СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО	8
ГЕОМЕТРИИ	I
..	.	.	7
Допущена Министерством просвещения СССР
в качестве учебного пособия	kJ
для студентов физико-математических факультетов	.
педагогических институтов
	 '•	;	-35
и
.. 	14
ПОД РЕДАКЦИЕЙ В. Т. БАЗЫЛЕВА	$
57
>3
. 52
66
.68
70
72
МОСКВА
^ПРОСВЕЩЕНИЕ**
3 1980
82
ББК 22.151я73
С23
В. Т. Базылев, К. И. Дун имев, В. П* Иваницкая, Г, Б. Кузнецова,
В. М. Маноров, 3. А. Скопец
Рецензенты:
Кафедра геометрии Пензенского педагогического института (зав. кафедрой доктор
физико-математических наук И, П Егоров), кандидат педагогических наук
В. А. Г у с е в.
Б	39—80	4309020400
103(03)—80
ББК 22.151я73
512
(g) Издательство «Просвещение», 1980 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
П редисловие
Раздел!.
- Элементы векторной алгебры.
Геометрия на плоскости.
Глава I. Векторы..........................................   s	8
§ 1.	Векторы. Сложение векторов. Умножение вектора	на	число	<	.	—
§ 2.	Координаты вектора ...	   12
§ 3.	Скалярное произведение векторов	*	......	.	.	.	,	13
Глава II. Метод координат на плоскости.....................	»	17
§ 1.	Система координат на плоскости .	t...................... —
§ 2.	Прямая линия. Окружность ..........................г	.	20
§ 3.	Разные задачи........................................      29
Глава III. Преобразования плоскости	 ........................ 34
$ 1.	Отображения_	........... —
§ 2.	Перемещений/ ....................................    .	35
§ 3.	Подобая ...... . . ... ..............................*	41
§ 4.	Аффинные преобразования . ................................ 44
§ 5.	Группы преобразований ................................	.	48
§ 6.	Разные задачи ........................................	59
Глава IV. Линии второго порядка . ................................ 53
5 1. Эллипс . . ..........................................*	—
$ 2. Гипербола .............................................    57
§ 3.	Парабола ...............................................   69
§ 4.	Общее уравнение линии второго порядка..................... 62
Р а з д е л 2.
Прямые линии, плоскости и квадрики
в евклидовых и аффинных пространствах.
Глава 1. Метод координат в пространстве. Векторное и смененное про
взведения векторов .... *................................. 66
5 Г.	Метод координат в пространстве ............................... —
§ 2.	Векторное произведение векторов ............................. 68
J X	Смешанное произведение векторов ............................  70
Гл а в а И. Плоскости и прямые ......................................  72
§ 1.	Плоскость .................................................... —
§ 2.	Прямая линия- Прямая н плоскость............................  76
§ 3.	Разные задачи .............................................   80
Глава-Ш. Поверхности второго порядка ................................  82
$ 1. Цилиндрические и конические поверхности второго порядка
Поверхности вращения .......................................
3
§ 2.	Эллипсоид	. ...................	34
§ 3.	Гиперболоиды ............	. . . . ; . . .	87
§ 4.	Параболоиды . . . . . . . ...... .. ........	89
Глава IV. Аффинное «евклидово «-мерные пространства	.	,	.	*	.	90
§ 1.	Аффинное «-мерное пространство .......	*	.	.	.	*	—
§ 2.	Евклидова «-мерное пространство . , .....	.	.	.	«	.	95
Глава V.- Квадратичные формы и квадрики...102
§ 1.	Билинейные и квадратичные формы .............	—
| 2.	Квадрики ........................................... 104
Гл а в а-VI. Выпуклые многогранники ..............	107
§ 1.	Выпуклые фигуры. Выпуклые многогранники .............  —
§ 2.	Правильные и лолуправмльные многогранники .......	109
Р а з д е л 3.
Проективное пространство.
Методы изображений.
Глава I. Проективное пространство ..............	112
§ 1.	Проективное пространство. Проективные координаты ....	—
§ 2.	Теорема Дезарга .....................  115
§ 3.	Проективные отображения и преобразования ........	117
Глава П. Основные факты проективной геометрии ........	119
§ 1.	Сложное отношение; Гармонические четверки. Полный четырех-
вершииинк ......................	—!-
§ 2.	Проективные преобразования прямой и плоскости ......	120
§ 3.	Кривые второго порядка на проективной плоскости ... ..» .	123
§ 4.	Проективные, модели аффинной н евклидовой плоскостей * \ .	126
Глава III. Геометрические построении на евклидовой плоскости ...	127
§ 1.	Метод пересечений ....................	.	—
§2.	Метод преобразований	.	129
§ 3.	Алгебраический метод	..................	131
J 4. Разные задачи ............... * . ; * . .	132
Глава IV. Методы изображений ................	133
§ 1.	Параллельное проектирование , . ..... ........... —•
§2. Аксонометрия	. . . ...................  135
§ 3.	Позиционные и метрические задачи ............	137
§ 4.	Метод Монжа	..... ................ .	140
§5.	Перспектива	.....................	141
Раздел!
Основания геометрии.
Неевклидовы геометрии.
Глава I. Основания геометрии .................	144
§ I.	Общие вопросы аксиоматики ......................  —
§ 2.	Система аксиом Вейля. Система аксиом школьного курса гео-
метрии	........................	145
Глава П. Неевклидовы геометрии ...............	148
§ 1.	Сферическая геометрия ....... . ........ .	—
§2.	Эллиптическая геометрия Римана .............	152
§ 3.	Гиперболическая геометрия Лобачевского .........	153
Р аз де л 5.
Элементы топологии.,
Линин я поверхности в евклидовом пространстве.
Гл а в a L Элементы топологии	156
§ 1. Топологические пространства. Гомеоморфизм ........
§ 2. Многообразия. Эйлерова характеристика .........	158
4
Глава П. Линии в евклидовом пространстве . . . . . . .	.  <	159
§ 1.	Гладкие кривые. Касательная. Длина дуги ..........	—
§ 2.	Канонический репер	кривой.	Кривизна и	кручение . .	.	.	,	162
Глава Ш. Поверхности в евклидовом пространстве .......	165
§ 1.	Гладкие поверхности.	Касательная плоскость н нормаль	...	—
§2.	Первая квадратичная	форма	поверхности	, .. . . ......	*	*	.*	166
§ 3.	Вторая квадратичная	форма	поверхности.	. . .. ...... .	.	.	.	169
Глава д о п о л н итед ьн а я. Планиметрические задачи на вычи-
сление. ........................................................  .	170
§ 1 Треугольники.	—
§ 2. Многоугольники. .............................................  174
$ 3. Окружности и круги. . .....................................    176
„ Ответы и указания. . .... . . . . . .	........	180
Список иснользэвани эй литературы . ...................................	238
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по геометрии для студентов педа-
гогических институтов содержит около 1900 задач и упражнений,
охватывающих все разделы программы по геометрии для пединсти-
тутов. Он рассчитан на обеспечение заданным материалом теорети-
ческого курса, изложенного в пособии «Геометрия», I и П, написан-
ном авторским коллективом в составе В. Т. Базылева, К- И. Дуни-
чева, В. П. Иваницкой. Как известно, указанный теоретический
курс значительно отличается от других пособий наличием тесных
внутренних связей со школьным курсом геометрии, а также рядом
других теоретических и методических аспектов. Поэтому соответ-
ствующий этому .курсу задачник необходим.
В целях усиления профессиональной направленности в обуче-
нии геометрии будущих учителей математики в задачах сборника,
как правило, использованы фигуры школьного курса геометрии.
Таким образом, не только в соответствующих разделах лекционного
курса, но и с помощью заданного материала студент получает воз-
можность углубленного изучения того «запаса фигур», с которым
он будет за^ем иметь дело в школе.
Все задачи распределены по разделам и главам соответственно
программе 1977 г. курса геометрии в педвузе. Дополнительная
глава содержит планиметрические задачи на вычисление, решение
которых предусмотрено объяснительной запиской к программе.
Число задач в. главах различное в зависимости от того, какое ме-
сто тот или другой раздел программы уделяет решению задач и в
какой мере он связан со школьным курсом геометрии.
Каждая из групп авторов (московская группа: Базылев В. Т.,
Дуничев К. И., Иваницкая В. П., ярославская группа: Кузнецо-
ва Г. Б., Майеров В. М., Скопец 3. А.) подготовила примерно поло-
вину задач, включенных в сборник. Несколько задач представила
Е. М. Белоногова, за что авторы выражают ей признательность.
Отдельные задачи сборника могут быть использованы в работе
студенческого кружка по геометрии нли послужить отправным
пунктом курсовой работы.
Авторы,
«
Раздел 1.
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОЙ
АЛГЕБРЫ.
ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ

Глава I.
ВЕКТОРЫ '
§ 1.	ВЕКТОРЫ. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
К Дан параллелепипед АВСРА*В'С*Р\ Среди направленных
отрезков AW, С'Р',СВ\ УВ4 * * 7, ААС\РС, DA,AA\CC, РР' указать
отрезки: а) эквиполлентные Л В, Л С, ВС, В В'; б) параллельные, но
не эквиполлентные АА'\
2.	Пусть Л, В, С, D -'-произвольные точки и пусть М, N, Р,
Q — середины отрезков [ЛВ], [SC1, [СР], ЮЛ] соответственно.
Доказать, что направленные отрезки MN и QP эквиполлентны.
3.	Доказать, что отношение эквиполлентности на множестве W
всех напраренных. отрезков является отношением эквивалентнб-
сти/т, е. оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.
4.	Будет лн отношение т на множестве W направленных отрез-
ков отношением эквивалентности, если
(]ЛВ| - |С£>|, ЛВ f|CD) (УЛВ, СР £ Г).
5.	Доказать, что отношение коллинеарности векторов является
отношенной эквивалентности на множестве всех ненулевых векто-
ров. Почему это отношение не будет отношением эквивалентности
на множестве всех векторов?
6.	Дан вектор а, длина которого равна 3. Найти вектор b проти-
воположного направления с а, если j frj = 5,
7.	Доказать, что если точка М — центр тяжести (точка пересе-
чения медиан) треугольника АВС, то МА + МВ + МС = 0 и
для любой точки О справедливо равенство ОМ ™ — (ОЛ -Ь ОВ -ф
3
4- ОС) •
8. Пусть М, Р, Q— середины сторон [ЛЯ], [CD1, [SC], [D£]
пятиугольника АВСРЕ, а К, L — середины отрезков IМАИ,- [PQ].
Доказать, что прямые (АЕ) и (KL) параллельны н |7CL] ~ — |Л£|.
'	4
9. Записать в Векторной форме необходимое и достаточное ус-
ловие того, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом.
10. Записать с помощью векторов условие того, что точки Л, Д,
С, Р являются вершинами трапеции Л ДСП ((ЛВ) [[ (CD)).
В
U» Даны три точки А, В и С. Построить точку (Накую, чтобы
Q4— 2Q5 — QC-0.
12.	A, В, С нО — произвольные точки пространства* М и -N —
середины отрезков [4D] и |ВС]. Доказать, что 2MN — АВ 4- ОС.
13.	Отражение от точки будем обозначать той же буквой, что
в саму точку. ‘Доказать: для того чтобы точка С была серединой
отрезка [Л 81, необходимо и достаточно, чтобы композиция отраже-
ннй С * В ° С * А = е, где е — тождественное преобразование.
И*	Дана замкнутая ломаная ABCD. Точки К, В, Л1, N делят
отрезки АВ, ВС, CD, DA в одном и том же отношения X $= 1. До-
казать, что если KLM/V--параллелограмм, то и ABCD парал-
лелограмм. Остается ли верным это высказывание при % = 1?
15.	При каких условиях для ненулевых векторов а и b возмож-
вы следующие равенства: 1) | а 4- /Д — [ а — 6|; 2) а 4- b =*
= л £ — й; з) 4 = А; <) 1“ + *1 ~ й + r*i; 5) i«+^i *
|а|	|6|	
= Hal - 16lh 6) \а — Ъ\ - |в| +
16.	Доказать, что существует треугольник, стороны которого
конгруэнтны и параллельны медианам данного треугольника.
17.	Точка М[ “- центр тяжести грани тетраэдра A1Jf4s4s44,
противолежащей вершине 4г. Доказать, что отрезки- (/
= 1, 2, 3, 4) проходят через одну точку ЛЕ такую, что (4ZMZ, М) =*
*= 3 и М4( 4- Жа’-Й Жз + ЙЙ4 = 0. '
18.	Точка Л4 — цёнтр правильного многоугольника A... А№,
Доказать, что 4- ЛМ2 4- ... 4- МАЛ == 0 и Для любой точки
‘ О справедливо равенство:
ОМ = 1' (ОА, + ОА, + ...•+
И- .
19.	Доказать, что для каждого конечного множества точек
А1гА2, ... ,Ап (п > 1) существует единственная точка М, такая, что
4“ МД2 4-;... + МАп = 0, и для любой точки О справедливо
равенство ОМ ~ ~ (CMj 4- 0AЧ- 4-04Л).
л
20.	Записать в векторной форме необходимое и достаточное
условие того, чтобы точка М была точкой пересечения медиан
(центром тяжести) треугольника АВС.
21.	Отражение от точки будем обозначать той же буквой, .что
и саму точку. Доказать, что точка М ивляется центром тяжести
треугольника АВС тогда и только тогда, когда композиция отра-
жений	",	/ .
М ° С о М ° В ь	€,	'
где е “ тождественное лреобразовшШ
22.	На направленных отрезках ОА, ОВ, ОС построен паралле-
лепипед. Доказать, что диагональ I0D1 параллелепипеда пересекает
плоскость (АВС) в центре тяжести М треугольника АВС.
23.	Доказать» что центры тяжести четырех граней тетраэдра
являются вершинами тетраэдра, гомотетичного данному.
24.	В точках ЛД. М* Мп помещены массы тъ ..., тп.
1) Найти радиус-вектор ОМ центра тяжести этой системы материаль-
ных точек, зная радиус-векторы OMt =* (i ™ 1,... , л). 2) Дока-
зать, что сумма МЛД + MMZ 4- ... + ММа = 0, если
Л?2 ==г ... -™1 Л2д.
25.	Точки Ри Q — середины отрезков [АВ1 и |С1>] соответствен-
но. Доказать» что середины отрезков [АС], [BD] н [BQ] принадле-
жат од я ой прямой.
26.	Дан тетраэдр ABCD и точки В» Q, такие, что (АВ, Р) —
= (CD, Q). Доказать, что середины отрезков [AC], IBD] и [PQ]
принадлежат оддой прямой.
27.	В пространстве даны две тройки точек А, В, С и Аь Вь Ср
причем (АС, В) ~ (AiCltBs). Доказать, что середины отрезков
[AAJ, EBBJ, [CCJ принадлежат одной прямой.
28.	Доказать: для того чтобы точка С принадлежала прямой
(АВ), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое число а,
что ОС ~ аОА 4- (1 —а) ОВ» где О — произвольная точка.
29.	Доказать; для того «ггобъ* точка С принадлежала лучу [АВ),
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое неотрицатель-
ное число а, что ОС = (Г— а)ОА 4* а-ОВ, где О — произвольная
точка.
30.	Дано: ОС = аОА 4- рОВ. Каким условиям должны удов-
летворять числа аир, чтобы точка С принадлежала: I) прямой
(АВ); 2) лучу [АВ); 3) отрезку [АВ-1?
31.	Два направленных отрезка АВ и CD разделены точками М
к /V в ранных отношениях. Доказать, что векторы AC, BD, AW
компланарны.
32.	Доказать: для шеф чтобы четыре точки Аи Д2> А*, А4 при-
надлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы:
objPA-j Д сцРА* 4* а3РАа 4-	™ ()|
4- а2 4-	4- ct4 = 0J
где Р — любая точка и хотя бы одно 0.
33.	Череасередину ребра [0А] и центр тяжести грани АВС тет-
раэдра О АВС проведена прямая» встречающая плоскость (ОВС)
в точке D. Доказать, что 0D — ОВ 4- ОС.
34.	Через вершину С треугольника АВС проведена прямая Z,
пересекающая прямые (AQ н (BG), где Q — центр тяжести тре-
10
угольника, соответственно а точках А1 и Вх. Доказать, что (А Ах, G)-j-
-b.fBBj, С) = .1. Сформулировать и доказать обратное предло-
жение.
35.	Дан треугольник АВС и точки As, В^, Q,, такие, что (ВС,А^
— Xjt (СА, Bq) = %2, (АВ, Cq) = Х3, Доказать*, для того чтобы точ-
жж А9, Bq, Cq принадлежали одной прямой, необходимо н достаточ-
но, чтобы XjX2a3 = —1 (теорема Менелая).
36.	Некоторая прямая пересекает прямые (BQ, (СА), (АВ) со-
ответственно в точках Аг, В1( Cv Доказать, что векторы
ВС А- ДСх, СА + СХА1} АВ + AJ3} коллинеарны.
37.	Доказать: для того чтобы две противоположные стороны
четырехугольника были параллельны, необходимо и достаточно,
чтобы отрезок, соединяющий их середины, проходил через точку
пересечения диагоналей.
38.	Доказать: для того чтобы четырехугольник был параллело-
граммом, необходимо и достаточно, чтобы отрезки, соединяющие
середины его противоположных сторон, проходили через точку
пересечения его диагоналей.
39.	Точки f?1( В\, В3 принадлежат соответственно сторонам
треугольника АгА 2А 3, причем центры тяжести треугольников
ЛрАИз и В1В%В3 совпадают. Доказать, что точки Вь В3, Bs делят
стороны треугольника 4iA2A3 в равных отношениях.
40.	Через две противоположные вершины параллелограмма
проведены прямые, пересекающие его стороны или их .продолжения
в четырех точках. Доказать, что эти точки являются вершинами
трапеции или параллелограмма.
41.	Проверить, что множество комплексных чисел а + bl (i2 =*
== —lt b С В) образует векторное пространство..
42.	«Вектором» будем называть одностолбцовую матрицу вы-
соты п с элементами из данного поля К, причем . ?
Доказать, что множество таких матриц образует векторное про-
странство.
43.	Пусть С — множество непрерывных функций f (х), задав-
ших на промежутке, [а; Я. Проверить, что естественные операции
превращают множество С в
векторное пространство.
44.	Пусть F и F — подпространства векторного пространства
К Доказать, что их пересечение является векторным подпростран-
ством.
11
$ 2. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
45.	Дана трапеция ABCD (DC = kAB). Точки М и N — сере-
дины оснований 1ДВ} и WCJ, (ЛС) f| (DB) Р.
1) Приняв векторы АВ и AD за базисные, найти координаты
векторов СВ, ММ, АР, РВ.
2) Приняв векторы РА и РВ за базисные, найти разложения
векторов АВ, ВС, CD, DA.
46.	В треугольнике АВС проведена биссектриса [ДО] угла А. Раз-
ложить вектор AD по векторам АВ и АС. •_
47.	На плоскости даны три вектора своими координатами от-
носительно некоторого базиса: а (4; —2), b (3, 5), —2, —12),
Представить вектор с как линейную комбинацию векторов а и Ь.
48.	Даны иеколлинеариые векторы а, Ь\ Доказать, что система
векторов tn = За -^b, п = 2а -f- b,р — а 4- 3& линейно зависи-
мая, векторы п, р ие коллинеарны. Разложить вектор т по векто-
рам п, р.
49.	Относительно базиса с2 вектор а имеет координаты (2, 1).
Найти координаты вектора а относительно базиса е[, е2, если
I) = 4еь е' == —-с2: 2) е[ — Зех — е2 = —2^ 4- е2.
и
50.	Пусть elt es — базис пространства V. Доказать, что векто-
- -> . ** »> .
ры а =	+ о2еа, b =	4- Ь2е2 коллинеарны тогда и только
тогда, когда
! =5 0
,, : .	м2|
5L Точка М — центр тяжести треугольника АВС. Найти ко-
ординаты векторов АВ, ВС, AC, AM в базисе МВ, МС.
52.	Точка М — центр тяжести треугольника АВС. Разложить:
1) МА по векторам ВС, СА; 2) АВ по векторам МВ, МС', 3) ОА по
векторам ОВ, ОС, ОМ, где 0 — произвольная точка пространства.
53.	Четырехугольник АДбуЭ! симметричен параллелограмму
ABCD относительно точки 0» расположенной вне плоскости (АВС).
Приняв векторы ОА, ОВ, ОС за базисные, найти координаты век-
торов ДхДи DDj^ и АР, где Р — середнна [ДА!.
54,	Среди векторов at (0, —3, 0), а2 (—2, 0, 5), а3 (0, 2, —1),
а4 (0, 0, 4), аь (1, 0, 0), а9 (0, 1, —3), а, (1, —2, 3), а8 (0, 0, 0), за-
<2
IF 7	у '  
I	. 	'
; данных в базисе е2, e3, указать векторы: J) коллинеарные e2;
2)	компланарные с векторами е2 и е3.
55.	В базисе elt,e2r es даны векторы р ( ~3, 6, —13), а (1, О, —2),
6(1, —1, 3), с (—2, 3, 0). Представить вектор р как линейную
комбинацию векторов а, Ь, с.
56,	Даны три некомпланарных вектора е2, е3, Пусть АВ € е19
АС € е2, CD € е3, ABt £ CDi (Va£ /?). Убедиться,
что векторы AC, CD -Ь BA, B1D1 компланарны.
57.	Точка О — середина гипотенузы [ЛЙ1 прямоугольного тре-
угольника Л ДС. Точка D симметрична вершине С относительно
прямой (Л В). Доказать, что
OD =- ОС — (2 cos 2А) ОА.
ч	-
58.	Направленные отрезки (М £ а, ОВ СЬ отложены от точки
О (a#h). Выразить через а и b какой-либо вектор, коллинеарный
биссектрисе угла ЛОВ.
59.	В пространстве даны такие точки Л, В и С, что (ЛЯ, С) =
н произвольная точка М $ (ЛЯ). Разложить: 1) ТИС по МА и МВ\
2) АЙ по МЛ и Ж?; 3) ЛВ по МЛ \\ МС.	_	>
60.	Точки Р и Q —середины противоположных ребер 1ЙС1 и
[AD1 тетраэдра, С -—его"центр тяжести. Приняв векторы СЛ, СВ,
GC за базисные, найтн координаты вектора PQ.
61.	Даиа треугольная призма ЛВСЛ^^. Приняв векторы
АВ, АС, ААг за базисные, найти координаты вектора МЫ,где М —
центр параллелограмма ВСС^, V — центр тяжести'треугольника
AiBiC^
62.	Основанием пирамиды SABCD служит параллелограмм
ABCD. Приняв векторы 5Л, SB, SC за базисные, найти координа-
ты векторов SD, SM, MB, SP, АР, где М — середина отрезка
[ЛО], (ВС, Р) = 2.
§ 3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
63.	Убедиться в том, что векторы р —а (В •/#) — Ъ (я • q)
и взаимно перпендикулярны.
64.	В ортонормированием базисе даны А В (2, 2, I) и ВС (1, 4, 8),
Найти cos АВС.
65.	Обладает ли скалярное произведение векторов свойствами,
аналогичными следующим свойствам произведения чисел: 1) если
13
ab = 0, ^a; хотя бы одна из чисел а и Ъ равно нулю; 2) ab — Ьа;
3) еслн ab — cb и b 4= 0, то а ~ с\ 4) (а + Ь) с ~ ас 4- Ьс; 5) а (be) ~
(ab) с.	•
66» Дж караллешграшт ABCD. Дать геометрическое истолко-
вание равенств: I) (ДО + ABf — (ДО — АВ)2 — 4AD • АВ1
2) (АО 4- АВ)2 + (АО — АВ)2 = 2 (АО2 4~ АВ2);
3)	(АО 4- Аф (ДО — АВ) - АО2 — АВ\
67.	Известно, что векторы ац. Ь, с ненулевые и вектор а не орто-
гонален векторам Ь, с. При каком условии выполняется равенство
а ‘ b ™ а * с?
68,	Доказать, что в треугольнике АВС угол АВС прямой тогда
и только тогда, когда |АС|2д= |АВ|2 4" |ВС|*.
69.	Доказать, что сумма квадратов длин медиан треугольника
3	‘
равна — суммы квадратов длин его сторон.
4г
70.	Вычислить длины диагоналей параллелограмма A BCD, если
известно, что АВ — 2а.— b, AD = а 4- 36, где [а| = 3, 16|. ~ 2,
3
71.	Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей трапеции
равна сумме квадратов длин ее непараллельных сторон, сложен-
ной с удазетьж произведением длин оснований.
-72	- Доказать* что сумма квадратов длин диагоналей четырех-
угольника равна удвоешаой сумме квадратов длин отрезков, соеди-
няющих середины его противоположных сторон.
73.	Доказать, что сумма квадратов длин сторон четырехуголь-
ника равна сумме квадратов даж ета дожнажй. в учетверенного
квадраш	между серединами- злю диагоналей (теврема
Эйлера).
74.	Даде Ft-рямоугольник АЖХК Дашать,. что дтя любой точки
М пространства выполнятся равенства:
1) МА2 Чг 2ЙС2 == МВ3 -4 ШЙ; 2> ЖА - МС= MB* MD.
75.	Величины плоских углов трехгранного угла равны 45®,
45°, 60°. Найти величины двугранных углов.
76.	Даны три взаимна перпендикулярных луча [ОА), (ОВ),
[ОС) с общим началом. Найти угол между биссектрисами углов
ЛОВ w ВОС.
77.	В кубе найти величину угла: 1) между его диагональю и
скрещивающейся с.ней диагональю грж$; 2)
мися диагшадмш двух соседних граней; 3) между диагональю куба
и пересекающейся с ней диагональю грани.
78.	Найти величину угла ВАС равнобедренного ^реугольнжа
АВС, зная, что медианы [ВВД н. ГССД проведенные из вершин
основания, перпендикулярны.
Г4
78. Пусть IВВ0] — высота треугольника 4 DC. Разложить век-
тор ВВе по векторам базиса ЛС, АВ.
80» Дан вектор a (alt а2) относительно орттгор^шрокангюго
базиса i, /. Найти координаты вектора х, такого, что х X а, ]х| =
-|а|.
81. На сторонах L4D], [ВС] квадрата 4DCD сотаеоствбин©
даны точки Р и Q, такие,, что ,| ВР| = | BQ|. Пусть [ВИ] — высота
треугольника ВРС. Доказать, что (HQ) X (HD).
'82. На гипотенузе 1Л/Л прямоугольного треугольника АЖ
построен квадрат, центр которого лежит по разные стороны с
вершиной С от прямой (АВ). Найти j М0С|, зяая, что '| ЛС| “
|ВД = а.
83. В ортонормированием базисе г, / найти координаты вектора
с, определяющего направление биссектрисы угла, образуемого не-
нулевыми векторами а = ati + си /, b = bt i + &2 j.
84» В треугольнике ABC точка D делит отрезок АВ в отноше-
нии К.	у »
1)	Разложить вектор СО по векторам базиса CAt СВ.
2)	Найти длину отрезка [СО], зная длины а, Ь^с сторон треуголь-
• ника {теорема Стюарта).
3)	Доказать, что если [CD] — биссектриса внутреннего (внеш-.
.	п |СЛ; л (СЛ|\
него) угла треугольника, то д (Л, — — j.
4)	Пользуясь теоремой Стюарта, найти длину
а)	биссектрисы внутреннего угла А треугольника АВС;
б)	биссектрисы внешнего угла.Л;
в)	медианы стороны [ВС].
7	85. Внутри выпуклого л-угольника F дана точка М9. Доказать,
что существует такая сторона многоугольника F, что основание пер-
пендикуляра, проведенного к ней через точку является ее *
внутренней точкой.
8&	Пусть А2А2 ... А.,—простой п-угольняк (его граница не
имеет самопересечений)., в котором	== ц и -эд— величина
внешнего угла при вершине А^. Доказать, что
cos фх + а3 cos (фА 4- ф2) 4-	cos (фч 4- Фа -X — +
4- Фл) = О,
аг sin фх 4- а2 sin (фд 4- ф2) X .....4- а.я sin	+ ... +
+ Фя) = 0-
87.	Даиа плоскость 5 и точка А $ 2. Найти множество всех
точек F, таких, чтобы АX * AY = d2, где X = [AY] f) 2.
88.	Даны два иеколлииеарных вектора а и Ь. Решить относи-
тельно х уравнение:
а2-4-ха ' Ь _ z?a 4~
| а | ] а 4“ i | Л ] [ а 4~ Ь |
45
89.	В треугольнике АВС проведена медиана [СМ Г и биссектри-
са [CCjL Построена прямая, симметричная (С/И) относительно
(CCJ, пересекающая (АВ) в точке Са. Доказать, что | АС2 |: | С2В| =
- | АС|*: | ВС|3. /
.90; Выяснить геометрический смысл решений уравнения
а * х где а — данный ненулевой вектор, k — данное число,
х —' искомый вектор. ~-
9L Даны три некомпланарных вектора а, 6, с. Найти вектор р,
перпендикулярный плоскости, которая параллельна векторам ан Ь.
92.	В треугольнике две медианы конгруэнтны. Доказать, что
треугольник равнобедренный.	.
93.	A BCD — квадрат, В — середина стороны [ADJ, F € (АС),
Р^ А. Доказать^ что, для того чтобы прямые (ЕЕ) и (ЕВ) были
взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
(АС, Г) ~ 3.:
94.	Точка D — середина основания, равнобедренн ого треуголь-
ника ABC (| СА [ | CBj), точка £ — Основание перпендикуляра,
проведенного через точку D к прямой (ВС), F — середина отрезка
[МТ Доказать, что прямые (АЕ) н (CF) взаимно перпендикулярны.
95.	В прямоугольном треугольнике АВС (С « 90°) проведена
высота [CD1. Прямая (AM), где М — середина высоты [CD], пересе-
кает катет (СВ1 в точке Р. Доказать, что |СР|:	» cos2 А,
96.	В ортонормированием базисе даны неколлниеарные векторы
а (а1’ Pi» Vi) и &	р2, Найти координаты единичных векто-
ров, перпендикулярных каждому из векторов а и К
97.	Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник
ABCD, основанием высоты пирамиды — точка О пересечения
диагоналей этого прямоугольника. Устаиовить зависимость между
косинусами углов A SB, BSC, ASC.
98.	Вычислить косинус угла ф между ребром с трехграиного
угла Oabc и его ортогональной проекцией h на плоскость противо-
лежащей грани, если плоские углы трехгранного угла равны а, ₽, у.
99.	Каково взаимное расположение сферы (О, R) и плоскости,
если ОР • ОА ' — где А — дойная точка сферы, Р — произволь-
ная точка плоскости.
100.	К сфере в ее точках А и В проведены касательные плоско-
сти Q и X. Через середину М отрезка (АВ1 проведена произвольная
прямая Z, пересекающая сферу в точках U и V, а плоскости — в
точках X и F. Доказать, что если MU == kte, MV k$, MX• =
— £3e, MV — to .
...'•.•Г ;	'
' ->	^2:	-' ^3	k^'
где e — направляющий вектор прямой L
(01. Вокруг тетраэдра ABCD описана -.-сфера; Прямые (GA*
(GBj* (GCi, (GD) (G центр тяжести тетраэдра) пересекают сферу ?
вторично в точках Аи Ви Си Dv Доказать, что ;
(ААЪ G) + (BBt, G) + (CCL, G) 4- (DDti 6) - 4.
102.	На окружности даны две точки А и В. Найти множество
точек X, таких, чтобы (ЛЛг, X) + (B3b X) “ 2, где Лх и Вг — вто-
рые точки пересечения прямых (ЛХ) и (ВХ) с окружностью.
103.	В сферу вписан тетраэдр A BCD. Прямая, проведенная
через вершину D и центр тяжести G треугольника Л ВС, пересекает
сферу вторично в точке 7И. Доказать, что DA* + DB* + DC2,
^3DGDM.
104.	Доказать, что сумма квадратов длин ортогональных про-
екций всех ребер куба на плоскость не зависит от взаимного рас-
положения куба и плоскости.
105.	Куб с ребром а спроектирован параллельно прямой I на
плоскость. Вычислить cyiwy квадратов, длин проекции всех рёбер
куба иа данную плоскость, если 7 образует е плоскостью угол ф.
Глава II.
МЕТОД КООРДИНАТ
НА ПЛОСКОСТИ .
$ V ШСТВМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
В задачах 106—119 система координат аффинная.
106.	По координатам трех вершин Р, Q и 7? параллелограмма
вычислить координаты четвертой его вершины:
1) Р (1, 4),	Q(3,-l), 2? (0, 2);	’
2) р (—1, 0), Q (2, 1),	£(4,-1).
107.	Доказать, что три точки Л, 3 и С принадлежат одной
прямой:
1)	А (2, 1),	В (0,5),	С (4, -3);
2)	Л (—1, 0), 3(1, — 2),	С(3, —4).
Выяснить, какая из трех точек лежит между двумя другими.
108.	Записать параметрические уравнения луча ЙЗ):
1)	Л (3, 1), В (2,-1);
2)	А (1,-1), В (—-2, 0);
3)	А (0, 1), В (2, —3).
109.	Записать параметрические уравнения отрезка [ЛВ1:
1)	А (3, 1),	3	2, 4);
2)	А (—1, 0), В (4, —2);
3)	Л (1,1),	3(3, - I).
110.	В произвольном шестиугольнике середины сторон через
одну соединены отрезками. Доказать, что точки пересечения ме-
диан двух образовавшихся треугольников совпадают..
о
1IL Пряшш I лежит в плоскости треугольника ЛВС й не содер-
жит «и одзой из его вершин. Доказать, что если прямая I аересе-
кает одну из сторон треугольника АВС. то она пересекает w <дау
из двух других ело сторон и не пересекает третьей стороны (предло-
жение Паша).
112.	Точки /Си L — середины сторон 1ДС1 и (С£>1 соответствен-
но параллелограмма A BCD. Найти координаты вершин паралле-
лограмма в репере {A? Kt L).
113.	Относительно репера R — (О. даны координаты то-
чек О’ (2f —3), Al (1, 1), Л.2 (3,. —6), М (5, —-1). Найти координаты '
точки М в репере Rf “ (0% Ль А я).
114.	Дан параллелограмм ABCD. В системе координат.(Л, АВ,
ЛР) точка М имеет координаты (а, (3). Вычислить координаты этой
точки в системе координат: 1) {С, СВ. CD); 2) (В. ВС. ВА);
3) (D.DC.DA).
1Ш Относительно репера R — (О, Ль Л-2) даны точки А (2, 1),
В (3, 0), С (1, 4). Найти репер R* = ((У. А{, 4 а), относительно
которого точки А. В. С имеют координаты А (1, 6), В {1. 9). С (3, 1).
Написать формулы преобразования координат при переходе от ре-
пера R к R'. Найти координаты точек О. Лр Ла в репере Rf.
116.	Три вершины А.ВчС трапеции ABCD (1ЛВ] || [CD]) име-
ют целочисленные координаты. Какие целочисленные координаты
может иметь четвертая вершина этой трапеции:
1) А (1,1),	В (-1,2),	С(~2. 3);
2) А (—1, 0),._ В (2. 1),	С (3, 4)?
ПТ. Доказать, что если даны пять точек с целочисленными ко-
ординатами, то из десяти отрезков с копиями в данных точках хотя
бы один имеет середину с целочисленными координатами.
П8. Дай параллелограмм ABCD. Прямая а пересекает прямые
{АВ), {AD), {АС) соответственно в точках Е, Е. С. отличных от вер-
шин А. В, &. D. Доказать равенство:
{БЕ. Л) + (DE. А) = (CG, А).
119.	Вершины Л, В, С треугольника соединены соответственно
с точками ях, Ctl лежащими на противоположных сторонах тре-
угольника и отличными от его вершин. Доказать, что середины от-
резков Ь4ЛХ], (ДВД и [CCJ не лежат на одной прямой.
120.	На прямой а заданы точки Л, В, С, а на прямой at — точ-
ки Ло Въ Сг так, что (ЛЯь) || (А^В), (ВСО (В^С). Доказать, что
(сллкси).
В задачах 121—140 система координат прямоугольная декар-
това.
121.	При каком значении % треугольник с вершинами в точках
А (1, 3), В (2, —1), С (4, k) — равнобедренный?
ТВ
122.	По координатам вершин А и В равностороивс! о треуголь-
ника АВС вычислить координаты третьей его вершины:
1) А (1, 1),. В (2, ^-1);
2) Л (О, 0), В (~2, 1).
123. Вычислить координаты вершин равностороннего треуголь-
ника АВС по коордииггам его вершины А и центра тяжести й’:
1)л'(2, о), g(i.-£);
2) А (—2,1), 0(0,1). 7
124. По координатам вершин треугольника АВС выяснить,
будет ли он остроугольным, прямоугольным или тупоугольным:
1)	А (1, 1), В(3, —1), С (7,3);
2)	А (4,0), В(1, 1), С (5, 4);
3)	А (2, 1>, В (3, 2), С (6. 3).
125.	Па координатам вер глин Л и С квадрата A BCD вычислить
координаты вершин В* w. D:
1)	А (1, 1), С (—2, —1);
2)	Л (—1,0), €7(3,1);
3)	А (4, 2), С (0, 1).
126.	По координатам вершин Л и В квадрата A BCD. вычисл ить
координаты вершин С и D:
1) А (0,-1), В (—2,1);
2) А (3, 1), В (2, 5);
3)Л№1),	В(1,2>.
127. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. По координа-
там вершин Л и В вьнислнгь координаты вершины С:
1)	А (1, 1), В (—2, 3);
2)	А (2, —1), В (3, 1).
128.	Дан треугольник АВС координатами своих вершин: А (3, 3),
В (—2, 3), С (0, —1). Вычислить координаты оснований биссектрис
углов этого треуголышка.
129.	В репере (0, i, j) задана фигура Ф уравнением 2х2 44x4-
4 Зу 1 — 0 и точка О' (—1, 1). Найти уравнение фигуры Ф ,в
репере (О', /, }).
130.	В репере ((7, i\ f) фигура Ф задана уравнением 2ху = 1,
Найти уравнение фигуры Ф в репере (О, Г, f), где (i, i') = —.
4
131.	Точка С лежит между точками А и В. На отрезках [Л С] и
ICB] как на основаниях построены равносторонние треугольники
ACD и ВЕС так, что вершины D и Е лежат иоодпу сторону от (Л В).
Пусть М и W•— середины отрезков [ЛВ] и 1ВР]. Доказать, что тре-
угольник МЫС — равносторонний.
... 132. Найти точку, сумма квадратов расстояний которой до
вершик треугольника иакмевьтоая.. Выразить эту наименьшую
сумму через длины а, Ь, с сторон треугольника.

133,	На сторонах произвольного треугольника вне его построе-
ны правильные треугольники. Доказать, что центры последних
являются вершинами правильного треугольника,
134.	Доказать, что центры квадратов, построенных на сторонах
четырехугольника A BCD вие его, являются вершинами четырех-
угольника, диагонали которого конгруэнтны и перпендикулярны,
135.	Отрезки L4D], [Л/И), [Л/Л являются соответственно бис-
сектрисой внутреннего угла, медианой и высотой треугольника
АВС (| ЛВ[ #= |ЛС I). Найти отношение X —если |ЛВ| =
=* с, I /1С| — |ВС| — й. Доказать,' что точка D лежит между Н
и Л4.
136.	На плоскости задан ортоиормнрованиый репер и точка
М — 1, -^. Доказать, что ие существует двух различных то-
чек с целочисленными координатами; равноудаленных от точки М.
137.	Доказать, что никакие три вершины квадратов клетчатой
бумаги не образуют равностороннего треугольника.
138,	На ориентированной плоскости дан правильный шести-
угольник ABCDEF, | ЛВ[ а. Найти координаты всех вершин
шестиугольника в полярной системе координат, полярной осью
которой является луч (ЛВ).
139,	В треугольнике АВС |ЛС| = |ВС|, высота | СЯ| = 3, угол
ВАС ориентирован положительно. Найти координаты точки С,
если Л (6, -2), В (4, 0).	-	-
140.	Доказать, что если отрезок, соединяющий середины двух
йротивополржных сторон выпуклого четырехугольника, конгруэнтен
полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник — тра-
пеция или параллелограмм.
S 2; ПРЯМАЯ ЛИНИЯ, ОКРУЖНОСТЬ '
В задачах 141—178 система координат аффинная.
141.	Написать уравнения прямых, содержащих медианы тре-
угольника АВС:	"
I) А (1,1),	В (2, 0),	С (—1, 4>;
2) Л (3, —Г),	В (—2, 1), С (0,0).
142.	Даиы уравнения трех прямых, на которых лежат стороны
треугольника ЛВС:
х Л- 2 = 0,	,. -
2х —у+1 = 0
х 4* у — 1 — 0.
Написать уравнения прямых, содержащих медианы данного
треугольника.
143.	Известны уравнения прямых /г: 4х —-,5у = 0, /2: х —
Зу — 0, содержащих медианы треугольника ЛВС, и вершина
Л (2,—5). Написать уравнения прямых, содержащих стороны
треугольника АВС. 	. г	
30
144.	Составить уравнения прямых (ВО^ й (СЛ )по данным коор-
динатамвершин А и В и центра тяжести G треугольника ЛВС:
1) Л (2, 1), В (-3,0), 6(0, 1);
2) А (-1,0), В (2,1),	6(3,2).
145.	В треугольнике АВС : А (—2, 3), В (4, 1), С (6, —5). На-
писать параметрические уравнения прямых", содержащих стороны
этого треугольника, и общие уравнения прямых, содержащих его
медианы.
146.	По параметрическим уравнениям прямой
%	2 ’— / 1	’	. 1.
у. = 3 4~ 2/J
записать уравнение этой прямой в общем виде. 
147.	Дана прямая 2% + Зу — 1	0. Написать параметриче-
ские уравнения этой прямой.	• -	'
148.	Даны точки А (2, 5) и В (3, I). Записать координатное за-
дание фигур:	'• з	*
1) 1ЛВ); 2) 1ВЛ); 3) MBL
149.	Доказать, что в любой трапеции точка пересечения прямых?,
содержащих боковые стороны, и середины оснований лежат иа од-
ной прямой.
150.	Написать уравнение прямой, симметричной дайной прямой
относительно начала координат:	.	: г
1) 2х— у + 1 — 0;
2) Зх + 2у — 6 — 0.
15Е	Даны параллельные прямые:
2% — у 4- 4 = 0,
6х' —Зу 4- 1 = 0. д '
Найти координаты середщг отрезков, отсекаемых данными прямы-
ми на осях координат.
152.	Даны две параллельные прямые: :
. ' - . : х Ч~Зу •— 1 == о,	*'
/2: — 3% — 9у 4“ 2 — 0.
Составить уравнение прямой, проходящей через середины отрезков
/если Л4/ €	€ /2.-*	- \
153.	Составить уравнения прямых, содержащих средние линий
треугольника ЛВС\
1) Л (—2,0), В (-1,3), 6 (1, 1);
2) А (—1,4), В (1, 2),	С(3, -1).
154. Даны уравнения прямых, содержащих средние линии тре^
угольника ЛВС:
;2х — у ~h 1 = 0,
х 4~ Зу = 0,
; —х + у + 2 = 0.
Найти уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.
'	31
155. Дан параллелограмм ABCD с центром симметрии Л4. Со-
ставить уравнения прямых (АВ), (ВС), (CD), (DA), (AC) и (BD),
если
1) A (2, 1),	B(™1, 0), Ж-4, 3);
2) A (3, —1). В (1,2),	Af(-l,0).
156.	Даны уравнения прямых, которые содержат стороны
и [ВС] параллелограмма A BCD:
х *4~ Зу 4~ 2 — 0,
Зх — у = О.
Составить уравнения прямых, на которых лежат его стороны [CD]
и IDA], если М (2, 1) ~ центр симметрии параллелограмма.
157.	Доказать, что, прямые Zx, LZi заданные уравнениями
/х: Зх — у + 4 = 0, 12: 2х — у + 1 — 0, Z3: х: — 2у == 0, не про-
ходят через одну точку. Найти уравнение прямой, проходящей
через точку А = 1$ П Ч параллельно прямой 1Х.
158.	Известны координаты точки Р (3, 2) в репере (О,ех, е.2) и
уравнения прямых /х: Зх — 2у 4~ 2 =0, Зх 4- 5у — 12= 0.
Найти уравнение прямой 2, для которой точка Р является середи-
ной отрезка [МХЛ421, где Мг =* I Q /х> М2 = I П С.
159.	В параллелограмме ABCD на стороне MD] взята точка Р
так, что|ЛР| — —]/4D|, (ЛС) П (РВ) = Q, Доказать, что
п
MQ| = -4-|4q.
1 -j-Zi
160.	Доказать, что в любом четырехугольнике, противополож-
ные стороны которого не параллельны, середины его диагоналей
и середина отрезка, концами которого являются точки пересечения
прямых, содержащих противоположные стороны четырехугольни-
ка, лежат па одной прямой (теорема Гаусса).
161.	Доказать, что если прямой принадлежат две точки с цело-
численными координатами, то этой прямой принадлежит бесконеч-
ное множество точек с целочисленными координатами.
162.	Даны две точки А (2, —1) и В (3, 1). Выяснить, разделены
ли эти точки прямой 1, заданной уравнением: 1) х + Зу — 5 — 0;
2) Зх — у + 1 — 0; 3) 2х ~h у — 0.
163.	Даиы две прямые Зх у 0 и 2х — Зу + 1 ~ 0 и точка
М (—2, 1). Написать аналитические условия, определяющие тот
угол, образуемый данными прямыми, который содержит Точку М.
164.	Выяснить, является ли четырехугольник ABCD выпуклым:
1)	А (3, 1),	В (-2, 4),	С (—1, 0), D (3, -1);
2)	А (2, 1),	В (—3, О),	С (4, —2), ' D (—1, —1).
165.	Определить расположение точки (2,6) и прямой
/: х — Зу — 5 — 0 относительно треугольника АВС, если А (0, 1),
В(—2, 5), С(4, Э).
11
166.	Написать аналитические условия, определяющие полосу,
образуемую прямыми:
1) 3Ж 4- у _ 1 = 0,	6х + 2у 4- 3 = О;
2) х + 2у + 2 - 0,	2х' + 4у — 1 «= О. ;
167.	Даны три точки А (—4, -2), В (—2, 1) и С (2, 3). Напи-
сать аналитические условия, определяющие параллелограмм ABCD.
168.	Даны трехчлены: pt (х, у) — х — Зу — 5, р2 (х, у) =»
= 2х — бу 4~ 1, Рз (х, у) х -Ь у — 2,	(х, у) « Зх 4- Зу 4- 1.
Что представляет собой фигура
Ф - {.VI (х, у) I Pi < 0, р3 > 0, рз < 0, р4 > 0}?
169.	Даны четыре точки А (2, 3), В (3, 1), С (5, 2), D (9, 1).
Доказать, что эти точки являются вершинами трапепии, и назвать
эту- трапецию.
170.	Дан треугольник АВС. Прямые (ВС), (СЛ) и (АВ) разби-
вают не принадлежащие нм точки плоскости на 7 областей. Запи-
сать координатное задание той области, которой принадлежит на-
чало координат, если А (2, 1), В (—], 4), С (3, -2).
171.	Стороны треугольника лежат на прямых:
1)х4у— 4 — 6, 2х— у — 0, Зх Д2у--12-= 0;
2)	х 4- 2 — 0,	9х — у — О, х — у 4~ 3 — 0.
Записать координатное задание этого треугольника.
172.	Найти условия расположения точки Мо (х0) у0) внутри
треугольника, если прямые, содержащие его стороны, имеют урав-
нения : At х 4~ Bt у 4- Ct = 0 (i 1, 2, 3).
173.	Найти условие, которому удовлетворяют коэффициенты
уравнений даух прямых:
Агх 4~ Bi у 4*	= 0,
Л3х 4~ В2у 4" С2 = 0, •-
если начало координат принадлежит тупому углу, определяемому
этими прямыми.
174.	По координатам концов двух отрезкой [Л В] и [CDJ вы-
яснить, имеют ли оии общую точку:
1) А (3, 1), В (—2, 0), С (0, 1),	D (-3, 2);
2) Л (1,0), В (2, 4),	С (3,0),	0(0,6).
175. Доказать, что лучи [ЛВ) =. {М (х, у) | х *= 1 4- Л У -
—	/>0} и ICD)	{М (х, у) |х = 2 — 3t, у-4 4-3/,
/ < 0} одинаково направлены, и написать аналитические условия,
определяющие полуплоскость 1(44?), М), которой принадлежат
эти лучи.
176. Написать аналитические условия, определяющие выпук-
лый угол ВАС, если:
1) Л (1, 1%	В (2,-1), С (3,0);
2) Л Ц, —1),	В (2, 1),	С (3, 2).
177. Написать аналитические условия, определяющие треуголь-
ник АВС, если:
L) Л (3, 1>, В (2,-1), С (0, 2);
2) А (0, 1), В (—2, 4), С (3, -1).
23
178.	Написать аналитические условия, определяющие парал-
лелограммABCD, если:	• .	..
1)	А (О, I), В (—1, 2), С (1,3);
2)	А (1, 1). В (—2, 0), С(3,-1).
В задачах 179—235 система координат прямоугольная декар-
това.	•	• ' •
179.	Вычислить координаты орта вектора нормали прямой:
1)	х + 2у — 3 = 0 ;
2)	х —Зу — 1 = 0;
3)4х гр" Зу + 5 s»ss 0.
180.	Доказать, что для произвольного треугольника ЛВС точ-
ка N .пересечения медиан, точка Н пересечения высот и центр М
описанной окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера
треугольника ЛВС) и (МН, N) — если М:^= Н, :
181.	По уравнениям прямых, содержащих стороны [ВС], [СЛ]
и [ЛВ] треугольника АВС, составить уравнения прямых, содержа-
щих высоты этого треугольника:
(ВС): х + у- 1 = 0,
...	(СЛ): 2х —у = 0,
. (АВ): х — 2у — 2	0.
182.	Написать уравнение серединного перпендикуляра I отрез-
ка [ЛВ1:
1)	А (2, 1),	В(-А, 3);
2)	А (0, -1), В (2, —3);
3)	А (1,1),	В (-3,0).
183.	Доказать, что треугольник АВС — равнобедренный, и *
составить уравнение его оси симметрии:
1) А (2, 1), В (4, 3), С (2, 3);
2) Л (1, ^3), В (-1,1), С (0, -1).
184, Через точку Р провести прямую, равноудаленную от точек
А и В:
1) Р (1,1), А (3,-1), В (-2,1);
2) Р (0,-2), А (1, 3), В (—1,2).
185. На луче (х — 2 + 3/ л
(у	2/,
найти точку В, расстояние от которой, до начала луча равно d:
1)	3; 2)	5.
186. Дана прямая / и точка Л. Вычислить координаты основа-
ния перпендикуляра, проведеииого из точки А на прямую /:
1) 3х+4у—1“0, Л (2, — 1);
2) х + Зу +2 = 0, А 3).
187. Найти координаты точки А4?, симметричной точке
(Xj, Ух) относительно прямой Ах-+ By + С = 0.
24
IBS. Даны уравнения прямых, содержащих высоты треугольни-
ка, и координаты одной из вершин треугольника. Вычислить коор-
динаты двух других вершин этого треугольника:
1) Зх + 4у — 7 - 0, 2х — у — 1 = О, А (5/ —3);
2) ЗхА4у —2^-0, 4х —у А 2 = 0, А (0,-1).
189.	Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Из-
вестны уравнения прямых (АВ): 4х А у — 12 =* 0, (АН): 2х А
А 2у - - 9	0, (ВЯ): 5х 4у 15 — 0. Написать уравнения
прямых (ВС), (АС).
190.	Дана вершина А (2,-5) квадрата ABCD и уравнение
прямой (BD): Зх_—у А 6 = 0. Найти уравнения прямых, содер-
жащих стероны квадрата.	<.
191.	В равнобедренном.треугольнике А ВС (|ВА| = |ВС|) даны,
координаты вершин А (4, 3), В (—1, 2) н уравнение прямой
(BD): Зх — 2у А‘7 = 0, перпендикулярной (АС). Написать уравне-
ния прямых (АВ) и (ВС).
192.	Треугольник АВС — равнобедренный (]ВА| — } ВС|). Пря-
мая Z: х — у А 1 = 0 содержит биссектрису внутреннего угла
АВС, точки Ао (1, -1) € (ВС), Во (0, 3) С (АВ), Со (3, 2)~£,(АС).
Найти, уравнения прямых (ВС), (АС), (АВ).
193.	Луч света проходит через точку Мг (1, 1) и, отразившись
последовательно от прймых lt: х — у — 2 = 0, Z2: 2х + у — 1 =
== 0, проходит через точку Л42 (2, 2). Найти уравнения прямых,
содержащих лучи, падающие на прямые Zu /2 и отраженные от них,
194-	Черезпроведена
прямая d. Найти соотношение между расстояниями вершин тре-
угольника от этой прямой.	'
195.	Даны уравнения прямых Zf- А* A By A Ct = О,
/2: Ах A By А С2 = 0 (Сх Ф С2). Нанти расстояние между пря-
мыми 1г, 1%: “.
196.	Написать уравнения прямых, симметрия относительно
которых переводит пря&уьб<з>А У 4-1 — 0 в прямую 2х — у — 0-
197.	На оси Ох найти точку, равноудаленную от прямых:
<	1) х А Зу А == ^1, Зх у А 1	0;
. 2) Зх А у —~ 1—0, 4х — Зу “ 0,
198.	Составить уравнение множества точек, равноудаленных
от двух параллельных прямых:
1)	х А у А 3 — О, 2х А 2у — 1 = О:
2)	Зх А4у— 1 =0, ЗхА4уА4 = 0;
3)	2х — у — 0, 4х — 2у А 5 = 0.
199.	Через точки М и провести параллельные прямые, рас-
стояние между которыми равно d:
\)М(1,2),	^(3, —1),	d =	3;
2) М (0,-1),	# (2,1),	d=	l;
3) М (2, 1),	#(6, 4),	d=	5.	-
15
2(Kh Дана прямая I уравнением Лх 4~ Ву Т С 0 и точка
М& (xfi„y^ $ L Написать уравнение прямой F ст I/, 7ЙФ)., парал-
лельной прямой I и отстоящей от нее на расстоянии Л.
201.	Составить уравнение множества точек, отношение расстоя-
ний от каждой из которых до двух прямых равно тп:
1)	х -Ь у — 1—0,	Зх 4- у = 0,	т ; п =	1 : 2;
2)	Зх — у + 1 — 0,	2х — у 4- 2 —	0,	т : п —	3 : 4;
3)	4х—2у +• 1 — 0,	х — 2у — 1 —	0,	ш:я =	4:1.
202.	Написать уравнение прямой, содержащей биссектрису
того угла, образованного прямыми 1г: х — 2у — 3 = 0 и /2: 2х —
— у 4-5 — 0, которому принадлежит точка Mu (1, 1).
203.	Дан квадрат,, длина стороны которого равна 1. Найти на
плоскости фигуру, для каждой точки которой сумма расстояний
до прямых, содержащих стороны квадрата* равна 4.
204. Начало координат является центром квадрата, уравнение
одной из прямых,.содержащих сторону квадрата, имеет вид х 4-
'4- 2у — 1 = 0. Вычислить координаты вершин этого квадрата.
205. Даны вершины А (—3, 2), В	треуголь-
ника АВС. Найтн координаты вершив М, N, Р квадрата AM$Pf
если известно, что В С 1ММ1, С £ LVP1.
2Шк По координатам двух вершин А н В ромба ABCD и урав-
нению прямой (С7>) вычислить координаты двух других его
всфшин:
1) А (MX В (—2,3); (CD>: 2х + Зу 4- 5 - 0;
2)4(0,4), В(2,3& (CDX хД2у — 3 = 0.
207. Даны уравнения прямых 4: Зх — у — 2 - 0; /2: х —
— Зу + 5'= 0. Написать уравнение прямой 4 содержащей биссект-
рисы острых углов, образуемых прямыми 4 и 4»
208. Даны уравнения прямых	2х — у — 3^0,
(ВС): х — 2у — 10 — 0, (CD): 2х — у + 5 — 0, проходящих
через соседние вершины ромба A BCD, и точка Л4& (1г —0* Найти
уравнение прямой (ЛО) ст ЦВС)Г Л40).
20	9.. Точка Мв (3,—2) принадлежит основанию {ЯС] равно-
бедренного треугольника АВС. Написать уравнение прямой (ВС),
если даны уравнения прямых (АВ): Зх — 4у — 3 ~ 0 и
(ЛС): 4х — Зу + 7 = 0.
210^ Даны две пересекающиеся прямые:
Агх -Т Bty + Сх = 0, А2х 4- В2у Т С2 = 0.
Доказать, что если
(Лхх0 + ^уо Т С\) (Л^Хо + В^Уь 4- С3) (Л(Л2 + Z4$3) < 0,
то точка (х0, у0) принадлежит одному нз острых углов, опреде-
ляемых данными прямыми.
21L В-равнобедренном треугольнике ABC (| ABJ — |#С|)
(АВ}: Зх — 2у 4- 3 - 0, (ЛС):	— у — 5 = 0
и точка М9 (1,1) £ (ВС). Найти уравнение прямой (ВС)у
26
212.	Даны уравнения прямых 4	— 5 « Д, 4 х 4
4 Зу 4 7 = 0. Вычислить косинус угла ф, образ у wore прямыми
4 /2) которому принадлежит точка М0 (1» 1).
213.	Доказать, что прямые, заданные уравнениями 4* 7х—
— 5у 411 = Д, 4: -Sx 4 2у — Ш 4* 4х — 7у —В, об-
разуют треугольник, и вычислить тангенсы 'внутренняя. углов
этого треугольника.
214.	Составить уравнения прямых, содержащих катеты равно*
бедренного прямоугольного треугольника АВС, зная ’координаты
вершины С (4, — 1) прямого угла и уравнение прямой Зх —у45 =
= 0, содержащей гипотенузу IAB1 этого треугольника.
215.	Луч света направили по прямой I, уравнение которой
Имеет вид: 2х — Зу — 6 = 0. Найти уравнение прямой, которая
содержит луч, отраженный от оси абсцисс.
216.	Даны вершины А (1, 2), В I——И при основании рав-
нобедренного треугольника ЛВС и уравнение х — у)- 1 - 0 пря-
мой I, содержащей биссектрису внутреннего угла при основании.
Написать уравнения прямых, содержащих стороны треугольника.
217.	Даны уравнения прямых 4 х 4 Зу = 0, Z2: ху 4 8 =
= 0. Найти уравнение такой прямой Z3, чтобы прямая 4 содержала
биссектрисы пары вертикальных углов, образуемых прямыми
4 4	. -
218.	ABCD — ромб. Известны уравнения прямых (АВ): х 4
4 Зу 4 12 = 0, (CD): х Зу — 8 = 0, (АС): х 2у 4 2 = 0.
Найти уравнения прямых (ВС), (AD)..
219.	Дан треугольник АВС и точка Р. Построены параллело-
граммы ВРСАг, CPABt, APBCt. Доказать,, что прямые (ААД,
(ВВХ), (CCJ пересекаются в одной точке.
220.	Прямая р, параллельная сторонам 1AD] и IBCJ паралле-
лограмма ABCD, пересекает [АВ] в точке М,- a ICDI — в точке N.
А прямая д, параллельная двум другим сторонам параллелограмма,
пересекает [ AD1 -в точке Р, а [СВ1 — в точке Q. Доказать, что пря-
мые (РЛ4), (WQ) и (BD) принадлежат одному пучку, а прямые (PZV),
(44Q) и (АС) — другому пучку.
221.	При каких условиях на коэффициенты / = 0, 1, 2)
в ортонормированием репере фигура
Ф = {/И (х, у) | лих2 4 о^у2 4 2awx 4 2а,оу 4 Аю =-9}
есть а) окружность; б) точка; в) Ф = 0?
222.	Выяснить (без чертежа) взаимное расположение каждых
двух из трех данных окружностей: .	-
? т у2 — 6х 4 2у 4 1 = 0,
х2 ф. уй 4.2х 4 Зу 4 13 — 0,
х2 4 у2 — Юу = 0.
17
223.	Вычислить координаты центра М. окружности, описанной
около треугольника ЛВС, если известны 'Координаты его вершин:
1) А (2, 1), В (-1,4), С (3,-1);
2) А (О,1), В(—1, 2), С (2,3).
224, Зная уравнения прямых, содержащих стороны треуголь-
ника АВС, вычислить координаты центра М вписанной в него ок-
ружности:
1) х + 2у — 0,	2) 2х — Зу ” О,
2х -г— у 4" 1 — 0,	. 2х 4" Зу— 1 = О,
2х 4~ У —“ 2 — 0; Зх 4" 2у 4* 4 — CL
225.	Записать координатное задание кольца, ограниченного
окружностями:	'
4|.	25.
226.	Какое множество точек задает неравенство:
х2 4- у2 < — 4х 4- бу?
227,	Найти условие, при котором прямая у ~ kx 4- b касается
окружности х2 4~ у2 ~ /?2.
228.	Записать координатное задание меньшей дуги АВ окруж-
ности (х — I)2 4~ (у + 2)а = 25, если
1) А (4,2), В (6, -2);
2) А (1,3), 3(4,2).
229.	Окружность и ромб имеют общий центр. Доказать, что
сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вер-
шин ромба постоянна.
230.	Найти множество точек плоскости, сумма квадратов рас-
стояний от каждой нз которых до вершин данного квадрата со сто-
роной 2а постоянна н равна &2.
231.	Вокруг квадрата со стороной 2а описана окружность. До-
казать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружно-
сти до прямых, содержащих стороны квадрата, постоянна и рав-
/ на 8аг.	*
232.	Доказать, что если через некоторую точку М провести
прямую, пересекающую окружность в точках А и 3, то произведе-
ние J МА | • | МВ\ не зависит от выбора этой прямой.
233.	В окружность вписан правильный треугольник АВС, точ-
каМ .принадлежит меньшей дуге АВ этой окружности. Доказать,
что |/ИС] = |Д4А| + |МВ|.
234.	Из всех треугольников АВС с данным основанием 1АВ1 и
постоянной длиной высоты 1СЯ] найти треугольник, около которо-
го можно описать окружность наименьшего радиуса, если 1АВ| ™
=* 2е, . |С77| — А.
235.	Точка Д-1 — центр окружности, описанной около треуголь-
ника ABCt радиус которой равен г. Точки Mt, Д43, М3 симметрич-
ны центру М относительно (SC), (СА), (АВ). Доказать, что каждая
из окружностей радиуса г с центром Д — 1, 2, 3) проходит через
ортоцентр треугольника АВС.
23
£ 3- РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
В задачах 236—245 система координат прямоугольная декар-
това.
236.	Точки Р (1, i), Q (— 1, 2), С (2, — 1) три вершины равно-
бочной трапеции. Вычислить координаты четвертой ее вершины.
237.	Фигура Ф задана уравнением [ (х, у) — 0. Какую фигуру
задает уравнение: 1) f (у, х) = 0; 2) f (х, —у) ~ 0; 3) f (—у, х) =«
— О?
238.	Какие фигуры определяются в репере (О, i, j) соотношу
ннями:	• '	' " '
1)	W - 1Я;
2)
Ul	I у Г
3)	| х| 4- х “ 1 у | Ф у;	'
4)	[х!.== Ы, где [z] — целая часть числа г,
5)	х — Ixl = у —[yl; 4	\	 ;'
6)	х-Ы > у — lyl;
7)	х2 —у»>0?
239.	Составить уравнение множества центров тяжести треуголь-
ников, имеющих две вершины Л (хх> ух), Я(х2, у2), если третья их
вершина лежит на окружности радиуса центр которой начало
координат.	'	;	~v
240.	Доказать, что произведение длин любых двух сторон тре-
угольник равно произведению длины его высоты, выходящей из
общей вершины этих сторон, на диаметр описанной окружности.
241.	На прямой 2х — у — 10 = 0 найти точку, сумма расстоя-
ний от которой до точек Р (—5, 0) н Q (—3, 4) была бы наименьшей.
242.	Даны точки А (5, 2) и В (2, 1). На прямой х ф у —5 ™ 0
найтн точку М, такую, чтобы ДМВ 45°.
243.	Две параллельные прямые х ф у — 2 = 0, х ф у ф 3 = 0
повернуты вокруг начала координат на 90°. Найти координаты
точек пересечения данных прямых и их образов при повороте. До-
казать, что полученные точки являются вершинами квадрата.
244.	Две параллельные прямые х — у Ф 1 ™ 0, х уф 2 ==
“ 0 повернуты вокруг начала координат на угол 30°. Найти коор-
динаты точек пересечения данных и повернутых прямых и доказать,
что эти точки являются вершинами ромба.	г ;
245.	Отрезок постоянной длниы движется так, что одно его
конец скользит по окружности х2 ф у2 “ г2, а другой — по
оси Ох (шатунно-кривошипный механизм). Составить уравнение кри-
вой, которую описывает точка отрезка, разделяющая его на части
а и Ь.	< -
246.	В репере (О, даны точки Я (2, 5), В (1, 3), С (3, 6),
М (— 1 # 4). Как ориентирован уйзл ВАС, если 2Й t 2~ ВАС1 '
29 ' " "
247» Прямая d проходит через вершину А и середину медианы
1ВВ01 треугольника АВС и d П (ВС) = ЛГ. Доказать, что отноше-
ние (ВС, N) ~ .
248» Точки £ и Д' — середины сторон [AD1 и [ВС] параллело-
грамма ABCD. Доказать, что прямые (В£) и (/CD) делят диагональ
[АС1 на три конгруэнтные части. Сформулировать и доказать об-
ратное утверждение.
24Й» Даны два параллелограмма ABCD и A.VLVP, где М С IAB],
Р С [ADL Доказать, что прямые (MD), (BP)t (NC) пересекаются
в одной точке,
250» В треугольник АВС вписан параллелограмм ADEF так,
что вершины D, Е и Р принадлежат соответственно сторонам [АВ],
[ВС] и [АС]. Через середину М стороны [ВС] проведена прямая
(АЛ1), (АЛ4) П (DE) = К-Доказать, что CFDK — параллелограмм.
251» В треугольнике АВС проведена медиана [С£>1, Р — произ-
вольная точка медианы [CD], (АР) П (ВС) = К, (BP) (] (АС) =
М. Доказать, что (Л4К) [] (АВ).
252» Дан треугольник АВС и точки Ci € (АВ), At С (ВС),
Вг С (АС), отличные от его вершин. Доказать, что прямые (ААХ),
(BBt)t (ССХ) принадлежат одному пучку тогда и только тогда, когда
(АВ, Сх) • (ВС, Ах) • (СА, Вх) = 1 (теорема Чевы)»
253.	Дан треугольник АВС и точки Сх € (АВ), Ах € (ВС),
By С (СА), отличные от его вершин и такие, что (AAt) [] (ВВХ) Q
л (ССХ) - Мо. Доказать, что (AAlf Мо) - (AC, Вх) + (АВ, Сх)
(теорема Ван-Обеля).
254.	Точки A! inV принадлежат соответственно сторонам IDC]
и [СВ] параллелограмма ABCD. Через середины отрезков [DM] и
[АВ] проведена прямая. Через середины отрезков IAD] и [ВАЛ —
вторая прямая, пересекающая первую в точке S. Доказать, что пря-
мая (AS) проходит через середину отрезка [Л4АП-
255.	Дан треугольник АВС. Прямая / пересекает прямые (ВС),
(СА) и (АВ) соответственно в точках Ах, Вх и С{. На каждой прямой
построены точки А2, В2, С2, симметричные точкам An Blt Сх отно-
сительно середины содержащих их сторон. Доказать, что точки А2,
В2 и С2 принадлежат одной прямой.
256.	На прямой рх даны три точки 4Ь Ви Сг; на другой прямой—
три точки А 2, В2, С2. Доказать, что точки Р *= (АХВ^ f| (ABJ,
<? = (BjC2) П (B2Ct), д — (СХА2) П (С2Ах) принадлежат одной
прямой (теорема Паппа).
257.	Доказать, что сумма квадратов расстоянии всех вершин
квадрата до прямой, проходящей через его центр, не зависит от
выбора прямой.
258.	Доказать, что сумма квадратов расстояний от фиксирован-
ной точки, взятой.в плоскости данной окружности, до концов произ-
вольного диаметра этой окружности есть величина постоянная (не
зависит от выбора диаметра).
30
259.	Даны две произвольные окружности. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от концов любого диаметра одной окружно-
сти до концов любого диаметра другой окружности постоянна (не
зависит от выбора диаметров).
260.	Найти множество точек плоскости, сумма квадратов рас-
стояний каждой из которых до концов одной диагонали прямоуголь-
ника равна сумме квадратов расстояний до концов его другой диа-
гонали.
261.	Пусть А(), Во, Cq — основания высот треугольника АВС.
Доказать, что отношение периметра треугольника ЛВС к перимет-
ру треугольника А$ВвСв равно отношению радиуса окружности,
описанной около треугольника АВС, к радиусу вписанной в него
окружности.
262.	Доказать, что сумма квадратов расстояний от произволь-
ной точки, взятой в плоскости прямоугольника, до вершин этого
прямоугольника в два раза больше суммы квадратов расстояний
от этой точки до прямых, содержащих стороны прямоугольника.
263.	Доказать, что периметр треугольника AqBqCq, вершинами
.которого являются основания высот треугольника ЛВС, равен
удвоенной площади треугольника АВС, деленной на радиус ок-
ружности, описанной около треугольника АВС.
264.	Доказать, что если центр некоторой окружности совпадает
с центром тяжести треугольника, то сумма квадратов расстояний
от произвольной точки этой окружности до вершин треугольника
есть величина постоянная.
- 265.' Даны параллельные прямые а и Ь, их центр симметрии /И.
Стороны произвольного прямого угла с вершиной М пересекают а
и b соответственно в точках Л и В. Доказать, что расстояние пря-
мой (ЛВ) от точки Л1 не зависит от выбора прямого угла.
266.	Найти множество точек плоскости, сумма квадратов рас-
стояний каждой из которых до вершин данного прямоугольника
равна квадрату длины данного отрезка.
267.	Найти множество точек плоскости, сумма расстояний
каждой из которых до двух взаимно перпендикулярных прямых
равна длине данного отрезка.
268.	Дан прямоугольник ABCD. Найти множество точек, сумма
расстояний каждой из которых до концов одной диагонали прямо-
угольника равна сумме расстояний до концов его другой диагонали.
269.	Найти множество точек, для каждой из которых сумма
квадратов расстояний до двух вершин равностороннего треуголь-
ника равна квадрату расстояния до его третьей вершины.
270.	Найти множество всех точек М, для которых
I МЛ Is — |МВ]2 = k\
где А и В — данные точки, k — данное число.
271.	Дан квадрат ABCD, |ЛВ| = а. Найти фигуру
Ф - {М|[Л4Л|2 . 1Л1С|2 + |Л1Вр  |Ш>|3 = я4}.
31
272.	Даны две точки А и В (Л =#= В) и число b € R, b > 0. Най-
ти фигуры:	л
1) Ф= {М||ДЛ4| - b |MB|};
2)	{М(|ЛМ|24-	|ВМР	= ^}. .
273.	Через середину	каждой диагонали	выпуклого	четырех-
угольника проведена прямая,	параллельная	другой	диагонали.
