Text
                    3. Я. ЭСв аи>мкова,с4.си.01оспалов
8.Л. Ермолаева, ЭС.УН.ЭОглиткин,
.
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
У Ч П ЕДГИ 3 • 1937

3. Я. Квасникова, А. И. Поспелов, Е. Н. Ермолаева, И. М. Калиткин. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ СТЕРЕОМЕТРИЯ ДЛЯ 9-10 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР Москва — 1957
От издательства Данная книга издается в качестве пробного задачни- ка по стереометрии для учащихся 9—10 классов. Все замечания и пожелания по данной книге на- правлять по адресу: Москва, Чистые пруды, 6, Учпед- гиз, редакция математики.
§ 1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ. УГОЛ ДВУХ СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ. 1. (Устно.) Из некоторой точки исходят три луча. Сколько можно провести плоскостей таких, чтобы по крайней мере два из этих лучей принадлежали построенной плоскости? Рассмотреть различные случаи. 2. (Устно.) Всегда ли можно через прямую и две точки, лежащие вне этой прямой, провести плоскость?, 3. (Устно.) Для проверки точности обработки плоской части изделия столяры и слесари обычно прикладывают к ней в раз- ных направлениях линейку ребром и смотрят нет ли просветов. На каком геометрическом предложении основан этот приём контроля? 4. Подставки различных приборов обычно бывают тренож- никами. На каком геометрическом предложении основана и ка- кую практическую цель преследует эта особенность конст- рукции? 5. (Устно.) Точка D лежит вне плоскости, проходящей через точки А, В и С. Может ли четырёхугольник ABCD быть трапецией? 6. Доказать, что все прямые, пересекающие прямую а и проходящие через точку В, не лежащую на прямой а, лежат в одной плоскости. 7. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку /И, пересекает а и Ь. Доказать, что прямые а, b и с лежат в одной плоскости. 8. Через середины двух параллельных сторон трапеции проведена плоскость. Будет ли принадлежать этой плоскости точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции? 9. Через концы трёх ребер куба, исходящих из одной вер- шины, проведена плоскость. Построить линии пересечения этой плоскости с гранями куба. 10. В кубе провести сечение через середины трёх рёбер, исходящих из одной вершины. Найти площадь сечения, если ребро куба равно а1. 1 При решении задач, связанных с кубом, следует иметь в виду, что куб можно определить как многогранник, все грани которого квадраты. 3
11. Плоскости аир пересекаются по прямой /. В плос- кости а даны точки А и В так, что прямая АВ не парал- лельна /; в плоскости [3 дана точка С. Построить линии пере- сечения плоскости, проходящей через точки Л, В и С, с пло- скостями аир. 12. В кубе ABCDAyB^CyD^ провести сечение через точки К, М, А, данные соответственно на рёбрах AAlf DDX и CD так, что AK'.KAr = \ :2; DM : MDr = 1 :1 и С£ : ££> = 1 :3. 13* . В кубе ABCDAyBiCJD^ провести сечение через сере- дины рёбер АВ и AD и точку К, данную на ребре CCV 14. Через точку, расположенную вне данной прямой, в про- странстве провести прямую, параллельную данной прямой. 15. (Устно.) На модели куба и на чертеже указать скре- щивающиеся рёбра. 16. (Устно.) На поверхности куба даны три отрезка: АВ, ВС и CD, расположенные так, как указано на чертеже 1. Можно ли построить плоскость, содержащую все три отрезка? Черт. 1 Черт. 2 17. Плоскости аир пересекаются по прямой АС. Прямая АВ лежит в плоскости а, прямая CD в плоскости р. Указать взаимное расположение прямых АВ и CD (черт. 2). 18. (Устно.) Две скрещивающиеся прямые пересечены третьей прямой. Сколько можно провести плоскостей таких, чтобы каждая плоскость определялась двумя прямыми из трёх данных? 19. (Устно.) Из планиметрии известно, что прямая, пере- секающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую. Будет ли это предложение справедливо и для пространства? (Ответ иллюстрировать на модели.) 20. Даны две параллельные прямые а и b и точка М, не принадлежащая ни одной из них. Лежит ли точка М в одной 4
плоскости с прямыми а и Ь, если известно, что через М можно провести прямую, пересекающую: а) только одну из данных прямых? б) обе данные прямые? 21. Даны: две скрещивающиеся прямые а и &, точки А и В на прямой а, точки С и D на прямой Ь. Доказать, что пря- мые АС и BD тоже скрещивающиеся, (черт. 3). 22. (Устно.) Может ли плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника, пересекать его третью сторону? / 23. Доказать, что диагонали про- / тивоположных граней куба, исхо- дящие из концов одного ребра, / у. параллельны. / у. 24. Доказать, что отрезки, соеди- b___/______ у няющие середины смежных сторон четырёхугольника, вершины кото- рого не лежат в одной плоскости, Черт* 3 образуют параллелограмм. 25. Все прямые, пересекающие одну из двух скрещиваю- щихся прямых и параллельные другой, лежат в одной пло- скости. Доказать. 26*. Если стороны двух треугольников, лежащих в разных плоскостях, параллельны, то треугольники подобны и прямые, проходящие через соответственные вершины этих треуголь- ников, пересекаются в одной точке или параллельны. Доказать. 27. В кубе ABCDAXBXCJ\ найти углы между: 1) DD. и ЯС; 2) ДЛ и ЯС1; 3) АС и ЗД; 4) СХВ и АС. 28. Сколько прямых, перпендикулярных к данной прямой, можно провести: 1) из точки, данной на этой прямой; 2) из точки, данной вне этой прямой? Как построить эти прямые? § 2. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 29. (Устно.) Доказать, что каждое ребро куба параллельно двум его граням. 30. Через точку Af, лежащую вне плоскости а, провести прямую, параллельную плоскости а. 31. Даны плоскость и параллельная ей прямая. Через точку, взятую на плоскости, провести в этой плоскости прямую, па- раллельную данной прямой. 32. (Устно.) Прямая а параллельна плоскости а. Суще- ствуют ли на плоскости а прямые, не параллельные а? 5
33. (Устно.) Две прямые параллельны одной и той же пло- скости. Можно ли утверждать, что эти прямые параллельны между собой? 34. Если имеем две параллельные прямые и через каждую из них проходит плоскость, то линия пересечения плоскостей (если она существует) параллельна данным прямым. Доказать. 35. Построить линию пересечения плоскостей двух тре- угольников, у которых одна вершина общая и стороны, про- тиволежащие этой вершине, параллельны. 36. Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая или лежит в этой плоскости, или параллельна ей. Доказать. 37. (Устно.) Прямые а и b параллельны. Как расположена прямая b относительно плоскости а, если прямая а: 1) лежит в плоскости а; 2) пересекает плоскость а; 3) параллельна плоскости а? (Ответ иллюстрировать на модели.) 38. (Устно.) Прямые а и b пересекаются. Как расположена прямая b относительно плоскости а, если прямая а\ 1) лежит в плоскости а; 2) пересекает плоскость а; 3) параллельна плоскости а? (Ответ иллюстрировать на модели.) 39. (Устно.) Прямые а и b — скрещивающиеся Как распо- ложена прямая b относительно плоскости а, если прямая а: 1) лежит в плоскости а; 2) пересекает плоскость а; 3) параллельна плоскости а? (Ответ иллюстрировать на модели.) 40. (Устно.) Две плоскости а и р пересекаются, и прямая а, 1) пересекает плоскость а; 2) параллельна плоскости а; 3) лежит в плоскости а. Какое положение может занимать в каждом из этих слу- чаев прямая а относительно плоскости р? (Ответ иллюстрировать на модели.) 41. На данной плоскости провести прямую, пересекающую две данные прямые. При каком расположении данных прямых относительно данной плоскости задача имеет: 1) одно решение; 2) бесконечное множество решений; 3) не имеет решений? Возможны ли другие случаи? 42. Конец В отрезка АВ принадлежит плоскости а. Точка С делит АВ в отношении 3: 4 (от А к В), Отрезок CD па- раллелен плоскости а и равен 12 см. Прямая AD пересекает 6
плоскость а в точке Е. Найти расстояние между точками В и Е (черт. 4). 43. Отрезок BDC, параллельный плоскости а, и точка А расположены по разные сто- д роны от этой плоскости. Пря- А мые АВ, AD и АС пересекают / \ плоскость а соответственно в точках Е, Е и G. Найти рас- у 5^ стояние между точками Е и G, j \ если ВС = a, AD = b и DE = с. ,—-J-----------Аг-----у 44. В кубе ABCDAXBXCJ\ / / _______________ _\ / провести сечение: а) через ре- / в £ / бро 441 и точку М на ребре ---------------------——- ВХСХ\ б) через ребро ВС и точ- ку пересечения диагоналей ерт’ грани 441D1D. 45. В кубе 45CD4151C1D1 провести сечение через середины ребер A1D1 и DlC1 и вершину 4 куба. Определить вид сечения п найти его площадь, если ребро куба равно а. 46. Через данную прямую а провести плоскость, парал- лельную другой данной прямой Ъ. § 3. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. 47. (Устно.) Доказать, что противоположные грани куба параллельны. 48. (Устно.) Через каждую из двух параллельных прямых проведено по плоскости. Можно ли утверждать, что эти пло- скости параллельны? 49. (Устно.) Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой. 50. (Устно.) Могут ли быть параллельными две плоскости, проходящие через непараллельные прямые? 51. Доказать, что сечение, проведённое в кубе ABCDAXBXCXDX через вершины 4,£>i и С, параллельно сечению, проведённому через вершины 41? В и С\. 52. Всякая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости. Доказать. 53. Прямая, пересекающая одну из параллельных пло- скостей, пересекает и другую. Доказать. 54. Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку и параллельным данной плоскости. 55. Из точки О, лежащей вне двух параллельных пло- скостей а и р, проведены три луча, пересекающие плоскости а и р соответственно в точках 4, В, С и 4Ь Сх (ОА^ОА^. Найти периметр треугольника А^С^ если 04 = zn; ААГ = п\ АВ = с;АС = Ь\ ВС=а (черт. 5). 7
56. Прямая а пересекает плоскость а и: 1) пересекает пло- скость Р; 2) параллельна плоскости Р; 3) лежит в плоскости р; Какое взаимное положение могут занимать плоскости а и р в каждом из этих случаев? (Ответ иллюстрировать на модели.) q 57. Две плоскости, параллель- Черт. 5 ные одной и той же третьей, парал- лельны между собой. Доказать. 58. Доказать, что через две скрещивающиеся прямые можно провести одну и только одну па- ру параллельных между собой плоскостей. 59. 1) Найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении (внутренним образом) отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя па- раллельными плоскостями. 2) Найти геометрическое место точек, делящих в данном отношении (внутренним образом) отрезки всех прямых, за- ключённые между двумя параллельными плоскостями. 60*. В кубе АВСЬдхВ}СхОх провести сечение через сере- дины рёбер ЛД, АХВХ и AD. Определить вид сечения и найти его площадь, если ребро куба равно а. § 4. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ1. 61. Даны: плоскость а, прямая а вне её, точки А и В, при- надлежащие этой прямой, и проекции А' и В' точек А и В на плоскость а. Построить проек- цию точки С, принадлежащей прямой а, на плоскость а (черт. 6). Имеет ли задача решение, если дана проекция только одной точки, принадлежащей прямой а? 62. Даны: плоскость а, пря- мая а вне её, точки А и В, при- надлежащие этой прямой, и про- екции точек А и В на плоскость а. Построить точку пересечения Черт. 6 прямой а с плоскостью а. 63. Даны проекции вершин треугольника АВС на пло- скость а. Построить: 1) проекции его медиан на плоскость а; 2) проекцию биссектрисы угла А этого треугольника на пло- скость а, если известно, что АВ .АС = 2:3. 1 Теоретический материал, связанный с решением задач на проекцион- ном чертеже, изложен в книге проф. Н. Ф. Четверухина «Стерео- метрические задачи на проекционном чертеже* Учпедгиз, 1955. 8
64. Дана проекция на плоскость а трёх рёбер куба, исходящих из одной его вершины. Построить проекцию куба на плоскость а. 65. Плоскость р проходит через точки Л, В, С, не лежа- щие на одной прямой. Проекции точек Л, В и С на плоскость а даны. Точка D принадлежит плоскости р. Построить её проекцию на плоскость а. 66. Дан параллелограмм ABCD и проекции трёх его вершин Л, В, С на плоскость а. Построить проекцию четвёртой вер- шины D этого параллелограмма на плоскость а. 67. Даны три точки: Л, В, С, не лежащие на одной прямой и не принадлежащие плоскости проекций а, и даны их проекции на плоскость а. Построить линию пересечения плоскостей АВС и а. 68. Построить линию пересечения двух проектирующих плос- костей, из которых одна проходит через проектирующие прямые ЛЛ' и ВВ', а другая — через проектирующие прямые СС' uDD'. 69. На двух противоположных боковых рёбрах куба заданы точки М и N. Построить точку пересечения прямой MN с пло- скостью, проходящей через два других боковых ребра. 70. Прямая а проходит через точки Л и В, проекции которых на плоскость а даны. Найти точку пересечения прямой а с пло- скостью, проходящей через проектирующие прямые СС' и DD'. 71. Плоскость р задана следом а и точкой Л, проекция ко- торой на плоскость а дана. Найти линию пересечения плоскости 3 с плоскостью у, проходящей через проектирующие прямые СС' ylDD' (черт. 7). Черт. 7 Черт. 8 72. Построить сечение куба плоскостью, заданной прямой а, лежащей в плоскости основания куба, и точкой М, принадлежа- щей одному из боковых рёбер куба (черт. 8). 73. Построить сечение куба плоскостью, заданной точкой, принадлежащей верхнему основанию куба, и прямой, лежащей в плоскости нижнего основания куба. 74. * Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие трём попарно скрещивающимся рёб- рам куба. 9
75*. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие трём боковым граням куба. 76. Даны точки Л, В, С и даны их проекции на плоскость а. Провести через точку С прямую, параллельную прямой АВ, и найти точку пересечения её с плоскостью проекций. 77. Дан куб АВСОА{В{С{О{. Через точку М провести прямую, параллель- ную диагонали BXD, и найти точку пере- сечения этой прямой с гранью ААХВХВ, если точка М задана: 1) на ребре ДО; 2) на основании куба. 78. Дана проекция окружности с центром О, лежащей в плоскости, нак- лонной к плоскости чертежа. Пост- роить проекции: 1) диаметра этой окружности, перпендикуляр- ного данной хорде АВ\ 2) биссектрисы центрального угла COD-, 3) радиуса, перпендикулярного данному радиусу ОМ (черт. 9). 79. Окружность лежит в плоскости, наклонной к плоскости чертежа, на котором дана проекция этой окружности с впи- санным в неё углом АВС. Построить проекцию биссектрисы угла АВС. 80. Окружность с вписанным в неё треугольником лежит в плоскости, наклонной к плоскости чертежа, на которую она спроектирована. Построить изображение медиан, биссектрис и высот этого треугольника. 81. Данный эллипс, центр которого на чертеже не указан, является проекцией окружности. Как на чертеже найти поло- жение центра этого эллипса? 82. Данный эллипс является изображением окружности. Построить изображение квадратов, вписанного и описанного около этой окружности. 83. Точки Д, В, С—проекции трёх вершин квадрата. По- строить проекцию окружности, вписанной в этот квадрат. 84. Дан эллипс, являющийся изображением окружности, и да- но изображение угла АВС, рас- положенного в плоскости окруж- ности. Построить изображение: 1) одного из центральных углов, равных углу АВС\ 2) изобра- черт. щ жение биссектрисы угла АВС. 85. На чертеже 10 дано изображение окружности О, пря- мой а и точки М, расположенных в одной и той же плоскости, наклонной к плоскости чертежа. Построить изображение пер- пендикуляра, опущенного из точки М на прямую а. 10
§ 5. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. 86. Доказать, что каждое ребро куба перпендикулярно к двум граням куба. 87. Дан куб ABCDAxBiClDl. Указать взаимное расположе- ние ребра ZJjCt и диагоналей грани ВВ^С. 88. (Устно.) Как расположена относительно плоскости тре- угольника прямая, перпендикулярная к двум его сторонам? 89. (Устно.) Как расположена относительно плоскости круга прямая, перпендикулярная к двум хордам круга? (2 случая.) 90. (Устно.) При каком взаимном расположении двух пря- мых через одну из них можно провести плоскость, перпенди- кулярную к другой? 91. Вычислить (используя таблицы тригонометрических функций) углы между диагональю куба и его рёбрами. 92. (Устно.) Определить вид треугольника, если через одну из его сторон можно провести плоскость, перпендикулярную к другой стороне. 93. Через сторону ВС треугольника АВС проведена пло- скость а, перпендикулярная к стороне АВ (черт. 11). В пло- скости а построен прямоуголь- ный треугольник BCD(<Z 5=90°). Как расположена сторона BD от- носительно плоскости АВС и сто- рона ВС относительно плоско- сти DBA? 94. Найти геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку и перпендикулярным к данной прямой. 95. Два отрезка АВ и CD, лежащие в плоскости а, в точке пересечения Е делятся пополам. Вне плоскости а дана точка L так, что LA = LB и LC=LD. Доказать, что LE перпенди- кулярна к плоскости а. 96. Из центра О квадрата ABCD восставлен к его пло- скости перпендикуляр ОК. Доказать, что прямая АК перпен- дикулярна к диагонали BD квадрата. 97. Из точки М — середины стороны АВ равностороннего треугольника АВС — восставлен к плоскости треугольника перпендикуляр ML. Точка L соединена с точкой С. Доказать, что CL перпендикулярна к АВ. 98. Из точки О, взятой на высоте CD треугольника АВС, проведен перпендикуляр ОМ к плоскости этого треугольника. Доказать, что плоскость а, проходящая через CD и ОМ, пер- пендикулярна к АВ. 99. ABCDEF — правильный шестиугольник, АК— перпен- 11
дикуляр к его плоскости. Доказать, что КЕ перпендикулярна к DE. 100. 1) Доказать, что диагональ куба перпендикулярна к не пересекающей её диагонали грани куба. 2) Доказать, что в кубе ABCDA^B^C^Di диагональ AtC перпен- дикулярна плоскостям ADtBt и BC\D. 101. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек. 102. На данной прямой найти точку, равноудалённую от двух данных вне этой прямой точек А и В. 103. Точки А и В лежат вне плоскости а по одну сторону её. Найти такую точку С на плоскости а, чтобы сумма рас- стояний АС и СВ была наименьшей. 104. АВ и CD — параллельные прямые, расположенные в двух пересекающихся плоскостях; АЕ — перпендикуляр к линии пересечения плоскостей: AF— перпендикуляр к CD. Доказать, что АВ — перпендикуляр к плоскости AEF. 105*. Через вершину А ромба ABCD проведена плоскость, параллельная его диагонали BD, а из вершины С на эту пло- скость опущен перпендикуляр СЕ (черт. 12). Доказать, что BD перпендикулярна плоскости АСЕ. 106. АВ и CD — отрезки скрещивающихся прямых. Доказать, что если АС=СВ и AD=DB, то прямые АВ и CD взаимно- перпендикулярны (черт. 13). 107. Два прямоугольных треуголь- ника АВС и DBC (прямые углы при вершине С) имеют общий катет СВ; катет DC одного треугольника перпен- дикулярен гипотенузе АВ другого тре- угольника. Найти длину отрезка AD, если СВ=а, DC=b, и АВ=с (черт. 14). 108*. Точка М лежит в плоскости прямоугольного треугольника АВС (<С=90°); МА ± АС; МС±СВ. Дока- зать, что ЛМ ± пл. АВС. 12
109. Через середину каждой стороны треугольника АВС проведена плоскость, перпендикулярная к этой стороне. До- казать, что эти три плоскости проходят через одну прямую, и определить положение этой прямой относительно плоскости треугольника АВС. 110. (Устно). Сколько прямых и как надо начертить на гранях деревянного бруса, чтобы по ним сделать распил, пер- пендикулярный ко всем боковым рёбрам бруса? 111. Доказать, что перпендикулярные к одной и той же прямой плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, параллельны. 112. Перпендикуляры к данной плоскости, опущенные из различных точек одной прямой, лежат в одной плоскости. Доказать. 113. Два прямых угла расположены в пространстве так, что стороны их соответственно параллельны, одинаково на- правлены и перпендикулярны к отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка равна а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок Ь, а на непараллельной ей стороне другого угла отложен отрезок с. Найти расстояние между концами этих отрезков. 114. На данной плоскости а найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек А и В. § 6. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ. УГОЛ ПРЯМОЙ с плоскостью. 115. Электрическая лампочка висит на высоте 80,0сл«над центром квадратного стола, длина стороны которого 120 см. Найти наименьшее и наибольшее расстояния от источника света до точек кромки стола. 1161. Из данной точки А проведены к данной плоскости а две наклонные АВ и АС, равные каждая 2 см-, угол между наклонными равен 60°, а угол между их проекциями DB и DC— прямой (черт. 15). Найти рас- стояние точки А от плоско- сти а. 117. Из некоторой точки А проведены к данной плоскости перпендикуляр АО, равный а, и две наклонные, которые об- разуют с перпендикуляром углы по 60°, а между собой угол в 90°. Найти расстояние между основаниями наклонных на плоскости. 1 В этой и в последующих задачах под термином „проекция наклонной" подразумевается ортогональная проекция. 13
118. Найти геометрическое место точек пространства, равно- удалённых от всех точек окружности. 119. Найти геометрическое место точек пространства, равно- удалённых от всех вершин: 1) треугольника; 2) равнобедрен- ной трапеции. 120. Построить точку, равноудалённую от четырёх данных точек, не лежащих в одной плоскости. 121. В равнобедренном треугольнике основание и высота содержат по 4 см. Данная точка находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника и на равном расстоянии от всех его вершин. Найти это расстояние. 122. Точка А удалена от каждой вершины прямоугольного треугольника на 10 см. Гипотенуза прямоугольного треуголь- ника равна 12 см. Найти расстояние точки А от плоскости треугольника. 123. Через одну из вершин ромба проведена плоскость а параллельно меньшей диагонали ромба. Большая диагональ ромба равна d. Проекция ромба на плоскость а — квадрат, сторона которого а (черт. 16). Найти сторону ромба. 124. Меньшее основа- ние трапеции лежит в пло- Черт. 16 скости а, которая отстоит от большего основания трапеции на расстоянии 10 см\ основания трапеции относятся, как 3:5. Найти расстояние точки пересечения диагоналей тра- пеции от плоскости а. 125. Найти геометрическое место точек, удалённых от дан- ной плоскости на данное расстояние а. 126. Найти геометрическое место точек, удалённых от двух пересекающихся плоскостей на расстояние, равное длине дан- ного отрезка. 127. Найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух параллельных плоскостей. 128. Найти геометрическое место середин отрезков, заклю- чённых между двумя параллельными плоскостями. 129. Плоскость а параллельна плоскости {3; из точки А пло- скости а опущен перпендикуляр АВ на плоскость j3; АВ = т\ АС и 50 —отрезки, заключённые между плоскостями. Е и F — соответственно середины этих отрезков. Найти отрезок CD, если EF=a. 130. (Устно). Прямая а пересекает плоскость а и не пер- пендикулярна к этой плоскости. Существуют ли в плоскости а прямые, перпендикулярные а? 14
