнитного поля в плоскости XY описывается формулами В*,11 = Bf-^ cos(iat), Bf1 = S^1'sin (юг)- D9.9) Отсюда &" ± iB1^ = B^] [cos(со/) ± /sin(со/)] = = B^expd /со/). D9.10) Введя обозначение цв В[0) = Е, пред- представим уравнения D9.8) в виде НАа+ i At = Еа+ + цвВ@1)ехр(— Ш)а_, D9.11) + - Еа_. i At Для решения D9.11) перейдем к новым неизвестным функциям b + (t) и b_(t) по формулам D9.12) Полезно сравнить D9.12) с D8.15) и с последующим ходом решения уравне- уравнений в § 48. Подставляя D9.12) в D9.11), находим ПАЬ4 i At - /(со - D9.13)
§ 50. Теория дисперсии 261 Особенно просто эти уравнения реша- решаются при а> = 2Е/К, D9.14) когда они приобретают вид db+ dZ>_ dt где dt D9.15) D9.16) Решение уравнений D9.15), удо- удовлетворяющих начальному условию Ь+ @) = 0, задается формулами b+ = sin(Q0, b_=i cos(fi/). D9.17) В решении D9.17) можно добавить еще общий произвольный множи- множитель, который по условиям нор- нормировки функции D9.6) на единицу полагаем равным единице. С учетом D9.17) и D9.12) волновая функция D9.6) принимает свою окончатель- окончательную форму. |ЧЧО > = sin(fir)exp(- iEt/R)\Z, + > + + icosCltexp(iEt/R)\Z, - >. D9.18) Вычисление средних значений опера- оператора спина проводится аналогично тому, как это сделано в § 38 [см. C8.13), C8.15)]. В результате вычис- вычислений средних в состоянии [4A)) на- находим: <О = (/*/2)[sin2(?20 - cos2(ПО] = = (-h/2)cosBQt), D9,19) <^> = - (h/2)sinBut)sinBEt/h), D9.20) (sy) = (^/2)sinBn0cosB Et/Л). D9.21) Прецессия спина. Формула D9.19) показывает, что Z-проекция спина осциллирует с частотой 2?1 между положительным и отрицательным на- направлениями. Из D9.20) и D9.21) сле- следует, что в плоскости XY проекция спина вращается вокруг оси Z с частотой 2Е/Н и модулируется по величине с частотой 2Q. Это означает, что спин осуществляет прецессионное движение вокруг оси Z с частотой 2Е/Н и одновременно изменяет с частотой 2Q угол между «своим на- направлением» и осью Z. Так образует- образуется аналогия между движением спина в магнитном поле и движением гирос- гироскопа, на который действует момент внешних сил, стремящихся изменить угол прецессии гироскопа. 50. Теория дисперсии Даегся постановка задачи теории дисперсии и решение соответствующей квантово-механиче- ской задачи. Задача теории дисперсии. Из клас- классической электродинамики известно, что показатель преломления п среды связан с диэлектрической восприимчи- восприимчивостью у. среды соотношением и2 - 1 = х, E0.1) причем х связано с поляризован- ностью Р и напряженностью электри- электрического поля S равенством Р = Х?п E0.2) где е0 - диэлектрическая постоянная. Однако поляризованность Р равна сумме дипольных электрических мо- моментов р отдельных атомов, находя- находящихся в единице объема: Р = ?р. E0.3) Электрический момент р каждого атома можно разбить на две части: Р = Pi = Р2- Здесь первая часть не зависит от на- напряженности внешнего поля и ориен- ориентирована беспорядочно, так что вклад от этой части в сумму E0.3) равен в среднем нулю. Вторая часть р2 индуцируется внешним полем и
262 10. Взаимодействие атома с электромагнитным полем направлена по напряженности поля: р2 = ае06°, E0.4) где а-атомная диэлектрическая вос- восприимчивость. Подставляя E0.4) в E0.3) и сравнивая результат с E0.2), находим х = Na, E0.5) где N- концентрация атомов. Задача теории дисперсии заключается в вы- вычислении показателя преломления п, т. е. величин а и к. Нахождение волновой функции. Считая падающий на атом свет моно- монохроматическим, а длину его волны- много большей размеров атома или молекулы, можно электрическое поле световой волны в атоме (или моле- молекуле) представить в виде <? = &0 cos (со?). E0.6) При решении задачи поле световой волны рассматривается как возмуще- возмущение, причем, очевидно, энергия воз- возмущения равна V = - qS0 ¦ г cos (со?) (q= -е). E0.7) Действие магнитного поля световой волны на движение электрона имеет порядок v/c и в нерелятивистском слу- случае перенебрежимо мало. Тогда урав- уравнение Шредингера П д ^ \ H{O))X?=V4>, E0.8) i 8t 1 где //*0>- невозмущенный гамильто- гамильтониан, собственные функции которого Ч*!,0' и собственные значения ?„@' из- известны. Пусть до момента / = 0, когда на атом начала действовать световая волна, он находился в стационарном состоянии Ч*!,0)(г). Решение Ч*„(г, t) уравнения E0.8) будем искать в виде E0.9) где со„ = Е^УП, а функции /„ и ср„ считаются того же порядка малости, что и возмущение. Подставляя E0.9) в E0.8) и ограничиваясь членами первого порядка малости, получаем е'ш1[Й(со„ - со) - Я<0)]/„ + е-'т'[й(со„ + со) - -Я@)]Ф„= -^о-гае"» + e-b-O/WV). E0.10) Приравнивая между собой члены при одинаковых экспоненциальных мно- множителях, находим для определения/,, и ф„ следующие уравнения: [ЙК- со) - Я<0)]/„ = - fo/2)?0 • г?<». E0.11а) \Ь К + со) - Я<°>] ф„ - - (д/2)?0 ¦ rT<°»(r). E0.116) Представив искомые функции в виде /„ = Ф„ E0.12а) E0.126) - сои и подставляя эти выражения в E0.11), получаем E0.13а) (г). E0.136) После умножения E0.13) на Ч*!0'* и интегрирования по всему простран- пространству с учетом ортонормированности функций находим уравнения для определения коэффициентов Алк и Впк: «(©„- со,- <о)Ал = - (qPO0 Tg>, E0.14a) 0-1&\ E0.146) где E0.15)
§ 50. Теория дисперсии 263 -матричные элементы радиуса-векто- радиуса-вектора г. Решение уравнений E0.14) вы- выражается формулами А* = " ^о • РЙ'/Р» («о,* - (о)], E0.16а) Впк = - ?0 ¦ РЙУРМш* + ш)], E0.166) где сопк = со„ — а>к - собственные часто- частоты излучения атома, р^' = </rJ,°'-мат- </rJ,°'-матричный элемент вектора электричес- электрического дипольного момента. С учетом E0.16) и E0.12) выражение E0.9) можно записать в виде Г eto( e-iW| "I + Ч»<°> (Г) Ыпт -со ы„т + coj E0.17) Атомная диэлектрическая воспри- восприимчивость. Чтобы вычислить коэф- коэффициент атомной диэлектрической восприимчивости по формуле E0.4), необходимо найти электрический дипольный момент системы, индуци- индуцируемый световой волной. Для этого необходимо определить E0.18) с точностью до величин, линейных по $0. Учитывая, что где ,. + со)], E0.19а) E0.196) птРп 4 W ъ т + '' nmVnm получаем п - n@) — Vnn — Vnn \ КптРпт nmVnm E0.20) Чтобы перейти к величине х [см. E0.2)], необходимо произвести сум- суммирование по всем молекулам, на- находящимся в единице объема. При этом результирующий момент едини- единицы объема будет направлен по элек- электрическому вектору световой волны, поскольку это направление является единственно выделенным. Пусть для определенности электрический вектор световой волны направлен вдоль оси Y. Тогда из E0.20) найдем & = Р, = N(pJ, = - со) co),E0.21) где итп = ytm- Принимая во внимание, что Fnm + F*m = 4conmcos(co?)/(co2m - со2), E0.22) можно выражение E0.21) переписать: 1 I |2 1 „ ^ — $0 cos (со/) >. т nm E0.23) При выводе этой формулы была допущена непоследовательность, которая заключается в следующем. Учтено, что направление вектора вдоль электрической напряженности поля (ось У) является выделенным и закрепленным в пространстве. Соб- Собственные же функции, с помощью которых вычислялись матричные эле- элементы, найдены относительно не- некоторых осей, твердо закрепленных относительно атомов. Однако, по- поскольку атомы ориентированы про- произвольно относительно выделенного направления, среднее значение квад- квадрата координаты вдоль выделенного направления ничем не отличается от среднего значения квадрата коор- координаты в любом другом направле- направлении. Учитывая, что </> = <х2> = <z2> = <г2>/3, (У) = <*> = <^> = 0, E0.24)
264 10 Взаимодействие атома с электромагнитным полем а = E0 28) 86 Отрицательная дисперсия Л! «п/Л 87 Аномальная дисперсия имеем f2We2 со 1г 1 = E0.25) где «тл = — а>пт и принято во внима- внимание равенство E0.6). Сравнивая E0.25) с E0.2), получаем 2 и — 1 = comjrmj2 E0.26) Для сравнения с классической теорией это равенство удобно переписать так: -2 Nf т" E0.27а) п1 - 1 = ;?«?.-ю2' где /„л = [2тг/C/г)]сот„|гт„|2 E0.276) -силы осцилляторов, причем те-мас- те-масса электрона. Из сравнения E0.27) с E0.1) и E0.5) находим коэффициент атомной диэлектрической воспри- восприимчивости: В классической теории вместо E0.27а) известна формула «2-i = — I-r-^-j. E0-29) ™,е0 , со? - со2 где ю, - собственные частоты колеба- колебаний электронов в атомах (собствен- (собственные частоты «атомных осциллято- осцилляторов»); N, - концентрация осциллято- осцилляторов, имеющих собственную частоту ш,. Таким образом, из смысла вели- величин Nt следует, что они должны быть целыми положительными числами. В квантовой теории величины Nfmn имеют другой смысл, нежели вели- величины N, в классической теории. Сум- Сумма дисперсионных членов вида fmJi^mn —ю2) имеется в квантовой теории и в случае одного электрона. При этом выполняется правило сумм для сил осцилляторов: Y.fmn = 1. E0.30а) т Это равенство доказывается на осно- основе полноты системы собственных функций, относительно которых вы- вычисляются матричные элементы. В классической теории вместо E0.30а) выполняется соотношение E0.306) Величины NJN могут быть только положительными. В квантовой же теории сила осцилляторов E0.276) может прини- принимать и отрицательные значения. Это будет в том случае, когда атом на- находится в возбужденном состоянии п и среди состояний т будут такие, для которых (оти < 0(?^' < ?J,0)). При этом показатель преломления с увеличени-
§ 51 Комбинационное рассеяние 265 ем частоты уменьшается, вместо того чтобы увеличиваться. Это явление называется отрица- отрицательной дисперсией (рис. 86). Не сле- следует эту отрицательную дисперсию путать с аномальной дисперсией (рис. 87), которая объясняется клас- классической теорией и наблюдается лишь в окрестности собственных час- частот атомов. Отрицательная же дис- дисперсия существует вне окрестности собственных частот. 51. Комбинационное рассеяние Описываются процессы, приводящие к комбинационному рассеянию света Дипольное приближение. Электричес- Электрические свойства нейтральной системы характеризуются в первом приближе- приближении ее дипольным моментом. По- Поэтому при рассмотрении взаимодей- взаимодействия электрически нейтральной кван- квантовой системы (атома, молекулы и т.д.) последняя в первом приближе- приближении характеризуется ее дипольным моментом (см. § 50). Однако все вы- вычисления можно провести без всяких изменений и для другой квантовой системы, если под дипольным момен- моментом и волновыми функциями Ч"„0) понимать дипольныи момент и вол- волновые функции этой системы. По- Поэтому целесообразно в этой главе описать комбинационное рассеяние, несмотря на то что оно является типично молекулярным. Рэлеевское рассеяние. Падающая на квантовую систему световая волна индуцирует в ней состояние, описыва- описываемое волновой функцией E0.17). В этом состоянии в квантовой системе индуцируется электрический диполь- дипольныи момент E0.20). Отметим, что расчеты были проведены в предпо- предположении справедливости представле- представления энергии взаимодействия кванто- квантовой системы и электромагнитного поля в виде E0.7), что справедливо лишь при условии малости области эффективного взаимодействия по сравнению с длиной световой волны. Из E0.20) с учетом E0.19а) следует, что дипольныи момент осциллирует с частотой падающего света и благо- благодаря этому в свою очередь излучает свет этой же частоты, который на- называется рассеянным. Таким образом, процесс рассеяния света сводится к переизлучению энергии, поглощенной квантовой системой из падающего на него светового потока. При этом частота рассеянного света равна ча- частоте падающего. Такое рассеяние называется рэлеевским. Комбинационное рассеяние. Наряду с рассеянием без изменения частоты возбужденная световой волной кван- квантовая система может в определенных условиях переизлучать энергию с из- изменением частоты. Это излучение с изменением частоты обусловливает некогерентное рассеяние света, по- поскольку вследствие различия частот падающего и рассеянного излучений между ними не может существовать никакого определенного фазового со- соотношения. Некогерентное рассеяние с изменением частоты называется комбинационным. Оно было открыто Раманом и Кришнаном в жидкостях и газах и независимо Мандельштамом и Ландсбергом в твердых телах. Под действием света в квантовой системе из состояния Ц"^)(г)е~1СО"' воз- возбуждается состояние ТДгД описыва- описываемое формулой E0.17). Из состояния Ч^0)(г)ехр( — i(okt) под действием света возникает состояние Ч'ДгД описывае- описываемое формулой E0.17) с заменой в ней индекса п на индекс к. Между этими возбужденными состояниями воз- возможны переходы с излучением. Вме-
266 10 Взаимодействие атома с электромагнитным полем сто E0.19) получаем E1.1) и, следовательно, для матричного элемента электрического момента перехода ркп между состояниями п и к вместо E0.20) имеем W*mp<°J] = - [1/BЙ)]Е Щт + (о 'o'PJlk Wkm  colm — со J х exp[-((co-coj/]. E1.2) Значит, кроме частоты излучения сок„, совпадающей с частотой излучения рассматриваемой системы в отсут- отсутствие внешней световой волны, из- излучаются также частоты со,™ = со + щт. E1.3) Таким образом, в рассеянном све- свете наряду с частотой со падающего света имеются частоты соком. Из E1.3) видно, что частота комбинационного рассеяния является комбинацией час- частоты со падающего света и частот cofcm, характерных для квантовой системы. Этим объясняется название «комби- «комбинационное» для такого вида рассея- рассеяния. В иностранной литературе оно чаще называется римановским рассея- рассеянием. В опытах Рамана и Кришнана величины <дкп являлись частотами мо- молекулярных колебаний молекул жид- жидкости и газа, а в опытах Мандель- Мандельштама и Ландсберга - молекул кри- кристалла. Здесь использовано выраже- выражение «молекулярных колебаний моле- молекул», чтобы отметить, что речь идет не о колебательном движении моле- молекулы как целого, а о колебаниях частей молекулы. «Переизлучение энергии» в кван- квантовой теории сводится к представле- представлению о рассеянии как о поглощении падающего на систему фотона с по- последующим испусканием рассеянного фотона. Энергетический спектр моле- молекулы образуется электронным спект- спектром входящих в нее атомов и коле- колебательными и вращательными уров- уровнями энергии молекулы. Колебатель- Колебательные движения и вращательные движе- движения молекулы квантованы и соответ- соответствующие энергетические уровни дис- дискретны. Комбинационное рассеяние образуется в результате переходов между колебательными уровнями. Разность энергий между соседними уровнями равна Ш. Если молекула поглощает падающий фотон с энерги- энергией /ко, то может случиться, что энер- энергия Ш будет затрачена для перехода молекулы на более высокой энергети- энергетический уровень. Оставшаяся энергия (Йсо — Ш) = Л (со — Q) испускается в виде рассеянного фотона частоты со — О. При переходе из возбужден- возбужденного по колебательным уровням энергии состояния на более низкий энергетический уровень молекула может освободившуюся при этом энергию НО. передать рассеиваемому фотону, энергия которого при этом равна /гсо + Ш = /z(co + Q), т. е. часто- частота фотона увеличивается. В спектре комбинационного рассеяния линии излучения с уменьшением частоты на- называются стоксовыми, а с увеличе- увеличением частоты-антистоксовыми. При не очень высоких температурах моле- молекулы по энергиям распределены в со- соответствии с распределением Больц- мана и число молекул, способных принять участие в образовании сток- совых компонент комбинационного рассеяния, больше, чем в образовании
Ы Комбинационное рассеяние 267 антистоксовых. Поэтому интенсив- интенсивность стоксовых компонент больше антистоксовых. При увеличении тем- температуры эта разность уменьшается из-за относительного увеличения числа возбужденных молекул, способ- способных принять участие в образовании антистоксовых компонент. Сказанное выше о комбинацион- комбинационном рассеянии света, возникающем за счет колебательных уровней молеку- молекулы, может быть распространено и на вращательные уровни. У вращатель- вращательного спектра комбинационного рас- рассеяния света наблюдаются аналогич- аналогичные закономерности. Вращательный спектр комбинационного рассеяния света представляет собой последова- последовательность практически равноотстоя- равноотстоящих друг от друга линий, симметрич- симметрично расположенных относительно ли- линии с частотой возбуждающего света. Частоты линий являются комбина- комбинациями вращательных частот молеку- молекулы и частоты возбуждающего света. Интенсивность линий комбина- комбинационного рассеяния обусловливается его вероятностью P = alo(b + I), где а и b - постоянные, /0 и /-интен- /-интенсивности возбуждающего и рассеян- рассеянного излучений. При небольших ин- тенсивностях возбуждающего излуче- излучения член alol весьма мал и им можно пренебречь. Интенсивность линий комбина- комбинационного рассеяния света зависит от частоты возбуждающего света. При больших расстояниях по частотам от области электронного поглощения молекул она пропорциональна со4, а при приближении к полосе электрон- электронного поглощения происходит более быстрый рост интенсивности комби- комбинационного рассеяния света. Линии комбинационного рассея- рассеяния света частично поляризованы, причем различные спутники одной и той же возбуждающей линии имеют различную степень поляризации, но характер поляризации стоксова и ан- тистоксова спутников всегда одина- одинаков. При увеличении интенсивности возбуждающего света возникает вы- вынужденное комбинационное рассея- рассеяние света. Оно обусловлено тем, что возникшее в результате рассеяния из- излучение на комбинационных частотах в свою очередь становится возбуж- возбуждающим излучением, которое дейст- действует на молекулы рассеивателя. Бла- Благодаря этому в молекулах происхо- происходит раскачка колебаний, приводящая к усилению переизлучения на комби- комбинационных частотах. Если рассмот- рассмотреть этот процесс в классической мо- модели излучения по этапам, то он раз- развивается следующим образом. Сум- Суммарное электрическое поле падающей и рассеянной волн вызывает поля- поляризацию молекулы, а возникающий при этом дипольный момент моле- молекулы пропорционален суммарной на- напряженности электрического поля па- падающей и рассеянной волн, т.е. ко- колеблется с соответствующей комби- комбинационной частотой. Благодаря это- этому потенциальная энергия взаимодей- взаимодействия ядер в молекуле изменяется на величину, пропорциональную произ- произведению дипольного момента на квадрат суммарного электрического поля. Такое заключение можно сделать по аналогии с теми соображениями, которые следуют из рассмотрения квадратичного эффекта Штарка (см. § 47). Вследствие изменения потен- потенциальной энергии ядер на них дей- действует дополнительная внешняя сила, которая содержит компоненту с раз- разностной частотой Доз, которая вызы- вызывает резонансное возбуждение коле-
268 10 Взаимодействие атома с электромагнитным полем баний атомов на этой частоте. Это резонансное возбуждение колебаний атомов приводит к увеличению ин- интенсивности комбинационного рас- рассеяния. Это усилившееся комбина- комбинационное рассеяние посредством опи- описанной цепочки процессов приводит к дальнейшему увеличению своей ин- интенсивности и т. д. Таким образом, рассеянный свет посредством воздей- воздействия на молекулы стимулирует уси- усиление своей интенсивности. Этот про- процесс при больших интенсивностях возбуждающего первоначального из- излучения действует весьма интенсивно, в результате чего интенсивность рас- рассеянного на комбинационных часто- частотах излучения становится почти рав- равной интенсивности возбуждающего первоначального излучения. Комби- Комбинационное рассеяние света при су- существенной роли описанного выше механизма рассеяния называется вы- вынужденным (или стимулированным) комбинационным рассеянием. Комбинационное рассеяние света является очень эффективным мето- методом исследования строения молекул и их электромагнитных свойств. Су- Существенным моментом при этом яв- является то обстоятельство, что спектр комбинационного рассеяния света и инфракрасный спектр поглощения не совпадают ввиду того, что они опре- определяются различными правилами от- отбора. Сравнение спектра комбина- комбинационного рассеяния света и инфра- инфракрасного спектра одной и той же мо- молекулы позволяет сделать заключение о симметрии нормальных колебаний. Из анализа симметрии нормальных колебаний можно сделать суждение о симметрии молекулы в целом и ее структуре. В физике твердого тела методами комбинационного рассея- рассеяния света эффективно изучаются воп- вопросы, связанные с экситонами. Спект- Спектры комбинационного рассеяния по- позволяют надежно идентифицировать соединения и обнаруживать их в сме- смесях. Особенно значительно повыси- повысилась эффективность комбинационно- комбинационного рассеяния света в научных иссле- исследованиях после появления мощных лазерных источников излучения. Ла- Лазерные источники позволили прово- проводить исследования в малых объемах и при малых количествах исследуемого вещества. юл. 10.2. 10.3. Задачи Найти расщепление терма 'D2 в магнитном поле 20 Тл. На сколько компонент расщепится в опыте Штерна и Герлаха пучок атомов, находящихся в состоянии 2D3/2? Схема расщепления уровней главной серии натрия приведена на рис 83. Длины волн дублета, возникающего в результате перехода ЪР -> 3S, равны 589,593 и 588,996 нм. Пользуясь схемой расщепления уровней в магнитном поле, найти индукцию магнитного поля, при которой нижний подуровень терма 2Р3,2 сольется с верхним подуровнем герма 10.4. Сколько ориентации орбитального магнитного момента ц, возможно для «/-состояния электрона? 10.5. Найти нормальное зеемановское расщепление линии с X = 500 нм в спектре газообразного водорода, находящегося в магнитном поле с индукцией 0,8 Тл. Ответы 10.1. 0,23-10 эВ. 10.2. 4. 10.3. 16 Тл. 10.4. 5. 10.5. 0,941 нм.
52 Атом гелия 11 53 Приближенные методы расчета сложных атомов МНОГОЭЛЕКТРОННЫЕ АТОМЫ 54 Электронные конфигурации и идеальная схема заполнения оболочек 55 Периодическая система элементов Менделеева Главный физи- физический фактор, обусловливающий специфику свойств многоэлект- многоэлектронных атомов, сводится к доми- доминирующей роли многочастичных взаимодействий - каждый элек- электрон взаимодействует не только с ядром, но и со всеми другими электронами атома Это обстоя- обстоятельство не приводит к каким- либо усложнениям в формулировке и постановке теоретических задач, но усложняет их решение, которое должно быть самосогласованным. 56 Трансурановые элементы 57 Рентгеновские спектры
270 11 Многоэлектронные атомы 52. Атом гелия Излагается элементарная теория атома, элект- электронная оболочка которого образована двумя электронами Рассматриваются основные физи- физические понятия, специфичные для многоэлект- многоэлектронных атомов Непригодность старой теории Бора. Простейшим после атома водорода является атом гелия, электронная оболочка которого состоит из двух электронов. Однако, несмотря на сравнительную простоту атома гелия, попытки построить его теорию в рам- рамках старой теории Бора не увенчались успехом. В дальнейшем стало ясно, что старая теория Бора в принципе не могла дать решения проблемы атома гелия. Это обусловлено главным об- образом двумя обстоятельствами. Во- первых, квантовая теория Бора не позволяет учесть наличие обменной энергии, существование которой явля- является чисто квантовым эффектом. А обменная энергия в многоэлектрон- многоэлектронных системах, в том числе и в атоме гелия, играет существенную роль. Во-вторых, старая теория Бора не учитывает наличие спина у электрона. Эффекты, связанные со спином, суще- существенны для многоэлектронных сис- систем, и без их учета невозможно пол- полное объяснение многих особенностей этих систем. Уравнение Шредингера. Движение частицы в потенциальном поле описы- описывается уравнением Шредингера E2 1а) где Н = р2/Bт) E2.16) -гамильтониан частицы, т.е. ее пол- полная энергия, выраженная как функция импульса и координаты. Импульс и координата рассматриваются как операторы в соответствии с их опре- определениями A8.3) и A8.7). Если уравне- уравнение E2.1а) для одной частицы рас- расписать более подробно, то оно имеет вид V2? + Bт/П2) (Е - ?„)? = 0. E2.2) В атоме гелия имеется два электрона. Полная энергия системы слагается из следующих частей: а) кинетических энергий обоих электронов Ек1=р2/Bт), Ек2 = Р2/Bт), б) потенциальных энергий обоих электронов в одном и том же поле ядра атома ?m(ri), En2{r2), где Tj и г2 - радиусы-векторы первого и второго электрона; в) энергии взаимодействия между электронами ?П12 = ?„21 = e2l{Anzor12) = = е2/Dкг0\Г1-г2\), где г12-расстояние между электрона- электронами. Таким образом, гамильтониан системы H = pl/Bm)+p22/Bm) + EJl(r1) + + ?п(г2) + ?п12(|г1-г2|). E2.3) Естественно считать, что уравне- уравнение Шредингера для системы из двух электронов имеет вид E2.1), но с вы- выражением для Н по формуле E2.3). Волновая функция Ч/ при этом за- зависит от координат обоих электро- электронов, т. е. от шести переменных. Таким образом, вместо уравнения E2.2) по- получаем следующее уравнение Шредин- Шредингера для определения волновой функ- функции Ч^Гц г2): V^F + VfF + Bm/h2)lE - ^(i^) - - Еп2(т2) - Еп12]Ч = 0, E2.4а) где
i? 52. Атом гелия 271 E2-4б) Физическая интерпретация волно- волновой функции *Р аналогична той, кото- которая была дана в случае одного элек- электрона: ^(i*!, г2)|2-плотность вероят- вероятности найти первый и второй элек- электроны соответственно в точках с радиусами-векторами rt и г2. Задача состоит в том, чтобы найти собственные значения и собственные функции уравнения E2.4). Требова- Требования, налагаемые на собственную функцию, те же, что и в случае одного электрона. Решение задачи в случае пренеб- пренебрежения взаимодействием между элек- электронами и без учета спинов электро- электронов. Точное решение уравнения G1.4а) - очень сложная задача. Пер- Первым шагом в ее решении является выделение главных, определяющих, взаимодействий. Энергия взаимодей- взаимодействия каждого из электронов с ядром больше, чем энергия взаимодействия электронов друг с другом. Поэтому в первом приближении можно пренеб- пренебречь энергией взаимодействия Еп12 и вместо E2.4а) рассматривать уравне- уравнение V2lF + Vf? + Bт/П2)(Е - Еп1 - Еп2)Ч> = О, E2.5) где Еп1 = Enl{rx) и Еа2 = ?п2(г2)-по- тенциальные энергии первого и вто- второго электронов. Поскольку взаимодействие между электронами не учитывается, каждый из электронов считается движущимся в поле ядра совершенно независимо от движения другого электрона. Сле- Следовательно, вероятность его нахожде- нахождения в той или иной точке простран- пространства и его энергия не зависят от со- соответствующих вероятностей и энер- энергии другого электрона. Значит, энер- энергия двух электронов равна сумме энергий электронов: Е = Еа(\) + ад, E2.6) где Еа(\)-энергия первого электрона, находящегося в состоянии а; ЕьB)- энергия второго электрона, находя- находящегося в состоянии Ь. Вероятность осуществления двух независимых со- событий равна произведению вероятно- вероятностей осуществления каждого из собы- событий. Учитывая интерпретацию волно- волновой функции *Р и независимость дви- движений электронов, можно написать ТA, 2) = ^A)^B), E2.7) где Ч»вA) = *Рв(гД Ч'ьB) = У„(г2)-со- ответственно волновые функции пер- первого и второго электронов, находя- находящихся в состояниях а и Ь. Подставляя E2.6) и E2.7) в E2.5), находим + Bт/П - Ел2] Ч>„B)} = 0. E2.8) Учитывая, что функция *Fe(l) не- независима от *Р6B), из E2.8) получаем = Я.*.A), E2.9а) V22 Ч»ьB) + Bт/П2) [?„B) - ?п2] Т„B) = = - а.?»B), E2.96) где X - произвольная постоянная. Можно считать, что эта постоянная включена в величины Еа и Еь. По- Поэтому уравнения E2.9а) и E2.96) для определения волновых функций Ч*аA) и 4^B) и собственных значений ?аA) и ЕьB) принимают вид 1) + Bт/П2)(Еа - ?п1)Ч/вA) = 0, E2.10а) 2) + BтЩ2)(Еь ~ Еа2)Ч>ьB) = 0. E2.106) Это уравнение движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом
272 11 Многоэлектронные атомы + 2е, которое было подробно рас- рассмотрено в задаче о водородоподоб- ном атоме. Собственные функции и собственные значения задаются фор- формулами C0.39а) и C0.24а). Электроны могут находиться в различных со- состояниях независимо друг от друга. Распределение вероятностей место- местоположения электронов независимо друг от друга и для каждого элек- электрона совпадает с распределением ве- вероятностей в водородоподобном ато- атоме. Полная энергия равна сумме энер- энергий электронов. Энергетические уров- уровни каждого из электронов совпадают с энергетическими уровнями водородо- подобного атома. Однако такая срав- сравнительно простая картина существен- существенно изменяется, если принять во внима- внимание взаимодействия электронов и их спины. Тождественность различных элек- электронов. Электрон является точечной частицей с определенной массой и спином. Все физические свойства раз- различных экземпляров электронов ана- аналогичны друг другу. Поэтому если один из электронов заменить другим, то в любой ситуации ничего не из- изменится. Обменное вырождение. Волновая функция E2.7) представляет решение уравнения E2.5) с собственным значе- значением энергии Е = Еа + Еъ. Очевидно, что из-за идентичности электронов ничего не изменится, если электрон 2 поместить в состояние а, занимаемое электроном 1, а электрон /-в состоя- состояние Ь, занимаемое электроном 2, т. е. ничего не изменится, если электроны поменять местами. Следовательно, волновая функция, получающаяся в результате такой перемены мест электронов, также является решением уравнения E2.5). Таким образом, на- наряду с волновой функцией E2.7) ре- решением уравнения E2.5) будет вол- волновая функция ЧЧ2, 1) = 1), E2.11) принадлежащая тому же собствен- собственному значению Е = Еа + Еь. Непосред- Непосредственная подстановка E2.11) в E2.5) показывает, что это действительно так. Таким образом, имеются две волновые функции, принадлежащие одному и тому же собственному зна- значению, т.е. собственное значение энер- энергии вырождено, что является резуль- результатом идентичности электронов. Это вырождение называется обменным. Симметрия волновых функций. Из тождественных электронов следует, что плотность вероятности найти первый электрон в точке г1? а вто- второй-в точке г2 равна плотности ве- вероятности найти второй электрон в точке г1? а первый-в точке г2. По- Поэтому \Ч>(\, 2)|2 = |ЧЧ2, 1)|2. E2.12) Тогда должно соблюдаться одно из равенств: Ч*A, 2) = Ч»B, 1) E2.13) либо ?A, 2)= -ЧЧ2, 1), E2.14) т. е. волновая функция должна быть либо симметричной, либо антисим- антисимметричной. Волновые функции E2.7) и E2.11) непригодны для описания движения электронов с учетом их тождественности, потому что они не обладают определенными свойства- свойствами симметрии, т. е. они не являются ни симметричными, ни антисиммет- антисимметричными. Однако с их помощью можно построить искомые симметрич- симметричные и антисимметричные функции. Уравнение E2.5)-линейное диф- дифференциальное уравнение. Поэтому сумма его решений с произвольными постоянными коэффициентами явля-
52 Атом гелия 273 ется также решением. Следовательно, функции E2.15) .Ь11» E2.16) также решения уравнения E2.5), удов- удовлетворяющие требованиям, налага- налагаемым на волновые функции, т. е. вол- волновые функции. Но в отличие от E2.7) и E2.11) волновые функции E2.15) и E2.16) обладают определен- определенными свойствами симметрии: vP( + ) A,2) - симметричная волновая функция, ^""'(l, 2)-антисимметрич- 2)-антисимметричная. Поэтому эти функции в принципе приюдны для описания движения электронов с учетом их тождествен- тождественное 1 И. Выше обсуждалась тождествен- тождественность электронов. Но, конечно, раз- различные протоны также тождественны друг другу, различные нейтроны так- также обладают свойством тождествен- тождественности и т.д. Поэтому все сказанное выше о тождественности электронов и выводы из этой тождественности относятся также и к другим эле- элементарным частицам. В частности, для описания системы элементарных частиц пригодны не любые волновые функции, а лишь волновые функции с определенными свойствами симмет- симметрии: либо симметричные, либо анти- антисимметричные. Какие конкретно, т. е. симметричные или антисимметрич- антисимметричные, функции должны быть взяты для описания той или иной элементарной частицы, зависит от ее спина. Очевидно, что волновые функции E2.15) и E2.16) принадлежат одному и тому же собственному значению Е = Еа + Еь. Однако такое утвержде- утверждение не справедливо, если учитывает- учитывается взаимодействие между электро- электронами. Обменное вырождение и симметрия волновых функций с учетом взаимо- взаимодействия между электронами. При наличии взаимодействия между элек- электронами их волновая функция уже не может быть представлена в виде про- произведения волновых функций каждого из электронов, т. е. в виде E2.7) или E2.11) или в виде их линейных комби- комбинаций E2.15) и E2.16). Благодаря этому обменного вырождения при учете взаимодействия между электро- электронами нет. Свойства же симметрии волновых функций E2.13) и E2.14) должны сохраниться и при учете взаимодействия между электронами, поскольку эти свожлва симметрии являются следствием тождественно- тождественности частиц, которые сохраняются и при наличии взаимодействия. Однако при наличии взаимодействия сим- симметричные и антисимметричные функ- функции принадлежат различным соб- собственным значениям. Волновые функции электрона с учетом спина. Физические свойства спина, оператор спина и вектор спина были подробно рассмотрены в § 34, 36, 38 и 49. Поскольку в этом пара- параграфе все расчеты проводятся в х-пред- ставлении, вектор спина будем назы- называть волновой функцией спина и обоз- обозначать S( + )@, &~\i) (i= 1, 2, ...), где /-номер электрона, к которому от- относится волновая функция; S(+)- волновая функция спина, проекция которого на выделенное направление (обычно ось Z) положительна (равна /г/2); S(~]~волновая функция с отрица- отрицательной проекцией спина на выделен- выделенное направление. Обозначим ms кван- квантовое число проекции спина (т — = + 72)- Спин электрона слабо взаимодей- взаимодействует с его пространственным дви- движением. Если Ч^О)- волновая функ- функция электрона, описывающая его про- 18 219
274 11. Многоэлектронные атомы ¦странственное движение, то полная волновая функция с учетом спина имеет вид Va(l)S(+)(l) или «РвAM<->A) E2.17) в зависимости от ориентации спина. Спиновая функция двух электро- электронов может быть представлена как произведение спиновых функций от- отдельных электронов. Очевидно, что из двух спиновых функций электро- электронов можно в принципе образовать следующие произведения: E2.18а) E2.186) E2.18b) E2.18r) В случае а) проекции спинов обоих электронов положительны, в случае б) проекции спина электрона 1 поло- положительна, а электрона 2 отрицатель- отрицательна и т. д. Из-за тождественности элек- электронов можно заключить, что вол- волновая функция должна обладать опре- определенной симметрией, т. е. быть либо симметричной, либо антисимметрич- антисимметричной. Из E2.18) только функции а) и г) обладают определенной сим- симметрией - являются симметричными функциями относительно перестанов- перестановки электронов. Функции же б) и в) не обладают определенной симметрией. Однако из них можно образовать симметричную и антисимметричную комбинации: E2.19) Таким образом, окончательно по- получаем следующие спиновые волно- волновые функции: а) симметричные функции ms = 5<-'(i)S<-»B) I E2.20a) 0 E2.206) -I E2.20b) б) антисимметричная функция С( + )( 1 Л О( ~~)(г)\ С( + )О\ С(~ )/ П П СО 1Г\г \ В § 37 уже говорилось о сложении векторов спинов с учетом простран- пространственного квантования, чтобы полу- получить полный спин системы электро- электронов. Проекция полного спина на из- избранное направление равна сумме проекций спинов: ms = m[1) + m{s2). E2.21) Указанные в формулах E2.20) кванто- квантовые числа ms получаются непосред- непосредственно по E2.21) с учетом опреде- определения волновых спиновых функций. Из формулы C7.22) следует, что квантовое число S полного спина двух электронов может быть либо 0, либо 1. Спрашивается: какие из вол- волновых функций E2.20а)-E2.20г) при- принадлежат полному спину 1 и какие принадлежат к полному спину 0? Прежде всего ясно, что функции E2.20а) и E2.20в) принадлежат пол- полному спину 1, поскольку при полном спине 0 невозможны проекции спина, отличные от нуля. Эти функции сим- симметричны. Если полный спин 1 описывается некоторыми функциями, то и линейная комбинация этих функ- функций должна описывать полный спин 1. Но линейная комбинация, чтобы стать волновой функцией, должна обладать определенной симметрией, а это возможно лишь тогда, когда составляющие ее функции обладают одинаковой симметрией. Отсюда сле- следует, что все функции, описывающие в данном случае полный спин 1, должны обладать одинаковой сим- симметрией. Поэтому функция E2.206)
52. Атом гелия 275 принадлежит так же, как и E2.20а) и E2.20в), полному спину 1. Волновая функция E2.20г) принадлежит полно- полному спину 0, поскольку она обладает другими свойствами симметрии. Сле- Следовательно, симметричные спиновые волновые функции E2.20а)- E2.20в) описывают триплетное состояние двух электронов (S = 1), а антисимметрич- антисимметричная спиновая волновая функция E2.20г) описывает синглетное состоя- состояние двух электронов (S = 0). Математическая формулировка принципа Паули. В § 37 принцип Пау- Паули был сформулирован так: два электрона не могут находил- находился в одном и том же квантовом со- состоянии, т. е. не может существовать двух электронов, все квантовые числа которых равны друг другу. Поэтому если, например, два элект- электрона имеют одинаковые главное кван- квантовое число п, орбитальное число / и магнитное mv то они должны иметь противоположно ориентированные спины, т.е. различные квантовые чис- числа ms (ms = 1/2, ms = — 1/2). Спраши- Спрашивается: какие следствия можно из- извлечь из этого принципа при построе- построении волновых функций? ** При учете взаимодействия электронов обменное вырождение отсутствует, но свойства симметрии волновых функций сохраняются, поскольку они являются следствием тождественности частиц, ко- которая соблюдается и при взаимодействии. Принцип Паули: полная волновая функ- функция электронов должна быть антисим- антисимметричной функцией относительно пере- перестановки любой пары электронов. Обменная энергия взаимодействия явля- является кулоновской энергией, возникающей благодаря квантовому эффекту обмена электронов между различными состоя- состояниями. Обменная энергия, знак которой определяется ориентировкой спинов, является величиной того же порядка, что и потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра, т.е. она значи- значительно больше энергии взаимодействия магнитных моментов электронов. Полная функция двух электронов равна произведению спиновой волно- волновой функции двух электронов на вол- волновую функцию их пространствен- пространственного движения. Если пренебречь взаимодействием электронов, то в качестве волновых функций простран- пространственного движения электронов мож- можно взять функции E2.15) и E2.16), обладающие определенной четно- четностью. Из двух функций E2.15) и E2.16) и четырех функций E2.20а)- E2.20г) в результате перемножения можно образовать всего восемь раз- различных полных волновых функций с определенной симметрией. Очевидно, что произведение двух симметричных функций - симметрич- симметричная функция, произведение двух анти- антисимметричных функций - симметрич- симметричная функция. Произведение симмет- симметричной функции на антисимметрич- антисимметричную - антисимметричная функция. Из восьми полных волновых функций четыре являются симметричными от- относительно перестановки электро- электронов и четыре-антисимметричными: а) антисимметричные функции: )(l)], E2.22а) E2.226) »(l), E2.22b) S(->A) S<^B); E2.22r) б) симметричные функции: S< + )B), E2.23a) S(-»B) + S( + )B) S(->A), E2.236) S<->B), E2.23b)
276 11 Многоэлектронные атомы A)]. E2.23г) Не все эти восемь волновых функ- функций допустимы с точки зрения прин- принципа Паули. При одинаковых кванто- квантовых числах двух электронов волновая функция должна обратиться в нуль. Рассмотрим случай одинакового орбитального движения, когда а = Ъ. Согласно принципу Паули, допусти- допустима лишь противоположная ориенти- ориентировка спинов электронов. Волновые функции E2.226)-E2.22г), описываю- описывающие ориентировку спина в одном и том же направлении, обращаются в нуль из-за обращения в нуль первого сомножителя. Волновая функция E2.22а) не равна нулю и описывает противоположно ориентированные спины. Таким образом, при а = Ъ антисимметричные волновые функ- функции правильно учитывают принцип Паули. Рассмотрим поведение симмет- симметричных волновых функций E2.23а)- E2.23в). При а = Ъ эти функции, описывающие одинаково ориентиро- ориентированные спины, не обращаются в нуль. Это означает, что они неприемлемы с точки зрения принципа Паули. Фун- Функция E2.23г) описывает противопо- противоположно ориентированные спины и при а = Ъ в принципе могла бы быть и не равной нулю. Однако благодаря об- обращению в нуль первого сомножи- сомножителя она при а = Ъ всегда равна нулю, что находится в противоречии с прин- принципом Паули, который в этом случае разрешает состояния с различно ориентированными спинами. Таким образом, поведение симметричных функций E2.23) противоречит прин- принципу Паули. Аналогичные рассуждения можно провести исходя от одинаковой ориентировки спинов электронов (вместо исходного условия а = b и перечисления различных возможнос- возможностей ориентировки спина можно в ка- качестве исходного условия взять оди- одинаковую ориентировку спинов и рас- рассматривать случаи а = Ъ и а ф Ь). Заключение при этом получается то же самое: симметричные волновые функции противоречат принципу Паули, анти- антисимметричные функции правильно учитывают требования принципа Паули. Поэтому пригодными явля- являются лишь антисимметричные волно- волновые функции. Таким образом, принцип Паули может быть сформулирован следую- следующим образом: полная волновая функция двух элек- электронов должна быть антисимметрич- антисимметричной функцией относительно переста- перестановки электронов. При написании формул E2.22) и E2.23) выбирались волновые функции без учета взаимодействия. В рассуж- рассуждениях были использованы лишь свойства симметрии волновых функ- функций, которые обусловливаются тож- тождественностью электронов и не зави- зависят от взаимодействия электронов. Поэтому все рассуждения остаются в силе также и при наличии взаимо- взаимодействия электронов, т. е. волновые функции двух электронов и в этом случае должны быть антисимметрич- антисимметричными относительно перестановки электронов. Если имеется больше чем два электрона, то это утверждение обобщается: волновая функция системы электро- электронов должна быть антисимметричной функцией относительно перестановки любой пары электронов: «Р A,2,3,...)= -ЧЧ2, 1,3,...) = = ?B, 3, 1,...) = ... E2.24)
§ 52. Атом гелия 277 Доказательство этого общего утверж- утверждения легко сводится к перестановке двух электронов. Возвращаясь к двум электронам, заметим, что симметричные функции E2.23) не могут быть использованы для описания двух электронов и должны быть отброшены, приемле- приемлемыми являются лишь антисиммет- антисимметричные функции E2.22). Сравнение формул E2.22) и E2.23) показывает, что волновая функция E2.22а) описы- описывает синглетное состояние с нулевым полным спином, а три волновые функции E2.226) -E2.22г) описывают триплетное состояние с полным спи- спином 1. Каждая из волновых функций описывает состояние с соответствую- соответствующей ориентировкой спина, о которой было сказано выше. Взаимодействие между электро- электронами. Взаимодействие между электро- электронами учитывается с помощью теории возмущений. При отсутствии взаимо- взаимодействия волновая функция двух элек- электронов определяется формулами E2.22), а энергия равна Еь. E2.25) Волновые функции Ч*а, у?ь и собствен- собственные значения энергии Еа, Еъ хорошо известны из теории водородоподоб- ных атомов. Как будет сейчас пока- показано, конкретный вид спиновых вол- волновых функций для нахождения пер- первой поправки к энергии E2.25) нам не понадобится. Энергия взаимодействия между электронами где 2 = e2/Dnzor12), = [(*! - х2J + E2.26) г- у2J + (zl — z2J]1/2-расстояние между электронами. В соответствии с D1.12) первая поправка к энергии _ J ?* A,2) [>2/Dяе0 г12)] У1-2 dV1 dV2 j?* A,2) ?A,2) dV, dV2 E2.27) где Ч/( 1,2)-соответствующая волно- волновая функция E2.22), dV1 = dx1 dyl dzx, dV2 = dx2 dy2 dz2 E2.28) -элементы объемов интегрирования по пространственным координатам электронов. При вычислении среднего по формуле E2.27) необходимо еще произвести усреднение по спиновым переменным. Однако энергия возму- возмущения не зависит от этих переменных. Поскольку спиновые функции входят множителем в фукции *Р A,2), в ре- результате усреднения по спиновым переменным и в числителе, и в знаме- знаменателе формулы E2.27) появляется одинаковый множитель, который со- сокращается. Поэтому под ?A,2) в этой формуле следует подразумевать лишь часть волновой функции E2.22а) или E2.226) -E2.22г), завися- зависящую от координат. С учетом этого имеем ?* A,2) ?A,2) = ?*аA)?*B)?аA) ?„B) + + ?*аB)?*A) ?„A)ЧУ2) + ±[?*A)?*ьB)?йB)?ьA) + + ?аA) ?ьB) ?*аB) ?$A)], E2.29) где знаки плюс и минус относятся соответственно к симметричной и антисимметричной функции коорди- координат в выражениях E2.22). При вычислении интеграла от произведения функций в знаменателе E2.27) видим, что интегралы от пер- первых двух членов E2.29) равны друг другу. Если функции ?яA) и ?ьB) нормированы на 1, то сумма этих двух членов равна 2. Интегралы от функций, стоящих в квадратных скоб-
278 11 Многоэлектронные атомы Еа+Еъ- 2Еа простой интерпретации. обозначение Введем 88 Схема энергетических уровней атома гелия с учетом взаимодействия электронов ках в E2.29) из-за ортонормирован- ности каждой из функций Ч'а и *Fb, равны 0 при а ф b и 1 при а = Ъ. Следовательно, интеграл от всего члена в квадратных скобках равен О при а Ф b и 2 при а = Ь. Однако при а = b нельзя выбирать антисиммет- антисимметричные координатные волновые функ- функции из-за принципа Паули. Поэтому знак минус перед квадратными скобка- скобками может присутствовать только для а = Ъ. Выражение для энергии взаимо- взаимодействия электронов е2/Dтге0 г\2) симметрично относительно коорди- координат обоих электронов. Поэтому ин- интегралы в числителе E2.27), происхо- происходящие от первых двух членов выраже- выражения E2.29), равны друг другу: E2.30) Физический смысл интеграла очень прост. Так как |*Р|2 dV-вероятность найти электрон в элементе объема dK то С выражает среднюю кулоновскую энергию взаимодействия между элек- электронными облаками, распределен- ными плотностями A)|2 |Ь()| Вклад в энергию взаимодействия от членов, заключенных в квадратные скобки в E2.27), не имеет столь же х [е /Dле г )] dK dK E2 31) и рассмотрим физический смысл это- этого интеграла. Очевидно, что он возни- возникает из идентичности электронов и возможности обмена электронов между состояниями а и Ь, благодаря чему каждый из электронов как бы находится частично в состоянии а и частично в состоянии Ь. Эти «различные части» одного и того же электрона взаимодействуют между собой по закону Кулона и дают энергию взаимодействия А. Та- Таким образом, это есть кулоновская энергия взаимодействия, возникаю- возникающая благодаря чисто квантовому эф- эффекту обмена электронов между раз- различными состояниями. Эта энергия называется обменной. Она не имеет классического анало- аналога и является продуктом чисто кван- квантовых закономерностей движения микрочастиц. Обменная энергия игра- играет важную роль не только для объяс- объяснения энергетических уровней ато- атомов, но и в теории химической связи молекул: она обусловливает возник- возникновение ковалентной химической свя- связи в молекулах. Принимая во внимание сказанное выше о значении интеграла в знаме- знаменателе E2.27), можно поправку к энергии представить в виде ЕA) = С±А {афЬ), E2.32а) причем знак плюс относится к син- глетному состоянию атома, знак ми- минус-к трип летному состоянию; ?W = С = А {а = Ь) E2.326) причем в этом случае возможно толь- только синглетное состояние, когда спины
§ 53. Приближенные методы расчета сложных атомов 279 электронов направлены противопо- противоположно друг другу. При выводе со- соотношения E2.326) было принято во внимание, что при а = h интегралы E2.30) и E2.31) совпадают друг с другом. Величина С всегда положительна, как это видно из ее определения. Знак А может быть определен с помощью таких рассуждений. Главный вклад в этот интеграл дают те области инте- интегрирования, в которых г12 близко к нулю, т. е. когда координаты электро- электронов совпадают, но в этом случае подынтегральное выражение в E2.32) положительно. Следовательно, А так- также положительно. Таким образом, как кулоновская энергия взаимо- взаимодействия С, так и обменная энергия А положительны. Числовое значение этих энергий может быть найдено с помощью интегрирований, если в ка- качестве функций хРа и *РЬ взять их значения из теории водородоподоб- ного атома. Чтобы не загромождать изложения, мы здесь не приводим соответствующих расчетов. Пусть один из электронов на- находится в основном состоянии а, а второй электрон - в возбужденном состоянии Ъ. Тогда невозмущенная энергия атома Еа + Еь. Этот энергети- энергетический уровень вырожден благодаря наличию обменного вырождения: имеются триплетное и синглетное состояния двух электронов с одной и той же энергией. Однако при учете взаимодействия электронов обменное вырождение снимается - триплетное состояние имеет меньшую энергию, чем синглетное [см. E2.32)]. Если же оба электрона находятся в основном состоянии а, то полная энергия равна 2Еа. В этом случае электроны могут находиться только в синглетном сос- состоянии. Благодаря взаимодействию электронов синглетный уровень (рис. 88) сдвигается на величину, рав- равную кулоновской энергии взаимо- взаимодействия. Из формул E2.30) и E2.31) видно, что обменная энергия, знак которой опре- определяется ориентировкой спинов, явля- является величиной того же порядка, что и потенциальная энергия самого элек- электрона в кулоновском поле ядра. Поэтому расщепление между син- глетными и триплетными уровнями имеет тот же порядок, что само рас- расстояние между уровнями. Отсюда можно сделать два вывода. Во-пер- Во-первых, энергия связи в результате ориентировки спинов электронов весьма значительна и имеет порядок энергии электрического взаимодейст- взаимодействия зарядов электронов, а не порядок энергии взаимодействия магнитных моментов электронов, как это могло бы показаться с первого взгляда. Энергия взаимодействия магнитных моментов электронов мала по срав- сравнению с обменной энергией взаимо- взаимодействия электронов, связанной с ориентировкой спинов. Второй вывод касается возможности применения теории возмущений для расчета об- обменной и кулоновской энергий вза- взаимодействия электронов. Поскольку эти величины не малы, теория воз- возмущений не может дать для них дос- достаточно точные значения, она позво- позволяет получить значение этих величин лишь с точностью до 30-40%. 53. Приближенные методы расчета слож- сложных атомов Дается ознакомительный обзор общих положе- положений, лежащих в основе наиболее распростра- распространенных приближенных методов расчета слож- сложных атомов. Недостаточность теории возмущений. Как видно из теории атома гелия (см. § 52), уже в случае двух электронов
280 11 Многоэлектронные атомы ¦расчет атома встречает значительные трудности. Применение теории воз- возмущений часто не дает желаемой точ- точности. В случае более сложных ато- атомов со многими электронами задача становится еще более трудной. Для ее решения приходится применять те или иные приближенные методы. Особенности метода определяются обычно особенностями задачи и той точностью, которой требуется дос- достигнуть. В этом параграфе кратко изложены некоторые математические методы, используемые для расчета сложных атомов. Вариационный метод. Гг'сть име- имеется функция ф, которая для просто- простоты математических выкладок счита- считается действительной. Если функция комплексна, то в принципе выкладки не изменяются, но становятся более громоздкими. Рассмотрим величину E3.1) J<p2dF где Н-оператор Гамильтона некото- некоторой задачи. Если функция ср изменя- изменяется на 8 ф, то X изменяется на 5 X: Ат о л = Из E3.1) и E3.2) следует 6фJс1К= E3.3) В выражение для Н входят вторые производные по координатам. Счи- Считая, что ф и 8 ф исчезают на границах области интегрирования, имеем, на- например, |ф —- bqdxdydz = с х = J 5 ф —- dx dy dz и поэтому вследствие эрмитовости Н = |8ф(Я -X)(pdV. E3 4) Последнее слагаемое в E3.3)-член второго порядка малости относитель- относительно вариации 5 ф и может быть от- отброшен. Поэтому с учетом E3.4) ра- равенство E3.3) можно записать следу- следующим образом: E3.5) Потребуем, чтобы величина А. в E3.1) была стационарна, т. е. достигала экс- экстремального значения. Для этого не- необходимо, чтобы 8^ = 0 при любых вариациях 8ф. Из E3.5) следует, что условие 8 X = 0 сводится к условию | E3.6) при любых вариациях 8 ф. Но это означает, что ф должно удовлет- удовлетворять уравнению (Я-А.)Ф = 0, E3.7) т. е. ф должно быть собственной функцией уравнения Шредингера, а X - соответствующим собственным значением (Е = X). Поэтому нахожде- нахождение собственных функций и собствен- собственных значений уравнения Шредингера E3.7) сводится к вариационной задаче на нахождение стационарных значе- значений величины Е = - E3.8) причем можно показать, что соответ- соответствующее экстремальное значение яв- является минимальным. Если каким-ли- каким-либо способом удается найти такие функции ф, при которых Е стацио- стационарно (достигает относительно мини- минимального значения), то соответствую- соответствующие функции будут волновыми функциями соответствующего урав- уравнения Шредингера, а Е-соответст- Е-соответствующим собственным значением. Ее-
53 Приближенные методы расчета сложных атомов 281 ли ф не является точной собственной функцией, а лишь приближается к ней, то Е приближается к соответст- соответствующему собственному значению и, как показывает анализ, гораздо быст- быстрее, чем ф приближается к соответст- соответствующей собственной функции. Следу- Следует отметить, что энергия основного состояния является абсолютным ми- минимумом величины E3.8). Изложенные выводы лежат в ос- основе вариационных методов. Кон- Конкретные варианты этих методов отли- отличаются друг от друга теми способа- способами, с помощью которых подбира- подбираются функции ф, делающие величину E3.8) экстремальной. Обычно подби- подбирают пробную функцию, зависящую от нескольких параметров а, C, у,..., и выбирают их значения из условий экстремальности Е, т.е. из условий дЕ дЕ дЕ ^ = 0' 7^ = °' ^ = 0'-- <53-9' да др ду Эффективность полученного решения зависит от того, насколько хорошо пробная функция аппроксимирует точное решение при значениях пара- параметров а, р, у,..., полученных из усло- условий E3.9). Общие особенности точ- точного решения обычно удается выяс- выяснить исходя из общих особенностей задачи. Рассмотрим в качестве при- примера нахождение энергии и волновой функции основного состояния атома водорода вариационным методом. Пусть пробной функцией, учитывая сферическую симметрию задачи, бу- будет <р(г) = Ае-*г, E3.10) где А - нормировочная постоянная, а - вариационный параметр. Гамиль- Гамильтониан рассматриваемой задачи И2 , е2 Н= V2 2т 4яеп E3.11) В сферической системе координат при наличии сферической симметрии и поэтому выражение E3.8) прини- принимает вид = <4пА2 2т г \ dr. е2 1 4яе0 г А хDжА2 J e~2*r r2dr)-\ E3.12) о где dV= 4nr2dr. Вычисления в E3.12) элементарны: Е = 2т а 4е0 ct2 а. E3.13) 2 т 4 к е0 Условие минимума Е имеет вид дЕ И2 е2 — = — а = 0. д а m 4ue0 Отсюда следует, что а = т е2/D п е0 И2) = 1/а0, E3.14) где а0 = 4пе0 /z2/(m е2) - радиус пер- первой боровской орбиты. Подставляя E3.14) в E3.13), получаем, что энер- энергия основного состояния те* Е, = - 2 2 2, E3.15) 32тг Sg kl что совпадает с точным решением по квантовой теории. Волновая функция Ф = Ле-г/"о, E3.16) в которой нормировочная постоянная А находится из условия нормировки, совпадает с волновой функцией ос- основного состояния атома водорода. В данном случае благодаря удачному выбору пробной функции вариацион-
282 11. Многоэлектронные атомы Ный метод позволил получить точное решение. Вообще говоря, точного ре- решения не получается, но если пробная функция выбрана удачно, вычисления дают результаты, близкие к точным. Метод Ритца. В качестве пробной функции берется линейная комбина- комбинация функций ф,, которые наиболее естественным образом соответствуют условиям задачи: Ф = а, ф! +а2 ф2 + ... + а„ ф„, где а, - вариационные параметры. Их значение определяется из условий экстремальности Е. После вычисле- вычисления соответствующих интегралов в формуле E3.8) условия экстремума д Е/д а; = 0 дают п линейных уравне- уравнений для п неизвестных коэффициен- коэффициентов а,-. Эту систему алгебраических уравнений не очень трудно решить. Обычно метод Ритца дает для основ- основного состояния достаточно хорошие результаты. Существуют и другие методы введения вариационных параметров в пробные функции. Суть их та же са- самая, и мы не будем на них останавли- останавливаться. Отметим лишь, что во многих случаях с помощью этих методов можно получить удовлетворительное решение задачи для сложных атомов. Метод самосогласованного поля. В этом методе, разработанном Хартри без учета обмена электронов, а затем Фоком с учетом обмена электронов, исходными являются волновые функ- функции отдельных электронов без вза- взаимодействия. При помощи исходных собственных функций вычисляется потенциал, действующий на отдель- отдельные электроны. С этим потенциалом, как известным, решается уравнение Шредингера для каждого электрона и находятся новые волновые функции. С их помощью определяется уточнен- уточненный потенциал и затем с этим потен- потенциалом для каждого электрона ре- решается уравнение Шредингера и на- находятся следующие волновые функ- функции и т. д. Эти расчеты повторяются шаг за шагом. По мере приближения к точному решению различия между исходными и конечными функциями на каждом этапе сглаживаются. При точном решении конечные функции совпадают с исходными и каждый этап вычислений приводит к тем же самым функциям. Это доказывает внутреннюю непротиворечивость ме- метода самосогласованного поля. Если исходные волновые функции выбраны достаточно удачно, то вычисления сравнительно просто приводят к це- цели. Этим методом были рассмотрены многие сложные атомы и ионы. Ре- Результаты находятся в удовлетвори- удовлетворительном согласии с данными экспери- эксперимента. Метод самосогласованного поля особенно эффективен при ис- использовании мощных ЭВМ. Статистический метод. В этом ме- методе принимается, что электроны в атоме распределены с непрерывной плотностью р вокруг ядра. Основная задача заключается в нахождении плотности электронов и распределе- распределении потенциала. Полная энергия ато- атома записывается в виде интеграла, который зависит от неизвестной функции р. Распределение плотности р находится из условия минимума энергии. Это позволяет вычислить энергию основного состояния и рас- распределение плотности электронов в атоме. По смыслу этого метода очевид- очевидно, что он может быть применен при достаточно большом числе электро- электронов в атоме. Как показывают рас- расчеты, с помощью статистического ме- метода получаются удовлетворительные результаты начиная примерно с 10 электронов в атоме. Более удовлетво-
54. Электронные конфигурации 283 рительные результаты получаются для сферически-симметричного рас- распределения электронов, которое име- имеется, например, у благородных газов. При наличии валентных электронов результаты ухудшаются, потому что статистический метод не в состоянии учесть особенностей распределения отдельных электронов. Изложенные три метода содержат внутри себя многие модификации и конкретизации, на которых мы не ос- останавливались. Какой из методов применять в той или иной конкретной ситуации, определяется ситуацией и особенностями метода. Ясно, что ре- решать, например, задачу с малым чис- числом электронов с помощью статис- статистического метода нецелесообразно. Вряд ли целесообразно решать задачу методом самосогласованного поля без наличия достаточно мощной ЭВМ и т. д. С помощью различных методов к настоящему времени рас- рассчитано большое число атомов и ионов. Результаты вычислений на- находятся в удовлетворительном согла- согласии с данными экспериментов. Пример 53.1. Найти энергию ос- основного состояния частицы в беско- бесконечно глубокой потенциальной яме [см. 55, формула B6.6)], используя вариационный метод. Пусть пробная функция Ч> (х) = = А О (а - х) + а х2 {а — хJ], где А - нормировочная постоянная, а-ва- а-вариационный параметр. Прямое вы- вычисление приводит к формуле Зй235 та2 21 + 9аа2 + а2аА Условие экстремума дЕ(а)/да = 0 да- дает уравнение 4(аа2J + 14ая2-21 =0, корни которого а а2 = 1,133 и а а2 = = —4,633. Первый корень соответст- соответствует энергии Ех — 4,934 Н/(т а2) [точ- [точное значение для уровня п = 1 равно 4,9338 /?2/(mtf2)]. Второй корень при- приводит к энергии Еъ = 51,065 И2/(та2) [точное значение для уровня п = 3 равно 44,41]. Энергия для уровня п = 2 не могла быть вычислена дан- данной пробной функцией, потому что волновая функция в этом состоянии нечетна относительно центра потен- потенциальной ямы, а пробная функция- четна. 54. Электронные конфигурации и идеальная схема заполнения оболочек Описываются электронные конфигурации без учета взаимодействия электронов и отличия по- поля ядра от кулоновского. Электронные конфигурации. Состоя- Состояние движения изолированного элект- электрона в кулоновском поле ядра ха- характеризуется четырьмя квантовыми числами: 1) главным квантовым числом « = 1,2,3,..., E4.1) 2) орбитальным квантовым чис- числом /=0,1,2,..., и-1; E4.2) 3) магнитным квантовым числом т, = —/,—/+ 1,..., / — 1, / (всего 21+1 значений); E4.3) 4) спином т,= +1/2,-1/2 E4.4) В первом приближении можно харак- характеризовать состояние электрона в атоме теми же квантовыми числами и при наличии взаимодействия между электронами. Совокупность электро-
