/
Author: Моденов П.С. Пархоменко А.С.
Tags: математика аналитическая геометрия геометрия задачи по математике сборник задач
Year: 1976
Text
П.С. МОДЕНОВ, A.G ПАРХОМЕНКО
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
П.С. МОДЕНОВ, А.С. ПАРХОМЕНКО
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов механико-математических
и физических специальностей
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976
617.3
М 74
УДК 516
Петр Сергеевич Моденов, Алексей Серапионович Пархоменко
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
М., 1976 г., 384 стр. с илл.
Редактор В. В. Донченко.
Техн, редактор В. Д. Элькинд.
Корректор А. Л. Ипатова.
Сдано в набор 12/V 1975 г. Подписано к печати 14/XI 1975 г. Бумага 84Х108’/з2.
№ 3. Физ. печ. л. 12. Усл. печ. л. 20,16. Уч.-изд. л. 22,22. Тираж 70 000 экз. Цена
книги 76 коп. Заказ № 27.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техниче-
ское объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197136. Ленинград, П-136, Гатчинская ул., 26,
20203—003
053(02)-76 1 "
м
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1976.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................................. 8
ГЛАВА I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК
(задачи 1—290)
§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Коор-
динаты вектора (задачи 1 — 31) . ........................ 11
§ 2. Радиус-вектор (задачи 32—44)....................... 14
§ 3. Прямоугольные и аффинные координаты точек на пло-
скости и в пространстве (задачи 45 — 59)................. 16
1. Координаты точек на плоскости (задачи 45 — 52)..... 16
2. Координаты точек в пространстве (задачи 53 — 59) . . . 17
§ 4. Расстояние между двумя точками. Длина вектора; направ-
ляющие косинусы (задачи 60 — 79)......................... 18
1. Расстояние между двумя точками на плоскости (задачи
60—67) ............................................... 18
2. Расстояние между двумя точками в пространстве. Длина
вектора. Направляющие косинусы (задачи 68 — 79) ... 18
§ 5. Деление отрезка в данном отношении (задачи 80—113) . 20
1. Деление отрезка в данном отношении на прямой (задачи
80 — 89).............................................. 20
2. Деление отрезка в данном отношении на плоскости
(задачи 90—108)....................................... 21
3. Деление отрезка в данном отношении в пространстве
(задачи 109—113) ..................................... 23
§ 6. Полярные координаты. Сферические и цилиндрические
координаты (задачи 114—130).............................. 24
1. Полярные координаты на плоскости (задачи 114—123) . 24
20 Сферические и цилиндрические координаты (задачи
124-130).............................................. 25
§ 7. Скалярное произведение векторов; угол между векто-
рами (задачи 131 — 154).................................. 26
§ 8. Векторы на ориентированной плоскости. Площадь тре-
угольника (задачи 155—174)............................... 28
1. Векторы на ориентированной плоскости (задачи 155—170) 28
2. Площадь треугольника (задачи 171 —174)............. 30
§ 9. Ориентация пространства. Векторное и смешанное произ-
ведение (задачи 175 — 212)............................... 31
§ 10. Скалярное, векторное и смешанное произведение в аффин-
ных координатах (задачи 213 — 255)....................... 35
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Скалярное произведение векторов на плоскости (задачи
213—236)............................................ 35
2. Скалярное произведение векторов в пространстве; век-
торное и смешанное произведение (задачи 237 — 255) . . 38
§ 11. Барицентрические координаты (задачи 256 — 290)... 40
1. Барицентрические координаты на прямой (задачи
256-261)........................................... 40
2. Барицентрические координаты на плоскости (задачи
262-279)............................................ 41
3. Барицентрические координаты в пространстве (задачи
280 — 290).......................................... 44
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
(задачи 291—362)
§ 1. Уравнения линий на плоскости (задачи 291—341) .... 48
§ 2. Уравнения поверхностей и линий в пространстве (задачи
342 — 362) ...................................... 54
ГЛАВА III
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ (задачи 363 — 490)
§ 1. Составление уравнения прямой по различным ее заданиям
(задачи 363 — 380)..................................... 57
§ 2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости (за-
дачи 381—395).......................................... 59
§ 3. Взаимное расположение трех прямых на плоскости. Пучок
прямых (задачи 396—403)................................ 61
§4. Расположение точек относительно прямой (задачи 404 —415) 62
§ 5. Условие перпендикулярности двух прямых (задачи
416—429) ............................................ 63
§ 6. Углы между двумя прямыми. Угол от одной прямой до
другой (задачи 430 — 449).............................. 65
§ 7. Расстояние от точки до прямой (задачи 450 — 477) .... 67
§ 8. Метрические задачи на прямую в аффинных координатах
(задачи 478 — 490) .................................« 70
ГЛАВА IV
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
(задачи 491 — 657)
§ 1. Составление уравнений прямых и плоскостей (задачи
491-523)............................................... 72
§ 2. Взаимное расположение двух прямых, двух плоскостей,
прямой и плоскости (задачи 524 — 544).................. 76
§ 3. Взаимное расположение трех плоскостей. Пучок плоско-
стей. Связка плоскостей (задачи 545 — 555)............. 81
§ 4. Расположение точек относительно плоскости (задачи
556 — 566)............................................. 84
§ 5. Перпендикулярность прямых и плоскостей (задачи
567 — 589)............................................. 85
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 6. Углы между прямыми и между плоскостями. Угол между
прямой и плоскостью (задачи 590 — 602)................ 87
§ 7. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки
до прямой. Расстояние между двумя прямыми (задачи
603-622).............................................. 89
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости (задачи 623 —651) 91
§ 9. Метрические задачи на прямую и плоскость в аффинных
координатах (задачи 652 — 657) ....................... 93
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (задачи 658 - 696)
§ 1. Преобразование аффинных координат на плоскости и
в пространстве (задачи 658 — 682)..................... 95
1. Преобразование аффинных координат на плоскости (за-
дачи 658 — 672).................................... 95
2. Преобразование аффинных координат в пространстве (за-
дачи 673-682)...................................... 97
§ 2. Преобразование прямоугольных координат на плоскости и
в пространстве (задачи 683 — 696)..................... 99
1. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
(задачи 683 — 688)............................... 99
2. Преобразование прямоугольных координат в пространстве
(задачи 689 — 696)................................ 101
ГЛАВА VI
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (задачи 697 — 940)
§ 1. Окружность (задачи 697 — 728)........................ 103
§ 2. Эллипс, гипербола, парабола (задачи 729 — 758)....... 108
§ 3. Фокусы и директрисы линий второго порядка. Уравнение
линии второго порядка в полярных координатах (задачи
759-804) ......................................... Ш
1. Фокусы, директрисы, эксцентриситет (задачи 759 — 796) 111
2. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы в полярных
координатах (задачи 797 — 804)......................... 115
§ 4. Определение типа и расположения линии второго порядка
по ее общему уравнению. Применение инвариантов (за-
дачи 805 — 827)........................................... 115
§ 5. Касательные к линиям второго порядка (задачи 828 — 874) 119
§ 6. Центр, диаметры, асимптоты линий второго порядка (за-
дачи 875 — 926)........................................... 123
§ 7. Метрические задачи на линии второго порядка в аффин-
ных координатах (задачи 927—940).......................... 130
ГЛАВА VII
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА (задачи 941 - 1152)
§ 1. Сфера (задачи 941—974)...................... 134
§ 2. Цилиндры и конусы второго порядка (задачи 975 — 995) 138
§ 3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды (задачи 996—1040) 141
§ 4. Определение типа и расположения поверхности второго
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
порядка по ее общему уравнению. Применение инвариан-
тов (задачи 1041 — 1070) ............................ 147
§ 5. Касательная плоскость. Прямолинейные образующие (за-
дачи 1071-1103)......................................... 155
§ 6. Центр. Диаметральные плоскости; плоскости симметрии и
оси симметрии (задачи 1104—1128)........................ 160
§ 7. Плоские сечения поверхностей второго порядка (задачи
1129-1152) ............................................. 164
ГЛАВА VIII
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА
(задачи 1153— 1289)
§ 1. Аффинные преобразования (задачи 1153—1205).......... 169
1. Аффинные преобразования плоскости (задачи 1153—1191) 169
2. Аффинные преобразования пространства (задачи
1192-1205) . . ...................................... 174
§ 2. Аффинные преобразования линий второго порядка (за-
дачи 1206—1227) ........................................ 176
§ 3. Изометрические преобразования (задачи 1228—1255) ... 178
1. Изометрические преобразования плоскости (задачи
1228—1239)........................................... 178
2. Изометрические преобразования пространства (задачи
1240-1255)........................................... 180
§ 4. Инверсии (задачи 1256—1289)......................... 186
1. Инверсии плоскости (задачи 1256—1279).............. 186
2. Инверсии пространства (задачи 1280—1289)........... 190
ГЛАВА IX
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ (задачи 1290 — 1594)
§ 1. Проективная прямая (задачи 1290—1345)............... 193
1. Проективные координаты на проективной прямой (за-
дачи 1290—1304) . ............................... 193
2. Проективные преобразования проективной прямой (за-
дачи 1305—1323)..................................... 195
3. Инволюции на проективной прямой (задачи 1324—1345) 198
§ 2. Проективная плоскость (задачи 1346—1387)............ 201
1. Проективные координаты на проективной плоскости (за-
дачи 1346—1375)...................................... 201
2. Ангармоническое отношение. Гармонизм (задачи
1376—1387)........................................... 207
§ 3. Проективные преобразования проективной плоскости (за-
дачи 1388— 1438)........................................ 209
1. Коллинеации (задачи 1388—1416)...................* 209
2. Корреляции. Поляритет (задачи 1417—1438).......... 215"
§ 4. Линии второго порядка на проективной плоскости (за-
дачи 1439—1514) ....................................... 219
1. Линии второго порядка (задачи 1439—1472)........... 219
2. Полюсы и поляры (задачи 1473—1514)................. 224
§ 5. Проективное пространство (задачи 1515—1594)......... 229
1. Проективные координаты в проективном пространстве.
Гармонизм (задачи 1515—1538) ....................... 229
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
2. Коллинеации (задачи 1539—1562).................... 235
3. Корреляции. Поляритет (задачи 1563--1568)......... 241
4. Поверхности второго порядка в проективном пространстве
(задачи 1569—1594) .................................. 244
ГЛАВА X
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА (задачи 1595 - 1766)
§ 1. Векторные пространства (задачи 1595—1610) . .......... 250
§2. Точечные аффинные пространства (задачи 4611 — 1632) ... 252
§ 3. Евклидовы пространства (задачи 1633—1675) .......... 256 -
1. Векторные евклидовы пространства (задачи 1633— 1651) 256
2. Точечные евклидовы пространства (задачи 1652—1675) 259
§ 4. Линейные операторы (задачи 1676—1721) ............. 261
1. Линейные операторы в произвольном векторном простран-
стве (задачи 1676— 1705) ............................ 261
2. Линейные операторы в евклидовом векторном простран-
стве (задачи 1706—1718) ............................. 266
3. Изометрические преобразования в точечном евклидовом
пространстве (задачи 1719—1721)...................... 268
§ 5. Линейные, билинейные и квадратичные функции (задачи
1722—1742).............................................. 268
1. Линейные функции (задачи 1722—1725)............... 268
2. Билинейные функции (задачи 1726— 1733)............ 269
3. Квадратичные функции (задачи 1734—1742).......... 270
§ 6. Поверхности второго порядка (задачи 1743— 1766) . . 272
1. Поверхности второго порядка в точечном аффинном про-
странстве (задачи 1743— 1756)........................ 272
2. Поверхности второго порядка в точечном евклидовом
пространстве (задачи 1757—1766)...................... 278
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ....................................... 286
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время изложение аналитической геометрии все
более проникается методами линейной алгебры. Современные
курсы аналитической геометрии начинаются с изложения век-
торной алгебры и векторного введения координат..Затем сле-
дует линейная часть геометрии (прямая на плоскости, плос-
кость и прямая в пространстве). После изложения теории ли-
ний и поверхностей второго порядка большое внимание уде-
ляется вопросу линейных геометрических преобразований (изо-
метрические, аффинные и проективные преобразования плос-
кости и пространства). При таком построении курса стано-
вится естественным рассмотрение многомерных векторных и
точечных пространств как обобщение двумерного и трехмер-
ного случаев.
Новое построение курса аналитической геометрии привело
к изменению программы этой дисциплины и введению объеди-
ненного курса алгебры и аналитической геометрии. Такое
построение курса принято сейчас в университетах и
в педагогических институтах. Предлагаемый сборник задач
написан в соответствии с новыми программами курса аналитиче-
ской геометрии и объединенного курса аналитической гео-
метрии и алгебры.
По сравнению с имеющимися сборниками задач по аналити-
ческой геометрии нами введены новые разделы (ориентация,
барицентрические координаты, метрические задачи в аффинных
координатах), значительно расширен и введен новый материал,
посвященный геометрическим преобразованиям (изометриче-
ские преобразования, инверсия); в главе IX — Проективная
геометрия — главное место занимают задачи на проективные
преобразования; содержание задач, связанных с понятиями инво-
люции, гомологии, классификации проективных преобразова-
ний и др., выходит за пределы традиционного изложения этого
ПРЕДИСЛОВИЕ
9
материала. В главе X о многомерных пространствах основное
внимание уделено геометрическим вопросам, поскольку задачи,
связанные с чисто алгебраическим материалом (определители,
системы линейных уравнений, матрицы и др.), нашли свое
отражение в сборниках задач по линейной алгебре. В дополне-
ние к настоящему пособию авторы рекомендуют в первую
очередь «Сборник задач по линейной алгебре» И. В. Проску-
рякова.
Ввиду того, что за последние годы вышло несколько полных
курсов аналитической геометрии, написанных в соответствии
с новыми программами, авторы из педагогических соображений
не считали целесообразным давать перед каждой главой сбор-
ника задач список основных определений, формул и теорем.
Вместо этого перед каждым параграфом, а иногда и перед каж-
дым пунктом даны указания соответствующих глав и параграфов
из следующих учебников:
Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии,
«Наука», 1968.
Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука»,
1971.
Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра
и многомерная геометрия, «Наука», 1974.
Моденов П. С., Аналитическая геометрия, изд-во МГУ,
1969.
Постников М. М., Аналитическая геометрия, «Наука», 1973.
В указаниях эти книги кратко именуются фамилиями их
авторов.
Задачник разбит на большое число параграфов и пунктов,
чтобы преподаватели и студенты могли легче ориентироваться
в материале, выбирая те или иные задачи в зависимости от
порядка изложения теоретического материала.
В оглавлении рядом с названием каждой главы, параграфа
и пункта указаны номера задач.
Задачи, имеющие теоретическое значение, и задачи повы-
шенной трудности отмечены звездочкой.
К небольшой части задач, особенно в первых главах,
даны указания.
В задачах на доказательство ответы, естественно, не при-
водятся.
В некоторых задачах даются определения тех понятий,
которые связаны с этой задачей, но имеются не во всех
учебниках.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
При составлении задачника нами использована следующая
литература:
Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии,
«Наука», 1968.
Атанасян Л. С., Атанасян В. А., Сборник задач по
геометрии, «Просвещение», 1973.
Бахвалов С. В., Бабушкин Л. И., Иваницкая В. П.,
Аналитическая геометрия, Учпедгиз, 1962.
Бюшгенс С. С., Аналитическая геометрия, ч. I и II, Гостех-
издат, 1946.
Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре, «Наука», 1971.
Глаголев Н. А., Проективная геометрия, ОНТИ, 1936.
Делоне Б. Н., Райков Д. А., Аналитическая геометрия,
т. I, Гостехиздат, 1947; II, Гостехиздат, 1948.
Д ь е д о н и е Ж-, Линейная алгебра и элементарная геометрия,
«Наука», 1972.
Кокете р Г. М. С., Введение в геометрию, «Наука», 1966.
К о кете р Г. М. С., Действительная проективная плоскость,
Физматгиз, 1959.
Моденов П. С., Аналитическая геометрия, изд-во МГУ, 1969.
Постников М. М., Аналитическая геометрия, «Наука», 1973.
Проскуряков И. В., Сборник задач по линейной алгебре,
«Наука», 1974.
Ходж В., П и д о Д., Методы алгебраической геометрии, тт. I, II,
ИЛ, 1954.
Авторы
ГЛАВА I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. КООРДИНАТЫ
ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК
§ 1. Сложение векторов. Умножение вектора
на число. Координаты вектора
Александров, гл. II, §§ 2, 4.
Моденов, гл. II, § 11; гл. IV, §§ 30—37.
Постников, гл.1, § 3, пп. 1—6.
1. Векторы АС=а и BD — b служат диагоналями парал-
лелограмма ABCD. Выразить векторы АВ, ВС, CD и DA
через векторы а и Ь.
2. В трапеции ABCD отношение основания AD к осно-
ванию ВС равно Z. Полагая AC —a, BD — b, выразить через
а и b векторы АВ, ВС, CD и DA.
3*. Доказать: для того, чтобы направленные отрезки АВ
и CD были равны, необходимо и достаточно, чтобы совпа-
дали середины отрезков AD и ВС.
4. В треугольнике АВС проведены медианы AD, ВЁ и
СЁ. Представить векторы AD, BE и CF в виде линейных
комбинаций векторов АВ и АС.
5. В треугольнике АВС проведены медианы АО, ВЕ и
CF. Найти сумму векторов AD, ВЕ и CF.
6. Точки Е и F служат серединами сторон АВ и CD
четырехугольника ABCD (плоского или пространственного).
Доказать, что EF==-у--. Вывести отсюда теорему о сред-
ней линии трапеции.
7. Точки Е и F служат серединами диагоналей АС и ВО
четырехугольника ABCD (плоского или пространственного).
Доказать, что
рр ABA~CD AD -\-СВ
2 = 2 ’
12
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[8
8. Точки К и L служат серединами сторон ВС и CD
параллелограмма ABCD. Выразить векторы ВС и CD через
векторы АК и AL.
9*. В плоскости треугольника АВС найти такую точку,
чтобы сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам
треугольника, была равна 0.
10*. Дан четырехугольник ABCD. Найти такую точку /И,
чтобы Ж + 7Й® + 7ЙС + Ж^==О.
11. На стороне AD параллелограмма ABCD отложен
отрезок АК = AD, а на диагонали АС — отрезок AL = АС.
Доказать, что векторы KL и LB коллинеарны и найти отно-
KL
шение
LB ’
12*. 1) Доказать, что если точки К, L, М, N делят в
одном и том же отношении % стороны АВ, ВС, CD, DA
параллелограмма ABCD, то четырехугольник KLMN есть
параллелограмм.
2) Если Х=/=1 и четырехугольник KLMN — параллело-
грамм, то и четырехугольник ABCD —параллелограмм.
13*. Дан тетраэдр ABCD. Найти точку М, для которой
МА + МВ + МС + MD = 0.
14*. К точке М приложены три ненулевых вектора х,
у, z, сумма которых равна нулю. Зная углы а, р, у между
векторами у и z, z и х, х и у, найти отношения модулей
этих векторов | х |: | j |: | z |.
15*. К точке М, лежащей в плоскости треугольника АВС,
приложены три ненулевых вектора х, у, z, направленных по
лучам МА, МВ, МС, причем сумма этих векторов равна
нулю. Найти отношение модулей этих векторов | х |: | j |: [ z |,
если:
1) точка М является центром окружности, описанной
около треугольника АВС\
2) точка М является центром окружности, вписанной
в треугольник АВС',
3) точка М является точкой пересечения высот остро-
угольного треугольника АВС.
16*. Найти точку М, лежащую в плоскости треуголь-
ника АВС, если сумма трех ненулевых векторов с равными
26 ]
§ 1. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ. УМНОЖЕНИЕ НА ЧИСЛО
13
модулями, приложенных к этой точке и направленных по
лучам МА, МВ, МС, равна нулю.
17*. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра
правильного многоугольника к его вершинам, равна 0.
18. Доказать, что вектор, идущий из произвольной точки
пространства в центр правильного многоугольника, есть сред-
нее арифметическое векторов, идущих из этой точки к вер-
шинам многоугольника.