131. В треугольнике АВС угол В — прямой и катет ВС равен а. Из вершины А проведен к плоскости треугольника перпендикуляр AD. Найти расстояние от точки D до катета ВС, если расстояние между точками D и С равно /. 132. Точка, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от его вершины на расстояние а, а от каждой из сто- рон на расстояние Ь. Найти расстояние точки от плоскости прямого угла. 133. Найти геометрическое место точек пространства, равно- удалённых от сторон: 1) треугольника, 2) ромба. 134. Определить вид треугольника, если точка, равноуда- лённая от его сторон, лежит на перпендикуляре к плоскости этого треугольника, проведённом через центр описанного около него круга. 135. Точка £, расположенная вне плоскости правильного треугольника АВС и одинаково удалённая от сторон этого треугольника, соединена с вершиной А. Доказать, что LA пер- пендикулярна к стороне ВС треугольника. 136. Стороны треугольника 10 см, 17 см и 21 см. Из вер- шины большего угла этого треугольника проведён перпенди- куляр к его плоскости, равный 15 см. Найти расстояние от конца этого перпендикуляра, лежа- щего вне плоскости треугольника, до большей стороны тре 138 139 140 угольника. 137. Катеты прямоугольного треугольника 18 см и 32 см. Из точки N, делящей гипотенузу пополам, восставлен к плос- скости треугольника перпендикуляр NK, равный 12с>и. Найти расстояние от точки К до каждого катета. 138. В плоскости а через точку А, взятую нз дзч Iэ i окружности, проведена к ней касательная, на кэгэрэ i отложен отрезок АВ, раз- ный а (черт. 17). Найти расстояние от точки В до точки М, лежащей вне пло- скости а и удалённой от всех точек окружности на расстояние Ь. 139. АВ и СТ)—две парал- лельные прямые, лежащие в плоскости а на расстоянии 28 см одна от другой; EF— Черт- 17 прямая, не лежащая в плоскости а, параллельная АВ и удалён- ная от АВ на 17 см, а от плоскости а на 15 см. Найти рас- стояние между EF и CD. (Два случая.) 140. АВ — отрезок, параллельный плоскости a; ACnBD— две равные наклонные к плоскости а, проведённые перпен- 15
Черт. 18 пря- дикулярно к отрезку АВ и в разных направлениях от него. Отрезок АВ, равный 2 см, отстоит от плоскости а на 7 см, а отрезки АС и BD содержат по 8 см. Найти расстояние CD (черт. 18). 141. Если из вершины угла провести наклонную к его пло- скости так, чтобы она состав- ляла с его сторонами равные углы, то проекция этой наклон- ной на плоскость будет служить биссектрисой данного угла. Доказать. Сформулировать и дока- зать обратную теорему. 142. Доказать, что прямая, составляющая равные углы с тремя пересекающимися мыми на плоскости, перпендикулярна самой плоскости. 143. Через данную на плоскости а точку А провести в этой плоскости прямую, перпендикулярную к данной прямой /, не лежащей в плоскости а. 144. В плоскости а найти геометрическое место точек, уда- лённых на данное расстояние I от точки А, лежащей вне пло- скости а. 145*. Через точку А, лежащую в плоскости а, провести в этой плоскости прямую, удалённую на данное расстояние d от точки В, лежащей вне плоскости а. 146. (Устно.) Под каким углом к плоскости надо провести наклонный отрезок, чтобы его проекция на эту плоскость была вдвое меньше самого отрезка? 147. (Устно.) Может ли катет равнобедренного прямоуголь- ного треугольника образовать с плоскостью, проходящей через гипотенузу, угол в 60° ? Какова наибольшая величина угла между катетом и этой плоскостью? 148. На верхние концы двух вертикально стоящих столбов, врытых в землю на расстоянии 3,3 м один от другого, опи- рается концами перекладина. Высота одного столба 5,8 м, дру- гого — 3,9 м. Найти длину перекладины и угол наклона её к горизонту. 149. Две проволочные оттяжки радиомачты, укреплённые на ней в одной точке, образуют между собой прямой угол, а с поверхностью земли углы по 60°. Расстояние между точ- ками закрепления оттяжек на земле — 40,0 м. Вычислить дли- ну каждой оттяжки и высоту их укрепления на мачте. 150. В кубе ABCDA^B^C^D^ построить углы: 1) между его диагональю BDr и гранью ABCD-, 2) между диагональю BDX и гранью ВВХСХС', 16
3) между диагональю AD{ грани куба и гранью DD^C^C. 151. Вычислить угол между диагональю куба и его гранью (используя таблицы тригонометрических функций). 152. Точка АГ—середина ребра ААГ куба АВСОА^С^— соединена с вершиной Вычислить угол между KBt и пло- скостью грани ВВХСХС (используя таблицы тригонометрических функций). Результат вычисления сравнить с результатом не- посредственного измерения на модели куба и вычислить отно- сительную погрешность результата измерения. 153. Две параллельные прямые, пересекающие плоскость, составляют с этой плоскостью равные углы. Доказать. Будет ли справедливо обратное предложение? 154. Если в равнобедренном прямоугольном треугольнике один катет лежит на некоторой плоскости, а другой образует с ней угол в 45°, то гипотенуза образует с этой плоскостью угол в 30°. Доказать. 155. Если наклонная АВ составляет с плоскостью а угол в 45°, а прямая АС, лежащая в плоскости а, составляет угол в 45° с проекцией АВ на плоскость а, то угол ВАС равен 60°. Доказать. 156. Отрезок АВ параллелен плоскости а и отстоит от неё на расстояние 5 см\ на плоскости а дана точка М, расстояние которой от прямой АВ равно 6 см. Найти длину отрезка АВ, если МА и МВ образуют с плоскостью» соответственно углы 30° и 45°. 157. В плоскости а лежит прямая АВ. Из точки В прове- дены по одну сторону плоскости перпендикулярные к АВ прямые ВС и BD, составляющие с плоскостью а углы соот- ветственно равные 50° и 15°. Найти угол CBD. 158. Если прямая пересекает две плоскости в точках, оди- наково удалённых от линии пересечения плоскостей, то она образует с этими плоскостями равные углы. Доказать. 159. Даны две пересекающиеся плоскости. Доказать, что из всех прямых, лежащих в одной из них, наибольший угол с другой образуют те, которые перпендикулярны к линии пе- ресечения плоскостей. 160. Через данную вне плоскости а точку М провести пря- мую, перпендикулярную к данной прямой а, лежащей в пло- скости а, и образующую с плоскостью а данный угол ф. 161. Из центра О правильного треугольника АВС проведён к его плоскости перпендикуляр ОК. Точки D и Е — середины сторон АВ и ВС. Построить углы между плоскостью АКЕ и прямыми КВ и KD. 162. Из центра О правильного треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр ОМ, равный h. Из точки М опущены перпендикуляры ME и ME на стороны треугольника. Найти длины ME, ME и стороны треугольника, если угол- между ME и плоскостью ОМЕ равен 30°. 2 Сб. задач по геометрии, ч. II 17
163. При нивелировании прямолинейного участка дороги получены данные, указанные на чертеже 19 (отсчёты по рейкам даны в сантиметрах, расстояние между ними —в метрах). Вы- числить продольный уклон дороги (в процентах). Примечание. Уклон находится, как отношение разности высот двух точек земной поверхности к расстоянию между их проекциями на горизон- тальную плоскость. Черт. 19 164. Из центра О правильного треугольника АВС проведён перпендикуляр ОМ к плоскости этого треугольника. Найти кратчайшее расстояние между прямыми AM и ВС, если сто- рона треугольника равна а, а отрезок ОМ равен Ь. 165. Если прямая а параллельна плоскости а, то кратчайшее расстояние от прямой a j\q всякой прямой плоскости а, не па- раллельной а, равно расстоянию от a j\q плоскости а. До- казать. 166. Построить прямую, перпендикулярную к непараллель- ным диагоналям двух противоположных граней куба и пере- секающую обе эти диагонали. § 7. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. 167. Из вершины А квадрата ABCD проведён к его пло- скости перпендикуляр AM. Точка М соединена со всеми вер- шинами квадрата. Указать на чертеже линейные углы дву- гранных углов АВ, ВС, CD, AD, AM и линейный угол дву- гранного угла между плоскостями ВМС и AMD. 168. В кубе ABCDAiBlCiDi проведено сечение через рёбра BJB и DJD. Найти величину двугранного угла, составленного этим сечением с гранью AJD^DA. 169. Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущены перпендикуляры на его грани. Найти зависимость между углом, образованным этими перпендикулярами, и линейным углом данного двугранного угла. 170. Из точки А, лежащей внутри двугранного угла, опу- щен на ребро перпендикуляр АВ (черт. 20). Доказать, что 18
отрезок АВ и его проекции на грани двугранного угла лежат в одной плоскости. 171. Если грани двух двугранных углов соответственно па- раллельны, то и рёбра их параллельны. Доказать. 172. Если грани двух двугранных углов соответственно параллельны, то эти двугранные углы или равны, или в сумме составляют 180°. Доказать. 173. Построить двугранный угол, равный данному. 174. Разделить данный двугранный угол пополам. 175. Через гипотенузу длины а рав- нобедренного прямоугольного треуголь- ника проведена плоскость под углом 30° к плоскости треугольника. Найти рас- стояние этой плоскости от вершины пря- мого угла. 176. Два равных прямоугольника имеют общую сторону и наклонены друг к другу под углом 45°. Найти отноше- ние площадей двух фигур, на которые проекция стороны одного прямоугольника разбивает другой. 177. Двугранный угол равен 120°. От вершины А линей- ного угла отложены три равных отрезка: АВ и АС по сторо- нам линейного угла и AD по ребру двугранного угла. Найти расстояние точки D j\q прямой ВС, если АВ = а. 178. Через сторону АС треугольника АВС проходит пло- скость а, составляющая с плоскостью треугольника угол в 45°. Найти расстояние вершины В от плоскости а, если ЛВ=9 м, ВС—& м и ЛС=5 м. 179. Два равнобедренных треугольника имеют общее осно- вание, а плоскости их составляют угол в 60°. Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого взаимно-перпендикулярны. Найти расстояние между вершинами треугольников. 180. Ромб спроектирован на плоскость, проходящую через вершину ромба параллельно одной из его диагоналей; про- екция ромба — квадрат со стороной 2 см. Угол между пло- скостью ромба и плоскостью его проекции равен 45°. Найти: 1) сторону ромба; 2) площадь ромба. 181. Дан острый двугранный угол; в одной грани его проведена прямая под углом 30° к другой грани и под углом 45° к ребру. Найти двугранный угол. 182. Найти геометрическое место точек пространства, равно- удалённых от двух пересекающихся плоскостей. 183. Доказать, что смежные грани куба взаимно-перпен- дикулярны. 2* 19
184. (Устно.) При возведении каменной стены иногда про- веряют перпендикулярность её к горизонтальной плоскости при помощи отвеса. Каким предложением стереометрии при этом пользуются? 185. Через данную прямую провести плоскость, перпенди- кулярную данной плоскости. 186. Через данную точку А провести плоскость, перпен- дикулярную к данной плоскости а и параллельную данной прямой а. 187. В кубе ABCDAiBiClDl через вершину В и каждую из диагоналей грани AiBiCiDi провести две плоскости а и [3 и до- казать, что плоскость а перпендикулярна плоскости |3. 188. (Устно.) Плоскость а перпендикулярна плоскости [3. Будет ли всякая прямая плоскости а перпендикулярна к пло- скости [3? 189. (Устно.) Две плоскости взаимно-перпендикулярны. Указать возможные случаи расположения прямой, лежащей в одной из этих плоскостей, относительно прямой, лежащей в другой плоскости. (Ответ иллюстрировать на модели.) 190. Доказать, что прямая а и плоскость а, перпендику- лярные к одной и той же плоскости, параллельны, если а не лежит в плоскости а. 191. Доказать, что две плоскости параллельны, если они перпендикулярны к третьей плоскости и пересекают эту пло- скость по параллельным прямым. 192. От телефонного столба, стоящего против дома на рас- стоянии 9,0 м, надо протянуть проволоку с наименьшей за- тратой материала. Проволока на столбе укреплена на высоте 8,0 м, а к стене дома её надо прикрепить на высоте 20,0 м от земли. Вычислить необходимую длину проволоки, если на закрепление и провисание её добавляется 5%. 193. Найти геометрическое место точек пространства, равно- удалённых от двух параллельных прямых. 194. Найти геометрическое место точек пространства, равно- удалённых от двух пересекающихся прямых. § 8. МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ. 195. (Устно.) Можно ли составить трёхгранный угол с та- кими плоскими углами: 1). 103°, 96°, 78°; 2) 112°, 164°, 95°; 3) 82°, 67°, 151°? 196. (Устно.) Можно ли составить выпуклый четырёхгран- ный угол с такими плоскими углами: 1) 56°, 98°, 139° и 72°; 2) 85°, 112°, 34° и 129°; 3) 43°, 84°, 125° и 101°; 4) 32°, 49°, 78° и 162°. 197. Если в трёхгранном угле два плоских угла прямые, то и противоположные им двугранные углы — прямые. До- казать. 20
198. Если в трёхгранном угле два двугранных угла — пря- мые, то противоположные им плоские углы — прямые. Доказать. 199. В трёхгранном угле все плоские углы — прямые; на рёбрах его от вершины отложены отрезки 2 см, 4 см, 6 см и через их концы проведена плоскость. Найти площадь полу- ченного сечения. 200. В трёхгранном угле каждый из плоских углов равен 60°. Через точку А, взятую на одном из рёбер угла на рас- стоянии а от его вершины, проведена плоскость, перпендику- лярная к этому ребру и пересекающая два других ребра в точках В и С. Найти периметр треугольника АВС. 201. На модели трёхгранного угла построить линии пере- сечения его граней с плоскостью, перпендикулярной к одному из его рёбер. Произведя необходимые измерения, найти двугран- ные углы между плоскостью сечения и гранями трёхгранного угла (используя таблицы тригонометрических функций). 202. Каждый плоский угол трёхгранного угла равен 60°. На одном из рёбер его от вершины отложен отрезок, рав- ный а, и из конца его опущен перпендикуляр на противо- лежащую грань. Найти длину этого перпендикуляра. 203. В трёхгранном угле два плоских угла по 45°; третий плоский угол 60°. Найти двугранный угол, противолежащий третьему плоскому углу. 204. В трёхгранном угле плоские углы а=р=60° и у=90°. Доказать, что угол между плоскостью прямого угла и противо- лежащим ребром равен 45°. 205. Из вершины трёхгранного угла, все плоские углы ко- торого прямые, опущен перпендикуляр на плоскость, пере- секающую все рёбра. Доказать, что основание этого перпен- дикуляра является точкой пересечения высот треугольника, полученного в сечении. 206. Доказать, что в трёхгранном угле биссекторные пло- скости трёх двугранных углов пересекаются по одной прямой и что эта прямая является геометрическим местом точек, каж- дая из которых равноудаленна от граней данного трёхгранно- го угла. § 9. ПРИЗМА. 207. (Устно.) Какие промежуточные понятия можно вста- вить последовательно между общим понятием „геометрическое тело* и частным понятием „прямоугольный параллелепипед* ? 208. (Устно.) Доказать, что если призма правильная, то двугранные углы между её смежными боковыми гранями равны между собой. Является ли это условие достаточным для того, чтобы призма была правильной? 209. (Устно.) Доказать, что для того, чтобы призма была прямой, достаточно, чтобы две её смежные боковые грани 21
были перпендикулярны плоскости основания. Является ли это условие необходимым для того, чтобы призма была прямой? 210. (Устно.) 1) Существует ли призма, у которой только одно боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания? 2) Существует ли призма, у которой только одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания? 211. Две боковые грани наклонного параллелепипеда пер- пендикулярны к плоскости основания. Какой вид имеют две другие грани, если основанием па- раллелепипеда служит прямоугольник? 212. (Устно.) Основанием наклонной призмы является тра- пеция. Две боковые грани перпендикулярны к основанию. Через какие стороны основания могут проходить эти грани? 213. (Устно.) В призме только одна боковая грань перпен- дикулярна к основанию. Может ли основанием этой призмы служить: 1) правильный треугольник, 2) квадрат, 3) правиль- ный пятиугольник, 4) правильный шестиугольник? 214. (Устно.) Чему равна сумма всех двугранных углов при боковых рёбрах /г-угольной призмы? 215. Чему равна сумма всех двугранных углов: 1) тре- угольной призмы, 2) четырёхугольной, 3) /г-угольной? 216. Найти геометрическое место точек, расположенных внутри параллелепипеда, равноудалённых от плоскостей его оснований. Указать положение точки пересечения диагоналей параллелепипеда относительно этого геометрического места точек. 217. Плоскости, делящие пополам углы между боковыми гранями треугольной призмы, пересекаются по одной прямой. Доказать. 218. Доказать, что отрезок, соединяющий центры оснований правильной призмы, есть геометрическое место точек, распо- ложённых внутри призмы и 1) равноудалённых от всех вершин нижнего основания, 2) равноудалённых от всех вершин верх- него основания, 3) равноудалённых от всех боковых граней призмы. 219. Внутри данной правильной призмы найти точку, равно- удалённую от всех её вершин. 220. Плоскости, проходящие через боковые рёбра тре- угольной призмы и перпендикулярные к противолежащим бо- ковым граням, пересекаются по одной прямой. Доказать. 221. (Устно.) Сколько диагоналей можно провести: 1) в тре- угольной призме, 2) в четырёхугольной, 3) в пятиугольной, 4) в /г-угольной? 222. Найти диагонали прямоугольного параллелепипеда, если три его ребра, исходящие из одной вершины, равны 4 м, 6 м и 12 м. 223. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда 8 см и 9 см. Диагональ параллелепипеда 17 см. Найти высоту 22
параллелепипеда и угол, образуемый диагональю с плоско- стью основания (используя таблицы тригонометрия, функций). 224. Доказать, что диагональ правильной четырёхугольной призмы образует равные углы со всеми боковыми гранями призмы. 225. Сторона основания правильной четырёхугольной приз- мы равна а\ диагональ призмы наклонена к плоскости боковой грани под углом в 30°. Найти высоту призмы и угол наклона диагонали призмы к плоскости основания. 226. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 и 5 единицам длины, расстояние между меньшими из них 4; боковое ребро равно 2)^2 . Найти диагонали параллелепипеда. 227. Диагонали правильной шестиугольной призмы 13 см и 12 см. Найти сторону основания призмы. 228. Квадрат с проведённой в нём диагональю свёрнут в виде боковой поверхности пра- вильной четырёхугольной при- змы; диагональ квадрата при этом обратилась в ломаную линию (не плоскую). Найти угол между смежными её от- резками (черт. 21) 229. В прямоугольной ко- робке находится паук. По ка- кому кратчайшему пути хпаук может добраться до вершины верхнего угла из вершины противоположного нижнего угла коробки? Выразить длину этого пути через измерения коробки а, b и с, если а>Ь и а>с. 230. В правильной четырёхугольной призме сторона осно- вания а. Найти кратчайшее расстояние от бокового ребра приз- мы до не пересекающей это ребро диагонали призмы. 231. Сторона основания правильной четырёхугольной приз- мы равна 12 см\ высота призмы —9 см. Найти кратчайшее расстояние от стороны основания до не пересекающей её диа- гонали призмы. 232. Линия пересечения диагональных сечений четырёхуголь- ной призмы перпендикулярна плоскости основания. Доказать, что эта призма — прямая. Сформулировать и доказать обрат- ную теорему. 233*. Если в четырёхугольной призме три диагонали пе- ресекаются в одной точке, то эта призма есть параллелепипед. Доказать. 234. В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 м, стороны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали осно- вания относятся, как 2:3. Найти площади диагональных се- чений. 23
235. (Устно.) Площадь боковой грани правильной шести- угольной призмы равна Q см2. Найти площадь диагонального сечения, проходящего через меньшую диагональ основания. 236. Диагональные сечения параллелепипеда — равные пря- моугольники. Доказать, что параллелепипед прямоугольный. 237. В основании прямой призмы ABCDA1BlClDl лежит параллелограмм ABCD. Через ребро АВ, равное а, и вер- шину Cj проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 60°. Площадь сечения S. Найти высоту призмы. 238. Через сторону основания правильной треугольной приз- мы под углом 30° к основанию проведена плоскость, пересе- кающая противоположное боковое ребро. Вычислить площадь сечения, если сторона основания равна 14 см. 239. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна а. Через один из ка- тетов основания и противоположную вершину другого осно- вания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Высота призмы h. Найти площадь сечения. 2401. Дана четырёхугольная призма. Построить точку пере- сечения прямой MN с плоскостью основания призмы, если точки М и N заданы: 1) на двух противоположных боковых рёбрах призмы, 2) на двух боковых гранях призмы. 241. Дана треугольная призма. Построить точку пересече- ния прямой MN с плоскостью основания призмы, если М есть точка пересечения медиан верхнего основания, а точка N ле- жит на боковом ребре. 242. Построить точку пересечения прямой с поверхностью четырёхугольной призмы, если прямая задана точкой на верх- нем основании призмы и точкой, лежащей в плоскости ниж- него основания призмы, вне призмы. 243. Дана правильная треугольная призма АВСА^С^. Че- рез точку М провести прямую, параллельную прямой, про- ходящей через вершину С и середину ребра и найти точку пересечения её с поверхностью призмы, если точка М лежит: 1) на ребре АС, 2) на основании АВС призмы, 3) на боковой грани CCjBjB. 244. Построить сечение треугольной призмы плоскостью, заданной прямой, лежащей в плоскости основания призмы, и точкой, принадлежащей: 1) боковому ребру призмы, 2) бо- ковой грани призмы, 3) верхнему основанию призмы. 245. Дана четырёхугольная призма. Построить сечение этой призмы плоскостью, проходящей через три точки, принадле- жащие трём её боковым рёбрам. 246. Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной точкой, лежащей на ребре нижнего основания, и 1 Задачи 240— 247 решаются на проекционном чертеже. 24
двумя точками, принадлежащими двум боковым граням приз- мы, не содержащим указанное ребро. 247. Построить сечение параллелепипеда ABCDAJBfiJ^ плоскостью, проходящей через диагональ АС нижнего осно- вания и точку 7И, принадлежащую диагонали BJ) параллелепи- педа. 248. В правильной четырёхугольной призме построить се- чение через середины двух смежных сторон основания и се- редину отрезка, соединяющего центры оснований. Найти пло- щадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 лин. ед., а высота 4 лин. ед. 249. В правильной треугольной призме провести сечение через сторону основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований. Найти площадь сечения, если каждое реб- ро призмы равно а. 250. В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Найти площадь сечения, если измерения параллелепипеда: 6 дм. 12 дм и 18 дм. 251. В правильной шестиугольной призме, каждое ребро которой равно а. построить сечение плоскостью, проходящей через сторону основания и через большую диагональ призмы, выходящую из конца этой стороны. Найти площадь построен- ного сечения. 252. Правильная шестиугольная призма пересечена пло- скостью, проходящей через меньшую диагональ нижнего ос- нования и наиболее удалённую от неё вершину верхнего ос- нования. Построить сечение и найти его площадь, если каждое ребро призмы равно а. 253. Стороны основания параллелепипеда 7 и 6 и одна из диагоналей основания у42~. Боковое ребро параллелепипеда, равное 20, наклонено к плоскости основания под углом в 45°. Плоскость диагонального сечения параллелепипеда, прохо- дящего через большую диагональ основания, перпендикулярна к плоскости основания. Вычислить площадь этого сечения. 254. Основанием призмы служит четырёхугольник, диаго- нали которого взаимно-перпендикулярны. Одно из диагональ- ных сечений перпендикулярно к плоскости основания. Доказать, что другое диагональное сечение — прямоугольник. 255. Основанием призмы служит четырёхугольник, диаго- нали которого взаимно-перпендикулярны. Одно из диагональ- ных сечений — прямоугольник. Доказать, что другое диаго- нальное сечение перпендикулярно к плоскости основания. 256. Основанием параллелепипеда служит ромб с углом в 60°. Одна из вершин верхнего основания проектируется в точку пересечения диагоналей нижнего основания. Боковое ребро параллелепипеда 13 см. высота 12 см. Найти площади диагональных сечений. (Два случая.) 25.
