э. в. шпольский
АТОМНАЯ ФИЗИКА
том первый
ВВЕДЕНИЕ
В АТОМНУЮ ФИЗИКУ
38
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
120
издательство «наука»
главная редакция
физико-математической литературы
МОСКВА 1974

530.3
Ш 84
УДК 539.1@75.8)
<g) Издательство «Наука», 1974, с изменениями
20408-043
053@1)-74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию 7
Из предисловия ко второму изданию 8
Из предисловия к первому изданию 9
Глава I. Электрон, его заряд и масса 11
§ 1. Открытие электрона A1). § 2. Определение заряда элект-
электрона A2). § 3. Практическое осуществление опыта Милликэна A4).
§ 4. Движение электрона в электрическом и магнитном полях A9).
§ 5. Электрон в продольном электростатическом поле B3). § 6. Экспери-
Экспериментальные методы определения удельного заряда B5). § 7. Определение
удельного заряда электрона по методу двух конденсаторов B7).
§ 8. Определение -удельного заряда электрона по методу фокусировки
продольным магнитным полем B9). § 9. Фокусировка и монохромати-
зация пучков заряженных частиц C2). § 10. Зависимость массы элек-
электрона от его скорости C5)..
Глава II. Атомы. Изотопы 42
§ 11. Введение D2). § 12. Периодическая система элементов
Д. И. Менделеева D2). § 13. Определение истинных масс атомов. Ме-
Метод парабол E0). § 14. Масс-спектрографы E3). § 15. Масс-спектро-
Масс-спектрометры и масс-спектрографы с двойной фокусировкой F1). § 16. Массы
и процентное содержание изотопов F6). § 17. Разделение изотопов
с помощью методов, основанных на диффузии F7). § 18. Разделение
изотопов методом термодиффузии G3). § 19. Разделение изотопов
с помощью электромагнитных методов G8). § 20. Разделение изотопов
с помощью методов фракционированной перегонки и обменных реак-
реакций (82). § 21. Разделение изотопов методом центрифугирования (84).
§ 22. Получение тяжелого изотопа водорода (дейтерия) и тяжелой
воды (86).
Глава III. Ядерное строение атома 92
§ 23. Эффективное сечение для рассеяния частиц (92). § 24. Зон-
Зондирование атомов электронами (95). § 25. Свойства а-частиц (97).
§ 26. Теория рассеяния а-частиц A01). § 27. Экспериментальная про-
проверка формулы Резерфорда A04). § 28. Определение заряда ядра A06).
Глава IV. Рентгеновские лучи и их применение к определению
атомных констант 108
§ 29. Рентгеновские лучи A08). § 30. Поглощение рентгеновских
лучей A.12). § 31. Рассеяние рентгеновских лучей A16). § 32. Дифрак-
Дифракция рентгеновских лучей в кристаллической решетке A18). § 33. Экспе-
1*
38
420

ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Риментальное осуществление дифракции рентгеновских лучей A24).
§ 34. Определение длины волны рентгеновских спектральных ли-
линий A29). § 35., Спектры рентгеновских лучей A30). § 36. Закон
Мозелй A33). § 37. Абсолютное определение длины волны рентгенов-
рентгеновских лучей A37). § 38. Определение постоянной Авогадро и заряда
электрона A40). § 39. Удельный заряд электрона A43).
Глава V. Строение атома н классическая физика . . . 145
А. Классическаи механика и строение атома 145
§ 40. Атомные модели A45). § 41. Закон сохранения энергии в ме-
механике A46). § 42. Потенциальные кривые A49). § 43. Закон сохране-
сохранения импульса A52). § 44. Соударения A54). § 45. Центр инерция A57).
§ 46. Линейный гармонический осциллятор A60). § 47. Комплексное
представление колебаний A63). § 48. Разложение в спектр A65).
§ 49. Центральные силы. Кинетическая энергия в полярных координа-
координатах A70). § 50. Движение в центральном поле A72). § 51. Кеплерова
задача A73). § 52. а-частица в поле ядра A78). § 53. Приведенная
масса A80). § 54. Обобщенные координаты. Состояние системы A81).
§ 55. Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа A82). § 56. Применение
уравнений Лагранжа к задаче о центральном движении A85).
§ 57. Обобщенные импульсы A88). § 58. Гамильтоновы канонические
уравнения A90). § 59. Физический смысл функции Гамильтона A92).
§ 60. Циклические координаты A94). § 61. Скобки Пуассона. Законы
сохранения A96). § 62. Движение в электромагнитном поле B00).
¦§ 63. Механика быстродвижущихся частиц. Преобразования Ло-
Лоренца B04). § 64. Основы релятивистской динамики частицы B10%
¦§ 65. О связи»между массой и энергией B17).
Б. Классическая теория электромагнитного излучения 223
§- 66. Элементарные центры испускания света B23). § 67. Электро-
Электромагнитное излучение линейного осциллятора B24). § 68. Полное и сред-
среднее излучение осциллятора B27). § 69. Электромагнитный спектр негар-
негармонического осциллятора B29). § 70. 'Затухание колебаний B31).
¦§ 71. Лучистое треиие B33). § 72. Интеграл Фурье н сплошной
спектр B37). § 73. Естестнеиная ширина спектральных линий B41).
¦§ 74. Другие примеры спектрального разложения непериодических.про-
непериодических.процессов B43). § 75. Планетарная модель атома B47). § 76. Орбиталь-
Орбитальный магнитный момент и теорема Лармора B48). § 77. Эффект Зее-
мана B51). § 78. Эффект Зеемана. Общий случай B54). § 79. Излу-
Излучение Вавилона —Черен ков а B57).
Глава VI. Излучение абсолютно черного тела н гипотеза квантов
энергии 267
§ 80. Классическая физика и проблема теплового излучения B67).
§ 81. Равновесное излучение в полости B70). § 82. Закон Кирх-
Кирхгофа B72). § 83. Законы излучения абсолютно черного тела B74).
•§ 84. Экспериментальное исследование законов теплового излуче-
«ия B76). § 85. Теорема о ранномерном распределении энергии по сте-
степеням свободы B78). § 86. Формула Рэлея — Джннса B81).
•§ 87. «Ультрафиолетовая катастрофа» B86). § 88. Формула Планка B88).
¦§ 89. Гипотеза квантов энергии B90).
Глава VII. Уровни энергий атомов 294
§ 90. Планетарная модель атома и квантовые постулаты Бора B94).
¦§ 91. Опыты Франка и Герца B95). § 92; Упругие соударения B99).
•§ 93. Неупругие соударении. Критические потенциалы C01). § 94. Усо-
JL
вершенствование экспериментальной методики C03). § 95. Одновремен-
Одновременное определение всех ступеней возбуждения C04). § 96. Определение
ионизационных потенциалов C07). § 97. Излучение возбужденных ато-
атомов C11). § 98. Спонтанное испускание C12). § 99. Поглощение и вы-
вынужденное испускание C16). § 100. Вывод формулы Планка по Эйн-
Эйнштейну C17). § 101. Свойства индупироваииого испускания C20).
<§ 102. Генераторы света C24).
Глава VIII. Спектральные серии н уровни энергий водородного
атома . . 329
§ 103. Серия'Бальмера C29). § 104. Серии Лаймана, Пашена н др.
Обобщенная формула Бальмера C32). § 105. Спектральные термы.
Комбинационный . принцип C34). § 106. Квантование круговых ор-
орбит C36). § 107. Теория Бора C39). § 108. Серия Пикеринга и спектры
водородоподобиых ионов C42). § 109. Применение предыдущей теории.
Открытие тяжелого изотопа водорода C45). § ПО. О спектроскопиче-
спектроскопическом определении сдельного заряда электрона C47). § 111. Диаграммы
уровней энергии C49). § 112. Граничный сплошной спектр атомного
водорода C50). § 113. Квантование водородоподобного атома по Бору —
Зоммерфельду C52). § 114. Принцип соответствия C61). § 115; Кризис
теории Бора, C66).
Глава IX. Световые кванты . 368
§ 116. Флуктуации светового поля C68). §,117. Фотоэффект и уравие-
шие Эйнштейна C74). § 118. Экспериментальная проверка уравнения
Эйнштейна C77). § 119. Коротковолновая граница сплошного рентге-
рентгеновского спектра C80). § 120. Точное определение постоянной
Планка C81). § 121. Другие опыты, обнаруживающие корпускулярные
¦свойства света C83). § 122. Флуктуации светового потока C85).
§ 123. Рассеяние рентгеновских лучей (волновая теория) C88). § 124. Эф-
Эффект Комптона C93). § 125. Элементарная теория эффекта Комп-
тона C95). § 126. Электроны отдачи D00). § 127. Элементарные акты
рассеяния и законы сохранения D03). § 128. Экспериментальное под-
подтверждение применимости законов сохранения к элементарным актам
рассеянии D05). § 129. Эффект Мёссбауэра D08). § 130. Некоторые
применения эффекта Мёссбауэра D14).
Глава X. Волны и частицы
§ 131. Введение D20). § 132. Плоскаи монохроматическая волиа
s однородной среде D20). § 133. Волновое уравнение D23). § 134. Су-
Суперпозиции плоских воли D25). § 135. Волновой пакет D27). § 136. Фа-
Фазовая и групповая скорости D31). § 137. Корпускулирио-нолновой дуа-
дуализм. Преломление света D33). § 138. Корпускулярно-волиовой дуа-
дуализм. Эффект Допплера D38). § 139. Корпускулярио-нолновой дуализм.
Дифракционная решетка D40). § 140. Гипотеза де-Бройля D42).
¦§ 141. Свойства волн де-Бройли D43). § 142. Экспериментальное под-
тверждение гипотезы де-Бройля. Метод Брэгга D45). § 143. Преломле-
«не электронных волн и внутренний потенциал металла D50). § 144. Экс-
Экспериментальное подтнерждеиие гипотезы де-Бройля. Методы Лауэ
н Дебая — Шеррера D53). § 145. Интерференционные явления с моле-
молекулярными пучками и с нейтронами D59). § 146. Волновой пакет
и частица D63). § 147. Статистическое истолкование волн де-Брой-
де-Бройля D65). § 148. Соотношения неопределенности D67). § 149. Определе-
Определение места к импульса микрочастицы D70). § 150. Ошибочные толкования
соотношений неопределенности D77). § 151. Соотношения неопределен-
неопределенности и принцип причинности D82).
420

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XI. Уравнение Шрёдингера 487
§ 152. Уравнение Шрёдингера и физический смысл его решений D87).
§ 153. Отражение и прохождение через потенциальный барьер D93).
§ 154. Потенциальный барьер конечной ширины E02). § 155. Колебания
струны E06). § 156. Частица в потенциальном ящике E11). § 157. Элек-
Электрон в потенциальной яме E15).^$ 158.-Линейный гармонический осцил-
осциллятор E21)j?> 159. Нормальное и возбужденные состояния линейного
осциллятора E27). § 160. Связанные осцилляторы. Силы
Ван-дер-Ваальса E35). § 161. Частица в трехмерном потенциальном
ящике E44).
Приложения 549
I. Вычисление средних значений 549
II. Вывод распределения Больцмана для квантовых систем 554
III. К классической теории эффекта Зеемана 557
IV. Формула средней квадратичной флуктуации 559
V. Ортогональность и нормирование собственных функций осциллятора 564
VI. Теорема вириала 538
Предметный указатель 571
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Шестое издание первого тома, по сравнению с пятым изда-
изданием, выходит почти без изменений: материал данного тома об-
образуют в основном вопросы настолько прочно установившиеся,
что не было необходимости подвергать этот материал сколько-
нибудь существенной переработке'. При подготовке к печати
исправлены замеченные неточности, произведены небольшие со-
сокращения. Особо следует оговорить два обстоятельства. Во-пер-
Во-первых, наряду с постоянной Планка h, там где это было целесо-
целесообразно, введена постоянная Ъ = /г/2зх; во-вторых, несмотря на
то, что в большинстве отделов физики введена международная
система единиц СИ, в данной книге, как и в предшествующих
изданиях ее, сохранена система СГС (точнее — гауссова систе-
система единиц). Причина этого состоит в том, что для квантовой
механики система СИ не только не нужна, но и крайне неудоб-
неудобна. Это обстоятельство специально подчеркивал А. Зоммер-
фельд — инициатор введения международной системы в элек-
электродинамике.
При подготовке к печати этого тома большую помощь ока-
оказала мне Т. Н. Болотникова, которой я выражаю здесь искрен-
искреннюю благодарность.
Москва — Узкое, июль 1973 г,
Э. Шпольский

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Со времени выхода первого издания этой книги прошло уже
четыре года. В течение этого периода я имел возможность про-
проверить доступность изложения и целесообразность построения
книги, пользуясь ею в преподавании в двух московских высших
учебных заведениях. Ценным материалом для меня были также
письма читателей, часть которых самостоятельно изучала атом-
атомную физику по этой книге или систематизировала ранее приоб-
приобретенные разрозненные знания. Итог всех этих наблюдений ока-
оказался в пользу выбранного характера изложения и плана книги.
В частности, общее одобрение вызвало параллельное рассмотре-
рассмотрение экспериментальной и теоретической сторон вопроса, а также
введение вспомогательных глав или параграфов, излагающих
некоторые необходимые сведения из других разделов теоретиче-
теоретической физики. Все это побудило меня полностью сохранить ха-
характер книги также и во втором издании.
Тем не менее книга подверглась весьма существенной пере-
переработке. Без преувеличения можно сказать, что она в значи-
значительной степени написана заново. Я старался прежде зсег»
устранить все замеченные неточности, неясности и, по возмож-
возможности не расширяя содержания, сделать изложение более отчет- '
ливым. Добавления, сделанные в первой половине книги, почти
исключительно относятся к экспериментальным основаниям
атомной физики, так как изложение некоторых экспериментов в
первом издании мне теперь кажется чрезмерно элементарным.
Кроме того, необходимо было подробнее осветить те вопросы,
которые за истекший период выдвинуты самим развитием
науки.
Выходящий сейчас первый том в основном посвящен экспе-
экспериментальны^ основаниям ядерной теории атома и квантовой
физики. Он заканчивается рассмотрением волновых свойств ма-
материи, а в последней главе, по примеру предыдущего издания,
устанавливается уравнение Шрёдингера и рассматриваются его
простейшие применения — почти исключительно к одномерным
задачам. Таким образом, этот том представляет собой довольно
законченное целое и для некоторых категорий читателей может
иметь самостоятельный интерес,
Э. Шпольский-
Москвэ, 1948 г. *
ЭЛЕКТРОН, ЕГО ЗАРЯД И МАССА
§ 1. Открытие электрона
Открытие дискретной структуры электрических зарядов было
сделано как вывод из законов Фарадея об электролизе. Напо-
Напомним ход рассуждений, приведший к этому открытию.
Из законов фарадся след\ст, что если проп\скать одно и то
же количество электричества через различные электролиты, то
количества вещества, выделяемые в растворах одновалентны*
ионов, будут пропорциональны атомным весам ионов. Если это
количество электричества как раз таково, что оно выделяет один
грамм-атом определенных ионов (т. е. количество граммов ве-
вещества, равное его атомному весу, например 107,88 г серебра,
35,45 г хлора и т. д ), то в любом другом электролите, содержа-
содержащем одновалентные ионы, оно выделит тоже один грамм-атом
ионов. Так как электрический ток в электролите обусловлен
движением ионов, то мы можем формулировать установленный
факт, утверждая, что один грамм-атом любых одновалентны*
ионов несет с собою всегда одно и то же количество электри-
электричества, вне зависимости от природы этил ионов. Эго количество
электричества, называемое числом Фарадея F, равно 96 491 к\-
лону, или 2,892- Ш14 абсолютны* электростатических единиц.
Если теперь пропускать ток через растворы двухвалентных
ионов, то оказывается, что одни фарадесв заряд переносится
половиной грамм-атома дву*валентного иона, а в трехвалент-
трехвалентных электролитах — одной третью грамм-атома, или, иначе го-
говоря, один грамм-атом двухвалентных ионов несет с собой
удвоенный фарадеев заряд, а один грамм-атом трехвалентных
ионов — утроенный. Так как, с другой стороны, по закону Aboj
гадро один грамм-атом любого вещества всегда содержит одно
и то же количество частиц N и так как мы с полным основа-
основанием можем предположить, что весь заряд, переносимый одним
грамм-атомом, равномерно распределяется па все эти .V частиц,
то заряд, переносимый каждым одновалентным ионом, будет
иметь совершенно определенную величину е, равную
= FjN.
AЛ)

'ОН. ЕП
заряд, переносимый каждым двухвалентным ионом, будет
2е = 2F/N,
и вообще ft-валентным ионом
Итак, мы видим, что различные ионы могут нести на себе-
заряды, равные е, 2е, Зе, ..., но не встречаются ионы с зарядом,
равным 1,5е или 2,5е. Отсюда и следует вывод, с особенной от-
отчетливостью сформулированный Гельмгольцем в речи, произне-
произнесенной в честь Фарадея: «Если мы принимаем существование
атомов элементов, то мы не можем избежать и дальнейшего-
следствия, — что и электричество, как положительное, так и
отрицательное, разделено на определенные элементарные коли-
количества, которые ведут себя, как атомы электричества».
Особенно существенную роль в познании атомистической
природы электричества сыграло изучение прохождения электри-
электричества в газах. В частности, исследование разряда в разрежен-
разреженных газах и изучение свойств возникающих при этом катодных
лучей показали, что атомы отрицательного электричества мо-
могут быть легко получены в свободном состоянии, не связанными
с обычными атомами вещества. За этими атомами отрицатель-
отрицательного электричества исторически утвердилось название элек-
электронов.
§ 2. Определение заряда элентрона
Прямое доказательство дискретности электрических зарядов
и первые точные определения величины заряда электрона путем
нахождения зарядов отдельных частиц были выполнены Милли-
кэном в 1911 г. Определение заряда электронов, освобождаемых
действием света (фотоэффект), по методу, аналогичному методу
Милликэна, было выполнено в 1918 г. А. Ф. Иоффе.
Экспериментальный метод, примененный Милликэном, за-
заключался в непосредственном измерении заряда очень малень-
маленьких капелек масла. Представим себе такую капельку между об-
обкладками горизонтально расположенного конденсатора. Если на
пластины конденсатора не наложено поле, то капля будет сво-
свободно падать. Вследствие малых размеров капля будет падать
равномерно, так как ее вес tng уравновешивается силой сопро-
сопротивления воздуха, равной по закону Стокса
/¦" = 6яг|аой,
B.1)
где vg — скорость падения, г\ — коэффициент внутреннего тре-
трения воздуха и а — радиус капли. Условие
mg = 6яг|йау , B.2>
3 "А ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА 13
дает возможность вычислить радиус капли. В самом деле, обо-
обозначим плотность вещества капли через а, плотность воздуха
через р. Тогда, принимая во внимание, что на шарик с весом
tng = -^ncfiag, падающий в воздухе, действует по закону Архи-
Архимеда еще сила, направленная вверх и равная -^na^pg, мы мо-
можем переписать равенство B.2) в виде ,
fl (o-
B.3)
Представим себе теперь, что на пластины конденсатора на-
наложена разность потенциалов, величина и направление которой
подобраны так, чтобы капелька под действием электрического
поля поднималась вверх. Обозначая через vE скорость этого
подъема, который, как и падение, будет происходить равномер-
равномерно, мы можем написать
Же — ing = dtm\avE, B.4)
где Ж — напряженность поля внутри-конденсатора. Из B.2) и
B.4) получаем
или, заменив недоступный непосредственному измерению радиус
капли а его выражением B.3) через vg,
<2-5>
Ионизуя воздух между пластинами конденсатора (например,
при помощи рентгеновских лучей), можно изменить заряд кап-
капли. Если при этом величину напряженности поля оставить
прежней, то скорость капли изменится и станет равной v'E; мы
имеем
"-»*%."??,* ('.+¦&
Комбинируя это выражение с B.5), найдем
Изменяя несколько раз заряд, можно с одной л то же каплей,
произвести большое число измерений.

[4 ЭЛЕКТРОН. ЕГО ЗДРЯД И MAD
§ 3. Практическое осуществление опь
Тщательно отшлифованные пластины к
(рис. 1) удерживаются на определенном р;
та Милликэна
нденсатора Pi и Р2
тоянии точно
раллельно друг другу при
помощи изолирующей
прокладки JJ, Верхняя
пластина Р[ имеет в сере-
которое внутрь конденса-
конденсатора попадают испытуе-
испытуемые капельки масла, рас-
распыляемого при помощи
пульверизатора в ни-
Р ^i лицдр С. Известно, что
при распылении жидкос-
Рис. I. Схема конденсатора Милликэна. Te? образующиеся КЭПЛИ
несут электрический за-
заряд, так что внутрь конденсатора попадают уже заряженные
капли. Через окошко/7] капелька освещается, обычно светом дуги;
1
гкэгга а — ik гопник света ш d ~- фильтры
дтя получения капетсл маета О — масчяргая аанрга (термостат) В — бата-
батарея т — чагпметр; R — рентгеновская трубка
наблюдение же ведется при помощи микроскопа через окошко /'3.
Так как наблюдение происходит в направлении, перпендикуляр'
ном к освещающему пучку света, то вобранная капелцка в'поле
зрения микроскопа видна, как яркая звездочка на темном фоне
(как в ультрамикроскопе). Окно F2 служит для выхода пучка
света, так как, поглощаясь стенками камеры, свет вызвал бы
внутри нее неравномерное нагревание и потоки воздуха, мешаю-
мешающие наблюдениям. Через то же окошко ?% внутрь конденсатора
могут быть пропущены рентгеновские лучи, создающие иониза-
ионизацию воздуха, в результате которой заряд капельки может быгь
изменен Полная схема установки Милликэна приведена па
яд капельки может бы
илликэна приведена
цию воздуха, в результа
изменен. Полная схема
рис. 2.
Измерение скорости падения или подъема капельки произ-
производилось путем определения промежутка времени, необходи-
необходимого для прохождения между двумя нитями, расположенными
в фокальной плоскости микроскопа; за меру скорости бралась
обратная величина этого промежутка времени. В таблице 1 при-
приведено несколько результатов измерений Милликэна. Согласно
B.6) изменение величины заряда при перезарядке должно быть
пропорционально разности скоростей ьЕ— v'E. Если эта раз-
разность окажется целым кратным одной и топ же величине, то
можно утверждать, что изменение заряда происходит не непре-
непрерывно, а конечными порциями. Четвертый и пятый столбцы таб-
таблицы показывают, что это Имеет место на самом деле: с точ-
точностью до нескольких единиц в пятом знаке заряд изменяется
на 6, 7, 1, ... единиц, причем сама единица перезарядки (пя-
(пятый столбец таблицы) имеет постоянное значение (в пределах
ошибки опыта).
Таблица
1st
80,708
22,375
140,565
79,600
34,735
Обрах-
TpiI'l.
1Е
0,01236
0,04470
0,00719
0,01254
0,02870
Разность
'е 'е
0,03234
0.03751
0.005348
0,01616
6
7
I
3
И)
0,005390
0,005358
0,005348
0,005387
обратных
0,09655
0,09138
0,09673
0,11289
18
+6
24
-7
17
18
-|-3
21
0.005366
0,005371
0.005375
0,005374
0,005376
*) Среднее *g= 11,88C

16 ЭЛЕКТРОН. ЕГО ЗАРЯД И МАССА [ГЛ. Г
Формула B.5) показывает, что абсолютная величина заряда
капли должна быть пропорциональна сумме vg + Ve (шестой
столбец таблицы). Если эти суммы окажутся кратными одной и
той же величине, то это означает, что заряд складывается из
дискретных единиц. Седьмой и восьмой столбцы показывают,
что }i это имеет место в действительности. Наконец, из сравне-
"ния пятого и восьмого столбцов видно, что единица перезарядки
и единица заряда между собой совладают, опить-таки с точно-
точностью до нескольких единиц в пятом знаке. Таким образом, ана-
анализ таблицы дает полное и непосредственное доказательство
дискретной природы электрического заряда — атомистики элек-
электрических явлений.
Для точного определения абсолютной величины заряда элек-
электрона в числа, полученные при помощи формулы B.5), необхо-
необходимо внести существенную поправку. В самом деле, оказалось,
что если определять заряд капелек различного радиуса, то при
уменьшении последнего вначале получаются постоянные значе-
значения е, ко для очень маленьких капелек е быстро возрастает с
уменьшением радиуса. Таким образом, выходит, что заряд элек-
электрона не имеет постоянного значения, а может зависеть от раз-
размеров капельки.
Милликэн объяснил этот явно несообразный результат тем,
что закон Стокса нельзя применять к движению очень малень-
маленьких капелек. Действительно, закон Стокса выводится в предпо-
предположении, что движущееся тело имеет форму шара и что среда,
в которой происходит движение, — непрерывна. Последнее пред-
предположение заведомо не оправдывается, когда при движении в
газе размеры капельки становятся сравнимыми со средней дли-
длиной свободного пути газовых молекул. Таким образом, отноше-
отношение Х/а средней длины свободного пути к радиусу капли может
служить критерием применимости или неприменимости закона
Стокса: если это отношение мало (Xfa-i^l), то закон Стокса
применять можно, в противоположном случае — закон Стокса
неприменим.
Для того чтобы учесть отступления от закона Стокса для
очень маленьких капелек, было предложено пользоваться вме-
вместо B.1) следующим исправленным выражением для стоксовон
силы:
f=T77a- (ЗЛ)
где Л — некоторая постоянная. Как видно, это выражение по-
построено так, что при А —-* 0 оно переходит в формулу Стокса
^2.1). При помощи этой исправленной формулы мы получаем
5 3] ПРАКТИЧЕСКОЕ ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ОПЫТА МИЛЛИКЭНА [7
для абсолютной величины заряда вместо B.5) следующее вы-
выражение:
Чтобы найти абсолютную величину заряда по этой
" " " илликэн показал, каким.
my a
надо знать постоянную Д. Однако Ми
образом можно найти истинную величину
к определению этой постоянной.
Из сопоставления формул B.5) и C.2) .лег
ние величины е0 к заряду, вычисленному без поправки:
юрмуле,
, каким,
ряда, не прибегая
найти отпоше-
#A +Л А) =
Но длина свободного пробега К обратно пропорциональна
лению газа р, поэтому
>е"\ C.3)
где В—некоторая новая постоянная.
Если изменять давление р и для каждого значения давления
вычислять кажущуюся величину заряда е (без поправки), то
согласно формуле C.3)
между е'1' и \/ра должна
иметь место линейная за-
зависимость-
При этом, так как
член В/ра в формуле •»
C.3) играет роль малой ^
поправки, то в качестве -
радиуса капли а можно
взять величину, вычисляе-
вычисляемую по неисправленной
формуле Стокса [см. фор-
формулу B 3)]. В самом деле, о щи т ж ш sse
константа В, согласно из- !/ра.
мерениям Милликэна,
равна ис' '
5 = 0,000617,
если р измерено в сантиметрах ртутного столба па— в санти-
сантиметрах.
Рис. 3, где на оси абсцисс отложены значения 1/ ра, а на оси
ординат ег'з-10в, показывает, что требуемая формулой C.3) ли-
линейная зависимость существует в действительности.

ЭЛЕКТРОН. ЕГО ЗАРЯД И МАССА
[ГЛ I
Полагая в формуле C.3) 1/р = 0 или а = оо, т. е. переходя
к предельному случаю, когда закон Стокса должен быть спра-
справедлив (радиус частицы бесконечно велик по сравнению со сред-
средней длиной свободного njni), найдсме'' = ео1, или е = еа. Та-
Таким образом, для нахождения истинного значения заряда элек-
электрона е0 достаточно экстраполировать прямую до пересечения ее
с осью ординат.
Па рис. 4 приведены четыре прямые, построенные таким же
способом для частно, различной природы: / — капельки масла
тт jy в воздухе, // — капельки
масла в водороде, /// —
капельки ртути в воздухе,
IV — частицы шеллака в
воздухе. Все четыре пря-
прямые пересекают ось орди-
ординат в одной точке: заряд
электрона не зависит ни
от природы частиц, ни от
природы газа, окружаю-
окружающего частицы.
Опыты Миллицэна
имеют большое принци-
пиальное значение, так
65
/
А
/
'А
У
У
ZOO
Рис. 4.
как они с полной очевид-
ностью доказывают ато-
атомистическую природу
электрического заряда. Что же касается абсолютного значения
е, то, как видно из формулы C,2), точность его определения су-
существенно зависит от точности определения коэффициента внут-
внутреннего треция воздуха г], Среднее из новых наиболее точных
измерений дает для г\ величину i| = 1832 ¦ 10. С этим значением
т) Для заряда электрона получается е = 4,805-10~10 СГСЭ. Од-
Однако наиболее точное значение заряда электрона получается
косвенным путем — при помощи абсолютных измерений длины
волны рентгеновских лучей (см. §§ 37—38).
чтобы уравновесить масляную капельку. «есущую заряд, равный 5 зарядам
электрона? Масса капли равна 3,П9- [О'э г. (Ответ: 19.2 в.)
воздуха 0,0001832. (Ответ: 0,0117 см/сек) ' " Н Г ' еН"Я
10 делений в 10 сек E0 щ
кееттг— 10 делени
118 Плотность ка
песет капли? (Отв
ий - I мм) Скорость
100 сек Коэффициент
09 ДГ
ЭЛЕКТРОН В Э
ЕКТРИЧЕСКОМ V
§ 4. Движение электрона в электрическом и магнитном полях
Наряду с зарядом основной константой, характеризующей
электрон, является его масса. Эга масса очень мала, что сле-
следует хотя бы из того, что при наблюдениях в конденсаторе Мил-
ликэна потеря или приобретение нескольких электронов при
перезарядке не оказывает заметного влияния на скорость паде-
падения частицы, хотя по формуле B 2) скорость равномерного
падения пропорциональна массе. Наличие инертной массы у
электрона сказывается, однако, в тех случаях, когда элсктроьу
сообщается ускорение под действием электрического или магнит-
магнитного поля. Поэтому все методы определения массы электрона
основаны на изучении его движения в электрических и магнит-
магнитных полях, и наша ближайшая задача заключается в том, что-
чтобы рассмотреть влияние того и другого полей на движение элек-
электрона.
Как известно*), сила, действующая со стороны электромаг-
электромагнитного поля на частицу, несущую заряд е (так называемая
•сила Лоренца), выражается формулой
F = e8 + y|v#]. D.1)
Здесь первый член представляет силу, действующую со сто-
ропы электрического поля, второй — со стороны магнитного**).
Предполагается, что заряд е выражен в электростатической си-
системе единиц. Дальнейшие рассуждения ми проведем для по-
положительно заряженной частицы, однако они применимы и к
движению отрицательно заряженных частиц. Надо только по-
помнить, когда речь идет об электроне, что он несет отрицатель-
отрицательный заряд и направление его отклонения всегда будет противо-
противоположно направлению отклонершя положительно заряженной
частицы.
Согласно второму закону Цыотч^а, сила F равна произведе-
произведению массы m на ускорение v;
F = mv. D.1')
Приравнивая правые части D.1) и D.1'), получаем
ту==е8 + 1[УЖ]. D.2)
Рассмотрим теперь отдельно действие электрического и маг-
магнитного нолей. Полагая в D.2) 6=0, получаем
mv=-l[v3T]. D.3)
*) См.,
» 1966
**) В далыгейш
„формулы D 1),
|рнаер. И. Е. Т.
буае.

>Н. ЕГО ЗЛРЯД I
21
Очень часто при рассмотрении движения заряда в магнитном
поле пользуются электромагнитной системой единиц. Тогда
D.3) принимает вид
mv = e [чЖ\,
откуда
v=~[vX]. D.4)
Так как сила, действующая со стороны магнитного поля, выра-
выражается векторным произведением, то три вектора Ж, v, F обра-
образуют иравовинтовую систему (рис. 5).
Векторное уравнение D.4) эквивалентно следующим трем
скалярным уравнениям:
D.4')
Интегрирование этой системы уравнений в большинстве слу-
случаев представляет собой трудную математическую задачу.
Решение ее для ряда случаев
было дано С. Д. Богуславским.
Мы рассмотрим простейший случай, условия которого, однако,
отвечают обычной постановке лабораторных экспериментов, и
не будем заниматься вычислением траектории, а найдем лишь
величину отклонения параллельного лучка заряженных частиц
в магнитном поле. Предположим, что в момент / = 0 скорость
частицы направлена по оси х, т. е. что при / = 0 vx = о, vy =
= аг = 0. Относительно магнитного поля мы положим, что, оно
постоянно во времени, направлено по оси у, но, вообще говоря,
неоднородно, т. е. может быть записано ках Ж = Ж(х). Таким
образом, Я$х = Шг = О, Жу = Ш{х) — Ж. Допустим, что поле
действует на протяжении ОА = х (рис. 6) ь" «то на расстоянии
ОВ = I, вообще говоря, не равном ОА, помещается флуоресци-
флуоресцирующий экран, на котором производится измерение отклонения.
Так как поле на всем протяжении направлено по оси у, то со-
составляющая силы Fy = е(иг3ёя — vx3@t) равна нулю (o,s0),
и движение происходит в плоскости xz. Поскольку нас интере-
интересует отклонение частицы г при х = I, а не ее траектория, мы вос-
воспользуемся только третьим из уравнений D.4'). Если отклонение
мало, то с точностью до величин второго порядка малости можно-
на всем протяжении пути положить о = vx = -^-; дейст ви-
ГГ^^+т? ~ .„ [1 + (fO4 =., [ 1 + \ (тг)! +¦¦¦]-«,
Интересующее нас третье из уравнений D.4'), очевидно, дает
так как второй член справа равен нулю.
Далее, принимая во внимание, что -^ = -^--^~< мы можем
переписать D.5) в виде
dx \dx dt ) ' dt m dt
Производя сокращение и заменив снова —^- через и, получим
dx \dxI mv
Интересующее нас отклонение г мы найдем отсюда двукратным
интегрированием. Первое интегрирование в пределах от 0 до х
дает '
i Второе интегрирование от нуля до I (расстояние от начала поля
? до экрана) дает
z = dx Ш dx. -¦,
mv о о
Выполним интегрирование по частям, полагая и= \ Mdx и
% 4v = dx; получим
z = -^\l $ %dx— $ Xxdx =-^§X(l — x)dx. D.6)

ЭЛЕКТРОН, ЕГО ЗАРЯД И МАССА
¦ой формуле интеграл
А = J Ж (I — х) dx
D.7)
есть, очевидно, постоянная прибора, так как его величина зави-
зависит только от напряженности поля Ш и расстояния I от места
входа электронов до экрана, Пользуясь обозначением D,7), на-
находим
2 = Л-^-. D.8)
В частности, если поле однородно {Ж = const) и прости-
простирается от х = 0 до х = а, а в интервале от х = а до х = I
$g = о, то
Наконец, если экран расположен вплотную у конца полюсов
магнита, то I = а и
В однородном поле, направленном перпендикулярно к скоро-
скорости, легко найти и траекторию частицы. В самом деле, так как
сила Лоренца всегда перпендикулярна
к-v, то она меняет только направление
скорости, но не ее величину; поэтому
электрон будет двигаться по окружно-
сги, радиус которой р мы найдем, при-
приравнивая лоренцову силу evH центро-
центробежной силе инерции:
f=-lTTf <4'9>
Вычислим теперь отклонение заря-
заряженной частицы в поперечном элек-
электростатическом поле. Пусть по-прежнему скорость частицы в
момент входа ее в пространство между пластиками конденса-
конденсатора будет направлена по оси х, а поле конденсатора — направ-
направлено по оси г. Все остальные условия мы сохраняем прежними
(рис. 7). Так как Ж = 0, то D-2) дает
.Принимая во внимание, что ,
S 6) ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА 25
В атомной физике энергию очень часто выражают в электрон-
вольтах: I эв есть та энергия, которую приобретает электрон,
пробегая ускоряющую разность потенциалов в 1 в, Из E.4')
получаем
1 электрон-вольт
1,60 ¦ 1<Г1Я эрг.
Энергия в~ 1 зэ, рассчитанная на Л/ = 6,023-1023 A моль) элек-
электронов, равна
1 электрон-вольт ¦ моль~~1 = 9,64 ¦ 10" эрг ¦ моль =
= 2,304 - 104 кал ¦ моль*1 =
= 23,04 ккал -моль-1.
Если известна энергия электронов, выраженная в электрон-
вольтах, то скорость v в см/сек можно непосредственно вычис-
вычислить из E.4'):
/—-jsr =5,93 ¦ 107 YV (вольт) см/сек.
E.5>
§ 6. Экспериментальные методы определения удельного заряда
I В основе экспериментальных методов определения е/т лежат
I результаты исследования движения электрона в электрических
| и магнитных полях, выполненного нами в предшествующих двух.
I параграфах.
I Необходимо, однако, иметь в виду, что как в случае электри-
jr ческого, так и в случае магнитного поля отклонение в попереч-
V ном поле зависит не только от е/т, но и от v: магнитное отклоне-
f ние определяется фактором e/mv, а электрическое — фактором
V e/mv2. Поэтому опыт с отклонением в каком-либо одном поле
I еще не дает возможности найти е/т.
f В первых работах обычно последовательно измеряли откло-
"С пение в том и другом полях и из двух уравнений D.8) и D.11)
"у сразу вычисляли е/т и и. При этом пучки электронов осущест-
г" влялись в виде катодных лучей в трубках с разреженными га-
*¦=¦¦ зами (давление порядка нескольких сотых мм рт.ст,). Развитие
техники получения вакуума за последние десятилетия позволяет
производить эти измерения в более определенных и лучше кон-
контролируемых условиях. На рис. 8 представлена схема современ-
современного прибора для определения е/т и о. Накаливаемый катод /С,
( помещенный в трубку, откачанную до предела, допускаемого со-
современной техникой вакуума, является обильным источником
электронов. Эти электроны ускоряются батареей fit, положитель-
положительный полюс которой присоединен к металлической пластинке
.; (аноду) А, в центре которой имеется отверстие. Электроны,

. ЕГО ЗАРЯЛ И МАССА
На пути между А и F электроны проходят между пластинами
конденсатора CD, к которым может быть приложено напряже-
напряжение от батареи В2. Если включить, батарею fi2, то пучок электро-
электронов отклоняется электрическим нолем, возникающим между пла-
пластинами, и пятнышко перемещается в положение F'.
Создавая между пластинами конденсатора CD также и од-
однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости чер-
чертежа (на рисунке показано точками), можно вызвать отклонение
пятнышка в том же или в обратном направлении. Если измерить
оба отклонения, то при помощи уравнений D.8) и D.11) можно
иычислить е/т и и. Практически удобнее просто скомпенсиро-
скомпенсировать магнитным полем первоначальное электростатическое от-
отклонение. В этом случае необходимые измерения сводятся к точ-
точному определению напряженностей обоих полей — электриче-
электрического и магнитного.
Как сказано выше, начальные скорости электронов, освобож-
освобождаемых из горячего катода, малы. Например, если катодом слу-
служит вольфрамовая спираль, нагретая до 2400° К, то всего лишь
0,1% электронов обладают энергией, превосходящей 142 элек-
электрон-вольта, и 0,0001%—энергией, превосходящей 2 85 элек-
^трон-вольта. Если поэтому ускоряющее поле не слишком слабо
то можно считать с достаточной точностью, что начальная ско-
скорость освобождаемых электронов равна нулю Пусть разность
потенциалов между катодом и анодом (например, между К и А
на рис. 8) равна V вольт. Тогда окончательную скорость элек-
электронов мы находим из уравнения
§ 71 МЕТОД ДВУХ КОНДЕНСАТОРОВ 27'
Поэтому, зная V, мы уже знаем и скорость электронов. Это осво-
освобождает нас от необходимости использовать и электрическое, и
магнитное-отклонение для нахождения е/т и v. Достаточно вос-
воспользоваться либо электрическим, либо магнитным полем; вто-
второе уравнение всегда дает формула E.4')-
В следующих параграфах мы приведем из большого числа
современных методов определения удельного заряда два наибо-
наиболее характерных. В первом применяется электрическое поле, по
втором — магнитное.
§ 7. Определение удельного заряда электрона
по методу двух конденсаторов
Одним из самых точных современных методов определения
отношения е/т является метод двух конденсаторов. Электроны
от нити накала F (рис. 9) ускоряются полем между катодом F
и анодом А. Пройдя через отверстие в аноде А и диафрагму D,,
пучок электронов попадает в первый конденсатор К\, па который
накладывается переменная разность потенциалов oi высокочас-
высокочастотного генератора В. Под влиянием этого переменного поля
периодически изменяется направление пучка, и, вообще говоря,
пучок задерживается экраном Р2. Только те электроны, которые
пролетают через конденсатор Кл в момент, когда кривая потен-
потенциала проходит через нуль (рис. 10), оказываются способными
пройти через малое отверстие D2 в экране /V Эти электроны
попадают затем в конденсатор К2, присоединенный к тому же

'ЯД И
генератору, что и Лл, вследствие чего поля в обоих конденсато-
конденсаторах всегда находятся в одинаковой фазе. Таким образом, два
раза в течение каждого периода в конденсатор К% попадают
электроны и отклоняются в большей или меньшей степени вверх
или вниз в зависимости от фазы генератора в момент прохожде-
ния'электронов через конденсатор К2- Нетрудно убедиться в том,
что имеется только два симметричных направления, в которых
могут отклониться электроны при прохождении через второй
конденсатор Кг- Если, на-
например, промежуток време-
времени, необходимый электрону,
/ чтобы пролететь от конден-
конденсатора К\ до конденсатора
/С2. равен /, = ОА (рис. 10),
то во втором конденсаторе
К?, одни электроны застанут
потенциал АВ = + Vu a
другие— потенциал А'В' =
= — V{, Поэтому на флуоресцирующем экране S появятся два
симметрично расположенных пятна.
Варьируя скорость электронов изменением ускоряющего по-
потенциала, можно добиться тою, чтобы время tx сделалось рав-
равным полупериоду генератора Г/2 или вообще пТ/2. При этом
условии электроны пролетят и второй конденсатор без отклоне-
отклонения, и два пятна на флуоресцирующем экране сольются в одно,
Если расстояние между Кл и /Сг равно /, а частота генератора /,
то скорость таких электронов будет
лли, вообще,
С другой стороны,
v = 21/Т = Щ
v = 2l/nT = 2lf/n.
G.1)
E.4)
где V — ускоряющий потенциал, приложенный между F и А. Из
G.1) и E.4) получаем
Большое преимущество метода двух конденсаторов состоит
в том, что он является своего рода «нулевым» методом и не тре- *
¦ бует никаких измерений отклонения, обычно связанных с трудно
устранимыми ошибками. Величина удельногр заряда, получен-
я таким способом, после внесения всех поправок равна*)
— = A,7590 ± 0,0015). 107 СГСМ-г.
§ 8- Определение удельного заряда электрона по методу
фокусировки продольным магнитным полем
Другой точный метод определения ejm связан с применением
продольного магнитного поля.
Рассмотрим прежде всего действие магнитного поля на рас-
расходящийся пучок электронов, выходящий из одной точки (отвер-
(отверстия диафрагмы), Сила, действующая на электрон со стороны
магнитного поля, равна (предполагается, что е выражено в
электромагнитных единицах)
Если электрон летит под уклом а, не равным 0 или 90°, к на-
направлению магнитных силовых линий, то его скорость можно
разложить на две компоненты: продольную о; и поперечную ор:
У; = v cos о, ир = v sin a. (8.1)
Рассмотрим влияние магнитного поля на каждую из этих
компонент Отдельно, На электрон, летящий перпендикулярно
к полю со скоростью ve, действует сила Fp = evaM. Так как
сила Fp везде перпендикулярна к ир, то электрон опишет окруж-
окружность, радиус которой мы найдем, приравняв Fo центробежной
силе инерции:
Время /, необходимое для того, чтобы электрон описал пол-
полную окружность, будет
{=*?. = -*-. (8.2)
х СГСМ-г-1, т
( СГСЭ. В тех
i каких-нибудь

СИРОВКИ ПРОДО
НИТНЫМ nO.lF
Оказывается, следовательно, что t не зависит от радиуса р.
Таким образом, если Представить себе несколько электронов,,
одновременно выходящих из одной точки с различными скоро-
скоростями v0, перпендикулярными к Ж, то все эти электроны, опи-
описай окружности различного радиуса, одновременно вернутся
в исходную точку- Это показано на рис. 11 справа, где изобра-
изображены проекции путей электронов, обладающих различными со-
составляющими скорости Е)р, на плоскость, перпендикулярную к.
направлещш магнитного ноля.
На продольную компоненту скорости магнитное поле не ока-
оказывает влияния. Поэтому за промежуток времени I электроны
продвинутся вдоль оси соленоида, создающего поле, на рас-
расстояние
' -'— 2:iHCOSa (8.3)
— Ж
Если угол ее мал, то cos a sas 1, и (8.3) принимает вид
<«•«>
т. е. все электроны, вылетающие из отверстия диафрагмы с од-
одной и той же абсолютной величиной скорости v, за промежуток
времени, в течение которого проекции этих электронов на пло-
плоскость, перпендикулярную к оси соленоида, описывают полную
окружность, продвигаются вдоль оси соленоида на одно и то же
расстояние /. Отсюда следует, что расходящийся пучок электро-
электронов одинаковой энергии под действием продольного магнитного
поля сфокусируется на расстоянии /.
Это фокусирующее действие соленоида и лежит в основе ме-
метода продольного магнитного поля. Электроны, выходящие*из
отверстия диафрагмы S (рис. 11) и развернутые предварительно
в расходящийся п>чок переменным электрическим полем В, по-
падают внутрь соленоида. Подбирая соответствующую величину
напряженности поля Ш, можно добиться того, чтобы пучок элек-
электронов фокусировался как раэ у противоположного к диафрагме
конца соленоида, где помещен флуоресцирующий экран, Зная
необходимое для этого поле, можно сейчас же вычислить ejrn-
Действительно, из (8.4) находим
Подставляя это выражение для скорости в уравнение энергии
Sf = eV, E.4)
легко получим
v^w- <8-5)
Результат последних A939 г.) измерений, выполненных этим
методом, таков:
-?- = A,7586 + 0,0023)- 107 СГСМ-г.
Наиболее точное значение удельного заряда электрона, полу-
полученное в результате критической оценки измерений, выполнен-
выполненных различными методами, есть
(8/6)
— = A,7592 +. 0,0005) ¦ 107 СГСМ ¦ г~1.
Сравним теперь массу электрона с массой водородного атома.
Для этого нужно прежде всего найти величину е)тн, т. е. отно-
отношение заряда электрона к массе аюма водорода. Легко видеть,
что это последнее отношение равно отношению числа Фарадея F
к атомному весу водорода Н(. Действительно, так как F = Ne
(N — постоянная Авогадро) к Н1 = Nmu, то f/1-P = е/тн. Из
наиболее точных измерений F и Н1 получается
_?_= (9573,5+ 1) СГСМ-г-i. (8.7)
Комбинируя (8.6) и (8.7), находим
^- = 1837,5.
Итак, масса электрона в 1837,5 раза меньше массы водород-
водородного атома.

ЭЛЕКТРОН, ЕГО ЗАРЯД И МАССА
ФОКУСИРОВКА ПУЧКОВ ЗАРЯЖПННЫЯ ЧАСТИЦ
§ 9. Фокусировка и монохроматизация пучков
заряженных частиц
Рассмотрим здесь попутно методы получения пучков частиц
постоянной скорости (монояроматизация, фильтры скоростей) и
методы фокусировки пучков заряженных частиц. Знакомство
с этими методами понадобится нам в дальнейшем.
Самый простой фильтр скоростей устроен так: пучок заря-
заряженных частиц пропускается одновременно через электрическое
и магнитное поля, направлен-
А —^^-^^— I ные перпендикулярно Друг к
\В Другу и притом так, что они
дают отклонения в противопо-
противоположных направлениях.
На рис. 12 магнитное поле
',4s. . . | направлено перпендикулярно
, к плоскости чертежа и дейст-
действует . на положительно заря-
заряженную частицу с силой evM,
Рис, 12, Схема фильтра скоростей лежащей в плоскости чертежа,
заряженных частиц. в т0Й ^ ПЛОСКОС1И лежит „
сила е<?, с которой действует
на заряд электрическое поле конденсатора АВ. Если выбрать
направление полей так, чтобы обе силы были направлены в про-
противоположные стороны, то результирующая сила будет evM—e<$.
Под влиянием этой силы частица движется, вообще говоря, по
кривой с радиусом кривизны р. Приравнивая силу, действующую
на частицу, центробежной силе инерции, получаем
еъЖ — е&=^~-, (9.1)
Очевидно, что через конденсатор пройдут только частицы, ско-
скорость которых такова, что обе силы evM и е$ друг друга ском-
скомпенсируют. В этом случае
evM — е#= О и v = &Ш. (9.2)
Частнпы со скоростями, не удовлетворяющими соотношению
(9,2), будут притянуты пластинами конденсатора и удалены из
пучка, или, во всяком случае, задержаны диафрагмой D.
Для фокусировки частиц очень часто пользуются действием
однородного поперечного магнитного поля.
Пусть источник частиц находится в S (рис. 13) и пусть асе
частицы характеризуются одной и той же величиной mv/e. Ча-
Частица, вылетающая вертикально вверх, опишет полуокружность
диаметром 5Л = 2-^- = 2р; какая нибудь другая частица, вы-
вылетающая под углом ее к первой, тем же радиусом опишет дугу
круга, которая пересечет прямую SA в точке В. Легко видеть,
ЛВ = 2рA— cos а).
Если угол а достаточно мал, то можно воспользоваться разло-
разложением косинуса в степенной ряд cos а = 1 — сса/2 + ,.. и взять
только первые два члена; тогда
АВ = раэ.
Например, если р = 5 см, а = 3° = 0,05, то АВ = 1,25- 1б см.
Очевидно, что все частицы, направления которых при вылете из
S лежат в пределах угла а, описав соответ-
соответствующую дугу, пересекут SA между А и
В. Поэтому, если источником S служит
щель, через которую проходят частицы, то
АВ будет «изображением» этой щели в
виде узкой линии; поперечное однородное
магнитное поле действует, таким образом,
как цилиндрическая линза, почожи
Другой тип фильтров, получивший в ПО- Т01ь1ГО 'заряженная
следнес время широкое распространение, чаСтица а радиаль-
основац на действии радиального электри- ном электрическом
ческого поля в цилиндрическом конденсато- поле цилиндрического
ре. Рассмотрим частицу с зарядом е, попа- конденсатора,
дающую в цилиндрический конденсатор
(рис. 14). Очевидно, что частица беспрепятственно пройдет через
конденсатор в том случае, если действующая на нее со стороны
ноля сила е<% будет равна центробежной силе инерции:

ЭЛЕКТРОН, ЕГО ЗАРЯЛ И МАССА
В цилиндрическом конденсаторе поле обладает радиальной
симметрией, и потому
Следовательно, условие беспрепятственного прохождения ча-
частицы через конденсатор будет
-2-т1- ад
Выражая кинетическую энергию mv2/2 через ускоряющий потен-
потенциал; mvl = 2eVn, и разделяя переменные в уравнении (9,3),
получим
Полагая радиусы внешней и внутренней обкладок равными
соответственно р2 и рь потенциал внешней обкладки — равным
ЕГО СКОРОСТИ
Рис, 15, Цвлнщ
:атор как фильтр скоростей. (Стрелками
1лектрического поля; справа на графике п — число
:тиц, v — их скорость,)
VK, а внутренней — равным 0 и интегрируя при этих условиях,
получим
(9.4)
Мы видим, таким образом, что каждой разности потенциалов
VK на обкладках конденсатора соответствует энергия электро-
электронов Vn, при которой они могут пройти через конденсатор.
На рис, 15 изображена схема действия цилиндрического кон-
конденсатора как фильтра скоростей. Видно, что если через щель
В\ поступает пучок электронов, скорости которых лежат в интер-
интервале v ± Аи, то через щель В2 пройдут электроны со скоростями,
лежащими в более узком интервале v ± е. В правой части ри-
Сунка дано графическое
изображение распределе-
распределения электронов по скоро-
скоростям до фильтрации н
после нее (заштрихова
ная часть).
Наиболее замечатель-
замечательная особенность рассма-
рассматриваемого фильтра со-
состоит в том, что он обла-
обладает способностью фоку-
фокусировать расходящиеся заряженных частиц; В - фарах
пучки. Юз И Рожанский С,, Сг — пластины цилиндрического кин-
показали теоретическим денсатора; S, S, — вдели,
расчетом и подтвердили
экспериментально, что расходящийся пучок, выходящий из щели
S, вновь фокусируется, описав в цилиндрическом конденсаторе
дугу я/К2= 127° 17' (рис, 16),
Таким образом, радиальное электрическое поле цилиндриче-
цилиндрического конденсатора действует на расходящийся поток заряжен-
заряженных частиц совершенно так же, как поперечное однородное маг-
магнитное поле. В некоторых отношениях, однако, применение элек-
электрического поля вместо магнитного представляет преимущества.
Например, при помощи экранов гораздо легче ограничить элек-
электрическое поле, чем магнитное.
§ 10. Зависимость массы электрона от его скорости
При скоростях электронов, близких к скорости света, обна-
обнаруживается зависимость массы от скорости. Первое эксперимен-
экспериментальное доказательство этого важнейшего факта принадлежит
Кауфману, работа которого была опубликована в 1901 г., т, е,
еще за четыре года до появления теории относительности, со-
согласно которой любая масса, независимо от того, несет ли она
электрический заряд или нет, должна зависеть от скорости по
формуле

ЭЛГКТРОН. ЕГО
[ГЛ. I
где с—скорость света в пустоте. Хотя работа Кауфмана б на-
настоящее время имеет только исторический интерес, мы познако-
познакомимся с идеей его метода, так как эта идея получила широкие
применения в опытах с заряженными частицами. В частности,
на аналогичном принципе основан «метод парабол» Дж. Дж.
Томсона (§ 13), впервые примененный для определения истин-
истинных масс атомов.
Сущность метода Кауфмана состоит в том, что электроны
пропускаются одновременно через поперечные электрическое и
магнитное поля, располо-
z| женные параллельно или
аптипараллсльно, так что
отклонения в том и дру-
другом полях перпендикуляр-
перпендикулярны друг к другу. Парал-
лельный пучок электро-
электронов, обладающих одной
и той же скоростью, про-
проходит между пластинками
конденсатора,в простран-
пространстве между которыми воз-
возбуждено также и магнит-
Рис. 17. Электроны и поперечных электри- НОе поле (рис. 1?). На-
ческом и магнитном полях. правления полей показа-
показаны на рисунке стрелками.
Отклонение в электрическом поле будет направлено вправо и
равно, например, ОА = х\ отклонение в магнитном поле будет
направлено вверх и равно, например, ОВ = г (следует помнить,
что электроны несут отрицательный заряд; поэтому отклонения
положительно заряженных частиц были бы, соответственно, вле-
влево и вниз), формулы § 4 дают
г = А^~, D.8)
х = В-^г, D.11)
где А и В — постоянные прибора. Все электроны, имеющие по-
постоянную скорость, будут попадать после прохождения через оба
поля в точку С фотопластинки. Пусть теперь пучок неоднороден
и содержит электроны всевозможных скоростей. В этом случае
следы электронов на фотопластинке расположатся по некоторой
кривой, форму которой мы найдем, исключив из D.8) и D.11)
скорость v. Возведя первое из них в квадрат и разделив на вто-
второе, получаем *
4=т^"- <1ол>
5 10] ЗАВИСИМОСТЬ МАССЫ ЭЛЕКТРОНА ОТ ЕГО CKOPOI
Если е/т постоянно и, следовательно,
г2 = Кх,
(Ю.2)
и искомая кривая должна быть отрезком параболы. Переключая
электрическое поле то в одну, то в другую сторону, при неизмен-
неизменном направлении магнитного поля мы должны были бы получить
два отрезка параболы, расположен-
расположенных так, что общей касательной их
в точке О служит ось г (рис. 18,а).
В опытах Кауфмана, выполненных
с таким расположением и с препа-
препаратом радия в качестве источника
электронов, обнаружилось, что от-
отрезки кривых, полученные в ре-
результате опыта, не являются от- и' "'
резками параболы. Уже Это пока- Рис. ]8.
зывает, что е/т в A0.1) не остается
постоянным, т. е. что масса зависит от скорости. На рис. 18, б
схематически представлен вид фотографии, полученной Кауфма-
Кауфманом. Пятно, вызванное неотклопяемыми в магнитном и электри-
электрическом полях v-лучами радия, фиксирует начало координат. Вид-
Видно, однако, что отрезки кривых не доходят до начала координат,
несмотря на то, что в пучке присутствовали электроны со ско-
скоростями, мало отличающимися от скорости света. Видно также,
что касательные, проведенные к продолжениям обоих отрезков
в точке О, не совпадают с осью г, по образуют с ней угол а, от-
отличный от нуля. Поэтому г/х имеет конечное значение при г'=0,
а следовательно, -^- = -^г = 0. Такие Т3блапа Ц
фотографии позволяют найти е/т для
различных скоростей электронов, какова
бы ни была форма следов. В самом деле,
измерив координаты какой-либо точки
кривой, можно вычислить е/т и v при
помощи форм>л D.8) и D.11). Ввиду
того, что следы, получаемые на фото-
фотопластинке, довольно размыты, большой
точности такие измерения дать не могут; однако они качествен-
качественно показывают вне всякого сомнения, что масса возрастает со
скоростью. Например, Кауфман получил следующие резуль-
результаты (см. табл, II).
Для количественного установления вида зависимости массы
от скорости точность опыта Кауфмана недостаточна.
2 36-
2,59 ¦
а,аз-
10го
IU1Lh
СГСМ
1,31
0,97
;-
1A'
10'

ЭЛЕКТРОН, ЕГО ЗАРЯД И МАССА
[ГЛ !
В то время, когда он производил свои опыты, речь могла
идти о выборе между двумя формулами: 1) формулой Абра-
гама, в основе вывода которой лежало представление об элек-
электроне как о жестком и несжимаемом шарике:
3 [ / Ц
г-1
и 2) формулой Лоренца
m =-
отвечающей представлению об электроне, сжимающемся по на-
направлению движения; последняя формула вытекает также из
теории относительности. Ввиду большой принципиальной важ-
важности решения вопроса о том, какая из этих двух формул лучше
соответствует действительности, за работой Кауфмана последо-
последовал длинный ряд других работ и возникла полемика Причина
этого заключается в исключительной трудности соответствую-
соответствующих экспериментов и малой разнице в численных данных, да-
даваемых обеими формулами.
Не останавливаясь на истории вопроса, мы рассмотрим
только результаты последних работ, в которых учтены все воз-
возражения, сделанные по поводу предшествующих исследований.
В опытах Трикксра была использована схема, предложенная
П. Л. Капицей для анализа электронов по скоростям. Схема эта
но существу представляет собой «фокальный монохроматор» для
электронов, аналогичный монохроматорам того же названия,
применяемым для монохроматизации света, рис 19, а поясняет
действие этого монохроыатора в оптическом случае. Расходя-
Расходящийся пучок лучей от источника света S проходит через линзу
?, перед которой помещена кольцевая диафрагма АВ, Назначе-
Назначение этой диафрагмы состоит в том, чтобы убирать параксиаль-
параксиальные лучи и оставляй» лучи, падающие на края линзы, т. е. рас-
годящиеся под достаточно большим углом. Вследствие хромати-
% 10[ , ЗАВИСИМОСТИ МАССЫ ЭЛЕКТРОНА ОТ ЕГО СКОРОСТИ 39
ческой аберрации линзы лучи с различными длинами волн фо-
фокусируются в различных точках оптической оси 5', 5", S'", ...:
коротковолновые лучи фокусируются ближе к линзе, длинновол-
длинноволновые — дальше от нее. Перемещая диафрагму С,, можно вы-
выпускать из ее отверстия лучи любой длины волны.
В методе Капицы — Триккера роль линзы выполняет про-
продольное магнитное поле с осевой симметрией, т, е. соленоид. Со-
Соленоид в данном случае является длинной магнитной линзой.
Как мы видели в § 8, электроны фокусируются такой линзой
на расстоянии /, равном
/=
(8.3)
При заданных Э% и а расстояние / зависит от и и е/т. Схема
«фокального монохроматора» для электронов изображена на
рис. 19,6. Расходящийся пучок электронов от источника 5, ко-
которым служил радиоактивный препарат, испускавший элеь греты
со скоростями до р = 0,8, проходил через кольцевую диафрагму
АВ и фокусировался продольным магнитным полем соленоида.
При этом, как и в случае оптической линзы, электроны с различ-
различными скоростями - фокусировались в разных местах оптической
оси. F — свинцовый блок для защиты от попадания рентгенов-
рентгеновских лучей, возникающих при торможении электронов в диа-
диафрагмах. Диафрагму D можно было заряжать до ± 5000 е и
тем самым ускорять или замедлять электроны. При ско-
скорости р = 0,8, которой соответствует ускоряющий потенциал
340,5-105 8, отношение m/m0 по формуле Лоренца— Эйнштейна
равно 1,666- Изменение ускоряющего потенциала на 5000 в вы-
вызывает изменение массы всего на 0,06%, что лежит за преде-
пределами ошибок опыта. Поэтому поле в 5000 в заметно ускоряет
или тормозит электроны, но практически не изменяет их массы.
Из формулы (8.3) следует, что изменение скорости на Ли сме-
смещает фокус на
Зная До и Э$ и измеряя Д/, можно вычислить величину е/т для
данной скорости,
Измерения Триккера показали, что при скоростях электронов
вплоть до 0,8 скорости света изменение массы со скоростью сле-
следует формуле Лоренца — Эйнштейна с точностью 1—2%, тогда
как разница между результатами, даваемыми формулами Абра-
гама и Лоренца — Эйнштейна, составляет при этих условиях
около 5%. .

40 ЭЛЕКТРОН, ЕГО ЗАРЯД И МАССА [ГЛ. I
Другой метод определения зависимости массы от скорости
был применен Цаном и Списсом A938 г.). Идея этого метода
состоит в следующем.
Пусть в А (рис. 20) расположен источник электронов. Если
имеется однородное магнитное поле Ж, перпендикулярное к пло-
плоскости рисунка, то щели Sl и Si выделят из пучка те электроны,
скорости которых удовлетворяют условию
~ = evM, A0.3)
где р —радиус кривизны траектории, определяемой расположе-
расположением щелей Si, Sq, S3. Электроны, прошедшие через щели Si и S2,
попадают затем в конденсатор С. Ввиду наличия магнитного
поля, перпендикулярного к электрическому, этот конденсатор
служит фильтром (см. § 9), который производит более точную
монохроматизацию скоростей электронов. В G расположен вос-
воспринимающий прибор, при помощи которого можно считать от-
отдельные электроны, прошедшие через все щели и конденсатор.
Опыт состоит в том, что при данной величине магнитного поля
подбирают разность потенциалов на пластинах конденсатора
так, чтобы число электронов, регистрируемых счетчиком G, было
максимальным. Если ^—напряженность поля в конденсаторе,
то согласно формуле (9.2) через него Пройдут только те здектро-
ны, скороети которых удовлетворяют требованию
Комбинируя эту формулу с A0.3), получаем
е _ 8
(9-2)
A0.4)
Опыты Цана и Списса, так же как и опыты Капицы — Трик-
кера, показали, что расхождение между результатами, вычислен-
вычисленными по формуле Лоренца — Эйнштейна, и" результат*ми экспе-
эксперимента не превосходят 1,5% для скоростей электронов
р = 0,745.
ЗАВИСИМОСТЬ МАССЫ ?
В настоящее время вопрос о зависимости массы быстро дви-
движущихся частиц от скорости приобрел огромное техническое
значение, так как самый факт зависимости массы от скорости и
формула, которой количественно выражается эта зависимость,
лежат в основе современных циклических ускорителен элемен-
элементарных частиц, представляющих собой грандиозные технические
сооружения. В них ускоряемые частицы пробегают по кругу ра-
радиусом до 100 метров и приобретают энергии порядка десятков
миллиардов электрон-вольт. При расчете этих машин основную
роль играет зависимость массы от скорости, и самое ничтожное
отступление от используемой формулы Лоренца — Эйнштейна
Привело бы к полной невозможности работы машины. Таким
образом, в данное время эта формула должна считаться под-
подтвержденной во всем интервале доступных скоростей.

АТОМЫ. ИЗОТОПЫ
§ 11. Введение
Предыдущая гтава была посвящена электрону как одной из
важнейших элементарных частиц, Мы рассмотрели доказатель-
доказательства реальности электрона/ а также непосредственные определе-
определения величины его заряда и массы. В настоящей главе мы пере-
переходим к рассмотрению атомов вещества. Доказательства реаль-
реальности атомов хорошо известны из элементарных курсов физики
и химии, поэтому мы не будем останавливаться на них и сосре-
сосредоточим внимание прежде всего на важнейшей характеристике
атома—-его массе,
В химии обычно пользуются не абсолютными, а относитель-
относительными атомными массами или атомными весами, причем за
условную единицу берется 1/12 массы атома изотопа угле-
углерода С1а. Определение атомных весов производится с макроско-
макроскопическими количествами вещества при посредстве химических
анализов. Получаемые таким путем числа имеют огромное
практическое значение и лежат в основе всех химических рас-
расчетов. Если предположить, как это и делалось до сравнительно
недавнего времени, что все атомы данного элемента имеют оди-
одинаковую массу, то, пользуясь законом Авогадро, согласно кото-
которому в одном моле любого вещества содержится одно и то же
количество молекул, можно при помощи химического атомного
веса вычислить и абсолютную массу атома,
В этой главе мы увидим, однако, что химические атомные
веса не дают возможности вычислять абсолютные массы атомов.
Тем не менее исторические знания химических атомных весов
было важно не только с практической точки зрения, но и по-
потому, что с их помощью была открыта важнейшая закономер-
закономерность, связывающая атомы различных элементов между собою,
Эта закономерность проявляется в периодической системе эле-
элементов Д. И, Менделеева, с рассмотрения которой мы и начнем
эту главу.
§ 12. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева
К середине XIX в- было открыто большое количество хими-
химических элементов, и, естественно, возник вопрос — связаны ли
эти элементы как-нибудь между собой или их свойства совер-
совершенно случайны и не зависят друг от друга. Различные частные
закономерности были открыты сравнительно рано, но только
Д. И, Менделееву удалось впервые найти общий закон, связы-
связывающий все элементы в единую систему, которая является наи-
наиболее ярким выражением общности в строении атомов, Для того
чтобы правильно оцепить гениальную интуицию, благодаря ко-
которой Менделеев открыл свою систему, необходимо напомнить
некоторые факты,
Первая таблица была опубликована Менделеевым в 1869 г.
К этому времени было известно около 63 элементов. Однако
при расположении их в систему выяснилось, что только 35 эле-
элементов можно разместить уверенно в соответствии с их атом-
атомными весами, Положение 8 элементов вызывало недоумение,
Например, было непонятно, почему Zn, Cd и Hg попадают в
одну группу с Mg, Ca, Sr, Ba; еще большее недоумение вызывало
помещение Мп в одну группу с галогенами (т. е. в VII группу
периодической системы). Наконец, для остальных 20 элементов
Менделееву пришлось изменить либо их атомные веса, либо
порядок следования. Нередко эти изменения были весьма суще-
существенными: так, например, атомный вес церия считался равным
92; Менделеев приписал ему атомный вес 138 (современное зна-
значение 140,12); атомные веса тория и урана, по данным того
времени, были соответственно 116 и 120. Менделеев же указал,
что эти атомные веса должны быть 232 и 240. Наконец, некото
рые места в таблице Менделеев оставил пустыми, указав на то,
что эти места должны быть заняты еще не открытыми элемен- ¦
тами. В частности, он предсказал существование трех элементов,
которые он назвал экабором, экаалюминием и экасилицием, и
описал их свойства. Вскоре после этого, в 1875 г,, был открыт
элемент, названный галлием. Менделеев тотчас же указал на то,
что галлий и есть предсказанный им экаалюминий и что он дол-
должен иметь атомный вес около 68, удельный вес 6,0—5,9 .и атом-
атомный объем 11,5. На самом деле атомный вес галлия оказался
равным 69,7, удельный вес 5,96 и атомный объем 11,7.
Основной факт, из которого исходил Д. И. Менделеев при
построении системы элементов, состоит в том, что если располо-
расположить элементы в порядке возрастания атомных весов, то эле
менты с аналогичными свойствами периодически повторяются.
Исходя из этого, ему удалось построить «естественную систему
элементов», которая оказалась правильной, несмотря на то, что
атомный вес, Kai< выяснилось впоследствии, не может считаться
константой, однозначно определяющей индивидуальные свойства
атома. Действительно, ниже мы увидим, что существуют веще-
вещества, которые в химическом отношении ведут себя практически
одинаковым образом, несмотря на то, что их атомные веса различ-
различны, Такие вещества называются изотопами, так как вследствие

АТОМЫ ИЗОТОПЫ
|ГЛ
их химической тождественности их необходимо помеща гь на
одно и то же место в периодической системе (слово «изотопы»
в буквальном переводе с греческою означает «(занимающие одно
и то же место»). Химические элементы на самом деле являются
смесями изотопов, а их атомные веса, определяемые обычными
химическими методами, — средними из атомных весов всех об-
образующих их изотопов. Наряда с атомами, обладающими очень
близкими свойствами при различных атомных весах, существуют
также атомы, обладающие различными свойствами при одина-
одинаковых атомных весах (изобары).
Несмотря на Эти факты, созданная Д. И. Менделеевым пе-
периодическая система элементов является правильной и ее
следует поэтому рассматривать как фундаментальный закон
природы.
Поскольку химический атомный'вес в действительности не
есть существенный признак атома, основной характеристикой
элемента является его положение в периодической системе, а это
положение определяется номером места, занимаемого данным
элементом в таблице Менделеева. Глубокая причина важности
этого числа, называемого атомным номером, состоит в том, что
оно является на самом деле не просто порядковым номером, но
одной из основных физических констант атома, как это будет
показано ниже.
Возможность расположения элементов в правильную систему
при помощи атомных весов основана на следующем замечатель-
замечательном факте: если характеризовать данный элемент атомным ве-
весом, определяемым химическими методами и являющимся сред-
средним из атомных весов всех изотопов данного элемента, то между
этим Средним атомным весом н атомным номером существует
простая монотонная зависимость (рис. 21). В немногих случаях,
когда это соответствие нарушается (К— Аг, Те—I, Co— Ni),
Менделеев с гениальной интуицией расположил элементы пра-
правильно, вопреки их атомным весам.
На рис. 22 и 23 приведены некоторые примеры периодиче-
периодического повторения свойств атомов. Рис. 22 представляет кривую
атомных объемов: по оси абсцисс отложены атомные номера, по
оси ординат —атомные объемы L_a
на рис
представлен на одной диаграмме ход нескольких физических
свойств в зависимости от атомного номера, а именно —верхняя
кривая дает ход обратных величин температуры плавления, сред-
средняя кривая —ход коэффициентов линейного расширения и ниж-
нижняя—сжимаемости. Видно, что все эти свойства не только пе-
периодически изменяются при монотонном возрастании атомного
номера (среднего атомного веса), но что максимумы и мини-
минимумы у всех кривых приходятся на одни и те же значения атом-
ПЕРИОДИЧЕСКА)
ЭЛЕМЕНТОВ Д
ного номера, т. е. что все эти свойства обнаруживают одинако-
одинаковую периодичность.
Внешние формы, которые могут быть приданы естественной
системе элементов, весьма разнообразны. Наиболее распро-
распространенными являются таблицы двух видов — с длинными
Г
ft
у
I
А
1
л
и
;я,-к 1
1 1
1 1
]
0
/
V
&
Радаапктад-.
Вещества
*
.-
/
X
/
-i-t
_тъ
%
1
м ев ?
/
?П 75 Ь
.1
У
И
I
«
,У
1 <
Ряс 21. Атомный вес
и короткими периодами, Теоретически более обоснована таблица
с длинными периодами (таблица III на стр. 48).
Рассмотрим последовательные ряды этой таблицы. Первый
ряд состоит всего из двух элементов: он начинается одновалент-
одновалентным элементом водородом и заканчивается благородным газом
гелием. Третий элемент — литий —снова одновалентен; он яв-
является типичным металлом и обладает резко выраженными

эмы. изотопу
% 12]
47
щелочными свойствами. По мере продвижения вправо оба эти
свойства заметно ослабляются и постепенно проявляются свой-
свойства противоположные; наконец, девятый элемент— фтор— ока-
оказывается антиподом лития: он является типичным металлоидом
и обладает резко выраженными кислотными свойствами. Далее
следует благородный газ неон, а за ним щелочной металл натрий
Рис. 23. Периодичность физических свойств. Верхняя кривая — обратные
температуры плавления ([/Г)- Ю*. средняя кривая — коэффициент линейного
расширения а • 10s". нижняя кривая — коэффициент сжимаемости и-103.
В местах, обозначенных пунктиром, достоверных сведений нет.
{№ И), и вся картина предыдущего периода повторяется, так
что через восемь элементов (считая и натрий) мы вновь встре-
встречаем щелочной металл калий, которому предшествует благород-
благородный газ аргон (№ 18).
ем, состоит уже не из 8, а из 18 элементов, ак как следующий
за калием щелочной металл — рубидий — стоит уже на 37-м ме-
месте. За рубидием следует новый большой период, также состоя-
состоящий из 18 элементов и заканчивающийся па 54-м месте благо-
благородным газом ксеноном. Далее снова идет щелочной металл

§ 121 ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СЦС1
1ТОВ Д И МЕНДЕЛЕЕВА 49
=1"
:!|
й
i
Н
S
II
9
ga
?8
S
P
if
fl
Й
s
Ш
к*
ц
ga
II
-9
S3
Si
is
3^.
7%
3%
si
o|
SS
a &
mi
Щ
ris"
I

АТОМЫ. ИЗОТОПЫ
цезий (№ 55), который открывает самый длинный период, содер-
содержащий 32 элемента. Среди этих 32 элементов особую группу
образуют следующие за лантаном 14 элементов от 58-го до
71-го —редкие земли или «лантаииды»,— обладающие столь
близкими химическими свойствами, что разделение их представ-
представляет для химика очень трудную задачу. Именно вследствие этой
близости химических свойств лантаиидов в таблице им уделена
одна клетка, а весь ряд приводится отдельно. Последний период,
открывающийся 87-м элементом, состоит из неустойчивых есте-
естественно радиоактивных элементов. Самый тяжелый из встречаю-
встречающихся в природе элементов — уран (№ 92) до недавнего времени
был и последним элементом периодической системы В послед-
последние годы, однако, удалось искусственно получить ряд более тя-
тяжелых — «трансурановых» — элемелтов вплоть до элемента с
номером 104. Исследование их химических свойств и пересмотр
химических свойств предшествующих элементов привели к за-
заключению, что следующий за актинием (№ 89) элемент торий
(№ 90) открывает группу близких по химическим свойствам эле-
элементов — «актинидов», подобную группе редкоземельных метал-
металлов —«лантанидов».
Значительно более распространенной является другая форма
естественной системы элементов — таблица с короткими перио-
периодами (таблица IV на стр. 49). Ее главным преимуществом яв-
является компактность, недостаток — в том, что распределение
всех элементов в восемь групп осуществляется довольно искус-
искусственным путем введения подгрупп и «триад» (в VIII [руппе).
§ 13. Определение истинных масс атомов. Метод парабол
Из предыдущего параграфа следует, что определение истин-
истинных, а не средних атомных масс является очень важной задачей.
Наиболее точные современные определения атомных масс, осно-
основанные исключительно на различии масс индивидуальных
атомов и не зависящие от каких бы то ни было других их
свойств, осуществляются при помощи отклонения ионов различ-
различных газов в электрических и магнитных полях. Впервые такой
метод был предложен Дж. Дж. Томсоном.
Если в катоде разрядной трубки, работающей при понижен-
пониженном давлении (сотые доли мм рт.ст.), сделать отверстие, то
ионы, направляющиеся к катоду, проходят через это отверстие
и образуют за катодом поток лучей, называемых Качаловыми.
Эти каналовые лучи состоят в основном из положительных ионов
тех газов, остатки которых находятся в разрядной трубке; в их
состав входят в меньшем числе также нейтральные частицы и от-
отрицательные ионы, возникающие при рекомбинациях положи-
положительных ионов и электронов в пространстве за катодом.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСТ!
Метод Томсона позволяет определять относительные массы
отдельных частиц, входящих в состав пучка каналовых лучей,
.следующим образом. Каналовие л^чи получаются путем про-
прохождения ионов, которые возникают и ускоряются в разрядной
фабол.
трубке, через канал К (рис. 24) длиною в 2 см и диаметром в
0,1 мм. Благодаря значительной длине канала пучок получается
почти параллельным; он содержит
частицы различных энергий вплоть
до максимальной, определяемой на-
напряжением на трубке. Пучок кана-
каналовых частиц подвергается затем
действию поперечных полей — элек-
электрического и магнитного, направ-
направленных параллельно или антипарал-
лельно. При этом заряженные ча-
частицы отклоняются электрическим
и магнитным полями во взаимно
перпендикулярных направлениях, и,
как мы видели в § 10, если пучок
состоит из частиц одинаковой'мас-
одинаковой'массы, но различных скоростей, то
электрическое и магнитное поля
развертывают его так, что, падая на
флуоресцирующий экран, поставленный перпендикулярно к пер-
первоначальному направлению пучка или на фотопластинку, он
оставляет след в виде отрезка параболы, более подробно изо-
изображенной на рис. 25.

52 АТОМЫ ИЗОТОПЫ [ГЛ И
Пусть электрическое отклонение направлено но оси х, а маг-
магнитное—по оси z. Тогда, как было показано в § 10, между г и
х должно иметь место соотношение
где А и В — постоянные прибора (см. § 4). Из (ЮЛ) получаем
2?JT = JW'- <13Л>
Заряд иона может быть только целым кратным заряда элек-
электрона (т.е. может быть равен -\-е, +2е, ...) Если все ионы за-
заряжены однократно, то, как показывает формула A3.1), при
постоянном значении абсциссы х массы ионов обратно пропор-
пропорциональны квадратам ординат (см. рис. 25).
Начало координат фиксируется на фотопластинке незаря-
незаряженными частицами, которые не отклоняются в электрическом
и магнитном полях, но никаких осей координат на пластинке,
конечно, не имеется. Для того чтобы сделать возможным промер
ординат, необходимый для определения масс, направление маг-
литпото поля в течение опыта меняется (в отличие от опыта по
определению зависимости массы электрона от скорости, опи-
описанного в § 10, где переключается электрическое поле), и таким
путем, кроме отрезков парабол MN, PQ, получаются еще сим-
симметричные отрезки M'N', P'Q',
Если в пучке наряду с однократно заряженными ионами
встречаются и двукратно заряженные (например, 0+ и О++), то
последние дают параболу, соответствующую половинной массе
(например,-парабола О++ соответствует массе 8). Однако суще-
существуют внешние признаки, при помощи которых можно отличать
параболы многократно заряженных частиц от парабол частиц,
заряженных однократно.
На рис. 26 приведены две фотографии парабол, полученные
этим методом, но на современной усовершенствованной уста-
установке, На левой фотографии отчетливо видны две параболы,
образованные однократно заряженными ионами одного и того
же вещества — неона, — с очевидностью указывающие на суще-
существование у него изотопов с массами 20 и 22. Эти фотографии
показывают, что при соответствующей конструкции деталей и
правильном расчете прибора можно получать параболы в виде
очень тонких Следов, разделенных достаточно большими про-
промежутками при небольшом различии масс. Максимальттая раз-
разрешающая способность, которая была получена таким образом,
равна Veoo, т. е. две линии, соответствующие массам, различаю-
различающимся на '/еоо своей величины, еще видны раздельно (при
20-кратном увеличении). Однако существенный недостаток при-.
§ м)
53
бора заключается в его крайне малой «светосиле»: для получе-
получения резких линий приходится делать Очень узкие щели, а элек-
электрическое и магнитное поля растягивают, кроме того, поток ча-
частиц, вследствие чего интенсивность следа оказывается очень
малой. Условия эти несколько напоминают то, что имеет место
iiffi iiis
4 yl iill
Щш,к ъ"Щ% HsIlSii:
Рис. 26. Параболы ионов различных газив.
в фотографической камере с малым отверстием без объектива:
уменьшая диаметр Отверстия, можно получить сколь угодно
резкое изображение, по экспозиция при Этом увеличивается до
практически неприемлемой длительности
§ 14, Масс-спектрографы
Большим преимуществом перед методом парабол обладают
те методы, в которых при помощи различных комбинаций элек-
электрических и магнитныд полей достигается фокусировка заряжен-
заряженных частиц. Устроенные таким образом приборы называются
масс-спектрографами; первый из них был осуществлен Астоном.
Этот спектрограф имеет следующее устройство. Положитель-
Положительно заряженные ионы получаются при разряде в трубке с пони-
пониженным давлением. Через отверстие в катоде эти ионы попадают
в закатодную часть в виде пучка капаловых частиц и подвер-
подвергаются анализу. С этой целью пучок прежде всего делается па-
параллельным при помощи двух коллиыаторных щелей 8] и В2

54
АТОМЫ ИЗОТОПЫ
[ГЛ. 1
шириной 0,02 мм (рис 27). Конденсатор Р}Р3 развертывает этот
пучок, давая частицам отклонение, пропорциональное ejmv2.
Часть этого развернутого пучка, выделенная экраном С со
щелью В3, попадает затем в магнитное поле, создаваемое элек-
электромагнитом с полюсными наконечниками М. В отличие от ме-
метода Томсона, где магнитное поле направлено параллельно или
антипараллельно электрическому, в приборе Астона магнитное
поле направлено перпендикулярно к электрическому. Ввиду
этого отклонение частиц под действием магнитного поля здесь
происходит в той же плоскости, что и электрическое отклонение,
а сторона, в которую направлено магнитное поле, выбирается
так, чтобы частиды в нем отклонялись в направлении, противо-
противоположном их электрическому отклонению. При таких условиях
магнитное поле, в конце концов, собирает частицы, обладающие
одинаковой массой (точнее, одинаковой величиной отношения
elm), но различными скоростями, в общем фокусе на фотопла-
фотопластинке 5. В самом деле, отклонение, испытываемое ионами в
конденсаторе, пропорционально e/mv2, а радиус кривизны тра-
траектории в магнитном поле по формуле D.9) пропорционален
rnvje Поэтому те частицы, которые испытали большее отклоне-
отклонение в электрическом поле, будут описывать в магнитном поле
траекторию с меньшим радиусом кривизны (рис. 27). В резуль-
результате магнитное поле сведет расходящийся пучок ионов в общем
фокусе. Показанная на чертеже специальная форма полюсных
наконечников улучшает фокусировку.
Следующая оптическая аналогия позволяет лучше понять
действие прибора: параллельный пучок лучей белого света
(рис. 28), пройдя через призму Pir развертывается в спектр.
Вторая призма Р% расположенная вершиной в сторону, противо-
противоположную первой, и имеющая большую дисперсию, вновь соби-
собирает все различно окрашенные лучи в белый «фокус». Здесь
первая призма отвечает электрическому полю, вторая,— магнит-
Г
ному; лучи различной длины волны —частицам различных ско-
скоростей.
Точная теория прибора Астона довольно сложна. Мы приве-
приведем здесь только некоторые простые соображения, разъясняю-
разъясняющие условия фокусировки частиц. Пусть <от будет угловая ши-
ширина пучка, развернутого электрическим полем и пропущенного
щелью В3. Если I есть расстояние От середины конденсатора до
центра магнитного поля, а г—расстояние от центра магнитного
поля до фокуса, то в отсутствие магнитного поля пучок, развер-
развернутый электрическим полем на расстоянии t -f- г, приобрел бы
р,
Рис 28. Отш
-спектрографа.
ширину (l + rjdft. Для того чтобы осуществилась фокусировка,
эта ширина должна быть компенсирована магнитным отклоне-
отклонением направленным в противоположную сторону. Если <f<p есть
угловая ширина, которую приобретает пучок вследствие маг-
магнитного отклонения, то rdy будет его линейной шириной на
расстоянии г. Для фокусировки требуется, чтобы отклонение
в электрическом поле компенсировалось отклонением в магнит-
магнитном поле. Это дает условие
Рассмотрим сначала пучок, однородный по массам, т.е. по-
положим, что для всех частиц пучка е/т = const. Отклонение г
параллельного пучка частиц в однородном электрическом поле
по формулам D.И) и D.12) будет
где а длина конденсатора. Отсюда для малых углов отклоне-
отклонения 0 имеем
и, следовательно,
qv2 = -L -?_ ga = const.
Дифференцируя, получаем v2dQ + 2v$dv = 0 или
4t = -2^. - A4.2)

АТОМЫ. ИЗОТОПЫ
Радиус кривизны траектории в однородном магнитном поле по
D.9) равен
Отсюда угол отклонения ф в магнитном поле
где L—длина пути в магнитном поле. Так же, как и раньше,
получаем q,u —— LM = const, qidv + u<fq> = 0,
Подставляя db и dtp из A4-2) и A4.3) в (U.I), находим
Так как dvfv Ф 0, то это условие будет выполнено, если выра-
выражение в скобках равно нулю, т.е.
(Ф — 2О)г = 2/О. A4.4)
Геометрический смысл этого соотношения можно пояснить
при помощи рис. 29. Пусть Z— середина электрического поля
Рис. 29. К ус:
эграфс Астона.
конденсатора, О — середина магнитного поля, F—фокус, в ко-
котором собираются частицы выбранной нами массы. ZN есть на-
направление полета каналовых частиц до того, как они испытали
отклонение. Если л треугольнике OZF угол При Z равен 2i), как
показано на чертеже, то на основании тригонометрической «тео-
1ЛСС-СПЕКТРОГРАФЫ
ремы синусов» получаем, принимая во внимание, что ZO =
OF = r (см. рис.27),
г _ I
¦п(Ф-2») ¦
A4.5)
Для малы?: углов соотношение A4.5) сразу дает A4.4)-
До сих пор мы имели в виду частицы с определенным значе-
значением elm. Оказывается, однако, что если расположить фотопла-
фотопластинку FP так, чтобы, прямая ZF лежала в ее плоскости, то на
пластинке одновременно расположатся фокусы для различных
ejm. В самом деле, выберем за полярную ось прямую ОХ, па-
параллельную ZF. Тогда радиус-вектор, проведенный к F, будет
равен г, а полярный угол i|i, как видно из чертежа, равен ср — 20.
Расстояние а между ZP и ОХ будет равно г sin (<р — 20), или по
A4.5)
а = г sin (ф — 20) = / sin 20 « 2/0.
Но так как угол 0 фиксирован расположением щели В3 (рис.27),
то а есть постоянная величина. Пользуясь обозначениями
Ф — 20 = i|i, 2/0 = а, из A4.4) получаем
Ввиду того, что о —постоянная величина, A4.6) есть урав-
уравнение гиперболической спирали*). Эга спираль делает беско-
бесконечное число оборотов, приближаясь к началу координат, но не
попадая в него; она имеет асимптоту, параллельную полярной
оси и отстоящую от нее на расстоянии а. Поэтому, если распо-
расположить фотопластинку так, чтобы эта асимптота находилась
в се плоскости, то все фокусы, которым соответствуют углы i|>,
меньшие некоторой определенной величины, будут лежать в пло-
плоскости фотопластинки, чем и обеспечивается резкость линий
в масс-спектре.
На рис. 30 Приведено несколько масс-спектрое, снятых при-
прибором описанного типа. Видно, насколько резки линии этих
спектров. Расстояния между ними (дисперсия прибора) настоль-
настолько велики, что измерения масс и разделение близких масс можно
производить с высокой степенью точности. В самом деле, при
длине спектра в 16 еж на нем укладываются линии атомов, ко-
которым соответствуют массы, различающиеся немного более чем
в два раза; изменение массы на один процент соответствует
расстоянию линий от 1,5 до 3 мм (в разных частях плчегинки).
*) См , например В И. С м ]
ука». 1967, ер 191
¦ в, Курс

Для определе
б В
Д
щим обр
щим образом. Воперв
ленную массу в качест
серо бы
чины масс. В так на
берется масса изотоп
деления неизвестны
еделения масс по этим спектрам поступают следую-
следуюм. Во-первых, нужно выбрать какую-нибудь опреде-
опредесу в качестве «стандарта» так как пи помощи масс
гибудь опре,
_,.„ j _ .._ ...гандарта», так как При помощи масс-
спектров могут быть определены только относительные вели-
" "лваемой физической шкале масс за основу
.а углерода С12 = 12. Во вторых, для опре-
масс следует построить градуировочную
" jf
" sJ- f l^r **;;*
feA* fe '
точно известно. Например, линиям атома и молекулы кислорода,
О и Ог, следует приписать массы. 16 и 32; одно- и двухзарядпым
ионам 0+ и 0++ надо приписать массы 16 и 8 и т. Д.
На рис, 31 приведен пример градуировочпой кривой спектро-
спектрографа Астона. Как видно, она мало отличается от прямой, что
облегчает достижение высокой точности. Для получения макси-
максимальной точности применяются более сложные методы, на опи-
описании которых мы останавливаться не будем *).
*) См Т. Р Р и
[, Гостех!-
59
Бэйнбридж использовал в своем приборе совершенно иную
комбинацию электрического и магнитного полей. Построенный
им масс-спектрограф характеризуется чрезвычайной простотой
конструкции, но дает результаты не менее, а в некоторых слу-
случаях даже более точные, нежели спектрограф Астона. Схема
прибора Бэйнбриджа такова: пучок каналовых лучей делается
параллельным При помощи двух коллиматорных щелей 5; и 5г
(рис. 32), Этот параллельный пучок, содержащий ионы различ-
различных масс и различных скоростей, поступает затем в конденсатор
Р\Рг, который находится в поперечном магнитном поле, перпен-
перпендикулярном к плоскости чертежа. Такая система, как было пока-
показано в § 9, представляет собой фильтр скоростей. Присутствие
этого фильтра в огромной степени упрощает дело. Действитель-
Действительно, фильтр пропускает через щель 53 ионы различных масс, но
одной и той же скорости v0. Пройдя через щель 5з, эти ионы
описывают круговые траектории в поперечном однородном маг-
магнитном поле, Радиусы кривизны этих траекторий по формуле
D.9) пропорциональны количествам движения ионов:
а так как скорость v0 у всех ионов одинакова, то радиусы кри-
бизны ионов различных масс будут пропорциональны, массам:
р = const ¦ m.

Поэтому расстояние линий о г некоторой линии, выбранной ца
фотопластинке за начало отсчета, будет также строго пропор-
пропорционально массе. Линейность шкалы этого прибора, а также
особенно симметричная форма линий, позволяющая произво-
производить сравнение линий, даже сильно отличающихся друг от друга
по интенсивности, дают этому прибору большие преимущества
перед спектрографом <\стона.
Рнс. 33. Примеры масс-сг
снятых спектрографом Бэй^брилжа.
На рис. 33 приведено несколько масс-спектров, снятых при-
бороч ьэйнбриджа. Высокая разрешающая способность этого
спектрографа видна из того, что 'линии молекулы водорода
и двухзарядного иона гелия Не++ далеко отстоят друг от
Друга.
Простой по идее спектрограф Бэйнбриджа на самом деле
представляет собой громоздкое сооружение. Его главная осо-
особенность—огромный электромагнит, дающий однородное маг-
магнитное поле в 15000 эрстед на площади полукруга диаметром
40 см при расстоянии между полюсами в 1,8 см ,
§ 15. Масс-спектрометры и масс-спектрографы
с двойной фокусировкой
Описанные в предыдущем параграфе масс-спектрографы по-
позволяют производить определения атомных масс индивидуаль-
индивидуальных типов атомов с огромной степенью точности (с пятью деся-
десятичными знаками). Пользуясь методами фотографической фото-
фотометрии, можно, конечно, по величине почернения фотопластинки
в определенных линиях спектра производить также сравнение
процентного содержания масс, соответствующих этим линиям.
Однако, во-первых, методы фотографической фотометрии крайне
кропотливы и не дают точных результатов, а во-вторых, опреде-
определение процентного содержания изотопов можно производить
гораздо быстрее и точнее с помощью приборов, называемых
масс-спектрометрами. В этих приборах регистрация ионов опре-
определенной массы производится всегда не фотографическим, но
электрическим путем — по величине заряда, переносимого иона-
ми определенной массы, или по силе ионного тока. Благодаря
этому определение процентного содержания не требует допол-
дополнительных измерений: показания электроизмерительного при-
прибора просто пропорциональны числу ионов данного типа.
Масс-спектрометры позволяют определять также и атомные
массы, но с меньшей точностью, нежели масс-спектрографы.
Они приобрели за последнее время большое практическое
значение в связи с развивающимися применениями их для хи-
химического газового анализа (например, для анализа углеводо-
углеводородов), а также и потому, что установки для электромагнитного
разделения изотопов, о которых речь будет ниже (§ 19), пред-
представляют собой масс-спектромстри большой мощности.
Одной из существенных особенностей масс-спектрометров
является фокусировка расходящихся ионных пучков. При рас-
рассмотрении масс-спектрографа Астона мы. видели, что под фо-
фокусировкой r этом приборе разумеют собирание в фокусе частиц
одинаковой массы, но различных скоростей. С этой целью, од-
однако, пучок ионов прежде всего делают параллельным, пропу-
пропуская его через две узкие щели, расположенные на большом
расстоянии друг от Друга {В1 и В2 па рис. 27). Но это ведет
к потере большого количества ионов; говоря языком оптики
прибор выигрывает в резкости изображения, но проигрывает в
светосиле. Для конструкций масс-спектрометров характерно ис-
использование самых разнообразных методов фокусировки расхо-
расходящихся ионных пучков, т.е методов фокусировки направлений,
а не одних только скоростей, как в масс-спектрографе Астона.
Решение этой задачи в настоящее время значительно облег-
облегчается благодаря развитию так называемой электронной гео-
геометрической оптики, т. е. использованию замечательной аналогии

62
АТОМЫ ИЗОТОПЫ
[ГЛ. I
между механикой и геометрической оптикой для расчета путей
заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Ме-
Метод этот достиг за последнее время большого развития бла-
благодаря разнообразным практическим потребностям, в том числе
потребностям телевидения, построения электронных микроско- -
пов и т. п.
Наиболее старый и широко применяемый в конструкциях
масс-спектрометров метод фокусировки направлений есть фо-
фокусировка поперечным магнитным полем на расстоянии 180°
{или л радиан). В § 9 мы видели, что слабо расходящийся пу-
пучок ионов с определенным значением е/т фокусируется, описав
полуокружность в однород-
I * ' иом поперечном магнитном
поле, действующем на всем
протяжении пути ионов. На
этом основана следующая
конструкция масс-спектро-
масс-спектрометра, впервые построенно-
построенного Демстером (рис. 34)
почти одновременно с масс-
спектрографом Детона (в
1918 г.). Ионы, создаваемые
источником А (на самом
деле ионы получаются пу-
путем нагревания соли ис-
исследуемого металла*)), приобретают все одинаковую энергию
под действием разности потенциалов V, приложенной между
Л и С. Через щель 5| расходящийся пучок ионов попадает в об-
область, где действует поперечное однородное магнитное поле Ш.
Ионы, обладающие различными е/т^ фокусируются, как пока-
показано на чертеже, в различных местах. Если, как это имеет место
в данном случае, энергия ионов одна и та же, то между радиу-
радиусом кривизны, определяющим положение фокуса, и массой (точ-
(точнее, mje) легко установить простое соотношение. В самом деле,
мы имеем
^=-eV, ' E.4)
о =• 4S-. D.9)
МАСС-СПЕКТРОМЕТРЫ
jx aHi
.в оче
J Пр1
0Д[1ЫХ
юбрет
;учаюгся С
ьной энерги
лучей, пр
ла; во вся
ают при
и оказыва!
ичем, и это о
последующем
и энергией, т
отса несущест
откуда сразу получаете
Подбирая величину ускоряющего потенциала так, чтобы при
данном т/е радиус кривизны р приобретал определенное зна-
значение, например 5 см, как на рис. 34, можно выпустить через
выходную щель Si ионы любой массы. Потенциал, до которого
заряжается при этом коллектор Р (или сила тока ионов на
этот коллектор), служит мерой количества ионов данной массы.
Усовершенствования, сделанные за последние годы в этом
методе, связаны со стремлением получать возможно большие
количества ионов. Например, в масс-
спектрометре Блэкни, который послу-
послужил прототипом для ряда позднейших
конструкций, это достигается следую-
следующим образом. Ионы создаются в про-
пространстве между электродом Pt и
щелью Р% {рис. 35) потоком электро-
электронов, перпендикулярным к плоскости
рисунка и пересекающим ее в 5. Со-
Соленоид / создает поперечное однород-
однородное магнитное поле, также перпенди-
перпендикулярное к плоскости чертежа (т. е.
параллельное пучку электронов), не
позволяющее пучку электронов расши-
расширяться. Образовавшиеся ионы вытяги-
вытягиваются слабым электрическим полем
между Р{ и Рг в пространство между
щелями Р2 и Рз, где действует более сильное электрическое
поле. Пройдя через щель Рз, ионы фокусируются магнит-
магнитным полем на расстоянии л радиан, как это было разъяснено
выше. Подбирая соответствующую величину магнитного поля,
можно заставить ионы пройти через щель Р4 в цилиндр Фара-
дея F, заряд которого служит мерой силы тока ионов данной
массы. Все щели имеют большую длину для увеличения числа
проходящих через них ионов,
На рис. 36 приведен в качестве примера анализ изотопного
состава кадмия, выполненный усовершенствованным спектро-
спектрометром описанного типа. Цифры на оси абсцисс представляют
собой округленные атомные массы изотопов; резкие максимумы
соответствуют изотопам кадмия с массами 106, 108, НО, III,

§ 15]
65
112, ИЗ, 114 и 116. Отношения ионных токов, величины кото-
которых отсчитываются по оси ординат, сразу дают процентное со-
содержание изотопов. Оно таково:
весовое число ....
Процентное содержание
100
1,215
108
0,875
ПО
12,39
Ш
12,75
112
24,07
113
12,26
114
28,86
НО
7,58
Поперечное однородное магнитное поле, действующее на про-
протяжении всей полукруговой траектории ионов, с точки зрения
электронной оптики является цилиндрической линзой, дающей
«изображение» щели Sj. В электронной оптике доказывается,
однако, что цилиндрической линзой является также и однород-
однородное поперечное магнитное поле, действующее в ограниченной
области, оформленной в виде сектора с углом О, при условии,
если центральный луч расходящегося пучка ионов входит в
поле ц выходит из него нормально к границам поля (рис. 37).
При этом фокусировка имеет место, каков бы ни был угол сек-
сектора, по углы р, v ч О должны быть связаны соотношением
p_^Y + O = sr. Это соотношение выполняется, когда источник
ионов, вершина сектора и фокус лежат на одной прямой.
В частности, когда v = я, мы получаем уже рассмотренный слу-
случай фокусировки круговых траекторий.
Радиальное электрическое поле цилиндрического конденса-
конденсатора также может быть использовано для фокусировки расхо-
расходящихся пучков ионов; в этом случае, как мы видели в § 9,
Рис. 37. Ф
фокус отстоит от источника на 127°17', или л/]/2 радианов.
Особенно эффективной является комбинация радиального элек-
трического и поперечного магнитно-
го полей, применяемая в некоторых
масс-спектрометрах (рис. 38).
Двойная фокусировка радиальным электрическим и сек-
секторным магнитным полями была использована Бэйн бриджем
и Джорданом для построения масс-спектрографа большой
светосилы и особенно высокой разрешающей способности.
В этом приборе (рис. 39) расходящийся пучок ионов сначала

АТОМЫ ИЗОТОПЫ
фокусируется радиальным электрическим полем, а затем сектор-
секторное магнитное поле с углом в 60° дает на фотопластинке плоский
i масс. «Светосила» этого прибора такова, что дли ярких
При КОТОрии липни u.wu. г„_„
симости от ширины щели колеблется от '/еооо ДО Visooo.
§ 16. Массы и процентное содержание изотопов
При изучении химических свойств радиоактивных элементов
уже в 1906—1910 гг. было обнаружено, что существуют эле-
элементы, которые не удается разделить химическим путем, хотя
атомные веса их различны. Таковы, например, пары элемен-
элементов — ионий и торий, мезоторий и радий. Дж. Дж. Томсои, поль-
пользуясь открытым им методом парабол, в 1913 г. показал, что
нерадиоактивный газ неон Представляет собой также смесь двух
химически неразличимых, т. е. изотопных, сортов атомов с мас-
массами 20 и 22 (см. рис. 26,а), тогда как принятый в химии атом-
атомный вес неона есть 20,2. Отсюда следовало заключить, что этот
«химический» атомный вес 20,2 на самом деле является сред-
средним из атомных весов обоих изотопов 20 и 22. Астон, применяя
построенный им масс-спектрограф, обнаружил впоследствии,
что элементы, имеющие два или несколько изотопов, вовсе не
являются исключением; как раз наоборот —исключениями яв-
являются те немногие элементы (натрий, фтор и т. д.), у которых
не обнаружено изотопов. Но даже и в этих случаях открытие
искусственной радиоактивности показало, что на самом деле
отсутствуют стабильные (т. е. перадиоактивные"), но всегда
имеются изотопы радиоактивные (радиоактивные NaM, Na34 на-
наряду со стабильным изотопом Na33 и т. д.).
Точное определение атомных масс изотопов производится
при помощи масс-спектрографов. Пользуясь методами фотогра-
фотографической фотометрии, можно определять также и процентное
содержание изотопов по интенсивности почернения фотопла-
фотопластинки. Однако точнее и проще производить определения про-
процентного содержания масс-спектрометрами, рассмотренными в
предыдущем параграфе. Для всех них характерно то, что про-
процентное содержание определяется с их помощью быстро и с
высокой точностью.
Уже первые определения истинных атомных масс, произве-
произведенные Астоном с точностью до 0,001, показали, что массы
атомов всегда выражаются почти целыми числами по отноше-
отношению к массе кислорода, принятой за 16,000. Исключением яв-
является водород, атомная масса которого в указанных пределах
5 17]
¦АЗДЕЛЕНИЕ I
"ОПОВ МЕТОДОМ ДИФ'
67
точности резко отличается от единицы и равна 1,008. Химиче-
Химические атомные веса являются средними из масс всех изотопов
данного элемента, и этим объясняются значительные отступле-
отступления химических атомных весов некоторых (впрочем, немногих)
элементов от целых чисел. Так, например, магний имеет сле-
следующий изотопный состав:
Изот
Проц
»ы
онтнс
е содержа
24
78,60
25
10,11
26
11,29
Отсюда получается средняя масса 24,33, в то время как хими-
химический атомный вес магния равен 24,31. Аналогичная таблица
для кадмия была приведена раньше.
Определение атомных масс с четырьмя или пятью десятич-
десятичными знаками производится с помощью усовершенствованных
масс-спектрографов. При такой точности получающиеся цифры
обнаруживают небольшие отступления от целых чисел.
§ 17. Разделение изотопов с помощью
основанных на днффузнн
методов,
Химические элементы, существующие в природе, представ-
представляют собой смеси устойчивых изотопов. При этом, за очень не-
немногими исключениями, состав этих смесей строго постоянен.
Конечно, существенный интерес представляет получение отдель-
отдельных изотопов в чистом виде. Эта задача имеет в настоящее
время очень важное научное и техническое значение. Ее значе-
значение особенно возросло в самые последние годы в связи с раз-
развитием ядерной энергетики.
Задача получения чистых изотопов или даже существенного
обогащения смеси изотопов одним из них очень трудна. В са-
самом деле, для разделения изотопов приходится пользеваться
теми свойствами их, которые зависят от массы. Но процентная
разница в массах имеет заметные значения только для изото-
изотопов самых легких элементов. Например, для водорода разница
в массах тяжелого (Н2 или D) и легкого (Н1) изотопа состав-
составляет 10.0%, но уже для изотопов углерода С12 и С13 эта разница
равна 8,35%, а для изотопов урана U238 и U235 —всего' 1,2%.
Прежде чем переходить к рассмотрению различных методов
разделения изотопов, условимся о терминах, которыми мы бу-
будем пользоваться в дальнейшем. Пусть разделению подвергается
смесь двух изотопов различной массы и пусть о будет часть
всего числа атомов, которая приходится на долю одного из

68
мы изотопы
изотопов до разделения, а ) = 1 —о —доля другого изотопа так-
также до разделения; соответственно, пусть будет 2 и А = 1 —S те
же доли после разделения. Величину qt определяемую равен-
равенством
q = SA, A7.1)
мы будем называть коэффициентом разделения, Например,
неон, встречающийся в природе, состоит из 90% атомов с мас-
массой 20 и 10%—с массой 22. Если мы хотим обогатить эту
смесь тяжелой компонентой так, чтобы ее доля в смеси стала
равной 50%, то коэффициент разделения должен быть равен
Из процессов, зависящих от массьт, а потому пригодных для
разделения изотопов, рассмотрим прежде всего диффузию. Пусть
мы имеем газ, представляю щи ft собой смесь частиц двух сортов,
различающихся своей массой. Так как газ находится в темпера-
температурном равновесии, то средние кинетические энергии частиц
обоих сортов одинаковы; m^^mv'^ а потому средние скоро-
скорости обратно пропорциональны корням квадратным из масс
Ввиду этого более легкие частины при диффузии будут забегать
вперед, а более тяжелые — отставать.
Возможность разделения смеси двух газов путем диффузии
через пористую перегородку теоретически рассматривалась Рэ-
леем уже в 1896 г. Пусть в начальный момент по одну сторону
перегородки находится газ, состоящий из молекул двух сортов,
различающихся массой, а по другую сторону—вакуум. В ре-
результате диффузии газ будет обогащаться легкой компонентой
по одну сторону перегородки и тяжелой — по другую. Условия,
при которых достигается наибольшее разделение, по Рэлею, со-
состоят в том, чтобы, во-первых, величина пор была значительно
меньше средней длины свободного пробега молекул, и, во-вто-
во-вторых, чтобы медленнее диффундирующая компонента не скопля-
скоплялась на поверхности пористой перегородки,
Кроме того, следует иметь в виду, что состав продиффуиди-
ровавшей смеси зависит не только от соотношения скоростей
тяжелых и легких молекул, но и от относительной концентрации
этих молекул в первоначальной смеси. Это обстоятельство очень
существенно, так как в процессе диффузии исходная смесь бу-
будет постепенно обедняться легкими молекулами, и потому со-
ИЗОТОПОВ МЕТОДО1
69
¦став газа, проходящего через пористую перегородку, будет все
меньше отличаться от исходного,
Пусть теперь диффундирующий газ представляет собой смесь
двух изотопов, различающихся по массе незначительно (как
это и бывает на самом деле); тогда, по Рэлею, коэффициент обо-
обогащения тяжелой компонентой пепродиффундировавшего газа
выражается формулой
где v = tf|' _ "^ (nil и т2 — массы атомов обоих изотопов).
Применим эту формулу к случаю неона, Массы его изотопов
ni2 = 20 и пц = 22; следовательно, v = 21. В ранних опытах
по разделению изотопов неона, выполненных Астоттом, отноше-
отношение объемов было, наверное, больше 500 и меньше 10 000. По
формуле A7.Г) для коэффициента разделения получается число
между 1,3 и 1,5, т, е. в 6—7 раз меньше того, какое необхо-
необходимо, чтобы смесь обогатилась тяжелой компонентой до 50%.
В случае изотопов хлора с массами 36 и 38 диффузии подвер-
подвергается НС1; для этого случая показатель v в формуле A7,Г)
равен уже 37, и при изменении объема в 10* раз коэффициент
обогащения получается равным 1,3.
Рассмотренные примеры показывают, что путем однократной
диффузии можно осуществить лишь небольшое изменение со-
состава смеси изотопов, Совершенно иной результат получается
при использовании многоступенчатого или каскадного метода,
впервые разработанного Г. Герцем. Аппаратура, примененная
им, состоит из ряда последовательно соединенных звеньев, из
которых каждое разлагает вхо-
входящий в него поток газа ца
две части, немного различаю-
различающиеся по составу. Для того
чтобы понять устройство и ра-
работу этого каскада, необходи-
мо сначала рассмотреть его от-
делмюе разделительное звено. ячейк,
Простейшее устройство та-
такого звена изображено на
рис. 40, Оно состоит из внутренней трубки, сделанной из порис-
пористого материала и помещенной внутрь более широкой стеклянной
трубки. Если справа в А лодтекает газ, состоящий из двух сор-
сортов частиц различной массы, то часть его, продиффундировав-
шая во внешнюю трубку, будет слегка обогащена легкой ком-
компонентой; эту часть можно при помощи насоса перекачать через
В в соседнее правое звено, а остальная часть, обогащенная
Рнс_ 4а йш
й

70 ' АТОМЫ. ИЗОТОПЫ 1ГЛ II
тяжелой компонентой, поступит через D в соседнее левое звено.
Таким образом, отдельное звено действительно будет разлагать
поток газа на две части, немного различающиеся по составу:
влево будет подаваться газ, обогащенный тяжелой компонентой,
а вправо—легкой. Недостаток этого устройства состоит, од-
однако, в следующем. Газ, текущий внутри пористой трубки, по
мере продвижения вперед обогащается тяжелой компонентой.
Поэтому газ, диффундирующий в левом конце звена (вблизи?>),
будет по составу уже мало отличаться от газа, поступающего
через А.
Рнс. 41. Усовершенствованная разделительная ячейка.
Для того чтобы преодолеть этот недостаток, Герц разделил
каждое звено на две части, как показано па рис. 41- Только
та часть газа, которая диффундирует через R и обогащается
легкой компонентой, откачивается через В в соседнее правое
звено. Остальная часть поступает в 7", и так как согласно ска-
сказанному диффундирующая здесь часть обладает примерно тем
же составом, что и поступающая в звено, то она откачивается
насосом Р через С и вновь подается у Л к началу звена с тем,
чтобы вновь подвергнуться диффузии и соответствующему обо-
обогащению.
диффузч
На рис. 42 изображен небольшой каскад, состоящий из трех
разделительных ячеек. Vt и Vs — баллоны, в которых скопляется
газ с преобладанием соответственно легкой или тяжелой ком-
компоненты. Через эти баллоны газ снова возвращается в раздели-
разделительные ячейки, благодаря чему в конце концов устанавливается
стационарное состояние. Небольшая глиняная трубка слева от
баллона Vs действует не как разделительная ячейка, но служит
РАЗДЕЛЕНИЕ ИЗОТОПОВ МЕТОДОМ ДИФ
для регулирования скорости газа, циркулирующего через бал-
баллон и поступающего обратно в соседнюю разделительную
ячейку.
Действие установки поясняется схематическим рис. 43. Здесь
каждая ячейка обозначена квадратиком. В начальном состоя-
состоянии весь каскад заполнен смесью нормального состава, В ре-
результате диффузии каждая ячейка будет подавать направо газ,
обогащенный легкой компонентой, а налево —газ, обогащенный
тяжелой компонентой. На рис. 43 поток смеси, обогащенной
легкой компонентой, обозначен пунктиром, а поток смеси, обо-
обогащенной тяжелой компонентой, — сплошной линией. Из
рис. 43, а, изображающего начальное состояние, видно, что
вследствие работы разделительных ячеек в системе устанавли-
устанавливается два потока: вправо — поток, обогащенный легкой ком-
компонентой, влево — поток, обогащенный тяжелой компонентой.
В результате этого движения состав газа в баллонах V, и Vs
соответственным образом изменяется. Изменение состава смеси
будет происходить до тех пор, пока не установится стационарное
состояние, при котором состав газа, получаемого каждой ячей-
ячейкой от соседних, становится одинаковым с составами смесей,
передаваемых этой ячейкой обеим соседним. Но гак как при
этом оба потока, передаваемых каждой ячейкой вправо и влево,
по-прежнему отличаются по содержанию легкой и тяжелой ком-
компонент на некоторый коэффициент Q, то в стационарном состоя-
состоянии состав газа, циркулирующего между парами последователь-
последовательных звеньев, отличается от соседнего именно на этот коэффи-
коэффициент q. Это показано на рис. 43,6 различной густотой штри-
штрихов: справа смесь, циркулирующая между последней ячейкой и
баллоном Vi, в наибольшей степени обогащена легкой компонен-
компонентой— штриховка самая редкая; относительная концентрация тя-
тяжелой компоненты в составе смеси, циркулирующей между по-
последней и предпоследней ячейками справа, в q раз больше
— штриховка более густая; для следующей пары:

АТОМЫ. ИЗОТОПЫ
и т. д, Очевидно, что если каскад содержит г звеньев, то состав
смеси в левом баллоне Ua будет отличаться от состава смеси
в правом баллоне Vi уже на коэффициент q%. Таким образом,
полный коэффициент разделения всего каскада Q равен
Q=42. О7'2)
Для вычисления ц необходимо знать, какая доля f потока, по-
поступающего в разделительную ячейку, диффундирует через по-
пористую трубку R (рис. 41). Вообще говоря, поток, поступающий
в разделительное звено, разделился на три части: одна диф-
диффундирует через R и откачивается через В в соседнее правое
звено, другая —диффундирует через Т и откачивается насосом Р
для рециркуляции в той же ячейке и третья — через D поступает
в соседнюю левую ячейку. Если длины R и Т одинаковы, то все
три части потока между собой равны и f = 7з. Если же R и Т
неодинаковы, то f зависит от соотношения их длин lR и 1т.
Именно, в общем случае, как показывает простой расчет,
(:,ри It = Ir, очевидно, получается по-прежнему f = Уз). Выве-
Выведенная Герцем формула для коэффициента разделения отдель-
отдельного звена такова:
ц = у -^- (m,<m2),
а потому полный коэффициент разделения каскада по A7,2)
будет
A7.5)
- IT I
где z—число звеньев в каскаде.
Для пояснения рассмотрим вновь пример неона. В первой
установке Герца длины трубок_# и Т были одинаковы, ввиду
чего f = у3, Так как ц =~|/ ~^ =0,954, то по формуле A7.4)
находим Ц = 1,089. Если каскад состоит из 24 звеньев, то для Q
уже получается
а для каскада из 48 звеньев
Q =A,089)" =59,75.
РАЗДЕЛЕНИЕ ИЗОТОПОВ МЕТ<
Мы видим, таким образом, что благодаря использованию ка-
каскада коэффициент разделения возрастает настолько, что ста-
становится возможным далеко идущее разделение изотопов.
Описанный метод был с самого начала применен к разделе-
разделению изотопов ряда легких элементов, Для разделения изото-
изотопов неона был использован каскад из 24 звеньев. Равновесие
установилось через 4 часа, При этом вместо нормального со-
ства NeM: Ne2a = 9:1 в резервуаре нэ «тяжелом конце» уста-
установки скопилась смесь состава Ne20: Ne52 = 1,25: 1. Количество
этого конечного продукта при атмосферном давлении состав-
составляло 4 см3. С каскадом из 48 звеньев был получен чистый Ne22,
Были полиостью разделены также изотопы водорода и произве-
произведено обогащение тяжелыми компонентами углерода и азота
(изотопами С13 и NIS).
Для работы каскада очень важное значение имеет пористая
перегородка, через которую идет диффузия. Как уже указыва-
указывалось, наиболее благоприятные для разделения условия требуют
специального выбора пористой перегородки. Герц пользовался
особо приготовленными глиняными трубками, Однако они не
вполне удовлетворяли требованиям, ввиду чего он видоизменил
метод таким образом, что диффузия происходила не через по-
пористую перегородку, но в струю паров ртути, которые уносили
с собой 1аз, обогащенный легкой компонентой- Разделительное
звено этого второго метода можно охарактеризовать как диф-
диффузионный насос, откачивающий преимущественно одну ком-
компоненту смеси. Из подобных звеньев также составляются ка-
каскады, содержащие несколько десятков звеньев (до 50), Преиму-
Преимущество этого метода перед первым состоит в более быстром
установлении равновесия, При его помощи Герц и ряд других
исследователей произвели разделение или обогащение ряда изо-
изотопов легких элементов (неон, кислород, аргон и углерод).
ньев
т /.
коэффициенты разделения уст
ая f = 0 [; 0,2; 0,3- 0,4 0 5
§ 18. Разделение изотопов методом термодиффузии
Один из наиболее эффективных методов разделения изото-
изотопов связан со своеобразным явлением, называемым термодиф-
ф>зиен, Для того чтобы понять, в чем заключается это явление,
необходимо прежде всего уяснить себе его отличие от обычной
диффузии, Классический опыт, демонстрирующий диффузию,
состоит, как известно, в следующем, Представим себе замкну-
замкнутое пространство, в которое в начальный момент введены два
газа с различными молекулярными весами и притом так, чтобы
более тяжелый газ находился внизу, а более легкий — наверху.

