Text
                    М.А. ФАДДЕЕВ
Е.В. ЧУПРУНОВ
ЛЕКЦИИ
ПО
АТОМНОЙ
ФИЗИКЕ
Рекомендовано УМС по физике УМО по классическому
университетскому образованию в качестве учебника для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по
специальностям 010400 — физика и 010600 — физика
конденсированного состояния вещества и по направлению
510400 — физика
Фундаментальная
библиотека
ФИ
ФИЗМАТЛИТ
Мо с к в а
2008

ББК 22.29 Ф 15 УДК 539.18+539.19 Ре цензе пт: доктор физико-математических наук А. А. Фраерман (ИФМ РАН) ФАДДЕЕВ М. А., ЧУПРУНОВ Е.В. Лекции по атомной физике: Учебник для вузов.—М.: Издательство физико-математической литера- туры, 2008.—612 с.—ISBN 9785-94052-162-4. Последовательное изложение экспериментальных основ и принципов кван- товой физики в применении к строению атомов и молекул. Рассматриваются оптические и рентгеновские спектры, а также поведение атомов во внешних элек- трических и магнитных полях. Описываются приближенные методы расчета электронной структуры молекулярных систем. Для студентов физических факультетов университетов, а также других выс- ших учебных заведений, изучающих физику атома, физику конденсированного состояния, микроэлектронику и нанотехнологии. Учебное издание ФАДДЕЕВ Михаил Андреевич ЧУПРУНОВ Евгений Владимирович ЛЕКЦИИ ПО АТОМНОЙ ФИЗИКЕ Редактор Л. А. Панюшкина Компьютерная графика М. Н. Грицук Компьютерная верстка Г. М. Красниковой ИД №01389 от 30.03.2000 Гигиеническое заключение № 77.99.10.953.Д.005466.07.03 от 25.07.2003 Подписано в печать 12.08.2008. Формат 60x90/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 38,25. Уч.-изд. л. 41,075. Тираж 1500 ЭКЗ. Зак. 178 Издательство Физико-математической литературы 123182 Москва, ул. Щукинская, д. 12, к. 1 Отпечатано с готовых диапозитивов ГП «Облиздат» 248640 Калуга, пл. Старый торг, 5 ISBN 9785-94052-162-4 © Физматлит, 2008 © М.А. Фаддев, Е.В. Чупрунов, 2008
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ................................................ 9 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества ............. 11 1.1. Эволюция классических представлений об атомном стро- ении вещества 11 1.2. Электрон........................................... 14 1.3. Заряд электрона. Метод Милликена................... 18 1.4. Массы атомов....................................... 21 1.5. Размеры атомов..................................... 26 Дополнения к лекции 1 (29). 1.1. Определение постоян- ной Авогадро методом электролиза солей металлов (29). 1.2. Определение размеров атомов по столкновениям в га- зовой фазе (30). Лекция 2. Законы излучения абсолютно черного тела ......... 34 2.1. Тепловое излучение................................. 34 2.2. Закон Кирхгофа..................................... 38 2.3. Абсолютно черное тело.............................. 40 2.4. Закон Стефана-Больцмана. Формула и закон Вина .... 41 Дополнения к лекции 2 (47). 2.1. Экспериментальные установки для исследования теплового излучения (47). Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка 49 3.1. Формула Рэлея-Джинса............................... 49 3.2. Гипотеза и формула Планка.......................... 56 Дополнения к лекции 3 (63). 3.1. Реликтовое излучение (63). Лекция 4. Фотоны .......................................... 67 4.1. Фотоэффект......................................... 67 4.2. Фотонная теория фотоэффекта........................ 72 4.3. Импульс фотона..................................... 76 4.4. Эффект Комптона.................................... 78 Дополнения к лекции 4 (85). 4.1. Невозможность фотоэф- фекта на свободном электроне (85). 4.2. Оценка времени выхода электрона из металла при фотоэффекте на металле (86). 4.3. Поляризация фотона (87). 4.4. Угловое распреде- ление фотоэлектронов (88). 4.5. Уравнение Вульфа-Брэгга (89).
4 Содержание Лекция 5. Волновые свойства частиц........................ 92 5.1. Гипотеза де Бройля................................. 92 5.2. Экспериментальные исследования дифракции массивных частиц.................................................. 93 5.3. Статистическая интерпретация волн де Бройля....... 101 Дополнения к лекции 5 (105). 5.1. Волновой пакет (105). Лекция 6. Соотношения неопределенностей .................. 111 6.1. Интерференционный опыт Юнга на электронах......... 111 6.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга......... 115 6.3. Корпускулярно-волновой дуализм.................... 121 Дополнения к лекции 6 (124). 6.1. Эксперименты, ил- люстрирующие выполнение соотношений неопределенно- стей (124). 6.2. О возможности делимости фотона (127). Лекция 7. Планетарная модель атома ....................... 130 7.1. Проблема структуры атома.......................... 130 7.2. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц........ 131 7.3. Модель атома Резерфорда .......................... 138 Дополнения к лекции 7 (142). 7.1. Рассеяние положи- тельных заряженных частиц на тяжелых атомных ядрах (142). 7.2. Опыт Чедвика (144). 7.3. Состав атомного ядра (146). Лекция 8. Спектр излучения атома водорода и постулаты Бора 148 8.1. Спектральные серии атома водорода................. 148 8.2. Постулаты Бора ................................... 151 8.3. Энергетическое соотношение неопределенностей и есте- ственная ширина спектральной линии .................... 155 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики ................................................. 158 9.1. Волновая функция и уравнение Шредингера........... 159 9.2. Операторы физических величин...................... 161 9.3. Коммутативность операторов........................ 164 9.4. Оператор момента импульса......................... 166 9.5. Собственные значения и собственные функции операто- ров проекций момента импульса.......................... 168 9.6. Собственные значения и собственные функции оператора квадрата момента импульса.......................... 170 Дополнения к лекции 9 (176). 9.1. Коммутационные со- отношения для операторов квадрата модуля и проекций момента импульса (176). 9.2. Средние значения физиче- ских величин (179).
Содержание 5 Лекция 10. Стационарные состояния........................... 183 10.1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний . . 183 10.2. Движение частицы в одномерной бесконечно глубокой по- тенциальной яме.......................................... 185 10.3. Движение частицы в одномерной потенциальной яме ко- нечной глубины .......................................... 189 Дополнения к лекции 10 (198). 10.1. Проникновение ча- стиц в классически запрещенную область пространства (198). 10.2. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер (202). 10.3. Автоэлектронная эмиссия электронов с поверхности металла (206). Лекция 11. Атом водорода ................................... 210 11.1. Гамильтониан атома водорода........................ 210 11.2. Решение уравнения Шредингера для атома водорода ... 211 11.3. Основное состояние атома водорода.................. 218 11.4. Возбужденные состояния атома водорода.............. 220 Дополнения к лекции 11 (225). 11.1. Радиальные вол- новые функции стационарных состояний атома водо- рода (225). 11.2. Спектр излучения дейтерия (226). 11.3. Оценка неопределенности координаты электрона в атоме водорода (229). 11.4. Водородоподобные атомы (230). Лекция 12. Магнитные свойства атома водорода................ 232 12.1. Классическое гиромагнитное отношение............... 232 12.2. Опыт Штерна-Герлаха и магнито-механические эф- фекты ................................................... 235 12.3. Спин............................................... 239 12.4. Полный момент импульса электрона.................. 241 Дополнения к лекции 12 (247). 12.1. Сила, действующая на магнитный момент в неоднородном магнитном поле (247). 12.2. Классическая модель вращающегося элек- трона и ее несостоятельность (248). 12.3. Оператор спина (251). Лекция 13. Тонкая структура спектра атома водорода ......... 254 13.1. Энергия'тонкой структуры........................... 254 13.2. Правила отбора..................................... 257 13.3. Тонкая структура энергетического спектра атома водо- рода .................................................... 258 13.4. Тонкая структура серии Лаймана..................... 260 13.5. Тонкая структура серии Бальмера.................... 262
6 Содержание Дополнения к лекции 13 (266). 13.1. О тонкой структуре водородоподобных атомов (266). 13.2. Лэмбовский сдвиг энергетических уровней (266). Лекция 14. Многоэлектронный атом............................. 272 14.1. Опыты Франка-Герца.................................. 272 14.2. Уравнение Шредингера для стационарных состояний многоэлектронного атома................................ 275 14.3. Тождественность частиц.............................. 277 14.4. Самосогласованное поле.............................. 281 14.5. Электронные слои и оболочки......................... 284 Дополнения к лекции 14 (288). 14.1. Аналитические ап- проксимации волновых функций (288). Лекция 15. Периодическая таблица химических элементов Менделеева............................................... 290 15.1. Периодический закон Менделеева...................... 290 15.2. Внешние и внутренние электронные оболочки атомов . . 292 15.3. Электронные конфигурации основных состояний атомов химических элементов................................... 295 15.4. Связь свойств химических элементов и электронных кон- фигураций их атомов.................................... 303 15.5. Сродство к электрону................................ 308 Дополнения к лекции 15 (310). 15.1. Некоторые специфи- ческие свойства химических элементов (310). 15.2. Эф- фект Рамзауэра (320). Лекция 16. Атомные термы .................................... 329 16.1. Сложение моментов импульса для многоэлектронных атомов................................................. 329 16.2. Атомные термы ...................................... 334 16.3. Терм основного состояния атома. Правило Хунда... 338 16.4. Полный момент импульса многоэлектронного атома . . . 339 Лекция 17. Оптические спектры многоэлектронных атомов . . 347 17.1. Радиационные переходы в многоэлектронных атомах . . 347 17.2. Формирование спектров излучения атомов щелочных ме- таллов ................................................ 350 17.3. Тонкая структура оптических спектров атомов щелочных металлов............................................... 352 Дополнения к лекции 17 (360). 17.1. Спектр излучения атома гелия (360).
Содержание 7 Лекция 18. Рентгеновские лучи................................. 365 18.1. Открытие и основные свойства......................... 365 18.2. Измерение длин волн рентгеновских лучей ............. 368 18.3. Тормозное рентгеновское излучение.................... 371 18.4. Линейчатый спектр рентгеновских лучей................ 376 Дополнения к лекции 18 (381). 18.1. Уравнения Лауэ (381). 18.2. Синхротронное излучение (384). Лекция 19. Закон Мозли, тонкая структура характеристичес- кого рентгеновского излучения и эффект Оже 391 19.1. Закон Мозли.......................................... 391 19.2. Механизм образования характеристического рентгеновс- кого излучения.......................................... 394 19.3. Тонкая структура характеристического рентгеновского излучения............................................... 399 19.4. Эффект Оже........................................... 405 Дополнения к лекции 19 (411). 19.1. Нарушения монотон- ной зависимости атомной массы от порядкового номера элемента в таблице Менделеева (411). 19.2. Взаимодей- ствие рентгеновского излучения с веществом (413). Лекция 20. Атомы во внешних полях ............................ 423 20.1. Эффект Зеемана и триплет Лоренца..................... 423 20.2. Квантовый анализ эффекта Зеемана..................... 428 20.3. Наблюдение простого эффекта Зеемана.................. 436 Дополнения к лекции 20 (440). 20.1. Теорема Лармора (440). 20.2. Классическая энергия магнитного момента во внешнем магнитном поле (441). 20.3. Расчет магнитного момента атома по векторной модели (443). Лекция 21. Атомы во внешних полях (продолжение)............... 447 21.1. Эффект Пашена-Бака................................... 447 21.2. Эффект Штарка........................................ 450 21.3. Электронный парамагнитный резонанс................... 458 21.4. Автоионизация атома во внешнем электрическом поле . . 464 Дополнения к лекции 21 (467). 21.1. Создание экстре- мально сильных магнитных полей (467). 21.2. Магнит- ные моменты атомных ядер (469). Лекция 22. Молекулы........................................... 478 22.1. Общие свойства ...................................... 478 22.2. Принцип образования ионной химической связи...... 482 22.3. Уравнение Шредингера для многоатомных молекул . . . 486
8 Содержание 22.4. Адиабатическое приближение........................ 488 22.5. Ион молекулы водорода............................. 490 Лекция 23. Метод молекулярных орбиталей ................... 498 23.1. Молекулярные спин-орбита л и и орбитали........... 498 23.2. Линейные комбинации атомных орбиталей............. 499 23.3. Применение метода МО ЛКАО к иону молекулы водорода 502 23.4. Применение метода МО ЛКАО для двухатомных гомо- ядерных молекул...................................... 507 Дополнения к лекции 23 (516). 23.1. Основные типы химической связи (516). 23.2. Принцип плотнейшей упаковки для описания кристаллических структур (521). 23.3. Теорема Купмэнса (525). Лекция 24. Вариационный метод и молекулярные термы . . . 528 24.1. Вариационный метод для молекул и секулярное урав- нение ............................................... 528 24.2. Расчет молекулярных орбиталей вариационным методом 531 24.3. Молекулярные термы двухатомной молекулы........... 536 Дополнения к лекции 24 (544). 24.1. Метод валентных связей (544). Лекция 25. Молекулярные спектры............................ 553 25.1. Составные части энергии молекулы.................. 553 25.2. Вращательные спектры.............................. 554 25.3. Колебательно-вращательные спектры................. 560 25.4. Принцип Франка-Кондона и полосатые оптические спек- тры ................................................. 569 25.5. Рентгеновские молекулярные спектры................ 576 Дополнения к лекции 25 (580). 25.1. Комбинационное рас- сеяние света (580). Приложение ................................................ 583 Список литературы ......................................... 611
Если бы в результате мировой катастрофы все накопленные научные знания оказались бы уничтожены и к грядущим поколе- ниям людей перешла бы только одна фраза, то какое утвержде- ние принесло бы наибольшую информацию? Я думаю, что это атомная гипотеза: все тела состоят из атомов — маленьких частиц, которые находятся в беспрерывном движении, при- тягиваются на небольшом расстоянии, но отталкиваются, если одно прижать к другому. В этой фразе содержится неве- роятное количество информации о мире, стоит лишь приложить к ней немного воображения и чуть соображения. Ричард Фейнман ПРЕДИСЛОВИЕ Развитие экспериментальных и теоретических методов иссле- дований в важнейших областях физики и химии требуют от спе- циалистов владения современными представлениями квантовой физики на уровне применения их в повседневной практической работе. Это связано с тем, что, с одной стороны, принципы, на ко- торых базируется работа современных экспериментальных уста- новок, являются прямым следствием законов атомной физики, а с другой, — интерпретация полученных результатов может прово- диться лишь на основе современных квантовых представлений. Сказанное в полной мере относится к таким приоритетным напра- влениям современного естествознания, как нанофизика и всевоз- можные нанотехнологии. Наноразмерные объекты описываются законами квантовой физики, и владение квантовыми законами и представлениями является неотъемлемой частью профессиона- лизма современного физика-исследователя и технолога. Атом и молекула — это «природные» нанообъекты, поэтому изучение законов квантовой физики в университетах начинается, как правило, с изучения атомной физики. Настоящий учебник содержит описание законов квантовой фи- зики в применении к строению атома водорода и многоэлектрон- ных атомов, их оптических и рентгеновских спектров, а также по- ведению атомов во внешних электрических и магнитных полях. Часть книги посвящена описанию свойств простейших молекул, их оптических и рентгеновских спектров, приближенным мето- дам расчета электронной структуры молекулярных систем. Рас- смотрены экспериментальные методы атомной физики и резуль- таты фундаментальных опытов, на которых базируются основные принципы квантовой физики. Исходной базой данного учебника является курс общей физики (раздел «физика атома»), который в течение многих лет читался авторами студентам 3-го курса физического факультета Нижего- родского государственного университета им. Н.И. Лобачевского. Отличительной особенностью данного учебника является пре- жде всего его структуризация. Основной его частью являются 25 лекций. Лекции содержат определенный минимум материала, ко-
10 Предисловие торый необходимо усвоить студенту для понимания последующих разделов атомной физики и для последующего систематического изучения методов квантовой механики. Кроме того, эти знания пригодятся и при изучении других курсов, где используются кван- товые представления. Кроме обязательных лекций студенту предлагаются многочис- ленные дополнения, которые могут представлять интерес для наи- более подготовленных студентов, а также для тех, для кого эта книга будет не первой прочитанной по физике атома книгой. В на- стоящем учебнике можно также найти биографии физиков (в ос- новном нобелевских лауреатов), внесших значительный вклад в развитие квантовой физики. Предлагаемое небольшое количество задач также определяет тот минимум, которым должен овладеть студент при изучении данного курса. Данная книга ориентирована прежде всего на студентов-фи- зиков. Предполагается, что читатель освоил все разделы клас- сической общей физики, а также владеет необходимым матема- тическим аппаратом. Она может служить также пособием для аспирантов, молодых преподавателей и научных сотрудников, од- ним словом, для тех, кто хочет просто «освежить» свои знания в области физики атома и атомных явлений. Данный учебник разработан в процессе деятельности Образо- вательно-научного центра «Информационно-телекоммуникацион- ные системы: физические основы и математическое обеспече- ние. Повышение качества и увеличение масштабов подготовки специалистов на основе интеграции образовательной, научной и инновационной деятельности», созданного в Нижегородском госу- дарственном университете в результате победы в конкурсе инно- вационных вузов в рамках приоритетного национального проекта «Образование» в 2006 г. Авторы благодарят своих коллег — сотрудников физического факультета и Научно-исследовательского физико-технического института (НИФТИ) Нижегородского государственного универси- тета им. Н.И. Лобачевского (ННГУ) за прочтение рукописи, со- веты, рекомендации и обсуждение, которое сопровождало напи- сание данной книги. Особую благодарность авторы выражают заместителю директора ИФМ РАН доктору физ.-мат. наук Фра- ерману А. А., доценту Мордовского государственного университета Рябочкиной П.А., заведующему кафедрой теоретической физики ННГУ Демиховскому В. Я., профессору Вугальтеру Г. А., доцен- там Бурдову В. А. и Максимовой Г. М., старшему преподавателю Хомицкому Д.В., заведующему лабораторией физики металлов НИФТИ профессору Чувильдееву В.Н., доценту кафедры элек- троники твердого тела Маркову К. А., профессору кафедры фи- зики полупроводников и оптоэлектроники Ежевскому А. А., до- центу кафедры кристаллографии и экспериментальной физики Сафьянову Ю.Н., старшему преподавателю Марычеву М. 0.
Лекция 1 ATOM — СТРУКТУРНАЯ ЕДИНИЦА ВЕЩЕСТВА 1.1. Эволюция классических представлений об атомном строении вещества Весь период развития физико-химических представлений об атомном строении вещества можно условно разделить на два пе- риода. В первый период разрабатывались идеи об атомном стро- ении вещества и структуре атома на основе принципов классиче- ской физики. Этот период простирается от античности до начала XX века. Для второго периода развития атомной физики харак- терно развитие квантовых представлений о строении микромира и, в частности, о строении атомов. Начало этого периода можно датировать 14 декабря 1900 г., когда Макс Планк выступил на за- седании Немецкого физического общества с изложением квантовой гипотезы, с помощью которой удалось построить теорию теплового излучения. Трудно указать дату и автора первого учения об атомах. Нам известно, что идея атома впервые в наиболее отчетливой форме была сформулирована Левкиппом и его учеником Демокритом в V веке до н.э. Одним из основных вопросов, который решали древнегрече- ские философы, заключался в установлении предела делимости вещества. Атом появился как элемент структуры вещества, как естественный предел делимости, дробления (по-древнегречески «атом» — неделимый). В отличие от своих предшественников, Левкипп и Демокрит исходили из того, что множественность ве- щей в природе обусловлена не составом, а строением. По их мне- нию, тела отличаются друг от друга формой простейших частиц (атомов) и их взаимным расположением. Между атомами нахо- дится пустота, а сами атомы совершают определенные движения. «Как трагедия, так и комедия могут быть написаны одними и теми же буквами, так и все разнообразие существующего в мире осу- ществляется одними и теми же атомами, поскольку они имеют различные положения и выполняют различные движения».
12 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества Сторонником атомной теории был греческий философ Эпикур (ок. 342-270 гг. до н.э.), а в I веке до н.э. один из его последо- вателей, римский поэт и философ Лукреций Кар изложил учение Эпикура в поэме «О природе вещей». Благодаря этому труду уче- ние Эпикура сохранилось для следующих поколений. К сожале- нию, один из крупнейших ученых древности, Аристотель (384- 322 гг. до н.э.) атомистические представления не принимал, а поскольку его научные взгляды преобладали в Средневековье, то идеи атомарного строения вещества были забыты до конца эпохи Возрождения, когда на смену умозрительным философским рас- суждениям пришел физический эксперимент. По-видимому, одним из первых мыслителей Нового времени, кто вновь вернулся к идее атомного строения вещества, был фран- цузский теолог и философ П. Гассенди (1592-1655). Гассенди пред- ставлял различные вещества в виде смесей атомов подобно смеси песчинок в горстке песка или камня. При этом с помощью ха- рактера движений атомов он пытался описывать различные агре- гатные состояния вещества. Реакцией на гипотезу Гассенди было запрещение французским парламентом в 1624 г. распространения учения об атомах под страхом смертной казни. Р. Бойль (1627-1691) и И. Ньютон (1643-1727) исходили в сво- их рассуждениях из представления о существовании неделимых частиц вещества. Однако ни Бойлю, ни Ньютону не потребовалось детальной атомистической теории для объяснения интересовав- ших их явлений, и результаты проведенных ими экспериментов не дали ничего нового атомной теории. Лишь в начале XIX века экспериментальная химия пришла к выводу о неизбежности существования атомов. Выяснилось, что в химических реакциях сложные вещества можно разлагать на составляющие не беспредельно. Были обнаружены простые веще- ства — химически неразложимые субстанции, названные химиче- скими элементами. Существование химических элементов позво- лило успешно объяснить многие экспериментально установленные закономерности. Убежденным сторонником атомного (корпуску- лярного) строения вещества был М.В. Ломоносов (1711-1765). Первым действительно научным обоснованием атомистической идеи явилась работа английского школьного учителя математики Дж. Дальтона (1766-1844), которая была опубликована в 1803 г. Дальтон изучал свойства газов, в частности, измерял отношения объемов и масс газов, вступавших в реакцию образования химиче- ского соединения. Примером такой реакции является образование воды из водорода и кислорода. В ходе своих исследований Даль- тон установил, что отношения масс прореагировавших исходных веществ всегда выражаются отношениями небольших целых чи- сел. Так (по современным данным, более точным, чем измерения Дальтона), при образовании воды ЩО с 16г кислорода в реак-
1.1. Эволюция классических представлений об атомном строении 13 цию вступают 2,016 г водорода, а при образовании перекиси водо- рода Н2О2 с 2,016 г водорода соединяются 32 г кислорода. Массы кислорода, реагирующие с одной и той же массой водорода при образовании этих двух соединений, соотносятся между собой как 16:32 = 1:2. На основе полученных результатов Дальтон сформулировал свой «закон кратных отношений». Согласно этому закону, если два элемента соединяются в разных пропорциях, образуя разные соединения, то массы одного из элементов, соединяющиеся с од- ним и тем же количеством второго элемента, соотносятся как не- большие целые числа. Убедительное подтверждение этого закона дают соединения кислорода с азотом. В пяти разных оксидах азота массы кислорода на единицу массы азота относятся как 1:2: 3:4: 5. По второму закону Дальтона — «закону постоянных отноше- ний» — в любом химическом соединении соотношение масс вхо- дящих в него элементов всегда одно и то же. На основе своих исследований Дальтон постулировал, что 1) все атомы одного и того же химического элемента тожде- ственны во всех отношениях, в частности, одинаковы их массы; 2) атомы разных химических элементов имеют неодинаковые свойства, в частности, неодинаковы их массы; 3) в вещество, представляющее собой химическое соединение, в отличие от элемента, входит определенное целое число атомов каждого из составляющих его элементов; 4) в химических реакциях может происходить перераспределе- ние атомов, но ни один атом не разрушается и не создается вновь. Кроме того, Дальтон первым ввел понятие «атомный вес» («ато- мная масса»). Основанная на этих четырех постулатах атомная теория Даль- тона давала простое объяснение законов постоянных и кратных отношений. Постулаты Дальтона имели преимущество перед аб- страктными рассуждениями древнегреческих атомистов, так как эти постулаты позволяли объяснить и увязать между собой резуль- таты реальных опытов, а также предсказать результаты новых экспериментов. Большое количество экспериментальных данных, относящих- ся не только к газам, но также и к жидкостям и твердым соеди- нениям, собрал Й. Берцелиус (1779-1848), который провел точные измерения реагирующих масс элементов для многих соединений. Его данные подтвердили сформулированные Дальтоном законы и убедительно продемонстрировали наличие у каждого элемента наименьшей единицы массы. Итальянский химик А. Авогадро (1776-1856) ввел понятие эле- ментарной единицы вещества — молекулы, которая состоит из атомов. Молекулы простых веществ состоят из одинаковых ато-
14 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества мов, молекулы сложных веществ — из разных. В 1811 г. Аво- гадро выдвинул гипотезу, которая имела огромное значение для развития атомных представлений в физике и химии. Эта гипо- теза состояла в том, что равные объемы газов, находящиеся при одинаковых температуре и давлении, содержат одно и то же число молекул. Развитие атомной теории вещества выдвинуло проблему опре- деления масс атомов и молекул. Количество молекул, содержа- щихся в макроскопическом объеме вещества, чрезвычайно велико. Измерения масс веществ, участвующих в реакциях, давало хими- кам данные лишь об относительных значениях масс атомов. Для связи микроскопических и макроскопических величин оказалось очень ценным понятие моль. Первоначально моль был определен как количество вещества, содержащее столько же молекул, сколько атомов водорода содержится в 1г водорода. Затем по ряду при- чин, которые будут изложены далее, было принято иное, более корректное определение. Моль — это количество вещества, в ко- тором содержится столько же молекул, сколько атомов углерода содержится в 12 г изотопа углерода 12С. Определение изотопа при- ведено в конце данной лекции. Количество молекул, содержащееся в одном моле, названо по- стоянной Авогадро N&. Расчет этой фундаментальной величины являлся одной из самых сложных задач физики и химии на про- тяжении десятков лет. Один из самых точных методов измерения постоянной Авогадро — рентгенографический — описан в допол- нении 18.1 к лекции 18 данной книги. В настоящее время принято значение Na = 6,0221367(36) • 1023 моль-1. Было измерено, что один моль идеального газа при нормаль- ных условиях (т.е. при температуре 0°С и давлении 1атм) за- нимает объем приблизительно 22,4 литра. Эта важная физиче- ская величина часто называется объемом Авогадро Рд- Можно вычислить, что 1л воздуха при нормальных условиях содержит примерно 3 • 1022 молекул кислорода, азота и некоторых других газов. Прямое экспериментальное доказательство атомного (дискрет- ного) строения вещества было получено в 1914 г., когда М. Лауэ с сотрудниками открыл дифракцию рентгеновских лучей на кри- сталлических решетках. 1.2. Электрон Идея «атомов электричества» определенно следует из анализа законов электролиза, открытых М. Фарадеем (1791-1867). Если пропускать одно и то же количество электричества через различ- ные электролиты, то количество одновалентного вещества (эле- мента), которое выделяется на электродах, пропорционально атом-
1.2. Электрон 15 ной массе. Например, если некоторое количество электричества способствует выделению 35,45 г хлора, то при таком же количе- стве электричества всегда выделится 107,87 г серебра. Таким образом, один грамм-атом любых одновалентных ато- мов в растворе (ионов) всегда несет с собой одно и то же коли- чество электрического заряда. Эта величина заряда F названа числом (постоянной) Фарадея, которое равно приблизительно 96485 Кл/моль или 2,893 • 1014ед. зар. CGSE/моль (см. дополне- ние 1.1). Если при пропускании тока на электроде выделяется двухвалентный элемент, то один заряд F переносится половиной грамм-атома этого вещества и т. д. По закону Авогадро 1 моль вещества содержит Na частиц. Счи- тая, что заряд всех частиц одинаков, можно найти элементарный заряд («атом электричества») F Na 9,65 • 104 6,022 • 1023 « 1,603 • 10"19 Кл к « 4,803 • 10"10 ед. зар. CGSE. Уместно вспомнить, что убежденным сторонником атомарного строения электричества был один из первооткрывателей закона сохранения энергии Г. Гельмгольц (1821-1894), который опубли- ковал свои идеи по данной проблеме в 1881 г. В середине XIX века был выполнен ряд интересных экспери- ментов, в которых исследовался электрический ток в стеклянных трубках, наполненных газом при низких давлениях. Такие изде- лия назывались трубками Гейсслера, по имени немецкого стекло- дува Г. Гейсслера (1815-1879), который, сконструировав ртутный насос, сумел добиться сильного разрежения газа внутри сосуда. В трубке Гейсслера, содержащей очень разреженный газ, рас- полагались два электрода с проделанными в них отверстиями, как Рис. 1.1. Схема газоразрядной трубки для наблюдения катодных лучей: Е — источник высокого напряжения, R — реостат. Знаки «+» и «—» указывают поляр- ность электродов. Штриховые линии — траектории катодных лучей это показано на рис. 1.1. На электроды подавалось высокое элек- трическое напряжение.
16 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества При подключении трубок к высоковольтной обмотке индукци- онной катушки (источнику высокого напряжения) они испускали яркое свечение. Было обнаружено, что сквозь каналы, просверлен- ные в аноде, проходят потоки «лучей», которые вызывают флуорес- ценцию на внутренней поверхности стенок трубки. Наблюдаемое свечение Э. Гольдштейн (1850-1930) назвал «ка- тодными лучами», полагая, что оно испускается поверхностью катода в направлении перпендикулярном ей. Тщательные исследо- вания катодных лучей провел У. Крукс (1832-1919), который уста- новил, что характер разряда в трубке зависит от давления и что разряд полностью исчезает при высоком вакууме. Крукс обнару- жил механическое и флуоресцирующее действие катодных лучей, а также их отклонение в магнитном поле. Природа «катодных лучей» оставалась загадкой. Крукс предпо- лоркил, что открыл «четвертое состояние вещества». Гольдштейн полагал, что это волны, но продольные, в отличие от поперечных световых. Более поздние исследования Ж. Перрена (1870-1942) показали, что вызывающие свечение «катодные лучи» представляют собой отрицательно заряженные частицы, которые движутся прямоли- нейно, но могут отклоняться магнитным полем. Однако некото- рые физики отрицали связь отрицательно заряженных частиц с наблюдаемым свечением. Оставались неизвестными заряд и масса частиц. Только в 1897 г. Дж. Дж. Томсон (1856-1940) эксперименталь- но доказал, что все частицы, образующие катодные лучи, тожде- ственны друг другу. С помощью разрядной трубки особого типа, изображенной на рис. 1.2, Томсон измерил скорость и отноше- ние заряда к массе частиц катодных лучей, названных электро- нами. Заметим, что трубка Томсона была первой «электронно- лучевой трубкой» с экраном, предшественницей телевизионного кинескопа. Электроны вылетали из нагретого катода и ускоря- лись высоким напряжением С7, созданным в трубке между като- дом и анодом. Через диафрагмы проходили только те частицы, которые двигались вдоль оси трубки (см. рис. 1.2). После этого электроны попадали на экран, вызывая его свечение. Работа электрического поля приводит к увеличению кинетиче- ской энергии заряженной частицы на величину ДЕ = qU, (1.1) где q — заряд частицы. Напряжение J7, разгоняющее частицы в трубке, было столь ве- лико, что их конечная скорость на несколько порядков превышала начальную. Тогда с приемлемой точностью можно полагать, что все частицы, прошедшие через диафрагмы, имеют приблизительно одинаковую скорость.
1.2. Электрон 17 В трубке Томсона была установлена пара пластин электриче- ского конденсатора, которые, если на них подавалось разность по- тенциалов, могли отклонять электроны. Кроме того, Томсон ис- пользовал пару катушек с током, с помощью которых можно было Рис. 1.2. Схема электронно-лучевой трубки Томсона создавать магнитное поле (см. рис. 1.2), способное также откло- нять движущиеся электроны, но в противоположную сторону. Электрическая сила F#, действующая на заряд q со стороны электрического поля Е, равна Fe = qF. (1.2) Сила Лоренца Fp^ действующая со стороны магнитного поля В, при данном взаиморасположении векторов скорости частицы v и индукции поля В равняется FB = -vB, С (1.3) где с — скорость света в вакууме. Изменяя напряжение на конденсаторе и ток в катушках, Том- сон отрегулировал электрическое и магнитное поля так, чтобы ре- зультирующее отклонение электронов было равно нулю. В такой ситуации электронный пучок (точнее, его след на экране трубки) находился в таком же положении, как и при отсутствии обоих по- лей. Поскольку в этом случае модули обеих сил Fe и Fp^ действую- щих на электрон, равны друг другу, величина скорости электронов равна следующему выражению: v = (1.4) фундаментальная библиотека
18 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества Так как начальной кинетической энергией электронов в опыте Томсона можно пренебречь, то уравнение (1.1) записывается в сле- дующем виде: массе: с2 (Е\2 2U \В (1-6) где тпе — масса электрона, е — абсолютная величина его заряда. Подставляя в (1.5) выражение для скорости (1.4), получим от- ношение заряда частицы к ее е _ те Следует учесть, что уравнение (1.5), а следовательно и (1.6), справедливо для частиц нерелятивистской энергии. Легко пока- зать, что при ускоряющем напряжении в несколько десятков ки- ловольт электроны можно рассматривать как нерелятивистские. Измерения в экспериментах величин Е, В и U позволяют вы- числить отношение е/те для исследуемого электрона. По измере- ниям, проведенным в конце XX века, оно равно 1,75881962(53) х хЮ11 Кл/кг. Для перевода в систему Гаусса необходимо эту вели- чину умножить на 10-4с, где с — скорость света в вакууме, рав- ная с = 2,99792458 • Ю10см/с. Таким образом, е/те ~ 5,2728 х х1017ед. зар. CGSE/r. Эксперименты Томсона показали, что электроны в электронно- лучевых трубках возникают при изготовлении катодов из различ- ных металлов. Так как электроны, несомненно, появлялись из атомов, то ре- зультаты опытов позволяют сделать следующие выводы: 1. Атомы обладают сложной структурой. 2. Электроны входят в состав атомов. 3. Методы экспериментальной физики позволяют разделять атомы на составные части. 1.3. Заряд электрона. Метод Милликена Первое экспериментальное определение заряда электрона было проведено американским физиком Р.Э. Милликеном (1868-1953) в ходе исследований 1908-1911 гг. Схема установки приведена на рис. 1.3. В область пространства между пластинами плоского конденса- тора с помощью пульверизатора впрыскиваются маленькие капли масла. К пластинам прикладывается разность потенциалов Uy. Для наблюдения за поведением маленьких капель служит оптиче- ский микроскоп. При распылении масла отдельные капли могут случайным об- разом приобретать различные электрические заряды (как поло-
1.3. Заряд электрона. Метод Милликена 19 жительные, так и отрицательные). В микроскоп видно, что при определенном значении электрического поля Е некоторые капли Рис. 1.3. Схема установки Милликена для определения заряда электрона: 1,2 — пластины плоского конденсатора, 3 — сопло пульверизатора, 4 — рентгеновская трубка в защитном кожухе, 5 — окуляр микроскопа, 6 — электрическая батарея, 7 — делитель напряжения. Штриховые линии между пластинами конденсатора ограничивают поле наблюдения движущихся капелек поднимаются вверх, другие опускаются вниз, что свидетельствует о различии их электрических зарядов. Допустим, что электрическое поле Е между пластинами кон- денсатора будет направлено вниз. Рассмотрим каплю, которая Рис. 1.4. К описанию опыта Милликена по определению заряда электрона: а) конденсатор и электрическое поле между его пластинами; б) силы, действую- щие на движущуюся каплю поднимается вверх с постоянной скоростью v (см. рис. 1.4). Этого всегда можно добиться подбором величины напряжения Uj_. wg б V
20 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества На каплю будут действовать 4 силы. Вверх направлены элек- трическая сила Fe и сила Архимеда Ед, вниз — сила тяжести FT и сила вязкого трения Fv. Модули этих сил выражаются следую- щими формулами: „ 4 ч FT = mg = ~тгглрд, Fv = (yjuqrV) г. 4 ч Fa = ^глрод, О (1-7) где m — масса капли, г — радиус капли, р — плотность капли, q — электрический заряд капли, ро — плотность воздуха, р — вязкость воздуха, d — расстояние между пластинами конденсатора, д — ускорение свободного падения. Капля движется с постоянной скоростью, если векторная сумма сил (1.7), действующих на каплю, равняется нулю. Это равенство в проекции на вертикальную ось можно записать в следующем виде: = ^тгг3(р - Ро)9 + бтгтупл (1.8) a 3 Движение капли наблюдается в оптический микроскоп. По из- меренному пройденному расстоянию As за интервал времени Ai вычисляется скорость подъема капли Затем из уравнения (1.8) вычисляется величина электрического заряда капли. Вблизи плоского конденсатора располагается рентгеновская трубка. Кратковременная вспышка рентгеновских лучей ионизует воздух и изменяет заряд капли q. Измерения повторяются. Совер- шенствуя свою установку, Милликен добился продолжительности наблюдения капли до 4,5 часов. В результате многократных измерений Милликен установил, что электрический заряд капли всегда кратен величине 1,6 х х10’19 Кл « 4,8 • КГ10 ед. зар. CGSE. Несмотря на неоднократные и тщательные поиски, в природе до сих пор не обнаружено электрических зарядов меньшей вели- чины. Все электрические заряды могут быть представлены в виде q = пе, где множитель п является целым числом. Положительная величина е называется элементарным заря- дом. Заряд электрона является отрицательной величиной, рав- ной —е.
1.4. Массы атомов 21 Зная величину заряда электрона и отношение заряда элек- трона к его массе, можно легко вычислить массу электрона. При- ведем современные значения этих фундаментальных постоянных: е = (1,60217733 ± 0,00000049) • 10"19 Кл, те = (9,1093897 ±0,00000054) • 10“31 кг. Единица электрического заряда в системе Гаусса меньше ку- лона в с/10 раз, следовательно, элементарный заряд приблизи- тельно равен 4,80324 • 1О“10 ед. зар. CGSE. 1.4. Массы атомов Вычисления масс молекул газов можно провести, зная постоян- ную Авогадро TVa- Например, тщательное измерение массы объ- ема Авогадро (22,4 л) газообразного водорода (достаточно разре- женного, чтобы его можно было полагать идеальным газом) дает значение 2,016г. Разделив эту величину на 7Va> получим массу молекулы водорода, равную 3,346-10-24 г. Так как молекула водо- рода двухатомная, масса одного атома 1,673 • 10-24 г. Универсальный и достаточно точный метод измерения масс атомов базируется на законах движения заряженных частиц в электромагнитных полях. Атом электронейтрален, что устано- влено с колоссальной точностью. Действительно, рассмотрим, на- пример, 1 моль одноатомного газа. Факт электронейтральности этого количества газа базируется на том, что во всех экспери- ментах не наблюдается действия электрических полей, которые создаются этим газом. Это говорит о том, что величины поло- жительного и отрицательного заряда в одном атоме одинаковы с погрешностью, равной приблизительно 1 от погрешности, с 6 • 1023 которой можно измерить заряд данного количества газа. С уве- личением количества газа соответственно уменьшится и погреш- ность утверждения об электронейтральности отдельного атома. В состав атомов входят электроны. Следовательно, атом со- стоит из электронов и положительно заряженного остатка, кото- рый называется положительным ионом. Уже первые эксперименты с газоразрядными трубками пока- зали, что если в катоде сделать отверстия («каналы»), то через эти каналы проходят какие-то «лучи», которые вызывают свече- ние люминесцентного экрана, расположенного в противоположном от анода конце трубки. Эти лучи, названные «каналовыми», тоже отклонялись магнитным полем, но в направлении, противополож- ном электронам. Это говорит о том, что каналовые лучи предста- вляют собой поток положительно заряженных частиц. После того как было доказано, что «катодные лучи» — это потоки электронов,
22 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества естественно предположить, что «каналовые лучи» представляют собой потоки положительных ионов. Дж. Дж. Томсон измерил массу и заряд «каналовых лучей», также используя для отклонения частиц электрическое и магнит- ное поля. В установке Томсона для исследования частиц «кана- ловых лучей» электрическое и магнитное поле были направлены параллельно друг другу и, следовательно, отклоняли частицы во взаимно перпендикулярных направлениях. Атомы на пути между анодом и катодом могут потерять один или несколько электронов, и по этой причине образовавшиеся ио- ны могут ускоряться до различных энергий. Ионы одного типа с одинаковыми зарядом и массой, но с некоторым разбросом ко- нечных скоростей, вычертят на люминесцентном экране или фо- топластинке кривую линию. Можно рассчитать, что эта кривая представляет собой отрезок параболы. Если в пучке присутствуют ионы различной массы, то более массивные (с тем же электриче- ским зарядом) будут отклоняться от центральной оси слабее, чем более легкие. Измерение кривизны полученных отрезков парабол в принципе позволяют провести расчеты удельного заряда иона, т. е. отношения заряда частицы к ее массе. Однако этот способ расчета характерен значительными погрешностями результатов, что привело к разработке более точных методов. Надежная методика измерения масс электрически заряжен- ных частиц, основанная на определении их удельных зарядов по их траектории движения в электрических и магнитных полях, реализуется на установках, получивших общее название масс- спектрометров. Первый такой прибор создал в 1920 г. Ф. Астон (1877-1945), назвав его масс-спектрографом, и добился относи- тельной погрешности измерения массы иона порядка 10-3. В сле- дующие годы были построены масс-спектрометры различных конструкций, которые обеспечивали все большую точность изме- ряемых масс. В качестве примера рассмотрим принципиальную схему масс-спектрометра Демстера (рис. 1.5). Источник ионов (ИИ) содержит газ исследуемого химического элемента, а также нагреваемый катод. Катод, вследствие тер- моэмиссии, испускает электроны, которые ускоряются электриче- ским полем и ионизуют атомы газа. Электрическое поле вытяги- вает положительные ионы в ускоряющую камеру. Из источника ионы выходят с малой кинетической энергией порядка 1эВ. Затем они ускоряются электрическим полем с раз- ностью потенциалов U в несколько тысяч вольт. При этом од- нократно заряженные ионы за счет работы электрического поля приобретают кинетическую энергию, определяемую в нереляти- вистском приближении уравнением ^v2 = qU, (1.10)
1.4. Массы атомов 23 где Mi — масса иона, v — скорость иона в конце ускоряющей камеры, q — заряд иона. Векторы скоростей ионов после ускорения имеют значитель- ный разброс направлений. Для формирования узкого пучка ио- нов используется фильтр скоростей ФС. Принцип работы филь- Рис. 1.5. Схема масс-спектрометра Демстера: ИИ — источник ионов, УК — ускоряющая камера, ФС — фильтр скоростей, U — ускоря- ющая разность потенциалов, ВК — вакуумная камера, В — магнитное поле отклоняющей системы, R — радиус траектории иона, Д — детектор ионов тра основан на отклонении пучка зараженных частиц в скре- щенных электрическом и магнитном полях, аналогичном тому, который использовался в электронно-лучевой трубке Томпсона (см. рис. 1.2). Сквозь выходную щель фильтра скоростей выходят только ионы с почти параллельными векторами скоростей. Далее ионы попадают в вакуумную камеру ВК, которая имеет форму полуцилиндра. Внутри камеры создано магнитное поле В, направление которого перпендикулярно основаниям полуцилиндра (т. е. перпендикулярно плоскости рис. 1.5). Скорость ионов в камере v ориентирована перпендикулярно вектору магнитного поля В. Ионы движутся под действием силы Лоренца по дуге окружности. Уравнение движения иона в пер- пендикулярном магнитном поле в рассматриваемом случае легко привести к следующему скалярному виду: = ^vB, (1.11) где R — радиус траектории иона в области перпендикулярного маг- нитного поля.
2 1 Лекщш 1. Атом — структурная единица вещества Траектории ионов в магнитной камере представляют собой по- луокружности. Из соотношения (1.11) следует, что радиус окруж- ности зависит от массы иона. Из системы уравнений (1.10) и (1.11) выводится выражение для массы иона: Mi = qB2R2 2Uc2 ' (1-12) Измерение радиуса траектории ионов позволяет вычислить массу этих ионов. В правую часть уравнения (1.12) входит заряд иона д, который, вообще говоря, кратен элементарному, т. е. q = пе. Однако в экспериментах обычно создаются условия, при которых в камере ИИ образуются преимущественно однократно заряженные ионы, и в (1.12) следует полагать q — е. В одном из вариантов методики масс-спектрометрических ис- следований устанавливаются определенные величины В и J7, а де- тектор ионов перемещается вдоль радиуса вакуумной камеры. При некотором значении радиуса R регистрируется ионный ток. Для полученного значения радиуса R проводится вычисление массы иона по формуле (1.12). Заметим, что наличие в пучке многоза- рядных ионов (q = пе, п > 1) не мешает описанной методике. Дело в том, что n-кратное увеличение заряда ионов приводит к n-кратному уменьшению радиуса траектории, согласно уравнению (1.11). Следовательно, многозарядные ионы значительно откло- няются от анализируемого пучка и не попадаю! во входное окно детектора. В качестве примеров приведем измеренные значения масс од- нократно заряженных положительных ионов гелия (6,64 • 10“24 г) и золота (3,27 • 10-22г). Таким образом, оказывается, что массы атомов на 3-5 порядков превышают массу электрона. Поэтому при вычислениях с точностью до трех значащих цифр можно пола- гать массу атома равной массе однократно заряженного по- ложительного иона. Задолго до масс-спектрометрических исследований химики пришли к выводу, что из-за малости атомов и молекул грамм явля- ется неудобной единицей измерения масс атомов. Еще в 1828 г. великий химик И.Я. Берцелиус (1779-1848) в качестве атомной единицы массы (а.е.м) принял 1/16 массы атома кислорода. При этом масса самого легкого атома — водорода — оказалось прибли- зительного равной 1 а.е.м. Числовое значение а.е.м. в граммах химики вычисляли с помощью постоянной Авогадро, которая в XIX веке была известна со значительной погрешностью. В 1912 г. Дж.Дж. Томсон, исследуя движение ионов неона в электрическом и магнитном полях, обнаружил, что атомы хими- чески чистого неона различаются по своим массам. Оказалось,
1.4. Массы атомов 25 что примерно 90% атомов имеют массу 20 а.е.м., а 10% — массу 22а.е.м. Это удивительно, так как, согласно химии XIX века, атомы определенного простого вещества должны быть абсолютно одинаковыми. Зависимость ионного тока, регистрируемого масс-спектромет- ром, от массы частиц называется масс-спектрограммой веще- ства. Исследования Астона и его коллег показали, что масс-спект- рограммы большинства химически чистых простых веществ содержат несколько узких пиков (см. рис. 1.6). Величина ионного /, отн. ед. 30 I- М, а.е.м. Рис. 1.6. Масс-спектрограмма химически чистого кадмия. По вертикали отло- жены значения ионного тока в относительных единицах тока в максимуме пика прямо пропорциональна количеству атомов определенной массы в исследуемом веществе. Ширина пика опре- деляется разрешающей способностью масс-спектрометра. Диск- ретный характер спектра масс чистого простого вещества объяс- няется существованием у определенного химического элемента атомов с различными массами. Атомы определенного химического элемента, имеющие раз- личные массы, называются изотопами, по предложению Ф. Содди (1877-1956), который вместе с Э.Резерфордом (1871-1937) зани- мался исследованием радиоактивных элементов. В частности, природный углерод состоит из смеси двух изо- топов с атомными массами 12а.е.м. и 13 а.е.м., которые кратко называются углерод-12 (12С) и углерод-13 (13С). Процентная доля изотопа 12С в природе составляет 98,9%. Рисунок 1.6 демонстрирует, что природный кадмий состоит, по крайней мере, из восьми различных изотопов. По положению пиков масс-спектрограммы можно установить, что массы изотопов равны 106, 108, 110, 111, 112, ИЗ, 114 и 116 а.е.м. Дробные значения атомных масс элементов, полученные хи- мическими методами и записанные в таблице Менделеева, объяс- няются тем, что химический элемент представляет собой смесь
26 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества изотопов, входящей в состав газопылевого облака, из которого об- разовалась Солнечная система. Например, согласно точным хими- ческим измерениям, атомная масса хлора составляет 35,45 а.е.м. Масс-спектроскопические исследования установили, что природ- ный хлор состоит примерно из четвертой части изотопа хлора-37 и трех четвертей хлора-35. В 1932 г. Г. Юри (1893-1981) обна- ружил, что природный водород, помимо изотопа с массой 1 а.е.м., содержит 0,015% изотопа с массой 2 а.е.м., названного дейтерием, В 1929 г. У. Джиок (1895-1982) нашел у кислорода, кроме изотопа с массой 16 а.е.м., еще два: кислород-17 (0,038% в химически чи- стом кислороде) и кислород-18 (0,2%). Из-за открытия изотопов кислорода пришлось изменить опре- деление атомной единицы массы. С 1961 г. атомная единица массы принята равной 1/12 массы атома углерода-12, которая была вычислена по результатам масс-спектрометрических иссле- дований: 1 а.е.м. = 1,6605402 • 1СГ24 г. (1.13) Имея числовое значение (1.13), можно массы атомов, измеренные химиками в атомных единицах массы, пересчитать в граммы. Интересным результатом масс-спектрометрических исследова- ний оказалось то, что массы отдельных изотопов всех химических элементов с точностью до 0,1% кратны а.е.м. Может создаться впечатление, что атомы сложены из «кирпичиков» массой 1 а.е.м. Этот факт исторически оказался весьма полезным при выяснении внутренней структуры атома. Приведенные выше числовые значения показывают, что масса электрона много меньше массы любого из атомов. Масса самого легкого — атома водорода — приблизительно в 1837 раз больше массы электрона. 1.5. Размеры атомов Измерения размеров атомов проводятся различными экспери- ментальными методами. Наиболее точные методики базируются на анализе картин рассеяния на атомах пучков электронов, ней- тронов и рентгеновских лучей. Один из наиболее простых для понимания способов получения радиусов атомов, основанный на пропускании пучков атомов через газовую среду, приведен в до- полнении 1.2. Более точным и универсальным методом является дифракция рентгеновских лучей на кристаллических образцах, ко- торая описывается в лекции 18. Приблизительную оценку размеров атомов можно дать с по- мощью закона Авогадро, используя известную молярную массу химического элемента и плотность соответствующего простого ве- щества. Предположим, что в твердом теле атомы расположены
1,5. Размеры атомов 27 вплотную друг к другу. Для примера возьмем алюминий, у ко- торого масса одного моля приблизительно равна 27 г, а плотность р ~ 2,7г/см3. Запишем выражение массы моля как суммарную массу однородных шариков с плотностью р и радиусом г: WA (|7гг3 ) р « 27 г. (1.14) Решив это уравнение, получим г « 1,3 • 10-8 см. Измерения радиусов атомов различными методами дают уди- вительный результат. Оказывается, что размеры всех атомов от водорода до урана имеют один порядок и, в большинстве, лежат в интервале от 10~8 см до 2 • 10-8 см, что демонстрирует рис. 1.7. Рис. 1.7. Соотношение радиусов атомов и их масс Такой диапазон размеров атомов химических элементов обусло- вил широкое употребление внесистемной единицы длины, равной 10~8 см = 10-1Ом. Эта единица называется ангстрем и обозна- чается символом А. Полученные размеры атомов интересно сравнить с результа- тами спектрометрических исследований, которые показали, что массы атомов различных химических элементов могут различать- ся в 200 с лишним раз. Например, масса наиболее распростра- ненного изотопа урана превышает массу атома водорода в 238 раз. При этом зависимость радиуса атома от массы имеет довольно при- чудливый немонотонный вид с пиками и провалами (см. рис. 1.7). Разумеется, удивительно, что объекты одинакового размера разли- чаются по массе более, чем на два порядка. Полученные результаты приводят к неизбежности предположе- ния, что атомы имеют сложное и существенно неоднородное вну- треннее строение. Исследования структуры атома, описанные в следующих лекциях, показали, что атом не является твердым ша- риком, и понятие радиуса атома нуждается в уточнении.