Доказать, что отрезки, соединяющие точку пересечения Этих пря-
мых с серединами сторон четырехугольника, определяют разложе-
ние этого четырехугольника иа равновеликие фигуры.
274.	Даны прямая I и точка А вне ее. Найти множество точек,
разность квадратов расстояний каждой из которых до точки А и
до прямой I равна cP.
275.	Найти множество точек плоскости, для каждой из которых
расстояние до данной точки вдвое больше расстояния до данной
прямой, проходящей через эту точку.
276.	Одна из вершин треугольника неподвижна, противолежа-
щая ей сторона постоянной длины с скользит вдоль данной прямой./.
По какой линии движется центр окружности, описанной около
этого треугольника?
277.	Доказать, что если в четырехугольнике сумма квадратов
четырех сторон равна сумме квадратов диагоналей, то такой четы-
рехугольник есть параллелограмм.
278.	Доказать, что в любом треугольнике расстояние от его
вершины до ортоцентра равно удвоенному расстоянию от центра
описанной окружности до прямой, содержащей противолежащую
вершине сторону треугольника.
279.	Два угла XPY и UQV пересекаются по четырехугольнику
ABCD. Доказать, что середины диагоналей этого четырехугольни-
ка и середина отрезка IPQ1 лежат и а одной прямой .
280.	Доказать, что каждая прямая, проходящая через основа-
ния высот, проведенных из двух вершин непрямоугольного тре-
угольника АВС, перпендикулярна прямой, проходящей через его
третью вершину и центр М окружности, описанной около треуголь-
ника АВС.
281.	Пусть (ЛЛoj.	[СС91 — высоты непрямоугольного
треугольника ЛВС. Доказать, что каждая высота треугольника
АВС принадлежит внутреннему или внешнему углу треугольника
ЛоВ/Со»
282.	Через точку М к сторонам треугольника проведены пер-
пендикуляры. Найти множество точек М, для которых основания
перпендикуляров принадлежат одной прямой.
283.	На сторонах прямого угла АСВ даны две точки Л и В так,
что |С4| == | СВ|. Найти множество точек М, расположенных
внутри угла, для которых ЦИС) есть биссектриса угла АМВ.
284.	Найти множество точек пересечения диагоналей прямо-
угольников, вписанных в данный треугольник так, что две верши-
ны каждого прямоугольника лежатна основании треугольника,
а две другие — на боковых сторонах.
285.	Дан равносторонний треугольник АВС. Найти множество
точек Р, таких, что из отрезков 1ЛР1, IBP], ICP] можно построить
1) прямоугольный треугольник; 2) треугольник с углом 12(Г.
286.	Треугольник задан координатами вершин в репере (О, h /):
А (х1г ух), В (х2, у2), С (х3, уз). Доказать, что
$АЯС ~~ 2
/ *1У1 Ц
det I х2 >2 1 I
\х3 Уз 1/
287.	На сторонах 1ЛВ] и IBC] треугольника АВС построены
во внешней области квадраты ABMN и BCQP. Обозначим их цент-
ры буквами 01( 02. Пусть Д’ — середина [ЛС], L — середина {Л4PL
Доказать, что O^LO^K— квадрат.
288.	Вычислить площадь параллелограмма ABCD по координа-
там трех его вершин в репере (О, ц /):
1) А (3, 1),	В (—1,0), 0(2,—1);
2) Л (3,-1), В (2,1),	О (—3,0).
289. Дан репер (О, i,/). Вершина С треугольника АВС при-
надлежит оси Оу. По площади S этого треугольника и по коорди-
натам двух его вершин Л и В вычислить ординату точки С:
1) Л (1, 1),	В (—2,4), 5 — 12;
2) Л (3,-1), В (—1,2), 5=16.
290.	Найти отношение площади треугольника АВС к площади
треугольника А9В$С$,вершинами которого являются основания
высот|ВС| = а, |ЛС| = Ь:
291.	Треугольник задан координатами вершин в аффинном
репере (О,	Z2) : Л (хп уД, В (х2, у2), С (х3, у3). Доказать, что
площадь
Ух 1\
det I х2 у2 1 I
Уз 1'

1
2
 Sq,
где So — площадь параллелограмма, построенного на отрезках
ОЕ1 я OEt € е2.
292.	Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Доказать, что
его площадь в 2 раза больше площади четырехугольника, вершина-
ми которого являются середины сторон четырехугольника ABCD.
293.	Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон
четырехугольника ABCD, пересекаются в точке Л4. Доказать, что
сумма площадей треугольников ВМС и DMA равна сумме площа-
дей треугольников Л МВ и CMD.
294.	Дан Д АВС. Найти множество точек М, для каждой из
которых треугольники ABM, АСМ, ВСМ равновелики.
295.	Дан треугольник АВС. Найти множество точек М, для
каждой которых площади треугольников АВМ и АСМ равны
между софФ'
2 Заказ 8«3	33
296.	Найти множество точек М, принадлежащих треугольнику
ЛВС, для каждой из которых площадь треугольника АВМ больше
площади треугольника АСМ.
297.	Точки Ле, В», Со делят стороны треугольника ЛВС в от-
ношениях:	— (АС* Во), Л2 — (ВА, Со), Л9 — (СВ, Л0)
(Zx • Л2 • Л3 #= —!)• Вычислить отношение площади треугольника
Л0В0С0 к площади треугольника ЛВС.
298.	Найти такую точку М, принадлежащую треугольнику
ЛВС, чтобы площади треугольников Л СМ, ЛВМ, МВС относились
как 2:3:4 (или т : п : р).
299.	Даны два отрезка ! ЛВ1 и [CD1. Найти множество точек М,
таких, чтобы площади треугольников МАВ и MCD были равны.
300.	Дан выпуклый четырехугольник Ф — Л BCD, не являю-
щийся параллелограммом. Найти множество всех точек М £ Ф,
для которых сумма площадей треугольников ВАМ и CDM равна
сумме площадей треугольников СВМ и DAM.
301.	Диагонали 1ЛС] и [BD] выпуклого четырехугольника
ABCD пересекаются в точке О. Доказать, что противоположные
стороны [ЛВ1 и [рО] этого четырехугольника параллельны, если
Вц2С — $АО8 ' $DOC.
302.	На сторонах прямоугольного треугольника Л£Л2Л3 (Л2 —
вершина прямого угла) построены квадраты, внутренность каж-
дого из которых не пересекает внутренность этого треугольника.
Пусть Лг — центр квадрата, построенного на стороне [ЛуЛА1 (i, /, k
различны). Доказать, что
1) глии - ।л;х|, цл;> 1 (л;х);
2) прямые (ЛгЛ£), И/Л;), (ЛАЛд) принадлежат одному пучку.
Глава III.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПЛОСКОСТИ
§ 1.	ОТОБРАЖЕНИЯ
303.	На плоскости П дан пучок Р (В) прямых с центром В и
прямая S. Доказать, что отображение ft d~+ Р (В) по закону:
VM е d f (М) ~ (SM) € Р (5) является инъективным, но не сюръ-
ективным.
304.	Пусть прямая I содержит биссектрисы пары вертикальных
углов, образуемых прямыми 4 (4 П 4	О)- Доказать, что ото-
бражение ft Ф = /х U 4 -+ I по закону: V М £ Ф / (М) —
•— М' |М, М' 6 d 1 I сюръективное, ио пе инъективное.
305.	Привести примеры отображений: 1) сюръективных, но не
инъективных; 2) инъективных, по пе сюръективных; 3) биективных.
306.	Привести примеры преобразований окружности: 1) не
имеющих инвариантных точек; 2) имеющих две инвариантные
точки.
34
307.	Доказать, что существует биективное отображение f фигу-
ры Ф = [ЛВ] \ {Л, В} на прямую (ЛВ).
308.	На плоскости П дан открытый круг Ф = {М| (ОМ | < г}.
Доказать, что существует биективное отображение f: Ф П.
309.	На плоскости П дана окружность у — (О, г) и треуголь-
ник ЛВС. Доказать, что существует биективное отображение f
окружности у на ломаную
у’ = [ЛВ] U [ВС] U [ЛС1.
310.	На плоскости И дани два отрезка (АВ\ в ICDV Доказать,
что существует биективное отображение f отрезка [Л В] на отре-
зок [С£>].
311.	На плоскости П даны полуокружность у и отрезок [ЛВ].
Доказать, что существует биективное отображение полуокружно-
сти у на отрезок [ЛВ1.
§ 2.	ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
В задачах этого параграфа система координат — прямоуголь-
ная декартова.
312.	Написать формулы осевой симметрии плоскости по коор-
динатам двух симметричных точек: Л (1, —2), В (3, 4).
313.	Написать формулы преобразования осевой симметрии,
если ось задана уравнением у — kx 4- Ь.
314.	Доказать, что точки, симметричные точке М относительно
середин сторон данного четырехугольника, являются вершинами
параллелограмма.
315.	Ось симметрии I задана своим уравнением. Написать урав-
нение прямой ш', симметричной прямой /п относительно /, если:
1) 7: х 4- у + 1 = 0, т: 2х — у — 2 — 0;
2) I: —х 4- у — 0, т: х — 2у 4- 1 ™ 0-
316.	Написать формулы преобразования, представляющего со-
бой композицию трех осевых симметрий с осями х ~ 0, у — 0,
х — 2у = 0.
317.	На сторонах параллелограмма ABCD вне его построены
правильные треугольники ЛВМ, BCNt CDP, DAQ. Доказать, что
точки М, N, Р, Q являются вершинами параллелограмма.
318.	Доказать, что две различные осевые симметрии переста-
новочны тогда и только тогда, когда их оси взаимно перпендику-
лярны.
319.	Доказать, что композиция трех осевых симметрий тогда
и только тогда есть осевая симметрия, когда эти оси проходят через
одну точку или параллельны друг другу.
320.	Доказать, что композиция трех осевых симметрий, оси
которых не проходят через одну точку и не параллельны друг
другу, имеет инвариантную прямую, но не имеет инвариантных
(неподвижных) точек.
2*
35
, • 321. Доказать, что если композиции осевых симметрий удовлет-
воряют условию а о Ь == с о d, то их оси a, 6, ct d принадлежат од-
ному пучку.
322.	Доказать, что если композиции осевых симметрий удов-
летворяют условию а □ b о с — с ° b □ а, то и х ос и а, b и с принял- v
лежат одному пучку прямых.
323.	Доказать, что композиция четного числа осевых симмет-
рий есть либо поворот, либо перенос,
324.	Доказать, что композиция нечетного числа осевых сим-
метрий есть либо скользящая симметрия, либо осевая симметрия.
325.	Даны трй конгруэнтные окружности <йр <о2, <о3, причем
(0| f| (Й2 — {М12» ^12}> Г) Ч)3 — (л23, В33), (1>зП (1)х — {ЛЗХ, В31}.
Доказать, что композиция симметрий с осями (Л^В^), (Л23^2з)>
(Л 31В31) есть осевая симметрия. Построить ось этой симметрии.
326.	В ортонормированием репере R дана точка S (х01 у0) и дан
угол 0 <а Написать формулы поворота f плоскости вокруг
точки S иа угол а. :
327.	Поворот вокруг точки М £2, 1) отображает точку А на точ-
ку В. Вычислить координаты точки В, если 1) а — 45°, Л (1, —2);
2) а - 120°, Л (1, 1); 3) а - 90°, А (3, —1).
328.	Вычислить координаты центра поворота, заданного фор- '
мулами:
г д 3	4	. .
р =;Тх-5у + 1’
|У = -л+-у-2.
329. Написать уравнение образа прямой I при повороте вокруг
точки М на угол ср:
1) М&	0).	to | 3	Z: х у — 2 “ 0^
2) М (—	2, 1). 	л ф — —, 6	у + 1 — 0;
3) /И(0,	— 1),	-в- II.	/: х + 2у=0.
; 330. На прямой заданной уравнением 2х 4- у — 1 — 0,
дана точка Mi (2, —3), а на прямой /п2, заданной уравнением
Зх — у + 2 = 0, дана точка (—1,—1). Написать формулы
Преобразования поворота /, при котором / (Л41) = М5, / (mt) ™ /п2.
331.	Даны точка М (5, 1) пересечения медиан равностороннего
Треугольника АВС и уравнение прямой (ЛВ): 2х —у —0. На-
писатьуравнения прямых (Л Q, (ВС).
332.	Доказать, что композиция симметрий Д, f2 плоскости П
относительно двух точек Ох, О2 есть перенос плоскости.,
333.	Доказать, что композиция трех центральных симметрий
м
е.цитрами Д; В, С есть центральная симметрия с центром Dt при-
чём АВ = DC,
334.	Доказать, что композиция симметрии относительно точки
О л переноса на вектор а есть симметрия плоскости относительно
такой точки Qf, что 00' = ~ а,
335.	Доказать, что композиция / симметрийплоскости отно-
сительно точек 04 (г = 1, 2, га) при четном п есть перенос плос-
кости П на вектор
а = 2 (0102 + О3О4 4~ — + ^л-з^л-2 гЬ ^л-1РлХ
а при нечетном п симметрия относительно точки О' такой, что
о&' 2 (5Д +...+ Ом + СА).
336.	Доказать, что поворот f однозначно задается парой соот-
ветствующих точек А, В ~ f (А) и углом поворота.
337.	Доказать, что при повороте величина угла между направ-
лением луча и направлением его образа равна углу поворота.
338.	Доказать, что композиция двух поворотов с .различными
центрами на угол а н на угол р есть поворот при а + р 360°
н перенос при а -г f 360° (0° а < 360 ,0°	< 360°).
339.	Доказать, что, для того чтобы композиция двух поворотов
была перестановочна, необходимо и достаточно, чтобы центры этих
поворотов совпали.
340.	На плоскости даио нечетное число точек Ot (Z = Г, 2, п)
и точка М О/. Доказать, что точка Л1, полученная из точки М
при последовательном выполнении симметрий относительно точек
О2, а затем еще раз относительно тех же точек, совпадает с точ-
кой М.
341.	Точка Ж принадлежит плоскости треугольника Л ВС, а
точки Л7, В', С' симметричны точке М относительно середин Л9,
В9, Со сторон [ВС1, [ЛС1, [АВ1 треугольника ЛВС. Доказать, что
существует центральная симметрия /, отображающая треугольник
АВС на треугольник А'В'С,
342.	Через центр правильного треугольника проведены две
прямые, угол между которыми равен 60°. Доказать, что пересече-
ние этих прямых с данным треугольником представляет собой два
жонгруэнтиых отрезка.
343.	Вершины правильного n-угольника Фг принадлежат сто-
ронам правильного п-угольникаФх. Доказать, что: 1) каждая вер-
нина В{ многоугольника Ф2 делит сторону	э В/ в одном
н том же отношении; 2) центры симметрии многоугольников Фр Ф2
совпадают.
344.	В окружность вписан правильный (2га 4~ 1)-угольиик
ЛХЛХ ... Л3й+1. Доказать, что композиции симметрий с центрами
37
в вершинах At> Л2,	есть симметрия с центром в точке
пересечения касательных к окружности в вершинах Ах и Аад+1.
345, Доказать, что множество центров всех поворотов, отобра-
жающих точку А на точку В (Л #= В), есть прямая.
346.	Доказать, что если композиция поворота вокруг точки А
на угол а н поворота вокруг точки В на угол ₽ есть поворот вокруг
точки С, а композиция поворота вокруг точки В на угол Р и пово-
рота вокруг точки А на угол а есть поворот вокруг точки D (Л ф B)t
то точки С и D симметричны относительно прямой (AS).
347.	Даны два поворота с различными центрами. Построить
неподвижную точку композиции этих двух поворотов.
348.	Написать формулы скользящей симметрии, заданной осью
I и вектором а:
1)	/: х — 2	= 0,	а (О,	3);
2)	/: х + у — 3 =	0,	й(—	1, 1);
3)	/:.у + 5	= О,	а (2,	0);
4)	1\ 2х — у + 1	=	О,	а (2,	4).
340, Найти координаты образа точки А при скользящей сим-
метрии, заданной осью I и вектором а*.
1)	А (2,1),	/:	xd-5-О,	а (0, 2);
2)	А (0,-3),	к	х 4- у + 3 - 0,	а (-2, 2);
3)	А (0, 0),	h	х — 2у 4-1 = 0,	а (6, 3).
350. Написать уравнение образа прямой tn при скользящей
симметрии, заданной осью I и вектором а:
1)	Z:	х 4-	2 = 0,	а (0, 3),
2)	I:	х —	у 4* 1 =	0,	а (5,5),
3)	I:	х 4-	2у - 0,	а (—2, 1),
т: х — Зу 4- I 0;
т: х + у = 0;
т: х — 2у •]- 1 = 0.
351. Найти уравнение инвариантной прямой скользящей сим-
5	12	12	5
метрии, заданной формулами:xf = — х 1- —у -J- 4, у' — -х-у.
13	13	13	13
352. Написать формулы перемещения, представляющего собой
композицию трех осевых симметрий с осями х = 0, у ~ 0, х 4- у —
-1=0.
353.	Доказать, что композиция двух скользящих симметрий
с различными параллельными осями есть перенос.
354.	Доказать, что композиция двух скользящих симметрий
с перпендикулярными осями есть центральная симметрия.
355.	Доказать, что композиция двух скользящих симметрий
с пересекающимися осями есть поворот. Построить центр этого
поворота.
356.	Доказать, что скользящую симметрию <т можно предста-
вить в виде следующих композиций:
38
1)	о == о о А, где a — отражение от прямой а* А — отражение
от точки А, причем точка А не лежит на прямой а.
2)	а = и о а, где и — отражение от прямой и, а — перенос,
вектор которого a [fa.
3)	а = с о b о а, где а, Ь, с — отражение от прямых а, с,
не принадлежащих одному пучку.
357, Дан треугольник АВС. Доказать, что композиция4 двух
скользящих симметрий с осями (715) и (ВС) и соответственно пере-
носами на векторы АВ и ВС есть поворот вокруг центра окружно-
сти, описанной вокруг треугольника АВС. Найти величину угла
этого поворота.
35& Доказать, что композиция отражений плоскости от трех
прямых, принадлежащих одному пучку, есть отражение от прямой
этого пучка.
359.	Дан треугольник АВС. Точки Ai, Bt и Ct — основания его
высот. Доказать, что прямая (А/У является осью скользящей
симметрии ст — (СА) о (ВС) « (АВ), где (АВ) — отражение от пря-
мой (АВ), (ВС) — отражение от прямой (ВС), (СА) — отражение
от прямой (СА).
360.	Точки А, В лежат по одну сторону от прямой /. Доказать,
что на прямой I существует такая точна что прямые (АЛ1),
(ВЛ4) образуют с прямой I конгруэнтные углы.
361.	На плоскости П даны два отрезка [АВ], [AZB'] одинако-
вой длины. Доказать, что существует единственное перемещение f
первого (второго) рода такое, что f (А) = A*, f (В) " В1.
362.	На плоскости П даны два отрезка [АВ1, [A'B'J одинако-
вой длины, точка М и прямая т. При каком расположении данных
отрезков существует преобразование f \ f (А) = A', f (В) — В', ко-
торое является:
1)	переносом плоскости (найти его);
2)	полорогом плоскости (найпг центр и угол поворота);
3)	осевой симметрией (найти ось);
4)	скользящей симметрией (найти ось и вектор). Построить в
каждом, случае точку М' = f (Af) и прямую т” = f (m).
363.	Доказать, что если при перемещении окружность пере-
ходит в себя, то центр окружности есть неподвижная точка этого
перемещения.
364.	Даны два конгруэнтных отрезка [АВ] и [AiBj, лежащих
на различных параллельных прямых. Какими перемещениями
можно один из них перевести в другой? Рассмотреть все возможные
случаи.
365.	Перечислить виды перемещений, которые отображают на
себя
I)	пучок Р (О) прямых плоскости П с центром О;
2)	пучок Р (/) прямых, параллельных /;
3)	пучок окружностей плоскости П, проходящих через две
данные точки А, В (А В).
39
366. В ортонормиройанном репере R преобразование / плоско-
сти П задано формулами:
1) х' — —х 4- EjLy + i, у' ~	4- --У + 5^-;
2	2-	2 -	2	2	2
пч ,	3,4,8	,4,3	4
2) У = — ~х +-У 4-~, У' = ~х 4-~г—
5	5	5	5	5	5
Доказать, что f — перемещение, и определить его вид. Найти ин-
вариантные точки.
367. Даны два конгруэнтных отрезка [ЛВ| и [ЛХВХ]. Составить
.формулы перемещений, переводящих А в Лх, В в Вь если А (3,4),
3(0,0), Лх(0, 0), вх(5, 0).
368. Даны координаты точек Л (рЗ, 1), В (0, 2), Л' (2, |/3 — 2),
В' (0, |/3 — 2). Написать формулы перемещения первого рода,
зная, что f (Л) ~ A', f (В) = В'.
366.	Составить формулы перемещений первого и второго рода,
если известно, что образы точек (0, 1), (1, 0) и (1, 1) принадлежат
соответственно прямым у = 0, X — 0, х 4- У — 1 ~ О.
370.	Доказать, что если имеется такая,точка Л, что при пере-
мещении f выполняется f (Л) = Лх, f (Лх) = Л, А Аь то для
любой точки X имеем f (X) — Хх, f (Хх) — X.
371.	На плоскости П даны два ортонормированных репера
Я »= (О, Лх, Л2) и R' — (О', А', Л 2). Определить вид перемещения
f | f (R) = R' в каждом нз следующих случаев:
J 1) ОЛх = (ГЛ^ б/Го*л2;
2)	бЛх = — ОМ!, ОЛ2 - — 6М1;
3)	реперы одинаково ориентированы, а = (0Лх, О'Л’б 0;
4)	реперы противоположно ориентированы, О = О';
5)	реперы противоположно ориентированы, О О', Лх, А\ $
ЦОа) (или_Л2, Ли (00')):	.
a)	d ± (ОО'У, б) d не перпендикулярна (00'), где d — прямая,
проходящая через середины отрезков [ООЧ и [Л ХЛ J (или 14 3ЛЛ).
372.	Плоскость поворачивается вокруг точки S (2, 3) иа угол а,
3	4
такой, что cos а = —, since—— —. В какую прямую при этом
5	5 -
повороте перейдет прямая I: х + 2у — 3 = 0?
373.	Даны координаты вершин треугольника АВС и А'В'С':
А (2, -3), В (5, 1), С(0, 1), А' (—3. 1), В’ (1,4). С (—
\ 5 5}
Доказать, что эти треугольники конгруэнтны. Найти формулы дви-
жения, переводящего (Л, В, С) в (А', В', С'), и определить вид этого
движения.
374.	Написать формулы преобразования осевой симметрии,
если ось симметрий задана уравнением: Ах 4~ By 4- С = 0.
40
: 375. ,Дшг правильный треугольник ДВС н точки. До, В^С^ та-
кие, что отношения (ДВ, Со) = (ВС, До) — (СД, Во) ==* X =/=1. ..
Доказать, что:
1)	треугольник Д^ВоСо —правильный,
2)	треугольник DEF, стороны которого лежат на прямых (ДД0),
(ВВ0), (СС0), правильный,
3)	центры треугольников,ДВС, Д0В0С0, DEF совпадают.
. 376. Доказать, что точки, симметричные точке М пересечения
высот треугольника относительно прямых, содержащих его сто-
роны, лежат на окружности, описанной около этого треугольника.
§ 3.	ПОДОБИЯ
377.	На прямой I даны две пары точек Д и В, и Вг Постро-
ить пентр гомотетии, которая точку А переводит в точку Др а точ-
ку В — в точку В,.	.
378.	В репере R даны координаты точек А (2, 1), В (3,—2),
С (1, 0), А' (—1, —5), В* (—3, 1), С (1, —3); Доказать, что тре-
угольники ДВС и А'В'С' гомотетичны, и написать формулы гомо-
тетии h\h (ЛАВС) ~ АА'ВС'.
379.	Найти необходимые и достаточные условия, прн которых
данные отрезки 1ДВ1 и [Д'В'1 гомотетичны.
380.	Доказать, что два неконгруэнтных треугольника АВС н
А*В’С' гомотетичны тогда и только тогда, когда их соответственные
стороны параллельны.
381.	Доказать, что две.замкнутые ломаные линии Д1Д2 ...
... Дд-^ДдД! и Д1Д2 ... Дп„|ДдДг плоскости П гомотетичны тогда
и только тогда, когда существует
#= о| д^д:, j - *дд+1 (£ - 1, 2,..., п - 1), л;л;=мд.
382.	Дана замкнутая ломаная линия Д1Д2Д3ДИ1 иа плоско-
сти П. Пусть Aflt М2, Л43, М4 — центры тяжести соответственно
треугольников А 2А 3А 4, А 3А 4Д s, А 4Д jА 2, А гА 2Д 3. Доказать, что
“замкнутая ломаная МгМsM^fiM! гомотетична данной и коэффи-
циент гомотетии k = —-•
3
383.	Два квадрата имеют общий центр, а их стороны соответ-
ственно параллельны. Какими гомотетиями можно один нз квадра-
тов отобразить на другой?
384,	Стороны одного четырехугольника параллельны сторонам
другого, а диагонали первого — диагоналям второго. Следует ли
отсюда, что четырехугольники гомотетичны?
385.	Доказать, что если центр гомотетии О гомотетичных тре-
угольников ДВС и А'В’С совпадает с. центром тяжести одного
треугольника, то он является центром тяжести другого.
386.	Доказать, что одна из двух неконгруэнтных окружностей
может быть переведена в другую двумя различными гомотетиями,
причем сумма коэффициентов этих гомотетий равна нулю.
41
387.	Две окружности пересекаются в точках Л и В< Доказать,
что если М и # — центры гомотетий этих окружностей* то MAN =я
« MBN = 90°.
388.	Доказать, что композиция гомотетии с центром Л и коэф-,
фициеитом kt и гомотетии с центром В и коэффициентом есть
1)	гомотетия при • k2 1J.
2)	перенос при А В к kt&2 ~ 1;
3)	тождественное преобразование при А *= В и = I.
389.	Доказать, что две гомотетии с различными центрами и коэф-
фициентами k} и fe2 имеют единственную общую пару соответствую-
щих точек тогда н только тогда, когда kx
390.	Доказать, что если композиция гомотетии. с центром А
и гомотетии с центром В есть гомотетия с центром С, то точки А,
В и С принадлежат одной прямой.
39L Даны три попарно некоигруэнтные окружности. Доказать,
что центры положительных гомотетий этих окружностей принадле-
жат одной прямой.
392.	Даны три гомотетии, коэффициенты которых различны,
а центры не совпадают. Доказать, что существует единственная
прямая, имеющая один и тот же образ в данных гомотетиях.
393.	Дан треугольник ЛВС и точки Av Ви Сх, А2* В3, Сг, та-
кие, что (АВ. (ВС, AJ (СА, Вг) = k. (AtB^ ==
= (Bfix, А3) = (CiAj, В2) = —. Доказать, что треугольники АВС
k
и А3В2С2 гомотетичны. Найти центр н коэффициент гомотетии, пере-
водящей треугольник АВС в треугольник А2В2С2.
394.	Дано преобразование подобия с коэффициентом k. при ко-
тором А Ax —* А3, В —* Bi*-* В2. Найти зависимость между
длинами отрезков [ABI, [АД], [А3ВД.
396.	В плоскости П даны ортонормированньш релер R =
— (О, А ъ А а) к такой репер Д' (О\ А^ Аа), что выполняются усло-
вия	IOAJ, ICXA4-|CAU 0^ (ГАз-О^Хр.
Доказать, что отображение f\ П -> П, переводящее точку JW (х, у)
в репере R в точку Mf (х, у) в репере Д', есть подобие с коэффициен-
том Д.
396.	Доказать, что если в треугольниках АВС и АРВ*С выпол-
няются равенства: | А'В’ [ “й (ABL |А'С'| — Л |ACU ВАС—
— В'А'С', то эти треугольники подобны.
397.	Доказать, что если в треугольниках АВС и А'В^С' выпол-
няются равенства: [A'B*f = &[AB|, [ВС'|’ — k |BCf, fА'С'| —
« k | АС], то эти треугольники подобны.
398.	Доказать, что если в треугольниках АВС и А'В'С* выпол-
няются равенства: АВС — А'В'С', ВСА — В'С'А', то такие тре-
угольники подобны.
42
399.	В ортонормированием репере Я даны координаты вер-
шин: А (0, —3), В (4, 0), С (1, —1), А' (—6, —6), В* (0, —2),
С'I----,----) треугольников АВС и AfB'C\ Доказать, что тре₽
\ 5	5 /
угольники АВС и A'Bf С' подобны. Найти формулы подобия.
4O(L Написать формулы преобразования подобия первого рода,
при котором А (1, 2) *-* Лг (2, 0), В (—2, 3) —* ВА (0, 0). Вычис-
лить координаты инвариантной точки и найти коэффициент подобия.
401. Написать формулы преобразования подобии второго рода,
при котором А (1, 0) А г (0, 1), В (—2, 1)" ВД—1,1). Составить
уравнения инвариантных прямых подобия и вычислить координаты
неподвижной точки.
402.	Доказать, что всякое подобие плоскости, отличное от пере-
мещения, является либо композицией гомотетии и поворота вокруг
центра гомотетии, либо композицией гомотетии и симметрии отно-
сительно прямой, проходящей через центр гомотетии.
403.	Задать два преобразования подобия, такие, чтобы их
композиция была гомотетией.
404.	Доказать, что квадрат подобия второго рода есть гомотетия.
405.	При каком условии композиция двух преобразовании по-
добия есть перенос?
406.	В каком случае третья (n-я) степень преобразования подо-
бия есть гомотетия?
407.	При каком условии два подобия имеют бесконечное мно-
жество общих пар соответствующих прямых?
408.	Подобие f переводит три точки А, В, С, не лежащие на
одной прямой, в точки Л', В', (7 соответственно. Построить образ
точки М.
409.	Построить инвариантные прямые подобия второго рода,
заданного двумя парами соответствующих точек.
410.	Сколько существует подобий первого рода и сколько по-
добий аторого рода, при которых один из двух данных квадратов
переходит в другой?
411.	Подобие первого рода задано двумя парами соответствую-
щих точек. Построить инвариантную точку.
412.	Как нужно задать две пары точек (Лъ Л2) и (Bj, В2), что-
бы инвариантные точки подобий первого и второго рода, при ко-
торых Аг *—* Л2, Вг »-* В2, совпали?
413,	В треугольнике АВС проведены две высоты (ЛЛ J и IBBJ.
Найти инвариантные прямые подобия второго рода, при котором
А — Ль В — Вх.
414.	Даны прямая а и точка А £ а. Найти множество инвариант-
ных точек подобий, которые прямую а и точку А преобразуют в
заданную прямую и точку Лх.
415.	Дано множество подобий с общим коэффициентом подобии
k и общей парой соответствующих точек А и /Г. Найти множество
неподвижных точек этих преобразований.
43
' 416, Две окружности и ; пересекаются в 4шках Л" и В.
Доказать, что подобием первого рода с инвариантной точкой Л
первую окружность можно перевести во вторую. Убедиться в том,
что точка Мг € (dj, ее образ М% € о>2 и точка В принадлежат одной
прямой.
417,	Найти множество инвариантных точек подобий, которые
одну из двух данных окружностей переводят в другую.
418,	Доказать, что четыре инвариантные точки подобий пер-
вого рода, которые один из данных квадратов переводят в другой,
принадлежат одной окружности.
§ 4.	АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
419.	Написать формулы косого сжатия в координатах в произ-
вольном аффинном репере,
420.	Доказать, что косое сжатие однозначно определяется
двумя парами соответствующих пересекающихся прямых при усло-
вии, что точки пересечения различны.
42L Представить сжатие к прямой в виде композиции двух
косых сжатий к этой же прямой.
422.	Доказать, что косая симметрия есть эквиаффинпое пре-
образование.
423.	Написать формулы преобразования косой симметрии с
осью х + 2у— 1=0 и направлением, определяемым вектором
р (I.--1).
424.	Доказать, что преобразование сдвига является зквиаф-
фииным.
425.	В репере (О, Z, j) написать формулы сдвига, если известны
его коэффициент k и уравнение оси у — 0.
426.	Доказать, что композиция двух косых симметрий , с пере-
секающимися осями есть центроаффинное преобразование. В каком
случае оно будет центральной симметрией?
427.	В каком случае композиция двух косых симметрий есть
параллельный перенос?
. 428. Доказать, что композиция двух преобразований сдвига
с параллельными осями или не имеет неподвижных точек илн име-
ет их бесконечное множество.
429,	Какое преобразование представляет собой композиция
сдвига и переноса параллельно оси сдвига?
430.	Перечислить все аффинные преобразования, переводящие
в себя данный треугольник.
431.	Дан параллелограмм Л BCD. Найти композицию четырех
сдвигов с осями (ЛВ), (ВС), (СП), (ВЛ), если при этих сдвигах со-
ответственно С *—* И, D *-* Л,_ А В, В ♦-* С.
432.	Через центр параллелограмма провести две прямые, рас-
секающие параллелограмм на четыре равновеликих четырехуголь-
ника. Сколько решений имеет задача?
44
433.	Привести аналитическую запись в аффинной системе коор-
динат всех эквиаффннных преобразований.
434.	Найти инвариантные пучки прямых эквиаффинного преоб-
разования
хг = 9х 4* 4у — 2
у’ = 2х 4* У 4* 1»
435.	Три прямые а, Ь, с пересекаются в точке М, а три другие
прямые сх, &х, сх — в точке Mt. Существует Лн эквиаффннное пре-
образование, прн котором а *—* ах, b blt с * сх?
436.	Выяснить, определяется ли эквиаффннное преобразование
заданием двух параллельных прямых a, fr, нх секущей с н образов
«ii £х этих прямых.
437.	Доказать, что композиция сдвига и косой симметрии есть
скользящая симметрия или косая симметрия.
438.	Доказать, ято всякое эквиаффннное преобразование есть
композиция не более трех косых симметрий.
439.	Какие два четырехугольника аффннно эквивалентны?
440.	Написать формулы аффинного преобразования, которое
точки А (Ц 2), В (3, —1), "С (—1, 1) переводит соответственно в
точки А' (—1, 10), В' (6, 6), С (—4, 6).
441.	Найти инвариантные точки аффинного преобразования,
переводящего точки Л (—1, 2), В (2, 1), С (1, —1) в точки А' (—3, 0),
В' (6, 2), С' (10, — 1).
442.	Написать уравнения инвариантных прямых аффинного
преобразования, заданного в репере (0, гх, е2) формулами:
у ~ 7х —у 4* 1
у' 4х + 2у + 4.
443.	В репере (О, е1$ е2) написать формулы аффинного преобра-
зования, если известно, что прямые.4*. 2х — у 4~ 3 == 0 н /2: х —
— у 4- 2 — 0 являются инвариантными прямыми этого преобразо-
вания и точка Л1 (—1, 0) переходит в точку ЛГ (1, 2).
444.	В репере (О, elt е2) даны уравнения прямых 1г: х 4* У — 1 =*
— 0, /J: х — у — 3 = 0, /2: х —2у 4* 1 = 0, 4» 2х + у + 1—0
н точки (0, 0), Mi (1, —1). Написать формулы аффинного пре-
образования /, переводящего прямые /х, /2 в прямые Zs и точку Л?х —
в точку М[.
445.	Пусть в репере (О, ех, е2) даны уравнения прямых I: Ах 4*
4- By 4- С = 0, /•: А'х 4- В'у 4- С' = 0. Доказать, что если прн
аффинном преобразовании f прямая I переходит в Г, то существует
такое число X, что для каждой точки М (х, у) £ Z и точки f (М) =
— ЛК (х', у7) € 1Г выполняется равенство:
А'х' 4* В'у' 4* С' = К (Ах + By 4- С).
446.	Аффинное преобразование задано тремя парами соответ-
ствующих точек: А Лх, В 'г* Вх, С *-* Сх.
45
1) для данной точки М построить соответствующую точку Мр,
2) для данной прямой т построить соответствующую прямую щх.
447.	Доказать, что любые два параллелограмма аффиино экви-
валентны.
448.	Доказать, что для любой трапеции ABCD существует
аффинно эквивалентная ей равнобочная трапеция AfBrCfD'.
449.	На сторонах произвольного неравностороннего треуголь-
ннка АВС даны точки Хе, Во, Сй, такие, что отношения (ХВ, Со) =
= (ВС, Ло) = (СХ, Во) «= Доказать, что точки пересечения
медиан треугольников АВС, АдВ0С$ и треугольника, образо-
ванного прямыми (ХДЙ), (ВВ0), (ССЙ), совпадают.
450, Точки Д41г	делят стороны [ЛВ], IBC] треугольника АВС
в отношении (АВ, Мх) = (ВС,	а точки АГа делят эти
стороны в отношении (ДВ> М%) — (ВС, ATJ — Доказать, что
точка Р пересечения прямых (ЛДДД, (Жа/У2) делит отрезки
[Мг#21 в отношении (MiiVi, Р) ~ 51а, (№%№%, Р) =
451.	Доказать, что при любом аффинном преобразовании Д
заданном в ортонормированием репере формулами:
х' = сих + С^у + х0
где А “	=/= 0,
выполняется равенство: S' = | Д|  S, где S — площадь треуголь-
ника ЛВС, a S' — площадь соответствующего ему при преобразо-
вании f треугольника А'В'С.
452.	Доказать, что при аффинном преобразовании отношение
площадей двух треугольников (многоугольников) равно отношению
площадей соответствующих им треугольников (многоугольников).
453.	Площадь параллелограмма ABCD равна Q. Даны точки Лх,
В1У Ср Db такие, что отношения (ДВ, Dt) — (BCt XJ •= (CD, —
— (DX, Cx) ~ к. Вычислить площадь <Sy четырехугольника X0BeCoD0f
образующегося при пересечении, прямых (ДЛд), (ВВХ), (ССХ),
(DDJ. Рассмотреть случай X — 1.
454.	В ортонормированием репере «= (О, Alt Л2) даны урав-
нения прямых Ц : Хрс + В$ + С1 — 0 (i = 1, 2, 3), содержащих
стороны треугольника АВС- Найти его площадь S.
455.	Точки Ло, В6Л С& делят стороны треугольника АВС ъ отно-
шениях: х, ~ (Лс, вй), =-(ял, с0),. 13 = (св, л0), (kt • ka х
X —1, Лх •	• 18 5^= 1). Найти отношение площади Sz тре-
угольника XZB'CZ, определяемого прямыми (ЛЛ0), (ВВ0), (СС0),
к площади S треугольника АВС.
456.	Дан треугольник АВС и точки Ло, BQ, такие, чтоотноше-
I AC I
ния (А А о, С) = (BBQ, С) — -——. Доказать, что сумма площадей
I I
параллелограммов А$СВМ к BgCAN равна площади параллело-
грамма ABPQ, где РВ = CL, L — вершина параллелограмма
AqCBqL.
46
470.	Доказать, что два аффинных преобразования Имеют в об-
щем случае только одну общую пару соответствующих точек. По-
строить эту пару точек.
471.	Сколько общих пар соответствующих прямых могут иметь
в общем случае два аффинных преобразования?
472.	Доказать, что если два аффинных преобразования имеют
две общие пары соответствующих точек, то таких пар бесконечное
•множество.
473.	Доказать, что множество неподвижных точек всех аффин-
ных преобразований, переводящих пару параллельных прямых а,
b в другую пару параллельных прямых alf	есть прямая.
474.	При аффинном преобразовании А —* Л!»—* Л2,	Bt *-*•
С Ci *-* С2. Найти зависимость между площадями тре-
угольников ABC, AiBiCi,
475.	В репере & написать формулы аффинного преобразования f
плоскости П, имеющего единственную неподвижную точку
Л10 Уб) И единственную неподвижную прямую Z: Д#4~Ву +
Н~ с =» 0, где /Ио g Z.
< 476. Доказать, что если при аффинном преобразовании Л—*- В,
В*~* С, Dt Р*-* £, А, то каждая диагональ пятиуголь-
ника ABCDE параллельна одной из сторон пятиугольника. По-
строить неподвижную точку этого преобразования.
§ б. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
477.	Перечислить все группы перемещений второго порядка.
(Порядком конечной группы называют число ее элементов.)
478.	Найти порядок группы симметрий (самосовмещений) двух
перпендикулярных прямых.
479.	Назвать две неизоморфные группы перемещений четвер-
того, шестого порядка.
480.	Доказать, что все переносы на векторы, коллинеарные
вектору а (а 0), образуют группу.
481.	Доказать, что все перемещения с общей неподвижной точ-
кой образуют группу. Является ли она абелевой?
482.	Доказать, что все повороты с общей неподвижной точкой
образуют группу. Назвать несколько ее подгрупп.
483.	Доказать, что осеваи симметрия т, все скользящие сим-
метрии с общей осью m и все переносы, направления которых
параллельны осн т, образуют группу.
484.	Доказать, что все переносы и все центральные симметрии
образуют группу. Является ли эта группа абелевой?
485.	Доказать, что все переносы на векторы, коллинеарные
вектору а (а =£ 0), и все симметрии относительно осей, перпенди-
кулярных а, образуют группу.
486.	Доказать, что все скользящие симметрии с общей осью tn,
все симметрии, оси которых перпендикулярны т, все центральные
4в
симметрии, центры которых принадлежат т, все переносы, направ-
ления которых параллельны т, образуют группу.
487.	Представить группу переносов в виде прямого произве-
дения двух ее подгрупп.
488.	Доказать, что все гомотетии с общим центром образуют
группу. Является ли она абелевой?
489.	Доказать, что все гомотетии и все переносы образуют
группу.
490.	Дана группа G всех подобий первого рода плоскости и
труппа Н всех подобий первого рода с одной и той же инвариантной
точкой. Каждому элементу g € G ставится в соответствие элемент
h € Я, такой, что сохраняется коэффициент подобия и угол поворо-
та. Доказать, что полученное = отображение есть гомоморфизм.
491.	Пусть G — группа перемещений первого рода, а Н — под-
группа всех поворотов с неподвижной точкой О. Каждому переме-
щению g € G отнесен такой поворот h € Я, что у этих преобразова-
ний углы поворота равны. Доказать, что такое отображение есть
гомоморфизм группы G в Я.
492.	Представить группу преобразований подобия плоскости
с общей (инвариантной) точкой в виде прямого произведения двух
ее подгрупп.
493.	Доказать, что все повороты вокруг данного центра и все
симметрии, оси которых проходят через этот центр, образуют
группу.
494.	Доказать, что группа гомотетий с общим центром изоморф-
на группе действи1€яьных Чисел без нуля по умножению.
495.	Доказать, что группа переносов плоскости изоморфна груп-
пе комплексных чисел по сложению.
496.	Привести примеры 1) конечных; 2) коммутативных под-
групп группы эквиаффннных преобразований.
497.	Доказать, что центральные симметрии образуют смежный
класс группы перемещений по подгруппе переносов.
498.	Доказать, что все сдвиги плоскости с параллельными ося^-
ми и все переносы, направления которых параллельны осям, обра-
зуют группу.
499.	Доказать, что группа аффниных преобразований есть пря-
мое произведение двух ее подгрупп: подгруппы центроаффинных
преобразований и подгруппы переносов.
500.	Доказать, что группа цёитроэффииных преобразований
есть прямое произведение двух ее подгрупп: подгруппы центроаф-
финных преобразований и подгруппы гомотетий.
501.	Доказать, что множество всех сжатий и сдвигов с общей
осью образует группу.
502.	Доказать, что множество всех косых симметрий и сдвигов
с общей осью образует группу.
503.	Доказать, что множество всех сжатий с общим направле-,
нием и переносов с тем же направлением есть группа.
49
$ 6. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
504.	Доказать, что симметрия с осью а и симметрия с центром А
перестановочны тогда и только тогда, когда А £ а.
505.	Противоположные вершины параллелограмма A'B'C'D*
принадлежат прямым, содержащим противоположные стороны
параллелограмма ABCD. Доказать, что центры симметрий обоих
параллелограммов совпадают.
506.	На сторонах параллелограмма ABCD вне его построены
правильные треугольники ABM, BCM, CDP> DAQ. Доказать, что
отрезки [ТИР) и [#QI имеют общую середину.
507,	Доказать, что в шестиугольнике, противоположные сто-
роны которого конгруэнтны и параллельны, три диагонали, соеди-
няющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
508.	Точка В лежит между точками Л н С. Отрезки L4BI, [BCI
являются сторонами равносторонних треугольников ABM, BCN,
вершины М н № которых лежат по одну сторону от (Л В), а точки Е
и В —серединами отрезке® [Л и [MCL Доказать, что треуголь-
ник ВЕР правильный.
509.	Три конгруэнтные окружности имеют только одну общую
точку. Доказать, что окружность, проходящая через вторые точки
пересечения данных окружностей, конгруэнтна данным.
510.	На сторонах параллелограмма ABCD в его внешней обла-
сти построены квадраты. Доказать, что их центры являются вер-
шинами квадрата.
511.	Доказать, что сумма расстояний от любой точки Л1 основа-
ния [ЛВ1 равнобедренного треугольника АВС до прямых (ЛС),
(СВ), содержащих его боковые стороны, есть величина постоянная.
512.	Дан треугольник ЛВС, |ЛС| > |Л5|. На стороне [ЛС1
построена точка D, такая, что | CD| ~ | АВ [. Через середины М и
X отрезков [Л СИ и [BCI проведена прямая. Доказать, что СМ/( ==
= 1 СЛВ.
2
513.	В треугольник АВС вписана окружность с центром УИ.
Прямая (ДМ) пересекает в точке D прямую, проходящую через
точки касания окружности со сторонами [Л51 и [ВС1. Доказать, что
(CD) X (AD).
514.	Дан поворот плоскости П вокруг точки М на угол а н
точка S. Найти множество точек X, таких, чтобы трн точки X, Хх
и S принадлежали одной прямой, где Xi — образ точки X при дан-
ном повороте.
515.	Через середины Л®, Се сторон треугольника АВС про-
ведены прямые а0, 60, с0, параллельные биссектрисам внутренних
противолежащих углов. Доказать, что:
1)	прямые а0, &0, с0 проходяТ'через одну точку S;
2)	точка S, точка М пересечения медиан треугольника н центр N
вписанной окружности лежат на одной прямой и (SX, А1) == 1 ; 2.
516.	Пусть М3, М5 — точки пересечения медиан соответ-
50
ственно в треугольниках AiA^A^, А4А2А4, AtA2A^. Доказать, что
точки А3, А4, А5 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда
М3, Мн лежат на одной прямой н (А3А4, А5) = (М^М4, М6).
517.	Доказать, что для произвольного треугольника АВС
середины его сторон, основания высот и середины отрезков, соеди-
няющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной
окружности (окружности 9 точек — окружности Эйлера), центр
которой является серединой отрезка с концами в ортоцентре Н
и центре О описанной около треугольника окружности, если
О =^= Н,
518.	Две вершины треугольника неподвижны, а третья пере-
мещается по некоторой линии у. Доказать, что центр тяжести этого
треугольника описывает при этом линию, подобную данной линии у.
519.	Дана окружность у и точка А £ у. Какой является фигу-
ра ф, состоящая из середин хорд окружности у, имеющих общий
конец А?
520.	Доказать, что подобие второго рода, отличное от движения,
имеет одну инвариантную точку и две взаимно перпендикулярные
инвариантные прямые, преходящие через эту точку.
521.	Дана окружность у с центром в точке О радиуса г и точка А
(А =# О, A i у). Пусть N — точка окружности у. Найти фнгу*
ру Ф, состоящую из точек пересечения прямой (АЛО с биссектрисой
угла AON, если /V описывает окружность у.
522.	При повороте плоскости квадрата ABCD вокруг его цен-
тра О на угол а (а 180°) получаем квадрат А^С^Ь^ Доказать,
что точки Р (АВ) (] (АА). Q = (&Q fl ACJ, Я = (CD) Q
Л (СА), S — (DA) (Ц^Д) являются вершинами квадрата
PQPS. Вычислить отношение |PQ| : |AZ?|-
523.	Даны два подобных параллелограмма ABCD и А&С^р^,
|АВ| — т, \AD\ " п, [AAj^m!, |АА1 — /zu
| АС| = р. | BD\ — q, 1 A A! ™ Pi, I BtD41 ~ f/p
Доказать, что т • т1 X п  «Л — •— (р 	+ q  q^.
524.	Доказать, что для произвольного треугольника А ВС
точки Hit Н2, Из, симметричные ортоцентру относительно прямых,
содержащих стороны треугольника, лежат на окружности, описан-
ной около треугольника АВС.
525.	В прямоугольном треугольнике АВС (С — 90°) проведена
высота ICDL Доказать, что медиана [AAJ треугольника ADC
перпендикулярна медиане ICCJ треугольника CDB.
526.	Точка М — середина основания IAB1 равнобедренного
треугольника АВС. Доказать, что если Лг — середина перпендику-
ляра [/ИР], проведенного из точки М на сторону [Z2C1, то [CW1 X
X 1АР1.
527.	Две окружности сои	пересекаются в точках А и В. Через
точку X С со проведены прямые (АХ) и (ВХ), пересекающие окруж-
51
ность .0t в точках Xi и Х^ Доказать, что длина хорды lXtXJ не
зависит от выбора точки Х«
528.	В окружность с центром О вписан четырехугольник ABCD.
Поворот плоскости (ЛВС) вокруг точки О на угол а (<е #= 180 )
этот четырехугольник переводит в четырехугольник Л^Cfi^
Доказать, что точки Р (АВ) П (Л А), Q ~ (ВС) П (BtCth
R == (CD) Л (CJ>i)» S = (ПЛ) Q (П1Л0 являются вершинами па-
раллелограмма.
529.	Даны четыре прямые, пересекающиеся попарно в шести
точках. Доказать, что окружности, описанные вокруг четырех
треугольников, стороны которых лежат на данных прямых, пере-
секаются в одной точке.
530.	Даны точка О и функция ф (р), принимающая положитель-
ные значения на промежутке [0, 4-oof. Обобщенной гомотетией с
центром О и коэффициентом ф (р) называете^ преобразование f
плоскости по закону:
f (М) = Al'lOM' =? ф (р)ОМ, где р |ОМ|.
При этом преобразовании переходит в себя каждый луч с началом
в точке О, а также и семейство концентрических окружностей с об-
щим центром О (как и при обычной гомотетии, когда ср (р)k =
s= const). Найти образ прямой d J О в обобщенной гомотетии с
центром О и коэффициентом ф (р) — р.
531.	Найти образ оси абсцисс при сжатии плоскости к линии
у = 2х в направлении оси ординат с коэффициентом сжатия ц
(см. задачу 595).
532.	Стороны [ВС], [СЛ], [ЛВ] треугольника ЛВС разделены
точками Аь В1э С4 в равных отношениях: (ВС, Лл) — (СЛ, Bt) =
— (ЛВ, CJ =► k. Доказать, что композиция переносов на векторы
ЛЛЬ ВВг н CCt есть тождественное преобразование.
533.	У шестиугольника противоположные стороны попарно
параллельны. Доказать, что прямые, проходящие через середины
противоположных сторон, принадлежат одному пучку.
534.	Точки Лг, Bu Ci делят стороны [ВС], 1СЛ], 1АВ] треуголь-
ника ЛВС в равных отношениях. Доказать, что центры тяжести
треугольников АВС и A1BiCl совпадаюг. Сформулировать и дока-
зать истинность обратного предложения.
535.	Можно ли аффинным преобразованием перевести произволь-
ный четырехугольник'в четырехугольник, у которого диагонали
перпендикулярны и конгруэнтны?
536.	Дан параллелограмм A BCD. Прямые р н <?, параллельные
сторонам параллелограмма, пересекают их в точках:
м - р п [вс], к = р п[^>л], l -7(11лв1, n - ^nwci. ’
Доказать, что прямые (LM), (/(V), (ЛС) принадлежат одному пуч-
ку.-- -	*
52
537.	Четыре диагонали пятиугольника соответственно парал-
лельны четырем его сторонам. Доказать, что пятая диагональ па-
раллельна пятой стороне.	г :
538.	В пятиугольнике ABCDE прямые, проходящие через вер-
шины А, В, С, D и середины Вг, Сх, Dk противоположных им
сторон, пересекаются в точке S. Доказать, что прямая(ЕЕ^ (Et—
середина [ВС]) также проходит через точку S.
539.	Доказать, что если фигура Ф имеет два различных центра
симметрии, то она имеет бесконечное множество центров симмет-
рии^
540.	Пусть две прямые du d2 являются осями симметрии фигу-
ры Ф и dj П ^2 “ О. Доказать, что:
1)= прямая 4» “ 4а (4Х) — ось симметрии фигуры ф;
2)	если (4р 42) — — (n > 1), то фигура Ф имеет п осей сим-
п
метрик;
3)	если Ф имеет только две оси симметрии 41( 43, то 4Х ± 43
и О — центр симметрии фигуры ф.
Глава IV.
ЛИНИИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1.	эллипс. • -
541.	Написать каноническое уравнение эллипса, если его боль-
шая ось равна 2а, а фокусы отстоят от вершин на -— се длины.
5
542.	Доказать, что если для точки М (х0, у0)
г2 V2
 ' Х° ! - ° < |
й« Z?a ’
то любая поямая, проходящая чепез М, пересекает эллипс — 4-
аъ
м2
4-	— 1 в двух точках. Верно и обратное.
543.	На прямой Z, уравнение которой в репере (О, /, /) х 4- 5у 4~
4-4—0, найти точку, сумма расстояний которой до точек Л (—3, 0)
и В (5, 0) равна 10.
544.	В репере (О, i, j) заданы прямая d: 4х + Зу 4- 6 *= 0 и
точка F (—1, 3), которые являются директрисой и соответствую-
щим фокусом эллипса. Написать уравнение второй директрисы и
найти координаты соответствующего ей фокуса, если большая полу-
ось эллипса а — 6.
- 545. Точки А (2, 2) и С (4, 6) (в репере (0, i, j)) явлиются про-
53
тивоположнымн вершинами эллипса. Определить координаты двух
других вершин В и D и фокусов эллипса, если ось = 4 У5.
546.	Найти фигуру Ф, состоящую из всех точек плоскости П,
делящих в данном отношении X (X2	1) параллельные хорды окруж-
ности у.
547.	В репере (О, f, /) дано уравнепие эллипса у:
v3 у2 .
ь2
Найти уравнение окружности, касающейся эллипса у в двух точ-
ках, симметричных относительно фокальной оси эллипса, если абс-
цисса этих точек равна х0 =/=
548.	Найти фигуру, состоящую из середин всех хорд эллипса у,
принадлежащих прямым, проходящим через данную точку М9.
549.	В репере (О, i, /) даны уравнение эллипса
9	4
и точка А (—2, 1). Написать уравнение прямой, содержащей хорду
эллипса, проходящую через точку А и делящуюся этой точкой по-
полам.
550.	Доказать, что в каждом эллипсе сумма квадратов длин
его хорд, принадлежащих сопряженным диаметрам, есть величина
постоянная.
551.	Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями кото-
рого служат хорды эллипса, принадлежащие сопряженным диамет-
рам.
552.	Найти произведение расстояний от фокуса эллипса до
двух его параллельных касательных.
553.	Доказать, что:
1)	точка, симметричная фокусу эллипса относительно его каса-
тельной, лежит на прямой, проходящей через точку касания и
второй фокус, и отстоит от него па расстоянии большой оси;
2)	основания перпендикуляров, проведенных через фокусы
эллипса к его касательной, находятся на расстоянии большой полу-
оси от центра эллипса.
Пользуясь свойством 1), указать способ построения касатель-
ной к эллипсу, проходящей через данную внешнюю точку.
554.	Найти фигуру Ф, состоящую из ортогональных проекций
фокуса эллипса на всевозможные его касательные.
555.	НайтИ фигуру Ф, состоящую из точек, симметричных фо-
кусу эллипса относительно всех его касательных.
556^ Написать уравнения прямых, содержащих стороны квад-
рата, описанного около эллипса, определенного в репере (О, i, j)
уравнением:
я2	у2	।
а3	Ь*
54
557.	Найти сумму длин двух хорд эллипса с полуосями a, bt
проходящих через фокус и параллельных двум его сопряженным
диаметрам.
558» Касательные к эллипсу у в точках Л1о, Мо пересекаются в
точке Т. Доказать, что отрезки [ТМо], [ТЛ4о1 видны из фокусов
эллипса под одним и тем же углом.
№
559.	Найти фигуру, состоящую из середин хорд эллипса —г
а2
4- -,=1, концами которых служат концы сопряженных диаметров.
б3	~
560.	Пусть Л, В, С — три различные точки эллипса у, причем
точки В и С принадлежат одному диаметру. Доказать, что направ-
ления , прямых, (АВ) и (АС) сопряжены относительно эллипса у.
561.	Стороны треугольников АВС и А'В'С' пересекаются так,
что каждая сторона треугольника АВС точками пересечения де-
лится на три равные части. Доказать, что все вершины данных тре-
угольников принадлежат одному эллипсу и все точки пересечения
сторон треугольников принадлежат одному элдипсу.
562.	Точка А принадлежит эллипсу у. Доказать, что на эллип-
се у существуют точки В, С, такие, что Точка пересечения медиан
треугольника АВС совпадает с центром эллипса у.
563.	Доказать, что площади параллелограммов, построенных
на парах сопряженных полудиаметров эллипса, равны между собой
и равны площади прямоугольника, построенного на полуосях эл-
липса.
564.	Пусть О — центр эллипса у, вписанного в четырехуголь-
ник ABCD. Доказать, что
“Ь ~ $ОВС $ОАй’
565.	На сторонах треугольника АВС даны точки Alt А3 € [ВС],
Bn В2 € [АС], Сь С2 € I АВ], такие, что (ВА2, AJ = (САЬ А2) ==
=• (СВ2, Bi) = (АBlt В4) — (АС2, CJ = (ВСП С2). Доказать, что
точки Ai, As, Blt В2, .Ci, С2 принадлежат одному эллипсу, центр
которого совпадает с точкой пересечения медиан треугольника АВС.
566.	Найти фигуру Ф, состоящую нз точек Н пересечения ка-
сательных к эллипсу у, проведенных в точках пересечения эллипса
с сопряженными диаметрами.
567.	Доказать, что
1)	прямая /, проходящая через точку 7И0 Эллипса у, является
касательной к эллипсу у тогда и только тогда, когда ее направление
сопряжено с направлением диаметра, проходящего через точку ка-
сания;
2)	две касательные к эллипсу у параллельны тогда и только тог-
да, когда прямая, проходящая через нх точки касания, является
диаметром эллипса у;
55
3)	диагонали параллелограмма, стороны которого касаются
Эллипса, принадлежат сопряженным диаметрам*
568.	В ортояормироваином репере эллипс задан уравнением:
Найти направления двух сопряженных диаметров, образующих
между собой угол —.
1	4
569.	В ортонормнрованном репере эллипс задан каноническим
уравнением. Найти угол между двумя сопряженными диаметрами,
из которых один имеет угловой коэффициент k.
570.	Доказать, что направления смежных сторон параллело-
грамма, вписанного в эллипс, сопряжены.
571.	Эллипс у задан каноническим уравнением н Af0 (х0, у0) £
С у. Доказать, что диаметр, сопряженный диаметру, проходящему
через точку М0, проходит через такую точку (xlt yt) £ у, что
= ± 2L
а b
У1 = ± *о
b а
572.	Найти эксцентриситет эллипса, если расстояние между
его фокусами есть среднее арифметическое длин осей.
573.	Написать уравнение множества эллипсов, имеющих одни
н те же фокусы Flt F2.
574.	Определить положение
Л13	5 рЛ”относительно
575.	Доказать, что стороны
эллипс, параллельны его осям.
576.	Написать уравнения касательных к эллипсу
= 1, параллельных прямой х у — 1—0.
577.	Доказать, что эллипс наибольшей площади, вписанный в
треугольник, касается его сторон в их серединах.
х2 у2
578.	Доказать, что касательные к эллипсу — 4- —I от-
а2 &
точек Л1х (1, 2), М2 (6, 1),
V®
эллипса — + — = 1.
9	25
прямоугольника, вписанного в
х2 . у8 _
16	~
секают на двух касательных, проведенных в вершинах А и В эл-
липса, принадлежащих большой оси, отрезки [ДТИ] и [BZV], произ-
ведение длин которых равно 52.
579.	Плоская фигура Ф перемещается в своей плоскости так,
что две ее точки. Л, В движутся по двум пересекающимся прямым
I н т. Доказать, что точки фи гуры .Ф, отличные от А и В, описывают
эллипсы.
54
' 	-	• —	> Я. ГИПЁНВ0ЙА •	.... :
580.	В репере (О, f, /) задано уравнение гиперболы:
X* - у* ___ J
16 ~~ 9 “ ’
Найти координаты точек пересечения ее асимптот с директрисами.
581.	В репере R — (О, i, /) заданы канонические уравнения эл-
липса + ~~ — 1 и гиперболы j ю 1- Выберем две новые
системы координат: Rf — (дД /) и R* “ (В, где А (—а, 0)
и В (а, 0). Найти уравнение эллипса в системе координат R' и
уравнение гиперболы в системе R-,
582,	Дан отрезок t ДВ1, длина которого 2а. Найти фигуру F =*
= рИ||Л?ЛЛ — MBA | =
583.	Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фоку-
сы, пересекаются под прямым углом.
584.	В репере (О,	/) найтн координаты^фокусов гиперболы,
если расстояние между фокусами равно 2 ]Л 10, уравнения асимп-
тот в этом репере имеют вид: х 4~ 2у -г 4 ™ 0 и 2х — у -Ь 2	0
и одна из ветвей гиперболы расположена в том из углов, образован-
ных асимптотами, где находится начало координат.
585.	Выяснить, подобны Ли гиперболы, уравнения которых в
репере (О, i, /) имеют вид:
1) 9ха — 25/— 18х— 100у — 316 =0 и i=l;
2) —----— = 1 й Xs 4/ 4- 6х + 5 = 0.
8	3
586.	Найти угол между сопряженными диаметрами гиперболы,
один из которых имеет угловой коэффициент k.
587.	В репере (О, ц /) написать уравнение прямой, проходя-
щей через фокус F (а]/2, 0) гиперболы х2у3 = о2 и образующей
при пересечении с ней хорду, делящуюся точкой F в отношении
л - 2.
588.	Вычислить площадь параллелограмма, образованного асимп-
тотами гиперболы и прямыми, проходящими через точку М ги-
перболы параллельно её асимптотам, если полуоси гиперболы рав-
ны а и Ъ.
589.	Доказать, что асимптоты равносторонней гиперболы де-
лят пополам углы, образуемые сопряженными диаметрами.
590.	Точка /Ио гнперболы лежит с ее фокусом F по одну сторону
ВТ
от мнимой оси. Через Мо проведена прямая, параллельная асимп-
тоте и пересекающая директрису d, соответствующую фокусу Г,
в точке D. Доказать равенство: ] ГЖе[ “ |РЖ0[.
591.	Доказать, что произведение расстояний от центра гипер-
болы до точек пересечения любой касательной гиперболы с ее
асимптотами равно квадрату половины расстояния между ее фо-
кусами.
592.	Доказать, что точка касания прямой линии с гиперболой
является серединой отрезка, концами которого служат точки пере-
сечения этой Црямой с асимптотами гиперболы.
593.	Доказать, что площадь треугольника, образованного каса-
тельной к гиперболе и ее асимптотами, равна произведению полу-
осей гиперболы.
594.	Доказать, что
1) точка, симметричная фокусу гиперболы относительно ее
касательной, лежит на прямой, проходящей через точку касания
и второй фокус гиперболы, и отстоит от нега на расстоянии, равном
вещественной оси;
2) основания перпендикуляров, проведенных через фокусы
гиперболы к ее касательной, находятся на расстоянии веществен-
ной полуоси от центра гиперболы.
595.	Пусть каждая прямая пучка Р параллельных прямых пере-
секает линию у в одной точке. Сжатием плоскости к линии у в на-
правлении Р называется преобразование f плоскости, удовлетворя-
ющее следующим условиям: 1) f (Ж) — Ж, УЖ С у, 2) если Ж О»
то / (Ж) = Ж7 — такая точка, что а) (ЖЖ7) С Р, б) точка
А = (ММ') П v делит отрезок ММ' в одном и том отношении р
(коэффициент сжатия).
X3 V3
Даиа гипербола------— — 1. Найти образ оси ординат в сжа-
тии плоскости к правой ветви гиперболы в направлении оси абсцисс
с коэффициентом сжатия и =
£
Г
596.	Доказать, что ортоцентр треугольника, вписанного в рав-
ностороннюю гиперболу, принадлежит той же гиперболе.
597.	Найти угловой коэффициент касательной к гиперболе
— — Л = 1 В точке (х0, Уо).
598.	Дана гипербола — — ~ — 1. Найти точки касания ка-
сательных, параллельных биссектрисам координатных
углов.
599.	При каком условии асимптоты гиперболы
аа
взаимно перпендикулярны?
609. Какой вид примет уравнение равносторонней гиперболы
х2 — у2 — а2, если ее асимптоты принять за оси коордкиат?
601.	Написать каноническое уравнение гиперболы, если вели-
чина угла между асимптотами равна 60°, а расстояние между фоку-
сами 4 УЗ.
602.	Написать уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы
с эллипсом — +	— 1, если ее эксцентриситет е = —.
603.	Доказать, что директриса гиперболы проходит через
ортогональную проекцию соответствующего фокуса на асимптоту.
604.	Найти угол между асимптотами гиперболы, у которой рас-
стояние между фокусами вдвое больше расстояния между дирек-
трисами.
605.	На гиперболе — — ~ === 1 найти точку, фокальные ра-
диусы которой взаимно перпендикулярны.
606.	Найти длину стороны квадрата, вписанного в гипербо-
V2	1
лу------- 1, в какие гиперболы возможно вписать квадрат?
й2 Ь*
у2
607.	Написать уравнение касательных к гиперболе л2 — — ~
= 1, проходящих через точку М (1, 4).
X2
608.	Написать уравнение той касательной к гиперболе — —
ч,2
— — = 1, которая перпендикулярна к прямой 2x-h5y + И —
36
=> 0.
600. Найти произведение расстояний от фокусов гиперболы
----Д- == 1 до касательной.
ай Ь2
610.	Написать каноническое уравнение гиперболы, если дано
ее уравнение в полярных координатах:
9
Р =	—•
4 — 5 cos <р
611.	Зная каноническое уравнение гиперболы в ортонорми-
рованием репере, написать ее уравнение в полярных коорди-
натах.
612.	Найти фигуру, образованную ортогональными проекция-
ми какого-либо фокуса гиперболы иа касательные к этой гипер-
боле.
613.	Найти фигуру, образованную точками, симметричными
с каким-либо фокусом гиперболы относительно касательных к
этой гиперболе.
614.	Найти фигуру, образованную центрами окружностей,
касающихся данной окружности и проходящих через данную точку
вне этой окружности.
615.	Найти фигуру, для каждой из точек которой произведение
расстояний до двух пересекающихся прямых равно данному поло-
жительному числу.
59
616.	Найти фигуру, образованную центрами окружностей,
касающихся двух данных нёконгруэнтных окружностей, одна из
которых, лежит вне другой.
617.	Доказать, что точки пересечения касательной к гиперболе
с ее асимптотами н фокусы этой гиперболы лежат на одной окруж-
ности-
618.	Доказать,, что касательная к гиперболе параллельна тому
диаметру,, который сопряжен с диаметром, проходящим через
точку касания.
дгЗ уй'
619.	Доказать, что сопряженные гиперболы -—±1
. . .	. .	....	а2 £»2
кососимметричны одна другой относительно одной из асимптот
по направлению другой.
620.	Написать уравнение гиперболы, принимая за оси коор-
динат два сопряженных ее диаметра.
§ 3. ПАРАБОЛА
621.	Написать уравнение параболы в репере (О, Z, J), если в этом
репере заданы координаты фокуса F (4, 2) и уравнение директрисы:
я + Зу — 6 — 0. Определить параметр параболы.
622.	Даны отрезки [ОЛ1 и [ЛBJ, причем (ОЛ) 1 (АВ). Каждый
из инх разделен соответственно точками Л.п Л2, ... и точками В1(
Ва, ... на п равных частей. Проведены лучи (OBJ и прямью iit про-
ходящие через точки Л/ соответственно н параллельные (Л В).
Доказать, что точки ML = [OBJ Q h принадлежат параболе.
623.	На прямой, уравнение которой в репере (О, /, /) 8х — Зу +
+ 6 — 0, найти точку, которая одинаково удалена от прямой
а: х — 5 = 0 и точки- Л (—3, 2).
624.	Найти фигуру F, если ее точки служат центрами окружно-
стей, касающихся окружности В и прямой Z, причем прямая I
касается окружности В.
623.	Доказать, что если хорда параболы проходит через ее
фокус, то расстояние от середины этой хорды до директрисы пара-
болы равно половине длины хорды.
626.	В репере R =* (О, t, /) даны уравнения двух парабол
V: ах2— у —Ъ* = 0 и. /: ау3 — х — с3 — 0 (а > 0). Доказать, что
точки их пересечения лежат на одной окружности.
627.	Найти фигуру Ф, состоящую из точек плоскости, симмет-
ричных фокусу параболы у относительно всех ее касательных.
628.	Доказать, что параболы, имеющие общий фокус, лежащий
между нх вершинами, пересекаются под прямым углом.
629.	Доказать, что директриса параболы, касающейся од-
ной стороны треугольника и продолжений, двух других его
сторон, проходит через ортоцентр этого, треугольника (теорема
Штейнера).
м
 630. Пусть хг, х2 — абсциссы, точек пересечения прямой р с
параболой у .== ах2, х3 — абсцисса точки И =^= р п (Ох). Доказать,
что
х3 х1 х2
631.	Даны парабола у и касательная t к ней в вершине. Пусть
d — другая касательная к этой же параболе и Л1 — t Л d, (MN) ±
X d. Доказать, что прямая (MN) проходит через фокус параболы у.
632.	Найти образ прямой Ах 4- Ду 4-С «=* 0 в сжатии плоско-
сти к параболе у — ах2 в направлении оси ордянат с коэффициен-
том сжатия р (см. задачу 595).
633.	Высота параболической арки равна h, а ширина ее осно-
вания равна 21. Найти параметр параболы.
634.	Найти направление тех хорд Параболы у3 = 8х» которые
диаметром у — 4 делятся пополам.
635.	Дана парабола у2 = 10х. Найти диаметр, делящий попо-
лам хорды с угловым коэффициентом k ~ 5.
636.	Даио уравнение параболы у2 ~ 2рх. Написать уравне-
ние парабол, имеющих с данной параболой общий фокус и общую
ось.
637.	Прямая х — Зу 4- 9 — 0 касается параболы у2 = 2рх.
Найти р.
638.	Найти фигуру, образованную основаниями перпендику-
ляров, опущенных из фокуса параболы на касательные к этой па-
раболе.
639.	Написать уравнение параболы у2 = 8х в полярных коор-
динатах.
640.	Написать каноническое уравнение параболы, определя-
6
емои уравнением: р — -------.
641.	Доказать, что прямая, соединяющая фокус . £ параболы
с точкой пересечения касательных к параболе в двух произволь-
ных ее точках АД, Л42, содержит биссектрису угла MtFM2.
642.	Найтн расстояние между параболой у2 — 64х и прямой
4х 4" Зу 4“ 46 = 0.