74 ' ' Атомы изотопы [гл it
В таком случае вследствие диффузии молекулы более тяжелого'
газа будут перемещаться вверх (т. е. против действия силы тя-
тяжести), а молекулы более легкого — вниз. Через некоторый про-
промежуток времени получится совершенно однородная смесь обоих
газов. Таким образом, действие обычной диффузии сводится
к смешиванию газов, которые в начальный момент были раз-
разделены.
Явление термодиффузии оказывает обратное действие: вслед-
вследствие термодиффузии при наличии в смеси газов градиента тем-
температуры происходит частичное разделение
.We. смеси. Это можно пояснить примером, пред-
представленным на рис. 44. Представим себе ящик,
в котором находится совершенно однородная
смесь молекул кислорода и азота: 50%Ог +
.+ 50% N2. Если теперь поддерживать нижнюю
стенку ящика при температуре 0° С, а верх-
Рис. 44. нюю—при 500е С, то, как показывает опыт,
у верхней, т- е. более нагретой, стенки состав
газа будет 50,27% N3 +49,73% О2, а у нижней, более холодной,
стенки 49,73% Nz + 50,27% Oz-Таким образом, вследствие термо-
термодиффузии у более нагретой стенки оказывается избыток легких;
молекул, а у холодной — избыток тяжелых: термодиффузия на-
нарушает однородность смеси и вызывает частичное разделение
ее тяжелой и легкой компонент.
Обозначим концентрацию одной из компонент смеси (на-
(например, более легкой) через с. Тогда избыток этой концентра-
концентрации у более нагретой стенки связан с температурами обеих
стенок Т2 и Т\ следующим соотношением:
где коэффициент к называется коэффициентом термодиф-
термодиффузии.
Существование термодиффузии было сначала предсказано
теоретически, а затем и подтверждено экспериментально. Тео-
Теория этого явления вскрыла следующее интересное обстоятель-
обстоятельство. В кинетической теории газов соударения между молеку-
молекулами газа иногда рассматриваются просто как удар идеально
упругих шаров. Однако такое представление заведомо страдает
чрезмерной упрощенностью. Гораздо правильнее вместо простых
«ударов» рассматривать взаимодействия между молекулами, ко-
которые проявляются в отталкивании при их сближении на очень
малые расстояния. Закон этого взаимодействия можно пред-
представить в виде const/rv, где г — расстояние и v — некоторый по-
показатель степени. Оказывается, что для термодиффузии теоре-
теоретически получаются существенно различные результаты в за-
зависимости от величины показателя v. Так, например, при неко-
некоторых значениях v термодиффузия может изменить свой знак
или даже совсем отсутствовать. В частности, последнее имеет
место при
tiecTO при v = b.
Этот результат интересен с исторической точки зрении, так
как Максвелл, развивая кинетическую теорию газов, воспользо-
воспользовался гипотезой, согласно которой отталкивание меж- —
ду молекулами подчиняется именно закону const//-5,
и поэтому не обнаружил необходимости термодиф-
¦фузии.
Из сказанного при описании процесса термодиф-
термодиффузии уже ясно, что это явление можно использовать
для разделения изотопов. В случае, когда темпера-
температурное поле устанавливается в кубическом ящике,
противоположные стенки которого поддерживаются
при температурах Т2 и 2\, для коэффициента р*"-
ления получается следующая простая формула:
разде-
+ т "'г,1 Рис. 45.
Применяя эту формулу к случаю неона (пг, = 22, /нг = 20) и
полагая Ti = 900° и Га = 300°, получаем
0 = 1,035.
Эта величина того же порядка, что и для одного
звена в каскаде Герца, откуда следует, что термо-
термодиффузия может быть использована для разделе-
разделения изотопов. Пользуясь каскадом из z звеньев,
получаем, как всегда, полный коэффициент разде-
разделения Q = qz.
Для усиления эффекта разделения используется
наряду с термодиффузией еще и конвекция. Рас-
Рассмотрим узкий прямоугольный ящик (рис. 45),
стенки которого имеют различную температуру,
как показано па рисунке. У более теплой стенки
газ будет расширяться и подниматься вверх; у бо-
более холодной—опускаться вниз. То же самое мож-
можно осуществить, если вместо прямоугольного ящика
воспользоваться цилиндром радиуса Ra, внутри ко-
которого коаксиально помещен другой цилиндр ра-
радиуса #;, нагретый до более высокой температуры
(проволока, нагреваемая электрическим током,
рис. 46).
Итак, в результате конвекции создаются два потока, иду-
идущие в противоположных направлениях. Если в ящике или в
трубке имеется смесь двух газов различного молекулярного

АТОМЫ ИЗОТОПЫ
веса, то термодиффузия вызывает, кроме того, поток, направ-
направленный перпендикулярно к конвекционному так, чтобы концен-
концентрация более легких молекул у нагретой стенки была больше,
нежели у холодной. Совместное действие обоих эффектов при-
приводит к тому, что между верхом и низом возникает значитель-
значительная разность концентраций.
Разберем это явление несколько подробнее. Представим себе
вновь прямоугольный ящик (рис. 47), противоположные стенки
которого поддерживаются при различных
|z температурах (Т2 > Г,). Расположение осей
координат возьмем такое, как показано на
рис. 47, и будем рассматривать сначала
только поток, обусловленный термодиффу-
термодиффузией и обыкновенной диффузией. Если в
ящике находится смесь двух газов различ-
различного молекулярного веса и если с, как и
раньше, будет концентрацией более легкой
компоненты, то термодиффузия ушзояет
~У перенос вещества, причем количество пере-
переносимого вещества будет пропорционально
—?¦—[см. формулу A8.1)]. Сила терг-юдиф-
фузионного тока, т. е. количество вещества, переносимого в еди-
единицу времени через площадь, перпендикулярную к потоку, будет
равна
pDx^ff, A8.2)
где р — плотность газа и D — коэффициент диффузии. В резуль-
результате термодиффузии между нагретой и холодной стенками
возникает разность концентраций тяжелой и легкой компонент.
Эта разность концентраций вызовет появление направленного
в обратную сторону тока обыкновенной диффузии, стремящейся
выравпять концентрации во всей массе газа. Сила этого по-
последнего тока, очевидно, равна
-PDlr- A8.3)
Полную силу тока / получим, учитывая оба процесса, т. е. поль-
пользуясь формулами A8.2) и A8.3):
В установившемся состоянии полная сила тока, обусловлен-
обусловленного термодиффузией и диффузией, равна нулю, и мы получаем
из A8.4)
>А1ДПЛРНИЕ ИЗОТОПОВ МЕТОДОМ ¦
диффузии при наличии градиента температ
вой стенки, будет равно количеству газа, опу
скающегося вниз у левой стенки. Ввиду этого
полный поток вещества через любое горизон-
горизонтальное сечение будет равен нулю.
Однако поток различных компонент смеси
газов будет отличен от нуля, так как соглас-
согласно формуле A8.5) вследствие термодиффузии
в стационарном состоянии должен существо-
существовать градиент концентрации легкой компонен-
компоненты, направленный в сторону нагретой стенки.
Поэтому циркуляция поднимает вверх боль-
большее количество легкой компоненты у на-
нагретой стенки, нежели опускает вниз у холод-
холодной стенки. Это ведет к тому, что постепенно
устанавливается вертикальный градиент кон-
концентрации, причем вверху получается избы-
избыток легкой компоненты, а внизу — избыток
тяжелой.
Ценность описанного метода состоит в том,
что циркуляция газа, значение которой пыяс-
нено изложенными соображениями, устанав-
устанавливается сама собой под действием силы тя-
тяжести. Разумеется, все сказанное до сих пор
о смеси газов с различными молекулярными
весами целиком относится и к смеси изотопов
f; различными массами.
На рис. 48 показано устройство трубки,
применявшейся для разделения изотопов хло-
ра. Трубка действует по принципу цилипдри-
ческой разделительной ячейки, поясняемому
рис. 46. Внутренним цилиндром служит нагре-
аемая током платиновая проволока толщиной
4 мм; диаметр внешней трубки равен 8,4 мм
ия изотопов хлоа б и
ру
0,4 мм; диаметр внешней трубки равен 8,4 мм.
Всего для разделения изотопов хлора было использовано 5 сое-
соединенных каскадом трубок. Длина их была 7 ж, 8 м, 2 трубки по
6 ж и одна в 9 м. Общая длина трубок составляет, таким обра-
образом, 36-и. Для разделения был использован хлористый водород,
представляющий собой смесь молекул НС135 и HCI37. При этом
на тяжелом конце получалось ежедневно 8 см3 НС1 с содержа-
содержанием 99,4% Cl37, а на легком — 25 см3 НС1 с содержанием

78 АТОМЫ. ИЗОТОПЫ [ГЛ II
96,6% Cl35. Впоследствии удалось получить НС1 с содержанием
в 99,6% С135 при общей длине труб в 20 м.
Тот же метод был применен к разделению изотопов неона,
причем удалось получить несколько литров чистого Ne20. Было
достигнуто также обогащение углерода тяжелой компонентой
С13 до 6,6% (нормальный состав углерода С1г: С13 = 99,1)
с выходом в несколько мг продукта в день.
Метод термодиффузии оказался также пригодным для раз-
разделения жидких смесей изотопов. Так, например, был подверг-
подвергнут термодиффузии раствор ZnSO4, причем раствор помещался
между двумя пластинками длиной в 90 см, расположенными на
расстоянии 0,025 см; между пластинками поддерживалась раз-
разность температур в 50°. Нормально отношение содержаний изо-
изотопов цинка 64 и 68 равно 2,93; после термодиффузии на тяже-
тяжелом коице оказалось Zn64: Zn68 = 2 7, на легком ZnM : Znea =
= 3,2.
Процесс установления равновесия в случае жидких систем
идет медленно, но для разделения требуются колонки меньшей
длины, нежели в случае газов.
Несмотря на крайнюю простоту описанного устройства, оно
оказалось чрезвычайно эффективным для разделения изотопов.
Для сравнения этого метода с диффузионным методом были
произведены опыты с разделением изотопов тяжелого газа ксе-
ксенона при помощи разделительной трубки длиной в 2,5 л* и диа-
диаметром в 5 мм с центральной проволокой, нагревавшейся до
1200—1750° С, и одновременно при помощи каскада из 12 диф-
диффузионных ячеек. Оказалось, что эффективность трубки длиною
в 1 м такая же, как у 12 диффузионных ячеек.
§ 19. Разделение изотопов с помощью
электромагнитных методов
Весьма эффективным средством для разделения изотопов яв-
являются электромагнитные методы. В самом деле, каждый масс-
спектрограф или, в особенности, масс-спектрометр в сущности
является прибором для полного разделения изотопов. Если пред-
ставигь себе на рис. 34 в местах, соответствующих положениям
фокусов для нужных масс, щели, за которыми расположены
приемники, то в этих приемниках будут собираться чистые изо-
изотопы.
Вследствие малой силы ионного тока количество вещества,
которое может быть собрано таким приемником, ничтожно: в
обычных масс-спектрометрах скорость накопления вещества —
порядка тысячных долей микрограмма (!0~9 г) в час.
Таким образом, метод масс-спектрографа является идеаль-
идеальным в тех случаях, когда достаточно получать очень малые ко-
5 101 РАЗДЕЛЕНИЕ ИЗОТОПОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ МЕТОДАМИ 79
личества разделенных изотопов, но для получения больших ко-
количеств при помощи этого метода встречается два главных за-
затруднения. Во-первых, поскольку вещество в масс-спектрографе
переносится ионным током, для получения больших количеств
изотопов токи должны быть очень сильными. Это выдвигает
Проблему построения мощного источника ионов. Во-вторых, даже
в том случае, когда имеется достаточно мощный источник ионов,
увеличение силы тока выше некоторого предельного значения
оказывается нецелесообразным, так как пространственный за-
заряд, возникающий при сильном ионном токе, резко понижает
разрешающую способность масс-спектрографа, и увеличение
силы тока не дает выигрыша в скорости накопления разделен-
разделенных изотопов.
Разберем этот вопрос несколько подробнее. Пусть мы имеем
поток, состоящий из ионов двух изотопов с массами (а грам-
граммах) М] и Мг. Однородное поперечное магнитное поле, как мы
знаем (§ 15), будет фокусировать каждый из изотопов в своем
фокусе, причем положение этого фокуса определяется радиусом
кривизны круговой траектории, описываемой ионом данного
сорта. Для вычисления
этого радиуса кривизны
мы пользовались в § 15
формулой D.9), вытекаю-
вытекающей из условия равенства
между лоренцевой силой
Mev и центробежной си-
силой инерции /nv2jp: у ш
iX
^-=Жеи. A9.1)
:. 49. Пути и
сепараторе.
Посмотрим теперь, какое ра.
Влияние на остроту фоку-
са оказывает простран-
пространственный заряд, На рис. 49 воспроизведены сплошными и
пунктирными линиями пути ионов с мало различающимися
массами впоперечном однородном магнитном поле. Для упро-
упрощения расчетов мы предположим, что протяжение ионных пуч-
пучков в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа,
очень велико. Если полная сила ионного тока на единицу длины
перпендикулярно к плоскости чертежа равна /, то количество
электричества, приходящееся на единицу длины перпендику-
перпендикулярно к плоскости чертежа, будет, очевидно, J/v, где v — ско-
скорость ионов. Создаваемый таким путем пространственный заряд
в свою очередь действует на ионы.
Рассмотрим теперь два крайних пути ионов в каждом из пуч-
пучков. Предполагая, что изменение кривизны пути невелико при

4ТОМЫ ИЗОТОП]
[ГЛ. I
переходе от одного пучка к другому, получим, применяя тео-
теорему Гаусса — Остроградского, следующее выражение для силы,
действующей на ионы, на том и другом пути со стороны про-
пространственного заряда:
Р = 2я^е, A9.2)
где е — заряд иона. Эта Сила всегда будет направлена наружу
по отношению к пучку, т. е. на ион, движущийся по верхнему
пути, будет действовать сила, направленная от центра траекто-
траектории (окружности), а на ион, движущийся по нижнему пути,—
к центру. Именно поэтому пространственный заряд будет раз-
размывать фокус, получаемый в его отсутствии. Для вычисления
ширины пучка в фокусе нужно вместо соотношения A9.1) на-
написать условие равенства между центробежной силой инерции
и силой Лоренца плюс сила, действующая со стороны простран-
пространственного заряда. Принимая во внимание сказанное относитель-
относительно направления этой силы, получим следующие уравнения для
ионов, движущихся по крайним траекториям:
A9.3)
откуда получаем
Обозначая через р радиус пути в отсутствии пространственного
заряда и полагая р,р2 да р2, получим для ширины пучка па рас-
расстоянии 180°
As = 2 (р2 — Рг) = -^--?-. A9.4)
Так как разница масс рассматриваемых двух изотопов мала, то
соответствующие им фокусы у В (рис. 49) лежат очень близко
друг к другу. Поэтому можно считать, что пути их ионов почти
на всем протяжении совпадают, а потому и считать также, что
ширина пучков около В для обоих сортов ионов будет одина-
одинакова и равна As.
В отсутствии пространственного заряда расстояние между
фокусами ионов с массами М, и Мэ будет
A9.5)
Очевидно, что эффективность устройства для получения чистых
изотопов определяется соотношением между Дл; и As. Можно
§ 19]
РАЗДЕЛЕНИЕ :
показать, что наиболее благоприятные условия будут в том слу-
случае, если Дл: = As. В самом деле, для увеличения скорости на-
накопления вещества естественно повышать силу тока /. Ио и
ширина фокуса As будет одновременно увеличиваться пропор-
пропорционально /. Если As станет больше Ах, то скорость накопления
чистых изотопов на единицу ширины пучка в направлении, пер-
перпендикулярном к плоскости чертежа, будет пропорциональна
-^-/. Так как ширина As, в свою очередь, пропорциональна /,
то, очевидно, мы ничего не выиграем, увеличивая / так, чтобы As
стала больше \х. Из условия Ах = As при помощи A9.4) и
A9.5) получаем
Воспользовавшись теперь соотношениями М|О2/р = Жеи/е (е —
в электростатических единицах) и Miv2j2 = eV, где V — уско-
ускоряющий потенциал ионов, после некоторых преобразований по-
получим для количества накопляемого вещества
A9.7)
где 1) — отношение концентраций изотопов в веществе, Л2 и Ах —
округленные до целых чисел их атомные массы; V — в вольтах
и Ж — в эрстедах. Выбрав для примера случай разделения изо-
топов кальция Сам и Са40, где ц — 1/20, получим даже при
очень высоких значениях V и Ж, например при V = 50 000 в,
Ж = 15 000 эрстед
а соответствующая полная сила тока оказывается равной всего
1,6 ма на см; дальнейшее ее повышение, по сказанному, нецеле-
нецелесообразно. Из этого следует, что метод масс-спектрографа для
получения чистых изотопов в больших количествах может стать
практически пригодным лишь при условии нейтрализации про-
пространственного заряда, до крайности снижающего эффектив-
эффективность этого метода.
Возможность нейтрализации пространственного заряда, од-
однако, имеется. Представим себе, что внутрь ионного пучка вве-
введено некоторое количество электронов. Легко видеть, что эти
электроны будут оставаться внутри пучка и своим отрицатель-
отрицательным зарядом нейтрализовать часть положительного заряда
ионов. В самом деле, пространственный заряд, как уже указы-
указывалось, создает поле, направленное наружу по отношению к
ионному пучку. Поэтому на отрицательные электроны будет

АТОМЫ ИЗОТОПЫ
[ГЛ. Т
действовать сила, направленная внутрь пучка, которая не позво-
позволит электронам покидать пучок в поперечном направлении.
Электроны могут двигаться только вдоль оси пучка. Однако по-
потенциалы электродов могут быть выбраны так, чтобы не позво-
позволять электронам уходить и в этом направлении. Так как, кроме
того, имеется еще поперечное магнитное поле, то электроны бу-
будут двигаться по замкнутым циклоидообразным траекториям,
как показано на рис. 50, и при этом будут весьма эффективно
компенсировать пространственный ззряд ионов.
§ 20. Разделение изотопов с помощью методов
фракционированной перегонки и обменных реакций
Разделение смесей двух жидкостей путем фракционирован-
фракционированной перегонки — процесс, давно известный и широко применяе-
применяемый в лабораторной и заводской практике. При перегонке в
первую очередь дистиллируется та жидкость, у которой темпе-
температура кипения ниже (упругость пара выше); поэтому дистил-
дистиллят будет обогащаться более легко кипящей жидкостью, а оста-
остаток—жидкостью с меньшей упругостью пара. Повторяя эту
операцию несколько раз, можно разделить обе жидкости.
Упругость пара изотопов зависит от их массы, поэтому ме-
метод фракционированной перегонки в принципе применим для
разделения изотопов. Однако различие в упругости пара в дан-
данном случае настолько мало, что применение этого метода обыч-
обычным способом совершенно нецелесообразно. На практике луч-
лучшие результаты дает «метод противотока», который состоит в
том, что в разделительной колонке идут навстречу друг другу:
снизу вверх —пар, а сверху вниз — жидкость; при этом прини-
принимаются меры к тому, чтобы поверхность соприкосновения жид-
жидкости и пара была возможно большей. При обмене молекулами
между жидкостью и паром молекулы жидкости, имеющей боль-
большую упругость пара, обнаруживают большую тенденцию кон-
концентрироваться в газовой фазе. Метод этот применим только
1КЦИ0НИР0ВАШ.
ЖМЕННЫЕ РЕАКЦИИ
83
к тем изотопам, которые обладают не слишком малой разницей
в температурах кипения,
По существу близок к методу фракционирования, но зна-
значительно эффективнее, метод обменных реакций, который со-
состоит в следующем. Рассмотрим двухфазную систему: жидкость
и над ней газ. Пусть, например, это будет газообразный аммиак
NH3 и раствор аммиака в воде или в алкоголе или, наконец,
раствор азотнокислого аммония NH^NOS (диссоциированный
в растворе на NHJ и NOj). В таком случае будет происходить
обменная реакция: азот газообразного аммиака будет меняться
местами с азотом аммиака в растворе. Эта реакция может идти
в ту и другую сторону и дает равновесие. Если меняются ме-
местами изотопы одинаковой массы, то реакцию вообще никак
обнаружить нельзя, Но мо.жет случиться, что NH будет стано-
становиться па место N1S или наоборот, так что реакция будет идти
по уравнению
N;5H3 (газ)+ N'*H3 (раствор) ^=± Ni4H3 (газ) + N'5H3 (раствор).
Теория и опыт показывают, что в этом случае легкий изотоп бу-
будет иметь тенденцию концентрироваться в газовой фазе, а тя-
тяжелый— в жидкой. Это скажется в том, что константа равно-
равновесия реакции, определяемая по закону действующих масс
к _ [N"H3] газ[№'Н3) раствор
Д~ IN'»H,] ra3[Ni*Hd Раствор '
будет отличаться От единицы, тогда как в случае обмена ато-
атомами одинаковой массы она должна быть в точности равна 1.
В случае равновесия аммиака К = 1,033. Легко видеть, что это
и будет коэффициентом разделения данного процесса, В самом
деле, К может быть записано в виде
[МИН,]
т. е, по определению К = ц, а поскольку К~> 1, это и означает,
что тяжелый изотоп будет иметь тенденцию концентрироваться
в жидкой фазе.
Существуют и другие обменные реакции, пригодные для раз-
разделения изотопов, например
S^Ou'fras) + HS32O3 (раствор) ^± S^Oa (газ) + HS^Ojj (раствор);
для этой реакции q = К, = 1,012.
Как и в случае газовой диффузии, коэффициент разделения
очень мал, однако и тут он может быть значительно повышен
путем использования каскада: если каскад состоит из г звеньев.

то полный коэффициент разделения, как и в случае диффузии,
будет Q — ql.
В колонке, использовавшейся для концентрирования изото-
изотопов кислорода О!3 и азота N15, было 621 звено. Вся колонка пред-
представляла собой стальную трубу с внутренним диаметром в 15 im
и высотой 10,7 м. Был использован метод противотока — жид-
жидкость падала вниз, а пар направлялся вверх.
Оказалось, что этот метод может давать концентраты изото-
изотопов С13, N15, О18, S3* в количестве порядка одного грамма в
сутки.
§ 21. Разделение изотопов методом центрифугирования
Для разделения изотопов можно воспользоваться тем фак-
фактом, что сила тяготения пропорциональна массе. Поэтому в газе,
являющемся смесью изотопов, при равновесии концентрация
атомов с большей массой будет относительно большей внизу.
Правда, напряженность земного поля тяготения слишком мала
для того, чтобы можно было как-нибудь практически использо-
использовать это различие. Однако можно воспользоваться искусствен-
искусственными полями, в которых напряженность в сотни тысяч раз
больше, нежели в земном гравитационном поле. Так как цен-
центробежные силы как и силы тяготения пропорциональны массе
больше, нежели в земном гравитационном поле. Так как цен-
центробежные силы, как и силы тяготения, пропорциональны массе,
то искомые искусственные или псевдогравитационные поля осу-
осуществляются в центрифуге.
Найдем распределение частиц в центрифуге на различных
расстояниях от оси. Пусть р будет плотность газа, г — расстоя-
расстояние от оси, ш — угловая скорость вращения. Рассчитаем давле-
давление на расстоянии т от оси. Центробежное ускорение равно г©2,
а масса слоя газа сечением в [см2 и толщиной dr будет pdr.
Поэтому давление слоя с радиусами г и г + dr будет
dp = pdr ¦ ra>3.
С другой стороны, по законам идеальных газов
B1.U
B1.2)
где М—молекулярный (атомный) вес. Из B1.1) и B1.2) по-
или, интегрируя,
АЗДЕЛЕНИЕ ИЗОТОПОВ ЦЕНТРИФ
а так как, с другой стороны, давление пропорционально числу
частиц в 1 смъ, то для распределения числа частиц на различ-
различных расстояниях получаем
Предположим теперь, что наш газ является смесью частиц
легких М}„ nL и тяжелых Ms, ns. При равновесии соотношение
B1.3) будет иметь место для частиц каждого сорта, а потому
на расстоянии г от оси отношение чисел частиц будет
B1.4)
где (nLH и (nsH—числа частиц того и другого сорта на
Коэффициентом разделения будет служить отношение чи
ns/nL па границе поля (г = г0) и на оси (г = 0), т. е.
B1.5)
Замечательно, что в отличие от других методов, где коэф-
коэффициент разделения зависш в той или иной форме от отношения
I /~мГ\
масс (например, в методе диффузии — от 1/ -Tj I. в данном
случае он определяется разностью масс Ms~- Ml- Это является
большим преимуществом метода центрифугирования. Во-пер-
Во-первых, коэффициент разделения, очевидно, б>дет одинаков вне
зависимости от того, в какое соединение входят изучаемые изо-
изотопы, ввиду чего всегда можно подобрать такое соединение, ра-
работа с которым всего удобнее. Во-вторых, в случае тяжелых
элементоз это свойство благоприятно сказывается и на вели-
величине коэффициента разделения. Например, при разделении изо-
изотопов урана газообразным соединением является шестифтори-
стый уран UFe; квадратный корень из отношения молекулярных
весов U23SF6 и U235F6 равен у -Щ-= 1,0043, в то время как
для метода центрифугирования в случае, когда разность Мв —
— Ml = 3 при линейной скорости на периферии центрифуги
в 5-10* CMJceK и при температуре 300° К, коэффициент разделе-
разделения равен 1,16.
Далее, как видно из формулы B1.5), q сильно зависит
от температуры и возрастает при понижении температуры.

АТОМЫ. ИЗОТОП1
Например, при v — 5 ¦ 104 см/сек и Ms — МL = 3, q имеет следую-
следующие значения при разных температурах:
Т. °С ! 300
Ч 1,16
200
1,25
90
1,65
20
9,68
Бимс построил быстроходные центрифуги специально для
разделения изотопов. Центрифуга представляет собой цилиндр
из хромомолибденовой стали;-внешний диаметр цилиндра 10 см,
толщина стенок 12 мм. Цилиндр приводится во вращение сжа-
сжатым воздухом. Максимальная скорость вращения, допускаемая
прочностью материала, соответствует линейной скорости v =
= 8- Ю4 см/сек.
Эффективность целтрифуги для разделения изотопов может
быть повышена путем комбинирования ее псевдогравитациопного
поля с диффузией. С этой целью поток пара направляется во
внешней части цилиндра вниз, а в аксиальной— вверх. На гра-
границе между двумя потоками происходит непрерывная диффузия
молекул из одного потока в другой. Центробежное поле усили-
усиливает переход более тяжелых молекул по направлению к пери-
периферии. Поэтому концентрация тяжелого изотопа на периферии
будет больше, чем в центре. Для легкого изотопа имеет место
обратная картина.
Упражнение. Рассчитать коэффициенты разделения дли центрифуги
при следующих условиях: линейная скорость v = 5¦ 10* см/сек- разности
масс изотопов Ms — Ml = 1, 2, 3, 4. Температуры 300. 200. 90 °С {для раз-
разности Ms — Mi, = 3 проверить цифры, приведенные в тексте).
§ 22. Получение тяжелого изотопа водорода (дейтерия)
и тяжелой воды
Тяжелый изотоп водорода — дейтерий (D) —играет такую
большую роль в современной физике и химии, что на его полу-
получении следует остановиться отдельно. Особое значение тяжелого
изотопа водорода связано, между прочим, с тем, что он является
единственным изотопом, масса которого отличается от массы
основного изотопа на 100%, ввиду чего эти две разновидности
водорода в различных химических и физических процессах ве-
ведут себя существенно неодинаковым образом.
В обычном водороде, встречающемся в природе, процентное
содержание тяжелого водорода составляет всего 0,02%. В кон-
концентрированном виде дейтерий получается в виде тяжелой воды.
Так как не только водород, но и кислород имеет изотопы (О16,
О17, О18), то среди молекул воды встречаются различные комби-
комбинации изотопов, например D2Oie, HDO16, НгО^ОгО18 и т. д. Од-
ПОЛУЧЕНИЕ ДЕЙТ1
И 1
нако под именем тяжелой воды разумеют воду, молекулы кото-
которой имеют состав D2O16. Физические свойства тяжелой воды от-
отличаются от свойств обыкновенной, или легкой, воды, как это
видно из таблицы V.
Тб V
Некоторые физичес
ой <D2O) и легкой (Н^О) в
п
Те
Те
М
Вя
П
Пс
отттсть rff .
мпература замерзания
мпература кипения
зкостьМ10зЛ СГС0™ ПР" '.'.'.'.'.'.'.
верхностное натяжение в дин/см
казатель преломления и™
1,1059
¦3,82° С
[01,42° С
11,60" С
12,60
67,8
1,32844
0,9982
0,00° С
100,00° С
4,00° С
10,09
72,75
1,33300
Вскоре после открытия тяжелого водорода было обнаружено,
что при электролизе водных растворов вода обогащается дей-
терием, тогда как освобождаемый газообразный водород обо-
обогащается легким изотопом. На этом был основан метод получе-
получения практически чистой тяжелой воды (с содержанием DaO
в 99,9%) путем электролиза.
В настоящее время тяжелая вода изготовляется в больших
количествах заводским способом, причем используется комби-
комбинированный процесс электролиза и обменной реакции (см. § 20).
Если обменная реакция, при которой водород воды обменивается
на дейтерий из газообразного водорода, ведется в присутствии
катализатора, то при равновесии концентрация дейтерия в воде
примерно в три раза больше, нежели в газовой фазе.
Схема процесса получения тяжелой воды такова: вода по-
подается на верх колонки и стекает вниз навстречу поднимающе-
поднимающемуся пару, смешанному с водородом. В присутствии катализа-
катализатора между водородом и паром происходит обменная реакция,
при которой часть дейтерия концентрируется в паре и затем
переходит в воду. Внизу колонки вода разлагается электриче-
электрическим током, причем в неразложившейся воде происходит даль-
дальнейшая концентрация дейтерия, а водород вместе с паром под-
поднимается вверх навстречу потоку воды. Подобного рода колонки
располагаются каскадом. Получение тяжелой воды связано
с потреблением больших количеств электричества, ввиду чего
заводы для получения тяжелой воды располагаются в местах,
где имеется дешевая электроэнергия (гидроэлектрические уста-
установки) .
В заключение мы приводим таблицу стабильных изотопов
с указанием их распространенности (табл.VI).

АТОМЫ. ИЗОТОПЫ
Симаол
н
D
Т
Не
Li
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
Me
Al
Si
P
S
Cl
Ar(A)
К
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
36
3S
37
36
38
40
39
40
41
ОтКОС!!-
g9986
0,014
1,3.10-4
100
7,30
92,70
100
18 83
81,17
98,892
1,108
10-ю
99,635
0,365
99 759
0 0374
0,2036
100
90,92
0,257
9 823
100
78,98
10,05
10 97
100
92,18
4,71
3,12
100
95,018
0 750
4.215
0,017
75 40
24,60
0,337
0,063
99,600
93,800
0,0119
6.9081
Ca
Sc
Tl
V
Cr
Mn
Fe
Co
N1
Cu
Zn
Ga
Ge
Л™""рЙ
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
40
42
43
44
46
48
45
46
47
48
49
50
51
51
50
52
53
54
55
54
56
57
58
59
58
60
61
62
64
63
65
64
66
67
68
70
69
71
70
72
73
74
76
От но с и-
96.92
0.64
0,129
2,13
0,003
0,173
100
7,95
7,75
73,45
5 51
5,34
0,23
99,77
4.312
83,76
9,55
2,38
100
5 81
91,64
2,2
100
67,77
26,16
1,25
3,66
1,16
68 94
31,00
48,89
27,81
4,07
18,01
0,62
60,16
39,84
20 52
27 43
7,76
35,54
7 76
АТОМЫ. ИЗОТС
С.„о,
As
Se
Br
Кг
Rb
Sr
Y
Zn
Nb
Mo
Те
Ru
Rh
33
34
,35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
75
74
76
77
78
82
79
81
78
80
82
S3
S4
86
85
87
84
86
87
88
90
91
92
94
96
93
92
94
95
96
97
98
100
99
96
98
99
100
Ю1
102
lOt
103
Относи-
Ш,
100
0,87
9,02
7,58
23,52
49 82
9; 19
50.53
49,47
0,354
2,266
11,56
1155
56 90
17,37
72 20
27,80
0,55
9,75
6,96
82,74
100
51,46
11 23
17,11
17,40
100
15,84
9 04
15,72
16,53
9,46
23 78
9,63
5,68
2,22
12,81
12,70
16,98
31,4
18,27
100
Спмаол
Pd
Ag
Cd
In
Sn
Sb
Те
Xe
„OHSp
46
47
48
49
50
51
52
53
54
число
02
04
05
06
n
07
09
06
08
О
11
12
13
13
15
12
14
15
16
17
18
19
20
22
24
21
23
20
23
25
26
28
30
•24
26
28
29
30
31
32
34
36
Относи-
0,80
9,30
22 60
27,10
14?*
5l|92
48,08
1.21J
0,87.>
12,39
12,75
24,07
12,26
7*78
4^23
95.77
0,94
0,65
0,33
14,36
7,51
24.21
8 45
33,11
4.61
5,83
57,25
42,75
0,09
2,43
0,85
б]98
18 70
31,85
34,58
100
0,096
0,020
1.919
26,44
¦1 075
21 В
2f),»9
10,44
8.87

ЮТОГТЫ [ГЛ. К
Продолжение
Cs
Ва
La
Се
Nd
Pm
Eu
Gd
Tb
Dy
Ho
Атомный
номер
55
56
57
53
60
61
62
63
64
65
66
67
Массовое
число
133
30
34
35
36
37
38
38
36
38
40
42
42
43
44
45
46
48
50
41
44
47
48
49
50
52
54
51
53
152
154
155
156
57
58
60
59
156
158
180
162
i63
164
165
Относя-
тельнаа
странен-
100
0.102
2^42
6 59
781
11,32
71,66
0.089
99,91 [
0.19
0,25
88,49
11.07
26 80
12 12
23.91
8,35
17,35
5,78
5,69
—
2,95
14,62
10,97
13,56
7 27
27,34
23.29
47,77
62,23
0,2
2,16
14,68
20,36
15,64
24.95
22,11
100
0,0525
0 0905
2 297
18,88
25 53
24,97
28,18
100
Ег
Тт
Yb
Lit
НГ
Та
W
Re
Os
lr
Pt
Аи
АтомвыЯ
номер
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
Массовое
ЧИСЛО
62
64
66
67
68
70
69
68
70
71
72
73
74
76
76
74
76
77
78
79
80
80
81
82
83
84
85
87
84
86
87
88
89
90
91
93
90
92
94
95
96
98
197
Относн-
тельная
н"сТк
0,154
1.606
33 36
22 82
27,02
15 04
100
0.13
3,03
14,27
21 77
16,08
31,92
12,80
97,40
2,60
0 199
5.23
18,55
27 23
13.73
35,07
0 0123
99^988
0,16
432
30,63
37,07
69,93
0,018
1,582
1,64
13,27
16,14
26,38
40,97
38,5
61,5
0,012
0.8
30.2
30,2
26,6
7,2
00
АТОМЫ ИЗОТОПЫ
Символ
Hg
Т|
РЬ
А«ГеГ
80
81
82
„„
196
199
200
201
202
204
203
205
204
206
207
208
т°еТЛГЯТя
0,15
10,12
17,04
23,25
13,18
29,54
6 72
29,46
70,54
1,54
22.62
22.62
53,22
Саивол
Bi
Ро
At
Rn
Fr
Ra
Ac
Th
Pa
U
Атомвыа
номер
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
209
210
210
222
223
226
227
232
231
234
235
238
Относи-
сманен"
100
100
100
0,003
0,720
99.274

ЯДЕРНОЕ СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 23. Эффективное сечение для рассеяния частиц
До сих пор мы рассматривали атом как целое. Теперь мы
сопоставим те факты, на которых основаны современные пред-
представления об атоме как о системе, состоящей из тяжелого ядра
и окружающих его электронов.
Один из лучших способов исследования структуры атома
заключается в «зондировании» его быстрыми частицами — элек-
электронами больших скоростей или а-частицами радиоактивных
веществ. Процессы, которые происходят при прохождении пото-
потоков быстрых частиц через вещество, вообще говоря, разнообраз-
разнообразны и сложны. Пас будут интересовать в этом и в ближайших
следующих параграфах только явления рассеяния частиц, т. е.
явления, обусловленные отклонением частиц от их первоначаль-
первоначального пути. Рассмотрение этих явлений позволит нам судить
0 степени заполнения веществом пространства, занятого атомом,
и о распределении в нем положительного и отрицательного элек-
электричества. Однако прежде всего мы рассмотрим некоторые об-
общие вопросы, связанные с рассеянием частиц.
Рассмотрим частицу, движущуюся среди неподвижных хао-
хаотически распределенных шаров, с которыми она может испыты-
испытывать соударения. Соударение движущейся частицы с каким либо
шаром есть явление случайное. Очевидно, однако, что вероят-
вероятность пройти расстояние х, не испытав соударения, есть какая-то
функиия этого расстояния /(*). С другой стороны, мы можем
считать, что вероятность испытать соударение на бесконечно
малом отрезке dx пропорциональна dx, т. е. равна adx, а веро-
вероятность пройти без соударения этот отрезок равна поэтому
1 — adx. Вероятность пройти без соударения расстояние х + dx
мы можем теперь выразить двумя способами: с одной стороны,
это есть функция f(x + dx); с другой стороны, можно рассма-
рассматривать прохождение отрезка длины X + dx как событие слож-
сложное, состоящее из двух этапов: прохождения расстояния х и
дальнейшего расстояния от х' до х -f- dx. Вероятность такого
сложного события равна произведению вероятностей обоих со-
событий, т, е. равна /(#) A — adx). Мы имеем, таким образом,
§ 23] ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ
или с точностью до бесконечно малых второго порядка
откуда после небольших преобразований
df[f=-adx,
или, интегрируя,
/ = се-".
Постоянную интегрирования найдем из очевидного условия, что
вероятность пройти без соударения путь х = 0 есть достовер-
достоверность, т. е. 1. Это дает с = 1 и окончательно
f(x) = e—*, B3.1)
Итак, вероятность пройти какой-либо слой вещества без соуда-
соударения убывает экспоненциально с увеличением толщины слоя.
Выясним теперь физический смысл постоянной а. Заметим
прежде всего, что эта величина имеет размерность обратной
длины, так как показатель степени ах должен быть безразмер-
безразмерной величиной, Для установления физического смысла а мы вы-
вычислим среднюю длину свободного пробега частицы, пользуясь
формулой B3Л). Частицы, которые испытывают соударение на
отрезке между х и х + dx, прошли без соударения отрезок х.
Вероятность пройти без соударения путь .г есть по предыдуще-
предыдущему е~ак, а вероятность испытать соударение между х и х + dx
есть adx. Поэтому вероятность того, что длина свободного пути
есть х, равна произведению
ав~ах dx.
Средняя длина свободного пути ?„ по формуле для средних зна-
значений *) равна
% = х = j xo
x^a'j xe~a>c dx,
B3.2)
Интегрированием по частям найдем
Таким образом, постоянную а мы можем истолков
ратную величину средней длины свободного пути
B3.3)

94 ' ЯДЕРНОЕ СТРОЕНИЕ ДТОМА 1ГЛ НГ
и формулу B3.1) переписать в виде
/(*) = е~ B3.4>
Мы можем- дать постоянной а еще одно, особенно интересное
для нас сейчас, истолкование. Размерность а, как мы знаем, есть
ел-1; можно ее представить еще и так:
[а] = cm2Icmz = см~1.
Пусть число неподвижных рассеивающих частиц в единице
объема будет п. Заменим каждую рассеивающую частицу ми-
мишенью в виде кружка радиусом г0 и площадью а, выбранной
таким образом, что каждая движущаяся частица, которая прой-
пройдет внутри этой мишени, испытает отклонение («соударение»).
Легко видеть, что размерность па равна см~х
[па] = -Д- ™2 = с
Площадь а называется «эффективным сечением» для рассеяния
и, соответственно, г0 — радиусом эффективного сечения. Произ-
Произведение по называется макроскопическим сечением; оно пред-
представляет собой сумму эффективных сечений в единице объема.
Ввиду того, что размерность а совпадает с размерностью па, мы
можем истолковать а так же, как сумму эффективных сечений
в единице объема и представить в виде па.
Статистический смысл эффективного сечения можно пояснить
следующим образом. Пусть плотность потока рассеивающихся
частиц А/о равна 1, т. е. пусть через 1 смг в 1 сек проходит 1 ча-
частица. Число рассеивающих пентров в единице объема, и, пусть
также равно 1, Тогда вероятность испытать рассеяние можно
выразить как отношение площади эффективного сечения о к се-
ченкю «потока», т. е. к 1 см2. Итак, а есть вероятность испытать
рассеяние при прохождении слоя толщиной в 1 см, содержащего
одну частицу, а по— вероятность испытать расееяние, если
плотность частиц в слое равна п,
Рассмотрим теперь ослабление потока частиц при прохожде-
прохождении сквозь слой любой толщины, имея в виду, что каждая ча-
частица, испытавшая «соударение» (т. е. прошедшая внутри круж-
кружка радиусом, равным эффективному сечению о), выйдет из па-
параллельного потока и не будет зарегистрирована приемным
устройством. Разобьем весь слой на бесконечно тонкие слои dx.
Число рассеивающих частиц, приходящихся на каждый см2, бу-
будет п dx; сумма их эффективных сечений равна' an dx.
Если ца переднюю поверхность нашего бесконечно тонкого
слоя падает параллельный поток частиц плотностью N, то ослаб-
ослабление потока будет
— dN = Nondx, B3.5)
%
$ 24) ЗОНДИРОВАНИЕ АТОМОВ ЭЛЕКТРОНАМИ v 95
откуда, интегрируя, подучаем
N г= Noe-nax «=> N&-* = Л/Ое~ \
где Л/о — плотность потока частиц, входящих в толстый слой.
§ 24. Зондирование атомов электронами
Обратимся теперь к рассмотрению рассеяния электронов.
При прохождении пучка электронов через вещество пучок
ослабляется, т. е. число электронов в нем убывает, по двум при-
причинам. Во-первых, электроны могут терять свою энергию, расхо-
расходуя ее на различные процессы, возникающие при прохождении
быстрого электрона через атом (ионизация и возбуждение, см.
гл. VII); во-вторых, они могут испытывать упругие соударения,
в результате которых энергия не теряется, но электрон в неко-
некоторый момент резко изменяет свое направление и выбывает из
пучка. Ослабление пучков электронов вследствие рассеяния изу-
изучалось еще в начале 90-х годов прошлого столетия Ленардом,
который показал, что при прохождении через слой вещества
толщины х интенсивность потока электронов уменьшается с уве-
увеличением х по экспоненциальному закону:
где No — интенсивность падающего пучка, N — интенсив-
интенсивность пучка, прошедшего слой х, а коэффициент а харак-
характеризует ослабление пучка вследствие рассеяния на единице
длины пути.
Легко видеть, что коэффициент а имеет тот же смысл, что и
коэффициент а предыдущего параграфа; его можно истолковать
как сумму эффективных сечений атомов вещества для рассея-
рассеяния электронов.
Изучение свойств этого коэффициента при всевозможном
варьировании условий опыта обнаружило замечательный факт:
оказалось, что при определенной скорости электронов а не за-
зависит ни от индивидуальных свойств рассеивающего вещества,
ни от его агрегатного состояния, а зависит только от его плот-
плотности р; при этом а с большой точностью пропорционально р,
так что отношение а/р при данной скорости электронов остается
постоянным. Однако а/р не остается постоянным при изменении
скорости электронов, а быстро уменьшается при увеличении ско-
скорости электронов (грубо говоря, обратно пропорционально чет-
четвертой степени скорости).

В таблице VII приведено несколько цифр, иллюстрирующих
это резкое увеличение прозрачности вещества для электронов
при возрастании их скорости.
0.90
0,70
0,60
0,50
К—)
6
13
29
83
22- 10г
„
е
0,40
0,20
0,10
0 01
2,4. 10г
360. Ша
8. 106
58- 106
Пользуясь таблицей VII, можно подсчитать величину а для
различных скоростей электронов. Для р = v/c = 0,04, т. е. для
о = р<? = 1,2-10° см/сек, из таблицы находим а/р = 58-106. Так
как это отношение не зависит от природы поглощающего веще-
вещества, то по величине а/р можно вычислить сумму эффективных
сечений молекул воздуха при нормальных условиях @°С и
760 мм рт. ст.) В этом случае р = 0,00129 и, следовательно,
а = па=ЪВ- 10'- 1,29- 10~3 = 7,5 ¦ Шэ см2\смг.
Эта величина близка к сумме сечений газовых молекул в 1 см3
газа при нормальных условиях, вычисленной из данных кинети-
кинетической теории газов (диффузия, теплопроводность). В самом
деле, число молекул газа в 1 см3 при нормальных условиях
равно 2,7-1019; при г0 = КН находим
па = 2,7- 1019 ¦ 3,14 • 10~1в= 8,5 ¦ 103 см*/см\
При больших скоростях электронов а/р резко падает, напри-
например, для о/с = 0,9, т. е. о = 2,7'1010 см/сек, а/р = 6, откуда
а = 6-1,29-10 = 7,7-10, т. е. приблизительно в 10е раз мень-
меньше, чем в рассмотренном ранее случае.
Это означает, что истинный объем, занятый веществом, т. е.
электронами и положительно заряженными частицами, в сфере
радиуса г„ = 10-8 см (сфера атома по кинетической теории га-
газов) совершенно ничтожен.
В начале этого параграфа было указано, что рассмотренные
результаты имеют место для не слишком быстрых и не слишком
медленных электронов. В этих крайних случаях сказывается
целый ряд факторов, существенно меняющих картину прохож-
прохождения электронов через вещество. Именно, в случае очень мед-
медленных электродов (энергия порядка долей электрон-вольта) на
первый план выступают явления, обусловленные волновой при-
природой электрона, с которой мь! ознакомимся в главе X (в част-
1АСТИЦ
97
1зываемый эффект Рамз^уэра, состоящий в увели-
1Ч1ЮСТИ атома для медленных электронов). Напро-
иости, так назы
чении прозрачности атома для медленных электронов). Напро-
Напротив, в- случае очень быстрых электронов (с энергией порядка
107—-10s эв) преобладающее значение имеет целый ряд весьма
сложных процессов, связанных со структурой элементарных ча-
стиц, из которых построено вещество.
§ 25, Свойства а-частиц
Еще более определенные результаты относительно роли по-
положительного электричества в атоме были получены при «зон-
«зондировании» атомов а-частицами. Приведем некоторые основные
данные, касающиеся их природы.
а-частицы испускаются многими радиоактивными вещества-
веществами (например, радием). То, что они представляют собой поток
частиц, непосредственно видгю на фотографиях их путей в ка-
камере Вильсона, пример которых приведен на рис. 51. а-частицы
Рис. 5!. Пу™
отклоняются в электрических и магнитных полях, откуда сле-
следует, что они несут электрический заряд. Направление, в кото-
котором происходит это отклонение, указывает на то, что заряд этот
положителен. Однако поля, которые вызывают заметное откло-
отклонение электронов, не оказывают влияния на траекторию а-ча-
а-частиц, откуда следует, что они обладают большой массой па
сравнению с массой электрона. Действительно, для того чтобы
сфотографировать траектории а-частиц, искривленные магнит-
магнитным полем, понадобилось поместить камеру Вильсона в очень
сильное магнитное поле Впервые это удалось сделать П. Л. Ка-
Капице; одна из фотографий, полученных им с магнитным полем
в 43 000 эрстед, приведена на рис. 52.
4 э. ]
ни, т. I

од ЯДНРНОЕ СТРОЕНИР АТОЧЛ |ГЛ ([I
Количество а-частиц, испускаемых радиоактивными веще-
веществами, было измерено путем непосредственного подсчета
числа вспышек на флуоресцирующем экране (сцинтилляций),
вызываемых пучком а-частиц с очень малым телесным углом.
Полное число а-частиц, испускаемых 1 г радия в I секг оказалось
равным Q = 3,7' 1010. Заряд, переносимый одной а-частнцей,
был измерен также самым непосредственным образолг а-части-
цы препарата определенной силы попадали в металлический
коллектор (фарадеев цилиндр), заряд которого определялся с
помощью электрометра. Число а-частиц можно было опреде-
определить, зная Q и геометрию расположе-
расположения опыта (расстояние между источ-
! ', ником и круглой диафрагмой, располо-
расположенной перед коллектором, размеры
диафрагмы). Эти опыты показали, что
заряд, переносимый а-частицей, равен
+2е, т. с. удвоенной абсолютной ве-
величине заряда электрона. Наконец,
in опытов с магнитным отклонением
(пропорциональным е/ти) и элсктри-
ческим (пропорциональным е/то2,
где к — заряд а-частицы) можно было
определить массу и скорость а-ча-
стиц.
Для скорости а-частиц радия С при
этом получилось
v = 1,992- 10е см/сек,
. 52. Пут
для
¦10"сгсэ ¦ '-'¦
Сравним эту величину с отношением F/H\ т. е. с отношением
заряда Фарадея к массе грамм-атома водорода:
¦?. = 2,88- 10м СГСЭ-г"'.
С другой стороны, принимая во внимание, что е = 2е и ум-
умножая числитель и знаменатель отношения 2e/mCL на постоян-
постоянную Авогадро Mi, получаем
¦^=^- = ^- = 1,44- 10м СГСЭ-г,
где Afa = mn-,Vo—масса ^грамм-атома а-частиц и F ¦= e-Na~
заряд Фарадея. Поэтому
Р . 2F
т. е. а-частица имеет массу атома гелия.
То, что а-частицы по своей природе тождественны с гелием,
было показано также следующим опытом Резерфорда и Ройдса
(рис. 53).
Большое количество радиоактивного газа радона было вве-
введено в тонкостенную стеклянную трубочку Л, толщина стенок
которой была такова, что большинство а-частиц проходило
сквозь них. Эта трубочка была окружена более широкой труб-
трубкой Т, к которой была припаяна разрядная трубочка V со впа-
впаянными электродами. Трубка Т была перед началом опыта
тщательно откачана, а-частицы, скоплявшиеся в Т, образовыва-
образовывали газ, который путем поднятия уровня ртути мог быть ежа г и
переведен о капилляр V. Пропуская разряд через V\ можно было
через два дня после начала опыта обнаружить в испускаемом

100
ЯДЕРНОЕ СТРОЕНИЕ АТОМА
[ГЛ ГЦ
'АССЕЯНИЯ П-ЧАСТИЦ
свете желтую линию гелия, а через шесть дней —полный спектр
гелия.
Параллельный пучок а-частиц, пройдя сквозь слой вещества,
рассеивается; а-частицы несколько изменяют свое направление.
Исследование рассеяния тонкими металлическими листочками
показало, что очень часто наблюдается отклонение а-частиц на
небольшие углы, в среднем 2—3°, и распределение а-частиц по
углам в точности следует статистической кривой случайных яв-
явлений (рис. 54). Наряду с таким рассеянием на малые углы
¦ сотрудники Резерфорда Гейгер и
Марсден обнаружили, что некоторое
число а-частиц (приблизительно 1
на 8000) рассеивается на очень
большие углы, иногда превышаю-
превышающие 90° и доходящие в некоторых
случаях почти до 180°. Объяснить
эти большие углы рассеяния накоп-
накоплением случайных малых отклоне-
отклонений оказалось невозможным, так
как из статистической кривой рас-
рассеяния следует, что число частиц,
которые могли бы испытать столь
значительное отклонение, должно
быть во много раз меньше, чем 1
на 8000.
Большие углы рассеяния наблю-
наблюдаются как при прохождении а-ча-
а-частиц через металлические листочки,
так и в газах, и их можно обнару-
обнаружить на фотографиях путей а-ча-
а-частиц в камере Вильсона. Одна из
таких фотографий приведена на
рис. 55, где изображен след а-ча-
стицы в кислороде: короткий след
принадлежит атому кислорода, при-
приведенному в быстрое движение, бо-
более длинный — а-частице, отклонен-
отклоненной от первоначального направле-
направления на угол около 90°. Эта фотогра-
фотография ясно показывает, что большие
углы отклонения получаются отнюдь fie в результате накопле-
накопления малых отклонений, но в результате одного-единственного
соударения.
Резерфорд указал на то, что это возможно, если внутри ато-
атома имеется чрезвычайно сильное электрическое поле, которое
¦создается положительным зарядом, связанным с большой мас-
городе.
сон и сконцентрированным в очень малом объеме (радиус по-
порядка 10-'а см). Отсюда и возникла «ядерная» модель атома,
согласно которой атом устроен наподобие планетной системы:
малое по размерам, положительно заряженное ядро, в котором
¦сосредоточена почти вся масса атома, и отрицательные элек-
электроны, обращающиеся около этого ядра по замкнутым ор-
орбитам.
§ 26. Теория рассеяния а-частиц
На основании этих представлений Резерфорд развил количе-
количественную теорию рассеяния а-частиц.
Пусть в О (рис. 56) помещается рассеивающее ядро. Оче-
Очевидно, что заряд его по абсолютной величине должен быть ра-
равен целому кратному заряда электрона, так как в нейтральном
И''
атоме положительный заряд ядра должен в точности компенси-
компенсироваться суммой отрицательных зарядов электронов.
Обозначим заряд ядра, помещающегося в О, через +Ze, где
.Z—целое число, и предположим, что масса этого ядра настолько
больше массь| а-частицы, что при взаимодействии с последней
ядро можно считать неподвижным. Предположим, наконец, что
¦сила взаимодействия между ядром и и-частицей подчиняется
закону Кулона, т. е. что эта сила обратно пропорциональна
квадрату расстояния между обеими частицами. Необходимо
дать себе ясный Отчет в том, что это последнее предположение
на первых порах является только гипотезой и оправдывается
лишь последующим согласием теории с эксперимеитом. В са-
самом деле, у нас нет никаких оснований заранее считать, что
взаимодействие очень малых частиц, сближающихся на ничтож-
ничтожно малые расстояния, должно управляться законом Кулона,
справедливость которого безупречно установлена только для
макроскопических тел.
Классическая механика показывает, что при всех этих пред-
лоложениях а-частица должна описывать относительно ядра О

ЯДЕРНОЕ СТРОЕНИ
гиперболу. Обозначим массу а-частицы через М, ее скорость на
большом расстоянии от рассеивающего ядра — через v. Если бы
а-частица не взаимодействовала с ядром, то она прошла бы на
расстоянии р (рис. 56) от ядра (так называемое «прицельное
расстояние»). Вычисление, которое мы отложим до § 53, пока-
показывает, что О — угол отклонения а-частицы, отталкивающейся
от ядра по закону Кулона, выражается через указанные пара-
параметры следующим образом:
ая1=-Ш- №1)
э эту формулу непоеред-
ходит недоступное нзмс-
Было бы бесполезно пытаться провер
ственно экспериментом, так как в нее
рению прицельное расстояние р.
Мы можем, однако, положить формулу B6.1) в основу ста-
статистической теории, которая даст нам выражение для эффек
тивного сечения рассеяния
в зависимости от парамет-
параметров, доступных эксперимен-
экспериментальному определению.
Представим себе сферу,
в центре которой располо-
расположен рассеивающий листок
рИСр 57. F (рис- 57). Пусть на этот
листок в единицу времени
падает А'о а-частиц. При наиболее детальном изучении рас-
рассеяния определяется среднее число частиц, Л'(О), рассеянных
в пределах телесного )гла dQW в направлении, характеризуе-
характеризуемом углами О и ф- Величина телесного угла dQW равна отно-
отношению элемента поверхности
сферы к квадрату радиуса
B6.2)
В опытах Резерфорда и его
сотрудников чаще изучалось
среднее число частиц, рассеивае-
рассеиваемых в пределах области, лежа-
лежащей между двумя телесными уг-
углами, характеризуемыми отвер- Рис. 58.
стиями О и O + rfO (рис. 58). Оче-
Очевидно, что соответствующий этому случаю телесный угол dQt
(или просто dQ) получится путем интегрирования B6.2) по ф
в пределах от 0 до 2л:
d& = da,Oi = 2л sin, ft db. B6.3)
Эффективное сечение для рассеяния в пределах du мы и бу-
будем вычислять.
Положим, что а частицы до рассеяния летят параллельным
потоком. Так как при прочих равных условиях угол отклонения
«частицы по формуле B6.1) определяется прицельным рас-
расстоянием р, то, очевидно, на угол, лежащий в пределах между
О и O + rfO, отклонятся а-частицы, у которых прицельное рас-
расстояние лежит между р » p — dp, т. е. а-частицы, пролетающие
внутри колец между Кругами с ра-
радиусами, заключенными между р и
р — dp, описанными около каждого
из рассеивающих центров (рис.59).
Площадь каждого такого кольца
равна 2npdp, и мы можем утвер-
утверждать, что среднее число сс-частиц,
отклоненных на угол между О и
d-f-dd, т. е. летящих после рассея-
рассеяния вн\три телесного угла dQ, про-
пропорционально 2пр dp.
Итак, эффективное сечение ядра
•da для рассеяния а-частиц равно
da^=2npdp. B6.4) Рис. 59.
Если мы теперь найдем р из B6.1) и возведем в квадрат, то
получим
/ 2Z3 \з *
Дифференцируя, находим следующее выражение:
, 1 / 2Ze2 \2 ^*
pdp = -Y\^T) ——
МП" -jj-
и, подставляя в B6 4) *), получаем
Введем еще сюда телесный угол dQ по формуле B6.3):
*) Знак минус ire имеет существенного значения: on указывает лишь
на то, что с увеличением прицельного расстояния р угол # уменьшается
(и наоборот). Поэтому в дальнейшем используемся только абсолютное зна-
значение р dp.

jq4 ' ЯДЕРНОЕ СТРОЕНИЕ АТОМА 1ГЛ lit
Это и есть формула Резерфорда для рассеяния а-частиц.
Для сравнения с результатами эксперимента нужно найти-
макроскопическое сечение Y, т. е. сумму эффективных сечепий
всех рассеивающих ядер в 1 см*. Если допустить, что все ядра в
листке распределены равномерно и не перекрывая друг друга,
то очевидно, что
2 = ndo,
где п— число рассеивающих ядер в 1 см3. Пользуясь B6.5), по-
получаем:
«271
[05
Если теперь обозначить через N число а-частиц. падающих в
1 сек на поверхность рассеивающего листка, то среднее числе-
сс-частиц, рассеянных на угол # в пределах телесного угла dQ,
будет, очевидно,
dN = NZ = nN (-S-J —^V ¦ B6J>
Как видим, число рассеянных а-частиц очень сильно зависит от
угла И и быстро возрастает с уменьшением О.
§ 27. Экспериментальная проверка формулы Резерфорда
Формула Резерфорда была подвергнута тщательной экспе-
экспериментальной проверке. Из B6.7) следует
Таким образом, если, сохраняя все остальные условия, изме-
изменять только угол О, то должно быть
dN ¦ sin"
¦onst.
Этот вывод и был проверен в первую очередь. С этой целью-
применялся следующий прибор (рис. 60). Металлическая короб-
коробка В в форме цилиндра укреплялась на круге А, снабженном
делениями. Коробка вместе с кругом могла вращаться аа шли-
шлифе С, Радиоактивный препарат R и рассеивающий листок F
устанавливались на особой трубке Т независимо от коробки;
этим достигалась неизменяемость положения R и F при поворо-
поворотах остальной системы. Экран S (прозрачный) устанавливался
перед микроскопом М, неподвижно скрепленным с коробкой В.
Поворачивая круг А, можно было устанавливать микроскоп для
измерения числа рассеянных а-частиц при любом угле рассея-
рассея«ия. Коробка закрывалась сверху стеклянной пластинкой Р и
откачивалась через трубку Т для того, чтобы избежать допол-
дополнительного рассеяния в воздухе. В течение всей работы было
подсчитано свыше 100 000 сцинтилляций.
Полученные результаты для рассеяния в золоте приведены
в таблице V1I1, из которой видно, что, несмотря на то, что ве-
величина l/sin4(O/2) и число сцин-
сцинтилляций изменялись в очень
широких пределах, произведение
*W sin* @/2) оставалось прибли-
приблизительно постоянным в согласии
с требованием теории*).
Аналогичным образом была
изучена зависимость рассеяния от
толщины листков и от скорости
«-частиц. Во всех случаях для
рассеяния в листочкам из тяже-
тяжелых металлов установлено хоро-
хорошее согласие экспериментальных
результатов с требованиями тео-
теории. Это согласие одновременно
является доказательством приме- ,.„,,„„.,_ „.,„ ,.¦—¦—
нимости закона Кулона к взаи- «-частиц от угла рассеяния,
модействию между а-частицами
и рассеивающими ядрами при тех условиях, в которых были
произведены опыты, т. е. для тяжелых ядер и не слишком бы-
быстрых а-частиц.
Таблица VIII
Прибор ДЛ!
изучения
яения <и°)
150
135
120
105
75
60
45
30
15
sin' (ф/2)
1.16
1,38
1,79
2,53
725
16,0
46,6
223
3445
33,1
43,0
51,9
69 5
211
477
1435
7 800
132 000
dN sm' (ОД
28,8
31,2
29,0
27,5
29.1
29,8
30,8
35,0
38,4
Другой способ экспериментальной проверки теории спе-
*ально для случая рассеяния в газах состоит в том, что

ЯДЕРНОЕ СТРОИ
производится большое количество вильсоновских фотографий пу-
путей а-частиц в газе, измеряются углы отклонения и подсчиты-
вается, как часто встречаются определенные углы рассеяния.
Такой метод был применен Блэкетсм главным образом с целью
изучения границ применимости закона Кулона. Оказалось, что
для аргона в пределах расстояний между центрами ядра и а-ча-
стицы от 710~12 до 10~9с,« и для воздуха в пределах от 3- 10~1а
до 5-Ю-10 см закон Кулона имеет место.
Из этого, однако, не следует делать вывода об универсаль-
универсальной применимости закона Кулона для ядерных взаимодействий.
Напротив, изучение рассеяния а-частиц легкими ядрами пока-
показало, что когда расстояние между взаимодействующими части-
частицами уменьшается до Ю~1г см, наблюдаются резкие отклонения
от закона Кулона, а на расстояниях, меньших 10~i2 см, обнару-
обнаруживается действие быстро \ бывающих с расстоянием сил при-
притяжения, перекрывающих действие кулоповских сил отталкива-
отталкивания межд! одинаково заряженными частицами.
§ 28. Определение заряда ядра
Формула Резерфорда позволяет экспериментальным jiyreM
найти число Z, т. е. число элементарных положительных зарядов
ядра. В самом деле, подсчитывая па флуоресцирующем экране
число сцинтилляций А', создаваемых падающими а-частицами,
и число сцинтилляций dN, создаваемых а-частицами, рас-
рассеянными на угол ¦&, мы будем знать величину da — dNjN,
В правую же часть формулы Резерфорда входят, кроме иско-
искомой величины 2, либо величины известные (п, е), либо вели-
величины доступные экспериментальному определению (Mv2, -&).
Таким, образом, для отыскания Z нужно произвести подсчет
числа сцинтилляций Л и dN. Главная трудность эксперимента
п _ обусловлена тем, что эти
числа очень сильно разли-
различаются между собой. В пер-
Rbix опытах числа N я dN
измерялись па разных уета-
иовках, т. е. в разных уело-
внях, что являлось источни-
источником значительных ошибок.
Чадвиц использовал рас-
Рис, 61. Сх
Члдвн
оложение опыта, при кото-
котоом оба числа N и dN могут
р
быть измерены на одной и той же установке, вследствие чего
ему вдалось определить 2 с большей точностью. Идея опыта
Чадвчка заключается в следующем. Рассеивающая фольга име-
имеет вид кольца АА' (рис. 61); препарат R и экран S из ZnS
устанавливаются на одинаковом расстоянии г от А А'. Из-
Измеряется число а-частиц, рассеянных на один определенный
угол fl, выбранный (для упрощения расчета) так, чтобы on
был вдвое больше угла г^ежду осью RS и направлением jjj-
чей, идущих от R к фольге (рис. 61). Располагая внутри кольца
между R n S экран, непрозрачный для ct-частйц, можно было
считать одни только рассеянные а-частины; наоборот, закрывая
экраном кольцо АА', можно было считать число частил .V в па-
дающем пучке. Так как это число слишком велико для того,
чтобы можно было непосредственно подсчитывать сцинтилля-
сцинтилляции первичных а-частиц на экране (например, Для того, чтобы
¦число сцинтилляций от рассеянных а-частиц составляло 30 в
мии>т>, N должно быть равно 20 000 в минуту), то перед S рас-
располагался вращающийся диск с узким вырезом, при помощи
которого число сцинтилляций можно было произвольно умень-
уменьшать в любое число раз.
Таким путем Чадвик нашел следующие значения Z для пла-
платины, серебра и меди: Р1G8)—77,4; AgD7)—46,3; CuB9) —
29,3. Числа, стоящие в скобках после химических символов эле-
элементов, означают номер места соответствующего элемента в пе-
риодическоя системе Менделеева (атомный номер). Таким об-
образом, опыты Чадвика показывают, что число элементарные
положительных зарядов ядра равно атомному подеру соответ-
соответствующего элемента. Это правило, подтвержденное другими
исследователями для целого ряда элементов, сводит задачу об
определении заряда ядра к точной фиксации атомных номеров
всех элементов. Средство для этого дают нам рентгеновские
спектры, с которыми мы и познакомился в следующей главе.

РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ АТОМНЫХ КОНСТАНТ
Рентгеновские лучи играют важную роль в изучении атома.
В § 28 уже указывалось, например, что спектры рентгеновских
лучей позволяют точно фиксировать атомные номера всех эле-
элементов, т. е. определять заряды их ядер. Кроме того, методы
рентгеновской спектроскопии с большим успехом применялись,
для получения наиболее точных значений постоянной Авогадро,
заряда электрона е, а также удельного заряда электрона е/т.
В дальнейших главах мы нередко будем обращаться также к.
рассмотрению различных явлений, связанных с рентгеновскими'
лучами. Ввиду этого нам необходимо с самого начала ознако-
ознакомиться с их природой и свойствами.
§ 29. Рентгеновские лучи
Рентгеновские лучи возникают под действием быстрых элек-
электронов. В так называемых рентгеновских трубках против катода
располагается металлическая пластинка (в трубках, применяе-
применяемых в медицине и для технических просвечиваний, — вольфра-
вольфрамовая), при бомбардировке которой электронами и возникают
рентгеновские лучи. Энергия возбуждающих электронов в обыч-
обычных технических установках порядка 100 000 эв. Существуют
также установки, дающие рентгеновские лучи при энергии элек-
электронов в миллион электрон-вольт, а для целей ядерной физики
в последнее время построены специальные ускорители электро-
электронов, позволяющие получать рентгеновские лучи при торможении
электронов с энергией до 100 миллионов электрон'Вольт.
Рентгеновские лучи, невидимые для глаза, обладают способ-
способностью вызывать яркую видимую флуоресценцию в некоторых
естественных кристаллических веществах (платиносинеродистый
барий, цинковая обманка и др.) и в искусственно изготовляе-
изготовляемых порошках (люминофорах). Они действуют на фотографи-
фотографическую пластинку и вызывают ионизацию в газах. Всеми этими,
явлениями пользуются для обнаружения и исследования рентге-
рентгеновских лучей.
По своей природе рентгеновские лучи тождественны со све-
светом и отличаются от него только тем, что имеют меньшие дли-
длины воли. Так же как и свет, рентгеновские лучи обладают вол-
5291
РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ
новыми свойствами, которые обнаруживаются опытами с интер-
интерференцией и дифракцией. Впервые интерференционный опыт,
аналогичный опыту с зеркалами Френеля, с рентгеновскими лу-
лучами был осуществлен советским физиком В. П. Линником. На
рис. 62 приведена фотография дифракционной картины, полу-
полученной при прохождении рентгеновских лучей через узкую щель.
Эти опыты очень трудны, так как вследствие малой длины вол-
волны щель должна быть очень узкой и фотографию, кроме того,
приходится подвергать
последующему увели
чению для того, чтобы
выявить светлые и тем-
темные полосы. Фотогра-
Фотография, приведенная на
рис. 62, была получена
со щелью шириной в
6 мкм и подвергнута
2б-кратному увеличе-
увеличению. Зная геометриче-
геометрические условия опыта
(расстояние от щели
до фотопластинки) и
измеряя расстояние
между тюследовательными светлыми полосами, можно вычис-
вычислить длину волны рентгеновских лучей совершенно так же, как
это делается в оптике *). Из фотографии, приведенной на рис. 62,
для длины волны получилось 8,33 А с точностью в 0,5% (напо-
(напоминаем, что длина волны крайних еще видимых глазу фиолето-
фиолетовых лучей —4000 А). Это —случай длинноволнового рентгенов-
рентгеновского излучения. Длины волн рентгеновских лучей, которыми
пользуются для медицинских просвечиваний, — порядка едини-
единицы ангстрема.
Различают два типа рентгеновских лучей. Если энергия элек-
электронов, испытывающих торможение на антикатоде, не jipenbi-
шает определенной, характерной для вещества антикатода ве-
величины, то возникающее излучение называется тормозным. Оно
разлагается в сплошной спектр наподобие белого света, ввиду
чего тормозное излучение называют иногда «белым» рентгенов-
рентгеновским излучением. Сплошной спектр тормозного излучения имеет
следующие характерные особенности. Распределение интенсив-
интенсивности в зависимости от длины волны в этом спектре представ-
представляется кривой, имеющей максимум при определенной длине
волны (см. рис. 178, стр. 380). Спадание интенсивности от этого

по
максимума и сторону длинных и в сторону коротких волн про-
происходит различным образом; в сторону длинных воли кривая
спадает полого, асимптотически приближаясь к нулю по мере
увеличения длины волны, напротив, спаданне в сторону корот-
коротких волн происходит круто, и спектр резко обрывается при не-
некоторой определенной длине волны. Эта критическая длина
волны — коротковолновая граница сплошного спектра — зави-
зависит от ускоряющего потенциала электронов. Именно, если этот
потенциал равен V киловольтам, то длина волны границы, вы-
выраженная в единицах ангстрема, равна
я—
B9.1)
Таким образом, при К — 100 кв наиболее короткая длина волны
в сплошном спектре есть 0,123 А. Существенно, то что характер
сплошного спектра не зависит от природы антикатода, но опре-
определяется только ускоряющим потенциалом.
Как уже сказано, сплошной спектр возникает в тех случаях,
когда энергия возбуждающих электронов не превосходит неко-
некоторой критической величины. Если же энергия электронов равна
или больше Этой критической величины, то возникает излуче-
излучение, называемое характеристическим, так как оно характеризует
вещество антикатода в такой же степени, с какой оптический
спектр испускания газа или пара характерен для вещества.
Спектр характеристического излучения — линейный- Замеча-
Замечательно при этом, что каждый элемент дает определенный,
присущий ему спектр независимо от того, возбуждается ли этот
элемент к рентгеновскому излучению в свободном состоянии
или входит в химическое соединение. Этим рентгеновские
спектры существенно отличаются от оптических, так как одно и
то же вещество дает различные оптические спектры в атомном
и в молекулярном состояниях (например, оптические спектры
атома О, молекулы О2 и молекулы Н2О совершенно различны
и отнюдь не складываются аддитивно из спектров атомов, вхо-
входящих в состав молекулы).
На рис. 63 приведен интересный пример изменения рентге-
рентгеновского спектра при возникновении характеристического излу-
излучения. Здесь цо оси абсцисс нанесены длины волн, цо оси орди-
ординат—интенсивности; различные кривые сняты при разных энер-
энергиях возбуждающих электронов. Антикатод во всех случаях —
родиевый. Видно, что при 23,2 кв спектр еще сплошной, но при
31,8 кв на сплошной спектр накладывается линейный, состоя-
состоящий из резко выраженных спектральных линий; при 40,0 кв ха-
характер спектра остается без изменения, но итенсивность линий
возрастает настолько, что самая яркая из них не укладывается
на чертеже в принятом масштабе.
$29!
HI
Этот линейный cneKip ц принадлежит характеристическому
излучению вещества антикатода, в данном случае —родия (Rh).
Спектральные линии характеристического излучения обра-
образуют закономерные последовательности или серил, расцоложен-
будут рассмотрены в § 35.

РЕНТГЕНОВСКИЕ J
§ 30. Поглощение рентгеновских лучей
К числу наиболее замечательных особенностей рентгеновских
лучей относится их своеобразный закон поглощения. Оказы-
Оказывается, прежде всего, что поглощение рентгеновских лучей ве-
веществом совершенно не зависит от его оптических свойств. Так,
например, бесцветное и прозрачное для света свинцовое стекло
практически полностью поглощает рентгеновские лучи и потому
используется для защиты персонала, обслуживающего рентге-
рентгеновские установки- Напротив, тонкий листок алюминия, непро-
непрозрачный для света, очень мало поглощает рентгеновские лучи
и для лучей, испускаемых техническими рентгеновскими труб-
трубками (при потенциалах порядка 100 кв), почти совершенно про-
прозрачен.
Применение рентгеновских лучей для медицинских или тех-
технических просвечиваний основано на законах поглощения рент-
рентгеновских лучей, с которыми мы сейчас
и ознакомимся. Если параллельный пу-
пучок рентгеновских лучей проходит через
слой вещества, то пучок испытывает ос-
ослабление, т. е. интенсивность его умень-
уменьшается. Это ослабление является резуль-
результатом двух процессов: 1) рассеяния и
2) поглощения. Эти два процесса суще-
существенно различны:
1) Ослабление вследствие рассеяния
обусловлено тем, что часть лучей откло-
отклоняется в сторону (рис. 64) и потому вы-
щ«чн»- водится из параллельного пучка. Явле-
Явление это совершенно аналогично рассея-
рассеянию, которое испытывает свет при прохождении через мут-
мутную среду. ¦ Разница только в том, что мутность среды для
¦света обусловлена взвешенными в ней достаточно крупными
частицами с показателем преломления, отличным от показателя
преломления среды. Для рентгеновских же лучей вследствие их
малой длины волны любая прозрачная для света среда яв-
является «мутной». В этом случае рассеивающими центрами яв-
являются сами атомы или молекулы вещества. Аналогичное моле-
молекулярное рассеяние наблюдается и для света. Но оно представ-
представляет собой в случае света очень слабый эффект. Для сравнения
можно привести следу-ющие цифры. Параллельный пучок света
вследствие рассеяния ослабляется в е ( = 2,7) раз слоем чистой
воды толщиной в 1 км; пучок рентгеновских лучей ослабляется
в то же число раз путем одного только рассеяния (т. е. исклю-
исключая поглощение) слоем поды в 5 см. Для того чтобы молекуляр-
молекулярное рассеяние света стало легко заметным, необходимо, чтобы в
рент-
ПОГЛОЩЕНИЕ РЕНТГЕНОВОЮ
11.4
среде возникали в большом количестве местные уплотнения и
разрежения (флуктуации .плотности), как это имеет место, на-
например, для всякого вещества вблизи его критической темпера-
температуры (так называемая «критическая опалеспенция»}.
2} Ослабление вследствие поглощения или абсорбции об-
обусловлено тем, что часть энергии рентгеновских лучей испыты-
испытывает истинное поглощение в веществе, т. е. в конечном счете
превращается в тепло.
Если параллельный пучок рентгеновских лучей монохрома-
тичел, т. е. состоит из лучей одной определенной длины волны,
то ослабление его бесконечно тонким слоем пещества толщиной
их подчиняется простому закону
— dl = jxJ их,
где .' — интенсивность пучка, падающего на слой, а ц—коэф-
ц—коэффициент, характеризующий ослабление. Интегрируя это урав-
уравнение (см. аналогичное уравнение в § 23), получаем закон
ослабления рентгеновских лучей слоем конечной толщины d:
J = Joe-^, C0.1)
где /„ — интенсивность параллельного пучка при d = 0. Размер-
Размерность коэффициента поглощения ц есть [си-1], так как- показа-
показатель степени \id должен быть безразмерной величиной.
Поскольку ослабление пучка происходит как за счет истин-
истинного поглощения, так и за счет рассеяния, — коэффициент ос-
ослабления и. является суммой двух коэффициентов- коэффициен-
коэффициента истинного поглощения т и коэффициента рассеяния о:
ц = т + <т. , (-30.2)
Оба коэффициента т и о, а следовательно и ц, пропорциональны
массе вещества. Ввиду этого удобнее пользоваться так назы-
называемыми «массовыми коэффициентами», т. е. отношениями ц/р,
т/р и д/р, где р — плотность вещества. Очевидно, что формула
(ЗОЛ) может быть переписана в виде
Произведение pd есть масса вещества в столбе сечением в 1 ел;2
и толшиной d\ fi/p имеет размерность [г~* си2].
Если pd = 1, то / = /(? р. откуда следует, что ц/р характе-
характеризует ослабление рентгеновских лучей слоем, содержащим 1 г
вещества на каждый квадратный сантиметр.
Для теоретических расчетов еще удобнее пользоваться тяк
называемыми атомными коэффициентами и.„, т„. о„, которые
получаются из значений ц/р, т/р и о/р для определенного

РЕНТГГНОВСКИЕ ЛУЧИ II 1
на отношение
Авогадро N:
)го элемента А к постоянной
Таким образом, например, ц.а характеризует ослабление в
слое, содержащем 1 атом на см2. Стоит отметить также, что
размерность атомных коэффициентов ца, та и аа, как легко убе-
убедиться, есть [см2]. Поэтому их можно истолковать как эффектив-
эффективные сечения атома соответственно для ослабления, поглощения
или рассеяния рентгеновских лучей.
Эмпирически устарювлено и довольно точно соблюдается
следующее соотношение:
та = cZW, C0.5)
где с~ некоторая постоянная, Z—атомный номер вещества и
X — длина волны. Отсюда при помощи определений C0.4) для
массового коэффициента поглощения получается
v^-4^- (зо.б)
(c'=cN).
C0.6')
Из этих формул видно, что поглощение л^чей определенной
длины волны очень быстро возрастает с увеличением атомного
номера (пропорционально четвертой степени Z).
Вторая замечательная особенность поглощения рентгенов-
рентгеновских лучей состоит в том, что оно является чисто атомным свой-
свойством: поэтому молекулярный коэффициент поглощения адди-
аддитивно складывается из атомных коэффициентов элементов, вхо-
входящих в состав молекулы. Благодаря этому для вычисления
молекулярных коэффициентов всего бесконечного многообразия
химических соединений достаточно знать атомные коэффициен-
коэффициенты поглощения элементов.
Формулы C0.6) и C0.6') и аддитивность поглощения рент-
рентгеновских л^чей лежат в основе их применения для просвечива-
просвечивания. Сравним, например, коэффициенты поглощения костей и
тканей человеческого тела. Вещество кости есть фосфорнокис-
фосфорнокислый кальций Ca.,(PO4)s; поглощение ткани главным образом
обусловлено входящей в ее состав водой (Н2О). Учитывая, что
атомные номера Са, Р, О и Н соответственно равны 20, 15, 8 и
1, находим, что отношение атомных коэффициентов поглощения
обоих веществ будет равно
т. е. коэффициент поглощения СаДРО/,},. примерно в 150 раз
больше атомного коэффициента поглощения воды (ткани). Для
практических целей, однако, важнее отношение массовых коэф-
фицентов. Если применить к интересующему нас случаю фор-
формулу C0.6), то отношение получится равным примерно 68, что
уже вполне объясняет, почему на рентгенограммах тень От ко-
костей так резко выделяется.
Формулы C0.5) и C0.6) показывают также, что поглощение
рентгеновских лучей быстро возрастает при увеличении длины
волны. Наоборот, чем меньше длина вольы, тем больше прони-
проникающая способность рентгеновских лучей, тем больше их жест-
жесткость. Если отложить по оси абсцисс длины волн, э по осп ор-
дшат V т/р, то в соответствии с формулами C0 5) и C0.6)
для данного элемента ход поглощения в зависимости от X изо-
изобразится прямой (рис. 65). Однако при определенной длине
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
ы.
/
/
/
\
/
О 0,2 0,4 0,6 Off /,0 /,2 14 1,5 1,3а?в
лучей от длгшы волцы (/Са-лииия серебра и
меди),
полны поглощение испытывает резкий скачок, а затем снова
изменяется линейно. Как видно из рис, 65, для меди такой ска-
чок наблюдается при X — 1,3785 А, для серебра — при X =
= 0,485 А. Эти критические длины волн имеют следующее зна-
значение. Если освещать какой-либо элемент (например, Си или
Ag) монохроматическими рентгеновскими лучами убывающей
длины волны, то, начиная со строго определенной длинь: волны
возбуждающих рентгеновских лучей, элемент начинает и при
дальнейшем уменьшении длины волны продолжает испускать
свое собственное характеристическое излечение в виде излуче-
излучения флуоресценции. Критические длины воли, при которых

116
РЕНтГЕНОВ(
i И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
наблюдается скачок поглощения, как раз совпадают с критиче-
критическими длинами волн для возбуждения характеристического из-
излучения флуоресценции данной длины волны. Возникновение
скачка поглощения учитывается в формулах C0.5) и C0.6)
тем, что коэффициент с имеет разные значения по ту и другую
стороны критической длины
волны.
к (А)
0,!
0,5
1,0
Л,
0,16
2.0
15
««
1,4
11
73
РЬ
3,8
54
Упражн
][ие рентгеновских лучей г
хождении через веществ!
характеризуют указание)
. Ослабле-
выражаетс^ через ц/р формуле
d,, = -т~~\ ¦ ,
§ 31. Рассеяние рентгеновских лучей
Рассеяние рентгеновских лучей обнаруживает эакоргомерно-
сти, отличные от закономерностей рассеяния света в оптической
части спектра (т. е. в области видимых или ультрафиолетовых
лучен). Как известно, в оптической части спектра, где длина
волны порядка 10~5 см, т. е. значительно больше атомных раз-
размеров (порядка 1 А= 10~8 см), рассеяние обратно пропорцио-
пропорционально четвертой степени длины волны (закон Рэлея, объясняю-
объясняющий голубой цвет неба), В области рентгеновских лучей длина
волны того же порядка величины, что и размеры атома.- Ока-
Оказывается, что и закол рассеяния здесь иной. Именно, рассеяние
решгеновских лучей не зависит от длины волны. Рассматривая
рассеяние как результат вынужденных колебании электронов
под действием электромагнитного поля падаюшей рентгенов-
рентгеновской волны, Дж. Дж, Томсон еще в ранний период изучения
рентгеновских лучей вывел следующую формулу для атомного
коэффициента рассеяния:
».-=TWZ' <зм>
где е и m — заряд и масса электрона, с — скорость спета. Атом-
Атомный номер элемента Z, входящий в эту формулу, равен числу
электронов в нейтральном атоме. С другой стороны, аа, как уже
указывалось, имеет размерность площади. Таким образом,
5 3J] РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ 117
~т~=—ъ гт можно рассматривать как эффективное сечение
одного электрона для рассеяния рентгеновских лучей. Подстав-
Подставляя сюда известные значения
е = 4,80- 10~"\ -jL-= 1,759- Ю7, с = 2,997- 10|С,
получаем эффективное сечение электрона
Радиус этого эффективного сечения равен
гв = 4,57-НГи см.
C1.2>
C1.3)
Эта величина того же порядка, что и так называемый «класси-
«классический радиус электрона».
Формула C1.1) была использована Томсоном для определе-
определения числа электронов в атоме (равного заряду ядра Z) следую-
следующим интересным способом.
Так как по определению атомных коэффициентов C0.4)
то для массового коэффициента рассеяния формула C1.1) дает
о 8я в* NZ ,„, АХ
7sstwt1' <ЗМ>'
пользуясь результатом вычислений C1.2), имеем
-5- = 6,57- 10~25 • 6,02 • \(?3-~*=0,40-~, C1.5)
Экспериментальная проверка формулы Томсона показала, что
для легких элементов она довольно хорошо оправдывается.
Найденная из опыта величина о/р оказалась не зависящей от
длины волны и равной 0,20. Подставляя это значение в C1.5),
получаем
0,20 = 0,40 ¦ ^-
т. е, у легких элементов (за исключением водорода) атомный
помер должен быть равен половине атомного веса. Это соотно-
соотношение на самом деле приближенно оправдывается в начале пе-
периодической системы [He(Z = 2, Л = 4), Li(Z = 3, А = 7)„

118
!ИЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ KOI
ведущ]
сил. К
того pei
ie к со-
рассмо-
C(Z = 6, Л = 12), и т. д]. Физические причины,
отношению C1-6), связаны с природой ядерных
трению интересных и важных свойств рассеят
ского излучения мы еще вернемся в §§ 123 и 124.
Упражнение Пользуясь формулой C11) и экспериментальным зна-
чспнм! сг/р ^ычцслнть^имо мектротоав 1 ^а™"я™е-
§ 32. Дифракция рентгеновских лучей
в кристаллической решетке
В § 31 мы видели, что с рентгеновскими лучами можно осу-
осуществлять те же дифракционные явления, что и со светом.
Однако наиболее простой и практически наиболее важный спо-
способ получения дифракции рентгеновских лучей основан па при-
применении кристалла в качестве дифракционной решетки. При-
Причина легкости осуществления ди-
дифракции рентгеновских лучей с по-
помощью кристаллов состоит в том,
что порядок величины между атомных
расстояний в кристалле — тот же, что и порядок длины волны
рентгеновских лучей (lA). Как известно, именно при прохожде-
прохождении рентгеновских лучей через кристаллы была впервые обнару-
обнаружена дифракция рентгеновских лучей (Лауэ, 1912 г.), оконча-
окончательно доказавшая тождество их природы со светом.
Кристалл представляет собой совокупность закономерно рас-
распределенных в пространстве атомов, групп атомов или ионов
(«пространственная решетка», например, рис. 66, где изображе-
изображена простейшая кристаллическая решетка). Для того чтобы най-
найти условия дифракции на таких правильных трехмерных струк-
структурах, мы рассмотрим последовательно одномерную (линей-
(линейную), двумерную и трехмерную решетку.
Пусть мы имеем ряд рассеивающих центров 0, 1, 2, 3, 4, 5
(атомов), расположенных на одной прямой (рис, 67), и пусть
.на эту линейную решетку падает плоская волна под углом аи-
ДИФРАКЦИЯ В КРИСТАЛЛИЧЕСКО
Каждый из рассеивающих центров 0, 1, 2, 3, .. . является источ-
источником новой сферической волны, и эти когерентные сферические
волны расходятся во всех направлениях. Рассмотрим какое-ни-
какое-нибудь произвольное направление, характеризуемое углом а. Раз-
Разность хода двух лучей, проходящих через каждую пару сосед-
соседних атомов @, 1; 1, 2; ,,.), как видно из рис. 67, равна
a(cosa — cosau). Для того чтобы в направлении а получился
дифракционный максимум, необходимо выполнение условия
a (cos a —cos a,}) — AA, C2.1J"
где А —целое число. Из C2.1) следует
cosa = cosaa + A-J. C2.2)
Это показывает, что линейная решетка действует как спек-
спектральный прибор, так как для каждой длины волны Я полу-
получается свое значение угла а. При h = 1 возникает, таким обра-
образом, спектр первого порядка, при h = 2— второго порядка.
и т. д. В симметричных направлениях при h = —1, —2 и т. д.
возникают также спектры — 1-го, —2-го и т д. порядков. Сово-
Совокупность их образует, таким образом, одномерное многообразие.
Если мы теперь примем во внимание, что каждый рассеи-
рассеивающий центр является источником сферической волны, то на-
направления, соответствующие максимуму интерференции опреде-
определенного (например, первого) порядка для данной длины волны,
в пространстве лежат на поверхности конуса с углом при вер-
вершине а. На рис. 68 буквой L обозначена линейная решетка.

120
ПТЕНО1
• КОНСТАНТЫ
[ГЛ IV
Очевидно, что если расположить флуоресцирующий экран или
фотопластинку на некотором расстоянии от решетки, то следы
интерференционных конусов дадут на этом
- экране гиперболы, по которым будут распо-
расположены максимумы интерференции для оп-
определенной длины волны-
Рассмотрим теперь плоскую, т. е. дву-
двумерную решетку (рис. 69). Ясно, что эту
решетку можно рассматривать как двой-
двойное многообразие линейных решеток, рас-
расположенных параллельно осям хну. Пусть
теперь на эту решетку падает плоская вол-
Рис. 69. Плоская ре- на, нормаль к которой образует с осями х
щетка. и у углы а0 и р0. Рассматривая, как и рань-
раньше, каждый центр решетки как источник
сферической волны, мы видим, что направления, в которых
получатся интерференционные максимумы, будут характери-
характеризоваться углами аир, удов-
удовлетворяющими дв\/м усло-
условиям:
a (cos а — cosa0)™fe,A, ]
a (cos р — cos р0) = h2h, I
C2.3)
где А, и А2 — целые числа.
Первое из этих условий есть,
очевидно, условие максиму-
максимума интерференции для ли-
нейцых решеток, параллель-
параллельных оси х, второе — то же
условие для решеток, парал-
параллельных оси у. Если распо-
расположить на некотором рас-
расстоянии От ПЛОСКОЙ решетки Рис. 70. Спектры, получаемые от пло-
флуоресцирующий экран, то ской решетки,
каждая из систем линейных
решеток, на которые мы разбиваем плоскую решетку, даст на
экране свою систему гипербол и, очевидно, оба условия C2.3)
будут удовлетворены для точек, лежащих на пересечении этих
гипербол (рис. 70). Определяя из C2.3) cos a и cos p, находим
cosa —cosaj-j-А[ —,
C2.4)
§32] ДИФРАКЦИЯ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ PFIUETKE ]21
Отсюда следует, что для каждой длины волны \ получаются
свои значения а и р, т. е. и плоская решетка разлагает излу-
излучение в спектр. При этом, однако, в отличие от линейной ре-
решетки получается не простое, но двойное многообразие спек-
спектров. В самом деле, определенный спектр характеризуется
парой чисел (А], А2). Таким образом, получаются, например,
спектры порядков (-j-1, -j-t), ( + 1, +2), ..., а также порядков-
( + 1,-1), ( + 1,-2) и т- д. Это хорошо видно на рис. 70.
Рассмотрим, наконец, пространственную решетку. Ее можно-
разбить на три системы линейных решеток, параллельных осям
х, у и z. Интерференционные максимумы в этом случае noiy-
чаются в направлениях, характеризуемых углами a, p, Y. кото-
которые должны удовлетворять одновременно трем условиям:
a (cos а — cos aj) = А,Я, 1
a (cos р — cos ро) = АА C2.5)
a (cos y — cos Yo) = пг^- '
Определим из этих условий направляющие косинусы для интер-
интерференционных максимумов
cosa = cosa0 + A,—
cosp=cosp,, + A2~,
cos у = cos Yo + Л3 —.
C2.6)
Здесь, как видно, порядок интерференции определяется уже тре-
тремя числами (А,,А2, Аз). Вместе с тем обнаруживается и новое
обстоятельство, а именно, что интерференционные максимумы
возможны не для любых длин волн, а только для некоторых,
совершенно определенных. В самом деле, наряду с условиями
C2.5) для любого направления $ пространстве автоматически
удовлетворяются еще условия
cos* a0 + cos2 р„ + cos2 y0 = 1, cos* a + cos2 p + cos* v = 1 • C2.7)
Поэтому из C2.5) определяются не только направляющие ко-
косинусы максимума интерференции, но и длина волны, для ко-
которой эта интерференция имеет место. Действительно, возводя
в квадрат равенства C2,6), складывая их и принимая so вни-
внимание формулы C2.7), найдем
1 = 1 + тг(А? + А| + >Ч) + 2 | (A, cos a0 + A2 cos p0 + A, cos Vo),
s a0 + hi cos Po -f- h
C2.8)

Это и означает, что при данном направлении падающей плоской
волны (заданные ао, flo, \o) максимум интерференции определен-
определенного порядка (А], йг, из) получается только для длины волны,
удовлетворяющей равенству C2.8).
Геометрическая иллюстрация, которой мы пользовались при
рассмотрении линейной и плоской решеток,-позволяет легко по
нять причину этого ограничения. Предположим для простоты,
что нормаль к падающей плоской волне направлена по оси г
и что экран расположен также нормально к оси г. Тогда напра
вления максимумов интер-
интерференции для линейных ре-
решеток, параллельных оси г.
расположатся по поверхно-
поверхности конусов, которые дадут
на экране систему кругов*)
(рис. 71), причем каждый
круг будет соответствовать
определенной длине волньи.
X и определенному порядку
интерференции hA = const.
С другой стороны, каждая
из плоских решеток, парал-
параллельных плоскости ху, даст
для данной длины волны со
вокушюсть интерференцион-
интерференционных максимумов, лежащих
на пересечении двух систем
гипербол (см. рис. 70). Для
того чтобы при Я = const
были удовлетворены все три
—г\Х
гтгтг
(ДА
щ
h
Aj
71
t
y~Xt—
терфиринции. j аким uupaJUM, iiucjiu прохождении через про-
пространственную решетку волна, обладающая сплошным спектром,
разбивается па систему монохроматических интерференционных
лучей, дающих на экране (фотопластинке) совокупность сим-
симметрично расположенных интерференционных пятен, и если бы
§ Щ ДИФРАКЦИЯ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ PF1HETKE 123"
мы могли их непосредственно воспринимать глазом, то они пред-
представились бы нам различно окрашенными.
Заметим в заключение, что предыдущие рассуждения при-
применимы для любой длины волны и для решеток с любым рас-
расстоянием между центрами со следующими ограничениями: дли-
длина волны X должна быть меньше параметра решетки а, так как
при Я>й й-~>1,и условия C2.2), C2.7) и C2.6) не могут
быть удовлетворены ни для какой длины волны (косинус не мо
X
л 120° (б).
Для получения пространственной решетки с периодом я, под-
подходящим для дифракции видимого света,- пользуются ультразву-
ультразвуковыми волнами. Ультразвуковые волны в жидкостях и твердых
телах могут быть получены с длиной волны порядка 10~4—
К)-5 см, близкой к длинам воли видимого спектра G-10—3—
4-10~5 см). Поэтому, если образовать стоячие плоские ультра-
ультразвуковые волны в жидкости или в твердом теле, то возникаю-
возникающая система уплотнений и разрежений создает прекрасную ди-
дифракционную решетку для света. Естественно ожидать, что три
ультразвуковые волны, направленные взаимно перпендикулярно
или под какими-нибудь другими углами, дадут пространственную-

124
РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
ЭКСПЁРИМЕ1
IbHOE ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ДИФР,
125
решетку с периодом, подходящим для дифракции видимого
света. Это ожидание действительно оправдывается. На рис. 72
приведены два примера фотографий, полученных при пропуска-
пропускании света через жидкость (ксилол), в которой возбуждались
три ультразвуковые волны одинакового периода: Дифракцион-
Дифракционные пятна видны здесь очень хорошо. Сравнение с рис. 74
(см. ниже), где приведена так называемая дифракционная кар-
картина Лауэ, полученная при пропускании рентгеновских лучей
через кристалл кварца, показывает, что дифракция света на ис-
искусственной пространственной решетке кристалла (а—порядка
10-8 см, т. е. порядка длины волны рентгеновских лучей) дает
совершенно аналогичные картины.
§ 33. Экспериментальное осуществление дифракции
рентгеновских лучей
В предыдущем параграфе мы рассмотрели дифракцию рент-
рентгеновских лучей при помощи метода Лауэ. Экспериментальная
установка для наблюдения дифракции по этому методу очень
проста. Узкий пучок рентгеновских лучей, выделяемый круглым
отверстием в толстом
свинцовом экране В
(рис. 73), проходит через
кристалл д. Возникаю-
Возникающие при этом дифракци-
дифракционные пучки фиксируются
в виде пятен на фотопла-
фотопластинке Р, расположенной
перпендикулярно к пучку
лучей. В качестве приме-
примера фотографий, получае-
получаемых по этому методу, на
рис. 74 приведена карти-
картина дифракции в кристал-
РиС. 73. Схема получения дифракции рентге- ле кварца. На основании
конских луче по метолу ауэ. сказанного в предыду-
предыдущем параграфе для полу-
получения дифракции по методу Лауэ необходимо пользоваться тор-
тормозным рентгеновским излучением, имеющим сплошной спектр.
У. Г. Брэгг и У. Л. Брэгг (отец и сын), а также, независимо
от них, русский физик-кристаллограф Ю. В. Вульф предложили
другой метод рассмотрения и расчета дифракции рентгеновских
лучей. Коротко говоря, этот метод состоит в том, что каждое
пятно рентгенограммы Лауэ рассматривается как результат ин-
интерференционного отражения рентгеновских лучей. Обратимся к
простейшему случаю кубической кристаллической решетки, изо-
^раж'енной на рис. 76.
Представим себе оси координат, проведенные так, чтобы оси
х, (/, г были направлены вдоль ребер куба; тогда расположение
атомов в плоскости ху представится рис. 75. Любая плоскость,
пересекающая кристалл
перпендикулярно к плос-
плоскости ху, оставит в этой
плоскости след в виде
прямой (например, / или
Г, 2 или 2'). Очевидно,
прежде всего, что мы мо-
можем разбить весь кри-
кристалл на ряд плоскостей
/, /', ... или 2,2', ..., па-
параллельных его естествен-
естественным граням. Эти пло-
плоскости будут одинаково
густо усеяны атомами и
будут отстоять друг от
друга на одинаковое рас-
расстояние d равное ребру
элементарной кубической
ячейки. Однако из того рис „„„„,, ре,1тгеяовс„х „учой
же рисунка видно, что в кристалле кварца,
аналогичное разбиение
можно осуществить мно-
множеством других способов. Таковы, например, плоскости 3,3',-..;
4, 4', ...; они отличаются от плоскостей /,/',... и 2, 2', ...
только густотой заполнения
атомами и межплоскостным
расстоянием.
Рассмотрим теперь одну из
таких систем плоскостей, на-
например плоскости, параллель-
параллельные естественной грани (т. е.
/, /', ... или 2, 2', ...). Пусть
на них падает параллельный
пучок монохроматических лу-
лучей с длиной волны Я. Рассмат-
Рассматривая атомы как центры новых
когерентных элементарных
волн, мы получаем для каждой
из плоскостей отражение ну-
нулевого порядка под углом,
равным углу падения. При
этом отражение для одной единственной плоскости будет ^про-
^происходить совершенно одинаково для любой длины волны, так
. 75 Сет

j2
ВСКИЕ ЛУЧИ
[ГЛ. I
Брэг
как длины путей для всех лучей между собой равны, а следова-
следовательно, и разности хода всегда равны нулю. Примем теперь во
внимание, что отражение происходит не от одной плоскости, но
от системы равноотстоящих плоскостей. В этом случае картина
осложняется интерференцией когерентных лучей, отраженных от
различных плоскостей, и отражение на самом деле получится не
для любой длины волны,
а только для некоторых,
вполне определенных.
Действительно, лучи / и
л-j 2 (рис. 76), отраженные
а От плоскостей / и II, име-
• «-1 ют разность хода, равную,
как легко усмотреть из
• • чертежа, 2dsinO, где О —
угол скольжения, т. е. до-
" • полпение до 90° к углу
Вульфа — падения. Поэтому отра-
отражение будет иметь место
только для тех волн, для
которых эта разность хода равна целому числу длин волн. Итак,
для интерференционного отражения рентгеновских лучей долж-
должно быть соблюдено условие
Это и есть формула Вульфа — Брэгга, лежащая в основе всей
спектроскопии рентгеновских лучей.
В действительности отражение происходит от многих плоско-
плоскостей, т. е. интерферируют между собой не два пучка, но много
пучков. Однако влияние этих многократных отражений не ме-
меняет условия максимума интерференции, а совершенно так же,
как в оптике*), сказывается только в том, что вместо широких
интерференционных полос получаются узкие линии, т. е. оказы-
оказывается очень благоприятным для применения этого метода в
спектроскопии рентгеновских лучей. Условие же C3.1) для от-
отражения остается без изменения.
Мы рассматривали до сих пор отражение от системы плоско-
плоскостей, параллельных естественной грани кристалла. Ничто не ме-
мешает нам, однако, рассматривать с теми же результатами и
отражения от других систем плоскостей, вроде 3, З1, ...; 4,4\ ...
и т. д. Можно показать совершенно строго**), что каждое пят-
Лу
^Г
Госте
it J С Vil^ 13 U Ди j| |j
Г Б Бойкий М А. Пора
МГУ 1964 182)
например, Г Б Бойкий М А.
анализ, Йзд во МГУ, 1964, стр. 182).
нздат, 1957,
в 33)
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ <
¦ ДИФГ4К1ШИ
127
но рентсенограммы Лауэ является результатом интерференцион-
интерференционного отражения от определенной системы сетчатых плоскостей.
Таким образом, метод Вульфа — Брэгга, как способ рассмотре-
рассмотрения, эквивалентен методу Лауэ. Однако метод Вульфа — Врэг-
га имеет и большое само-
самостоятельное значение вви-
ввиду того, что он, как уже
указывалось, лежит в ос-
основе спектроскопии рент-
рентгеновских лучей, а так-
также—одного из наиболее
плодотворных методов 1 ^Н="-"
анализа кристаллов.
Простейшая схема
рентгеновского спектро-
спектрографа изображена на
рис. 77. Параллельный
пучок рентгеновских лу-
лучей падает па кристалл К,
расположенный на вра-
вращающемся Столике; Рис. 77.
FPF'' — фотопленка. Вме-
Вместо фотопленки иногда
применяется ионизационная камера,
Временно с кристаллом на двойной угол '(объяснить почему!).
Сила ионизационного то-
тока, возникающего в каме-
камере под действием рентге-
рентгеновских лучей, является
мерой интенсивности этих
лучей. Если излучение об-
обладает линейным спек г-
ром и состоит из несколь-
нескольких длин полн },и >.2 ...,
то каждая длина волны
будет отражаться при
своем угле О, определяе-
определяемом формулой Вульфа —
Брэгга. Таким образом,
кривая интенсивности
рентгеновских л^чей в за-
зависимости от угла поворо-
поворота кристалла будет иметь ряд максимумов, которые должны по-
повториться в различных порядках отражения. На рис. 78 приведен
пример такой кривой, полученной при отражении от кристалла
КаС! излучения рентгеновской трубки с платиновым антикатодом.
графя.
поворачивающаяся одно-

t АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
: длины волны спект!
и с. 79.
Три резких максимума этой, кривой Аи В,, С,, последовательно
повторяющихся в трех порядках отражения, соответствуют трем
спектральным линиям платины Ка, Кр и Xv. To обстоятельство,
что интенсивность от-
отражения вне линий не
равна пулю, но си-
систематически возраста-
возрастает при уменьшении уг-
угла отражения, имеет
следующую простую
Причину: при бомбар-
бомбардировке платинового
антикатода электрона-
электронами, кроме характери-
характеристического излечения,
возникает еще и тор-
тормозное излучение, ко-
торое имеет сплошной
спектр. Благодаря это-
этому спектральные линии
иирищлид. платины накладывают-
накладываются на сплошной фон.
Примеры фотографий рентгеновских спектров приведены ниже
на рис. 84 и 85.
Кроме рассмотренных двух методов получения дифракции
рент1еновских лучей, существует еще третий метод— метод
кристаллических порош-
порошков, получивший весьма
широкое применение в
анализе строения твердых
тел при помощи рентге-
рентгеновских лучей. В этом
методе, предложенном
Дебаем и Шеррером. вме- -
сто больших кристаллов,
необходимых для приме-
применения методов Лауэ и
Вульфа — Брэгга, исполь-
используется но возможности
мелко растертый кристал- А'
лический порошок, спрес-
спрессованный в цилиндриче- Рис- 80-
ский столбик (/Сна рис.79).
Если Пропустить через тэкой столбик монохроматическое рент-
рентгеновское излучение, то вследствие полной хаотичности в ориен-
ориентировке микрокристаллов порошка в столбике всегда найдутся
кристаллики, расположенные по отношению к лучу под углом,
удовлетворяющим условию Вульфа — Брэгга для данной длины
волны. При этом отраженное лучи идут по поверхности конуса
с углом при вершине, равным 20 (рис. 80). Если окружить стол-
столбик фотопленкой, как показано на рис. 79, то эти конусы оставят
на пленке следы в виде кривых линий, каждая из которых соот-
соответствует определенной длине волны и определенному порядку
отражения. Пример такой фотографии, полученной по методу
кристаллических порошков, приведен на рис. 81.
1
Рис. 81. Дифракция рентг
лучей в пристал-
1 порошке \'аС1,
Огромное преимущество метода кристаллических порошков
состоит именно в том, что он не требует больших кристаллов
безукоризненного качества. Лишь немногие вещества в природе
встречаются в виде таких кристаллов, а выращивание кристал-
кристаллов удается далеко не во всех случаях.
с длиной волны 1,542 А (линии К'а меди) от естественной грани крнсгалла
каменной соли происходит при угле скольжения 15° 15'. Определить вели-
величину й для NaCl
§ 34. Определение длины волны рентгеновских
спектральных линий
Уравнение Вульфа — Брэгга C3-1) позволяет определить
длину волны рентгеновских лучей по углу отражения О, если из-
известна величина d—расстояние между соседними атомными
плоскостями в кристалле. Эта величина может быть вычислена
независимым путем следующим образом. Пусть мы имеем кри-
сталл правильной системы, т. е. такой, элементарная ячейка
которого имеет форму куба. Примером может служить кристалл
каменной соли (NaCl). Одна грамм-молекула NaCl имеет массу
М = 58,454 г и в ней заключается число молекул NaCl, равное
постоянной Двогадро N; поэтому число ионов Na+ и С1~
в ней будет равно 2N.
Рассмотрим элементарную ячейку кристалла NaCl. Изучение
структуры этого кристалла показало, что в вершинах элемен-
элементарного куба располагаются не молекулы NaCl, но ионы Na+ н
С1~ (рис. 82). Таким образом, в 8 вершинах кубической ячейки
помещаются 8 ионов, но так как каждая из вершин является
общей для 8 соседних ячеек (это хорошо видно на рис. 82 для

РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ 1
[ГЛ 1
центрального иона О), то на каждою ячепку прплодится по
одному иону. Если длина ребра ячейки равна d, то объем'ее
будет d3, а весь объем одной грамм-молекулы, заключающей 2.V
ионов, будет 2iVd3L С другой стороны, тот же обьсм равен отно-
отношению массы М к плотности Кристалла р, и мы получаем
2/Vd3 = — или
\y
/
/
.
у
/_
-—
у
Ч
У
У
у
/
1
Из этой формулы видно, что правильность определения d, a
следовательно, и h существенно зависит от достоверности зна-
знания постоянной Авогадро. Вопрос эгот
имеет большое значение для атомной
физики, и мы к нему еще вернемся в
§ 38. Пока же заметим, что если при-
принять для dNaci стандартное значение
d = 2,8l400A,
то для длины волны линии Ка! меди
получается
h = A,537302 ± 0,000031) ¦ Ю см.
Как видно, точность настолько вы-
высока, что 1 А(= 10~8 см) оказывается
здесь неудобной единицей, так как чис-
число достоверных десятичных знаков по-
получается слишком большим*), Поэто-
Поэтому в спектроскопии рентгеновских лу-
лучей в большинстве случаев применяется другая единица, назы-
называемая X-единицей:
1Х=ЮЛ= КГ11 см. C4.2)
В этих единицах написанная выше длина волны изобразится
числом
Л = A537,302 + 0,031) X.
§ 35. Спектры рентгеновских лучей
На рис. 83 дана схема рентгеновских спектров элементов, от
кислорода до урана. Уже беглый взгляд на этот рисунок обна-
обнаруживает замечательную особенность рентгеновских спектров —
шетка хлористого ват
юра (СГ); черные круж-
кружи (N-
*) Следует, о.
'ЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
131
их простоту и единообразие, В то время как оптические спектры
нередко очень сложны и иногда состоят из сотен или даже ты-
тысяч линий (например, спектр железа), рентгеновские спектры
характеризуются малым числом линии. При переходе от эле-
элемента к элементу оптические спектры резко изменяются, обна-
обнаруживая в своей структуре периодичность, идущую параллельно
g
'
л,
i
Л
Y
I
8В
32
-
i
1
1Г
IL
1
L
М
>
1 1
l\
_L_
__
J. L
_ГЦ1„
__
-I-1
Li»
E
ll
-1-
1
1
L
1
„...
—I'-
—I'1
| >
|-j ¦
-r
1
-
—\—
\
-
1 '
-*4-
¦
-v-
-r-
r
|
4-
1
-1
с периодичностью остальных свойств элементов; напротив, рент-
рентгеновские спектры построены совершенно однотипно, никакой
периодичности не показывают и единственное изменение, кото-
которое наблюдается при переходе от легких элементов к тяжелым,
заключается в монотонном смещении линий в сторону корот-
коротких волн. Наконец, как уже было указано в § 29, рентгеновские
спектры являются чисто атомным свойством и в первом прибли-
приближении вовсе не меняются, когда атом вступает в какое-либо
соединение.
Как мы увидим далее, эта резкая разница в характере опти-
оптических и рентгеновских спектров обусловлена тем, что те и дру-
другие спектры возникают в разных частях атома; оптические спек-
спектры обусловлены движениями периферических электронов, в то

Рис. 83 пока;
трах собраны в
132 . РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ [ГЛ [V
время как рентгеновские спектры возникают во внутренних ча-
ывает также, что линии в рентгеновских спек-
гесколько групп или серий. Самая коротковол-
коротковолновая из этих серий называется се-
серией К, следующая в сторону длин-
длинных волн — серией ?., далее идут се-
серии М и JV, наблюдаемые, впрочем
только у тяжелых элементов. В дей-
действительности, оказывается, что все
эти серии имеют естественное про-
продолжение в оптической части спект-
спектра, однако соответствующие линии
возбуждаются лишь при совершен-
совершение но особых условиях. Из всех серий
рентгеновских спектров наиболее
простой структурой характеризуется
серия /С. Она состоит из трех линий,
которые принято называть Ка, Кц и
/Су. Линия Ка — самая длинноволно-
длинноволновая и вместе с тем наиболее яркая.
Она япляется отчетливо разделяю-
разделяющимся дублетом и состоит из двух
компонент щ и а,ъ. Линия /Ср —
следующая по длине волны и по
интенсивности; она также является
дублетом, но очень тесным и не во всех случаях разрешенным.
Линия /Су —самая коротковолновая.
1
в/В Of
I
II
1
I
III
Рис. 84. Спектры К -серии н<
Рис 85. Фотография спектра L-серия вольфрямя.
Типичным примером серии /С может служить спектр родия,
изображенный на рис. 63. Здесь видно, что эта серия состоит из
трех линий —/Ся, /Ср, /Су- Как уже было сказано, линия Ка яв-
является дублетом, т. е. состоит из двух тесно расположенных
§ 36. Закон Мозели
При исследовании рентгеновских спектров элементов Мозели
A913—1914 гг.) установил простой закон, связывающий частоту
спектральных линий с атомным номером испускающего их эле-
элемента.
р
мента.
Эта закономерность бросается
ении рис 83 Здесь спекы ас
глаза при простом рассмо-
рассмоожен о шкале длин волн,
Эта закономерность бросается в глаза при простом рассмо
трении рис. 83. Здесь спектры расположены по шкале длин волн,
которые нанесены на горизонтальной оси, а по вертикальной
оси отмечены атомные номера. Так как все спектры совершенно
однотипны, то можно проследить смещение какой-нибудь опре-
определенной линии (например, одной из линий серии К) при уве-
увеличении атомного номера. При этом легко заметить, что кривая,
представляющая зависимость длины волны От атомного номера,
имеет вид параболы. Более простая закономерность получается,
если вместо длин волн рассматривать частоты с/К или просто
обратные длины волн 1/Х. Тогда оказывается, Что квадратный
корень из обратной длины волны, ]/1Д, связан с атомным но-
номером линейной зависимостью. Особенно интересный и теорети-
теоретически важный вид приобретает эта закономерность, если ввести
в рассмотрение еще универсальную константу, входящую во все
спектральные законы,— так называемую постоянную Ридбер-
га R, равную 109 737,42 см~1 (см, гл. VH1). Мозели показал, что,
например, для линии Кг,, число Q%a, построенное следующим об-
образом:
1 V
<36Л>
где vK = -—, на единицу меньше атомного номера
QKa = Z — \. C6.2)
Это видно из таблицы IX.
/"*
Из C6.1) и C6.2) получаем 1/ -j~=Z— 1, что можно
представить в виде
Х = «(г-1)'(-гг--5-). C6.3)

HHF КОНСТАНТЫ
Ca
Ti
V
Cr-
Mn
19,00
20,99
21,90
22,98
23,99
2A
22
23
24
25
Fe
Ni
Zn
2199
23,00
27 01
28,01
29,01
2
26
27
28
29
30
Аналогичные соотношения имеют место и для линий других
серий рентгеновского спектра. Например, для серии L соотно-
соотношение Мозели имеет вид
vt = «(Z-cr)>D--^-), C6.4)
где о — некоторое постоянное число.
Формулы C6,3) и C6.4) уже своим симметричным видом
показывают, что мы имеем дело с какой-то существенной зако-
закономерностью принципиального характера. В дальнейшем мы
усидим, что эти формулы являются частными случаями общих
формул спектральных серий, имеющих ясное теоретическое ис-
истолкование. Здесь же важно отмстить, что закон Мозели для
всех серий рентгеновского спектра устанавливает линейную
связь между квадратным корнем из обратной длины волны
спектральных линий и атомным номером (рис. 86). Эта связь
позволяет по измеренной длине волны точно установить атом-
атомный номер данного элемента, а следовательно, — заряд его
ядра.
Значение этого закона сделается особенно ясным, если при-
принять во внимание, что расположение элечентоп в периодической
системе, основанное иа атомных весах и химических свойствах
элементов, далеко не во всех случаях было сделано с полной уве-
уверенностью. В различных частях периодической таблицы были
пустые места, отвечающие неоткрытым элементам; далее, уча-
участок от Z = 58 до Z = 71 (во время Мозели считалось до Z =
= 72) занят элементами редких земель, химические свойства
которых различаются настолько мало и атомные веса которых
нередко были настолько недостоверны, что правильность их
расположения по порядку возбуждала большие сомнения. За-
Закон Мозели устранил все эти затруднения. Он показал с полной
определенностью, что между водородом и ураном должно су-
существовать ровно 92 типа атомов с различными атомными но-
номерами, и тем самым точно указал число еще неоткрытых в то
§36]
135
время элементов. Кроме того, он устранил |акже всякие сомне-
сомнения в Правильности размещения тех элементов, которые были
расположены Менделеевым в порядке, противоречившем значе-
значениям их атомных весов (Со—Ni, Аг—К, Те—1). Вместе с тем
этот закон впервые показал, что не атомный вес, но атомный чо-
мер, равный заряду ядра, определяет химическую индивидуаль-
индивидуальность атома. Этот вывод нашел замечательное подтверждение
в открытии изотопов.
Заметим в заключение, что в этом законе очень отчетливо
выражена одна существенная особенность, характерная для
рентгеновских лучей: рентгеновские спектры изменяются моно-
монотонно при изменении атомного номера Z. С этим следует со-
посгавить тот факт, что многие свойства атома, как, напри-
например, химическая вален iноет ь, удельньш объем и ряд других
свойств, указанных в § 12, изменяются периодически с увели-
увеличением Z.
Рис. 87, где па одном чертеже представлены прямые, выра-
выражающие закон Мозели, и кривая атомных объемов, имеющая
ряд ррзких максимумов и минимумов, подчеркивает эту особен-
особенность рентгеновских лучей особенно ярко.
Объяснение этого различия состоит в том, что рентгеновские
спектры, как мы увидим в главе второго тома, возникают во
внутренних частях атома и показывают, таким образом, что эти

136 РЕНТГЕНОВСКИЕ ДОЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ
§37] АБСОЛЮТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ 137
внутренние, ближайшие к ядру области атома обладают у раз-
различных атомов одинаковой структурой, в то время как внешние,
периферические части атома характеризуются периодически по-
повторяющейся структурой.
§ 37. Абсолютное определение длины волны
рентгеновских лучей
Показатель преломления рентгеновских лучей очень мало от-
отличается от 1. Долгое время думали даже, что рентгеновские
лучи вообще не преломляются. Однако было замечено, Что для
рентгеновских лучей большой длины волны B—3 А) наблю-
наблюдаются систематические отступления от формулы Вульфа —
Брэгга, которые были истолкованы как следствие того, что
рентгеновские лучи испытывают преломление в кристалле (при
выводе формул bj Вульфа —Брэгга показатель преломления
принимается равным 1!), Характер этих отступлений указывал
на то, что показатель преломления рентгеновских лучей при пе-
переходе из воздуха в кристалл меньше 1. Из этого следовало,
что рентгеновские лучи при переходе из воздуха в твердое тело
могут испытывать полное отражение совершенно аналогично
тому, как свет при переходе из стекла в воздух при углах паде-
падения, больших критического, испытывает полное отражение, на-
называемое обычно внутренним. А, Комптон в 1923 г, показал, что
полное отражение рентгеновских лучей при переходе из воздуха
в твердое тело действительно наблюдается, и, определив крити-
критический угол, нашел показатель преломления. Для длины волны
1,279 А критический угол в случае кронгласа с плотностью 2,52
оказался равным 11', что соответствует показателю преломле-
преломления, меньшему 1 на 5 ¦ 10 (т. е. ц = 0,999995),
Это открытие показало, что возможно получение спектров
рентгеновских лучей от обыкновенной дифракционной решетки,
если ею пользоваться как отражательной решеткой при углах
падения, больших критического, т. е, при очень маль:х углах
скольжения. Так как максимальный угол полного отражения
для различных длин волн и различных веществ меняется в пре-
пределах от Ю' до 3°, то дифракционные решетки, которыми над-
надлежит пользоваться в случае рентгеновских лучей, должны быть
грубее, нежели решетки, обычно применяемые в оптике. Это
может показаться на первый взгляд парадоксальным, однако,
следует иметь в виду, что при малых углах скольжения О
решетка с периодом d действует как решетка с периодом dsinfl
при нормальном падении лучей*), Так как сицус 10' равен
Г. с Л а
сбер г, Оптцк;

13!
РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСтАНТЫ
3-10 3, то эффективный период даже очень грубой решетки при
таких углах скольжения становится настолько малым, что по-
получается возможность наблюдать дифракцию рентгеновских лу-
лучей. Так, например, при таком угле решетка всего с 50 линиями
на мм действует, как ре-
решетка с 17000 линий на
мм, а лучшие современ-
современные решетки имеют 1200
линий на мм\
Иа рис. 88 изображена
схема опыта для получе-
получения дифракционных спек-
спектров от оптической решет-
решетки, а на рис. 89 приведе-
приведены фотографии спектров
серии К меди (длины волн
1,392 А и 1,542 А) и хрома
(длины волн 2,084 А и
2,291 А), полученные с ре-
решетками с числом линии,
юй решс-ткн. (Ширина
0,01 мм, расстоян
указанных в подписи
(наибольшее число линий —287 на мм). Цифры 1, 2, 3, ... озна-
означают порядок спектра.
Для определения длин волн по этим спектрам пользуются
уравнением дифракционной решетки при косом падении лу-
лучей *)
где i — угол падения, а г — угол дифракции. Заменяя углы i и г
углами скольжения 0 и а, показанными на рис. 88, получаем
уравнение решетки в том виде, в каком им практически поль-
пользуются в спектроскопии рентгеновских лучей,
rf[cosO — соз(О + а)] = н>„ C7.1)
C7.1')
Это уравнение позволяет производить абсолютное определение
длины волны рентгеновских лучей, Т- е. определение, не зави-
зависящее от знания каких-либо констант, получаемых косвенным
образом (ср. § 34). Действительно, постоянная дифракционной
*) T.C.J
§37]
АБСОЛЮТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИЦЫ ВОЛНЫ
решетки d может быть либо измерена непосредственно компа-
компаратором, либо определена обычным в оптике способом, т. е.
путем градуировки решетки по одному из спектроскопических
стандартов, а углы 0 и а непосредственно измеряются с высокой
степенью точности. Практически для определения й пользова-
пользовались зеленой линией спектра паров меди X = 5153,25 А. Точ-
Точность таких абсолютных измерений длин волн рентгеновских
лучей была оценена в 0,002—0,004%.
за): D- прямой ,
епие). Фотограф!
дифракционной решетки (yi"
уч; 0 — нулевой порядок (лу
['сток, имеющих Ш, 287; 60
К изумлению исследователей оказалось, что для одних и тех
же спектральных линий длины волн, измеренные с помощью
кристаллов, отличаются от длин волн, измеренных абсолютно,
в одну и ту же сторону в среднем на 0,15%, т. е. на величину,
превосходящую ошибку измерения почти в 100 раз!
После длительных безуспешных попыток отыскать источник
ошибки в измерениях длин волн по методу кристаллов, рещтено-
спектроскописты пришли к заключению, что источник этот —
не в измерениях, а в принятом в то время A931—1935 гг,) зна-
значении постоянной Авогадро, знание которой необходимо для
вычисления постоянной кристалла d по формуле C4.1). Целе-
Целесообразно поэтому рассмотреть методы определения постоянной
Авогадро, что и будет сделано в следующем параграфе.

к. 90. Набль
§ 38. Определение постоянной Авогадро и заряда электрона
Прямой метод определения постоянной Авогадро N основан
на изучении брауновского движения. При этом обычно либо
находится распределение по высоте микроскопических частиц
эмульсии, либо измеряется средний квадрат смещения частицы,
совершающей брауиовское движение в жидкости или 'в газе
(в частности, такие определения производились с масляными
капельками в конденсаторе Милликэна). Однако точность этих
определений невелика: значе-
значение Л', полученное в классичес-
классических работах Перрена, отли-
отличается от современного стан-
стандартного значения на 25%. Го-
Гораздо более точные результаты
были получены при изучении
вращательного брауновского
движения. Если подвесить
¦-.. очень легкое зеркальце на тон-
Г|.и|. 1.1ии^ jiii11 кой кварцевой нити и наблю-
наблюдать на достаточно удаленной
подвешенного шкале за отраженным от зер-
зеркальца вследстзне Срауновского кальца лучом Света (рис. 90),
вращательного движения. то зайчик не остается на месте,
но совершает нерегулярные ко-
колебания около положения равновесия. Это «непостоянство нуля»
подвешенной системы есть результат вращательного брауновско-
брауновского движения под действием ударов со стороны молекул воздуха.
Так, например, с зеркальцем размером 0,8X1,6 мм, подвешен-
подвешенным на кварцевой нити толщиной в несколько десятых микрона,
на шкале, отстоящей от зеркальца всего на 1,5 м, наблюдались
смещения зайчика в несколько сантиметров.
Согласно одной из важнейших теорем классической статисти-
статистической механики — так называемой теореме о равномерном рас-
распределении энергии по степеням свободы (см. § 85)—средняя
кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы,
равна '/г kT, где k — постоянная Больцмана, равная универ-
универсальной газовой постоянной #, деленной на постоянную Аво-
Авогадро N:
k = RIN. C8.1)
При этом совершенно безразлично, какова именно эта сте-
степень свободы: для едноагомной молекулы газа, совершающей
поступательное движение, степени свободы суть декартовы ко-
координаты центра тяжести молекулы, а для системы, способной
совершать вращательные колебания около неподвижной оси,
единственная степень свободы Характеризуется углом закручи-
ЛОЯННОЙ ДВОГАДРО I
а)
- вания ф. При тепловом равновесии при температуре Т средняя
кинетическая энергия поступательного движения молекулы воз-
воздуха, приходящаяся на одну степень свободы, и средняя энер-
энергия брауновских вращательных колебаний зеркальца, подве-
подвешенного в воздухе, одна и та же и равна '/г kT. Кинетическая
энергия этих вращательных колебаний равна '/г-Лр2, где J —
момент инерции. При закручивании нити на угол ф возникает
потенциальная энергия, равная 7г-4ф-, где А — некоторая упру-
упругая константа нити. Для ма-
лых колебаний средняя ки-
петическая энергия равна
средней потенциальной (см.
§ 46), так что
А/ф5 = ±Лф» C8.2)
По теореме о равномерном
распределении энергии
±А? = ±кТ. C8.3)
Таким образом, зная упру-
упругую константу А и среднее
значение <р3, можно непо-
непосредственно найти fe, а отсю-
отсюда по C8.1) вычислить N.
Опыты с вращательным
брауновским движением для
ТОЧНОГО определения N были^.
Произведены С большой тща-
тельностью Капплером. От-
клонения зеркальца реги-
регистрировались фотографически на движущейся фотопленке. При-
Примеры таких регистрационных кривых, полученных в различных
условиях, приведены на рис. 91- Интересно отметить, что при
атмосферном давлении (кривая 91, а) колебания зеркальца со-
совершенно хаотичны, но по мере понижения давления (кривые
91,6 и 91, в) колебания все более приближаются к синусоидаль-
синусоидальным с периодом, соответствующим собственным колебаниям кру-
тильного маятника, каковым является зеркальце. Существенно,
однако, что во всех случаях средняя величина <р2 остается одной
и той же.
Регистрируя подобным образом колебания зеркальца в те^
чение 101 часа при температуре 287° К, Капцлер нашел, что ф2
при этих условиях равен 4,178-Ю радиан. Постоянная круче-
кручения нити А была определена в отдельном опыте с точностью до
в)
с_ gj_ Брауне
шенного аерк
сферное; 6} дав
в) да-

±0,2%, В результате было получено для Л' значение jV =
= 6,059-10" с точностью, которая была оценена в ±1%,
Эта точность, однако, не удовлетворяет тем высоким требо-
требованиям, которые предъявляются в настоящее время к значе-
значениям основных универсальных констант. Более точное стандарт-
стандартное значение N находится, однако, косвенным путем. Заряд
электрона может быть выражен как частное от деления заряда
Фарадея F на постоянную Авогадро Л' (см. § 1):
Так как из опытов Милликэна заряд е считался известным с до-
Статочной точностью, то jV находилось по данным е и F:
Таким образом, точность определения Л' зависела от точности,
с какой известен заряд электрона. Систематическое расхождение
величин л, найденных при помощи дифракционной решетки и
при помощи кристалла, дало толчок к проверке результатов
Милликэна, так как в формулу C4-1), при помощи которой вы-
вычисляется постоянная кристалла d, входит N. Оказалось, как
уже было указано в § 3, что результаты Милликэна испорчены
недостаточно точным значением вязкости воздуха ц, которое он
использовал в своих расчетах.
Единственный выход из затруднения состоял в том, чтобы
постоянную кристалла d определить экспериментально по аб-
абсолютному значению длины волны, подобно тому пак в оптике
градуируются дифракционные решетки.
В самом деле, если известна абсолютная длина волны "к,
найденная при помощи отражательной решетки, и если опре-
определить при помощи рентгеновского спектрографа с кристаллом
угол-ф, при котором получается отражение этой длины волны
в первом порядке, то по формуле Вульфа —Брэгга
можно определить постоянную кристалла d. Подобное опреде-
определение постоянной решетки кальцита (СаСО3), обычно приме-
применяемого в рентгеновской спектроскопии, после внесения необхо-
необходимых поправок (в том числе поправки на показатель прелом-
преломления рентгеновских лучей) дало величину d Для 18° С:
d=~3,03560- 10~8 см.
Зная эту величину, можно найти постоянную Авогадро следую-
следующим образом; из формулы C4.1) следует, что для кристалла
УДЕЛЬНЫЙ ЗАРЯД Е
правильной системы (NaCl)
В случае качьцита, у которого элементарной ячейкой является
не куб, а ромбоэдр, формулу C8.4) следует немного изменить.
Если р есть тупой угол между ребрами ромбоэдра, р«101°54',
то объем элементарной ячейки будет с"* ""
C8.5)
и формула C8.4) примет вид
Если подставить сюда точные данные для всех величин!
М = 100,090 (но химической шкале); 4#> = 3,0356- !0"8 см\
р20о= 2,71025 и Ф(Р) = 1,00595, то для N получается
^ = F,0228 + 0,0011)- 1023 C8.6)
— величина, существенно отличающаяся от принятого ранее
стандартного значения F,06- Ю23)*
Зная постоянную Авогадро, можно вычислить и заряд злек-
трона но формуле е = F/N. Заряд Фарадея, т. е. количество
электричества, переносимое при электролизе одним грамм-экви-
грамм-эквивалентом любых ионов, по наиболее точным определениям равен
(по химической шклле)
F = B,89247 ± 0,00030) -10" СГСЭ -г-экв~'.
Комбинируя это число со значением jV C9,6), получаем точ-
точное значение заряда электрона
е = D,8025 ± 0,0010) ¦ ИГ10 СГСЭ,
§ 39. Удельный заряд электрона
Изучение рентгеновских спектров открывает новую возыож
ность и для точного определения удельного заряда электрона
(>/ш, Электронная теория дисперсии приводит к следующему вы-
выражению для показателя преломления в случае слабо связанных
электронов и достаточно жестких рентгеновских лучей;
C9.1)
где гс —число элеьгропов в 1 смъ и v — частота рентгеновских
лучен. Число элек:ронов п можно • выразить следующим

144 ' РЕНТГЕНОВСКИЕ ЛУЧИ И АТОМНЫЕ КОНСТАНТЫ [ГЛ. IV
образом: число электронов в одном моле вещества с атомным
номером Z равно NZ, а в 1 см3
« = f,, C9.2)
где М — атомный вес. Если е выражено в электростатических,
a F — в электромагнитных единицах, то Ne = Fc; заменяя v
через с/К получаем из C9.1) и C9.2)
откуда, обозначая 6 = 1 — р., находим
е 2яМ
¦'. C9.3)
Отсюда следует, что для определения е/т (т. е. удельного за-
заряда в электромагнитных единицах) достаточно определить точ-
точно б и абсолютную длину
^^^^^^^^^^ц^^^^^^^^ волны рентгеновских лучей.
Для этой цели был исполь-
использован спектр рентгеновских
лучей, полученный с по-
помощью призмы, которой слу-
служил большой алмаз (весом
Рнс. 92. Призматический спектр К-се- 13 карат). На рис. 92 приве-
приверни меди. дсн С11ектр излучения К-се-
рии меди, полученный с та-
такой призмой. Определение длин волн по этим спектрам дало ре-
результаты, хорошо согласующиеся с найденными из измерений
с дифракционной решеткой. Определив, кроме того, точнейшим
образом плотность алмаза [при этом получилось
р= C,5154 ± 0,0001) г-см-3]
и воспользовавшись формулой C9.3), Бэрден нашел для е/т
^-=A,7601 ±0,0003)- Ю'СГСМ-г
— число, близкое к полученному из непосредственных опреде-
определений (см. §§ 7, 8).
СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
А. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА И СТРОЕНИЕ АТОМА
§ 40. Атомные модели
В предыдущих главах мы привели доказательства того, что
атом представляет собою сложную систему, состоящую из по-
положительного электричества и Z электронов. На первых стадиях
развития теории строения атома предполагалось, что вся эта
система является статической. Для того чтобы можно было
рассматривать электроны как частицы, находящиеся в равно-
равновесии, пришлось допустить, что положительное электричество
р1спредслено сплошным образом и занимает сферу с радиусом
порядка радиуса всего атома, т. е. 1(Н см, а электроны как
бы плавают в «облаке» положительного электричества. Ис-
Испускание света атомом рассматривалось как результат малых
колебаний электронов около их положений равпопесия {модель
Дж. Дж. Томсона). Однако опыты с рассеянием п-частиц, для
объяснения которых потребовалось введение гипотезы о су-
существовании очень малого положительного - ядра (порядка
10~12—10~13 см), где сосредоточена пс5чти вся масса атома, за-
заставили совершенно отказаться от статической модели и перейти
к модели планетарной, т. е. рассматривать электроны как
частицы, обращающиеся вокруг ядра по определенным ор-
орбитам.
В этой главе мы займемся рассмотрением того формального
аппарата, который дает классическая физика, —а именно, клас-
классическая механика и электродинамика,—для теоретического
изучения проблемы строения атома, и, кроме того, рассмотрим
основные выводы, к которым она приводит. При этом вместо
того, чтобы рассматривать атомные системь1 во всей их слож-
сложности, мы будем пользоваться простейшими механическими мо-
моделями. Образцом системы, совершающей колебания, будет для
нас служить частица, колеблющаяся по прямой — линейный
осциллятор; образцом системы, в которой происходит обраще-
обращение около неподвижного центра, б^дет служить электрон, обра-
обращающийся вокруг положительного ядра.