28 Лекция 1. Атом — структурная единица вещества Задачи к лекции 1 1. Отшить количество молекул в 1 см3 воздуха при нормальных усло- виях. 2. Оцепить величину ускоряющего напряжения, при котором элек- трон следует рассматривать как релятивистский. То же самое рассчи- тан» для протона. 3. При измерениях на масс-спектрометре Демстера были получены траектории: а) с радиусом 11,52 см при ускоряющей разности потенциалов 10 кВ п индукции магнитного поля 5000Гс; б) с радиусом 6,46 см при ускоряющей разности потенциалов 50 кВ и индукции магнитного поля 5000 Гс; в) с радиусом 9,7 см при ускоряющей разности потенциалов 4,5 кВ и индукции магнитного поля 1000 Гс. Вычислить массы ионов, полагая их заряды равным элементарному. . 4. В опыте по пропусканию пучка ускоренных электронов через скре- щенные электрическое и магнитное поля было обнаружено, что пучок не отклоняется при следующих значениях параметров: ускоряющая раз- ность потенциалов Uq = 300 В, индукция магнитного поля В — 1,2 х х10-3Тл, поперечная разность потенциалов U± = 185 В, расстояние между пластинами конденсатора отклоняющей системы d = 15 мм. 5. Доказать, что величина, обратная атомной единицы массы (а.е.м.), выраженной в граммах, численно равна постоянной Авогадро. 6. Оценить радиусы атомов, исходя из модели соприкасающихся ша- ров по известной плотности р и молярной массе р для следующих хи- мических элементов: а) магний, р = 1,74г/см3, р = 24,3г; б) никель, р = 8,91 г/см3, р = 58,7г, в) висмут, р = 9,78г/см3, ^ = 209г. 7. В опыте Милликена наблюдалось движение капли масла между рисками, расположенными на расстоянии 6,0 мм друг от друга по верти- кали. Среднее время падения капли в отсутствие электрического поля равнялось 21,2 с. При различных зарядах этой же капли были зареги- стрированы следующие времена подъема: 46,1; 15,6; 28,0; 13,0; 45,2 и 20,1с. При этом к пластинам конденсатора было приложено напряже- ние 4,55 кВ, расстояние между пластинами 16,0 мм. Плотность масла 0,858г/см3, вязкость воздуха 1,83 • 10“5кг-м-1 ♦ с-1. Вычислить по результатам опыта заряд электрона. 8. Вычислить энергии покоя электрона, протона и атома водорода. Результаты выразить в электрон-вольтах. 9. Вычислить скорость электрона, который был ускорен равностью потенциалов: а) 5000 В; б) 5 • 104 В; в) 3 • 105 В; г) 2 • 106 В; д) 107 В. 10. Найти отношение кинетической энергии к энергии покоя элек- трона, если электрон был ускорен равностью потенциалов: а) 1000 В; б) 2 • 104 В; в) 5 • 105 В; г) 5 • 106 В; д) 107В. Аналогичные вычисления провести для протона.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 1 1.1. Определение постоянной Авогадро методом электролиза солей металлов Еще в своих пионерских работах А. Вольта обнаружил, что растворы солей металлов являются хорошими проводниками электрического тока. В многочисленных опытах по пропусканию постоянного тока через такие жидкости (электролиты) было установлено, что на катоде (на электроде с отрицательным потенциалом) происходит осаждение металла, входящего в состав используемой соли. Законы электролиза, экспериментально установленные М. Фарадеем, связывают массу М осажденного металла с величиной заряда д, прошед- шего через электролит, следующим уравнением: M = q-^, (Д.1.1) ЬГ где /1 — молярная масса металла, l — его химическая валентность, F — универсальная постоянная, названная числом Фарадея. Размерность этой величины — электрический заряд, приходящийся на 1 моль веще- ства (Кл/моль). Согласно атомной теории, ток через электролит создается ионами ме- талла, каждый из которых имеет массу тп и заряд равный ле, где е — элементарный заряд. Следовательно, полный перенесенный электриче- ский заряд q равен q = Nbe, (Д.1.2) где N — число ионов, достигших катода. На катоде каждый ион присо- единяет к себе l электронов проводимости и превращается в нейтраль- ный атом металла. Отсюда следует, что М N=—. (Д.1.3) тп Согласно определению постоянной Авогадро, m = (Д.1.4) Iva При этом пренебрегается различием масс атома и иона, так как оно со- ставляет примерно от 10-1% до 10-3% (см. § 1.4 лекции 1). Подставив выражения (Д.1.2)-(Д.1.4) в уравнение (Д.1.1), получим связь между тремя константами: Na = -• (Д.1.5)
30 Дополнения к лекции 1 Число Фарадея измерялось в многочисленных экспериментах по электролизу различных растворов солей. В результате было получено значение F = 96485,3 Кл/моль — 2,89253 ед. зар. CGSE/моль. Разде- лив число Фарадея на элементарный заряд е, измеренный в независи- мых экспериментах, получим числовое значение постоянной Авогадро Na = 6,022137-1023 моль-1. 1.2. Определение размеров атомов по столкновениям в газовой фазе Для измерения размеров изолированных атомов применяется метод, основанный на процессе столкновений атомов в газовой фазе. Схема установки приведена на рис. Д.1.1. Рис. Д.1.1. Схема установки для определения размеров атомов газов: 1 — источник атомов, 2 — камера, наполненная газом (диафрагмы формируют узкий пучок атомов), 3 — детектор атомов С помощью небольшой печки, снабженной узкой щелью, формируется направленный пучок атомов определенного химического элемента. Мо- дули скоростей этих атомов определяются температурой внутри печки и описываются распределением Максвелла. Но размеры щели таковы, что векторы скоростей приближенно направлены параллельно друг другу. Узкий пучок атомов пропускается через камеру, в которую закачан газ другого или того же химического элемента. Регистрация атомов производится с помощью детектора, который регистрирует количество атомов, попавших в его входное окно. Один из типов детекторов пред- ставляет собой раскаленную нить, у которой измеряется электрическое сопротивление. При попадании атомов на нить она охлаждается. Сопро- тивление нити зависит от ее температуры, поэтому изменяется в зави- симости от потока (количества в единицу времени) атомов, приходящих в детектор. Атомы исходного пучка попадают в детектор, если не сталкиваются с атомами газа в камере. Концентрация атомов в камере подбирается так, что вероятность более чем одного столкновения мала. Иначе говоря, атомы пучка или пролетают беспрепятственно в детектор, или претерпе- вают одно столкновение, рассеиваются на некоторый угол и не попадают в окно детектора.
Дополнения к лекции 1 31 Целесообразно полагать атомы твердыми шариками с определенным радиусом г. Атомы различных химических элементов различаются сво- ими радиусами. Обозначим ri и Г2 — радиусы атома пучка и атома газа камеры соответственно. Тогда столкновение атомов произойдет, если вектор скорости атома пучка пересекает круг радиуса г\ + г2, очерченный вокруг атома газа, находящегося в камере (см. рис. Д.1.2). Рис. Д.1.2. Геометрическое условие столкновения двух атомов: b — расстояние между продолжением вектора скорости атома пучка и параллельной ли- нией, проходящей через центр атома-мишени Круг радиуса и 4-Г2, расположенный перпендикулярно векторам ско- ростей атомов, называется эффективным сечением столкновений. Рассмотрим тонкий слой газа толщиной dx, перпендикулярный век- торам скоростей атома пучка. Пусть S — площадь поперечного сечения камеры столкновений. В выделенном тонком слое находятся число ато- мов газа, равное ” (Д.1.6) N — nS dx, где п — концентрация газа, заполняющего камеру. В тонком слое газа сечения столкновений отдельных атомов не пе- рекрываются. Отсюда следует, что вероятность столкновения атомов в таком слое равна отношению суммы площадей сечений всех атомов в слое к площади поперечного сечения S камеры столкновений: 7V7r(ri 4- г2)2 , .2 , ------------- = П7Г(Г1 + Г-2) dx. S При каждом столкновении атом выбывает из пучка. Плотностью потока J называется количество атомов пучка, пересека- ющих за 1с площадку в 1см2, ориентированную перпендикулярно век- тору скорости. При прохождении слоя толщиной dx поток убывает на величину пропорциональную вероятности столкновения. Тогда для плот- ности потока можно записать следующее дифференциальное уравнение: —dJ = «7п7г(г1 4- Г2)2 dx. (Д.1.7) Интегрирование уравнения (Д.1.7) позволяет получить зависимость плотности потока от расстояния ж, пройденного атомами: J(x) = Jq exp [~п7г(г1 4- г2)2х], (Д.1.8) где Jq — плотность потока атомов на входе в камеру столкновений.
32 Дополнения к лекции 1 Таким образом, плотность потока атомов экспоненциально ослабля- ется при прохождении через газ, причем характер ослабления определя- ется размерами сталкивающихся атомов. Разреженность газа в камере столкновений позволяет использовать уравнение Менделеева-Клапейрона г> Р = Р-Т, (Д.1.9) А6 где р — плотность газа, р, — молярная масса, R — газовая постоянная. Воспользуемся известными соотношениями p = mna, p> = Npjn^ R = N^kB, где ma — масса атома, N& — постоянная Авогадро, кв — постоян- ная Больцмана, и получим связь давления Р и температуры Т в камере столкновений в следующем виде: Р = пквТ, (Д.1.10) Из последнего уравнения можно вычислить концентрацию атомов газа п по измеренным давлению Р и температуре Т в камере столкновений. Величину Jo можно измерить с помощью детектора, предварительно выкачав газ из камеры столкновений. Тогда измерения плотности потока атомов J(x) для известной кон- центрации п и расстояния х между источником и детектором с помощью зависимости (Д.1.8) позволят вычислить сумму радиусов атомов и -Ьгд. Проводя опыты с различными комбинациями химических элемен- тов, можно составить систему уравнений, решение которой позволит по- лучить радиусы атомов каждого элемента. Например, вычислив суммы радиусов ri 4- Г2, ri 4- гз, Г2 4- гз, нетрудно рассчитать ri, Г2 и Г3. Не- которые результаты приведены в табл. Д.1.1. Таблица Д.1.1. Радиусы некоторых атомов, измеренные методом столкновений Химический элемент Радиус атома (А) Гелий (Не) 1,1 Неон (Ne) 1,3 Ртуть (Hg) 2,1 В данном методе атомы каждого химического элемента рассматри- вались как твердые шарики определенного радиуса г. Как будет пока- зано в лекциях 11 и 14, атом представляет собой систему электронов и ядра, состояние которой описывается законами квантовой физики. Сле- довательно, атомы, строго говоря, не имеют резких границ. Значения г, измеренные выше описанным методом, представляют собой размеры (которые должны были бы иметь) твердых шаров, необходимые для того, чтобы наблюдался закон ослабления (Д.1.8). Эти радиусы называются
Дополнения к лекции 1 33 эффективными, так как они наглядно характеризуют определенный эф- фект, в данном случае явление столкновения атомов в газовой среде. Такие величины являются хорошим приближением размеров атома и полезными параметрами для описания механизма межатомных упругих взаимодействий. Развитие понятия радиуса атома будет изложено в лекции 11 после описания его внутреннего строения. 4 Зак. 178
Лекция 2 ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА Попытки описания свойств атомов, электронов и других ми- кроскопических объектов, пользуясь законами и представлени- ями классической физики, оказались неудачными. Эти проблемы конца XIX - начала XX века получили название «кризис физики». Успешное его разрешение стало возможным только с созданием принципиально новой физики — квантовой. Важным этапом в развитии атомной физики явилось создание теории теплового из- лучения. 2.1. Тепловое излучение Экспериментальные исследования показали, что все тела, тем- пература которых отлична от абсолютного нуля, излучают элек- тромагнитные волны. Кусок металла, нагретый до достаточно вы- сокой температуры, излучает электромагнитные волны видимого (оптического) диапазона. Тела с меньшей температурой излучают в инфракрасном диапазоне и т.д. Диапазон испускаемых волн, вообще говоря, неограничен, но при этом непрерывный спектр из- лучения имеет характерный максимум. Если нагревать кусок ме- талла, то видно, что с ростом температуры металл сначала начи- нает светиться темно-красным цветом, затем красно-оранжевым, далее раскаляется добела. Следовательно, при повышении темпе- ратуры тела максимум излучения смещается в направлении более коротких длин волн, т. е. более высоких частот. Эти экспериментальные результаты были получены к концу XIX века, но их теоретическое объяснение, а также описание с классических позиций процесса излучения электромагнитной вол- ны отдельным атомом привели к парадоксальным результатам и завели классическую физику в тупик, выход из которого дала только квантовая теория. Данная лекция посвящена описанию параметров электромаг- нитного излучения, которое названо тепловым и вызывается ха- отическим движением ионов, атомов и молекул в нагретом теле.
2.1. Тепловое излучение 35 Рис. 2.1. К описанию равновес- ного теплового излучения в за- мкнутой полости Излучение с характерным линейчатым спектром, которое сопро- вождается изменением внутреннего состояния атома, рассматри- вается в лекции 8 и следующих лекциях. Рассмотрим несколько тел с конечной теплоемкостью, которые помещены в массивную замкнутую оболочку со стенками, имею- щими постоянную температуру Tq (см. рис. 2.1). Предположим, что в начальный момент времени все тела имели раз- ную температуру, т. е. Т\ Ф Т<2 Ф . Теплообмен между те- лами и оболочкой путем излучения и поглощения приводит к тому, что температура тел будет изменяться со временем. Опыты показывают, что через некоторое время темпера- тура всех тел станет одинаковой и равной То. После установления тем- пературы То каждое тело в единицу времени излучает и поглощает оди- наковое количество энергии. Но то- гда для описания излучения в по- лости все тела можно убрать и оставить пустую полость, где за- ключено излучение, которое излучается и поглощается стенками оболочки. Установившееся излучение в полости можно описать следую- щим образом. Для произвольной площадки ds на внутренней поверхности оболочки за произвольный интервал времени dt в любом интервале частот dw для каждого направления и опреде- ленной поляризации количество поглощенной энергии равно ко- личеству излученной. Такое излучение называется равновесным. Равновесное излучение характеризуется единственной величи- ной — температурой Го, равной температуре тела, с которым про- исходит теплообмен посредством излучения. Введем основные характеристики равновесного излучения. Распределение электромагнитной энергии теплового излучения в пространстве описывается плотностью излучения и, которая представляет собой энергию электромагнитного поля в единице объема. Размерность величины и Дж-м-3 или эрг-см-3. Из опытов известно, что тепловое излучение содержит непре- рывную совокупность волн с разными длинами Л, что требует использования спектральных характеристик. Рассмотрим беско- нечно малый интервал длин волн равновесного излучения от Л до A-f-dA. Тогда плотность равновесного излучения в этом интервале длин волн можно представить как и\ dX, где их называется спек- тральной плотностью излучения. Размерность этой величины 4*
36 Лекция 2. Законы излучения абсолютно черного тела Дж-м-4 или эрг-см-4. Плотность равновесного излучения может быть представлена в виде оо и = у* их dX. (2.1) о Аналогично можно рассмотреть бесконечно малый интервал ча- стот (cu, си + dcu) и ввести другую спектральную характеристику следующей формулой: оо и = У иш dev. (2.2) о Функция также называется спектральной плотностью излуче- ния, но имеет размерность Дж • м-3 • с или эрг • см-3 • с, т. е. от- личается по размерности от функции и\. Найдем соотношение между величинами иш и и\. Пусть ин- тервал dX — интервал длин волн, соответствующий интервалу ча- стот dcu. Тогда количество энергии излучения в данном интервале, выраженное через разные спектральные плотности, должно быть одинаковым, т. е. \иш dcv\ = dX\. (2.3) Запишем связь длины волны Л с частотой си электромагнитного излучения: Л = —с, (2.4) CU где с — скорость света в вакууме, и возьмем дифференциалы от обеих частей (2.4). Для модулей дифференциалов получим соот- ношение 2тг \dX\ = — cdcv , что позволит уравнение (2.3) переписать в виде \ии dcu| = 2тг ux—^cdw Используя соотношение (2.4) и принимая во внимание, что все входящие в последнее уравнение величины положительны, полу- чаем связь обеих функций спектральных плотностей излучения ии и их: - -их- (2.5) CU
2.1. Тепловое излучение 37 Если рассматриваемая полость содержит только вакуум, то спектральная плотность и\ для равновесного излучения является функцией только длины волны и температуры, т. е. их = ид (Л, Г). Аналогично спектральная плотность также является функцией только частоты и температуры Найдем энергию dW равновесного теплового излучения, прохо- дящего за время.^ через произвольно выделенную в пространстве площадку ds внутри телесного угла c/Q, ось которого перпендику- Рис. 2.2. К определению удельной интенсивности излучения лярна площадке. Очевидно, что через окрестность каждой точки излучение через площадку проходит во всех направлениях, в том числе и внутри телесного угла dQ (рис. 2.2). Величину искомой энергии dW можно записать в виде dW = Idsdttdt, (2.6) где I — удельная интенсивность излучения (или поверхност- ная плотность потока излучения). Величина I имеет размерность Дж • м-2 • с-1 или эрг • см-2 • с-1. Аналогично тому, как это было сделано для плотности равновесного излучения, можно ввести функции 1Х и 1Ш спектральной интенсивности излучения с помо- щью следующих интегралов: оо оо 1 = j Iudv = f IxdX. (2.7) О о Если ось телесного угла c/Q составляет с нормалью к площадке угол (/?, то уравнение (2.6) примет вид dW = I cos <р ds dQ dt. (2.8) Произведение cos (p ds для краткости называют видимой вели- чиной площадки ds. Смысл термина становится очевидным при рассматривании площадки под углом ср к ее нормали.
38 Лекция 2. Законы излучения абсолютно черного тела Найдем связь между величинами и и I для равновесного из- лучения в вакууме. Пусть излучение внутри телесного угла dQ па- дает на площадку ds (рис. 2.3). За время dt на площадку ds пада- ет излучение с энергией I ds dQ, dt. Пусть dl — расстояние, которое свет проходит за время dt. Тогда dt = dl/с, и Рис. 2.3. К выводу связи удельной интенсивности и плотности энер- гии равновесного теплового излу- чения гии внутри телесного угла c/Q. Idsdttdt = Idsdtt— = IdV —, с с где dV = ds dl — элемент объема пространства. Сравнивая послед- нее выражение с определением плотности энергии излучения dW = udV, получаем, что вели- чина 1— равна плотности энер- с Так как равновесное излучение является изотропным, то интегрирование углу дает искомое уравнение связи 4тг/ -----= и. с по полному телесному (2-9) Аналогичные соотношения можно получить и для спектральных характеристик: 4тг^ 4тг/л = иш или = и\. с--------------------с (2.10) Важность соотношений (2.9) и (2.10) заключается в том, что они связывают экспериментально измеряемые характеристики те- плового излучения /, 1\ и с величинами и, и^ п их, получае- мыми методами теоретической физики. 2.2. Закон Кирхгофа Рассмотрим общие свойства излучения и поглощения теплового излучения. Пусть излучающие и поглощающие тела полностью непрозрачны. Этого можно добиться, например, если взять тела достаточных размеров. Величину энергии в интервале частот от си до cu + dw, излучаемой за время dt с площадки ds тела внутрь телесного угла c/Q, ось которого составляет угол ср с нормалью к площадке ds, можно записать в виде dW^v+dw — Еш cos ср dQ. ds dt du. (2.11) Величина Eu называется излучательной способностью тела в интервале частот от и до и + du в направлении, определяемом
2.2. Закон Кирхгофа 39 Рис. 2.4. К выводу закона Кирх- гофа углом ср. Размерность величины Еш совпадает с размерностью спектральной интенсивности 1Ш. Введем поглощающую способность Аи тела в интервале ча- стот от и до и + du) в направлении, определяемом углом (/?, как долю энергии падающего излучения, которое поглощается телом. Величина Аш безразмерна. Найдем связь между величинами и Аш для определенного тела. Обе эти величины характеризуют лишь поверхности из- лучающего и поглощающего тела и не зависят от внешних условий, в частности, от излучения, которое окружает это тело. Следовательно, при рассмотрении связи между Еш и Аш мы можем ввести любые усло- вия, касающиеся излучения, в ко- тором находится рассматриваемое тело. Пусть рассматриваемое тело ок- ружено равновесным излучением, температура которого равна темпе- ратуре тела. Как мы видели выше (см. рис. 2.1), этого можно добиться, поместив тело на достаточно боль- шое время внутрь ящика с массив- ными стенками, температура кото- рых поддерживается постоянной. Рассмотрим площадку площа- дью ds поверхности тела настолько малую, что ее можно считать частью плоскости (рис. 2.4). В интервале частот (си, си + dcu) на площадку ds за время dt падает энергия, равная cos ср ds d£l dt dw. (2.12) Часть ее, равная АШ1Ш cos ipdsdft dtdw, поглощается, a (1 - AJ x x Iu cos (p ds dQdt dw отражается. Кроме этого, за то же время dt площадка ds тела излучает энергию Еш cos ср dCl ds dt dw. Та- ким образом, полная энергия излучения с частотой в интервале (си, си + с/си), которая за время dt исходит от площадки ds внутри телесного угла c/Q, равна [(1 — Аш)1м + Еш] cos tpdft ds dtdw. (2.13) Так как окружающее излучение является равновесным, то ве- личина (2.13) равна падающей на эту же площадку ds за то же время dt энергии (2.12). Приравнивая выражения (2.12) и (2.13), получим [(1 — АШ)1Ш + Ещ\ = Iqj
40 Лекция 2. Законы излучения абсолютно черного тела или L (2-14) Величина характеризует равновесное излучение в полости и не зависит от присутствия каких-либо тел, а является функ- цией лишь частоты и температуры. Следовательно, отношение излучательной способности к поглощающей способности тела Еш/Аш для всех тел одинаково и зависит только от темпера- туры и частоты. Это важное уравнение было впервые получено Г. Кирхгофом (1824-1887) в 1859 г. и называется законом Кирх- гофа. 2.3. Абсолютно черное тело Рассмотрим некоторое идеализированное тело, для которого поглощательная способность Аи — 1. Это означает, что все из- лучение, которое падает на тело, поглощается им. Такое тело на- зывается абсолютно черным. Абсолютно черное тело, как и любое другое нагретое тело, является источником теплового излучения. Обозначим излуча- тельную способность абсолютно черного тела через е^. Тогда по- ______________ лучим 1и — еы. С учетом этого соотношения закон Кирхгофа можно сформулировать как ш X/Xlw / (2-15) ИХ / X. / т.е. отношение излучательной ч/ X. способности к поглощатель- Wk /X ^Х/] н°и способности для любого X. уХыЮг тела есть универсальная функ- Х-Хи^Ог й/ия температуры и частоты eCJ(T,си), равная излучательной Шож способности абсолютно черно- Рис. 2.5. Принципиальная модель аб- &О тела. солютно черного тела Абсолютно черное тело (АЧТ) является, вообще говоря, идеа- лизированным телом. Простейшей моделью АЧТ является с ма- ленькое отверстие в полости со стенками, имеющими определен- ную температуру (рис. 2.5). Если стенки полости непрозрачны, а отверстие очень мало, то внутри полости установится электромагнитное поле, практически не отличимое от равновесного излучения. Каждый луч, вошедший в полость, многократно отражается от внутренней поверхности сте- нок. При каждом отражении часть энергии луча поглощается. В результате луч поглощается полностью, или через отверстие
2.4. Закон Стефана-Больцмана. Формула и закон Вина 41 выйдет ничтожная часть начальной энергии. В то же время вну- тренние поверхности стенок испускают тепловое излучение, кото- рое быстро становится равновесным. Через отверстие полости будет выходить такое же излучение, которое бы испускалось абсолютно черной площадкой той же фор- мы и размера. В природе к АЧТ по свойствам близки сажа, черный бархат, черная шерсть животных, поглощающие свойства которых обу- словлены их пористостью. С одной из моделей АЧТ столкнулся Карабас-Барабас в хар- чевне «Три пескаря», пытаясь разглядеть Буратино внутри кув- Рис. 2.6. Наблюдения Карабаса-Барабаса шина (см. рис. 2.6). Несмотря на «научный» диспут с продавцом пиявок Дуремаром, ничего, кроме теплового излучения, из кув- шина извлечь не удалось. 2.4. Закон Стефана-Больцмана. Формула и закон Вина Рассмотрим более подробно излучательную способность абсо- лютно черного тела. В 1893-1894 гг. В. Вин (1864-1928) теорети- чески установил, что спектральная плотность равновесного тепло- вого излучения может быть представлена в виде u)3F (2.16) где F — некоторая универсальная функция, аргументом которой является отношение частоты к температуре. Несмотря на то, что методами классической физики устано- вить вид функции F(w/T) не удалось, формула (2.16) позволяет 3 Зак. 178
12 Лекции 2. Законы излучения абсолютно черного тела сформулировать два важных закона теплового излучения. Запи- шем плотность излучения с помощью уравнений (2.2) и (2.16) U = У u^j div о (2.17) Проведем замену переменной £ = cu/Т. Тогда div = Т d£, и последний интеграл можно преобразовать в виду и оо оо у T^3F(£)T<X = Т4 У £3F(£) d£. О о оо Определенный интеграл f £3F(£)d£ представляет собой неко- о торое число, которое мы обозначим через а. Тогда получаем, Рис. 2.7. К вычислению энерге- тической светимости: что плотность излучения пропорцио- нальна 4-й степени температуры: и = аТ4. (2.18) Используя уравнение (2.9), получим выражение для удельной интенсив- ности излучения АЧТ: I = ^-аТ4. (2.19) 4тг На практике часто используется величина энергетической светимо- сти S, которая определяется как количество энергии, излучаемой в единицу времени с единицы поверх- п — вектор нормали к площадке пло- щадью ds. Излучение распространя- ется под углом О к нормали п ности тела в одну сторону, т. е. в те- лесный угол Q = 2тг. Получим связь энергетической светимости S с удель- ной интенсивностью излучения I. В соответствии с определением видимой величины площадки (2.8), энергия, испускаемая в единицу времени с единичной площадки в телесный угол c/Q, ось которого образует угол в с нормалью, равна I cos в d£l. (2.20) Чтобы вычислить энергетическую светимость, требуется про- интегрировать величину (2.20) по полусфере, т. е. по телесному
2.4. Закон Стефана-Больцмана. Формула и закон Вина 43 углу Q = 2тг: I cos в dCl. Q=2tt К вычислению энергетической светимости: Элементарный телесный угол dCl равен smO dO dp, где в — угол между направлением излучения и нормалью к площадке (по- лярный угол), р — азимутальный угол, отсчитываемый вокруг вектора нормали. Тогда предыдущий интеграл для энергетиче- ской светимости S выразится так: 27Г 7г/2 S — J dp f IcosOsinOdO. (2.21) о о Вследствие изотропии излучения величина удельной интенсив- ности выносится из-под знака интеграла, и интегрирование дает искомую связь: S = л1. (2.22) Сравнивая последнее выражение с (2.19), убеждаемся, что энергетическая светимость АЧТ также пропорциональна 4-й сте- пени температуры: S = сгТ4, (2.23) (2.24) где a — константа, которая, как следует из сравнения уравнений (2.19)—(2.21), связана с параметром а следующим соотношением: ас а = Т Уравнения (2.18), (2.19), (2.23) представляют собой различ- ные варианты записи закона Стефана-Больцмана. Заметим, что во всех указанных выше уравнениях температура выражается по шкале Кельвина и называется термодинамической температурой. Й. Стефан (1835-1893) в 1879 г. в результате анализа экспери- ментальных данных установил, что интегральная излучательная способность тела пропорциональна 4-й степени термодинамиче- ской температуры. В дальнейшем в результате эксперименталь- ных проверок было установлено, что зависимость (2.19) имеет место только для тел, свойства которых близки к свойствам АЧТ. Л. Больцман (1844-1906) в 1884 г. на основе термодинамических законов вывел соотношение, согласно которому излучательная спо- собность АЧТ пропорциональна 4-й степени термодинамической температуры, т. е. теоретически обосновал закон Стефана.
44 Лекция 2. Законы излучения абсолютно черного тела Константа а первоначально определялась экспериментально, затем ее величина была рассчитана. Ее современное значение равно о Вт ст = (5,67032 ± 0,00071) • 1(Г8 —-т. м2 • К В начале данной лекции сообщалось о существовании макси- мума спектральной плотности теплового излучения. В эксперимен- тах традиционно исследовалась зависимость плотности излучения от длины волны, поэтому перейдем от функции uu к функции и\ с помощью уравнения (2.5). Используя формулы (2.16) и (2.4), выразим спектральную плотность и\ через длину волны: их = (2«)4 „ ~>TF 2тгс\ АТ/ * (2.25) Для нахождения максимума спектральной плотности излуче- ния необходимо исследовать функцию и\ на экстремум при фикси- рованной температуре. Вычислим производную dux/dX, для ком- пактности записи используя обозначение 2тгс АТ’ (2.26) и приравняем производную нулю. В результате получим уравнение 5F(7)+7~^=0. (2.27) «7 Это нелинейное уравнение имеет решение, которое будет при- ведено ниже (в лекции 3), после выяснения явного вида функции Т(7). Пока, опираясь на результаты экспериментов, можно утвер- ждать, что для заданной температуры Т найдется определенное значение длины волны Атах, при которой функция их достигает максимума. Обозначив корень уравнения (2.27) символом 70, мо- жем записать 2тгс ~ А Т лтах2 Отсюда следует, что температура АЧТ и длина волны максимума спектральной плотности излучения связаны обратно пропорцио- нальной зависимостью АтахТ = Ь. (2.28) Уравнение (2.28) представляет собой закон смещения Вина. Значение константы 5, полученное из экспериментов, равно 0,29 см • К.
2.4. Закон Стефана-Больцмана. Формула и закон Вина 45 Существование экстремума спектральной плотности излучения иш и их и формула Вина (2.28) позволяют сделать заключение о виде спектральных функций удельной интенсивности излучения /д и Из соотношений (2.10) следует, что существование максимума у функции и\ (или и^) обусловливает наличие максимума у спек- X, нм Рис. 2.8. Вид зависимости спектральной интенсивности излучения от длины волны при разных температурах абсолютно черного тела: УФ — ультрафиолетовый диапазон, ИК — инфракрасный диапазон тральной характеристики 1\ (или причем положение макси- мума, согласно (2.28), зависит от температуры нагретого тела (см. рис. 2.8). Из рис. 2.8 видно, что максимум функции удельной интенсив- ности излучения АЧТ при повышении температуры смещается в сторону все более коротких волн, что полностью согласуется с экс- периментальными данными. Задачи к лекции 2 1. Оценить длину волны максимума спектра: а) излучения фотосферы Солнца (температура 6000К), б) излучения центра Солнца (температура ~ 1,6 • 107 К), полагая спектр излучения близким к равновесному. 2. Нить лампы накаливания разогревается до температуры 2400 °C. Вычислить длину волны максимума спектра излучения. 3. Температура тела, которое можно полагать абсолютно черным, воз- росла со 100 °C до 800 °C. Во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость?
46 Лекция 2. Законы излучения абсолютно черного тела 4. Температура ранней Вселенной Т и время прошедшее после Большого взрыва, связаны следующим приближенным соотношением: Т(К) = 1Q10 У* (лет) Примерно через миллион лет после Большого взрыва началась ре- комбинация плазмы с образованием нейтральных атомов водорода и ге- лия. Полагая равновесным излучение, заполняющее Вселенную, оценить длину волны максимума спектра в указанное время. 5. Вычислить длину волны максимума спектра излучения туго- плавкого металлического образца, нагретого до: а) 100 °C, б) 500 °C, в) 1000 °C, г) 2000 °C, д) 3000 °C. 6. Чугунная сковорода разогрета до температуры 300 °C. Можно ли ее увидеть в темноте невооруженным глазом?
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 2 2.1. Экспериментальные установки для исследования теплового излучения В лекции 2 было показано, что хорошей моделью абсолютно черного тела (АЧТ) является полость, нагретая до определенной температуры и имеющее отверстие диаметра, малого по сравнению с размерами по- лости. Для высокоточных экспериментальных исследования спектров теплового излучения и проверки выводов теории необходимы специаль- ные установки. Важнейшими требованиями к моделям АЧТ являются: 1) равномерный нагрев стенок полости, 2) высокая стабилизация тем- пературы излучающих стенок, 3) малый диаметр отверстие для вывода потока исследуемого излучения. В ходе экспериментов выяснилось, что для различных диапазонов температур следует использовать различные конструкции моделей АЧТ. Рис. Д.2.1. Установка с температурной баней: 1 — жидкость с определенной температурой, 2 — поток теплового излучения На рис. Д.2.1 изображена установка для получения равновесного излуче- ния для сравнительно низких температур. Основная часть установки представляет собой металлический сосуд с двойными стенками. Пространство между стенками заполняется жид-
48 Дополнения к лекции 2 костью с определенной температурой Т. В зависимости от требуемой температуры используется кипящая вода, жидкий газ (азот, кислород, гелий), вода с тающим льдом и т.п. Таким образом, полость, окру- женная жидкостью, поддерживается при определенной температуре Т и является источником теплового излучения с соответствующей темпера- турой. Такие установки называют температурной баней. Для ликвидации конденсата в излучающей полости через нее непре- рывно прокачивается вентилирующий газ. При температурах порядка комнатной тепловое излучение, в основ- ном, принадлежит инфракрасному диапазону. Для разложения инфракрасного излучения в спектр используются ди- фракционные решетки с периодом, близким к длине волны исследуемого излучения. Кроме того, применяются диспергирующие системы, содер- жащие призмы, изготовленные из кристаллов галогенидов щелочных ме- таллов (NaCl, КВг, CsI, LiF и т.д.). Простейшим детектором интенсивности инфракрасного излучения является фотоэмульсия, нанесенная на прозрачную пленку или плас- тинку. Для исследования теплового излучения при высоких температурах может использоваться модель АЧТ, показанная на рис. Д.2.2. Рис. Д.2.2. Установка для генерации теплового излучения высокой температуры: 1 — спай термопары, 2 — поток теплового излучения Установка состоит из двух коаксиальных цилиндров. Внутренний изготовлен из фарфора, внешний — из платины, через который про- пускают электрический ток. Из-за эффекта Джоуля-Ленца платиновый цилиндр нагревается, что приводит к разогреву фарфорового до опреде- ленной температуры. Внутренние диафрагмы затрудняют проникнове- ние внутрь окружающего воздуха и препятствуют охлаждению полости. Температура внутри полости измеряется термопарой. При температурах, значительно превышающих комнатную, диапа- зон теплового излучения захватывает видимую и ультрафиолетовую об- ласти. Спектрометрия видимого и ультрафиолетового излучения была хорошо разработана еще в начале XX века и подробно описана в курсах оптики.
Лекция 3 «УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ КАТАСТРОФА» И ФОРМУЛА ПЛАНКА 3.1. Формула Рэлея-Джинса В рамках классической физики не удалось получить явный вид универсальной функции F(cu, Т), а следовательно, и зависимо- сти спектральных плотностей равновесного теплового излучения и гбд(А, Т). Дж.Рэлей (1842-1919) в 1900 г. и Дж. Джинс (1877-1946) в 1905 г. попытались найти вид этих функций, при- менив к равновесному тепловому излучению известную в термо- динамике теорему о равном распределении энергии по степеням свободы. Это была, по-видимому, одна из последних серьезных попыток решить проблему равновесного теплового излучения ме- тодами классической физики. Рэлей предложил для решения задачи о тепловом излучении тела использовать вместо термодинамического статистический подход. Равновесное электромагнитное излучение в замкнутой по- лости с постоянной температурой стенок он рассматривал как си- стему стоячих волн различных частот в трех измерениях. Джинс, следуя идее Рэлея, провел точные электродинамические расчеты. Как известно из молекулярно-кинетической теории идеального газа, на каждую степень свободы молекулы приходится кинети- ческая энергия, равная къТ/2, где кв — постоянная Больцмана. Рассмотрим равновесное тепловое излучение в кубической полости с ребром L (см. рис. 3.1). Введем декартову систему координат, оси которой направим вдоль ребер куба. Тепловое излучение представляет собой совокупность электро- магнитных волн. Запишем волновое уравнение для ж-компоненты вектора электрического поля Е: = (3-1) с2 dtz Введем граничные условия для электромагнитных волн на внутренних стенках куба. Равновесное излучение однородно, по-
50 Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка этому значения напряженности электрического поля на всех стен- ках должно быть одинаковым. Положим его равным Eq. Это озна- чает, что граничные условия должны быть циклическими, т. е. = Ex(L,y,z) = Eq, Ех(х, 0, z) — Ех(х, L, z) — Eq, Ех(^, Уч 0) Ех(х, у, L) Eq. Рассмотрим физическую картину, когда электромагнитные волны теплового излучения проникают в глубь стенок на прене- Рис. 3.1. Куб с ребром L, заполненный равновесным тепловым излучением брежимо малую величину, а напряженность электрического поля внутри стенки равна нулю. Тогда граничные условия (3.1) можно записать в виде Ех№ Уч *) = ЕХ(Ь, у, z) = 0, Ex(x,0,z) = Ex(x,L,z) = 0, (3.2) Ех(х, у, 0) = Ех(х, у, L) = 0. Будем искать решение уравнения (3.1) с граничными услови- ями (3.2) в виде следующей функции: Ех = X(x)Y(у)Z(г) exp (iwt). (3.3) Вычислим вторую частную производную от функции (3.3) по координате х: f)2 Е —- X"(a;)Y(y)Z(^) exp (М = 0X2 Х"(т} Х"(х} = ^Y(y)Z(z) exp M) = X \x) X(x)
3.1. Формула Рэлея-Джинса 51 Вычислим вторые частные производные величины Ех по дру- гим координатам и времени: ^Ex_z\zy э2ех 2 ду2 Y (у) х' dz2 Z(z) х' dt2 x Подставим выражения производных в волновое уравнение (3.1) и получим , Y"(y) Z"(z) = Х(х) Y(y) Z(z) с2’ { ’ Все три слагаемых в левой части (3.4) — функции разных пе- ременных, т. е. совершенно независимы друг от друга. Уравнение (3.4) должно выполняться в любой точке внутри кубика, т. е. при любых значениях координат я, j/, z и в любой момент времени. Это может быть только в том случае, если каждое слагаемое в ле- вой части равно некоторой константе. Обозначим эти константы следующим образом: о?)* = «а Х(х) УЩ 2(г) 1 ' Z" Тогда уравнение (3.4) примет вид . fl q2x + q2y + q2z = ^. (3.6) Первое из уравнений (3.5) имеет решение Х(х) = Axsin(qxx + <px), (3.7) где величины Ах и <рх являются постоянными интегрирования. Решения других уравнений системы (3.5) запишутся в анало- гичном виде: Y(у) = Aysm(qyy + фу), Z(z) = Az sin (qzz + tpz). (3.8) Тогда решение волнового уравнения (3.1) представится произве- дением функций: Ех = В sin (qxx 4- (рх) sin (qyy + tpy) sin (qzz + ipz) exp (iut). (3.9) Нетрудно видеть, что решения (3.7)-(3.9) представляют собой стоячие электромагнитные волны. Иначе говоря, равновесное те- пловое излучение в кубической полости можно представить в виде суперпозиции стоячих электромагнитных волн. Из граничного условия Ех(х = 0) = 0 следует, что <рх — 0. Аналогично граничные условия Ех(у = 0) = 0 и Ex(z — 0) = 0
52 Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка определяют, что сру = <pz = 0. Таким образом, выражение (3.9) упрощается: Ех = В sin (qxx) sin (qyy) sin {qzz) exp (iwt). (3.10) Граничное условие на противоположной грани кубической по- лости Ех(х = L) = 0 дает нетривиальное соотношение qxL = лтх. Аналогично получим qyL = лту и qzL = тгт2, где тж, ту, mz — целые неотрицательные числа. Следовательно, каждой стоячей волне, суперпозицией которых является тепловое излучение в кубике, ставится в соответствие не- которая тройка целых неотрицательных чисел тх, ту, mz и со- ответствующие им волновые числа qx = 7^, Яу = yrny, qz = yrnz. (3.11) Li 1j Jj Минимальные значения чисел qx, qy, qz равны 7г/Т, макси- мальные значения — неограниченны. Мы получили выражение только для одной компоненты элек- трического поля Ех. Нетрудно проверить, что решение волно- вых уравнений для остальных компонент Еу и Ez даст функции, аналогичные (3.10) и, главное, те же соотношения для волновых чисел (3.11). Величины qx, qy, qz представляют собой проекции волновых векторов q стоячих волн, заполняющих куб, на оси ко- ординат (см. рис. 3.1). Отметим важное обстоятельство, что в классической физике у стоячих волн, находящихся в кубической полости, волновые век- торы не могут принимать непрерывный ряд значений. Их значе- ния дискретны. Набор волновых векторов стоячих волн в кубе удобно предста- вить графически, используя обратное пространство, в котором задана прямоугольная система координат. Начала всех волновых векторов q, чьи проекции заданы выражениями (3.11), совместим с точкой начала координат. Тогда концы этих векторов изобра- зятся точками обратного пространства (рис. 3.2), которые будем называть изображающими точками. Как видно из рис. 3.2, множество волновых векторов системы (3.11) образует собой решетку, построенную на базисе трех вза- имно перпендикулярных векторов, модули которых равны л/L. Эта решетка называется обратной решеткой. Теперь найдем число стоячих волн, которые содержатся в ку- бическом ящике размером L х L х L. Для этого зададим неко- торую величину волнового вектора q и опишем им как радиусом сферу, приняв за центр начало координат обратного пространства. Мы будем рассматривать лишь один октант построенной сферы, так как все числа тх, ту, mz — неотрицательные. Число изо-
3.1. Формула Рэлея-Джинса 53 бражающих точек (концов волновых векторов, узлов обратной ре- шетки) 7V, лежащих внутри этой сферы, будет равно целой части отношения объемов 1/8 части сферы и элементарного куба с ре- бром 7г/£, т. е. лг Г1 4 з 1 N = целая часть < - • -тгд -—— 1^8 3 (тг/ь)6 [ 7Г з L3 1 = целая часть < — q — > (6 7Гб J = целая часть где V — объем куба с излучением, равный L х L х L, Будем полагать, что длина ребра ящика L много больше длины волны излучения Л. Тогда модули волновых векторов q = 2тг/Л » тг/L, и в построенный октант сферы войдет большое количество Рис. 3.2. Фрагмент обратного пространства. На осях отложены проекции волновых векторов. Точки изображают концы волновых век- торов стоячих волн, заполняющих кубический объем, т. е. обратную решетку изображающих точек. Вследствие этого величину q можно пола- гать квазинепрерывной, а число волновых векторов N — квази- непрерывной функцией аргумента д, определенной выражением (3.12) Продифференцируем выражение (3.12) по параметру q\ dN=^2g2dg-
54 Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка Используем связь модуля волнового вектора q с частотой си си dcu dq =— с с и получим V и? dN=——du. (3.13) 2тГ2 С6 Для того чтобы получить число стоячих волн, приходящихся на интервал частоты dcu, необходимо учесть, что электромагнит- ные волны — поперечные. Тепловое излучение неполяризовано, поэтому каждую такую волну можно представить в виде супер- позиции двух плоскополяризованных волн. Каждому волновому вектору соответствуют две независимые поляризации, и поэтому число (3.13) необходимо удвоить. Теперь оценим энергию, приходящуюся на одну стоячую волну. Мы приняли, согласно гипотезе Рэлея-Джинса, что на одну сте- пень свободы (т. е. на волну определенной поляризации) прихо- дится энергия, равная к^Т/2. Если мы учтем, что электромаг- нитная волна имеет также магнитную составляющую, то средняя энергия, приходящаяся на одну стоячую волну определенной по- ляризации, будет равна к&Т. Тогда на интервал частоты dcu при- ходится энергия dW = 2квТ—^ с3 Отсюда следует, что спектральная плотность энергии излучения равна си2 — квТ-у-^. (3.14) (3.15) Используя соотношение между и и\ (2.5) и связь параметров (2.4), получаем выражение для другой функции спектральной плотности: 8лквТ их = ~Х^ Выражения (3.14) и (3.15) представляют собой два варианта фор- мулы Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергии тепло- вого излучения абсолютно черного тела. Анализ формулы Рэлея-Джинса показывает полную несостоя- тельность классического подхода к описанию равновесного тепло- вого излучения. Во-первых, при возрастании частоты (или при уменьшении длины волны) излучения спектральная плотность электромагнит- ной энергии монотонно неограниченно растет, что не согласуется
3-1. Формула Рэлея-Джинса 55 с экспериментом (рис. 3.3). Неограниченное возрастание плотно- сти энергии теплового излучения с уменьшением длины волны, которое следует из формулы (3.15), получило название «ультрафи- олетовая катастрофа». Во-вторых, для получения полной энергии электромагнитного излучения, находящегося в равновесии с нагретым твердым те- Рис. 3.3. Иллюстрация «ультрафиолетовой катастрофы». По вертикальной оси отложена спектральная интенсивность излучения в относительных единицах. Точки, соединенные сплошной линией, — экспериментальные результаты. Штриховая линия — результаты расчета по формуле Рэлея-Джинса лом, требуется проинтегрировать функцию (3.14) по диапазону всевозможных частот. Интеграл от функции спектральной плот- ности энергии расходится: квТ л2 с3 и = (3.16) Следовательно, нагретое твердое тело должно излучать, в ос- новном, на высоких частотах, до тех пор, пока не охладится до абсолютного нуля. Таким образом, равновесие между твердым те- лом и электромагнитным излучением в принципе невозможно. Эти выводы свидетельствуют о неприменимости классической теории к проблеме излучения твердого тела. Нетрудно, однако, заметить, что с увеличением длины волны кривая Рэлея-Джинса все ближе подходит к кривой, полученной экспериментально. Это позволяет предположить, что классиче- ский подход и формула Рэлея-Джинса справедливы для частного случая — длинноволнового теплового излучения.