643.	Доказать, что фокус параболы и точкн касания двух ка-
сательных к параболе, проведенных из любой точки директрисы,
лежат на одной прямой. *
644.	Найти фигуру, образованную центрами окружностей,
проходящих через данную точку и касающихся данной прямой.
645.	Доказать, что направление касательной к параболе со-
пряжено Направлению диаметра, проходящего через точку ка-
сания.
646.	Доказать, что точка пересечения касательных к параболе
в концах какой-либо ее хорды принадлежит диаметру, сопряжен-
ному направлению этой хорды.
«1
§ 4. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
647.	Определить коэффициент подобия парабол, уравнения
которых в репере (О, z, /) имеют вид:
х2 + 2ху + у2 — Зх + 4 = О,
Зх3 + 2х — бу + 5 = 0.
648.	Прямая а, уравнение которой в репере (О, z, /) имеет вид
х 4- 2у — 1—0, является осью симметрии параболы, а точка
(1 2 \
—, — I—ее вершиной. Написать уравнение параболы, если
5 5/
.. / 3	4 \
она проходит через точку т г—, -—].
\ 5	5 /
649.	В репере (О, I, }} написать уравнение гиперболы, если
уравнения ее асимптот в этом репере я 4- Зу — 6 — 0 и 4х — 5у 4-
4- 20 = 0 к гипербола проходит через точку М (I, 3).
650.	Определить в репере (О, z, /) координаты вершин линии
второго порядка, если ее уравнение в этом репере имеет вид:
9х2 — 4ху 4- бу2 4- 6х —8у + 2 = 0.
651.	Найти эксцентриситет эллипса, уравнение которого в ре-
пере {О, z\ /) имеет вид: бх2 + 8ху 4- 5у2 — 18х — 18у 4-9 = 0.
652.	Найти уравнение линии второго порядка у в репере
(О, z, /), если известны ее фокус F (3, 0), уравнение соответствую-
25
щей ему директрисы х = — и точка Л40 (0, 4) € у.
653.	В репере (О, /, /) заданы уравнение прямой d: Зх — 4у +
4- 3 = 0 и координаты точки F (6, —2)э которые являются ди-
ректрисой и соответствующим фокусом некоторой гиперболы.
Написать ее уравнение, если точка Л (2, 1) принадлежит ги-
перболе.
654.	В репере (О, Г, /) заданы уравнения параболы у2 = Зх
и прямой х 4- У == 0. Написать уравнение касательной к параболе,
параллельной данной прямой.
655.	В репере (О, i, j) задано уравнение параболы у2 = 2х
и точки Л (8, 5), В (2, 2), С (4, —1). Написать уравнения каса-
тельных к параболе, проходящих через точки Л, В, С.
656.	Определить вид траектории вершины прямого угла, сто-
роны которого касаются параболы.
657.	Доказать, что вершины ромба, описанного около эллипса,
лежат на его осях.	2
658.	В репере (О,	/) задано уравнение эллипса ~ 4- у2 1
и точка Л (3, 2). Написать уравнение касательной к эллипсу, про-
ходящей через точку Л.
62
—> —>	<*3 м2
659.	В репере (О, г, j) заданы уравнения эллипса ~	== 1
и прямой ЛхН-Ву + С — 0. Вывести необходимое и достаточное
условие касания прямой и эллипса.
660.	Каноническое уравнение параболы у2 — 2рх и уравнение
прямой Лх-г^у + С^О заданы в репере (О, г, j). Вывести не-
обходимое и достаточное условие касания прямой и параболы.
661.	Каноническое уравнение гиперболы — —	— 1 и урав-
нение прямой Ах + By 4- С “ 0 заданы в некотором репере
(О, I, /). Вывести необходимое и достаточное условия касания пря-
мой и гиперболы.
662.	В репере (О, /, /) заданы уравнения двух эллипсов:
х2  у2
1Г^~4
4	5
Написать уравнения общих касательных к этим двум эллипсам.
663. Доказать, что если из* пяти данных точек Л41( Л42, Л43, Af4f
Л15 плоскости П никакие три точки не лежат на одной прямой,
то существует единственная линия второго порядка, проходящая
через эти точки.
664.	Найти центр каждой из линий:
1)	х2 — 4ху 4- 5у3 + 20х 4* 16у 4-5 = 0;
2)	Зх2 4- Зху + 20у2 — 12х 4- 4 у 4- 5 = 0.
3)	х2 — 2ху 4- У2 -г 6х — 2у 4- 1 = 0;
4)	4х2 4- 10ху 4- 5у2 — 2х — 4у 4- 3 = 0;
;	5) 12х2 + 7ху — 12у2 — 1=0;
6)	х2 + 2ху + у2 — 6х бу 4- 5 = 0.
665.	Написать уравнение диаметра линии Зх2 — 5ху + у2 4-
4 8х = 0, делящего пополам хорды с угловым коэффициентом
k=-l.
3
666.	Написать уравнение диаметра линии:
6ха — 9ху 4- 13у3 4- 2х + 4у 4- 5 = 0,
проходящего через точку К (1, —2).
667.	Найти угловые коэффициенты главных направлений каж-
дой из следующих линий, заданных в репере (О, /, /) уравнениями:
1)	Зх2 4- 4ху 4- 5у2 + 2х —у |- 7 — 0;
2)	х2 4- бху — 7у2 4- х = 0;
3)	х2 4- 4ху 4- 4уа -j- 2х 4- Зу = 0;
4)	х2 4- У3 — 4х -|- бу — 2 = 0.
668.	Написать уравнения осей каждой из линий в репере
—> —>
(О, I, /):
1)	5х2 + 24ху 4- 75/ — 36х + бу + 1 = 0;
2)	7х2 + 26ху + 7у2 + 42х = 0.
669.	Привести к каноническому виду уравнения линий:
1)	х24- ху 4- у2 4- х 4- у = 0;
2)	Зх2 4- 4/2ху + 5/+ 6х — 1 - 0;	~
3)	4ху 4-Зу2 4-16х+12у — 36 == 0.
670.	Привести к каноническому виду уравнения линий: -
1)	4Х2 4- 4ху 4- у2 4- Зх 4- бу + 3 = 0;
2)	Эх2 4- 12ху 4- 4у2 4- 8х + 14у 4- 3 = 0;
3)	х3 4- бху 4- 9у2 — 12х + 24у +15 = 0.
671.	Доказать, что если линия второго порядка проходит через
вершины, треугольника и его ортоцентр, то эта линия — равносто-
ронняя гипербола.
3 Заш '— 3412
Раздел 2.
ПРЯМЫЕ ЛИНИИ,
ПЛОСКОСТИ
И КВАДРИКИ
В ЕВКЛИДОВЫХ
И АФФИННЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
1
л
Глава!.	|
МЕТОД КООРДИНАТ	1
В ПРОСТРАНСТВЕ.
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§ 1. МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
В задачах 672—684 система координат аффинная.
672.	Точки D, Е, F — середины ребер [ВО, [АС], [АВ] тетра’
эдра О А ВС. Найти координаты вершин этого тетраэдра в репере
(О, D, Е, F).
673.	Даны точки А (2, —1, 7), В (4, 5, —2). Найти отношение,
в котором каждая координатная плоскость делит отрезок АВ.
674.	Доказать, что отрезки, соединяющие середины проти-
воположных ребер тетраэдра, проходят через одну точку и делятся
ею пополам.
675.	Через середину каждого ребра тетраэдра проведена пло-
скость, содержащая противоположное ребро. Доказать, что эти
плоскости пересекаются в одной точке.
676.	Вершины четырехугольника ABCD не лежат в одной пло-
скости. На прямых, содержащих стороны этого четырехугольника,
даиы такие точки /И, Л\ ЛГ, Л7' (отличные от вершин), что (АР, М) =
— (ВС, М') = (АВ, N) — (PC, N') == Х2. Доказать, что пря-
мые (ММ') и (ДОЛГ) пересекаются в такой точке В, для которой
(ММ', Р) - Х2, (AW', Р) -
677.	Дана точка Л1 (а, Ь, с) (координаты положительны и раз-
личны). Построить точки: *
Mi (а, с, Ь), М2 (Ь, с, а),	(с, а, Ь).
678.	Даны две точки (й4, blt ct) и М2 Ь2, с2). Записать
координаты любой точки, принадлежащей отрезку [Л^Л^].
679.	Известны координаты вершин А, В и С параллелограмма
ABCD. Вычислить координаты вершины Р:
1) А (2, 1, 1),	В(3, — 1, 1), С (0, 2,-3);
2) А (3, 1,-1),	В (2, —1,1), С(—2, 0, 3).
680.	Точка О является точкой пересечения диагоналей паралле-
лепипеда ABCDAiBtC^!, точки С\, О2, 03 — соответственно центры
граней ADDtAt, ABBLAt, ABCD. Написать формулы перехода от
репера 7? = (А, В, D, AJ к реперу R' = (О, Оь О2, О3).
681.	Дан базис eif е2, е3 векторного пространства V. Доказать,
что векторы а — a^i а2е2 + £3e3i	& = Ml + b2e2 “F
66
с =?	4- с2е2 + линейно
когда
зависимы тогда и только тогда,
$2 «3
bi ь2

q с2 с3
682.	Доказать, что точки Л, В, С и D принадлежат одной пло-
скости с
1) А (3, 1, 1), В (—2,1, —2), С (—3, —1,0), D (2; 0; 1,7);
2) Л (—2, 1,-1), В (—1,1,1), С (0,4,-1), £>(—2,4,—3).
683.	Вектор а является направляющим для прямой I. Парал-
лельно I построены проекции Ait Л2, Л3 точки Л (—3, 2, 1) иа ко-
ординатные плоскости. Вычислить координаты этих проекций, если
1) а (2, 1,-1); 2) а (-1,1,2).
684.	Дапы точки Лх (—7, 3, —2), Л2 (0, 2, 1), Л3 (4, —1, 0),
Л4 (— 1, 0, —3). Доказать, что R' = (Лх, Л2, Л 3, Л4) — репер, и
иайти его ориентацию, считая исходный репер положительно ориен-
тированным.
В задачах , 685—699 система координат прямоугольная декар-
това.
685.	Прямая (ЛВ) параллельна плоскости П, (АВ) П. Через
точки Л, В проведены соответственно прямые Д, /2, перпендикуляр-
ные (ЛВ), и (llt П) — 45°, (72, П) = 30°. Найти расстояние от (ЛВ)
до плоскости И, если 14В| =» а, | £х£2|	&, где == П П t (* —
« h 2).
686.	Длина ребра куба равна а, Найтн расстояние между йепе-
ресекающимися диагоналями двух его смежных граней.
687/В правильной треугольной пирамиде, у которой плоские
углы при вершине прямые, найти угол между медианой боковой гра-
ни, проведенной из вершины пирамиды, и скрещивающейся с ней
медийной основания.
688.	Прямая (ЛВ) пересекает координатные плоскости Оху
и Oyz в точках М и N. Вычислить длину отрезка [МАЧ, если
1) Л (2, 1, 1), В (—2, 0, 3);
2) Л (—3,1,1), В (0,-1, 2).
689.	В ортонормированием репере даны вершины А (4, I, —2),
В (2, 0, 0), С (—2, 3, —5) треугольника АВС, [Л£>] — биссектриса
его внутреннего угла. Найти координаты точки D и длину отрезка
UDL
690.	Диагональ [OZ>] прямоугольного параллелепипеда обра-
зует углы 60° с ребрами [ОЛ1 и 1051. Какой угол она образует с
ребром [ОС1?
691.	Вычислить координаты ортогональной проекции Сг точ-
ки С на прямую (ЛВ):
1) Л (2,—1,0),	В(— 1, 3, 1),	С (0, 1,-1);
2) Л (3, 1, 1),	В (—2,1,—!), С(1,— I, 2).
3*
67
692* Даны две точки А и В. Найти множество точек С, для ко-
торых АВС — равносторонний треугольник:
- 1) А (2, 3,-1), В (-1,0,1);
2) А (-2, 1, 1), В (^1, 1,-2).
693. На прямой (АВ) найти точку, ближайшую к оси Cz:
1) А (1, 2, —1), В(3, — 1, 1);
2) А (3,4, 1), В (-2, 1,2).
694. Вершины треугольника находятся в точках А (1, 2, —4),
В (4, 0, —10), С (—2, 6, 8). Найти внутренние углы этого тре-
угольника.
695* Дан ортонррмированный репер R = (О, Ль А2, Аэ). На-
писать формулы перехода от репера R к реперу Rf = (О, ev е'),
если jej «= |^| =» [e^l — 1,	^ — направляющие векторы бис-
сектрис углов xOz, yOz, е'л коллинеарен OAS и реперы R, R' одина-
ково ориентированы,
696. Найти расстояние между прямой llt содержащей диагональ
куба, и прямой /2, содержащей ребро куба, скрещивающееся с этой
диагональю. Длина ребра куба равна а.
697. Определить фигуру Ф, если в ортонормированием репере
имеем:
1)	Ф ~ {М (х, у, z)|(x —а)3 + (у — Ь)2+ (г — с)2 г2};
2)	Ф = {М (х, у, zjix3 + z2 - 4};
3)	ф = {М(х, у, z)fx2 4- у2 + Z2 - 25, г - 2};
4)	Ф - {М(х,у, z)|x2 = 4г, у- 3};
5)	ф = {/и (х, у, z)|x2 — -= 16, у < 2};
6)	Ф = {Л1 (х, у, z)| |х| < a, (у|< Ь, [z|<c, о, Ь,
698. Прямая I Одинаково наклонена к координатным плоско-
стям Ьхг и Oyz и пересекает их соответственно в точках А (т, 0, р),
В (0, s, 0- Найти зависимость между координатами этих точек.
699* Доказать, что треугольник АВС равносторонний, если:
1) А (2, 3,-1),	В (3, —1, 2),	С (-1, 2, 3);
2)	А (т, п, р),	В (n, р, т)/	С (р, /и, п).
$ 2. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
700* Доказать, что если векторы at bt с не коллинеарны, то
а Ь 4- с = 0 <^> ks, Ы = [&, d = й, 3.
701-	Вычислить площадь параллелограмма ABCDt если АВ —
Зт — 2п, АС т |т|5, |п| = 12, САВ — 30°.
702.	Вычислить расстояние от точки до прямой Z, если в ре-
пере (О, I, j, k) даиы точки (хх, ур zj и (х0, у0, z0) < I и
направляющий вектор прямой I а aj + a<J 4- a3k.
703.	Меньшая сторона [АВ1 параллелограмма ABCD лежит в
плоскости П, а сторона ГСО] удалена от П на расстояние, равное
63
расстоянию между большими сторонами параллелограмма. Вычис-
лить угол ф между плоскостью П и плоскостью П* параллело-
грамма.
704* Прямая I параллельна плоскости П, точки А, В € Z,
А £ П, Н — ортогональная проекция точки А па плоскость П,
Р С П. Известны DAB = у, f ЛР| = [З • | АЩ„ Найти угол ф
между плоскостями П и IT ~ (Z, D).
705.	Дан тетраэдр A iA2AsA^ Обозначим через [AZBZ1 его высо-
ты, Sz — площадь грани, противолёжащей вершине А/( Я/— орт
__;	4	
вектора BfAf. Доказать, что
. • i=l
706.	Измерения прямоугольного параллелепипеда Ф равны
й, bt с. Плоскость П проходит через середины трех ребер, имеющих
общую вершину. Найти площадь сечения (о *== П П Ф.
707.	В репере (О, z, j, k) . даны вершины А (2,— 1, 3),
В (1, 1, 5) квадрата A BCD и точка- Мо	—3,4)j, принадлежащая
полуплоскости [(АВ), С). Найти координаты вершин С и Р.
708.	Доказать, что если векторы [а, 61, [6, cl, к, й! компланар-
ны, то они коллинеарны.
709.	Даиы иекомпланариые векторы а, 6, г и числа а, р, у £/?.
Найти вектор х, удовлетворяющий равенствам:
а • х — а, b • х = р, с • х = у.
710.	Даны иекомпланариые векторы а, 6, с и числа р, у.
Найти вектор х, удовлетворяющий равенствам:
[х, й16 « у, [х, &]с.= а, [х, с\ар.
711.	Отрезок [0/71 является высотой тетраэдра ОАВС. Найти
вектор 0/7, если известны векторы ОА — й, ОВ = 6, ОС = с.
712.	Доказать, что если вектор т — [й, Ь] + [6, rl + к, й! ~ 0,
то векторы й, Ь, с компланарны.
713.	Доказать следующие тождества:	"
1) [й, 6J2 -h (а ‘ &)2 —
2)
3)
4)
[й, [6, cJI = b - (а  с) —с • (а - 6);
[й, [6, с]] + [6, [с, й]] + [с, [й, 6]] = 0 (тождество Якоби);
[а, Г] - [с, dj ==
а • с b • с
Q'd b•d
(тождество Лагранжа);
69
		г_ -у	,	а • т	а • п	а • р
5) ([а, Ь] • с) • ([«, п]  Р) =	b • т	b • п	ь-р ;
	—> —>	—> *->	
	с • т	с • п	
6) [[a, bj, [c, d]l = ([a, b]d)c— ([a, bj-c)d;
7) b {[a, c] • d} — a {[b, c| • d} + d {[c, a] > b} — c {[d, «1 • b} — 0.
714.	Можно ли из условия [a, с] = [b, cl и с #- 0 заключить,
что a = b?
715.	Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках
А (3, 4, —1), В (2, 0, 3), С (—3, 5, 4), Система координат прямо-
угольная декартова.
716.	В базисе (t, /, k) даны векторы а (3, 0, —1), b (2, 4, 3),
с (—1, 3, 2), d (2, 0, 1). Найти На, bl, с] и [а, с] • [Ь, 31.
717.	Из одной точки отложены направленные отрезки — пред-
ставители некомпланарных векторов а, Ь, с. Доказать, что плоскость,
проходящая через концы этих отрезков, перпендикулярна вектору
[и, Ь] 4- [b, cl + [с, а].
§ 3. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
718.	Вычислить объем пирамиды ОД ВС, если | О А | = а, [ОВ[ —
= b, |ОС| == с\ АОВ — а, ВОС — fi, АОС ~ у. Рассмотреть слу-
чаи: 1) a — 0 = у; 2) a Р = у ~ у; 3) ОАВС — правильный
тетраэдр.
719.	На сфере единичного радиуса дан треугольник ЛВС,
длины сторон которого равны а, р, у и величина внутреннего угла
при вершине В равна О. Доказать равенство:
sin a • sin у • cos 0 ~ cos 0 — cos у • cos a.
720.	Объем правильной треугольной пирамиды с длиной ребра
а равен ^-п3. Найти величину плоского угла при вершине пира-
6
МИДЫ.
721.	Точки А', В', С' делят ребра [5Л], [SB], [SCI тетраэдра
SABC в отношениях: = (5Л, А~ (SB, В'), л3 = (SC, С')*
Найти отношение объемов К, V тетраэдров SA'B'C' и ВЛВС.
722.	Точки Ль Лг, Лз, А± являются центрами тяжести граней
тетраэдра АхА^АзА^. Найти отношение объемов V, К тетраэдров
Л1Л2Л3Л4 и А1А2А3А4. Доказать, что плоскости соответствующих
граней параллельны.
70
723.	Найти отношение объема параллелепипеда к объему те-
траэдра, вершинами-которого являются вершина параллелепипе-
да и центры не проходящих через нее граней.
724.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точки L
и К являются серединами отрезков [SB] и [SDL Найти отношение
объема пирамиды SABCD к объему призмы, построенной на отрез-
ках [АД1» IAL1, [AS] (ЛАКС— основание призмы).
725.	Найти отношение объема параллелепипеда к объему те-
траэдра, ребрами которого служат диагонали трех граней парал-
лелепипеда, выходящие из одной его вершины.
726.	В основании пирамиды Ф лежит параллелограмм ABCD.
Через одну из его сторон и среднюю линию противолежащей грани
проходит плоскость П, которая делит пирамиду Ф на много-
гранники U>i, Ф2. Найти отношение объемов многогранников
Фь Фа-
727.	Отрезки [АВ] и [С£>] принадлежат скрещивающимся пря-
мым и /2. Доказать, что объем тетраэдра ABCD не зависит от
положения отрезков [АВ], [££>] на прямых llt
728.	Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми
/1Т /а, если в ортонормированном репере (О, Г, /, k) даны точки
Л40 (х0, у0, z0) € llf Mq (х0, уо, z'o) € 12 и направляющие векторы
а “ аг1 4- a2j + a3k; b ~ bti + b2j + b3k этих прямых.
729.	Найти объем тетраэдра ABCD, если известны [АВ] — а,
|С£>| = b, (АВ, CD) = <р и расстояние h между прямыми (АВ) н
(CD).
730.	Длина диагонали куба равна а. Вычислить расстояние
между непересекающимися диагоналями двух смежных граней
куба.
731.	Через каждое ребро правильного тетраэдра проведена
плоскость, параллельная противоположному ребру. Найти отноше-
ние объема полученного параллелепипеда к объему тетраэдра.
732.	Доказать, что объем тетраэдра можно вычислить по фор-
муле:
V — —abc У sin о • sin (о — a) sin (ст — |3) sin (а — у),
3
где а, Ь, с — длины ребер, сходящихся в одной вершине; а, р, у —
величины плоских углов при этой вершине и ст =
(а 4- р + у).
2
733.	Вычислить объем тетраэдра, если противоположные ребра
его имеют длины, равные попарно а, Ь, с* .
734.	Доказать, что объемы двух тетраэдров пли параллелепипе-
дов с кошфуэнтными трехгранными углами при одной вершине от-
носятся как произведения длин их ребер, сходящихся в вершинах
этих углов.
71
735.	Доказать тождество:
-	U*
а - b
Ь2
~cb
а • с
b • с
?
([я, 5} • с)2.— Ьа
са
Глава II.
ПЛОСКОСТИ И ПРЯМЫЕ '
§ 1. ПЛОСКОСТЬ
736.	Написать параметрические уравнения плоскости треуголь-
ника АВС, если в репере (О, е1г е2, е3) даны координаты его вершин:
А (2, —5, 1), В (3, 4, —2), С (0, 0, — 1).
737.	Изобразить плоскость П в репере (О, е^, е2, е3), если из-
вестно ее уравнение: 1) Зх — у 4- 2г — 6 = 0; 2) 2х — Зу 4- 6 = 0;
3) Зу 4- 2г — 0; 4) 2х— 1 - 0.
738.	В репере (О, еи е2, е3) плоскость П дана уравнением 5х —
— 2у — Зг 4- в = 0. Найти координаты какого-либо вектора а,
параллельного плоскости 11.
739.	Написать параметрические уравнения плоскости, прохо-
дящей через точку Л10 (2, —1, 3) параллельно плоскости 2х —у 4-
4-Зг — 1 — 0.
- • 740. Написать уравнение плоскости П в репере (О, elt е2, е3),
если она проходит через точку /Ио (х0, у()) г0) и параллельна пло-
скости: Ах 4- By 4- Сг 4- В) = 0.
741.	В аффинном репере даны вершины А (4, 0, 2), В (0, 5, 1),
С (4, —1, 3), Аг (3, —1, 5) параллелепипеда A BCD А jB^D^ На-
писать уравнения плоскостей, содержащих его грани.
742.	Доказать, что две плоскрети, проходящие через концы
обеих троек ребер параллелепипеда, сходящихся в концах одной
его диагонали, рассекают эту диагональ иа три конгруэнтные
части.	-	.
743.	Даны две плоскости Пп Па уравнениями: х — у — г —
— 7 == 0, 2х 4- у — Зг 4- 3 = 0 в аффинном репере. 1) Составить
систему линейных неравенств, определяющих тот двугранный угол,
образуемый плоскостями Пъ П2, которому принадлежит точка
Л4Л (3, —4, 3). 2) Определить расположение точек (2, —1, 3),
/Иа (3, —4, —5) относительно двугранных углов, образуемых пло-
скостями Щ, Па.
744.	В репере (О, еи е3) даиы координаты вершин А <0, 0, 2),
В (3, 0, 5), С (1, 1, 0), D (4, 1, 2) тетраэдра. Определить располо-
. -<s-	.	.	/	1	9\	-	' 	’
жение точки Мо 12, —, — относительно этого тетраэдра.
• \	2 4 / -
72
/. 745. Даны уравнения плоскостей Пр. х — 2у — 3z + 5 = О,
Пр 2х — 4у — 6z--|- 7 — 0 в репере (О, elf е3). Определить не-
. равенствами каждую из трех областей Ох, на которые плоскости
/Hi, П2 делят все не принадлежащие им точки пространства (t ~
— 1, 2t 3).
746.	В репере^0, i, /, k) написать уравнение плоскости П, про-
ход я щей через точку Л40 (х0, у0, z0), перпендикулярной вектору п ~
«=• Л/ + Bj 4~ Ck.
747.	Написать уравнение плоскости П, проходящей через ос-
нование М$ (2, 6, —4) - перпендикуляра, проведенного через на-
чало О репера (О, it j, k) к плоскости П.
748.	В треугольной пирамиде ОАВС боковые ребра взаимно
перпендикулярны, цх длины равны а, Ъ, с, длина высотыЮТ)
равна h. Доказать равенство:
749.	Написать уравнение сферы, касающейся плоскости Зх —
— бу ™ 2z + 14 ™ 0 в точке l (2/1, 7), если ее радиус равен
7 (Я - (О, Т, j, k)).
- 750. Найти уравнение сферы радиуса г = 6, касающейся пло-
скости П: х + 2у — 2z + 1 => 0 в точке Л40 (3, 0, 2) и расположен-
ной по одну сторону с точкой Р (0, 1, 2) относительно П (Я —
751.	Написать, уравнение сферы, лежащей в остром угле, об-
разованном ; плоскостями 2х — 4у — 3z 21 =•  0, 5х —' 2г = 0,
и касающейся этих плоскостей, если ее центр лежит на оси абсцисс
да- (оЛ/ют t	; ;
752.	Даны координаты вершин А (1, 0/—2), В (2, 1, —1),
С (0, 2, — 3), D (—I, —2, 1) тетраэдра. ABCD в репереДО, Z, Д k).
Найти координаты точки D\ симметричной вершине D относитель-
но плоскости грани ЛВС-	-
753.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
4^(2, —1,3), ЛТ2 (5, 1,2) и перпендикулярной плоскости П:
Зу „ _ 3 = о (Я « (О, Г,/ЮТ
754.	‘Написать у равнение плоскости, проходящей через точку
Мэ (2, — 3, 1) и перпендикулярной плоскостям Пх: х + Зу— z-/
4- 3 — 0, Щ: 2х + у —2^4 1 О. (Я = (ЬД д Л)).
755.	Найти центр М окружности, опнсаииой около треуголь-
ника АВС, если А (1, 2, 3), В (3, 4, 1), С (™1, 0, 1), (Я - (О, Z Д)).
756.	Через диагональ [ЛСД прямоугольного параллелепипеда
ABCDA^CrDi проведена плоскость П, параллельная диагонали
ЬЕЙИ грани ABCD. Вычислить площадь S сечения параллелепипе-
да плоскостью П, если \ АЯ| = а, | ЛЬ| = b4 | AAJ = С.
7^
757.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD высота
конгруэнтна диагонали основания ABCD. Через вершину А парал-
лельно (BD) проведена плоскость П, касающаяся вписанного в
пирамиду шара. Найти отношение площади сечения пирамиды пло-
скостью П к площади основания.
758.	Через середину диагонали куба ЛВ'С1>Л1В1С11>1 перпен-
дикулярно к ней проведена плоскость П. Определить площадь се-
чения куба плоскостью П, если длина ребра куба равна а.
759.	Вычислить косинус того двугранного угла, образуемого
плоскостями Щ: 2х — у — 2z + 5 = О, П2: х — 2у — 2z + 7 — О,
которому принадлежит точка Л1о (2, —3, —1) (R = (О, i, j, k)).
760.	В правильной четырехугольной пирамиде SABCD боко-
вая грань наклонена к основанию под углом р, точка К — середи-
на ребра [SB]. Найти угол <р между плоскостями (Л/(С) и (ВЛВ).
761.	Плоскость П проходит через диагонали верхнего и иижиего
оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды
ЛВС£>Л1В1С1Ь1, а плоскость П' проходит через сторону иижиего
и противолежащую сторону верхнего ее основания. Высота данной
пирамиды равна h, |ЛВ[ — а, [ЛрВЛ — Ь. Найти острый угол,
образуемый плоскостями П и IF.
762.	В репере (О, i, j, k) даны уравнения плоскостей Пх: Агх +
+ В1У + CjZ +	= 0, П2: Л2х + В2у + С2г + 1>2 = 0 и точка
№ (х0, у0, гб). Доказать, что точка Л10 лежит внутри острого угла,
образуемого плоскостями П15 П2 тогда и только тогда, когда вы-
полняется неравенство:
(Л^ • Л2 -J- Вх - В2 + Сг • С2) (Лхх0 + вхуо + CjZq + £\) (Л2х0 +
“Ь в2уо + C2z$ -|- 1>2), < 0.
763.	В ортонормированием репере даио уравнение плоскости П:
Ах -г By + Cz + D — 0 и координаты точки MQ (х01 у0, з0). Найти
расстояние р (7И0, П) от точки Мо до плоскости П.
764.	Даиы вершины тетраэдра Л (0, 0, 3), В (1, —2, 1),
С (0, —2, 2), D (1, 1, 1). Вычислить длину высоты ЮЯ] (R =
= (0,77 £))•
765.	Через сторону [ЛВ] основания ABCD правильной четы-
рехугольной пирамиды SABCD проведена плоскость П, проходя-
щая через середину ребра [SDL Найти расстояние от вершины S
до плоскости П, если | ЛВ| = а и длина высоты [S/Л равна h.
766.	Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости,
данной в репере (О, i, j, k) уравнением 2х + у — 4z + 5 = 0 и
касающейся сферы, данной уравнением (х — I)2 + (у — 2)2 +
4- г2 = 21.
767.	Длина ребра куба ABCDA^C^ равна 4. Плоскость П
проходит через диагональ [ЛС] грани ABCD и пересекает куб по
трапеции A CM IV. Найти расстояние от вершины В до плоскости П,
если | Л A7J 5,
74
768.	В репере (О, Z, j, k) дано уравнение плоскости П: Лх 4
4- By 4 Cz 4- Ь — 0 и координаты точки Мо (х0, у0, г0) £ П. На-
писать уравнение плоскости ГГ || 11, отстоящей от П на расстоя-
ние h и лежащей по одну сторону с Л1о от П.
769.	Даны уравнения параллельных плоскостей Щ: 4х 4 бу 4
+ 2z — 7 = 0, Пу. 2х4 3у4г45 = 0 в репере (О, 7, j, k).
Написать уравнение плоскости, проходящей посередине между
данными плоскостями.
770.	В репере (О, i, j, k) даны уравнения плоскостей Пу 2х —
— у — z 4 3 = 0, П2: 4х — 2у — 2z 4 5 = 0. Написать уравнение
плоскости, параллельной данным плоскостям, не расположенной
между ними и отстоящей от Щ в два раза дальше, чем от П2.
771.	Найти координаты центра шара радиуса г = 5, вписан-
ного в тот трехгранный угол, образованный плоскостями Пу
Зх — 4у 4 Ю = 0, П2: х — 2у — 2z 4- 3 = 0, П3: х 2у -- 2г ---
— 5 = 0, которому принадлежит точка Л10 (1, —1,-1) (R == (О, i, j, ~k)).
772.	Даны уравнения параллельных плоскостей Пр Ах 4
4" By 4- Cz +	= 0, Пу Ах *4" By 4 Cz 4 D% = 0 (О±
в ортонормированием репере R. Найти расстояние между этими
плоскостями.
773.	В репере (О, 7, /, k) даны уравнения плоскостей двух гра-
ней куба: х — 2у — 2z 4~ 4 = 0, 2х 4- 2у — г — 13 =• 0 и коорди-
наты его центра M(i (1,1, —2). Найти уравнения плоскостей осталь-
ных граней куба.
774.	В кубе ABCDAiB^Di даны уравнения плоскостей
(ЛВС); 2х — у 4 2г 4 15 = 0, (ЛВ^) :х — 2у — 2г4б = 0 и
центр Д40 (I, —1, 0) грани Ах^С^ в репере (О, 7, /, k). Написать
уравнения плоскостей остальных граней куба.
775.	Написать уравнение биссекторной плоскости того дву-
гранного угла, образуемого плоскостями Пр х — у 4- 2г — 1 =0,
П2: 2х — у 4^ — 3 = 0, которому принадлежит точка Л40 (1, 1, 1)
(R - (0,Т,1 £)).
776.	В репере (О, 7, /, k) написать уравнение биссекторной пло-
скости того двугранного угла, образованного плоскостями Пу
х — у 4“ 2г — 5 =‘0, П2: 2х — у — 2z 4 7 = 0, которому при-
надлежит точка Мо (I, —1,1).
777.	Треугольная пирамида задана координатами своих вер-
шин: А (1, 1, 0), В (0, 2, 0), С (0, 0, 0), D (1, 5, 7). Написать урав-
нение биссекторной плоскости двугранного угла В • (АС) • С
(репер 7? = (О, ь f, J)).
778.	Даны вершнны тетраэдра А (— 1, —2, 0), В (5, 0, 5),
С (3, 2, 2), D (—1, 0, 2). Написать уравнение биссекторной пло-
скости внутреннего двугранного угла при ребре [АВ] н найти ко-
синус этого угла (R = (О, 7, /, ед.
75
779, Написать уравнение биссекторной плоскости острого дву-
гранного угла, образуемого плоскостями Пь П2, если в репере
(О, Л /, k) даны их уравнения:
Зх— 2у — г + 3 = О, 2х — Зу 4- z — 5 — 0.
,780. Написать уравнение сферы, вписанной в тетраэдр, обра-
зованный координатными плоскостями репера	’И плос-
костью П: х + 2у 2z 4- 8 =-- 0.
781.	В ортонормированием репере даны плоскость П: Ах 4-
Ч- By + Cz 4- D ' == 0 и точка уъ гх). Найти координаты точ-
ки симметричной точке относительно плоскости II.
782.	Доказать, что сферы Фх и Ф2, данные в репере (О, С /, k)
• уравнениями ха 4- у3.4- 22 — 2х 4- 4у — 20 = 0 и х2 4- у2 4- za 4-
4" 2х 2z ™ 14	0, пересекаются,, и найти уравнение плоскости
П у, у = Фх П Фз-
783.	Й пространстве В3 дана упорядоченная система различных
точек, (Ах, Ай, -.Ая) (л С л^З), Плоскость П пересекает
каждую прямую,-проходящую через две данные точки. Пусть П
пересекает прямые (АХА2), (Аа, АД, (АлЯх) соответственно в
точках Ми Мг, ...» Мп и 8 = (4,4'*	(4,4* М2) ... (4„4,, Л4„).
Доказать, что если п четное, то в — 4-1; если п — нечетное, то .
А. 784. Доказать, что^три плоскости, каждая из которых прохо-
дит через'ребро; трехгранного угла и через биссектрису его про-
' тнвоположной грани, принадлежат одному пучку..
785.	Доказать, что Трн плоскости, каждая из которых, прохо-
дит через ребро* трехгранного' угла перпендикулярно плбскости
противолежащей грани, принадлежат одному пучку.
786.	-В аффинном репере даны- уравнения плоскостей, содержа-
щих Трани тетраэдра ABCD: Пх: х 4т 2у 4- z + 2 = 0, Па: х —
— у — z-О, П3: х у —Д — 0, П4: Зх 4~ * 4Д = 0. Написать
уравнение плоскости, проходящей через, вершину А ' «= Пх Q П3 П
п П3, параллельно плоскости П4.
§ 2.	ПРЯМАЯ ЛИНИЯ. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
787.	Определить, какая из точек АД (-Д, 2,—1), М2 (2, I, 3)
принадлежит прямой Z, данной в репере (О,	е2. *з) уравнениями:
х — 2 — 3/, у = 1 4-7, % ~ 3 4~ 2/.
788.	Написать параметрические уравнения прямой Z, прохо-
' дящей через точку АД (2, 3, -1) и параллельной-прямой /'/Данной
в репере (О, eif е2, е3) уравнениями: х — 2у — 3z — 3 — 0, 2х 4-
у — 2 4* 5	0.
789.	Точка К является внутренней.точкой тетраэдра AqA^A^
и прямая (КАД пересекает грань, противолежащую вершине Alt
в точке А\ (А~ 0, 1, 2, 3). Доказать равенство:
(КА0, Ai) 4- (КАЬ А1) + (КА*, А^ + ДО8, Ai) -L
v 790. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
М (2, —1, 0), перпендикулярной прямой I:" х/, у = —1 —3/,
z = —1 — 21 и пересекающей ее (7? .= (О,Л /, #))•
791.	Найти координаты точки ЛТ2, симметричной точке
(3, 1,-4) относительно прямой /, данной в репере (О, i, j, k)
уравнениями: х = —1 + 2t, у = —4 — /, z = —1 — /.
792.	В репере (О, /, /, k) прямые /г и /3 даны уравнениями:
г.х = 2t + 1, Jx — у — 2z — 1. = 0,
' у — —tt‘	[ 2х 4 2у + z + 3 = 0.
lz = 3 + 2/,
Вычислить косинус угла между этими прямыми.
793.	Определить взаимное расположение прямых и /2, данных
в репере (О, е1У е%, е3) уравнениями:
1) (х = 1 + 2/,
< у - Т + tt
z -- 3 т At,
3) f 2x+3y=0,
[x+z—8—0,
' х = 6 + 3t,
 у = —1 — 2/,
 .z — 2 + /,
2—4-0,
2x+3z—7-0,
5)
х = 2 — 3t, [х=—1+6/, 6)
у1 + /, ' у=2—2t,
z = —1—2/, lz s= 1 + 4/, ..
2у — z + 2 — 0,.
х—7y+3z—17=0,.
х-г-2+3/,
У • --1.
lz—4-— /.
794.	Написать уравнения, прямой, лежащей в плоскости, за-
данной в аффинном репере уравнением у.+ 2z ~ 0, и пересекаю-
щей прямые /г и /2. уравнения которых:
х — 1—/, [ х — 2 — /,
* у — /, •	  у — 4 + 2/,
.Z —4/, ' lz — 1. 1	' •
795.	Составить уравнения прямой,. проходящей через точку
Л40 (2, 3, 1) и пересекающей прямые llt /2, заданные в аффинном
репере уравнениями:
А: (х + у — 0,	/2: | х + Зу 1 .— О,
[х — у + z + 4 — 0,	.• (у + z — 2=0./
798.	Доказать, что прямые 4, /2, данные в‘аффинном рецере
уравнениями
11. [х= 1 +11/,	/2: Г2х + 3у + г —7 = 0,.
[у ~= — 1—5/,	фх — 2у + 3z + 6 = 0, +
. Ь = 1 — 7/, .
параллельны (/^У/и написать уравнения прямой /, проходя-
щей посередине между /г, /2.	*	.
77
797.	Написать уравнения прямой, содержащей высоту [ДЯ]
треугольника ABCt если Д (—1, 1, 2), В (1, 1, 0), С (2, 6, —2) в
репере (О, i, jt k).
798.	Доказать, что прямые 1±, Z2, данные в репере (О, г, /, k)
уравнениями
' х = 1 — 2/,
у — 2 —
. z = 2t,
^2’	(%	1 + /»
{у ~ 3 4~ 2/,
12 = 2 -1- 2/,
пересекаются, и написать уравнение прямой, содержащей биссект-
рисы острых углов, образуемых прямыми Z1( Z3.
799.	Найти уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся
прямых Zlf Z2, заданных в репере (О, t, /, k) уравнениями:
Zxi f х = 3 + /,	Z2! (х — Зу + z = 0,
I у — —1+2/, [X + у — z + 4 = 0.
I z = 4,
800.	Прямые ?!, Z2, содержащие непересекающиеся диагонали
двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда,
образуют с плоскостью основания углы, величины которых аир.
Найти косинус угла между прямыми Zx и Z2.
801.	Написать уравнения прямой, содержащей биссектрису
[ДР] внутреннего угла треугольника АВС, если в ортонормирован-
ием репере даны вершины А (4, 1, -2), В (2, 0, 0), С (—2, 3, —5).
802.	В репере (О, е19-	е8) даны уравнения прямой I:
х ~ 2 — t, у ~ 3 + 2/, z = —3/
и плоскости П: 2х + 2у — z — 5 = 0. Написать уравнения пря-
мой V, проходящей через точку (5, 1, —2), параллельной пло-
скости П и пересекающей прямую Z.
803.	Написать уравнения ортогональной проекции прямой Z,
данной уравнениями: х .= 1 — 2/, у = 3 + tY z = 3/, на плоскость
П: х — у — z — 5 = 0 (R = (О, i, j, k)).
804.	В репере (О, /, /, k) даиы уравнения прямой Z:
х = 2/, у = 1 — /, 2 = 3 + /
и плоскости П: х + у + z — 10 = 0. Написать уравнения пря-
мой Г cz П, перпендикулярной прямой Z и проходящей через точ-
ку М = П Г) Z.
805.	В репере (Ot i, j, k) даны уравнения прямых
Zx: х = 2 + 4/, у = —1 + /, z = 1 — /,
/2: х = —4 + 2/, у = 2 — 2/, z = —2 — 3/.
Доказать, что прямые Z1( Z2 скрещивающиеся. Найти уравнение
плоскости П, параллельной прямым /ь Z2 и одинаково удаленной
от них,
78
806.	Основанием четырехугольной пирамиды SABCD являет-
ся квадрат ABCD, |ЛВ| — а. Прямая (5Л) перпендикулярна пло-
скости основания и* | ЗЛ ] = h. Через вершину А параллельно пря-
мой (BD) проведена плоскость П, такая, что П f| (SC) = М,
(SC, М) = К > 0. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью П.
807.	Доказать, что прямые Zlt Z2, данные в репере {О, i, j, k)
уравнениями
h- х — у — 3z = 0, х — 2у + 2 — 0,
Z2: х = 1 + 4/, у = —2 + 7/, z = 1 — t,
пересекаются, точка Л40 (2, —1, 1) является внутренней точкой
одного из углов, образуемых прямыми /2, и написать уравнения
прямой, содержащей биссектрису этого угла.
808.	Измерения прямоугольного параллелепипеда равны а, Ь, с
(ребро длины с — высота параллелепипеда). Найти:
1)	расстояние между диагональю параллелепипеда и не пере-
секающей ее диагональю основания;
2)	угол между этими диагоналями;
3)	отношения, в которых основание общего перпендикуляра
делит эти диагонали. Рассмотреть случай а — b = с.
809.	В репере (О, i, j, k} даны точки: А (5, —3, 2), В (2, —1, 0),
С (—1, 2, —2), D (2, 4, —5). Написать уравнения общего перпен-
дикуляра прямых (ЛВ) н (СР).
810.	В репере (О, /, /, k) дано уравнение плоскости П: х — у —
— 2 — 6 - 0 н точки (1, —1, —1), М2 (—1, 2, 0). Луч света
проходит через точку и, отразившись от плоскости П, прохо-
дит через точку М2. Найти уравнения прямых 4 н Z2, содержащих
соответственно лучи падающий и отраженный.
811.	Доказать, что плоскости, данные в репере (О, i, j, k)
уравнениями:
Пх: 2х — 2у -h 3z — П — 0,
П2: 5х бу -j- 2z — 11 = 0,
П3: 6x 4- 5у — 2z — 11 =0,
пересекаются в точке; найти уравнение плоскости П, проходящей
через эту точку и образующей равные углы с прямыми, по которым
пересекаются каждые две из данных плоскостей.
812.	В репере (О, Z, /, k) даны вершины А (3,4,0)., В (0, —4, —3),
С (0, 4, —3) треугольника. Написать уравнения касательной I
к окружности, описанной около треугольника ЛВС, при условии,
что прямая Z н точка С лежат по одну сторону от (ЛВ).
813.	В ортонормированием репере даиы уравнения плоскостей:
Пр х — 2у — Зг + 5 = 0, П2: 2х — у — Зг 4- 5 = 0.
Написать уравнение плоскости П при условии, что плоскость П
является биссекторной плоскостью двух двугранных углов, обра-
зуемых плоскостями Па» П2.
79
* 814. В репере (О, z,/, Л) даны уравнения прямой /:
2х— у — z — 5 — 0, х + У—2г + 3 = О
и плоскости П: х —Зу 4- г—1 = 0. Написать уравнения орто-
гональной проекции прямой / на плоскость П.
815. Найти уравнение плоскости П, проходящей через пря-
мую I, заданную в репере (О, elf e2t е3) уравнениями:
2х — у — 3z — 5 == О, х 4- у — z + 1 = 0
и параллельной вектору а (1, 3,—2).
816. В репере (О, elt е2, е3) даны уравнения плоскостей
Пр х 4- 2у 4-z + 2 = 0, Па: х —у — 2 = 0,
П3: х -г У — 1 “0,	П4: Зх + 2'+1 = 0.
1)	Доказать, что данные плоскости образуют тетраэдр.
2)	Написать уравнение плоскости П, проходящей через пря-
мую — П] р Щи параллельной прямой Z2 = П3 f] П4.
3)	Написать уравнение плоскости IF, проходящей через общую
точку плоскостей Щ, П2, П3 и параллельной плоскости П4.
§ 3. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
817.	Плоские углы BSC, CSA, ASB трехгранного угла SABC
имеют величины соответственно a, Р и у. Доказать, что необходимое
и достаточное условие того, чтобы а Д- р = 180°, является перпен-
дикулярность ребра ISC) биссектрисе угла ASS.
818.	Через вершину О прямого трехграни ого угла Oabc внутри
него проведен луч d. Доказать, что
(О) + (d?6) -F (d^c) < 180°.
819.	К сфере. проведены две скрещивающиеся касательные а
и Ь. Найти множество точек касания касательных к сфере, пере-
секающих прямые а и 6.
820.	Дай прямоугольный треугольник АВС (С = 90°). Найти
множество таких точек Р, для которых |ЛР|2 4- |ЙР|2 = 2 |СР|2.
821.	Дан тетраэдр SABC с прямыми плоскими углами при
вершине S. Найти множество точек Af, для которых
|Л1Л |2-Ь |Л4В)2 4-I МС|2 = 3 | Л15|2. .
822.	Дан параллелепипед A BCD A jB^D^ Доказать, что вся-
кая прямая, пересекающая три из прямых (ABJ, (BCJ, (CDr),
(PAJ,пересекает и четвертую прямую или параллельна ей.
823.	Прямая I пересекает плоскости граней тетраэдра ABCD
в следующих точках: Ам = I f| (BCD), Bt = 1 ft (CD А), Сг =
= I ft (DAB), Dt = / ft (ABC). Доказать, что середины отрез-
. 80 *
ков [A A J, [B&iL [ССХ1,.IDPJ'принадлежат одной плоскости.
824.	Даны два тетраэдра ABCD и Aj^CrD^. Доказать, что если
семь четверок точек {A, Bt С, Dv}t {В, С, Dt Ai}, {Cf Df A, Bl}t
{D, A, B, CJ, {Ab Cr, D}, {Bu CU DU A}, {Q, Dlt Alt В} при-
надлежат соответственно семи. плоскостям, то и четыре точки Dlf
Alt Blt С принадлежат восьмой плоскости. Убедиться в том, что
середины отрезков [AAj, IBBjl, [CCJ, также принадлежат
одной плоскости. .	'	'
825.	Даны три попарно скрещивающиеся прямые а, Ь, с, не
параллельные одной плоскости. Найти множество середин отрез-
ков [ВС], где В £ b, С если прямая (ВС) пересекает прямую а
или параллельна.ей.
826.	Дана, усеченная треугольная пирамида АВСА^Сь точ-
ки Ао, Во, Со — середины ребер [ВС1, [СА1, [АВ]. Доказать, что
отрезки (AiAj, [BjBq], пересекаются в одной точке.
827.	Координаты a, bf с точки А различные. Построить еще пять
точек, координаты которых получены из координат данной дочки
путем их перестановки. Доказать, что все шесть точек принадлежат
одной окружности (В = (О, г, /,Л)).
828.	В пространстве даиы девять точек с целочисленными ко-
ординатами. Доказать, что середина хотя бы одного из. отрезков с
концами в данных, точках имеет целочисленные координаты. '
829.	Даиы вершины тетраэдра А (1, 1, — 1), В (4, 2, 3), С (3, —4,
—2), D (-—3, 0, 1). Доказать, что начало координат лежит внутри
этого тетраэдра. • .?  •	‘	'	- -
830.	Найти координаты центра шара, вписанного в тетраэдр,
образованный координатными плоскостями прямоугольной декартон
вой системы координат и плоскостью 2х + Зу — Gz — 4  = 0.
831.	Тетраэдр образован координатными плоскостями прямо-
угольной декартовой системы координат и плоскостью 9х — 2у 4- .:
4- 6? — 22 = 9. Найти центры шаров, каждый из которых каса-
ется, всех плоскостей гранен тетраэдра.
832.	Найти угол между двумя прямыми, нз которых одна дает-,
ся уравнениями: 2х 4- Зу 4* 4г'— 9 = 0, Зх — 5у 4* 2/4- 1 •== 0,
а другая — уравнениями: х 4- 2у — 3z Тб = О, 13х 4- Юу’ 4~
4- 1 lz — 22 = 0 в репере (О, 9 /, &).	.
833.	Найти ортогональные проекции прямой: х— Зу 4- ?—
— 11=0, 2х — 8у -г 3z — 30 = О на каждую из координатных
плоскостей прямоугольной системы координат.
834.	Найти расстояние между двумя прямыми (R = (О, 9 /, k))\
х — 1 _ у — 2	? 4-1	ОТ	у 4- I z — 3
2	4	”	3 ’	3	—2	~ 4 ‘	", .	.
835,	В прямоугольной системе координат дана прямая уравнё- Т
ннямн: 2х — Зу 4~ 4z — 12 — 0, х 4- 4у — 2# — 10 = 0. Нййти
уравнения плоскостей, проектирующих эту прямую ортогонально -
на координатные плоскости.
S1
Глава HL
ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ И КОНИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
В задачах этого параграфа система координат ~ прямоуголь-
ная декартова.
836.	Написать уравнение конуса вращения, касающегося плос-
костей координат, зная, что его ось проходит через точку, все ко-
ординаты которой положительные.
837.	Написать уравнение цилиндра второго порядка, прохо-
дящего через точки (1, 0, —1), М2 (2, 0, 2), если плоскости Щ:
х 4- 2у 4- z О, П2: х — z = 0 являются плоскостями симметрии
цилиндра, а прямая I — П1 П Щ — его осью симметрии.
838.	Написать уравнение конуса вращения, проходящего через
прямые:
/р х = 2 4" К х 2 4* 2/,	/3: х ~ 2 —
у = 2/,	у — t,	у “ 2/,
. z ~ —1 4-2/, z =	4-2/, z = —1 — 2/.
839. Написать уравнение цилиндрической поверхности враще-
ния, зная уравнения трех ее образующих:
840.	Написать уравнение цилиндра вращения, проходящего
через точку Мо(1, —2, 1), осью которого служит прямая:
х = у 1 4 2/, z = —3 — 21.
841.	Даны уравнения цилиндрической поверхности Ф: ах2 4-
4- by2 4- 2сх 4- 2dy 4- е — 0 и прямой /: х — х0 4- йьА У == Уо +
4- е2/, z — zQ 4- а»/. Найти необходимые и Достаточные условия
того» что:
1) l Q ф =, {мг, М2} (М1=#Ма); ?)/ПФ=ф); 3)1сФ,
4) I П Ф - 0-
842.	Параболический цилиндр проходит через точки Mi (1,1, 1),
М2 (1, —1, 1), его образующие параллельны прямой: х == /, у = t,
г = —2t, а плоскость х 4- У + z = 0 является его плоскостью сим-
метрии. Написать уравнение этого цилиндра.
843.	Через две различные параллельные прямые / и lf прохо-
дят перпендикулярные плоскости П и. П'. Найти фигуру, состоя-
щую из точек всех прямых П П П'.
844.	Линия задана системой уравнений:
82
X2 -----j----1,
9	4
2х — 21 === 0.
Написать уравнения ортогональной проекции этой линии на плос-
кость хОу.
845.	Цилиндрическая поверхность даиа уравнением: ах2 4
+ by2 4- 2сх 4- 2с1у + в = 0 {а2 4- с<* Ф 0). Найти сечение этой
поверхности плоскостью Ах + By 4- Cz 4- D = 0.
846.	Написать уравнение цилиндра, зиая направляющий вектор
а (5, 3, -2) его образующих и уравнения его направляющей:
1) (х2 4- у2 = 25,	2) Гу2 — г2 = 4, 3) |х2 =» 2z,
[г == 0;	|х = 0;	| у = 0.
847.	Написать уравнение цилиндрической поверхности, обра-
зующие которой касаются сферы х2 4	-Н3	1 и образуют рав-
ные углы с осями координат.
848.	Написать уравнение конуса вращения, проходящего че-
рез оси координат.
849.	Написать уравнение конуса, описанного, около сфер:
х2 4-	4- Z2 - 4, (х 2>3 + у* 4- z2 9.
850.	Конус дан уравнением х2 4- у2 — г2 ~ 0. Написать урав-
нение плоскости, проходящей через точки Mi (0, — 2, 2),
М2 (— К 0» 0) и пересекающей данный конус по параболе.
851.	Прямые /1, 4 пересекаются в точке О (0, 0, 0) и образуют
угол, величина которого равна а, Найти фигуру
Ф - {М € £з1 Р (М, 4) =	(М, 4), &’€ Л & > 0}.
852.	Найти уравнение фигуры, состоящей из тех центров ша-
ров, касающихся плоскости yOz и шара (х — а)2 4- у2 4 & = а2,
коюрые лежат в полупространстве х 0.
853.	Написать уравнение конуса с вершиной 5(1,0,—1),
проходящего через линию:
: 3=1
 9 ’16	4	’
х ! - у - 0.
854.	Доказать, что парабола:
( х2 4 4у2 4- 4ху — 6х — 2у 4- 3 == 0,
0,
гипербола:
Г 4у2 4 4г2 — 10у2 - 2у 4 2z 4- 3	0,
(х ==- 0
и эллипс:
f х2 4 4г2 - 6х -h 2z 4- 3 = 0,
(у = О
лежат иа одной конической поверхности с вершиной 5 (1,1, 1).
Найти уравнение этой поверхности.
83
855.	При каком условии плоскость Ах 4 By...4* Cz = 0 пере-
у2г Z?
секает конус 4 — — — О по паре действительных прямых?
 а3 Л3 г3
I
§2. ЭЛЛИПСОИД
В задачах того параграфа система координат — прямоуголь-
ная декартова.
856, Написать уравнение сферы, описанной около тетраэдра
с вершинами в точках Л (2, 1, —1), В (0, 3, —1), С (0, 0, —3),
D -	-1).
857. Даны уравнения Сферы (х — я)й 4 (у — Ь)2 4 (z — с)2 —
— г2 и прямой I: х =	4- /М» у ™ у0 4 аД, z = z0 4 a$t- Написать
необходимые и достаточные условия, при которых прямая /: '
1)	пересекает данную сферу в двух точках;
2)	касается сферы;
3)	не имеет общих точек со сферой.
858.	Доказать, что фигура, определенная системой уравнений:
(х _ I)3 4 (у 4 2)2 4 (? -З)2 = 25, 2г — у 4 2z — 11 = О,
есть окружность, и найти ее центр и радиус.
859.	Доказать, что фигура у, заданная системой уравнений:
. ( х2 4 у2 4~ z2 4- бу 4 г —- 22 = О,
д 2х 4 2у — z — 3 — О,
есть окружность. Написать уравнение сферы, проходящей через
окружность у и точку М (4, 2, —1).
, 860. Определить’ фигуру Ф, заданную уравнением:
х2 4 у2 4 z2.4 2ах 4 ?/?у 4* %сг 4 d = О,
где а, /?, с, d — вещественные числа.
861.	Дана точка (х0, у0, z0) и сфера х2 4 у2 4 z2 — R2.
Найти уравнение фигуры, образованной серединами отрезков,
отсекаемых данной сферой на прямых, проходящих через точку Л10-
862.	Даны сфера Ф и точка Л. Пусть прямая а проходят через
точ к у А и а П Ф = {Afi, М 2}. Доказ ать, что чис л о Сф — A MtX
X AMа не зависит от выбора секущей а (это число называется сте-
пенью точки А относительно сферы Ф).	<
863.	Написать уравнение сферы, проходящей через точку
М (3, 3, —1) и касающейся плоскости 2х ~ 2у — .z 4 5 — 0 в
точке Л30 (—1,1, 1).
. 864, Даны уравнения окружности у:
/х2 4 у2 4 z2 — R2
и плоскости Ах 4 By 4 Cz 4 D = О (Д2 4 И2 0). Доказать,
что П л У =5* 0 <=>	р.* с.~ <Л*-
А3 4	.
84
865.	Написать уравнение сферы, знай*,. что она1 касается прямой
х 1 4- 3/, у —4 4 6/,: z^S4 4Z в точке Мг (1, — 4, 6) и
- прямой х — 4 + 2/, у — =3 4 Л г — 2 — 6Z в точке М2 (4, -~3, 2).
866.	Написать уравнение сферы, вписанной в тетраэдр с верши-
нами в точках 5 [—, 4, ——.А (—2, 1, 1), В (—1, —4,—2),
С (з,-,
\ з . з 7
867.	Даны уравнения двух окружностей ?
. (х2 + у2 4 г2—4у—2г—28 — 0 „ fxa -j- у3 4- г2 4~ 2y4~4z—22 “ О
*хд2х--у — 2г 4-1 = О,	|2х + 2у 4- г 4- 4 — Q.
Доказать, что f) у2 -0,-й написать уравнение сферы, прохо-
дящей через окружности Vi, у3.
868.	Оси симметрии эллипсоида Ф являются осями ортояорми-
рованного репера. Написать уравнение эллипсоида Ф, если.извест-
но, что ои проходит через линии
Л2 ?2
у — 0, — 4--^
7	25	16
У2 г
9	16
869.	Оси симметрии эллипсоида являются осями ортоиормиро-
ванного репера. Написать уравнение этого эллипсоида, если оп
X2 V3
проходит через эллипс: z = 0, — ф — — 1 и точку М (3, 2, 5).
27	12
870.	Написать у^внецие элдипс^Щ^ с полу осям и |0'4Д = 4,
|О'#4 = 2, | O'CJ 1, если известий уравнения его плоскостей
симметрии Пр х + у 4~ * — 1=0, П2: х 4 У — 2г — б, П3:
х - у + 1 = 0 и (0'43) = Пх л Щ, (О'В4 = Пх Л Пз, (O'Cj) =
— п2 Л щ.
871.	Даны вершины эллрпсоидр 4t (8,. О, 0), 42 (—2, 0, 0),
Написать уравнение этого эллипсоида, зная, что плоскость уОг
 -	л  V2 22	.	’ 
пересекает его по эллипсу: х= 0, ф — — 1.
9	4	. •	. ... i .
872.	Доказать, что сумма чисел, обратных квадратам длин лю-
бых трех попарно перпендикулярных радиусов эллипсоида, равна
сумме квадратов чисел, обратных его полуосям. (Радиусом эллип-
соида называется отрезок, одни конец которого принадлежит эл-
липсоиду, а другой является- его центром.)	.
873.	Пусть О — центр эллипсоида Ф. Точка М' i Ф называется
внутренней относительно эллипсоида Ф, если М £ ЮМ01 \ {$М>
.  	.у2	22
где Afft € Ф. Дано уравнение эллипсоида Ф: —я + 4; 4- “ = ь
а3	с3
Доказать, что точка Mt (хх, ун г,)-является внутренней относитель-
но Ф тогда и только тогда, когда
,Д. + Л + Л<1.	..	. 
a2 fr2 с2
85
874.	Доказать, что каждая прямая, проходящая через внутрен-
нюю точку эллипсоида, пересекает его в двух различных точках.
875.	Доказать, что если две различные точки Л1Х, принадле-
жат эллипсоиду Ф, то любая точка М, лежащая между и Л4а,
является внутренней точкой эллипсоида ф.
у2	412	*2
876.	Даны уравнения эллипсоида Ф: '---h -—h — — 1 и
а2	ё2	с2
плоскости П: Ах 4- By 4- Cz -г D = 0. Доказать, что у = П П Ф
есть линия второго порядка эллиптического типа, и найти ее центр
Ма.
877.	Найти фигуру, состоящую из центров всех сечений эллип-
соида Ф плоскостями, параллельными данной плоскости П.
878,	Доказать, что плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу
тогда и только тогда, когда она проходит через внутреннюю точку
эллипсоида.
-уй «2
879.	Даны уравнения эллипсоида Ф----------Ь — -|—~ — 1 и
а2 62 са
плоскости П Ах + By + Cz 4- D === 0. Доказать, что плоскость П
пересекает эллипсоид Ф по эллипсу тогда и только тогда, когда/)2 <
< Л V 4- BW 4-
880.	Доказать, что плоскость, данная уравнением Ах 4- By 4-
Д- Сг + D ~ 0, касается эллипсоида---------р 4- — = 1 тогда
й2 Ь2 с2
и только тогда, когда выполняется равенство Л2а2 4- BV 4-
4- С*с* = D2.
881.	Даны уравнения эллипсоида Ф: — 4- ~4— ~ 1 и
й2 Ь2 с3
плоскости П: Лх 4- By 4- Cz 4- ' D — О (D 0) Написать уравне-
ние плоскости П' || П, касающейся эллипсоида Ф и такой, что центр
эллипсоида лежит между П и IT.
X3	V2	22
882,	Даны уравнения эллипсоида ф:---------F — 4— — 1,
3	12	27
прямой I: *2х — у ~ СП н точка Мй 3, 1, 1), Написать уравне-
2 — 9-0 J
ние той касательной плоскости к эллипсоиду Ф, которая проходит
через прямую / и не пересекает отрезок 1ОЛ4в].
м3
883.	Даны уравнения эллипсоида ф:------------h --- 4-— 1,
й2 Ь3 с2
прямой I: х = xQ.4- йф У Уо а2/, Z ~ z0 4- a-j, Найти необхо-
димое и достаточное условие, при котором
1)	Ф П / « М, /ИД, Мх М2;
2)	Ф А I - {М};
3)Ф(]/=0.
884.	Написать уравнение фигуры Фх, состоящей из точек всех
касательных, проведенных из точки Мг (0, 0, 3) к эллипсоиду Ф:
86
885.	Даны уравнения эллипсоидов
Фй:
х3 у2 г2
X2	i у2 ] г2
Написать уравнение фигуры, состоящей из центров всех сечений
эллипсоида Ф2 касательными плоскостями эллипсоида Фх.
§ 3.	ГИПЕРБОЛОИДЫ
В задачах этого параграфа система координат — прямоуголь-
ная декартова.
886.---Оси симметрии однополостного гиперболоида Ф служат
осями ортонормированного репера и Ф проходит через эллипс
Yj:]	h —= 1 и гиперболу у2: —--------= 1 /Написать урав-
4	16	'	16	5
2 = 0	— 0.
нение гиперболоида Ф.
887.	Оси симметрии однополостного гиперболоида служат осями
ортонормированного репера. Написать уравнение этого гиперболо-
ида, если он проходит через линию (25хг — 16г2 = 144 и точку
U = у
Л10 (3,4,3).
888.	Даны плоскость П, точка F $ П и число е > 0, е =# 1.
Найти фигуру Ф = [м I р '-Q — Л.
тт	I р(М, П) J
889.	Написать уравнение фигуры, состоящей из точек всех пря-
мых, касающихся сферы х3 + у2 + 2а = 1 н пересекающих прямые
1Х и /2, заданные уравнениями:
( X = 1, И ( X =а —1,
( У = 0,	(2 = 0.
890.	Даны две скрещивающиеся перпендикулярные прямые Zf,
Z2 и число k =# 1 (k >0). Найти фигуру Ф = {А11 р (Л4, // =
= (АГ, 4)}.
891.	Доказать, что прямые, данные уравнениями:
(2х + 2у — 3z— 6 = 0, и 12:	(2х— 2у— 32-/6 = 0,
|2х — 2у + 3z — 6 = 0,	(2х + 2у + 32 + 6 = 0,
скрещивающиеся, и найти фигуру Ф, состоящую из точек всех пря-
мых, образующихся при пересечении перпендикулярных плоско-
стей П! ZD 1Х и П2 о Za.
892.	Доказать, что касательная плоскость к однополостному
гиперболоиду пересекает его по двум прямолинейным образующим.
893.	Доказать, что плоскость П, данная уравнением Ах 4-
+ By + Cz ф- D = 0 (D 0), является касательной плоскостью
«7
'	X2 V2 23
к однополостному гиперболоиду — 4^	~ 1 тогда и толь-
а2	cz
ко тогда, когда выполняется равенство: AV 4- В2Ь2 — CV = D*.
894» Даны уравнения одцОполосгного гиперболоида Ф: — 4-
/ .	.	я2
+. —"------=•!.» плоскости П: Ах 4-By 4- Cz 4- В — 0. Обоз-
£2 • с2	.
маним у = П Г) Ф, а ~ AV 4- BV — СМ. Доказать, что
1)	у— линия второго порядка;
;2) у — центральная линия тогда и только тогда, когда а Ф 0,
и найти координаты ее центра,
895» Даны уравнения однополости ого гиперболоида:
1*2* V®
Ф:	-----1 и плоскости П: Ах-^Ву -^Cz-^D 0.
От Ь2 С2	' - -
Обозначим у ~ П П Ф и а “ А*с? 4- В2Ь2 — СМ. Доказать, что
1)	(у — гипербола) (а > 0, tz В2)\
2)	(у — эллипс) а < 0;
3)	(у — парабола) <=> (а ™ 0, D 0);
4)	Ху — пара параллельных прямых) (а == D ™ 0).
896.	Доказать, что касательная плоскость к однополостному
гиперболоиду пересекает его асимптотический конус по гиперболе.
897.	Доказать, что касательная плоскость к двуполостному
гиперболоиду пересекает его асимптотический коиус по эллипсу.
898.	Доказать, что прямые, данные уравнениями:
(п-Ь’С^О), попарно скрещивающиеся, и написать уравнение
фигуры, состоящей из точек всех прямых, пересекающих каждую
из данных прямых.
899.	Доказать, что плоскость П, касательная к асимптотиче-
скому конусу Ф' однополостного гиперболоида Ф, пересекает Ф
по ддум параллельным прямым, симметричным относительно пря-
 мой / -П П Ф'.
900* Найти уравнения прямолинейных образующих поверхно-
сти L— L 4- L = 1, проходящих через точку М$ (5, 3, 2).
901, Доказать, что ортогональная проекция прямолинейной
образующей однополостного гиперболоида на плоскость его горло-
вого эллипса касается этого эллипса.
902.	Даны уравнения двуполостного гиперболоида Ф:--------
i , ’ 	а2
_ i 1 и плоскости П: Лх 4~ By 4* Cz 4- D б. Дока-
Ь2 £*	,	.
зать, что линия у — П ПФ есть линия второго порядка, и найти
ее центр.
903.	Определить вид сечения двуполостного гиперболоида,
данного уравнением 4--^	—-- = 1, плоскостью П: Ах +
а2 . . 62 с*
4* Зу 4* Оа Z) == 0.	
904.	Доказать, что плоскость, данная уравнением Ах 4- By 4-
у2 '
4- Сг 4* D — 0, касается двуполостного гиперболоида---—
а2 Ь2
— — ~ 1 тогда и только тогда, когда А2а? — В2Ь2 — CV = D2.
с2
905.	Даны две точки Fit /%, расстояние между которыми равно
2с > 0 и число а > 0. Найтн фигуры:
1) Ф1 - {/И|р (Л4, Л) + Р (Л1; f2) - 2а > &};'
2)Ф2 = {ЛЦ |р(М, Л)-р(М, F2)1-2o<2c).
906.	Доказать, что двуполостным гиперболоид не имеет пря-
молинейных образующих.
§ 4.	ПАРАБОЛОИДЫ
В задачах этого параграфа система координат — прямоуголь-
ная декартова. .
907.	Найти фигуру, состоящую из всех точек, одинаково уда-
ленных от данной плоскости П и точки F $ П.
908.	Даны две скрещивающиеся прямые /2, Z2. Найти фигуру
ф = {М |р(МЛ)-р (м,Л)}.
909.	Найти уравнение фигуры, состоящей из тех центров ша-
ров, касающихся плоскости уОг и шара (х — а)2 + у2 + г2 == а2,
которые принадлежат полупространству х 0.
910, Даны уравнения парабол:
и плоскость П: у — 2 = 0. Н айти фи гуру, состоящую • из точек
всех прямых, пересекающих параболы и параллельных плос-
кости II.
911. Доказать, что плоскость П является касательной плос-
костью гиперболического параболоида тогда и только тогда,
когда она пересекает его по двум прямолинейным образующим.
912.	На писать уравнение плоскости, п ар аллельной данной
плоскости П: г— у -J- г — 5 ~ 0 и пересекающей параболоид
	= 2у по двум прямолинейным образующим. Найти
9	4
уравнения этих образующих*
913.	Найти уравнения прямолинейных образующих парабо-
лоида	— — = 2z, параллельных плоскости 6х 4- ty — & +
8	2
4-1 = 0.
89
914.	Найти фигуру ФА, состоящую из всех точек параболоида
Ф, данного уравнением %2 — z2 2у, через которые проходят пер-
пендикулярные образующие.
915.	Найти необходимое и достаточное условие того, что плос-
кость Ах + By + Cz D = 0 касается параболоида------F — =
р я
2z.
916.	Доказать, что у эллиптического параболоида не сущест-
вует прямолинейных образующих.
917.	Даны уравнения прямых:
I . f х + z = 0, t .Г х — у — z ~ О,
1 * { у — 0,	2 * ( х + z — 2 = 0
н плоскости П: х — z — 0. Найти фигуру, состоящую из точек
всех прямых, пересекающих прямые Zlt /3 и параллельных плоскос-
ти П.
918.	Доказать, что гиперболический параболоид нельзя пере-
сечь плоскостью по эллипсу.
919.	Доказать, что эллиптический параболоид нельзя пере-
сечь плоскостью по гиперболе.
Глава IV.
АФФИННОЕ И ЕВКЛИДОВО
п-МЕРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
§ 1.	АФФИННОЕ n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
920.	Доказать, что точки А, В, С принадлежат одной прямой:
1) А (2, 1, —2, 0), В (1, —3, —3, 1), С (4, 9, 0, —2);
2) А (0, —3, 0, 2), В (1. 1, —1, —2), С (—1, —7, 1, 6).
921.	Даиы две точки 4 и В. Найти координаты точек пересе-
чения прямой (4В) с координатными гиперплоскостями:
1) 4(1,3, —1,2), В (-1,-2, 1,3);
2) А (1, — 1, 2, — 2), В (3, 2, — 3, 1).
922. Доказать, что точки Л, В, С, D принадлежат одной плос-
кости:
1)	4(2, 1, —3, 4),	В (0, 1,-2, 17), С (3, —2,—1,0),
D (2, —5, 2, 9);
2)	А (0, —1, 1, 2), В (—1, 4, 0, 1), С (—2, 1, — 3J— 1),
£>(—1,12,2,2).
923.	В аффинном 5-простраистве дана плоскость П = [Мо, а, 6].