284 11 Многоэлектронные атомы нов, обладающих одним и тем же главным квантовым числом, образует оболочку атома. Различные оболочки атома обозначают буквами К, L, М, N, О, ... по схеме, показанной в табл. 4. Таблица 4 Главное квантовое число Оболочка 1 К 2 L 3 м 4 N 5 0 Состояния орбитального движе- движения электронов характеризуются бук- буквами s, p, d,f, ... по схеме, показанной в табл. 5. Таблица 5 Орбитальное число Орбитальное квантовое состояние 0 1 Р 2 d 3 / 4 в Совокупность электронов с одним и тем же значением / называется под- подгруппой. Последовательность заполнения электронных оболочек. В основе стро- строения электронных оболочек атома ле- лежат два принципа: 1) принцип Паули: в атоме может быть только один электрон с данным набором квантовых чисел; 2) принцип минимума энергии: при данном общем числе электронов в атоме осуществляется состояние с минимальной энергией. Принцип минимума энергии - ес- естественное требование с точки зрения устойчивости атома: если данное сос- состояние не является состоянием мини- минимальной энергии, то атом может под влиянием лишь внутренних причин перейти в состояние с меньшей энер- энергией и в конце концов должно осу- осуществиться состояние с минимальной энергией. Принцип Паули учитывает квантовые свойства возможных сос- состояний атома. При анализе строения атома в первом приближении естественно пренебречь энергией взаимодействия электронов и считать энергию атома равной сумме энергий электронов в кулоновском поле ядра. Энергия элек- электронов в кулоновском поле ядра хорошо известна, поэтому нетрудно найти распределение электронов по различным состояниям с учетом принципа Паули, которое имеет минимальную энергию. В результате получается идеальная схема запол- заполнения оболочек, которая существенно отличается от реальной, но которую полезно рассмотреть. Прежде всего посмотрим, какое число электронов может находиться на той или иной оболочке с учетом принципа Паули. Из формул E4.1)- E4.4) следует, что число электронов данной величиной п и / равно 2B1+ 1), поскольку ni[ при данном / принимает 2 / + 1 значений и при каж- каждом т, величина ms принимает два значения. При данном п величина / принимает п значений от 0 до п — 1. Поэтому максимальное число элек- электронов, которые имеют данное глав- главное квантовое число я, равно л- 1 X 2B/+ 1) = 2 и2, E4.5) 1 = 0 т. е. на данной оболочке может на- находиться не больше 2 и2 электронов (табл. 6). В таблице указаны число электро- электронов с данными значениями п и / и общее число электронов на оболоч- оболочках. Из формулы C0.24а) видно, что энергия электрона в кулоновском по-
(j 54 Электронные конфигурации 285 Таблица 6 Оболоч- Оболочка К L М N О п 1 2 3 4 5 Максимальное нов s 2 2 2 2 2 в р 6 6 6 6 число состояниях d 10 10 10 J 14 14 электро- д 18 Всею элек- в обо- оболочке -у 8 18 32 50 ле увеличивается с возрастанием п. Минимальной энергией обладают электроны на К-оболочке (и = 1), за- затем на L-оболочке (п = 2) и т.д. Это означает, что оболочки К, L, М, ... должны заполняться последователь- последовательно начиная с К. Однако, в какой последовательности заполняются сос- состояния s, p, d,f, ... в пределах каждой оболочки, формула C0.24а) опреде- определить не может, поскольку в этом приближении энергия электронов не зависит от /. Вычисления, аналогич- аналогичные приведенным § 33, показывают, что при учете дополнительного вза- взаимодействия между электронами их энергия увеличивается с возрастанием / (при данном п). При построении идеальной схемы принимается, что заполнение оболочки начинается с 1ин = ° и заканчивается /макс = и - 1. Резюмируя, можно сказать, что иде- идеальная схема заполнения строится по такому принципу: каждый вновь присоединяющийся электрон связывается в состоянии с ** Строение электронных оболочек атома определяется принципом Паули и прин- принципом минимума энергии. При прене- пренебрежении взаимодействием электронов получается идеальная схема заполнения электронных оболочек. Учет взаимодей- взаимодействия электронов позволяет объяснить от- отклонения от идеальной схемы. наименьшими допустимыми принци- принципом Паули квантовыми числами п, I. Когда заполнение оболочки закон- закончено, образуется устойчивая элек- электронная конфигурация, соответст- соответствующая электронной конфигурации благородных газов. После этого на- начинает заполняться следующая обо- оболочка, причем первым элементом при этом является щелочный металл. Правило Хунда. Последователь- Последовательность заполнения электронных состо- состояний в пределах подгруппы, т. е. при одном и том же /, определяется прави- правилом Хунда: сначала заполняются состояния с раз- различными значениями квантового чис- числа w,(m, = —/,—/+ 1,...,/— 1,/) при одинаковом значении проекции спина (например, при ms = 1/2); после того как все 2 / + 1 состояний по кванто- квантовому числу т1 оказываются заполнен- заполненными электронами с одинаковой про- проекцией спина, начинается их заполне- заполнение электронами с противоположной проекцией спина (при ms = —1/2). Например, в ^-состояние (/ = 1) может быть помещено всего 2 B / + + 1) = 6 электронов. Последователь- Последовательность заполнения состояний может быть представлена так: т 0 -1 1 mj \l/2/'\l/2/'V 1/2/4-1/2/' 0 \ I -1 ' -1/2/ \-1/2; Периодичность химических свойств элементов. Химические свойства элементов определяются внешними электронами. Поскольку при заполне- заполнении очередной оболочки повторяется порядок заполнения предыдущей обо- оболочки, химические свойства элемен- элементов от оболочки к оболочке меняются периодически: заполнение каждой оболочки начинается со щелочного
286 11. Многоэлектронные атомы металла и заканчивается благород- благородным газом. Следовательно, элемен- элементы, образующиеся при заполнении оболочки, составляют период систе- системы Менделеева. Из табл. 4 видно, что число элементов в последовательных периодах идеальной схемы заполне- заполнения оболочек должно быть 2, 8, 18, 32, 50. В действительности в периоди- периодической системе Менделеева число эле- элементов в последовательных периодах равно 2, 8, 18, 18. Таким образом, построение периодической системы элементов существенно отличается от идеальной схемы заполнения оболо- оболочек, представленной в табл. 6. Причина различия между реаль- реальной и идеальной схемами заполнения оболочек состоит в том, что пред- предпосылки, при которых была построе- построена идеальная схема, для большинства элементов не соблюдаются. Взаимо- Взаимодействием электронов между собой и отклонением поля от кулоновского пренебрегать нельзя. 55. Периодическая система элементов Менделеева Дается интерпретация основных закономерно- закономерностей периодической системы элементов Менде- Менделеева и описываются ее строение и конфигура- конфигурация электронных оболочек атома. Обозначение электронных состояний. Учет взаимодействия электронов поз- позволяет полностью объяснить перио- периодическую систему элементов. При этом основные принципы, которыми определяется порядок заполнения различных состояний, остаются без изменения-это принцип минимума энергии и принцип Паули. Однако взаимодействие между электронами значительно усложняет расчеты (см. § 53). При наличии взаимодействия меж- между электронами состояние каждого электрона можно по-прежнему харак- характеризовать четырьмя квантовыми чис- числами. Электронная конфигурация обыч- обычно записывается символически сле- следующим образом. Сначала указывает главное квантовое число, затем сим- символ состояния по орбитальному чис- числу (s, p, d, f и т. д.) и в виде степени у этого символа число электронов в данном состоянии. Например, Is2 указывает два электрона в s-состоя- нии (/ = 0) с главным квантовым чис- числом п = 1; 3/?5-пять электронов в /^-состоянии с главным квантовым числом /1 = 3 и т.д. Любая электрон- электронная конфигурация может быть запи- записана с помощью этого правила. На- Например, \s22s23pA показывает, что имеется два электрона в ^-состоянии с п = 1, два электрона-в ^-состоянии с п = 2, четыре электрона-в р-состоя- нии с п = 3. Это электронная конфи- конфигурация атома кислорода. Аналогич- Аналогично записываются электронные конфи- конфигурации других атомов. Заполнение электронных состояний в первых трех периодах. Рассмотрим строение периодической системы эле- элементов. В начале системы, когда чис- число электронов невелико, роль взаимо- взаимодействия между ними несущественна и заполнение электронных состояний происходит в соответствии с идеаль- идеальной схемой. У водорода Н имеется один электрон, который находится в состоянии с минимальной энергией, т.е. при п = \, поэтому электронная конфигурация этого атома Is ( если электрон один, то он в виде степени у символа орбитального состояния не указывается). У гелия Не добавляется еще один электрон в состоянии 15, но с противоположно направленным спи- спином, поэтому электронная конфигу- конфигурация гелия в основном состоянии Is2. Это парагелий. У ортогелия спин второго электрона совпадает по на-
i? 55. Периодическая система элементов Менделеева 287 правлению со спином первого электро- электрона, и принцип Паули запрещает этому электрону находиться в состоянии Is. Ближайшее по энергии допустимое принципом Паули состояние второго электрона есть 2s. Электронная кон- конфигурация основного состояния орто- ортогелия- \s2s. Гелием (инертным газом) заканчивается заполнение первой обо- оболочки и завершается первый период периодической системы. Затем начи- начинается построение следующего перио- периода заполнением второй оболочки. Ли- Литий Li образуется добавлением к электронной конфигурации парагелия электрона _ в _ 2^состоянии, потому что добавление третьего электрона в Ь-состоянии запрещено принципом Паули. Электронная конфигурация лития-\s22s. Затем идет берилий Be с конфигурацией is22s2 и бор Yi-\s22s22p. В р-состоянии может находиться шесть электронов [2B + 1) = 6]. Шесть эле- элементов от бора до неона Ne включи- включительно образуются в результате за- заполнения 2/7-СОСТОЯНИЙ. Соответствующие электронные конфигурации записываются следую- следующим образом: С - \s22s22p2, N - Ls22s22p\ О - \s22s22pA, F - \s22s22p5, Ne - \s22s22pb. На неоне (инертном газе) заканчи- заканчивается заполнение второй оболочки и завершается построение второго пе- периода, в котором всего восемь эле- элементов. Третий период начинается с щелочного металла натрия Na, элек- электронную конфигурацию которого можно условно изобразить так: (Na) = (Ne) 3s. Это означает, что элек- электронная конфигурация натрия полу- получается из электронной конфигурации ** Квантовая механика удовлетворительно объясняет все закономерности периоди- периодической системы элементов Менделеева. Ne путем добавления электрона 3s. Восемь элементов от натрия до арго- аргона Аг получаются вследствие заполне- заполнения состояний 3s и Зр. Конфигурация аргона дается схемой (Аг) = (Ne) 3s23pb. Отклонения от идеальной схемы заполнения оболочек. До сих пор за- заполнение состояний совпадало с идеаль- идеальной схемой заполнения состояний. Следующим элементом после аргона является калий К. По идеальной схе- схеме его конфигурация (К) = (Аг) 3d. Но в действительности это не так. Энер- Энергетически более выгодным оказывает- оказывается присоединение следующего элект- электрона не в состоянии 3d, а в состоянии As. Это подтверждается как прямым расчетом, так и рядом эксперимен- экспериментальных данных, о которых сказано позднее. Таким образом, в третьем периоде оказывается только восемь элементов, а с калия начинается за- заполнение четвертой оболочки, т. е. четвертый период периодической си- системы. Конфигурация следующего после калия элемента Са есть (ArLs2. После этого энергетически более выгодным оказывается заполнение Зя?-состояний, которые остались неза- незаполненными, а не 4/?-состояний, иду- идущих по порядку после 4^-состояний. У последующих элементов до никеля происходит заполнение З^-состояний, при этом оболочка As не остается все время заполненной двумя электрона- электронами. Иногда оказывается энергетиче- энергетически более выгодным перебросить один из электронов из 4^-оболочки в 3^-оболочку. У никеля получается такая конфигурация: (Ni) = {KL) 3s23p63d*4s2, причем символ KL означает пол- полностью заполненные К- и L-оболоч- ки. Максимальное число электронов в flf-состоянии равно 10. Поэтому у ни- никеля для полного заполнения М-обо- лочки не хватает двух электронов в ^-состоянии. У следующего за нике-
288 11. Многоэпектронные атомы лем элемента меди Си добавляется один электрон, при этом энергетиче- энергетически более выгодным является пере- перераспределение электронов, в резуль- результате которого Зй?-состояние оказы- оказывается полностью заполненным, а в 4х-состоянии остается лишь один электрон, и конфигурация меди имеет вид (Си) = (KLM) 4s, т. е. ее конфигу- конфигурация аналогична конфигурации ще- щелочных металлов. У последующих элементов происходит заполнение 4s- и 4/?-оболочки (всего восемь элемен- элементов), т. е. конфигурации внешних элек- электронов повторяют конфигурации 2-го и 3-го периода. У криптона Кг завер- завершается заполнение 4s- и 4/?-состояний, в результате чего криптон является инертным газом. На криптоне завер- завершается первый большой период пе- периодической системы элементов, со- состоящий из 10 + 8 = 18 элементов. Затем повторяется четвертый пе- период. У рубидия Rb, идущего после криптона, начинается заполнение 55-состояния, поскольку это оказывает- оказывается энергетически более выгодным, чем заполнение Ad- и 4/-состояний. Дальнейшее заполнение состояний происходит также с отступлением от идеальной последовательности. Заме- Заметим, что у ксенона Хе завершается заполнение 4^/-состояний, 5s- и 5р-со- стояний, но 4/-состояния, 5d-, 5f-, 5g-co- стояния остаются незаполненными. У цезия и бария заполняются 65-состоя- ния. Затем у лантана дополнительный электрон добавляется на внутреннюю оболочку в 5(/-состоянии, а у следую- следующих за ним 14 элементов заполняется 4/-состояние. Поскольку электроны в 4/-состоянии являются внутренними (более внешние оболочки уже запол- заполнены), это заполнение 4/-состояния существенно не изменяет химических свойств элементов, которые опреде- определяются внешними электронами обо- оболочки атома. Поэтому все эти 14 эле- элементов имеют близкие химические свойства и в периодической системе элементов занимают одну клетку под именем лантанидов. Аналогичная си- ситуация повторяется после актиния Ас, когда заполняется в основном 5/-со- стояние. Соответствующие элементы составляют группу актинидов. Из ак- актинидов только торий, протактиний и уран существуют устойчиво в приро- природе, остальные были получены лишь искусственно в лабораториях. Эти элементы называются трансурановы- трансурановыми. Их нестабильность обусловлена главным образом неустойчивостью ядер относительно спонтанного деле- деления. Подводя итог, можно сказать, что квантовая механика удовлетворитель- удовлетворительно объясняет все основные законо- закономерности периодической системы эле- элементов Менделеева. 56. Трансурановые элементы Приводятся основные сведения о трансурановых элементах. Причины нестабильности трансурано- трансурановых элементов. Последним стабиль- стабильным элементом в периодической си- системе элементов, который существует в природе, является уран. Известно несколько изотопов урана. В природе встречается главным образом изотоп 238U в смеси с небольшим количест- количеством 235U. Изотоп 235U служит горю- горючим в ядерных котлах. Более тяжелые элементы сущест- существовать устойчиво не могут. Это объ- объясняется тем, что силы кулоновского отталкивания протонов в ядре не мо- могут быть уравновешены ядерными си- силами притяжения и ядро оказывается неустойчивым. Перевес сил кулонов- кулоновского отталкивания протонов в ядре над силами ядерного притяжения
56 Трансурановые элементы 289 между нуклонами ядра наступает по- потому, что кулоновские силы яв- являются дальнодействующими. Каж- Каждый протон практически взаимодей- взаимодействует со всеми другими протонами ядра, благодаря чему энергия взаи- взаимодействия растет пропорционально квадрату числа протонов в ядре (~ iVp). Учитывая, что число прото- протонов в тяжелых ядрах примерно про- пропорционально числу нейтронов, зак- заключаем, что кулоновская энергия взаимодействия прямо пропорцио- пропорциональна квадрату числа частиц в ядре: ~ N2. С другой стороны, силы ядер- ядерного притяжения являются коротко- короткодействующими, их действие прояв- проявляется лишь на расстояниях порядка 105 см, т.е. посредством ядерных сил между собой могут взаимодейст- взаимодействовать лишь соседние ядерные части- частицы. А это означает, что энергия ядер- ядерного взаимодействия возрастает про- пропорционально первой степени числа частиц N в ядре, а не квадрату числа частиц, как в случае кулоновской энер- энергии взаимодействия. Следовательно, энергия ядерного взаимодействия возрастает с числом частиц в ядре медленнее, чем энергия кулоновского взаимодействия. При малом числе ча- Менделеев Дмитрий Ившовнч A834-1907; Русский химик, ученый и педагог, прогрессивный общественный деятель. Открыл периодический чакон химических элементов, предложил способ фракционного разделения нефти, изобрел вид бездымного пороха. Автор фундаментальных работ по химии, физике, метрологии, воздухоплаванию, метеорологии, экономике и др. стиц энергия ядерного взаимодейст- взаимодействия значительно больше энергии ку- кулоновского взаимодействия, потому что ядерные силы значительно боль- больше кулоновских сил. Но при увеличе- увеличении числа частиц наступает такой мо- момент, когда ядерные силы притяже- притяжения уже не в состоянии хотя бы урав- уравновесить кулоновские силы отталки- отталкивания, и ядро становится нестабиль- нестабильным. Этим и обусловливается нали- наличие конца периодической системы элементов. Характеристика полученных транс- трансурановых элементов. Однако ряд не- нестабильных элементов периодической системы, лежащих после урана, мо- может быть получен искусственно. Эти элементы называются трансурановы- трансурановыми. Они относятся к ряду актинидов (см. § 55). Лишь три элемента из это- этого ряда, а именно: торий (Z = 90), протактиний (Z = 91) и уран (Z = = 92) - существуют стабильно в при- природе. В ряду актинидов происходит заполнение глубоко лежащих 5/-со- стояний, в то время как состояния 6s, 6р, Is и частично бе/ заполнены. Не- Нетрудно видеть, что в ряду актинидов повторяется ситуация, которая суще- существует в ряду лантанидов, когда происходит заполнение 4/-состояний. К числу трансурановых элемен- элементов, полученных искусственным пу- путем, относятся следующие: нептуний (Z = 93), плутоний (Z = 94), амери- америций (Z = 95), кюрий (Z = 96), берклий (Z = 97), калифорний (Z = 98), эйнш- эйнштейний (Z = 99), фермий (Z = 100), менделевий (Z — 101), нобелий (Z = 102), лоуренсий (Z=103). Первые транс- трансурановые элементы-нептуний и плу- плутоний - получены в 1940 г. Нобелий был открыт в 1958 г., лоуренсий-в 1961 г. Большинство из трансурано- трансурановых элементов найдено в лаборато- лаборатории, которой руководил Г. Сиборг. 19 219
290 11 Многоэлектронные атомы
§ 56. Трансурановые элементы 291 Мы приведем лишь некоторые дан- данные о трансурановых элементах, так как подробное описание их свойств выходит за рамки книги. Первый из трансурановых элемен- элементов-нептуний Np (Z = 93)-получен в 1940 г. при облучении урана дейтро- дейтронами, ускоренными в циклотроне. В результате захвата ураном нейтрона, который первоначально входит в со- состав дейтрона, образуется изотоп урана 239U. Затем этот изотоп урана с периодом полураспада 23 мин испу- испускает электрон и превращается в неп- нептуний 239Np. Период полураспада 2 Np равен 2,3 дня. Известны изото- изотопы нептуния от 231Np до 240Np. Пе- Периоды полураспада изотопов непту- нептуния варьируются в широких преде- пределах, от 7,3 мин до 2,2-106 лет. Назва- Название «нептуний» исходит из аналогии с названием планеты Нептун, которая в Солнечной системе следует за плане- планетой Уран. Получены весовые коли- количества нептуния. Следующий трансурановый эле- элемент - плутоний Pu (Z = 94) - получен в том же 1940 г. из нептуния в резуль- результате испускания последним электрона с периодом полураспада 2,3 дня. Из- Известны изотопы плутония от 232Ри до 24бРи. Периоды полураспада изото- изотопов плутония заключены в пределах от 20 мин до 4,9-1010 лет. В частно- частности, период полураспада 239Ри со- составляет 24 360 лет, а его время жизни Последним стабильным элементом, кото- который существует в природе, является уран. Невозможность стабильного существова- существования более тяжелых элементов объясня- объясняется тем, что силы кулоновского оттал- отталкивания протонов в ядре не могут быть уравновешены ядерными силами притя- притяжения и ядро становится неустойчивым. Перевес сил кулоновского отталкивания протонов в ядре над силами ядерного притяжения между нуклонами ядра обус- обусловливается дальнодействующим харак- характером кулоновских сил. относительно спонтанного деления равно 5.5-1015 лет. Название произо- произошло от аналогии с порядком планет в Солнечной системе (после Нептуна следует Плутон). Америций Am (Z = 95) открыт в 1944 г. Изотоп плутония 241Ри в ре- результате испускания электрона с пе- периодом полураспада 13 лет превра- превращается в изотоп 241Ат. Этот изотоп имеет период полураспада 470 лет. Известны изотопы америция от 237Ат до 246Ат с периодами полураспада, варьирующими от 25 мин до пример- примерно 8000 лет. В ряду лантанидов этому элементу соответствует европий, наз- названный в честь Европы. Элемент с Z = 95 назван америцием в честь Америки. Америций получен в грам- граммовых количествах. Кюрий Cm (Z = 96) открыт в 1944 г. среди продуктов облучения 239 Ри ионами гелия с энергией 32 МэВ. Известны изотопы кюрия от 238Ст до Cm с периодами полураспада от нескольких часов до десятков мил- миллионов лет. Название было дано это- этому элементу в честь Пьера и Марии Кюри, выдающихся исследователей в области естественной радиоактивно- радиоактивности. Кюрий получен в миллиграммо- миллиграммовых количествах. Берклий Вк (Z = 97) найден в 1949 г. в результате облучения мишени из 241Ат ионами гелия. Известны изото- изотопы берклия от 243Вк до 250Вк с перио- периодами полураспада от к Зч до 7000 лет. Название пошло от города Бе- Беркли, где находится лаборатория, в которой были получены многие транс- трансурановые элементы. Берклий получен в количестве десятых долей микро- микрограмма. Калифорний Cf (Z = 98) обнару- обнаружен в 1950 г. в результате облучения нескольких миллиграммов 242Ст иона- ионами гелия с энергией 35 МэВ. Извест-
292 11. Многоэлектронные атомы ны изотопы калифорния от 244Cf до 254Cf с периодами полураспада от 25 мин до нескольких сотен лет. Кали- Калифорний получен в количестве сотых долей микрограмма. Назван в честь штата Калифорния и Калифорний- Калифорнийского университета, где был открыт. Эйнштейний Es (Z = 99) был най- найден в 1952 г. Одновременно с ним был открыт фермий Fm (Z = 100). Они были обнаружены при анализе образ- образцов, содержащих тяжелые элементы, после термоядерного взрыва. Извест- Известны изотопы эйнштейния от 246Es до 256Es с временами полураспада от нескольких минут до примерно 300 дней. В весовых количествах получен не был. Обнаружены лишь индика- индикаторные количества этого элемента. Назван в честь А. Эйнштейна. Фермий Fm (Z = 100) имеет изото- изотопы от 250Fm до 256Fm с периодами полураспада от получаса до « 30 ч. Получены лишь индикаторные коли- количества этого элемента. Назван в честь Э. Ферми. Менделевий Md (Z = 101) открыт в 1955 г. в результате облучения ми- мишеней, содержащих очень малые ко- количества Es, ионами гелия с энер- энергией 41 МэВ. В экспериментах было получено только 17 атомов менделе- менделевия с периодом полураспада около 3,5 ч. Массовые числа изотопов мен- менделевия лежат в пределах от 251 до 261, а периоды полураспада - в преде- пределах от нескольких секунд до часа. В последующем было обнаружено не- несколько сотен атомов менделевия. Назван в честь Д. И. Менделеева. Нобелий No (Z = 102) получен в 1958 г. в результате облучения мише- мишени, содержащей 246Ст, ионами угле- углерода 12С. Образующийся при этом изотоп нобелия 254No с периодом полураспада порядка 3 с превращает- превращается в 250Fm. Назван в честь А. Нобеля. Лоуренсий Lr (Z = 103) открыт в 1961 г. Назван в честь Э. Лоуренса, изобретателя циклотрона, потому что с помощью частиц, ускоренных в цик- циклотроне, было найдено большинство трансурановых элементов. Лоурен- сием заканчивается ряд актинидов. Названия двух последних трансурано- трансурановых элеменов (нобелий и лоуренсий) не являются общепринятыми. Причины чрезвычайно малых времен жизни очень тяжелых трансурановых элементов. Более тяжелые трансура- трансурановые элементы получаются в резуль- результате ядерных реакций слияния и деле- деления, в которых участвуют тяжелые ядра. При бомбардировке мишеней из плутония, кюрия и калифорния ионами углерода, кислорода и неона образуются сильно возбужденные со- составные ядра, для «остывания» кото- которых необходимо испускание несколь- нескольких нейтронов. Однако вероятность деления таких составных ядер оказы- оказывается во много раз больше вероятно- вероятности испускания нейтронов, в резуль- результате чего лишь ничтожная часть составных ядер A0 ~8 — 100) пре- превращается в трансурановые элемен- элементы. Бомбардировкой мишени из ядер свинца ионами аргона, титана и хро- хрома также удалось найти несколько трансурановых элментов. Все они имеют очень короткие времена жизни и получены в чрезвычайно малых ко- количествах. К настоящему времени имеются трансурановые элементы до Z= 109 включительно. Их общепри- общепринятого наименования пока нет. 57. Рентгеновские спектры Описываются основные экспериментальные за- закономерности рентгеновских спектров и дается их теоретическое истолкование Рентгеновское излучение. Физические свойства рентгеновского излучения рассмотрены в § 6. В частности, по
§ 57 Рентгеновские спектры 293 результатам дифракции рентгенов- рентгеновского излучения на кристаллах можно измерить длину волны, если известна структура кристалла, а если известна длина волны, то можно определить структуру. Длина волны рентгенов- рентгеновского излучения заключена примерно в пределах от 10 ~3 до 10 нм, а энергия квантов излучения-от 100 эВ до 1 МэВ. Рентгеновские спектры бывают двух видов: сплошные и линейчатые. Сплошные спектры возникают при торможении быстрых электронов в веществе антикатода и являются обычным тормозным излучением элек- электронов. Строение сплошного спектра не зависит от материала антикатода. Линейчатый спектр состоит из от- отдельных линий излучения. Он зависит от материала антикатода и полностью характеризуется им. Каждый элемент обладает своим, характерным для него линейчатым спектром. Поэтому линейчатые рентгеновские спектры называются также характеристиче- характеристическими. Особенности рентгеновских спект- спектров. Между рентгеновскими линейны- линейными спектрами и оптическими линей- линейчатыми спектрами существует три ко- коренных различия. Во-первых, частота рентгеновского излучения в тысячи раз больше, чем частота оптического излучения. Это означает, что энергия рентгеновского кванта в тысячи раз больше энергии оптического кванта. Во-вторых, рентгеновские спектры различных элементов имеют одина- одинаковую структуру, в то время как структура оптических спектров раз- различных элементов существенно разли- различается. В-третьих, оптические спект- спектры поглощения состоят из отдельных линий, совпадающих с линиями излу- излучения главной серии соответствующе- соответствующего элемента. Рентгеновские спектры 89 Рентгеновские спектры поглощения поглощения не похожи на рентгенов- рентгеновские спектры испускания: они состоят из нескольких полос с резким длин- длинноволновым краем (рис. 89). Объяснение особенностей рентге- рентгеновских спектров. Все эти особенно- особенности рентгеновских спектров объяс- объясняются механизмом их испускания, который находится в полном согла- согласии со строением электронных оболо- оболочек, изложенным в предыдущих па- параграфах. Электрон, падающий на материал антикатода, сталкиваясь с атомами антикатода, может выбить электрон с одной из внутренних оболочек атома. В результате этого получается атом, у которого отсут- отсутствует электрон на одной из внутрен- внутренних оболочек. Следовательно, элект- электроны более внешних оболочек могут переходить на освободившееся место. В результате этого испускается квант, который и является квантом рентге- рентгеновского излучения. Энергия электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze Rh , ?•„=-—Z2. E7.1) Энергию электрона на одной из внут- внутренних оболочек атома можно пред- представить в виде Rh E.= -—{Z-aj\ E7.2)
294 11. Многоэлектронные атомы где ап учитывает экранировку (а„ « Z) поля ядра внутренними электронами и возмущения со стороны других электронов. При переходе электрона на освободившееся место на внутрен- внутренней оболочке с внешней оболочки из- излучается квант, частота которого со = % ' = -j(Z- ачJ - -{Z- а„2J- E7.3) Поскольку Z для тяжелых атомов велико, энергия термов E7.2) также велика по сравнению с энергией опти- оптических термов. Следовательно, и ча- частоты излучения в соответствии с формулой E7.3) велики по сравнению с оптическими частотами. Этим объ- объясняется большая энергия рентгенов- рентгеновских квантов. Закон Мозли. Поскольку внутрен- внутренние оболочки атомов имеют одинако- одинаковое строение, поправки ап в формуле E7.2) для данной оболочки (для дан- данного п) должны быть одинаковыми. Отсюда следует, что все тяжелые атомы должны иметь одинаково построенные рентгенов- рентгеновские спектры, лишь у более тяжелых атомов спектр смещается в сторону больших частот. Это полностью подтверждается экспериментом и доказывает, что внутренние оболочки атомов имеют ** Рентгеновские спектры различных эле- элементов имеют одинаковую структуру, в то время как структура оптических спектров различна. Оптические спектры поглощения состоят из отдельных линий, совпадающих с ли- линиями излучения главной серии соответ- соответствующего элемента, а рентгеновские спектры поглощения не похожи на рент- рентгеновские спектры испускания и состоят из нескольких полос с резким длинно- длинноволновым краем. Закономерности рентгеновских спектров свидетельствуют об одинаковости строе- строения внутренних оболочек атома и отсут- отсутствии какой-либо периодичности в их строении. одинаковое строение, как это и пред- предполагалось при объяснении периоди- периодической системы элементов. Общий вид рентгеновского терма может быть представлен следующим образом: Тогда Т 1 - = -(Z - а). R п E7.4, E7.5) Это равенство выражает закон Мозли, открытый экспериментально. Закон Мозли показывает, что корни квадратные из рентгеновских термов зависят линейно от зарядово- зарядового числа Z элементов. Если электрон выбит из Х-оболоч- ки (п = 1), то при переходе на освобо- освободившееся место электронов с других оболочек излучается рентгеновская К-серия. При переходе электронов на освободившееся место в L-оболочке (и = 2) излучается L-серия и т.д. Та- Таким образом, экспериментально на- наблюдаемая одинаковость структуры рентгеновских спектров и закон Моз- Мозли подтверждают представления, употребляемые при интерпретации периодической системы элементов. Особенность рентгеновских спект- спектров поглощения также объясняется фактом связи испускания рентгенов- рентгеновского излучения с внутренними обо- оболочками атома. В результате погло- поглощения рентгеновского кванта атомом может произойти вырывание электро- электрона с одной из внутренних оболочек атома, т.е. процесс фотоионизации. Каждая из полос поглощения соот- соответствует вырыванию электрона из соответствующей оболочки атома. Полоса К (рис. 89) образуется в резуль- результате выбивания электрона из самой внутренней оболочки атома - К-обо-
§ 57. Рентгеновские спектры 295 лочки, полоса L-из второй оболочки и т.д. Резкий длинноволновой край каждой полосы соответствует началу процесса фотоионизации, т.е. выры- вырыванию электрона из соответствующей оболочки без сообщения ему допол- дополнительной кинетической энергии. Длинноволновая часть полосы погло- поглощения соответствует актам фотоио- фотоионизации с сообщением электрону из- избыточной кинетической энергии. Струк- Структуры рентгеновских спектров погло- поглощения тяжелых элементов аналогич- аналогичны друг другу и подтверждают оди- одинаковость строения внутренних обо- оболочек атомов тяжелых элементов. На рис. 89 видно, что каждая из полос поглощения имеет тонкую струк- структуру: в К-полосе есть один максимум, в L-полосе-три максимума, в М-по- лосе-пять максимумов. Это объяс- объясняется тонкой структурой рентгенов- рентгеновских термов. Дублетный характер рентгеновских спектров. Каждый рентгеновский терм соответствует состоянию оболочки, из которой удален один из электро- электронов. Число энергетических состояний, соответствующих одному уда- удаленному электрону, можно найти с помощью следующего рассуждения. У замкнутой оболочки полный ор- орбитальный момент LL, полный спино- спиновый момент Ls и полный механиче- механический момент Lj равны нулю. Если из этой оболочки удален электрон с не- некоторым орбитальным моментом L,, спиновым моментом Ls и полным моментом Lp то оставшаяся конфигу- конфигурация будет обладать полным орби- орбитальным, спиновым и механическим моментами, численно равными соот- соответствующим моментам удаленного электрона. Поэтому энергетические состояния замкнутой оболочки без одного электрона имеют такую же мультиплетность, как и /Ит •Щ. ¦52А, Схема рентгеновских уровней и квантовых пе- переходов энергетические состояния одного элект- электрона. Но термы одного электрона дублетны. Следовательно, и рентге- рентгеновские термы должны быть дублет- дублетными . В К-оболочке имеется п = 1, / = О, s = 7г> j = 7 2 Для каждого из элект- электронов. Если один из электронов выр- вырван, то у оставшейся оболочки (одно- (одного электрона) L= О, S = х/2, J = i/2, т.е. состояние 251/2, которое принад- принадлежит дублетному семейству состоя- состояний, хотя, будучи S-состоянием, не приводит к энергетическому расщеп- расщеплению уровней (рис. 90). Поэтому в К-полосе поглощения есть лишь один максимум. Электронная конфигурация L-обо- лочки имеет вид 2s22p6. В этой обо- оболочке в /з-состоянии находятся два электрона су = 1/2 и четыре электрона с / = 3/2- Если вырывается один из электронов в 251/2-состоянии, то воз- возникает состояние 2Sll2. Если выры- вырывается один из электронов в 2р1/2-со- стоянии, то возникает состояние 2Р1/2, а при выбивании одного из электро-
296 11. Многоэлектронные атомы нов в 2/?3/2-состоянии возникает со- состояние 2/'3/2- Таким образом, с L-оболочкой связано три энергетиче- энергетических состояния (рис. 90). Обычно эти уровни обозначают L,, L,,, L,,,. Они дают три максимума поглощения в L-полосе. Аналогично, М-состояния распа- распадаются на пять рентгеновских под- подуровней: М„ М,„ М„„ M,v, Mv. Они дают пять максимумов поглощения в М-полосе. Линии испускания в рентгеновских спектрах получаются в результате пе- переходов между рентгеновскими уров- уровнями с учетом обычных правил от- отбора: AL = ±1, AJ = 0, ±1. E7.6) Линии дублета Х-серии, образующие- образующиеся в результате переходов с уровней L-оболочки на уровень К-оболочки, обозначают Кх и Кх . Линии дублета К-серии, получающиеся при переходе с уровней М-оболочки на уровень К-оболочки, обозначают Кр и Кр . Аналогично возникают и остальные линии излучения в рентгеновском спектре (рис. 90). Следовательно, закономерности рентгеновских спектров находятся в хорошем согласии с представлениями об одинаковости строения внутрен- внутренних оболочек атома и отсутствии ка- какой-либо периодичности в их строе- строении. Лишь внешние оболочки атомов периодически повторяются, что и обусловливает периодическое повто- повторение химических свойств элементов. ил. 11.2. п.з. 11.4. Задачи Волновая функция атома гелия с достаточной степенью точности может быть представлена в виде Ч» = [_а3/(ка30У]ехр [- а(г, + г2)/а0] (а = 27/16), где г, и г2 -расстояния электронов от ядра. Найти электрический потенциал атома. Какое напряжение надо приложить к рентгеновской трубке, чтобы получить рентгеновское излучение с длиной волны 0,5 нм? Найти длины волн первых двух линий в спектре однократно ионизованного атома гелия, соответствующих первым двум линиям серии Бальмера в спектре атома водорода. Энергия полной (двукратной) ионизации атома гелия равна 78,98 эВ. Найти энергию однократной ионизации атома гелия и энергию ионизации иона гелия Не+. Ответы 11.1. a/ao)exp(-2ar/ao). 11.2. 2,510ээВ. 11.3. 1,89 нм; 1,216 нмЛ1.4. 24,82 эВ; 54,156 эВ.
58 Химическая связь 12 59 Ион молекулы водорода. Метод орбиталей МОЛЕКУЛЫ 60 Молекула водорода 61 Валентность. Метод валентных связей 62 Структура молекул Хотя молекула и состоит из электрически нейтраль- нейтральных атомов, силы, удерживающие атомы в молекуле, являются электромагнитными по своему происхождению. Теоретическое рассмотрение строения молекул, их энергетического спектра, элект- электрических и магнитных свойств, взаимодействия с электромагнит- электромагнитным полем и т.д. в принципе не отличается от рассмотрения соот- соответствующих вопросов для атома. Однако в теории молекул исполь- используются многие модели, понятия, методы расчета и т.д., которые специфичны для молекул и не встречаются в теории атома. 63 Колебательные и вращательные спектры молекул 64 Электронные спектры молекул
298 12 Молекулы 58. Химическая связь Описываются ковалентная и ионная связи ато- атомов в молекуле Типы химической связи. При рассмот- рассмотрении молекул прежде всего возни- возникает вопрос о природе сил, которые удерживают вместе нейтральные атомы, образующие молекулу, т. е. обеспечивают между собой связь ато- атомов. Они называются химической связью. Существует два типа химической связи: а) ионная связь, б) ковалентная связь. Ионная связь ничем не отличается от сил притяжения между разноимен- разноименными электрическими зарядами. Например, ион натрия Na+ и ион хлора С1~ притягиваются друг к другу и образуют молекулу NaCl. Надо лишь объяснить, почему они, образовав молекулу, продолжают все же взаимодействовать как ионы. Однако с помощью ионной связи не удается объяснить строение всех мо- молекул. Например, нельзя понять, по- почему два нейтральных атома водоро- водорода Н образуют молекулу Н2 (из-за их идентичности нельзя считать один ион водорода Н+ положительным, а другой - отрицательным Н ~). Эта связь может быть объяснена лишь квантово-механическими особеннос- особенностями взаимодействия. Она называет- называется ковалентной связью. Эта связь поз- позволяет дать полное объяснение ва- валентности атомов, совершенно не- необъяснимой в рамках классической теории взаимодействия зарядов, по- потому что свойство насыщения совер- совершенно чуждо природе взаимодейст- взаимодействия по законам классической физики. Ковалентная связь. Чтобы понять природу ковалентной связи, проще всего начать с одномерной модели. В § 26 была описана одномерная яма конечной глубины (см. рис. 56). Рас- Рассмотрим движение электрона в двух потенциальных ямах того же вида, как и на рис. 56, но разделенных по- потенциальным барьером конечной ши- ширины. Вид этих двух потенциальных ям изображен на рис. 91, а. Ширина потенциального барьера между ямами равна Ъ. Ясно, что при Ь -* со имеются две изолированные ямы (рис. 56). В этом случае волновые функции электронов в различных ямах не перекрываются и можно ска- сказать, что электрон движется в той или другой потенциальной яме. Уров- Уровни энергии электрона получаются в результате решения уравнения B6.18). При конечных значениях b уже нельзя говорить о полностью изоли- изолированных потенциальных ямах. В результате туннельного эффекта электрон переходит из одной ямы в другую. Этот эффект тем больше, чем меньше ширина барьера Ь. В этом случае представление о движении электрона в какой-то конкретной яме несостоятельно - электрон обобще- обобществлен, он движется в обеих потен- потенциальных ямах, в результате уровни энергии электрона изменяются. Это изменение уровней электрона при на- наличии нескольких потенциальных ям лежит в основе понимания природы ковалентной. Поясним это на приме- примере рассматриваемой модели. Нас интересует случай Е < Епо. Решение проводится аналогично тому, как это было сделано в § 26 для ямы, изображенной на рис. 56. В пол- полной аналогии с B6.16,1) и B6.16,11) решения в областях /, // и /// (рис. 91, а) имеют такой вид: (I) 4»! = Alsinx1x, (II) }V2 = C2e~kx + D2s*', E8.1) (III) Ч»3 = А3 sin IX Bа + Ь - х)] , где
§ 58. Химическая связь 299 хх = JbnElh, к = у/2т(Ет - ЕIп- Условия непрерывности волновых функций и ее производных имеют следующий вид: Alxl С2е'ка + D2eka, = fc(- С2е~*" + D2e*"), E8.2) D2e*(e+*) = — к) Ate кЪ = Исключение из этих уравнений вели- величин С2 и D2 приводит к уравнениям E8.3) Для существования нетривиальных решений этой системы уравнений от- относительно А1 и Аъ необходимо, чтобы определитель детерминанта системы был равен нулю. Тогда x1ctgj<1a + к = ± (xctgXja — k)e~kb E8.4) - уравнение для определения уровней энергии. При Ь = оо правая часть E8.4) обращается в нуль и это уравнение превращается в уравнение B6.18) для одной ямы, как и следовало ожидать. Наличие двух знаков в правой части E8.4) показывает, что при конечных значениях Ъ каждый уровень энергии изолированной ямы расщепляется на два подуровня. Это расщепление имеет большое значение. Чтобы выяснить его характер и особенности волновых функций, которые связаны с каждым из расщепившихся уровней энергии, рассмотрим случай, когда кЬ » 1 и xt « к, т. е. случай, когда энергия частицы много меньше высо- 5) S) 91 Одномерная модель возникновения ковалент- ной связи ты потенциального барьера Епо, ши- ширина которого не очень мала. При этих условиях в правой части E8.4) величину ctgxta можно приближенно заменить ее выражением, получаю- получающимся при Ь->оо, т.е. считать, что ctgXja = — k/Xi ¦ Благодаря этому уравнение E8.4) принимает вид ctgxxa = - к/щ ± 2fce~k7*i > E8.5а) или с той же точностью х1 "к '-J -кЬ E8.56) Так как х1 « к, то E8.56) удобнее ре- решать по методу последовательных приближений. В нулевом приближе- приближении
300 12. Молекулы #- а а 92 К расчету энергии ковалентной связи в мо- молекуле водорода В следующем приближении рФ) ак0 соответствуют коэффициенты E8.8) E8.9) Коэффициент А[ ' может быть най- R ден из условий нормировки. С по- помощью E8.9) волновая функция, со- соответствующая нижнему уровню энергии, выражается в виде E8.10) b - ). E8.6) Аналогично, верхнему уровню энергии пп х(,0) х(,0) E8.7а) /Г<0) E8.11) соответствуют коэффициенты E8.76) д<2+>=_(_1Г1^0) где fc0 = fi-V2m(?no-?(n0))- E8Лв) Первые два члена в E8.76) fi,1' = = Е(п0) - 2Е(^/(ак0) не зависят от Ъ и дают приближенные значения уров- уровней энергии для частицы в изолиро- изолированной потенциальной яме (см. рис. 56). Последний член представ- представляет расщепление уровней энергии, обусловленное взаимодействием двух потенциальных ям. Найдем волновые функции, соот- соответствующие расщепившимся уров- уровням. Нижнему уровню А3 = - А\ ' и волновые функции V(O) l НР«2+) = ( -I)" ^Mfl_ fc E8.12) Ь - Волновые функции Ч>(~) и Ч"+) для состояния л = 1 изображены на рис. 91,6. Из рис. 91,6 и формул
§ 58. Химическая связь 301 E8.10) и E8.13) видно, что функция Ч*(-) симметрична относительно точ- точки х = а + Ь/2, а функция х?( + ) анти- антисимметрична относительно той же точки. То, что волновые функции должны обладать определенной сим- симметрией относительно точки х = а + + Ь/2, следует из симметрии потен- потенциального поля, в котором движется частица относительно этой точки. Резюмируя, можно сказать, что благодаря наличию двух потенциаль- потенциальных ям уровни энергии электрона рас- расщепляются. Энергия электрона в со- состояниях с антисимметричной волно- волновой функцией повышается, а в со- состояниях с симметричной волновой функцией понижается. Это заключе- заключение имеет общий характер, оно спра- справедливо для потенциальных ям лю- любой формы. Расщепление зависит от расстоя- расстояния между ямами: с увеличением рас- расстояния расщепление уменьшается, стремясь к нулю при бесконечном расстоянии между ямами (рис. 91, в). Свойство расщепления уровней при наличии ряда потенциальных ям играет очень большую роль в зонной теории твердых тел (см. § 66). Здесь мы заметим лишь, что если бы вместо двух ям было три, то каждый из уровней расщепился бы на три подуровня. Вообще при наличии N ям каждый из уровней расщепляется на N подуровней. Это утверждение бу- будет использовано в зонной теории твердых тел. Рассмотрим два положительных точечных заряда, находящихся на ** Ионная связь ничем не отличается от сип притяжения между разноименными элек- электрическими зарядами. Ковалентная связь обусловливается увеличением плотности отрицательно заряженного электронного облака между положительно заряжен- заряженными ядрами молекулы. расстоянии R друг от друга, и элект- электрон, движущийся в поле этих зарядов. Электрон движется в двух потен- потенциальных ямах, создаваемых положи- положительными зарядами (рис. 92, а). Можно допустить, что эти два поло- положительных заряда являются прото- протонами. Тогда модель представляет ион молекулы водорода. Хотя в данном случае потенциальные ямы не прямо- прямоугольные, общие результаты, полу- полученные для двух прямоугольных ям, остаются справедливыми. Энергию электрона в некотором состоянии при бесконечном расстоянии между ядра- ядрами обозначим Е{п). При конечном расстоянии между ядрами этот уро- уровень расщепляется на два: Е+(п, R)- энергия электрона в состоянии, опи- описываемом симметричной волновой функцией, и E(~){n,R)-энергия элект- электрона в состоянии, описываемом анти- антисимметричной волновой функцией. Зависимость E{+)(n,R) и E{~\n,R) от расстояния b = R показана на рис. 92, б. Ясно, что при бесконечном расстоянии выполняется равенство Е{+)(п, оо) = Е{~\п, оо) = Е(п). Полная энергия системы равна энергии взаимодействия отталкиваю- отталкивающихся положительных зарядов ядер и энергии электрона: Е& = е2/Dя?0Д) + ?<+)(и, Д), E8.14а) ELI = е2Д4я?0Л) + ?<->(„, R), E8.146) Поведение полной энергии в зави- зависимости от расстояния R для сим- симметричной и антисимметричной вол- волновых функций электрона показано на рис. 92, б. При уменьшении рас- расстояния между ядрами для антисим- антисимметричных волновых функций полная энергия возрастает. Это означает, что для сближения ядер надо затратить энергию извне. Следовательно, в этом случае действуют силы отталки- отталкивания, препятствующие сближению
302 12. Молекулы ядер. Так как полная энергия при сближении ядер возрастает более быстро, чем энергия е^/Dтге0Л) взаи- взаимодействия ядер при отсутствии электрона, то наличие электрона с антисимметричной волновой функ- функцией увеличивает силы отталкивания между ядрами. Ясно, что никакой молекулы при этом образоваться не может. Совершенно по-другому обстоит дело в том случае, когда электрон находится в состоянии с симметрич- симметричной волновой функцией. Как видно на рис. 92,6, полная энергия ЕЩ умень- уменьшается, когда расстояние между ядра- ядрами уменьшается, если только это рас- расстояние больше Ro. Таким образом, при уменьшении расстояний между ядрами выделяется энергия, а это означает, что между ядрами дейст- действуют силы притяжения. При R < Ro энергия при уменьшении расстояния R возрастает. Это означает, что при R < Ro между ядрами действуют силы отталкивания. Ядра находятся в устойчивом равновесии на расстоя- расстоянии R = Ro друг от друга; при R > Ro возникают силы притяжения, кото- которые стремятся уменьшить это рас- расстояние и сделать R — Ro; при R < /?,, возникают силы отталкивания, кото- которые стремятся увеличить расстояние и сделать R — Ro. Следовательно, имеется устойчивое состояние двух ядер и электрона, т.е. образовалась молекула. Связь в молекуле, обусловленная обобществленными электронами, на- называется ковалентной. Физическая сущность ковалентной связи состоит в следующем. Электрон в поле ядра находится в определен- определенном квантовом состоянии с опреде- определенной энергией. Если расстояние между ядрами изменяется, то изменя- изменяются и состояние движения элект- электрона, и его энергия. Между ядрами действуют силы отталкивания, по- поэтому энергия взаимодействия между ними увеличивается при уменьшении расстояния. Однако если энергия электрона при уменьшении расстоя- расстояния уменьшается более быстро, чем увеличивается энергия взаимодейст- взаимодействия ядер, то полная энергия системы при уменьшении расстояния умень- уменьшается. Это означает, что в системе из двух отталкивающихся ядер и электрона действуют силы, стремя- стремящиеся уменьшить расстояние между ядрами, т. е. действуют силы притя- притяжения, которые и обусловливают ко- валентную связь в молекуле. Они воз- возникают благодаря наличию общего электрона, т.е. благодаря обмену электроном между атомами, и, следо- следовательно, являются обменными кван- квантовыми силами. Ионная связь. Наиболее стабиль- стабильная электронная конфигурация атома состоит из замкнутых электронных оболочек, в которых все электронные состояния заполнены. Атомы с незамкнутыми внешними электронными оболочками или лиша- лишаются электронов, или присоединяют дополнительные электроны, чтобы внешняя оболочка стала замкнутой. В результате образуются положитель- положительные или отрицательные ионы. Энергия, необходимая для удале- удаления электрона из атома, называется энергией ионизации. Она является ко- количественной мерой прочности связей самых внешних электронов с атомом. В результате ионизации атом стано- становится ионом. При образовании внеш- внешней замкнутой оболочки присоеди- присоединяется электрон к атому и происходит выделение энергии, называемой энер- энергией сродства к электрону. Энергия сродства равна с обратным знаком энергии ионизации положительного
§ 58. Химическая связь 303 иона, который образуется в резуль- результате присоединения электрона к атому, и поэтому является количест- количественной мерой прочности связи соот- соответствующего электрона с положи- положительным ионом. Замкнутыми электронными обо- оболочками обладают благородные (инертные) газы (гелий, неон, аргон и т. д.). Именно замкнутостью оболо- оболочек объясняется их инертность отно- относительно вступления в химические реакции с другими элементами. Добавление одного электрона к замкнутой оболочке благородного газа приводит к образованию элект- электронной конфигурации щелочного ме- металла (литий, натрий, калий и т. д.). К этой группе в периодической системе элементов принадлежит и атом водо- водорода, у которого электронная конфи- конфигурация состоит из одного электрона. Щелочные металлы легко теряют этот дополнительный электрон и пре- превращаются в отрицательные одно- однократно заряженные ионы Li~, Na~, К~ и т.д. Удаление одного электрона из замкнутой оболочки благородного газа приводит к образованию элект- электронной конфигурации галогенов (фтор, хлор, бром, иод и т.д.). Гало- Галогены стремятся присоединить себе электрон и превратиться в однократ- однократно заряженный положительный ион F + , Cl+, Вг + , Г, .... Энергии ионизации щелочных ме- металлов убывают с ростом порядко- порядкового номера элемента (у Н, Li, Na, К они равны соответственно 13,6; 5,4; 5,1; 4,3 эВ). Это объясняется тем, что внешний электрон находится в поле заряда ядра Ze, экранированного за- зарядом -(Z — \)е замкнутых внутрен- внутренних оболочек, т. е. в эффективном поле одного и того же заряда Ze — — (Z — \)е = е, однако не на одном и том же расстоянии от центра. С уве- увеличением порядкового номера эле- элемента это расстояние увеличивается и, следовательно, энергия ионизации уменьшается. Энергии сродства галогенов к электрону также уменьшаются с рос- ростом порядкового номера элемента (у F, О, Вг, I они равны соответственно 3,45; 3,61; 3,36; 3,06 эВ). Объяснение этой зависимости аналогично объяс- объяснению роста энергии ионизации ще- щелочных металлов с ростом порядко- порядкового номера элемента. В пределах каждого периода пе- периодической системы элементов Мен- Менделеева при переходе от щелочного металла к благородному газу, отно- относящемуся к тому же периоду, проис- происходит постепенное заполнение внеш- внешней оболочки до тех пор, пока она не станет замкнутой. Поэтому с внешней оболочки могут быть удалены 2, 3 электрона и т. д. Энергия ионизации при этом растет. Это объясняется тем, что внешние электроны находят- находятся у этих атомов в эффективном поле 2е, Ъе и т.д. Например, электроны внешней оболочки у лития, бериллия, бора и углерода находятся соответст- соответственно в эффективном поле заряда е, 2е, Ъе, 4е. Если же в пределах периода переходить от инертного газа к ще- щелочному металлу того же периода, то можно говорить об увеличении числа недостающих до замкнутой оболочки электронов. С увеличением числа не- недостающих электронов энергия сродства к электрону убывает, что объясняется аналогично росту энер- энергии ионизации при переходе к более тяжелым элементам в пределах одно- одного и того же периода. Ионная связь может возникать между атомами лишь в том случае, когда полная энергия системы двух ионов, образующих молекулу, меньше, чем полная энергия двух ато-
304 12 Молекулы мов, из которых состоит эта моле- молекула, т. е. когда для разделения моле- молекулы на два атома необходимо затра- затратить энергию. Например, если ионы Na+ и СГ находятся на расстоянии R = 0,5 нм друг от друга, то для их разведения на бесконечное расстояние необхо- необходимо затратить энергию e2/Dnz0R) = — 2,9 эВ. Поскольку энергия иониза- ионизации натрия равна 5,1 эВ, а энергия сродства хлора к электрону состав- составляет 3,6 эВ, при обмене электроном между Na+ и С1~ высвобождается энергия 1,5 эВ и образуются атомы Na и С1. Следовательно, для перехода от системы из ионов Na+ и С1~, находящихся на расстоянии 0,5 нм друг от друга, к атомам Na и С1 требуется затратить энергию 2,9 эВ - 1,5 эВ = 1,4 эВ, т.е. в прин- принципе система Na + Cl~ при R = 0,5 нм является связанной и может состав- составлять молекулу NaCl. Однако это не означает, что стабильное состояние этой молекулы осуществляется имен- именно при R = 0,5 нм. При уменьшении R кулоновская энергия связи ионов растет и, следовательно, для увеличе- увеличения стабильности молекулы выгодно уменьшать расстояние между иона- ионами, т.е. увеличивать роль сил при- притяжения между ними. Однако наряду с силами притяжения между ионами, являющимися кулоновскими, сущест- существуют также силы отталкивания, обу- обусловленные взаимодействием элект- электронных оболочек ионов. При малых расстояниях электрон- электронные оболочки ионов начинают пере- перекрываться и их необходимо рассмат- рассматривать как единую электронную сис- систему, в которой в одном и том же состоянии оказывается уже не один электрон. По принципу Паули неко- некоторые электроны должны перейти в другие более высокие энергетические состояния, которые до этого были незанятыми. Это требует затраты энергии, и, следовательно, при пере- перекрытии электронных оболочек между ионами возникают силы отталкива- отталкивания. Стабильные состояния молекулы возникают при равенстве этих сил отталкивания и кулоновских сил при- притяжения. Зависимость потенциальной энергии от расстояния с учетом сил притяжения и отталкивания показана на рис. 92, г, а стабильное состояние соответствует минимуму потенциаль- потенциальной энергии. Для молекулы NaCl этот минимум достигается при Ro = = 0,24 нм, а потенциальная энергия при этом равна Еп = — 4,2 эВ. Это означает, что для разложения моле- молекулы NaCl на атомы Na и С1 требует- требуется затратить энергию 4,2 эВ. Ионная связь является слабой, и поэтому соответствующие молекулы часто внешними силами лишаются своей идентичности. Например, моле- молекула NaCl сохраняет свою идентич- идентичность лишь в газообразном состоя- состоянии. В кристаллах NaCl молекулы распадаются на ионы Na+ и С1~, которые занимают свои места в узлах кристаллической решетки. В кристалл любого размера входит одинаковое число ионов Na+ и С1~, но нет ни одного образования, которое можно было бы назвать молекулой NaCl. Такого типа кристаллы называются ионными. 59. Ион молекулы водорода. Метод орбиталей Описывается физическое содержание при- приближений, используемых в теории молекул, и излагаются основные понятия метода орбита- лей Приближение Борна - Оппенгеймера. Физика молекул в принципиальном отношении ничем не отличается от
§ 59. Ион молекулы водорода. Метод орбиталей 305 физики атомов. Однако уравнение Шредингера даже для простейшей системы молекулярного типа, состоя- состоящей минимум из трех частиц, оказы- оказывается, нельзя решить аналитически. Такой простейшей системой является ион молекулы водорода Нг, состоя- состоящий из двух протонов и одного элект- электрона (рис. 92, а). В теоретическом отношении в физике молекул ион мо- молекулы водорода Нг играет такую же важную роль, как атом водорода в атомной физике, и поэтому желатель- желательно иметь для него хотя бы прибли- приближенное аналитическое решение. Решение уравнения Шредингера для более сложных молекул стано- становится еще более затруднительным. Поэтому в физике молекул исполь- используется приближение Борна - Оппен- геймера, основывающееся на боль- большом различии масс электронов и ядер атомов. Ядра движутся значительно медленнее электронов, и поэтому со- состояние движения электронов прак- практически мгновенно устанавливается как стационарное состояние, соответ- соответствующее мгновенному расположе- расположению ядер в молекуле. Это означает: для расчета электронных состояний в каждый момент времени можно при- принять ядра атомов за неподвижные и рассматривать электроны, движу- движущиеся в стационарном поле непо- неподвижных ядер. В результате получа- получаются решения для конкретных кон- формаций молекулы. Для двухатомных молекул кон- формации характеризуются различ- различными расстояниями между ядрами, а для многоатомных - различным вза- взаимным расположением ядер. Для каждой конформации можно вычис- вычислить потенциальную энергию моле- молекулы и выразить ее через параметры, характеризующие конформацию мо- молекулы. В случае двухатомных молекул получается линия, выражающая зави- зависимость потенциальной энергии мо- молекулы от расстояния между ядрами, а в случае многоатомных молекул - поверхность, геометрия которой за- зависит от нескольких параметров. Ми- Минимум потенциальной энергии соот- соответствует равновесной конформации молекулы. Ион молекулы водорода. В при- приближении Борна - Оппенгеймера для иона молекулы водорода можно по- получить точное решение уравнения Шредингера. Пользуясь обозначе- обозначениями, показанными на рис. 92, в, можно записать уравнение Шредин- Шредингера в виде 4ле0 \ra rj J E9.1) Для разделения переменных, которое позволяет сравнительно просто полу- получить точное аналитическое решение, необходимо перейти к эллиптическим координатам ?, г|, ф, связанным с переменными га и гь соотношениями % = (гя + rb)/R, л = (ra - rb)/R, E9.2) Ф - азимутальный угол вокруг оси молекулы, проходящей через ядра. В данном случае задача аксиально- симметрична и решение от ф не за- зависит. Получение точного решения урав- уравнения Шредингера имеет важное зна- значение для сравнения с результатами эксперимента и проверки примени- применимости квантовой механики к моле- молекулярным системам. Точное решение позволяет проверить справедливость приближения Борна-Оппенгеймера, в рамках которого строится и теория более сложных молекул. Точное ре- решение уравнения E9.1) в эллиптичес- 20 219