257. Основанием параллелепипеда служит квадрат со сторо- ной а. Одна из вершин верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания (черт. 22). Найти площади диагональных сечений параллелепипеда, если боковое ребро его равно /. 258. В основании параллелепипеда х__________________лежит квадрат. Одна из вершин верх- х \ него основания проектируется в центр у \ \ нижнего основания. Доказать, что бо- \ \ г\\ \ \ ковое Ребро, исходящее из этой вер- \ ' // \\ \ \ \ шины’ образует со сторонами основа- \ УI / i \ \\ ния равные углы. \ А 259. В основании призмы лежит \ // равносторонний треугольник. Одно из боковых рёбер с прилежащими сторо- нами основания составляет равные Черт’ углы, а с плоскостью основания угол в 45°. Площадь боковой грани, противолежащей этому ребру, равна Q. Найти площадь сечения, проходящего через это ребро и высоту треугольника основания. 260. Грани параллелепипеда — равные ромбы с острым углом в 60° и стороной а. Найти площади диагональных сечений параллелепипеда. Практические упражнения. 261. Построить развёртку и изготовить модель прямого па- раллелепипеда, боковое ребро которого 10 см, а основанием служит ромб со стороной 6 см и острым углом в 45°. 262. Построить развёртку и изготовить модель наклонного параллелепипеда, удовлетворяющего следующим условиям: 1) основание параллелепипеда — прямоугольник со сторо- нами 8 см и 10 см\ 2) боковые грани, проходящие через меньшие стороны ос- нования, перпендикулярны к основанию; 3) боковое ребро равно 12 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°. 263. Построить развёртку и изготовить модель параллеле- пипеда, все грани которого равные ромбы со стороной 15 см и острым углом 60°. 264. Построить развёртку призмы, удовлетворяющей сле- дующим условиям: 1) основание призмы — квадрат, сторона которого 5 см\ 2) одна из вершин призмы проектируется в центр осно- вания; 3) боковое ребро призмы составляет с плоскостью осно- вания угол 60°. Изготовить модель этой призмы. 26
265*. Построить развёртку боковой поверхности какой-либо наклонной треугольной призмы. При помощи циркуля и линейки построить углы, равные линейным углам двугранных углов при боковых рёбрах этой призмы. 266. Произведя необходимые измерения на модели пра- вильной треугольной призмы, вычислить площадь сечения, про- ведённого через сторону нижнего основания и противополож- ную вершину верхнего основания, и углы этого сечения1. § 10. ПОВЕРХНОСТЬ2 ПРИЗМЫ. 267. (Устно.) Вычислить поверхность куба, диагональ ко- торого равна 6 дм. 268. (Устно.) Площадь диагонального сечения куба рав- на Q. Найти поверхность куба. 269. (Устно.) Слесарный напильник с прямоугольным попе- речным сечением, размером 24 мм X 6 мм. на трёх гранях (кроме одной узкой) имеет насечку на длине 200 мм. Вычис- лить площадь поверхности насеченной части. 270. (Устно.) Как изменится боковая поверхность прямо- угольного параллелепипеда, если высоту его увеличить в 4 ра- за, а каждую из сторон основания уменьшить в 2 раза? 271. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся, как 5:12. Диагональное сечение — квадрат, пло- щадь которого 169 см2. Найти полную поверхность паралле- лепипеда. 272. Найти боковую поверхность правильной треугольной призмы, если высота основания призмы равна 5Кз, а диагональ боковой грани 26. 273. Расстояние между плоскостями боковых граней пра- вильной шестиугольной призмы, проходящих через паралле- льные стороны основания, равно 18 см. Диагональ боковой грани 12 см. Найти полную поверхность призмы. 274. Основанием прямой призмы служит равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а. Из вершины верхне- го основания проведены две диагонали равных боковых граней. Угол между этими диагоналями 60°. Найти боковую поверх- ность призмы. 275. В правильную четырёхугольную призму вписана пря- мая четырёхугольная призма так, что вершины её делят пополам стороны оснований первой призмы. Сторона основания первой призмы равна а. высота Ь. Найти полную поверхность второй призмы. 1 При решении этой и аналогичных задач предполагается использование таблиц тригонометрических функций. 2 Вместо точного термина „площадь поверхности* в дальнейшем для краткости будем употреблять термин „поверхность*. 27
276. Основанием прямой призмы с высотой, равной 6 см. служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см. а боковая сторона 10 см. Из этой призмы выре- зана другая треугольная призма с высотой, равной 6 см. так, что стенки полученного полого тела имеют толщину 1 см. Найти полную поверхность этого тела. 277. Найти боковую поверхность прямого параллелепипеда, основанием которого служит параллелограмм со сторонами 8 см и 7 см и углом 60°, если площадь диагонального сече- ния, проходящего через большую диагональ основания, равна 78 см2. 278. В правильной треугольной призме сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, составляет с основанием угол 30°. Найти отношение боковой поверхности призмы к площади этого сечения. Найти общую формулу решения этой задачи для любого допустимого значения угла. 279*. В правильной четырёхугольной призме площадь се- чения, проходящего через диагональ призмы параллельно диа- гонали основания, равна 78 см2. Найти поверхность призмы, если большая диагональ сечения равна 13 см. 280. (Устно.) Из правильной треугольной призмы, сторона основания которой а. вырезана двумя параллельными сече- ниями наклонная призма с боковым ребром Ь. Найти боковую поверхность наклонной призмы. / 281. В сечении треугольной призмы , плоскостью, перпендикулярной к боко- В0МУ ребру, образуется равнобедренный /[ Су/ прямоугольный треугольник, площадь / I / / которого Q; длина бокового ребра приз- / \ // мы с. Найти боковую поверхность призмы. / । // 282. Площади двух взаимно-перпенди- / I // кулярных боковых граней треугольной / [// призмы 40 м2 и 30 м2. Боковое ребро / призмы 5 м. Найти боковую поверхность призмы. С 283. Основанием параллелепипеда Черт. 23 служит квадрат, сторона которого а. Од- на из вершин верхнего основания проек- тируется в центр нижнего основания. Боковое ребро параллеле- пипеда Ь. Найти боковую поверхность параллелепипеда. 284. Основанием призмы служит треугольник АВС. в кото- ром АВ = ЛС=10 см и ВС=12 см. Ребро ЛД^З см. Вер- шина Аг равноудалена от вершин А. В и С. Найти полную поверхность призмы. 285. Основанием призмы служит равносторонний треуголь- ник со стороной а. Боковое ребро равно Ь. Проекция одного 28
из боковых рёбер на нижнее основание служит высотой этого основания (черт. 23). Найти боковую поверхность призмы. 286. Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной а. Одно из боковых рёбер образует с прилежащими сторонами основания углы в 30° и равно Ь. Найти боковую поверхность параллелепипеда. 287. Основанием призмы служит треугольник ЛВС, в ко- тором АВ—АС—7 см и ВС=6 см. Боковое ребро АА{ равно 10 см и образует с АВ и АС углы в 60°. Найти боковую по- верхность призмы. 288. Основанием параллелепипеда служит квадрат со сторо- ной а. Одно из боковых рёбер образует с прилежащими сто- ронами основания равные углы, а с плоскостью основания угол в 45°. Высота параллелепипеда h. Найти боковую поверхность этого параллелепипеда. § 11. ОБЪЁМ ПРИЗМЫ. 289. (Устно.) 1) Объём куба 27 м?. Найти его поверхность. 2) Поверхность куба 150 м2. Найти его объём. 3) Найти реб- ро такого куба, у которого полная поверхность и объём чис- ленно равны. 290. (Устно.) Во сколько раз увеличится объём куба при увеличении его ребра в b раз? 291. 1) Полый куб, изготовленный из листового металла толщиной 1,0 мм, имеет внешнее ребро 10,2 см и весит 515 г. Найти удельный вес металла, из которого сделан куб. 2) Вы- числить толщину стенок полого чугунного куба, наружное ребро которого 26 см, а вес 71 кГ, зная, что удельный вес чугуна 7,4. 292. Три латунных куба с рёбрами 30 мм, 40 мм и 50 мм переплавлены в один куб. Вычислить (при помощи таблиц кубов): 1) длину ребра этого куба, если не учитывать потерю метал- ла при переплавке; 2) длину ребра куба, учитывая потерю 5% металла при переплавке. 293. Поверхность деревянной модели кубического деци- метра окрашена. 1) Подсчитать в отдельности, сколько кубиче- ских сантиметров с неокрашенными гранями, с одной окра- шенной, с двумя окрашенными и с тремя окрашенными гранями получится при распиливании данного куба на сантиметровые кубики. 2) Во сколько раз площадь всех неокрашенных граней полученных кубиков больше площади их окрашенных граней? (Потеря площади при распиливании не учитывается.) 294. 1) Сколько воды в аквариуме, наполненном до уровня 17 см, если дно аквариума имеет размеры: 35сл*Х25 см? 29
2) До какого уровня поднимется вода в этом аквариуме, если в него долить ещё 3 л воды? 295. Для учёта расхода дров в котельной сделан мерный станок шириной 1,5 м (черт. 24). В котельную поступают дрова дли- ной 10 дм и 15 дм. До какой вы- соты надо накладывать в станок дрова каждого размера, чтобы за- мерять по одному кубометру? 296. На листопрокатном агрега- те из 1,9 Т изготовляются листы с вы- ходом стальной заготовки весом готовой продукции около 63% от веса заготовки. Удельный вес стали равен 7,6. Сколько получится готовых листов раз- мером: 1) 510X710X0,29 мм? 2) 1000X2000X0,75 мм? 297. Плот сколочен из 42 балок прямоугольного сечения, каждая из которых имеет длину 10 м, ширину 20 см и тол- щину 15 см. Удельный вес дерева 0,6. Можно ли на этом плоту переправить через реку грузовую автомашину весом 5 Т? Изменится ли грузоподъём- ность плота, если ширина каждой балки будет уменьшена на п см, а её толщина одно- временно увеличена на столь- ко же сантиметров? 298. Вычислить вес погон- ного метра балок, поперечные профили которых схематично изображены на чертеже 25, при указанных в таблице размерах профилей в миллиметрах. (За- круглений в расчёт не при- нимать; удельный вес метал- ла 7,85.) ь \ а \ t Сечения балок 1) двутавровое 2) швеллерное 220 220 110 77 7,5 7,0 12,4 11,8 I h 299. На прокатном стане (блюминге) требуется из слитка стали весом 4,5 Т получить заготовку, сечение которой есть квадрат со стороной 250 мм, с допуском ±2,5%. Вычислить длину получаемой заготовки (блюма), если выход годной продукции составляет в среднем 80 %, а удельный вес стали 7,5. 30
300. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 м, 3 м и 6 м. Вычислить ребро такого куба, чтобы объёмы этих многогранников относились между собой, как их по- верхности. 301. Объём прямоугольного параллелепипеда равен v. Найти диагональ параллелепипеда, если она составляет с одной из боковых граней угол в 30°, а с другой — угол в 45°. 302. В прямом параллелепипеде стороны основания равны 2 у2 и 5 и образуют угол в 45°. Меньшая диагональ паралле- лепипеда равна 7. Найти его объём. 303. В прямом параллелепипеде с основанием ABCD ребро АВ равно 50 см\ перпендикуляр ВХЕ, опущенный из вершины В{ на ребро AD, равен 41 см и делит AD на отрезки АЕ — = 30 см и ED— \Ъсм. Найти объём параллелепипеда. 304. (Устно.) По стороне основания а и боковому ребру b определить объём правильной призмы: 1) треугольной, 2) че- тырёхугольной, 3) шестиугольной. 305. Из листа латуни толщиной 5,0 мм требуется отштам- повать пластинки весом около 100 Г каждая (удельный вес латуни 8,5). Вычислить длину стороны основания пластинки, если оно будет: 1) квадратом, 2) правильным треугольником, 3) правильным шестиугольником. 306. Какая работа должна быть совершена при поднятии с земли материалов, необходимых для постройки колонны вы- сотой 10 м, поперечное сечение которой — правильный восьми- угольник со стороной 50 см, если удельный вес материала около 2,5? Указание. В данном случае работа вычисляется как произведение веса материала на половину высоты колонны. 307. Сколько весит чугунная колонка, имеющая форму пра- вильной двенадцатиугольной призмы, сторона основания ко- торой 12 см и высота 78 см (удельный вес чугуна 7,4)? 308. Найти объём и боковую поверхность правильной тре- угольной призмы, если боковое ребро её равно а и площадь сечения, проходящего через боковое ребро и середину про- тиволежащей стороны основа- ния, равна Q. 309. Простейшая форма скирды — прямоугольный па- раллелепипед, на верхнем ос- новании которого лежит своей боковой гранью прямая треу- гольная призма. Вычислить минимальный вес соломы в Черт. 26 скирде (размеры даны на чертеже 26 в метрах), если 1 м? свежесложенной пшеничной соломы весит около 85 кГ. 31
310. В правильной треугольной призме, высота которой 30 см и сторона основания 18 см, проведены три сечения, параллельные боковым граням. Каждое из сечений удалено от соответствующей грани на расстояние, вдвое большее, чем от противолежащего ей ребра. Вычислить объём призмы, огра- ниченной сечениями. Черт. 27 Черт. 28 311. Найти объём прямой призмы, высота которой 10 см, а основанием служит фигура, изображённая на чертеже 27 (размеры даны в миллиметрах). 312. В чугунном бруске выстроган паз формы „ласточкина хвоста“ (черт. 28, размеры даны в миллиметрах). Удельный вес чугуна 7,5. Вычислить вес готовой детали. 313. Вычислить расход воды в секунду в канале (имеющем поперечное сече- ние изображённое на черт. Черт. 29 29), ширина которого 40 м, глубина 2,5м и крутизна откосов 1 :2, если скорость течения воды 0,8 м в секунду. Примечание. Крутизна откоса (АВ) выражается отношением его вы- соты (АС) к горизонтальному заложению (ВС). Черт. 30 314. Железнодорожная насыпь однопутной линии дана в разрезе на чертеже 30 (размеры указаны в метрах). Вычис- 32
лить, сколько кубических метров земли приходится на 1 км такой насыпи горизонтального участка пути. 315. Понтон весом около 0,8 Т имеет форму прямой пяти- угольной призмы высотой 0,8 м, основание которой представ- ляет две прямоугольные трапеции, сложенные большими основаниями длиной 4,5 м, причём каждая из этих трапеций имеет высоту 1 м и острый угол 60°. Вычислить осадку этого понтона без нагрузки и его предельную грузоподъёмность при высоте бортов над ватерлинией 0,2 м (черт. 31)1 * 3. Черт. 31 316. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция. В эту призму вписан куб так, что его вершины рас- положены в серединах сторон оснований призмы. Доказать, что объём призмы равен удвоенному объёму куба. 317. Основанием прямой призмы служит равнобочная тра- пеция. Боковая сторона её, равная меньшему основанию, рав- на а. Один из углов трапеции 60°. Через боковое ребро и диа- гональ основания проведена плоскость. Площадь четырёх- угольника, полученного в сечении, равна Р. Найти полную поверхность и объём призмы. 318. Провести плоскость, параллельную одной из граней параллелепипеда, так чтобы параллелепипед разделился на части, объёмы которых относятся, как тп\п. 319. Основанием призмы служит равносторонний треу- гольник со стороной, равной 6. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Диагонали одной из боковых граней 12 и 8 УТ. Вычислить объём призмы. 320. Основанием параллелепипеда служит ромб со сторо- ной а и острым углом 30°. Боковое ребро наклонено к пло- скости основания под углом 60°, а диагональ одной из бо- 1 Понтонами называются плоскодонные лодки с высокими вертикаль- ными бортами, которые используются для пловучих опор мостов или паро- мов. Высота подводной части понтона называется его осадкой. Линия на борту понтона, до которой он углубляется в воду при наибольшей нагрузке, т. е. при максимальной допустимой осадке, называется ватерлинией. 3 Сб. задач по геометрии, ч. II 33
ковых граней перпендикулярна к плоскости основания. Найти объём параллелепипеда. 321. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из боковых граней — ромб с диагоналями 6 дм и 8 дм. Пло- скость этой грани перпендикулярна к плоскости основания. Найти объём и полную поверхность параллелепипеда. 322. Основанием параллелепипеда служит квадрат, сторона которого равна а. Одно из боковых рёбер образует с каждой из прилежащих сторон основания угол 60° и равно 2а. Найти объём параллелепипеда. 323. Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной а и острым углом 60°. Найти объём параллелепипеда. 324. Основанием параллелепипеда служит прямоугольник со сторонами а и Ь. Боковое ребро с образует с прилежащими сторонами основания углы в 60°. Найти объём параллелепи- педа, боковую поверхность и угол наклона бокового ребра к плоскости основания. 325. Основанием наклонной призмы служит четырёхуголь- ник ABCD. диагонали которого взаимно-перпендикулярны. Диагональ BD равна 16 дм и перпендикулярна к боковому ребру. Площадь диагонального сечения АА^С равна 250 дм2. Найти объём призмы. 326. Одна из боковых граней треугольной призмы перпен- дикулярна к основанию, а другая имеет вид прямоугольника. Высота призмы А, наибольшая из сторон основания &, а две другие стороны относятся, как 2:1. Найти объём призмы. 327. (Устно.) Площадь основания наклонной призмы Q, вы- сота 77, боковое ребро а. Найти площадь сечения, перпендику- лярного боковому ребру. 328. (Устно). В треугольной призме проведена плоскость через боковое ребро и медиану перпендикулярного сечения. Найти отношение объёмов двух получившихся призм. 329. Боковое ребро призмы равно 3 дм. стороны перпенди- кулярного сечения 9 дм. 10 дм и 17 дм. Найти объёмы двух тел, на которые рассекается призма плоскостью, делящей по- полам меньший из двугранных углов при боковых рёбрах призмы. 330. Доказать, что объём треугольной призмы равен поло- вине произведения площади боковой грани на расстояние её от противоположного ребра. 331. (Устно.) Боковое ребро наклонной треугольной призмы равно а и отстоит от противолежащей боковой грани на расстоя- ние Ь. Расстояние между другими боковыми рёбрами равно с. Найти объём призмы. 332. Объём призмы, основанием которой является трапеция, равен произведению полусуммы площадей параллельных боко- вых граней на расстояние между ними. Доказать. 333. На трёх данных параллельных прямых, не лежащих в 34
одной плоскости, отложены три равных между собой отрезка. Доказать, что объём призмы, боковыми ребрами которой яв- ляются эти отрезки, не зависит от положения отрезков на данных прямых. 334. Перпендикулярное сечение наклонной треугольной призмы — прямоугольный треугольник, катеты которого 8 см и 6 см. Боковая поверхность равновелика перпендикулярному сечению. Найти объём призмы. 335* . В наклонном параллелепипеде боковое ребро равно а. Две боковые грани, площади которых Qi и Q2, образуют между собой двугранный угол 150°. Найти объём параллелепипеда. 336*. Плоскости двух боковых граней параллелепипеда образуют угол в 135°. Площадь меньшей из этих граней 50/ 2 , а боковое ребро равно 10. Расстояние общего ребра этих граней до общего ребра двух других боковых граней—13. Вычислить объём параллелепипеда. 337. Вычислить объём призмы, модель которой изготовлена по условию задачи № 265, произведя необходимые измерения. § 12. ПИРАМИДА 338. (Устно.) Чему равна сумма всех плоских углов: /тре- угольной пирамиды? 2) четырёхугольной? 3) /г-угольной? 339. (Устно.) Указать границы изменения двугранного угла при основании правильной /г-угольной пирамиды, её бо- кового ребра и апофемы, если сторона основания остаётся постоянной. 340. (Устно.) Дан правильный /г-угольник и треугольник АВС, в котором АВ = ВС. При каком условии треугольник АВС может быть боковой гранью правильной пирамиды, име- ющей своим основанием данный /г-угольник? 341. (Устно.) В правильной /г-угольной пирамиде все рёбра равны между собой. При каких значениях п это возможно? 342. (Устно.) Доказать, что для того чтобы пирамида была правильной, необходимо, чтобы боковые рёбра её были равны, или двугранные углы при основании были равны, или плоские углы при вершине были равны. Является ли каждое из этих условий достаточным для того, чтобы пирамида была правиль- ной? 343. Для того чтобы пирамида была правильной, необходи- мо и достаточно, чтобы боковые рёбра её были равны и дву- гранные углы при основании были равны. Доказать. 344. Даны три равнобедренных треугольника: ABC, DEF, LMN, такие, что АВ — ВС, DE = EF, LM — MN. Какому условию должны удовлетворять углы и стороны этих тре- угольников для того, чтобы они могли быть боковыми граня- ми треугольной пирамиды с плоскими углами при вершине, соответственно равными В, Е, М? 3* 35
345. Даны три разносторонних треугольника: ABC, DEF и LMN. При каком условии данные треугольники могут быть боковыми гранями треугольной пирамиды с плоскими углами при вершине, соответственно равными В, Е, М? 346. При каком условии данные четыре треугольника: ABC, DEF, KLM и NPR — могут быть гранями треугольной пирамиды с плоскими углами при одной из вершин, соответ- ственно равными В, Е, L? 347. (Устно.) Может ли двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды быть равным 120°? быть больше 120°? быть меньше 120°? 348. (Устно.) Сколько диагональных сечений можно про- вести: 1) в четырёхугольной пирамиде? 2) в пятиугольной? 3) в /г-угольной? 349. Дана правильная четырёхугольная пирамида. Найти на поверхности пирамиды геометрическое место точек: 1) равно- удалённых от двух смежных вершин основания; 2) равноуда- лённых от двух противоположных вершин основания. 350. Внутри правильной шестиугольной пирамиды построить геометрическое место точек: 1) равноудалённых от всех вер- шин основания; 2) равноудалённых от плоскостей двух про- тивоположных боковых граней. 351. Доказать, что высота правильной пирамиды есть гео- метрическое место точек, расположенных внутри пирамиды и равноудалённых от боковых граней её. 352. Доказать, что в правильной треугольной пирамиде противоположные рёбра взаимно-перпендикулярны. 353. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое реб- ро перпендикулярно к одной из диагоналей основания. До- казать. 354. Доказать, что три отрезка, соединяющие середины противоположных рёбер треугольной пирамиды, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. 355. Доказать, что плоскость, проходящая через высоту пирамиды и высоту боковой грани, перпендикулярна к плоско- сти боковой грани. 356. Высота правильной треугольной пирамиды 40 см, апо- фема основания 30 см. Найти расстояние вершины основания от противолежащей грани. 357. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро Ъ. Найти кратчайшее расстояние меж- ду двумя противоположными рёбрами. 358. Если все боковые рёбра пирамиды равны между собой, то: 1) они одинаково наклонены к плоскости основания; 2) ос- нованием служит многоугольник, около которого можно опи- сать окружность; 3) вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Доказать. Сформулировать и доказать обратные теоремы. 36