19. Дан тетраэдр О АВС, Выразить через векторы О А,
ОВ, ОС вектор EF, началом которого служит середина Е
ребра ОА, а концом — середина F ребра ВС,
20. Дан тетраэдр О АВС. Выразить через векторы О А,
ОВ, ОС вектор EF с началом в середине Е ребра ОА и
концом в точке F пересечения медиан треугольника АВС.
21. Даны два треугольника АВС и А'В'С'. Выразить
вектор ММ', соединяющий точки пересечения медиан этих
треугольников, через векторы АА', ВВ', СС'.
22. Из точки О выходят два вектора, ОА = а, ОВ = Ь.
Найти какой-нибудь вектор ОМ, идущий по биссектрисе
угла АОВ.
23, Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая
за базисные векторы АВ и АС, найти в этом базисе коор-
динаты векторов АВ, ВС, CD, DE, EF, FA. __________
24. В трапеции ABCD отношение основания ВС к осно-
ванию AD равно X. Принимая за базис векторы AD и АВ,
найти координаты векторов АВ, ВС, CD, DA, AC, BD.
25. Дан параллелепипед ABCDA' B'C'D'. Принимая за
базис е2, е3 векторы АВ, AD, AM, найти в этом базисе
координаты векторов, совпадающих с ребрами, диагональю
параллелепипеда и диагоналями его граней, для которых
вершина А' служит началом.
26. Дан тетраэдр ОАВС. Принимая за базисные векторы
^2, ез векторы ОА, ОВ, ОС, найти в этом базисе коор-
динаты: 1) векторов АВ, ВС, С А; 2) вектора DE, соединяю-
щего середину D ребра ОА с серединой Е ребра ВС; 3) век-
тора, соединяющего середину D ребра ОА с точкой F пере-
сечения медиан грани ВОС; 4) вектора АЕ, соединяюще-
го вершину А с серединой ребра ВС; 5) вектора б~М,
14
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
(27
соединяющего вершину О с точкой пересечения Л1 медиан грани
АВС.
27. Даны четыре’ вектора а = {1, 5, 3}, & = {6, —4, —2},
г=={0, — 5, 7}, d—{ —20, 27, —35}. Подобрать числа а,
[5 и у так, чтобы векторы аа, Р&, ус и d образовывали
замкнутую ломаную линию, если начало каждого последую-
щего вектора совместить с концом предыдущего.
28. Установить, в каки^ из нижеследующих случаев тройки
векторов а, b и с будут" линейно зависимы, и в том случае,
когда это возможно, представить вектор с как линейную
комбинацию векторов а и Ь:
1) а = {5, 2, 1},
2) « — {6, 4, 2},
3) « = {6,-18, 12},
& = { — !, 4, 2}, г = { — 1, —1,6};
& = { —9, 6, 3}, г = {-3, 6, 3};
& = {-8,24,-16},г = {8, 7, 3}.
29. Показать, что, каковы бы ни были три вектора а,
Ь и с и три числа а, р, у, векторы аа — р&, yb — аг,
Рг — уа компланарны.
30*. Даны два вектора я —{2, 5, 14}, д = {14, 5, 2}.
Найти проекцию вектора а на плоскость Оху при направ-
лении проектирования, параллельном вектору Ь.
31. Даны четыре вектора а —{1, 2, 3}, & = {2, — 2, 1},
г—{4, 0, 3}, с/= {16, 10, 18}. Найти вектор, являющийся
проекцией вектора d на плоскость, определяемую векторами
а и Ь, при направлении проектирования, параллельном век-
тору с.
§ 2. Радиус-вектор
Постников, гл. 2, § 1.
32. Зная радиусы-векторы гъ r2, г3 трех последователь-
ных вершин параллелограмма, найти радиус-вектор г4 чет-
вертой его вершины.
33. Зная радиусы-векторы Гх, r2, r3, г[ четырех вершин
Д, В, С, А' параллелепипеда ABCDA'B'C'D', найти радиусы-
векторы четырех остальных его вершин.
34. Даны радиусы-векторы гх и г2 точек А и В. Найти
радиус-вектор г точки С, делящей направленный отрезок АВ
в отношении Л. Найти также радиус-вектор г' середины 714
отрезка АВ.
43]
§ 2. РАДИУС-ВЕКТОР
15
35. Даны радиусы-векторы гь г2, г3 вершин треуголь-
ника АВС, Найти радиус-вектор г точки пересечения его
медиан. _____________________ ___ ____
36*. Доказать, что если ОА, ОВ, ОС — три ребра парал-
лелепипеда, a OD — его диагональ, то точка 7И пересечения
прямой OD с плоскостью, проходящей через точки А, В, С,
является точкой пересечения медиан треугольника АВС и
делит отрезок OD в отношении 1 :2.
37*. В треугольнике АВС проведена биссектриса AD
внутреннего угла А. Выразить вектор AD через векторы
АВ и АС.
38. В прямоугольном треугольнике АВС опущен перпен-
дикуляр СН на гипотенузу АВ. Выразить вектор СИ че-
рез векторы С А и СВ и длины катеЮв | ВС | = а и
| СА\ — Ь,
39*. Зная радиусы-векторы гь г2, г3 вершин треуголь-
ника АВС и длины а, Ь, с сторон, противолежащих этим
вершинам, найти радиус-вектор г центра круга, вписанного
в этот треугольник.
40*. Зная радиусы-векторы г15 г2, г3 вершин треуголь-
ника АВС и его внутренние углы, найти радиус-вектор г
основания перпендикуляра, опущенного из вершины А на
сторону ВС.
41*. Зная радиусы-векторы г2, гз трех последователь-
ных вершин А, В, С трапеции ABCD, найти радиус-вектор г4
четвертой вершины D, радиус-вектор г' точки пересечения
диагоналей и радиус-вектор г" точки пересечения боковых
сторон, если отношение основания AD к основанию ВС
равно К
42*. Доказать, что отрезки прямых, соединяющих сере-
дины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной
точке и делятся- этой точкой пополам; доказать также, что
в той же точке пересекаются отрезки прямых, соединяющих
вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противо-
положных граней, и делятся этой точкой в отношении 3: 1
(считая от вершин).
43. В точках ТИх, ТИ2, ..., МП) имеющих соответственно
радиусы-векторы гь г2,..., гл, помещены массы тп.
Найти радиус-вектор центра тяжести этой системы материаль-
ных точек.
16
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 44
44*. Доказать, что каково бы ни было конечное мно-
жество точек Alf А2,л.., Ап (на прямой, на плоскости или
в пространстве), существует и притом только одна такая
точка М, что THAj-ф 7ИА2-ф. • .4-714Ал = О.
§ 3. Прямоугольные и аффинные координаты точек
на плоскости и в пространстве
Александров, гл. Ill, § 1; гл. IV, § 1, п. I.
Моденов, гл. II, §§ 9, 10.
Постников, гл. 2, §1, пп. 1, 4.
7. Координаты точек на плоскости
45. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти
координаты его вершин, принимая за начало координат вер-
шину А, за положительное направление оси абсцисс — направ-
ление стороны АВ, за положительное направление оси
ординат —направление диагонали АЕ, а за единицу масштаба
по обеим осям —сторону шестиугольника.
46. Основание AD равнобочной трапеции ABCD равно 8,
высота равна 3, а углы, прилежащие к этому основанию,
равны -j-. Принимая за ось абсцисс основание AD, аза ось
ординат ось симметрии трапеции, направленную от большего
основания к меньшему, найти в этой прямоугольной системе
координаты вершин трапеции, точки /И пересечения ее диаго-
налей и точки S пересечения ее боковых сторон.
47. Относительно прямоугольной системы координат дана
точка 714 — (х, д/). Найти точку, симметричную точке 7И:
1) относительно начала координат;
2) относительно оси абсцисс;
3) относительно оси ординат;
4) относительно биссектрисы первого и третьего коорди-
натных углов;
5) относительно биссектрисы второго и четвертого коор-
динатных углов.
48. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая
за начало аффинной системы координат вершину А, а за
базис — векторы АВ и АС, найти в этой системе координаты
вершин шестиугольника.
58 ] § 3. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧЕК
17
49. В трапеции ABCD отношение основания AD к осно-
ванию ВС равно 3. Принимая за начало координат вершину
Д, а за базисные векторы — основание AD и боковую сторону
АВ, найти координаты вершин трапеции, точки М пересече-
ния ее диагоналей и точки S пересечения боковых сторон.
50. Даны две смежные вершины А = (—1, 3), В = (2, 1)
параллелограмма ABCD. Найти две другие его вершины при
условии, что диагональ АС параллельна оси Ох, а диагональ
BD параллельна оси Оу.
51. Даны три последовательные вершины параллелограмма
А = (—2, 1), В — (\, 3), С —(4, 0). Найти четвертую его
вершину D. Система координат аффинная.
52*. Даны две точки А = (—3, 1) и В = (2, —3). На пря-
мой АВ найти точку М так, чтобы она была расположена
по ту же сторону от точки А, что и точка В, и ?чтобы отре-
зок АЛ1 был втрое больше отрезка АВ (система координат
аффинная).
2. Координаты точек в пространстве
53. Относительно прямоугольной системы координат дана
точка М = (х, у, z). Найти координаты точки, симметричной
с точкой /И: 1) относительно начала координат; 2) относи-
тельно плоскости Оху, 3) относительно оси Oz.
54. Относительно прямоугольной системы координат Oxyz
дана точка М — (х, у, z). Найти ее ортогональную проекцию:
1) на ось Ох\ 2) на плоскость Oyz.
55. Определить расстояния dx, dy, dz точки /14 — (х, у, z)
от осей координат Ох, Оу, Oz (система координат прямо-
угольная).
56. В третьем октанте найти точку, зная, что ее расстоя-
ния до осей Ох, Оу, Oz равны соответственно 5; 3 Кб ;
2 К13. Система координат прямоугольная.
57. Вершина А параллелепипеда ABCDA'B'C'D' принята
за начало координат, а три ребра АВ, AD, А А' — за базис-
ные векторы. Найти в этой системе координаты всех вершин
параллелепипеда.
58. Вершина О тетраэдра ОАВС принята за начало коор-
динат, а векторы О А, ОВ, ОС — за базисные векторы. Найти
в этой системе координаты точек пересечения медиан граней
тетраэдра.
18 ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 59
\
59*. Даны две точки А = (1, 2, 3), В = (7, 2, 5). На прямой
АВ найти такую точку /И, чтобы точки В и 7И были располо-
жены по разные стороны от точки А и чтобы отрезок А7И
был вдвое длиннее отрезка АВ, Система координат аффинная.
§ 4. Расстояние между двумя точками. Длина вектора;
направляющие косинусы
Александров, гл. IV, § 1, п. 2; § 2, п. 2.
Моденов, гл. II, § 12.
Постников, гл. 2, § I, п. 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат явля-
ется прямоугольной.
7. Расстояние между двумя точками на плоскости
60. Дана окружность с центром в точке (6, 7) и ради-
усом 5. Из точки (7, 14) к этой окружности проведены
касательные. Найти их длины.
61. Дана окружность радиуса 10 с центром (—4, —6).
Найти точки ее пересечения с биссектрисами координатных углсГв.
62. Найти центр М и радиус г окружности, описанной
около треугольника с вершинами (— 2, — 2), (2, 6), (5, — 3).
63. Зная две противоположные вершины ромба А = (8, —3)
и С = (Ю, 11), найти две другие его вершины при условии,
что длина стороны ромба равна 10.
64. Найти центр окружности, проходящей -через точку
(—4, 2) и касающейся оси Ох в точке (2, 0).
65. Найти центр и радиус окружности, проходящей через
точку (2, — 1) и касающейся обеих осей координат.
66. Найти центр и радиус окружности, проходящей через
точки (6, 0) и (24, 0) и касающейся оси Оу,
67. Дан прямоугольный треугольник АОВ: О = (0, 0),
А = (4, 0), £> = (0, 3). Найти центр М и радиус г окруж-
ности, касающейся оси Ох, проходящей через точку В и име-
ющей центр на прямой АВ,
2, Расстояние между двумя точками в пространстве.
Длина вектора. Направляющие косинусы
68. Даны четыре точки А = (1, 2, 3), £? = (5, 2, 3),
С=(2, 5, 3), £) = (1, 2, —1). Найти центр и радиус сферы,
проходящей через эти точки,
79]
§ 4. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
19
69*. На плоскостях координат найти точки, которые
вместе с началом координат служили бы вершинами правиль-
ного тетраэдра с ребром, равным единице, лежащего в пер-
вом октанте.
70. Найти точку 7И, отстоящую от точки А = (—4, 0, 1)
на расстояние 9, зная направляющие косинусы вектора ОМ'-
2/з, ~2/з> х/з.
71. Вершины треугольника находятся в точках
д = (2, — 1, 3), £=(4, 0, 1), С = (— 10, 5, 3). Найти направ-
ляющие косинусы биссектрисы угла АВС.
12. Луч образует с осями Ох и Оу углы, соответственно
равные и у, а с осью Oz — тупой угол. Найти этот
угол.
73. Вычислить координаты вектора, длина которого равна
8, зная, что он образует с осью Ох угол с осью Oz —
угол у, а с осью Оу—-острый угол.
74. Найти координаты вектора, длина которого равна 5,
а углы а, р, у, образуемые им с положительными направле-
ниями осей Ох, Оу, Oz, связаны соотношением
sin а: sin р : sin -у = 3:4:5.
75. Найти углы <рх, ф2, ср3, образуемые вектором {6, 2, 9}
с плоскостями координат Oyz, Ozx, Оху.
76. Луч, выходящий из начала координат, образует с осями
координат углы а, р, у. Найти направляющие косинусы
проекции этого луча на плоскость Оху.
77* . Доказать, что если плоскость отсекает на осях коор-
динат отрезки, длины которых равны а, b и с, то длина
перпендикуляра р, опущенного на эту плоскость из начала
координат, удовлетворяет соотношению
_L + _L + _L = _L
। ^2 » с2 р2
78. Из одной точки проведены векторы а = {—3, 0, 4}
и Ь = {5, —2, —14}. Найти единичный вектор, который,
будучи отложен от той же точки, делит пополам угол между
векторами а и Ь.
79*. Два луча, выходящие из начала координат, образуют
с осями координат углы аь рх, и а2, р2, у2. Найти
направляющие косинусы биссектрисы угла между этими лучами.
20
• ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 80
§ 5. Деление отрезка в данном отношении
Александров, гл. I, § 6; гл. III, § 3.
Моденов, гл. I, § 5.
Постников, гл. 2, § 1, п. 3.
1. Деление отрезка в данном отношении на прямой
80. На оси координат даны три точки: А=(2), В = (Т), С=(4).
Найти: 1) отношение, в котором точка С делит отрезок АВ;
—* 2
2) точку D, делящую отрезок АВ в отношении —
о
3) середину Е отрезка CD; 4) отношение, в котором точка
Е делит отрезок АВ,
81*. Точка М делит отрезок АВ в отношении X. В каком
отношении делит отрезок АВ точка 714', симметричная точке
М относительно середины отрезка АВ.
82*. Пусть точка С делит направленный отрезок АВ
в отношении Х^=1, точка D делит тот же отрезок в отно-
шении — X, а точка Е является серединой отрезка CD.
1) Найти отношение, в котором точка Е делит отрезок
АВ.
2) Доказать, что при любом X =А= 1 точка Е лежит вне
отрезка АВ.
83. На оси координат даны три точки О = (0), £’=(!),
7И = (х). Найти отношение, в котором точка О делит направ-
ленный отрезок ME.
84*. На прямой даны три точки. Точка С делит направ-
ленный отрезок АВ в отношении X =А= 0. Найти отношение,
в котором каждая из точек A, В, С делит направленный
отрезок, определяемый двумя другими.
85*. Пусть dC = X, di = н, dd = v (ц v). Найти отно-
J РВ QB * RB 7
шение, в котором точка R делит отрезок PQ.
86*. Пусть dd = X, dS — и, dd = v. Найти отношение,
РВ QB r RQ_
в котором точка R делит отрезок АВ.
87. Даны три точки А = (1), В~(2), С=(4). Найти
точку D так, чтобы четверка точек А, В, С, D была ’гар-
монической.
96 ]
§ 5. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
21
88. Доказать, что если пара точек С, D гармонически
разделяет пару А, В, то
X У Z '
где х, у, z — соответственно координаты векторов АВ, АС
и AD.
89. Доказать, что если отрезок АВ делится точкой О
пополам, а точками С и D гармонически, то = где а,
с, d — координаты точек А, С, D в системе координат
с началом в точке О.
2. Деление отрезка в данном отношении
на плоскости
90. Один из концов отрезка АВ находится в точке
А = (2, 3), его серединой служит точка 7И = (1, —2). Найти
другой конец отрезка. Система координат аффинная.
91. Даны середины сторон треугольника (2, 4), (—3, 0),
(2, 1). Найти его вершины. Система координат аффинная.
92. Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD\
Д = ( — 4, —7) и В = (2, 6) и точка пересечения его диаго-
налей Л4 = (3, 1). Найти две другие вершины параллело-
грамма. Система координат аффинная.
93. На осях Ох и Оу отложены соответственно отрезки
|ОА|==8, |ОВ| = 4. Найти отношение, в котором основа-
ние перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из начала
координат, делит отрезок АВ. Система координат прямо-
угольная.
94. Вершины треугольника АВС находятся в точках
(*i, У1\ (х2, у2), (х3, у3). Найти точку (х0, у0) пересе-
чения медиан этого треугольника. Система координат аф-
финная.
95. Даны три последовательные вершины трапеции
А = (—2, —3), В = (1, 4), С=(3, 1). Найти четвертую ее
вершину D при условии, что основание AD в пять раз
больше основания ВС. Найти также точку М пересечения
диагоналей и точку S пересечения боковых сторон трапеции.
Система координат аффинная.
96. Дана точка А = (2, 4). Найти точку В при условии,
что точка С пересечения прямой АВ с осью ординат делит
22
.ГЛ. I, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[97
—* 2
отрезок АВ в отношении, равном , а точка D пересече-
о
ния прямой АВ с осью абсцисс делит отрезок АВ в отноше-
3
нии-----Система координат аффинная.
97. Даны две точки А = (9, — 1) и £? = (—2, 6). В каком
отношении делит отрезок АВ точка С пересечения прямой
АВ с биссектрисой второго и четвертого координатных
углов? Система координат прямоугольная.
98. Найти две точки, А и В, зная, что точка С = (— 5, 4)
—* 3
делит отрезок АВ в отношении а точка D = (6, —5)-—
2
в отношении -^-.Система координат аффинная.
99. В треугольнике с вершинами А = (5, 4), В~ (— 1, 2),
С = (5, 1) проведена медиана AD. Найти ее длину. Система
координат прямоугольная.
100. Дан треугольник с вершинами А = (4, 1), £? = (7, 5),
С = (—4, 7). Вычислить длину биссектрисы AD угла ВАС.
Система координат прямоугольная.
101*. Найти центр тИ и радиус г круга, вписанного
в треугольник с вершинами (9, 2), (0, 20), (— 15, — 10).
Система координат прямоугольная.
102. Найти точку пересечения общих касательных двух
окружностей, центры которых Сх = (2, 5) и С2 = (-у, yj,
а радиусы соответственно равны 3 и 7. Система координат
аффинная.
103*. Даны три последовательные вершины трапеции
А = (—1, —2), В=(1, 3), С = (9,9). Найти четвертую вер-
шину D этой трапеции, [точку М пересечения ее диагона-
лей и точку S пересечения боковых сторон, зная, что дли-
на ее основания AD равна 15. Система координат прямо-
угольная.
104. В трех точках А = ^7, В = (6, 7) и С = (2, 4)
помещены массы, соответственно равные 3; 5; 2. Определить
центр тяжести этой системы точек. Система координат
аффинная.