306 12. Молекулы ких координатах E9.2) полностью подтверждает как применимость квантовой механики к молекулярным системам, так и справедливость при- приближения Борна-Оппенгеймера. Однако из-за громоздкости вычисле- вычислений это решение здесь не приводится. Основные физические особенности ре- решения обсуждены в § 58. Как в атомной, так и в молекуляр- молекулярной физике главную роль играют приближенные методы решения за- задач. Поэтому рассмотрим ион моле- молекулы водорода приближенным мето- методом, широко используемым в физике молекул. Качественное рассмотрение. Связь в ионе молекулы водорода ковалент- ная. Она возникает в результате зна- значительного увеличения плотности электронного облака между прото- протонами (см. § 58). При больших рас- расстояниях R вблизи ядра а (рис. 92, в) при га « гь уравнение E9.1) переходит в уравнение для атома водорода, ядро которого находится в точке а. Волновую функцию основного со- состояния электрона вблизи а обоз- обозначим х?а. Аналогичная ситуация су- существует и вблизи точки Ь. Таким образом, волновая функция Ч/, яв- являющаяся решением уравнения E9.1), заметно отлична от нуля лишь вблизи точек а и Ь, а между а и b практически равна нулю. Никакого перекрытия плотностей электронного облака между протонами нет, и никакой ко- валентной связи не возникает. При сближении протонов распределение электронной плотности вблизи про- протонов меняется незначительно, а между протонами электронная плот- плотность становится существенно отлич- отличной от нуля, причем по-разному в зависимости от симметрии волновой функции ?. Если волновая функция антисим- антисимметрична относительно перестановки си-+Ь, то в средней точке между про- протонами она обращается в нуль и при сближении протонов не образуется электронного облака, которое могло бы обусловить возникновение кова- лентной связи (см. § 58). В случае симметричной волновой функции рас- распределение электронной плотности между протонами не имеет узлов и растет, приводя к возникновению ко- валентной связи. Полная энергия системы слагается из отрицательной энергии связи электрона Ее и положительной энер- энергии взаимодействия отталкивающих- отталкивающихся друг от друга протонов Ер = е2/ /Dne0R). При больших R значение Еек - 13,6 эВ, а ?р«0. При Я->0 протоны а и b сливаются друг с дру- другом и система становится ионом гелия Не + , для которого Ее = = — 54,4 эВ (Не+-водородоподобный атом с Z — 2). Таким образом, при R -» 0 имеем Ее -* — 54,4 эВ, а Ер -*¦ ->¦ оо как 1/R. Этих данных доста- достаточно, чтобы начертить качественно зависимость полной энергии ?пол = = Ер + Ее от R (рис. 92, г). Энергия Епол имеет минимум, который обеспе- обеспечивает возможность существования стабильного состояния иона моле- молекулы водорода. Как показывает экспе- эксперимент, энергия связи иона равна 2,65 эВ, а расстояние между прото- протонами составляет 0,106 нм. Под энер- энергией связи понимается энергия, необ- необходимая для разделения Щ на Н и Н + . Так как энергия, затрачиваемая на образование Н + , равна —13,6 эВ, то полная энергия связи Н^ имеет значение —16,25 эВ. Метод орбиталей. Один из при- приближенных методов в теории моле- молекул исходит из допущения, что волно- волновая функция молекулы с достаточной точностью может быть представлена
§ 60 Молекула водорода 307 в виде суммы или разности волновых функций атомов. В химии волновую функцию элек- электрона, зависящую от квантовых чисел п, /, т,, принято называть орбиталъю. Каждая орбиталь может содержать два электрона с проекциями спинов ms = l/2 и ms = — У2. Метод представ- представления волновой функции молекулы в виде суммы или разности атомных орбиталей называется методом ли- линейных комбинаций атомных орбита- лей или просто методом орбиталей. В этом методе истинные молекулярные орбитали заменяются подходящими линейными комбинациями атомных орбиталей Атомные орбитали, с помощью которых строится волновая функция иона Н2, являются волновыми функ- функциями основных состояний Ч*о и ^ь, относящихся к атомам водорода в точках а и Ъ. Орбитали *Рв и х?ь предполагаются нормированными на 1, а построенные из них по методу орбиталей волновые функции моле- молекулы имеют вид W — A IVU _l W \ DQ 1\ *¦ с ~~~ с\ а ' h) ' \*>7.JJ vp _ а /у _ vp \ E9 4) где *РС и Ч/ас - симметричная и анти- антисимметричная волновые функции, Ас и Аас - нормировочные постоянные. Функции Фс и xfac должны быть нор- нормированы на 1. Тогда E9.5) E9.6) E9.7) Аналогично, Обозначив из E9.5) находим )]. E9.8) Интеграл g в E9.6) называется инте- интегралом перекрытия. Он выражает ко- количественную меру перекрытия вол- волновых функций хРа и Ч?ь. Его вычис- вычисление приводит к результату q = [1 + R/a0 + R2/{3a20)-]exp(-R/a0), E9.9) где а0- радиус боровской орбиты в атоме водорода. Значение q изменя- изменяется от 0 (при 7? = оо) до 1 (при R = 0). В ионе Нг равновесному сос- состоянию соответствует R = 2а0, q = 0,6. Энергия электрона в симметрич- симметричном и антисимметричном состояниях Ес = j4»*^PLdF, E9.10) V. E9.11) где 2т 4тс80 - + - г„ г, E9 12) -оператор Гамильтона для электро- электрона. Не приводя результатов этих вы- вычислений, заметим лишь, что они дос- достаточно хорошо согласуются с экспе- экспериментальными данными. 60. Молекула водорода Излагаются основные положения теории моле- молекулы водорода Волновые функции. Молекула водоро- водорода, состоящая из двух протонов и двух электронов,-одна из простей- простейших молекул (рис. 93). Ее квантово- механическая теория сравнительно проста. Будем обозначать протоны а и Ь, а электроны- 1 и 2. Если расстоя- расстояние между протонами не очень вели- велико, то волновые функции составляю- составляющих молекулу атомов существенно перекрываются. Это означает, что каждый из электронов принадлежит 20*
308 12. Молекулы 93 Схема молекулы водорода обоим атомам, т. е. между атомами происходит обмен электронами. Бла- Благодаря этому возникают обменные силы, обусловливающие ковалентную связь. Задача теории заключается в вы- вычислении энергии взаимодействия как функции расстояния между протона- протонами. Если поведение энергии взаимо- взаимодействия аналогично поведению энер- энергии ?пОЛ (см. рис. 92,6), то два про- протона и два электрона образуют устой- устойчивую молекулу водорода. Энергия взаимодействия в рассматриваемой системе может быть вычислена с по- помощью теории возмущений. В качестве невозмущенного со- состояния естественно взять основное состояние двух невзаимодействую- невзаимодействующих атомов водорода. В соответст- соответствии с формулой C0.39а) эти волновые функции равны ш mi _ ш (- \ (f.a \\ *а\Ч ~ х1001г1/> ^Ои. 1^ ЧУ2) = ?1ОО(г2), F0.2) где 4^A)- волновая функция электро- электрона 1 в поле ядра а, а *?ь B) - волновая функция электрона 2 в поле ядра Ъ. Расстояние между ядрами равно R. Очевидно, что волновая функция двух электронов может быть представлена в виде 4/(Д1)Ч/ьB). Учитывая идентич- идентичность электронов, их можно поме- поменять местами, не изменив ничего в системе. Следовательно, комбинация *? aBf? ь(\) также является волновой функцией. Далее, из-за идентичности электронов волновая функция должна быть либо симметричной, либо анти- антисимметричной. Таким образом, в ка- качестве невозмущенных функций сис- системы из двух электронов можно взять следующие: 1), F0.3) ) • F0.4) Энергия взаимодействия слагается из четырых частей: 1 R г12 Г\ъ Тга- где e2j{4%z0R)- энергия взаимодейст- взаимодействия между протонами; е2/Dле0г12)- энергия взаимодействия между элект- электронами; — е2/Dтаог1Ь)-энергия взаи- взаимодействия электрона 1 с протоном Ь; — е2/ Dтсеог2а) - энергия взаимодейст- взаимодействия электрона 2 с протоном а. Заметим что энергия взаимо- взаимодействия -е2/{4пгог1а) электрона 1 с протоном а и энергия взаимодейст- взаимодействия -е2/DпЕ0г2Ь) электрона 2 с прото- протоном Ь учтены при нахождении функ- функций невозмущенного состояния. По- Поэтому энергия F0.5) является энер- энергией возмущения для состояния, опи- описываемого невозмущенной волновой функцией Ч/0A)Ч/г,B). Если же невоз- невозмущенное состояние описывается волновой функцией Ч/яB)Ч/()A), то энергия возмущения получается из F0.5) заменой электронов, т. е. имеет вид '12 F0.6) Энергия взаимодействия. Рассма- Рассматривая энергию взаимодействия E(R) как первую поправку к энергии сис- системы по теории возмущений, можно написать
§ 60. Молекула водорода 309 E(R) = F0.7) где Ч+Ч = Ч*2, поскольку волновые функции F0.1) и F0.2) действитель- действительные. Под оператором V в формуле F0.7) следует понимать выражение F0.5) для комбинации Ц> аA)Ч> ьB) и выражение F0.6) для комбинации ^B)^A). Таким образом, взяв в качестве *Р выражения F0.3) и F0.4), можно написать ± i^M^^w^D^^Ddv^v,. F0.8) В последнем члене имеется сме- щанное произведение комбинаций Ча{1)ЧьB) и ЧаB)ЧьA), и на первый взгляд не ясно, какое из выражений энергии возмущения подставить. Од- Однако нетрудно видеть, что можно подставить как V, так и V", поскольку результат в обоих случаях будет од- одним и тем же. Так что эта трудность отпадает. С = Введем следующие обозначения: „2 Г/{ R 4яе0 х VUDVKDdV^V,, е2 Г/1 1 А=- - + '2а- F0.9) R Г12 ** Два атома водорода притягиваются и образуют молекулу водорода, если их спины антипараллельны. В этом случае энергия взаимодействия имеет минимум при расстоянии между протонами, рав- равном по порядку величины воровскому ра- радиусу. В случае параллельных спинов между атомами на всех расстояниях дей- действуют силы отталкивания и образование молекулы невозможно. Полный спин мо- молекулы водорода равен нулю. Замкнутые оболочки атомов всегда от- отталкиваются. х 4la(\L'b(lL'aBLlbB)dVldV2, F0.10) S = $y?a{\L'bB)yl'aB)xi'b(l)dV1dV2. F0.11) Волновые функции *?а(\) и *РЬA) от- относятся к различным атомам, ядра которых расположены в различных точках пространства. Поэтому к ним неприменима теорема об ортонорми- рованности волновых функций. То же относится и к функциям ТаB) и ?,,B). Считая волновые функции Ч^О) и Ч/6B) нормированными на 1, видим, что если расстояние между ядрами равно 0, т.е. R = 0, то F0.11) равна S = №* A) d V^l B) d V2 = 1. F0.12) Если расстояние между ядрами уве- увеличивается, то степень перекрытия функций *Fa(l) и 4>ьA) уменьшается, в результате чего интеграл F0.11) уменьшается. Отсюда заключаем, что этот интеграл всегда много меньше единицы, за исключением лишь очень малых значений R, когда он близок к единице. Его величина зависит от сте- степени перекрытия волновых функций электронов. С учетом формул F0.9)-F0.12) формула F0.7) для энергии возмуще- ни может быть представлена в виде S), F0.13а) -S). F0.136) Как и следовало ожидать, энергия взаимодействия для симметричных и антисимметричных координатных функций различна. При рассмотрении атома гелия и принципа Паули было показано, что полная волновая функ- функция электрона с учетом спина должна всегда быть антисимметричной. Сле- Следовательно, выражение F0.13а), полу- полученное для симметричной координат- координатной функции, соответствует анти- антисимметричной спиновой функции. Это означает, что &+)(R) есть энергия
310 12. Молекулы малы. Поэтому при больших R ч*- пол 94 Изменение потенциальной энергии в зависи- зависимости от расстояния между ядрами в атоме водорода взаимодействия, когда спины двух электронов молекулы водорода анти- параллельны. Аналогично показыва- показывается, что 0 ~' (R) - энергия взаимо- взаимодействия, когда спины двух электро- электронов молекулы водорода параллельны (рис. 94). Нетрудно видеть, что интерпрета- интерпретация величин С и А в формулах F0.9) и F0.10) аналогична интерпретации ве- величин С и А в формулах E2.30) и E2.31) теории атома гелия. Величина С представляет энергию кулоновско- го взаимодействия зарядов молекулы водорода. Величина А возникает в результате обмена электронами меж- между состояними и является обменной энергией взаимодействия. Именно этот член ответствен за возникнове- возникновение сил притяжения и образование молекул. Качественно поведение энергии взаимодействия F0.13а) и F0.136) в зависимости от расстояния между протонами может быть получено с помощью следующих рассуждений. На очень больших расстояниях волновые функции практически не пе- перекрываются, величины R и г12 очень велики. Следовательно, С и А очень >оо)ж Е^ЧИ-ь^лО. F0.14) При средних расстояниях между ядрами, т. е. расстояниях порядка бо- ровского радиуса электрона, пере- перекрытие волновых функций значитель- значительно. Следовательно, обменная плот- плотность электронного облака велика. Кроме того, эта большая обменная плотность в некоторых точках нахо- находится весьма близко к ядрам и благо- благодаря притяжению к ним дает боль- большой отрицательный вклад в интеграл А. Среднее же расстояние различных частей обменной плотности друг от друга велико, и, следовательно, поло- положительный вклад в энергию от них мал. Велико также и среднее расстоя- расстояние между ядрами. Таким образом, для средних расстояний величина А отрицательна. На рис. 93 видно, что при данном R среднее расстояние электронного облака 1 от ядра b и электронного облака 2 от ядра а больше, чем среднее расстояние об- обменной плотности от ядер. Кроме того, расстояние между электронны- электронными облаками также сравнительно ве- велико. Это означает, что С численно значительно меньше А. Поэтому знак Е в F0.13а) и F0.136) определяется знаком А. Следовательно, при сред- средних расстояниях между ядрами ?<+) отрицательно, а Е<~) положительно, т.е. Е{+) дает притяжение между ато- атомами, а ?*">-отталкивание. Для очень малых расстояний вол- волновые функции перекрывают друг друга очень сильно. В этом случае главная роль в энергии взаимодейст- взаимодействия принадлежит кулоновскому от- отталкиванию между ядрами, так что энергия взаимодействия имеет в обо- обоих случаях порядок e2/Dne0R). Таким образом, при очень малых расстоя- расстояниях наблюдается отталкивание меж-
§ 60. Молекула водорода 311 ду ядрами как в случае Е[+\ так и в случае Е(~\ Резюмируя, можно сказать, что энергия взаимодействия ведет себя так, как это изображено на рис. 94 для E^l и E^l, если в качестве нуле- нулевой энергии принять энергию Епол на бесконечности. Следовательно, два атома водорода притягиваются и образуют молекулу водорода, если их спины антипараллельны. В этом слу- случае энергия взаимодействия имеет минимум при расстоянии между про- протонами, равном по порядку величины боровскому радиусу. В случае па- параллельных спинов между атомами действуют на всех расстояниях силы отталкивания и образование молеку- молекулы невозможно. Равновесное расстояние. Расстоя- Расстояние, при котором Eitn достигает ми- минимума, есть равновесное расстояние между атомами в молекуле водорода, а соответствующая энергия является энергией диссоциации молекулы во- водорода. Из экспериментальных дан- данных следует, что равновесное расстоя- расстояние между атомами в молекуле водо- водорода равно 1,4а0, а энергия диссоциа- диссоциации равна 4,5 эВ. Теоретические рас- расчеты дают удовлетворительное согла- согласие с этими величинами. Наличие сил отталкивания между атомами с па- параллельными спинами также было обнаружено экспериментально. В частности, при столкновении атомы могут образовывать молекулу лишь тогда, когда спины электронов анти- параллельны. Следовательно, при столкновении двух атомов вероят- вероятность того, что между ними будут действовать силы притяжения, равна /4, в то время как вероятность воз- возникновения сил отталкивания равна 3/4. Это обусловлено тем, что име- имеются три спиновые волновые функ- функции для триплетного состояния и только одна функция для синглет- ного. Полный спин молекулы. Посколь- Поскольку образование молекулы водорода возможно только при антипараллель- антипараллельных спинах электронов, полный спин молекулы водорода должен быть рав- равным нулю. Отсюда следует, что и магнитный момент молекулы водо- водорода должен быть равен нулю. По- Поэтому водород должен быть диамаг- нетиком. Это заключение подтверж- подтверждается экспериментом. Предположим, что к молекуле во- водорода приближается еще один атом водорода. Они могут начать обмени- обмениваться электронами. Спрашивается: какие в результате этого возникнут силы и нет ли возможности образо- образовать молекулу из трех атомов водо- водорода? В молекуле водорода имеется два электрона с антипараллельными спинами. Молекула водорода и атом водорода не могут между собой об- обмениваться электронами с антипарал- антипараллельными спинами, потому что в ре- результате такого обмена в молекуле водорода образовались бы два элек- электрона с параллельными спинами, что невозможно. Поэтому между молеку- молекулой водорода и атомом водорода до- допустим обмен лишь электронами с параллельными спинами. Но такой обмен, как это видно на примере мо- молекулы водорода, приводит к возник- возникновению сил отталкивания. Следова- Следовательно, между молекулой водорода и атомом водорода возникают силы отталкивания и образование молеку- молекулы их трех атомов водорода не может произойти. Этим обстоятельством объясняется свойство насыщения ко- валентных связей. Замкнутые оболочки атомов всег- всегда отталкиваются. Это имеет боль- большое значение для понимания ионной связи. Ионы стремятся притянуться
312 12. Молекулы друг к другу под действием кулонов- ских сил, однако при достаточно ма- малом расстоянии начинают действо- действовать обменные силы отталкивания между замкнутыми оболочками ионов. Таким образом, размер молекулы определяется тем расстоянием, на котором обменные силы отталкива- отталкивания между замкнутыми оболочками ионов уравновешивают силы куло- новского притяжения между ионами. Параводород и ортоводород. Мно- Многочисленные эксперименты показыва- показывают, что спин протона равен 1/2. Сле- Следовательно, протоны подчиняются принципу Паули. В полной аналогии с тем, что было сказано о двух элект- электронах в атоме гелия, можно заклю- заключить, что полная волновая функция, описывающая состояние протонов в молекуле водорода, должна быть антисимметричной. Поэтому спино- спиновая часть этой волновой функции мо- может быть либо симметричной, либо антисимметричной. Это означает, что спины протонов могут быть направ- направлены либо параллельно, либо антипа- раллельно. Молекулы водорода, у ко- которых спины протонов антипарал- лельны (полный спин двух протонов S = 0), называются молекулами пара- водорода. При параллельных спинах (S = 1) молекулы называются молеку- молекулами ортоводорода. В обычном водо- водороде молекулы параводорода содер- содержатся в отношении B0+ 1):B-1 + + 1) = 1:3, потому что ортоводород имеет в три раза больше спиновых состояний, чем параводород. Молеку- Молекулы параводорода и ортоводорода ве- ведут себя как два самостоятельных вида молекул, потому что в обычных столкновениях между молекулами взаимная ориентировка спинов в мо- молекулах практически никогда не изме- изменяется и нет взаимопревращения мо- молекул параводорода и ортоводорода. 61. Валентность. Метод валентных связей Описываются основные физические факторы, обусловливающие валентность элементов. Инертные газы. На примере молеку- молекулы водорода видно, что объединение атомов в молекулу возможно лишь в том случае, если один из электронов одного атома может вступить в об- обмен с электроном другого атома, имеющим антииараллельный спин. Таким образом, вопрос сводится к тому, есть ли в атомах электроны со свободными спинами. Если все элект- электроны в атоме объединены в пары с антипараллельными спинами, то ни один из электронов не может всту- вступить в обмен с электроном другого атома с антипараллельным спином и, следовательно, невозможно образо- образование молекулы. Примером являются благородные газы, в атомах которых все электроны упорядочены в пары с антипараллельными спинами, так что полный спин атома равен нулю. По- Поэтому атомы благородных газов не имеют ни одного электрона со сво- свободным спином, который мог бы вступить в обмен с электроном дру- другого атома благородного газа с анти- антипараллельным спином. Этим и объяс- объясняется, почему благородные газы яв- являются инертными. Валентность. Валентность атома относительно водорода определяется числом электронов со свободными спинами, которые могут вступать в обмен с соответствующим числом электронов другого атома. Электро- Электроны внешней оболочки атома могут образовывать различные конфигура- конфигурации. Валентность для различных кон- конфигураций может быть различной. Валентность атома в возбужденном состоянии может отличаться от его валентности в основном состоянии. Обычно под валентностью понимает-
§ 62. Структура молекул 313 Таблица 7 Характеристики Полный спин Валентность Соединение Н 1/2 1 Н2 Не 0 0 Li 1/2 1 LiH Be 0 0 [ВеН] В 1/2 1 ВН Элементы С 1 2 [CHJ N 3/2 3 NH3 О 1 2 ОН2 F 1/2 1 FH Ne 0 0 ся валентность в основном состоянии. В табл. 7 приведены валентности элементов первых двух периодов таб- таблицы Менделеева. Имеется хорошее согласие между теорией и экспериментом, за исклю- исключением двух случаев, указанных в таб- таблице квадратными скобками. Теория для Be и С дает соответственно ва- валентности 0 и 2, в действительности же для них наблюдаются валентности 1 и 4. Как показывает более деталь- детальный анализ вопроса, это различие обусловливается тем, что их валент- валентности определяются не основными состояниями атома, а возбужденны- возбужденными. Таким образом, может случиться, например у углерода, что главную роль играет валентность атома не в основном состоянии, а в возбужден- возбужденном. Поэтому в связи с валентностью следует также рассматривать и воз- возбужденные состояния атомов. Это особенно важно в том случае, когда возбужденное состояние имеет боль- большую валентность, чем основное сос- состояние. Метод валентных связей. В воп- вопросах строения сложных молекул очень наглядным является метод ва- валентных связей, основывающийся на следующих допущениях. Молекула в целом представляется как система отдельных атомов, достаточно четко отделенных друг от друга. Отдельные атомы связаны друг с другом хорошо локализованными ковалентными свя- связями. Каждая ковалентная связь обес- обеспечена двумя электронами с противо- противоположно направленными спинами, причем один электрон со своим нап- направлением спина принадлежит одно- одному из связываемых атомов, а дру- другой-другому. Электроны подавляю- подавляющую часть своего времени проводят между атомами, ковалентную связь между которыми они обеспечивают. Поэтому каждую из валентных связей можно рассматривать отдельно от других, а орбитали каждого из ато- атомов, обеспечивающие ковалентную связь, считаются в первом приближе- приближении идентичными орбиталями изоли- изолированного атома. Лишь при коли- количественных расчетах приходится при- принимать во внимание модификации орбиталей, обусловленные различно- различного рода взаимодействиями. 62. Структура молекул Обсуждается возникновение направленных ва- валентностей атомов, метод молекулярных орбита- лей, гибридизация и кратные связи между ато- атомами. Метод молекулярных орбиталей. В противоположность методу валент- валентных связей метод молекулярных орбиталей с самого начала рассматривает молеку- молекулу как систему, внешние электроны которой принадлежат всей молекуле. Орбитали являются орбиталями мо- молекулы, а не орбиталями отдельных атомов. Существование молекулы обеспе-
314 12 Молекулы чивается концентрацией электронной плотности между атомами. Образо- Образование ковалентнои связи двумя элект- электронами с противоположно направ- направленными спинами с точки зрения ме- метода молекулярных орбиталей сво- сводится к тому, что при перекрытии атомных орбиталей в случае про- противоположно направленных спинов плотность электронного облака уве- увеличивается, а при одинаково направ- направленных спинах по принципу Паули этого не происходит. Метод валентных связей в ком- комбинации с методом молекулярных и атомных орбиталей позволяет дать наиболее наглядную интерпретацию структуры молекул. Представление структуры методом валентных связей. Каждая пара элект- электронов, обеспечивающая ковалентную связь, изображается линией, про- проведенной между соответствующими атомами. Например, анализ внешних оболочек показывает, что в атомах молекул Н2, О2 и N, в образовании ковалентных связей участвуют соот- соответственно одна, две и три пары электронов. Структура этих молекул: Н—Н, О=О, N=N. В соответствии с правилом Хунда в электронной подоболочке с задан- ** В соответствии с правилом Хунда в элек- электронной подоболочке с заданным момен- моментом импульса одинаковое направление спина имеет максимально возможное число электронов. Поэтому в незамкну- незамкнутой оболочке обязательно имеются не- спаренные электроны, которые могут уча- участвовать в образовании ковалентных свя- связей. Они называются валентными элек- электронами. Следовательно, все элементы с незамкнутыми внешними оболочками могут образовывать химические соедине- соединения. Направленный характер валентности обу- обусловлен неизотропным распределением плотности электронного облака валент- валентных электронов. ным моментом импульса одинаковые направления спина имеют макси- максимально возможное число электронов. Поэтому в незамкнутой оболочке обязательно имеются неспаренные электроны, которые могут участво- участвовать в образовании ковалентных свя- связей. Они называются валентными электронами. Отсюда заключаем, что все элементы с незамкнутыми внеш- внешними оболочками могут образовы- образовывать химические соединения. Рас- Рассмотрим, например, как получают- получаются структуры Н—Н, О=О, N=N. Структура атома водорода Ь и, сле- следовательно, в атоме имеется неспа- ренный электрон \s, & потому струк- структура молекулы водорода Н—Н. У атома кислорода структура \s22s22pA. На внешней незамкнутой оболочке имеется четыре электрона в 2/7-сос- тоянии. Оболочка 2р имеет три раз- различных координатных состояния, ко- которые соответствуют т, = —1,0, + 1. Три электрона заполняют эти состоя- состояния с одинаковым направлением спи- спина, а четвертый вынужден заполнить одно из этих состояний с противопо- противоположно направленным спином, в ре- результате чего два электрона в этой оболочке имеют одинаковое направ- направление спина и способны к спариванию с электроном другого атома. Валент- Валентность атома кислорода равна 2, а структура молекулы кислорода О==О. Электронная конфигурация атома азо- азота \s 2s22p3. Поэтому в координат- координатных состояниях т, = — 1, 0, +1 на внешней оболочке находится три электрона с параллельными спинами, способных к спариванию. Валент- Валентность атома азота равна 3, а струк- структурная формула молекулы азота N=N. Направленные валентности атомов. На основании анализа эксперимен- экспериментальных данных A.M. Бутлеров A828-
§ 62. Структура молекул 315 1886) ввел A861) понятие о структуре молекул как об определенном прост- пространственном расположении атомов в молекуле. Например, в молекуле углекислого газа СО2 атомы распола- располагаются на прямой линии, а в молеку- молекуле воды Н2О-в углах треугольника. Для объяснения структуры молекул необходимо допустить, что химиче- химические валентности атомов обладают определенной направленностью. Направленный характер валент- валентности обусловлен неизотропным рас- распределением плотности электронного облака валентных электронов атома. Валентная связь образуется в том направлении атома, в котором плот- плотность электронного облака макси- максимальна. Конечно, о направлении валент- валентной связи можно говорить лишь тог- тогда, когда имеется минимум два ва- валентных электрона и смысл утверж- утверждения состоит в определении углов между направлениями валентности. Рассмотрим примеры. У атома азота в оболочке 2р имеется три неспаренных электрона, находящихся в трех разных коорди- координатных состояниях т1 = — 1, 0, + 1. Угловое распределение этих электро- электронов определяется квадратами модуля волновых функций, нормированных к единице на сфере единичного радиуса. С помощью угловых собственных функций ротатора (см. § 28) можно убедиться, что максимальные плотно- плотности вероятности углового распределе- распределения этих электронов образуют между собой углы 90°. Ясно, что и валент- валентные связи, которые обеспечиваются соответствующими электронами, на- направлены под прямым углом друг к другу. Это заключение подтверждает- подтверждается экспериментом. Например, моле- молекула NH3 имеет пирамидальное строение, а углы между ковалентны- ми связями N—Н составляют 107,3°. Отличие угла от 90° объясняется вза- взаимным отталкиванием атомов водо- водорода. У атома кислорода в оболочке 2/7 имеется два валентных электрона, которые находятся в состояниях, ана- аналогичных состояниям 2/7 электронов в атоме азота. Следовательно, между направлениями валентности у атома кислорода угол равен также 90". Это заключение подтверждается экспери- экспериментом. Например, в молекуле воды угол между связями О—Н и О—Н составляет 104,45°. Гибридизация. Пространственная структура атомных орбиталей в ком- комбинации с представлением о валент- валентных связях позволяет во многих слу- случаях получить довольно удовлетвори- удовлетворительное представление о структуре молекулы и молекулярных орбита- лях. Однако при образовании хими- химического соединения происходит пе- перестройка электронной оболочки ато- атома и поэтому валентные состояния атома в химическом соединении от- отличаются от состояния изолирован- изолированного атома, причем иногда значи- значительно. Например, изолированный атом углерода, имеющий конфигура- конфигурацию Is22s 2р2, двухвалентен. В хими- химических соединениях он выступает как четырехвалентный атом и образует такие соединения, как СН4, СС14 и т. д. Это объясняется тем, что энергии 2s- и 2/7-сосгояний в атоме углерода мало отличаются и при образовании химического соединения образуется суперпозиция этих состояний, содер- содержащая четыре валентных электрона. Это явление называется гибридиза- гибридизацией орбиталей. Кратные связи между атомами. Между атомами имеются кратные связи, но не все они эквивалентны между собой. Например, в молекуле
316 12 Молекулы азота действует тройная связь, кото- которая записывается в виде Nh=N. Од- Однако валентные связи у атома азота направлены под углом 90° друг к другу и тройная связь осуществляется следующим образом. Линию, прохо- проходящую через атом N, будем считать осью Z декартовой системы коорди- координат. Вдоль этой оси направлена одна валентная связь. Электроны, обеспе- обеспечивающие эту связь, называются а-электронами. Связь, как обычно, возникает в результате перекрытия электронных плотностей этих а-элект- ронов. Эта связь называется а-связью. Другие две связи возникают за счет перекрытия электронных плотностей, имеющих максимумы вдоль осей X и Y. Соответствующие электроны назы- называются п-электронами, а связи назы- называются п-связями. Таким образом, тройная связь в молекуле азота сос- состоит из одной а-связи и двух я-свя- зей. 63. Колебательные и вращательные спектры молекул Описываются колебательные и вращательные спектры молекул Энергетические состояния молекулы. Имеется три физических фактора, которыми определяются энергетиче- энергетические состояния молекулы. 1. Вращение всей молекулы в це- целом. 2. Колебательные движения аш- мов молекулы друг относительно друга. 3. Изменения в электронной струк- структуре молекулы. Расстояния между вращательны- вращательными уровнями энергии очень малы. Они имеют порядок 10 ~3 эВ, и пере- переходы между этими состояниями гене- генерируют излучение с длиной волны от 0,1 мм до 1 см. Расстояние между колебательными уровнями энергии примерно на два порядка больше и имеет порядок 0,1 эВ. Переходы меж- между этими уровнями соответствуют длинам волн от 1 мкм до 0,1 мм. Расстояние между уровнями энергии валентных электронов составляет не- несколько электрон-вольт, что соответ- соответствует длинам волн видимой и ультра- ультрафиолетовой частей спектра. Вращение двухатомных молекул. Обозначим т1, т2, R соответственно массы первого и второго атомов и расстояние между ними. Момент инер- инерции молекулы относительно оси, про- проходящей через центр масс перпенди- перпендикулярно прямой линии, проходящей через атомы, равен j = l + т2г\, F3.1) где г1 и гг-расстояния от центра масс до соответствующего атома. Учиты- Учитывая, что, по определению центра масс, m1r1 = m2rz, rx + rz = R, пред- представим F3.1) в виде F3-2) \ml + m2/ где ц = m1m2/(m1 + m2) F3.3) -приведенная масса молекулы. Момент импульса L=Ja F3.4) в соответствии с B8.20а) может при- принимать следующие значения: Ь = ^/щТ\)Л (/ = 0,1,2,...). F3.5) Поскольку энергия вращения молеку- молекулы равна l/2J(?>2, получаем с учетом F3.5) энергетический спектр в виде Е, = Jco2/2 = L2/BJ) = /(/ + \)R2/BJ) (/ = 0,1,2,...). F3.6) Для оценки порядка величин энер- энергий вращения рассмотрим в качестве
§ 63. Колебательные и вращательные гпектры молекул 317 примера молекулу СО, у которой рас- расстояние R между атомами равно 0,113 нм. Массы атомов углерода и кислорода равны соответственно 1,99 х х 10~26 и 2,66-10"6 кг. По форму- формулам F3.3) и F3.2) находим ц = 1,14 х х10~2бкг и J = 1,46-106кг-м2. Наименьшая энергия вращения (/ = 1) равна Et = h2jj = 5,07- 1(Г4 эВ. Учи- Учитывая, что при комнатной температу- температуре кТ = 2,6-10~2 эВ, энергию ?\ мож- можно характеризовать как очень малую. Угловая скорость вращения о^ = = B?1/JI/2 = 3,23-1011 с'1. Из ма- малости Е1 по сравнению с к Т с учетом теоремы о равнораспределении энер- энергии следует, что при комнатной тем- температуре большинство молекул нахо- находится на высоковозбужденных враща- вращательных уровнях, в частности молеку- молекулы СО на уровне 1=1. Наиболее вероятным вращательным состояни- состоянием для молекулы N2O при комнатной температуре является состояние с 7= 15. В расчетах энергетического спект- спектра F3.6) молекула предполагалась жесткой. В действительности молеку- молекула эластична и центробежные силы во вращающейся молекуле несколько увеличивают расстояние между ато- атомами. Обозначив D жесткость, запи- запишем условие равенства силы упругос- упругости и центробежной силы во вращаю- вращающейся молекуле в виде D(R- Л0) = цю2Л, F3.7) где R- расстояние между атомами вращающейся молекулы, /?0- расстоя- расстояние между атомами в отсутствие вра- вращения. В F3.7) предполагается, что упругая сила, возникающая при рас- растяжении молекулы вдоль ее оси сим- симметрии, описывается законом Гука. Полная энергия с учетом потенциаль- потенциальной энергии, учитывающей растяже- растяжение молекулы, равна Е = D(R - ЛоJ/2 = Jco2/2 F3.8) где принято во внимание равенство F3.7). С помощью F3.2) и F3.4) фор- формулу F3.8) можно представить в виде Е = L2/BJ) + L4/BJ2 R2 D). F3.9) С учетом квантования момента им- импульса в соответствии с F3.5) из F3.9) получаем квантованный спектр энер- энергии вращения эластичной двухатом- двухатомной молекулы: Е, = /(/ + \)H2IBJ) + 12A+ \JnA/BJ2R2D). F3.10) Правая часть F3.10) зависит не толь- только от /, но также и от R и J = \iR2, которые сами зависят от /. Таким образом, правая часть F3.10) при / = const является функцией от Л и 1/D = а, т.е. Et = Ei{R,a). Энергия жесткой молекулы равна E,{Ro,0). Разложим F3.10) в точке (Ro,0) в ряд, ограничивающийся линейным по от- отклонениям членам: R, a)=?,(/?<,, dE,{R0,a) dE,(R,0) )^ 8а F3.11) а = 0 Принимая во внимание F3.7) и соот- соотношение \)П, вместо F3.11) получаем F3.12) F3.13) Это означает, что уровни энергии эластичной молекулы понижаются относительно соответст- соответствующих уровней жесткой молекулы. Разность энергий растет с увеличе- увеличением / и уменьшением жесткости D.
318 12. Молекулы Кроме рассмотренного вращения вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии молекулы, проходящей через ее атомы, в принципе возможно также и вращение вокруг оси сим- симметрии. Однако эта возможность не играет никакой роли, потому что мас- масса атома практически вся сосредото- сосредоточена в его ядре, радиус которого при- примерно в 104-105 раз меньше размеров атома, а момент инерции при враще- вращении в 108—1010 раз меньше момента инерции при вращении атома вокруг оси, проходящей вне атома. Главный вклад в момент инерции дают элек- электроны, находящиеся от оси вращения на расстояниях порядка размеров атома, но их масса составляет 10'3- 10~4 массы атома. Энергия враща- вращательных уровней пропорциональна 1/J и в соответствии с формулой F3.3) должна быть в 10 -104 раз больше энергии вращения молекулы вокруг оси, перпендикулярной оси симметрии. Это составляет несколько электрон-вольт. По теореме о равно- равнораспределении энергии по степеням свободы можно заключить, что такое вращение соответствует температуре в десятки тысяч кельвин (например, /сГ=4эВ соответствует температуре 46400 К). Задолго до такой темпера- температуры молекулы диссоциируют. Поэтому вращение двухатомной мо- молекулы вокруг оси, проходящей через атомы, не играет никакой роли. Вращение многоатомных молекул. Вращение линейных многоатомных молекул, у которых все атомы рас- расположены на одной линии, происхо- происходит аналогично вращению двухатом- двухатомРасстояния между вращательными уров- уровнями энергии молекулы очень малы и имеют порядок 10 л эВ, а между колеба- колебательными уровнями примерно на два порядка больше. ных молекул и описывается такими же формулами. При анализе вращения нелиней- нелинейных многоатомных молекул необхо- необходимо принимать во внимание их инерциальные свойства как объемно- объемного тела, которые характеризуются не одним моментом инерции, как в слу- случае двухатомных молекул, а тензо- тензором инерции. Тензор инерции принимает наибо- наиболее простой вид, когда оси координат совпадают с главными осями тензора инерции. Главные оси тензора инер- инерции перпендикулярны друг другу. В главных осях тензор инерции диаго- диагоналей. Диагональные элементы назы- называются главными моментами инерции молекулы относительно соответ- соответствующих осей. Они имеют смысл момента инерции при вращении во- вокруг соответствующей оси. Нумеруя оси декартовой системы координат, совпадающие с главными осями тен- тензора инерции, индексами i = 1, 2, 3, обозначим J, момент инерции отно- относительно оси L Главные моменты инерции и направление главных осей инерции различны для разных точек молекул (как в твердом теле). Если главные оси проходят через центр масс молекулы, они называются цен- центральными главными осями. В этом случае начало декартовой системы координат, оси которой совпадают с главными осями тензора инерции, совпадает с центром масс молекулы. При анализе вращательного движе- движения молекул, так же как и при анализе вращательного движения твердых тел, целесообразно рассматривать враще- вращение в главных центральных осях, что и подразумевается в последующем. Обозначим главные моменты инер- инерции относительно центральных глав- главных осей Jlf J2, J3, а моменты им- импульса Lx, L2, L3. Энергия вращения
§ 63. Колебательные и вращательные спектры молекул 319 молекулы Е = ЬДО,) + L22IBJ2) + L2/BJ3). F3.14) Вектор полного момента импульса L = L1+L2 + L3. F3.15) Модуль момента квантуется обычной формулой L = JL\ + L\ + L\ = ,//(/ + I) П. F3.16) Моменты инерции Jv, J2, J3 B общем случае различны. Однако если распределение масс аксиально-сим- аксиально-симметрично относительно, например, оси i = 1, то 3 2 = J3, а ось симметрии / = 1 выделяет некоторое простран- пространственное направление. Формула F3.14) принимает вид Е = LlKU,) + (L\ + L\)/BJ2). F3.17) По общим правилам квантования момента импульса (см. § 28) заклю- заключаем, что проекции момента импуль- импульса на направлении оси / = 1 Lx = тП («1 = 0, ±1, ±2, ..., ±1). F3.18) Два знака т отвечают двум возмож- возможным направлениям проекции момен- момента импульса на ось / = 1. Принимая во внимание F3.18) и F3.16), находим Ц + Ц = 1{1+ \)П2-т2П2 F3.19) и можем представить F3.17) в виде Еит = /(/ + \)И2ЦЫ2) + т2[/Р/^) - - H2/BJ2)l F3.20) Знак разности H2/{2J\) — fi2/{2J2) зави- зависит от формы молекулы. Для моле- молекул, вытянутых вдоль оси / = 1, J, < J2 и знак разности положителен; для молекул, сплюснутых вдоль оси / = 1, знак разности отрицателен. Энергия Е1т вытянутых молекул с возрастанием | т | увеличивается, а у сплющенных - уменьшается. Деформации многоатомных моле- молекул под действием центробежных сил, как и двухатомных молекул, влияют на энергетические уровни. Не вда- вдаваясь в детали, отметим лишь, что поправка к энергии наряду с членом, пропорциональным /2(/+ IJ, содер- содержит также члены, пропорциональные /(/+ \)т2 и т4. У молекул без выделенной оси аксиальной симметрии нельзя про- квантовать формулой вида F3.18) ни одну из проекций L,, L2, L3 момента импульса. Решение уравнения Шре- дингера для вращательного движения такой молекулы дает 2/ + 1 собствен- собственных значений и принадлежащих им собственных функций, с помощью ко- которых анализируется вращение моле- молекулы. Общих ф°РмУл Для анализа таких молекул не существует. Вращательные спектры. Излучать и поглощать электромагнитное излу- излучение при переходах между враща- вращательными уровнями энергии могут лишь молекулы, обладающие элек- электрическим дипольным моментом. По- Поэтому неполярные двухатомные молекулы (например, Н2), симметричные линей- линейные молекулы (например, СО2) и многоатомные молекулы с централь- центральной симметрией (например, СН4) не дают вращательных спектров. У этих молекул переходы между вращатель- вращательными энергетическими уровнями про- происходят лишь в результате столкнове- столкновений между молекулами. Молекулы с дипольным электри- электрическим моментом дают вращатель- вращательные спектры, правила отбора для ко- которых Д/ = ± 1, Am = 0. F3.21) Правило отбора А/ = + 1 имеет то же основание, что и в формуле B8.26), а правило отбора Am = 0 объясняется следующим обстоятельством. У ак- аксиально-симметричных молекул, по определению, нет дипольного элек-
320 12. Молекулы 95 Зависимость потенциальной энергии взаимо- взаимодействия от расстояния между атомами в двухатомной молекуле трического момента, взаимодействие которого с электромагнитным излу- излучением влияет на вращение молекулы вокруг оси симметрии, что и выра- выражается правилом отбора Am = 0. При переходах между соседними вращательными уровнями испускает- испускается (или поглощается) квант излуче- излучения, круговая частота которого [см. F3.20)] со, + 1^, = {Е,+ ,.„-?,. J/Я = /«(/+ 1)/J2- F3.22) Разность частот между соседними ли- линиями излучения Дсо = со, + ! , - со, , _ х = = П{1 + 1)/J2 - Hl/J2 = H/J2, F3.23) и, следовательно, спектр состоит из линий, отстоящих друг от друга по частотам на равном расстоянии. Спектр эластичной молекулы отлича- отличается от спектра F3.23) жесткой моле- молекулы тем, что расстояние между ли- линиями излучения в нем не постоянно и с увеличением / уменьшается. По- Поскольку при комнатных температурах молекулы находятся в сильно возбуж- возбужденных вращательных состояниях (большие значения /), уменьшение расстояния между линиями излучения необходимо принимать во внимание. Колебания двухатомных молекул. Для существования устойчивого со- состояния молекулы необходимо, что- чтобы потенциальная энергия EU{R) как функция расстояния R между атома- атомами имела минимум (рис. 95). Расстояние Ro, соответствующее минимуму потенциальной энергии, есть расстояние между атомами в устойчивом равновесии. При измене- изменении расстояния возникают силы, стремящиеся восстановить его. Эти силы в комбинации с силами инерции приводят к возникновению колебаний атомов молекулы около положения равновесия. Предполагая отклонения от поло- положения равновесия малыми, можно потенциальную энергию разложить в ряд в точке Ro, т.е. воспользоваться формулой Тейлора (R - RqJ 2! F3.24) где учтено, что первая производная от Ел в точке минимума равна нулю. Поскольку рассматривается система двух тел, можно начало координат совместить с одним из атомов и поль- пользоваться в расчетах приведенной мас- массой ц = т1т2/(т1 + т2), F3.25) где т1 и т2- массы атомов. Обозна- Обозначив Я - Ro = х, F3.26) можно уравнение Шредингера для ко- колебаний атомов по координате х представить в виде d2? 2ц/ = 0, где E=E+EJR0), цсо2, = E"n F3.27) F3.28)
§ 63 Колебательные и вращательные спектры молекул 321 Уравнение F3.27) является урав- уравнением гармонического осциллятора. Уровни энергии даются формулой ?„ = Яа>0(л + 72) (п = 0,1,2,...)- F3.29) Схема колебательных уровней двух- двухатомной молекулы представлена на рис. 95. Следует отметить, что фор- формула F3.29) справедлива для расчета энергии уровней лишь вблизи дна по- потенциальной ямы, когда в разложе- разложении F3.24) можно ограничиться дву- двумя членами. При увеличении расстоя- расстояния R — Ro необходимо принять во внимание высшие члены разложения. Это приводит к сгущению уровней при удалении от дна потенциальной ямы. Вне потенциальной ямы связан- связанных состояний двух атомов не су- существует, а спектр энергий становит- становится непрерывным, т. е. расстояние меж- между уровнями становится равным нулю. Следует еще раз отметить наличие нулевой энергии колебаний, получае- получаемой по формуле F3.29) при п = 0. Это означает, что нельзя представить ато- атомы в молекуле покоящимися друг относительно друга. Такое положение обусловлено принципом неопределен- неопределенности: нельзя одновременно зафиксировать положение и энергию агома. Энергия атомов принимает некоторое минимальное значение, а положение атома разбросано в некоторой облас- области, что соответствует его нулевым колебаниям. Расстояния между колебательны- колебательными уровнями молекулы вблизи дна потенциальной ямы [см. F3.29)] обыч- обычно много больше расстояний между нижними вращательными уровнями. Например, у молекулы СО значение ю0 = 1,28-1014 с и, следовательно, разность энергий соседних колебатель- колебательных уровней равна А?" = /гсоо = 8,44 х х 10 ~2 эВ, что значительно больше разности энергий вращательных уров- уровней этой молекулы, оцененной выше (*10~4 эВ). При комнатной темпера- температуре кТя 2,6-1(Т2 эВ меньше АЕ = = 8,44-10эВ и поэтому большин- большинство молекул СО находится в основ- основном состоянии с п = 0. Колебания многоатомных молекул. Материальная точка имеет три степе- степени свободы. Как было отмечено вы- выше, распределение массы в объеме атома таково, что внутренние степени свободы не играют роли при рассмот- рассмотрении механического движения атома как целого. Это означает, что он мо- может быть представлен как материаль- материальная точка. Отсюда замечаем, что состоящая из N атомов молекула об- обладает 3iV степенями свободы, из ко- которых три степени свободы принадле- принадлежат трансляционному движению ее центра масс, а три степени свободы- вращательным движениям молекулы как целого вокруг трех взаимно пер- перпендикулярных осей. Эти шесть сте- степеней свободы описывают движение молекулы как целого. Оставшиеся 3JV-6 степеней свободы описывают относительные движения атомов внут- внутри молекулы и являются внутренни- внутренними степенями свободы движения мо- молекулы. Поскольку у линейных моле- молекул вращение вокруг оси симметрии не возбуждается, они имеют только две вращательные степени свободы и, следовательно, 3N-5 внутренних. Каждая внутренняя степень свобо- свободы связана с определенной модой ко- колебаний. Часть мод описывает растя- растяжение и сжатие связей между атома- атомами вдоль соединяющих атомы линий, остальные моды описывают другие деформации молекулы. Двухатомная молекула (N = 2) имеет одну внутрен- внутреннюю степень свободы B- 3 — 5 = 1) и 21 219
322 12 Молекулы Нормальные колебания: а-молекулы воды Н2О; б-молекулы углекислого газа СО2 обладает, следовательно, одной мо- модой колебаний. Молекула воды Н2О является нелинейной молекулой и по- поэтому обладает 3N — 6 = 3 модами колебаний (рис. 96, а). Мода 1 являет- является симметричным изгибным колеба- колебанием, 2 - симметричным растяжением и сжатием, 3 - асимметричной колеба- колебательной деформацией. Молекула уг- углекислого газа СО 2 является линей- линейной и обладает 3N — 5 = 4 модами колебаний (рис. 96,6). Две моды 1 являются изгибными колебаниями в двух взаимно перпендикулярных на- направлениях, имеющими одинаковые энергии. Мода 2 представляет сим- симметричное колебание из растяжения и сжатия, 3 - асимметричное колебание. Различные моды колебаний осу- осуществляются независимо и одновре- одновременно и в своей совокупности пред- представляют любое сложное внутреннее движение молекулы. Если возникаю- возникающие при взаимном смещении атомов в молекуле силы и моменты сил под- подчиняются закону Гука, то колебания являются гармоническими. Может случиться, что в сложной многоатомной молекуле имеются группы атомов, которые движутся как целое, а возможное в принципе относительное движение атомов в группе несущественно. Тогда колеба- колебание целой группы атомов составляет нормальное колебание молекулы, ко- которое характеризуется своей часто- частотой. Например, ОН-группа имеет ха- характерную частоту колебаний, рав- равную 1,1 ¦ 1014 Гц, NH2-rpynna- 1,0 х х 1014 Гц. Характерные частоты ко- колебаний зависят от характера связей между атомами группы и с другими атомами молекулы. Например, груп- группа =С —С= имеет характерную час- частоту колебаний «3,3* 1013 Гц, группа =С—С=- «5-1013 Гц, а группа —С==С «6,7-1013 Гц. Частота колебаний этих групп не зависит от того, в какую молекулу группа входит и в каком месте моле- молекулы находится. Это обстоятельство позволяет по колебательному спектру молекул судить о структуре моле- молекулы. Вращателыю-колебательные спект- спектры. В гармоническом приближении правило отбора для переходов между колебательными состояниями дается правилом отбора для гармонического осциллятора An = +1 [см. B7.28)]. Для ангармонического осциллятора правила отбора имеют вид An = = + 1, + 2 ..., однако вероятность пе- переходов с увеличением | An | сильно уменьшается, в результате чего пере- переходы с An = +1 возникают наиболее часто и являются обычно домини- доминирующими. В чистом виде колебательные спектры можно наблюдать только в жидкостях, поскольку из-за сильного взаимодействия между соседними мо- молекулами вращательные состояния молекул развиты слабо. В газах вра- вращательные энергетические уровни сильно возбуждены по сравнению с колебательными уровнями, потому что кванты энергии возбуждения вра- вращательных уровней много меньше квантов энергии возбуждения колеба-
63. Колебательные и вращательные спектры молекул 323 тельных. Поэтому в спектрах газов изолированные линии колебательно- колебательного спектра наблюдать не удается. Каждая линия колебательного спектра превращается в совокупность очень большого числа очень близко расположенных линий, возникающих вследствие переходов между враща- вращательными уровнями, в результате че- чего возникает полоса вращательно-ко- лебательного спектра. В первом приближении вращение и колебание молекулы можно считать независимыми и пренебречь действи- действием центробежных сил. Собственные значения энергии на основании F3.6) и F3.29) имеют вид Е„ , = Йсоо(п + 72) + /(/ + l)/i2/BJ). F3.30) Правила отбора при переходах вы- выражаются формулами А/ = +1, Аи = = ± 1. При переходе из состояния с п = 1 в основное состояние и = 0 об- образуются две ветви спектра: Р-ветвь, для которой А/ = — 1, и Л-ветвь, для которой А/= +1. Из F3.30) для час- частот излучения Юр и coR находим сле- следующие выражения: F3.31) = g>0-IB/J (/ = 1,2, 3, ...), = ю0 + [(/ + 1)(/ + 2) - /(/ + 1)] n/{2J) = = со0 1)H/J A = 0, 1,2, 3, ...). F3.32) Линия с частотой соо не излучается, потому что переходы с А/ = 0 запре- запрещены правилами отбора. Расстояния между частотами соседних линий в обеих ветвях одинаковы и равны До = /г/J. При учете связи между вра- вращениями и колебаниями молекулы, ангармоничности колебаний и сил инерции регулярность спектра F3.31) — F3.32) нарушается в результате по- появления в выражении F3.30) для Еп , дополнительного члена, пропорцио- пропорционального (и + 1/2IA + 1)> который понижает энергию каждого из состоя- состояний F3.30). У многоатомных молекул спектры значительно усложняются. В частнос- частности, у линейных многоатомных моле- молекул, энергетические спектры которых выражаются формулами F3.30), пра- правила отбора для и и / при различных типах переходов различны и зависят от того, параллелен или перпендику- перпендикулярен оси молекулы ее осциллирую- осциллирующий электрический дипольный мо- момент. Если дипольный момент парал- параллелен оси молекулы, то правила отбо- отбора для мод колебаний атомов вдоль оси имеют вид Аи = ± 1 (или Аи = = + 1, ±2, +3, ... при учете ангар- ангармоничности) и А/ = + 1, как и в F3.31) и F3.32). Такие колебания молекулы СО2 показаны на рис. 96. При сим- симметричных колебаниях дипольный момент молекулы СО2 остается рав- равным нулю, а при асимметричных ко- колебаниях имеется изменяющийся во времени дипольный момент, парал- параллельный оси симметрии молекулы, который и обеспечивает спектр из- излучения, аналогичный спектру излу- излучения двухатомной молекулы. При изгибных колебаниях (рис. 96) элек- электрический дипольный момент направ- направлен перпендикулярно оси молекулы. Правила отбора при этом имеют вид Аи = ±1, А/= 0, +1. Правило отбо- отбора А/ = 0 обеспечивает появление в спектре линии с частотой ш0, при- принадлежащей Q-ветви. Правила отбора для аксиально- симметричных многоатомных моле- молекул, энергии вращательных состояний которых выражаются формулами ви- вида F3.20), также различны для коле- колебаний дипольного момента вдоль оси
324 12. Молекулы молекулы и перпендикулярно оси. Для колебаний, параллельных оси, они имеют вид Д« = ± 1, А/ = 0, + 1, Am = 0. Это означает, что соответ- соответствующие спектры аналогичны спект- спектрам линейных молекул, возникаю- возникающим за счет изгибных (перпендикуляр- (перпендикулярных оси) колебаний. Для колебаний, перпендикулярных оси, правила отбо- отбора гласят: Аи = + 1; А/ = 0, + 1; Am = = ± 1. Правило отбора Am = ± 1 обес- обеспечивает появление линий Q-ветви, частота которых больше и меньше соо. Кроме того, в спектре присутству- присутствует также много линий в Р- и /?-ветвях, которые лежат чрезвычайно близко друг к другу и образуют практически сплошной спектр. Пример 63.1. Найти энергию дис- диссоциации молекулы дейтерия D2, ес- если энергия диссоциации молекулы во- водорода Н2 равна 4,48 эВ, а энергия основного колебательного уровня со- составляет 0,26 эВ. Энергию уровня в потенциальной яме, при которой происходит диссо- диссоциация молекулы Н2, будем считать равной нулю. Ясно, что на этом уров- уровне осуществляется также и диссоциа- диссоциация молекулы дейтерия. Дно потен- потенциальной ямы ниже этого уровня на @,48 + 0,26) эВ. На такой же глубине находится и дно потенциальной ямы молекулы дейтерия. Первый колеба- колебательный уровень молекулы дейтерия имеет энергию 0,26 (mp/mDI/2 = 0,18 эВ. Энергия диссоциации молекулы дей- дейтерия D,48 + 0,26 - 0,18) эВ = 4,56 эВ. 64. Электронные спектры молекул Описываются электронные спектры молекул. Принцип Франка-Кондона. Расстоя- Расстояние между электронными уровнями энергии внешних электронов молеку- молекулы такого же порядка, как и между электронными уровнями атомов, и составляют несколько электрон-вольт, что во много раз больше, чем рас- расстояние между колебательными и тем более вращательными уровнями энер- энергии. Переходы между электронными уровнями связаны с поглощением или испусканием фотонов, частота кото- которых лежит в видимой или ультра- ультрафиолетовой части спектра. При элек- электронном переходе изменяется конфи- конфигурация электронной оболочки и, сле- следовательно, изменяются силы притя- притяжения между ядрами и колебательное и вращательное движения ядер. По- Поэтому при электронном переходе из- изменяются также вращательно-колеба- тельные состояния молекулы и вмес- вместо одной линии образуется полоса частот, соответствующая вращатель- но-колебательному спектру молеку- молекулы. Благодаря этому спектры моле- молекул получили название полосатых. Само собой разумеется, что все ска- сказанное о спектрах испускания отно- относится и к спектрам поглощения. Электронные переходы соверша- совершаются очень быстро и занимают лишь небольшую часть периода колебаний молекулы. Поэтому можно считать, что во время электронного перехода атомы молекулы неподвижны в тех местах, в которых они находились в момент электронного перехода. Это предположение называется принци- принципом Франка-Кондона. Использование этого принципа позволяет значительно упростить ана- анализ спектров молекул. Классификация электронных сос- состояний молекулы. Электронные сос- состояния молекулы классифицируются, аналогично электронным состояниям атома. Не вдаваясь в подробности классификации в общем случае, ука- укажем лишь на некоторые моменты
§ 64 Электронные спектры молекул 325 наиболее простого случая аксиально- симметричных молекул. В поле ак- аксиальной симметрии проекция сум- суммарного орбитального момента им- импульса электронов на ось молекулы сохраняется и электронные состояния молекулы можно классифицировать по значению модуля этой проекции, которая в единицах h принимает зна- значения 0, 1, 2, 3, 4, Обычно вместо указания числового значения модуля проекции эти состояния записывают большими греческими буквами ?, П, А, Ф, Г, .... Кроме значения проекции орбитального момента электронов на ось молекулы электронные состояния различаются суммарным спином S всех электронов. При пренебрежении спин -орбитальным взаимодействием энергетические уровни не зависят от проекции спина и являются вырож- вырожденными. При учете спин-орбиталь- спин-орбитального взаимодействия это вырождение снимается и образуется 2S + 1 близко расположенных энергетических уров- уровней. Число 2S + 1 называется муль- типлетностъю электронного состоя- состояния. По аналогии с написанием атом- атомных электронных состояний мульти- плетность уровней электронных сос- состояний молекулы указывается индек- индексом слева вверху у буквенного обо- обозначения состояния. Например, *Е и *П показывает, что соответственно S = 0nL=0,l.y молекулы водорода основным состоянием является ХЕ, при переходе в состояние 3? (S — 1, параллельные спины) молекула рас- распадается на атомы. Отбор переходов между колеба- колебательными состояниями. При анализе электронных переходов не существует никакого правила отбора для кван- квантового числа п, характеризующего ко- колебательные состояния. Переход по колебательным состояниям осуществ- осуществляется с помощью дополнительного 97 Колебательные уровни и соответствующие плотности вероятности |*Р|2 двухатомной мо- молекулы для соседних электронных состояний общего принципа, который лучше по- подробно объяснить, чем кратко сфор- сформулировать. Потенциальные ямы (см. рис. 95), описывающие колебательные уровни энергии молекулы, сдвинутся друг от- относительно друга при различных электронных состояниях. Потенциаль- Потенциальная яма, соответствующая более воз- возбужденному электронному состоянию, сдвинута вправо относительно потен- потенциальной ямы, относящейся к менее возбужденному электронному состоя- состоянию, поскольку возбуждение молеку- молекулы подводит ее ближе к диссоциации и, следовательно, сопровождается уве- увеличением расстояния Ro между ядра- ядрами. На рис. 97 показаны энергии элек- электронных и колебательных уровней в зависимости от R. На каждом из ко- колебательных уровней в потенциаль- потенциальных ямах распределение плотности вероятности | *Р |2 для соответствую- соответствующей волновой функции гармоничес- гармонического осциллятора закрашено. В воз- возбужденных состояниях плотность ве- вероятности увеличивается вблизи гра- границ потенциальной ямы, что соответ- соответствует классическому представлению о точках поворота. Вблизи точек по- поворота колеблющаяся точка прово- проводит самую значительную долю обще-
326 12. Молекулы непрерывный спекп в) • ;Ч 98 Схемы реализации отбора переходов по принципу Франка - Кондона и предиссоциация го времени. В основном колебатель- колебательном состоянии расстояние между яд- ядрами равно равновесному значению Ro с очень большой вероятностью. На рис. 97 видно, что относительно наибольшую долю общего времени ядра в возбужденном колебательном состоянии проводят при почти мак- максимальном или почти минимальном расстоянии между собой. По принципу Франка-Кондона электронный переход совершается при постоянном расстоянии между ядрами атомов, входящих в молеку- молекулу. Следовательно, и сопровождаю- сопровождающий его переход между колебатель- колебательными состояниями молекулы совер- совершается также при постоянном рас- расстоянии между ядрами. Это означает, что переход может осуществляться лишь между теми участками колеба- колебательных уровней, которые на схеме энергетических уровней (рис. 98) по- попадают на одну вертикаль, а вероят- вероятность перехода определяется произ- произведением вероятностей пребывания молекулы на соответствующих участ- участках колебательных уровней, т. е. рас- распределением плотности вероятнос- вероятности | Ч* |2 в соответствующих состоя- состояниях. Практически это означает, что пе- переход осуществляется между теми ко- колебательными состояниями, у кото- которых . максимумы на колебательных уровнях лежат на одной вертикали. На рис. 98, а, б, в показаны три ха- характерные ситуации, иллюстрирую- иллюстрирующие эти правила отбора переходов. Нижние потенциальные ямы относят- относятся к основному электронному состоя- состоянию молекулы, верхние-к первому возбужденному. Будем считать, что начальное сос- состояние молекулы-основное состоя- состояние, когда она находится на колеба- колебательном уровне п = О нижней потен- потенциальной кривой. Ситуации а-Ь ха- характеризуются различным увеличени- увеличением равновесного расстояния между ядрами в возбужденном состоянии, приводящем к различному смещению потенциальных кривых возбужденно- возбужденного состояния вправо. Рассмотрим пе- переходы из основного состояния в воз- возбужденное в результате поглощения фотона.