56 Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка 3.2. Гипотеза и формула Планка Задача описания теплового излучения была решена выдаю- щимся немецким физиком М. Планком (1858-1947). В своем вы- ступлении на заседании Немецкого физического общества 14 дека- бря 1900 г. он заявил, что проблема непротиворечивого описания излучения абсолютно черного тела может быть решена на основа- нии следующей гипотезы. Излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а порциями с энергиями Wq, 2P7q, ..., причем энергия РИо линейно зависит только от частоты колебаний волны со так: Wq = hco. (3-17) Постоянная величина h была также введена М. Планком и но- сит название постоянной Планка. Получим в явном виде выражение для спектральной плотности энергии иш равновесного теплового излучения, базируясь на гипо- тезе Планка. Вновь рассмотрим систему стоячих волн в ограни- ченном объеме, как это было сделано при выводе формулы Рэлея- Джинса. Но теперь, следуя гипотезе Планка, полагаем, что энергия волн в ящике может быть равна Wq, 2P7q, •••, а вероятности су- ществования волн с определенной энергией подчиняются распре- делению Больцмана, т. е. равны А, А ехр Wq \ kBTJ , А ехр 2УУ0\ квт)’ . / пЖЛ А ехо — -—— , .. ' \ квТ J Сумма вероятностей для всевозможных энергий волн равна еди- нице, поэтому коэффициент А может быть найден из условия нор- мировки оо 22 А ехр п=0 = kBTj следовательно, ОО Е ехр п=0 пР70\ квт) (3.18) Среднее значение энергии волн в замкнутом объеме вычисляется суммированием энергий отдельных волн, умноженных на соответ- ствующие вероятности: W = ОО 2 пРИрехр п=0 оо Е ехР п=0 nWp\ ьёт) пТУр\ квт)
3.2. Гипотеза и формула Планка 57 Для краткости введем безразмерную переменную х = W^/k^T и перепишем последнее выражение: оо ^2 пехр (—пх) W = W0^--------------. (3.19) ^2 ехР (~nx) n=0 Среднюю энергию W вычислим следующим способом. Во- оо первых, заметим, что выражение ^2 ехР (—nx) = 1 + ехр (—х) + п=0 + ехр (—2х) + ..., стоящее в знаменателе (3.19), представляет со- бой бесконечную геометрическую прогрессию, знаменатель кото- рой равен ехр (—ж). Пользуясь формулой суммы бесконечной гео- метрической прогрессии, запишем: ОО 1 22 ехр (-пх) = ----------(3.20) l-exp(-x) Продифференцируем выражение (3.20) по параметру х: ~ £пехр =_ и - е*р (-я»2 (3,21) Теперь видно, что левая часть в (3.21) совпадает с числителем в выражении (3.19) с точностью до знака. Подставляя правые части соотношений (3.20) и (3.21) в правую часть формулы (3.19), получаем выражение для средней энергии волн в данном объеме: 1 — ехр (—ж) _ Ту = IV, ехр (1 — ехр (—ж 1 = W. ехр(~.-Ц = Wo------7^-—, 1 - ехр (-х) ехр (х) - 1 или W = W0---- ехр (3.22) Вернемся к выводу функции спектральной плотности энергии равновесного излучения. Можно воспользоваться полученной ра- нее формулой (3.14) и заменить в ней энергию к&Т на среднюю
58 Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка энергию W, данную выражением (3.22). Тогда мы получим иско- мую функцию в следующем виде: — 1 со2 ттг 1 со2 1 ““= = IV“jr2<3' / Wo \ ' (3'23) ехр (w) -1 (3.24) 1 Теперь в последнее выражение подставим (3.17), и спектральная плотность энергии примет вид /kJ3 1 о о / \ 7Г2Сб / ПЫ \ ехр fe; - Выражение (3.24) называется формулой Планка для спектральной плотности энергии равновесного излучения. Прежде всего заметим, что формула Планка соответствует уни- версальной функции Вина. Сравнение (2.16) и (3.28) дает явный вид функции: WT) = h 7Г2С3 (3.25) Исследуем полученную формулу Планка (3.24). Сначала рас- смотрим область предельно низких частот. Возникающая при cj —> О неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя диф- ференцированием числителя и знаменателя по частоте cj: /kJ3 1 3/kj2 1 11Ш -----Т— г-------- = 11Ш --------7—г Г- = 0. CJ->O ( ГШ) \ си->0 h ( ГШ \ ехр -—— — 1 —— ехр -—— \kBT J квТ \квТ J Следовательно, спектральная плотность энергии излучения (3.24) стремится к нулю при со —> 0. В области низких частот выполняется соотношение hco/квТ <С 1. При этом условии экспоненту, находящуюся в знаменателе формулы Планка, можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь линейным членом. В результате выражение (3.24) упрощается и превращается в формулу Рэлея-Джинса (3.14): ~ /kJ3 1 _ cj2 UuJ Л2С3 1 /kJ _ в 7Г2С3 квТ "
3.2. Гипотеза и формула Планка 59 .. /kJ3 1 lim ------------г-г—7------: j->oo 7Г2Сй [ ПЫ \ ехр (-1 .. 6/kj = lim Далее найдем предел функции (3.24) при и —> оо: 3/kj2 1 J—>оо 7Г2С3 h f fiw \ ______1____________ 2c3 / h \2 / hw \ = lim -yj—-------3——~-------— = 0. U->OO tJc3 f h \ ( Нш \ exp\k^r) Таким образом, и при неограниченном возрастании частоты функ- ция Планка (3.24) стремится к нулю. Для высоких частот выполняется условие tuv/kT 1. При этом в знаменателе формулы (3.24) можно пренебречь единицей. Тогда формула Планка приобретает следующий вид: /kJ3 ( /kJ \ = Тз ехР * ivzc6 \ квТ J Этот частный случай формулы Планка можно использовать в области высоких частот cj k^T/h. Видно, что зависимость (3.26) тоже является частным случаем универсальной функции Вина (2.16). Явный вид этой функции в данном случае выражается следующей формулой: (3.26) (3.27) = ехр [~^т)’ Вид спектральной плотности энергии равновесного теплового излучения (3.24) представлен графиком на рис. 3.4. Из рис. 3.4 видно, что формула Планка, в отличие от формулы Рэлея-Джинса, не приводит к «ультрафиолетовой катастрофе». Многократные эксперименты подтвердили правильность подхода Планка к описанию теплового излучения абсолютно черного тела и справедливость формулы (3.24). Постоянная Планка относится к важнейшим фундаменталь- ным константам, и ее числовое значение измерялось различными экспериментальными методами. Согласно современным измере- ниям h = 1,0545887(57) • 10“27 эрг-с. Размерность постоянной Планка можно непосредственно получить из формулы (3.1) и она совпадает с размерностью действия. По этой причине постоянную Планка называют иногда квантом действия.
60 Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка Заметим, что часто в расчетах и формулах используется также константа h = 2тгЙ = 6,6260755(40) • 10-34 Дж • с. Рис. 3.4. Спектральная плотность излучения абсолютно черного тела. Сплошная линия — расчет по формуле Планка (3.10), штриховая — по формуле Рэлея- Джинса (2.42) Пользуясь формулой Планка можно найти значения постоян- ных в законе Стефана-Больцмана (2.18)—(2.20) и в законе сме- щения Вина (2.25), которые первоначально определялись экспери- ментально. Для вычисления постоянной а в формуле Стефана-Больцмана (2.18) получим выражение для плотности энергии равновесного излучения tz, проинтегрировав функцию Планка (3.24) по всему частотному диапазону: оо (3.28) “ = 7 о dw = /• 1 J 7Г2С3 ( fiW \ ° ехр\йг/ 1 Снова используем обозначение х = -г—=. Тогда си = ——х и квТ П квТ = —г— dx. Подставляя эти выражения в интеграл (3.28), получим Гь о° Л оо „= ____1___dx=J^T< _________________dx. J fi37T2c3 h ехр (ж) — 1 Л37г2с3 J ехр (ж) — 1 о о
3.2. Гипотеза и формула Планка 61 оо Несобственный интеграл f------—---- dx представляет собой о ^ХР \х) ~ I оо хр~^ частный случай интегралов вида f-----—г-----dx, который вы- о ехр (ax) — 1 ражается через специальные функции: f X?-1 Г(р) / ----7--\---7 dX = ---- J ехр (ах) — 1 ар о 1 1 1 Г(р)Л. . + 2Р + 3? + ’ ‘ ” аР Р ’ ар 1 Здесь Г(р) — гамма-функция, Q(p) — дзета-функция Римана. В нашем частном случае при параметрах р = 4 и а — 1 этот не- собственный интеграл равен тг4/15. В результате выражение (3.28) для плотности энергии излуче- ния приводится к следующему виду: к4 тг2 т4 15Л3с3 (3.29) Таким образом, мы из формулы Планка (3.24) теоретически вывели закон Стефана-Больцмана в форме (2.18). Сравнение со- отношений (2.18) и (3.29) дает нам выражение для постоянной а через фундаментальные константы: 15Л3с3 (3.30) Вычисления дают приближенное значение а~7,566-10 16 —т. м3- К Полученное в предыдущей лекции соотношение (2.21) позво- ляет вычислить константу а для закона Стефана-Больцмана, за- писанного в форме (2.23): С Ajg7T2 а 4^ 60Л3с2 (3.31) Расчеты дают значение константы ст, совпадающее с приведенным в предыдущей лекции. Из формулы Планка может быть получен также закон смеще- ния Вина (2.28) и рассчитана постоянная Вина Ь. Так как закон смещения Вина связывает температуру с длиной волны, то целе- сообразно использовать функцию спектральной плотности ^д(А), которую можно получить из функции (3.24) с помощью уравнений (2.4) и (2.5): 1б7Г2Лс “Pljsfj-1 (3.32) и = = 1
62 Лекция 3. «Ультрафиолетовая катастрофа» и формула Планка Теперь найдем экстремум функции (3.32) и длину волны АтаХ5 на которой достигается этот экстремум. Для этого необходимо вы- числить производную du\(X)/d\ и приравнять ее нулю. Исполь- зуем для краткости обозначение D _ 2тгЛс ХквТ и выразим функцию и\ через переменную /3: - Д5 feB*5 1 Ux 2%3/14с4 ехр (/3) — 1 ’ (3.33) Теперь вычислим производную du\/dfl и приравняем ее нулю. Со- кратив на ненулевой множитель и выполнив несложные преобра- зования, получим уравнение 5ехр(-/3) 4-/3-5 = 0. (3.34) Это трансцендентное уравнение решается численными методами, и его единственный положительный корень с точностью до восьми значащих чисел равен /Зо = 4,9651142. Теперь с помощью фор- мулы (3.33) можно получить константу Вина: 7 m 2л he — АтахТ = — (3.35) Вычисления дают следующее значение константы b = (2,89779 ± ± 0,00009) • 10“3м-К, что хорошо согласуется с эксперименталь- ными результатами. Задачи к лекции 3 1. Рассчитать количество стоячих волн в объеме, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с длинами ребер, выражаемыми вза- имно простыми числами Li, £2? Тз- Показать, что и в этом случае для плотности энергии излучения получается формула Рэлея-Джинса. 2. Полагая спектр излучения Солнца близким к тепловому равновес- ному с температурой ~ 6000 К, вычислить долю энергии, принадлежащей видимому диапазону. 3. Нить лампы накаливания разогревается до температуры « 2400 °C. Вычислить, какая доля излучаемой энергии приходится на видимый диа- пазон. 4. Температура абсолютно черного тела возросла с 200 °C до 2000 °C. Во сколько раз увеличилась спектральная плотность излучения на длине волны: а) А = 1мкм; б) А = Юмкм; в) А = 0,1 мкм? 5. Вычислить отношение энергий, излучаемых абсолютно черным телом в интервалах длин волн 1мкм < А < 2мкм и Юмкм < А < < 11 мкм. Температура тела: а) 300 К; б) 1000 К; в) 3000 К.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 3 3.1. Реликтовое излучение В 1964 г. американская научно-исследовательская фирма «Белл Теле- фон Лабораторис» изготовила 6-метровую рупорную антенну со сверхниз- ким уровнем шумов для связи со спутником «Эхо». Сотрудники фирмы А.А.Пензиас и Р.В. Вильсон использовали эту антенну для измерения интенсивности радиоизлучения нашей Галактики на длине волне 7,35 см. В ходе этих исследований в 1965 г. было обнаружено микроволновое излучение, заполняющее космическое пространство и обладающее прак- тически полной изотропией. В первую очередь это означало, что ис- точником данного излучения являются не определенные части нашей Галактики, а вся Вселенная. По этой причине обнаруженное излучение было названо фоновым. Измерения на разных длинах волн позволили установить, что ми- кроволновое фоновое излучение имеет непрерывный спектр, хорошо со- впадающий по форме со спектром теплового излучения, описываемым формулой Планка (3.24) или (3.32). Оценки, выполненные по первым измерениям спектрального состава фонового излучения, дали значение характерной температуры Т прибли- зительно равной трем кельвинам. По закону Вина (3.35) легко вычи- слить приближенное положение максимума спектра теплового излучения при такой характерной температуре, т. е. длину волны Атах = ~ 0,1 СМ = 1 ММ. (Д.3.1) J- о Электромагнитное излучение с длиной волны более Змм интенсивно ослабляется земной атмосферой, поэтому в последующие годы исследо- вания фонового излучения проводились с помощью специализированных спутников Земли и орбитальных лабораторий. Работа космического ра- диотелескопа WMAP, запущенного в 2001 г., позволила получить значе- ние характерной температуры равное 2,728 К. Существование микроволнового фонового излучения явилось прек- расным подтверждением концепции горячей ранней Вселенной, выдви- нутой Г.А. Гамовым (1904-1968) еще в 1946 г., и находится в согласии с теорией Большого взрыва (Big Bang). Согласно современной космологии, после Большого взрыва Вселен- ная, расширяясь, остывала, причем ее температура Т на раннем этапе эволюции подчинялась следующей приближенной зависимости: Ю10 Г - (Д.3.2)
64 Дополнения к лекции 3 где время £, прошедшее с момента Большого взрыва, выражено в секун- дах, а температура Вселенной — в кельвинах. Ранняя Вселенная представляла собой высокотемпературную плаз- му, содержащую различные частицы и античастицы. Когда температура понизилась до ~ 108 К, все античастицы аннигилировали, а во Вселен- ной остались фотоны, электроны, нейтрино, протоны и альфа-частицы. Рис. Д.3.1. Один из первых спектров фонового космического излучения, получен- ный внеатмосферным аппаратом. По горизонтальной оси отложена длина волны в см, по вертикальной — спектральная плот- ность потока излучения в 10“12 Вт/см2/стер/см. Обе шкалы — логарифмические. За- штрихованная полоса — коридор экспериментальных погрешностей, штриховая линия — спектр равновесного излучения с характерной температуры Т = 3 К При этом количество фотонов примерно на девять порядков превышало количество массивных частиц. Фотоны интенсивно взаимодействовали с электрически заряженными частицами — поглощались, переизлучались и в результате сформировали равновесное тепловое излучение с харак- терной температурой, выраженной формулой (Д.3.2). Примерно через миллион лет после Большого взрыва температура Вселенная упала настолько, что тепловая энергия k&T стала значительно ниже энергии Ридберга Ry. Тогда плазма рекомбинировала — электроны присоединились к протонам и альфа-частицам, и образовались нейтраль- ные атомы водорода и гелия.
Дополнения к лекции 3 65 Интенсивность взаимодействия фотонов (количество актов взаимо- действия в единице объема за единицу времени) с нейтральными ато- мами на несколько порядков меньше, чем с электрически заряженными частицами плазмы. Как следствие, после образования нейтральных ато- мов водорода и гелия Вселенная стала почти прозрачной для фотонов. Иначе говоря, число фотонов практически не изменялось с течением вре- мени. Таким образом, экспериментально обнаруженное фоновое микровол- новое излучение образовалось миллиарды лет назад в ранней горя- чей Вселенной. По предложению известного российского астрофизика И.С. Шкловского (1916-1985) это излучение было названо реликтовым. После рекомбинации плазмы реликтовое излучение практически пе- рестало взаимодействовать с атомами Вселенной. Но в период реком- бинации характерная температура излучения Т, согласно соотношению (Д.3.2), имела порядок тысяч кельвинов, т.е. много больше современ- ного значения « ЗК. Дальнейшее охлаждение реликтового излучения (после образования нейтральных атомов) происходило из-за космологического расширения Вселенной, которое было открыто Э. Хабблом по смещению в сторону больших значений спектральных линий оптического диапазона, излуча- емых галактиками. Изменение длин волн А фотонов может быть описано классическим эффектом Доплера: где ДА — регистрируемое смещение спектральной линии, v — скорость удаляющегося источника излучения с длиной волны А. При относительном удалении источника излучения от наблюдателя регистрируемая длина волны возрастает на величину ДА, а энергия фо- тонов соответственно уменьшается. Следовательно, при космологиче- ском расширении не только разбегаются галактики, но и увеличивается длина волны фотонов, заполняющих Вселенную. Согласно закону Вина (3.34), увеличение длины волны Агпах макси- мума спектра теплового излучения соответствует понижению его харак- терной температуры. Таким образом, современное значение характер- ной температуры реликтового излучения является еще одним доказа- тельством космологического расширения Вселенной. По измеренной длине волны Агпах максимума спектра можно оценить среднюю энергию фотона реликтового излучения: ё = ~ 1(Г3 эВ ~ 10-15 эрг. (Д.3.4) Ащах Маленькая величина энергии ё является одной из причин, по которой реликтовое излучение не было открыто раньше. Измерения плотности энергии реликтового излучения дали прибли- женное значение « 5 • 10-13 эрг/см3. Следовательно, концентрация ре- ликтовых фотонов во Вселенной составляет около 500 в 1см3. Эта нео- жиданно большая величина кажется еще более грандиозной, если 6 Зак. 178
Дополнения к лекции 3 знать, что во Вселенной в среднем на один протон (или электрон, так как Вселенная электронейтральна) приходится несколько кубических метров. Астрофизики называют реликтовое излучение «эхом Большого взры- ва». Исследование физических характеристик реликтового излучения позволяет получить информацию о состоянии Вселенной на раннем этапе ее существования и совершенствовать теорию эволюции Космоса.
Лекция 4 ФОТОНЫ 4.1. Фотоэффект Одним из физических явлений, непонятных с точки зрения классической физики, является фотоэффект. В 1887 г. Г. Герц (1857-1894) обнаружил, что если осветить шарики электроискро- вого разрядника ультрафиолетовым светом, то процесс получения искры между ними значительно облегчается. Ряд закономерно- стей этого явления был установлен в работах русского физика А.Г. Столетова (1839-1896) в период 1888-1890 гг. Наиболее пол- ное исследование характеристик фотоэффекта было выполнено Ф. Ленардом (1862-1947) в 1900 г. Существенно, что к этому вре- мени уже был открыт электрон. В первых опытах использовалось несложное оборудование — электрометр и источник света, например, электрическая дуга. К электрометру присоединялась цинковая пластинка. Если пла- стина предварительно заряжалась положительно, то при ее осве- щении светом электрической дуги пластина почти не разряжается. Но если пластину зарядить отрицательно, то световой пучок от дуги разряжает электрометр очень быстро. Именно это явление было названо фотоэффектом. Однако, когда на пути пучка света поставлено обыкновенное стекло, отрицательно заряженная пла- стина уже не разряжалась, какова бы ни была интенсивность из- лучения. Известно, что стекло поглощает ультрафиолетовые лучи, поэтому можно заключить, что фотоэффект вызывает именно уль- трафиолетовый участок спектра. Систематическое исследование фотоэффекта можно проводить с помощью установки, схема которой показана на рис. 4.1. В колбе, прозрачной для видимого и ультрафиолетового света, из которой откачан воздух до высокого вакуума, находятся два металлических электрода: эмиттер и коллектор. Эта колба с впа- янными электродами называется вакуумным фотоэлементом. Фотоэлемент включен в электрическую цепь, которая позволяет по- давать на впаянные электроды регулируемую разность потенциа-
68 Лекция 4. Фотоны лов U и измерять протекающий через фотоэлемент электрический ток I. На эмиттер направляется поток ультрафиолетового излуче- ния интенсивности L и частоты и. При этом с поверхности облуча- емого эмиттера вылетают электроны, которые для краткости часто Рис. 4.1. Схема установки для исследования фотоэффекта: /т,А — микроамперметр, V — вольтметр называют фотоэлектронами. Подчеркнем, что фотоэлектроны — это обычные электроны, и название характеризует не параметры частиц, а только их происхождение. Часть фотоэлектронов попа- дают на коллектор, и в результате возникает электрический ток У, который регистрируется микроамперметром. Для исследования свойств фотоэффекта измеряются зависимо- сти тока I от напряжения (7, т.е. вольт-амперные характеристики (ВАХ) вакуумного фотоэлемента при различных значениях осве- щенности эмиттера и частоты падающего света. Качественный вид типичной вольт-амперной характеристики вакуумного фото- элемента при определенной интенсивности L и заданной частоте излучения си показана на рис. 4.2. Из рис. 4.2 видно, что ток течет через фотоэлемент только в од- ном направлении. Это обусловлено тем, что источником носителей заряда (электронов) является эмиттер. Если потенциал коллектора больше потенциала эмиттера, то фотоэлектроны притягиваются к коллектору. При увеличении по- ложительного потенциала коллектора ток достигает максималь- ного значения /щах- Это происходит, когда все электроны, ис- пущенные эмиттером, достигают коллектора. Величина тока /тах прямо пропорциональна числу фотоэлектронов (т.е. электронов, испущенных эмиттером).
4.1. Фотоэффект 69 Если разность потенциалов между коллектором и эмиттером равна нулю, то ток не равен нулю и поддерживается за счет кине- тической энергии электронов, с которой они выходят из эмиттера. При изменении разности потенциалов U на обратную (т. е. ко- гда потенциал коллектора ниже потенциала эмиттера) ток умень- шается. Ток прекращается при определенном значении потен- циала коллектора. Этот потенциал имеет отрицательный знак Рис. 4.2. Типичный вид ВАХ вакуумного фотоэлемента: U — разность потенциалов между электродами (коллектором и эмиттером), I — ток на коллекторе, /max — ток насыщения, Ug — потенциал запирания относительно потенциала эмиттера. Абсолютную величину напря- жения между эмиттером и коллектором Ug, при которой прекра- щается электрический ток в фотоэлементе, принято называть за- пирающим потенциалом (см. рис. 4.2). Форма ВАХ в отрицательной части напряжения U легко объ- ясняется, если предположить, что при облучении эмиттера светом с фиксированными интенсивностью и частотой из эмиттера вы- ходят электроны с разными энергиями. Тогда при уменьшении напряжения U ниже нуля между электродами возникает электри- ческое поле, тормозящее вышедшие из эмиттера электроны. Если работа поля — eU превысит начальную кинетическую энергию фо- тоэлектрона, то он вернется на эмиттер и не даст вклад в реги- стрируемый ток I. При определенном значении напряжения — Ug работа поля eUg достигает максимальной начальной кинетической энергии фотоэлектронов jEmax, и они все возвращаются на эмит- тер. Ток в цепи фотоэлемента становится равным нулю. Следова- тельно, максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, по- кинувших эмиттер, определяется уравнением ^max — ^Ug. (4-1) Плавный вид ВАХ в отрицательной области напряжения U свидетельствует о том, что фотоэлектроны, покинувшие эмиттер, имеют практически непрерывный спектр кинетической энергии в интервале от 0 до eUg.
70 Лекция 4. Фотоны Таким образом, характерные особенности ВАХ фотоэлемента, изображенной на рис. 4.2, удается объяснить в рамках классиче- ской физики. При увеличении интенсивности L облучения эмиттера светом фиксированной частоты си сила тока I возрастает. Однако при этом значение запирающего потенциала Ug остается неизменным. Ти- пичные вольт-амперные характеристики вакуумного фотоэлемента при различных значениях интенсивности L падающего на эмит- Рис. 4.3. ВАХ вакуумного фотоэлемента для различной интенсивности L моно- хроматического падающего излучения тер монохроматического излучения приведены на рис. 4.3. Экс- перименты показывают, что величина запирающего потенциала Ug вообще не зависит от интенсивности излучения, падающего на эмиттер. Еще более странно с точки зрения классической физики вы- глядит экспериментальная зависимость запирающего потенциала Ug от частоты излучения си при неизменной его интенсивности L (см. рис. 4.4). Рис. 4.4. ВАХ вакуумного фотоэлемента для различных частот падающего излу- чения си при постоянной интенсивности L С ростом частоты си запирающий потенциал Ug возрастает, причем строго линейно при любых значениях освещенности эмит-
4.1. Фотоэффект 71 тера. Свободные члены этих линейных функций Ug(w) являются характеристиками материала эмиттера, но угловой коэффициент всех зависимостей Ug((v) один и тот же (см. рис. 4.5). Логично Рис. 4.5. Зависимость запирающего потенциала Ug от частоты излучения си для различных материалов эмиттера предположить, что этот неизменный угловой коэффициент опреде- ляется какими-то фундаментальными константами и не зависит от вещества, из которого изготовлен эмиттер. Наконец, наиболее удивительной особенностью фотоэффекта является наличие «красной границы». Опытным путем было по- лучено, что для каждого металла (материала эмиттера) существу- ет определенная частота излучения cuq, такая, что при меньших частотах и < а?о фотоэффект не наблюдается при сколь угодно большой интенсивности излучения L. Эта «красная граница» у большинства металлов лежит в ультрафиолетовой части спектра, поэтому для наблюдения фотоэффекта требуется использовать уль- трафиолетовое излучение. «Красная граница» в видимом диапа- зоне находится лишь у щелочных металлов. Поэтому наблюдать фотоэффект в видимом свете можно только на эмиттере, изгото- вленном из щелочного металла, приняв меры, препятствующие его окислению. Свойства фотоэффекта, иллюстрированные рис. 4.3-4.5, и су- ществование «красной границы» противоречат выводам классиче- ской теории. Это видно из следующих рассуждений. Во-первых, интенсивность света прямо пропорциональна энер- гии электромагнитной волны, которая взаимодействует с электро- нами, находящимися внутри эмиттера. Поэтому с точки зрения классической физики с увеличением интенсивности L должна ра- сти начальная кинетическая энергия фотоэлектронов и, следова- тельно, величина запирающего потенциала Ug, что противоречит результатам опытов, изображенных на рис. 4.3.
72 Лекция 4. Фотоны Во-вторых, энергия электромагнитной волны определяется ква- дратом ее амплитуды и не зависит от частоты. Следовательно, кинетическая энергия фотоэлектронов и запирающий потенциал Ug в рамках классических представлений не должны зависеть от частоты света. Таким образом, рис. 4.4 демонстрирует еще одно противоречие классической теории и результатов опыта. В-третьих, наличие «красной границы» вообще кажется пара- доксальным. Монохроматический поток света с большой интен- сивностью и частотой и < ц?о, облучающий поверхность эмитте- ра в течение длительного времени, казалось бы, должен передать электронам металла значительную энергию. Тем не менее, в та- ких опытах не наблюдается ни одного фотоэлектрона! Еще одно несоответствие получается при классическом подходе расчета среднего времени выхода фотоэлектронов из эмиттера при заданной интенсивности излучения. Например, согласно клас- сической теории, при интенсивности порядка 10-2Вт/см2 фото- электроны из цинкового эмиттера должны начать выходить через несколько секунд после начала облучения (см. дополнение 4.2). С другой стороны, в экспериментах было обнаружено, что время задержки времени выхода фотоэлектронов заведомо меньше 10“9 с при потоке облучающего света ~ 1О-10 Вт/см2. Многочисленные попытки объяснить свойства вакуумного фо- тоэффекта на базе классической физики не увенчались успехом. 4.2. Фотонная теория фотоэффекта Теоретическое объяснение наблюдаемых закономерностей фо- тоэффекта было дано А. Эйнштейном (1879-1955) в 1905 г. Это объяснение базировалось на гипотезе М. Планка, согласно которой электромагнитное излучение испускается и поглощается опреде- ленными порциями, причем энергия каждой такой порции опреде- ляется формулой е = fiw. (4.2) Развивая идеи М. Планка, Эйнштейн пришел к выводу, что электромагнитное поле имеет дискретную структуру. Электромаг- нитная волна может состоять из отдельных частиц — квантов, впоследствии названных фотонами. Фотоны могут излучаться и поглощаться веществом. Первым приложением фотонной тео- рия было объяснение физического механизма вакуумного фотоэф- фекта. Согласно теории П.Друде (1863-1906), созданной в 1900 г., в металлах содержится большое количество электронов проводимо- сти, которые могут свободно перемещаться по всему объему метал- лического тела, что и обеспечивает хорошую электропроводность металлов. Эйнштейн предположил, что в вакуумном фотоэффекте фотон из пучка света, падающего на эмиттер, поглощается каким-
4.2. Фотонная теория фотоэффекта 73 либо электроном проводимости и передает ему всю свою энергию. Благодаря полученной энергии электрон может выйти из металла во внешнюю среду. При комнатной температуре и отсутствии освещенности элек- трон проводимости самопроизвольно не может выйти из металла, так как на границе металл-вакуум (или металл-воздух) существу- ет потенциальный барьер. Экспериментальные исследования по- казали, что для удаления электрона проводимости из металла тре- буется затратить определенную энергию. Минимальное значение этой энергии (высота потенциального барьера) называется рабо- той выхода Ав. Эта величина является характеристикой металла и существенно зависит от его кристаллической структуры. Чи- словые значения Ав удобно измерять в электрон-вольтах (эВ). По определению электрон-вольт представляет собой кинетическую энергию, которую приобретает электрон, ускоренный разностью потенциалов 1 вольт (1эВ = 1,602177 • 10-12эрг). Измерения по- казали, что для большинства металлов работа выхода Ав лежит в интервале 2-5 эВ. Энергия фотоэлектронов в вакууме -------г----------г----- Энергия фотоэлектронов в вакууме Энергия фотона 7700 = Лео -Лп пл ах в Энергия ------ фотона 7?оо £,„ах £,л Зона проводимости Зона проводимости Металл | Вакуум Металл [ Вакуум Рис. 4.6. Энергетическая схема фотоэффекта: Высота потенциального барьера на границе «металл-вакуум» равна работе выхода Ав. Ноль отсчета энергии соответствует неподвижному электрону, находящемуся вне металла. Положительные энергии имеют свободные электроны вне металла, обладающие кинетиче- скими энергиями. Энергии электронов проводимости в металле Еэл имеют отрицатель- ные значения: а) фотон поглотился электроном проводимости с максимально возможной энергией. Фотоэлектрон получает максимально возможную энергию Ешах! б) фотон погло- тился электроном проводимости с произвольной энергией. Фотоэлектрон получает энергию Е < -Етпах Явление вакуумного фотоэффекта удобно рассмотреть с помо- щью энергетической диаграммы, приведенной на рис. 4.6. Электроны проводимости металла имеют различные энергии, лежащие в диапазоне, называемом зоной проводимости. Элек- 5 Зак. 178
74 Лекция 4. Фотоны трон проводимости, поглощая фотон, увеличивает свою энергию. Если этой энергии достаточно, чтобы преодолеть потенциальный барьер на границе, то электрон покидает металл, теряя энергию равную Ав- Остаток представляет собой кинетическую энергию свободного (вышедшего из металла) электрона. Если фотон поглощается электроном проводимости, который обладает наибольшей энергией, то его кинетическая энергия после выхода из металла будет иметь максимально возможное значение #тах (см. рис. 4.6а). Уравнение Эйнштейна для вакуумного фотоэффекта записыва- ется в виде £ ~ Ав + Етгсх-) (4.3) где е — энергия поглощенного фотона, Втах — максимальная ки- нетическая энергия фотоэлектрона. Можно сказать, что уравнение Эйнштейна представляет собой закон сохранения энергии для системы фотон-электрон. Из диаграммы на рис. 4.6 также очевидно, что при энергии фотона ё = hw меньшей, чем работа выхода Ав, фотоэффект в принципе невозможен. Энергии, полученной электроном от фо- тона, недостаточно для преодоления потенциального барьера. Та- ким образом, уравнение (4.3) применимо, если энергия фотона е превышает работу выхода Ав данного металла (материала эмит- тера). Форма ВАХ вакуумного фотоэффекта определяется распределе- нием плотности состояний электронов проводимости в зоне про- водимости. Расчет этой плотности состояний является одной из важных задач квантовой физики твердого тела. Кроме того, на форму регистрируемой ВАХ влияет то, что часть энергии элек- троны теряют при столкновениях с атомами вещества. Уравнение Эйнштейна (4.3) позволяет объяснить все законо- мерности фотоэффекта, обнаруженные в экспериментах. Сопоста- вление (4.2) и (4.3) сразу дает линейную зависимость максималь- ной кинетической энергии фотоэлектронов от частоты си: -S'max — ^CU — Ав. (4-4) Последнее уравнение доказывает независимость кинетической энергии фотоэлектронов от интенсивности излучения, падающего на эмиттер. Существование «красной границы» объясняется наличием для электронов потенциального барьера высотой Ав. Для вычисле- ния граничной частоты cuq следует в уравнении (4.4) положить EmQiX = 0. Это описывает ситуацию, когда вся энергия электрона расходуется на совершение работы выхода. Частота электромаг- нитного излучения, соответствующая «красной границе» фотоэф-
4.2. Фотонная теория фотоэффекта 75 фекта, равна W0 = ф. (4.5) h При частоте излучения cu > cuq фотоэффект происходит, при си < < сио фотоэффект невозможен. С уменьшением интенсивности потока монохроматического из- лучения уменьшается только количество фотонов, а их энергия остается неизменной. Малая инерционность фотоэффекта обусло- влена тем, что взаимодействие происходит между двумя части- цами. Поглотив фотон, электрон проводимости практически мгно- венно увеличивает свою энергию на величину е, иначе говоря, не требуется большого времени для накопления энергии электроном проводимости (см. дополнение 4.2). Для оценки времени выхода фотоэлектрона из металла при вы- полнении условия cu > cuq сначала выразим энергию фотона через длину волны, пользуясь связью (2.4) величин А и си: Отсюда видно, что при длине волны ультрафиолетового излуче- ния Л ~ 0,1 мкм энергия фотонов приблизительно равна ~ 10 эВ. Следовательно, энергии фотоэлектронов, вышедших из металла при cu > cuq, составляют несколько электрон-вольт. По извест- ной массе покоя электрона те легко вычислить его энергию покоя тесЕ 2 * * * * * « 511 кэВ. Сравнивая эти энергии, мы видим, что фотоэлек- троны, возникшие при облучении металлов ультрафиолетовым из- лучением, можно считать нерелятивистскими, и их кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости: Е = —-и2. 2 Последняя формула позволяет получить оценку скорости та- ких фотоэлектронов v ~ 108см/с. Уравнения электродинамики позволяют вычислить, что фотоны ультрафиолетового диапазона проникают в металл на глубину не превышающую 1 мкм. Следо- вательно, время вылета фотоэлектронов из столь тонкого припо- верхностного слоя и время движения до коллектора так мало, что его трудно зарегистрировать. Далее заметим, что общее число фотоэлектронов, выходящих из металла через поверхность эмиттера за 1 с, должно быть про- порционально числу фотонов, падающих за то же время на эту поверхность. Из этого следует, что ток насыщения /тах должен быть прямо пропорционален интенсивности светового потока, что и подтверждается экспериментами (см. рис. 4.3). Перейдем к анализу углов наклона графиков по отношению к оси абсцисс на рис. 4.5. Подстановка в уравнение Эйнштейна (4.4)
76 Лекция 4. Фотоны выражения (4.1) дает теоретическую зависимость запирающего потенциала Ug от частоты излучения: U, = - Y- (4-7> которая соответствует экспериментальной. Тангенс угла наклона зависимости Ug((v) равен отношению постоянной Планка h к за- ряду электрона е и не зависит от условий эксперимента: /z tga = -. (4.8) е Анализ зависимостей Ug(w), полученных при исследовании ва- куумного фотоэффекта с помощью уравнения (4.8), позволяет по- лучить числовое значение постоянной Планка К. Такие измерения были выполнены Р. Милликеном в 1914 г. и дали хорошее согла- сие со значением величины Л, входящей в формулу Планка (3.8) и в выражение для константы в законе Стефана-Больцмана (3.15). Измерения зависимостей Ug(w) позволили также получить значения работы выхода Ав для многих металлов. Выяснилось, что среди металлов наименьшей работой выхода обладают щелоч- ные металлы. Например, для натрия Ав — 1,9 эВ, что соответст- вует красной границе фотоэффекта Ло = 2тгА/сио ~ 680 нм. По- этому соединения щелочных металлов используют для создания катодов в фотоэлементах, предназначенных для регистрации ви- димого света. В заключение данного параграфа заметим, что в числителе формулы (4.6) стоят лишь фундаментальные константы. Поэтому полезно для практических расчетов эту величину вычислить и вы- разить в удобных для вычислений единицах. Например, полезно знать наизусть, что произведение констант 2тгЛс ~ 12400 эВ • А. 4.3. Импульс фотона Итак, явление фотоэффекта полностью объясняется, если при- нять, что свет представляет собой поток частиц — фотонов. Фо- тоны движутся в вакууме со скоростью света с. В соответствии с теорией относительности это может быть лишь в том случае, если фотон не имеет массы покоя. Запишем известное соотношение специальной теории относи- тельности, которое связывает массу покоя то, импульс р и полную энергию Е свободной частицы: Е2 = тдс4 + р2с2. (4.9) Полагая массу покоя фотона равной нулю, получаем Е2 =р2с2.
4.3. Импульс фотона 77 Отсюда следует, что фотон должен обладать импульсом, модуль которого равен р = —. (4.10) с Заметим, что первым, кто достаточно обоснованно высказался в пользу корпускулярной природы света, был Исаак Ньютон. Та- ким образом, учение о свете, совершив после И. Ньютона виток длительностью в два столетия, вновь возвратилось к представле- ниям о световых частицах — фотонах. Используя выражение для энергии фотона (4.2), получим из формулы (4.10) выражение модуля импульса фотона через волно- вое число к: р — — = fik. (4.11) с В монохроматической волне фотоны летят в направлении, за- данном волновым вектором к, который перпендикулярен поверх- ности постоянной фазы волны. Тогда вектор импульса фотона р можно записать в виде р = Лк. (4.12) Уравнения (4.2) и (4.12) определяют важнейшие характери- стики фотона и связывают их с параметрами волны: частотой и и волновым вектором к, следовательно, и с длиной волны Л. Наличие ненулевого импульса фотона должно проявляться в возникновении сил давления при отражении света от какого-либо твердого тела. Рассмотрим площадку, перпендикулярно которой падает поток монохроматического света. Удельную интенсивность этого излучения, введенную уравнением (2.6), можно записать в виде I = Nhu, (4.13) где N — число фотонов, падающих на площадку площадью 1 смI 2 за 1 с. Если площадка полностью отражает свет, то по закону сохра- нения импульса каждый фотон, падающий на площадку, сообщит ей импульс, равный А Леи / Л/j Др=--------------=2—. с \ с J с Поскольку при отражении происходит передача импульса от- ражающей поверхности, то, следовательно, свет должен оказывать давление на эту поверхность. Давление света равно полному им- пульсу, передаваемому отражающей площадке единичной площа- дью N фотонами за одну секунду: 2/kj 21 Р = N-----= — с с (4.14)
78 Лекция 4. Фотоны Экспериментально давление света было обнаружено и измерено в 1900 г. русским физиком П.Н. Лебедевым (1866-1912). Расчеты по фотонной теории света дают результаты, совпадающие с дан- ными экспериментов. 4.4. Эффект Комптона Поскольку фотоны обладают ненулевым импульсом (4.12), то при столкновениях фотонов с массивными частицами должен вы- полняться не только закон сохранения энергии, но и закон со- хранения импульса при равенстве нулю суммы внешних сил, дей- ствующих на систему взаимодействующих частиц. В связи с этим противники фотонной теории выдвигали следующее возражение. Рассмотрим рассеяние фотона на какой-либо частице (элек- троне, атоме, молекуле). Внешними силами являются силы грави- тации, которыми из-за малости гравитационной постоянной G = = 6,6726 • 10“8 см3 • г-1 • с-2 можно пренебречь. Тогда суммарный импульс фотона и частицы должен сохраняться. При рассеянии света на частицах вещества фотоны, сталки- ваясь с электронами, должны терять часть своей энергии. Потеря энергии, согласно соотношению (4.10), должна приводить к умень- шению импульса фотона. Далее, из уравнения (4.11) следует, что у фотона должна изменяться частота и, естественно, длина волны. А это значит, что при рассеянии света на предметах должна обя- зательно изменяться длина волны, т. е. его цвет. Однако в опытах такого изменения цвета не наблюдается. Таким образом, имеются сомнения в том, что в процессе рассеяния фотона на электроне вы- полняется закон сохранения импульса, который является одним из фундаментальных законов Природы. Только через 18 лет после публикации Эйнштейном фотон- ной теории, т.е. в 1923 г., в результате тщательно выполненных экспериментов А. Комптон (1892-1962) обнаружил эффект, кото- рый являлся прямым подтверждением наличия импульса фотона, определяемого уравнением (4.12). Независимо от Комптона в том же году теорию рассеяния фотонов на свободных электронах по- строил П. Дебай (1884-1966), поэтому обнаруженное явление ино- гда называют эффектом Комптона-Дебая. Схема установки для наблюдения эффекта Комптона приведена на рис. 4.7. В качестве источника электромагнитного излучения исполь- зовалась рентгеновская трубка. Рентгеновская трубка Комптона излучала электромагнитные волны с длиной волны Aq « 0,71 А. Иначе говоря, Комптон работал с коротковолновым (по сравнению с видимым светом) электромагнитным излучением. Свинцовые диафрагмы формировали узкий пучок рентгеновских лучей, кото- рые направлялись на исследуемый образец. Рассеяние рентгенов-
4.4. Эффект Комптона 79 ских лучей на исследуемом образце происходило во всех направле- ниях. С помощью других свинцовых диафрагм вырезался узкий пучок излучения, рассеянного под углом в. Установка Комптона позволяла изменять угол рассеяния в в широких пределах. Анализ спектра рассеянного рентгеновского пучка производил- ся с помощью рентгеновского спектрометра (см. рис. 4.7). Основ- ным элементом спектрометра является кристаллическая пластин- ка, которая ориентируется по отношению к падающему на нее Рис. 4.7. Схема эксперимента Комптона: 1 — рентгеновская трубка, 2 — образец, на котором рассеивались рентгеновские лучи, 3 — свинцовые экраны, поглощающие рентгеновские лучи, 4 — блок рентгеновского спек- трометра, 5 — кристалл спектрометра, 6 — устройство регистрации рассеянных лучей, О — угол рассеяния, — угол скольжения рентгеновскому пучку таким образом, чтобы в этом кристалле ре- ализовались условия фраунгоферовой дифракции. При падении пучка монохроматического рентгеновского излучения на высокосо- вершенный кристалл в его периодической атомной структуре фор- мируется дифракционный пучок, который распространяется под углом 2(/9 относительно первичного пучка (см. рис. 4.7). При этом угол скольжения 99 и длина волны А излучения связаны уравне- нием Вульфа-Брэгга 2dsin(/? = nA, (4.15) где d — расстояние между атомными плоскостями в кристалле, п — целое число (см. дополнение 4.5). Согласно уравнению (4.15), узкие пучки рентгеновского излуче- ния с разными длинами волн Л дифрагируют под разными углами скольжения 99. Измерения углов 99 при известных значениях ве- личин d и п позволяет вычислить длину волны Л. В качестве измерительного устройства часто используют фо- топленку с нанесенной шкалой длин волн. Спектральная интен- сивность регистрируемого излучения определяется по плотности засветки фотопленки. В первых опытах Комптона вместо фото-
80 Лекция 4. Фотоны пленки использовалась подвижная ионизационная камера, которая позволяла измерять электрический ток, пропорциональный интен- сивности попадающего в нее излучения. Пример типичных результатов измерений Комптона приведен на рис. 4.8. Если угол рассеяния в равен нулю, то рентгеновский спектрометр показывает обычный спектр излучения рентгеновской Рис. 4.8. Спектры рассеянного электромагнитного излучения в эксперименте Комптона для разных углов рассеяния 0: По горизонтали отложена длина волны рассеянного рентгеновского излучения, по верти- кали — интенсивность этого излучения в относительных единицах трубки с максимумом Aq (рис. 4.8а). Но при углах в отличных от нуля в спектрах рассеянного рентгеновского излучения наблюда- ется два максимума: с длиной волны первичного излучения Aq и с несколько большей А' > Aq (рис. 4.8б-г). Характерной особен- ностью обнаруженного эффекта является увеличение расстояния между максимумами ДА = А' — Aq с ростом угла рассеяния в. Именно появление в спектре рассеянного рентгеновского излуче- ния максимума с длиной волны А' > Aq называется эффектом Комптона-Дебая. Опыты показали, что разность длин волн (комптоновское сме- щение) ДА = А' — Aq не зависит от состава вещества рассеиваю- щего образца и длины волны Aq первичного излучения. Согласно классической волновой теории, при рассеянии элек- тромагнитных волн их частота (и длина волны) не должны из-
4.4. Эффект Комптона 81 меняться. Волна с частотой cuq «раскачивает» электроны, которые излучают вторичные (рассеянные) волны с той же частотой. Сле- довательно, классическая физика не могла объяснить наличия в спектрах рассеянного рентгеновского излучения максимума с дли- ной волны А' > Aq. Напротив, все особенности эффекта Комптона можно объяснить на основе упругого столкновения фотонов рент- геновского излучения с электронами вещества. Существенно, что Комптон обнаружил эффект при рассеянии рентгеновских лучей на материалах, состоящих из атомов с ма- лыми химическими номерами (графит, парафин и т.д.). Фо- тоны, испускаемые рентгеновской трубкой, имели длину волны Aq ~ 0,71 А и, согласно соотношению (4.6), энергию е ж 17,5кэВ, что много больше энергии связи электронов в легких атомах, ко- торая имеет порядок нескольких десятков эВ (см. лекцию 15). Рис. 4.9. К описанию рассеяния фотона на электроне: а) геометрическая схема процесса, б) векторная диаграмма импульсов частиц. Ао и А' — длины волн первичного и рассеянного фотонов, /iko и Лк' — их импульсы соответственно, ре — импульс электрона отдачи Таким образом, данный процесс можно рассматривать как упру- гое столкновение фотонов со свободным электроном, в результате которого фотон рассеивается на угол в относительно первоначаль- ного направления движения (см. рис. 4.9а). Полагаем, что процесс столкновения фотона и электрона про- исходит по модели абсолютно упругого удара с сохранением энер- гии и импульса. После рассеяния фотона электрон получает кине- тическую энергию и импульс и называется электроном отдачи. Запишем законы сохранения для системы «фотон + электрон» в релятивистском виде, так как энергия первичных фотонов Hcoq „ 2 сравнима с энергией покоя электрона тес : 2 + гаес2 = hw -I—z еС ., (4.16) л/1 “7 ТГ) Ako = /ikz Н— v, (4-17) л/1 -7 где шо и ко — частота и волновой вектор первичных фотонов, ш' и к' — те же величины рассеянных фотонов, 7 = (v/c)2, v —
82 Лекция 4. Фотоны скорость электрона после рассеяния. Вектор является импульсом электрона отдачи. В уравнениях (4.16), (4.17) электрон до взаимодействия с фо- тоном полагается неподвижным. Получим из системы (4.16), (4.17) выражение разности длин волн ДА = А' — Aq. Сначала перепишем уравнения в виде = (4.18) ft \vl~7 / k0 - к' = 1= v (4.19) п у/1 - 7 и возведем их в квадрат. Скалярное произведение волновых векто- ров kgk' выразим, используя формулу (4.11) и диаграмму рис. 4.9d: kgk' = Д-cuoo/ cos в. cz Возведенное в квадрат уравнение (4.19) домножим на с2, исполь- зуем связь модуля волнового вектора с частотой к = w/c, соотно- шение 7 = (v/c)2 и приведем к виду Wq — 2wqw' cos в + w2 = —• ———. (4.20) ft2 1 — 7 Теперь вычтем из (4.20) квадрат уравнения (4.18) и преобразуем правую часть: 2cW(l “ cos 0) = 2^- (-^= - 1 ) . (4.21) ft2 \ у 1 - 7 J Сравнивая правые части уравнения (4.18) и (4.21), получим 77?2 /? uW(l - COS0) = - wf). nr тпес£ Теперь надо разделить последнее уравнение на произведение wqw' и использовать связь частоты и длины волны (2.4): l-cos0=^(A'-Ao). Z7Tft Таким образом, мы получили формулу Комптона Л'-Ао = —(l-cos0), (4.22) TTLqC которая связывает разность длин волн ДА = А' — Ао с углом рас- сеяния в.