105. Найти координаты центра тяжести однородного
стержня, согнутого под прямым углом, если длины его час-
113]
§ 5. ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
23
тей | О А | = 2, | ОВ | = 5, принимая за начало координат точку О,
а за положительные направления осей Ох и Оу соответст-
венно направления ОА и ОВ,
106*. Найти координаты центра тяжести проволочного
треугольника, длины сторон которого 3, 4 и 5, направляя
ось абсцисс по меньшему, а ось ординат по большему катету
треугольника.
107*. Доказать, что четырехугольник ABCD с верши-
нами А = (1, 2), £ = (—3, 1), С=(—1, —5), £ = (3, — 1)
выпуклый. Система координат аффинная.
108*. Проверить, что четырехугольник ABCD с верши-
нами А —(4, 4), £ = (5, 7), С = (10, 10), 2? = (12, 4) явля-
ется выпуклым, и найти центр тяжести четырехугольной одно-
родной пластинки с вершинами в точках А, В, С, D.
3. Деление отрезка в данном отношении в пространстве
109. Даны две вершины треугольника: А = (—4, — 1, 2)
и 5 = (3, 5, — 16). Найти третью вершину С, зная, что сере-
дина стороны АС лежит на оси Оу, а середина стороны ВС
на плоскости Oxz. Система координат аффинная.
ПО. Найти отношение, в котором плоскость Oyz делит
отрезок АВ: А = (2, — 1, 7) и В = (4, 5, — 2). Система коор-
динат аффинная.
111*. Даны две точки А = (8, —6, 7) и В~( —20, 15, 10).
Установить, пересекает ли прямая АВ какую-нибудь из осей
координат.
112*. Даны четыре точки:
А==(—-3, 5, 15), £ = (0, 0, 7),
С==(2, — 1, 4), Z? = (4, — 3, 0).
Установить, пересекаются ли прямые АВ и CD, и если
пересекаются, то найти точку их пересечения. Система коор-
динат аффинная.
113*. Три последовательные вершины трапеции находятся
в точках А = (—3, —2, — 1), £ = (1, 2, 3), С==(9, 6, 4).
Найти четвертую вершину D этой трапеции, точку М пере-
сечения ее диагоналей и точку S пересечения боковых сто-
рон, зная, что длина основания AD равна 15. Система коор-
динат прямоугольная.
24
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 114
§ 6. Полярные координаты. Сферические
и цилиндрические координаты
Александров, гл. IV, §§ 4, 5.
Моденов, гл. II, §§ 18, 19.
Постников, гл. 2, § 1, п. 5.
1. Полярные координаты на плоскости
114. Дан правильный шестиугольник ABCDEF, длина
стороны которого равна 1. Приняв за полюс вершину А, за
положительное направление полярной оси — направление век-
тора АВ, а за положительное направление отсчета углов —
направление кратчайшего поворота от АВ к АС, определить
в этой системе полярные координаты вершин шестиугольника.
115. Вычислить расстояние между двумя данными точками;
) А~^ 4')" в“(‘' тг):
2) С =(4, -J) и Р = (в,
3) Е = (3, и Е-(4. •£).
116*. Даны полярные координаты точек
А = (8,
\ 6 !
И
s=(6- I).
отрезка АВ.
Вычислить полярные координаты середины
117. Относительно полярной системы координат дана
точка А = ^5, yj. Найти: 1) точку В, симметричную точке
А относительно полюса; 2) точку С, симметричную точке А
относительно полярной оси.
118. Относительно полярной системы координат даны
точки А = (2, 5 = (з,^-), С=(1, у), £> = (5, л),
Е==(5, 0). Какие координаты будут иметь эти точки, если
повернуть полярную ось вокруг полюса в положительном
направлении на угол Зят/4?
119. Вычислить площадь треугольника, одна из вершин.
которого помещается в полюсе, а две другие имеют поляр-
/ . л \ ( 5л \
ные координаты 4, 1, -т»-).
130 ]
§ 6. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
25
' 120. Относительно полярной системы координат даны точки
А = (2, -J), В = (/2, С=(у, £> = (з, —у).
Найти координаты этих точек в соответствующей прямо-
угольной системе координат.
121. Зная прямоугольные координаты точек А = (—1,1),
В ==(0,2), С ~(5,0), £) = (—8, —6), найти их координаты
в полярной системе координат, соответствующей данной
прямоугольной.
122. Зная полярные координаты точки: г =10, <р = л/6,
найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится
в точке (2, 3), а полярная ось параллельна оси Ох.
123. Полюс полярной системы координат находится
в точке (3, 5), а положительное направление полярной оси
совпадает с положительным направлением оси Оу. Найти
в этой системе полярные кооринаты точек М1 — (9, —1) и
Ж2 = (5, 5-2/3).
2. Сферические и цилиндрические координаты.
124. Найти сферические координаты точек по их прямо-
угольным координатам: А = (— 8, — 4, 1), В = (— 2, — 2, — 1),
С = (0, —4, 3), D = (l, —1, —1), £ = (0, 1, 0).
125. Найти сферические координаты точки 7И, зная, что
луч ОМ образует с осями Ох и Оу углы, соответственно
равные ~ и и что третья координата точки г = —1.
126. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей
на шаре радиуса 1, зная ее широту 0 = 45° и долготу ф = 330°.
127*. Найти длину меньшей из двух дуг большого круга,
соединяющей две точки А и В, лежащие на шаре радиуса г,
зная широту и долготу этих точек Д = (фх, 0Х), £? = (ф2, 02).
128. Найти цилиндрические координаты точек по их прямо-
угольным координатам: А = (3, —4, 5), В = (1, —1, —1),
С = (—6, 0, 8).
129. Найти цилиндрические координаты точки М, зная, что
луч ОМ составляет с осями координат углы •—, и
и что длина отрезка ОМ равна 1.
130. Найти угол а вектора ОМ с осью Ох, зная цилиндри-
ческие координаты г, ф, z точки М.
26
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 131
§ 7. Скалярное произведение векторов;
угол между векторами
Александров, гл. IV, § 2.
Моденов, гл. IV, §§ 38,39.
Постников, гл. 1, § 5, пп. I—5.
В задачах этого параграфа, в которых встречаются коор-
динаты, система координат предполагается прямоугольной.
131. Дан равносторонний треугольник АВС, длины сторон
которого равны 1. Вычислить выражение
(АВ, ВС)-{-(ВС, СА) + (СА, АВ).
132. В треугольнике АВС даны длины его сторон
|^С| = 5, \СА | = 6, | АВ | = 7. Найти скалярное произведе-
ние векторов АВ и ВС.
133. В треугольнике АВС проведены медианы AD, BE
и CF. Вычислить (ВС, AD) + (CA, ВЕ) + (~АВ, CF).
134. Дан прямоугольник ABCD и точка УИ (которая
может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее).
Показать, что: 1) (МА, МС)==(МВ, MD); 2) ТИА2 +/ИС2 =
= Л1В2 + ЛЮ2. _
135*. В треугольнике АВС точка D делит сторону АВ
в отношении AD'.DB—'k. Выразить длину отрезка CD через
длины а, Ь, с сторон треугольника и число к.
136*. Найти сумму векторов, являющихся ортогональными
проекциями вектора а на стороны равностороннего треуголь-
ника АВС.
137*. Пусть г —радиус окружности, описанной около
правильного zz-угольника.
Найти: 1) сумму квадратов длин всех сторон и всех диа-
гоналей этого многоугольника, выходящих из одной его вер-
шины;
2) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей
этого многоугольника.
138. Доказать, что при любом расположении точек А,
В, С, D на плоскости или в пространстве имеет место
равенство
(ВС, AD) + (СА, BD) + (АВ, CD) = 0.
149]
§ 7. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
27
139. Доказать, что если в тетраэдре ABCD два ребра
перпендикулярны к противоположным им ребрам, то перпен-
дикулярны и противоположные ребра третьей пары.
140*. Доказать, что если A, В, С, D — четыре произ-
вольные точки (на плоскости или в пространстве), а Р и
Q —середины отрезков АС и BD, то
|Лё|2 + 15С|2 + |СО|2 + |ПА|2==| 4Cj2 + |sD|24-4jPQ|2.
141*. Даны два вектора а и Ь. Представить вектор b
в виде суммы двух векторов х и у так, чтобы вектор х
был коллинеарен вектору а, а вектор у ортогонален вектору а.
142*. Даны два неколлинеарных вектора а и Ь. Найти
вектор х, компланарный векторам а и & и удовлетворяющий
системе уравнений (а, х) = 1, (&, х) = 0.
143*. Даны три некомпланарных вектора а, Ь> с. Найти
вектор х из системы уравнений
(я, х)=1, (&, х) = 0, (с, х) = 0.
144*. Даны два вектора а и 6. Найти вектор г, являю-
щийся ортогональной проекцией вектора Ъ на прямую,
направление которой определяется вектором а.
145*. Даны два вектора а и п. Найти вектор Ь, являю-
щийся ортогональной проекцией вектора а на плоскость,
перпендикулярную к вектору п.
146*. Вычислить длину d диагонали OD параллелепипеда,
зная длины | О А | = а, | ОВ\~Ь, \ОС\=с трех его ребер,
выходящих из одной точки О, и углы В0С = ау А СОД = р,
А АОВ — у между ними. Найти также косинусы углов, обра-
зуемых диагональю OD с ребрами ОА, ОВ, ОС.
147. К вершине куба приложены три силы, равные
по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней
куба, выходящим из этой вершины. Найти величину равно-
действующей этих трех сил и углы, образуемые ею с состав-
ляющими силами.
148. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией
вектора {— 14, 2, 5} на прямую с направляющим вектором
{2, -2, 1}.
149. Найти вектор, являющийся ортогональной проекцией
вектора {8, 4, 1} на плоскость, перпендикулярную к вектору
{2, — 2, 1}.
28
ГЛ. L ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 150
150*. Даны три вектора:
а = {8, 4, 1}, 6 = {2, — 2, 1}, с={1, 1, 9}.
Найти вектор, Являющийся ортогональной проекцией вектора с
на плоскость, определяемую векторами а и Ь.
151*. Даны два вектора: я = {8, 4, 1}, 6 = {2, —2, 1}.
Найти вектор г, компланарный векторам а и Ь, перпенди-
кулярный к вектору а, равный ему по длине и образующий
с вектором b тупой угол.
152. Определить внутренние углы треугольника с верши-
нами А = (1, 2, 3), £ = (3, 0, 4), С = (2, 1, 3).
153. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA'В'СD'
находится в точке А = (1, 2, 3), а концы выходящих из нее
ребер —в точках 72 = (9, 6, 4), 7) = (3, 0, 4), А' = (5, 2, 6).
Найти длину d диагонали АС' этого параллелепипеда и угол,
образуемый АС' с ребром АВ.
154. Вычислить углы фх, <р2, ф3, образованные противо-
положными ребрами тетраэдра, яершины (Которого находятся
в точках А = (3, —1, 0), В = (0, — 7, 3), С = (—2, 1, — 1),
D = (3, 2, 6).
§ 8. Векторы на ориентированной плоскости.
Площадь треугольника
Александров, гл. IV, § 3; гл. VII, § I; гл. IX, § 1.
Моденов, гл. II, § 14; гл. IV, § 40.
Постников, гл. 1, § 4.
В задачах этого параграфа, в которых встречаются коор-
динаты, система координат предполагается прямоугольной.
7. Векторы на ориентированной плоскости
155*. Дан вектор а = {х, у}. Найти вектор а', перпенди-
кулярный к вектору а, равный ему по длине и направленный
так, чтобы упорядоченная пара векторов а, а' имела поло-
жительную ориентацию.
156. Даны три вектора: аг = {4, 5}, а2 = {2, 0}, ^1=={2, — 1}.
Найти вектор Ь2> перпендикулярный к вектору и направ-
ленный так, чтобы ориентированные параллелограммы, пост-
роенные на парах векторов alf а2 и Ьь Ь2, имели одинако-
вые площади.
167 ] § 8. ВЕКТОРЫ НА ОРИЕНТИРОВАННОЙ ПЛОСКОСТИ
29
157. Даны два вектора: а = {3, 5}, & = {1, 4}. Найти
вектор Ь', перпендикулярный к вектору &, равный ему по
длине и направленный так, чтобы упорядоченные пары век-
торов а, & и а, Ьг имели противоположную ориентацию.
158. Даны три вектора: а, Ь, Ъ'. Векторы Ь и &' перпен-
дикулярны друг к другу и образуют с вектором а острые
углы. Установить, имеют ли пары а, b и а, Ьг одинаковую
или противоположную ориентацию.
159*. Даны две упорядоченные пары лучей аь а2 и а1,
а2. Лучи этих пар, имеющие один и тот же номер, образуют
острый угол, а лучи с разными номерами перпендикулярны
друг к другу. Установить, имеют ли эти пары лучей одина-
ковую или противоположную ориентацию.
160*. Найти кординаты вектора а'={х', у'}, являющегося
ортогональной проекцией вектора а = {х, j/} на прямую,
наклоненную к оси Ох под углом ф.
161. Вектор имеет длину dr и наклонен к базисному
вектору под углом фх; вектор а2 имеет длину d2 и накло-
нен к под углом ф2. Найти координаты вектора а ~
= ях и2.
162. Вектор аг образует с базисным вектором ех угол ф!
и имеет длину d±, вектор а2 образует с вектором аг угол
ф2 и имеет длину d2. Найти кординаты вектора а =
= CL± 4“ ^2*
163*. Дан вектор а = {х, у}. Найти вектор аг~{х\ у'},
получающийся поворотом вектора а на угол ф.
164. Даны две точки А = (2, 1) и В = (Ъ, 5). Найти коней
вектора АС, получающегося из вектора АВ поворотом на
5л
угол -g-.
165. Даны две соседние вершины квадрата А = (—3, 2)
и 5 = (2, 4). Найти две другие вершины.
166. Даны две противоположные вершины квадрата
А = (—3, 2), В = (5, —4). Найти две другие его вершины
Си/).
167. Вершина равнобедренного треугольника находится в
точке А = (2, 1), а один из концов его основания в точке
В = (1, —4). Найти другой его конец С, зная, что угол при
вершине А равен arccos— и что треугольник АВС имеет
положительную ориентацию.
30
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 168
168*. Концы основания равнобедренного треугольника
находятся в точках Л = (— 4, 2), Р = (4, —4). Найти коор-
динаты вершины С этого треугольника, зная, что углы при
его основании равны arctg % и что треугольник АВС имеет
положительную ориентацию.
169*. Дан центр S(x0, у0) правильного п-угольника
и ег0 вершина А1 = (х1, j/Д. Найти остальные
его верщины при условии, что упорядоченная пара векторов
SA2 имеет положительную ориентацию.
170. Даны две вершины треугольника А = (1, 2),
Р = (3, 4) и тангенсы его внутренних углов tgX = --~,
tg 2? = 4"- Найти третью вершину С треугольника при уело-
вии, что треугольник АВС имеет положительную ориентацию.
2. Площадь треугольника
171*. Стороны ВС, С А и АВ треугольника АВС точками
Р, Q, R разделены в отношениях
ВР
PC
. CQ АВ
= К =^- = U, =T- = V.
QA r ВВ
Найти отношение площади ориентированного треугольника
PQR к площади ориентированного треугольника АВС.
172*. Пусть Р, Q, R — точки пересечения биссектрис
внутренних углов А, В, С треугольника АВС со сторонами
| ВС | = а, | С А |= Ь, | АВ | = с. Найти отношение площади
ориентированного треугольника PQR к площади ориентиро-
ванного треугольника АВС.
173*. Пусть Р, Q, R — основания перпендикуляров, опу-
щенных из вершин А, В, С треугольника АВС на противо-
лежащие им стороны. Найти отношение площади ориенти-
рованного треугольника PQR к площади ориентированного
треугольника АВС, зная его внутренние углы А, В, С. При
каком условии треугольники АВС и PQR имеют одинаковую
ориентацию?
174. Пусть Р, Q, Р —точки касания окружности, вписан-
ной в треугольник АВС, со сторонами ВС, СА, АВ. Найти
отношение площади ориентированного треугольника PQR
к площади ориентированного треугольника АВС, зная длины
его сторон а, Ь, с.
180 ]
§ 9. ОРИЕНТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА
31
§ 9. Ориентация пространства. Векторное и смешанное
произведение
Александров, гл. IX, §§ 1, 3, 4.
Моденов, гл. IV, §§ 41 — 48.
Постников, гл. 1, § 4; § 6, п. 6.
Во всех задачах этого параграфа, где встречаются коор-
динаты, система координат предполагается прямоугольной.
175. Даны два вектора а —{0, 1, 1} и b — {l, 1, 0}.
Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к вектору а,
образующий с вектором b угол ~ и направленный так, чтобы
упорядоченная тройка векторов а, &, с имела положительную
ориентацию.
176. Даны два вектора а~{1, 1, 1} и & = {1, 0, 0}.
Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к вектору а,
образующий с вектором Ь угол у и направленный так, чтобы
упорядоченная тройка векторов а, &, с имела положительную
ориентацию.
177. Даны три вектора: а = {8, 4, 1}, & = {2, 2, 1},
г={1, 1, 1}. Найти вектор d длины 1, образующий с векто-
рами а и b равные углы, перпендикулярный к вектору с и
направленный так, чтобы упорядоченные тройки векторов
а, Ь, с и а, b, d имели одинаковую ориентацию.
178. Даны три вектора: а — {8, 4, 1}, д = {2, — 2, 1},
г={1, 1, 1}. Найти вектор d длины 1, компланарный векто-
рам а и Ь, перпендикулярный к вектору с и направленный
так, чтобы упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и a,d,c
имели противоположную ориентацию.
179. Из начала координат выходит луч, образующий с
положительными направлениями осей Ох и Оу углы, соот-
ветственно равные ~ и а с положительным направлением
оси Oz тупой угол. Найти углы, образуемые с положитель-
ными направлениями осей Ох, Оу, Oz лучом, выходящим
из начала координат, лежащим в плоскости Oyz, перпенди-
кулярным к данному лучу и направленным так, чтобы поло-
жительный луч оси Ох, данный луч и искомый луч соста-
вляли упорядоченную тройку положительной ориентации.
^180*. Даны три вектора: ОА = {8, 4, 1}, О2? = {2, —2, 1},
ОС = {4, 0, 3}, отложенные от одной точки О. Найти наира-
32
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
( 181
вляющие косинусы луча, выходящего из точки О и образу-
ющего с ребрами ОА, ОВ, ОС трехгранного угла ОАВС равные
острые углы. Установить, лежит ли этот луч внутри или
вне трехгранного угла ОАВС,
181*. Даны три луча ОД, ОВ, ОС, не лежащие в одной
плоскости. Внутри углов АОВ, ВОС и СОА взяты соответ-
ственно лучи OD, ОЕ и OF. Установить, будут ли упорядо-
ченные тройки лучей ОА, ОВ, ОС и OD, ОЕ, OF иметь оди-
наковую или противоположную ориентацию.
182*. Даны две упорядоченные тройки лучей аъ аъ а3
и а1, а2, а3, в которых лучи с одинаковыми номерами обра-
зуют острый угол, а лучи с разными номерами перпендику-
лярны друг к другу. Установить, имеют ли эти тройки лучей
одинаковую или противоположную ориентацию.
183. Даны два вектора: <z = {ll, 10, 2} и # = {4, 0, 3}.
Найти вектор с длины 1, перпендикулярный к векторам а
и b и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векто-
ров а, Ь, с имела положительную ориентацию.
184. Даны три вектора: а = {8, 4, 1}, Ь = {2, —2, 1},
с = {4, 0, 3}. Найти четвертый вектор d длины 1, перпенди-
кулярный к векторам а и b и направленный так, чтобы
упорядоченные тройки векторов а, Ь, с и a, b, d имели
одинаковую ориентацию.
185. Даны два луча. Первый луч составляет с осями
л л 2л
координат углы у, у, у, а второй — равные между собой
тупые углы. Найти направляющие косинусы третьего луча,
перпендикулярного к двум данным лучам и образующего
с ними тройку положительной ориентации.
186. Из начала координат выходят два луча, OAfj и ОЛ42,
образующие с осями координат углы alt рх, ft и а2> Рг, ft-
Найти направляющие косинусы луча ОА1, выходящего из
начала координат, перпендикулярного к обоим данным лучам
и направленного так, чтобы тройка лучей OA/p ОтИ2,
имела положительную ориентацию.