Найти параметрические и общие уравнения плоскости II в репере
R =. (О, ^), если известно
(2, 0, 1, 0,^—1), я =
+ 2с3 + е3 — ^4 + Зе5.
*0
924.	Даны три точки Л, В, С, не принадлежащие одной прямой,
и еще три точки Л1Э Ви Съ также не принадлежащие одной
прямой:
А (1, —1, 4, —2), В (0, 3, —4, 3), С (2, 1, 0, —1),
А± (0, 1, — 1, 3), Вг (—6, —1, —2, —3), Ci (—4, 0, — 1, 0).
Найти координаты точки пересечения плоскостей (ЛВС) и (Л^С^.
925.	Принадлежат ли пять точек At В, С, D, Е одной ги-
перплоскости:
1) А (1, 1, — 2,2), В(—3,1,4, 4), С (—1, 2, 3, 6), D (0, 2,-1, 3),
£(—1,0, 1,2);
2) А (0, 1, 3, —3), В (—1, 0, 2, 2), С (2, 1,0, 4), D (—2, — 1, 3, 0),
£ (—1, 1,2,-2)?	;
926. Доказать, что прямые (Л В) и (CD) параллельны:
1) А (2,1, —1,2), В (—1, 0,3, 1), С (6, 2, 8, —2), D (3, 1, 12» —3);
2) А (0, 1, 2, 3), В (1,0, 3, 2), С(2, 4, 3, 6), D (—1, 7, 0, 9).
927. Доказать, что плоскость (ЛВС) параллельна плоскости
(ЛАС,):
1)	Л (2, —1, 0, 4), В (—1, 2, 0, 3), С (3, 0, 1, 1),
Аг (1, 1, 1, 1), В. (8,-4, -4, 6), Сг (-3, 3, 3, 0);
2)	Л (1, 2, 0, —1), В (2, 1, — 1, 0), С (0, 3, —4, 1),
Аг (2, 0, 1, —3), Bt (2, 0, 11, —9), С\ (3, —1, —5, 1).
928.	Даны две прямые (ЛВ) и (CD). Выяснить их взаимное рас-
положение:
1)	Л (1, 3, 0, -1), В (0, 2, 1,4), С(1,0,—1,0), £43,2,—3,-10);
2)	Л (5, —3, 2, 1), В (2, —1, —3, 0), С (11, —7, 12, 3),
D (2, -1, -3, 0);
3)	А (4, 0, — 1, 2), В (0, 3, 2, 1), С(1, — 1, — 1, 0), D (2, —1,
—4, —5);
4)	Л (-2, 2, —2, 2,), В (7, -1, 7, -1), С (-1, 2, 3, —4),
D (5, —1, —3, 11).
929.	Даны три попарно скрещивающиеся прямые (Л В), (CD),
(СВ), не лежащие в одной гиперплоскости. Доказать, что сущест-
вует единственная прямая р, лежащая с каждой из данных пря-
мых в одной плоскости.
930.	В репере (О,	е2, е3, е4) пространства Л4 написать урав-
нения плоскости, определяемой точками
Мо (1, —2, 3, —I), М, (2, 1, 0, 1), Mz (0, —2, 1, 0).
931.	В репере (О, elt г2,	еБ) пространства ЛБ написать
параметрические уравнения плоскости, определяемой точками
Мо (1, 3, —1, 4, 5), Mi (2, 3, —1, 4, 5), М2 (—1, 0, 1, —1, 1).
932.	В аффинном пространстве Ап дай репер (О, (I — 1, 2, ...,п).
Доказать, что вектор а — a1 et параллелен гиперплоскости
И ,-! :	4- Ь = 0 тогда и только тогда, когда albt = 0.
933.	В аффинном n-простраистве даны плоскости Пр =
— IMO, V'] и П¥ — 1Мо, Vя] (р <д). Пусть (aj и (&у) —базисы
$1
пространств У* и У", s — ранг . (alt ар, ...» bq), r =
=^‘ранг (nb ...» ap, blf ...M0Mo) и У = У'П dim У = nv Дока-
зать, что .	
. 4) Пр Л fi« =£ 0 & r~s = p 4- <? — m:
< а) Пр- П II' = T\'m <=> r = s < p + <7,
б) Пр fi, П.' = {M} <=> r = s = pi + q\
2)	11^. П	=	H:
а)1 (Пр, Щ имеют общее направление) r ~ s + 1 <p4r<? +.1,
б) (Пр й Пр скрещиваются) т = $т 1 ~P 4-^4- 1.
934.	Доказать, что если в аффинном пространстве Ап система
точек общего положения Мо, .... Мр Принадлежит плоскости
Пр, а система точек общего положения Во, Bt, .... Вц принадлежит
плоскости П9, то плоскости Пр, П7 скрещиваются тогда и только
тогда, когда система точек Мо, М1( Afp, BQ, Ви ...» имеет
общее положение в Лд.
,935. Доказать, что каждое векторное пространство V над по-
-. леи К можно рассматривать как аффинное , пространство Ё — V,
если отображение о: Е х Е V установить по закону: о (а, Ь) —
«ь b —a Ш b С V.
936,	.-Прямая m проходит через точку Л1 (10, 3, —9,—13) и
пересекает данную .прямую (ЛД) и данную плоскость П2. Вычислить
координаты точек /п П (ЛВ) и т f) П2, если Л (—1,0, 2,3),
В (2, 1, —1,0),
п . (х1-Ь х2 — х3 = 0
2‘ [2х2 4- Зх3 —х4 4-3=0.
937.	Доказать, что каждая плоскость ПА = 1УИь, УЛ, dim У*=А
аффишюго пространства Лп есть /г-мерное аффинное пространство
/Ц с Пространством переносов У'.
938.	Плоскость П2 аффинного пространства Ля не имеет общих
точек с гиперплоскостью П„_i. Доказать, что П2 параллельна Пп_i.
939.	Даиы три гиперплоскости в Л4:..
П: 2х< 4-Дл? — х3 4- х4— 1 =« 0,	'
7	4	П*: х1 — 2х2 4-х3 — х4 4-3 = 0т
1Г: х1 4- 12х2 — бх3 4- ох4 — 8 = 0.
Доказать, что они пересекаются по плоскости.
940.	Найти пересечение гиперплоскости П и луча 1ЛЛ4):
1) П: Зх1 4- 2х2 4- х3 — 2х4 + 4 = 0., ;
ММ): х1 = 1 4- A Xs = —1 — 2/, х3 = 3/, х* = 2 4- Л />0;
2) И: х1 — 2Х2 4-х3 4-х4 — 13 = 0,
L4M); х1 г - 1-/, х3 - 2 4-'4. х4 = —1 + 3/, t > 0.
92
941.	В аффинном пространстве Ал даны плоскости Пр —
“ 1М0, VI и П9 = Шо, V']. Доказать, что в Ая существует плос-
кость наименьшей размерности, проходящая через данные плос-
кости, и найти ее размерность.
942.	Дан симплекс ЛгД2ДзД4ЛБ. Прямая пересекает плоскости
его граней в точках Д, В2, B3t В$, Вь. Доказать/ что середины
отрезков МАЕ Ы2В2], 1Л3В3], [Л4Д4], |Д5Вб] принадлежат одной
гиперплоскости.
943.	Определить взаимное расположение плоскостей Па, П2
в пространстве Л5, если в репере (О, еД (г — 1, 2, 3, 4, 5) даны
их уравнения:
х1 =	1 4-2А,1 — ЗА,2	х1 — 2	—	A,1	h	А,2
х2 -	1 4-А,1 —А,3	х2 = 4	4-2А? — А,2
П2: ? = 2 -V f 2А,2	П2: х3 = ЗА,1 4- А,2
х* =	1 4 V 4 2А2	х4 = 2	+	V	4	2А,2
х6 =	ЗА,1 — А,2,	х5	-	1	4-	А,1	+	Л2.
944.	Доказать, что через" Л 4 1 точек общего положения в
аффинном пространстве Ап (6 < п) проходит единственная 6-мер-
ная плоскость и в каждой 6-мерной плоскости пространства . Ал
существует максимальная система из 6 4- 1 точек общего поло-
жения.	.
945.	Дана прямая (АВ) и скрещивающаяся с ней плоскость
(PQR). Найти множество середин отрезков где М € (АВ),
N € (PQR):
А (1, 1, 1, —1), В (2, — 1,0, 0), Р (0, 0, 2, 1),
0(3, -1,2, 1), /?(-2, 1, —1, 3).
946.	Доказать, что плоскости П2, П2 пространства Л4, задан-
ные в репере (О, %) (г =±^1,2; 3,4) уравнениями: .
п • х1— Зх2 — 2хя |-3 = 0 п', х1 4- х2 — Зх3-р х* “ О
. 2‘ Зх2 4~ 2Х3 — х4 — 4 == 0,	2’ 2х* 4- х2 —Зх3 — 1 = О,
пересекаются по прямой, н найти уравнения этой прямой.
, 947. В аффинном 4-пространстве даны четыре попарно скрещи-
вающиеся прямые, ие лежащие в одной гиперплоскости и не нмею-
-щие секущую прямую. Доказать, что через произвольную точку
можно провести две плоскости, пересекающие все четыре прямые.
948.	Определить взаимное расположение плоскостей П2! ГЬ в
аффинном пространстве А 4, если в репере (О, et) даны их уравнения:
х1 = 1 + 2А,1
п'.	х2 = — 1 — А,1 п . х1 4- х3 — 2х3 4’ х4 —- 1= 0
j‘	x* = 2 4-V ^гх^Зх3^ х3 — 2х*4-7^0,
х4 = —2 4 V,
w
949.	Пусть А, В, С — три различные точки аффинного про-
странства Ап, принадлежащие одной прямой. Доказать, что среди
точек Ль В, С существует одна, лежащая между двумя другими.
950.	Доказать, что система точек Ло, Л4, ..., Ак (1 < k п)
аффинного пространства Ап есть система точек общего положения
тогда и только тогда, когда векторы A0Alt АЬА^ .... Л0Лё линейно
независимы, причем безразлично, какая из данных точек взята
за Ло.
951.	В репере (О, ej пространства Л 4 даиы точки Ло (1, 0, 1, 0),
А± (2, 1, 2, 1), Л2 (0, 0, 1, 2), А3 (1, 2, 1, —1). Доказать, что эта
система точек имеет общее положение в Л4.
952.	Даиы пять точек А, В, С, D, Е общего положения. Дока-
зать, что гиперплоскость, проходящая через середины отрезков
[Л В], [ВС], [В£], [СВ], параллельна прямой (Л В).
953.	В аффинном 4-пространстве даны пять точек Л, В, С, В,
Е общего положения. Отрезки [Л В], [ВС], [СВ], [В£], [£Л] раз-
делены точками В, Q, В, S, Т в отношениях Л1т'й2>	Z,4, Z,6. До-
казать, что необходимое и достаточное условие принадлежности
этих точек одной гиперплоскости выражается равенством:
* ^2 ' ^3 ' ^4 " ^5 == -•
954.	Доказать, что если k -ф 1 точек общего положения аффин-
ного пространства Лл принадлежат двум плоскостям Щ и
П/ (k < Z), то Щ ел ni.
955.	Доказать, что если две различные гиперплоскости Щ-j,
Пл-i аффинного пространства Ап имеют общую точку, то
1 ["] Ид—1 = Пп_2*
956.	Доказать, что через две скрещивающиеся плоскости
Пр = [Л40, V'] и П; == [Л4о, V"] (р + q < п — 1) всегда проходит
плоскость Up t-y i-i и не существует плоскости П* тэ 11р, П.Г zd
о П^, k < р + q.
957.	Точка В аффинного пространства Ап не принадлежит
плоскости Пд •= [Мо, V']. Доказать, что существует единственная
плоскость Щ+1, проходящая через точку В и плоскость Пй.
958.	Пусть при аффинном преобразовании гиперплоскость П
инвариантна. Доказать, что. если при этом, преобразовании точка
X переходит в точку Х4 Ф X и Пр (XXJ = Хо, то отношение,
в котором Хо делит отрезок [XXJ постоянно для данного преобра-
зования.
959.	При аффинном преобразовании f имеем:
f (О) = О, / (Л) - Л, f (В) - В, f (С) = С, f (М) = Мр
Написать формулы этого аффинного преобразования по коорди-'
натам указанных точек:
0(0,0, 0,0), Л (1,0,0,0), В (0, 1,0,0), С (0, 0, 1,0), М(1, 1,1,1),
Mi (2, 3, -2, 4).
960.	Доказать, что если две различные плоскости Пр и Пр
а&финного пространства /1Л принадлежат плоскости Пр-p и
пр п + о» то п„ п Пр - n;_t.
961.	Доказать, что через точку Д, не принадлежащую плоскости
Щ [Afc, И'] аффинного пространства Дя, проходит единствен-
ная плоскость П*, параллельная Пй.
§ 2. ЕВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
В задачах 962—971 репер ортонормированный.
962.	Вычислить координаты ортогональной проекции точ-
ки М па гиперплоскость П:
1) М (1, 1, 1, —I), П: х1 + х2 — 2Х3 4- х4 — 1 - 0;
2) М (0, —1, 2, 1), П: 2х* 4- х2 4- х4 — 3 - 0.
963.	Вычислить расстояние от точки А до гиперплоскости П:
1)	А (1, —1, 2, 1), П: х1 4- ах2 — х3 — х4 + 2-0;
2)	А (2, 3, —1, 4), П: х1 — х3 4- 2х* + х4 + 1 - 0.
964.	Вычислить координаты ортогональной проекции точки
М (I, —2, 3, —1) на прямую
х1 — X — 2, х2 — —X + 2, х3 — 21 + 1, х4 — —ЗХ.
965.	Вычислить координаты ортогональной проекции точки
М (2, — 1, 3, 1) иа плоскость
/ х1 4- х2 + х8 — х* 4- 1 — 0
| 2хл 4- х2 — 2х3 4- х* 4- 2-0.
966.	Вычислить расстояние от точки Д до прямой /:
1)	Д (1, 1, —2, 1),
I:	х1 - К хй - —X + 1.	- л + 2, х4 - П — 1;
2)	А (3,	— Ъ 1),
Z : х4 — —X, х3 — X + 2, х* — —X + 1, х4 — 21.
967.	Вычислить расстояние от точки А до плоскости Па:
п А	/2	3 _1 П	П • "Ь	— х3 + х4 а=	0
1,	ij,	на.	|_xi	2х* + х3 ~~ 1	—	0;
2)	А	(3,	-1,	I, 0).	Щ:	(	+п*‘ = °
968.	Вычислить расстояние от прямой (ДВ) до плоскости (PQR):
1)	А (2, 1, 0, 0), В (— 1, 2, 3, 1).
Р (0, 0, 0, 1), Q (—2, 1,-1, 0), R (1. 1. 1, —1);
2)	А (0, 0, 0, 0), В (—3, 2, 1, 1),
Р (1,1, 1,1), Q (2,-3, —1, 1), R (1, 1, 2, — 2).
969.	Вычислить площадь треугольника АВС по координатам
его вершин:	:
«
1) А (О, О, 1, 2), В (1, —1, 2, —2), С (1, I, —3, О);
2) А (О, 1, 1, 1), В (—2, 1, О, О), С (-1, 2, 3, —2).
970. Вычислить координаты центра гиперсферы, описанной
вокруг симплекса ABCDE, заданного координатами своих вершин:
А (0, 0, 1,1), В (-1, 1,0,0), С (2,1, 0,-1), £> (1, 1, 2, 3),
£ (_2, 1, 3, —1).
971. Написать уравнения общего перпендикуляра прямой (АВ)
и плоскости (PQ7?):
1) 4(1, 1, 1, 1), В (—2, —1, 1,3),
Р (2, 1, -1, 0), Q (3, 1, 0, -1), 7? (О, 0, -1, 1);
2) А (0,0, 1, 1), В (2, —1, 0, 0),
Р(3, 1,0,—2), Q (—2, О, -1, 3), J? (1, 1, 1,-1).
972.	Пусть- V — га-мерное векторное пространство над полем
R, V', V"— его подпространства размерности^, q соответственно.
Вектор п V называется ортогональным (перпендикулярным) про-
странству V*, если он ортогонален Ух < У* (обозначается так:
п ± V"). Пространство Vй называется ортогональным пространству
V”, если Ух € Vй хД V" (обозначается так Vй ± V*). Если Vе
и Р 4~ q “ га, то каждое из пространств Vй, Vм называется ортого-
нальным дополнением другого.
Плоскость Пр = Шо, V*] евклидова пространства Еп называется
перпендикулярной плоскости П9 === (Mo, УН (обозначается так:
Пр ± ЕЦ, если 3 х € Vе | х ± V" (х =£ 0).
Плоскость Пр называется вполне ортогональной плоскости
п;, если Vй ± V*.	.
Доказать, что в евклидовом пространстве Еп через любую точ-
ку В проходит единственная плоскость Пл-р, вполне ортогональ-
ная плоскости Пр и П«_р А Пр = {$!}•
973.	Доказать, что любые две. различные плоскости Пп_р и
П£_р евклидова пространства вполне ортогональные плоскости
П^, параллельны и П„_р А Пл_р *= 0. Перпендикуляром к
плоскости Пй евклидова пространства Ел назовем прямую nj±nft
и П| А Пй = {А4}. Доказать, что через точку В евклидова
пространства Еп проходит единственный перпендикуляр к плос-
кости Пй J В.
974.	Написать формулы преобразования симметрии относитель-
но гиперплоскости х1 4- х2 4- х3 4- х4 — 0.
975.	Доказать, что ^-мерная плоскость Пй = [Мо, Vй] евкли-
дова пространства Еп есть ^-мерное евклидово пространство Ей
с пространством переносов Vя.
976.	Написать формулы преобразования симметрии относитель-
но оси: х1 = 1 4- К х2 — 2 — К, х3 = —1 4~ 2Х, х4 =s —2Х;
96
977.	В Е4 даны четыре пересекающиеся ъ одной точке попарно
перпендикулярные прямые. Доказать, что композиция осевых
симметрий относительно этих прямых есть тождественное преобра-
зование.
978.	Доказать, что существует единственный общий перпенди-
куляр скрещивающихся плоскостей Пр и пространства Еп.
979.	В £4 даны три попарно перпендикулярные гиперплоскости,
пересекающиеся по некоторой прямой I. Доказать, что композиция
симметрий относительно всех этих гиперплоскостей есть осевая
симметрия относительно прямой L
980.	В Е4 дана гиперплоскость П и принадлежащая ей точка
А. Доказать, что композиция симметрий относительно П и А есть
симметрия относительно оси /, проходящей через А перпендикуляр-
но к П.
981.	В ортонормированием репере (О, евклидова простран-
ства Е4 дано уравнение плоскости:
п . f 2х* + х2 + х3 — х4 + 5 = О
2‘ ( х1 + ха — 2х® + 2х* — 1 = О
и точка Л40 (1, —3, 2, 5). Написать уравнение плоскости Па Э
вполне ортогональной к П2.	'*
982.	Доказать, что множество точек, принадлежащих всем пря-
мым евклидова пространства Еп, проходящим через данную точку
Л4о и перпендикулярным дайной плоскости Пр, есть плоскость
Щ_р, вполне ортогональная плоскости Пр.
983.	В ортонормированном репере (О, ej евклидова прост-
ранства Ел дано уравнение гиперплоскости	-f- b — О
(i = 1, 2,	п). Доказать, что вектор п = V Ь,е, перпенднкуля-
"3
реи Пл_
984.	Дан симплекс Л1Л2Л3Л4Л5 в Et- Вычислить расстояние от
середины ребра IЛгЛ 21 до центра тяжести противолежащей грани
Л3Л4Л&, если известны длины всех его ребер.
985.	Вычислить расстояние от центра тяжести грани А4А2А9
до центра тяжести грани AiA4A&, если известны длины всех ребер
симплекса AiA^AgA^A^.
986.	Доказать, что в евклидовом пространстве Eff через лю-
бую точку В проходит единственная плоскость П(_р, вполне
ортогональная плоскости Пр.
987.	Доказать, что если высоты [AiB^ и 1Л2В21 симплекса
Л1Л2Л3Л4Л& пересекаются, то ребро (AiAal перпендикулярно про-
тиволежащей грани АдА4А6.
988.	Через центр тяжести каждой грани симплекса проводится
гиперплоскость, перпендикулярная к противолежащему ребру.
Доказать, что все эти гиперплоскости проходят через одну точку.
4 Заказ 3412	ф?
989.	Дан симплекс А1А2А3А4А5) у которого
(Л2) X (Л3Л4/1&), (ЛзЛд) X
(Л3Л4) X (4 5.4 р4 2), (Л 4.4 &) X (Л1Л2Л3).
Доказать, что и (Л5ЛХ) X (Л2ЛзЛ4).
99	0,. Прямой четырехгранный угол Sabcd в £4 пересечен ги-
перплоскостью в точках Л, В, С, D. Доказать, что квадрат объема
тетраэдра ABCD равен сумме квадратов объемов четырех тетраэд-
ров SABC, SBCD, SCDA, SDAB.
991.	Даны два симплекса А4А2А3А4А5 и BJ32B3BABb. Доказать,
что если
(Л]Л3) X (В2В4В$), (Л2Л3) X (B^B^BAt
(Л3Л4)Х (адв2), (Л4Л5) X
то и (Л5Л1) X (В2В3ВА-
992.	Даны два симплекса в Е4. Доказать, что если прямые,
проведенные через вершины одного перпендикулярно к гипер-
плоскостям гиперграней другого, пересекаются в одной точке,
то и прямые, проведенные через вершины второго перпендикулярно
к гиперплоскостям гиперграней первого, также пересекаются в
одной точке.
993.	В Е4 даны 17 точек с целочисленными координатами. До-
казать, что хотя бы один из отрезков с концами в данных точках
имеет своей серединой точку с целочисленными координатами.
994.	В Е4 дана точка, все ортонормированные координаты ко-
торой различны. Построены все точки, координаты которых полу-
чаются из координат данной точки в результате их перестановки.
Доказать, что указанные 24 точки принадлежат одной сфере.
995.	Пусть V — пространство переносов евклидова пространст-
ва Еп, at € V, (ef) — ортонормированный базис в V и aL — alfy
(i, j « 1, 2,	n). Смешанным (или косым) произведением
(«1, й2, ..., ап) называется определитель det || ci ||. Говорят, что
базис (е;) одинаково (противоположно) ориентирован с базисом
(сг) векторного пространства V, если матрица перехода от базиса
(ez) к базису (ej) = сй>) имеет определитель det || d [|> 0
(det || С/|| < 0). Все базисы пространства V можно разбить на
два класса так, что любые два базиса одного класса одинаково
ориентированы, а два базиса, принадлежащие разным классам,
противоположно ориентированы. Каждый из этих классов назы-
вается ориентацией векторного пространства V.
Доказать, что если заменить ортонормированный базис (е)
на другой ортонормированный базис (е^), то смешанное произве-
дение а2) ...., ап) не изменится, если базисы (с,) н (€;) одина-
ково ориентированы, и меняет знак, если они противоположно
ориентированы.
«8
996.	Возьмем в л-мерном евклидовом пространстве Ея (п > 1)
ортонормированный базис (ej и упорядоченную систему п — 1
векторов а2, ...» ап_х, сн (i = 1,2, tv, а = 1, 2, ...»
.... п — 1). Вектор
2 2	2
0102 ... On—1
Ь = [01, а2, ... , а^х] =
а\ 02... с^1
3 3	3
<?i +
е2 4-... +
„пл
0102  «я—I
О^Оз-.Ол-!
„и—1/1—1	п—I
01	02	... Ort—1
называется векторным произведением векторов о^. Запишем его
в виде символического определителя:
0[О2 ... Оп__[^
0102 ...ад-1^2
оК-.о"-^
Доказать, что если базис (^) заменить на другой ортонормнрован-
пыйбазис (е/), то векторное произведение сохраняется, если эти
базисы одинаково ориентированы, и меняет знак, если они про-
тивоположно ориентированы.
997.	Доказать, что векторное произведение 1^, а2,	век-
торов ва евклидова пространства V ортогонально каждому сомно-
жителю.
998.	Доказать, что векторное произведение а2, ..., ая_х1 = 6
тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.
999.	Доказать, что для любых двух систем векторов
(fy) (h i = 1, 2, ..., п\ п > 1) евклидова /г-мерного пространства V
выполняется равенство:
	 Ьх аг • Ь2 ... d • bn	
	— ► —► —► ► —>-	
—> —> —> —>	(^2 * bi	‘	...	• Ьп	
(tZx, d2,	(^1Т ^29 ••» ^д)		
	_^i	
	 Ь2 ...	* Ья	
		——► —► —>
Если at — bt, получаем:		(?1 * Ci &L ‘
		(2о * 01	(^2 * (2g ...	(22 а»
'—		
(«1. Яг	ааг =		... .... * • ...
		
4*
99
Этот определитель называется определителем Грама системы век-
торов (аД и обозначается G {ап а2, ..., ап). Имеем: 6 (аь а2, ...
..., ап) = 0 тогда и только тогда, когда векторы at линейно зависимы.
Если же векторы щ линейно независимы, то
G fe, а2, ад) >0.
1000.	Доказать, что для любой системы векторов аъ а2, .ап
(п > 1) евклидова пространства V выполняется равенство*.
(ftj, «2» •••»	' ^1» ^2» •••»	11 * ^п'
1001.	Доказать, что для любой системы векторов alt a2t ап
евклидова ft-мерного (ft > 1) пространства V выполняется равен-
ство:
Й. at, ... , arl_^=G(ai, а2, ... , а^).
1002.	Расстоянием между фигурами F и F* евклидова простран-
ства Еп называется число
р (F, ?•) = inf р (М, М’) = р (Г, F).
ЛГ с F'
Доказать, что расстояние между точкой и плоскостью Пр =
= 1/И0, V'] вычисляется по формуле:
р (Alp п^> = |(а1’ av
1 [av tz2> , ap] |
или	_____________________
р(ЛЛ, Пр) = \f	AW ,
V G(«p 72.........tip)
где alt a2, ...» ap —базис пространства Vе'.
1003.	В ортонормированием репере R пространства Е$ дана
точка Мх (0, 1, 2, 0, —1) н уравнение плоскости
х1 = 1 + 2V — к2,
2 — V — к2,
П2: х3 — 0,
х4 = —1 4- 2k1 +
%5 = к2.
Найти р (Mi, П2).
1004.	В ортонормированием репере 7? пространства Ел даны
уравнения параллельных гиперплоскостей:
+ cL = 0,
0.
Найти расстояние р (Щ-х, Ili-i).
1005.	В ортонормированием репере R пространства даиы
точка /И1(2,—1, 1, 1) и уравнения плоскости
100
П2: Гх1-+ 2х® — х4 5 = О
[ х14- х2 4- 2х3 4- Зх4 — 1 = О.
Найти расстояние от точки /Иг до плоскости П2.
1006.	В евклидовом пространстве Es даны точки А, и В своими
координатами в ортонормированием репере. Написать формулы
отражения от плоскости, в котором точка А переходит в точку В:
I) А (О, 0,0), В (1, i; 1); 2) А (2, 3,1), В (0, 1,3),.
1007.	Написать формулы отражения пространства £3 от плос-
кости, заданной в ортонормированием репере уравнением:
1) X + у + г-1 = 0; 2) 2х — у 4 z = 0; 3) Ах 4~. By + Сг.+
4“ D — 0.
1008.	Написать формулы Осевой симметрии относительно пря-
мой, заданной в ортонормированием репере уравнениями:
1) (х 4- у — 0,	2) (х 4“ у 4- 1 =» 0, 3) х = 2 4~ 2/,
[X — у — 0;	^2х у — 0;	j у ~ —1 4~^,
I z = —t
1009*. Доказать, что композиция четного числа центральных
симметрий есть переносили тождественное преобразование, а ком-
позиция нечетного числа центральных симметрий есть центральная
симметрия.
1010.	Доказать, что если композиция двух осевых симметрий
перестановочна, то осн симметрий пересекаются н взаимно перпен-
дикулярны.
1011.	Доказать, что композиция отражений от трех плоскостей
тогда и только тогда является отражением от плоскости, когда
плоскости симметрии принадлежат одному пучку.
1012.	Даны трн параллельные прямые а, &, с. Доказать, что
композиция осевых симметрий относительно этих прямых есть осе-
вая симметрия относительно некоторой прямой. Построить эту
прямую.
1013.	При каком условии композиция осевой симметрии отно-
сительно прямой а и переноса на вектор m перестановочны?
1014.	Доказать, что композиция двух поворотов есть поворот
тогда и только тогда, когда осн поворотов пересекаются или же
когда оии параллельны и сумма углов поворотов отлична от 3®)°.
1015.	Доказать, что любое перемещение пространства 5^ можно
представить композицией не более четырех отражений от плоско-
стей.
1016.	Доказать, что композиция двух гомотетий с различными
центрами есть либо гомотетия, либо параллельный перенос.
* В задачах 1009 — 1020 перемещения и подобия рассматриваются в Е^
1Q1
1017.	Доказать, что композиция трех гомотетий, центры кото-
рых не принадлежат одной прямой, есть либо гомотетия, либо пе-
ренос, причем центр гомотетии принадлежит плоскости, проходя-
щей через данные центры, а направление переноса параллельно
этой плоскости.
Ю1&. Доказать, что всякое подобие пространства, отличное от
перемещения, имеет единственную неподвижную точку.
1019.	Доказать, что всякое подобие второго рода, отличное от
перемещения, есть композиция гомотетии, поворота вокруг оси,
проходящей через центр гомотетии, и симметрии относительно пло-
скости, проходящей через центр гомотетии перпендикулярно оси.
1020.	Доказать, что всякое подобие первого рода, отличное от
перемещения, есть композиция гомотетии и поворота вокруг оси,
проходящей через центр гомотетии.
Глава V.
КВАДРАТИЧНЫЕ
ФОРМЫ И КВАДРИКИ
§ 1. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1021.	Доказать, что симметрическая билинейная форма ф (х, у)
может быть представлена через квадратичную форму ф (х, х).
1022.	Даны матрицы:
1) /1	0\	2) /0 1 0 1\		3) / 1 1	0 ц
	/ 1 0	1 0	/—1 1	0 0 I
1	1 1	1 0 1	0 1 J	1 0 0	—1 0 I
\0	1/	\1 0	1 о/	— 1 0	0 0/.
Построить соответствующие билинейные формы, определенные на
векторном 4-пространстве над полем /?, и вычислить ранги этих
билинейных форм.
1023.	Билинейная, форма ф задана матрицей в некотором базисе
векторного пространства V (dim V = 4) над полем /?:
1) /0 - I 1	0\	2) /1 0 0	0\ 3) / 0	1	1 1\
/1	0 0	1 1	/01111	/ —1	0	111
Io	00—11	0 0 1	1	1—1—1	0 1 J
\0	0 1	О/	\о О О	1/	\—1	—1 —1 о/,
Вычислить ф (х, у), где
402
1024.	Доказать, что билинейная форма, заданная в конечно-
мерном пространстве, представима в виде произведения двух ли-
нейных форм тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой били-
нейной формы равен единице.
1025.	Найти условие, при котором билинейная форма <р (х, у)
обращается в нуль при х = у для всякого вектора х.
1026.	Если симметрическая билинейная форма ср (х, у) положи-
тельно определенная, то
<Р (Pl, Рг? < ф (₽1. Р1) Ф (р2, Pl)
для любой пары ненулевых векторов рг и р2. Доказать.
1027.	Решить систему уравнений относительно Л:
Ф (х, х) == 0
х = а И” Х6,
где а, &, х € И, X £ Я.
1028.	Пусть ф (х, х) — квадратичная форма, заданная в век-
торном пространстве, причем ф (а, а) > 0, ф (6, &) < 0. Доказать,
что 1) векторы а н b линейно независимы; 2) в двумерном простран-
стве с базисом (а, Ь) существуют два вектора х1г х2, для которых
Ф (хъ xj = ф (х2, х2) = 0; 3) векторы хх н х2 линейно независимы,
1029.	Найти условия, необходимые и достаточные для того,
п	п
чтобы квадратичная форма ^axf + З^^-^была положительно
i=i	i, f=i
определенной.
1030.	«л-угольником» а билинейных форм фл (х, у), ф„ (х, у),
определенных на одном и том же векторном пространстве И, назы-
ваем л-ку форм
а = (фх £ у), ..., фя (х, у)).
На множестве «n-угольников» определим две операции:
1) a+J> = (фх £х,у), ..*> фя (х, У)) + Oh (|> У)> •••> Й У)) =
= (Ф1 (х, у) + Ф1 (Х_у)...фл (ХГ) + (Vy));
2) Ха = X (ф! (х, у), .... фй (х, у)) (Хфх (£ у), ..., Хфй (£ у®.
Показать, что множество «л-угольников» образует векторное
пространство.
1031.	Центроидом «я-угольника» билинейных форм
Фй (х, у) (Й = h .<•> а = (фх (X, у), фп (X, у))
называем а0 = ф (х, у) = — ф2 (х, у).
п
103
Убедиться, что центроид — билинейная форма.
1032.	Привести квадратичную форму
(х1)2 + (х8)2 — 2х1х2 + 2xJx3 + 10х2х®
к нормальному вицу.
1033.	Привести квадратичную форму
(х1)2 + 4 (х2)2 + 8 (х3)2 — (х4)2 — 4х4х2 4- 6хгх® —
— 12х3х3 4- 2х3х4 4- х2х? х4х?
к нормальному виду.
1034.	Ортогональным преобразованием привести к канониче-
скому виду квадратичные формы:
1)	2 (х1)2 + (х2)2 4- 2 (х3)2 — 2хгх2 + 2ЛЛ
2)	7 (х1)2 +	6 (х2)2 + 5 (х3)2 — 4х]х2 — 4х2х3,
3)	(х1)2 — 2	(х2)2 4"	(х3)2 4-	4хгх2	—. 8х1х2 — 4х®х%
4)	(х1)2 4- 5	(х2)2 -h	(х3)2 +	2xbc2	+ бхЪс3 4- 2х2х3,
5)	(xi)s _ 2	(х2)2 4-	(х3)2 4-	4хгх2	— 10х2х3 + 4х2х3.
§ 2. КВАДРИКИ
1035.	Написать каноническое уравнение основных видов квад-
рик в аффинном пространстве Л4.
1036.	Проверить, что эллипсоид в А4, заданный нормальным
уравнением, содержится в координатном параллелепипеде, постро-
енном на векторах 2еа (а = 1, 2, 3, 4).
1037.	Доказать, что конус в Л4 ^(х1)2 + (х2)2 + (х3)2 — (х4)2 =
= 0 является объединением непустого множества прямых, прохо-
дящих через одну точку.
1038.	Точка (хо) называется внутренней точкой относительно
п	п
эллипсоида (х*)2 — 1 в аффинном пространстве AГ{, если V (хд)2<
< 1. Доказать, что множество F внутренних точек относительно
эллипсоида является выпуклым, т. е. Л, В € F=^>L4B1 с: F.
1039.	Убедиться, что поверхность, расположенная в Л4 и задан-
ная уравнением:
А (х1)2 + В (х2)2 + С (х3)2 4- D (х4)2 + F = 0	(*)
обладает следующими свойствами:
1)	начало координат является центром симметрии поверхности;
2)	эта поверхность симметрично расположена относительно
каждой координатной гиперплоскости;
3)	в сеченни поверхности (*) гиперплоскостями, параллельными
каждой из координатных гиперплоскостей, получается централь-
ная квадрика.
1040. Пусть в пространстве А№ дана центральная квадрика:
а^хгх^ 4" 2^ х1 4~	= 0 0, / = 1, 2,	и).
404
Если, не меняя координатных векторов, перенести начало репера
в центр квадрики, то ее уравнение примет вид:
auxlxj + — = О,
v 6
Доказать.
а<н Цю-
где б = det || аи ||, Л = det
1041. Найти центр квадрики, заданной в аффинном репере
пространства Л3 уравнением:
1) (х1)2 + (х2)2 + (х3)2 + 2х1х2 — 2xV + бх^ + 2Х1 — бх3 —
— 2х3 = 0;
2) 4х1х2 -Ь 4х1х3 — 4х2 — 4Х3 — 1 = 0.
1042.	Пусть в пространстве А„ дайа квадрика Q, которая в
некотором аффинном репере имеет уравнение:
at/xlx' + 2aOixf + «оо = 0-
Совокупность старших членов %х?х' = ф (х) определяет квадратич-
ную форму на пространстве переносов V.
Два направления, определяемые векторами /, т € V, называ-
ются сопряженными относительно квадрики Q, если
ф (/, т) — 0,
где ф — полярная форма формы ср. Направление I называется
асимптотическим относительно квадрики Q, если ф (/) = 0. Дока-
зать, что всякая прямая, не принадлежащая асимптотическому
направлению, пересекает квадрику Q в двух точках (вещественных
различных, совпадающих либо мнимых).
1043.	Пусть направление I не является асимптотическим отно-
сительно квадрики Q. Доказать, что середины отрезков, высекае-
мых квадрикой Q на прямых данного направления, принадлежат
вполне определенной гиперплоскости (которая называется диамет-
ральной гиперплоскостью квадрики Q, сопряженной направлению
7).
1044.	Доказать, что всякая диаметральная гиперплоскость кват-
рики Q содержит место центров этой квадрики.
1045.	Доказать, что квадратичная форма ф, входящая в уравне-
ние квадрики Q, имеет канонический вид тогда н только тогда,
когда координатные векторы репера определяют направления,
попарно сопряженные относительно ф.
1046.	Пусть в пространстве Л4 квадрика задана каноническим
уравнением. Проверить, что
1)	эллипсоид не имеет действительных асимптотических направле-
ний;
2)	для гиперболоиду индекса I прямые, проходящие через его
105
центр и имеющие асимптотическое направление, образуют конус
индекса L
1047.	Квадрика задана уравнением:
ацх*х* + 2bLxl + с ™ 0.
Доказать, что
1) квадрика является параболоидом, если в некоторой аффин-
ной системе координат ее уравнение имеет вид:
ар# + 2ЬИ хп = 0.
2} для того чтобы квадрика была параболоидом, необходимо и
достаточно, чтобы
= 0, А =
^11 ... din Ь±
... апп Ьп
bt ..,bn с
0.
1048. Доказать, что для центральной гиперквадрики любая
гиперплоскость, проходящая через ее центр, является диаметраль-
ной.
6 =

1049.	Через данную точку А проведены всевозможные прямые
асимптотического направления данной квадрики, Написать урав-
нения конуса асимптотических направлений, образованного этими
прямыми.
1050.	Хорды 1АА J, [Mil, [CCJ квадрики а^х1х^ — 1=0 па-
раллельны вектору т неасимптотического, направления. Пусть
точки Ло, Во, Со симметричны точкам Л1( Сх относительно сере-
дин отрезков [ВС1, [СA ], [431 соответственно. Доказать, что точки
40, Во, принадлежат плоскости, параллельной диаметральной
плоскости, сопряженной направлению т относительно данной квад-
рики.
1051.	Доказать, что эллипсоид не имеет вещественных прямо-
линейных образующих.
1052.	Пусть Q — квадрика в евклидоном пространстве Еп.
Направление I называется главным относительно квадрики Q,
если любое направление т, ортогональное Z, сопряжено с Z. Диа-
метральная гиперплоскость называется главной, если она ортого-
нальна направлению Z, которому она сопряжена (при этом направ-
ление t будет, очевидно, главным).
Доказать, что главная диаметральная гиперплоскость квадрики
Q является плоскостью симметрии этой квадрики.
1053.	Доказать, что в уравнении квадрики $с£яв ортонор-
мированном репере справедливы равенства — 0 (Z /) тогда
и только тогда, когда координатные векторы репера определяют
главные направления относительно Q.
1054.	Квадрика Q cz Дд задана уравнением в. ортонормирован-
ием репере:
106
2х2 + 2у2 — 5г2 + 2ху — 2х — 4у — 4z 4~ 2	0.
Найти главные направления.
1055.	Квадрика Q с £3 задана уравнением в ортонормирован-
ием репере:
х2 + У2 — Зга — 2ху — 6x2 ‘— буг 4- 2х 4~ 2у 4- 4z = 0.'
Найти главные диаметральные плоскости.
1056.	Привести к каноническому виду уравнения квадрик,
заданных в пространстве £3 уравнен и ямиДлносительно ортопормн-
рованного репера:
1)	6х2 — 2у2 -f 6г2 4~ 4x2 4- 8х — 4у — 82 + 1 =0;
2)	х2 4- У2 4- 5z3 — бху + 2x2 — 2yz — 4х 4- 8у — 12г 4-
= 0;
3)	2х2 4" 5у3 и- 2г2 — 2ху — 4хг 4- 2yz -j- 2х — 10у — 22 — Iе*
- 0.
Г л а в а VI.
ВЫПУКЛЫЕ
МНОГОГРАННИКИ
§ 1. ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ
1057.	Дана выпуклая фигура F, три точки А, В, С которой не
лежат на одной прямой. Доказать, что Д АВС с: F.
1058.	Дана выпуклая фигура F, четыре точки А, В, С, D кото-
рой не лежат в одной плоскости. Доказать, что фигура F содержит
тетраэдр ABCD.
1059.	Пусть Ф — симплекс пространства £л, Аа (а = 0, 1, ...,
п) — вершины этого симплекса, О — произвольно взятая точ-
ка. Доказать, что Ф = {Л4 € £ге tOAf =» X® ОАа }, где %®	0 и
2“ = 1, (Так определенные числа 1® называются барицентриче-
<х
скими координатами точки Л4 С Ф.)
1060.	Доказать, что барицентрические координаты точки Л1
симплекса Ф (см. задачу 1059) не зависят ст выбора точки О и для
заданной точки М определяются однозначно.
1061.	Доказать, что если симплекс Ф содержит точку М, отлич-
ную от его вершины, то он содержит и некоторый отрезок с сере-
диной в точке 44.
1062.	Пусть F — некоторая фигура евклидова пространства
£,., А — точка из £н. Говорят, что точка А находится в общем
положении к фигуре F, если выполнены два условия: а) А $ F;
б) [АХ] П [А У] ~ A VX, У £ F, X #= У. В этом случае фигура
A (F) - (J [АХ1
называется конусом с вершиной А и основанием F. Доказать, чго
если фигура F выпуклая, то и конус A (F) — выпуклая фигура.
107
1063.	Пусть ПА — ^мерная плоскость пространства £п> Ф —
симплекс пространства Пй. Доказать, что
1) точка М находится в общем положении к симплексу Ф тогда
и только тогда, когда М £ Пй;
2) конус М (Ф) есть симплекс (k + 1)-мерного пространства
Щ+х - (М, Щ).
1064.	Доказать, что диаметр симплекса евклидова пространства
Еп равен максимуму длин ребер этого симплекса.
1065.	В пространстве Еп даны: гиперплоскость П, некоторая
фигура Ф' и точка О $ Ф' (J П. Обозначим через С (О) связку
прямых с центром в точке О (множество всех точек прямых прост-
ранства £п, проходящих через точку О). Пусть
Ь(Ф\О) - {М € 1\1 (ЕС (О) и I Л Ф'¥= 0}.
Фигура L (Ф\ О) Л П “ Ф называется центральной проекцией
фигуры Ф' на плоскость П (нз центра проектирования О). Доказать,
что если фигура Ф' — выпуклая, то и фигура Ф — выпуклая.
1066.	В пространстве Еп даны: гиперплоскость П, не парал-
лельнаяей прямая^ = [Мй, а] и некоторая фигура Ф'. Обозначим
через С (а) связку параллельных прямых, содержащую прямую d
(множество всех прямых, параллельных прямой 4). Пусть
А(Ф\ф = {М С/|/€С(а) и / П Ф'¥=0).
Фигура L (Ф\ d) f) П = Ф называется параллельной проекцией
фигуры Ф' на плоскость П по направлению прямой d. Доказать,
что если фигура Ф' — выпуклая, то и фигура Ф — выпуклая.
1067.	Связная фигура, все точки которой — внутренние, на-
зывается областью. Телом (n-мерным) называется замыкание огра-
ниченной области в Еп.
Пусть Fo — некоторая фигура евклидова пространства Еп^.
Мы будем считать, что Ea-t— гиперплоскость евклидова простран-
ства Еп, и обозначим через е орт, не принадлежащий этой гипер-
плоскости, I = [0, а! — числовой промежуток. Цилиндром с ос-
нованием Fo называется фигура
f = {м е еп |дм - ох + & х е Ft, t е /},
где О — произвольно выбранная точка пространства Еп. Доказать,
что
1) цилиндр F есть тело, если его основание Fo — тело в
2) если основание Fo — выпуклая фигура, то и цилиндр F —
выпуклая, фигура.
1068< Цилиндр F cz Еп называется призмой, если его основа-
нием Fo служит (л — 1)-мерный многогранник. Доказать, что
призма в Еп является n-мерным многогранником.
1069.	Конус Л (F) cz Еп называется пирамидой, если его ос-
108
нованием F служит (п — 1)-мерный многогранник. Доказать, что
пирамида A (F) является n-мериым многогранником.
1070.	Доказать, что конус A (F) с: Еп является ^-мерным те-
лом, если его основание (п — 1)-мериое тело.
1071.	Выпуклый многоугольник/7 с вершинами At (i = 1, 2, ... ,
..., п) лежит в плоскости П пространства Еа, а выпуклый многоуголь-
ник F' с вершинами Ва (а —- 1, 2, т) лежит в плоскости П',
причем П || П', П т£П'. Доказать, что существует выпуклый мно-
гогранник с вершинами Ait Ва (выпуклый призматоид с основания-
ми F и F').
1072.	Доказать, что сумма величин всех плоских углов на по-
верхности выпуклого многогранника, образуемых его ребрами,
равна 360° * (с^ —а2), где cq — число ребер, а2 —число граней
многогранника.
1073.	Дан параллелограмм с вершинами (а = 1, 2, 3, 4) н
вне его плоскости даны две точки Ви такие, что (/^Ва) || (Л^Дз).
Доказать, что существует выпуклый многогранник с вершинами
Аа, Въ В2 (клин).
$ 2. ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
1074» Дан правильный тетраэдр с вершинами (а == 1, 2, 3, 4).
Пусть Ва —точки, симметричные центру этого тетраэдра относи-
тельно плоскостей его граней. Доказать, что существует выпуклый
многогранник с вершинами Аа, Ва.
1075.	Дан куб с вершинами Аа (а — 1, 2, ..., 8). Пусть
В, (i — 1, 2, ..., 6) —точки, симметричные центру куба относи-
тельно плоскостей его граней. Доказать, что существует выпуклый
многогранник с вершинами Aat Bt (ромбический додекаэдр).
1076.	Через каждое ребро куба F проведена плоскость, обра-
зующая углы в 45° с плоскостями тех граней куба, которые содер-
жат это ребро. Доказать, что полупространства, ограниченные эти-
ми плоскостями и содержащие куб В, пересекаются по ромбиче-
скому додекаэдру.
1077.	Пусть дан правильный многогранник F. Обозначим через
S, V, г, Я и <р соответственно площадь поверхности, объем, радиус
вписанной сферы, радиус описанной сферы н величину двугранного
угла многогранника F. Зная длину а ребра правильного тетраэдра,
вычислить S, V, г, Я, ф-
1078.	Зная длину а ребра правильного октаэдра, вычислить S,
V, г, R, ф (см. задачу 1077).
1079.	Зная длину ребра а правильного додекаэдра, вычислить
S, V, г, R, ф (см. задачу 1077).
1080.	Зная длину а ребра правильного икосаэдра, вычислить
S, V, г, R, ф (см. задачу 1077).
1081.	Если F — выпуклый многогранник в пространстве Е3,
то всякая секущая плоскость П (dim В П П = 2) определяет раз-
ложение многогранника F на два выпуклых многогранника Я и
109
Q, каждый из которых лежит в одном из полупространств, ограни-
ченных плоскостью П. О каждом из многогранников Р и Q гово-
рят, что он получен из многогранника F срезанием части. Доказать,
что срезанием частей из правильного икосаэдра можно получить
правильный додекаэдр.
1082.	Доказать, что срезанием частей можно из правильного
додекаэдра получить куб.
1083.	Доказать, что срезанием частей можно из куба получить
правильный октаэдр.
1084.	Доказать, что срезанием, частей можно из куба получить
правильный тетраэдр.
1085.	Полуправилытым (илн архимедовым) многогранником на-
зывается выпуклый многогранник, все многогранные углы кото-
рого конгруэнтны, а гранями служат правильные многоугольники
разных видов. Доказать, что граница архимедова многогранника
составлена не более чем из трех различных видов многоугольников.
1086.	Доказать, что каждый многогранный угол архимедова -
многогранника имеет не более пяти граней.
1087.	Пусть секущая плоскость П определяет разложение вы-
пуклого многогранника F на многогранники Р и Q (см. задачу
1081).
Если многогранник Q содержит только одну вершину Мо мно-
гогранника Р, то говорят, что многогранник Р получен из много-
гранника Р срезанием вершины Л40. Если многогранник Q содер-
жит только одно ребро 1АВ] многогранника F, то говорят, что мно-
гогранник Р получен из многогранника F срезанием ребра (ДВЕ
Доказать, что срезанием вершин правильного тетраэдра можно по-
лучить полуправильный восьмигранник.
1088,	Доказать, что срезанием вершин можно из куба получить
полуправильный 14-гранник.
1089.	Доказать, что срезанием вершин можно из правильного
октаэдра получить полуправильный 14-гранник (с трехграиными
углами), отличный от многогранника задачи 1088.
1090.	Доказать, что срезанием вершин можно из правильного
додекаэдра получить полуправильный 32-гранпик.
1091.	Доказать, что срезанием вершин можно из правильного
икосаэдра получить полуправильный 32-гранник, отличный от
многогранника задачи 1090.
1092.	Доказать, что срезанием вершин и ребер можно из пра-
вильного октаэдра получить полуправильный 26-гранник (с трех-
граннымн углами прн вершинах).
1093.	Доказать, что срезанием вершин из правильного окта-
эдра или куба можно получить полуправильный 14-гранник с четы-
рехгранными углами при вершинах (так называемый кубоктаэдр).
1094.	Доказать, что срезанием вершин из правильного додека-
эдра илн правильного икосаэдра можно получить полуправиль-
ный 32~гранник с четырехгранными углами при вершинах (додека-
эдр оикосаэдр).
ilO
Раздел 3.
ПРОЕКТИВНОЕ
ПРОСТРАНСТВО.
МЕТОДЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Глава I,
ПРОЕКТИВНОЕ
ПРОСТРАНСТВО
§ 1. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПРОЕКТИВНЫЕ
КООРДИНАТЫ
1095.	F'l — двумерное векторное пространство над полем Г2
вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная прямая Р (F1)
содержит точно три точки.
1096.	Доказать, что проективная плоскость Р (V) содержит по
крайней мере 7 точек.
1097.	F| — трехмерное векторное пространство над полем F2
вычетов по модулю 2. Доказать, что проективная плоскость Р (Fl)
содержит точно 7 точек.
109В.	Сколько прямых содержит проективная плоскость Р (F%)?
1099.	Доказать, что на проективной плоскости Р (V) сущест-
вуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной
прямой.
1100. Доказать, что в n-мериом проективном пространстве Р (У)
существуют п 4- 2 точек общего положения.
1101. F3—трехмерное векторное пространство над полем Fs
вычетов по модулю 3. Сколько точек содержит произвольная пря-
мая проективной плоскости Р (F|)?
1102.	— (п + 1)-мерное-векторное пространство над полем
Fo вычетов по модулю р, где р — простое число. Доказать, что
П /ЕЛ-Нх	1
n-мерное проективное пространство Р (гр ) состоит из -----точек.
1103.	Сколько точек содержит произвольная прямая п-мерного
проективного пространства Р (FJJ4-1)? г
1104.	Каково наименьшее число точек проективного простран-
ства (К) над полем К?
1105.	На модели проективной прямой Pi (R) (в пучке прямых
Р (О) или на расширенной прямой d) задан проективный репер
(Л0, Alt Е). Построить точки М (1, —1), N (—2, I), L (—2, 2) по
их координатам в этом репере.
1106.	На расширенной прямой d задан проективный репер
R — (Ло, Л!, Еж). Построить точки М (—1, 1) н /У (1, —2) по их
координатам в репере /?.
1107,	На расширенной прямой d задан проективный репер
112
R — (ЛOt Ль £); Ло, Лх — собственные точки прямой d, Е — сере-
дина отрезка [Л0Л11.,Найтн координаты несобственной точки Cd
в репере /?.
1108.	На расширенной прямой d даны точки Ло, ЛР Построить
единичную точку Е проективного репера 7? = (Ло, Лп £), если
известно, что несобственная точка прямой d имеет координаты
Мзо (—1,2) в репере 7?.
~ 1109. На расширенной прямой d задан проективный репер
7? = (Ло, Хсо, £). Построить точку М (2, 1) с указанными коорди-
натами в репере 7?.	.
1110.	На расширенной прямой d заданы собственные точки Ло,
Alt Е. В репере 7? — (Ло, Лъ £) собственная точка М. £ d (Л4 Ло,
Л1 У= Лх) имеет координаты (х°, х1). Доказать, что
х° _ (АА» Е)
х1 (А^, М)
1111.	Известно, что для построения точки М х1) по ее коор-
динатам в проективном репере (Л0, Лп £) на расширенной прямой
d нужно взять аффинный репер 7? = (О, a0, aj на расширенной
плоскости, содержащей d, такой, что О $ d, а базис (Оо, aj порож-
дает репер (Ло, Лр £). Тогда искомая точка Л1 == (ОЛТ) f] dt где
прямая (ОЛ1') имеет направляющим вектором ОМ' = х°й0 + х1*^.
Доказать, что положение точки Л1 на прямой d не зависит от выбора
точки О.
1112.	На расширенной пря-
мой d задан проективный репер
R = (Ло, Ль £) и точки Л1, Л7,
L. Установить, одинаковые или
разные знаки имеют координаты
точки М в репере 7?, н то же для точек 2V, L и несобственной точки
X С d (рис. 1). Ту же задачу решить в репере 7?' = (Л0| Л1( Е').
ШЗ. На расширенной плоскости 2 задан проективный репер
7? = (Ло, Л1( Л2, £), вершины Ла (а = 0, 1, 2) координатного тре-
угольника и единичная точка £ — собственные точки. Построить
следующие точки по их координатам в репере 7?:
М (1, 2, 0), N (0, —2, —1), Р (1, 2, 1), Q (0, -4, 0).
1114.	На расширенной плоскости 2 задан проективный репер
* R = (Ло, Alf Л2, Ех) с собственными вершинами Аа (а — 0, 1, 2)
и несобственной единичной точкой Ех.. Построить точку М (1, 1, 2)
по^^ордннатам в репере 7?.
/и1§Г^'очка £ — центр тяжести треугольника Л^Лг иа плос-
кости-^Т Построить точку М (1, 1, —1) по ее координатам в про.
ектнвном репере 7? = (Ло, А1Г Л2, £) на расширенной плоскости 2.
113
1116.	На расширенной плоскости S задан проективный репер
Я = (Ло, Хж, К*,, £). Построить точки М (2, 4, —1) и N (0, 1, 2)
по их координатам в репере R.
1117,	Fla проективной плоскости задан репер 7? ~ (Ло, AltA2r Е).
Еа — проекция точки Е из центра Аа на прямую (Л^Л?) (а, р, у =
= 0, 1, 2 — все различны). Найтн координаты точек Аа, Е, Еа и
составить уравнения прямых (ЛаЛр), (ЛаЕа) относительно ре-
пера R.
1118,	Доказать, что на проективной плоскости прямая
а (а0, alt а2) с координатами, заданными относительно репера
R ~ (Ад, А1г А 3, Е), проходит через вершину Аа тогда и только
тогд^жогда аи ~ 0.
ЛН9Л Какова особенность расположения прямой (ЛВ) относи-
тешЙПГрепера R = (Ло, Лъ Л2, В) на проективной плоскости, если
в этом репере первые пары координат точек А (ц°, а1, а2) и
В = (й°, Ь1, Ь2) пропорциональны?
1120.	Какова особенность расположения точки М пересечения
прямых а аъ а2) и b blt b2) относительно репера R =
= (Ло, Ль Л 2, Е) на проективной плоскости, если первые пары
координат этих прямых пропорциональны?
1121.	Доказать, что точки Л (tz°, a1, а2), В (b°,	d8), C (c°, c1, c2)
с координатами в проективном репере 7? = (Ло, Лх, Л2, Е) лежат
на одной прямой .тогда и только тогда, когда определитель системы
этих точек
а° а1 а2
(Л, В, С) =
Ь1 Ь2
с1 с*
равен нулю.
1122.	Доказать, что прямые а (оо, as), b (bb, b1} &2), с (с0, с1г е2)
с координатами относительно проективного репера R имеют общую
точку тогда и только тогда, когда определитель системы этих пря-
мых
(а, с) =
я»
Ьо &! &2
Со с2
равен нулю.
1123.	Пусть на проективной плоскости заданы две различные
прямые: а : ОаХ® — 0 и b : 7^ха — 0 (a = 0, 1, 2) своими уравне-
ниями относительно проективного репера R. Доказать, что урав-
нение:
4“ Р baXa = 0,
где X и р принимают вещественные значения, ие равные нулю од-
новременно, определяет пучок прямых на проективной плоскости.
1124.	Построить прямую а (1,2,-2) по ее координатам отно-
сительно заданного на расширенной плоскости проективного репе-
ра 7? - (AOf Ai, A3t Е).
414
1125.	Какова особенность прямой е (1, I, 1) с указанными ко-
ординатами относительно проективного репера R = (Ло, Лх, Л2, Е}
на расширенной плоскости, если единичная точка Е этого репера
является точкой пересечения медиан координатного треугольника
Л0ЛхЛ2?
1126.	В репере R — (ЛО, ЛЬ Л2, Е) на проективной плоскости
точки Л, В, С, D имеют координаты: Л (1, 0, —1), В (2, 1, 0),
С (0, 0, 1), D (1, 1, 2)-. Проверить, что эти точки являются точками
общего положения, и найти векторный базис, порождающий репер
R' (Л, В, С, D).
1127.	Составить формулы преобразования проективных коор-
динат при переходе от репера R = (Ло, Ль Л2, Е) к реперу R' ~
= (ЛдЛ если в репере R А'о (1, 0, —1), А{ (2, 1, 0), Л2 (0, 0, 1)
и
1) Е' (3, 1,0),
2) £' (1, Г, 2).
1128. Вершины координатного треугольника и единичная точ-
ка проективного репера R' имеют иа расширенной плоскости сле-
дующие аффинные координаты:
Л^ (0, 3), Л]' (4, 0), Л2 (4, 3),	(3, 2).
Найти:
1)	проективные координаты точки М, если ее аффинные координа-
ты М (1, 1);
2)	аффинные координаты точки N, если ее проективные координа-
ты ^(4,3,—б);
3)	проективные координаты несобственной точки оси абсцисс;
4)	однородные аффинные координаты точки Р, если ее проективные
координаты Р (5, 5, —7).
1129. Единичная точка Е проективного репера R = (Ло, Alf Л2,
Е) на расширенной плоскости является точкой пересечения медиан
координатного треугольника ЛцЛ^Лг. Найти координаты несобст-
венных точек сторон координатного треугольника и координаты
несобственных точек его медиан относительно репера R,
§ 2. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
_О130лПользуясь принципом двойственности, доказать, что:
1) н^гтгроективной плоскости Р2 (К)
а) через каждую точку проходит не менее трех прямых;
./^существуют три прямые, не проходящие через одну точку;
2) в"трехмерном проективном пространстве Ps (К)
через каждую прямую проходит ие менее трех плоскостей;
^б))существуют три плоскости, проходящие через одну точку,
но не проходящие через одну прямую;
в) существуют четыре плоскости, не проходящие через одну
__* точку;
( г) ^ерез всякие две пересекающиеся прямые проходит единст-
^увснная плоскость;
W
д) через прямую и ее принадлежащую ей точку проходит
единственная плоскость.
1131.	Сформулировать теорему, двойственную теореме Дезарга
по принципу двойственности в пространстве.
(ТЙ^>На чертеже ограниченных размеров заданы точка А и
парГ~прямых р и q, пересекающихся за пределами чертежа в
точке В (недоступной точке). Воспользовавшись теоремой Дезар-
га, пфщроить доступную часть прямой (ЛВ).
? Ц133/На чертеже ограниченных размеров заданы две пары пря-
I мых: Л;V, пересекающиеся в недоступной точке Л, н ut пересе-
кающиеся в недоступной точке В. Построить доступнуючасть пря-
мойДДВ).
ШШС помощью одной линейкн через данную точку Л прове-
сти прямую, параллельную двум заданным параллельным прямым
р и q (p=£q).
1135.	На-чертеже ограниченных размеров заданы две пары пря-
мых: р и </, щересекающиеся в недоступной точке Л, и и, и, пересе-
кающиеся в недоступной точке В; прямая (АВ) недоступна.
Построить часть Какой-либо прямой, проходящей через точку пересе-
чения прямой (ЛВ) с прямой /, заданной доступной ее частью (ко-
роче, найти точку пересечения доступной прямой с недоступной).
1136.	Даны параллелограмм, прямая т н точка Л. С помощью
одной линейки через точку Л провести прямую, параллельную пря-
мой т.
1137.	Трапеция Л BCD пересечена прямыми р н qt параллель-
ными основанию [ЛВ], р П (ЛИ) =* М, р f| (Л С) ~ В, q f| (BD) =
= N, q f| (BC) = Q. Доказать, что точка (MN) p (PQ) лежит на
прямой (ЛВ).
1138.	Треугольники ЛВС и
\	\д	\	DBC пересечены тремя парал-
\	X.	\	лельиыми прямыми р, qt г —
\ /	\	=(ЛЛ);рП(ЛВ)=М,рП(ЯВН
w	= ^П(ЛС) = N,q{\(DC)~Q
/\	(рис. 2). Доказать, что прямые
/	(МА0> (BQ), (ВС) принадлежат
/одному пучку.
.	\	----\	1139. Доказать, что еслн пря-
В\	\	\	6 мыс (ЛЛ'), (ВВ'), (СС'), соеди-
\Р у \> няющие вершины двух треуголь-
рис> 2.	ников ЛВС и Л'В'С', парал-
лельны и точки(ЛВ) р (А'В'),
(ВС) П (В'С'), (ЛС) П (Л'С') существуют, то эти точки лежат
иа одной прямой. Если (ЛВ) || (Л'В'), (ВС) (] (В'С') = At (ЛС) (]
П (А'С') = N, то (MN) || (ЛВ). Если же (ЛВ) || (Л'В'), (ВС) || (В'С'),
то (ЛС) || (А'С').
<	1140« На аффинной (или евклидовой) плоскости даны треуголь-
ник ЛВС и точка Е, не лежащая на прямых, содержащих стороны
этого треугольника. Проектируя вершины Л , В, С из точки В на
116
прямые (ВС), (АС), (АВ) соответственно, получим точки Аь Blt Сх.
Проектируя эти точки из той же точки Е на прямые (ВАХ '(AAi).
(А А) соответственно, получим точки А2, Ва, С2. Повторим эту
операцию для треугольника А2В2С2 и т. д.
Предполагая, что точки (АВ) П (А А) =» М, (ВС) Q (ВА) =
— /V, (СА) П AAi) ~ Р существуют, доказать, что
1) точки М, N, Р лежат на одной прямой;
2) прямые, содержащие одноименные стороны всех рассмотренных
треугольников, проходят через одну и туже точку.
$ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ,
1141.	Проективное отображение f : d -+d' прямой d на прямую
гГзаданосоответствующими реперами: (А, В, С) cz du (А', В', С')с
cz d'. Построить образ и прообраз точки D =d()df в отображенииf,
1142.	На расширенной плоскости даны две прямые "й и d'. Про-
ективное отображение f: d определено репер айн(А, В, С) cz d
я (А', В', С') cz d'< Построить образ несобственной точки £ d.
1143.	Проективное отображение ft P(O)->P(0f) пучка пря-
мых Р (0) на пучок прямых Р (О') задано соответствующими репе-
рами: (a, b, с) cz Р (0) и (а',	с') cz Р (О'). Построить образ и
прообраз прямой (00') в отображении Д
1144.	На прямой d задан проективный репер Р = (Ао, Аь £)
и три точки Ма (Ха) (а — 0, 1, 2; а = 0, 1) с координатами в репе-
ре р. На прямой d' также задан репер Р' = (Aq, Aj, £') и три точ-
ки Ма (уа) с координатами в репере Р',
В проективном отображении f: d-+d', Ma = f(Ma). Найти
координаты точки Mf ™ f (М) в репере-/?', если ее прообраз М С d
в репере р имеет координаты М (и®).
1145.	Проективное преобразование f прямой d задано реперами
Р =» (А, В, С) и f (Р) = (А', В', С'). Построить образ я прообраз
дайной точки М € d в преобразовании f,
1146.	Доказать, что композиция двух гиперболических про-
ективных преобразований прямой с общями инвариантными точка-
ми перестаяовочна.
, 1147, Доказать, что есля в проективном преобразовании f пря-
мой d три точки инвариантны, то f — тождественное преобразова-
ние прямой d.
1148.	Доказать, что есля в проектявяом преобразован я и / рас-
ширенной прямой d несобственная точка X^^d инвариантна, то
сужение f | кесть аффинное преобразование прямой d — 3 \ {Хм}.
1149« Доказать, что если в проективном отображении ft Р (О) -*•
-> Р (0f) пучка прямых Р (0) на пучок прямых Р (О') три пары
соответствующих прямых пересекаются в трех точках, лежащих на
одной прямой, то и любая пара соответствующих (различных) при-
нт
мых этих пучков пересекается в точке, лежащей на той же прямой,
т. е. отображение f — перспективное.
1150.	Доказать, что если в проективном отображении /: Р (0)~+d
пучка прямых Р (О) на прямую d $ Р (О) три прямые пучка Р (О)
проходят через соответствующие им точки прямой d, то и любая
прямая этого пучка проходит через соответствующую ей точку пря-
мой d, т. е. отображение f — перспективное.
1151.	Проективное отображение f : d Р (О) прямой d на пу-
чок прямых Р (О) задано соответствующими реперами (А, В, С) cz d
и (a, b, с) с~ Р (О). Построить прообраз данной прямой tn С Р (О).
Рассмотреть частный случай, когда О ~ Л, tn = d.
1152.	Проективное преобразование f : р (О) —> Р (О) пучка пря-
мых Р (О) задано реперами R = (а, &, с) и f (R) = (а', У, с'). По-
строить образ и прообраз данной прямой т £ Р (О) в преобразова-
нии f.
1153.	Даны три точки А, В, С, лежащие на прямой d, и три точ-
ки Aft B't С\ лежащие на прямой d' (df d) . Доказать, что точки
К = (ВС') П (В'С), L = (ЛС') 0 (А'О, М ^(АВ') f] И#В) ле-
жат на одной прямой (теорема Паппа).
1154.	Доказать, что если ’в проективном преобразовании f пло-
скости П инвариантны четыре точки общего положения, то f —
тождественное преобразование плоскости П.
1155.	Доказать, что если в проективном преобразовании f рас-
ширенной плоскости II несобственная прямая d^ cz П инвариант-
на, то сужение f |П есть аффинное преобразование плоскости П —
= П \
1156.	Проективное преобразование f плоскости задано тремя
инвариантными точками Л, В, С и парой соответствующих точек D
и £>' =s f fp). (Л, В, С, D —точки общего положения на плоско-
сти.) Построить образ данной произвольной точки 7И в данном пре-
образовании.
1157.	Проективное преобразование f плоскости задано двумя
инвариантными точками Л, В и двумя парами соответствующих
точек: С и Cf = f (С), D и Ь' = f (D), (А, В, С, D — точки общего
положения на плоскости.) Построить образ данной произвольной
точки М в данном преобразовании.
1158.	Написать формулы проективного преобразования f пря-
мой по трем парам соответствующих точек: Л и f (Л) — В, В и
I (В) -= СГС и / (С) « Л, если
1) А (2, 1), В (-2, 3), С (1,-1);
2) А (3, —1), В (—1, 1), С (—2, 3).
1159.	Написать формулы проективного преобразования f пло-
скости по координатам двух инвариантных точек М и N и двух
пар соответствующих точек А и А' = f (Л), В и В' = f (B)t если
М(0, 1,0), N (1, 0, 0), А (0, 0, 1), A’ (at 0, 1), В (0, b, 1),
В' (0, 0, 1).
<18
Глава IL
ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ
ПРОЕКТИВНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
§ 1. СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЕРКИ. ПОЛНЫЙ ЧЕТЫРЕХВЕРШИННИН
1160.	Доказать, что в упорядоченной четверке точек прямой
1) перестановка средних или крайних элементов одинаково изме*
няет сложное отношение этих точек;
2)	перестановка первого и третьего элементов или второго и чет*
вертого одинаково изменяет сложное отношение этих точек.
Как меняется сложное отношение четырех точек прямой прн их
круговой перестановке?
1161.	Доказать, что для пяти различных точек А, В, М, U, V
проективной прямой имеет место равенство:
(АВ, MV)~\ABt MU) (АВ, UV).
1162.	Сложное отношение четырех различных точек (АВ, CD) =*
— t. Найти значения сложных отношений всех четверок точек,
которые,можно составить из точек А, В, С, D.
4J6X JHa прямой даны три точки А, В, С. Построить на этой
прямшПгочку D, такую, что (АВ, CD) ~ 2.
1164.	Даны треугольник АВС, точка М и проходящая через
нее прямая т, пересекающая прямые (ВС), (СА), (АВ) соответст-
венно в точках Alf Вь СР Доказать равенство сложных отношений:
(Л4АЬ ВЛ) =- (m, (МД); (МВ), (МС)).
1165.	А, В, С, D —четыре точки аффинной прямой, точка С
лежит между точками А и В. Доказать, что,(АВ, CD) <0^(D не
лежит между А и В). (Пары точек А, В и С, D разделяют одна
другую.)
1166.	Вычислить сложное отношение четырех точек
А (1, 0, 1), В (1, 1, 3), С (2, 1, 4), D (0, 1, 2)
по их-проективным координатам на плоскости.
\Д167.Доказать, что точка D является четвертой гармонической
к упорядоченной тройке точек А, В, С одной прямой тогда нтолько
тогда, когда координаты (и°, и1) точки D в репере (А, В, С) удов-
летворяют условию:
— — и1.
1168. Доказать, что прямая а (1, 1, 1) пересекает стороны ко?
ордннатного треугольника проективного репера Я — (Ао, А1г А%, В)
в точках MY, таких, что (А«Др., E?MV)—; —1 (а, р, у ™ 0, 1, 2;
все.раз^чны). Построить*прямую а.
0169?)ЦокаЗ'ать, что середина С отрезка [АВ] и несобственная
119
точка DX) расширенной прямой (Л В) гармонически разделяют
кокцьижзезка [ЛВ].
Ш7(ОКаковы проективные координаты середины С отрезка
[ЛВГТТрепере А1 — (Л, В, D) на расширенной прямой (ЛВ)?
1171.	Доказать, что прямая (СМ), содержащая медиану [СМ]
треугольника ЛВС, и прямая (СХ), параллельная стороне [ЛВ],
гармонически разделяют прямые (СЛ) и (СВ), содержащие две дру-
гие стороны треугольника ЛВС.
1172.	Прямые а и b пересекаются в точке С, прямые с и d со-
держат биссектрисы углов, образованных прямыми а и Ь. Доказать,
что (abt cd) — —1.