4.4. Эффект Комптона 83 Формула Комптона (4.22) с хорошей точностью подтверждает- ся в экспериментах и показывает, что разность длин волн АЛ = = А' — Ао действительно не зависит от материала, на котором рас- сеиваются фотоны, но возрастает с увеличением угла рассеяния в. Постоянная величина Лс =----« 2,43 • 10-12 м = 0,0243 А (4.23) тес называется комптоновской длиной (точнее, комптоновской дли- ной электрона). Числовое значение константы Лс объясняет ненаблюдаемость эффекта Комптона в видимом и радиодиапазонах электромагнит- ных волн. В реальных условиях генерируемые волны всегда име- ют разброс длин волн. Для световых и, тем более, радиоволн этот разброс дХ много больше постоянной Лс. Следовательно, компто- новское смещение АА не может быть зарегистрировано на фоне сравнительно большего значения SX. Наблюдать эффект Комп- тона практически можно лишь для электромагнитных волн, име- ющих величину разброса JA, сравнимую с постоянной Лс или меньшую. Таким условиям удовлетворяют рентгеновские лучи и, тем более, гамма-излучение. Подытоживая сказанное можно констатировать, что экспери- менты Комптона убедительно подтвердили представление электро- магнитной волны как потока частиц — фотонов, которые обладают энергией (4.2) и импульсом (4.12). Возвращаясь к рис. 4.8, обратим внимание на то, что в спект- рах рассеянного рентгеновского излучения, помимо пика фотонов, рассеянных вследствие эффекта Комптона, присутствует макси- мум, соответствующий длине волны Ао первичных рентгеновских лучей. Наличие этого максимума объясняется процессом упругого рассеяния излучения на атомах. Согласно классической электродинамике, электромагнитная волна с определенной частотой cuq, действуя на электроны в атоме, приводит их в колебательное движение с той же частотой cuq. Как следствие, электроны излучают вторичные электромагнитные волны с частотой cjq в различных направлениях. Такой процесс назван упругим рассеянием, так как частота (и длина волны) пер- вичного и рассеянного излучения совпадают. Фотонная теория приводит к тому же выводу. При упругом рассеянии фотон взаимодействует с атомом как с единым объек- том. Легко оценить, что фотон рентгеновского диапазона даже при рассеянии на максимальный угол (0 = 180°) передает им- пульс порядка 10“18 г • см/с. При этом легкий атом, например атом углерода, получит кинетическую энергию ~ 10“18 эрг, что на пять порядков меньше энергии первичного фотона. Более массивные атомы приобретут еще меньшую энергию. Следовательно, потерей
84 Лекция 4. Фотоны энергии фотона при упругом рассеянии на атомах можно прене- бречь. Иначе говоря, в этом процессе длина волны рентгеновских лучей практически не изменяется. В заключение лекции заметим, что открытие фотонов не озна- чает возвращения к классической корпускулярной теории света и отбрасывания волновой теории электромагнитного излучения. Фотонная теория не опровергает справедливость уравнений Макс- велла. Фотон не является корпускулой в классическом смысле. Уравнения (4.2) и (4.12) демонстрируют, что фотон обладает как корпускулярными, так и волновыми свойствами. В классической физике существование таких объектов считалось принципиально невозможным, поэтому фотонная теория является одним из этапов построения современной квантовой физики. Задачи к лекции 4 1. Ультрафиолетовое монохроматическое излучение с длиной волны 500 А попадает на платиновую пластинку. Найти максимальную кине- тическую энергию фотоэлектронов и их скорость. Работа выхода для платины равна 5,32 эВ. 2. Длина «красной границы» фотоэффекта для данного металла равна 2900 А. Найти максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов при облучении металлической пластины ультрафиолетовым излучением с длиной волны 2000 А. 3. Фотон с энергией Е рассеялся на свободном электроне на угол 3. Найти длину волны и энергию рассеянного фотона, а также скорость электрона после рассеяния при следующих значениях: а) Е = 5 МэВ, 3 = 45°; б) Е = 1 МэВ, 3 = 60°; в) Е = 2 МэВ, 3 = 30°. 4. Фотон длиной волны А рассеялся на свободном электроне на угол 3. Найти энергию электрона после рассеяния Ее и угол ср между импуль- сами первичного фотона и электрона отдачи при следующих значениях: а) А = 2 • 10-3 А, в = 45°; б) А = 3 • 10-3 А, 6 = 60°; в) А = 5 1СГ3 А, 0 = 30°. 5. Вычислить энергии фотонов для границ видимого диапазона элек- тромагнитных волн. 6. Найти скорость электрона, если его импульс равен импульсу фо- тона с длиной волны: а) 1А; б) 10 А; в) 1 мкм. 7. Найти длину волны фотона, если его импульс равен импульсу электрона, кинетическая энергия которого равна: а) 1кэВ; б) 50 кэВ; в) 1МэВ. 8. Найти длину волны фотона, если его энергия равна энергии покоя: а) электрона; б) протона. 9. Вычислить изменение длины волны фотона в эффекте Комптона, если рассеяние происходит на угол 90°. 10. Оценить количество фотонов в электромагнитной волне с энер- гией 1 Дж: а) для радиоволны метрового диапазона; б) для излучения видимого диапазона; в) для рентгеновского излучения.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 4 4.1. Невозможность фотоэффекта на свободном электроне Помимо фотоэффекта на электронах проводимости, описанного в лек- ции 4, существуют и другие разновидности явления, в котором поглоща- ется фотон и образуется свободный электрон. До поглощения фотона электрон может быть связан в атоме, молекуле или в кристалле. Однако невозможно поглощение фотона свободным электроном, что доказыва- ется ниже. Предположим, что свободный электрон поглощает фотон с энергией е. Рассмотрим этот процесс в системе координат, где электрон до поглоще- ния был неподвижен. Запишем законы сохранения энергии и импульса для данной пары частиц в релятивистском виде г 4- тес2 = тес2 V1 - (v/c)2 ’ г _ mev С у/1 - (v/c)2’ (Д.4.1) где те — масса покоя электрона, с — скорость света, v — скорость элек- трона после поглощения фотона. Исключив энергию фотона из системы уравнений (Д.4.1), перейдем к единственному уравнению 2 тесм тес2 тес -\---===== — ——. д/1 - (^/с)2 \/1 - (у/с)2 Разделив последнее уравнение на его правую часть, получим (Д-4.2) (Д.4.3) Последнее уравнение имеет два корня v = 0 и v = с. Первый является физически бессмысленным, так как после поглощения фотона электрон должен получить кинетическую энергию и, следовательно, при- обрести определенную скорость. Второй корень также должен быть от- брошен, так как электрон обладает ненулевой массой покоя и поэтому не может двигаться со скоростью света. Таким образом, выдвинутое в начале предположение о возможности поглощения фотона свободным электроном привело к физически неверному результату. Поглощение фотонов происходит всегда электронами, которые взаи- модействуют с окружающими объектами. В вакуумном (внешнем) фо- тоэффекте электрон проводимости получает практически всю энергию поглощенного фотона, что выражается уравнением Эйнштейна (4.3). Од- нако при этом значительная часть импульса фотона передается ионам ме-
86 Дополнения к лекции 4 талла, с которыми взаимодействует этот электрон проводимости. Энер- гия, получаемая ионами, пренебрежимо мала из-за различия масс покоя электрона и ионов. Расчеты с помощью уравнения Эйнштейна показывают, что при длине волны фотона типичной для ультрафиолетового диапазона (А ~ ~1000А) фотоэлектроны получают скорости на два порядка меньше ско- рости света. Иначе говоря, при облучении металлов ультрафиолетовым излучением образуются нерелятивистские электроны. В других разновидностях фотоэффекта часть импульса фотона пере- дается окружающим атомам или ионам. 4.2. Оценка времени выхода электрона из металла при фотоэффекте на металле Рассмотрим эксперимент по исследованию вакуумного фотоэффекта, описанный в лекции 4. Пусть источник ультрафиолетового излучения с интенсивностью I находится на расстоянии г от эмиттера. Согласно классической теории, электрон в атоме постепенно получает энергию от электромагнитной волны, падающей на эмиттер. Исследования электрофизических свойств металлов позволили уста- новить, что концентрация электронов проводимости примерно равна кон- центрации атомов в металле. Иначе говоря, каждый атом металла от- дает в среднем один электрон в совокупность электронов проводимости. Следовательно, концентрация электронов проводимости п может опреде- ляться по плотности р и молярной массе р, металла: pNa (Д.4.4) где ТУд — постоянная Авогадро. Подставляя в (Д.4.4) числовые значения характеристик р и у, получим, что концентрация электронов проводимо- сти у большинства металлов имеет порядок 1022 см-1. По известной концентрации можно оценить средний размер области, приходящийся на один электрон проводимости: х ~ (Д.4.5) и убедиться, что величина х примерно равна 1 А. За время t электрон получит энергию, равную 9 47ГГ2 (Д.4.6) Приравняв энергию (Д.4.6) работе выхода Ав, мы получим уравне- ние, которое можно использовать для вычисления времени, за которое электрон получит от электромагнитной волны энергию, достаточную для выхода из металла: 4тгг2Ав 1х2 (Д.4.7) Весьма важно, что, согласно (Д.4.7), время накопления энергии, не- обходимой для фотоэффекта, обратно пропорционально интенсивности
Дополнения к лекции 4 87 источника света. При вычислениях возьмем работу выхода Ав, равную « 4 эВ, что справедливо для многих металлов. При мощности источника I = 100 Вт, находящегося на расстоянии г = 30 см от облучаемой метал- лической пластинки, расчет по формуле (Д.4.7) дает время « 0,75 с. Но эксперименты показали, что фотоэффект наблюдается также при гораздо меньшей интенсивности света. Например, плотности потока излучения ~ 10-5Вт/см2, согласно формуле (Д.4.7), фотоэлектроны должны реги- стрироваться примерно через 2 ч после включения светового потока. Однако многократно проведенные прецизионные эксперименты дока- зывают, что фотоэлектроны выходят из металла практически мгновенно после начала облучения эмиттера даже при очень слабой интенсивности светового потока (конечно, если длина волны короче «красной границы» данного металла). Эти исследования свидетельствуют в пользу фотонной теории, которая объясняет вылет фотоэлектрона из металла отдельным актом поглощения фотона электроном проводимости. Оценку времени такого процесса можно провести по энергетическому соотношению неопределенностей (см. лекцию 6) и получить величину ~ h/AB ~ 10“15 с (где А3 — работа выхода электрона проводимости из металла). С помощью уравнения Эйнштейна (4.3) нетрудно вычислить, что при облучении металла ультрафиолетом фотоэлектроны получают ки- нетическую энергию, равную нескольким электрон-вольтам, т.е. ско- рость ~108см/с. Классическая электродинамика позволяет оценить, что толщина слоя металла, в который проникает электромагнитная вол- на ультрафиолетового диапазона, составляет по порядку величины не более 1 мкм. Следовательно, при этом время выхода фотоэлектрона из металла ~ 10-12 с, что вполне согласуется с результатами экспериментов. 4.3. Поляризация фотона Фотон, помимо энергии и импульса, характеризуется определенным состоянием поляризации. Рассмотрим монохроматическую плоскую линейно поляризованную электромагнитную волну. Согласно классической электродинамике, по- ляризация волны определяется по направлению вектора электрического поля £ волны. В квантовой теории электромагнитная волна представля- ется совокупностью фотонов. Следовательно, все фотоны плоской моно- хроматической линейно поляризованной волны должны обладать одина- ковыми энергией, импульсом и состоянием поляризации, которая может быть задана единичным вектором е, параллельным вектору электриче- ского поля £ данной волны. Отсюда следует, что каждому значению импульсу фотона hk соответствуют две линейно независимые поляри- зации, характеризуемые взаимно перпендикулярными векторами е^) и е(2\ Эти векторы выбираются таким образом, чтобы тройка и к/к образовывали орты правой системы координат: е(О х е(2) = у. (Д.4.8) к С другой стороны, в качестве базиса также можно использовать век- торы круговой поляризации и которые связаны с векторами
88 Дополнения к лекции 4 еС1) и следующими формулами: е(+) = е(1) + г'е(2) \/2 — ie^ е' 7 =------7=--- х/2 (Д.4.9) Состояние, характеризуемое вектором называется правой круговой поляризацией, а состояние с вектором — левой круговой поляриза- цией. Для квантовой физики важно, что фотон в состоянии с круговой по- ляризацией обладает определенным значением проекции собственного момента импульса Sz на направление волнового вектора фотона к. Эта проекция Sz равняется Й, или — h в случаях правой или левой круговой поляризации соответственно. 4.4. Угловое распределение фотоэлектронов Фотоны ультрафиолетового диапазона имеют энергии порядка десят- ков электрон-вольт, т.е. много меньше энергии покоя электрона. Как следствие, фотоэлектроны, выходящие из металла при облучении уль- трафиолетовым излучением, имеют нерелятивистские энергии. В дополнении 4.1 было показано, что суммарный импульс системы «электрон проводимости 4-фотон» не сохраняется, так как часть им- пульса передается ионам металла. В то же время энергия системы «элек- трон 4-фотон» сохраняется с высокой точностью, потому что ионы полу- чают ничтожно малую энергию из-за их сравнительно большой массы. Рис. Д.4.1. Геометрическая схема взаиморас- положения векторов при фотоэффекте на элек- троне проводимости: Лк — импульс фотона, ре — импульс фотоэлек- трона, е — вектор поляризации фотона По этим причинам вектор импульса фотоэлектрона, вообще говоря, не параллелен импульсу поглощенного фотона. Угловое распределение нерелятивистских фотоэлектронов зависит от их скорости v и может быть приближенно описано следующим выражением: Idfl ~ sin2 3 cos2 fl 4- 4- cos#") dQ, (Д.4.10) \ с / где I — плотность потока фотоэлектронов, d£l — элемент телесного угла, с — скорость света. Угол 3 образован векторами импульсов фотона hk и фотоэлектрона ре, — угол между плоскостью, в которой лежат эти векторы hk и ре, и направлениехМ вектора поляризации фотона е (см. рис. Д.4.1).
Дополнения к лекции 4 89 Согласно выражению (Д.4.10) максимум интенсивности потока не- релятивистских фотоэлектронов наблюдается в направлении перпенди- кулярном импульсу фотона (0 = тг/2) и в плоскости его поляризации (</? = 0). При скорости фотоэлектронов, много меньшей скорости света (v с), угловое распределение фотоэлектронов практически симмет- рично относительно угла рассеяния 3 = тг/2. С увеличением кинетической энергии фотоэлектрона максимум угло- вого распределения фотоэлектронов смещается в область меньших углов Рис. Д.4.2. Полярные диаграммы углового распределения плотности потока фото- электронов при фотоэффекте на электронах проводимости для различных энер- гий фотонов е (Лк — импульс поглощаемого фотона): 1 — е = 20 кэВ, 2 — 8 — 100 кэВ, 3 — 8 — 5 МэВ рассеяния 3. На рис. Д.4.2 приведены полярные диаграммы углового распределения фотоэлектронов, рассчитанные для фотонов высокой энер- гии, принадлежащих рентгеновскому и гамма-диапазону. 4.5. Уравнение Вульфа-Брэгга Обнаружение дифракции рентгеновских лучей на кристаллах яви- лось экспериментальным доказательством волновой природы рентгенов- ских лучей и атомарного строения вещества, что подробно излагается в лекциях 18 и 19. Разработанная в ходе рентгеновских исследований теория дифракции оказалась применимой для рассеяния волн любой фи- зической природы на периодических структурах при условии, что про- странственные периоды имеют порядок длины волны. Первая теория рассеяния волн на трехмерной периодической струк- туре была предложена Максом Лауэ в 1912 г. (см. дополнение 18.1). Практически в то же время Л. Брэгг (1890-1971) и, независимо от него, Ю. Вульф (1863-1925) предложили более простой вариант теории, кото- рый успешно используется при решении множества физических задач. Рассмотрим трехмерный объект, содержащий множество точечных рассеивателей, которые периодически расположены в пространстве. При- мером может служить монокристалл, состоящий из одинаковых атомов.
90 Дополнения к лекции 4 На поверхность объекта падает плоская монохроматическая волна. Взаимодействие волны с каждым рассеивателем порождает вторичные волны. Суперпозиция вторичных волн образует отраженный (рассеян- ный) волновой поток, который может быть обнаружен с помощью какого- либо детектора исследуемого излучения. Предположим, что детектор рассеянного излучения расположен на расстоянии, значительно превышающем размер облучаемого объекта. Тогда все вторичные волны, попадающие в детектор, можно рассматри- вать как плоские. Падающую и регистрируемую (рассеянную) волны удобно изобразить системой пучков, направленных параллельно соответ- ствующим волновым векторам (см. рис. Д.4.3). Согласно теории Брэгга, рассеянную волну можно представить супер- позицией волн, рассеянных плоскостями, каждая из которых содержит —е----е-----в-----©----•----•-----е— —0----0 0 0----0----0 0— Рис. Д.4.3. Схема отражения пучков волн от атомных плоскостей кристалла: АА' и ВВ' — две атомные плоскости, МО и М'О' — пучки падающих волн, ON и О'N' — пучки отраженных волн, ip — угол скольжения, d — межплоскостное расстояние множество атомов. Точнее говоря, картина рассеянного излучения обра- зуется интерференцией пучков монохроматических когерентных волн, отраженных отдельными атомными плоскостями (см. рис. Д.4.3). Очевидно, что наиболее интенсивные пучки отраженного излучения формируются конструктивной (положительной) интерференцией отдель- ных рассеянных волн. Известно, что условием положительной интерфе- ренции является разность фаз интерферирующих волн кратная 2тг. При этом разность хода таких когерентных волн равняется целому числу длин волн А. Ограничимся самым распространенным в практике случаем симме- тричной геометрии Брэгга. В этом случае регистрируется волна, отра- женная от поверхности объекта под углом, равным углу падения пер- вичной волны (см. рис. Д.4.3). Угол ip между плоскостью облучаемой поверхности и волновым вектором падающей волны называется углом скольжения.
Дополнения к лекции 4 91 По геометрической схеме легко вычислить, что разность хода коге- рентных волн, отраженных соседними атомными плоскостями, равня- ется 2cZsin где d — расстояние между соседними атомными плоско- Рис. Д.4.4. К расчету разности хода когерентных волн, отраженных соседними атомными плоскостями. Треугольники ОСО1 и ODO' — прямоугольные. Углы СО(У и DOO1 равны Разность хода волн NO'N1 и МОМ1 равна сумме длин отрезков СО' и DO1 стями (так называемое межплоскостное расстояние), — угол между облучаемой поверхностью объекта и направлением падающей волны, ко- торое задается ее волновым вектором (см. рис. Д.4.4). Условие конструктивной интерференции запишется в виде 2dsin<£ = пХ, (Д.4.11) где п — произвольное натуральное число. При этом из геометрической схемы на рис. Д.4.4 очевидно, что число п равно отношению разно- сти хода волн, отраженных соседними атомными плоскостями, к длине волны А. Соотношение (Д.4.11) называется уравнением Вульфа-Брэгга. Углы удовлетворяющие этому уравнению, задают направления распростра- нения интенсивных пучков рассеянного излучения. Число п называется порядком отражения для системы атомных плоскостей с определенным межплоскостным расстоянием d.
Лекция 5 ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА ЧАСТИЦ 5.1. Гипотеза де Бройля Обнаружение корпускулярных свойств электромагнитного из- лучения вызвало к жизни принципиально новые идеи, которые ранее показались бы парадоксальными. В 1923 г. французский физик Луи де Бройль (1892-1987) выдвинул гипотезу о существова- нии волновых характеристик у массивных частиц, т. е. у частиц, масса покоя которых не равна нулю (электронов, протонов, ато- мов, молекул и т. д.). Луи де Бройль предположил, что если волны обладают корпускулярными свойствами, то корпускулы должны обязательно иметь волновые свойства. Эта концепция получила название корпускулярно-волнового дуализма. Согласно гипотезе де Бройля, соотношения, полученные для фотонов (4.2) и (4.12): Е = hw и р = Лк, (5.1) являются универсальными, т. е. справедливыми не только для фотонов, но и для любых массивных частиц. Это означает, что каждая частица наряду с энергией Е и импульсом р должна харак- теризоваться частотой со и длиной волны А. Гипотеза де Бройля впоследствии была подтверждена многочисленными эксперимен- тами, некоторые из которых будут описаны ниже. Прежде всего, используя известную связь волнового числа с длиной волны, получим для модуля импульса частицы соотно- шение 2тгЛ р= W где величина Ар называется длиной волны де Бройля. Следова- тельно, дебройлевская длина волны обратно пропорциональна мо- дулю импульса частицы: 2тгЛ Ар =------• Р (5-2)
5.2. Экспериментальные исследования дифракции 93 Оценим длину волны де Бройля макроскопических объектов. Пусть шарик массой 1г движется со скоростью 1м/с. Величина его импульса р = mv = 102г-см/с, и таким образом, из (5.2) следует, что длина волны де Бройля этого шарика равна х 2 • 3,14 • 1,05 • 10~27 Ad ~ 7 • IO’29 см. 102 Такую маленькую длину зафиксировать в опытах на сегод- няшний день невозможно. Современный предел эксперименталь- ных методик по оценке линейных размеров ограничен порядком ~ 10-16 см. Легко видеть, что малая величина длины волны де Бройля определяется, в первую очередь, малостью постоянной Планка в числителе (5.2). Отсюда очевидно, что экспериментально искать волновые свойства следует у частиц с очень малым импульсом, в первую очередь, у микрочастиц, например у электронов. Оценим длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией 100 эВ. Так как эта величина много меньше 9 энергии покоя электрона тес , то для оценки воспользуемся нере- лятивистской формулой связи энергии и импульса = 2тгП (5 ,з) Вычисления дают длину ~ 2 • 3,14 1,05 • 10-27 8 х/2 • 0,911 • 10-27 • 102 • 1,6 • 10-12 т. е. величину, сравнимую с размерами атома. Отсюда следует, что наблюдать волновые свойства электронов в принципе можно в опытах по их дифракции на атомных структурах кристаллов, так как межатомные расстояния в кристаллах имеют порядок диаме- тра атома. 5.2. Экспериментальные исследования дифракции массивных частиц Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 г. американскими физиками К. Девиссоном (1881-1958) и Л. Джермером (1896-1971), которые исследовали рассеяние пучка электронов на монокристалле никеля. Схема экс- перимента Девиссона и Джермера приведена на рис. 5.1. Электронная пушка формировала узкий пучок электронов, ко- торый, пройдя ускоряющую разность потенциалов J7, падал на
94 Лекция 5. Волновые свойства частиц плоскую отшлифованную грань кристалла никеля. В качестве детектора использовался цилиндр Фарадея, соединенный с чув- ствительным гальванометром. В опытах измерялось угловое рас- пределение рассеянных электронов, т. е. количество частиц, отра- женных от кристалла под разными углами в. Было обнаружено, Рис. 5.1. Схема эксперимента Девиссона и Джермера по обнаружению дифракции электронов на кристалле: 1 — электронная пушка, 2 — пучок электронов, 3 — кристалл, 4 — детектор рассеянных электронов, 5 — вакуумный баллон, 6 — ось поворота кристалла, G — гальванометр что угловое распределение имеет характерные максимумы, похо- жие на дифракционные пики, которые возникают при рассеянии на кристалле коротковолнового рентгеновского излучения. Дифракционный характер рассеяния электронов свидетельст- вует об их волновых свойствах. Атомная структура кристалла ни- келя в опыте Девиссона и Джермера играла роль объемной отра- жательной дифракционной решетки. Если, согласно гипотезе де Бройля, электроны обладают волновыми свойствами, то положе- ние дифракционных максимумов может быть рассчитано путем решения уравнения Вульфа-Брэгга (см. (Д.4.11) дополнения 4.5). Электроны, ускоренные разностью потенциалов С7, имеют ки- нетическую энергию Е = eU. В опытах Девиссона и Джермера использовалось напряжение U порядка десятков вольт, таким об- разом, с кристаллом взаимодействовали нерелятивистские элек- троны. Следовательно, согласно формуле (5.3), длина волны де
5.2. Экспериментальные исследования дифракции 95 Бройля выразится формулой \ /Г Л° = (5-4) Один из результатов экспериментальных исследований Девис- сона и Джермера представлен на рис. 5.2. Полярная диаграмма интенсивности отраженных электронов (т.е. распределение ко- Рис. 5.2. Угловое распределение потока электронов, отраженных кристаллом ни- келя, полученное в экспериментах Девиссона и Джермера: U — разность потенциалов, ускоряющая первичные электроны, 0 — угол между падающим и отраженным пучками отраженных электронов личества электронов, попавших в детектор при разных углах от- ражения 0) имеет немонотонный характер, что явно свидетель- ствует о дифракционных явлениях. При ускоряющем напряжении U = 54 В наблюдался резкий дифракционный максимум под углом 0 = 50°. По формуле (5.4) легко вычислить длину волны де Бройля элек- трона, ускоренного разностью потенциалов U. При U = 54 В зна- чение Ad приближенно равно 1,67 • Ю-10м = 1,67 А. С другой стороны, расчеты по формуле Вульфа-Брэгга, прове- денные для условий эксперимента и п — 1, дали при угле в = 50° длину волны 1,65 А. Это значение удовлетворительно совпадает с длиной волны де Бройля Ad, вычисленной выше, если учитывать точность экспериментальной методики Девиссона-Джермера. При сопоставлении результатов экспериментов и расчетов сле- дует учесть, что электроны проникают внутрь кристалла, взаи- модействуют с электрически заряженными частицами его крис- таллической структуры. Электрон внутри металла движется в электрическом поле, создаваемом положительными ионами. Этим определяется различие дифракции электронов на кристалле от ди- фракции рентгеновских лучей, которые не обладают электриче-
96 Лекция 5- Волновые свойства частиц ским зарядом. Влияние внутреннего электрического поля кри- сталла на дифракцию электронов можно описать эффективным внутренним потенциалом и внесением поправки в уравнение Вуль- фа-Брэгга. Учет поправок привел к тому, что различие между зна- чениями длины волны де Бройля, вычисленной по формуле (5.4), и длиной волны, получаемой при решении уравнения Вульфа-Брэгга (Д.4.11) для зарегистрированного максимума в спектре рассеян- ных электронов, стало меньше погрешности измерений. В ходе опытов Девиссон и Джермер изучали также зависимость интенсивности потока рассеянных электронов от азимутального угла 99 при фиксированном полярном угле в. Для этого при неиз- менном положении детектора кристалл поворачивался вокруг оси, перпендикулярной облучаемой отшлифованной грани. Полученное угловое распределение (см. рис. 5.3) характерно для пространственной интерференционной картины, образован- ной волнами, рассеянными атомами кристаллической структуры 0° 90° 180° 270° Рис. 5.3. Примеры зависимостей интенсивности потока рассеянных электронов от азимутального угла ср при фиксированных полярных углах 0. По вертикали отложено количество рассеянных электронов, попавших в детектор за еди- ницу времени металла. В частности, расположение на рис. 5.3а максимумов с пе- риодом 120° объясняется тем, что ось первичного пучка электронов была направлена вдоль поворотной оси симметрии 3-го порядка об- лучаемого кристалла никеля.
5.2. Экспериментальные исследования дифракции 97 Кроме того, в ходе экспериментов Девиссон и Джермер наблю- дали смещение дифракционных максимумов при изменении уско- ряющего напряжения J7, которое соответствовало уравнению (5.4). Согласие результатов опытов с расчетами по формуле де Бройля вы- полнялось для максимумов различных порядков вплоть до п = 8. В 1928 г. английский физик Дж. Томсон (1892-1975), сын Дж.Дж. Томсона, открывшего электрон, получил новое подтвер- ждение гипотезы де Бройля. В своих экспериментах Дж. Томсон наблюдал дифракционную картину, возникающую при прохожде- нии пучка электронов через тонкие поликристаллические фольги (рис. 5.4). Дж. Томсон использовал коллимированный (узкий) пучок мо- ноэнергетических электронов с энергиями от 17,5 до 56,5 кэВ (см. Рис. 5.4. Схема опыта Дж. Томсона по обнаружению дифракции электронов на поликристаллической пластинке золота: К — электронная пушка рис. 5.4). Ускоренные электронной пушкой К электроны падали нормально на тонкую поликристаллическую фольгу из золота. Про- ходящие через фольгу электроны попадали на фотопластинку и вызывали почернение фотопластинки в местах попадания. В экспериментах Дж. Томсона было обнаружено, что электрон- ные пучки рассеиваются на металлических микрокристаллах ана- логично рентгеновским лучам, образуя типичные дифракционные кольца, центр которых находился на оси первичного пучка элек- тронов. Поликристаллическая металлическая фольга состоит из мно- жества маленьких монокристаллов хаотически ориентированных относительно друг друга. При падении на фольгу монохромати- ческой плоской волны большое количество монокристаллов ока- зываются в отражающем положении, т. е. рассеянные вторичные волны, рассеянные атомами, интерферируют и образуют дифрак- ционные пучки. Углы, под которыми наблюдаются дифракцион- ные максимумы, определяются уравнением Вульфа-Брэгга (4.15), которое выведено в дополнении 4.5. Так как микрокристаллы, находящиеся в отражающем поло- жении, располагаются симметрично относительно оси первичного пучка, то дифракционные пучки распространяются вдоль поверх- 8 Зак. 178
98 Лекция 5. Волновые свойства частиц ностей набора коаксиальных конусов. Регистрируемые дифракци- онные кольца образуются сечением конических поверхностей плос- костью фотопленки. В исследованиях Дж. Томсона выяснилось, что углы 99, кото- рые определяют направления дифракционных максимумов, удо- влетворят уравнению Вульфа-Брэгга (4.15), если длина волны Л вычислена по формуле де Бройля (5.2). Создавая в области пролета электронов сильное магнитное по- ле, Дж. Томсон добивался заметного искажения дифракционной картины. Это послужило доказательством того, что дифракция создавалась заряженными частицами — электронами, а не вто- ричными рентгеновскими лучами, которые образуются при взаи- модействии ускоренных электронов с атомами металла. Эксперименты по рассеянию электронов проводил в те же годы П.С. Тартаковский (1895-1939). Он применял геометрию опыта, аналогичную использованной Дж. Томсоном, но использовал элек- троны с энергией свыше 1 кэВ и алюминиевую фольгу. В этих опы- тах также были получены характерные дифракционные кольца, изображенные на рис. 5.5в. Все эксперименты как на монокристаллах, так и на поликри- сталлах показали качественное совпадение дифракционных кар- тин для электронов (электронограмм) и для рентгеновских лучей (лауэграмм и дебаеграмм). На рис. 5.5 приведены некоторые ха- рактерные примеры. Рис. 5.5. Дифракционные картины рентгеновских лучей (лауэграмма) на кри- сталле дигидрофосфата калия (а) и электронограммы от монокристаллической пленки PbS (5) и поликристалла алюминия (в) Дальнейшие эксперименты показали, что дифракционные яв- ления свойственны не только электронам, но и другим массивным микр оча стицам. В 1929 г. И.Эстерман (1900-1973) и 0. Штерн (1888-1969) обнаружили на опыте дифракцию частиц, которые уже нельзя на- звать элементарными. В этих экспериментах газ нагревался в спе- циальной печи до заданной температуры. Затем создавался узкий
5.2. Экспериментальные исследования дифракции 99 пучок атомов, исходящих из отверстия в стенке печки, и напра- влялся на монокристалл. При рассеянии пучков атомов гелия Не и молекул водорода Н2 на кристаллах фторида лития LiF были полу- чены характерные дифракционные максимумы (см. рис. 5.6). Изме- ренные по дифракционным карти- нам длины волн совпадали с рас- считанными по формуле де Бройля (5.2). Рис. 5.6. Угловое распределение атомов гелия на кристалле LiF. Температура газа 295 К. Кроме центрального максимума дифракционной картины наблюдаются два побочных Рис. 5.7. Картина дифракции пучка нейтронов на кристалле NaCl После создания ядерных реакторов и получения мощных пуч- ков нейтронов было экспериментально обнаружено, что нейтроны дифрагируют на кристаллах как объекты с длиной волны, опреде- ляемой формулой де Бройля (5.2). На рис. 5.7 приведен пример ди- фракционной картины, полученной при рассеянии пучка моноэнер- гетических нейтронов на кристалле хлорида натрия NaCl. Видно, что картина похожа на типичную лауэграмму — результат рассе- яния рентгеновских лучей на монокристалле. Нейтроны не имеют электрического заряда и поэтому не взаи- модействуют с электронами вещества. Но за счет сил межнуклон- ного взаимодействия происходит рассеяние нейтронов на протонах и других атомных ядрах. Если атомы в веществе расположены периодически, атомные ядра образуют для нейтронов дифракци- онную решетку. Так как нейтроны с определенным импульсом имеют длину волны де Бройля (5.2), то рассеяние пучка моноэнер- гетических нейтронов на кристалле дает дифракционную картину.
100 Лекция 5. Волновые свойства частиц В настоящее время дифракция нейтронов является основой структурной нейтронографии, представляет собой эффективный метод исследования атомных структур, существенно дополняя методы рентгенографического и электронографического анализа. В частности, именно по дифракции нейтронов удалось определить положения атомов водорода в кристаллах сложных веществ. Таким образом, многочисленные опыты показали, что волно- выми свойствами обладают не только электроны, а любые массив- ные частицы. Трудности наблюдения дифракции тяжелых атомов, многоатомных молекул и более массивных частиц объясняются лишь тем, что их длины волн де Бройля слишком коротки, чтобы их можно было наблюдать при современном состоянии экспери- ментальной техники. Для выяснения физического смысла волн де Бройля оказался очень важным эксперимент, проведенный в 1949 г. В.А. Фабрикан- том (1907-1991), Л.М. Биберманом и Н.Г. Сушкиным. В этих опы- тах, как и в экспериментах Томсона-Тартаковского, пропускались ускоренные электроны через фольгу, но использовались пучки очень слабой интенсивности. Интервал времени между двумя по- следовательными прохождениями электронов через фольгу в сред- нем был примерно в 30000 раз больше времени прохождения электрона от источника до детектора. В качестве детектора исполь- зовалась фотопластинка. Попадание электрона в определенное ме- сто фотоэмульсии вызывало химическую реакцию восстановления, и в этом месте фотопластинки после химической обработки воз- никало маленькое черное пятно металлического серебра. Таким образом, в этом опыте исследовалось взаимодействие отдельного Рис. 5.8. Картина дифракции электронов на поликристаллическом образце при длительной экспозиции (а) и при короткой экспозиции (5). На рисунке (5) видны точки попадания отдельных электронов на фотопластинку электрона с кристаллической структурой металла. В результате длительного облучения фотопластинки потоком электронов были получены такие же дифракционные кольца (см. рис. 5.8а), как
5.3. Статистическая интерпретация волн де Бройля 101 и в опытах Дж. Томсона и Тартаковского. Таким образом было доказано, что волновые свойства присущи отдельному элект- рону. Следует упомянуть, что после опубликования результатов вы- шеописанных экспериментов Девиссона и Дж. Томсона противни- ками гипотезы де Бройля было высказано предположение о том, что явление дифракции объясняется рассеянием «коллективных электронных волн». По этой гипотезе пучок летящих моноэнерге- тических электронов образует «коллективную волну», которая при взаимодействии с периодической атомной структурой порождает пучки рассеянных электронов в направлениях, определяемых за- конами классической интерференции. Иначе говоря, отдельные электроны не имеют волновых свойств, а коллектив электронов обладает некоторой длиной волны. Опыт группы В.А. Фабриканта позволил отвергнуть эту идею. Кроме того, в тех же опытах была получена еще более важ- ная информация. При сравнительно коротком времени пропус- кания электронов через фольгу на фотопластинке точки попада- ния располагались нерегулярным образом, хотя все ускоренные электроны имели одинаковые импульс и кинетическую энергию. Казалось, что места попадания рассеянных электронов имеют слу- чайное распределение (см. рис. 5.86). Но если предварительно рас- считать расположение кольцевых областей дифракционных макси- мумов и минимумов по формулам классической интерференции, то можно обнаружить в хаотическом распределении точек попадания электронов некоторую закономерность. При увеличении времени опыта количество попаданий электронов возрастало в области ко- лец дифракционных максимумов. В области же дифракционных минимумов попаданий практически не наблюдалось. Обнаруженный случайный характер точек попаданий отдель- ных электронов явился одним из обоснований статистической ин- терпретации волн де Бройля. 5.3. Статистическая интерпретация волн де Бройля Обнаружение дифракции массивных частиц породило множе- ство попыток объяснить их волновые свойства на базе классиче- ской физики. В частности, была высказана идея о том, что все массивные (имеющие ненулевую массу покоя) частицы не являются «корпус- кулами», а в принципе представляют собой волновые образования, иначе говоря, волновые пакеты очень малого размера. Однако тео- ретический анализ показал, что волновые пакеты, построенные для массивных частиц, с течением времени расплываются (см. дополнение 5.1). Время расплывания t волнового пакета, описы- вающего движение массивной частицы массы т, можно оценить
102 Лекция 5. Волновые свойства частиц по следующей формуле: t ~ ^(Дя)2, (5.5) п, где Дж — характерный размер волнового пакета. Если частица макроскопическая, например, имеет массу покоя m = 1г и диаметр Дж = 1мм, то оценка по формуле (5.5) дает порядок 1025 с. Это должно говорить о стабильности волнового па- кета, которым описывается данная массивная частица. Однако для атомной физики этот вывод мало полезен. Выше было показано, что длина дебройлевской волны макроскопической частицы очень мала, поэтому волновые свойства такой частицы практически не проявляются в физических процессах. Если мы рассмотрим электрон, находящийся в атоме, то в качестве максимально возможного размера соответствующего вол- нового пакета следует взять диаметр атома. Следовательно, m ~ ~ 10“27 г, Дж ~ 1А = 10“8 см и оценка времени расплывания t волнового пакета электрона дает 10“17 с. Столь малое время сви- детельствует о нестабильности такого волнового пакета. Волновой пакет свободного электрона должен иметь еще мень- ший размер, что дополнительно уменьшает время расплывания t. Полученные оценки времени расплывания означают, что если бы массивные микрочастицы представляли собой волновые па- кеты, они были бы нестабильны, причем обладали бы ничтожно малым временем жизни. Следовательно, от такой идеи описания электронов, протонов и других микрочастиц пришлось отказаться. В течение нескольких десятилетий обсуждалась модель, кратко называемая «волна-пилот». Сторонниками этой концепции был сам Луи де Бройль и известный физик-теоретик Д.Бом (1917— 1992). Основная идея состоит в том, что частица является класси- ческой «корпускулой» с определенной массой покоя и малыми раз- мерами. С частицей всегда связана волна, которая представляет собой колебание некоторого «пси-поля». Движение частицы упра- вляется силами этого «пси-поля», которые направляют частицу в точки пространства, где интенсивность «пси-поля» максимальна. Все волновые явления, в том числе дифракция частиц, описыва- ются интерференцией волн «пси-поля» на атомных периодических структурах. В рамках этой модели может быть разработан математический аппарат, который позволяет описать наблюдаемые явления. Но экспериментальный поиск гипотетического «пси-поля» не дал ре- зультатов, поэтому от предложенной модели «волна-пилот» совре- менная физика отказалась. Кроме того, до сих пор не выяснен физический смысл частоты волны де Бройля.
5.3. Статистическая интерпретация волн де Бройля 103 Остается предположить, что волны де Бройля — это волны нового типа, который не был известен в классической физике. После многих выдвинутых и отвергнутых гипотез весьма пло- дотворной для развития квантовой физики оказалась статисти- ческая интерпретация волны де Бройля, сформулированная в 1926 г. Максом Борном (1882-1970). Согласно этому постулату, квадрат амплитуды волны де Бройля в какой-либо области про- странства пропорционален вероятности обнаружить микрочастицу в этой области. Точнее, квадрат амплитуды А(г) прямо пропор- ционален плотности распределения вероятности /(г) нахождения частицы в данной точке г. При этом вероятность регистрации ча- стицы в области пространства объема ДУ, окружающего точку г, равна /(г)ДУ. Таким образом, движение каждого электрона имеет недетер- минированный (случайный) характер. Но эта случайность не оз- начает полного произвола. Электроны движутся, в основном, в направлениях, для которых амплитуда волны де Бройля имеет наибольшее значение. Расчет пространственного распределения амплитуд волн де Бройля позволяет определить области простран- ства, в которых можно зарегистрировать потоки дифрагированных частиц. В частности, результаты опыта Бибермана-Сушкина-Фабри- канта успешно описываются на основе статистической интерпре- тации. Расчеты дифракции волн с длиной (5.2) дают максимум амплитуды волнового поля в местах максимального почернения фотопластинки. Иначе говоря, именно в эти места попадает пре- валирующее число электронов, рассеянных на кристаллической структуре металла. Число попаданий пропорционально квадрату амплитуды волны де Бройля. С другой стороны, опыты с малым временем облучения фольги демонстрируют случайный разброс точек попадания электронов на фотопластинку. С увеличением времени экспозиции случай- ное распределение точек попадания сходилось к своему среднему значению (системе дифракционных колец), так же как частота слу- чайного события с ростом числа опытов сходится к соответствую- щей вероятности. Статистической интерпретации не противоречат результаты всех экспериментов по дифракции массивных частиц, что явля- ется ее несомненным достоинством. Принципиальная новизна такой интерпретации состоит в том, что согласно ей поведение от- дельных частиц подчиняется в принципе вероятностным законо- мерностям. Для сравнения вспомним, что в классической физике газов частицы полагаются движущимися по траекториям, опре- деляемым решением уравнения движения Ньютона. Статистиче- ские (вероятностные) закономерности вводились в теорию из-за огромного количества (порядка числа Авогадро) частиц газа.
104 Лекция 5. Волновые свойства частиц Согласно статистической интерпретации, волны де Бройля не представляют собой распространяющиеся возмущения какого- либо физического поля. Иначе говоря, амплитуда волны де Бройля обладает лишь вероятностным смыслом. Отметим, что волны де Бройля описывают движение только свободных частиц с определенным импульсом. Полная квантовая теория должна быть пригодна для частиц, движущихся в произ- вольных внешних полях. Как будет показано в следующих лек- циях, волновая функция, характеризующая состояние электро- нов в атомах, является по своему смыслу обобщением волны де Бройля. Статистическая интерпретация волн де Бройля оказалась очень полезной для создания квантовой теории на базе уравнения Шре- дингера (см. лекцию 9). Задачи к лекции 5 1. Оценить длину дебройлевских волн молекул водорода, азота и ки- слорода при комнатной температуре. 2. Вычислить длину дебройлевской волны электрона с кинетической энергией: а) 5 эВ, б) 5 кэВ, в) 5 МэВ, г) 5 ГэВ. 3. Оценить длину дебройлевских волн атомов гелия: а) при ком- натной температуре, б) температуре Т = —100 °C, в) температуре Т = = 1000°С. 4. Вычислить длину дебройлевской волны нейтронов, имеющих среднюю тепловую энергию к&Т при комнатной температуре. 5. Вычислить длину дебройлевской волны: а) Луны, движущейся по орбите вокруг Земли, б) земного шара, летящего по орбите вокруг Солнца. 6. Найти кинетическую энергию электрона, у которого дебройлейв- ская длина волны равна комптоновской длине. Можно ли рассматривать такой электрон как нерелятивистский ? 7. Оценить время расплывания волнового пакета, которым описыва- ется протон. 8. Вычислить длину дебройлевской волны пули «Магнум» для ре- вольвера «Смит-Вессон». Масса пули 8,1г, скорость 442 м/с. 9. Вычислить длину дебройлевской волны артиллерийского снаряда германской дальнобойной пушки «Дора». Масса снаряда 4800 кг, ско- рость 820 м/с. 10. Протон с кинетической энергией Е = 1 МэВ рассеивается на не- подвижной альфа-частице на угол 90°. Вычислить длину дебройлевской волны рассеянного протона.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 5 5.1. Волновой пакет Плоская монохроматическая волна может быть описана функцией ко- ординат г и времени t: Ф(ж, t) — Aexp[z(cji - kr 4- <£0)], (Д-5.1) где А — амплитуда, cj — частота, к — волновой вектор, ср0 — началь- ная фаза, которую смещением начала отсчета координаты или времени можно сделать равной нулю. Выбрав ось координат X в направлении волнового вектора, функцию (Д.5.1) можно переписать в виде Ф(ж, i) = А ехр [г(cut — кх + </>о)], (Д-5.2) где к — волновое число, х — координата. Строго говоря, плоская монохроматическая волна вида (Д.5.2) явля- ется объектом бесконечным в пространстве и вечным во времени, по- этому представляет собой математическую идеализацию реальных волн. Для описания волны, ограниченной в пространстве, можно использовать суперпозицию плоских волн, различающихся волновыми числами. Та- кие волновые образования имеют амплитуду отличную от нуля в конеч- ной области координаты х и называются волновыми пакетами. На- пример, волновой пакет можно образовать суммированием непрерывного набора плоских волн, имеющих одинаковые амплитуды А/Хк и волно- вые числа в интервале [&о — ДА:/2, ко 4- ДА:/2]: Аго4"Д^/2 ^4 Г Ф(ж, t) = / ехр [z(cji — кх)] dk, ko-^k/2 (Д-5.3) где ко и ДА: — постоянные величины. Частота cj, вообще говоря, является функцией волнового числа к. Разложение функции cj(A:) в ряд Тейлора вблизи точки к — ко имеет вид ш(к) = w(Ao) + и'(к0)(к - ко) + lw"(fco)(fc - fco)2 + ... (Д.5.4) Ограничимся разложением ряда (Д.5.4) до линейного члена: и>(к) ~ и(ко) + (к - ко)и'(ко). (Д.5.5)
106 Дополнения к лекции 5 При этом оценка погрешности разложения (Д.5.5) будет определяться по порядку величины отброшенным квадратичным членом: |w"(M^ - fc0)2 ~ ш"(к0)(Ак)2. (Д.5.6) Введем для сокращения записей обозначения cjq = <^(&о) и Uq = = о/(А;о). Подставив линейный закон дисперсии (Д.5.5) в интеграл (Д.5.3), получим волновое поле вида Ф(я,£) = Bexp[i(coot — А;о:г)], (Д-5.7) где множитель В имеет смысл амплитуды волнового пакета и выра- жается интегралом &О A fc/2 А Г В = — / ехр [i(k - ko)(u/Qt - я)] dk. (Д.5.8) Za/ъ J ko-^k/2 Введем новую переменную, зависящую от координаты и времени: дь С =-2-(wot-x). (Д.5.9) Тогда амплитуда волнового пакета В выразится в компактной форме: В = А^-. (Д.5.10) Отсюда видно, что, в отличие от плоской волны, амплитуда волнового пакета (Д.5.10) является функцией координаты и времени. Постановка амплитуды (Д.5.10) в формулу (Д.5.7) дает следующее выражение для волнового поля: Ф(а;,£) = ехр [г(сио£ — ^о^)]- (Д.5.11) Формулу (Д.5.11) можно интерпретировать как произведение мед- ленно меняющейся во времени и пространстве (при условии ДА; ко) амплитуды (Д.5.10) и быстро изменяющейся гармонической функции ехр [i(coot — кох)]. При этом «медленная» амплитуда играет роль плав- ной огибающей, а «быстрая» гармоника — роль заполнения, как пока- зано на рис. Д.5.1, где приведена реальная часть кохмплексной функции Ф(ж, t). Огибающая задается функцией (Д.5.10). Функции ±1?(£) имеют цен- тральный экстремум при = 0 и нули в точках £ = пл, где п — целое число. Модули значений функций ±В(£) в точках экстремумов моно- тонно убывают при удалении от точки £ = 0 (см. рис. Д.5.1). Можно сказать, что амплитуда волнового пакета |В| заметно отличается от нуля в области —7г/2 < £ < тг/2, т.е. в качестве ширины волнового пакета можно принять величину Д£ = л.
Дополнения к лекции 5 107 Рассматривая момент времени t = 0, из соотношения (Д.5.9) полу- чим £ = х^к/2. Тогда оценка пространственного размера имеет вид л 2А£ 2тг АА; АА; Иначе говоря, ширйна волнового пакета Аж и диапазон волновых чисел АА; связаны обратно пропорциональной зависимостью АжАА; = 2тг. (Д.5.12) Это означает, что для формирования узкого волнового пакета необ- ходимо просуммировать множество гармонических волн, которые запол- няют широкий интервал волновых чисел АА;. Рис. Д.5.1. Мгновенная «фотография» волнового пакета. Сплошная линия — заполняющая гармоническая функция, штриховая линия — огибаю- щая ±В при А — 1 Зависимость величины £ от времени определяет скорость распро- странения волнового пакета. Возьмем производную по времени от вели- чины £ и приравняем нулю: АА; (dx ,\ Решение последнего уравнения дает скорость распространения максиму- мов огибающей и, следовательно, скорость распространения амплитуды (Д.5.10): « = • (Д-5-13) \dkJk=k0
108 Дополнения к лекции 5 Так как интенсивность волны пропорциональна квадрату амплиту- ды, то величина (Д.5.13) является скоростью распространения энергии в пространстве, т.е. групповой скоростью волнового пакета. Заполняющая гармоника ехр [г— Azq^)] также является функцией координаты и времени. Взяв производную от аргумента coot — k$x по времени и приравняв ее нулю: ~ = 0’ at мы получим выражение для фазовой скорости, т.е. скорость распро- странения в пространстве, заполняющая гармоники: dx loq dt ко (Д-5.14) Эта величина отличается от групповой скорости (Д.5.13) и не определяет скорость распространения энергии в пространстве. Таким образом, при описании движения массивных частиц с помо- щью пакетов волн де Бройля следует полагать скорость частицы равной групповой скорости волнового пакета (Д.5.13), а не фазовой (Д.5.14). Волновой пакет вида (Д.5.11) локализован не только в пространстве, но и во времени, образуя импульс некоторой длительностью At Вели- чина £, согласно формуле (Д.5.9), линейно зависит от координаты х и от времени t. Запишем величину £ в точке х = 0 и воспользуемся опреде- лением групповой скорости (Д.5.13) как скорости изменения величины (Д-5.9): A A: dw Acj /тт „ ^=~~2dkt = ~~2^ (Д-5Л5) где Acj — интервал частот, соответствующий диапазону волновых чисел АА: при линейном законе дисперсии (Д.5.4). Теперь по ширине волно- вого пакета А£ = тг можно, пользуясь соотношением (Д.5.15), оценить длительность импульса At. Мы получаем, что диапазон частот Ас^ и интервал времени At также связаны обратно пропорциональной зависи- мостью Аа;АА = 2тг. (Д.5.16) Таким образом, для получения более короткого импульса требуется сложить гармонические волны с частотами, заполняющие более широ- кий диапазон Аси. В оптике соотношение (Д.5.16) связывает ширину спектральной линии Acj с длительностью излучения At Итак, если частота cj и волновое число к связаны линейным законом дисперсии (Д.5.5), то длительность импульса At (и ширина волнового пакета А А:) не изменяются с течением времени. Если же закон диспе- рсии нелинейный и разложение (Д.5.4) содержит квадратичный член (а может быть, и следующие), то волновой пакет вида (Д.5.3) с течением времени постепенно расплывается. Время расплывания можно оценить из следующих соображений. Предположим, что волновой пакет был образован в момент времени t = 0. Тогда, очевидно, время расплывания td можно найти из условия дополнительного набега фазы волны (Д.5.11), сопоставимого с числом тг.