187*. Одна из вершин параллелепипеда ABCDA' B'C'D'
находится в точке А = (1, 2, 3), а концы выходящих из нее
ребер —в точках Z? = (9, 6, 4), D — (3, 0, 4), A' = (5, 2, 6).
Найти угол ср между диагональю АС' и плоскостью грани
ABCD этого параллелепипеда.
199 1
§ 9. ОРИЕНТАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА
33
188*. Пусть А', В', C'f D' — точки пересечения медиан
граней BCD, CDA, ABD и АВС тетраэдра ABCD, Найти
отношение объема ориентированного тетраэдра А'В'CD'
к объему ориентированного тетраэдра ABCD,
189. Вычислить площадь треугольника, вершины которого
находятся в точках А~(—1, 0, —1), В — (0, 2, —3),
С = (4, 4, 1).
190. Вычислить объем параллелепипеда A BCD А'В'CD',
зная его вершину А — (1, 2, 3) и концы выходящих из нее
ребер В = (9, 6, 4), D = (3, 0, 4), А'=(5, 2, 6).
191*. Вычислить объем параллелепипеда, зная длины
| О А | = а, | О В \~Ь, | ОС | = с трех его ребер, выходящих
из одной его вершины О, и углы £ ВОС = а, £СОА = $,
/ АОВ — у между ними.
192*. Три вектора а, Ь, с связаны соотношениями
а~ [6, г], b — [c, а], г —[а, 6]. Найти длины этих векторов
и углы между ними.
193*. Доказать, что если три вектора а, Ь; с не колли-
неарны, то из равенств [a, bj = [£, с] = [г, а] вытекает
соотношение а-\-Ь-}-с = 0 и обратно.
194. Доказать^ что если [а, #]-}-[#, с] + [с а]~0, то
векторы а, Ь, с компланарны.
195*. Доказать, что если векторы [а, 6], [Ь, г], [с, а]
компланарны, то они коллинеарны.
196*. Из одной точки проведены три некомпланарных
вектора а, Ь, с. Доказать, что плоскость, проходящая через
концы этих векторов, перпендикулярна к вектору [а, #] +
+ [&, с] + [с, а]. ___ _______
197*. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ~Ь,
ОС = с, отложенных от одной точки О. Найти вектор OD =
= d, отложенный от той же точки О и образующий с векто-
рами ОА, ОВ, ОС равные между собой острые углы.
198*. Даны три некомпланарных вектора а=={х1, уь г3},
= у2, п = {А, В, С}. Найти площадь параллело-
грамма, являющегося ортогональной проекцией на плоскость,
перпендикулярную к вектору п, параллелограмма, построен-
ного на векторах а и Ь,
199 .* В ориентированном пространстве даны два перпен-
дикулярных друг другу вектора а и п, причем |п|=1.
В плоскости, положительная ориентация которой опреде-
ляется упорядоченной парой векторов а, [п, а], найти вектор
2 П. С. Моденов, А. С. Пархоменко
34
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 200
Ь, полученный из вектора а поворотом в этой плоскости
на угол ф.
200*. Доказать, что сумма векторов, перпендикулярных
к граням тетраэдра, равных по абсолютной величине площа-
дям этих граней и направленных в сторону вершин, проти-
волежащих граням, равна нулю.
201*. Доказать тождества:
1) [[«, *], -«(*> с) + Ь(а, с);
2) [а, [Ь, с]] = д(а, с) —с (a, b).
202*. Доказать тождества:
К ([«, ч, к. $|;
2) [[а, 6], [с, d]] = c(a, b, d) — d(a, Ь, с) =
= &(а, с, d) — a(b, с, d);
3) (а, b, c)d—(d, b, c)a-\-(d, с, a)b + (d, а, Ь)с;
(х, а) (х, Ь) (х, с)
4) (а, Ь, с)(х, у, z)= (у, а) (у, Ь) [у, с)
(г, a) (zt b) (г, с)
(а, а) (а, Ь) (а, с)
5) (а, &, с)2= (Ь, а) (&, Ь) (&, с) .
(с, а) (с, Ь) (с, с)
203*. Найти необходимое и достаточное условие для
того, чтобы выполнялось равенство
[[а, 6], с] —[а, [&, с]].
204*. Даны три некомпланарных вектора а, b и с.
Найти вектор х, удовлетворяющий системе уравнений
(а, х) = а, (&, х) = р, (г, х) = у.
205*. 1) Найти необходимое и достаточное условие
того, чтобы уравнение [а, х] = Ь, где а 0, имело решение.
2) Найти общее решение этого уравнения.
206*. Даны три некомпланарных вектора; Ок = а, ОВ — Ь,
ОС —с, отложенных от одной точки О. Найти вектор ОН,
где Н— ортогональная проекция точки О на плоскость АВС.
207*\ Доказать, что площадь .параллелограмма, построен-
ного на векторах а и Ь,
(а, а) (а, 6)1
(6, a) (ft, ft)|'
215 ] § 10 ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В АФФИН КООРДИНАТАХ
35
208*. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного
на векторах а, Ь, с,
V=
(а, а) (а, Ь) (а, с)
(b, а) (Ь, Ь) (Ь, с)
(с, а) (с, Ъ) (с, с)
209*. Найти вектор х из системы уравнений (аь х) = а,
[д2, х] = &, где (ах, а2)^0, (а2, 6) = 0.
210*. Решить относительно х систему уравнений
[«!, х] = &1, [а2, х] = &2, причем а2] # 0, (аъ &2) Ф 0,
(а2> («1, Ь^ = (а2, =
211*. Найти векторы х и у из системы уравнений:
x4-j! = a, (х, у)~р, [х, у] = &. Дано, что а 0, b 0,
(а, &)=0.
212*. Даны плоские углы ВОС = а, £СОА = Ь,
А АОВ = с трехгранного угла О АВС.
1) Вычислить косинусы его внутренних двугранных углов
Д, В, С, противолежащих граням ВОС, СОА, АОВ.
2) Даны внутренние двугранные углы А, В, С трехгран-
ного угла ОАВС, противолежащие граням ВОС, СОА> АОВ.
Вычислить косинусы его плоских углов а, Ь, с.
3) Доказать, что
sin а_sin 6__sin с
sin A sin В sin С *
§ 10. Скалярное, векторное и смешанное произведение
в аффинных координатах
Моденов, Дополнение II, пп. 1, 2.
Постников, гл» 1, § 5, п. 2.
1. Скалярное произведение векторов на плоскости
213*. Выразить через метрические коэффициенты gu=(e1,e1),
£12 — (е±,е 2), £22 = (А, ^2) базиса е19 е2 длины базисных векторов,
угол (о между ними и площадь S параллелограмма, построен-
ного на векторах е19 е2.
214. Найти скалярное произведение векторов а = {хх,
и Ь = {х2, у2}, зная метрические коэффициенты £u, g12, g22
базиса е19 е2.
215. Найти длину вектора а = {х, j/}, зная метрические
коэффициенты gn, g12, g22 базйса еь е2.
2*
36
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 216
216. Найти косинус угла ср между векторами {х1}
и {х2, у2}, зная метрические коэффициенты gu, gX2, g22
базиса е2.
217. Найти косинусы углов а и 0, которые вектор
а — {х, j} образует с векторами базиса е19 е2, зная метри-
ческие коэффициенты gu, ^12, g22 этого базиса.
218*. Найти косинус, синус и тангенс угла ф от век-
тора a = {xlf j/x} до вектора b = {x2, j/2}, зная метрические
коэффициенты £1Х, £12, g22 базиса ех, е2.
219*. Найти косинус, синус и тангенс угла ф от базис-
ного вектора до вектора а = {х, у}, зная метрические
коэффициенты ^х1, ^12, g22 базиса еь е2.
220. Определить длину вектора а = {7, —8}, если g*xx = 4,
g12 —8, £^2 = 25.
221. Дан вектор а = {7, —8}. Найти вектор b длины 1,
перпендикулярный к вектору а и направленный так, чтобы
пара векторов а, Ь имела положительную ориентацию, если
£и=4, g12=8, fe = 25.
222. Зная длины базисных векторов [ | = 2, | е2 | = 3
и угол между ними <о = у, найти длину вектора { — 4, 6}.
223. Длины базисных векторов аффинной системы коор-
динат | | = 4, | е21 = 2, а угол между ними со —Относи-
тельно этой системы координат заданы вершины треугольника
Д = (1, 3), В —(1, 0), С = (2, 1). Определить длины сторон
АВ и АС этого треугольника и угла А между ними.
224*. Длины базисных векторов аффинной системы коор-
динат: |ех| = 2, | е2 |==}Лз, а угол между ними = Отно-
сительно этой системы координат даны два вектора а = {1, 2},
Ь — {2, 2}. Найти угол от первого вектора до второго.
225*. Относительно аффинной системы координат дан
треугольник АВС с вершинами в точках А = (1, 1), £? = (5, 3),
С = (3, 5), длины сторон которого суть | AZ31 = ]/~52, | АС| =
= 4, [£?С| —]/*28. Определить длины единичных векторов
этой системы координат и угол между ними.
226*. Относительно аффинной системы координат дан
прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках
А — (1, 0), В —(0, 1), С~(3, 2), прямым углом при вершине
С и катетами |СА [ = 2, |С£?| = 3. Определить длины базис-
ных векторов этой аффинной системы и угол между ними.
234 ] § 10. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В АФФИН. КООРДИНАТАХ 37
227*. Относительно аффинной системы координат дан
прямоугольный треугольник АВС с вершинами в точках
А = (1, 0), В = (0, 1), С —(3, 2), прямым углом при вершине
С и катетами | С А | == 2, |С7?| —3. Определить длины сторон
А'В' и А'С треугольника А'В'С и угол А' между ними,
если вершины этого треугольника имеют координаты А' = (1,1),
£' = (2, 2), С' = (2, 4).
228*. Зная длины базисных векторов | | = | е21 = 1 и
угол то между ними, найти:
1) длину вектора а = {х, у};
2) угол а между векторами а = [х1, у^ и Ь = {х2, у?};
3) площадь S ориентированного параллелограмма, пост-
роенного на упорядоченной паре векторов а, Ь;
4) угол а* от вектора а до вектора Ь.
229*. Найти косинусы углов аи^, которые вектор
а = {х, у} образует с базисными векторами, если |#i| =
= |е2| = 1, а угол между векторами elf е2 равен со.
230*. Найти косинус, синус и тангенс угла ф от базис-
ного вектора е± до вектора а — {х, у}, если | ег | = [ е21 = 1,
а угол между векторами е± и е2 равен со.
231*. Базисы elf е2 и е1, е2 называются взаимными, если
(^i, е1) — (е2, е2)=1, (е1} е2) = (е2, е1) = 0. Зная метрические
коэффициенты gllf g12, g22 базиса еь е2, найти:
1) метрические коэффициенты g11, g12, g22 базиса е1, е2,
взаимного с базисом elf е2;
2) координаты векторов е1, е2 в базисе еь е2;
3) длины векторов е1, е2;
4) угол 6 между векторами в1, в2.
232*. Найти скалярное произведение векторов а = {л:1, х2}
и = j/2}, первый из которых задан своими координатами
в базисе elf е2, а второй во взаимном с ним базисе е1, е2.
233*. Зная длины базисных векторов |в1| = |е2| = 1
и угол со между ними, найти:
1) координаты векторов е1, е2 базиса, взаимного с бази-
сом в2,
2) длины векторов е1, е2\
3) угол между векторами е1, е2.
234*. 1) Найти векторы е'ь е2, полученные поворотохм на
угол ф векторов ех и е2 соответственно, зная метрические
коэффициенты glv g12, g22 базиса elf е2-
2) Рассмотреть частный случай ф= +
38
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 235
235*. Найти вектор а', полученный поворотом вектора
а — {х,у} на угол ф, зная метрические коэффициенты gu,
£12> g22 базиса е1У е2.
236*. 1) Найти векторы e'r, е2, полученные поворотом на
угол ф векторов ег и е2 соответственно, если |^i| = |e3 | = 1»
а угол между векторами е1У е2 равен со.
2) Рассмотреть частный случай ф=-|--5-.
2. Скалярное произведение векторов в пространстве;
векторное и смешанное произведение
237*. Выразить через метрические коэффициенты gtj—(ei, ej)
базиса е1У е2, е3 длины базисных векторов, углы ыц=еь ej
между ними и объем V ориентированного параллелепипеда,
построенного на базисных векторах е1У е2, е3.
238. Найти скалярное произведение векторов а = {х\ х2, х3}
и Ь = {у1, у2, j/3j, зная метрические коэффициенты gij = (eiy е,)
базиса е19 е2, е3.
239. Найти длину вектора а = {х1, х2, х3} в базисе
с метрическими коэффициентами gi}-.
240. Найти угол ф между векторами {.г1, х2, х3} и
[у1, j?, у3} в базисе с метрическими коэффициентами gy.
241. Найти косинусы углов а2, ос3, которые вектор
а = {хг, х2, х3} образует с базисными векторами е1У е2, е3,
зная метрические коэффициенты gi}- этого базиса.
242*. Зная метрические коэффициенты gtj базиса е1У е2, е3у
найти объем V параллелепипеда, построенного на векторах
{х1, х2у х3}, {У, у2, у3}, {г1, г2, г3}.
243*. Найти косинусы углов ф15 ф2, ф3, образованных
вектором а={х1) х2, х3} с базисными векторами е19 е2, е3,
если |в1| = |e2| = |e3| = 1, е2У e3 = co23, e3, £?i = co3i, e2 = со12.
244*. Найти объем V ориентированного параллелепипеда,
построенного на ректорах
а — {х1у х2, х3}, b = {y1i у2» j/3}, c = {z1f z2, z3},
если
е2(е3==со23,
245*. Зная углы ВОС = со23, С0А = ызь Л05==со12, обра-
зуемые ребрами параллелепипеда, выходящими из вершины О,
254 ] § 10. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В АФФИН. КООРДИНАТАХ 39
и углы ДО£) = ф1, ВОД = ф2, COD = ф3, образуемые диаго-
налью OD с ребрами ОД, OB, ОС, найти длины ребер ОА,
ОВ, ОС, если длина диагонали OD равна d.
246*. Базисы е19 е2, е3 и е1, е2> е3 называются взаим-
ными, если (в/, = (Z, /=1, 2, 3), т. е.
{1 при i — 7,
0 при i /.
Найти векторы е1, е2, е3 базиса, взаимного с базисом е2, е3.
247*. Найти скалярное произведение векторов, один из
которых задан своими координатами х1, х2, х3 в базисе еь
е2, е3, а другой — координатами ylf у2, у3 в базисе е1, е2, е3,
взаимном с базисом elf е2, е3.
248*. Зная метрические коэффициенты gy базиса elf е2, е3,
найти метрические коэффициенты gU базиса е1, е2, е3, взаим-
ного с базисом е19 е2, е3,
249*. Относительно базиса е19 е2, е3 с метрическими
коэффициентами g^ дан вектор Х = {х1, х2, х3}. Найти коор-
динаты xlf х2, х3 этого вектора в базисе, взаимном с данным.
250*. Длины векторов базиса еь е2, е3 равны 1, а углы
между ними равны Найти длины векторов базиса е1, е2, е3,
взаимного с данным, и углы между ними.
251*. Зная метрические коэффициенты gy базиса ег, е2, е3,
найти координаты векторов этого базиса во взаимном с ним
базисе е1, е2, е3.
252*. Пусть elf е2, е3 и е1, е2, в3— взаимные базисы.
Найти углы 6/ между векторами и е/(7=1, 2, 3), зная
метрические коэффициенты gy базиса е±, е2, е3.
253*. Пусть е19 е2, е3 и е1, е2, е3 — взаимные базисы.
Найти углы между векторами в/ и ez(Z = 1, 2, 3), если
I I = 1 ^21 = 1 [= b е1,е2 = со12, e2,e3 = io23, е3, ^i = w31.
254*. Доказать, что если |в1| = |в2| = |в3|== 1, е2, e3 = ffl23,
^3’^1 = ®31, е2 = (о12, то угол 6 между векторами а и b
определяется из соотношения
1 COS С012 COS С013 COS
COS С021 1 COS С023 cos а2
cosco3l cosco32 1 cosa3
COS COS p2 COS p3 cos 6
40
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 255
где ах, а2, а3 и (32, Р3 —углы векторов а и b с базис-
ными векторами еь еъ соответственно.
255*. Относительно базиса elf е2, е3 даны координаты
векторов а и Ь:а = {х\ х2, х3}, д = {у\ у2, у3}. Найти
координаты zly г2, z3 векторного произведения [а, 6] в ба-
зисе е\ е\ е3, взаимном с базисом elt е2, в3.
§ 11. Барицентрические координаты
Александров, гл. XIV, § 4.
Постников, гл. 2, § 1, п. 6.
7. Барицентрические координаты на прямой
256*. Пусть Zo, Zx — барицентрические координаты точки М
прямой d относительно базисного отрезка ДЛъ т- е- М —
координата точки 714 в системе координат с началом в точ-
ке Ао и базисным вектором АОАХ, a Z0=l — Zx. Доказать,
что если г0, гх, г — радиусы-векторы точек Ао, Ар 7И относи-
тельно полюса О, то г = Zoro + Z2rр Обратно: каковы бы
ни были числа Zo, Zp сумма которых равна 1, Z04-Zx= 1,
точка 714, определяемая радиусом-вектором г = Zoro + Zxrx,
лежит на прямой d и имеет относительно базисного отрезка
АОАХ барицентрические координаты Zo, Zx. Если полюс О
не лежит на прямой d, то Zo, Zx — аффинные координаты
точки 714 в системе координат с началом в точке О и бази-
сом г0, гх.
257*. Пусть Zo, Zx — барицентрические координаты точки 714
относительно базисного отрезка АОАХ. Доказать, что Zo явля-
ется координатой точки 714 в системе координат с началом
в точке Ах и базисным вектором АХАО, a Zx — 1 — Zo.
258*. Доказать, что если Zo, Zx~ барицентрические коор-
динаты точки 714 относительно базисного отрезка АОАЬ то
л 714 Ах л AqA4
Ал = . А1 = ——-4Г
АОАХ АОАХ ‘
259*. Пусть Zo, Zx — барицентрические координаты точки 714
прямой АОАХ относительно базисного отрезка АОАХ. Найти
отношение, в котором точка 714 делит отрезок АОАХ.
263 Г
§ 11. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
41
260. Пусть Хо, Хх — барицентрические координаты точки /14
относительно базисного отрезка ДОАХ. Доказать:
1) для того, чтобы точка /14 лежала внутри базисного
отрезка ДОАХ, необходимо и достаточно, чтобы обе ее бари-
центрические координаты были положительны;
2) для того, чтобы точка /И лежала на продолжении
отрезка АОДХ за точку Ло, необходимо и достаточно, чтобы
было Zo >0, Хх < 0; для того, чтобы точка /И лежала на
продолжении отрезка A0^i за точку Аь необходимой! доста-
точно, чтобы было Хо <0, >* 0;
3) для того, чтобы точка М совпадала с точкой Ло,
необходимо и достаточно, чтобы было Хо=1, Zx —0; для
того, чтобы точка /14 совпадала с точкой Ах, необходимо
и достаточно, чтобы было Хо^О, Хх=1.
261*. Пусть Хо, Zx и р0, — барицентрические коорди-
наты точек Л4Х, М2 прямой АОАХ относительно базисного
отрезка АОАХ. Найти барицентрические координаты точки /14,
делящей направленный отрезок /Их/142 в отношении Л.