359. (Устно.) В пирамиде все боковые рёбра равны. 1) Ка- кого вида треугольник; 2) какого вида параллелограмм; 3) какого вида трапеция может служить основанием пирамиды? 360. (Устно.) Боковые рёбра пирамиды равно наклонены к основанию. Определить вид треугольника, служащего осно- ванием пирамиды, если вершина пирамиды проектируется в точку, лежащую: 1) внутри этого треугольника, 2) вне этого треугольника, 3) на стороне треугольника. 361. Основанием пирамиды служит квадрат. Три боковые ребра равны между собой. Доказать, что эта пирамида пра- вильная. 362. В основании пирамиды лежит равнобедренный прямо- угольный треугольник; боковые рёбра равны между собой. Доказать, что один из двугранных углов при основании — пря- мой, а два другие равны между собой. 363. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то: 1) вершина пирамиды равноудалена от всех сторон основания; 2) основанием служит многоуголь- ник, в который можно вписать окружность; 3) вершина пира- миды проектируется в центр этой окружности. Доказать. Сформулировать и доказать обратные теоремы. 364. (Устно.) В пирамиде все двугранные углы, при основа- нии равны. 1) Какого вида треугольник и какого вида параллело- грамм может служить основанием пирамиды? 2) Каким свойством должен обладать всякий четырёхугольник, служащий основа- нием этой пирамиды? 365. (Устно.) Все двугранные углы при основании пирамиды равны; основанием служит равнобочная трапеция. Доказать, что боковая сторона этой трапеции равна её средней линии. 366. Основанием пирамиды служит ромб, высота которого равна Ь. Расстояние от вершины пирамиды до каждой из сто- рон основания на а больше высоты пирамиды. Найти высоту пирамиды. 367. (Устно.) Основание пирамиды — ромб с углом в 60°. Высота пирамиды проходит через вершину тупого угла ромба. Сколько равных боковых рёбер имеет пирамида? 368. (Устно.) Основание пирамиды — равносторонний тре- угольник. Одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоско- сти основания. Найти углы, образуемые каждой из боковых граней с основанием, если высота пирамиды равна высоте её основания. 369. Основанием пирамиды служит квадрат. Два боковых ребра, лежащих в одной грани, равны между собой. Доказать, что две боковые грани равнонаклонены к основанию. 370. Основанием пирамиды служит равнобедренный тре- угольник; боковые грани, проходящие через равные стороны этого треугольника, равнонаклонены к основанию. Доказать, что третья боковая грань есть равнобедренный треугольник. 37
371. Сторона основания правильной шестиугольной пирами- ды равна а. Расстояние от центра основания до боковой грани равно Ь. Найти апофему и высоту пирамиды. 372* Из центра основания правильной четырёхугольной пи- рамиды опущены перпендикуляры на боковую грань и боковое ребро, лежащее в этой грани шины В основания до ребра (черт. 32). Доказать, что осно- вания этих перпендикуляров ле- жат на высоте боковой грани. 373. В правильной четырёх- угольной пирамиде расстояние от центра основания до боковой грани равно тп, а до бокового ребра — п. Найти сторону осно- вания пирамиды. 374. Двугранный угол между двумя боковыми гранями пра- вильной треугольной пирамиды с основанием АВС и вершиной 5 равен 120°. Расстояние от вер- AS равно Ь. Найти апофему пи- рамиды. 375. Двугранный угол при боковом ребре правильной че- тырёхугольной пирамиды равен 120°. Сторона основания рав- на а. Найти боковое ребро и высоту пирамиды. 3761. Дана четырёхугольная пирамида. Построить точку пересечения прямой MN с плоскостью основания пирамиды, если точки М и N заданы: 1) на одной боковой грани пира- миды; 2) на двух несмежных рёбрах пирамиды; 3) на двух боковых гранях пирамиды. 377. Построить точку пересечения прямой MN с плоско- стью основания данной четырёхугольной пирамиды, если точ- ка М лежит на высоте пирамиды, а точка N— на боковой грани пирамиды. 378. Дана правильная треугольная пирамида. Построить точки пересечения прямой MN с поверхностью пирамиды, если точка М задана на высоте пирамиды, а точка N — на плоско- сти основания пирамиды, вне пирамиды. 379. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD и точки К и L в грани ASD, Построить точки пересечения прямой Л£ с плоскостью основания пирамиды и плоскостью грани SBC. 380. Построить сечение треугольной пирамиды плоскостью, заданной прямой, расположенной в плоскости основания пира- миды и точкой: 1) принадлежащей боковому ребру пирамиды; 2) принадлежащей боковой грани пирамиды. 1 Задачи 376 — 383 решаются на проекционном чертеже. .38
381. Построить сечение четырёхугольной пирамиды пло- скостью, заданной тремя точками, из которых две принадле- жат двум боковым рёбрам пирамиды, не лежащим в одной грани, а третья — основанию пирамиды. 382. Построить сечение четырёхугольной пирамиды пло- скостью, заданной тремя точками, принадлежащими трём её бо- ковым граням. 383. Дана четырёхугольная пирамида SABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через сторону AD основания и точку F, лежащую: 1) на ребре SC; 2) на гра- ни SBC\ 3) на высоте пирамиды. 384. (Устно.) Высота пирамиды разделена на четыре равные части и через точки деления проведены плоскости, параллель- ные основанию. Площадь основания равна Q. Найти площади полученных сечений. 385. (Устно.) На каком расстоянии от вершины пирамиды с высотой h надо провести сечение параллельно основанию, чтобы площадь сечения равнялась: 1) половине площади ос- нования; 2) — площади основания? 7 п 386. В правильной пирамиде с основанием АВС и верши- ной S проведено сечение через ребро SX и высоту пирамиды. Угол между ребром SB и плоскостью сечения равен 30°. Найти боковое ребро пирамиды, если высота её равна h. 387. В правильной шестиугольной пирамиде сторона осно- вания равна а, высота h. При каком соотношении между а и Л площадь сечения, проходящего через вершину пирамиды и большую диагональ основания, меньше площади сечения, проходящего через вершину пирамиды и меньшую диагональ основания? 388. Сторона основания правильной четырёхугольной пира- миды равна а, боковое ребро равно Ь. Построить сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно боковому ребру, и найти площадь сечения. 389. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро Ь. Построить сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через середину бокового ребра па- раллельно противолежащей стороне основания и перпендику- лярно плоскости основания. Найти площадь сечения. 390. Сторона основания правильной четырёхугольной пира- миды равна а, апофема пирамиды равна k. Построить сечение пирамиды плоскостью, перпендикулярной к стороне основания и делящей эту сторону в отношении 1 :5. Найти площадь сечения. 391. Построить сечение правильной четырёхугольной пира- миды плоскостью, проходящей через середины двух смежных сторон основания и середину высоты. Сторона основания рав- на а, боковое ребро равно /. Найти площадь сечения. 39
392. В правильной треугольной пирамиде построить сечение плоскостью, проходящей через центр основания, параллельно .двум противоположным рёбрам. Найти площадь сечения, если сторона основания пирамиды равна а, боковое ребро Ь. 393. Доказать, что правильную треугольную пирамиду мож- но пересечь плоскостью так, что в сечении получится квадрат. 394. Данную треугольную пирамиду пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм, одна из сто- рон которого равна а. При каком условии задача имеет решение? 395. * Основанием пирамиды с равными боковыми рёбрами служит прямоугольник, стороны которого 6 дм и 8 дм, высота пирамиды 2 дм. Найти площадь сечения, проведённого через диагональ основания параллельно боковому ребру. 396. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а, апофема пирамиды равна k. Построить сечение пира- миды плоскостью, проходящей через центр основания парал- лельно боковой грани. Найти площадь сечения. Практические упражнения. 397. Построить развёртку и изготовить модель треугольной пирамиды, боковые грани которой — неравные между собой разносторонние треугольники. 398. Построить модель треугольной пирамиды, все боковые грани которой есть равные между собой разносторонние тре- угольники. Указать простейший способ построения развёртки такой пирамиды. 399. Построить развёртку и изготовить модель пятиуголь- ной пирамиды, не являющейся правильной, все боковые рёбра которой равны между собой. Произведя необходимые измере- ния, вычислить угол между высотой этой пирамиды и её бо- ковым ребром. 400. Построить развёртку пирамиды, каждый двугранный угол при основании которой равен 60°, основание — четырёх- угольник, три последовательные стороны которого соответст- венно равны 4 см, 5 см и 7 см, а угол, заключённый между меньшими из них, равен 120°. 401. Построить развёртку и изготовить модель треугольной пирамиды, две взаимно-перпендикулярные грани которой пра- вильные треугольники. Произведя необходимые измерения, вычислить двугранные углы при основании этой пирамиды. 402*. Построить развёртку и изготовить модель четырёхуголь- ной пирамиды, две противоположные боковые грани которой перпендикулярны к плоскости основания, высота равна 20 см, а основанием служит равнобедренная трапеция, боковая сто- рона и одно из оснований которой равны по 10 см, а острый угол 60°. 40
§ 13. ПОВЕРХНОСТЬ ПИРАМИДЫ. 403. (Устно.) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно к боковой грани и равно Ь. Найти бо- ковую поверхность пирамиды. 404. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна Л. Найти поверхность пирамиды, если площадь основания в че- тыре раза меньше её боковой поверхности. 405. В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол между плоскостями двух противоположных боковых гра- ней, обращенный к плоскости основания, равен 60°, апофема равна k. Найти полную поверхность пирамиды. 406. В правильной шестиугольной пирамиде сечение, про- ведённое через вершину и меньшую диагональ основания, является равносторонним треугольником со стороной а. Найти боковую поверхность пирамиды. 407. Центр одной из граней куба и середины сторон про- тивоположной грани служат вершинами пирамиды. Найти её боковую поверхность, если ребро куба равно а. 408. Боковая поверхность треугольной пирамиды, все рёбра которой равны, развёрнута на плоскости. Диагональ получен- ного четырёхугольника равна а. Найти полную поверхность пирамиды. 409*. В кубе ABCDA' B'C'D' проведено сечение через сере- дины рёбер АА', А'В' и В'С'. Доказать, что пирамида, верш-иной которой является точка D, а основанием — многоугольник, по- лученный в сечении, является правильной (черт. 33). Найти полную поверхность этой пи- рамиды, если ребро куба рав- но а. 410. В правильной тре- угольной пирамиде проведено сечение через боковое ребро и высоту пирамиды. Апофема пирамиды равна k и составляет с плоскостью сечения угол в 30°. Найти полную поверхность пирамиды. 411. Найти боковую поверх- ность правильной четырёх- угольной пирамиды, если пло- щадь сечения, проведённого через центр основания парал- лельно боковой грани,равнаQ. 412. В правильной треугольной пирамиде площадь сечения проведённого через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани, равна Q. Найти боковую поверхность пира- миды. 41
413. (Устно.) Высота пирамиды Л; найти расстояние от вер- шины до плоскости сечения, параллельного основанию, которое делит площадь боковой поверхности пополам. 414. В правильной четырёхугольной пирамиде всякая пло- скость, проходящая через высоту пирамиды, делит её боковую поверхность на две равновеликие части. Доказать. 415. Основание пирамиды — прямоугольник, стороны кото- рого равны 40 см и 56 см. Боковые рёбра равны между собой. Высота пирамиды 21 см. Найти боковую поверхность пира- миды. 416. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре- угольник, катеты которого равны 2 см и 4 см. Боковые рёбра равны между собой. Высота пирамиды 2 см. Найти боковую поверхность. 417. Основанием пирамиды служит трапеция, параллельные стороны которой равны 6 и 26, а один из острых углов 60°. Найти боковую поверхность пирамиды, если её высота равна-|-, а боковые рёбра одинаково наклонены к основанию. 418. Доказать, что боковая поверхность пирамиды, имею- щей при основании равные двугранные углы, равна половине произведения периметра основания на высоту какой-либо бо- ковой грани, проведённую из вершины пирамиды. 419. Каждый из двугранных углов при основании пирамиды равен 60°. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади её основания. 420. (Устно.) Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого равны 8 м и 15 м. Каждая бо- ковая грань наклонена к основанию под углом в 60°. Найти полную поверхность пирамиды. 421. Ромб, у которого сторона равна 10 дм, а высота 6 дм, служит основанием пирамиды. Расстояние от вершины пира- миды до каждой из сторон основания на 2 дм больше высоты пирамиды. Найти полную поверхность пирамиды. 422. Основанием пирамиды служит прямоугольная трапеция, непараллельные стороны которой равны 2,4 м и 2,5 м\ все двугранные углы при основании пирамиды равны между собой. Найти полную поверхность пирамиды, если высота ее рав- на 3,5 м. 423. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапе- ция, параллельные стороны которой равны 8 см и 2 см. Вер- шина пирамиды одинаково удалена от всех сторон основания. Найти боковую поверхность пирамиды, если высота её равна 2 см. 424. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре- угольник с катетами 6 м и 8 м. Боковые грани, проходящие через катеты, перпендикулярны к плоскости основания. Высота пирамиды равна 3,6 м. Найти полную поверхность пирамиды. 42
425. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной 8 дм-, одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания и равно 15 дм. Найти полную поверхность пира- миды. 426. Основанием пирамиды SABC служит прямоугольный треугольник АВС, в котором катет АС — 12 см, катет ВС = 5 см, ребро перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найти полную поверхность пирамиды. 427. Основанием пирамиды служит ромб, сторона которого равна 6 см. Две боковые грани, перпендикулярные к плоско- сти основания, образуют между собой угол 120°. Высота пи- рамиды 3 см. Найти боковую поверхность пирамиды. 428. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а. Одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости осно- вания, две смежные с ней грани образуют с плоскостью осно- вания углы в 60°. Найти боковую поверхность пирамиды. 429. Основанием пирамиды служит равносторонний тре- угольник со стороной а. Одна из боковых граней — также равносторонний треугольник — перпендикулярна к плоскости основания. Найти боковую поверхность пирамиды. 430. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у кото- рого стороны равны 5 м и 4 м, а одна из диагоналей 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагона- лей основания и равна 2 м. Найти полную поверхность пи- рамиды. § 14. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ. 431. Величайшее сооружение древнего Египта — пирамида Хеопса — имела высоту 150 м и сторону квадратного осно- вания 230 м (приближенно). Какой длины стену толщи- ной в полметра и высотой 8 м можно было бы сложить из её камней? 432. Из стальной заготовки, имеющей форму бруса разме- рами 60 X 50 X ЮО м.м, требуется отковать деталь в виде пира- миды с прямоугольным основанием 90 X 60 мм. Какую высоту будет иметь эта пирамида, если учесть, что при ковке теряет- ся 4% взятого металла? 433. Деревянная деталь имеет форму правильной четырёх- угольной пирамиды. В этой детали имеется заполненное свин- цом углубление в форме правильной четырёхугольной призмы. Общий вес детали 80 Г. Боковое ребро пирамиды 50 мм, диа- гональ её основания 60 мм, сторона основания призматическо- го углубления 20 мм. Вычислить глубину заполнения пира- миды свинцом, если известно, что удельный вес дерева 0,65 и свинца 11,4. 434. Найти геометрическое место вершин равновеликих пи- рамид, имеющих общее основание. 43
435. Построить треугольную пирамиду, равновеликую дан- ной, имеющую общее с данной пирамидой основание и равные между собой боковые рёбра. 436. Построить пирамиду, равновеликую данной, у которой боковых граней на одну меньше, чем у данной. 437. (Устно.) Диагональное сечение правильной четырёх- угольной пирамиды — равносторонний треугольник со стороной а. Найти объём пирамиды. 438. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 4 см, Угол между высотой пирамиды и боковой гранью равен 30°. Найти объём пирамиды. 439. Все боковые грани четырёхугольной пирамиды — правильные треугольники. Расстояние от центра боковой гра- ни до плоскости основания равно Ь. Найти объём пирамиды. 440. В правильной четырёхугольной пирамиде противопо- ложные боковые грани взаимно-перпендикулярны. Найти объём пирамиды, если сторона основания равна а. 441. Сторона основания правильной шестиугольной пирами- ды равна а\ все диагональные сечения равновелики. Найти объём пирамиды. 442. В пирамиде МАВС рёбра МС и АВ взаимно-перпенди- кулярны; вершины М и С одинаково удалены от ребра ЛВ; двугранный угод при ребре АВ равен 60°. Найти объём пира- миды, если АВ — а и МС = Z. 443. (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно- перпендикулярны и равны а, b и с. Найти объём пирамиды. 444. Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоско- стями, проведёнными через середины каждых трёх сходящихся рёбер. В полученном многограннике указать: число и вид граней, число и длину рёбер, число вершин. Найти поверхность и объём многогранника. 445. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 дм, каждое из остальных равно 3 дм. Найти объём пирамиды. 446. Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь- ник, катеты которого равны а и а у~з~. Каждое из боковых рёбер образует с плоскостью основания угол в 30°. Найти объём пирамиды. 447. Основанием пирамиды служит трапеция, диагональ ко- торой составляет с боковой стороной прямой угол; основания трапеции равны а и 2а, Каждое из боковых рёбер пирамиды равно За. Найти объём пирамиды. 448. Основанием пирамиды служит равнобедренный тре- угольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сто- рона 10 см. Каждый из двугранных углов при основании равен 45°. Найти объём пирамиды. 449. Основанием пирамиды служит ромб, сторона которого 25, а одна из диагоналей 30. Вершина пирамиды удалена от каждой из сторон основания на 12К~2” Найти объём пирамиды. 44
450. Основанием пирамиды служит равнобочная трапеция, параллельные стороны которой равны а и Ь. Каждый из дву- гранных углов при основании пирамиды равен 45°. Найти объём пирамиды. 451. Основанием пирамиды служит правильный треуголь- ник. Два боковых ребра, каждое длины &, наклонены к осно- ванию под углом 30°. Грань, содержащая эти рёбра, наклонена к основанию под углом 45°. Найти объём пирамиды. 452. Основанием пирамиды служит квадрат. Одна из боко- вых граней наклонена к основанию под углом 60°, а два боковых ребра, лежащие в этой грани, наклонены к основанию под углом 45°. Высота пирамиды Н. Найти объём пирамиды. 453. Основанием пирамиды служит ромб, одна из диагона- лей которого равна стороне ромба. Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба и равна Н. Две грани образуют с плоскостью основания углы в 45°. Найти объём пирамиды. 454. Основанием пирамиды служит треугольник со сторона- ми 26 см, 28 см и 30 см. Боковое ребро, противолежащее средней по величине стороне основания, перпендикулярно к основанию и образует с боковой гранью угол в 45°. Найти объём пирамиды. 455. Равновеликие деревянные модели правильной пира- миды и куба с ребром а, имеющие равные основания, плава- ют в воде. Удельный вес дерева, из которого изготовлены модели, равен 0,7. Чему равна та часть высоты каждой из этих моделей, которая выступает над поверхностью воды? 456. В треугольной пирамиде провести сечение через боко- вое ребро так, чтобы плоскость сечения разделила пирамиду на две части, объёмы которых относятся, как т: п. 457. Боковые рёбра треугольной пирамиды равны а, Ь, с. От этой пирамиды плоскостью, не параллельной основанию, отсечена верхняя часть так, что боковые рёбра отсечённой пирамиды равны т, п, /. Доказать, что отношение объёмов mnl отсеченной пирамиды и данной равно 458. Даны три параллельные прямые, не лежащие в одной плоскости. На одной из них отложен отрезок АВ, на двух других взяты произвольные точки СиО. Доказать, что объём пирамиды ABCD остаётся постоянным при любом положении точек С и D, 459. Найти объём пирамиды, вершинами которой служат концы двух скрещивающихся диагоналей, проведёцных в парал- лельных гранях куба, если ребро куба равно а. 460. Одна из вершин куба и центры трёх прилежащих к ней граней служат вершинами треугольной пирамиды. Найти её объём, если ребро куба равно а. 46L Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Двугранный угол при боковом ребре равен 90°. Най- ти боковую поверхность и объём пирамиды. 45
462. Правильная четырёхугольная пирамида пересечена пло- скостью, проходящей через сторону основания перпендику- лярно противолежащей боковой грани. Сторона основания рав- на а\ боковые грани образуют с .плоскостью основания углы в 60°. Найти объём отсечённой пирамиды. 463. Из середины высоты правильной четырёхугольной пира- миды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный а, и перпендикуляр на боковую грань, равный Ь. Найти объём пирамиды. 464. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре- угольник с катетами а и Ь. Высота пирамиды равна h и проходит через вершину прямого угла основания. Через середину высо- ты пирамиды проведены две плоскости: одна параллельно основанию, а другая — параллельно боковой грани. Найти объём каждого из трёх тел, на которые рассекают пирамиду про- ведённые плоскости. 465. * Через середину одного из боковых ребёр треуголь- ной пирамиды проведены две плоскости: одна — параллельно основанию, другая параллельно двум непересекающимся рёб- рам. Найти объёмы трёх многогранников, йа которые рассекается данная пирамида этими плоскостями, если её объём равен V. 466. Изготовить модель пирамиды, у которой основанием служит равнобедренный треугольник, а боковые рёбра равны между собой. Измерив один из углов основания и два линей- ных элемента пирамиды, вычислить объём пирамиды. 467. Построить развёртку и изготовить модель треугольной пирамиды, основание которой — прямоугольный треугольник, а двугранные углы при основании содержат по 40°. Произведя необходимые измерения, вычислить боковую поверхность пи- рамиды и объём. § 15. УСЕЧЁННАЯ ПИРАМИДА 468. Два произвольных подобных и неравных многоуголь- ника расположены в разных плоскостях так, что их сходствен- ные стороны соответственно параллельны. Доказать, что, сое- динив концы сходственных сторон непересекающимися отрезка- ми, получим усечённую пирамиду. Какой получим многогранник, если заданные многоугольники будут равны? 469. Если от данной правильной треугольной призмы отде- лить часть плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и пересекающей продолжение противоположного бо- кового ребра, то оставшаяся часть призмы будет усечённой пирамидой. Доказать. Будет ли верным такое заключение для правильной я-уголь- ной призмы при я>3? Почему? 470. Ортогональная проекция верхнего основания усечён- ной пирамиды на нижнее есть квадрат, стороны которого рав- 46
но отстоят от сторон нижнего основания. Доказать, что пира- мида правильная. 471. Доказать, что отрезок, соединяющий центры оснований правильной усечённой пирамиды, перпендикулярен основаниям. 472. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде все диагонали пересекаются в одной точке, лежащей на пря- мой, проходящей через центры оснований. Доказать. 473. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде диагонали, проведённые в одном диагональном сечении, взаимно- перпендикулярны. Найти высоту пирамиды, если диагональ пи- рамиды равна 5 дм. 474. Стороны оснований правильной треугольной усечён- ной пирамиды 4 см и 12 см. Каждый из двугранных углов при большем основании равен 60°. Найти высоту пирамиды. 475. Нижнее основание усечённой пирамиды — правильный треугольник, сторона которого 8 см. Одна из боковых граней перпендикулярна к плоскости основания; противолежащее ей боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45° и одинаково наклонено к прилежащим рёбрам основания. Пери- метр верхнего оснавания этой пирамиды равен 12 см. Найти высоту пирамиды. 476. Высота правильной четырёхугольной усечённой пира- миды равна h, диагональ — d. Найти площадь диагонального сечения. 4771. Построить сечение правильной треугольной усечённой пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку, лежащую на отрезке, соединяющем центры оснований пирамиды. Как будет изменяться форма сечения, если точка будет перемещаться вверх по отрезку от нижнего основания? 478. Построить сечение правильной шестиугольной усечён- ной пирамиды плоскостью, проходящей через центр верхнего основания и две точки, лежащие на двух боковых рёбрах пирамиды, не проходящих через концы большей диагонали основания. 479. Построить сечение пятиугольной усечённой пирамиды плоскостью, заданной точкой на одной из диагоналей верхнего основания и двумя точками, лежащими на двух боковых гра- нях пирамиды. 480. Дана четырёхугольная усечённая пирамида ABCDAXBXCJ\. Построить её сечение плоскостью, заданной двумя точками, принадлежащими грани AAJ\D, и точкой, при- надлежащей ребру ВХСХ. 481. Данная четырёхугольная усечённая пирамида является частью полной пирамиды с вершиной S. Построить сечение этой усечённой пирамиды плоскостью, проходящей через точку лежащую на нижнем основании пирамиды, точку L — на боко- 1 1 Задачи 477—481 решаются на проекционном чертеже. 47