Дополнения к лекции 5 109 Набег фазы возникает от слагаемого второго порядка (Д.5.6) в разложе- нии (Д.5.4) частоты по разности к — к®. Таким образом, мы получаем соотношение (A^^id-Tr. (Д.5.17) акт Отсюда следует, что 7Г td ~ (ДА:)2^ ПК, (Д.5.18) Воспользовавшись соотношением (Д.5.12), запишем время расплывания в виде id ~ (Д.5.19) а ш Из последней формулы следует, что время расплывания существенно за- висит от второй производной dw2/dk2, а следовательно, от закона диспе- рсии ш(к). Применим полученные результаты к реальным частицам. Характе- ристики фотонов описываются соотношениями (4.2) и (4.11), что позво- ляет записать для них закон дисперсии в виде ш = ск, где с — ско- рость света. Следовательно, вторая производная d2w/dk2 равна нулю, и время расплывания (Д.5.19) обращается в бесконечность. Это означает, что импульсы электромагнитных волн любых диапазонов могут успешно описываться устойчивыми волновыми пакетами. Для дебройлевских волн закон дисперсии можно получить из урав- нения, связывающего энергию и импульс частицы (4.9) и соотношений (5-1): I ш(к) = 1/с2/;2 + (Д.5.20) V nr Нелинейный характер закона дисперсии обусловлен ненулевой массой покоя то частиц. При нерелятивистских энергиях частиц величина h2k2 2mgC2 <£ 1. Раз- ложим закон дисперсии (Д.5.20) в ряд Тейлора по малой величине до квадратичного члена включительно: И2 к2 2m^c2 w(k) « 9 mocz h / h2k2 \ \ + 2mgC2/ ’ (Д.5.21) Вычислим вторую производную от функции (Д.5.21): d2w h dk2 mo
по Дополнения к лекции 5 и подставим ее в формулу (Д.5.19): id ~ (Аж)2т0 (Д.5.22) Таким образом, время расплывания волнового пакета дебройлевских волн, описывающего движение нерелятивистской частицы, определяется ее массой и размером. Например, рассмотрим электрон с массой покоя те ~ 10-27 г. В ка- честве исходного размера волнового пакета возьмем Аж ~ 10-8 см, т. е. размер атома. Подстановка величин те и Аж в формулу (Д.5.22) дает время расплывания td ~ 10-17с. Если величину Аж взять порядка е2 «классического» радиуса электрона го = ---т = 2,8179 • 10“13 см, то mecz время td уменьшится до ~ 10-26 с. Это доказывает невозможность опи- сания электронов волновыми пакетами. Подставляя в выражение (Д.5.22) массы протона, нейтрона и других микрочастиц, мы будем получать также чрезвычайно малые времена. Это означает, что нельзя для объяснения волновых свойств массивных микрочастиц заменять их волновыми пакетами дебройлевских волн.
Лекция б СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 6.1. Интерференционный опыт Юнга на электронах Для формулировки базовых принципов квантовой физики по- лезно рассмотреть опыт по рассеянию электронов на системе из двух отверстий в непрозрачном экране. Схема опыта показана на рис. 6.1. Видно, что этот опыт похож на знаменитый экспери- мент Томаса Юнга по интерференции света на двух щелях, выпол- ненный им в 1802 г. Этот замечательный эксперимент наглядно иллюстрировал законы интерференции и явился эксперименталь- ным обоснованием волновой теории света. Аналогичный эксперимент на пучках электронов был действи- тельно выполнен в 1961 г. К. Ионссоном, хотя все его результаты были теоретически предсказаны и проанализированы на много лет раньше. Источником электронов является электронная пушка, которая испускает пучок электронов с определенной энергией. На пути электронов находится перегородка с двумя отверстиями. При про- хождении через отверстие из-за взаимодействия с его краями (точ- нее, с атомами, из которых сделана перегородка) электрон рассе- ивается на некоторый угол. За ней расположена стенка, вдоль которой перемещается детектор. Детектор регистрирует количе- ство попавших в него электронов за единицу времени, т. е. интен- сивность потока рассеянных электронов I. Будем рассматривать положения детектора на прямой, проходящей через отверстия, и характеризовать его положение координатой ж, которая отсчиты- вается вдоль поглощающей стенки. Таким образом, может быть измерена интенсивность I как функция координаты х. Зависи- мость /(ж) является распределением интенсивности рассеянных электронов вдоль заданной прямой. Результаты экспериментов можно подытожить следующим об- разом. Когда открыто лишь отверстие I, то распределение 1\(х) содержит один широкий максимум, положение которого опреде- ляется взаимной ориентацией открытого отверстия и источника
112 Лекция 6. Соотношения неопределенностей электронов. При открывании только отверстия 2 получается ана- логичное распределение — функция /2(^) также имеет единствен- ный широкий максимум, естественно смещенный относительно максимума функции Д(ж). Но при открывании обоих отверстий Рис. 6.1. Интерференция электронов в схеме Юнга регистрируется типичная картина интерференции Д2 (х) — функ- ция со множеством максимумов и минимумов (см. рис. 6.1). При этом выполняется неравенство Ш / /1(х) + 12(х). (6.1) Все интерференционные картины света, рассматриваемые в классической физике, формируются наложением, по крайней мере, двух когерентных волн, исходящих из пространственно разделен- ных источников (например, классический опыт Юнга). Но при анализе результатов опыта по рассеянию электронов возникает во- прос — что с чем интерферирует? В опытах с пучками слабой интенсивности электроны проходят через рассеивающее препят- ствие поодиночке. Если бы электрон мог разделиться на две части, а каждая часть проходила бы через свое отверстие, можно было бы выдвинуть гипотезу об интерференции частей электрона. Но электрон является неделимой частицей. Во всех экспериментах регистрируются попадания в детектор целого количества элект- ронов. Но если некоторые электроны проходят через отверстие 7, а другие — через отверстие 5, то в эксперименте должна регистри- роваться сумма унимодальных функций I0(x) = Ых) + 12(х), (6.2) которая не содержит интерференционных максимумов. Кроме того, сравнивая кривые I12(#) и Iq{x\ можно видеть, что в некоторых точках /12(ж) > /о(^)5 в других Т12(я) < Л)(я).
6.1. Интерференционный опыт Юнга на электронах 113 Это значит, что, закрывая одно из двух отверстий, увеличиваем потоки электронов, рассеянных в некоторых направлениях, и при этом уменьшаем потоки, рассеянные в других направлениях. Но как электроны, проходящие через определенное отверстие, могут «знать» о том, что другое отверстие закрыто (или открыто)? Таким образом, если электрон не разделится на части, то, с точки зрения классической физики, интерференция электронов кажется невозможной. Но она наблюдается в эксперименте! Для разрешения этого парадокса естественно попытаться про- следить за движением электронов вблизи перегородки — может быть, удастся выяснить, как именно электроны проходят через отверстия? Чтобы зафиксировать местонахождение электрона, можно использовать рассеяние фотонов, т.е. эффект Комптона, описанный в лекции 4. Рассмотрим модификацию вышеописан- ного опыта. Вблизи отверстий в перегородке разместим источник Рис. 6.2. Рассеяние фотонов на электронах в схеме Юнга света Р и поставим фотоприемники Ф1 и Ф2 (см. рис. 6.2). Пред- положим, что установка настроена таким образом, что при прохо- ждении электрона сквозь отверстие 1 фотон, испущенный источни- ком света, рассеется на этом электроне и попадет в фотоприемник Ф1. Аналогично, при прохождении электрона сквозь отверстие 2 произойдет попадание рассеянного фотона в фотоприемник Ф2. Эксперименты на установке, приведенной на рис. 6.2, показы- вают, что фотоприемники Ф1 и Ф2 не срабатывают одновременно. Это значит, что электрон не делится на части и не проходит че- рез оба отверстия одновременно. Регистрация рассеянных фото- нов фотоприемниками свидетельствует о том, что некоторые элек- троны проходят через отверстие 7, другие — через отверстие 2, Но при этом детектор электронов регистрирует кривую попаданий вида /0(я). Иначе говоря, электроны не интерферируют, а про- ходя через различные отверстия, формируют в области стенки
114 Лекция 6. Соотношения неопределенностей суммарный поток /о(^) — Л(^) + ^2(2)- Ликвидировав одну па- радоксальную ситуацию, мы получили другую. Оказывается, при наблюдении за прохождением электронов через отверстия интер- ференционная картина исчезает! В классической физике подобные ситуации не встречались. За- коны движения макроскопических тел не изменялись при наблю- дениях за этими телами. Камни, брошенные под углом к гори- зонту, летят по баллистической траектории независимо от того, глядим ли мы на них или нет. В опытах с электронами наблюдение проводилось с помощью рассеяния фотонов. Следовательно, в процессе наблюдения на электрон осуществлялось воздействие, которое изменяло харак- теристики этого электрона. В опыте 2 на стенку с детектором попадают электроны, проходящие через отверстия и взаимодей- ствующие с фотонами. В опытах, схематично изображенных на рис. 6.1, 6.2, реализуются различные физические процессы, что приводит к различным результатам. Но в опыте 2 (рис. 6.2) пла- нировалось наблюдение за прохождением электронов без искаже- ния этого процесса! Попытаемся максимально ослабить воздействие фотонов на движущиеся электроны. Чтобы обнаружить месторасположение электрона, но не изменить существенно характеристики его дви- жения, можно уменьшить энергию и импульс рассеиваемых фо- тонов. Идея кажется плодотворной, для этого следует понизить частоту излучения источника Р. Например, вместо видимого из- лучения использовать инфракрасное или СВЧ и в схеме на рис. 6.2. поставить детекторы соответствующего излучения. Но при умень- шении частоты электромагнитного излучения си увеличивается его длина волны Л, согласно (2.4). Ясно, что погрешность определения координаты электрона будет не меньше длины волны рассеиваю- щегося фотона. К нашему удивлению (или огорчению), опыты показывают, что воздействие фотонов на электроны становится малым, когда длина волны А фотонов превышает расстояние L между отверстиями в перегородке. В такой ситуации фотоприем- ник фиксирует попадание рассеянного фотона, но остается неиз- вестным, около какого отверстия произошло это рассеяние. При такой большой длине волны (Л > L} по результатам рассеяния фо- тонов невозможно определить местонахождение электрона с необ- ходимой точностью. Остается неизвестным, через какое отверстие проходит электрон. Кроме того, при длине волны фотонов Л > L детектор рассеян- ных электронов вновь регистрирует интерференционную картину /12(ж). Вновь возникает прежняя ситуация: когда не отслеживает- ся прохождение электронов через отверстия, они интерферируют. Подобные эксперименты проводились в действительности, хотя в установках более сложных, чем изображенная на рис. 6.2.
6.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга 115 Результаты последних опытов могут навести на мысль о за- говоре Природы против физиков.. Оказывается, экспериментально не удается про.следить за траекторией электронов и выяснить при- чины возникновения интерференционной картины. Предположе- ние о том, что электрон делится на части, которые представляют собой когерентные волны, также экспериментально не установ- лено. Пока физикам не удалось разделить электрон на части, и он считается элементарной частицей. Множество удивительных фактов, полученных при исследова- нии свойств микрочастиц, должны привести к мысли о необходи- мости формулировки новых фундаментальных принципов физики, т.е. о разработке новой теории. Это не является отказом от клас- сической физики. Новая теория может лишь установить границы применимости классических принципов, как, например, специаль- ная теория относительности не опровергла механику Ньютона, а ограничила ее нерелятивистскими скоростями тел. 6.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга Множество экспериментов с электронами и другими микроча- стицами дали результаты, являющиеся парадоксальными с точки зрения классической физики (например, дифракция массивных частиц на монокристаллах). Один из создателей квантовой тео- рии В. Гейзенберг (1901-1976) в 1927 г. выдвинул предположение, что все трудности, возникшие в интерпретации этих эксперимен- тов, должны быть следствием некоторого фундаментального за- кона Природы, который до XX века не был еще обнаружен. Этот закон Гейзенберг назвал принципом неопределенности, который ограничивает применение к микрообъектам классических поня- тий и представлений. Количественно принцип Гейзенберга выражается в виде соот- ношений неопределенностей. Первое из них можно записать в виде неравенства Дж £±рх > 2тг/г, (6.3) где Дж и Држ — неопределенности координаты ж и проекции им- пульса рх соответственно. Под неопределенностями следует пони- мать минимально возможные погрешности одновременного изме- рения величин, связанных соотношением (6.3). Знак > означает неравенство по порядку величины. Соотношение (6.3) означает, что если некоторая материальная точка имеет неопределенность проекции импульса Држ, т0 невоз- можно измерить или вычислить координату этого тела с точностью большей, чем Дж = 2тгЛ/Држ. С другой стороны, если координата тела ж задана с неопределенностью Дж, то в принципе невозможно получить проекцию импульса рх с погрешностью меньшей, чем 2тгЛ/ Дж.
116 Лекция 6. Соотношения неопределенностей Воспользовавшись изотропией пространства, можно записать аналогичные соотношения неопределенностей для ортогональных направлений: Ду Дру > 2тгЛ, (6.4) Дг Дрг > 2тг/г. (6.5) Следует обратить внимание, что соотношения (6.3)-(6.5) свя- зывают неопределенности координат и соответствующей проекции импульса. Напротив, координаты и проекции импульса для раз- ных осей (например, х ыру) могут быть одновременно определены сколь угодно точно. Заметим, что часто при записи соотношений неопределенно- стей опускают множитель 2тг в правых частях выражений (6.3)- (6.5). Это никак не влияет на выводы этой лекции и следующих, так как соотношения (6.3)-(6.5) выполняются только по порядку величины. Кроме того, строгое математическое определение не- определенностей координат, проекций импульса и других физиче- ских величин можно дать только на базе квантовой механики. Из соотношений Гейзенберга следует, что любое тело не мо- жет в определенный момент иметь точные значения координат и импульса. Абсолютно точные координаты тело получит, если его импульс абсолютно не определен, т. е. неопределенности проекций импульса бесконечны. В подавляющем количестве физических ситуаций неопределен- ности проекций импульса имеют конечную величину, в некоторых случаях они могут быть уменьшены до нуля. Но тогда, согласно соотношениям Гейзенберга (6.3)—(6.5), неопределенности коорди- нат имеют конечное (не нулевое) значение, а при уменьшении неопределенности проекций импульса до нуля неопределенности координат возрастают до бесконечности. Отсюда следует, что дви- жение частицы, вообще говоря, не описывается классической тра- екторией материальной точки, которая понималась в классической механике как математическая линия. Таким образом, соотношения Гейзенберга вынуждают физиче- скую теорию отказаться от классических траекторий тел, описыва- емых векторными функциями г(£). Траектория должна рассмат- риваться как макроскопическое приближение описания движения частицы. Отсутствие классических траекторий снимает «парадокс» про- хождения электронов через перегородку с двумя отверстиями в схеме Юнга, который был описан в предыдущем разделе. Вопрос «через какое отверстие проходит электрон?» является некоррект- ным, так как электрон не движется по траектории. Точнее, не- определенность координаты х превышает расстояние между отвер- стиями L, Расчеты показывают, что действительно в этом опыте Дх > L. С другой стороны, рассеяние фотонов на электронах в
6.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга 117 схеме Юнга позволяет установить отверстие, через которое про- шел электрон. Но при этом электрон получает значительный им- пульс отдачи (как в опыте Комптона) и неопределенность проек- ции импульса сильно возрастает. Можно вычислить, что в этом опыте произведение Др.т • d по порядку величины превышает 2тгЛ, где d — диаметр отверстия. Анализ показывает, что результаты всех экспериментов по рас- сеянию микрочастиц, описанные ранее, вполне укладываются в соотношения Гейзенберга (см. дополнение 6.1). Соотношения неопределенностей Гейзенберга являются важ- ной частью современной квантовой теории. Заметим, что в соот- ношениях (6.3)—(6.5) понятие неопределенности сформулировано недостаточно четко. В квантовой механике этот недостаток ликви- дирован. Соотношения неопределенностей находятся в соответствии со статистической интерпретацией волн де Бройля. В конце преды- дущей лекции было указано, что амплитуда волны де Бройля по- зволяет вычислить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства, но не дает точной координаты в данный мо- мент времени. Рассмотрим сначала частицу, которая характеризуется волной де Бройля в виде комплексной гармонической функции А ехр [i(wt — kr)] (6.6) с постоянной амплитудой А = const. Волновой вектор к напра- влен в сторону движения частицы, т.е. параллелен ее импульсу, согласно (5.1). Расположим ось координат X в направлении волнового век- тора к. Тогда функция (6.6) примет вид А ехр [i(wt — fc#)], (6.7) где к — модуль волнового вектора (волновое число). Гармоническая функция вида (6.7) имеет определенную длину волны Л = 2л/к и, следовательно, определенный импульс с моду- лем р = 2лН/Х = hk. Так как, согласно (5.1), импульс частицы р параллелен волновому вектору к ее волны де Бройля, то у рассма- триваемой частицы имеется определенная проекция импульса на ось координат X: 2лК Рх = — Следовательно, неопределенность проекции импульса /\рх равна нулю. С другой стороны, гармоника (6.7) с постоянной амплитудой бесконечно растянута вдоль оси координат X, следовательно, не- определенность координаты Хх бесконечна. Видно, что даже в
118 Лекция 6. Соотношения неопределенностей этом предельном случае характеристики частицы не противоречат соотношениям Гейзенберга. Далее, согласно статистической интерпретации, квадрат ам- плитуды волны де Бройля пропорционален вероятности нахожде- ния в данном месте пространства. Постоянство амплитуды озна- чает, что частица с одинаковой вероятностью может иметь любое значение координаты —оо < х < оо, а это соответствует бесконеч- ной неопределенности координаты х. Это означает, что частица с волной де Бройля вида (6.6) может быть с одинаковой вероятно- стью обнаружена в любой точке оси X (как говорят, «размазана» по бесконечному интервалу одномерного пространства). Теперь рассмотрим другую, противоположную ситуацию. Пусть частица движется вдоль оси X, причем ее координата х известна с большой точностью, т. е. имеет малую неопределенность Хх. Волна де Бройля такой частицы имеет амплитуду не равную нулю только в области пространства размером Хх. Ясно, что такая волна непохожа на гармоническую и, следовательно, не имеет опре- деленной длины волны. Так как длина волны де Бройля одно- значно связана с величиной импульса частицы соотношением (5.2), то наша частица должна иметь ненулевую неопределенность импульса Хрх. Для оценки величины неопределенности представим волну де Бройля частицы в виде волнового пакета следующего вида: д С <р(х, t) = — / ехр [i(wt — кх)] dk. ко-^к/2 (6-8) Величина Дк задает интервал волновых чисел к интегрируемых гармоник, необходимых для формирования волнового пакета (6.8). Вид зависимости <р(х, t) от координаты х в некоторый момент времени t показан на рис. 6.3. Огибающая осциллирующей функции ср(х^ t) ограничивает ха- рактерные максимумы, которые разделены нулями. Центральный максимум имеет ширину Xxq. В дополнении 5.1 показано, что в качестве характерной ширины волнового пакета Хх целесообразно взять половину расстояния между первыми нулями огибающей, т.е. Джо/2. Вычисления, приведенные в дополнении 5.1, дают следующую связь ширины волнового пакета Хх с диапазоном ин- тегрирования /\к: ХхХк = 2л. (6.9) На рис. 6.3 видно, что за пределами главного максимума ам- плитуда волнового пакета, вообще говоря, не равна нулю. Но ам- плитуды побочных максимумов быстро уменьшаются при удале- нии от главного максимума. Разумной является оценка ширины
6.2. Соотношения неопределенностей Гейзенберга 119 Рис. 6.3. Фотография волнового пакета, распространяющего вдоль оси коор- динат X. Штриховая линия — огибающая отдельных экстремумов волнового пакета. Джо — расстояние между первыми нулями огибающей, которые ограничивают централь- ный (главный) максимум волнового пакета несколько большая, чем данная соотношением (6.9). Иначе говоря, для размера волнового пакета целесообразно использовать следующее неравенство: ДжД/с > 2тг. (6.10) Размер волнового пакета задает неопределенность координаты Дж частицы, движущейся вдоль оси X. С другой стороны, ненулевая ширина диапазона интегрирова- ния Хк в (6.8) означает, что движущаяся частица имеет неопре- деленность проекции импульса Хрх = КХк. (6.11) Сопоставление (6.10) и (6.11) дает неравенство, совпадающее с соотношением неопределенностей Гейзенберга (6.3). Если рассмотреть волновые пакеты, описывающие движение частиц вдоль осей У и Z, то аналогичным образом можно получить другие соотношения неопределенностей (6.4), (6.5). Соотношение неопределенностей Гейзенберга является фунда- ментальным законом Природы, т.е. выполняется не только для микрочастиц, но для любых тел. Но почему же этот всеобщий за- кон не был обнаружен до XX века в ходе развития классической физики? Дело в том, что произведение неопределенностей координаты и проекции импульса, согласно соотношениям Гейзенберга, очень мало — порядка постоянной Планка И. В физических эксперимен- тах любые измерения проводятся с погрешностями (прямыми или
120 Лекция 6. Соотношения неопределенностей косвенными). Если произведение погрешностей измерения коор- динат и проекций импульса значительно превышает величину Л, то соотношение неопределенностей в опытах не будет обнаружено. Можно показать, что при исследовании макроскопических тел про- изведение этих погрешностей много больше постоянной Планка Л, поэтому соотношения неопределенностей экспериментально не на- блюдаются. В качестве примера рассмотрим некоторое движущееся макро- скопическое тело (биллиардный шар, пулю и т. п.). Предположим, что измерения проводятся со следующими погрешностями: Дж ~ 1 мкм = 10“4 см, Дт ~ 0,1 мг = 10-4 г, Д^ж ~ 1 мкм/с — 10-4 см/с. Вычисления дают Дж Држ ~ 10-12эрг-с. Эта величина почти на 15 порядков больше произведения 2тгЛ ~ 10-27 эрг • с. Таким образом, измерения характеристик макроскопической частицы дают результаты, которые не противоречат соотношению неопре- деленностей. Иначе говоря, соотношения неопределенностей для макроско- пических тел выполняются «с большим запасом», поэтому соотно- шения Гейзенберга были сформулированы после многочисленных опытов с электронами и другими микрочастицами. Когда в классической физике используются такие понятия, как траектория, луч, бесконечно узкий пучок частиц, подразумевается, что объекты, характеризуемые этими абстракциями, имеют, хотя и очень малую, но конечную толщину. Но термин «малость» имеет физический смысл только в сравнении. Если для опытов Гали- лея погрешность измерения координат Дж ~ 1 мкм кажется очень малой, то в сравнении с размером атомов эта величина является очень большой. Можно сделать вывод о том, что открытие соот- ношений неопределенностей не отменяет понятий и идеализаций классической физики, которая занимается исследованием макро- скопических объектов. С другой стороны, при изучении процес- сов, происходящих с микрочастицами, использование соотноше- ний Гейзенберга необходимо. Соотношения неопределенностей во многих важных случаях позволяют выполнить оценки параметров физических микроси- стем. Некоторые характерные примеры приведены в дополне- нии 6.1. В заключение параграфа заметим, что было бы неверно тракто- вать соотношения неопределенностей как результат несовершен- ства современной техники эксперимента. Согласно современным воззрениям, именно невозможность одновременного измерения координаты ж и соответствующей проекции импульса рх соста- вляет смысл соотношений неопределенностей.
6.3. Корпускулярно-волновой дуализм 121 6.3. Корпускулярно-волновой дуализм Подведем итог предыдущих лекций. В экспериментах начала XX века было обнаружено, что электромагнитные волны предста- вляют собой ансамбли частиц (фотонов), а массивные частицы (имеющие ненулевую массу покоя) обладают явными волновыми свойствами. Эти удивительные сочетания корпускулярных и вол- новых физических характеристик были названы корпускулярно- волновым дуализмом. Корпускулярная структура электромагнитного излучения озна- чает, что электромагнитная волна представляет собой поток фо- тонов, каждый из которых обладает энергией е и импульсом р. С другой стороны, фотон имеет волновые характеристики: опре- деленную частоту и, длину волны Л и волновой вектор к, причем перечисленные физические величины связаны простыми соотно- шениями: е = Ла;, р = Лк, Л = . (6.12) Р С точки зрения классической физики совокупность этих урав- нений представляется парадоксальной. Также классическая фи- зика не в состоянии объяснить наличие волновых свойств у мас- сивных частиц. Эти частицы как классические корпускулы обла- дают определенной энергией и импульсом. Но кроме этого, они интерферируют на периодических атомных структурах как волны с длиной волны, определенной формулой (5.2). Волновые и кор- пускулярные характеристики массивных частиц также оказались связанными уравнениями (6.12). Для анализа возникшей проблемы прежде всего следует вспо- мнить, что и корпускула, и волна являются определенными идеа- лизациями — абстрагированными объектами. Классическая корпускула имела определенные размеры, она четко ограничена в пространстве, ее движение полностью описы- валось траекторией — определенной кривой в пространстве. В ка- ждый момент времени положение корпускулы задавалось тремя числами — координатами ее центра масс. Классическая волна в принципе не имеет определенных гра- ниц, ее движение не описывается траекторией. Когда в частных случаях используется лучевое приближение распространения вол- ны, то принимается во внимание, что луч в реальности не является бесконечно тонким. Классические волны описываются гармониче- скими функциями вида (6.6) или их суперпозицией (6.8). Все физические объекты, изучаемые классической физикой, от- носились либо к корпускулам, либо к волнам, но эти идеализиро- ванные объекты полагались взаимоисключающими. Квантовая теория утверждает, что совокупность уравнений (6.12) не является парадоксальной. Частицы обладают как корпус-
122 Лекция 6. Соотношения неопределенностей кулярными, так и волновыми характеристиками. Дело в том, что электроны, фотоны и другие микрочастицы не являются класси- ческими корпускулами. В частности, невозможно указать точные размеры (например, диаметр) этих частиц. Следует помнить, что корпускулярные свойства микрочастиц лишь похожи на свойства классических корпускул. Из предыдущего анализа экспериментов было видно, что вол- новые свойства массивных частиц описываются не классическими волнами. Амплитуда волн де Бройля имеет вероятностный харак- тер. Таким образом, волновые характеристики микрочастиц лишь похожи на свойства классических волн. Следует полагать, что электрон, фотон и прочие микрочастицы представляют собой физические (материальные) объекты, облада- ющие набором внутренне непротиворечивых свойств и характе- ристик. Некоторые из этих характеристик сходны со свойствами классических корпускул, другие — с классическими волновыми свойствами. Именно это положение составляет смысл термина «корпускулярно-волновой дуализм». В рамках корпускулярно-волнового дуализма полезно рассмо- треть вопрос о возможности «расщепления» микрочастиц на ча- сти. При анализе опыта Юнга с электронами было установлено, что всегда детектор электронов регистрирует целое число частиц. Ни в одном из экспериментов не было зафиксировано попадания в детектор части электрона. В этом смысле электрон является не- делимой частицей. Что касается интерференционных свойств от- дельных электронов, то это явление не описывается классической физикой (и наглядными механическими моделями), но прекрасно укладывается в квантовую теорию, благодаря волновым свойствам массивных микрочастиц и соотношениям неопределенностей. В дополнении 6.2 изложены рассуждения, которые доказывают, что фотон также не «расщепляется» в процессах рассеяния. В начале данного раздела были приведены уравнения, связы- вающие корпускулярные и волновые свойства микрочастиц, ко- торые применимы и к фотонам, и к массивным частицам. При этом не следует преувеличивать сходства микрочастиц разных ти- пов, а напротив, обратить внимание на некоторые принципиаль- ные физические различия. Это, в первую очередь, отсутствие массы покоя и электрического заряда у фотонов. Во-вторых, ам- плитуды электромагнитных и дебройлевских волн имеют прин- ципиально различный смысл, как было показано в предыдущих лекциях. Важным уравнением, характеризующим основные свойства ча- стицы, является закон дисперсии, т.е. связь энергии и импульса частицы этого типа. Согласно уравнению (4.10), энергия фотона прямо пропорциональна модулю его импульса: е = рс, где с — скорость света в вакууме. С другой стороны, связь энергии и
6.3. Корпускулярно-волновой дуализм 123 импульса свободной массивной частицы выражается нелинейным уравнением (4.9): Е = yj77ZqC4 + р2с2, где то — масса покоя частицы. Величина Е в последнем урав- нении представляет собой сумму кинетической энергии и энер- гии покоя тос2. Различие законов дисперсии разного типа частиц является источником важных физических следствий. В заключение можно сказать, что многие свойства микрочастиц и их сочетания не могут быть объяснены в рамках классической физики. Для этого создается квантовая теория, которая дополняет классическую, не разрушая ее, и устанавливает границы приме- нимости классической физики. Аналогичная ситуация сложилась, когда специальная теория относительности А. Эйнштейна допол- нила механику, созданную И. Ньютоном. Задачи к лекции 6 1. Оценить с помощью соотношений Гейзенберга неопределенности кинетической и потенциальной энергий электрона, входящего в состав атома водорода. 2. Оценить неопределенность скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома порядка 1 А. 3. Среднее время жизни возбужденного состояния атома т ~ 10-8 с. При переходе в основное состояние испускается фотон энергией 10,2 эВ. Оценить естественную ширину соответствующей спектральной линии. 4. Оценить с помощью соотношения неопределенностей Гейзенберга порядок энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора. 5. Объяснить на основе соотношения неопределенностей, почему электрон в атоме водорода не падает на атомное ядро.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 6 6.1. Эксперименты, иллюстрирующие выполнение соотношений неопределенностей Эксперимент 1. Рассмотрим свободный электрон с определен- ным импульсом р. Расположим перпендикулярно вектору импульса элек- трона непрозрачную перегородку со щелью шириной d. За перегородкой, параллельно ей поставим экран, регистрирующий попадания электронов. Это может быть слой сцинцилирующего вещества или фотоэмульсии. Рис. Д.6.1. Схема прохождения электронов через щель: 1 — непрозрачная перегородка со щелью, 2 — экран, регистрирующий электроны, 3 — главный максимум дифракционной картины; р — начальный импульс электрона, d — ширина щели Введем плоскую систему декартовых координат. Ось X направим вдоль перегородки со щелью, ось Y — вдоль вектора импульса электрона р (см. рис. Д.6.1). Наблюдение прохождения электрона через щель представляет собой измерение его координаты х в некоторый момент времени. Очевидно, что погрешность измерения Хх не менее ширины щели <7, т. е. Хх d. Сужая щель, мы, в принципе, можем неограниченно уменьшать неопре- деленность координаты Хх, Движение свободного электрона описывается монохроматической волной де Бройля с волновым вектором k = p/h и длиной волны А = = 2тг/г/р. При соответствующей ширине щели взаимодействие электрона с краями щели можно интерпретировать как дифракцию Фраунгофера волны де Бройля на щели. Как известно из классической волновой тео- рии, дифракционная картина на экране содержит главный максимум и множество побочных. Главный максимум ограничен первыми нулями,
Дополнения к лекции 6 125 положение которых на экране определяется условием деструктивной ин- терференции: dsina = A. (Д.6.1) Угол а определяет угловую ширину главного максимума дифракцион- ной картины на экране (см. рис. Д.6.1). Как следствие, ширина глав- ного максимума превышает ширину щели d. Рассматривая электрон как частицу, это можно интерпретировать таким образом, что при взаимо- действии электрона с краями щели он получил некоторое приращение проекции импульса = psina. (Д.6.2) Выражая sin си из уравнения (Д.6.1), а модуль импульса — через длину волны де Бройля, получим л 2тгЛ Арх = -J". d (Д.6.3) Заменяя ширину щели d на неопределенность координаты Аж, мы получим равенство = 2тг/г/Аж. Теперь вспомним, что оценка прира- щения проекции импульса (Д.6.2) была проведена по ширине главного максимума дифракционной картины. Учет побочных максимумов при- водит к увеличению возможного приращения величины Арх, которая определяет неопределенность проекции импульса. Следовательно, со- гласно уравнению (Д.6.3), неопределенность координаты Аж и неопреде- ленность проекции импульса Дрх связаны уже знакомым соотношением Гейзенберга Аж Арх > (Д.6.4) Из уравнения (Д. 6.3) следует, что при уменьшении ширины щели d (и уменьшении неопределенности координаты Аж) неопределенность проекции импульса Арх возрастает обратно пропорционально. С другой стороны, для уменьшения неопределенности Арх необходимо увеличи- вать ширину щели т.е. неопределенности координаты Дж. Таким образом, невозможно неограниченно уменьшать обе неопределенности Аж и Арж в условиях данного опыта. Эксперимент 2. В этом опыте, предложенным Гейзенбергом, ко- ордината частицы измеряется с помощью микроскопа. Пусть свободный электрон имеет определенный импульс р и движется в направлении на- блюдателя (см. рис. Д.6.2). Измерение координаты электрона осуществляется с помощью рассе- яния на нем монохроматического света. При этом точность определе- ния координаты ограничивается уширением изображения объекта из-за явления дифракции. Согласно классической оптике, размер изображения зависит от длины волны света А и апертуры объектива микроскопа. Для погрешности Аж измеряемой координаты точечного объекта в оптике вы- ведена следующая формула: Дж = ——— 2 sin О (Д.6.5) где 0 — угол, определяющий апертуру объектива (см. рис. Д.6.2).
126 Дополнения к лекции 6 Разрешающая способность микроскопа, кроме апертуры объектива, зависит также от качества линз и различных особенностей аппаратуры. На практике погрешность измерения координаты всегда превышает ве- личину (Д.6.5). Для нас важно, что, вследствие волновой природы света, smoc 2nh Рис. Д.6.2. Схема опыта Гейзенберга по измерению координаты частицы: а) апертура объектива микроскопа, б) векторная диаграмма импульсов рассеяния фотона на электроне величина (Д.6.5) является минимальным пределом погрешности измере- ния координаты точечного объекта при фиксированных значениях А и 0. Из уравнения (Д.6.5) следует, что точность определения координаты Аж имеет порядок длины волны А света, используемого для освещения объекта. Таким образом, для уменьшения погрешности измерения ко- ординаты объекта следует использовать свет с более короткой длиной волны. Величина Дж задает неопределенность координаты частицы. От- сюда следует, что, уменьшая длину волны света А, можно, в принципе, неограниченно уменьшать неопределенность координаты Аж. Теперь рассмотрим точность измерения проекции импульса частицы рх. На первый взгляд кажется, что погрешность проекции импульса Држ также можно уменьшать неограниченно. Для этого надо поточнее из- мерить координаты электрона для двух различных моментов времени, вычислить проекцию его скорости vx и получить значение проекции им- пульса рх с малой погрешностью. Однако при измерении координаты объекта вышеизложенным спо- собом на этом объекте рассеивается фотон. Ясно, что если фотон не взаимодействует с частицей, то мы вообще не получим информации о ее координате. Для обнаружения частицы в определенном месте простран- ства необходимо зарегистрировать фотон, рассеянный на этой частице. При этом согласно законам сохранения импульса и энергии, часть им- пульса фотона передастся наблюдаемой частице. Следовательно, ее им- пульс изменится, что приведет к возникновению неопределенности Држ. Оценим величину Др^. Пусть в качестве частиц используются элек- троны. В рассматриваемом эксперименте (см. рис. Д.6.2) свет пред- ставляет собой поток фотонов с параллельными импульсами, направлен- ными вертикально вверх. Модуль импульса каждого фотона равен 2тгЛ/А. Чтобы получить информацию о координате электрона, рассеянный фотон должен попасть внутрь апертуры микроскопа. Если бы был изве-
Дополнения к лекции 6 127 стен угол рассеяния фотона, то можно было бы вычислить изменение им- пульса электрона, используя уравнения сохранения энергии и импульса для системы «фотон4-электрон». Однако известно только, что рассеян- ный фотон попал в систему линз микроскопа. Иными словами, рассеян- ный фотон, зарегистрированный микроскопом, двигался внутри конуса с углом раствора 20 (см. рис. Д.6.2а). Следовательно, составляющая им- пульса рх в направлении оси X рассеянного фотона может иметь любое 27r/isin0 27rftsin0 . _ Л . значение в пределах от----------до 4------г--- (см. рис. Д.6.2о). А Л Согласно геометрии рассматриваемого процесса, перед столкнове- нием с электроном проекция импульса фотона на ось X равнялась нулю. Поэтому приобретенная электроном составляющая импульса рх может 2тгЛ sin 0 2тгЛ sin 0 __ иметь любое значение в интервале от-----------до 4----------. Иначе А А говоря, измерив у электрона координату ж, мы получили неопределен- ность проекции его импульса, равную А 47rftsin0 =------7--- (Д.6.6) Отсюда видно, что для получения малой неопределенности проекции им- пульса необходимо увеличивать длину волны света А. Но с другой стороны, из соотношения (Д.6.5) следует, что для умень- шения неопределенности координаты Аж, напротив, необходимо умень- шать длину волны А. Таким образом, мы приходим к выводу, что невозможно одновре- менно сделать малыми обе неопределенности Аж и Хрх. Любые дей- ствия, которые уменьшают одну неопределенность, при этом увеличи- вают другую. К примеру, для уменьшения Хрх следует уменьшать импульс фотона и, следовательно, увеличивать его длину волны А. При этом будет расти неопределенность координаты электрона Дж, и нао- борот. Произведение величин неопределенностей (Д.6.5) и (Д.6.6) дает со- отношение Аж Хрх = 2тгЛ. (Д.6.7) Выше было сказано, что оценки (Д.6.5) и (Д.6.6) являются иде- альными, а в условиях реальных экспериментов величины Дж и Дрх приобретают существенно большие значения. Следовательно, равенство (Д.6.7) необходимо заменить неравенством по порядку величины Аж Хрх > 2тгН. (Д.6.8) Таким образом, мы опять приходим к соотношению неопределенностей Гейзенберга. 6.2. О возможности делимости фотона Рассмотрим вопрос о возможности «расщепления» фотона с энергией hw на два таким образом, чтобы суммарная энергия оставалась равной величине Ли, и при этом оба фотона, возникшие в результате «расщеп- ления», обладали бы частотой ш начального фотона. Для этого про-
128 Дополнения к лекции 6 анализируем результаты эксперимента, схема которого изображена на рис. Д.6.3. Пусть источник И испускает видимый свет с определенной часто- той cj. Непрозрачный экран с отверстием Д (диафрагма) формирует уз- кий пучок излучения, который попадает на полупрозрачное зеркало 3. Рис. Д.6.3. Схема прохождения фотонов через полупрозрачное зеркало: И — источник монохроматических фотонов, Д — диафрагма, 3 — полупрозрачное зеркало, Ф1 и Ф2 — фотоэлементы В результате взаимодействия с веществом часть излучения рассеивается под прямым углом, часть проходит насквозь. Для регистрации интен- сивности потоков прошедшего и рассеянного излучения используются два детектора — фотоэлементы Ф1 и Ф2. Пусть первичное излучение имеет достаточно высокую интенсив- ность Iq. Варьируя параметры установки, можно добиться, чтобы ин- тенсивности прошедшего и рассеянного потоков были равны друг другу. Это значит, что оба фотоэлемента регистрируют одинаковые значения. С точки зрения классической физики ситуация понятная: падающая электромагнитная волна делится на две части, создавая прошедшую и отраженную волны одинаковой интенсивности. Согласно квантовой теории, пучок излучения, падающий на зеркало 3, состоит из фотонов с одинаковой энергией Тты. Так как фотоны при- надлежат видимому диапазону, то можно полагать, что на атомах проис- ходит только упругое рассеяние, при этом частота рассеянных фотонов остается равной и. Пусть фотоэлементы настроены таким образом, что могут регистри- ровать фотоны только с энергией, превышающей -/ku. Это сделано для о того, чтобы фотоэлементы не реагировали на попадание в них фотонов с 1, «половинной» энергией, равной -/ku. Наблюдения показывают, что в данном эксперименте оба детектора регистрируют некоторую интенсивность излучения. Это означает, что отдельные фотоны не делятся пополам. При «расщеплении» фотона на две части каждая из них получила бы энергию, равную -/ku, и оба де- тектора ничего бы не зарегистрировали. Кроме того, деление фотона пополам привело бы к уменьшению вдвое его частоты, что наблюдалось бы по изменению цвета рассеянного и прошедшего пучков по сравнению с
Дополнения к лекции 6 129 цветом первичного. Этого изменения цвета в опытах не наблюдается, что свидетельствует против гипотезы о делении фотона на две части. Равен- ство интенсивностей, регистрируемых фотоэлементами, означает, что за единицу времени оба фотоэлемента регистрируют одинаковое количество фотонов. В пользу неделимости фотонов на части в данном опыте свидетель- ствуют наблюдения при уменьшении интенсивности Iq потока первич- ного излучения. При этом, естественно, уменьшаются и регистрируемые интенсивности прошедшего и рассеянного потоков. Но если величина /0 становится очень малой, то фотоэлементы регистрируют отдельные фотоны. При этом попадания в разные детекторы распределяются во времени случайным образом, хотя средние количества фотонов, попав- ших в детекторы Ф1 и Ф2, остаются равными. Это означает, что фотон, проходя через полупрозрачное зеркало, с равной вероятностью может рассеяться и попасть в детектор Ф1 или пройти насквозь и зарегистриро- ваться фотоэлементом Ф2. При этом у каждого фотона энергия остается неизменной. Таким образом, рассеяние фотона в полупрозрачном зер- кале является случайным событием, но фотон не делится на части. Подводя итог анализу данного эксперимента, можно сделать вывод, что фотон не является классической волной, которая может делиться на части.