§ 41. Закон сохранения энергии в механике
В основе классической механики лежат ньютоновы «аксио-
«аксиомы, или законы движения». Математическая формулировка в
виде уравнений движения вытекает, как известно, из второго
закона, согласно которому производная по времени от коли-
количества 'движения равна приложенной силе. Для одной частицы
этот закон дает три дифференциальных уравнения
*L-X. %--Y. %-Z, D1.1,
где X, Y и Z—проекции силы на оси координат. Эти три ска-
скалярных уравнения можно заменить одним векторным
p = F D1.2).
(производную по времени мы будем обозначать точкой).
Уравнение движения, написанное в форме D1.2) с произ-
производной от количества движения в левой части, пригодно как
для случая малых скоростей (по сравнению со скоростью света),
так и для больших (v/с ~ 1). Но только в том случае, когда
vjc С 1, массу можно считать не зависящей от скорости, и про-
производная P=~5<~(mv) в этом случае есть просто rav или mt,
где г — радиус-вектор, определяющий положение частицы. При
этом условии для малых скоростей три скалярных уравнения
D1.1) можно написать в обычном виде
at1
43-=2.
'dp
leKTopnoe уравнение D1.2) —в виде
tnr = F.
D1.Г)
D1.2')
Умножим теперь уравнение D1 2') скалярно на скорость г:
m'rf = Fr. D1.3)
Левую часть полученного равенства преобразуем так:
Т = j mv2 = -i- ray2 = j m (х* + f + i2) D1.4)
называется кинетической энергией. Итак, в левой части D1.3)
мы имеем производную по времени от кинетической энергии
т'гг = ^-. D1.5)
5 4Ц ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ ] [J
Из D1.3) и D1.5) получаем
dT = Frdt = Fdr. D1.6)
Но Fdr есть работа силы на элементарном перемещении dr,
следовательно, работа силы равна приращению кинетической
энергии.
Во многих сл>чаях составляющие силы мог\т быть выра-
выражены как взятые со знаком минус частные производные по ко-
координатам от-некоторой функции координат Vх):
dU
дх '
in, в векторной форме,
В этом случае
= - gradt/.
= —7Г, D1.7)
D1.70
Если U есть функция одних только координат, то в правой ча-
части D1.8) мы имеем полный дифференциал
Работа силы на элементарном перемещении dr будет тогда
а работа силы на конечном пути от точки А до точки В
J F ^г = — J d?/
Если U есть, кроме того, функция однозначная, то работа силы,
как видно, пе зависит от пути и равна разности значений U
в начальной и конечной точках пути. Функция V, обладающая
свойством, выраженным равенствами D1.7), вообще называется
потенциальной функцией. Если она не зависит явно от времени
и является однозначной функцией координа'1, то она называется
потенциальной энергией.
X—Q, Г = 0, Z = - 4^-

СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Из D1.3), D1.5) и D1.9) следует
), D1.10)
откуда
r + f/ = const^?. D1-11)
Это и есть механический закол сохранения энергии: сумма ки-
кинетической и потенциальной энергий есть величина постоянная.
Поле сил, имеющих потенциал V, не зависящий явно от вре-
времени, называется консервативным.
Бывают, однако, случаи, когда функция V, обладающая
свойством D1.7), существуеьно она зависит от времени *). Рас-
Рассмотрим, например, движение заряженной частицы внутри кон-
конденсатора, между пластинами которого имеется разность элек-
электрических потенциалов V, периодически меняющаяся со вре-
временем, например по закону косинуса V = V'o cos со?..Произведе-
со?..Произведение заряда е на V
обладает тем свойством, что сила, действующая на частицу со
стороны поля в каждый момент, есть градиент V:
F= — gradf/,
но функция U, а вместе с ней и сила F явно зависят от времени.
Сумма Т -\- V в этом случае не имеет постоянного значения.
В самом деле,
*-&1__ди_ . (_dU_ dx_ ,
dt dt ' \ дх ~dt '
Следовательно, D1.8) теперь дает
р ¦ dU
гг~ dt '
и вместо D1.10) мы получаем
dV_dy_
ду dt "
dV dz\
дг dt I
Это показывает, что система «незамкнута», т. е. что она
представляет только часть большей системы, для которой в це-
целом закон сохранения энергии, конечно, имеет место.
Встречаются случаи, когда силы зависят от скорости. При-
Примером может служить сопротивление среды движущимся телами
циала. который целесообразно называть «обобщенным потенциалом* см.
такова стоксова сила сопротивления воздуха F — бщаи, с ко-
которой мы встретились в § 2 при рассмотрении падения масляных
капелек. Обозначив коэффициент при v через k и принимая во
внимание, что сила сопротивления R всегда направлена проти-
противоположно скорости, можно написать вообще
Л = — kv.
Уравнение движения частицы под действием силы F в среде
с сопротивлением R будет
Умножая обе части на г = v, получаем
mx r = Fr + Rf,
На основании формул D1.1) и Di.2) и принимая во внимание,
что Rr = — kv2, получаем ~^{Т + V) =- — kv2.
Мы видим, что, как и в предыдущем случае, сумма Т-\-U
не остается постоянной; так как, далее, v2 всегда >0, то
—kv2 <0 и, следовательно, Т -|- U со временем убывает: силы
трения неконсервативны.
Важным случаем сил, зависящих от скорости, является сила,
действующая со стороны магнитного поля на движущуюся за-
заряженную частицу. Эта сила, выражающаяся векторным произ-
произведением
F = ¦?[?#], '
перпендикулярна к скорости и потому не производит никакой
работы.
В заключение напомним, что так как потенциал определяется
через свои производные [формулы D1-7K, — только разность
потенциалов имеет определенную величину. Абсолютное же зна-
значение потенциала включает некоторую произвольную постоян-
постоянную, вследствие чего нуль потенциала может быть выбран про-
произвольно.
§ 42. Потенциальные кривые
Закон сохранения энергии дает соотношение между первыми
производными координат по времени, которое может быть ис-
использовано при решении механических задач, Особенно удобно
пользоваться им в случае одномерного движения частицы, когда
этого одного соотношения и достаточно. Положим, что частица
движется по прямой. Если мы выберем эту прямую за ось х,

потенциальная энергия будет функцией только одной коор-
jaibi U = О(х). Закон сохранения энергии дает тогда
у -~{B-V)
D2.1)
где (с — произвольная постоянная.
Зная явное выражение потенциальной энергии, мы можем
при помощи формулы D2.1) найти закон движения. Положим,
например, что У = Уг fa2, где f — некоторая положительная по-
постоянная. Тогда формула D2.1) дает
Положительное число 2Ej\ мы можем обозначить через а2 (легко
видеть, что а имеет размерность длины), и тогда
или, обозначая постоянную у
через б,
Итак, при U = fxz/2 движение представляет собой гармони-
гармоническое колебание.
Знание потенциальной энергии в случае одномерного движе-
движения позволяет установить качественный характер движения, со-
совсем не пользуясь аналитическими средствами. Для Этого до-
достаточно построить кривую, изображающую потенциальную
энергию в зависимости от координаты. Такие кривые называются
потенциальными кривыми.
§ 42] ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ [51
Пусть, например, потенциальная кривая имеет вид, изобра-
изображенный па рис. 93. Тогда мы можем, не вычисляя интеграла,
стоящего в правой части D2.1) (и даже не зная точного анали-
аналитического выражения потенциальной энергии), установить не-
некоторые важные особенности движения. Возьмем какое-нибудь
значение полной энергии, на-
например Еи и проведем на и
чертеже прямую, параллель-
параллельную оси абсцисс, на расстоя-
расстоянии Я] от нее. Эта прямая fs-
псресекает пашу потецци- ;
альную Кривую в точках В,
С, D с абсциссами Xi, x2, xs.
Очевидно, что формула
D2.1) имеет физический
смысл (с точки зрения клас-
классической механики) только
в том случае, когда ради-
кал у -j~(E — Щ действлтеле
мы видим, что это осуществлж
или при условии
. 93. Пример потенциал
, т- е. когда Е ^ U. Из рис\нка
гея при условии, ec'jii
¦<х2, A)
(И)
Таким образом, когда чааица находится в области /,—ее
движение таково, что она не может выйти за пределы этой об-
области. В самом деле, ее абсцисса не может стать меньше Х\
и больше Хо, так как в Этом Случае ее потенциальная энергия
стала бы больше полной, а скорость х сделалась бы .мнимой.
Из этого следует, что движение частицы в области / сеть коле-
колебание. Крайние положения достигаются при х = Х\ и х = х2,
когда U становится равным Е, Период колебания, очевидно,
равен
"' У fiiE~U)
В область // частица проникнуть не может, Но если, обла-
обладая полной энергией ?,, она находится в точке х = х3, то ее
абсцисса может возрастать до бесконечности, так как при всех
значениях х S= хъ потенциальная энергия меньше полной.
Пусть теперь частица обладает запасом энергии Е2 > ?Y
Проводя, как раньше, на чертеже прямую на bucoic А, иы
бескоцечносш. гак к;\\\ rtui ее полная энергии всюду бо^ьш"

КЛАССИЧЁС^Я ФИЗИКА
потенциальной. Влево же от Л движению частицы препятствует
непреодолимый барьер (область Е<1)).
Качественный характер движения можно установить при по-
помощи потенциальной кривой, пользуясь следующей наглядной
иллюстрацией. Представим себе идеально гладкую дорожку,
сделанную так, что ее профиль как раз совпадает с потенциаль-
потенциальной кривой. В случае кривой рис. 93 это будет спуск, сменяю-
сменяющийся небольшим подъемом и затем снова продолжающийся.
Положим на эту дорожку тяжелый шарик на высоте Е и предо-
предоставим его самому себе. Шарик покатится вниз, и его движение
будет почти точно представлять движение интересующей нас
частицы. Если поднять его на высоту Еи то оц будет кататься
взад и вперед в углублении / и не сможет «перескочить» через
бугор //; если поднять его выше до уровня Ег, то он свободно
перекатится через бугор // и уйдет в бесконечность.
Причина, позволяющая нам пользоваться этой иллюстра-
иллюстрацией, состоит в том, что потенциальная энергия тяжелого ша-
шарика пропорциональна его высоте. Небольшая неточность иллю-
иллюстрации обусловлена тем, что часть энергии шарика расходуется
на создание его вращения.
§ 43. Закон сохранения импульса
До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в
по'ле каких-либо сил. Рассмотрим теперь простейшую систему,
состоящую из двух частиц, и предположим, что эти частицы
находятся только под действием сил, действующих между ними.
Такие силы называются внутренними в отличие от сил, которые
действуют на частицы системы извне и называ-
называются поэтому внешними. Будем отмечать пара-
параметры, относящиеся к частицам соответственно
Ч индексами / и 2. Положение первой частицы от-
** носительно произвольного центра О характери-
характеризуется радиусом-вектором г„ а положение вто-
второй—радиусом вектором г2 (рис. 94). Уравнения
движения обеих частиц будут
m/f, = F12, D.31)
mar2 = Fa,, D3.2)
где вектор F]3 означает силу, действующую на первую частицу
со стороны второй, a F2] — силу, действующую па вторую ча-
Стицу со стороны первой- По третьему закону Ньютона эти
силы равны по величине и противоположны по направлению,
так что
Fu + F2L=0. D3.3)
Рис. 94.
5 43] ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Складывая D3.1) и D3.2) и учитывая D3.3), получаем
т,г. -4- т2г2 = О,
Откуда следует, что
или, что то же самое,
D3.4)
const.
Векторная величина т,г( — т(у( называется импульсом, или ко-
количеством движения частицы.
Равенство D3.4) выражает закон сохранения импульса,
имеющий место в системе двух частиц, находящихся под дей-'
ствием любых внутренних сил. Легко обобщить этот закон на
систему п частиц, находящихся под действием одних только вну-
внутренних сил. Уравнение движения й-й частицы есть
m*f*=S/F«. ' D3.5)
где правая часть означает сумму всех сил, действующих на
й-ю частицу со стороны остальных частиц системы. Штрих
у знака суммы означает, что сумма берется по всем значе-
значениям /, за исключением / = k. Написав уравнения движения
для всех частиц системы и взяв их сумму, получим, представляя
левую часть в виде первой производной по времени:
Легко видеть, однако, что правая часть равна нулю. В самом
деле, в правой части для каждого члена Ры найдется соответ-
соответствующий ему Ffft. По третьему закону Ньютона для каждой
пары
а поэтому
D3.6)
что и требовалось доказать.

СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ '
§ 44. Соударения
Применим законы сохранения импульса и энеР1 ии к реше-
решению задачи о соударениях двух частиц. Пусть скорости частиц
с массами пц и т2 будут до соударения Vi и v2. а после соударе-
Выше мы виделр
мнения импульса должен
иметь место при любом характере сил взаимодействия. Соглас-
Согласно этому закону, полный импульс системы сохраняется, т. е.
сумма импульсов обеих частиц до соударения должна равняться
сумме их импульсов после соударения.
Обозначая импульсы частиц до соударения через pi и р2, а
после соударения, соответственно, через р' и р^, имеем
Что касается закона сохранения механической энергии, то он
будет иметь место только в том случае, если при соударении
не выделяется и не поглощается энергия, точнее говоря, если
в результате соударения не изменяется внутренняя энергия
частиц.
Это условие часто не соблюдается. Например, при соударе-
соударениях атомных ядер, ведущих к ядерным реакциям, обычно вы-
выделяются (реже — поглощаются) большие количества энергии;
при соударений электронов с атомами при определенных усло-
условиях (см. § 91 и следующие) часть или вся кинетическая
энергия относительного движения обеих частиц может псрсйти в
энергию возбуждения атома, т- е. будет иметь место поглощение
энергии. В настоящем параграфе мы будем рассматривать толь-
только упругие соударения, т. е. такие, при которых имеет место
сохранение механической энергии. Это дает в добавление к век-
' торному уравнению D4.1) еще скалярное уравнение, которое
мы напишем, выражая кинетические энергии через импульсы.
~ = ¦—' 1 — D4 I '1
2т. ~ 2т. ' v"'1 '
П>сть частица 2 до соударения покоилась, т. е. пусть р2 = 0.
Это условие в большинстве случаев с достаточной точностью
осуществляется в опытах, выполняющихся в атомной физике.
Например, при изучении соударении между электронами и ато-
атомами обычно обстреливают атомы пучком электронов, ускорен-
ускоренных приложенным напряжением. При этом скорость электронов
настолько больше газокинетических скоростей обстреливаемых
атомов, что последние скорости можно положить равными нулю.
То же самое еще в большей степени имеет место при изучении
рассеяния ядерных частиц или при ядерных реакциях.
При pa= 0 уравнение D4.1) переходит в векторное равен-
равенЧтобы это равенство было удовлетворено, три вектора р,, р[ и
р'2 должны образовывать ^
замкнутый треугольник ОБА
(рис. 95). Покажем теперь,
что, каково бы ни было на-
направление полета частицы 2
после соударения, точка Б—
конец вектора импульса
этоГг частицы р'2 после со-
соударения лежит на окруж-
x2+yi = p'2\ D4.3)
Далее, из треугольника ВСА имеем
fa-xf+tf^pf. D4.4)
Закон сохранения энергии трсб>ет, чтобы при р2 = О
jL^fL+lJL. D4.5)
Подставляя в D4.4) выражение pf из D4-5) и пользуясь D4.3),
получаем после простых алгебраических преобразований
Это уравнение легко может быть приведено к виду
\Х — .„ '? .„ Рт ) + У2 =[ т, л!т~ Pi ¦
D4.6')
Но это— уравнение окружности, проходящей через точку В
и имеющей радиус
г = тг р = !— р:. D4.7)
Рассмотрим теперь некоторые интересные частные случаи.
Пусть тх=т1, такой сличай осуществляется при соударении
а-частицы с ядром гелия или протона с ядром легкого водо-
водорода. Из D4.7) имеем при га, =т2 г—g- p,.

]Б6 ¦ СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ]ГЛ V
В этом случае диаметр окружности равен импульсу налетающей
частицы, т, е. окружность проходит не только через точку В, но
и через точку Л, Из этого следует (рис, 96), что после соударе-
соударения частицы разлетаются под
прямым углом друг к другу.
На рис. 97 приведена стерео-
стереоскопическая фотография со-
соударения а-частицы с ядром
гелия. Видно, что после удара
обе частицы разлетаются под
прямым углом. Исключением
является случай, когда р\ = О
(«лобовой удар»). В этом слу-
случае из закона сохранения им-
импульса получаем, выписывая
явные выражения для импуль-
импульсов;
что дает (при т, = т2) с2 = vu Это означает, что при лобовом
ударе налетающая частица останавливается и передает свой
импульс обстреливаемой частице.
качестве второго примера рассмотрим случай, когда
тг1т\ = 4. Этот случай осуществляется при соударении протона
с ядром гелия или а-частицы с ядром кислорода.
Из D4.7) получаем
Рис. 98 дает построение, позволяющее рассчитать углы полета
обеих частиц после соударения при известной величине им-
импульса налетающей частицы после соударения.
§ 45] ЦЕНТР ИНЕРЦИИ 157
Интерес представляет также случай обратной величины со-
соотношения масс m2/ini=yi (например, соударение а-частицы
Рис 99.
с протоном), В этом случае по D4-7)
Как видно из рис, 99, в этом случае р'2 всегда значительно
меньше pi.
§ 45. Центр инерции
Во всякой системе двух частиц существует замечательная
точка, называемая центром инерции. Ее радиус-вектор опре-
определяется следующим образом
(рис, 100);
D5.1)
Легко показать, что в системе
двух частиц центр инерции лежит
на прямой, соединяющей обе ча-
частицы, и делит эту прямую в от-
отношении, обратном отношению
масс. В самом деле, из D5.1)
следует, что Рис_ ,00_
m,(rc-r,) = m2(r2— гс), D5.2)
но это означает, что векторы Гс — гг и Гс — г2 параллельны, а
так как они имеют общую точку С, то три точки ть С и тг ле-
лежат на одной прямой. Таким образом, первая половина нашего
утверждения доказана. Вторая часть видна непосредственно
из равенства D5.2), которое можно переписать в виде
D5,3)

!58 ' СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
Обратимся теперь к рассмотрению свойств центра инерции.
Закон сохранения импульса в системе двух частиц в векторной
форме выражается равенством
т,Г! + "'гЬ = const. D5.4)
Найдем производную по времени радиуса-вектора центра инер-
инерции
Сравнивая это выражение с D5.4), видим, что
гс = const.
D5.4')
Итак, в системе двух частиц, не подверженных действию внеш-
внешних сил, центр инерции движется прямолинейно и равномерно.
Систему координат, в которой имеет место D5.4'), в атом-
атомной физике обычно называют «лабораторной», потому что оси
декартовых координат в данном случае определяются, напри-
например, пересечением плоскостей двух стен лабораторной комнаты
с плоскостью пола. Мы можем, однако, ввести систему коорди-
координат, поместив ее начало в центре инерции. Такая система коор-
координат, называемая системой центра инерции, обладает, как мы
сейчас увидим, рядом преимуществ.
Скорость центра инерции в лабораторной системе координат
равна
где v, и V2 — скорости обеих частиц также в лабораторной си-
системе координат. Чтобы найти скорости частиц в системе центра
инерции, нужно из v, и v2 вычесть скорость центра инерции vc-
Итак,
vf = Vj - vc = v, — т'^ + ^Т' =*. д11 п^пц (v, - v3), D5.5)
V2 = v2 — vc — v2— "*'*'* ^v* =-^q~^-(v2 — V|). D5.6)
Полный импульс в системе центра инерции будет
и, принимая во внимание D5.5) и D5.6), видим, что
Р = 0.
§15] ЦЕНТР ИНЕРЦИИ 159
Итак, в системе координат центра инерции полный импульс
системы частиц не только постоянен, но и равен нулю. Переход
к системе координат центра инерции но многих случаях целесо-
целесообразен, так как в этих координатах мы рассматриваем относи-
относительные движения внутри системы частиц, отвлекаясь от дви-
движения системы как целою. Однако при энергетических расче-
расчетах, как мы сейчас увидим, нельзя забывать о движении самого
центра инерции.
В самом деле, вычислим полную кинетическую энергию си-
системы двух частиц. Для этого, очевидно, надо скорости частиц
отнести к лабораторной системе координат. Итак,
Последний член равен нулю вследствие D5.5) и D5.6); мы по-
получаем
?..« = ?„ „ + т(т1+^)°=- <4">
Эта формула очень важна Рассмотрим какой-нибудь про-
процесс, происходящий в результате неупругого соударения двух
частиц. Это может быть, например, ионизация атома или дис-
диссоциация молекулы под действием соударения с электроном
или ядерная реакция под действием быстрой частицы или ка-
какой-нибудь другой аналогичный Процесс. Критическая энергия,
необходимая для осуществления процесса (энергия ионизации,
энергия диссоциации и т. п.), очевидно, равна Ец и. Но фор-
формула D5-7) показывает, что энергия налетающей частицы (элек-
(электрона, протона и т. ц.) должна быть больше ?ц. „ на величину
кинетической энергии центра инерции, в котором сосредоточена
вся масса системы.
Расчет ?ЛЭб выполняется особенно просто, когда можно по-
положить равной пулю va—скорость обстреливаемой частицы (ми-
(мишени). В этом случае
так как v2 ~ 0. Таким образом,
Отсюда след\ег, что только
можно считать ?лаб = Ец „.
i том сл\чае, когда m2

160 ' СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
Упражнение. Энергия ядерной реакции Nls + Не4 — О'1 + Н1 рав-
равна 1,13 Мэв (I Мэв ~ 106 эв). Какова должна быть минимальная энергия
а частиды для того, чтобы ата реакция осуществилась (Ответ: 1,45 Мэв)
§ 46. Линейный гармонический осциллятор
Пусть частица с массой m движется по прямой под действием
силы, пропорциональной отклонению частицы от положения рав-
равновесия и направленной всегда к положению равновесия. Такая
колебательная система называется линейным
гармоническим осциллятором. Образцом ее мо-
может служить тяжелый шарик, подвешенный на
упругой пружине (рис. 101). Электрон, совер-
совершающий колебания под действием электрическо-
электрического поля, также является линейным гармониче-
гармоническим осциллятором при условии, что сила, дей-
действующая на электрон со стороны поля, пропор-
пропорциональна первой степени его удаления от по-
положения равновесия и направлена к этому по-
положению. По-аналогии с упругой силой все силы,
удовлетворяющие указанному выше требованию,
называются квазиупругими.
Так как движение частицы в линейном осцил-
осцилляторе происходит по прямой, то мы всегда мо-
можем взять эту прямую за ось координат. Пусть
это будет ось х, и пусть начало координат сов-
совпадает с положением равновесия частицы (рис. 102). Уравнение
движения в этом случае таково:
,nx = -fx, D6.1)
где f~ постоянный коэффициент пропорциональности, равный
силе, возникающей при отклонении х=\; он называется «по-
Стоянной квазиупругой си- '
лы». Перепишем уравнение ' ~*° m
D6.1) следующим образом: — ¦
D6.2)
О
Рис. 102.
или, принимая во внимание, что f/m > 0, и вводя обозначение
f/m=(a\
х^-а2х = 0.
Частными решениями уравнения D6.4) будут
Xl = cos a>t, х2 = sin, mi,
D6.3)
D6.4)
D6.5)
§46] ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 161
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой их в
D6.4).
По известному свойству линейных дифференциальных урав-
уравнений общее решение будет линейной комбинацией частных ре-
решений D6.5):
х = с, cos <at 4 С2 s*n <eit, D6.6)
с двумя произвольными постоянными Cj и Си. Эти постоянные
можно найти из начальных условий: если, например, при ? = 0
~х = д:0, х = va, то, как легко убедиться, cY = х0, с2 = Va/ю, и по-
поэтому D6.6) принимает вид
х = ха cos ф1 -Ь -—¦ sin (at.
D6.7)
Для наших целей общее решение D6.6) удобнее представить
в несколько ином виде. Перепишем D6.6), вынеся за скобки С\:
х = с, (cos &t 4 ту- sin at).
Полагая Сг/С] =tg6, получим
л: = С] (cosaf 4 fg6 ¦ sinffl()=-^7-cos ((at — 6) =
= Vе? 4 c\ ¦ cos (at ~ 6),
или, пользуясь обозначением У с\ 4 cl= a< получим оконча-
окончательно
x = acos((fd — 6), D6.8)
где а и 6 — новые произвольные постоянные.
Движение, описываемое формулой D6.8), будет, очевидно,
периодическим, так как время входит в D6.8) через периодиче-
периодическую функцию. Это значит, что существует такой промежуток
времени Т, что
cos (W — й) = cos [ю (t+T) — б].
Из этого следует, что
i ш называется угловой частотой, а обратная величина периода
': Т — линейной частотой v:
! Согласно D6-31
Э. В. ШпопьскнВ, т. I
—L,/r
2nV m •
D6.9)
D6.10)

162 ' строение атома и классическая физика |гл. v
Вычислим теперь энергию осциллятора. Кинетическая энер-
энергия равна Ek=-^-x2, или, так как х = — ац> sin (и/ — б), то
?ft=-j/naVsIna(urf—fl).
D6.11
Если за нулевое значение потенциальной энергии принять ее
величину в тот момент, когда частица находится в положении
равновесия, то потенциальная энергия в некотором положении
с координатой х будет
- J F dx = f | х dx = Щ-.
D6.12)
Подставив сюда х из D6.8) и приняв во внимание, что по D6.9)
f = ma2, найдем
maV cos2
~ б).
D6.13)
При помощи D6.11) и D6.13) находим полную энергию:
Е = Ек + Ер = тг та2®2 [sin2 (ш/ — б) + cos2 (tat — б)] =-| та2»а.
D6.14)
Формулы D6.11) и D6.13) показывают, что кинетическая и
потенциальная энергии меняются во времени как квадраты си-
синуса и косинуса. Поэтому для отыскания средних значений энер-
энергии за полный период достаточно вычислить средние квадратов
косинуса и синуса. При этом наличие фазовой постоянной б, не
зависящей от времени, очевидно, не играет никакой роли. По
определению среднего значения за период Т мы имеем
= |. D6.15)
1 Г , ,л, 1 Г ' + '»
-№ -Г/2
= 4- D6.16)
Заметим еще, что средние значения cos2(o( и sin2«( за промежу-
промежуток времени, очень большой по сравнению с периодом, также
равны половине. Пусть U будет таким промежутком времени:
t\ 3^ Т. Мы имеем
§ IT] КОМПЛЕКСНОЕ
РЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИИ
Но ш([ = 2л;-^-, и
Э> Т, то ю/i есть очень большое
а потому второй член очень мал и им можно пренебречь. Итак,
для достаточно большого промежутка времени
sin2 со/
= 1/2.
1/2.
Таким образом, для средней кинетической энергии за период
или за промежуток времени, достаточно большой по сравнению
с периодом, из D6.11) и
D6-15) получаем
Ek = ~a1mw2 D6.17)
и для средней потенциаль-
потенциальной энергии
Ё~р = -^а2ша2. D6.18)
Сравнение D6.17), D6.18)
и D6.14) дает
Ёк = Ёр = ^Е, D6.19)
т. е. для линейного гармонического осциллятора средняя За
большой промежуток времени кинетическая энергия равна сред-
средней потенциальной энергии, и обе равны половине полной энер-
энергии.
Так как потенциальная энергия V пропорциональна квадрату
смещения V = fx2/2, то потенциальная кривая гармонического
осциллятора есть парабола (рис. 103).
§ 47. Комплексное представление колебаний
Общее решение уравнения колебаний гармонического осцил-
осциллятора
д; = a cos (Ы — б) D6.8)
мы можем написать в несколько ином виде, представляющем
большие преимущества с формальной точки зрения. Для этого
мы прежде всего вспомним, что по известной теореме анализа
всякое комплексное число
и =- q -\- Ь( = г (cos cp -|- i sin cf
D7.1)

164 * СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
можно представить в виде экспоненциальной функции с мнимым
показателем
и=ге% D7.2)
где г называется модулем комплексного числа и обозначается
также через [м], ф — аргумент или фаза. Если мы заменим в
D7.1) и D7.2) i на —i, то полечим комплексное число
и' = г (cos ф — (sin ф) = ге~!®, D7.3)
которое называется комплексно сопряженным с и. Произведение
двух комплексно сопряженных чисел равно квадрату их общего
модуля, так как
ии' = ге^ ¦ «-'• = гэ = ] и f.
Легко видеть, что комплексное выражение
х = a (cos со/ + i sin tat) = аеш
D7.4)
и с ним комплексно сопряженное
х' = a (cos at — i sin со/) = ае-ш D7.5)
удовлетворяют дифференциальному уравнению гармонического
осциллятора D6.4), так как они содержат линейные комбинации
его частных решений. Поэтому формально мы имеем право пи-
писать формулу колебаний не только в тригонометрическом, но и
в экспоненциальном виде D7.4) или D7.5). Такая замена целе-
целесообразна потому, что во многих случаях математические опера-
операции с экспоненциальными функциями выполняются значительно
проще, чем с тригонометрическими. Однако с физической точки
зрения формула х = ае>'а1 содержит противоречие, потому что
в левой части ее стоит действительная величина (координата),
а в правой — комплексная. Для того чтобы, несмотря на это,
сохранить возможность оперирования с экспоненциальными
функциями, ставится условие—пользоваться этими функциями,
но в окончательном результате брать только действительную
часть полученного комплексного числа. Эта действительная
.часть в тех случаях, когда может возникнуть сомнение, обозна-
обозначается символом Re, поставленным перед комплексным числом:
Очевидно,
= Re е~
cos orf,
вследствие чего с одинаковым правом можно пользоваться лю-
любым из двух комплексно сопряженных чисел.
Общий интеграл уравнения линейного осциллятора
Х^ d cos (соГ — 0)
5 4S] - РАЗЛОЖЕНИЕ В С
напишется при этом условии в виде
Еще большее упрощение достигается введением комплексной
амплитуды. Заметив, что ae'(<oi~e> = ae-*a-eim, введем комплекс-
комплексную амплитуду А = ае~а. Комплексно сопряженная амплитуда
будет А" = аегЬ, а квадрат действительной амплитуды а най-
найдется как произведение
АА" = ae~ib ¦ аеЛ = а2 = | A f.
Пользуясь комплексными амплитудами, формулу гармонических
колебаний можно всегда писать в виде
х = Re Аеш
или просто
х = Аеш,
помня, что начальная фаза б включается в комплексную ам-
амплитуду.
Указанный в этом параграфе способ комплексного представ-
представления колебаний дает правильные результаты лишь до тех пор,
пока мы имеем дело с линейными выражениями. Если же перио-
периодически меняющаяся величина входит в квадрате или в более
высокой степени, или, наконец, если мы имеем дело с произведе-
произведениями таких величин, то необходимо вновь переходить к триго-
тригонометрическим функциям. Это следует из того, что действитель-
действительная часть квадрата комплексного числа не равна квадрату его
действительной части:
(а + ЫJ = (а + Ы) {а + Ы) = (а2 - b2) + i2ab,
так что
Re (a + blf Ф &¦
Точно так же действительная часть произведения комплексных
чисел не равна произведению их действительных частей. Если,
однако, желательно и в этом случае пользоваться экспоненци-
экспоненциальными функциями, то необходимо заменять косинусы полу-
полусуммой комплексно сопряженных функций по известной фор-
формуле Эйлера
1
§ 48. Разложение в спектр
Колебания линейного гармонического осцилляюра представ-
представляют собою простейший случай периодического пропесса. Очень
часто встречаются процессы, которые являются периодическими,
но не гармоническими. Так, например, процесс, изображаемый

СТРОЕНИЕ АТС
I КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Рис. 104. При
неограниченным повторением влево и вправо сплошной кривой
рис. 104, есть, несомненно, процесс периодический, но он не
является' гармоническим. На рис, 104, однако, показано, что
сплошная кривая может быть получена путем суммирования
двух синусоид с частотами
со и 2п>, а именно,
х = a sin at 4 -у sin 2ш/.
Можно также сказать,
что колебание, изображен-
ное на рис. 104, разлагается
в спектр, в котором имеется
две спектральные линии с
частотами ш и 2м (или v и
2\\ если предпочтительно
пользоваться линейными, а
не угловыми частотами).
В математическом ана-
риодического процесса. лизс доказывается, что лю-
любая кривая*), изображаю-
изображающая периодический процесс частоты со, может быть представ-
представлена как результат наложения бесконечного числа синусоид
и косинусоид с частотами ш, 2са, За, ... Подобное разложение
периодических, но не гармонических процессов на чисто гармо-
гармонические есть известное разложение в ряд Фурье. Условия схо-
сходимости этих рядов исследуются в математических руковод-
руководствах**). Мы здесь заметим только, что для функций, интере-
интересующих пас в этой книге, ряды Фурье сходятся повсюду равно-
равномерно, так что их можно почленно перемножать, дифференциро-
дифференцировать и интегрировать. Для определенности будем предполагать,
что нашей функцией является смещение x(t). Тогда
* @ = VA + 6i cos юог + h cos 2оу + ¦ ¦ ¦
... 4-cIsiniV4-qjstn2fflof4- ¦¦¦ D8Л)
Коэффициент '/г в первом члене введен из соображений
удобства и симметрии формул, как это будет видно из дальней-
дальнейшего.
•) Условия, i
риодический прош
в ряд Фурье, насилличи шл^о чт ,
функция, изображающая реальный физи'
") См. И И. П " '
¦ворять функция, изобр1жающ я пе
эжно было подвергать рэзпожению
р и в а л о в, Ряды Фурье, Госиздат, 1930 ичи пюбой учеб
анализа, например, В. И. Смирнов K>pL высшей ма
б?,' стр. 435.
РАЗЛОЖЕНИЕ В СПЕКТР
167
Напомним простой способ вычисления коэффициентов ряда
Фурье. Он основан на следующих формулах, легко оправдывае-
оправдываемых непосредственным вычислением:
%т/2 @ при m фп,
cos тю^ ¦ cos пщ1 dt = | 1 _ D8.2)
J {^Т при т= п;
@ при тфп,
t-smn^tdt^^, ^ п = ^ D8.3)
Jj2
f sin ma»^ ¦ cos n<aot dt = 0.
D8.4)
Для отыскания коэффициента Ьт умножим обе части D8.1)
на cosmcooi и проинтегрируем от — Г/2 до 4 ?72- Тогда все ин-
интегралы правой части на основании формул D8.2) и D8.4) будут
равны нулю, за исключением интеграла, умножающегося на
коэффициент Ьт, который равен Т/2. Таким образом, получаем
у/а
bm = — \ x(t) cos tna^ dt. D8.5)
-Г/2
Точно так же для отыскания коэффициента ст умножаем обе
части D8.1) на sin maat и интегрируем от — Г/2 до 4 г/2- в ре-
результате получаем
= у х (t) sin marf dt.
-Т/2
D8.6)
Наконец, для отыскания 60 интегрируем D8.1) от — Г/2 до
Ч- Г/2 и получаем
» = Т I
-г/а
О.чевидно, что постоянный член разложения
+Г/2
-g- ba = у- x{t)dt
есть среднее значение функции x(t) за период, и если кривая
*(/) симметрична относительно оси / (как, например, кривая
рис. 104), то ¦?-&о = О.

16S _ * СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
Отметим здесь еще две другие формы ряда Фурье. Объеди-
Объединяя попарно члены с синусами и косинусами bk cos katot -\-
.+ О, sin kaot в члены вида аь cos (йсоо^ +-6k) (см. § 46) и обозна-
чяя свободный член чепез Чопп. получим
+ О, sin kaot в члены вида аь cos (йсоо^ +
ая свободный член через '/гао, получим
2
х (t) =
член через /гао, получим
, cos (и^ + 6,) + аэ cos Ba0t + 62) +
+ а3 cos C<aQt + 6Л) +
D8.7)
Особенно удобна для наших целей комплексная форма ряда
Фурье. Заменим в D8.7) косинусы полусуммами комплексно
сопряженных экспоненциальных функций
)
=-¦/.(«'"•'-в"'+«-'"¦'•«-"¦)
и введем комплексные амплитуды, обозначая их, соответственно,
через Л, и Л_ь Лг и Л_г и т. д.:
А2 = l
Тогда ряд D8.7) примет вид
х (t) = Ао + Ae
или, если с помощью соотно
частоты линейными:
х (t) = Аа + Л^'21™-' + Л2еш^
D8.9)
ения щ = '2nvo заменить угловые
D8.10)
Для отыскания коэффициентов поступаем следующим обра-
фф
зом: умножим обе части D8.10) на
от — Г/2 до +Г/2:
и проинтегрируем
Легко убедиться в том, что в правой части все члены обра-
обращаются в нуль за исключением члена номер г. Действительно,
а) при s Ф г
б) при s = г
Из этого следует, что
+Г/2
2 Ardt=ArT.
т\%
D8.11)
Аналогично этому для отыскания коэффициента Л_г умно-
умножаем обе части D8.10) на ei2ltrVo( и интегрируем от — Г/2 до
+ Г/2. В результате получаем
л_г=4- J
D8.12)
При г = 0 получаем
о = 4" J
D8.13)
Заметим еще, что если x(i) —функция действительная, то
коэффициенты Фурье Ат и Л_т обязательно комплексно сопря-
сопряжены:
[см. формулы D8.10)], так как только в этом случае и правая
часть D8.10) будет действительна,
Мы видим, таким образом, что если функция x{i) представ-
представляет периодический процесс, то ее всегда можно разложить на
гармонические составляющие. На языке физики это означает,
что периодический процесс можно разложить в спектр. Этот
спектр будет дискретным, т. е. он будет состоять из отдельных
идеально тонких линий, частоты которых образуют арифметиче-
арифметический ряд vo, 2v0, 3vo, -.. Очень часто пользуются терминологией
акустики и называют vo основной частотой, a 2vo, 3vo, ... — ее
обертонами.

строение атома и классическая физика
амплитуды. Таким образом, квадраты коэффициентов Фурье
представляют интенсивности гармонических составляющих пе-
периодического процесса или, что то же самое, интенсивности
спектральных линий.
В заключение заметим, что разложение Фурье может бы
интер
19. Центральные силы. Кинетическая энергия
в полярных координатах
Изучив свойства линейного осциллятора, мы переходим к
рассмотрению модели, состоящей из электрона, обращающегося
около неподвижного центра. Такое движение является частным
случаем движения в ноле центральных сил, т. е. сил, направле-
направление которых все время проходит через одтту точку, а величина
является функцией только расстояния от этой точки.
При решении всякой механической задачи очень большое
значение имеет рациональный выбор системы координат. Обычно
задача легче всего решается в такой системе координат, которая
отвечает симметрии само» задачи. Поэтому следует ожидать,
что для движения в центральном ноле наиболее подходящей бу-
будет полярная система координат.
При рассмотрении планетарной модели атома (§ 51) мы вос-
воспользуемся законами сохранения энер!ии и момента количества
движения. В качестве подготовки к этому рассмотрению мы вы-
выведем выражение для энергии в полярных координатах.
Положение точки на плоскости определяется дщмя поляр-
полярными координатами г и ср, связанными с декартовыми соотноше-
соотношениями
х = г cos ф, у = г sin ср. D9.1)
Кинетическая энергия в декартовых координа!ах выражается
*иде
Г =-у (#
D9.2)
§ 49] ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 171
Но из D9.1) следует, что
х = г cos ф — г sin ф ¦ ф, у =. г sin ф 4- г cos ф ¦ ф. D9.3)
Подставляя это в D9.2), найдем после Простых вычислений
Г = ^-(г2+г'ф»). D9.4)
Это и есть выражение кинетической энергии в полярных коорди-
координатах на плоскости.
Комбинируя формулы D9.1) и D9.3), легко получим
ху-ух = г2у. D9.5)
Это соотношение нам понадобится впоследствии.
Сферическими полярными координатами точки Р в простран-
пространстве служат (рис. 105): радиус-вектор г, полюсное расстояние О
(дополнение к широте до 90°) и
долгота ф, отсчитываемая от ка-
какого-нибудь первого меридиана.
Соотношение между декартовыми
и полярными координатами вид-
видно непосредственно из чертежа:
х = г51пдсозф, у = r sin* sin ф,
z = r cos ft.
Отсюда получаем
x = f sin Осоэф 4
4" rb cos ф cos ф — гф sin ф sin ф,
j/ = г sin О sin ф + гЬ cos Ф sin ф 4
4 гф sin О cos ф, РиС] 105_
z = f cos d — rh sin ф.
Подставляя это в выражение кинетической энергии через декар-
декартовы координаты в пространстве
найдем после упрощений
Т = -у-(г2 +
? + f + г2},
* + г2sina# ¦ qr1)
D9.6)
D9.7)
— выражение для кинетической энергии в сферической полярной
системе координат, '

172 ¦ СТРОЕНИЕ АТОМД И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА / [ГЛ. V
§ 50. Движение в центральном поле
Для описания центрального движения большое значение
имеет динамическая величина, называемая моментом количе-
количества движения. Возьмем ньютоново уравнение движения в век-
векторной форме
р = mv = F
и умножим его векторно слева на радиус-вектор г:
E0.1)
Замечая, что
It [гР3 ^ 4f[rmv' = m № + m [r^ = m [w] + [rmv] = [rmv]
([vt] = 0 как произведение коллинеарных векторов!), можем пе-
переписать E0.1) в виде
-?-[rp] = [rF]. E0.2)
Вектор
E0.3)
называется моментом количества движения материальной точки
относительно точки О (рис. 106). Его составляющие по декарто-
декартовым осям координат таковы:
р& _ xPz) = m {zx — xt),
E0,4)
Рис. 10
Уравнение E0.2) теперь принимает вид
L = [rF]. E0.5)
Если, однако, движение — центральное,
то г и F направлены одинаково или пря-
прямо противоположно, так что в этом случае [rF] = 0, и уравнение
E0.5) дает
L = const, E0.6)
т. е. при центральном движении момент количества движения
как вектор сохраняется. Из этого следует, в частности, что тра-
траектория частицы при центральном движении лежит в одной пло-
плоскости, так как только в этом случае вектор L будет сохранять
одно и то же направление во все время движения.
;плррова задач-
Если плоскость орбиты выбрать за плоскость ху, то очевидно,
что вектор L будет направлен по оси г, и тогда
L = Lz=m{xy — yk). E0.7)
Во многих случаях при рассмотрении центральных движений
удобнее пользоваться полярными координатами. Принимая во
внимание, что [см. D9.5)]
ху — ух = г2ф,
можем представить выражение момента количества движения
E0.7) в виде
? = тггф. E0.8)
Момент количества движения может быть выражен через ки-
кинематическую величину с, называемую секториалыюй скоростью.
нематиу
По определению
и следовательно,
c-{[rv]
Из закона сохранения момента количества движения непо-
непосредственно следует второй закон Кеплера. В самом деле, если
L-= const, то, очевидно, вс= const, а это и есть второй закон
Кеплера.
§ 51. Кеплерова задача
Рассмотрим движение электрона, обращающегося около ядра
с зарядом -f- Ze и массой, настолько большой по сравнению с
массой электрона, что само ядро можно считать неподвижным
центром. Так как опыты Рсзерфорда с рассеянием сс-частиц по-
показали, что вплоть до расстояний порядка 10~12 см закон Кулона
имеет место, то сила взаимодействия между ядром и электроном
будет Ze2fr2, а потенциальная энергия
и = _Ц-_ E1.1)
Очевидно, что при таких условиях наша задача тождественна
с задачей о движении планеты вокруг солнца, почему ее и назы-
называют кеплеровои задачей. Для решения этой задачи мы восполь-
воспользуемся законами сохранения энергии и момента количества дви-
движения. В полярных координатах [см. формулы D9.4) и E0.8)]
эти законы дают
¦^-(P + rV)~if = E. E1-2)
mr'if — P, E1.3)

174 СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКИ
где Е и Р — постоянные; из E1.3) имеем
E1.4)
Далее мы перейдем от производных по времени к производным
по углу ф и с этой целью воспользуемся соотношением
r=lL^ = J^-^. E1.5)
Подставляя E1-4) и E1.5) в E1.2), найдем
или, после небольших преобразований,
I 1 dr\* 2тЕ , 2mZe*
E1.6)
Введем новую переменную, положив р = —. Так как ~- =
dr
= —рг + ~~рг- Р — Р2-
E1.7)
Для интегрирования уравнения E1.7) удобно его еще раз
продифференцировать:
Это уравнение, мы перепишем в виде
Так как ^р/^ф, вообще говоря, Ф 0, то должно быть равно нулю
выражение в скобках*). Мы получаем, таким образом, для р
К [см формулу E1Л4) в следующий
? < 0) афелию и перигелию орбиты. Урап-
d = const для любых значений ф Это,
круговой орбиты Нетрудно, однако,
КЕПЛПРС
1АДАЧА
175
следующее линейное
ние второго порядка:
однородное дифференциальное уравне-
уравне0 ^- E1.8)
Общий интеграл его, как известно, равен частному решению
неоднородного уравнения плюс общий интеграл соответствую-
соответствующего однородного. Сраз) видно, что частным решением неодно-
неоднородного уравнения будет
общий же интеграл однородного уравнения
ее iъ
Рэ — Л соэф -(- В sin ф,
где Л и В —произвольные постоянные, определяемые из началь-
начальных условий. Итак,
р =¦—?¦—\- А соэф+ Bsin<p. E1.9)
Если мы условимся отсчитывать угол <р от того положения
радиуса-вектора, при котором г имеет минимальное значение:
г = Гмп, а Следовательно, р = \/r = pmas, то мы получим
для ф = 0 ~Н- = 0, E1-10)
и так как по ^51.9)
-zf-= — А э!пф + Всоэф,
то условие E1.10) дает В = 0. Решение E1.9) при этом прини-
принимает вид
р = Л^- + Лсозф. E1.11)
Это и есть уравнение орбиты электрона. Сравним его с урав-
уравнением конических сечений в полярных координатах относи-
относительно фок\са:
г=~~^. E1.12)
где а — большая полуось и е — эксцентриситет. Мы находим от-
отсюда для р = 1/г выражение
Р- 't,'-".'? ¦ EЫЗ)

СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИ1
Очевидно, что E1.11) и E1.13) совпадают, если положить
mZe* _ 1 д е
Это означает, что траекторией электрона является коническое
сечение (первый закон Кеплера).
Для того чтобы найти условие, при котором это коническое
сечение будет эллипсом, отыщем условие максимума и мини-
минимума р. Необходимое условие экстремума р есть
Полагая в E1.7) dp/dtf = 0, получим квадратное уравнение
р2-2-_-р — = 0.
E1.14)
По свойству корней квадратного уравнения из E1.14) находим
, 2га2ег 2тЕ
- p = Рше " —
E1.15)
Если энергия Е отрицательна (Е < 0), то pmaxPmm > 0, и, следо-
следовательно, существуют два положительных значения р (а значит,
и г), при которых dpjdtf обращается в нуль; из них одно соответ-
соответствует максимуму р (минимуму г, перигелий), а Другое — мини-
минимуму р (максимуму г, афелий). Итак, при Е < 0 орбитой будет
эллипс.
Напротив, при Е > 0 ршалршт < 0. Это значит, что двух по-
положительных значений р, соответствующих максимуму и мини-
минимуму г, не существует, но одно из них положительно, а другое
отрицательно. Положительные и Отрицательные значения ради-
радиуса-вектора соответствуют двум различным ветвям гиперболы.
Итак, при Е > 0 орбитойубудет гипербола.
Найдем еще полезное соотношение, связывающее энергию
с большой полуосью. Из E1.13), принимая во внимание, что
при ф = 0 р — pmas, а при ф = я р = ршш, получаем
"""—г?Г=Р)—STi^j- Р".'--„A_В.)-7ТПП
Подставляя это в левую часть E1.15), находим
из E1.18) и E1.17) следует:
E1.16)
E1.17)
E1.18)
§ 51] КЕПЛЕРОВЛ ЗАДАЧА " J77
Разделив E1.16) на E1.17), найдем:
Е=-~. E1.19)
Соотношение E1.19) показывает, что энергия электрона при
данном заряде зависит только от большой полуоси его орбиты,
но не зависит от эксцентриситета: всем орбитам с одинаковой
большой полуосью соответствует и одинаковая энергия.
Выведем, наконец, при помощи найденных соотношений тре-
третий закон Кеплера. Если секториальная скорость электрона
равна с, то за полный период обращения Т радиус-вектор опи-
опишет площадь
Но так как секторлальная скорость может быть выражена
через момент количества движения с = Lj2m (см. § 50), то, по-
полагая L = Р, получаем
S = ~~T. E1.20)
С другой CTOpOHH,_S как площадь эллипса с полуосями а и 6
выразится в виде
S = nab = xa'\/T^', E1.21)
так кшЬ^-aYl—в2. Сравнивая E1.20) и E1.21), получаем
PT = 2nma2 /l — в2. E1.22)
Соотношение E1.16) дает возможность выразить Р2:
P2 = mZe2a(\~e2). E1.23)
Возводя в квадрат E1.22) и подставляя E1.23), получим после
простых сокращений и преобразований
-р-=1иг- <51-24>
или, так как 1/7" равно числу обращений v в единицу времени,
aH'=TS- ' E1-25)
Поскольку в правой части E1.24) стоит величина, постоянная
при данное заряде ядра Ze, мы находим
~j- = const.
Это и есть третий закон Кеплера.

178 ¦ СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
§ 52. а-частица в поле ядра
Рассмотрим теперь движение а-частицы в поле неподвижного
ядра в случае, когда отталкивающая сила подчиняется закону
Кулона. Пусть заряд ядра будет по-прежнему +Ze; заряд а-час-
тицы, как мы знаем, равен + 2е, и потенциальная энергия будет
поэтому
U =
E2.1)
Законы сохранения энергии и момента количества движения
дают
*L{p + r?tf)+^f = E, E2.2)
Мг2ф = Р, E2.3)
где М — масса а-частицы. Схема дальнейшего решения задачи
полностью совпадает со схемой, использованной в предыдущем
параграфе, так как исходные уравнения с точностью до знака
потенциальной энергии в том и другом случаях одинаковы [см
формулы E1.1)—E1.3)]. Поэтому мы не будем повторять дета-
деталей вычислений и сразу напишем результат, к которому приво-
приводят уравнения E2.2) и* E2.3) после преобразований и введения
новой переменной р=~:
(dpV =——-2
- р — р
Дифференцируя это уравнение еще раз, производя различные
сокращения и перестановки, получаем
E2.4)
E2.5)
Общее решение уравнения E2 4) таково:
р = С + Л cos ф + В sin ф.
E2.6)
Используем теперь начальные условия. Очевидно (рис. 107),
что при ф = л г = го и, следовательно, р = 0. Это даст при под-
подстановке в E2.6)
А = С, E2.7)
5 52] а ЧАСТИЦА В ПОЛЕ ЯДРА 179
Второе условие мы получим следующим образом. Ордината
jiio6oh точки траектории связана с г и ф очевидным соотноше-
соотношением у = г sin ф или
Воспользовавшись E2.6) и E2.7), найдем
+ В.
_ СA+СО5ф)
При ф = л ордината у-равна «прицельному расстоянию» р,
а первый член в правой части обращается в н^ль. Мы получаем,
таким образом, В = \!р, и решение E2.6) принимает оконча-
окончательный вид
р =СA +созф)-{- — sinqj.
E2.8)
Отклонение а-частицы, ф, очевидно, равно углу 0 между
асимптотами гиперболы, а для направления полета после откло-
отклонения р = 0, Поэтому из E2.8) мы получаем
или, принимая во внимание значение С из E2 5),
Наконец, момент количества движения Р можно выразить
через прицельное расстояние Р и скорость v:
р = Mpv.
Подставив это в E2.10), получим
Это и есть формула для ;,гла отклонения а частицы, которой
мы ^же воспользовались в § 26.

]80 t СТРОЕНИЕ ATOM* И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
§ 53. Приведенная масса
Выше мы видели (§ 45), что в системе двух частиц, находя-
находящихся только под действием сил взаимодействия, обе частицы
движутся относительно их центра инерции. Покажем теперь, что
изучение движения такой системы двух частиц можно заменить
рассмотрением движения одной фиктивной частицы, располо-
расположенной на расстоянии от неподвижного центра, равном расстоя-
расстоянию между частицами и обладающей массой
Из уравнений движения обеих частиц имеем
Вычтем E3.2) из E3.1)
г,— r2 = ^-F12 — -±-Fai.
Но так как по третьему закону Ньютона
E3.1)
E3.2)
и принимая во внимание, что разность векторов Г; — г2 = г (см.
рис. 100) есть вектор г, направленный от т2 к mf, получим
или
причем по E3.3)
ц.г = F12,
E3.4)
E3.5)
Мы видим, что задача о движении системы дв>х частиц экви-
эквивалентна задаче о движении одной частицы, находящейся на
расстоянии г от неподвижного центра и обладающей массой,-
выраженпой через массы обеих частиц формулой E3.5). Масса
ц. называется приведенной массой.
§ 541
ОБОБЩЕ
ЫЕ КО
ТЫ СОСТОЯНИЕ СИСТЕ
181
Теперь ясно, что результаты, которые мы получали до сих
пор, рассматривая например, движение электрона с массой т
относительно ядра с массой М, считая последнее неподвижным,
не точны, так как на самом деле надо было рассматривать дви-
движение и электрона, и ядра относительно их общего центра инер-
инерции. Однако, согласно уравнению E3.4), результаты будут
вполне точными, если рассматривать движение относительно
неподвижного ядра фиктивной частицы с массой, равной приве-
приведенной массе ц ядра и электрона.
Оценим ошибку, которую мы вносим, пренебрегая собствен-
собственным движением ядра. Приведенная масса ядра М и электрона т
выразится так:
V- =
Mm
Так как Mjm = 1836,1, то в формулы, в которые входит масса
электрона, следует вместо т подставить ц, причем в результате
появится поправочный фактор
Как мы увидим впоследствии (§ 107), в вопросах спектроскопии,
где точность измерений очень высока, такой поправочный фак-
фактор, несмотря на свою малую величину, вносит в результат вы-
вычислений изменение, лежащее вне пределов ошибки экспери-
эксперимента.
Отметим, в заключение, что при учете движения ядра выра-
выражение третьего закона Кеплера
должно быть уточнено путем замены массы электрона т на при-
приведенную массу ц:
§ 54. Обобщенные координаты. Состояние системы
До сих пор мы имели дело с двумя системами координат:
декартовой и полярной. В механике, однако, большую пользу
приносит пользование так называемыми обобщенными коорди-
координатами, под которыми разумеются любые параметры, полностью
определяющие «конфигурацию» системы. Так, например, систе-
система из двух взаимодействующих частиц может быть охарактери-
охарактеризована тремя декартовыми координатами их общего центра

182 , строение атома и классическая физика [гл. v
инерции, расстоянием частиц п двумя углами, определяющими
положение прямой, соединяющей частицы.
Выбранные обобщенные координаты обыкновенно обозна-
обозначаются одной и той же буквой q с различными индексами:
Яъ Qi, Ц%, ¦¦¦ Преимущество такого способа заключается, между
прочим, в том, что число обобщенных координат в некоторых
случаях может быть и меньше полного числа декартовых илн
полярных координат. Например, если мы имеем систему из двух
точечных масс, находящихся на неизменном расстоянии d друг
от Друга, то между шестью декартовыми координатами этих
частиц имеется одно соотношение (условие связи)
из которого может быть определена одна координата в функции
пяти остальных. Таким образом, в этом случае конфигурация
системы полностью определяется пятью независимыми парамет-
параметрами, а потому и достаточно пяти обобщенных координат. Во-
Вообще, если система из п частиц подчинена k условиям связи
между координатами частиц, то из Зп координат независимыми
будут
координат; остальные k координат определятся из условий
связи. Это число / независимых параметров, необходимое для
полного определения мгновенной конфигурации системы, назы-
называется числом степеней свободы. Если заданы все обобщенные
координаты ц\, ц% ..., qf и все обобщенные скорости, т. е. Про-
Производные от обобщенных координат по времени q'i, ц\ ..., 4/, то
тем самым полностью определено состояние системы. В класси-
классической механике, таким образом, мгновенное состояние системы
определяется 2/ независимыми параметрами.
§ 55. Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа
Поскольку мы вводим обобщенные координаты, целесооб-
целесообразно отыскать уравнения движения, которые имеют место в лю-
любых системах координат. Таким свойством обладают уравнения,
открытые Лагранжем и называемые лаграпжевьши уравнениями
движения; часто их называют также уравнениями Лаграижа
второго рода. С ними мы и ознакомимся теперь.
Пусть мы имеем свободную частицу. Положение ее характе-
характеризуется вообще тремя координатами. Это могут быть декар-
декартовы координаты х, у, г, но могут быть и любые другие коорди-
координаты qt, q2, qz- Допустим, что нам известны формулы, выражаю-
выражающие х, у, z через qb цч, Цг-
% = *(<?!, q2, ?з)> У = У(йи Цъ Ь), z = z(qt, q2, q3) E5Л)
§ 551 ФУНКЦИЯ ЛАГРАПЖА УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 183
(ср., например, формулы (§ 49) для перехода от декартовых ко-
координат к полярным). Напишем уравнения движения в декар-
декартовых координатах
тх = X, ту = Y, mi =Z.
Умножим теперь первое из этих уравнений на -^—, второе на
дг /СС ill
Правую часть полученного уравнения обозначим для краткости
через Q,:
Заметив, что, например,
dqi dt \ rf?,) dt \dqj т
мы можем переписать уравнение E5.2) в виде
Дифференцируя формулы E5.1), мы получим выражения для
полных производных х, у, г по времени, рассматривая х, у, г
как сложные функции времени. Например,
Отсюда сразу находим
Аналогично получаем
E5.6)
Далее, принимая во внимание, что результат дифференцирова-
дифференцирования не зависит от порядка, в котором производятся два последо-
последовательных дифференцирования, имеем
d ( дх \ дх d ( ду\_ дц d ( dz \_ di « „

184 СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
Имея в виду соотношения E5.6) и E5.7), мы можем переписать
уравнение E5.4) в виде
/,. Ох , , ду
Вспомним теперь, что кинетическая энергия Т нашей частицы
выражается через составляющие скоростей х, у, z следующим
образом:
Мы имеем поэтому
Уравнение E5.8) принимает теперь вид
Если сила, под действием которой происходит движение,
имеет потенциал 0(x,y,z)t так что
у Щ_ v_ ди_ 7__ ди_
то выражение E5.3) для
Vl "" \ дх dqs """ ду
Теперь уравнение E5.9) примет вид
= — — Z= ——
ду ' дг
i можно написать так:
_ _ду_
_
dqi
JjL ^i_j „ J^_ = _ _^L. E5.10)
Введем, наконец, новую функцию L, равную разности между
кинетической и потенциальной энергиями (не смешивать с пол-
полной энергией, которая равна сумме кинетической и потенциаль-
потенциальной энергий!):
L = T — U. E5.11)
Эта функция называется функцией Лагранжа или кинетическим
потенциалом. Так как потенциальная энергия не зависит от ско-
скоростей qu q2, с/з, то -$?-¦ —~щ-, и УРавнеН1"-' E5 10) приобре-
приобретает простой вид
S 56) УРАВНЕНИЯ ЛЛГРАНЖА И ЦЕНТРАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 185
Это и есть первое из уравнений Лагранжа. Два других полу-
получаются совершенно аналогичными преобразованиями:
\)—Щ;=о- <55-12'>
Преимущество уравнений Лагранжа перед ньютоновыми с
особенной ясностью выступает в том случае, когда движение
частиц подчинено связям. В этом случае число независимых
параметров, характеризующих конфигурацию системы, будет
уже не 3/1, но меньше этого числа, а именно, их будет столько,
сколько степеней свободы у системы (см. § 54): Q\, q2, -. -, щ,
f = 3/i — k. Столько же будет и уравнений Лагранжа. Если, на-
например, речь идет о движении одной частицы по заданной по-
поверхности (одно уравнение связи), то достаточно двух уравне-
уравнений Лагранжа; для отыскания движения частицы по заданной
кривой достаточно одного уравнения Лагранжа.
§ 56. Применение уравнений Лагранжа к задаче
о центральном движении
В качестве примера применения уравнений Лагранжа рас-
рассмотрим вновь задачу о движении электрона в поле положитель-
положительно заряженного ядра. Симметрия задачи указывает на то, что
наиболее удобными будут здесь полярные координаты г и ф,
связанные с декартовыми соотношениями
= Г COSCp,
= r sincp.
E6.1)
Уравнения Лагранжа будут (q} = г, цч = ф)
А, (Лк\ _ 1L — о — (—) — ^- — i
tit \ дг J дг ' dt \ дф j dip
Для отыскания функции Лагранжа для этого случая вспом-
вспомним выражения кинетической и потенциальной энергий в поляр-
полярных координатах*)
Функция Лагранжа будет поэтому
E6.2)
*) Если мы хотим учесть собственное движение ядра, то в формулу для
кинетической энергии нужно ввести вместо массы электрона приведенную
массу электрона и ядра (§ 53).

строение атома и классическая
Напишем ее частные производные:
dL . dL 2. dL . 2 Ze2 dL n
-—- = mr, -дг- ~ mr ф, —— = тгф у-, -^— = 0;
подставляя это в E6.1), получим
E6.3)
E6.4)
Второе уравнение сразу дает
2
р р
тг2ф = Р, E6.5)
где />— постоянная интегрирования. Это—не что иное, как за-
закон сохранения момента количества движения. Первое же урав-
уравнение можно переписать в виде
тг = — ^--\- шгфг. E6.6)
Это уравнение описывает составляющую движения по радиусу-
вектору. Справа написана сила, действующая на электрон вдоль
радиуса-вектора. Ее выражение состоит из двух членов: первый
представляет собой кулоповскую силу; появление же второго на
первый взгляд кажется неожиданным. Однако при ближайшем
рассмотрении этот член тгф2 оказывается просто центробежной
силой инерции.
Теперь мы можем перейти к интегрированию уравнения
E6.6). Для этого подставим в пего выражение ф из E6.5)
и разделим обе части на
Это уравнение можно представить в виде
Умножив обе части этого уравнения на 2г, получим
— fi = A. BZe2 __ р2 \
откуда после интегрирования имеем
E6.7)
E6.8)
§ 56] УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ЦЕНТРАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 187
где с —постоянная интегрирования. В этом уравнении мы заме-
заменим г через
dr . Р dr
\ что после небольших преобразований дает
где С = стг1Р2; или, вводя новую переменную р = 1/г,
/ dp \г
E6.9)
Но уравнение E6.9), очевидно, совпадает с D5.7) и интегри-
интегрируется одинаковым с ним образом. Поэтому мы здесь не будем
повторять вычислений, выполненных в § 51 и приводящих в ко-
конечном результате к уравнению конических сечений.
В заключение мы дадим полезную качественную иллюстра-
иллюстрацию уравнения E6.6). Для этого мы приведем его к виду E6.7)
и перепишем так:
Это уравнение, очевидно, соответствует одномерному движению
в поле с потенциалом
С=-~+-2^г- E6.10)
Здесь первый член представляет собой потенциал кулоновской
силы, второй — некоторый фиктивный потенциал, обусловленный
наличием центробежной силы инерции.
Построим теперь потенциальную кривую, откладывая г по
оси абсцисс и U— по оси ординат. Эта кривая должна иметь
вид кривой /, изображенной на рис. 108.
Действительно, для больших значений г вторым членом в
E6.10) можно пренебречь по сравнению с первым, и U отрица-
отрицательно. Наоборот, для малых г второй член преобладает над
первым, и потенциальная энергия становится положительной.
Поэтому при определенной величине г кривая проходит через
минимум, быстро поднимаясь вверх при дальнейшем уменьше-
уменьшении г.
Эта кривая наглядно показывает, почему при положительной
полной энергии орбита гиперболическая, а при отрицательной —
эллиптическая. Для этого удобнее всего воспользоваться иллю-
иллюстрацией с тяжелым шариком (см. стр. ]52). Очевидно, что ша-
шарик, поднятый на высоту Et > 0, скатится в «яму» ABC и
уйдет в бесконечность. Наоборот, при отрицательной энергии
(?3 < 0) шарик будет кататься туда и сюда в углублении DBF,

СТРОЕНИЕ АТОМА 1
:сическ*я физикл
и соответствующая ему частица все время будет оставаться на
конечном расстоянии от притягивающего центра, совершая от-
относительно него периодическое движение.
Если имеет место не притяжение, но отталкивание, то первый
член в E6.10) положителен и потенциальная энергия при любом
г положительна. Потенциальная кривая теперь имеет оид кри-
кривой // рис. 108. В этом случае шарик, поднятый на любую вы-
высоту, укатится в бесконечность.
§ 57. Обобщенные импульсы
Уравнения Лагранжа всегда приводят решение задачи к ин-
интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений вто-
второго порядка. Во многих случаях, однако, удобно пользоваться
вместо уравнений второго порядка удвоенным числом уравнений
первого порядка. Для того чтобы написать такие уравнения, мы
должны прежде всего ввести новое понятие — обобщенный им-
импульс. Каждой из обобщенных координат мы будем сопостав-
сопоставлять отвечающий ей обобщенный импульс, который мы опреде-
определим формально (в духе механики Лагранжа) как частную
производную от функции Лагранжа по соответствующей обоб-
обобщенной скорости:
p*=it- <57Л>
Для случая сил, имеющих потенциал U, который является функ,-
§57] ОБОБЩЕННЫЕ ИМПУЛЬСЫ ' [gg
цией координат, но не скоростей, L = Т—U (qt .,., qt, ...) и
Для того чтобы уяснить себе физический смысл обобщенных
импульсов, полезно вычислить их явные выражения в различ-
различных координатах. Для точки, отнесенной к декартовым коорди
патам,
, = §- = mi, E7.3)
т. е. в этом случае обобщенные импульсы просто являются проек-
проекциями количества движения mv на декартовы оси координат.
В других координатах обобщенные импульсы могут иметь
другой смысл и иную размерность. Найдем, например, импульсы
отвечающие полярным координатам г и <р. Кинетическая энер-
энергия в полярных координатах
E7.4)
соответствующие обобщенные импульсы будут
Как видно, радиальный импульс р, имеет размерность количе-
количества движения, тогда как азимутальный pw— размерность мо-
момента количества движения.
Воспользовавшись понятием обобщенного импульса, можно
придать уравнениям Лагранжа новую форму. Напишем эти
уравнения
ЭД-?-° <'=¦¦" "
и, заменив в них по определению E7.1) ~~ через pk, имеем
dpk _ dh
1, 2, ..., f).
Присоединяя сюда определение обобщенного импульс;
1» = -щ; №-1,2,...,/),
получим систему 2f уравнений первого порядка.
E7.6)
E7.7)

СТРОЕНИЕ ATOM/
§ 58. Гамиль
i канонические уравнения
Уравнения E7.6) и E7.7), полученные в конце предыдущего
параграфа, отвечают нашему желанию заменить уравнения вто-
второго порядка уравнениями первого порядка. Однако они очень
несимметричны. На практике обычно пользуются другой формой
уравнений первого порядка, именно, так называемыми гамиль-
тоновыми каноническими уравнениями, которые отличаются осо-
особой простотой и изяществом.
Рассмотрим сначала самый простой случай. Пусть мы имеем
дело с одной частицей, движущейся прямолинейно. Траекторию
этой частицы мы можем выбрать за ось х, и тогда положение
частицы определится одной координатой q = x, а соответствую-
соответствующим ей обобщенным импульсом будет р = шх [см. E7.3)]. Вве-
Введем теперь новую функцию Я, которую мы определим как сум-
му кинетической и потенциальной энергий, причем кинетическую
энергию мы выразим не через скорость, а через импульс р:
H = T + U=--]j^ + U. E8.1)
Эту функцию Я мы можем связать с функцией Лаграпжа L.
Для этого заметим прежде всего, что кинетическая энергия мо-
может быть .представлена в виде
Теперь легко проверить, что
pt — L = px-T -f U = рх -1 рх -f U = у рх + U = T +U ь= Я.
E8.2)
Возьмем полный дифференциал от обеих частей E8.2):
dtl^pdx + xdp-^dx—^- dx. E8.3)
Но согласно E7.2) dL/dx = р. Поэтому первый член в правой
части E8-3) сокращается с четвертым, и мы получаем
l = xdp~~dx.
E8.4)
Напишем теперь полный дифференциал Я, имея в виду, что Я
ость функция х и р (но не х):
ГАМИЛЬТОНОВЫ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
191
Сравнивая это выражение с E8-4) и вспоминая, что по E7.6)
дЬ/дх = р, находим
*-¦%¦¦ «—¦?-• <58-5>
Эти два уравнения первого порядка и являются гамильтоно-
выми каноническими уравнениями для рассматриваемого про-
простейшего случая. Легко видеть, что'в этом случае канонические
уравнения E8.5) редут к хорошо знакомым результатам. Так
как И = p2l2m -f V, то дН/дх = dll/dx, dFI/др = pjm, и уравне-
уравнения E8.5) дают
. _ р dp _ dU
x~Ti' 1f—~ dx ¦
Первое из этих соотношений дает р = тх, т. е. определение ко-
количества движения, второе представляет собой ньютоновское
уравнение движения для частицы, движущейся по оси х.
Мы сейчас покажем, что и в общем случае системы с f сте-
степенями свободы канонические уравнения имеют такой же вид,
как и E8.5), только число уравнений соответственно больше.
Пусть конфигурация системы определяется f обобщенными коор-
координатами qi, q2, ..., qi- Функция Лаграцжа L зависит от обоб-
обобщенных координат, обобщенных скоростей qlr q%, ..., q,, а также
вообще говоря, и от времени:
L = L{qk, qk, t),
причем через qk обозначена совокупность всех обобщенных ко-
координат, а через qk — совокупность всех обобщенных скоростей.
От функции Лаграпжа мы теперь перейдем к функции Гамиль-
Гамильтона Я, воспользовавшись преобразованием E8-2), распростра-
распространенным на f степеней свободы:
— 2j qk
i= Z^qkpk — ^- E8.6)
Возьмем полный дифференциал правой и левой частей E8.6):
Так как по E7.7) dLjdqk — pk, то первая и четвертая суммы со-
сокращаются, и мы получаем
С другой стороны, полный дифференциал Я —функции qh, ph
(но не qu) и / — должен иметь вид

192 ' СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ V
Сравнивая с E8.7) и принимая во внимание, что по E7.6)
dL dp.
-d^-="dt' П0ЛУчаем
^-?.?—? с-..» /)¦ <«¦•>
Эти дифференциальные уравнения первого порядка и являются
каноническими уравнениями для систем с f степенями свободы.
Их общее число равно 2f, т.е. в два раза больше числа уравне-
уравнений второго порядка. Обобщенная координата qk и соответст-
соответствующий ей обобщенный импульс рк называются канонически
сопряженными.
Для системы с тремя степенями свободы (например, для
одной частицы, движение которой не ограничено связями) кано-
канонических уравнений будет всего шесть. Так как мы имеем дело
здесь с шестью уравнениями первого порядка, то в окончатель-
окончательный результат войдут еще шесть произвольных постоянных.
Зная начальное состояние системы (§ 54), т. е. совокупность
значений qk и ph для / = 0, и проинтегрировав уравнения E8.8),
мы можем предсказать ее состояние для любого будущего мо-
момента времени. Таким образом, гамильтоновы канонические ура-
уравнения по своей форме являются наиболее Отчетливым выраже-,
нием классического принципа причинности.
§ 59. Физический смысл функции Гамильтона
В начале предыдущего параграфа мы определили функцию
Гамильтона для случая одномерного движения, отнесенного к
декартовым координатам, как сумму кинетической и потенци-
потенциальной энергий, выраженных через координаты и импульсы. За-
Затем мы показали, что это определение тождественно с определе-
определением через функцию Лагранжа
и это последнее определение мы обобщили на случай f любых
обобщенных координат, полагая в этом случае
k — L{qk, (Ik, t).
E8.6)
Выясним теперь, каков смысл функции Гамильтона в этом более
общем случае.
Оказывается, что в тех случаях, когда функция Лягранжа,
а также функция Гамильтона Н не зависят явно от времени, И
есть так же, как и в простейшем случае, сумма кинетической и
$ 59] ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА 193
потенциальной энергий. Докажем прежде всего, что, когда И
от времени явно не зависит, она равна постоянной:
H^H(qk, Pb) = const.
Для доказательства найдем полную производную И по времени:
&Н дИ . . дН . дН . . , дН . .
E9.1)
Подставляя сюда ф, и р'к из E8.8), получим
dn = V 1бН_ дН_ __ _дИ_ j№_\ ^ .
dt ^\dq др °Р д'1 '
у
И = const E9.2)
Теперь мы обратимся к выяснению физического смысла Н.
По определению
Я = р,$, + Р2Я2 + РФ + • • • - L ^ | pkqk ~ L. E9.3)
Для консервативной системы
I =- Т - U,
и так как У зависит только от координат, то
dL дТ
Рк " Щ ~ dh '
Таким образом, получаем
и, следовательно,
E9.4)
E9.5)
E9.6)
Теперь необходимо принять во внимание, что в любых обоб-
обобщенных координатах кинетическая энергия есть однородная
функция скоростей ф, второго измерения. Для декартовых и
полярных координат мы в этом убедились непосредственно
(см. §§ 41 и 49); то же можно показать и в случае обобщенных
координат*)- По теореме Эйлера об однородных функциях,если
¦") См, например,. Л. Д. Ландау и Е. М Л и ф ш и и. Механика, *Нп-

194 ' СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
f (х у , и, v) — однородная функция /1-го измерения, то
'-&+»¦&+¦¦¦+-&+'-?-*
Применяя эту теорему к сумме E9.6), получаем
V. дТ , дТ . . дТ , . дТ , о_
E9.10)
и E9.7) дает
Итак, для консервативных систем Я есть просто сумма кине-
кинетической и потенциальной энергии, выраженная через коорди-
координаты и импульсы.
Приведем несколько примеров функции Гамильтона.
а) Частица в поле с потенциалом U:
Т=\т {& + y* + z*) + U (х, у, г).
Согласно § 55 рх = тх, ру = ту, рг = mi. Следовательно,
-, z). E9.11)
б) Линейный осциллятор: Т=-^тх2, U = ~^fx2,
в) Электрон в кулоновском поле: Т = -^-(гэ + г'ф2), U =
§ 60. Циклические координаты
Функция Гамильтона Я в общем случае зависит от всех ко-
координат и обобщенных импульсов. Однако в некоторых частных
случаях оказывается, что одна или несколько координат могут и
не входить в выражение Я. Такие координаты называются цик-
циклическими. Возьмем, например, гамильтонову функцию элек-
электрона, движущегося в кулоновском поле ядра;
И = ^(р1+-^р1)-~- E9.13)
§ №] ЦИКЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ [Э.>
Мы видим, что из двух координат г и ф только г входит в выра-
выражение Я; следовательно, <р есть координата циклическая.
В качестве второго примера рассмотрим функцию Гамиль-
Гамильтона для движения частицы в поле тяготения Земли. Здесь по-
потенциальная энергия зависит только от расстояния частицы от
Земли: U = mgz. Следовательно [см. E9.И)],
н^ш(рг + р1 + рг) + m?z- F0-i)
Как мы видим, в выражение Я не входят координаты х и у; они
также являются циклическими координатами.
Если какая-нибудь из координат является циклической, то
соответствующий ей обобщенный импульс должен быть постоян-
постоянным. Пусть, например, координата q\ не входит в Я:
Я = Я(з2, q3. •¦¦- ЯГ. Pi, pa. •••• Pf).
Тогда из канонических уравнений E8 8) следует—з^-= — -^— =
= 0, откуда pi = const. Таким образом, поскольку в гамильто-
гамильтонову функцию E9.13) не входит координата ф,
рф = mr-ф = const. F0.2)
В функцию Я Гамильтона F0.1) не входят координаты у и х,
вследствие чего
рх = тх = const, Ру = ту = const. F0.3)
Особенно важен тот случай, когда все координаты — цикли-
циклические. В этом случае, как мы сейчас покажем, все импульсы
являются постоянными, а все координаты —линейными функ-
функциями сремсни. Наиболее простым примером подобного случая
может служить ротатор, т.е. частица, обращающаяся по ьр>гу
около неподвижного центра. Кинетическая энергия такой ча-
частицы, как известно, равна
Т = ±Ач>\ . F0.4)
где Л = mr2; ее потенциальная энергия равна нулю. Обобщен-
Обобщенный импульс, соответствующий <р, будет
Рф = !?^-4Ф F0.5)
и, следовательно,
F0.6)

196 строение атома и классическая физика [гл, v
Так как единственная координата <р — циклическая, то р9 =
= const и, согласно каноническим уравнениям,
Обозначив const через ш, получим после интегрирования
где а — постоянная интегрирования.
Если система имеет f степеней свободы и все координаты
циклические, то Н = Я(ри p2t...,p}), и для любого импульса рк
Канонические уравнения тогда дают
_?2l = °П- =, const = coj,
_If = --— = const = fflf,
Мы видим, что, действительно, в случае, когда все координа-
координаты циклические, все импульсы являются постоянными, а коор-
координаты— линейными функциями времени.
§ 61. Скобки Пуассона. Законы сохранения
Положим, что мы имеем какую-нибудь функцию координат,
импульсов и времени: F(qk,pkJ), где qh и рк— совокупности
всех координат и импульсов; найдем полную производную F по
времени
dt = at "+¦ dqx dt +^, dt -r •• • *r dpi dl -I" dp2 dt -+¦ ...
_ dF Y/1— dQk dF dpk\
Заменяя в правой части производные по времени от координат
и импульсов через производные гамильтониана Н из канониче-
§ 61] СКОБКИ ПУАССОНА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 197
„ дН dH
ских уравнений <7*=-^, Рн^~~щ^, получаем
dF dF^ Y / ПН dF дН dP \
~dT~~dF~i~ 2и\др^~Ъ~ц~1 ~до^~др^}'
Второй член в правой части называется скобками Пуассона и
обозначается через (li,F):
<".'>=1(те-1г!г). *->¦»¦¦-'¦ <6'-')
Итак, полную производную по времени всякой функции
F{qk.pk, t) мы можем написать в виде
Если F явно не зависит от времени, то -^у— О и
-§¦ = («,?). F1.3)
Можно сказать, таким образом, что для всякой функции коор-
координат и импульсов F(qk,pk) скобки Пуассона дают выражение
ее полной производной по времени. Пользуясь этим замечанием,
мы представим канонические уравнения
dqk дИ dpk дН
' dt dpk ' ' dl ~ Ъ~а~1
при помощи скобок Пуассона в новом виде.
Согласно F1.3) мы имеем
4?—№ *). ЧГ = С. №)• F1-1)
Отшием теперь скобки {H,qk) и (Н.рь);
1Н ^ 1д" "«* Ш '"Л ёН
{", Рк) — [ePt -^ d,t ePij— 5^.
Мы видим, что уравнения F1.4) действительно совпадают с ка-
каноническими уравнениями.
Если для r(qk,pk) скобки Пуассона (Я,/7) равны нулю,
(Я,?)-О, F1,4')
то
4f = °. f(?i. P») = const.

198 СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
Этим можно воспользоваться для отыскания законов сохране-
сохранения или первых интегралов уравнений движения, под которыми
разумеют такие соотношения между координатами и их пер-
первыми производными по времени, которые сохраняют свое зна-
значение во все время движения при любых начальных условиях.
Найдем, например, скобки (Н,Н):
(Я И\ — У f— — - дИ —^ - О
или, в раскрытом виде в декартовых координатах
Я = —¦ (pi + pl + pl)+U (х, у, г) = const. F1.5)
Это соотношение, выражающее закон сохранения энергии, и
есть один из первых интегралов движения — именно интеграл
энергии. Заметим здесь, что, отыскивая производную -щ- в § 59,
мы уже воспользовались частном случаем скобок Пуассона
[см. E9.1)].
В качестве второго примера рассмотрим движение частицы
в поле центральной силы. Найдем скобки Пуассона (HtLz), где
Lt — момент количества движения относительно оси г:
Lz = хру — урх. F1.6)
Искомые скобки Пуассона по F1.1) будут
(ti, ьг)== дрх дх — дх ™ + -^— -g— — dij _. (b\.iy
Принимая во внимание F1.5) и F1.6), получаем
Для вычисления правой части перейдем к полярным координа-
координатам, воспользовавшись формулами
х = r cos ф, у = г sin ф.
Заметив, что
5 ВЦ СКОБКИ ПУАССОНА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 199
Но так как в случае центральной силы потенциальная энергия
це зависит от ф, а зависит только от г, то
(Я, 1г) = 0 и Lt = const.
В качестве упражнения предлагается доказать с помощью
скобок Пуассона, что Lx = const и I, = const. Мы получаем
три закона сохранения, а именно, законы сохранения составляю-
составляющих момента количества движения.
Законы сохранения полного .чометгта количества движения
имеют место также н для изолированной системы частиц. В этом
случае
где суммирование распространяется на все частицы. Вычисле-
Вычисление, аналогичное проделанному в F1.7) "•'я одной частицы, дает
При переходе к полярным координатам X/, = гь cos <ph! ук
=^ гн sin <pk получаем
dLу дУ
По так как для изолированной консервативной системы при по-
повороте всей системы на одни и тот же угол потенциальная энер-
энергия не меняется, то
At? . . ,
—щ~ =0 н Lz = const.
Применяя аналог![чный прием, можно доказать, что для изо-
изолированной системы k частиц имеют место законы сохранения
слагающих полного количества движения Рх, Ру, PZi причем
Действительно,
^суммирование распространяется на осе частицы). Но так как
потенциальная энергия системы частиц зависит только от их
¦взаимных расстояний и не меняется, если все они сместятся

СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИ!
на одинаковое расстояние по оси х, то 2и~^г = в и ^r — const.
Аналогично доказывается, что
Рв = const, />z = COnSt.
Если мы присоединим сюда еще закон сохранения энергии
F1.5), то получим семь законов сохранения или первых инте-
интегралов уравнений движения.
Скобки Пуассона можно определить не только для пары
функций Н и F, но и для любой пары функций координат и им-
импульсов } и g. В этом случае определение таково:
Л -Ж
dqb dqk dpk
Пусть f = р и g = q; тогда, очевидно,
при f = q и g = q
_dP___d±_ S>P_dq_ ,
»0.
У' Я> ~~dp~5q dq ~dp
F1.8)
F1.10)
Точно так же и (р, р) = 0. Тот факт, что для пары канонически
сопряженных координат и импульсов скобки Пуассона равны t,
можно рассматривать как определение канонически сопряжен-
цых величин: две величины рк и <?& мы будем называть канони-
канонически сопряженными, если
Xqm, qt)*=O, (рь, рь) = 0, (Pk, ?*)—1.
§ 62. Движение в электромагнитном поле
В предшествующих параграфах этой главы мы интересова-
интересовались исключительно случаями, когда движение происходит в по-
потенциальном поле, т. е. в поле, в котором сила, действующая на
частицу, может быть представлена как градиент некоторой ска-
скалярной функции ф. Примером такого поля является постоянное
электростатическое поле. Работа при перемещении заряженной
частицы в таком поле не зависит от формы пути, а зависит
только от положения начальной и конечной точек.
Важным случаем движения является движение под дей-
действием электромагнитного поля. Сила, действующая на заря-
заряженную частицу в таком поле, как известно, выражается фор-
формулой Лоренца
§ 62] ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 201
Второй член этой формулы выражает силу, действующую со
стороны магнитного поля. Как уже было указано (стр. 149),
сила
работы не совершает, так как она направлена перпендикулярно
к скорости. Важным свойством магнитного поля является то,
что это поле не имеет источников. Это обстоятельство выра-
выражается условием
Вследствие этого условия напряженность магнитного поля Ж
может быть представлена как вихрь некоторого вектора А, на-
называемого векторным потенциалом
[как известно из векторного анализа, для любого вектора а имеет
место тождество: divrota = 0; поэтому А\ч Ж = divrot A = 0,
т. е. указанное условие выполняется].
Наиболее общим является случай переменного во времени
электромагнитного поля. Для вычисления такого поля в элек-
электродинамике вводятся так называемые электродинамические по-
потенциалы—скалярный ф и векторный А*), и напряженности
полей — электрического & и магнитного Ж — вычисляются по
формулам
~~ ^а Ф с dt ' \ F2.1)
Ньютоновы уравнения движения частицы с массой т и по-
положительным зарядом е в электромагнитном поле таковы:
и еще два аналогичных уравнения для осей у и г. Покажем те-
теперь, что эти уравнения могут быть получены из функции Ла-
гранжа. выбранной следующим образом:
L = Т — еф -f ~ (vA), F2.2)
или в раскрытом штде в декартовых координатах
L = -j m(x? + у* + t*) — etp +^(хАх -\- уЛу +ZAz). F2.3)
*) См., например, И Е Т а м м Основы теории этектричества зНаукаэ
1966. стр 218; Я. И. Френкель, Kvpc теоретическое механики Гостехиздат
1940, cip 212.

202 строение атома и классическая физика [гл v
Для доказательства мы прежде всего найдем обобщенные им-
импульсы, соответствующие координатам х, у, z. По определению
рх=-ф~ и т. д., что даст, если воспользоваться функций L
F2.3) ,Х
рх = mi + у Ах, ру = т§ + -1 Ау, рг = тг-\-~А, F2.4)
или в векторноБ форме
Р = mv + у А.
Напишем теперь лагранжевы уравнения движения
dt \ <lqk j dr „ ' ' ¦•¦•>(•
v. .;iaa q\ ^= x n aciiJTHiJ, что -г-т- = рх, получим
^^ d/. _ n
(G2.5>
@3.6)
Важно иметь в виду, что при вычислении производной-^ сле-
следует брать полную производную или производную вдоль траек-
траектории движущейся частицы *):
Принимая это во внимание, имеем
h^fi). F2.7)
Далее, продифференцировав F2.3) по х, находим
Подставляя F2.7) и F2.8) в F2.6), пелучаед
тх = — е д<Г' — дАх ' — \ • f^l_ дЛх) -1дАх дАг\]
Нзш1? АП дТяЙУС/^Гат™
нал характеризует изменение А в данном месте,
ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Но, принимая во внимание F2.1), очевидно, имеем
Итак, мы получаем
= у rotz А — z rot,, А = уЖг — гЖц = [
Функция Гамильтона согласно общему определению есть
Я - хрх + уру + грг — L. F2.9)
Если мы сюда подставим вместо рх, рУч рг выражения кинетиче-
кинетических импульсов F2.4) и функцию Лагранжа F2.2), то получим
H = i [mx.+ -с Ах) + у {my + f Ау) + z \тг + ~ Аг) -
Выполнив простые алгебраические преобразования и приведе-
приведения, мы увидим, что члены, содержащие составляющие вектор-
потенциала, сокращаются и результат таков:
// = ~ т(& + ,f + г2) + е<р = -±{р1 + pl + pi) + вф,
т. е, Я по-прежнему является суммой кинетической и потен-
потенциальной энергий, а какие-либо члены, соответствующие маг-
магнитному полю, отсутствуют. Этого и следовало ожидать, так как
сила Лоренца никакой работы не совершает (см. § 4!).
Найдем теперь явное выражение функции Гамильтона через
координаты и соответствующие им обобщенные импульсы. Для
этого в F2.9), а также в выражении функции Лагранжа F2.3)
следует заменить х, у, z n\ выражениями через рх, ру, рг.
Преобразуем сначала функпию Лаграпжа
где под р разумеется кинетический импульс F2.5). Функцию Га-
мплыона напишем для краткости также в векторной форме

КРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИ31
Легко убедиться в том, что первый и последний члены вме-
вместе дают— (р — — А) . В самом деле, например,
Р. (Рх - ~ А*) ~ f Л* [Р* -~ТЛ*) =
= Р\ -27РА + i л* = (/>*- 7 Л^2>
Поэтому мы получаем после приведения
F2.10)
Это и есть искомая функция Гамильтона.
Сравнивая F2.10) с выражением функции Гамильтона
случая электростатического поля
Я '
F2.3 3)
где через Рх, Ру, Рг обозначены составляющие количества дви-
движения (Рх = тх и т. д.), мы видим, что переход к случаю элек-
электромагнитного поля осуществляется при помощи весьма просто-
простого приема: надо в F2.33) заменить составляющие обыкновен-
обыкновенного импульса Рх, Ру, Рг соответствующими составляющими
кинетического импульса
Рх = Рх-^А* и т. д.
§ 63. Механика быстродвижущихся частиц.
Преобразования Лоренца
В тех случаях, когда скорость частпцы сравнима со скоро-
скоростью света, следует пользоваться законами теории относитель-
относительности. Мы не можем здесь систематически излагать теорию
относительности, а приведем в этом и следующих параграфа*
только необходимые сведения, которыми нам придется восполь-
воспользоваться в дальнейшем *).
*) На русском языке имеется ряд хорош.
ности, н-шример: Беккер, ЭлектГ
тсльности. Краткое, но очень ясно
История создания теории относите,
рее. Она увлекательно изложена
Л. И .Мандельштама (Лекции по с
механике, «Наука», 1972, стр 83).
е
БЫСТРОДВИЖУЩИХСЯ 1
205
В основе теории относительности лежат два постулата:
1. Постулат относительности. Никакими механиче-
механическими или электромагнитными (в частности — оптическими)
экспериментами, производимыми внутри системы, невозможно
обнаружить равномерное прямолинейное движение этой системы.
Этот постулат является обобщением открытого еще Гали-
Галилеем принципа относительности классической механики, соглас-
согласно которому все механические явления протекают совершенно
одинаково, независимо от того, находится ли система в покое
пли в равномерном прямолинейном, т. е. инерциальном, дви-
движении.
Здесь, однако, нужна небольшая оговорка' если имеются две
системы, находящиеся в прямолинейном равномерном движении
относительно друг друга, то принцип относительности не утвер-
ждает, что какое-либо данное явление протекает одинаково в
обеих системах. Например, если тело покоится в одной системе,
то в другой оно движется. Но принцип относительности утверж-
утверждает, что если начальные условия в обеих системах будут оди-
одинаковы, то и сами движения будут одинаковыми.
Постулат относительности Эйнштейна распространяет это
утверждение также и на электромагнитные явления. Этот по-
постулат может быть формулирован несколько иначе, если вос-
воспользоваться понятием об инерциальных системах, т. е. о таких
системах, в которых имеет место закон инерции. При этом прин-
принцип относительности формулируется так: все законы механики
и оптики одинаковы во всех инерциальных системах.
2. Постулат постоянства скорости света, Ско-
Скорость света в пустоте одинакова во всех системах, незави-
независимо от относительного дви-
движения источника и наблю- ¦?[ *j у у'
дателя.
В классической механике
для перехода от одной си-
системы координат к другой,
движущейся равномерно от-
относительно первой, исполь-
используются так называемые пре-
преобразования Галилея. Рас-
Рассмотрим две декартовы
Прямоугольные системы ко-
координат, S(x.y,z) и S'(x',y,zr) (рис. 109). Пусть для простоты
их оси х совпадают и положим, что система 5' равномерно дви-
движется со скоростью V относительно S вдоль оси х, причем в мо-
момент / = 0 начала координат обеих систем совпадают. В таком
случае в свою очередь система S движется относительно S' со
скоростью— V. Поэтому между координатами точки в системах

КРОЕНИЕ АТОМА И КЛА1
1ЕСКЛЯ ФИЗИКИ
S' и S имеют место соотношения:
х' = х — Vt,
F3.1)
К этим трем соотношениям для пространственных координат
следует добавить еще соотношение для времени: время в обеих
системах с точки зрения классической механики одинаково,
i' = t. F3.1а)
Формулы F3.1) и F3.1а) представляют собой имеющие ме-
место в ньютоновой механике преобразования Галилея. Легко убе-
убедиться в том, что уравнения ньютоновой механики не изменяют
своего вида ири -замене координат и. времени согласно этим фор-
формулам преобразования. Иначе говоря, уравнения механики
Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.
В самом деле, напишем ньютоново уравнение движения для
координаты х
m^-=f*. F3.2)
Очевидно, что последующие рассуждения будут справедливы
также и для уравнений, написанных для любой координаты х,
у или г. формулы преобразований Галилея дают для коорди-
координаты х;
Дифференцируя по /, получаем:
vx = K + v- F3.3)
Это—известная теорема сложения скоростей механики Гали-
Галилея—Ньютона: скорость частицы в системе S равна скорости
этой частицы в системе 5' плюс скорость относительного движе-
движения обеих координатных систем.
Дифференцируя по х второй раз, получаем:
dt
dt'
F3.2а)
Итак, левые части ньютоновых уравнений движения не ме-
меняются при преобразованиях Галилея. В правых частях этих
уравнений находятся компоненты силы_ Но в механике силы
взаимодействия между двумя телами являются силами притя-
притяжения или отталкивания. Такие силы зависят от расстояния
между двумя телами, т е. от разностей координат, а не от са-
мпя координат. Поэтому, преобразования Галилея не меняют
ШХАНИКА БЫСТГОДВИЖУЩИ1
F'x- = Fx.
Подставляя F3.2а) и F3.26) в F3.2), получаем;
Это и показывает, что преобразования Галилея не меняют вида
ньютоновых уравнений движения: ньютоновы уравнения движе-
движения инвариантны относительно преобразований Галилея.
Инвариантность уравнений движения относительно преобра-
преобразовании Галилея представляет собой математическую формули-
формулировку принципа относительности классической механики: законы
движения одинаковы во всех системах координат, равномерно
движущихся относительно друг друга. Первый постулат теории
относительности согласуется с этим принципом и обобщает его
на законы распространения света. Однако одновременное при-
применение обоих постулатов находится в противоречии с преоб-
преобразованиями Галилея. В самом деле, из преобразований Га-
Галилея автоматически вытекает теорема сложения скоростей
F3.3). Но если применить эту теорему к скорости распростра-
распространения света, то получается, что если скорость света б системе 5'
равна с, то в системе S она должна быть равна
что противоречит второму постулату теории относительности.
Так как, однако, оба эти постулата подтверждаются всеми
известными экспериментальными фактами, то противоречие
имеется не между самими постулатами, а между постулатами
и преобразованиями Галилея: преобразования Галилея непри-
неприменимы к распространению света и к движениям со скоростями,
близкими к скорости света.
Эйнштейн из самых общих соображений о свойствах про-
пространства и времени нашел такие преобразования, которые со-
согласуются с обоими постулатами теории относительности и част-
цым'случаем которых (при Vlc<?.\) являются преобразования
Галилея. Эти преобразования ранее были найдены формально
Лорениом, ввиду чего они называются преобразованиями Ло-
Лоренца. Они имеют следующий вид:
, x — Vt ,
х= у пг> У =
F3.4)

i КЛАССИЧЕСКАЯ
ц
движущихся относительно друг друга, по-разному.
Легко видеть, что при У/с <К I, т. е. в условиях, когда верпа
механика Ньютона, преобразования Лоренца автоматически пе-
переходят в преобразования Галилея F3.1).
Выразим теперь из F3.4) х, у, z, i через х', у', z', t'. Полу-
Получаем:
F3.5)
Это — те же формулы преобразований Лоренца для систе-
системы 5, движущейся относительно 5' со скоростью — V.
Мы не будем выводить преобразования Лоренца, по для
оправдания их покажем, что именно они обеспечивают отсут-
отсутствие противоречия между обоими основными постулатами тео-
теории относительности. Рассмотрим для этого снова две инер-
циальные системы S и 5'; пусть их начала совпадают в момент
/ = 0. Предположим, что в этот момент из начала координат
выходит короткий световой сигнал. Через промежуток времени
dt световой сигнал распространится в системе S на расстояние
cdt и достигает сферической поверхности с радиусом R = cdt.
Уравнение этой сферической поверхности с центром в точке О
2 -j- dy2
dz2 = с2 dt2.
F3.6)
Произведем теперь переход от системы 5 к системе 5', восполь-
воспользовавшись преобразованиями Лоренца. Подставляя в F3.6) вы-
выражения для dxt dy, dz, dt из F3.5), находим:
После простых алгебраических преобразований пол\чим:
dx'2 -f rfy'! + dz'2 = с2 d/'\ F3.7)
т. е. снова уравнение сферической поверхности, цо с цен-
центром в О'.
5 63]
1ЕХАНИК
еыстродвижущи:
1АСТИЦ
Мы видим, что благодаря преобразованиям Лоренца и по-
постоянству скорости света с (второй постулат) удовлетворяется
также и постулат относительности: волна, выходящая из общего
начала координат в момент t = 0, остается сферической как в
первой системе относительно начала О, так и во второй системе
относительно своего начала О'. С точки зрения преобразований
Галилея это было бы невозможно *).
Таким образом, преобразования Лоренца устраняют кажу-
кажущееся противоречие между обоими основными постулатами тео-
теории относительности.
В соответствии с преобразованиями Лоренца находится и
теорема сложения скоростей теории относительности. Рассмо-
Рассмотрим простейший случай, когда частица движется по оси х. Из
F3.4) находим:
dx dt
dt ~dF
-V
dt
IF
У'—"ir
Комбинируя оба выражения, получаем:
, vx — V
F3.8)
Отсюда, выражая нештрихованные величины через штрихован-
штрихованные, находим:
и' + V
В,=-^_. F3.9)
Равепство F3.9) представляет теорему сложения скоростей
в теории относительности. При У/с <§; 1 автоматически полу-
получаем:
— теорему сложения скоростей механики Галилея — Ньютона.
Вместе с тем формула F3 9) дает результаты, согласующие-
согласующиеся со вторым пост>лато,м теории относительности. Рас-
Рассмотрим крайний сл>чай. Пусть надо вычислить скорость света
сферой отно
Этот кажущ
? одной сист

5' движется от-
относительно системы 5, если о;=си система 5' движете
носительно S также со скоростью V = с. Тогда, по F3.9),
как и следовало ожидать.
§ 64. Основы релятивистской динамики частицы
а) Зависимость массы от скорости
Нам необходимо теперь ознакомиться с теми важными изме-
изменениями, которые теория относительности внесла в динамику
Ньютона. С этой целью удобно начать с рассмотрения простого
механического процесса: соударения двух тождественных упру-
упругих шаров, движущихся навстречу друг Другу по оси х. В основу
рассмотрения мы положим в качестве постулатов два весьма
общих положении; принцип сохранения массы
2 mj^const F4.I)-
и принцип Сохранения импульса
2 ш,У; = const F4.2)
или, в координатах,
2 m,vi% ~ const, 2j ЩЪ,и =- const, 2j rntvtx = const. F4.2a)
i i i
В дальнейшем процесс упругого соударения будет рассма-
рассматриваться с точки зрения двух систем координат, равномерно
движущихся относительно друг друга. Разница между рассмо-
рассмотрением этого процесса в механике Ньютона и в теорий отно-
относительности будет состоять в том, что в первом случае будут
использованы преобразования Галилея, а во втором—преобра-
втором—преобразования Лоренца, точнее— вытекающие из этих преобразований
законы сложения скоростей. ~"
Итак, рассмотрим два шара, движущихся в системе S' по
оси х со скоростями -\-v' и —v''. Поскольку предполагается, что
соударение идеально упругое, оба шара при соударении сначала
останавливаются, а затем под влиянием развивающихся упру-
упругих сил обмениваются скоростями: первый движется обратно со
скоростью —а', а второй — со скоростью ~\~v'.
Введем теперь еще одну нперциальную систему координат S,
которая движется относительно 5' со скоростью —V. Учитывая
заранее возможность изменения масс шаров в зависимости от
§54] ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦЫ 211
скорости, обозначим их массы в этой системе через mi и гщ.
Пусть М будет сумма их масс в момент остановки, т. е. тогда,
когда оба шара имеют одну и ту же скорость V относительно
системы S. Законы сохранения массы и импульса, справедливые
также и в новой системе координат, дают тогда:
mt + т2 = М, F4.3)
т,о, + m2v2 = MV. F4.4)
Мы убедимся сейчас, что теорема сложения скоростей меха-
пики Галилея — Ньютона ведет к тривиальному результату
nii = niz. Действительно, согласно этой теореме скорость пер-
вого шара относительно S будет
vt-«' + v,
а второю
va=-v'+V.
Подставляя это в F4-4). получаем:
т^' + т,!7— m2v' + m2V =ЛП
откуда
' (mi —ma) о'«О,
s~' что и требовалось доказать.
I В динамике теории относительности мы должны пользовать-
Щ ся теоремой сложения скоростей Эйнштейна, вытекающей из
¦* преобразований Лоренца. Согласно этой теореме
Подставляя F4.5) в F4.4) и пользуясь законом сохранения
массы ffl[ ~|- Шг = М, получаем:
mj " "Уу + т2 —V-^rr = tnl V + m2V,
'% откуда, после простых алгебраических преобразований, находим:
^У-^k- (б4-6)
Чтобы получить окончательный результат, нам остается
только выполнить некоторые чисто алгебраические вычисления,

2 |2 СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА |ГЛ. V
использовав теорему сложения скоростей F4.5). Вспоминая зна-
значение скорости V,, вычисляем:
Соединяя начало и конец этой цепи равенств, пол>чаем.
Аналогичными вычислениями найдем:
V l~i*= Z
При помощи полученных соотношений легко приведем F4.6)
к виду
J2L = -L==. F4.8)
Мы видим таким образом, что массы тел при различных
скоростях не одинаковы, но обратно пропорциональны
у I — -V . вообще
ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИН,
При v = О, т = та и мы приходим к уже известной нам фор-
формуле Лоренца — Эйнштейна
В приведенном выводе рассматривался простейший случай
«лобового» соударения двух масс. Однако можно показать, что
этот выбор частного случая не ограничивает общности получен-
полученного результата и что та же самая формула получается при
рассмотрении любых косых соударений. При этом законы со-
сохранения импульса и массы удовлетворяются, если в качестве v
в формулу входит полная скорость.
Выше (§ 10) мы видели, что экспериментальные работы, вне
связи с какой-либо теорией, с высокой степенью точности под-
подтверждают формулу Лоренца — Эйнштейна для зависимости
массы от скорости в случае заряженных частиц — электронов,
протонов, ядер тяжелого водорода (дейтронов), ядер гелия. При-
Приведенный в этом параграфе вывод показывает, что та же фор-
формула должна быть справедлива, независимо от того, имеет ли
тело электрический заряд или оно нейтрально.
б) Сила и энергия
Продолжим теперь рассмотрение основных положений реля-
релятивистской динамики частицы. Мы будем при этом исходить из
найденного выше результата, а именно, что экспериментально
с высокой степенью точности оправданный факт зависимости
массы от скорости по формуле Лоренца — Эйнштейна в реля-
релятивистской динамике получается как следствие при рассмотре-
рассмотрении простейшего механического процесса — соударения упругих
шаров, — если исходить из закона сохранения импульса. Эго
показывает, что в динамике теории относительности закон со-
сохранения импульса имеет место. Принимая это во внимание,
рассмотрим теперь, как должны быть определены основные ди-
динамические величины, чтобы получилась система согласованных
между собой определении.
I) Сила. В классической механике мы определяем силу либо
как произведение массы па ускорение, либо как производную
от импульса по времени (ср. § 41), т. е.
Ж <mv) = F. F4.9)
В механике теории относительности эти определения не равно-
равнозначны, так как масса зависит от скорости и, следовательно,

Нетрудно видеть, что в релятивистской механике из указанных
диух возможных определений целесообразно выбрать второе,
т. е. определение, выражаемое формулой F4.9). В самом деле,
по закону равенства действия и противодействия (см. § 43)
fflv, -f mv2 = const.
Это и показывает, что при определении силы по формуле F4.9)
удовлетворяется и закон сохранения импульса, т. е. получаются
внутренне согласованные определения.
Однако из определения силы F4.9) следует, что в реляти-
релятивистской механике, в отличие от механики Ньютона, сила и
ускорение, вообще говоря, не будут направлены одинаково. Дей-
Действительно, так как масса т в формуле F4.9) уже не является
постоянной, то в результате дифференцирования в правой части
F4.9) получаем:
\ч. F4.10)
Мы видим, что сила представляется суммой двух векторов,
нз которых один параллелен ускорению, а другой — параллелен
уже существующей скорости. Это и показывает, что сила и уско-
ускорение, вообще говоря, не будут направлены одинаково.
- Сила будет направлена одинаково с ускорением в двух част-
частных случаях: а) когда сила F направлена перпендикулярно к
уже сугцествующей скорости v и б) когда сила F направлена
параллельно уже существующей скорости v. В случае а) ско-
скорость остается постоянной по величине (-—- — 0)и второй .член
в правой части F4.10) равен нулю, так что
F4.11)
г=—r—^-dT-
В случае б) оба члена в правой части F4.9) не равны нулю, и
Мы получаем после выполнения дифференцирования во втором
§ 54[ ОСНОВЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ДИНЛМИКИ ЧАСТИЦ
Принимая во вниман
дим, после простых
что в этом случае w-jr = v^~Jf' нахо-
нахобраических преобразований,
^7—^y^lf- <64-13>
I1
Скалярные коэффициенты, стоящие перед ускорением в фор-
формулах F4.11) и F4.13), как видно, неодинаковы. В случае а)
отношение силы к ускорению равно
F4.14)
F4.15)
а в случае б) оно равно
Очевидно, что только формула F4.14) представляет выражение
релятивистской массы, так как именно это выражение внутренне
согласовано с предыдущими определениями и удовлетворяет
закону сохранения импульса. Что же касается выражения
F4.15), то оно показывает, что, когда сила совпадает по напра-
направлению с уже существующей скоростью, изменение импульса
зависит не только от изменения скорости, но и от изменения
массы со скоростью.
2) .Работа и кинетическая энергия. Элементарная работа
силы F может быть определена в релятивистской динамике так
же, как в динамике Ньютона как скалярное произведение силы
и перемещения
dW^Fdr. F4.16)
В том случае, когда работа совершается над свободной ча-
частицей, затраченная работа, по закону сохранения энергии, рав-
равна изменению кинетической энергии. Отсюда:
= mvdv + wdm = mvdv + v2dm. F4.17)
Пользуясь выражением релятивистской зависимости массы
от скорости и принимая во внимание, что
"Ж- <64-|2>

_)]6 СТРОЕНИЕ АТОМА. И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
найдем из F4 17):
Проверкой убеждаемся, что имеет место тождественно
Заметив это и интегрируя F4.18) от 0 до и, находим:
F4.19)
Это и есть релятивистское выражение для кинетической энер-
энергии. Разлагая (l —73-) в степенной ряд, получаем:
4Г
случае, когда скорость v мала по сравнению с с, т. е.
\, достаточно взять первые два члена ряда. При этом
F19
, д
условии F4.19) дает
* (I + т S) ~
Т
Мы получили, как и следовало ожидать, выражение ньюто-
ньютоновой механики для кинетической энергии.
Комбинируя F4.17) и F4 18), получаем:
йЕ = с2 (т — та). F4.21)
Выражение
называют релятивистской полной энергией, а выражение mQc2 —
энергией покоя. Формула F4.21) показывает, что изменение
кинетической энергии тела, выраженное в эргах, равно выра-
выраженному в граммах изменению релятивистской массы, умножен-
умноженному на с2, т. с.
Д? = с2 Лт или \т = ДЕ/с2.
Полученное важное соотношение между релятивистскими ве-
величинами— массой и энергией — относится не только к кинети»
:ВЯЭИ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕ1
ческой энергии. В самом деле, вернемся к выводу формулы
релятивистской массы, данному в тюдпарзграфе а), где рассма-
рассматривался процесс центрального соударения двух тождественных
шаров, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми по
абсолютной величине скоростями. В момент соударения оба
шара покоятся относительно друг друга, во двигаются с одной
и той же скоростью V, относительно второй введенной в выводе
системы координат. Полная масса шаров при скорости V равна
Нетрудно показать, что полная масса обоих шаров перед с
ударением равна
1т •"-
т, + т2 = —¦ г ,„-, где m = -
У'-т
Но очевидно, что m > m0, ввиду чего
А~
Этот на первый взгляд противоречивый результат имеет про-
простое объяснение Так как шары, по предположению, упругие, то
в момент остановки в системе возникает потенциальная энергия
упругой деформации А.Е. Этой потенциальной энергии соответ-
соответствует масса, равная ДЕ/с2, которая как раз и компенсирует ка-
кажущуюся потерю релятивистской массы.
§ 65. О связи между массой и энергией *)
Соотношение между массой и энергией; выведенное в § 64,
Дт = ^ F5.1)
является очень важным результатом теории Относительности.
В настоящее время это соотношение имеет огромное практиче-
практическое значение, ввиду того, что olio лежит в основе всей ядерной
энергетики как в ее мирном использовании (ядерные реакторы,
атомные электростанции и т. п.), так и в использовании для
военных целей. Поэтому нам необходимо возможно отчетливее
й глубже разобраться в смысле формулы Эйнштейна F5,1) и в
вытекающих из нее следствиях. Это тем более необходимо, что
) Для
195У г.1. См.
стр 163-197.