2. Барицентрические координаты на плоскости
262*. Пусть Хо, Лх, Z2 — барицентрические координаты
точки /14 плоскости л относительно базисного треугольника
АОАХА2, т- е- ^2 “ аффинные координаты точки /14 в сис-
теме координат с началом в точке Ло и базисными векто-
рами ДОАХ, А0А2, a Ао = 1 — Ах — Х2. Доказать, что если г0,
гь г2> г—радиусы-векторы точек Ао, Alf А2, М относительно
полюса О, то r = Xoro+2ixrx+-Z2r2. Обратно: каковы бы ни
были числа Хо, %х, Х2, сумма которых равна 1, %0Д- Хх + %2 = 1,
точка /14, определяемая радиусом-вектором г — Хого + Ххгх+
+ Z2r2, лежит в плоскости л и относительно базисного тре-
угольника А0Ах:А2 имеет барицентрические координаты Хо, Хх,
Z2. Если полюс О не лежит в плоскости л, то Хо, Хх, Х2—
аффинные координаты точки М в системе координат с нача-
лом О и базисными векторами г0, гх, г2.
263*. Пусть Хо, Хх, Х2 — барицентрические координаты
точки М относительно базисного треугольника A0AxA2*
Доказать, что:
1) Х2, Ло являются аффинными координатами точки /14
в системе координат с началом в точке Ах и базисом ДХД2»
ДхДо’. а Ах = 1 — Zq — Х2;
42
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ: АЛГЕБРА
[ 264
2) Zo, Zx являются аффинными координатами точки /14
в системе координат с началом в точке А2 и базисом А2А0,
A2AX, а Z2 — 1 — Zo — Zx.
264*. Пусть Zo, Zx, ^2 — барицентрические координаты
точки 714 относительно базисного треугольника А0АхАа.
Доказать, что:
1) если Z2 — 0, то Zo и Zx являются барицентрическими
координатами точки 714 на прямой АОАХ с базисным отрез-
ком А0^ъ
2) если Zo — 0, то Zx и Z2 являются барицентрическими
координатами точки 7И на прямой АХА2 с базисным отрез-
ком аха2;
3) если Zx —О, то Zo и Z2 являются барицентрическими
координатами точки 714 на прямой А0А2 с базисным отрез-
ком Д0Д2.
265*. Доказать, что барицентрические координаты Zo, Zx, Z2
точки 714 относительно базисного треугольника Д0АА равны
отношениям площадей ориентированных треугольников 714АХА2,
А0714А2, АОАХ714 к площади ориентированного треугольни-
ка AqAxA2«
266*.. Доказать, что барицентрические координаты Zo, Zx, Z2
точки 714 относительно базисного треугольника А0АхА2 равны
7 (г» г2) а __ (г0, г, г2) а __ (г0, гх, г)
° (Го, rlt Г2) ’ * 1 (Го, Г1, г2) ’ 2 3 (г0, гъ г2) ’
где Го, rlf г2, г — соответственно радиусы-векторы точек Ао,
Ах, А2, 7И относительно полюса, не лежащего в плоскости
базисного треугольника.
267*. Пусть Zo, Zx, Z2 — барицентрические координаты
точки 714 относительно базисного треугольника А0АхА2. До-
казать, что:
1) точка 714 лежит внутри базисного треугольника А0АхА2
тогда и только тогда, когда Zo >0, Zx > 0, Z2 > 0;
2) точки Ао и 714 лежат по разные стороны от прямой АХА2
тогда и Только тогда, когда Zo < 0; точки Ах и 714 лежат
по разные стороны от прямой А0А2 тогда и только тогда,
когда Zx < 0; точки А2 и 714 лежат по разные стороны от
прямой A0At тогда и только тогда, когда Z2 < 0;
3) точка 7И лежит на прямой АОАХ тогда и только тогда,
когда Z3 = 0;
273 ]
§ 11. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
43
4) вершины Ао, Alf А2 базисного треугольника Л0А1А2
имеют соответственно следующие тройки барицентрических
координат: Z0=l, Zj — O, Z2~0; Хо = 0, 1, Z2 —0;
Zo = 0, Zi — 0, Z2 = 1.
268*. Точка M относительно базисного треугольника
Л0Д]Д2 имеет барицентрические координаты Ло, Z2. Найти
отношение, в котором точка Р ’ пересечения прямой А2М
с прямой 71(0! делит направленный отрезок Д0Д1-
269*. Стороны ДхЛ2 и Д2Д0 базисного треугольника
Д0Д^Д2 разделены точками Р и Q в отношениях, соответст-
венно равных К и |л. Найти барицентрические координаты
точки М пересечения прямых Д0Р и Д^.
270*. Относительно аффинной системы координат на
плоскости заданы четыре точки А0(х0> j/0), А^х^ j/J,
Д2(х2, у2), 714 (х, у). Пусть Хо, Х2 — барицентрические
координаты точки М относительно базисного треугольника
АЛ1А- Выразить координаты х и у точки 714 через ее
барицентрические координаты Zo, Л2 и обратно: выразить
Ло, ^2 через х и у.
271*. Относительно аффинной системы координат стороны
треугольника Д0Д1Д2 заданы уравнениями:
Д ох ф- Воу + Со — 0 (А1Д 2),
Дрг + ЗО' + С^О (Д2Д0),
Д2х В2у 4- С2 = О (Д0Д1).
Принимая треугольник Д0ДгД2 за базисный треугольник ба-
рицентрической системы координат, выразить барицентриче-
ские координаты Zo, Х2 точки 714 через ее аффинные
координаты х, у.
272*. Относительно аффинной системы координат даны
четыре точки Д0(х0, у0), А^х^ yj, А2(х2, у2), Д3(х3, у3).
При каком необходимом и достаточном условии эти точки
служат вершинами выпуклого четырехугольника.
273*. Относительно базисного треугольника Д0Д1Д2 заданы
три точки своими барицентрическими координатами:
714О (Zo, Zj, Z2,),
Доказать, что
M2(v0, Vi, Va).
Хо Xi ^2
Ро Pi Рг
Vo vx v2
44
гл. i. Векторная алгебра
[274
где 5 и s — соответственно площади ориентированных тре-
угольников М0М1М2 и Д0Д1Д2-
274*. Относительно базисного треугольника A0ALA2
даны две точки своими барицентрическими координатами:
Л41 (Хо, Z2) и 7142 (р0, [хх, р2). Найти барицентрические коор-
динаты точки 714, делящей направленный отрезок 71417142 в от-
ношении Л.
275*., Принимая треугольник АВС за базисный, найти
барицентрические координаты точки пересечения его медиан.
276*. Зная длины а, Ь, с сторон ВС, СА и АВ треуголь-
ника АВС и принимая этот треугольник за базисный, найти
барицентрические координаты центра О окружности, вписан-
ной в этот треугольник.
277*. Зная внутренние углы А, В, С треугольника АВС,
найти барицентрические координаты Хо, Л2 центра О
описанной вокруг него окружности.
278*. Зная внутренние углы А, В, С треугольника АВС,
найти барицентрический координаты Zo, Л2 точки Нг пере-
сечения его высот, принимая треугольник АВС за базисный.
279*. Доказать, что всякая прямая на плоскости в бари-
центрических координатах определяется однородным уравне-
нием первой степени
4“ #1^1 4“ #2^2 —
причем среди чисел я0, av а2 есть, по крайней мере, два
различных. Обратно: если среди чисел а0, alf а2 есть, по
крайней мере, два различных, то уравнение
^(Ло + а 4~ #2^2 —
является уравнением прямой. Если а0~а1~а2 = а 0, то
уравнению + + aZ2 = 0 или Zo + Z1 + Z2 = O не удов-
летворяют барицентрические координаты ни одной точки
плоскости.
3. Барицентрические координаты в пространстве
28 0*. Пусть Хо, Х2, Х3 — барицентрические координаты
точки 714 относительно базисного тетраэдра ДдД^Дд, т. е.
^1* А2, — аффинные координаты точки М в системе коор-
динат с началом в точке До и базисными векторами AQA±,
2&4 ] § И. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ 45
Ао^2* Л0А3, a Zo~ 1 — Zx — Z2 — Z3. Доказать, что если г0,
гх, ^2, г3, г — радиусы-векторы точек Ао, Ах, А2, А3, М отно-
сительно полюса О, то r = Vo + Vi + ^ + Vs* Обратно:
каковы бы ни были числа Zo, Zx, Z2, Z3, сумма которых
равна 1, Z0 + Zx4-Z2 + ^3= Ь точка 714, определяемая ^радиу-
сом-вектором г = Zoro + Zxrx + Z2r2 + Z3r3, относительно ба-
зисного тетраэдра А0АхА2А3 имеет барицентрические коор-
динаты Zo, Zx, Z2, Z3.
281*. Пусть Zo, Zx, Z2, Z3 — барицентрические координаты
точки 714 относительно базисного тетраэдра AqA^A^ Дока-
зать, что: f
1) Zo, Z2, Z3 являются аффинными координатами точки 7И
в системе координат с началом в точке At и базисом АхХ»
АХА2, АхА3, а Zx= 1 — Zo — Z2 — Z3;
2) Zo, Zx, Z3 являются аффинными координатами точки М
в системе координат с. началом в точке А2 и базисом А2А0>
A2Ai, -^2^з> а Z2 = 1 — Zo — Zx — Z3;
3) Zo, Zx, Z2 являются аффинными координатами точки 714
в системе координат с началом в точке А3 и базисом Д3А0,
А3А1? 713А2, Я Z3 = 1 — Zo — Zx — Z2.
282*. Доказать, что барицентрические координаты Zo, Zx,
Z2, Z3 точки 714 относительно базисного тетраэдра А0АхА2А3
равны отношениям объемов ориентированных тетраэдров
714АХА2А3, АоЛ4А2А3, А0АхЛ4А3, A0^i^2^4 к объему ориенти-
рованного тетраэдра А0^1^2^з-
283*. Доказать, что:
1) если точка 714 с барицентрическими координатами Zo,
Zn Z2, Z3’ принадлежит грани Д0ДхД2 базисного тетраэдра
Д0^1^2^з> т0 Z3 = 0, a Zo, Zx, Z2 являются барицентрическими
координатами точки 714 на плоскости А0ЛхА2 относительно
базисного треугольника А0АхА2;
2) если точка 714 принадлежит ребру АОАХ, то Z2 = Z3 = 0,
a Zo и Zx являются барицентрическими координатами точки 714 на
прямой ДОДХ относительно базисного отрезка A0At.
284*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы: __________
1) точка 714 лежала внутри базисного тетраэдра A0AxA2A3;
2) точки М и Ао лежали по разные стороны от плос-
кости АхА2А3:
46
ГЛ. I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
[ 285
3) точка 714 лежала в плоскости ЛХД2А3;
4) точка 714 лежала на прямой Д2Д3;
5) точка 714 совпадала с вершиной Ло.
285. Относительно базисного тетраэдра заданы
две точки 7И1(Х0, %х, А2, Х3) и 7142(р0, рх, р2, р3) своими
барицентрическими координатами. Найти барицентрические
координаты точки 714, делящей направленный отрезок МгМ2
в отношении k,
286*. Относительно базисного тетраэдра Д0ДхД2Д3 заданы
четыре точки своими барицентрическими координатами:
714О (Хо, Zx, %2, Х3), (р0, рх, р2, р3),
TW2(v0, vx, v2, v3), 7143(т0, тх, т2, т3).
Доказать, что если У —объем ориентированного тетраэдра
МоМ1М2Ма, а v — объем ориентированного тетраэдра
Д0ДхА2А3, то
Хо Xi Х2 Х3
V = v Ио Р1 Р2 Из
v0 vx v2 v3 ’
т0 тх Т2 т3
287*. Относительно аффинной системы координат заданы
четыре точки, не лежащие в одной плоскости: До (х0, у0, г0),
^1 (х1> Уъ ^1), Л (^2, У 2, ^2), Л С^з, Уз> ?з\ Пусть М (х, у, г) —
произвольная точка. Доказать, что если Zo, Лх, 12, ^ — бари-
центрические координаты точки 714 относительно базисного
тетраэдра Л0Д1Д2Д3, то
х = 4~ Ххх х 4~ Х2х2 ^з-^з>
у = XQy0 + ХХ-ух + Х2у2 +
Z = Zq^q 4“ 4“ Ч” ^3~3’
1 X у z 1 Х1 У1 Ч 1 Х2 Уг г2 1 хз Уз гз 1 —- х0 Уо г0 1 X у 2 1 х2 УЗ Z2 1 хз Уз гз *
Ло хо Уо * Х1 Я Ч 1 хг у2 г2 1 хз Уз гз 1 > **1 х0 Уо г0 1 Х1 У1 Ч 1 х2 у2 г2 1 хз Уз гз 1
290 ]
§ 11. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
47
1 — - хо Уо го 1 Xj J’j Zt 1 х у г 1 хз Уз гз 1 1 —- хо Уо го 1 Х1 У! Z! 1 Хз У г г2 1 х у г 1
/v2 хо Уо г0 1 xt _ух гх 1 х2 у2 г2 1 Хз Уз Zg 1 , Аз Х0 го 1 Xi 1 Х2 у2 г2 1 хз Уз г3 1
288*. Относительно аффинной системы координат грани
тетраэдра Д0Д1Д2^з заданы уравнениями:
Дох 4- BGy 4- CqZ Do = 0 (ДхДг^з),
Др; -|- &1У + Ci? 4~ — 0 (^о^2^з),
Д2Л“ 4" В2у 4^ C2z 4- D2 = 0 (Д0Д1Д3),
Д3л* 4- В3у 4- C3z 4" D3 == 0 (До^т^г)*
Принимая тетраэдр Д0ДгД2Д3 за базисный тетраэдр бари-
центрической системы координат, выразить барицентрические
координаты Хо, Х2, Л3 точки М через ее аффинные коор-
динаты х, у, z. . j
289*. Грани тетраэдра А0АгА2А3 заданы уравнениями
Aix + Bty + CiZ + D^O, f = 0, 1, 2, 3.
Составить уравнение плоскости, проходящей через ребро
ДОДХ и делящей объем данного тетраэдра пополам.
290*. Доказать, что если г0, г2, г3 — радиусы-векторы
вершин тетраэдра А0А]А2А3, а % Sp s2, s3 — площади его
граней, противолежащих этим вершинам, то радиус-вектор
центра М сферы, вписанной в этот тетраэдр, определяется
соотношением
/• S0r0 slr 1 4~ $2Г2 ~Н s3r3
so4"S1 + S2 + s3
ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Александров, гл. IV»§ I, пп. 3, 4; § 4, пп. 1,3; гл. XV, §§ I,
пп. 6, 8, 9.
Моденов, гл. III, §§ 21—28; гл. X, §§ 139, 140.
Постников, гл. 2, § 2.
§ 1. Уравнения линий на плоскости
291. Даны две точки А и В, расстояние между которыми
равно 2с. Найти геометрическое место точек, сумма квадра-
тов расстояний которых до точек А и В равна 2а2 при
условии, что а > с.
292. Даны две точки А и В, расстояние между которыми
равно 2с. Найти геометрическое место точек, абсолютная вели-
чина- разности квадратов расстояний которых от точек
А и В равна 4л2.
293. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов
расстояний которых до вершин острых углов равнобедрен-
ного прямоугольного треугольника вдвое больше квадрата
расстояния до вершины прямого угла.
294. Найти геометрическое место точек, сумма квадратов
расстояний которых до трех вершин равностороннего тре-
угольника постоянна при условии, что этому геометрическому
месту принадлежит середина одной из сторон треугольника.
л 295*. Найти геометрическое место точек, сумма квадра-
тов расстояний которых до двух вершин А и В треуголь-
ника АВС равна квадрату расстояния до его третьей вер-
шины С.
296* Найти геометрическое место точек, сумма квадра-
тов расстояний которых до трех вершин треугольника АВС
равна л2.
297*. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до двух противоположных вершин прямоугольника
равна сумме их расстояний до двух других противоположных
вершин его.
308 ]
§ 1. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ
49
298*. Даны две различные точки А и В и положительное
число k =/= 1. Найти геометрическое место точек, отношение
расстояний которых до точек А и В равно k.
299. Даны два отрезка ОА и ОВ, лежащие на одной
прямой и расположенные по разные стороны от точки О, при-
чем | О А | = a, J ОВ | = b и а >> Ь. Найти геометрическое
место точек, из которых отрезки ОА и ОВ видны под рав-
ными углами.
300*. Найти геометрическое место точек, из которых
к двум окружностям можно провести равные касательные.
301. Дана окружность с центром О и радиусом г и то-
чка Л, находящаяся на расстоянии а от точки О. Найти
геометрическое место точек, касательные из которых, про-
веденные к данной окружности, равны отрезкам, соединяю-
щим эти точки с точкой А.
302. Даны две окружности —16 = 0, х2+У2+
Ц- 8х —- 2 = 0. Найти геометрическое место точек, из кото-
рых к этим окружностям можно провести равные касатель-
ные.
303*. Даны две окружности х2-}~у2 — 6х — 27 = 0, х2А~
+_у2 2х — 8 = 0. Найти геометрическое место точек, каса-
тельные из которых, проведенные к большей окружности,
вдвое длиннее касательных к меньшей окружности.
304. Найти геометрическое место точек, для которых
квадрат расстояния до точки пересечения двух взаимно перпен-
дикулярных прямых в 2 у раза больше произведения их рас-
стояний до этих точек.
305. Найти геометрическое место точек, сумма рас-
стояний которых до осей координат постоянна при условии,
что этому геометрическому месту принадлежит точка (2, — 1).
306*. Найти геометрическое место точек, призведение
расстояний которых до двух противоположных сторон квад-
рата равно произведению их расстояний до двух других
противоположных сторон.
307*. Найти геометрическое место точек, сумма рас-
стояний которых до двух параллельных прямых вдвое больше
расстояния до прямой, к ним перпендикулярной.
308*. Дан прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь, причем
aZ>b\ найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до двух противоположных сторон прямоугольника
50
ГЛ. П. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ 309
равна сумме их расстояний до двух других противоположных
сторон.
309. Написать в полярных координатах уравнение прямой,
перпендикулярной к оси Ох и отсекающей на ее положи-
тельном луче отрезок длины а.
310. Написать в полярных координатах уравнение окруж-
ности радиуса а, принимая за начало координат точку О на
окружности, а за положительное направление оси Ох на-
правление проходящего через эту точку диаметра.
311. На каждом радиусе ОА окружности с центром О
и радиусом а откладывают от центра в направлении радиу-
са отрезок ОМ, равный расстоянию от точки А до фиксирован-
ного диаметра ВС. Найти геометрическое место точек 714.
312. Дана точка О и прямая Z, находящаяся от точки О на
расстоянии | О А | = а. Вокруг точки О вращается луч, пе-
ресекающий прямую I в переменной точке Р. На этом
луче от точки О откладывается отрезок ОМ так, что
| ОР | • | ОМ \—Ь2. Найти линию, описываемую точкой 714 при
вращении луча.
313*. В окружности радиуса а проведен диаметр О А.
Вокруг его конца О вращается луч, пересекающий окруж-
ность в переменной точке В. На продолжении хорды ОВ за
точку В откладывается отрезок Д714, равный АВ. Найти
линию, описываемую точкой 714 при вращении луча.
314. Две вершины треугольника закреплены в точках А
и Д, причем I АВ | = с; третья его вершина С перемещается
по окружности радиуса b с центром в точке А. Какую линию
описывает при этом точка D пересечения биссектрисы угла
А со стороной ВС?
* * *
316*. Даны две точки Fr и F2, расстояние между которы-
ми 2с. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до точек Fx и F2 равна 2а при условии, что а > с.
316. Найти геометрическое место точек, делящих в отно-
шении хорды окружности х2-\-у2 = а2, параллельные
оси Оу.
317. Даны две точки: Лх = (— а, 0), Л2 = (а, 0). Найти
геометрическое место точек пересечения прямых, проходящих
через точки Аг и А2) и отсекающих на оси ординат отрезки,
произведение которых равно Ь\
326 ]
§ 1. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ
51
318*. Отрезок постоянной длины скользит своими кон-
цами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Точка 7И
делит этот отрезок на два отрезка, длины которых а,и Ь.
Найти линию, описываемую точкой At при движении отрезка.
319. Дана окружность х2-}-у2 = а2. Во что обратится эта
окружность, если, не меняя абсцисс ее точек, уменьшить их
ординаты в k раз?