вом ребре пирамиды и точку М — на верхнем основании пи- рамиды. 482. В правильной треугольной усечённой пирамиде про- вести сечение через боковое ребро и высоту основания. Найти площадь сечения, если стороны оснований соответственно рав- ны а и b а боковое ребро образует с основанием угол 45°. 483. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 10 см и 4 см. Найти площадь сече- ния, проведённого через сторону нижнего основания и противо- положную ей вершину верхнего основания, если плоскость сечения наклонена к основанию под углом 30°. 484. В правильной треугольной усечённой пирамиде сто- роны оснований 5 см и 2 см, высота 1 см. Через сторону меньшего основания провести плоскость, параллельно про- тивоположному боковому ребру. Найти площадь полученного сечения. 485. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде провести сечение через конец диагонали верхнего основания перпендикулярно к этой диагонали. Сторона верхнего основа- ния вдвое меньше стороны нижнего основания. Доказать, что площадь полученного сечения втрое меньше площади диаго- нального сечения. 486. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде провести сечение через диагональ пирамиды параллельно диа- гонали основания. Найти площадь сечения, если стороны оснований пирамиды равны ft и 3ft, а боковое ребро составля- ет с плоскостью основания угол 45°. 487. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде двугранный угол при основании равен 60°, сторона большего основания равна а. Найти площадь сечения, проведённого через противоположные стороны верхнего и нижнего основа- ний, если плоскость сечения перпендикулярна к боковой грани. 488. Дана правильная шестиугольная усечённая пирамида, причём сторона верхнего основания вдвое меньше стороны ниж- него основания. Построить сечение пирамиды плоскостью, про- ходящей через сторону нижнего основания и центр верхнего, и определить вид полученного сечения. 489. Если в усечённой пирамиде площади оснований соот- ветственно равны Рх и Р2, а площадь параллельного сечения, проведённого через середину высоты, равна М, то ]/Л1 = — Доказать. 2 490. Высота усечённой пирамиды разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости, параллель- ные основаниям. Найти площади полученных сечений, если площади оснований Q и q. 48
Практические упражнения. 491. Построить развёртку и изготовить модель правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, стороны оснований кото- рой и высота относятся, как 10 : 4 : 492. Построить развёртку и изготовить модель усечённой пирамиды, каждое боковое ребро которой равно 7,2 см, а основаниями являются трапеции. Параллельные стороны одной из этих трапеций равны 10 см и 5 см, а угол между диаго- налями равен 120°. Большая из параллельных сторон второй трапеции равна 4 см. § 16. ПОВЕРХНОСТЬ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ. 493. Найти полную поверхность правильной усечённой пира- миды: треугольной, четырёхугольной, шестиугольной, — если даны: высота h и стороны оснований а и b 494. Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды равна произведению апофемы пирамиды на периметр сечения, проведённого через середину высоты пирамиды перпендику- лярно к высоте. Доказать. 495. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны а и Ь, а боковая поверхность равно- велика сумме оснований. Найти высоту пирамиды. 496. Гранитный пьедестал монумента имеет форму правиль- ной четырёхугольной усечённой пирамиды, боковое ребро которой 2,05 м, сторона нижнего основания 1,80 м, верх- него — 0,90 м. Вычислить площадь отполированной боковой поверхности пьедестала. 497. Стороны оснований правильной треугольной усечён- ной пирамиды равны 6 см и 10 см. Площадь сечения, проходя- щего через боковое ребро и середину противоположной сторо- ны основания, равна 16 см2. Вычислить боковую поверхность пирамиды. 498. Основанием усечённой пирамиды служит квадрат. Две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к основанию под углом 45°. Найти боковую поверх- ность пирамиды, если высота ее равна h, а сторона большего основания — Ь. 499. Трёхгранный угол, каждый плоский угол которо- го—прямой, пересечён двумя параллельными плоскостями так, что в сечениях получились правильные треугольники со сторо- нами а иЬ (а>Ь). Найти полную поверхность полученной усе- чённой пирамиды. 500. В параллелепипеде проведены два сечения: одно через концы трёх рёбер, исходящих из одной вершины, другое—через середины тех же рёбер. Доказать, что многогранник, отсекае- мый этими плоскостями, является усечённой пирамидой и что 4 Сб. задач по геометрии, ч. II 49
её боковая поверхность составляет полной поверхности па- раллелепипеда. 501. Измерения прямоугольного параллелепипеда: 2 дм, 4 дм и 6 дм. Найти полную поверхность усечённой пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда двумя плоскостями, одна из которых проходит через концы трёх рёбер, исходящих из одной вершины, а другая —через середины тех же рёбер. 502. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде построить внутреннюю пирамиду, принимая за её основание верхний квадрат, а за вершину — центр нижнего квадрата. Чему равна высота пирамид (данной усечённой и внутренней полной), если их боковые поверхности равновелики, а сторо- ны оснований усечённой пирамиды соответственно равны а и Ь, Указать, при каком условии задача имеет решение. § 17. ОБЪЁМ УСЕЧЁННОЙ ПИРАМИДЫ. 503. Показать, что формулы объёма призмы и пирамиды являются частными случаями формулы объёма усечённой пи- рамиды. 504. По боковому ребру I и сторонам оснований а и b найти объём правильной усечённой пирамиды: треугольной, четырёхугольной, шестиугольной. 505. Чугунная баба копра для забивки свай имеет форму усечённой четырёхугольной пирамиды высотой 400 мм. Её основания—прямоугольники. Стороны нижнего основания 250мм и 200 мм, большая сторона верхнего основания — -175 мм. Удель- ный вес чугуна 7,5. Вычислить силу удара этой бабы при падении её на сваю с высоты 4,1 м, если свая углубилась в грунт на 1 см. 506. Сколько кубометров воды вмещает пруд, вырытый в виде правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, если его глубина 1,5 м, ширина на уровне воды 10 м, а угол от- коса стенок 45°? 507. Гранитный обелиск имеет вид правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, верхнее основание которой служит основанием полной пирамиды. Высота усечённой пирамиды 6 м, сторона нижнего основания 1 м, верхнего — 0,8 м. Высота пирамиды 2 м. Удельный вес гранита 2,6. Вычислить давление, оказываемое обелиском на фундамент. 508. Высота усечённой пирамиды равна 4; основания пи- рамиды — равнобедренные треугольники. -Неравные стороны одного треугольника 6,1 и 2,2, меньшая сторона другого 1,1. Вычислить объём пирамиды. 509. Боковая грань правильной треугольной усечённой пира- миды образует с основаниями двугранные углы, разность ко- 50
торых равна 90°. Стороны оснований равны аиЬ (а^Ь). Найти объём пирамиды. 510. Каждое ребро правильной четырёхугольной пирами- ды равно а. Плоскость, параллельная плоскости основания данной пирамиды, отсекает от неё усечённую пирамиду. Най- ти объём усечённой пирамиды, если сторона сечения равна Ь. 511. Трёхгранный угол, в котором все плоские углы пря- мые, пересечён двумя параллельными плоскостями так, что в сечениях получились равносторонние треугольники, стороны которых 6 дм и 10 дм. Вычислить объём образовавшейся усечённой пирамиды. 512. Стороны меньшего основания треугольной усечённой пирамиды 7 см. 5 см и 3 см. Каждое из боковых рёбер накло- нено к плоскости основания под углом 45°. Высота усечённой пирамиды в 1~ раза меньше высоты соответствующей полной пирамиды. Вычислить объём усечённой пирамиды. 513. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Ребро, проходящее через вершину прямого угла, равно с и перпендикулярно к плоскости основания. Пирамида рассечена плоскостью параллельно основанию; пери- метр сечения вдвое меньше периметра основания. Найти объём полученной усечённой пирамиды. 514. Основания усечённой пирамиды — равнобедренные тре- угольники, основания которых 3 см и 1 см. Высота пирамиды 9 см. Сечение, проведённое через боковое ребро и одну из равных высот большего основания, перпендикулярно к пло- скости основания. Площадь этого сечения 14,4 см2. Найти объ- ём пирамиды. 515. Из правильной четырёхугольной усечённой пирамиды вырезана часть её в виде двух пирамид, имеющих общую вершину в точке пересечения диагоналей, а основаниями — её основания. Найти объём оставшейся части усечённой пирамиды, если её высота равна h. а стороны оснований а и Ь. 516. Правильная четырёхугольная усечённая пирамида раз- делена на 3 части двумя плоскостями, проведёнными через две противоположные стороны меньшего основания перпен- дикулярно к плоскости большего основания. Найти объём каждой части, если в усечённой пирамиде высота равна 4 см. а стороны оснований 2 см и 5 см. § 18. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ. 517. Две правильные пятиугольные пирамиды, боковые гра- ни которых правильные треугольники, имеют общее основание. Вершины этих пирамид расположены по разные стороны от их общего основания. Представляет ли тело, составленное из этих пирамид, правильный многогранник? 4 51
518. В кубе из одной вершины D проведены диагонали DK, DL, DM трёх граней, сходящихся в этой вершине. Концы этих диагоналей соединены отрезками. Доказать, что многогранник DKLM — правильный тетраэдр. 519. Три равных взаимно-перпендикулярных отрезка пересе- каются в одной точке и в этой точке делятся пополам. До- казать, что многогранник, вершинами которого являются концы этих отрезков, есть правильный октаэдр. 520. Доказать, что многогранник, вершинами которого яв- ляются центры граней куба, есть правильный октаэдр. 521. Какой вид имеет многогранник, вершинами которого являются центры граней правильного тетраэдра? Найти рёбра этого многогранника, если ребро данного тетраэдра равно а, 522. Выразить поверхность каждого из пяти правильных многогранников через его ребро а. 523. Найти объёмы правильных: гексаэдра, тетраэдра и ок- таэдра, если ребро каждого из них равно а. 524. Найти отношение объёмов куба и вписанного в этот куб правильного октаэдра. 525. Найти отношение объёма куба к объёму правильного тет- раэдра, вершинами которого служат четыре вершины этого куба. 526. Доказать, что четыре высоты правильного тетраэдра равны между собой и пересекаются в одной точке, в которой каждая высота делится в отношении 3:1, считая от вершины. 527. Противоположные грани правильного октаэдра попарно параллельны, и отрезок, соединяющий центры этих граней, перпендикулярен к ним. Доказать. 528. Ребро правильного октаэдра равно а. Найти расстояние между центрами двух смежных граней. 529. Вычислить двугранные углы правильного тетраэдра и правильного октаэдра. § 19. ЦИЛИНДР. 530. Найти геометрическое место точек пространства, уда- лённых от прямой на данное расстояние. 531. Доказать, что осевое сечение цилиндра есть прямо- угольник1. 532. Если отрезок, ограниченный боковой поверхностью цилиндра, пересекает ось его, то такой отрезок делится осью пополам. Доказать. 533. Доказать, что сечение цилиндра плоскостью, парал- лельной оси, есть прямоугольник. 534. В цилиндре, радиус основания которого равен R и образующая /, проведено сечение, параллельное оси. Кратчай- шее расстояние между диагональю прямоугольника, образо- 1 В этой и во всех последующих задачах имеется в виду цилиндр вра- щения. 52
вившегося в сечении, и осью цилиндра равно а. Найти пло- щадь сечения. 535. Внутри цилиндра с радиусом основания 4 дм и высотой 6 дм расположен отрезок так, что его концы лежат на окруж- ностях обоих оснований. Найти кратчайшее расстояние от- резка от оси, если длина его 8 дм. 536. Радиус основания цилиндра R, образующая его Z. В каких границах может изменяться длина отрезка, концы которого лежат на окружностях обоих оснований? 537. В цилиндрической чур- ке толщиной 10 см требуется выпилить поперечный парал- лельный оси цилиндра паз, дно которого должно быть квадра- том со стороной 8 см (черт. 34). Какой должна быть глубина запила? Черт. 34. 538. В цилиндр наклонно к оси вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях оснований. Вычислить площадь этого квадрата, зная, что высота цилиндра 2 см, а радиус основания 7 см. Можно ли в этот же цилиндр вписать квадрат другой площади так, чтобы его вершины лежали на окруж- 5421. Точки А и ностях оснований? 539. Все вершины равнобедренного тре- угольника с основанием 6 см и высотой 2 см, лежат на боковой поверхности ци- линдра, ось которого перпендикулярна к основанию треугольника и образует с его плоскостью угол 60° (черт. 35). Найти радиус основания цилиндра. 540. Две плоскости, касательные к боко- вой поверхности цилиндра, или параллель- ны, или пересекаются по прямой, парал- лельной оси цилиндра. Доказать. 541. Осевое сечение цилиндра, проходя- щее через прямую прикосновения касатель- ной плоскости к цилиндру,перпендикуляр- но к этой плоскости. Доказать. В заданы внутри цилиндра. Проекции этих точек на плоскость основания даны при условии, что проек- тирующие прямые параллельны образующим цилиндра. По- строить точки пересечения прямой АВ с поверхностью ци- линдра. 543. На поверхности цилиндра найти геометрическое место точек, равноудалённых от плоскостей двух его осевых сечений. 1 Задачи № 542—544 решаются на проекционном чертеже. 53
544. На поверхности цилиндра найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух его образующих. 545. Чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямой и осно- ванием её служил многоугольник, около которого можно описать окружность. Доказать. 546. Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необхо- димо и достаточно, чтобы призма была прямой и основанием её служил многоугольник, в который можно вписать окруж- ность. 547. Если в прямой четырёхугольной призме суммы площадей противоположных граней равны, то в эту призму можно впи- сать цилиндр. Сформулировать и доказать обратную теорему. 548. Если в прямой четырёхугольной призме сумма двугран- ных углов при противоположных боковых рёбрах равна 2d. то около этой призмы можно описать цилиндр. Сформулировать и доказать обратную теорему. § 20. ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛИНДРА. 549. Цилиндрический паровой котёл имеет внутренний диа- метр 0,7 м и длину 3,8 м. Как велико давление пара на поверхность котла, если на 1 см2 её пар давит с силой около 10 кП 550. Среднее количество тепла, которое даёт 1 м2 поверх- ности нагрева при паровом отоплении низкого давления, счита- ется равным 550 тепловым единицам в час. Сколько погонных метров труб диаметром 34 мм нужно установить в помещении, для отопления которого по расчётам требуется 4500 единиц тепла в час? 551. Шлифовальный круг диаметром 350 мм и толщиной 60 мм за время работы уменьшился в диаметре на 4,5 мм. Насколько уменьшилась при этом его рабочая (цилиндриче- ская) поверхность? 552. На цилиндрический барабан подъёмной машины, диа- метр которого 750 мм и ширина 350 мм. наматывается сталь- ной трос толщиной 20 мм. Сколько метров каната помещается в один ряд на поверхности барабана, если её рабочая часть составляет 80% ? 553. Длину дуги Z сегмента по его хорде d и высоте (стреле) h можно вычислить по такой приближённой формуле: У+ Свод потолка подвального помещения имеет цилиндрическую поверхность. Пол помещения — квадрат со стороной 5,2 м. Высота (стрела) 1,5 м. Найти площадь кривой поверхности свода. 54
Вычислить относительную погрешность результата, найден- ного по приближённой формуле, по сравнению с полученным при помощи точной формулы длины дуги. 554. Плоскость, параллельная оси цилиндра, делит окруж- ность основания в отношении 1 :5. Площадь образовавшегося се- чения равна 10 м2. Вычислить боковую поверхность цилиндра. 555. Полная поверхность цилиндра 750?:, образующая его 10. Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси и нахо- дящейся от неё на расстоянии 9. Вычислить площадь сечения. 556. Площадь боковой поверхности правильной шестиуголь- ной призмы, вписанной в цилиндр, равна 45 дм2. Вычислить пло- щадь части боковой цилиндрической поверхности, заключённой между двумя ближайшими боковыми рёбрами призмы. 557. В цилиндр вписана треугольная призма, две боковые грани которой взаимно-перпендикулярны. Площадь боковой грани призмы, проходящей через ббльшую сторону основания, равна М. Найти боковую поверхность цилиндра. 558. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого относятся, как 3 :4. Диагональ парал- лелепипеда равна а, её проекция на меньшую боковую грань равна Ь. Найти боковую поверхность цилиндра. 559. В правильную четырёхугольную пирамиду, каждое ребро которой равно а. вписан равносторонний цилиндр так, что одно основание его расположено на основании пирамиды, а окружность верхнего основания касается боковых граней пирамиды. Найти поверхность этого цилиндра. 560. Дан куб с ребром а. Найти боковую поверхность ци- линдра, центры оснований которого совпадают с двумя про- тивоположными вершинами данного куба, а боковая поверх- ность проходит через все остальные вершины куба. § 21. ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА. 561. Вычислить суточный расход воды в трубе, диаметр которой 40 мм. при скорости течения воды около 15 см в секунду. 562. С какой средней скоростью движется нефть по трубо- проводу, диаметр которого 45 см. если в течение часа про- текает около 800 м? нефти? 563. Насос, подающий воду в паровой котёл, имеет два одинаковых цилиндра диаметром 80 мм и ходом поршня 150 мм. Вычислить часовую производительность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих ходов в минуту. 564. При сверлении мягкой стали спиральное сверло диа- метром 15 мм делает 500 оборотов в минуту, при подаче 0,3 мм за 1 оборот. Вычислить вес снятой стружки за 12 секунд (удельный вес стали 7,8). 55
565. Требуется изготовить равновеликие жестяные коробки (или в форме куба, или в форме равностороннего цилиндра). На какие коробки понадобится меньше жести, если считать отходы при их изготовлении одинаковыми? Вычислить про- цент экономии. 566. Образующая одного цилиндра в 4 раза больше обра- зующей другого. Найти отношение боковых поверхностей цилиндров, если объёмы их равны. 567. Радиус основания одного цилиндра вдвое больше радиуса основания другого. Найти отношение их объёмов, если их боковые поверхности равновелики. 568. Прямоугольный лист жести, имеющий размеры 0,7Х 1,4 м, можно согнуть в трубку двояким образом: в первом случае длина трубки будет 1,4 лг, во втором 0,7 м. Найти отношение объёмов этих трубок и отношение их поверхностей. 569. Из парового котла в 1 минуту вытекает 60 л воды. Чтобы количество воды в котле оставалось неизменным, к нему проведена труба. Вычислить, какой диаметр должна иметь эта труба, если скорость течения воды в ней равна 0,5 м в се- кунду. 570. На складе имеется 100 кГ стальной проволоки толщи- ной b4jWjW (удельный вес стали около 7,5). Подсчитать, хватит ли этой проволоки для прокладки однопроводной линии длиной в 1 км, если при этом учесть, что длина проволоки должна быть на 5% больше длины линии. 571. Стеклянная цилиндрическая трубка весит 80 Г, если она пуста, и 140 Г, если в неё введён столбик ртути длиной в 40 мм. Удельный вес ртути 13,6. Вычислить внутренний диаметр трубки. Черт. 36. 572. Из шестигранных стальных прутков, длина которых 120 мм и сторона сечения 15 мм, вытачиваются заготовки для болтов по чертежу 36 (размеры и допуски на обработку даны в миллиметрах). Вычислить вес потери металла при изготовле- нии, если удельный вес его равен 7,5. 573. Вычислить вес деревянной катушки, размеры которой (в миллиметрах) даны на чертеже 37, если удельный вес дере- ва 0,8. 56
574. Сколько весит погонный метр карниза, поперечный про- филь и размеры которого (в миллиметрах) даны на чертеже 38, если удельный вес материала 2,2? Черт. 37. 575. Радиус основания цилиндра А?, вы- сота Н. На расстоянии от оси цилиндра проведена параллельно ей плоскость, де- лящая цилиндр на две части. Найти объём каждой части. 576. При вычислении площади круга в практике нередко применяют такой приближённый способ: два взаимно-перпенди- кулярных диаметра продолжают в обе стороны за окружность на часть диаметра D и соединяют прямыми эти четыре конеч- ные точки; площадь полученного квадрата считают равной площади круга, т. е. считают: Ояр ~ 32 U . Вычислить относительную погрешность, допускаемую при на- хождении по этой формуле объёма цилиндра. 577. Около правильного октаэдра описан цилиндр. Две вер- шины октаэдра лежат в центрах оснований цилиндра, а ос- тальные четыре — на боковой поверхности его. Найти объём цилиндра, если ребро октаэдра равно а. 578. На трубопрокатном агрегате требуется из стальной заготовки круглого сечения, длина которой 6 м, а диаметр 300 мм, изготовить цельностянутые трубы, имеющие внутрен- ний диаметр 40 мм при толщине стенок 5 мм, длиной 6 м каждая. Сколько труб будет изготовлено, если выход готовой продукции составляет 90% от веса заготовки? 579. Высота цилиндра равна 1 м. Две параллельные хорды его основания, расположенные по разные стороны от центра, 57
равны соответственно 8 см и 6 см. Расстояние между этими хордами равно 5 см. Вычислить объём цилиндра. 580. Три цилиндра касаются друг друга: они имеют одинаковые диаметры D и одинаковую высоту Н. Найти объём части пространства, заключённой между этими цилинд- рами и плоскостями их оснований. 581.* В каждый из углов квад- рата со стороной 16 см вписана дуга окружности радиуса 3 см. Фигура (черт. 39), образованная дугами этих окружностей и заклю- чёнными между ними отрезками сторон квадрата, есть основание прямого цилиндра. Найти боковую поверхность и объём этого цилиндра, если его высота равна 5 см. 582.* В каждый угол равностороннего треугольника со стороной, равной 32 см, вписана дуга окружности радиуса 5 см. Фигура, образованная дугами этих окружностей и заключёнными между ними отрезками сторон тре- угольника, есть основание прямого цилиндра. Вычислить полную поверх- ность и объём этого цилиндра, если его высота равна 10 см. 583.* К двум окружностям с радиу- сами 8 см и 3 см и расстоянием меж- ду центрами 10 см проведены две общие касательные. Полученная таким образом фигура (черт. 40) есть основание прямого цилиндра. Вычислить полную поверх- ность и объём цилиндра, если высота его 6 см. § 22. КОНУС. 584. Доказать, что если все образующие конуса равны между собой, то этот конус есть конус вращения. Сформулировать обратную теорему. 585. Доказать, что всякая точка оси конуса равноудалена от всех его образующих.1 2 5862. На боковой поверхности конуса заданы две точки: А и В. Построить точку пересечения прямой АВ с плоскостью основания конуса. 1 В этой и во всех последующих задачах имеется в виду конус вращения. 2 Задачи № 586—589 решаются на проекционном чертеже. 58