Лекция 7 ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 7.1. Проблема структуры атома До самого конца XIX века подавляющее большинство химиков полагало атомы неделимыми и вечными. В многообразии хими- ческих реакций атомы образуют различные молекулярные струк- туры, которые могут разрушаться. Но при этом сами атомы не могут исчезать, также не могут возникать новые атомы. Эти по- ложения соответствовали закону сохранения вещества Лавуазье- Ломоносова. Вопрос о структуре атома признавался праздным. Открытие электрона Дж. Дж. Томсоном означало, что атом име- ет сложную структуру. Очевидно, что электрон является частью атома. Исследования, проведенные в первые годы XX века, пока- зали, что атомы могут содержать, вообще говоря, большое количе- ство электронов. Таким образом, атом из неделимого превратился в сложную структурную единицу вещества. Из ранних теоретических моделей атома наибольшую извест- ность получила структура, предложенная самим Дж.Дж. Томсоном в 1903 г. и названная впоследствии «пудинг с изюмом». Атом Том- сона представлял собой положительно заряженное «облако» диаме- тром около 0,1 нм (т. е. 1 А), в котором находятся электроны. Раз- работка модели столкнулась с проблемой устойчивости системы электронов, также неясна была физическая природа положитель- ного «облака». Важный шаг в изучении внутренней структуры атома был сде- лан в ходе исследования явления радиоактивности, обнаружен- ного Анри Беккерелем (1852-1908) при исследовании флуоресцен- ции солей урана в 1896 г. Трудами А. Беккереля, Марии Склодовской-Кюри (1867-1934) и Пьера Кюри (1859-1906) было обнаружено, что уран, радий, по- лоний и другие химические элементы с химическими номерами Z 84 испускают ранее неизвестное науке излучение, названное радиоактивным, свойства которого несколько похожи на свойства рентгеновских лучей. Радиоактивное излучение ионизовало воз-
7.2. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц 131 дух и другие газы, вызывало флуоресценцию некоторых веществ и почернение фотоэмульсий. Исследования влияния электрических и магнитных полей на радиоактивное излучение показали, что оно является смесью из трех составляющих потоков, которые были названы тремя пер- выми буквами греческого алфавита: а, /5, 7. Альфа-излучение представляет собой поток массивных поло- жительно заряженных частиц. Заряд а-частицы равен удвоен- ному элементарному 2е, масса составляет 4 а.е.м. Характерно, что кинетические энергии а-частиц, испускаемых атомами разных ра- диоактивных химических элементов, лежат, в основном, в срав- нительно узком диапазоне 4-9 МэВ. Бета-излучение состоит из быстрых электронов, кинетиче- ские энергии которых (у различных радиоактивных изотопов) находятся в пределах от десятков кэВ до нескольких МэВ. Следова- тельно, /5-электроны преимущественно являются релятивистски- ми частицами. Гамма-излучение — это коротковолновых электромагнитные волны, длина которых еще меньше, чем у рентгеновских лучей. Фотоны 7-лучей обычно имеют энергии от десятков кэВ до не- скольких МэВ. Измерения характеристик радиоактивных излучений дало бо- гатую информацию о внутреннем строении атомов. Кроме того, пучки а-частиц оказались эффективным инструментом для иссле- дования внутренней структуры атома. 7.2. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц Э. Резерфорд (1871-1937) с группой сотрудников в 1906 г. на- чал эксперименты по облучению тяжелых металлов а-частицами. Единственными источниками а-частиц в то время были соли ра- дия, полония и некоторых других радиоактивных элементов. Уз- кий пучок а-частиц формировался диафрагмами и направлялся на тонкую металлическую фольгу перпендикулярно ее плоскости. Уже в первых опытах были получены поразительные результаты. Хотя большинство а-частиц проходило через фольгу, практически не отклоняясь или рассеиваясь на малые углы, небольшая доля а-частиц (примерно одна из нескольких тысяч) изменяла напра- вление движения более чем на 90° (иногда почти на 180°). Этот факт противоречит модели атома Дж. Дж. Томсона. Электроны, имеющие массу почти на 4 порядка меньше массы а-частицы, не могут рассеять тяжелые а-частицы на большие углы. Для объяснения характера рассеяния а-частиц Э. Резерфорд в 1913 г. выдвинул смелую гипотезу о существенно неоднород- ной структуре атома. Согласно этой идее, в центре атома нахо-
132 Лекция 7. Планетарная модель атома дится массивное, положительно заряженное ядро малого размера. Вокруг ядра движутся электроны. Масса ядра практически со- впадает с массой всего атома (m/у ~ тД так как суммарная масса даже сотни электронов дает малый вклад в массу атома тпд. Пусть, например, рассеивателем служит ядро атома золота с мас- сой ~ 200 а.е.м. Альфа-частица, имеющая массу в 50 раз меньше, вполне может отразиться назад (рассеяться на 180°) при лобовом столкновении с ядром атома золота. На основе выдвинутой гипотезы Резерфорд разработал теорию рассеяния а-частиц на атомных ядрах. Рассеяние происходит вследствие кулоновского отталкивания двух положительно заря- женных частиц с зарядами qi и 92- Более массивная частица с зарядом q2 полагается неподвижной. Более легкая движется с на- чальной кинетической энергией jEq, исходное взаиморасположение частиц задается прицельным параметром b (см. рис. 7.1). Геометрию рассеяния можно рассчитать с помощью классиче- ской механики (см. дополнение 7.1). Проходя мимо массивной не- подвижной частицы-мишени, более легкая рассеивается на угол в Рис. 7.1. Траектория кулоновского рассеяния легкой частицы на более массивной: Ь — прицельный параметр, gi и <?2 — электрические заряды частиц (см. рис. 7.1). При этом важным параметром является расстояние максимального сближения Lmin. Если в процессе движения наи- меньшее расстояние между центрами частиц превышает сумму радиусов Г1 + Г2 этих частиц, то связь угла рассеяния в с при- цельным параметром b выражается следующим уравнением (см. дополнение 7.1): <7'!> При этом траектория рассеивающейся частицы представляет собой гиперболу. Так как значения угла рассеяния в лежат в интервале (0, тг), то зависимость угла в от прицельного параметра b является моно-
7.2. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц 133 тонно убывающей (см. рис. 7.2). На рис. 7.3 изображены рассчи- танные траектории для частиц с одинаковой начальной кинети- ческой энергией Eq и различными прицельными параметрами. Рис. 7.2. Зависимость прицельного параметра b от угла отклонения 0 рассеива- ющейся частицы Очевидно, что для определенной а-частицы невозможно изме- рить величину прицельного параметра Ь, соответствующую изме- ренному значению угла рассеяния в. По этой причине, чтобы про- Рис. 7.3. Примеры траекторий рассеивающихся частиц с одинаковой началь- ной кинетической энергией Ео и различными прицельными параметрами bi < 62 < Ьз < Ьа верить справедливость уравнения (7.1) и на его основе определить количественные параметры атомного ядра, Резерфорд провел тща- тельные измерения углового распределения рассеянных а-частиц. Схема экспериментальной установки Резерфорда приведена на рис. 7.4. Узкий пучок, содержащий множество а-частиц с одинако- вой кинетической энергией Eq, направлялся на тонкую фольгу из
134 Лекция 7. Планетарная модель атома тяжелого металла (золота, серебра и т. п.). Для регистрации рассе- янных частиц использовался детектор, установленный под углом в относительно первичного пучка а-частиц. В качестве детектора ис- пользовался сцинтиллоскоп или цилиндр Фарадея. Эксперименты Рис. 7.4. Схема опыта Резерфорда по рассеянию а-частиц на металлической фольге: 1 — источник а-частиц, 2— диафрагмы, 3— металлическая фольга, 4 — детектор рассе- янных а-частиц, О — угол рассеяния, R — расстояние от места рассеяния до детектора. Детектор может перемещаться по окружности вокруг оси пучка первичных а-частиц при постоянном угле рассеяния 0 показали, что пространственное распределение рассеянных частиц симметрично относительно оси первичного пучка а-частиц, т.е. зависит от угла рассеяния 0, но не зависит от азимутального угла. Таким образом, угловое распределение рассеянных частиц полно- стью описывается зависимостью от угла 0. Пусть в детектор за 1 с попадает п(0) частиц. Очевидно, что величина п(0) пропорциональна плотности потока исходных а-ча- стиц nQ, количеству атомных ядер на единицу площади поверхно- сти облучаемой фольги N и телесному углу AQ, под которым видно окно детектора из мишени. Кроме того, вид зависимости п($) определяется законом взаимодействия атомного ядра и а-частицы. Для описания влияния на величину особенностей рассеиваю- щего поля вводится физическая величина, называемая дифферен- циальным эффективным сечением, которая является важнейшей характеристикой процесса рассеяния взаимодействующих частиц. Чтобы получить выражение для эффективного сечения, вер- немся к процессу рассеяния частиц на единственном неподвиж- ном центре, изображенном на рис. 7.1 и 7.3. Запишем количество частиц, рассеянных при этих условиях в элементарный интервал
7.2. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц 135 углов (0, в + d6), в следующем виде: dn(0) = na da, (7.2) где na — плотность потока исходных частиц, da — некоторый коэффициент, смысл которого сейчас будет установлен. Легко ви- деть, что величина da имеет размерность площади. Из-за монотонной связи (7.1) прицельного параметра Ь и соот- ветствующего угла рассеяния 0 следует, что все а-частицы, рассе- янные в элементарный интервал углов {в, 0 + de), обладали перед рассеянием прицельными параметрами в интервале (b, b — db), что Рис. 7.5. К выводу эффективного дифференциального сечения рассеяния: 1 — положение рассеивающего центра (атомного ядра) иллюстрируется на рис. 7.5. Иначе говоря, все частицы, рассе- янные под углами ф, в + dO), пересекли в своем полете кольцо, ограниченное радиусами b и b — db. Таким образом, поток частиц dn(0) равняется dntf) = na27rbdb. (7.3) Из сравнения выражений (7.2) и (7.3) следует, что величина da равна площади этого кольца: da = 2irbdb. (7.4) По этой причине величину (7.4) называют эффективным се- чением рассеяния (или элементарным эффективным сечением). Так как в экспериментах измеряются не прицельные параме- тры, а углы рассеяния 0, то эффективное сечение (7.4) также сле- дует выразить через углы в. Для этого дифференциал прицельного параметра db достаточно представить в виде db = dbtf) de dO, (7-5)
136 Лекция 7. Планетарная модель атома где зависимость Ь(в) прицельного параметра от угла рассеяния задана уравнением (7.1). Тогда эффективное сечение (7.4) выра- зится следующей функцией угла рассеяния в: do- — db(O) (7-6) Диапазону углов рассеяния (0, в + dd) соответствует элемен- тарный телесный угол c/Q образованный конусами с растворами в и в + dd. Величина этого телесного угла равна dQ = 2л smd dd. (7.7) Отношение величин (7.6) и (7.7) называется эффективным дифференциальным сечением: do _ Ь(0) dbtf) dQ sin e de (7-8) Дифференциальное сечение do/d£l описывает неоднородность углового распределения рассеянных частиц. Величина do интер- претируется как площадка в пространстве, которую пересекают ча- стицы, рассеянные в телесный угол c/Q. Дифференциальное сече- ние (7.8) является функцией угла рассеяния в. Используя уравнение (7.1) получим следующее выражение эф- фективного дифференциального сечения рассеяния при кулонов- ском взаимодействии между частицами: / Q1Q2 \2 1 c/Q \ Eq / 16 sin4 (0/2) Выражение (7.9) часто называют формулой Резерфорда. Так как число электронов в атоме целое, то заряд ядра кратен элементарному заряду, т.е. q2 = Ze, где Z — некоторое целое число. Учитывая, что заряд а-частицы равен 2е, перепишем фор- мулу (7.6) в виде (7-9) (7-10) do / Ze2\2 1 dQ \ Eq ) 4sin4(0/2) Теперь следует учесть, что рассеяние а-частиц происходит на множестве атомных ядер, а телесный, угол AQ окна детектора имеет конечную величину. Это означает, что количество зареги- стрированных в единицу времени рассеянных а-частиц п(0) мо- жет быть выражено следующим образом: п(0) = САПаА(1 = CAnaN (-X/9V (7-П> d\l \ Eq / 4sm (0/2)
7.2. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц 137 где N — поверхностная плотность распределения атомных ядер на мишени. Коэффициент Сд < 1, называемый эффективностью регистрации, характеризует неизбежные просчеты детектора при проведении эксперимента. Основным достижением выше проведенного анализа является вывод о том, что при кулоновском взаимодействии между a-части- цами и атомными ядрами регистрируемая детектором величина обратно пропорциональна четвертой степени синуса половины угла рассеяния в: "(«) ~ ~ Р-12) all sm (6//2) Для подтверждения гипотезы Резерфорда о маленьком, положи- тельно заряженном и массивном атомном ядре существенно, что экспериментальное исследование углового распределения рассеян- ных a-частиц дало зависимость, совпадающую (с учетом погреш- ностей измерений) с функцией (7.11) для углов 0° 9 150°. Из формул (7.10)—(7.12) следует, что количество рассеянных a-частиц квадратично зависит от целого числа Z, которое опре- деляет заряд ядра Ze. Подбором величины Z можно попытаться Рис. 7.6. Угловое распределение рассеянных a-частиц. Сравнение результатов экспериментов с расчетами для разных значений заряда атомного ядра Ze добиться совпадения теоретической кривой п(9) с результатами экспериментов (см. рис. 7.6). На основе анализа результатов опы-
138 Лекция 7. Планетарная модель атома тов Резерфорда в 1913 г. А. Ван ден Брук (1870-1926) обнаружил, что наилучшее согласие теории и опыта наблюдается, если чи- сло Z равно порядковому номеру химического элемента в таблице Менделеева. Методика Резерфорда не позволяла с достаточной точностью измерить заряды атомных ядер у различных химических элемен- тов. Дж. Чедвик (1891-1974) в 1920 г. создал более совершенную экспериментальную установку, на которой измерил заряды ядер у атомов меди, платины и серебра (см. дополнение 7.2). Точные измерения зарядов атомных ядер практически у всех химических элементов были проведены с помощью регистрации характеристи- ческого рентгеновского излучения, что будет изложено в лекции 19. В результате было подтверждено предположение Ван ден Брука. Но так как атом электронейтрален, то оказывается, что поряд- ковый номер химического элемента равен числу электронов в атоме! Трудно переоценить важность полученного результата для дальнейшего развития физики. Помимо этого, исследования рассеяния а-частиц на атомных ядрах позволили Резерфорду сделать оценку размера атомного яд- ра. При лобовом соударении а-частицы и атомного ядра закон сохранения энергии принимает вид где Lmin — кратчайшее расстояние, на которое сближаются ча- стицы. Расчеты дают, что для ядер атомов серебра и золота (химиче- ских элементов с атомными номерами Z = 47 и Z = 79) расстоя- ние Lmin имеет порядок 10“12 см. В опытах Резерфорда не было замечено отклонений зависимо- сти от функции (7.11). Поэтому можно утверждать, что радиус атомного ядра Яя по порядку величины не превышает 10“12см. Таким образом, оказывается, что радиус атомного ядра на 4 по- рядка меньше радиуса атома. Последующие исследования, проведенные на ускорителях за- ряженных частиц, позволили получить следующую приближенную формулу для оценки радиуса атомного ядра: Ля « {Атм(а.е.м.) • 10“13 см. (7.14) 7.3. Модель атома Резерфорда Базирусь на результатах проведенных экспериментов и расче- тов, Резерфорд предложил отказаться от модели атома Дж. Дж. Том- сона («пудинга с изюмом») и выдвинул планетарную модель атома. Согласно этой модели, атом содержит в центре ядро, вокруг ко-
7.3. Модель атома Резерфорда 139 торого вращается Z электронов, где Z — порядковый номер хи- мического элемента (см. рис. 7.7). Ядро имеет положительный электрический заряд Ze, что обеспечивает электронейтральность Рис. 7.7. Схема планетарной модели атома. В центре находится массивное (по массе), но относительно маленькое (по размерам) ядро. Вокруг ядра движутся электроны по круго- вым или эллиптическим орбитам атома. В ходе дальнейших исследований было обнаружено, что заряд ядра объясняется содержанием в нем Z протонов, каждый из которых имеет элементарный положительный заряд е и массу 1 а.е.м. Радиус ядра примерно на 4 порядка меньше радиуса атома. Масса ядра равна тпя = mA — Zme (7-15) т.е. практически совпадает с массой всего атома Суммарная масса всех электронов даже у урана (Z = 92) значительно меньше атомной единицы массы и, следовательно, является малой добав- кой к массе ядра тпя. Движение электронов вокруг ядра в планетарной модели обес- печивается силами Кулона, которые подчиняются закону обратных квадратов, как и сила гравитационного притяжения. Таким обра- зом, вращение электронов вокруг ядра аналогично движению пла- нет вокруг Солнца, что объясняет название модели Резерфорда. Орбиты электронов должны иметь вид окружностей или эллипсов. Модель атома, предложенная Резерфордом, верно описывает со- став и строение атома. Но в то же время у планетарной модели имеются серьезные трудности при описании динамики движения электронов и характера спектров излучения. Движение частицы в ограниченном объеме атома (финитное) обязательно происходит с ускорением. В классической электро- динамике установлено, что любая ускоренно движущаяся заря- женная частица излучает электромагнитные волны непрерывного спектра. При этом электрон должен непрерывно терять энергию и в результате упасть на ядро. Таким образом, получается, что мо- дель Резерфорда описывает в принципе нестабильный атом. Чис- ленные оценки времени падения электрона на ядро дают очень ма- лые значения, противоречащие наблюдаемой стабильности атома.
138 Лекция 7. Планетарная модель атома тов Резерфорда в 1913 г. А. Ван ден Брук (1870-1926) обнаружил, что наилучшее согласие теории и опыта наблюдается, если чи- сло Z равно порядковому номеру химического элемента в таблице Менделеева. Методика Резерфорда не позволяла с достаточной точностью измерить заряды атомных ядер у различных химических элемен- тов. Дж. Чедвик (1891-1974) в 1920 г. создал более совершенную экспериментальную установку, на которой измерил заряды ядер у атомов меди, платины и серебра (см. дополнение 7.2). Точные измерения зарядов атомных ядер практически у всех химических элементов были проведены с помощью регистрации характеристи- ческого рентгеновского излучения, что будет изложено в лекции 19. В результате было подтверждено предположение Ван ден Брука. Но так как атом электронейтрален, то оказывается, что поряд- ковый номер химического элемента равен числу электронов в атоме\ Трудно переоценить важность полученного результата для дальнейшего развития физики. Помимо этого, исследования рассеяния а-частиц на атомных ядрах позволили Резерфорду сделать оценку размера атомного яд- ра. При лобовом соударении а-частицы и атомного ядра закон сохранения энергии принимает вид ^min где Lmin — кратчайшее расстояние, на которое сближаются ча- стицы. Расчеты дают, что для ядер атомов серебра и золота (химиче- ских элементов с атомными номерами Z = 47 и Z = 79) расстоя- ние Lmin имеет порядок 10-12 см. В опытах Резерфорда не было замечено отклонений зависимо- сти п(0) от функции (7.11). Поэтому можно утверждать, что радиус атомного ядра Пя по порядку величины не превышает 10“12 см. Таким образом, оказывается, что радиус атомного ядра на 4 по- рядка меньше радиуса атома. Последующие исследования, проведенные на ускорителях за- ряженных частиц, позволили получить следующую приближенную формулу для оценки радиуса атомного ядра: Ля ж (а.е.м.) • 10“13 см. (7.14) 7.3. Модель атома Резерфорда Базирусь на результатах проведенных экспериментов и расче- тов, Рез ер форд пр ед л ожил отказаться от модели атома Дж. Дж. Том- сона («пудинга с изюмом») и выдвинул планетарную модель атома. Согласно этой модели, атом содержит в центре ядро, вокруг ко-
7.3. Модель атома Резерфорда 139 торого вращается Z электронов, где Z — порядковый номер хи- мического элемента (см. рис. 7.7). Ядро имеет положительный электрический заряд Ze, что обеспечивает электронейтральность Рис. 7.7. Схема планетарной модели атома. В центре находится массивное (по массе), но относительно маленькое (по размерам) ядро. Вокруг ядра движутся электроны по круго- вым или эллиптическим орбитам атома. В ходе дальнейших исследований было обнаружено, что заряд ядра объясняется содержанием в нем Z протонов, каждый из которых имеет элементарный положительный заряд е и массу « 1 а.е.м. Радиус ядра примерно на 4 порядка меньше радиуса атома. Масса ядра равна тя — тпа — Zmei (7-15) т. е. практически совпадает с массой всего атома Суммарная масса всех электронов даже у урана (Z = 92) значительно меньше атомной единицы массы и, следовательно, является малой добав- кой к массе ядра тя. Движение электронов вокруг ядра в планетарной модели обес- печивается силами Кулона, которые подчиняются закону обратных квадратов, как и сила гравитационного притяжения. Таким обра- зом, вращение электронов вокруг ядра аналогично движению пла- нет вокруг Солнца, что объясняет название модели Резерфорда. Орбиты электронов должны иметь вид окружностей или эллипсов. Модель атома, предложенная Резерфордом, верно описывает со- став и строение атома. Но в то же время у планетарной модели имеются серьезные трудности при описании динамики движения электронов и характера спектров излучения. Движение частицы в ограниченном объеме атома (финитное) обязательно происходит с ускорением. В классической электро- динамике установлено, что любая ускоренно движущаяся заря- женная частица излучает электромагнитные волны непрерывного спектра. При этом электрон должен непрерывно терять энергию и в результате упасть на ядро. Таким образом, получается, что мо- дель Резерфорда описывает в принципе нестабильный атом. Чис- ленные оценки времени падения электрона на ядро дают очень ма- лые значения, противоречащие наблюдаемой стабильности атома.
140 Лекция 7. Планетарная модель атома В качестве примера рассмотрим одноэлектронный атом с кру- говой орбитой электрона радиусом г (см. рис. 7.8а). Ядро атома водорода — протон — имеет элементарный заряд +е и массу в 1 а.е.м. На электрон действует сила Кулона величиной е2/г2, при Рис. 7.8. К вопросу о классической модели атома водорода: а) круговая орбита электрона, б) падение электрона на ядро. Крестиком обозначено положение ядра атома (протона), F — сила Кулона, действующая на электрон этом электрон движется с центростремительным ускорением v2 /г. Запишем, полагая ядро неподвижным, для электрона второй за- кон Ньютона в проекции на мгновенную ось, направленную вдоль силы Кулона: е2 гпе 9 72 = ’ и выразим из него модуль скорости электрона е v = .. (7-16) (7-17) у/тпег Мы уже знаем из лекции 1, что радиус атома имеет порядок г ~ 1А = КГ8 см. По формуле (7.17) можно получить оценку ве- личины скорости электрона в атоме водорода v ~ 108см/с. Сле- довательно, электроны в данной модели атома являются нереля- тивистскими, что чрезвычайно важно для дальнейшего развития теории. Период кругового движения Т электрона по орбите радиуса г равен отношению длины окружности к величине скорости. Ис- пользуя (7.17), получим _ 2тг /------ Т = —ymer\ е Следовательно, частота кругового движения электрона р " = -== (7.18) у/тет6 зависит от радиуса его орбиты.
7.3. Модель атома Резерфорда 141 Потенциальная энергия электрона на круговой орбите равна —е2/г. Так как такой электрон нерелятивистский, то его кине- тическая энергия запишется как mev2/2. Используя (7.17), выра- зим полную механическую (потенциальную плюс кинетическую) энергию в виде е2 (7.19) 2г Согласно классической электродинамике, электрон, двигаясь на круговой орбите, непрерывно излучает и, следовательно, теряет свою энергию. Из уравнения (7.19) следует, что при этом радиус орбиты должен непрерывно уменьшаться (см. рис. 7.86). Частота излучения, совпадающая с частотой кругового движения (7.18), является непрерывной функцией радиуса. Таким образом, атом водорода должен испускать непрерывный спектр, что находится в противоречии с результатами спектроскопических исследований, которые рассматриваются в следующей лекции. Неизбежно следует вывод, что классическая механика и элек- тродинамика не в состоянии построить модель стабильного атома, не противоречащую результатам экспериментальных исследований. Задачи к лекции 7 1. Альфа-частица с начальной кинетической энергией Е сближается с неподвижным атомным ядром массы М, электрический заряд которого Ze, где е — элементарный заряд. Полагая столкновение центральным (прицельный параметр равен нулю), вычислить расстояние максималь- ного сближения для следующих значений физических величин: а) Е — = 5МэВ, М = 197 а.е.м., 7 = 79; б)Е = 4МэВ, М = 209 а.е.м., 7 = = 83; в) Е = 4,5 МэВ, М = 181 а.е.м., 7 = 73. 2. Альфа-частица с начальной кинетической энергией Е рассеивается на атомном ядре с массой М с электрическим зарядом Ze на угол 0. Полагая ядро первоначально покоящимся, вычислить расстояние мак- симального сближения для следующих значений физических величин: а) Е = 5 МэВ, М = 16 а.е.м., 7 = 8, 0 = 90°; б) Е = 4 МэВ, М = 20 а.е.м., 7 = 10, 0 = 60°; в) Е = 4,5 МэВ, М = 27 а.е.м., 7 = 3, 0 = 45°.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 7 7.1. Рассеяние положительных заряженных частиц на тяжелых атомных ядрах Рассмотрим систему, состоящую из двух электрически зараженных частиц с массами т и М. Силы взаимодействия частиц описываются законом Кулона, а потенциальная энергия взаимодействия выражается формулой *7 = —, (Д.7.1) Г где q и Q — электрические заряды частиц, г — расстояние между ними. В теоретической механике доказано, что задача о взаимодействии двух частиц сводится к описанию движения частицы приведенной массы то = тМ т + М (Д.7.2) во внешнем центральном потенциальном поле, которое заданно функ- цией (Д.7.1). Центр поля находится в центре масс системы частиц. Мы здесь ограничимся важным случаем, когда масса первой частицы много меньше массы второй, т.е. т М. Тогда центр масс системы совпадает с местоположением более массивной частицы, а приведенная масса практически неотличима от массы т легкой частицы. В таких случаях целесообразно начало координат совместить с массивной части- цей и полагать ее неподвижной. При этом легкая частица рассматрива- ется движущейся издалека с начальной кинетической энергией Eq- Траекторию частицы удобно выразить в полярных координатах г и В курсе теоретической механики подробно показано, что интегри- рование уравнения движения частицы дает следующую связь координат: L/r — mqQ/L /тт „ ср = arccos , . = 4- const, (Д.7.3) У2т£?о + (m9Q)2/L2 где L — модуль момента импульса движущейся частицы. Начало отсчета угла ср можно выбрать так, чтобы константа интегри- рования в предыдущей формуле равнялась нулю. Тогда выражение для траектории можно представить в виде - = ecos(£ - 1, (Д.7.4) г где введены следующие обозначения: _ L2 Р mqQ’ 1 + 8 = 2EqL2 mqQ (Д.7.5)
Дополнения к лекции 7 143 Величина р называется параметром орбиты, е — ее эксцентриситетом. Уравнение (Д.7.4) описывает гиперболическую кривую, отрезок кото- рой изображен на рис. Д.7.1. Вершина гиперболической траектории частицы совпадает с точкой максимального сближения с рассеивающим центром (точка А на гипер- боле). Положение этой точки в выбранной полярной системе координат Рис. Д.7.1. Рассеяние легкой заряженной частицы на тяжелой неподвижной. Тяжелая частица с массой и зарядом находится в точке О. Сплошная кривая — траектория легкой частицы, точка А — положение максимального сближения частиц, b — прицельный параметр, 0 — угол рассеяния характеризуется углом сро (см. рис. Д.7.1). Как известно из теоретиче- ской механики, траектория частицы в центральном поле всегда симме- трична относительно линии, соединяющей центр поля и точку кратчай- шего расстояния на траектории, т. е. линии О А на рис. Д.7.1. Важнейший характеристикой процесса рассеяния является угол О между векторами начального и конечного импульса рассеянной частицы (см. рис. Д.7.1). За начальное принимается состояние легкой частицы, когда она находится столь далеко от рассеивающего центра, что ее потен- циальная энергия пренебрежимо мала. Конечным полагается состояние, когда частица удаляется на расстояние, где вновь можно пренебречь ее потенциальной энергией. Угол в образован асимптотами гиперболиче- ской траектории частицы и называется углом рассеяния. Из-за вышеуказанной симметрии траектории частицы следует оче- видная связь между углами <^0 и 3 (см. рис. Д.7.1): 3 = |тг-2^о|. (Д-7.6) В задаче рассеяния легкой частицы на тяжелой величину момента импульса L целесообразно выразить через прицельный параметр Ь: L = mbvo, (Д.7.7) где vq — модуль скорости частицы в начальном состоянии. Прицельным параметром b называется минимальное расстояние между тяжелой непо-
144 Дополнения к лекции 7 движной частицей и направлением вектора начальной скорости легкой частицы (см. рис. Д.7.1). Подставив (Д.7.7) в уравнение траектории (Д.7.3), получим для угла в точке максимального сближения следующее выражение: Vo = arccos qQ 2b Ер (Д.7.8) Пользуясь выражением тангенса через косинус, преобразуем выра- жение (Д.7.8) к следующему виду: tgVo = 2ЬЕ0 qQ (Д.7.9) Воспользовавшись соотношением (Д.7.6) и формулой приведения, по- лучим искомую связь между углом рассеяния в и прицельным параме- тром Ь: Ctgl = ^6 ИЛИ tSl = 2b£~' (Д-7.10) 2 qQ 2 20jC/q Согласно последней формуле, при нулевохм прицельном параметре угол рассеяния равен тг, т. е. частица отражается назад. С ростом при- цельного параметра угол рассеяния постепенно уменьшается до нуля. Формула (Д.7.10) справедлива для описания рассеяния таких поло- жительных заряженных частиц, как протоны и альфа-частицы на тяже- лых атомных ядрах, которые содержат более сотни нуклонов (протонов и нейтронов). 7.2. Опыт Чедвика Опыты Резерфорда по рассеянию а-частиц на атомных ядрах позво- ляют определить электрический заряд ядра eZ и, как следствие, поряд- ковый номер Z химического элемента. При этом для вычислений ис- пользуется знаменитая формула Резерфорда (7.9). Однако следует обра- тить внимание, что в левой части данной формулы стоит эффективное дифференциальное сечение dcr/dSl, которое является функцией угла рас- сеяния 0. В экспериментах значения этой функции для определенных углов 0 рассчитываются с помощью соотношения (7.2). Таким образом, для вычисления искомого порядкового номера Z исследуемого химического элемента требуются тщательные измерения плотности потока а-частиц падающих на металлическую фольгу, и потоков рассеянных а-частиц п(0) для ряда угла рассеяния 6. Глав- ная трудность данной экспериментальной методики заключается в том, что измеряемое количество частиц, попавших в детектор за единицу вре- мени, на несколько порядков меньше числа падающих на фольгу в тот же интервал времени. По этой причине Резерфорду пришлось измерять ве- личины n(ff) и па на различных установках, что привело к значительной погрешности измеряемого дифференциального сечения dcr/dSl. В резуль-
Дополнения к лекции 7 145 тате методика Резерфорда не позволила добиться желаемой погрешности определения порядкового номера химического элемента AZ = 1. Первооткрыватель нейтрона Дж. Чедвик (1891-1974) разработал принципиально усовершенствовал методику определения порядкового номера Z химического элемента, в которой величины п(3) и nQ измеря- лись на одной и той же установке, схема которой приведена на рис. Д.7.2. Рис. Д.7.2. Схема опыта Чедвика: S — источник а-частиц, D — детектор, расстояния SO и OD равны L, 0 — угол рассе- яния. Рассеивающее кольцо АА' расположено перпендикулярно плоскости рисунка Рассеиватель а-частиц — металлическая фольга — имела форму кольца А А'. Источник а-частиц S и детектор D располагались на оси кольца и на одинаковом расстоянии L от него (см. рис. Д.7.2). В каче- стве детектора использовался сцинтиллоскоп. При измерении величины п(0), точнее потока а-частиц, рассеянных в диапазон углов [0 — Д0, 3 4- Д0], внутри кольца А А’ устанавливался свинцовый экран в форме круга с радиусом, равным внутреннему ради- усу рассеивающего кольца. Толщина экрана была достаточно большой для поглощения всех а-частиц, попавших на него. Для измерения плотности потока nQ, испускаемых источником а-ча- стиц, закрывалась кольцевым свинцовым экраном рассеивающая фольга. При этом рассеянные а-частицы поглощались, а частицы, испускаемые источником, могли беспрепятственно попадать в детектор. В установке Чедвика плотности потоков первичных и рассеянных частиц различа- лись примерно на 4 порядка. Вследствие этого для уменьшения количе- ства сцинтилляций при измерении па перед детектором дополнительно устанавливался вращающийся поглощающий диск с прорезью. Регу- лировка скорости вращения позволяла уменьшить проходящий поток а-частиц в определенное количество раз. Методика Чедвика позволила значительно уменьшить погрешность измерения порядкового номера Z химических элементов. С помощью своей установки Чедвик для меди получил значение Z = 29,3, что с точ- ностью до целого числа совпадает порядковым номером меди Z = 29. Для серебра и платины Чедвик получил немного заниженные значения 46,3 и 77,4 (точные значения 47 и 78). Однако работы Чедвика яви- лись серьезным экспериментальным подтверждением гипотезы о том, что заряд атомного ядра равен eZ, где Z — порядковый номер данного химического элемента.
146 Дополнения к лекции 7 Точный экспериментальный метод измерения порядковых номеров химических элементов основан на законе Мозли, который описан в лек- ции 19. 7.3. Состав атомного ядра Состав, строение и свойства атомного ядра являются объектами изу- чения ядерной физики и излагаются в соответствующем учебном курсе. Однако для лучшего понимания ряда важных вопросов физики атома це- лесообразно привести здесь краткие сведения о составе атомного ядра. В ходе экспериментов по облучению атомных ядер а-частицами, на- чатых в 1919 г., Э. Резерфорд и Блэккет обнаружили, что в состав атом- ных ядер входят протоны — положительно заряженные частицы с эле- ментарным зарядом и массой тр = 1,67265 • 10-24г = 1,0072765 а.е.м. Ядро самого легкого атома — водорода — состоит из единственного про- тона. Так как атом электрически нейтрален, то количество протонов в атомном ядре равно числу электронов в атоме и, следовательно, поряд- ковому номеру химического элемента Z. В 1932 г. Дж. Чедвик на основе анализа экспериментов Боте и Бек- кера, Ирэн и Жолио Кюри и собственных опытов открыл нейтрон — еще одну частицу, входящую в состав атомных ядер. Нейтрон предста- вляет собой электрически нейтральную частицу с массой тп = 1,67495 х х10"24г = 1,008665 а.е.м. Гипотезу о том, что атомные ядра состоят только из протонов и ней- тронов независимо выдвинули В. Гейзенберг и Д. Иваненко. Частицы, составляющие ядро атома, получили общее название нуклоны. Число нуклонов в ядре называется массовым числом А. Обозначив символом N количество нейтронов, можем записать A = Z + N. (Д.7.11) Целесообразность введения термина «массовое число» обусловлена тем, что массы протона и нейтрона близки друг к другу. Если к тому же учесть, что масса электрона (те = 0,910939 • 10-27 г) почти в 2000 раз меньше масс нуклонов, то масса атома Мд приближенно выражается произведением массового числа на атомную единицу массы МА « А а.е.м = А 1,66054 • 10-24 г. (Д.7.12) Изотопы определенного химического элемента имеют определенное число протонов Z в ядре и различаются количеством нейтронов N. Основная трудность в теории атомного ядра заключалась в объясне- нии природы сил притяжения между нуклонами. На пути решения этой проблемы было открыто фундаментальное сильное взаимодействие, тео- рия которого весьма сложна и в настоящее время еще не закончена. Прецизионные масс-спектр о скопиче ские исследования позволили об- наружить удивительный факт: масса атомного ядра Мя заметно мень- ше суммы масс нуклонов, входящих в это ядро. Разность масс (Zmp 4- + Nmn — Мя), умноженная на квадрат скорости света, равна энергии связи нуклонов в ядре: Есв = (Zmp 4- Nmn - Мя)с2. (Д.7.13)
Дополнения к лекции 7 147 В результате экспериментов было установлено, что величина энергии связи Есв в первом приближении возрастает пропорционально количе- ству нуклонов в ядре. Среднее значение удельной энергии связи, т.е. энергии связи на один нуклон Есв/А составляет около 8 МэВ. Пропорци- ональность энергии связи Есв массовому числу обусловлена короткодей- ствующим характером межнуклонного притяжения.
Лекция 8 СПЕКТР ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМА ВОДОРОДА И ПОСТУЛАТЫ БОРА 8.1. Спектральные серии атома водорода Важнейшую информацию об атомах физики получают при исследовании их спектров электромагнитного излучения и погло- щения. Многочисленные опыты показывают, что оптические спектры излучения (т.е. принадлежащие видимому диапазону, ближним УФ и ИК областям) веществ, состоящих из одноатомных молекул, являются линейчатыми. Это означает, что спектры излучения атомов представляют собой дискретный набор частот (или длин волн). Так как в спектрометрах и спектроскопах каждая опре- деленная длина волны обычно дает изображение входной щели в виде узкой вертикальной полоски, то эти фиксированные длины волн исторически стали называться спектральными линиями. Атомы каждого химического элемента обладают своим харак- терным линейчатым оптическим спектром. Первый спектроскоп был сконструирован Р. Бунзеном (1811— 1899) и Г. Кирхгофом в 1859 г. С тех пор исследователи разных стран составляли специальные таблицы, в которые сводились зна- чения длин волн и соответствующей интенсивности спектральных линий излучения химических элементов. К 1913 г. число работ, посвященных исследованию спектров различных веществ, дости- гало уже 50000! Однако поиски закономерностей оптических спек- тров оказались трудной физической проблемой. Оптические спектры химических элементов содержат, вообще говоря, большое количество спектральных линий. Наиболее про- стым по своей структуре является спектр излучения атомов водо- рода. В результате экспериментальных спектрометрических иссле- дований было установлено, что в видимой области этого спектра атомов водорода наблюдаются 4 узкие спектральные линии (ярко- красная, бирюзовая, сине-фиолетовая и темно-фиолетовая), кото-
8.1. Спектральные серии атома водорода 149 рые обозначаются символами HQ, Н^, Н7 и Щ (см. рис. 8.1). Этим линиям соответствуют длины волн приблизительно равные 6562 А, 4860 А, 4340 А и 4101А соответственно. Первая успешная попытка установления закономерности в рас- положении спектральных излучений атомарного водорода принад- лежит швейцарскому учителю И. Бальмеру (1825-1898). В 1885 г. Яр Ну Нь 7000 6000 5000 4000 Рис. 8.1. Спектр атома водорода в видимом диапазоне, наблюдаемый в спек- троскоп (линии HQ — ярко-красная, — бирюзовая, Н7 — сине-фиолетовая, Н<5 — темно-фиолетовая) Бальмер заметил, что длины волн этих линий относятся друг к другу как целые числа и могут быть выражены одной формулой: п2 Х = Ь-^-Л. (8.1) п2 - 4 где b — константа, равная приближенно 3646 А, а целочисленный параметр п для линий HQ, Нд, Н7 и Щ принимает соответственно значения 3, 4, 5, 6. Сравнение результатов расчетов по формуле (8.1) с экспериментом дало Бальмеру совпадение с относительной погрешностью 10“5-10“6. Позже спектроскопические исследова- ния показали, что спектр атомарного водорода содержит линии в ультрафиолетовой области, длины которых также выражаются формулой (8.1) при значениях п = 7,8,9,... В современной физике формула Бальмера представляется в не- сколько ином виде: 1 = п = 3,4,5,6,..., (8.2) А у 4 J где константа Rh = 109677,58 см-1 называется постоянной Рид- берга (или обратной длиной Ридберга). Все спектральные линии, длина волны которых определяется формулой (8.2), называются серией Бальмера. Очевидно, что с ростом числа п длина волны со- ответствующей спектральной линии уменьшается. Было уже ука- зано, что 4 первые линии серии Бальмера принадлежат видимому диапазону, остальные — ультрафиолетовому. В ходе спектроско- пических исследований не было обнаружено максимальное значе-
150 Лекция 8. Спектр излучения атома водорода и постулаты Бора ние параметра п, поэтому теоретически серию Бальмера можно считать бесконечной. Однако из формулы (8.2) видно, что с уве- личением параметра п разность соседних длин волн быстро сокра- щается. Это значит, что при достаточно большом значении числа п разрешающей способности спектрометра будет недостаточно для того, чтобы зафиксировать отдельные спектральные линии. Сле- довательно, практически наблюдается лишь конечное количество спектральных линий. Теоретически, однако, можно вычислить наименьшую длину волны серии Бальмера, устремив в (8.2) чи- сло п в бесконечность: Rh Аоо 4 Величина Aqq называется пределом серии Бальмера и равна 3647,053 А (с точностью до 9 значащих цифр). Нетрудно убе- диться, что этот предел совпадает с параметром b в первоначальной формуле Бальмера (8.1). Сравнение результатов измерений и расчетов по формуле (8.2) приведено в табл. 8.1. Таблица 8.1. Длины волн спектральных линий серии Бальмера (А) п Эксперимент Расчет 3 6562,8473 6562,798 4 4861,3578 4861,327 5 4340,497 4340,466 6 4101,7346 4101,738 7 3970,074 3970,075 8 3889,0575 3889,052 9 3835,397 3835,387 10 3797,910 3797,900 Дальнейшие исследования показали, что спектр атома водорода в инфракрасном (ИК) и ультрафиолетовом (УФ) диапазоне содер- жит множество спектральных линий, длины волн которых могут быть описаны следующей единой формулой: 1 = (8.4) где параметры пит могут принимать только значения натураль- ных чисел, при выполнении условия п > т. Формула (8.4) часто называется обобщенной формулой Бальмера.
8.2. Постулаты Бора 151 Таблица 8.2. Спектральные серии атома водорода т п Название Диапазон 1 2,3,4,5,... Серия Лаймана Ультрафиолетовый 2 3,4,5,6,... Серия Бальмера п 6 — видимый, п > 6 — ультрафиолетовый 3 4,5,6,7,... Серия Пашена Инфракрасный 4 5,6,7,8,... Серия Брэкета Инфракрасный 5 6,7,8,9,... Серия Пфунда Инфракрасный Значения целочисленного параметра m определяют различные спектральные серии. Первые пять серий (т = 1,2, 3,4,5) полу- чили собственные названия по именам их исследователей. Каж- дая серия имеет свой предел (наименьшую длину спектральной линии), выражаемый формулой Лоо ГП2 ' (8-5) Напомним, что данное строение оптических спектров харак- терно лишь для атомов водорода. Остальные химические эле- менты, находящиеся в состоянии атомарного газа, испускают ли- нейчатые спектры более сложной структуры, которые не удалось выразить простыми эмпирическими формулами. Число спект- ральных линий, вообще говоря, увеличивается с химическим но- мером элемента и может достигать десятков тысяч в видимом диа- пазоне. Для сопоставления спектроскопических данных с планетарной моделью атома важно, что атомарные спектры не содержат сплош- ных участков. На основе этого экспериментального факта можно сделать вывод, что классическая теория неприемлема для объяс- нения строения атома и механизма его излучения. Требуется раз- работка новой теории, которая на базе небольшого количества но- вых постулатов позволила бы объяснить все многообразие свойств атомов и внутриатомных процессов. 8.2. Постулаты Бора Первую неклассическую теорию атома водорода предложил Нильс Бор (1885-1962) еще в 1913 г. Теория базировалась на двух постулатах, которые целесообразно рассмотреть в целях ознаком- ления с неклассическими идеями квантовой физики. 1-й постулат. Существуют стационарные состояния ато- ма, в которых движущиеся электроны не излучают.
152 Лекция 8. Спектр излучения атома водорода и постулаты Бора Энергии стационарных состояний образуют дискретный набор El, jE?2, Е3. Еп, ..., (8.6) где п — целое число, которое называется квантовым числом ста- ционарного состояния (или номером стационарного состояния), которое, в принципе, может принимать любое значение из ряда натуральных чисел. Для атома водорода энергия стационарного состояния Еп выражается формулой Еп = -^- п = 1,2,(8.7) где Ry — характерная энергия (энергия Ридберга), равная при- близительно 13,6 эВ. Выражение (8.7) означает, что энергия стационарного состоя- ния однозначно определяется квантовым числом этого состояния. Заметим, что понятие стационарного состояния является прин- ципиально неклассическим. В конце предыдущей лекции (§ 7.3) подробно объяснялось, что финитное движение электронов в атоме происходит с ускорением, и согласно классической электродина- мике, должно сопровождаться непрерывной потерей энергии. 2-й постулат. Атом излучает или поглощает энергию, пе- реходя из одного стационарного состояния в другое. При этом испускается (или поглощается) фотон с энергией £ — Еп1 Еп2> (8-8) Иначе говоря, энергия фотона равна разности энергий ста- ционарных состояний атома. Выразим частоту излучаемого (или поглощаемого) фотона че- рез его энергию и воспользуемся формулой (8.8). Тогда мы полу- чим связь частоты фотона с энергиями стационарных состояний атома: ЕП1 Еп2 (8.9) {Eni > ЕП2). Переходя в (8.9) от частоты со к длине волны Л излучения, сопоставляя уравнения (8.9) и (8.7), получим соотношение Л Ry 2лсК \n2 _1_\ Ц) (ni > n2), (8.10) которая совпадает с обобщенной формулой Бальмера (8.4). Сравнение формул (8.4) и (8.10) позволяет выразить постоян- ную Ридберга (имеющую размерность обратной длины) следую- щим образом: о Ry Н 2тгс/г (8.И)
8.2. Постулаты Бора 153 Вычисление величины (8.11) дает отличное совпадение с эм- пирическим значением постоянной Ридберга Ли, полученной по спектроскопическим данным и приведенным в предыдущем пара- графе. В атоме водорода ядро (протон) на 3 порядка массивней элек- трона, поэтому атомное ядро можно полагать неподвижным. То- гда энергии стационарных состояний (8.6) представляют собой энергии единственного электрона атома водорода. Таким обра- зом, электрон в атоме водорода может принимать дискретный ряд энергий (8.7). Следует иметь в виду, что каждое значение энергии Еп (п = 1,2,...) представляет собой сумму кинетической энер- гии движущегося электрона и потенциальной энергии его взаимо- действия с атомным ядром (протоном). Отрицательные значения соответствуют связанным состояниям, как и в классической тео- ретической механике. Самая низкая из допустимых энергий Е\ = — Ry = —13,6057 эВ соответствует основному состоянию атома водорода. Прочие стаци- онарные состояния (с п > 1) являются возбужденными и обладают более высокой энергией. Значения энергий стационарных состояний атома водорода и переходы между ними, сопровождающиеся излучением фото- нов, наглядно изображаются на энергетической диаграмме (см. рис. 8.2). Прекрасным подтверждением идей, высказанным Бором, яви- лась интерпретация серии Пикеринга. В 1887 г. астроном Пике- ринг, изучая спектры звезд, обнаружил в них дискретную после- довательность длин волн, которые укладывались в формулу Баль- мера (8.2), если положить, что параметр п может принимать не только целые, но и полуцелые значения: п = 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; ... Впоследствии выяснилось, что источником серии Пикеринга явля- ется гелий. Бор убедительно показал, что спектральные линии серии Пикеринга испускаются однократно ионизированными ато- мами гелия, т. е. одноэлектронными ионами. Формула (8.7) может быть обобщена для любых одноэлектрон- ных ионов введением дополнительного множителя Z2, где Z — количество протонов в атомном ядре (или порядковый номер хи- мического элемента): Таким образом, теория Бора, не отвергая гипотезу Резерфорда о наличии атомного ядра, позволила объяснить дискретный спектр излучения и стабильность атома. К сожалению, Бору не удалось разработать методику вычисле- ний энергий стационарных состояний многоэлектронных атомов, даже двухэлектронных.
154 Лекция 8. Спектр излучения атома водорода и постулаты Бора Недостатком теории Бора является отсутствие объяснения при- чины существования стационарных состояний, осталась неизвест- ной динамика электронов в этих состояниях. Остался нерешенным в теории Бора вопрос о времени пере- хода Ai электрона из одного стационарного состояния в другое. Если предположить, что Ai = 0, то мы получим противоречие со Рис. 8.2. Энергетическая диаграмма стационарных состояний атома водорода. Горизонтальные отрезки изображают энергии состояний, справа от них поставлены соот- ветствующие квантовые числа. Вертикальные стрелки изображают переходы электрона между стационарными состояниями. Длина стрелки пропорциональна энергии испускае- мого фотона специальной теорией относительности, согласно которой не могут происходить мгновенные процессы (с бесконечно большой скоро- стью). Если, напротив, предположить, что время перехода конечно (Af >0), то возникает вопрос о возможности существования про- межуточных состояний со значениями энергий Е / Еп, которые не присутствуют в дискретном наборе энергий (8.7). Э. Резерфорд высоко оценил значение постулатов Бора для тео- рии атома, но в письме к Бору сформулировать еще одну воз- никшую проблему: «Как может электрон знать, с какой частотой
8.3. Энергетическое соотношение неопределенностей 155 он должен излучать, когда он переходит из одного стационарного состояния в другое? Мне кажется, что Вы вынуждены предпо- ложить, что электрон знает заблаговременно, где он собирается остановиться». Следует признать, что, с одной стороны, теория Бора отлича- лась эклектизмом и непоследовательностью. С другой стороны, идея стационарных состояний оказалась весьма плодотворной для дальнейшего развития физики. Кроме того, отказываясь от мно- гих важных положений классической физики, Бор полагал закон сохранения энергии одним из важнейших принципов. На пути преодоления недостатков теории Бора была создана современная квантовая теория, основные положения которой из- лагаются в следующей лекции. 8.3. Энергетическое соотношение неопределенностей и естественная ширина спектральной линии В процессе разработки квантовой теории выяснилось, что, по- мимо соотношений неопределенностей Гейзенберга (6.3)-(6.5), су- ществует соотношение, связывающее неопределенности энергии и времени: А£? • At > 2тг7ъ, (8.13) где At — неопределенность времени жизни объекта в некотором состоянии, А2? — неопределенность энергии объекта в этом со- стоянии. В задаче о квантовых скачках неопределенностью времени At является среднее время жизни стационарного состояния. Атом находится в стационарном состоянии (кроме основного) конеч- ное время, которое называется временем жизни этого состояния. Атом, находясь в любом из своих возбужденных состояний, че- рез некоторый промежуток времени понижает свою энергию, пере- ходя в более низкоэнергетическое состояние. Переход в основное состояние может осуществляться не напрямую, а через несколько промежуточных возбужденных состояний. Характерно, что время жизни стационарного состояния является случайной величиной, поэтому в экспериментах определяется, как правило, среднее вре- мя жизни т возбужденного состояния. Исследования показали, что это время т имеет порядок 1О“8-1О-10 с. Согласно соотношению неопределенностей (8.13), энергия воз- бужденного стационарного состояния характеризуется неопреде- ленностью порядка Напротив, в основном состоянии атом может оставаться не- ограниченно долго и его время жизни можно полагать бесконеч-
156 Лекция 8. Спектр излучения атома водорода и постулаты Бора ным. Следовательно, неопределенность энергии основного сос- тояния равна нулю, т.е. энергия основного состояния атома определена точно. Неопределенности энергий возбужденных состояний атомов, согласно (8.14), имеют порядок 10-19-10“17 эрг, т. е. 10-7-10-5 эВ, что позволяет во многих задачах ими пренебрегать. Но, вообще говоря, из-за ненулевой величины AjE (неопределенности энергии возбужденного состояния) энергии фотонов, которые испускаются атомом при переходе из возбужденного состояния в основное, име- ют некоторый разброс энергий Де, равный неопределенности АЕ. Рис. 8.3. Энергетическая схема, поясняющая формирование естественной ши- рины спектральной линии: Ei — энергия основного состояния, Еп — энергия возбужденного состояния, ДЕ — не- определенность энергии возбужденного состояния, £i и £2 — минимальная и максималь- ная энергия излучаемых фотонов Вычислим разность длин волн ДА, соответствующую разно- сти энергий фотонов Де. Для этого используем энергетическую диаграмму на рис. 8.3 и следующие обозначения: Де — £2 ~ £1, £1 — £о-----------> £2 — £о н----------^0 — Еп ~ £ £ Принимая во внимание, что Де eq, получим ДА = At — А2 = 2тг/гс _1_ £1 1 £2 2 л/гс . -72-Д£ = £0 (2л/г)2с (Еп-Е^т‘ (8.15)
8.3. Энергетическое соотношение неопределенностей 157 Величина АЛ называется естественной шириной спектральной линии. Сделаем численную оценку естественной ширины первой ли- нии серии Лаймана. Полагая в (8.15) Еп = Е% = —Ry/4, вы- числим, что величина АЛ имеет порядок ~ 10“5 А. С помощью формулы (8.4) легко получить, что АЛ/Л составляет ~ 10“8. Та- ким образом, естественная ширина спектральной линии является, вообще говоря, очень малой и трудно измеримой величиной. С дру- гой стороны, следует помнить, что никакая совершеннейшая экс- периментальная техника не может зафиксировать длину волны излучения атома с погрешностью меньше естественной ширины АЛ соответствующей спектральной линии. Задачи к лекции 8 1. Рассчитать длины волн первых четырех спектральных линий се- рии Лаймана и предел серии. 2. Вычислить длины волн первых трех спектральных линий серии Пашена и предел серии. 3. Рассчитать длину волны первых спектральных линий серий Брэ- кета и Пфунда и их пределы серий. 4. Оценить разрешающую способность спектрометра, необходимую для регистрации: а) 15-и первых спектральных линий серии Бальмера, б) 10-и первых спектральных линий серии Лаймана, в) 5-и первых спектральных линий серии Пашена. 5. Рассчитать длины волн первых трех спектральных линий серии Пикеринга, полагая, что они порождаются переходами в основное состо- яние однократно ионизированного атома гелия. 6. Вычислить: а) разность длин волн второй линии серии Лаймана для обычного водорода и дейтерия, б) разность длин волн первой линии серии Бальмера для обычного водорода и дейтерия. 7. Оценить естественную ширину первой спектральной линии серии Бальмера.
Лекция 9 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ОПЕРАТОРЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ Анализ результатов экспериментов по дифракции электронов и других микрочастиц доказывает, что движение частиц происхо- дит не по траекториям, а описывается вероятностными законами. При этом возможность физическим величинам иметь определен- ные значения ограничена соотношением неопределенностей. Эти утверждения принципиально противоречат положениям классической физики. В классической механике движение ча- стицы может быть рассчитано путем решения основного уравне- ния механики — второго закона Ньютона. Для расчета требуется знать суммарную силу F, действующей на частицу, и начальные условия, т. е. координаты и скорость в момент времени t = 0: Го = r(t = 0), Vo = v(i = 0). (9.1) Решения уравнения динамики можно записать в следующем векторном виде: r(f + dt) = r(i) + v(£) dt, v(i + dt) = v(i) + —F(r(i), t) dt, (9 ) m где m — масса частицы, F(r(£), t) — сила, действующая на ча- стицу в момент времени t в точке с радиус-вектором г (2). Сила, вообще говоря, может сложным образом зависеть от времени и координат. Уравнения (9.2) с условиями (9.1) однозначно описывают тра- екторию частицы, а также изменение координат и скорости этой частицы с течением времени. Это составляет полную информацию о движении частицы в классическом смысле. Поэтому в классиче- ской физике утверждается, что состояние частицы в данный мо- мент времени полностью определяется ее координатами r(t) и скоростью v(f).