§ 64. Электронные спектры молекул 327 На рис. 98, а расстояние между ядрами в основном и возбужденном состояниях практически одинаково. Максимум | Ч* |2 на уровне п = О ос- основного состояния молекулы лежит практически на одной вертикали с максимумом 1Ч*!2 колебательного уровня п = О в возбужденном элек- электронном состоянии. Поэтому наибо- наиболее вероятным является переход с и = О основного состояния на п = О возбужденного состояния. Вероят- Вероятность перехода на п = 1 ничтожно мала, поскольку на рассматриваемой вертикали | Ч* | = О, вероятность пе- перехода на п — 2 также очень мала и т.д. Поэтому главную роль играет переход с п = 0 на п = 0. Переходы на другие уровни с п=\, 2, ... также возможны, но они осуществляются значительно реже и дают лишь сла- слабые линии поглощения. На рис. 98, б расстояние между ядрами в основном и возбужденном состояниях увеличилось настолько, что верхнее состояние с п = 0 уже не попадает на одну вертикаль с нижним состоянием с п = 0. Поэтому переход с п = & основного состояния на коле- колебательный уровень п = 0 возбужден- возбужденного электронного состояния невоз- невозможен. На рис. 98,6 показано такое смещение, при котором максимум :¦<-:: При электронном переходе изменяются также вращательно-колебательные со- состояния молекулы и вместо одной часто- частоты испускается целая полоса частот, со- соответствующая вращательно-колебатель- ному спектру молекулы. Благодаря этому спектры молекул получили название по- полосатых. Электронный переход в молекуле совер- совершается при постоянном расстоянии ме- между молекулами и происходит лишь ме- между теми участками колебательных уров- уровней, которые на схеме энергетических уровней находятся на одной вертикали, а вероятность перехода определяется про- произведением вероятностей пребывания молекулы на соответствующих участках колебательных уровней. | Ч* |2 на уровне п = 0 основного со- состояния молекулы лежит примерно на одной вертикали с максимумом |Ч*|2 колебательного состояния п — 1 возбужденного электронного состоя- состояния молекулы, находящимся вблизи левой границы потенциальной ямы. Поэтому наибольшей вероятностью обладает переход с п = 0 на п = 1. Переходы на уровни с п = 2, 3, ... также возможны, но они дают более слабые линии поглощения. На рис. 98, в изображена ситуа- ситуация, когда вертикальная линия из ос- основного состояния молекулы с п = 0 пересекает потенциальную кривую возбужденного состояния в точке, ко- которой не соответствует никакое свя- связанное состояние. Это означает, что электронный переход с большой ве- вероятностью сопровождается диссо- диссоциацией молекулы. Предиссоциация. Если потенциаль- потенциальные кривые различных возбужденных состояний пересекаются, причем одна из них имеет минимум и описывает связанное состояние, а вторая не име- имеет минимума и описывает несвязан- несвязанное состояние, то возможно интерес- интересное явление, называемое предиссоциа- цией. Такая ситуация показана на рис. 98, г. Переход из основного состояния 1 с п — 0 на уровень d возбужденного электронного состояния 2 (рис. 98, г) приводит к последующему переходу молекулы без изменения энергии в нестабильное состояние и диссоциа- диссоциации. Переход же молекулы на более высокие уровни е, f и т.д. в боль- большинстве случаев, когда в точках пере- пересечения потенциальной кривой несвя- несвязанных состояний 3 с уровнем энер- энергии связанного состояния значение | *Р |2 мало, не приводит к диссоциа- диссоциации молекулы.
328 12. Молекулы ff ¦f 99 Схемы возникновения флуоресценции (а) и фос- фосфоресценции (б) Люминесценция. При переходе мо- молекулы из возбужденного состояния в основное излучается квант света. Люминесценцией называется та- такое излучение, при котором промежу- промежуток времени между поглощением кванта света, возбудившим молекулу, и испусканием кванта света в резуль- результате обратного перехода молекулы в основное состояние больше периода колебаний световой волны. Между поглощением и испуска- испусканием кванта происходят промежуточ- промежуточные процессы, длительность которых превосходит период колебаний свето- световой волны. Этим люминесценция от- отличается от различных видов рассея- рассеяния. Люминесценция может наблю- наблюдаться при любой температуре. По- Поэтому ее часто называют холодным свечением. Люминесценция классифицирует- классифицируется по временным характеристикам свечения, по типу возбуждения и по механизму преобразования энергии. По длительности свечения разли- различают быстро затухающую люминес- люминесценцию, называемую флуоресценцией, и длительную люминесценцию, назы- называемую фосфоресценцией. Различие в их длительности обусловлено про- продолжительностью внутримолекуляр- внутримолекулярных процессов, протекающих между моментом возбуждения молекулы и испусканием кванта света. Это деле- деление условное и строгой временной границы между ними нет. На рис. 99, а изображена схема переходов при флуоресценции. В ре- результате возбуждения молекула пере- переходит на возбужденный уровень. За время жизни на этом уровне она мо- может в результате столкновения с дру- другими молекулами отдать часть своей колебательной энергии, оставаясь в возбужденном состоянии. В резуль- результате этого она опустится на более низкий колебательный уровень и лишь из него совершит переход в нижнее электронное состояние с испусканием фотона. Энергия испущенного фотона в случае, изображенном на рис. 98, а меньше чем квант возбуждения. Раз- Разность энергий в процессе спуска мо- молекулы по колебательным уровням превращается в тепло. Продолжи- Продолжительность флуоресценции в этом слу- случае имеет порядок времени жизни молекулы в возбужденном состоянии. В большинстве случаев это время до- достаточно мало. На рис. 99,6 изображена ситуа- ситуация, приводящая к фосфоресценции. В молекулах, так же как и в атомах, пе- переходы между электронными состоя- состояниями с различным значением полно- полного спина запрещены. На рис. 99,6 левая потенциальная яма возбужденно- возбужденного состояния относится к синглетно- му состоянию (S = 0), а правая - к три- плетному (S = 1). Молекула, находя- находящаяся в основном синглетном состо- состоянии, поглощает фотон и переходит в возбужденное синглетное состояние. При столкновении с другими мо-
§ 64. Электронные спектры молекул 329 лекулами она может потерять часть энергии и перейти на более низкие колебательные уровни того же син- глетного электронного состояния 1, энергия которого может оказаться примерно равной энергии соответ- соответствующего возбужденного триплет- ного состояния 2. При такой ситуации имеется заметная вероятность пере- перехода системы из синглетного возбуж- возбужденного состояния в триплетное. Оста- Оставаясь в триплетном возбужденном состоянии, молекула в результате столкновений теряет энергию и пе- переходит на основной колебательный уровень п = 0. Дальше она не сможет совершить электронный переход в ос- основное состояние с излучением фо- фотона, потому что основное состояние синглетное, а электронный переход с изменением полного спина запрещен. Запрет этот с учетом различного рода взаимодействий не абсолютен. Прак- Практически запрет означает, что вероят- вероятность перехода очень мала и поэтому время жизни возбужденного состоя- состояния очень велико. Интервал времени между погло- поглощением фотона, возбудившего моле- молекулу, и испусканием фотона в резуль- результате описанного процесса может сос- составлять секунды, минуты и даже ча- часы. Это явление называется фосфо- фосфоресценцией. По типу возбуждения различают фотолюминесценцию (возбуждение све- светом), радиолюминесценцию (возбужде- (возбуждение проникающей радиацией), элект- электролюминесценцию (возбуждение элек- электрическим полем), триболюминесцен- цию (возбуждение при механических воздействиях), хемилюминесценцию (воз- (возбуждение при химических реакциях). К радиолюминесценции относятся рентгенолюминесценция, катодолю- минесценция, ионолюминесценция, а- л юминесценция. По механизму преобразования энергии различают резонансную, спон- спонтанную, вынужденную и рекомбина- ционную люминесценцию. Эти меха- механизмы отличаются друг от друга ха- характером перехода молекулы с уров- уровня первоначального возбуждения на уровень, с которого происходит пере- переход с излучением кванта. Если перво- первоначальный уровень возбуждения и уровень излучения принадлежат од- одной и той же молекуле (атому), то люминесценция называется спонтан- спонтанной (рис. 99,а). В этом случае молеку- молекула (атом) называется центром люми- люминесценции, а переход - внутрицентро- вым. Если уровни первоначального возбуждения и излучения совпадают, то люминесценция называется резо- резонансной. Ясно, что в этом случае энер- энергия испущенного кванта равна энер- энергии поглощенного. При спонтанной люминесценции в большинстве слу- случаев энергия испущенного кванта меньше энергии поглощенного. Такая люминесценция называется стоксо- вой. Однако в достаточно большом числе случаев осуществляется анти- стоксова люминесценция, когда после возбуждения в результате столкнове- столкновений происходит увеличение колеба- колебательной энергии молекулы, т. е. ее переходы по колебательным уровням возбужденного состояния не вниз, как изображено на рис. 99,а, а вверх. В результате уровень излучения оказы- оказывается выше первоначального уровня возбуждения и энергия испущенного кванта-больше энергии поглощенно- поглощенного. Однако интенсивность антисток- сова излучения мала по сравнению с интенсивностью стоксова излуче- излучения, поскольку в соответствии с рас- распределением Больцмана концентра- концентрация молекул с увеличением их энер- энергии быстро (экспоненциально) убыва- убывает.
330 12 Молекулы Если в процессе перехода от уров- молекуле некоторую энергию, напри- ня первоначального возбуждения мо- мер в виде кванта света, в результате лекула попадает на метастабильный чего молекула переходит на уровень уровень, то люминесценция резко излучения и возникает люминесцен- уменьшается. Чтобы ее стимулиро- ция. Такая люминесценция называет- вать, бывает необходимым сообщить ся вынужденной или метастабильной. Задачи 12.1. Оценить угловую скорость вращения молекулы азота при Т=600К, если расстояние между атомами в молекуле равно 1,7-1О~10 м. 12.2. Расстояние между ядрами в молекуле водорода Я = 0,75-100 м. Собственная частота колебаний молекулы водорода w = 0,8-1015 с. Оценить энергию первого вращательного уровня молекулы водорода и разность энергий между колебательными уровнями. 12.3. Исходя из результатов предыдущей задачи, подсчитать, при какой температуре должно прекратиться вращение молекул водорода и при какой температуре начинают возбуждать- возбуждаться колебания. 12.4. Расстояние между атомами в молекуле Csl равно 0,331 нм. Найти приведенную массу и момент инерции молекулы. 12.5. Момент инерции молекулы Н79Вг равен 3,3' 10~47 кг-м3. Найти расстояние между ядрами и энергию третьего вращательного уровня. 12.6. Относительное движение протона и нейтрона в дейтроне можно представить как движение частицы с приведенной массой ц = тр mjirn^ + т„) в потенциальной яме вида Еп (х) = = оо (х < 0); Еп(х) = —Еп0 < 0 @ < х < а); Еа(х) = 0 (х > а). Дейтрон может находиться лишь в одном связанном состоянии с энергией —2,22 МэВ. Считая, что я = 2-10~15 м, найти Ел0. 12.7. Расстояние между последовательными линиями спектра поглощения молекулы 1Н35С1 составляет 20,68 см. Чему равно соответствующее расстояние для линий спектра 2Н35С1? Массы 1Н, 2Н и 35С1 равны соответственно 1,007825; 2,014102 и 34,96885 а.е.м. A,6-107 кг). 12.8. Чему равны (в см) первые три линии вращательного спектра молекулы 127135С1, если расстояние между ядрами 0,232 нм, а массы 1271 и 35С1 равны соответственно 126,9044 и 34,96885 а.е.м. 12.9. Чему равны жесткости молекул водорода Н2 и дейгерия D2, если известно, что наблюдае- наблюдаемые колебательные волновые числа для этих молекул равны 4159,2 и 2990,3 см соот- соответственно. 12.10. Рассчитать жесткости молекул СО и NO, если колебательные волновые числа для них равны 2143,3 и 1876,0 см соответственно. Ответы 12.1. 10|3с"'. 12.2. 7-10 эВ; 0,5 эВ. 12.3. 50 К; 6000 К. 12.4. 1,75 107 кг; 7,7-104 кгм2 12.5. 0,143 нм; 2,1 • 10~2 эВ. 12.6. 37 МэВ. 12.7. 10,64 см. 12.8. 0,228 см; 0,457 см; 0,685 см'1. 12.9. 5,1360-Ю3 Н/м; 5,3056-10 Н/м. 12.10. 18 56103Н/м; 15,48 х х 103 Н/м.
65 Типы связи в кристаллах 13 66 Основные понятия зонной теории твердых тел ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 67 Переход металл-металл 68 Полупроводники Под электрон- электронными свойствами твердых тел по- понимают такие свойства, которые определяются энергетическим спектром электронов или сущест- существенно зависят от него. Поэтому главной теоретической и экпери- ментальной задачей при изучении электронных свойств твердых тел является определение энергети- энергетического спектра электронов и ха- характеристик электронных состо- состояний. 69 р-п- переходы и транзисторы 70 Сверхп роводи мость
332 13. Электронные свойства твердых тел 65. Типы связи в кристаллах Описываются типы связи в кристаллах. Возникновение кристаллической струк- структуры. Твердое состояние возникает при столь сильном взаимодействии между молекулами (атомами или ионами), что тепловое движение мо- молекул не играет роли, т. е. когда энер- энергия связи молекул значительно боль- больше кинетической энергии их теплово- теплового движения. Равновесное устойчивое расположение молекул друг относи- относительно друга достигается при мини- минимуме свободной энергии. Если условия равновесия выпол- выполнены в некоторой области простран- пространства, то они должны быть выполнены и в других областях пространства и, следовательно, должны обусловить аналогичное расположение молекул в другой области пространства. Это оз- означает, что взаимное расположение молекул повторяется при переходе из одних областей пространства в дру- другие, т.е. возникает периодическая структура твердых тел. Она реали- реализуется в виде кристаллической решет- решетки, а сами твердые тела являются кристаллами. Точки равновесного положения составляющих кристалл атомов, мо- молекул или ионов называются узлами кристаллической решетки. Наличие кристаллической решетки - наиболее важный признак твердого тела. Однако в повседневной жизни че- человека кристаллические твердые тела составляют лишь часть твердых тел, с которыми он имеет дело. Например, растительные и животные ткани (дре- (древесина, кожа, шерсть, хлопок и т.д.), целлюлоза, стекло и стекловолокно, каучук, пластмассы и громадное чис- число других повседневно используемых материалов не относятся конкретно к кристаллическим твердым телам, хо- хотя по своим механическим свойствам (сохранение формы и объема) они твердые тела. Все они образуют боль- большой и важный класс веществ, назы- называемых полимерами. В принципиальном смысле этим веществам также свойственна кри- кристаллическая структура, но в обыч- обычных условиях они не находятся в рав- равновесном состоянии. Например, стек- стекло по истечении нескольких сотен лет кристаллизуется. В пластмассах про- процесс кристаллизации сильно затруд- затруднен перепутыванием между собой об- образующих их длинных молекул. Структура твердых тел, описание кристаллических решеток и другие аналогичные вопросы достаточно подробно излагаются в курсе молеку- молекулярной физики. Там же описаны ме- механические и тепловые свойства твер- твердых тел. В этой книге рассмотрены главным образом электронные свой- свойства твердых тел. Но прежде необхо- необходимо проанализировать типы связи атомов и молекул в кристалле, кото- которые обеспечивают устойчивое сущест- существование кристаллической решетки. Энергия взаимодействия атомов. Общий вид потенциальной энергии взаимодействия атомов представлен на рис. 95. На больших расстояниях атомы притягиваются, на малых-от- малых-отталкиваются. На расстоянии Ro силы притяжения компенсируются силами отталкивания и атомы пребывают в положениях устойчивого равновесия. В зависимости от обстоятельств та- такое устойчивое равновесие осуществ- осуществляется либо между атомами в моле- молекуле, либо между атомами в узлах кристаллической решетки. В послед- последнем случае говорится об атомных кристаллах. Общий характер зависи- зависимости потенциальной энергии от рас- расстояния между атомами, показанный на рис. 95, соблюдается также и для
§ 65 Типы связи в кристаллах 333 молекул. Это приводит к возникнове- возникновению кристаллов, в узлах кристалличе- кристаллической решетки которых находятся мо- молекулы. Такие кристаллы называют молекулярными. Конкретные пара- параметры, описывающие зависимость потенциальной энергии взаимодейст- взаимодействующих молекул или атомов, опреде- определяются свойствами последних и меха- механизмом взаимодействия, обеспечи- обеспечивающим связь между ними. В кри- кристаллах можно указать пять типов связи: ионную, ковалентную, водо- водородную, металлическую и молекуляр- молекулярную. В реальных ситуациях чаще все- всего действуют одновременно несколь- несколько из этих связей, но обычно удается выделить ту из них, которая является доминирующей. Ионная связь. Она осуществляется между атомами, один из которых лег- легко теряет электрон и превращается в положительный ион, а другой стре- стремится приобрести дополнительный электрон и превращается в отрица- отрицательный ион. Эти ионы испытывают кулоновское притяжение и могут об- образовать связанную систему. Напри- Например, ионная связь обеспечивает суще- существование кристалла NaCl. Электрон- Электронная оболочка атома натрия получает- Ионная связь осуществляется между атомами, один из которых легко теряет электрон и превращается в положитель- положительный ион, а другой стремится приобрести положительный электрон и превращается в отрицательный ион. Ковалентная связь возникает в результате увеличения плотности электронного об- облака обобществленных электронов между атомами. Водородная связь возникает в результате сильного обобществления электрона ато- атома водорода одним атомом и притяжения ядра атома водорода (протона) другим электроотрицательным атомом. Металлическая связь осуществляется обобществленными электронами, обра- образующими в металле электронный газ. Молекулярная связь осуществляется силами Ван-дер-Ваальса. ся при добавлении одного электрона к замкнутой электронной оболочке неона Ne, являющегося инертным га- газом. Другими словами, электронную конфигурацию натрия можно условно представить в виде (Na) = (Ne) 3s. Электрон 3s очень слабо связан с основной частью атома и легко отры- отрывается от атома, в результате чего получается ион Na+. В электронной оболочке атома хлора не хватает од- одного электрона, чтобы она стала замкнутой, эквивалентной электрон- электронной оболочке инертного газа аргона. Хлор стремится приобрести электрон, чтобы заполнить место в замкнутой оболочке, в результате чего образует- образуется отрицательный ион СР. Потен- Потенциальная энергия взаимодействия ионов, разделенных расстоянием г, равна е2/Dпе0г2). Для расстояний по- порядка долей нанометра эта энергия имеет порядок нескольких электрон- вольт (типичная энергия взаимодей- взаимодействия атомов в ионных кристаллах). Следовательно, ионная связь возникает в результате обмена зарядом между атомами. Ковалентная связь. Возникновение ковалентной связи в кристаллах ана- аналогично ее возникновению в атомах (см. § 58). Она возникает в результате обобществления электронов между атомами. Перекрытие электронных облаков между атомами весьма быстро изме- изменяется при изменении расстояния между ядрами. Это означает, что си- силы ковалентной связи обычно велики. Поэтому ковалентные кристаллы, как правило, очень твердые и имеют вы- высокие температуры плавления. Типич- Типичным ковалентным кристаллом явля- является, например, алмаз. Часто заряд, обеспечивающий возникновение ковалентной связи, де- делится между взаимодействующими
334 13. Электронные свойства твердых тел атомами не поровну. Другими слова- словами, электрон одного из атомов нахо- находится в окрестности второго атома относительно большую часть време- времени, чем электрон второго атома в окрестности первого. В результате та- такой ситуации оба атома оказываются частично ионизированными и между ними возникают электростатические силы. Связь между атомами стано- становится частично ковалентной и частич- частично ионной, т.е. смешанной. Таким образом, имеется непрерывный пере- переход от ковалентной к смешанной и к ионной связи, которые отличаются друг от друга характером обобщест- обобществления заряда. Водородная связь. Атом водорода имеет один электрон и поэтому мо- может быть связан ковалентной связью только с одним атомом. Если этот атом сильно обобществляет электрон атома водорода, т. е. является электро- электроотрицательным атомом, то электрон большую часть времени проводит вблизи этого атома, а про- протон (ядро атома водорода) оказы- оказывается незаэкранированным (атом во- водорода оказывается положительно заряженным). Он притягивается к другому электроотрицательному ато- атому, в результате чего возникает связь двух электроотрицательных атомов посредством атома водорода. Такую связь называют водородной. Металлическая связь. В металлах электроны внешней оболочки атомов обобществляются и образуют элект- электронный газ. Электроны мигрируют из окрестности одних атомов в окрест- окрестности других, не будучи связаны устойчиво ни с одним из атомов. Эти электроны называют электронами проводимости. Они обусловливают электропроводность металлов. Для отделения электронов от внешних оболочек атомов требуется затратить энергию. Тем не менее это энергетиче- энергетически выгодно, так как понижает об- общую энергию металла, что подтверж- подтверждается самим фактом существования электронов проводимости в металле. Понижение энергии металла в ре- результате погружения положительно заряженных ионов в отрицательный электронный газ с определенным за- запасом компенсирует затраты энергии на отрыв электронов от атомов. Воз- Возникающую при этом связь между ато- атомами металла называют металличе- металлической. Концентрация электронов прово- проводимости равна примерно концентра- концентрации атомов металла, т.е. на один атом металла приходится примерно один электрон проводимости. Напри- Например, на один атом серебра приходит- приходится 0,7 электрона; меди-0,8; золо- золота-0,9, а у алюминия около двух электронов. У металлов концентра- концентрация атомов обычно ~ 1028 м~3. Молекулярная связь. Если элек- электроны сильно связаны с атомом, то осуществление какой-либо из пере- перечисленных выше связей оказывается затруднительным. Такая ситуация возможна, например, для инертных газов. Тем не менее при подходящих условиях они могут быть переведены в жидкое и твердое состояние. Ответ- Ответственные за это силы называют сила- силами Ван-дер-Ваальса. Это очень слабые силы притяжения между флуктуирую- флуктуирующими дипольными моментами ато- атомов и молекул, возникающими в ре- результате движения электронов в ато- атомах и молекулах. Переменный дипольный момент индуцирует в соседних атомах и мо- молекулах переменный дипольный мо- момент. Взаимодействие исходного и индуцированного дипольных мо- моментов приводит к возникновению сил притяжения Ван-дер-Ваальса,
66 Основные понятия зонной теории твердых тел 336 как это более подробно рассматри- рассматривается в молекулярной физике. Молекулярная связь играет осо- особенно большую роль в органических кристаллах. Энергия связи молеку- молекулярных кристаллов мала, и поэтому температуры плавления и кипения соответствующих веществ низки. 66. Основные понятия зонной теории твердых тел Формулируются основные положения зонной теории твердых тел и даются количественная оценка важнейших особенностей электронного спектра и общая характеристика электронных состояний Теорема Блоха. Кристаллическая ре- решетка самим фактом своего сущест- существования свидетельствует о наличии в кристалле периодического электриче- электрического поля. Очевидно, что потенциал поля обладает той же пространствен- пространственной периодичностью, что и сама ре- решетка. Уравнение Шредингера для электрона в кристалле имеет вид V2?k (г) + ^1Ек- К (г)] 4>к (г) = 0, F6.1) где Ек - собственное значение энергии электрона; Ч^ - собственная функция, принадлежащая собственному значе- значению Ек; к-набор квантовых чисел, характеризующих состояние *Рк. Этот набор записан в виде вектора, потому что в пространственном случае вклю- включает в себя три числа, образующих вектор. Очевидно, что при отсутствии периодического потенциала (Еп = 0) решение уравнения F6.1) представ- представляется в виде плоских волн Ч»к(г) = Ле1кг F6.2а) с собственными значениями энергии Ev = Гг2к2/Bт), F6.26) принадлежащими непрерывному спект- спектру. Тремя квантовыми числами, ха- характеризующими состояние, являют- являются проекции кх, ку, кг. Видно, что энергия вырождена по направляющим вектора к. Функция F6.2а) описывает не зависящую от времени часть волн де Бройля (8.7) для электрона, обла- обладающего энергией F6.26). Скорость электрона на основании (8.17) равна v = n~ldEJdk. F6.2в) Поэтому при решении уравнения F6.1) в общем случае важно найти Ек , к , к как функцию от кх, ку, kz. Это позволяет вычислить скорость электрона в кристалле. Обозначим Rj вектор трансляции решетки. Условие совпадения прост- пространственной периодичности потен- потенциала и решетки имеет вид Еп(г + R) = ЕМ F6.3) Эта периодичность потенциала в урав- уравнении F6.1) должна соответствую- соответствующим образом отразиться в периодич- периодичности решения 4'к(г). Теорема Блоха утверждает, что наиболее общее реше- решение одноэлектронного уравнения Шре- Шредингера F6.1) в кристалле имеет вид ?k(r) = elk 'срк(г), F6.4) где фк (г) обладает такой же простран- пространственной периодичностью, что и по- потенциал F6.3), т.е. фк(г + R;) = срк(г). Это означает, что волновая функция электрона в соседних ячейках кристалла отличает- отличается фазовым множителем ехр(гкт). Следовательно, найдя фк(г) в преде- пределах одной ячейки кристалла, мы опре- определим волновую функцию для всего кристалла. Одномерная модель кристалла Кро- нига- Пенни. Чтобы выяснить основ- основные свойства решения уравнения
336 13. Электронные свойства твердых тел 100 Потенциальные ямы в одномерной модели кристалла Кронига - Пенни Будем искать решение уравнения F6.4) в виде ?k = eib4pk(jc), F6.6) где Ц>к(х) удовлетворяет условию <рк(х) = q>k(x + а + Ь). Подставляя F6.6) в F6.5), находим d2<p dtp dx2 dx 2m 1- 2(E- где Ек = П2к2/Bт). Ek - EJ Ф = 0, F6.7a) F6.76) В потенциальной яме, где Еп = 0 (на- (например, в области 0 < х < а), решение F6.7а) имеет вид л,. л 101 Графическое решение уравнения F6.9) F6.1) при условии F6.3), рассмотрим простейший одномерный случай по- последовательности прямоугольных по- потенциальных барьеров и ям (рис. 100), который допускает точное аналитиче- аналитическое решение. Для одномерного периодического потенциала Кронига и Пенни (рис. 100) уравнение Шредингера имеет вид 2m где ?„ = F6.5) 0 (в каждой потенциальной яме), Епо (в каждом потенциальном барьере). х = BmE/h2I12. F6.8) В области потенциального барье- барьера а < х < а + b решение может быть записано следующим образом: ад*, F6.9) где Р = 2m 1/2 Постоянные А, В, С, D выбирают- выбираются так, чтобы функция ф и ее произ- производные dcp/dx были непрерывны. С учетом условия периодичности функ- функции ф это дает систему уравнений A + B=C + D, i(y. (р-ik)b _j_ ?)e(p + tt)^ )a - 2"(x ®-ik)b - (C F6.10) Для того чтобы существовали не- нетривиальные решения этой системы для величин А, В, С, D, детерминант, составленный из коэффициентов, дол- должен быть равен нулю. Это приводит к соотношению
66. Основные понятия зонной теории твердых тел 337 р2-х2 sinx« + chp b cosxa = = cos к (а + b), F6.11) которое связывает между собой энер- энергию Е и значение к. Из него в принци- принципе можно определить энергию Е как функцию от к, т.е. Е= Е{к), или, на- наоборот, найти к, отвечающее опреде- определенной энергии, т.е. к = к(Е). Наибо- Наиболее характерной особенностью связи F6.11) является то, что энергия-не- энергия-неоднозначная функция волнового чис- числа к. Для анализа этого обстоятельст- обстоятельства целесообразно придать уравнению F6.11) более удобный для рассмотре- рассмотрения вид. Возьмем предельный случай, когда ширина потенциального барье- барьера между потенциальными ямами стремится к нулю (Ь -*¦ 0), а высота потенциального барьера стремится к бесконечности (Еп0 -> со), но так, что- чтобы площадь Ел0Ь оставалась постоян- постоянной. Полагая lim Рх 2 F6.12) и учитывая, что при этом chpb —>¦ 1, shfib -» pb, получаем вместо F6.11) следующее уравнение: (Р/ха) sinxa + cosxa = cosfca. F6.13) Правая часть F6.13) при веществен- вещественных к может принимать только значе- значения, заключенные между +1 и — 1. Следовательно, в левой части величи- величина ха может принимать только такие значения, при которых левая часть не выходит из указанных пределов. Это означает, что волновое уравнение имеет решение в виде незатухающих волн только для определенных разре- разрешенных энергетических зон (рис. 101). На рис. 101 видно, что ширина разрешенных энергетических зон уве- увеличивается с возрастанием иа, т. е. с энергией. Ширина же любой зоны уве- увеличивается с ростом Р. Это объяс- объясняется тем, что параметр Р опреде- определяет эффективность потенциальных барьеров, разделяющих области с ну- нулевым потенциалом. При увеличении Р «проницаемость» потенциальных барьеров для электронов уменьшает- уменьшается и при Р -* оо электроны оказы- оказываются полностью запертыми в по- потенциальных ямах, ширина энергети- энергетических зон стремится к нулю, а разре- разрешенными оказываются только те ре- решения, для которых значения у.а рав- равны целому кратному it, т.е. электрон движется в одномерной потенциаль- потенциальной бесконечно глубокой яме (см. § 26). Спектр энергий дается форму- формулой B6.6). При увеличении энергии электро- электрона параметр Р/(ха) в уравнении F6.12) уменьшается, а ширина разре- разрешенных зон энергии увеличивается. Это связано с тем, что с увеличением энергии электронам становится легче просачиваться через потенциальные барьеры и наличие потенциальных барьеров все меньше сказывается на движении электронов. При ха -> оо электрон ведет себя как свободный. Спектр разрешенных энергий, оп- определяемый непосредственно по рис. 101 в виде функции ха, может быть с помощью того же рисунка пересчитан на зависимость энергии от параметра ка. Разрешенные энергетические зоны по волновому числу к имеют равные протяженности Ак = к/а. По энергиям ширина зон уменьшается с увеличе- увеличением энергии. Ширина запрещенных зон энергии, наоборот, с увеличением энергии уменьшается. В пределе при очень больших энергиях зависимость Е(к) приближается к зависимости Е(к) = йк2/Bш) для свободных элект- электронов. Однако и при конечных энер- энергиях энергетический спектр напоми- 22-219
338 13. Электронные свойства твердых тел Чиспо электронов О Зоны атом Na Число состояний 16N кристалл На 102 Расщепление энергетических уровней атомов и образование энергетических зон кристалла (на примере кристалла натрия) нает спектр энергии свободного элек- электрона. Лишь вблизи границ зон отли- отличие от спектра свободного электрона становится существенным. Но имен- именно энергетические уровни вблизи гра- границ зон наиболее важны при рас- рассмотрении вопросов электропровод- электропроводности твердых тел и ими нельзя пре- пренебрегать. Наличие запрещенных энергетических зон также имеет пер- первостепенное значение в явлениях электропроводности. При рассмотрении природы кова- лентной связи в § 59 было показано, что наличие потенциальных ям при- приводит к расщеплению каждого энерге- энергетического уровня электрона, сущест- существующего при наличии одной ямы, на два уровня. Этот результат справед- справедлив и для более общего случая: при наличии N потенциальных ям каждый энергетический уровень рас- расщепляется на N подуровней. Как было отмечено, при Р -> 0 по- потенциальные ямы отсутствуют и зап- запрещенные зоны исчезают. Электрон ведет себя как свободный. При Р -> оо имеется совокупность совершенно изолированных потенциальных ям. В этом случае спектр энергий электрона становится эквивалентным спектру энергий электрона в изолированной яме и, согласно F6.13), выражается формулой п2Н2 2т 2та2 F6.14) При конечном значении Р уравне- уравнение F6.13) вместо каждого уровня Еп [см. F6.14)] дает конечное число под- подуровней, которое равно числу потен- потенциальных ям. Но число потенциаль- потенциальных ям равно числу атомов в узлах кристаллической решетки. Следова- Следовательно, если атом находится в кристалле, со- содержащем N атомов, то каждое кван- квантовое состояние изолированного ато- атома расщепляется на N квантовых со- состояний. Это утверждение справедливо не только для линейной модели рас- рассмотренного вида, но и для общего случая пространственного кристалла. Следует отметить, что мы стали говорить о расщеплении «квантовых состояний», а не энергетических уров- уровней. Это сделано во избежание пу- путаницы. Дело в том, что в данном энергетическом состоянии импульс электрона может иметь два значения, равных по модулю и противополож- противоположных по направлению. Поэтому, во- вообще говоря, часть энергетических уровней расщепившихся квантовых состояний совпадает между собой. Таким образом, каждый энергети- энергетический уровень изолированного ато- атома превращается в зону энергетиче- энергетических уровней кристалла (рис. 102). При распределении электронов по зо- зонам необходимо учитывать принцип Паули: с учетом ориентировки спина
§ 66. Основные понятия зонной теории твердых тел 339 в N квантовых состояниях зоны мо- может находиться не более 2N электро- электронов. Поэтому в S-зонах может нахо- находиться 2N электронов, если N - общее число атомов в кристаллической ре- решетке. Для расчета числа электронов в Р-зонах необходимо принять во внимание, что в изолированном ато- атоме Р-уровень является трижды вы- вырожденным по квантовому числу тл= —1,0,1. В кристалле вырождение снимается аналогично тому, как происходит снятие вырождения при наличии возмущения (см. § 42). Сле- Следовательно, максимальное число элек- электронов в Р-зонах равно 27V • 3 = 6N (рис. 102). Аналогично анализируют- анализируются и другие зоны. Электрические свойства твердого тела определяются взаимным распо- расположением различных энергетических зон и распределением электронов по этим зонам. Расстояние между энер- энергетическими уровнями в пределах од- одной и той же зоны значительно мень- меньше расстояний между энергетически- энергетическими уровнями различных зон, однако случается, что различные зоны пере- перекрываются. Зоны могут быть полностью за- заполненными электронами, полностью свободными и частично заполненны- заполненными. В зависимости от конкретной си- ситуации твердое тело обладает различ- различными электрическими свойствами. Проводники и диэлектрики. На каждом энергетическом уровне им- импульсы электронов могут быть на- направлены в противоположные сторо- стороны с одинаковой вероятностью. Сле- Следовательно, при отсутствии внешнего электрического поля средний импульс электронов в каком-либо направле- направлении равен среднему импульсу элек- электронов в противоположном направ- направлении, так что полный импульс всех электронов равен нулю. Преимущест- Преимущественное движение электронов в ка- каком-либо направлении отсутствует, а следовательно, отсутствует и электри- электрический ток. Если имеется внешнее электриче- электрическое поле, то под действием электри- электрической силы импульс каждого элек- электрона изменяется. Однако нельзя из- изменить модуль импульса, оставаясь на том же энергетическом уровне. Следовательно, под действием элек- электрического поля возможны переходы с одного энергетического уровня на другой. Одновременно при этих пере- переходах импульсы перераспределяются по направлениям, так что преимуще- преимущественным направлением движения электронов становится направление, совпадающее с направлением дейст- действия электрической силы: количество электронов с импульсом против на- напряженности поля увеличивается, а с импульсом по напряженности поля- уменьшается. В результате возникает асиммет- асимметрия распределения скоростей электро- электронов, т. е. создается электрический ток. Однако осуществится ли эта возмож- возможность в действительности, зависит от возможности переходов электронов с одного уровня на другой с учетом принципа Паули. Самая высоколежащая из пол- полностью заполненных электронами зон называется валентной. Следующая зона после валентной называется зо- зоной проводимости. Она может быть либо частично заполненной электро- электронами, либо не содержать совсем элек- электронов. Именно характером заполне- заполнения электронами зоны проводимости определяется, будет ли соответствую- соответствующее кристаллическое тело проводни- проводником или диэлектриком. Пусть зона проводимости не со- содержит ни одного электрона. Внешнее электрическое поле действует на элек- 22'
340 13. Электронные свойства твердых тел Зоны 2Р- 2s — is- Число электронов -О Зоны Число состояний атом Be кристалл Be 103 Явление перекрытия зон у бериллия -ЗП -ВЗ 104 Образование проводимости у естественных полупроводников троны валентной зоны и других зон, лежащих ниже валентной. Все энерге- энергетические уровни этих зон заполнены электронами. Принцип Паули запре- запрещает электрону перейти в уже занятое другим электроном квантовое состоя- состояние. Следовательно, несмотря на на- наличие электрического поля, переходы электронов в валентной зоне отсутст- отсутствуют, никакой асимметрии распреде- распределения скоростей электрона не возни- возникает и нет электрического тока. Един- Единственная остающаяся возможность для переходов-это переходы элек- электронов с уровней валентной зоны на уровни зоны проводимости. Но если разность энергий между зоной прово- проводимости и валентной зоной значитель- значительна, такой переход при не очень силь- сильных электрических полях невозможен. Таким образом, в рассматриваемом случае внешнее электрическое поле не вызывает появления электрического тока в кристаллическом теле и, следо- следовательно, оно является диэлектриком. В терминах зонной теории можно сказать, что диэлектриками являются кристаллы, у которых отсутствуют электроны в зоне проводимости. Пусть теперь зона проводимости частично заполнена (полностью она не может быть заполненной, потому что в этом случае, по определению, она была бы валентной зоной). Под влиянием внешнего электрического поля электроны зоны проводимости могут переходить на другие уровни той же зоны, так как расстояние меж- между различными уровнями одной и той же зоны мало. При этих переходах образуется преимущественное направ- направление ориентации импульсов электро- электронов, что соответствует появлению электрического тока. Следовательно, соответствующий кристалл - провод- проводник. В терминах зонной теории мож- можно сказать, что проводниками являются кристаллы, у которых в зоне проводимости имеют- имеются электроны. Резюмируя, заключаем, что диэлектрики и проводники отличают- отличаются не тем, что в одних из них электро- электроны не могут двигаться, а в других могут, как это предполагалось в клас- классической теории. Электроны с одина- одинаковым успехом могут двигаться как в диэлектриках, так и в проводниках. Различие между диэлектриками и проводниками состоит в характере заполнения зон, благодаря чему в од-
§ 66. Основные понятия зонной теории твердых тел 341 них случаях перераспределение им- импульсов электронов невозможно, а в других - возможно. Рассмотрим кристаллическую ре- решетку натрия, зоны которой изобра- изображены на рис. 102. Валентной зоной является 2.Р-зона. На уровне 3S у натрия имеется один электрон. В 3S-3OHe кристалла натрия может быть 3N электронов, если N- число атомов натрия в кристалле. Однако число электронов в этой зоне равно N. Сле- Следовательно, это зона проводимости. Она заполнена лишь наполовину, и кристалл натрия является проводни- проводником. При анализе электрических свойств кристаллов следует учитывать воз- возможность «перекрытия» зон. Напри- Например, у щелочных металлов на внеш- внешнем S-уровне имеется два валентных электрона. Тогда самая внешняя S-зо- на полностью заполнена. Значит, ще- щелочные металлы с полностью запол- заполненным S-уровнем их атомов должны быть диэлектриками, что противоре- ** Диэлектриками являются кристаллы, у которых отсутствуют электроны в зоне проводимости. Проводниками являются кристаллы, у ко- которых в зоне проводимости имеются электроны. Естественными полупроводниками явля- являются диэлектрики, у которых в зоне про- проводимости имеется некоторое количество электронов проводимости, перешедших туда из валентной зоны в результате теп- теплового движения электронов. В валент- валентной зоне при этом образуются «дырки». Примесные полупроводники являются диэлектриками, у которых в результате введения соответствующих примесных атомов возникают локальные (примес- (примесные) уровни энергии, находящиеся между валентной зоной и зоной проводимости. Если с локального уровня под влиянием теплового движения электроны переходят в зону проводимости, то образуется при- примесный полупроводник с «-проводимо- «-проводимостью, а если электроны переходят из валентной зоны на локальные уровни, то образуется примесный полупроводник с /^-проводимостью. чит эксперименту. Разгадка противо- противоречия заключается в явлении пере- перекрытия зон. На рис. 103 изображены схема уровней атома бериллия и схе- схема зон кристалла бериллия. Оказы- Оказывается, 2S-3OHa и 2Р-зона кристалла бериллия перекрываются, образуя од- одну зону, на которой может находить- находиться 2N + 6N = 8N электронов. Факти- Фактически же в этой зоне имеется 2N электронов на уровнях 25-зоны. Та- Таким образом, благодаря перекрытию зон создалась ситуация, характерная для проводников: самая верхняя зона частично заполнена. Поэтому берил- бериллий и другие щелочно-земельные ме- металлы являются проводниками, а не диэлектриками. Тепловое движение атомов про- проводника препятствует ориентирующе- ориентирующему действию внешнего электрическо- электрического поля. Следовательно, при прочих равных условиях сила электрического тока должна уменьшаться с увеличе- увеличением температуры проводника. Это означает, что электропроводимость проводника с ростом температуры уменьшается, что характерно для проводников. Электропроводимость идеальных диэлектриков в не очень сильных полях должна быть очень близка к нулю. Можно сказать, что что электропроводимость диэлектриков равна практически нулю, помня при этом условность такого утверждения. В действительности их проводимость порядка 10~12- 1О~20 См/м. Естественные полупроводники. По- Полупроводниками называются кристал- кристаллы, электропроводимость которых лежит между электропроводимостью проводников и диэлектриков и имеет совершенно другую, чем у обычных проводников, зависимость от темпе- температуры. Представим себе, что энергетиче- энергетический интервал между дном зоны про-
342 13 Электронные свойства твердых тел водимости (ЗП) и верхом валентной зоны (ВЗ) невелик (рис. 104). Пусть в зоне проводимости электроны отсут- отсутствуют. Соответствующий кристалл должен быть диэлектриком. Однако из-за малости энергетиче- энергетического интервала между зонами часть электронов под влиянием теплового движения в результате перераспреде- перераспределения энергии может быть переведена из валентной зоны в зону проводимо- проводимости. В результате этого создается си- ситуация, когда кристалл ведет себя как проводник. Проводники, у которых электропроводимость определяется этим механизмом, называются естест- естественными полупроводниками (напри- (например, германий, кремний). Ясно, что электропроводимость естественного полупроводника тем больше, чем больше электронов пере- переведено под влиянием теплового дви- движения в зону проводимости. Но это число растет с температурой. Следо- Следовательно, электропроводимость есте- естественных полупроводников также воз- возрастает с температурой и заключена в интервале 104 — 10~7 См/м между проводимостью хороших проводников (ж 107 См/м) и проводимостью ди- диэлектриков (*1О~12 + 1(Г20 См/м). Таким образом, естественные полу- полупроводники отличаются от диэлект- диэлектриков более узкой запрещенной зо- зоной. У диэлектриков ширина запре- запрещенной зоны составляет несколько электрон-вольт, а у полупроводни- полупроводников-около 1 эВ. Например, у кремния и германия ширина запрещенных зон равна соответственно 1,1 и 0,75 эВ. Следует отметить, что не только электроны, переведенные в зону про- проводимости, обусловливают электро- электропроводимость естественных полупро- полупроводников. В результате перехода ча- части электронов из валентной зоны в зону проводимости соответствующие места в валентной зоне освобождают- освобождаются-образуются дырки. Благодаря их наличию электроны могут перераспре- перераспределять свои импульсы в пределах ва- валентной зоны. Поэтому при наличии внешнего электрического поля воз- возникает асимметрия распределения импульсов электронов в валентной зоне, т. е. электрический ток. Перерас- Перераспределение электронов в валентной зоне сопровождается соответствую- соответствующим перераспределением дырок. Дырка ведет себя как положительно заряженная частица. Возникающую в результате перераспределения дырок проводимость называют дырочной. Естественные полупроводники на- наряду с обычной (электронной) про- проводимостью обладают также и ды- дырочной проводимостью. Примесные полупроводники. В реальной решетке кристалла всегда имеются дефекты, приводящие к на- нарушению идеальной периодичности. Можно отметить три главных вида дефектов: а) отсутствие ионов или атомов в некоторых узлах решетки; б) наличие лишних атомов между узлами решетки; в) некоторые узлы решетки заня- заняты не атомами основного вещества, а атомами другого вещества (примеси). Благодаря наличию дефектов кри- кристаллической решетки пространствен- пространственная периодичность распределения по- потенциала будет нарушена вблизи каж- каждого дефекта, вследствие чего изме- изменяется состояние электронов. Как по- показывает более строгий расчет, при наличии дефектов может быть два типа решений уравнения Шредингера: 1) аналогичные решениям в отсут- отсутствие дефектов, с отличными от нуля импульсами. Энергии, связанные с этими решениями, группируются в зоны для идеального кристалла.
§ 66 Основные понятия зонной теории твердых тел 343 Соответствующие состояния электро- электронов называются зонными состояния- состояниями; 2) отличные от нуля только в об- области, близкой к соответствующему дефекту. В этом случае распределение электронов локализовано вблизи де- дефекта в очень малой области про- пространства. Такого рода распределе- распределение соответствует стоячим волнам. Соответствующие электроны не в со- состоянии покинуть область своей ло- локализации и движутся в очень малой ограниченной области пространства. Такого рода состояния называются локальными. Как показывают расчеты, уровни энергии локальных состояний лежат в области запрещенных для идеального кристалла значений энер- энергии, т. е. между энергетическими зона- зонами идеального кристалла (рис. 105). Эти уровни энергии называются ло- локальными. Число локальных уровней равно числу дефектов кристалла. Об- Общее же число состояний при этом не изменяется, т.е. сумма числа зонных и локальных состояний равна числу состояний идеального кристалла. По- Поэтому локальные состояния как бы отщепляются от какой-либо зоны. В зависимости от того, от какой зоны отщепляются локальные уров- уровни, они могут быть либо занятыми электронами, либо свободными. Од- Однако в обоих случаях эти локальные уровни могут обусловить возникно- возникновение электропроводимости. Пусть локальные уровни отщепи- отщепились от валентной зоны вместе с соот- соответствующими электронами и нахо- находятся между валентной зоной и зоной проводимости. Энергетические рас- расстояния между дном зоны проводи- проводимости и локальными уровнями мень- меньше, чем расстояние между дном зоны проводимости и верхом валентной ¦3/7 -Ч70К ¦ вз 105 Локальные уровни в полупроводнике ЗП ¦ ВЗ 106 Донорные уровни зоны. Такие локальные уровни назы- называются донорными (ДУ) (рис. 106). Следовательно, электронам легче пе- перейти из локальной зоны в зону про- проводимости. Если такой переход осу- осуществляется, в зоне проводимости появляются электроны и соответ- соответствующий кристалл ведет себя как полупроводник: его электропроводи- электропроводимость не очень велика, и она увеличи- увеличивается с температурой. Если локальные уровни отщепи- отщепились от пустой зоны проводимости диэлектрика, то они свободны (рис. 107). Однако расстояние между ло- локальными и верхними уровнями ва- валентной зоны меньше, чем расстояние между нижними уровнями зоны про- проводимости и верхними уровнями ва- валентной зоны. Такие локальные уров-
344 13. Электронные свойства твердых тел I ;3/7 ¦АН ¦вз 107 Акцепторные уровни ни называются акцепторными (АУ). Следовательно, возможны переходы электронов из валентной зоны на ло- локальные уровни. Если это происхо- происходит, то в валентной зоне возникают дырки. Эти дырки обусловливают проводимость кристалла за счет пере- перераспределения импульсов элект- электронов (и дырок) в валентной зоне. Соответствующий кристалл обладает дырочной проводимостью. Электронные полупроводники, в которых ток осуществляется преиму- преимущественно электронами зоны прово- проводимости, называются «-полупровод- «-полупроводниками (л-первая буква слова педа- tiv - отрицательный). Электронные по- полупроводники, в которых ток осуще- осуществляется преимущественно как бы движением дырок в валентной зоне, ведущих себя как положительно за- заряженные частицы, называются /?-по- лупроводниками (р - первая буква слова positiv - положительный). Слово преимущественно в этих выражениях означает, что обычно электрический ток обусловливается одновременно движением электронов в зоне прово- проводимости и движением дырок в ва- валентной зоне. Заметим, что и в ва- валентной зоне в действительности дви- движутся электроны, но результат этого движения удобнее представить в виде движения дырок. Почему удобнее, бу- будет ясно из дальнейшего. 67. Переход металл-металл Рассматриваются физические явления на перехо- переходе металл - металл и даются оценки количест- количественных соотношений между характеризующими переход физическими величинами. Энергия Ферми. В основном состоя- состоянии твердое тело должно обладать минимальной энергией. Поскольку электроны подчиняются принципу Паули и в каждом квантовом состоя- состоянии может находиться не более одно- одного электрона, заключаем, что при температуре 0К должны быть запол- заполнены без промежутков все квантовые состояния электронов начиная от уровня с наименьшей энергией. Из-за конечного числа электронов имеется конечный (верхний) запол- заполненный уровень с наибольшей энер- энергией, а последующие более высокие уровни свободны. Следовательно, при 0 К существует резкая граница между областью заполненных уров- уровней и областью свободных уровней. При отличной от 0 К температуре эта граница размывается, поскольку в результате теплового движения энер- энергия у некоторых электронов оказы- оказывается больше граничной энергии при 0 К, а у некоторых-меньше. В резуль- результате станут заполненными некоторые уровни энергии, которые при 0К были свободными, и станут свобод- свободными некоторые уровни энергии, ко- которые при 0 К были заполненными. Таким образом, возникает переход- переходная область от полностью заполнен- заполненных уровней энергии к полностью свободным. Ширина этой области имеет порядок кТ, где к = 1,38-10~23 Дж/К - постоянная Болыдмана. Распределение электронов по энер-
§ 67. Переход металл - металл 345 гиям характеризуется функцией Фер- Ферми-Дирака: f(E,T) = {\+ ехр [(? - ?р)/(/сГ)]}-\ F7.1) где Е-энергия электрона; .EF-энер- .EF-энергия Ферми, зависящая от температу- температуры. Из F7.1) видно, что энергия Ферми-энергия, при которой функ- функция Ферми-Дирака равна 1/2. Функция Ферми-Дирака показы- показывает, сколько в среднем приходится электронов на одно квантовое состоя- состояние с энергией Е. В случае вырожден- вырожденных состояний энергией Е обладают несколько или даже очень много квантовых состояний. Функция Фер- Ферми-Дирака описывает среднее число электронов, приходящееся на каждое из этих состояний, а среднее число электронов, обладающих энергией Е, равно значению функции f{E, 7), ум- умноженному на число квантовых со- состояний, принадлежащих вырожден- вырожденному уровню энергии Е. При E<EF, Г->0К имеем ехр [(? — Е?)/{кТу\ ->0и, следователь- следовательно, ДЕ, Т-> О К) -* 1, т.е. в каждом квантовом состоянии с энергией мень- меньше Е? при Т= О К находится по одной частице. При Е > EF, Г-> О К имеем ехр [(?¦ — EF)/(kTj] -»¦ оо и, следователь- следовательно, ДЕ, T-* О К) -»О, т. е. квантовые состояния с энергией Е > EF свобод- свободны (в этих состояниях нет ни одного электрона). Распределение Ферми- Дирака показано на рис. 108, 109. При комнатных температурах кТ~ 10~3 эВ и переходная область в распреде- распределении Ферми-Дирака очень мала. Поэтому при рассмотрении многих вопросов распределения Ферми-Ди- Ферми-Дирака при комнатных температурах можно считать практически совпа- совпадающим с распределением при ОК. Для металлов понятие энергии Ферми имеет очень наглядный смысл: if? 108 Распределение Ферми-Дирака при Т= 0 К 109 Распределение Ферми-Дирака при энергия Ферми является максималь- максимальной энергией электрона в зоне прово- проводимости при 77= ОК. Это утверждение является точным при Т = О К и достаточно точным для температур, когда размывание распре- распределения Ферми-Дирака мало (для большинства металлов это утвержде- утверждение справедливо вплоть до темпера- температур плавления и выше). Для диэлектриков энергия Ферми приходится на запрещенную зону между валентной зоной и зоной про- проводимости. Электрон не может обла- обладать такой энергией, т. е. энергия Фер- Ферми не соответствует энергии како- какого-либо реального электрона в ди- диэлектрике. Аналогичное утверждение справедливо и для энергии Ферми в полупроводнике. Однако это обстоятельство ни в каком смысле не уменьшает значения энергии Ферми для описания стати- статистических свойств электронов в ди-
346 13. Электронные свойства твердых тел ПО Положение уровней энергии Ферми на гра- границе между различными металлами до образо- образования перехода Ш Изменение концентрации свободных электро- электронов на переходе 112 Изменение потенциала и напряженности элект- электрического поля на переходе электриках и полупроводниках в со- соответствии с формулой F7.1). Переходы и контакты. Весьма ин- интересные и важные явления возникают в области перехода между частями твердого тела с различными электри- электрическими свойствами. Например, два различных металла можно соединить сваркой в единое тело. Область, в которой эти металлы соединены, на- называется переходом металл-металл. При соприкосновении поверхностей двух различных металлов образуется область соприкосновения, которая называется контактом. Явления в контактах и переходах совершенно различны и их не следует путать. Для твердотельной электроники наиболее важное значение имеют переходы. Возникновение разности потенциа- потенциалов на переходе металл-металл. Нор- Нормируя энергию электронов на нуль на бесконечности, замечаем, что энергия Ферми равна работе выхода А (см. § 1), взятой с отрицательным знаком: EF = - А. F7.2) Как энергия Ферми, так и все другие энергии электрона в связанных со- состояниях внутри металла отрицатель- отрицательны. Относительные положения энер- энергетических спектров двух различных изолированных металлов, до того как они соединены и образовали переход, показаны на рис. 110. Видно, что ра- работа выхода уменьшается с увеличе- увеличением энергии Ферми. Для понимания явлений в перехо- переходе металл - металл необходимо при- принять во внимание, что энергия Ферми зависит от концентрации свободных электронов в зоне проводимости - чем больше концентрация, тем боль- больше энергия Ферми. Это означает, что при образовании перехода на границе металл - металл концентрация газа свободных электронов по разные сто-
§ 67. Переход металл-металл 347 роны границы различна-она больше со стороны металла / с большей энер- энергией Ферми (рис. ПО). Такое состояние не может быть равновесным, и электроны начнут диффундировать со стороны металла с большей концентрацией свободных электронов в сторону металла с мень- меньшей концентрацией. В результате это- этого концентрация электронов в некото- некоторой области вблизи границы со сто- стороны металла с большей энергией Ферми уменьшается и эта область заряжается положительно, а с другой стороны границы концентрация элек- электронов увеличивается и эта область заряжается отрицательно. Благодаря возникновению зарядов по разные стороны границы образуется электри- электрическое поле, напряженность которого направлена со стороны металла с большей энергией Ферми в сторону металла с меньшей энергией Ферми. Сила, действующая со стороны этого поля на электроны, направлена про- против диффундирующего потока элек- электронов и создает упорядоченное дви- движение электронов в противополож- противоположном диффузии направлении, т. е. элек- электрический ток. Когда диффузионный поток электронов и электрический ток электронов уравновесят друг дру- друга, наступает стационарное состоя- состояние. Изменение концентрации элек- Энергия Ферми определяется как энер- энергия, при которой функция Ферми Дирака равна 1/2. У металлов энергия Ферми является мак- максимальной энергией электрона в зоне проводимости при 7 - О К. У диэлектриков (и полупроводников) энергия Ферми приходится на запрещен- запрещенную зону между валентной и зоной про- проводимости, т. е. энергия Ферми не со- соответствует энергии какого-либо реаль- реального электрона. В состоянии равновесия энергии Ферми в металлах по разные стороны перехода металл металл становятся равными друг другу. тронов от п1 до «2 происходит в некоторой области d вблизи границы между металлами, которая и назы- называется переходом (рис. 111). В процессе образования перехода энергии Ферми в металлах изменяют- изменяются. Металл с большей энергией Фер- Ферми заряжается положительно, и, сле- следовательно, работа выхода из этого металла увеличивается. В состоянии равновесия энергии Ферми в обоих металлах становятся равными. Это утверждение является почти очевидным, если принять во внима- внимание требования принципа детального равновесия. Электрические потенциа- потенциалы по разные стороны перехода ста- становятся различными, а в переходе возникает электрическое поле (рис. 111). Уравнивание энергий Ферми является важнейшим фактором, определяю- определяющим характер процессов на переходе. Расчет разности потенциалов. С достаточной точностью можно рас- рассматривать свободные электроны в переходе как газ. Поскольку там до- достаточно много свободных уровней энергии, можно воспользоваться рас- распределением Больцмана. Обозначим разность потенциалов AUl2 = Ф2 — <Pi (на рис. 112 эта величина отрицатель- отрицательна), заряд электрона q = — е. Запишем распределение Больцмана в виде «2 = n.expl-qAU 12/(kT)-] = = я1ехр[>Д<У12/(/сГ)]. F7.3) Тогда кТ п-, ДG12=— In—. F7.4) Эта формула дает лишь грубую оценку разности потенциалов не толь- только потому, что электронный газ более строго следует описывать с помощью распределения Ферми - Дирака, но и потому, что концентрация свободных электронов зависит от температуры.