1173.	Доказать, что прямые, содержащие биссектрисы внут-
реннего и внешнего угла С треугольника ЛВС, пересекают прямую
(АВ) ‘в точках, гармонически разделяющих вершины Л и В.
1174.	На проективной плоскости задан репер R — (Ло, Лъ Ла,£).
Точка Еа — проекция точки Е из вершины Ла на сторону (ЛрЛ?)
координатного треугольника Л0ЛхЛа (ос, р, у = 0, 1, 2; все различ-
ны). ДокаЗёггй, что три точки Mv — (ЕаЕ$) Q (ЛаЛр) лежат на
одной прямой d н являются четвёртыми гармоническими к тройкам
(Ла, Лр, By). Найти координаты прямой d в репере R.
1175.	Доказать, что прямые, содержащие диагонали паралле-
лограмма, гармонически разделяют прямые, проходящие через
центр параллелограмма параллельно его сторонам.
1175.	На аффинной (или евклидовой) плоскости П даны отре-
зок [ЛВ] и его середина С. Через данную точку М £ (ЛВ) провести
прямую, параллельную прямой (ЛВ), пользуясь только линейкой.
1177.	Даны две параллельные прямые (различные). Пользуясь
только линейкой, построить
1) середину отрезка, заданного на одной из данных прямых;
2) прямую, проходящую через данную точку и параллельную
данным прямым.
1178.	Доказать, что точка пересечения диагоналей трапеции,
точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины ее
оснований лежат на одной прямой.
$ 2. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
1179.	Доказать, что композиция двух параболических проек-
тивных преобразований прямой с общей инвариантной точкой есть
либо тождественное преобразование, либо параболическое преобра-
зование с той же инвариантной точкой.
1180.	Инволюция f на прямой d задана точками А, А' = f (Л),
В = f (В), (Л Л'). Построить образ данной точки М С d.
1181.	Пусть Л и В — две различные точки проективной прямой
Рх. Преобразование f: Рх -> Рх определено условиями: f (Л) = Л,
f (В) = В, и если М #= Л, М =#= В, то f (М) = М' [ (ЛВ, ММ') =
s= —1, Доказать, что f — гиперболическая инволюция.
120
1182.	На прямой даны две точки А и.В. Вля. каждой точки X
прямой, отличной отточек А и В, строится точка У, такая, что па-
раточек А, X разделяет пару точек В, Y гармонически. Доказать,
что отображение f данной прямой на себя по закону: } (X) — У,
f (А) — A, f (В) — В является проективным.
1183.	Рассмотрим пучок Р (О) прямых евклидовой плоскости —
модель проективной прямой Рл. Определим преобразование f пуч-
ка Р (О) условием: f(m) ± т, Ут £ В (О). Доказать, что f — эллип-
тическая инволюция на модели прямой Pt.
1184.	Выяснить тип инволюции:
Ху° = х° — 2хг,
Ху1 = Зх° — х1.
1185.	Вычислить координаты инвариантных точек инволюции:
у0 ~ х° + 2хг,
у1 = 4х° — х1.
1186.	Доказать, что композиция двух различных гиперболиче-
ских инволюций прямой перестановочна тогда и только тогда, ког-
да пары инвариантных точек этих инволюций гармонически разде-
ляют друг друга.
1187.	Построить два перспективных треугольника, для кото-
рых центр перспективы принадлежит оси перспективы.
1188.	Вычислить координаты неподвижных точек проективного
преобразован ня плоскости:
Ху° = х°,
Ху1 = х1,
Ху2 — х1 Д х3.
1189.	Гомология f задана центром S, осью $ н точками А и
А' — f (А). Построить
1)	точку f (В), где В — данная точка прямой (ДА');
2)	точку (Q, где С — данная точка;
3)	точку Р (Р), где D — данная точка.
1190.	Гомология f задана центром S, осью s и точками А и
А' = f (А). Построить образ и прообраз данной прямой d.
1191.	Гомология f задана центром S, осью s и точками А и А' —
~ f (А). На данной прямой р иайти точку X, образ которой лежит
на данной прямой q(q^f(p)).
1192.	Координатные треугольники АВС и А'В’С реперов
R = (А, В, С, S) и R' — (А', В', С*', S) на проективной плоскости
обладают центром перспективы S. Доказать, что проективное пре-
образование f плоскости, переводящее репер R в репер R', является
гомологией с центром S, осью которой служит ось перспективы
треугольников АВС и А'В'С’.
1193.	Гомология f задана тремя точками А, В, С, не лежащими
на одной прямой, и их образами А' = f (А), В' ~ f (В), Cr = f (С),
причем прямые (АА'), (ВВ'), (СС') проходят через одну и ту же
j	/	/ Ш
точку S. На данной прямой р найти точку Xf образ которой лежит
на данной прямой q (q^f (р)).
1194.	На расширенной плоскости родственное преобразование f
задано парой родственных треугольников (т. е. соответствующих
в преобразовании /) и даны две прямые р nq f (р). На прямой р
найти точку X | f (X) £ q.
1195.	На расширенной плоскости даны два преобразования род-
ства Л и Д с общим направлением родства и различными осями.
Найти прямую х, такую» что f\ (X) —	(X) для VX £ х.
1196.	На проективной плоскости задан репер— (Ло, Л{, Ла, Е).
Точка Еа — проекция точки Е из вершины Аа на сторону (Л^Лу)
координатного треугольника Л0Л1Л2 (а, [лу = 0, 1, 2; все различ-
ны). Доказать, что точка — (ЕаЕ$) f| (ЛаЛ$) имеет одинако-
вые координаты относительно реперов R и R' .= (Ео, Elt Е2, Е).
1197.	Гомология f задана центром S, осью s и точками Л и Л' =
— f (Л) на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s —
собственные. Построить прообразы двух данных параллельных
примых р н q.
1198.	Построить образы двух данных параллельных прямых
в заданном родственном преобразовании расширенной плоскости.
1199.	Гомология f задана центром S, осью s и точками Л и Л' =
«= f (Л) на расширенной плоскости. Заданные точки и прямая s —
собственные. Построить образ и прообраз несобственной прямой.
1200.	Неособая гомология f называется гармонической (или
инволютивной), если
(ЯЛ», ДА') =-1,	(*).
где S — центр, s — ось гомологии; Л' == f (Л); Л, А' £ а, Ло =
= (Л Л') Q s. Доказать, что:
1)	. гармоническую гомологию f можно задать осью s и парой
соответствующих точек Л, А', из которых ни одна не лежит на
прямой s н выполняется условие (*);
2)	если в гомологии f равенство (*) выполняется для одной
пары точек Л, Л' = f (Л), то оно справедливо и для любой пары
различных точек М, М* ~ f (М);
3)	гармоническая гомология — единственное инволютивное
проективное преобразование плоскости.
1201. Центр инволютивной гомологии имеет координаты
(1. 1, 1). а ось гомологии — уравнение Xе + х1 + Xs = 0. Написать
формулы преобразования.
1202. Построить образ данного ивадрата
1) в данной гомологии;
2) в заданном родственном преобразовании на расширенной
евклидовой плоскости.
1203.	На расширенной евклидовой плоскости задана гомология
f с собственным центром и собственной осью и окружность. При
каком условии образом данной окружности в гомологии f будет
эллипс (гипербола, парабола)?
122
1204.	На расширенной плос-	7
кости гомологию с собственным	' к
центром и собственной осью за-
дать так, чтобы образом данно-	/1\\Ьг^
го эллипса была парабола (ги- .
пер бол а, эллипс).
1205.	На расширенной плос-	—ш
кости гомологию задать так,
чтобы	/р
1) образом данной параболы	/	I	\
была гипербола;	L	|ц	w
2) образом данной гиперболы	н
была парабола.	Рис- 3
1206. Из точек 5 и Т проведены прямые, точки пересечения
которых являются вершинами четырехугольников (рис. 3). Доказать,
что:
1) точки Л, В, С, ... лежат на одной прямой, проходящей через
точку 5; на этой же прямой лежит точка пересечения диагоналей
четырехугольника, вершинами которого служат точки m f) р,
П р* П Пл;
2) точки В, В, D, ... лежат на одной прямой, проходящей через
точку Т\ на этой же прямой лежит точка пересечения диагоналей
четырехугольника с вершинами и f| w, и П и П п* v П
£ 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ
ПЛОСКОСТИ
1207. На расширенной плоскости П кривая второго порядка Q
задана уравнением аа^хах^ =0 (а, р = О, 1,2) относительно репе-
ра R — (Ла, А, Л8, £). Доказать, что собственные точки кривой
Q составляют обычную кривую второго порядка на аффинной пло-
ское™ П.
1203. Доказать теорему:
если ABCD — полный четырехвершинник с вершинами на
овальной кривой второго порядка, то каждая его диагональная
точка является полюсом противолежащей диагонали.
1209. Даны овальная кривая второго порядка Q и точка Л4«
Построить поляру точки М, если:
1)	44 — внешняя точка относительно Q;
2)	44 — внутренняя точка относительно Q;
3)	М € Q,
1210.	Построить полюс данной прямой d относительно данной
овальной кривой второго порядка Q.
1211.	Из данной точки М евклидовой плоскости провести каса-
тельную к данной окружности Q с помощью одной линейкн,
1212.	Прямая d не имеет общих точек с окружностью Q. Прямая,
соединяющая точки касания касательных, проведенных из точки
А С d к окружности Q, пересекает прямую d в точке В. Доказать^
123
что прямая, соединяющая точки касания касательных, проведенных
из точки В к окружности Q, проходит через точку А.п
1213.	Прямая d не имеет общих точек с окружностью Q. До-
казать, что прямые, соединяющие точки касания касательных,
проведенных из любой точки М € d к окружности Q, проходят
через одну и ту же точку.
1214.	Точка А—внутренняя относительно окружности Q с
центром О, А Ф О. Через точку А проведены всевозможные хорды.
Доказать, что точки пересечения касательных к окружности Q
в концах каждой хорды лежат на одной прямой, перпендикуляр-
ной к прямой (Л О).
1215.	Точка А —внешняя относительно окружности Q с цент-
ром О. Через точку А проведены всевозможные секущие к окруж-
ности Q, отличные от прямой (ЛО). Доказать, что точки пересе-
чения касательных к окружности Q в точках ее пересечения с каж-
дой сскущейлежат на одной прямой, перпендикулярной к прямой
(ЛО).
1216.	Через точку Л, не лежащую на окружности Q, проведены
прямые	1, 2, ...» п; п 2), пересекающие окружность Q
в точках : dL f] Q == {М/, A^}. Доказать, что если точки
Рг; = П	QtJ - (М,М7) П (W а ф j) сущест-
вуют, то все они лежат на одной прямой.
1217.	В окружности Q проведены параллельные хорды и в их
концах — касательные к окружности. Доказать, что точки пересе-
чения касательных в концах каждой из хорд лежат на одной пря-
мой, перпендикулярной этим хордам и проходящей через центр ок-
ружности Q.
1218.	Через внутреннюю точку С круга проведены три хорды
[ЛЛ'1, [ВВ'1 и (МАП. Точка С является серединой хорды [МАЧ,
которая пересекает отрезки [АВ] и [А'В'] в точках Р и Q. Доказать,
что точка С — середина отрезка [PQ1.
1219.	Доказать, что каждая из двух овальных кривых второго
порядка, касающихся друг друга в двух точках, может быть пере-
ведена в другую гомологией.
1220.	Две овальные кривые второго порядка касаются в точках
А и В. Касательная к одной из кривых в точке С пересекает другую
кривую в точках Р и Q, а прямую (ЛВ) в точке D, Доказать, что
пара точек Р и Q гармонически разделяет пару точек С, D.
1221.	В точку Л круглой арены поставлен мяч. В каком на-
правлении следует его послать, чтобы, дважды отразившись от
барьера арены, он вернулся в точку Л?
1222,	.Овз^ьная кривая второго З1орядка_гздана^пять1о своими
точками. Построить--—-
1) касательную в одной из данных точек:
2) еще одну точку кривой;
^^касательную в построенной точке.
1223. Овальная кривая второго порядка^жиа . четырьмя
своими точками и касательной й Ъдной нз них. Построить:
<24
1) касательную в одной из данных точек; •
2) еще одну точку крнвои.
1224.	Овальная кривая второго порядка задана тремя своими
точками и касательными в двух из них. Построить:
1)	касательную в третьей точке; '
1	2) еще одну точку кривой.
1225.	Овальная кривая второго порядка задана пятью каса-
тельными к ней. Построить:
1)	еще одну касательную;
2)	точку данной кривой.
1226.	Овальная кривая второго порядка задана четырьмя ка-
сательными к ней и точкой касания одной из них. Построить: ,
1)	еще одну касательную;
2)	еще одну точку данной кривой.
1227.	Овальная кривая второго порядка задана тремя каса-
тельными к ней и точками касания двух из ннх. Построить?
1)	еще одну касательную;
2)	еще одну точку данной кривой.	г
1228.	Прямые (АВ) и (CD) — сопряженные диаметры эллипса
Q; А, В, С, D С Q. Построить:
1)	еще одну точку эллипса Q;
2)	касательную к эллипсу Q в найденной точке.
1229.	Доказать, что если две различные кривые второго поряд-
ка имеют три общие точки и общую касательную н одной из них, *
то других общих точек они не имеют.
1230.	Доказать теорему:
если треугольник описан около окружности, то прямые, соеди-
няющие вершины треугольника с точками касания противополож-
ных сторон, проходят через одну точку.
1231.	Доказать теорему:
если на расширенной евклидовой плоскости дан треугольник,
вписанный в окружность, то точки пересечения прямых, соединяю-
щих стороны треугольника с касательными в противоположных
вершинах, лежат на одной прямой.
1232.	Дан параллелограмм ABCD. Из данной точки М С (ЛВ)
провести касательную к эллипсу, вписанному в параллелограмм
A BCD и касающемуся его сторон в их серединах (изображение
эллипса не задано).
1233.	Дан параллелограмм A BCD. Через середину отрезка [АВ]
проведена прямая т. Найти точки пересечения этой прямой с эл-
липсом, вписанным в параллелограмм ABCD и касающимся его
сторон в их серединах (изображение эллипса не задано).
1234.	Даны окружность Q и ее центр О . Через данную точку Р
провести, прямую, параллельную данной прямой /, пользуясь толь-
ко линейкой.
1235.	Даны окружность Q и ее центр О. Через данную точку Р
провести прямую, перпендикулярную данной прямой /, пользуясь
только линейкой.
125
1236.	Даны шесть точек овальной кривой второго порядка.
Сколько существует прямых Паскаля для шестивершинников, вер-
шинами которого являются данные точки?
1237.	Даны шесть касательных к овальной кривой второго по-
рядка. Сколько существует точек Брианшоиа для шестисторонни-
ка, сторонами которого являются данные прямые?
1238.	Дан шестиугольник, у которого противоположные сторо-
ны попарно параллельны. Доказать, что прямые, проходящие
через середины противоположных сторон шестиугольника, принад-
лежат одному пучку.
1239.	В овальную кривую второго’ порядка вписаны два тре-
угольника без общих вершин. Доказать, что шесть прямых, которым
принадлежат их стороны, касаются одной кривой второго
порядка.
1240.	Доказать, что шесть вершии двух треугольников, описан-
ных около овальной кривой второго порядка и не имеющих общих
сторон, принадлежат одной кривой второго порядка.
1241.	. Даны две пятерки точек* Д, В, С, L, М и А, В, С, Р,
определяющие две овальные кривые второго порядка, которые в
общих точках не имеют общих касательных. Построить четвертую
общую точку этих кривых.
5 4. ПРОЕКТИВНЫЕ МОДЕЛИ АФФИННОЙ
И ЕВКЛИДОВОЙ ПЛОСКОСТЕЙ
1242.	Как истолковать асимптоты гиперболы на расширенной
плоскости?
1243.	Даны две асимптоты гиперболы и одна ее точка. По-
строить:
1)	касательную к гиперболе в данной точке;
2)	еще одну точку гиперболы.
1244.	Даны две асимптоты гиперболы и касательная к ней.
Построить:
1) точку гиперболы;
2) еще одну касательную к гиперболе.
1245* Даны три точки гиперболы и две прямые, имеющие асимп-
тотические направления. Построить центр гиперболы.
1246.	Даны центр гиперболы, ее асимптота, точка и касатель-
ная к гиперболе в этой точке. Построить вторую асимптоту гипер-
болы.
1247.	Доказать, что никакие две касательные параболы не па-
раллельны.
1248.	Даны четыре касательных к параболе. Построить:
1)	точку этой параболы;
2)	еще одну касательную к параболе.
1249.	Даны четыре касательных к параболе. Построить один нз
ее диаметров.	 • 
126
1250.	Даны три точки параболы и ее диаметр. Построить еще
одну точку параболы щ касательную к параболе в этой точке.
1251.	Доказать, что через четыре точки аффинной плоскости
можно провести не более двух парабол.
1252.	На проективной модели аффинной плоскости дан отрезок
[ЛВ]. На прямой (ЛВ) построить точки С, D, такие, чтобы точ-
ка В была серединой отрезка [ЛС1, точка С была серединой от-
резка [BD] и т. д.
1253.	На проективной модели евклидовой плоскости построить
па прямой (MN) единичный отрезок [K,L]t если точка /С € (MN)
задана1.
1254.	На проективной модели евклидовой плоскости даиы пря-
мая d и точка Л. Через точку Л провести прямую aid.
1255.	На проективной модели евклидовой плоскости даиы две
параллельные прямые. Построить отрезки с концами на данных пря-
мых, удовлетворяющие двум условиям:
1) каждый из отрезков перпендикулярен данным прямым;
2) расстояние между каждыми двумя отрезками одно и то же.
1256.	На проективной модели евклидовой плоскости построить
биссектрису данного угла.
1257.	На проективной модели евклидовой плоскости построить
квадрат с данной стороной l/VLVj,
1258.	На проективной модели евклидовой плоскости иа дан-
ной прямой I отложить данный отрезок ШАЛ L
1259.	Дать проективное истолкование осевой симметрии.
Глава III.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОСТРОЕНИЯ
НА ЕВКЛИДОВОЙ
ПЛОСКОСТИ
§ 1.	МЕТОД ПЕРЕСЕЧЕНИЙ
1260.	Построить окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и касающуюся данной прямой.
1261.	Даны две окружности. Построить такую точку, чтобы
угол между проведенными через нее касательными к одной окруж-
ности был равен а, а к другой — р.
1262.	Построить окружность по трем заданным ее касательным.
1 На проективной модели евклидовой плоскости несобственная прямая
и единичная окружность Q предполагаются заданными.
127
1263-	Построить треугольник по основанию а, углу при верши-
не А и высоте hat выходящей из этой вершины.
1264.	Построить треугольник по периметру 2р, углу при вер-
шине А н высоте ha, выходящей из этой вершины.
1265.	Построить треугольник по основанию а, углу при верши-
не Л и радиусу г вписанной окружности.
1266.	Внутри треугольника АВС найти точку, из которой сто
роны треугольника видны под конгруэнтными углами (точка Тори-
челли).
1267.	Построить треугольник по основанию а, углу при верши-
не Л и точке D пересечения основания с биссектрисой внутреннего
угла при вершине Л.
1268.	Построить треугольник по основанию а, углу прн верши-
не Л и медиане ть, проведенной к боковой стороне.
1269.	Построить треугольник по основанию а, углу при верши-
не Л и отношению боковых сторон: |Ь| : |с| ==> т : п, где т и п — дли-
ны заданных отрезков.
1270.	Построить треугольник по основанию а, высоте йй, про
веденной к основанию, и точке D пересечения биссектрисы угла
при вершине с основанием.
1271.	Построить треугольник ЛВС, зная углы при вершинах
В и С и медиану та стороны (ВСЕ
1272.	Построить треугольник по основанию и точкам пересече-
ния основания с биссектрисой н высотой.
1273.	Построить параллелограмм по его сторонам и отношению
диагоналей.
1274.	Построить параллелограмм по его диагоналям и отношению
сторон.
1275.	Через точку Л, лежащую внутри окружности S, провести
хорду, которая при пересечении с данной хордой [А В] этой окруж-
ности делится пополам.
1276.	Построить треугольник, если даны основание а, угол при
вершине Л и |Ьр — | ср = f ml2, где т — данный отрезок.
1277.	Построить треугольник, зная основание а, высоту ha,
проведенную к основанию, и | &|3 — |ср = |ml2, где т — данный
отрезок.
1278.	Через данную точку А провести данным радиусом г ок-
ружность так, чтобы касательная к ней из данной точки В имела
данную длину I.
1279.	Построить окружность, делящую данную окружность
(О, /?) пополам и касающуюся данной прямой в данной на ней
точке,
1280.	Построить треугольник АВС по радиусу R описанной
окружности, углу при вершине А н | &р + | ср = | /|2, где I — дан-
ный отрезок.	I
1281.	Дана окружность н точка на ней. Провести хорду данной
ш
длины I так, чтобы сумма (или разность) квадратов расстояний от
концов ее до данной точки была равна квадрату длины данного
отрезка [PQL
б 2. МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1282.	Построить трапецию по диагоналям н основаниям.
1283.	Построить трапецию по высоте, средней линнн, верхне-
му основанию н углу между диагоналями.
1284.	Построить треугольник, зная три его медианы.
1285.	Построить трапецию по четырем сторонам.
1286.	Даны точки Д, В и прямая (CD). Построить точку X €
С (CD) так, чтобы разность АХС — BXD была заданной.
1287.	Построить треугольник АВС по основанию а, углу при
вершине В н разности (нли сумме) боковых сторон.
1288.	Дан угол и внутри его — точка Р. Построить треуголь^
ник. наименьшего периметра такой, чтобы одна его вершина совпа-
дала с точкой Pi а две другие лежали (по одной) на сторонах дан-
ного угла.
1289.	Дан угол н внутри его — две точки А и В. Построить ло-
маную из трех звеньев, имеющую наименьшую длину и такую,
чтобы ее концами были точки А и В, а две промежуточные вершины
лежали (по одной) на сторонах данного угла,
1290.	Даны точки Д, В и прямая d. Построить угол с вершиной
на прямой dt одна из сторон которого проходит через точку
Д, другая — через точку В и биссектриса которого лежит на пря-
мой d.
1291.	Даны две концентрические окружности и точка А. Найти
иа данных окружностях по точке X и Г так, чтобы LXFJ и Z. XAY
были данной величины.
1292.	Через точку А пересечения двух данных окружностей
провести секущую так, чтобы хорды [Д В] и [ДС1 удовлетворяли
условию: |ДВ| — |ДС| = |а|, где а — данный отрезок.
1293.	Даны две концентрические окружности с центром в точ-
ке О. Провести луч [ОХ) так, чтобы отрезок, высекаемый на этом
луче данными окружностями, был виден нз данной точки Д под
данным углом а.
1294.	Даны две концентрические окружности и точка. По-
строить окружность, проходящую через эту точку и касающуюся
данных окружностей.
1295.	В данную окружность вписать квадрат так, чтобы
прямая,’ содержащая одну из его сторон, проходила через данную
точку.
1296.	Построить треугольник по двум углам при основании и
сумме высоты с основанием.
5 Зака» 3412	129
1297.	В треугольник ЛЖГ вписать квадрат так, чтобы две его
вершины лежали на основании треугольника, а две другие — на
боковых сторонах.
1298.	Дан угол и внутри его — окружность. Построить окруж-
ность, касающуюся сторон: угла и данной окружности.
1299.	Даны две прямые и точка Д* не лежащая на какой-либо
из этих прямых. Провести через эту точку прямую так, чтобы —
' Гу, где М к N — точки пересечения построенной прямой е дан-
ными, tn и а — данные отрезки.
1300.	Построить треугольник АВС по углу при вершине Л,
радиусу г вписанной окружности и отношению боковых сторон
| fri: j 4 — I | : | /г I, где m и n —данные отрезки.
1301.	Построить треугольник по двум углам и сумме высоты,
медианы и биссектрисы, проведенных из третьей вершины.
1302.	Построить треугольник по отношению трех сторон и од-
ной из медиан.
1303.	Построить треугольник по двум углам и сумме противо-
лежащих сторон.
1304.	Построить треугольник по трем его высотам.
1305.	Выданный сегмент вписать: 1) квадрат, 2) прямоугольник с
данным отношением сторон.	.g
1306.	Построить окружность^ касающуюся данной окружности
и сторон вписанного в нее угла?
1307.	В данный сектор вписать: I) квадрат, 2) прямоугольник с
данным отношением сторон, ц
1308.	Даны три прямые* принадлежащие одному пучку* к точ-
ка, не принадлежащая ни одной из них. Через данную точку про-
вести прямую так, чтобы кз трех ее точек пересечения с данными
прямыми одна делила отрезок с концами в двух других точках
пополам.
1309.	В данный треугольник вписать две окружности равных
радиусон так, чтобы они касались друг друга и чтобы каждая из
них касалась двух сторон-треугольника.,
1310.	Построить параллелограмм по сторонам, и углу между
диагоналями.
1311.	В данную окружность вписать треугольник, стороны
которого параллельны сторонам данного треугольника.
1312.	Построить окружность, проходящую через данную точку
и касающуюся двух данных прямых.
1313.	Через две данные точки провести две параллельные пря-
мые так. чтобы они пересекали данную прямую в точках, расстоя-
ние между которыми задано.
130
§ 3.	АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД
1314, Через данные точки А и В провести окружность, отсе^'
кающую на данной прямой d хорду, конгруэнтную данному от-
резку.
1315. Зная площадь треугольника и его периметр, построить
окружность, конгруэнтную окружности, вписанной в треугольник.
1316. Внутри треугольника АВС дана точка D, Провести через
нее прямую, которая рассекает треугольник на две равновеликие
фигуры.
1317» Построить отрезок длины х = pz abed, где a, b, с, d — дли-
ны данных отрезков.
1318.	Построить отрезок длины х =------------, где а, Ь, с
длины данных отрезков.
1319.	Построить отрезок длцны х ~	где а, Ь, с — дли-
ны данных отрезков.
1320.	Построить отрезок длины х =----, где a, b, с, d — дли-
сЫ
ны данных отрезков.
1321.	Дана окружность и точка А вне нее. Через точку А про-
вести секущую так, чтобы ее внешняя часть была вдвое больше
внутренней.
1322.	Построить три попарно касающиеся окружности с цент-
рами в вершинах данного треугольника.
1323. Через данную точку провести секущую к данной
ности так, чтобы полученная, хорда вмела длину
а ж Ъ — длины данных отрезков.
1324.	Построить параллелограмм но его сторонам, если сторо-
окруж-
где
ны параллелограмма пропорциональны его диагоналям.
1325.	Через середину боковой стороны трапеции провести
прямую, рассекающую трапецию на равновеликие, четырехуголь-
ники.
1326.	Через две данные точки провести окружность, касающую-
ся - данной прямой.
1327.	Построить правильный пятиугольник ®о заданной его
диагонали.
1328.	Через точку/ принадлежащую сторож треугольника,
провести прямую так, чтобы она .рассекала треугольникна две
равновеликие фигуры.
1329.	Прямой, параллельной стороне прямоугольника, рассечь
его на подобные друг другу прямоугольники,
5*
131
1330.	Через точку, лежащую внутри прямогоугла, провести
прямую так» чтобы точки ее пересечения со сторонами угла нахо-
дились на наименьшем возможном расстоянии.	'
§ 4.	РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
1331* Даны две концентрические окружности. Построить квад-
рат A BCD так, чтобы вершины А и В принадлежали одной окруж-
ности, а вершины С и D — другой.
1332.	В данную окружность вписать прямоугольный треуголь-
ник так, чтобы катет был конгруэнтен данному отрезку и лежал
на прямой, проходящей через данную точку.
1333.	Построить прямую Данного направления, на которой две
данные окружности, высекают отрезок, конгруэнтный данному.
1334.	Построить треугольник ЛВС, зная угол прн вершине В
и медианы та и те,
1335.	Построить трапецию по диагоналям и боковым сторонам.
1336.	Около данной окружности описать ромб по заданной его
стороне.
’1337. В данный круговой сектор вписать окружность.
1338.	Построить окружность, касающуюся двух данных пря-
мых и данной окружности.
1339.	Через данную точку провести окружность, пересекающую
каждую из двух данных окружностей в диаметрально противо-
положных точках.
1340.	Построить квадрат по четырем точкам, принадлежащим
его сторонам или их продолжениям.
1341.	В треугольнике ЛВС провести (DE} параллельно (ВС)
так, чтобы LAD] (ВС1 (D € [ЛВ1, В € 1ЛС1)-
: 1342. Дана окружность и на ней три точки В, М, Построить
треугольник, вписанный в данную окружность, для которого три
данные точки служили бы точками пересечения с окружностью
прямых, содержащих соответственно биссектрису, медиану и высо-
ту, проведенных из одной вершины треугольника.
1343.	Построить две конгруэнтные окружности с центрами
в данных точках Л и В так, чтобы общая к ним касательная каса-
лась данной окружности.
1344.	Построить треугольник ЛВС по основанию й, углу при
вершине А и радиусу га вневписанной окружности, касающейся
основания.
1345.	На диаметре окружности (О, R) по разные стороны от
центра даны точки А и В. Найти на окружности точку М, такую,
чтобы луч (МО) был биссектрисой угла Л МВ.
1346.	Провести к данной окружности касательную под данным
углом к дайной прямой.
1347.	Построить окружность данного радиуса, касателы1ую к
двум данный окружностям.
1348.	Даны точки С и D по разные стороны ст данной прямой
(МАГ). Построить точку X € (ММ), такую, чтобы (MN) содержала
биссектрису угла CXD.
1349.	Построить окружность, которая видна из двух данных
точек А и В под данными углами аир, так, чтобы центр ее нахо-
дился на данной прямой d.
1350.	К данной окружности провести касательную так, чтобы
в пересечении с двумя данными концентрическими окружностями
получились две хорды, разность которых известна.
1351.	Даны точки Д, В, С. Провести через точку Л окружность
так, чтобы одна из точек В и С была видна под данными углами.
1352.	Построить окружность, ортогональную к трем данным
окружностям.
1353.	Через две данные точки провести окружность, ортогональ-
ную к данной окружности.	.
1354.	Даны две окружности (OJ и (О2) и точка Л. Построить
треугольник, подобный данному, так, чтобы одной еГо вершиной
служила точка А, а две другие вершнйы лежали (по одной) на дан-
ных окружностях.
1355.	Даны угол ЛВС н внутри его точка Af. Найти точ-
ку X € (ВС), равноотстоящую от (ВЛ) и точки М.
Г л ава IV.
МЕТОДЫ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
11. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
1356.	Построить изображения правильного треугольника, пра-
вильной треугольной пирамиды, правильной шестиугольны) приз-
мы в параллельной проекции.
1357.	Построить, изображения квадрата, куба, правильной
восьмиугольной пирамиды в параллельной7 проекции.
1358.	В параллельной проекции построить изображение пра-
вильного пятиугольника.	;
1359.	Какая фигура может служить изображением в параллель-
ной проекций равнобочной трапеции, длины оснований которой от-
носятся как 2 : 3?
1366.	Дано изображение окружности в параллельной Проекции.
Построить изображения:
1) впйсаййого в нее правильного треугольника;
2) описанного около нее правильного треугольника.
136L Построить изображение правильной треугольной приз-
133
мы, вписанной в. цилиндр (описанной около цилиндра) и ортого-
нальной проекции.
1362.	Через данную точку провести касательную к данному
эллипсу.
1363.	Дано изображение окружности в параллельной' проекции.
Построить изображение вписанного в нее правильного шестиуголь-
ника.
1364.	Дано изображение окружности в параллельной проекции.
Построить изображения- квадрата и правильного восьмиугольника,
вписанных, в эту окружность..
1365.	Дано изображение окружности в параллельной проекции.
Построить изображения квадрата и правильного восьмиугольника,
описанных около этой окружности..
1366.	В параллельной проекции построить изображение пра-
вильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус (описан-
ной около конуса^.
1367.	Построить в ортогональной проекции изображение пря-
моугольного параллелепипеда, вписанного, в цилиндр.
1368.	Построить эллипс Q, заданный его сопряженными диамет-
рами L4£] и [CD]1.
1369.	Эллипс Q, заданный парой сопряженных диаметров [АВ]
и [CD], является изображением окружности Q' в параллельной
проекции. Построить изображение правильного /г-угольника
(п — 3, 4, 5), вписанного в окружность Q'.
1370.	Эллипс Q задан его осями LAft] и [CD]. Построить какую-
нибудь точку этого эллипса и касательную к эллипсу в этой точке.
1371.	Эллипс Q задан парой' сопряженных диаметров [АВ] и
[CD]. Построить еще одну пару сопряженных диаметров эллипса Q,
не вычерчивая его.
1372.	Дано родственное преобразование плоскости. Построить
прямые, проходящие-через данную точку и принадлежащие главным
направлениям этого преобразования.
1373.	Эллипс Q задан; парой сопряженных диаметров LW1 н
[CDL Построить оси- этого эллипса, не вычерчивая его.
1374.	Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
Построить изображение окружности, вписанной в этот квадрат.
1375.	Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
Построить изображение окружности, описанной около этого квад-
рата.
1376.	В параллельной проекции дано изображение квадрата
А'2Г(7Ж. Построить изображение какого-либо квадрата, стороны
которого касаются окружности, описанной оноло квадрата
A'B'C'D'.
№71 Изображение <? окружности Q* в параллельной проекции
задано изображениями [АВ] и [CD] ее перпендикулярных диамет-
1 В подобных задачах предполагается построение нескольких точек эллицса,
позволяющих с нужной точностью вычертить этот эллипс от руки.
134
ров. Дапо также изображение / прямой Г, не проходящей через
центр окружности Q" и пересекающей ее в точках М\ JV*. Построить
изображения /И и АГ этих точек.
1378.	Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
Через данную точку плоскости изображений провести касательные
к изображению окружности, вписанной в квадрат.
1379.	Дано изображение равнобедренного прямоугольного тре-
угольника в параллельной проекции. Построить изображение
описанной около него окружности.
1380.	В параллельной проекции построить изображение ци-
линдра, вписанного в конус так, что нижнее основание цилиндра
принадлежит основанию конуса, а окружность верхнего основания
цилиндра принадлежит боковой поверхности конуса.
1381.	Построить изображение правильной треугольной пира-
миды, вписанной в шар, если плоскость ее основания проходит
(не проходит) через центр шара1.
1382.	Построить изображение правильной четырехугольной
призмы, вписанной в шар.
1383.	Построить изображение цилиндра, описанного около
шара.
1384.	‘Построить изображение правильной треугольной призмы,
описанной около шара.
1385.	Дано изображение шара и его экватора. Построить изо-
бражения двух его меридианов, плоскости которых взаимно пер-
пендикулярны.
§ 2. АКСОНОМЕТРИЯ
1386* Построить изображение правильного тетраэдра в парал-
лельной проекции.
1387.	В параллельной проекции построить изображение пра-
вильной треугольной призмы, боковое ребро которой конгруэнтно
стороне основания.
1388.	Построить изображение куба, вписанного в шар.
1389.	Построить изображение правильного тетраэдра, описан-
ного около шара.
1390.	В параллельной проекции дано изображение аффинного
репера. Плоскость 1Т задана аксонометрическими проекциями
Р трех ее точек и их вторичными проекциями М3, Р3
(М3 $ (Л/9Р9)). Прямая Г, пересекающая плоскость IT, задана ее
аксонометрической проекцией I а вторичной проекцией /8. По-
строить аксонометрическую н вторичную проекции точки X' ~
== П' П
1391.	На плоскости изображений заданы аксонометрические
проекции точек А*, Сь (Аь g (BV)) и их вторичные проекции
на одну из координатных плоскостей, а также аксонометрические
Х В задачах, связанных с изображением Шара, предполагается изображе-
ние в ортогональной проекции на плоскость, проходящую через центр шара.
135
проекции пересекающихся прямых F,  mf й их вторичные проекции
на ту же координатную плоскость. Построить изображение линии
пересечения плоскости (А'В'С) с плоскостью, определяемой пря-
мыми Гит'.
1392.	В параллельной проекции дано изображение
(О, Л1, Л3, Л3) рртонормнрованного репера Rr = (О', Лэ).
Плоскость П' задана се следами на координатных плоскостях репе-
ра Построить изображение перпендикуляра, опущенного из
точки О' на плоскость 1Г.
1393.	В параллельной проекции дано изображение прямоуголь-
ного параллелепипеда A'B'C'D'A'iB'iCiD'^ измерения которого
относятся как 1 :2 : 3, и плоскости, пересекающей ребра парал-
лелепипеда, выходящие из вершины С'; в точках	Р'. По-
строить изображение перпендикуляра, опущенного източки А\ на
плоскость (M'N'P').
1394.	Пусть R’ — (О', Л !, А'2, Лз) — ортон.ормнрованный ре-
пер, S —плоскость. изображений^ О'$ 2, А1 = (О'Лг-) р 2,
(i 1,2,3), (ОДД —трн различные аксонометрические оси в
ортогональной проекции. Треугольник AiA2As называется треуголь-
ником следов. Доказать:
а)	аксонометрические осн направлены но высотам треугольни-
ка следов (от основания к вершине);
6)	треугольник следов всегда остроугольный; любой остроуголь-
ный треугольник может быть принят7 за треугольник следов;
в)	аксонометрические оси составляют друг с другом тупые уг-
лы; если треугольник следов еще не зафиксирован, то любые трн
луча, исходящие нз одной точки О й составляющие попарно тупые
углы, могут быть взяты в качестве аксонометрических осей;
г)	по заданным аксонометрическим осям можно найти длины
отрезков ех> еу, (коэффициенты искажения по осям); обратно,
если даны отношения коэффициентов искажения, то могут быть
вычислены углы между аксонометрическими осями.
1395. Доказать, что
а)	в ортогональной изометрической проекции коэффициенты
искажения ех = . = ez ~	0,82; хОу ~ xOz = ydz == 120°;
б)	в ортогональной днметрической проекции
е = е _ HjL 0,94; е ez =‘lJL ~ 0,47;
з	*23
у& ^97ПГ; хОу = хбг 131 °25'.
1395. Построить изображение шара, вписанного в куб.
1397.	Доказать, что в ортогональной проекции аксонометриче-
ские оси направлены по биссектрисам углов треугольника,^стороны
которого пропорциональны квадратам коэффициентов искажения
по осям (теорема Вейсбаха).
136
1398.	Построить > изображение ортонормированного репера в
ортогональной, диметрической проекции, пользуясь теоремой Вейс-
Саха.
S3. ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1399.	Дано изображение куба в параллельной проекции: По-
строить изображение сечения этого куба плоскостью, проходящей
через точки Mr, М', Р\ такие, что точки ЛГ й лежат в боко-
вых гранях куба, а точка Р' — на продолжении одного из боковых
ребер.
1400.	Дано изображение правильной четырёхугольной пирами-
ды в параллельной проекции. Построить изображениё сечейия этой
пирамиды плоскостью, проходящей через точки M'-t N', P't такие,
что точка М' лежит на одном из боковых ребер пирамиды, а точки
N' и Р' — в ее боковых гранях.
1401.	В параллельной проекции дано изображение цилиндра
F’ и плоскости П', заданной тремя точками ца образующих цилинд-
ра. Построить изображение сечеиия цилиндра Ff плоскостью П\
1402.	В параллельной проекции дано изображение конуса F'
и плоскости П', заданной следом на плоскости основания конуса и
точкой иа его боковой поверхности. Построить изображение сечения
конуса F' плоскостью П'.
1403.	В параллельной проекции дано изображение конуса F’
с вершиной S' и окружностью Основания Qf . Секущая плоскость П'
задана точкой М’ на боковой поверхности конуса и следом af на
плоскости основания конуса, пересекающим окружность Qi в двух
точках. Установить вид кривой, по которой плоскость IT пересе-
кает боковую поверхность конуса F', не строя сечения.
1404.	В параллельной проекции дано изображение конуса с
вершиной S', секущей плоскости П', определяемой следом «' па
плоскости основания конуса, и точкой ЛГ на его боковой поверх-
ности, и прямой bf, проходящей через центр (X основания конуса
и точку N' на его боковой поверхности. Построить изображение
точки X’ = У П П'.
1405.	В параллельной проекции дано изображение четырех-
угольной призмы и четырех точек, лежащих по одной иа ее боко-
вых ребрах. Установить, лежат или не лежат в одной плоскости
оригиналы этих точек.
1406.	Дано изображение шара и его экватора. Построить изобра-
жения точен пересечения прямой V с поверхностью шара, если за-
дано изображение прямой Г и точки О' [JV'S'], где -N', S' —
полюсы, соответствующие данному экватору.
1407.	Дано изображение пятиугольника в параллельной про-
екции. Построить изображение его ортогональной проекции иа не-
которую плоскость.

1408.	Дано изображение прямой Г и пространственной ломаной
A'B'C’D'E' в параллельной проекции. Построить изображения
ортогональных проекций вершин ломаной на прямую I1.
1409.	В параллельной проекции эллипс Q является изображе-
нием окружности Q', а прямая I—изображением прямой лежа-
щей в плоскости окружности Q'. Построить изображение отрезка,
лежащего на прямой Г и конгруэнтного диаметру окружности Q'.
4410. "В параллельной проекции даны изображения окружности
и угла, лежащего втплоскостн окружности. Построить изображение
его биссектрисы.
1411.	В параллельной проекции дано изображение треугольни-
ка, вписанного в окружность. Построить изображение центра ок-
ружности, вписанной в этот треугольник.
1412.	В параллельной проекции даио изображение треугольни-
ка, вписанного в окружность. Построить изображения его высот.
1413.	В параллельной проекции дано изображение треуголь-
ника, описанного около окружности. Построить изображения его
медиан, высот и биссектрис углов.
1414.	В параллельной проекции даны изображение Q окруж-
ности Q' и изображение [АВ] отрезка 1Я'В'], лежащего в плоскости
окружности Q'. Построить изображение правильного треугольни-
ка А'В'С'.
1415.	В параллельной проекции дано изображение треугольни-
ка А'В'С', вписанного в окружность. Построить треугольник, по-
добный треугольнику А'В'С1 (иначе: восстановить форму оригина-
ла по изображению).
1416.	По заданному в параллельной проекции изображению
треугольника А'В'С' и центра Р' описанной около него окружно-
сти восстановить форму треугольника А'В'С', если Р' ие является
серединой стороны треугольника А'В'С'.
1417.	По заданному в параллельной проекции ; изображению
треугольника А'В'С' и центра О' вписанной в него окружности вос-
становить форму треугольника А'В’С'.
1418.	Даио изображение прямоугольника в параллельной
проекции. Построить изображение квадрата, лежащего в плос-
кости прямоугольника, по заданному изображению одной из его
сторон.
Й419. В параллельной проекции дано ^изображение треугольни-
ка А* В'С' и вписанной в него окружности. Найти длину радиуса
этой окружности, если известна длина Одной из сторон треуголь-
ника A'B'Ctj.	1
1420.	В параллельной проекции дано изображение треугольни-
ка А'В’С' известной формы (в частности, правильного). Построить
изображение описанной около него окружности.
1421.	В параллельной проекции дано изображение треугольни-
ка известной формы. Построить изображения точек касания вписан-
ной в него окружности.
1422.	Дано изображение квадрата в параллельной проекции.
138
Построить изображение .другого* квадрата, лежащегОгВ. плоскости
первого, по заданному изображению [/1Я] одной, из егоfсторон
[А'В'].
1423.	В параллельной проекции дано изображение, квадрата
и угла, лежащих в одной плоскости. Найти истинную величину
этого угла и построить изображение его бисссктр исы. .
1424.	Боковое' ребро правильной- треугольной призмы
A'B'C'AiBiCi конгруэнтно стороне основания. Из вершины А{
опущен перпендикуляр на плоскость	Построить изобра-
жение. в параллельной проекции.
1425.	Дано изображение куба А'В'С'П/А'^^Л^ в параллель-
ной проекции.. Построить изображение сечения; куба плоскостью,
проходящей через, вершину перпендикулярно диагонали [Л'Cd
куба, и точки Х' пересечения7 этой плоскости с дишюнадьк>’4Л'С1/].
1426.	Дано-изображение куба А'В'С'П'А^В&Ёг. в. параллель-
ной проекции. Построить изображение общего перпендикуляра
скрещивающи хся. пр ямых (Af С\) и (В 'D'), содержащих: диагон аль
куба и диагональ его грани. Вычислить расстояние между этими
прямыми,, если; а — длина; ребра куба.
1427,	Через центр куба проведена плоскость, перпендикулярг
ная его^диагонали; В. параллельной проекции построить изображе-
ние сечения куба этой плоскостью. Вычислить площадь, сечения*
если а — длинам ребра, куба.
1428.	Через ребро [А'£>']; верхнего основания куба
A'B'C'D'AiBiC^D] проведена плоскость, пересекающая нижнее
основание по отрезку [М{У[]*-Из точки Р'' верхнего основания опу-
щен перпендикуляр на плоскость сечения. Построить его изобра-
жение в параллельной проекции^
1429.	В параллельной проекции дано изображение правильной
четырехугольной' пирамиды, высота которой-' конгруэнтна- стороне
основания. Построитьизображение сечения' пир амиды= плоскостью,
проходящей через сторону основания и перпендикулярной к плос-
кости противолежащей боковой грани.
1430.	Длина' высоты правильной^ четырехугольной призмы
А\В' CD' AJ^C^ равна,— длины стороны основания. Через вер-
2.
шину С. основания? проведена плоскость, перпендикулярная диа-
гонали LAjC'] призмы. В параллельной^ проекции построить изоб-
ражение- сечения призмы этой плоскостью.^
1431; В1 параллельной проекции дано изображение куба
А'В'СП'А&С^ и точек М', У,тв которых прямая пере-
секает боковые грани куба. Построить изображение общего перпен-
дикгуляра прямых (M'N'j, и, (D'Di).
1432, В параллельной проекции построить изображение куба,
«9
вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, у которой
боковое ребро конгруэнтно диагонали основания, так, что нижнее
основание куба принадлежит плоскости основания пирамиды, а
вершины верхнего основания куба лежат на боковых ребрах пира-
миды.
1433.	В параллельной проекции построить изображение куба,
вписанного в конус, у которого образующая конгруэнтна диаметру
основания, так, что нижнее основание куба принадлежит плоско-
сти основания конуса, а вершйны верхнего основания куба лежат
на боковой поверхности конуса.
1434.	Достроить изображение правильной четырехугольной пи-
рамиды, описанной около шара.
1435.	Построить изображение конуса^ описанного около шара.
1436.	Построить изображение кубаг описанного около шара.
1437.	Построить изображение куба, вписанного в шар.
1438.	Построить изображение правильного тетраэдра, вписан-
ного в шар.
1439.	Построить изображение тетраэдра, описанного около
шара.
1446.	Дано изображение шара и его экватора. Точка ЛГ являет-
ся изображением точки M't лежащей на видимой части поверхности
шара. Построить изображение ортогональной проекции точки М'
на плоскость экватора.
1441, Доказать, что изображение сферы известного радиуса
является метрически определенным.
§ 4. МЕТОД МОНЖА
1442.	На эпюре дана прямая Z (1Ъ /2). Построить следы этой
прямой на плоскостях П1 и П8.
1443.	Построить на эпюре следы S П Й1 и S П Па плоскости
S, заданной тремя точками A (Att Л2), В (Вь В2), С (Съ С2), не
лежащими на одной прямой.
1444.	Построить на эпюре точку пересечении прямой I (llf /4)
с плоскостью S, заданной тремя ее точками А (Л1( Л2), В (Ви В2),
С	не лежащими на одной прямой.
1445, На эпюре даны проекции Л^С^ и ЛаВ3С2 треугольника
АВС. Построить вертикальную проекцию Л12 точки М С (ЛВС),
зная ее горизонтальную проекцию Мг.
1446.	На эпюре даны горизонтальная и вертикальная проекции
тетраэдра ABCD. Построить сечение этого тетраэдра плоскостью,
заданной тремя ее точками М Л12), N AZa), Р (Ръ Р2),
не лежащими на одной прямой.
1447.	На эпюре найти проекции линии пересечения двух
плоскостей, каждая из которых задана парой пересекающихся
прямых.
Я6
7 1448. На эйюре найти истииную величину отрезка (Л#1 по его
проекциям L4JBJ и Ь42В2].
1449. Плоскость 2 задана на эпюре своими следами mt cz Пх
и /2 cz П2. Построить основание перпендикуляра, опущенного из
точки Л (Лг, Л2) на плоскость 2.
1450. Плоскость П3, перпендикулярная горизонтальной пло-
скости Щ и вертикальной плоскости П2, называется профильной
плоскостью проекций. Ортогональная проекция А43 точки Л4 про-
странства яа плоскость П3 называется профильной проекцией точ-
ки А1. Предполагая, что плоскость П2 совпадает с плоскостью чер-
тежа, будем рассматривать эпюр, на котором роль плоскости Hx
выполняет плоскость П3.
Пусть на этом эпюре даны вертикальная и профильная проек-
ции шара и вертикальная проекция IjV2S3] его диаметра Г7VS1, па-
раллельного плоскости П3 и не параллельного плоскости П3. Ис-
пользуя профильные проекции, построить вертикальную проек-
цию
1) экватора, соответствующего полюсам и 5;
2) параллели, касающуюся очертания шара в двух точках;
.3) параллели, касающуюся очертания шара в единственной
точке;
4) параллели, лежащую внутри очертания шара..
1451.	На эпюре даны вертикальная и профильная проекции
шара. Используя профильную проекцию, построить вертикальную
проекцию конуса, описанного около шара.
§ б. ПЕРСПЕКТИВА
1452.	В центральной проекции построить точку пересечения
прямой^' (4, и плоскости, заданной тремя ее точками А' (А, А}),
В' (В, Вх), С' (С, CJ, не лежащими на одной прямой.
1453.	Каждая из двух пересекающихся плоскостей Ш и И'
задана иа картинной плоскости перспективами принадлежащей ей
точки и ее основания и линией схода. Построить перспективу пря-
мой, проходящей через данную точку Mr (М, Мг) параллельно
прямой IT f) Q'.
1454.	В центральной проекции через данную точку Mf (М,
провести прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся
прямые af (at и b' (bt bt).
1455.	Построить перспективу квадрата, лежащего [в пред-
метной плоскости, по заданной Перспективе МА] одной из его
сторон.
1456.	Построить перспективу прямоугольного параллелепипеда,
основанием которого является квадрат, принадлежащий предметной
плоскости.
1457.	Построить перспективу правильной треугольной пирами-
ды с основанием на предметной плоскости.
’1458. В центральной проекции плоскость П' задана точкой
ЛГ (М, и линией схода р. Построить перспективу квадрата,
лежащего в плоскости Ц', и перспективу его основания, если из-
вестна перспектива [ЛВ] его стороны [Л'В'],ЭМ'.
1459.	Найти истинную величину отрезка [ЛгВ^], лежащего
в предметной плоскости, по его перспективе LAfBJ.
1460.	Найти истинную величину отрезка [Л'В'1 общего по-
ложения по его перспективе ;[ЛВ1 и перспективе MjBJ его осно-
вания.
1461.	Построить перспективу куба с основанием на предйетиой
«плоскости по заданной перспективе стороны его основания.
Раздел 4.
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ.
НЕЕВКЛИДОВЫ
ГЕОМЕТРИИ
Глава!.
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
$ 1. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АКСИОМАТИКИ
1462.	Доказать, что аффинная прямая над полем К (одномер-
ное аффинное пространство) содержит по крайней мере две точки.
1463.	Доказать, что аффинная плоскость над полем /С содержит
по крайней Мере четыре точки.
1464.	’ Доказать, что трехмерное аффинное пространство над
полем К содержит по крайней мере восемь точек.
1465.	Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем
/(. Определить структуру аффинного пространства на множестве К
1466.	Пусть — множество п х р-матриц над полем К-
Определить на множестве структуру аффинного пространства
над полем и указать размерность этого пространства.
1467.	Доказать, что аффинные пространства Ап (К} и Ат (К}
не изоморфны при tnп.
1468.	Систему аксиом Вейля аффинного: пространства можно
сформулировать, состоящей из двух аксиом 1 — 2 [11. Доказать,
что: первая аксиома не зависит от второй.
1469.	Доказать, что вторая аксиома Вейля из системы аксиом
аффинного пространства не зависит от первой аксиомы.
1470.	Пусть (F2) — аффинная плоскость над полем вы-
четов по модулю 2. Доказать, что на плоскости Л2 (Га):
1) диагонали параллелограмма параллельны;
2) каждая вершина параллелограмма является его центром
симметрии.
1471.	Предложение: существуют подобные, но неконгруэнтные
треугольники, эквивалентно V постулату. Доказать (можно исполь-
зовать всё остальные аксиомы евклидовой плоскости).
1472.	Предложение: около всякого треугольника можно описать
окружность, эквивалентно V постулату. Доказать.
1473.	Пусть а и b •— непересекающиеся прямые на Плоскости.
Предложение: множество {р (Л1, а) | 7И ё Ь) ограничено, эквива-
лентно V постулату. Доказать.
1474.	Предложение: через любую внутреннюю, точку угла,
меньшего развернутого, можно провести прямую, пересекающую
обе стороны угла, эквивалентно V постулату. Доказать.
1475.	Доказать, что всякий треугольник на плоскости Аа (Г2)
не имеет медиан.
144
1476.	На конечном множестве; построить интерпретацию I груп-
пы аксиом Гильберта.
1477.	Пользуясь только аксиомами I группы Гильберта, до-
казать, что каждой плоскости принадлежат по крайней мере три
точки, не лежащие на одной прямой.
1478.	Пользуясь только аксиомами I и П групп Гильберта,
доказать, что множество внутренних точек отрезка не пусто.
1479.	Выпуклый четырехугольник ABCD, у которого углы А и
В прямые и [Л£]	[ВС], называется четырехугольником Саккери,
[АВ] — нижнее основание, [СО] — верхнее основание. Пользуясь
аксиомами абсолютной геометрии, доказать, что внутренние углы
при верхнем основании четырехугольника Саккери конгруэнтны.
Доказать также; что эти углы не могут быть тупыми.
§ 2. СИСТЕМА* АКСИОМ ВЕЙЛЯ. СИСТЕМА АКСИОМ ШКОЛЬНОГО
КУРСА ГЕОМЕТРИИ
1480. Пусть А — ассоциативно-коммутативное кольцо с едини-
цей, п — натуральное число («	1), л-ку (аъ «2, ..., ал) — « эле-
ментов at £ А назовем «-вектором над кольцом А. В множестве М
всех «-векторов над Л введем сложение по закону:
(а„ аг, aj + (bt, t>2> .... bn) = (^ + \, a, + Ьг, a„ + Л)
и умножение «-векторов на элементы из А по закону:
b (t?!> «2, ..., ап) “ (bat, Ьаг, &«л).
Множество Л4, наделенное указанными внутренним и внешним За-
конами композиции, называют «-мерным (свободным) унитарным
модулем над кольцом А или свободным Л-модулем. «-векторы:
“ (Ь 0, ..., 0), еп — (0, 0, ..., 1) образуют базис модуля М:
они линейно независимы, и для каждого вектора а .== («j, а2, ...
ап) £ Л4 справедливо равенство: &='а& 4- а<$г 4-	4 Мно-
жество Е 0 называется «-мерным аффинным пространством над
кольцом Л, если задано отображение:
<г : Е х £^ М
(где М—свободный «-мерный А -модуль)., удовлетворяющее сле-
дующим условиям (аксиомам Вейля);	; .
1) для каждого А £ Е отображение <гл : £ -> М по закону:
<гл (В) = о (Л, В) биективно;
2) о (Л, В) + о* (В, Q - о (Л, С), УЛ; В, С £ Е.
Векторы из М называются переносами пространства £, а Л-модуль
Л4-модулем переносов пространства £.
Доказать, что для произвольного ассоциативно-коммутативно-
го кольца Л и любого натурального « система аксиом 1—2 не-
противоречива.
1481. Доказать, что каждая из аксиом Вейля 1—2 (см. задачу
1480) независима от другой.
14$
1482, Пусть Мл р — множество п х р-матриц над ассоциатив-
но-коммутативным кольцом А с единицей. Определить на множе-
стве структуру аффинного пространства над кольцом А.
1483.	Пусть Л2 (Z) — аффинная плоскость над кольцом целых
чисел. Доказать, что для любого рационального числа — сущест-
п
в у ют прямые с угловым коэффициентом
п
1484.	Доказать, что каждая прямая на плоскости А2 (Z) содер-
жит счетное множество точек.
1485.	Доказать, что иа плоскости Л2 (Z) две прямые могут быть:
1} параллельными; 2) пересекающимися; 3) не пересекающимися и
не параллельными.
1486.	Доказать, что на плоскости Az (Z) существуют отрезки,
не имеющие внутренних точек.
1487.	Пусть М — свободный унитарный n-мерный Z-модуль
и g: М‘ х М -> Z — билинейная симметрическая форма на моду-
ле (определение точно такое же, как и для билинейной симметри-
ческой формы, заданной на векторном пространстве над полем /?).
Доказать, что в заданном базисе (ej модуля М форма g вполне оп-
ределяется заданием матрицы llgyll, gtj = g#r где gn =
= g fa . C
1488.	Пусть на. n-мерном (и 2) Z-модуле М задана бнлиней-
на« форма g (задача 1.487). Векторы о, b £ М называются g-ортого-
нальными, если g (а, />) = 0.
Доказать, что для всякого ненулевого вектора а £ М сущест-
вует — 1)-мерный подмодуль ЛГ. модул я М. такой, что каждый
вектор Z?’ < А4' g-ортогонален вектору ol
1489.	Доказать, что на/мерном Z-модуле М нельзя ввести по-
нятие длины вектора при помощи билинейной симметрической
положительной формы, как это имело место для векторного про-
странства над полем /?.
1490.	Построить интерпретацию Г группы аксиом школьного
курса геометрии на конечном; множестве.
1491.	Пользуясь аксиомами школьного курса геометрии, дока-
зать, что:
1)	каждый отрезок содержит бесконечное множество точек;
2)	каждая плоскость содержит бесконечное множество точек,
не лежащих на одной прямой;
3)	пространство содержит бесконечное множество точек, не
лежащих на одной плоскости.
1492. Пользуясь аксиомами школьного курса геометрии, дока-
зать, что:
1)	сумма величин внутренних углов любого треугольника рав-
на л;
2)	существуют подобные, но некоигруэнтиые треугольники;
146
3)	около всякого треугольника можно описать окружность;
4)	через любую внутреннюю точку угла, меньшего разнернуто-
го, можно провести прямую, пересекающую обе стороны угла.
1493.	Доказать, что из аксиом Вейля евклидовой плоскости
над полем следует аксиома подвижности плоскости.
1494.	Доказать, что из аксиом Вейля аффинного пространства
следует аксиома параллельности.
1495.	Доказать, что углы треугольника на евклидовой плоско-
сти удовлетворяют равенству:
£ cos2 А + cos2 В Ч~ cos2 С — 1 — 2 cos А • cos В • cos С.
Вывести отсюда, что А + В + С — 180°.
1496.	Используя скалярное ..произведение векторов, доказать
теоремы о плоских углах трехграиного угла: сумма любых двух
плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла,
а сумма всех трех плоских углов меньше 360°.
1497.	Доказать, что если точка С лежит между точками А и В,
то точка С лежит .между В и А (использовать аксиомы принадлеж-
ности, расстояния и порядка).
1498.	Доказать, что если точка С лежит между точками А и В,
то точка А не лежит между В и С и точка В не-лежит между А и С
(использовать аксиомы принадлежности, расстояния и порядка).
1499.	Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Ис-
пользуя аксиомы принадлежности, расстояния и порядка, доказать,
что через эти точки нельзя провести двух различных окружностей.
1500.	Используя аксиомы принадлежности, расстояния и по-
рядка, доказать, что в данной полуплоскости с границей (ЛВ) не
существует двух различных точек Р и Q таких, что
|РЛ-] == |(?Л|, |Ж] = IQBI.
1501.	Используя аксиомы принадлежности, расстояния н по-
рядка, доказать, что не существует трех различных перемещений
плоскости, переводящих точку А в точку Ль точку В — в точку Вь
где [ЛВ| = 1ЛА1.
1502.	Доказать,- что всякое инволютивное перемещение плос-
кости имеет хотя бы одну неподвижную точку.
1503.	Пользуясь аксиомами первых четырех групп, доказать,
что композиция трех симметрий плоскости, оси которых проходят
через одну точку, есть осевая симметрия.
1504.	Доказать, что никакая композиция четного числа осевых
симметрий плоскости не может быть заменена композицией нечет-
ного числа осевых симметрий.
1505.	Доказать, что если перемещение плоскости . оставляет
инвариантными три точки, не принадлежащие одной прямой, то
это перемещение есть тождественное преобразование.
1506.	Доказать, что существует единственное перемещение
447
плоскости, переводящее треугольник Л ВС в треугольник Л А С\, при
усл ови и, что | Л В | = 14 А |, | ВС | = | В А 1, I СЛ | =И СХЛ х | и
Л Л р В*—* , С*~* Сх.
1507.	Луч 1ОМ) называется биссектрисой угла ЛОВ, если угол
содержит этот луч, а углы А ОМ и ВОМ конгруэнтны. Доказать,
что для каждого угла плоскости существует биссектриса этогб угла
и притом только одна.
1508.	Доказать, что если точки Л, В, С € В3 не принадлежат
одной прямой, то существуют два и только два перемещения Д и
пространства, для которых каждая из данных точек является
неподвижной: fk (Л) = Atfk (В) = Bt fk (С) = С, (# — 1, 2).
1509.	Доказать, что если в пространстве даиы два треугольника
ЛВС и Л1В1С1, причем
|ЛВ|= 1ЛА1, |ВС| = |ВА1» |СлГ— |С1Л1|,
то существуют два н только два перемещения Д, /2 пространства,
переводящих первый нэ этих треугольников во второй так, что
fkW-A» fk(B)~Bu МС)=А, (&= 1,2).
1510.	Доказать, что если ABCD и Л1В1С1Р1 — два тетраэдра,
причем
|ЛВ| - MAi, |лс| - MAI, 1Л£| = |ЛА1,
|ВС| « IBxCJ,:|CD|=- |CAt, |ЛВ] - idal
то существует единственное перемещение пространства Е3, переводя-
щее первый из этих тетраэдров во второй так, что Л*~*ЛГ В—*ВЬ
С-*СР D—Dv
,	Глава II.
НЕЕВКЛИДОВЫ
ГЕОМЕТРИИ
§ 1. СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1511.	Каждая сторона сферического треугольника меньше сум-
мы двух других его сторон, но больше нх разности. Доказать.
1512.	Доказать, что во всяком сферическом треугольнике сумма
двух углов без третьего меньше л, а сумма трех его углов принадле-
жит интервалу (л, Зл).
1513.	Если в сферическом треугольнике две стороны конгруэнт-
ны, то конгруэнтны и углы, противолежащие им. Доказать.
1514.	В сферическом треугольнике против конгруэнтных углов
лежат конгруэнтные стороны. Доказать.
1515.	Доказать, что в сферическом треугольнике против боль-
шего угла лежит и большая сторона.
1516.	В сферическом треугольнике против большей стороны ле-
жит и больший угол. Доказать.
<4
1517.	Вычислить длину дуги параллели земного шара, содержа-
щей а = 42° 15' и проходящей через точку с широтой <р «= 37°24'.
Радиус земного шара 2? « 6370 км.
1518.	Доказать* что в сферическом треугольнике с длинами
сторон а, 6Г с и величинами противолежащих углов А, В, С спра-
ведлива следующая «формула пяти элементов»:
 Ct	n г С t)	С *1?	л
sm — cos В — sin — cos — —- cos — sin — cos A,
 r	r r	r r
где r — радиус сферы, содердсащей данный треугольник.
1519.	Доказать, что для сферического треугольника справед-
лива следующая «формула пяти элементов»:	? _
sin A cos — — sin С  cos В + cos С • sin В - cos —.
г	г
1520.	Доказать, что длины сторон сферического треугольника
можно найти, зная величины трех его углов (предполагаем радиус г
сферы известным).
1521.	Для сферического треугольника вывести следующую «фор-
мулу четырех элементов»:
sin — * ctg — = sin С • ctg В + cos — • cos С.
г	г	Г.
1522.	Доказать, что в прямоугольном сферическом треугольни-
ке / А — —} справедлива формула:
\	2 /
л а b
cos — — cos —
г	г
(«сферическая теорема Пифагора»).
1523.	Доказать, что в прямоугольном сферическом треуголь-
/ л* Я \.	1
нике А = — к
1/2/
sin — — sin — * sm В.
г	г
1524.	Доказать, что если в сферическом треугольнике угол А
прямой, то
tg — = tg —  cos С.
г г
1525.	Для прямоугольного сферического треугольника ^А = —-j
вывести формулу:
tg А . ctg В sin —.
г	г
1526.	Для прямоугольного сферического треугольника ^А « -0
вывести формулу:
cos — = ctg В ♦ ctg С.
/*
149
1527.	Для прямоугольного сферического треугольника
вывести формулу:
cos В — sin С * cos —.
Г
1528. Доказать, что если7 в прямоугольном' сферическом 1'2	я \	b	л	с угольнике Л*=— г именгг место соотношения: — <— — У	2 /	г	2	г /	.	Ъ . л.	ал	у	с	л	-	Ь	п	с [либо	—	— >	—	к. то —	<?—*	Если же —	< —,	— V	г 2 г 2Г	*	2	г 2 г / ~ b , л с^л\	л [либо — > —, — < — , ТО —>—. \	г	2 г	2 /	г	2	тре- . л т л т
1529. Доказать, что если в прямоугольном сферическом угольнике (А ~ “1 имеют место соотношения: В <—, С /либо В> —, с>— Y то.-<—. Если же В < С 2	2 ]	г	2	2 / г	У' •"'G	а л? 1 либо В> —, С < — , то — > \	2	2 /	г	2	V А ч to j Ц to | И л
1530. Пусть дуга BD большой окружности перпендикулярна
к стороне АС сферического треугольника ЛВС, причем длина этой
дуги (ц < л - г (такая дуга BD называется высотой сферического
треугольника, проведенной из вершины В)\ Доказать справедли-
вость равенств:
.	.. а •	. с .Г
sm — = sin — * sin С = sin — • sin Л.
г	г	г
1531. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике спра-
ведливы равенства:
. а . hA	Z> • hh	. с
sin —• sin — — sin — > sin “ == sm — • sin
r	r	r	r	r	r
1532. В прямоугольном сферическом треугольнике /А = —
1) дано: - = 15ХУ52', - = 114°15'; найти В, £
Г	F	Г
2) дано: - = 80°,	- = 47°39'; найтн В, С;
Г	г	г
3) дано: - = 38°28', В -56“ Г; иайти \ , С;
Г	г г
4) дано: - = 37°52', С = 45с35'; найти	В;
Г	г г
5) дано: - = НО°46', С = 153°58'; найтн	Д
г	г г
6) дано: В =80Jll'f, С = 154=58'; найтн	. Г Г г
150
1533. Доказать, что углы всякого сферического треугольника
можно вычислить по его сторонам, пользуясь формулами:
где р =	----полупериметр сферического треугольника.
1534. Доказать, что для сферического треугольника справедли-
вы формулы:
где и = А + 5 + б1 — л— избыток данного треугольника.
1535. Вывести следующие формулы Непера для сферического
треугольника:
tgd_±£
ь 2
а —b
COS “---
2г ~С , А —В
------- - ctg-, tg——
а + b 2	2
cos---~
2г
а — b
sin- Л
2г . С . .
--—а)
а + b 2
sm--
2г
А —В
cos-------
= ——  ---------tg—, tg—
 *	? +J °2r 2r
cos 2
A — B
sin—-----
.2
А 4-В
sin —~—
2
(₽)
(Эти формулы используют при решении сферических треугольников
по двум сторонам и углу между ними и по стороне и двум прилежа-
щим углам.)
1536. Вывести следующую формулу для вычисления избытка
сферического треугольника:
a b ~
Ctg— -Ctg— COS С
Й	9r	Vr
где С — наибольший из углов треугольника.
1537. В сферическом треугольнике АВС:
1) дано: - = 60’32', - = 117’28', - = 78’42';
Г	г	г
«1
найти: Л, В, С;
2)	дано: А «= 47°59\ В 130°47\ С « 5649'; '
найти: —, —:
г г г
3)	дано: - = 40’29', t = 110’19', С = 56’41';
Г	Г	.
найти: Л, В, —;
4)	дано: А = 59’32', В = 77’18', -' = 34’30';
Г
ri	П’ 6
наити: С, —, —.
г г
§ 2.	ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ РИМАНА
1538.	Доказать, что на эллиптической плоскости 52 симметрия
'относительно прямой а и центральная симметрия относительно
точки А совпадают, если точка Д является полюсом прямой а.
1539.	Доказать, что композиция двух центральных симметрий
есть поворот. Построить центр поворота и найти величину угла
поворота.
1540.	Доказать, что на плоскости S2 всякие две прямые Пересе-
каются.
1541.	В каком случае на S2 окружность является прямой?
1542.	Найти расстояние между серединами двух отрезков, имею*
щих общие концы.
1543.	Доказать, что на эллиптической плоскости существуют
только три типа перемещений: поворот на угол, отличный от л,
центральная (или осевая) симметрия и тождественное преобразо-
вание.	. л	;	:
х 1544. Пусть G — группа и М с 6. Пересечение всех подгр у пп
труппы G, содержащих подмножество А1, есть подгруппа {Д4} в G.
Она содержит те и только те элементы группы G, которые могут
быть записаны хотя бы одним способом в виде произведения конеч-
ного числа элементов из М. Если {М} = G, то подмножество М на-
зывается системой образующих для G.
Доказать, что множество всех центральных симметрий является
системой образующих группы движений плоскости S2.
1545.	Доказать, что угол между двумя прямыми равен расстоя-
нию между их полюсами или расстоянию между точками пересече-
ния этих прямых с их общим перпендикуляром (принимая г ~ 1).
1546.	Доказать, что трн точки, не принадлежащие одной пря-
мой, являются вершинами четырех треугольников и для каждого
из них выполняется неравенство треугольника.
1547.	Какие прямые инвариантны в центральной симметрии?
1548/Доказать, что через: три точки, не принадлежащие одной
прямой, можно провести четыре окружности.
ш
1549.	Даны две точки А и В и еще две точней Alt Д, такие, что
р (Л, В) = р (Лп-Bi) > 0. Доказать, что при р (Л, В) суще-
ствуют два движения, переводящих Л в At и В в Вх.
1550.	Даиы две точки А и В, тгакие, что р (Л, В) = — г. Сколько
существует движений, оставляющих точки Л и В инвариантными?
1551.	Найти зависимость между сторонами четырехугольника,
чтобы около него можно было описать окружность.
1552.	Доказать, что если расстояние между серединами двух
л	-
сторон треугольника равно —г, то середина третьей стороны иахо-
л
дится на расстояниях —г от середин первых двух сторон.
1553.	Дан треугольник ЛВС. Доказать, что если р (Л, С) 4-
+ р (В, С) = лг, то длина медианы ССг равна —г.
2	-	-
§ 3.	ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО
1554.	Доказать, что на плоскости Лобачевского вписанный в
окружность угол, опирающийся на диаметр, острый. \ >
1555.	Доказать, что длина отрезка, соединяющего середины
двух сторон треугольника/ больше половины длины третьей сто-
роны.	 •..' * •
1556.	Доказать, что в прямоугольном треугольнике величина
хотя бы одного из его острых углов меньше —.