587. Точка А задана на оси конуса, точка В задана на плоскости основания конуса, вне основания. Найти точку пере- сечения прямой АВ с поверхностью конуса. 588. В конусе задано осевое сечение и точки А и В на образующих, не принадлежащих этому сечению. Постро- ить точку пересечения прямой АВ с плоскостью данного сечения. 589 Построить сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, точку, заданную на образующей, и точку заданную на основании конуса. 590. Радиус основания конуса равен г. Найти площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и деля- щей высоту в отношении т'.п (считая от вершины). 591. Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус этот пересечён прямой, параллельной основанию; расстояние её от основания равно 6 см, а от высоты 2 см. Вычислить длину отрезка этой прямой, ограниченной поверхностью конуса. 592. Высота конуса равна 24 см, радиус основания 12 см. В этот конус параллельно высоте вписан квадрат так, что одна его сторона лежит на основании конуса, а концы стороны, ей противоположной, принадлежат боковой поверхности ко- нуса. Сторона квадрата равна 6 см. Вычислить расстояние пло- скости квадрата от высоты конуса. 593. Высота конуса Н, радиус основания г. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину и от- секающей от окружности основания четвёртую часть её. 594. Высота конуса h, образующая /. Найти площадь се- чения конуса плоскостью, проходящей через вершину его и отстоящей от центра основания конуса на расстояние, равное а. 595. Доказать, что коническая и цилиндрическая поверх- ности, оси которых лежат на одной прямой, пересекаются по окружности. 596. Радиус основания конуса равен 3 дм, высота равна 12 дм. В этот конус вписан равносторонний цилиндр так, что одно основание его лежит на основании конуса, а окруж- ность другого лежит на боковой поверхности конуса. Вычис- лить высоту цилиндра. 597. Найти необходимое и достаточное условие, при котором около прямой призмы можно описать конус так, чтобы одно основание призмы лежало на основании конуса, а вершины другого основания — на образующих конуса. 598. Радиус основания конуса равен 1 дм, высота равна 1 дм. В конус вписан куб так, что одно основание его лежит на основании конуса, а вершины другого принадлежат боко- вой поверхности конуса. Найти ребро куба. 59
599. Доказать: 1) что около пирамиды с равными боковыми рёбрами можно- описать конус; 2) если пирамида вписана в конус, то её боковые рёбра равны. 600. Доказать, что существует плоскость, содержащая толь- ко одну образующую данного конуса (эта плоскость назы- вается касательной). 601. Доказать, что если плоскость а содержит только одну образующую данной конической поверхности, то плоскость а перпендикулярна осевому сечению этой конической поверх- ности, содержащему указанную образующую. 602. Доказать: 1) если двугранные углы при основании пирамиды равны, то в такую пирамиду можно вписать конус; 2) если пирамида описана около конуса, то двугранные углы при её основании равны. 603. В конусе отношение радиуса основания к образующей 4 равно д- Вычислить угол развёртки боковой поверхности ко- нуса. 604. Развёртка боковой поверхности конуса есть четверть круга. Найти отношение радиуса основания конуса к высоте. 605. Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Доказать, что линия пересечения их боковых по- верхностей есть окружность. 606. Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания, радиусы которых 7? и г. Найти длину окружности, по которой пересекаются их боковые поверхности. Практические упражнения. 607. Развёртка боковой поверхности конуса есть сектор, дуга которого содержит 216.° Радиус сектора равен 10 см. Построить развёртку полной поверхности конуса и изготовить модель. 608. Построить развёртку конуса, боковая поверхность ко- торого вдвое больше площади основания, и на этой развёртке начертить геометрическое место проекций центра основания на образующие конуса. 609. Развёртка боковой поверхности конуса есть сектор с углом в 144° радиуса 10 см. Построить: 1) развёртку пол- ной поверхности конуса; 2) на развёртке — рёбра правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в этот конус; 3) высоту и апофему этой пирамиды. 610. Произведя необходимые измерения на модели конуса, изготовить развёртку его боковой поверхности. Вычислить угол наклона образующей к плоскости основания. 60
§ 23. ПОВЕРХНОСТЬ КОНУСА. 611. (Устно.) Осевое сечение конуса есть равносторонний треугольник со стороной а. Найти боковую поверхность этого конуса. 612. Найти боковую поверхность конуса по площади его основания т и площади п сечения, проведённого через ось. 613. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отношение площади его основания к боковой поверхности. 614. Расстояние от центра основания равностороннего ко- нуса до образующей равно а. Найти полную поверхность конуса. 615. Конус и цилиндр имеют общее основание, площадь которого равна 4к, и общую высоту. Отношение боковой поверхности первого к боковой поверхности второго равно 5 :6. Вычислить образующие данных тел. 616. Концы отрезка CD, проходящего через неподвижную точку А, скользят по двум параллельным плоскостям. Найти отношение расстояний точки А от данных плоскостей, если площади поверхностей, описываемых отрезками АС и AD, от- носятся, как 1 :2. 617. Боковая поверхность конуса равна 6?г, периметр осе- вого сечения равен 10. Вычислить боковые поверхности пра- вильных четырёхугольных пирамид, описанной около этого конуса и вписанной в него. 618. В конус вписана призма так, что нижнее основание её лежит на основании конуса, а вершины верхнего принадле- жат боковой поверхности конуса. Основание призмы есть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Диагональ боль- шей боковой грани призмы равна 4}<1У. Вычислить боковую поверхность конуса, если образующая его составляет с плоско- стью основания угол в 60°. 619. В равносторонний конус вписан равносторонний цилиндр. Найти боковую поверхность конуса, если боковая поверхность цилиндра равна Q. 620. Хорда основания конуса, равная а, стягивает дугу в 120° и удалена от образующей, ей перпендикулярной, на расстояние /. Найти боковую поверхность конуса (два случая). 621. Развёртка боковой поверхности конуса образует сектор, радиус которого равен 12 дм, а угол содержит 140°. Вычис- лить полную поверхность конуса и площадь осевого сечения. 622. (Устно.) Боковая поверхность конуса равна 45 м2. Через точку, делящую высоту на две равные части, проведе- на плоскость параллельно основанию. На какие части разде- лилась боковая поверхность? 623. Образующая конуса равна 2. На каком расстоянии от вершины на образующей нужно взять точку, чтобы плоскость, проходящая через неё и параллельная основанию, делила бы боковую поверхность на две равновеликие части? 61
624. Конус катится по плоскости, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна h, образую- щая — /. Найти площадь поверхности, описываемой высотой конуса. 625. Конус катится по плоскости, вращаясь вокруг своей неподвиж- ной вершины. Первый раз он пришёл в первоначальное положение, сде- лав 5 оборотов и описав при этом на плоскости круг, площадь которого равна 64~. Вычислить радиус основа- ния конуса. 626*. В кубе с ребром а сдела- но 6 одинаковых конических углуб- лений, удовлетворяющих следую- щим условиям: основание кони- ческой поверхности — окружность, вписанная в соответствующую грань куба, и каждая коническая поверх- ность имеет образующую, параллельную одной и той же диагонали куба. Найти поверхность образовавшегося тела. (На чертеже 41 изображено одно из конических углублений.) § 24. ОБЪЁМ КОНУСА. 627. Угол при вершине осевого сечения конуса, высота которого равна 3 дм, равен 120°. Вычислить объём конуса. 628. (Устно.) Найти отношение объёма цилиндра к объёму конуса, если их основания и высоты соответственно равны. 629. (Устно.) Как изменится объём конуса, если: 1) радиус основания увеличить в 2 раза, высоту уменьшить в 4 раза; 2) если радиус основания и высоту уменьшить в 2 раза? 630. (Устно.) Дана правильная /г-угольная пирамида. Один конус описан около неё, а другой вписан в неё. Найти отно- шение их объёмов при 1) /г = 3; 2) п = 4. 631. В конус, высота которого равна 1 м, вписан цилиндр. Найти высоту цилиндра, если: 1) объём цилиндра равен объёму расположенного над ним отсечённого конуса; 2) объём цилин- дра втрое больше объёма отсечённого конуса. 632. Основанием пирамиды служит прямоугольный треуголь- ник. Грань, проходящая через гипотенузу, — правильный тре- угольник со стороной а. Найти объём конуса, описанного около этой пирамиды. 633. В конус вписана правильная шестиугольная пирамида, объём которой равен V. Найти объём данного конуса и опи- санной около него правильной шестиугольной пирамиды. 62
634. Высота данного конуса разделена на три равные части; точки деления служат вершинами двух конических поверх- ностей, образующие которых параллельны образующим данного конуса и пересекают его основание. В каком отношении де- лится объём данного конуса? 635. Высота конуса Н. Две взаимно-перпендикулярные обра- зующие делят окружность основания в отношении 1:2. Найти объём конуса. 636. Боковая поверхность конуса, развёрнутая на плос- кости, образует сектор в 120°; радиус этого сектора равен I. Найти объём данного конуса. 637. Высота конуса 12, а его объём 324к. Вычислить угол сектора развёртки боковой поверхности этого конуса. 638. Найти объём конуса по площади боковой поверхности S и расстоянию k от центра основания до образующей. 639*. Конус пересечён плоскостью, проходящей через вер- шину и делящей окружность основания в отношении 1:5. Найти объём меньшей части конуса, отсечённой этой плоско- стью, если высота конуса равна 8 см, а образующая 10 см. 640. Найти отношение объёма конуса к объёму описанной около него пирамиды, если основанием пирамиды служит пря- моугольная трапеция с острым углом в 30°. 641. Куча песка имеет форму конуса, образующая которо- го равна 3,2 м, а окружность основания — 15,7 м. Удельный вес песка 1,6. Сколько поездок нужно сделать на трёхтонном грузовике для перевозки этой кучи? 642. Для вычисления объёма стога сена, нижняя часть которого обычно имеет форму цилиндра, а верхняя — форму конуса, практически достаточно измерить три величины: 1) длину окружности основания —О, 2) высоту цилиндрической части — В, 3) длину „перекидки14, т. е. длину шнура, перекинутого через вершину стога, от земли с одной его стороны до земли с про- тивоположной стороны стога — П. Вычислить вес сена в стогу, если О~12 м\ В~6,5 м\ /7^18 м, считая, что 1л£3 свежесложенного лугового сена весит примерно 50 кГ. 643. В конус, объём которого V, вписан цилиндр. Вычис- лить объём цилиндра в следующих случаях: 1) отношение диаметров оснований конуса и цилиндра рав- 10 НО “9"’ 2) отношение высот конуса и цилиндра равно -д-. 644. Объём цилиндра, вписанного в конус, равен 3-^ дм\ Вычислить объём конуса, отсечённого верхним основанием цилиндра, в следующих случаях: 63
1) отношение высоты цилиндра к высоте отсечённого ко- 7 нуса равно о 2) отношение диаметра основания данного конуса к диа- 7 метру вписанного цилиндра равно д-. 645. Если два равных конуса имеют общую высоту и параллель- ные основания, то объём их общей части составляет 4 объёма каждого из них. Доказать. 646*. Конус с высотой, равной 7, пересечён цилиндрической поверхностью, у которой ось совпадает с осью конуса, а диа- метр равен 4. Объём части конуса, заключённой внутри цилин- дрической поверхности, равен 20тс. Вычислить диаметр осно- вания конуса. § 25. УСЕЧЁННЫЙ КОНУС. 647. Доказать, что отрезок, соединяющий центры основа- ний усечённого конуса, перпендикулярен плоскостям оснований. 648. Высота усечённого конуса равна Зу~з~см. Радиус верх- него основания равен 4 см. Образующая усечённого конуса составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найти радиус нижнего основания и образующую конуса. 649. Диагонали осевого сечения усечённого конуса взаим- но-перпендикулярны; высота конуса равна h. Найти площадь среднего сечения, параллельного основанию. 650. Площади оснований усечённого конуса 4 м2 и 25 л/2; высота разделена на три равные части и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. Найти пло- щади сечений. 651. Если образующая усечённого конуса равна сумме радиусов оснований, то среднее геометрическое между этими радиусами равно половине высоты. Доказать. 652. S — вершина полного конуса, из которого образован данный усечённый конус. Плоскость, проходящая через точку S, отсекает от окружности верхнего основания усечённого кону- са дугу в п°. Доказать, что эта плоскость отсекает от окружности нижнего основания дугу также в /г°. 653. Из концов образующей усечённого конуса проведены две параллельные хорды оснований конуса. Доказать, что эти хорды отсекают от окружности оснований дуги, содержащие соответственно одинаковое число градусов. 654*. По одну сторону от данного осевого сечения усе- чённого конуса проведены две параллельные хорды верхнего и нижнего оснований, отсекающие от них дуги одинакового числа градусов. Доказать, что плоскость, проходящая через 64
эти хорды, пересекает боковую поверхность усеченного ко- нуса по образующим. 655. Высота усечённого конуса 15 см, радиус верхнего основания 8 см. Через образующую и хорду верхнего осно- вания, равную его радиусу, проведена плоскость. Найти пло- щадь сечения, если секущая плоскость составляет с нижним основанием угол в 60°. 656*. Каждая из двух параллельных хорд верхнего основа- ния усечённого конуса равна 6 см и отсекает от окружности верхнего основания дугу в 90°. Через данные хорды и исходя- щие из их концов образующие проведены плоские сечения усе- чённого конуса. Вычислить радиус нижнего основания конуса, если расстояние между серединами средних линий трапеций, образовавшихся в сечениях, равно 8 см. 657. Доказать, что около всякой усечённой пирамиды, бо- ковые рёбра которой равны, можно описать усечённый конус. 658. Доказать, что если усечённый конус описан около усечённой пирамиды, то её боковые рёбра равны. 659. Доказать, что во всякую усечённую .пирамиду с рав- ными двугранными углами при основании можно вписать усе- чённый конус. 660. Доказать, что если усечённый конус вписан в усе- чённую пирамиду, то её двугранные углы при основании равны. 661. Радиус верхнего основания усечённого конуса равен 1,5 дм, высота равна 12 дм. Найти радиус нижнего основа- ния, если центр этого основания удалён от образующей на расстояние, равное 6 дм. 662. Построить (на проекционном чертеже) осевое сечение усечённого конуса плоскостью, проходящей через точку, дан- ную на боковой поверхности конуса. 663. На окружностях верхнего и нижнего оснований усечён- ного конуса по разные стороны от данного осевого сечения даны точки А и В. Построить (на проекционном чертеже) точку пере- сечения прямой АВ с осевым сечением конуса. Практические упражнения. 664. Развёртка боковой поверхности усечённого конуса есть разность двух секторов, радиус одного из которых равен 20 см, а другого 12 см. Дуга, ограничивающая каждый из секторов, содержит 90\ Построить полную развёртку усечённого кону- са и склеить модель. 665. Вычертить развёртку и изготовить модель усечённого конуса, образующая которого равна 20 см, а диаметры осно- ваний 8 см и 24 см. 1/45 Сб. задач по геометрии, ч. II. 65
666. На чертеже 42 дана развёртка усечён- ного конуса (масштаб 1:3). Начертить развёртку усе- чённого конуса в нату- ральную величину. При помощи линейки и цир- куля построить:1) на раз- вёртке — рёбра правиль- ной усечённой шести- угольной пирамиды, впи- санной в этот конус; 2) высоту и апофему этой пирамиды. § 26. ПОВЕРХНОСТЬ УСЕЧЁННОГО КОНУСА. 667. Сколько олифы потребуется для наружной и внут- ренней окраски 1000 вёдер, имеющих форму усечённого ко- нуса, если диаметры ведра 25 см и 30 см, образующая 27,5 см и если на 1 м2 расходуется 150 Г олифы? 668. Вычислить количество жести, необходимой на изгото- вление воронок, по данным на чертеже 43 размерам в мил- лиметрах. На швы добавить жести для первой воронки 5%, а для второй 10%. 669. К вытяжной трубе требуется приделать колпак в фор- ме усечённого конуса, высота которого ЗОслг, а диаметры осно- ваний 100 см и 20с^и. 1) Сколько квадратных метров листового железа понадобится для его изготовления, если на соедини- тельные швы надо добавить около 2%? 2) Можно ли изгото- вить развёртку такого усечённого конуса из одного листа жести, имеющего стандартные размеры 0,7 X 1,4 м? 66
670. Боковая поверхность усечённого конуса равна 28к. Диаметры его оснований 5 и 3. Найти диагональ осевого сечения. 671. Радиусы оснований усечённого конуса и г; боковая поверхность равна сумме площадей оснований. Найти площадь осевого сечения. 672. Равносторонний конус пересечён плоскостью, парал- лельной основанию. Найти площадь осевого сечения образо- вавшегося усечённого конуса, если его боковая поверхность равна S. 673. Отношение площадей оснований усечённого конуса равно 1:36. Высота усечённого конуса 21 см. Через его ось проведена плоскость. Диагональ четырёхугольника, получен- ного в сечении, 35 см. Вычислить поверхность этого конуса. 674. В правильном тетраэдре проведено сечение параллель- но основанию через середину высоты. Найти боковую поверх- ность усечённого конуса, вписанного в образовавшуюся усе- чённую пирамиду, если ребро тетраэдра равно а. 675. Большее основание усечённой пирамиды есть тре- угольник со сторонами 29 см, 25 см и 6 см. Найти боковую поверхность усечённого конуса, вписанного в эту пирамиду, если двугранный угол при меньшем основании пирамиды ра- вен 120°, а периметры оснований относятся, как 3:2. 676. Большее основание усечённой пирамиды, вписанной в усечённый конус, есть трапеция, один из углов которой равен 60°. Диагональ трапеции равна 2/з~. Площади основа- ний пирамиды относятся, как 1 :4. Вычислить поверхность усечённого конуса, если его обра- зующая равна 5. 677*. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна а, высота призмы -^3- . Найти боковую поверхность усе- чённого конуса, одно осно- вание которого вписано в нижнее основание призмы, а окружность другого проходит через точку, делящую одну из диагоналей призмы в отно- шении 1 :3, считая от вершины верхнего основания (черт. 44). 678. Радиусы оснований усечённого конуса 4 и 16;вы- сота, равная 9, разделена на 3 равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. На к поверхность? части разделится боковая */з 5 Сб. задач по геометрии, ч. II. 67
679. Радиусы оснований усечённого конуса 1 см и 7 см, высота равна 6 см. Найти расстояние от нижнего основания до параллельного сечения, которое делит боковую поверхность на равновеликие части. 680. Боковая поверхность усечённого конуса равна 9~, образующая равна 3, диаметр одного из оснований вдвое боль- ше диаметра другого основания. Найти угол развёртки боко- вой поверхности полного конуса, из которого получен данный усечённый конус. § 27. ОБЪЕМ УСЕЧЁННОГО КОНУСА. 681. Показать, что формулы объёма конуса и цилиндра являются частным случаем формулы объёма усечённого конуса. 682. Найти объём усечённого конуса, у которого радиусы оснований R и г, а образующая наклонена к основанию под углом: 1) 45°; 2)60°. 683. Бронзовая втулка имеет форму усечённого конуса с диаметрами оснований 48 мм и 36 мм и высотой 90 мм. Диа- метр цилиндрического отверстия втулки 28 мм. Вычислить вес втулки, если удельный вес бронзы 8,7. 684. Лесозаготовители находят объём брёвен обычно та- ким приближённым способом: площадь среднего поперечного сечения ствола умножают на его длину. Вычислить относи- тельную погрешность, допускаемую при нахождении этим спо- собом объёма соснового бревна, длина которого 15 м, а тор- цовые диаметры 40 см и 24 см. 685. Бидон, размеры которого даны на чертеже 45 в миллиметрах наполнен керосином до горлышка (как показано штриховкой). Керосин был налит при температуре 5° и поставлен в помеще- ние, где температура 20°. Коэффициент объёмного расширения керосина 0,001. Выльется ли керосин через горлышко бидона? (Расширение бидона не учиты- вать). 686. По оси деревянного усечённого конуса, высота которого 45 мм, а диа- метры оснований 96 мм и 84 мм, высвер- лено цилиндрическое углубление, запол- ненное железом. Углубление доходит до середины оси конуса и имеет диа- метр 35 мм. Удельный вес дерева 0,6, железа — 7,8. Будет ли это тело плавать или тонуть в воде? 687. Таз, имеющий форму усечённого конуса, у которого образующая 130 мм, диаметр нижнего основания 300 мм и верхнего 400 лог, заполнен доверху водой: вычислить, на сколь- ко вес воды превышает силу её давления на дно таза. 68
688. Радиусы оснований усечённого конуса 3 дм и 5 дм. Найти отношение объёмов частей конуса, на которые он раз- делится средним сечением. 689. Радиусы оснований усечённого конуса 2 дм и 5 дм-, его высота, равная 9 дм, разделена на три равные части, а через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Вычислить объёмы частей, на которые рассечён конус. 690. Вычислить объём усечённого конуса, если радиусы концентрических окружностей, образующих развёртку усечён- ного конуса, равны соответственно 10 см и 5 см и каждая из дуг развёртки содержит 216°. 691. Каждая из двух данных концентрических окружно- стей разделена двумя радиусами большей из них в отноше- нии 1:2. Образовавшиеся части кольца, заключённого между этими концентрическими окружностями, служат развёртками боковых поверхностей двух усечённых конусов. Вычислить отношение объёмов этих конусов. 692. Объём правильной четырёхугольной усечённой пира- миды равен V. Найти разность объёмов двух усечённых конусов: одного—описанного около этой пирамиды, а другого— вписанного в неё. 693. Основанием пирамиды служит равносторонний тре- угольник. Проекция вершины пирамиды делит высоту осно- вания в отношении 1 :2, считая от соответствующей вершины. Меньшее боковое ребро пирамиды равно 6 дм и образует с плоскостью основания угол в 60°. Найти объём усечённого конуса, окружность одного из оснований которого описана около основания пирамиды, а окруж- ность другого проходит через вер- шину пирамиды. 694. Около правильной четырёх- угольной призмы описан усечён- ный конус так, что окружность его меньшего основания описана около основания призмы, высота призмы служит высотой этого ко- нуса и одна из его образующих параллельна диагонали призмы (черт. 46)1. Найти объём усечён- ного конуса, если сторона основа- ния призмы равна а и высота — Ь. 695. В усечённом конусе даны радиусы оснований R и г и высота Л. Из него вырезаны два конуса, у которых основа- ниями служат основания данного усечённого, а образующие 1 Для упрощения понимания чертежи № 46, 49, 50, 51 и 54 даны при условии, что внешняя фигура является прозрачной. >/2 5* 69