348 13. Электронные свойства твердых теп 8, из Возникновение сторонней термоэлектродви- термоэлектродвижущей силы и тока в замкнутом контуре I* 114 К объяснению механизма осуществления явле- явления Пельтье Однако для качественного рассмотре- рассмотрения явления формула F7.4) вполне пригодна. При комнатной температу- температуре кТ/е к 0,025 эВ. В обычных условиях в металлах концентрация свободных электронов имеет порядок 1028 электронов/м3. Из F7.4) можно заключить, что по порядку величины Д(/~10~5 В/К, т. е. при комнатной температуре воз- возникающая на переходе разность по- потенциалов имеет порядок тысячных долей вольта. Термоэлектричество. Возникающая на переходе разность потенциалов действует как сторонняя электродви- электродвижущая сила. Рассмотрим замкну- замкнутую цепь, состоящую из двух различ- различных проводников, переходы между которыми поддерживаются при тем- температурах Tj и Т2 (рис. 113). Разности потенциалов на переходах равны F7.5) (индексы сверху обозначают номера переходов). Сторонняя электродви- электродвижущая сила в замкнутом контуре, равная сумме электродвижущих сил в переходах, на основании F7.5) может быть записана в виде к п Ms = Ai/y-2> + дий = (т; - T2)-in—, е пу F7.6) где за положительное направление контура выбран обход по часовой стрелке. Из F7.6) видно, что при Т2 ф Tt электродвижущая сила в зам- замкнутом контуре Д[/ Ф 0. Следователь- Следовательно, в контуре возникает электричес- электрический ток, называемый термоэлектри- термоэлектрическим. При Ту = Т2 сторонние термо- термоэлектродвижущие силы на переходах в замкнутом контуре действуют на- навстречу друг другу и взаимно ком- компенсируются. При Тх Ф Т2 такой ком- компенсации не происходит и в контуре действует электродвижущая сила AU [см. F7.6)]. Одним из самых распространен- распространенных применений термоэлектричества являются приборы для измерения температуры. Если в цепи (рис. 113) измерить силу термотока и известны все характеристики цепи и переходов, то по температуре одного из перехо-
§ 67 Переход металл-металл 349 дов можно определить температуру другого. Приборы для измерения тем- температур, основанные на таком прин- принципе, называются термопарами. В дру- других случаях это явление используется для генерации термоэлектрического тока. Такие приборы называются тер- термоэлементами. КПД таких приборов чрезвычайно низок. Однако термопа- термопары на полупроводниках обладают зна- значительно большим КПД и в опреде- определенных целях используются для гене- генерации электрического тока. Эффект Пельтье. Пельтье A785- 1845) обнаружил A834), что при прохождении гока через пере- переход последний либо нагревается, либо охлаждается в зависимости от на- направления тока. Если ток имеет на- направление, совпадающее с направле- направлением термотока при нагревании пере- перехода, то он охлаждает переход, а при противоположном направлении - нагре- нагревает. Необходимость существования эф- эффекта Пельтье вытекает из следую- следующих соображений. При равенстве тем- температур спаев в замкнутой цепи (рис. 113) термоток отсутствует. При на- нагревании перехода 1 возникает термо- термоток в направлении, показанном на рис. 113. Этот термоток в цепи со- совершает работу, например, на вы- выделение джоулевой теплоты. Если осуществляется стационарный режим, то подводимая к этому переходу теп- теплота при неизменной температуре пре- превращается в другие формы энергии в цепи тока. Это означает, что проходя- проходящий через переход ток уносит из пере- перехода энергию, сообщаемую ему в фор- форме теплоты, т. е. охлаждает переход. Так доказывается необходимость су- существования эффекта Пельтье и пра- правило, определяющее зависимость эф- эффекта нагревания или охлаждения пе- перехода в зависимости от направления грь ' 115 К объяснению эффекта Томсона в металлах электрического тока. Например, если в замкнутую цепь (рис. 114) с двумя переходами, находящимися при оди- одинаковой температуре Т1 = Т2, вклю- включить источник сторонних ЭДС (fCTOp, то возникающий в цепи электричес- электрический ток уносит из перехода с темпера- температурой Ту энергию в форме теплоты и охлаждает этот переход. Переход, имеющий температуру Т2, нагрева- нагревается. Эффект Пельтье используется в охлаждающих устройствах и некото- некоторых электронных приборах. Эффект Томсона. Если в однород- однородном проводнике имеется градиент температуры, то он уже не является однородной термодинамической си- системой и должен вести себя как систе- система переходов между физическими од- однородными участками. Это означает, что при прохождении тока по такому про- проводнику должно происходить выделе- выделение или поглощение теплоты Пельтье. Этот эффект получил название эф- эффекта Томсона. При наличии градиента темпера- температур вдоль проводника (рис. 115) дол- должен возникать в противоположном направлении градиент концентрации свободных электронов, поскольку для равновесия по давлению концентра- концентрация более нагретого электронного га-
360 13 Электронные свойства твердых тел ¦>*? u- 116 Эффект Томсона в р-полупроводниках за должна быть меньше. А это озна- означает, что в проводнике возникает электрическое поле, напряженность которого совпадает по направлению с градиентом концентрации электро- электронов. Отсюда в соответствии с меха- механизмом возникновения эффекта Пель- тье заключаем, что при прохождении тока в направлении градиента темпе- температур происходит охлаждение про- проводника, а при противоположно на- направленном токе-нагревание. В полупроводниках с дырочной проводимостью эффект Томсона име- имеет другой знак и протекает так, как показано на рис. 116. Это нетрудно видеть, если учесть характер движе- движения дырок (см. § 68). 68. Полупроводники Рассматриваются основные электронные явле- явления в полупроводниках и дается их простейшее количественное описание Примесные уровни. Наиболее важны- важными естественными полупроводниками являются кремний и германий, атомы которых принадлежат к четвертой группе периодической системы эле- элементов Д. И. Менделеева. Они имеют четыре электрона в наполовину за- заполненной внешней оболочке в s- и /^-состояниях. В твердом состоянии эти четыре электрона связываются ковалентно с четырьмя соседними ато- атомами, в результате чего образуется полностью заполненная валентная зо- зона, т. е. при О К кремний и германий являются диэлектриками. Однако ши- ширина запрещенной зоны между валент- валентной зоной и зоной проводимости у них невелика: у кремния -1,1 эВ, у германия-0,75 эВ. Благодаря этому уже при сравнительно невысоких тем- температурах значительное число электро- электронов из валентной зоны переходит в зону проводимости и кремний с гер- германием становятся естественными по- полупроводниками. Электронные свойства естествен- естественного полупроводника коренным об- образом меняются при введении в него примесей атомов другого элемента. Процесс введения примесей называет- называется легированием. Известны многие способы легиро- легирования, на описании которых здесь нет возможности останавливаться, нам важно лишь понимать физику про- процессов, происходящих в веществе в результате легирования. Пятивалентные атомы, введенные в естественный четырехвалентный по- полупроводник в качестве примесей, бе- берут на себя четыре ковалентные связи с соседними атомами естественного полупроводника, а пятый электрон пятивалентного атома оказывается сравнительно слабо связанным. Этот электрон продолжает принадлежать своему атому, но его энергия связи с ним очень мала, а радиус орбиты велик по сравнению со значениями этих величин для свободного атома. Это обстоятельство обусловливается тем, что электрон в атоме движется как бы в среде, диэлектрическая по- постоянная которой равна диэлектри- диэлектрической постоянной естественного по- полупроводника. Относительная диэлект- диэлектрическая постоянная ег = е/е0 у крем-
68 Полупроводники ЗБ1 ния и германия равна соответственно 12 и 16. Кроме того, надо принять во внимание, что электрон динамически ведет себя так, как будто он обладает не реальной массой те, а эффектив- эффективной массой т* (см. ниже). Из уравне- уравнения Шредингера, записанного при этих условиях для водородоподобно- го атома, следует, что энергия элект- электронных уровней равна энергиям уров- уровней атома водорода, умноженным на т*/{тег?), а радиусы орбит равны со- соответствующим радиусам орбит элек- электрона в атоме водорода, умножен- умноженным на тегг/т* (те-масса электрона). Так как в атоме водорода энергии связи имеют порядок электрон-воль- электрон-вольта (на нижнем уровне 13,5 эВ), то энергия ионизации для этого слабо- слабосвязанного электрона примесного ато- атома имеет порядок ~ 10~2 эВ. Малая энергия ионизации означа- означает, что уже при температуре значи- значительно ниже комнатной пятивалент- пятивалентные атомы примеси ионизуются и отдают свой электрон в зону про- проводимости, а при комнатной темпера- температуре практически все атомы пятива- пятивалентной примеси оказываются пол- полностью ионизованными. Подавляю- Подавляющее число электронов в зоне прово- проводимости при комнатной температуре образуется за счет пятого электрона примесных атомов. Число же электро- электронов в зоне проводимости в результате переходов из валентной зоны, обуслов- обусловливающих естественную проводимость полупроводника, очень мало по срав- сравнению с числом электронов от при- примесных атомов. Поэтому примесная электронная проводимость оказыва- оказывается доминирующей по сравнению с естественной, а дырочная проводи- проводимость пренебрежимо мала. Пятива- Пятивалентные атомы примеси в описанной ситуации называются донорными. При- Примесные энергетические уровни пятого электрона узкие и расположены в за- запрещенной зоне близко к нижнему краю зоны проводимости, посколь- поскольку энергия ионизации имеет порядок 10 эВ. Для полупроводников IV группы периодической системы эле- элементов к наиболее важным донорным примесям относятся элементы V груп- группы: фосфор, мышьяк, сурьма и висмут. Если в естественный полупровод- полупроводник IV группы ввести в качестве при- примеси трехвалентные атомы из III груп- группы элементов, то для осуществления ковалентной связи с четырехвалент- четырехвалентным окружением этим атомам не хва- хватает но одному электрону. Недостаю- Недостающие электроны они заимствуют у со- соседних атомов с затратой небольшой энергии порядка 10~2 эВ. В результа- результате в валентной зоне возникает дырка, которая и обусловливает дырочную проводимость полупроводника. По- Поскольку энергия ионизации основных атомов для образования дырки мала (~ 10 ~2 эВ), при комнатной темпера- температуре на каждый атом примеси при- приходится по одной дырке. Естествен- Естественная дырочная и электронная проводи- проводимости при этом, как и в случае донор- ных примесей, малы. Поэтому доми- доминирующей будет дырочная проводи- проводимость. Трехвалентные атомы приме- примеси называются акцепторными. Акцеп- Акцепторные энергетические уровни лежат в запрещенной зоне весьма близко к ее верхнему краю. Для полупро- полупроводников IV группы периодической системы элементов наиболее важны- важными акцепторными примесями явля- являются элементы III группы - галлий, индий, таллий. При наличии примесей обоих ти- типов в примерно равных концентра- концентрациях наблюдается стремление к взаим- взаимной нейтрализации эффектов, т.е. к заполнению акцепторных уровней электронами с донорных уровней, в
352 13 Электронные свойства твердых тел ?¦ ЗП 117 Энергетический спектр полупроводника результате чего примесные проводи- проводимости обоих типов ликвидируются. Это явление называется компенсаци- компенсацией. Следует также отметить, что при очень больших концентрациях при- примесных атомов наблюдается расщеп- расщепление примесных уровней, в результа- результате которого они могут перекрыть гра- границы соответствующих энергетичес- энергетических зон. Скорость электронов. Проводимость в полупроводнике обусловлена дви- движением электронов в валентной зоне и зоне проводимости. Энергетический спектр для этих зон представлен на рис. 117. Для удобства энергия на рис. 117 нормирована на нуль не на бесконечности, как, например, на рис. 110, а на дне валентной зоны. На рис. 117 ширина запрещенной зоны обозначена АЕ3. Скорость электрона определяется формулой (8.19). На рис. 117 видно, что v = h~ dE/dk при удалении от дна валентной зоны сначала возрастает, но затем начинает убывать, хотя энер- энергия электрона продолжает возрастать. Это связано с тем, что Е является полной энергией, равной сумме кине- кинетической и потенциальной энергий. Следовательно, при приближении к верхней границе валентной зоны глав- главную роль играет потенциальная энер- энергия, а кинетическая энергия и ско- скорость электронов существенно умень- уменьшаются. Это имеет важное значение, по гому что именно скорость электро- электрона непосредственно влияет на силу электрического тока. В зоне проводимости, особенно вблизи ее дна, электронный спектр близок к спектру свободных электро- электронов. Энергия электронов в кристал- кристаллах и волновая функция являются многозначными функциями волново- волнового числа (см. § 66). Это позволяет смещать спектр по волновому числу по определенным правилам. Услов- Условливаются, что волновое число долж- должно всегда находиться в первой зоне Бриллюэна. Не вдаваясь в подроб- подробности определения этой зоны, заме- заметим лишь, что такое условие требует для характеристики энергии и волно- волновой функции использовать значения волнового числа, лежащие в интер- интервале от нуля до некоторого макси- максимального. Этот интервал различен по разным направлениям. Такой способ классификации электронных состоя- состояний в кристалле называется схемой приведенных зон. В ситуации, изобра- изображенной на рис. 117, это позволяет поместить начало кривой Е = Е(к) зо- зоны проводимости на одну вертикаль с началом кривой Е = Е(к) валентной зоны. Тогда становится очевидным, что зависимость Е = Е(к) в зоне про- проводимости действительно близка к соответствующей зависимости для сво- свободного электрона. Однако рассмот- рассмотрение скорости электрона одинаково удобно провести и без схемы при- приведенных зон, потому что ход про- производной dE/dk не зависит от сме- смещения спектра по оси к. Ускорение электронов. Для опреде- определения ускорения электронов надо
§ 68. Полупроводники 353 скорость электрона продифференци- продифференцировать по времени: dv . d fdE d2E dk F8Л> Принимая во внимание закон сохра- сохранения энергии, можно написать _ d? _ dEdk V = ~d7=d?d7' F8.2) где vF- мощность. Отсюда следует, что F = hdk/dt, F8.3) и равенство F8.1) может быть пред- представлено в виде d4dT2)trF- F84) Эффективная масса. Равенство F8.4) является уравнением Ньютона в поле силы F для точечной частицы с массой т* = n2/{d2E/dk2), F8.5) называемой эффективной массой. На рис. 117 видно, что вблизи верх- верхнего края валентной зоны d2E/dk2 < О и, следовательно, эффективная масса отрицательна. Это означает, что си- сила, которая ускоряет свободный элек- электрон, будет замедлять электрон вбли- вблизи верхнего края валентной зоны. Им- Импульс электрона при этом передается решетке. Дырки. В полностью заполненной валентной зоне с п электронами в каждом из двух противоположных направлений движется одинаковое чи- число электронов с каждой из одина- одинаковых, но противоположно направ- направленных скоростей. Полная сила тока, обусловленная движением электронов, равна нулю. Обозначим: q-заряд элек- электрона (отрицательная величина); vm- скорость электрона (алгебраическая величина, имеющая положительное 23 219 значение при совпадении скорости с направлением, принятым за положи- положительное, и отрицательное значение- при противоположном направлении скорости). Условие равенства нулю полного тока в валентной зоне за- записывается в виде F8.6) m=l При удалении из валентной зоны электрона со скоростью v( в ней воз- возникает электрический ток F8.7) mfi Переписав условие F8.6) в виде П F8.8) заключаем, что сила тока F8.7) в валентной зоне в результате возник- возникновения дырки может быть представ- представлена в виде I = (-q)vi. F8.9) Это означает, что ток в валентной зоне, возникающий в результате уда- удаления из нее электрона, который дви- движется со скоростью vt, эквивалентен току положительного заряда (— q — е), движущегося в том же направлении и с той же скоростью, какую имел уда- удаленный электрон (а не с противопо- противоположно направленной скоростью). Это позволяет утверждать, что ток в ва- валентной зоне порождается положи- положительным зарядом дырки, а движется этот заряд в том же направлении и с той же скоростью, что и электрон, на месте которого в валентной зоне об- образовалась дырка. Для определения эффективной мас- массы дырки возьмем в соотношении F8.2) силу F = qS, где <f-напряжен-
354 13. Электронные свойства твердых тел ность электрического поля, и запи- запишем соотношение F8.4) в виде .«1W)S = «*- F8Л0) Умножив обе части уравнения F8.10) на — 1, получим силу F8Л1) действующую в электрическом по- поле напряженности ё на дырку, при- принимаемую на положительный заряд (dvjdt- ускорение дырки). Равенство F8.11) является уравнением Ньютона для движения дырки во внешнем электрическом поле с напряженностью $. Следовательно, эффективная масса дырки т* = _ H2/(d2E/dk2) F8.12) вблизи верхнего края валентной зоны положительна. Благодаря этому дыр- дырки можно рассматривать как реаль- реальные положительные заряды с положи- положительной эффективной массой и все вопросы дырочной проводимости ре- решать аналогично вопросам электрон- электронной проводимости. При этом необ- необходимо учитывать, что энергетичес- энергетические зонные диаграммы, которые оп- определяются для энергий отрицатель- отрицательно заряженных электронов, должны быть соответствующим образом пе- переопределены для положительно за- заряженных дырок. Ясно, что энергия дырки в глубине зоны больше, чем энергия дырки вблизи верхней грани- границы зоны, в противоположность тому, как это происходит с энергией электро- электрона. Поэтому при обсуждении энергии дырок в валентной зоне надо учиты- учитывать, что она возрастает при удале- удалении внутрь зоны от ее верхней гра- границы с запрещенной зоной. Подвижность носителей. Ток в по- полупроводниках определяется как дви- движением электронов, так и движением дырок. Обозначив пе и ид концентра- концентрацию электронов и дырок, можно пол- полную плотность тока представить в виде У=е(пдод-иеое)*(е>0), F8.13) где ё - напряженность внешнего элек- электрического поля, под влиянием кото- которого возникает электрический ток с плотностью j; va и ve- средние ско- скорости дрейфа дырок и электронов под влиянием электрического поля, назы- называемые подвижностями электронов и дырок. Полная плотность тока F8.13) слагается из плотностей тока электро- электронов и дырок: и = Ч/Ч>?, F8.14а) i, = m^. F8.146) где qe = — е и qa = e. Подвижностью носителей заряда называется средняя скорость их дрейфа в электрическом поле единичной напряженности. Равенства F8.14) являются записью закона Ома в дифференциальной фор- форме: F8.15) где у = 1/р-удельная проводимость, р - удельное сопротивление, причем у - арифметическая величина (положи- (положительный знак). Сравнение F8.15) с F8.14) показывает, что удельная про- проводимость связана с подвижностями и концентрациями соотношением y = env, F8.16) где е и v- модули скорости и заряда соответствующего носителя. Измерив дырочную или электронную проводи- проводимость и зная концентрацию соответ- соответствующих носителей, можно опреде- определить их подвижность. Знак и концен- концентрация носителей определяются по эффекту Холла.
68 Полупроводники 3SS Физические факторы, которые влия- влияют на подвижность носителей, в по- полупроводниках те же самые, что и в металлах, т.е. рассеяние электронов на колебаниях кристаллической решет- решетки и на атомах примеси. Однако за- зависимость подвижности носителей от температуры в полупроводниках со- совершенно другая, чем в металлах. Это обусловлено зависимостью рас- распределения носителей заряда в полу- полупроводниках от температуры уже при их небольших энергиях, в то время как в металлах распределение энергии электронов от температуры из-за боль- большей их средней энергии начинает за- зависеть от температуры лишь при вы- высоких энергиях. В полупроводниках подвижность носителей из-за рассея- рассеяния на колебаниях кристаллической решетки с ростом температуры убы- убывает как Г~3/2, а их подвижность из-за рассеяния на атомах примесей увеличивается пропорционально Т3/2. В результате этого полная электро- электропроводимость в зависимости от тем- температуры имеет минимум при некото- некоторой температуре. Детали этой зависи- зависимости довольно сложны и здесь не приводятся. Проводимость пропорциональна произведению подвижности на кон- концентрацию. Концентрация носителей в полупроводнике растет с увеличени- увеличением температуры и затем выходит на плато. Например, у кремния и германия она выходит на плато существенно раньше комнатных температур. Для естественных полупроводников концентрация п- и ^-носителей одина- одинакова. Например, концентрации естест- естественных носителей при комнатной тем- температуре в кремнии и германии со- составляют соответственно 3-Ю16 м~3 и 1019 м~3. Отсюда следует, что у кремния уже при концентрации при- примесных атомов 1018 м~3 примесная проводимость доминирует над естест- естественной. Для примесных полупроводников «-типа концентрация р-носителей очень мала, а у полупроводников jp-типа очень мала концентрация элек- электронов в зоне проводимости. Рекомбинация. Электроны в зоне проводимости полупроводника нахо- находятся в возбужденном состоянии и, следовательно, имеют конечное вре- время жизни. При встрече они аннигили- аннигилируют с дырками. Однако вероятность такой рекомбинации очень мала, по- потому что и электроны, и дырки дви- движутся с большими скоростями и ве- вероятность их нахождения в одном и том же месте пространства в один и тот же момент времени ничтожна. Поэтому главный путь рекомбинации осуществляется посредством захвата электронов (или дырок) примесными атомами. Захваченный электрон (или дырка) удерживается около примес- примесного атома до тех пор, пока не анни- аннигилирует с пролетающей мимо дыр- дыркой (или электроном). Этот механизм значительно более эффективен, чем прямая рекомбинация. Тем не менее вероятность рекомбинации посредст- посредством захвата также не очень велика и обычно обеспечивает сравнительно большую продолжительность жизни соответствующих носителей. В герма- германии и кремнии продолжительность жизни носителей до рекомбинации имеет порядок 10 ~4 с. Применение однородных полупро- полупроводников. Очень сильная зависимость проводимости полупроводников от температуры делает возможным со- создание с их помощью очень чувстви- чувствительных термометров и устройств, с помощью которых можно контроли- контролировать силу тока в цепи. Такие прибо-
356 13. Электронные свойства твердых тел ры называются термисторами (тер- (терморезисторами). Они имеют малые размеры и используются, в частности, в биологии. Термисторы на германии очень чувствительны при низких тем- температурах и используются вплоть до гелиевых температур. Сильная зави- зависимость электропроводимости от дав- давления позволяет создавать тензодат- чики, с помощью которых измеряется давление. Под действием излучения, энергия кванта которого больше ши- ширины запрещенной зоны, электроны проходят из валентной зоны в зону проводимости и увеличивается про- проводимость полупроводника. Это яв- явление называется фотопроводимостью. Оно используется для создания фото- фоторезисторов, с помощью которых ре- регистрируется излучение. Если энергия квантов много меньше ширины за- запрещенной зоны, то посредством ох- охлаждения полупроводника до очень низких температур (вплоть до гелие- гелиевых) удается детектировать фотопро- фотопроводимость, возникающую в результа- результате переходов из донорных или акцеп- акцепторных уровней, которые соответст- соответствуют инфракрасным частотам. Об- Обратные переходы электронов из зоны проводимости в валентную зону со- сопровождаются излучением квантов света и могут быть использованы для генерации лазерного излучения (твер- (твердотельные лазеры). Если переход элект- электронов в зону проводимости возбуж- возбуждается светом, то говорят о полу- полупроводниковом лазере с оптической накачкой. Но можно возбуждать пе- переходы электронов в зону проводи- проводимости электронным пучком и гово- говорить о лазере с электронной накач- накачкой. Эффект Холла используется для создания датчиков Холла, с помощью которых с большой точностью изме- измеряются магнитные поля. 69. /р-п-Переходы и транзисторы Рассматриваются физические явления в р-п-пе- реходах и транзисторах и их использование в некоторых технических устройствах. Возникновение /?-я-перехода. р-п-Пере- ход создается в естественном полу- полупроводнике легированием донорны- ми и акцепторными примесями по разные стороны от границы раздела. Область, легированная донорными примесями, становится «-областью с электронной проводимостью, а об- область с акцепторными примесями ста- становится /^-областью с дырочной про- проводимостью. В «-области концентрация электро- электронов больше, а дырок-меньше, чем в /^-области, а концентрация дырок боль- больше в /^-области. Поэтому после созда- создания перехода электроны диффундиру- диффундируют из «-области в /ьобласть, а дыр- дырки-в обратном направлении, в ре- результате чего в «-области образуется положительный заряд, а в р-облас- ти - отрицательный (рис. 118). Возни- Возникающие в результате этого разность потенциалов и электрическое поле стремятся замедлить диффузию эле- электронов и дырок. При некоторой раз- разности потенциалов наступает равно- равновесное состояние. Поскольку заряд электронов отрицателен, увеличение потенциала приводит к уменьшению потенциальной энергии электронов и увеличению потенциальной энергии дырок. Поэтому в результате роста потенциала «-об- «-области потенциальная энергия электро- электронов там уменьшается, а в /^-области увеличивается. Потенциальная энер- энергия дырок изменяется в противопо- противоположном смысле (рис. 119). Характер изменения электрического потенциала совпадает с характером из- изменения потенциальной энергии дырок, т.е. со штриховой кривой на рис. 119.
§ 69 /7-и-Переходы и транзисторы 357 При указанном на рис. 119 гра- графике потенциальной энергии создает- создается поток электронов из /ьобласти в «-область и поток дырок в обратном направлении. Иначе говоря, возникший потенциальный барьер про- противостоит диффузионному напору элек- электронов и дырок с той стороны пере- перехода, где их концентрация больше, т. е. противостоит диффузионному на- напору электронов со стороны и-облас- ти и диффузионному напору дырок со стороны /^-области. Потенциальный барьер возрастает до такой величины, при которой возни- возникающее на переходе электрическое поле создает такие электрические то- токи электронов и дырок, которые пол- полностью компенсируют диффузионные потоки соответствующих носителей через переход, в результате чего до- достигается стационарное состояние. В «-области электрический ток обуслов- обусловливается движением электронов, ко- которые там являются основными носи- носителями. В /7-области основными но- носителями служат дырки. Следователь- Следовательно, электрическое поле на переходе создает электрический ток, состоя- состоящий из дырок, которые движутся из «-области в /»-область, и из электро- электронов, которые движутся из /^-области в «-область. Образующийся суммарный электрический ток является током не- неосновных носителей, направленным из «-области в ^-область; его плот- плотность обозначим 7„ (рис. 119). Диффу- Диффузионные потоки электронов и дырок составляют на переходе диффузион- диффузионный ток основных носителей, направ- направленный из />-области в «-область; его плотность обозначим jo. В состоянии равновесия _/„ + Л> = 0. Для дальней- дальнейшего необходимо принять во внима- внимание, что концентрация неосновных носителей, по определению, много меньше концентрации основных носи- // + 118 /wi-Переход .-:..* п ¦ облапь Ъ J» р-абшсп 119 Изменение потенциальной энергии электронов и дырок в области перехода телей и поэтому сила тока неоснов- неосновных носителей ограничена. Распределение электронов и дырок в /ь«-переходе. Как было отмечено, электроны в зоне проводимости полу- полупроводников и дырки имеют конеч- конечное время жизни. Поэтому дырки, проникающие из /^-области в «-об- «-область, диффундируют в ней в течение некоторого времени, а затем анни- аннигилируют с электронами. Аналогично ведут себя избыточные электроны, попавшие из n-области в р-область. Поэтому концентрация избыточных дырок в «-области и концентрация избыточ- избыточных электронов в ^-области убывают при удалении от границы между р- и «-областями. Это убывание экспонен- экспоненциально, что видно из следующих соображе- соображений. Из-за независимости вероятнос- вероятности аннигиляции электрона или дырки от истории ее предшествующей диф- диффузии можно написать, что изменение
358 13 Электронные свойства твердых тел п-о&юсть р-вёласть 120 Концентрация избыточных электронов и дырок на переходе " 4 ¦; p Enk n~ область JH- р-обпасп 121 Внешняя разность потенциалов приложена так, что со стороны и-области потенциал отрица- отрицателен п-область j];— «- /.• ¦•¦.*:uf.1/ 122 Внешняя разность потенциалов приложена так, что со стороны л-области потенциал положи- положителен концентрации d« электронов или ды- дырок в результате аннигиляции в те- течение времени dt должно быть про- пропорционально этому промежутку вре- времени и концентрации: dn= -(l/x)ndf, F9.1a) где 1/т характеризует вероятность ан- аннигиляции. Отсюда получаем л = «ое"'/1, F9.16) т. е. экспоненциальное уменьшение кон- концентрации со временем (рис. 120). С помощью понятия средней ско- скорости диффузии отсюда сразу получа- получается экспоненциальная зависимость концентрации от расстояния до гра- границы раздела между р- и «-областя- «-областями. Вообще говоря, т в F9.1а) может несколько различаться для электро- электронов и дырок. Аналогично несколько различается и скорость спадания кон- концентрации электронов и дырок по разные стороны от границы. В чис- чистом германии при комнатной темпе- температуре значение т составляет несколь- несколько тысячных долей секунды. Это при- приводит к заключению, что ширина пе- перехода имеет порядок микрометра. При наличии примесей эта величина уменьшается и может быть сделана чрезвычайно малой при достаточно большой концентрации примесных ато- атомов. Она уменьшается обратно про- пропорционально концентрации примес- примесных атомов. Заряд, который перете- перетекает из одной области в другую при образовании перехода, очень мал. Обычно энергия Ферми р- и и-облас- тей полупроводников различается при- примерно на 1 эВ. Поэтому разность потенциалов, возникающая на пере- переходе и выравнивающая энергии Фер- Ферми по разные стороны перехода, име- имеет порядок 1 В. Как показывает рас- расчет, для создания такой разности по- потенциалов достаточно, чтобы через
§ 69. /7-п-Переходы и транзисторы 359 переход просочилось 10 13-10 14 К л заряда, т.е. 105-106 электронов. Электрический ток через /ья-пере- ход. Если внешняя разность потен- потенциалов приложена так, что со сто- стороны «-области потенциал отрицате- отрицателен, а со стороны /^-области - по- положителен, то потенциальные барье- барьеры для основных носителей уменьша- уменьшаются (рис. 121). Благодаря этому си- сила тока основных носителей увеличи- увеличивается, поскольку для них уменьшает- уменьшается потенциальный барьер. Сила тока же неосновных носителей практичес- практически не изменяется, потому что этот диффузионный ток в основном опре- определяется концентрацией носителей и не зависит от разности потенциалов. Если внешняя разность потенциа- потенциалов приложена так, что со стороны и-области потенциал положителен, а со стороны /^-области - отрицателен, то потенциальные барьеры для основ- основных носителей увеличиваются (рис. 122). Благодаря этому гок основных носителей уменьшается и практически становится равным нулю. Ток же не- неосновных носителей по-прежнему прак- практически не изменяется по тем же при- причинам, что и в предыдущем случае. Ток в направлении от «-облает и к /^-области не идет. Это направление называется за- запорным. В направлении от /ьобласти к «- области ток проходит нормально. Это направление называется про- проходным. Существование проходного и за- запорного направлений может быть также понято из следующих сообра- соображений: «-область характеризуется изо- изобилием свободных электронов и очень скудным запасом дырок, а /7-область имеет в изобилии дырки и очень бед- бедна свободными электронами. Поэто- Поэтому легко осуществимым является лишь 123 Вольт-амперная характеристика р-и-перехода. Положительные значения напряжения U соот- соответствуют падению внешнего потенциала на переходе от р-области к н-области (т. е. ситуации, представленной на рис. 121) движение электронов из «-области в р-область и движение дырок из р-об- ласти в «-область, т. е. электрический ток в направлении из /^-области в «-область. Это и есть проходное на- направление. Ток в обратном направле- направлении практически невозможен, посколь- поскольку практически нет в наличии свобод- свободных электронов и дырок, которые могли бы осуществить этот ток. Это направление является запорным. Из изложенного видно, что ана- аналогичные явления должны возник- возникнуть также на переходе между метал- металлом и полупроводником. Переход металл - полупроводник также обладает способностью про- пропускать электрический ток в одном направлении и не пропускать его в другом, причем полупроводник при этом может быть любого типа. Это обусловлено тем, что даже «-полупроводник относительно метал- металла может считаться чрезвычайно бед- бедным в отношении свободных электро- электронов. Ясно, что проходным направлением на перехо- переходе металл - полупроводник является направление от полупроводника к ме- металлу. Вольт-амперная характеристика. Вольт-амперная характеристика р-п- перехода показана на рис. 123. Таким
360 13. Электронные свойства твердых тел ОрВ 124 Вольт-амперная характеристика для р-п-пере- хода в кремнии 1=0 125 Включение диода в схемы J . -I." й-.* г 1» ft-f 126 Механизм действия туннельного диода образом, />-и-переход обладает одно- односторонней проводимостью, а именно проводит ток только в направлении от /^-области к «-области. Наиболее распространенными ма- материалами для создания р-я-перехо- дов являются германий и кремний. У германия концентрация основных носителей больше, чем у кремния; подвижность носителей также боль- больше. Вследствие этого проводимость /ья-переходов в германии в проход- проходном направлении значительно боль- больше, чем у кремния, но зато и обрат- обратный ток больше. Преимуществом кремния является возможность эксплу- эксплуатации при более высоких темпера- температурах. Вольт-амперная характеристика, показанная на рис. 123, хорошо опи- описывает ^-«-переходы в германии. Од- Однако /?-и-переходы в кремнии имеют вольт-амперную характеристику, от- отличную от изображенной на рис. 123. Для них вольт-амперная характерис- характеристика показана на рис. 124. Возмож- Возможной причиной такой вольт-амперной характеристики является очень малая концентрация неосновных носителей в кремнии. Поэтому при малых внеш- внешних напряжениях плотность тока не- неосновных носителей чрезвычайно ма- мала и лишь при достижении 0,6 В сила тока начинает экспоненциально рас- расти, как это происходит в германии начиная практически с нулевой раз- разности потенциалов. Наличие сдвига 0,6 В в сторону положительных на- напряжений в вольт-амперной характе- характеристике кремния очень важно прини- принимать во внимание в кремниевых тран- транзисторах. Для их удовлетворительно- удовлетворительного функционирования разность потен- потенциалов между базой и эмиттером должна быть установлена примерно равной 0,6 В. Емкость р-и-перехода. Как видно
§ 69. р-л-Переходы и транзисторы 361 на рис. 120, по разные стороны от границы между р- и «-областями име- имеются противоположные заряды и име- имеется разность потенциалов между ни- ними. Это означает, что /?-и-переход обладает определенной емкостью. Емкость зависит от напря- напряжения, которое прилагается к пере- переходу в запорном направлении. В большинстве твердотельных ус- устройств поперечная площадь р-п-пе- рехода обычно много меньше I мм2, и тем не менее они имеют емкости, ненамного меньшие 50 пФ. Наличие емкости у ^-«-перехода сказывается на его работе при высо- высоких частотах, поскольку перестройка плотности заряда несколько отстает от изменений приложенной разности потенциалов. Для уменьшения емкос- емкости приходится использовать различ- различные приемы, на которых мы не ос- останавливаемся. Диод. Переход, обладая односто- односторонней проводимостью, действует как диод (рис. 125, а; стрелка показывает направление, в котором диод прово- проводит ток). Включение диода в проход- проходном направлении приведено на рис. 125,6. Резистор сопротивлением R включен в цепь для ограничения си- силы тока. Включение диода в запор- запорном направлении изображено на рис. 125, в. Твердотельные диоды при над- надлежащем охлаждении удается исполь- использовать даже при очень больших токах порядка 1 кА. Туннельный диод. При сильном ле- легировании, когда концентрация при- примесных атомов становится достаточ- достаточно большой, происходит расширение примесных уровней и они перекрыва- перекрывают границу между зонами, в резуль- результате чего уровень Ферми попадает внутрь зоны (либо проводящей, либо валентной). При этом на переходе возникает ситуация, изображенная на рис. 126, а. Как обычно, в отсутствие внешнего напряжения энергии Ферми по разные стороны перехода одина- одинаковы. При сильном легировании пере- переход узок и концентрация неосновных носителей мала. При наложении внешнего напря- напряжения в проходном направлении воз- возникает обычный диодный небольшой ток. Однако ввиду того что по разные стороны перехода, разделенного по- потенциальным барьером, энергии но- носителей одинаковы, возникает тун- туннельный эффект (см. § 29), в результа- результате которого носители проникают че- через потенциальный барьер на другую сторону от перехода без изменения энергии. Благодаря этому через пере- переход течет более значительный ток. При дальнейшем увеличении разнос- разности потенциалов энергия электронов в и-области у перехода увеличивает- увеличивается, а в /^-области - уменьшается (рис. 126,6) и область перекрытия примес- примесных уровней начинает уменьшаться. В результате этого сила тока начина- начинает уменьшаться. Максимум силы то- тока достигается при наиболее полном перекрытии зон (рис. 126, а). Когда примесные зоны сдвигаются друг от- относительно друга настолько, что каж- каждой из них на другой стороне пере- перехода противостоит запрещенная зона (рис. 126, б), туннелирование становит- становится невозможным и сила тока через переход уменьшается. При достаточ- достаточно больших разностях потенциалов зоны проводимости п- и /^-областей оказываются почти на одном уровне (рис. 126, в) и становится возможным возникновение обычного диодного то- тока. Сила тока начинает снова воз- возрастать. Вольт-амперная характерис- характеристика туннельного диода показана на рис. 127. В интервале напряжений от первого максимума кривой до следующего за
362 13 Электронные свойства твердых теп 127 Вольт-амперная характеристика туннельного диода: /-туннельный ток, 2 - отрицательное сопротивление; 3—обычный диодный ток 128 Выпрямление тока в двухтактном выпрямителе Щ 129 Напряжение на нагрузке после выпрямления тока ним минимума туннельный диод про- проявляет эффект отрицательного сопро- сопротивления, когда увеличение разносiи потенциалов приводит к уменьшению силы тока. Полезность этого эффекта состоит в том, что другие элементы электрон- электронной цепи имеют положительное соп- сопротивление. Если использовать туннельный ди- диод в резонансном контуре, то его отрицательное сопротивление может компенсировать положительное со- сопротивление остальных элементов кон- контура и процессы происходят так, как будто бы контур не имеет сопротив- сопротивления. Благодаря этому он будет осущест- осуществлять колебания тока точно на ре- резонансной частоте и используется в высокочастотных усилителях и гене- генераторах. Существование области от- отрицательного сопротивления не свя- связано с тепловым возбуждением носи- носителей, поэтому туннельный диод ус- успешно функционирует и при гелиевых температурах. Выпрямление тока. Схема включе- включения диодов для осуществления двух- двухтактного выпрямителя показана на рис. 128. Емкость С служит для сгла- сглаживания пульсаций выпрямленного тока. График напряжения на нагруз- нагрузке после выпрямления показан на рис. 129. Детектирование. Высокочастотный радиосигнал модулируется по ампли- амплитуде для передачи информации. Час- Частота модуляции много меньше часто- частоты радиосигнала. Поэтому для де- дешифровки информации необходимо произвести детектирование сигнала путем выделения огибающей ампли- амплитуды высокочастотного сигнала. Это достигается с помощью диода, вклю- включенного по схеме однотактного вы- выпрямителя тока (рис. 130). Величины
§ 69 /7-п-Переходы и транзисторы 363 R, С подбираются так, чтобы радио- радиочастота достаточно хорошо выпрями- выпрямилась, а частота модуляции сохрани- сохранилась, т.е. временная константа RC- контура должна быть велика по срав- сравнению с периодом радиочастотного сигнала, но мала по сравнению с пе- периодом модуляции. Детекторы также используются в схемах преобразования частот, частот- частотной модуляции и др. Стабилитрон. Если напряжение при- приложено в запорном направлении дио- диода, то через него течет постоянный ток, практически не зависящий от на- напряжения (рис. 123). Для германия плотность этого тока составляет при- примерно 0,1 мкА/м2, а для кремния- 0,001 мкА/м2. Если обратное напряжение превосхо- превосходит некоторое критическое значение, то ток лавинообразно достигает очень больших значений. Вольт-амперная характеристика это- этого явления показана на рис. 131. При этом, по-видимому, осущест- осуществляются два процесса. При достаточ- достаточно большом электрическом поле элек- электроны и дырки в переходе успевают ускориться до таких энергий, что в состоянии вызвать ионизацию ато- атомов и породить другие пары электро- электронов и дырок. В результате начинается лавинный процесс образования носи- носителей, приводящий к росту силы тока. Второй фактор связан с туннельным эффектом, позволяющим микрочас- микрочастицам преодолевать потенциальные барьеры, имея недостаточную для это- этого энергию. Это чисто квантовый эф- эффект, о котором уже говорилось в связи с туннельным диодом. Образование лавины происходит при вполне определенной критичес- критической разности потенциалов, характер- характерной для диода и зависящей от шири- ширины /?-и-перехода, температуры и т.д. 130 Включение диода для детектирования сигнала 131 Вольт-амперная характеристика стабилитрона U^const 132 Включение стабилитрона в сеть для обеспече- обеспечения на нагрузочном сопротивлении постоянной разности потенциалов Критическая разность потенциалов может быть порядка 100 В. При критической разности потен- потенциалов ток возрастает очень быстро, но падение потенциала на диоде оста- остается практически постоянным. Поэто- Поэтому такой режим работы может быть использован для получения постоян- постоянного опорного потенциала или для контроля потенциала в цепи, в ко- которой он не может превосходить оп- определенного значения. На рис. 132
364 13. Электронные свойства твердых тел п п р п 5) 133 Биполярные транзисторы: а - и/7«-транзистор; б -рл/>-транзистор прп 134 Обозначение транзисторов 135 Включение транзистора по схеме с общим эмиттером показано включение стабилитрона в цепь, чтобы обеспечить на нагрузоч- нагрузочном сопротивлении R постоянную разность потенциалов. На этой же схеме дан и симол для обозначения стабилитрона. Светоизлучающий диод. При ре- рекомбинации электронов и дырок при определенных условиях происходит испускание квантов излучения. Для осуществления этого процесса необ- необходимо создать избыток концентра- концентрации электронов в зоне проводимости по сравнению с концентрацией в усло- условиях термодинамического равновесия, т.е. создать инверсную заселенность энергетических уровней в полупро- полупроводнике. При этом условии частота переходов электронов из зоны про- проводимости в валентную зону больше частоты переходов в обратном на- направлении и осуществляется испуска- испускание квантов излучения. Нетрудно видеть, что инверсная заселенность уровней возникает вбли- вблизи ^-«-перехода, включенного в про- проходном направлении. При соответст- соответствующих характеристиках ^-«-перехо- ^-«-перехода протекающий сквозь него ток воз- возбуждает испускание света. Биполярный транзистор. Транзис- Транзистором называется монокристалл по- полупроводника, в котором соответст- соответствующим легированием создан узкий слой с /^-проводимостью, разделяю- разделяющий области с и-проводимостями (рис. 133, а), или узкий слой с и-про- водимостью, разделяющий области с и-проводимостями (рис. 133,6). Ина- Иначе говоря, транзистор является сово- совокупностью двух достаточно близко расположенных />-п-переходов. В слу- случае а транзистор называется прп-тргт- зистором, а в случае б - рпр-транзис- тором. Узкий слой в середине называется базой, а крайние области - эмиттером и коллектором. Крайние области, хо- хотя и обладают одинаковым типом проводимости, отличаются друг от друга концентрацией примесных ато- атомов. Коллектор обычно содержит боль- большую концентрацию примесных ато- атомов. Для базы существенна ее узость, чтобы большинство носителей, пере- пересекающих один из />-«-переходов, мог-
§ 69 р-л-Переходы и транзисторы 365 ли до своей аннигиляции успеть пере- пересечь также и второй ^-«-переход. В типичных условиях это означает, что ширина базы не должна превышать 0,1-0,2 мкм. Обозначения транзисторов указа- указаны на рис. 134. Стрелки показывают направление тока через эмиттер. Явления, происходящие в прп- и /wp-транзисторах, аналогичны, меня- меняется лишь роль электронов и дырок. Поэтому будем рассматривать для определенности, например, и^и-тран- зистор. Его можно включить в цепь тремя способами в зависимости от того, какая часть транзистора соеди- соединяется с общей точкой схемы. Включение по схеме с общим эмит- эмиттером. Это включение показано на рис. 135, причем к коллектору при- прикладывается самый большой потен- потенциал. Буквой О обозначена общая точка контуров; 16,1Э и /к-силы токов соответственно через базу, эмиттер и коллектор. На схеме видно, что пере- переход между базой и эмиттером вклю- включен в проходном направлении и по- поэтому уменьшение напряжения в цепи базы сопровождается значительным ростом силы тока через эмигтер 1Э, который осуществляется движением электронов в базу. Однако база пред- представляет собой очень узкую область, через которую почти без потерь про- проходят носители. Это означает, что инжектированные с эмиттера в базу электроны почти без потерь достига- достигают коллектора при условии, конечно, что последний обладает положитель- положительным потенциалом относительно эмит- эмиттера. Эти электроны образуют ток в цепи коллектора. Сила юка очень мало зависит от напряжения на коллекторе, а опреде- определяв! ся почти полностью напряжени- напряжением на базе, поскольку именно от этого напряже- напряжения зависит число электронов в едини- единицу времени, попадающих на коллек- коллектор. Если в цепи коллектора включен резистор сопротивлением R, то паде- падение напряжения на нем определяется в основном напряжением на базе. Закон сохранения заряда в тран- транзисторе записывается в виде 'э = /6 + /к. F9.2) Для того чтобы сила тока на базу /б была достаточно малой, необходимо сделать толщину базы много мень- меньшей длины, на которой электроны в материале базы аннигилируют. При указанных выше размерах базы уда- удается добиться очень малых сил тока базы 16/1э як 1/50. Из F9.2) для изменений сил токов получается А7Э = А76 + А7К. F9.3) Как уже было отмечено, малые из- изменения напряжения на базу изменя- изменяют существенно силу тока в цепи эмиттера-коллектора. Это означает, что малые изменения Д/6 силы тока в цепи базы сопровождаются значитель- значительными изменениями А/к силы тока кол- коллектора. Усиление по току характеризуется коэффициентом р = Д/к/А/6. F9.4) В обычных условиях для коэффициен- коэффициента усиления C удается получить значе- значения около 50 и больше. При включе- включении транзистора по схеме с общим эмиттером он действует как усили- усилитель тока. Включение по схеме с общей базой. Это включение показано на рис. 136. Видно, что переход база-эмиттер включен в проходном направлении, а база - коллектор - в запорном. Следо- Следовательно, в цепи коллектора сила тока не зави-
Звб 13 Электронные свойства твердых тел 136 Включение транзистора по схеме с общей базой 1к 137 Включение транзистора по схеме с общим коллектором 1 ! 3 Г 138 Схема полевого транзистора (а) и его включение в схемы (б) сит от напряжения на коллекторе, а сопротивление очень велико (несколь- (несколько миллионов ом). В цепи эмиттера сила тока сущест - венно зависит от напряжения на эмит- эмиттере, причем сопротивление цепи эмит- эмиттера мало. Электроны, вошедшие с эмиттера в базу, достигают коллекто- коллектора и изменяют силу тока в его цепи. Изменения силы тока в цепи коллек- коллектора примерно равны изменениям сил тока в цепи эмиттера, однако после прохода через большое нагрузочное сопротивление получается значитель- значительное усиление по напряжению и мощ- мощности. Примерное равенство сил токов через эмиттер и коллектор следует из F9.2), если учесть, что сила тока 1б всегда мала. Усиление по напряже- напряжению в германиевых транзисторах до- достигает 104. Включение по схеме с общим кол- коллектором. Оно показано на рис. 137. Переход база-коллектор работает в запорном направлении, причем кол- коллектор включен последовательно с входным сигналом. Поэтому входное сопротивление оказывается высоким. Выходное сопротивление ока- оказывается низким, и, кроме того, по- получается значительное усиление по току. Происходящие при этом процессы изучаются такими же методами, как и в предыдущих случаях. Полевые транзисторы. В изучен- изученных выше транзисторах ток осущест- осуществляется обоими типами носителей. Такие транзисторы являются биполяр- биполярными устройствами. В отличие от этого полевой транзистор представляет мо- монополярное устройство, поскольку ток в нем осуществляется лишь одним типом носителей (либо электронами, либо дырками).
§ 69 />-rt-Переходы и транзисторы Зв>7 Рассмотрим полевой транзистор, в котором ток осуществляется электро- электронами. У этого транзистора канал, по которому течет ток, состоит из «-по- «-полупроводника (рис. 138). На рис. 138 канал расположен между электродом И, называемым истоком, и электро- электродом Cm, называемым стоком. С бо- боков канала имеются две области с /^-проводимостью. Совокупность этих двух полупроводников называется за- затвором. Между истоком и стоком прикладывается высокая разность по- потенциалов UCT и порядка 10-20 В. Между истоком и затвором прикла- прикладывается обратная разность потен- потенциалов иъ и меньшей абсолютной ве- величины (от — 1 до — 3 В). Если берет- берется канал />-типа, а затворы -«-типа, то полярность батарей необходимо из- изменить на обратную. В канале электроны движутся от истока к стоку вблизи оси канала, причем поперечное сечение канала, по которому течет ток, зависит от при- приложенного к затвору напряжения. Это означает, что сопротивление канала току и сила протекающего по каналу тока контролируются приложенным к затвору напряжением. Поэтому полевой транзистор по своему дейст- действию аналогичен вакуумной лампе- триоду, причем исток играет роль катода, сток-анода, а затвор-сетки Обозначение полевых транзисто- транзисторов показано на рис. 139. Механизм регулировки поперечно- поперечного сечения канала приложенным к затвору напряжением состоит в сле- следующем. Между р-областью затвора и «-областью, в которой образуется канал для тока, имеется /?-«-переход. В переходе отсутствуют свободные носители, за исключением небольшо- небольшого числа элекронно-дырочных пар, возникающих в результате теплового движения. Образующийся в переходе \И 139 Обозначение полевых транзисторов пространственный заряд распределен в переходе так, как это было показано на рис. 120. Ширина перехода зависит от концентрации примесей, уменьша- уменьшаясь с увеличением концентрации, и от разности потенциалов, возникающей на переходе. В полевом транзисторе с «-каналом (см. рис. 138) область ка- канала легируется очень слабо, т. е. содержит небольшую концентрацию примесей, а р-области затвора содер- содержат большую концентрацию приме- примесей. Поэтому ширина переходного слоя в «-области очень велика, а в /ьобласти - очень мала и практически отсутствует по сравнению с шириной переходного слоя в «-области. Ши- Ширина переходного слоя в «-области, как уже было сказано, увеличивается с возрастанием разности потенциалов в области. Поэтому с увеличением напряжения на затворе становится больше ширина переходного слоя и, следовательно, меньше ширина кана- канала, по которому может течь ток, т. е. увеличивается сопротивление канала току. В этом и состоит действие поле- полевого транзистора. Ширина канала меняется вдоль его длины. Его ширина наименьшая у стока, потому что там наибольшая величина переходного слоя, обуслов- обусловленная максимальностью запорного напряжения, слагающегося из потен- потенциала затвора и потенциала стока. Со стороны истока переходный слой име-
368 13. Электронные свойства твердых тел ет минимальную ширину, а канал - максимальную, потому что запорное напряжение здесь сводится практичес- практически только к запорному потенциалу. Обычно сумма запорного потенциала и потенциала стока выбирается до- достаточно большой, чтобы иметь воз- возможность почти полностью перекрыть канал. Полное перекрытие невозможно, потому что при сужении канала уве- увеличивается плотность тока, а вместе с ней и электрическое поле в канале. При этих условиях сила тока /ст на стоке становится практически незави- независимой от потенциала на стоке 1/ст, но, конечно, продолжает зависеть от потенциала на затворе G3, причем в определенных пределах эта зависи- зависимость почти линейна. Именно в этом режиме максимального перекрытия канала и используется полевой тран- транзистор. Название «полевой» этот тип тран- транзисторов получил по механизму своей работы: ширина токового канала оп- определяется напряженностью электри- электрического поля в /?-и-переходе между затвором и каналом. Контроль тока в полевом тран- транзисторе можно осуществлять не толь- только с помощью затвора из полупро- полупроводника другого типа, как это было описано, но и с помощью подобран- подобранного соответствующим образом ме- металлического затвора, изолированно- изолированного от канала. В качестве изолирующе- изолирующего слоя используются оксиды. Такие транзисторы называются металлоок- сидными полевыми транзисторами. Принцип их работы аналогичен опи- описанному выше. Интегральные схемы. С помощью легирования на одном монокристалле можно создать целую электронную схему. Такие схемы называются ин- интегральными. Проводники, соединяю- соединяющие отдельные части схемы, вносятся с помощью соответствующего про- процесса в кристалл. Переходы обладают емкостью и в таком качестве могут быть также включены в интегральную схему. Ин- Индуктивности малой величины также могут быть включены в интеграль- интегральную схему в виде спиральных про- проводников. Однако в большинстве слу- случаев интегральные схемы включают в себя сопротивления, диоды и транзис- транзисторы, а индуктивности подсоединя- подсоединяются к ним в виде отдельных дискрет- дискретных элементов. Главными преимуществами инте- интегральных схем являются их малые размеры, связанная с этим быстрота прохождения процессов, малая по- потребляемая мощность, надежность в эксплуатации. Изготовление интеграль- интегральных схем требует высокого техноло- технологического уровня производства. Од- Однако, коль скоро такой технологичес- технологический уровень достигнут, изготовление интегральных схем может быть сде- сделано дешевым в расчете на элемент схемы, благодаря чему достигается значительное удешевление приборов, выполняющих определенные функции. Возможность в малых объемах раз- размещать очень большое число элемен- элементов позволяет создавать устройства, которые без интегральных схем прак- практически немыслимы. Технология производства состоит в применении операций травления, напыления и диффузии в соответству- соответствующих местах монокристалла в опре- определенной последовательности. Весьма трудной технологической задачей яв- является создание шаблонов, с помощью которых осуществляются эти опера- операции. Для проектирования интеграль- интегральных схем широко используются ЭВМ.