4
1557.	Доказать, что если серединные перпендикуляры двух
сторон треугольника параллельны, то серединный перпендикуляр
третьей стороны параллелен первым двум в одном и том же направ-
лении.
1558.	Построить общий перпендикуляр двух расходящихся
прямых.
1559.	Через точку, лежащую вне окружности, провести к ней
касательную.
1560.	Через данную точку, не принадлежащую орициклу, про-
вести касательную к орициклу.
1561.	Доказать, что композиция двух центральных симметрий
есть: сдвиг. Чему равно расстояние сдвига?
1562.	Доказать, что композиция двух осевых симметрий, осн
которых расходятся, есть сдвнг.
. Построить ось сдвига н найти расстояние этого сдвига..
1563.	Построить орицикл, проходящий через данную точку и
касающийся данной прямой.
1564.	Построить четырехугольник Саккери по верхнему основа-
нию и боковой стороне.
«3
1565.	Доказать, что катет, лежащий против угла —, больше
6
половины гипотенузы.
1566.	Доказать, что сторона правильного шестиугольника боль-
ше радиуса окружности, описанной около шестиугольника,
1567.	Доказать, что площадь выпуклого n-угольника равна
п
Я (п — 2) — где Ф/ — величины угле® л-угольника (радиус
t=i
кривизны равен 1).
1568.	Доказать, что если углы одного треугольника конгруэнт-
ны углам другого треугольника, то треугольники конгруэнтны.
1569.	На модели Кэли — Клейна плоскости Лобачевского по-
строить середину данного отрезка, биссектрису данного угла.
1570.	На модели Кэли — Клейна на данном луче отложить от
его начала отрезок, конгруэнтный данному.
1571.	На модели Кэли — Клейна для данного острого угла по-
строить соответствующий ему отрезок параллельности и обратно;
для данного отрезка построить соответствующий ему угол парал-
лельности.
1572.	Возьмем на плоскости Лобачевского какой-либо угол
Л'Л Л", меньший развернутого. Доказать, что существует прямая
и притом единственная, параллельная в одном своем направлении
прямой (ЛЛ'), а в Другом направлении — прямой (ЛЛ
1578.	Для любых двух различных параллельных прямых (ЛЛ'),
(ВВ'} существует прямая и единственная, которая в одном своем
направлении параллельна прямой (Л Л')* а в другом — прямой
(В В'). Доказать.
Раздел Б;
ЭЛЕМЕНТЫ ’
ТОПОЛОГИИ.
ЛИНИИ
И ПОВЕРХНОСТИ
В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Глава l>
ЭЛЕМЕНТЫ
ТОПОЛОГИИ
$ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.
ГОМЕОМОРФИЗМ
1574.	Доказать, что пересечение любого семейства топологий
на множестве X является топологией на X.
1575.	Если множество X содержит больше двух точек, то объ-
единение двух топологий на X может ие быть топологией на X, До-
казать.
1576.	Пусть (X, Т)—топологическое пространство. Для каж-
дой точки х € X обозначим через Ох семейство всех окрестностей
точки х. Доказать, что:
1)	если U £ Oxt то х £ U\
2)	если I/, V £ ОХУ то U П V £ Ох,
3)	если U ^ Ох и U cz V, то V £ Ох;
4)	если U С Ох, то существует элемент V € Ох, который удовлет-
воряет двум условиям: а) V cz U\ б) V ё Оу, Vy € К т. е. V явля-
ется окрестностью каждой из своих точек.
1577.	Пусть каждому элементу х множества X поставлено в
соответствие множество Ох подмножеств из X так, что имеют место
свойства 1—4 задачи 1576. Доказать, что в X существует н при-
том единственная топологическая структура, для которой Ох слу-
жит семейством всех окрестностей точки х при любом х £ X.
1578.	Если (X, Т) — пространство со счетной базой, то каждая,
база этого пространства содержит некоторую его счетную базу
1579.	Если множество А плотно в пространстве (X, Т) и U £
£ Т, то U cz А П
1580.	Найти внутренность, замыкание, границу различных
промежутков на числовой прямой.
1581.	Пусть А—множество в топологическом пространстве
(X, Т) и а (Л) = Л, р (Л) = Л. Доказать, что:
1) а (а (А)) = а (Л) и ₽ (р (Л)) - р (Л);
2) если А открыто, то A cz а (Л); если А замкнуто, то А о р (Л).
1582. В евклидовом пространстве открытые шары с рациональ-
ными радиусами и рациональными центрами образуют базу топо-
логии. Доказать.
1583, Дать примеры множества А на плоскости для которого
множества А, Л, Л, а (Л), р (Л) (см. задачу 1581) попарно раз-
личны.
1584.	Доказать, что А ft В с: А Д В.
1585.	Доказать, что & .(Л)с6Н) и b (Л) cz b (А). Дать при-
мер, где эти три множества попарно различны.
1586.	Доказать, что b (A (J В) с & (A) J b (В). Дать пример,
где эти два множества различны.
1587.	Доказать, что если A f| В — 0, то
b (A U В) = b (A) U b (В).
1588.	Пусть даны множество X и отображение f: /? (X) Я (X),
удовлетворяющее следующим четырем условиям ^ которых Обо-
значено A = f (А)): 1)0 — 0; 2) A czА; 3)Л = А; 4) A (J В=
= A (J В, VA cz X, VB cz X. Доказать, что__в X существу-
ет и притом единственная топология, в которой А — замыкание А
для всякого A cz X.
1589.	Доказать, что в непрерывном отображении образ связ-
ного пространства связен.
1590.	Доказать, что:
1)	любые два открытых интервала числовой прямой гомео-
морфны;
2)	любые два замкнутых интервала гомеоморфны;
3)	любые два полуоткрытых интервала гомеоморфны;
4)	открытый интервал не гомеоморфен ни замкнутому, ни по-
луоткрытому интервалу; замкнутый интервал не гомеоморфен полу-
открытому интервалу.
1591, Доказать, что подпространство {(х, у) | 'ха 4-у'2 — 1}
евклидовой плоскости не гомеоморфно никакому подпространству
числовой прямой.	
1592.	Любые два открытых выпуклых подмножества евклидова
пространства Еа гомеоморфны. Доказать. Что можно сказать о
замкнутых выпуклых подмножествах в Еп?
1593.	Найти все топологии в множествах, состоящих из двух
элементов.
1594.	Приведите пример непрерывного отображения, в кото-
ром образ открытого (замкнутого) множества не является Множест-
вом открытым (соответственно замкнутым).
1595.	Доказать, что эллипсовд гомеоморфен сфере.
1596.	Однополостный гиперболоид гомеоморфен эллиптическо-
му цилиндру. Доказать.
1597.	Двуполостный гиперболоид гомеоморфен-паре параллель-
ных плоскостей. Доказать.
1598.	Каждый параболоид гомеоморфен плоскости. Доказать.
1599.	Доказать, что эллиптический цилиндр гомеоморфен от-
крытому кольцу.
1600.	Гиперболический цилиндр гомеоморфен паре параллель-
ных плоскостей. Доказать.
1601.	Параболический цилиндр гомеоморфен плоскости. Дока-
зать.
15?
1602.	Невырожденный конус второго порядка гомеоморфеп па-
ре открытых кругов, склеенных в центре. Доказать.
1603.	Доказать, что двуполостный гиперболоид и гиперболи-
ческий цилиндр гомеоморфны.
§ 2.	МНОГООБРАЗИЯ. ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА
1604.	Пусть X и Y — топологические многообразия. Для каж-
дой карты <р (с областью определения U) в многообразии X и каж-^
дрй карты ф (с областью определения V) в многообразии Y опреде-
лим карту ф х ф с областью определения U х V в X х У по за-
кону:
(ф х ф) (х, у) = (ф (х), ф (у)), Vx £ Vy € К
Проверить, что этим законом произведение X х Y наделено
структурой многообразия (оно называется произведением данных
многообразий X и Y). Показать также, что ^эллиптический цилиндр
есть произведение числовой прямой на окружность, а тор является
декартовым квадратом окружности.
1605.	Доказать, что гиперболический цилиндр есть произве-
дение числовой прямой на гиперболу, а параболический цилиндр
произведение числовой прямой иа параболу.
1606.	Проверить, что однополостиый гиперболоид можно по-
крыть координатной окрестностью одной карты.
1607.	Показать, что двуполостный гиперболоид нельзя по-
крыть координатной окрестностью одной карты, ио можно покрыть
координатными окрестностями двух карт.
1608.	Проверить, что эллипсоид можно покрыть координатны-
ми окрестностями двух карт.
1609.	Проверить, что конус второго порядка можно покрыть
координатными окрестностями двух карт.
1610.	Проверить, что сферу х2 4- у2 + z2 = 1 в евклидовом про-
странстве можно покрыть шестью полусферами z > 0, г < 0,
у > 0, у < 0, х > 0, х < 0, каждая из которых является областью
определения некоторой карты на этой сфере.
1611.	Проверить, что тор, полученный вращением вокруг оси
(Oz) окружности (х — 2)2 + & = 1, можно покрыть двенадцатью
координатными окрестностями.
1612.	Показать, что полярные координаты (г, 0), определен-
ные равенствами х == г cos 6, у == г sin © на плоскости (хОу),
можно принять в качестве локальных координат в любом открытом
круге, не содержащем начала координат.
1613.	Проверить, что подпространство X {{х, у) С
у 0, х (х2— у2) — 0) пространства R2 не является многообра-
зием, тогда как У = {(х, у) £ Х,хУ> 0} есть многообразие (с краем).
1614.	Проверить, что любое открытое подмножество в R” явля-
ется многообразием. '	. ‘
158
1615.	Пусть М (mt n) — множество всех (tn х - матриц
(матриц с т строками и п столбцами)" над полем вещественных
чисел. Доказать, что М (т, я) — многообразие.
1616.	Пусть /? (р, V) — множество всех упорядшеиных наборов
из р линейно независимых векторов вещественного- /г-мерного век-
торного пространства V (множество R (р, V) называют пространством
р-реперов векторного пространства. V). Доказать, что. R (р, V) —
многообразие.
1617.	Пусть V — вещественное п-мерное векторное простран-
ство и 6 (р, V) — множество всех р-мерных подпространств V.
Доказать, что G (р, V) — многообразие размерности р (п — р}
(грассманово; многообразие пространства V).
1618.	Доказать, что множества G(p, п). всех р-мерных плоско-
стей проективного пространства Рп является многообразием раз-
мерности (р 4- 1) (п — р) (оно называется грассмановым много-
образием с индексами р, и).
1619.	Найти эйлерову характеристику замкнутого круга. '
1620.	Найти эйлерову характеристику замкнутого кольца.
1621.	Найти эйлерову характеристику тора.
1622.	Вычислить эйлерову характеристику боковой поверх-
ности я-угольной призмы.
162& Вычислить эйлерову характеристику боковой поверх-
ности п-угольной пирамиды.
Глава Н.
ЛИНИИ
В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе мы полагаем в пространстве Е3 заданнойпрямоуголь-
ную декартову систему координат..
§ 1. ГЛАДКИЕ КРИВЫЕ. КАСАТЕЛЬНАЯ. ДЛИНА ДУГИ
1624. Пусть Г =*• [0, 1), Г = [Г, Доо). Доказать эквивалент-
ность погружений.*'
f: 1 -> Е31 х = cos Л у ==* sin t\\z = 2/ + 3;
т. гт ।	т I	• т  t	4— 1-
g : Г -> £3 x = cos--, у ~ sin--, a = ——..
31	T4-1 7 г-н
1625.	Пусть I == (2, 4-og), ir = (e3, 4-°a)v Доказать эквива-
лентность погружений:.
f: Г -> E31 r ~ er 4~ U У “ Зе* — 2, z = Iti t 4- К
g: P-> =s r 4- I, у. « 8т—2, г. =* In In т 4- t.
1626.	Пусть I — [0, I], Г == [0, 4L Доказать, что нельзя подо?
брать такие непрерывные функции (Z),	(/),	(т),	(т), чтобы
1S9
погружения •’	л  /	: '
Л £*sU = А (0> > = ЛгО), *= *»	 -
g: F ->A|x = gt (т), у «=<8 (т), г= 2t + 1
были эквивалентны.
1627.	Доказать, что погружения f и g задачи 1624 С03 -экви-
валентны.
1628.	Доказать, что погружения f и g задачи 1625 О -экви-
валентны.
1629.	Линия у- задана погружением f: I -> Г3|х = a (cos / 4-
+ In tg у ~ a sin /, z — 0, где / = (0, 4-co) (такая линия на-
зывается трактрисой). Определить класс гладкости линии у.
1630.	Линия у задана параметрическими уравнениями:
х — ef cos /, у =* e^sin t, z ee, —^oo < t < 4-co.
Определить класс гладкости линии у и написать уравнения каса-
тельной к этой линии в точке / ~ 0.
1631.	Линия у, заданная параметрическими уравнениями:
х = a cos t, у “ a sin /, z btt где а — const ^0, b — const 0,
—оо </ < 4-оо, называется обыкновенной винтовой линией.
Показать, что линия у расположена на круглом цилиндре н все ее
касательные образуют один н тог же по величине угол с образующи-
ми этого цилиндра.
1632.	Показать, что нормальные плоскости линии х = a sin* t,
у » a sin t cos t, z ~ a cos tt —oa < t < H-oo, a~ const принад-
лежат одной связке.
1633.	Написать уравнение нормальной плоскости в произволь-
ной точке (х0, у0, ze) линии
‘й	+	—1, х8 —/ —
1634.	Показать, что линия х ~ a tg 7, у = b cos tt
z~bsinL—" < t <	& =«const, b•= const
2	2
расположена на гиперболическом параболоиде.
1635.	Показать, что линия х = sin 2ф, у = 1 — cos 2ф, z =
— 2 cos ф, 0 ф < 2л лежит на сфере. Написать уравнения ка-
сательной к этой линии в точке ф —
г4	-
1636.	Написать уравнения касательной к линии у2 + г2 = 25,
л2 4-у2 ~ 10 в точке (1, 3, 4).
1637.	Написать уравнения касательной к линии х2 4~ уг =
х = у в точке (х01 у0, zQ).
1638.	Даны гладкая линия у и точка С. Обозначим через Mf
ортогональную проекцию точки С на касательную (МТ) к линии у
в точке М € Т- Фигура у' = {ЛГ | М € у} называется подэрой ли-
нии у относительно точки С. Найти подэру параболы относительно
ее фокуса.
1639.	Найти подэру эллипса относительно его фокуса.
1640.	Найти подэру гиперболы относительно ее фокуса.
1641.	Найти длину дуги винтовой линий
х За cos tt у — За sin t, z ~ 4at
от точки пересечения с плоскостью хОу до произвольной точки г (/).
1642.	Найти длину дуги линии х3 — Зп2у, (2xz == а2 между
плоскостями у = и у = 9а.
1643.	Найти длину дуги одного витка линии
t '
х = a (t — sin 0, у == а (1 — cos /), z = 4д cos
а == const > 0, —оо < t < + оо
между двумя ее точками пересечения с плоскостью хОг.
1644.	Найти длину замкнутой линии X *= cos3/, y ==* sin8
z == cos 2/, 0 t 2л.
1645.	Написать параметрические уравнения винтовой линии
(см. задачу 1631), приняв за параметр длину дуги.
1646.	Найти длину дуги кривой х =» a ch tt у == a sh z «= at
между точками Л10 Ф) и Л1Х (f).
1647.	Найти длину астроиды:
х — a cos3t, у a sin® l, z ~ О, О I -йт*
1648.	Циклоидой называется линия, которую описывает точка
А окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой
(оси (Ох)) и остающейся в плоскости, проходящей через эту пря-
мую (в плоскости (хОу)). Написать параметрические уравнения цик-
лоиды. Доказать, что циклоида является простой, ио не гладкой
кривой.
1649.	Доказать, что часть циклоиды х = a (/-—sin/), у ~=
= а (1 — cos /), г *=* О, 0 < t < 2л является гладкой линией.
Найти длину одной арки циклоиды (аркой циклоиды'называют
ее дугу с концами в точках t — 2л&, f — 2л (6	1), где k — ка-
кое-либо целое число),
1650.	Гладкая линия задана системой уравнений:
F (х, у, г) — 0 1
Ф (х, у, z) = О/.
Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
этой линии в ее точке Л10 (xG, у0, г0).
1651.	Доказать, что цепная линия у = #ch~, г » 0 обладает
а
следующим свойством. Пусть Л1о — произвольная ее точка, Л4о —
ортогональная проекция точки Мо на ось (Оу),	— ортого-
нальная проекция отрезка [ОЛЙ на касательную к цепной линии
& Заказ 3412
в точке Л40. Тогда длина отрезка [OjMol равна длине той дуги
цепной линии, которая имеет концы в точках А (0, а, 0) (вершина
цепной линии) и 2И0.
§ 2.	КАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР КРИВОЙ.
КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ
1652.	Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости
линии у проходят через неподвижную точку, то линия у —
плоская.
1653.	Найти координатные векторы канонического репера линии
х == ft у = ft, х — f в начале координат.
1654.	Найти координатные векторы канонического репера линии
х — a (t— sin (ft у = й (1 — cos Д, z = 4а cos t, — о»< /< + оо,^
а = const > 0 в ее произвольной точке.
1655.	Найти координатные векторы канонического репера ли-
нии х — cos3 t, у — sin3 t, z — cos 2ft 0 t 2л в ее произволь-
ной точке.
1656.	Найти координатные векторы канонического репера
линии
х t sin ft у = i cos t, z " te?
в начале координат.
1657.	Написать уравнения главной нормали линии х — ft
у — ft, z ef в точке t ~ 0.
1658.	Написать уравнение соприкасающейся плоскости линии
х = cos3 ft у “ sin3 ft z — cos 2/, 0 t 2л
в , ее произвольной точке.
165И. На бинормалях линии х — cos a cos ft
у — cos а sin ft z == t sin а, а — const, —=o < i < -ft 00
в положительном направлении отложены отрезки постоянной дли-
ны, равной единице. Написать уравнение соприкасающейся плос-
кости новой линии.
1660.	На линии х — у = In ft г — —0 < t < -ft 00
найти точки, в которых бинормаль параллельна плоскости:
х — у -ft 8? "ft 2 = 0.
1661.	На бинормалях винтовой линии в положительном направ-
лении отложены отрезки одной и той же длины. Доказать, что
концы этих отрезков лежат на другой винтовой линии.
1662.	Написать уравнение соприкасающейся плоскости каждой
из следующих линий:
1)	у2 = х, х2 = z в точке (1,1,1);
2)	х2 -ft г3 = «2, у2 -ft г* = fc2 в точке (а, Ь, 0);
3)	х = eft у = e~ft z ~ t У 2,	< t < ft- 00 в точке t — 0.
162
1663.	Дана винтовая линия: х = a cos /, у — b sin /, z — bt.
Написать уравнения главной нормали, бинормали, соприкасаю-
щейся плоскости, нормальной плоскости, спрямляющей плоскости
и найти координатные векторы канонического репера в произволь-
ной точке линии.
1664.	Дана лнння:
.	.	J	a j	- j
X = Sin t, У == cos t, Z = tg tt — “<£<—.
Написать уравнения касательной, нормальной плоскости, бинор-
мали, соприкасающейся плоскости, главной нормали и спрямляю-
щей плоскости в точке t = —. В этой же точке найти координат-
4
пые векторы канонического репера.
1665.	Доказать, что линия
X = atl2 4- btt + q, у — а2? 4- b2t 4- c2, 2 = a^1 4- b$ 4~ <4,
— 00 < / <4- °°, ^ = const, bj — const, Ci — const (i = 1, 2)
плоская, и найти уравнение той плоскости, которая содержит эту
линию.
1666.	Вычислить кривизну кривой:
х = t — sin t, у = 1 — cos /, 2' = 4 sin — co < t < 4- 00
в точке t — л .
1667.	Найти кривизну и кручение линии:
х = ochf, у = ash/, z of, — оо </<+<*>, а = const > О
в ее произвольной точке.
1668.	Доказать, что кривизна и кручение обыкновенной винто-
вой липни постоянны.
1669.	Доказать, что если кривизна и кручение линии постоянны
и отличны от нуля, то эта кривая — обыкновенная винтовая линия.
1670.	Пусть yt и у2 — гладкие кривые, для которых существует
биективное отображение f:	такое, что для любой точки
М € У1 касательные к этим кривым в точках М и f (Л4) параллель-
ны. Тогда главные нормали и бинормали в этих точках тоже па-
раллельны. Доказать.
1671.	Доказать, что если неплоская линия обладает одним из
следующих свойств:
1)	ее касательные образуют постоянный по величине угол с
некоторым направлением;
2)	ее бинормали образуют постоянный по величине угол с
некоторым направлением;
3)	ее главные нормали параллельны некоторой плоскости;
k
4)	— = const,
к
то она обладает и остальными тремя свойствами (такая линия назы-
вается обобщенной винтовой линией).
6’
163
1672.	Доказать, что линия х2 = Зу, 2ху ~ 9? является обоб-
щенной ВИНТОВОЙ.
1673.	Доказать, что линия х =» 21, у == In t, 2 = Z2, 0 < /<4-00
является обобщенной винтовой линией.
1674.	При каком условии линия х — at, у = bt2, 2 = cP,
— 00 < Z < + 00, а, b, с — постоянные, будет обобщенной вин-
товой?
1675.	Доказать, что формулы Френе
&	#v, — = —kx + хр, — = —XV
ds	ds	ds
можно записать в виде:
d? г-* Л dv z* d6 r~* tL
— = I®, T], — «= [®, v], -f- - [®, P],
ds 1 ds	ds
Найти вектор co (вектор Дарбу).
1676.	Доказать, что если все нормальные плоскости линии
параллельны одному направлению, то эта линия или прямая или
плоская.
1677.	Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости ли-
нии (отличной от прямой) параллельны одному направлению, то ли-
ния — плоская,
1678.	Доказать,. что если все спрямляющие плоскости линии
параллельны одному направлению, то эта линия — обобщенная вин-
товая. Доказать обратное предложение и найти вектор, которому
параллельны все спрямляющие плоскости обобщенной винтовой
линии.
1679.	Доказать, что если две линии ух и у2 имеют общие главные
нормали (кривые Бертрана), то кривизна н кручение линии <ух
(также и линии находятся в линейной зависимости:
ok + b% — 1 (а « const, b m const).
1680.	Доказать, что если кривизна и кручение линии у нахо-
дятся в линейной зависимости вяда ak + йх = 1 (а — const 0,
Ъ = const 0), то существует линия у*, имеющая с линией у об-
щие главные нормали.
1681.	Доказать, что линия с кривизной k ~ const Ф 0 является
линией Бертрана (см. задачу 1679).
1682.	НаДти эволюту циклоиды':
х = a (t — sin /), у = а (1 — cos /), z — 0, — 00 </<_]_ 00,
1683.	Найти эволюту параболы: у2 = 2рх, 2 = 0.
1684.	Найти эволюту трактрисы:
х = — a (cos t + In tg у = a sin t, 2 — 0, 0 < t <	00«
164
Г лава III.
ПОВЕРХНОСТИ
В ЕВКЛИДОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
(В пространстве Е3 задана прямоугольная декартова система
координат.)
§ 1. ГЛАДКИЕ ПОВЕРХНОСТИ.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ
1685.	Доказать эквивалентность погружений:
f ; /?2 Е3 | х «= ult у х* w2, z ==* и1 п2,
g : R2 ->	| х 4~ у = о1—о2, z (и1)2 —
1686.	Доказать, что погружения / и g задачи 1685 -экви-
валентны.	
1687.	Поверхность F задана погружением
f : 7?2 -> Е3 | х = pu1 cos и2, у == ди1 sin а2, ж =* А (г?)3,
р = const > 0; <7 = const >0.
Определить класс гладкости поверхности F.
1688.	В точках гладкой линии р « р (а1) задано векФоряое
поле е = е (пх). Написать уравнение линейчатой поверхности,
для которой данная линия является направляющей, a Stoop
e(ux) — направляющий вектор соответствующей прямолинейной
образующей.
1689.	Даны две линии г = г {и1), р «= р (и2). Написать уравне-
ние поверхностн, образованной серединами отрезков, концы ко-
торых лежат на данных линиях (поверхностей переноса).
1690.	Написать уравнение катеноида — поверхности, образо-
ванной вращением цепной линии у — nch —, аг =* 0 вокруг оси
(Ох).
1691.	Коноидом называют линейчатую поверхность, прямоли-
нейные образующие которой параллельны заданной плоскости (на-
правляющей плоскости коноида) и пересекают заданную прямую
(следовательно, у коноида одной из направляющих линий служит
прямая — направляющая прямая коноида). Чтобы звдать коноид,
достаточно задать направляющую плоскость, направляющую пря-
мую и еще какую-либо направляющую линию. Написать уравнение
коноида с направляющей плоскостью z — О, направляющей пря-
мой х = at у = 0 и направляющей линией у2 — 2pz, х = 0.
1692.	Доказать, что объем тетраэдра, образованного пересече*
нием координатных плоскостей и касательной плоскости поверх-
ности xyz — а\ не зависит от.выбора точки касания на поверхности.
1693.	Доказать, что сумма квадратов длин отрезков, отсекае-
мых на осях координат касательной плоскостью поверхности
W
3
x = (и1 sin м2)3, у = (a1 cos г/2)3, г = (а2 — (м1)2)2 (а = const > О,
—а	и1 < я, 0 и2 < 2л) постоянна.
1694.	Прямая g перемещается в пространстве так, что выпол-
няются три условия:
1)	прямая g пересекает ось (Ог) под прямым углом;
2)	точка g П (Oz) движется равномерно со скоростью п;
3)	прямая g равномерно вращается около оси Oz с угловой ско-
ростью со. Написать уравнение поверхности, которую описывает
прямая g при таком перемещении (эта поверхность называется ге-
ликоидом или простой винтовой поверхностью).
1695.	Написать уравнения касательной плоскости и нормали
к геликоиду: х = и1 cos м2, у = ахз1п к2, z — ап2 в точке (и1,^2).
1696.	Поверхность образована касательными к линии у. До-
казать, что касательная плоскость к этой поверхности одна и та
же во всех точках одной прямолинейной образующей (отличных
от точки ребра возврата).
1697.	На нормалях к поверхности Ф в положительном (отрица-
тельном) направлении отлажены отрезки постоянной длины. Концы
отложенных отрезков образуют поверхность Ф*, «параллельную»
Поверхности Ф. Доказать, что поверхности Ф и Ф* имеют в
соответствующих точках общие нормали.
1693. Доказать, что поверхности
Xs 4- у2 +	х? 4* у3 4- z2 = хй 4- У3 + z2 = сг
пересекаются под прямым углом (углом между поверхностями фх
н Ф2 в точке М € Ф1 А Фа называют угол между касательными
плоскостями к этим поверхностям в точке М).
1690. Доказать, что касательные плоскости поверхности пе-
реноса
R = г (it1) 4- р (к2)
вдоль каждой линии переноса (и1 = const н const) параллель-
ны некоторой прямой.
1700.	Доказать, что если все нормали поверхности пересекают
некоторую прямую* то эта поверхность является поверхностью
вращения.
1701.	Доказать» что если нормали поверхности проходят че-
рез одну и ту же точку, то эта поверхность содержится в некоторой
сфере.
1702.	Доказать, что все плоскости, касательные к поверхности
z = х3 4- у3 в точках (а, —а, 0) принадлежат одному пучку.
§ 2.	ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
1703.	Найти первую квадратичную форму сферы:
х = г cos иУ cos и2, у = г sin и1 cos й2, z =. г sin и2.
166
1704.	Найти первую квадратичную форму геликоида:
х — и1 cos и2, у “ и1 sin u2, 2 — uu2.
1705.	Найти первую квадратичную форму поверхности:
Z = f (х, у).
1706.	Доказать, что поверхность вращения можно параметри-
зовать так, что ее первая квадратичная форма примет вид:
ds2 = (du1)2 4- G(ux) (da2)3,
1707.	Сеть линий на поверхности называется чебышевской,
если отрезки линий каждого семейства, высекаемые двумя линиями
другого семейства, имеют равные длины. Доказать, что а) сеть
координатных линий на поверхности является чебышевской тогда
и только тогда, когда
dYn___q дуй2 __ q
ди2 ’ ди1	.
б)	на поверхности переноса R — г (и1) 4- Р (и2) координатные ли-
нии образуют чебышевскую сеть.
1708.	Доказать, что на геликоиде:
х = и1 cos и2, у — u1 sin и2, 2 — az?
дифференциальное уравнение (du1}2 — ((u1)2 + a2) (du2)3 = 0 опре-
деляет ортогональную сеть.
1709.	Найти уравнения линий иа геликоиде:
х == и1 cos и2, у == u1 sin u2, г = au2,
делящих пополам углы между координатными линиями.
1710.	На поверхности
X - (М1)2 + (и2)2, у = (ttl)2 (М3)* Z
вычислить длину дуги линии и2 — аиг между точками ее пере-
сечения с линиями u1 = 1, и1 = 2.
1711.	Дана первая квадратичная форма поверхности:
ds2 = (du1)2 + ((a1)2 + a2} (du2)2.
Найти периметр криволинейного треугольника, образованного
пересечением линий и1 =	(и2)2,	— 1.
1712.	На поверхности с первой квадратичной формой
ds2 — (du1)2 + sh2 u1 (dz?)2
найти длину линии ul — и2 между точками All (uL uf) и M3 (uL u2).
1713.	Найти угол между кривыми и2 — и1 + 1 н и2 — 3 — и1
на поверхности:
х — и1 cos I?, у = иЧш u2, z — (а1)2.
U7
1714.	Найти угол между кривыми и1 + w2 — 0, и1 — и2 ~ О
на геликоиде:
х ~ и1 cos и2, у — и1 sin u3, z = аи2.
1715.	Найти внутренние углы криволинейного треугольника,
указанного в задаче 1711.
1716.	Найтн площадь треугольника, образованного пересе-
чением линий и1 == + ап3, и2 =* 1 на поверхности с первой квадра-
тичной формой:
ds? « (du1)2 + ((t?)2 + a2) (du2).
1717.	Найти площадь четырехугольника на геликоиде:
х ~ и1 cos и2, у ™ и1 sin u2, z ^=au2t
ограниченного линиями ы1 = 0, и1 — а, и2 — 0, и2 — 1.
1718.	Доказать, что на плоскость наложима каждая из следую-
, щих поверхностей:
1)	цилиндрическая поверхность;
2)	коническая поверхность;
3)	поверхность, образованная касательными к гладкой линии.
1719.	Поверхность называется развертывающейся, если она
наложима на плоскость. Доказать, что не существует других раз-
вертывающихся поверхностей, кроме указанных в задаче 1718.
1720.	Доказать, что если поверхность допускает такую па-
раметризацию, при которой коэффициенты первой квадратичной
формы постоянны, то эта поверхность локально изометрична
плоскости.
1721.	Доказать, что сфера даже локально не изометрична плос-
кости.
1722.	Доказать, что изометрическое отображение плоскости
на себя есть движение.
1723.	Доказать, что существует изометрическое отображение
области на геликоиде:	* .	, .
х к1 cos и2, у = и1 sin z ~ au2t 0 и2 < 2л
на катеноид:
х == у1 cos о3, у =* tA sin о2, z = a arch —,
при котором прямолинейные образующие геликоида переходят в
мернднаны катеноида.
1724.	Пусть Фь Ф2 — гладкие поверхности. Диффеоморфизм
h : Фг Ф2 называется конформным отображением, если он со-
храняет величину угла между кривыми. Пусть г — г (и1, и2),
р ~= р (и1, с,2) — параметризации поверхностей Фг и Ф2 соответст-
венно. Доказать, что:
1) если при этих параметризациях коэффициенты первых
квадратичных форм поверхностей Фь Фа пронорциональиы, то
отображение h : Фх -> ф2 по закону и1 «= u\ « ц2 конформно;
ш
2) обратно, если отображение k: Ф} -> Ф2 по закону и1 = н1,
и8 «а конформно,’ то коэффициенты первых квадратичных форм
поверхностей пропорциональны.
1725.	Пусть Фх и Ф2 —тладкне поверхности. Диффеоморфизм
У Ф, Ф2 называется эквнареальиым отображением, если он
сохраняет площади квадрируемых фигур. Доказать, что если ото-
бражение/ : Ф^-^Ф* конформно н эквиареальио, то оио изометри-
ческое.
1726.	Доказать, что всякая прямая на поверхности является
геодезической линией.
1727.	Дифференциальное уравнение геодезических линий по-
верхности . г.» г й\ п2) моде но з а писать в внде: (Af, dr, d^r) О,
где М ~~ вектор нормали поверхности. Доказать.
1728.	Доказать, что меридианы поверхности вращения — геоде-
зические линии, а параллель будет геодезической тогда и только
тогда, когда касательные к меридианам в ве точках параллельны
Оси вращения. .	*	' г 
1729, Найти геодезическуюДфивйЙйу окружности радиуса г,
лежащей на сфере радиуса ₽.
1730. Найти геодезическую кривизну винтовой лннин и1 =? с =<
*= const, лежащей на геликоиде:	-
х = и1 cos на, у — и1 srn u2, z = аай<
§ з. вторая квадратичная Форма поверхности
-1731» Доказать, что вторая квадратичная форма плоскости
тождественно равна нулю, вторая квадратичная форма сферы
пропорциональна ее первой форме.
1732. Найти вторую кйадратичную форму катеноида:
х	У (и1)2 4- a* cos и2, у =* У (м1)2 + a2 sin
z = а 1п (и1 4- У (w1)2 4- а2).
1733, Найти главные кривизны поверхности:
х «= cosu2 — Й1 4- н2) sin и\ у — sin н2 4- й1 4- н2) cos н2, % = Ц1 -4-
+ 2^а. -  '	У   -	-- /	 ‘
1734.	Найти главные кривизны геликоида:
х — и1 cos у и1 sin a2, z = аи2,
1735.	Доказать, что главные направления геликоида (см. за-
дачу 1534) делят пополам углы между направлениями образующей
и винтовой линии.
1736.	Найти линии кривизны параболоида z *= аху.
1737.	Доказать, что иа плоскости и сфере любая кривая яв-
ляется линией кривизны, . .
U9
1738.	Доказан^ что только вдоль линии кривизны нормали к
поверхности образуют развертывающуюся поверхность.
1739.	Гладкая поверхность отнесена к изотермическим коор-
динатам (тогда первая  квадратичная форма имеет вид: ds2 =
~ л2 ((du1)2 -F (du2)2)). Вычислять полную кривизну поверхности
в точке <$г, и2)_
1740.	Гладкая поверхность отнесена к полугеодезическим коор-
динатам (тогда первая квадратичная форма имеет вид: ds2 «=
*= (du1)2 4- Тза (da2)4.. Вычислить полную кривизну поверхности
в точке (zz\ и2).
1741.	Пусть координатные линии на гладкой поверхности об-
разует чебышевскую сеть. Доказать, что
а)	первую квадратичную форму поверхности юшо привести
к виду ds2 = (du1)2 ф- 2 cos to du1 du2 4- (du2)2;
б)	полная кривизна поверхности /( = —где ю12 = ——
	ski а	di^au2
1742.	Найти полную и среднюю кривизну геликоида:
х = u1 cos и2, у == ul sin и2, 2 =• uu2
в точке (u1, us).	'	.
1743.	Доказать, что если средняя кривизна поверхности равна
нулю в каждой точке, то асимптотическая сеть ортогональна.
1744.	Дана. поверхность постоянной средней кривизны 77.
На всех ее нормалях в положительном (отрицательном) направлении
отложены отрезки длины Доказать, что концы этих отрезков
образуют поверхность (параллельную данной) постоянной полной
кривизны.
1745.	Поверхность Ф* параллельна поверхности Ф. Доказать,
что линиям кривизны поверхности Ф соответствуют липни кри-
визны поверхности Ф*.
нА 
Глава дополнительная.
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
& 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ
1746.	В прямоугольном равнобедренном треугольнике ЛВС,
С ~ 90°, проведены-медианы lAAjl и LBBJ. Вычислить косинус
угла между этими медианами.
1747.	Длина стороны правильного треугольника АВС равна
а. При повороте на угол $ вокруг своего центра треугольник пере-
ходит в треугольник А^ДСр Вычислить площадь пересечения этих
двух треугольников.
1748.	Дан правильный треугольник АВС со стороной длины
а и принадлежащая ему точка Ж. Вычислить сумму расстояний этой
точки до сторон треугольника. -
1?0
1749.	Найти зависимость между величинами углов треугольни -
ка, если ортоцептр треугольника является серединой одной из
его высот.
1750.	В равнобедренном треугольнике длина высоты, проведен-
ной к боковой стороне, равна половине длины этой стороны. Вы-
числить углы треугольника.
1751.	Найти зависимость между длинами сторон треугольника
АВС, если медианы [ДДХ] и образуют угол 60°.
1752.	Дан треугольник АВС, точка-— проекция вершины
С на прямую (ДВ). Найти зависимость между длинами сторон
треугольника, если |CCiP= |CiA|- |СХВ|.
1753.	Найти зависимость между углами треугольника АВС,
если биссектриса 1CCJ треугольника видна из центра описанной
окружности под прямым углом.
1754.	В данную окружность радиуса R вписан равнобедренный z
треугольник. Какое наибольшее значение может принимать длина
высоты этого треугольника, проведенной к его боковой стороне,
и при каком значении угла при вершине треугольника?
1755.	Дан равнобедренный треугольник АВС с углом 100°
при вершине С. Через вершины А и В проведены лучи 1ЛЛ1) и
{ВМ) (М £ А А ВС), такие, что МА В — 30°, MBA — 20°. Вычис-
лить величину угла АСМ.
1756. Даиы два конгруэнтных отрезка [АВ] и [Д1В1]. Каким
должен быть угол между прямыми (АВ) и чтобы расстояние
между серединами М и N отрезке® IAB] и (AiBJ было равно
1|АВ|?
1757.	Касательные в вершинах А и В треугольника АВС,
вписанного в окружность, пересекаются в точке S. Прямая (CS)
пересекает (4 В) в точке М. Вычислить отношение |ДЛ1| : |Л1В|,
если известны длины сторон треугольника.
1758.	В треугольнике АВС проведены две высоты [A/7J и
1ВН2]. Вычислить величину угла С треугольника, если HiMH% =*
= 90°, где М — середина стороны L4BL
1759.	Найти зависимость между сторонами треугольника АВС,
если его медиана [AAX], высота [BBJ, биссектриса [ССХ] пересе-
каются в одной точке.
1760.	Дан равнобедренный треугольник АВС (|АВ| ~ | ВС|)
с углом при вершине 30°. На стороне {ВС] построена точка D так,
что | АС| : \BD| « ]Л2. Найти величину угла DAC.
1761.	Через вершины А и В острых углов прямоугольного
треугольника АВС проведены лучи, пересекающие противополож-
ные катеты в точках Ах и Вх. D — точка пересечения лучей. Вы-
числить углы треугольника A^BJ), если 
т
A1AC = -Lf,
1762.	Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна
1, а точка пересечения медиан лежит на вписанной в него окруж-
ности. Вычислить периметр треугольника.
1763.	Найти углы равнобедренного треугольника, у которого
длина основания равна р, а длина боковой стороны равна q, если
р3 — 3pq2 (f КЗ = 0.
1764.	Зная величину угла при вершине А треугольника АВС,
найти величину острого угла между биссектрисами внутренних
углов при основании 1ВС].
1765.	Зиая величины углов при основании [ВС] треугольни-
ка АВС, найти величину угла между высотой и биссектрисой угла
при вершине Л. -
1766.	Зная величины углов прямоугольного треугольника,
найти величину угла; между высотой н медианой, проведенными нз
вершины прямого угла.
1767.	Длины сторон треугольника АВС равны а, Ь, с соответ-
ственно. Из вершины А проведены: медиана (АЛЛ стороны LBC],
высота [АВ] и биссектриса LAR] угла ВАС треугольника. Найти
отношение трех точек М, Н, К.
1768.	Найтн длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС,
если | АВ] == с, I АС| == Ь, ВАС Д.
1769.	В треугольнике АВС дано: |АВ| с, | ДС| = b и та^*
где та —длина медианы стороны (ВСЕ Найти величину
угла ВАС.
1770.	В треугольнике АВС дано: |АВ| — с, |АС] = b, (АВ] —
биссектриса угла ВАС треугольника, |В£>| — if, | CD j = bf. Вы-
числить |AD |.	. i .	. . • . ..,... . .
1771.	Найти площадь треугольника/ если даны длины b н с
двух его сторон и длина t биссектрисы угла между этими сторо-
нами. !	<
1772.	Точка М лежит внутри треугольника. Расстояния этой,
точки до прямых, содержащих стороны треугольника, равны х,
у, г, а соответствующие высоты треугольника имеют длины
й2, /г3. Вычислить сумму ~ Д-~ + р	v
л3
1773.	На сторонах [ВСЕ 1СА] и IAB1 треугольника АВС взяты
соответственно точки R, Q, R, такие, что (ВС, Р) =« а,(СА, Q) =* р,
(АВ, R) — у. Найти отношение площади треугольника PQR к
плошадй треугольника АВС.; -
1774.	Зная величины углов треугольника АВС, найти величину
угла между медианой и высотой, проведенной из вершины А.
1775.	Прямая, параллельная основанию треугольника площади
S, отсекает от него треугольник площади Sf , Найтн площадь че-
тырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами
<72
меньшего треугольника, а четвертая принадлежит основанию боль-
шего треугольника.
1776.	Зная длины hu hit hfWttn треугольника, найти его пло-
щадь.
1777.	Зная длины та, тсмедиан треугольника, найти его
площадь.
1778.	Известны длины а, &, с сторон треугольника АВС. Йайти
радиус г вписанной окружности и радиус га вневписанной окружно-
сти, касающейся стороны {ВС].
1779.	Зная длины а, Ьу с сторон треугольника, найти радиус
описанной окружности.
1780.	Вычислить площадь треугольника, знай радиус г впи-
санной окружности и радиусы ra, rbt гс вневписанных окружностей.
1781.	Дан треугольник ЛВС. Найтн зависимость между радиу*
сами вписанной, описанной н вневписанной окружностей.
1782.	Даны три параллельные прямые d2, dB (различные),
причем d2 содержится в полосе, ограниченной; прямыми d3i
р (dlt d2)= а, р (d2, d3) = b. Вычислить площадь правильного
треугольника, вершины которого лежат на данных прямых.
1783.	Стороны треугольника АВС разделены в отношениях
(ВС, Р) « а, (СД, Q) = р, (ДВ, Р) « у. Найтн отношение пло-
щади треугольника А'В'С', стороны которого лежат на прямых
(ДР), (BQ), (СР), к площади треугольника ДВС.
1784.	Площадь прямоугольного треугольника равна 6 кв. ед.,
а радиус вневписанной окружности, касательной к одному из ка-
тетов, равен 3. Найти длины сторон треугольника.
1785.	Найти величины углов прямоугольного треугольника,
зная, что радиус описанной около него окружности относите и к
радиусу вписанной окружности как 512.
1786.	Через середину стороны правильного треугольника про-
ведена прямая под углом а ^0 < а < ^0 к этой стороне. В каком
отношении эта прямая делит площадь треугольника?
1787.	В треугольнике АВС : А ~ 2В, |ДС[ = Ь, | АВ| = с.
Найти | ВС|.
1788.	Треугольник АВС, длины сторон которого 13, 14, 15,
разделен на. две равновеликие части прямою (ХУ), перпендикуляр-
ной к большей стороне. Найтн длину отрезка (ХУ) Л ДДВС.
1789.	В правильный треугольник, длина стороны которого
равна 3, вписан другой правильный треугольник, втрое меньший
первого по площади. Найти расстояние между смежными верши-
нами этих треугольников.
1790.	Зная длины а, &, с сторон треугольника ДВС, найтн
длину биссектрисы угла ВАС треугольника.
1791.	Известны длины сторон треугольника АВС: | АВ\ — с,
MCI == b, | ВС| т== а. Найти расстояния точек В и С от прямой,
содержащей биссектрису угла ВАС.
т
£792. Дан треугольник, мины сторон которого 36, 29 и 25.
Середина /И большей стороны проектируется ортогонально на боко-
вые стороны в точки N и /С Найтн площадь треугольника М\'К.
1793.	Дан треугольник АВС, длины сторон которого | ВС] = а,
| /1Ci----b, j АВ^=с. Точка Л4, лежащая внутри треугольника, проек-
тируется ортогонально на прямые (ВС), (ДС), (ЛВ) в точки Л1г, Л42,
М3 соответст&езпзо, причем |М{=рГч | А<Л1£|=р2т |Л1Л43| —р3.
Найти и лошадь треугольника
1794.	Дан треугольник, длины сторон которого равны а, Ь, с.
Найти периметр треугольника, вершинами которого служат осно-
вания высот данного треугольника.
1795.	Через точку, лежащую внутри треугатъника, проведеиы
три прямые, параллельно сторонам треугольника. Эти прямые
разделяют треугольник на шесть частей, из которых три части
являются треугольниками с юощадями В3. Найти площадь
данного треугольника.
1796.	Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС при
повороте около середины одного из катетов на угол 45° перешел
в треугольник А 'В'С'. Найти отношение площади фигуры АЛ 'B'Cf Q
f) ЛАВС к площади треугольника АВС.
1797.	Равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, дли-
на катета которого равна а, при повороте около вершины пря-
мого угла на угол 30° перешел в треугольник Л'В*С'. Найти пло-
щадь фигуры	f| А Л ВС .
1798.	Зная длины а, Ь, с сторон треугольника, вычислить пло-
щадь треугольника., вершинами которого служат основания бис-
сектрис данного треугольника.
1799.	Дан треугольник с длинами сторон а, Ь, с. Центр тяжести
проектируется ортогонально на прямые, содержащие стороны
треугольника, в точки <эн G2, G3 соответственно. Найти площадь
треугольника
§ 2.	МНОГОУГОЛЬНИКИ
1800, Дан параллелограмм, стороны которого пропорциональ-
ны его диагоналям. Вычислить коэффициент пропорциональности.
1801.	Длина стороны правильного пятиугольника равна а.
Вычислить расстояние от вершины пятиугольника до середины
противолежащей стороны.
1802.	В квадрат со стороной длины а вписан прямоугольник
так, что на каждой стороне квадрата лежит вершина прямоуголь-
ника. Вычислить длину диагонали прямоугольника, если его
площадь равна 3.
1803.	Дан выпуклый четырехугольник ABCD. На сторонах
[ЛВ1 и ЮТ] построены соответственно точки .М и А'’ так, что
| ЛВ|:] MB] — ] CD| : | AT)] k. ’Вычислить отношение площади че-
тырехугольника AMCN к площади данного четырехугольника.
1804.	В трапеции ABCD параллельно ее основаниям 1ЛВ1
174
и [CDJ, длины которых равны а и проведены два отрезка. Конны
отрезков принадлежат боковым сторонам трапеции. Вычислить
длины этих отрезков, если они делят трапецию па три равновели-
кие части.
1805.	Длина стороны правильного шестиугольника' ABCDEF
равна а. Вычислить расстояние [АЖгде М —середина сторо-
ны [CDI.
1806.	Вычислить сумму квадратов расстояний любой точки Р
‘плоскости до прямых, содержащих стороны правильного п-уголь-
ника, лежащего в этой плоскости, если радиус окружности, описан-
ной около «.-угольника, равен R* а расстояние от Р до центра ок-
ружности равно d.
1807.	Дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной
длины а. Точки М и ЛГ — середины сторон [ВС] и [CDL Вычислить
расстояние от точки М до середины Р отрезка [А#].
1808.	Дан параллелограмм Л BCD. Выразит!? расстояние от
центра окружности, описанной около треугольника АВС, до вер-
шины D через радиус R этой окружности и длины сторон треуголь-
ника ЛВС.
1809.	Вычислить углы четырехугольника ABCD, если С АВ
= 30% DBC = 30°, ЛСР - 45% BDA = 45%
1810.	Окружность радиуса £ проходит через две смежные вер-
шины квадрата. Вычислить длину стороны квадрата, если рас-
стояние между центрами окружности и квадрата равно
181L Противоположные стороны выпуклого шестиугольника
ABCDEF попарно параллельны и конгруэнтны. Какую часть пло-
щади шестиугольника составляет площадь треугольника АСЕ?
1812.	Найти точку, сумма расстояний когорой.от вершин дан-
ного выпуклого четырехугольника — наименьшая.
. 1813, Зная длины а н & (а > Ь) основапий трапеций, найти дли-
ну отрезка, соединяющего середины ее диагоналей.
1814.	Зная длины а и b оснований трапеции, найтн длину
отрезка, параллельного основаниям, содержащего точку пересече-
ния диагоналей и имеющего концы на бокшых сторонах трапеции.
1815.	Зная длины а и b оснований трапеции (а > найти дли-
ну отрезка, параллельного основаниям, содержащего точку пере-
сечения продолжений боковых сторон и имеющего концы на про-
должениях диагоналей трапеции.
1816.	[АВ] и [CD]' — основания трапеции ABCD. Найти за-
висимость между длинами сторон и диагоналей трапеции.
1817.	ABCD — параллелограмм, Р — середина [АВ], Q — се-
редина [ВС], R — середина [DC], В — середина [AD1. Полоса,
ограниченная прямыми (AQ) и (SC), пересекает полосу, ограничен-
ную прямыми (DP) и (BR), по параллелогра&гасу. Найтн .отноше-
ние площади этого параллелограмма к площади данного паралле-
лограмма.
»5
1818.	Трапеция разделен а диагоналями на четыре части. Най-
ти площадь трапеции, зная площади Slf частей, примыкающих
к основаниям.
ж1819. Вычислить сумму квадратов длин хорд, соединяющих
произвольную точку окружности радиуса R ~ 1 с вершинами
правильного вписанного в эту окружность пятиугольника.
1820.	Л,-В, С, D — четыре последовательные вершины пра-
вильного 7-угольника*Найтнзависимость между |ДВ|,|4С|н| AD].
1821.	Две квадратные пластинки расположены так, что цент-
ры их совпадают, а величина угла между их диагоналями равна а.
Найти периметр и площадь образовавшейся 8-конечной звезды,
если длина стороны каждой пластинки равна а,
1822.	Дана равнобочная трапеция с длинами сторон: .основа-
ния ми 7 см и 1 см и боковой стороной 5 см. Найти площадь опи-
санного круга.
1823.	Два правильных Многоугольника имеют конгруэнтные
стороны, а внутренний угол одного вдвое больше внутреннего
угла другого. Найти отношение площадей: этих многоугольников.
1824.	Зная пл ощади Sx * и правильных вписаины х мн огоу голь-
ников с числом сторон и и 2п, найти площадь правильного вписан-
ного 4п-угольника.
1825.	Правильный шестиугольник F со стороною длины а
разделен прямойД проходящей через вершину шестиугольника,
на две части, площади которых относятся как 2 : 3. Найтидлниу
отрезка d f| F.
1826.	На сторонах треугольника данной площади построены
квадраты. В каком случае сумма площадей этих квадратов мини-
мальная?
1827.	Известны длины сторон треугольника: 52, 56 и 60. Па-
раллельно большей стороне проведена секущая так, что пери-
метр полученной;трапеции равен 156.-Найти плодадь трапеции.
1828.	Найти площадь равнобочной трапеции, диагонали ко-
торой взаимно перпендикулярны, а длина-высоты равна h.
1829.	Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей
трапеции параллельно ее основаниям, разделяет трапецию иа две
части* Найти отношение площадей этих частей, если основания
трапеции имеют длины а и Ь.
1830.	Известны длины основан ий трапеции ABCD: | А В | ~
= a, |DCf»’ Ь (а > Ь). На продолжении меньшего основания найти
точку М, так, чтобы прямая (4 М) разделяла трапецию на две равно-
великие части.
§ 3.	ОКРУЖНОСТИ И КРУГИ
1831.	В полукруг радиуса R вписана трапеция, я которую мож-
но вписать окружность. Вычислить радиус г этой окружности.
1832.	Точки М и У — центры гомотетий двух пересекаю-
щихся в точках А и В окружностей. Найти величину угла M4Af.
1833.	Найти зависимость между сторонами треуйлыйКжЛЯС;
вписанногов окружность сцентром О, если медиана |CCJ перпен-
дикулярна радиусу [0С1.	-
1834.	Две окружности пересекаются в точках А и -В9 общая
касательная этих окружностей касается их в точках М и N. Найти
сумму МАМ 4- /ИВА/,
1835.	В окружность радиуса./? вписан правильный п-угольник
Вычислить сумму IA44J2, где М — точка, при^
г=4
надлежащая окружности.
1836.	Даны две концентрические окружности. Построен квадрат,
две смежные вершины которого принадлежат одной окружности, а
две другие — другой. Выразить площадь квадрата через радиусы
Л и г2 данных окружностей.	_4.
1837.	Вычислить проекцию высоты M4J треугольника ЛВС
на касательную в точке С к окружности, описанной? вокруг тре-
угольника, если известны радиус Я окружности и площадь S тре-
угольника.
1838.	Около равностороннего треугольника АВС описана ок-
ружность, Р — произвольная точка окружности. Вычислить суммы:
St=|W-h|/W -h )РС|2, S2= |W+ TW + IW,
если |/W| ™ «. '
1839.	В плоскости даны окружность радиуса Я и точка Р.
.Вычислить сумму; | w 4- 1РВ1* 4- |РС|4 + ]	, где ABCD —
квадрат, вписанный в данную окружность.
1840.	Даны длины а и b хорд окружности радиуса Я.Найти
длину хорды, соответствующей сумме дуг, которые стягиваются
данными, хордами,.	.. .	; . ...
1841.	Две окружности, радиусы которых равны а; и ^ пере-
секаются. Расстояние между их центрами равно а Найти радиус
окружности, касающейся данных окружностей н их Касательной.
1842.	Прямоугольный сектор радиуса R разделен на две части
дугой окружности того же радиуса с центром в конце дуги секто-
ра. Найти радиус окружности, вписанной в меньшую из этих
частей.
1843.	Вычислить площадь криволинейного треугольника, огра-
ниченного дугами трех окружностей радиуса г, которые пойарпо
пересекаются под прямыми углами.
: 1844. Окружности радиуса г касаются внешним образом три
конгруэнтные окружности, касающиеся попарно между собой.
Найти площади трех криволинейных треугольников, ограничен-
ных дугами указанных окружностей.
1845.	Два круга радиуса Я расположены так, что центр каждого
из них лежит на окружности другого. Найти радиус круга, вци-
7 Заказ 3412
санного в общую часть этих кругов и касающегося их линии
центров.
1846.	Найти длину стороны квадрата, вписанного в сегмент
круга радиуса г, если хорда этого сегмента стягивает дугу в а
градусов. 
1847.	Центры четырех кругов расположены в вершинах квад-
рата со стороной длины а. Радиусы всех кругов также равны а.
Найти площадь общей части всех кругов.
1848.	Даны длины трех хорд 2а, 2а, 2& трех дуг окружности,
в сумме составляющих полуокружность. Найти радиус этой ок-
ружности.
1849.	Две окружности радиусов R и г касаются внешним обра-
зом. Найти радиус окружности, касающейся этих окружностей
и их общей внешней касательной.
»	1850. Три окружности радиусов Rb R2, R3 попарно касаются
внешним образом. Найти радиус окружности, проходящей через
точки касания.
г 1851* Две окружности радиусов R и г пересекаются под прямым
углом. Найти длину их общей касательной.
1852.	Пусть С С 1ЛВ], |ЛС| = 2а, |ВС| = 2&, а =/= Ь. На от-
резках [ЛВ1, [ЛС], [CBI как иа диаметрах построить полуокруж-
ности, расположенные в одной полуплоскости, ограниченной пря-
мой (ЛА). Найти радиус окружности, касающейся всех построенных
полуокружностей.
1853.	Три окружности радиусов R2> Ra касаются попарно
внешним образом. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окруж-
ностью от общей внутренней касательной первых двух окружностей.
1854* Через две смежные вершины квадрата проведена окруж-
ность так, что длина касательной к ней из третьей вершины равна
удвоенной длине стороны квадрата. .Найти радиус этой окружности,
если площадь квадрата равна 10 кв. ед.
1855. Окружности радиуса R = 2 касается внутренним образом
2
другая — радиуса г == —. Найтн радиус окружности, касающейся
3
данных окружностей и их линии центров.
п
1856.	Две окружности радиусов R и ~ касаются внутренним
4
образом в точке Л. Через центр большей окружности проведен
диаметр [ВС], касательный к меньшей. Найти площадь треуголь-
ника ЛВС.
1857.	Две окружности радиусов R н г касаются внешним об-
разом. Найти расстояние от точки касания до общей внешней ка-
сательной.
1858.	Две окружности радиусовТ? и г касаются в точке С и
к ним проведена общая внешняя касательная (ЛВ), где Л н В —
точки касания. Найти длины сторон треугольника ЛВС.
1859.	На диаметре круга радиуса г построен правильный тре-
угольник. Найти площадь той части его, которая лежит вне круга.
<78
1860.	Дан треугольник с длинами сторон af b, ct Построена
окружность, касательная к двум первььм сторонам и имеющая
центр на третьей стороне. Найти радиус этой окружности.
1861.	Окружность касается большего катета прямоугольного
треугольника, проходит через вершину противолежащего острого
угла и имеет центр на гипотенузе. Найти ее радиус, если известны
длины 3 и 4 катетов.
1862.	В равнобочную трапецию с длинами оснований 8 и 2
вписана окружность. Найти ее радиус.
1863.	Расстояние между центрами двух кругов радиуса г рав-
но г. В общую часть этих кругов вписан квадрат. (Вершины квад-
рата лежат на границе общей части кругов.) Найти длину стороны
квадрата.
7*
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
4. Не будет. 6. b =* — ~~а.	'' 
О	4	 4 J7 . 1 _ ''ь:' ' 
9. АВ == DC, или ОА + ОС =* ОВ 4" 0Dt где О — произвольная тонка
илн ЛС=ЛЯ4-АР.	
13. Воспользоваться тем, что композиция симметрий есть перенос.
И. Выразить векторы точек М, W, /С, В через Л, В, С, D и, учитывая, что
Л!NKL — параллелограмм, т. ё. Л4+ Л'+-L, показать, что Я-{-С~
«= В 4“ Di При X — 1 это высказывание ложно.
15. 1) а 2) И?; 3) а ft &; 4) aft?; 5) a f| Ь; 6)af|a
20. См. задачи 7 и 19.
“г-*	лкт, 4~ JHftT& 4~	4-	.
24. 0М~~^-~—;	(использовать индукцию по я).
29,
за
31.
32.
4- W4" 4- тп
Использовать условие сон а п равлеияссти векторов АС и АВ.
1) a 4-₽ = 1, 2) a 4“0 == 1, а 0, 3) а 4“Р “ Ъ
Выразить вектор MN через АС и BD.
Если точки Дъ Д2, Д3, А4 принадлежат одной прямой, см. задачу 28.
Пусть хотя бы три точки Ль At, Ав не принадлежат одной прямой, т. е, векторы
д7^ и ЛхХ не коллинеарны. Если точки Лп Л2, Ля, А4 принадлежат одной пло-
скости, то АдА4 = лЛ^Л2	цЛ1 Л3 или РЛ4—РЛ^—А (РЛ2—P4j)4-p .(^43—
Отсюда (% 4~р — 1) PAt — рРЛаРЛ4~ 0. Обозначив ос4== X4-р — 1,
а2 =2 —X, а3 = —Ц, a4 1, получим 04 4~	4-	4 »^ — 0. Обратно.- пусть
ttjSXi 4^ a-2^2 4- а/Мз 4~ ех4= "б. cq 4 a2 + аэ 4- a4 ~= 0 и 0. Тогда
21М,Ч- —Р4 + -Р^з + Ml	= — — PAi -	-г
Wf.,	,сй^	.	.. ,tt| • a4
ш—*"*—ОС»"'"	(Xi “4“ Gt* "Х.	^5	л3 п
-PAt. AlAt = — —РА.,-----SPA,~ ..l'- '* РА,= — -Р^— уРА,+
(Zj	0С4 _	0С4	**
+ 5Ь±«1р21 = -^аД!---Мз-	'
sc4	ос4 tt4
Таким образом, А^ == ХЛгЛ2 4- р^Мз, откуда следует, что точки Alt Аг,
Дз, А4 принадлежат одной плоскости.	-
180
«3?
a4
В 4~ UBt 'А 4- Mi I, -
34. Примем вершину С за начало, G-=» г—, G —	Чтобы до-
1 4" |х 1 ~т* л
казать, что X 4* р =* I» достаточно из этих равенств выразить Яги Bi и учесть,
-> 1 - -> -> ->
что 6 = — (А -Ь В), Аг =* kBv
О
— • >	-► *—»	—>	—*	b 4* А», с -—с	-—
,36. Пусть АВ — b, АС — с. Тогда AAt =» -	, АВ( ~	--- АС^
1 ь
——Учитывая, что по теореме Менелая	— 1, выразить данные век-
торы через 6, с и Хъ и убедиться в пропорциональности коэффициентов полу-
ченных разложений.
38. См. задачу 37.
39. Примем общий центр тяжести обоих треугольников за начало. .Тогда
Ai -Ь А2 -Ь А3 ~ 0 (1), Bj -И Ва +	0 (2). По условию коллинеарности трех
точек имеем: Вг — ktAs 4- (1 — &i)A3, В2 == Л2АД 4~ (1 —	Л3А1 +
+ (I — М Аа. Используя равенство (2), получим:
г->1+А	' ' '
3 kr — k2 — i
1 -Г «1 — «3 л
V 7 ГЛг*
— k2 — 1
?8~
Но согласно равенству (1) имеем: А3 ——Aj — А3. Учитывая, Что векторы Aj и
А^ не коллинеарны, приравняв коэффициенты прн Aj и А2 в обоих разложениях,
получим, что =?.ЛГ
4Б. 1)АР = (—“ 1 РВ~ (——,	1
’	U4-1 М-1/	"• ДМ 1 Ж/
_> -	Ь	с	Л	• : ‘1.
46.	АО —-----АВ 4----АС, где Ь—|АС|, с^|АВ{.
b 4-с »"Ьс	.
47.	а— 26.	48. m = 2л —р. .	
4#.Т) (4;-А:); 2) (4;5>. '.. .		.
51.	АЯ(2; 1), ВС(-~ 1; 1), АС(1; 2), AM (1; 1).
—>	—*	—* /	3	1 \
53.	ААр; — 1; 0). DOt(— 2; 2;-2>, АР — ^; 0 .
57.	Пусть [СО1 П (АВ] = М. Тогда ОО =» 2ОМ — ОС, OAl^feOA,
|ОлТ| = [&]/?*, где 7? —< радиус окружности, описанной около Треугольника АВС;
Так как СОВ ==* 2 Af —cos 2 А (с учетом направлений векторов ОМ и О А).
Следовательно,
OD « — ОС— (2 cos 2А) • QA*
-+ а b
68. 0
|а I |б |
лм
—>	1 _>	14- Л—>
59. 2) MB — ~~МА -4- “т МС;
'	 X X
 >	1 -4* X • »	1 "4“ Хтт*
3} АВ	МА -4- ~“ЛК?.
X	X
/ 1 1
60. (0; —1; -1).	61.	-р
«2. Йв(-1, 4. -Д, S?(0, 4,
\ Z 2 /	\ о
1 2^
з’ з/
2
64. cos АВС -------. 65. 1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) пет.
3
66. 1) Разность квадратов Длин диагоналей параллелограмма равна учет-
веренному произведению длин двух смежных сторон на косинус угла между ними.
67. пр_^ = пр.^с . 70. >^133; 7.	76.	.
а а	3
л . п	1/2
?7. 1)	2) — 3) arcCos |/
АВ • ДС
79. ВВй =——-----ЛС— АВ.
АС*
4
78. згссоз
5
80. (а2 —Ci), (—a2t ау).
а 4- b
82.-^.
83. См. задачу 58.
*a-kXas	Лс
84. 2) СО2 = — -------------—------
1 X (1 Д- X)2
2 г_____________
У Ьср (р — а), где
4) а)
1
Р = — (а + b + с);
б) 7---VЬс (р — Ь) (р — с) считая b > с\
о —с
в) 4/2 (&’+<?)- Л
£
85. Пусть Дх Л2 ... Аа — данный л-угольннк и Affl— его внутренняя точ-
ка. Основание перпендикуляра, проведенного через Л4в, не будет внутренней точ-
кой отрезка [Л1Л2] тогда и только тогда, когда Л^Л1в • Л^Л2 < 0. При »том
I/И0Д2| >| /И0Аа |. Предположим (вопреки утверждению задачи), что для любой
стороны n-угольника имеем:
Л^Л40 • Л/Л(+1	0.
Тогда получим:
I ^41 < 1 ЛМ21 < IМ0Л31 <...<} ММ < | AMJ. '
Получили противоречие; < I-MiHiJ, которое доказывает, что сделанное
предположение было неверным.
482
86, Умножить равенство Д^Д^ 4- Д2Да 4е ••• 4s ЛлА1 0 скалярия на
орт а0 вектора Д^А^ или на орт Д>, ортогональный вектору а0.
87. Пусть (АВ) Л 2, В £ 2. Примем точку А за начало. Согласно условию»
имеем: X • ¥—* d\ X — &Yt (X — В) В —0. Исключив k и X, получим уравпе-
_>	d2> ->	d2
иие У2 — ~ У • В — 0, которое можно привести к виду: / У —	• В ==
В2	\	2Ва	/
d*	d2
₽» —Полученное уравнение определяет сферу радиуса ----- с центром в
4В2	2|ДВ|
точке Q такой, что
d2	—*
AQ	. АВ.
2| ЛВр
1	_> *	- > х	>	'
. 2а - b + 62 ,
Л	k 
90. Ортогональная проекция пр_> ж =» -—; Следовательно, если от некоторой
точки 0 пространства отложить направленный отрезок ОД 6 а, то концы направ-
ленных отрезков ОХ $ х будут лежать в плоскости, перпендикулярной к прямой
|fc|
(ОД) и отстоящей от тючки О на расстояние —. •	'
}а|
91. Можно положить р = аа + Р 6 Д-ус. Далее использовать равенства:
а • р » 0, Ь • р =» 0.
96.	Если координаты искомого вектора обозначить через (а,р,у), то
“=1МФ- ₽=lv2N w
1 иг Ya i	I Ya ^2 I	1 P® I
97.	cos BSC + cos Д5В — cos ASC == 1,
98.	Отложим на ребрах данного трехграиного угла единичные векторы:
ОД = elt ОВ = е%, ОС е9; тогда ад» cos у, <pj»cosfl, — cos а.
Пусть (CD) 1 (АОВ), D £ (АОВ). Тогда OD =	4" W Используя условия,
что CD • ev =» 0, CD - е2 0, можно найти значения р я q, а затем
OD  е3 р cos Р 4- Я cos Y
cos (р = ——7— —	~ . откуда:
[ OD | У Р* + <73 4-2^сов ф
cos tp У(1 — cos2 у) (cos2 а 4- cos2 р — 2 cos а cos р cos' у)-
183
99.	Плоскость кдсается сферы в точке A.
102. Будем считать данную окружность единичной, а ее центр началом.
АХ • хЯх = ВХ « XBt = 1 — х2 (по свойству пересекающихся хорд). АХ=
____АХ2	__►	__►
&ХА. тогда АХ2 = X (1 — х2), X. =* •-	1. Аналогично ВХ«= pt ХВи
1 — х2	<
ВХ4 М- =	 •!>. 1 -X2	ЛХ»	JBX2 А< Р “ 2 ч—z	~ 2< .	1 —А?	I — X2
Учитывая, что А2 =* Вя = 1, получим уравнение искомого множества точек
(->	-> \а /->	-> \ а
-> А -ЬВ А+В .
X— —- I — ч—  I г которое определяет окружность, для которой
отрезок [OQ] является диаметром, где О — центр данной окружности, a Q-т-
середнна отрезка [АВ].
105.	4а2 /1 + -т~гУ *<№• l) SiH-7)> $3 (4, 1), S3 (2, — 3).
\ j am2 <р/
107.	Доказать коллинеарность векторов АВ иЛС.
108.	1) /х — 3— t /ъ.п
{ у - 1 — 21,
109.	I) f я — ? + 3/	0<^<1
ty-= 1 —2Г,
/4	2 V	72 2\	/ 2 4\
112.	Л (О , 0). в	, С т , D —-
\ о	q /	\оа/	\ао/
113.	(Н, 14).
114.	1) по условию AM = аАВ -f-0AI>. Учитывая, что СМ = СА*-}- AM,
СА - €? + CD. AM —аС/Г— рС/Г получим: СлГ(1 — £, 1 — а);
2) ф, 1-а); 3) (а, 1-fr). ;	,
115.	О(—2, 3), At (—^ 5), Ла(—1.2).
116.	1) х = 4 —2у, у £ Z, у < 3.
119. Пусть в репере (А, В, С): At (I — у, у), В1 (0,0), Cj (а, 0), причем
О < а < 1» О <0 < Е 0 < у < 1. Обозначив середины отрезков {А А^, [Й5Х],
CCJ через Ао, Во, Со, достаточно доказать, что векторы А0В0, В^СЙ не колдинЬ
ариы.	\-
'120. Рассмотреть отдельно случаи, когда a |j ах и atfaj.
122. 1) С, (уТ + С, (-УТ + -tZj;
„ г /'-2 + /3. I + 2УЗ\ г /'-2-/3'. 1-2УТ|
. . Ц. 2	’	.2	/’ г\ 2	"2	/'
123 п /»(' +^3 -з-ТЗ7'! с/1—/з	—з + /з'\.
\ 2	*	2	/’	\ 2	’	2 Г
2) В(1, 1 +УЗ), С(1,1— /3).' .
184
124.	Сравнить квадрат наибольшейстороны с суимой квадратов двух
других сторон: 1) прямоугольный} 2) остроугольный; 3) тупоугольный.
  л	; /  --	-	3	"	- ’	' ' ?
125,	126, Воспользоваться задачей 80. 129. х3 = — -~у.
.т,	4w
130.	х2 —« у3 = 1. 132. Центр тяжести треугольника; (а2 4	4 ₽*).
О
135.	Выберем ортонармированный репер так, чтобы вершины треугольника
имели координаты: В (О, 0), С (а, 0), А (а, р), Р > 0. Имеем:
_в	с2 — da 4 а3
(а3 4- fJs — с\ (а — а)3 4- Р3 “ Ь*)«Ф а	~—— -
2а
/с2 —b24&a Л ас \ 1а \ --*•;
и ----^г~. О . ° 7—. о , М 0 ,	+
\ ха / \р 4"с /	\2	/
(^_1_ма_а2
(X > 0) ==Ф (£> между Л4 и Я). ,
136.	Предположим, что существуют две точки Р (т, п] Q (р, q) с целочис-
, :	' - /		/ I
ленными координатами, такие, что ] PM| = [ QM|. Тогда (у £ *^ 4 — тр 4* I ~—
\ 3
)2	/1 * V
• (/2 — 1 — р)2(4*?— <7/,откудаГ
\ з /
г-	'	2
2 "К 2 (р — т) = 2 (р — т) 4- (ра — ^) +“ (п — </). — (л3— <?2). (О
Если р— т~-£0, то, поделив обе части равенства на 2 (р-— получим, что
4^2 есть число рациональное, что, как известно, неверно. Следовательно, р=*= т,
/2	\
Равенство (1) принимает вид: (п — ?) I “— п — 4) «» 0. Так как (п 4- q) — чио-
у <5	/
до целое, то — п — q : б и, значит, h — q ~ 0, п « q, Тогда Р — Q.