218 СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ V
с литературе, особенно популярной, нередко встречается пута-
путаница в терминологии и в формулировках.
Начнем с того, что приведем принадлежащий Эйнштейну
простой вывод этой формулы, В этом выводе существенную
роль будет играть световое давление, предсказанное Максвел-
Максвеллом и блестяще подтвержденное экспериментально П. Н. Лебе-
Лебедевым. Величина светового давления при полном поглощении
света равна Е/с, где Е — пото* энергии электромагнитного из-
излучения Напомним еще, что в силу обобщенного закона сохра-
сохранения импульса при испускании света излучающее тело полу-
получает импульс отдачи, направленный в противоположную сто-
сторону и равный также Е/с.
Обратимся теперь к выводу формулы Эйнштейна.
Вообразим однородную трубу длины L, находящуюся в рав-
равновесии в пустоте (рис. 110). Пусть на противоположных кон-
концах этой трубы находятся два
тела A w В, массы которых
Ш малы по сравнению с массой
трубы М, так что в тех случа-
случаях, когда учитывается полная
масса системы, оца может быть
Рис. ПО. положена равной М- Пусть,
кроме того, тело А по сравне-
сравнению с телом В имеет избыток энергии АЕ, который оно может из-
излучить в виде электромагнитной волны по направлению к телу В.
Рассмотрим следующий круговой процесс. В некоторый мо-
момент тело А излучит своп избыток энергии АЕ в виде «вспышки
света», вследствие чего в трубе начнет распространяться слева
направо короткий поток электромагнитных волн. По истечении
времени I = Цс этот поток дойдет до тела В и будет им погло-
поглощен. Во время испускания тело А, а вместе с ним и вся система,
вследствие отдачи, получит импульс, направленный влево и рав-
равный g = АЕ/с. Под влиянием этого импульса труба придет в
движение, которое будет продолжаться до тех пор, пока излуче-
излучение не дойдет до тела Вив нем полиостью поглотится. Тогда
тело В, а вместе с ним вся труба испытают давление света,
направленное вправо и также равное g ~ АЕ/с, которое и оста-
остановит движение трубы.
Скорость у, которую приобретет наша система под действием
отдачи g будет (массы тел Л и В пренебрежимо малы!):
За время / центр масс системы переместится на расстояние
F5.2)
) СВЯЗИ МЕЖДУ МАССОП
219
при этом мы предполагаем, что длина трубы достаточно велика,
так. что времена испускания и поглощения света ничтожно малы
по сравнению с /.
После того, как тело В поглотит свет, переместим его при
помощи некоторого механизма, действующего внутри системы,
т. е. при помощи одних только внутренних сил, до соприкосно-
соприкосновения с телом Л. При зтом тело В отдаст свой избыток энергии
обратно телу Л, после чего мы снова вернем тело В на его
прежнее место на правом конце трубы, опять-таки при помощи
одних внутренних сил. В результате вся система придет в ис-
исходное состояние, по ее центр масс испытает смещение. Предпо-
Предполагая возможность связи между энергией и массой, мы должны
считать, что массы тела В, имеющего избыток энергии АЕ и от-
отдавшего его, будут различны; обозначим их соответственно че-
через nil и т2. В таком случае смещение центра масс системы
при переносе избытка энергии от Л к В, т. е. на расстояние L,
будет
а при обратном переносе будет
Полное смещение центра масс, принимая во внимание смещение
вследствие отдачи, будет
~(-^ + т2-т1). F5.3)
Но это смещение обязательно должно быть равно нулю, так
как иначе получилось бы, что система, полностью сохранившая
свою конфигурацию, переместила сама себя без действия внещ-
них сил. Очевидно, что равенство нулю F5.3) есть следствие
закона сохранения полного импульса (механического + электро-
электромагнитного). Итак:
Щ — т2= Am = АЕ/с2,
что и требовалось доказать.
В рассмотренном круговом процессе избыток энергии АЕ
возвращался телу Л путем переноса тела В поступательно на
расстояние ?•¦ Можно показать, однако, что это предположение
не единственное, и что поэтому на него не следует смотреть как
на ограничение общности вывода.
Обратимся теперь к анализу соотношения Эйнштейна. В §64
мы доказали, что если рассмотреть простейший процесс соуда-
соударения двух упругих шаров, положив в основу законы сохране-^
ния массы и импульса, то в теории относительности обоим этим

ГГРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФН31
законам можно удовлетворить только при условии, что масса
закпент от скорости по формуле Лоренца — Эйнштейна
Из того факта, что в основе вывода формулы Лоренца — Эйн-
Эйнштейна лежит закон сохранения массы следует, что релятивист-
релятивистская масса удовлетворяет закону сохранения. Легко видеть,
однако, что изменение релятивистской массы со скоростью уже
включает закон эквивалентности массы и энергии F5.1).Вэтоы
мы проще всего убедимся, рассматривая случай, когда ско-
скорость v не слишком велика. В самом деле, разлагая выражение
(] —v2/c2)-'/' в степенной ряд, мы можем в случае, когда
v/c <?. 1, взять только первые два члена и получаем
Здесь первый член справа представляет инвариантную (т. е, не
зависящую от скорости) массу покоя т0, а второй член — как
раз и выражает изменение массы со скоростью. Мы видим, что
этот второй член в точности соответствует закону Эйнштейна
Рассмотрим теперь систему из нескольких тел, так или иначе
между собой взаимодействующих. Поскольку релятивистская
масса подчиняется, закону сохранения, имеем:
const = V nti = V ml0 + V ¦ " .
Мы приходим таким образом к важному выводу: е результате
процесса сохраняется сумма массы покоя 2 ^о и массы со-
ответствующей кинетической энергии системы — г"и" после за-
завершения процесса, но не масса покоя 2 Щ, Примем теперь
во внимание, что кинетическая энергия до и после процесса, во-
вообще говоря, неодинакова; если, например, происходит расщеп-
ление атомного ядра, то в системе координат, где исходное
ядро покоится, его кинетическая энергия равна нулю, но возни-
возникающие в процессе деления осколки приобретают кинетическую
энергию. Поэтому -^- возрастает, а следовательно, 2 Щ
должна уменьшиться. Это происходит вследствие закона сохра-
сохранения релятивистской массы. Итак, масса покоя не подчиняется
О СВЯЗИ МЕЖДУ МАССОЙ И ЭНЕРГИЕ1
22 [
закону сохранения; напротив в результате процесса, сопровож-
сопровождающегося выделением энергии ДЁ происходит потеря массы
покоя, равная ДЕ/с2. Можно сказать и наоборот: изменению
массы покоя на величину Дшо соответствует освобождение энер-
энергии ДЕ = (Аша)сг.
Соотношение между массой и энергией получило исчерпы-
исчерпывающее экспериментальное подтверждение. Так как, однако, в
формуле Am = АЕ[сг в знаменателе стоит сг — величина, близ-
близкая к ]021, то при химических процессах, где величина ДЕ по-
порядка 100 ккал -моль-1 = 4,18- ]012 эрг-моль-1, изменение массы
покоя равно
, 4 18. 10]2 , „ гп-9
— величина ничтожно малая.
На рубеже Х]Х и XX столетий, т. е. еще до возникновения
теории относительности германский физико-химик р. Ландольт
выполнил длинную серию экспериментов, которые представляли
собой повторение опытов Ломоносова и Лавуазье, на новом, зна-
значительно более высоком уровне экспериментальной техники.
Опыты состояли в проведении ряда химических реакций в пол-
полностью изолированном пространстве с целью предупреждения
малейшей утечки вещества и при точном контроле массы си-
системы до и после реакции. Никакого изменения массы при этом
обнаружено не было. С нашей нынешней точки зрения, по-
поскольку система не была изолирована энергетически, тепло,
выделявшееся при реакции, рассеивалось, и масса покоя систе-
системы должна была уменьшиться. Однако в опытах Ландольта эта
потеря массы не была установлена, так как чувствительность
применявшихся весов была недостаточна для обнаружения
столь малой величины.
Таким образом обычные химические реакции не могут слу-
служить подходящим объектом для проверки соотношения между
массой и энергией. При ядерных реакциях, напротив, освобож-
освобождаются огромные количества энергии и изменение массы покоя
становится вполне доступным для измерений. Ярким примером
может служить реакция, лежащая в основе всей современной
ядерной энергетики: так называемое деление ядра. В результате
этой реакции тяжелое ядро урана делится приблизительно по-
пополам, причем освобождается энергия, равная приблизительно
200 миллионам электрон-вольт. При расчете на моль, т. е. на-
например — 240 г урана, получаем:
ДЕ=200- 10е. 1,6 ¦ Ю~!а - 6,02 • 10**= 19,3 ¦ 10" эрг.
Потеря массы при этом будет
Ат~-!?ЦГ-0.2. г,

222 ' СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ. V
и, следовательно, при делении одного килограмма урана потеря
массы составит уже около грамма!
Для проверки соотношения Эйнштейна были использованы
ядерные реакции, в которых энергия реакции могла быть опре-
определена с одной стороны непосредственными измерениями и с
другой —по величине потери массы. Во всех случаях получа-
получалось совпадение тем более точное, чем точнее были непосред-
непосредственные измерения энергии. В качестве примера можно при-
привести следующий результат: для серии ядерных реакций путем
сопоставления непосредственно измеренных АП и Am из соот-
соотношения Эйнштейна вычислялась скорость света. Таким путем
было получено с = 2,98-1010 см/сек; тогда как точное значение
с = 2,99Л010 см/сек. Разница составляет 0,4%. Эти данные
приводятся только в качестве примера. В настоящее время на
основании всей совокупности результатов ядерной физики не
может быть никакого сомнения в абсолютной точности соотно-
соотношения Эйнштейна.
В литературе нередко можно встретить утверждение, что при
процессах, сопровождающихся освобождением энергии (напри-
(например, при ядерных реакциях) происходит «превращение массы
в энергию». Такая формулировка по существу не верна и вызы-
вызывает только путаницу. Масса и энергия неразрывно связаны
между собой, они представляют как бы две стороны одного и
того же универсального свойства материи и поэтому не могут
«превращаться» друг в друга. Верно, конечно, что при процес-
процессах, сопровождающихся увеличением кинетической энергии,
масса покоя 2 то. испытывает соответствующее уменьшение.
Но избытку кинетической энергии Д?кил, возникшему в резуль-
результате реакции, соответствует масса —j^r2", в точности компенси-
компенсирующая уменьшение 2 »го> так же как последней величине со-
соответствует энергия 2тосй> которая в сумме с АЕтт в точности
равна ^тс2 до реакции.
Открытие эквивалентности массы и энергии повлекло за со-
собой необходимость существенного изменения самого понятия
о массе. В механике Ньютона масса определялась, как количе-
количество вещества, и рассматривалась, как выражение материаль-
материальности тела. Это представление пришлось оставить еще до
появления теории относительности. Когда Кауфман и другие
исследователи показали прямым экспериментом, что масса
электрона зависит От его скорости, этот ф^кт нельзя было со-
вместить с представлением о массе, как о количестве вещества.
Первоначально пытались выйти из затруднения, рассматривая
увеличение массы со скоростью, как следствие появления доба-
добавочной инерции, обусловленной электромагнитным полем дви-
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЦП1
ИСПУСКАНИЯ СВСТА
223
жущегося электрона (Дж. Томсон) и эта добавочная инерция
была названа «кажущейся массой». Однако, впоследствии ока-
оказалось, чю если стать па эту точку Зрения, то рею массу заря-
заряженного тела следует рассматривать как «кажущуюся» (элек-
(электромагнитную) массу. Наконец, теория относительное!и показа-
показала, что любая масса, независимо от наличия или Отсутствия
электрического заряда, должна зависеть от скорости по тому
же закону, который был установлен экспериментально для за-
заряженных частиц. Это повлекло за собой рассмотренные выше
следствия, которые с особенной ясное 1ью показали, что опреде-
определение массы, как количества вещества лишено физического
смысла.
Это, однако, не мешает нам рассматривать релятивистскую
(зависящую от скорости) массу, как меру инертности тела, так
как Отношение силы к релятивистской массе остается равным
ускорению тела.
Б. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
66. Элементарные центры испускания света
таким образом, линейный осциллятор, с
ствами которого мы познакомились в § 46

§ 67. Электромагнитное излучение линейного осциллятора
Представим себе, что положительный заряд связан с на-
настолько большой массой, что его можно считать неподвижным,
а отрицательный заряд, по абсолютной величине равный поло-
положительному,— совершает колебания относительно этого непо-
неподвижного положительного заряда; такая система и будет линей-
линейным осциллятором. С электрической точки зрения эта система
является диполем. Электрические свойства диполя характери-
характеризуются величиной, называемой диполъным моментом. Диполь-
ный момент это — вектор, равный '
р = ег, F7.1)
где г — радиус-вектор, направленный от отрицательного заряда
к положительному. Так как дипольный момент не зависит от
выбора начала координат*), то удобнее всего поместить поло-
положительный заряд в начало координат; тогда составляющими р
будут
рх = ех, ру = еу, рг = ег. F7.2)
Вычисление электромагнитного поля диполя, совершающего
колебания, можно выполнить при помощи уравнений Макс-
Максвелла.
Не повторяя здесь довольно длинных и несколько утомитель-
утомительных вычислений, приведем их результат**). Электрическое и
магнитное поля колеблющегося диполя на достаточно больших
расстояниях от пего (так называемая волновая зона) характе-
характеризуются напряженностями Ш и Ж, равными по абсолютной
величине и взаимно перпендикулярными по направлению. Для
случая скоростей, малых по сравнению со скоростью света
(и<с), абсолютные значения напряжснностей \Ш\ и \Ж\ в
точке М (рис. 111), отстоящей от дпполя на расстоянии R, вы-
выражаются формулой
|#| = |ду|= pU~*/c) sin О***). F7.3)
Здесь с — скорость света в пустоте, й — угол между прямой,
вдоль которой совершаются колебания, и направлением в точ-
точку Л!: символ p(t — Ri'c) имеет следующий смысл: это вторая
стр. 9G.
**) См, например, И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, § 99, «На-
ука», !967, или Я. И. Френкель, Электродинамика, т. 1, стр. 154, ОНТИ,
1934
***) Скобки в формуле F7.3) применяются только Для удобства набора,
они указывают на то, что р есть функция t — Rjc.
:Наука», 1967,
стр.
производная дипольного момента, взятая, однако, не для вре-
времени (, а для предшествующего момента t— R/c. Очевидно, что
R/c есть время, которое требуется для того, чтобы процесс, рас-
распространяющийся со скоростью с, дошел от 6 до точки наблю-
наблюдения М. Таким образом, появление в формуле F7.3) запазды-
запаздывающего значения p(t — R/c) указывает на конечную скорость
распространения электромагнитного поля: колеблющийся элек-
электрический диполь посылает электромагнитные волны, которые
перемещаются со скоростью с.
Принимая во внимание, что р = ег, мы видим, что при про-
прочих равных условиях % и Ж на больших расстояниях от О за-
зависят от ускорения электрона г.
Направления '& и Ж определяются следующим образом;
представим себе сферу, описанную из О радиусом R. Примем
за полярную ось направление прямой, вдоль которой совер-
совершаются колебания диполя, и наметим на сфере меридианы и
параллели. Тогда вектор Ш будет направлен по касательной к
меридиану, проходящему через М, а вектор Ж —по касательной
к параллели, проходящей через ту же
точку и притом так, как это показано
рис. ПК
Плотность энергии электромагнитно
поля равна
или, если принять во внимание, что вдан-
ном случае & = Ж,
Так как поле колеблющегося диполя рас-
распространяется со скоростью с, то через
каждый квадратный сантиметр в направлении нормали R
(рис. III) ежесекундно проходит количество энергии 5,
равное
s-tc-^i^hs- <67-5>
Величина 5 есть, очевидно, не что иное, как численное зна-
значение потока энергии, проходящего через данную точку. Она,,
конечно, может быть вычислена так же, как численное значение
вектора Умова — Пойнтинга S в данной точке
S = |S| = -?-

т. е. формулу F7.5).
Подставляя сюда :
', что дает сразу
e Ш из F7.3), находим
F7.6)
(значения р или г откосятся к моменту t — R/c\).
Из этой формулы видно, что интенсивность излучения прямо
пропорциональна квадрату ускорения и обратно пропорциональ-
пропорциональна квадрату расстояния, как и
следовало ожидать, потому что
полный поток энергии через сфе-
сферу вокр\г О остается постоян-
- ньш, а поверхность сферы растет
пропорционально квадрату ра-
риуса. Далее, Присутствие в фор-
формуле F7.6) sin3 О влечет за собой
неравномерность в распределении
интенсивности по различным
направлениям: в направлении
прямой, вдоль которой происходят колебания {# = О и л),
OFia равна нулю, а максимальной величины достигает в направ-
направлении, перпендикуляр- ^ о
ном к этой прямой да0 i '"
Щ = л/2). На рис. 112
Приведена полярная
диаграмма распределе-
распределения интенсивности из-
излучения по углам.
Опыт подтверждает та-
такое распределение ин-
интенсивности. Одним из
наиболее р!агляд»ь1Х
относящихся сюда при-
примеров является возник-
возникновение рентгеновских
Л}чей при торможении
(отрицательном уско-
ускорении) электронов на
антикатоде. Нарис. 113
приведены результаты
экспериментального исследования зависимости интенсивности
тормозного рентгеновского излучения от угла О при различных
скоростях электронов. Как видно, во всех случаях при 0 = 0
§69]
[ИЕ ОСЦИЛЛЯТОРА
227
и # = п интенсивность равна пулю; для электронов малых ско-
скоростей (ft = v/c = 1/20) максимум интенсивности получается
вблизи О = л/2; для больших скоростей (р = 1/3, 1/4) направле-
направление максимума смещено в сторону движения электронов. Это не-
несоответствие с формулой F7.6) объясняется тем, что формула
эта выведена для случая малых скоростей без учета релятиви-
релятивистских эффектов. Для больших скоростей Зоммерфельд получил
формулу г
хорошо согласующегося с опытом при любых значениях ft.
§ 68. Полное и среднее излучение осциллятора
Формула F7.6) даст выражение для потока энергии, прохо-
проходящего в данный момент через выбранную точку в направлении,
характеризуемом углом О, или, иначе, мгновенную интенсивность
электромагнитной волны в определенном направлении.
Если нужно вычислить полное количество энергии, излуча-
излучаемой осциллятором в единицу времени, то достаточно найти ве-
величину интетрала
I=jSdo, F8.1)
распространив интегрирование на поверхность сферы, описан-
описанной из О (рис. 111).
Принимая во внимание, что элемент поверхности в сфери-
сферических полярных координатах равен
du= R2 sin. §dftdq>,
напишем интеграл F8.1) в явном виде, подставив вместо по-
TOKaS его величину из F7-6):
Ар f sin
= ^rj sin30d0 = -|^-j (l-cos2O)sinddO. F8.2)
Для вычисления последнего интеграла введем новую пере-
переменную ? = cosO и примем во внимание, что пределы интегри-
интегрирования по этой переменной будут ;+! и —1:

228 . СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Возвращаясь к (G8.2), получаем окончательно
F8.3)
Если дипольный момент изменяется по зако*
колебаний: р = ра cos iot = pa cos 2nvt, то
р = — а2р0 cos ®t= — 4n2v?/70 cos 2
Подставляя это значение р в F8.3), получаем
F8.4)
iy гармонических
Tivt. F8.4')
Среднее значение / будет
T=~pl c^tf = -^g^ pi cos2 2лvt
Пусть теперь положительный заряд диполя покоится в па-
чале координат, а отрицательный совершает колебания по
оси х. Тогда р = ех; среднее излучение за один период на осно-
основании F8.4) выразится в виде
Г = |з-Ж F8.6')
Если колебания гармонические, то х = a cos at = acos 2nvt, и
вместо F8.5) мы получаем
§ 69. Электромагнитный спектр негармонического осциллятора
Строго гармонические синусоидальные колебания являются
математической абстракцией и в природе никогда не осуществ-
осуществляются. В случае механических колебаний квазаунругнй закон
силы имеет место только для малых отклонении При больших
отклонениях в выражении силы появляются--члены с высшими
степенями смещения, а в механическом спектре наряд> с основ-
основной частотой — се обертоны. Рассмотрим теперь, каков спектр
электромагнитной волны, возникающей npii колебаниях, кото-
которые не являются гармоническими, но происходят по какому-
нибудь более сложному закону. Эти колебания мы пока еще
будем считать строго периодическими в математическом смысле.
Среднюю энергию осциллятора, колеблющегося по негармо-
негармоническому закону, мы будем вычислять по формуле F8 6'):
/—5-Л F9.1)
Поскольку смещение х представляет собою периодическую
¦функцию времени, мы можем разложить ее в ряд Фурье
* — 2J Ле'™1'. ¦ F9.2)
Вычислим теперь вторую производную от х, произведем усред-
усреднение по времени и подставим затем результат в F9.1). Вторая
производная но t будет
Для вычисления среднего за большой промежуток времени
достаточно найти среднее за один период Т = l/v0 = 2л/(.H.
¦Среднее квадрата х2 будет поэтому
*=-g-J е
F9.4)
Подставим сюда i2, которое найдем путем возведения в квад-
квадрат F9.3), и будем интегрировать почленно. При этом нам при-
придется находить интегралы вида
[

классическая физика
Легко убедиться непосредственным вычислением, что все эти
интегралы равны нулю, за исключением тех случаев, когда I =
= —k. Окончательно найдем
2o0)*+...+ AbA_k(k%)A+ ¦-•], F9.5)
или, так как (по § 48) 2AhA-h = al/2,
Подставляя это в формулу F9.1) для среднего излучения, бу-
будем иметь
Сравнивая этот результат с F8.6), мы видим, что среднее
излучение осциллятора, совершающего периодическое, но не-
негармоническое движение, состоит из суммы членов, каждый из
которых представляет собою среднее излучение гармонического
осциллятора, причем часюты этих осцилляторов образуют ряд
vo, 2v0, 3vo, ... Это означает, что электромагнитный спектр негар-
негармонического осциллятора содержит те же частоты, что и его ме-
механический спектр.
Характерная особенность этого спектра состоит в том, что
в него входят основная частота vo и се гармонические обертоны,
т- е., если изобразить спектр в шкале частот, получится ряд
равноотстоящих линий. Оказывается, что именно такой спектр
дают электромагнитные волны, излучаемые антенной радиоте-
радиотелеграфа; инфракрасные колебания попов в молекулах дают
спектр, составленный из линий, приблизительно подчиняющихся
этому закону, но немного сближающихся по мере увеличения
перядка обертона. Наконец, спектры, обусловленные движе-
движениями электронов (видимые и ультрафиолетовые), уже совер-
совершенно не следуют этому закону: в них линии довольно быстро
сближаются по мере перехода ко все более высоким частотам
вплоть до полного слияния (см. гл. V111). Как мы увидим в
дальнейшем, линии в видимых и ультрафиолетовых спектрах
подчиняются совершенно другим законам, объяснение которых
мОгло быть дано только на основе теории квантов.
§ Ш ЗАТУХАНИЕ КОЛЕБАНИЙ 231
§ 70. Затухание колебаний
До сих пор мы молчаливо предполагали, что энергия осцил-
осциллятора остается постоянной, т. е. что осциллятор неограниченно
долгое время испускает незатухающие электромагнитные волны.
Такое предположение, строго говоря, не отвечает действитель-
действительности, так как при свободных колебаниях осциллятора электро-
электромагнитная волна уносит энергию. Ввиду этого запас энергии
осциллятора постепенно убывает, и колебания затухают.
Найдем прежде всего закон убывания энергии со временем.
Различные экспериментальные данные указывают на то, что
затухание излучающих атомов мало. Например, изучение интер-
интерференции света при больших разностях хода привело к выводу,
что длина ряда волн, испускаемых атомом без затухания, со-
соответствует более чем 100 миллионам длин волн. Принимая во
внимание это обстоятельство, мы можем считать, что колебания
электрона мало отличаются от гармонических. Но для случая
гармонических колебаний, как мы знаем, средняя энергия, уно-
уносимая электромагнитной волной в единицу времени, равна
Убыль энергии самого осциллятора за единицу времени будет
равна как раз этой величине /, т. е.
Полная энергия гармонического осциллятора равн.
2 2
Разделив G0.1) на D6.14), получаем
dE _ _ 2wV ,,
Введем обозначение
тогда G0.2) перепишется в виде
G0.1)
D6.14)
G0.2)
G0.3)

Отсюда интегриро!
|ием находим
Е =
~vl
G0.4>
Мы видим, что энергия осциллятора должна убывать со вре-
временем по экспоненциальному закону.
Постоянная у, введенная нами соотношением G0.3), имеет
определенный физический смысл. Заметим прежде всего, что
размерность этой постоянной есть [сект1]. В этом легко убе-
убедиться, замечая, что произведение yt, стоящее в показателе
G0.4), должно быть безразмерной величиной. Величина, обрат-
обратная у. должна поэтому представлять собой некоторый промежу-
промежуток Бремени. Обозначим его через т; тогда
G0.4')
Соотношение G0.4) можно теперь написать в виде
Е - Епе~{1\
Отсюда видно, что при t = т, Е = Е0/е, т. е. — что т есть про-
промежуток времени, в течение которого энергия осциллятора убы-
убывает в е = 2,718 раза. Так как по G0,4') с возрастанием t энер-
энергия приближается к нулю асимптотически, то никакой опреде-
определенной величины времени, в течение которого еще продолжаются
колебания, указать нельзя. В качестве условной меры этого вре-
времени удобно пользоваться величиной т, которая называется
временем релаксации. Итак, постоянная затухания у есть обрат-
обратная величина времени релаксации.
Для того чтобы составить Представление о порядке величины
этого времени, вычислим его численное значение для испуска-
испускания голубой линии водородного спектра (так называемая ли-
линия flg), которой соответствует длина волны X = 4861,33 X
X 10~в см. В этом случае
2пс
л-3-1010
= 3,87 ¦ 1015 сек-1.
Подставляя в G0.5) это значение а, а также значения уни-
универсальных констант т = 9-10~а г, е/тс = ] ,76-107, найдем:
2.C,в7-1015J-9-10-гяA.76.107)* "*
Это показывает, что абсолютная величина времени свечения
очень мала. Однако относительная величина его, а именно, от-
отношение т к периоду колебаний, приблизительно равна 6-10s,.
§71]
[ИСТОЕ ТРЕНИН
233
т. е. очень большой величине: электрон должен совершить 6 мил-
миллионов колебаний, прежде чем его энергия уменьшится в е раз.
Непосредственное экспериментальное определение величины
времени релаксации было впервые осуществлено при помощи
каналовых л>чей. Пучок светящихся водородных канэловых лу-
лучей через отверстие в каюде выпускался в пространство, где
поддерживался столь высокий вакуум, что атомы могли «вы-
«высвечиваться» практически без соударений. По убыванию интен-
интенсивности вдоль светящегося пучка при известной скорости ка-
каналовых частиц можно было определить т. Оказалось, что по-
порядок величины этого времени совпадает с указанным выше
A0~8 сек для %ж 5-10"8 см).
§ 71. Лучистое трение
Мы установили, таким образом, что энергия диполя, совер-
совершающего колебания, убывает со временем по закону G0.4) или
G0 4'). Если сила, под действием которой происходят колеба-
колебания,— квазиупругая, то можно вычислить сумму потенциальной
и кинетической энергий осциллятора. Эта сумма, однако, не бу-
будет постоянной ввиду наличия затухания. В механике мы встре-
встречаемся с аналогичным случаем: когда колебания механического
¦осциллятора происходят в вязкой среде, то запас его механиче-
механической энергии (кинетическая-f-потенциальная) с течением вре-
времени убывает. Поэтому в балансе энергии появляется дефицит:
энергия расходуется необратимым образом и в конечном счете
превращается в тепло. Мы видели, однако, в § 41, что этот де-
дефицит можно учесть, введя некоторую диссипативную силу R
(т. е. силу, ведущую к рассеянию энергии) —силу трения. Со-
Соответственно, в правой части уравнения колебаний наряду с ква-
квазиупругой силой —fx появляется еще сила трения.
Диалогичным образом можно восстановить баланс энергии
также и в случае затухающих электромагнитных колебаний
осциллятора: мы можем себе представить, что эти колебания
торгиозятся дисенпативной силой, которую целесообразно на-
назвать «силой лучистою трения». Очевидно, что эта сила появ-
появляется в результате обратного воздействия поля излучения
осциллятора па самый осциллятор.
Займемся теперь установлением явного выражения для этой
силы. В механике обычно принимается, что сила трения зависит
¦от скорости, т. е. от первой производной х (при не слишком
больших скоростях сила трения R просто пропорциональна х).
Конечно, у нас нет никаких оснований без предварительного ис-
исследования переносить эту зависимость и па силу лучистого
трения Для отыскания выражения этой силы проще всего
поступи |Ъ следующим образом. Вычислим среднее значение

i И КЛАССИЧЕСКИ
работы силы лучистого трения за промежуток времени, доста-
достаточно большой по сравнению с периодом колебании. Работа
силы R за промежуток времени dt равна Rdx — Rxdt\ среднее
значение работы за промежуток времени от 0 до t будет поэтому
Поскольку мы ввели силу лучистого трения для описания
убыли энергии, очевидно, что среднее значение работы этой
силы должно быть равно среднему значению энергии, испущен-
испущенной осциллятором за тот же промежуток времени. Последнее
по формуле F8.6') будет
Итак, мы имеем
Простыми преобразов
ходим
?—?г-тМ**.
ями и интегрированием по ча<
Так как скорость х и ускорение х меняются в конечных преде-
пределах, то, выбрав достаточно большой промежуток времени, мы
можем первый Член сделать сколь угодно малым. Поэтому
уравнение G1.1) даст
j J Rx dt = -?~ | "х'х dt.
Для того чтобы это равенство было удовлетворено, достаточно
положить
*=-?-*• <7'-2>
Это и есть интересующее нас выражение силы лучистого тре-
трения*). Заметим, что мы здесь впервые встречаемся с силой, за-
зависящей от третьей производной смещения по времени. В ме-
механике такие силы не известны.
Поскольку мы теперь знаем выражение для силы лучистого
трения, мы должны учесть эту силу при составлении уравнения
колебаний электромагнитного осциллятора. Это уравнение в об-
общем виде пишется так;
подставляя для R выражение F7.2), получаем \ равнение коле-
колебании с учетом лучистого трения
m*_-/* + -g-I G1.3)
Мы получим линейное дифференциальное j равнение третьего
порядка. Отыскивая его решение в виде я = е'и(, мы придем
к характеристическому уравнению третьей степени. Однако мы
можем воспользоваться методом последовательных приближе-
приближений и рассуждать следующим образом, В нулевом приближении
можно в уравнении G1.3) отбросить малый второй член в пра-
правой части. Мы вернемся тогда к уравнению колебании осцилля-
осциллятора без учета трения
rnxJrfx = 01 G1.4)
решение которого есть х ¦= eia>it, где иа = Yf/m. Это решение
мы подставим в G1.3) и, замеч
поручим
Полагая, как и раньше,
перепишем уравнение G1.5) в виде
я, что х = — т\ешл = — са
,71.5,
G0.3)
х + ух + ы?а- = 0, G1.6)
где w?=//m, причем щ — частота незатухающих колебании
осциллятора.
*) Очевидно, что это заключение имеет только достаточный, но не необ-
имын характер. Однако более строгий вывод, основанный ца рассмотрении
кцпи поля, приводит к тому же выражению. Интересующихся этим вопро-
ылаеы к книге В,"гайтлера, Квантовая теория излучения, ИЛ, "\956,

236 t СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Решение уравнения G1,6) ищем в виде
Подставляя это решение в G1.6), получаем после сокраще-
сокращения на еш
Отсюда получаем для п
Так как у — малое число, а юо—большое, то
и потому с достаточной точностью
G1.7)
G1.9)
ы/ есть частота затухающих колебаний, Очевидно, что at тем
меньше отличается от &0, чем меньше постоянная затухания у.
В случае оптических частот затухание настолько мало, что>
можно даже положить ы; ж (оо- Поэтому в данном случае с до-
достаточным приближением можно положить
re = /-g- ± «о
и решение х = eini принимает вид
Общее решение уравнения G1.3) поэтому таково.
х = е 2 (Ае'^'^-Ве-1'^'). G1.10)
Здесь в левой части стоит действительная величина (смеще-
(смещение л:); для того чтобы и правая часть была действительна, ко-
коэффициенты А и В, вообще говоря, комплексные, должны быть
§ Щ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И СПЛОШНОЙ СПЕКТР 237
комплексно сопряженными:
В' = А.
Если обозначить общий .модуль А и В через а/2, а фазу через б,
то
и G1.10) дает
х = -1 ас" [е( <ffl''+fl> -f- е-' (и°(+в>] = ае~ cos (ю^ + б) =
= ае ' cosBnv,/ +6). G1,11)
Эта формула описывает колебательное движение, при кото-
котором амплитуда убывает со временем по экспоненциальному за-
закону е-уч12. Очевидно, что этот закон соответствует закону убы-
убывания энергии
так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды.
§ 72. Интеграл Фурье и сплошной спектр
Затухающие колебания осциллятора представляют собой
процесс, который мы уже не можем назвать периодическим, так
как он не удовлетворяет основному условию периодичности —
неограниченному повторению одних и тех же амплитуд через
одинаковые промежутки времени. В самом деле, при затухаю-
затухающих колебаниях одинаковые амплитуды вообще не встречаются,
и кроме того, весь процесс начинается в определенный момент,
а следовательно, простирается не от — со до +°°. а только от 0
до -j-°°. Таким образом, затухающие колебания являются при-
примером непериодического процесса.
Рассмотрим теперь важный вопрос о спектральном разло-
разложении непериодических процессов. Выше мы видели, что любую
функцию, представляющую периодический процесс, можно раз-
разложить в ряд Фурье, т, е, представить как результат суперпо-
суперпозиции строго гармонических колебаний с частотами \-о = ЦТ,
2vo, 3vo, --¦, где Т — основной период разложения. То, чго ма-
математически выполняется при помощи ряда Фурье, па опыте
может быть осуществлено при помощи соответствующего ана-
анализатора, например дифракционной решетки, если речь идет
о световых колебаниях. И1ак, спектральное разложение перио-
периодическое процесса, каким бы путем оно нн было выполнено,
дает линейчатый спектр,

фун
Пусть теперь мы имеем некоторую функцию f(t), которая на
интервале АС (рис. 114) изображается кривой ABC, а на гра-
границах интервала, т. е. в точках А и С, обращается п нуль. Эта
нкция, очевидно, представляет непериодический процесс. Мы
можем разложить ее в ин-
интервале А ... С в ряд
Фурье, считая Т = АС; взяв
достаточное число членов
этого ряда, получим пра-
ftffcQ _ вильный ход функции, одна-
однако только в пределах интер-
Рие. Ц4. вала АС; влево от А и впра-
вправо от С наш ряд даст псрио-
ном интервале можно вновь выполнить разложение Фурье, при-
причем основным периодом разложения будет уже Т = ED. Очевид-
Очевидно, что интервал разложения Е ... D можно расширять безгра-
безгранично, отодвигая точки ? и D в бесконечность. При этом основной
период разложения Т будет безгранично возрастать, а соответ-
соответствующая основная частота v0 = IT безгранично убывать.
Вследствие этого аргументы последовательных членов ряда
Фурье e±i2nsvtt при увеличении s будут становиться все ближе
друг к другу, и можно показать, что при таком р
расширении основного интервала разложения ряд в конце кон-
концов перейдет в интеграл, взятый от — оо до -|-оо
Эти соображения станут еще яснее если
ущ 0 р у
Вследствие этого аргументы последовательных членов ряда
Фурье e±i2nsvtt при увеличении s будут становиться все ближе
друг к другу, и можно показать, что при таком безграничном
расширении основного интервала разложения ряд в конце кон-
концов перейдет в интеграл, взятый от — оо до -|-оо.
Эти соображения станут еще яснее, если мы их повторим
на формулах. Итак, пусть дана непериодическая функция f(t);
разложим ее в конечном интервале от — Т/2 до + Т/2 в ряд
фру
разложим
Фурье
так, пусть дана непериодическая функция f(t);
конечном интервале от — Т/2 до + Т/2 в ряд
По известной формуле для коэффициентов разложении
As=y \ f(t)e~i2^! dt.
G2.2J
Заменив здесь временно обозначение (на а и приняв во вни-
внимание, что основная частота v0 = 1/Г, перепишем формулу
G2.2) в виде
Д = у | f(o.)e'l2nTr"do.. G2.3)
Это выражение для As мы можем подставить в ряд G2.t), ко-
который при этом примет вид
f(a)e
-ГЦ
G2 А)
Обозначим теперь s/T через v. Так как s — целое число, то
частоты s/T = v, входящие в разложение G2.4), изменяются
при последовательном изменении s конечными ступенями
Принимая это во внимание, ряд G2.4) можно представить в виде
[+Г,2 -I
J /(a)r«™^^'Av, G2.5)
-772 J
Теперь мы произведем указанный переход к пределу, а имен-
именно, мы предположим, что интервал —Т/2, -\-Т/2 расширяется
от —оо до -|-оо. Тогда, как это строго доказывается в матема-
математических руководствах*), Сумма в правой части G2.5) обра-
обращается в интегоал
ff?)= J | | f(a)e-'^da\e'^ldv.
Это можно записать в виде
f{t)= | o(
G2.6)
a(v)= j" f(a)e-i™°da
или, возвращаясь к прежним обозначениям, т. е. вновь заме-
заменяя а через t,
<Ф)= | f(t)e-!^!dt. G2.7)
Это и есть формула, выражающая зависимость коэффициента
разложения непериодической функции от частоты.
стр. 501. ' " ' ' ' ' ' '

240
строение атома и классическая физика
А СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ
241
формулы G2.6) и G2.7) позволяют производить спектраль-
спектральное разложение непериодических процессов, в частности зату-
затухающих колебаний.
С физической точки зрения между разложением периодиче-
периодической функции в ряд Фурье и разложением непериодической
функции в интеграл Фурье имеется существенное различие. Ряд
Фурье состоит из членов, содержащих простые периодические
функции с дискретно изменяющимися частотами ve, 2vn, 3v0, ...;
в интеграле Фурье интегрирооапие производится по частотам,
т. е. предполагается, что частоты изменяются непрерывно.
В первом случае мы имеем дело с разложением в линейчатый
спектр, во втором —в сплошной. Это различие очень хорошо
Рис. 116. Непериод
иллюстрируется рис. 115 и 116, где слева представлены две кри-
кривые колебаний, а справа — их спектры (по оси абсцисс отложены
частоты в сек~{, а по оси ординат—амплитуды, т. е. коэффи-
коэффициенты Фурье). Верхняя кривая изображает процесс не синусои-
синусоидальный, но периодический; ее спектр — линейчатый. Нижняя
кривая представляет одно звено предыдущей кривой; это звено
не является периодической кривой, так как мы здесь не имеем
неограниченного повторения ра
промежутки времени. Справа п
линии настолько сближаются,
полосу, охватывающую целый и
ного спектра.
ныч амплитуд через одинаковые
казано, что при этом отдельные
что разложение дает сплошную
тервал частот —участок сплош-
сплош§ 73. Естественная ширина спектральных линий
Затухающие колебания осциллятора
представляют собой на основании сказанного в предыдущих па-
параграфах процесс не только негармонический, но и неперио-
непериодический.
Поэтому для математического разложения его в спектр сле-
следует воспользоваться не рядом, а интегралом Фурье. Отсюда
следует, что спектр будет сплошной. Точнее говоря, вычисление
показывает, что вследствие затухания колебаний спектральная
линия расширяется; она охватывает участок сплошного спектра,
ширина которого Av определяется затуханием -у. Для того чтобы
показать это, следует прежде всего задать функцию f(t) в ин-
интервале от —оо до +оо. Мы можем это сделать следующим
образом:
О при t^O,
_vl G3.1)
2 ei2nv0( При ^0.
Согласно сказанному в предыдущем параграфе, спектральное
разложение функции f(t) дается формулой
f(t)= J a(
где амплитуда a(v) определяется формулой
G3.2)
G3.3)
,,* Подставляя сюда f(t) из G3.1) и замечая, что f(t) =0 в ин-
-""Г тервале от — оо до 0, получаем
G3.4)
Для отыскания распределении интенсивности

шсимости от частоты след\ет вычислить квадрат моду-
/2л fv0 - v)
Ая- (v, - v)" + -i-
-г. G3.5)
Если тецерь воспользоваться формулой F8.4) и произвести
усреднение для большою промежутка времени, то в результате
получится /v = —3^r—\a(v)f tCM- формулу F8-6)]; подстав-
подставляя вместо |c(v)|2 выражение G3.5),
получаем
^~ =
G3.6)
Вводя обозначения v/v0 = x, y/vo = T,
перепишем формулу G3.6) в виде
Рис. 117. Контур с
сти от частоты, т- е
На рис. 117 представлен ход множител
И*)
Формулы G3.6) и G3.7) дают рас-
распределение интенсивности в зависимо-
ртину спектра затухающего осциллятора.
Как видно, кривая имеет резкий максимум при х= 1 или v =
= \о. т. е. Для частоты собственных колебаний незатухающего
осциллятора. Максимальное значение f (x) сеть
f '*' = 74Г! ¦
*] Получаемая в результате вычисления G3.4) амплитуда c(v)- комплекс-
ная. Для получении вещественного выражения амплитуды сдедовэло бы под~
вергкуть разложению Фурье пол>сумчу комплексыо сопряженных функций.
меняющих cosf2nvo^ + й| в формуле затухающих колебаний. По так как нас
тересует только численное значение амплитуду, то достаточно ограничиться
[числением квадрата модуля комплексного выражения n(v), что и сделано
формуле G3 5). Подробнее об этом см. Макс Бори, Оптика, Харьков
37. стр. 566 и следующие или Р. Беккер Теория электричества т. 11,
ПРИМЕРЫ СПЕКТРА НЕПЕРИОДИЧЕС
Очевидно, что значение f(x), равное половине максимального,
получается при условии
или, принимая во внимание, ч
чая v — vo в этом случае через
) И Г = х
обозна
Av-'j называется полушириной спектральной
она целиком определяется затуханием у-
Полуширина Avijj в оптическом спектре
117 й
G3,8)
ии; как видно,
ур j р ень мала. На
рис. 117 представлен контур спектральной линии для Г= 1/5;
ыежду тем для узких спектральных линий Г — порядка Ю'3—
10. так что ширина линии, изо- ,^_ 4
Сраженная на рисунке, чрезмер- Л
по преувеличена.
Принимая во внимание связь
между у и временем релаксации
t(y= 1/^)> ми можем перепи-
переписать G3.8) в виде
TAv,A = 74n. G3.9)
а А А ,
§ 74. Другие примеры
спектрального разложения
непериодических процессов
Рассмотрим еще два примера
спектрального разложения непе-
непериодических процессов.
а) Пусть колебание происхо-
происходит в течение ограниченного про-
промежутка времени Дг, но на этом
ограниченном интервале подчи-
подчиняется гармоническому закону
(рис, 118,й). Такие колебания мы
будем называть квазимонохрома-
шческими. Очевидно, что все ре-
альные колебания, которые >ш
практически считаем монохрома-
монохроматическими и незатухающими, в действительности являются ква-
зимонохроматическими, так как они длятся ограниченное время.
Пусть Т будет период, а \0 = 1/7" — частота этого колебания.
Отыщем его спектральное разложение.
Поскольку колебание не Длится от —оо до -j-эо, оно пред-
представляет собою процесс непериодический и для спектрального
ие, б) Спе

* СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧ!
разложения его следует воспользоваться интегралом, а не рядом
Фурье. Функция, которая подлежит разложению, такова:
Г Айе'ы^' от — Д//2 до + Д//2,
f№=\ 0 от — оо до -Д//2 и от+Лг/2 до
Искомое разложение есть
G4.1)
где амплитуда йу выражается
av= J f{t)e~atntdt.
Принимая во внимание G4.1) и то, что f(t) ФО только в пре-
пределах —Д//2, +Д//2, получаем
Этот результат можно также представить в виде
-. G4.2)
G4.3)
положен при 1 = 0, где -^g =i: Далее, она обращается з нуль
при | = ±л, ±2л, ..., ±тл. В промежутках она имеет второ-
второстепенные максимумы при значениях g, удовлетворяющих усло-
условию tgg = Е; они таковы; ? = 1,430л = 4,49; 2,459л =*7,73;
3,47л =10,90 и т. д. Значения ~р- в максимумах таковы:
\ 1 1
0
4,-19
0,047
7,73
о.огв
10,90
0-00-Н
§ 74] ДРУГИЕ ПРИМЕРЫ СПЕКТРА НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 245-
Из этого следует, что с ошибкой, не превосходящей 5%, можно
считать, что весь ход функции s'»? ¦¦ сосредоточен на интерзале
g = ±я. За пределами этого интервала функцию (в указанных
пределах точности) можно считать обращающейся в нуль. Так.
то }flv|2 имеет главный максимум при v = vo (рис. 118,6), т е.
при частоте квазимонохроматических колебаний, и обращается
в нуль при
U(vu —v)A/| = n. G4.4)
Мы видим, таким образом, что, хотя частота vo = 1/То пред-
представлена с наибольшей интенсивностью, спектр охватывает
сплошной интервал частот v — v0 = Av. Из G4.4) непосред-
непосредственно следует соотношение между Av и длительностью А/
незатухающих колебаний
AvAf =» 1. G4.5)
Если принять во внимание не
только главный максимум, по и
второстепенные, то вместо усло-
условия G4.4) мы получим
что дает AvAf = 2, 3, ..., т, так
что вместо G4.5) мы можем на-
написать неравенство
AvAOl. G4.6)
ГП"_. II Д» L.Art1ll411IHU
Это неравенство показывает, что и сг0 спектР-
чем больше длительность Д( ква-
квазимонохроматических колебаний, тем уже спектральный „„.^
вал Av, и наоборот.
б) В качестве второго примера рассмотрим единичное воз-
возмущение, описываемое функцией
нтер-
нтер(см. верхнюю кривую на рис. 119).
Параметр р, имеющий размерность [сект1], характеризует
остроту возмущения. Именно, мерой этой остроты служит
промежуток времени Д/= —, в течение которого амплитуда
возмущения изменяется в е раз. Амплитуда спектрального

246 СТРОЕНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ
разложения вычисляется по известной формуле
Показатель степени под интегралом можно преобразов;
так что
Полагая
получим
Распределение энергии в спектре зависит, очевидно, от экспо-
экспоненциального множителя. Ширина кривой определяется усло-
условием
или, так как р = 1/Д*. то | УЪп Avы\ = I, т. е.
Как и в рассмотренных ранее случаях, ширина сплошного
спектра находится в обратном отношении к длительности им-
импульса At.
Для все\ примеров, рассмотренных в последних двух пара-
параграфах, характерен следующий общий вывод: между длитель-
длительностью возмущения f(t) и протяжением спектра частот имеется
обратное соотношение: чем короче длится возмущение, тем
шире спектр, и наоборот.
Л. И. Мандельштам в своих лекциях пояснял это следующей
яркой иллюстрацией. Пусть луч свега падает на пластинку,
5 Щ ПЛАНЕТАРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА 247
быстро движущуюся в своей плоскости перпендикулярно к лучу
Длина следа, оставленного лучом на пластинке, и есть мера
длительности возмущения f$t). Поставим теперь пластинку в
спектрограф, состоящий из призмы и линзы. Если f(t) есть си-
синус (безграничное возмущение), то в фокальной плоскости мы
получим точку, соответствующую одной определенной частоте v.
Но если f(t) не есть синус, то вместо одной частоты па пла-
пластинке появляется растянутый спектр. Чем короче черта на
движущейся пластинке, тем шире растянут спектр, и наоборот.
§ 75. Планетарная модель атома
До сич пор мы пользовались в качестве модели источника
света только линейным осциллятором, т. е. диполем, совершаю-
совершающим колебания по гармоническому или негармоническому за-
закону. Однако согласно планетарной модели Резерфорда атом
следует рассматривать как ротатор, т. е. отрицательно заря-
заряженную частицу, обращающуюся по замкнутой орбите около
положительного ядра. Нетрудно убедиться в том, что электро-
магнишые свойства такой модели пс содержат ничего суще-
существенно нового по сравнению с уже найденным для излучения
линейного осциллятора.
Представим себе сначала в качестве простейшего случая
электрон, равномерно обращающийся около ядра по круговой
орбите. Такое обращение будет движением ускоренным; по-
поэтому оно должно сопровождаться излучением электромагнит-
электромагнитных воли.
Для того чтобы вычислить интенсивность этого излучения,,
разложим равномерное круговое движение на два гармониче-
гармонических колебания по осям х и у:
х = a cosfttf, у = a sin Ы.
Очевидно, что вместо электрона, равномерно обращающегося
по круговой орбите, можно рассматривать излучение двух ди-
диполей, совершающих колебания с одинаковой частотой <о и
одинаковой амплитудой а по взаимно перпендикулярным на-
направлениям.
Согласно формулам § 68 мы имеем для интенсивности из-
излучения обоих диполей
h = •""з"/'' COS2 <i>t, Jy = ^"э" Sin2 (itf.
Полное излучение круговой орбиты будет, таким образом,

Сравнивая полученный результат с формулой для среднего из-
л>чения диполя за период F8.6), мы видим, что полное излу-
излучение круговой орбиты не зависит от времени и в два раза
больше среднего излучения диполя, что вполне понятно, так как
излучение обоих диполей ]х и ]у поляризовано во взаимно пер-
перпендикулярных плоскостях.
Несколько сложнее обстоит дело в том случае, когда рас-
рассматривается общее движение по кеплерову эллипсу электрона,
связанного с ядром кулоновской силой В этом случае состав-
составляющие движения по осям координат х и у уже не являются
простыми гармоническими колебаниями. Однако они всегда i4O-
гут быть разложены в ряды Фурье, т- е. представлены как ре-
результат суперпозиции простых гармонических колебаний. Вы-
бирая за оси координат главные оси эллипса, имеем
х — a cos~ai + a' cos 2at -\- a" cos Sat,
у = b sin at -f- &'sin2ft>( -f- b" sin 3o>(.
Если вычислить, как в § 69, Средние интенсивности, соответ-
соответствующие колебаниям по оси х и по оси у, и сложить эти ин-
интенсивности (колебания во взаимно перпендикулярных направ-
направлениях не интерферируют!), то окажется, что излучение соот-
соответствует набору осцилляторов с частотами <о, 2а, Зю, ...
Таким образом, электрон, обращающийся по кеплерову эл-
эллипсу, излучает целый спектр частот, состоящий из основной
частоты и ее гармонических обертонов.
§ 76. Орбитальный магнитный момент и теорема Лармора
Электрон, обращающийся по орбите, представляет собою
круговой ток. По законам электродинамики такой Круговой ток
должен обладать определенным магнитным моментом, т. е. ве-
сти себя в магнитном поле как магнитный диполь. С другой
стороны, с механической точки зрения, электронный кр'уговой
ток вследствие быстрого вращения электрона должен обладать
свойствами волчка. Имеется определенное соотношение между
магнитными свойствами электронной орбиты, которые характе-
характеризуются ее магнитным моментом и ее механическими свой-
свойствами, мерой которых является момент количества движения.
Выведем это соотношение.
Как известно из электродинамики *), магнитный момент
замкнутого тока равен
*) См, И. Е. 1а
стр 253.
5 76]
1АГИИТНЫЙ МОМ
1 ТЕОРЕМА ЛДРМ(
где / —сила тока (в электростатических единицах), 5 — пло-
площадь, обтекаемая током, и с—скорость света. Если число обо-
оборотов электрона по круговой орбите будет v = 1/7", где Т —
период обращения, то, очевидно,
I = ev^ejT. G6.2)
Поэтому
М=— evnr2
или, заменяя v угловой частотой v = <в/2я,
Но тг2а> = /71л2(р, очевидно, представляет собой момент количе-
количества движения / электронной орбиты. Итак,
Это и сел
искомое соотнощен
м себе теперь,
представим сеое теперь, что наш атом, содержащий ОрОи-
тальный электрон, помещен в магнитное поле. Так как, по ска-
сказанному, атом обладает определенным магнитным моментом,
то он должен весги себя во внешнем поле как магнит, т, е. дол-
должен устанавливаться своим магнитным моментом параллельно

250
1 КЛАССИЧЕСКАЯ
С = 2m[v'o]. Полагая, что линейная скорость, сообщаемая элек-
электрону прецессионным движением, мала по сравнению с орби-
орбитальной скоростью электрона в отсутствии прецессии, т. е. что
ро < v,
¦мы можем пренебречь центробежной силой инерции по срав-
сравнению с кориолисовой силой. Опенка степени приближения (см.
ниже), связанного с этим допущением, вполне оправдывает его.
Далее, в пределах того же приближения, можно в выражении
.кориолисовой силы скорость v заменить скоростью v no отноше-
отношению к неподвижной системе коорди-
координат. Итак,
С — 2т [vol. G6.5)
I Мы знаем, однако, что на электрон,
движущийся в магнитном поле со ско-
скоростью v, действует сила
F=— — [v^]. G6.6)
Знак минус обусловлен тем, что за-
заряд электрона отрицателен. Если на-
направление поля Ш параллельно оси
Прецессии, то, как нетрудно убедиться,
определяя по известному правилу для
векторного произведения направления
рис. jьги. сил Си F, эти силь] действуют прямо
противоположно друг Другу. Поэтому
для того, чтобы орбита сохранила свои размеры и форму, они
должны быть численно друг другу равны, С = —F. В таком
случае G6.5) и G6.6) дают
2mvo sin (vo) = -~ vM sin (\Щ. G6.7)
Так как ось прецессии параллельна направлению поля, то
sin (vo) = sin(v^)
и G6.7) дает
Оа=1^Ж <76-8)
Полученный результат можно формулировать следующим обра-
образом: электрон описывает в слабом магнитном поле ту же Ор-
Орбиту, что и в отсутствии поля, но но отношению к системе ко-
координат, которая Прецессирует относительно магнитного поля
с угловой частотой
Действие магнитного поля на электронную орбиту можно све-
свести, таким образом, к сообщению этой орбите прецессии со ско-
скоростью о (рис. 120). В этом и состоит теорема Лармора.
§ 77. Эффект Зеемана
Известно, что в конце своей жизни Фарадеп усиленно искал
явления, которые указывали бы на связь между электромаг-
электромагнитным полем и светом. Он стремился, По его собственному
выражению, «осветить силовые линии и намагнитить свет». Из-
Известно также, что ему удалось обнаружив «намагничение света»
в виде открытого им вращения плоскости поляризации в маг-
магнитном поле (эффект Фарадея). Идя дальше в этом направле-
направлении, он пытался (в 1862 г.), но безуспешно, открыть влияние
машитного поля на спектральные линии. Лишь 34 года спустя,
в 1896 г., Зееману при помощи ^ ^
значительно более мощных полей
и тонких спектральных приборов ^
удалось обнаружить, что при по-
помещении источника света между
полюсами электромагнита спек-
спектральные линии испытывают рас- $/
щецлсние.
Явление это было количе- ^_ _^
ственно объяснено Лоренцом па ^"аГТяс
основе электронной теории. Со- Рнс |2[ с.хема расщепления спек-
гласно теории Лоренца при на- тральной линии в простом эффел-
блюдении перпендикулярно к на- чеЗеемана.
правлению поля спектральная
линия должна расщепляться на три компоненты, давая сим-
симметричную картину (рцс. 121,6), причем расстояние между сред-
средней линией и каждой из крайних в шкале частот должно быть
равно
Расщепленные линии должны обнаруживать линейную поляри-
поляризацию: крайние —перпендикулярную к полю; средняя — по
полю. При наблюдении же вдоль поля средняя линия должна
отсутствовать, а крайние — обнаруживать круговую поляриза-
поляризацию с противоположным направлением вращения (рис. 121,а).
Все эти предсказания теории во многих случаях подтверди-
подтвердились с поразительной точностью. Вместе с тем оказалось, что

252
[Г/
имеется большое число случаен, когда картина расщепления
значительно сложнее: число компонент больше трех, и величина
смещения не совпадает с вычисленной по формуле G7.1), хотя
и связана с ней простым отношением.
Расщепление, следующее теории Лоренца, называется нор-
нормальным или простым эффектом Зеемана, Во всех остальных
случаях наблюдаемая картина называется аномальным, или
сложным эффектом Зеемана.
Посмотрим теперь, в чем заключается объяснение простого
эффекта с точки зрения классической электронной теории. Рас-
Рассмотрим электрон, обращающийся по круговой орбите. Пусть
это будет, например, водородный атом с ядром, имеющим за-
заряд -]-<?, около которого обращается один электрон. Магнитное
поле пусть будет направлено пер-
перпендикулярно к плоскости орби-
орбиты (рис. 122).
Сила, удерживающая элек-
трои на орбите, по абсолютной
величине равна
f—?. G7.2)
Эта сила F равна центробежной
силе инерции
— =
G7.3)
где «о—частота обращения элек-
электрона в отсутствии магнитного
Рис. 122. поля. При включении магнитного
поля на электрон кроме кулонов-
ской силы G7.2) действует еще сила Лоренца, равная — [vffi].
Если - теперь воспользоваться известным правилом правого
винта для определения направления силы Лоренца, то из
рис. 122 легко усмотреть, что эта сила направлена но радиусу.
Тем не менее влияние магнитного ноля сказываехся не в том,
"то радиус орбиты увеличивается или уменьшается, а в том, что
изменяется угловая скорость обращения электрона при неиз-
неизменном радиусе орбиты.
Это утверждение кажется неожиданный, однако, оно может
быть доказано строгим расчетом*). Мы здесь этот расчет при-
приводить не будем, но ограничимся следующими разъяснениями.
При включении магнитного поля оно не сразу достигает своей
конечной величины, но устанавливается в течение известного
*) См. прш
с III
нрочеж>тка времени. Этот промежуток настолько велик по срав-
сравнению с периодом обращения электрона, что весь процесс можно
рассматривать как бесконечно медленный, наподобие адиаба-
адиабатическим процессам в термодинамике. Поэтому в каждый мо-
момент должно соблюдаться равенство между суммой кулоновашй
силы и силы Лоренца, с одной стороны, и центробежной силой
инерции — с Другой. Эта последняя, однако, будет меняться по-
потому, что возрастание магнитною поля по закону электромаг-
электромагнитной индукции Фарядея (точнее говоря, «следствие второго
уравнения электродинамики Максвелла) влечет за собой цояв-
- летше вихревого электрического поля с осью симметрии, сов-
совпадающей с направлением магнитного поля. Именно это вихре-
ьое Электрическое поле воздействует на электрон, ускоряя или
замедляя его. То, что процесс должен протекать описанным об
разом, видно уже из того, что сама сила Лоренпа не может
изменить частоту обращения/ так как она направлена перпен-
перпендикулярно к скорости и, следовательно, никакой работы не
совершает.
Равновесие между силами, действующими на электрон, и
центробежной силой инерции, как сказано, должно иметь место
в каждый момент Времени, в том числе, конечно, и в установив-
установившемся состоянии, когда магнитное поле достигает своей стаццо-
нарнои величины Ж. Обозначая угловую скорость электрона
в этом состоянии через ы, имеем, во-первых, для численной ве-
величины силы Лоренца — riaffi, так как v = гсо и 5in{v^) = I;
последнее вследствие того, что поле перпендикулярно к плоско-
плоскости орбиты. Во-вторых, указанное условие равновесия будет
~+-шЖ=п
или вследствие G7,-4)
ffl/\i)jj -А rtSisfS = tJlfdi2,
G7.4)
Коэффициент при w во втором члене слева, очевидно, равен
удвоенной ларморовой частоте о, так как
G6.3)
и, следовательно,
, саэ — 2осй — юоэ = 0. G7.5)
Решая это квадратное уравнение относительно со, поучаем
<о = о ± Ума _|_ ог, G7.6)

254 С1Р0ЕНИЕ атома и классическая физика [г.т v
Величина о мала по сравнению с юо- В самом деле, наиболее
интенсивные магнитные поля, которое удавалось до сих пор
осуществить (известные опыты П. Л. Капицы), достигали при-
приблизительно 500000 эрстед. В таких полях
o = IjL-5S = 0,6- 1,76- 107-5- 105 = 4,4. Ю'2 секгК
Между тем ш0 для спектральных линий, лежащих в видимой
или ультрафиолетовой части спектра, имеет порядок величины
1015 сек". Следовательно, (о/сооJ— порядка 10~6, и ми имеем
полное право пренебречь под радикалом в G7.6) величиной о2
по сравнению с <st\ и написать
ш = о ± сй0 или ai = а0 -\- о, со2 = — м0 -\- о. G7.7)
Таким образом, частота электрона, обращающегося против
чаеовой стрелки (если смотреть из конца вектора поля) в маг-
магнитном поле, увеличивается на о, а частота электрона, движу-
движущегося в обратную сторону, уменьшается на ту же величину.
Если теперь перейти от \гловой частоты к линейной, то мы
получаем
Av=± Л-ж±-^±-~эИсек-\ G7,8)
Это и есть формула Лоренца G7.1).
§ 78. Эффект Зеемана. Общий случай
В предыдущем параграфе мы рассмотрели частный случай
влияния магнитного поля на электронную Орбиту, плоскость
которой перпендикулярна к направлению поля. При этом мы
убедились, что и в этом случае изменение угловой частоты об-
обращения электрона как раз равно ларморовской частоте о [см.
G7.7)]- Рассмотрим теперь более общий сличай и покажем, что
теория точно описывает все стороны явления, включая состоя-
состояние поляриззпии линий.
Пусть мы имеем диполь, причем положительный заряд пусть
будет закреплен в начале координат, а электрон с зарядом — е
связан с положительным зарядом квазиупругой силой. Уравне-
Уравнение свободных колебаний электрона есть
тг + /г = 0.
В присутствии магнитного поля появляется сила Лоренца
— —[уЩ, и уравнение колебаний после деления на т и замены
f/m через tojj принимает вид
r + <o*r.= --^r[v3»]. G8.1)
§ 781 ЭФФЕКТ ЗССМАНА. ОБЩИЙ СЛУЧАИ 255
Положим теперь, что магнитное поле направлено по оси г,
так что
Заметив, что —Ж есть удвоенная ларморовская частота, на-
п]1]нем три скалярных уравнения, соответствующих ьектоопому
уравнению G8.1):
¦ ' (o-jx + 2о//= 0, )
G8.2)
Решения первых двух дифференциальных уравнений б\дем
искать в виде
х = аеш, у = Ьвш, G8.3)
где амплитуды а и Ь, вообще говоря, —комплексные. Подстав-
Подставляя G8.3) в G8.2), получаем
а(а>1 — <o2)-f 2А>ю&=0,
Ь (а* — и2) — 2tocoa = 0.
G8.4)
Мы получили систему линейных однородных уравнений для
неизвестных а и 6, Как известно, такая система имеет решения,
отличные от нуля, только при условии равенства нулю опреде-'
лителя из коэффициентов, т- е.
@д — юг, 2/ioo
— 2(ош, а2 — ю
G8.5)
откуда, раскрывая определитель, находим*)
((ujj - ш2J _ 4oW. G8.6)
Мы получаем, таким образом, два квадратных уравнения
tag — to» = 2ош„ cog — io\ = — 2ош,. G8.7)
*) У
G8 4) по
чтобы ре
лучае
е G8 5)
Ь~
им
ура
2;о<
ио-
иолу ее
й были с.(
1 Й,
ХТОЙ №ИОГ
второго у
№Я ~ о2
= <4 -ю
ого ypaei
-. Для
азу получаем G8.6).

Из четырех решений этих уравнений только два положительны
Ш| = - о + У<+о*. «Bj = о + V4 + о3. G8.8)
Отсюда, принимая во внимание, что о -С ыо (см. стр. 254),
а сме
будет
ние линейной частоты относительно v0, как и раньше,
^=±-^ = ±Ц~^- G8.9)
Таким образом, частота колебаний, происходящих по осям х
и у, т. е. перпендикулярных к полю Ж, смещаются как раз па
величину, даваемую формулой Лоренца.
Мы можем теперь установить также состояние поляризации
обеих смещенных компонент. Из G8.4) имеем
1 4 = -,-^. <78.ю)
Подставляя сюда « — <вр, т. е. частоту компоненты, смещенной
в красную сторону, и замечая, что согласно первому из Сравне-
Сравнений G8.7) 2o<Bj — eojj — (Bf, получаем a[b = —i или a = —;& =
__ jg-jn/2, это означает, что колебание по оси х отстает по фазе
от колебания по оси у на л/2. Оба колебания дают круговое
вращение и притом, принимая во внимание указанное соотноше-
соотношение фаз, вращение по часовой стрелке, т. е. правокруговую по-
поляризацию.
Аналогично, подставляя в G8-10) ы = юэ, т.е. частоту ком-
компоненты, смещенной в фиолетовую сторону, и принимая во вни-
внимание второе из уравнений G8.7), получаем
ajb=i или a = bei1.
откуда следует, что компонента и2 поляризована
кругу. Наконец, третье уравнение системы G8.2)
вому
показывает, что колебание по оси г происходит без изменения
частоты; оно имеет линейную поляризацию. Однако наблюда-
наблюдатель, смотрящий навстречу силовым линиям магнитного поля
(продольное направление), не увидит этой третьей компоненты,
так как излечение диполя в направлении колебаний равно нулю.
Итак, в продольном направлении картина эффекта Зеемана
состоит из двух смещенных линий; обе поляризованы по кругу,
причем линия, смещенная в красную сторону, поляризована по
§ 7Э] ИЗЛУЧЕНИЕ ВАВИЛОВА - ЧЕРЕНКОВА 257
правому кругу, а линия, смещенная в фиолетовую сторону, —
по левому.
Наблюдатель, смотрящий перпендикулярно к направлению
магнитного поля, например по оси х, увидит несмещенную ли-
линию, так как колебания по оси г дают максимальное излучение
в перпендикулярном направлении. Он увидит также обе сме-
смещенные компоненты по следующей причине: диполь, колеблю-
шийся по оси х, не дает излучения в направлении этой оси. Но
оба колебания в плоскости ху дают компоненты, поляризован-
поляризованные по кругу. Поэтому наблюдатель, который смотрит навстречу
оси х, увидит проекции круговых колебаний на ось у, а наблю-
наблюдатель, смотрящий по оси у, увидит проекции круговых коле-
колебаний на ось х. Таким образом, картина поперечного эффекта
Зеемана состоит из трех линий: несмещенной и двух смещенных.
Все линии линейно поляризованы: несмещенная имеет колеба-
колебания электрического вектора по направлению поля, смещенные —
перпендикулярно к полю.
Как уже было указано в начале этого параграфа, для слу-
случая простого эффекта Зеемана все изложенные результаты тео-
теории подтверждаются совершенно точно. Зато сложный эффект
мог быть объяснен только в рамках квантовой теории.
§ 79. Излучение Вавилова—Черенкова
В § 67 мы видели, что согласно классической электродина-
электродинамике излучение электромагнитных волн возникает нри ускорен-
ускоренном, т. е. неравномерном движении электронов или вообще
заряженных частиц. При этом, однако, молчаливо предполага-
предполагалось, что скорость излучающих частиц меньше скорости света.
С Другой стороны, уже давно было известно, что в случае меха-
механических систем при равномерном движении тела в среде со
скоростью, превышающей скорость распространения упругих
волн в этой среде, возникает особого рода волна. На рис. 123
приведена фотография летящей пули, сделанная методом,
позволяющим выявить изменение показателя Преломления
воздуха (так называемый метод Теплера). Видно, что летящая
пуля сопровождается волной сгущения; именно эта волна и
обусловливает характерный свист или бой, сопровождающий
летящий снаряд. Всем, конечно, также хорошо известна «носо-
«носовая волна» на поверхности воды, возникающая При быстром
движении глиссера. Во всех этих случаях механизм возникнове-
возникновения волны, т. е. механизм излучения равномерно движущегося
тела —один и тот же.
Оказывается, что и равномерно движущийся в среде элек-
электрический заряд (в частности — электрон) может излучать
электромагнитную волну, при условии, что скорость движения
9 Э. В. Шло

заряда больше скорости света в данной среде. Следует подчерк-
подчеркнуть, что речь идет именно о скорости света в среде, но не в пу-
пустоте. Значение этой оговорки состоит в том, что скорость света
в пустоте с = 3- 10ш см/сек, согласно теории Относительности,
есть предельная скорость: никакое тело не может двигаться со
скоростью, равной или большей этой скорости. Но скорость
света в среде равна с/п, где п — показатель преломления — ве-
величина, большая единицы в области нормальной дисперсии и,
поскольку с/п < с, ограниче-
ограничение, налагаемое теорией отно-
относительности, в случае движе-
движения в среде не имеет места.
При этом, говоря о скорости
света, мы имеем в виду фазо-
фазовую скорость, т. е. скорость
перемещения поверхности рав-
равной фазы {см.§ 136).
Электромагнитное излуче-
излучение, сопровождающее электро-
-]]Ы, движущиеся в среде со
сверхсветовой скоростью, было
открыто в 1934 г. П. А. Черен-
Черенковым, работавшим под руко-
руководством С. И Вавилова. По
этой причине мы называем это
излучение излучением Вави-
Вавилова — Черепкова *). Первона-
Первоначальная задача Черенкова состояла в исследовании свечения
растворов под действием у-лучей радия. Видимое свечение жид-
жидкостей под действием радиоактивных излучений наблюдалось
еще Марией Кюри приблизительно за 25 лет до работы Черен-
Черенкова. Однако Кюри приписывала это свечение обычной люминес-
люминесценции. Также и в работах французского физика Малле {1926—
1929 гг.), которые, впрочем, не были известны Черенкову, Это
свечение не получило правильной интерпретации.
Выполняя исследование свечения растворов под действием
Y-лучей радия, Черенков показал, что паряд\ с люминесценцией
&аствора наблюдается слабое свечение самих растворителей,
'казалось, что такое свечение обнаруживают вообще все чи-
чистые жидкости — вода, бензол и другие. Но наиболее важней
результат этих первых исследований состоял в доказательстве
того, что эт» слабое свечение не является люминесценцией. Это
было важно потому, что многие весьма чистые жидкости, на-
ис. 123. Фотограс
¦) В литераторе s
простс
излучением Че-
'ЧЕНИЕ ВАВИЛОВА-ЧЕРЕНКОВЙ
пример вода, под действием ультрафиолетового освещения дают
слабое синее свечение, которое по всем своим свойствам не-
несомненно должно быть отнесено к люминесценции. Между тем
некоторые свойства свечения под действием у-лучей радия, изу-
изучавшегося Черенковым, резко отличали его от люминесценции.
Эти особые свойства Черепков установил путам количественных
экспериментов, очень трудных вследствие слабости свечения.
Они состоят в следующем: люминесценция растворов «гасится»
некоторыми примесями, присутствующими в растворе в малых
концентрациях (йодистый калий, анилин и др.)—свечение чи-
чистых жидкостей под действием у-лучей такого гашения не испы-
испытывает; далее, свет люминесценции обнаруживает определен-
определенную поляризацию, которая также может быть ослаблена теми
же «тушителями» или просто нагреванием — свечение Черенкова
такого влияния на поляризацию не испытывает. Все Это указы-
указывало, что в отличие от люминесценции, которая характеризуется
конечной длительностью {10~7—10~8 сек), свечение Вавилова —
Черенкопа является «мгновенным». Наконец, вскоре было по-
показано также, что излучение вызывается не самими у-лУчами,
имеющими электромагнитную природу, но создаваемыми ими
в веществе электронами: излучение с теми же особыми свой-
свойствами вызывалось также потоком быстрых электронов в виде
р-лучей радиоактивных веществ. Особенно важно было то, что,
как доказали дальнейшие опыты, излучение Вавилова — Черен-
Черенкова обладает определенной направленностью: оно испускается
только вперед под, определенным утлом к направлению распро-
распространения ¦у-лучей, тогда как свет люминесценции излучается
равномерно по всем направлениям.
Это свойство и легло в основу правильного обьяснения све-
свечения Вавилова—Черенкова, как свечения, вызываемого Элек-
Тронами, движущимися со сверхсветовой скоростью. Такое объ-
объяснение было дано И. М. Франком и И. Е. Таммом в 1937 г,*)
Чтобы понять, каким образом может возникнуть электромаг-
электромагнитное излучение при быстром движении электрона в среде, рас-
рассмотрим сначала вопрос качественно. Пусть электрон движется
в Среде, которую мы предположим жесткой, чтобы не ослож-
осложнять >с.']овия рассмотрения, т е. пусть это будет, например,
стекл». На. рис. 124, а АВ— траектория электрона. Молекулы
среды мы можем считать сферическими. Но вокруг движущегося
заряда, например в точке Р, среда поляризуется- молекулы де-
формируются так, что положительные заряды смещаются по
направлению к движущемуся электрону, а отрицательные —в
противоположном направлении; при Этом молекулы приобретают
*) В 1959 1. работа П А Черепкова, И М Франка и И. Е. Тамма была

260
ГИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКА!
свойства элементарных диполей, определенным образом ориен-
ориентированных относительно Я. При переходе из точки Я в другую
точку траектории, например Р , поляризация в Р исчезает, что
ведет к возникновению короткого электромагнитного импульса.
Однако' вследствие полной симметрии поляризации как отно-
относительно оси РР\ так и по азимуту относительно точки Я, поле
на больших расстояниях, а следовательно и излучение, будут
отсутствовать.
оооо
ооо,
„О Ос
Ш
, ООо
ОоО
О 00
О
о а
оо о
Оо
<е> © о
а) при
а>© о
рооо
оо
а)
сорости; б) при 6oj
о
ОО
О
°-°
о о
о
о
юрости (по Джелли)
Теперь следует принять во внимание, что исчезновение поля-
поляризации происходит не мгновенно, но требует некоторого вре-
времени (время релаксации). Если же электрон движется со ско-
скоростью, близкой к скорости света в среде, то это мржет повести
к нарушению симметрии поляризации среды, как это показано
на рис. 124,6. Поляризация в области, где электрон находился
раньше, еще не успеет исчезнуть, тогда как в области Я поля-
поляризация уже установится. Это нарушение симметрии поведет
к тому, что в каждой точке пути электрона будет возникать
мгновенный электромагнитный импульс, создающий поле также
и на больших расстояниях. Однако для того, чтобы из этих
мгновенных некомпенсированных импульсов сложилась распро-
распространяющаяся в пространстве волна, между импульсами, воз-
возникающими в различных точках траектории электрона, должно
выполняться определенное условие когерентности, которое мы и
найдем, пользуясь элементарным построением Гюйгенса.
Рассмотрим электрон, движущийся в направлении АВ (см.
рис. 125) в среде с показателем преломления п со скоростью
v > с/п. Очевидно, что гюйгенсовы волны (электромагнитные
импульсы), исходящие из точек Р\, Р2, .,. траектории элек-
электрона, Придут к некоторой плоскости ВС в одинаковой фазе,
распространяясь под таким
углом О к направлению полета
электрона, при котором волна,ис-
волна,исходящая из А, пройдет путь АС,
равный (c/n)At, за время, в те-
течение которого электрон пройдет
путь АВ, равный vAt. Во всех
других направлениях элементар-
элементарные волны погасятся вследствие
интерференции. Но, как непосред-
непосредственно видно из рисунка, при
этом условии (c/n)At = vAtcosft.
Отсюда
cosO=l/p/z, где fi=v/c. G9.1)
Из этого равенства, которое
представляет основной результат
теории, следует, что излучение
возможно лишь при условии
ргс ~> 1, т. е. v > с/п. Условие
рл = 1 определяет пороговую
энергию, при которой становится
возможным излучение. Эта энер-
энергия, очевидно, зависит от показа-
показателя преломления П. Длп ооъяснения когерентности
Направленность излучения . излучения,
была доказана Черенковым сле-
следующим опытом (рис. 126). Узкий пучок у-л'учей проходит в со-
сосуд с жидкостью А. Возникающее в сосуде излучение после от-
отражения в коническом зеркале попадает в объектив фотоаппа-
фотоаппарата. На рис, 127 представлены полученные таким образом фо-
фотографии. Рис. 127, а дает картину, которая получается, когда
в сосуде находится люминесцирующии раствор: равномерно
освещенное кольцо показывает, что интенсивность люминесцен-
люминесценции не зависит от направления. Рис. 127,6 и в представляют
распределение но направлениям интенсивности излучения Ва-
Вавилова — Черенкова для двух жидкостей с различными пока-
показателями преломления. Ясно видно, что в этом случае вместо
равномерного кольца получается два пятна.
В том случае, когда излучение Вавилова — Черенкова возбу-
возбуждается ^-лучами, геометрия опыта недостаточно определенна,

так как излучение вызывают не сами -у-лучи, но создаваемые
ими вдоль всего пути электроны. Поэтому, хотя описанный толь-
только что опыт Черенкова имел очень большое принципиальное зна-
значение, так как он показал наличие направленности в излуче-
излучении, но, ввиду неопределенности
.^очетрии, он допускал только
качественную проверку соотноше-
соотношения G9-1). Количественная про-
проверка этого соотношения и, в
частности, зависимости угла О от
показателя преломления среды,
была осуществлена в 1938 г. К,ол-
линсом и Рейлингом, с пучком
р-электронов, доступным строгой
коллимации. Схема этого опыта
показана на рис. 128. Пучок
электронов со строго определен-
пой энергией в 2 Мэв, получен-
полученный на электростатическом гене-
генераторе, проходил через систему
раторе, проходил через систему
щелей (коллиматор). Полученный таким образом строго па-
параллельный пучок падал на тонкую пленку, подвешенную ме-
между зеркалами, расположенными под углом 45° друг к другу,
ат) и п— 1,337) [вода).
как показано на рис. 128, а. Вследствие малой толщины пленки,
протяженностью области, где возникало излучение Вавилова —
Черенкова, можно было пренебречь в масштабе размеров при-
прибора и рассматривать излечение как бы выходящим из одной
точки, что и показано схематически на рисунке. Рис. 128,6 по-
показывает расположение пятен, получающееся на фотопластинке.
§ 1Щ ИЗЛУЧЕНИЕ ВАВИЛОВА - ЧЕРЕНКОВА 263
С этой установкой были получены для листочков слюды, стекла
и целлофана с п= 1,59; 1,47 и 1,53 соответственно следующие
значения 0: 53°30'; 45°15'; 50°0\ тогда как формула G9.1) дает
52°10'; 46°30'; 49°22'. Принимая во внимание неизбежные ошиб-
ошибки, связанные с упрощающими 'допущениями при расчете, и
обычные ошибки измерений, следует считать совпадение пре-
прекрасным.
Трудность первых опытов Черенкова была связана прежде
всего с малой интенсивностью использованных пучков у- и р-лу-
чей естественно-радиоактивных веществ, и, во-вторых, с отсут-
отсутствием достаточно чувствительных детекторов видимого излу-
излучения. В настоящее время опыты с излучением Вавилова — Че-
Черенкова воспроизводятся легко. В самом деле, в качестве ис-
источников излучения могут служить строго параллельные пучки
Рейлитгга. а) Прибор:
') Изобра-
заряженных частиц относительно очень большой интенсивности,
получаемые на ускорителях, как в описанном опыте Коллинса
и Рейлинга, а в качестве детекторов могут применяться как фо-
фотопластинки, так и электронные умножители, обладающие
огромной чувствительностью. К, тому же умножители могут
быть использованы в разнообразных радиотехнических схемах
усиления.
Рис. 129 и 130 иллюстрируют наглядный демонстрационный
опыт, выполненный в Объединенном институте ядерных иссле-
исследований для Нобелевской лекции П. А. Черепкова. Простая
схема опыта изображена на рис. 129: пучок протонов от уско-
ускорителя (синхроциклотрона) с энергией 660М^в направлялся па
объект R, в котором возникало излучение Вавилова— Черен-
Черенкова. Это излучение падало на фотопластинку У7, расположен-
расположенную перпендикулярно к направлению пучка протонов. Так как
излучение Вавилова — Черенкова в пространстве идет по по-
поверхности конуса с углом при вершине, равным 20, то на

264 • СТРОРНИЕ АТОМА И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА [ГЛ V
пластинке должно получиться кольцо—-сечение конуса плоско-
плоскостью пластинки. Рис. 130 показывает, что это имеет место на са
ион деле; видное на фотографии, наряду с кольцом, интенсивное
центральное пятно образовано пучком протонов, прошедших че-
через объектив. Целесообразно отметить, что конечная ширина
кольца обусловлена тем, что показатель преломления, п для лу-
лучей различной длины волны имеет различную величину, ввиду
чего пучок, идущий по поверхности конуса, испытывает в самой
' среде спектральное разложение, причем внутренняя часть коль-
кольца должна иметь красный цвет, а наружная фиолетовый. Вы-
Выполненные цветные фотографии подтверждают и это.
Рис. 129. Cxet
Излучение Вавилова — Черепкова помимо своей принципи-
принципиальной важности приобрело большое практическое значение.
" Упомянем здесь прежде всего счетчики быстрых частиц, рабо-
работающие на основе эффекта Вавилова — Черенкова. Каждая
быстрая частица, проходя через среду, вызывает вспышку.
Правда, интенсивность этой вспышки очень мала (на 1 см пути
в среде с /i= 1,5 излучается примерно 200—300 фотонов). Од-
Однако число электронов, возникающих на фотокатоде, уже в
самом умножителе увеличивается в миллионы раз, а кроме того
умножитель включается в радиотехническую схему, в которой
импульс испытывает дополнительное усиление, и благодаря
этому частица может быть зарегистрирована. Подобные, так
называемые «черенковские», счетчики получили широкое рас-
распространение. В ряде отношений они обладают преимуществами
перед другими счетчиками заряженных частиц
ЮВА-ЧЕРСНКО:
265
d последнее время указаны и оосуждаются разнообразные
-другие виды применений эффекта Вавилова— Черенкова —от
получения миллиметровых электромагнитных волн до конструи-
конструирования ускорителей частиц.
В заключение отметим интересное и поучительное обстоя-
обстоятельство из\ истории открытия излучения заряженных частиц,
движущихся со сверхсветовой скоростью. В 1904 г., т. е. за год
Рис. 130. Фотография, падуче
до появления теории относительности, А. Зоммерфельд опубли-
опубликовал работу, в которой вычислялось излучение заряда, дви-
движущегося в вакууме со скоростью, большей скорости света в пу-
пустоте. Однако через год была опубликована теория относитель-~
ности, согласно которой такое движение невозможно, и работа
Зоммсрфельда была забыта. Она стала известной Франку и
Тамму только после завершения их работы. В этой связи пред-
представляют большой интерес следующие замечания И. Е. Тамма,
сделанные в его Нобелевской лекции:
«Вы видите, что механизм этого излучения чрезвычайно
прост. Само это явление могло быть легко предсказано на основе
классической электродинамики за много десятилетий до того,
как оно было фактически обнаружено. Почему же это открытие
столь запоздало? Мне кажется, что мы имеем здесь дело с по-
поучительным примером отнюдь не редкой в развитии науки

2615
\TOMA И КЛАССИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
ситуации, когда научный прогресс тормозится некритическим
применением правильных физических принципов к явлениям, вы-
выходящим за пределы применимости этих принципов.
В течение многих десятков лет всех молодых физиков учили,
что свет (и электромагнитные волны вообще) могут излучаться
только при, неравномерном движении электрических зарядов.
При доказательстве этой теоремы, явно или не явно, исполь-
используется то'1 факт, что теория относительности не допускает дпи-
жений со сверхсветовой скоростью; согласно этой теории ника-
никакое материзльное тело не в состоянии даже достичь скорости -
света. Тем не менее в течение долгого времени эта теорема счи-
считалась справедливой без всяких оговорок.
Более того, когда И. М. Франк и я уже разработали мате-
математически правильную теорию излучения Вавилова — Череп-
Черепкова, мы все еще пытались разными способами, которые для
нас самих сегодня уже непостижимы, примирить найти резуль-
результаты с утверждением, что для излучения необходимо ускорение.
И лишь на следующий день после первого нашего доклада об
этой теории на коллоквиуме Физического института мы вне-
внезапно узрели простую истину: предельной скоростью для ма-
материальных тел является скорое|ь света в вакууме (обо-
(обозначаемая нами через с), тогда как заряд, движущийся в
среде с постоянной скоростью v, начинает излучать при усло-
условии ?)>с(о)), причем значение с(и>) определяется свойствами
среды. Если с'(а>) < с, то это условие вполне может быть
выполнено без нарушения требований теории относительности
(с' <v <ф>.
ИЗЛУЧЕНИЕ АБСОЛЮТНО ЧЕРНОГО ТЕЛА
И ГИПОТЕЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ
§ 80. Классическая физика и проблема теплового излучения
В предыдущей |лаве мы показали, каким образом классиче^
екая физика объясняет электромагнитное излучение атомов. Мы
видели, что ряд следствий из электромагнитной теории света и
электронной теории хорошо совпадает с результатами экспери-
эксперимента. Сюда относятся, например, распределение излучения по
различным направлениям, ширина спектрзлмщх линий, простой
эффект Зеемана и ряд др\гих явлений, не затронутых в нашем
изложении. Наряду с этим мы обращали внимание на то, что
некоторые следствия либо противоречат опыту, либо имеют
ограниченную применимость. Так. например, характер линей-
линейного электромагнитного спектра лишь в области длинных волн
(длинноволновая инфракрасная область и радиоволны) отве-
отвечает требованиям классической теории, а в оптической области
спектра резко ей противоречит-
Однако особенно серьезное поражение потерпела классиче-
классическая физика, когда она была применена к проблеме теплового
излучения. Именно при изучении этой проблемы впервые обна-
обнаружились слабые места классической механики и электродина-
электродинамики, и потребовалось введение гипотезы квантов, решительным
образом противоречащей всему духу классической физики.
Для того чтобы сразу ввести читателя в существо дела, мы
прежде всего покажем, к каким непримиримым противоречиям
привела классическая физика в этом вопросе.
Каждодневный опыт учит нас, что твердые тела, будучи на-
нагреты до достаточно высокой температуры, накаляются, т. е. на-
начинают испускать видимый свет. Однако и при более низкой
температуре они излучают эне'ргию в виде так называемых теп-
тепловых волн, т. е. инфракрасных лучей.
Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о тепловом излу-
излучении, не имея в виду специально длинные инфракрасные волны,
и будем пользоваться этим термином — «тепловое излучение» —
только для того, чтобы подчеркнуть способ его возникновения.
Представим себе теперь несколько тел, нагретых до различ-
различной температуры, и для полной определенности поместим эти
тела в полость, окруженную оболочкой с идеально отражающи-
отражающими стенками. Если даже внутри этой полости будет абсолютный

1ЕНИЕ ЧЕРНОГО 1
ГИПОТЕЗА КВАНТОВ
вакуум, тела будут обмениваться энергией между собой через
посредство излучения. При этом, хотя излучение каждого тела
зависит только от его собственной температуры, а не от темпе-
температуры окружающих тел (закон Прево), более теплые тела бу-
будут охлаждаться, так как они испускают большее количество
энергии, чем получают от окружающих тел, а менее нагретые
тела — нагреваться, потому что они получают больше, чем от-
отдают. Так как, кроме того, электромагнитные волны, излучае-
излучаемые всеми этими телами, распространяются с конечной ско-
скоростью, то пространство внутри полости будет всегда заполнено
лучистой энергией. Опыт показывает, что в конце концов обяза-
обязательно устанавливается стационарное состояние, при котором
все тела приобретают одинаковую температуру, т. е. поглощают
в единицу времени ровно столько энергии, сколько отдают ее,
а плотность излучения в пространстве между ними достигает
некоторой определенной величины, соответствующей данной
температуре.
Этот факт настолько известен, что он представляется даже
вполне естественным выводом из законов классической физики,
а между тем, если вдуматься глубже, то он оказывается совер-
совершенно непонятным именно с точки зрения классической физики.
Поясним это простым примером. Представим себе, что в на-
нашей полости помещен кусок железа, и положим, что поверхность
его зачерчена так, что она поглощает полностью всю падающую
па нее энергию. Известно с полной определенностью, что такой
кусок железа при температуре в 0°С будет излучать с каждого
квадратного сантиметра своей поверхности 3-105 эрг в секунду,
а при тепловом равновесии — одновременно и поглощать из
окружающего пространства ровно такое же количество энергии
в секунду. Столь же достоверно известно, что в пространстве
между стенками полости и поверхностью нашего куска железа,
вообще в той части пространства внутри полости, которая не
занята частицами вещества, равновесная плотность энергии при
0°С будет равна 4-Ю эрг/см3. С другой стороны, плотность
тепловой энергии внутри самого куска железа при той же тем
пературе равна приблизительно 8-104 эрг/см5, т. е. в 2-1014 раз
больше плотности энергии излучения. Эта тепловая энергия, как
известно, заключается в колебаниях атомов железа около поло-
положений равновесия. Мы приходим, таким образом, к поразитель-
поразительному выводу: при термодинамическом равновесии между колеб-
колеблющимися атомами вещества и электромагнитным излучением
почти вся энергия сосредоточена в колеблющихся атомах, и
лишь ничтожная часть ее приходится на долю излучения, нахо-
находящегося с ними в равновесии.
Именно этот факт является совершенно непонятным с точки
зрения классической механики. Представим себе следующую
простую модель рассмотренного выше опыта: на поверхности
воды, налитой в какой-нибудь резервуар, плавают пробки, со-
соединенные пружинами, так что они могут колебаться относи-
относительно друг друга. Приведем эти пробки в колебания; тогда они
будут отдавать свою энергию («излучать») воде, на гладкой
поверхности которой появятся волны. Эти волны будут бороз-
бороздить поверхность в различных направлениях, отражаться от сте-
стенок резервуара, раздробляясь на все более мелкие волны, и
вследствие вязкости их энергия будет постепенно превращаться
в тепло. Совершенно очевидно, что окончательный результат
опыта должен состоять в том, что пробки прекратят свои коле-
колебания, а вся их энергия будет передана окружающей среде.
Невозможно представить себе, чтобы в конечном состоянии
пробки находились в интенсивном колебании, а вода не полу-
получила бы никакой энергии. Но именно это имеет место в случае
равновесия между нагретым материальным телом и излучением.
Там, как мы видели, почти вся энергия сосредоточена в колеба-
колебаниях атомов, а на излучение приходится лишь ничтожная доля
энергии.
Рассмотрим теперь другой модельный опыт. Пусть механи-
механической моделью излучающего тела будут служить вместо проб-
пробковых шариков дробинки, также соединенные легкими пружин-
пружинками и подвешенные в замкнутой камере, содержащей воздухТ
Если теперь привести эти дробинки в сильные колебания и пре-
предоставить самим себе, то они возбудят в воздухе акустические
волны, которые будут постепенно раздробляться и замирать
вследствие вязкости воздуха, совершенно так же, как волны на
поверхности жидкости. Окончательным состоянием системы бу-
будет такое, в котором дробинки покоятся в их положениях равно-
равновесия, а весь их первоначальный запас энергии перейдет к мо-
молекулам воздуха. Точнее говоря, дробинки будут совершать бес-
бесконечно малые брауновские колебания со скоростями, соответ-
соответствующими их массе. Однако и при этом уточнении практически
вся энергия, которой обладает система, будет принадлежать мо-
молекулам газа.
Кинетическая теория газов дает полное объяснение причины
такого хода явления. В самом деле, кинетическая энергия двух-
двухатомных молекул воздуха в равновесном состоянии при темпе-
температуре Т равна, как известно, bhnkT, где « — число молекул;
кинетическая энергия ri1 дробинок, совершающих брауновское
движение, равна y2n'kT. Полная энергия всей системы при рав-
равновесии должна быть поэтому E/эЯ + 3hn')kT. Так как число
молекул п неизмеримо больше числа дробинок «', то ясно, что
вся энергия практически равна R/2nkT. Другими словами, при
равновесии энергия должна целиком перейти от дробинок к мо-
молекулам воздуха.

АРНОГО ТЕЛА И ГИП
} ЭНЕРГИИ (ГЛ '
Мы видим, таким образом, что описанная картина явления
для «излучающей» системы частиц и среды, в которой распро-
распространяется излучение, прямо противоположна той, которая
имеет место согласно опыту в случае равновесия материального
тела и электромагнитного поля (тепловое излучение). Затруд-
Затруднение, которое возникло в связи с проблемой теплового излуче-
излучения, состоит именно в том, что, как оказывается, согласно клас-
классической физике также и в случае равновесия электромагнит-
электромагнитного излучения материальных тел в замкнутой полости практи-
практически вся энергия должна перейти к электромагнитному полю.
§ 81. Равновесное излучение в полости
Займемся теперь рассмотрением проблема излечения, чтобы
убедиться в правильности вывода, сделанного в конце предыду-
предыдущего параграфа. Представим себе, как и раньше, полость, окру-
окруженную теплонепроницаемыми стенками, нагретыми до некото-
некоторой определенной температуры Т. Стенки полости будут излу-
излучать электромагнитные волны и поглощать волны, падающие на
них изнутри полости; при равновесии в 1 сек будет излучаться
столько же, сколько и поглощаться, и так как излучение рас-
распространяется с конечной скоростью, то внуфи полости будет
существовать электромагнитное поле с постоянной плотностью
энергии
ц ¦=-^-(#* + #*). (81.1)
Вместо объемной плотности излучения и удобно, особенно
для практических целей, пользоваться другой величиной —
удельной интенсивностью или поверхностной яркостью излуче-
излучения. Эта величина определяется следующим образом: рассмо-
рассмотрим в поле излучения площадку da, ориентированную любым
образом. Через эту площадку во всевозможных направлениях
проходит излучение. Мы можем себе представить двойное мно-
многообразие элементарных конусов, опирающихся на площадку da,
и представить себе, далее, что излучение распространяется вну-
внутри этих конусов. Количество энергии, проходящей в единицу
времени через площадку do внутрь конуса rfQ, ось которого со-
составляет с нормалью к площадке угол О, равно
d<D = I da cos-S
(81.2)
Величина / называется удельной интенсивностью излучения. Это
есть, следовательно, энергетический поток, проходящий в еди-
единицу времени через площадку da = 1 см2 и распространяю-
распространяющийся внутри единичного телесного угла в направлении нор-
нормали к площадке. Дла того чтобы получить величину полного
s Hi] РАВНОВЕСНОЕ ИЗЛУЧРНИС В ПОЛОСТИ 271
потока, проходящего через da в единицу времени в одну сто-
сторону, нужно проинтегрировать выражение (81.2) по всем ази-
азимутам ф от 0 до 2я и по всем углам О от 0 до л/2. Принимая
во внимание, что
rfQ = sinft dftdty,
имеем
2л п/2
Ф = Aа | dq> I / sin'&cos'&dO.
о о
Если излучение изотропно, т- е. если / не зависит от угла, то
Ф = л/ da.
Очевидно, что величина / играет для излучения такую же
роль, как величина поверхностной (энергетической) яркости для
источника, ввиду пего / часто называют поверхностной ярко-
яркостью излучения.
Между яркостью / и объемной плотностью излучения и
имеется простое соотношение. Рассмотрим какую-нибудь точ-
точку О внутри поля излучения и вообразим сферу, описанную
из О, как из центра. Очевидно, что все лучи, проходящие через
точку О, должны пройти через эту сферу, и каждый из них вно-
вносит свою долго в объемную плотностью излучения около О. Пу-
Путем интегрирования и на основании простых геометрических
соображении *) нетрудно показать, что для случая линейно по-
поляризованного излучения
"=~- (81.3)
Далее, нужно принять во внимание, что тепловое излучение
в полости имеет сплошной спектр. Для рассмотрения его спек-
спектрального состава необходимо наряду с интегральными величи-
величинами и и /, в которых учитываются излучения всех имеющихся
частот, ввести спектральные величины. Для бесконечно малого
интервала частот dv мы можем Считать спектральную объем-
объемную плотность duv пропорциональной интервалу dv:
Коэффициент pv называется спектральной (объемной) плотно-
плотностью излучения. Для сплошного спекгра, охватывающего все
частоты от 0 до се, имеем
и = \ duv = Г ру dv.
Наряду с pv можно ввести спектральную поверхностную яр-
яркость излучения /v, определив ее по аналогии с тем, как это

272 ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА И ГИПОТЕЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ [ГЛ. V!
было сделано для интегральных величин. Между pv и /v имеется
в таком случае то же соотношение, что и между ни/;
Pv=^4- (81.4)
Наконец, нужно принять во внимание, что излучение опреде-
определенной частоты и определенного направления характеризуется
еще своим состоянием поляризации. Излучение внутри полости
вполне неполяризовано. Но неполяризованный луч в отношении
переносимой энергии эквивалентен двум лучам, поляризованным
во взаимно перпендикулярных плоскостях и имеющим одинако-
одинаковую среднюю интенсивность. Поэтому для неполяризованного
излучения
(81.5)
§ 82. Закон Кирхгофа
Первый крупный шаг в теоретическом исследовании свойств
равновесного излучения был сделан Кирхгофом, который термо-
термодинамическим путем показал, что при постоянной температуре
спектральная плотность излучения pv совершенно не зависит от
природы и свойств тел, находящихся внутри полости (в том
числе и стенок самой полости), например, от характера их по-
поверхности, наличия или отсутствия у них полос селективной оп-
оптической абсорбции и т. д. Эта особенность равновесного излу-
излучения вытекает непосредственно из второго начала термодина-
термодинамики. В самом деле, допустим обратное, т. е. что плотность из-
излучения при равновесии каким-то образом зависит от природы
тел, находящихся внутри полости. Тогда, взяв две равновесные
системы, находящиеся при одинаковой температуре, но заклю-
заключающие разные тела, и установив между ними сообщение, мы
бы нарушили равновесие. Это повело бы к установлению между
обеими системами разности температур, которую можно было
бы использовать для построения perpetuum mobile второго рода.
Кирхгоф, далее, нашел важное соотношение между испуска-
тельной и поглощательнои способностями тела для данной ча-
частоты, с- одной стороны, и спектральной яркостью /v (а значит,
и Pv) — с другой. Во избежание недоразумений необходимо, од-
однако, прежде всего условиться о терминах.
§В2]
ЗАКОН КИРХГОФА
Если на тело падает излучение, то часть его неизбежно от-
отражается па поверхности раздела между телом и средой, а
остальная часть проникает внутрь тела. Эта проникшая внутрь
лучистая энергия частью поглощается, превращаясь в тепло,
частью же после одного или нескольких отражений внутри тела
вновь выходит наружу. Доля всей падающей энергии данного
интервала частоты v, v + d\, которая остается внутри тела и
превращается в тепло, называется поглощательнои способностью
тела для данной частоты и обозначается через Av (безразмер-
(безразмерное число). Ее не следует смешивать с коэффициентом погло-
поглощения ач, измеряющим относительное ослабление параллель-
параллельного пучка лучей на единице длины. Тело может иметь малый
коэффициент поглощения, но при значительном протяжении —
большую поглощательную способность- Энергия, излучаемая
1 см2- в 1 сек, называется испускательной способностью и обо-
обозначается через Ev. Установленное Кирхгофом соотношение
гласит:
% = ><—s^ I82-1)
[последнее — по (81.5)], т. е. отношение испускательной способ-
способности тела к его поглощательнои способности равно поверхност-
поверхностной яркости находящегося с ним в равновесии излучения. Так
как спектральная плотность pv (а также /v) не зависит от при-
природы тела, то соотношение (82.1) означает, что отношение испу-
испускательной способности тела к его поглощательнои способности
для всех тел одно и то же. Это отношение, пропорциональное
спектральной плотности равновесного излучения, является, та-
таким образом, универсальной функцией, зависящей только от
температурь) и частоты.
Среди всех тел максимальное значение Ev должно иметь та-
такое тело, у которого поглощательпая способность равна еди-
единице; так как это тело поглощает всю падающую на него энер-
энергию, то Кирхгоф назвал его абсолютно черным. Положим, что
нам удалось построить такое тело; из соотношения (82.1) при
Av = 1 получаем
?„ = '»=Т5-Р». (82.2)
Это значит, что испускательная способность абсолютно черного
тела также является универсальной функцией частоты и темпе-
температуры Если поэтому теоретически найдена формула, дающая
явное выражение p(v, 7"), и если экспериментальная проверка,
выполненная только для одного абсолютно черного тела, под-
подтверждает эту формулу, то мы можем вычислить распределение
энергии в спектре для любого тела, зная его поглощатель-
ную способность, которую можно найти при помощи спектра

274
'4FHHE ЧЕРНОГО 1
абсорбции и геометрических соображений. Отсюда понятно то
большое внимание, которое привлекла к себе проблема теоре-
теоретического отыскания функции p(v, 7").
В действительности ни одно тело в природе не может счи-
считаться абсолютно черным, и не существует такой краски, кото-
которая, будучи нанесена на поверхность тела, свела бы к нулю его
коэффициент отражения. Однако закон Кирхгофа открывает
возможность искусственного построения абсолютно черного тела.
Для этого достаточно взять полость, окруженную равномерно
нагретыми стенками (например, муфельную электрическую
печь); тогда равновесное излучение, устанавливающееся внутри
полости, будет характеризоваться распределением энергии в
спектре, тождественным с абсолютно черным телом. Поэтому,
если сделать в стенке полости малое отверстие, то из этого
отверстия будет выходить излучение, тождественное с излуче-
излучением абсолютно черного тела. Относительно практического осу-
осуществления подобного искусственного абсолютно черного тела
см. § 84.
§ 8.3. Законы излучения абсолютно черного тела
Основной вывод, к которому приводит закон КиРхг0Фа, мо-
может быть записан следующим образом:
Pvrfv = F(v, T)dv, (83.1)
где F{v, T)— некоторая универсальная функция. Следующая
задача заключается в раскрытии вида этой функции. Наиболее
значительный шаг в этом направлении после ряда важных ра-
работ русских физиков В. А. Михельсона и Б. Б. Голицына был
сделан Вином, который воспользовался, кроме термодинамики,
еще и электромагнитной теорией света.
В результате оц установил следующую формулу*):
Pvrfv = v3f(y)rfv, (83.2)
Здесь F{v/T) — фуикния, раскрыть вид которой при помощи тер-
термодинамических соображений, т. е. без всяких гипотез о моле-
молекулярном механизме испускания и поглощения, оказалось не-
невозможным.
Несмотря на этот недостаток, формула Вина сыграла очень
важную роль Во первых она свела отыскание функции двух
ретической (Ьиз* е г ч ел в кн ir М Планка Теория теплового из-
ретическ)ю физику, ч. V, ОНТИ, 1935
i отличающееся исключительной яс-
Теория излучения, Гостехиздат, ]94]
лучения, ОНТИ
Краткое излож
цостью, даио в к!
*Ь„
жоны излучени:
;С0ЛЮТ!1О ЧЕРНОГО ТЕЛА
переменных v и Т к функции одной переменной v/T, a
крывало возможность по заданной кривой распределепи
гии в спектре для какой-нибудь одной температуры вы>
кривую для любой другой. Положим, например, что нг
кривая для температуры Т, и мы хотим вычислить кри1
температуры 7V Для частоты vi, удовлетворяющей
Vj/Г, = v/Г, т. е vi = Tiv/T, формула Вина даст
/ v \ / v \ 7 / v \ 7
27G
ЭТО ОТ-
[я энер-
ислять
м дана
¦ую для
/слов и ю
Таким образом, достаточно ординату каждой точки кривой
p(v, T) умножить на отношение Т*/Т*, чтобы получить кривую
рКГ,)-
Во-вторых, поскольку формула Вина выведена при помощи
термодинамики, она безусловно верна, вследствие чего любая
Другая формула, полученная при помощи каких-либо специаль-
специальных предположений о механизме излучения, обязательно долж-
должна удовлетворять требованиям, выраженным в этой формуле,
т. е. содержать (кроме постоянных) куб частоты и функцию от-
отношения у/Т.
Наконец, несмотря на присутствие неявной функции F(vlT),
формула Вина ведет к некоторым совершенно определенным
количественным соотношениям.
В этом можно убедиться, прежде всего вычислив при помощи
этой формулы интегральную плотность излучения и:
Вводя новую переменную v/7" = %, мы имеем
Если мы обозначим величину, получающуюся при вычислении
интеграла, через а, то получим
и = аР, (83.3)
т. е. известный закон Стефана — Больцмана.
Для дальнейшего целесообразно перейти от распределения
по частотам к распределению по длинам волц. С этой целью не-
\ обходимо принять во внимание прежде всего, что энергия, за-
заключенная в интервале частот от v до v -f- rfv, равна pvrfv (но
не pvl); та же энергия, выраженная через длины волн, равна,
очевидно, pid"h. Поэтому для перехода от распределения ко

:ние черного тела и гипотеза квант*
§841 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ ТЕПЛОВОГО ИЭЛУ1
частотам к распределению по длинам волн следует пользоваться
соотношением
pvdv = Pkdk; (83.4)
далее, надо заменить v и dv через X и dk:
v=~, I rfv| = -?-<**. (83.5)
Принимая все это но внимание, получим
Рх dl = Pv rfv = v3F (у) dv = -g- F (-?¦) <Д. (83.6)
dp.
Воспользуемся теперь условием максимума-^-= 0. Диффе-
Дифференцируя (83.6), получаем
или, наконец, вводя обозначение тт-= ^ и сокращая,
n/"(i)) + 5/;'(ii)=0. (83-7)
Решая это уравнение, мы получим для i\ какое-то определенное
численное значение п = const, а это дает -. с т = const, где
через ^ше,1 обозначена длина волны, отвечающая рА , или, так
как с есть величина постоянная,
W Т = const = 6. (83.8)
Но это — хорошо известный закон смещения Вина: длина вол-
волны, отвечающая максимальной энергии в спектре, обратно про-
пропорциональна абсолютной температуре.
§ 84. Экспериментальное исследование законов
теплового излучения
В § 82 мы видели, что искусственное построение модели'аб-
модели'абсолютно черного тела позволяет изучать экспериментальным
путем свойства равновесного излучения и, в частности, — иссле-
исследовать распределение энергии в спектре этого излучения. Для
практического осуществления модели черного тела необходимо
обеспечить возможность равномерного нагревания стенок поло-
полости и выход излучения наружу через малое отверстие. На
рис. 131, а изображено черное тело, впервые построенное Лум-
^ мером и Прингсгеймом. Оно представляет собою металлический
сосуд с двойными стенками. Пространство между стенками
используется в качестве «температуркой бани» для поддержания

278
'определенной и равномерной температуры. Это достигается пу-
путем пропускания пара кипящей воды или—для низких темпе-
температур—путем наполнения льдом, твердой углекислотой, жид-
жидким воздухом и т. д.
Для исследования излучения при высоких температурах при-
применяется черное тело иной конструкции (рис. 131,6). Цилиндр
из платиновой жести, через который пропускается электриче-
электрический ток, служит для равномерного нагревания внутреннего
фарфорового цилиндра Р. Температура внутри цилиндра изме-
измеряется термопарой Е; диафрагмы 1, 2, 3, ... предохраняют от
охлаждения проникающим снаружи воздухом.
При помощи подобных моделей черного тела были экспери-
экспериментально исследованы законы излучения, точно определены его
константы и изучено спектральное распределение яркости излу-
излучения. Ряд кривых распределения энергии в спектре абсолютно
черного тела для различных температур приведен на рис. 132,
Все кривые имеют резко выраженный максимум и обнаружи-
обнаруживают при повышении температуры смещение этого максимума в
сторону коротких волн, требуемое законом Вина.
§ 85. Теорема о равномерном распределении энергии
по степеням свободы
В теоретическом исследовании проблемы' излучения абсо-
абсолютно черного тела важную роль сыграла одна весьма общая
теорема классической статистической механики — так называе-
называемая теорема о равномерном распределении энергии по степеням
свободы. Напомним содержание этой теоремы. Для этого мы
рассмотрим сначала в качестве простейшего примера системы,
состоящей из большого числа частиц, одноатомный газ. Полная
энершя этого газа есть сумма кинетических энергий поступа-
поступательного движения его молекул. Если бы мы могли измерять
кинетическую энергию Отдельных молекул, — мы бы получили
для разных молекул весьма различные значения. Однако при
постоянной температуре средняя кинетическая энергия, прихо-
приходящаяся на одну молекулу, есть вполне определенная величина.
Если мы выделим какую-нибудь часть объема газа, состоящую
из достаточно большого числа молекул, го средняя кинетиче-
кинетическая энергия молекулы, вычисленная для этой части объема,
будет равна Средней кинетической энергии, вычисленной для
другой части объема при условии, что температура газа везде
одинакова. То же будет верно и в том случае, если газ является
смесью двух газов, молекулы которых имеют различную массу:
средняя кинетическая энергия тех и других молекул будет одна
и та же; это будет верно и тогда, когда оба газа не смешаны и
находятся в температурном равновесии.
э ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ТЕНЯМ СВОБОДЫ
Кинетическая энергия молекул одного моля одноатомного
газа равна En = 'faNmv2 и так как, с другой стороны, согласно
кинетической теории газов pv = ЦТ = lfaNmvz то то2 =
= 3R/NT = ЪкТ н
Ek = zj2NkT.
Если молекулы одноатомпого газа рассматривать как точеч-
точечные массы, то конфигурация системы Лг таких масс полностью
определяется их 3^ декартовыми координатами. Мы говорим,
что система имеет 3N степеней свободы. Пусть координаты цен-
центра тяжести 1-й массы будут xh (/,-, 2,; соответствующие им со-
составляющие скорости будут X;, yiy 2f. Кинетическую энергию всей
системы мы можем написать в виде суммы ЗА/ квадратичных
членов:
Ек — I/, mx\ + Уз ту\ + '/г тг\ + ...
тх\ + >/, t
Согласно теореме о равномерном распределении энергии, сред-
средняя энергия, приходящаяся на каждый член этой суммы, т. е.
на каждую степень свободы поступательного движения, — одна
и та же и равна ЦфЛ. В самом деле, если каждому квадратич-
квадратичному члену этой суммы приаисать одну и ту же среднюю кине-
кинетическую энергию, равную 'hkT, то полная энергия газа будет
равна 3fcNkT в согласии с предыдущим.
Рассмотренный пример одноатомпого газа отличается осо-
особенной простотой потому, что молекулы одноатомного газа мож-
можно рассматривать как точечные массы, каждая из которых на-
находится только в поступательном движении. Классическая ста-
статистическая механика, основанная на механике Ньютона, пока-
показывает, однако, что тот же результат имеет место и в самом
общем случае. Пусть например, наш газ состоит из двухатом-
двухатомных молекул. Каждая из них имеет пять степеней свободы: три
степени свободы поступательного перемещения центра тяжести
и две степени свободы вращения около двух осей, перпендику-
перпендикулярных к линии, соединяющей атомы (вращение вокруг оси, про-
проходящей через оба атома, не должно учитываться, если атомы
рассматривать как точечные массы). И в этом случае для вы- "¦
числения полной энергии газа следует каждой степени свободы
(т. с. как степеням свободы поступательных перемещений, так
и степеням свободы вращения), приписать одну и ту же сред-
среднюю энергию, равную {kkT.
Пусть, наконец, мы имеем любую систему, конфигурация
которой полностью определяется f лагранжевыми обобщенными
координатами gs, Цг, .-., <//, так что система имеет f степеней
свободы Кинетическая энергия такой системы представится
однородной квадратичной формой, содержащей члены с

ИЗУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО
JAHTOB ЭНЕРГИИ
квадратами обобщенных скоростей и, вообще говоря, также чле-
члены с их попарными произведениями*). Можно выбрать, однако,
координаты <7,,<72, ..., qs таким образом, чтобы кинетическая
энергия представилась суммой f членов, содержащих только
одни квадраты обобщенных скоростей, т. е. имеющих вид '/г0,^;
при этом коэффициенты а„ вообще говоря, уже не будут просто
равны массам т.;. Например, в полярных координатах для i-й
частицы
Т=т mA
так что otir = tnL, a#j = mf], аФ; = mf\ sinaft;. Каковы бы,
однако, пи были выбранные координаты, если кинетическая
энергия содержит только квадратичные члены, на каждый из
этих f членов, т. е. на каждую степень свободы, приходится со-
согласно упомянутой теореме статистической механики одна и та
же средняя кинетическая энергия, равная l/2kT.
До сих пор речь шла только о кинетической энергии.
Имеются, однако, случаи, когда и потенциальную энергию мож-
можно вычислить столь же простым способом. Если, например, си-
система состоит из линейных гармонических осцилляторов', то
ввиду того, что средняя потенциальная энергия линейного гар-
гармонического осциллятора равна его средней кинетической, на
каждую степень свободы придется энергия равная
общем случае системы, способной совершать малые коле-
колебания, всегда можно найти такие координаты, в которых не
только кинетическая" энергия представится в виде суммы ква-
квадратичных членов вида ЧчО.^ но и потенциальная энергия бу-
дет суммой квадратичных членов 11<1Ь(ф1; число последних так-
также равно числу степеней свободы системы *). Выбранные таким
образом нормальные координаты характеризуются тем, что для
каждой из них зависимость от времени представляется простой
синусоидальной функцией, а средняя кинетическая энергия со-
соответствующих собственных колебаний равна средней потен-
потенциальной (см. упражнение к этому параграфу). Движение си-
системы будет в этом случае суперпозицией f линейных гармони-
гармонических осцилляторов; полная энергия будет суммой 2/ квадра-
квадратичных членов. На каждый член приходится средняя энергия,
равная lfekTt следовательно, полная энергия будет fkT. В этом
и состоит теорема о равномерном распределении энергии.
зр, Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Мел
собпой совершать малые коле
люс и
Написать уравнения Лагранжа
решения их будут
энергий для каждого из собстве
средние значения между собой рав
колебаний и убед
§ 86. Формула Рэлея—Джинса
Рэлей впервые воспользовался теоремой о равномерном рас-
распределении энергии для вычисления плотности электромагнит-
электромагнитной энергии в замкнутой полости. Основанием для применения
этой теоремы в данном случае могут служить следующие сооб-
соображения. Представим себе полость объема V, не содержащую
материи (т. е. вакуум) и окруженную идеально отражающими
стенками, нагретыми до температуры Т.
Так как стенки этой полости при любой температуре излу-
излучают электромагнитные волны в виде света (в частности, при
низкой температуре — инфракрасного света), то внутри полости
будет существовать электромагнитное поле. Это электромагнит-
электромагнитное поле можно разложить на системы стоячих волн различной
частоты и разного направления; каждая такая стоячая волна и
представляет собою элементарное состояние электромагнитного
поля. Теорема о равномерном распределении утверждает, что и
в этом случае при равновесии между стенками полости и элек-
электромагнитным полем на каждую стоячую волну должна прихо-
приходиться средняя энергия, равная kT. При этом подобно тому как
средняя энергия гармонического осциллятора складывается из
средней кинетической энергии, равной lJ2kT, и средней потен-
потенциальной энергии, также равной lhkT, в случае электромагнит-
электромагнитного поля стоячих волн полная средняя энергия kT склады-
складывается из средних энергий электрического и магнитного полей,
в отдельности равных lfekT каждая.
Таким образом, подсчет энергии поля для данного интервала
частот v, v -f- rfv сводится к отысканию числа элементарных
стоячих волн, т. е. числа свободных собственных колебаний объ-
объема V, заполненного сплошной средой, принадлежащих к ука-
указанному интервалу частот. Зная полную энергию поля в объ-
объеме V, равную Vpvdv, можно найти и плотность энергии Ovdv.

ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА И ГИПОТЕЗА КБАНТОВ ЭНЕРГИИ [ГЛ. VI '
Вычисление плотности энергии поля pvdv при помощи тео-
теоремы о равномерном распределении было сделано Джинсом по
методу, указанному Рэлеем. Полученная им формула носит по-
поэтому название формулы Рэлея — Джинса. Хотя эта формула
в применении ко всему спектру оказалась неверной, она сыгра-
сыграла большую роль в развитии теории излучения и всей совре-
современной физики, так как она отчетливо вскрыла принципиаль-
принципиальные затруднения классической физики.
Рассмотрим вывод формулу Рэлея —Джинса и начнем с
подсчета числа собственных колебаний поля. Допустим для про-
простоты, что полость, в которой устанавливается стационарное
(т. е. не зависящее от времени) волновое поле, имеет форму
куба с ребром а. Как уже было сказано, стационарное волновое
поле можно рассматривать как совокупность стоячих волн. Рас-
Рассмотрим сначала волны, нормаль к которым перпендикулярна
к двум параллельным граням куба. Падающие и отраженные
волны, идущие параллельно этому направлению в ту и другую
сторону, образуют стояние волны. При этом на стенках полости,
в зависимости от природы волн, будут располагаться либо узлы
либо пучности, например, в случае электромагнитных волн элек-
электрическое иоле на стенках образует узлы, а магнитное — пуч-
пучности. Однако в том и другом случае условием существования
стоячей волны является требование, чтобы на протяжении дли-
длины а уложилось целое число полуволн.
Для определенности мы будем сначала рассматривать толь-
только такие стоячке волны, которые имеют на стенках узлы. Итак,
условие существования стоячих волн, параллельных плоско-
плоскости уг, состоит в том, что
2аД = «I (Я| —целое число).
Аналогичные условия будут иметь место для стоячих волн с
плоскостями равной фазы, параллельными плоскостям ху и хг;
Рассмотренные системы стоячих воли с нормалями, парал-
параллельными осям координат, являются частными случаями. В по-
лости могут существовать стоячие волны с нормалями, направ-
направленными любым образом.
Рассмотрим этот общий случай подробнее. Пусть мы' имеем
стоячую волну, нормаль к которой образует с осями х и у углы
аир соответственно, а плоскости равной фазы (например, уз-
узловые плоскости) —параллельны вертикальному ребру куба,
совпадающему с осью г. На рис. 133 квадрат изображает одно
из оснований нашего куба, т. е. грань, параллельную коорди-
координатной плоскости ху, а система параллельных прямых — следы
узловых плоскостей. Условие существования таких стоячих волн
заключается в том, чтобы расстояния между их узловыми пло-
плоскостями, измеренные по нормалям к граням куба, укладыва-
укладывались целое число раз в ребре а, т. е.
Эти условия получаются из рассмотрения рис. 133. Оче
но, что в самом общем случае, когда нормаль к узловым
скостям образует с осями коорди-
координат любые углы а, р\ у, должны
быть одновременно удовлетворены
три условия.
?Шр- = щ. (86,1)
Возводя в квадрат и складывая
эти три равенства, получаем
я!+«? + «Нт)'=НЯ' (86.2)
где с' — скорость перемещения плоскости равной фазы (фазо-
(фазовая скорость) в данной среде Но это — уравнение сферы с ра-
радиусом
R-ljr-. (86.3)
Отсюда видно, что каждой тройке целых
соответствует определенная частота
(86.4)
Введем теперь декартову систему координат, на осях кото-
которой отложим, выбрав за единицу с'/2а, целые числа пи пг и п3.
В силу (86.4) каждому набору значений этих чисел соответ-
соответствует определенная частота. В нашей системе координат, ко-
которую мы будем называть «пространством частот», эта частота
представится точкой с координатами пи п2, п% (изображающая
точка). Очевидно, однако, что всем целым числам Пи п2 и пз,
сумма квадратов которых имеет постоянное значение, соответ-
соответствуют численно равные частоты Тем не менее эти равные ча-
частоты представляют собой различные собственные колебания

284
ЛЛ^Ч
РНОГО ТЕЛА И ГИПОТЕЗА КВАНТОВ
нашего континуума, так как каждой из них соответствует своя
система стоячих волн, различающихся по направлению*).
Для наших целей существенно, что все такие равные между
собой частоты представляются различными точками простран-
пространства частот.
Теперь мы можем подсчитать полное число собственных ча-
частот от 0 до V. Построим для этого систему точек, соответствую-
соответствующую всевозможным целым положительным значениям пи п2, п3-
Очевидно, что эта система точек образует кубическую решетку,
причем ребро элементарного кубика будет равно 1, а объем—
также 1. Если длина волны достаточно мала по сравнению с ли-
линейными размерами полости а, то сумма объемов всех элемен-
элементарных ячеек (кубиков) будет с достаточной точностью равна
объему одной восьмой сферы радиуса R, определяемого усло-
условиями (86.3) и (86.4). Поскольку объем каждой ячейки равен 1,
мы можем утверждать и обратное, — что объем октанта (с ука-
указанной степенью точности) равен числу элементарных ячеек.
Если теперь мы будем знать, сколько изображающих точек
приходится на одну^ячейку, то мы вместе с тем найдем и полное
число собственных частот нашей полости, лежащих в пределах
от 0 до v. Но совершенно так же, как в случае кубической ион-
ионной решетки (см. § 34) на каждую ячейку приходится по одному
иону, мы можем утверждать, что и в данном случае на каждый
элементарный кубик приходится по одной изображающей точке.
Итак, искомое число частот свободных колебаний численно рав-
равно объему октанта, т. е.
Это и есть число собственных колебаний в пределах от 0 до v.
Число колебаний в пределах от v до v + dv равно числу изо-
изочек, которые расположены внутри одной восьмой
2av 2a(v + dv)
, а это число
р
бражающих точек, которые ра
сферического слоя с радиусами
изображающих точек, по предыдущему, равно объему указан-
указанного слоя, т. е.
dN=-^-a*dv
есть
поте
так*
•) Это совпади
!а И П:
част
с ребрами
гда
1 при уело]
ый случай,
го мы рас
, тон случ)
длины ребер т
набору чис
roe ча<
назыв;
сматри
ie, есл!
торыч
|раллел
:тот,
:> су
аемь
i бы
выр;
соответств;
[ft случаем в;
[ объем в d
мы выбрал!
шаются сои:
лощих раз
+ п] рав(
ырождепия
[гарме кубг
змеримыми
!еримы, со
твует толы
ЛИЧНЫМ 1
ia опреде;
. Совпаде!
1. Оно иь
форме па
отрезкам
тборам чисел
генному числу,
|ие получается
и. Однако, ко-
устраннетсн и
астота. Смысл
Если речь идет об электромагнитных волнах, которые только
н интересуют нас в данном случае, то мы должны еще принять
во внимание, что каждой частоте v соответствуют две волны со
взаимно перпендикулярными плоскостями поляризации. Поэтому
найденное число следует удвоить, и мы получаем, обозначая
объем куба а3 через V,
Это и есть число свободных собственных колебаний нашего объ-
объема V. По теореме о равномерном распределении энергии каж-
каждому из них следует приписать среднюю энергию kT. Следова-
Следовательно, полная энергия в объеме V будет
9,dv = ^kTdv. (86.5)
Это и есть формула Рэлея — Джинса.
Для практических применений удобнее перейти от распре-
распределения по частотам к распределению по длинам волн. Для
интервала длин волн X, % -\- dX имеем, по предыдущему,
Pv ^ = рь dX (83.4)
\dy\ = ~rd\. (83.5)
При помощи этих соотношений получаем из формулы (86.5):
ft dX — ЫкТХ~* dK. (86.6)
Для поверхностной яркости излучения 1% находим из (86.6)
HDH ПОМОЩИ СООТНОШС]
соображений размерности. В самом деле, очевидно, что числ
свободных собственных колебаний f{K)dX объема V относя-
относящихся к интервалу длин волн Л, X -(- dX, должно быть пропор-
пропорционально V и интервалу dX
где С — постоянное число. Но так как f(X)dX должно быть

безразмерным числом, а V dk имеет размерность см", то у (к)
должна иметь размерность см~А. Итак, ф(Х) = Х~4 и
Эта формула имеет место для любой сплошной среды и, соот-
соответственно, для любой природы волн. Приписывая каждому
собственному колебанию, по теореме о равномерном распреде-
распределении энергии, среднюю энергию kT, получаем для полной энер-
энергии объема V
CkT'!~"v dX,
а для плотности энергии
*
т. е. выражение, совпадающее с точностью до численного мно-
множителя С с формулой Рэлея — Джинса. Этот множитель может
быть получен чисто вычислительным путем. Интересно отметить,
что в случае, когда объем V заполнен газом, в котором воз-
возможны только продольные волны, для С получается 4я; для
электромагнитного поля, в котором существуют только попе-
поперечные волны, но имеется два независимых типа волн со взаимно
перпендикулярными плоскостями поляризации, С = 8 л и, нако-
наконец, для твердого тела, где возможны оба вида поперечных
волн, а также и продольные — С = 12л.
Упражнение. Произв
ема, имеющего форму пара
р
случ
нн й
ребрами /,, h, h, пыражаемьт
учается формула Р^леп — Джинса
i 87. «Ультрафиолетовая катастрофа»
Проанализируем теперь формулу Рэлея — Джинса и посмот-
"" ¦ результаты, согласные с экспе-
"О, что формула Рэлея — Джинса
рим, в какой степени она да*
риментом. Заметим прежде
(87.1)
удовлетворяет термодинамическому закону
= \3F(v!T)d\>, так как ее можно переписать в в
Несмотря па это, формула Рэлея — Джинса ведет к очевид-
очевидному абсурду. Действительно, вычислим при помощи (87.1)
интегральную плотность излучения
§67]
287
Это означает, что равновесие между материальными телами и
излучением могло бы наступить только при бесконечной плот-
плотности излучения (см. конец § 80). Другими словами, осцил-
осцилляторы излучающего тела должны были бы изйучать энер-
энергию до тех пор, пока их температура не упала бы до абсо-
абсолютного нуля.
В § 80 мы уже разъяснили, что именно такой результат и
должен получ.аться, если допустить применимость классической
механики к микроскопическим излучающим системам. С другой
стороны, однако, этот результат самым резким образом проти-
противоречит опыту, который показывает, что равновесие между из-
излучением и его материальными центрами возможно при любой
температуре и что при этом равновесии, как раз наоборот, плот-
плотность энергии излучения очень мала по сравнению с плотностью
энергии, заключающейся в материальных телах.
Несмотря на явную ошибочность формулы Рэлея — Джинса,
интересно сравнить ее с результатами опыта. Для этого удоб-
удобнее всего воспользоваться этой формулой в виде (86.6) или
(86.7), где дается распределе-
распределение по длинам волн. Обратив-
Обратившись к рис. 132, на котором
приведены экспериментальные
кривые распределения энергии
в спектре абсолютно черного
тела при различных темпера-
температура*, мы видим, что все эти
кривые имеют максимум и
круто спадают в сторону ко-
коротких длин волн. Напротив,
формула Рэлея — Джинса дает
монотонное и притом быстрое
(X!) возрастание в
рис 134,
ктро (пунктирная
рассчитанной
Рзлев - Дж
шргии
формул.
моно р р
(X!) возрастание в сторону
коротких волн. Однако для
длинных волн или для высо-
высоких температур она хррошо со-
согласуется с экспериментом.
Это схематически показано на
рис. 134. Так как формула Рэлея — Джинса, опирающаяся нэ
классическую физику, в резком противоречии с опытом, приво-
приводит к заключению, что в спектре теплооого излучения большая
часть энергии приходится на коротковолновую часть спектра,
то это положение было названо одним из основоположников
квантовой теории П. С. Эренфестом «ультрафиолетовой ката-
катастрофой».
Подводя итог сказанному, мы видим, что в теории тепло-
теплового излучения классическая физика потерпела решительное

1ЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛА I
>ТЕЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ 1ГЛ. VI
поражение. По образному выражению Лоренца, «уравнения
классической физики оказались неспособными объяснить, по-
почему угасшая печь не испускает желтых лучей наряду с излу-
излучением больших длин волн».
§ 88. Формула Планка
Формула Рэлея — Джинса, как мы видели, основана на са-
самых общих законах классической физики и не требует для
своего вывода никаких специальных гипотез. В 1896 г. Вин
предложил другую формулу, хорошо согласующуюся с резуль-
результатами эксперимента как раз в той области спектра, где фор-
формула Рэлея—Джинса неприменима*). Эта формула Вина, бу-
будучи написана для 1Х, такова:
/1=с,Я,~3е"е*/м, (88.1)
где С| и cs — постоянные. Для вывода своей формулы Вин дол-
должен был сделать некоторые гипотезы о механизме испускания
излучения, в соответствии с которыми распределение излучения
по частотам должно быть аналогично максвелловскому распре-
распределению скоростей между молекулами газа. В отличие от фор-
формулы Рэлея — Джинса, формула Вина давала максимум для
кривой распределения энергии в спектре.
Однако формула Вина оказалась применимой только для
коротковолновой ветви кривой распределения энергии в спек-
спектре абсолютно черного тела. Таким образом, к концу XiX сто-
столетия существовали две формулы, каждая из которых соответ-
соответствовала экспериментальным данным в ограниченном участке
спектра, но ни одна из них не описывала всю эксперименталь-
экспериментальную кривую. Около 1900 г. Планку удалось найти сначала чисто
эмпирически формулу, которая хорошо согласовывалась с дан-
данными опыта и в двух предельных случаях (для длинных и для
коротких волн) переходила соответственно в формулу Рэлея —
Джинса либо в формулу Вина. Формула Планка для /j. такова:
!>-=с^--^кгт- <88-2)
Легко убедиться в том, что эта формула на самом деле пред-
представляет собою результат интерполяции между формулами Рэ-
Рэлея—Джинса и Вина. Действительно, для XT» 1 (длинные
волны или высокие температуры) можно разложить в ряд
экспоненциальный член в знаменателе формулы Планка,
5 аи] формула планка 289
ограничившись первыми двумя членами разложения!
В этом случае формула Планка дает
Л = -~-й,~4Г,
что, очевидно, совпадает с формулой Рэлея — Джинса
1^ = скХ"*Т. ' (86.7)
Напротив, для случая КТ <ёС 1 (короткие волны или низкие
температуры) с2/ХТ » 1 и в знаменателе формулы Планка
Я
6
(Г
/,
i'
в
л
€
ft
IS
..
пи
г
N
¦i
\
*\
о
\
о'
/'
?
ч.
"а
\\
*\
*¦
1
7/7Г
а
Рис. 135. Экспери
я проверка формулы Планка.
можно пренебречь 1 по сравнению с экспоненциальным членом,
При этом формула Планка непосредственно дает
т. е. переходит в формулу Вина (88.1).
О степени соответствия между формулой Планка и экспе-
экспериментальными данными можно судить по рис. 135, где по оси

290
ИЗЛУЧЕНИЕ ЧЕРНОГО ТЕЛ
<!ПОТС34 КВАНТОВ ЭНЕРГИИ [ГЛ.1
ординат отложены процентные отклонения. Кружками и крести-
крестиками нанесены экспериментальные результаты. Приведенные на
том же рисунке кривые, построенные по формулам Вина и Рэ-
лея — Джинса, хорошо иллюстрируют асимптотический характер
ЭТИХ (ЬОПМУЛ.
этих формул.
§ 89. Гипотеза квантов энергии
Формула Планка, как было показано в предыдущем пара-
параграфе, решила задачу об отыскании математического выраже-
выражения закона распределения энергии в спектре абсолютно черного
тела. Оказалось, однако, что для вывода этой формулы необхо-
необходимо сделать гипотезу, коренным образом противоречащую всей
системе представлений классической физики, а именно — гипо-
гипотезу о том, что энергия микроскопических систем (атомы, мо-
молекулы) может принимать только определенные, дискретные
значения.
При выводе своей формулы Планк схематизировал излучаю-
излучающие материальные центры, рассматривая их как линейные гар-
гармонические осцилляторы, несущие электрический заряд, при
посредстве которого они могут обмениваться энергией с окру-
окружающим электромагнитным полем. Гипотеза, которую Планк
положил в основу своего вывода в современной, более точной
формулировке, такова: осцилляторы могут находиться только
в некоторых избранных состояниях, в которых их энергия яв-
является целым кратным наименьшего количества энергии ео:
е0, 2е0, ..., «еэ, ...;
при излучении или поглощении осцилляторы переходят из од-
одного из этих состояний в другое скачком, минуя промежуточные
состояния.
На основании этой гипотезы Планк вывел формулу для объ-
объемной спектральной плотности излучения pv в следующем виде:
р*=^7^ГГ <89Л>
Но любая правильная формула излучения должна удовлетворять
термодинамическому закону Вина pv = v3F(v!T). Легко видеть,
что для того, чтобы формула (84.1) удовлетворяла этому за-
закону, необходимо положить
(89.2)
a ft —
1ЯХ
юсть,
где v — частота колебаний осциллятора^ =y?J, a
универсальная постоянная, имеющая размерность [энерги
X время]. Механическая величина, имеющая такую размерно
называется действием.
Й] ГИПОТЕЗА КВДНТОВ ЭНЕРГИИ 291
Подставляя (89.2) в (89.1), имеем
(89.3)
Это и есть формула Планка в том виде, в каком ею обычно
пользуются в теоретической физике.
Из (89.3) следует выражение для спектральной яркости из-
излучения Ap~-^Pv> a именно,
,v = i^_L_. (S9.4)
Для того чтобы от формулы (89.4) перейти к формуле для /*.,
которой, как сказано, пользуются в практических применениях,
следует воспользоваться обычными соотношениями
формула (89.4) при этом дает
<89-5>
приведем формулу (89.4) к виду
IKdX = с
(89.6)
совпадающему с формулой (88-2) предыдущего параграфа.
Универсальная постоянная ft — постоянная Планка, — как
известно, играет в современной физике выдающуюся роль. Ее
значение может быть определено экспериментально самыми раз-
разнообразными методами. В частности, законы излучения- абсо-
абсолютно черного тела дают
ft = 6,53- 1(Г2? эрг- сек.
Методы более точного определения ft будут рассмотрены в гла-
главе IX. Здесь мы отметим только, что именно крайне малая ве-
величина h (порядка Ю7 эрг-сек) является причиной того, что
прерывность, требуемая законами атомной физики, совершенно
не сказывается при изучении макроскопических явлений.
Для случая ftv -С kT, т. е. для малых частот (длинных волн)
или высоких температур, имеем приближенно

и формула Планка (89.3) дает
Pv—Tfer (87Л)
— формулу Рэлея —Джинса для pv. Для случая же hv^kT,
т. е. для высоких частот или низких температур, формула План-
Планка (89.3) приводит к формуле, совпадающей с формулой Вина
для pv:
Pv = J^e-*v^, (89i7)
Отмстим, наконец, что интегральная плотность излучения
получается конечной, если для pv взять формулу Планка (89.3).
А именно, вычисление показывает (см/упражнение к этому па-
параграфу), что
Следовательно, формула Планка устраняет «ультрафиолетовую
катастрофу» (см. § 87). Причину этого поннть нетрудно. Как мы
видели в § 87, расходимость интеграла J pvdv в случае, если
для pv берется формула Рзлея — Джинса, обусловлена тем, что
эта формула основана на теореме о равномерном распределении
энергии по степеням свободы. Согласно же этой теореме на
каждую степень свободы приходится одна и та же средняя энер-
энергия ё = kT. Сопоставив теперь формулы рэлея — Джинса и
Планка для
Так как, согласно § 86, 8nv2/c3 есть число степеней свободы
излучения с частотами между v и v + dv, то из правильности
формулы Планка следует, что средняя энергия, приходящаяся
на одну степень свободы, не одинакова для стоячих волн с раз-
различными частотами. А именно, из формулы Планка следует, что
ё= Mlj? —. (S9.S)
§ 84] ГИГЮТГЗА КВАНТОВ ЭНЕРГИИ 293
Мы видим, таким образом, что ё в этом случае быстро убывает
при возрастании v, чем и объясняется сходимость интеграла
J рл dv. Отметим еще, что принятие формулы (89.8) для средней
энергии, приходящейся на одну степень свободы, устраняет
также серьезные затруднения в классической теории теплоемко-
стей, как это показал Эйнштейн.
Из указанных фактов видно, что установление формулы
Планка знаменовало глубокий разрыв с классической физикой
в силу того, что формула Планка находится в противоречии
с теоремой о равномерном распределении энергии. Но эта тео-
теорема является неизбежным следствием статистической механики,
основанной на классической механике в ее гамильтоновой фор-
форме Таким образом, 1900 г., когда впервые была формулирована
гипотеза квантов энергии, был не только первым годом нового
столетия в календарном летосчислении, но и началом новой
эры в развитии теоретической физики.'
Упражнение Пользуясь формулой Планка для pv, вычислить ик-
и = j* Pv dv
ia Стефа
_1
¦ преобрг
-№„
[зованкя ки
-',(
„на
¦•"=
.тегр
и в скобка
»^"
из форму.
¦ftv/ftr +
ш
paaci'
План
[ 1,0!
ка).
hv/kT
+ ...
itrKoJ

УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ
§ 90. Планетарная модель атома и квантовые постулаты Бора
В главе III мы видели, что атом построен из тяжелого по-
положительно заряженного ядра и окружающих его электронов.
По классической механике такая система может находиться в
равновесии лишь при условии, если электроны будут обращаться
вокруг ядра по каким-то орбитам. Однако, с точки зрения клас-
классической электродинамики, такой атом был бы все же неустой-
неустойчив, так как при 'движении с ускорением электроны должны
были бы излучать энергию в виде электромагнитных волн
(§ 75) и, следовательно, постепенно падать к ядру. Вместе с тем
и частота обращения при этих условиях должна была бы не-
непрерывно меняться, и мы получили бы сплошной спектр вместо
резких спектральных линий. Тот факт, что этого на самом деле
не наблюдается и атомы испускают резкие спектральные линии,
указывает на их замечательную устейчивость, противоречащую
классической электродинамике.
В предыдущей главе мы видели, что постулат о существова-
существовании устойчивых стационарных состояний осцилляторов является
необходимой предпосылкой для вывода правильной формулы
излучения абсолютно черного тела. Нильсу Бору A913 г.) при-
принадлежит заслуга отчетливой формулировки этого положении я
обобщения его на любые атомные системы. Тем самым впервые
с полней ясностью была показана неприменимость классической
физики к внутриатомным движениям. Идея о квантах, выска-
высказанная Планком в применении к обмену энергии между полем
излучения и линейными осцилляторами, приобрела универсаль-
универсальное значение как выражение наиболее характерной особенности
процессов внутриатомного мира.
В основу развитой им квантовой теории строения атома Бор-
положил следующие два постулата:
1. Атомы и атомные системы могут длительно пребывать
только в определенных состояниях — стационарных состоя-
состояниях,— в которых, несмотря на происходящие в них движения:
заряженных частиц, они не излучают-и не поглощают энергию.
В этих состояниях атомные системы обладают энергиями, обра-
$ Э1] ОПЫТЫ ФРАНКА И ГЕРЦА 295
зующими дискретный ряд: Еи Е2< ..., ?„. Состояния эти ха-
характеризуются своей устойчивостью; всякое изменение энергии
в результате поглощения или испускания электромагнитного
излучения или в результате соударения может происходить толь-
только при полном переходе (скачком) из одного из этих состояний
в другое.
II. При переходе из одного стационарного состояния в дру-
другое атомы испускают или поглощают излучение только строго
определенной частоты. Излучение, испускаемое или поглощаемое
при переходе из состояния Ет в состояние Еп, монохроматично
и его частота v определяется из условия
m — En
(90.1)
(условие частот Бора).
Оба эти постулата резко противоречат требованиям клас-
классической электродинамики, так как по первому постулату
атомы не излучают, несмотря на то, что образующие их элек-
электроны совершают ускоренное движение (например, обращение
по замкнутым орбитам), а по второму — испускаемые частоты
не имеют ничего общего с частотами периодических движений
электронов.
§ 91. Опыты Франка и Герца
Формулированные в предыдущем параграфе квантовые по-
постулаты Бора нашли наиболее непосредственное эксперимен-
экспериментальное подтверждение в опытах Дж. Франка и Густава Герца,
к описанию этих опытов мы и переходим.
Идея этих опытов заключается в следующем: атомы или
молекулы более или менее разреженного газа обстреливаются
медленными электронами; при этом исследуется распределение
скоростей электронов до и после соударений. Если соударения
происходят упруго, то распределение скоростей в результате
соударений не изменяется, и наоборот, при непругих соударе-
соударениях часть электронов теряет свою энергию, отдавая ее атомам,
с которыми они испытали соударения, и распределение скоро-
скоростей меняется.
В результате опытов Франка и Герца оказалось, что:
1. При скоростях электронов, меньших некоторой критической
¦скорости, соударение .происходит вполне упруго, т. е. электрон
не передает атому своей энергии, но отскакивает от него, изме-
изменяя лишь направление своей скорости.
2. При скоростях, достигающих критической скорости, удар
происходит неупруго, т. е. электрон теряет свою энергию и пе-
передает ее атому, который при этом переходит в другое стацио-
стационарное состояние, характеризуемое большей энергией.