320. Даны две окружности с центром в начале координат О
и радиусами а и bt причем а>Ь. Вокруг точки О вращается
луч, пересекающий эти окружности соответственно в точках
А и В. Через точки А и В проводятся прямые, перпендику-
лярные соответственно к осям Ох и Оу и пересекающиеся
в точке М, Найти линию, описываемую точкой М при вра-
щении луча.
321*. Даны две точки Fx и F2, на расстоянии 2с друг от
друга. Найти геометрическое место точек, абсолютная вели-
чина разности расстояний которых до точек Fx и F2 равна 2а
при условии, что с > а.
322*. Даны точка F, прямая d и положительное число
е^1. Найти геометрическое место точек, отношение рас-
стояний которых от точки F к расстоянию до прямой d
равно е.
323*. Найти геометрическое место точек, равноудаленных
от точки F и прямой d, отстоящей от точки F на рас-
стояние р.
324. Даны две точки, Лх = (—а, 0), Л2 = (а, 0), Найти
геометрическое место точек пересечения прямых, отсекающих
на оси ординат отрезки, произведение которых равно —Ь2.
* * *
325. Вокруг точки О вращается луч с постоянной угловой
скоростью со. По этому лучу движется точка /И с постоянной
скоростью v. Составить уравнение линии, описываемой точ-
кой 7И, в полярных координатах, если в начальный момент
движения луч совпадает с положительным направлением оси
абсцисс, а точка М — с началом координат О.
326*. Даны две точки Fx и F2 на расстоянии 2с друг
от друга. Найти уравнение геометрического места точек, про-
изведение расстояний которых до точек Fx и F2 равно с2
принимая за начало координат середину отрезка FXF2, а за ось
абсцисс прямую FXF2. Перейти к соответствующей системе
полярных координат.
52 гл. и уравнения линий и поверхностей [ 327
327. В прямоугольных треугольниках, образованных осями
координат и пересекающими их прямыми, лежащих в первой
и третьей четвертях и имеющих одну и ту же площадь $ >> О,
опускаются перпендикуляры из начала координат на гипоте-
нузу. Найти геометрическое место оснований этих перпенди-
куляров.
328*. На окружности радиуса а взяты две диаметрально
противоположные точки О и К и в точке К к окружности
проведена касательная. Вокруг точки О вращается луч, пере-
секающий окружность и касательную соответственно в точках
А и В. На этом луче от точки О откладывается отрезок ОМ =
— АВ, Написать уравнение линии, описываемой точкой М при
вращении луча, в полярных и прямоугольных координатах,
принимая за начало координат точку О, а за положительное
направление оси Ох направление ОК.
329*. Даны точка О и прямая I на расстоянии а от точки О.
Вокруг точки О вращается луч. Пусть прямая, содержащая
этот луч, пересекает прямую I в переменной точке В. На пря-
мой ОВ от точки В в направлении луча откладывается отре-
зок ВМ, \ВМ\~Ь, Найти уравнение линии, описываемой точ-
кой М при вращении луча, в обобщенных полярных и прямо-
угольных координатах, принимая за начало координат точ-
ку О, а' за положительное направление оси Ох луч ОА, где
А — основание перпендикуляра из точки О на прямую Z.
330*. На окружности взяты две диаметрально противо-
положные точки О и А, причем | О А | = а. Вокруг точки О
вращается луч. Пусть В — переменная точка пересечения прямой,
содержащей этот луч, с окружностью. На прямой ОВ от то-
чки В в направлении луча откладывается отрезок ВМ длины Ь,
Написать в обобщенных полярных и прямоугольных коорди-
натах уравнение линии, описываемой точкой М при вращении
луча, принимая за начало координат точку О и за положи-
тельное направление оси Ох направление ОА,
331. Найти геометрическое место оснований перпендику-
ляров, опущенных из неподвижной точки на касательные
к окружности.
332*. Дана окружность радиуса а и на ней две диамет-
рально противоположные точки О и А, Вокруг точки О вра-
щается луч. Пусть прямая, содержащая этот луч, пересекает
окружность в переменной точке В, На этой прямой от точки В
336 ]
§ 1. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ
53
в направлении луча откладывается отрезок ВМ, равный диа-
метру окружности. Написать в обобщенных полярных и пря-
моугольных координатах уравнение линии, описываемой точ-
кой М при вращении луча, принимая за начало координат
точку О, а за положительное направление оси Ох луч ОА.
333*. Дана точка О и прямая Z. Пусть А — основание пер-
пендикуляра, опущенного из точки О на прямую Z, причем
| О А | = а. Вокруг точки О вращается луч и на прямой, содер-
жащей этот луч, от точки В ее пересечения с прямой Z откла-
дывается отрезок ВМ — АВ, причем точка М берется на про-
должении отрезка ОВ за точку В для всех положений луча
по одну сторону от ОА и на отрезке ОВ для всех положе-
ний луча по другую сторону от О А. Написать уравнение линии,
описываемой точкой М при вращении луча, в обобщенных'
полярных и прямоугольных координатах, принимая за начало
координат точку О, а за положительное направление оси Ох
луч О А.
334. Отрезок постоянной длины 2а скользит своими кон-
цами по двум взаимно перпендикулярным прямым. Найти линию,
описываемую при этом движении отрезка основанием перпен-
дикуляра, опущенного из точки пересечения прямых на отрезок
(в обобщенных полярных и прямоугольных координатах).
* # ❖
335*. Дана окружность с центром О и радиусом а и две
перпендикулярные прямые Ох и Оу. По окружности переме-
щается точка А и из нее опускаются перпендикуляры АВ
на Ох, АС на Оу и AM на ВС. Написать параметрические
уравнения линии, описываемой точкой М при перемещении
точки А по окружности, принимая за параметр угол t, обра-
зуемый лучом О А с осью Ох. Написать уравнение этой
линии в декартовых координатах.
336. На окружности взяты две диаметрально противополож-
ные точки О и К и в точке К к окружности проведена касатель-
ная. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий окружность
и касательную соответственно в точках А и В. Через точку А
проведена прямая, параллельная касательной, а через точку
В — прямая, параллельная диаметру ОК- Написать параметри-
ческие уравнения линии, описываемой точкой М пересечения
этих прямых, принимая за начало координат точку О, за
54
ГЛ. И. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ 337
положительное направление оси Ох направление ОК и за пара-
метр угол ф, образуемый лучом ОА с лучом ОК Написать
полученное уравнение в декартовых координатах.
337*. По оси Ох без скольжения катится окружность
радиуса а. Составить параметрические уравнения линии, опи-
сываемой той точкой М катящейся окружности, которая
в начальный момент находилась в начале координат, прини-
мая за параметр t угол от радиуса СМ окружности, идущего
в точку М, до радиуса СА, идущего в точку А касания.
338*. Круг радиуса г катится по кругу радиуса /?, оста-
ваясь вне его. Найти параметрические уравнения линии, опи-
сываемой точкой катящегося круга, принимая за начало коор-
динат центр неподвижного круга, а за параметр угол t между
положительным направлением оси абсцисс и радиусом непод-
вижного круга, идущим в точку касания обоих кругов.
В начальном положении точка касания кругов лежит на оси
абсцисс.
339*. Круг радиуса г катится по кругу радиуса R, оста-
ваясь внутри него. Написать параметрические уравнения линии,
описываемой точкой катящегося круга. Выбор системы коор-
динат и обозначений такой же, как и в предыдущей задаче.
340. Показать, что:
1) при R~4r гипоциклоида обращается в астроиду;
2) при R — 2r гипоциклоида обращается в диаметр непод-
вижного круга.
3) при R = r эпициклоида обращается в кардиоиду.
341*. По окружности х2-\-у2 — г2 катится прямая, началь-
ное положение которой х = г. Написать параметрические
уравнения линии, описываемой точкой М катящейся прямой,
принимая за параметр угол t, образуемый с осью Ох ради-
усом, идущим в точку касания. В начальный момент движения
точка занимает положение (г, 0).
§ 2. Уравнения поверхностей и линий в пространстве
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
-342. Написать уравнения: 1) плоскостей координат Oyz,
Ozx, Оху; 2) плоскостей, проходящих через точку (а, Ь. с)
и параллельных плоскостям координат Oyz, Ozx, Оху; 3) плос-
костей, делящих пополам двугранные углы между координат-
ными плоскостями Oxz и Oyz.
353]
§ 2. ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
55
343. Написать уравнение плоскости, зная длину р пер-
пендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала коорди-
нат, и углы а, р, у этого перпендикуляра с осями координат.
344. Написать уравнение поверхности шара радиуса R:
1) с центром в начале координат; 2) с центром в точке
(а, Ь, с).
345. Написать уравнение круглого цилиндра радиуса г,
ось которого совпадает с осью Oz.
346. Составить уравнение круглого конуса, основанием
которого служит окружность jc2+j/2=r2, z = 0, а вершина
находится в точке (0, 0, h).
347. Написать уравнение круглого конуса, вершина кото-
рого находится в начале координат, ось совпадает с осью Oz,
а образующая составляет с осью угол <р.
348. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении прямой y — kx + Ъ, z — 0 вокруг оси Ох.
349. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении параболы z — ax2, j/=0 вокруг ее оси.
350. Написать уравнение поверхности, получающейся при
j^2 ч>2
вращении эллипса £ = 0:
1) вокруг его большой оси, 2) вокруг его малой оси.
351. Написать уравнение поверхности, получающейся при
х j^2 у2
вращении гиперболы ——^=1, ^==0: 1) вокруг ее дей-
ствительной оси, 2) вокруг ее мнимой оси.
352. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении параболы у2 — 2рх, z — О вокруг ее оси.
353*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении окружности (х — а)2z2 = b2, a^>b^>0, вокруг
оси Oz.
354*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении линии y=f(x), z — 0 вокруг оси Ох.
355*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении линии F (х, у) = 0 вокруг оси Ох.
356*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении прямой х = а, z = ky вокруг оси Oz.
357*. Написать уравнение поверхности, получающейся при
вращении линии x—f(z), y—g(z) вокруг оси Oz.
358. Пусть М = (х, у, z) — произвольная точка сферы
x2^y2-j-z2~r2; №! — ее проекция на плоскость Оху.
Написать параметрические уравнения сферы, принимая за
56
ГЛ. II. УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ 359
параметры угол и луча ОМ с плоскостью Оху (широта)
и угол v луча ОМ' с положительным направлением оси Ох
(долгота).
359*. Поверхность, получающаяся при вращении окруж-
ности (х — а)2 + ~2 — Ь2 (а > b > 0), у = 0 вокруг оси Oz,
называется тором. Пусть М = (х, у, z) — произвольная точка
тора; С —центр окружности, по которой плоскость, прохо-
дящая через ось Oz и точку 714, пересекает тор; М’— про-
екция точки М на плоскость Оху; и — угол, образованный
лучом СМ с лучом СА, исходящим из точки С и одинаково
направленным с лучом ОС; v — угол луча ОС с положитель-
ным направлением оси Ох. Написать параметрические урав-
нения поверхности тора, принимая за параметры числа и и v.
360*. Дана окружность х2А-у2 = а2> z = 0. Вокруг оси
Oz вращается полуплоскость, пересекающая эту окружность
в переменной точке А. В полуплоскости, проходящей через
ось Oz и точку А, вокруг точки А вращается луч AM так,
что угол v, образуемый лучом AM с продолжением луча ОА
за точку А, остается все время вдвое меньше угла, образован-
ного О А с положительным направлением оси Ох. В начальный
момент движения направления лучей ОА и AM совпадают
с положительным направлением оси Ох. Написать параметри-
ческие уравнения поверхности, описываемой вращающим лучом,
принимая за параметры расстояние и точки М = (х, у, z)
поверхности до точки А и угол v.
361. Центр С окружности радиуса г, плоскость которой
перпендикулярна к оси Oz, перемещается по оси Oz с посто-
янной скоростью v. По этой подвижной окружности равно-
мерно перемещается точка М так, что луч СМ вращается
с постоянной скоростью со. Составить параметрические урав-
нения линии, описываемой точкой 714, при условии, что
в начальный момент движения М = (г, 0, 0) (винтовая линия).
362*. Написать параметрические уравнения линии пересе-
' чения сферы х2 -фу2 + z2 = г2 и круглого цилиндра х2А~У2 —
— гх~0, выбирая в качестве параметра угол ф, образуемый
проекцией радиуса-вектора ОМ произвольной точки 714 линии
на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох
(линия Вивиани).
ГЛАВА 1П
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Составление уравнения прямой
по различным ее заданиям
Александров, гл. V, §§ 1, 3, 4.
Моденов, гл. V, §§ 50 — 58.
Постников, гл. 3, § 1, пп. 1, 2.
363. Написать уравнение прямой:
1) имеющей . угловой коэффициент 3 и отсекающей на
оси ординат отрезок, равный 4;
2) проходящей через точку (2, 3) и имеющей угловой
коэффициент, равный —5;
3) проходящей через точку (3, —2) параллельно оси Оу;
4) проходящей через точку (3, —5) параллельно вектору
{-4> 2}; •
5) проходящей через две точки (2, 3) и (—4 ,—6);
6) отсекающей на осях Ох и Оу отрезки, соответственно
равные 3 и —5. Система координат аффинная.
364. Найти угловой коэффициент k и отрезки а и Ь,
отсекаемые на осях Ох и Оу прямой х + 2_у-|- 1 =0. Система
координат аффинная.
365. Составить параметрические уравнения прямой, прохо-
дящей через точку (3, —2) и параллельной вектору {—2, 3}; напи-
сать общее уравнение этой прямой. Система координат
аффинная.
366. Написать параметрические уравнения прямой, проходя-
щей через точки (хр и (х2, _у2)- Система координат
аффинная.
367. Дан треугольник АВС: А==(—2, 3), В = (4, 1), С —
= (6, —5). Написать уравнение медианы этого треугольника,
проведенной из вершины А. Система координат аффинная.
368. Дан треугольник АВС: А = (4, 4), В = (—6, —1),
С=(—2, —4). Написать уравнение биссектрисы внутреннего
угла треугольника при вершине С. Система координат прямо-
угольная.
58
ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
[ 369
369. Основания равнобочной трапеции равны 10 и 6, а
угол при основании равен Принимая за ось абсцисс боль-
шее основание трапеции, за начало координат его середину,
а за положительное направление оси ординат вектор, иду-
щий из середины большего основания в середину меньшего
основания, написать в этой системе координат уравнения
всех сторон трапеции. Система координат прямоугольная.
370. Через точку (2, — 1) провести прямую, отрезок кото-
рой, заключенный между осями координат, делился бы в
данной точке пополам. Система координат аффинная.
371. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
2х4-5у = 0 и образующей вместе с осями координат тре-
угольник, площадь которого равна 5. Система координат
прямоугольная.
372*. Через точку Л4 = (4, —3) провести прямую так,
чтобы площадь треугольника, образованного этой прямой
и осями координат, была равна 3. Система координат прямо-
угольная.
373. Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точ-
кой К, лежащей на стороне ВС и делящей отрезок ВС
в отношении 2: 3. Вершина В соединена с точкой L стороны CD,
делящей отрезок DC в отношении 3:5. В каком отношении
точка 7И пересечения прямых DK и BL делит направленные
отрезки DK и BL?
374. Даны две прямые y = kxx и у = k2x + b2> Найти
геометрическое место середин отрезков, высекаемых данными
прямыми на прямых, параллельных оси ординат. Система коор-
динат аффинная.
375*. В треугольнике АВС углы А и В при его основании
АВ острые и боковые стороны АС и ВС не равны между
собой. Найти геометрическое место точек пересечения диаго-
налей прямоугольников, вписанных в треугольник так, что две
вершины прямоугольника лежат на основании данного тре-
угольника, а две другие —на его боковых сторонах.
376*. Найти геометрическое место точек пересечения диа-
гоналей параллелограммов, вписанных в данный четырехуголь-
ник так, что стороны этих параллелограммов параллельны
диагоналям четырехугольника.
, 377*. Даны уравнения двух сторон треугольника %х —у = 0,
5х—и уравнение Зх — j/ = 0 одной из его медиан.
382 ]
§ 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ
59
Составить уравнение третьей стороны треугольника, зная, что на
ней лежит точка (3, 9), и найти координаты его вершин. Система
координат аффинная.
378*. Даны уравнения Зх — 2_у -|- 1 = 0, х — -f-1 ™ О
двух сторон треугольника и уравнение 2х — у — 1 =0 медианы,
выходящей из вершины, не лежащей на первой стороне. Соста-
вить уравнение третьей стороны треугольника. Система коор-
динат аффинная.
379*. Дано уравнение х — 2j-|-7 = 0 стороны треуголь-
ника и уравнения х-}-у — 5 = 0, 2х4~у—11=0 медиан,
выходящих из вершин треугольника, лежащих на данной
прямой. Составить уравнения двух других сторон треуголь-
ника. Система координат аффинная.
380*. Стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС разде-
лены точками Р, Q, R в отношениях
2-х, 2-н, 3-v.
PC QA r RB
Пусть А', В', С — точки пересечения пар прямых BQ и CR,
CR и АР. АР и BQ.
1) Найти отношение площади ориентированного треуголь-
ника Af Bf С к площади ориентированного треугольника АВС.
2) Чему равно это отношение в случае X = |i = v = 2?
§ 2. Взаимное расположение двух прямых
на плоскости
Александров, гл. V, § 2.
Моденов, гл. V, § 59.
Постников, гл. 3, § 1, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат
является аффинной.
381. Даны две прямые , Ах + By 4-С = 0; x = x0-]-at,
y=:y0-^bt. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были параллельны;
3) совпадали.
382. Даны две прямые: х==х1-]- art, y=yi-{-b1t; х =
= х2-|-«2/, j/=j/2 + ^- Найти условия, необходимые и доста-
точные для того, чтобы эти прямые: 1) пересекались; 2) были
параллельны; 3) совпадали.
60
ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
[ 383
383. Определить взаимное расположение пар прямых:
1) 2х4-3_у-1=0; 4х4-6д/ —7 = 0;
2) х = 5Д-4/, _у = —2-2/; х=1-2/, y = 7 + t;
3) Зх4-9у + 5 = 0; х = 24~3/, _у = —/.
384. Зная уравнения двух сторон параллелограмма х —
— Зу = 0 и 2х-|-5у + 6 = 0 и одну из его вершин С = (4, —1),
составить уравнения двух других сторон параллелограмма.
385. Даны вершины треугольника: А = (—1, 2), В = (3, —1)
и С=(0, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через
вершину А и параллельной стороне ВС.
386. Через точку 714 = (2, 5) провести прямую, равноуда-
ленную от точек Р — (—1, 2) и Q = (5, 4).
387. Даны середины ^ = (2, 3), М2 = (—1, 2) и 7143 =
— (4, 5) сторон треугольника. Составить уравнения сторон.
388. Составить уравнение прямой, параллельной двум парал-
лельным прямым х+_у—1=0, х +4— 13 = 0 и равноуда-
ленной от них.
389. Составить уравнения прямых, равноудаленных от
трех точек (1, 2), (3, 0), (—4, —5).
390. Доказать: для того, чтобы прямая Ах 4- By 4-С = 0
была параллельна прямой ,/И1ТИ2, проходящей через точки
Л41 = (х19 yj и 7142 = (-^2» У2)’ необходимо и достаточно, чтобы
Axi4~ ^У1 “h С Ах2 4~ Ру 2 4~ С =4= 0.
391. Даны уравнения двух сторон параллелограмма
х — у — 1=0, х — 2д/ — 10 = 0 и точка пересечения его диаго-
налей 7И = (3, — 1). Написать уравнения двух других сторон
параллелограмма.
392. Даны две смежные стороны параллелограмма
Вху 4" Qi= А2х + В2 у 4- С2 = 0
и точка пересечения его диагоналей М — (х0, у0). Написать
уравнения двух других его сторон.
393. * Составить уравнения сторон параллелограмма ABCD,
зная, что его диагонали пересекаются в точке 7И = (1, 6), а
стороны АВ, ВС, CD и DA проходят соответственно через
точки Р = (3, 0), Q = (6, 6), /? = (5, 9), S=(—5, 4).