О	-	 _ / ' h	‘	' '
137.	Провести доказательство методом от противного.
/ л \ / л \ V	у— я \	' 2й\
138.	(а, 0), (аУЗ, ~~ , 2а, — , UgS, —к (а, к
\ v 1	\	о/\	J
139.	С(—1,—7).	.•	' 
141.	1) (4А1): 2x4* У— 3—0, (ESi): 5х4-4у — 10=0, (ОД: 7*4*
4~ бу —13 = о.	<	,
142? х— 2у + 2 ~ 0, 4х 4-у 4 5 — 0, 5х — у 4 7 = 0.
143.	(Afi>: 9х47у4.17 = 0, (S0: 3x4 8уг-17 => 0,	у-.
— 17 = 0.
144.	1) х — 2у 4 3 « 0; х 4 у — 3 = 0.
147.	1х = — 1 -3/
1у - 1 4 2/.
148.	1) Г4Х4У — 13 = 0,	2) /4x4 У — 13 = 0, 3) /4x4 у—13=0,
1х > 2; .	|х 3;	(2 < х 3.
150.	1) 2х— у— 1 = 0; 2)Зх42у46 = 0.
(13 \ /	13\
— 1? /’ \ ~6Г	*52	""	’
153.	1) Зх - у 4 2 = 0; х-Зу 4 6 = 0, х 4 У =• 0;
1W
2)	12 =0, Зх4-2у — 6-0, 2x + 2y — 5-0.
154. 7x— 7y 4-4 — 0, x + 3y + 1-8 = 0, 4x — 2y — 7 — 0,
155. 1) x — 3y 4- 1 — 0,	5x 4- 9y 4- 5 — 0, x — 3y 4" 25 = 0,
5x 4- 9y — 19 = 0,	x 4* 3y — 5=0,	x +у 4~ 1 = 0.
155. x 4- 3y — 12 — 0; Зх — у — 10 = 0.
157. 9x — 3y 4- 5 = 0.	158. 2x 4~ У — 8 = 0.
160. Пусть з репере (4, В, С) вершина D имеет координаты (а, Ь). Найти
координаты точек Р = (ЛВ) Q (CD), Q = (ЛО) [) (ВС) и середин М, /V, L
отрезков [ВО], [ЛС], [PQ] и доказать коллинеарность векторов MN и ML.
162.
163.
165.
166.
167.
168.
170.
172.
173.
1) Да; 2) нет; 3) нет.
(Зх 4~ у < 0	164. 1) Да; 2) нет,
д2х—Зу 4- 1 <0.
м0 е длвс, i п длвс = 0.
1) Г Зх 4- У - 1 < о, 2) / X 4- 2у 4- 2 > 0,
16х 4- 2у 4- 3 > 0;	{ 2х 4- 4у - 7 < 0.
(Зх— 2у4-В>9,
Зх — 2у < 0,
х — 2у 4s- 4 > О,
l х — 2у 0.
Параллелограмм. 169. ACDB.
( х 4- У ~ 3 < 0,	171. 1) ( х 4- У ~ 4 > О,
< Зх 4“ У — 7 < 0,	{ 2х — у > О,
I Зх + 2у — 5 < 0.	( Зх 4- 2у — 12 < 0.
См. задачу 171.
. С2 - (AiAz 4* В4Ва) >0, учитывая, что тупой угол между данны-
ми прямыми характеризуется неравенством
(Лгх 4* Вху 4- Сх) (Лах 4* В3у 4- С2) • (<41Л3 4г BtB2) > О
(см. задачу 210).
174. I) Нет; 2) да. 175. 2х — у 0.
176. I)fx=14’a4’2p,
I у = 1 — 2а — р ,
I а > О,	|
1р >0.
177. (М € ДЛВС) ФФ (СМ = aQA +Р Ж « > О, р > 0, а 4-Р < 1).
1) х= За4-20, у= 2 — а - ЗР, а>0,Р >0, а4*₽ <1.
-	17§.(Л4 б Л ВСС) - аВД 4-РВС 0<а<1, О <Р < 1).
1) х = —I 4* « + 2Р, у« 2 — а+р, 0 < а < 1, 0 <3 < I.
п». г)п№>., ВД, -Цр}
\5	5/	\	5	5 /
181. Зх — Зу — 2 = 0, Зх 4- 6у — 2 = 0, 6х 4“ Зу — 4 = 0.
182.
184.
1) 6х— 4у 4- 5 = 0. 183. |СВ| = | СЛ|, х4у~5=0.
1) 2х - у - 1 = 0, 2х4-5у-7 = 0.
/9	6 \
185. 1) {2 — -т=, 14- -Т= .
Ц /13’	К13/
186.
187.
2)
/ 40 6\
V н’ 11/
(х ~ х2 — Д  Л
t у = У1 — Д  В, где. Д
2 Л*1
Л2 4-В3
186
188.	1) (9,—5), (—13,—27).
189.	(BC): x— у — 3 = О, (AC): 4x 4" 5y — 20 =» &
190.	(AB): 3x — 7y — 41 = О, (BC): 7x 4- 3y 4- 59 = 0, (4D): 7x 4- 3y +
t 1 = 0, (DC): Зх — 7y к 17 «.0.
: 191.	(BC): 5x 4“ у 4- 3 — 0, (AB): x — 5y 4- H = 0.
192.	(ВС): 2x — у — 3 =» 0, (AB): x — 2y 4- 6 « 0. (AC):	x	4-	у — 5	=	0.
193.	x 4- 5y 4~ 2 « 0, ox 4* У — 6=0, 23x — 1 ly — 24 =	0.
194.	Если В и С — вершины треугольника АВС, лежашие	по	одну	сторону
от прямой d, то
р (В, d) 4- Р (С, d) = р (A, d).
196.	(/5 — 2/2) х +(/5 + /2) у +/5 = 0, (/5 + 2 /2) х 4-(/5 —
“/2) у+/5=0.
/1	\	/	3	\
197.	1)	0	;	— —	0.	198.	1)	4х+ 4у + 5= 0;
V2	/	\	4	/	3)	8х - 4у	4- 5 = 0.
199	.	1)	у =	2,	у —	— 1	или	12х —	5у	— 2 — 0	и 12х —	5у — 41 — 0.
200	4~ _ -^хо 4~ Вур 4~ £
У7^Т& ~ \Ах& + ВудА~С\
201.	Объединение прямых:
I)	(2/5—3)х+(2/5— 1)у — 2/5 = О и- (2 /5 4* 3) х + (2 /5 +
4-1) у — 2/5 = 0.
202.	Зх — Зу 4“ 2	0.
203.	Искомая фигура есть объединение сторон восьмиугольника, вершинами
которого являются те вершины квадратов, построенных на сторонах данного
квадрата (вне его), которые не являются вершинами данного квадрата.
ллл /	1	3\ /1	. 3\	/	3	1\ 73	1\
* \	5’	5/’ \5'	5/	\	5*	5/ \5‘ 5/
205. М (2, 4), N (0, 9), Р (—5, 7).
208. 2) С (1, 1), D (—1, 2). 207. 4х — 4у + 3 = 0.
208. х — 2у — 2 = 0. 209. х — у — 5=0.
210.	Пусть Гх и Fl— внутренние области острых углов, которые ограничи-
вают данные прямые, F2 и F2 — внутренние области тупых углов. Отлежим отрез-
ки tii (А1У В±) и Af0/Va Е па (Л2, В2) от точки jV# пересечения данных
прямых. Так как пл ± и п2 X /2, то концы этих отрезков будут лежать либо в
Еа, либо в F^. Возможны два случая.
а)	Точки N2 лежат в одной и той же области, например в fa. Тогда угол
между векторами nt и л2 конгруэнтен острому углу между данными прямыми,
и поэтому = АУАЪ 4* ВА > 0. Конец отрезка AfsA4 G п- (Д, В), отложен-
ного от любой точки прямой Ах.4- By 4~ С= расположен в той открытой
полуплоскости, которая характеризуется неравенством Ах 4* By 4- С > 0.
Поэтому в данном случае внутренние области острых углов характеризуются не-
- равенствами!
<87
- -	* Л^х 4~ Bty Ф Ci > 0 и Л2х 4* ЯзУ < 0 нлй" ; -
Atx 4- Bi? + Ct < 0 и Azx + В2у 4* Q > 0.
Следовательно, для нсек внутренних точек острых углов имеем:
(А1Х 4* Bty 4* Ct) И£х 4* В2у 4* С$ (АхЛа + ВгВА < 0.
б)	Точки /Vlt /V$ лежат в разных областях и ?'2. Тогда угол между некто*
рами iti, конгруэнтен тупому углу между данными прямыми, и Поэтому
’%.• ца -эЛ1Л2 4* #13$ < 0. Впутренние области острых’углон в’этом случае ха-
рактеризуются неравенствами Л1Х 4* В^у 4* Ct > 0 и А2х + Н$У 4- Cj > б иди
AiX; 4t у 4* & < 0 и Л£я 4~ В2у 4* С* <0.. Таким образом, и в этом, случае
для. всех внутренних точек острых углов выполйяется .укаэаняое неравенство,
. . . .	. '' ............ ’	-j	~ ~	.
211.	17>г — бу — 11 — 0.	212, cos <р =
' '		-	6F2	.. .	.
-	29	29 -йк 29
Зк4*У.^7-»*Огк-—-2у— 6-0. 215. 2х 4~ Зу — 6 = 0.
(ЛЯ): 2х — у ад О, (АС): лг— 2у 4- 3 адО, (ДС): 22х 4- 4у 4“ 15 — 0.
Зх 4* у 4- 16	0.	;
(ВС): Зх— у— 4 ад О, (ЛР): Зх —у 4* 16=0.
Пусть в аффинном репере (Л, Bt С) точка Р имеет координаты \а, Ь).
Вычисли а координаты точек Аъ Btl С1( сосгавнть уравнения прямых ,(Л Лх),
(BBt)> (ССА А убедиться, что они пересекаются в одной точке.
220.	В аффинном репере <Л, B/D) обозначить координаты точек Р (0, л)
it М 0, О); составить уравнение рассматриааемых прямых и убедиться в их при-
надлежности одному пучку.	\	7	-
222,	Первая окружность касается второй и имеет 2 общие Точки с третьей
окружностью; вторая и третья окружности общих точек не имеют,
;	/1	5\	71	5\	•	'• <	-'
Ш О	224. 1) тИ ~ . д
\ ад	* /	\	1^5 у .
225.	Л4 jkv/.7- '	7>.. - д;,7
(х^ + у2^^	'
<•	2Ж- Открытый круг, ограниченный окружностью \
(Я 4- 2)s 4- (у - з? «= 13.
227.	^=Я2У4-^).
228.	Л) С(х -1^ 4- (у:4- 2^ ад 25,
213-
214
Ш.
217,
218.
219.
	[ -2 <у <2.	'0	\	. .
230, При £искомое множество точек есть окружность радиуса
У02	2а\ центром которой является центр данного квадрата. При 6 — а ]/*2 —
центр квадрата, при b < а рПГ— пустое множество.
231 Выберем систему координат с началом в середине отрезка [А£Г] так,
чтобы точки Л и В принадлежали оси Ох: A.(—е, 0), В (с, 0), С (а, /р« Выдраим,
при каком значении а окружность, описанная около треугольника: ЛВС, будет
О,	••—-) описанной ок-
ружностн можно найти на условий [ 4Q|2^ I BQP=» | CQI*. Вычислив/?2 ад | QB|a,
можно установить, что наименьшее-значеняе # будет иметь при а~0, причем
Л2 (4 -
оно равно —:—,
2Л	,
мо /	16	8\	/8	16\	„
236.	I — — — | иля I, —— I. В третьем случае получается паралл*
\	5	5 у	\ 5	5 /
лограмм.
237.	1) Фигуру,симметричную фигуре Ф относнтельно примой у — х*
2) фигуру, симметричную фигуре Ф относительно осн абсцисс.
238.	2) Объединение внутренних областей первого и третьего координатных
углов; 3) объединение третьего координатного угла и биссектрисы первого ко-
ординатного угла; 4) объединение квадратов, противоположными вершинами
которых являются точки (б, б) и (t, 1); (1, 1) и (1, 2); (2, 2) и (3, 3) и т. Д.; (О, 0)
и (—1, — 1); (—1, —*0 и (—2, —2) н т. д., не включая ях границы, кроме указан-
ных вершин; 5) объединение лучей, соиаправленных С биссектрисой первого ко-
ординатного угла, имеющих начала^ точках (0, 0), (О,1), (0, 2),(1, 0), (2, 0),...
и лучей, соиаправленных с биссектрисой третьего координатного угла, имею-
щих начала в точках (0,—1), (0, —2),	(—1,0), (—2, 0),	7) объединение
внутренних областей всех углов, ограниченных прямым» уж и у» ~ict ко-
торые содержат точки осп абсцисс.
ООО I х** +М’ &
- \	3	/ V 3	}	9
242,	(4. 1), /Иа (1, 4).
/	5	1 \ / 5	1 \	 " 
243.	(0, 2), (0, -3),	“j}
246.	Отрицательно относительно данного репера.
253.	Используйте теорему Чевы (задача 252).
260.	Вся плоскость.
26S.	Если длина данного отрезка больше длины диагонали прямоугольника,
то искомое множество — окружность с центром в Центре симметрии прямоуголь-
ника и радиусом R » ” Кт8 — (о8 + G8)8. где т — длана отрезка, а и b —
длины сторон прямоугольника. При m 4- О8 — точка (центр симметрии
прямоугольника). При m <Vae— пустое множество.
267.	Объединение сторон квадрата, вершины которого лежат на данных пря-
мых, а длина диагонали равна удаоеииой длине данного отрезка.
268. Объединение двух прямых, проходящих через середины противополож-
ных сторон дннного прямоугольника.
269. Выбрать прямоугольную декартову систему координат так, чтобы вер-
шины треугольника имели координаты: 4 (—1, О),	б), С (б, ]/3). Тогда мно-
жество точек для которых ] Л1Л|2 4-| Л4/Зр = | Л1С|а, есть окружность, центр
ко горой симметричен точке С относительно (ЛВ),а радйус равен длине сТОроиы
треугольника.
270.	Прямая, перпендикулярная к прямой (АВ) и проходящая через такую
точку Мо ё (ЛВ), что (ЯЛ, /Ио) =»
о8—А8
а2 4/г2’
г де а = | Л В b
271.	Выбрать систему координат гак, чтобы вершины квадрата прииадле-
189
жали осям координат. Фигура Ф естьокружяость, описанная около данного квад-
рата.
272.	1) При Ь=^Л — окружность с центром на (АВ); приЬ —1 — серединный
перпендикуляр отрезка [АВ]; 2) при рЛ2&>|АВ[—окружность с центром в
середине [Л Я]; при У2Ь — | А В) — середина [ЛВ]; при У2Ь < ] АВ|— пустое
множество,
273.	Пусть ABCD— данный четырехгранник. Использовать репер (А, АВ,
AD) и формулу: SNML=± ~-|(^,
271.	В прямоугольной декартовой системе координат, где ось абсцисс совпа-
дает с прямой 4 а точка А имеет координаты {0, о), искомое множество точек имеет
1 д? — d2
уравнение у = —лг Ч-------, которое определяет параболу.
2й ' 2а
275.	Объединение двух прямых, проходящих через данную точку и состав-
ляющих с данной прямой углы во 30ч.
276.	По параболе.
2SX Объединение биссектрисы угла А СВ (без точки С) и ио л у окружности с
диаметром [ А В] (без точек А и В).
284.	Множество внутренних точек отрезка, копнами которого являются
середина основания и середниа высоты, проведенной к основанию.
285.	2) Объединение сторон треугольника АВС и внешних по отношению к тре-
угольнику дуг трех окружностей (исключая вершины А, В, С). Каждая из этнх
окружностей проходит через две вершины треугольника и имеет центром точку,
симметричную центру тяжести треугольника относительно прямой, проходящей
через эти две вершины.
288.	1) 7 кв. ед. 289. 1) (О. -б) или (О, 10).
299.	Sabc __ __________ _______________________
(“г~ bl — Са)(о2 — *a+c2)(aa+ia — с2)'
294.	Четыре точки: центр тяжестиМ треугольника АВС и четвертые вершины
параллелограммов ABCMj, АСВМ3, СЛВТИ4.
295.	Объединение двух прямых, одна из которых проходит через вершину А
параллельно (ВС), другая — через А и середину [ВС].
293.	Множество внутренних точек треугольника, вершинами которого яв-
ляются точки А, С н середина [ВС].
297 — =	1 +	’
'5	(1+W+W4-M *
298. В аффинном репере (А, В, О искомая точка имеет координаты
a	—Л—1
\ 9 3 / \ т 4-п + Р т + и + р J
. •* 299. Если (АВ') Q (CD) — О, то искомое множество есть объединение двух
прямых, проходящих через точку О, отношение расстояний точек которых до
[АВ) н (CD) равно 1 CD\ ' | АВ|; из этого объединения точка О исключена.
Если (АВ) f| (CD), причем | АВ] =£] СО} и (АВ) Ф (CD), то искомое множе-
ство есть объединение двух прямых, параллельных данным, отношение расстоя-
ний точек которых до (АВ) и (CD) равно | CD] : | АВ|.
Если (АВ)Ц (CD), причем (АВ) =#= (CD) и [АВ] =[ CD], то — одна прямая,
m
параллельная данным, точки которой равноудалены от прямых (АВ) и (CD).
Еслн-(АВ) = (CD) и | АВ] = ICD}, то — вся плоскость бед прямой (АВ).
Если (АВ) — (CD) и [ АВ| =# [CD|, то— пустое множество.
300.	Искомое множество точек есть отрезок без концов, являющийся пере-
сечением четырехугольника ABCD с прямой, проходящей через середины его
диагоналей.
301.	Пусть в аффинном репере (А, В, С) вершина С имеет координаты (а, Ь).
Вычислив координаты точки 0, площади указанных треугольников и записав
данное равенство через координаты вершин четырехугольника, можно доказать,
что &=|, откуда следует, что [DC] [| [АВ].
302.	Использовать репер (А3, t, /), где i— орт вектора А2А3 и /— орт век-
тора А2Ах.
313.
/	ид
2
У' У + тгт^ — У
'D3 ~г I
320.	Пусть а, 6, с—данные симметрии. Предварительно докажите, что
(с о b о а)2 есть перелое.
322. Используйте равенства а □ b а с = (да Ь с)2, вытекающее из данного.
323. Предварительно докажите, что композиция четырех осевых симметрий
равна композиция двух осевых симметрий.
326. J х' — х0 (х — х0) cos а — (у— yff) sin а,
У' — Уа + (х — х0) sin а -Ь (у — cos си
/5 X
328. —; 0 .
\ 2	/
331. (ВС):(УТ— 2)х+ (1-Ь2/3)у + 27- 7 /3 « 0, (АС): (24- У*3)х 4-
4- (2 КЗ — 1) у — 27 — 7	= 0.
335. Воспользоваться задачами 332 и 334.
339. Представьте повороты композициями осевых симметрий и воспользуй-
тесь признаком принадлежности трех прямых одному пучку.
340. Воспользоваться задачей 335,
342. Выполните поворот на угол 120* вокруг центра данного треугольника.
343. 2) Воспользоваться поворотом f плоскости вокруг центра ^-угольника
2л
Ф2 на угол — и убедиться, что f (ФО = Фь f (Ф2) — Ф2-
351.	2х — Зу — 4=0.
352.	Г х' = у 4- 1,
t у' = х + 1.
357.	180° — 3, где ₽= АВС.
359. Постройте А2 = а (А) и. С3 = с (С)- Заметьте, что (с о & а a) (AJ.= А
и (соboa) (Q= С2, где а= (ВС),	(АС), с=- (АВ).
366. 1) Поворот с центром (1,0); 2) симметрия с осью 2х—у --2=0,
368.
у	-J-x 4- IjLy — 2.
Р 2 Г 2 ?
«91
372.
371. 1) Перенос на вектор ОО'; 2) симметрия относительно середины отрез-
ка ДЮ'}; 3) поворот плоскости вокруг точки S ™ яцр т2, где тх и т2 — пер-
пендикуляры к отрезкам [ОО1 и [ЛХЛ^}Т проведённые соответственно через их
середины; 4) симметрия относительно прямой, содержащей биссектрису угла
AiOA[; 5) а) симметрия относительно й; б) скользящая симметрия с осью d
в, вектором 0^ , где Ot и — ортогональные проекции О и (У иа d
Нх-Ь 2у— 3- 0.
г о Ах ф- By Д- С	[ х' — —2х 4~ 3,
х	х — 2Л —————	478- i	~ Я
А2 А~ В*	-у
 Лхф-Ву + С
у = у — 2 В-------—.
И 7 ЛГ-фй2
Пусть О—центр тяжести треугольника ЛВС, Л9— середина [BCI,
ВВ'С'С — трапёция О € (Л9Л^),
О (Л'Л0). Точка О принадлежит любой медиане треуголь-
374.
385.
—середина [В'С'}, (ВС) If (ДСД
(Д'Ло) (ЛЛ0) :
ника Л'В'CS
387. Используйте композицию гомотетии , с центром М st коэффициентом k
и гомотетию с центром -N и коэффициентом — —.
k
391. Докажите, что композиция двух данных гомотетий с центрами в различ-
ных точках есть одна из гомотетий с центром в третьей точке.
 —*• ;.  № -МФ-1 —>	—> —>•'
393. Докажите, что Л2В2 ~’ ЛВ (аналогично и В3С2, С2Л.Д
(I 4-я)а
395. Обозначим <^(OAt, О’А\ ), & (*>, ув), М & У)> f
в репере R. По формулам преобразования координат имеем:
Г х' = k (х cos а — в у sin а) 4~ ха,
1 У в # {х sin а ф-ву со$а) Т- ув,
где zhl, Эти формулы а репере	с коэффициентом k.
Следовательно. f подобие с коэффициентом At.
899.
400.
48	14	192
25	25У	25’
14	48	6
25 т25< 25*
..3	19
5	5 *	5	Г5 -h	1
1	3	7	“5"<
5	&	□
, 404. Воспользуйтесь представлением подобия композицией гомотетии и сим-
метрии с осью, проходящей через центр гомотетив.
409. Используйте свойство: инвариантная прямая подобия делят отрезок
[/IjAJ в отношения k внутренним (внешним) образом; k — коэффициент подобия,
(Л, ЛJ “ пара точек* соответственных при этом подобии.
410. 4 а 4 ,

.. 412.	||	(Л1/?1)-И”(Л2В2). 1	-
\ . 414. Для подобия первого рода: если а || at'> то (ЛЛ^; если a fl « Л1, то
окружность, проходящая через точки A, М, 4V
415.	Окружность, построенная; как на диаметре, на отрезке [PQ], где Р
И Q— точки, делящие отрезок [Л'Д] в отношении k внутренним и внешним
образом.		:
417.	См. задачу 415.
418.	Воспользуйтесь результатом задачи 415.
\421
423.	х' — — х + —у — —,
3	3 з1
1 1 1
у' «х — —х + —у 4- —.
Р 3 3У 3	'
425. Если Ох — ось сдвига, то
426, Если ось каждой косой симметрии принадлежит пучку Инвариантных
прямых другой косой симметрии
427. Если оси симметрии параллельны. 429. Сдвиг.
432. Любые дне прямые (ЛЮ) и (<VO), если (ЛВ, М) ~ (ВС, А'), где ABCD —
параллелограмм, 0 — его центр.
435. Да. 436. Определяется
44и- )у'«=х4-2у + 5.
443.
' * — 4х — у -ф 6*
неоднозначно.
441. (1, 2).
444 /<=*“ У + ч
у’ = 4х — у 4~Ь.	* (/ = —2у — 1.
453. Рассмотреть задачу для квадрата и воспользоваться тем, что отношение
площади фигуры и площади ее образа при аффинном преобразовании постоянно
----------_о__	-	• — 		- 
в Ха + (1+Х)2
454. S
ЛАСЛ*
Л8В3С^
I I Л12°2 1 I Л3°3 I I I I
455 £____________(1-МА)» ______________________________
 $ . Г1 +М1 +М1П +М> +MJU +Ч(1 + Ч)Л'
459.	Пусть аффинное преобразование задано тремя парами. (4 > ЛД, (£, Вх),
(С, Cj) соответственных точек. Построить ДЛАС0 м ДЛВС. ДЛ^^Со можно
перевести в ДЛА^т либо сдвигом с осью	либо сжатием относительно
оси (Л1В1).
460.	Записать координатные формулы данных сжатий в репере (L,	е2),
где е8 — параллельны прямым Д и /а соответственно.
461.	Построить (а) и / (а); М f=	(а) fl а и М' =» а fl / (а) — искомые
соответственные точки в аффинном преобразование /, если они. существуют.
462.	Построить Л! =	(4) и Ла = f (Л); (ЛХЛ) и (4Ла) — соответственные
прямые, если f (Л)	А«	
193
467.	Провести через точку Л1 прямые, параллельные прямым а и £>, через
Л1, — параллельные в] и &v
468.	1) Да, если инвариантные прямые пересекаются; 2) да.
469.	Доказать, что в репере (В, В А, ВС) точка М (х, у) переходит в точку
ЛГ (у, 1 — х). Поэтому Al (a, b) i—*• S3 (b, 1 — а), t—С] (1 —,at 1 — b),
(1 — b, а). Откуда следует, что А^С^ — параллелограмм, если точ-
ки Л1( Blt Сц Dt не принадлежат одной прямой.
472.	Если Д (Л) =э /2 (Л) —- Л' и Д (В) == /3 (В) ~ В’, то каждая точка пря-
мой (Л/?) неподвижна при преобразовании ДГ1 а Д. Следовательно, для каждой
точки М € (ЛЗ) имеем: (М, Д (Л1)) = (Л1, /2 (ЛТ)).
474.	= SABC • SAiBzCs.
476.	Для данного аффинного преобразования /: /5 = Е. Значит, / — эквиаф-
фннное преобразование 1-го рода и из	$bcd следует, что (ВС) || (Л/?).
509.	Обозначьте общую точку окружностей буквой Q, вторые точки пересе-
чения— А, В, С. Проведите прямую, например, через точку А перпендикулярно
прямой (<М). Воспользуйтесь симметриями с осями (фЛ), (QB), (QC).
510.	Воспользоваться произведением поворотов плоскости вокруг центров
квадратов, построенных на сторонах параллелограмма ABCD.
512.	(Л7И) — ось скользящей симметрии, при которой [Л/?1 отображается
на [ОС]. Прямая равнонаклонеиа к прямым (АВ) и (СО).
514.	Дуги двух сегментов, из точек которых отрезок [5451 виден под углом
л а
90 У
(концы дуг исключены).
515-	Рассмотрите гомотетию с центром М и коэффициентом ——.
516.	Сначала докажите, что точки М3, 54 4, Л15, — образы точек Л8, Л4,
Лв при гомотетии.
519.	Ф — образ окружности у (проколотой в точке Л) в гомотетии с центром А
1
и коэффициентом
535. Можно.
Б36. Рассмотреть следующие две композиции гомотетий:
1)	гомотетии с центром К и парой соответствующих точек,(Л, D) и гомоте-
тии с центром ;V и парой соответствующих точек (D, С);
2)	гомотетии с центрам L и парой соответствующих точек (Л, В) и гомоте-
тию с центром 54 и Парой соответствующих точек (В, С).
х2 у2
а2 / 3 Xs
(у °)
/	9 \
(—4, 0), 5, — - . 544. 4х -ф Зу — 110 — 0; (7, 9).
X	5 }
541.
543.
545.	В (— 1, 6), D (7, 2), F (3 - 2 /3, 4 + V3), Г (3 + 2 /з, 4 - /3).
546.	Часть эллипса.
547.	(х— £2х0)3 -ф у2 = ft3, где в — эксцентриситет эллипса у.
549.	Зх— 9у 4~ 25 — 0. 551. 2afe, где и и Ь- полуоси эллипса.
194
552.	P (F,	« p (F, /2) s* Ьа, где &—малая полуось.
554.	Окружность с центром в центре эллипса и радиуса г =» а (большая
полуось).
555.	Окружность с центром в фокусе эллипса радиуса, равною большой оси.
556.	-t-x Ч- у 4~ /я3 -р == 0.	557* 2—”’.
№	у3	1
559.	— 4- — я= —• и центр данного эллипса.
аг	о*	2
562.	Воспользоваться тем, что эллипс аффинно эквивалентен окружности.
564.	См. указание к задаче 562.
566.	Эллипс, гомотетичный эллипсу у.
567.	См. указание к задаче 562.
568.	< -1+Д, k^r^-YJ, к'2
1	9	» 1	д’*	9	2	9
	a2k2 4- b2	4
569. tgtp —-	kc^	572. —. 5
х3 у2
573t ___ _р —	- ™ । а > zj, 2с =» j FtF2|,
и fl* си 
574. Л41 — внутренняя, Ma — внешняя, точка 4$я принадлежит
эллипсу.
576, х 4“ у zh 5	0.
579. В репере (О, Лп Л2), где О — I f] т* ё К 4г€ #г,	» |-<?Л2| =*
= 1 выразите тот факт, что д-шны | АВ|, | АЛ4|, | ВМ| постоянны (М (х, у)£Ф),
/16	12\	/	16	12\	7	16	Г2\	/16	12\
\ 5	.5/	\	о	5/	\	5	5)	\ 5	5)
581 (1.—1), (—1,5). 585. 1) подобны; 2) не подобны,
588. ~ab. 595. Левая ветвь данной гиперболы.
Ь2ха
597. k =а —;---". 598. Таких касательных нет, если, а С Ь* 599. а =* Ь.
а* у0
а3	а2
600. ху = — или ху — —	.
2	2
л	/	4 .—	\
604.	—. 605. (±~У34, ±1,8L
2а6
606.	Квадрат можно вписать при Ьу> а..
607.	х = 1, 5х — 2у + 3 ==□ 0.	698. 5х — 2у ± 9 — 9.
х3 у3	25
609.	Ь2.	610.	=	611.0=^—--------.
16	9	12 — 13 cosip
614. Гипербола. 615. Две сопряженные гиперболы. 616. Гипербола,
х3	у2	2
§20, — — —-=« I. 621. Эх2— бху 4- у2— 68х — 4у 4- 164 = 0, р « —/Тб.
ал	о2	а
’ /3
623. (—3, —6>. у, 4
\ *

624. Объединение параболы н прямой линии. 627. Директриса данной пара-
•••  '	: •'	' .  '	'••.	'.- ' 1 	р
болы. 632. Парабола, если В данная прямая, если В = О. 633. р = —.
25
634. k « I.
(п р \
ех — е~~- 4“^г ; s «= :±Л; р' > 0.
2	2 /
637. р = 2. 638. Касательная к параболе в ее вершине. -
’б39.р«-;-------------, 640. / = 12х. 642. 2.
I — cos ф
644. Парабола или прямая без данной точки. 647. k = 3 1^2.
648. (х 2у)3— 6х— 2у 4-1-0.
649. 4Х3 4- Тху — 15/— 4х~Ь 90у — 156 = 0.
/	9	\ /30 4- V
650. (0, 1),	1 ,
V	л	/ \ w
2/2 ft-9	.
——— 652.	4“ —Х“	1
3	25	16
653.	— 24ху 4- 15/ 4- 22х	22у 4- 4	0.
654.
655.
25
«51.
Ш.
658.
659.
«61.
к 4~ У 4- 2 = 0.
Для тонки А: х — 2у 4~ 2 = О, х-?- By 4* 32 = 0;
для точки Я: х — 2у 4-2	0;
для точки С*, нет касательных.
Директриса данной параболы.
у-2 = ?±^1(х —3).
XV 4- W - & = 0. 660. &р = 2АС.
AW — W — С2 ~ О, 662. х ± у ± 3 = О,
х ± у ч7 3 «= 0.
m „/32	15\
2) с(11’ ~&г
«64. 1) С (—66, —28);
4) С
6)
3) нет центра;
 5) С (0,0);
«65. 28х - 19у 4- 24 = 0.
666.	36х 4- 29у 4- 22 « 0.
667.	I) k =	;
з)	Л = - “-, <-= 2; 
668.	1) х 4- бу =» 0, 6х — у
2)	20х 4“ 20у 4- 21 == 0, 2х — 2у
Г
9
з)
7
v	У1
669.	1)	4~
••• ¥
д4
• 01 I.-
47
прямая центров
1
2) Aj =а —*-3, йа = ,
о		\
4) k± и ^неопределенные (окружность).
-—37=0;
7=0.
ха у*
9 “"зб
1
496
 ?
672, (О, О, 0), (-1, 1; 1К <1,-1. 1), (1, 1, ~1).
7	1	1
673. —. —; —
2	5	2	.	.
678. х= at 4-1 fe — fli), У =* h 4" Н&2 — М> 2 == Ci 4- t (ct — cj, !
О < t < 1.
67».
680.
684.
685.
688.
600.
693.
694.
695.
696.
700.
701.
1) (—1; 4; —3), 2) (—1: 2; 1>.
1 , 1 1 , , 1 ~ 1 1
X =5 —X 4- —, V ea — —У 4*	. 2 s» -4"
2	2’	2	2’	2	2
687.
/?' ориентирован положительна
/ d2 — а2	ЛЛ а/3	5
/3 ±1	3 s
1) /21. 689. D	, | АР) = Ц™
\iu iu z /	о
45°. 691. 1) С1['Г, 1,	692. Окружность,
у w £ У
n/— 1? =f\ - '	’
• \13  13’ 13/	••
cos? =-|p cos В « cosC =
1 J ' 1 , 1 , 1 - 
x —	— z, у 39 ~7=ry, z=Tr^4- "T^y*
УТ VJ /2 yj
P ((i, У	698. да2 « 5й я?’ (p—ф?.
Рассмотреть равенства: [о 4* b 4* ^, 3 =• 0, [?4*^ 4- X 3•«“ 0.
150.	-	'	•
-х9 аг
“ Уа %
702.
р(лм=я
703.
707.
я
Ф —	704. cos Ф =
о
(-1; 2; 3)> (0; 0; I).
№ М2 _q
14-*Н4
re	]
Л.. 706. Y +	+
1 —A at *
Qj 
2
_лс - а Г] 4- Р [? 3 4- V (?, 3 д
[аг 3 • с
710.	х — ~q———~(ай 4-^ 4 к).
[а, Ь] • с
711.	0//=—-^-------Lmt где m == (а, &] 4-[6, с}4[с, а].
w3
712.	Учесть, что т ===[&— at 3^0.

714. Нельзя. 715. —/1562. 71& —58* — >20/	— 80.
718.
|/~ 1 4- 2 cos a cos {5 cos у —
cos2 a — cos3 p — cos2 >
720.	. 721. — =------------. 722. - =27.
2 V	4-Л2Ю 4- ^3) V'
723. 12. 724. 4 : 3. 725. 3. 726. 3 : 5.
I	a
729. ~—abh sin ф. 730. —. 731. 3.
1 -_________________________________________________________.... ....
733. (у (a3 4- b2 ~ c2) (b2 -b c2 — a2) (c2 4- a3 — 62).
736. x = 2 4~ « — 2c, у = —5 -4- 9u 4* 5a, z — 1 — 3u — 2c.
738. Координаты вектора а образуют решение уравнений:. 5а3 — 2а2 — 3a3 «
° 0. 739. х = 2 4* у —• 1	4“ 2н 4* Зу, z	=» 3 4”
740. А (х — хв) 4- В (у —	у0) 4- С (z —	zj = 0.
741. х 4- У + z — 6 =* 0,	14х 4- 13у 4-	9z — 74	-= 0, 8х	4-	7у	4-	5г —	40	=
= 0. х4*у4-г—7 = 0, 14ж 4- фу 4" 9г~ 7О=»	О,	~г	7у	4-5г	— 42	=	0.
743, 1) х — у — г — 7 < 0, 2х 4- у — Зг 4* 3 < 0;
2)	Л1х и Л4Я — внутренние точки вертикальных двугранных углов.
744.	Л1о лежит внутри тетраэдра.
745.	0j =« (Л1 (хг у, г); х — 2у — 3z 5 < 0 и 2х— 4у — 6г 4-7 < 0},
Ф3 « {Л1 (х, у, z)| х — 2у — Зг 4~ 5 > 0 и 2х — 4у — 6z 4~ 7 < 0},
Ф3 = {Л1 (х, у, z) |х — 2у — Зг 4~ 5 > О и 2х— 4у — 6z 4- 7 >0}.
746.	Л(х-хй)4’В(у—ye}4-C(z—ze) = 0.
747.	2x4-бу—4?—56=0.	'
749.	(х— 5)а 4* (у 4- 5J3 4- (г— 5)2 = 49, (х 4- I)3 4- (У — 7)а 4- (г— 9)2=
‘«= 49.
750.	(х — IP 4- (У 4- 4)* 4- (г —	= Ж.
752.	D' (4; —2; —4). 753. 7х — 5у 4- Пг — 52 « 0ц
754. х4~ 2 — 3 = 0. 755.
757.
760.
763.
764.
766.
—. 758. ?1Хг2. 759.
3	4
1 — cos
COS ф =
I ______________________
М (1, 2, 0). 75& S = —4~ W 4- аМ.
2
8
COS ф = —
т 9
У2 <1 4- cos2 Р)	т	/ 4h2 4-(аа4- Ъ2У
(КА П\ 1	CZq D I
₽ ("• п>=—/л~+й^—
2оЛ
ЮЯ| = 1. 765.P(5,n) = r-z-+9fl8.
2х 4- у — 42 4- 17 = 0, 2х 4- У — 4г— 25 = О,
2/*
198
W. р(й, Щ „
7(j« ^ + ^У 4*	4~ & _ Л*ф 4~ ^Уа 4* & h
У№ + & + <? “ | Ax0 + By& 4- C% 4- DI * *
769. 8* + 12y + 4z + 3 = 0. 770. 2x — у — z 4- 20.
7	5\	| ГЛ, — Z>i I
ni. (1,_3,-_p72.i7=^=^.
773.	x — 2y —	2z	—	10 « 0, -2*	+ 2y - z 4 I -	0,
2x —	у 4-	2z	+	40 == 0, 2x	у + 2г — 4 s=	0.
774.	2x —	у 4-	2г	—	3 ==»» 0, x —	2y — 2г — 12 ==	0,.
2x 4-	2y —	г	±	9 = 0.
775.	3x — 2y 4- 3z — 4 = 0. 776. 3x — 2y + *2 « Q,
4
778. Зх + у — 4г 4 5 - 0, cos (p =
9
779.
781.
782.
5x - 5y - 2 « 0. 780. (x + I)2 + (y 4- l)a + .(2 “ l)a -= t
x =s xt — A  А, у ~ yt — В * А, г — г* — C • A,
где A = 2
Axj 4- Byy 4- Cz^ 4~ &
~ Д’2 4. 52 C2
2x — 2y — z + 3 ™ 0. 783. Прижщить метод «ндухпйи.
786. 3x + z + 16» 0. 787. Afj €<> M^-l.
788. r~2 4-4 яЗ^Аг-44-t 790. Jx — <3y — 2z — 5 =0,
|3x 4- 5y — 6z — 1 = 0.
.	19
791. (—1; —11; 0). 792. cos cp
793. 1) Пересекаются; 2) скрещиваются; 3) скрещиваются); 4) скрещива-
ются; 5) параллельны; 6) пересекаются.
794. х » 1 4- 4/, у = —2/, г » t, 795. (х — Зу + 5г + 2 == О,
(х — 2у — 5z -Ь 9 — 0.
796. х » 14- Щ, у — *“ — 5/, г = — It.
£
797. (5х + У 4- 5г — 6^ 0, 798. х^~ 1— it у = 3 + z = 2 4-4t
l*4-5y-2zs=0.
799. (2х — у 4- Юг — 47 « О,
4- Зу — 2г 4- 6 = О.
800. cos (?1( /г) — sin а . sinfJ. 801. х — 4 4“ -32?» Xs! 4*7» % ™ —— 5/,
802. (2х 4™ 2у — г -- 14 ==» 0,	803. /2х 4™ у 4- г — 6 — Q,
]10х 4™ ПУ + 4г— 53 = 0.	— у — z — 5 — 0.
804. (2х — у 4- г— 20 = 0 , 805. х — 2у 4" 2г 4- 3 О.
U 4* у 4* ~ Ю — 0.
806. Ха)/^ 4.4й2А?	807. 13х—Зу + 2г — 11
(1 4- ^’(1 4- 2Л)	“ Зг = °-
abc	Ь2 —а2
808'	2) С0§ ф	. |Аа2 4^‘- + с2 \
2asZ?a________
= . 2а2Ь2 4- (а2 4- ^*) (А
809. /54х4“32у—49г—76 = 0,	810. lt: х^ 14™8/, у=—14~Ж г=—14-2^
|69х— 42у+4.1г+235 — 0.	х——1+2/, у—2—5/, г=—3/,
199
811. Зх—Зу —z— 11 = 0. 812, (х — г — 3«0,
18х — бу + 8г 4- 41 /2 «* 0.
813. Зх —Зу —6г4-10а=*0их4-у«0.
814. (х — Зу 4- г — 1 = 0,
[Зх — 3z — 2 = 0.
815. 7х — Пу — 13г — 35 =» 0. 816. 2) Эх 4- бу 4“ г 4* 10 = О.
820. Плоскость. 821. Плоскость. 830. / —:
\ 9 9	9/
в11, //п п н\ / н и п\ /и и п\
831. С.^; - й; С, - g; g ), C,[~;	-j;
11 _ 11 _ ПY /П _ П n\	. < • .
8 ’ “ 8 ’ “ 8 Л 4 \ 3 ’ — 3 ' 3 /
832. cos<p= зу-g./273'
833. Jx — у — 3 = 0, /2х — г42 = 0, J2y—z4*8=0,
[z — 0*	[y — 0;	[x = 0.
834.-7=. 8351 4x4*5y — 32 = 0, 11x4- Юг— 78 = 0, Пу—8z—8 = 0.
У 741
836.	2 (xa 4-У2 4* za) — (x 4* У 4* z)a — 0.
837.	(x 4- 2y 4-г)2 4-4 (x — г)4 = 16.
838.	9 [2 (x — 2) 4- 2y — (г 4* 1)1» « 16 [(x — 2)8 4- у* 4- (г 4-
839.	(x—у—1)»4-(x—z-Ь 1)а4-(У—z4- 2)a = 6.
840.	8x3 4- 5y2 4- 5z* — 4xy 4- 4xz 4- 8yz 4* 16x 4- I4y 4- 22z — 39 = 0.
/	9 \	'
842. (x 4- У 4* г}’ 4- 4 (x — у-“1 = 0.
\	4 /
843. Цилиндр вращении.	,
[	& V / з v
846. 1) х4-—z) 4- у 4- —г = 25;
/	3 \а	/	2 \а
2) f у — “X — г 4-	| = 4;
\	.О I	\;	. О -/
(5 \2	/	2 \
х ——у —2(z+—у =°. . .
О : ’ - . \	. О /
847. (у — г)8 4- (f — х)8 4* (х — у)8 = 3. 848. ху 4* ух 4* гх = О.
849. (х 4- 4)8 — Зу®~ Зг2 = 0. 85а Лх— Зу — 5г 4- 4 = 0.
851.	k ф 1, Ф — конус; k = 1, Ф — плоскость х sin а — у cos а = О.
852.	у8 4- г2 = 4ах (х ¥= 0).
853.	36 (х 4- У 4* z)8 4- 144 (х 4* у — I)2 — 25у8 = 0.
854.	х8 4- 4у8 4- 4г8 4- 4ху— 10yz — 6х — 2у 4* 2z 4- 3 = 0.
855.	A*s84-S26a> W.
857. Пусть
A i — Уб а11 А=1^ — гв °8 I Л  |а — f Тог ля
А» = ]е-^ о,]' ^ la-Jo %!’ Л,~I b ^-у, а/ Гогда
200
1)
2)
3)
A? 4-	+ Д| < 1*	4“ «2 4*
A2 4- А2 4-Д 2 > r3 (a2 -|- ^ + af)-	 ’
858.C(3,-3,l);f=~-
859. (x - 1)» 4-(y + 2)« + (г + 1)* = 25.
860. Пусть a8 4* ft8 -p c8 — d — а. Тогда 1) если a > 0, то Ф — сфера с
центром в точке С (— й, — Ьг — с) и радиуса У<х; 2) если a = 0г то Ф—JC);
863. (х- З)3 4- (У 4- 3F 4- (г + 1)2=36.
865.	(хЧ- 5У5 + (У— 3)2 Ч- z2 == 121.
/ 	4V	64
866.	(х + 1)»4- у + ~ -Н*4-2)а = -.
\	о /	У
867.	(х— 2)24-(У-~1)2 4-(г-|~1)2*=
х3 ух	г2
— Ф—	4-— <= 1.
25 Л 9	16
х2 .У2	,	z2	j
27	12	+	75	’
у 4-1)з < (х — у — 2г)2
32	+	24
(х-3)8 Л./с-.
25
16	16
, / а2. Д • D 63 - В • О
876. Л40 (---------, — ---------
\ а	а
где а = Ааа3 4-
877. Прямая линия.
881.	Лх + By 4* Cz 4- Df = 0, где D' «	W.+ и знак ZX
выбран так, что DEf <0.
882.	6х — Зу 4" 2г — 18 — 0.
883.	1) D > 0; 2) О =* 0; 3) D < 0, где
, ^Уо , V (а\ ,
Ч-* —	 - 1 к	I г	•-•
/	\д2	№
у* (г-3)» п
—	-------= 0 — коническая поверхность второго порядка.
868.
86».
870.
871.
[алХй
\ а2
ха
884.
3
с2 • С. D \
a Л
С?	jj2	«а
у* 4-—z2
14 z	-	*	4	2	’	,2
Z>2	__	C2	Og	^2
22	X2 У2
—-^-=1, 887. -—-к ——
5	9^16
.3 ' V2 т2 '
о Уо - *о
i« Л Ь2 ’’’с2
a \a
гя 1
J-----=0.
c2 /
L2 /
9 *
' а1
—+
к°2
Xs	У®
8861 Т+"77
4	16
888. При е < 1, Ф — эллипсоид вращения; при е > 1, Ф—> Двуполостный
гиперболоид вращения.
889. х2 ± (у3 — z2)- 1 = 0,
201
890. Однополостный гиперболоид." 891. Однополостпый гиперболоид.
ВЬЮ СсЮ
1
Зх — 5у = 0
г = 2
/ АаЮ ВЬЮ СсЮ \	,о •	о Л
902. I —----—:——— к если а = -4га2 — В2ог — С-с2 0.
\ а	. а а /
903. Эллипс или мнимый эллипс, если а > 0, а; П — касательная пло-
скость, если а > 0, D2 = а; гипербола, если а < О; парабола, если а — 0,
0	0; пара мнимых параллельных прямых, если а - 0, 0	0, где а — 42а2 —
— W — С2Д.
905.	1) Эллипсоид вращения; 2) дв у целостный гиперболоид вращения.
907.	Параболоид вращения. 90S. Гиперболический параболоид.
909. Параболоид вращения. 910. Гиперболический параболоид.
5
912. х — у + г — ” = 0,
(2х — 12у — Зг = 0	/ ,/Юх — 12у 4" !5г — 0 ,
\2х 4- Зг- 6 = 0,	/аД2х- Зг— 30 = 0.
913. /р (х 4~ 2у — 2г = 0	/ . fx 4~ 2у — 8 «= 0
V + 2у— 16 = 0, ~\х~ 2у — 4г = 0.
9(4. Пара взаимно перпендикулярных прямых.
9(5. рА* 4" Я В2 =* 2CD. 917. Гиперболический параболоид.
. . /	1	5\ / 1	Л I	*3\	- г
921. 1) 10,	, 0,	> 0, _ , к (5, 1$, 5, 0);
\	2	2/ До 5	5/
923.	х1 = 2 4 V 4* ^2, х2 = X1 4“ 2Х2, х*3 — 1 4" 2Х1 4* Xs, х* — X1 — 2Х2,
= — 1 4~ X1 4" ЗХ3
{Зх1 — ха — х3 — 5—0
или Ых1—Зх2—х4—8=0
I х1- 2хй 4“ *5— 1 == 0.
924.	М (—2, 1, 0, 3).
925.	1) Да; 2) нет. 928. 1) Параллельны; 2) совпадают; 3) скрещиваются;
4) пересекаются в точке <1, 1, 1, !)•
929.	(1,2,-3,0), (0,-1, 1,-2), (-1,-4, 5, -4).
930.	хЛ =» 1 4- X1— X2, х3 = — 2 4- ЗХ1, х»= 3— ЗХ1 — 2 X2, х4 = -1 4-
4" 2Х1 4” X3.
931.	х1— 14-Х1- 2Х2, х3 = 3 - ЗХД х3 = —1 4- 2Х3, х4 = 4- 5Х3, х8
= 5 — 4Х2.
936. (5, 2, -4,-3), (0, 1, 1, 7). 940. 1) 0; 2) точка (2,-1, 4, 5).
943. Па и скрещиваются.
202
946. х1 — Зх3— 2№ 4~ 3 “ О
Зх2 4- 2л3 — x4 — 4 « О
948. Я} И П2«
х1 + ? - Зх3 + ? = О.
/993	5\
962. 1) ЛЦррр
963. 1) 1-L; 2) H-Z. 964.
2	7
/	1	ЗХ
2) Ml’--,2,- .
V	л	f
/ 16 16 43	42Х
\ 15’ 15’ 15’ “ 15/
965. (1, —2, 2, 2). 966. 1) L1?022; -2) jOS.
967. 1) 13®. 2)	.
6	10
968. 1)
969. 1)
2Х ^2131 ;
1	73 ‘
л /57 229 149 23\
970. —, —,—, — .
\74 74 74 74/
971 1) х1 = 1, х2 = 1 4- К х3 = 1 4- X, х4 = 1+ X. '
976. у1 —х2 4~ 2х3 — 2х4 4~ 5, у2 — х1 — 2х3 4-2х4 4- 1, у3 = 2л1 -
— 2х2 4" Зх2 — 4х4 4* 4, у4 == —Зх1 4“ 2х3 — 4л3 4“ Зх4— 6.	_
984.	(5 (#j34"	4" 15) — 2(#24 4" °35 4" ^45) 4*4- 4й ^25)“*
— ^а?2 2 ’ где ац — длина ребра Д
985. — (а*2 + 43 + я|4 + 0?5 — Ои — Ом
3
&—4,)*.
1002.	Пусть (/WtA12) ± Пд, 6 Цо- Тогда р (Л1П AlpW-J. Обо-
значим Р* — V’ 4“ К где Л1,Л12 порождает пространства V, Находим b =»
=1^1. ^21 **«	причем b X at (i — 1, 2.р),
। ami, । = । предал, г = '1—.У11-«’ в”^01-
'^1	- I|Др > а^11
или р (Mj, Пр) = 1/	> ММЦ -
G(«t, ... , Up)
1003.	Т/"1604. -I С?-~ Ст . 1005. —.
г 35
1	1
1006.	1) / = -(х-2у-2а)4-1, У «--(-.2x4-у-2г) 4- h
О	О
=4’(—2х— 2?4-г)4-1;
d
203
j	2	1	2
2} *' а= ~ (x — 2y 4-2г) 4- т» / те V (“^ 4 У 4 2г) 4
О	О	О	О
1	2
/ «=г(2х 4 2у 4 г) 4 "Г"»	1 	..
О	О	-	....
1	г	./
1008. 3) /=-~(х-+ 2у — 2г) 42, /-=~(2х —2у — г) — 3,
3	3
' '- :' 1 :''
/	(9Л4у 42z)4 h	. •..
О
1012.	Рассмотрите сужениеданных преобразований на плоскость, перпенди-
куляриую прямой а.
1021.	ф (х, 7) « (ф (х 4 7 ?4 у) — Ф Й Й — Ф ЙЭ)'
1022.	I) 4, 2) 2, 3) 4.
1023.	1) ф й У) ~ —2, 2) ф (х* у) 1, 3) ф йЙ ~ 2.
1025.	_<р (х, у) —- кососимметрическая форма.
1026.	Воспользоваться неравенством:
ф й 4	71 4 ад > 0, уХ 6 R.
1027.	Два решения (действительные, мнимые, совпавшие),, если ф (5, Ь) Ф
Ф О; единственное решение, если ф (Ь, Ь) = 0, ф (а,» =зА 0 система, реше-
ний не имеет, если ф (Ь, Ь) ф (Ь, Ь) ~ 0, ф (а, а) Ф 0; X — любое, если
Ф (а, а) «» Ф> (а^) & Ф (&;	™ 0.
1028.	Воспользоваться результатом задачи 1027.
1029.	а > 0, й— & > 0, а 4 (я ™ 1)& > 0.
Л0& (х1)2 — Й)2 4 ЙР. 1033. <?)а 4 (х2)2« Й)2— Й)2.
; ЛОЙ.	2 (Д)г;2) (?)»+ 2 (*»)’ ф ЗЙ’ ;3) '(?)• + (?)’ —
, 1038. Пусть	даяяогр
эллипсоида. Докажнгс, что
’ •	. 2 (®Xj 0 “ Ф Й0 < « < 1.
т. е. каждая точка М € является внутренней относительно данного эллип-
соида.
1041. 1) С (4 1, —1); 2) прямая центров х1 == 1,	/, х®«® — I;
1049. ф (4А4) =® 0, 1054. й, i 4 Ь Ь
1055.	х —у =» 0, х 4 У — z« -0, Зх 4 Зу 4 6г— 2-’« 0.	
1056.	П JL +JL  A JL	28 '5	 - .
	4	8	
2)	ха у2 Z2 Т+ 7~’з'	==“if •
Ш
3) у4-у«=1-	‘  ;	. - 	-	.
1059. Использовать репер (Лю,
1060. См. указание к задаче iO59. '
1062.	Доказать» что если X, У 6 Л X У, то Д ХЛУ £ Д (F).
1064.	Сперва провести доказательства для л « 2, 3.
1065.	Использовать тот факт^ что если отрезок [А'Br] CZ Ф*»ТО его центральная
проекция на плоскость П: [ЛвГозФ.
1065.	О. указание к задаче № 1065.
1067.	Сперва провести доказательство для п = 2, 3.
1068.	Достаточно рассмотреть случай, когда /?0 — выпуклый многогранник.
1071, Использовать задачу 1062.
1073. Использовать задачу 1062.
1074. См. задачу 1062.
1077.	S = УЗа*. V =» О- а», г = X®. о,+R==	а, <р» arccos —.
12	12	4	3
1078.	8 = 2 Уз а\ V == XJ о», г = Х± а, 7? = а, ф U^tc&lX
3	6	2	3
1079.	8 = 3 К25+Юр5а’, V = J (15 + 7 У5)сР, г = у 1/25+11/5 д.
/3 п . ZT 1"
----fi( <p = 2arcsm ”1/ —_l —
/5—1	У 2	2/5
1080-	5«5/За«, У-Л<3+/5)а\ г = ~R~]Л
® c=s 2arcsin ‘jj-.
 .2/3: . - - -	"Г
1081.	Надо учесть, что центры граней правильного икосаэдр а; служат вер-
шинами правильного додекаэдра.
1082.	Использовать тот факт, что границу правильного додекаэдра можно
получить, пристраивая надлежащим образом к каждому ребру куба правильный
пятиугольник.	' \  . - •	, ..
1095.	(0s I}»	0), (ГЛ), <0, Th (Т, Г))}. Векторы Z
(ОД) *= составляют базис векторного пространства F% , (0, б) — 0, (1,1)^
oj ет е. Фактормножество'(^д	& по .опкйвевию коллинеарности
состоит из трех элементов: Ло--_{£}, 4,= {^}, £'=» {е}. Поэтому Р
{^0» ^1»	.
1096.	dim Р (V) *= 2 => dim V — 3. Пусть (а^ fli> базис векторного
пространства У. Догда векторы а0, Оа»^ +	4-	ао 4* ? +
попарно не коллинеарны и порождают семь различных точек проективного про-
странства Р (У).
1097,	Векторное пространство F| содержит лишь семь попарно не коллине-
арных ненулевых векторов.
205
1098.	Семь.
1099.	Точки,, порожденные базисными векторами трехмерного векторного
пространства V и их суммой, обладают требуемыми свойствами.
110f. Четыре, 1103. р + 1. 1104. Пятнадцать.
1106.	В перспективном отображении прямой d на пучок Р (О) образом точки
Е<х £ d служит прямая 4s € Р (О), d0 lid.
1107.	Хао(— 1, Г).
1110.	Пусть (йд,^)—базис векторного пространства, порождающий ре-
пер и ОЕ =	+ Тогда
ОАа =« cSg, ОЛХ — ОМ =	4-
(ЛОЛХ, Е) = МЛ0£? =0!=^-- =/;	(I)
н
—>	а
(ЛВЛ1( М)« Ь => А6М ^-КМА1 =$>--«=—;	(2)
х1 лр
п х° t
.	(1), (2) =»-= -.
ХЛ А
1111.	Пусть точки Ло, Alt Е — собственные, ОЕ = п0 4- ах и R' =
= (О', nJ, й|) — аффинный репер, так же связанный с проективным репером (Лу,
Лх, Е), как и R, но имеющий другое начало. Прямая, проходящая череа точку О' и
имеющая направляющим вектором х°а^+х1йр является образом прямой (ОМ') в
аффинном преобразовании (/?) ®=> ₽'. В преобразовании / точки Л^, Л, инва-
риантны, поэтому (Л0ЛХ) — прямая инвариантных точек. Следовательно, если
(ОМ') f] d =* Mt то f ((ОМ1)) 3 М; если (ОЛТ) [| 4, то / ((ОМ')) || dt т. е. расши-
ренные прямые (ОМ') и f ((ОМ')) проходят через одну и ту же несобственную точ-
ку М £ 4.
Отдельно рассмотрите случаи, когда Л1 или Ло илн Е — несобственные точка.
1112.	Воспользоваться задачей 1110.
шх Р«(л^м) п О.
ШЗ. Проекция точки М из центра Ла на прямую (ЛОЛХ) является серединой
отрезка M64J, проекция точки М из центра Ло на прямую (4^s) является не-
собственной точкой этой прямой.
1116.	Перейти к аффинным координатам.
1119. Л2 £(ЛВ). 1120. М 6(ЛВЛ1Х
1121.	Точки Л, В, С лыш на одной прямой тогда и только тогда, когда по-
рождающие их векторы линейно зависимы.
1123.	Доказать, что уравнение (Хпа 4*рЬа )х“ =» 0 определяет прямую, про-
ходящую через точку С => a Q &, и всякая прямая, проходящая через точку С,
определяется такими уравнениями.
1124.	Построить точки пересечения данной прямой с двумя сторонами ко-
орди ватного чреугольника.
1125,	несобственная прямая.
1126.	(-—Л, В, С), где А «=» (1, 0, —I), В =» (2, lt 0), С (0,0, 1) в базисе,
порождающем репер R.
206
1127,	1) уМ-2/, 2) W-=—У 4~ 2y\
W “ yV hl« y1»
ХУ = — yo 4- y2;	%x2 = y° 4- ya-
1128.	M (3, 2, — l)t.N (12, 9), X»(5, 0, -3), P (0, 1, I). Перейти к однород-
ным аффинным координатам относительно репера R и составить формулы преобра-
зования координат при переходе от репера R к реперу R'.
1129.	Х»(1, —1,0), Yоф (1, 0, —1), Zoo (0, 1,—1)— несобственные точки сто-
рон координатного треугольника, М» (—2, 1, 1), ЛЛэо(1» —2, 1), Рсо(1, 1*— 2) —
несобственные точки его медиан,
1132.	Построить треугольники MNP и M'N'P', имеющие центр перспективы
и такие, что М, N 6 р, М’, N' 6 q, (МР) р| (М'РГ) ==> А. |	-
1133.	Приняв прямые р и q, и и и за соответствующие стороны дезарговых
треугольников, свести задачу к задаче 1132.
1134.	См. задачу 1132.
1135.	Недоступную прямую (ЛВ) принять за ось перспективы дезарговых
треугольников со сторонами р, и, i одного треугольника н соответствующими им
сторонами q, v, s другого треугольника, где s— искомая прямая.
1136.	Свести к задаче 1134.
1137.	Применить теорему Дезарга к трехвершинникам DMN и CPQ.
1138.	Треугольники AMN н DPQ имеют центр перспективы.
1140.	Треугольники АВС и — дезарговы, с центром перспективы Е
и осью перспективы (NP). Тот же центр и ось перспективы имеют треугольники
СА^ и С\.43^2. Поэтому прямая (А2В2) проходит через точку. П (Л'Р) “
“ М. Значит, прямые (ЛВ), (А^), (А3Ва) проходят через точку М. Аналогично
доказываем, что (А3/З3) б М, и т. д.
1144.	Найти координаты точки М в репере — (М(),	Л1г). Точка М'
имеет те же координаты в репере Р2 (М'й, Л4Р М2). Найтн ее координаты в
репере R'.
1146.	Составить формулы проективного преобразования, поместив вершины
Аа, Ау репера в инвариантные точки.
1148.	Проективное преобразование задать реперами £ = (Ао, Хю, £) и
/ (?) (а; х«, е').
1149.	Пусть три пары прямых, соответствующих в отображении /, пересе-
каются в точках прямой «. Доказать, что перспективное отображение g: Р (О)
-> Р (О') с осью s совпадает с Д
1150.	Перспективное отображение g: Р (О) -> d совпадает с /.
1151.	Ввести вспомогательное перспективное отображение пучка Р(О) на
прямую d', не проходящую через' точку О.
1152.	Свести к задаче 1141.
1153.	Отображение f: Р (А) -> Р (С), определяемое реперами R
= ((AC),(A A'}, (АВ'))п	((СА), (СА'), (СВ')), перспективное. Ойо индуцирует
перспективное отображение (р: (ВА') -> (ВС7) с центром L, в котором*! (М) =?* X
Значит, L 6 (МК).
1155.	Проективное преобразование задать реперами Р =» (Ао, Хх* Y<x>> Е)
nf(R)^= (А'о, Yi, £').
207
1156.	Проективное преобразование f определено реперами #=» (Л, В, С, D)
в /?'	(Л, В, С, IX).Построить образы проекций точки М на toe стороны ко-
ординатного треугольника ЛВС.
1158. 1) Ху°=» 2х° 4-6x4
Аух =я — 9x4	• '
И60. При круговой перестановке различных точек Л, В, С, D
t	t
(AB,CD)^t->-—^t-*-----------7.
г — 1 t — 1
1161.	Воспользоваться определением сложного отношения.
1163.	(<4С, BZ)) = — 1.
1164.	Рассмотреть композицию перспективных отображений Д’ т -> (ЛС)
с центром В н g: (ЛС) -> (ЛВ) с центром М.
1166.	(ЛВ, CD) =» — 1.
1169.	Воспользоваться задачами 1107, 1167.
1170.	С (I, —1).	.
1172.	Воспользоваться задачей 1171.
1174.	Прямая d—ось перспективы дезарговых треугольников А^Л^Л^ и
E^EiE^ Рассматривая полный четырехвершннник ’££0£^, получаем
(Л-И** С2/И2)	— 1.В репере R прямая d имеет координаты (1, 1, 1).
1175.	На расширена он плоскости рассмотреть полный четырехвершннник,
вершинами которого служат вершины данного параллелограмма.
1178.	На расширенной плоскости рассмотреть полный чегырехвершинник с
вершинами в вершинах трапеции.
1179.	Написать -формулы проективного преобразования» поместив" одну из
вершин репера в инвариантную точку.
1180.	Проективное преобразование f прямой d определено парой рёперов
(Л. Л', В) и Я' (Л', Л, В).
1181.	Доказать, что преобразование / сохраняет сложное отношение любой
четвёрки точек.	-
14&	к задаче 1181.
1184Эллиптическаяинволюция.
1185. Х(1, 1), У (—1,2);
"	1187. Построить образ треугольника в особой гомологии.
1188.	х1 = О—прямая инвариантных точек.
1189.	1) Построить образ. АГ некоторой точки М £ (ЛЛ') и гомологиюf
задатьцентром В, осью s и точками М и ЛГ.
1190,	Построить образы (прообразы) двух точек прямой d. В качестве одной
иа точек полезно взять точку П s.
1191.	X » р П (4).
1192.	Доказать, что Гомология g с центром $ и осью s, переводящая А в А\
сюйпадает с Л	‘-
I19X Треугольники ЛВС и Л'В'С удовлетворяют теореме Дезарга. Поэтому
точки (ЛВ) П (4'В'), (BQ f) (В'С), (ЛС) f| (Л*С) лежат на одной прямой —
оси s гомологии f с центром S. Построив прямую s, мы сводим эту задачу к зада-
чеП91.	;
ч	203
Зшетед что прямую можно найти без использования оси гомологии:
q Q(A'B') - Л1\ 9 П (В'С') - N';
(SM') П (Л5> = м= Л*1
(SJV') п (SC)^
(/и/V) - Л“Ч?); .
(AtzV) П р = х, (SX) п 4 = х' = f (X).
. 1194. См. указания к задаче 1193.
1195.	Для точки М пересечения осей родства
К М = /2 (/И) = М М € х.
Возьмем произвольную прямую д. Точка /V' — 4 (л) р| 4 (л) имеет один и тот
же прообраз /V 6 п в обоих преобразованиях. Прямая (ALV) ~ х — искомая.
Если преобразование 4 задано парой родственных треугольников АВС и	;
а преобразование 4 — парой родственных треугольников EFG и
то прямую х можно иайти следующим образом: построить точки S £ (EF) | 4(S) €	1
€ (E2F2) и Т £ (GF) 1 4 (Л 6 (G2F2). Тогда прямая (SF) — Х“ искомая.	Ч
1196.	Парой (Я, R') реперов определяется гомология, в которой /Иу— ин-
вариантная точка.	•
1197.	Построить прообраз X несобственной точки А^— р Q q. Прямые (ХР)
и (XQ), где Р = /?[)$, <3 = ? П $ искомые.
1198.	Построить образ несобственном точки данных параллельных прямых.
1199.	Построить образ н прообраз какой-нибудь несобственной точки, ие ле-
жащей на оси гомологии. Искомые прямые проходят через найденные точки и
параллельны оси гомологии.
1200.	1) Центр гомологин однозначно определяется условием (*).
2) Построим точку /И' = / (Л1). Перспективное отображение ф: (SA) (S/И)
с центром То — (A/И) Q s сохраняет сложное отношение четырех точек, следова-
тельно, (SAf0, /ИЛГ) — (SA0, ЛА') = —1.	'
3) Пусть / — инволютивное проективное преобразование плоскости н-f (А) =
= д' =5^ А. Возьмем точку В £ (АД'), тогда / (В) = В' $ (А" А). Возможны два
случая.
а)	Пусть В’^В. Тогда D = (ДА') f| (BB')t С = (АВ) [) (А'В'), £~
— (АВ') Q (А'В), F= (QE) р| (АД') инвариантные точки и (СЕ)—• прямая
инвариантных точек. Поэтому f — гомология с осью (СЕ) и центром D, причем
(DF, АЛ') = —1. Значит, /—гармоническая гомология.
б)	Пусть В' = В. Возьмем точку /И 6 (АВ), /И =7^ А, Л4 =7^ В. Тогда / (М) =»
— АГ С (А'В) и далее рассуждаем так же, как в случае а),
1201.	Лу° — х» — 2х1 — 2х*,
Ху1 — — 2х°	х1 — 2х3,
Ху2 ——2х° — 2хх -f- х2.
1202.	Учесть, что в родственном преобразования сохраняется параллельность
прямых.
1203.	Пусть Q — данная окружность, dx>— несобственная прямая. Тогда
f’1 (rf*) П Q — 0-> HQ) *“ эллипс,	>
Z"1 (d«) П Q — Л? f (Q) — парабола, .	"
Z’1 (dx) f] Q = {/И, Л'}, М =£ N (Q) гипербола.
1204.	За ось гомологин f принять прямую, параллельную касательной d к
данному эллипсу. Центр гомологий и точки А, [ (А) выбрать так, чтобы пря-
8 Заказ 34-2	209
мая d была прообразом несобственной прямой. Для получения .гиперболы взять
прямую d, псресекающуюданный эллипс в двух точках, а для получения эллипса
прямая d не должна иметь общих точек отданным эллипсом.
1205.	См. указание к задаче 1204.
1206.	Использовать проективное преобразование расширенной плоскости,
переводящее прямую (ST) в несобственную прямую.
1207.	Перейти к однородным аффинным координатам.
1209.	Воспользоваться задачей 1208.
1210.	Построить полцры двух точек данной прямой.
1211.	Построить аюл яр уточки Л1.
1212.	Воспользоваться теоремой взаимности поляритета.
1214.	Точкипересечения у к азан ныхкаса тельных л ежатналол прел точки А.
В частности., «а прямой а лежит несобственная точка Пересечення жасательпых к
окружности Q в концах диаметра, принадлежащего др ямой s(y40).
1215.	См. указание к задаче 1214.
,1217	. Точки пересечения указанных ^касательных .лежат на поляре а несоб-
ственной точки Л с» пересечения параллельных прямых, содержащих хорды.
Прямая а проходит через середины параллельных хорд (см. 1169).
1218.	Доказать, что поляра точки С пересекает прямую (MN) в несобственной
точке Lao и (PQ, CLX) == —1.
1219.	Пусть Л, В—' точки касания данных кривых фи Q7; 7И — точка пере-
сечения "касательных к Q и tZ в’точках А и В; © 6 (АВ) — внешняя точка отно-
сительно ф я d—поляра точки D; С И Ф П С' £ Qr '[*] Томология f
с центром М, осью (АВ) и соответствующими точками С и 7 (Г) ®= С\ переводит
фи О'.
1220.	Поляра точки D одна и та же для обеих кривых.
1221.	’Пусть ф — окружность с центром О, определяемая барьером арены.
Если Л = О, то искомое направление — любое. Если А £ Ф, то задача сво-
дится к построению правильного треугольника с вершиной Л, вписанного в
окружность ф.	_
Пусть А #= О, А $ Q. Тривиальное решение: два взаимно противоположных
направления, определяемых прямой (ЛО).
Если точки В, Вх, в которых мяч отражается -от1 барьера, не лежат на (ЛО),
то ДЛЙВХ—равнобедренный: (Л В] [ЛВ^. Пусть С — (ЛО) П (ВВХ). Прове-
дем хорду [©©.х] через точку Л перпендикулярно (ЛО) и рассмотрим точки Е 6
£ (ОС) fl Q, Е] £ (©ХС) f] Q. Рассматривая полный четырехвершинник ©DXEEX,
заключаем, что (ВВХ) — поляра точки Т — (EEf) f| (©ХЕ) и, значит, (ТВ) —
касательная к окружности ф в точке В. ((ВЛ), (ВС); (ВО), (ВТ)) = —1 (см. за-
дачу 1172). Отсюда (ЛС, ОТ) ~—1 => ((ЕЛ), (ЕС); (ЕО), (ЕТ)) — —1
г=^(Л©,	—1, где К = (ЕО) П (О©х), так как (Л©, ©О — — ~ , то
1
(MD, К) == “. Последнее позволяет построить точку К и найти: точку Е £
£ (ОК) А 0, Е £ [(©ОД 0), точку С — (ЕО) Q (ЛО) и, наконец, точки В, Вг
как точки пересечения прямой,.проходящей через точку С и перпендикулярной
прямой (Л О), с окружностью ф.