:ргии
Таким образом, атом или вообще не воспринимает энер-
энергию (упругий удар), а если воспринимает ее, то только в
количествах, равных разности энергий в двух стационарных со-
состояниях.
Прежде чем переходить к более детальному описанию этих,
опытов и их результатов, рассмотрим некоторые вопросы, свя-
связанные с осуществлением этих опытов. Основные требования,
которым должна удовлетворять экспериментальная установка,
предназначенная для изучения соударений медленных электро-
электронов с атомами, заключаются в следующем:
1. Источник электронов должен давать достаточно большое
число медленных электронов с определенным начальным рас-
распределением скоростей.
2. Этим электронам можно сообщить любую, заранее извест-
известную скорость путем воздействия приложенного извне ускоряю-
ускоряющего потенциала.
3. Ускоренные электроны должны испытывать соударения с
исследуемыми атомами или молекулами в определенном месте
аппарата.
Для получения пучков медленных электронов, удовлетворяю-
удовлетворяющих указанным требованиям, пользуются горячими катодами.
Электроны, в изобилии получаемые от этих катодов, ускоряются
приложенным к катоду потенциалом V, который может меняться
по произволу. Скорость v (в см/сек), которую приобретает не-
неподвижный электрон под действием ускоряющего потенциала
V вольт находится из соотношения
откуда, полагая
-1=1,76.
' = 5,27- 10"СГСЭ • г"',
Таким образом, при ускоряющем потенциале в 1 в скорость
электронов составляет около 6-Ю7 см/сек. ОтЪода видно, что
термин «медленные электроны» имеет весьма относительное
значение.
Если исследовать зависимость силы тока от ускоряющего
напряжения и затем построить график, откладывая по оси аб-
абсцисс ускоряющий потенциал, а по оси ординат — соответствую-
соответствующею силу тока, то получается кривая (так называемая вольт-
амперная характеристика), типичный вид которой изображен
на рис. 136. У этой кривой обращают на себя внимание следую-
следующие характерные черты:
1) При некотором потенциале сила тока становится незави-
независимой от напряжения; это — «ток насыщения», возникновение
которого объясняется тем, что все электроны, освобождаемые в
¦единицу времени при данной температуре накала из катода.
Переносятся к аноду.
2) При ускоряющем потенциале, равном пулю, ток не только
не падает до нуля, но продолжает оставаться независимым от
напряжения также и
При потенциалах об-
обратного знака, т. е.
При тормозящих потен-
потенциалах, вплоть до не-
некоторого потенциала
—К. При дальнейшем
увеличении тормозяще
го потенциала ток убы-
убывает, постепенно спадая
к нулю.
Для объяснения
Этих особенностей сле-
следует прежде всего при-
принять во внимание, что
катод и анод в трубке
с горячим катодом всегда бывают сделаны из различных метал-
металлов, Поэтому между катодом и анодом в отсутствии внешнего
напряжения обязательно имеется контактная разность потен-
потенциалов. Если теперь внешний ускоряющий потенциал становится
равным нулю, то электроны еще подгоняются этой контактной
разностью потенциалов. Для компенсации ее необходимо при-
приложить некоторый тормозящий потенциал К-
Когда этот потенциал приложен, то сила тока все еще
остается отличной от нуля потому, что электроны выходят из
катода не с нулевой скоростью, но обладают конечными скоро-
скоростями, распределенными по закону Максвелла. Только тогда,
когда задерживающий потенциал достигает такой величины, что
его пе могут преодолеть самые быстрые электроны, сила тока
становится равной нулю.
Идея опытов, излагаемых в следующих параграфах, как уже
было указано, состоит в том, что электронам, получившим опре-
определенное ускорение, предоставляется возможность испытывать
соударения с атомами газов, вводимых при небольших давле-
давлениях в трубку, Для того чтобы установить, каков характер
Эгих соударений, — упругие они или неупругие, очень часто бы-
бывает необходимо исследовать после соударений распределение

УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ
[ГЛ. VII
Л/\
скоростей между электронами. Это осуществляется при помощи
метода задерживающего потенциала.
Пусть D — горячий катод (рис. 137), к которому приложен
ускоряющий потенциал V. Ускоренные электроны направляются
к пластинке А, перед которой расположена сетка N. Если заря-
зарядить эту сетку до потенциала ^Vi, то в пространстве между N
и А электроны будут двн-
гаться в тормозящем поле.
Только те из них, которые
В i Щ /"-ч обладают кинетической
1 _ м —( q ) энергией, достатечной для
-—* ' V У преодоления тормозящего
поля, достигнут пластинки Л.
Последняя через гальвано-
гальванометр G соединена с землей.
Таким образом, ЭЛекТрОНЫ,
достигающие А, дают ток,
отмечаемый гальваномет-
гальванометром. Следует иметь в виду, что тормозящий потенциал Р, препят-
препятствующий попаданию электрона на пластинку А, определяется
не полной скоростью v электрона, но ее составляющей vs, нормаль-
нормальной к А (рис. 137)[ достигнуть А могут только те электроны,
для которых имеет место
соотношение
задерж
\п
т*™1>шеР- <91Л>
Если постепенно уве-
увеличивать Р и одновремен-
одновременно измерять ток гальвано-
гальванометра G, то в результате
получается некоторая
вольтамперная характе-
характеристика / (рис. 138), Эта
вольтамперная характе-
характеристика позволяет вычис-
лить распределение ско-.
ростеи между электро-
нами следующим обра-
зом. Если тормозящий по-
потенциал равен Р, то соответствующая сила тока /Р пропорцио-
пропорциональна числу электронов, обладающих энергией, равной или
большей Р электрон-вольт. При тормозящем потенциале Р + ДА
сила тока /р — Д/р пропорциональна числу электронов с Энер*
гией, большей или равной Р + &Р электронвольт. Таким обра*
зом, величина (Д/р/ДР)ДР есть мера нисла электронов, прихо»
ПРУГИЕ СОУДАРЕНИЯ
дящихся на интервал энергии между Р и Р -^ АР. Поэтому, если
представить количество электронов, обладающих энергиями ме-
между р и Р-\-йР, в виде f(P)dP, где f(P) есть функция распре-
распределения электронов по энергиям, то очевидно, что
f (Р) _ dJIdP.
Из этого следует, Что для нахождения кривой распределения
энергии (скоростей) между электронами необходимо произвести
графическое дифференцирование вольтамперной характеристи-
характеристики / (рис. 138).
Кривая, полученная в результате дифференцирования вольт-
амперной характеристики /, показана пунктиром (кривая //,
рис. 138).
§ 92. Упругие соударения
франк и Герц показали прежде всего, что если энергия элек-
электронов не превосходит некоторой критической величины, то со-
соударения между электронами и атомами происходят^ вполне
упруго. Это значит, что электрон в резуль-
результате соударения изменяет только направле-
направление скорости, не теряя своей энергии. Для
доказательства этого было поставлено не-
несколько опытов, из которых мы опишем
только один.
В центре металлического диска А
(рис. 139) имеется отверстие, в котором по-
помещается нить накала D. Диск подвешен
на нитях в пространстве, где может созда-
создаваться любое давление газа. При помощи
специального приспособления, действующе-
действующего через шлиф, диск может быть поднят
или опущен без нарушения вакуума. В про-
пространстве между вторым диском В и сет-
сеткой С может быть создано задерживающее
поле, при помощи которого измеряется рас-
распределение скоростей между электронами.
Давление газа выбирается таким, чтобы в
пространстве между сеткой С и восприни-
воспринимающей пластинкой В электроны по возможности не испыты-
испытывали соударений. На рис. 140 представлено распределение энер-
энергии электронов в гелий при давлении 1,3 мм и при ускоряющем
потенциале 18 в. Кривая / измерена при расстоянии АС, равном
it мм, кривая // — при расстоянии 18 мм. Несмотря на то,
что электроны во втором случае испытывают неизмеримо боль-
большее число соударений, чем в первом, обе кривые почти точно
Рис. 13S

УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМО1
:овпадают. Отсюда следует, что удары между электронами с
энергией в 18эе и атомами гелия происходят еще вполне упруго.
Пунктирная кривая /// на рис. 140 есть теоретическая кри-
гирная кр
вая, рассчитанная в' предположен
что вследствие соударе-
вая, рассчитанная в предположении, что вследствие соударе-
соударений скорости электронов меняют свое направление так, что
электроны, проходящие сквозь отверстия сетки С, имеют все-
всевозможные направления в пределах полусферы. Как видно, эта
кривая близко подходит к экспе-
экспериментальным кривым.
Характер кривых требует до-
дополнительного разъяснения.
Обращает на себя внимание
тот факт, что функция распреде-
распределения электронов по энергиям
принимает наибольшее значение
при энергии, равной нулю. Причина этого — чисто геометриче-
геометрическая. Теоретическая кривая III, как уже сказано, построена
в предположении, что электроны в результате соударений, не
меняя своей скорости по величине, имеют в пространстве между
сетной С и анодом всевозможные направления. Далее, необхо-
ПИМП ПпПРЯТ!» Pn RHMM4HWP 11ТП Ч МРТПттЛ 34 ТРП ЖИ R3 ШГТТРГП ППТРН-
мерном распределении скоростей по направле число ле
тронов, попадающих внутрь телесного угла dQ = 2л sin a d
(рис. 141), будет
dN = NodQ = 2nNQ sin a da.
Из этого следует, что наибольшее число электронов приходится
на угол ее, равный л/2. Но для таких электронов нормальная
составляющая скорости равна нулю. Это и объясняет подъем
кривой при переходе к нулевой энергии, Небольшой максимум,
имеющийся на экспериментальных кривых пои энергии, не-
§931
ИЕ СОУДАРЕНИЯ КРИТИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
@1
сколько меньше 18 эв, несомненно, обусловлен тем, что распре-
распределение по направлениям электронов, проходящих через сетку,
не вполне хаотическое: заметная доля электронов сохраняет на-
направление скорости, близкое к нормали.
§ 93, Неупругие соударения. Критические потенциалы
Для доказательства существования неупругих соударений
Франком и Герцем была использована следующая установка.
Электроны от нити накала D (рис. 137) ускорялись отрицатель-
отрицательным потенциалом, наложенным на нить. В пространстве между
D и Л1 эти электроны испытывали многочисленные соударения и
попадали в конце концов на воспринимающую пластинку А.
Гальванометр G, соединенный с А, измерял ток пластинки. Сет-
Сетка N, заряженная слабо положительно относительно А (в боль-
большинстве случаев до потенциала -f-0,5 з), помещалась непосред-
непосредственно перед пластинкой А. Назначение сетки заключалось
в том, чтобы вылавливать электроны, почти полностью потеряв-
потерявшие свою энергию вследствие неупругих соударений. Опыт про-
производился в парах ртути при относительно высоком давлении
(около 1 мм) и состоял в из-
измерении тока пластинки А в 350
зависимости от ускоряющего
потенциала, наложенного на 300
нить D.
При увеличении ускоряю- ?50
щего потенциала от нуля ток
первоначально возрастал
(рис. 142), причем кривая тока
имела обычный вид вольтам- до
перпых характеристик термо-
термоэлектронных приборов. Но прг
У
У-
V
142.
рр р
потенциале около 4,1 в ток вне-
внезапно резко падал, а затем
вновь начинал возрастать до
потенциала 9,0 в, при котором
вновь обнаруживалось резкое
падение тока и новое его воз-
растание до потенциала 13,9 в.
Таким образом, вся кривая
представляла собою ряд острых максимумов, отстоящих друг
от друга на расстоянии 4,9 в. Тот факт, что расстояние между
двумя соседними максимумами всегда составляло (с точ-
точностью до 0,1 s) 4,9 е, а первый максимум обнаруживался
у 4,1 s, легко объясняется тем, что к наложенному извне
ускоряющему потенциалу прибавляется контактная разность.

302 УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ [ГЛ VII
потенциалов, которая как бы смещает всю кривую влево, не
изменяя расстояния между максимумами.
Истолкование максимумов кривой на основании сказанного
в § 91 не представляет затруднений. До тех пор, пока энергия
электрона не достигнет 4,9 з, он испытывает с атомами ртути
упругие соударения, и ток возрастает с увеличением потенциала
по обычному закону. При потенциале 4,9 в удар становится
неупругим, электрон отдает при соударении атому ртути всю
свою энергию. Эти электроны не попадут на пластинку Л, так
как они будут выловлены обратно сеткой М, заряженной до
•^-0,5 в, и ток пластинки резко упадет.
Если энергия электронов заметно превосходит 4,9 з, то та-
такие электроны, потеряв часть своей энергии при неупругом со-
соударении, сохраняют достаточный избыток энергии и потому, не-
несмотря на наличие положительно заряженной сетки, достигают
Пластинки Л,— ток вновь начинает возрастать.
Заметим, что, какова бы ни была энергия электронов, испы-
испытывающих первое неупругое соударение, они все придут к пла-
пластинке Л с одной и той же энергией. Представим себе для
большей ясности, что потенциал катода равен нулю, потенциал
пластинки Л равен '+VP, критический потенциал равен VA
(в данном случае Va = 4,9 а), к положим, что сетка N удалена.
Падение потенциала Vv происходит на всем протяжении от D
до А. Пусть электрон испытывает неупругое соударение в месте,
где потенциал равен Vx. Дойдя до этого места, он накопит энер-
энергию eVx, а при неупругом соударении Отдаст энергию eVA. Та-
Таким образом, после соударения он будет обладать энергией
e(Vx— Va)- Разность потенциалов на остающемся пути до пла-
пластинки Л будет VP — Vx; на этом пути электрон накопит еще
энергию e(Vp—Vx) и, следовательно, придя к пластинке Л, бу-
будет обладать энергией
е (V, - VA
е (V, -
e (Vp - VA).
Как мы видим, эта энергия совершенно не зависит от того места,
где произошло первое неупругое соударение. Если ускоряющий
потенциал VP достаточно велик, так что VP — Va > 4,9 е, то
на остающемся пути электрон может испытать еще одно или
два (в зависимости от величины Vp—Va) неупругих соударе-
соударения, и в этом заключается причина периодического повторения
максимумов.
Мы видим, таким образом, что энергия в 4,9 эв имеет особое
значение для атомов ртути. Меньшую энергию они воспринять
не могут, так как при меньшей энергии бомбардирующих их
электронов удар происходит вполне упруго; энергию же в 4,9 эв
они воспринимают полностью. Но это и означает в согласии
с первым постулатом Бора, что атом ртути может обладать не
I!
§94]
)ВЕРШЕНСТВОВДНИЕ ЭКСП]
ТТАЛЪНОЯ МЕТОДИКИ
303
любыми запасами энергии, а только избранными. Если Ец
будет запас энергии «невозбужденного» атома ртути, то следую-
следующее возможное значение энергии атома будет Е; -\- 4,9 эв. Уско-
Ускоряющий потенциал 4,9 в называется «первым критическим по-
потенциалом» или «резонансным потенциалом» атома ртути. Та-
Такие же резонансные потенциалы найдены и для других атомов.
Например, для калия резонансный потенциал равен 1,63 а, для
натрия — 2,12 в, для гелия —21 в и т. д.
Само собою разумеется, что, кроме энергии, соответствующей
первому критическому потенциалу, атомы могут обладать и
другими, более высокими ступенями энергии возбуждения. Эти
более высокие ступени возбуждения могут быть также найдены
при помощи метода электронных соударений. Однако экспери-
экспериментальная методика для этой цели должна быть видоизме-
видоизменена, К этому вопросу мы вернемся в следующих параграфах.
§ 94. Усовершенствование экспериментальной методики
Описанный метод при многих преимуществах обладает су-
существенными недостатками, В частности, он не дает возможно-
возможности разделить тесно лежащие максимумы, а между тем случаи,
когда имеются близко распо-
расположенные ступени возбужде-
возбуждения, встречаются нередко. Рас-
Расчет показывает, что форма кри-
кривых существенно зависит от ~
величины падения потенциала ~~
на протяжении одного свобод-
свободного пробега X, т. е. от вели-
величины Х-^—. Чем меньше эта
величина, чем острее максиму-
максимумы, тем точнее определяются
критические потенциалы и тем отчетливее разрешаются близко
лежащие ступени возбуждения. Если, однако, выбрать условия,
dV
в которых л-д— достаточно мало, то становится невозможным
определение более высоких ступеней возбуждения. Для избежа-
избежания этого недостатка Франк и Герц видоизменили методику так,
что накопление энергии электроном происходило в одной части
прибора, а столкновение — в другой. С этой целью оказалось
достаточным ввести вторую «сетку» N[ (рис. 143), расположен-
расположенную от нити накала D на расстоянии, малом по сравнению со
средней длиной свободного пути электрона. В таком случае
электроны, получившие всю свою энергию на протяжении D — ,V,,
попадают в свободное от поля пространство R между двумя
• Ц5вШ>Ы1
рис.

1РЕДЕЛЕНИП ВСЕХ СТУПЕНЕЙ ВОЗБУЖДЕН!
металлическими сетками и там испытывают многочисленные со-
соударения с атомами газа. При выходе электронов из этого про-
пространства через отверстия сетки N те из них, которые потеряли
свою энергию, вновь вылавливаются этой сеткой, заряженной
до потенциала +0,5 в, и повторяется картина, описанная в пре-
предыдущем параграфе.
Наиболее изящное видоизменение этого метода было пред-
предложено Герцем, осуществившим следующую схему (рис. 144).
Электроны от нити накала D ускорялись в
пространство DN\ и сквозь отверстия сетки jVi
попадали в свободное от поля пространство R,
окруженное цилиндрической сеткой jVs. После
многочисленных соударений эти электроны
диффундировали через отверстия сетки /V2 в
пространство между N2 и сплошным металли-
металлическим цилиндром Р. При помощи гальвано-
гальванометра ток цилиндра измерялся дважды: в от-
отсутствие поля между ft и Р и при задержи-
задерживающем потенциале в +0,2 в. В первом ел у-*
ае на Р попадали все электроны, диффунди-
i Герца.
ровавшие в пространство N%P, во втором — «отсеивались» элек-
электроны, потерявшие энергию вследствие пеупругих соударений.
Разность обоих значений тока, деленная на величину первичного
тока, очевидно, должна давать максимум при критическом зна-
значении ускоряющего потенциала, так как в этом случае значи-
значительное количество электронов теряет свою энергию и ток при
наличии задерживающего потенциала становится весьма малым.
При помощи этого метода оказалось возможным разделять мак-
максимумы, отстоящие на доли вольта, и обнаруживать слабо вы-
выраженные максимумы.
§ 95. Одновременное определение всех ступеней возбуждения
Мы уже упоминали, что описанные методы можно применить
и для определения высших ступеней энергии. С этой целью не-
необходимо выбрать такие условия опыта, чтобы давление газа
было возможно меньше. Это существенно потому, что при высо-
высоком давлении число соударений электрона с атомами газа на-
настолько велико, что электрону достаточно набрать энергию, рав-
равную или немного превосходящую первый критический потен-
потенциал, чтобы вероятность ее передачи атому сделалась весьма
значительной. При достаточно низком давлении и достаточно
высоком ускоряющем потенциале открывается возможность воз-
возбуждения и до более высоких стационарных состояний.
Однако непосредственно получаемые из опыта значения кри-
критических потенциалов еще не дают истинных значений ступеней
Ряс. 145. Схема метода определе
всех ступеней возбуждения.
Зр'Р,
—гГТЧ1 к
1
1
-
-
[
K'S,,
-"
/
1
¦-L-

>ВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ
энергии, так как возможность двукратной или вообще много-
многократной отдачи энергии все еще не исключается. Это ясно видно
из следующего примера. Непосредственными наблюдениями в
парах ртути получаются следующие значения критических по-
потенциалов 4,9; 9,8; 11,2; 13,5; 14,7; 16; 17,6; 19,3; 20,2; 21,2 в.
В действительности же все эти потенциалы являются комбина-
комбинациями двух основных: а = 4,9 в и Ъ = 6,7 е, причем второй от-
отдельно вовсе не наблюдается. В самом деле,
-^гйк-йивд* легко видеть что 9,8 = 2а; 11,2 zz а -\- Ь;
J=gU 13,5 = 2Ь; 17,6 жа-\-2Ь; 21,2 = За + Ь и т. д.
—2р\ Таким образом, интерпретация получающихся
максимумов далеко не проста.
Значительно нагляднее те же высшие уров-
уровни энергии могут быть определены при помо-
помощи метеда, предложенного Юзом, Рожанским
и Мак-Милланом. Идея опыта состоит в сле-
следующем: строго однородный пучок электронов
с энергией, превосходящей наиболее высокую
ступень возбуждения изучаемых атомов, пу-
пускается в весьма разреженный газ. При не-
упругих соударениях различные электроны те-
>$ ряют части своей энергии, отвечающие воз-
~^* можным ступеням возбуждения атомов. Так
Рис. 147. Схема как- газ сильно разрежен, то вероятность по-
уровпей гелия. вторных соударений весьма мала. Если теперь
разложить в спектр скоростей пучок электро-
электронов, испытавших соударения, то этот спектр сразу даст все про-
происходящие потери энергии, а вместе с тем и все возможные сту-
ступени энергии. Самый опыт осуществлялся следующим образом.
Пучок электронов с энергией в 50 эв получался при помощи
«электронной пушки» G (рис. 145). Этот пучок направлялся по
диаметру металлического цилиндра, заключавшего гелий при
очень высоком разрежении. Через щели 5| и 52 могли проникать
только те электроны, которые испытали соударение в центре М
цилиндра и были при этом отклонены в направлении 6. Две ци-
цилиндрически изогнутые пластинки Pi и Р%, в пространство между
которыми попадали далее электроны, представляли собой
«фильтр» скоростей (см. § 9); пройдя через щель 53, электроны
попадали в фарадеев цилиндр д, заряд которого можно было
измерять при помощи электрометра. Так как при определенной
разности потенциалов на фильтре ЯТР2 сквозь него могли прохо-
проходить электроны только строго определенной скорости, то, изме-
изменяя напряженность поля в пространстве Р[Р2, можно было непо-
непосредственно найти распределение по энергиям электронов, рас-
рассеянных под углом 0. Изменение угла 0 производилось с помощью
перемещения электронной пушки G в направлениях, указанных
стрелками на рис. 145.
Полученный таким путем энергетический спектр электронов
с начальной энергией в 50 эв после соударений с атомами гелия
представлен на рис. 146. Как видно, в этом спектре, помимо
максимума, соответствующего начальной энергии электронов
50 эв, имеются максимумы у 28,8; 27,2; 26,38 эй. Из этого сле-
следует, что при неупругих соударениях электронов с атомами
гелия электроны могут терять только строго определенные пор-
порции энергии, а именно: 50 — 28,2 = 212; 50 — 27 2 = 22,8- 50 —
— 26,4 = 23,6 эв.
Если условно принять за нуль энергию атомов гелия до со-
соударения (нормальное состояние) и изображать возможные
энергетические состояния горизонтальными прямыми, располо-
расположенными на соответствующей высоте, то получится схема «уров'-
ней энергии» атома гелия, приведенная на рис. 147. Энергии
различных уровней, показанные на этой схеме, вычислены из
спектроскопических данных. Как видно, совпадения с цифрами,
полученными из опытов с соударениями, вполне удовлетвори-
удовлетворительны. Таким образом, эти опыты можно рассматривать как
исключительно ясное экспериментальное подтверждение пра-
правильности первого постулата Бора.
§ 96. Определение ионизационных потенциалов
Все описанные методы, как уже было указано, позволяют
находить разности значений энергии в различных стационарных
состояниях. Например, мы можем сказать, что для атома ртути
разность ?э — ?i равна 4,9 эв. Однако самые значения энергий
Ей Е%, ?з, ..-, Еп этими методами найдены быть не могут. Для
того чтобы найти эти значения, очевидно, достаточно опреде-
определить, какую энергию надо затратить, чтобы от атома, находяще-
находящегося в определенном энергетическом состоянии, полностью отде-
отделить электрон. Другими словами, задача о нахождении абсо-
абсолютных значений энергии Eit ..., ?п совпадает с задачей об
определении потенциалов ионизации в различных энергетиче-
энергетических состояниях.
Для определения потенциалов ионизации было предложено
множество методов. Мы опишем лишь метод Герца, отличаю-
отличающийся особенной простотой и точностью. Небольшое добавление
к описанной в § 94 схеме Герца позволяет находить при помощи
того же прибора и потенциалы ионизации. Добавление это за-
заключается во второй нити накала G (рис. 148), расиоложегяол
внутри пространства R. Если соединить сетку Afe с цилиндром Р
и задать разность потенциалов между G и Afe, то гальванометр

Рис. 148.
308 УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ 1ГЛ VII
покажет термоэлектронный ток между G и Ыг. При увеличении
тока накала нити G термоэлектронный ток будет возрастать,
однако, лишь до определенного предела, после которого возра-
возрастание прекратится. Это объясняется тем, что при сильных то-
"к накала в пространстве вокруг нити G образуется простран-
пространственный заряд, препятствующий дальнейшему
1 выходу электронов из нити.
Представим себе теперь, что в пространство R
попадают электроны от катода С, ускоряемые
j соответствующими потенциалами. Если энергия
g этих электронов достаточна для того, чтобы
/ ионизовать атомы газа в R, то при каждом акте
о ионизации появляются тяжелые (по сравнению
с электронами), медленно движущиеся положи-
положительные ионы, которые компенсируют часть про-
пространственного заряда. Вследствие этого при по-
появлении таких ионов термоэлектронный ток между G и N2
резко возрастает.
Наблюдая, при каком ускоряющем потенциале между DiiiV,
начинается это возрастание тока, можно определить потенциал
ионизации. На рис. 149 приве-
приведена для примера кривая, сня-
снятая в неоне; резкое возраста-
возрастание тока около 21в сразу бро-
бросается в глаза. Таким путем
найдены ионизационные потен-
потенциалы для большего числа ато-
атомов периодической системы
(см. таблицу X).
Ионизационный потенциал
является типичным перифери-
периферическим свойством атома, по-
поскольку речь идет об отрыве
внешних электронов. Как и все
остальные периферические
—
—*
А
!з 21 гз
Z7V
остальные периферические
свойства, ионизационные потенциалы обна
(
одновалентные и в высшей степени способные к химическим
реакциям, обладают минимальными ионизационными потенциа-
потенциалами.
До сих пор мы имели в виду только первые ионизационные-
потенциалы, т. е. энергии освобождения одного электрона из
нейтрального атома. Интерес представляют также работы осво-
'НИЗАЦИОННЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
•—
Н
Не
Li
Be
В
С
N
О
F
Ne
Na
Mg
Al
Первый но низ a it.
13,539
24,45
5,371
9,50
8,34
11,217
14.474
13,565
18,6
21,482
5.116
7,61
5,96
АТ,ЫЙ
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
«-'
Si
Р
s
Cl
Ar
К
Ca
Sc
Ti
V
Cr
Mn
Fe
7,39
10,3
10,31
15,70
4,32
15 09
6,57
6,81
6,76
6,74
7,40
7,83
бождения второго, третьего и т. д. электронов. Установки опи-
описанного типа позволяют заключить о появлении положительных
ионов (начало ионизации), но не дают возможности судить
о природе ионов, в частности о том, появляются ли ионы с од-
одним или несколькими зарядами.

310
УРОВНИ ЭНЕРГИИ
Для изучения последовательных стадий ионизации и опреде-
определения природы положительных ионов пользуются масс-спектро-
метрическими методами (см. § 15). Так как масс-спектрометр
определяет отношения заряда к массе Е/М, то ион с п зарядами
Cs"
f
ft
!'чо
ных электронами с энергией 700 эв.
Е = tie соответствует массе ~ [^ = -щ~) ¦ Кривая, приведен-
приведенная на рис. 151, представляет собой масс-спектр ионов, возни-
возникающих в парах цезия при бомбардировке их электронами с
энергией в 700 эв. Семь максимумов, видных на рисунке, соот-
соответствуют семи последовательным стадиям ионизации атома
цезия. Значения соответствующих потенциалов ионизации та-
таковы:
§ 97. Излучение возбужденных атомов
Атом, получивший избыток энергии при соударении с элек-
электроном, сохраняет его в течение некоторого времени, а затем
под влиянием возмущений отдает обратно, вновь переходя в
нормальное состояние. Если давление газа достаточно мало, то
наиболее вероятный способ этого обратного перехода заклю-
заключается в испускании энергии в виде света. Отсюда открывается
новый путь для экспериментальной проверки постулатов Бора.
Рассмотрим, например, атом ртути. Его первый критический
потенциал равен 4,9 эв, т. е.
По второму постулату Бора вся эта энергия при переходе в
нормальное состояние должна испускаться в виде одного кванта
монохроматического света:
Отсюда получим для А
_ 6,6¦ 1(Г-"-3-1010
а 2520- 10~*см¦
= 2520А.
Итак, если теория верна, то пары ртути, подвергаемые бом-
бомбардировке электронами с энергией 4,9 эв, должны давать
спектр, состоящий лишь из одной ультрафиолетовой линии
% « 2520 А. Опыт обнаруживает действительно одну ультрафио-
ультрафиолетовую линию К № 2537 А.
В том, что эта линия возникает при переходе из первого воз-
возбужденного состояния в нормальное, можно убедиться из опы-
опытов с ее оптическим возбуждением. Если освещать разреженные
пары ртути монохроматическим светом с длиной волны
Я « 2537 А, то, по предыдущему, поглощающие атомы должны
переходить в состояние с энергией в 4,9 эв и при обратном пере-
переходе в нормальное состояние — излучать только одну линию с
той же самой длиной волны, если между Е\ и ?г нет никаких
промежуточных уровней. Опыт подтверждает и этот вывод. Та-
Такие спектральные линии называются резонансными, так как их
длина волны в точности равна поглощаемой длине волны при
оптическом возбуждении. Очевидно, что, определяя длину волны
резонансных линий, можно вычислить и первый критический
потенциал.
Аналогичная картина имеет место и в других одноатомных
газах или парах. На рис. 152 в качестве примера приведен

УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ
спектр паров магния, возбуждаемых ударами электронов При
ускоряющем потенциале 3,2 в. Как видно, при потенциале в 3,2 в
Рис. 152. Спектр паров маг
спектр состоит из одной линии 4571 А (резонансный потенциал
2,65 в). Из рис. 153 видно, что при возбуждающем потенциале
в 6,5 в возникают уже две линии: прежняя линия 4571 А и новая
с длиной волны, равной 2852 Д. При еще более высоком потен-
потенциале A0 в) может быть получен полный спектр паров магния.
§ 98. Спонтанное испускание
В предыдущем параграфе мы >же перешли от доказательств
существования уровней энергии и способов их непосредствен-
непосредственного определения к рассмотрению переходов между различными
уровнями. Ввиду важности этих процессов перехода нам необ-
необходимо теперь глубже проанализировать их с теоретической
точки зрения. Этот анализ позволит выяснить некоторые свое-
своеобразные особенности квантовых явлений, а в качестве непо-
непосредственного применения результатов и методов рассмотрения
мы дадрч простой и вместе с тем безупречный вывод формулы
Планка, принадлежащий Эйнштейну.
Итак, рассмотрим атом, находящийся в свободном простран-
пространстве и не подверженный влияниям извне. Атом может нахо-
находиться в различных квантовых состояниях, которым соответ-
соответствует дискретный ряд уровней энергии. Для простоты мы рас-
рассмотрим только два из этих состояний с энергиями Et и Е2
(рис. 154). Эти состояния мы будем коротко называть: состоя-
состояние 1 и состояние 2.
Если атом в некоторый момент t находится в возбужденном
состоянии 2, то в следующий за этим интервал времени dt он
может либо остаться в том же состоянии, либо перейти в ниж-
СПОНТДННОЕ ИСПУСКАНИЕ
313
нее состояние 1, отдавая избыток энергии Е2— Et в виде излу-
излучения.
В этом и следующих параграфах мы убедимся, что переходы
с испусканием могут происходить либо независимо от действия
внешнего поля, в котором находится возбужденный атом, либо
под действием этого поля. В первом случае переходы назы-
называются спонтанными, т. е. «самопроизвольными», во втором —
вынужденными.
Мы начнем с рассмотрения спонтанных переходов и будем
рассматривать их статистически. Это означает, что мы не можем
с достоверностью предсказать, произойдет или не произойдет
в данном атоме переход в течение 1 сек., следующей за момен-
моментом t, но можем только указать его вероятность. Назовем эту
вероятность спонтанного перехода 2-* I в единицу времени Л2ь
Поскольку спонтанный переход есть процесс ,
случайный, предполагается, что Л2| не зави- ! I г
сит от времени. j I
Пусть теперь мы имеем совокупность
очень большого числа атомов, которые, од-
однако, образуют настолько сильно разрежен-
разреженный газ, что взаимодействием между ато-
атомами можно пренебречь. Пусть /V2 из числа Рис. 154.
этих атомов в момент t находятся в состоя-
состоянии 2. В промежуток времени между t и t-\-dt часть из них
спонтанно перейдет в состояние 1. Поскольку такие переходы —
явление случайное, то мы не можем указать, какие именно
ртомы совершат переход, но, зная вероятность Ла1, можем пред-
предсказать, сколько атомов в среднем совершит переход. Именно,
число переходов dZi{ за Промежуток времени dt будет, очевид-
очевидно, пропорционально числу атомов jVj, находящихся в состоя-
состоянии 2,
dZ2X = A2iN2dt. (98.1)
Так как при каждом из этих переходов согласно условию частот
Бора излучается энергия Е2—Ei = hv, то за тот же промежу-
промежуток времени будет испущена энергия, равная
hvdZ2, = A
(98.2)
Теперь мы можем найти закон убывания числа возбужден-
возбужденных атомов со временем и среднее «время жизни» атома в воз-
возбужденном состоянии.
Очевидно, что число переходов dZ2l за промежуток времени
dt равно уменьшению числа атомов, находившихся к моменту /
в возбужденном состоянии, dZzl = —dN2. Поэтому формула
(98.1) дает
— dNa = AaiN2dt. (98.3)

314 * -• УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТСЭДОВ 1ГЛ VH
Интегрируя, находим
Ni = Nwe~A^t, (98.4)
где N%>— число атомов, находившихся в состоянии 2 в момент
Принимая во внимание формулу (98.2), мы найдем энергию,
испускаемую в единицу времени, т. е. интенсивность свечения
/ = A2iN20e-A"' hv = Jae-A"', (98.5)
где Л = A2lNzahv. Таким образом свечение возбужденного газа
должно убывать со временем по экспоненциальному закону.
Среднюю продолжительность жизни в возбужденном состоя-
состоянии мы теперь вычислим следующим образом. Число атомов,
совершающих переход Ег—* Ei, в промежуток времени между t
и t-\-dt равно AzlN2dt. Это вместе с тем есть число атомов,
«проживших» в возбужденном состоянии / сек. Сумма их про-
должительностей жизни равна поэтому tA2lN2dt, а сумма про-
должительностей жизни всех атомов, испытавших переход за
время от 0 до оо, будет J tA2VN2dt. Отсюда средняя продолжи-
о
тельность жизни т будет
или, принимая во внимание (98.4),
т = Л2, ^ te-^'dt. (98.6)
о
Интегрируя по частям и подставляя пределы (см. стр. 93) най-
найдем у
т = ^. (98.7)
Формулу (98.5) для интенсивности, принимая во внимание
(98.7) и обозначая NxA^hv через /0, можно переписать в виде
В § 70 мы уже рассматривали затухание излучения линей-
линейного осциллятора с точки зрения классической электродинамики
и пришли к формуле G0.4'), формально тождественной с фор-
формулой (98.8). В формулу G0.4') входит также в качестве кок-
станты, характеризующей затухание, время т, которое мы на-
назвали там временем релаксации. Однако физический смысл, ко-
§981 СПОНТАННОЕ ИСПУСКАНИЕ 3]!>
торый мы вкладываем в понятие «средней продолжительности
жизни» в возбужденном состоянии, резко отличается от смысла
«времени релаксации». Согласно классической электродинамике
все излучающие диполи одновременно совершают вынужденные
колебания, и время т, равное времени уменьшения квадрата
амплитуды в е раз, одинаково для всех диполей данного рода.
Здесь же мы рассматриваем процесс излучения как совокуп-
совокупность независимых квантовых переходов, происходящих в раз-
различных возбужденных зтомах в самые разнообразные моменты
времени. Произойдет ли в данный момент времени переход или
не произойдет, определяется законами случая: один из возбуж-
возбужденных атомов может вернуться в нормальное состояние через
очень короткий промежуток времени, а другой — может «про-
«прожить» в этом состоянии очень долго. Но, как всегда бывает при
массовых процессах, среднее время жизни для атомов данного
рода имеет определенную величину.
Экспериментальная проверка закона затухания свечения и
определения средней продолжительности жизни в возбужденном
состоянии наиболее непосредственно были произведены Вином
в опытах со свечением каналовых лучей. Пучок водородных ка-
каналовых лучей через щель шириною в 0,1—0,25 мм выпускался
в пространство, где поддерживался столь высокий вакуум, что
возбужденные атомы могли «высвечиваться» практически без
соударений. При этом получался светящийся и затухающий
вдоль своей длины пучок каналовых лучей, который помещался
на месте шели кварцевого спектрографа. Кварцевая призма раз-
разлагала этот пучок в спектр, так что затухание свечения можно
было проследить для каждой спектральной линии отдельно.
Если v есть скорость каналовых лучей и у — расстояние какой-
либо точки от начала пучка, то t = yjv и e~'!i = e~v>rx. Таким
образом, время т можно было определить, прослеживая убыва-
убывание интенсивности вдоль пучка каналовых лучей.
Этим методом для красной линии водорода На (А = 6562 А)
было получено т= 1,5-10"8 сек\ для резонансной линии ртути
(А = 2537 А) получено т = 9,8-10~8 сек в хорошем согласии с
результатом вычислений т косвенным путем.
Статистический характер спонтанного испускания влечет за
собой следующее важное следствие: спонтанное излучение не-
некогерентно. Поскольку акты спонтанного излучения происходят
в различных пространственно разделенных атомах в разные мо-
моменты времени, между фазами волн, испускаемых различными
атомами, нет никакой закономерной связи- Таким образом, ин-
интерферировать между собой могут только волны, испускаемые
одним определенным атомом, после разделения этих волн на
два потока тем или иным устройством. Интерференционные же
картины, создаваемые волнами, испускаемыми различными

I ЭНЕРГИИ ATOM
атомами, просто складываются между собой. Это обстоятельство
накладывает определенные ограничения па возможность осуще-
осуществления интерференции даже от одного источника. Таковы, на-
например, роль протяженности источника, необходимость исполь-
использования щели между источником и интерференционным устрой-
устройством и т. п. *).
§ 99- Поглощение и вынужденное испускание
Рассмотренные в предыдущем параграфе спонтанные пере-
переходы не зависят от электромагнитного поля, окружающего воз-
возбужденные атомы. Обратимся теперь к процессам, происходя-
происходящим под действием этого поля.
Невозбужденные атомы, находящиеся на нижнем уровне
энергии ?|, будут под влиянием поля переходить в возбужден-
возбужденное состояние ?2, поглощая энергию Е%—?. = hv из окружаю-
окружающего поля. Эти процессы, также как и спонтанные переходы, мы
будем рассматривать статистически. Очевидно, что вероятность
перехода с поглощением в интервале частот v, v + dx будет про-
пропорциональна плотности энергии поля p?afv в этом интервале и
некоторому коэффициенту В12, характеризующему вероятность
возбуждения данной атомной системы. Итак, вероятность погло-
поглощения (на единичный интервал) будет ovBl2..
Оказывается, однако, что поглощением не ограничиваются
процессы, происходящие под действием поля. Эйнштейн впервые
обратил внимание на то, что если учет влияния поля ограничить
процессами поглощения! то при выводе формулы излучения по-
получается формула Вина, а не Планка. Поэтому он ввел в рас-
рассмотрение еще один вид процессов под влиянием поля: вынуж-
вынужденные или индуцированные переходы с излучением (в радио-
радиофизической литературе эти процессы часто называются также
стимулированными переходами). Н?возбужденные атомы могут
под действием поля совершать только переходы с поглощением,
но атомы, находящиеся в возбужденном состоянии (например —
на уровне ?2) могут, по Эйнштейну, либо поглощать энергию из
поля, .переходя на более высокий уровень, либо, наоборот, — от-
отдавать энергию поля (например — энергию Е2 — Ег = hv), воз-
возвращаясь на более низкий уровень энергии. Эти последние пере-
переходы и являуотся индуцированными; они и обусловливают инду-
индуцированное излучение. Вероятность этих переходов в единицу
времени есть pvB2v
Допущение вынужденного испускания оправдывалось между
прочим ссылкой на классическую аналогию: классический осцил-
•) Дета
>S 100]
ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛЛ1ГКА ПО ЭИНПТ
317
лятор в волновом поле в неустановившемся состоянии вблизи
резонанса между частотой поля и собственной частотой осцил-
осциллятора может либо поглощать энергию из поля, либо отдавать
ее полю. Какой из этих двух процессов должен произойти — за-
зависит от соотношения фаз поля и осциллятора.
В настоящее время имеются прямые экспериментальные до-
доказательства реальности индуцированных переходов. К этому
вопросу мы еще вернемся в § Ю1, где будут рассмотрены также
некоторые важные свойства индуцированного излучения.
§ 100. Вывод формулы Планка по Эйнштейну
Обратимся теперь к выводу формулы Планка. В основе этого
вывода лежит так называемый принцип детального равновесия
(иногда называемый также принципом микроскопической обра-
обратимости). Согласно этому принципу, при термодинамическом
равновесии каждому процессу можно сопоставить в точности об-
обратный ему процесс, и число тех и других процессов в единицу
времени должно быть одинаково.
Рассмотрим систему из атомов и излучения, находящуюся в
равновесии и пусть по-прежнему, число атомов в нижнем со-
состоянии (энергия ?,) будет (V,, а в верхнем состоянии (энергия
Ег) — N2. Атомы испускают и поглощают электромагнитное из-
излучение, совершая в первом случае переходы 2 -> 1 (испуска-
(испускание), а во втором 1->2 (поглощение). В силу принципа деталь-
детального равновесия статистическое равновесие между процессами
испускания и поглощения наступит тогда, когда число перехо-
переходов 2 -> I в единицу времени будет равно числу переходов
1 ->2. Переходы с испусканием происходят либо спонтанно, либо
индуцирование Полная вероятность тех и других переходов
есть A2i-\-B2ipv, а среднее число переходов в единицу времени
равно
dZ^ = (A2i+B2lpv)Ns.
Вероятность переходов с поглощением есть Bi2pv, и, соответ-
соответственно, среднее число переходов 1 -*2 в единицу времени равно
При равновесии dZ2j = dZl2 и мы получаем:
N2 (A2l + B2lpy) = BT2pvIV,.
Отсюда
A00.1)
A00.2)
Но так как равновесие имеет статистический характер, то отно-
отношение jVj/jV, чисел атомов в верхнем и нижнем состояниях

может быть выражено также при помощи распределения Больц-
мана. А именно, если система может находиться в состояниях
с дискретным рядом энергий Е,, Е2, ..., Ет, ... то вероятность
системе находиться в состоянии с энергией Ет есть (см. прило-
приложение II, стр. 555)
Wrn = C'e-E"--!kT, A00.3)
где С — постоянная, которая нормируется таким образом, что-
чтобы вероятность атому иметь какое-либо из возможных значений
энергии (достоверное событие) равнялась единице.
Для дальнейшего формулу Больцмана целесообразно напи-
написать в более общем виде. В атомной физике нередко встре-
встречаются случаи (см. например § 113), когда имеется несколько
различных состояний, в которых атом имеет одну и ту же энер-
энергию (так называемые случаи вырождения). Очевидно, что в та-
таких случаях различным значениям энергии соответствует разный
статистический вес, который в квантовой физике характери-
характеризуется числом совпадающих уровней энергии.
Поэтому в общем случае формула Больцмана напишется в
виде
Wm = Cgme-Em'kT, У (Ю0.4)
где gm и есть Статистический вес, равный 1 в случае простых
(невырожденных) уровней энергии.
Таким образом, из общих- статистических соображений,
имеем
^Ж- (юо.5)
Сравнивая A00.2) и A00.5), получаем:
,-EJkT
откуда
A00.6)
A00.60
" Bisgle<E*-E'»kT - B2lg2 '
Но, по условию частот Бора E2 — E, = hv и, следовательно,
Pv = Ali? . A00.7)
Это и есть формула распределения энергии в спектре равновес-
равновесного излучения. Для определения коэффициентов Л и В мы ис-
используем следующие предельные условия:
I) При Г->оо, т. е.. при Av< kT плотность pv должна стре-
стремиться к бесконечности, т. е. знаменатель в A00.7)—к нулю.
* 01 ВЫВОД ФОРМУЛЫ ПЛАНКА ПО ЭЙНШТЕЙНУ 319
Это дает сразу
SiBl2^g2B2u
или
8и = -~В21. (Ю0.8)
При том же условии hv < kT должна быть справедлива фор-
формула Рэлея—Джинса
Принимая во внимание A00.8), перепишем A00.7) в сле-
следующем виде:
При hv/kT < I имеем в первом приближении
и A00.9) принимает вид
__ gui,, kT
Сравнивая с формулой Рэлея — Джинса, получаем
J^ = ^~' (Ю0.10)
и A00.9) принимает вид
А это и есть формула Планка.
Для последующих соображений мы можем без ущерба для
общности положить g2 = gi = 1, т. е. рассматривать переходы
между простыми, невырожденными уровнями. Формулы A00.8)
и A00.10), устанавливающие связь между коэффициентами
Эйнштейна, напишутся при этом в виде
или, переходя от частот к длинам волн,
A00.12)
Выше мы указывали, что в том случае, когда в условии рав-
равновесия в качестве переходов с испусканием учитываются
только спонтанные переходы, характеризуемые коэффициентами
Лтп> вместо формулы Планка получается формула Вина.

'20
УРОВНИ
¦РГИИ АТОМОВ
[ГЛ. VII
Действительно, полагая в A00.7) равным нулю коэффициент
индуцированных переходов fi2i и принимая во внимание A00.11),
получаем
а это и есть форм>ла Вина [ср. (89.7)]. Но мы уже знаем, что
формула Вина хорошо о^сывает наблюденные результаты в
области высоких частот, т. е, в коротковолновом конце вшитого
света и в ультрафиолете. Из этого следует, что в этой области
переходы с вынужденным испусканием играют лишь малую
роль, а все испускание практически происходит главным обра-
образом за счет спонтанных переходов. С другой стороны, в радио-
радиочастотном (микроволновом) диапазоне спектра вследствие силь-
сильного возрастания (~а3) коэффициента индуцированных перехо-
переходов Вц и увеличения плотности излучения pv, роль спонтанных
переходов ничтожно мала.
§ 101. Свойства индуцированного испускания
Рассмотрим теперь несколько детальней свойства квантовых
переходов, характеризуемых коэффициентами Эйнштейна В,г и
В&, т. е. переходов, сопровождаемых поглощением света (элек-
(электромагнитных волн) и, соответственно, индуцированным (сти-
(стимулированным) испусканием. Особое внимание мы уделим ин-
индуцированному испусканию, так как в самое последнее время
оно приобрело исключительную теоретическую и практическую
важность. Достаточно сказать, что индуцированное испускание
лежит в основе новой быстро развивающейся области радиофи-
радиофизики и радиотехники — квантовой радиотехники.
Сначала мы рассмотрим микроскопическую картину тех ви-
видов взаимодействия электромагнитного излучения и атомов ве-
вещества, которые характеризуются коэффициентами Втп, а затем
установим связь между этими коэффициентами и макроскопи-
макроскопической характеристикой поглощения.
Чтобы перейти к выполнению первой половины этой про-
программы, напомним, что, как это хорошо известно из элементар-
элементарных изложений атомной теории и как будет подробно обосно-
обосновано ниже (см. гл. IX), квантовые свойства проявляются не
только в существовании дискретных уровней энергии атомных
систем, но само излучение имеет двойственную природу: сохра-
сохраняя волновые свойства, оно ведет себя так же, как поток «ча-
«частиц», фотонов, обладающих энергией hv и импульсолт hv/c.
Рассмотрим с этой точки зрения взаимодействие излучения с
невозбуждениым и с возбужденным атомами. Рис. 155—556 на-
наглядно представляют схему взаимодействия при поглощении, на
S l0|l СВОЙСТВА ИНДУЦИРОВАННОГО ИСПУСКАНИЯ 321
рис. 155, а представлены невозбужденный атом и три фотона до
взаимодействия; на рис. 155,6 показано, что в результате взаи-
взаимодействия атом поглотил один фотон (коэффициент SJ2) пе-
перейдя в возбужденное состояние ?|-*?2, а два фотона продол-
продолжают свое движение, не изменяя ни своих свойств, ни своего
направления. Па рис. 156 изображена схема индуцированного
излучения: слева (рис. 156, а) возбужденный атом с энергией
возбуждения Е2 — ?, = hv и два фотона с той же энергией Av
до взаимодействия; справа
(рис. 155,6)—картина пос- .,—г ~"""
ле взаимодействия, атом —(~~) ( 1
перешел в нормальное со- ^—' \ )
стояние, испустив фотон с —
той же энергией hv и тем же aj g)
импульсом Av/c, что и па- р
дающий фотон и все три то- ис'
ждественных фотона про-
продолжают свое движение в —_^^
параллельных направле- Г \. s~\ ~""
ниях. ' I ) \ ) "
Мы видим, что случай / J:— ""
соответствует ослаблению, а\ /$j
т. е. поглощению излучения;
в случае же // интенсив- '
ность излучения возрастает
за счет вынужденных переходов и, поскольку при этом фотон
излучается в том же направлении, что и падающий, можно го-
говорить об отрицательном поглощении. Более детальный анализ
процесса показывает, что электромагнитное излучение, испускае-
испускаемое при индуцированных переходах, тождественно с падающим,
не только по частоте, но и сохраняет с ним непрерывность по
фазе: оно когерентно с падающим.
Это свойство настолько важно, что па нем следует остано-
остановиться. Очевидно, что поглощение и вынужденное испускание —
два в точности, взаимно обратных процесса. Это, в частности,
ясно из рис. 155 и 156: начальное состояние первого процесса
совпадает с конечным состоянием второго и наоборот. Далее,
хорошо известно, что при поглощении уменьшается интенсив-
интенсивность света, но полностью сохраняются свойства когерентности.
Это видно из того, что при любых интерференционных опытах
прохождение падаюшего пучка света через поглощающую среду
(например, светофильтр) не разрушает интерференционную кар-
картину. Другой пример: помещение светофильтра перед линзой не
вносит никаких искажении в изображение. Из этого следует,
что в результате поглощения (положительного) состояние коге-
когерентности не изменяется.

322 УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ 1ГЛ VII
Если теперь принять во внимание, что поглощение и вынуж-
вынужденное испускание, или иначе — положительное и отрицательное
поглощение — два полностью взаимнообратных процесса, то, в
силу законов симметрии явлений, мы должны ожидать', что ин-
индуцированное излучение должно быть когерентно с падающим.
Таким образом, при прохождении света через среду,' содержа-
содержащую возбужденные атомы и способную к вынужденному испу-
испусканию, световой поток по мере прохождения непрерывно
увеличивает свою интенсивность, сохраняя когерентность, т. е.
явление должно протекать в точности симметрично с картиной,
имеющей место при положительном поглощении, при котором,
однако, интенсивность потока уменьшается. Как мы увидим, это
свойство вынужденного испускания имеет решающее значение
для его непосредственного экспериментального обнаружения.
Обратимся теперь ко второй части нашей программы — к
установлению связи между обычной «макроскопической» харак-
характеристикой поглощения и коэффициентами Эйнштейна Вц и В2\.
Пусть мы имеем параллельный монохроматический поток элек-
электромагнитного излучения частоты v. После прохождения слоя
вещества толщины Ах интенсивность излучения убывает. Соглас-
Согласно основному закону фотометрии (закон Бугера) ослабление
интенсивности пропорционально падающей интенсивности и эле-
элементу толщины слоя Ах:
— д/? = fe
или, в интегральной форме,
где d — полная толщина слоя. Множитель fcv (размернос
и есть коэффициент поглощения.
В
A01.1)
ть елг1)
На основании аналогичных соображений найдем, что вследствие
индуцированных переходов E2—>Ei в поток поступает энергия
N2AxB2ipyhv.
Энергетический баланс обоих видов поглощения (положитель-
(положительного и отрицательного) равен
— A/v = (ВДа - tfaflai) pv Av 4*. A01.2)
СВОЙСТВА ИНДУЦИРОВАННОГО ИСПУСКАНИЯ
Плотность излучения pv в параллельном пучке излучения сече-
сечением 1 см2, распространяющегося со скоростью с, очевидно, равна
Подставляя это выражение в A01.2), получаем
- 4/, = -у- (A/,Bl2 - ВД,) /v A*.
Сравнивая с A01.1), видим, что коэффициент поглощения выра-
выражается через эйнштейновские коэффициенты так:
Принимая во внимание, что при g\ = g%; B2i = Вщ получаем
При равновесии, в силу распределения Больцмана,
и мы получаем
Второй член в скобках меньше единицы; например для X =
= 4000 A, v = 7,5- 10i5 и при Т = 300 °К
1,4- 10~те- 300
e-i.zio>— ничтожно малая величина. Легко видеть, что это всегда
будет иметь место в видимой части спектра и при не слитком
высоких температурах. Поэтому при равновесии всегда
т. е. суммарный коэффициент поглощения всегда положителен,
или иначе—акты положительной абсорбции превалируют над
актами абсорбции отрицательной. Причина этого в конечном
счете состоит в том, что число атомов на нормальном уровне
при равновесии (распределение Больцмана!) всегда больше
числа возбужденных атомов.
Чтобы создать среду с отрицательным поглощением и таким
образом экспериментально выявить индуцированные переходы
необходимо осуществить неравновесное состояние, при котором
число возбужденных атомов было бы больше числа атомов, на-
находящихся в нормальном состоянии. Такое неравновесное со-
состояние часто условно называют состоянием с отрицательной

температурой по следующей причине. Из распределения Больц-
мана, полагая по-прежнему gs = gi (что не меняет общности
вывода), находим
так как, по условию, Е2 > Еи a A^/iV] < 1, то Т > 0, как и сле-
следовало ожидать (равновесное состояние), но при А^/А/, > !,
Т < 0 — температура отрицательна. Термин «отрицательная тем-
температура» из-за практического удобства широко применяется,
хотя понятие температуры к неравновесным состояниям непри
менимо. На этот термин следует смотреть просто как на
синоним состояния с обращенным распределением атомов по
уровням энергии.
Имеется .целый ряд способов создания среды с отрицатель-
отрицательной температурой. С этой целью либо стремятся косвенным
путем создать избыток атомов па более высоком уровне энергии
по отношению к некоторому более низкому (не обязательно са-
самому низкому) уровню, либо, наоборот, — искусственно пони-
понизить населенность более низкого уровня по отношению к более
высокому. Очевидно, что в том и другом случае осуществляется
обращенное распределение атомов по уровням и, следовательно,
«отрицательная температура» для выбранной пары уровней.
Простейшее проявление индуцированного испускания в усло-
условиях отрицательной температуры состоит в осуществлении отри-
отрицательного поглощения, т. е. в обнаружении коэффициента про-
прозрачности большего единицы. Таким путем советским физиком
В. А. Фабрикантом еще в 1939 г. были обнаружены индуциро-
индуцированные переходы в видимой части спектра в парах ртути, воз-
возбужденных при электрическом разряде в некоторых специаль-
специальных условиях. Им же был впервые сформулирован принцип
молекулярного усиления.
§ 102. Генераторы света
Вынужденные переходы получили важные практические при-
применения. На их основе созданы молекулярные генераторы и
усилители в сантиметровом диапазоне радиоволн (мазеры) а
также оптические квантовые генераторы (лазеры *)), — источ-
источники света в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной об-
областях, обладающие уникальными свойствами.
maser — microwave amplification by stimulated emission o[ radiation (усиление
by 1ICX tcTcZisPs^^
капнем излучения).
5 юг] генераторы света 325
Выбор рабочего вещества для оптических квантовых генера-
генераторов определяется главным образом возможностью достижения
инверсной населенности для некоторой пары уровней энергии.
Режим генерации наступает в том случае, когда эффект усиле-
усиления света компенсирует потери энергии за счет процессов рас-
рассеяния, перепоглощения и т. п. Для генерации света исполь-
используются как кристаллы, так и жидкости и газы. Несмотря на
существенные различия в системах энергетических уровней, во
временах жизни возбужденных состояний различных соедине-
соединений, используемых в различных лазерах, основные принципы
действия квантовых генераторов света одинаковы. Кратко рас-
рассмотрим эти принципы, а также свойства излучения генераторов
света на примере рубинового лазера.
Кристалл рубина представляет собой окись алюминия, в кри-
кристаллической решетке которого некоторое число атомов А1 за-
заменено трехвалентными ионами хрома Сг3+. При поглощении
света ионы хрома переходят
с нормального уровня Аи на
возбужденный Лг (рис, 157).
Последний представляет, соб-
собственно, не уровень, а доста-
достаточно широкую полосу. Возбу-
Возбужденные в пределах этой поло-
полосы ионы хрома затем частью
переходят на некоторый уро-
уровень М, на котором они задер-
задерживаются в течение несколь- Рис. [57.
ких миллисекунд, т. е. в тече-
течение времени на 4—5 порядков величины большего нормального
времени жизни возбужденного состояния A0~7—10~8 сек). Бла-
Благодаря этому на уровне М (который называется метастабиль-
ным) накапливается значительное число возбужденных ионов.
Пока концентрация возбужденных ионов не достигает 50%
всего числа ионов, возвращение на нормальный уровень Л] со-
сопровождается обычной красной флуоресценцией рубина с ука-
указанной средней продолжительностью в несколько миллисекунд. •
Но как только число возбужденных ионов превзойдет число
ионов на нормальном уровне, создается среда с отрицательной
температурой и вследствие этого возникает возможность высве-
высвечивания за счет вынужденных переходов.
Для наблюдения этого явления кристалл рубина берется в
виде стерженька или призмы длиной в несколько сантиметров
с оптически отполированными строго параллельными посереб-
посеребренными торцовыми гранями, одна из которых делается полу-
полупрозрачной. Достаточно нескольких фотонов, освобожденных пу-
путем спонтанных переходов, чтобы начался процесс вынужденных

326
УРОВНИ ЭНЕРГИИ АТОМОВ
[ГЛ. VII
переходов, причем освобождаемое фотоны в свою очередь вы-
вызывают новые вынужденные переходы, и таким образом процесс
лавинообразно нарастает. Этому способствуют многократные
отражения нарастающей лавины на противоположных тор-
торцовых гранях. При этом лавина растет, распространяясь туда и
сюда внутри кристалла параллельно его оси, так как фотоны,
случайно испущенные в Других направлениях, уходят из кри-
кристалла через его боковую поверхность. Когда интенсивность ла-
лавины фотонов достигает некоторой критической величины, часть
ее, пройдя через полупрозрачную грань, выходит из кристалла
и распространяется в виде узкого почти строго параллельного
пучка
Это излучение обладает рядом совершенно замечательных
свойств. Во-первых, телесный угол раствора пучка настолько
мал, что без каких бы то ни было оптических средств в виде
зеркал или линз пучок сохраняет параллельность настолько,
что расхождение его на расстоянии километра — порядка всего
одного метра*). Если же использовать небольшое сжатие пуч-
пучка, пропустив его в обратном направлении через астрономиче-
астрономическую трубу, то, как показывает подсчет, можно спроектировать
на Луну пятно диаметром всего в 3 километра. Так как поток
энергии в направленном пучке пропорционален IvdQ (dQ—те-
(dQ—телесный угол расхождения пучка), то, ввиду ничтожной вели-
величины dQ, яркость пучка имеет грандиозную величину.
Благодаря этому с помощью специальных отражателей, уста-
установленных на луноходе, удалось осуществить оптическую лока-
локацию Луны.
Далее, в рубиновом генераторе непосредственно из кристал-
кристалла выходит вспышка мощностью 104 вт при сечении, меньшем
1 см2. Если сконцентрировать ее с помощью короткофокусной
линзы, то в получающемся пятне развивается мощность, в ты-
тысячи раз превосходящая то, что может быть получено путем
концентрации солнечного света.
Важным свойством излучения подобного генератора света
является недостижимая никакими другими способами монохро-
монохроматичность. Вынужденное испускание есть резонансный процесс,
ввиду чего оно возбуждается с наибольшей интенсивностью'
у максимума кривой частоты. Поэтому одновременно с лавино-
лавинообразным возрастанием интенсивности идет процесс сжатия ин-
интервала частот. В результате возникает монохроматическое из-
излучение со спектральной шириной, значительно меньшей есте-
естественной ширины спектральной линии (см. стр. 241). Особенно
•) Для срав
ветствует на ра«
образуемый прож
горны
з I км пучку дна
выгоден в этом отношении газовый генератор (гелий^рнеон),
который дает инфракрасное излучение со спектральной шири-
шириной, меньшей одного килогерца при несущей частоте 10s МгЦ.
Другим важным свойством индуцированного излучения яв-
является его когерентность. Как уже указывалось, спонтанное
Испускание в протяженном источнике возникает в различных
случайно распределенных в пространстве точках и в случайные,
не связанные между собой моменты времени. Поэтому оно неко-
некогерентно: не только лучи света от различных источников, но и
лучи света от разных точек одного и того же источника между
собой не интерферируют. Чтобы осуществить с таким излуче-
излучением интерференцию, необходимо пользоваться источником 'ма-
'малого размера, разделять один исходный пучок на два или не-
несколько, которые затем между собой интерферируют. При этом
интерферируют в сущности потоки волн, исходящие от одного
атома, и различные интерференционные картины просто скла-
складываются между собой.
Наиболее наглядным интерференционным опытом является
опыт Юнга с двумя щелями: свет от удаленного источника ма-
малого размера (или от щели, освещаемой удаленным источни-
источником), пройдя через две параллельные щели, дает на удаленном
экране типичную интерференционную картину, состоящую из
последовательности чередующихся светлых и темных полос.
Однако этот опыт не удается, если источник света слишком ве-
велик или расположен слишком близко к экрану.
Излучение лазера является полностью пространственно-
когерептным. Поэтому интерференция беспрепятственно воз-
возникает, если сделать две щели прямо на полупосеребренной

уровни энергии атомов
]ГЛ. VII
поверхности, через которую выходит наружу индуцированное
излучение. Это показывает, что выходящая из кристалла волна
имеет действительно плоский фронт и различные пространствен-
пространственно-разделенные точки этой волны когерентны. Рис. 158 иллю-
иллюстрирует схему опыта Юнга с рубиновым излучателем. Справа
на рисунке приведена фотография интерференционной картины.
Замечательные свойства индуцированного излучения широко
используются в научных и практических целях. Создание кван-
квантовых генераторов по существу означало возникновение новых
разделов физики — квантовой радиофизики и квантовой оп-
оптики *),
*) См,
ю: г. т у р к
Дж. Бирнб
, От
твердом теле, «Сов.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ
ВОДОРОДНОГО АТОМА
§ 103. Серия Бальмера
Спектральные линии атомного водорода в своей последова-
последовательности обнаруживает простые закономерности. На рис. 159
приведена фотография спектра испускания атомного водорода,
Рис. 159. Серия Бальмера в спектре испускания атомарного водорода: Яш
Нр, #v, Hf, — видимые линии; #„ — предел серий.
полученная в лабораторных условиях, а на рис. 160 — фотогра-
фотография того же спектра (в абсорбции) в звезде ? Tauri. Существо-
Существование закономерной связи между спектральными линиями на
Рис. 160. Серия Бальмера е
той я другой фотографиях прямо бросается в глаза, И действи-
действительно, уже в 1885 г. Бальмер показал, что длины волн четырех
линий, лежащих в видимой части и обозначаемых символами
He, Hp, Hv, He (рис. 159), могут быть очень точно представлены
эмпирической формулой
»=n^Ti 0Ю.1)

1ЬНЫЕ СЕРИИ 1
И ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ ¦
где вместо п следует подставить целые числа 3, 4, 5, 6 и В —
эмпирическая константа, равная 3645,6-10~8 см = 3645,6 А. На-
Насколько точно совпадают вычисленные по этой формуле длины
волн с данными непосредственных измерений, которые были из-
известны Бальмеру, видно из таблицы XI.
Т а б л
XI
Лнння
на
щ
на
альме а.
6562,08
4860,80
4340,00
4101,30
А
6562,10
4860,74
4340.10
4101,20
азвдсть.
+0,02
—0,05
+0,10
-0,10
Помимо четырех видимых линий в то время было известно
пять ультрафиолетовых в земных источниках и 10 — в спектрах
белых звезд. Подставляя в формулу Бальмера дальнейшие це-
целые числа п = 7, 8, ..., можно было получить также и длины
волн этих ультрафиолетовых линий. Однако совпадение вычис-
вычисленных и наблюденных длин воли для этих линий оказалось
несколько худшии!1 что, впрочем, объясняется исключительно
неточностью, с какой в то время были измерены эти линии.
Закономерность, выражаемая формулой Бальмера, стано-
становится особенно наглядной, если представить эту формулу атом
виде, в каком ею обычно пользуются в настоящее время. С этой
целью следует преобразовать эту формулу так, чтобы она по-
позволяла вычислять не длины воли, по частоты или волновые
числа. По известной формуле частота (число колебаний в 1 сек)
выражается в виде
где с — скорость света в пустоте и ?„о — длина солны' также в
пустоте. Волновое число есть обратная длина волны или число
волн, укладывающихся на I см:
-?«-¦•
В спектроскопии пользуются предпочтительно волновыми чис-
числами (в слгх)г так как длины волн определяются в настоящее
время с огромной точностью и, следовательно, с тою же точно-
точностью известны и волновые числа, тогда как скорость света, а
1031 СЕРИЯ БАЛЬМЕРА ЗЗ1
ачит, и частота определены со значительно меньшей точ-
)СТЬЮ.
Из A03.1) получаем
Обозначая постоянную 4/В через R (первая буква фамилии вы-
выдающегося шведского спектроскописта Ридберга, именем кото-
которого названа эта постоянная), перепишем A03.2) так:
(п = 3, 4, 5, ...).
A03.3)
Это и есть обычный вид формулы Бальмера.
Из формулы A03.3) видно, что по мере увеличения п раз-
разность между волновыми числами соседних линий уменьшается,
и при п = со мы получаем постоянное значение v = R/22. Та-
Таким образом, линии должны постепенно сближаться, стремясь
к предельному положению v = (Я/4) см~1. Это хорошо видно на
фотографиях рис. 159" и 160; теоретическое положение пре-
предела серии указано на рис. 159 символом Ню. Наблюдение по-
показывает, кроме того, что с увеличением номера линии п зако-
закономерно уменьшается ее интенсивность. Таким образом, если
схематически представить расположение спектральных линий,
охватываемых формулой A03.3), и условно изображать длиной
линий их интенсивность, то получится картина, показанная на
рис. 161.
I It !_>„
Z 3 15 S7 -
Рис. 161. Общая схема спектральной серии.
Совокупность спектральных линий, обнаруживающих в своей
последовательности и в распределении интенсивности законо-
закономерность, которая схематически представлена на рис. 161, назы-
называется вообще спектральной серией. Предельное волновое число,
около которого сгущаются линии при #-*оо, называется гра-
границей серии.
Получение большого количества линий атомного водорода
при помощи земных источников связано с различными экспери-
экспериментальными трудностями. Поэтому только в 1920 г. Буду уда-
удалось сфотографировать 22 и промерить 20 членов серии Баль-
Бальмера. Наибольшее количество линий этой серии можно было
промерить в спектре солнечной хромосферы и протуберанцев
(до 37 членов).

332 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И I
ГОМА ВОДОРОДА [ГЛ '
§ 104. Серии Лаймана, Пашена и др.
Обобщенная формула Бальмера
в спектре атомного водорода был
звершенно ана-
юлетовой части
(и = 4,
(- = 5,
(л = 6,
5,
6,
7,
A04.2)
A04.3)
A04.4)
Наряду с серией Бальмера в спектре атомного
обнаружен ряд Других серий, представляемых coi
логичными формулами. Так, в крайней ультрафис
спектра Ла'йман открыл серию
v = y?(_^_Jr) (Я = 2, 3, ...). (Ю4Л)
В инфракрасной части найдено три серии:
серия Пашеиа
серия Брэкета
серия Пфунда
Отсюда видно, что вес известные серии атомного водорода
можно представить общей формулой
v==y?jJ__JF)i A04.5)
где т имеет в каждой данной серии постоянное значение
(т= 1 2 3 4, 5) а п — ряд целых значений, начинающихся с
числа, на единицу большего т. Формула A04.5) называется
обобщенной формулой Бальмера.
В таблице XII приведены длины волн в различных сериях
атомного водорода вычисленные и измеренные непосредственно
(для серии Бальмера приведено 10 членов из промеренных 36).
Эта таблица дает возможность судить о точности, с какой по-
позволяют вычислять длины волн формулы спектральных серий-
Табл ица XII
Обзор серий атомного водорода
»
2
3
4
Серия
V* №
1215,7
1026,0
972,7
Л аи j
"—«(+ —
V. (.«.»¦)
1215,68
1025,73
972 54
82258,31
97491,36
102822,94
СЕРИИ ЛАЙМАНА. ПАШЕНА И ДР.
•
3
4
5
6
7
9
10
Лвоэл <"абл'!
6562,8473
6552,7110
4861,3578
4861,2800
4340,497
4340.429
4101 7346
3970,0740
3889,0575
3835,397
3797,910
6562,798
4861,327
4340,466
4101,738
3970,075
3889,052
3835,387
3797 900
V («,«*,
15233,216
20564,793
23032,543
25181,055-
24373,343
25705,957
26065,61
26322,90
Серп
10 049 8
9 546 2
9 229,7
90153
8 863,4
8751,1
2818,1
0049'4
9546,0
9229,1
9011,9
8862,9
5331,58
7799 33
9139 84
9948' ] 3
10472,74
10832,40
11089,69
11280,03
»
5
6
»
6
Серая
V.» '"*¦
4,05 мим
2.63 .и «
Серия
1 <"¦»¦"
7,40 мкм
Бр,
Пф
1,„, ,_.,.,
40510,4
26251,9
.A.v-«(Jr —
Л гвычисл.)
74578,0
-У)
2467,75
3808,20
У)
1340,512

334 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕ1
>ЕШ!1 ЭНЕРГИИ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VIII
§ 105. Спектральные термы. Комбинационный принцип
Сравнивая между собой формулы A04.1) —A04-4), легко за-
заметить, что постоянный первый член каждой из этих формул
является одним из переменных членов в другой. Например, по-
постоянный член формулы серии Пашена У?/За является первым из
возможных переменных членов,формулы серии Бальмера и вто-
вторым—для формулы серии Лаймана;'постоянный член серии
Бальмера, в свою очередь, является одним из переменных чле-
членов в формуле серии Лаймана и т. д. Этот факт особенно ясно
виден в написании обобщенной формулы Бальмера A04.5), ко-
которая показывает, что волновое число любой спектральной
линии водородного спектра можно представить как разность
двух членов типа Щт2 при каких-нибудь двух целых значе-
значениях т. В этом заключается современная формулировка так
называемого комбинационного 'принципа.
Вводя обозначения
мы можем записать A04.5)
лых чисел
А., Т{п)=~,
1 виде разности двух функций це-
т) — Т{п). A05.2)
Числа Т{п), Т{т) называются спектральными термами или про-
просто термами. Для водородного атома вся система термов полу-
получается из одной общей формулы
-? (л=1, 2, ...)¦
A05.3)
Из A05.3) следует, что, зная систему термов для данного
атома, мы можем получить волновое число любой спектральной
линия как разность двух членов этой системы.
Мы можем дать комбинационному принципу несколько иную
формулировку: если известны волновые числа двух спектраль-
спектральных линий одной и той же серии, то их разность будет также
волновым числом некоторой третьей спектральной линии, при-
принадлежащей тому же атому. Пусть, например, даны волновые
числа двух линий серии Лаймана:
¦v, = rt — Гэ и v2=T} — T3.
Тогда разность va — V( будет волновым числом первой линии се-
серии Бальмера
vs —Ч| = ГЯ —Г3 и т. д.
В самом деле, из последнего столбца таблицы ХП находим
v, =82 258,31, va = 97 491,36.
§ IDS] СПЕКТРАЛЬНЫЕ ТЕРМЫ. КОМБИНАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП 335
Разность этих чисел равна v2 — v, = 15233,05. В той же таб-
таблице для первого члена серии Бальмера (п = 3) находим v =
= 15233,216 — число, совпадающее с vi — vi в пределах ошибок
наблюдения.
Комбинационный принцип был открыт чисто эмпирическим
путем и, подобно многим другим закономерностям в спектрах,
он казался вначале каким то числовым курьезом. Глубокий
смысл этого принципа Открылся только после того, как были
формулированы квантовые постулаты Бора.
Нетрудно убедиться в том, что закономерность в частотах,
выражаемая этим принципом, резко противоречит классической
физике. В самом деле, если приписать электрону одну степень
свободы, то спектр должен был бы состоять из одной частоты и
ее обертонов; если же связь электрона такова, что ему следова-
следовало бы приписать три степени свободы, то мы имели бы три
основные частоты и их обертоны. Однако на самом деле в атом-
атомных спектрах вообще не наблюдается никаких обертонов, т. е.
частот, образующих гармонический ряд.
Впервые Бор с полной отчетливостью указал на то, что ком-
комбинационный принцип является ярким выражением своеобраз-
своеобразных кцантовых законов, управляющих внутриатомными движе-
ниями1|Обобщая и формулируя точнее гипотезу Планка, выска-
высказанную для частного случая линейных осцилляторов, 'рн увидел
в комбинационном принципе указание на то, что атомы могут
находиться только в определенных состояниях, энергии которых
образуют дискретный ряд. Такие образом, каждому терму отве-
отвечает определенное стационарное энергетическое состояние,! и
условие частот Бора,( формулированное в § 90, представляет
собою не что иное, как комбинационный принцип, выраженный
иным способом, а именно так, что каждая из испускаемых ча-
частот связывается с двумя стационарными состояниями. Если мы
будем обозначать через v волновое число, выраженное в см~1,
то частота, выраженная в сек-1, будет равна с\, и условие ча-
частот (90.1) напишется в виде
hey = ?„ — Е„,
откуда
v = En/hc—EJhc. (Ю5.4)
Если положить
T(n) = — EJhc, (Ю5.5)
то A05.4) представится в виде
т. в. мы получаем уже известную формулировку комбинацион-
комбинационного принципа. Знак минус в A05.5) имеет условное значение:
как мы знаем, энергия (нерелятивистская) электрона, связанного

336 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ
1БНИ ЭНЕРГИЙ АТОМ
в кулоновском поле, всегда отрицательна {§ 51), в то время как
термам удобнее приписывать положительный знак.
Введя в A05.4) выражение терма через постоянную Рид-
берга по определению A05.1), мы можем выразить и энергию
атомов через эту постоянную:
En = — Rhc/n2. A05.6)
В этой формуле h и с—универсальные постоянные, п — целое
число и только У? — эмпирическая константа. Наша формула
приобрела бы исчерпывающе ясное физическое значение, если
бы мы сумели выразить также и постоянную Ридбе-рга R через
универсальные константы. Это удалось сделать Бору уже в пер-
первом наброске его теории строения атома.
§ 106. Квантование круговых орбит
В основе теории Бора лежат квантовые постулаты, форму-
формулированные в § 90, а'именно, постулат о существовании стацио-
стационарных состояний и условие частот. Эти постулаты, как уже
неоднократно указывалось, находятся в резком противоречии
с законами классической физики. В самом деле, в то время как
постулаты Бора требуют существования дискретной последова-
последовательности уровней энергии, которым соответствует в атоме из-
избранный ряд квантованных орбит, — классическая механика
приводит к непрерывному множеству орбит. Это противоречие
имеет весьма общий характер. Совокупность фактов однозначно
указывает на то, что в явлениях атомного мира проявляется
прерывность, характериз>емая конечной величиной (неравен-
(неравенством нулю) постоянной Планка. Наоборот, для явлений макро-
макроскопического, т. е. большого, масштаба характерна именно не-
непрерывность.
Мы приходим, таким образом, к выводу, что классическая
механика с ее непрерывно изменяющимися величинами непри-
неприменима к атомным явлениям. В дальнейшем, в главе X, мы уви-
увидим, что на самом деле этот разрыв очень глубок, так как ока-
оказывается, что очень маленькие частицы — электроны, протоны
и т- п. — при своих движениях подчиняются совершенно своеоб-
своеобразным квантовым законам, резко отличающимся от законов
классической механики. Это обстоятельство, однако, было от-
открыто лишь через двенадцать лет после установления постула-
постулатов Бора, На первых же стадиях развития-атомной механики
пришлось воспользоваться следующим логически противоречи-
противоречивым методом: сначала задача решалась при помощи классиче-
классической механики (заведомо неприменимой полностью к внутри-
внутриатомным движениям), а затем из всего непрерывного множе-
множества состояний движения, к которым приводит классическая
/ГОВЫХ ОРБИТ
механика, отбирались на основании специального постулата из-
избранные, квантовые состояния. Несмотря на все несовершенство
этого метода, он привел к очень большим успехам. Достаточно
было подметить некоторые своеобразные черты атомных про-
процессов и сделать из этого необходимые выводы, чтобы получить
возможность распутать сложные закономерности в атомных и
молекулярных спектрах, значительно ближе подойти к понима-
пониманию химических процессов и т. Д.
Формулируем прежде всего тот специальный постулат, на
основе которого в теории Бора производился выбор квантован-
квантованных орбит. Мы будем при этом исходить из самой простои мо-
модели атома: центральное положительно заряженное ядро, около
которого обращается электрон по круговой орбите. Несколько
более сложный случай эллиптических орбит мы коротко рассмо-
рассмотрим ниже, в § 113.
Постулат для выбора квантованных орбит, который нам не-
необходимо формулировать, представляет собою целесообразное
обобщение постулата Планка для выбора квантовых состояний
линейного осциллятора. Согласно этому последнему постулату
из всех возможных состояний линейного осциллятора осуществ-
осуществляются только такие, энергия которых равна
En^ahv, A06.1)
Формулируем сначала это условие, применимое только к ли-
линейному осциллятору, несколько иным образом. Для этого мы
прежде всего перепишем его в виде
?/v = nh. A06.2)
Написанное в таком виде условие мы будем рассматривать как
общее требование, заключающееся в том, что в атомных систе-
системах механическая величина, имеющая размерность 9"ергия ,
или, что то же, [энергия X время] и называемая действием,
должна быть кратной постоянной Планка h. Вопрос теперь сво-
сводится к целесообразному выбору этой величины для каждого
частного случая.
Чтобы указать общее правило, автоматически приводящее
к правильному выбору состояний, мы снова рассмотрим линей-
линейный осциллятор. Его состояние в классической механике харак-
характеризуется декартовой координатой х и соответствующим ей
количеством движения тх. Обозначим эти параметры-состояния
через q и р и будем изображать состояние осциллятора точкой
в фазовом пространстве,'как это принято в статистической ме-
механике. Поскольку в данном случае состояние системы пол-
полностью характеризуется двумя параметрами р и q, фазовое
«пространство» является плоскостью, и каждое состояние

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VIII
;истемы, характеризуемое данными значениями р и q, предста-
зится точкой на этой плоскости. При движении в системе эта
^+-!f, A06.3)
Разделим обе части A06.3) на Е:
вводя обозначения
A06.4)
A06.5)
Но A06.5) есть уравнение эллипса, так что фазовая траектория
линейного осциллятора есть эллипс, оси которого согласно
A06.4) для данного осциллятора (заданные т и f) опреде-
определяются энергией Е. Вычислим теперь площадь нашего эллип-
эллипса. Площадь, ограничиваемая
кривой у = f(x), равна [ydx;
с другой стороны, площадь эл-
эллипса равна nab. Поэтому
<bpdq= nab, где кружок у
интеграла указывает, что вы-
вычисление его следует вести по
замкнутому контуру. Но по
A06.4)
nab = n УШЁ~ УЩ\ =
Так как для гармонического осциллятора v = ^~"l/ , то
(j> р dq = nab
или, принимая во внимание A06.2)i
= E/v
A06.7)
§ Ш7] ТЕОРИЯ БОРА 339
Теперь нам осталось сделать последний шаг: формулу A06.7)
мы будем рассматривать как общее условие квантования для
любых систем с одной степенью свободы, если только под q и р
разуметь обобщенную координату и соответствующий ей обоб-
обобщенный импульс.
Применим это общее условие к нашей модели электрона, об-
обращающегося по круговой орбите. Зцесь в качестве координаты
целесообразно выбрать полярный угол ф, характеризующий по-
положение электрона на орбите. Соответствующим ей обобщенным
импульсом будет [см. E7.5)] момент количества движения
ръ= тгаф. Если мы теперь подставим в A06.7) ф и рф вместо
q и р и примем во внимание, что согласно закону сохранения
момента количества движения рФ = const, то получим,
откуда сразу имеем
р, = я?. A06.8')
Это и есть искомое «правило квантования» круговых орбит:
из всех возможных согласно классической механике орбит в дей-
действительности осуществляются такие, у которых момент количе-
количества движения есть Кратное h/2n. Последняя величина h/2n
является, таким образом, квантовой единицей момента количе-
количества движения. Ее принято обозначать через fi-
В таком случае формула A06.8') принимает вид:
рч, = пЬ, A06.8)
§ 107. Теория Бора
Обратимся теперь к теории Бора. Будем рассматривать так
называемый «водородоподобный атом», т. е. систему, состоящую
из ядра с зарядом -\-Ze {2— целое число) и одного электрона.
При Z ~ 1 такая система представляет собою собственно водо-
водородный атом, при Z = 2 —однократно ионизованный атом ге-
гелия Не+, при Z= 3 —двукратно ионизованный атом лития Li**,
При2-=4—Ве+«-ит. д.
Из кинетической теории газов известно, что «размеры» ато-
атомов — порядка 10~8 см. С другой стороны, из опытов Резер-
форда с рассеянием a-частиц (§ 27) следует, что закон Кулона
имеет место вплоть до расстояний порядка 10~12 см\ поэтому мы
можем быть уверены в том, что взаимодействие электрона с
ядром в нашей модели подчиняется закону Кулона, т. е. сила, с
которой ядро удерживает электрон, должна быть равна Ze2/r2.
Если мы допустим, что движение электрона в атоме подчиняется

340 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДД [ГЛ. VitI
законам классической механики, то мы сможем перенести на
пашу модель все результаты, полученные при решении
кеплеровой задачи в классической механике (§ 51); в частности,
полная энергия (кинетическая + потенциальная) такой системы
должна быть равна
Е — Ж' <5!Л9>
где а — большая полуось эллипса или в данном случае — радиус
круговой орбиты. По третьему закону Кеплера (§ 51) радиус а
связан с периодом обращения Т соотношением *)
-р- = л"г = жг- <5!24>
Второе соотношение даст нам правило квантования, установ-
установленное в предыдущем параграфе:
i рф=яй. A06.8)
Далее, по определению,
рф = та2ф = та2ш = 2nmoV, A07.1)
откуда, принимая во внимание A06.8)
aV=TST- 0°7-2>
Комбинируя A07.2) и E1.24), легко найдем
а=п2-^г- A07.3) "
При 2 = 1 и л = 1 (первая орбита водородного атома) мы
получаем
01=-^-= 0,628- ИГ8 ом. ,A07.4)
Эта комбинация универсальных постоянных будет встре-
встречаться при вычислениях и в дальнейшем; мы ее всегда будем
обозначать через а,\. Подставляя значение A07.3) в E1.19), по-
получим
Ь = ~?—g?i (Ю7.5)
*) В случае круговых орбит соотношение E1.24) может быть получено
также следующим простым способом. Приравнивая цулоновскую силу притя-
притяжения между ядрощ и электроном центробежной силе инерции, имеем
-формула E1.24).
Для отличия от
здесь через v*.
ТЕОРИЯ БОРА
341
давая л последовательный ряд цель1х значений 1, 2, 5, ..., мы
и получим квантованные значения энергии ?,, Ег, ...
.Воспользовавшись условием частот hcv = 2nft cv — Еп — Eh и
подставляя сюда выражения для ?„ и Eh из A07.5), получим
обобщенную формулу Бальмера для водородоподобных атомов
Полагая здесь 2=1, получим формулу Бальмера специально
для водородного атома, а множитель перед скобками и будет
искомым выражением постоянной Ридберга через универсаль-
универсальные постоянные:
Для вычисления R воспользуемся современными наиболее точ-
точными значениями универсальных констант е, efm, Ь, с:
A07.8)
с = 2,99793 ¦ Ю'° см/сек, й= 1,0544 - 10~27 эрг ¦ сек,
е = 4,8030- 10"шСГСЭ, -1 = 1,7589- Ю'СГСМ-г;
формула A07J) даст тогда следующее теоретическое значение
для R:
тогда как величина У?н, эмпирически найденная из точнейших
спектроскопических измерений, есть
У?н = 109677,581 см-К A07.10)
Совпадение теоретически вычисленного и эксперименталь-
экспериментального значений У? настолько близко, что оно не оставляет сомне-
сомнений в правильности найденной Бором формулы A07.5) для
уровней энергии водородоподобных атомов. В действительности
это совпадение лучше, чем может показаться при непосред-
непосредственном сравнении A07.9) и A07.10). Дело в том, что Эти два
значения в сущности между собою несравнимы, так как при
выводе формулы A07.7) сделано одно допущение, не оправды-
оправдываемое точностью современных спектроскопических измерений.
А именно, мы предполагали, что ядро водородоподобного атома
неподвижно, тогда как по законам механики следует рассматри-
рассматривать движение электрона и ядра около их общего центра
инерции. Допущение неподвижного ядра было бы оправдано
(см. § 50) лишь в том случае, если бы массу ядра можно было
считать бесконечно большой по сравнению с массой электрона.
В действительности же отношение массы водородного ядра к
массе электрона равно
A/ 18361

342. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VIII
и при огромной точности современных спектроскопических изме-
измерений пренебрежение конечной величиной массы ядра недопу-
недопустимо. ,
Нетрудно, однако, внести поправку, учитывающую это об-
обстоятельство. Как мы видели в § 53, для точного решения за-
задачи о двух телах в формуле A07.5) вместо массы электрона
необходимо ввести приведенную массу электрона и ядра:
где Mz — масса ядра с атомным номером Z. Формула A07.7)
при этом примет вид
Rz = jgL = 4лЬ^^м .- - -^гТ^Т^Гм^ ¦ AО7Л1)
Для водорода Mz = М$ и
lnhsc(\ + т/Мн) "
A07.12)
При М7. = оо формула A07.11) переходит в A07-7). Поэтому,
если обозначить величину R, даваемую A07.7), через /?«,, то
A07.12) примет вид
%н ~ 1 +т/Мк '
а общая формула A07-11) представится так:
A07.13)"
A07.14)
При помощи формулы A07.13) мы можем произвести окон-
окончательную проверку теории следующим образом: подставим в
A07 13) наиболее точное экспериментальное значение for =
= 109677,581 и из A07.13) вычислим Я„; принимая т/Мя =
= 1/1836,5, получим
^-)= Ю9 677,58l(l
И» 736,807 см~К
Сравнивая это со значением 109737,303, вычисленным непосред-
непосредственно по формуле (Ю7.7), мы видим, что совпадение не остав-
оставляет желать лучшего.
§ 108. Серия Пикеринга и спектры водородоподобных ионов
В 1897 г. астроном Пикеринг открыл в спектре звезды ? Pup-
pis спектральную серию, которая очень напоминала серию Баль-
мера, С историей этой серии связана одна из блестящих побед
квантовой теории строения атома. Рис. 163, на котором схема-
схематически изображены обе серии, показывает, что линии серии
5 I0S] СЕРИЯ ПИКЕРИНГА И СПЕКТРЫ ВОДОРОДОПОДОБНЫХ ИОКОВ 343
Пикеринга можно разбить на две группы: линии одной группы,
расположенные через одну, почти совпадают с линиями серии
Бальмера, а промежуточные линии не имеют аналогов в серии
Бальмера. Ридбсрг показал, что эта серия может быть пред-
представлена формулой Бальмера, в которой, однако, п имеет как
целые, так и половинные значения:
v=s=r(±—L) («-2,5; 3; 3,5; ...)• A08.1)
целым значениям соответствуют линии, совпадающие с бальме-
ровыми, а половинным — промежуточные. *
Как ни пытались получить эту серию с земным водородом,
это не удавалось. Поэтому серия Пикериига была приписана
Lull
водороду, находящемуся в звездах в каком-то особом состоянии.
Наконец, удалось получить эту серию в лаборатории, но оказа-
оказалось, что для успеха опыта к водороду обязательно должен быть
примешан гелий. Эту противоречивую совокупность фактов рас-
распутал Бор, предположив, что серия Пикеринга принадлежит во-
вовсе не водороду, но ионизованному гелию. В самом деле, так как
на основании (IO7.6) v пропорционально Z2 и для гелия Z = 2,
то спектральные серии ионизованного гелия Не+ должны укла-
укладываться в формулу
у *= 4у?Не (Дг - -У) ¦ ' (Ю8-2)
Если положить здесь m = 4, то формула принимает вид
/1 I \ . й
V = 4/^Не \-П XT) \П*=О, D, . . .},
но ее можно также представить и в виде

344 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ VIII
или, если обозначить л/2 через к,
v = #He(-^r-^-) № = 2,5; 3; 3,5; 4; ...)¦
Но это и есть формула серии Пикеринга. Вследствие различия
масс водорода и гелия константа Ридберга Riu должна немного
отличаться от Ru. Поэтому и для целых значений к линии серии-
Пикеринга должны быть немного смещены относительно баль-
меровнх линий водорода.
Эти предсказания Бора были подтверждены Пашеном, кото-
который показал, что серия Пикеринга легко может быть получена
в чистом гелии без всяких следов водорода, но не может быть
получена в чистом водороде, и что линии этой серии для целых
Табл
3
3,5
4
5
6
„..
6560,1
4859,3
4561,6
4338,7
4100,0
H
6562,8 (Н„)
«61,3 (Нр)
43Ю.5 (Нт)
4110,7 (Нй)
Ридберга и зависимости от массы
ядра.
значений k смещены относительно бальмеровых линий в фиоле-
фиолетовую сторону, как и следовало ожидать по формуле A08.2).
Иллюстрации этого смещения можно найти в таблице XIII, где
приведены измеренные Пашеном точные длины волн в спектре
ионизованного гелия, а рядом—длины волн бальмеровой серии
водорода, соответствующие целым значениям п.
Следующими за Не* водородоподобными ионами являются
двукратно ионизованный литий Li*+ B = 3) и трехкратно иони-
ионизованный бериллий Be*** B = 4). Их спектральные серии
должны подчиняться формулам
ОТКРЫТИЕ ТЯЖЕЛОГО ИЗОТОП4 ВОДОРОДА
Первые члены серии Лаймана {т = 1) для этих ионов на
самом деле >далось найти в далекой ультрафиолетовой части
спектра.
На рис. 164 графически представлено изменение постоян-
постоянной Ридберга в зависимости от массы ядра.
2
п
1W1
Из*
аче
-
ного
IIЯ
1
1
и**
2 = 2
2 = 3
волн в спект
135,01"
113,92
в."
«,-1 ^2=2
еют
следую
75,94
§ 109. Применение предыдущей теории.
Открытие тяжелого изотопа водорода
Зависимость постоянной Ридберга от массы ядра была ис-
использована при открытии тяжелого изотопа водорода. Этапы
этого открытия очень напоминают историю открытия благород-
благородных газов, начиная с аргона, в атмосфере, толчком к которому
послужило, как известно, небольшое расхождение между вели-
величинами атомного веса атмосферного азота и атомного веса
азота, полученного в лабораторных условиях из различных хи-
химических соединений. Эта история является превосходной де-
демонстрацией смысла точнейшего определения констант и очень
хорошо подтверждает остроумное замечание одного из естество-
естествоиспытателей конца XIX столетия: «сколько еще открытий таится
вокруг шестого десятичного знака!».
История открытия тяжелого водорода вкратце такова. Опре-
Определение атомного веса водорода, выполненное Астоном при по-
помощи масс-спектрографа, дало 1,00778 + 0,000015 по отношению
к атомному весу кислорода, условно принятому за 16,00000. Эта
величина очень хорошо совпадала с атомным весом водорода,
найденным из химических определений: 1,00777 ± 0,00002.
В то время, когда производились эти измерения, предпола-
предполагалось, что кислород не имеет изотопов. Однако вскоре было
обнаружено, что атмосферный кислород представляет собой
смесь двух изотопов: О16 и О18, количества которых находятся
в постоянном отношении 630: 1. Учитывая это обстоятельство,
Бердж и Менцель обратили внимание на то, что совпадение

346
КТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ 1-
ВОДОРОДА [Г
величин атомного веса водорода из масс-спектрографических и
химических определений на самом деле иллюзорно и основано
на принципиальной ошибке. В самом деле, каждая линия в
масс-спектрографе отвечает одному определенному изотопу. Ли-
Линия, которой приписывается масса 16,00000, на самом деле при-
принадлежит изотопу кислорода О16, в то время как в хими-
химических определениях масса 16 неправильно приписывается
смеси О16 + 7езоО!8. Если условно приписать линии кислорода
в масс-спектре ту среднюю массу, которую имеет кислород в
химических опытах, т. е. Oj6 -f- '/езоО18, то для атомного веса во-
водорода, приведенного таким образом к химической шкале, по-
получается заметно меньшее число: 1,00756. Тот факт, что атом-
атомный вес водорода, определенный химическим способом на
1,00777—1,00756=0,00021, т. е, приблизительно на 0,02%
больше, побудил Берджа и Менцеля высказать гипотезу, что и
обычный водород, с которым имеют дело химики в своих опы-
опытах, в действительности представляет смесь по крайней мере
двух изотопов: легкого с массой приблизительно 1 и тяжелого
с массой (в круглых цифрах)' 2. Из разности масс-спектрогра-
фического и химического атомных весов они определили отно-
отношение количеств изотопов в обычном водороде и получили
Н':Н3 = 4500: 1.
4 Возможности открытия тяжелого изотопа способствовало не-
необычайно благоприятное соотношение масс обоих изотопов.
В то время как обычно
разница в массах изото-
изотопов относительно очень
мала, вследствие чего их
свойства настолько близ-
близки, что накопление како-
какого-нибудь изотопа край-
крайне затруднительно, здесь
масса одного изотопа в
, два раза больше массы
другого. Вследствие этого
их свойства весьма за-
аодорода. метным образом различа-
различаются. Воспользовавшись
этим, Юри с сотрудниками добился искусственного увеличения
процента тяжелого водорода следующим образом: они подвергли
Зл жидкого водорода осторожному испарению при давлении в
несколько мм рт. ст. Так как скорость испарения легкого водо-
водорода должна быть больше, чем тяжелого, то по мере испарения
последний должен был накопляться в смеси. Доводя количество
жидкого водорода от Зл до долей кубического сантиметра, они
ввели остаток в разрядную трубку и сфотографировали спектр,
¦4J'-
Рис 165. Фотография
членов серии Лайма]
но]
1ЕКТРОСКОПИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОН,
347
рассчитывая па то, что вследствие различия в величине постоян-
постоянной Ридберга линии тяжелого водорода должны быть смещены
относительно легкого. Это и подтвердилось на
самом деле. На рис. 165 приведены фотогра- ИВЯИвЙЯ
фии первых четырех членов серии Лаймаиа ^^^^^^^S
для смеси легкого (Н1) и тяжелого (Н2) водо- ^^^^^^Я
рода. Смещение линий видно вполне отчет- ^^Э^^^ЙЯ
ливо. Соответствующие длины волн приведены
в таблице XIV, где линии тяжелого водорода
обозначены через Ad (тяжелый водород полу-
получил особое название — дейтерий, и ему при-
присвоен химический символ D). В двух послед-
последних столбцах таблицы приведены разности ДА,
измеренные и вычисленные при помощи значе-
значений постоянной Ридберга для Н и D. Совпаде-
Совпадение вычисленных и наблюденных значений ДА
и здесь превосходно.
Рис. 166 представляет фотографию первой
линии (Ha) серии Бальмера легкого и тяже-
тяжелого водорода.
Тяжелый водород — дейтерий — не только
интересен как заместитель легкого водорода
в различных соединениях, но весьма важен по
своим применениям в ядерной физике, где
ядро дейтерия—дейтерон — является одним из наиболее удоб-
удобных «снарядов», применяемых для расщепления ядер.
Таблица XIV
Рис. 166. Сравнс
Я0 (а А)
1215,664
1035,718
972,533
*н (¦ А)
! 215,334
1025,439
972,269
0,330
0 279
0,264
0,330
0 279
0,266
§ 110. О спектроскопическом определении
удельного заряда электрона
В § 39 уже упоминалось о том, что из спектроскопических
данных можно определить удельный заряд электрона. Покажем
теперь, как это делается.
Напишем выражения постоянной Ридберга для каких-нибудь
двух атомов, например для водорода (Н):

348 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. VIII \ §]П]
и дейтерия (D):
A10.2)
i и Мп — массы атомных ядер. Из A10.1) и A10.2) полу-
Ян Щ ' MD + т '
A10.3)
тассы ядер тп п jy,h, Ea^,114,,v „ ,._, t^^-j-^,
через атомные массы Н и D и массу электрона следующим об-
образом:
,. Н ,, D
(N — постоянная Авогадро).
Заряд Фарадея F есть произведение заряда электрона на по-
постоянную Авогадро
F = Ne. A10.4)
Из A03-3) и A03.4) получаем
F FRH(MD-Mfi) ___
fiH) (A1D + т) Л
Принимая во внимание, что произведение Ntn («атомный вес»
электрона) — величина малая по сравнению с Н и D,
JVm = 6,022- 10аз-9,108- 10~28 = 5,48> 1(Г\
мы можем с достаточной точность]0 воспользоваться для вычис-
вычисления е/т вместо A10.5) следующей формулой;
_f „ Дн D - н
т Г («В-ЛП)Н D
Если подставить сюда точные значения констант, то на основа-
основании последних измерений спектров Н и D получается
¦?-« 1,7589- Ю7 СГСМ*г-[.
Как видно, наиболее точные значения ejm, полученные из
опытов с отклонением электронов в электромагнитных полях,
близки к этому спектроскопическому значению е/т.
Ь!
ДИАГРАММЫ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ
§111. Диаграммы уровней энергия
Подводя итоги сказанному в предыдущих параграфах, мы
видим, что наиболее существенным результатом анализа спектра
является установление системы термов. Действительно, комби-
комбинируя термы попарно, мы прямо получаем волновые числа спек-
спектральных линий; умножая чисда, выражающие термы в or1,
на he, мы получаем положительные значения энергии атома

350 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА |ГЛ. VIII
в различных квантованных состояниях, Эти величины энергии,
будучи выражены в электрон-вольтах, дают ионизационные по-
потенциалы атома в различных состояниях, а разности их— потен-
потенциалы возбуждения.
Для того чтобы быстро обозреть всю совокупность сведений
об атоме, которые мы, таким образом, получаем, удобнее всего
пользоваться диаграммами уровней энергии. Простейшая из та-
таких диаграмм для атома водорода приведена на рис, 167. Здесь
горизонтальными прямыми отмечены различные энергетические
состояния. Для построения их, согласно сказанному, достаточно
отложить по оси ординат значения Rjk2. По мере увеличения к
расстояние между последовательными уровнями уменьшается и
в пределе обращается в нуль, Выше места слияния располо-
расположена сплошная область неквантованных положительных энер-
энергий. Справа и слева помещены шкалы энергий и термов. Отсчет
по той и другой шкале делается от места слияния уровней, но
так как для квантованных состояний энергии отрицательны, а
термы положительны, то энергия убывает снизу вверх, а термы
(равные работе ионизации) возрастают в том же направлении.
На той же диаграмме стрелками показаны возможные переходы
между уровнями и отмечены образующиеся при этом серии.
Каждая серия возникает при перекоде на нижний уровень со
всех вышележащих уровней. Волновые числа спектральных ли-
линий можно отсчитывать при помощи правой шкалы как разно-
разности термов, соответствующих конечному и начальному состоя-
состояниям.
§ 112. Граничный сплошной спектр атомного водорода
Во всяком сериальном спектре к границе серии, т. е. к месту
слияния линий, всегда примыкает сплошной спектр, простираю-
простирающийся в сторону коротких волн. Этот сплошной спектр можно
наблюдать как в эмиссии, так и в абсорбции. Возникновение
его связано с переходами электронов из состояний с положи-
положительной энергией в состояния с отрицательной энергией или
наоборот. Как мы уже знаем, во всех квантованных состояниях
электрон обладает -отрицательной энергией, Отрицательный
знак здесь обусловлен произвольностью выбора состояния с ну-
нулевой потенциальной энергией. Обычно потенциальная энергия,
равная нулю, приписывается электрону, который покоится на
бесконечно большом расстоянии от ядра. Поэтому отрицатель-
отрицательный знак полной энергии указывает просто на то, что энергия
электрона в таких состояниях меньше его энергии в том случае,
когда он отделен от атома и покоится на бесконечно большом
расстоянии, т. е. на то, что мы имеем дело со связанным элек-
§ 112] ГРЛННЧНЫП СПЛОШНОЙ СПЕКТР АТОМНОГО ВОДОРОДА 351
троном *), Отсюда следует, что положительной энергией должен
обладать электрон, отделенный от атома и имеющий избыток
кинетической энергии над потенциальной. По классической ме-
механике такой электрон должен обращаться около ядра по гипер-
гиперболической орбите (рис. 168). Однако первый постулат Бора
требует, чтобы при обращении по этой орбите электрон не излу-
излучал; излучение же может происходить только тогда, когда он
перескакивает с этой гиперболической орбиты на замкнутую
(например, круговую). С другой
стороны, согласно общим принци-
принципам теории квантов (см. следующий
параграф) квантованию подлежат
только периодические или условно-
периодические движения, вслед-
вследствие чего электроны, обращающие-
обращающиеся по гиперболическим орбитам, мо- /
гут обладать любыми, непрерывно
распределенными запасами энергии. \
Этим и объясняется сплошной ха-
характер спектра.
Действительно, волновое число,
отвечающее переходу из квантован-
квантованного состояния в состояние с энер- Рис- 168-
гией, равной нулю, будет Rjm2 (гра-
(граница серии), а волновое число, соответствующее переходу из
квантованного состояния в состояние с положительной энер-
энергией Д?, будет
R . А?
т2 ^ 2дЙй '
Так как ДЕ > 0 и изменяется непрерывно, то у будет больше
волнового числа границы серии и будет изменяться непрерывно,
- т. е. мы получим сплошной спектр, примыкающий к границе
'серии со стороны коротких волн. Очевидно, далее, что сплошной
_ спектр поглощения указывает на процессы отделения электрона
от атома с конечной кинетической энергией, т. е. на ионизацию,
а -сплошной спектр испускания — на обратный процесс, т. е, на
- рекомбинацию положительного иона и электрона. Наконец,
энергия, соответствующая волновому числу начала сплошного
' спектра со стороны длинных волн, или, что то же, волновому
числу границы серии, должна быть равна энергии ионизации,
т. е. энергии, необходимой для отделения электрона от атома
0,5-10
энергн

352 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА 1гЛ V1H
и перевода его в состояние с нулевой кинетической энергией. Та-
Таким образом, волновое число границы серий Лаймана для во-
восразу дает энергию ионизации водородного атома в основном,
наиболее устойчивом состоянии. Если перевести указанное вол-
волновое число в электрон -вольты, то получается 13,527 эв в согла-
согласии с непосредственно измеренной при помощи методов, разе
бранных в главе VII, работой ионизации водородного атома из
нормального состояния 13,54 эв.
§ 113. Квантование водородоподобного атома
по Бору — Зоммерфельду
В предыдущих параграфах мы рассмотрели большое число
следствий теории Бора, обеспечивших последней исключитель-
исключительный успех. Зомыерфельд сделал дальнейший шаг в развитии
теории. В то время как в первоначальной теории Бора рассма-
рассматривались только круговые орбиты, Зоммсрфельд использовал
общее решение кеплеровой задачи в классической механике, т.е.
учел также и эллиптические орбиты Для этого понадобилось
прежде всего расширение правила квантования, формулирован-
формулированного в § 106. Действительно, пока мы 'рассматриваем только
круговое движение электрона, нам достаточно правила кванто-
квантования для одной степени свободы. Если же мы хотим учесть
также и эллиптические орбиты, нам нужны правила квантова-
квантования для системы с двумя степенями свободы, так как положение
электрона на орбите в этом случае определяется двумя пара-
параметрами: радиусом-вектором.*' и полярным углом (азимутом) <р.
Наконец, если мы хотим принять во внимание пространствен-
пространственную ориентацию орбиты, электрону следует приписать все три
степени свободы.
Таким образом, первая задача, которую необходимо было
решить, состояла в отыскании правил квантования для систем
со многими степенями свободы. Эту задачу Зоммерфельд и,
независимо от него, Г. А. Вильсон решили для довольно общего
случая систем—так называемых условно-периодических систем.
Простым примером подобной системы может служить так
называемый анизотропный осциллятор. Представим себе час-
частицу с массой т, которая движется на плоскости так, что ее
проекции на две взаимно перпендикулярные оси координат со-
совершают простые гармонические колебания с различными час-
частотами vK и vv. Тогда уравнения движения частицы будут
§ Ш] КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА
откуда
х = й[ cos Bnvxt -f б,), г/ = % cos Bnv^ + б2),
и частоты будут
Если бы обе константы квазиупругой силы /] и f2 были
равны между собой, то и частоты vx и vy были бы одинаковы,
и мы имели бы обыкновенный изотропный осциллятор. Мы
предполагаем, однако, что Д Ф /г: в этом случае осциллятор на-
называется анизотропным. Наиболее общее движение такого ос-
осциллятора получается тогда, когда vx и vy несоизмеримы. При
этом условии частица описывает сложную кривую (фигура
Лиссажу), состоящую из
многих петель (рис. 169)
и обладающую интерес-
интересным свойством: кривая
эта нигде не замыкается;
она заполняет прямо-
прямоугольник а,а2 с равномер-
равномерной плотностью, так что
движущаяся точка может
подойти бесконечно близ-
близко к любой точке, лежа-
лежащей енутри этого прямо-
прямоугольника. Наоборот,
если V* И v9 Соизмеримы, Рис- 169' ПР™еР У^ОБ„о-периодичес*о-о
то получается чисто пе- движения,
риодическое движение; например, при vx = vy частица либо со-
совершает колебания по прямой, либо описывает круг или эл-
эллипс. При каком-нибудь другом рациональном отношении частот
получается, вообще говоря, сложная, однако обязательно замк-
замкнутая кривая; выйдя из определенной точки и описав более
или менее сложную траекторию, частица вновь вернется в эту
точку, и движение начнет повторяться. Во всех таких случаях
мы имеем дело в сущности не с двумя основными частотами
vx и Vy, а только с одной, так как вследствие рациональности от-
отношения vxfr'y вторую частоту можно выразить через перв\ю.
Отсюда ясно, что чисто периодическое движение есть частный
случай условно-периодического и притом особенный сл\ чай:
вместо двух собственных частот, которыми должна характери-
характеризоваться система с двумя степенями свободы, мы имеем здесь
дело с одной частотой, и траектория не заполняет с равномер-
равномерной плотностью весь прямоугольник. Обычно юворят, что чисто

354 СПЕКТРАЛЬН!
1РГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ '
периодическое движение является случаем вырождения услов-
условно-периодического.
В рассмотренном простейшем случае условно-периодическое
движение сводится к двум простым гармоническим колеба-
колебаниям. Поэтому правило квантования A06.7) можно теперь при-
применить к каждому из этих колебаний и потребовать, чтобы
ф рх их = nxh, <b pydy = tiyh,
где пх и пу — целые числа 1,2,3, ...
Оказывается, что во многих случаях систем с несколькими
степенями свободы можно найти такие обобщенные координаты
Я и Цг, .-., <//• в которых, как и в рассмотренном примере ани-
анизотропного осциллятора, движение «разделяется» на f гармони-
гармонических колебаний; в этих случаях найденное нами в § 106 пра-
правило квантования можно применить к каждой степени свободы.
Мы получим при Этом / квантовых условий:
nfft. A13.1)
Целые числа щ, п2, ..., щ называются квантовыми чис-
числами.
Обратимся теперь к водородоподобному атому. По схеме
теории Бора необходимо сначала решить в рамках классиче
ской механики задачу о движении электрона в кулоновском
поле ядра. Это решение полностью выполнено нами в § 51, где
были найдены следующие соотношения:
E1.19)
E1.18)
Из этого непрерывного многообразия значений энергии следует
отобрать при помощи квантовых условий дискретный ряд.
Так как при рассмотрении орбитального движения элект-
электрона мы должны приписать ему две степени свободы, соответ-
соответствующие двум независимым координатам г и ф, то необходимо
ствущ ду
применить два квантовых условия:
J рг йт = nrh; cjj Plf dtp
A13.2)
Обобщенные импульсы рг и рФ на основании § 57 таковы:
2
Принимая во внимание, что по закону сохранения
количества движения ру = /п/ф= const, мы полу
момента
чаем из
& 113} КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДОПОДО!
второго условия A13.2)
Лр = «<г1г = "<Л A!3-3)
Применение первого квантового условия A13.2) требует до-
довольно сложных вычислений, которые мы здесь опустим. В ре-
результате этих вычислений получается следующее выражение-
для эксцентриситета орбиты е через квантовые числа пт и лФ:
I-.'-, f ,,.
G1, + Пф*
Сумма обоих квантовых чисел пг и пф называется главным
квантовым числом. Обозначив его через п, имеем
Подставляя это в E1.18) и заменяя Р =
?<1 O^Jt2 •
A13.4)
через raq>S, получим
A13.5)
Мы видим, что, несмотря на применение двух квантовых ус-
условий, окончательный результат ничем не отличается от полу-
полученного в § 107 для случая круговых орбит: энергия зависит
от одного квантового числа п, называемого главным квантовым
числом; при этом п является суммой квантовых чисел пг и n,f.
Этот результат связан с тем, что эллиптическое движение элек-
электрона является вырожденным случаем условно-периодического
движения. В самом деле, невырожденное условно-периодическое
движение на плоскости должно происходить по незамыкаю-
щейся фигуре Лиссажу, тогда как обращение по эллипсу есть
движение чисто периодическое. Мы сейчас увидим, что резуль-
результат, выражаемый формулой A13.5), означает, что для каждого
значения главного квантового числа п имеется п совпадающих
по величине уровней энергии.
Для того чтобы убедиться в этом, покажем, что каждому
значению п соответствует п различных орбит с одной и той же
большой полуосью. Действительно, выражение для большой по-
полуоси орбиты мы получим из формулы E1.19). Вставляя в нее
квантованные значения энергия A13.5), имеем

3 56 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УР0В1
АТОМА ВОДОРОДА [IV
или, воспользовавшись введенным в § 107 сокращенным обо-
обозначением для «боровского радиуса» аг [формула A07.4)],
а = п2^- (п=\, 2, 3, ...).
A13.7)
Итак, величина большой полуоси в различных квантовых со-
состояниях пропорциональна квадрату главного квантового числа.
Для вычисления малой полуоси Ь возьмем известную фор-
формулу аналитической геометрии Ь = а У \ — е2 и вставим в нее
уже найденные квантовые значения а и }/1 —е2 из (Ц3.4)
и A13.7);
Ь = пя^-Ц- = пп,9~. A13.8)
Сравнение A13.7} и A13.8) показывает, что большая полуось
зависит только от главного квантового числа, тогда как малая
полуось зависит как от главного, так и от аэимутальною кван-
квантового числа.
Рассмотрим теперь, какие значения может принимать азиму-
азимутальное квантовое число. При /гф = /г A13.8) переходит в
A13.7), и Орбита—круговая; при пф = 0 и Ь = 0 эллиптиче-
эллиптическая орбита вырождается в прямолинейную траекторию, по ко-
которой электрон должен был бы совершать маятникообразпые
движения. Такая орбита в теории Бора исключается по тем
соображениям, что при движении по ней электрон должен был
бы сталкиваться с ядром. Итак, наименьшее значение /ц есть 1,
наибольшее — п;
геф=1, 2, 3, ..., п. A13.9)
Отсюда следует, что каждому значению nt т. с. каждой боль-
большой полуоси отвечает п различных орбит с разной, величиной
эксцентриситета: от вытянутого эллипса до круга. Например,
"¦ — 1» а = ~, гсф= 1, Ь = -~ = а — круг,
= 2, а = 4-j-
Пу=\, Ь = 2-? эллипс,
л, = 2, й=4-^—круг,
пф=1, Ь= 3-^- —эллипс,
яф —: 2, 6=6-^- — эллипс,
\
КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АтОМА
рбиты для п = 1, 2, 3. Заметим, что
перигелии подходят к фокусу (ядру)
у
одно и то же знач
нергии. В этом и
р
ключается
На рис. 170 вычерчены
эллиптические орбиты
тем -ближе, чем меньше
Мы видим, таким образом, что для каждого значения глав-
главного квантового числа действительно существует п различных
орбит с одинаковой большой полуосью. Всем этим п орбитам
по формуле A13.5) соответствует одно и то же значение энергии
или, точнее, п равных значег"" "
вырождение. Если, однако,
появляется какое-либо воз-
возмущение, то орбиты дефор-
деформируются различным обра-
образом, и п уровней энергии,
которое раньше совпадали,
разделяются. Принято гово-
говорить, что возмущение сни-
снимает вырождение.
До сих пор мы интересо-
интересовались только движением
электрона в плоскости его
орбиты и в соответствии с
этим приписывали электро-
электрону две степени свободы. Од-
Однако положение электрона
в пространстве характери-
характеризуется тремя координатами. ' "J
Учитывая все три CTeneFiH Рис. [70. Орбиты электронов по Бору
свободы, мы приобретаем
возможность описывать не только движение электрона по его
орбите, но и пространственную ориентацию самой орбиты.
Положение электрона в пространстве характеризуется тремя
полярными координатами г, О и fy (рис. 171). Поэтому кванто-
квантовые условия в этом случае принимают вид
ф рг dr = nrh, (j) pfl fi(O = «flA; cp p^ dfy = n^h. A13.10)
Обобщенные импульсы pr, pfl, p^ вычисляются по общему пра-
правилу (§ 57): нужно написать выражение кинетической энергии
в полярных координатах г, О, т|>:
Ек = Т = -— (г2 + г2№ + r'sin2* ijJ)
и найти производные по обобщенным скоростям:
A3.И!)
/7ф =—~ = mr2 si
A13.12)

35а СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ. Vlir
Обратим теперь внимание на обобщенный импульс р^. Из
рис. 171 видно, что координата if характеризует движение про-
проекции электрона по экватору, а соответствующий ей обобщен-
обобщенный импульс р$ есть проекция полного момента количества
движения Р на ось г. Направление Этой оси физически может
быть задано, например, бесконечно малым магнитным полем,
совпадающим по направлению с осью z. Мы сейчас увидим,
что р^ сохраняет свое значение, р^ = const. С этой целью на-
напишем функцию Гамильтона, принимая во внимание выражение
кинетической энергии A13.11) и выражения обобщенных им-
импульсов A13.12):
Так как координата ф в это .выражение не входит, то она есть
циклическая координата. Поэтому соответствующий импульс
постоянен (§ 60), /),,,= ccmsl.
р р Ввиду этого квантовое усло-
условие ф p^ dty = nji дает:
P*a=n*4r = nJl- (!!ЗЛ4)
Мы видим, таким образом,
что проекции момента количе-
количества движения на направле-
направление поля имеют квантованные
значения. Это показывает, что
ориентация орбит ЛВ в про-
Рнс- 171- странстве не может быть
произвольной, но существует
дискретный ряд возможных ориентации. Действительно, вводя
вместо существенно положительного числа п^ равное ему по аб-
абсолютной величине число т, которое, однако, может иметь как
положительные, так и отрицательные значения, мы получим
cos о
S ИЗ] КВАНТОВАНИЕ ВОДОРОДОПОДОБНОГО АТОМА 359
Пусть, например, Р = 6/2я; тогда 1Ф = 1 и
cos а = т/пч = -f- 1, 0,-1.
Итак, при ге„ = 1 возможны только три различные ориента-
ориентации орбиты; прн гаф = 2 таких ориентации будет пять (т =
= +2, +1, 0, —1, —2), при nv — 3 —семь и вообще при лю-
любом «^ число возможных ориентации равно 2лф-|- 1.
Легко, однако, убедиться в том, что введенные нами два но-
новых квантовых числа — «экваториальное» пе и «широтное»
«^ — весьма просто связаны с азимутальным квантовым числом
Ну. Имеичо
"ф = «в + ГСф.
Действительно, в § 59 мы видели, что кинетическая энергия Т
может быть выражена следующим образом:
Обозначая кинетическую энергию через ?кяп и принимая во вни-
внимание, что ~р~ — ~д^ = Рк> получаем
Интегрируя это равенство по i в пределах периода, т. е. от 0 до
т, находим
2 J ?кин dt = J] J pk dqk = J] § Рь dqk. A13.15)
Если мы выберем в качестве координат qk полярные коорди-
координаты на плоскости (г и ф), то согласно A13.15)
2 J Е„К dt=§prdr+§p4 (ftp. A13.16)
о
В случае сферических полярных координат имеем
2 $ Emndt=$prdr+§pi(to
Приравнивая друг другу правые части, находим после сокра-
сокращения

360 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И УРОВНИ ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДА [ГЛ VIII
или, принимая во внимание квантовые условия A13.2),
= Лц, + ttfl.
A13.17)
Это показывает, что выражение для полной энергии электрона
A13.5) может быть переписано в виде
Следовательно, полная энергия при учете пространственной
ориентации орбиты так же, как и в случае плоской задачи, за-
висиг только от суммы всех квантовых чисел, но не от самих
квантовых чисел. Другими словами, вырождение на самом деле
более значительно, нежели это следовало из рассмотрения плос-
плоской задачи: не только все эллипсы с одинаковой большой по-
полуосью, но и все такие эллипсы, различным образом ориенти-
ориентированные в пространстве, в отсутствии внешнего магнитного
поля имеют одинаковую энергию.
Ввиду того, что при введении всех рассмотренных уточнений
(эллиптические орбиты, пространственная ориентация) ре-
результат получается тот же самый, что и в простейшем случае
круговых орбит, учет этих усложнений может показаться из-
излишним. В действительности это не так. При появлении внеш-
внешнего магнитного ноля устраняется вырождение и отношении
экваториального п^ (или магнитного т) квантового числа: раз-
различным образом ориентированные орбиты приобретают различ-
различную энергию. Последовательно проведенный расчет дает объяс-
объяснение простого эффекта Зсемана. Далее, и сложных атомах, где
имеется несколько электронов, возмущение движения перифе-
периферического электрона остальными приводит к тому, что в выра-
выражении энергии атома появляется наряду с главным квантовым
числом, равным с\мме fir-f-«ir, также и азимутальное кванто-
квантовое число. Вследствие этого уровни энергии с'одним и гем же
главным квантовым числом и различными азимутальными, сов-
совпадающие в случае одиоэлектронпых атомов, разделяются. Это
дает возможность объяснить особенности спектров сложных
атомов, имеющих один валентный электрон (элементы первой
группы периодической системы Li, Na, Кит. д.). Мы, однако,
не будем здесь останавливаться на этом дальнейшем развитии
теории Бора, так как она, несмотря на ряд больших частных
успехов, сохранила теперь лишь историческое значение. Упомя-
Упомянутые же явления (спектры сложных атомов, эффект Зеемана)
получили иное объяснение в рамках значительно более широ-
широкого круга явлений. С этим объяснением мы познакомимся в
дальнейшем.
§ 114] ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 361
§ 114. Принцип соответствия
Вернемся теперь к вопросу, уже затронутому в § 106, имен-
именно, — к вопросу о взаимоотношении законов классической и
кнантовой физики. Как мы видели, неравенство нулю постоян-
постоянной Планка h ведет к тому, что механические величины, харак-
характеризующие системы атомных размеров (энергия, момент ко-
количества движения), вообще говоря, не могут изменяться не-
непрерывно, по принимают дискретный ряд значений, отбираемых
при помощи квантовых условий.
Равным образом и законы классической электродинамики
оказываются неприменимыми к атомным системам. В самом
деле, согласно законам классической электродинамики элек-
электрон, обращающийся по орбите, должен излучать электромаг-
электромагнитные волны. Это излучение влечет за собой потерю энергии,
вследствие чего электрон должен был бы постепенно прибли-
приближаться к ядру. Напротив, квантовые постулаты требуют, чтобы
излучение происходило только при переходе с одной стационар-
стационарной орбиты на другую. Тзким образом, в классической картине
электрон непрерывно падает к ядру по спиральной орбите, все
время излучая, тогда как в квантовой картине он спускается
по ступеням конечной величины, излучая только при «переско-
«перескоках».
Существуют, однако, условия, при которых обе картины
должны дать совпадающие результаты. Представим себе, что
расстояния между последовательными уровнями малы по срап-
нению с высотой самих уровней. Тогда «ступеньки», по кото-
которым происходит спуск, будут очень мелкими, и спуск по ним
мало отличается от непрерывного скольжения вниз. Такой
именно случай имеет место при больших квантовых числах.
В самом дело, рассмотрим, например бальмеровские уровни
энергии:
Так как энергия отрицательна, то с увеличением п она воз-
возрастает. Далее из A00.5), для случая п ^> 1, находим
АЕ = fflzv Art
Из этого следует, что, при достаточно больших значениях п, со-
соседние уровни (Лл = I) расположены тесно и притом тем тес-
теснее, чем больше п. Если п очень велико, то мы будем иметь
дело с практически непрерывной последовательностью уровней,
и характерная особенность квантовых процессов — дискрет-
дискретность— должна совершенно сгладиться.