§ 70. Сверхпроводимость 369 70. Сверхпроводимость Описываются макроскопические явления, обуслов- обусловленные сверхпроводимостью, и излагаются ос- основные результаты теории сверхпроводимости. Сверхпроводимость. К. Оннес обнару- обнаружил A911), что при 4,2 К ртуть, по-видимому, полностью теряет со- сопротивление электрическому току. В дальнейшем потеря сопротивления на- наблюдалась и у других чистых веществ и у многих сплавов. Эксперименталь- Экспериментально доказано, что речь идет о полной потере сопротивления, а не просто об его значительном уменьшении. На- Например, возбуждали ток в замкнутом кольцевом сверхпроводнике, который в отсутствие источника сторонних электродвижущих сил продолжал цир- циркулировать в нем в течение несколь- нескольких лет. Из этого опыта можно было заключить, что проводимость сверх- сверхпроводника по меньшей мере лучше 1025 См/м, что достаточно надежно подтверждает полное отсутствие со- сопротивления сверхпроводника элект- электрическому току. Это явление получи- получило название сверхпроводимости. Па- Падение сопротивления до нуля осущест- осуществляется в очень узком интервале тем- температур АГ~ 10~3 К для чистых мо- монокристаллических образцов, а при наличии дефектов-AT~ 10"* К и да- даже больше. Температуры перехода Ткр в сверх- сверхпроводящее состояние, называемые критическими, различны, но всегда низки. Сверхпроводящими свойства- свойствами обладают как элементы, так и соединения. Из элементов наивысшую критическую температуру, около 9 К, имеет ниобий, за которым следует свинец с Гкр = 7,22 К. Наименьшая критическая температура, Ткр = 0,01 К, наблюдалась у вольфрама. Какой-либо связи между свойством сверхпрово- сверхпроводимости и структурой кристалличес- кристаллической решетки элемента не отмечалось. Среди сверхпроводников имеются эле- элементы, представляющие самые раз- различные типы кристаллических струк- структур. Ни один из щелочных или благо- благородных металлов не является сверх- сверхпроводником. Наиболее высокие кри- критические температуры, свыше 20 К, наблюдаются у сверхпроводящих со- соединений. Рекордное значение TL = = 23,3 К принадлежало до 198о г. соединению Nb3Ge. Известны орга- органические сверхпроводники, критичес- критическая температура которых около 8 К. Критическое поле. Если поместить сверхпроводник в магнитном поле, то при достижении индукцией поля не- некоторого критического значения Вкр сверхпроводящие свойства исчезают и сверхпроводник становится обыч- обычным проводником. Значение крити- критического поля Вкр уменьшается с уве- увеличением температуры и становится равным нулю при критической тем- температуре. С достаточно большой точностью зависимость критического поля от температуры можно представить в форме параболического закона: где Во-индукция критического поля при 0 К. Значение Во для чистых металлов достаточно мало и корре- коррелирует с Ткр: с увеличением 7L зна- значение Во увеличивается. При Ткр по- порядка 1 К значение Во имеет порядок сотых долей тесла, а для больших значений Ткр значение Во может до- достигать десятых долей тесла. Критическая плотность тока. Ког- Когда магнитное поле электрического то- тока, протекающего по сверхпроводни- сверхпроводнику, достигает критического значения Вкр, сверхпроводимость исчезает. Со- Соответствующая плотность тока назы- называется критической плотностью тока. 24 219
370 13. Электронные свойства твердых тел Эффект Мейсснера. Мейсснер и Оксенфельд обнаружили A933), что внутри сверхпроводящего тела пол- полностью отсутствует магнитное поле. При охлаждении сверхпроводни- сверхпроводника, находящегося во внешнем постоян- постоянном магнитном поле, в момент пере- перехода в сверхпроводящее состояние магнитное поле полностью вытесня- вытесняется из его объема. Этим сверхпроводник отличается от идеального проводника, у кото- которого при уменьшении удельного со- сопротивления индукция магнитного по- поля в объеме сохраняется без из- изменения. Отсутствие магнитного поля в объ- объеме сверхпроводника позволяет на ос- основе общих законов магнитного поля сделать заключение, что в нем про- протекает только поверхностный ток. Этот ток физически реален и поэтому протекает в некотором тонком слое вблизи поверхности. Толщина слоя имеет порядок 10 ~8 м. Магнитное поле этого тока ком- компенсирует внутри сверхпроводника внешнее магнитное поле, благодаря чему полное поле внутри проводника становится равным нулю. Однако сверхпроводник не является идеаль- идеальным диамагнетиком, потому что на- намагниченность внутри него равна ну- нулю, а у диамагнетика отлична от нуля. Сверхпроводники первого и второго рода. Чистые металлы, у которых на- наблюдается явление сверхпроводимос- сверхпроводимости, немногочисленны. Большинство сверхпроводников являются соедине- соединениями. У чистых металлов имеет место эффект Мейсснера, а у соединений не происходит полного вытеснения маг- магнитного поля из объема сверхпровод- сверхпроводника, т. е. наблюдается частичный эф- эффект Мейсснера. Вещества, проявляющие полный эффект Мейсснера, называются сверх- сверхпроводниками первого рода, а проявля- проявляющие частичный эффект - сверхпровод- сверхпроводниками второго рода. У сверхпроводников второго рода в объеме имеются круговые токи, создающие магнитное поле, которое, однако, заполняет не весь объем, а распределено в нем в виде отдельных нитей. Что касается сопротивления, то оно равно нулю, как и у сверх- сверхпроводников первого рода. Остаточное сопротивление метал- металлов- При не очень низких температу- температурах электрическое сопротивление ме- металлов обусловливается главным об- образом рассеянием электронов на ато- атомах кристаллической решетки метал- металла. В результате актов рассеяния электронов происходит в среднем пе- передача энергии от электронов к ато- атомам кристаллической решетки. Пере- Передача энергии обусловливает возник- возникновение электрического сопротивле- сопротивления. Атомы колеблются в узлах крис- кристаллической решетки, и полученная ими энергия преобразуется в энергию колебаний. Колебания решетки опи- описываются как возбуждения твердого тела, называемые фононами, а вся совокупность колебаний успешно опи- описывается понятием фононного газа. Электрическое сопротивление в этой картине является результатом элект- рон-фононного взаимодействия. При понижении температуры элект- электрическое сопротивление металла умень- уменьшается вследствие ослабления колеба- колебаний атомов решетки и уменьшения электрон-фононного взаимодействия. Скорость изменения сопротивления уменьшается при понижении темпера- температуры. При достаточно малой темпе- температуре она становится практически равной нулю, а сопротивление прак- практически постоянно и не зависит от
§ 70 Сверхпроводимость 371 температуры. Это сопротивление на- называется остаточным. Остаточное сопротивление нормаль- нормальных металлов возникает из-за рассея- рассеяния электронов проводимости стати- статическими дефектами. Среди этих ста- статических дефектов можно назвать при- примеси, дислокации, пластическую де- деформацию и др. Влияние статических дефектов на остаточное сопротивле- сопротивление хорошо изучено, причем значение остаточного сопротивления очень чувст- чувствительно к дефектам. Например, в повседневной практике нередко чис- чистоту и совершенство металлического кристалла характеризуют отношени- отношением его сопротивлений при 273 и 4,2 К. Это отношение для достаточно чис- чистых и совершенных кристаллов мо- может достигать значения 103 и больше. Спаривание электронов. Для воз- возникновения сверхпроводимости необ- необходимо, чтобы электроны, осущест- осуществляющие электрический ток, двига- двигались без потери энергии. В 30-х годах была предложена феноменологичес- феноменологическая двухжидкостная модель сверхпро- сверхпроводимости A934), которая удовлетво- удовлетворительно объясняла многие извест- известные в то время экспериментальные факты. Предполагалось, что вся сово- совокупность электронов распадается на две взаимопроникающие жидкости, состоящие из нормальных и сверх- сверхпроводящих электронов. Какое-либо удовлетворительное объяснение воз- возникновения сверхпроводящих электро- электронов не давалось. Для удовлетвори- удовлетворительного описания некоторых коли- количественных закономерностей необхо- необходимо было допустить, что числовая пропорция между сверхпроводящими и нормальными электронами изме- изменяется с температурой как 1 — (Т/ТкрL. В дальнейшем идея двухжидкост- ной модели была успешно применена для объяснения сверхтекучести жид- жидкого гелия Hell. Атомы Hell имеют целый спин и, следовательно, подчи- подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Благодаря этому они могут в любом количестве находиться в одном и том же квантовом состоянии, в том числе и в состоянии с минимальной энерги- энергией. Их сосредоточение на низшем энергетическом уровне энергии назы- называется Бозе-конденсацией. Следующий более высокий энергетический уро- уровень расположен на некотором рас- расстоянии от низшего. Расстояние меж- между ними называется энергетической щелью. Если энергетическая щель та- такова, что атомы в Бозе-конденсате при движении не могут получить пор- порцию энергии больше ширины энерге- энергетической щели, то они движутся без изменения энергии, т.е. без трения. Благодаря этому они составляют сверх- сверхтекучую компоненту в двухжидкост- ной модели сверхтекучести. По своей физической природе сверх- сверхпроводимость является сверхтекучей жидкостью, состоящей из электронов. Однако электроны имеют полуцелый спин и подчиняются статистике Фер- Ферми-Дирака, для них Бозе-конденса- ция невозможна. Фермионы как бы отталкивают от своего состояния дру- другие фермионы, а бозоны как бы ста- стараются втянуть в свое состояние дру- другие бозоны. Это проявляется во мно- многих процессах, например в генерации индуцированного излучения фотонов, благодаря которому функционируют лазеры. Построить лазер на электро- электронах в принципе нельзя, потому что даже два электрона нельзя поместить в одно и то же квантовое состояние. Поэтому для объяснения сверхпро- сверхпроводимости необходимо прежде всего понять, каким путем электроны мо- могут подвергнуться Бозе-конденсации. Свободные электроны в металле движутся на фоне положительно за-
372 13 Электронные свойства твердых тел ряженных узлов кристаллической ре- решетки. Электроны отталкиваются друг от друга. Но когда между ними расположен положительный заряд уз- узла кристаллической решетки, их от- отталкивание [см. § 52, 58] превращает- превращается в притяжение. Это притяжение в принципе может привести к образованию связанного состояния двух электронов, т. е. мо- может произойти спаривание электро- электронов. Пара электронов обладает це- целочисленным спином и, следователь- следовательно, может испытывать Бозе-конден- сацию. Бозе-конденсат из спаренных электронов составляет сверхтекучую компоненту электронной жидкости. Другими словами, спаривание электро- электронов является результатом электрон- фононного взаимодействия. Идея о спаривании электронов и образова- образовании пар электронов («куперовских пар») была выдвинута Купером в 1956 г., а микроскопическая теория сверхпроводимости, основанная на идее Бозе-конденсации куперовских пар, бы- была разработана в 1957 г. Бардиным, Купером и Шриффером (теория БКШ). Следует отметить, что сама по себе идея о решающей роли электрон-фо- нонного взаимодействия для образо- образования сверхпроводящего состояния была известна за несколько лет до этих работ. Было отмечено, что хоро- хорошие проводники типа щелочных и благородных металлов никогда не бывают сверхпроводниками, а такие плохие проводники, как свинец, ртуть, олово, цинк, ниобий, становятся сверх- проводимыми. О прямой связи сверх- сверхпроводимости с колебаниями решет- решетки свидетельствует также изотопичес- изотопический эффект: критическая температура Гкр различ- различных изотопов одного и того же эле- элемента изменяется примерно пропор- пропорционально ш~1/2, где т- масса атома, поскольку часто- частота колебаний осциллятора при неиз- неизменном модуле упругости пропор- пропорциональна w~1/2. Изотопический эф- эффект очень наглядно демонстрирует связь явления сверхпроводимости с фононными взаимодействиями. Энергетическая щель. Потенциаль- Потенциальная энергия притяжения отрицатель- отрицательна, и спаривание двух нормальных электронов понижает их энергию, бла- благодаря чему образуется энергетичес- энергетическая щель между спаренными электро- электронами и неспаренными. Поскольку не- спаренные электроны рассматрива- рассматриваются поодиночке, эта энергия обычно обозначается 2Д, где А - энергетичес- энергетическая щель в расчете на один электрон пары. Энергетическая щель уменьша- уменьшается при приближении к критической температуре 7^р и превращается в нуль при Ткр. При О К величина 2А равна примерно 3,5/сТкр. Электроны, образующие пару, на- находятся на очень большом расстоя- расстоянии друг от друга, исчисляемом ты- тысячами межатомных расстояний, т. е. расстояний порядка микрометра. Этот результат свидетельствует о том, что спаривание электронов не является следствием их взаимодейст- взаимодействия с одним ионом в узле кристал- кристаллической решетки, а возникает как результат коллективного взаимодейст- взаимодействия со многими узлами. Поскольку расстояние между электронами в паре имеет порядок 1 мкм, в пределах такого расстояния движения электро- электронов пары строго коррелированы и взаимно когерентны. Эта корреляция является корреляцией дальнего по- порядка и простирается на расстояние, называемое длиной когерентности. Фазовая когерентность. В нормаль- нормальном металле свободный электрон пред- представляется волновой функцией вида Ч* = Лехр(гкг). Всякий раз, когда
§ 70 Сверхпроводимость 373 электрон испытывает рассеяние, вол- волновой вектор к меняется и фаза к • г волны испытывает скачок. Поэтому в процессе движения свободного элект- электрона в металле его фаза испытывает последовательность случайных изме- изменений. Зная фазу электрона в одной точке, нельзя предсказать ее значение в другой. Сверхпроводящая пара также опи- описывается волновой функцией вида *Р = А ехр (гк • г) с волновым вектором к, представляющим движение двух электронов пары. Однако пара электронов движется без рассеяния (сверхпроводимость!) и поэтому фаза к • г не испытывает слу- случайных скачков. Зная фазу в одной точке, можно предсказать ее значение в другой. Изменение фазы при перемещении пары из точки с радиусом-вектором г1 в точку с радиусом-вектором г2 равно k(r2 —rt) независимо от рас- расстояния |г2 — I*! |. Явление регулярно- регулярного изменения фазы волны сверхпро- сверхпроводящей пары электронов называется фазовой когерентностью. Оно играет чрезвычайно большую роль в явле- явлениях сверхпроводимости. Квантование магнитного потока. Рассмотрим кольцевой проводник, по которому циркулирует сверхпроводя- сверхпроводящий ток. На рис. 140 изображено се- сечение проводника в средней плоскос- плоскости. Пусть R—радиус внутренней окруж- окружности сечения, Ф- магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную этой окружностью. Поскольку сверхпроводящий ток стационарен и существует неограни- неограниченно долго, а также обеспечивает фазовую когерентность движения сверх- сверхпроводящих пар, осуществляющих ток, необходимо потребовать, чтобы их фаза при обходе внутренней окруж- окружности изменялась на целое число 2л, 140 К анализу квантования магнитного потока т.е. • dr = 2пп, G0.1) где и-целое число, а интеграл вы- вычисляется вдоль внутренней окруж- окружности L радиуса R. Для дальнейших вычислений не- необходимо связать к с плотностью сверхпроводящего тока jc и магнит- магнитным потоком Ф. У свободного элект- электрона импульс связан с волновым век- вектором соотношением де Бройля р = = ту — h\. При наличии магнитного поля, описываемого векторным по- потенциалом А, в уравнение движения электрона и в гамильтониан вместо импульса свободного электрона вхо- входит обобщенный импульс mv + qX, где q = — е-заряд электрона. Поэто- Поэтому для спаренных электронов при наличии магнитного поля соотноше- соотношение де Бройля принимает вид 2т\ + 2qA = Пк. G0.2) Обозначая Nc концентрацию сверх- сверхпроводящих пар для плотности сверх- сверхпроводящего тока jc, получаем jc = 2iVc<?v. G0.3) С учетом G0.3) из G0.2) находим k = m\J{Ncqh) + 2дА/П G0.4а) и представляем G0.1) в виде
374 13 Электронные свойства твердых тел m/(NcqR) $ jc • dr + Bq/R) § A ¦ dr = 2nn. G0.46) Второй интеграл в левой части G0.46) преобразуем по теореме Стокса: |Adr= JrotA-dS = jB-dS = <t>, G0.5) L S S где S - поверхность, ограниченная кон- контуром L; В = rot A - индукция магнит- магнитного поля, пронизывающая поверх- поверхность S; Ф-магнитный поток сквозь поверхность S. Взяв в качестве конту- контура L интегрирования в G0.46) окруж- окружность радиуса R + 8, где 5 - толщина поверхностного слоя, в котором со- сосредоточен сверхпроводящий ток, мы охватываем весь сверхпроводящий ток и весь поток Ф, который им генериру- генерируется. Внутри проводника на этой ли- линии L плотность сверхпроводящего тока jc = 0 и, следовательно, первый интеграл в G0.46) равен нулю. С уче- учетом этого обстоятельства и соотно- соотношения G0.5) равенство G0.46) запи- записывается в виде Ф = (пП/q) п = (- пН/е) п = (- Фо) и, G0.6) где Фо = кП/е G0.7) -квант магнитного потока. Соотно- Соотношение G0.6) показывает, что магнитный поток сквозь поверхность, натянутую на сверхпроводящий замк- замкнутый контур, изменяется не непре- непрерывно, а дискретно, т.е. магнитный поток квантуется. Квант магнитного потока является очень малой величи- величиной: Фо = 2,07-105 Вб. В эксперименте квантование маг- магнитного потока было надежно уста- установлено, а квант магнитного потока измерен. Результаты этих измерений дают надежное экспериментальное под- подтверждение, что сверхпроводящий ток обусловливается движением пар элек- электронов, а не движением одиночных электронов. Колебания тока в сверхпроводя- сверхпроводящем кольце. Если магнитный поток сквозь площадь, ограниченную сверх- сверхпроводящим кольцом, в результате изменения внешнего магнитного поля равномерно возрастает со временем, то по закону электромагнитной ин- индукции Фарадея в кольце индуцирует- индуцируется сверхпроводящий ток, увеличиваю- увеличивающийся со временем. При достижении плотностью тока критического значе- значения сверхпроводимость разрушается и сверхпроводящий ток исчезает. Ис- Исчезновение тока создает условия для возникновения сверхпроводящего со- состояния. Продолжающее возрастать магнитное поле снова индуцирует воз- возрастающий сверх проводящий ток, который при достижении критическо- критического значения ликвидирует сверхпрово- сверхпроводимость, и т.д. Следует обратить внимание, что физическим содержа- содержанием закона электромагнитной индук- индукции Фарадея является возникновение вихревого электрического поля в ре- результате изменения магнитного поля. При росте с постоянной скоростью магнитного потока сквозь площадь, ограниченную сверхпроводящим коль- кольцом, линии напряженности электри- электрического поля являются окружностя- окружностями, концентрическими с центром коль- кольца. Напряженность электрического по- поля вдоль каждой линии постоянна. Поэтому можно сказать, что в рас- рассмотренном выше явлении речь шла о протекании сверхпроводящего тока в постоянном электрическом поле, и окончательный результат сформули- сформулировать так: в постоянном электрическом поле, созданном в сверхпроводящем коль- кольце, протекает быстропеременный элек- электрический ток. Квантование магнитного потока
§ 70 Сверхпроводимость 37Б было предсказано в 1950 г. Ф. Лондо- Лондоном и экспериментально обнаружено в 1961 г. одновременно в нескольких лабораториях. Туннелирование электронов через диэлектрический слой. Если два обыч- обычных проводника или сверхпровод- сверхпроводника разделены тонким слоем ди- диэлектрика толщиной 1-2 нм (рис. 141), то через такой слой под влиянием сторонней ЭДС протекает электри- электрический ток, вольт-амперная характе- характеристика которого совершенно раз- различна для нормальных проводников (сплошная линия) и сверхпроводни- сверхпроводников (штриховая линия) (рис. 142). По причинам, которые сейчас станут яс- ясными, тонкий слой диэлектрика, раз- разделяющий два проводника, называет- называется туннельным контактом. Рассмотрим туннельный контакт между двумя нормальными металла- металлами. Схема энергетических уровней ме- металлов при нулевой разности потен- потенциалов на контакте изображена на рис. 143, а. Ток через контакт отсутст- отсутствует. Схема энергетических уровней электронов в металле при возникно- возникновении на переходе разности потенциа- потенциалов ell показана на рис. 143,6. Видно, что на контакте возник потенциаль- потенциальный барьер и против уровней электро- электронов на левой стороне контакта (рис. 143,6) расположены незаполненные энергетические электронные уровни - зоны проводимости металла на пра- правой стороне контакта. Заметим, что на рис. 143,6 eU означает рост по- потенциальных энергий электронов на левой стороне контакта, а не рост электрического потенциала на этой стороне. Потенциал выше на правой стороне контакта. Через потенциаль- потенциальный барьер посредством туннельного эффекта с левой стороны контакта на правую проходят электроны и обра- образуется электрический ток, текущий че- , \-2h.v 141 Проводники, разделенные тонким слоем ди- диэлектрика 142 Вольт-амперная характеристика туннельного контакта 143 Схема расположения энергетических уровней туннельного контакта между нормальными проводниками при нулевой разности потенциа- потенциалов на контакте (а) и при разности потенциалов U (б) рез контакт справа налево (это на- направление принято за положительное на рис. 142). Ток через туннельный контакт между нормальными метал- металлами растет прямо пропорционально возникающей на них разности потен-
376 13. Электронные свойства твердых тел Г 144 Схема расположения энергетических уровней туннельного контакта между сверхпроводящи- сверхпроводящими проводниками при нулевой разности потен- потенциалов на контакте (а) и при разности по- потенциалов U (б) циалов, как это показано на рис. 142 сплошной линией. Схема энергетических уровней сверх- сверхпроводников при нулевой разности потенциалов на контакте показана на рис. 144, а. Заполненная электронами зона отделена от свободных уровней энергетической щелью А, наличие которой обусловливает возможность сверхпроводящего тока. При наложении на контакт раз- разности потенциалов щели и энергети- энергетические уровни в сверхпроводниках сдвигаются точно так же, как и на рис. 143,6. Уровни с левой стороны контакта сдвигаются вверх. Верхняя часть энергетической щели с левой стороны контакта попадает против незаполненных энергетических уров- уровней правой стороны контакта, а верх- верхняя часть заполненных уровней левой стороны контакта попадает против энергетической щели правой стороны контакта. При такой ситуации тун- нелирование электронов невозможно: в пределах щели и выше щели с левой стороны контакта нет электронов, ко- которые могли бы туннелировать, а электронам ниже щели некуда тун- туннелировать. Поэтому при росте по- потенциала на контакте от нуля никако- никакого тока через контакт нет. Такая си- ситуация продолжает существовать до таких разностей потенциалов U, ког- когда нижний край левой щели сравняет- сравняется с верхним краем правой щели (рис. 144,5). При дальнейшем повышении разности потенциалов заполненные электронами энергетические уровни с левой стороны контакта становятся против свободных уровней правой стороны контакта и начинается тун- нелирование электронов. В цепи воз- возникает сверхпроводящий ток, соот- соответствующий разности потенциалов Uo = А/е на контакте. Заметим, что полное отсутствие тока до момента прекращения перекрытия щелей (рис. 144,6) осуществляется только при О К. При отличных от нуля темпера- температурах ток существует, но он очень мал (рис. 142). Первое устройство на полупро- полупроводниках, в котором наблюдались большие туннельные токи, было реали- реализовано в 1957 г. японским ученым Л. Эсаки. Туннельный эффект между двумя металлами осуществлен в 1960 г. американским ученым А. Джайевером. Оба они вместе с Б. Джозефсоном в 1973 г. были удостоены Нобелевской премии. Эффекты Джозефсона. В 1962 г. Б. Джозефсон теоретически предска- предсказал существование двух явлений, по- получивших наименование эффектов Джозефсона. Им было теоретически доказано, что во-первых, через тонкий диэлектри- диэлектрический контакт (см. рис. 141) сверх- сверхпроводящий ток может протекать и при отсутствии разности потенциалов на контакте и, во-вторых, при нали- наличии постоянной разности потенциа- потенциалов через контакт протекает перемен- переменный ток. Первый эффект называется стационарным эффектом Джозефсо- Джозефсона, а второй-нестационарным.
70 Сверхпроводимость 377 Ясно, что эти явления отличаются от тех, которые наблюдали Л. Эсаки и А. Джайевер, хотя они также осу- осуществляются посредством прохожде- прохождения электронов через туннельный кон- контакт. Различие заключается в том, что эффекты Джозефсона обусловлива- обусловливаются туннелированием сверхпроводя- сверхпроводящих электронных пар, а в опытах Эсаки и Джайевера наблюдалось тун- нелирование одиночных электронов. Как было отмечено выше, важней- важнейшей особенностью состояния движе- движения сверхпроводящих электронных пар является наличие фазовой когерент- когерентности. Кроме того, сверхпроводящие электронные пары являются Бозе-час- тицами и, следовательно, в их движе- движении должны наблюдаться явления, аналогичные явлениям интерферен- интерференции взаимно когерентных волн в оп- оптике. Этими двумя обстоятельствами и обусловливаются эффекты Джозеф- Джозефсона. При наличии сверхпроводящего тока по обе стороны контакта в сверх- сверхпроводящем проводнике существуют взаимно когерентные волны куперов- ских пар с одинаковой частотой со = = Е/Н. Ясно, что при туннелировании через контакт энергия, а следователь- следовательно, и частота куперовской пары не изменяются, изменяется лишь фаза. Поэтому прошедшая через кон i акт волна ин- интерферирует с волной на другой сто- стороне контакта. Сила тока, прошедше- прошедшего через контакт, зависит от разности фаз. В наиболее благоприятных усло- условиях интерференции ток достигает максимального значения, которое оп- определяется свойствами контакта и в первую очередь его толщиной. Таким образом, через контакт при нулевой разности потенциалов между его сто- сторонами течет постоянный сверхпро- сверхпроводящий ток. В этом состоит стацио- стационарный эффект Джозефсона. Нестационарный эффект Джозеф- Джозефсона объясняется биениями, возникаю- возникающими при интерференции взаимно ко- когерентных волн с близкими частотами. При прохождении контакта, на ко- который наложена разность потенциа- потенциалов U, энергия куперовской пары из- изменяется на 2eU и, следовательно, на другой стороне контакта происходит интерференция двух взаимно когерент- когерентных волн, частоты которых отлича- отличаются на Асо = leU/h. При интерферен- интерференции возникают биения амплитуды суммарной волны с частотой Асо, ко- которые означают, что через контакт протекает переменный ток. Таким об- образом, через контакт, находящийся под напряжением U, протекает пере- переменный сверхпроводящий ток часто- частоты Асо = 2eV'/Л. В этом состоит не- нестационарный эффект Джозефсона. Заметим, что напряжению U = 1 мкВ соответствует частота v = Асо/Bл:) = = 483,6 МГц. Для осуществления эффектов Джо- Джозефсона не обязательно создавать кон- контакт из диэлектрика. Аналогичный эффект наблюдается, когда провод- проводники соединены тонкой перемычкой (мостиком или контактом) или тон- тонким слоем металла в нормальном состоянии или полупроводника. Та- Такие связи между сверхпроводниками называются слабыми. Сверхпровод- Сверхпроводники вместе со слабыми связями меж- между ними называются слабосвязанными сверхпроводниками. Переменный ток на контакте из- излучает фотоны с энергией /гАсо = 2eU, которые можно детектировать. Сле- Следовательно, можно с большой точ- точностью изучить зависимость частоты излучения от разности потенциалов и вычислить с той же точностью зна-
378 13. Электронные свойства твердых тел v 4Ч а) - 1 *»- 145 Слабосвязанный сверхпроводник как кванто- квантовый интерферометр чение е/Н. Это отношение двух фунда- фундаментальных констант таким методом найдено с большой точностью, кото- которая значительно превосходит точность измерения другими методами, по- поскольку частота является точно из- измеряемой величиной. Имеет место и обратный эффект. При поглощении излучения на контакте возникает до- дополнительная разность потенциалов. Квантовые интерферометры. 6 стро- строгой теории эффекта Джозефсона по- показывается, что сила тока, идущего через контакт, определяется формулой G0.8) где /0~ максимальный ток, который может протекать через контакт при отсутствии разности потенциалов меж- между его сторонами; ф - изменение фазы волны сверхпроводящих электронных пар на контакте. Если сила тока в контуре контролируется сторонней ЭДС, то ф автоматически подстраива- подстраивается под силу тока /, а /0 является в G0.8) постоянной величиной, опреде- определяемой свойствами контакта. Рассмотрим сверхпроводящее коль- кольцо, включенное в цепь, по которой протекает ток / (рис. 145, а). Ток про- протекает через слабые связи без при- приложения внешнего напряжения на них при условии I < 210, где /0-макси- /0-максимальный ток, который может пройти через каждый контакт в отсутствие внешнего напряжения. Разность фаз, возникающая на контакте, обозначе- обозначена ф. Слабые связи предполагаются идентичными. Угол ф связан с током / соотношением / = 2Josinq>. G0.9) Если площадь, ограниченная внут- внутренней поверхностью кольцевого кон- контура, начинает пронизываться магнит- магнитным потоком Ф [ср. рис. 140 и фор- формулу G0.4)], то в контуре возникает индуцированный сверхпроводящий ток /с, а на контактах-дополнительная разность фаз 8, имеющая разные зна- знаки на контактах, потому что ток Jc в одном контакте совпадает по направ- направлению с током 1/2 через контакт, а в другом контакте имеет противополож- противоположное направление (рис. 145,5). Допол- Дополнительная разность фаз 8 определяет- определяется соотношением G0.8), записанным для каждого из контактов: i/2-jcc=jos!n^-? G0Л0) Волны электронных сверхпроводящих пар теперь при соединении интерфе- интерферируют с разностью фаз 28. Полный ток /, протекающий через систему, с учетом интерференции равен / = /osin((p + 5) + /osin((p — 8) = = 210 sin ф cos 8. G0.11) Условие G0.4) фазовой когерентности сверхпроводящего тока в кольце с учетом разности фраз 25, возникающей на контактах, принимает вид [m/{Ncqfi)~] §jc ¦ dr + Bq/K)§A- dr + 28 = 2nn. G0.12) По тем же причинам, что и в выводе уравнения G0.6) из G0.4), убеждаем- убеждаемся, что первый интеграл слева в
70 Сверхпроводимость 379 G0.12) равен нулю, а само равенство с учетом G0.6) принимает вид Bд/П) Ф + 25 = 2пп, G0.13) о = я(л + Ф/Фо). G0.14) где квант магнитного потока Фо опре- определен в G0.7). Формула G0.11) учитывает интер- интерференцию не посредством суперпози- суперпозиции волн, а непосредственно в виде сложения интенсивностей (т. е. сил то- токов) с учетом соответствующих раз- разностей фаз. Поэтому / в этой фор- формуле должна быть положительной и, поскольку ограничений на 8 никаких нет, вместо cos 5 в ней надо писать | cos 51. Учитывая, что | COS (%П + 7ГФ/Ф0) | = | COS [Я | Ф |/Ф0] |, G0.15) запишем окончательно формулу G0.11) в виде / = /0 sin ф | cos [тс [Ф|/Фо] I - G0.16) При увеличении магнитного потока |Ф| ток, протекающий через слабо- слабосвязанный сверхпроводник указанно- указанного типа, испытывает колебания с пе- периодом кванта магнитного потока. Это позволяет использовать такие устройства (сквиды) для чрезвычайно точного измерения слабых магнит- магнитных полей (до 10~18 Тл), малых токов (до 100 А), малых напряжений (до 10~15 В). Слабосвязанные сверхпро- сверхпроводники используются также в ка- качестве быстродействующих элемен- элементов логических устройств ЭВМ, де- детекторов СВЧ, в усилителях и других электронных приборах. Высокотемпературная сверхпроводи- сверхпроводимость. Весной 1986 г. Г. Беднорз и А. Мюллер сообщили об открытии ими сверхпроводимости в соединении оксида лантана, бария и меди с кри- критической температурой примерно 33 К. Наиболее важным в этом открытии было не повышение критической тем- температуры примерно на 10 К после 13 лет безуспешных попыток повы- повысить ее хотя бы на 1 К, а открытие новых сверхпроводниковых материа- материалов, относящихся к керамикам. Ис- Исследование керамических материалов позволило Р. Чу уже через полгода открыть сверхпроводимость оксида иттрия, бария и меди с критической температурой выше 90 К. Это означа- означало возможность крупномасштабных технологических применений сверх- сверхпроводимости выше точки кипения азота G7 К), когда эти применения становятся экономически оправдан- оправданными. После этого в область исследо- исследований высокотемпературной сверхпро- сверхпроводимости устремилось большое чис- число исследователей во всех странах. В 1987 г. в периодических журналах было опубликовано свыше 1000 работ по этим вопросам, проведено несколь- несколько конференций, много совещаний и т.д. Осенью 1987 г. Беднорзу и Мюл- Мюллеру за открытие высокотемператур- высокотемпературной сверхпроводимости была присуж- присуждена Нобелевская премия по физике. В работах 1987 г. были установле- установлены важные экспериментальные фак- факты: высокотемпературная сверхпро- сверхпроводимость свойственна материалам с содержанием меди; она обусловлена спаренными носителями зарядов (дыр- (дырками); она очень чувствительна к со- содержанию кислорода в материалах и не допускает замещения меди другим элементом; исследования изотопичес- изотопического эффекта ставят под вопрос фо- нонный механизм спаривания. В течение 1988 г. в работах по высокотемпературной сверхпрово- сверхпроводимости приняла участие значитель- значительная часть ученых, ранее занятых в других областях исследования. Этим работам во всех ведущих странах бы- были предоставлены значительные фи-
380 13 Электронные свойства твердых тел нансовые средства. Исследование де- десятков тысяч соединений на основе меди позволило найти новые высоко- высокотемпературные сверхпроводящие ма- материалы и поднять критическую тем- температуру до 125 К. Во всех получен- полученных сверхпроводниках носителями заряда являются дырки. Интенсивные теоретические исследования не позво- позволили получить какие-либо надежные результаты по выяснению механизма наблюдаемой высокотемпературной сверхпроводимости. Таким образом в исследованиях по сверхпроводи- сверхпроводимости в течение 1988 гг. не произо- произошло каких-либо принципиальных со- событий. Принципиальное событие произошло в январе 1989 г., когда группа японских ученых из универси- университета Токио объявила об открытии нового класса сверхпроводников с критической температурой 20 К. В отличие от известных до этого ке- керамических сверхпроводников на ос- основе меди, открытых Беднорзом и Мюллером, носителями заряда в ко- которых являются дырки, у нового класса сверхпроводников носителями являются электроны. Важность от- открытия этого класса сверхпроводни- сверхпроводников связывается с надеждами постро- построить правильную теоретическую мо- модель для сверхпроводников на основе меди и найти сверхпроводящие ма- материалы с критической температурой выше 125 К. Сверхпроводники Беднорза- Мюллера La2-x(Ba, Sr)xCuO4_v бы- были получены в результате частичного замещения в соединении La2CuO4 трехвалентного лантана двухвалент- двухвалентным барием или стронцием. Полу- Полученный японскими авторами элект- электронный сверхпроводник имеет состав Ln2_xCexCuO4_y, где в качестве лан- лантаноида Ln может быть один из лег- легких трехвалентных лантаноидов - празеодим, неодим или самарий, т. е. в соединении Ln2CuO4 один из ука- указанных легких лантаноидов замеща- замещается также легким лантаноидом - це- церием. Вскоре после японского сооб- сообщения группа исследователей уни- университета Калифорнии, Сан Диего, объявила об электронной сверх- сверхпроводимости в соединениях (Nd, PrJ_,ThCuO4_, и Еи2_,СеяСи4_г Это показывает, что электронные сверхпроводники получаются в ре- результате частичного замещения в сое- соединении вида LnCuO4 трехвалентно- трехвалентного лантаноида четырехвалентным лантаноидом. Кристаллическая структура элект- электронных сверхпроводников аналогич- аналогична кристаллической структуре дыроч- дырочных сверхпроводников Беднорза и Мюллера. Единственное отличие со- состоит в том, что в электронном сверх- сверхпроводнике каждый атом меди связан с четырьмя атомами кислорода, а в дырочном сверхпроводнике каждый атом меди связан с шестью атомами кислорода. Знак носителей определялся по знаку коэффициента Холла. Однако связь коэффициента Холла со знаком носителей довольно сложная в твер- твердых телах со сложной структурой зон, которая существует в сверхпроводни- сверхпроводниках на основе меди. Другим методом определения знака носителей являет- является измерение коэффициента Зеебека, который характеризует возникаю- возникающую в образце разность потенциалов при создании в нем градиента темпе- температур. Измерения показали, что знак коэффициента Зеебека в новых сверх- сверхпроводниках меняется на обратный в сравнении со знаком в дырочных сверхпроводниках. Это также служит достаточно надежным подтвержде- подтверждением, что носители заряда в новых сверхпроводниках - электроны.
14 71 Релятивистские волновые уравнения РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ЭФФЕКТЫ В АТОМНОЙ ФИЗИКЕ 72 Релятивистские эффекты в атомной физике Релятивистские эффекты возникают не только при скоростях зарядов, близких к ско- скорости света. Они существуют и при малых скоростях зарядов. На- Например, порождение магнитного поля движущимся зарядом явля- является релятивистским эффектом независимо от скорости заряда; спин электрона имеет релятивист- релятивистское происхождение и существует независимо от скорости заряда и т.д. Релятивистские эффекты в атомной физике существуют и при нерелятивистских скоростях элек- электронов в атомах. 73 Физические свойства вакуума
382 14. Релятивистские эффекты в атомной физике 71. Релятивистские волновые уравнения Описывается формальный метод получения релятивистских волновых уравнений, обсужда- обсуждаются уравнения Клейна-Гордона и Дирака и свойства их решений. Область релятивистских эффектов в атомной физике. Скорость большин- большинства электронов в атоме сравнитель- сравнительно невелика. Например, в атоме гелия скорость электронов равна примерно 0,02 скорости света. Однако на внут- внутренних оболочках тяжелых атомов скорость электронов значительно уве- увеличивается и составляет уже несколь- несколько десятых скорости света. При этих условиях изменение массы электрона становится заметным и должно быть принято во внимание. Однако даже при малых скоростях электрона для многих явлений атом- атомной физики приходится принимать во внимание релятивистские эффекты. Наиболее важной величиной, имею- имеющей релятивистскую природу, явля- является спин, который надо принимать во внимание независимо от скорости частиц. Последовательный учет спина воз- возможен только в рамках релятивист- релятивистской теории. Многие вопросы вза- взаимодействия атомов с внешними по- полями, частицами и т.д. требуют так- также релятивистского рассмотрения. Общие замечания о релятивистских уравнениях. Принцип относительнос- относительности требует, чтобы уравнения, которые описывают явления природы и выра- выражают их законы, имели одинаковый вид во всех системах координат. Ина- Иначе говоря, эти уравнения должны быть ковариантными при переходе от одной системы координат к другой по формулам преобразования коорди- координат. Если некоторое уравнение кова- риантно относительно преобразова- преобразований Лоренца, то оно является реляти- релятивистским, справедливым во всех инер- инерционных системах координат. Если же уравнение ковариантно относительно преобразований Гали- Галилея, то оно является нерелятивист- нерелятивистским уравнением, справедливым лишь при скоростях движения, много меньших скорости света. Это обуслов- обусловлено тем, что сами преобразования Галилея от одной инерциальной сис- системы координат к другой справедли- справедливы лишь тогда, когда относительная скорость систем координат мала. Уравнение Шредингера A6.16) сохраняет свой вид лишь при преоб- преобразовании Галилея. Это видно непос- непосредственно, если учесть, что из пре- преобразований Галилея х' = х - v t, у' = у, z' = z, t' = t G1.1) сразу следует, что d _ д &___&_ я2 _ d2 JTJt" d~x~2~~dx72' Jf~ d2 d2 dz2 dz' Тогда Й6Ч .'2- i (ft \ 2m dy'2' G1.2) G1.3) превращается в новой системе коор- координат (штрихованной) в уравнение i dt' G1.4) т. е. сохраняет свой вид. Напомним, что штрихованные аргументы функ- функций в G1.4) получаются из нештри- хованных аргументов в уравнении G1.3) по формулам G1.1). Преобразования Лоренца имеют вид х = x — vt =у, Z'=Z,
§ 71. Релятивистские волновые уравнения 383 t-(v/c2)x G1.5) Если G1.3) преобразовать к штрихо- штрихованным величинам с помощью G1.5), то в результате получается уравнение, совершенно не похожее на G1.3). Это и и означает, что уравнение Шредин- гера G1.3) нековариантно относитель- относительно преобразований Лоренца и, сле- следовательно, не является релятивистс- релятивистским уравнением. Это можно увидеть и непосредственно без проведения преобразования следующим образом. Время t' и координата х' входят в преобразование Лоренца G1.5) совер- совершенно симметрично. Это особенно отчетливо видно, если вместо пере- переменной / пользоваться переменной х4 =/сt и записать первое и четвер- четвертое уравнения G1.5) в виде х + (/ v/c) х4 xA-(-iv/c)x s/l - v2/c2 ¦ G1.6) Координаты у и z в преобразованиях G1.5) выделены благодаря специаль- специальному выбору направления координат- координатных осей по отношению к направле- направлению относительной скорости систем координат. Координаты у и z экви- эквивалентны координате х. Из G1.6) вид- видно, что координаты и время входят в преобразование Лоренца совершенно симметрично. Отсюда следует, что в релятивистски инвариантом диф- дифференциальном уравнении производ- производные по времени и по координатам должны входить равноправно, в част- частности они должны иметь одинаковый порядок. В уравнение же G1.3) входят пер- первая производная по времени и вторые производные по координатам. Такое уравнение не может быть релятивист- релятивистски инвариантным. Запишем уравнение Шредингера G1.3) в операторной форме: ЁУ? = НЧ>, G1.7) где is-оператор полной энергии, #-оператор Гамильтона. Формаль- Формально уравнение Шредингера может быть получено следующим образом. Запишем нерелятивистское соотноше- соотношение, которое существует между энер- энергией частицы, ее импульсом и потен- потенциальной энергией: Е = р2/Bт) + Еп, G1.8) где р2/B т) - кинетическая энергия частицы, ?п-ее потенциальная энер- энергия. Заменим в соотношении G1.8) классические величины операторами, которые в квантовой механике пред- представляют соответствующие величи- величины: П д ¦Е=--~, i dt П = - V, / р . р р A] Q\ В результате вместо G1.8) между классическими величинами получа- получается равенство между операторами К 8 П2 . = V2 + ?n. G1.10) idt 2m Применяя обе части равенства G1.10) к волновой функции *Р, на- находим уравнение Шредингера G1.3), нерелятивистский характер которого является следствием нерелятивист- нерелятивистского характера соотношения G1.8) между классическими величинами. Указанный метод перехода от клас- классических соотношений к квантовым уравнениям может быть обобщен для получения релятивистски инвариант- инвариантных квантовых уравнений. Уравнение Клейна-Гордона. Реля- Релятивистское соотношение, связываю-
384 14 Релятивистские эффекты в атомной физике щее полную энергию частицы с ее импульсом и массой покоя частицы, имеет вид Е2 = с2р2 + mlcA, G1.11) где т0-масса покоя частицы. Заме- Заменив в G1.11) величины Е и р операто- операторами G1.9), получаем уравнение для частицы, движущейся в отсутствие внешних полей: d2yV -n2~ = {-c2H2V2 + m2oCAL>. G1.12) Оно является релятивистски инвари- инвариантным, поскольку получено из реля- релятивистского соотношения G1.11). Это становится очевидным, если уравне- уравнение G1.2) разделить на с2 Л2, пере- перенести все члены в левую часть и ввести обозначение ко = т2, с2/Н2: 1 d2x? V2^--^—r-fc2)? = 0. G1.13) Первые два члена совпадают с соот- соответствующими членами волнового уравнения Даламбера, релятивист- релятивистская инвариантность которого хоро- хорошо известна из электродинамики. Ре- Релятивистская инвариантность члена ко *F очевидна, поскольку это скаляр: к0 = const. Уравнение G1.13) назы- называют уравнением Клейна-Гордона. Для того чтобы получить выраже- выражение для плотности заряда и плот- плотности тока, можно поступить анало- аналогично тому, как это было сделано в нерелятивистской теории при выводе формул A6.20). Умножим G1.13) сле- слева на ?* и вычтем из него почленно комплексно-сопряженное уравнение: - ? V2 = 0. dt2 Учитывая, что G1.14) % ф* Ш _ dt2 dt2 dtV dt и вводя обозначения iqH G1.15а) Р = 2 т0 с2 2тп dt dt v *р* - т* v dt)' G1.156) A=-е), G1.16) G1.17) можно уравнение G1.14) переписать: G1.18) — + divj = 0. dt Уравнение G1.18) совпадает с уравне- уравнением сохранения заряда в электро- электродинамике, если под j понимать плот- плотность тока, а под р-плотность заря- заряда. Отсюда можно заключить, что выражения для плотности заряда и плотности тока для уравнения Клей- Клейна-Гордона даются формулами G1.16) и G1.17). Выражение G1.17) для плотности тока совпадает с формулой A6.20а) для плотности тока в нерелятивист- нерелятивистской теории. Выражение же G1.16) не совпадает с соответствующим выра- выражением A6.206) нерелятивистской теории. Однако в нерелятивистском случае, когда v« с, такое совпадение имеет место. Чтобы в этом убе- убедиться, заметим, что при малых скоростях гг.„ Г2 Е = тос и поэтому с точностью до величины второго порядка относительно (р/с) dt dt
§ 71. Релятивистские волновые уравнения V, G1.19) и благодаря чему G1.16) принимает вид р « q Ч** Ч*, G1.20) что совпадает с нерелятивистской формулой A6.206). Таким образом, как и нужно было ожидать, реляти- релятивистские формулы в случае v « с пере- переходят в нерелятивистские формулы. Однако релятивистская формула G1.16) для плотности заряда приво- приводит к следующей трудности. Из смыс- смысла плотности заряда следует, что от- отношение плотности заряда к единич- единичному заряду q должно дать концен- концентрацию частиц N = - = ~ 1 (У -Г-Ч-Г- • <71-21> q 2т0с \ dt dt J По физическому смыслу концентра- концентрации частиц ясно, что она должна быть неотрицательной величиной. Между тем уравнение Клейна-Гордона яв- является уравнением второго порядка по времени и, следовательно, *Р и д Ч*/д t в некоторой точке могут быть заданы независимо. Это значит, что JV может быть и отрицательной. Следовательно, выражение G1.21) Дирак Поль Адриен Морис A902-1984) Английский физик, один из создателей квантовой теории. Разработал релятивистскую теорию электрона, внес большой вклад в развитие квантовой теории поля, квантовой статистики, квантовой теории излучения нельзя рассматривать как концентра- концентрацию частиц. Поэтому в течение ряда лет уравнение Клейна-Гордона не получало признания в качестве урав- уравнения для описания поведения частиц. В дальнейшем стало ясно, что его можно рассматривать как уравнение квантовой теории поля и избежать трудности с отрицательной плот- плотностью. Волновая функция в уравнении Клейна-Гордона имеет лишь одну компоненту, т.е. является скаляром. Если у волновой функции несколько компонент, то у частицы, к которой относится эта волновая функция, кро- кроме степеней свободы, связанных с перемещениями частицы, имеются внутренние степени свободы. Эти внутренние степени свободы пред- представляют ее спин. То, что волновая функция в уравнении Клейна-Гордо- Клейна-Гордона имеет лишь одну компоненту, оз- означает отсутствие у частицы внутрен- внутренних степеней свободы, т. е. спина. Или, иначе, спин частицы, описывае- описываемой уравнением Клейна-Гордона, равен нулю. Такие частицы часто на- называют скалярными. Поскольку спин электрона равен 1/2, уравнение Клей- Клейна-Гордона неприменимо для элек- электрона. По-видимому, оно пригодно для тг-мезонов, спин которых равен нулю. Трудность с отрицательной плотностью частиц при этом преодо- преодолевается методами квантовой теории поля. Уравнение Дирака. Трудность с отрицательной концентрацией частиц и неприменимость уравнения Клей- Клейна-Гордона к частицам со спином 1/2 заставляет искать другое уравнение, которое было бы пригодно для элек- электрона. Такое уравнение было получе- получено Дираком. Для того чтобы избежать труднос- трудностей с отрицательной концентрацией 25 219
386 14. Релятивистские эффекты в атомной физике частиц, необходимо избежать нали- наличия производных по времени в выра- выражении для плотности заряда. Но это возможно лишь в том случае, когда само волновое уравнение содержит только первую производную по вре- времени. Пользуясь требованием реляти- релятивистской инвариантности, заключаем, что и производные по координатам должны также входить в уравнение только в виде первых производных. Принцип суперпозиции состояний требует, чтобы уравнение было ли- линейным. В результате получается, что искомое волновое уравнение должно быть линейным дифференциальным уравнением первого порядка как по времени, так и по пространственным координатам. Чтобы его получить, естественно воспользоваться приемом, с по- помощью которого было получено уравнение Клейна-Гордона, но при этом учесть только что изложенные выводы. Исходим из релятивистского соотношения между полной энергией и импульсом G1.11), которое удобно записать в виде Е=с^р2 + т2с2. G1.22) Если от этого уравнения перейти к операторному равенству по форму- формулам G1.9), то получающееся уравне- уравнение будет уравнением первого поряд- порядка относительно времени, но не отно- относительно производных по координа- координатам, поскольку оператор производ- производных входит под знак корня. Чтобы освободиться от этой трудности, не- необходимо произвести «линеариза- «линеаризацию» правой части уравнения G1.22) посредством «извлечения» корня. Введем обозначения Е=с %/V G1.24) Ро = ™о с> Pi = Рх< Рг = Рг Ръ = Pz G1.23) где а„ пока не определены. Эти вели- величины должны быть выбраны так, что- чтобы после возведения обеих частей ра- равенства G1.24) в квадрат получилось релятивистское соотношение между энергией и импульсом в виде G1.11). Требование перехода соотношения G1.24) после его квадрирования в со- соотношение G1.11) дает условия, ко- которым должны удовлетворять а^. Возводя обе части равенства G1.24) в квадрат, находим = с2 I Е ад <V Л. /V = = {с212) ? (а, а„. + а,, а,) G1.25) и напишем формально Чтобы правая часть G1.25) совпа- совпала с правой частью уравнения G1.11), которое удобно записать в виде Е2 = с2(р20+р2+р22 +р\\ G1.26) необходимо, чтобы ад удовлетворяли следующим соотношениям: а„ а„. + а„. а„ = 2 5„„., G1.27) т. е. ад, ад. должны антикоммутиро- вать друг с другом при разных значе- значениях индексов ц и ц': а„ а„. = -а„. ад (ц Ф ц'). G1.28а) Квадрат каждой из величин с^ дол- должен быть равен единице: al = 1. G1.286) Вообще говоря, для того чтобы оперировать с соотношением G1.24), не обязательно иметь явный вид вели- величин а . Достаточно знать соотноше- соотношения G1.28), которым эти величины удовлетворяют. Однако явный вид величин ац часто бывает полезен для решения конкретных задач. Дирак предложил в качестве ар взять следу-
§ 71 Релятивистские волновые уравнения 387 ющие четырехрядные матрицы: 10 0 0 _ 0 0-10 0 0 0 - а, = 0 0 0 1 0 0 0 i 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 — i 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 i 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 \ / — i 0 0 0 0 -1 0 0 четырехрядная G1.30) G1.29) Действительно, где /-единичная матрица: 10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 Аналогично, для а2 и а3 соотношение G1.27) принимает вид 0 0 0 -г 0 0 /0 0 -( 0 0 /0 0 0 а2 а3 + а3 а2 а, = Непосредственным перемножением и сложением матриц G1.29) нетрудно убедиться, что они удовлетворяют со- соотношениям G1.28), понимая, что в их правой части стоит единичная мат- матрица. Например, для а1 имеем 10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 = 2 10 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0-1 10 0 0 0-100 0 0 10 0 0 0-1 10 0 0 0-100 0 0 0 -г 0 0 /0 0 -г 0 0 /0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25*
388 14 Релятивистские эффекты в атомной физике т. е. действительно а2 а3 + а3 а2 = О, где под 0 понимается нулевая мат- матрица: 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G1.31) Нетрудно проверить, что матрицы с^ являются эрмитовыми матрицами, для которых а^ = ад, где операция эрмитова сопряжения означает пе- перестановку элементов матрицы в другие места, симметричные относи- относительно главной диагонали, и взятие комплексного сопряжения к этим эле- элементам. Например, а Ь\+ (а* с'\ с d) \Ъ- А С учетом G1.24) уравнение Дирака для свободной частицы может быть записано следующим образом: G1.32) Поскольку ам- четырехрядные матри- матрицы, волновая функция *Р в G1.32) должна иметь четыре компоненты, которые удобно записать в виде столбца: G1.33) Поэтому уравнение Дирака G1.32) является системой четырех линейных уравнений относительно четырех компонент волновой функции VP. Произведя перемножения на матрицы 0.^, указанные в G1.32), можно эту систему уравнений записать в виде (?-1и0 с2) ^ - срж Ч»3 = 0, (E-moc2)V2 + ср2 Ч\ = 0, {Ё + т(,с2)Ч>ъ - сР2 «Р, = 0, G1.34) + cpz ^2 = 0. Уравнение Дирака G1.32) удобно также переписать по-другому. Введем векторную матрицу а, компонентами которой по осям координат являются а15 а2, а3, т.е. о = (а1>а2, а3). G1.35) Тогда [см. G1.32)] 1Ё-с(а-р)-тос2 р3]Ч» = 0, G1.36) где матрица а0 обозначена через р3, как это принято (р3 = а0). Выписывая в явном виде операторы ?ир, имеем -^r'P--(a-VL'-moc2 p3y = 0. G1.37) Эрмитова сопряженная волновая функция «Р* = (Ф1, ЧЧ, Ч>'3, Ч>1). G1.38) Сопряженная волновая функция Ч1* ставится слева от четырехрядных матриц, чтобы соблюсти правила умножения матриц. Кроме того, не- необходимо везде перейти к комплекс- комплексно-сопряженным величинам. Поэто- Поэтому уравнение G1.37) относительно сопряженной функции имеет вид + ^Aip+ +—(VT+-o)-m0c24'+ =0. G1.39) Расписав это уравнение по компонен- компонентам, получим систему уравнений, ко- которая совпадает с системой G1.34), если в последней перейти к комплекс- комплексно-сопряженным величинам.
§ 71. Релятивистские волновые уравнения 389 Для того чтобы получить выраже- выражения для плотности заряда и плот- плотности тока, умножим уравнение G1.39) справа на {iq/fi) *P, а уравнение G1.37)-слева на (iq/fi) Ч*+ и из пер- первого уравнения вычтем второе урав- уравнение. В результате получаем урав- уравнение —(q ?+ (Я = -е), G1.40) которое имеет вид уравнения непре- непрерывности в классической электроди- электродинамике. Отсюда заключаем, что вы- выражения для плотности заряда и тока записываются следующим образом: div{qc ?+ а ?) = О р = q G1.41а) G1.416) Эти выражения для плотности заряда и тока сохраняют свой вид и при наличии внешнего поля, поскольку в этом случае в левую часть уравнений G1.37) и G1.39) добавляется соот- соответствующий член, который после умножения уравнений на сопряжен- сопряженную функцию и вычитания сокра- сокращается. Из выражения G1.41а) находим концентрацию частиц: N = p/q = Ч+ Ч> = (П %, «Рз, %) X G1.42) Это неотрицательная величина. Зна- Значит, трудность с отрицательной энер- энергией, свойственная уравнению Клей- Клейна-Гордона, преодолена. Чтобы выяснить, чему равен спин частиц, описываемых уравнением Ди- Дирака, рассмотрим частицу, движу- движущуюся в центрально-симметричном поле. В этом случае потенциальная энергия частицы зависит только от расстояния г до центра, т. е. имеет вид Еп(г). Уравнение Дирака при нали- наличии центрально-симметричного поля Еп(г) получается из G1.36) с добавле- добавлением члена, представляющего потен- потенциальную энергию: [? - с(о-р) - тосг рз - EJ Ч = 0. G1.43) Гамильтониан частицы, движущейся в центрально-симметричном поле, записывается следующим образом: Н = с (о • р) + т0 с1 Рз + Еп (г). G1.44) Некоторая величина является ин- интегралом движения в том случае, если представляющий ее оператор ком- коммутирует с гамильтонианом. Рас- Рассмотрим орбитальный момент им- импульса частицы L, = ? х р G1.45) при движении с гамильтонианом G1.44). Вычислим коммутатор t,z с Н: Ullx-tlz/} = (с А/0 (а, ру - а2 рх) ф 0. G1.46) Таким образом, коммутатор орби- орбитального момента L, с гамильтониа- гамильтонианом не равен нулю. Это означает, что орбитальный момент частицы, описываемой уравнением Дирака, не сохраняется. Следовательно, частица имеет внутренний момент, или спин. В центрально-симметричном поле со- сохраняется полный момент частицы, т.е. сумма ее орбитального момента и спина. Нетрудно проверить, что с гамильтонианом G1.44) коммутирует оператор L, = L, + (Я/2) а, G1.47) где (г = (gx, ay, аг) - векторная че- четырехрядная матрица, компоненты которой
390 14 Релятивистские эффекты в атомной физике 0 10 0 10 0 0 0 0 0 1 0 0 10 G1.48) 0 -г 0 0 г 0 0 0 0 0 0 -/ 0 0/0 10 0 0 0-100 0 0 10 0 0 0-1 Оператор Ls = (Я/2) с G1.49) является оператором спина. Собст- Собственные значения Z-й составляющей оператора спина равны ±/г/2: A0 0 0 0-100 0 0 10 0 0 0-1 _ ш г ' G1.50) U / \ -*¦ Отсюда замечаем, что спин частиц, описываемых уравнением Дирака, ра- равен 1/2. Квадрат полного спина Ь2=(Я2/4)(а2 + а2 + а2) = ^+1)Я2 = = ЗЙ2/4, 5=1/2. G1.51) Поэтому уравнение Дирака примени- применимо для электрона. Кроме того, это уравнение применимо для нейтрона и протона, спин которых также равен 1/2. Все правила вычислений, которые были изложены в нерелятивистской квантовой теории, сохраняют свою силу и для волновых функций Дирака, имеющих четыре компоненты. Мате- Математически наличие четырех компо- компонент у волновой функции проявляется в том, что в вычислениях возникают дополнительные суммирования по индексам этих компонент. Например, условие нормировки волновой функ- функции имеет вид JvP+4/dK=l. G1.52) В компонентах это условие записы- записывается следующим образом: G1.53) т. е. добавляется суммирование по ин- индексам компонент волновой функции. Вычислим среднее значение Z-й проекции спина. По определению среднего, х J>+ аг V d К= (Я/2) | (% Ч\ - - Ч»; Ч?2 + % 4*3 - 41 Т4) d К G1.54) где использовано выражение az по G1.48). В вычисление снова вошло суммирование по компонентам вол- волновой функции. Из G1.50) и G1.54) можно заклю- заключить, что компоненты fjHfj описы- описывают состояние электрона, в котором его спин имеет составляющую в на- направлении положительных значений оси Z, а компоненты Ч*2 и ?4 описы- описывают состояние электрона со спином в направлении отрицательных значе- значений оси Z. Вообще говоря, обычно электрон находится в суперпозиции состояний и все четыре компоненты волновой функции отличны от нуля. Так как уравнение Дирака получе- получено из релятивистски инвариантного соотношения G1.22), то представля- представляется вероятным, что оно релятивист- релятивистски инвариантно. Это утверждение
§ 71. Релятивистские волновые уравнения 391 может быть строго доказано. Из тре- требования инвариантности уравнения Дирака относительно преобразова- преобразований Лоренца могут быть получены правила преобразования волновой функции при преобразованиях Лорен- Лоренца. Оказывается, что компоненты волновой функции преобразуются при этом друг через друга. Однако соответствующих вычислений мы здесь приводить не будем. Волновая функция свободного электрона. В качестве примера четы- рехкомпонентной волновой функции рассмотрим волновую функцию сво- свободного электрона G1.55) Не ограничивая общности, можно считать, что электрон движется вдоль оси Z, и положить: рх=Ру = 0, р,Ф0. G1.56) По аналогии с формулой B5.24а) для нерелятивистского случая будем ис- искать решение для каждой компонен- компоненты в виде плоских волн: У,(г, t) = A V"'<a~ vW*, G1.57) где А-общая для всех компонент нормировочная постоянная. В случае нормировки на длину периодичности L имеем А = LT312. Коэффициенты Ь{ определяются из условия, чтобы вол- волновая функция удовлетворяла урав- уравнению Дирака. Равенство ?+ ? = А* А(Ь\ Ьу + Ь\ Ъг + Ь'г Ь3 + + Ъ\ ЬА) G1.58) показывает, что коэффициенты bt должны удовлетворять следующему условию нормировки: Ь\ b, + b'2b2 + Ьъ b3 + b\ b4 = 1. G1.59) Подставляя G1.57) в G1.34) и сокращая обе части всех уравнений на общий множитель А ехр \_ — i{Et — — pzz)fi], находим для определения коэффициентов />, следующую систе- систему уравнений: (Е — т0 с2) ftj — cpz b3 — О, (E-moc2)b2 + cpzb4 = 0, G1.60) (Е + т0 с2) bA + cpzb2 = 0. Однородная система линейных уравнений будет иметь нетривиаль- нетривиальное решение, если ее детерминант ра- равен нулю: Е2 -т2с*-с2р2 = 0, G1.61) что является выражением релятивист- релятивистской связи между полной энергией и импульсом частицы [см. G1.11)]. Из G1.61) следует, что Е= ±с y/pl + mlc1, G1.62) т.е. уравнение Дирака допускает для электрона как положительные полные энергии, так и отрицательные. В случае Е > 0 Е = с ^Р2 + т2с2 G1.63) и получаем следующие два линейно независимых решения: G1.64а) Ьъ = 0Л/2) у/1 - т0 с2/Е, G1.646) b3 = 0, i4 = -аЛ/2) >/l - mo с2IE. Множитель 1Д/2 появляется из усло- условия нормировки G1.59). В случае Е < 0 Е= -cjp2z+m2c2 G1.65) и также получается два линейно не- независимых решения:
392 14 Релятивистские эффекты в атомной физике bl={lls/2)s/\-moc2l\E\, G1.66а) = О, G1.666) bt=0, Чтобы выяснить физический смысл состояний а) и б), восполь- воспользуемся формулой G1.50) для собст- собственных значений проекций спина на ось Z. Учитывая, что в состоянии а) компоненты *F2 и Ч\ обращаются в нуль, а в состоянии б) нулю равны компоненты Ч*х и Ч*3, заключаем, что волновые функции а) описывают сос- состояние, когда спин электрона ориен- ориентирован вдоль положительного нап- направления оси Z, а состояние б) соот- соответствует ориентировке спина элект- электрона вдоль отрицательного направ- направления оси Z. Таким образом, четыре линейно независимых решения G1.64) и G1.66) соответствуют четырем воз- возможным комбинациям двух знаков полной энергии электрона и двум воз- возможным направлениям ориентировки спина. Отрицательные значения полной энергии электрона с первого взгляда представляются не имеющими физи- физического смысла. Однако более глубо- глубокий анализ показал физическую содержательность этого понятия и привел к открытию античастицы для электрона, названной позитроном. В нерелятивистском случае, когда v/c« 1, тос2/Е= J\ - v2/c2 x 1 - v2/Bc2), G1.67) и поэтому волновые функции G1.64) и G1.66) принимают с точностью до величин v/c вид для S > 0 и ё < 0: ^«1, Ь2 = 0, b3*v/Bc), Ьл = 0, G1.68а) -v/Bc), G1.686) b4 = 0, G1.69a) Ьу = 0, Ъг к 1, Ьъ = 0, bl » v/Bc), Ь2 = 0, b3 = 6i=0, 62«»/Bc), 63 = 0, 64«1, G1.696) т. е. в каждом из состояний сущест- существенно отличной от нуля является лишь одна компонента. Это, однако, не означает, что в нерелятивистском случае волновая функция из четырех- компонентной превращается в одно- компонентную волновую функцию и, следовательно, спиновые эффекты пропадают. Дело в том, что отличной от нуля является в каждом из состо- состояний различная компонента. Поэтому при определении, например, среднего значения спина вдоль оси Z прини- принимается во внимание лишь одна ком- компонента волновой функции, но эта компонента различна для различных состояний и приводит к различному результату вычислений. Переход к не- нерелятивистскому случаю не означает перехода к однокомпонентной волно- волновой функции, а позволяет выяснить относительную роль различных ком- компонент волновой функции в нереляти- нерелятивистском случае. Второе замечание, связанное с переходом к нерелятивистскому слу- случаю, заключается в следующем. Из G1.68а) видно, что коэффициенты 63 и ЬА в нерелятивистском случае имеют относительно коэффициентов Ьх и Ь2 порядок v/c по сравнению с единицей. Это означает, что функции Т3и *Р4 в нерелятивистском случае малы по сравнению с функциями Ч^ и*Р2. Это заключение имеет общий характер, как это непосредственно видно из сис- системы уравнений G1.34): в нереляти- нерелятивистском случае Е czmoc2 и, следова- следовательно, Ч*3 и Ч*4 малы по сравнению с Ч»! и У2.
§ 72 Релятивистские эффекты в атомной физике 393 72. Релятивистские эффекты в атомной физике Излагается количественная теория тонкой струк- структуры уровней энергии атома водорода и обсуж- обсуждаются состояния с отрицательной энергией Уровни энергии бесспиновой частицы в кулоиовском поле. Зависимость массы от скорости приводит к изменению уровней энергии частицы, движущей- движущейся в кулоновском поле. Чтобы про- проанализировать этот релятивистский эффект, рассмотрим бесспиновую частицу, движущуюся в кулоновском поле ядра. Допустим, что масса ядра, вокруг которого движется бесспино- бесспиновая частица, много больше массы этой частицы. Благодаря этому ядро можно считать неподвижным. Соот- Соотношение между полной энергией, импульсом и потенциальной энергией в кулоновском поле имеет вид Е = Су/р2 + т20с2 - Ze2/Dneor), G2.1) где Ze-заряд ядра, е-заряд частицы, то-ее масса покоя. Отсюда получаем операторное равенство [? + Ze7D7T?0r)]2 =c2p2+ тЬс4, G2.2) которое приводит к уравнению Клейна - Гордона для частицы в ку- кулоновском поле ядра: Пд_ Ze2 V i 8t 4n&nr) = 0. G2.3) Полагая получаем релятивистское уравнение стационарных состояний: 2R2 с2П Г х \(Е + т0с2+ Ze2 - 4яе0г Лч = о. Здесь Е-энергия электрона без энер- энергии, соответствующей массе покоя. Решение этого уравнения проводится аналогично решению нерелятивистс- нерелятивистского уравнения Шредингера B8.1). Полагая Ч* = R(r) Yf F, ф), G2.6) находим для радиальной волновой функции R [см. C0.1)] 1 d / , &R г2аУ -a2Z2 где 2B = 2mnZe2 1 + m0c G2.7a) G2,6, G2.7b) G2.5) a = е2/Dпв0сВ)- постоянная тонкой структуры. Чтобы перейти к нереля- нерелятивистскому случаю, надо учесть, что Е«тосг. Поэтому вместо формул G2.76) и G2.7в) получаем А = - 2т0Е/П2, 2В = 2m0Ze2/Dnz0H2), G2.8) что совпадает с выражениями этих величин в нерелятивистской теории [см. C0.2)]. Очевидно, что переход к нереля- нерелятивистскому случаю эквивалентен устремлению скорости света к беско- бесконечности (с -> оо). Следовательно, при этом переходе необходимо считать, что постоянная тонкой структуры a стремится к нулю, поскольку в ее выражении скорость света входит в знаменатель. Таким образом, реляти- релятивистское уравнение G2.7а) в нереля- нерелятивистском случае переходит в урав- уравнение C0.1). Чтобы для решения уравнения
394 14. Релятивистские эффекты в атомной физике G2.7а) воспользоваться результатами решения нерелятивистского уравне- уравнения C0.1), введем число /' по формуле /'(/'+ 1) = /(/+ l)-a2Z2, G2.9) откуда /' = - 1/2 ± у/A + 1/2J - a2Z2 . G2.10) С помощью /' уравнение G2.7а) записывается следующим образом: 1 r2dr G2.11) Это уравнение совпадает с нереляти- нерелятивистским уравнением C0.1). Надо лишь потребовать, чтобы в качестве /' было взято положительное значе- значение корня в G2.10), т.е. значение со знаком плюс перед корнем, считая, что za < 1/2. Тогда при решении уравнения G1.11) можно повторить буквально все утверждения, которые были сделаны при решении уравнения C0.1) с заменой / на /'. Условие об- обрыва ряда C0.23) принимает вид В/у/А - V - 1 - к = В/у/А - 1/2 - - у/{1Л- l/2J-a2Z2 - к = 0. G2.12) Это условие обрыва ряда является условием квантования энергии. Выражая в G2.12) величины А и В по формулам G2.76) и G2.7в), полу- получаем следующие формулы для уров- уровней энергии бесспиновой частицы в кулоновском поле ядра: Г a2Z2 "I-1/2 EU = \l+- Г! >.. ., 2 2 2=2] X G2.13) х тос2 — тос2. Выражение, стоящее в квадратных скобках, можно разложить в ряд по a2Z2 « 1. Сохраняя первые два члена, не рав- равные нулю, находим _ m0Z2e* 1 Г a2Z2 ^nl— -п_2„2с2 „2 1 "Г „2 G2.14) где n = I + к + 1 -главное квантовое число. Главный член этой формулы совпадает с выражением C0.24) для уровней энергии частицы в нереляти- нерелятивистской теории. Член, пропорцио- пропорциональный квадрату постоянной тонкой структуры а2 = A/137J, дает реляти- релятивистскую поправку к уровням энер- энергии, которая учитывает релятивистс- релятивистский эффект зависимости массы от скорости. Принципиальное отличие форму- формулы G2.14) для атома водорода от нерелятивистской формулы состоит в том, что в релятивистском случае энергия зависит от орбитального квантового числа, т.е. снимается вы- вырождение по /. Благодаря этому каж- каждый энергетический уровень с глав- главным квантовым числом п расщепля- расщепляется на п подуровней, соответствую- соответствующих значениям / от 0 до п — 1. Рас- Расщепление энергетических уровней пропорционально а2, т.е. мало. Оно приводит к расщеплению соответст- соответствующих линий излучения и порож- порождает тонкую структуру линий излу- излучения. С помощью формулы G2.14) нетрудно подсчитать расщепление линий излучения. В частности, для дублетного расщепления серии Баль- мера (л = 2) получается формула Лео = (Е21- Е20)/П = а2тое*/A92к2г1П3). G2.15) Эта величина примерно в три раза превосходит величину, полученную для расщепления соответствующей линии излучения атома водорода из эксперимента. Причиной этого рас- расхождения является наличие у элект- электрона спина, который не учитывается уравнением Клейна - Гордона. Тон-
§ 72. Релятивистские эффекты в атомной физике 395 кая структура линий излучения обу- обусловливается не только релятивистс- релятивистским эффектом зависимости массы от скорости, который учитывается фор- формулой G2.14), но и наличием спина у электрона. Спин несколько ослабляет релятивистский эффект расщепления уровней. Это еще раз подтверждает, что уравнение Клейна - Гордона не- непригодно для описания частиц с не- ненулевым спином. Мы рассмотрели случай Za < 1/2, когда /' в уравнении G2.11) положи- положительно. Если же Za > 1/2, то /' не может быть выбрано положительным и решение релятивистского уравнения принципиально отличается от реше- решения нерелятивистского уравнения. Как показывает анализ, в этом случае происходит падение частицы на ядро и отсутствует стационарное решение. Таким образом, по уравнению Клей- Клейна - Гордона, устойчивые состояния движения частицы в кулоновском по- поле ядра возможны лишь для ядер, у которых Z < 137/2. Как уже было отмечено при рас- рассмотрении расщепления энергетичес- энергетических уровней, спин несколько ослаб- ослабляет влияние релятивистского изме- изменения массы от скорости. Это при- приводит к тому, что релятивистские эффекты с учетом спина обусловли- обусловливают неустойчивость атомов лишь для значений Z, лежащих за предела- пределами существующей периодической сис- системы элементов. Тонкая структура уровней энергии атома водорода. Чтобы найти уровни энергии электрона с учетом реляти- релятивистской поправки на изменение массы со скоростью с учетом спина, необходимо решить задачу для атома водорода с помощью уравнения Ди- Дирака. При наличии потенциальной энергии е2/Dпе0г) электрона в куло- кулоновском поле протона уравнение Ди- Дирака имеет вид [Ё- ф-р) - тос2р3 + е2№когIЧ = 0. G2.16) Для того чтобы при вычислении воспользоваться результатами пре- предыдущего параграфа, удобно от урав- уравнения первого порядка G2.16) перей- перейти к уравнению второго порядка, т. е. «квадрировать» уравнение G2.16). Квадрированное уравнение содержит все решения уравнения первого по- порядка, поскольку оно получается из этого уравнения с помощью операций дифференцирования. Но могут по- появиться и другие решения, которые уравнению первого порядка не удов- удовлетворяют; эти побочные решения должны быть отброшены. Для «квадрирования» уравнения Дирака G2.16) применим к нему слева оператор Ё+ с(о-р) + тос2р3 + е2/Dкеог). G2.17) В результате получается уравнение Ид I i dt 4я?ог, ie2cH , -т2ос* лз 4neor I Т = 0, G2.18) где учтены свойства матриц ад, выра- выражаемые равенствами G1.28), и при- принято во внимание, что A/г) V - V(l/r) = - grad(l/r) = г/г3. G2.19) Будем искать стационарное решение и положим r, t) = Т(г)е-'<? + т°^я. G2.20) Тогда в уравнении G2.18) исключают- исключаются производные по времени и для определения Е получается уравнение К Е+тпс2 + Anzor - c2fi2V2 - G2.21)
396 14. Релятивистские эффекты в атомной физике Дальнейшие вычисления удобно вести в сферических координатах, перейдя к ним по формулам х = г sin 9 cos ф, у = г sin 0 sin q>, z = г cos 9. G2.22) С помощью выражения G1.29) для матриц ад можно уравнение G2.21) расписать в виде системы уравнений относительно компонент волновой функции: cos9*3) = О, нормировочного множителя: ^ ^) = О, G2.23) + ^(sin0e-'94'2 + cose*,) = 0, ^1 - cos94*2) = 0, где Do-общая для всех компонент волновой функции часть оператора в уравнении G2.21), совпадающая с оператором уравнения Клейна-Гор- Клейна-Гордона G2.5) для бесспиновой частицы: G2.24) 4тг ш)! ' G2.26) Таким образом, сферические функции Yf в G2.25) нормированы условием 4n G2.27) Отметим еще раз, что функции Yf в G2.25) отличаются от функций B8.20) нормированными множителя- множителями, так что не следует путать эти функции, хотя они и обозначены оди- одинаково. Постоянная р в формулах G2.25) остается пока неопределенной. В теории сферических функций до- доказываются следующие рекуррентные соотношения: G2.28) Величина а = е2/Dпг0Нс) в системе (г уравнений G2.23) есть постоянная t" ' тонкой структуры, e±Kp = cos ф + /sin ф. Будем искать решение системы G2.23) в виде = - sinGe-"" Yf+i + cos QYf+i .. (l+l-m)Yf = = sin 6е'ф Y Г+V + cos QYf+1. G2.29) Подставляя выражения G2.25) для компонент волновых функций в сис- систему уравнений G2.23) и пользуясь рекуррентными соотношениями G2.28) и G2.29), получаем уравнения для определения радиальной функции: d / „d*> 25 /(/ + 1) - а2 + ар т ? U = 0, G2.30) 1 d G2.25) где Yf- сферические функции, опре- определенные равенством B8.16), но без где А и В даются G2.31) выражениями
72. Релятивистские эффекты в атомной физике 397 G2.76) и G2.7в) при Z = 1, т.е. А = 2В = 2т 0е2 4яео/г2 1 + тос G2.32) G2.33) Уравнения G2.30) и G2.31) должны совпадать друг с другом, потому что это уравнения для одной и той же волновой функции. Отсюда получаем уравнение для определения р /(/ + 1) - а2 + ар = = (Л-1)(/ + 2)-а2-а/р, G2.34) решение которого Р = (/ + 1)/а : G2.35) Подставляя это выражение в G2.30) или G2.31), можно уравнение для ра- радиальной функции представить в виде, аналогичном G2.11): 1)" 2В -А + г G2.36) где /" = У(/ + IJ - a2 - 1/2 ± 1/2, G2.37) причем знаки плюс и минус перед 1/2 в формуле G2.37) соответствуют зна- знакам плюс и минус перед корнем в выражении G2.35). Решение уравне- уравнения G2.36) аналогично решению урав- уравнения G2.11). В результате для уров- уровней энергии вместо формулы G2.13) получаем Ек1 = тос2 х Г1/2 1+ -тос2 G2.38) Разлагая эти выражения в ряд по постоянной тонкой структуры и огра- ограничиваясь первыми двумя членами, находим следующие формулы при от- отрицательном и положительном зна- знаках перед 1/2 в формуле G2.38): Е 32п2е20П2 l+l, a2 п2\1+\ 0, G2.39а) 2L aY n 3Y1 «2V+1 4/J {n = k + l + 2, a2->0, /" = /+1, P = 2A + l)/a}. G2.396) Чтобы выяснить смысл различных решений, заметим, что система урав- уравнений G2.23) инвариантна относи- относительно замены компонент волновой функции vP1<->lP3,4/2<-^*F4. Это озна- означает, что волновая функция Ч" = также является решением системы уравнений G2.23). Как уже было отмечено, не все решения квадрированного уравнения будут решениями исходного уравне- уравнения первого порядка. Для того чтобы из решений квадрированного реше- решения выделить решения, удовлетво- удовлетворяющие уравнению первого порядка, учтем, что в нерелятивистском случае компоненты 4*3 и Ч*4 волновой функ- функции стремятся к нулю. Переход к нерелятивистскому случаю эквива- эквивалентен устремлению скорости света к бесконечности, при этом постоянная тонкой структуры a -> 0. Следова- Следовательно, формально переход к нереля- нерелятивистскому случаю в полученных в этом параграфе формулах сводится к переходу a -»0.