394. Даны уравнения сторон параллелограмма ABCD',
Зх + 4у—12 = 0 (АВ), 5х— 12д> — 6 = 0 (AD) и середина
£ = (—2, -gj стороны ВС. Найти уравнения двух других сто-
рон параллелограмма.
400 ]
§ 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРЕХ ПРЯМЫХ
61
395. Дано уравнение 3x4-4у--12 = 0 стороны АВ па-
раллелограмма ABCD, уравнение х4~12у—12 = 0 диагонали
(13\ —
—2, стороны ВС. Найти уравнения
сторон ВС, CD и AD.
§ 3. Взаимное расположение трех прямых
на плоскости. Пучок прямых
Александров, гл. V, § 5.
Моденов, гл. V, §§ 60, 61.
Постников, гл. 3, § 1, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа, кроме двух последних,
система координат предполагается аффинной. В задачах 402
и 403 система координат предполагается прямоугольной.
396*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три прямые А±х-\-BiyA-Ci~®> А2хА~В2уА~
Ц-С2 = 0, А3х -|- В3у 4- С3 = 0 образовывали треугольник.
397*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три прямые А^А- + = 0, ^2Х + В2у +
4- С2 = 0, А3х В3у 4- С3 = 0 имели единственную общую
точку.
398. Найти взаимное расположение трех прямых в каждом
из следующих случаев:
1) jc4-2j/4-3 = 0,
2) 2x4-5j~4 = 0,
3) х- у —2 = 0,
4) 2х4-3у- 1=0,
2х4-3у4- 5 = 0,
7x4- j-20 = 0,
Зх 4- бу 4- 4 = о,
4x4-бу 4-5 = 0,
х — у 4- 7 = 0;
3x4- 2у-8 = 0.
6х — 6у4~1“0;
10x4- 15у-7 = 0.
399*. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается
его сторон ВС, С А и АВ соответственно в точках Р, Q и R.
Доказать, что прямые АР, BQ и CR проходят через одну
точку.
400*. Стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС разделены
точками Р, Q, R в отношениях:
BP . CQ AR
-=Г = Л, -=4- = Ц, =tt- = V.
PC QA RB
При каких необходимых и достаточных условиях:
1) прямые АР, BQ и CR проходят через одну точку;
2) прямые АР, BQ и CR параллельны.
62
ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
[ 401
401*. Стороны треугольника заданы уравнениями 4-
4“ Вгу + С1 = 0, А2х В2у 4“ С2 = 0, Л3х Ц-4" — 0.
Написать уравнение его медианы, проведенной из точки пе-
ресечения первой и второй сторон.
402*. Стороны треугольника заданы уравнениями Агх 4-
+ Bi у 4~ Cj = 0, А2х 4- В2у 4“ С2 = 0, Л3х 4" В3 у 4- С3 — о.
Составить уравнение высоты треугольника, опущенной из
точки пересечения первых двух сторон на третью его сторону.
403*. Стороны треугольника заданы уравнениями Агх +
4~ В±у 4~ Ci == 0, Л2х 4" В2у 4~ С2 ~ 0, Л3лг Вгу 4- С3 = 0.
Написать уравнения биссектрис внутреннего угла треугольника,
образованного первой и второй прямыми.
§ 4. Расположение точек относительно прямой
Александров, гл. V, § 6.
Моденов, гл. V, § 62.
Постников, гл. 3, § 1, п. 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается аффинной.
404. Даны две прямые 2х4~3у — 5 = 0, х— у— 1=0
и пять точек Р = (3, 1), Q = (2, 2), Я = (—2, 1), 5=(1, —1),
Т — (4, 0). Обозначая через АМВ тот из четырех углов, обра-
зованных данными прямыми, в котором лежит точка Р,
а через CMD — угол, ему вертикальный, установить, в каких
углах лежат остальные четыре точки.
405. Две параллельные прямые 2х — 5у 4- 6 = 0 и 2х —
— Ъу — 7 = 0 делят плоскость на три области: полосу, заклю-
ченную между этими прямыми, и две области вне этой полосы.
Установить, каким областям принадлежат точки Д = (2, 1),
Р = (3, 2), С=(1, 1), D = (2, 8), £ = (7, 1), Р = (—4, 6).
406. Даны две точки А = (—3, 1) и В — (5, 4) и прямая
х — 2у 4-1 = 0. Установить, пересекает ли данная прямая от-
резок АВ или его продолжение за точку А или за точку В.
407*., Даны две точки M1==(Xi, j/J, М2 = (х2, у2) и.пря-
мая Ах 4- By 4- С = 0, причем Ах± 4- Вуг 4- С у= Ах2 4- Ву2 4~
4- С Ф 0. В каком отношении точка пересечения данной пря-
мой с прямой Л41М2 делит направленный отрезок ТИрИг?
408. Даны четыре точки: А = (5, 3), Р = (1, 2), С = (3, 0),
£) = (2, 4). Установить, принадлежит ли точка /И пересечения
прямых АВ и CD отрезкам АВ и CD или их продолжениям.
417 ] § 5. УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ
63
409*. При каком необходимом и достаточном условии
точка (х0, j/0) лежит между двумя параллельными прямыми
Ax + By + C = 0, Ax + By + D = 0?
,410. Даны три прямые: +Ду4-С —0, Ах4~Ду +
+ D = 0, Ах 4- By + Е— 0. Найти условие, необходимое
и достаточное для того, чтобы вторая прямая лежала в по-
лосе, образованной первой и третьей прямыми.
411*. Дан треугольник АВС: А = (3, 1), В — (—2, 4),
С = (1, 0) и прямая х — 7_у-|- 5 = 0. Установить, пересекает
ли прямая стороны треугольника или их продолжения.
412*. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями
2x-j/4-2 = 0 (АВ), x+j/-4 = 0 (ВС), 2х+у = 0 (СА).
Определить положение точек 7И=(3, 1), N=(7, —6),
Р = (3, 2) относительно данного треугольника.
413*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы точка (х0, yQ) лежала внутри треугольника,
образованного прямыми Агх 4- В±у 4- Сх = 0, А2х 4- В2у 4-
4~С2 = 0, А3х 4* В3у 4“ С3= 0.
414*. Даны пересекающиеся прямые 4~С1 = 0,
А2х Аг В2у С2 — $ и точка Л40 = (х0, у0), не принадлежащая
ни одной из данных прямых. Найти направления сторон того
из четырех углов, образованных данными прямыми, в котором
лежит данная точка М.
415*. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями
Зх-у 4-4 = 0 (АВ), 2x-j>4-1 = 0 (ВС), х-2у = 0 (СА).
Определить положение прямой 2х— у 4- 3 = 0 относительно
данного треугольника.
§ 5. Условие перпендикулярности двух прямых
Александров, гл. V, §§ 7, 9.
Моденов, гл. V, §§ 65, 66,
Постников, гл. 3/ § 1, п. 5.
Во всех задачах этого параграфа система координат яв-
ляется прямоугольной. —
416. Даны вершины треугольника А = (4, 6), В — (—4, 0)
и С = (—1, —4). Составить уравнение высоты, опущенной
из вершины А на сторону ВС.
417. Даны две вершины треугольника А = (—6, 2),
В — (2, —2) и точка 77=(1, 2) пересечений его высот. Вы-
числить координаты третьей вершины С.
64
ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
[ 418
418. Даны две стороны треугольника
jr _f_ Зу — 1 = 0, 3x4-бу —6 = 0
и точка пересечения его высот (0, 0). Найти третью сторону
треугольника. ,
419. Зная вершину Д = (3, —4) треугольника АВС и урав-
нения двух его высот 7х — 2у — 1=0 и 2х — 1у — 6 = 0,
написать уравнение стороны ВС.
420. В треугольнике АВС известны: сторона АВ, задан-
ная уравнением 4хА~у — 12 = 0, высота В/7, заданная урав-
нением 5х — 4у — 15 = 0, и высота АН, заданная уравнением
2x-f-2y — 9 = 0. Найти вершину С этого треугольника.
421. Найти общую вершину М двух равнобедренных
треугольников АМВ и CMD, зная концы их оснований
А = (0, 0), В = (0, 1), С = (—2, 1), £) = (1, 1).
422. Дано уравнение стороны прямоугольника 2х-\-Зу—
— 6 = 0 и точка пересечения его диагоналей (5, 7). Напи-
сать уравнения остальных сторон прямоугольника, зная,
что одна из них проходит через точку (—2, 1).
423. Найти проекцию точки (—5, 6) на прямую
7х — 13у- 105 = 0.
424. Найти точку, симметричную точке М — (—2, 9) от-
носительно прямой 2х — Зу 4- 18 = 0.'
425. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну
из его вершин (1, 7) и уравнения 2х4-3_у — 10 = 0, х — 2у 4-
-]-3 = 0 перпендикуляров, восставленных в серединах сто-
рон, выходящих из этой вершины.
426*. Написать уравнения прямых, проходящих соответ-
ственно через точки (15, 10) и (10, 5), зная, что прямая
х4-2у = 0 делит пополам углы, образуемые искомыми
прямыми.
427*. Вершина треугольника находится в точке (—2, 9),
'а биссектрисами двух его углов служат прямые 2х — Зу 4~
4-18 = 0, -у4~2 — 0. Написать уравнение стороны треуголь-
ника, противолежащей данной вершине.
428*. Написать уравнения сторон равнобедренной трапеции,
зная середины ее оснований (1, 1), (2, 8) и точки (4, —3),
(—15, 14) на ее боковых сторонах.
429*. Дано уравнение стороны ромба х4-3у — 8 = 0
и уравнение его диагонали 2x4-.У 4“ 4 = 0. Написать урав-
нения остальных сторон ромба, зная, что точка (—9, —1)
лежит на стороне, параллельной данной.
437 ]
§ 6. УГЛЫ МЕЖДУ ДВУМЯ' ПРЯМЫМИ
65
§ 6. Углы между двумя прямыми* Угол от одной
прямой до другой
Александров, гл. V, § 9.
Моденов, гл. V, §§ 65, 66.
Постников, гл. 3, § 1, п. 5.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.
430*. Доказать: если три прямые, образующие треуголь-
ник, занумерованы^ числами 1, 2, 3, то три угла —угол от
первой прямой до второй, угол от второй прямой до третьей
и угол от третьей прямой до первой—являются одновремен-
но либо внутренними углами треугольника, либо внешними
его углами.
431*. Найти внутренние углы треугольника, стороны
которого заданы уравнениями Зх— -J-6 = 0, х — _уЦ-4 —0,
X 4- 2у = 0.
432. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая 2x4-3j/ = 0; его вершина находится в точке (2, 6);
тангенс угла при основании равен -% . Написать уравнения
боковых сторон треугольника.
433. Вершина равнобедренного треугольника находится
в точке (—7, 15), а середина его основания в точке (1, 3).
Составить уравнения сторон треугольника, зная, что тангенс
угла при основании равен 4.
434*. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая 2х —5_у +1 = 0, а боковой стороной — прямая 12х —
.—у — 23 = 0. Написать уравнение другой боковой стороны
треугольника, зная, что она проходит через точку (3, 1).
435. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая 2х+Зд/ = 0, а боковой стороной—прямая 5х—12д/==0.
Написать уравнение другой боковой стороны треугольника,
зная, что она проходит через точку (2, 6).
436*. Зная уравнения двух сторон треугольника АВС:
2х + Зу — 6 = 0 {АВ), х + 2у — 5 = 0 (АС) и внутренний угол
при вершине В, равный написать уравнение высоты, опу-
щенной из вершины А на сторону ВС,
437*. Концы основания равнобедренного треугольника
находятся в точках А=(—3, 4), В = {6, —2); тангенс угла
3
при основании равен -%. Найти координаты вершины С, зная,
3 П. С. Моденов, А. С? Пархоменко
66 гл. Ш. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ [ 438
что начало координат и точка С лежат по разные стороны
от прямой АВ.
438*. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая х + = 0, а боковой стороной—прямая х —у 4-6 = 0.
Написать уравнения: 1) прямой, проходящей через точку пере-
сечения двух данных сторон треугольника параллельно третьей
его стороне; 2) высоты, опущенной из точки пересечения дан-
ных сторон на третью сторону треугольника; 3) медианы, про-
веденной из точки пересечения данных сторон.
439*. Даны две прямые: х-]-3_у = 0 и х — _уЦ-8 —0.
Найти третью прямую так, чтобы вторая из данных прямых
была биссектрисой угла между первой из данных прямых
и искомой прямой.
440*. Даны две вершины треугольника АВС\ А = (1, 2),
£ = (3, 4) и тангенсы внутренних углов при этих вершинах
tg А = — у, tg В — у. Найти третью вершину треугольника,
зная, что она лежит по ту же сторону от прямой АВ, что и
начало координат.
441*. Дана вершина С = (—3, 2) треугольника АВС, тан-
1 4
генсы его внутренних углов tgA = y, tgZ? = y и уравне-
ние 2х — у — 2 = 0 стороны АВ. Составить уравнения двух
других сторон треугольника.
442*. Зная уравнение стороны треугольника х + Ту — 6 = 0
и уравнения биссектрис
х + У — 2 = 0, х — Ъу — 6 = 0,
выходящих из концов этой стороны, найти координаты вер-
шины, противолежащей данной стороне.
443*. Даны уравнения сторон треугольника Зх 4-У “ 3 = 0,
3x4-4j/ = 0 и уравнение х— _у4~5 = 0 биссектрисы одного
из внутренних углов этого треугольника. Составить уравне-
ние третьей стороны.
444*. Даны две точки А = (3, 3) и 2? = (0, 2). На прямой
х — 4 = 0 найти точку А1, из которой отрезок АВ виден
л
под углом у.
445*. Даны две пересекающиеся не взаимно перпендику-
лярные прямые A1x + ^i>4-C‘i = 0, А2х 4- В2у 4- С2 ~ 0. До-
казать, что угол между векторами ^—{А^ 2^} и п2 =
= {А2, В2} равен тому из углов между данными прямыми,
внутри которого лежат точки, принадлежащие полуплоскостям,
455 ]
§ 7. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
67
определяемым данными прямыми, для координат точек кото-
рых левые части данных уравнений имеют противоположные
знаки.
Л46*. Найти косинус того угла между двумя прямыми
х4-бу==0, 1 =0, в котором лежит точка (1, 1).
447*. Даны две пересекающиеся не взаимно перпендику-
лярные прямые A1x4-^iJ/ + C'1 = 0, А2х Д- В2у + С2 = 0 и
точка (х0, _Уо)> не принадлежащая ни одной из этих прямых.
Найти косинус того угла хр между данными прямыми, в кото-
ром лежит данная точка.
448*. Три прямые А^А-В^ — А2х4~В2у 4-С2=0,
А3х В3у + С3 = 0 образуют треугольник. Найти косинус
внутреннего угла этого треугольника, образованного первой
и второй прямыми.
‘ 449*. Даны три прямые Агх 4~ У + Q = 0, А2х 4- В2у -f~
4-С2 = 0, А3х + В3у + С3 = 0, проходящие через одну точку.
При каком необходимом и достаточном условии третья пря-
мая проходит в остром угле, образованном двумя первыми?
§ 7. Расстояние от точки до прямой
Александров, гл. V, §§ 7, 8.
Моденов, гл. V, §§ 63, 64.
Постников, гл. 3, § 1, п. 5.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
450. Составить уравнения прямых, параллельных прямой
бх-|-12у— 1=0 и отстоящих от нее на расстояние 5.
451. Найти расстояние между параллельными прямыми
12х- 16у —48 = 0, Зх-4у4-43 = 0.
452. Составить уравнения биссектрис углов между пря-
мыми
х 4- 2д/ = 0, 2х ~ 11у 4- 30 = 0.
453. Найти касательные к окружности с центром (1, 1) и
радиусом 3, параллельные прямой 5х— 12у = 0.
454*. Написать уравнения касательных к окружности
с центром (1, 1) и радиусом 2, проведенных из точки (7, —1).
455*. Найти общие касательные к двум окружностям,
центры которых находятся в точках (1, 1) и (2, 3), а ради-
усы соответственно равны 2 и 4.
3*
68
ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
[ 456
456*. Написать уравнения сторон квадрата, описанного
около окружности с центром (1, 9) и радиусом 5, зная, что
одна из его диагоналей параллельна прямой х — 7у = 0.
457. Основанием равнобедренного треугольника служит
прямая х4-2у4~6=0, а боковой стороной — прямая 2х 4-
4~j/=0. Написать уравнение другой боковой стороны тре-
угольника, зная, что ее расстояние от точки пересечения дан-
ных сторон равно ]/5.
458*. Написать уравнение биссектрисы того угла между
прямыми х4-7у = 0, х — у — 4 = 0, внутри которого лежит
точка (1, 1).
459*. Даны две пересекающиеся прямые А±х + В^у 4- =
= 0, А2х-]-В2у-]-С2~0 и точка (х0, у0), не принадлежа-
щая ни одной из этих прямых. Написать уравнение биссек-
трисы того угла между данными прямыми, в котором лежит
данная точка.
460*. Написать уравнения сторон прямоугольника, зная
уравнения его диагоналей 7х — _у4~4 = 0, x~j-y — 2 = 0
и внутреннюю точку (3, 5) одной из его сторон.
461. Даны Две прямые Зх4-4у—-2 = 0, 5х— 12у — 4 = 0
и точка (1, 1). Внутри угла, образованного данными прямыми
и содержащего данную точку, найти такую точку, чтобы ее
расстояния до данных прямых были равны соответственно 3 и 1.
462*. Доказать, что внутри треугольника, образованного
прямыми 7х4~_У—2 = 0, 5x4” бу —4 = 0, — Яу 4~ б — 0,
существует точка, равноудаленная от первых двух прямых и от-
3 1^2
стоящая от третьей прямой на расстояние —. Найти эту
точку.
463*. Внутри треугольника АВС со сторонами 2х4~_У—
— 22 = 0 (АВ), 2x-j/4-18 = 0 (СВ), Х-2у-6 = 0 (СА)
найти точку, расстояния которой до прямых АВ, ВС и СА
пропорциональны числам 20, 12, 15.
464*., Найти центр и радиус окружности, проходящей
через точку (—1, 3) и касающейся прямых 7х-\-у = 0,
х -у~]-8==0.
465*. Найти центр С и радиус г круга, вписанного в тре-
угольник со сторонами Зх —4у —2 = 0, 4х — Зу — 5 = 0,
5x4-12j/4-27 = 0.
466. Найти центр С и радиус г круга, вписанного в тре-
угольник со сторонами х4->'4’12 = 0, 7х4-д; = 0, 7х —
—3,4.28 = 0.
477 ]
§ 7. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ
69
467*. Составить уравнения биссектрис внутренних углов
треугольника, стороны которого заданы уравнениями
Зх-4у = 0, 4х —Зу = О, 5х4-12у-10 = 0.
468*. Написать уравнение биссектрисы наибольшего из
внутренних углов треугольника со сторонами
Зх —4у —2 = 0, 4х —3j/ —5 = 0. 5x4-12j>4-27 = 0.
469*. Составить уравнение биссектрисы острого угла
между двумя прямыми х — 3j?=0, Зх — j/4~ 5 = 0.
470*. Даны две пересекающиеся не взаимно перпендику-
лярные прямые Лхх4-^1У 4-С1 — 0, -^2*^ 4~ В%у 4~ С2:::= На-
писать уравнение биссектрисы острого угла между ними.
471*. Написать уравнения сторон ромба, зная точку
М =z (1, 6) пересечения его диагоналей и по точке на трех его
сторонах: Р = (3, 0) на стороне АВ, Q = (6, 6) на стороне
ВС, R — (5, 9) на стороне CD.
472*. Составить уравнения сторон квадрата, зная его
центр (1, 6) и по точке на двух непараллельных сторонах:*
(4, 9) на стороне АВ, (—5, 4) на стороне ВС.
473*. Написать уравнения сторон квадрата, зная по точке
на каждой из них: Р = (2, 1) на стороне АВ, Q = (0, 1) на
стороне ВС, R = (3, 5) на стороне CD, S=(—3, —1) на
стороне DA.