362 СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИИ И i
1 ЭНЕРГИЙ АТОМА ВОДОРОДЛ |ГЛ '
Мы сейчас увидим, что результаты, полученные нами в пре-
предыдущих параграфах, вполне удовлетворяют этому требова-
требованию. Начнем с водородоподобного атома и покажем, что для
больших квантовых чисел частоты излучения, вычисленные по
классическим и по квантовым законам, между собой совпа-
совпадают. Для этого мы воспользуемся формулами § 107. Комби-
Комби*)
дт Д
нируя формулы *)
A07.2)
A07.3)
Эта формула дает частоту обращения электрона по п-й ста-
стационарной орбите. Согласно классической электродинамике та-
такой же должна быть и частота испускаемого электромагнитного
излучения. Мы имеем поэтому
A14.1)
Эту формулу мы запишем в более компактном виде, восполь-
воспользовавшись выражением постоянной Ридберга-.
R = -^C-cm'1. A07.7)
Формулу (П4.1) можно теперь легко привести к виду
A14.2)
Квантовая частота при переходе п -> k, как известно, вычис-
вычисляется по формуле Бальмера и равна
^) A14.3)
(-^--^) сек-1
(множитель с появился потому, что мы вычисляем истинную
частоту в сек-1, тогда как R обычно выражается в слг1).
Для сравнения со A14-1) удобнее привести A14.3) к сле-
следующему виду:
= RcZ2-
= RcZ2 i
A14.4)
5 Hfl ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 363
Как мы видим, выражения (II4.2) и A14.3) ДЛЯ ч'кя и v*B
резко различаются. Положим, однако, что о — большое число:
л»1 A14.6)
и пусть, кроме того, п — k= 1; тогда вследствие A14.5) k =
= п-\- 1 ж п. При этом условии A14.4) принимает вид
Сравнивая A14.6) со A14.2), мы видим, что если квантовые
числа велики, то для переходов между соседними квантовыми
состояниями
Если при переходе главное квантовое число изменяется не
на 1, а на 2, 3, ... и вообще на Д/г, при условии, что An <g. n,
то
ч"ка = -^^-Ап = \1лАп (Дл=-2, 3, ...),
т. е. испускаемые при таких переходах частоты 2м*л, 3v^, ...
будут совпадать с первым, вторым или более высокими оберто-
обертонами классической частоты. Для малых квантовых чисел такого
совпадения не имеется, но существует соответствие, так что
каждому классическому обертону ляожно привести в соответ-
соответствие определенную квантовую частоту.
Соотношение между классическими и квантовыми законами
в очень отчетливой форме можно выяснить еще следующим об-
образом. Пусть мы имеем систему с одной степенью свободы.
Частота излучения, испускаемого этой системой, по квантовым
законам вычисляется при помощи условия частот Еп — Ek ss
в АЕ = hv
vKB = AEIh. A14.8)
Стационарные же состояния с энергиями Ek и Еп находятся
при помощи квантового условия ср pdq = nh. Обозначив через
1 интеграл ср р dq, имеющий размерность действия, имеем
/ ~ nh. Для двух стационарных состояний мы получим
/ft — /,ei/=(t- n)k.
Если п — k = 1, т. е. если рассматриваются соседние состояния,
то Д/ = h. Подставляя это в A14.8), получим

СПЕКТРАЛЬНЫЕ (
ЮДОРОДА [ГЛ. V
Для вычисления соответствующего выражения классической
частоты мы возьмем случай линейного гармонического осцил-
осциллятора. Энергия осциллятора равна ?=-^|--j-t/=-?-+[/,
откуда p~Y2m(E—U). Интеграл действия в таком случае
будет
/ = (j) р их = (j) Y2m(E— U) dx.
Рассматривая энергию Е как непрерывно изменяющийся пара-
параметр, найдем производную
_ d* = * — d* = ф — = q
где Т— период колебания. Отсюда получается следующее за-
замечательное выражение для классической частоты:
v'j] = l/r=d?/d/. A14.10)
.Можно показать, что соотношение A14.10) должно иметь
место для любых периодических систем с одной степенью сво-
свободы. Но так как это общее доказательство требует.использо-
требует.использования аппарата, знакомство с которым не предполагается у
читателя, то мы ограничимся подтверждением его на частных
примерах, приведенных в упражнениях к этому параграфу.
Сравнивая A14.9) и A14.10), мы приходим к следующему
результату. И по классической, и по квантовой теории частота
может быть вычислена как
отношение приращения
энергии к приращению дей-
действия, но, в то время как
в первом случае мы берем
бесконечно малые прираще-
приращения, во втором мы должны
брать конечные разности.
Рис. 172 хорошо иллю-
иллюстрирует это. Сплошная кри-
кривая на этом рисунке пред-
ставляет энергию как функ-
функцию интеграла действия /.
точки этой кри
р
Квантовые состояния изображают только те точки этой кри-
кривой, которые отвечают целочисленным значениям действия
/=1/1, 2А, ЗА. Очевидно, что квантовая частота AE/AI будет
равна тангенсу угла наклона секущей, соединяющей-две точ-
точки, соответствующие квантовым состояниям, классическая же
частота равна тангенсу угла наклона касательной, так как
v^ = dE/dl.
При этом в области больших квантовых чисел, где разница
между наклоном касательных и секущих исчезает, vKn = Vkb.
То же самое хорошо иллюстрируется приводимой ниже таб-
таблицей XV, где указаны классические частоты обращения для
Табл
XV
Начальное
И = 2
я = [
состояв
0,82
3,04
4,21
6,38
5,23
1015
10ls
10"
103
107
2,47-
4,02-
7,71 -
4,18-
6,48-
5,25-
та.
„V.
1012
ю12
10"
юэ
10'
6,58-
5.26-
9 02-
4,76-
6,58-
5,26.
КГ™
о13
7'
двух соседних целых значений п, вычисленные с помощью фор-
формулы A14.2), и соответствующие квантовые частоты, вычислен-
вычисленные по формуле A14.3). Видно, что квантовые частоты для
малых п не совпадают с классическими, но лежат между ними.
Однако разница между классическими и квантовыми частотами
уменьшается по мере возрастания п, и для достаточно больших
п становится ничтожно малой.
Полученный результат можно суммировать еще иначе. Из
той общей формулировки, которую мы дали квантовым усло-
условиям в § 106, следует, что основная причина прерывности ме-
механических величин для очень малых систем заключается в
«атомизме» действия: существует наименьшая величина дейст-
действия, равная постоянной Планка h = 2яй = 6,62-10~27 эрг-сек;
она-то и является как бы «атомом» действия. Если размеры си-
системы и массы частиц таковы, что действие для такой системы
сравнимо с А, то квантовый характер явлений сказывается в пол-
полной мере; если же действие настолько велико, что можно поло-
положить А = 0, то прерывность становится незаметной, и должны
удовлетворяться законы классической механики.
Этот результат является частным случаем общего принципа,
играющего важную роль в современной теоретической фи-
физике— принципа соответствия. Так, например, формулы меха-
механики специальной теории относительности автоматически пере-
переходят в формулы ньютоновой механики при v <?; с, т. е.
если скорости настолько малы, что можно положить ст* °°.

i СПЕКТРАЯЬН!
Е СЕРИИ И УРОВНИ
РГИИ АТОМД ВОДОРОДА [ГЛ '
Принцип соответствия требует, вообще, чтобы всякая некласси-
неклассическая теория в соответствующем предельном случае переходила
в классическую.
ротатора, т. е. для частицы, обращающейся по кругу около неподвижного
~2ЁА, еде А ~ момент инерции).
пр
2. Пользуясь формулой A00.5) для энергии водородоподобного атома
полагая, что / меняет
ческую частоту обращ
й образом
лить при помощи A14.10)
я-й орбиты и показать, что
со A14.2).
§ 115. Кризис теория Бора
Теория Бора, с которой мы ознакомились в этой главе, была
весьма крупным шагом в развитии-теории строения атома. Она
с полной отчетливостью показала неприменимость классиче-
классической физики к внутриатомным явлениям, с одной стороны, и
первенствующее значение квантовых законов в микроскопиче-
микроскопических системах — с другой. Она послужила толчком к большому
числу экспериментальных работ, принесших ряд важных резуль-
результатов; но особенно велико было ее эвристическое значение:
даже в тех случаях, когда теория не могла дать количествен-
количественного объяснения той или другой группе явлений, она давала
руководящую нить для отчетливой их классификации и каче-
качественной интерпретации. Таким путем, например, огромный
эмпирический материал спектроскопии — атомной и молекуляр-
молекулярной — трудами ряда исследователей, среди которых большое
значение имеют работы русского ученого, академика Д. С. Рож-
Рождественского и учеников его школы, был впервые приведен а
стройную и ясную систему.
Наряду с этими и многими другими положительными сторо-
сторонами теория обладала существенными недостатками, которые
были ясны с самого начала. К числу их относится прежде всего
внутренняя логическая противоречивость теории. В самом деле,
теория Бора не была ни последовательно классической, ни по-
последовательно квантовой теорией. По шутливому выражению
У. Г. Брэгга, в этой теории мы как бы должны были по поне-
понедельникам, средам и пятницам пользоваться классическими за-
законами, а по вторникам, четвергам и субботам — квантовыми!
Не удивительно, что после первых успехов теории все яснее
н яснее давали себя знать ее недочеты. Прежде есЕго, даже в
простейшем случае водородоподобпых атомов теория Бора по-
5 1I5] КРИЗИС ТЕОРИИ БОРА 367
зволяла вычислять только частоты спектральных линий, но не
их интенсивности. Для вычисления интенсивпостей приходилось
пользоваться принципом соответствия, распространяя его также
и на малые квантовые числа и, в конечном счете, производя
вычисления но классической электродинамике.
Особенно тягостной была неудача всех попыток построения
теории нейтрального атома гелия — одного из простейших ато-
атомов периодической системы, непосредственно следующего за
атомом водорода и состоящего из трех частиц—ядра и двух
электронов. Хотя задача о трех телах в рамках классической
механики не может быть решена точно, — в небесной механике
были уже давно разработаны превосходные приближенные ме-
методы, которые могли бы дать результаты с точностью, вполне
достаточной для сравнения с экспериментом. Несмотря па это,
многочисленные попытки построения теории атома гелия по-
потерпели полное крушение.
В настоящее время, после открытия своеобразных волновых
свойств вещества, о которых речь будет в главе X, совершенно
ясно, что теория Бора, опирающаяся на классическую меха-
механику, могла быть только переходным этапом к созданию после-
последовательной теории атомных явлений.

ГЛАВА IX
СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
§ 116. Флуктуации светового поля
До сих пор мы интересовались проявлениями своеобразных
квантовых законов в движениях микроскопических частиц. Мы
установили, в частности, что процесс испускания света атомом
происходит прерывным образом при переходах между различ-
различными Стационарными состояниями, но вопрос о природе самой
лучистой энергии мы пока оставляли в стороне. Однако уже в
1905 г. Эйнштейн указал на то, что существует большое количе-
количество экспериментальных фактов и серьезных теоретических со-
соображений, которые неизбежно приводят к представлению^ о
прерывной природе самого излучения. Мы начнем с изложения
теоретических соображений Эйнштейна. Эти соображения осно-
основаны на рассмотрении случайных колебаний (флуктуации)
плотности излучения.
Рассмотрим сначала материальный газ, помещенный в замк-
замкнутый резервуар объема V. Выделим теперь какую-нибудь часть
объема -v < V и будем мысленно следить в различные моменты
за числом молекул газа, находящихся внутри V. С молекулярпо-
статистической точки зрения это число отнюдь не будет строго
постоянным, но будет испытывать колебания. Пусть среднее
число частиц в объеме v будет п. Если этот объем достаточно
велик и газ находится при нормальном давлении, то мгновенные
отклонения от этого среднего числа п будут относительно на-
настолько малы, что ими, вообще говоря, можно пренебречь.
Станей теперь уменьшать объем v. Если мы в конце кешюв
представим себе, что этот объем настолько мал, что в нем
помещается лишь небольшое число частиц (скажем, в сред-
среднем 10), то случайные отклонения от среднего сделаются уже
вполне заметными. Такие случайные отклонения и называются
флуктуациями. Изучение их является одной из интереснейших и
важнейших глав современной статистической физики.
Смолуховский, который много занимался изучением флук-
флуктуации, рассматривал, например, следующую задачу: какова
вероятность того, что все молекулы газа, находящиеся в объеме
V, соберутся в части v этою объема? Ответ на Этот вопрос дать
§ "б] ФЛУКТУАЦИИ СВЕТОВОГО ПОЛЯ 369
нетрудно*). Если бы в объеме V находилась только одна мо-
молекула, то вероятность найти ее в части о будет, очевидно, про-
пропорциональна v и равна
Щ = -у-- A16.1)
Действительно, если v = V, то wi = 1, что и должно быть, так
как нахождение молекулы во всем объеме V есть событие до-
достоверное. Пусть, однако, в объеме V находится п независимых
молекул. Вероятность найти одну молекулу- в части объема v
выражается формулой A16.1); вероятность найти п независи-
независимых молекул в одной и той же части объема, по теореме умно-
умножения вероятностей, будет
«*« = (?)"• A16.2)
Из этой формулы видно, что если, например, v = У2 V, то при
сколько-нибудь больших значениях п вероятность ш„, равная
будет ничтожно мала.
Эйнштейн рассмотрел аналогичную задачу для случая из-
излучения. Пусть мы имеем замкнутый объем V, наполненный чер-
черным излучением при температуре Т. Энергия излучения с часто-
частотами между v и v + dv, заключенная внутри этого объема, равна
E^V()vdv,
где pv — спектральная плотность излучения. Задача заклю-
заключается в вычислении вероятности того, что вся эта энергия скон-
сконцентрируется в части объема v. Пользуясь статистической тер-
термодинамикой и формулой Вина для плотности излучения (спра-
(справедливой для высоких частот)
Эйнштейн нашел, что искомая вероятность равна
Сравнивая этот результат с формулой A16.2), мы видим, что
излучение с достаточно короткими длинами волн ведет себя
так, как если бы оно состояло из п — E/hv независимых кор-
корпускул !
Эйнштейн рассмотрел, далее, и вопрос о флуктуациях
плотности излучения. Предположим сначала, что излучение
действительно состоит из отдельных «атомов» величины /iv, ко-
которые мы будем называть фотонами. В таком случае плот-
плотность излучения будет равна числу фотонов в единице объема,
*) См. приложение IV в конце книги.

370 ' СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ [ГЛ. IX
умноженному на ftv. Но число фотонов в некотором выбранном
объеме, как и число молекул, должно испытывать случайные ко-
колебания, флуктуации. Установим сначала меру этих флуктуации.
Если п есть среднее число частиц в объеме у, то число частиц
tih, находящихся в данный момент в этом объеме, б>дет, вообще
говоря, отлично от п: в одних случаях оно будет больше п, в,
других — меньше. Отклонение от среднего
будет поэтому то положительным, то отрицательным и будет,
кроме того, иметь различные абсолютные значения. Однако
среднее значение Дга не может служить мерой флуктуации, так
как оно, очевидно, равно нулю
Дга = (пк — п) = п — п = 0.
Поэтому в качестве меры отклонения удобнее пользоваться
квадратом (ль — йK, который всегда положителен. Среднее
значение квадрата отклонения
является мерой «разброса» отдельных значений пь, их Отступ-
Отступления от среднего; е2 поэтому называется квадратичной флук-
флуктуацией или дисперсией. Отклонения от среднего можно харак-
характеризовать также квадратным корнем из е2, взятым со знаком
плюс: ,___^__
а = Vtf = V(nk — nf,
который физики называют средней квадратичной ошибкой, а
математики — стандартом. Все эти определения применимы, ко-
конечно, не только к случаю отклонений числа частиц, но и к
любым случайным флуктуапиям.
В математической статистике доказывается простой закон,
имеющий место для любых случайных отклонений и состоящий
в следующем: если среднее значение случайно изменяющейся
величины есть п, то и квадратичная флуктуация еа также равна
п *), а потому среднее квадратичное отклонение о = Уб3 =
= Vh . Смысл этого знакона станет ясным из численных приме-
примеров. Пусть п есть по-прежнему среднее число частиц. Если
п = 100, тогда ё2 также равно 100, a Ve2 = 10 или, иначе, ко-
колебания числа частиц в среднем составляют 10% их числа;
еслиже Н-= 10tfl, to<j = Vi^ = 105 или Ю %п, а при<г= 10м
VW=lQioi или 1080/0rt.
S 1F1 ФЛУКТУАЦИИ СВЕТОВОГО ПОЛЯ 371
Если пас интересуют колебания энергии, то, допуская, что
энер!ия состоит из независимых атомов величины h\, имеем
Е = hhv, а потому
Флуктуации энергии возможны, однако, и в том случае, если
излучение имеет чисто волновую природу. В самом деле, в
этом случае мы считаем, что полость V бороздят во всех на-
направлениях электромагнитные волны. Среди них имеются вол-
волны, близкие по направлению и по частоте, которые между со-
собою интерферируют. Так как, однако, направления и фазы этих
волн случайным образом меняются, то беспорядочно меняется и
результат этих интерференции; распределение максимумов и
минимумов в пространстве и во времени не остается постоян-
постоянным. Именно поэтому мы и называем такие волны иекогерент-
ными. Макроскопические приборы, которыми мы пользуемся,
усредняют эту непрерывно меняющуюся интерференционную
картину и обнаруживают кажущееся отсутствие интерференции.
Однако с микроскопической точки зрения мы имеем в этом слу-
случае типичные флуктуации энергии.
Амплитуда в данном месте, возникающая в результате ин-
интерференции воли с амплитудами а, и а2, колеблется от макси-
максимального значения а, + а^ до минимального at — gj. Соответ-
Соответственно, энергия медяется от (о, + азJ до (а, — а^J, проходя
через промежуточные значения, в зависимости от разности фаз;
в среднем же она равна а2+ а\. Поскольку среднее значение
энергии пропорционально квадрату амплитуды, квадратичная
флуктуация энергии будет пропорциональна четвертой степени
амплитуды, т. е. квадрату энергии. Точное вычисление *) дает
для в2 следующую формулу:
&= bnJydv~E2. A16.4)
Статистическая термодинамика позволяет найти выражения
для квадратичной флуктуации энергии без помощи наглядных
картин, которыми мы пользовались до сих пор. Именно, на
основании самых общих положений физической статистики
(распределение Гиббса), для квадратичной флуктуации энергии
получается следующая формула **):
Р = ЙГ2-^. A16.5)
*) Это вычисление довольно сложно, ввиду чего i
> Интересующиеся могут найти его в книге; Г. Д. Л о
теории в термодинамике, ОНТИ, 1935, стр. 119.

Но тэк как Е = Vpvdv, то в зависимости от того, какой из
формул для плотности энергии воспользоваться при вычисле-
вычислении,— получаются и разные результаты.
Мы знаем, что в области высоких частот хорошо оправды-
оправдывается формула Вина:
наоборот, в области низких частот применима формула Рэ-
лея — Джинса:
которая для достаточно длинных волн дает результаты, хорошо
совпадающие с экспериментальными; наконец, формула Планка
дает правильные результаты во всем спектре.
Вычислим теперь е2 с помощью формулы A16.5), пользуясь
последовательно всеми тремя написанными выше законами рас-
распределения энергии pydv.
Начнем с формулы Вина. В этом случае имеем
Подставляя в A16.5), получаем
e? = kv-E, A16.6)
т. е. формулу A16.3). Это показывает, что излучение, подчи-
подчиняющееся формуле Вина, действительно ведет себя как собра-
собрание «атомов излучения».
Рассмотрим теперь другой крайний случай: возьмем для
плотности излучения формулу Рэлея — Джинса. Имеем
A16.7)
Щ § 116] ФЛУКТУАЦИИ СВЕТОВОГО ПОЛЯ
Принимая во внимание, что в этом случае
E^VPvdv=V^kTdv,
легко привести A16.6) к виду
— результат, совпадающий с формулой A16.4), полученной на
основании представления о волновой природе излучения.
Мы видим, таким образом, что статистика приводит к сле-
следующему своеобразному выводу: в области коротких волн (об-
(область применимости закона Вина) излучение должно вести себя
как собрание частиц, фотонов; в области длинных волн, где
имеет место формула Рэлея — Джинса, оно должно вести себя
как волны. Однако оба использованных нами закона излуче-
излучения являются предельными законами. Возьмем, наконец, фор-
формулу Планка, справедливую для любых длин волн, и вычислим
при ее помощи, пользуясь той же статистической формулой
A16.5), квадратичную флуктуацию. В этом случае
ink\s dv
Для вычисления
для краткости
Ё-V
2 нужно найти производную dE/dT. Обозначив
Легко убедиться прямым вычислением, что
,2ш .*=! + !*¦
Руководствуясь этими замечаниями, читатель без труда полу-
получит для е2 следующую формулу, состоящую из двух членов:
Первый член совпадает с формулой A16.6), т. е. соответствует
чисто корпускулярному представлению о природе света. Второй
член совпадает с формулой A16.8) и, следовательно, соответ-
соответствует чисто волновому представлению. Мы приходим, таким
образом, к поразительному выводу, что свет должен обладать
как бы двумя аспектами: корпускулярным и волновым. Первый

СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
проявляется с особенной отчетливостью
й
коротковолновой
р р
асти спектра, второй — в длинноволновой. Ни один из этих ас-
аспектов сам по себе не дает полной картины природы света;
только их сочетание позволяет полностью объяснить все его про-
проявления.
В настоящей главе нас будут интересовать исключительно
корпускулярные свойства света. Нам необходимо убедиться в
том, что существует большой круг явлений, которые наиболее
непосредственно объясняются, если рассматривать свет как по-
поток фотонов, Явления же, в которых проявляется волновой
.аспект прлроды света (интерференция, дифракция), достаточно
хорошо известны из классической оптики.
§ 117. Фотоэффект и уравнение Эйнштейна
К числу явлений, в которых обнаруживаются корпускуляр-
корпускулярные свойства света, принадлежит прежде всего освобождение
электронов под действием света — фотоэффект.
В 1888 г. Генрих Герц заметил, что проскакивание искры
"между цинковыми шариками разрядника значительно облег-
облегчается, если один из них осветить ультрафиолетовым светом.
Это явление было подробно изучено в классических работах
русского физика А. Г. Столетова, который разработал методику
исследования фотоэффекта (конденсатор Столетова) и устано-
установил ряд важных закономерностей. Оказалось, что явление это
основано на удалении отрицательного электричества с поверх-
поверхности металла под действием ультрафиолетового света. Даль-
Дальнейшие исследования выяснили, что сущность фотоэффекта за-
заключается в освобождении электронов. Особенно ясно это было
показано изящными опытами советского физика А. Ф. Иоффе
с фотоэффектом на металлических пылинках. Микроскопические
частицы металла, получавшиеся вследствие распыления элек-
электродов при горении дуги между ними, вводились в конденсатор,
Разность потенциалов между пластинами конденсатора под&и-
ралась так, чтобы одна из этих пылинок оставалась уравнове-
уравновешенной в поле зрения микроскопа. При освещении ультрафиоле-
ультрафиолетовым светом пылинка время от времени изменяла свой заряд,
и равновесие нарушалось; вновь подбирая соответствующую
разность потенциалов, можно было вернуть пылинку в центр
поля зрения. Зная уравновешивающие потенциалы, можно было
вычислить величину заряда, каждый раз теряемого пылинкой
(см. § 3), Оказалось, что этот заряд всегда представляет собою
целое кратное заряда электрона.
Качественное объяснение фотоэффекта с волновой точки зре-
зрения на первый взгляд не представляет трудности. В самом деле,
это объяснение могло бы выглядеть так; падающая электромаг-
5 117] ФОТОЭФФЕКТ И УРАВНЕНИЕ ЭЙНТНТЕПНА 375
ннтная волна вызывает вынужденные колебания электронов в
металле; при резонансе между собственным периодом колебания
электрона и периодом падающей волны амплитуда колебаний
электрона становится настолько большой, что он может вы-
вырваться за пределы поверхности металла. Очевидно, что если
эта картина верна, то кинетическая энергия, с какой электрон
покидает металл, должна заимствоваться у падающей волны, и
поэтому естественно ожидать, что энергия фотоэлектрона долж-
должна находиться в прямой связи с интенсивностью падающего
света. На самом же деле многоч:еленные опыты показали, что
энергия фотоэлектронов абсолютно не зависит от интенсивности
света: повышение интенсивности увеличивает лишь число фото-
фотоэлектронов и притом в количестве, строго пропорциональном
интенсивности, — но не их скорость. Последняя зависит только
от частоты падающего света, а именно, с увеличением частоты
линейно возрастает и энергия фотоэлектронов.
Все эти законы фотоэффекта представляются непонятными
с точки зрения волновой природы света. Независимость энергии
фотоэлектронов от интенсивности света пытались объяснить тем,
что свету приписывалась роль «спускного механизма», т. е, пред-
предполагалось, что электрон набирает свою энергию не за счет па-
падающей волны, но за счет тепловых движений в металле, так
что роль света сводится только к освобождению электрона.
Однако при этом остается совершенно непонятным влияние ча-
частоты света и, кроме того, если бы это было верно, фотоэффект
должен был бы сильно зависеть от температуры металла, чего
на самом деле нет.
Эйнштейн указал на то, что все эти трудности исчезают, если
рассматривать свет как поток фотонов величины hv, т, е. стать
на чисто корпускулярную точку зрения. Качественная картина
механизма фотоэффекта с этой точки зрения такова: фотон, по-
поглощаясь, отдает свою энергию электрону, и если эта энергия
достаточна для того, чтобы освободить электрон от удерживаю-
'щих его связей, то он выходит за пределы поверхности металла.
Так как вероятность одновременного поглощения двух фотонов
одним электроном ничтожно мала, то каждый освобожденный
электрон заимствует свою энергию у одного фотона (обратное,
вообще говоря, не имеет места, т. е. не каждый поглощенный
фотон освобождает электрон).
Поэтому число освобожденных фотоэлектронов должно быть
пропорционально числу поглощенных фотонов, т. е. пропорцио-
пропорционально интенсивности света (закон Столетова). Но энергия фо-
фотоэлектрона зависит только от энергии поглощенного фотона;
последняя же равна hv, откуда следует, что энергия фотоэлек-
фотоэлектрона должна линейно зависеть от частоты и вовсе не зависеть
от интенсивности (числа фотонов).

Энергетический баланс при поглощении фотона может быть
в самом общем случае выражен следующим простым уравне-
уравнением, которое обычно называется уравнением Эйнштейна:
Здесь Л —энергия отрыва электрона от атома (энергия иониза-
ионизации); Рг — работа выхода электрона за пределы поверхности
тела и eV — кинетическая энергия освобожденного фотоэлек-
фотоэлектрона.
Металлы характеризуются тем, что у них имеется большое
количество свободных электронов; поэтому для металлов Р,
можно считать равным нулю. Зато для выхода за пределы по-
поверхности металла электрон должен преодолеть поле, благодаря
наличию которого электроны оказываются запертыми внутри
металла как бы в ящике. Работа, которую нужно затратить на
преодоление этого поля, и есть работа выхода Р%. Таким обра-
образом, для металлов уравнение Эйнштейна имеет вид
Av = eV + P.,. A17.2)
Очевидно, что если hv < Рг, то электрон не сможет выйти за
пределы поверхности металла. Это значит, что существует не-
некоторая минимальная частота /ц>р =/*г, которая еще способна
вызвать фотоэффект; при меньших частотах он не наблюдается
(красная граница фотоэффекта).
Необходимость затраты работы для освобождения электрона
из металла проявляется не только в случае фотоэффекта, но
также и в случае испускания электронов накаленными телами
(термононная эмиссия). Работа выхода может быть определена
экспериментально, независимо от фотоэффекта, именно путем
исследования термоионной эмиссии. Она имеет порядок вели-
величины нескольких электрон-вольт.
В таблице XVI дается несколько примеров величины работы
выхода.
Таблица XVI
»„,.„
и
Na
К
Cs
выхода
24
2 1
20
0.7
W
Pd
PI
\rir
4,5
6,3
Следует заметить, что на величину работы выхода суще-
существенное влияние оказывает состояние поверхности металла и в
§ 118] ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА 377
особенности наличие пленки адсорбированного газа. Цифры,
приведенные в таблице, относятся к металлам с обезгаженной
поверхностью.
Зная работу выхода, можно вычислить длину волны красной
границы фотоэффекта, ка:
Такие вычисления показывают, что для щелочных металлов ht
лежит в видимой части спектра (например, для калия Ко =
— 0,6мкм), а для вольфрама, платины и других металлов с ра-
оотой выхода порядка 5—6 эв — в ультрафиолете (например, для
вольфрама Хо - 0,27 мкм).
Упражнение. Вычислить длины волн красной границы дли всех ме-
металлов, приведенных в таблице XVI.
§ П8. Экспериментальная проверка уравнения Эйнштейна
Уравнение Эйнштейна допускает экспериментальную про-
проверку. Согласно A17.2) между частотой падающего света и
энергией вырванных им фотоэлектронов eV должна существо-
существовать линейная связь. Таким образом, возбуждая фотоэффект
различными длинами волн и измеряя энергию освобождаемых
фотоэлектронов, можно убедиться в правильности уравнения
Эйнштейна и, кроме того, определить численное значение h как
тангенс угла наклона получающейся прямой.
Для измерения энергии фотоэлектронов в большинстве сл\-
чаев пользуются методом «задерживающего потенциала», опи-
описанным в § 91.
р
ф
Э
it
. 173.
, 174.
Если бы все освобождамые электроны имели одинаковую
скорость, то зависимость силы фототока от тормозящего потен-
потенциала имела бы вид, изображенный на рис. 173: до тех пор,
пока тормозящий потенциал не достигнет определенной вели-
величины V = Vg, сила тока не зависит от потенциала. При V <= Vg
ток сразу становится равным нулю. Это именно тот потенциал Vg,

при котором кинетическая энергия электрона равна работе, ко-
которую электрон должен совершить для преодоления тормозя-
тормозящего БОЛЯ
Таким образом, этот предельный потенциал Ve служит мерой
энергии фотоэлектронов: она равна eVg электрон-вольт.
В действительности такого резкого спадания тока никогда не
наблюдается. Кривая зависимости тока от тормозящего потен-
потенциала обычно имеет вид, изображенный на рис. 174.
Постепенное спадание тока объясняется тем, что электроны
освобождаются не с одной определенной скоростью, но имеется
непрерывный набор скоростей. При этом кривая рис. 174, пред-
представляющая собою вольтамперную характеристику, позволяет
отыскать и распределение электронов по энергиям. Для этого
нужно произвести графическое дифференцирование вольтампер-
ной характеристики, как это уже было разъяснено в § 91. Од-
Однако при экспериментальной проверке уравнения Эйнштейна нас
интересует не распределение электронов по энергии, но макси-
максимальная энергия, так как это есть именно та энергия, с которой
освобождаются фотоэлектроны с поверхности металла.
Два обстоятельства сильно затрудняют получение точных ре-
результатов. Во-первых, экспериментальная кривая J/Jo в функ-
функции Ve не пересекает ось абсцисс, как показано на рис. 174, но
подходит к ней асимптотически, ввиду чего максимальный за-
задерживающий потенциал оказывается в известной степени не-
неопределенным. Во-вторых, как и во всех подобных опытах, кон-
контактная разность потенциалов, трудно доступная для точного
определения, смещает всю кривую.
Неизбежное присутствие этой контактной разности потенциа-
потенциалов и трудность ее учета, а также ряд других эксперименталь-
экспериментальных затруднений и источников ошибок — все это привело к тому,
что безупречное подтверждение уравнения Эйнштейна было по-
получено не сразу. После некоторых предварительных работ, вы-
вызвавших серьезные возражения, Милликэну удалось при помощи
остроумной, но очень сложной установки, дать искомое экспери-
экспериментальное доказательство и точно определить h.
В настоящее время, благодаря усовершенствованию техники .
высокого вакуума и применению удобного метода сферического
конденсатора, измерения чрезвычайно упростились. Преимуще-
Преимущество метода сферического конденсатора, впервые разработан-
разработанного П. И. Лукирским и использованного для эксперименталь-
экспериментальной проверки уравнения Эйнштейна П. И. Лукирским и
С. С. Прилежаевым, заключается в том, что благодаря особен-
особенностям движения электронов в поле такого конденсатора кривая
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНА]
ЗВЕРКА УГ
1ия Эйнштейна
379
тока в зависимости от задерживающего потенциала спадает к
нулю круто, вследствие чего максимальный задерживающий
потенциал может быть определен очень точно.
На рис. 175 приведена схема расположения опыта. Здесь L—
источник света (кварцевая ртутная лампа), FM — кварцевый
моиохроматор, позволяющий выделять из спектра одну линию.
Через кварцевое окошко Л свет попадает внутрь стеклянного
посеребренного изнутри шара S, который служит наружной об-
обкладкой конденсатора. Металлический шарик N, сделанный из
исследуемого металла, слу-
служит внутренней обкладкой
и освещается монохромати-
монохроматическим светом. Потенцио-
Потенциометр R позволяет наклады-
накладывать на обкладку конденса-
конденсатора 5 определенный потен-
потенциал, измеряемый вольтмет-
вольтметром V. Для измерения силы
фототока был применен
«метод зарядки»: по мере
освобождения электронов из шарика Л/, положительный потен-
потенциал шарика возрастает. Скорость увеличения потенциала ша-
• рика, измерявшаяся при помощи квадрантного электрометра Е,
служила мерой силы фототока. Практически для характеристи-
характеристики скорости зарядки измерялось отклонение электрометра за
определенный промежуток времени A,5—2 минуты). На рис. 176
приведены три кривые, полученные при освещении цинкового
шарика длинами волн: / — 2302 А, 2 — 2537 А и 3 — 3130 А.
г„
1
i
Рнс 176. Фотоэффе

Спадание кривых начинается при одном и том же потенциале
независимо от длины волны. Этот потенциал как раз равен кон-
контактной разности потенциалов, которая, таким образом, опре-
_^_^___ _.„... деляется без специальных
измерений. Если найти при
помощи таких кривых мак-
максимальную энергию фото-
фотоэлектронов и построить гра-
график зависимости этой энер-
энергии от частоты, то полу-
получаются прямые, приведен-
приведенные на рис. 177. Тем самым
подтверждается линейная
связь между hv и eV; тан-
тангенс угла наклона этих прямых равен h/et так что, определив
угол наклона, можно вычислить п при помощи известной вели-
величины в.
§ 119. Коротковолновая граница сплошного
рентгеновского спектра
Если энергия связи внутренних электронов значительно мень-
меньше энергии фотона hv, вызывающего фотоэффект, то в уравне-
уравнении Эйнштейна можно прене-
пренебречь и величиной /*г, и вели-
величиной P^ по сравнению с hv.
В этом случае уравнение Эйн-
Эйнштейна принимает самый про-
простой вид
hv = eV. A19.1)
Если это уравнение прочи-
прочитать слева направо, то оно ука-
указывает, какова энергия элек-
электрона, освобождаемого фото-
фотоном hv- Если же его прочитать
справа налево, то оно требует,
чтобы за счет электрона с
энергией eV получался фотон
hv. Такой процесс превращения
энергии быстро движущегося
электрона в энергию фотона
представляет собою возникно-
возникновение рентгеновских лучей при
торможении электронов. На самом деле механизм явления не
так прост, и при торможении электрона возникает целый
сплошной спектр рентгеновских лучей. Однако уравнение Эйн-
Ч 1ИЧ ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ПЛА1ГКА 38]
штейна безусловно требует, чтобы максимальная энергия полу-
получающихся при этом фотонов удовлетворяла условию (П9-1).
Опыт показывает, что распределение энергии в сплошном
спектре рентгеновских, лучей имеет вид, изображенный на
рис. 178, где приведен ряд сплошных спектров, полученных при
различных., потенциалах на электродах рентгеновской трубки с
вольфрамовым антикатодом. Каждый из этих спектров резко
ограничен со стороны коротких длин волн (высоких частот).
Эмпирически было найдено, что длина волны Кмп, соответствую-
соответствующая коротковолновой Границе, связана с приложенным потен-
потенциалом соотношением
Кы^ = const, AI9.2)
очевидно, тождественным с уравнением Эйнштейна A19.1).
Действительно, заменяя в A19.1) v через с/Х. получаем
Кт!п V = ch/c = const. A19.3)
Соотношение A19.3) можно применить для определения h;
получающееся при этом значение является наиболее достовер-
достоверным.
§ 120. Точное определение постоянной Планка
Так как квантовые законы обмена энергией имеют место в
большом числе явлений, то существует множество возможностей
вычисления h из экспериментальных данных. Укажем прежде
всего, что уже законы излучения абсолютно черного тела дают
такую возможность. Например, в формулы Планка и Вина, вы-
выраженные через длину волны, входит постоянная с2 =hcfk.
Экспериментальное определение этой постоянной дает
с2= 1,4384 см ¦ град,
откуда, пользуясь значениями сяк:
с = 2,99793- 10'° см-сек'1,
ft =1,3806- 1(Г1в эрг-град~',
получаем
h = 6,558 ¦ 10~27 эрг ¦ сек.
Более непосредственно определяется h из фотоэффекта. В са-
самом деле, наклон прямых рис. 177 дает hje, так что точность
определения h этим путем, помимо точности самого экспери-
эксперимента, зависит от достоверности еще одной константы е, тогда
как в рассмотренном выше методе требуется знание еще двух
констант с и k. Из фотоэффекта получено
h = 6,547- 1Q-27 эрг ¦ сек.

Наиболее точным методом определения h считается метод,
основанный на определении коротковолновой границы рентге-
рентгеновского спектра. Самое определение призводится или из кри-
кривых, подобных изображен-
изображенным на рис. 173, т. е. из рас-
распределения энергии в спект-
спектре при постоянном потен-
потенциале (рис. 179,а) или при
помощи метода «изохромат».
Метод «изохромат» заклю-
заключается в следующем. Спек-
Спектрометр для рентгеновских "
лучей устанавливается так,
Чтобы в ионизационную ка-
камеру попадали лучи одной и той же определенной длины волны,
и измеряется интенсивность в зависимости от наложенного на
трубку потенциала. На основании уравнения Эйнштейна
выбранная длина волны появляется при строго определенном
потенциале Va = hc/Xe; при дальнейшем увеличении потенциала
интенсивность растет
по некоторой кривой,
называемой «изохрома-
той» (рис. 179,6). Раз-
Разница между методом
определения Ящщ из
спектральной кривой
методом изехромат ил-
иллюстрируется рис, 179,
Несколько примеров
изохромат приведено
на рис. 180. Экстрапо-
Экстраполируя каждую из кри-
кривых до пересечения С Рис, 180. Примеры нюхромат,
осью абсцисс, находим
Vn, а затем при помощи уравнения Эйнштейна и к. Наиболее
точные измерения, выполненные в последнее время, дали
4 = A,37920 ±0,00009)- 1(Г17 эрг ¦ сек СГСЭ.
Отсюда, полагая е = 4,8030-100 СГСЭ, находим -
h =6,626- 107 эрг-сек.
Соответственно для Ь = й/2я получается значение, приведенное
на стр. 341:
1БНАРУЖИВАЮЩИВ КОРПУ(
¦ЛЯРН. СВОЙСТВА I
§ 121. Другие опыты, обнаруживающие
корпускулярные свойства света
В § 116 мы видели, что корпускулярные свойства света
должны наиболее отчетливо проявляться в опытах с коротко-
коротковолновым излучением, Не случайно волновые свойства рентге-
рентгеновских лучей"' были окончательно установлены лишь через
17 лет после открытия самих лучей.
Из многочисленных опытов с рентгеновскими и у-лучами,
обнаруживающих с большой ясностью корпускулярные свойства
этих лучей, мы рассмотрим только
два; первый принадлежит А, Ф, Иоф-
Иоффе и Н, И. Добронравову, второй—
Боте.
На рис. 181 дана схема миниа-
миниатюрной рентгеновской трубки, при-
применявшейся в опытах Иоффе и До-
Добронравова. В толстой эбонитовой
пластинке просверлены отверстия R
и L, Через Н из образовавшейся по-
полости удаляется воздух; через отвер-
отверстие L, закрытое кварцевым окош-
окошком, освещается ультрафиолетовым
светом конец алюминиевой проволо-
проволоки К толщиной 0,2 мм, Освобождае-
Освобождаемые при этом фотоэлектроны уско-
ускоряются потенциалом в 12 000 в, наложенным на проволочку К,
_ и тормозятся тонким алюминиевым листочком А, закрывающим
сверху отверстие в полости. Толщина этого листочка столь мала
E-Ю-3 мм), что он практически не поглощает рентгеновских
лучей, образующихся при торможении электронов. Освещение
проволочки подбиралось настолько слабым, чтобы ока давала
около 1000 фотоэлектронов в секунду, а следовательно, и число
рентгеновских импульсов было около 1000 в секунду.
Алюминиевая фольга А служила вместе с тем нижней пла-
пластиной конденсатора Милликэна АВ_ в котором уравновешива-
уравновешивалась микроскопическая висмутовая пылинка W радиусом около
3-Ю см на расстоянии от антикатода А примерно в 0,02 см.
Опыт показал, что время от времени пылинка выходит из
равновесия, т, е. что рентгеновские лучи освобождают из нее
фотоэлектрон, приобретающий энергию, согласно уравнению
Эйнштейна, около 12 000 в, Это происходит в среднем через
каждые 30 минут. В течение этих 30 минут через пылинку про-
проходит около 1,8-10е рентгеновских импульсов, Если бы энергия
этих импульсов распространялась в виде сферических волн, то
каждый из них отдавал бы пылинке очень малую часть своей
Иоффе и Добро

энергии вследствие малой величины телесного угла, под кото-
которым видна пылинка из антикатода. Эта энергия, кроме того, рас-
распределялась бы между очень большим числом электронов, обра-
образующих пылинку, и совершенно невероятно, чтобы раз в 30 минут
все эти электроны отдавали свою энергию каким-то загадочным
механизмом одному электрону, который должен при этом приоб-
приобрести ровно столько энергии, сколько ее имел фотоэлектрон, вы-
вырванный из проволочки и ускоренный потенциалом в 12 000 в.
Таким образом, с волновой точки зрения результаты опыта
Иоффе и Добронравова непонятны. Напротив, с корпускулярной
1 точки зрения они пред-
представляются вполне есте-
естественными.
Действительно, с этой
точки зрения, энергия
распространяется в виде
локализованных в про-
пространстве фотонов, и
электрон выбивается из
пылинки только тогда,
когда в нее попадает фо-
фотон. Подсчитаем вероят-
Рис. 182. Схема опыта Боте. НОСтЬ ТОГО, что фотон ПО-
падает в пылинку. В опы-
опытах Иоффе и Добронравова расстояние от пылинки до антика-
антикатода было d = 0,02 см, а радиус пылинки г = 3-10~5 см. Сфера
радиуса d имеет поверхность Aad2 = 4л@,02J = 16я-10~4 см2.
Площадь, занимаемая пылинкой на этой сфере, т. е. эффектив-
эффективное сечецие пылинки будет
. лг2 = яC- 10"в)* = Эя- 10~10 с.«2.
Если считать, что для движения отдельного рентгеновского
фотона все направления равновероятны, то очевидно, что веро-
вероятность попадания фотона в пылинку будет равна отношению
эффективного сечения пылинки к поверхности сферы, т. с. будет
• Следователь
^|0 |8f|Q000 • Следовательно, в среднем один из
1 800 000 фотонов попадает в пылинку. Так как в 1 сек вылетает
1000 фотонов, то в среднем в пылинку будет попадать 1 фотон
в 30 мин, что вполне согласуется с результатами рассматривае-
рассматриваемого опыта.
Опыт Боте показывает, что при возбуждении рентгеновских
лучей флуоресценции энергия распространяется не в виде сфери-
сферических воли, по в виде направленных фотонов. Тонкая железная
иль медная фольга F (рис. 182) подвешивалась между дв>мя
§ IS2] ФЛУКТУАЦИИ СВЕТОВОГО ПОТОКА 385
счетчиками Гейгера Z\ и 1г. Первичные рентгеновские лучи до-
достаточной жесткости освещали фольгу сверху (в направлении
стрелки Р) и возбуждали ее к испусканию характеристического
излучения флуоресценции. Если бы энергия этого излучения рас-
распространялась в виде сферических волн, то оба счетчика должны
были бы реагировать одновременно.
Опыт показывает, однако, что этого нет: счетчики реагируют
совершенно независимо один от другого, и число совпадений не
превышает ожидаемого числа случайных совпадений. Все про-
происходит так, как если бы возникающее излучение флуоресцен-
флуоресценции распространялось в виде направленных фотонов, которые
могут попадать либо в один, либо в другой счетчик,
§ 122. Флуктуации светового потока
Корпускулярные свойства света влекут за собой еще одно
важное следствие: необходимость существования флуктуации в
слабых световых потоках. В самом деле, если свет можно рас-
рассматривать как поток фотонов, то каждый фотон, попадая в
приемное устройство (фотоэлемент, ионизационную камеру
и т. п.). вызывает то или иное действие независимо от других
фотонов. При обычных интенсивности* число этих элементарных
актов поглощения настолько велико, что мы не замечаем ника-
никакой дискретности в излучении. Представим себе, однако, что по-
поток настолько слаб, что число фотонов, попадающих в приемник
в единицу времени, измеряется единицами или десятками; если,
кроме того, приемник настолько чувствителен, что он реагирует
на попадание малого числа фотонов, то неизбежно должны ска-
сказаться флуктуации этого числа.
Такие флуктуации были обнаружены прежде всего с очень
коротковолновым излучением, именно с рентгеновскими п у-лу-
чами радиоактивных веществ. В этом случае, как уже неодно-
неоднократно указывалось, вследствие высокой частоты излучения,
фотоны очень велики. При поглощении их атомами или
молекулами происходит ионизация и освобождаются быстрые
Электроны, которые в свою очередь вызывают ионизацию в боль-
большом числе других молекул ионизационной камеры или счетчика.
Таким путем первичный эффект элементарного акта поглощения
значительно усиливается, и наблюдение слабого потока облег-
облегчается. Рассмотренный в § 121 опыт Боте с двумя счетчиками,
регистрирующими направленные в противоположные стороны
фотоны слабого рент1еновского излучения железной фольги, в
сущности относится к числу флуктуационных опытов.
Особенный интерес представляет обнаружение флуктуации
слабых потоков видимого света Такие флуктуации па самом
деле наблюдались С. И. Вавиловым и его сотрудниками в
13 Э В. Шпанский, т. I

СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
обширной серии работ, а после него также и рядом других иссле-
исследователей. Воспринимающим устройством во всех этих опытах
является глаз человека, который обладает чувствительностью,
пока еще не достигнутой *) фотоэлектрическими приборами.
Именно, согласно опытам Вавилова, для глаза, достаточно долго
пробывшего в темноте, максимальная чувствительность опреде-
определенного периферического участка сетчатки составляет около
200 фотонов и довольно значительно колеблется у различных на-
наблюдателей. При этом указанная чувствительность относится к
энергии, падающей на глаз. Так как свет, прежде чем достигнуть
сетчатки, проходит через ряд сред, в которых он отражается и
частично поглощается, то минимальное число фотонов, вызываю-
вызывающих зрительное ощущение, значительно меньше указанного числа
и составляет, по оценке Вазилова, немного десятков, а может
быть, и несколько фотонов.
Для того чтобы постановка опытов Вавилова была понятна,
необходимо напомнить некоторые факты, относящиеся к устрой-
устройству и физиологическим функциям глаза.
Как известно, в сетчатой оболочке глаза распределены два
типа воспринимающих свет элементов: колбочки и палочки.
Колбочки преобладают в частях сетчатки, расположенных вбли-
вблизи оптической оси глаза, а на периферии их нет совсем; наобо-
наоборот, палочки преобладают в периферических частях сетчатки.
Эти два рода элементов выполняют различные функции: с кол-
колбочками связан аппарат цветного зрения, тогда как палочки обу-
обусловливают серое, так называемое сумеречное или периферичес-
периферическое зрение. Чувствительность палочек во много раз выше чув-
чувствительности колбочек. Поэтому в опытах по определению
предела воспринимающей способности глаза, каковыми и являют-
являются опыт.ы с флуктуациями, используется именно бесцветное пери-
периферическое зрение. Все эти опыты основаны на существовании
резкого порога зрительного ощущения: если энергия излучения,
падающего на сетчатку, меньше некоторой определенной вели-
чины, то глаз совсем не ощущает света. Именно этим свойством
зрительного ощущения и воспользовался Вавилов для наблюде-
наблюдения квантовых флуктуации видимого света, Представим себе,
что наблюдается кратковременная вспышка света; пусть порогу
соответствует па фотонов, поглощенных за время вспышки, и
пусть 2 —действительное число фотонов, поглощенных за то же
время. В таком случае глаз увидит вспышку лишь при условии
г ^ По, если же г< я0, то зрительное ощущение будет равно
нулю, глаз не обнаружит такой вспышки. Очевидно, что если
периодически, через определенные промежутки времени посылать
•) Характеристикой необычайной чувствительности глаза служит следую-
следующая цифра, при совершенно прозрачяой атмосфере человек может видеть
эталонную свечу на расстоянии около 25 км.
ФЛУКТУАЦИИ СВЕТОВОГО ПОТОКА
в глаз вспышки столь малой интенсивности, что, вследствие
флуктуации числа фотонов, г будет то больше, то меньше Па,—
глаз наблюдателя то будет, то не будет ощущать вспышку.
Таким образом, существование порога зрительного ощущения
дает острый критерий наличия флуктуации: при колебаниях г
около величины па свет или не наблюдают совсем, или видна
вспышка. Что же касается колебаний интенсивности в зависимо-
зависимости от различного числа поглощаемых фотонов в условиях, когда
г ^ п0, то их, по свидетельству Вавилова, в этих опытах на
пределе способности глаз к восприятию обнаружить не удается.
Опыты были поставлены следующим образом (рис. 183).
Для того чтобы свет вспышки попадал на один и тот же пери-
периферический участок сетчатки, глаз наблюдателя фиксировался
Рис. 18а Схема
1ЫХ флуктуации.
слабой лампочкой S, свет которой пропускался через красный
фильтр; на получающееся красное пятно и был все время на-
направлен глаз наблюдателя. Свет другой лампочки L, отразив-
отразившись от зеркала т, падал на диск D с отверстием, вращав-
вращавшийся синхронным мотором М A оборот в секунду). Отверстие
имело такие размеры, что диск пропускал свет в течение 0,1 сек
и задерживал его в течение 0,9 сек. Тем самым создавалась
вспышка длительностью в 0,1 сек, а в течение 0,9 сек глаз от-
отдыхал. Подобное устройство необходимо для того, чтобы исклю-
исключить влияние способности глаза длительно сохранять зрительное
впечатление. Зеленый фильтр F был необходим для получения
потока определенной длины волны.
В момент, когда наблюдатель видел вспышку он нажцмал
кнопку хронографа, на движущейся ленте которого получалась
отметка. Особое устройство связывало вращающийся диск с дру-
другим пером хронографа таким образом, что на той же ленте от-
отмечался каждый оборот диска. Благодаря этому можно было

388 СВЕТОВЫЕ К8АНТЫ [ГЛ. IX
установить, наблюдается или не наблюдается вспышка, когда
отверстие диска пропускает свет.
Яркость зеленого пятна можно было непрерывно уменьшать.
При этом оказывается, что вначале наблюдатель отмечает каж-
каждую вспышку. При дальнейшем понижении яркости вспышки
перестают соответствовать каждому прохождению отверстия
диска; наблюдаются флуктуации; при одних прохождениях
вспышки видны, при других —их нет. Изучая ленту хронографа
после опыта, можно было подвергнуть наблюдения статистиче-
статистическому контролю. С одной стороны, отношение числа наблюден-
наблюденных вспышек к полному числу оборотов диска равно вероятно-
вероятности Р появления вспышки; с другой стороны, некоторые допол-
дополнительные измерения, на которых мы не останавливаемся, по-
позволяли определить отношение числа фотонов п, поглощаемых
сетчаткой за одну вспышку, к числу
. фотонов «о, поглощаемых сетчаткой
К" в условиях порога зрительного ощу-
ощущения. Если обозначить это отноше-
отношение через х
то расчет, основанный на теории ве-
-J-—' роятностей, дает такое соотношение
V Q-W между Р и х:
SJ 1,1 V О
Рис. 184. Реэуль
флуктуа-
Большой экспериментальный материал, полученный С. И. Ва-
Вавиловым, показывает во всех без исключения случаях линейную
связь между вероятностью Р и величиной (\~х)/Ух. На рис. 184
приведен один пример: сплошная прямая проведена по формуле,
а кружками нанесены наблюденные значения. Видно, что экс-
экспериментальные точки хорошо ложатся на прямую, тем самым
подтверждая статистический характер наблюдаемых флуктуации.
§ 123. Рассеяние рентгеновских лучей (волновая теория)
Рассеяние рентгеновских лучей принадлежит к числу явле-
явлений, в которых с особенной ясностью сказывается двойственная
природа излучения (см. § 116).
В самом деле, в настоящем н в следующих параграфах мы
увидим, что некоторые свойства рассеянного рентгеновского из-
излучения (поляризация, интенсивность) могут быть легко объяс-
объяснены с волновой точки зрения, тогда как другие свойства (из-
(изменение частоты при рассеянии) без труда объясняются, если
приписать рентгеновским лучам корпускулярную природу.
РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ (ВОЛНОВАЯ ТЕОРИЯ)
Один из важных выводов волновой теории рассеяния рентге-
рентгеновских лучей состоит в том, что даже тогда, когда падающее
а при определенных
¦
излучеиие не поляризовано, рассеянное излучение должно быть,
вообще говоря, частично поляризовано,
условиях—поляризовано полностью.
Рассмотрим возникновение этой по-
поляризации. Пусть плоская монохро-
монохроматическая электромагнитная вол-
волна, распространяющаяся в направ-
направлении, параллельном оси z
(рис. 185), падает в точке О на
электрон. Электрический вектор
этой волны, действуя на электрон,
заставляет его совершать гармони-
гармонические колебания, вследствие чего ,
электрон становится центром сфери- -^
ческой волны, которая и представ-
представляет собою рассеянную волну. Рас-
Рассмотрим состояние поляризации
этой волны в точке Р, лежащей на продолжении оси у, т. е. в
направлении, перпендикулярном к направлению падающей вол-
волны. Так как падающая волна не поляризована, то ее электриче-
электрический вектор & может иметь
любые направления, но он
всегда остается в плоско-
плоскости ху. Разложим его на
составляющие Жх и Жу.
В § 67 [см., например, фор-
формулу F7.6)] мы видели, что
интенсивность дипольного
излучения электрона про-
пропорциональна sin2#, где #—
угол между направлением
колебаний электрона и на-
направлением в точку наблю-
наблюдения. Поэтому колебания
Рис 186. Схема олыта Баркла для об- электрона ПОД действием СО-
паружения поляризации рентгеновских ставляющей Жу в НЭПравле-
лучей. нии ОР не дают излучения
(#=0). Из этого следует,
что в точку Р приходит рассеянное излучение, обусловленное
колебаниями под действием одной только составляющей Жх,
т. с. излучение, линейно поляризованное с направлением коле-
колебаний электрического вектора, перпендикулярным к плоскости,
проходящей через направление падающей волны и точку наблю-
наблюдения Р.

3g0 СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ [ГЛ IX
Этот вывод, подтверждаете я следующим опытом Баркла, ана-
аналогичным известному оптическому опыту с зеркалами Норрен-
берга. Рентгеновские лучи надают в направлении St (рис. 186)
на пластинку Ri (уголь или парафин), которая играет роль по-
поляризатора. Согласно сказанному выше лучи, рассеянные в на-
направлении S2, должны быть полностью поляризованы. Эта по-
поляризация обнаруживается при помощи второй пластинки R2,
играющей роль анализатора. С этой целью пластинка Рг вместе
с ионизационной камерой Е может вращаться около оси, парал-
параллельной S2 (как показано пунктиром). Опыт показывает, что
камера Е обнаруживает максимальную интенсивность рассеян-
рассеянного излучения, когда Ss параллельно S, (как на чертеже), и
минимальную, когда S3 перпендикулярно к Si (т. е. при пово-
повороте на 90° по отношению к положению, показанному на черте-
чертеже). Но именно этого и следовало ожи-
ожидать, так как на основании сказанного
выше, электрический вектор падающей
волны возбуждает в Rz колебания элек-
электронов, перпендикулярные к Si и Sa.
Вычислим теперь интенсивность рас-
рассеянных лучей. Рассмотрим для этого
вынужденные колебания электрона, про-
У исходящие под действием плоской волны,
Рнс- I87- распространяющейся в направлении оси
z (рис. 187). Положим сначала, что вол-
па линейно поляризована и ее электрический вектор & колеб-
колеблется в направлении оси х с частотой ©
% = ЖФШ. A23.1)
Интенсивность падающей волны будет тогда согласно § 67 [фор-
[формула F7.5)] V
/0 = -?-g* A23.2)
Электрическое поле S вызывает вынужденные колебания элек-
электрона, совершающиеся по оси х с той же частотой ». Эти коле-
колебания дагот начало новой сферической волне, мгновенная интен-
интенсивность которой в некоторой точке Р на расстоянии р от элек-
трона согласно формуле F7.6) равна
'=-4^rSin!#, • A23.3)
где ft — угол между направлением к точке наблюдения Р и на-
направлением колебаний электрона. Ускорение электрона х7 дви-
движущегося под действием силы поля е$, очевидно, равно eS'/m,
Подставляя это в A23.3), находим J = -^j^-sin^. Заменяя
f 1231 РАССР.ЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕП (ВОЛНОВАЯ TFOPHfl) 391
здесь Жг через интенсивность падающей волны /0 по A23.2),
получаем
/ = '°^Wsin2*- 023'4>
Это и есть выражение для интенсивности рассеянного излучения
в точке Р. Мы видим, что распределение интенсивности по
направлениям в случае, когда падающая волна линейно поля-
поляризована, содержит sin2*, т. е. в направлении колебаний интен-
интенсивность равна нулю и достигает максимума при * = я/2
(см. §67).
В случае, когда падающая волна не поляризована, зависи-
зависимость интенсивности рассеяния от направления несколько иная.
Рассмотрим этот случай.
Пусть падающая волна по-прежнему распространяется па-
параллельно оси z (рис. 185); электрический вектор поэтому будет
лежать в плоскости ух. Разложим его на составляющие <g% и
Жу и вычислим интенсивность рассеянного излучения в точке Р[,
лежащей в плоскости хг. Так как первичное излучение не поля-
поляризовано, то электрический вектор & может занимать любые
положения н плоскости ху. Средние значения квадратов состав-
составляющих g* и Sv будут между собой равны
так что интенсивности, соответствующие этим составляющим,
будут также равны
Каждая из составляющих Жх и gv создает рассеянную волну;
интенсивности этих рассеянных воли в точке Pt по формуле
A23.4) будут (см. рис. 185)
A23.5)
A23.6)
'"-¦'.-s4rsw«»=-i'o^r
(sin2*2= 1, так как *2 — угол между плоскостью хг и осью у).
Так как колебания Жх и <§у некогерентны, то для получения пол-
полной интенсивности в Р, нужно сложить интенсивности /' и /":
A23.7)

Экспериментальная проверка показала, что для рентгеновских
лучей не слишком короткой длины волны формула A23.7) дает
результаты, вполне удовлетворительно совпадающие с опытом.
На рис. 188 сплошная кривая представляет распределение ин-
интенсивности, вычисленное по формуле A23.7); пунктирные кри-
кривые представляют экспериментальные результаты для двух рез-
резко различных длин волн. Вндпо, что для более длинных волн
(X = 0,71 А) и для не слишком малых углов рассеяния экспери-
экспериментальные результаты хорошо согласуются с теоретической
кривой. Сильное расхождение между экспериментальными и тео-
теоретическими результатами для углов, меньших 30°, объясняется
тем, что в приведенном простом выводе не учитывается интер-
интерференция волн, рассеянных соседними электронами атома.
Напротив, для малвд длин волн (к = 0,017 Л) эксперимен-
экспериментальная кривая на всем протяжении расходится с теоретиче-
теоретической. Она не обнаруживает около 90° никакого минимума, тре-
требуемого теорией, и, кроме того, экспериментально найденная
интенсивность рассеяния для всех углов значительно меньше
теоретической.
Это расхождение показывает, что для очень малых длин волн
классическая волновая теория рассеяния рентгеновских лучей
становится совершенно неудовлетворительной.
Упражнения; 1. Пользуясь формулой A234), ,
§ 124. Эффект Комптона
Недостаточность волновой теории рассеяния рентгеновских
лучей, обнаруживающаяся при изучении итенсивности рассея-
рассеяния очень коротких длин волп, особенно резко сказывается, если
обратиться к рассмотрению частоты рас-
рассеянных лучей. Согласно волновой тео-
теории механизм рассеяния состоит «в рас-
раскачивании» электронов электромагнит-
электромагнитным полем падающей волны. Естественно
ожидать поэтому, что частота рассеянно
го излучения должна совпадать с часто-
частотой падающего излучения.
Между тем уже старые наблюдения
показывали, что при рассеянии рентге-
А
)
В
С
1.
D
J
еж
Г
\ Рассетара-
1
\Poccsph
/Iter
г г
новских и особенно у-лучей длина волны изменяется, а именно,
в составе рассеянною излучения появляются более длинные
волны, обладающие меньшей проницающей способностью. Так
как до открытия спектроскопии рентгеновских лучей для

.зоваться грубыми
определения длины волны приходилось пользоваться /РУОыми
методами основанными на различии абсорбции лучей разных
длин волн то в деталях явления разобраться было трудно и его-
обычно приписывали влиянию вторичных факторов.
5 123]
вместе с радиатором р, можно было изменять угол рассеяния (р,
не трогая остальной части прибора. Спектральное распределе-
распределение интенсивности измерялось при помоши ионизационной ка-
камеры.
На рис. 190 сопоставлены полученные результаты. А пред-
представляет распределение интенсивности в первичной линии (ли-
(линия Ка молибдена \ = 0,712605 А); В, С, D дают спектральный
состав излучения при различных углах рассеяния. Можно сразу
установить следующие особенности явления: I) в рассеянном
излучении присутствуют как первоначальная длина волны воз-
возбуждающего излучения, так и длина вол ил, смешенная в сто-
сторону длинных волн; 2) величина смешения зависит от угла рас-
рассеяния, а именно, она возрастает при увеличении этого угла;
3) при увеличении угла рассеяния интенсивность несмещенной
линии падает, а интенсивность смешенной линии возрастает.
На рис. 191 приведены спектры линии Ка серебряного анти-
- катода (X = 0,56267 А), рассеянной под одним и тем же углом
различными веществами. Можно установить следующие особен-
особенности процесса: 1) величина смешения не зависит от природы
радиатора; 2) при возрастании атомного номера радиатора ин-
интенсивность несмещенной линии возрастает, а интенсивность
смещенной линии падает. Так, у лития рассеянное излучение
практически полностью состоит из смещенной длины волны, а
у меди интенсивность смещенной линий невелика по сравнению
с интенсивностью линии несмещенной.
§ 125. Элементарная теория эффекта Комптона
Описанные в предыдущем параграфе особенности эффекта
Комптона очень легко объяснить, если считать, что излучение
имеет чисто корпускулярную природу, т. е. представляет собою
поток фотонов, и что в рассеянии принимают участие не все
электроны, а только незначительная часть их, но каждый элек-
электрон рассеивает целый фотон. Для того чтобы провести это объ-
объяснение до конца, нужно допустить, что фотон обладает не
только определенным запасом энергии (ftv), но и определенным
количеством движения, т. е. ведет себя, грубо говоря, как дви-
движущийся щарик. В таком случае рассеяние фотонов электро-
электронами связано с обменом энергии и количества движения при со-
соударениях и, по образному выражению Комптона, происходит
наподобие игры на биллиарде фотонами и электронами.
Для того чтобы на основе этого представления произвести
расчет смешения длины волны, мы должны прежде рассмотреть
некоторые свойства фотона. Фотон как частица обладает во вся-
всяком случае особыми свойствами, так как он движется со ско-
скоростью света. Поэтому формулы классической механики к

СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
движению фотона неприменимы и нужно пользоваться реляти-
релятивистскими соотношениями (см. § 64).
Согласно теории относительности масса частицы, движу-
движущейся со скоростью v, равна
У'-fr
Но так как фотон движется со скоростью с, то р = 1, ii знаме-
знаменатель предыдущей формулы обращается в нуль. Если бы по-
поэтому масса покоя фотона имела конечную величину (т. е.
была" отлична от нуля), то мы бы получили т = то/0 = °о.
Отсюда следует, что масса покоя фотона обязательно должна
быть равной нулю. Этим фотон самым существенным образом
отличается от таких частиц, как, например, электроны, которые
имеют конечную массу покоя.
Вычислим теперь количество движения фотона. Очевидно,
что для этой цели мы уже не можем воспользоваться обычной
формулой p=mv = -р^0..- по указанной выше причине. Од-
Однако теория относительности дает другую формулу для импуль-
импульса р, которая применима и к случаю частицы, движущейся со
скоростью с. Эта формула такова:
р = ~Е. F4.16)
В самом деле
Р=-
~ V 1 -
г _?_ = ?_?,.
Для частицы, движущейся со скоростью света (о = с), полу-
Р-Т- О25-1»
Наконец, для фотона Е = hv
р=-у-. A25.1')
Это и есть искомое выражение для импульса фотона.
Из того факта, что фотон обладает определенным импульсом,
следует, что, встречая какое-нибудь препятствие, поток фотонов
должен оказывать давление на это препятствие подобно тому,
как бомбардировка стенки сосуда молекулами газа в среднем
складывается в давление газа. Давление, создаваемое потоком
фотонов, и есть световое давление, экспериментально установ-
установленное в количественном согласии с формулой Ц25.1) знамени-
знаменитыми работами выдающегося русского физика П. Н. Лебедева.
5 1251
IFMEHTAPHAfl TEC
При этом, как известно, Лебедев доказал не только существова-
существование давления света на макроскопические твердые тела, но и с
полной несомненностью установил тончайший эффект давления
света на газы. Заметим, однако, что, предпринимая свои опыты,
Лебедев руководствовался не корпускулярной теорией света, но
электромагнитной теорией Максвелла, которая также приводит
к выводу о необходимости светового давления и дает для давле-
давления формулу, совпадающую с A25.1). Сам Максвелл, исходя из
наглядных представлений Фарадея о силовых линиях электри-
электрического поля, рассматривал световое давление как следствие
поперечного давления силовых трубок. То, что существование
светового давления и его количественное выражение могут быть
выведены и из корпускулярной и из волновой картин природы
света, является одним из проявлений уже неоднократно отме-
отмечавшейся двойственности природы света.
Положим теперь, что электрон до соударения покоился, т. е.
импульс его до соударения с фотоном был равен нулю; началь-
начальный импульс фотона равен ftvo/c. л
После соударения электрон при-
приобретет импульс mv, где т= ,
= тй/ \f\ — р2, а импульс фотона ?-
станет равным hvje.
Применяя законы сохранения
энергии и количества движения, "^
т. с. рассчитывая это соударе- Рис 192.
ние как удар упругих шаров,
получим два уравнения. Из закона сохранения энергии имеем
ttV- —1— ryt . Г1^ —— fa л* _1_ в
A25.2)
где тцсг— «энергия покоя» электрона. Обозначив для краткости
массу движущегося электрона через т, перепишем A25.2) так;
ftvo+moc2 = ftv + mc2. A25.3)
Закон сохранения количества движения дает
^—~+то. A25.4}
Из уравнений A25.3) и A25.4) первое — скалярное, а второе —
векторное. Для расчета следовало бы векторное уравнение
A25.4) заменить двумя скалярными уравнениями в проекциях
на оси координат. Но мы поступим следующим образом. Вектор-
Векторное уравнение A25.4) фиксирует треугольник ОАВ (рис 192).
По формуле элементарной тригонометрии нз этого треугольника

398 СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
определяем квадрат стороны АВ, равной по величине то
Уравнение A25.3) перепишем в виде
A25.5)
и возведем в квадрат:
mV = tfvg + А V - 2ft\v + mgc* + 2Лтос2 (vQ - v). A25.6)
Вычитая A25.5) из A25.6), получим
0-v). A25.7)
Заметив, что таA — иа/с2) = т2A — ра) = т\ и произведя про-
простые преобразования в A25.7), найдем
c(v0 — v)=-JLvov(l — соэф), A25.8)
или
¦7-^ = ^7A—:°5Ф>- <125'9)-
Вычисляя отсюда v, найдем
A25.10)
Это и есть формула для измененной частоты.
Из A25.10) легко получим для изменения длины волны фор-
формулу, которой чаще всего пользуются на практике. Принимая
во внимание, что c/v = X и c/v0 = \o, найдем
\ = -j^j A — cos ф
ДА. = 2-^ sjn21. A25.11)
Величина А/тоС, имеющая размерность длины, есть комбинация
трех универсальных постоянных; она называется комптоновской
длиной волны и обозначается через Л:
0
ЭЛРМЕНтАРНДЯ ТЕОРИЯ ЭФФЕКТА КО(
399
Окончательная формула для изменения длины волны при рас-
рассеянии имеет вид
ДЯ = 2Лsin2 = 0,048 • s(nB|-. A25.12)
Из этой формулы видно, что для ф = 0 ДА. = 0, для ф = 90"
АХ = Л и, наконец, для ф = 180° Д?„ = 2Л.
На рис. 190 и 191 вычисленные положения смещенных линий
отмечены вертикальными прямыми. Как видно, максимумы экс-
экспериментально измеренных линий очень хорошо совпадают с
предсказанными по формуле A25.12). Из наиболее точных изме-
измерений величина h/tnoc получается равной
("^"Ltn= ('°>02424 ± °.°0004) А
в хорошем совпадении с теоретической величиной, вычисленной
по наиболее точным значениям h, mo и с:
(JL)j ^ ={0,024265,,,+0,0000057) А.
Формула A25.11) показывает, что комптоновское смещение
не зависит от длины волны первичного излучения. Поэтому,
если бы можно было наблюдать эффект Комптона в видимом
спектре, то для крайней фиолетовой части (>, = 4000 А) он со-
составлял бы тысячные доли процента основной длины волны; для
рентгеновских лучей средней жесткости (Я, ~ 0,5 А) он состав-
составляет уже около 10%, а для у-лучей величина его порядка самой
длины волны.
Нам осталось еще объяснить, почему в рассеянном излуче-
излучении наряду со смещенной линией наблюдается и несмещенная:
из теории, изложенной выше, это не вытекает. Однако при рас-
рассмотрении механизма рассеяния мы предполагали, что фотон
«соударяется» со свободным электроном. Для легких атомов и
для периферических, слабо связанных электронов такое предпо-
предположение вполне оправдано, так как энергия связи электрона
(несколько электрон-вольт) ничтожно мала по сравнению с
энергией фотона рентгеновских лучей. Ио внутренние электроны,
особенно в тяжелых атомах, связаны настолько прочно, что их
уже нельзя рассматривать как свободные. Поэтому при «соуда-
«соударении» фотон обменивается энергией и количеством движения
с атомом в целом. Так как масса последнего очень велика, то,
по закону сохранения количества движения, фотон не передает
ему своей энергии и количества движения; следовательно, hv
при рассеянии не изменяется.
На основании этих соображений можно качественно оценить
соотношение интенсивностей смещенной и несмещенной линий
в зависимости от массы атома. В легких атомах все электроны

400
СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
связаны слабо; наоборот, в тяжелых атомах только перифериче-
периферические электроны связаны слабо. Поэтому можно ожидать, что
при увеличении атомного номера при одинаковых условиях на-
наблюдения интенсивность смещенной линии будет падать, а ин-
интенсивность несмещенной — возрастать. Это и наблюдается на
самом деле, как показывает рис. 191.
Из аналогичных соображений следует, что в видимой части
спектра эффект Комптона вовсе не может наблюдаться,
С оптической (волновой) точки зрения различие между сме-
смещенной и несмещенной линиями спектра рассеянного рентгенов-
рентгеновского излучения состоит в том, что в первом случае мы имеем
дело с некогерептным, а во втором —с когерентным рассеянием.
В самом деле, уже тот факт, что при комптонопском рассеянии
происходит смещение длины волны, т. с. изменение частоты,
указывает на то, что между падающим и рассеянным излуче-
излучением в этом случае когерентность отсутствует. Напротив, рас-
рассеянное излучение, дающее несмещенную линию, когерентно с
падающим, и ряды волн, рассеянных различными атсмамн, коге-
когерентны между собой. Это видно также из картины интерферен-
интерференции рентгеновых лучей в кристаллах (см, § 33), особень-, на-
наглядно — цз рассмотрения рассеяния в кристаллах монохрома-
монохроматических рентгеновых лучей по Брэггу (§ 34), В этом случае
волны, рассеянные различными слоями атомов кристаллической
решетки, ир[терферируют между собой, давая в конечном резуль-
результате интерференционное отражение, подчиняющееся формуле
Вульфа — Брэгга: п% = 2dsinO.
§ 126. Электроны отдачи
До слх пор мы сосредоточивали внимание па изменении
спектра при рассеянии рентгеновских лучей Простой расчет
смещения, приведенный в § 125, показывает, что каждый эле-
элементарный акт рассеяния должен сопровождаться появлением
быстрого электрона, получившего толчок со стороны фотона.
Подсчитаем изменение кинетической энергии электрона при рас-
рассеянии
По закону сохранения энергии это изменение должно быть
равно разности энергии фотона до рассеяния и после рассеяния
Отношение Eh к первоначальной энергии фотона равно
Я + ДЯ Я Я + ДА
026.1)
§ 126]
откуда
При
во внимание (S25.10), получим
A26.2)
Подсчитаем по этой формуле, какую часть энергии первич-
первичного фотона получает электрон отдачи. При h = 10Л = 0,24 А
(жесткие рентгеновские лучи) и ф = 90° Ekjhv составляет всего
Vh и только для % = А = 0,024 А (область >>-лучей) при ф = 90°
отношение E/,/ftv = 1/2. Таким образом, для не слишком жест-
жестких рентгеновских лучей электрон отдачи получает сравнитель-
сравнительно малую часть всей энергии фотона. Это позволяет отличать
электроны отдачи от «фотоэлектронов», возникающих при пол-
полном поглощении фотона атомом, так как согласно уравнению
Эйнштейна в последнем случае электрон приобретает энергию
порядка величины самого фотона,
На рис. 193 приведена полярная диаграмма, показывающая
соотношение направлении и энергий рассеянных фотонов (ftv) и
электронов отдачи (?). Диа-
Диаграмма вычерчена для случая ,--'" """--.
Хо = Л, т, е, для жестких лу- _,-'\
чей; поэтому энергия электро-
электронов отдачи здесь составляет
заметную долю энергии пер-
первичного фотона (Ь-о)-Как вид-
видно из диаграммы, электроны
отдачи должны выбрасываться
по преимуществу вперед, по
направлению первичного фо-
¦. 193. По.1
ИНЫХ фОЮ
Предсказание теории Ком-
Комптона относительно необходи-
необходимости появления электронов
отдачи при рассеянии рентгеновских и у-лучей было
отдачи при рассеянии рентгеновских и у-лучеи чыли ncviwicnnu
подтверждено опытами с камерой Вильсона. На фотографиях
(рис. 194), снятых при прохождении рентгеновских лучей в воз-
электрон

402 , СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ (ГЛ. IX
Заметим, что так как на сообщение скорости электронам от-
отдачи затрачивается энергия, то с возникновением их связана
абсорбция падающих рентгеновских или у-лучей. Обозначим
коэффициент этой абсорбции через о, а коэффициент обычной
или «фотоэлектрической» абсорбции через т. Тогда мы можем
ожидать, что между числом коротких траекторий электронов
194. Следы
ггропс
омере Вил!
отдачи JVr и числом длинных траекторий фотоэлектронов JVP
должно иметь место соотношение
NrINp = а/г.
Опыт показывает, что коэффициент абсорбции т убывает с
уменьшением длины волны пропорционально X3, а о медленно
изменяется с длиной волны. Поэтому при уменьшении X отно-
отношение JVr/JVp должно быстро возрастать. Таблица XVII показы-
показывает, что это имеет место на самом деле. Отсюда следует, между
прочим, что абсорбция жестких у-лучей почти исключительно
связана с растратой энергии на создание электронов отдачи, а
не с фотоэффектом.
Обширные исследования электронов отдачи были выполнены
советским физиком Д. В. Скобельцыным. Для определения на-
начальных энергий этих электронов Скобельцын использовал осо-
особый метод наблюдения, сыгравший впоследствии важную роль
при изучении быстрых частиц космических лучей. Этот метод,
впервые примененный П. Л. Капицей при исследовании природы
КЕ АКТЫ PACCEi
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Таблица XVII
на волны
0,71
0,44
0,29
0,20
0,17
0,13
"rfp
0,10
0,9
2.7
[7
72
0,27
3,8
10
17
32
сс-частиц (см. стр. 97), состоит в том, что камера Вильсона по-
помещается в сильное магнитное поле и по радиусам кривизны
вильсоновских траекторий определяется энергия электронов.
Одна из таких фотографий Скобельцына приведена на рис. 195
(рассеяние у лучей RaC). При помощи этого метода Скобель-
Скобельцыну удалось решить ряд важных вопросов, связанных с погло- •
щением у-лучей.
§ 127. Элементарные акты рассеяния и законы сохранения
В § 121 мы видели, что опыт с элементарным фотоэффектом
на висмутовой пылинке естественнее всего объясняется, если
представить себе, что энергия рентгеновских лучей распростра-
распространяется не в виде сферических волн, а в виде фотонов. Средний
промежуток времени между двумя элементарными актами фото-
фотоэффекта Kaic раз соответствует вероятности того, что один из
фотонов, наудачу «выстреливаемых» из антикатода, попадает в
«мишень», представляемую висмутовой пылинкой. Эффект
Комптона, рассмотренный в предыдущих параграфах, свиде-
свидетельствует об этом с еще большей ясностью.

4С( СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ [ГЛ IX
В самом деле, весьма грубая модель соударяющихся билли-
биллиардных шаров позволяет легко объяснить все существенные
черты явления. Мы даже можем наблюдать один из этих «бил-
«биллиардных шаров» — электрон отдачи, который движется после
рассеяния точь в точь так, как если бы перед этим его, по выра-
выражению Комптона, «стукнул фотон».
Если бы мы попытались объяснить это явление с чисто клас-
классической точки зрения, т. е. рассматривая рентгеновские лучи
как сферические волны, а электроны — как обычные частицы
(грубо говоря, шарики), то для этого пришлось бы принести
слишком тяжелую жертву: отказаться от применимости законов
сохранения энергии и количества движения к элементарным ак-
актам рассеяния. Это вытекает из следующих соображений. Сфе-
Сферическая волна равномерно действует на все электроны, застав-
заставляя их совершать вынужденные колебания; вследствие ничтож-
ничтожной величины сечения электрона доля энергии и импульса,
приходящаяся на каждый электрон, чрезвычайно мала. Между
тем при комптоновском рассеянии появляются электроны от-
отдачи, каждый из которых несет заметную долго энергии и им-
импульса первичной волны. Для того чтобы понять, откуда они
берут эту энергию и этот импульс, пришлось бы допустить, что
происходит постепенное накопление энергии в течение длитель-
длительных промежутков времени. Но это нельзя согласовать с тем
фактом, что эффект Комптона возникает как на слабо связан-
связанных электронах (которые могут накоплять энергию), так и на
свободных электронах (например, в металлах).
Желая спасти волновые представления, Бор, Крамере и Слэ-
тер в 1923 г. сделали даже попытку построить теорию, согласно
которой законы сохранения энергии и импульса при рассеянии
выполняются лишь статистически, в среднем за большие про-
промежутки времени, но к элементарным актам неприменимы. По
этой теории рассеяние должно происходить непрерывно, но
электроны отдачи испускаются совершенно случайно. Оба про-
процесса — рассеяние волн и испускание электронов отдачи — меж-
между собою не координированы. Теория эта, в основе которой ле-
лежит отрицание таких твердо установленных основных законов
природы, как законы сохранения энергии и количества движе-
движения, неприемлема уже с методологической точки зрения. Как и
следовало ожидать, несостоятельность ее вскоре была показана
экспериментально.
Опыты, установившие выполнение законов сохранения энер-
энергии и количества движения в элементарных актах рассеяния
рентгеновских лучей, основаны на следующих соображениях.
Согласно «теории игры на биллиарде», требующей применения
законов сохранения к элементарным актам рассеяния, оба про-
процесса должны быть связаны между собой и во всяком случае
§ 128]
"РЖДЕНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНОВ СОХРЛ1
405
должны происходить одновременно. По статистической же тео-
теории Бора, Крамерса и Слэтера оба процесса совершенно неза-
независимы друг от друга.
Для проверки той и другой теорий оказалось возможным
поставить соответствующие опыты. Если законы сохранения
энергии и импульса применимы к элементарным актам рассея-
рассеяния, то неизбежно должен выполняться ряд следствий. Напри-
Например, в противоположность требованию статистической теории
каждому электрону отдачи должен соответствовать одновремен-
одновременно с ним рассеянный фотон (фотоэлектрон в нашей модели).
Кроме того, между углами полета электрона отдачи и фотона
после рассеяния должно существовать определенное соотноше-
соотношение. Это соотношение иллюстрируется полярной диаграммой
рис. 193; оно может быть получено непосредственным вычисле-
вычислением, если воспользоваться законами сохранения [формулы
A25.2) и A25.4)] и заменить векторное уравнение A25.4) двумя
скалярными в проекциях па оси координат. Получающееся соот-
соотношение имеет вид
где а = А/К; обозначения углов см. на рис. 192.
Опыты были поставлены в 1925 г. Боте и Гейгером, с одной
стороны, и Комптоном и Саймоном — с другой. Опыты эти с
полной определенностью показали неправильность основной
предпосылки статистической теории о неприменимости законов
сохранения к элементарным актам рассеяния. Вместе с тем они
послужили наилучшей иллюстрацией целесообразности корпу-
корпускулярных представлений для объяснения некоторых свойств
света. Впоследствии A936—1937 гг.) аналогичные опыты были
повторены вновь с улучшенной техникой и в разнообразных фор-
формах. И в этих новых опытах так же, как и в прежних, только
с большей точностью и убедительностью, была подтверждена
применимость законов сохранения к элементарным актам рас-
рассеяния рентгеновских и -улучей. Из этих опытов мы опишем
наиболее характерные, а именно, первый опыт Боте и Гейгера
и опыт Комптона п Саймона.
§ 128. Экспериментальное подтверждение применимости
законов сохранения к элементарным актам рассеяния
Опыт Боте и Гейгера был поставлен для того, чтобы убе-
убедиться в одновременности появления электрона отдачи и рас-
рассеянного фотона. Узкий пучок рентгеновских лучей (рис. 196)
проходил в атмосфере водорода между двумя счетчиками Гей-
Гейгера. Водород был избран потому, что он слабо поглощает
рентгеновские лучи, но достаточно сильно их рассеивает. Один

406
СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ
1ГЛ. 1
§ 128) ПОДТВЕРДИ
1ИЕ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНОВ
из счетчиков (левый на рис. 196) был закрыт платиновой фоль-
фольгой и наполнен воздухом, другой был открыт и, следовательно,
наполнен водородом. При этих условиях левый счетчик не реа-
реагировал на электроны отдачи, так как они поглощались плати-
платиновой фольгой, но реагировал на фотоны, которые, пройдя через
фольгу, могли вырвать фо-
фотоэлектрон из воздуха, сте-
стенок счетчика или самой
фольги. Правый же счетчик
почти не реагировал на
фотоны, так как они весьма
слабо поглощаются водоро-
водородом, но зато сильно реаги-
реагировал на электроны отдачи.
Так как далеко «е каждый
фотон, попадавший в левый
счетчик, заставлял его ра-
работать, то не каждому от-
отбросу электрометра, связанного с правым счетчиком, можно
было сопоставить отброс электрометра левого счетчика. Наобо-
Наоборот, если совпадение действительно имеет место, то каждому
отбросу счетчика квантов должен соответствовать отброс счет-
счетчика электронов. В действительности это соблюдалось не совсем
точно, но число совпадений было настолько велико, что по ста-
статистическому подсчету Боте и Гейгера можно поставить 150000
против 1 за то, что совпадения не случайны, но обусловлены
одновременностью факта рассеяния и появления электронов
отдачи.
Опыт Комптона и Саймона и его усовершенствованная моди-
модификация, осуществленная Крэйпом, Гертнером и Турином, были
поставлены с камерой Вильсона для того, чтобы проверить, осу-
осуществляется ли соотношение между углами полета электрона
отдачи а рассеянного фотона, требуемое законами сохранения
[см. диаграмму рис. 193 и формулу A27.1)]. Чтобы понять идею
этого опыта, обратимся к диаграмме рис. 193.
Пусть, например, при рассеянии электрон отдачи полетел в
направлении нижней стрелки 5; тогда, по законам сохранения,
.рассеянный фотон должен полететь в направлении верхней
стрелки 5. Углы между нижней и верхней стрелками 5 и стрел-
стрелкой / удовлетворяют соотношению A27.1). Направление нижней
стрелки а действительном опыте установить легко, так как каж-
каждый электрон отдачи вызывает в камере Вильсона заметный
след. Но фотон сам не ионизует воздуха; поэтому направление
соответствующей верхней стрелки в камере Вильсона непосред-
непосредственно установить нельзя. Косвенным образом это можно сде-
сделать так: если рассеянный фотон будет поглощен где-нибудь
внутри камеры, то он даст длинный след фотоэлектрона. Соеди-
Соединяя начало этого длинного следа с началом короткого следа
электрона отдачи, можно получить обе стрелки. Известная .не-
.неопределенность, которая при этом остается, связана с тем, что
нельзя с достоверностью утверждать относительно найденного
фотона, что это именно тот, который при рассеянии вызвал фик-
фиксированный нами электрон отдачи. Поэтому выводы из опыта
можно делать только на основании достаточно большого стати-
статиРис. 197. С.
Опыт был выполнен не с рентгеновскими лучами, но с жест-
жесткими у-лучами, чтобы увеличить энергию электронов отдачи if
этим повысить точность опыта. Источник у-лучей помещался б
конце узкого канала в толстом свинцовом блоке; параллельный
пучок фильтрованных ^-лучей, выйдя из канала, попадал в ка-
камеру Вильсона. Рассеивающим телом служил кусок целлулоида,
помещенный в центре камеры. Чтобы увеличить вероятность по-
поглощения рассеянного фотона внутри камеры, с той и другой
сторон от рассеивающего тела располагалось по две свинцовые-
пластинки. Камера помещалась в магнитное поле, перпендику-
перпендикулярное к плоскости чертежа. Это давало возможность не только
найти направление полёта электрона отдачи, но и определить
по кривизне следа энергию этого электрона (метод Скобель-
Скобельцына, см. § 126). Такая постановка опыта имела следующее
преимущество: по углу полета электрона отдачи и его энергии
можно при помощи теории Комптона найти соответствующий
угол полета рассеянного фотона без каких бы то ни было пред-
предположений относительно энергии падающего фотона. Это пре-
преимущество существенно потому, что нельзя быть уверенным в
чистоте фильтрации первичных ¦у~лУчей, а следовательно, и
нельзя с полной уверенностью приписать падающему фотону

определенную энергию. На рис. 198 в качестве примера приве-
приведены три снимка, на которых виден электрон отдачи (в середине
камеры) и место поглощения рассеянного фотона (у крайней
верхней свинцовой пластинки). При обработке фотографий по
углу полета электрона отдачи и его энергии вычислялся угол
полета рассеянного фотона, и результат вычислений Сравнивался
с углом, найденным на фотографик. Всего было сделано около
10 000 фотографий, на которых было найдено 300 комбинаций
электрон — фотон. В результате обработки оказалось, что в чис-
числе случаев, далеко превосходящем возможность случайного сов-
совпадения, наблюденный угол полета рассеяного фотона совпа-
совпадает с вычисленным.
Таким образом, в настоящее время не может быть никакого
сомнения в том, что законы сохранения энергии и количества
движения при элементарных актах рассеяния рентгеновских и
у-лучей выполняются.
§ 129. Эффект Мёссбауэра
В предыдущих параграфах мы видели, что рассеяние рент-
рентгеновских и ^-лучей свободными электронами можно рассматри-
рассматривать как упругое «соударение» фотона с электроном. При этом
оказалось, что все расчеты, основанные на применении к подоб-
подобного рода «соударениям» законов сохранения энергии и им-
импульса, ведуг к результатам, безупречно подтверждающимся на
опыте.
Однако закон сохранения импульса должен иметь место не
только при рассеянии, но и при любых взаимодействиях фотонов
с атомными объектами, в частности он должен иметь место
также при поглощении и испускании фотонов атомами.
В оптике известно явление, называемое резонансным излуче-
излучением. Оно заключается в том, что атомы нередко с особенно
большой вероятностью поглощают свет такой частоты, которая
соответствует разности энергий между нормальным уровнем и
ближайшим к нему возбужденным. Поглотив свет этой частоты,
атом переходит в возбужденное состояние и через промежуток
времени, равный Времени жизни возбужденного состояния
(т ~ 10~7— 10~8 сек), вновь испускает фотон той же самой ча-
частоты. Практически это явление наблюдается, когда излучаю-
излучающими и поглощающими являются атомы одного и того же ве-
вещества. Например, если освещать пары натрия светом желтой
линии Я, = 5889,6 А, излучаемой возбужденными атомами нат-
натрия же, то этот свет будет интенсивно поглощаться атомами
натрия, которые будут в свою очередь излучать свет той же
длины В0Л1Ш. Отсюда и название — резонансное излучение.
Аналогичное явление наблюдается в парах ртути и во многих
других случаях.
При обсуждении условий возникновения этого резонансного
излучения принимается во внимание только одно, а именно, что
частота поглощаемого фотона должна быть такой, чтобы энер-
энергия фотона /iv была как раз достаточна для перевода атома с
нормального на ближайший к нему возбужденный уровень, т- е.
чтобы имело место равенство hv = Е2 — ?i- Другими словами,
учитывается закон сохранения энергии, но условие сохранения
импульса не принимается во внимание,
Ядра атомов также имеют квантовые уровни энергии — нор-
нормальный и возбужденные — и переходы между этими уровнями
ведут к возникновению коротковолнового электромагнитного из-
излучения в виде ^-лучей. Однако попытки осуществить с ул\чами
резонансное поглощение долгое время не приводили к положи-
положительному результату. Причина этого состояла именно в том, что
при таких попытках руководствовались одним только законом
сохранения энергии, т. е. автоматически переносили на ядра
атомов и на у-л)чл то, что известно было для электронной обо-
оболочки и для оптической части спектра. Между тем тот факт, Что
частота, а следовательно также энергия и импульс у-фотоаов на
много порядков величины больше соответствующих значений
для фотонов оптической части спектра, влечет за собой необхо-
необходимость принимать во внимание как закон сохранения энергии,
так и закон сохранения импульса не только при обсуждении
условий рассеяния, но и поглощения у-лучей.

.4@ СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ [ГЛ. IX
Разберем этот вопрос более детально, Если фотон действи-
действительно, подобно материальной частице, обладает импульсом, то
процесс излучения его атомом или ядром должен сопровож-
сопровождаться отдачей, совершенно так же как выстрел из орудия со-
создает отдачу, следствием которой является движение орудия в
-сторону, обратную вылету снаряда. Если при этом в случае
атома импульс отдачи достаточно велик, чтобы сообщить «вы-
«выстреливающему» атому отличную от нуля скорость, то, котя в
системе координат самого атома освобождается энергия, равная
разности уровней Е%— Е\, в лабораторной системе координат
(см. § 45) энергия освобождаемого фотона будет несколько
меньше этой величины, так как часть энергии пойдет на сообще-
сообщение скорости самому атому вследствие отдачи. Аналогично, при
поглощении, энергия, необходимая для осуществления кванто-
квантового перехода Е\ -* Ег, в системе координат атома равна
Е,—Е2, но в лабораторной системе координат для осуществле-
осуществления этого перехода должна быть затрачена несколько большая
энергия, так как вследствие импульса фотона (световое давле-
давление) часть ее должна пойти на сообщение некоторой скорости
всему атому.
Этим качественным соображениям легко придать количе-
количественную форму. Импульс отдачи р, получаемый ядром при
испускании фотона, равен Avg/c, а кинетическая энергия, приоб-
приобретаемая атомом вследствие отдачи, равна
где М — масса ядра. Но, в силу закона сохранения энергии, эта
энергия берется за счет разности энергий уровней Ег — Е\, пере-
переход между которыми, при отсутствии затраты на отдачу, по-
повел бы к испусканию фотона с энергией hvo^= Е2 — Е^ Итак,
освобожденный фотон должен иметь энергию
AvBCB = Av0-«. A29.2)
Обратно, чтобы возбудить ядро, сообщив ему энергию
Ег—•Ей нужно затратить энергию, большую Avo на величину R:
избыток энергии передается атому (или ядру), что необходимо
для соблюдения закона сохранения импульса. Итак,
А*мм = Аув+Я. A29,3)
Таким образом, частоты линий испускания и поглощения
смещены относительно друг друга на величину vaOm— vHcn =
= Av, удовлетворяющую условию А Дv = 2R.
Подсчитаем теперь величину R в двух случаях: а) для сере-
середины видимого спектра; б) для ¦уизлучения. Пусть, для при-
примера, в случае а) К = 5000 А = 5-10~5 см и массовое число
атома М = 100 атомных единиц. Подсчитаем в "электрон-воль-
"электрон-вольтах величины Avo и Же2 A эе = 1,6- Ю~иэ):
В случае б) положим для величины фотона ^-лучей hvo =
= 500 кэв = 5-105 эв и М — по-прежнему 100 атомных единиц.
Здесь
Итак, в случае a) hAv = 6-10~и эв, т. е. линии поглощения а
испускания практически полностью перекрываются, благодаря
чему резонансное поглощение может осуществляться. Напро-
Напротив, в случае б) максимумы поглощения и испускания, смещен-
смещенные на величину, равную 21?, разделены большим расстоянием
Рис. 199. Поло:
V-лучей 1г'
B,5 эе). На рис. 199 представлено относительное расположе-
расположение кривых испускания и поглощения ¦улучей с энергией фо-
фотона Av0 = 129 кэв, испускаемых радиоактивным изотопом ири-
иридия 1г191. Ясно, что лишь ничтожная доля невозбужденных ядер
1г191 способна испытать резонансный захват излучения hv0 =
- 129 «эе.
129 «эв.
Чтобы улучшить перекрытие обеих кривых и тем самым сде-
сделать доступным наблюдению резонансное поглощение, было-
предложено и с успехом использовано смещение частоты линии
испускания за счет эффекта Допплера. В случае линии ]г|В1

200.
i у-лучей.
/tvo = 129 кэв, как показывает подсчет, для компенсации сме-
смещения 2R скорость источника должна быть равна 1,1-105 см/сек.
Схема опыта изображена на рис. 200. Здесь Я —источник у-из-
лучения, укрепленный на роторе ультрацентрифуги, приводив-
приводившейся в быстрое вращение; скорость вращения можно было по
произволу менять. На протяжении
отрезка пути, изображенного
жирной дугой М, v-лучи источни-
источника могли выходить наружу из за-
защитного ящика РЬ; число фото-
фотонов, после прохождения через
поглотитель Я, подсчитывалось
счетчиком фотонов Д. Если ме-
менять скорость вращения центри-
центрифуги, то вследствие эффекта Доп-
плера будет меняться и частота
у-лучей. Очевидно, что, чем пол-
полнее будет при этом компенсация
относительного сдвига кривых
поглощения и испускания, тем сильнее будет поглощение в по-
поглотителе П и тем меньшее число фотонов зарегистрирует счет-
счетчик. Таким путем удалось обнаружить слабо выраженное
резонансное поглощение.
Исследование резонансного излучения у-лучей вступило в но-
новую фазу, когда в 1958 г. германский физик Р. Мёссбауэр открыл
повое в высшей степени замечательное явление. На теории этого
явления (эффект Мёссбауэра) мы здесь останавливаться не мо-
можем *) и ограничимся намеком. Суть в том, что возбужденное
ядро, которое мы до~ сих пор рассматривали как свободное, на
самом деле входит в состав кристаллической решетки, атомы ко-
которой совершают колебания около положения равновесия, т. е.
являются осцилляторами. Ясно, что в том случае, когда средняя
энергия отдачи, обусловленной излучением или поглощением,
значительно меньше энергии осциллятора решетки, большинство
переходов в ядре не сопровождается передачей энергии осцил-
осцилляторам, т. е. происходит без отдачи. При этом в области у-лу-
чей, так же как в оптической области, становится возможным
полный резонанс. Линии поглощения и излучения при этих усло-
условиях характеризуются естественной шириной (см. § 72), которая
в области у-лучей очень узка, как это видно из приводимых ниже
цифр.
Чтобы показать это и имеете с тем промерить ход кривой
поглощения, Мёссбауэр воспользовался тем же расположением
опыта, которое изображено на рис. 200- Вращая источник с
•) См. Г. 1
им, Эффект Мёссбауэра. «Мир». 1966.
S [Й] ЭФФЕКТ МЁССБАУЭРА 413
различной скоростью, он менял за счет эффекта Допплера час-
частоту у-излучения, проходящего через поглотитель П. Интенсив-
Интенсивность излучения за поглотителем, регистрируемая счетчиком,
характеризовала интенсивность поглощения в П, Оказалось,
что в условиях, когда поглощение происходит «без отдачи», ре-
резонанс обладает исключительной остротой. Об этом можно су-
судить по следующим данным: в случае 1г19' у-нзлучение с фото-
фотоном 129 кэв обнаруживало слабый резонанс при скорости ро-
ротора порядка нескольких десятков тысяч см/сек. Напротив, в
условиях резонанса без отдачи достаточно было скорости в не-
несколько см/сек, чтобы полностью подавить ядерное потлощение;
например, поглощение падает наполовину при скорости
1,5 см/сек\ Кривая рис. 201 демонстрирует это (обратить вни-
внимание на шкалу v см/сек). Полуширина линии поглощения, по-
показанной на этом рисунке, составляет всего 4,5-10~6 эв.
Описанная картина резонансного поглощения страдает не-
некоторой упрощенностью. В действительности линия, характе-
характеризуемая одной только естественной шириной, не является
единственным результатом поглощения, но накладывается на
значительно более широкий фон. Высота (или — точнее — глу-
глубина; см. рис. 201) максимума этой линии определяется веро-
вероятностью поглощения без отдачи, которая значительно меньше
100%.. Квантовая теория этого процесса была развита Мёссбауэ-
ром и привела к формулам, которые позволяют заранее оценить
условия, благоприятствующие возможности наблюдения резо-
резонансного поглощения без отдачи.

СВЕТОВЫЕ КВА
Свойства приведенного в качестве примера изотопа 1г1И
(hvo = 129 кэв) таковы, что для наблюдения резонансного
поглощения необходимо охлаждать образец до температуры жид-
жидкого гелия (Т = 4,2°К). О том, насколько узкая линия при этом
излучается, можно судить по отношению полуширины линии Г
(выраженной в энергетических единицах) к энергии фотона Е;
для этой линии оно равно Т/Е = 2-101 и в Ю4 раз меньше, не-
нежели соответствующая величина для видимой части спектра.
Еще более благоприятными свойствами обладает изотоп же-
железа Fe57. Он позволяет наблюдать резонансное поглощение уже
при комнатной температуре. Отношение Т/Е в этом случае
равно 3- 103, т. е. еще на два порядка меньше, нежели в слу-
случае 1г191. Известен также и ряд других изотопов, у которых на-
наблюдается эффект Мёссбауэра.
§ 130. Некоторые применения эффекта Мёссбауэра
Необычайно малая ширина линии резонансного испускания
в эффекте Мёссбауэра, особенно в случае линии 14,4 кэв Fe57,
позволяет наблюдать некоторые очень тонкие и важные эф-
эффекты. Мы рассмотрим здесь два из возможных применений
эффекта Мёссбауэра: допплер-эффект второго порядка и сме-
смещение спектральных линий в гравитационном поле (так назы-
называемое «красное смещение» в гравитационном поле).
А. Допплер-эффект второго порядка. -Из оп-
оптики известно, что смещение спектральной линии вследствие
эффекта Допплера равно
~- = — cos а,
где v — скорость источника свега и а — угол между направле-
направлением скорости источника и направлением луча зрения. Наблю-
Наблюдаемая частота равна
v = vo(l — 7cosa)" A30.1)
При выводе этой формулы не учитывается, что в специаль-
специальной теории относительности при переходе к другой системе
координат, равномерно движущейся относительно первой, пре-
преобразуются не только пространственные координаты (см. § 67),
но и время. Если принять во внимание преобразование времени,
то вместо A30.1) получается*)
I v \
v=—L^jJ^l. Aзо,2)
•) Си. ,ш
ИЛ. 1947, стр. ;
НЕКОТОРЫЕ
1ИЯ ЭФФЕКТА МЁССГ.АУЭРА
415
Таким образом теория относительности требует, чтобы, на-
наряду со смещением, зависящим от первой степени отношения
v/c, существовал эффект, зависящий от квадрата этого отноше-
отношения и не зависящий от направления, скорости. Для случая,
когда v/c <g; 1, имеем
Очевидно, что релятивистский эффект, зависящий от (и/сJ, су-
существенно перекрывается значительно большим эффектом пер-
первого порядка. Поэтому обнаружение и измерение эффекта вто-
второго порядка есть деликатная экспериментальная задача.
Айве, который впервые проверил формулу A30.2) па при-
примере линии Щ водорода, испускаемой быстро движущимися
атомами в каналовых лучах, исключал эффект первого порядка,
фотографируя спектр па одну и ту же пластинку дважды: в
направлении полета каналовых лучей (а = 0) и в противо-
противоположном направлении (а = 180°). Это дает
Отсюда не зависящее от знака v релятивистское смещение по-
получается путем усреднения
, + v
Интерес и важность этого эффекта обусловлены тем, что в
нем проявляется релятивистский эффект «замедления времени»
в движущихся системах. В самом деле, поскольку излучаемая
частота характеризует строго периодический процесс, излучаю-
излучающий атом можно рассматривать как «часы». Но, согласно
формулам преобразований Лоренца для времени (§ 61), проме-
промежуток времени At' в движущейся системе координат связан
с промежутком времени в лабораторной системе координат At
соотношением
- At' (
Поэтому
At' = At(l — v2/2c2), A30.3)
т. е. в движущейся системе происходит «замедление времени»
в соответствии с формулами для допплер эффекта второго по-
порядка.
Допплер-эффект второго порядка отчетливо наблюдается в
процессе резонансного поглощения и испускания без отдачи.

Ядра кристаллической решетки благодаря тепловым колеба-
колебаниям находятся в непрерывном движении около положения
равновесия. Вследствие этого Средняя скорость v, а с нею и
допплер-эффект первого порядка равны нулю, Однако средняя
квадратичная скорость v2/c2 за время жизни радиоактивного
ядра (в случае Fe67 — 10~7 сек) приобретает устойчивое значе-
значение (периоды колебаний решетки порядка 10-'г сек~у). Так как
ширина линии Мёссбауэра в Fe" очень мала (Т/Е = 3- 10~1й),
то уже при «расстройке» частот излучателя и поглотителя на
па 10"l2v резонанс практически полностью снимается. Но час-
частота в движущейся системе (излучающее ядро) связана с час-
частотой в лабораторной системе (поглощающее ядро) соотноше-
а усреднение скорости дает
v' = v(l — tfl2c\
т. е. пак раз частоту, соответствующую релятивистском) «за-
«замедлению времени» по формуле A30.3), Так как в эту формулу
входит средняя квадратичная скорость, то самый эффект дол-
должен зависеть от температуры, Поэтому, если излучающее и по-
поглощающее ядра находятся при одинаковой температуре, то
смещение о. обоих ядрах будет одинаково и эффект не про-
проявится. Напротив, при различии температур излучателя и по-
поглотителя должно наблюдаться относительное смещение частот
перехода, расстр а икающее резонанс. Американские физики
Паунд и Ребка произвели соответствующие эксперименты и
показали, что в зависимости от разности температур наблю-
наблюдается смещение, вполне удовлетворительно согласующееся с
вычисленным теоретически для случая Fe57,
В связи с этим сделаем дополнительно два замечания:
1. Как мы видели, допплер-эффект второго порядка есть
просто следствие релятивистского замедления времени в дви-
движущихся системах, Однако проявление этого замедления в эф-
эффекте Мёссбауэра и его экспериментальное подтверждение оп-
оправдывают не только эффект замедления времени, но и выте-
вытекающий из него так называемый парадокс часов, Последний
состоит в том, что если имеется двое тождественные часов
в одном и том же месте, то их показания мог>т обнаружить
различия в зависимости от разницы их предыстории. «Часами»
ъ данном сл>чае являются излучающее и поглощающее ядра.
При этом ядро поглотителя сравнивает (наличие полного резо-
резонанса или его расстройка) частоту (показание) своих часов
с показаниями часов излучателя, а чувствительность к обнару-
обнаружению расстройки (в случае Fe" I : 10t2) недостижима пи для
§ 130] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ЭФФЕКТА МЁССБАУЭРА 417
, каких других методов. Тот факт, что при различных температу-
температурах излучателя и поглотителя обнаруживается смещение резо-
резонанса, как раз и указывает на зависимость показаний обоих
«часов» от их Предыстории, т, е. подтверждает «парадокс часов».
2. Влияние температуры на резонансное поглощение и ис-
испускание может быть также интерпретировано энергетически.
Интерпретация состоит в следующем. Хотя при любой темпера-
температуре излучение и поглощение происходят без отдачи, т- е. им-
пульс у-ф°тона '1V/C не меняется вследствие отдачи, величина
Av немного изменяется по другой причине. Эта причина состоит
в следующем; так как прИ излучении ядро переходит из воз-
возбужденного состояния в нормальное, то его энергия изменяется,
а вследствие этого меняется и масса по релятивистскому соот-
соотношению ДМ = Ejc2, где Е~ энергия перехода. Поэтому изме-
изменится также и Средняя кинетическая энергия. Действительно,
так как R = р2/2М, причем р — hv/c = const (излучение без от-
отдачи), то
Далее, ввиду того, что энергия перехода с возбужденного на
нормальный уровень распределяется между энергией излучае-
излучаемого фотона и затратой на увеличение кинетической энергии
решетки, то излучаемая энергия будет равна
Е--,
? = h-^-jE,
т. е. частота фотона, излучаемого без отдачи, должна изме-
изменяться на фактор A — с!/2сг), точно такой же, какого требует
допплер-эффект второго порядка.
Б, Гравитационное красное смещение спект-
спектральных линий. Одним из следствий общей теории от-
относительности, доступных для экспериментальной проверки, яв-
является воздействие гравитационного поля на частоту спект-
спектральных линий Однако эффект этот очень мал, так, например,
свет, исходящий от поверхности Солнца, должен испытывать
смещение в красную сторону, относительная величина которого
равна
M,/fc = 2,l2' 10~6.
Астрономические измерения, выполнявшиеся начиная с 1919 г.,
При всех солнечных затмениях, качественно подтверждали Суще-
Существование этого эффекта «гравитационного красного смещения
спектральных линий» путем наблюдения смещения положения
звезды, расположенной вблизи солнечного диска, однако из-за
малой величины смещения количественные результаты были не
все|да Убедительны.

CBETORblE tfBAT
i ПРИМЕНЕНИЯ
419
Очень малая ширина линии Мёссбауэра и связанная с ней
возможность обнаружения смещения частоты в случае Fe",
меньшего 10~12, давала надежду на возможность наблюдения и
измерения эффекта в легко доступных земных условиях. Эта
надежда на самом деле оправдалась.
Предварительно заметим, что в общем случае эффект со-
состоит в изменении частоты электромагнитного излучения при
прохождении разности гравитационных потенциалов. Это сме-
смещение может рассматриваться как следствие принципа экви-
эквивалентности общей теории относительности. Последний состоит
в том, что в ограниченной области пространства поле тяготения
может быть заменено постоянным ускорением системы. Вообра-
Вообразим лабораторию, расположенную в области, где поле тяго-
тяготения отсутствует, и пусть в ней точно над поглотителем на рас-
расстоянии / находится тождественный с ним источник. Пусть ie-
перь наша лаборатория испытывает ускорение, направленное
вверх (i. e. от поглотителя к источнику) и равное g. Допустим,
что источник испускает монохроматический сигнал в виде элек-
электромагнитной волны частоты v. Время, которое требуется сиг-
палу, чтобы пройти от источника к поглотителю, равно
t = llc\
за это время источник приобретет скорость
и вследствие эффекта Допплера первого порядка частота, вос-
воспринимаемая поглотителем, испытает относительное изменение
Д v/v = vjc = glje2.
Наблюдаемая частота будет, таким образом, равна
Для явлений, происходящих внутри нашей «лаборатории»,
равномерно-ускоренное движение с ускорением g. направлен-
направленным нверх, эквивалентно полю тяготения, направленному вниз
с тем же ускорением g («лифт» Эйнштейна)*).
Па основе принципа эквивалентности величина gl может ин-
интерпретироваться как разность гравитационных потенциалов,
соответствующая разности "высот /. Обозначив ее через Д<р,
напишем
*) Доступное изложение см. Д. Эйнштей
теории относительности. Собрание научных тр
стр. 530-600 (п особенное^ §§ !8—23). См. такж
фельл Эволюция физики. Гостехиздат, 1948 Гл
трудов, том IV стр, 435-513).
, 0
А, Э
a 111
й н
(в
1. «H
ш те й
, Собра
of
ay
[ и общей
ка». 1965.
и Л. Ип-
В таком виде формула верна также и для неоднородных
гравитационных полей. Ввиду присутствия величины сг порядка
1021 в знаменателе второго члена гравитационное смещение нич-
ничтожно мало.
Для изучения гравитационного смещения частоты Паунд и
Ребка в Гарвардском университете воспользовались резонанс-
резонансным поглощением излучения 14,4 кэв Fe57. Так как Av/v пропор-
пропорционально величине h, то важную роль играет расстояние по вы-
высоте между источником и поглотителем. Но вследствие необы-
необычайной чувствительности эффекта Мёссбауэра в Fe57 оказалось
возможным наблюдать гравитационное смещение, поместив
источник в башне физической лаборатории Гарвардского универ-
университета па высоте всего в 21 м над поглотителем *). Чтобы избе-
избежать ослабления пучка из-за поглощения в воздухе, источник
и поглотитель были помещены в пластмассовый цилиндр, напол-
наполненный гелием. В первых опытах встретилось затруднение, так
как обнаружились нерегулярные смещения частоты источника
относительно частоты поглотителя. Однако вскоре было выяс-
выяснено, что эти смещения обусловлены колебаниями разности тем-
температур между источником и поглотителем, которые в свою оче-
очередь вели к расстройству резонанса вследствие квадратичного
эффекта Допплера. Расчет показал, что флуктуация темпера-
температуры в Г должна вызвать смещение почти равное гравитацион-
гравитационному эффекту. После того, как причина незакономерных колеба-
колебаний была установлена, начали контролировать температуры
источника и поглотителя и вносить соответствующие поправки.
При этом результаты стали устойчивыми. Отношение среднего
из всех измерений к теоретической величине glje2 оказалось рав-
равным 0,99 ± 0,047, т. е. в пределах ошибки —совпадающим с пред-
предсказанной величиной. Так в течение нескольких недель была
решена проблема, ранее потребовавшая больших усилий астро-
физиков и спектроскопистов на протяжении 45 лет!
*) Подробное
щи», т. 72. Ns 4, I960, стр. 674.
е Паунда

ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
§ 131. Введение
В предыдущей главе было показано, что в оптических явле-
явлениях (включая область рентгеновских лучей) обнаруживается
своеобразный дуализм. Наряду с такими свойствами света, ко-
которые как бы самым непосредственным образом свидетельст-
свидетельствуют о его волновой природе (интерференция, дифракция),
имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнару-
обнаруживающие его корпускулярную природу (фотоэффект, эффект
Комптона). Хоти мы никак не можем себе представить, чтобы
один и тот же объект был одновременно и частицей и волной,
мы вынуждены для объяснения всего круга оптических явлений
пользоваться и той и другой картиной-
В настоящей главе мы увидим, что этот в высшей степени
поразительный дуализм имеет место и для объектов, которые мы
обычно называем «частицами»—для электронов, протонов, ато-
атомов. Существует большое число общеизвестных опытов, которые
с полной очевидностью показывают, что эти элементарные со-
составные части вещества ведут себя, как локализованные в про-
пространстве частицы. Когда мы рассматриваем туманные следы на
вильсоновских фотографиях, у нас не возникает никакого сомне-
сомнения в том, что это — следы пролетевших частиц. И однако в ?той
тлаве мы увидим, что существуют другие опыты, в которых те же
самые «частицы» ведут себя как волны, способные к интерфе-
интерференции.
R предыдущей главе мы особенно подчеркивали явления, в
которых обнаруживается корпускулярная природа света. Настоя-
Настоящую главу мы начнем с более подробного рассмотрения двой-
двойственности в природе света, — того замечательного вывода, к ко-
которому привело нас в конце концов рассмотрение флуктуации
светового ПО1Я (§ 116). Так как, однако, для дальнейшего нам
понадобится целый ряд сведений из теории волнового движения,
то мы сначала коротко напомним эти необходимые сведения.
§ 132. Плоская монохроматическая волна в однородной среде
Когда мы говорим о волнах, то представляем себе прежде
всего волны на поверхности воды или поперечные волны, бегу-
бегущие в упругом шнуре при периодическом сотрясении его конца.
Какова бы, однако, ни была природа волн, распространение их
¦следует одинаковым законам,
5 132] ПЛОСКАЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКАЯ ВОЛНА 421
Рассмотрим сначала простейший вид волн — плоские моно-
монохроматические или гармонические волны — и выберем направле-
направление распространения волн за ось х системы координат. Такие
волны представляются формулой
и = a cas\®{t —-~\ + б1. A32.1)
Здесь я, ш, с' и б — постоянные, смысл которых будет сейчас
установлен, aw — величина волнообразно распространяюще-
распространяющегося возмущения, например, отклонение частицы от положения
равновесия в упругой волне, какая-нибудь составляющая на-
напряженности электрического или магнитного поля в электромаг-
электромагнитной волне и т. д. Постоянная а есть амплитуда волны,
(со (t — xjc') -j- 6] мы называем фазой волны, а постоянную 6,
входящую в фазу, — начальной фазой. Поверхность, во всех
точках которой фаза имеет одно и то же значение, есть поверх-
поверхность равной фазы. Очевидно, что в рассматриваемом случае,
когда фаза зависит линейно от координаты xt такой поверх-
поверхностью будет плоскость х = const, нормаль к которой совпадает
с осью х.
Постоянная С, входящая в фазу, имеет следующий смысл.
Выберем какое-либо определенное значение фазы и посмотрим,
при каких условиях оно будет сохранять одну и ту же величину
при изменении х и t. Очевидно, что для постоянства фазы не-
необходимо и достаточно, чтобы t — х/с — const, откуда
х = c't + const.
Отсюда видно, что с' есть скорость перемещения плоскости
равной фазы, или фазовая скорость волны.
Так как х и t входят в аргумент периодической функции, то
волна должна обнаруживать периодичность во времени и в
пространстве. Вследствие периодичности во времени должен су-
существовать постоянный промежуток времени Т, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию
Это может быть только в том случае, если ыТ = 2я или ю = 2л/7\
Время Т называется периодом волны, ы — угловой или цикличе-
циклической частотой; ЦТ есть линейная частота v, так что cu = 2nv.
Вследствие периодичности в пространстве при данном t одни
и те же значения и должны повторяться при изменении х на
некоторый отрезок К (длину волны), т. е. должно быть
<--=-+«=«»¦
+«¦

Это значит, что <о>./с' = 2я или К = 2пс'/из = c'/v или наконец
c' = -^ = bv A32.2)
¦— соотношение, связывающее фазовую скорость с длиной
волны.
П^сть теперь плоская волна распространяется в любом на-
направлении, образующем с осями координат углы а, р, -у- По-
Повернем оси координат так, чтобы ось х, как и раньше, совпа-
совпадала с нормалью к плоскости равной фазы. Тогда в этой но-
новой системе координат формула плоской полны будет
и мы получаем
u = acos[(o it— :
и = a cos ив (t —^г) + ftj.
мулам преобразования коог.
х' = х cos a + у cos p + z cos у.
Но согласно формулам преобразования координат
роте осей
= a cos (to? — -
A32.3)
Уравнение плоскости равной фазы в этом случае будет
х cos а -j- у cos р -j- z cos у — const.
Введем теперь вектор к, по направлению совпадающий с по-
положительной нормалью к плоскости равной фазы, а по абсо-
абсолютной величине равный
НИ —ПГ- A32i4>
Компоненты этого вектора, который мы будем называть волно-
волновым вектором, или вектором распространения волны, таковы:
= — cos-v-
J таком случае
2n (x cos a -j- (/
Li«JEl = ЛАЖ + Й» + «А* = kr, A32.5)
где г — радиус-вектор, проведенный в произвольную точку плос-
плоскости равной фазы. При помощи A32.5) формула плоской
волны приводится к следующему компактному виду:
и = a cos [И — кг) + б]. A32.6)
5 1331 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 423
Заметим, наконец, что так же, как и формулы колебаний
(§ 47), формулу плоской волны можно писать в комплексном
виде
и = ае'««'-*»+« A32.7)
или, вводя комплексную амплитуду А = aelb,
и-Ае"»'-*\ A32.8)
При этом берется только действительная часть комплексного
числа A32.7) или A32.8).
§ 133. Волновое уравнение
Рассмотренная в предшествующем параграфе формула
плоской волны является частным решением некоторого диффе-
дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением.
Например, из основных уравнений электромагнитного поля в
пустоте — уравнений Максвелла — для любой компоненты на-
напряженности электр ичес ко кии ли магнитного поля может быть
получено следующее уравнение второго порядка в частных
производных:
1 д2и
A33Л)
где ы —любая компонента напряженности электрического иди
магнитного поля, Уравнение A33.!), как доказывается в руко-
руководствах по электродинамике*), описывает электромагнитные
волны, распространяющиеся о пустоте со скоростью с.
Легко убедиться в том, что формула плоской волны
и— Ае1{к"""
A33.2)
удовлетворяет уравнению (I33J). Действительно, ди
руя A33,2) дважды по всем координатам и по времен
Подставляя эти производные в A33.1), получаем после сокра-
сокращен ий
¦^ = ft? + ft?+fc?. A33.3)
!ва, «Наука

424
пл х
Это важное соотношение, связывающее частоту ю с компонен-
компонентами волнового вектора, характерно для природы волны; его
называют иногда законом дисперсии.
Вместо того, чтобы писать в правой части A33.1) сумму
вторых частных производных по координатам, мы можем пред-
представить ее так:
???
где д_так называемый оператор Лапласа. Написав волновое
уравнение в виде
-^-gjf- = Au, A33.4)
мы не только пользуемся сжатым способом записи, во и полу-
получаем существенное обобщение, так как оператор Лапласа может
быть выражен в любой системе координат. В частном случае
прямоугольных декартовых координат он имеет вид
A33.5)
В других системах координат оператор Д выражается иначе. Из
этих выражений для нас очень важно выражение оператора Д.
в сферических полярных координатах. Оно таково:
Переход от декартовых координат к полярным можно, ко-
конечно, выполнить путем обычной замены переменных по прави-
правилам дифференциального исчисления. Однако вычисления в слу-
случае перехода к пространственным координатам г, 0 и <р ока-
оказываются настолько громоздкими и утомительными, что идти
таким путем не рекомендуется. В руководствах по векторному
анализу обычно излагается очень простой и изящный метод для
перехода к любым криволинейным ортогональным координатам,
которым и пользуются для получения формулы A33.6). Изла-
Излагать этот метод здесь не место *), и мы ограничимся приведе-
приведением готовой формулы A33.6).
Волновое уравнение является линейным однородным диффе-
дифференциальным уравнением в частных производных. Как всякое
линейное однородное уравнение, оно обладает следующим важ-
важным свойством. Положим, что мы нашли частное решение
A33.1) Hi; тогда и <?[«[, где й— произвольная постоянная, будет
также решением A33.1). Если нам известны частные решения
*) См., например, В. И. С и и р п
а», 1966, стр 381.
в, Курс
ция ПЛОСКИХ Е
425
«1 и и2, то « = С[М; + c2«2, где С[ и с2 — произвольные постоянные,
также будет решением волнового уравнения A33.1). В этом за-
заключается математическое обоснование известного принципа на-
наложения или суперпозиции волновых движений, который позво-
позволяет при помощи наложения плоских волн строить любые вол-
волновые поля. Мы воспользуемся этим принципом в ближайших
параграфах.
§ 134. Суперпозиция плоских волн
Рассмотренные в предшествующем параграфе плоские моно-
монохроматические волны в природе никогда не осуществляются.
В самом деле, по условию, эти волны представляют собой строго
периодический процесс, а для этого они должны иметь бесконеч-
бесконечное протяжение в пространстве и во времени. Реальные же све-
световые «сигналы» всегда ограничены в пространстве, испускаются
в течение ограниченных промежутков времени, а потому и не
являются строго гармоническими (см. § 72). Поэтому мы можем
их рассматривать как результат суперпозиции строго гармони-
гармонических, плоских волн, которые в одной части пространства
вследствие интерференции усиливают друг друга, а в остальном
пространстве друг друга погашают. Такие сложные волны имеют
некоторые важные особенности, которые мы выясним сначала на
лримере суперпозиции только двух плоских гармонических волн.
Положим, что обе эти волны распространяются вдоль оси х
и что их частоты шо и а, а также абсолютные значения волно-
волнового вектора h и k (tta = 2лД0, k = 2лД) очень мало разли-
различаются друг от друга: h — k = Aft->0, ао — ы = Дм. Итак, мы
имеем:
й[ = a cos (а>о* — ?(,*). и2 = a cos {at — kx).
Складывая и{ и и2, получаем сложную волну и;
и = "i + U2 = а cos (гао* ~ &
или, вследствие близости vn и v, tt0 и k. приближенно
« == 2« cos Dpf -^Ц cos (oV- fc0*).
A34.1)
Полученный результат можно истолковать следующим об-
образом. Второй множитель формулы A34.1), cosBjtvnt — kox),
представляет фазу волны с частотой v0 и волновым числом ka,
а первый
R^4

426
i И ЧАСТИЦЫ
[ГЛ X
— медленно (Аа> —*0, Ak -* 0) и притом периодически меняю-
меняющуюся амплитуду. Другими словами, волну и A34.1) мы рас-
рассматриваем как волну с частотой и0 и волновым числом fo, но
с модулированной амплитудой. Не следует забывать, однако,
что волна, изображаемая формулой A34.1), строго говоря, уже
не будет гармонической: гармоническая волна на всем протяже-
протяжении от — оо до -j-oo должна иметь Одну и ту же амплитуду и
одну определенную частоту. Между тем волна A34.1) имеет
периодически меняющуюся амплитуду, и соответствующий спек-
спектральный прибор обнаружит в ней не одну частоту, а две:
Этот результат иллюстрируется рис. 202, где изображены
для некоторого момента времени два участка гармонических
волн, с мало различающимися ?.о и X, и волна, возникающая в
результате их суперпозиции. Как видно, эта сложная волна рас-
распадается па ряд групп с амплитудами, меняющимися по коси-
нусоидальноМу закону.
Скорость перемещения определенной фазы мы будем назы-
называть фазовой скоростью волн. Для того чтобы ее отыскать, на-
напишем условие постоянства фазы волны
W(/-_fen*=: const. A34.2)
Определив отсюда производную координаты х по времени, т. е.
величину х, мы и найдем скорость перемещения плоскостей рав-
равной фазы, т- е. фазовую скорость. Из A34.2) находим
юо-foj^f =0,
откуда, обозначая фазовую скорость через с':
c' = ^L = ^i или c'^-g-A0 = vA A34.3)
— известное из элементарного курса физики соотношение,
имеющее место, как видим, для фазовой скорости.
Найдем теперь отдельно скорость перемещения определенной
амплитуды волны, Очевидно, что эта последняя скорость совпа-
совпа5 135] ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ 427
дает со скоростью перемещения группы в целом; она назы-
называется поэтому групповой скоростью. Для отыскания ее пишем,
по аналогии с предыдущим, условие постоянства амплитуды:
l~^2~x^ const.
A34.2')
Найдя отсюда я, получаем
Предел этого выражения при Ak —«-0 мы и будем называть груп-
групповой скоростью
«=ж- <134-4>
Мы видим таким образом, что обе скорости — фазовая и
групповая, выражаются различными формулами. Чтобы разо-
разобраться в соотношении между этими скоростями, нужно рассмо-
рассмотреть условия распространения волн в различных средах. Но
для этого мы прежде всего должны обобщить полученные ре-
результаты па случай сложения многих воли, что и будет сделано
в следующем параграфе.
§ 135. Волновой пакет
Покажем теперь, что путем суперпозипии плоских волн
можно осуществить волновой процесс, в котором амплитуда от-
отлична от нуля только в небольшой части пространства, а в
остальном пространстве равна нулю. Будем по-прежнему для
простоты рассматривать линейные процессы или, точнее, пло-
плоские волны, зависящие только от одной пространственной коор-
координаты х и от времени.
Для того чтобы образовать волновой процесс, имеющий
Ограниченное протяжение в пространстве, наложения Двух пло-
плоских волн уже недостаточно. Оказывается, однако, что такой
пронссс можно образовать путем наложения волн с непрерывно
меняющимися k в пределах некоторого интервала 2Д6, размеры
которого мы установим впоследствии. Выберем на интервале
2ДЙ некоторую среднюю точку ko и покажем, что при опреде-
определенных условиях, в результате суперпозипии, которая теперь
уже вследствие непрерывного изменения k должна представить-
представиться не суммой, по интегралом
о/ — kx)dk,
A35.1)

можно получить ограниченный плоский волновой процесс или,
как его называют, волновой пакет.
Что касается амплитуды a(k) складываемых гармонических
волн, то мы условимся считать ее постоянной во всем интервале
±Л? и равной а(кй). Зависимость частоты ш от k дается, во-
вообще, законом дисперсии волн интересующей нас природы (см.
§ 133). Но каков бы ни был этот закон, для малого интерва-
интервала Л* мы можем представить w(fc) в виде степенного ряда
р
) линей-
линейПодставляя это выражение to(fe) в A35.1), получаем
A35.2)
Вычислим теперь интеграл A35.1) приближенно, полагая,
что интервал k ~ к„ настолько мал, что в A35.2) можно отбро-
отбросить все члены, начиная с третьего, т. е. взять для ш(&) линей
ное выражение.
(?)
u = a{kQ) J
*o) (¦!!¦)„ * — *
Интеграл этот легко вычисляется, и мы находим после подста-
подстановки пределов и умножения числителя и знаменателя на Ak
- 2а (*0) Д* -
[\ЖH
— kox). A35.3)
Этот результат можно истолковать совершенно аналогично тому,
как мы толковали формулу A34.1) в предыдущем параграфе:
множитель cos(mt — kuX) в A35.3) связан с фазой нашего слож-
сложного процесса, а стоящий перед ним множитель представляет
переменную (модулированную) амплитуду. Обозначив
4*1
что
.арактер изменения амплитуды определяется
•g—. Этот модулирующий множитель мы j же
мы видим, 1
множителем ¦
встречали в § 74; при изменении аргумента он имеет следующий
ход:
при g-*0 !ш^р-=1,
= 0.
при 1=±п
П_рп дальнейшем увеличении абсолютной величины | функция
—|— проходит через ряд максимумов и минимумов. Однако их
величина мала по Сравнению с главным максимумом при g = О
и быстро убывает с увеличением аргумента. Таким образом,
можно сказать, что в результате суперпозиции получается прак-
практически одна группа, амплитуда которой отличается от нуля
лишь в ограниченной области и в этой области изменяется как
«моментальная фотография:
-|—. На рис. 203 изображен,
кой группы, т. с. ее
форма в определенный
момент времени.
Формула A35.3) по-
показывает, что в случае
волнового пакета, как
и в случае сложения
двух плоских волн, рас-
рассмотренном в предыду-
предыдущем параграфе, можно
говорить о двух скоро-
скоростях — фазовой и груп-
групповой. Фаза, как уже
было сказано, входит
в множитель cos(v0f — kox); приравнивая фазу (<а0' — kox) по-
постоянной и дифференцируя, находим фазовую скорость, как и в
предыдущем параграфе, равной
Рис. 20а
¦ df-
Множитель, модулирующий амплитуду,
при
имеет постоянное значение, равное 1. При g = 0 имеем
Это показывает, что поверхность равных амплитуд есть пло-
плоскость, перемещающаяся со скоростью
4г = 1ж)„=«- С35-")
Мы видим, что выражение для скорости перемещения пло-
плоскости равных амплитуд совпадает с найденной в предыдущем
параграфе формулой для групповой скорости A34.3). Это есть
вместе с тем скорость перемещения пакета как целого.
Необходимо теперь напомнить, что все полученные до сих
пор результаты связан^ с приближением, которое мы сделали

в формуле A35.3), отбросив в разложении со (ft) члены порядка
выше первого, и надо еше исследовать, как влияет это прибли-
приближение ка результат. Если вторая производная (d2<aldx2)a равна
нулю (что имеет мести при Отсутствии дисперсии среды), то ре-
результаты сохраняются. Если же cPa/dk2 ф- 0, то обнаруживается
следующее своеобразное свойство пакета: пакет не сохраняет
своей формы и с течением времени деформируется, постепенно
расплываясь. Если, однако, дисперсия мала, так что <1Ч>1<1№
близка к нулю, то можно говорить об определенной форме па-
пакета и о перемещении его как целого с групповой скоростью g.
Мы получили таким образом полное описание нашего волно-
волнового процесса. Подчеркнем теперь следующую его особенность:
хотя в формулу пакета A35.3) входит фазовый множитель с
Определенными соо и kv, в действительности мы имеем дело со
сложным процессом, с которым нельзя связывать какой-либо
одной определенной длины волны. Напротив, поскольку для об-
образования пакета необходима суперпозиция многих гармониче-
гармонических волн с непрерывно .меняющимися ft, спектральный анализ
пакета развернет его в целый участок сплошного спектра. Бо-
Более того, оказывается^ что для образования волнового пакета
заданного протяжения Ах интервал сплошного спектра Ak не
может бь1ть меньше некоторой определенной величины.
Найдем теперь это очень важное для последующего соотно-
соотношение между Ak и Ах. Для этого мы рассмотрим пакет в какой-
нибудь определенный момент времени ; = 0. Форма пакета оп-
определится тогда множителем
где ?o = Ak-x. Этот множитель обращается в пуль при ?0 — ±я.
Если мы выберем начало координат в точке оси, соответствую-
соответствующей главному максимуму (т. е. в точке, соответствующей
?о = О), то координаты первых минимумов слева и справа от
этого максимума будут ±Дя/2. Принимая во внимание, что сле-
следующие максимумы быстро убывают по величине (см. § 74, где
более детально рассмотрен ход функции -'"' }, мы можем за
протяжение пакета приближенно принять отрезок Ах между
дв>чя симметричными первыми минимумами. Для них имеем
условие
откуда получаем Дй-Дх = 2л.
Если бы мы захотели определить протяжение пакета точнее
и приняли за его длину расстояние между следующими мини-
минимумами, симметричными относительно начала координат, то мы
бы получили Дй-Дх = 4л и вообше
Ak ¦ Д.к>2л. A^5.5)
До сих пор мы рассматривали образование групп в одном
измерении, или «линейных групп», для получения которых мы
С[\ладывали монохроматические волны с одинаково направлен-
направленными векторами к. Так как все предыдущие рассуждения спра-
справедливы для любой из трех осей координат, то для образования
пространственного пакета с протяжением по осям координат Ах,
Ау и Аг должны быть выполнены три условия:
Ах Akx > 2л, Ay Aky > 2л, Аг Дйг> 2л. A35.6)
Мы видим, что между пространственным протяжением па-
пакета в определенный момент {t = 0) и сплошным спектром гар-
гармонических воли, необходимых для образования этого пакета,
имеет место то же соотношение взаимности, какое мы нашли
в § 74 для функции времени /(/) и распределения амплитуд по
частотам. Безгранично протяженной синусоидальной волне eikx
соответствует определенное k (определенная длина волны X).
По если волна ограничена в пространстве, то определенное k
отсутствует и неизбежно появляется спектр длин волн, имеющий
ширину Ak такую, что Ах Ak <*•> 2л.
§ 136. Фазовая и групповая скорости
Обратимся теперь к рассмотрению обеих скоростей — фазо-
фазовой и групповой — и сравним их между собой в двух случаях:
1. Случай, когда фазовая скорость образующих пакет гармо-
гармонических волн не зависит от k. Относительно сред, обладающих
таким свойством, говорят, что у них отсутствует дисперсия.
2. Случай, когда среда обладает дисперсией, т. е. когда фа-
фазовая скорость есть функция k.
Обратимся к случаю A). Из формулы для фазовой скорости
с' = a/k находим ш = c'k. Вычислим теперь групповую ско-
скорость
Итак, в отсутствии дисперсии групповая скорость и фазовая
скорость одинаковы,
В случае B) с' есть функция k и потому
A36.1)
Второй член справа преобразуем так:
dc' dc' . dk dc' . d I 2л \
~dk ~dT ¦ ~dT = ~Ж " Ж \~j

ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
Подставляя в A36.1), получаем
A36-2)
Мы видим, что при наличии дисперсии групповая скорость
не совпадает с фазовой, а именно, в зависимости от знака про-
производной -4- групповая скорость может быть как меньше фа-
фазовой (~j?-> о], так и больше фазовой [~^< 0^. В оптике
осуществляются оба эти случая: 1) при нормальной дисперсии с
увеличением X показатель преломления ji (т. е. отношение с/с',
где с _ скорость света в вакууме) убывает, т. е. с' возрастает и
~тг > 0; 2) при аномальной дисперсии, которая наблюдается
внутри полос поглощений, зависимость ц от ?. обратная и, сле-
следовательно, -wT" < 0- Таким образом, в случае световых волн
в вакууме обе скорости одинаковы; в среде же при нормальной
дисперсии g < с', при аномальной g >¦ С.
Возникает вопрос: какая же из двух скоростей измеряется
на опыте при определении скорости света. Анализ различных
методов измерения скорости света показывает, что ни один из
них не дает возможности определять фазовую скорость, но все
они дают групповую скорость. Это видно из того, что в различ-
различных методах определения скорости сзета либо находится ско-
скорость определенного сигнала (метод Ремера — затмения спутни-
спутников Юпитера), либо скорость ограниченного ряда волн, пропу-
пропускаемого вращающимся зубчатым колесом (метод Физо). Но
всякий ограниченный ряд волн может быть подвергнут анализу
при помощи интеграла Фурье и представлен как результат су-
суперпозиции плоских монохроматических волн. Это значит, что
всякий ограниченный ряд волн представляет собою волновой па-
пакет, и мы измеряем скорость пакета, т. е. групповую скорость.
Менее очевидно то же утверждение в случае метода аберрации
света; однако анализ, выполненный П. С. Эреифестом, показал,
"что и в этом случае определяется групповая, а не фазовая ско-
скорость*).
Из сказанного следует, что фазовая скорость есть величина,
недоступная для непосредственного измерения. Но при распро-
распространение пространственно ограниченных волн (т. е. волновых
пакетов) в диспергирующей среде и самое понятие фазовой ско-
скорости теряет свой непосредственный смысл, так как в этом слу-
случае мы имеем дело не с одной фазой, а с фазами бесчисленного
сберг. Оптика, Гостехиздат, 1957, стр. 351,
§ 1371 КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОНОЙ ДУАЛИЗМ
множества гармонических волн, каждая из которых распростра-
распространяется со своей скоростью.
Более подробный анализ показывает, что изменение скорости
перемещения плоскости равной фазы, наблюдаемое при распро-
распространении волны в среде, наполненной резонаторами, обуслов-
обусловлено сдвигом фазы, возникающим при вынужденных колеба-
колебаниях резонаторов под действием проходящей волны. Из этого
следует, что фазовая скорость в точном соответствии со своим
названием дает лишь скорость перемещения определенной фазы
и, как показывает более подробный анализ, совершенно не свя-
связана, например, со скоростью движения фронта ограниченного
в пространстве ряда волн или со скоростью движения энергии.
Именно поэтому возникновение фазовой скорости, большей ско-
скорости света в пустоте, ни в какой степени не противоречит
утверждению теории относительности о том, что скорость света
в пустоте есть предельная скорость.
В частности, в оптике доказывается, что скорость фронта
волны при любых условиях равна с, т. е. скорости света в пу-
пустоте *).
§ 137. Корпускулярно-волновой дуализм.
Преломление света
Рассмотрение флуктуации светового поля (§ 116) привело
нас к выводу, что волновые и корпускулярные свойства пред-
представляют две равноправные стороны одного и того же явле-
явления— светового поля. В этом и в двух следующих параграфах
мы покажем на Других примерах, что целый ряд оптических
явлений можно рассматривать как с волновой, так и с корпу-
корпускулярной точек зрения.
Мы начнем с рассмотрения явления, возможность интерпре-
интерпретации которого с обеих точек зрения была известна давно, а
именно, с преломления света.
Хотя объяснение преломления с волновой точки зрения из-
излагается в элементарных курсах физики, — мы воспроизведем
его здесь для того, чтобы подчеркнуть некоторые характерные
черты этого объяснения. Волновое объяснение сводит преломле-
преломление при переходе из одной среды в другую к изменению фазо-
фазовой скорости волны. Представим себе две Среды с различными
показателями преломления, разделенные плоской границей
(рис. 204). Для определенности положим, что верхняя среда
есть вакуум, где скорость света равна с; в нижней Среде
*) Вопрос о распростран
См. по этому поводу; Г, С. Л а
пергиругащей среде
здат, 1957, стр. 351.'