398 14. Релятивистские эффекты в атомной физике мулы: Enj = -тес 146 Электроны на уровнях с отрицательной энер- энергией Рассмотрим решение G2.39а). При а -» 0 в этом решении р* -> 0. Это со- соответствует ?3 -> 0 и *Р4 ->¦ 0, если ре- решение взято в виде G2.25). Таким образом, решение G2.39а) соответст- соответствует волновой функции G2.25). При а->0 в решении G2.396) р~+оо, т.е. волновые функции Ч*3 и *Р4 велики в сравнении с волновыми функциями ХР1 и *Р2. Поэтому решение G2.396) не соответствует волновой функции G2.25). Нетрудно видеть, что это ре- решение соответствует волновой функ- функции ?' G2.40): при а -> 0 компоненты Ч*'з = 4*, и 4*4 = *Р2 малы по срав- сравнению с T'i = *Р3 и 4*2 = *Р4. Таким образом, решение G2.396) относится к волновой функции G2.40). Эту фор- формулу удобно путем замены / + 1 -> / переписать в виде (n = k + l+l, /=1,2,3,...), G2.41) Можно показать, что в случае реше- решений G2.39а) и G2.41) квантовое число полного момента j электрона связано с / соответственно формулами у = / + 1/2 (/ = 0,1,2,...), G2.42а) У = / — 1/2 (/=1,2,3,...). G2.426) Поэтому выражения G2.39а) и G2.41) можно записать в виде одной фор- фор±Г,+?!(_!! 3Y1 п2\_ +n2\j+\/2 4jy G2.43) Формула G2.43) дает выражение для энергии с учетом тонкой струк- структуры термов атома водорода: каждый уровень с главным числом п расщепляется на несколько подуров- подуровней по числу значений квантового числа j при данном п. Расщепление уровней имеет поря- порядок а2 = A/137J относительно энер- энергии уровней. Рассмотрим в качестве примера расщепление между уров- уровнем и = 2, / = 1/2 (состояния атома водорода 22S1/2 и 22Р1/2) и уровнем п = 2, j = 3/2 (состояние атома водо- водорода 22Р3/2). Из формулы G2.43) сле- следует АЕ - Е2Ъ11 — ^2,1/2 = а2|?2|/Bл)ж4,5-1(Г5эВ, где G2.44а) G2.446) - модуль энергии электрона на уровне п = 2 без учета тонкой струк- структуры. В пересчете на частоты расщепле- расщепление уровней G2.44а) равно Av = Аш/Bя) = АЕ/BпН) = = 1,10-104 МГц. G2.44в) Экспериментальные наблюдения находятся в полном согласии с фор- формулой G2.43), из которой видно, что энергия электрона в атоме водорода зависит.только от главного кванто- квантового числа п и квантового числа пол- полного момента j. Отсюда следует, что уровни 22S1j2 и 22Р1/2 должны точно совпадать. Однако уже в 30-х годах у
§ 72. Релятивистские эффекты в атомной физике 399 спектроскопистов закрались сомне- сомнения в справедливости этого утвержде- утверждения, которые удалось проверить лишь в 1947 г. Оказалось, что эти уровни не совпадают и в формулу G2.43) необходимо ввести поправку. Анализ этого вопроса привел к иссле- исследованию физических свойств вакуума. Состояния с отрицательной энер- энергией. Как уже было отмечено, уравне- уравнение Дирака допускает решения с от- отрицательной полной энергией. Интер- Интерпретация таких состояний встречает трудности. Если бы существовал электрон с отрицательной энергией, то он ускорялся бы в направлении, противоположном направлению дей- действующей силы. Трудность с отрица- отрицательной энергией была преодолена в 1930 г. Дираком с помощью теории дырок. Дирак предположил, что все уров- уровни с отрицательной энергией запол- заполнены электронами, причем, согласно принципу Паули, на каждом уровне находится по одному электрону. Между электронами с отрицательной энергией и электронами с положи- положительной энергией имеется энергети- энергетический интервал 2тос2 (рис. 146). Концентрация электронов, находя- находящихся в состоянии с отрицательной энергией, бесконечно велика. Пере- Переходы электронов из одного состояния с отрицательной энергией в другое запрещены принципом Паули, по- поскольку все состояния заполнены. Предполагается, что с электронами в состояниях с отрицательной энергией не связаны какие-либо эксперимен- экспериментальные гравитационные эффек- эффекты. Однако переходы электронов между состояниями с положительной и отрицательной энергией возможны. Если электрону в состоянии с отрица- отрицательной энергией сообщается энергия, большая чем 2тос2, то электрон пе- переходит в состояние с положительной энергией и ведет себя как обычный электрон. Место же, которое он зани- занимал, находясь в состоянии с отрица- отрицательной энергией, остается свобод- свободным. Иначе говоря, в состояниях с отрицательной энергией появляется дырка. Эта дырка, т.е. отсутствие отрицательно заряженного электрона, ведет себя как частица с положитель- положительным зарядом и массой, по абсолют- абсолютным значениям равными заряду и массе электрона. Таким образом, пе- переход электрона из состояния с отри- отрицательной энергией в состояние с по- положительной энергией сопровождает- сопровождается рождением двух частиц: обычного электрона и положительно заряжен- заряженной частицы с массой электрона. Энергию электрону на уровне отри- отрицательной энергии можно сообщить, например, с помощью энергичных у-квантов. Таким образом, теория дырок предсказывает порождение пар частиц. В момент создания теории дырок в 1930 г. это предсказание рас- рассматривалось как аргумент против теории, поскольку никаких положи- положительно заряженных частиц с массой электрона известно не было. Однако в 1933 г. процесс рождения пар частиц был открыт. Положительно заряжен- заряженная частица с массой, равной массе электрона, получила название пози- позитрона. Уровень с отрицательной энергией долго оставаться пустым не может. На этот уровень может совершить переход электрон из состояния с по- положительной энергией. В результате этого перехода исчезнут как электрон, так и дырка, т.е. исчезнут как элект- электрон, так и позитрон. Разность энергий при этом выделится в виде энергии двух у-квантов. Таким образом, про- происходит аннигиляция пары электрон -
400 14. Релятивистские эффекты в атомной физике позитрон с излучением у-квантов. Процесс аннигиляции также наблю- наблюдается экспериментально. Существование электрона и пози- позитрона является частным случаем более общей закономерности, по ко- которой каждой частице соответствует ее ан- античастица. Античастица порождается в паре со своей частицей и аннигили- аннигилирует с ней. Позитрон представляет античастицу для электрона. Другие элементарные частицы также имеют свои античастицы. Все предсказания теории относи- относительно существования античастиц блестяще подтверждены эксперимен- экспериментами. Были открыты антипротоны, антинейтроны и т.д. Таким образом, анализ состояний с отрицательной энергией позволил предсказать суще- существование целого класса античастиц. Это было одним из триумфов реляти- релятивистской квантовой теории. 73. Физические свойства вакуума Описывается экспериментальное наблюдение лэмбовского сдвига уровней энергии в атоме водорода и его простейшая теоретическая интер- интерпретация. Опыты Лэмба и Ризерфорда. Теория Дирака хорошо объясняет тонкую структуру атомных спектров как ре- результат проявления спиновых и реля- релятивистских эффектов. В соответствии с формулой G2.43) уровни энергии атома водорода зависят от главного квантового числа п и квантового числа j. Поэтому два различных со- состояния с одинаковыми п и j должны обладать одинаковой энергией. В частности, состояния 22S1/2 и 22Р1/2 должны обладать одинаковой энер- энергией, причем их совпадение должно быть точным. Уже в 1934 г. спектро- спектроскописты высказывали сомнение в правильности этого теоретического заключения. Однако точность измере- измерения, которая была достигнута в то время, не позволила дать на этот вопрос определенного ответа. Такая возможность представилась A947) в результате применения радиоспектрос- радиоспектроскопических методов Лэмбу и Ризер- форду. В своем методе Лэмб и Ризерфорд воспользовались тем, что уровень 22S1/2 является метастабильным, а уровень 22Р1/2-нестабильным. В са- самом деле, переход из состояния 22S1/2 в состояние l2S1/2 запрещен прави- правилом отбора AL = А/ = + 1, поскольку при этом переходе должно быть А/ = = 0. Переход же из состояния 22Р1/2 в состояние l2S1/2 разрешен, поскольку при этом переходе А/ = — 1. В мета- стабильном состоянии атом находит- находится дольше, чем в нестабильном, при- примерно в 108 раз, при этом переход из метастабильного состояния совер- совершается с испусканием двух фотонов. Что же касается разрешенного пере- перехода, то он относительно перехода из метастабильного состояния совер- совершается практически мгновенно. Это обстоятельство и использовали Лэмб и Ризерфорд в своих опытах (рис. 147). Пучок атомов водорода в основном состоянии l2S1/2 получается в воль- вольфрамовой печи в результате диссо- диссоциации молекулярного водорода при высокой температуре. Если на ми- мишень М попадают атомы в невозбуж- невозбужденном состоянии, то они не обла- обладают энергией возбуждения, которую могли бы передать электронам ми- мишени. В результате электроны из металла не вырываются и никакого тока в цепи с гальванометром Г не наблюдается. Однако часть атомов пучка можно возбудить. Для этого пучок атомов водорода пересекается пучком электронов П.
73. Физические свойства вакуума 401 В результате столкновения элект- электронов пучка с атомами водорода по- последние возбуждаются. Те атомы, ко- которые возбуждаются до состояния 22Р1/2, практически мгновенно пере- переходят в основное состояние и на ми- мишень попадают в основном состоя- состоянии. Те же атомы, которые возбуж- возбуждаются до метастабильного состоя- состояния 22S1/2, попадают на мишень в метастабильном (возбужденном) сос- состоянии. В условиях эксперимента Лэмба и Ризерфорда примерно один атом из 108 атомов пучка возбуж- возбуждался до метастабильного состояния 22Sy2- При попадании на мишень возбужденный атом отдает свою энер- энергию возбуждения, вырывая электро- электроны из мишени. В результате в цепи с гальванометром возникает ток. По силе тока можно судить о количестве атомов в метастабильном состоянии, попадающих на мишень. На своем пути пучок атомов пе- пересекает область ( ~ ) с переменным электромагнитным полем. Если уров- уровни 22S1/2 и 22Р1/2 не совпадают, то, попадая в область изменяющегося электромагнитного поля, частота ко- которого равна частоте излучения, со- соответствующей разности энергий между состояниями 22S1/2 и 22Р112, атомы должны совершать переходы между этими состояниями: 2 Sl/2 -» -> 22Р1/2. Из состояния 22Р1/2 атом практически мгновенно переходит дальше в состояние l2S1/2 и попадает на мишень в основном состоянии. Таким образом, если частота элект- электромагнитного поля в области, кото- которую пересекает пучок, равна частоте излучения, соответствующей разнос- разности энергий между уровнями 22S1/2 и 22Р1/2, то должно наблюдаться резкое уменьшение силы тока. По резонанс- резонансной частоте можно определить раз- разность энергий уровней 22S1/2 и 22Р1/2. М 147 Схема опыта Лэмба и Ризерфорда /=0 3/2 9910 МГц М , 1058 МГц ¦ч 148 Расщепления уровней 2sx/ и 2ри в атоме водорода Аналогично может быть определено и относительное положение других уровней. Своими опытами Лэмб и Ризер- форд доказали, что уровни 22S,/2 и 2Р1/2 не совпадают между собой, как это предсказывается теорией Дирака. Разность между этими уровнями по частотам равна 1058 МГц. Взаимное расположение уровней 22Sl/2, 22Py2 и 22Р3/2, полученное в опытах Лэмба и Ризерфорда, показано на рис. 148. Таким образом, между релятивистс- релятивистской теорией и экспериментом имеется расхождение. Количественно оно очень мало: ведь расстояние между уров- уровнями 22Р1<2 и 22Р3/2 является тонкой структурой, а расстояние между уров- уровнями 2 S1/2 и 22Р1/2 примерно в де- десять раз меньше этого расстояния. Анализ этого расхождения пока- показал, что сдвиг энергетических уровней электронов в атомах, обнаруженный 26 219
402 14 Релятивистские эффекты в атомной физике в опытах Лэмба и Ризерфорда, обу- обусловлен взаимодействием электрона с флуктуациями вакуума. Следова- Следовательно, вакуум нельзя рассматривать как не- нечто, где ничего нет. В действитель- действительности вакуум обладает определен- определенными физическими свойствами, кото- которые, в частности, проявляются в опы- опытах Лэмба и Ризерфорда. Физические свойства вакуума. В лэмбовском сдвиге уровней атомных электронов проявляются физические свойства электромагнитного вакуума. Физические свойства вакуума обусловливаются виртуальным по- порождением и поглощением фотонов и всех других частиц. Поэтому говорят не только об электромагнитном ва- вакууме, но и о вакууме других частиц. В частности, выше шла речь о состо- состояниях с отрицательной энергией и позитронах. Фон электронов в состоя- состояниях с отрицательной энергией есть электронно-позитронный вакуум. Имеется также вакуум и других час- частиц. Вакуум различных частиц играет очень большую роль в современной квантовой теории поля. Благодаря вакууму соответствующих частиц осуществляется взаимодействие час- частиц друг с другом. Например, элект- электромагнитное взаимодействие по за- закону Кулона осуществляется с по- помощью электромагнитного вакуума. Электрические заряды обмениваются виртуальными фотонами, в резуль- результате чего возникает сила взаимо- взаимодействия между зарядами. Обмен виртуальными фотонами сводится к испусканию фотона одним из зарядов и поглощению другим. Таким обра- образом, этот обмен фотонами между за- зарядами изменяет нулевое состояние вакуума и в результате возникает электромагнитное взаимодействие между зарядами. Аналогично, ядер- ядерные силы обусловлены я-мезонами. В результате виртуального поглощения и испускания я-мезонов протонами и нейтронами между протонами и ней- нейтронами возникают силы ядерного притяжения. Поэтому я-мезон ответ- ответствен за ядерные силы. Основной особенностью мира эле- элементарных частиц является широкая взаимопревращаемость частиц друг в друга. В результате их взаимодейст- взаимодействий друг с другом одни частицы исче- исчезают, а другие порождаются. В про- процессе этих взаимопревращений ваку- вакуум играет первостепенную роль: он является как бы резервуаром, из ко- которого черпаются порождаемые час- частицы и куда переходят исчезающие частицы. На примере состояний с от- отрицательной энергией электрона было пояснено, как это происходит в случае электронно-позитронного ва- вакуума. Вакуум частиц проявляется и во многих других наблюдаемых эф- эффектах. Таким образом, развитие кванто- квантовой теории поля привело к возникно- возникновению представлений о вакууме как о наделенной физическими свойствами среде. Это не есть эфир с механичес- механическими свойствами, который играл та- такую большую роль в механической картине мира XIX в. Но это есть объективная физическая реальность с объективными физическими свойст- свойствами, которые проявляются в экспе- экспериментах.
74 Измерение в квантовой механике 15 КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВОЙ 75 МЕХАНИКИ Элемент физической реальности и проблема полноты квантовой механики Самой фундамен- тальной концептуальной пробле- 76 мой квантовой механики в на- Квантовые корреляции стоящее время является вопрос о физической природе квантовых корреляций. 77 Корреляционные эксперименты 78 Неравенства Белла и физическая реальность 26*
404 15 Концептуальные вопросы квантовой механики 74. Измерение в квантовой механике Обсуждаются особенности элементарного объекта в классической и квантовой механике, сущность квантово-механического измерения и редукция состояния Материальная точка квантовой меха- механики. Как в классической, так и в квантовой механике элементарным объектом изучения является мате- материальная точка. Однако эти объекты, имея одинаковое название, коренным образом отличаются друг от друга: материальная точка классической ме- механики имеет три степени свободы, а материальная точка квантовой меха- механики - бесконечное число степеней свободы. Использование для этого объекта квантовой механики термина «мате- «материальная точка» обусловлено в пер- первую очередь тем, что он проявляет себя в наблюдении как единый объект пространственно-временной локали- локализации, которая характеризуется че- четырьмя координатами (х,у, z, t), как и у материальной точки классической механики. Другое важное обстоятель- обстоятельство, обусловившее название «мате- «материальная точка» для этого объекта, связано с его ролью в теории: он в квантовой теории выступает элементарным объектом аналогич- аналогично материальной точке, которая является элементарным объектом в классической теории. Так же как и в классической механике, более слож- сложные системы, например атомы, изу- изучаются на основе законов, управляю- управляющих движением составляющих их ма- материальных точек с учетом взаимо- взаимодействия между ними. Такой подход позволил успешно описать громадное разнообразие квантовых систем, на- начиная от глюонов, адронов и кончая материальными системами вселенс- вселенских масштабов, и подтвердил спра- справедливость квантовых законов движе- движения материальной точки как элемен- элементарного объекта квантовой теории. Состояние движения. Любая физи- физическая теория должна быть количест- количественной, ее объекты характеризуются физическими величинами, а связь между физическими величинами и их изменение описываются соответст- соответствующими физическими законами. Движение материальной точки в классической механике описывается ее пространственными координатами как функциями времени. Координаты и время задаются своими числовыми значениями, а их изменение - зако- законами Ньютона. Поскольку материальная точка квантовой механики имеет бесконеч- бесконечное число степеней свободы, ее движе- движение в принципе могло бы быть сколь угодно сложным и необозримым. Однако, к счастью, оказалось, что ее движение весьма просто представ- представляется посредством вектора состоя- состояния в гильбертовом пространстве. Вектор состояния и его изменение подчиняются уравнению Шредингера. Отметим, что уравнение Шредингера как основное уравнение теории не сле- следует сводить к одному из его пред- представлений в виде дифференциального уравнения. Движение произвольной квантовой системы также описывается соответствующим вектором состоя- состояния и уравнением Шредингера. Измерение в классической меха- механике. Принципиальное различие опи- описания движения точки в классической и квантовой механике состоит в том, что в классической механике динамичес- динамические переменные представляются числовыми значениями, а в кванто- квантовой - операторами. Поэтому в классической механике считается, что материальная точка в
§ 74. Измерение в квантовой механике 405 любой момент времени находится в определенной точке пространства и имеет определенный импульс, кото- который можно измерить с помощью из- известных в физике методов, причем и до момента измерения координата и импульс точки имеют вполне опре- определенные значения, которые при желании можно было бы измерить. Другими словами, важнейшей харак- характеристикой классической материаль- материальной точки «самой по себе» являются определенные числовые значения ее координат и импульсов в любой мо- момент времени. Задача теории сво- сводится к вычислению этих значений, а задача эксперимента - к их изме- измерению. Предполагается, что эти физичес- физические величины и их числовые значе- значения существуют независимо от изме- измерения. В измерении лишь определяет- определяется, какое числовое значение имеет фи- физическая величина. Знание координат и импульсов точки полностью харак- характеризует ее движение и дает полное описание физической реальности. Сами координаты и импульсы явля- являются элементами этой физической реальности, существующими незави- независимо от наблюдателя и его измерений. Измерение в квантовой механике. В квантовой механике динамические пе- переменные представляются операто- операторами и, следовательно, говорить о каких-либо их числовых значениях «самих по себе» не имеет смысла, поскольку оператор опреде- определяет действие на вектор состояния, результат которого представляется также вектором гильбертова про- пространства, а не числом. Лишь когда вектор состояния является собственным вектором опе- оператора динамической переменной, его действие на вектор состояния сводит- сводится к умножению на число (собствен- (собственное значение) без изменения сос- состояния. В этом случае оператору динами- динамической переменной можно сопоста- сопоставить единственное число, равное соб- собственному значению оператора, и считать, что динамическая перемен- переменная имеет определенное числовое зна- значение. Такое числовое значение получает- получается всегда в измерении динамической переменной в этом состоянии. В этом состоянии динамическая переменная имеет числовое значение независимо от измерения. Если вектор состояния не является собственным вектором оператора ди- динамической переменной, результаты измерения числового значения дина- динамической переменной перестают быть однозначными и можно говорить лишь о вероятности получения в из- измерении того или иного значения. Результатами теории, которые можно проверить в эксперименте, являются вероятности получения в измерении конкретного результата и среднее значение динамической пере- переменной в большом числе измерений для одного и того же вектора сос- состояния. В связи с этим возникают следую- следующие вопросы: 1. Какова физическая причина множественности результатов изме- измерения? 2. Чем в измерении определяется получение какого-то конкретного ре- результата, а не другого из возможных? 3. Можно ли говорить, что дина- динамическая переменная до измерения существует как физическая величина, имеющая числовое значение? Что значит «существовать»? Ответы на эти вопросы составля- составляют суть концептуальных проблем квантовой механики.
406 15. Концептуальные вопросы квантовой механики Статистический ансамбль систем. Поскольку предсказания квантовой теории имеют вероятностный харак- характер, а сравнение предсказаний теории с результатами экспериментов воз- возможно лишь статистически, возни- возникает идея рассматривать изучаемый .микрообъект (например, электрон) и условия, которыми определяется дви- движение изучаемого объекта, как ста- статистическую систему в том же смысле, как и в классической статис- статистической физике. Совокупность сис- систем составляет статистический ансамбль систем, причем принадлеж- принадлежность системы к ансамблю опреде- определяется макроскопическими условия- условиями. Движение рассматриваемого мик- микрообъекта в каждой из систем ан- ансамбля, вообще говоря, различно и характеризуется разными значениями описывающих движение параметров. Квантование параметров и статис- статистика их числовых значений обуслов- обусловливаются динамическими процессами более глубокого уровня, которые в квантовой механике проявляются статистически в соответствии с ее за- законами. Теория процессов более глу- глубокого уровня (теория «скрытых» па- параметров) находится с квантовой ме- механикой в таком же соотношении, как теория движения отдельных частиц со статистической механикой совокупно- совокупности частиц. Такой подход дает, на первый взгляд, наиболее простые и естествен- естественные ответы на поставленные выше вопросы. Множественностью резуль- результатов измерения параметров микро- микрообъекта обусловливается множест- множественность принадлежности микро- микрообъекта к различным системам ста- статистического ансамбля. Получение конкретного результата измерения определяется принадлежностью мик- микрообъекта к конкретной системе ансамбля. Динамическая переменная характеризуется определенным чис- числовым значением независимо от из- измерения и существует в том же смысле, в каком это понятие трак- трактуется в классической физике. Кажу- Кажущиеся естественность и простота та- такого подхода привели к многочислен- многочисленным попыткам построить теорию «скрытых» параметров, которые ока- оказались несостоятельными. В последние годы невозможность построения теории скрытых локаль- локальных параметров была доказана экспе- экспериментально (см. § 78). Поэтому ин- интерпретации квантовой механики с помощью теории скрытых парамет- параметров и статистического ансамбля сис- систем представляются полностью несо- несостоятельными, хотя работа в этих направлениях и продолжается мно- многими исследователями. Детерминированное и недетермини- недетерминированное изменение состояния. Движе- Движение квантового объекта описывается уравнением Шредингера ЁЧ^НЧ1, G4.1) которое представляет динамический закон изменения состояния во вре- времени. Поскольку значение всех дина- динамических переменных полностью оп- определяется вектором состояния *Р [см. G4.1)], можно заключить, что изменение состояния квантового объекта в соответствии с динамиче- динамическим законом является полностью де- детерминированным. Другими словами, зная состояние объекта в некоторый момент, можно точно предсказать его состояние во все другие моменты вре- времени. Кроме детерминированного изме- изменения вектора состояния существует также его недетерминированное изме- изменение, происходящее в результате из-
74. Измерение в квантовой механике 407 мерения, как это подробно сформули- сформулировано в § 23 в виде третьего посту- постулата квантовой механики: в состоянии | Т) изменение динами- динамической переменной А дает с вероят- вероятностью 0>(А) = \(А\Ч')\2 одно из собственных значений А оператора А, а система при этом переходит из сос- состояния |*Р) в состояние \А~). Переход системы из состояния | *Р) в состоя- состояние \Ау полностью недетерминиро- ван и называется редукцией состоя- состояния или редукцией волновой функции. Редукция состояния. Измерение включает в себя два момента: 1) редукцию состояния I1!*) в сос- состояние |Л); 2) измерение числового^ значения динамической переменной А в состоя- состоянии \лу. Получение в результате измерения динамической переменной А в состоя- состоянии \А} числового значения А легко интерпретировать в классическом смысле и никакой концептуальной трудности не составляет. Проблема же редукции состояния является очень трудной концептуальной проблемой квантовой механики. Связь этой проб- проблемы с измерением несет в себе силь- сильное гносеологическое звучание, выхо- выходящее далеко за пределы физики. Без преувеличения можно сказать, что проблема редукции состояния и свя- связанные с ней гносеологические воп- вопросы в течение всего времени сущест- существования квантовой механики отно- относятся к самым противоречивым проб- проблемам. Результаты последних корреля- корреляционных экспериментов по проверке неравенства Белла (см. § 78), экспери- экспериментальные поиски нефизической свя- связи между физическими явлениями и т. д. дали экспериментальное доказа- доказательство принципиального характера этих трудностей, но не продвинули их решение за пределы постулативной констатации. Редукция состояния и ее количест- количественные характеристики входят в кван- квантовую механику как один из посту- постулатов. Поэтому рассмотрение редук- редукции состояния как физического про- процесса лежит вне квантовой механики и можно успешно применять кванто- квантовую механику, не заботясь о концеп- концептуальных проблемах редукции. Одна- Однако исключить эти проблемы из кван- квантовой теории нельзя. Прежде всего ясно, что редукция происходит в процессе измерения при взаимодействии объекта с измери- измерительным прибором и фиксации ре- результата наблюдателем. Объект, измерительный прибор и наблюдатель составляют физическую систему, для описания которой долж- должно быть применимо уравнение Шре- дингера, в рамках которого нет места для недетерминированной редукции состояния. Спрашивается: почему в этой системе и в каком ее звене урав- уравнение Шредингера перестает быть справедливым и осуществляется ре- редукция состояния? Ответ Бора состоит в том, что квантовая механика справедлива лишь для микроскопических систем, масш- масштабы которых существенно меньше масштабов наблюдателя и макроско- макроскопических приборов, используемых в измерении. Макроскопический мир описывается с помощью классических понятий. Переход от квантовой микроскопической системы к класси- классической макроскопической системе не описывается уравнением Шредингера, а осуществляется редукцией состоя- состояния. Ответ Бора оставляет открытым вопрос о границе между микроскопи- микроскопической квантовой системой и макро- макроскопической классической системой,
408 1 5 Концептуальные вопросы квантовой механики которая состоит из квантовых мик- микроскопических объектов. Эту границу можно протянуть до человеческого мозга. В результате возникает иллю- иллюзия, что весь этот вопрос имеет осо- особое общефилософское значение для анализа соотношения между объек- объектом и субъектом в познании. Эта иллюзия вызвала к жизни многочис- многочисленные работы и разноголосицу в интерпретации квантовой механики. Однако граница между объектом и субъектом в познании находится в пределах сознания и существует неза- независимо от квантовой механики или какой-либо другой физической тео- теории. Это обстоятельство необходимо иметь в виду при оценке различных, особенно экзотических, интерпрета- интерпретаций квантовой механики. Оставление Бором открытым воп- вопроса о границе между микроскопиче- микроскопической квантовой системой и макроско- макроскопическим прибором и наблюдателем не обесценивает его утверждения о принципиальном различии между теорией квантовых объектов, описы- описываемых уравнением Шредингера, и классических объектов, к которым уравнение Шредингера неприменимо. Здесь необходимо подчеркнуть, что понятие квантового и классического объекта не следует связывать с гео- геометрическими размерами. В утверж- утверждении Бора эта связь отражает лишь исторические обстоятельства возник- возникновения квантовой механики при ана- анализе явлений в микроскопических фи- физических системах. В настоящее время известно большое число квантовых явлений макроскопических масшта- масштабов и даже вся Вселенная в опреде- определенном смысле представляется как единый квантовый объект. Следова- Следовательно, граница между квантовым и классическим объектами не определя- определяется их геометрическими размерами. Граница между квантовым и клас- классическим объектами определяется ха- характером законов, управляющих их движением. Если доминирующая роль принадлежит квантовым зако- законам, то объект квантовый, а если классическим - объект классический. Следовательно, граница между объек- объектами размыта, так же как и при гео- геометрическом разграничении объек- объектов, но размытость границы обуслов- обусловливается не геометрическими, а физи- физическими факторами и особенностя- особенностями моделей, которыми описываются квантовые и классические объекты. Таким образом, обсуждаемая граница не имеет объек- объективного характера и существует не в объективном мире, а лишь в физиче- физической модели, которой описывается этот мир. К этому утверждению сле- следует отнестись с особой осторож- осторожностью, потому что оно не является общепринятым, и с особым внима- вниманием, потому что оно является цент- центральным в том толковании концеп- концептуальных вопросов квантовой меха- механики, которое излагается в настоящей главе. Для построения модели квантово- квантового объекта мы располагаем в качестве элементов модели только теми, кото- которые можно заимствовать из модели классического объекта. Других, не классических, элементов, сформиро- сформированных в рамках макроскопического опыта, не существует. В процессе построения модели квантового объек- объекта создаются новые элементы моде- модели, но их более элементарные состав- составляющие являются по-прежнему клас- классическими. Несоответствие свойств элемента модели, встроенного в мо- модель квантового объекта, со свойст- свойствами того же элемента, встроенного в модель классического объекта, пока- показывает, что
74. Измерение в квантовой механике 409 не существует изоморфного соот- соответствия между физическими состав- составляющими квантового объекта и фи- физическими составляющими классиче- классического объекта. Поэтому, создав теорию кванто- квантового объекта, построенного из клас- классических элементов, нельзя обойтись без транслятора, переводящего ре- результаты квантовой теории в элемен- элементы модели и физические величины классического объекта. Роль такого транслятора выполняет третий посту- постулат квантовой механики. Из-за от- отсутствия изоморфного соответствия между физическими составляющими квантового и классического объектов результат трансляции является неде- недетерминированным, хотя эволюция квантового объекта полностью детер- детерминирована и описывается уравением Шредингера. Редукция состояния не является физическим процессом, поскольку вектор состояния или волновая функ- функция, по общепринятому в настоящее время мнению, не представляет физи- физическое поле. Поэтому утверждение Эйнштейна, что «бог не играет в кос- кости», правильно, но его вывод о непол- неполноте квантовой механики ошибочен, поскольку богу не требуется трансля- транслятор. Несмотря на то что волновая функ- функция не представляет физического по- поля, существует трудность интерпрета- интерпретации ее редукции в ^-представлении. Для простоты проанализируем эту трудность на примере измерения коор- координаты частицы, состояние движения которой описывается волновой функ- функцией ^(г, f). Вероятность обнаружить частицу при измерении в объеме dxdydz вблизи точки г в момент / равна |*F(r,t)\2dxdydz. В случае классической частицы ясно, что в каждый момент времени она находится в какой-то одной точке и ни в какой другой не находится. Поэтому, предприняв в один и тот же момент времени попытку обнаружить частицу вблизи точек с радиусами- векторами ri и г2, можно либо не обнаружить частицу ни в точке г15 ни в точке г2, либо обнаружить ее в одной из точек г1 или г2, но никогда нельзя обнаружить ее одновременно в точках Tj и г2. В случае квантовой частицы также нельзя надеяться обнаружить частицу одновременно в двух местах, но при- приведенное выше рассуждение о не- невозможности обнаружения частицы одновременно в двух местах не спра- справедливо, потому что о ней нельзя сказать, что она в каждый момент находится в какой-то одной точке и не находится в других; она в опре- определенном смысле присутствует одно- одновременно во всех точках, хотя и с различной плотностью вероятности. Объективная физически одинако- одинаковая возможность обнаружить частицу имеется во всех точках одновременно. Спрашивается: почему нельзя обна- обнаружить частицу хотя бы в двух точках одновременно, несмотря на то что точки эквивалентны с физической точки зрения, а события в них неде- терминированы и могут быть связа- связаны лишь сигналом с бесконечно боль- большой скоростью распространения? Другими словами, какова причина абсолютной корреляции случайных событий в двух точках, разделенных пространственным интервалом, иск- исключающим наличие обычной физиче- физической связи между событиями? Осо- Особый интерес этого вопроса заключа- заключается в том, что аппарат квантовой механики содержит в себе эту корре- корреляцию, но понять ее физическое со- содержание затруднительно. К этой же 27 219
410 15. Концептуальные вопросы квантовой механики 149 Схема интерферометра Маха-Тендера проблеме в последние годы привели эксперименты по проверке неравенств Белла, выполненные в последние 15 лет. Поэтому мы обсудим их более подробно в конце главы. Для полноты рассуждений, приво- приводящих к этой проблеме независимо от результатов экспериментов по про- проверке неравенств Белла, необходимо остановиться более подробно на фи- физическом содержании утверждения, что квантовая частица в определенном смысле присутствует одновременно во всех точках и что во всех точках одновременно имеется объективная физически одинаковая возможность обнаружить частицу. Для этого рассмотрим процессы, происходящие в интерферометре Ма- Маха-Зендера (рис. 149). Луч света с интенсивностью /0 от источника S делится полупрозрачной пластиной А на два луча равной ин- интенсивности /0/2, которые направля- направляются к зеркалам В^п В2. После отра- отражения от зеркал лучи идут к полу- полупрозрачной пластинке D, которая в результате отражения и преломления каждый из лучей делит на два. Обра- Образуются две пары взаимно когерент- когерентных волн 1, 2 я 3, 4. Интерферометр Маха - Зендера является модифика- модификацией интерферометра Майкельсона, а его теория аналогична теории послед- последнего. На экране, расположенном в направлении Fu при сведении лучей 1 и 2 в одну точку происходит интерфе- интерференция. Интенсивность интерферен- интерференционной картины определяется формулой / = 2/0A +cos5), где 5- разность фаз между интерферирую- интерферирующими лучами. Линии одинаковой ин- интенсивности в интерференционной картине определяются условием 5 = = const. Наиболее просто наблюдать и анализировать интерференционные полосы в виде концентрических ок- окружностей, образуемых в результате того, что из точки S на пластину А падает не пучок параллельных лучей, а пучок расходящихся лучей. Однако для последующих рассуждений харак- характер интерференционной картины не- несуществен, важно лишь, что она воз- возникает. В направлении F2 также появ- появляется интерференционная картина, распределение интенсивностей в кото- которой дополняет распределение интен- интенсивностей в направлении Ft таким образом, чтобы соблюдался закон сохранения энергии. Классическая волновая^ оптика во всех деталях количественно описы- описывает явление интерференции. Экспе- Эксперимент полностью подтверждает тео- теорию. В интерферометре Маха-Зенде- Маха-Зендера осуществляется двухлучевая интер- интерференция делением амплитуды волн с помощью полупрозрачных пластин А и D. Интерферирующие волны прохо- проходят различные пути ABJ) и ABZD, отдаление которых друг от друга в пространстве может быть сколь угод- угодно большим. При интерпретации явлений ин- интерференции в рамках корпускуляр- корпускулярных представлений о свете мы прежде всего убеждаемся, что нельзя объяс-
§ 75. Физическая реальность 411 нить интерференцию взаимодействи- взаимодействием различных фотонов (см. § 5). В рассматриваемом случае это доказы- доказывается уменьшением интенсивности потока фотонов от источника S в интерферометр до столь малых зна- значений, при которых в пределах интер- интерферометра не может находиться в среднем более одного фотона. При этом наблюдаемая интерференцион- интерференционная картина при соответствующем увеличении времени экспозиции не изменяется, являясь доказательством утверждения, что «фотон интерфери- интерферирует сам с собой». При той же малой интенсивности можно убедиться с по- помощью двух детекторов, включенных в схему совпадений и установленных в соответствующих точках на путях ABJ) и АВ2Ъ, что всегда фотон де- детектируется либо на пути ABXD, либо на пути AB2D, и никогда на обоих путях одновременно. Общее число фотонов, падающих на пластину А, равно сумме чисел фотонов, детекти- детектируемых на пути AB2D и AB2D (закон сохранения энергии). Это еще более надежно подтверждает положение, что «фотон интерферирует сам с со- собой». Однако, чтобы придать такому ут- утверждению физический смысл, необ- необходимо принять положение, что хотя фотон детектируется либо на пути АВ^, либо на пути AB2D, он до момента детектирования находится на обоих путях одновременно, но пос- после момента детектирования на одном из путей возможность его детектиро- детектирования на другом из путей исчезает мгновенно. Другими словами, о фо- фотоне, образующем определенную точ- точку интерференционной картины, нель- нельзя сказать, что он двигался либо по пути ABXD, либо по пути AB2D, но что он двигался одновременно и по пути ABJ), и по пути AB2D. Если непроницаемым экраном задержать все фотоны, движущиеся вдоль одно- одного из путей, то интерференционная картина исчезает, т.е. если каждый из фотонов движется лишь по одному пути, то интерферен- интерференционная картина не возникает. Это означает, что при открытых двух пу- путях, когда возникает интерференцион- интерференционная картина, каждый из фотонов дви- движется одновременно по обоим путям. В этом и состоит физическое со- содержание сформулированного выше утверждения, что квантовая частица в определенном смысле присутствует одновременно во всех точках и что во всех точках имеется объективная фи- физически одинаковая возможность об- обнаружить частицу. 75. Элемент физической реальности и проблема полноты квантовой механики Излагаются рассуждения Эйнштейна - Подоль- Подольского -Розена по проблеме полноты квантовой механики и ответ Бора. Соотношение неопределенностей. Со- Соотношение неопределенностей явля- является концентрированной количествен- количественной формулировкой особенностей квантового объекта, представленной в наиболее близкой к классическим образам форме. Впервые соотноше- соотношение неопределенностей было сформу- сформулировано Гейзенбергом для коорди- координат и импульсов и получило название соотношения неопределенностей Гей- зенберга. Оно сыграло очень боль- большую теоретическую и эвристическую роль в развитии квантовой механики. Многозначность числового значе- значения динамической переменной в кван- квантовой механике обусловлена физиче- физическими свойствами этой переменной, а не ошибками, неизбежно присутст- присутствующими во всяком измерении. 27*
412 15 Концептуальные вопросы квантовой механики Это очевидно из того факта, что значение коммутатора A8.35^ дина- динамических переменных L и М пол- полностью определяет соотношение не- неопределенностей A8.41), имеющее для этих переменных универсальное значение, независимое от состояния движения системы и каких-либо изме- измерений. Соотношение неопределенно- неопределенностей характеризует не динамическую переменную, а соотношение двух ди- динамических переменных между собой в одном и том же состоянии. Связь соотношения неопределенности У<(Д/д2> У<(Д*J> > nil G5.1) с погрешностями измерений имеет, в сущности говоря, семантический ха- характер и проистекает из математиче- математической аналогии величин <((АрхJ) и ((АхJ) со среднеквадратичными отклонениями результатов измерения рх и х от средних значений, которые равны истинным значениям величин рх и х, существующим независимо от измерений. Квантовая динамическая перемен- переменная, представляемая оператором, не характеризуется каким-либо число- числовым значением, а ее среднее значение по многим измерениям не может рас- рассматриваться как числовая характе- характеристика динамической переменной вне акта измерения. Соотношение неопределенностей говорит лишь о соотношении разбросов числовых значений динамических переменных, представленных не коммутирующими друг с другом операторами. Объективный характер соотноше- соотношения неопределенности, независимый от измерения, проявляется в эвристи- эвристических применениях этого соотноше- соотношения. Например, если известно, что частица заключена в объеме с линей- линейными размерами Ах, то можно быть уверенным, что ее импульс р^ Нх х BАх) 1, а кинетическая энергия Е = р2/Bт) ^ /j2/[8 (AxJm]. Такая оценка энергии электрона в ядре ато- атома привела к заключению, что он там находиться не может, и, следователь- следовательно, нельзя считать ядро состоящим из протонов и электронов и объяснить этим различие между атомным но- номером и зарядом в единицах <?. Вскоре был открыт нейтрон, который под- подтвердил это заключение. Сразу после установления Гейзен- бергом соотношения неопределенно- неопределенностей возник вопрос, почему одна пара динамических переменных может быть измерена с нулевым разбросом каждой из них, а другая-не может. Ответ Гейзенберга и Бора состоял в том, что при измерении динамиче- динамической переменной в состояние объекта измерения вносятся самим процессом измерения неконтролируемые измене- изменения. Если эти изменения не относятся к свойствам объекта, затрагиваемым измерением некоторой другой дина- динамической переменной, то обе дина- динамические переменные могут быть из- измерены со сколь угодно малым разб- разбросом значений. Если же при измере- измерении двух динамических переменных в состояние объекта вносятся завися- зависящие друг от друга изменения, то опе- операторы динамических переменных не коммутируют между собой и выпол- выполняется соотношение неопределенно- неопределенностей для разбросов результатов изме- измерений числовых значений этих пере- переменных. Индетерминизм. Если бы коорди- координаты и импульсы могли быть однов- одновременно измерены с нулевым разбро- разбросом, то движение квантовой частицы можно было бы описывать точно так же, как и классической, считая, что в любой момент времени она обладает вполне определенным импульсом и координатой. Квантовая механика
§ 75. Физическая реальность 413 допускает измерение любой из этих величин в отдельности с нулевым разбросом, но исключает возмож- возможность одновременного измерения обеих этих величин с нулевым разб- разбросом. Таким образом, детерминированное описание движе- движения становится невозможным уже на уровне элементарного квантового объекта-точки, причем в указанной выше интерпретации индетерминизм возникает из-за внесения в состоя- состояние объекта неконтролируемого воз- воздействия самим актом измерения, а математическим выражением инде- индетерминизма выступает соотношение неопределенностей. Физики классической традиции не могли признать допустимым введе- введение индетерминизма по крайней мере на фундаментальном уровне элемен- элементарного объекта теории. Эйнштейн выразил это известным высказыва- высказыванием, что «бог не играет в кости». В связи с этим возник ряд попыток доказать неправильность соотноше- соотношения неопределенностей, придумав та- такую мысленную ситуацию и процеду- процедуру измерения, которые бы позволили определить обе некоммутирующие динамические переменные с нулевым разбросом. В истории известен ряд дискуссий Бора и Эйнштейна по этим вопросам. Эйнштейн предлагал при- пример, опровергающий соотношение не- неопределенностей, а Бор доказывал ошибочность аргументов Эйнштейна. В конечном счете не удалось найти примеров, опровергающих соотноше- соотношение неопределенностей. Дискуссии Бора и Эйнштейна по этим вопросам сейчас имеют лишь исторический ин- интерес. Рассуждения ЭПР и элементы фи- физической реальности. В 1935 г. трем авторам - Эйнштейну, Подольскому и Розену (ЭПР)-пришла идея изме- измерения физических свойств частицы без возмущения ее состояния, если изме- измерение производить, «не прикасаясь» к ней. В результате этого представля- представляется возможным знать числовое зна- значение динамической переменной до акта последующего измерения «с при- прикосновением» к частице. Отсюда можно сделать заключение, что эта физическая величина характеризуется определенным числовым значением независимо от акта измерения и су- существует, так сказать, сама по себе. О такой величине говорят, что она явля- является элементом физической реально- реальности. В своей статье Эйнштейн, По- Подольский и Розен определили «эле- «элемент физической реальности» следу- следующим образом: «Если, ничем не возмущая систе- систему, можно достоверно предсказать числовое значение физической вели- величины, то существует элемент физи- физической реальности, соответствующий этой физической величине». Идея невозмущающего измерения чрезвычайно проста и основана на подходящем законе сохранения для рассматриваемой величины. В статье ЭПР было рассмотрено невозмуща- ющее измерение импульса частицы. Пусть покоящаяся частица самопро- самопроизвольно распадается на две частицы, которые разлетаются в противопо- противоположные стороны. Суммарный им- импульс двух частиц равен нулю, а им- импульсы частиц равны по модулю, но противоположны по направлению. Следовательно, измерив импульс од- одной из них, узнаем импульс другой. Если расстояние между частицами достаточно велико, то можно быть уверенным, что измерение импульса первой частицы не возмутило им- импульс второй частицы, который ока- оказывается известным до измерения «с соприкосновением». Это означает, по
414 15 Концептуальные вопросы квантовой механики мнению ЭПР, что у квантовой части- частицы существует элемент физической реальности, называемый импульсом. Проблема полноты квантовой тео- теории. Рассмотрев несколько типов по- подобных измерений, ЭПР приходят к выводу, что число элементов физиче- физической реальности больше, чем в сос- состоянии описать квантовая механика. В частности, импульс и координата частицы являются, по мнению ЭПР, элементами физической реальности, а квантовая механика не в состоянии описать их одновременно в этом ка- качестве из-за запрета соотношений не- неопределенности. По мнению ЭПР, квантовая теория не является полной в соответствии со сформулирован- сформулированным ими определением полноты: «Каков бы ни был смысл слова «полный», представляется необходи- необходимым на полную теорию наложить следующее условие: каждый элемент физической реальности должен соот- соответствовать некоторому нечто, пред- представляющему его в теории». При таких определениях полноты теории и элементов физической реаль- реальности, а также убеждении, что они доказали своими рассуждениями оши- ошибочность соотношений Гейзенберга, ЭПР сделали заключение, что описа- описание физической реальности с по- помощью вектора состояния не являет- является полным. Следовательно, необхо- необходима разработка более глубокой тео- теории, которая бы полно представила физическую реальность. Такое заклю- заключение явилось мощной поддержкой разработке различных вариантов тео- теории скрытых параметров и поискам альтернативных интерпретаций кван- квантовой механики, отличных от разра- разработанной в институте Бора в Копен- Копенгагене Бором, Гейзенбергом и други- другими и получившей название копенга- копенгагенской интерпретации. Бор без промедления ответил на рассуждения ЭПР. Суть его ответа состояла в том, что рассуждения ЭПР основаны на не- неприемлемых для квантовой механики посылках. Разлетевшиеся частицы в измерении импульса в рассуждениях ЭПР не могут рассматриваться как два независимых квантовых объекта, они в совокупности составляют один квантовый объект, или, иначе, единую квантовую систему, независимо от геометрических размеров. Измерения можно производить и интерпретиро- интерпретировать лишь применительно к системе в целом и нельзя разбить единую кван- квантовую систему на две части, как это сделали Эйнштейн, Подольский и Ро- Розен. Поэтому их заключение о непол- неполноте квантовой механики несостоя- несостоятельно. Дальнейшее развитие событий по- показало, что прав был Бор. Однако и рассуждения ЭПР не были бесплод- бесплодными. Хотя они и направили некото- некоторые научные исследования в тупико- тупиковые направления, но активизировали также и плодотворные исследования по фундаментальным аспектам кван- квантовой теории. Речь при этом идет в первую очередь о квантово-механи- ческой корреляции и несепарабельно- несепарабельности квантовой системы. Квантово-механическая корреля- корреляция и несепарабельность квантовой системы. Под несепарабельностью квантовой системы понимается не- неразрывность связи любой части сис- системы со всей системой, невозмож- невозможность разделить систему на части да- даже мысленно в теории. Поведение и свойства отдельных частей системы определяются систе- системой в целом, и они не могут рассмат- рассматриваться независимо, т. е. поведение и свойства отдельных частей системы коррелируют между собой.
§ 75. Физическая реальность 415 Такая корреляция в классических системах не представляет собой кон- концептуальной проблемы, она объяс- объясняется физическими связями между частями системы. В квантовой систе- системе, особенно если ее частями высту- выступают элементарные квантовые объек- объекты, такая корреляция без сомнения является одной из важнейших концеп- концептуальных проблем теории и по свое- своему содержанию коренным образом отличается от классической корреля- корреляции. Рассмотрим это отличие на при- примере измерения импульса в системе разлетающихся частиц в рассужде- рассуждениях ЭПР. Математически несепарабельность квантовой системы из двух разлетаю- разлетающихся частиц выражается в том, что волновую функцию этой системы нельзя представить в виде произведе- произведения волновых функций, относящихся к частям системы. Поэтому нельзя провести рассуждения об измерении импульсов частиц так, как это было сделано Эйнштейном, Подольским и Розеном. Волновая функция системы содержит все корреляции между свойствами частей системы, в том числе она содержит и закон сохране- сохранения импульса, который выступает в виде корреляционного соотношения между импульсами разлетающихся частиц. В классической и квантовой сис- системе из двух разлетающихся частиц формулировка этого корреляционно- корреляционного соотношения одинакова: при неза- независимом измерении импульсов разле- разлетающихся частиц получаются одина- одинаковые по модулю, но противополож- противоположные по знаку числовые значения. Од- Однако физическое содержание этой формулировки принципиально раз- различно. В классической системе эта формулировка, кроме закона сохране- сохранения импульса изолированной систе- системы, ничего не содержит. В квантовой системе она содержит нечто значи- значительно большее. Она содержит утверж- утверждение, что закон сохранения энергии соблюдается в каждом измерении. Но динамические переменные, именуе- именуемые импульсами частиц, дают при измерении недетерминированный чис- числовой результат, причем эта недетер- недетерминированность обусловлена не тех- техническими ошибками измерения, а яв- является принципиальным свойством динамической переменной. Спрашивается: какие факторы обеспечивают полную корреляцию значений импульсов у разлетающихся частиц для каждого измерения, если измерение каждого из импульсов дает недетерминированный результат? Само собой разумеется, что под измерением в этом вопросе подразу- подразумевается совокупность двух измере- измерений импульсов разлетающихся час- частиц. Если пространственно-временные области, в которых производятся из- измерения импульсов разлетающихся частиц, разделены пространственно- подобным интервалом, то наличие корреляции между индивидуальными недетерминированными результата- результатами измерений в этих областях не мо- может быть в принципе объяснено су- существованием каких-то классических физических связей между областями измерения импульсов. Ясно, что пред- предсказание квантовой механикой корре- корреляции между индивидуальными неде- недетерминированными событиями явля- является чрезвычайно фундаментальным результатом. Однако необходимости прямой экспериментальной проверки справедливости этого результата в то время A935) не возникало, поскольку квантовая механика была блестяще подтверждена всей совокупностью экспериментальных исследований.