одного служат продолжениями образующих другого. Найти объём оставшейся части. 696. Произведя необходимые измерения на модели усе- чённого конуса, вычислить объём и полную поверхность усечённого конуса. § 28. ШАР. 697. (Устно.) На сфере проведена замкнутая линия. При каком условии она будет окружностью? 698. Найти геометрическое место центров сфер данного ра- диуса проходящих через заданную точку. 699. Найти геометрическое место центров сфер, проходя- щих через три данные точки, не лежащие на одной прямой. 700. Сколько сфер данного радиуса проходит через три данные точки, не лежащие на одной прямой? Как определить положение центров этих сфер? 701. Существует одна и только одна сфера, проходящая через четыре данные точки, не лежащие в одной плоскости. Доказать. 702. В пространстве по величине и положению задан отре- зок. Найти геометрическое место вершин прямых углов, опи- рающихся на этот отрезок. 703. Радиус шара равен /?. Через конец радиуса, лежащий на поверхности шара, проведена плоскость под углом 60° к этому радиусу. Найти площадь сечения шара этой плоскостью. 704. (Устно.) Вершины прямоугольного треугольника лежат на сфере. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его гипотенуза равна с, а радиус сферы равен 7?. 705. Задачи по карте. 1) Вычислить длину дуги меридиана в 1 минуту, принимая Землю за шар, радиус которого 7? ^6370 км. 2) Вычислить длину параллели, на которой находится го- род Ленинград. 3) Вычислить расстояние по параллели между городами Симферополь и Ставрополь, зная, что разность долгот этих городов около 8° и принимая их широты приближённо рав- ными. 706*. В шаре, имеющем радиус 3/з,~ проведено сечение, расстояние плоскости которого от центра равно 4. Найти наи- большее и наименьшее расстояния до поверхности шара точки, делящей радиус сечения пополам. 707. Найти геометрическое место точек, удалённых от сфе- ры радиуса R на данное расстояние а (a<^R). 708. Найти геометрическое место центров равновеликих се- чений данного шара плоскостью. 709. (Устно.) На плоскости, касательной к сфере, взята точка М на расстоянии 3 см от точки касания. Найти наи- 70
большее и наименьшее расстояния от точки М до сферы, если радиус сферы 4 см. 710. На какое расстояние может видеть глаз наблюдателя с маяка высотой Н над поверхностью океана? 711. (Устно.) Две взаимно-перпендикулярные плоскости касаются шара. Расстояние между точками касания равно Z. Найти расстояние от центра шара до линии пересечения пло- скостей. 712. Шар радиуса R касается граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найти расстояние от центра шара до вершины угла. 713. Найти геометрическое место центров шаров данного радиуса г, касающихся данной плоскости. 714. Найти отношение площадей двух правиль- ных треугольников, сто- роны которых касаются сферы, если плоскость пер- вого проходит через центр сферы, а плоскость вто- рого отстоит от её центра на расстоянии, равном по- ловине радиуса (черт. 47). 715. Через точку, взя- тую на поверхности шара, проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вто- рая под углом в 30° к первой. Найти площадь сечения шара второй плоскостью, если радиус шара равен R. 716. Известен такой практический способ для вычисления диаметра d шара при помощи циркуля: на сфере произволь- ным радиусом г описывают окружность, на этой окружности берут три произвольные точки Л, В, С и измеряют расстояния между ними: а, Ь, с. Искомый диаметр шара находится по формуле: г2- а Ь с I2 4 У fa — — £) (/? — с) где 2 р = а + b + с. Доказать справедливость этой формулы. 717. На сфере даны две равные пересекающиеся окруж- ности, лежащие в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях. Найти радиусы этих окружностей, если их общая хорда рав- на 2 см, а радиус сферы 7 см. 718. Линия пересечения двух сфер есть окружность, центр которой лежит на прямой, проходящей через центры данных сфер. Доказать. 71
719. Две сферы, радиусы которых г и 2г, расположены так, что центр меньшей сферы лежит на большей. Найти дли- ну линии, по которой пересекаются сферы. 720*. Через данную прямую провести плоскость, касатель- ную к данному шару. 721*. Четыре равных шара радиуса г расположены так, что каждый касается трёх других. Найти расстояние от центра одного из них до плоскости, касательной к трём другим. § 29. ПОВЕРХНОСТЬ ШАРА. 722. (Устно.) Чему равна полная поверхность полушара радиуса /?? 723. (Устно.) Как изменится поверхность шара, если радиус его увеличить вдвое, втрое, в п раз? 724. Если принять за единицу диаметр Земли, то диаметр з Луны будет -рр а диаметр Солнца 112 таких единиц. Найти отношения поверхностей Луны и Солнца к поверх- ности Земли. 725. Сколько квадратных метров материи потребуется на изготовление оболочки воздушного шара диаметром 10 м, если припуск на швы составляет около 5% поверхности оболочки? 726. Сколько кожи потребуется для изготовления покрышки футбольного мяча, диаметром 20 см, если на обрезки и швы расходуется 8% сверх расчётной площади? 727. Крыша здания имеет форму полушарового купола, ок- ружность которого приближённо равна 30 м. Сколько олифы пойдёт на окраску крыши, если на 1 кв. м поверхности тре- буется около 0,25 кГ олифы? 728. (Устно.) Гипотенуза и катеты прямоугольного тре- угольника служат диаметрами трёх шаров. Какая существует зависимость между их поверхностями? 729*. Четыре равных шара радиуса г расположены так, что каждый касается трёх других. Найти поверхность шара, опи- санного около данных шаров. § 30. ОБЪЁМ ШАРА. 730. (Устно.) Найти отношение диаметров двух шаров, если отношение их объёмов равно 1 :1 000. 731. (Устно.) Если радиусы трёх шаров относятся, как 1:2:3, то объём большего шара в 3 раза больше суммы объёмов меньших шаров. Доказать. 732. (Устно.) Сколько металлических шаров диаметром 2 см можно отлить, расплавив шар, диаметром 10 см) 733. (Устно.) Поверхность одного шара в 4 раза больше поверхности другого. Во сколько раз объём первого больше объёма второго? 72
734. Средний диаметр дождевой капли равен 2 мм. Сколько капель нужно собрать, чтобы получить литр дождевой воды? 735. Сколько дробинок, диаметром 3 мм, можно отлить из 1 кГ свинца (удельный вес свинца 11,3)? 736. Полый чугунный шар, наружный диаметр которого равен 160 мм, весит около 10,85 кГ. Вычислить толщину сте- нок этого шара (удельный вес чугуна 7,5). 737. Медный полый шар весит в воздухе 264 Г, а в воде 221 Г. Удельный вес меди 8,8. Вычислить толщину стенок этого шара. 738. Полый металлический шар, внешний радиус которо- го R, плавает, будучи наполовину погружённым в воду. Удель- ный вес металла d. Вычислить толщину стенок шара. § 31. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ. 739. Прямоугольник, отношение сторон которого равно 3:5, вращается вокруг меньшей стороны. Объём тела, полученного от вращения, равен 75к. Найти стороны прямоугольника. 740. Треугольник, площадь которого Q, вращается вокруг стороны а. Найти объём тела вращения. 741. Прямоугольный треугольник, катеты которого 3 см и 4 см, вращается вокруг гипотенузы. Найти объём и поверх- ность тела вращения. 742. Прямоугольник со сторонами а и Ь (Ь>а) вращается около оси, проходящей вне его параллельно меньшей его сто- роне и отстоящей от неё на расстоянии т. Найти объём и поверхность тела вращения1. 743. Прямоугольный треугольник, катеты которого 12 см и 5 см, вращается около оси, параллельной меньшему катету и проходящей через противоположную вершину. Найти по- верхность и объём тела вращения. 744. Прямоугольный треугольник, катеты которого 3 дм и 4 дм, вращается около оси, параллельной гипотенузе и про- ходящей через вершину прямого угла. Найти поверхность и объём тела вращения. 745. В прямоугольной трапеции основания а и b (а<&). Найти отношение объёмов тел, образуемых вращением тра- пеции вокруг оснований. 746. Две стороны треугольника равны а и Ь\ тупой угол между ними 150°. Найти объём тела, полученного от враще- ния этого треугольника вокруг первой из данных сторон. 747. Параллелограмм последовательно вращается вокруг каж- дой из сторон а и Ь. Найти отношение объёмов полученных тел. 1 В этой и в последующих задачах предполагается, что ось вращения лежит в плоскости вращающейся фигуры. 73
748. Ромб, сторона которого а и острый угол 60°, вращает- ся вокруг оси, проходящей через вершину этого угла перпен- дикулярно к стороне. Найти поверхность и объём тела вра- щения. 749. Правильный шестиугольник со стороной а вращается вокруг стороны. Найти поверхность и объём тела вращения. 750. Правильный шестиугольник со стороной а вращается около оси, проходящей через одну из его вершин перпенди- кулярно большей диагонали, выходящей из этой вершины. Найти поверхность и объём тела вращения. 751. Ромб, одна из диагоналей которого равна стороне, вращается около оси, проходящей вне его параллельно боль- шей диагонали и находящейся от ближайшей вершины ромба на расстоянии h. Сторона ромба а. Найти поверхность и объём тела вращения. 752. Стороны прямоугольника а и Ь\ найти объём тела, по- лученного от вращения этого прямоугольника вокруг оси, проведённой через конец диагонали перпендикулярно к ней. 753. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно а, боковая сторона — Ь, один из углов—120°. Найти поверхность и объём тела, полученного от вращения данной трапеции вок- руг боковой стороны. 754. Параллелограмм, площадь которого Q, вращается во- круг прямой, проведённой через конец одной диагонали, па- раллельно другой диагонали, равной d. Найти объём тела вращения. 755. Треугольник, стороны которого относятся, как 13:14:15, вращается вокруг средней по величине стороны. Доказать, что в полученное тело вращения можно вписать шар. Найти отно- шение объёма этого шара к объёму тела вращения. § 32. ВПИСАННЫЙ И ОПИСАННЫЙ ШАРЫ. 756. Доказать, что около любого цилиндра можно описать шар. 757. В шар радиуса R вписан цилиндр, у которого радиус основания относится к высоте, как т\п. Найти полную поверх- ность цилиндра. 758. В шар вписан цилиндр, плоскости оснований которого находятся от центра шара на расстоянии 9. Поверхность ци- линдра равна 720 к, Найти радиус шара. 759. Доказать, что в любой цилиндр, высота которого равна диаметру основания, можно вписать шар. Сформулировать и доказать обратную теорему. 760. Найти боковую поверхность и объём цилиндра, опи- санного около шара радиуса R (черт. 48). 761. Из цилиндрической заготовки, имеющей длину 65 мм и диаметр основания 50 мм, требуется выточить шар наиболь- 74
шего радиуса. Вычислить объём шара и процент отхода мате- риала при его изготовлении. 762. Доказать, что около любого конуса можно описать шар и что в любой конус можно вписать шар. 763. Высота конуса h, образующая I. Найти радиус описанного шара (черт. 49). 764. Радиус шара равен 5 см\ в шар вписан конус, радиус основания которого 4 см. Найти высоту конуса. 765. Образующая конуса равна 20 см, радиус основания равен 16 см. Найти ра- диус шара, вписанного в этот конус, и дли- ну линии, по которой поверхность шара касается боковой поверхности конуса. 766. Найти поверхность конуса, центр вписанного в него шара делит высоту на две части: 5 см и 3 см. 767. Около шара радиуса г описан между образующими которого прямой. Найти полную поверх- если его конус, наибольший угол ность конуса. 768. В сосуде, который имеет вид вертикально стоящего на вершине равностороннего конуса, лежит шар радиуса г и 771. Доказать, что в том и только в том налита вода. Шар полностью покрыт во- дой, причём её поверхность касается шара. Найти: 1) объём находящейся в сосуде воды, 2) до какого уровня опус- тится вода, если шар вынуть из сосуда. 769. В конус вписан шар радиуса г. Найти высоту конуса, если известно, что плоскость, касающаяся шара и пер- пендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от его вершины на рас- стояние d. 770. Доказать, что около всякого усечённого конуса можно описать шар. в усечённый конус можно вписать шар случае, если образующая конуса равна сумме радиусов оснований. 772. Образующая усечённого конуса равна 4 см, радиусы оснований равны 1 см и 3 см. Найти радиус шара описанного около этого конуса. 773. Отношение объёмов шара и описанного около него усечённого конуса равно отношению площадей их поверхно- стей. Доказать. 774. Может ли боковая грань призмы, вписанной в шар, быть косоугольным параллелограммом? 775. Для того чтобы около призмы можно было описать шар, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и 75
Черт. 51. чтобы около её основания можно было описать окружность. Доказать. 776. (Устно.) Измерения прямоугольного параллелепипеда — а, Ь, с. Найти радиус описанного шара. 777. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна а. Радиус шара, опи- санного около призмы, равен R (черт. 50). Найти высоту призмы. 778. Если шар касается всех гра- ней многогранника, то радиус шара равен утроенному объёму этого много- гранника, делённому на его полную поверхность. Доказать. 779. В призму вписан шар. Дока- зать, что радиусы шара, проведённые в точки касания его с боковыми гра- нями призмы, лежат в плоскости, перпендикулярной боковому ребру. 780. Для того чтобы в призму можно было вписать шар, необходимо и достаточно, чтобы в перпендикулярное сечение призмы можно было вписать ок- ружность и чтобы высота призмы равнялась диаметру этой окружности. Доказать. 781. (Устно.) Найти радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную призму, сторона основания которой равна 8 см, 782. Найти отношение объёмов двух шаров, вписанного в куб и описанного около этого куба. 783. Объём прямой призмы, описанной около шара, равен V, периметр основания р. Найти объём шара. 784. В призму вписан шар радиуса R. Найти площадь перпендикуляр- ного сечения призмы, если боковая поверхность призмы равна S, а боко- вое ребро равно а. 785. Для того чтобы около пира- миды можно было описать шар, необ- ходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность. Доказать. 786. (Устно.) Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна А, диагональное сечение — прямоуголь- ный треугольник. Найти объём шара, описанного около этой пирамиды. 787. Каждое боковое ребро пирамиды равно /, высота равна h. Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды (черт. 51). 788. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 76
й, сторона основания а. Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды. 789. Основанием пирамиды служит прямоугольник, диаго- наль которого равна d. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания; их общее ребро равно а. Найти по- верхность шара, описанного около этой пирамиды. 790. Основанием пирамиды служит правильный треугольник со стороной а. Боковое ребро, равное Л, перпендикулярно к плоскости основания. Найти радиус шара, описанного около этой пирамиды. 791. Для того чтобы в пирамиду можно было вписать шар, достаточно, чтобы двугранные углы при основании пирамиды были равны между собой. Доказать. Является ли это условие необходимым? 792. Если вершина пирамиды проектируется в центр ок- ружности, вписанной в основание, то центр шара, вписанного в эту пирамиду, лежит на её высоте, а точки касания шара с боковыми гранями лежат на высотах боковых граней, про- ведённых из вершины пирамиды. Доказать. 793. (Устно.) Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна й; угол между противоположными боковыми гранями 60°. Найти радиус шара, вписанного в эту пирамиду. 794. Высота пирамиды равна 12 см\ вершина её удалена от каждого ребра основания на 13 см. Вычислить радиус впи- санного шара. 795. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти радиусы шаров, описанного около этого тетраэдра 796. (Устно.) Из центра шара, впи- санного в пирамиду, проведены радиусы в точки касания шара с двумя смеж- ными боковыми гранями. Найти двугран- ный угол между этими гранями, если угол между радиусами равен а. 797. Радиус шара, вписанного в пра- вильную четырёхугольную пирамиду, равен г; двугранный угол при боковом ребре равен 120°. Найти объём пирамиды, имеющей вершину в центре шара, а вер- шины основания в точках касания шара с боковыми гранями пирамиды. 798*. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, сторона кото- рого а. Две боковые грани перпенди- кулярны к основанию, а третья составляет с плоскостью осно- вания угол в 60°. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду (черт. 52). 799. Доказать, что около усечённой пирамиды можно опи- сать шар, если около оснований пирамиды можно описать 6 Сб. задач по геометрии, ч. II 77
окружности, центры которых лежат на одном перпендикуляре к основаниям. Сформулировать и доказать обратную теорему. 800. В шар вписана правильная четырёхугольная усечён- ная пирамида, основания которой находятся по одну сторону от центра. Радиус шара равен 25 см. Высота усечённой пира- миды 9 см, а площадь меньшего основания 98 см2. Вычислить объём этой пирамиды. 801. В правильную усечённую пи- рамиду вписан шар (черт. 53). Ра- диусы окружностей, вписанных в ос- нования пирамиды, соответственно равны г и Доказать, что: 1) ра- диус шара R— у ггг ; 2) апофема пи- рамиды К— г + гР 802. В правильную усечённую тре- угольную пирамиду вписан шар. Най- ти радиус шара, если стороны осно- ваний пирамиды равны 3 см и 4 см. 803. Произведя необходимые изме- рения на модели правильной шести- вычислить угол между боковым ребром угольной пирамиды, и плоскостью основания. Используя этот угол, вычислить радиус шара, описанного около этой пирамиды. 804. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду, модель которой изготовлена по условию задачи № 400, используя данные, полученные при решении этой задачи. § 33. СМЕШАННЫЙ ОТДЕЛ. 805. Какое количество листового железа потребовалось для изготовления парового котла, имеющего длину 4,0 м и наруж- ный диаметр 1,4 м, если через весь котёл (параллельно его оси) проходят две жаровые трубы с диаметром по 40 см каждая? 806. Основанием правильной пирамиды с вершиной S слу- жит квадрат ABCD. Расстояние от вершины В до бокового ребра AS равно 2 см. Угол между двумя смежными боковыми гранями равен 120°. Вычислить боковую поверхность пира- миды. 807. Крыша силосной башни имеет форму конуса, высота которого 2,0 м и диаметр основания 6,0 м. Сколько листов кровельного железа потребовалось для покрытия крыши, если лист имеет стандартные размеры 0,7 ^Х1,4 м, а на швы и отходы пошло около 10% сверх расчётной площади. 808. В цилиндр вписан шар, а около этого шара описан равносторонний конус. Найти: 1) отношение поверхностей этих тел и 2) отношение их объёмов. 809. Из двух параллельных хорд верхнего основания усе- 78
чённого конуса, расположенных по разные стороны от центра, одна отсекает от него дугу в 120°, а другая —дугу в 90° и равна 6 см. Через данные хорды и исходящие из их концов образующие проведены плоские сечения усечённого конуса. Вычислить радиус нижнего основания конуса, если расстояние между серединами средних линий трапеций, образовавшихся в сечениях, равно 8 см. 810. Каждое ребро правильной треугольной призмы АВСА{В{С{ равно а. Призма пересечена плоскостью, проходя- щей через середины рёбер АА19 А^ и АС. Построить сече- ние и найти его площадь. 811. Доказать, что в правильный октаэдр можно вписать цилиндр так, что окружности его оснований будут вписаны в противоположные грани октаэдра. Найти объём этого цилин- дра, если ребро правильного октаэдра равно а. 812. В треугольной пирамиде SABC боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и = ВС. В пирамиде проведено сечение параллельно 5Л и ВС. Определить вид се- чения и доказать, что периметр сечения при различных поло- жениях его остаётся постоянным. 813. Прямоугольный треугольник, катеты которого а и Ь, вращается вокруг гипотенузы. Найти отношение объёма тела вращения к объёму вписанного в это тело шара. 814. Перпендикулярное сечение призматической поверхно- сти есть квадрат. Доказать, что всякое сечение этой поверх- ности плоскостью, параллельной диагонали квадрата, есть ромб. 815. Доказать, что около правильного тетраэдра можно описать цилиндр так, что два противоположных ребра тетра- эдра будут служить диаметрами оснований цилиндра (черт. 54). Найти объём этого цилиндра, если ребро тетраэдра равно а. 816*. На двух данных скрещиваю- щихся прямых отложены соответствен- но два отрезка. Доказать, что объём треугольной пирамиды, вершинами ко- торой служат концы этих отрезков, не изменится, если отрезки, не изменяя их длины, перемещать поданным прямым. 817. Основанием прямого парал- лелепипеда служит параллелограмм, большая сторона которого равна а и острый угол 60°. Площадь сечения, делящего пополам острый двугран- ный угол при боковом ребре, равна Q. Найти объём параллеле- пипеда. 818. В правильной треугольной призме все рёбра равны а. Найти площадь сечения, проведённого через сторону основа- ния под углом 60° к плоскости основания. 6* 79
819. Если в треугольной пирамиде две высоты пересекают- ся, то два скрещивающихся ребра её взаимно-перпендикуляр- ны. Доказать. 820. Доказать, что если в треугольной пирамиде две вы- соты пересекаются, то пересекаются и две другие. 821. Дан правильный тетраэдр SABC. На грани ЛС5 задана точка D. Опустить перпендикуляр из точки D на грань SBC. (Построение выполнить на проекционном чертеже.) 822. Если две пирамиды имеют общее основание, а верши- ны лежат по разные стороны этого основания, то отрезок, соединяющий вершины, делится плоскостью основания в отно- шении, равном отношению объёмов пирамид. Доказать. 823. Шар касается всех рёбер куба. Найти радиус шара, если ребро куба равно а. 824. Если вершина треугольной пирамиды проектируется в ортоцентр её основания, то сумма квадратов любой пары скрещивающихся рёбер есть величина постоянная. Доказать. 825. Доказать, что сечение правильного октаэдра плоско- стью, проходящей через его центр и параллельной одной из его граней, есть правильный шестиугольник. 826. Даны окружность и точка вне её плоскости. Где дол- жна лежать точка, чтобы через неё и окружность можно было провести поверхность: 1) цилиндра вращения? 2) конуса вра- щения? 3) шара? 827. В треугольной пирамиде два непересекающихся ребра равны между собой и равны а; каждое же из остальных рёбер равно Ь. Найти объём пирамиды. 828. В ромбе ABCD диагональ АС равна 2а, а диагональ BD равна 2Ь. В концах диагонали АС восставлены к плоско- сти ромба (по одну сторону от неё) перпендикуляры АЕ = Л, CF—hf. Найти объём пирамиды FBDE. 829. Отрезки, соединяющие вершины треугольной пирамиды с центрами тяжести противолежащих граней, пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1 :3, считая от грани. Доказать. 830. В кубе ABCDA^Bfi^D^ проведены три сечения. Одно из них проходит через вершины A, Dr и С, второе — через вер- шины Alt В и Сь третье через середины рёбер AAl9 А^ и D^. Найти отношение периметров этих сечений и отношение их площадей. 831. Две правильные треугольные пирамиды имеют общее основание, сторона которого а. Около одной из этих пирамид, имеющей боковое ребро, равное Ь, описан шар. Найти боко- вое ребро другой пирамиды, если её вершина лежит в центре этого шара. 832. Дан прямоугольник ABCD; перегибают его по диагонали АС, пока плоскость треугольника DAC не примет положения, перпендикулярного к плоскости треугольника АВС; точку D 80
соединяют с точкой В. Найти объём пирамиды DABC, если АВ — b и AD — а. 833. В кубе ABCDAfifiJ)^ ребро которого а, проведены два сечения: сечение Q через диагональ А{С параллельно BD и сечение Р через диагональ СХА параллельно BD. Эти сече- ния рассекают куб на четыре части. Найти объём каждой части. 834. В правильной четырёхугольной призме проведены два параллельных сечения: одно проходит через диагональ основа- ния призмы, параллельно её диагонали, другое через середины двух смежных сторон основания. Площадь первого сечения Q. Найти площадь второго сечения. (Два случая.) 835*. В правильной четырёхугольной пирамиде проведена плоскость через вершину основания перпендикулярно к про- тиволежащему боковому ребру, которое она делит пополам. Доказать, что проведённое сечение делит боковую поверх- ность пирамиды на две равновеликие части. 836*. Ребро куба ABCDAXBXCXDX равно а. Найти радиус сферы, проходящей через концы ребра ААг и касающейся гра- ней двугранного угла с ребром СС}. 837. Даны три прямые в пространстве. Как образовать па- раллелепипед, три непересекающиеся и непараллельные ребра которого лежат на этих прямых? 838. Основанием призмы служит равнобедренный прямо- угольный треугольник. Проекцией бокового ребра, проходя- щего через вершину острого угла основания, на плоскость основания служит катет основания. Найти боковую поверх- ность призмы, если боковое ребро равно / и составляет с пло- скостью основания угол в 45°.