434 • ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ ГГЛ X
скорость света пусть будет с'. Плоская волна падает на поверх-
поверхность раздела под углом О. В момент / = 0 положение плоскости
равной фазы в верхней Среде изображается прямой АА'. Пусть в
момент t = ? волна из точки А', пройдя расстояние A'D = ct\
достигнет границы раздела в точке D. За это время волна от
точек, лежащих между А и D, будет распространяться в нижней
среде
Для отыскания положения плоскости равной фазы в нижней
среде строим гюйгснсовы сферические волны ил точек поверх-
ьостн раздела между Л н D и находим их огибающую. Оче-
Очевидно, что в момент t = ? радилс вторичной волны, исходящей
из А, будет АВ = с'?. Отсюда, как
легко видеть из чертежа,
^ = 7F = -^=lC0!lst <137Л>
— закон Снеллиуса.
Принимая во внимание получен-
полученное выше соотношение для фазовых
скоростей сие'
мы можем представить закон Снел-
лиуса в виде
Так как показатель преломления среды относительно вакуу-
вакуума больше единипы, то при переходе из густоты в среду фазо-
фазовая скорость света уменьшается; в той же мере уменьшается н
длина волны в среде по сравнению с длиной волны в вакууме.
Для того чтобы объяснить преломление с корпускулярной
точки зрения, достаточно допустить, что световые частицы изме-
изменяют свое количество движения при переходе через поверхность
раздела обеих сред. Пусть, в самом деле, количество движения
«световой частицы» в верхней среде будет р, в нижней р', при-
причем р' ~> р (рис. 205). Вследствие симметрии ташенциальпая
составляющая количества движения при переходе через поверх-
поверхность раздела не меняется:
Pt = p't, <137-2>
а меняется только нормальная составляющая
чертежа имеем
sin О — p,jp, sm О' = р\\р',
(рк > рп)- Из
что дает, принимая во внимание A37.2),
«S* =4= const.
A37.3)
т, е. опять закон Снеллиуса.
Посмотрим теперь, какие следствия относительно скорости
света в пустоте и в среде вытекают из корпускулярного вывода
закона Снеллиуса. Если рассматривать «световые частицы» как
ньютоновы корпускулы, то импульс р выразится через скорость
частицы v известной формулой
р-= tnu,
В этом случае из A37.3) следует
4~ = ~, A37.4)
т. е. показатель преломления равен отношению скорости в среде
к скорости в вакууме.
Сравнение со A37.Г) показывает, что в корпускулярной ин-
интерпретации отношение скоростей обратное тому, какое имеет
место в случае волновой интерпрета-
интерпретации, т. е. в случае показателя прелом- Д !
ления, большего 1, скорость свето-
световой частицы а среде больше чем о пу-
пустоте.
Однако, не следует забывать, что
при волновой и при корпускулярной
интерпретации закона преломления
у нас фигурировали по существу раз-
разные скорости. При волновой интерпре-
интерпретации скорости с и С—фазовые ско-
скорости, тогда как v и и' — скорости ча-
частицы, вовсе не тождественные с фазо-
фазовыми скоростями. Чтобы это увидеть
с особенной ясностью, заметим, что, рассматривая «световую ча-
частицу» как фотон, а не как ньютонову частицу, мы можем при-
привести соотношение A37 3) к виду, тождественному со
A37,!'). Действительно, в § 125 мы видели, что импульс фотона
равен
р; _
Рие. 20
Корпус:
и, следовательно (v?. = с),
р-= hjX, p' =
Подставляя это в A37.3), получаем

т е., как и в A37.1'), показатель преломления равен отношению
длины волны в вакууме к длине волны в среде или, что то же
самое, — прямому отношению фазовых скоростей. Очевидно, что
такой результат получился потому, что в выражении для им-
импульса фотона р ~ hv/c фазовая скорость стоит не в числителе,
а в знаменателе.
Во второй половине XIX столетия, когда еще не было ясного
понимания различия фазовой и групповой скоростей, была сде-
сделана попытка поставить решающий эксперимент, который дол-
должен был, как тогда казалось, дать окончательный ответ на
вопрос о том, имеет ли свет волновую или корпускулярную при-
природу. Хотя мы теперь понимаем, что этот и последующие экспе-
эксперименты того же типа на самом деле никакого ответа на поста-
поставленный вопрос не дали и не могли дать, очень полезно озна-
ознакомиться с этими экспериментами и разобраться в том, почему
они не являются «решающими».
Опыт, предложенный и поставленный Фуко A850) был осно-
основан на сравнении формул A37.1) и A37.4) для выражения за-
закона Сиеллиуса. Не учитывая принципиальной разницы между
скоростями с и с', с одной стороны, и у и v'—с другой, Фуко
полагал, что для решения вопроса о природе света, нужно непо-
непосредственно измерить скорость света в какой-нибудь Среде, а
не судить о ней на основе показателя преломления. Если эта
скорость окажется меньше скорости света в пустоте — верна
волновая теория, в противном случае —верна корпускулярная
(в ньютоновом смысле) теория.
Опыт был поставлен с определением скорости света в воде.
Она оказалась меньше скорости света в пустоте, откуда Фуко
(преждевременно) заключил, что окончательно доказана волно-
волновая природа света. Впоследствии Майкельсон проделал анало-
аналогичный опыт с большей точностью, сравнивая скорости света в
воде и в сероуглероде со скоростью света в воздухе (практиче-
(практически равной скорости света в вакууме). И этот опыт также пока-
показал, что соотношение скоростей в воздухе и в воде равно 1,330,
что практически равно показателю преломления воды, для жел-
желтого света, котором пользовался Майкельсон (па самом деле
[Юказатель преломления воды этой части спектра равен 1,333,
но разница в 0,003 лежит в пределах ошибок опыта). С серо-
сероуглеродом, обладающим высоким показателем преломления и
большой дисперсией, результат получился несколько иной.
Именно, оказалось, что отношение скоростей равно 1,7б±0,02,
тогда как показатель преломления CSa равен 1,63. Таким обра-
образом, опыт обнаружил, что скорость света в сероуглероде мень-
меньше, чем в воздухе, как зто требуется волновой теорией, но
отношение скоростей не равно показателю преломлении. Раз-
Разгадка этого кажущегося противоречия лежит в том, что цзме-
рения Майкельсона, как и всякие измерения скорости светового
сигнала (см. § 136), дают групповые, но не фазовые скорости,
отношению которых равен показатель преломления. В воздухе
и в воде, где дисперсия очень мала, обе скорости одинаковы.
Но в сероуглероде дисперсия настолько велика, что разница
между фазовой и групповой скоростями должна быть заметна.
Пользуясь формулой
ё = с'~КЖ' A36-2>
можно показать, что отношение скорости света в пустоте с
к групповой скорости света в Среде связано с показателем пре-
преломления ц соотношением *)
Для сероуглерода c/g оказалось равным 1,76; далее из кривой
зависимости показателя преломления CS2 от длины волны для
откуда
Легко видеть
с' d ( с \ I dc'
Определяя отсюда —тт- и подстав
в A36 2'), н
ьзуясь «воаь A362'),
что и требовалось доке

ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
использованной Майкельсоном длины волны К ~- = — 0,126 (по-
(показатель преломления убывает с увеличением длины волны).
Таким образом, из A37.4) получается
и = —+ А 4т-= 1,76 — 0,126» I 63
g ял,
в согласии с экспериментальными данными.
Таким образом, и в корпускулярной картине, поскольку «све-
«световыми частицами» являются фотоны, фазовая скорость света в
среде должна быть меньше фазовой скорости в пустоте, а это
означает, что опыты, аналогичные опыту Фуко, принципиально
не могут дать ответа на вопрос о том, какую именно природу —
волновую или корпускулярную —имеет свет.
Из этого следует, что описанные опыты, вопреки мнению,
сложившемуся в XIX столетии, не решают вопроса о природе
света: они не противоречат ни волновой, ни корпускулярной
картине.
Отметим в заключение еще следующее важное обстоятель-
обстоятельство. Волну мы характеризуем частотой ш и длиной волны V,
для частицы характерны ее энергия Е и импульс р. Мы можем
описывать преломление либо с корпускулярной, либо с волно-
волновой точек зрения. В первом случае мы пользуемся величинами Е
и р, во втором — (о и \. Если, однако, мы хотим перейти от
корпускулярной картины к волновой, то мы должны воспользо-
воспользоваться следующими известными нам соотношениями между
обеими группами величин:
? = fta A37.6)
и
р — ~=^~- A37.7)
Мы видим, таким образом, что в этих соотношениях постоянная
Планка играет роль переводного множителя или ключа, позво-
позволяющего переходить от одной картины к Другой.
§ 138. Корпускулярно-волновой дуализм.
Эффект Допплера
Покажем теперь на других примерах возможность истолко-
истолкования оптических явлений с двух точек зрения — корпускуляр-
корпускулярной и волновой. Для этого обратимся сначала к эффекту Доп-
Допплера.
Эффект Допплера, имеющий место как в акустике, так ц в
оптике, состоит, как известпо, в изменении частоты при относи-
относительном движении источника и наблюдателя. Пусть источник
света находится в Л, а наблюдатель —в В. Если источник дви-
жется под углом й к прямой, соединяющей А и В, со ско-
скоростью v, то частота, регистрируемая наблюдателем при движе-
движении источника, отличается от частоты, воспринимаемой при
покоящемся источнике, на величину Д\\ определяемую формулой
-^- = -^-cosO, A38.1)-
где с — скорость света. Волновая теория этого явления основана
на рассмотрении изменения длины волны вследствие движения
источника при сохранении скорости распространения света*).
Оказывается, однако, что это явление может быть объяснено
и с корпускулярной точки зрения. При этом испускание света
рассматривается как «выстреливание» фотона, и к этому про-
процессу применяются законы сохранения энергии и количества
движения совершенно так же как в
корпускулярной теории эффекта
Комптона.
Пусть атом с массой М, движу-
движущийся со скоростью V\, т. с. обла-
обладающий количеством движения Mvu
находясь в точке О, испускает фо-
фотон hv (рис. 206). Количество дви
жения этого фотона равно hv/c.
В силу закона сохранения количе-
количества движения атом приобретает в момент испускания добавоч-
добавочный импульс —hv/c, направленный в противоположную сторону
(отдача). Его импульс пбеле испускания становится равным Mv2
Из чертежа, построенного на основании импульса, видно, что
Mv] — Mv2 = MAv=^-cos^. A38.2)
Для того чтобы теперь применить закон сохранения энергии, бу-
будем рассуждать следующим образом. Если энергии покоящегося
атома в стационарных состояниях, ведущих к испусканию фото-
фотона hv, равны соответственно ?] и Е2, то
El — E2=~hv. A38.3)
Энергия движущегося атома в возбужденном состоянии (перед
испусканием) равна
•) Мы :
Относящиеся
Г. С. Л а н д

440 ' ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ [ГЛ X
в нормальном состоянии (после испускания)
Энергия испущенного фотона равна
На основании закона сохранения энергии
I Mv\ + ?, = \ Mv\ + E2 -f h (у + Av), A38.4)
откуда, принимая во внимание A38.3),
~M(v*-v%) = hAV
или
М Av °]*°2 = h Av.
Пользуясь A38.2), вводя среднюю скорость б =-"' Vi и прини-
принимая во внимание, что МДи = (hv/c) cos О (рис. 206), получаем
¦^Г = у" cos О,
т. е. соотношение A38.1), выводимое в волновой оптике.
§ 139. Корпускулярно-волновой дуализм.
Дифракционная решетка
Рассмотрим отражательную плоскую дифракционную решет-
решетку. Из волновой теории известно, что если период решетки ра-
равен а и если на решетку падает плоская монохроматическая
волна под углом О относительно плоскости решетки, то при от-
отражении в направлении, характеризуемом углом О', мы получим
свет при условии
a (cos О — cos О') = пЪ. A39.1)
Рассмотрим теперь это явление с корпускулярной точки зре-
зрения. Пусть на решетку падает поток фотонов под углом О. По-
Поскольку из опыта хорошо известно, что характер дифракционной
картины не зависит от интенсивности света, но определяется
только самой решеткой в целом, нам не следует детализировать
картину,— например, рассматривать отражение каждого фотона
от определенного отражающего штриха решетки (этот вопрос
мы рассмотрим ниже), Мы можем, однако, утверждать, что при
.падении фотона на решетку последняя получает добавочный им-
импульс, а при отражении — испытывает отдачу. В результате со-
5 139] ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА 44 Г
ставляющая импульса решетки в направлении оси х, лежащей
в плоскости решетки, изменится на
Представим себе теперь, что решетка подвижна, и пусть она
может перемещаться, оставаясь в своей плоскости; тогда им-
импульс Дря сообщит ей движение. Очевидно, что при перемеще-
перемещении решетки в направлении оси х на расстояние, равное ее пе-
периоду а, решетка вновь совместится со своим исходным поло-
положением. Поэтому движение решетки мы можем рассматривать
как периодическое с периодом а. В таком случае его можно
«проквантовать», пользуясь квантовыми условиями Бора — Зоы-
мерфельда (§ 113)
J Дря dx = nh,
откуда
a{±px = nh. A39.2)
Так как масса решетки очень велика по сравнению с массой
фотона, то изменением абсолютной величины его импульса р
при отражении можно пренебречь. Поэтому
Рх~Р cos *> Рх~Р cos */» АРл == Р (cos * — cos ^'К
и A39.2) принимает вид
а (cos О — cos О') = п —. A39.3)
Принимая во внимание, что р есть импульс фотона, связан-
связанный с длиной волны соотношением
p = h/h — 2nhl% A37.8)
A39.1)
и подставляя это выражение в A39.3), получим
a (cos d —cos О') =?А,
т. е. формулу дифракционной решетки в обычном виде.
Обратим внимание па то, что в формулу A39.3) входит им-
импульс р — величина, характеризующая частицу, а в соотноше-
соотношение A39.1) —длина волны. Можно сказать, таким образом, что
соотношения A39.3) и A39.1) представляют одну и ту же фор-
формулу, написанную, однако, в первом случае в терминах корпу-
корпускулярной картины, а во втором—в терминах волновой кар-
картины. Как и в остальных случаях, переход от одной картины
к другой производится при помощи соотношения
связывающего оба аспекта оптических явлений.

§ 140. Гипотеза де-Бройля
Дуализм «волны-частицы» был установлен, как мы видели,
прежде всею При изучении природы света. В 1924 г. Луи де-
Бройль, пытаясь выйти из затруднений, связанных с этим дуа-
дуализмом, выдвинул смелую гипотезу, что дуализм не является
особенностью одних только оптических явлении, но имеет уни-
универсальное значение. «В оптике, — говорит он, — в течение сто-
столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмо-
рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории ма-
материи обратная ошибка? Не думали ли мы слишком много
о картине «частиц» и не пренебрегали ли чрезмерно картиной
волн»? Таков был вопрос, поставленный де-Бройлем.
К допущению волновых свойств у материальных частиц его
привели также следующие соображения. В двадцатых годах
XIX столетия Гамильтон обратил внимание на замечательную
аналогию между геометрической оптикой и механикой (само со-
собой разумеется, что в то время речь могла идти только о меха-
механике Ньютона). Оказывается, что основные законы этих двух
различных областей можно представить в математически тож-
тождественной форме. Это значит, что вместо того, чтобы рассма-
рассматривать движение материальной частицы в поле с потенциалом
V(x, у, z), можно рассматривать движение световых лучей в оп-
оптически неоднородной Среде с соответственно выбранным пока-
показателем преломления \х(х, у, z) и наоборот. Эга аналогия рас-
распространялась только па геометрическую оптику н классическую
механику Но хорошо известно, что геометрическая оптика не
может объяснить всех свойств света. Для объяснения таких
свойств, как интерференция и дифракция, нужно пользоваться
волновой оптикой, которая имеет более общее значение; геоме-
геометрическая же оптика является предельным случаем оптики вол-
волновой (имеющим место для очень коротких длин воли). С дру-
другой стороны, известно также, что и ньютонова механика имеет
ограничению применимость; она, например, не может объяс-
объяснить существования дискретных уровней энергии в атомных си-
системах. Идея де-Бройля состояла в том, что необходимо расши-
расширить аналогию между механикой и оптикой и волновой оптике
сопоставить волновую механику, более общую, нежели механика
классическая, и применимую к внутриатомным движениям.
Допуская, таким образом, что материальные «частицы* па-
ряду с корпускулярными свойствами имеют также и вол ноше,
дс-Ёройль перенес па случай материальных «частиц» правила
перехода от одной картины к другой, с которыми мы уже неод-
неоднократно встречались, рассматривая дуализм «волны частицы»
в оптике. Пусть мы имеем материальную «частицу» (например,
электрон) с массой т, движущуюся а отсутствии поля, т. е. рав-
S ИИ СВОЙСТВА ВОЛН ДЕ ВРОЙЛЯ А&
номерно со скоростью v. В корпускулярной картине мы припи-
приписываем частице энергию Е и импульс р; в волновой картине мы
имеем дело с частотой со и длиной волны X. Если обе эти кар-
картины являются различными аспектами одного и того же объ-
объекта, то связь между характеризующими их величинами уста-
устанавливается соотношениями (см. § 137)
? = ft(o A40Л)
р = 2пН/\, A40.2)
где й — постоянная Планка, деленная на 2л.
В случае оптических явлений мы использовали соотношение-
A40.2) для определения импульса фотона, который представ-
представляет собою частицу с массой покоя, равной нулю, движущуюся
со скоростью света с. Для материальных частиц то же соотно-
соотношение по де-Бройлю дает длину волны тех плоских монохрома-
монохроматических волн, которые сопоставляются этим частицам:
А = 2л/г/р.
В случае частиц с массой покой, не равной нулю, р — mv,
причем для малых скоростей т есть постоянная, а для
скоростей, сравнимых со скоростью света, релятивистская масса
m— . ° ...=- зависит от скорости. Итак, для «частиц» с массой
покоя, не равной нулю, по де-Бройлю
- (U0.3)
абсолютным значением
Если ввести волновой вектор к
|к| = 2лД.тО на основании A40.2)
р = дк, рх = hkXl p,j — Htty, рг = hkz. A40.4)
Формула плоской волны, описывающей движение свободных
материальных «частиц», имеет поэтому следующий вид*)г
Л
§ 141. Свойства волн де-Бройля
A40.5)
Вычислим скорость распространения волн дс-Бройля, разли-
различая, как и во всех случаях, фазовую и групповую скорости.
Фазовая скорость будет
с'=-?-=!?. = А =Л?1__?1. A41 Л)
k fife п то v * '

ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
Так как C~>v, то фазовая скорость волн де-Бройля больше
скорости света в пустоте. Но это не должно нас смущать, так
как мы уже знаем, что фазовая скорость не характеризует ни
скорости «сигнала», ни скорости перемещения энергии, а потому
и может быть как меньше, так и больше с.
Групповую скорость вычисляем при помощи формулы A34.3)
Нетрудно доказать, что dE/dp = и. В самом деле, изменение
энергии частицы, движущейся под действием силы F на пути rfs,
или, так как v и р направлены одинаково
dE = vdp,
откуда
-f-'•
Итак, мы получаем из A41.2)
т. с. групповая скорость волн де-Бройля равна скорости ча-
СТН11Ы. К этому замечательному соотношению мы еще вернемся.
Найдем теперь связь между частотой волн де-Бройля и со-
составляющими волнового вектора (закон дисперсии). С этой
целью мы сначала установим соотношение между v и к для
общего случая релятивистских частиц, воспользовавшись реля-
релятивистским соотношением между импульсом и энергией*):
&L = т20сп- + р2 = ту + (р\ + р\
A41.3)
A40.1)
A40.4)
= —гЕ(ар. 396)
Е = -^^ (стр. 216). Имеем
Вводя обозначение
приводим A41.3) к виду
рэггл 415
¦(**+ *» + *!)• <141-4)
—=lF-+(*' + *? + *3- A4|-6>
Это и есть искомое релятивистское соотношение. Заметим, что
для частиц с массой покоя, равной нулю, формула A41.5) дает
(Jo =0 и A41.6) принимает вид
— уже известное нам соотношение, вытекающее из волнового
уравнения для электромагнитных волн, т. е. для волн, которым
сопоставляются фотоны.
Рассмотрим, наконец, еще одно замечательное свойство волн
де-Бройля. В элементарной теории водородоподобиого атома но
Бору мы пользовались следующим условием для отбора стацио-
стационарных круговых орбит
mva = nh (n = 1, 2, ..,).
Это условие можно переписать в виде
Принимая во внимание, что 2nh/mv есть длина волны де-Брой-
де-Бройля, имеем:
2па = п%, A41.7)
т. е- длина окружности стационарной орбиты должна быть равна
целому числу волн де-Бройля.
§ 142. Экспериментальное подтверждение
гипотезы де-Бройля. Метод Брэгга
Гипотеза де-Бройля очень быстро была блестяще оправдана
экспериментально. А именно, было показано, что пучки электро-
электронов, протонов и даже целых атомов обнаруживают явления ин-
интерференции совершенно так же, как свет или рентгенэвские
лучи.
Рассмотрим прежде всего, каков порядок величины длины
волны дс-Бройля для материальных частиц. Это даст нам

:ентальные методы долж-
указание на то, какие именно эксцерим
ны быть применены в данном случае для обнаружения интерфе-
интерференции. Пусть мы имеем пучок электронов, ускоряемых потен-
потенциалом V вольт; если этот потенциал невелик, так что можно
еще пользоваться формулами классической (ньютоновой) меха-
механики, то скорость электронов определяется из соотношения
а длина волны де-Бройля — из соотношения
— У те V V —
A42.1)
A40.3)
A42.2)
Итак мы видим, что для электронов, ускоряемых потенциа-
потенциалом 150 в, длина волны де-Бройля равна 1 А; это — порядок ве-
величины длины волны мягких рентгеновских лучей.
Если скорость электронов велика, то формулы ньютоновой
механики становятся неприменимыми, и нужно учитывать реля-
релятивистскую поправку на зависимость массы от скорости. В та-
таких случаях для определения К можно пользоваться следующей
Таблица XVII]
ю3
10е
10'
10s
10»
ю1
1O3
400
200
50
10
Длина но
электроны
1,2- 10~E
1,2- 10"'
i,2- IO~3
0,87 ¦ 10
3,7- Ю"г
0,12
0,39
0,61
0,86
1,7
3,9
кн(вА>
7,3-Ю
2,7- IO~6
0,9 ¦ 10"
2,9 ¦ IO
9,0-10
2,9 ¦ ID
9,0-10
1,4-10"'
2p ¦ 1О"г
4.0- 1(J~2
О,ч- 10"'
приближенной формулот^:
X —ЦЙ-A- 0,489-
A42.3)
Для протонов длины волны де-Бропля при той же скорости в
j/1836 раз меньше. В таблице XV111 приведены вычисленные
значения К для электронов и прогонов.
Из сказанного ясно, что для обнаружения интерференции
материальных частиц следует пользоваться теми же методами,
которые применяются в случае рентгеновских лучей, т е. интер-
интерференцией в кристаллической рептегке. На самом деле, интер-
интерференция электронных пучков в кристаллах была обнаружена
еще до появления теории де-Бройля. В 1921 — 1923 гг. Дэвисон
и Кэнсман нашли, что при рассеянии
таллическими б
р р лектронен тонкими ме-
металлическими листочками наблюдается определенно выражен-
выраженная зависимость интенсивности от угла рассеяния (рис. 207).
При этом положение и веяичигга получающихся максимумов
существенно зависят от скорости электронов. Случайное об-
обстоятельство показало, что в этом явлении решающую роль
играет кристаллическая структура: во премя опытов с отраже-
отражением от никелевых пластинок стеклянный аппарат лопнул и
никелепая пластинка окислилась. Для восстановления этой
пластинки ее пришлось затем долго прокаливать в вакууме и
в атмосфере водорода. После этой обработки пластинка

Kpilf.rt'ftM
испытала рекристаллизацию: в ней образовалось некоторое ко-
количество крупных кристаллов. При повторных опытах с рассея-
рассеянием электронов оказалось, что картина вследствие этой рек-
рекристаллизации резко изменилась: количество максимумов
сильно возросло, а сами макси-
максимумы сделались значительно оп-
определеннее (см. рис. 207,6).
Объяснение этой своеобразной
селективности в отражении элек-
электронов было крайне затрудни-
затруднительно до тех пор, пока не поня-
поняли, что здесь мы имеем пример
интерференционного отражения.
Следующие опыты Дэвисона и
Гермера подтвердили правиль-
правильность этого объяснения.
Параллельный пучок электро-
электронов (рис, 208) определенной ско-
скорости, получаемый при помощи
рр «электронной Пушки» А, На-
правлялся на кристалл В; отра-
отраженные электроны улавливались коллектором С, соединенным
с гальванометром. Коллектор мог устанавливаться под любым
углом относительно падающего пучка, оставаясь все время р
одной плоскости. Измеряя силу тока коллектора при разчых по
ложсниях его, можно было судить об ин- , \
тенсивности отражения в различных на-
направлениях. Результат представлялся в виде
полярной диаграммы, образец которой при-
приведен на рис. 209. На радиусах-векторах,
проведенных под различными углами, от-
откладывались отрезки, пропорциональные
интенсивности отражения под соответствую-
соответствующими углами. Оказалось, что если поме-
поместить в В монокристалл никеля, то при от-
отражении наблюдается резко выраженный Эчектронов от моно-
моноселективный максимум, показывающий, что "кристалла никеля,
электроны Отражаются, следуя оптическому
закон\: «угол падения равен углу отражения». Тот же опыт,
повторенный с полукристаллической пластинкой никеля, состоя-
состоящей из множества хаотически расположенных кристалликов, не
обнаружил никакой селективности.
Опыт с правильным отражением электронов от монокристалла
на самом деле представляет точную аналогию интерференцион-
интерференционного отражения рентгеновских л; чей от кристалла но методу
Брэгга (или интерференционного отражения монохроматиче-
ие. 209. По;
1ЕТОД БРЭГГА
ского света от тонкой пластинки). Как известно, рентгеновские
лучи испытывают отражение от кристалла только в том случае,
если их длина волны и угол скольжения удовлетворяют фор-
формуле Бульфа— Брэгга (см. гл. IV, § 33)
nX = 2dsintf. (I42.4)
Эту формулу можно использовать для обнаружения интер-
интерференции двояким образом. Во-первых, можно направить на
кристалл лучи определенной длины волны \ и, поворачивая
кристалл, убедиться, что отражения происходят только при оп-
определенных углах фь ф2, . .., соответствующих значениям п =¦
= 1, 2, ... в формуле Вульфа — Брэгга. Таким образом, по-
получаются спектры первого, второго и т. д. порядков. Во-вторых,
можно сохранять один и тот же угол скольжения ф и непрерыв-
непрерывно менять длину волны. При этом отражения должны полу-
получаться только в тех случаях, когда
— 2rfsfnq>,
A42.5)
т. е. для длин волн \и \г = Я,/2, Аэ = W3 и т. Д-
В случае рентгеновских лучей пользуются первым способом,
в случае электронов — вторым, так как потоки электронов
обычно имеют определенную скорость (т. е. им соответствует
определенная длина волны К = hjmv) и менять эту скорость не-
неизмеримо проще (изменяя ускоряющий потенциал), нежели по-
поворачивать кристалл в вакууме.
Комбинируя формулы A42.2) и A42.5), получаем
12,25
= —2rfsinq>,
или
12,25
' -"-га?- <142-6>
Таким образом, если при расположении, изображенном на
рис. 208, постепенно менять ускоряющий потенциал V и каждый
раз измерять силу тока коллектора (т. е. интенсивность отра-
отражения), то, откладывая затем по оси абсцисс V4\ а по оси орди-
ординат— интенсивность отражения, мы должны получить кривую
с рядом равноотстоящих резких максимумов с расстоянием
между максимумами, равным 12,25/2^зшф.
На рис, 210 приведена кривая, полученная с монокристал-
монокристаллом никеля при определенных условиях (ф = 80°, rf = 2,03A).
Как видно, периодическое повторение максимумов выра-
выражено очень отчетливо. На том же чертеже стрелками показано
положение максимумов, вычисленное по формуле Вульфа —
Брэгга A42.6). Сравнение с положением максимумов на

450
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
экспериментальной кривой показывает, что для высоких значе-
значений я (п = 7, 8) имеется точное совпадение; для более низких п
обнаруживается расхождение и притом тем большее, чем
меньше п.
Поскольку это расхождение имеет систематический и зако-
закономерный характер, оно показывает, что какой-то фактор не
учтен при расчете. Этот фактор есть показатель преломления
'волн дс-Бройля. В са-
самом деле т!ри выводе
формулы Вульфа —
Брэгга (см. § 33) пока-
показатель преломления
считается равным 1, а
длина волны вне кри-
кристалла и внутри него —
одинаковой. Это вполне
допустимо для очень
коротких длин волн.
Для более длинных
волн в области рентге-
рентгеновских лучей при точном определении длины волны приходится
учитывать показатель преломления и пользоваться исправлен-
исправленной формулой Вульфа — Брэгга, которая будет выведена ниже.
То же самое должно иметь место и для волн де-Бройля. Каче-
Качественно это подтверждается уже характером расхождения вы-
вычисленных и экспериментальных максимумов отражения. В са-
самом деле, расхождение, как мы видели, уменьшается при
увеличении п; но при фиксированном угле ф Отражения для
возрастающих п согласно формуле A42,5) суть отражения соот-
соответственно убывающих длин волн X, Х/2, к/3 и т. д.
Упра
типе RaC (энергии а чач
2, Вычислить ускоряющим пиин
оГо порядка для интерференционно
]я 1,2210s эрг)
отражения '
§ 143. Преломление электронных волн
и внутренний потенциал металла
Объяснение смещения максимумов, приведенное в конце
предыдущего параграфа, количественно подтверждается вычис-
вычислением внутреннего потенциала металла из наблюдений над
электронной интерференцией. Вычисление это производится
следующим образом. Фазовая скорость волн де-Бройля, как мы
знаем, равца Е/р. Когда электроны, попадают внутрь металла,
то их импульс меняется, и это именно есть причина преломле-
5 Ш] ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ВОЛН - 451
ния электронных потоков с корпускулярной точки зрения (см.
§ 137). Изменение импульса при попадании внутрь металла
объясняется тем, чш внутри металла имеется электрическое
поле, обусловленное положительными ионами, из которых со-
состоит кристаллическая решетка металла. Потенциал этого
поля, таким образом, положителен. Если мы теперь представим
себе прямую, проходящую через ряд положительных ионов ме-
металла, то при перемещении вдоль этой прямой потенциал, оче-
очевидно, должен меняться периодически, так как ионы располо-
расположены на равных расстояниях. Мы можем, однако, приближенно
заменить этот периодически меняющийся потенциал некоторым
средним потенциалом, который и называется внутренним потен-
потенциалом металла.
Фазовая скорость электронных волн вне металла равна
, е F
где Е— полная энергия электронов. Если потенциальная энер-
энергия электрона внутри металла есть U, то импульс внутри ме-
металла будет Pi= У 2т (? — U), а фазовая скорость электрон-
электронных волн
Показатель преломления ц., по определению, равен
где ф и ф'"— углы скольжения, т. е. дополнения до л/2 к углам
падения и преломления.
Теперь нужно принять во внимание, что внутренний потен-
потенциал металла Уо положителен, а заряд электрона отрицателен;
поэтому потенциальная энергия U отрицательна:
полная энергия Е выражается, как обычно, через внешний ус-
ускоряющий потенциал Е = eV. Принимая псе это во внимание,
получаем из A43.1)
" = ~^-/1+1Г- С43-2»
Мы получили, таким образом, выражение показателя прелом-
преломления через внутренний потенциал Vo-
Выведем теперь формулу Вульфа — Брэгга для случая, ког-
когда м ф 1. Рассмотрим два интерферирующих луча 1 и 2

(рис. 211) Вследствие преломления внутренний угол скольже-
скольжения ф' не равен внешнему ф. Разность хода лучей 1 и 2, оче-
очевидно, равна
или, принимая во внимание, что
Условие максимума при интерференции теперь дает
[см. A43.1I или ___^_
2d l/ft2 — cos2 ф = пХа. A43.3)
Это и есть формула Вульфа — Брэгга для и. ф 1.
При помощи этой формулы можно вычислить внутренний
потенциал металла следующим образом- Подставляя в A43.3)
.„ = у ~- , получаем
и заменяя здесь ц1 через
l-\-V0/V, по формуле A43.2)
находим
Va = n3-$—Vsln*v. A43.4)
Итак, зная ускоряющий потен-
Рис 211 К выводу формулы Вульфа- ЦИЗЛ V И измеРив Угол СКОЛЬ-
Брэгга с учетов.показателя прелом- жения ф, Можно вычислить Vo
ления. для кристалла с известной ве-
величиной d.
Таким путем получаются, например, значения Vo, приведен-
приведенные в таблице XIX. Как видно, эти значения достаточно по-
постоянны. Они согласуются со значениями, вычисленными из тео-
теории металлов.
Важную роль в истолковании связи между внутренним по-
потенциалом металла и преломлением электронных волн сыграли
работы советского физика В. Е. Лашкареяа.
Упражнения: 1. Вычислить показатель преломления платкны для
пучка электронов с энергией 240 эв. падающего на поверхность платины под
ки — 3,9 А.
2. При данных предыдущей задачи вычислить угоя преломления пучка
электронов.
МЕТОДЫ ЛАУЭ И ДЕБАЯ-Ш
Металл
Ni
Pb
Ч
67
142
218
65
125
208
48
9G
Ififi
1,49
1,03
0,83
1,52
1,09.
0,84
1,77
1,25
0,95
»
3
4
5
3
4
5
3
4
5
1,12
1,0а
1,03
1.10
1,00
1,03
1,15
1,08
1,04
17
8
4
4
5
3
5
3
§ 144. Экспериментальное подтверждение гипотезы де-Бройля.
Методы Лауэ и Дебая—Шеррера
Интерференция рентгеновских лучей в кристаллах осущест-
осуществляется не только по методу Брэгга, но также и двумя другими
главными методами: методом Ла^э и .методом Дебая — Шер-
Шеррера. Оба эти метода могут быть применены и для осуществле-
осуществления интерференции с волнами де-Бройля. Метод Лауэ, при
помощи которого исторически впервые была осуществлена
интерференция рентгеновских лучей в кристаллах, как известно,
заключается в том, что узкий пучок рентгеновских лучей, имею-
имеющих сплошной спектр, пропускается через кристалл. Получаю-
Получающиеся при этом интерференционные п;чки фиксируются на фо-
фотопластинке в виде системы симметричных пятен (см. § 32).
Причина, вследствие которой для осуществления опыта
Лауэ необходимо, чтобы рентгеновские лучи имели сплошной
спектр, подробно разъяснена в § 32. Однако в сл>чае электро-
электронов получение пучка с набором скоростей, распределенных не-
непрерывным образом, экспериментально невозможно: электроны,
выходящие из электронной пушки, имеют одн\ и ту же ско-
скорость, или, точнее говоря, обладают распределением скоростей
в узких пределах. Поэтому, направляя электронный пучок на
кристалл, мы, вообще говоря, не удовлетворим условиям, необ-
необходимым для осуществления интерференции Лауэ В этом слу-
случае приходится шаг за шагом отыскивать условия, при кото-
которых возникает максимум, соответствующий определенному ин-
интерференционному пучку, непрерывно меняя скорость электронов
(т. е ускоряющий потенциал, наложенный на пушк;) и одно-
одновременно меняя положение коллектора, принимающего отра-
отраженные от кристалла электроны.

454
1ГЛ. X
Практически опыт с электронами, аналогичный опыту Лауэ,
был поставлен Дэвисоном и Гермером следующим образом.
Монокристалл никеля, принадлежащий к кубической системе,
сошлифовывался, как показано на рис. 212 [параллельно плос-
плоскостям с кристаллографическими индексами A11)]- На рис. 212
Электронная
\у Лауэ.
показаны три характерных положения сошлифованного таким
образом кристалла. В одном из них (азимут А) плоскость, про-
проходящая через пучок и ось коллектора, проходит через одну из
вершин треугольника; при другом (азимут В) —она делит сто-
сторону треугольника пополам и при третьем (азимут С)—она
параллельна стороне треугольника.
Различие между условиями опыта в этих трех азимутах
видно из рис. 213. Сошлифованная поверхность кристалла по-
покрыта правильными рядами атомов. Ее можно рассматривать
как совокупность линейных решеток; при этом постоянная ре-
решетки в различных азимутах неодинакова: например, в азимуте Л
она равна 2,15А, а в азимуте С—1,24 А. Экспериментальная
установка позволяла вращать кристалл около вертикальной оси
и, кроме того, перемещать коллектор в любое положение около
вертикальной оси.
В опыте Дэвисона и Гермера пучок электронов направ-
направлялся перпендикулярно к сошлифованной плоскости и с по-
помощью коллектора измерялась интенсивность отражения элек-
электронов под различными углами при фиксированном положении
кристалла (в одном из трех указанных азимутов). Результаты
та кого'рода измерений иллюстрируются на рис. 214 серией по-
полярных диаграмм интенсивности отражения в азимуте А при
различных скоростях электронов (т. е. при разной длине волн
де-Бройля). Здесь втщно, что при скорости электронов, соответ-
соответствующей 44 эе, максимум пол углом 50° едва намечается
(рис. 214,о); при 54 эв он достигает полного развития и при
дальнейшем увеличении скорости вновь ослабляется, почти ис-
исчезая при 68 зв. Далее опыт видоизменялся следующим обра-
образом: положение коллектора и скорость электронов сохранялись
Рис. 214. Нар;
неизменными (например, соответствующими данным рис. 214, в),
но кристалл постепенно поворачивался около вертикальной'оси
и каждый раз измерялся соответствующий ток на коллектор. Из
рис. 212 видно, что вследствие симметрии при повороте кри-
кристалла он трижды должен совместиться с исходным положением.

10ЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
)этому ре; .
120°. Рис. 215 показывает, что это наблюдается на самом
деле. Небольшие горбы, видные на этом рисунке между каж-
каждыми двумя резкими максимумами, представляют собою едва
намечающиеся максимумы для электронов в 54 эй в азиму-
!иС
О" 30° 60° 30° 120° !50° 130° 210° 2,
Азимутальный &
Рис. 215. Азимутальное распределение huts
Наконец, и третий метод изучения интерференции рентгенов-
рентгеновских лучей — метод Дебая—Шеррера — также был применен
для доказательства существования интерференции электрон-
электронных пучков. Если тонкий пучок рент1еновских лучей проходит
сквозь мелкокристаллический порошок или через тонкую метал-
металлическую пластинку, представляющую собой агрегат микрокри-
сталликов, то среди них всегда найдутся такие, которые рас-
расположены к падающему пучку под углом, удовлетворяющим
соотношению Вульфа — Брэгга. От таких кристалликов рентге-
рентгеновские лучи испытывают отражения, причем все отраженные
лучи для данного значения ф в формуле Вульфа — Брэгга пойдут
по поверхности конуса. Поставив на пути рассеянных лучей
фотографическую пластинку, расположенную перпендикулярно
к направлению первичного пучка, мы получим на ней ряд ко-
,144]
методы лауэ и
457
лец. Совершенно такая же картина получается, если через тон-
тонкую металлическую пленку пропускать пучок электронов: рас-
рассеянные электроны дают на фотографической пластинке сис-
систему интерференционных колец.
Опыты с получением электронограмм дебаевского типа были
впервые удачно поставлены Г. П. Томсоном с быстрыми элек-
электронами A7500—56500 за) и П. С. Тартаковским — с относи-
относительно медленными ЭЛрктпонями <пп 17ПП эя!
Н ых с
лист( учаях
получаются типичные интерференционные кольца. Очень прос-
простым способом можно показать, что эти кольца образуются са-
самими рассеянными электронами, а не вторичными рентгенов-
рентгеновскими лучами: при включении магнитного поля вся интерферен-
интерференционная картина смещается и искажается, в то время как ин-
интерференционная картина, получаемая с рентгеновскими лу-
лучами, конечно, остается неизменной.
Количественная проверка может быть произведена следую-
следующим образом. Из геометрических соображений легко показать,
что для данного металлического листка и при неизменном рас-
расстоянии от листка до фотопластинки между радиусом дифрак-
дифракционного кольца г и длиной волны X должно иметь место соот-
соотношение
-?-. = const. A44.1)
Так как в Этих опытах приходится пользоваться электронами,
энергии которых измеряются килоэлектрон-волыами (вследст-
(вследствие сильного поглощения медленных электронов металличе-
металлическими листочками), то простое выражение для длины волны

волны и частицы
}, = 12,25 V'2 становится неточным и нужно пользоваться фор-
формулой с поправкой на релятивистские эффекты *)
)~V). (I42.3)
Подставляя это выражение в A44-1), получаем
тУЧш _ rV>h_fi J_n^o.1o-V) = const.
A44.2)
А 12,25A -0,489- IOV) 12,25 v
В таблице XX приведены данные опыта с золотыми листоч-
листочками. Как видно из третьего столбца таблицы, требуемое по-
постоянство выполняется удовлетво-
Таблица XX рительно.
Наконец, можно вычислить
постоянную решетки различных
кристаллов из дебай-шерреров-
ских снимков с электронными лу-
лучами и сравнить с результатами,
полученными для тех же кристал-
кристаллов при помощи рентгеновских
лучей. В том и другом случаях
получаются цифры, весьма удов-
удовлетворительно между собою сов-
совпадающие (см. таблицу XXI). В настоящее время на основе
опытов с интерференцией электронных пучков развился мощный
V (вол-т.
24 000
31 800
39 400
45 G00
54 300
г,с,
2,50
2^0
1,86
1,63
rV A + 0.489.10-eV
398
404
§ [45] ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ПУЧКОВ 459
метод электронографического анализа, по своей точности и ши-
широте практических применений не уступающий рентгенографи-
рентгенографическому анализу, а в некоторых случаях даже более удобный*).
Таб.
XXI
„„.„
Al
По=тоЯЯН
ИЭ ИЛйк?ФСГ1еНЦЯИ
4,035
- Решетки (. Л)
ИЭ интерференции
4,063
4,06
3.91
4,92
2,86
1еи в 30 кэв проходит через
ь формулы Вульфа — Брэгга,
ой картины первого порядка.
§ 145. Интерференционные явления
с молекулярными пучками н с нейтронами
Согласно гипотезе де-Бройля волновыми свойствами должны
обладать не только электроны, но и любые материальные час-
частицы, т, е. также атомы, молекулы или тяжелые элементарные
частицы (протоны, нейтроны). Так как по формуле де-Бройля
длина волны % = h/mv обратно пропорциональна массе, то при
одинаковых скоростях в случае тяжелых частиц X должна
быть значительно меньше, нежели в случае электронов. По-
Поэтому наблюдение дифракции волн де-Бройля в случае атомов
и других тяжелых частиц возможно при малых скоростях по-
последних. Подсчет показывает, что при комнатной температуре
длина волны де-Бройля легких атомов—порядка 10"8 см, т. е, -
_ ,
A +0,978- IO"V) V112
-формула A42 3) приведенная в тексте
*) См 3. Г, Пинекер, Дифракция электроноп. Изд. АН СССР, 19-1

460 ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ [ГЛ. X
того же порядка величины, что и длина волны рентгеновских
лучей. Значительное усовершенствование техники работы с так
называемыми молекулярными пучками, т. е. направленными
прямолинейными потоками нейтральных атомов или молекул*),
позволило наблюдать дифракционные явления также и с пуч-
пучками атомов гелия и молекул нейтрального водорода. Так как
атомьт или молекулы при малых скоростях не могут проникать
к
за
is
га
15
IS
5
saa-к г
1
Прямайлуи
-
-
Лрямойлуч
-
Рис. :
-10
?18.
ит
0"
Дифракция
кристалла
¦/0"
атом(
фтор1
го
1СТ0ГО
-20
Рис.
21
0A1
10°
9. Д^
а от
0
гф]
кр
внутрь кристалла, то последний действует для волн де Бронля,
как двухмерная отражательная решетка. Дифракция рент1енов-
ских лучей от такой решетки рассмотрена нами в § 32. Там
было показано, что плоская решетка даст двойное многообразие
дифракционных спектров, например, спектры; порядка ( + 1, +1)
или (+1, —1) и т. д. Анало1 цчный результат должен иметь
место и в случае отражения волн де-Бройля От решетки кри-
кристалла.
На рис. 218 и 219 приведены картшты Дифракции атомов ге-
лия и молекул водорода от кристалла фтористого лития. Два
поящсца монография К ф!" Смита. Молекулярные пучки, Физма'тгиз, 1950.
I 145]
интерференция Молекулярных пучко!
боковых максимума в обоих случаях соответствуют дифракции
порядка (+1, —1). Расчет положения максимумов дает резуль-
результаты, очень хорошо согласующиеся с экспериментальными. Та-
Таким образом, опыты с молекулярными пучками не только ка-
качественно подтверждают наличие волновых свойств материи, но
и количественно оправдывают формулу де-Бройля в примене-
применении к атомам и молекулам.
С особенной наглядностью наличие волновых свойств у тя-
тяжелых частиц и применимость формулы де-Бройля обнаружили
нейтроны. Нейтроны наряду с протонами — элементарные со-
составные части атомных ядер; их масса приблизительно равна
массе протона, но опи лишены электрического заряда. Благо-
Благодаря этому последнему свойству нейтроны свободно проникают
внутрь твердых тел и с ними можно осуществить дифракцию
на пространственной решетке кристалла.
Для получения дифракции 1Го методу Лауэ, как мы знаем,
необходим сплошной спектр длин волн. В случае нейтронов
пучок со сплошным спектром волн де-Бройля (полиэнергетиче-
ский пучок) получается благодаря тому, что, попадая внутрь
тела, нейтроны приходят в тепловое равновесие с веществом.
При этом их скорость подчиняется известному из кинетической
теории закону распределения Максвелла, графически представ-
представленному для комнатной температуры на рис. 220. Здесь Уо «паи-
вероятнейшая скорость»; для комнатной температуры она рав-
равна 2 200 м/сек. Длина волны де-Бройля для нейтронов такой

IHM И ЧАСТИЦЫ
скорости равна 1,8 А, т.е. имеет как раз такую величину, какая
необходима для осуществления дифракции па кристаллической
Рис. 221. Метод дифрага
решетке. Величина v = 2 480 м/сек — средняя скорость нейтро-
нейтронов при комнатной температуре; на рисунке пунктиром пред-
представлена также кривая распределения для потока нейтронов
. 222. Нейтронограм]
a NaCl, получе
я Шуллом н Уоллэ
nv, т. е. числа нейтронов, пересекающих площадку в 1 см2 за
секунду.
На рис. 221 представлена схема опыта с дифракцией для
1толиэиерготического пучка нейтронов, а на рис. 222 приведена
ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ И ЧАСТИЦА
463
фотография, полученная при прохождении нейтронов через мо-
монокристалл NaCl. Типичное для дифракции на пространственной
решетке распределение пятен соответствует симметрии кри-
кристалла.
Для получения дифракции по методу Брэгга требуется моно-
энергетический поток нейтронов. Получение такого пучка до-
достигается предварительным отражением пучка нейтронов от
кристалла, которое выделяет нейтроны с определенной ско-
скоростью, а следовательно, с определенной длиной волны
дс-Бройля. Для определенного угла скольжения нейтроны от-
отразятся в том случае, если будет удовлетворено условие Буль-
фа — Брэгга
Я = 2d sin О,
причем
Выбирая соответствующим образом угол О, можно выделить
из полиэнергетического пучка нейтроны с любой необходимой
длиной волны де-Бройля и, пользуясь ими, исследовать строе-
строение кристаллов.
В настоящее время исследования строения кристаллов при
помощи дифракции нейтронов развились в особую область
структурного анализа, так называемую структурную нейтроно-
нейтронографию, которая существенным образом дополняет ' методы
рентгенографического и электронографического анализа. В ча-
частности, например, определение положения атомов водорода в
кристаллических решетках стало возможным именно благодаря
дифракции нейтронов,
§ 146. Волновой пакет и частица
В четырех последних параграфах мы убедились в том, что
интерференционные опыты, поставленные с такими «частицами»
как электроны или Даже целые атомы, столь же хорошо свиде-
свидетельствуют в пользу волновой природы этих «частиц», как и
соответствующие опыты со светом. Мы вновь встречаемся с
двойственностью, которую впервые обнаружили у света. Однако
на первых порах развития квантовой механики была сделана
заманчивая попытка разрешить противоречие волны-частицы,
рассматривая частицы как волновые пакеты. Основания для
этого были следующие. Электрон или другая материальная
частица но может быть, конечно, плоской гармонической вол-
волной, так как подобная волна безгранична, а частица локализо-
локализована в пространстве и во времени, т- е. в определенный мо-
момент времени занимает определенное место в пространстве. Мы

видели, однако {§ 135), чго из плоских воли, подбирая соответ-
соответственным образом их волновые векторы к, можно строить вол-
волновые пакеты, имеющие сколь угодно малое протяжение.
Нельзя ли рассматривать частицу как волновой пакет? Подоб-
Подобная гипотеза, казалось бы, находит себе подтверждение в том
замечательном свойстве волн де-Бройля, что их групповая ско-
скорость, т. е. именно та скорость, с которой перемещается макси-
максимум пакета, как раз равна скорости частицы v
g = v. A41.2)
Сколь ни привлекательной кажется эта простая идея, при
ближайшем рассмотрении она оказывается совершенно непра-
неправильной. Решающее возражение заключается в следующем. Те
благоприятные свойства пакета, которые мы нашли в § 135,—
именно его устойчивость и движение как целого с групповой ско-
скоростью, не дают полной картины свойств пакета. Они нами на
самом деле были получены лишь в качестве первого приближе-
приближения, так как при рассмотрении движения пакета в § 135 мы вос-
воспользовались приближенным соотношением между ш и к
отбросив все последующие члены разложения. Если же про-
провести вычисление точно, то получается несколько иной резуль-
результат, а именно, оказывается, что хотя максимум пакета переме-
перемещается со скоростью -~, равной для волн де-Бройля v, са-
самый пакет при движении в диспергирующей среде не сохраняет
своей формы и размеров, но постепенно расширяется — расплы-
расплывается.
Причину такого расплывания нетрудно понять из следующих
качественных соображений. Положим, что в некоторый опре-
определенный момент путем суперпозиции плоских волн образо-
образовался пакет. Для образования его необходимо накладывать
волны с длинами волн или, что то же, — волновыми числами k,
непрерывно изменяющимися в некотором интервале ±Дй, Если
среда не имеет дисперсии, то все эти волны распространяются с
одной и той же скоростью, и пакет сохраняется. Но если
дисперсия имеется, то образующие пакет плоские волнь[ будут
распространяться с различной фазовой скоростью: более
быстрые будут забегать вперед, а более медленные — отставать.
Вследствие этого подходящие для образования пакета фазовые
соотношения между плоскими волнами уже в следующий мо-
момент нарушатся, и пакет будет растягиваться — расплываться,
рыстрота этого расплывания характеризуется разницей группо-
9 147] СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ ВОЛН ДЕ-БРОЙЛЯ 465
вой скорости у самых быстрых и самых медленных волн, т. е.
величиной -^р- Ak, по член, содержащий -jp-, мы как раз от-
отбросили при первом рассмотрении пакетов.
Довольно громоздкие вычисления, которые мы здесь не при-
приводим*), показывают, что если образовать из волн де-Бройля
пакет, имеющий в момент t = 0 форму гауссовой кривой ве-
вероятности
и(х, 0) = Се~*№,
где и — амплитуда пакета в точке с координатой х, а величина
Ь характеризует полуширину пакета в момент t = 0, то протя-
протяжение пакета удваивается через промежуток времени, выра-
выражаемый формулой
где т — масса частицы и I) — постоянная Планка. Для частицы
с массой m = I г, занимающей протяжение 2 мм (Ь = 0,1 см),
соответствующий пакет удваивается через 6-Ю17 лет. Ио для
частицы с .массой электрона (т = 0,9- 10~а7г) при Ъ ~ \0~12 см
t ss 1,6-Ю6 сек, т. е, пакет, соответствующий электрону, рас-
расплывался бы М1новепно, что, конечно, противоречит элементар-
элементарнейшим наблюдениям.
§ 147. Статистическое истолкование волн де-Бройля
В предыдущем параграфе мы видели, что попытка рассмат-
рассматривать часгицы как волновые пакеты потерпела неудачу: па-
пакеты расплываются и исчезают, а «частицы» этим свойством не
обладают.
- Существуют, кроме того, и общие соображения, указываю-
указывающие па то, что микроскопические частицы нельзя рассматривать
как пакеты воли. Необходимым признаком элементарных час-
частиц является их неделимость. Мы утверждаем, что отрицатель-
отрицательное электричество состоит ич электронов потому, что в процессе
перезарядки может быть передано количество электричества,
равное заряду либо одною, либо нескольких электронов, но во
всяком случае целого числа и не менее одного. Точно так же
анализ законов фотоэффекта приводит к выводу о существова-
существовании фотонов, так как оказывается, что монохроматический свет
частоты л- переносит энергию и передает ее в процессе поглоще-
поглощения только целыми фотонами hv, но не долями фотона.
•) Интересую.
Д. И. Блохинд
стр. 133
а, Осно
«Высш
, 1963,

Этим свойством неделимости волны не обладают. На границе
двух сред с различной фазовой скоростью волна разделяется на
отраженную и преломленную, при прохождении через кристалл
она разбивается на ряд дифракционных пучкоа и т. д. Если бы
мы стали рассматривать электро- как агрегат волн, то, напри-
например, при дифракции очень слабого пучка, когда электроны про-
проходят один за другим через кристалл, каждый дифракционный
пучок должен был бы нести только часть электрона, чего на
самом деле нет.
Если, однако, целостность частиц при таких процессах, как
отражение, преломление, дифракция, должна сохраняться, то
мы можем утверждать, что при падении на поверхность раз-
раздела двух сред частица либо отразится, либо пройдет во вто
рую среду. Но в таком случае Связь между волнами и части-
частицами может бьггь истолкована только статистически, а именно,
следующим образом: квадрат амплитуды волны в данном месте,
измеряющий ее интенсивность, есть мера вероятности найти
частицу в этом месте.
Для того чтобы пояснить это истолкование, рассмотрим ти-
типичный интерференционный опыт: плоская волна падает на не-
непрозрачный экран, в котором проделаны два отверстия S] и Sz
(рис. 223). В таком случае па доста-
достаточно удаленном воспринимающем эк-
экране {фотопластинка, флуоресцирую-
флуоресцирующий экран) возникает интерференци-
интерференционная картина, состоящая из последо-
последовательности светлых и темных полос.
Объяснение этой картины с волновой
точки зрения общеизвестно: надо пред-
представить себе, что слевл на экран 7 па-
падает плоская волна; отверстия Si и S2
становятся при этом центрами двух
сферических гюйгенсовых волн, рас-
распространяющихся вправо от экрана и
интерферирующих между собой. В том
месте экрана//, где разность хода этих
волн равна нулю или четному числу
полуволн, мы получим максимальную
амплитуду и вместе с тем — максимум светлой полосы; там же,
где разность хода равна нечетному числу полуволн, волны при
интерференции гасят друг друга, амплитуда равна нулю, мы по-
получаем темную полосу.
Как можно понять возникновение этих полос, рассматривая
электроны как неделимые «частицы»? Представим себе, что па-
дающий пучок электронов очень слаб. Опыт показывает, что
характер интерференционной картины не зависит от интенсив-
« 148] СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 4б7
ности. Допустим, что фотопластинка может регистрировать по-
попадание отдельных электронов *). В таком случае при прохож-
прохождении слабого потока электронов через экран / на фотопластин-
фотопластинке сначала появились бы хаотически разбросанные отдельные
темные точки — следы попадания электронов. Можно было бы
юлько заметить, что число этих пятнышек, т. е. число попада-
попаданий электронов, больше в тех местах, где должны быть макси-
максимумы интерференционной картины. При достаточно продолжи-
продолжительном эксперименте эти отдельные следы должны образовать
интерференционные полосы. Таким образом, светлые интерфе-
интерференционные полосы-—-это места, куда электроны попадают
чаще всего; темные полосы — это места, куда они вовсе не по-
попадают **).
Если теперь применить эти соображения не к собранию
большого числа электронов, но к отдельным электронам, то
можно также сказать, что вероятность нахождения электрона
максимальна там, где амплитуда волнового поля имеет макси-
максимальную величину и равна нулю там, где амплитуда равна
нулю. Но так как амплитуда может быть н положительной, и
отрицательной, а вероятность есть всегда положительное число,
то необходимо характеризовать вероятность квадратом ампли-
амплитуды.
Условившись в таком статистическом толковании волн де-
Бройля, мы можем сохранить и волновые пакеты в качестве
удобного метода рассуждения. Построим волновой пакет так,
чтобы он занимал ту область пространства, где находится
электрон в некоторый определенный момент, и предоставим па-
пакет самому себе. Если мы теперь найдем форму пакета в ка-
какой-нибудь следующий момент времени (, то квадрат его амп-
амплитуды в том или ином месте будет пропорционален вероят-
вероятности найти электрон в этом месте в момент (.
§ 148. Соотношения неопределенности
Статистическое истолкование волн де-Бройля, рассмотренное
в предыдущем параграфе, позволяет связывать результаты, по-
полученные теоретическим путем, с экспериментальными фактами.
Однако оно оставляет в стороне вопрос о природе микроскопи-
микроскопических объектов: электронов, фотонов и т. п. Основное затруд-
затруднение состоит здесь в том, что для описания экспериментальных

468 ' ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ [ГЛ. X
картиной волн. Один и те же объекты — электроны — в опыте
с камерой Вильсона оставляют резко очерченные следы, т. е.
ведут себя как снаряды, движущиеся по определенным траекто-
траекториям, а в опыте с прохождением через микрокристаллические
листочки дают светлые и темные интерференционные кольца,
т- е. ведут себя как волны, подчиняющиеся принципу суперпо-
суперпозиции. Поскольку, однако, свойсша чааиц и волн не только
слишком различны, но и во многих отношениях исключают
друг друга, а электроны, несомненно, имеют единую природу,
приходится заключить, что электроны на самом деле не яв-
являются ни тем, ни другим, так что картины волн и частиц в
в одних случаях подходят, а в других оказываются непригод-
непригодными. Свойства микрочастиц настолько своеобразны, поведение
их в такой степени не похоже на поведение окружающих нас
в обыденной жизни макроскопических тел, что у нас нет для них
подходящих образов. Однако ясно, что, поскольку мы вынуж-
вынуждены для описания одних и тех же объектов пользоваться и вол-
волновой, и корпускулярной картинами, мы уже не можем припи-
приписывать этим объектам все свойства частиц и все свойства, волн.
Например, наличие волновых свойств у электронов неизбежно
должно внести какие-то ограничения в применимости к этим
микрочастицам понятий, характеризующих частицу в классиче-
классической механике.
Мы теперь и посмотрим, каковы же эти ограничения. В клас-
классической механике частицы имеют следующие основные свой-
свойства: всякая частица б любой момент времени занимает строго
определенное место в пространстве (причем под «местом» ра-
разумеются координаты центра тяжести) и обладает определен-
определенным импульсом [для частиц с массой покоя, не равной нулю
(р = mv), определенному импульсу соответствует определенная
скорость v]. Возможность одновременного точного определения
положения и скорости является столь характерным свойством
макроскопических частиц, что в классической физике «состоя-
«состояние» системы частиц полностью характеризуется совокупностью
всех координат и всех соответствующих им импульсов. Мы сей-
сейчас увидим, что наличие у электронов волновых свойств вносит
существенное ограничение в возможность такого описания со-
состояния системы микрочастиц.
Допустим, в самом деле, что нам известно положение ми-
микрочастицы на оси х с некоторой неточностью Ах, так что
можно утверждать, что частица находится где-то между Ха и
Ха -f- Ах. Теперь мы вспомним, что все факты атомной физики
могут быть описаны также н с помощью картины воли (см.
§§ 137—139). Тот факт, что положение частицы известно лишь
с некоторой неточностью Ах, описывается в волновой картине,
очевидно, тем, что амплитуда волновой функции Отлична от
§ 148] СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 460
нуля лить па протяжении отрезка, приблизительно равного Ах.
Такая функция, как мы знаем, может быть построена путем
суперпозиции гармонических волн, но сама она, разумеется, от-
отнюдь не является гармонической волной. Ей поэтому нельзя
приписать определенных значений v и k: ограниченная в про-
пространстве волновая функция представляет собой волновой па-
пакет, для построения которого путем суперпозиции синусоидаль-
синусоидальных волн следует складывать волны с непрерывно меняющи-
меняющимися в пределах определенного интервала Ak значениями
волнового вектора к. Соотношение между протяжением пакета
Ах и интервалом ДА, как мы знаем (§ 135), дается условием
ДхДАх>2я. A35.5)
Умножая обе части этого неравенства на постоянную Планка h
и замечая, что согласно постулату де-Бройля hkx = px, полу-
получаем
Д х Ар
2яй.
A48.1)
Из этого соотношения следует, что х и рх не могут одновре-
одновременно иметь определенных значений: если значение х опреде-
определенно, т. е. если Ах = 0, то Арх —> <х>, а Значит, рх не имеет ни-
никакого определенного значения, и наоборот. Если же х и рх не-
неопределенны в известных пределах Дл: и АрХг то между этими
неопределенностями имеет место соотношение A48.1), из ко-
которого следует, что чем меньше Дл:, т. е. чем точнее локализо-
локализовано положение частицы, тем больше Арх, т. е. тем больше не-
неопределенность соответствующей составляющей импульса.
Для двух других координат получим аналогичные нера-
неравенства [см. формулы A35.6)]
Д(/Д/)У>2^Й, A48.1')
Аг Ар,,'._
2л?.
A48.1")
Эти неравенства называются соотношениями неопределен-
неопределенности Гсйзснбер)а. Они представ гяют собой именно то ограни-
ограничение применимости к микрочастицам классических понятий, о
котором говорилось в начале этого параграфа. В самом деле,
для макроскопической частилы, как уже было сказано, харак-
характерца возможность точно определить в каждый момент времени
положение и импульс. Соотношение A48.1) показывает, что
такое описание состояния теряет смысл для частицы микроско-
микроскопической. Это следует из того, что в силу соотношения A48.1)
Ах и Ар* не могут быть равны нулю одновременно [аналогичное
имеет место для Ау и Az и соответственно для Ару и Apz в силу
соотношений A48. Г) и A48.1")]. Из этого вытекает, что не

470
ПОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ '
[ГЛ. t
имеет смысла задаваться вопросом об одновременных точных
значениях х и рх, так как таких значений у микрочастицы
просто не существует.
Необходимо отчетливо уяснить себе, что столь странная осо-
особенность есть неизбежное следствие того, что электроны и дру-
другие микрочастицы наряду с корпускулярными свойствами Про-
Проявляют также и свойства волновые. Наличие корпускулярных
свойств требует, чтобы частицу можно было локализовать в
пространстве и во времени. Но даже приближенная локализа-
локализация (конечное значение Ах, \у, Аг) ведет к тому, что соответ-
соответствующее волновое поле должно иметь ограниченное протяже-
протяжение, А в таком случае на сцену выступает факт, имеющий
место для любого волнового поля: никаким способом нельзя по-
построить волновое поле так, чтобы оно имело ограниченное про-
протяжение и вместе с тем представляло собой волну с определен-
определенным значением % (т. е. с определенным значением k\. Возможно
либо одно, либо другое: либо гармоническая волна, характери-
характеризуемая определенным значением длины волны К, но такая вол-
волна безгранична, а значит, не может быть и речи ни о какой
локализации, либо ограниченное волновое поле, по тогда нет
волны с определенным значением Я, а имеется волновой пакет,
который разлагается в сплошной спектр, где % непрерывно ме-
меняется в определенном интервале, тем более широком, чем уже
пакет, т. е. чем точнее локализация.
§ 149. Определение места и импульса микрочастицы
В предыдущем параграфе мы вывели соотношения неопреде-
неопределенности, исходя из двойственной Природы электрона. Обра-
Обратимся теперь к рассмотрению экспериментов, с помощью которых
можно определять координаты электрона и его импульс. При
этом, как и в выводе предыдущего параграфа, мы естественно
также будем руководствоваться твердо установленным на опыте
фактом — двойственной, корпускулярно-волновой природой мик-
микрочастиц и на каждом этапе гташих дальнейших рассуждений
будем следить за тем, какие ограничения в применимость
к микрочастицам способа описания, пригодного для макроско-
макроскопических тел, вносит наличие волновых свойств у микрочастиц.
Обсуждение экспериментов, предназначенных для определе-
определения координаты и импульса микрочастицы, помимо нагляд-
наглядности, важно и по другой причине.
В самом деле, если бы оказалось, что теория приводит к вы-
выводу, что нельзя говорить об одновременных точных значениях
координаты и импульса микрочастицы, но можно было бы ука-
указать эксперимент, — хотя бы неосуществимый вследствие тех-
технических затруднений, — с помощью которою обе эти величины
ОПРЕДЕЛЕНИИ MFCTA И ИМПУЛЬС;
47]
были бы доступны для измерения с любой степенью точности,
то это бы означало, что в теории имеется внутреннее противо-
противоречие.
Рассмотрим экспериментальное устройство, позволяющее
прямым путем определить положение элокгрона. Пусть на
экран со щелью АВ шириной Ах, который мы дальше будем
ргазывать «диафрагмой», слева падает электрон в направлении,
перпендикулярном к плоскости диафрагмы (рис. 224). Напра-
Направим ось х параллельно диафрагме, а ось у — перпсндикулярро
к ней. Если мы обнару-
обнаружив^ электрон справа
от диафрагмы, напри-
например, по сцинтилляции,
которую он вызывает
на флуоресцирующем
экране CD, или по пят-
пятну на фотопластинке,
то можно утверждать,
что электрон прошел
через щель АВ В этом
случае «место элект-
электрона» в момент про-
прохождения через щель7
очевидно, можно опре-
" делить как положение
щели относительно остальных" частей прибора. В самом деле,
если диафрагма достаточно массивна и жестко скреплена с ос-
остальными частями прибора, то положение щели в диафрагме
тем самым будет фиксировано относительно этой системы от-
отсчета, а следовательно, положение электрона в момент прохож-
прохождения через щель будет известно с неточностью Ах, равной ши-
ширине щели. Очевидно, что, сужая щель, мы можем определять
таким путем положение электрона со все большей степенью точ-
точности, и нет никакого предела для Этого повышения точности
определения места электрона.
Посмотрим теперь, что можно сказать об импульсе элек-
трона. На первый взгляд может показаться, что импульс из-
известен нам также с полной определенностью. В самом деле, по-
поскольку направление полета электрона слева от диафрагмы
перпендикулярно к плоскости диафрашы, то х-составляющая
импульса слева от экрана равна нулю, а у-составляющая равна,
например, р, т. е. импульс имеет определенное значение. Однако
При прохождении через щель плоская волна де-Бройля, пред-
представляющая движение свободного электрона, испытывает ди-
дифракцию. А это означает следующее: представим себе вместо
одного электрона параллельный поток их, проходяший чере^
ктронг

4J-2
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
диафрагму в направлении оси у. Тогда на фотопластинке мы
получим дифракционную картину, состоящую из размытого
главного максимума, расположенного симметрично относи-
относительно оси у, и меньших максимумов более высоких порядков
по обе стороны от главного максимума (см. кривую в правой
части рис. 224). Из-«ида дифракционной картин у мы заклю-
заключаем, что после прохождения через щель большинство элек-
электронов продолжает двигаться в первоначальном направлении,
т, е. сохраняет значение рх = 0. Но имеются также электроны,
которые изменяют свое направление и попадают в различные
точки фотопластинки с вероятностью, соответствующей ходу
кривой в правой части рис. 224.
Обратим теперь внимание на следующее важное обстоя-
обстоятельство. Описанная выше дифракционная картина возникает
тогда, когда через щель одновременно проходит большие число
электронов, Можно было бы полумать, что участие большого
числа электронов необходимо для дифракции, а отдельный
электрон ведет себя как-нибудь иначе. Однако это не так, Из
оптики уже давно известно, что характер дифракционной кар-
картины совершенно не зависит от интенсивности света. Что же
касается электронов, то недавно советские физики Л. Биберман,
Н. Сушкин и В, Фабрикант показали, чтр даже в том случае,
когда отдельные электроны проходят через дифрагирующую
систему поодиночке через относительно огромные промежутки
времени и, следовательно, ведут себя абсолютно независимо
друг от друга, — в конечном счете, при достаточной продолжи'
тельности опыта возникает дифракционная картина, в точности
совпадающая с той, которую дают потоки в десятки миллионов
раз более интенсивные.
В опыте Л, Бибермана, Н. Сушкина и В, Фабриканта про-
промежуток времени между двумя последовательными прохожде-
прохождениями электрона через дифрагирующую систему был примерно
в 30 000 раз (L) больше времени, затрачиваемого одним элек-
электроном на прохождение всего прибора. Несмотря на это, воз-
возникающая дифракционная картина ничем не отличалась от
картины, получающейся с пучками, интенсивность которых в
107 раз больше, Это показывает, что изменение направления
полета, ведущее к возникновению характерной дифракционной
картины, происходит при индивидуальном прохождении элек-
электронов через дифрагирующую систему (в интересующем нас
случае — через щель).
Возникает вопрос: как можно объяснить с корпускулярной
тонки зрения тот факт, Что при прохождении через щель неко-
некоторые электроны меняют свое направление? Очевидно, что
электрон-частица мог бы изменить свое направление только в
результате взаимодействия с краями щели или со всем экраном.
[ИЕ МЕСТА И ИМПУЛЬС
473
Таким образом, изменение направления в корпускулярной кар-
картине есть результат того, что в момент прохождения через
щель электрон приобретает добавочный импульс \рх в направ-
направлении оси х, Для большинства электронов, а иметшо тех, ко-
которые прошли через диафрагму без изменения направления и
попали в место, соответствующее максимуму почернения фото-
фотопластинки, этот добавочный импульс равен нулю. Но так как
почернение плавно уменьшается в обе стороны от максимума,
то наряду с этим имеются и такие электроны, которые попа-
попадают в различные места фотопластинки, а следовательно, — при
прохождении через щель приобретают добавочный импульс Арх,
отличный от нуля.
Очевидно, что, подобно тому, как ширина щели Ах харак-
характеризует неточность, с какой нам будет известно положение
электрона в момент прохождения через щель, величина доба-
добавочного импульса \рх будет характеризовать неточность, с какой
нам известна х-составляющая импульса.
В самом деле, поскольку электрон имеет вероятность по-
попасть в любую точку дифракционной картины (практически —
в пределах главного максимума), Арх может принимать все
возможные значения от нуля до некоторой предельной величи-
величины, зависящей от ширины главного максимума дифракционной
картины.
Можно, однако, так видоизменить установку, чтобы с ее по-
мощью было доступно экспериментальное определение Арх-
Именно, импульс микрочастицы можно определить, применяя
закон сохранения импульса (количества движения) к взаимо-
взаимодействию микрочастицы с диафрагмой, сквозь которую она
проходит.
Так как при прохождении через щель частица получает до-
добавочный импульс, параллельный диафрагме, т. е, в направле-
направлении оси х, то сама диафрагма со щелью испытывает Отдачу
также в направлении оси х, но в обратную сторону. Зная эту
отдачу, мы бьг знали и Арх, а поскольку у-составляющая ос-
остается без изменения,— мы точно знали бы импульс электро-
электрона в момент его прохождения через щель,
Для измерения отдачи нужно диафрагму сделать достаточно
легкой и подвижной. Если диафрагма до прохождения элек-
электрона покоилась относительно остальных частей прибора, то,
измеряя скорость, которую она получает при прохождении
электрона, и зная ее массу, мы тем самым найдем добавочный
импульс \рх, приобретаемый ею, а следовательно, и электроном.
Тот факт, что подобный эксперимент неосуществим по тех-
техническим причинам, например вследствие того, что нельзя осу
ществить столь легкий экран, Чтобы он приобрел заметную ско-
рость в результате взаимодействия с электроном, никак не

влияет на правильность заключений, выводимых на основании
рассмотрения ожидаемого хода процесса. В самом деле, это
рассмотрение ничем не отличается от теории эффекта Компто-
на, где возможность применения закона сохранения импульса
к соударениям микрочастиц доказана экспериментально. Итак,
установка с подвижной диафрагмой позволяет определять Арх,
а следовательно и р, с любой желаемой степенью точности.
Однако, если диафрагма будет подвижной, то она уже не смо-
сможет служить фиксированной системой отсчета для определения
положения электрона в момент прохождения его через щель.
Таким образом, мы видим, что возможны два различных
эксперимента, Один позволяет определить положение электрона
в момент прохождения через щель. Иными словами этот экспе-
эксперимент дает возможность осуществить пространственно-вре-
пространственно-временную локализацию электрона. Другой эксперимент позволяет
использовать законы сохранения импульса и энергии для точ-
точного определения импульса электрона, но он требует отказа от
возможности пространственно-временной локализации элек-
электрона.
Вернемся к рассмотрению установки с неподвижной диа-
диафрагмой. В Этом случае, как мы видим, установка позволяет
измерить положение частицы с неопределенностью Ах, которая
может быть сделана сколь угодно малой. Однако, поскольку
при жестко закрепленной диафрагме мы лишены возможности
учесть отдачу, испытываемую диафрагмой при прохождении
частицы, добавочный импульс, приобретаемый частицей, остается
в известных пределах Арх неопределенным. Докажем, что не-
неопределенности Ах и Арх связаны соотношением АхАрх^-2лЬ.
Из рис. 224 видно, что
&px=psina=~smtt. A49.1)
С другой стороны, если учитывать попадания электрона на фо-
фотопластинку в пределах одного только главного дифракцион-
дифракционного максимума, то и будет углом между осью у и направле-
направлением к первому дифракционному минимуму. Положение этого
минимума определяется условием, чтобы разность хода волн,
дифрагированных от верхнего и нижнего краев диафрагмы, рав-
равнялась %. Это дает (см, рис. 224)
A*sina = %. A49.2)
Комбинируя A49.1) и A49.2), получаем
AxApx = 2nb". A40 3)
Если учесть также побочные дифракционные максимумы, то
вместо условия A49-3) будем иметь Ах \рх = п2кЬ и, следова-
следовательно, вообще
АхАРх »й. A49.4)
Это и есть соотношение неопределенности.
Для того чтобы оценить количественную сторону тех огра-
ограничений применимости к микрочастицам классических понятий,
которые устанавливаются соотношениями неопределенности, по-
полезно выразить р через скорость, р = mv, и найти из A49-4)
A49.5)
Так как Ь — очень малая [
8 = 1,054- 10~" арг-сск.
то величина Av главным образом зависит от соотношения
между численными значениями Ь и т, Принципиально говоря,
соотношения неопределенности должны иметь место для лю-
любых масс, в том числе и макроскопических, так как можно до-
кгзать, что классическая механика ярляется предельным слу-
случаем механики квантовой Однако из соотношения A49-5) вид-
видно, что при возрастании массы \v стремится к нулю, поскольку
разумные значения Ах для макроскопических масс во всяком
случае значительно болпше численного значения fi. Напротив,
для микрочастиц, порядок величины массы которых близок к
порядку величины Ь, неопределенность Аи может приобрести
большие значения в зависимости от точности определения по-
положения, т. е. от величины Ах Поясним это двумя примерами
Если речь идет о теле с массой т, равной I г, то очевидно, что
вполне удовлетворительна точность определения положения
центра тяжести, при которой Ах не будет превышать Ю см =
= 1 мкм. В этом случае
т. е. неопределенность скорости "лежит далеко за пределами
возможности измерения. Как и следовало ожидать, для макро
скопических тел соотношения неопределенности практически
не играют никакой роли.
Если, однако, применить то же соотношение к электрону,
то результат получается иной. Масса электрона равна
9- Ю-28 г ** 10-27 г, т. е. того же порядка величины, что и Ь,
В этом случае порядок величины До, очевидно, зависит от точ-
точности определения положения, т, е. величины Ах. Пусть, напри-
например, требуется установить принадлежность электрона опреде-
определенному атому. В этом случае разумная точность определения
положения должна бьпъ, по крайней мере, Ах = \0~* см, так

как размеры атома — порядка 10~8 см. Соотношение A40.5)
дает тогда
Но при энергии порядка Ю зв скорость электрона, выра-
выражаемая формулой (см. стр. 296) v = 5,93- 107 ]/Г0 см/сек =
= 1,87-10й см/сек. Мы видим, таким образом, что в этом случае
неопределенность скорости на целый порядок величины больше
самой измеряемой скорости. Это и показывает, что в атомных
системах соотношения неопределенности играют решающую
роль.
Тот факт, что в этом и аналогичных случаях самую Сущест-
Существенную роль играет порядок величины Ах, позволяет разъяснить
кажущееся парадоксальным поведение микрочастиц в камере
Вильсона. В самом деле, здесь мы наблюдаем при достаточно
большой энергии частиц строго прямолинейные траектории и ни-
никаких признаков неопределенности импульса, связанной с вол-
волновыми свойствами, не обнаруживается. Для объяснения сле-
следует принять во внимание, что при рассматривании фотогра-
фотографий этих прямолинейных траекторий в микроскоп видно, что
они представляют собой гирлянду маленьких капелек тумана.
Капелька представляет собой «измерительный прибор», отме-
отмечающий положение микрочастицы. Размеры капелек — поряд-
порядка 10~4 см; поэтому в данном случае Ах = 10~4 и Ар в случае
электронов — порядка 1Гг23. Так как, с другой стороны, прямо-
прямолинейные траектории наблюдаются только при очень большой
энергии микрочастиц, то Ар будет очень мало по сравнению с р
и частица в указанных пределах точности будет вести себя
вполне как классическая частица. Вообще, при очень больших
энергиях длина волны де-Бройля будет очень мала, и так же,
как в оптике, при очень малых, длинах волн вполне применимо
геометрическое приближение. В оптике при этом без большой
ошибки можно рассматривать световые лучи, не учитывая яв-
явлений дифракции, а в случае микрочастиц — определенные тра-
траектории.
Упражнения* 1 Энергия а-частиц, ^спускаемых радам, paRria
точности определения положения и-чаеттшы еще можно пренебрегать неопре-
неопределенное Fbio шипульса Ар по сравнению с величиной сачот» импульса р.
При
«ой энергр
/ )
размеры которой поря;
Выразить эту энерги
§ 150] ОШИБКИ
СООТНОШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕ1
477
подорода. Зная размеры молекулы, оценить шшимальнчо рачумпуго точность
определения положения ее атомов и найти соответствующую неопредслен-
де-Б рой л я порядка размеров изучаемой системы Рассмотреть с этой точки
0,5 1^ а см к что его момент котичества дри^ния рдпен h/2ji (первая боров-
тором и найт'г среднюю кинетическую Э[тергию (Е = Уг^Т) атомов при теп-
тепловом равновесии при температуре 300° К Сравнить начисленную так„м
путем длину DOjnibi де-Бройлч с амплитудой колеба|ГШ1 водородного атома,
§ 150. Ошибочные толкования соотношений неопределенности
Соотношения неопределенности дали повод к различным не-
неправильным ТОЛКОвЭр!ИЯМ.
Нередко приходится встречать следующее толкование: «Ми-
«Микрочастицы — электроны, протоны, фотоны — очень малы, но
они имеют в каждый момент времени определенные координаты
и определенный импульс, т. е. представляют собою как бы
сильно уменьшенные копии биллиардных шаров или дробинок,
отличаясь от них лишь количественно, своими размерами. На-
Наряду с этим существует закон природы, выражаемый соотноше-
соотношениями неопределенности, который чапрещает нам узнавать одно-
одновременно с любой точностью их положение и импульс», Такое
толкование прежде всего неприемлемо с философской точки зре-
зрения, так как оно устанавливает предел познания и потому мо-
может служить для обоснования агностищпма, т. е. одной из раз-
разновидностей идеализма. Оно, конечно, ошибочно и с физической
точки зрения Чтобы в этом убедиться, рассмотрим еше один
опыт.
Представим себе диафрагму с двумя щелями, на достаточно
большом расстоянии от которой помещена фотопластинка. Если
через TaKViO диафрагму пропустить параллельршй пучок элек-
электронов, то па фотопластинке должна возникнуть известная кар-
картина дифракции от двух щелей, всем своим характером, по
отнюдь не просто интенсивностью, отличающаяся от картины
дифракции От одной щели. Закроем одну из щелей; мы полу-
получим па фотопластинке изображение открытой щели, тожде-
тождественное с самой щельто (или, если щель достаточна узка, —
картину дифракции от одной щели) Закроем ту щель, которая
ранее была открыта, и откроем вторую' мы снова получим

изображение открытой щели. Откроем обе щели — возникающая
при этом картина отнюдь не будет соответствовать сложению
обеих картин, получающихся при одной открытой щели, но бу-
будет состоять из светлых и темных полос, положение которых
определяется обеими щелями. На рис. 225 приведены две фото-
фотографии В. К- Аркадьева, иллюстрирующие сказанное, фотогра-
фотографии полупены со светом, но с электронами картина должна быть
совершенно аналогичной.
Рис. 225. Верхняя фотография снята при прохождении света сн*
Совершенно очевидно, что этот опыт никак не может быть
согласован с представлением об электроне как о частице, дви-
двигающейся по определенной траектории, т. е. обладающей в каж-
каждый момент времени определенными, хотя бы и неизвестными,
координатами и импульсом. Подобная частица, наглядным об-
образом которой может служить дробинка, доведенная до крайних
пределов малости, обязательно должна пройти через одну опре-
определенную щель; присутствие или отсутствие второй щелц не
может оказать никакого влияния па ее траекторию. Между тем
электроны и другие микрочастицы ведут себя существенно раз-
различным образом в том и другом случаях, т, е. при открытой ц
закрытой второй щели. Описанный опыт показывает, что элек-
электроны и другие микрочастицы ни в коем случае нельзя рассма-
рассматривать просто как микродробинки. Представление об очень
маленькой частице, движущейся по определенной траектории и
обладающей в каждой точке этой траектории определенной
скоростью, пока над ней не произведено измерения, — такое
представление отнюдь не может служить картиной движения
электрона Понятие траектории теряет смысл для электрона, со-
вершенно так же, как в волновой оптике теряет смысл понятие
светового луча.
Упомянутый на стр. 472 опыт Бибермана, Сушкина и Фабри-
Фабриканта является новым и еще более ярким доказательством того,
что электроны никоим образом нельзя рассматривать как со-
собрание «классических» частиц, т. е. частиц-шариков. В самом
деле, в этом опыте дифрагирующей системой служил кристалл
окиси магния. Электроны, пролетая через такой кристаллик по-
поодиночке через относительно очень большие промежутки вре-
времени, в результате дифракции летят затем в определенных па-
правлениях к дифракционным максимумам. Электрон-микро-
дробиика взаимодействовал бы с одним или, во всяком случае, с
очень небольшим числом атомов кристаллической решетки;
между тем характер дифракционной картины, распределение се
максимумов и минимумов, определяется всей решеткой в целом,
т. е, огромным числом атомов, расположенных в тысячах слоев.
Заметим, кстати, что аналогичные дифракционные опыты осуще-
осуществляются также и с нейтронами, не имеющими электрического
заряда и взаимодействующими с атомами решетки через по-
посредство ядерных сил, чрезвычайно быстро убывающих с рас-
расстоянием, ввиду чего возможность интерпретации дифракцион-
дифракционной картины как результата взаимодействия нейтронов с от-
отдельными атомами решетки абсолютно исключена.
Поэтому смысл соотношений неопределенности не в том, что
они «запрещают» нам узнать какие-либо реально существующие
свойства микрочастиц, т. е. не в том, что они в какой-либо мере
ограничивают познание, а в том, что они ограничивают приме-
применимость к микрочастицам понятий классической механики, кото-
которая является по существу корпускулярной механикой. В класси-
классической механике, как уже подчеркивалось, одновременное зада-
задание всех координат qi системы макроскопических частиц и всех
соответствующих им импульсов pi является необходимым для
полного описания состояния системы. Для микрочастицы такое
описание, как мы уже видели, неосуществимо. Из предыдущего,
однако, ясно, что вопрос об одновременных значершях координат
и импульсов электрона вообще лишен физического смысла, так
как электрон по самой своей природе есть объект, которому не
свойственна подобная характеристика.
Если тем не менее мы стремимся описывать поведение элек-
электрона в терминах классической механики, т. е, указывая одно-
одновременно его положение и импульс, то для этого имеется опре-
определенная причина. В самом деле, схема всякого эксперимента,
производимого в атомной физике, такова, что мы при помощи
какой-либо экспериментальной установки хотим получить ответ
_ на вопрос, относящийся к протеканию того или иного объектив-
объективного процесса, происходящего в пространстве и so времени.

ВО.ПНЬГ И ЧАСТИЦЫ
Этот вопрос мы ставим, пользуясь в конечном счете приборами,
представляющими собой макроскопические тела. Поведение
этих приборов, например, поворот стрелки гальванометра или
движение пера самописца, подчиняется классической механике;
сама установка, геометрическое расположение ее частей — ще-
щелей, конденсаторов, магнитных полей и т. п.— представляет со-
собой некую пространственно-временную систему отсчета. Само
собой разумеется, что и поведение исследуемых микрочастиц
нам необходимо описывать в той же пространственно-временной
системе отсчета, пользуясь теми же понятиями классической
механики, с помощью которых мы описываем нашу макроско-
макроскопическую установку. Мы, например, измеряем смещение свет-
светлого пятна, образованного налетающими электронами на экране
катодного осциллографа, или интересуемся отклонением элек-
электрона в данном месте установки и т. п- Поскольку мы при этом
применяем к электрону или к другом микрочастице несвойствен-
несвойственное этим объектам классическое описание, мы естественно
должны указать границу применимости этого классического
описания, так как микрочастицы подчиняются законам, отлич-
отличным 01 законов классической механики, и последние применимы
к ним лишь приближенно. Соотношения неопределенности как
раз и указывают эту границу.
При рассмотрении эксперимента по определениго координаты
и импульса микрочастицы в § 149 мы видели, что при попытке
одновременного определения обеих этих величин возникает за-
затруднение: чем лучше удовлетворяет своему назначению уста-
установка для определения положения частицы, тем менее пригод-
пригодной оказывается она для определения импульса. Причина этого
состоит в том, что для определения положения должна служить
жестко фиксированная в пространстве система отсчета. Но
именно поэтому мы лишаемся возможности определить состав-
составляющую импульса, так как направленный в противоположную
сторону импульс отдачи уходит в массивную общую подставку,
неподвижность которой как раз и гарантирует возможность
определения места. Наоборот, применение закона сохранения
импульса к легко подвижной диафрагме лишает нас возмож-
возможности использовать эту диафрагму для определения места
частииы. Такая ситуация не является присущей именно той уста-
установке, которая рассмотрена в § 149. Анализ разнообразных уст-
устройств, которые можно бьгло бы использовать для определения
места и импульса микрочастицы, выполненный Н. Бором *), по-
пошивки В ТОЛКОВАНИИ СООТНО]
[ИН НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 481
*) Наиболее полно эют анализ
с Эйнштейном о проблемах теории
перевод напечатан в журнале «Ус
стр 5?1, 1958 Эта статья вошла та
и человеческое познание», ИЛ, 1961,
матье И. Бора «Дискуссии
атомной физике» Русский
казал, что эта ситуация является общей. Она
... „_„ .,у—„чвдеп. 1\иличе:ственное
выражение этот факт находит в соотношениях неопределенности,
как это и было показано в § 149.
Бор, однако, утверждает, что это обстоятельство имеет глу-
глубокий смысл и при том не только физический, но и философ-
философский. Именно, по Бору нет противоречия между волновыми и
корпускулярными свойствами материи потому, что установки,
предназначенные для обнаружения волновых свойств, только
эти свойства и обнаруживают, тогда как другие установки обна-
обнаруживает только корпускулярные свойства. Таким oi
„, ,№пиоа» л «измерение» упо-
употребляются Здесь в смысле, несоймес"?Нбм с обычным языком и
с практическим их определением ...Чрезвычайно характерную
черту атомной физики представляет новое соотношение между

482
ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ
явлениями, наблюдаемыми при разных экспериментальных усло-
условиях, для описаний которых приходится применять разные эле-
элементарные понятия, В самом деле, какими бы противоречивыми
ни казались, при попытке изобразить ход атомных процессов
в классическом духе, получаемые при таких условиях опытные
данные, их надо рассматривать как дополнительные, в том
смысле, что они представляют одинаково существенные сведе-
сведения об атомных системах и, взятые вместе, исчерпывают эти
сведения. Понятие дополнительности ни в коем случае не пред-
предполагает отказа от нашего положения независимых наблюдате-
наблюдателей природы.,.»'*) (курсив мой.—Э. Ш.),
§ 151. Соотношения неопределенности
и принцип причинности
В 1927 г. Гсйзенберг в той самой работе, в которой им были
сформулированы соотношершя неопределенности, в качестве об-
общего вывода из этих соотношений утверждал, что «квантовая
механика определенно установила несостоятельность закона при-
причинности». Основания для такого утверждения состояли в сле-
следующем. Принцип причинности требует, чтобы на основании
точного знания состояния системы для какого-нибудь определен-
определенного момента можно было точно предсказать ее состояние для
любого будущего момента. Классическая механика Ньютона в
полной мере удовлетворяет этому требованию, что особенно ярко
показывает пример астрономии. Как известно, астрономия (не-
(небесная механика) позволяет предвычислять движения небесных
тел — их траектории и скорости — для любого будущего мо-
момента времени с той степенью точности, какую допускает мате-
математическое решение задачи, и благодаря этому позволяет точно
предсказывать астрорюмические явления (например, солнечные
или лунные затмения) на сколько угодно времени вперед, Эта
возможность имеет отчетливое выражение в самой математиче-
математической форме основных уравнений классической механики. Эти
уравнения в наиболее удобном для обсуждения принципиальных
вопросов виде гамильтоновых канонических уравнений (§ 58)
таковы:
fc=» h = -§-. * = 1,2 f. A51.1)
В простейшем случае одной материальной точки, движущейся
в определенном силовом поле, k = 1, 2, 3, т. е. имеется всего
тесть дифференциальных уравнений первого порядка относи-
относи. I[, «Наука», 1971, стр. 486—483.
тельно времени, Решение этих уравнений дает возможность вы-
выразить все координаты <?й и все импульсы рь в функции времени
и шести произвольных постоянных
<tk = fk(U С„ С2, ..., Св), рА=фЬ(/, С„ С2 Се). A51.2)
Если определить все координаты q\ ц импульсы р\ для некото-
некоторого начального момента времени t = 0, выполнив для этого,
разумеется, соответствующие измерения, то, подставляя эти из-
известные величины ^ и pj в уравнения A51,2), можно вычислить
и,э них (при / = 0) все шесть произвольных постоянных
С, Се, После этого формулы A51.2) позволят предсказы-
предсказывать qh и />й для любого момента t. Тем самым оказывается, что
из начального состояния (при / = 0), определяемого совокуп-
совокупностью всех координат и всех импульсов, можно предсказать
состояние для любого будущего момента, в полном соответствии
с законом причинности.
Соотношения неопределешюсти утверждают, однако, что
одновременные значения координат и импульсов могут быть из-
измерены лишь с неизбежными неточностями \qk и Дрй, удовле-
удовлетворяющими соотношениям \qh\ph~b. Из этого Гейзенберг
сделал вывод, что начальное состояние не может быть опреде-
определено точно, а потому не может быть точно предсказано и буду-
будущее состояние — в противоречии с законом причинности. Это
заключение, однако, ошибочно. Несомненно, конечно, что одно-
одновременные значения координат и импульсов микрочастицы мо-
могут быть определены лишь с неточностями, требуемыми соотно-
соотношениями неопределенности. Однако самое понятие «состояние
системы» в квантовой механике, очевидно, должно быть форму-
формулировано иначе, нежели в механике классической, а именно, для
полного определения состояния требуется иная совокупность
параметров. Между тем количественная формулировка закона
причинности возможна лишь в том случае, когда указаны та
переменные, которые определяют состояние,
Поясним это примером. Основные уравнения электромагнит-
электромагнитного поля — уравнения Максвелла — представляют собой си-
систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка
относительно времени для напряженностей поля S и Ш, плот-
плотности зарядов р и плотности токов /, рассматриваемых как
функция координат и времени. Поэтому задание S, Ш, р и /
для определенного момента времени позволяет предсказать их
значения для любого (будущего или прошедшего) момента. Та-
Таким образом, принцип причинности для электромагнитного поля
может быть количественно сформулирован только в том случае,
если «состояние» поля определяется правильным выбором пара-
параметров C', Ж, р, /),

ВОЛНЫ
1ГЛ X
Из этого примера мы ясно видим, что для формулировки
принципа причинности в той или иной области физических
явлений необходимо отчетливое определение понятия «состояние
системы» и явное указание тех параметров, от которых это со-
состояние зависит.
Вернемся теперь к микроскопическим «частицам» и к кванто-
квантовой механике. В следующих главах этой книги мы увидим, что
состояние микрочастицы определяется некоторой функцией г|),
так называемой волновой функцией или просто ¦ф-функцией
(простейшим примером ее может служить формула плоской
волны де-Бройля в комплексном виде), которая является функ-
функцией одних только координат и времени или одних только
импульсов и времени. Мы увидим также, что эта функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению (общее урав-
уравнение Шрёдингера, см. § 152) первого порядка относительно
времени.
Из этого следует, что задание ^-функции для момента / = О
предопределяет ее значения для любого будущего момента вре-
времени
Таким образом, состояние системы микрочастиц, определен-
определенное в соответствии с требованиями квантовой, а не классической
механики, однозначно вытекает из предшествующего состояния,
как того требует закон причинности.
Нет ничего удивительного или парадоксального в том, что
когда мы хотим описать состояние микрочастиц в несвойствен-
несвойственных им понятиях классической механики, мы не можем сделать
это точно и пользуемся статистическим описанием. Но из этого
ни в коем случае нельзя делать вывод о несостоятельности за-
закона причинности в микромире. Это показывает только, что к
микрочастицам неприменима количественная формулировка
принципа причинности, пригодная для системы малых твердых
телец, и что описание состояния микрочастицы с помощью за-
задания одновременных значений всех координат и всех импуль-
импульсов не соответствует природе макрочастицы.
Между тем утверждение о том, что квантовая механика
якобы «опровергла» закон причинности, послужило поводом для
ряда идеалистических извращений, вплоть до обоснования фи-
фидеизма.
Так, например, А. Эддингтон в своей книге «Природа физи-
физического мира» утверждал даже, что «...доводы современной науки
дают, быть может, возможность сделать заключение, что рели-
религия стала приемлемой для здравого научного ума, начиная с
1927 года».
Все подобные утверждения, разумеется, не имеют никакой
почвы ни в соотношениях неопределенности, ни в квантовой ме-
механике.
¦§ IS1] СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕН. И 1
485
В последних трех параграфах мы рассмотрели подробно со-
соотношения неопределенности и вытекающие из них следствия.
Мы видели, что эти соотношения вовсе не ставят какого-либо
предела познанию, но являются лишь выражением непримени-
неприменимости представлений классической механики к движению микро-
микроскопических частиц. Точнее говоря, эти соотношения дают коли-
количественную меру того, до каких пределов еще можно описывать
состояние микрообъектов одновременным заданием координат и
импульсов, подобно тому как это делается в классической меха-
механике для макроскопических тел: если, как это мы видели на
примерах, рассмотренных на стр. 476, при разумной для данного
случая неточности определения координаты &q соотношения не-
неопределенности AfAp ~ Ь дают для Д/j пренебрежимо малую
величину, то объект ведет себя вполне «классически», т. с. мож-
можно говорить о его траектории и его скорости в каждой точке
траектории. В противном случае образ «классической частицы»
оказывается непригодным и понятие траектории теряет смысл,
так же как в области применимости волновой оптики теряет
смысл понятие светового луча. Из этого следует, что источни-
источником соотношений неопределенности являются своеобразные фи-
физические свойства электронов и других микрочастиц, по отнюдь
не свойства познающего субъекта.
Ограничение применимости классических представлений в
области явлений атомного мира ни в коем случае не означает
ограничения нашей способности познания, но означает лишь
ограничение механистической картины мира. Эта картина ока-
оказалась несостоятельной уже в теории электромагнитного поля,
механическую модель которого построить не удалось, несмотря
на многочисленные попытки. Дальнейшее развитие физики, при-
принесшее столь значительные успехи в познании внешнего мира,
в частности развитие атомной физики, каждый раз с полной от-
отчетливостью показывало всю ограниченность механистического
мировоззрения. Но Ленин разъяснил в «Материализме и эмпи-
эмпириокритицизме», что «Признание каких-либо неизменных эле-
элементов, «неизменной сущности вещей» и т. п., не есть материа-
материализм, а есть метафизический, т. е. антидиалектический материа-
материализм» *).
С другой стороны, мы видели также, что соотношения неоп-
неопределенности, основанные на объективных свойствах реально
существующих микрочастиц, были использованы идеалистиче-
идеалистическими физическими школами для обоснования якобы «крушения
материализма», «отмены» закона причинности и т. д. вплоть до
«научного» обоснования религии (Эддингтон, А. Комптон).
Это различие в материалистической и идеалистической интер-
•) В. И. Л е
[, Поли. собр. соч., т. 18, стр. 275.