9.1. Волновая функция и уравнение Шредингера 159 Однако величины г и v не могут одновременно иметь опреде- ленные значения вследствие соотношения неопределенностей Гей- зенберга (6.3)-(6.5). Классические траектории несовместимы с волнами де Бройля, которые описывают вероятностный характер движения свободных микрочастиц. Таким образом, необходимо сформулировать понятие состо- яния частицы в рамках квантовой теории. Общая неклассическая теория должна давать распределение вероятностей местонахождения микрочастиц, находящихся в про- извольных внешних силовых полях, а также вычислять возмож- ные значения физических величин (импульса, энергии, момента импульса и т. д.) и вероятности их получения в результате из- мерения в данном состоянии системы. Кроме того, эта теория должна давать спектры энергий и других физических величин, которые наблюдались в экспериментах, описанных в предыдущей лекции. Квантовая теория должна объяснить также стабильность атомов, линейчатый характер их спектров излучения, а также по- лучить из своих базовых принципов соотношения неопределенно- стей. Кроме всего прочего, квантовая физика должна включать в себя законы классической физики некоторое предельное прибли- жение и частный случай. Такая теория была создана и получила название квантовой механики. Основы квантовой теории были заложены работами М. Планка и Н. Бора. Замкнутая внутренне непротиворечивая квантовая ме- ханика и ее математический аппарат были разработаны в конце 20-х годов XX века в основном трудами В. Гейзенберга, Э. Шредин- гера (1887-1961), В. Паули (1900-1958), П. Дирака (1902-1984) и ряда других выдающихся физиков. 9.1. Волновая функция и уравнение Шредингера Заранее оговорим, что далее будет рассматриваться движение частиц со скоростями много меньшими скорости света, т. е. нере- лятивистская квантовая теория. Основные принципы квантовой теории кратко можно сформу- лировать в следующих утверждениях. Состояние микрочастицы (или системы частиц) описывается некоторой, вообще говоря, комплексной функцией координат и времени Ф(г,£), которую называют волновой функцией или ам- плитудой вероятности. Волновая функция обладает свойствами однозначности, конечности и непрерывности по всем своим пере- менным во всей области определения. Волновую функцию можно рассматривать как обобщение волны де Бройля для частиц, дви- жущихся в силовых полях. Физический смысл волновой функции связан с вероятностью местонахождения частицы. Для финитных движений вероятность
160 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики нахождения частицы в объеме dV в окрестности точки г в момент времени t равна |Ф(г, t)|2 dV. (9.3) Иными словами, выражение (9.3) означает, что в случае фи- нитного движения частиц квадрат модуля волновой функции яв- ляется плотностью вероятности распределения частицы в прост- ранстве для данного момента времени. Отсюда следует условие нормировки для волновой функции: У |Ф(г, t)|2 tZV = 1. (9.4) все прост- ранство Знание волновой функции позволяет предсказать результаты измерений не только координат, но и других физических величин. При этом вероятности различных результатов измерений опреде- ляются выражениями, билинейными по Ф* и Ф. Отсюда следует, что волновая функция данной физической системы определена с точностью до произвольного фазового множителя ехр (га). Одним из важнейших положений квантовой механики явля- ется принцип суперпозиции. Его содержание сводится к следую- щему утверждению. Если система может находиться в нескольким состояниях, опи- сываемых ВОЛНОВЫМИ функциями Ф1(г,^), Ф2(г,£), ..., Ф&(г,£), ..., то она может находиться и в состоянии с волновой функцией Ф(гЗ) = С1Ф1(г,t) + С2Ф2(г,t) + ... + + . . ., (9.5) где ci, С2, ..., Ск — постоянные коэффициенты, смысл которых будет выяснен ниже. Базируясь на физическом смысле волновой функции можно сформулировать ее общие свойства. 1. Волновая функция должна быть непрерывной. Нарушение этого свойства может привести к несохранению электрического за- ряда или энергии. 2. Волновая функция должна иметь непрерывную производную по координате. Можно показать, что это свойство обусловлено ко- нечной величиной сил, действующих на частицу. 3. Волновая функция должна быть ограниченной. Неограни- ченное возрастание волновой функции приводит к потере ее веро- ятностного смысла. 4. Волновая функция должна быть однозначной. В квантовой механике волновая функция Ф(г, t) полностью определяет состояние физической системы. Это означает, что за- дание функции Ф (г, t) не только характеризует свойства системы
9.2. Операторы физических величин 161 в данный момент времени, но и определяет ее поведение в после- дующие моменты времени. Математически это означает, что зна- чение производной <ЭФ/dt в каждый момент времени должно опре- деляться самой функцией Ф(г, £), причем эта зависимость должна быть линейной, что вытекает из принципа суперпозиции. Эта за- висимость записывается в следующем общем виде: г/i—= ЯФ(г,<), (9.6) (J ь где Н — оператор, называемый оператором Гамильтона или га- мильтонианом. Соотношение (9.6) является фундаментальным уравнением не- релятивистской квантовой теории и называется уравнением Шре- дингера. Следует усвоить, что уравнение (9.6) не выводится, а явля- ется постулатом, т. е. формулируется на базе множества экспе- риментальных данных, полученных при исследовании поведения микрочастиц в различных условиях. Аналогичными базовыми постулатами в классической физике являются законы Ньютона и уравнения Максвелла. Гамильтониан Н является квантовым аналогом функции Га- мильтона, используемой в классической физике. Прежде чем уста- новить явный вид гамильтониана для заданной системы частиц, следует рассмотреть использование операторов физических вели- чин в квантовой теории. 9.2. Операторы физических величин Каждой физической величине, характеризующей состояние микрочастицы (или их системы), ставится в соответствие опре- деленный линейный оператор. Оператор (правило, преобразова- ние) /, действуя на какую-либо функцию ^(д), дает, вообще го- воря, другую функцию 99(g), что записывается в виде /W) = y’(g), где q — совокупность аргументов функций и (р. Операторы физических величин далее обозначаются теми же символами с «крышкой» наверху. Например, оператор коорди- наты х обозначается х. Операторы квантовой физики позволяют находить возможные значения соответствующих физических величин частицы (или си- стемы частиц). Утверждается, что в результате измерения физиче- ской величины f может быть получено только одно из собственных значений fn оператора f этой физической величины. Для получе-
162 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики ния этих значений необходимо решить уравнение вида /Фп = /л, (9.7) где Фп — собственная функция оператора /. При этом, если квантовая система находится в состоянии, ко- торое совпадает с одной из собственных функций оператора /, т. е. Ф(г) = Фп, то результат измерения физической величины f с до- стоверностью (с вероятностью равной единице) дает значение fn. В таких случаях говорят, что физическая величина f имеет определенное значение f = fn. Если же волновая функция со- стояния системы является суперпозицией собственных функций оператора /: Ф(г)=^спФп, (9.8) п то в результате измерения физической величины f может быть по- лучено какое-либо из собственных значений fn с вероятностями W(f = fn) — |сп|2, где сп — коэффициенты разложения функ- ции (9.8). Таким образом, в состоянии, заданном волновой функ- цией (9.8), физическая величина f не имеет определенного значе- ния. При этом следует помнить, что коэффициенты разложения сп должны удовлетворять условию Z>i2 = i. (9.9) п Совокупность собственных значений fn оператора / образует спектр, который может быть как непрерывным, так и дискретным. Если данному собственному значению fn соответствует s линейно независимых функций Фп1, ФП2? • • • , Фп$> то собственное значение fn называется 5-кратно вырожденным. Следует помнить, что для таких параметров микрочастицы, как электрический заряд или масса покоя, операторы не вводятся, так как эти величины не определяют квантового состояния. Далее приводится явный вид операторов основных физических величин. 1. Оператор координаты х представляет собой операцию умно- жения на значение координаты х: £Ф(я) = жФ(ж). (9.10) 2. Оператор любой функции координат сводится к умножению на эту функцию. В частности, оператор потенциальной энергии определяется уравнением С/(г)Ф(г) = [/(г)Ф(г). (9.11)
9.2. Операторы физических величин 163 3. Оператор проекции импульса рх является дифференциаль- ным и задается формулой (9.13) Рх = -^-7^-. (9.12) ОХ Операторы других проекций импульса имеют аналогичный вид: 9 д Отсюда следует, что оператор вектора импульса может быть выра- жен с помощью оператора V («набла») следующим образом: р = -zTiV. (9.14) В качестве примера найдем спектр собственных значений и со- ответствующие собственные функции для проекции импульса ча- стицы рх, для чего решим уравнение (9.7), используя оператор (9.12): 7ГФ -г/г— = рхФ. Ох Решением этого уравнения является функция Ф(т) - Аехр ( ^рхх ), / где А — некоторая константа. Решение (9.16) описывает состо- яние частицы, которая имеет определенную проекцию импульса рх. Подстановка собственной функции (9.16) в уравнение (9.15) показывает, что оно удовлетворяется при любом вещественном соб- ственном значении рх^ т.е. спектр собственных значений опера- тора рх является непрерывным. Это значит, что изучаемая ча- стица может двигаться вдоль оси X с произвольным значением проекции импульса. 4. Оператор нерелятивистской кинетической энергии можно получить, заменяя в классическом выражении для кинетической энергии Т = р2/2т импульс р на его оператор р. Согласно пра- вилам квантовой механики, оператор квадрата импульса получа- ется формальным возведением в квадрат оператора (9.14). Тогда для нерелятивистской частицы с массой т оператор кинетической энергии может быть записан в следующем виде: т = -^-д, 2т где Д — оператор Лапласа (лапласиан): g2 д2 д2 дх2 ду2 dz2 (9.15) (9.16) (9-17) (9.18)
164 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики 5. Аналогично можно ввести оператор энергии (гамильтониан) для частицы, движущейся во внешнем поле, которое задано потен- циальной энергией U(г). Сначала следует записать классическую функцию Гамильтона для этой системы: а затем от классического выражения перейти к операторам, ис- пользуя соотношения (9.11) и (9.14). При этом кинетическая энер- гия заменится на оператор вида (9.17). Например, гамильтониан свободной частицы совпадает с опе- ратором (9.17). Гамильтониан частицы с массой т, находящейся в поле с потенциальной энергией U(г), имеет вид (9.19) h2 H = --^ + U^. Другой важный пример — гамильтониан системы двух заряжен- ных частиц с массами mi, m2 и зарядами gi, — записывается в виде н = --^д, - -^д2 + 2mi 2m2 Г12 (9.20) где Г12 — расстояние между частицами, а в лапласианах Ai и Д2 проводится дифференцирование по координатам первой #i, 3/1, z\ и второй Х2, у2, Z2 частиц соответственно: _ д2 д2 д2 _ д2 д2 д2 1 дх2 + ду2 + dz^ ’ 2 дх^ ду^ dz2 Третье слагаемое в (9.20) представляет собой оператор потенци- альной энергии взаимодействия данных заряженных частиц. Гамильтонианы более сложных систем частиц рассматрива- ются ниже. 9.3. Коммутативность операторов С операторами физических величин квантовой физики можно проводить некоторые математические действия. Суммой операторов является также оператор, определяемый следующим соотношением: (/ + 5)Ф = /Ф + £Ф. (9.21) Произведением двух операторов f и g является оператор, кото- рый представляет собой последовательное действие операторов f и g на функцию, т. е. (/•р)ф = /(рф). (9.22)
9.3. Коммутативность операторов 165 Для квантовой физики существенно, что умножение операто- ров физических величин в общем случае некоммутативно. Это значит, что, вообще говоря, (/•?)Ф/(£•/)*• (9-23) Оператор, равный разности произведений f д — д • /, называ- ется коммутатором операторов f и д и обозначается с помощью квадратных скобок: f-9~9-f = [/,£]• (9-24) Для примера рассмотрим коммутацию операторов координаты х (9.10) и проекции импульса рх (9.12). Сначала вычислим ( Э \ <ЭФ )Ф = х(рх Ф) = х I — ih—Ф = — ihx—. (9.25) \ ox J ох Теперь переставим местами операторы х и рх и вновь подействуем на функцию Ф: д 5Ф (рх ж)Ф = рх{х Ф) = —г’Л—(жФ) = —гЛФ — ihx-y—. (9.26) (J JU (JJb Различие полученных выражений в правых частях (9.25) и (9.26) означает, что операторы координаты х и проекции импульса рх не коммутируют. Пользуясь определением (9.24) и выражениями (9.25) и (9.26), вычислим коммутатор этих операторов: [я, рх] = ih. '(9.27) Нетрудно установить, что операторы других координат не ком- мутируют с операторами соответствующих проекций импульса. С другой стороны, легко показать, что аналогичные операторы раз- ных переменных коммутируют, например, (рху)^ = (урх)^, т.е. [у, Рх] = 0- (9.28) Аналогично получается [ж, Ру] = [х, pz] = [у, Рг] = [z, рх] = [z, Ру\ = 0. Рассмотрим два оператора /ид, которые обладают общими собственными функциями. Это значит, что система уравнений /Ф = /Ф, д* = дЪ имеет общие решения Ф. Подействуем на левую часть первого уравнения оператором д, а на левую часть второго уравнения —
166 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики оператором /, затем вычтем из первого уравнения второе. При этом учтем, что собственные значения операторов /ид — это числа, которые можно выносить за символ линейного оператора. Получим 9(f Ф) - Д9 Ф) = f9 Ф " 9f Ф = № - 5/)Ф = 0. Это означает, что операторы f ид коммутируют. В квантовой механике доказывается и обратная теорема: если операторы физических величин коммутируют между собой, то эти физические величины в некоторых состояниях данной си- стемы могут иметь одновременно определенные значения. Некоммутативность двух операторов означает, что не суще- ствует, вообще говоря, таких состояний, в которых обе соответст- вующие физические величины имеют одновременно определенные числовые значения. В частности, отсутствие коммутативности операторов координаты х и проекции импульса рх означает, что координата х и проекция импульса рх не могут быть одновременно измерены. То же самое утверждает соотношение неопределенно- стей Гейзенберга (6.3). 9.4. Оператор момента импульса Момент импульса является одним из основных интегралов движения классической механики. Рассмотрим операторное пред- ставление этой важной физической величины в квантовой физике. Классическое выражение для момента импульса частицы за- писывается в виде символического определителя: L = [г, р] = i j k X у z Рх Ру Pz (9.29) где тир — радиус-вектор и импульс частицы соответственно, i, j, к — единичные векторы системы координат. Отсюда следуют выражения для отдельных проекций момента импульса: Lx = PzV ~ PyZ, Ly = pxz - pzx, (9.30) Lz — Py% ~ РхУ' Используя описанный выше метод квантовой механики, заме- ним координаты и проекции импульса соответствующими опера- торами и тем самым получим следующие операторы проекций
9.4. Оператор момента импульса 167 момента импульса: I^X 2/Z> 1 ( d ^у- d \ dyZJ = —ih ( d 9 \ Zdy) ’ Lt у — —1“1 (d ^dzx d A dxZ) = +ih | ( d \^dz ZdxJ’ (9.31) Lz — —ih 1 < d d \ = — ih | ( d d \ —x — \dy я~У дх J \ dy -yTx)- Для квантовой физики атома важное значение имеет квадрат модуля момента импульса L2. Введем оператор квадрата мо- мента импульса частицы, согласно методу квантовой механики, следующим образом: L2=L2 + L2y + L2 = -h2 ( д д\2 + ( д д\2 ( д а\21 + ( ) +(жл-----) • (В 9-32) \ oz дх J \ ду дх ) В выражения (9.32) входят координаты и соответствующие проекции импульса, которые связаны соотношениями неопреде- ленностей. Уже это ставит вопрос об одновременной измеримости разных проекций момента импульса. Для ответа рассмотрим ком- мутативность операторов (9.31) и (9.32). Вычисления соответству- ющих коммутаторов приведены в дополнении 9.1. В результате расчетов выясняется, что любая пара операторов (9.31) не комму- тирует: (9.33) LxLy LyLx — ihLz, LyLz LzLy — ihLx, LZLX LXLZ = ihLy. Это означает, что две компоненты момента импульса не могут иметь определенные значения в одном состоянии. С другой стороны, оператор квадрата момента импульса ком- мутирует с любой из своих проекций: LXL2 - L2Lx = О, LyL2 - L2Ly = О, LZL2 - L2Lz = 0. (9.34)
168 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики Следовательно, существуют квантовые состояния, в которых опре- делен квадрат момента импульса и одна (любая) из его проекций. Эти состояния должны характеризоваться собственными функци- ями операторов соответствующих физических величин. 9.5. Собственные значения и собственные функции операторов проекций момента импульса Для нахождения системы собственных функций операторов проекций момента импульса удобно использовать сферическую си- стему координат. Связь декартовых и сферических координат вы- ражается известными формулами: х = г sin 9 cos (/?, у = г sin 9 sin (/?, z = г cos 0, (9.35) где г — модуль радиус-вектора материальной точки, 9 — ее по- лярный угол, ф — азимутальный угол. Применяя преобразование координат (9.35), выразим частные производные по декартовым координатам в выражениях (9.31) че- рез частные производные по сферическим координатам г, 0, (/?. Тогда операторы проекций момента импульса приобретут следую- щий вид: Lx Ly f. д п д\ = in sin 9? • — + ctg 9 cos ф • — , \ 39 дф J / 3 3 \ = in I - cos (/?• — + ctg 6/ sin (/?• — , \ д9 Зф J (9.36) Lz - дф Оператор квадрата модуля момента импульса в сферических координатах может быть получен непосредственно как сумма ква- дратов операторов (9.36). После несложных преобразований полу- чаем sin 9 39 \ П $ 39 ) sin2 9 дф2 (9.37) Последнее выражение полезно сравнить с оператором Лапласа, выраженным в сферических координатах: £ д_ ( 2д_\ £ Г 1 а 1____ г2 дг \ дг / г2 sin 9 39 \ 39 / sin2 9 дф2 (9.38) Этот оператор состоит из двух слагаемых: А = Дд + 1ДУ, (9.39)
9.5. Оператор проекций момента импульса 169 где оператор Ад = (9-40) г 2 dr \ or J является радиальной частью оператора Лапласа, а 1 д f д \ 1 д2 Sin<? • + —2^ТГ2 <9-41) sm v ov \ ди J sm в д(рЛ его угловой частью. Сравнение выражений (9.37) и (9.41) показывает, что опера- тор квадрата модуля момента импульса может быть представлен в кратком виде: L2 = -/г2Ду. (9.42) Теперь найдем собственные функции и собственные значения операторов квадрата модуля момента импульса L2 и одной из его проекций, в качестве которой можно выбрать Lz. Напомним, что операторы квадрата модуля момента импульса и любой из его про- екций коммутируют, т. е. значения соответствующих физических величин могут быть измерены одновременно в принципе с любой точностью. Следовательно, эти операторы обладают одинаковым набором собственных функций. Спектры собственных значений являются, естественно, различными. Заметим, что операторы (9.36) и (9.37) зависят только от угло- вых координат. Следовательно, уравнения на собственные функ- ции операторов Lz и L2 можно записать в следующем виде: М(^МЖН (9.43) £2Ф(0,</?) = £2Ф(0,<Д), (9.44) где Lz и Z2 — собственные значения операторов Lz и L2. Система уравнений (9.43) и (9.44) решается методом разделе- ния переменных. Будем искать решение системы в виде произве- дения функций Ф(0,у>) = Р(0)ф(<^). (9.45) Подставляя это выражение в уравнение (9.43), получим _= dtp Решение последнего уравнения запишем в виде Ф((/?) = С ехр , (9.47) \ h j
170 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики где С — постоянная интегрирования. Так как состояния физиче- ской системы, различающиеся на азимутальный угол = 2тг, неразличимы, то функция Ф((/?) должна быть периодической с пе- риодом 2%: Ф(</>) = Ф((/> + 2тг). Из вида функции (9.47) следует, что это условие периодичности выполнится, если собственные значения Lz квантуются по сле- дующему правилу: Lz = hm, (9.48) где m = 0, ±1, ±2, ... Иначе говоря, спектр собственных значе- ний оператора проекции момента импульса является дискретным, причем эти значения Lz кратны постоянной Планка. Целое число m в квантовой физике обычно называется магнитным кванто- вым числом. Каждая волновая функция (9.47) характеризуется определен- ным значением магнитного квантового числа т. Постоянную С для этой функции можно вычислить из условия 2тг У Ф*Ф dtp = 1. о Таким образом, собственные функции оператора проекции мо- мента импульса на ось Z, соответствующие собственным значе- ниям (9.48), записываются в виде (</>) =-7= ехр (гт</2). (9.49) V 2л 9.6. Собственные значения и собственные функции оператора квадрата момента импульса Для вычисления собственных функций и собственных значе- ний оператора квадрата момента импульса обратимся к уравнению (9.44). Оператор L2 запишем в виде (9.42), а функцию Ф(0,<^) представим произведением (9.45) с учетом (9.49): —Й2АуР(0)-у= ехр (гт</?) = £2Р(0)—5= ехр (гт</?). (9.50) у2тг у2тг Напомним, что, согласно постулатам квантовой механики, вол- новая функция должна быть однозначной, ограниченной, непре- рывной и иметь непрерывную производную. Дифференциальное
9.6. Оператор квадрата момента импульса 171 уравнение (9.50) хорошо изучено в математической физике, имеет ограниченные решения только в тех случаях, когда собственные значения оператора квадрата момента импульса принадлежат сле- дующему дискретному множеству: L2 = h2l(l + 1), (9.51) где величина I пробегает ряд целых значений: 0, 1, 2, ... В кван- товой физике безразмерный параметр I называется орбитальным квантовым числом. Величина I ограничивает возможные абсо- лютные значения параметра т следующим образом: |m| < I, Функции Р(0), которые удовлетворяют уравнению (9.50), пред- ставляют собой присоединенные полиномы Лежандра (cos 0). Эти полиномы являются специальными функциями, определяе- мым следующим соотношением: 4|m|(f) = - 1)', (9.52) где £ = cos в. Вид функции Ф((/?) был получен выше и выражен формулой (9.49). В результате решение системы (9.43), (9.44) представля- ется в виде нормированных определенным образом сферических функций, содержащих два квантовых числа I и т: Ф«т(0,¥>) = = = lJ(”+Р|1т'(‘:°5 6ХР (”"Н (9'53) где I = 0,1,2,..., и т = 0, ±1, ±2, ..., ±Z. (9.54) Параметр к равен числу т при т 0 и к = 0 при т < 0. Коэф- фициент перед полиномом Лежандра обеспечивает нормировку ква- драта модуля функции (9.53) на единицу. Непосредственно можно убедиться, что 7Г 2?Г У J Yim^y(P)Yi,m'^,(p)sin.ed0dtp = 5и>6тт>, (9.55) о о т.е. функции Yim(6) 99) являются нормированными на единицу.
172 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики Таблица 9.1. Вид сферических функций Yim(О, ср) для малых значений квантовых чисел I и тп Состояние I m S 0 0 1 ч/4^ Р 1 -1 i\l-7- sin9exp (—icp) V О7Г 0 — COS 0 V 47Г +1 —iyjsin 9 exp (icp) d 2 —2 - У sin2 e exp (-2iy>) -1 /15 — cos 9 sin 9 exp (—icp) V О7Г 0 J^(l-3coS20) V 1О7Г 1 /15 \ cos # s^n # exP (^) V О7Г 2 ~V ^T"sin2(?exP(2i<^ V OZ7F f 3 -3 / 35 ——— sin3 9 exp (—3icp) V 647Г —2 —ц/cos 9 sin2 9 exp (—2icp) V 327Г -1 1 21 —ц/ 7— sin 0(5 cos2 0 — 1) exp (—icp) V 64тг 0 —i\lcos 0(5 cos2 0 — 3) V 1О7Г 1 / 21 ц/ —— sin 0(5 cos2 0 — 1) exp (icp) V 64тг 2 —ц/cos 0 sin2 0 exp (2icp) V 327Г 3 • / • 3 n /0• \ г\/ —— sin 0 exp (Згср) у 647Г
9.6. Оператор квадрата момента импульса 173 Явный вид функций Yim(6,99) для ряда значений квантовых чисел I и m приведен в табл. 9.1. Заметим, что определенному значению квадрата момента им- пульса L2, которое задано орбитальным квантовым числом Z, со- гласно (9.51), соответствуют 21 + 1 различных линейно независи- мых функций Y/m(0,99), иначе говоря, 2Z +1 различных состояний физической системы, различающихся значениями квантовых чи- сел m = 0, ±1, ±2, ..., ±Z. Это означает, что каждое состояние с определенным квадратом момента импульса (2Z + 1)-кратно вы- рождено по магнитному квантовому числу (или по проекциям мо- мента импульса). Квантовые состояния с определенными значениями орбиталь- ного квантового числа I исторически принято обозначать строч- ными буквами латинского алфавита согласно табл. 9.2. Таблица 9.2. Обозначения состояний с определенными значениями орбитального квантового числа Орбитальное число 1 0 1 2 3 4 5 Обозначение S Р d f 9 h По принятому правилу состояния с орбитальными числами I 3 обозначаются латинскими литерами в алфавитном порядке. Заметим на будущее, что в физических системах (атомах, молеку- лах и т.п.) состояния со значениями орбитального числа больше пяти реализуются очень редко. Из соотношения (9.48) следует, что максимальное значение проекции момента импульса достигается при m — I и равно £(тах) = (9,5б) Следовательно, £,(тах) всегда меньше модуля момента импульса, равного |L| = y/L2 = Ну/ЦГ+Т). (9.57) Соотношения неопределенностей говорят о том, что в физи- ческой системе могут одновременно существовать (быть измерен- ными) лишь значения квадрата момента импульса и одна из его проекций на выбранную ось координат. Это означает, что, в отли- чие от классических представлений, момент импульса в квантовой физике не является векторной величиной. Геометрическая интер- претация (весьма условная!) квантового момента импульса может быть следующей. Геометрическое место радиус-векторов опреде- ленной длины \L\ с их постоянной проекцией Lz на выбранную ось
174 Лекция 9. Волновая функция и операторы квантовой механики представляет собой конус. Измерение в любой момент времени мо- мента импульса дает одну из произвольных образующих данного конуса. При повторении измерений момента импульса в том же состоянии будут получаться случайным образом другие образую- щие. Усреднение результатов измерений проекций Lx и Ly даст нулевые значения в полном соответствии с выводами квантовой теории (см. дополнение 9.2). Геометрические соотношения между модулями и проекциями момента импульса можно наглядно проиллюстрировать с помощью «векторной модели». Величина \L\ изображается длиной символи- ческого вектора, начало которого совмещается с началом коорди- Рис. 9.1. Изображение проекций момента импульса с помощью векторной мо- дели: а) проецирование символического вектора с модулем L = |L| на ось Z; б) проецирование символического вектора для орбитального числа I = 1; в) про- ецирование символического вектора для орбитального числа I = 2 нат. Этот «вектор» ориентируется в плоскости, содержащей ось Z, таким образом, чтобы его проекции принимали значения из ряда (9.48). На рис. 9.1 приведены изображения проекций момента им- пульса с помощью векторной модели для орбитальных квантовых чисел I = 1 и I = 2. Подчеркнем, что стрелки, приведенные на рис. 9.1, не явля- ются векторами момента импульса, а лишь наглядным способом изображения дискретных проекций Lz момента импульса при за- данной величине модуля момента импульса |£|.
9.6. Оператор квадрата момента импульса 175 Задачи к лекции 9 1. Вычислить коммутатор следующих операторов: а) гамильтониана свободной частицы и координаты х; б) гамильтониана свободной частицы и проекции импульса рх, в) кинетической энергии и потенциальной энергии кулоновского поля; г) координаты z и проекции импульса pz; д) проекции импульса рх и проекции момента импульса Lx. 2. Непосредственно доказать ортогональность сферических функций со следующими квантовыми числами: а) I = 1, тп = 0 и I = 1, m = 1; б) I = 0, тп = 0 и I = 1, тп = 0; в) I = 0, тп = 0 и I = 2, тп = 0; г) I = 1, тп = 1 и I = 2, тп = 0.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 9 9.1. Коммутационные соотношения для операторов квадрата модуля и проекций момента импульса Прежде всего покажем, что операторы разных компонент момента импульса не коммутативны. Запишем: LxLy — К . 2 г д2 д ( д\ h д2 2 д2 1 zxdydz+z дудх_ = h2 д2 д д2 д2 2 д2 1 ухдГ2 ~уТх~ yzd^x ~ zxd^z + * (Д.9.1) Аналогично получаем ’ д2 9 ( д\ д2 yXd^~XWz \ZVy)~Zy^dz д2 ' дх ду = П2 ' д2 д д2 д2 2 д2 1 yxdz'i Хду xzdzdy zydxdz+z дхду. (Д.9.2) Непосредственно сравнивая полученные произведения операторов, можно убедиться, что они не совпадают, т.е. LxLy / LyLx. Аналогично можно убедиться, что LzLy / LyLz и LZLX / LXLZ, Это означает, что никакие две компоненты момента импульса в физической системе не мо- гут быть измерены одновременно. Исключение составляет тривиальный случай, когда все три компоненты равны нулю. Из этого следует, что классическое понятие вектора момента импульса в квантовой физике не имеет аналога.
Дополнения к лекции 9 177 Вычислим коммутатор — LxLy LyL% — г д2 д д2 д2 [yXd72-yTx-yZd7d-x-ZXd^z г д2 д д2 д2 [ухд^-хд^-хгд^-гуд^- ' д 5 1 ,t f ,t Г д С хя---Уя~ =гп\-гП, х--у— оу ох\ [оу ох = h2 -h2 = Н2 д2 .2 ду дх д2 1 .2______ _ дх ду = -ihLz. (Д.9.3) ' д д' *ду У дх Аналогично можно получить соотношения LyLz —LzLy = ihLx и LZLX — LXLZ — ihLy. Рассмотрим свойства коммутативности операторов проекций момен- та импульса и оператора квадрата момента импульса. Во-первых, убе- димся, что LXL2X = L2LX. Запишем: ,t3 / д д\2 ( д д\ +Л \yai-zau) = -iS3 -’T-) 6'F I "'' (Д-94) \ dz ду J \ dz dy J Свойства коммутативности оператора квадрата момента импульса с операторами компонент момента импульса нетрудно получить непосред- ственно, однако короче это можно сделать, используя уже полученные свойства коммутативности операторов компонент момента импульса. За- пишем: LxLy LyLx — ihL z и подействуем на это соотношение справа и слева оператором Ly: LxLyLy LyLxLy — ihL zLy, LyLxLy LyLyLx — iHLyLZl или LxLy LyLxLy — ihLzLy, LyLxLy LyLx — ihLyL z. Складывая уравнения, получим LxLy LyLx — ih(LzLy 4~ LyLz}. (Д.9.5)
178 Дополнения к лекции 9 Аналогично, умножение обеих частей уравнения LZLX LXLZ ~ ihJ-jy на оператор Lz дает следующие соотношения: ТуzLxLz LXLZ — iJxLyLz^ LZLX L ZLXL z = ihLzLy. Складывая два последних уравнения и умножая обе части на —1, по- лучим LXL2Z — L2ZLX — —ih(LyLz 4~ LzLy). (Д.9.6) Сложим выражения (Д.9.4), (Д.9.5) и (Д.9.6): LXL^. — L^LX 4- LxL%j — L^LX 4- LXL2Z — L2ZLX — — zfb^Lz^y 4* LyLz LyLz LzLy^ — 0 или ^(^2 4- L2y 4- L2Z} — (L2 4- L2 4- L2Z)LX = 0. Это означает, что LXL2 - L2Lx = 0, т. e. оператор ^-компоненты момента импульса коммутирует с операто- ром квадрата момента. Аналогичное соотношение можно получить и для других компонент момента импульса. Итак, подведем итоги. Полученные свойства коммутативности LxLy LyLx — ilbLzi LyLz LzLy — i^LXj LZLX LXLZ — iJiLy) LXL2 - L2Lx = 0, LyL2 - L2Ly = 0, LZL2 - L2Lz = 0 (Д.9.7) говорят о том, что у квантовой частицы одновременно можно измерить квадрат модуля момента импульса и одну из его компонент. Теперь мы можем доказать, что сферические функции Кп1(0, ¥>) = (~^kJ4^+ |^|)! pz”l(cosехР
Дополнения к лекции 9 179 являются также собственными функциями оператора Lz. Для этого за- пишем I у 47г(/ 4- |т|Д I и<р ) = tim j (-1)*/' Fzm(cos61) I ехР (z'w) = hrnYim(6,(p). I у 47г(/ 4- |т|Д I Итак, мы убедились, что сферические функции являются также соб- ственными функциями оператора проекции момента импульса на ось Z. 9.2. Средние значения физических величин В лекции 9 было показано, что в данном состоянии частицы (или сис- темы частиц), характеризуемом волновой функцией Ф(г, t) (или Ф(гг, £)), не все физические величины имеют определенные значения. Например, свободная частица в состоянии с определенной проекцией импульса рх не имеет определенного значения координаты х. В квантовой механике среднее значение физической величины А в момент времени t в системе, которая описывается волновой функцией Ф(г,£), определяется как At= Ф*(г,£)АФ(г, £)dV. (Д.9.8) В качестве первого примера рассмотрим нерелятивистскую частицу, которая совершает одномерное движение на отрезке длины L. Ее нор- мированная волновая функция записывается в следующем виде: ( [2 ( iEt\ . (рх\ \ — ехр------— sin — при 0 < х L, Ф(г,£) = «{У£ \ h J (Д.9.9) . О, если х < 0 или х > L, где Е — энергия частицы, р — модуль ее импульса. Такая волновая функция описывает движение частицы в бесконечно глубокой потенци- альной яме, которая подробно рассматривается в лекции 10. Свойство не- прерывности волновой функции приводит к тому, что модуль импульса частицы может принимать только следующие квантовые значения: лКп Р=~Г’ (Д.9.10) где п — любое натуральное число.
180 Дополнения к лекции 9 Найдем среднее значение кинетической энергии частицы на интер- вале [0,L]. Запишем, используя определение (Д.9.8) и выражение опе- ратора (9.17): Ф*(г,£)Т Ф(г,£) = L 2 Г /iEt\ , /рх\ ( h2 _Л ( iEt\ . fpx\ , - / exp — sin I —) Vz exp —— sin — ) dx = L J \ h J \ П J \ 2m J \ h J \ h / = ~T^ [exp (°)sin (i)sin (jr)dx = Jj 2m J \ Тъ ' dx J Л ✓ о 2 p2 (Д.9.11) Вычисление интеграла с использованием соотношения (Д.9.10) дает зна- L чение —. Таким образом, среднее значение кинетической энергии ча- стицы получается равным __ 2 T=f-, (Д.9.12) что совпадает с известным классическим выражением. Аналогично можно вычислить среднее значение координаты час- тицы, описываемой волновой функцией (Д.9.9). Запишем по определе- нию (Д.9.8) и вычислим: L L х = f Ф*(г,£)£Ф(г,£) =-| х sin2 -l о dx = Таким образом, среднее значение координаты соответствует положению частицы в центре отрезка длины L, В качестве еще одного полезного примера вычисления средних значе- ний рассмотрим состояния физической системы, в которых имеют опре- деленные значения квадрат момента импульса L2 и одна из его проекций Lz. В этих состояниях, как показано в § 9.4 и в дополнении 9.1, две дру- гие проекции Lx и Ly не имеют определенных значений. Вычислим средние значения этих проекций Lx и Ly в заданных со- стояниях, пользуясь определением (Д.9.8). Согласно §9.6 собственными функциями этих состояний являются сферические функции выраженные формулами (9.53). Для вычисления средних значений Lx и Ly целесообразно исполь- зовать операторы L+ и L_, которые выражаются линейными комбина-
Дополнения к лекции 9 181 циями операторов Lx и Ly: Z% = Lx + iLy, L_ = Lx — lLy. (Д.9.13) Операторы (Д.9.13) замечательны тем, что, действуя на сферическую функцию они увеличивают или уменьшают на единицу пара- метр т по следующим правилам: L+Ylm(0^ = (Д.9.14) = C2Yi^e^\ (Д.9.15) где постоянные коэффициенты С\ и С2 выражаются через параметры I и т сферической функции: Cl = hy/(l-m + l)(l + m), С2 = V(/ + m + l)(/-m). (Д.9.16) Теперь запишем выражение для среднего значения Lx: Lx = f У Y£n(0,p)LxYlm(0,^sm0d0dv. (Д.9.17) О о Используя определение (Д.9.13), представим оператор Lx в виде линей- ной комбинации операторов L+ и L_: Lx = L+ + L~ (Д-9.18) и подставим (Д.9.18) в (Д.9.17): 7Г 27Г Lx = 111 Yjm ^)-j-Ylm (3y?) sin 3 d3 dtp~\~ о 0 +^l I Yfm(0,<p)L_Yim(9,rf sin0 d9 d<p. 0 0 Воспользуемся свойствами операторов (Д.9.14) и (Д.9.15): Lx = У J~ Yl*m(e,cp)Yi<m+i(<e,tp')sin9d0dip+ О о // Yi*m(e,<p)Yl>m_1(e,v)sined0d^. О о
182 Дополнения к лекции 9 Из-за свойства ортогональности сферических функций (9.55) оба инте- грала в предыдущем уравнении равны нулю. Следовательно, Lx = 0. (Д.9.19) Аналогично вычисляется среднее значение Ly. Для этого оператор Ly с помощью определений (Д.9.13) представляется в виде Ц = L+~L~ (Д.9.20) и подставляется в выражение 7Г 2тг LV = I У Yt*m(9, v)LyYim(9,<p) sin $ dddp. (Д.9.21) О о Далее нетрудно вычислить, что Ly = 0. (Д.9.22) Таким образом, средние значения проекций момента импульса Lx и Ly в состояниях, где квадрат момента импульса L2 и проекция Lz имеют определенные значения, равны нулю. Это означает, в частности, что при измерениях проекций Lx и Ly с одинаковой вероятностью получаются как положительные, так и отрицательные значения.
Лекция 10 СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 10.1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний Для атомной физики особое значение имеет исследование ста- ционарных состояний физических систем. Стационарными на- зываются состояния, в которых энергия частицы (или системы частиц) имеет определенное значение. Стационарные состояния вводятся в тех случаях, когда гамильтониан системы Н не за- висит явно от времени. Например, это условие выполняется для движения системы частиц в потенциальном поле, не зависящем явно от времени. Волновая функция Ф(г, t) системы в стационарных состояниях может быть представлена произведением координатной ^(г) и вре- менной x(t) частей: Ф(г,0 = ^(r)x(i). (10.1) (10.2) Подстановка функции (10.1) в уравнение Шредингера (9.6) дает W(r)^^ = х(<)Я^(г). at Перепишем полученное уравнение в виде ft dx(t) = Нф(г) \(<) dt V’(r) Правая часть последнего уравнения зависит только от координат, а левая только от времени. Поскольку уравнение (10.2) должно выполняться для всех возможных значений координат и времени, то правая и левая части должны быть равны некоторой константе Е, т. е. И dx(t) _ Я^(г) _ „ (10.3)
184 Лекция 10. Стационарные состояния Решение первого уравнения с точностью до постоянного множи- теля записывается в виде ( Е \ (Ю-4) где А — константа. Так как нормировка (9.4) проводится для пол- ной волновой функции (10.1), то без потери общности можно по- ложить А = 1. Нормировка (9.4) полной волновой функции Ф(г, t) проводится подбором коэффициента перед координатной частью волновой функции V>(r), как это будет показано ниже в данной лекции. При А = 1 всегда выполняется равенство |х|2 = 1. В начале предыдущей лекции было отмечено, что волновые функции одной и той же системы в одном и том же состоянии могут отличаться на множитель ехр (га), где а — произвольное комплексное число. Это означает, что в стационарных состояниях временная часть волновой функции xW не дзет информации о пространственном распределении ме стона хождения частицы в стационарном состоя- нии. Второе уравнение системы (10.3) можно переписать в виде Я^(г) = £л0(г). (10.5) Это уравнение представляет собой уравнение на собственные функ- ции и собственные значения гамильтониана. В соответствии со смыслом оператора Н множество его собственных значений обра- зует спектр возможных значений энергии Е рассматриваемой си- стемы в соответствующих состояниях, которые задаются волно- выми функциями V’(r)- Решения уравнения (10.5) дают волновые функции V;(r) стационарных состояний данной системы и значе- ния энергии jE, которые может иметь система, характеризуемая гамильтонианом Н. Уравнение (10.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. Квадрат модуля координатной части волновой функции |^(г)|2 описывает пространственное распреде- ление вероятности системы (или частицы) в данном стационарном состоянии с определенной энергией Е. Состояние с минимально возможной энергией для данной системы называется основным. Спектр собственных значений физических характеристик квантовой системы может быть как непрерывным, так и дискрет- ным. Это в полной мере относится и к стационарным состояниям, определяемым уравнением (10.5). Можно показать, что если дви- жение системы финитно (происходит в конечном объеме простран- ства), то спектр стационарных состояний дискретный. Иначе го- воря, системы, совершающие финитные движения, могут иметь
10.2. Движение частицы в одномерной потенциальной яме 185 только дискретные значения энергии. Если же движение частиц системы инфинитно (когда хотя бы одна частица системы уходит в бесконечность), то спектр энергий стационарных состояний не- прерывен. Отсюда, в частности, следует, что электрон в связанном со- стоянии (например, в атоме) должен обладать дискретным спек- тром стационарных состояний с определенными энергиями, что и декларировали постулаты Бора. Напротив, энергии свободных электронов, рассеивающихся на атомах, могут иметь любые дей- ствительные значения энергий из заданного интервала. 10.2. Движение частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме Для того чтобы выяснить некоторые общие свойства стацио- нарных состояний, обратимся сначала к простым одномерным за- дачам, в которых рассматривается движение частиц вдоль прямой линии. Пусть частица с массой m движется в области постоянной по- тенциальной энергии, на границах которой находятся абсолютно отражающие стенки. Расположим ось координат X вдоль напра- вления движения частицы. При этом функция потенциальной энергии может быть записана в виде О, оо, 0 х а, х < 0, х > а. (10.6) Рисунок 10.1 иллюстрирует физическую ситуацию, когда дви- жение частицы ограничено идеально твердыми непроницаемыми Рис. 10.1. Одномерная бесконечно глубокая потенциальная яма стенками, расположенными в точках х = 0 и х = а. Функцию вида (10.6) называют бесконечно глубокой одномерной потенциальной ямой.
186 Лекция 10. Стационарные состояния В классической физике аналогом данной системы является движение небольшого тела внутри горизонтального ящика с высо- кими упругими стенками и гладким дном. Как известно, движение такого тела является финитным, спектр энергии непрерывным, а тело может находиться с равной вероятностью в окрестностях лю- бой точки своей траектории. Для исследования законов движения квантовой частицы най- дем волновые функции стационарных состояний частицы в за- данной потенциальной яме и энергии частицы в этих состояниях. Гамильтониан частицы внутри ямы содержит лишь оператор ки- нетической энергии и имеет вид (Ю.7) (10.8) 2m 2m dx2 * Запишем для частицы в яме уравнение Шредингера для стацио- нарных состояний (10.5) и преобразуем его к виду 2mE t ф +"^2_V’ = 0. Решение этого однородного уравнения запишем в виде = Asin^kx) + В cos {кх\ где А, В — постоянные, и введено обозначение _ /2тЕ к = у-р- (10.9) (10.10) Стенки в нашей физической системе являются идеально твер- дыми, согласно заданным условиям (10.6). Это обусловливает не- возможность проникновения частицы в области вне потенциальной ямы (х < 0 и х > а), поскольку для этого необходимо совершить бесконечно большую работу. Следовательно, для волновой функ- ции имеем соотношения ^(x < 0) = ^{x > a) = 0, откуда в силу свойства непрерывности волновой функции получаем для нее гра- ничные условия *ф(х = 0) = ^(х = о) = 0. (10.11) Из этих граничных условий следует, что постоянная В в функции (10.9) равна нулю. Кроме того, второе условие из (10.11) дает важное соотношение sin (ко) = 0. Отсюда получается, что величина к может принимать лишь дис- кретный ряд значений: кп = — п, п = 1,2,... (10.12) а
10.2. Движение частицы в одномерной потенциальной яме 187 Значение п = 0 отбрасываем, так как при этом к — 0 и волно- вая функция (10.9) становится тождественно равной нулю. Этот случай не реализуется в нашей физической системе (вероятность нахождения частицы в любой точке потенциальной ямы равна нулю) и поэтому может быть исключен из рассмотрения. Из соотношений (10.10) и (10.12) следует, что значения энер- гий частицы в потенциальной яме (10.6) имеют дискретный спектр тг2Л2 £п = -^п2, п = 1,2,... (10.13) Каждому значению энергии Еп соответствует своя волновая функ- ция I / \ А * / 1 \ А • ТСТЬХ 'фп(х) = Asm (knx) = Asm-------, n = 1, 2,... a Поскольку движение частицы финитно, коэффициент А нахо- дится с помощью следующего условия нормировки: а а |^п(ж)|2 dx = А2 у* sin2 (knx) dx = 1. о о Выполняя интегрирование, получаем А = у/2/a. Таким образом, стационарные состояния частицы, находящей- ся в бесконечно глубокой потенциальной яме, описываются дис- кретным набором волновых функций V’n(^) = n = l,2,... (10.14) V a a Целое число n нумерует дискретные стационарные состояния ча- стицы и называется квантовым числом. Согласно (10.13), с уве- личением квантового числа п значения энергии возрастают ква- дратично. Мы получили, что для рассмотренной физической задачи вы- полняется ранее указанное свойство квантовых систем — финит- ное движение описывается дискретным спектром стационарных состояний и соответствующих энергий. Следует для сравнения вспомнить, что, согласно классической физике, частица в потен- циальной яме может иметь любую энергию из непрерывного мно- жества значений. тт -г / ч [% . кпх ( .Е \ Полные волновые функции Фиг, t) = w-sin-----ехр I — г-г-t у а а \ П J рассматриваемых стационарных состояний представляют собой стоячие волны, причем величина (10.12) имеет смысл волнового числа. Дискретный набор волновых чисел кп (п = 1,2,3,...)
188 Лекция 10. Стационарные состояния делает эти функции в математическом смысле аналогичными сто- ячим волнам в кубе, которые мы получали при выводе формулы Релея-Джинса (см. лекцию 3). Полезно рассмотреть несколько конкретных состояний части- цы в заданном потенциальном поле (10.6). Во-первых, заметим, что, в отличие от классической частицы, кинетическая энергия квантовой частицы в глубокой потенциальной яме не может быть равна нулю. Выше уже было установлено, что для стационарных состояний частицы п 0 и ее энергия Еп 0. Фигурально выра- жаясь, квантовая частица не может покоиться на дне потенциаль- ной ямы. Пусть п = 1. Это состояние с наименьшей кинетической энер- гией El = 2та2’ (10‘15) т. е. основное состояние. Оно характеризуется волновой функцией V’i(z) = \ - sin (—(10.16) V й > о ' Плотность вероятности обнаружения частицы внутри потенци- альной ямы вида (10.6) выражается тригонометрической функ- цией координаты х\ 1^1 (ж) |2 — - sin2 (—ж) . О \ Q, / Видно, что плотность вероятности максимальна для точки х = a/2 и уменьшается до нуля у краев потенциальной ямы (см. рис. 10.2). Теперь рассмотрим состояние с п = 2. Это первое возбужден- ное состояние согласно общей формуле (10.13) имеет энергию 2тг2Й2 Е2 =----5-=4£?i, (10.17) то/ т.е. в 4 раза больше энергии Е± основного состояния. Волновая функция первого возбужденного состояния ^(^) = \ ~ sin (2—х} (10.18) V Oi \ a / имеет пространственный период в 2 раза меньше по сравнению с волновой функцией 'ф1(х) основного состояния. При вычислении плотности вероятности распределения коор- динаты частицы в яме получается удивительный результат: |^2(^)|2 = - sin2 Г2—яЛ . О \ CL /
10.3. Движение частицы в одномерной яме конечной глубины 189 Эта функция имеет ноль при х = а/2, т. е. вероятность нахожде- ния частицы в окрестностях центра потенциальной ямы практи- чески равна нулю! (См. рис. 10.2.) Аналогично можно написать выражения для энергии и плот- ности вероятности частицы в других состояниях (рис. 10.2) и убе- Рис. 10.2. Дискретные значения энергии и плотности вероятности для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками. Показаны состояния с квантовыми числами п = 1,2,3 диться в неоднородном распределении плотности вероятности ко- ординаты частицы внутри потенциальной ямы. В классической механике вероятность нахождения частицы в различных точках внутри потенциальной ямы может быть выра- жена следующей функцией: j г> ( \ 2 dx dP(x) = ~ = moi’ где dt — время, за которое частица проходит отрезок длиной dx, Т — период колебаний частицы в потенциальной яме, v — ско- рость частицы. Множитель 2 обусловлен тем, что частица отрезок dx за период проходит дважды (в двух противоположных напра- влениях). У частицы в потенциальной яме (10.6) скорость не за- висит от координаты ж, следовательно, вышеприведенные вероят- ности для различных точек внутри ямы одинаковы. 10.3. Движение частицы в одномерной потенциальной яме конечной глубины Во многих физических задачах рассматривается движение ча- стицы во внешнем поле, которое описывается потенциальной ямой конечной глубины.