ОТВЕТЫ 1. Одну или три. 2. Не всегда. 5. Не может. 8. Да. 10. а2У 3 8 16. Нет. 17. АВ и CD — скрещивающиеся прямые. 18. Две плоскости. 20. а) Нет; б) да. 22. Нет. 27. 1) 90°; 2) 45°; 3) 90°; 4) 60°. 28. 1) Бесконечное множество; 2) бесконечное множество, но только одна пересекает данную прямую. 32. Да. 33. Нет. 41. 1) Если дан- ные прямые пересекают данную плоскость в различных точках; 2) если: а) обе прямые пересекают плоскость в одной точке; б) обе лежат в плос- кости; в) одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает плоскость; 3) если хотя бы одна из данных прямых параллельна данной плоскости. а (Ь — с) 9а2 42. 28 см. 43. -------т--. 45. —5— . 48. Нельзя. 49. Да. о о 50. Да. 54. Плоскость, проходящая через данную точку и параллель- (а + ь + с) (т 4- п) ная данной плоскости. 55. ----------------—------- 57. Указание. Использовать решение задачи № 46. 59. Плоскость, параллельная данным За2 1Л~3~ плоскостям. 60. -----t—• Указание. Исполь- 4 зовать решение задачи № 51. 87. и DrCx\_BCx. 88. Перпендикулярно. 89. Перпендикулярна, если хорды не параллельны. 91. tgx =1^2 ; х « 54° 44'. 92. Прямоугольный. 94. Плоскость, проходящая через данную точку и перпен- дикулярная к данной прямой. 96. Указание. Доказать, что BD перпен- дикулярна к двум прямым плоскости АОК. 101. Плоскость, перпендикуляр- ная к отрезку, соединяющему данные точки, и проходящая через середину этого отрезка. 103. У Казани е. Построить точку Alt симметричную точке А относительно плоскости а. 104. У Казани е. Доказать, что АВ и CD параллельны линии пересечения плоскостей. 106. Указание. В треугольниках АВС и ABD провести высоты на сторону АВ. 107. У Ь2-]-с2 — а2. 113. У а2 + &2+^. 115. 100 см\ ^117 см. 116. У 2 см » 1,4 см. 117. 2а У 2 . 118. Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная к её плоскости. 120. Указание. См. задачи 118 и 101. 121. 6,5 см. 122. 8 см. 123. —уГ У ^24~2а2. 124. 3,75 см. 125. Две плоскости, параллель- ные данной плоскости. 126. Четыре прямые, параллельные линии пе- ресечения данных плоскостей. 127. Плоскость, проходящая через любую из точек, равноудалённых от данных плоскостей, и параллельная данным плоско- стям. 129. У 4а24-/п2. 130. Да. 131. ]/I2 — а2. 132. У 2Ь2 — а2. 133. Прямая, проходящая через центр окружности, вписанной в многоугольник, и перпендикулярная к плоскости многоугольника. 82
134. Правильный треугольник. 136. 17 см. 137. 15 см и 20 см. 138. ]/ а2 + 62 . 139. 25 см или 39 см. 140. 8 см. 141. Указание. Из произвольной точки наклонной опустить перпендикуляр на плоскость угла и показать, что его основание равноудалено от сторон угла. 142. Указание. Использовать задачу № 141. 144. Окружность, цент- ром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость. 146. 60°. 147. Нет. Наибольшая величина угла 45°. 148. « 3,8 м\ « 30°. 149. « 28,3 м\ « 24,5 м. 151. tgx = Г"22; X к 35°16'. 152. tgx =2; х к 63°26'. 156. 8 + «11,7 (см) или 8 — У 14 «4,3 (см). Указание. Рассмотреть два возможных случая положения проекции точки М на прямую АВ относительно отрезка АВ. 157. 115° или 35°. 162. Сторо- h ~У 6 на треугольника равна Л/б; ME = MF = ----------------- ~ 4%- 3 ab а 164. ---г —— . 168. 45°. 169. Сумма углов равна 180°. 175. —т~. 2 У Ы2 + a2 J 4 176. 1 : (/2—1). 177.-|-/57 178. 4.и. 179. 13сж. 180. 1) У~6~см » 2,4 см-, 2) 4 У 2 см2 « 5,7 см2. 181. 45°. 182. Две биссекторные плоскости двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями. 192. « 16 м 193. Плоскость, перпендикулярная к плоскости, определяемой дан- ными прямыми, и пересекающая её по прямой, равноудалённой от данных прямых. 194. Две плоскости, перпендикулярные к плоскости, определяемой дан- ными прямыми, и делящие пополам углы между данными прямыми. 195. 1)Да; 2) нет; 3) нет. 196. 1) Нет; 2) нет; 3) да; 4) нет. 199. 14 см2. 200. 2а (1 4-}^~3). 202. g . 203. 90°. 207. Многогранник, призма, параллелепипед, 3 прямой параллелепипед. 208. Нет. 209. Да. 210. 1) Нет; 2) да. 211. Две другие грани — прямоугольники. 212. Через параллельные стороны основания призмы. 213. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет. 214. 2г/ (п — 2). 215. 3) \d (п—1). 216. Часть плоскости, про- ходящей параллельно основаниям параллелепипеда через точку пересечения его диагоналей, ограниченная призматической поверхностью. 219. Середина отрезка, соединяющего центры оснований призмы. 221. 4) п (п — 3). 222. 14 м. 223. 12 см; « 44°54'. 225. а У~2~; 45°. 226. 5; 7. 227. 5 см. 228. 120°. 229. У Казани е. Рассмотреть три различных по длине варианта пути, которые на развёртке прямоугольного параллелепипеда изображаются отрезка- ми прямых, проходящих через вершины заданных углов. Кратчайшим будет х = /а2 + (& + с)2. 230. . 231. 7,2 см. 234. 200 дм2-, 300 дм2. 235. Q У~Ъ~. 237. ЦС-З . 238. 98 еж2. 239. 4" й V За2 — й2. 2а 3 г 248. 9 кв. ед. 249. 4а2 3 . 250. 126 дм2. 251. За2. 252. 5д2 9 12 253. 160. 256. 120 см2 и смз ~ 75 смз или 120 см2 и 130 У~3 см2 и О « 225 см2. 257. al /~2~; а У 2/^2. 259. .260. а2; а2 у~2~ 83
267. 72 дм2. 268. 3Q ]/ 2 . 269. 108 см2. 270. Увеличится в 2 раза. 271. 562 см2. 272. 720. 273. 540 см2 » 935 см2. 274. a2(2 + V~2-). 275. а2 + ЪаЬ /Т. 276. 373 см2. 277* 180 см2. 278. 3:1; 6 sina:l. 279. Указание. Показать, что сечение есть ромб, диагональ которого равна диагонали основания призмы. 24 (6 4- + 5У~2Г)см2 ж 314 см2. 280. ЗаЬ. 281. 2c/Q~(l + /~2). 282. 120 м2. 283. 2а /4*2-а2 при b > • 284. 492 см*. 285. ab + 16*2- 9а2 при Ь > а^3 286. 2а*. 287. 10 (6 + 7 / 3) см* » 180 см*. 288. 2аЛ / 6. 289. 1) 54 м2', 2) 125 м\ 3) 6 лин. ед. 290. В 63 раз. 291. 1) » 8,4. 2) ^30 мм. 292. 1) 60 мм\ 2) « 59 мм. 293. 1) 512; 384; 96; 8; 2) в 9 раз. 294. 1) 15 л; 2) ^20 см. 295. 0,67 м\ 0,44 м. 296. 1) « 1500; 2) 105. 297. Да, грузоподъёмность плота больше 5 Т. Да, изменится, если п #= 5. 298. 1) ^33 кГ\ 2) л 25 кГ. 299. « 7,7 ( ± 0,4) м. 300. 3 м. 301. /32^. 302. 60. 303. 17 280 см*. 304. 1) а2Ь^ 3 ; 2) а2*; 3) fe^ jC3 . 305. 1) х 4,85 см; 2) х 7,37 см; 3) «3 см. 306. 150 000 кГм. 307. «9,3 ц. 308. Q2/3 . За 2Q/3-. 309. «40 7. 310. 2,8 дм*. 311. 90(8— /3) см* х 564 см*. 312. 30 кГ. 313. 70 м* в секунду. 314. « 42 000 м2. 315. ^0,1 м\ «4 Т. 317. —[_ » ~~4~~ ’ 818. Искомая плоскость проходит через точку ребра параллелепипеда, делящую это ребро в отношении тп : п. 319. 135. 320. а3-К.3. 2 321. 120 дм*; 148 дм2. 322. a*Y 2. 323 а* У 2 2 ' 1 г— 324. -^аЬсУ (a + b)cY^ ; 45°. 325. 2 м*. 326. b*-h 5 ‘ QH 327. —. 328. а 1:1. 329. 40 дм*\ 68 аЬс дм*. 331. —. 334. 24 см3. 335. 336. 850; 338. 1) 720°; 2) 1 080°; 3) 360° (п— 1). Q1Q2 2а ‘ 339. Двугранный угол всегда острый. Боковое ребро больше радиуса основа- ния, апофема пирамиды больше апофемы основания. 340. Сторона АС должна быть равна стороне правильного и-угольника, а АВ=ВС—больше его радиуса. 341. При п = 3; п = 4; п = 5. 342. Нет. 344. Сумма углов В, Е и М должна быть меньше 360° и каждый из них — меньше суммы двух других. Необходимо, чтобы АВ = ВС = ED = EF = LM — MN. 345. Углы В, Е и М должны удовлетворять тем же условиям, как и в зада- че № 344. Стороны одного треугольника, например АВС, могут быть произвольными. Тогда в другом треугольнике DEF одна из сторон, заключающих угол Е, например DE, должна равняться или АВ, или ВС. Если DE = АВ, то в треугольнике LMN должно быть LM = EF и MN = ВС. 346. Стороны и углы трёх из этих треугольников АВС DEF и KLM, должны удовлетворять условиям, аналогичным тем, ко- торые указаны в решении предыдущей задачи. Тогда стороны тре- угольника NPR должны быть соответственно равны сторонам AC, DF 84
и КМ. 347. Двугранный угол при боковом ребре правильной пира- миды больше плоского угла её основания. 348. 1) 2; 2) 5; 3) -—• 349. 1) Линия пересечения поверхности данной пирамиды с плоскостью, проходящей через середину стороны, которая заключена между задан- ными вершинами, и через высоту пирамиды. 2) Линия пересечения поверхности данной пирамиды с плоскостью диагонального сечения, проходящего через другие вершины основания пирамиды. 350. 1) Мно- жество всех точек высоты (за исключением её концов) данной пирамиды; 2) множество всех точек диагонального сечения (за исключением точек его контура), проходящего через две вершины основания, не принад- лежащие заданным боковым граням данной пирамиды. 356. 72 см. 357. а а“. 359. 1) Любой треугольник; 2) прямоугольный параллелограмм; 3) равнобедренная трапеция. 360. 1) Остроугольный; 2) тупоугольный; 3) прямоугольный. 364. 1) Любой треугольник; равносторонний параллелограмм; 2) четырёхугольник, у которого сум- Ь2 — 4а2 ма противоположных сторон равна сумме двух других. 366. —. 367. 3 ребра. 368.45°; 90°; 90°. 371. Зд2 abV 3 2 /Зд2 _ 462’ V Зд2 _ 462 • 373. тп У2 .. 374. 4 375 - 375. 2 > 2- 384. 22.; _2- 16 4 У7У-т2 Q 16 385. 1) hV^-9> 2 п 386. h , 387. — < У3 2 а 2 388. ab У2 389. “У™~ 390. 5д У4^2 ~ ян.ыУУ 16 4 36 36 392. 2аЬ 9 * 394. Когда хотя бы одно из рёбер данной пирамиды больше а. 395. 13 дм2. 5ak 396. —• . Ы2 \h2 103. — • 404. -3-« 405. 3*2. 406. а2УН" 407. За2 . 408. д2 409. Зд2 (3 + /3~) 2 ‘ 2 3 4 410. А2(3 + /3). 411. 412 1089 25 413. 2 415. 3024 см\ 416. 2(2/5 + /Г) см2 я 11,8 см2. 417. 262. 419. 2:1. 420. 180 ДА 421. 125 дм2. 422. , 24,01 м2. 423. 20/2сл/2~28, 3 см2. 424. 79,2 зА 425. 320 <ЪА 426. ISOcjA 427. 54 сдА 428.^1 4 (4+/3+/7j. 429. ^2(1 + V5~). 430. 2(11+ /34) .+ ~ 33J М2, 431. ^660/си. 432. 16 см. 433. « 15 мм. 434. Две плоскости, параллельные пло- скости основания пирамиды и удалённые от неё на расстояние, равное вы- соте пирамиды. 437. . 438. _8 см2 ж 4,6 см2. 439. 18 К 440. 441. 442. а(2У3. 443. . 444. аЦЗ+УЗ); 6 4 12 6 ’ 5д3 “• 85
445. VTI Лм3«3,3 дм3. 446. 3- 6 ' 449. 2400. 450. — + Ь\ 451. 12 453. 2//3/3~. 454. 2688 см3. 455. «2а 9 447. а3У6. 448. 48 см3. 2 452. ®^. 12 ' 9 и 0,3а. 456. Искомая плоскость проходит через точку, делящую одну из сторон основания в отно- шении т\ п, и через противолежащее боковое ребро данной пирамиды. 459. Объём V данной пирамиды вычисляется как разность между объёмом дз куба и объёмом пирамид, дополняющих данную до куба. V = —g. 460. Ис- пользуя результат решения предыдущей задачи, найдём искомый объём пирамиды V=—. 461. .1/1 462. ИХ 463. Указа- н 24 4 24 16 н и е. Использовать предложение, доказанное в задаче № 372. Объём дан- 16а3Ь3 3(а2 _ 2Ь2-^а2 ной пирамиды abh . abh . abh ~48"’ ’48“’ 465. -К; 469. Нет. 8 8 2 473. дм x 3,5 дм. 474. 4 см. 2 475. 2УЗсмхЗ,5см. 476. hy<P — h? . 482. . 483-2511сл2«56,6сл2. 484. 4 см3. 486. 11/1. 2 У казаки e. Показать, что диагонали се- чения взаимно-перпендикулярны. 487. . 488. Сечение—прямо- 8 угольник. 490. Q+.4}^Q<7-1-4g . —Указан и’е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи. 493. S3 = [ а2+Ь2+ +(а+&)/12йЧ-(а —Z>)2j; 54 = a2+Z>2+(a+&)/4ft2+(a—Z>)2;S0=2|^ а2/3 + + 62 yr3+(a+b)yr4h^+3(a~ by . 495. ab . 496. «11 з/2. 497. 16/15 см3х J л+b ^62 см2. 498. h(<lb—h) (1+/2). 499. /3 4 a2+b2+(a2 — Ь2)У$ 500. У Казани е. Сравнить площадь боковой грани усечённой пирамиды с площадью соответствующей грани параллелепипеда. 501. 34 дм2. 502. 11/ ^~д2) а<ЬУ2. 504. _L(a2-|-a&+Z>2) /3/2-(a-Z>)2; 2 2и -г Л 12, 1Да24-а/>+&2)]/213—(а—Ь)3; J^^+ab+b^ y^ — (а — by. 505. «4,5 Г. or 2 506. «НО Л3. 507. 13,8-1-. 508. 15,4 куб. ед. 509. JL(a3 —й3). 510. /1(а3 —&3). 511. я 46 дм\ 512. 2271 сл3. о 3 2 86
513. —д?£. 514. 13 с.и3. 515. 2abh . 516. 12 см2; 28 см2; 48 3 12 с>и3. Указание. Один из многогранников есть призма, основаниями которой служат трапеции, образуемые секущими плоскостями. 517. Нет. а У 521. Правильный тетраэдр с ребром 58=2Й2|/У; 522. $4=а2УЗ. 56=6а2; 520=5а2/3 ; 523. V6=a2. V4=—aty2. У8=-1-лз/2 . 524. 6:1. 525. 3:1. 528. 2 12 3 3 529. arccos — «70° 32'; 2 arcsiniS®.^ 109° 28'. 534. 2///?2 — а2 . 535. Здм. 3 3 536. I < х <У l2+4R2 . 537. 2 см. 538. 100 см2. Площадь второго квадрата рав- на 4 см2. 539. 2уЗсм « 3,5 см. 549. «900 Т. 550. « 77 м. 551. «8,5 см2. 552. «33 м. 553. «0,6%. 554. 20л щ2«62,8 м2. 555. 240. 556. 2,5л Ли2 «7,85 дм2. 557. лЛ4. 558. ^-/34а262 — 9а< — 256“ . 559.-|-(3 — 2/2)ла2. 560. 2а2л/Т. Указание. Радиус основания цилиндра равен высоте треугольника, обра- зованного диагональю куба, ребром куба и диагональю его боковой грани. Следует иметь в виду, что диагональ АС' куба перпендикулярна к сечениям куба, одно из которых проходит через концы рёбер, исходящих из верши- ны А, а другое — через концы рёбер, исходящих из вершины С'. 561. «16 м\ 562. «1,4——— 563. «45 гл. 564. «41 Г. 565. «7,75 %. сек 566. 2:1. 567. .2:1. 568. S1:S2 = 1:1. 569. 0,5 дм. 570. Да, нужно около 99 кГ. 571. ~12 мм. 572. ^380(±10) Г. 573. «240 Г. 574. «39лГ. 575. — 3/3) R2H(3n+3y3) . 12 12 576. «0,5%. 577. 578. 90. 579. 1924л см2х «6045 см2. 580. £^(2/3“—л). 581. «294 см2; «1241 см2. 8 тъ/п2г2 582. «1540 см2; «3920 см2. 583. «820 см2; «1432 см2. 590. ——v7- (m+пУ 591. Зсм. 592. б/Гсмх8,5 см. 593. гУг2+<Ш2 594. 596. 4 дм. 598. (2-/2) дм« 0,6 дм. л2 —а2 •601. Воспользоваться теоремой о свойстве радиуса окружности, проведённого в точку касания прямой. 603. 160°. 604. 1:1^13. 606. ZitRr r+R * 611. 612. Vm2+n2n2. 613. 1:/5. 615. 2,5; 1,5. 616. 1:/Г. 617. 24; 4/14^15. 619. ^(7+4/3"). 620. -> ™-------г; 6' /9а2—12/2 ’ 621. 77-1л дл2«244 дм2; Л?°КП дм2х51,6дм2. 622. 9 9 614. 4 ла2. 618. 242л«760. тиа3 З/а2— 12/2~’ 1 3 11_ ж2; ЗЗ-т-л*2. 4 4 87
623. У2 -1,41. 624. 625. 1,6. 626. ^(9г_2^УГ). 627. 27я дм3~ 85 дм3. 628. . 3. 629. 1) Не изменится; 2) умень- шится в 8 раз. 630. 1) 4; 2) 2. 631. 1) — л/; 2) 1 м. 632. 7 4 7 2 24 633. , 7^; ~к~. 634. 1 3/3 3 :7:19. 635. — г.Н3; 636. — /3У2 3 81 * 637. 216°. 638. -Us. 3 639. 16л —24/3 «8,7(сл«з). 640. — . 6 641. 7. 642. «4 7. 643. 1)- 243 V; 2) _?Z_V. 644. 1) _L дл«з; 1000 ’ ' 1О00 ' 2 ’ 2) — 7 8 0л<з. 646. 9-L. 648. 7 см\ 6 см. 649. 2^1. 650. 9 м2; 1 6л/2. 4 654. Указание. Дополнить усечённый конус до полного; через вершину конуса и хорду верхнего основания усечённого конуса построить плоскость. 655. 13О/Зсл«2«225 см2. 656. 5/2“ см к 7 см. 661. 6,5 дм. 667. а 86 кГ. 668. ж 150 см2; 300 см2. 669. 1) « 0,96 л/2; 2) практически невозможно. 670. 8. 671. 2rR. 672. . . 673. 1404л см2х 4410 см2. 2тс 674. 675. ^см2^14см2. 676. 20т: «62,8. 16 9 677. (3/Т + 2). 678. 60л «189; 100л«314; 140л«440. 679. 2 см. 680. 120°. 682. 1) у (7?з _ гз); 2) ILL3-(/?з _ Лз). 683. « 610 Г. 684. и 2%. 685. Выльется около 100 см3. 686. Тело утонет. 687. « 3,14 кГ. 688. 37 : 61. 689. 19л « 59,7(0л<з); 37л « 11 Ъ,*2(дм3); 61л« 191,6(<?-«3). 690. 84 л см3 « 264 см3. 691. 1 : /ТО. 692. 693. 63л/3^<1лгз~ « 343 дл/з. 694. 13ла26 695. 2 697. При усЛ0ВИИ1 что все 6 3 точки линии лежат в одной плоскости. 698. Сфера данного радиуса с цен- тром в заданной точке. 699. Прямая, перпендикулярная плоскости, прохо- дящей через три данные точки, и пересекающая эту плоскость в центре окружности, содержащей данные точки. 700. Пусть О — центр окружно- сти, проходящей через данные точки Л, В, С, и R— данный радиус. Тогда, если R>OA,— два решения, если R = О А, — одно решение и если R<OA, нет решений. 701. Центр искомой сферы можно отыскать при помощи геометрических мест точек, рассмотренных в задачах № 699 и № 101. Существование можно доказать методом от противного. 702. Все точки сфе- ры с центром в середине данного отрезка и радиусом, равным половине его, за К R2 л исключением двух точек — концов отрезка. 703,—704. у R2 —— • 1) « 1,85 км; 2) « 20 000 км; 3) « 630 км. 706. J1^ 3 ; -L3 . 1) Если a<R — две сферы, центры которых совпадают с центром 705. 707. 1) Если a<R — две сферы, центры которых совпадают с центром данной сферы, радиус одной из них R + а, другой R — а\ 2) если а = R, —со- вокупность центра данной сферы и сферы, центр которой совпадает с цен- 88
тром данной сферы, а радиус равен 2R. 708. Сфера, центр которой совпадает с центром данной сферы. Радиус этой сферы равен расстоянию от центра данной сферы до плоскости одного из сечений. 709. 1 см, 9 см. 710. « Y2RH, где R — радиус земного шара. 711. Z. 712. Р^У 3 • 713. Две плоскости, параллельные данной плоскос- ти и удалённые от неё на расстояние г. 714. 4:3. 715. 717. 5 см. 719. ТСГК15 . 721. JL(2/б'+ 3) ; j(2 /б"—3). 722. Зл/?2. 723. Увеличится в 4 раза, в 9 раз, в л2 раз. 724. ^0,07; 12 500. 725. « 330 л/2. 726. « 1360 см2. 727. « 36 кГ. 728. Большая поверхность равновелика сумме двух других. 729. 2кг2 • (5 + 2]/ТГ). Рассмотреть тетраэдр, вершинами которого являются центры данных шаров. 730. 1 :10. 732. 125 шаров. 733. В 8 раз. 734. » 0,25 млн. капель. з _______ 735. яг 6260 дробинок. 736. « 25 мм. 737. « 0,71 см. 738. К — fl j/\ _ _1_ . 4лО3 739. 3; 5. 740. —Л- • 741. 9,6л см* к 30 см*; 16,8 л см* » 53 см*. 742. лд6(6 4- 2m); 2л(д + Ь) (Ь 4- 2т). 743. 420л см* ~ 1320 см*; 480лсж3 яг Уа 745’ К = 3 г— Тла3/ 3 . 4ла (а 4-2Л); « 1510 см*. 744. 40,8л дм* « 128 дм*; 19,2 пдм* « 60 дм*. а 4- 2b nab* = 2а + ь - 746. -jy- 747. Ь: а. 748. Ьг.а*; 749. благ/з"; 4,5лд3. 750. 12лд3; Зла3/Г. 751. лД2/3(д + 2/г)^. 752> ла6 у в2 4- Ъ* . 753. л/ 3 (а + Ь)*; -^-(За* 4- 2~Q2 8~/?2m (т + п) + 3а£ + 62). 754. —у-- 755. 3:7. 757. --4^2 4! „2 " 758‘ 15’ 760. 4к/?2; 2к/?3. 761. ^65,4 см2\ ^48,7%. 763. • 764. 8 см или 2 см. 765. 5 -у см\ 6,4к ~ 20 (см). 766. 96к см2 ~ 302 см2. , г—у 5кг3. з 767. лг3(7 + 5/2). 768. 1) — > 2) r/TT. 769. г + /(</ + г)2 +~з ___________ 2______________ или г + У(d — г)2 + г2. 772- ~^У 21 см. ^3,06 см. 774. Нет. 775. Восполь- зоваться ответом на вопрос, поставленный в задаче № 774. 776. Уа2+Ь2+с2- 777. уг4/?2 — а2 • 779. Воспользоваться геометрическим местом точек, найденным при решении задачи № 94. 780. При доказательстве достаточ- ности показать, что если в перпендикулярное сечение призмы можно вписать окружность, то все биссекторные плоскости двугранных углов между боко- выми гранями призмы пересекаются по прямой, проходящей через центр этой окружности. 781. 4)^3 см ж 1 см. 782. 1 : ЗУЗ »0,19. 783. .4*VVV . 784. . 786. —r.h* 787. — . 788. 2/г2+д2 . Зр/7- 2а 3 2Л 4Л 789. л(д24-г/2). 790. -K?A2+.1.2^-. 791. Нет. 793. у- 89
794. 3 \ см. 795. а К6_.. 796. 180° —я. 797. . 3 4 12 6 798. _i(2yr~3"_ з). Показать, что проекция центра шара на плоскость осно- вания находится на биссектрисе угла ВАС и отстоит от стороны АС на рассто- яние, равное радиусу шара. Выразить высоту основания пирамиды через радиус шара. 800. 3534 см3. 802. \см. 805. » 30 л/2. 806. 6]Л 2 сл/2^8,5сл/2. 807. ~ 38 листов. 808. = 4 :6 : 9 = Уш : Уц : Ук. 809. 29/Т — 32^9 (см). 810. . 811. . Показать, что противоположные грани правильного октаэдра параллельны и перпенди- куляры, опущенные из точки пересечения диагоналей октаэдра на две противоположные грани, составляют прямую, проходящую через центры этих . й1. (а+Ь)3 граней. 813. ——===-• н 4аЬУ а2 + Ь2 814. Пусть ABCD есть сечение призмы плоскостью, параллельной диагонали перпендикулярного сечения. Через соответствующую диагональ четырёхугольника ABCD провести плоскость а, параллельную плоскости пер- пендикулярного сечения, и рассмотреть ортогональные проекции сторон че- тырёхугольника ABCD на плоскость а. 815. . Показать, что от- резок, соединяющий середины противоположных рёбер правильного тетра- эдра, перпендикулярен им. 817. 5 . 818. 3 . Пусть пересекающиеся высоты пирамиды проведены из концов ребра а, которое является скрещивающимся относительно ребра Ь. Рассмотреть взаимное положение ребра b и плоскости, определяемой пересекающимися высотами. 820. Допустим, что пересекающиеся высоты проведены из концов ребра пирамиды SABC. Рассмотреть взаимное положение ребра Л5 и плоскости, определяемой ребром ВС и высотой CF пирамиды и затем взаимное положение плоскостей ASC и BCF. 823. • 826. 1) Перпендикуляр, опущен- ный из данной точки на плоскость данного круга, пересекает окружность. 2) Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость круга, не. пересекает окружность. 3) Точка может быть взята в пространстве произвольно. 827. — l/^2 — — • 828. ). 830. Периметры равны, а пло- 6 г 2 3 Ь2 а2Ь2 щади относятся, как 2:2:3. 831. ---г --. 832. • г . - • 21/*2 _ б/а2+62 833. 834. °.25Qj 1.75Q; 836. а(4±/7) . /2 _ _ 838. Y 2 + Y 3). Одна из граней призмы есть прямоугольник.
СОДЕРЖАНИЕ § 1. Аксиомы стереометрии. Взаимное положение прямых. Угол двух скрещивающихся прямых ...................... 3 § 2. Параллельность прямой и плоскости..................5 § 3. Параллельность плоскостей..........................7 § 4. Параллельное проектирование...................... 8 § 5. Перпендикулярность прямой и плоскости.............11 § 6. Ортогональные проекции точки и прямой. Угол пря- мой с плоскостью.................................... 13 § 7. Двугранные углы. Перпендикулярность плоскостей . . 18 § 8. Многогранные углы ........................20 § 9. Призма..........» . . ............................21 Практические упражнения...................................26 § 10. Поверхность призмы................. ... . .27 § 11. Объём призмы , ............... . ...............29 § 12. Пирамида . . ,................................. 35 Практические упражнения ..................................40 § 13. Поверхность пирамиды . ....................... .41 § 14. Объём пирамиды........................ . . 43 § 15. Усечённая пирамида.................. . . . 46 Практические упражнения ..................................49 § 16. Поверхность усечённой пирамиды....................— § 17. Объём усечённой пирамиды..................... . 50 § 18. Правильные многогранники 51 § 19. Цилиндр........................................ 52 § 20. Поверхность цилиндра........................... 54 § 21. Объём цилиндра . . 55 § 22. Конус..................................... . . 58 Практические упражнения ..................................60 § 23. Поверхность конуса......................... ... 61 § 24. Объём конуса................................... 62 § 25. Усечённый конус................................ 64 Практические упражнения ..................................65 § 26. Поверхность усечённого конуса ......... 66
§ 27. Объём усечённого конуса .... . 68 § 28. Шар.......................................... 70 § 29. Поверхность шара.................. . • 72 § 30. Объём шара..................................... — § 31. Тела вращения............................. ... 73 § 32. Вписанный и описанный шары................... . 74 § 33. Смешанный отдел.................. • .... 78 Ответы...........................................82 3. Я. Квасникова, А. И. Поспелов, Е. Н. Ермолаева, Н. М. Калиткин Сборник задач по геометрии Стереометрия, 9—10 кл. Редактор В. С. Капустина. Художественный редактор Н. А. Володина, Технический редактор М. Д. Козловская. Корректор М. В. Голубева. * Сдано в набор 9/П 1957 г. Подписано к печати 29/VII 1957 г. 60 X 92 716. Печ. л. 5,75. Уч-изд. л 5,70. Тираж 10 тыс. экз. А 06372. Учпедгиз. Москва, Чистые пруды, 6. г. Минск. Полиграфический комбинат им. Я. Коласа. Зак. 34. Цена без переплёта 75 коп.., переплёт 30 коп.