486 ' ВОЛНЫ И ЧАСТИЦЫ [ГЛ X
претацин одних и тех же фактов или явлений, как всегда с пре-
предельной ясностью охарактеризовано В. И. Лениным в следующих
замечательных словах: «Действительно важный теоретико-позна-
теоретико-познавательный вопрос, разделяющий философские направления, со-
состоит не в том, какой степени точности достигли наши описания
причинных связей и могут ли эти описания быть выражены в точ-
точной математической формуле, —а в том, является ли источником
нашего познания этих связей объективная закономерность при-
природы, ила свойства нашего ума, присущая ему способность ^по-
^познавать известные априорные истины и т. п. *) (курсив мой. —
Э. Ш.).
*) В. И. Леннл, Поли. собр. с
т. 18, стр. 164.
УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
§ 152. Уравнение Шрёдингера и физический смысл его решений
Одна из наиболее замечательных особенностей механики
микроскопических частиц состоит в существовании дискретных
уровней энергии. Необходимость постулирования такой дискрет-
t-тве завершения этого этапа оказалось возможным построить
логически стройную, хотя и совершенно своеобразную систему
квантовой механики.
Имея в виду подготовить читателя к усвоению этой системы,
мы пойдем в нашем изложении путем, близким к историческому!
и в настоящей главе ограничимся установлением основного
\равнения квантовой механики и на примерах задач, особенно
простых в математическом отношении, покажем некоторые при-
применения этого уравнения. С самой системой квантовой механики
мы познакомимся во втором томе этой книги.
До сих пор (гл. X) мы рассматривали движение только сво-
свободных микроскопических частиц и убедились в том, что это
движение описывается плоскими волнами де Бройля. Нам не-
необходимо теперь получить возможность исследовать движение
частиц в различных силовых полях. С этой целью мы найдем

сначала дифференциальное уравнение, которому подчиняются
волны де-Бройля, а затем обобщим это уравнение на случай
движения в силовых полях. Таким путем мы получим основное
дижен иловых полях. Таким путем мы получим основное
уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдиигера.
Д лучения искомого уравнения мы поступим следующим
В § 133 бо ук чо воноое уавие для
Для получения искомого уравнения мы поступим следующим
образом. В § 133 было указано, что волновое уравнение для
электромагнитных волн (соответствующее фотонам) непосред-
непосредственно вытекает из основных уравнений электромагнитного
поля (уравнений Максвелла). Написав это волновое уравнение
и подставив в него решение в виде плоских воли, мы получили
соотношение между частотой и составляющими волнового век-
вектора (закон дисперсии), характерное для природы электромаг-
электромагнитных волн:
•Si = й« + Ь\ + k\. (I33.3)
Здесь мы пойдем обратным путем; пользуясь законом диспер-
дисперсии волн де-Бройля, найдем соответствующее ему дифферен-
дифференциальное уравнение. В § 141 мы установили закон дисперсии
волн де-Бройля:
гдй щ = тс2/Ь. Этот закон получен из релятивистского соотно-
соотношений между импульсом и энергией
Однако интересующее нас уравнение Шрёдингера не удовле-
удовлетворяет требованиям теории относительности — оно является
уравнением нерелятивистским. Его мы получим из соотношения
между импульсом и энергией ньютоновой механики. Это соотно-
соотношение, как мы знаем, таково (см. § 58):
(I52.I)
Воспользуемся теперь квантовыми соотношениями для энер-
энергии и составляющих импульса
Подставляя эти выражения в A52.1), найдем после сокраще-
сокращения на Ь;
ш = -gt (k\ + k\ + А|). A52.2)
Это и есть искомый закон дисперсии волн де-Бройля в нере-
нерелятивистском приближении.
5 'Я физический смысл решении ¦ 489
Чтобы получить уравнение Шрёдипгера, возьмем формулу
плоской волны де-Бройля *м J
ф = Ае' "'—" = Ае' <"».+»*»+"¦-"¦>
и продифференцируем ее один раз по времени и дважды повеем
координатам.Получим
#---ч* 3~-ч*
Найдя отсюда ш, kx, ky, kz и подставив в закон дисперсии
A52.2), сразу получим
">¦? = -Ir4*-
<i62-3>
В этой главе нас будут интересовать только решения A52.3),
соответствующие стоячим монохроматическим волнам. Для та-
таких волн решение может быть представлено в виде произведе-
произведения двух функций, из которых одна есть функция только
координат, а другая—только времени, причем зависимость от
¦ . -4rEi
времени выражается множителем е~ш = е " , так что
!]){*, у, г, t) — ty°(x, у, г)е"к . A52.4)
Заметим прежде всего, что для таких решений левая часть
A52.3) дает
(ft-^ = ?*. (I52.5)
Подставляя решение A52.4) в A52.3) и имея в виду A52.5),
находим после сокращения на временной множитель е h и
перестановки членов
A^^-~E^ = Q, A52.6)
Уравнение A52.3) и является искомым волновым уравнением
для свободной частицы; часть его решения, зависящая только
от координат, подчиняется уравнению A52.6). В дальнейшем
мы будем писать удовлетворяющую A52.6) функцию без значка °,

lBHEHHE ШР6ДИНГЕР/
помня, что в настоящей главе речь идет о «монохроматических»
решениях уравнения A52.3), для получения которых достаточ-
—-Et
но приписать к фи множитель е л
Уравнение A52.6) мы получили для случая свободной ми-
микроскопической частицы. Посмотрим, как его можно разумно
обобщить на случай частицы, движущейся в силовом поле, ха-
характеризуемом потенциальной энергией I). Полная энергия ча-
частицы в таком поле равна сумме Т -f- U = Е. В случае же сво-
свободной частицы полная энергия совпадает с кинетической
(U = 0), т. е. Е = Т. Для обобщения, которое нас интересует,
следует решить вопрос, — как понимать при переходе к случаю
движения в поле энергию Е, входящую в уравнение A52.6),—
как полную или как кинетическою? Ясно, что если бы мы стали
рассматривать энергию Е как полную, то в обобщенном урав-
уравнении не было бы члена, описывающего то или иное поле. Если
же, наоборот, мы под Е в случае свободной частицы будем разу-
разуметь только кинетическую энергию, то для случая движения в
поле с потенциальной энергией U мы должны будем подставить
вместо Е в A52.6) кинетическую энергию Т=Е—V, и урав-
уравнение A52 6) примет вид
Дт]> + -|j- {E — О) i]> = 0. A52.7)
Это и есть основное уравнение квантовой механики — уравнение
Шрёдингера для частицы в потенциальном поле.
Само собой разумеется, что на приведенные соображения
следует смотреть только как на соображения, поясняющие уста-
установление уравнения Шрёдингера, а не как на вывод его. Как и.
все основные уравнения физики (например, ньютоновы уравне-
уравнения механики или уравнения Максвелла для электромагнитного
поля), уравнение Шрёдингера не имеет строгого вывода. Оно
не выводится, но устанавливается, и правильность его подтвер-
подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль-
результатов.
Уравнению A52.7) соответствует более общее уравнение для
функции т]э, зависящей не только от координат, но и от времени.
В случае консервативного поля, когда потенциальная функция U
не зависит явно от времени, можно всегда предположить, что
зависимость г|? от времени выражается «монохроматическим»
множителем е~1ю1 = е h . Принимая во внимание, что и этом
случае имеет место соотношение A52.5) и переписав уравнение
A52.7) в виде
зический смыс.
* . A52.8)
¦Л-|?. A52.9)
Это есть обшее уравнение Шрёдингера, содержащее время.
В заключение еще одно замечание. При получении уравне-
уравнения Шрёдингера для-свободной частицы мы бы могли восполь-
воспользоваться вместо волновой функции свободной частицы, написаи-
йой в виде
комплексно сопряженной функцией
В этом последнем случае, как легко видеть,
A52.10)
Вместо уравнения A52.3) мы бы получили тогда
— lh$&-= — -^W A52.1I)
ii соответственно изменилось бы уравнение A52.9). Однако сей-
сейчас мы увидим, что физический смысл имеет не сама функ-
функция т]э, но квадрат ее модуля, т. е. Щ*. Ввиду этого совершенно
безразлично, в какой из двух возможных форм писать уравне-
уравнение Шрёдингера.
Рассмотрим теперь физический смысл решений уравнения
Шрёдингера. Напишем волновое уравнение классической фи-
физики, с которым мы встретились в § 133:
-^"§г —Ди A33-1)
и сравним его с уравнением Шрёдингера, содержащим время
A52.9)
Классическое волновое уравнение, как известно, имеет действи-
действительные решения вида acos [(kr— u>1) -j- б]. Однако непосред-
непосредственной проверкой легко убедиться в том, что уравнение
Шрёдингера этими действительными решениями не удовлетво-
удовлетворяется, но удовлетворяется только комплексными решениями,
например, при U = 0

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Эта особенность уравнения Шрёдингера обусловлена тем, что
(в отличие от классического волнового уравнения) оно содер-
содержит первую производную по времени и вторые — по координа-
координатам, Мы показали, что это получилось потому, что мы искали
волновое уравнение, которое соответствовало бы закону диспер-
дисперсии волн де-Бройля (в ньютоновом приближении)
a^jjL^s+^ + fcS). (I52.2)
содержащему первую степень ы и вторые степени составляющих
волнового вектора.
Этот факт весьма существен для понимания смысла уравне-
уравнения Шрёдингера. Он показывает, что, хотя уравнение Шрёдин-
Шрёдингера в некоторых случаях удовлетворяется периодическими ре-
решениями, никаких реальных волн, распространяющихся в физи-
физической среде, оно не описывает. Если, несмотря на это, иногда
говорят о «волнах» материи стоячих и бегущих, об узлах и пуч-
пучностях и т. д., то это делается исключительно для наглядности.
Согласно принятой в настоящее время статистической интерпре-
интерпретации смысл решений уравнения Шрёдингера совсем иной.
В самом деле, в предыдущей главе мы видели, что поведение
свободного электрона описывается плоской волной де-Бройля,
но физический смысл имеет только квадрат амплитуды этой
волны, очевидно, равный квадрату модуля комплексной 1|>-фупк-
ции, удовлетворяющей уравнению Шрёдингера A52.9) при
U = 0. Действительно, при
i|, = Ле1 <кг-и" = aei6 ¦ е1 (*-•*>,
*• = А*е~{ <кг-а(> = ае-'в ¦ е~{ ^-«О
Этот квадрат амплитуды мы истолковали статистически;
a2di = if*if dx, согласно § 147, есть вероятность нахождения ча-
частицы в объеме dx = dxdydz, т, с. в области с координатами
между х и х + dxt у и у + dy, г и г + dz. Это статистическое
истолкование сохраняется и для решений уравнения A52.9) в
общем случае: квадрат модуля комплексной функции if, >довле-
творяющей этому уравнению, толкуется как плотность вероят-
вероятности найти частицу в объеме dx около точки с координатами
а, у, г. Сама же вероятность пропорциональна ififWr.
Функция if по своему смыслу должна удовлетворять некото-
некоторым естествендым условиям. Прежде всего она должна быть
всюду непрерывной и однозначной. Далее, поскольку мы истол-
истолковываем ij)i|)* dx как вероятность, появляется необходимость
нормировать эту функцию if таким образом, чтобы вероятность
достоверного события равнялась I. Тнц как декартовы коорди-
§ 153] ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР - 493
наты меняются от —<х> до +_<», то достоверное событие состоит
в том, что частица находится где-нибудь в пространстве. Условие
нормирования поэтому будет таково:
j if*ifrfr = l. (I52.I2)
В учебниках анализа доказывается*), что несобственный инте-
интеграл с бесконечными пределами существует в том случае, если
функция достаточно быстро убывает при удалении от начала
координат, а именно, функция с интегрируемым квадратом
должна убывать по крайней мере как 1/гр, где р > 1. Мы уви-
увидим в настоящей и в следующих главах, что перечисленные
естественные условия имеют в квантовой механике огромное
значение. Свойства решений уравнения Шрёдингера таковы, что
решения удовлетворяют этим требованиям только при очень
определенных условиях, например при определенных дискретных
значениях энергии, входящей в качестве параметра в уравнение.
В этом, как будет показано на конкретных примерах, лежит
ключ к объяснению дискретности механических величин в кван-
квантовой механике, " "
§ 153. Отражение и прохождение через потенциальный барьер
В главе X мы рассматривали движение частицы в простран-
пространстве, свободном от поля. В качестве первого примера примене-
применения уравнения Шрёдцнгера рассмотрим поведение частицы на
границе двух областей I и II, в каждой из которых потенциаль-
потенциальная энергия частицы постоянна, но эти потенциальные энергии
различаются на конечную величину, Схематизируя реально
встречающиеся условия, мы предположим, что па границе об-
областей I и II потенциальная энергия изменяется скачком, как
это показано на рис. 226—227.
Выберем систему координат так, чтобы ось х была парал-
параллельна направлению движения частицы, Тогда if будет функ-
функцией только х, Оператор Лапласа А сведется при этом к полной
второй производной -^f- и уравнение Шрёдннгера примет более
простой вид
При этом потенциальная энергия задается условиями;
(/) при *<0 U = 0,
(II) при х > 0 U = Un = const.
*) I
«Наукам

494 ' УРЛВНЕНИЕ ШРЕДЙНГЕРА ГГЛ XI
Для решения задачи, вообще говоря, следует подставить в
уравнение Шредйнгера выражение V в функции координат и
выполнить интегрирование. Но так как при заданных усло-
условиях U не может быть выражено в виде аналитической функ-
функции х, то мы поступим следующим образом. Напишем уравнение
Шредйнгера отдельно для области / и для области // и найдем
решения в обоих случаях, т. с. функции ф] и фг- Так как функ-
функция ф должна быть непрерывна во всем пространстве, то мы по-
потребуем, чтобы на границе областей, где происходит скачок
потенциала, функции i|j, и -ф3 были друг другу равны. Как будет
показано далее, на границе обеих областей должна быть непре-
непрерывна не только сама функция t|s, но и ее первая производная.
Оба условия непрерывности — непрерывности функции и ее пер-
первой производной — дадут нам возможность довести решение за-
задачи до конца.
Итак, напишем уравнение Шредйнгера:
для области /
О, A53.1)
§1531
ПРОХОЖДЕНИЕ
для области //
Введем обозначения
A53.2)
A53.3)
A53.4)
где А,, и Ха — соответственно длины волн де-Бройля в области /
и в области //. Уравнения A53.1) и A53.2) теперь перепишутся
в виде
4^ + ^=0, A53.1')
^ A53.2')
Это — обыкновенные дифференциальные уравнения с по-
постоянными коэффициентами. Частные решения их имеют вид
е±*М н e±tk'x.
Очевидно, что эти частные решения представляют собою пло-
плоские волны де-Бройля в области /ив области //. В самом деле,
возьмем какое-нибудь из них, например е'*1*, и присоединим к
нему «монохроматический» временной множитель е h =е~ш;
мы получим
Л
Но это и есть формула плоской волны, распространяющейся в
области / в направлении положительной оси х.
Общце решения уравнений {153.Г) и A53.2') таковы:
ф, =, ще^х + &,e~'ft'\ A53.5)
фя= Oje'M 4- fee-'**. (I53.6)
Рассмотрим теперь условия перехода частицы из области /
в область // в двух случаях: а) когда полная энергия частицы Е
больше ее потенциальной энергии U в области // (рис. 226) и
б) когда Е <U (рис 227)
а) При Е > U частица, подчиняющаяся классической меха-
механике, обязательно (иначе говоря, с достоверностью) перейдет из
области / в область //. В самом деле, положим, что эта частица
несет электрический заряд и движется в области / слева на-
направо. На границе / и // она попадает в поле задерживающего
потенциала V, но так как ее полная энергия Е больше U, то
частица преодолевает это задерживающее поле и продолжает
свое движение в области // с уменьшенной энергией Е — U.
Мы сейчас увидим, что частица, подчиняющаяся уравнению
Шредйнгера, например электрон, должна вести себя совершен-
совершенно иначе. Это вытекает уже из следующих качественны?: сооб-
соображений. Движение электрона представляется плоской волной
де-Бройля. На границе двух областей, где происходит внезап-
внезапное изменение потенциала, эта волна должна вести 'себя так,
как ведет себя световая волна на границе двух областей с раз-
различным показателем преломления (см. § 143). Это значит, что
на границе областей I в II волна де-Бройля частью отражается,
а частью проходит в область //. Мы можем также сказать, что,
переходя из одной области в другую, электрон имеет определен-
определенную вероятпост!, отразиться и определенную вероятность пройти
дальше в область //.
Наша задача теперь состоит в том, чтобы найти эти вероят-
вероятности. Для этого мы прежде всего заметим, что частное реше-
решение е'*1* соответствует волне, идущей в направлении положи-
положительной оси х (слева направо), т, е. падающей волне, а частное
решение е-** соответствует отраженной волне. То же самое

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
справедливо для частных решений e±ikl*. Принимая во внима-
внимание, что в области / распространяются как падающая, так и
отраженная волны, мы видим, что для этой области имеет
смысл общее рещение A53.5), состоящее из двух членов:
ф, = ще'Ъ* + V-*, A53.5)
причем а* есть интенсивность падающей волны, а Ь\— интен-
интенсивность волны отраженной. В области же // распространяется
только проходящая волна. Поэтому в A53-6) следует положить
Ь2 = 0 и тогда
ь = а2е'^. A53.6')
Положим теперь, что амплитуда падающей волны at равна 1,
и вычислим остальные две амплитуды Ь, и аг. Для этого нам
^ придется воспользоваться «граничными
I условиями», состоящими в том, что на
|# границе областей не только сама функ-
I ция i|i, но и ее первая производная — не-
J прерывны. Непрерывность первой произ-
\p,J водной вытекает из следующих сообра-
' жений. Представим себе, что вертикаль-
Рис. 228. пая ступень слева на рис. 228 заменена
наклонной (пунктир на рис. 228); пусть
ширина переходной области равна 21 и потенциал в этой обла-
области непрерывно меняется от 0 до V. Приняв во внимание обо-
обозначение A53-3) и A53-4), перепишем оба уравнения (I53-I') и
A53.2') в виде
-g—A'V (I53.7)
При этом коэффициент к' в области от —/ до -\-1 непрерывно
меняется от к = А, до к' = къ. Для этой области мы имеем, с
одной стороны,
а, с другой стороны, применяя теорему о среднем значении к
правой части A53-7),
§ I53J ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ
или переходя к пределу при J—>(),
Непрерывность функции ф на границе обеих областей дает
или, если воспользоваться A53.5), при а, = I и A53.6')
l + bl = a2.
Из условия непрерывности производной
53,8)
при помощи A53.5) и A53.6') находим
1— bt=-~a2. A53.9)
Решая уравнения A53.8) и A53.9) относительно Ъ\ и а2, полу-
получаем
Теперь мы можем, пользуясь аналогией с оптикой, опреде-
определить коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности О.
Коэффициент отражения равен отношению квадратов амплитуд
отраженной и падающей волн или, принимая во внимание, что
амплитуда падающей волны с,, по условию, равна I:
* = ъ\=[т^т;)'¦ О53-")
При вычислении коэффициента прозрачности D нужно умножить
отношение квадратов амплитуд проходящей и падающей волн
на отношение скоростей частиц в той и другой областях по сле-
следующей причине. Коэффициент прозрачности равен отношению
проходящего потока частиц к падающему. Представим себе ци-
линдр с основанием, равным 1 с.м2, и высотой, равной скоро-
скорости v. Если плотность частиц в этом цилиндре равна р, то пол-
полное число частиц в нем есть pv и все эти частицы проходят через
основание цилиндра в I сек. Итак, поток частиц равен pv, а сле-
следовательно, коэффициент прозрачности
Но плотность частиц р пропорциональна :
волны де-Бройля, а отношение скоростей
!адрату амплитуды

498 i УРАВНЕНИЕ ШРРДИНГЕРА
или, учитывая A53.3) и A53.4),
Поэтому имеем окончательно
±
(.53..2,
(а, по предыдущему есть I) и, пользуясь выражением а2 по
A53.10), находим
O=0SW- A53ЛЗ)
Коэффициенты R и D мы можем истолковать с корпускуляр-
корпускулярной точки зрения следующим образом: R представляет вероят-
вероятность частице испытать отражение на границе областей, a D —
вероятность пройти в область // или, как принято говорить, ве-
вероятность преодолеть потенциальный барьер.
Складывая A53.11) и A53.13), находим R + D = 1, что и
следовало ожидать на основании теоремы сложения вероятно-
вероятностей, так как можно с достоверностью утверждать, что на гра-
границе областей частица либо отразится, либо пройдет дальше.
Вычислим теперь коэффициенты отражения и пропускания в
зависимости от соотношения между полной энергией Е и потен-
потенциальной энергией U. Мы имеем
'i+p. /
VV\-V!E] '
В таблице XXII приведено несколько численных значений RnD.
Таблица XXII
0,1
0,5
0,8
ft
0,0007
0,029fi
0,1459
0,2700
1,000
0,9993
0,970*
0,8541
0,7300
0,000
EIU
10
2
1,25
Ul
1,0
Из этой таблицы видно, что, когда энергия частицы вдвое боль-
больше высоты «потенциальной ступени» U, вероятность отражения
ПОТЕНЦИАЛЬН!
•199
уже имеет вполне заметную величину (около 3%), а при U = E
проникновение в область // вообще невозможно, тогда как по
классической механике в этом случае, так же, как и в осталь-
остальных, частица с достоверностью переходит в область Я, но только
ее кинетическая энергия там равна нулю.
Причина, из-за которой мы не наблюдаем этого квантового
отражения в обыкновенных макроскопических опытах с элек-
электронами, заключается в том, что потенциал на границе изме-
изменяется на участке «макроскопической» величины, а не возра-
возрастает внезапно, как на рис. 227. Если, однако, ширина переход-
переходной области имеет атомные размеры A — 10 А), то этот эффект
должен иметь место и его необходимо учитывать.
б) При E<U по классической механике переход из обла-
области / в область // невозможен, так как при этом условии (по-
(потенциальная энергия больше полной) кинетическая энергия ча-
частицы в область / должна была бы сделаться отрицательной, а
скорость — мнимой.
Вычислим коэффициент отражения R для этого случая, поль-
пользуясь квантовой механикой. Прежде всего следует обратить
внимание на то, что при E<U величина k3 становится чисто
мнимой:
= у V2m(E—U) =i\ V'2m(V — E) =
1
где ?=у Y2m(U — Е). Ввиду этого при вычислении R по фор-
формуле A53.11) возведение в квадрат следует заменить перемно-
перемножением комплексно сопряженных величин RR*, или, что то же,
отысканием квадрата модуля:
Итак, при Е<1! коэффициент отражения равен 1, т. е. от-
отражение является полным. Как видно, этот результат вполне
оответствует ожидаемому. Однако неожиданным является то,
то как мы сейчас покажем хотя отражение и полное — имеет-
имеетравны k, р
приобретает вид
ijjr, = а3е'к*х = aie~kcl
а вероятность найти частицу на единице длины будет поэ
V
A53Л4>

500
:НИЕ ШРЁДИНГЕРА
[ГЛ Xt
:ОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ 1
Это означает, что имеется вполне определенная вероятность
найти частицу в области II. Правда, эта вероятность экспонен-
экспоненциально (т. е. очень быстро) убывает с увеличением х. но она
отлична от нуля: микроскопические частицы могут проникать-
в области, «запрещенные» для частиц макроскопических.
Подсчитаем, например, какова относительная вероятность
найти электрон на расстоянии д: = 1 А = 10'8 см от границы
при условии, если V — Е = I эв = 1,6¦ 10~12 эрг. Мы имеем
¦f V2m(U-E)x =
=, -2 _ Vl,87- I0'27- 1 6 ¦ 10~'2- 10-е=1 045,
1,05- КГ-" '
e-i.ee—0,29.
Как видно, вероятность очень большая (около 30%); при
х = 5 А она становится равной е~5*2 = 0,005, т. е. малой, но еще
вполне заметной; однако уже при х= 10 А экспоненциальный
фактор становится равным ничтожной величине e-i°.46=4,54-10"8.
Истолкование полученных результатов с волновой точки зре-
зрения не представляет затруднений, так как случай Е < U анало-
аналогичен случаю полного внутреннего отражения в оптике. В самом
деле, с точки зрения геометрической оптики при переходе света
из более плотной среды в менее плотную, когда угол падения
больше критического, свет не может проникнуть в менее плот-
плотную среду. Однако волновая оптика показываем и опыт под-
подтверждает, что в действительности в этой менее плотной среде,
даже и при углах падения, больших критического, имеется
волновое поле с экспоненциально убывающей амплитудой. При
этом убывание амплитуды приблизительно определяется множи-
множителем е~2?:х!1\ а убывание интенсивности — множителем'е-*л*а —
закон, совершенно аналогичный закону убывания плотности ве-
вероятности 1]э2 для Е < U. Далее, вычисление показывает, что
несмотря на проникновение света во вторую среду, среднее зна-
значение составляющей вектора Умова — Пойнтиыга (поток энер-
энергии), нормальной к поверхности раздела, за достаточно большой
промежуток времени равно нулю. Это означает, что движения
энергии, односторонне направленного из первой среды во вто-
вторую, не имеется.
Детальный анализ этого случая, выполненный А. А, Эйхен-
вальдом, показал, что при полном внутреннем отражении линии
вектора Умова — Пойнтинга оказываются кривыми; они заходят
во вторую среду и вновь выходят в первую; отражение продол-
продолжает оставаться полным, несмотря на установление поля во
второй среде *). В соответствии с этим и в нашем случае коэф-
фициент отражения R равен 1, а коэффициент пропускания ра-
*) СМц ii а пример, Г. С, Л а и д с б е р г. Оптика, Гостеяиздат,-1957, стр. 416ь
вен нулю: частицы «заходят» в область II, проникают на неко-
некоторое расстояние и вновь возвращаются в область /.
Если, таким образом, волновое истолкование проникновения
в «запрещенную» область оказывается очень простым, то с кор-
корпускулярной точки зрения это явление представляется на пер-
первый взгляд непонятным. В самом деле, если имеется не равная
нулю вероятность найти частицу справа от барьера, то значит
ее там можно обнаружить. С точки зрения классической мехз
ники обнаружить частицу в области, где Е <U, как уже ска-
сказано- невозможно, так как прохождение частицы из области /
в область // при Е < U было бы связано с нарушением закона
сохранения энергии.
В квантовой механике, однако, нет никакого парадокса в том,
что частицу можно обнаружить в области, где E<U. Во-первых,
необходимо всегда помнить, что для микроскопических частиц,
в силу соотношений неопределенности, одновременные точные
значения х и р невозможны. Поэтому не имеет смысла говорить
об одновременных определенных значениях потенциальной
(функция х) и кинетической (функция р) энергии. Далее, что
значит найти частицу справа от барьера? Для этого, очевидно,
надо измерить ее координату х.
При анализе интересующего нас вопроса с этой точки зрения
оказывается, что не всякий способ измерения координаты при-
пригоден в случае Е < V, а если он пригоден, то частица получает
со стороны измерительного прибора такую добавочную порцию
энергии, что закон сохранения энергии оказывается ненару-
ненарушенным.
Приведем этот анализ. Пусть нам удалось измерить коорди-
координату частицы приближенно, но так, что оказалось, что частица
находится где-то справа от барьера в пределах отрезка, рав-
равного /. В таком случае координата частицы уже не будет совер-
совершенно неопределенна, но будет нам известна с неточностью
Дя = ;. Но если мы \же опредс.гшги координату с неточностью
Дя = /, то импульс должен приобрести неопределенность
Д/?>~. A53.15)
Откуда может возникнуть этот добавочный импульс Д/j?
Чтобы с уверенностью утверждать, что частица находится спра-
справа, а не слева от барьера, разрешающая способность оптиче-
оптического прибора, с помощью которого производится определение
координаты частипы, должна быть достаточно высока. А для
этого, как известно из оптики, длина волны света, применяемого
для освещения частицы, должна быть соответственно мала. Но-
в таком случае частица при рассеянии света получает компто-
новский отброс, который и создает неопределенность импульса.

502
ГГЛ_ ХГ
SApbEP КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
503
Но неопределенности импульса Ар соответствует неопреде-
неопределенность энергии AE^-^f-. Оценим ее. Так как вероятность
нахождения частицы по формуле A53.14) убывает с увеличе-
увеличением х экспоненциально, то имеет смысл отыскивать частицу на
таких расстояниях от барьера, для которых показатель степени
в A53.14) порядка 1, т. е.
откул л
I -
Таким образом, неопределенность импульса по A53.15) будет
A/j>2 \/2m(U — Е),
а следовательно, и подавно
Поэтому
Ар> (/2m (f/ — E).
(АрJ > 2т (U — Е)
>U~E.
(АрI
2м
Итак, добавочная энергия, которую получает частица при
измерении координаты, больше разности между потенциальной
и кинетической энергиями, а потому возможность обнаружения
частицы справа от барьера не противоречит закону евхранения
энергии.
§ 154. Потенциальный барьер конечной ширины
таковы; частица движется слева направо параллельно
лоле, которое мы разделим на три области.
В области/, т. е. при х < 0 потенц. энергия U = 0,
Этот тип барьера схематически представляет условия встре-
встречающиеся при решении многих задач атомной физики (напри-
(например, эмиссия электронов из металлов радиоактивный паспад
и т д.)
Напишем уравнение Шрёдиигера для каждой области от-
отдельно: для областей I и III (У = 0):
-0- + ^ЕЧ> = О ' A54.1)
A54.2)
<154'3}
в для области // (U Ф 0):
Решения этил уравнений будут соответственно
'—?/)). A54.4)
В предыдущем параграфе мы рассмотрели случай перехода
частицы в безгранично протяженную область с иной потенциаль-
потенциальной энергией, и мы видели, что при любом соотношении между
энергией частицы и высотой потенциального барьера имеется
определенная вероятность частице испытать отражение и опре-
определенная вероятность проникнуть в область //. В случае, кото-
который нам предстоит рассмотреть, потенциальный барьер имеет
конечную ширину; мы увидим, что здесь всегда имеется еще и
определенная вероятность того, что частица пройдет сквозь об-
область // и выйдет в область ///. В особенности интересно, что
даже тогда, когда полная энергия падающей частицы меньше
ее потенциальной энергии в области //, эта вероятность имеет
конечную величину, причем частица в этом случае выходит в
область III с той же энергией, какой она обладала в области /.
Отличие рассматриваемого случая от изученного в предыду-
предыдущем параграфе состоит в том, что здесь отражение имеет место
как на границе областей / и II, так и на границе областей // и
///. В соответствии с этим решениями будут
ф„ = a2eik'x + b^-ik^x, A54.5)
При этом, как и в предыдущем параграфе, коэффициент at по-
положен равным единице.
Для вычисления коэффициентов R и D необходимо найти
прежде всего постоянные bt, Ъг, a-i, <*&¦ С этой целью мы восполь-
воспользуемся условиями непрерывности функции т]э и ее первой произ-
производной па границах областей / и //, // и ///, т. е. при х = 0 и
при х = d. Выпишем эти условия:
<154-7>

504 ¦ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ГГЛ. XI
Эти условия дают
1 + 6, *= а2 + Ъ3. fti — Mi = Мг — кф2, \
a2ei^d + b2e-tk^ = aie^", a#ik*— Ь2е-*ы = а3 -|±- eth'd. j A54-8>
Решая эту систему уравнений, найдем следующее выражение
для о3
ГЁНЦИАЛЬНЫй ЕАРЬГ
СОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ
505
Мы не будем вычислять коэффициент отражения Д, так как
это вычисление не дало бы ничего принципиально нового по
сравнению со сказанным в предыдущем параграфе. Поэтому
остальные постоянные Ь|, а2, Ь% нам не понадобятся. Коэффи-
Коэффициент прозрачности барьера D [см. формулу A53.12)] в данном
случае равен просто квадрату модуля as ввиду того, что длина
волны в областях / и /// — одна и та же:
D = \a3f = a3a;. A54.10)
Для пас представляет интерес величина D в том случае, когда
Е < U. При этом
будет, очевидно, чисто мнимым числом. Положим
k2 = Ik,
A54.11)
Экспоненциальные функции е±гкгЛ, входящие в знаменатель
A54.9), будут при этом условии действительными числами erhd.
Вместо A54.9) мы получим
3 (ft, + ik)s еы - (*, - ikf e-"a '
Вводя гиперболические функции
(k, - ЙK еы — (kt + №)г е~*й '
приведем выражения для а3 и а'3 к виду
kd + 2/ftft, ch ftd '  (ftj — ft2)sh kd - 21^ ch Ы *
после преобразований, принимая во внимание, что
спг# — %№х = 1,
получим
г. A54.12)
Примем теперь во внимание, что в значительном большин-
большинстве интересных для нас случаев можно считать sh2ferf равным
просто }l2e2kd. В самом деле, например, для электронов при
U— ?=150 в и tf=10~V« fcd = -?ij. 10-fi=6,28.
Поэтому
«,'« = *«¦» = 2,8-1
Написав теперь D в виде
е-™ = С-'М8= 3,5- 10"'.
мы замечаем, что 4 в знаменателе можно отбросить по сравне-
сравнению с е2Ы и так как ft] и &— одного порядка величины, то с
точностью до несущественного множителя:
A54.13)
Эта формула показывает, что проницаемость барьера в очень
сильной степени зависит от его ширины d.
Вычислим значение экспоненциального фактора для электро-
электронов. Возьмем для массы электрона га = 9,8- Ю~28, для квантовой
постоянной Ь= 1,05¦ 10~". Если разность между высотой барье-.
pa U и энергией электрона равна V электрон-вольт или
1,6-10~12 V эргов, то
^?7=1,08- ^V-ltfcK-1.
Задаваясь разностью U — Е = V = 5 эв, получим следую-
следующие значения экспоненциального множителя для различной ши-
ширины барьера:
d(n A)
п
1
0,,
1,3
0,04
1,5
0,03
1.8
0,016
2,0
0,003
5,0
¦5,5-1 ¦ 1(Г7
10,0
1,4- 10"т2

КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Как видно, для ширины барьера в ! А (атомные размеры)
проницаемостт, довольно велика (несколько процентов), но уже
d JO А новится ничтожно малой.
рд
для d == JO А она ста
И
Интересно отметить, что прохождение через потенциальный
барьер ье сопровождается для частицы потерей энергии: она
выходит из пределов барьера с тою же энергией, с какой в него
попадает
Мы рассмотрели сличай прохождения частицы через потен-
потенциальный барьер весьма упрошенной прямоугольной формы.
Можно показать, что коэффициент протрзчпости барьера произ-
произвольного вида (см. рис.229)
выражается с достаточным
приближением формулой,
которая является естествен-
естественным обобщением формулы
A54.13)
A54-14)
где С — несущественная по-
постоянная порядка единицы.
Эту формулу мы в дальнейшем применим к некоторым конкрет-
конкретным физическим задачам,
Прохождение через потенциальный барьер часто образно
называют туннельным эффектом: для преодоления бапьера ча-
стииа не взбирается на его вершину, но проходит под ней как
бм через туннель. Основы теории туннельных переходов были
зал^ены в работе Л. И. Мандельштама и М. Л. Леонтовича.
Многие явления, недоступные для объяснения в классической
механике, легко объясняются в квантовой механике именно бла-
благодаря рассмотренным в последних двух параграфах своеобраз-
своеобразным свойствам микроскопических частиц. К этому вопросу мы
еще вернемся в следующих параграфах.
§ 155. Колебания струны
Задачи, рассмотренные в предыдущих параграфах, срачу
раскрывают перед нами своеобразие законов, управляющих
движением очень малых частиц. Дальше мы покажем, например,
каким образом из уравнения Шрёдингера совершенно неприну-
непринужденно вытекает уже известная нам особенность атомных си-
систем, резко отличающая их от систем, подчиняющихся классиче-
классической механике: существование дискретных уровней энергии. Мы
увидим, что эта особенность находится в тесной связи с некото-
некоторыми свойствами дифференциального уравнения Шрёдингера,—
свойствами, которые были открыты уже очень давно, при реше-
решении определенных задач классической физики.
Для того чтобы облегчить понимание дальнейшего, рассмо-
рассмотрим сначала одну из таких классических задач— задачу о коле-
колебаниях натянутой струны, имеющей по всей длине одну и ту же
плотность (р = const) и одинаковое натяжение (Т = const).
Уравнение колебаний струны *) есть волновое уравнение для
одного измерения
где и (х, t) — отклонение струны от положения равновесия, а
с' — скорость распространения волны на стране, связанная с на-
натяжением Т струны и ее плотностью р формулой
С' = уТ. 055-2>
При постоянных Т и р, с' = const.
Положим сначала, что струна безгранична, и рассмотрим
случай, когда волна гармоническая (монохроматическая). Тогда
каждый участок струны совершает гармонические колебания, и
мы можем искать решение уравнения A55.1) в виде
н(х, t)=*y(x)ei2™>. A55.3)
Подставив это решение в A55.1), получим после сокращения на
A55.4>
vie' через 1/?..
(Pg
Это уравнение удовлетворяется решениями
решение будет поэтому
A55.5)
. Общее
у = В!е'~л + В2е~'~\ A55.6)
где В| и В2— произвольные постоянные, вообще говоря, ком-
комплексные, т. е. включающие начальные фазы Si и бг (см. § 47):

Вводя в решение A55.6) действительные амплитуды Ь, и Ь2.
получим
у = Ь,е {~*+6') + Ьф~1 ^хх+&!\ A55.7)
Если мы теперь припишем к каждому члену A55.7) временной
множитель е
A55-1):
действительная часть равна
и(х, t) = blcos[^-(x+c't)
то получим общее решение уравнения
[х+с'1)+&1\ + Ь2е-! [х(*-е'"+в>], A55.8')
! . A55,8)
Каждый из членов этого решения представляет собою волну,
распространяющуюся на струне; при этом, если первый член
соответствует волне, распространяющейся слева направо (ско-
(скорость + ?¦'), то второй соответствует волне, бегущей справа на-
налево (скорость — с).
Положим, что bi = Ъг = а/2, и преобразуем сумму косину-
косинусов, входящих в A55.8). Получим
и (х, t) = a cos f-j- x -f- б') cos \-~ c't + б j =
= a cos [~ x + 6') cos (a* + 6), A55.9)
= б. Очевидно, что это решение пред-
представляет стоячие волны на струне, так как при тех значениях х,
которые удовлетворяют условию
отклонение и(х, t) будет равно нулю при любом (. Это значит,
что на струне имеются места, где отклонение все время равно
нулю,—узлы, между которыми располагаются места, где оно
имеет максимальную величину, — пучности.
Положим теперь, что струна жестко закреплена с одного
конца (например, при х = 0). Мы имеем, таким образом, одно
краевое условие:
«@, 0 = 0.
Это краевое условие будет удовлетворено, если
а @, () = a cos б' ¦ cos (at + б),
A55.10)
что может быть (исключая тривиальный случай а = 0) только
в том случае, когда б' = B/г + 1) -^, т.е.
и(х, i) = a sm-y-x
A55.11)
Если струна имеет конечную длину / и закреплена на обоих
концах, то решение A55.9) должно удовлетворять двум крае-
краевым условиям
и@, f) = 0 и пA, 0 = 0.
Применяя первое условие, мы получаем уже известное реше-
нне A55.11); второе краевое условие, записанное в явном виде,
трсб>ет, чтобь[
при любых значениях (. Это требование будет удовлетворено,
если
-|bj = Wt (n=l, 2, 3, ...), A55.12)
отк уда
?=»т " m-=f c'-nSf- <155-13>
Итак, решения, удовлетворяющие дифференциальному урав-
уравнению A55.1) и краевым условиям A55.12), представляют со-
собою совокупность бесконечного числа избранных функций
sinrt-^-cos(wnf+ б) = siting cos (га -y-f + б] A55.14)
(rt=l. 2, 3,...).
Эти функции описывают различные стоячие волны или соб-
собственные колебания, которые может совершать струна, закреп-
лентяя на обоих концах. Действительно, полагая в A55,14)
п = 1, получаем решение
-t+b).
A55.15)
Это решение представляет стоячую волну, имеющую два узла —
ПрИ 1 = оя при х = 1, так как только при этих значениях х
функция A55.15) обращается в нуль для любых значений t.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИ
ЧАСТИЦА В ПО-
ПОп = 1 мы получаем стоячую волну
которая имеет три узла при х = О, //2, /, т. е. два узла по кон-
концам струны и один — посредине. Вообще, т-я функция
ит = sin m ~- cos [tn ~ i + б)
описывает стоячую волну, имеющую т -|- 1 узлов. Заметим; уже
сейчас, что целое число m играет здесь ту самую роль, которую
играют квантовые числа в задачах атомной физики.
Длины волн, способных устанавливаться на струне, закреп-
закрепленной на обоих концах, найдутся из формулы A55.12):
K=^r.
A55.16)
причем только эти длины волн и могут распространяться на
струне, так как в противном случае краевые условия не будут
удовлетворены. Соответствующий этим длинам волн избранный
ряд частот будет
1, 2, 3, ...).
A55.17)
Эти частоты называются собственными частотами колебаний
струны. Как видно, они образуют дискретный ряд: наименьшая
собственная частота равна vi = c'f2l; следующие частоты б>дут
Введем следующую терминологию, которой мы будем поль-
пользоваться в дальнейшем. Функции
(J55.18)
П55.19)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
и краевым условиям
только в том случае, если длина волны л, входящая в уравнение
A55.19) в качестве параметра, принимает одно из следующих
значений:
Эти значения мы будем называть собственными значениями па-
параметра, а соответствующие им функции — собственными функ-
функциями дифференциального уравнения A55.19).
§ 156. Частица в потенциальном ящике
Вернемся теперь к уравнению Шредингера и прежде всего на
самом простом примере покажем, каким образом из этого урав-
уравнения следует квантование энергии.
Рассмотрим микроскопическую частицу, находящуюся в поле,
которое характеризуется следующим образом: от х = 0 до х=1
потенциальная энергия U постоянна и равна нулю; на границах
же области (О, I) V внезапно возрастает до бесконечности
(рис. 230). При таких условиях можно утверждать, что частица
не выходит за пределы области 0, /. Для
наглядности можно себе представить ча- U\ (
стицу, запертую в ящике с идеально от- j |
ражающими стенками; внутри ящика ' '
частица свободно движется между его
стенками, но за пределы ящика выйти не
может.
Установим прежде всего краевые ус-
условия этой задачи. С этой целью мы на-
напишем уравнение Шредингера для одно-
одномерного движения, параллельного оси х: х=д #=? -г
^± + ^L{E-U)^ — Q. A56.1) Р"с 230.
Потенциальная энергия U в нашей задаче должна удовлетво-
удовлетворять требованиям:
Г
1
0 при 0<х</,
оо при i = 0 в при .
Покажем, что для удовлетворения этих требований ty(x)
должна обращаться в нуль у стенок ящика. Действительно,
обозначив (P-tyjdx2 через §", мы можем переписать A56.1) в
виде
A56.3)
Для всех значений х между 0 и I значение U = 0 и отношение
ij/'/ij> имеет конечную величину; при х—*0 и х—*t потенциаль-
потенциальная энергия стремится к бесконечности. В силу стандартных
условий (§ 152, конечность и непрерывность ф и i}/) это может
быть только в том случае, когда ^ (х) —»0. Итак, задача сво-
сводится к интегрированию уравнения
-gL + -|L?1j,==o A56.4)
при краевых условиях
iji @) =о, i|i(Z) = 0. A56,5)

512
ШРЁДИНГЕРА
[ГЛ-J
Как видно, эта задача совершенно тождественна с рассмо-
рассмотренной в предыдущем параграфе задачей о стоячих колеба-
колебаниях струны. Поэтому мы можем использовать все полученные
там результаты, давая им соответствующее нашему случаю ис-
истолкование. А именно, собственные функции уравнения A56.4)
будут (см. A55.18))
^ = sfnft-^. A56.6)
Для нахождения собственных значений энергии мы примем
во внимание, что коэффициент 2mEfhz в уравнении A56.4) стоит
вместо коэффициента 4иаА2 в уравнении
-^ + Jg-y = O. A55.19)
Так как собственные значения X в A55.19) определяются форму-
формулой Хп = 21}п, то 4лгА» = 4яг(гс/2/)г. Мы -получаем, таким об-
образом,
2W (л=1. 2, 3, ...)•
A56.7)
Итак, мы видим, что краевые условия задачи будут удовле-
удовлетворены лишь для дискретного ряда значений энергии A56.7).
А это и означает, что частица, «запертая» в потенциальном
ящике может иметь только квантованные значения энергии
A56.7).
Этот вывод кажется сначала неожиданным. Мы сейчас пока-
покажем, однако, что даже для очень малой частицы квантование
становится заметным лишь в том случае, когда «ящик» имеет
атомные размеры. Вычислим для этого расстояние между уров-
уровнями энергии для электрона с массой т = 9,8- Ю~28 г, помещен-
помещенного в ящик длиною I = 1 см. Тогда
A,05- 1Q-37J- 9,8
Еп = га2 -
= л¦ 5,4 ¦ Ю
• 3,37 ¦ 10
Расстояние между соседними уровнями (Дл = 1) будет, таким
образом,
Д?„« 2ге-3,37- 10~15 эа = 6,74 ¦ 10~'3/г за.
Эти расстояния столь малы, что практически мы имеем дело со
сплошным рядом энергий, В следующем параграфе мы увидим,
однако, что наличие дискретных уровней даже в случае ящика
макроскопических размеров имеет большое значение для эле-
элементарных частиц, обладающих определенными квантовыми
свойствами (например, для электронов, см. стр. 516).
% 156] ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ЯЩИКЕ в13
Положим теперь, что ящик имеет размеры атомного порядка,
например I = 10 А = 10~7 см. Тогда
?¦„ = 5,4- 10~'У зрг = 0,34га2 эв,
а расстояния между уровнями при Дл = 1
Д?п = 0,68га эв.
Это —уже вполне заметные расстояния.
До сих пор мы интересовались только собственными значе-
значениями энергии. Рассмотрим теперь свойства собственных функ-
функций нашей задачи. Докажем прежде всего, что собственные
функции обладают свойствами ортогональности, выражаемым
равенством
J" *т М $п (Х) dx==G ПРИ ШфП.
Для доказательства заметим прежде всего, что в силу краевых
условий A56.5) функция ^ обращается в нуль при ж=0 и х=1.
Поэтому интегрирование между бесконечными пределами сво-
сводится к интегрированию от 0 до I. Принимая во внимание общее
выражение собственны-х функций A56.6), получаем
i
тг j [cos (m — n) ~ — cos {m + n) —^ dx
что мы и хотели доказать.
При m = n интеграл не равен нулю, и это позволяет норми-
нормировать к 1 функции фп- В самом деле, пусть мы нашли такой
множитель Nn, что функция N^-n будет нормирована, т. е. будет
выполняться условие
к J
По-прежнему интегралы от — °о до 0 и от I до Ц-"оо равны нулю
вследствие того, что функция \§п в этих промежутках равна
нулю, и мы получим

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
Итак, нормирующий множитель для всех функций ф„ одина
и нормированные собственные функции таковы:
Напомним, что, когда частица находится в состояниях, опи-
сываемых собственными функциями ч$„, зависимость от времени
выражается «монохроматическим» множителем е " , так что
функция, описывающая состояние частицы, обладающей энер-
энергией Еп, в любой момент времени такова:
1}>п (х, t) = ijv, (х) е к = s in п -г- е k " .
При этом согласно сказанному в § 152 временной множитель
должен быть комплексным по существу, т. е. не следует брать
Рис. 231. Графики собс
только его действительную часть. Однако физический смысл
имеет не сама функция фп {*,*), но квадрат се модуля
х, t) ф„ (х, t
{х) = sin2 л ^.
Очевидно, что состояния, описываемые функциями $п(х t) от
времени не зависят: это — стационарные состояния.
На рис. 231 приведены графики собственных функций A56 6)
а па рис. 232 —квадраты их модулей. По смыслу последние
представляют распределение вероятности найти микроскопиче-
микроскопическую частицу па единице длины в том или ином месте внутри
ящика при различных значениях энергии частицы. Как видно из
рисунка, в низшем энергетическом состоянии (га = 1) с наиболь-
наибольшей вероятностью можно найти частицу около середины ящика,
а вероятность найти ее у стенок равна нулю. Этот результат
резко отличается от того, что можно ожидать чля макроскопиче-
макроскопической частицы. Так\ю частицу мы, очевидно, с равной вероятно-
вероятностью можем найти в любом месте ящика, так что кривая плот-
плотности вероятности для нее должна идти параллельно оси абсцисс.
Рисунок показывает, Что при увеличении энергии частицы (воз-
(возрастание квантового числа п) максимумы кривой ]фп|г распола-
располагаются все ближе и ближе друг к другу, так что для очень
больших значений квантового числа п получается распределе-
распределение, соответствующее макроскопической частице. Здесь, как и
во всех случаях, принцип соответствия удовлетворяется.
§ 157. Электрон в потенциальной яме
В качестве применения результатов, полученных в предыду-
предыдущих параграфах, рассмотрим поведение электрода в поле, изо-
изображаемом потенциальной «кривой» рис. 233: потенциальная
энергия электрона вне ящика или я „ „
«ямы» ОЛВС равна нулю, внутри м.
ямы она равна — и. В таком
поле находится, например, элек-
электрон внутри металла.
Поскольку выбор нуля потен- " "
циальной энергии произволен, вы- Рис- 233-
берем его так, чтобы потенциаль-
потенциальная энергия покоящегося электрона внутри металла была поло-
положительна и раона, например, и" (рис. 234). Тогда вне металла
(в вакууме) потенциальная энергия покоящегося электрона бу-
будет также положительна и равна (/', а разность (/'— U" ~ Uo и
есть глубина той потенциальной ямы, внутри которой находится
электрон в металле
Если электрон в металле движется, то его полная энергия
будет больше U" и равна, например, Е. Избыток энергии по
сравнению с U", т. е. величина Е — U" = Tt будет при этом,
очевидно, равен кинетической энергии.
Мы знаем, что электрон, помещенный в потенциальный ящик,
может обладать только избранными значениями энергии,
образующими дискретный ряд (§ 156), Правда, при конечной
величине куска металла расстояние между этими уровнями энер-
энергии будет ничтожно мало. Однако наличие их сказывается очень
определенным образом благодаря важному закону природы —
так называемому принципу Паули. Дело в том, что элемеитар-

ные частицы (электроны, протоны, нейтроны и др.) обладают
особым свойством, неизменно присущим им в такой же степени,
как заряд и масса и состоящим в наличии у них собственного
момента количества движения, называемого спином (английское
слово spin означает нечто вращающееся) и магнитным момен-
моментом. Важная особенность спина электрона состоит в том, что век-
вектор его может ориентироваться относительно выбранного напра-
направления, в частности — относительно вектора спина другого элек-
электрона, только двумя способами: параллельно или антипараллель-
но. Во П-м томе мы посвятим этому свойству электрона значи-
значительное место, а пока отметим, что в силу упомянутого принципа
Паули, на каждом уровне энергии электрона в металле может
находиться только два электрона с антипараллельными спинами,
но если представить себе вначале только решетку положитель-
положительных ионов, внутрь которой
вносятся один за другим
электроны при абсолютном
нуле температуры, то первые
два электрона расположатся
на самом нижнем уровне;
третий электрон уже не смо-
сможет поместиться па этом
уровне и должен будет рас-
расположиться на следующем,
более высоком уровне, т. е.
будет обладать не только
потенциальной энергией, но
Нис. И34. Штенцилльная модель для и некоторой незначительной
электрона в металле. кинетической. Так как число
свободных электронов в ме-
металле очень велико (например, один грамм-атом одновалентного
металла, скажем натрия, имеет N = 6,02-1023 свободных электро-
электронов), то будет заполнено соответствующее, т. е. вдвое меньшее,
число уровней энергии. Верхний из этих заполненных уровней
при абсолютном нуле образует резкую границу между заполнен-
заполненными и свободными уровнями. Этот верхний уровень ? назы-
называется критическим уровнем или гранидей Ферми. Очевидно, что
для освобождения электрона из металла нужно сообщить ему
энергию, по крайней мере равную разности между глубиной по-
потенциальной ямы и кинетической энергией критического уровня
(рис. 235). Эта разность
и
аХууи
?
и
^ШШ///////////'у%А
ЪЖ Металл Ш, ВаКуум
Ш////////У//////Ш\
г
и"
и'
и есть работа выхода электрона из металла, проявляющаяся в
фотоэффекте (слагаемое Р в уравнении Эйнштейна).
¦}
Электрон, однако, может быть освобожден из металла не
только под действием света, но и вследствие нагревания (термо-
(термоионная эмиссия). При температурах выше абсолютного пуля
часть электронов располагается уш верхних свободных уровнях,
т.е. на уровнях,лежащих выше границы Ферми. Если вследствие
нагревания металла энергия электрона станет настолько боль-
большой, что он сможет пре-
преодолеть тормозящее поле
и выйти за пределы ме-
металла, то возникнет тер-
моионпый эффект.
Холодная эмиссия.
Оказывается, однако, что
под влиянием сильного
электрического поля элек-
электроны начинают выходить
из металла при сколь
угодно низких температу- рИс. 235. Работа выхода и внутренний по-
порах. Качественно это яв- тенциал.
леиие можно объяснить и
с классической точки зрения, но получаемые таким путем вели-
величины силы тока резко противоречат экспериментальным данным.
Классическое объяснение этого явления холодного разряда
состоит в следующем. Распределение потенциала внутри метал-
металла и вблизи его поверхности в отсутствии поля приближешго
представляется, как и раньше, ломаной линией КШ'У (рис.236),

518
ВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
1ГЛ
WIEKTPOH В ПОТЕНЦИАЛЬН!
Пусть теперь к металлу приложено электрическое поле с напря-
напряженностью Ш'. Сила, действующая па электрон, находящийся
вне металла, складывается из силы е%, с которой на него дей-
действует поле, плюс так называемая «сила изображения». Послед-
Последняя возникает вследствие того, что сам электрон создает па по-
поверхности металла путем электростатической индукции положи-
положительные заряды, которые притягивают электрон так, как если
бы внутри металла на расстоянии х от его поверхности был рас-
расположен заряд -\-е — зеркальное электрическое изображение
электрона (рис. 237). Таким образом, полная сила равна
а потенциальная энергия электрона в поле этой силы будет
U = Ua~e$x—~, A57.1)
На рис. 237 пунктиром изображена кривая этой потенциаль-
потенциальной энергии. Эта кривая, как видно, имеет максимум на рас-
расстоянии х = х0 от поверхности. Для отыскания х0 пишем
откуда Xa~-2~V~^? ¦ Подставляя это ха в A57,1), получаем для
глубины потенциальной ямы
Unias = {/„ - V^W.
Мы видим, что поле понижает высоту стенки потенциальной
ямы на величину
С точка зрения классической механики электроны внутри ме
талла, имеющие энергию, меньшую СЛиах, еще не могут выйти
за пределы его поверхности, так как этому препятствует потен-
потенциальный барьер LQN, по электроны, обладающие энергией,
большей f/mai, уже освобождаются. Таким образом, в присут-
присутствии поля работа выхода электрона уменьшается и становится
равной ^
ш' = См* - ? = Uo — У&В — ? = ш — VeW,
где да — работа выхода в отсутствии поля.
Очевидно, что максимальный ток получился бы и том слу-
случае, если бы работа wJ обратилась в нуль, Напряженность при-
приложенного поля в этом случае, очевидно, будет
$ = ~ = 7 ¦ Ww2 в/см.
Для вольфрама w = 4,9 е; поэтому § = 2-Ю8 в/см. Между тем
Милликэн получал сильные токи холодного разряда уже при
Ключ к разгадке этого резкого противоречия дает как раз
способность электронов совершать туннельные переходы, не учи-
учитываемая классической механикой. Рассмотрим снова потенциал
вблизи поверхности металла в присутствии поля. Если мы не
будем учитывать силу изображения (учет силы изображения
дал бы более точный результат, но сильно усложнил вычисле-
вычисления), то ход потенциала изобразит-
ся ломаной линией KLMN (рис.238). "¦
Электрон, обладающий энергией Е,
по абсолютному значению меньшей
высоты барьера (/о, в силу законов
квантовой механики может выйт и
из металла непосредственно путем
туннельного перехода. Вероятность
v этого выхода дается прозрачностью
барьера, равной по формуле
A54.14)
~в\ — .
где U—потенциальная энергия в какой-нибудь точке барьера,
а Е — энергия частицы, отсчитываемая от того же уровня, что
и высота барьера.
Очевидно (рис. 238), что
"Поэтому, полагая Х\ = 0, можем написать
Г уи~
Из чертежа непосредственно видно, что Ua — еЖх% = Е, вслед-
вследствие чего первый член равен нулю, и мы получаем для про-
прозрачности барьера
D = се >** *
или, обозначая 2^*~?1 '^"'^а, получим D = Ce-«tf».
Именно такая зависимость «холодного тока» от напряженности
поля и была найдена экспериментально.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА
ЛИНЕЙНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИ]
Интересно привести данные для прозрачности барьера и силы
холодного тока при разных напряжениях (см. таблицу ХХШ).
Здесь интересен необычайно быстрый рост прозрачности при
увеличении поля, а также и то, что при очень малых значе-
значениях D получаются большие токи. Последнее объясняется тем,
что число электронов, бомбардирующих в секунду Стенку барь-
барьера, столь велико, что даже при ничтожной вероятности выхода
возникают сильные токи.
Таблица ХХШ
% Шм)
10е
5- 10е
10*
2-Ю7
3-10'
В=-2в
D
10"м
8. 10~ls
0,013
I
КГ74
1,5- 10~'
100
4- 10е
7.10е
8.1СГВ5
ю-31
2- 10~15
6- 10"'"
1 Шс*>
10-Э22
6.10"SS
3. 104
з. ю
0,18
и
паллЕ
Контактная разность потенциалов. Если привести в сопри-
соприкосновение два металла различной природы (например, медь
и цинк), то между ними устанавливается разность потенциалов
(контактная разность потен-
потенциалов). Это явление, от-
открытое еще Вольта, стано-
становится понятным, если рас-
рассмотреть условия, в которых
находятся электроны в Обо-
Обоих металлах.
Представим себе два ме-
металла с различными внут-
внутренними потенциалами и
различными работами выхо-
выхода a»i и w2 и пусть Wt < w2.
Сблизим их так, чтобы рас-
расстояние между их парал-
параллельными поверхностями
было порядка атомных раз-
меров ~ A0"s см). В том и
другом металле все уровни
энергии ниже границы Ферми ? заняты электронами, выше ее —
свободны. Но граница Ферми в металле / лежит выше относи-
относительно нулевого уровня ОД, нежели граница Ферми в металле
// относительно того же уровня (рис, 239). Поэтому электроны
U"
Рис- 23
с верхних уровней металла / могут переходить сквозь потен-
потенциальный барьер, разделяющий оба металла (туннельным пере-
переходом), на свободные уровни металла //. Но электроны металла
// не могут переходить в металл /, так как вес уровни этого
последнего, лежащие на одной высоте с ?г и ниже ее в металле
/, заняты парами электронов. Поэтому металл // будет заря-
заряжаться отрицательно, а металл / — положительно. Этот процесс
будет происходить до тех пор, пока критические уровни обоих
металлов не сравняются. При этом между обоими металлами
установится внешняя разность потенциалов, равная разности
их работ выхода.
В этом можно убедиться из следующих соображений. Пусть
мы имеем два соприкасающихся металла / и II с работами вы-
выхода Wi и w%, причем W\ < ш2. Рассмотрим точку Л, располо-
расположенною в вакууме вблизи поверхности металла /, и точку В —
вблизи поверхности металла // (рис. 240). При переходе элек-
электрона из точки А внутрь металла / на уровень его границы
Ферми освободится работа wt;
при переходе из точки В внутрь .ЯЩШШМ И \*В
металла II на уровень его гра- Я ШШ>Ш^Ш , J
ницы Ферми освободится ра-
работа w%. Но граница Ферми в рис- 240i
обоих соприкасающихся ме-
металлах, по сказанному, устанавливается на одной высоте. Работа
же выхода, характерная для каждого металла, не зависит от
того, что он находится в соприкосновении с другим металлом,
Если поэтому Шг > Wt, то при одинакоиой высоте границы Фер-
Ферми это может быть только s том случае, если потенциал в точке
В выше потенциала в точке А как раз на величину раэностк
§ 158. Линейный гармонический осциллятор
Одной из важных моделей, используемых в атомной физике,
является линейный гармонический осциллятор. В предыдущем
мы уже неоднократно пользовались этой моделью. Потенциаль-
Потенциальная энергия гармонического осциллятора, как мы знаем, равна
У = ^. = ^1, A58.1)
где % =у ~- —частота колебаний осциллятора, вычисляемая
по классической механике. Соответствующая потенциальная кри-
кривая есть парабола, изображенная на рис. 241. Легко видеть, что
эта потенциальная кривая образует нечто вроде ящика с от-
отражающими стенками, наподобие рассмотренного в § 156.

522
УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕГ
ОСЦИЛЛЯТОР
Макроскопический осциллятор, имеющий энергию С, колеблется
между «стенками» туда и сюда, оставаясь в пределах отрезка
х,Х2, т. е. не проникая правее хг и левее xt, Для решения задачи
о микроскопическом осцилляторе надо рассмотреть стоячие вол-
волны, возникающие внутри такого потенциального ящика; в прин-
принципе процедура совершенно аналогична отысканию собственных
колебаний струны. Однако здесь имеется особенность, из-за ко-
которой математически задача довольно сильно осложняется; в
пределах ящика потенциальная
энергия не имеет всюду постоян-
постоянного значения, по изменяется по
параболическому закон\;поэтому
вол,,-,
не остается одной и той же в раз-
разных местах ящика, но увеличи-
увеличивается по краям его и умень-
уменьшается посредине.
Уравнение Шредипгера для
задачи о гармоническом оспилля-
~~** торе имеет вид
)
A58.2)
причем функция \р должна удовлетворять требованию- при
*->±оо у(х) = 0 к всем остальным стандартным условиям
(§ 152). Р У
Для сокращения записи введем обозначения
уравнение Шрёдингера при этом перепишется так:
A58.3)
¦aV) ij)=0. A58.4)
Для интегрирования A58.4) рассмотрим сначала предельный
случай, когда х очень велико, так что ах :» Х- Тогда в A58.4)
можно отбросить X как величину, малую по сравнению с с?х2,
и мы получаем
' -??-«^-0. A58.5)
При л» 1 это уравнение с достаточной точностью удовле-
удовлетворяется решением
у = е±а*12_ A58.6)
В самом деле, имеем,
Но при х~2> 1 второй член в правой части последнего равенства
несуществен по сравнению с первым и, следовательно, уравне-
уравнение A585) асимптотически удовлетворяется решением A58.6).
Из дв^х возможных знаков в этом решении здесь следует взять
так как решение со знаком плюс безгранично возрастает при
х —* оо] что противоречит естественным условиям, накладывае-
накладываемым на функцию i|> {§ 152).
Принимая во внимание рассмотренный предельный случай,
будем искать решение A49.4) в виде
q = e-**'itf(x), A58.7)
где f(x)—некоторая, пока неизвестная функция, которая долж-
должна быть подобрана так, чтобы A58.7) удовлетворяло уравнению
A58.4), Подставим решение A58.7) в A58.4), найдя для этого
прежде всего производные
Произведя подстановку в A58.4), полечим после простых пре-
преобразований и сокращения на e~ar!'2
11 — 2ca -f- + (А, — a) / = 0. A58.8)
Это уравнение мы еще преобразуем, введя вместо х новую неза-
независимую переменную %
l=y^.x-t A58.9)
| есть безразмерное число, так как а имеет размерность [см'2]
[в чем легко убедиться непосредственно из выражения а A58.3)].
Имеем теперь
Уравнение A58,8) после замены переменной и сокращения
на а приобретает вид
™-21^ + (^-Л„ = 0, A58.10)

(Нение Шрёдингер;
где Я(|)—функция, которая получается после замены в f(x)
независимой переменной х на |. Будем искать Н(%) в виде сте-
степенного ряда
^ (Ю ^^ ^v^ ~f~ ^v+i^ ~J~ *^ч4-2^3 ~J~ • • ¦ ^^ ^^ ^&^ • A58.11)
Для того чтобы гарантировать конечность решения, мы начи-
начинаем ряд с некоторой степени v и только в последующем опре-
определяем это v так, чтобы функция Щ|) нигде не обращалась в
^бесконечность. Выпишем производные от И {%):
+ (v + 2)(v+l)av+2|v+ ...
Подставляя это в A58.10), получим после простых преобразо-
преобразований
[2v-(~-\
]av?+ ...
Так как это равенство должно иметь место тождественно, то
коэффициенты при одинаковых степенях | слева и справа
должны быть равны друг другу. Низший член слева есть
v(v—ljov^2; его коэффициент должен бить равен пулю, так
как справа не имеется члена с такой степенью |. Это дает
v\v— 1) = 0, откуда v = 0 или v = I- Приравнивая нулю коэф-
коэффициент при следующем члене, получаем v = 0 или —1. Первое
решение не дает ничего нового, второе же непригодно, так как
ряд, начинающийся членом с I, обращается в бесконечность
при | = 0.
Сравнивая коэффициенты при каком-нибудь члене, содержа-
содержащем |', находим
+2) а,+2 =
' 2/- 4-1
A58.12)
Эта формула (рекуррентная формула) позволяет последова-
последовательно вычислять все члены ряда через один. Так как ряд мо-
может начинаться либо со степени v = 0, либо со степени v ~= 1,
линейный гармонический осциллятс
то рекуррентная формула A58.12) дает два ряда, из которых
один состоит только из четных членов:
аа + а^+а^+ ..., A58.13)
а другой — только из нечетных:
ail + a3|3+a5l5+ ¦•¦ A58.14)
Эти ряды представляют частные решения уравнения A58.10).
Исследуем теперь поведение полученных рядов при больших
значениях |. Возьмем любой из них, например A58.13), и пока-
покажем, что при достаточно большом | он ведет себя, как еЕ\ Для
этого мы сравним ряд A58.13) с рядом для е&. Известно, что
При достаточно большом | первые члены этой суммы не имеют
существенного значения по сравнению с высшими. Обозначим
коэффициенты при Iх и |т+2 через Ьх и 6т+2; отношение их
" (т/2+1I
т/2+i '
A58.15)
При достаточно большом т в знаменателе A58.15) можно от-
отбросить 1:
Tf = -S2=4- <158Л6>
Для отношения соответствующих членов ряда A58.13) ре-
рекуррентная формула дает
при достаточно бол
Сравнивая A58.16) и A58.17), мы видим, что
_?±jL = ._I.= ,__ = const,
A58.17)
т. е. высшие члены ijaiuei
ряда е&! лишь постоянны]
¦ ряда отличаются от высших членов
множителем, а это значит, что Я{|)

iBHEHHE ШРЁДИНГЕ
при больших ? возрастает, как е*', а следовательно, принимая
во внимание A58.7) и A58.9),
^ = е-«./2 f {х) = е-№я (|) ^ е№>
т. е. при | -* со и i[; —* со.
Отсюда видно, что решения, представляемые степенными ря-
рядами с рекуррентной формулой A58.12), вообще говоря, не
удовлетворяют краевым условиям. Однако легко заметить, что
при избранных значениях Х/а паши ряды обрываются па неко-
некотором члене, т. е. обращаются в полипомы. Так, например, при
Х/а = 5 ряд A58.13) состоит только из одного члена а0, так как
из A58.12) видно, что при >./а = 5 коэффициент а2 =0, а зна-
значит, и все последующие коэффициенты будут нулями. При
У« = 9,13, ... тот же ряд будет обрываться па втором, третьем
и т. д. членах.
Но если #(|) сводится к полиному, то присутствие экспонен-
экспоненциального множителя обеспечит обращение ty в пуль при |—» оо.
Итак, решения, удовлетворяющие стандартным требованиям,
получаются лишь в тех случаях, когда ряды A58.13) и A58.14)
обращаются в полипомы. Па основании рекуррентной формулы
A58.12) мы получим полином, заканчивающийся членом сте-
степени л, если
Подставляя сюда значения X и а из, A49.3), получаем
|) («=0, 1, 2, ...)¦
A58.18)
Мы видим, таким образом, что из функций г|з, удовлетворяю- •
щнх волновому уравнению осциллятора, удовлетворяют вместе
с тем и краевым условиям только те, которые соответствуют
дискретному ряду значений энергии осциллятора A58.18). Об-
Обратим внимание на то, что эта формула несколько отличается
от формулы старой квантовой теории г
Именно, согласно формуле A58.18) квантовое число линейного
осциллятора всегда выражается «половинчатым» числом п-\-[/2.
Вследствие это: о в низшем квантовом состоянии (при л = 0)
энергия осциллятора не обращается в н)ль, но равна
?о = нг. A58.19)
% [59] НОРМАЛЬНОЕ И ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА 527
Это значение Ео называется «нулевой энергией». Происхож-
Происхождение этого названия связано с тем, что Энергия '/а^Ио не исче-
исчезает также и при абсолютном нуле температуры. Ее смысл и
значение будут выяснены в следующих параграфах.
В § 156 мы видели, что квантование энергии частииы в по-
потенциальном ящике получается в результате применения крае-
краевых условий, аналогичных краевым условиям в задаче о струне.
В задаче о линейном осцилляторе, рассмотренной в настоящем
параграфе, квантование оказалось следствием естественного
условия конечности функции во всем пространстве. Возможность
получения квантования в качестве простого следствия подобных
естественных условий является той замечательной особен-
особенностью уравнения Шредингера, о которой упоминалось в § 158.
§ 159. Нормальное и возбужденные состояния
линейного осциллятора
Каждому собственному значению энергии линейного осцил-
осциллятора
?„ = (,.+ -1)аш0 (я = 0, 1,2, ...)
соответствует своя собственная функция
где Л'„ — постоянный нормирующий множитель, а //«(!)—по-
//«(!)—полином степени п, коэффициенты которого вычисляются при по-
помощи рекуррентной формулы A58.12) при ^- = 2я+ 1. Найдем
несколько первых полиномов НпA). Коэффициент при |п выра-
выразится при помощи A58.12) так:
(и-1)л
Г Оп-2,
далее легко получим
д —1)(» —2)(п —31
Искомый полином будет поэтому таков:
г^ s
A59.1)

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
1ГЛ. XI
Полагая в A59.1) ап = 2п (п = О, 1, 2, ...), получим сле-
следующие полиномы:
Яо(|)-1, Я3(|)=8|3-12|, ]
HtiS^Zt, Я4(|)=1б|4-48|2+12, A59.2)
Я2 (|) = 4|s - 2, Я5 (|) = 32|5 - 160|3 + 120| и т. д. J
Это —так называемые полиномы Чебышева — Эрмита, которые
можно представить в следующем, легко запоминаемом виде:
A59.2')
В самом деле, например, имеем при п = 1
Для вычисления различных полиномов удобно пользоваться
рекуррентной формулой, позволяющей по двум полиномам вы-
вычислить третий-. Эта формула получается следующим образом.
По определению имеем
Далее,
Воспользуемся теперь известной формулой для производной
«-го порядка произведения двух функций uv
С помощью этой формулы получаем
вследствие чего
S 159] НОРМАЛ
и по A59.3)
; И ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ (
2|(-1)" «V -|^fe-E') - 2„ (-1)-' -
или, по общему определению A59.2'),
A59.4)
Это и есть искомая рекуррентная формула, связывающая между
собой #n+i, Нп и Нп-ь Легко проверить, что полиномы A59.2)
получаются из Но и Я| по этой формуле. Ее можно применить
для вычисления полинома любого порядка по двум предше-
предшествующим.
Собственные функции линейного осциллятора обладают сле-
следующим важным свойством: они ортогональны в промежутке от
—оо до _+оо, т. е.*)
случае т = п интеграл
имеет конечное значение и этим можно воспользоваться для вы-
вычисления нормир>ющего множителя Nn. Условие нормировался
(см. § 152) состоит в том, что
+«>
N1 | tfB(xUx=*\.
Подставляя сюда выражение функции i]:n и производя вычисле-
вычисления **), найдем
ОТКу.Чсг

530 ' УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА [ГЛ XI
Для нулевого состояния п = 0 имеем
Таким образом, собственная функция нулевого состояния есть
а соответствующая плотность вероятности
Кривая, изображающая1^ (я),— типа гауссовой кривой ошибок
(рис. 242,6). Эта кривая показывает, что, выполнив большое
i
J
I
I
—
1
\;
\
—
-
в ~3 -2 -1 9 ! J 3
рд л р
число определений положения частицы в нулевом состоянии
осциллятора, мы чаще всего будем находить се около положения
равновесия (л; = 0). Кроме того, однако, имеется конечная ве-
вероятность найти частицу не только в пределах всего отрезка,
равного удвоенной амплитуде колебаний классического осцилля-
осциллятора, но также и в «запрещенной» области (вправо п влево от
вертикальных пунктирных прямых), где потенциальная энергия
частицы больше полной (см- рис. 242).
Интересно сравнить с этой кривой соответствующую кривую
распределения вероятности найти макроскопическую частицу,
совершающую гармоническое колебание на участке пути dx, в
каком-нибудь месте пути. Представим себе, например, что мы
имеем маятник, совершающий малые колебания, и будем кине-
матографировать положения шарика маятника. Не может быть
ЫЕ СОСТОЯНИЯ ОСЦИЛЛЯТОРА
531
никакого сомнения в том, что в наибольшем числе кадров мы
найдем шарик где-нибудь около одного из крайних положений
так как в этих местах скорость его будет близка к нулю; меньше
всего окажется кадров, где шарик будет находиться около поло-
положения равновесия, потому что именно в этом месте он имеет
наибольшую скорость. Очевидно, что вероятность найти шарик
в определенном месте обратно пропорциональна его скорости в
этом месте или, что то же, пропорциональна обратной величине
квадратного корня из кинетической энергии, т. e.l/l/? — С,где
Е — полная энергия и U — потенциальная энергия. Соответ-
Соответствующая кривая представлена пунктиром на рис. 242,6; она
существенно отличается от кривой для квантового осциллятора.
Рассмотрим теперь несколько подробнее различите состояния
квантового осциллятора и начнем с нулевого состояния. Особен-
Особенность этого состояния заключается в том, что энергия осцилля-
осциллятора равна не нулю, а '/айао- Именно в соответствии с этим
квантовый осциллятор при абсолютном нуле не находится в по-
кое: мы можем отыскать его с определенной вероятностью в
любом месте отрезка, равного удвоенной амплитуде колебаний
классического осциллятора, и даже за пределами этого отрезка.
Нетрудно видеть, что этот факт является неизбежным след-
следствием соотношений неопределенности. В самом деле, если бы
квазиупр>го связанная частица при абсолютном нуле покоилась,
т. е. имела определенную координату, то это означало бы, что
существует состояние, в котором и координата частицы и ее им-
пульс определенны (импульс равен нулю). Но это противоречит
соотношению неопределенности. Более того, мьт сейчас покажем,
что нулевая энергия '/а^соо и есть как раз та минимальная энер-
гия, которой по крайней мере должен обладать осциллятор в
нулевом состоянии, чтобы соотношения неопределенности были
удовлетворены.
За неопределенность положения частипы примем среднюю
квадратичную ошибку, т. е. положительный квадратный корень
из средней квадратичной флуктуации:
Но б2 = х2— (v)a и так как без ограничения общности можно
положить х = 0 (это означает только, что начало координат
следует поместить в точке, совпадающей с положением равно-
равновесия), то
7
A59.5)

где а— амплитуда колебаний классического осциллятора. Легко
видеть, однако, что так как 112та2а\ = Ео (см. § 46), то
2
а1 = —тг = —-, а потому
ПЩ> f
Далее,
Итак,
A59.6)
Ylitfv A59.7)
— ~Ki\j> = EQy J!f = ~- A59.8)
Но согласно соотношениям неопределенности ДхДр^й. Точная
величина нижнего предела произведения средних квадратичных
ошибок есть й/2, так что
Д*Др>-^. A59.9)
Беря здесь знак равенства (т. е. выбирая нижний предел произ-
произведения ошибок) и сопоставляя A59.8) со A59.9), находим
Еп Ъ р fiffla
Итак, нулевая энергия осциллятора есть действительно мини-
минимальная энергия, которой осциллятор должен обладать в нуле-
нулевом состоянии для соблюдения соотношений неопределенности.
Следует еще объяснить, почему кривая распределения перо-
ятности положения дает не равные нулю значения этой пероят-
ности за пределами классической траектории осциллятора, т. е.
_в областях, где полная энергия меньше его потенциальной. По-
Поскольку, однако, потенциальная кривая осциллятора представ-
представляет собою потенциальный ящик (см. начало § 158) и колебания
частицы можно рассматривать как «отражения» от Степок этого
ящика, объяснение здесь T-акое же, как и в случае отражения от
прямоугольного барьера (§ 153).
Обратимся теперь к возбужденным состояниям. На рис. 243
представлен ход собственных функций для нескольких значе-
значений п. Если присоединить еще периодический временной множи-
множитель е1<о!, то получится нечто вроде стоячих волн. При п — О
(рис. 243) мы имели два узла и максимум («пучность») посре-
посредине; разумеется, узлы получаются не па стенках потенциаль-
потенциального ящика, а на бесконечности. При п = 1 (рис. 243) мы имеем
два узла на бесконечности и один узел в середине отрезка,
соответствующего области колебаний классического осциллятора;
при и = 2, кроме двух узлов на бесконечности, получается еще
И ВОЗБУЖДЕННЫЕ СО<
Рис. 24ч. Распределение плотности вероятности для гс=0, I, 2, 3, 4 (пс
Полингу н Вильсону).

1ВПЕНИЕ ШРЕДИНГЕР!
два узла и т. д. При рассматривании рисунков легко заметить,
что у середины жирного отрезка, изображающего классическую
траекторию, расстояние между узлами меньше, чем у краев. Это
соответствует тому, что длина волны де-Бройля X = ¦ / ,.п ¦
около положения равновесия, где U проходит через нулевое зна-
значение, должна быть наименьшей.
На рис. 244 приведены кривые распределения плотности ве-
вероятности ]i|jj2 для различных состояний квантового осцилля-
осциллятора (при п = О, 1, 2, 3, 4) и одновременно пунктиром — кривая
для макроскопического осциллятора (шарик маятника). Мы ви-
видим, что при малых квантовых числах п квантовый осциллятор
ведет себя совершенно иначе, нежели классический. Наоборот,
чем выше п, тем в большей степени квантовое распределение
вероятности приближается к классическому. Это особенно ясно
видно на рис. 245, где дано распределение для п = 10. Если
провести сплошную кривую через максимумы квантового рас-
распределения, то эта кривая будет приблизительно параллельна
классической кривой. При дальнейшем увеличении п макси-
максимумы сближаются все теснее и ход кривой вероятности все в
большей степени приближается к классическому, как того и тре-
требует принцип соответствия.
Упражнения. I. Вычислить нулевую энергию осциллятора, к.чассичс-
601 СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ. СИЛЫ ВАН ДЕР-ВЛАЛЬСА 535
l"~ ЗОО°'К. "Убедить
ta=Vni" ся пря"т чески неп ерьшн |ии| зыат нерг
§ 160. Связанные осцилляторы. Силы Ван-дер-Ваальса
В § 159 мы видели, что решение задачи о линейном осцилля-
осцилляторе в квантовой механике приводит к выводу, что даже при
абсолютном нуле должна существовать «нулевая энергия», рав-
равная Йсоо/2. Как ни своеобразен этот вывод, опыт показывает, что
полученная нами формула для энергии линейного осциллятора
лучше соответствует фактам, чем прежняя «полуклассическая»
формула Еп = ntuua, которой пользовался Планк. Об этом сви-
свидетельствует, например, исследование молекулярных спектров,
но, быть может, особенно интересно то, что существование нуле-
нулевой энергии играет неожиданно важную роль в объяснении не-
некоторых давно известных, но не поддававшихся объяснению яв-
явлений. Сюда относятся так называемые силы молекулярного
сцецлеция, которые привлекаются для объяснения поверхност-
поверхностного натяжения, адсорбции и Других молекулярных явлений.
Так как эти силы проявляются уже в вап дер-ваальсовом урав-
уравнении состояния реальных газов
то их называют силами Ван-дер-Ваальса.
Не было недостатка в попытках объяснить эти силы в
рамках классической физики, причем во всех объяснениях им,
конечно, приписывалось чисго электрическое происхождение. По-
Поскольку ван-дер ваальсовы силы проявляются во взаимодей-
взаимодействиях между нейтральными атомами или молекулами, суще-
существование их можно понять только в том случае, если считать,
что эти взаимодействующие нейтральные системы являются
электрическими диполями или —в случае более симметричных
систем — мадруполями Силы взаимодействия между диполями
убывают обратно пропорционально четвертой степени расстоя-
расстояния, а силы взаимодействия между квадруполями— обратно
пропорционально шестой степени расстояния. Это качественно

536 УРАВНЕНИЕ ШРЁДиНГЕРА [ГЛ. XI
согласуется с тем давно известным фактом, что и силы молеку-
молекулярного взаимодействия чрезвычайно быстро падают с расстоя-
расстоянием (вспомним о радиусах «сферы действия», которые привле-
привлекаются при элементарном объяснении молекулярных сил).
Однако попытки детального и , в особенности, количественного
объяснения молекулярных взаимодействий в рамках классиче-
классической физики встречали непреодолимые препятствия. Во-первых,
совершенно загадочным представлялось существование моле-
молекулярных взаимодействий у благородных газов. Атомы этих га-
газов обладают высокой электрической симметрией, ввиду чего
невозможно приписывать им в статическом состоянии постоян-
постоянный дипольный или даже квадрупольпый момент. А между тем
все они могут быть сгущены в жидкости и, следовательно, опре-
определенно обнаруживают существование молекулярных сил. Да-
Далее, попытки построения количественной теории даже для таких
веществ, как галоидоводородные соединения НС1, HBr, HI, за-
заведомо обладающих большим дипольным моментом, привели
к неудовлетворительным результатам.
Затруднения устраняются, если кроме указанных чисто ста-
статических взаимодействий учесть также и взаимодействия,
обусловленные быстрыми движениями электронов в молекуле.
Пусть мы имеем две молекулы, у которых в состоянии покоя
заряды распределены со сферической симметрией, так что мо-
молекулы между собою не взаимодействуют. Если сместить заряды
из их положений равновесия, то молекула приобретает диполь-
дипольный момент и взаимодействие становится возможным. Такое
смещение на самом деле возникает вследствие не исчезающих
ни при каких условиях Нулевых колебаний с энергией '/г^юо Но
появление диуюльного момента в одной молекуле вызывает в
окружающем пространстве поле и индуцирует дипольный мо-
момент в другой. Эти быстро меняющиеся дипольные моменты
находятся друг относительно друга в такой фазе, что в резуль-
результате возникает притяжение. Таково качественное объяснение
молекулярных сил- Оно, как видно, неизбежно связано с суще-
существованием нулевых колебаний, необходимость которых вытекает
из соотношений неопределенности.
Покажем теперь, что эта простая картина позволяет сделать
также количественный расчет и установить закон молекулярных
взаимодействий. Для этого, однако, нам необходимо сначала
вспомнить, как решается в классической механике задача о ко-
колебаниях двух взаимодействующих или иначе говоря, связанных
осцилляторов.
Пусть мы имеем два электрических диполя, отстоящих друг
от друга на расстоянии г и расположенных вдоль прямой
(рис. 246). Масса, связанная с каждым из зарядов, пусть будет
равна т, расстояние между противоположными зарядами в пер-
$ Щ СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ. СИЛЫ ВАН-ДЕР ВАДЛЬСД 537
вом диполе Пусть будет х%, во втором xz. Энергия взаимодей-
взаимодействия диполей обусловлена притяжениями противопол1?жных за"
рядов и отталкиваниями одноименных. По закону КУлона она
равна
Так как г всегда значительно больше х% и Х\, то мы можем раз-
разложить дроби, стоящие в скобках, в ряды по общей формуле
-4
Если ограничиться в каждом из этих разложений первыми тре-
тремя членами, то после простых вычислений получим
Ufi=a_2?-XlXst A60.1)
Это и есть потенциальная энергия, обусловленная взаимодей-
взаимодействием диполей.
Пусть теперь в наших диполях возникают колебания; при
небольших смещениях Эти
щ
колебания будут гармониче-
Т зя
б уду ре- i ' 1 _ _ A .L Q
скими. Так как массы заря- W с> " + s
дов и силы, связывающие их, > р , _;
в каждом диполе одинако- ^
вы, то в отсутствии связи Рис. 246.
между диполями (например,
в случае очень больших рас-
расстояний между ними) оба они будут совершать простые гармо-
гармонические колебания с одной и той же частотой т-
где / — постоянная квазиупругой силы, одинаковая у обоих
При"мем теперь во внимание связь между осцилляторами.
Смещение заряда, скажем, в первом осцилляторе вызывает в
нем квазиупругую силу — f*,, смещение заряда во втором осцил-
осцилляторе вызывает в ней силу —f». He вследствие связи между
осцилляторами изменение диполшого момента второго осцил-
осциллятора вызывает добавочную силу в первом, и наоборот, dra
добавочные силы Fa и ft, мы найдем, зная энергию взаимодей-
взаимодействия [Да: именно, 2
4^^ %?$

540 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
находим
a = acos6: -+- b cos бг, 0 = йю+ sin б, + ba>_ sin62,
0 = а соэб] — Ъ cos бг, 0 = йо>+ sin б, — ba_ sin бг.
Второе и четвертое уравнения дают
б,г=б2 = 0.
Подставляя это в первое и третье уравнения, получим
Итак, при заданных начальных условиях колебания наших
осцилляторов представляются формулами:
1 = * (cos ffl-* + cos ffl+0
:2 = 4 fcos m-' ~ cos m+')
В каждом из этих выражений мы имеем медленно [с часто-
частотой (со- —со+)/2] меняющийся множитель, представляющий моду-
модулированную амплитуду, и быстро [с частотой (ш_ +ш+)/2] ме-
меняющийся фазовый множитель. Кроме того, видно, что колеба-
колебания х, и Хч смещены Друг относительно друга по фазе на л/2,
Рис. 249. Флуктуации
так что, когда первый осциллятор колеблется с максимальной
амплитудой, второй находится в покое. Постепенно амплитуда
первого уменьшается, а амплитуда второго увеличивается, и че-
через четверть периода модуляций роли осцилляторов меняются,
после чего весь процесс идет в обратном направлении (рис.249).
Эти «странствования» или флуктуации энергии нагляднее
всего наблюдаются в известном демонстрационном опыте с
двумя связанными одинаковыми маятниками. , '
'. ОСЦИЛЛЯТОРЫ
Н ДЕР-ВААЛЬСА
Вычислим теперь полную энергию наших связанных осцилля-
осцилляторов. Потенциальная энергия отдельного осциллятора равна
Чхпмо^к2, а потенциальная энергия системы связанных осцилля-
осцилляторов, как мы видели в начале этого параграфа, содержит,
кроме суммы потенциальных энергий обоих осцилляторов, еще
член —Be2/rs)x,x2, соответствующий энергии их взаимодействия.
Мы имеем, таким образом,
U = |
i.
- ^- х,х2.
кинетическая же энергия равна
Следовательно,
mafe 73" ж, %
Если бы взаимодействием осцилляторов можно было прене-
пренебречь, отбросив последний член, то полная энергия системы
была бы просто равна сумме энергий обоих осцилляторов, со-
совершающих колебания со своей неизменной частотой йо. Но та-
такое приближение годится только в том случае, когда осцилля-
осцилляторы находятся --- ?
нергий осцилляторов, колеблющихся с измененными частот
Для того чтобы в этом убедиться, введем вместо Х\ и х2
ые координаты Е и т], связанные со старыми при помощи с
оеии
Отсюда, обратно
Воспользовавшись этими соотношениями, преобразуем выраже-
выражение для полной энергии:

540
ВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕ
СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛ.
Н-ДЕР-ВААЛЫ
541
находим
а = a cos 5, + Ь cos 52, 0 = аа>+ sin 5, -\- b&- sin 52,
0 = a cos 5, — Ъ cos 52, 0 = аю+ sin б, — 6со_ sin Ь2.
Второе и четвертое уравнения дают
бт=б2 = 0.
Подставляя это в первое и третье уравнения, получим
Итак, при заданных начальных условиях колебания наших
осцилляторов представляются формулами:
xi=~2 (cos ю-* + cos а+0 = A
*г = -§- (cos co_/ — cos (o+t) = Л sin
Рис. 249. Флуктуации
так что, когда первый осциллятор колеблется с максимальной
амплитудой, второй находится в покое. Постепенно амплитуда
первого уменьшается, а амплитуда второго увеличивается, и че-
через четверть периода модуляций роли осцилляторов меняются,
после чего весь процесс идет в обратном направлении (рис.249).
Эти «странствования» или флуктуации энергии нагляднее
всего наблюдаются в известном демонстрационном опыте q
двумя связанными одинаковыми маятниками.
Вычислим теперь полную энергию наших связанных осцилля-
Г торов Потенциальная энергия отдельного осциллятора равна
%утв>1х2, а потенциальная энергия системы связанных осцилля-
&1горов, как мы видели в начале этого параграфа, содержит,
1«роме суммы потенциальных энергий обоих осцилляторов, еще
Член —Bег/г3)Х]Хг, соответствующий энергии и.х взаимодействия.
Мы имеем, таким образом,
U = | { Щ
^Кинетическая же энергия равна
Згедовательно,
Г + f/ = 4 «*? + у тЧ +
" Если бы взаимодействием осцилляторов можно было прене-
" ;чь, отбросив последний член, то полная энергия системы
|гла бы просто равна сумме энергий обоих осцилляторов, со-
^ршающнх колебания со своей неизменной частотой сто- По та-
¦ приближение годится только в том случае, когда осцилля-
ры находятся на большом расстоянии друг от друга (г вс-
jiKO) Мы можем, однако, представить полную энергию Т ~\-U
Шлаком виде, чтобы ее можно было рассматривать как сумму
йергий осцилляторов, колеблющихся с измененными частотами.
|k Для того чтобы в этом убедиться, введем вместо xf и х2 но-
е координаты | и х\, связанные со старыми при помощи соот-
соотношений
геюда, обратно
¦у?'
использовавшись этими соотношениями, преобразуем выраже-
е для полной энергии:
|+ U =

[СНИЕ ШРЁДИПГЕРА
СВЯЗАННЫЕ ОСЦИЛЛЯТОРЫ. СИЛЫ В.Ш-ДЕР-ВААЛЬСД
543
или, принимая во внимание A60.4) и A60.Г),
Т + U = ^-/л|2 - ± то>э42 + | тч2 + ^
A60.5)
Мы видим, таким образом, что в этом преобразованном виде
Т + U есть не что иное, как сумма энергии двух независимых
осцилляторов, совершающих колебания с найденными ранее
нормальными частотами &+ и ы_!
Согласно пол> ченном\ в § 158 результату энергия этих
осцилляторов имеет квантованные значения:
и, следовательно, полная энергия системы будет
„++ ?„_
Аа_(л_ +}). A60.6)
Теперь воспользуемся разложением в ряд
A+в)"'= 1+Y-4-+
Мы получим
»+=%(i-4-2?r)' »-=».fi
Подставляя это в A60-1), найдем
?=?„++?„_«=
^ (я_ - п+) — ~? (П-+Л++1)] ¦ A60.7)
*) Этот член представляет большо]
Однако на эюм случае мы здъеъ остадов
я не будс
Вычислим теперь частоты со+ и м_ с достаточным для нашей s
цели приближением-
Введя вместо k его выражение цз A60-1'), получим
В том случае, когда оба осциллятора находятся в основном
состоянии, п+ = гс_ = 0 и, кроме того, второй член в квадрат- \
ных скобках обращается в нуль *), мы получаем I
Е = кщ(\ —-gpp-). A60.8)
Принимая во внимание, что сумма нулевых энергий обоих осцил-
осцилляторов равна Va^coo + '/г^мо = tiaia, мы видим, что полная энер-
энергия системы меньше этой суммы на величину -2« - Величина
—№ s и ссть энергия связи
r=_?^L._^_^C_i A60.9)
где С — некоторая константа. Отрицательный знак указывает на
то, что связь заключается всегда в притяжении. Константу С
для различных атомов можно вычислить из оптических данных
и значений универсальных констант е и Ь,
Таким образом, мы приобретаем возможность вычислять за-
заранее энергию молекулярных взаимодействий С другой сто-
стороны, мерой этой энергии может служить работа, которую
нужно затратить, чтобы освободить атом или молекулу от ее
связи в твердой кристаллической решетке, или, иначе, теплота
возгонки (сублимации). Насколько хорошо совпадают между
собой вычисленные при помощи формулы A60.9) и найденные
на опыте величины теплоты сублимации (приведенные к абсо-
абсолютному нулю), показывает
приводимая таблица.
Возвращаясь к сказанно-
сказанному в начале этого парагра-
ф1 мы покажем, что воз-
возможность объяснения сил
сцепления Вап-дер-Ваальса
об\словлена появлением в
формуле энергии осцилля-
осциллятора столь странной на пер-
первый взгляд нулевой энер-
энергии Чгйщ. В самом деле, если бы мы для окончательного расчета
воспользовались полуклассической формулой Планка Еп = пЬи>о,
то в формуле A60.7) выпали бы две единицы (в первых и по-
егтедних круглых скобках). Поэтому в основном состоянии (при
п+ = п = 0) мы получили бы для энергии связи нуль. Это как
раз соответствует тому факту, что покоящиеся осцилляторы
сог ысно классической теории не могут взаимодействовать,
ее ни они в силу распределения зарядов не обладают замет-
заметным электрическим моментом (атомы благородных газов Не,
Ne \т\).
Таким образом, появление сил молекулярных взаимодействий
в нормальном состоянии связано с существованием нулевой
энергии.
Ne
Аг
СИ,
Т,™е«цИН
0 47
1,64
2,08
2,42
0,58
адз
2,70

544 СРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА [ГЛ XI
§ 161. Частица в трехмерном потенциальном ящике
В задачах, с которыми мы имели дело до сих пор, функция^
зависела только от одной координаты. В заключение этой главы
мы рассмотрим простейший пример трехмерной задачи.
Пусть мы имеем трехмерный потенциальный ящик, т. е. огра-
ограниченную во всех направлениях область, внутри которой потен-
потенциальная энергия всюду равна нулю, но на границах которой
она сразу возрастает до бесконечности и остается таковой во
всем остальном пространстве. Положим, что область, где потен-
потенциальная энергия равна пулю, имеет форму параллелепипеда
с ребрами U, i%, h- Мы можем представить U(x,y,z) как сумму
трех слагаемых:
U (х, у, z) - Ux (х) + Uу (у) + Uz (z),
причем
при 0 < х < /, Ux=*0, при х < 0 и х > /[ Ux=oo7
» 0<?/</2 Uy = 0, » у<0 и (/>/2 ?/„ = «>,
» 0<г</3 ?/2 = 0, » г<0 и z>/3 Uz = oo.
Уравнение Шрёдингера мы напишем для этого случая в декар-
декартовых координатах:
Это — дифференциальное уравнение в частных производных.
Метод решения, которым мы будем пользоваться здесь, состоит
в том, что уравнение в частных производных стараются разде-
разделить на три обыкновенных уравнения. Возможность этого разде-
разделения в значительной степени связана с рациональным выбором
системы координат, а выбор этот обычно подсказывается сим-
симметрией задачи. В данном случае разделение осуществляется
очень просто.
Будем искать iji в виде произведения трех функций, каждая
из которых зависит только от одной координаты
A61.2)
Подставив решение A61.2) в уравнение A61.1), разделив обе
части на XYZ, пол>чим
Здесь первая пара членов зависит только от х, вторая — только
от у, третья — только от г, однако сумма их равняется постоян-
постоянной. Это может быть лишь в том случае, когда.каждая из ско-
§ 1611 ЧАСТИЦА В ТРЕХМЕРНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ЯЩИКЕ
бок в левой части сама равна какой-то постоянной. Итак,
1 d2X 2m -J^t^
A61.4)
Мы получили три обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнения—разделение оказалось возможным. Очевидно, что
Но вместо постоянных С*, Су, Cz удобно ввести другие: Ех,
Еу, Ег, полагая, например, Сх = р- Ех. Тогда уравнения
A61.4) можно будет переписать в виде
4§-+-§г(Я*-С/*)* = 0 ит. д. A61.5)
Очевидно, что уравнение A61.5) совпадает с уравнением A56.1)
задачи об одномерном потенциальном ящике. Краевые условия
для о&еих задач также одинаковы:
ДГ @) = ЛГ (/,) = 0-
A61.6)
По аналогии с решениями § 156 мы можем сразу написать ре-
.;. шения, удовлетворяющие уравнению A61.5) и краевым усло-
\[ виям A61.6). В нормированном виде они таковы:
K= 1,2,3, ...)
A61.7)
A61.8)
Два других уравнения из группы A61.4) имеют аналогичные
решения:
(в„п,= 1,2, 3, ...) A61.9)
1 Э, В. Шпольскпй, т. 1

546 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА [ГЛ. XI
Теперь мы уже можем написать решения исходного уравнения,
удовлетворяющие краевым условиям:
/8 TijTtx tiit^tfj л?Л|2
-y^-sin—— sin-i-— sin——, A61.10)
причем энергия может принимать только следующий дискретный
ряд значений:
В(«*.п„»^«В« + ?ад+й« = ^(-^ + -|- + -|-) A61.11)
{пх,пу,пг=\, 2, 3, .,.).
Собственные функции A61.10) нашей задачи характери-
характеризуются следующим образом (см. § 156): они представляют
собою стоячие волны, имеющие пх-\- 1 узловых плоскостей, па-
параллельных координатной плоскости уг, %+ 1 узловых плоско-
плоскостей, параллельных плоскости хг, и п: -\- 1 узловых плоскостей,
параллельных плоскости ху.
Возможные значения энергии согласно формуле A61.11) об-
образуют дискретную последовательность, причем каждой тройке
целых чисел nXi ny, п, соответствует определенный уровень энер-
энергии. Эти три числа пх, пу, пг являются квантовыми числами за-
задачи.
Для наглядного представления возможных состояний и зна-
значений энергии частицы в ящике удобно пользоваться следую-
следующим геометрическим образом.
Представим себе пространст-
пространственную решетку с элементар-
элементарной ячейкой в виде прямо-
прямоугольного параллелепипеда с
ребрами 1//,, 1/1г,\/1з (рис.250):
Объем этой ячейки будет
\jUkh- Так как каждое состоя-
состояние частицы характеризуется
совокупностью целых значений
п*1 "у, яг, то мы можем пред-
представить любое состояние тем
/? узлом решетки, который имеет
координаты rix/h, Щпг, njk.
Рис 250. Энергию, соответствующую
этому состоянию, мы найдем
при помощи нашей геометрической картины следующим обра-
образом. Вообразим вектор'А, соединяющий начало координат с точ-
точкой, изображающей состояние. Квадрат его длины будет
/
/
/
/
/
-1
5 16П ЧАСТИЦА В ТРЕХМЕРНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ЯЩИКЕ 647
Поэтому энергия представится как
E(nI,nu,nz)=~-A2,
При помощи описанной геометрической картины мы можем
установить чрезвычайно важную особенность решений данной
задачи. Если ребра потенциального ящика U, f2, h — несоизме-
несоизмеримые числа, то каждому состоянию соответствуют своя изобра-
изображающая точка и свое значение энергии. Не то будет в случае,
когда ребра находятся в рациональном отношении. Пусть для
простоты мы имеем дело с кубическим ящиком, так что U =
s= i2 = /3 = I- Для этого случая
^V^sin-^sin-^s
Очевидно, что для каждой совокупности целых значений пх, %,
яг мы будем иметь свою функцию if, но значения энергии для
всех состояний, для которых сумма 1^ + пу+я| имеет одну и
ту же величину, будет между собой совпадать. Таким образом,
различным узлам нашей воображаемой кубической решетки бу-
будут всегда соответствовать различные состояния, но энергия в
некоторых из этих состояний будет одинакова.
рассмотрим для примера два частных случая. Пусть пх = 1,
Щ = Ь пг~ \\ в этом случае п\ -\-п2у -\-п\ =3, Так как нельзя
подобрать три других целых числа, сумма квадратов которых
равна 3, то состоянию A, 1, 1) соответствует только одно значе-
значение энергии. Но положим, что пх = 1, пу = 2, nz ~ 3. Тогда
^ + ^ + п| = 14,
и соответствующее значение энергии будет
Этому значению энергии отвечает шесть различных состояний
(см. таблицу XXIV).
2
2
3
"и
2
3
3
1
а
Таб
3
2
3
1
лица XXIV
14

Нетрудно убедиться в том. что в случае кубического ящика
подавляющее большинство состояний будет характеризоваться
той особенностью, что нескольким различным состояниям соот-
соответствует одинаковая энергия. Такие состояния называются вы-
вырожденными, а число совпадающих уровней энергии называется
— " ~"м веСом состояния. В первом из разобранных примеров
й вес равен 1, во втором он равен 6.
ж пен и я: 1 Решить задачу о колебаниях трехмерного линейного
а (см. § 113). Потенциальная энергия такого осциллятора выра-
\. пи, пг ¦= 2 [(п
,ергш = урапнеш Шрё.
1гии осциллятора в этом
функции имеют внд
осциллятора собственные значения энергии будут'.
Еп = [пх + пу + пг + V.) S«o = [а + ЭД) йио (п = л, + пу + я,),
оказать, что все уровни, за исключением ^нулевого пх пу п, — ,
ПРИЛОЖЕНИЯ
1, ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ
Рассмотрим следующую задачу. Пусть мы участвуем в бес-
беспроигрышной лотерее, в которой имеется га, билетов с выигры-
выигрышем й1 рублей, «2 билетов с выигрышем а2 рублей и т. д. Ка-
Каков средний выигрыш? Пусть полное число билетов равно N:
к
Очевидно, что средний выигрыш а найдется по «правилу смеше-
смешения»:
Но отношения nJN, mJN, ¦.. суть вероятности для участвующего
в лотерее получить тот или иной выигрыш *):
Wl==niIN, w2=-n2jN wk = nk/N. A.2)
Поэтому (I- 1) можно переписать в виде
Выражение, стоящее в правой части A. 3), т. е. сумма произ-
произведений значений, которые может принимать величина о, на со-
соответствующие вероятности, в теории вероятностей обычно на-
называется математическим ожиданием.
В более общем случае величины х, принимающей дискретный
ряд значений *,, хг, . ¦ - > Ч, среди которых могут быть а отрица-
отрицательные, причем вероятности получить эти значения равны соот-
соответственно Ш], wz, ¦¦-, wh, математическое ожидание опреде-
определяется как алгебраическая сумма
х = XiWi + x2w2 + ... + xkwk. A.4)
мер, С. Н. Бе
ейн, Теория вероят
ей, стр. 17,

ПРИЛОЖЕНИЯ
Заметим, что вероятности A.2) определены таким образом,
что сумма вероятностей всех возможных значений величины а
в A.3) или* в A.4) равна 1:
+wk = m + n2+ '""" = 1. A.5)
Смысл такого определения состоит в следующем: так как
аи а2, - ¦ ¦, «ь исчерпывают все возможные величины выигрыша
и лотерея беспроигрышная, то сумма вероятностей wi-\-w2-\-,..
...-{- wit, по теореме сложения вероятностей равная вероятности
получить какой-нибудь выигрыш, есть вероятность достоверного
события. По обычному условию, вероятность достоверного собы-
события принимается равной 1. Если вероятности всех возможных
значений величины удовлетворяют условию A.5), то говорят,
что вероятность нормирована к 1.
В физике в некоторых случаях приходится иметь дело с ве-
вероятностями, не нормированными к 1. Можно было бы, напри-
например, вероятность получить той или иной выигрыш характеризо-
характеризовать числом билетов, дающих этот выигрыш. Тогда
и по формуле A. 1)
или вместо (I. 4)
A.6)
Приведенные определения относились к величинам, распре-
распределенным дискретно (например, различные возможные выигры-
выигрыши й1, а2, .... ак различаются на конечное число рублей). В фи-
физике же часто приходится иметь дело с величинами, изменяю-
изменяющимися непрерывным образом. В этом случае вероятность
какой-либо величине иметь значение, лежащее в узком интервале
между х и х + dx, пропорциональна величине интервала dx и
выражается в виде w(x)dx. Здесь функция w(k), которая назы-
называется функцией распределения или плотностью вероятности,
имеет следующий смысл. Построим кривую, изображающую
w(x) (рис. 251); па малом участке от х до х + dx функцию
w(x) можно считать постоянной и произведение w{x)dx, изо-
изображаемое площадью заштрихованной полоски, есть вероят-
вероятность переменной величине иметь значение, лежащее в указан-
указанном интервале. Если эта переменная величина может непрерыв-
I. ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ 551
но изменяться на конечном интервале от х = а до х = Ь, то
интеграл \хю{х)йх, изображаемый площадью, ограничиваемой
кривой между ординатами х = а и х = Ь, есть вероятность того,
что значение х лежит где-нибудь в указанном конечном интер-
интервале (а, 6). В том случае, когда в этом интервале заключены
все возможные значения х, интеграл j w(x)dx представляет
вероятность достоверного события. Если функция ш(х) выбрана
так, что
= 1,
A-7)
то говорят, что плотность ве-
вероятности нормирована к 1.
В частности, областью измене-
изменения х может быть интервал от
0 до со или даже от —со
до +со. Чтобы условие A.7) Рис.251,
имело смысл в этом случае,
функция w(x) должна достаточно быстро убывать при возра-
возрастании х (по крайней мере, как хг?, где р ~> 1) *).
Для отыскания среднего значения х весь интервал (а,Ь)
разбивается на малые участки хи xt-\-dx. На каждом из них
w(x)= w{xx) можно считать постоянной; w{xl)dx приближенно
равно вероятности величине х иметь значение между х; и Xi-\-dx.
Предел суммы ^iXlw(xl)dx, равный интегралу j xw{x)dx, и
будет в этом случае математическим ожиданием или средним
значением непрерывно изменяющейся величины **)
w (х) dx.
A.8)
Предполагается при этом, что плотность вероятности нормиро-
нормирована к 1, т. е. что имеет место равенство A.7). Если же w{x)
не нормирована, то для вычисления х следует пользоваться
*) См.. например. В. И. Смирнов Курс высшей математика, т. 11,
«Наука». 1967, стр. 263.
¦*) За строгими доказательствами следует обратиться к руководствам
тей например,
), стр. 168.

> ПРИЛОЖЕНИЯ
фмулой, аналогичной A.6):
J w (x) d
A.9)
Среднее значение квадрата хг будет [в случае, когда w(x) нор-
нормирована]:
л»= J x2w{x)dx A.10)
и вообще среднее значение любой функции f(x)
Щ= jf(x)w(x)dx. (I.11)
Рассмотрим пример. Пусть
w(x)-=e-**, (I.I2)
причем х может принимать все значения от 0 до то. Проверяем
нормирование функции w(x) = e'1^:
т. е. вероятность не нормирована-. Для вычисления средних зна-
значений нужно либо пользоваться формулой A.9), либо нормиро-
нормировать w(x). Очевидно, что в данном случае %е~Кх и есть норми-
нормированная плотность вероятности. Среднее значение х будет
х = | xw (х) их = X J xe~u dx.
о о
Интегрируем по частям
(двойная подстановка при верхнем пределе дает неопределен-
неопределенность вида —; раскрывая ее по правилу Логшталя, получаем
нуль).
ЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИИ
. \ 1
Итак,
Аналогично,
Плотность вероятности типа е~м неоднократно встречается i
этой книге.

II. ВЫВОД РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
ДЛЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
Пусть мы имеем атом или молекулу, которые могут нахо-
находиться в квантовых состояниях с энергиями E],ES, .... Е;, ...
В дальнейшем будем называть интересующий нас объект (атом,
молекула) «системой». Зададимся вопросом: какова вероят-
вероятность найти систему в состоянии с энергией Е,? Для решения
будем поступать так, как это обычно делается в статистике: во-
вообразим очень большое число N одинаковых систем, находя-
находящихся в различных квантовых состояниях в тепловом равновесии
между собой. Пусть в состоянии с энергией Ei будет нахо-
находиться Mi систем, в состоянии с энергией E2 — N% систем и т. д.
Чтобы найти вероятность такого распределения систем по со-
состояниям, определим, сколькими способами может быть осуще-
осуществлено заданное состояние, т. е. состояние, характеризуемое
числами Ми N%, ..., JV,-, ... для систем с энергиями Elt E2i ...
...,?,, ... Это — типичная задача теории вероятностей. Она ре-
решается следующим способом. Найдем сначала, сколькими спо-
способами из N систем может быть выбрано JVi систем с энер-
энергией Ei. Это число равно числу сочетании из N элементов по А/,,
т. е.
Теперь найдем, сколькими способами из оставшихся Ы—Ni
систем может быть выбрано N% систем в состоянии с знергиейЕ2-
Это число равно
/ N - if, \ (ДГ-ЛГ,)!
I ЛГг ) ЛГ21 (ЛГ - ЛГ, - tfs)l ¦
Из остальных N — АЛ— А'а может быть выбрано А/з систем чис-
числом способов, равным
/ N _ дг, - лг, \ слг — jyt — лга)|
и т. д. Очевидно, что число способов каким N систем может
быть распределено по Nu N2, W3, . - ¦, Л*,, ... группам, равно про-
il. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ 555
взведению всех аналогичным образом построенных выражений,
т. е. ,
ffl (ДГ-ЛГ,I (AT-A/i-ff,)!
il (JV - JV,I NiHN-N, ~JV2)I JV3i(jV-JV, — i\f2 — JV3)t '""
Так как, кроме того, общее число систем и их полная энергия
должны быть определенными величинами, то должны удовле-
удовлетворяться два дополнительных условия:
... +ВД+ ..
(П.З)
Чтобы получить наивероятпейшее распределение, надо найти
максимум выражения (П. 1) при добавочных условиях (П. 2)
и A1.3). Вместо функции W будем оперировать с ее логариф-
логарифмом: очевидно, что In W достигает максимума при тех же усло-
условиях, что и W.
Итак, ищем максимум функции
In W = In N \ — 2 In Ni!. (iL4)
Для факториалов больших чисел имеет место формула Стир-
1п х\ = х 1п х — х + y In Bл-и).
При больших значениях х первые два члена да1ОТ достаточно
точный результат, т. е.
lnx! = а;1пд: — х.
Применяя эту формулу к вычислению правой части A1.4) и учи-
учитывая A.2), получим
In W = ff in N —
Nt In
In N
AT, In Nt.
Для нахождения максимума In W при условиях (П. 2) и
A1.3), воспользуемся методом неопределенных коэффициен-
коэффициентов: умножим (II.2) на —а, A1.3)-—на —р, сложим с A1.5) и

556 ' ПРИЛОЖЕНИЯ
будем искать абсолютный максимум функции
М In М — 2 Mt In Mt — а 2JV, — р 2#(?(¦ (П.6)
По известному правилу приравниваем нулю частные производ-
производные (II. 6) по Mi, Мг, .-., М{, ... Это дает i уравнений аида
— In JVj — I — о — рЕ/ = О,
откуда
или, вводя постоянную С = е~1мх,
Постоянная р имеет то же значение, как и в классической ста-
статистике
где k — постоянная Больцмана. Это следует из принципа соот-
соответствия: при больших квантовых числах все квантовые выра-
выражения должны переходить в классические. Но так как р по
(П. 7) не зависит от квантовых чисел, то оно должно сохранять
свое значение и для малых квантовых чисел. Итак,
Это и есть формула Больцмана. Постоянная С легко находится
из условия нормировки
В тех случаях, когда состояние с энергией Е} вырождено
?;-кратно, т. е. имеется g, состояний с равной энергией, в выра-
выражение М} войдет еще множитель g,:
III. К КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЭФФЕКТА ЗЕЕМАНА
Покажем, что при медленном возрастании магнитного поля
радиус орбиты электрона не меняется, но меняется только его
угловая частота. Согласно второму уравнению Максвелла в
интегральной форме (обобщенный закон электромагнитной ин-
индукции) при изменении магнитного поля Ж возникает вихревое
электрическое поле S с осью, направленной по Ж, причем
^ = Чт=->!?- . (им)
Если за время, пока магнитное поле возрастает от 0 до Ж, элек-
электрон успевает сделать я оборотов, то, предполагая, что Ж. воз-
возрастает равномерно, имеем
где 2" — период обращения электрона. Работа, совершаемая по-
полем над электроном в течение одного оборота, равна
или принимая во внимание A11. 1) и (III. 2),
Д W = — — ш2 = ~
Эта работа затрачивается прежде всего на увеличение кинети-
кинетической энергии электрона, а если изменяется радиус орбиты, т(
также и на увеличение потенциальной энергии. Поэтому
-^Ж<м2 = ДЕК||Н + ДЕИ0Г. (III.3)

ПРИЛОЖЕНИЯ
, ДЕКНН = т (г2 шДа + ю2гДг), (Ш.4)
Д? — е \г
или, принимая во внимание равенство между силой притяжения
е2/г2 и центробежной силой инерции тгаЕ, имеем
Подставляя (Ш.4) и (И]. 5) в (Ш. 3), находим
-^ Жт* = т (г2в> Да> + 2ш2г Дг).
Разделив обе части на тг2ю2, получаем
Далее, принимая во внимание, что при бесконечно медленном
(адиабатическом) изменении состояния в каждый момент имеет
место равенство между силами, действующими на электрон (т.е.
кулоновской силой притяжения плюс сила Лоренца), и центро-
центробежной силой инерции, для установившегося состояния полу-
получаем
т (г + Дг) (со
или, после умножения па (г 4- АгJ,
т (г 4- АгK (ю 4- А»J = е2 + -j 3$г*<й
[членами, содержащими г Дг и (ДгJ, пренебрегаем]. Отсюда
простыми преобразованиями находим
ш + 2 г = 2тс к. "
Сравнивая (Ш. 6) и (Ш. 7), получаем прежде всего
что и требовалось доказать,
(III.7)
IV. ФОРМУЛА СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФЛУКТУАЦИИ
I. Формула средней квадратичной флуктуации
Е2 = (КпJ= п
встречается в этой книге так часто, что целесообразно дать ее
вывод.
Рассмотрим следующую задачу кинетической теории газов:
в некотором объеме V находится N молекул; какова вероятность
того, что в части этого объема v находится п молекул? Вероят-
Вероятность того, что 'одна молекула находится в объеме у, есть v/V
(см. § П6); вероятность того, что п определенных молекул со-
соберутся в объеме v, есть (и/V)", а вероятность того, что N—п
молекул будут в объеме V —и, есть (—pr-^-J . Наконец, ве-
вероятность того, что «'молекул будут в объеме а, а остальные
(N — п)— в объеме V — v, есть
г .,N-n
(IV Л)
Эта формула, как }же подчеркивалось выше, дает вероятность
того, что какие-то определенные молекулы числом п находятся
в объеме и; можно, например, себе представить, что все N мо-
молекул перенумерованы и из них п молекул с такими-то номе-
номерами находятся в объеме v. Для нас, однако, не существенно,
какие именно молекулы находятся в объеме и; важно, чтобы их
число было п. Но из данного распределения N молекул по объ-
объемам v и V —а можно получить еще
ЛГ1
(IV.2)
различных распределений, при которых, однако, п молекул бу-
будет по-прежнему в объеме v, a ,V — я —в объеме V — и. В са-
самом деле, из Л' объектов можно осуществить JV! перестановок,
но не все эти перестановки дадут различные распределения,

560 ' ПРИЛОЖЕНИЯ
Именно я! перестановок молекул, находящихся в объеме и, и
(М— п)! перестановок молекул, находящихся в объеме V — о,
дадут одно и то же распределение. Таким образом, из всего чис-
числа jvl перестановок нужно исключить п\ (N — п)\ перестановок,
не меняющих распределения молекул, и следовательно, число
перестановок, дающих различные распределения выразится фор-
формулой (IV. 2).
Итак, существует всего —, „ альтернативных распреде-
распределений, при которых я молекул находятся в объеме v, a N — п —
в объеме V — v. Вероятность каждого из этих распределений
выражается формулой (IV. 1), а следовательно, вероятность
того, что любые п молекул будут находиться в объеме v по тео-
теореме сложения вероятностей есть
Если, в частности, требуется найти вероятность того, что все N
молекул соберутся и части v объема V, то в этом случае п = N,
и формула (IV. 3) дает
т. е. вновь получается формула, приведенная в тексте, стр. 369.
Очевидно что при равномерном распределении N молекул по
объему V на объем v придется NvjV молекул. Пользуясь форму-
формулой (IV. 3), можно показать, что такое распределение будет
паииероятнейшим. Но формула (IV. 3) дает вероятность того,
что в объеме v будет находиться любое число молекул (^N),
т. е. вероятность состояний, любым образом отклоняющихся от
наивероятнейшего. Сумма вероятностей (IV. 3) по всем я от 0
до N дает вероятность того, что в объеме v будет находиться
какое-нибудь число молекул между 0 и N. Такое событие есть
достоверность, п поэтому 2 wn должна быть равна 1, если ве-
вероятность (IV. 3) нормирована к 1. Это имеет место на самом
деле. Действительно, правая часть (IV-3) есть общпй член би-
бинома (— у- - + тг) , а потому
Зная вероятность шПу можно найти среднее число молекул
в объеме v\.
л-У*»„. (IV.4)
IV. ФОРМУЛА СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФЛУКТУАЦИИ 561
Обозначив в (IV. 3) -у через р, напишем (IV. 4) в явном виде:
N
п~ 2u n Hi (N — »)i"P ' —^' =:
SAfl я,, wV-n
"(»"~i')!"(iV-^д)Т Р ' —Р' ==
Вводя обозначения
n—l=n', N — \=Nf
и замечая, что
N' — п' = [(N — I) — (п — 1)] = N — п,
получаем
n = Np
Но по формуле бинома сумма равна (р '4- 1 — p)N', т. е. опять
равна 1. Итак,
h = Np = Ny-- (IV. 5)
Это значит, что среднее число молекул в объеме v равно числу
молекул, приходящемуся на этот объем при равномерном рас-
распределении по всему объему V, как и следовало ожидаты
Вычислим теперь среднее значение квадрата п, т. е. я2
Заменим я2 через п{п — 1) + я и напишем

562 ' ПРИЛОЖЕНИЯ
IV ФОРМУЛА СРЕДНЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФЛУКТУАЦИИ
В сумме полагаем ? ским распределением Гиббса •)
М~ 2 = N" П — 2 = tl" ', _ \ Е{р q) e~E(р- "Iкт dx
I Е = ~ г , (IV. II)
и замечаем, что > f e-E(p, ч)№ &%
N" — n" = [(N—2) — (n — 2)]= N — n. \
1 где dx —элемент объема фазового пространства. Дифференци-
Сделав указанную замену, сразу увидим, что сумма по фор- : руя (IV. 11) по Т, находим
муле бинома опять равна (р + 1 — р)N", т. е. равна единице, ^ _ J_ Г ^-e/w dx Г е-Е/кт dx _ _1_ Г Г Ее~Е/кт drT
так что ^ dE &т J J kT LJ J
По определению квадратичной флуктуации = -i- ^—.—_ -^ { — } . (IV. 12)
^nf = {nk-nf. * J
Возведя в квадрат и усредняя, находим ' Принимая во внешние, что
_ f E2e~E/hT di
(ДиJ = п\ — 2nkn + п? = п2 — «э. (IV 7) J
Подставляя из (IV-6) выражение для FP, получаем J
-g -2 __ - - видим, что (IV. 12) дает
так что ' M*-|f = F
(AnJ = ft —Яр. (IV. 8) . а потому по (IV. Ю)
Если у — малая часть объема У, то р = v/V—малое число. е2 = /е7^4
В этом случае второй член в (IV. 8) можно отбросить, и мы по-
получаем искомую формулу что и требовалось доказать.
Само собой разумеется, что эта формула применима не только
к флуктуациям числа молекул газа, но и к любым флуктуациям.
Смысл ее пояснен в тексте на стр. 371.
2. Формула A16.5) для квадратичной флуктуации энергии
(см. стр. 371)
& = №— A16.5)
выводится следующим образом. Имеем прежде всего по (IV- 7)
^=~Ё2~Ё2. (IV. 10)
Для вычисления среднего значения Е воспользуемся канониче-

V. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ И НОРМИРОВАНИЕ
СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ ОСЦИЛЛЯТОРА
Собственные функции уравнения Шрёдингера для линейного
осциллятора обладают свойством ортогональности в промежутке
от —со до +со, т. е.
(так как ^п — действительная функция х, то tyn = tyn}-
В этом проще всего можно убедиться следующим образом.
Напишем уравнение Шрёдингера для осциллятора в виде
.g. -1- (X— а2х2) i|, = 0. A58.4}
Собственные значения параметра к, соответствующие собствен-
собственным функциям i|m, суть %п = In -f- i. Мы имеем, таким образом
igfL-Kte+l-aV) „,„ = (),
Умножая первое из этих уравнений на i|im, второе на ^п, вычи-
вычитая и интегрируя от —со до -f-co, получаем
Левую часть этого равенства можно представить в виде
ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ
Принимая во внимание, что собственные ф>нкции стремятся к
нулю при |*1-+ со, так как
видим, что подстановка даст нуль как при верхнем, так и при
нижнем пределе Таким образом,
J
При т = п интеграл
j I ^rt (•
^ равен конечному числу (вследствие квадратичной интегрируемо-
интегрируемости функции грп), и этим можно воспользоваться для отыскания
нормирующего множителя Сп. Заметим, что Сп есть, вообще го-
говоря, комплексное число
Поскольку, однако, пас интересует квадрат модуля \^п\2, нам
достаточно отыскать модуль \С„\\ фазовый множитель остается
неопределенным. Обозначив для краткости J С» \ через iVn>
имеем
2 +™
Заменим один из двух множителей в пп ($) его выражением из
A59.2}
Яд = (—1)веДя аП\1 - A59.2')
представим интеграл в виде
Выполним интегрирование по частям, полагая

ПРИЛОЖЕНИЯ
Принимая во внимание, что е~?! и все его производные обра-
обращаются в нуль при | = ±со, видим, что первый член как про-
произведение полинома на е~& равен нулю. Если повторить подоб-
подобное интегрирование по частям п раз, каждый 'раз полагая
и замечай, что uv каждый раз на пределах обращается в нуль,
то в результате получится
Так как #«(?} есть полином степени /г, т. е.
Мы получаем, таким образом,
/ ортогональность собственных функций осциллятора 567
Итак,
Из условия нормирования находим
откуда

VI. ТЕОРЕМА ВИРИАЛА
В конце своей первой работы о строении атома Бор форму-
формулирует следующую теорему: «В любой системе покоящихся ядер
и электронов, обращающихся по круговым орбитам со скоро-
скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, кинетическая
энергия с точностью до знака равна половине потенциальной» *).
Эту теорему Бор характеризует, как «легко доказуемую», однако
доказательства не приводит. Мы получим теорему Бора как след-
следствие очень общей теоремы, называемой теоремой о вириале.
Особенность этой теоремы состоит в том, что она имеет место
статистически, а именно—для средних значений.
Мы будем пользоваться для системы материальных точек
декартовыми координатами, по обозначать будем координаты
через qu q2, ..., qu ..., соответствующие импульсы будут pt,p2,...
..., ри ..., причем р, = ш,сц = mtvt. Уравнения движения точек
будут f>i = Fi, где Pi—силы, действующие на точки. Возьмем
величину
g«2/w (vi. 1)
и найдем ее полную производную по времени
Преобразуем первый член суммы справа
второй член напишем в виде
(VI. 2)
(VI. 3)
(VI. 4)
*) Н. Бор, Избранные научные труды. «Наука», 1970, стр. 105.
основном тексте (см, например, формулу E9.9)),
VI TEOfEMA ВИРИАЛА
(мы воспользовались равенством р, = F,}. Теперь (VI. 2} можно
переписать в виде
Найдем теперь среднее за промежуток времени t2 — t\. Имеем
Это можно записать подробно в виде
1 (/dG\ 1 dO\ )_
и движение — непериодическое и координаты и скорости всех
ед остаются ограниченными, то, выбрав промежуток времени
еднения (?2 — ?,} достаточно большим мы гпеляем левую
Правая часть (VI. 7} называется вириалом Клаузиуса, а равен-
равенство (VI. 7) выражает теорему вириала в общем виде*).
Предположим теперь, что силы Ff имеют потенциал и; тогда
и теорема вириала (VI. 7} примет бид
(VI. 8}
*) Теорема вириала в общем в
в особенности и кинетической теории .
получено соотношение
|, Так, например, легко может быть
Р — давление, V — объем газа, Г —здесь абсолютная температура. Второй
член справа учитывает внутренние силы между молекулами. Б случае доста-
достаточно разреженного газа вторым членом можно пренебречь, и мы получаем
уравнение состояния идеального газа. Учет второго члена позволяет получить
в качестве первого приближения формулу Ван-дер-Ваэльса.

Для отдельной точки, движущейся под действием централь-
центральной силы, получаем
Г = Т#*- (VI-9)
Если выбрать потенциал в виде степенной функции, например
U = aqn+l, то сила будет равна F = ^— = — (п + 1} aqn;
далее по (VI. 9}
В случае кулонова поля п = —2. Подставляя в (VI. 10}, находим
Т = -±п. (VI. 11}
Для круговых орбит f = Т и ?/ = [/, так что
T = -±U. (VI. 12}
Но это и есть теорема Бора, формулированная вначале *).
•) См. также А. Зоммерфельд, Строение атома а спектры, том I,
стр, 529. Оговорка относительно v < с существенна, так как в релятивистской
механике соотношение (VI. 11) ае имеет места, потому что там формула (VI, 3)
не справедлива.
Абсолютно черт
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
:й вектор 445
т 427, 428
ело 273, 274
1Я 139, 140
е 98 101 178
Атом 42
ктрограф 53, 61. 62
101. 145
-:^диусН94аРНаЯ
Атомные коэффициенты
Атомный номер 44
Бальмера серия 329, 333
— формула 341, 362
¦рограф 59. 60
— и Джордана масс-спектрограф" 65,
Бибермана Ошкипа и Фабрикант:
опыт 472, 479
°тових истейПт*5$Ге *"" ^^
Время рела
Вульфа — Брэгга формула 126 449
451 452
Вырождение 355. 548
Галилея преобразования 205
Гамильтона функция 191, 204
Генераторы квантовые опт!
324
Герца метод определения i
ционных потенциалов 307
:ное смещение
псктра коротко
- Ферми 516
Групповая скорость 427, 431
- формула
Бора — Зомм
'$*¦¦""¦ K"HI0Bble ic"
— кпаптовые постулаты 294, 295
Боте и ГейгЕ
Брэгга— By,
Брэкета сери
Черен!
Ван дер Ваа.
Вина закон с
— формула
Вирнала тео|
Волна де-bpi
, статист
465
Волновое ур;
¦pa опыт 405, 406
льфа формула 123, 449
[я 332
ыт 385—38S
юва излучение 257
менение' 264. 265
тьса силы 535
274, 369
)ема 568
1я 8Q
зйля 443, 446, 494, 495
мнение 424
Движшис в^ центр
¦ Дебая — Шеррера
Де-Бройля гипоте;
.эксперимент
Дейтерий 86
Демпстера масс-сп
Джинса-Рэлея
319 373
Джордана и Бейк
трограф 65
Дипочьный момес!'
Дисперсия 370, 431
Дифракция этомое
- -ектроно^мет
IZ°
мето,
ш 442
а льна
.ектро
форм
.брнд;
и 135
г 224
, 437,
1 459
iV4efi
6дБр
Шерр
v поле 172
поле 19, 200
ое 353
1456
я про
граф 62
ула 281,
444
118
,эгга 448
ера 456
верка
285,

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Дифра
454
Доппл
а эффект 438
орого порядка 414
на и Гермера опыт 448, 454
297,
217
— Дис
— сох
298, 377
персии 423
ранения \а
зи в
.444
шул
Испускательнэя способность 273
Канонические уравнения 190
Капицы - Триккера опыт 38, 39
< орбит 336
ш 352
Кш
198. 200
нтарные акты ра<
3, 405
ана эффект 251, 557, 558
, общий случаи 354
возе
— резо
луче(
Изобар
Изотоп
ружденнь
ювое 267
iKTepHCT^
i ПО, 111
тромагн|
ы 44
водоро;
ы 43, 66,
—. разделение ;
_( — конвекци'
|утем об]
ермодиф
>ракцион
в полости
409
,276
1 ческое ре
итпое 224
88, 89
(Иффузией
гй 75
«енных ре;
.фузией 73
ированнои
ли
270
й 345
67
акций 82
нерегоь
SPlT
Импульс обобщенны* 188
Интеграл Фурье 237
Интерференция электронных iiymw
447
по методу Брэгга 448
— ¦ Дебая-Шеррера 456
Ионизации потенциал 307
: орб
354
366, 374, 383
— энергии 290
Кеплера законы 175, 176,
Кирхгофа закон 272
Колебания струны 506
— зффеьт 34
^ ютен
28
в 520
Конта и ч
Коор ш-mi н рм пыые280
— обобще! 1Ь 181
- вдкиче и 14
Корп> к\ 1йр опт onoft дуализм 433
438 440
Корп> к\ 1й
438 440
КоэфЬите
ИЗ
Коэффициенты ^атом
Лабораторная систе
Ла1ранжа уравнен»'
— функция 184, 201
Лазеры 324
Лакана серия 332
Лармора теорема 248
— частота 250, 254
Лауэ метод 118, 453
Лоренца преобразования I
— формулу 38- 200
Эйнштейна формул:
Лукирского и Прилежаев
379
Луммерз и Приисгейма ;
а координат 1
182, (84, 185
Иоффе и Добронрав
Испускание вынужде
— индуцированное 3
249
Мазеры 324
Масс-спектрографы 53
Масс-спектрометры 61
элемептол 42, 43, 48, 49
Метастабильш.ш уровень 325
297, 298
— «изохромат» 382
Мёсебауэра эффект 408, 413
Милликена опыт 12, 14
Модель атома Ю1, 145, 247, 294
— электрона в металле 515
— кинетический 184
— металла внутренний 450
Потенциальные кривые 149
Потенциальный барьер 495, 502
', прохождение 495
— — трехмерный 543 544
— ящик-512, 543
Преобразования Лоренца 204
Мо_-
Моы<
п 133
Й 224
— СООТЕ
Прицель
Пфуядя
энный 334
|Я 361. 365
"¦C*J 1Ьр*-^1_»1СПЧи^. ¦ II f U 1 И U 111 til Л И 1UI
Непериодические процессы 243 Работа выхода 516
Норчиропание собственных функций Радиус эффективное
495, 529, 564 Разде.[е!!ИЯ коэффи!
Н\лепая энергия осциллятора 527, „83- 85
543 Разложение cneKTpaj
Ю1. 102
т 68. 72, 75.
i 165, 243
Оп
я 326
фуц
ОртогО![альность собственны
ций 513, 529 564
Осциллятор анизотропный 352
—, возбужденные состояния 527
— гармонический линейный 160,521
— негармонический 229
— нормальное состояние 521, 527
—, пулевая энергия 543
~. среднее излучение 228
иергия 232
— рептгено]
— электрон.
Розерфорда
— формула
.дифр:
Ост..
ОТрИ1
Пакет волновой 427
Парабол метод 50
Пег
е 313
.пческа;
е 321
ЭЛ61
Ре,
Ройдса
03, 104
я 104, ЦЗ, 124
¦оду Вульфа — Браг
Лауэ 124, 126
[нь, 129, 137
и 112
112, 116
ктр 1
..n.,i.^IL^3 43, 48. 49
Пикеринга серия 342
Планка постоянная 291
— фо'рлула 288. 3i7. 3l9
Поглощателышп способность те-iа 27,г
Поглощение отрицательно^ 321, 324
— резонансное 410, 411
Постулаты теории относительности
205
1^.овекпй спектр, коротковолн
пая граница 380
сплошной 109
характеристический ПО. 130
— спектрограф 127
Рндберга постоянная 341
Рубиновый гшзер 325
Рэлся — Джинса формула 281, 2Э
319, 373
РЯД ФУРЬС! 166
Ссрвя
- Пи!
b 1 И II |\ U &
ia 326

574 предметный указатель
Сила лучистого трения 234, 235 Уравнение Гамильтона 190
Силы Ван-дер-Ваальса 535 — Лагранжа 182, 185
Система координат лабораторная 158 — Шредингера 490
Скобельцына метод 402, 407 Уровни энергии, диаграммы 349
Скорость групповая 427. 431
— фазовая 426, 431 Фабриканта Бнбермана и Сушкина
Снелли>са закон 434 опыт 472, 479
Собственные 3Haqenna 510 Фазовая скорость 426, 431
— функции 510, 530, 532 Фильтры скоростей 32—34
, нормирование 495, 529, 564 Флуктуации броуновские 141
.ортогональность 513, 529. 564, — светового поля 368
¦ 565 потока 385
Соответствия принцип 361, 365 — энергии 540
Соотношения неопределенности 467 Флуктуация средняя квадратичная
и принцип причинности 482 370, 559
Состояние неравновесное 323 стшГзО, 31 32 Б ^ ЖашЫХ ЧЭ
— системы 181 Фотон 370
Соударения 154 Фотоаффект 374
— неупр>гие 301 —,красная Граница 376, 377
— упругие 299 Франка и Герца опыты 295, 299, 303
Спектр граничный стошкой 350 Фурье интеграл 23?
Спектральная пчотность и учения — ряд 166
Спектралшые чннии, ширина есте-
ственн я "Ml Цана и Списса опыт 40
— серии 32<). 332 Центр инерции 157
— термы 333 Центра пьное поле 172 178 185
Спектрограф рентгеновский 127 Центральные силы 170
Спектры водородоподобных ионов
342
— рентгеновских лучей 130 Чадвика опыт 106
Средние значения 549 Частоты нормальные (главные) 539
Стационарные состояния 514 _ собственные 510
Стефана — Вольцмана закон 275 Число волновое 330
Стокса закон 16 — квантовое азимутальное 356
Столетова работч цо фотоэффекту — — главное 355
Тартаковского опыт 457 Шредингера уравнение 4S7
Тело абсолютно черное 273
.модели 276, 277 Эйнштейна коэффициенты 320, 322
Температура отрицательная 324 _ тео ена СЛожения скоростей 211
Теорема вириала 568 _ тоор\1Я [1спускаиия 316*317
Теплота возгонки (сублимации) 543 _ уравНенне 376
Термодиффузии коэффициент 74 _ формула 217
Томска ЬПД™д7парабол 66 ~^ »«W«™*»- W
ТрСе3 л°уечисГ233е 109 ^нГГр^нияда0"'0"^^63-
Триккепа —¦ Капицы опыт 38 ^[гвнпалоит^лг u n imntm л тя
Туннельный зффект 506 Электромагнитное^чеше 223
Умова — Пойнтинга вектор 225, 500 Электрон* вольт°25
Уравнение волновое 423 Электрой в потенциальной яме 515
—
-
-—
Э:
ТЯЧССКОМ |Ю.!О 23
нитно^
¦, дифр:
220
¦, заряд
27, 29,
¦, открь
, рассек
,уравн
ICKTpOr
¦ектрои
447
тергия
¦ осЩ|л
( полях i9
акция 448, 454
12, 140
143, 347
и 400, 401
пне И
ение орбиты 1
юграмма 457
ных пучков
215
г
ичесь
, 457
ioro
95
[75
инте
сохранения 146
нческап 146, 1
лятора 1Ь2
70
1РЕДМЕТНЫЙ
¦лектроста-
горости 35,
заряда j,
рференция
—,ра.
—%<
1ТЕЛЬ
определение
гма уровней
Эффект Допплера
— Зс
— Кг
Эффс
Юза,
тод
Юнга
Ядро
но сте
306, 34
¦ 438
емапа 251, 254, 360.
•мптона 393,
ктивное сече
,радиус 94
Рожаиского
ЗОС
опыт 327
заряд 106
305
¦ние ра.
и Мак
¦пеш
9
, 557
ссея]
-Мн.