1222.	Воспользоваться теоремой Штейнера или Паскаля.
210
1223.	См. указание к задаче 1222.
1224.	См. указание к 'задаче 1222.
1225.	Воспользоваться теореме# Брианшона. Точку кривой искать как точку
касания одной из касательных.
1226.	См. указание к задаче 1225.
1227.	См. указание к задаче 72S&.
1228.	Касательные ® эллипсу Q в точках Л и В параллельны диаметру (CD),
а касагелъные в- гочках С и 2Х параллельны диаметру (А В). Воспол ьзоватьсятеорс-
мой Паскаля или Бряюнитенж,
1229.	Воспользоваться-следствием из теоремы Штейнера.
1230.	Приктенчттъ- теорему Бриатггонэ.
1231.	Применять теорему Паскаля.
1232.	Середины сторон параллелограмма принадлежат вписанному эллчреу.
Воспользоваться теоремой- Бряаютонэ.
1233.	Середины сторон параллелограмма принадлежит вписанному эллипсу.
Воспользоваться теоремой Паска»».
1234.	Истиадьзуя симметрию окружности относительно центра, построить
параллельные секущие, не нроходящ-ие через & и пересекающие I а точках А и В.
Затем через точку О пронести прямую, ни параллельную (ем. задачу 1177). Она
пересекает отрезе® FAS) в его середине С. Используя точки А, В, С, провести
через точку Р прямую, параллельную I (см. задачу 1176).
1235.	Построить середину С какого-нибудь отрезки[ЛВ| d I (ем. указание
к задаче 1234). Воежльзонтпгитиеь этой= фигурой, пронести через точку О прямую
т || L. Построить гг©ляру /ж какой-нибудь-точки М £ т, внешней относительно Q.
Тогда л ± чг и точка » ж fl т — середина отрезка [Л\ЛУ, где {A't,	—
= п f] Q. Наконец, провести через точку Р прямую р || п.
1236.	60. 1237. 60.
1238.	Веригины игегтиугольпика принадлежат одной овальной кривой вто-
рого порядка. Прямые, проходящие через середины его противечюложных сто-
рон, принадлежат одаому пучку с центром в- полюсе- несобственной прямой*
1239.	Применить теорему Паскаля к нгестинершиннику, вершинами кото-
рого служат вершины данных треугольников. Убедиться, чтэодиа из точек пере-
сечения противоположных сторон этого щестивернгигигики является точкой Бриаи-
шона для шестисторонинки, сторонами1 полорото служат прямые, содержащие
стороны данных треугольников. Применить теорему, обратную теореме Бриан-
шопа.
1240.	См. указание к задача 1-23Э.
1241.	В точках А и В построим касательные к данйым кривым Q и Q*. Обо-
значим- через X точку, пересечения каеателЕьных в точках А, # £ Q, и через Y —
точку пересечения касательных в- тачках А, В 6 О'. Найдем R =- (ХУ) f] (AS)
и построим 'точку <S |(АВ, j&S) = —>. Тагдэ (АУ) — поляра- тачки S для обеих
кривых ОбЬзиФник 7 = (Х¥) f} (5 С) в. построим точку D |(А’Г, СВ) — — 1.
tof0 6QfH.
1242.	Касательные к гиперболе в ее несобственных точках.
1243.	На расширение# п.юскости асимптота гиперболы является касатель-
ной в несобственной точке гиперболы. Поэтому условием задачи заданы три точ-
ки овальной кривой второе® порядка и? касательные в двух из них. Воспользо-
ваться теорем©® Паскаля,
8*
211
1244.	См. указание к задаче 1242.
1245.	Центр гиперболы найти как точку пересечения асимптот — касатель*
ных к гиперболе в ее несобственных точках.
1246.	Точка, симметричная данной относительно центра гиперболы, при-
надлежит данной гиперболе. Таким образом, известны три точки овальной кри-
вой (одна нз ннх несобственная) н касательные в двух из них (одна из них асимп-
тота). Пользуясь теоремой Паскаля, на несобственной прямой найдем еще одну
точку гиперболы. Эта точка я центр гиперболы принадлежат искомой асимптоте.
1247.	Параллельные прямые иа расширенной плоскости пересекаются в точ-
ке несобственной прямой — касательной к параболе.
1248.	На расширенной плоскости несобственная прямая является пятой за-
данной касательной к овальной кривой второго порядка. Воспользоваться тео-
ремой Бри ан шона.
1249.	На расширенной плоскости несобственная прямая касается параболы
в ее центре. Воспользоваться теоремой Брианшоиа.
1250.	На расширенной плоскости диаметр параболы задает ее центр —
точку касания несобственной прямой. Воспользоваться теоремой Паскаля.
1252.	Пусть — несобственная прямая на проективной модели расширен-
ной аффинной плоскости. Точку С£ (ЛВ) можно найти как четвертую гармониче-
скую к точкам X = (AZ?) fl d$t At В; точку D — как четвертую гармоническую
к точкам С, X, В и т. д.
Это построение упрощается следующими соображениями. Возьмем какую-
нибудь точку Y € dQt Y X и проведем прямую (ХМ) (АВ). Пусть
(ХМ) П (ЛК) М, (ХМ) П (BY) » X.
Тогда фигура ЛВ\'М — параллелограмм на проективной модели расширенной
ил оскости. Н а йдем:
(ВМ) П 4« 4 (ZN) П (АВ) == С.
Тогда ВСУМ — параллелограмм и, значит, В — середина отрезка [ЛС).
Заметим, что это построение точки С — обычное построение четвертой гармо-
нической точки к точкам В, X, А с помощью полного четырехвершинника MXKZ.
Далее, для построения точки Z> можно поступать по-разному:
а)	(СИ П (MN) Q, (ZQ) ft (АВ) D;
б)	(СМ) П 4 = Ut (UN) П(ЛВ) = D.
Последующие точки прямой (Л В) строятся аналогично.
1253.	Через центр С окружности Q провести диаметр [ЛВ] || (МЛ') и через
точки А и В — прямые, параллельные прямой (СХ).
V < 1254. Несобственные точки прямых d и а полярно сопряжены относительно
единичной окружности Q.
1255.	Qi. решение задачи 1252. Точка Z должна быть полярно сопряжена с
точкой X относительно единичной окружности Q.
4256. Пусть Q — единичная окружность с центром С. Построим равнобедрен-
ный треугольник АСВ> боковые стороны которого параллельны сторонам данно-
го угла, и точку М — середину основания [Л В). Искомая биссектриса параллель-
на прямой (СМ).
1257.	Пусть Q — единичная окружность с центром С. Проведем диаметр
(СХ) || (MX) и построим диаметр (СК), ему сопряжённый. На проективной моде-
ли евклидовой плоскости (СХ) Л (СК). Через точки М и X проведем прямые т
и п, параллельные прямой (СК). Построим биссектрису прямого угла с верши-
212
нон Л4 и,стороной (МАТ) (см. решение задачи 1256). Она пересекает прямую я в
третьей вершине S искомого квадрата MNST.
1258.	Построить прямую (МР) Н 7, биссектрису угла PMN и перпендикуляр
(NP) к этой биссектрисе.
1259.	Инволютивная гомология с несобственным центром, полярно сопря-
женным с несобственной точкой оси симметрии относительно единичной окруж-
ности.
1261.	Искомая точка лежит на пересечении двух окружностей, концентриче-
ских данным.
1262.	Следует рассмотреть два случая: 1) три прямые попарно пересекаются;
2) две прямые параллельны, а третья нх пересекает.
1264.	Свести к задаче 1263 (построение треугольника по основанию 2р, углу
А
при вершнне 90° 4* ” н высоте ha),
1265.	Сперва доказать, что сторона треугольника видна нз центра вписанной
"окружности под углом, величина которого равна 90° плюс поЛовина величины
угла, противолежащего стороне.
1288.	Задача сводится к построению точки D — середины [АС], если [BCJ^
&а.
1269.	Использовать окружность Аполлония.
1270.	См. указание к задаче 1269.
1271.
задачу к
1272.
1273.
Достроить искомый треугольник до параллелограмма ABDC н свести
построению точки В,
Использовать окружность Аполлония.
Задача сводится к построению вершины С треугольника АСА", у ко-
торого [АЛ'] ^2 [АВ] (В~ середина [АЛ'1), [АВ] н [ВС]— данные стороны
искомого параллелограмма и отношение |АС| : |А'С] равно данному отношению.
 1274. Пусть ABCD — искомый параллелограмм. Точка С есть точка пересе-
чения окружности Аполлония и окружности радиуса г ~ -—| АС) с центром в
середине [АС].
1276. Использовать фигуру F = {Л1| | ВЛ4|2— | СЛ113 — 1 где В и
С— данные точки и т — данный отрезок.
. 1278. Центр искомой окружности есть точка пересечения окружностей (А, г)
 и (в,	.
1279.	См. указание к задаче 1276.
1289.	Зная Р и А, легко построить [ВС]. Далее использовать фигуру В ~
« {Л4| |ВМР +	|Л3}.
1282.	Использовать параллельный перенос одной из диагоналей.
1284.	Применить параллельный перенос одной нз'медиан, свести задачу к
построению треугольника, сторонами которого служат медиан искомого гре-
о
угольника.
1285.	Использовать параллельный перенос боковой стороны.
1287.	Свести задачу к рассмотрению равнобедренного треугольника и его
оси симметрии.
213 '
1288.	Построить точки Р', Р\ симметричные точке Р относительно прямых,
содержащих стороны данного угла. Использовать (Р'Р'').
1289.	Использовать точки Л', &t симметричные точкам А н В относительно
прямой, содержащей одну из сторон данного угла,
1290.	Использовать точки Л', В1, симметричные точкам А и В относительно
прямой d.
1291.	Применить поворот вокруг центра данных окружностей.
1292.	Повернуть одну из данных окружностей вокруг точки А на 180°.
1295.	Вписать в данную окружность квадрат и затем повернуть его вокруг
центра окружности на надлежащий угол.
1298.	Зная два данных угла, построить треугольник, подобный искомому,
определить коэффициент подобия, что и даст возможность построить искомый
треугольник.
1298.	Предположив задачу решенной, применить гомотетию с центром в
вершине данного угла.
р I I
1299.	Применить гомотетию с центром в точке Л и коэффициентом *— .
|л|
1304.	Пусть ha, hi» hc~~ данные высоты. Используя выражение для площа-
ди треугольника, находим отношение длин сторон:
. . > , , 1 1 1
а : I & : \с =-----•:----:----г
I M \ hb\ гм
Отсюда:
. , ... , , 1ЙД-1М IM-IM IMIM
| т |	I т )	| т |
где т — произвольный отрезок. Строим отрезки с\, такие, что
. [ I && I * ] ! I , . I I * 1	I * | I
I 1= ------------------------------------------------
[щ|
Строим треугольник по сторонам аъ bt, сх. Этот треугольник подобен искомому с
коэффициентом k — |йа| :	qTo Дает возможность построить искомый тре-
угольник. Задача имеет решение, если существует треугольник со сторонами
6lt q.
1305.	Пусть |АВ| — основание сегмента, Л4 — середина 14В]. Строим внутри
сегмента квадрат где IPQ| CZ [ А В], М — середина [PQ]. Затем надо ис-
пользовать гомотетию с центром Л1 и надлежащим коэффициентом.
1309.	Пусть окружности (0f. R) н (02, /?) касаются между собой, причем
первая из этих окружностей касается (ЛВ) и (ЛС), вторая — (АВ) и (ВС) и Л1(
Л2 — точки касания с ‘{АВ). Прямоугольник АрО^ОзАэ имеет отношение сто-
рон 1 : 2 и вписан в треугольник АВЦ где 7 — центр окружности, вписанной
в данный треугольник. Используя гомотетию, такой прямоугольник можно по-
строить.
1310.	Пусть ABCD — искомый параллелограмм. Возьмем произвольные точ-
ки Ах, Сг и построим окружность Аполлония (MJ |AjAl| : | С^М | = | Л£)| :
; | С£>|}. Пусть — середина IДгСх]. Проводим луч С\Х, такой, чтобы /AjC^X
был конгруэнтен данному углу между диагоналями. Этот луч пересечет окружность
Аполлония в вершине Dt параллелограмма А^С^. От этого параллелограмма
с помощью гомотетии переходим к искомому.
214
1511.	Около данного треугольника описать окружность и с помощью гомо*
тетии перевести ее в данную окружность.
1312.	Если данные прямые пересекаются, то использовать способ решения
задачи 1298 (гомотетия с центром в точке пересечения этих прямых). Если же пря-
мые параллельны, то построить окружность, касающуюся этих прямых, и затаи
переносом перевести ее в окружность, проходящую через данную, точку (в по-
следнем случае данная точка должна принадлежать полосе, ограниченной дан-
ными прямыми).
1313.	Пусть А, В— данные точки, d—данная прямая. Гомотетия с цен-
! SA!
тром S = d f) (АВ) и коэффициентом •	- позволяет определить точку Q £ d,
I SB |
где (BQ) — одна из искомых прямых.
1314.	Пусть (О) — искомая окружность н d Q (О) — {£>, £}, d П (АВ) =
« С. Имеем: | АС) • | ВС) = х (x-f-a), где х — | CD| на — длина данного отрезка.
1316.	Учесть, что расстояния точки D от сторон треугольника известны.
1324.	Пусть а, b — длины сторон, е, f — длины диагоналей параллелограм-
ма. По условию: е — ka, f — kb. Но 2 (а2Ь2) = е2 + р, Отсюда k ==
Зная а, Ь, ё = )'' 2 а, построим треугольник, а затеян параллелограмм.
1325.	Задача сводится к делению основания трапеции в данном отношении.
1327,	Пусть а—длина стороны правильного пятиугольника, d — длина
его диагонали, Тогда d : а =* а.: (d — а). Отсюда а “ Г
1333.	Применить перенос одной из данных окружностей в данном направле-
нии так, чтобы длина вектора переноса была равна длине данного отрезка.
1335.	Вывести соотношение: ас ~ “• (ра + q2 — b- — d2), где а, с — длины
оснований, b, d — длины боковых сторон,, р, q— длины диагоналей трапеции.
Построить отрезки длины tn, nt /, такие, чтобы:
a -J- с . т
ас = /2,
а — с п
Найдем:
|2
а т n	/2 (/л — п.)
— =------- , а2 —---------.
с т—п	т—п
Построив отрезок длины а, можно построить трапецию.
1336.	Высота ромба 2Я, где /?— радиус данной окружности. По стороне
и высоте строим ромб и вписываем в него окружность. Перемещением переводим
построенную окружность в данную.
1337.	Ось симметрии сектора пересекает его дугу в точке Л1 касания иско-
мой окружности. Находим радиус искомой окружности:
dR
задаче 1312.
пересекающие две данные диаметрально, принадле-
окружпостей этого пучка лежат па линии центров
где /? — радиус сектора, d — расстояние от точки М до граничного радиуса сек-
тора.
1338.	См. указание к
1339.	Все окружности,
жат одному пучку, центры
данных окружностей.
215
1340-	Пусть P, Q, R, S — данные точки на сторонах [АВ], [ВС], [С£>], (£>Л]
квадрата ABCD или нх продолжениях. Через точку Q проведем Перпендикуляр
к и отложим иа нем [QH ^2 [PPL Тогда [А£>| с: (ВТ).
1341.	Рассмотреть биссектрису угла при вершине А.
1342.	Одн& из вершин искомого треугольника является точкой пересечения
с окружностью прямой, проходящей через точку В параллельно {ОВ), где О —
центр окружности.
1343.	Задача сводится к проведению касательной к данной окружности'так,
чтобы она равно отстояла от точек А н В.
1344.	Сначала построить центр вневписанной окружности.
1348.	Применить окружность Аполлония.
1349.	Центр искомой окружности должен лежать также на окружности
Аполлония, которую можно построить по данным задачи.
1350.	Свести задачу к построению общей касательной к двум окружностям.
1351-	Центр искомой окружности является точкой пересечения двух окруж-
ностей Аполлония, которые можно построить по данным задачи.
1352.	Центром искомой окружности служит радикальный центр данной
трояки окружностей. #
1353.	Считая данные точки окружностями нулевого радиуса, решаем эту
задачу, как и предыдущую.
1354.	Повернуть окружность ((h) вокруг точки А в направлении к окружно-
сти (ОЗ на угол С'А'В' (ДА'В'О'— данный). К полученной окружности (0%)
I АВ11
применить гомотетию с центром А и коэффициентом k — .".Лк, .♦
I V I
1355.	Предположив задачу решенной, применить гомотетию с центром. В,
1356.	Изображением правильного'треугольника может служить любой тре-
угольник. Для построения изображения правильного шестиугольника восполь-
зоваться его разложением на треугольники.
1358.	В правильном пятиугольнике ABCDE точка М = [BDI fl [ЛС]
делит диагональ [В£>| в крайнем и среднем отношении («золотое сечение»):.
[BDI : | MD[ = 4ЛШ} : | ВЫ|.
Для практических нужд воспользоваться отношением
,	.	1/5—1	2
ВМ : | MD |	12—L ж —
1	2	3
1360.	I) Построить сопряженные диаметры [Л51 и |CD] эллипса 0, являюще-
гося изображением окружности. Через середину отрезка [0А| пррвестн прямую
d I] (CD), пусть d fl Q — {M, №}. Тогда треугольник BMW — искомый.
2)	Провести касательные к эллипсу Q в точках В, М, N. Они параллельны
противолежащим сторонам треугольника.
1361.	Воспользоваться решением задачи 1360,
1362.	Воспользоваться полярой данной точки.
1363.	Удвоить число сторон правильного треугольника, вписанного в ок-
ружность, и воспроизвести это построение н.а изображении.
1365.	В концах сопряженных диаметров эллипса Q, являющегося изображе-
нием окружности, провести касательные к этому эллипсу.
В точках пересечения диагоналей полученного параллелограмма с эллип-
сом Q провести касательные к этому эллипсу.
1366.	Воспользоваться решениями задач 1364, 1365.
216
1368.	Построить окружность Qo с диаметром [ЛВ] и перпендикулярный ему
диаметр [С0Р()). В родстве f с осью (ЛВ) и соответствующими точками Со и С=*
— f (Q эллипс Q является образом окружности Qo.
1369.	Построить окружность Qp с диаметром [ЛВ]. В нее вписать правильный
л-утольник. Построить его образ в преобразовании родства, переводящем Qo в Q.
1370.	См. указание к задаче 1368. Через прообраз Мй построенной точки М i
€ Q провести касательную к окружности Qe и найти образ этой прямой.
1371.	В родстве, переводящем окружность Qo в эллипс Q, построить образы
перпендикулярных диаметров окружности Qe.
1372.	Пусть родство f задано осью s и точками М £ з и М' — / (Л4). Через
середину С отрезка [МАГ] проведем прямую (СО) J_ (Л4ЛГ). Пусть (СО) Q s — О.
Окружность с центром О, проходящая через точку Л4, проходит через точку М*
и пересекает s в точках Л и В. Образами перпендикулярных прямых (Л4Л) и (Д4В)
являются перпендикулярные прямые (ЛГЛ) и (М'В). Значит, прямые (МЛ) и
(МВ) имеют главные направления в родстве /. Прямые а и Ь, проходящие через
данную точку W и соответственно параллельные прямым (МЛ) и (МВ), являются
искомыми.
В случае, когда (СО) |] а, одно из главных направлений определяется осью 5,
другое — ему перпендикулярное.
1373.	Построить окружность Qo с диаметром [ЛВ] и перпендикулярный ему
диаметр [СаОо]. Найти главные направления родства/, определяемого осью (ЛВ)
и соответствующими точками Со и С = / (Со) (см, задачу 1372). Провести перпен-
дикулярные дяаметры окружности Qo, имеющие главные направления. Построить
их образы в родстве /.
1374.	Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон паралле-
лограмма, служат сопряженными диаметрами эллипса, изобр.ажзуедего окруж-
ность. Воспользоваться родством, переводящим эллипс в окружность.
Можно также воспользоваться теоремами Штейнера или Паскаля. В этом
случае построение выполняется одной линейкой.
1375.	Диагонали параллелограмма служат сопряженными диаметрами эл-
липса, изображающего окружность.
1377.	Построить прообраз 10 прямой I в преобразовании родства, переводя-
щем окружность Qo с диаметром [ЛВ] в эллипс Q, и найти образы точек Л40,	(
€/оП Qo-
1379.	Свести к задаче 1375.
1380.	Пусть точки S и О— изображения вершины конуса и центра его ос-
нования, точка — изображение центра верхнего основания цилиндра. Восполь-
зоваться гомотетией с центром 3, переводящей точку О в точку О1,
1381.	Построить изображение правильного треугольника, вписанного в эк-
ватор (соответственно в параллель). Вершина пирамиды изображается полюсом,
соответствующим экватору.
1382.	Вершины оснований призмы принадлежат сечениям шара параллель-
ными плоскостями, равноудаленными от его центра.
1383.	Изобразить шар, его экватор и соответствующие ему полюсы. Основа-
ния цилиндра и экватор шара изображаются конгруэнтными эллипсами с соот-
ветственно параллельными осями. Изображениями центров оснований цилиндра
служат изображения полюсов шара.
1384.	Построить изображение правильного треугольника, описанного около
217
эх,41 горя. Если точки М и S — изображения полюсов, соответствующих эквато-
РУ* го боковые -ребра призмы изображаются отрезками, параллельными отрезку
|A/Sj и конгруэнтными ему.
1385.	Построить изображения ЛГ к 5 полюсов, соэтветствугощих экватору.
Провести дна сопряженных диаметра L$f£j и f f&r| эллинги, изображающего эк-
ватор. Эллипсы с сопряженными диаметрами {Л1£] и fMS|, и f служат
изображениями искомых меридначов. При вычерчивании этих злл внеся от руки
полезно предварительно построить их оси,
1386.	Воспользоваться теоремой Польке—Шварца.
1388. Построить изображения вершин куба шмх координатам в ортонор ми-
ров ап нам репере.
1389. См. указание к задаче 1388.
1393. Воспользоваться задачей 1Г94.
1391.	Построить изображения точек f f) (/ES^C'l и т' Q \А’&Се) (см.
вада чу 13901 либо воспользоваться задачей 1195.
1392.	Пусть нжчгкостъ И пересекает оси репера /?' в точках А' б (Ог.4{),
& £ (0'А‘2), С 6 (О'А^). Построить изображения единичной окружности с цен.
тром О', лежащей в координатной плоскости (ITAjAj), и основания М' перпен-
дикуляра, опущенного из точки О' на прямую (А'В'1 Аналогично построить изо-
бражение основания №' перпендикуляр а, онущенпого из точки О' на прямую
(АСЭ. 1?вгд*а точка Р = (СМ) [) (&№} является изображением основания пер-
пендикуляра, опущенного из точки О' на плоскость IT.
1393.	Свести к задаче 1392.
1394.	Считаем, что осн репера R' направлены к плоскости. 2* Длины отрез-
ков еК) будем обозначать теми же буквами. Обозначим а •= (О'Ар (70),
р = (0Ё4*, 0'0), у — (О'Ag, 0*0). Здесь 0'0 12* воспользоваться соотноше-
ниями: ех ~ sin — sin^, ez — sin 7700s Aj = ctgP - cig y, cos A^ etg a X
Xctgy, cos A9 ~ etga • ctgP, где Ar— величины углов треугольника следов;
Д,ОА3 = 180° — Д, AiOA* = ШТ2 — Z,. АаЙА2 == 1Ш3 ~ Z;
1395.	Воспользоваться указанием к задаче 139-1.
1396.	Построить изображение куба в ортогональной диметряческей проекции
(см. задачу 1395). Шар касается плоскостей граней куба в точках пересечения
диагоналей этих граней. Не известным <юнряженным диаметрам можно построить
эллипс — изобржкение окружности большого- круга шара. Его большая ось дает
дидметр очертания шара.
139В. См. задачу 1397.
‘ 1399. Воспользоваться преобразованием родства, определяемым двумя трой-
ками соответствующих точек (Л1, Л/, Р) и (Л1, Nlt Pt), где М, N, Р — изображе-
218
ния точек. Afz,	Af1T Л.\.,	— нзобра?к£ния-ортогона,Пзных проекций точек
At*,, N', P" на плоскость нижнеголхажвашот кубарем. также задачу Н94£.
1400.	Воспользоваться гомологией, «аределяемей двумя тройками еооявет-
ствующих точек (А1, тУ, Pj « (Alt, ^У» Мг Я* Р — изображения точек
ЛГ, Л^, Р\ а Ntr f\—изображения центральных проекций зта точек из
вершины пирамиды на плоскость ее «снования.
1401.	Обозначим Qt— изображение окружности мнжкт» основания
цилиндра а — изображение следа плоскости <Г на знлескоств- -основания ци-
линдра, М— изображение заданной точки №' £ В\ лежащей гш образующей Г
цилиндра, A1l— изображение точки ЛЦ7 = lf f| Qj. Задачасводится к нострое-
fffl® прообраза эллипса в родстве f с осью- я в; соответстп^яощимщ швами М
и Mt — f (М).
1402.	£>ешпе1гие- аналогично решению задачи 1401, ео вместо- редства надо
использовать гомологию; с центром ж точке S — изображения вершины конуса.
1403.	Гомология £ с центром Л\ осью а и соответствующими точками М и
| ^/VI) переводит изображения точек плоскости П* в изображении. их осно-
ваний. Установить количествонесобственных точек кривой Q —	за*
дачу 1199).
1404.	Си. задачу U9L
1406.	Построить изображение меридиана, п тюскосш которого лежит пря-
мая Г.
1467.	Изображение неполное, поэтому изображения ^кгогональных проек-
ций трек «ершиа пятиугольника можно задать произвольна ^држе на одной- пря-
мой). После этого изображение становится ладным.
1408.	Данное изображение неполное, искомые точки можно выбрать произ-
вольна па изображении / прямой После этого изображение становится полным.
1409.	Изображением искомого отрезка является отрезок, конгруэнтный диа-
метру адлииеа Q, п-ара.тлельному прямой. £
1410.	Пусть эллипс Q — изображение данной окружности Q' и угол АВС —
изображение данного угла А'В'С7. Через центр О эллипса Q провести лучи, па-
раллельные сторонам угла АВС. Пусть At и Ct — точки пересечепия этих лучей
с эллипсом. Тогда луч [ВМ), параллельный медиане [OMj] треугольника AjOCj,
является изображением биссектрисы угла A'S'С'.
1411.	См. указание к задаче 1’410.
1412.	Перпендикулярные прямые оригинала изображаются прямыми, имею-
щими сопряженные направления относительно- эллипса, изображающего окруж-
ность.
1414.	Построить изображение MNP правильного треугольника, вписанного
в окружность Q', так, что {ЛГАЛ !| [ABJ {см. задачу 1360). Провести прямые
[асшмя, (во нт
1415.	Пусть треугольник АВС, вписанный в эллипс Q, является изображе-
нием треугольника А'ВХ\. вписанного в окружность Q'. Построить образ тре-
угольника АВС в родстве, переводящем эллипс Q в окружность.
1417.	Пусть треугольник АВС— изображение треугольника А'В'С' и точ-
ка О—изображение точки О'. Построить изображения прямых, проходящих
через точку (У и параллельных биссектрисам внешних углов В' и €' «реуголышка
А'В'С' (см. задачу 1173). Тогда через точку О проходят две пары прямых, являю-
щиеся изображениями пар перпендикулярных прямых. Построить точку Oit
249
такую, чтобы родство / с осью (Л С) я соответствующими точками О и Ot f (О)
переводило прямые, изображающие перпендикулярные прямые, в перпендику-
лярные прямые. Найти образ треугольника АВС в преобразования Д
1413. Пусть параллелограмм ABCD — изображение данного прямоуголь-
ника, отрезок [МАП — изображение стороны искомого квадрата. Заданное изо-
бражение не является метрически определенным, свободными остаются два пара-
метра. Изображение перпендикуляра к отрезку [М'ЛП можно выбрать произволь-
но с единственным ограничением: пары прямых, изображающих перпендикуляр-
ные прямые, проходящие через одну точку, должны разделять друг друга.
После такого выбора всякая фигура плоскости, в которой лежит заданный
прямоугольник, определяется изображением с точностью до подобия (свободен
один параметр).
Через какую-нибудь точку О плоскости изображений проведем прямые,
параллельные сторонам параллелограмма ABCD, прямую, параллельную отрез-
ку |А4.V], и прямую, изображающую перпендикуляр к отрезку (М'Л']. Задача
сводится к заданию родства*, переводящего изображения перпендикулярных пря-
мых в перпендикулярные прямые (см. указание к задаче 1417).
1419.	Построить треугольник, подобный оригиналу (см. указание к задаче
1415). Зная коэффициент подобия, построить треугольник, конгруэнтный ориги-
налу, и радиус вписанной в него окружности.
1420.	Пусть треугольник АВС — заданное изображение треугольника А* В'С'.
Построить треугольник АВС\ подобный треугольнику А'В'С. В родстве / с
осью (А8) и соответствующими точками Си С“/(С) построить прообраз ок-
ружности, описанной около треугольника АВС”.
1421.	См. указание к задаче 1420.
1422.	Изображением квадрата определяется изображение вписанной в него
окружности. Эго позволяет построить изображения перпендикуляров к отрезку
[A'B'J в точках А' и В', а также диагонали искомого квадрата (см. задачу 1410).
Построение упрощается использованием родства, переводящего заданное
изображение квадрата в квадрат.
1424.	Изображение любой треугольной призмы можно считать изображени-
ем дайной призмы.
Перпендикуляр (А|Х') к плоскости (A'BjCj) является перпендикуляром к
прямой (А'£[), где —середина отрезка [BjCj]. Построить треугольник ААХ£*,
подобный треугольнику A'AJbJ. В родстве f с осью (ААХ) и соответствующими
точками Ех и £* = f (£"х) построить прообраз X точки Xя — основания перпенди-
куляра, опущенного из точки Ах на прямую (АЕ“). Точка X является изображе-
нием основания перпендикуляра (А^Х'), опущенного из точки А^ на плоскость
(а'й;^).
1425.	Форма треугольника А'А^ известна, поэтому для построения изо-
бражения X точки X' можно воспользоваться общим способом, указанным в ре-
шении задачи 1424.
Однако проще построить точку X, доказав, что (А'С|, Х')~ —•» либр дока-
затщ что плоскость (A^B'D') является искомой,
220
g/6
6
1426.
(см. указание к задаче 1425).
1427. Воспользоваться задачей 1425. Сечением является правильный шести*
•□го к
угольник, площадь которого а .
1428. Искомый перпендикуляр (Р'Х') параллелен прямой (В'/С), перпен-
дикулярной к прямой (А'Лф, где К" € AlJ € (4jBj). Для построения изо-
бражения точки К' воспользоваться родством, переводящим изображение квад-
рата	в квадрат.
Точку К можно найти ннзче. Построим [A^L] || [Л^], L £ [BBJ; [Ai/Cjc/o
[5,1], К 6 [ДМ
Одиако наиболее просто строится изображение в кабинетной проекции. Для
этого расположим куб так, чтобы его ребра были направлены по осям координат
и изображением грани ^'B'B^j был квадрат. Тогда углы в этой грани изобража-
ются без. искажений.
1429. Построить изображение сечения пирамиды S'4'B'C'D' плоскостью
(S'ЛГАЛ, где М', N' — середины сторон [В'С'] и [4'/)'] основания. Форма этого
сечения известна. Это позволяет использовать общий метод метрических постро-
ений.
Решение задачи упрощается, если данную пирамиду расположить так относи-
тельно плоскости проекций, чтобы изображение треугольника S'M'N' было по.
добио этому же треугольнику.
1434.	Построить изображения V и S полюсов, соответствующих выбранному
экватору, и двух меридианов, плоскости которых взаимно перпендикулярны
(см. задачу 1385). Из точки M't лежащей иа продолжении отрезка [#'.$'] за точ-
ку N', провести касательные к этим меридианам и найти точки их пересечения с
касательной плоскостью к шару в точке S'. Эти точки являются серединами сто-
рон основания пирамиды с вершиной М', описанной около шара.
1435.	См. указание к задаче 1434.
1436.	См. указание к задаче 1384.
1437.	Пусть точка О — изображение центра шара, точки № и S — изображе-
ния полюсов, соответствующих выбранному экватору. Построить изображение
квадрата, вписанного в экватор, и подобного ему квадрата с тем же центром и сто-
2 1^3*
ронон а~	— г (а — длина ребра куба, вписанного в шар радиуса г). В верши-
нах параллелограмма, служащего изображением второго (меньшего) квадрата,
провести прямые, параллельные прямой (VS), и на каждой из них отложить по
обе стороны от вершины отрезок длиной ~— | ОА7|. Концы полученных отрезков
3.
являются изображениями вершин куба, вписанного в шар.
Можно поступить и иначе. Построить изображения двух меридианов, пло-
скости которых взаимно перпендикулярны (см. задачу 1385). Эти плоскости пере-
секаются по прямой (ATS'). Построить изображения ABCD и	квадратов,
вписанных в меридианы так, что отрезки [AD] и параллельны прямой (AFS).
Тогда отрезки [ЛВ] и [XjBJ, пересекающиеся на прямой (VS), являются изобра-
жениями отрезков, соединяющих середины сторон одного из оснований куба,
221
вписанного в шар, а отрезки (DCJ a [DAI являются изображениями отрезков,
соединяющих середины сторон другого основания этого куба.
См. также указание » задаче 1388.
1438.	Найти отношение, в котором грань тетраэдра делит перпендикулярный
к ней диаметр шара,
1439.	Пусть эллипс Q служат изображением экватора. Основание тетраэдра
A'B'C'D' изображается произвольным треугольником АВС, оригинал которого
лежит в касательной плоскости к шару в полюсе S'.
Построить изображения меридианов, лежащих в плоскостях Я* и ’СТ, соот-
ветственно перпендикулярных к плоскостям граней А'В1!)1 a тетраэдра.
Найти изображения точек Р' = ТГ f) (А'5'), R' = & Q АС) и касательных
(Р'К'), (R'X), проведенных из этих точек к соответствующим меридианам. Точки
/С и X — точки касания шара с плоскостями граней А' &D' и В' СDr.
Пусть iRT£i> и	диаметры эллвпеа Q, сопряженные направлениям
прямых (АВ} и (EQ соответственно. Построить тачки (РА) R (P/Q,
R2=(RA) Л {RL) и провести прямые (A A) ft (АЯ), (А А) Э С^АН
t(&Ck	Тогда тшжа В, —	прмпаддежит  прямой
t&ZTX чгто позволяет построить изображение этой прямой.
Аналогично найтн изображения прямой (AjCj) пересечения плоскости эква-
тора с. плоскостью грани A‘C’D', точек AjCj ее пересечения с прямыми (А'/У)»
(CD'} »„ наконец,, изображения прямых (A'D') и (СХА.
1440.	Построить изображение диаметра шара, перпендикулярного плоско-
сти мервдиаца, проходящего через точку йГ. Это позволяет построить изображе-
ние линии пересеченна плоскости указанного меридиана и плоскости экватора,
1441, Восаюльзоваться задачей 1440.
1442.	Если х — ось проекций и М (X, М2) = I Q П2, то Л1Х = lt f| х,
М* £4» (М1Мя>-к х и Л1- Л12, Аналогично, если N	= (Q Щ, то
/V, = h П х> £ 4* VW X X и Л/ - zvt.
1443.	Если х -™ ось проекций и <р — родства на эпюре,, установленное пло-
скостью то S П п1 = Ф"1 A Z п - ф (л).
1444.	В родстве«р, установленном на эпюре плоскостью 2» найти на прямой
точку Х8, прообраз которой Х: лежит на 4 (см. задачу 1194).
1448.	В родстве ф, установленном на эпюре плоскостью (А4ЛГР>, найти со-
отаетстзующие точки на горизонтальных и вертикальных проекциях ребер те-
траэдра,
144Z См. задачу И95*
144&. Обозначим х^= X р П3, Art =» (АА) Q х» В* ~ A^2) ft х. По-
строим прямоугольную трапецию с основаниями [АМА и [ВА], соответственно
конгруэнтными отрезкам fAAI и 1В2В0]\ Тогда М'ДП 22 [АВ).
1449.	Прямая ц(аь о^} перпендикулярна плоскости 2 WAaЩтолько тогда»
когда Л мт> s2 X /2. Пронести такую прямую в через точку Л. Построить
точку Ва 6А» прообраз В, которой в- родстве, установленном на эпюре плоско,
стью 2' лсжит прямой Точка В	— искомая.
1450.	1) Профильной проекцией экватора служит отрезок [CjXM
Вертикзльные проекции €2, D2 точек С, 1> определяют малую ось эллипса, являю-
щегося вертикальной проекцией экаатора.
222
2) Профильная проекция параллели — отрезок «3L3I ± (A^S3L Вертикаль-
ные проекции К2, L<> определяют малую ось эллипса, являющегося вертикальной
проекцией параллели. Его большая ось конгруэнтна отрезку {£CS£3], Этот эллипс
касается очертания шара в точках Р.>, Qz, профильными проекциями которых слу-
жит точка Л'3 = Q3 = [E3F3] П IK3F3L где [E3F31 — диаметр профильной про-
екции шара, параллельный отрезку [Л^2521.
3) Профильная проекция этой параллели — отрезок (£3Я31 J_ I/VsSa] или
[ВД J-
1451. Вертикальную проекцию вершины конуса выбрать произвольно
на прямой (Лг2Л’2Е содержащей вертикальную проекцию {.'V£xS.2l диаметра шара.
Построить профильную проекцию M$K$L3 конуса, описанного около шара, а
затем его вертикальную проекцию,
1452, См. задачу 1194.
1453.	Параллельные прямые имеют общую точку схода.
1454.	Построить перспективу линии пересечения плоскостей, определяемых
точкой Mf и прямыми а* и bf.
1455.	В центральной проекции выполнить следующие построения. Через
точки Xj и В^ провести прямые и перпендикулярные к отрезку JA]Вj]. Через
точку В] провести прямую.образующую с прямой (Л^) угол в 45°. Через
точку D[ —	провести прямую cj !| и найти точку С> ~ f) b[.
Четырехугольник X1SiC*1Z>J — квадрат,
1458.	Построение перспективы квадрата, лежащего в плоскости П', анало-
гично решению задачи 1455, только роль линии горизонта играет линия скода
плоскости П'. По найденной перспективе квадрата построить перспективу его
основания.
1459.	Если отрезок параллелен картинной плоскости «>-его парал-
лельная проекция на основание картины конгруэнтна отрезку
Случай, когда [XjBj] сводится к предыдущему построением равнобед-
ренного прямоугольного треугольника с катетами IAjBJ и 1 2’
В общем случае нужно построить прямоугольный треугольник Л|В1/>1 с ги-
потенузой [AJbJ] и катетами [AJdJ] || 2» J- 2’
1460.	Построить прямоугольный треугольник с гипотенузой [А'В'1, кате-
том [А'£>'1, параллельным предметной плоскости П^, и катетом [B'D' 1 Д_ П1в
Тогда [Л*£П 2^ и его истинную величину можно ианти (см. задачу 1459).
Истинную величину катета {B'D'] найтн как величину его параллельной проек-
ции на картинную плоскость,
1461.	Построить перспективу основания куба (см, задачу 1455); найти истин-
ную величину стороны основания (см. задачу 1459); построить перспективу одного
из боковых ребер куба (см. указание к задаче 1460) и закончить построение пер-
спективы куба, используя параллельность соответствующих сторон его верхнего
и нижнего оснований.
1462.	Постройте аффинную прямую над полем Fa вычетов по модулю 2.
1463.	Постройте Я2 (F2). 1464. Постройте Л3 (F2).
—>- —>-	—
1465.	Рассмотрите отображение о: V X У -> V по закону: о (х, у) — у — х
и проверьте выполнимость аксиом Вейля аффинного пространства.
223
1466.	На множестве Мп, р естественным образам определяется структура
векторного пространства над полем К. Далее поступаем, как чв задаче 1465.
Размерность полученного аффинного пространства равна п >
1467.	Это следует из того, что не изоморфны пространства переносов данных
пространств.
1468.	Пусть V — n-мерное векторное пространство над полем К и Е- непу-
стое множество. Для отображения О: Е X Е V по закону: о (Л, 5) = О,
УЛ, В 6 Е выполняется аксиома Вейля 2 и отрицание аксиомы 1.
1469.	Пусть V — «-мерное векторное пространство над полем /С и £ — аф-
финное пространство с пространством переносов V. Следовательно, задано ото-
бражение О: £ X £ -> V, удовлетворяющее аксиомам Вейля 1—2. Рассмотрим
новое отображение: О: £ X Е V по закону: о (Л, В) — о' (.4, Я) 4- а, где а—
заданный ненулевой вектор из V. Отображение о удовлетворяет первой аксиоме
Вейля, но не удоалетворяет второй.
1471.	Это предложение эквивалентно тому, что сумма величин углов вы-
пуклого, четырехугольника равна зг, что эквивалентно V постулату.
1476.	Рассмотреть множество вершин тетраэдра; прямая — пара точек;
плоскость — тройка точек.’
1480.	См. задачу № 1456.
1481.	См. задачи № 1468, 1469.
1482.	См, задачу № 1466.
1484. Всякая прямая плоскости Л2 (Z) может быть получена параллельным
переносом из прямой, проходящей через начало репера (О, еи £г). Пусть прямая d
tn
проходит через 'Точку 0 и имеет угловой коэффициент — (т, п— целые числа,
п
п #= 0). Тогда1 эта прямая содержит точки (и/, ml), где I — целое число. Если же
d II (Оу), то такая прямая содержит точки (О, I),
1512. Для треугольника, полярного данному треугольнику АВС, имеем
Hi -F > А- Переходя от полярного треугольника к данному, получим л — .4 4-
+ л —Д > я — С. Отсюда А + В — С < я.
1517.	3733 км.
1518.	По теореме косинусов;
а	b	с	b	с
cos — = cos— - cos — 4- sin— - sin — • cos.4,
r	r	r	r	r
b a	г . a	. c
cos —' == cos —	*	cos — 4- sin —	* sin —	' CoS B,
r r	r r	r
c
Умазжим первое равенство на cos — и сложим со вторым, получим:
5	b	с	а
Cos — =« cos — • cosJ-------В sin —
г	г	г	г
С ""
sin — • cos В 4-
b - с
4- sin — • sin —
г г
с *7
cos — . cos А.
Отсюда, учитывая, что 1 —cos2== sin®-*;^0, находим:
224
а	с	b	с	b
sin— • cos В — sin— - cos — — cos— - sin —  cos А»
r	r	r	r	r
что и требовалось.
1519.	Использовать полярный треугольник и формулу, полученную в за-
даче 1518.
1520.	Из теоремы косинусов:
a cos А + cos В - cos С
cos— —------------------——.
r	sin В  sin С
Отсюда найдем длину а стороны, противолежащей углу А. Аналогично найдем
длины b н с двух других сторон сферического треугольника.
1521.	По теореме косинусов:
а	b	с	b	с
cos — = cos— - cos— sin— - sin — • cos A,	(1)
r	r	r	r	r
c	a	b	a	b
cos — = cos — • cos — 4- sin — - sin — • cos C.	(2)
r	r	r	r	r
Умножим обе части равенства (2) на cos —, получим:
г
Ь	с а	а b	a	b	b
cos — •	cos — = cos —	*	cos2 —	+	sin —*	• sin	—	• cos	—	• cos C. (3)
r	r r	r	r	r	r
По теореме сннусоа:
. a . 
sin — • sin C
с r
sin— —------------------------------——.
r sin A
Поэтому
&	c	a 5
sin — - sin — • cos A ~ sin — - sin — . sin C • cig A-	(4)
r	r	rr
Подставив выражения (3), (4) в формулу (1), после некоторых преобразований
получим требуемое.
1522.	Применить теорему косинусов.
1523.	Воспользоваться теоремой синусов.
1524.	Воспользуемся «формулой пяти элементов» (задача 1518):
.с ~	. b	а	Ь	. а	£
sin — • COS А = Sin —	•	cos —	— cos —	-	sin —		cos Ct
г	г	г	г	r
~ л
откуда при А = ~ находим:
£
ь
a	b	. a	£
sin — • cos — = cos— • sin — • cos G.
r ~ г	r r
_	a й
Разделив обе части этого равенства иа sin —  sin —, получим требуемое.
г г
1525.	По «формуле четырех элементов» (задача 1521):
с Ь	л «
sin— -ctg — = ctg В • sin А 4* cos А • cos
г г	г
7 л	с	b	, --
откуда при А =* — -получим: sin — • ctg—= ctg В. .
2	г	г
ХМ
1526.	По формуле, полученной в задаче 1525:
с b <> b с
ctg В = sin—' * ctg ctg С — sin —  ctg—.
r r	r r
Перемножив эти равенства почленно, найдем:
Л	b с
ctg В  ctg С ~ cos — • cos —.
Применив сферическую теорему Пифагора, получим требуемое.
1527.	Воспользоваться теоремой косинусов,
1528.	Воспользоваться сферической теоремой Пифагора.
1529.	Воспользоваться формулой задачи 1526.
1530.	К прямоугольным сферическим треугольникам ADB и BDC применить
формулу задачи 1523.
1531.	Имеем:
Л ‘	5
sin — = sin— • sin С,
г г
sm — = sin — ' sm А.
Поэтому
а	/у7	.	«	.	b	.
sin — • sin —’ — sm — sin — • sin C.
r	r	r	r
b . h&	.	b	.	c	. -7
sin — - sin — = sin— • sin — • sm Л.
r	r	r	r
c	a	.
Учитывая, что sin—- sin Я — sin—* <sin С (по теореме синусов), находим:
1532.	1) — -=68°58\	В=148°32’,
с
2)— =75е5\	5-48473
г
/о\	/ о\
3)	— = 48°37\ — « 131°23\
V	к	\г к
(-^1 «= 147°37', С1=45°34',
V	/а
а	с
4}	—	=48°1',	—	^324',
г	if
5)	-	=='6Г7,	—	15547,
г	г
6)	—	11046\	— «=67ПГ,
г	г
С « Ю2С23';
С == 78°51';
|-L 32323';
V к
Сг =: 134°26';
В = 5541';
В — 80с1Г;
~ = 15547.
г
1533. По теореме косинусов выразим cos А и подставим в формулу
226
A
sm 2
1 'COS
-----После несложных преобразований получим тре-
t	A
буемую формулу. Аналогично находим формулу и для cos —
&
1534. По теореме косинусов находим:
а cos A -|-cos В ‘Cos С
СОЗ —	'	—
г
sin В- sin С
а
Подставим это выражение cos —
в
формулу:
a
sin—-
2Г
а
I- cos —
2
После несложных преобразований получим:
a
sin—' =
2r
— cosp - cos (р—А)
sin В • sin С
А + В+С
где р —
л е	--л	c \
9	= T +Т- Поэтому p- A = —~(A- - , и фор-
мула (*) принимает требуемый вид. Аналогично получим формулу и для
а
COS-—.
2г
1535. И? плоской тригонометрии известна формула:
tg
А+В
2
А В
tgl+i82
A В
>-tg?-tgT
что можно записать так:
В
С
А
С
2
2
2
* ctg —.
2

2
,	1 А I в
Из формул задачи 1533 находим:
tgI
. Р . р —а
Sin “ • sin--
. p b ь p— с
sin----• sin----
227
Аналогично находим*.
&
p —a . p—c
sin-- • sin-
. P .p — b
sin — • sin-------
Поэтому
д
tg-
2
в
•‘ч =
. P — c
sm-----
r
sin —
г
Аналогично находим:
tgl.tgc-=
2 s 2
, Р~&
sin~----
Г	. В	C .
।	t£ —	-	tg — =
.	P	2	2
sm —
. R—a
sin--
r
. Р
sin
Подставив эти выражения в правую часть формулы (*♦>, мы после несложных пре-
образований получим:
2р — а — b а — Ь
sm------ ----- . COS——--	хч
2г	2г с
---;---------- ----------. ctg
. с 2р —с----------------2
sin — • cos----
2r 2г
Учитывая, что д-|> -|-с, получим первую из формул (а). Вторую из этих
х А-В
формул получим, используя формулу плоской тригонометрии для tg —-—.
Формулы (р) получаются из формул (а) с помощью полярных треугольников.
1536. Используя формулы задачи 1534, находим:
8	8\
sin — • sin А — —
2 к 2/
tg^
2
2г
а
2г
ь
tg>-
2г
С /	8
sin —  sin IВ — —
2 I 2
. i e \	в
sin В — — • sin C — ~
\	2/ I 2
/ —	в \	/ —	е
sin А — — - sin С — —
\	2/	\	2
е
sin —
а b	2
Поэтому tg - • tg — = --------------;
2г 2г	е
sin С — —
\	2
Так как С — наибольший из углов, то С — — > 0 (и, значит, sinf С — — j >01.
к -	—	е	е
В самом деле, если С < го и иодавно А < —В , и потому А + В > С
- 2	. -	2	л
228
3	-	~	~
Отсюда А -Ь В 4* С > Зле, что противоречив результату задачи 1512.
*	й
Имеем:
sin —
2
1
tgr,'tg£= ~ 8	~ В ~ 8
sin С • cos -г — cos С-sin—- sin С- ctg~—cosC
2	2	2
Е
Отсюда находим ctg-~ .
£
1537. 1) По формулам задачи 1533 находим: А™ 47°59', В— 130°47'/
С=56О49';
.2) по формулам задачи 1534 находим: "=60°32\—= 1!7°28'г — = 78°42';
3)	используя формулы (а) задачи 1535, находим: А =® 32°57\ В = 128° 13';
с
применяя формулы задачи 1534, получим — ~ 85°58 ;
а	b
4)	применяя формулы (3) задачи 1535, находим: — — 36°53',~ = 42°47';
используя вторую из формул задачи 1533, получим С ~ 54°26*.
1538. Воспользоваться сферической моделью плоскости S2,
	л	л
154L Если радиус окружности равен —г. 1542. г.
1547.	Каждая прямая, проходящая через центр симметрии, и поляра центра
симметричны.
1548.	См. задачу 1546.
1558.	Воспользоваться интерпретацией КэЛи— Клейна плоскости Л2.
1503. Учесть, что орицикл касается абсолюта.
1567. Вывести формулу для случая п = 3. В случае п > 3 разложить дан-
ный л-угольник на треугольники.
1575. О По определению окрестности точки; 2) воспользоваться определе-
нием окрестности точки и второй аксиомой топологических структур; 3) восполь-
зоваться определением окрестности; 4) в качестве V достаточно взять открытую
окрестность точки х, содержащуюся В U.
1577. Если такая топология существует, то множеством ее открытых мно-
жеств с необходимостью служит множество Т — {V cz Х| V £ ()х, \fx £ У}
(см. свойство 4 в предыдущей задаче). Значит, топология единственная, если она
существует. Далее проверяем, что Т удовлетворяет аксиомам топологических
структур и что в топологии Т множество Ох является множеством всех окрестно-
стей ТОЧКИ X.
1579. Имеем А — Хи, значит, U f| А — 17. Но так как U £ Т, то U f] A cz
cz Ofp-
1580. 1) Z — {а, М (й, b 6	Тогда / — (а, 6), 1—1, b (/) ~ (а, £};
2)	Z == (а, 6), 7 = (а, 6), Z — [а, 6], b (/) = {а, Ь};

3)	L - - (а, ы, I = (а, ьк I = [а, Ц. b (/.) = (a, fe};
4)	1 = (o, »),/=/,/ = [a, ij, b (!) = (a, b);
5)	Z	—	[a, 4”°°)f	i' ~	(д,	4”°°)» /“/,£> (/)•—	(a);
6)-	(—Z =	(~oo, %, 7- f, &(/)*=	{E};
7}	i	=	(a, -Н»),	I —	I,	I — fot -f-oo), b (I) =«	{a};
8)	/	-	(~oo, ft),	I =	Z, (-oo, ft], ft (Z) =	(ft);
-	9) Z = (~О0,Л«>), 7= /,/=/, &(/).= 0.
1583. Например,
л J >)1л > °* ° <У < 1}’
I {(А У)1х> 0, у > 1-„ х £ Q, у £ Q}? где Q’— множество рациональных
чисел.
1585. Пример: Амножество рациональных точек единичного квадрата В
из плоскости Еа. Имеем: А = 0, b (Д,— 0, b. (А) ~ А ~ Ъ (41 = В —
граница квадрата В.
• 1586. Воспользоваться тем, что С (А Ц В) = С А П. СВ. Указанные в усло-
вии множества будут различными, если, например, Ли &— два пересекающихся
открытых круга.
1587.	См. указание к задаче 1586.
1588.	Назовем множество A gz,X замкнутым, если А — Л. Пусть Т* —
множество всех замкнутых иодмножест из X. По свойству 4 'Р* обладает свой-
ством 1Г: объединение любого конечного множества замкнутых множеств замкну-
то. Далее доказываем, что Т* обладаети свойством Г': всякое пересечение замкну-
тых множеств есть замкнутое множество. Пусть Т — {/1 £ Р (X)) ].СА £ Т*}.
Тогда (Л. Т) — топологическое пространство. Множество Тж определено одно-
значно отображением f. Значит, однозначно определена и топология Т в X.
1589.	Пусть дано непрерывноеогображенне/: X -> УЕ Рассмотреть основной
случай f (X) — Y (в другом случае можно взять отображение ^: X-> f (х) — при-
ведение отображения /). Далее применить метод доказательства от противного.
1591.	Воспользоваться тем, что подпространство {(х, у) |хг-f- у2'= 1} связ-
но, компактно и не имеет края.
1592.	В Еп существуют негомеоморфные замкнутые выпуклые множества,
например, замкнутая полуплоскость и круг негомеоморфны,
1593.	Если Е - {р-, то Т1 = Р (Е), Т2 - (О. Е}; Г3 - (0, {а}, Е},
Т4= {0, {Н Е}.-
1594.	Отображение /: /?’->/? по закону / (X) — х2 непрерывно, но образом
открытого интервала (—Г, 1) служит полуоткрытый интервал [D, I). Отображе-
ние /: (Е \ {0}) -► Р по закону / (х) — — непрерывно на замкнутом множестве
[ 1, 4-.оо), образом которого служит незамкнутое множество (0, If.
1595.	Расположить сферу так, чтобы ее центр совпадал с центром-эллипсои-
да. Проекгировать.эллипсоидна сферу из центра.
1606.	См. задачи 1596 и 1599.
1607.	См. задачу 1597.
236
1608.	Сперва рассмотреть задачу для сферы, которую затем аффинным пре-
образованием перевести в эллипсоид.
1609.	См. задачу L662.
1611. ‘Рассмотреть ортогональное проектирование частей тора на координат-
ные плоскости.
1612. Проверить, что формулы х — г cos 6, у = г sin 6 устанавливают гоме-
оморфизм указанного открытого крупа на открытое множество в /?а.
1615.	Можно рассматривать Л1 (т, п) как Rmn.
1616.	Пусть Во— фиксированный базис в V. Тогда каждый р-репер опреде-
ляется матрицей ранга р из М (п, р). Далее использовать задачу 1615.
1617.	Пусть — фиксированный’базис -в У. Показать, что каждое ^-мерное
подпространство Н из V можно определить системой уравнений xJa — х1а,
где 1а принимает р значений, отличных от п — р значений, принимаемых индек-
сом 1а. Следовательно, it одиозпэтио определиется матрицпй j] £ Л1 (я — р, р).
Ct
1618.	G (р, л) можно получить путем факторизации G (р + 1, V), dim V =
= п + 1 по отношению коллинеарности ненулевых векторов. См. задачу 1617.
1619.	1. 1620. 0. 1Б21. 0. Т622. 0. 1623. 1.
14-1
1624.	Имеем-гомеоморфизм й: I Г по закону т —-----такой, что / ™ go h.
1629. Линия у класса С™ в жаждам ив промежутков ^0
1630. О, х = у 4- 1 — т
1633. г0 (х — х0) т (г- г(1)	0,
1635. х = 1, у = 1 + 2/. г = /2 (1 — ./).
1636. х -- 1 — 12/, у =3 + 4/, г — 4 - 3/.
1637. х= х0 + у = у0 + V, г = гс + 2х0<

1638. Касательная к данной параболе в ее вершине.
1639. Окружность, описанная около данного эллипса.
1646. Окружность, проходящая через вершины гиперболы и имеющая цен-
тром цштр .этой гилерболы.
1641. 5а/. 1642. 9а. 1643, 8а ^2. 1644. 10.
s
1645. X — a COS ..... Г" ,
У а-~ Ьл
s	&S
.. г- , Z — 1 г...
Ка2+&2	/а2ф 62
1646. a V2 tilt. 1647. 6а.
1648. х = a (t — sin 1^, у = a (1 — cos /), г = 0, — от < t < 4-то,
радиус данной окружности.
1649. 8а.
а
1650. х — х0 4^	f' f ф' ф У	/ Z Z	6 У = Уо +		фХ		t,
		X		Ф' X			
		У	“Уо Fy ~ z9 Fz	ф' У		= 0,	
		2					
где частные производные функций F и Ф вычислены в точке 41я.
231
1653. т » t, v
t . i t -r *	"*	1	. t
i sin4“ / cos — — ft L v = t cos — — j sm —,
Z	2 j	2	2
/-» t -+ i
7Z-~ i sin “ 4" 7 cos — 4- M*
у 2 V 2 J 2 J
-> 3	3	4	—* 4:
1655- t=— i	cos 14- j — sin t — ~ ft, v= i sin i 4- / cos 1,	i ~
-> 4 .	3	7
— / ~r sml —- ft.
5	5
1656.t= J==(74-n v«pL(27-74-b p = ™(7+7^ft).
1657.	x = /, у = —4/, 2=1 — 1.
1658.	4.r cos i — 4y sin i — 3г — cos 2/ = 0.
1659.	x sin a sin (1 — a) — у sin a cos (1 — a) 4- z — i sin a — cos a = 0.
m (I> In 2, — 4).
-1662. 1) 6x— 8y — 2 + 3 = 0, 2) ax — by = c2 — ft2, 3) x — y— /22=0.
1663. Главная нормаль: дг = (а 4- й) cos /, у = (а 4- М sin iT
бинормаль: х = a cos t 4* sin tf у = a sin t — bk cos г1,
соприкасающаяся плоскость: bx sin t — fty cos / h- az -- abi = 0;
нормальная плоскость: ax sin t— ay cos i— Ьг^г bH~ 0;
спрямляющая плоскость: x cos / 4- у sin i —• a = 0;
_> 1
т = '	(— l a sint 4> / a cos 7 4~ b ft); V =— i CCS i— j sin t}
1654. т «
cos? —•
г = bt;
z = bi 4“ ^a;
(i b sin t— j b cos 74"	)*
1664. Касательная: х = -р~(1 4" ^)> У = U “ ^)> z ~ 1
If	I* А»
4~ 2Х; нор-
г-=о-2М.
у= -^=. (1 — 6л), 2 = 1 — соприкасающаяся плоскость: 2х 4- бу 4-|/Тг —
_ 11
—5)^2 = 0; главная нормаль; х =	(1 —71), у ~ у~ (1 4" г = 1 4-
мальная плоскость: % — у 4-2p 2 (г — 1) — 0; бинормаль: х —
спрямляющая плоскость: 7х — у — 1^2 (4z—- 1) = 0; т=
7= 4g (~ 74-7-!- Я^), ₽ = -^=(- 27- 6/- V2k).
1665.
1666.
o.
Z 2ach2f
X — *	£1^ ft£
У ^2 @2 ^2
2 — Со fZg Ь3
1 z- 1
V/2. 1667. ft = ——
4 r	 2ас№/
2^=±3ac. 1675. ®=x?4-ft₽-
Вектор Дарбу.
£ = a (i 4- sin 0, r) = —a (1 — cos t), £ = 0. Это новая циклоида,
1674.
1678.
1682.
конгруэнтная данной.
1683. Пол у кубическая парабола 27ру2 — 8 (х — р)а,
X
1684. Цепная линия у—«ch — , z — 0.
1687. С" 1688. 7= рЧ- Л
1689. R = — (г (и1) + р (и2)).
2
„и1	. и1
1699. х = и1, у = a cos ггсЬ — , г — a sin /rch — .
а	а
1691. а2уа — 2pz (х — а)2.
1693. Искомая сумма квадратов равна а8,
1694. х == и1 cos «2, у = и1 sin и2, z — аи2. Здесь и1 — расстояние точки
о	V '
поверхности от оси (Oz), и2 — <о/, где i — время, а = —
1695. Касательная плоскость: ах sin и2 — ay cos и2 4" игг— аиги2 — 0,
нормаль: х — и1 cos и2 4- ta sin у = и1 sin и2 — ta cos и2, z — аи2 4~ ЛА
1703. г2 (cos2 и2 (du1)2 4" (du2)2).
1704. (du1)2 + (<«*)а 4- a2) (du2)2.
1705. (1 4“ P2)dx2 4- Zpqdxdy 4“ (I 4“ ffidy2, где p — fXt q = fy.
1709. In (m1 4" У (и1)* 4- a3) ± u2 == const.
r____________ 1
1710. 3/2cz4-i ^ -b2. 1711. 3— a.
О
,	. Л	2
1712. |sh«2 — sh«i |. 1713. созф = -~-.
J
1714. cos*p=d:
1 4- a2‘
1716. n2
1716. 44-EjL 4- ln(l +/2)
L d □
1717. - |K2 + In (1 + /2)].
1724. 1) Пусть ds2 — yijdu^ и ds? = gijdv^ — первые квадратичные
формы поверхностей Ф( и Фа соответственно. Если при отображении Л: Фг Ф3
по закону п1 = и1, v2 = и2 имеем ds2 — Kds то для величины угла между соответ-
ствующими кривыми получим одно н то же выражение. Значит, отображение
конформно.
2) Пусть отображение ft: Фг Ф2 конформно и г — г (и1, и2) — параметри-
зация поверхности Фх. Параметризуем поверхность Ф2: р — р (о1, о2), полагая
233
о1 = /г1, ti2 = и2, если («А, и2) = h (и1, м3). Пусть ds2 — у- diddi^ и f =
^g-.jdtddul — первые квадратичные формы поверхностей Ф4 и Ф8, Так как отобра-
жение h конформно, то всякая пара направлений (д) и (б), ортогональных отно-
сительно формы ds2 перейдет в пару направлений, ортогональных относительно
формы A'f. Значит,	= 0 gjdidbu! — 0. Так как не обращаются
в нуль одновременно, то,
Vz/“‘ l = 0
glldu’ gi2d"4
Так как du1 произвольны, то#,. — Ху,,.
1729.
Rr
1730.
а
1732. ф=- —	I(<W-((«7+ й*)W2b
(и1)2
1
1734. k.
1733. fcx-0. ft,-------+	/2'
a
t   —— ---------
1736. In (ay 4- F I 4- й2№) ± In (ax -F V14* a2*2) — const.
1 /63 InX t d2 In Ц
1739* А “тг I - F ./J*
Xs Xfdw1)2 (0Й2)3 /
1 d2Y22
Y22 (ди1)2’
й2
1740. К=—
1742. К-
, tf = 0.
(a2 4- (и1)2)2
1744. К* = 47f2 = const.
1745. Воспользоваться результатом задачи 1738.
1746. cos(P=— —. 1748. Eld.
5	2
1749. tg A — tg В 4- tg С (использовать теорему Вап-Обеля).
1754.	a = arccos 1764. ~ —-|-А
9	3	«
1765. — | В — CJ.
Л
1766. — — 2А, где
2
угольника.
1767,
А — величина меньшего из острых углов данного тре-
1768.
1770.
2Ьс
где “ (а + b 4- г).
--- 4Ьс — Ь2 — с2
А *


1771.
(р “ й) ’
А
cos —, 1769. cos
2
|XD|a = be — b'd.
f (b 4- c) r—_____________
-	Y\b2c2— t\b -F c)2. 1772. 1.
4&c
234
1773.
1774.
1775.
1776.
1777.
i
(1 + а)(Ц- P)(l +
I sin(S —C)	- -
tg x— —-------------- (считая В >C).
% sin B* sin C
У S - S'.	_i_
Г/1,1 . ±V1.1 _1 Y±+1 _2¥L+£2
L\^j	Ivh,	^3/j
T l(ma+ mb+ (mb+	ma\ (m^+ me — m6)	mJ}5".
S	S
. 1778. r — — , ra=-------- , где S — площадь треугольника,
P P — a
периметр.
abc	.r------------
1779.	1780. Vr- • r* - re-
p—его полу*
1781.	У & т S — r У
1782.	(a2 + ab + йа).
a fi у ________________ a2P
™' 1 " 1 + (Л I + С l т 71 (1 +a)(l + « + сф)
________P2V________ _________«Ya________
+ (1 +P)(1 -H + 0Y)	(1 +?)(!+?+<*?) '
1784. 3; 4; 5.
л	1л	1
1785. —; Ssrctg-; - — 2arctg—.
£	О "	о
1786.
sin a
4 sin
— sin a
1787. Vb2+bc. 1788. 4 /7. 1789. 2 или 1.
2 r_______________
1790. ----- J' bcp^p--- a),
b + c
1791. ]/ L (p - b) (p - с), У ± (p - »(p - 4
1792.
1793.
3208
88—.
4205
/Р1Р2 1 РаРэ . Pi Pa \ о
-J- "	J|“	I Oi
\ ab be ac /
1794.
8S*
abc
1795. (/Si + ySs + ZSa)2-
1796.	T1..... 1797. (2— /ЗУA
235
2abcS	4 Id' 4- d2 4- б3) S3
1798. -----------------.	1799. ~?
(a 4- b) (b + c) (c + a)	9aW
Зя Зя
1801, asm— sin —.	. ’
5	10
1812. Точка пересечения диагоналей.
,Л 1	2ab л 2ab
1813. — (й — Й). 1814.-..	1815,----.
2	a b	a — b
1816. | ЛС|2+| ЯОр | ЛО|24-| BC|84-2| ЛВ} • | CD}.
1817. — . 1818. (К^4-/ЗЭ3. 1819. 10.
5
lit
1820. — =--------------.
. |ЛВ} |ДС| I AZ>|
sina4-cosa ЛЛ sin a 4-cos a
182L 8а-------5------, 2a2  -----—— ------..
1 4- sin a 4- cos a	1 4 sin a 4- cos a
25л
(822. -см3. 1823. 6.
2
1824.	
У S14- З3
1825. И^?д.
10
1826. Данный треугольник должен быть правильным.
.	(а + 3d) а2
1827. 1260. 1828. Л2.	1829.	.
(b 4- За) Ь2
, а — b
1830. 1 СЛ4 ! = а-----. 1834. л.
а 4" b
1840. -^(а/4/?2 — d 4-6/4^2 -- й3).
. а3 — (а — Ь)2	>
1841. л	1842. ~Rr
4(Va + VbF	6
г2	-
1843. —(«4-2/3 —6).
Ч1
1844.
(845.
1847.
—	/23	_ х
г2 (124- 7 /3) ~ л/а — + 2 /З .
\ /
3	2	у  ----------- ct\
— Я. (846. — г (/4 + sin3 a — 2 cos — I
8	5	2 /
Л 4-1 л — /3	1848. у (6 4- /бЗ'+во5)-
\ О	/
Rr	Rr
(y-R+VT)* ' (FK-pV)2 ' (есяи R^r)-
1850. 1 /—.	1851. /2Rr.
. У Ri 4- /?2-г R3
1852 ttS3.
аа4-^4-^2 ’	Я1+Яа *
236
1	2Rr
1854. 5. 1855. 1. 1856. — R\ 1857. -----------.
з я + <
1858. 2V~Rrf 2R 1/ r , 2r 1/_2L_.
V /?+ r V /?+ r
1859.	I860.	1861. —.
6	a + b	8
1862. 2. 1863.	7 ~1 r.
2
список использованной литературы
1.	Базылев В* Т., Дупичев К. И., Иваницкая В. П. Геометрия, 1, М.>
Просвещение, 1974.
2.	Базылев В. Т., Дуничев К- И. Геометрия, II. М., Просвещение, 1975.
3.	Б а х в а л о в С. В,, Моденов П. С., Пархоменко А. С. Сборник задач
по аналитической геометрии. М., Наука, 1964.
4.	Глаголев-Н. А. Начертательная геометрия. М-, ГТТИ, 1953.
5.	Люстерник Л. А. Выпуклые фигуры и многогранники. М-, ГИТТЛ, 1956.
6.	Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., Наука, 1970.
7.	Моденов П. С, Сборник задач по дифференциальной геометрии. М., Уч-
педгиз, 1949.
8.	Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной ма-
тематики. М., Советская наука, 1957.
9.	Никольский А. Полуправильные тела Архимеда, — Математика в шко-
ле, 1940, № 5, с. 5—11.
10.	П а и к р а т о в А. А. Начертательная геометрия. М., Учпедгиз, 1959.
11.	Попруженко М. Сборник геометрических задач. Планиметрия. Л., Уч-
педгиз, 1939.
12.	Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. М.—Л., ГИТТЛ, 1948.
13.	Сборник задач и упразднений по дифференциальной геометрии. /Под ред.
В. Т. Боднева. Минск, Вышэйшая школа, 1970.
14.	Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии. М., ГИТТЛ, 1952.
15.	Четвсрухин И. Ф, Изображение фигур в курсе геометрии. М., Учпед-'
гиз, 1958.
238
Вячеслав Тимофеевич Базылев
Константин Иванович Дуничев
Валентина Павловна Иваницкая
Галина Борисовна Кузнецова
Владимир Михайлович Майоров
Залман Алтерович Скопец
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Под редакцией В. Т. Базылева
Редактор Л. М, Котова
Художник обл. Б. Л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Л. М. Абрамова
Корректор О. С. Захарова
ЙБ М 3898
Сдано в набор 24.07.7SL Подписано к печати 17.61.30. бОХУО'Ае- Бум. типограф. № 2. Гарннт.
литер. Печать высокая. Усл. печ. л, 15. Уч.-изд. л. 14,54. Тираж 65 000 экз. Заказ № 3412,
Цена 75 коп.
Ордена Трудового Красного Знатиени издательство «Просвещение* Государственного комм*
тетя РСФСР по делам издательств. полиграфии н книжной торговли. Москва, З-Й проезд
Марьиной роти, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного Знамени полиграфического
.комбината Росглавполнграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам
• издательств, под нграфод и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59, в област-
. ной типографии управления издательств, полиграфии и книжной торговли Ивановского
облисполкома, г Иваново-S, ул. Типографская, 6.
Сборник задач по геометрии: Учеб/ пособие для студентов
мат. и физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В. Т. Базылев, К. И. Дуни-
чев, В. П. Иваницкая и др.; Под ред. В. Т. Базылева. — М.:
Просвещение, 1980. — с., ил.
Задачник .охватывает все разделы программы по геометрии для пединституте^.
В основу изложения положено учебное пособие для пединститутов «Геометрия»,
ч. I н II В. Т. Базылева, К. И. Дуничева. В. П. Иваницкой.
Большая часть задач может быть использована учителем математики для фа-
культативных и кружковых занятий по геометрии.
Б 61*0?-?63 39-80 4309020400 .	ББК 22.161,73
103(03)-80	512