190 Лекция 10. Стационарные состояния Пусть одномерная потенциальная яма имеет прямоугольную форму, изображенную на рис. 10.3. В этом случае зависимость потенциальной энергии от координаты можно записать в виде О, и0, 0 х < а, х < 0, х > а. (10.19) Как и в предыдущем параграфе, будем искать волновые функ- ции стационарных состояний данной частицы и энергии частицы в этих состояниях. Рис. 10.3. Функция потенциальной энергии для «одномерной ямы» конечной глубины: Uq — глубина ямы, а — ширина ямы. Цифрами 7, 2 и 3 обозначены области одномерного пространства х < 0, 0 $аих> а соответственно В отличие от предыдущей задачи, для потенциальной ямы конечной глубины возможны две различные физические ситуа- ции. 1. Энергия частицы Е меньше Uq. Как говорят, частица на- ходится в потенциальной яме. Движение частицы при этом фи- нитно. 2. Энергия частицы Е больше Uq. При этом движение частицы становится инфинитным. Сначала рассмотрим первый случай, когда Е < Uq. Для реше- ния поставленной задачи целесообразно разбить весь бесконечный интервал изменения координаты —оо < х оо на три области, как это показано на рис. 10.3. Прежде всего видно, что гамильтониан для области 2 имеет вид отличный от остальных областей: f h2 d2 2m dx2 < 2m dx2 + Uq для области 2, для областей 1 и 3. (10.20)
10.3. Движение частицы в одномерной яме конечной глубины 191 Подстановка гамильтониана (10.20) в (10.5) дает два уравнения Шредингера для разных областей: 'ф" + к2/ф = 0 для области 2, (10.21) — х2,ф — 0 для областей 1 и 3, где величина к задана формулой (10.10), а положительный пара- метр х определен следующим образом: х = J2m^U°~E\ (10.22) V Й2 Решения уравнений (10.21) для разных областей целесооб- разно записать в следующем виде, что облегчает дальнейший ана- лиз: = Л1 ехр (хж) + Az ехр (—ха:), ^2 = Aq sin (кх + 5), фз = Bi ехр [—х(ж — а)] + Bz ехр [х(ж — а)], х<0, (10.23) О^ж^а, (10.24) х > а. (10.25) Выражение (10.24) означает, что в центральной области (0 С х С а) полная волновая функция построена в виде стоячей волны. Коэффициенты Ai, Bi, Az, Bz, Aq и 6 в функциях (10.23)- (10.25) являются константами интегрирования, которые должны определяться из граничных условий, а также в случае финитного движения (Е < Uq) из условия нормировки. Если коэффициент Az имеет ненулевое значение, то при стрем- лении координаты х —> —оо функция неограниченно возра- стает. Так как, согласно общим свойствам, волновая функция должна быть ограниченной, то коэффициент Az должен равняться нулю. По той же причине коэффициент Bz — 0. Для вычисления оставшихся констант следует воспользовать- ся свойством непрерывности волновых функций и их производ- ных. «Сшивание» функций и их производных на границах обла- стей, т.е. в точках х — 0 и х = а, дает следующую систему уравнений: V’i(o) = -02(0), Ao sin 6 = А, (10.26) ^1(0)=^2(0), AqA;cos5 = хА, (10.27) ^2 (а) = "03 (а), Aq sin (ка + 6) = В, (10.28) ^(а) = ’/’з(а), AqAjcos (ка + 6) = —хВ. (10.29)
192 Лекция 10. Стационарные состояния Деление (10.26) на (10.27) и (10.28) на (10.29) дает два следующих уравнения: _ к z, к tgd = —, tg (ka + о) =------. Выражая тангенсы через синусы, получим эквивалентную систему уравнений к к sin 6 = —, sin (ка + 5) =----- х0 х0 где введено новое обозначение (10.30) (10.31) = 2т/7о Л2 Запишем систему уравнений (10.30) для обратных тригонометри- ческих функций: х . к о = arcsin —, х0 к ка + 6 = пк — arcsin —, п = 1,2,3,... х0 (10.32) Во втором уравнении системы (10.32) появился дискретный пара- метр п, который может принимать произвольные целочисленные значения. Подстановка первого уравнения системы (10.32) во второе дает единственное уравнение к ка — пк — 2 arcsin —, п = 1, 2,3,... (10.33) Xq относительно величины к. Прежде чем решать это трансцендентное уравнение, заметим, что при Е Uq оно превращается в уравнение (10.12) для беско- нечно глубокой потенциальной ямы. Действительно, при Е Uq отношение /с/xq = \/E/Uq становится много меньшим единицы и arcsin (к/иц) можно положить равным нулю. Тогда 6 = 0 и уравнение (10.33) становится совпадающим с (10.12). Нелинейное уравнение (10.33), вообще говоря, решается чи- сленными методами. Пример графического решения, приведен- ный на рис. 10.4, позволяет сделать некоторые важные выводы. На рис. 10.4 изображены графики зависимостей от величины к правой и левой частей уравнения (10.33). Каждое пересечение графиков дает определенное значение волнового числа кп, которое является корнем уравнения (10.33). Ряд значений дискретного параметра п = 1,2,3,... обусловливает существование нескольких различных решений кп данного уравнения.
10.3. Движение частицы в одномерной яме конечной глубины 193 Найденные волновые числа кп, согласно соотношению (10.10), определяют энергии стационарных состояний частицы в потен- циальной яме (10.19). Таким образом, количество пересечений графиков на рис. 10.4 равно числу стационарных состояний ча- стицы. Приведенный пример наглядно демонстрирует, что спектр вол- новых чисел кП} которые получаются решением уравнения (10.33), Рис. 10.4. Пример графического нахождения волновых чисел кп для частицы, находящейся в потенциальной яме конечной глубины при условии Е <Uq. Раз- меры потенциальной ямы Uq и а и масса частицы тп определяют величину xq и, следовательно, количество пересечений графиков, которое при данных пара- метрах равно трем остается дискретным для потенциальной ямы любой глубины. А это означает, согласно (10.21), что при Е < Uq спектр значе- ний энергий частицы, находящейся внутри ямы, также остается дискретным. Различные стационарные состояния частицы нуме- руются квантовым числом п. Волновая функция (10.24) стационарного состояния частицы внутри потенциальной ямы является отрезком синусоиды. В отли- чие от случая бесконечно глубокой ямы, эта синусоида не зануля- ется в точках х = 0 и х = а. В областях 1 и 3 (т. е. вне ямы) та же
194 Лекция 10. Стационарные состояния волновая функция представляется экспонентами (10.23) и (10.25), убывающими при удалении от стенок потенциальной ямы. На рис. 10.5 приведен качественный вид зависимости квадрата модуля волновых функций от координаты (т.е. распределения Рис. 10.5. Качественный вид распределения плотности вероятности двух ста- ционарных состояний с квантовыми числами п = 1 и п = 2 для частицы в потенциальной яме конечной глубины при Е < Uo плотности вероятности нахождения частицы в потенциальной яме) для двух стационарных состояний с квантовыми числами п = 1 и п = 2. Так как волновые функции в областях 1 и 3 экспоненциально убывают при неограниченном возрастании модуля координаты |ж|, движение частицы в потенциальной яме конечной глубины при Е < Uq является финитным. Таким образом, вновь финитное движение частицы характери- зуется дискретным спектром стационарных состояний и соответ- ствующих значений энергии.
10.3. Движение частицы в одномерной яме конечной глубины 195 Из рис. 10.4 ясно, что при конечных значениях ширины a и глубины Uq ямы (в случае Е < С7о) количество пересечений прямой ka и ветвей функции пл — 2 arcsin (fc/xo), где п = 1, 2, 3,... конечно. Следовательно, количество стационарных состояний с различной энергией для частицы с Е < Uq также конечно. С уменьшением ширины ямы угол наклона прямой ka на рис. 10.4 уменьшается. При этом также уменьшается количество стационарных состояний. Однако по рисунку видно, что сколь угодно узкая потенциальная яма содержит одно стационарное со- стояние. Аналогично можно показать, что в сколь угодно «мелкой» яме образуется хотя бы одно стационарное состояние с Е < Uq. Теперь перейдем к физической ситуации, когда энергия ча- стицы Е превышает величину Uq. Этот случай соответствует ин- финитному движению частицы. Пусть при этом частица движется с кинетической энергией Е — Uq из области 1 вдоль оси коорди- нат х. Вновь будем искать стационарные состояния с помощью урав- нения Шредингера (10.5). Прежде всего заметим, что вид гамиль- тониана частицы (10.20) не изменяется при условии Е > Uq. Од- нако уравнения Шредингера для случая Е > Uq целесообразно записать в следующем виде: 'ф" + к?"ф = 0 для области 2, z Л Л (10.34) 'ф" + kl'ip = 0 для областей 1 и 3, несколько отличном от (10.21). В уравнениях (10.34) использо- ваны обозначения kl=2m(Ef-U°}. (10.35) Видно, что в области 2 уравнения Шредингера для случаев Е > Uq и Е < Uq имеют идентичный вид. Однако решения уравнений (10.34) целесообразно записать в форме, соответствующей бегу- щим волнам: = Ai ехр (ikix) + ехр (—ik\x), х < 0, (10.36) ^2 = Ci ехр (ifcirc) + С2 ехр (—zfcr), 0 х а, (10.37) = В\ ехр [iki(х — а)] + В2 ехр [—iki(x — а)], х > а. (10.38) Экспоненты с положительным аргументом изображают волны, бегущие в положительном направлении оси X, с отрицательным аргументом — в противоположном направлении. Для нахождения констант интегрирования Л1, Bi, Л2, В2, Ci, С2 используются граничные условия. Предположим, что частица движется из —оо в положительном направлении оси X. Тогда
196 Лекция 10. Стационарные состояния в области 3 наличие отраженной волны невозможно, что обусло- вливает равенство В? = 0. Требование непрерывности волновой функции (10.36)—(10.38) и ее производной дает возможность со- ставить 4 уравнения «сшивания» в точках х = 0 и х = а, анало- гичные уравнениям (10.26)—(10.29). Чтобы определить константу Л1, требуется задать некоторое дополнительно граничное условие. В нашей задаче существенно, что движение частицы при усло- вии Е > Uq инфинитно и волновая функция не нормируется на единицу. Кроме того, в процессе решения уравнений Шредин- гера (10.34) нигде не накладывались никакие условия, приводя- щие к дискретности значений волновых чисел к и к±. Иначе го- воря, спектр волновых чисел к и к± и соответствующих волновых функций (10.36)—(10.38) является непрерывным. Как следствие, уравнения (10.35) обусловливают непрерывный спектр энергий ча- стицы Е в случае Е > Uq. Таким образом, в данной задаче показано, что инфинитному движению с энергий частицы Е > Uq соответствует непрерывный спектр стационарных состояний. Заметим, что при этом для опре- деленного значения энергии Е существует два различных состо- яния, характеризующие движение частицы справа налево и слева направо. Следовательно, каждому значению энергии Е соответ- ствует две разные волновые функции, что свидетельствует о дву- кратном вырождении спектра. Задачи к лекции 10 1. Зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид «ступеньки» тп у-fU = Q> х<^ ( и = Uo, X 0. Частица с импульсом р и энергией х из области отрицательных координат Е < Uq движется вдоль (см. рисунок). Вычислить оси ха- рактерную глубину проникновения частицы массы тп внутрь области х > 0. Расчеты провести для массы электрона и «ступенек» высотой:
10.3. Движение частицы в одномерной яме конечной глубины 197 1) С7о — 5 эВ, 2) 10 эВ, 3) 20 эВ. Для каждой высоты взять значения энергии: 1) Е = 0,1 UQ- 2) Е = 0,5 %; 3) Е = 0,9 Uo. 2. Вычислить коэффициент прохождения сквозь прямоугольный од- номерный потенциальный барьер для энергии частицы равной высоте барьера Uq. Провести расчеты для толщины барьера 2 А, 5 А, 10 А и высоты барьера 5 эВ, 10 эВ, 20 эВ. 3. Вычислить среднюю кинетическую энергию электрона, находяще- гося в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L, в стационарном состоянии с квантовым числом: a) n = 1; б) п = 2; в) п — 4.
ДОПОЛНЕНИЯ К ЛЕКЦИИ 10 10.1. Проникновение частиц в классически запрещенную область пространства Рассмотрим одномерную потенциальную яму конечной глубины Uq и ширины а. Для более удобного представления результатов расчетов выберем начало координат в центре ямы, как показано на рис. Д.10.1. Рис. Д.10.1. Одномерная потенциальная яма, симметричная относительно начала координат Зависимость потенциальной энергии от координаты записывается в следующем виде: U(x) = < 0, %, (Д.10.1) Пусть в потенциальной яме (Д.10.1) находится частица с массой тп и энергией Е меньшей величины Uq. При этом, согласно классической теории, частица может двигаться только в пределах ямы, т. е. иметь координаты в интервале [—а/2,а/2]. Невозможность проникновения ча- стицы за эти границы в классической физике формально выражается тем, что в области [—а/2 < х < а/2] кинетическая энергия становится отрицательной. В § 10.3 было показано, что в областях пространства, где энергия частицы Е < Uq, частица характеризуется волновой функцией не рав- ной тождественно нулю. Для потенциальной ямы, изображенной на рис. Д.10.1, это области (х < -а/2) и (х > а/2).
Дополнения к лекции 10 199 Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме конечной глубины в случае Е < Uq было рассмотрено в лекции 10 и записано в виде (10.21). Решение уравнения проводится аналогично изложенному в этой лекции. Однако симметрия границ потенциальной ямы (Д.10.1) обусловливает два типа решений: четные и нечетные. Рассмотрим чет- ные решения, которые записываются в следующем виде: где -0 — А ехр [х ’ а Х<~2’ (Д.10.2) -0 = В cos (kx), а а — < х < 2 2 (Д.10.3) -0 = С ехр х (я — , е |см Л Н (Д.10.4) 1 /2тЕ t=V к *=’ 12т{Ца - Е) \1 Н2 (Д.Ю.5) а коэффициенты А, В и С определяются из граничных условий, ана- логичных уравнениям (10.26)-(10.29). В частности, получается, что А = С, это также следует из симметрии потенциальной ямы (Д.10.1). Квадрат модуля волновой функции пропорционален плотности веро- ятности нахождения частицы в данной точке пространства, поэтому из (Д.10.2) и (Д.10.4) следует, что частица может проникать в «классически запрещенную» область пространства. Экспоненциальные функции (Д.10.2) и (Д.10.4) очень быстро стре- мятся к нулю при удалении от границ потенциальной ямы х = —а/2 и х — а/2. Оценим характерную глубину проникновения частицы в «клас- сически запрещенную» область как расстояние 6 от границ потенциаль- ной ямы, на котором плотность вероятности местонахождения частицы уменьшается в е раз. Выражая эту плотность вероятности, как квадрат модуля функций (Д.10.2) и (Д.10.4), получим, что расстояние S опреде- ляется уравнением ехр (—2xJ) = е, решение которого имеет вид r 1 h о = -— = —=====. 2х 2л/2т(С/0 - Е) (Д.10.6) Малая величина постоянной Планка в числителе (Д.10.6) обусловли- вает очень малые значения расстояния 6. Очевидно, что наибольшие значения 6 достигаются для частиц малой массы. Для электрона при разности энергий Uq—E = 1 эВ получаем 6 ~ 1 А. Следовательно, в подоб- ных физических системах размер «классически запрещенной» области имеет порядок атомного радиуса, что влечет нетривиальные трудности экспериментальной проверки обсуждаемого эффекта.
200 Дополнения к лекции 10 Проведем расчеты вероятности проникновения частиц на различные расстояния в глубь «классически запрещенной» области. Прежде всего заметим, что результат существенно зависит от соотношения между энергиями Е и Uq. Потенциальная яма называется глубокой, если выполняется нера- венство h2 Uq » —-. (Д.10.7) 8ma2 Если энергия частицы Е <$С Uq и потенциальная яма достаточно глу- бокая, то из соотношений (Д.10.6) и (Д.10.7) следует, что расстояние 6 пренебрежимо мало по сравнению с шириной ямы а. В этом случае волновая функция частицы практически равна нулю вне границ ямы, а внутри ямы близка к гармоническим функциям вида (10.14). Можно сказать, что проникновения в «классически запрещенные» области про- странства не происходит. Теперь рассмотрим противоположный случай, когда энергия частицы Е, оставаясь меньше величины Uq, близка к ней, т. е. Е ~ Uq. При этом характерная длина 6, согласно (Д.10.6), становится много больше ширины потенциальной ямы а. Тогда можно пренебречь гармоническим характером волновой функции в области 2 (Д.10.3) и волновую функцию основного состояния частицы на всей числовой оси аппроксимировать экспонентами вида -0 = А ехр (хж), х < 0, (Д.10.8) ф = Аехр (—хж), х > 0. (Д.10.9) Нормировка волновой функции (Д.10.8), (Д.10.9) на единицу оо У [ф(х)\2 dx = 1 (Д.10.10) —ОО позволяет вычислить предэкспоненциальный множитель А = \/ж. Плотность вероятности /(ж) иметь частице координату х выражается квадратом модуля волновой функции (Д.10.8), (Д.10.9) f(x) = хехр (2хт), х < 0, (Д.10.11) f(x) = хехр (—2хж), х > 0. (Д.10.12) Тогда вероятность того, что частица проникнет в «классически запре- щенную» область, расположенную справа от потенциальной ямы, на рас- стояние большее, чем L равна сю Р(х > L) = У f(x) dx = | ехр (-2xL). (Д.10.13) L Вероятность проникновения частицы в классически запрещенную область слева от ямы на такое же расстояние равна той же величине (Д.10.13). Эта вероятность является быстро убывающей функцией рас- стояния L. В табл. Д.10.1 приведены значения вероятности (Д.10.13) для электрона и разности энергий Uq — Е = 1 эВ.
Дополнения к лекции 10 201 Таблица Д.10.1. Вероятности проникновения электрона в классически запрещенную область для различных расстояний при разности энергий Uo — Е = 1 эВ ь(А) 1 2 3 5 10 20 ЛИ > L) 0,18 0,065 0,025 0,003 1,8 • 10-5 6,5 • Ю-10 Из табл. Д.10.1 видно, что для расстояний порядка десятков ангстрем вероятность проникновения в классически запрещенную область стано- вится исчезающе малой. Однако на расстояниях порядка нескольких ангстрем вероятностью данного неклассического эффекта пренебрегать уже нельзя. Можно проверить, что при анализе нечетных решений уравнения Шредингера получаются аналогичные оценки глубины проникновения и соответствующие вероятности. При интерпретации явления проникновения в классически запре- щенную область пространства нет оснований полагать, что частица в классически запрещенной области имеет отрицательную кинетическую энергию. Дело в том, что микрочастица не движется по определенной траектории (см. лекцию 6), а уравнение Шредингера дает возможность рассчитать лишь распределение вероятностей ее местонахождении. При этом характерную глубину проникновения (Д.10.6) можно интерпрети- ровать как неопределенность координаты Аз: « 5. (Д.10.14) Тогда, согласно соотношению (6.3), неопределенность проекции импуль- са имеет порядок Др.т > 7 = 2У2т(С70 - Е). (Д.10.15) О Последняя величина в случае одномерного движения задает неопределен- ность кинетической энергии АТ = > 4({7о _ Еу (Д.10.16) 2т Таким образом, неопределенность кинетической энергии внутри классически запрещенной области превышает величину \Е — Uo\. Следо- вательно, в рассматриваемой области координат нет оснований полагать кинетическую энергию отрицательной. Неопределенности проекции импульса Арх и кинетической энергии АТ могут быть также интерпретированы с помощью следующего рас- суждения. Обнаружение частицы в классически запрещенной области производится путем измерения ее координаты. Любое измерение со- пряжено с некоторым воздействием на исследуемый объект, которое не может быть сделано пренебрежимо малым (см. лекцию 6 и дополне- ние 6.1). Например, для измерения кинетической энергии частицы не- обходимо осуществить ее взаимодействие с другой микрочастицей. При этом процесс измерения приводит к значительному изменению кинети- ческой энергии и импульса микрочастицы.
202 Дополнения к лекции 10 10.2. Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер Рассмотрим прямолинейное (одномерное) движение частицы в потен- циальном поле, энергия которого выражается функцией U(х) следующего вида: '0, U(x) = < Uo, (о, х < 0, 0 х С а, х > а, (Д.10.17) где Uq и а — постоянные величины. Потенциальное поле вида (Д.10.17) называется одномерным прямоугольным потенциальным барьером. Энергия Uq называется высотой потенциального барьера, расстояние а — шириной (или толщиной) барьера. Рис. Д.10.2. График потенциальной энергии U(x) одномерного прямоугольного потенциального барьера Пусть частица массы т движется вдоль оси X из области отрица- тельных значений координат в положительном направлении. Рассмо- трим случай, когда энергия частицы Е меньше высоты потенциального барьера Uq. Согласно классической теории, в этом случае частица должна в точке х = 0 изменить свой импульс р на противоположный — р и уйти в на- правлении х -> —оо. В область х > 0 частица не должна попасть, так как формальное использование закона сохранения энергии дает отрица- тельную кинетическую энергию в интервале координат [0 х а]. В квантовой теории поведение частицы описывается решением урав- нения Шредингера. Методика его решения для одномерных движений микрочастиц была описана в лекции 10 и дополнении 10.1. Ось коор- динат разбивается на три интервала: (—оо < х < 0), [0 х а], (О < х < оо). Для каждого интервала записывается гамильтониан ча- стицы, затем — уравнение Шредингера. Решения — волновые функ- ции — целесообразно представить в следующем виде: 0i = Al ехр (ikx) + A<z ехр (—ikx), х < О, (Д.10.18) 02 = Bi ехр (хт) + В2 ехр (-хж), 0 х а, (Д.10.19) 0з = Ci ехр [ik(x - а)] 4- С? ехр [—ik(x — а)], х > а, (Д.10.20)
Дополнения к лекции 10 203 где i = (д1021) п, п, В первой и третьей области решения уравнения Шредингера имеют вид бегущих волн. Коэффициент С2 = 0, так как при заданных на- чальных условиях в области (х > а) нет отраженной волны. Однако коэффициент Ci, вообще говоря, не равен нулю, следовательно, частица с определенной вероятностью может из области (х < 0) попасть в область (х > а), т. е. преодолеть потенциальный барьер, обладая начальной энер- гией Е меньшей, чем высота барьера Uq. Такое прохождение частиц через потенциальный барьер называется туннельным эффектом. Сшивание волновых функций (Д.10.18)—(Д.10.20), полученных для разных интервалов координаты, и их производных в точках х = 0 и х = а на границах этих интервалов дает 4 уравнения для неизвестных коэффициентов: ^1(0) = ^2(0) -> А 4- А2 = В. 4- В2, (Д.10.22) 0i(O) = 0'(0) ikAi - ikA2 = >cBi - *В2, (Д.10.23) 02(a) = фДа) -» Bi ехр (ха) 4- В2 ехр (-ха) = (71, (Д.10.24) -02(a) =0з(а) —> Bi ж ехр (ха) — В2хехр(—ха) — ikCi. (Д.10.25) Для прикладных задач физики важна не судьба отдельной частицы, а относительная доля частиц, прошедших через потенциальный барьер. Эта характеристика, называемая коэффициентом прохождения D, есть отношение модуля плотности потока частиц, прошедших через потенци- альный барьер к модулю плотности потока падающих частиц: _Jnp_ Тпад (Д.Ю.26) В классической физике плотность потока частиц с одинаковой скоро- стью v выражается произведением концентрации частиц п на скорость v: j = nv. (Д.10.27) Согласно квантовой теории, концентрация частиц п определяется пространственным распределением плотности вероятности и, следова- тельно, выражается через квадрат модуля волновой функции частицы. Скорость частицы v может быть выражена через ее импульс р и, со- гласно (Д. 10.21), через волновой вектор волны де Бройля к: р Лк v = — = —. т т (Д.Ю.28) Сравнение волновых функций (Д.10.18) и (Д.10.20) показывает, что волновые векторы первичной (падающей на барьер) Ai ехр (ikx) и про- ходящей (71 ехр [г/и(ж — а)] волн одинаковы. Это означает, что коэф- фициент прохождения выражается отношением концентраций частиц в
204 Дополнения к лекции 10 падающей и прошедшей волне: С1СГ _ IGI2 лм; |Л|2- (Д.10.29) Из последнего выражения следует, что при вычислении коэффици- ента прохождения через потенциальный барьер без потери общности можно положить Ai = 1, иначе говоря, нормировать падающий поток на единицу. Тогда уравнения сшивания (Д.10.22) и (Д.10.23) упростятся, и коэффициент прохождения выразится следующим произведением: D = C1C1\ (Д.10.30) Пользуясь уравнениями сшивания (Д. 10.24) и (Д. 10.25), представим ко- эффициенты Bi и В2 через Ci*. Bi = Ci ехр (-ха), В2 = Ci-—ехр (ха). (Д.10.31) & и Уравнения (Д.10.22) и (Д.10.23) преобразуем к виду 1 + А2 = в1+в2, 1-Л2 = ^(В1-В2). (Д.10.32) гк Сложив уравнения (Д.10.32), а затем, подставив выражения (Д.10.31), получим коэффициент Ci в следующем виде: 2ch (ха) 4-г(х//с — Zc/x) sh (ха) ’ Умножая последнюю величину на комплексно сопряженную Cf, найдем искомый коэффициент прохождения: 4 А*2 D = 2>2 К2/ 2’ (Д'10'34) (к2 4- х2)2 sh (ха) 4- 4/с2х2 где величины к и х определяются формулами (Д.10.21). Для исследования зависимости коэффициента прохождения D от энергии частицы Е целесообразно разделить числитель и знаменатель формулы (Д.10.34) на 4&2х2 и подставить выражения (Д.10.21): D =-------------------, --------------(Д.10.35) Ц2 2 ( ay/2m(U0-E)\ 4Е(£/0 - Е) ft ) Очевидно, что при Uq > Е коэффициент прохождения D < 1. Это означает, что в данной физической ситуации лишь некоторая доля частиц участвует в туннельном эффекте.
Дополнения к лекции 10 205 Из выражения (Д. 10.35) следует, что коэффициент прохождения уве- личивается с возрастанием энергии частицы Е при фиксированных раз- мерах потенциального барьера (см. рис. Д.10.3) и достигает максималь- ного значения при Е = Uq. Рис. Д.10.3. Зависимость коэффициента прохождения через прямоугольный од- номерный потенциальный барьер от энергии частицы. Высота барьера Uq = 5 эВ. Ширина барьера: 1 — а = 2 А, 2 — а = 3 А, 3 — а = 5 А Раскрытие неопределенности в выражении (Д. 10.35) при равенстве Е = Uq дает формулу для коэффициента прохождения в этом частном случае: D(E = = l4.Jn2/^- (Д.Ю.36) 1 4- mUQ(r'/ Последняя формула показывает, что вероятность туннельного эффекта в указанных условиях возрастает с уменьшением высоты барьера Uq и его ширины а. Если энергия частицы Е много меньше высоты потенциального ба- рьера Uq, а его ширина а достаточно велика, так что справедливо нера- венство ха 1, то выражение (Д. 10.34) для коэффициента прохождения значительно упрощается: 4&х \2 р+х2; ехр (—2ха) или D « 4g(tZ° ехр Г-^У2т(С7о-£) • Ц) L (Д.Ю.37) (Д.10.38) Иначе говоря, вероятность прохождения через «широкий» потенциаль- ный барьер (ха 1) экспоненциально уменьшается с ростом его ши- рины а. Вопрос о знаке кинетической энергии частицы в диапазоне коорди- нат 0 х а разрешается также, как аналогичный вопрос для «клас- сически запрещенной» области (см. дополнение 10.1). Измерение ко- ординаты микрочастицы (например, электрона) всегда сопряжено с воздействием на эту частицу, что вызывает изменение ее импульса и
206 Дополнения к лекции 10 энергии. Можно показать, аналогично выполненному в дополнении 10.1, что минимальное изменение энергии частицы будет превышать абсолют- ную величину разности |Е - £7о | • Туннельный эффект объясняет множество удивительных физиче- ских явлений, которые невозможно объяснить в рамках классической теории. Это, например, автоэмиссия электронов из металла (см. до- полнение 10.3), альфа-распад атомных ядер, термоядерные реакции в центрах звезд и т. д. Туннельный эффект широко используется в совре- менной наноэлектронике при создании сложных гетер о структур в инте- гральных схемах для микропроцессоров. 10.3. Автоэлектронная эмиссия электронов с поверхности металла Экспериментальные исследования показали, что если приложить перпендикулярно поверхности металла постоянное внешнее электриче- ское поле достаточно большой напряженности 8, то происходит выход электронов из металла через его поверхность при комнатной темпера- туре. Это явление называется автоэлектронной или холодной эмис- сией. Для осуществления холодной эмиссии вектор напряженности внеш- него электрического поля 8 должен быть направлен из окружающего пространства к поверхности металла. Тогда электрическое поле создает силу, приложенную к электрону проводимости, равную F = —е8, и на- правленную изнутри металла к его поверхности. Можно предположить, что при достаточно большой силе F электрон проводимости может пре- одолеть потенциальный барьер, созданный ионами металла, который описывался в лекции 4. Таким образом возникнет эмиссионный ток электронов с поверхности металла. Для вычисления формы потенциального барьера на поверхности металла примем во внимание, что при удалении электрона в металле остается нескомпенсированный положительный электрический заряд е, который взаимодействует с уходящим электроном. Этот вклад во вза- имодействие может быть учтен с помощью так называемой силы элек- !-, х „ х н 1 А +е -е Металл Вакуум Рис. Д.10.4. Схема образования силы электрического изображения, действующей на электрон проводимости, уходящий из металла трического изображения между выходящим из металла электроном и симметрично расположенной «дыркой» — положительным элементарным зарядом е (см. рис. Д.10.4).
Дополнения к лекции 10 207 Таким образом, на электрон проводимости, уходящий из металла, действует суммарная сила, направленная перпендикулярно поверхности металла, модуль которой равен е2 (Д.10.39) где х — расстояние от электрона до поверхности металла. Можно полагать, что электрон находится в поле с эффективной по- тенциальной энергией вида е U = UQ-e£x-—. 4х (Д.10.40) Это означает, что внешнее электрическое поле £, накладываясь на поля ионов металла, превращает прямоугольную потенциальную «ступень» (см. рис. 4.6 в лекции 4) в барьер, изображенный на рис. Д.10.5. Этот Рис. Д.10.5. Потенциальный барьер для электронов проводимости вблизи по- верхности металла при наложении внешнего электрического поля. Жирной штриховой линией изображена функция (Д.10.40). Ав — работа выхода, Ер — энергия Ферми, а — толщина потенциального барьера для энергии электрона Е = Ер потенциальный барьер имеет треугольный профиль с закругленной вер- шиной из-за последнего члена в функции (Д. 10.40). Взяв производную от функции (Д. 10.40), приравняв ее нулю и решив получившееся уравнение, мы найдем координату xq вершины потенци- ального барьера, препятствующего выходу электронов проводимости из металла: х0 = ^£~1/2. (Д.10.41)
208 Дополнения к лекции 10 Подставляя координату (Д. 10.41) в выражение (Д. 10.40), мы получим максимальное значение потенциальной энергии: и = и0 - \/ёз 51/2. (Д.10.42) По рис. Д.10.5 видно, что электрон проводимости, обладающие мак- симально доступной энергией должен для выхода из металла пре- одолеть потенциальный барьер высотой Ав (Д-10.43) Из выражений (Д.10.42) и (Д.10.43) следует, что с ростом напряжен- ности £ приложенного электрического поля потенциальный барьер пони- жается. Таким образом, при некотором значении £о барьер должен ис- чезнуть и начаться эмиссия электронов из металла. Оценки по формуле (Д. 10.43) дают для большинства металлов значения Eq порядка 108 В/см. Например, в результате экспериментальных исследований фотоэффекта была определена работа выхода для поликристаллического вольфрама равная 4,3 эВ. Приравняв нулю выражение (Д.10.43) при Ав = 4,3 эВ, получим соответствующее пороговое значение напряженности электри- ческого поля £о ~ М • Ю8 В/см, при котором должна начаться эмиссия электронов из вольфрама. Однако, согласно опытам Милликена, замет- ный ток холодной эмиссии наблюдался уже при напряженности электри- ческого поля ~ 106 В/см, т.е. на два порядка меньше. Согласие с результатами экспериментов достигается, если объяснить холодную эмиссию туннельным эффектом, т.е. прохождением электро- нов проводимости сквозь потенциальный барьер на поверхности металла, изображенный на рис. Д.10.5. В дополнении 10.2 было получено выра- жение коэффициента прохождения через прямоугольный потенциальный барьер (Д. 10.35). В случаях, когда напряженность электрического поля значительно меньше значения £о> можно воспользоваться приближен- ной формулой (Д. 10.38) и проинтегрировать коэффициент прохождения по толщине барьера: D = Dq ехр d(F) I х/вд о — Edx (Д.10.44) Интегрирование проводится по диапазону координаты ж, правая гра- ница которого d зависит от энергии Е туннелирующего электрона. Ко- ордината правой границы d определяется уравнением U(x = d)=E. (Д.Ю.45) Пренебрегая последним членом в выражении (Д. 10.40), что незначи- тельно влияет на окончательный результат, получим решение уравнения (Д.10.45): d = (С70 ~Е)/е (Д.10.46) О
Дополнения к лекции 10 209 Вычисление интеграла (Д. 10.44) дает коэффициент прохождения D = Do ехр 4(С70 - Д)3/2 ЗеК8 = ехр (Д.10.47) где £т — константа, зависящая от работы выхода данного металла. Плотность тока автоэмиссии j пропорциональна коэффициенту про- хождения (Д. 10.44), поэтому может быть выражена в виде экспоненци- альной зависимости от величины внешнего электрического поля: j = jo ехр £т А (Д.Ю.48) Экспериментальные исследования подтвердили экспоненциальный характер зависимости j(£), которая обусловлена туннельным эффектом через потенциальный барьер на поверхности металла. Таким образом, механизм холодной эмиссии объясняется квантовой теорией.
Лекция 11 АТОМ ВОДОРОДА 11.1. Гамильтониан атома водорода Принципы квантовой механики, изложенные в предыдущих , лекциях, позволяют перейти к анализу свойств и характеристик атомов. Начнем с наиболее простого — атома водорода. Атом водорода имеет самый простой состав — он содержит 1 электрон, его ядро (протон) имеет положительный элементар- ный заряд и массу приблизительно в 1836 раз больше массы элек- трона те. В лекции 7 было показано, что размер атомного ядра примерно на 4 порядка меньше размера атома, поэтому будем полагать элек- трон и ядро точечными частицами. Взаимодействие между элек- троном и ядром описывается сферически симметричной функцией потенциальной энергии: Ц(г) = --, (11.1) г где г — расстояние между электроном и ядром. Из теоретической механики известно, что задача о взаимодей- ствии двух частиц сводится к задаче движения одной частицы с приведенной массой в центральном поле 17(г). Приведенная масса системы «электрон+атомное ядро» выражается формулой ТП^ ТП N ------------------------------------ me + win где win — масса атомного ядра. Функция Гамильтона такой системы записывается в виде сум- мы кинетической и потенциальной энергий: Я=£- + Я(г). (11.3) zmg Так как у атома водорода win = 1836 те, то приведенная масса то приближенно равна массе электрона те с относительной погреш- (И.2)
11.2. Решение уравнения Шредингера для атома водорода 211 ностью « 5-10“4. Отсюда следует, что с этой точностью в функции Гамильтона (11.3) величину р можно рассматривать как импульс электрона, а приведенную массу mg заменить на массу электрона те. Кроме того, центр масс атома можно полагать совпадающим с ядром (протоном), которое остается практически неподвижным. Начало отсчета координаты г совмещено с центром масс. 11.2. Решение уравнения Шредингера для атома водорода Рассмотрим стационарные состояния атома водорода. Для это- го требуется сначала составить уравнение Шредингера (10.5), ре- шение которого должно дать волновые функции стационарных со- стояний и значения энергии в этих состояниях. Оператор Гамильтона атома водорода получается заменой в функции (11.3) кинетической и потенциальной энергий соответ- ствующими операторами, согласно (9.17) и (9.11): Л2 е2 2mg г (И-4) Уравнение Шредингера для стационарных состояний атома во- дорода в декартовых координатах имеет вид Л2 / д2,ф д2,ф д2,ф\ е2 \ (^2 + d^+dz^)~ y^2—y2~z2 ~ ( -5) Аналитическое решение этого дифференциального уравнение второго порядка в частных производных возможно в сферической системе координат, где максимально используется сферическая симметрия атома. При замене декартовых координат на сфери- ческие уравнение Шредингера (11.5) преобразуется к следующему виду: Щ> + К2(г)ф = 0, (11.6) где величина К2 (г) является функцией только радиальной коор- динаты г: К\г) = ^(е + -\. (11.7) п,£ \ Г J Лапласиан А в сферических координатах выражается формулами (9.38)-(9.41) в лекции 9. Использование сферических координат позволяет разделить переменные. Представим искомую волновую функцию стационар- ного состояния в виде произведения ^ = аду(б,^), (И.8)
212 Лекция 11. Атом водорода где -Н(г) — радиальная часть, a Y(0, ср) — угловая часть волновой функции. Волновая функция в виде (11.8) подставляется в (11.6) и г2 обе части этого уравнения умножаются на величину —-. B(r) У(0,<р) В результате получается г*Д^(г) Я(г) +гл У((М ’ 111Я) где Д/? — радиальная часть (9.40) оператора Лапласа, Ду — его угловая часть (9.41). Левая часть последнего уравнения зависит только от расстоя- ния электрона до ядра г, правая — только от углов 0 и (/?. Для того чтобы уравнение (11.9) удовлетворялось во всех точках про- странства, правая и левая часть должны равняться одной и той же константе. Каждую часть приравняем некоторой постоянной £. Таким образом, уравнение (11.6) превращается в систему двух уравнений: ДдЯ(г) + (к2 - R(r) = 0, (11.10) ДуУ(0,<^)+ £У(0,у>) = 0. (11.11) Согласно соотношению (9.42), оператор Ду отличается от опера- тора квадрата момента импульса L2 лишь постоянным множите- лем —Л2. Следовательно, уравнение (11.11) с точностью до посто- янного множителя совпадает с уравнением (9.44) на собственные функции оператора L2. Его решением в виде ограниченных функ- ций являются сферические функции (9.53), рассмотренные в лек- ции 9, примеры которых приведены в табл. 9.2. Точнее говоря, угловая часть волновой функции Y(0, (/?) представляет собой сфе- рическую функцию Yim(0,(p), которая содержат два дискретных параметра — квантовые числа I и т. Из сравнения уравнений (9.44) и (11.11), а также соотношений (9.42) и (9.51) следует, что постоянная интегрирования £ выра- жается через орбитальное квантовое число £ = Z(Z + 1). (11.12) Подставим постоянную (11.12) в радиальное уравнение (11.10) и преобразуем его к следующему виду: d2R 2dR 2m0 („ е2 Л2Ш + 1)\ п 1О. ТТ + -7" + -^ \Е+--------------Т^-22 Д = 0- ПЛЗ drz г dr riz \ г 2mor2 J
11.2. Решение уравнения Шредингера для атома водорода 213 Подробное решение радиального уравнения (11.13) изложено в курсах квантовой механики. Здесь приведем основные результаты решения, которые потребуются для описания физических свойств атома водорода. Вид решения уравнения (11.13) зависит от знака энергии Е электрона. Для положительного значения Е > 0 спектр энергии непрерывный. В частности, в стационарные состояния с энер- гией Е > 0 электрон переходит при ионизации атома водорода. При этом электрон может удалиться от протона на неограничен- но большое расстояние. В таких состояниях кинетическая энер- гия электрона может принимать в принципе любые значения из континуума Е > 0. Заметим, что и в этой физической системе инфинитному движению соответствует непрерывный спектр энер- гий. Если Е < 0, то спектр стационарных состояний является дис- кретным. Эти состояния характеризуют финитное движение элек- трона внутри атома водорода. Решения радиального уравнения — радиальные волновые функции связанных состояний электрона в атоме водорода — мо- гут быть выражены следующим образом: RM = Сп|ехр (-0MJM (И.14) где для краткости записи введена замена переменной 2г Р=— • (П-15) пао Параметр а0 =----? и 0,529 • 1СГ8 см (11.16) meez называется первым воровским радиусом, его физический смысл изложен ниже. Функции (р) являются обобщенными полиномами Лагер- ра. Эти специальные функции подробно рассматриваются в курсе математической физики, далее будут приведены в явном виде частные случаи для состояний, наиболее часто встречающихся в физических задачах. Наконец, постоянные Cni — коэффициенты нормировки, которые также приводятся ниже. Заметим, что радиальные волновые функции зависят от двух целых параметров — квантовых чисел пи/. Параметр I был вве- ден в ходе решения исходного уравнения Шредингера в радиаль- ное уравнение (11.13). Второй дискретный параметр п появился при решении уравнения (11.13) из-за условия ограниченности (ко- нечности) волновой функции при 0 г оо.
214 Лекция 11. Атом водорода Параметр п называется главным квантовым числом и может принимать в принципе любые значения из натурального ряда п= 1, 2, 3, ... (11.17) В ходе решения уравнения (11.13) выясняется, что орбиталь- ное квантовое число I в радиальной волновой функции (11.14) мо- жет иметь лишь конечное количество значений, ограниченное ве- личиной главного квантового числа: I = 0, 1, 2, ..., n- 1. (11.18) Теперь можно записать общий вид волновой функции (11.8): фп1т(.гД,1р) = Rnltr'iYhn&ip). (11.19) Так как волновая функция (11.19) характеризует финитное движение электрона внутри атома, то она должна нормироваться на единицу. Применим правило нормировки (9.4) к функции V?(r, 0,99), используя разделение радиальной г и угловых 0, ср ко- ординат. Элементарный объем трехмерного пространства dV вы- разим через сферические координаты: dV = г2 sin# dr dd dip. (11.20) Тогда уравнение нормировки ty(r,0,4>)\2dV = l все прост- ранство разобьется на два независимых уравнения: (9.55) и оо R2nl(r)r2 dr = 1. (11.21) о Уравнение (9.55) свидетельствует, что угловая часть волновой функции Yim уже нормирована на единицу. Вычисление ин- теграла (11.21) дает явный вид коэффициента Cni радиальной ча- сти (11.14), который можно записать в виде 2 \3 (^ — Z — 1)! тшо / 2п[(п + Z)!]3 ’ (11.22) Подставив (11.22) в (11.14), мы получим явное выражение для радиальной части волновой функции 2^/(г). Несколько радиаль-
11.2. Решение уравнения Шредингера для атома водорода 215 ных волновых функций для малых значений квантовых чисел п и I приведены в дополнении 11.1. Теперь, используя выражения (11.19), (11.14), (11.22) и (9.53), можно записать явный вид волновой функции стационарного со- стояния электрона в атоме водорода: I з ^п/т(г,ад = (-i)fc+1y(—) 2(n[(n + z)q3ехр(-0х XplQn^(р)У'Z 4%(?+P/|m|(C0S ехр где переменная р связана координатой г выражением (11.15). Мы получили, что эта волновая функция зави- сит от трех дискретных параметров: квантовых чисел n, I и т, возможные значения которых заданы наборами значений (11.17), (11.18) и (9.54). Часто для краткости говорят, что тройка кванто- вых чисел n, I и m определяет стационарное состояние электрона в атоме водорода. Перейдем к собственным значениям оператора Гамильтона (11.4), т.е. к энергиям найденных стационарных состояний. Тре- бование ограниченности волновой функции V>nfrn(r> 0, V7) приводит к следующему значению энергии электрона в стационарном состо- янии: j Следует помнить, что эта величина является суммой кинетической и потенциальной энергий электрона в атоме водорода. Расчет коэффициента тое4/2Л2 показывает, что он совпадает с характерной энергией Ридбрега Ry « 13,6 эВ, которая входит в вы- ражение для энергии атома водорода в первом постулате Бора (8.7). Таким образом, при решении уравнения Шредингера о стационар- ных состояниях атома водорода получен результат, уже подтвер- жденный экспериментами. Иначе говоря, общий метод квантовой теории позволил обосновать существование стационарных состоя- ний, которые ранее постулировались Бором при создании им пер- вой неклассической модели атома водорода. Дискретный спектр отрицательных значений Еп соответствует тому, что эти энергии характеризуют связанные состояния элек- трона. Выражения (8.7) и (11.23) означают, что с ростом главного квантового числа энергии стационарных состояний возрастают не- равномерно, значение Е = 0 является точкой сгущения энерге- тических уровней. Характер спектра определяется формой функ-
216 Лекция 11. Атом водорода ции потенциальной энергии (7(г) = — е2/г, что иллюстрируется рис. 11.1. Важной особенностью спектра (11.23) является то, что энер- гии стационарных состояний зависят только от одного квантового Рис. 11.1. Энергии стационарных состояний (энергетические уровни) атома во- дорода и зависимость потенциальной энергии электрона от расстояния до центра атома числа — главного, в то время как волновые функции этих состо- яний — от трех квантовых чисел. Другими словами, несколько разных состояний электрона в атоме водорода характеризуются одинаковой энергией. Можно подсчитать количество разных состояний, имеющих совпадающие величины энергии. Для фиксированного орбиталь- ного числа I количество разных значений магнитного числа равно 21+1. Но так как при заданном главном числе п орбитальное число I принимает ряд значений (11.18), то искомое количество состоя- ний выражается суммой арифметической прогрессии п-1 52(2/ + 1) = п2. (11.24) 1=0 Таким образом, одинаковую энергию имеют п2 различных стацио- нарных состояний. Говорят, что стационарные состояния атома 9 водорода п -кратно вырождены по энергии. Естественно поставить вопрос: чем отличаются вырожденные состояния, обладающие одинаковой энергией? Для этого прежде всего следует выяснить, какие физические величины (кроме энер- гии) имеют определенные значения в стационарных состояниях атома водорода. В лекции 9 было установлено, что одновремен-
11.2, Решение уравнения Шредингера для атома водорода 217 но измеримые величины обладают общей системой собственных функций, а их операторы коммутируют. Подействуем на волновую функцию стационарного состояния (11.19) оператором квадрата момента импульса (9.38). Этот опе- ратор L2 содержит производные только по угловым переменным, и радиальную часть волновой функции можно вынести из-под знака оператора: L2^nim(r, 0, <р) = Rni(r) L2Yim(0, <p). Но, согласно лекции 9, угловая часть волновой функции Yiml&p) является собственной функцией оператора L2. Таким образом, волновая функция стационарного состояния является одновременно собственной функцией оператора квадрата момента импульса. Это значит, что в стационарных состояниях электрон, кроме энергии Еп, выраженной формулой (11.23), имеет определенное значение квадрата момента импульса L2 = Л2/(/ + 1), значение которого определяется орбитальным квантовым числом Z. В лекции 9 было доказано, что операторы квадрата момента импульса L2 и проекции момента импульса Lz обладают общей си- стемой собственных функций. Можно непосредственно подейство- вать оператором Lz на волновую функцию (11.19) и убедиться, что функции ,фп1т(г) 6, ¥>) также являются собственными функциями оператора проекции момента импульса. Следовательно, в стацио- нарных состояниях электрон обладает определенным значением одной из проекций импульса Lz = hm, величина которой задана магнитным квантовым числом т. Таким образом, вырожденные состояния электрона с одинаковой энергией могут отличаться зна- чениями квадрата момента импульса L2 и проекции момента им- пульса Lz на некоторую выбранную ось Z. Для сравнения заметим, что по классической теории у ча- стицы, движущейся в центральном поле, сохраняется вектор мо- мента импульса L (т.е. все 3 проекции). Согласно квантовой фи- зике, у частицы в стационарных состояниях сохраняется квадрат момента импульса и только одна из проекций момента импульса. Мы установили физический смысл трех квантовых чисел ста- ционарного состояния с волновой функцией 'фп1т(г^ в, главное квантовое число п определяет значение энергии Еп, орбитальное квантовое число I задает квадрат момента импульса L2, магнитное квантовое число т дает величину проекции момента импульса Lz. Еп = L2 = Н21(1 + 1), Lz = hm, где квантовые числа могут принимать следующие значения: п = 1,2,3,..., I = 0,1,2,..., п — 1, т = 0, ±1, ±2,..., ±Z.
218 Лекция 11. Атом водорода Заметим, что квантовые числа являются независимыми вели- чинами, хотя главное число ограничивает максимальное значение орбитального, а орбитальное — максимальное значение магнит- ного. 11.3. Основное состояние атома водорода Рассмотрим стационарное состояние электрона в атоме водо- рода с наименьшей энергией, т. е. основное состояние. Это состо- яние задается следующими значениями квантовых чисел: п = 1, I = 0, m = 0. Волновая функция основного состояния получается подстановкой данных значений квантовых чисел в общее выраже- ние (11.19): 2 / г \ 1 V’ioo(r) - Rio (г) Уоо = ~т^ ехР----“7== - л/ \ 0,0 J у/4тг = -Д— ехр (-—) • (11.25) у 7гад \ «о / Видно, что волновая функция основного состояния обладает сферически симметричным распределением вероятности нахожде- ния электрона в пространстве. Эне