416 15. Концептуальные вопросы квантовой механики Для Бора и большинства физиков, работавших в области квантовой ме- механики, вопрос о рассуждениях ЭПР и полноте квантовой механики был ис- исчерпан. Эйнштейн и его сторонники также не сомневались в правильности пред- предсказаний квантовой механики, но их убеждение в неполноте квантовой ме- механики еще более укрепилось, потому что предсказываемые ею корреляции не могут быть в рамках теории объяс- объяснены физическими связями. Эта си- ситуация привела к появлению большо- большого числа работ по теории скрытых параметров. Цель создания такой теории состояла не в том, чтобы ре- решить проблемы, которые не могла решить квантовая механика, а в том, чтобы получить результаты кванто- квантовой механики в рамках классических представлений. Поэтому вопрос об экспериментальном выборе между теорией скрытых параметров и кван- квантовой механикой не мог быть даже поставлен и никакие эксперименты по этому вопросу в течение более 30 лет не планировались и не ставились. Лишь в 1964 г. Беллом было показа- показано, что при самых общих предполо- предположениях в определенных ситуациях между результатами теории скрытых параметров и квантовой механики су- существуют числовые расхождения, ко- которые можно исследовать в экспери- эксперименте. Таким образом, соответствую- соответствующие эксперименты могли сделать воз- возможным выбор между теорией скры- скрытых параметров и квантовой механи- механикой. Больше того, уже первоначаль- первоначальный анализ показал, что в противовес общепринятому убеждению в то вре- время (середина 60-х годов) не было ни одного прямого экспериментального подтверждения справедливости кор- корреляционных предсказаний квантовой механики. В связи с этим эксперимен- экспериментальная проверка квантовых корреля- корреляций получила ясный смысл и приоб- приобрела чрезвычайно большое принци- принципиальное значение. 76. Квантовые корреляции Дается теоретический анализ квантовых корре- корреляций спинов и поляризаций. Корреляция спинов в синглетном со- состоянии. Для надежной эксперимен- экспериментальной проверки существования кван- квантовой корреляции целесообразно вы- выбрать такую динамическую перемен- переменную, квантовый разброс которой в различных актах измерения значи- значительно превосходит технические ошибки в измерении динамической переменной в каждом акте. Этому условию идеально удовлетворяет спин. Идея использования спина для исследования квантовых корреляций в опыте типа ЭПР принадлежит Бору (начало 50-х годов). Измерение спина атома может быть произведено в опыте Штерна- Герлаха (см. § 15). Проекция спина на любое направление у атомов со спи- спином 1/2 может принимать лишь значе- значения + 1/2; — 1/2 (в единицах Я). Опыт типа ЭПР с использованием спина в качестве измеряемой динамической переменной может быть в принципе поставлен следующим образом (рис. 150). Частица А (например, молекула) с полным спином, равным нулю, рас- распадается на две частицы А1 и А2 (например, атомы) со спинами по 1/2 у каждой. Разлетающиеся в разные стороны частицы А1 и А2 образуют единую квантовую систему в синглет- синглетном состоянии, т. е. с полным спином, равным нулю B S + 1 = 1). На не- некоторых расстояниях от места рас- распада частицы А производится измере- измерение проекции спина разлетающихся частиц на векторы а и Ь, перпенди-
§ 76 Квантовые корреляции 417 кулярные скоростям этих частиц (рис. 150). Наблюдая достаточно много рас- распадов частиц А и измеряя каждый раз проекцию спина частицы А г на вектор а, можно убедиться, что проекция принимает только значения + 1/2 и — 1/2 независимо от направления а. При большом числе опытов убежда- убеждаемся, что в измерении значения + 1/2 или — 1/2 появляются случайно с равными вероятностями. Аналогич- Аналогичные заключения можно сделать из измерений проекции спина частицы А 2 на ось Ь. Для изучения корреляции проекций спина частиц At на а и спина частиц А2 на b необходимо фиксировать пару проекций спина у частиц, образовавшихся в результате одного и того же распада. Это со- составляет наибольшую трудность экс- эксперимента, но она преодолима. Тео- Теоретически результаты эксперимента могут быть предсказаны. Рассмотрим самый простой слу- случай, когда а и b коллинеарны и имеют одно и то же направление (т. е. а • b = ab). Измерение сводится к фиксации проекции спина частиц А1 и А 2 от одного и того же распада. Если проекция спина на вектор а имеет положительный знак (значение + 1/2), результат эксперимента обоз- обозначается а( + ), а если отрицатель- отрицательный-то я( —). Аналогично, для проек- проекций спина частицы А2 на Ъ:Ь(-\ ), Ь(-). Результат одного измерения записывается в виде а(±) Ь(±). В принципе возможны следующее четыре результата: а( + ) Ь( + ), а( + ) Ь{-), а(-) Ь( + ), а(-) Ь(-). Если появление проекции спина ( + ) или ( — )-локально случайное со- событие, т.е. определяется лишь окрест- окрестностью той области, в которой оно происходит, и не зависит от того, что происходит в удаленных областях 4. А, 150 Схема опыта типа ЭПР со спинами в качестве измеряемых динамических переменных пространства, то результат экспери- эксперимента в рамках классического под- подхода легко предсказать. В этом случае появление проекций на а и на b не- независимые события и причем вероят- вероятность каждой проекции одинакова и равна 1/2. Следовательно, вероят- вероятность любой из четырех возможных комбинаций одинакова и равна 1/4. Это выражает независимое 1ь проек- проекций (+ ) или (—) спина частицы А х на а и А 2 на b в отсутствие какой-либо корреляции между событиями. Если эксперимент покажет наличие кор- корреляции между событиями, то для сторонников ЭПР это служит доказа- доказательством, что события не являются локально случайными. Однако нельзя допустить также, что события в от- отдаленных точках, разделенных про- странственноподобным интервалом, связаны между собой физическими факторами. Поэтому наличие кор- корреляции между событиями для сто- сторонников ЭПР означает, что соответ- соответствующие физические величины-«эле- величины-«элементы физической реальности» и их числовые значения - закодированы в частице и лишь проявляются в ре- результате измерения. В примере ЭПР с импульсами это означает, что в мо- момент образования пары частиц А1 и А 2 каждая из них обладает вполне определенным импульсом, который связан с частицей и переносится ею в неизменном виде. В акте измерения
418 15 Концептуальные вопросы квантовой механики фиксируется значение этого импуль- импульса, существовавшего до акта измере- измерения. Корреляция между значениями импульсов частиц Ах и А2 выражает закон сохранения импульса. Выявле- Выявление в эксперименте корреляции между проекциями спина означает, что проек- проекции спина частиц Ах или А2 нельзя рассматривать как случайные собы- события. Эти проекции каким-то образом закодированы в частицах в момент их образования при распаде частицы А. Кодированные записи переносятся частицами и раскодируются в момент измерений проекций спина. Корреля- Корреляция между значениями спина объясня- объясняется свойствами кодов, которыми записывается в частице проекция спина. Многочисленные теории скрытых параметров по своему содержанию сводятся к попыткам найти код для тех или иных динамических перемен- переменных или квантовой механики в целом. В квантовой механике проекции спи- спина частицы Ах на а и частицы А2 на b являются случайными величинами. Это означает, что частицы Ах и А2 не несут на себе никакой кодированной записи проекций спина ( + ) или ( —). Вместе с тем квантовая механика утверждает, что проекции спина час- частицы Ах на а и спина частицы А2 на b коррелированы между собой. Для случая (а • b = ab) из-за равен- равенства нулю полного спина системы двух частиц Ах и Аг сумма из проек- проекций должна быть также равна нулю в каждом акте измерения пары проек- проекций частиц, образовавшихся в одном и том же акте распада частицы А. Это означает, что из четырех возможных результатов измерения могут осущест- осуществиться лишь два: й( + ) Ь{ —) и а( —) Ь( + ). Результаты а( + ) Ь( + ) и а(-) Ь( —) никогда не могут осуществиться. Обозначим Р±{а), Р+ф), Р±±(а, Ь) вероятности появления соответствен- соответственно событий а(±), Ь(±) и а(±) Ь(±). Тогда Р+(а) = РЛа) = 1/2, Р+(Ь) = Р.ф) = 1/2, G6.1) Вероятности совместного появления событий Р±±{а, Ь) при независимости событий в аи b равны произведениям вероятностей соответствующих собы- событий: Р±±(а, b) = P±(a)-P±(b)=\/4. G6.2) Вероятности совместных событий Р+±(а, Ь) при наличии закона сохране- сохранения полного спина вычисляются по формуле условных вероятностей: Р±±(а, Ъ) = Р[_а(±) Ь(±у] = h G6.3) где Р[6( + )/а(±)]-вероятность собы- события Ь{±), если осуществилось собы- событие а{±). Ясно, что Р[6( + )/( )] = Р[Ь{-)К-)-\ = О, РШ + ) Ш)/{ )~} = 1- Поэтому Р++{а, Ь) = Р.-(а, Ь) = 0, Р+_(я, Ъ) = = Р_+(а, Ь)=1/2. G6.4) Коэффициент корреляции двух случайных переменных St и S2 опре- определяется формулой 2, G6.5) где скобками < ) обозначены средние значения соответствующих величин по ансамблю (по реализациям). Вычислим коэффициент корреля- корреляции, когда проекции спинов на аи b независимы. Обозначим S1( + ) = l/2 и Sj( —)== — 1/2 значения проекций спинов на а и, аналогично, S2( + ) = 1/2 и S2(-) = - 1/2-на Ь. Тогда a) + S!(-)P_(e) = 0, <S2> = S2(-)P.(b) = О, S22(-)P_(a) = 1/4, G6.6)
§ 76. Квантовые корреляции 419 = 1/4, Ь) 1( + )S2(-)P+_(a,b) + S1(-)S2(-)P__(a, b) = 0, где для вероятностей P±±{a,b) исполь- использованы значения {16.2O При учете закона сохранения не- необходимо для Р±±(а, Ь) пользоваться формулами G6.4). Тогда <StS2>=-1/4 G6.7) и, следовательно, коэффициент кор- корреляции Yi2 = - 1, G6.8) т. е. имеет место полная антикорреля- антикорреляция, выражающая взаимную зависи- зависимость проекций спинов на аи b при а • b = ab. По формулам квантовой механи- механики аналогично можно вычислить коэффициент корреляции при произ- произвольном угле между а и b и сравнить результаты с экспериментом. Расчет этих корреляций нетрудно провести с помощью формул § 36, в частности формул C6.24). Однако нет необходи- необходимости приводить здесь соответствую- соответствующие расчеты и описывать опыты, по- поскольку наиболее точные последние опыты были произведены в самом начале 80-х годов не со спинами, а с поляризациями фотонов. В теорети- теоретическом отношении вопросы о корре- корреляции поляризаций фотонов и спинов совершенно эквивалентны, но в экс- экспериментальном отношении исследо- исследование корреляций поляризации фото- фотонов более эффективно и позволяет получить несравненно более надеж- надежные результаты. Схема эксперимента типа ЭПР с поляризациями. Разлетающимися в разные стороны «частицами» являют- являются фотоны с частотами сох и со2 (рис. . Y 151 Схема эксперимента типа ЭПР с поляризация- поляризациями в качестве измеряемых динамических пе- переменных 151), испускаемые парами из неболь- небольшой области А. Клаузером, Хорном, Симони и Хольтом было показано A969), что подходящие коррелирован- коррелированные по поляризации пары фотонов испускаются при некоторых каскад- каскадных переходах в атомах. На рис. 152 дана схема каскадного перехода ато- атома кальция, при котором полный момент испульса J атома изменяется в последовательности (J = 0) -> (J = 1) -> (J = 0), т. е. в результате излуче- излучения двух фотонов полный момент атома остается неизменным и, сле- следовательно, суммарный момент двух фотонов равен нулю. Этот каскадный переход очень удобен для анализа поляризаций испущенных пар фото- фотонов в схемах счета совпадений, по- потому что время жизни атома в про- промежуточном состоянии очень малое и составляет примерно 5 не. Для анализа поляризации получен- полученных в каскадном переходе фотонов необходимо рассмотреть свойства промежуточного состояния с J = 1. Проекция полного момента J = 1 на произвольную ось может принимать значения т3 =1,0, 1 [см. C7.31)]. Таким образом, переход (J — 0) -> (J = 1) -> (J = 0) осуществляется по трем различным путям через про- промежуточные состояния nij = — 1, 0, 1 (рис. 152, б). В промежуточном со- состоянии 1Р1 полный спин атома S = 0
420 1 5. Концептуальные вопросы квантовой механики 5) J=0 Двухфотонное возбуждение каскадного излу- излучения в кальции и, следовательно, J = L, nij = mL. Приняв в качестве выделенной ось Z на рис. 151, вдоль которой распро- распространяются фотоны, мы видим, что при т} = ± 1 электроны, обусловли- обусловливающие отличие J от нуля, движутся в плоскости XY, а при nij = О-в плос- плоскости, в которой лежит ось Z. Из принципа соответствия следует, что при переходе (J = 0) -*¦ (J = 1) вдоль оси Z испускаются фотон с левой или правой круговой поляризацией (при nij = + 1) или линейной поляризаци- поляризацией (при mj = 0), которая может быть представлена в виде суперпозиции левой и правой круговых поляриза- поляризаций. При переходе (J = 1) -»(J = 0) на втором шаге каскада фотон испуска- испускается с такой же поляризацией, как и на первом. С помощью коллиматоров и филь- фильтров можно отобрать пары фотонов по определенному направлению дви- движения и частоте, в результате чего получается схема, изображенная на рис. 151 (коллиматоры и фильтры там не показаны). Закон сохранения момента импульса при излучении с учетом требований сохранения четно- четности позволяет представить поляриза- поляризационную часть вектора состояния пары фотонов (coj, co2) в виде К. «2> = (\Ru R2) + \Llt L2»/>/2,G6.9) где R; и L;-символы правой и левой круговой поляризации фотона с час- частотой о»; (/= 1, 2). Состояния круго- круговых поляризаций |/?) и |L) можно выразить в базисе линейных поля- поляризаций |jc) и {у}. В результате для поляризационной части вектора со- состояния фотонов (coj, a>2) находим выражение G6.10) где |х) и \у~)-линейные поляризации по осям X и Y; индексы означают принадлежность к фотонам (Oj и ю2. Напомним, что фотон с частотой со1 движется в направлении отрицатель- отрицательных значений оси Z (см. рис. 151), а с частотой ю2-положительных. Из G6.10) следует, что фотоны с частотами ш1 и со2, движущиеся в противоположных направлениях, линейно поляризованы в одинаковых направлениях. Физическое содержа- содержание этого утверждения в классичес- классическом понимании поляризации очевид- очевидно и не требует пояснений. Однако в применении к фотону в квантовом понимании состояния дело существен- существенно осложняется. Из G6.10) следует, что каждый из фотонов с частотами fflj и ю2 находится в суперпозиции состояний линейной поляризации по осям X и Y, т.е. не имеет определен- определенного направления линейной поляриза- поляризации, как это также очевидно из ис- исходной формулы G6.9), в которой вектор состояния представлен по ба- базисным векторам круговой поляриза- поляризации. Тем не менее утверждение об одинаковой линейной поляризации фотонов юх и ю2 имеет вполне опре- определенный смысл, который выявляется в результате измерения. Измерение линейной поляризации фотонов. В § 4 было подробно рас- рассмотрено измерение линейной поля- поляризации фотона с помощью двояко-
§ 76 Квантовые корреляции 421 преломляющего кристалла. На вы- выходе из кристалла образуются два луча (обыкновенный и необыкновен- необыкновенный), поляризованные в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Эти лучи могут быть использованы для анализа поляризации фотонов. В приз- призме Николя лучи разделяются и один из них до выхода из призмы поглоща- поглощается. Имеется большое число двояко- преломляющих призм и других оп- оптических устройств, которые могут образовывать лучи с взаимно перпен- перпендикулярными линейными поляриза- поляризациями. Все они могут использоваться в качестве анализаторов поляризации фотонов. Ориентировка анализаторов на рис. 151 характеризуется векторами а и Ь, которые одинаково фиксированы относительно соответствующих опти- оптических осей анализаторов, например коллинеарны им. Оптические оси ана- анализаторов лежат в плоскостях, пер- перпендикулярных линии движения фо- фотонов. Взаимная ориентировка ана- анализаторов описывается углом между векторами а и Ь. Результат измерения поляризации фотона, падающего на анализатор /, определяется поляризацией выходя- выходящего из анализатора фотона. Если его поляризация коллинеарна а, то результату измерения поляризации приписывается некоторое числовое значение, например + 1; если его по- поляризация перпендикулярна а, то ре- результат измерения равен — 1. Ана- Аналогично обозначают результаты из- измерения поляризации фотона с часто- частотой со2 анализатором II, ориентиров- ориентировка которого характеризуется векто- вектором Ь. Взаимные ориентировки а и b произвольны в плоскостях XY. Вычисление коэффициента корреля- корреляции поляризаций. Для вычисления коэффициента корреляции необходи- необходимо найти вероятности результатов измерений каждой из возможных по- поляризаций и совместных результатов измерений каждой из пар возможных результатов, т.е. вероятности Р±(я), Р+(Ь), Р±±(л, Ь) при произвольных ориентировках векторов а и Ь. Это можно сделать с помощью вектора состояния G6.10) обычными кванто- во-механическими методами. Однако для большей наглядности получаемо- получаемого при этом физического результата целесообразно вспомнить, что исход- исходным физическим фактом при разра- разработке измерений линейной поляриза- поляризации фотона был закон Малюса (см. § 4) в такой формулировке: если из- известно, что линейная поляризация фо- фотона направлена по вектору а, то вероятность того, что она будет в результате измерения направлена по вектору Ь, равна cos2 (a, b), где симво- символом (а, Ь) обозначен угол между а и Ь. Другими словами, условная вероят- вероятность -Р(Ь/а) появления поляризации по вектору b при измерении, если известно, что она направлена по а, равна Р{Ъ/а) = cos2 (a, b). G6.11) При произвольной ориентировке вектора а получение значений + 1 и — 1 в измерении поляризации фотона равновероятно и равно Р+(а) = /'-(а)=1/2. G6.12а) Аналогично, Р+(Ъ) = Р„(Ъ)= 1/2. G6.126) Для вычисления вероятностей сов- совместного появления результатов одно- одновременного измерения поляризаций пары фотонов воспользуемся обозна- обозначениями рис. 153. Поскольку линей- линейные поляризации фотонов одинако- одинаковы, можно написать: />+ + (а, Ь) = />+(а)/>(Ь/а) = 7iCOS2(a, b),
422 15. Концептуальные вопросы квантовой механики 153 К расчету коэффициента корреляции поляри- поляризаций Р+ _ (а, Ь) = Р+ (а) ДЬ±/а) = »/2 cos2 (a, b) = = V2cos2(a, b±) = 72sin2(a, b), G6.13) b±lb. Аналогично, Р^-(я, b) = V2 CO«26, -P- + (a, b) = = 1/2sin29, G6.14) где 9-угол между а и b. Формулы G6.12)-G6.14) являются квантово- механическими результатами вычис- вычисления искомых вероятностей. Обозначая динамические перемен- переменные поляризации фотонов И( и ш2 соответственно S, и S2. а их числовые значения при измерениях G6.15) S2(-)=-l, находим: <Sl> = S1( + )f4 <S2) = S2( + )/L <S2> = S2( + )i% .(a) + S1(-)i>_(a) .(b) + S2(-)P_(b) .(a) + S2(-)P_(a) G = 0, = 0, = 1, G6.16) a, b) b) b) = cos29 - sin2e = cos 26. Следовательно, в соответствии с G6.5) коэффициент корреляции между результатами измерений при произ- произвольных направлениях а и b анализа- анализаторов равен = cos 20. у(а, b) = G6.17) Видно, что при Э = 0 и 8 = я/2 коэффициент корреляции равен 1 и — 1, т. е. при этих углах наблюдается полная корреляция, а равенства G6.13) и G6.14) имеют вид /»++(а,Ь) = Р__(а,Ь)= 1/2@ = 0), P+_(a,b) = />_+(a,b) = 0(9 = 0), />++(",Ь) = />__(«ЦЬ) = О(в = п/2), Р+ Да, Ь) = />_ +(а, Ь) = 1/2 (9 = я/2). G6.18) Следовательно, зная результат по- поляризации фотона (Bj на а при 0 = 0, равный, например, 1, можно утвер- утверждать, что результат измерения поля- поляризации фотона со2 на b наверняка равен 1. Аналогично, с полной достоверностью при G = 0 и 0 = тг/2 связаны и другие результаты измерений, хотя измерение поляриза- поляризации отдельного фотона дает случай- случайный результат с вероятностями G6.12). Из G6.17) следует, что лишь при 0 = я/4 результаты измерений абсолютно не коррелированы. Теперь можно понять физический смысл утверждения, что направления линейной поляризации каждого фо- фотона пары одинаковы, хотя и невоз- невозможно характеризовать направление линейной поляризации каждого фо- фотона каким-то определенным направ- направлением в пространстве. Физический смысл этого утверждения состоит в том, что при 0 = 0 измерение поля- поляризаций пары фотонов дает всегда либо ( + , + ), либо (—, —) и никогда
§ 77. Корреляционные эксперименты 423 ( + , —) или ( — , + ). Этот результат не изменяется при вращении анализато- анализаторов вокруг направления движения фо- фотонов при сохранении неизменной их взаимной ориентации @ = 0). Вероят- Вероятности результатов ( + , + ) и ( —, —) одинаковы и равны 1/2. 77. Корреляционные эксперименты Описываются эксперименты по измерению кор- корреляции поляризаций с помощью одноканаль- ных и двухканальных анализаторов. Возбуждение источника каскадного из- излучения пар фотонов. Перевод атомов кальция на верхний возбужденный уровень °S1 (см. рис. 152) осущест- осуществлялся прямым двухфотонным воз- возбуждением посредством двух лазе- лазеров: криптонового лазера с А. = = 406 нм и перестраиваемого лазера с X = 581 нм, настроенного на резо- резонанс для двухфотонного процесса. Излучение лазеров имеет параллель- параллельную поляризацию и фокусируется на пучок атомов кальция. Мощность каждого лазера составляла несколько десятков милливатт, а их излучение фокусировалось на площадь менее 0,01 мм2 атомного пучка с концен- концентрацией примерно 1О10 атомов/см3. При этих условиях частота каскадных переходов, при которых излучаются пары фотонов, превосходит 107 каска- каскадов/с. Была обеспечена также высо- высокая стабильность частоты каскадных переходов (лучше чем 1% в течение нескольких часов). Такой совершенный источник из- излучения был создан Аспектом и его сотрудниками к началу 80-х годов и позволил осуществить наиболее точ- точные и надежные эксперименты по ис- исследованию квантовых корреляций поляризации фотонов, которые завер- завершили серию работ в этом направле- направлении, начатых во второй половине 60-х годов Клаузером и его сотрудниками. Эксперименты с одноканальными анализаторами. Измерение поляриза- поляризации фотона производится посред- посредством фиксации его выхода из со- соответствующего канала анализатора с помощью фотоэлектронного умно- умножителя и электронной схемы. Для анализа корреляций ФЭУ подключа- подключаются в схему совпадений регистрации фотонов, поступающих в соответ- соответствующие каналы анализатора. На рис. 156 показана схема экспе- эксперимента с двухканальными анализа- анализаторами. Схема эксперимента с одно- канальными анализаторами, с кото- которого целесообразно начать обсужде*- ния, аналогична, надо лишь после каждого из анализаторов устранить один из ФЭУ и соответствующую часть электрической схемы. Будем для определенности считать, что ре- регистрируются фотоны, попадающие в каналы + 1, имеющие эквивалентное значение в анализаторах, т.е. при параллельности векторов а и b про- проходящие через канал анализатора фо- фотоны имеют параллельную поляриза- поляризацию. Реальный эксперимент отличается от идеального в первую очередь тем, что вместо бесконечно малого телес- телесного угла, в котором регистрируются фотоны, необходимо для повышения эффективности системы регистриро- регистрировать фотоны, испускаемые источни- источником в возможно больший телесный угол. Как показывает теория и сви- свидетельствует эксперимент, поляриза- поляризация фотонов заметно не изменяется даже при углах 50-60° к оси и по- поэтому можно использовать для экспе- эксперимента большие телесные углы. В реальных условиях использовались углы около 30°. Источник пар фото- фотонов располагался в фокусе собира-
424 15 Концептуальные вопросы квантовой механики Л Х,НС 154 Число dA/д /di детектируемых пар фотонов в единицу времени в зависимости от задержки т между моментами детектирования двух фо- фотонов 155 Результаты эксперимента с одноканальными анализаторами 156 Схема эксперимента с двухканальными анали- анализаторами ющих линз, на выходе из которых фотоны направлялись в анализаторы. Другие экспериментальные трудно- трудности были также успешно преодолены и здесь не обсуждаются. Как следует из G6.16) и G6.13), коэффициент кор- корреляции в эксперименте с одноканаль- одноканальными анализаторами равен Y12 = y2cos2e. G7.1) Если задержка детектирования фо- фотонов больше времени задержки в излучении фо гонов пары (в рассмат- рассматриваемом случае около 5 не), то в схеме совпадения детектируются фо- фотоны, испускаемые разными атома- атомами. Эти совпадения чисто случайны и дают постоянный фон совпадений, не зависящий от задержки (рис. 154). При уменьшении задержки и прибли- приближении ее к значению времени жизни промежуточного состояния каскад- каскадного перехода начинают детектиро- детектироваться пары фотонов, испускаемых одним атомом, и число детектируе- детектируемых в единицу времени пар фотонов резко возрастает (рис. 154). В качестве истинного значения, характеризую- характеризующего счет пар фотонов на совпадение, принимается его значение в максиму- максимуме за вычетом фона. Результаты эксперимента приведе- приведены на рис. 155. Непрерывная кривая представляет результат расчета по квантовой механике с учетом попра- поправок на условия эксперимента (учет неосевых углов излучения и др.). Результаты эксперимента в пределах ошибок эксперимента прекрасно лег- легли на теоретическую кривую, как это схематично показано на рисунке. При обсуждении квантовых кор- корреляций выдвигалось предположение, что они обусловлены некоторым взаи- взаимодействием, зависящим от расстоя- расстояния между точками детектирования. Для проверки справедливости этого
78. Неравенства Белла и физическая реальность 425 предположения измерения коэффи- коэффициента корреляции были проведены при различных расстояниях между анализаторами. Самое большое рас- расстояние между анализаторами со- составляло 13 м. Никакого влияния рас- расстояния на корреляцию отмечено не было. Эксперименты с двухканальными анализаторами. Схема эксперимента дана на рис. 156. В четырехканальную схему счета совпадений поступают одновременно сигналы из ФЭУ всех четырех каналов. Одновременно ве- ведется счет чисел совпадений N + + (а, b), N__(a, b), N+_(a, Ь)и N_ + (z, b), где N + + (a, b) - число пар совпадений фотонов, зарегистрированных в кана- каналах + 1 в левом и правом анализа- анализаторах при их ориентировках а и b и т.д. Выразив вероятности Р± ± (а,Ь) через относительные частоты N±±(a, b)/[JV + + (а,Ь) + N _ _ (а,Ь) + N + _ (аДГ) + N_ + (a, b)], можно представить коэф- коэффициент корреляции G6.17) в виде у(а, b) = [JV+ + (a, b) + JV__(a, b)- - iV+_(a, b) - N_ + (a, b)]-[(N+ + (a, b) + + JV__(a, b) + iV+_(a, b) + iV_ + (a, b)]. G7.2) Однако представление коэффи- коэффициента корреляции формулой G7.2), в которой под iV±±(a, b) понимаются реально измеренные в эксперименте совпадения, вообще говоря, не экви- эквивалентно теоретическому определе- определению G6.17) через вероятности, по- потому что фотоумножители имеют не очень большую эффективность и в реальном эксперименте детектируется лишь небольшая часть фотонов. Не- Необходимо убедиться, что величина G7.2) при измеренных в эксперименте значениях N±±(a, b) является хоро- хорошим приближением к ее теоретичес- теоретическому значению G6.17). Другими сло- словами, необходимо допустить, что множество фактически детектирован- детектированных пар фотонов служит хорошим представлением всех испущенных пар фотонов. Такое допущение весьма разумно для симметричной схемы, в которой результаты измерений + 1 и — 1 имеют эквивалентное друг другу значение. Во время корреляционных измерений было проверено, что сум- сумма N+ + (a,b) + N^ _ (a,b) + N+ _ (a,b) + + N _ + (a, b) постоянна при изменении ориентации анализаторов и постоян- постоянной интенсивности источника. Этот результат показывает, что множество детектируемых пар фотонов постоян- постоянно и подтверждает допущение о хоро- хорошем представительстве этим множе- множеством всех пар испущенных фотонов. Результаты эксперимента оказа- оказались в великолепном согласии с пред- предсказаниями квантовой механики, опи- описываемыми формулой G6.17). Эти эксперименты еще раз под- подтвердили реальность квантовых кор- корреляций, которые невозможно понять в рамках представлений доквантовой физики, а в квантовой физике они выступают на уровне основополагаю- основополагающего факта, не подлежащего более глубокому анализу. 78. Неравенства Белла и физическая реальность Дается вывод неравенства Белла, описываются эксперименты по проверке и обсуждаются вы- выводы из результатов экспериментов. Локальный характер законов класси- классической физики. Пожалуй, самым фун- фундаментальным глобальным результа- результатом более чем двухтысячного перио- периода развития классической физики явля- является вывод о том, что законы классической физики имеют локальный характер и их научная 28 219
426 15. Концептуальные вопросы квантовой механики количественная формулировка воз- возможна лишь в виде локальных коли- количественных соотношений, относящих- относящихся к одной и той же пространствен- пространственно-временной точке. Локальная формулировка теории имеет преимущественно дифферен- дифференциальную форму, но не сводится к ней. Дифференциальная формулиров- формулировка законов может быть с помощью чисто математических теорем выра- выражена также и в виде интегральных соотношений, но это не изменяет локального характера фундаменталь- фундаментальных законов физики. Вывод о локальности физических законов имеет большую эвристичес- эвристическую силу, позволяя отвергнуть как несостоятельные физические утверж- утверждения, не согласующиеся с этим вы- выводом, и считать более вероятными согласующиеся с ним. Например, не согласуется с требованием локально- локальности теория дальнодействия; электро- электродинамика с запаздывающими потен- потенциалами, скорость распространения которых зависит от скорости источ- источника (Ритц), не может быть сформу- сформулирована в дифференциальной форме и должна быть отвергнута; полевая точка зрения на взаимодействия по- получила решительный перевес именно благодаря требованию локальности теории и т.д. Локальность теории является важ- важнейшей предпосылкой возможности ее релятивистски инвариантной фор- формулировки. Локальность теории свя- связана очень тесно с общими принципа- принципами причинности и детерминизмом. В работе ЭПР утверждение о не- неполноте квантовой механики основы- основывается на якобы доказанном ими на- наличии в природе «элементов физичес- физической реальности», которым квантовая механика отказывает в объективном существовании. Ответ Бора не дал однозначного решения этого вопроса, предоставив как сторонникам Бора, так и сторонникам ЭПР оставаться при своем мнении. В работе ЭПР содержалось одно положение, на ко- которое Бор ответил формально и кото- которое сохранило свою силу до настоя- настоящего времени. Речь идет о требова- требовании локальности физической теории, которое ЭПР сформулировали следу- ющим>*образом: элементы физической реальности, локализованные в не- некоторой области пространства, не могут зависеть от событий (достовер- (достоверных или случайных), которые про- происходят в другой достаточно удален- удаленной области. Эйнштейн придавал этому очень большое значение и в одном из писем к Максу Борну в 1948 г. писал следу- следующее: «То, что действительно суще- существует в В... не должно зависеть от характера измерения, которое произ- производится в другой области простран- пространства А; оно не должно зависеть от того, производится ли вообще или не производится некоторое измерение в А. Если согласиться с такой точкой зрения, то нельзя рассматривать квантово-теоретическое описание пол- полным представлением физически реаль- реального. Если, несмотря на это, согла- согласиться с квантово-механическим описанием, то придется признать, что физически реальное в В испытывает неожиданное изменение в результате измерения в А. Мой физический ин- инстинкт восстает против этого». Ответ Бора на эту часть соображе- соображений ЭПР состоял в том, что неправо- неправомерно ставить вопрос о том, что про- происходит внутри квантовой системы, поскольку ее в квантово-механичес- ком смысле нельзя разделить на части. Другими словами, ответ на этот вопрос, по мнению Бора, лежит вне компетенции квантовой механи-
§ 78. Неравенства Белла и физическая реальность 427 ки. По мнению ЭПР, на этот вопрос физика должна дать ответ. Неравенства Белла. Квантовая корреляция, которую предсказывает квантовая механика между события- событиями в различных областях простран- пространства, не могущих быть связанными физическими факторами, весьма зна- значительна, и возникает вопрос, может ли быть в принципе такая сильная корреляция обеспечена классической теорией типа теории скрытых пара- параметров. Этот вопрос был исследован в 1964 г. Беллом и был сформули- сформулирован в виде так называемых нера- неравенств Белла. Неравенства Белла могут быть сформулированы в не- нескольких видах. Целесообразно исполь- использовать формулировку, которая при- применима непосредственно к корреля- корреляционным экспериментам с двухканаль- ными анализаторами, описанными в § 77. Эта формулировка принадлежит Клаузеру, Хорну, Симони и Хольту. Неравенство Белла формулирует- формулируется не для коэффициента корреляции у(а,Ь), определяемого равенством G6.17), а для комбинации четырех коэффициентов корреляции у, изме- измеренных при четырех различных ориен- тациях анализаторов. Эта комбина- комбинация определяется формулой <Д> = у(а, b) - у(а, b') + y(a', b) + y(a, b'). G8.1) Неравенства Белла устанавливают ограничения на числовое значение коэффициента корреляции, вычислен- вычисленное в рамках произвольной классичес- классической теории скрытых параметров, сог- согласующейся с требованиями локаль- локальности. Обозначим X скрытые параметры, которыми в теории определяются значения S1 и S2. Этих параметров может быть несколько. Объединим все параметры, относящиеся к Sp обозначением Хи а к S2 - обозначе- обозначением Х2. Ввиду требования локаль- локальности функциональная зависимость Sl и S2 от a, b, A.J, \2 имеет вид S^S^a, X,), S2 = S2(b, Х2). G8.2) Обозначим р(Хг, Х2) функцию рас- распределения St и S2 по значениям параметров Х1 и Х2. Поскольку пара- параметры Хг и Х2 коррелированы, функ- функция распределения р(к1, Х2) не может быть представлена в виде произведе- произведения функций от Хг на функцию от Х2. Коэффициент корреляции G6.17) по классической теории с учетом G8.2) может быть представлен в виде укл(а, b) = JdX.! dA.2 р(Л.х, XJS^a, XJ x х S2(b, X2), G8.3) причем р(Хи Х2) 3s 0, JdA-i d^2 р(А,1? Х2) = 1, G8.4а) Sj(a, Xj) = + 1 или — 1, S2(b, X2) = + 1 или - 1. G8.46) Этот формализм применим ко всему классу локальных теорий. Тео- Теории могут различаться лишь задани- заданием функций р(Хх, Х2), St(a, А,Д S2(b, Неравенство Белла получается прямым вычислением значения G8.1) с учетом G8.3): R = S1(a, ^)S2(b, Я.2)- - ^(а, ^)S2(b, Х2) + S^a', Xx)S2(b, X2) + + S^a', >OS2(b', X2) =S,(a, ^,)[S2(b, X2) - - S2(b', ^2)] + S, (a', XJ [S2(b', X2) + + S2(b', X2)l G8.5) Числа Sj и S2 могут принимать толь- только значения + 1. Следовательно, на основании G8.5) заключаем, что R = R(XU Х2, а, а', Ь, Ь') = + 2 G8.6) и поэтому lX.2 p(Xu X2)R G8.7) 28*
428 15. Концептуальные вопросы квантовой механики с учетом G8.4а) удовлетворяет не- неравенству - 2 < <Л> < 2, G8.8) которое называется неравенством Белла. Оно устанавливает границы числовых значений коэффициента кор- корреляции любой классической локаль- локальной теории, открывая путь экспери- экспериментальной проверке утверждений ЭПР в работе 1935 г. Описанные в § 77 экспериментальные работы были стимулированы непосредственно тео- теоретической работой Белла 1964 г. и направлены на проверку полученных им неравенств. Экспериментальная проверка не- неравенств Белла. Квантово-механичес- кое значение коэффициента корреля- корреляции G8.1) с учетом G6.17) может быть представлено в виде <«кв> = cos 2(a, b) - cos 2(a, b') + + cos 2(a', b) + cos 2(a', b'), G8.9) где (a, b), (a, b'), (a', b), (а', Ь')-углы между а и Ь, а и Ь' и т.д. Считая все углы положительными, имеем (а, Ь) + + (a', b) + (a', b') = (a, b'). Следователь- Следовательно, три угла являются независимыми. Наибольшее расхождение между квантовым значением G8.9) и нера- неравенствами G8.8) достигается при экс- экстремальных значениях G8.9). Посколь- Поскольку (a, b), (a', b) и (а', Ь') можно считать независимыми, получаем три уравне- уравнения для определения экстремума 0 0 о 3(а, Ь) ' 8(я',Ь) ' ф', Ь') ' G8.10) которые с учетом G8.9) идентичны ме- между собой и имеют решение (а, Ь) = (а', Ь) = (а', Ь) = 6. G8.11) Равенство G8.9) принимает вид <ЯКВ> = 3 cos 29 - cos 6G. G8.12) Квантово-механические предсказания для (RKB) выходят при определенных значениях 0 за пределы допускаемых неравенствами Белла значений. Макси- Максимальное расхождение достигается при экстремальных значениях G8.12), определяемых условием = - 6 sin 29 + 6 sin 69 = 0.G8.13) Тогда G8.14) (в = Зя/8). Таким образом, квантово-механи- ческий коэффициент корреляции пре- превосходит допустимое неравенствами Белла G8.8) значение примерно в /2 да 1,4 раза. В § 77 было отмечено, что форму- формула G6.17) для коэффициента корреля- корреляции у(а, Ь) была великолепно под- подтверждена экспериментом. Неудиви- Неудивительно, что и формула G8.12) также была блестяще подтверждена экспе- экспериментом. На рис. 157 сплошной ли- линией показана зависимость {/?„) (9), найденная в экспериментах по изме- измерению у в соответствии с формулой G7.2). Практически результаты экспе- эксперимента совпадают со значениями (RKB), представляемыми формулой G8.12). В закрашенной области наблю- наблюдается расхождение с неравенствами Белла, которые достигают максиму- максимума при углах, указанных в G8.14). На рис. 158 показаны взаимные ориента- ориентации осей анализаторов, при которых достигаются максимальные расхож- расхождения между экспериментом и нера- неравенствами Белла. Достоверность результатов экспе- эксперимента весьма велика. Например, для угла 0 = 22,5° (рис. 158) в экспе- экспериментах было получено <ЛЭКСП> = 2,697 ± 0,015, G8.15)
t; 78. Неравенства Белла и физическая реальность 429 что нарушает неравенство G8.8) при- примерно на 40 стандартных отклонений. Квантово-механический результат с поправками на эффективность поля- поляризаторов имеет вид <ЛКВ> = 2,70 + 0,05. G8.16) Физическая реальность. Экспери- Эксперименты показали, что продемонстрированная в них физичес- физическая реальность не согласуется с пред- представлениями о физической реально- реальности, на которых основывалась аргу- аргументация ЭПР. Основные выводы из этих экспери- экспериментов могут быть сформулированы следующим образом: 1) невозможна теория локальных скрытых параметров, коюрая была бы в состоянии промоделировать ре- результаты квантовой механики; 2) понятия, физические величины, приемы описания и т.д., выработан- выработанные в локальных физических теориях, не адекватны физической реальности, с которой имеет дело квантовая меха- механика; 3) физическая реальность, как ее понимали ЭПР и их сторонники, не является физической реальностью квантового мира. Эксперименты с переключаемыми анализаторами. При анализе физичес- физической значимости результатов экспери- эксперимента по квантовой корреляции воз- возникает вопрос об ответственности за корреляцию стационарного характе- характера эксперимента. Другими словами, не является источником корреляции то обстоятельство, что фотон, выле- вылетая из источника, уже наперед «знает» свой путь и все, что с ним должно случиться, потому что все приборы и другие физические факторы находят- находятся в определенном согласовании друг с другом, как это и должно быть для стационарного состояния. Поэтому -2- 50 90 157 Зависимость коэффициентов квантовых кор- корреляций от угла 0 *>а а) 158 Ориентировки анализаторов, при которых происходит наибольшее нарушение неравенств Белла I 159 Схема эксперимента с переключаемыми ана- анализаторами
430 15 Концептуальные вопросы квантовой механики желательно провести корреляцион- корреляционный эксперимент, в котором условие стационарности не соблюдается. На рис. 159 показана схема такого эксперимента. Вместо анализаторов (см. рис. 156) на пути фотонов устана- устанавливаются оптические переключатели П1 и 772, за которыми следуют два анализатора с различными ориента- циями. Каждый из оптических пере- переключателей с двумя следующими за ним анализаторами эквивалентен от- отдельному анализатору, быстро пере- переключаемому между двумя ориентация- ми. В идеале желательно, чтобы пере- переключатели Ш и IJ2 управлялись случайными сигналами, независимы- независимыми друг от друга. В реальном экспе- эксперименте переключение осуществля- осуществлялось акустооптическим взаимодей- взаимодействием света с ультразвуковой стоя- стоячей волной частоты 25 МГц, в резуль- результате чего переключение осуществля- осуществлялось с частотой 50 МГц. Это означа- означает, что ориентация анализаторов ме- менялась каждые 10 не. Это значитель- значительно меньше времени распространения светового сигнала между переключа- переключателями (L/c = 40 не). Благодаря этому исключается какой-либо обмен информацией между переключате- переключателями при прохождении через них фотонов одной и той же пары. Стоя- Стоячие ультразвуковые волны генерирова- генерировались независимыми генераторами с независимыми дрейфами фазы, что приближало условия к переключению независимыми случайными сигнала- сигналами. Результаты экспериментов ана- аналогичны полученным для стационар- стационарных условий без переключений, на- находятся в хорошем согласии с пред- предсказаниями квантовой механики и безусловном противоречии с неравен- неравенствами Белла, подтвердив сделанные выше выводы и для нестационарных условий эксперимента. 79. Физическая реальность и здравый смысл Во введении к этой книге дан краткий обзор основных моментов диалекти- диалектики развития физического знания, за- завершившегося созданием классической физики. В классической физике было достигнуто полное и совершенное единство конкретного знания и общих философских категорий диалектики. Однако развитие физики, как и всякое другое развитие, не может быть за- завершено никогда. Возникает вопрос о движущих силах дальнейшего разви- развития физики, когда классический этап ее развития был завершен и все диалектические противоречия сняты. Во избежание недоразумений здесь необходимо дать разъяснение о том аспекте развития физики, которое имеется в виду. На вопрос о том, что является движущей силой развития физики в общеисторическом смыс- смысле, ответ хорошо известен: практи- практические потребности. И это безуслов- безусловно правильно. Однако во введении и в этом параграфе обсуждается совсем другой аспект развития физики. Раз- Развитие физики рассматривается как элемент интеллектуального развития человечества. Вклад физики в интел- интеллектуальное развитие человечества столь же велик, как и ее вклад в развитие производительных сил, од- однако движущие силы различны. Для ответа на поставленный воп- вопрос и введения в проблему, которая будет рассматриваться в этом пара- параграфе, целесообразно процитировать конец введения: «.. .только незавер- незавершенность конкретного знания и его единства с общефилософскими и гно- гносеологическими категориями являет- является источником и движущей силой как конкретного знания, так и философ- философских категорий. В рамках классичес-
§ 79 Физическая реальность и здравый смысл 431 кой физики эта незавершенность вы- выступает лишь в потенциальной форме и не составляет действительного от- отрицания завершенности. Отрицание достигнутой в классической физике завершенности знания и его единства с общефилософскими и гносеологи- гносеологическими категориями осуществляется лишь в рамках квантовой физики и в соответствии с диалектикой отрица- отрицания приводит не только к дальнейше- дальнейшему развитию физики, но и дает мощ- мощный стимул разработке общефило- общефилософских и гносеологических проблем». Эйнштейн высказал соображения о квантовой механике на основании своих представлений о физической реальности. Позиция Эйнштейна в отношении квантовой механики сво- сводится к утверждению, что она проти- противоречит его представлениям о физи- физической реальности. Следует подчерк- подчеркнуть, что он был настолько уверен в правильности и незыблемости своих представлений о физической реаль- реальности, что считал достаточным об- обнаружить несогласие теории (в дан- данном случае квантовой механики) с этими представлениями, чтобы счи- считать теорию требующей доработки или замены другой теорией без всяко- всякого обращения к эксперименту. Имен- Именно с этих позиций была написана работа ЭПР в 1935 г. Прежде всего необходимо отве- ответить на вопрос, в какой степени пред- представления Эйнштейна о физической реальности являются общеприняты- общепринятыми, каково происхождение этих пред- представлений, на чем основаны эти пред- представления? Ответ на первый вопрос почти очевиден. Эти представления общеприняты, и фамилия Эйнштейна употребляется не как автора этих представлений, а как авторитета, сви- свидетельство которого при анализе воп- вопроса полезно. Чтобы в этом убедить- убедиться, достаточно уточнить в рассужде- рассуждениях Эйнштейна некоторые физичес- физические детали, которые не имеют отно- отношения к делу. Обратимся к письму Эйнштейна к Максу Борну в 1948 г., выдержка из которого процитирована в § 78. Слово «измерение» в этом отрывке письма является лишь данью терминологии, которая используется в квантовой механике. Измерение как в классической физике, так и в кванто- квантовой является экспериментом, резуль- результатом которого интересуется иссле- исследователь. Получение некоторого чис- числа является лишь одним из возмож- возможных результатов эксперимента. Мож- Можно, например, ударять не очень силь- сильно чайной ложкой по куриному яйцу и изучать результат-либо скорлупа треснет, либо нет. Это также измере- измерение, аналогичное, в принципе, самым изощренным измерениям в физике. Поэтому слово «измерение» в рас- рассматриваемом контексте не имеет ка- какого-то особого значения по сравне- сравнению с выражением «эксперимент». Вторая физическая деталь, которую Эйнштейн безусловно имеет в виду, но в явном виде не оговаривает, это одновременность измерений в облас- областях А я В. После этих уточнений ясно, что высказывание Эйнштейна являет- является просто выражением здравого смыс- смысла при анализе рассматриваемой си- ситуации. Сомнение в справедливости понимания физической реальности в духе ЭПР представляется равнознач- равнозначным отказу от здравого смысла. Только этим можно объяснить, что в своей работе ЭПР без всяких ссылок на несогласие с данными эксперимен- эксперимента или внутренние противоречия ре- решились поставить под сомнение кван- квантовую механику. Однако следует ука- указать на одно существенное обстоя- обстоятельство. И раньше здравый смысл иногда подводил исследователей, но
432 15 Концептуальные вопросы квантовой механики при этом никогда не возникало сом- сомнения, что смысл - здравый, но из не- него делались неправильные выводы. В случае же ЭПР отказ от выводов из здравого смысла означал признание нефизических связей между физичес- физическими явлениями, похожих на поту- потусторонние. Интересно в связи с этим отме- отметить, что Бор в своем ответе ЭПР не опровергал и не анализировал здра- здравый смысл, которым руководствова- руководствовались ЭПР, а с самого начала пере- переправил всю проблему в потусторон- потусторонний мир. Он сказал, что квантовую систему можно рассматривать в от- отношении к наблюдателю лишь как единое целое, а ставить вопросы о процессах внутри системы, которые приводят к результатам наблюдения системы как целого, бессмысленно. Эти процессы непознаваемы. Други- Другими словами, квантовая система явля- является вещью в себе и ее внутренние процессы являются для нас потусто- потусторонним миром. После ответа на первый из по- поставленных выше трех вопросов об общепринятости представлений о фи- физической реальности ответ на второй вопрос о происхождении этих пред- представлений может бьпь дан кратко: эти общепринятые представления о физической реальности проистекают из здравого смысла. Здравый смысл не у всех одинаков. При другом здра- здравом смысле получаются другие пред- представления о физической реальности. При утверждении общепринятости представления о физической реаль- реальности, которого придерживался и Эйнштейн, имелось в виду громадное большинство физиков, которые при- придерживались одинакового с ним здра- здравого смысла. К этому кругу относи- относились также и физики, которые цели- целиком перешли на позиции квантовой механики, сохранив прежний здравый смысл. Одни из них, как, например, Бор, переопределили объект и цели исследования, другие занялись поис- поисками воплощения старого здравого смысла в новой физической реаль- реальности, третьи сделали вид, что ничего особенного не произошло. Такое не- несколько легкомысленное отношение к противоречию между предсказаниями теории и выводами из здравого смыс- смысла объясняется тем, что здравый смысл выше конкретной теории, но ниже эксперимента. Это обусловлено тем, что здравый смысл аккумулиру- аккумулирует в себе важнейшие результаты ин- интеллектуального и практического раз- развития не только конкретной области знаний, но и науки, философии и гносеологии в целом. После того как существование квантовых корреляций стало экспери- экспериментальным фактом и было экспери- экспериментально доказано, что количест- количественно их в принципе нельзя описать с помощью теории скрытых парамет- параметров в рамках старого здравого смыс- смысла, ситуация значительно усложни- усложнилась. Были сделаны попытки преодо- преодолеть трудности при сохранении преж- прежнего здравого смысла допущением возможности физических процессов со сверхсветовыми скоростями. Одна- Однако эти попытки не представляются перспективными. Исследуется также возможность сохранения прежнего старого смысла посредством теории нелокальных скрытых параметров. Но и это направление не возбуждает больших ожиданий. Остается возвратиться к анализу здравого смысла, поскольку кванто- квантовая теория надежно подтверждена экспериментальными фактами и в своей интеллектуальной части долж- должна быть ассимилирована в общефи- общефилософские и гносеологические катего-
§ 79. Физическая реальность и здравый смысл 433 рии с соответствующими изменения- изменениями в здравом смысле. Одним из важнейших общих ре- результатов развития физики до завер- завершения ее классического периода явля- является вывод о том, что научно-содер- научно-содержательная формулировка законов фи- физики возможна лишь в локальной форме. Развитие релятивистской фи- физики позволило требование формули- формулировки законов физики в локальной форме выразить в виде требования релятивистски-инвариантной форму- формулировки теории. И хотя не все законы классической физики сформулирова- сформулированы в релятивистско-инвариантной фор- форме, они все сформулированы в ло- локальной форме. Единственный путь познания мира состоит в разбиении его на части, на отдельные объекты и т.д., при изуче- изучении которых возможно пренебречь их связями с другими объектами. Это достигается локализацией объектов в пространстве и во времени. Напри- Например, изучая некоторую причинно- следственную связь, необходимо ло- локализовать и разделить во времени факторы, участвующие в причинно- следственной связи. Каждая изучае- изучаемая часть представляется состоящей из входящих в нее составляющих час- частей, которые возможно идентифици- идентифицировать и изучать и т. д. Связи между частями представляются в виде при- причинно-следственных связей, физичес- физических взаимодействий и т. д. Таким об- образом, не только законы классической физики должны быть сформулирова- сформулированы в локальной форме (преимущест- (преимущественно в виде дифференциальных соот- соотношений), но и объекты ее изучения должны быть локализованы как в це- целом, так и своими частями в про- пространстве и времени. Связь между локализованными элементами, в со- совокупности составляющими мир, осу- осуществляется факторами, которые са- сами являются элементами мира и опи- описываются соответствующими физи- физическими характеристиками. Все пред- представления, понятия, теории и т. д. бы- были в классической физике выработаны в рамках описанных локальных пред- представлений. Здравый смысл, в рамках которого было сформулировано пред- представление о физической реальности, соответствует описанию мира в рам- рамках локального приближения. Создание квантовой механики сра- сразу показало недостаточность локаль- локального приближения к описанию микро- микроскопического мира. Отсюда сразу появились необходимость нового подхода к описанию движения, к оп- определению элементарного объекта и т. д. Выявились совершенно необыч- необычные свойства новых объектов иссле- исследования, например отсутствие их ин- индивидуальной идентификации, при- причем не в смысле отсутствия техни- технических возможностей идентификации, а в принципе. Со всеми задачами описания квантовая механика успеш- успешно справилась. Каких-либо концеп- концептуальных трудностей в рамках ло- локального приближения не возникало вне пределов соотношений неопреде- неопределенности, хотя и было много дискус- дискуссий о причинности, детерминизме и т. д. Принципиальная концептуальная трудность возникла в связи с кванто- квантовыми корреляциями. Эта трудность подробно рассмотрена в предшест- предшествующих параграфах. Неизвестна при- природа этой корреляции. Она противо- противоречит здравому смыслу, выработан- выработанному в рамках локального приближе- приближения. Но оставаясь в рамках локально- локального приближения, нельзя в принципе согласовать эту корреляцию со здра- здравым смыслом. Таково содержание возникшей принципиальной концеп- концептуальной трудности.
434 15. Концептуальные вопросы квантовой механики Квантовая корреляция правильно описывается квантовой теорией по- посредством волновой функции. Но волновая функция не является физи- физическим полем. Какой элемент физи- физической реальности представляет вол- волновая функция? А если нет такого элемента физической реальности? Независимо от ответа на вопросы сейчас ясно, что существование кван- квантовой корреляции свидетельствует о наличии в природе такой связи между объектами, которая не может быть объяснена известными физическими факторами. В настоящее время вряд ли можно согласиться, что выяснение природы квантовой корреляции явля- является проблемой потустороннего ми- мира. С другой стороны, не следует переоценивать практическое значение этой корреляции. В последние годы было много разговоров о несепара- несепарабельности мира, описываемого еди- единой волновой функцией, и о возмож- возможности связи между различными объек- объектами в этом мире нефизическими фак- факторами и других аналогичных вопро- вопросах. Следует напомнить, что такие факторы могут существовать лишь в квантовых системах, находящихся в чистых квантовых состояниях. Ясно, что Вселенная в целом и хорошо из- известные макроскопические части в на- нашем непосредственном окружении не находятся в чистом квантовом со- состоянии.
Приложение Физические постоянные Наименование Обозначение Числовое значение Постоянная Планка Скорость свега в вакууме Элементарный электрический заряд Электрическая постоянная Магнитная постоянная Гравитационная постоянная Постоянная тонкой структуры Постоянная Авогадро Постоянная Фарадея Постоянная Больцмана Молярная газовая постоянная Атомная единица массы Масса покоя электрона Масса покоя протона Масса покоя нейтрона Комптоновская длина волны электрона Классический радиус электрона Боровский радиус для атома водорода Постоянная Ридберга для бесконечной массы ядра Постоянная Ридберга для атома водорода Магнетон Бора Магнитный момент электрона Магнитный момент протона Магнитный момент нейтрона Ядерный магнетон h h = h/Bn) с е ео ц0 = 1/(е0с2) G а = е2/Dле0йс) NA F = NAe к R = NAk ти те или т тр Хс = h/(mc) г0 = е2/Dтотс2) а0 = 4пЕ0Нг/(те ) Rm = а/Dяа„) *н Ив = еЛ/Bт) V-e V-p ц„ = еЛ/Bт.) 6,62618-104 Дж-с 1,05459-104 Дж-с 2,99792-108 м/с 1,60219- 109 Кл 8,85419-102 Ф/м 1,25664-10 Гн/м 6,672-10: Нм^кг2 1/137,036 = 7,29735 х х 10 6,02205-1023 моль 9,64846 104 Кл/моль 1,38066-103 Дж/К 8,31441 Дж/(моль-К) 1,66057-107 кг 9,10953-101 кг 1,67265-107 кг 1,67492-107 кг 2,42631 ¦ 102 м 2,81794-105 м 5,29177- КГ11 м 1,09737-107 м 1,09678-107 м 9,27408-104 Дж/Тл 9,28483-104 ДжДл 1,41062-106 Дж/Тл - 0,96630 х х 106 ДжДл 5,05082-107 ДжДл
Предметный указатель Адроны 197 Анализаторы двухканаль- ные 425 Атом двухуровневый 257 Атомы адронные 197 — акцепторные 351 — водородоподобные 195 — донорные 350 — металлов щелочных 198 — мюонные 196 — ридберговские 198 Базис ортонормированный 139 — пространства 131 Барионы 197 Барьер потенциальный 179 произвольной формы 181 прямоугольный 180 Бозе-конденсация 371 Валентность 312, 314 Вакуум 402 Вектор бесконечномерный 142 — состояния 129 Векторы собственные 135, 138, 141, 147 — сопряженные 132, 136 — стационарные 157 Взаимодействие между электронами 277 — спин-орбитальное 203, 246 Волны де Бройля 56 Восприимчивость диэлект- диэлектрическая атомная 261, 263 Вырождение обменное 272, 273 Газы инертные 312 Гамильтониан 193 Гибридизация орбиталей 315 Дейтрон 90 Детектирование 342 Дефекты 342 Диод 361 — излучающий 364 — туннельный 361 Дифракция волн 48, 51 Диэлектрики 339 Длина волн де Бройля 59 — когерентности 372 — пробега свободного 53 Дырки 353 Закон Гейгера-Неттола 185 — Мозли 294 — смещения Вина 69 — сохранения импульса 27 энергии 22, 27 Заряд ядра 83 Зона валентная 339 — проводимости 339 Излучение каскадное 423 — рентгеновское 48, 292 — черного тела 68 Измерение в механике кван- квантовой 405 классической 404 Изотопы 90 — водорода 195 Импульс 24 — фотона 23 Индетерминизм 412 Интеграл перекрытия 307 Интерференция волн элект- электромагнитных 41 Интерферометры квантовые 378 Ионы водородоподобные 195 Картина взаимодействия 155 — Гейзенберга 155 — динамики Гейзенберга 155 промежуточная 155 — Шредингера 153, 155, 156 Квантование пространствен- пространственное 95 Кет-вектор 158 Когерентность фазовая 372, 373 Коммутатор операторов 149 Контакт туннельный 374 Контакты 346 Конфигурации электронные 283 Корреляция квантово-меха- ническая 414 — спинов 416 Коэффициент корреляции 418, 421 — отражения 180 — прохождения 180 Коэффициенты Эйнштейна 74 Кристалл Кронига - Пенни 335 Кристаллы ионные 304 — молекулярные 332 Легирование 350 Линия резонансная 200 Люминесценция 78 Магнетон Бора 92, 260 Масса эффективная 353 Метод вариационный 280 — орбиталей 306, 313 — поля самосогласованного 282 — Ритца 282
Предметный указатель 437 — связей валентных 313, 314 — статистический 282 Множитель Ланде 219, 220 Мода колебаний 70 Модель атома 81, 84 Молекулы двухатомные 316, 320 — многоатомные 318, 321 Момент импульса 111, 175, 179, 216 — инерции главный 318 — магнитный 92 атома полный 218 атомного ядра 208 полный 215 собственный 203 электрона 208 — спиновый 215, 217 — электрический диполь- ный 261 — электрона орбитальный 208, 209, 214, 215, 217 Мощность излучения 24 Мультиплетность 246, 247 Мюоний 196 Неравенства Белла 425, 427, 428 Неравенство Шварца 131 Несепарабельность системы квантовой 414 Нормировка на единицу длины 162 Оператор возмущения 232 — Гамильтона 168, 200, 260 — единичный 134 — импульса 111 — координаты ПО — нулевой 134 — обратный 134 — полной энергии 111 — спина 211, 213 — спинового магнитного момента 200, 201 — унитарный 134 — функции произвольной 112 Операторы 105, 133 — антикоммутирующие 106 — бесконечномерные 145 — коммутирующие 106 — линейные 105, 133 — самосопряженные 106, 134 Опыт Брауна и Твисса 32 — Эйнштейна -де Гааза 223 — Юнга 44 Опыты Баркла 25 — Вавилова 29 — Винера 42 — Дэвидсона и Джермера 60 — Лэмба и Ризерфорда 400 — Резерфорда 83 — Томсона и Тартаковско- го 62 — Франка-Герца 75, 77 — Штерна и Герлаха 92, 94, 213 Ортоводород 312 Осциллятор гармонический 167 — линейный 167 Отношение гиромагнитное 210, 219 Пакет волновой 57, 59 Параводород 312 Переходы 346 Плотность заряда 164 — потока энергии волн электромагнитных 24 — распределения облака электронного 191 — тока 164 критическая 369 — электронов 54 Подвижность носителей за- заряда 354 Подгруппа 284 Позитрон 392, 399 Позитроний 196 Поле критическое 369 Полином Эрмита 169 Полупроводники 341, 350, 355 — естественные 341 — примесные 342 Поляризация 33 — фотона 37, 40, 420 Постоянная распада 183 Постулаты Бора 85 — механики квантовой 151 Правила квантования 85 отбора 178, 191, 200, 246, 247, 323, 324 Правило мультиплетностей 249 — сумм для сил осциллято- осцилляторов 264 — Хунда 285 Предиссоциация 327 Представление 128 — координатное 128 Прецессия атомов 204 — ларморова 92, 93 — спина 201, 261 Приближение Борна 235 Оппенгеймера 304 Принцип дополнительности 113 — комбинационный 79 — минимума энергии 284 — неопределенности 321 — Паули 275, 276, 284, 287 — суперпозиции состояний 103 — Франка Кондона 324 Проводимость дырочная 342 Проводники 339 Пропагатор 153 Пространство векторное ли- линейное конечномерное 130 бесконечномерное 142
438 Предметный указатель Работа выхода 22 Разность потенциалов 346 Распад радиоактивный 182 Рассеяние комбинационное 265 — рамановское 266 — рэлеевское 265 — томсоновское 24 Расстояние равновесное 311 Редукция состояния 407 Резонанс магнитный 225 Рекомбинация 355 Решетка кристаллическая 332 Ротатор 173, 177 Сверхпроводимость высоко- высокотемпературная 379 Сверхпроводники 370 — слабосвязанные 377 Сверхтекучесть 370 Связи кратные 315 Связь водородная 334 — ионная 302, 333 — ковалентная 298, 299, 333 — металлическая 334 — молекулярная 334 — пи 316 — сигма 316 — слабая 377 — химическая 298 Серии атома спектральные 88 Серия главная 201 — диффузная 201 — побочная вторая 201 первая 201 Сечение поперечное 53, 83 Силы осцилляторов 264 Символ Кронекера 100 Скорость групповая 57 — фазовая 57 — электронов 352 Соотношение неопределен- неопределенностей 115, 118, 119, 411 — взаимности операторов 149 Сопротивление металлов остаточное 370, 371 Состояние движения 404 — детерминированное 406 — недетерминированное 406 — стационарное 45, 98, 157 — с энергией отрицательной 399 — электронов 186 Состояния зонные 343 Спаривание электронов 371 Спектр излучения 192 — непрерывный собствен- собственных значений 108 Спектры атомные 78 — вращательные 316, 319, 322 — колебательные 316, 322 — линейчатые 293 — металлов щелочных 202 — рентгеновские 292, 293, 295 — сплошные 293 — характеристические 293 — электронные 324 Спин 95, 202, 211, 214, 215, 248, 273 — полный 311 Стабилитрон 363 Столкновение частиц неуп- неупругое 234 Схемы интегральные 368 Тело черное 68 Температура критическая 369 Теорема Блоха 335 Теоремы Эренфеста 124, 125 Теория Бора 91 — возмущений 241, 279 — излучения 170 Термисторы 355 Термоэлектричество 348 Точка материальная 404 Транзистор 364 — полевой 366 Тритон 90 Уравнение Гельмгольца 65, 125 — Дирака 385, 388, 389 — Клейна - Гордона 383, 384, 388, 389 — Шредингера 65, 98, 101, 155, 165, 166, 168, 170, 194, 220, 232, 257, 258 в представлении взаи- взаимодействия 241 Уравнения Гамильтона 123 — де Бройля 56 — релятивистские 382 — Эйнштейна 21, 22 Условие Брэгга-Byльфа 50 — нормировки 99, 163, 174, 201 — обрыва ряда 189 — полноты ортонормиро- ванного базиса 139, 143 Уровни акцепторные 344 — донорные 343 — локальные 342 — примесные 350 Ускорение электронов 352 Условие Брэгга - By льфа 50 — нормировки 99, 163, 174, 201 — обрыва ряда 189 — полноты ортонорми- рованного базиса 139, 143 флуктуация 31 Флуоресценция 78, 328 Формула Брэгга - Вульфа 48 — Вина 71 — Планка 71 — Резерфорда 81, 83, 237 — Рэлея- Джинса 71 Фосфоресценция 328 Фотоионизация 294
Предметный указатель 439 Фотон 37 Фотопроводимость 356 Фотоэффект 18 — внутренний 23 — селективный 24 — ядерный 23 Функции волновые 99, 162 169, 242, 262, 273, 307' 390 — Лежандра присоединен- присоединенные 174 — радиальные 190 — собственные 173, 177, 188, 232 Функция Гамильтона 111 — Дирака 144 — оператора 140 — Ферми-Дирака 345 Характеристика вольт-ампер- вольт-амперная 359, 375 Частота прецессии лармо- рова 225, 250 Четность 176 Число квантовое главное 190 радиальное 190 Щель энергетическая 371, 372 Электролюминесценция 78 Электроны проводимости 334 Элементы трансурановые 289 Эмиссия электронов 181 Энергия взаимодействия 308 — вращения молекулы 318 — излучения 69 — ионизации 89 — колебаний нулевая 321 — нулевая 169 — спин-орбитального взаи- взаимодействия 204 — фотона 21, 28 — Ферми 344 — электрона 293 Эффект Барнетта 225 — Джозефсона 376 — Зеемана 251, 252 — изотопический 372 — Комптона 24, 27 — магнитомеханический 222 — Майсснера 370 — Пашена-Бака 250, 252 — Пельтье 349 — Рамзауэра - Таунсенда 52, 54, 55 — Томсона 349 — Холла 356 - Штарка 254, 256 Эффект релятивистские 399 Ядро атома 84 Яма бесконечно глубокая 164 — одномерная конечной 1лубины 166, 167 — потенциальная 165, 338
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ Матвеев Алексей Николаевич Атомная физика Зав редакцией учебно-методической литературы по физике и математике Е С Гридасова Редактор Г Н Чернышева Мл редактор Н П Майкова Оформление художника Ю Д Федичкина Художественный редактор В И Пономаренко Технический редактор 3 А Муслимова Корректор Г И Кострикова ИБ № 8008 Изд № ФМ-933 Сдано в набор 21 02 89 Подл в печать 19 09 89 Т 13963 Формат 70 х 9О'/16 Бум офс № 1 Гарнитура тайме Печать офсетная Объем 32,18 уел печ л + форзац 0,29 уел печ л 65,53 уел кр-отт 31,47 уч изд л + форзац 0,48 уч-изд л Тираж 28000 экз Зак № 219 Цена 1 р 40 к Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул, д 29/14 Можайский полиграфкомбинат В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по печати 143200 г Можайск, ул Мира, 93