474*. Вершины острых углов прямоугольных треугольни-
ков перемещаются по двум параллельным прямым, а вершина
прямого угла —по прямой, к ним перпендикулярной. Какую
линию описывает при этом основание перпендикуляра, опу-
щенного из вершины прямого угла на гипотенузу прямо-
угольного треугольника?
.475*. Найти геометрическое место точек, сумма рассто-
яний которых до катетов СА и СВ равнобедренного прямо-
угольного треугольника АВС равна расстоянию до его гипо-
тенузы АВ.
476*. Дана вершина (3, 5) равнобедренного треугольника,
уравнение х — 2у4-12 = 0 его основания и площадь $=15.
Составить уравнения боковых сторон.
477. Стороны треугольника заданы уравнениями
Л1Х 4" В^у 4- C*i = 0, А 2х 4~ В%у 4~ С2 — о,
Д3х 4~ В^у 4- С3 = 0.
Найти длину высоты треугольника, опущенной на третью
его сторону.
70
ГЛ. III. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
[ 478
§ 8. Метрические задачи на прямую
в аффинных координатах
478*. Найти тангенс угла а от оси Ох до прямой
y~kx-\-b, зная метрические коэффициенты g12, g22
базиса е2.
479*. Найти тангенс угла а от оси Ох до прямой
у — kx-}-b, если |в1| = |е2|=1, е19 е2~со.
480*. Найти тангенс угла <р от прямой y = k1x-}-b1
до прямой у = k2x -J- Ь2, зная метрические коэффициенты gn,
g12, g22 базиса elf е2.
481*. Найти тангенс угла <р от прямой у — ^х-]-^
до прямой y = k2x-\-b2, если | er| = | е21= е2 = т.
482*. Найти необходимое и достаточное условие перпен-
дикулярности двух прямых AjX + Вгу + Сг = 0, А2х ф- В2у ф-
ф-С2 = 0, зная метрические коэффициенты gn, g12, g22 базиса
*1> *2*
483*. Найти необходимое и достаточное условие перпен-
дикулярности двух прямых y — k^xA-b^ V = k2x A~b2) если
|*i1 = 1*2 |=Ъ elf е2 = со.
484*. 1) Найти косинус, синус и тангенс угла <р от пря-
мо^ 4i-^ + ^i_y ф-Сх = 0 до прямой А2х ф- В2у ф- С2 = 0, зная
метрические коэффициенты gu, g12, g22 базиса еь е2.
2) Какой вид примут эти формулы в случае
|*1| = |*2|=Д *i> *2 = &>?
485*. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного
из точки (х0, j/0) на прямую
Ах + Ву + С = 09
если
I *1 | = [ *2 | = b *1> *2 = «-
486*. Зная метрические коэффициенты gfo, g12, g22 базиса
е2, составить уравнения семейства прямых:
1) перпендикулярных к оси Ох;
2) перпендикулярных к оси Оу;
3) рассмотреть частный случай:
|в1| = |е2|=1, ei, е2 = ®.
490 ] § 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ 71
487*. Найти расстояние d от точки (х0, _у0) до прямой
Аг + Ду 4-С = 0, зная метрические коэффициенты gu, g12,
g22 базиса е1У е2.^
488*. Найти расстояние d от точки (х0, у0) до пр'ямой
Ax-j-By + С = 0, если | | = | е2 |= 1, elf е2==со.
489*. Найти расстояние d от точки (2, 1) до прямой
Юхф-ббу — 37 = 0, если £ц = 4, g12 = 8, £22 = 25.
490*. 1) Составить уравнения биссектрис углов между
координатными осями, зная метрические коэффициенты g-u,
£12, &2 базиса е1У е2.
2) Рассмотреть частный случай |ei| = |e2| = l, elf е2 = (о.
ГЛАВА IV
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Составление уравнений прямых и плоскостей
Александров, гл. X, § 1, пп. 1, 5; §4.
Моденов, гл. VI, §§ 68, 69, 71—75, 77, 78, 81.
Постников, гл. 3, § 2, пп. 1, 2; § 3, п. 1.
491. Дана точка А = (1, 2, 3).
1) Составить уравнения плоскостей, проходящих через
точку А и параллельных координатным плоскостям.
2) Составить уравнения прямых, проходящих через точку
А и параллельных осям координат.
3) Составить уравнения плоскостей, проходящих через
точку А и через оси координат.
4) Составить уравнения прямой, проходящей через начало
координат и точку А.
Система координат аффинная.
492. Дана точка А = (1, 2, 3).
1) Составить уравнения перпендикуляров, опущенных из
точки А на координатные плоскости.
2) Написать уравнения перпендикуляров, опущенных из
точки А на оси координат.
3) Написать уравнения плоскостей, проходящих через
точку А и перпендикулярных к осям координат.
Система координат прямоугольная.
493. В пространстве дана прямая ~ = ^ = 5. Найти на-
правляющий вектор этой прямой. Система координат аффинная.
494. 1) Составить уравнения прямой, отсекающей на осях
Ох и Оу отрезки, соответственно равные 2 и 3.
2) Написать уравнение плоскости, проходящей через эту
прямую и параллельной оси Oz, Система координат аффинная.
495. Написать уравнения прямой, лежащей в плоскости
Oyz, параллельной оси Оу и отсекающей на оси Oz отрезок,
равный 3. Система координат аффинная.
505 ] § 1. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
73
496. 1) Написать уравнения плоскостей, проходящих
через ось Oz и Делящих пополам двугранные углы, образо-
ванные координатными плоскостями Oxz и Oyz.
2) Написать уравнения биссектрисы угла между положи-
тельными направлениями осей Ох и Оу.
Система координат прямоугольная.
т-т Х — Хо У—Уо ? —г0
497. Представить прямую —как ли-
нию пересечения плоскостей, параллельных осям Ох и Оу.
Система координат аффинная.
498. Найти ортогональные проекции прямой х^~х°.=
__ У~Уог~2°. на координатные плоскости Oyz, Ozx, Оху.
Система координат прямоугольная.
499. Даны точки пересечения прямой с двумя координат-
ными плоскостями (0, у19 Z]), (х2, 0, z2). Вычислить коорди-
наты точки пересечения этой же прямой с третьей коорди-
натной плоскостью. Система координат аффинная.
500*. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости
у_|_ 2z = 0 и пересекающей прямые х=1— t, y—t, z = 4t
и х = 2 — t, у —422е, z—1. Система координат аффинная.
501*. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку (3, —1, —4), пересекающей ось Оу и коллинеарной
плоскости у-j~ 2z = 0. Система координат аффинная.
502. Составить параметрические уравнения и общее урав-
нение плоскости, проходящей через точку (2, 3, —5) и парал-
лельной векторам {—5, 6, 4} и {2, —1, 0}. Система коор-
динат аффинная.
503. Написать общее уравнение плоскости по ее парамет-
рическим уравнениям x = 2-|~3w — 4v, y = 4 — v, z = 2-]-3ii.
Система координат аффинная.
504*. В плоскости, проходящей через три точки А =
= (2, 1, 3), В —(2, 4, 0), С = (—3, 0, 4), выбрана аффинная
система координат с началом в точке А и базисными векто-
рами АВ и АС. Найти: 1) пространственные координаты
точки М, имеющей в плоскостной системе координаты а = 5,
3; 2) плоскостные координаты и и v точки пересечения
данной плоскости с осью Oz. Система координат аффинная.
505*. В плоскости 2х-|-3_у -4z-\-12 = 0 выбрана аффин-
ная система координат, начало которой находится в точке С
пересечения этой плоскости с осью Oz, а концы базисных
' 74
ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ 506
векторов соответственно в точках А и В пересечения пло-
скости с осями Ох и Оу.
1) Найти пространственные координаты х, у, z точки Е
этой плоскости, плоскостные координаты которой и= 1, v — 1.
2) Написать в плоскостной системе координат уравнения
прямых АВ, ВС и СА.
3) Написать в плоскостной системе координат уравнение
прямой пересечения данной плоскости с плоскостью 5х +
4-3z —8 = 0. Система координат аффинная.
506. В тетраэдр, ограниченный плоскостями координат
и плоскостью 2хД- Зу — 5z+10 = 0, вписан куб так, что
одна из его вершин лежит в начале координат, три ребра,
выходящих из этой вершины, направлены по осям коорди-
нат, а вершина, противоположная началу координат, лежит
в данной плоскости. Определить длину ребра куба. Система
координат прямоугольная.
507. Составить уравнение плоскости, отсекающей на осях
Ох и Оу отрезки, соответственно равные 5 и —7, и прохо-
дящей через точку (1, 1, 2). Система координат аффинная.
508. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку (1, 2, 3), параллельной прямой x~y = z и отсекающей
на осях Ох и Оу равные отрезки. Система координат
аффинная.
509. Найти объем тетраэдра, образованного плоскостями
координат и плоскостью, проходящей через точку (3, 5, —7)
и отсекающей на осях координат равные отрезки. Система
координат прямоугольная.
510. Составить уравнение плоскости, проходящей через
ось Оу и равноудаленной от точек (2, 7, 3) и (—1, 1, 0).
Система координат аффинная.
511. Даны вершины тетраэдра: Д = (2, 1, 0), В = (1, 3, 5),
С = (6, 3, 4), D = (fi, —7, 8). Написать уравнение плоскости,
проходящей через прямую АВ и равноудаленной от вершин С
и D. Система координат аффинная.
512*. Даны четыре вершины тетраэдра: Д = (3, 5, —1),
В = (1, 5, 3), С = (9, —1, 5), D=(5, 3, —3). Написать урав-
нения плоскостей, равноудаленных от всех вершин тетра-
эдра. Система координат аффинная.
513. Составить уравнение плоскости, проходящей через
прямую х = 2 + 3/, у =—z = M и коллинеарной
прямой а; = —1Ц-2/, у = 31, z = — t. Система координат
аффинная.
520 ] § 1. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
75
514. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку (—2, 3, 0) и через прямую х= 1, .> = 2 + /, z — Z — t.
Система координат аффинная.
515*. Даны три прямые:
z х = 3 +1, \ у — — 1+2/, г — 4/;
х = — 2 + 3/, у= — 1, г = 4-/;
х — Зу + z = 0,
х-j-y — ^ + 4 = 0.
Написать уравнения прямой, пересекающей первые две из
данных прямых и параллельной третьей прямой. Система
координат аффинная.
516*. Написать уравнения прямой, проходящей через точку
(1, 2, 3) и пересекающей прямые
х _ у + 1 _ г — 2 ti х __ у + 2 _ г
Т ~ ^2“ ~ “Т~ и Т О ~ 3 •
Система координат аффинная.
517*. Показать, что прямые х—1+2/, у = 2/, z = t
и х=П + 8/, > = 6 + 4/, г = 2 + / пересекаются, и написать
уравнения биссектрисы ^тупого угла между ними. Система
координат прямоугольная.
518. Написать уравнения биссектрисы тупого угла между
прямой
х — 2у— 5 = 0, 1
>-4^+14 = 0 /
и ее ортогональной проекцией на плоскость
х +> +1=0.
Система координат прямоугольная.
519*. Через прямую 2х=у = 2г провести плоскость р
так, чтобы данная прямая была биссектрисой угла, образуе-
мого линиями пересечения плоскости р с плоскостями у=0
и х+у = 0. Система координат прямоугольная.
520. Составить уравнения проекции прямой
х — 2 __ у—1 _ г
Г “ "=2“ “ Т
из точки (1,2,1) на плоскость > —2г + 4 = 0. Система
координат аффинная.
76 ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ [ 521
521. Вершина равнобедренного треугольника находится
в точке (3, 4, 5); концы его основания лежат на осях Ох и
Оу, а плоскость треугольника параллельна оси Oz. Найти
угол при вершине треугольника и написать уравнение его
плоскости. Система координат прямоугольная.
522*. Найти геометрическое место точек, делящих в одном
и том же отношении отрезки с концами на двух скрещиваю-
щихся прямых.
523*. Доказать, что шесть плоскостей, каждая из кото-
рых проходит через ребро тетраэдра ABCD и через сере-
дину противоположного ему ребра, пересекаются в одной
точке.
§ 2. Взаимное расположение двух прямых,
двух плоскостей, прямой и плоскости
Александров, гл. X, § 1, п. 4; §§ 3, 6.
Моденов, гл. VI, §§ 76, 79, 80.
Постников, гл. 3, § 2, п. 3; § 3, п. 2.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается аффинной.
524. Найти условйя, необходимые и достаточные для
того, чтобы плоскость Ах ф By ф Cz -ф D = 0: 1)’была парал-
лельна плоскости Оху; 2) пересекала плоскость Оху; 3) сов-
падала с плоскостью Оху.
525. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы плоскость Ахф By фСгфО — 0: 1) пересекала
ось Oz; 2) была параллельна ей; 3) проходила через ось Oz.
526. Найти условия, необходимые и достаточные для
4 х—х0 у—Уо z —г0
того, чтобы прямая ——= —1) пересекала
плоскость Оху; 2) была параллельна ей; 3) лежала в этой
плоскости. ,
527. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы прямая Ахх ф В±у ф C±z ф D± •= 0; А2х ф В2у ф
фС2гфО2=0: 1) пересекала плоскость Оху; 2) была
параллельна ей; 3) лежала в этой плоскости.
528. Найти условия, необходимые и достаточные для того,
х—х0 у— у0 г — z0
чтобы прямая —= -~ь = —1) скрещивалась
с осью Oz; 2) пересекала ось Oz; 3) была параллельна ей;
4) совпадала с осью Oz.
533 ] § 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
77
529. Найти условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы прямая А}Х + Bry 4- Crz + Dt = 0, А2х 4- В2у 4- С2г +
4-£>2 = 0: 1) скрещивалась с осью Ог; 2) пересекала ось Oz;
3) была ей параллельна; 4) совпадала с осью Oz.
530. Установить, какие из
пересекаются, параллельны или i
1) 2х4-3у4-4г- 12 = 0,
2) Зх — 2у —Зг4~ 5 = 0,
3) 2х — у — z — 3 = 0,
531*. Даны две плоскости
А2х 4- В2у 4" О2г + = 0. С помощью рангов г и R матриц
Mi th
\^42 В2 C2t
следующих пар плоскостей
совпадают:
4-1=0;
9х — бу — 9г — 5 = 0;
10х-5у-5г- 15 = 0.
1 А]Х 4~ В^у 4- О4г 4- = 0,
Ai В, Ci DA
^2 ^2 О2 В2)
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны;
3) совпадали.
532. Установить, какие из
пересекаются, параллельны или
О
2)
Д/ = 2-[-и,
z==3-j~u—v;
х — 1 -j-u-j-v,
У = 2 + и,
z — 3 -\-и — v;
3)
z = 3 и — v;
533*. Даны две плоскости
нениями:
х = Xi 4- zzrzz 4“ а2^>
Z = Zi +с1и t
следующих пар плоскостей
совпадают:
х = 3 + 2zz,
у = 2 — 2м 4*и,
z = 1 + и -j- 3^; t
х — 1 + 4zz,^
у = Зм + V,
<г=4-)-2м-|-2'и;
х =—1 + 2м 4-^,’
y = ll-\-2v,
г=14-3и
своими параметрическими урав-
х = х2 4- а%и 4- а^и, '
У=Уч-\-Ь3и+Ь^ •
z = г2 4- с%и 4- c^v. t
С помощью рангов г и R матриц
Mi
V1
Vi
а2
Ь2
^2
«3
^3
Сз
аА
64
с4/
и
bi
\Ci
а2
/?2
С2
а3 а4
Ьз 64
с3 с4
х2 — х^
У2~У1
г2 — 21;
78
ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ
[ 534
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы данные плоскости: 1) пересекались; 2) были парал-
лельны; 3) совпадали.
534. Установить в каждом из следующих случаев, лежит
ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоско-
сти или пересекает ее; в последнем случае найти точку пере-
сечения прямой и плоскости.
Прямая Плоскость
1) = = Зх + 5у- z —2 = 0;
2) ^=4г = '3’ 3^-3^ + 2г-5 = 0;
= = х + 2у-4г+1=0;
Л \ X 7 У 4 % о I Q ЕГ Г\
4) —-— — -Ц— = —-л—. Зх — у 4- 2 г — 5 — 0.
7 5 1 4 * л 1
535*. Дана плоскость Ах-\-By-\-Cz-\-D — 0 и прямая
x = x0-\-al, У”4о + ^ г = г04~с/. Найти условия, необхо-
димее и достаточные для того, чтобы прямая: 1) Пересекала
данную плоскость; 2) была ей параллельна; 3) лежала в пло-
скости.
536*. Даны плоскость и прямая своими параметрическими
уравнениями:
Х = +
У = Уо+Ь1Ц+Ь2ъ, ►
z = г0 + crti 4- c2v; t
х~х1~\~аз^ y^yr + b^t, z = z1-]-c3t.
С помощью рангов г и R матриц
М
Г1
Vi
а2
^2
^2
°з\
Ьз j
С3/
Ga а3
b% Ь3
С2 сз
хх~х^
У1~~Уз
г1 — 20)
и I
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы прямая: 1) пересекала данную плоскость; 2) была
параллельна плоскости; 3) лежала в плоскости.
537. Установить в каждом из следующих случаев, лежит
ли данная прямая в данной плоскости, параллельна плоско-
сти или пересекает ее; в последнем случае найти точку пере-
сечения прямой и плоскости.
539 ] § 2. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
79
Прямая Плоскость
1) Зх + 5>-7г+16 = 0,| 5х_2_4_0;
2х — _у+ z~ 6 == 0; J
2) 2x + 3>, + fc_ 10 = 0,1 4, + 4г+17 = 0;
Л-+ г+ S—°;!
3) х 4~ 2у -J- 3z 4~ 8 = 0, 1 _
7 1 л 1 . 1 I 2х~ у — 4г — 24 = 0.
5х4-3у+ г — 16=0; /
538*. Дана прямая:
4~ В±у C±z 4~ /?! = 0,
Д2*^ 4“ 4~ + ^2 =
и плоскость
Дз-V + В.у + C3z D — 0.
С помощью рангов г и R матриц
Mi Bi Mi Ci DA
1Л2 B2 C*2 J и IД2 B2 C2 1
£ co to co p <0 co
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы данная прямая: 1) пересекала данную плоскость; 2) была
параллельна плоскости; 3) лежала в плоскости.
539. Установить, какие из следующих пар прямых скре-
щиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если
прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, через
них проходящей; если прямые пересекаются, то написать
уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
1) x=14-2/> X = 6 + "it, 2) X=1 4-2/, x = —2/, 3) x = 2 + «, x = 7 — 6t, 4) x=l +9/, Л = 74-6/, у = 7 Л <2” — 3 4* 4/j 1 y==—\-.‘2t, z = — 24- t-, J y = 2-2t, z = — t',\ у = —5 4- 3f, z — 4; / у — —6^, z == — 1 — 8t; | _y = 24-9^ г=12/; J _y = 24-6/, z = 34-3/; | y = 6 + 4f, ^ = 54-2/. J
80
ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ
[ 540
540*. Даны две прямые:
x-Xi У—Уг z-Zj х — х2 у—у2 г — z2
----= —----—------- и -----= —-— =-------.
bi ct а2 b2 ^2
С помощью рангов г и R матриц
ai йг\ [ai х2—хх
b2 J и 1^1 Ь2 у2—yi
Ci cj \ ci с2 г2—Zi
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы эти прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были
параллельны; 4) совпадали.
541. Установить, какие из следующих пар прямых скре-
щиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если
прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, про-
ходящей через них; если прямые пересекаются, то написать
уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
1) х = Ы, у = &, z =
2х — Зу — Зг — 9 = 0, 1
х-2у + z + 3 = 0; J
2) x~t, у — —8 — 4t, z =—3 — 3/;
^=0, |
2л* — j/+ 2г = 0; J
3) x=3 + *, y = —1 + 2/, г = 4;
x — 3y + z = 0,
x + у — г + 4 = 0;
4) x = — 2 + 3/, y = — 1, г = 4-/;
2y- ^ + 2 = 0,
х-7у + Зг-17 = 0.
542*. Даны две прямые:
X Xq _____у Уо _____ Z Zq
а b с
и
Л1-£ + В±у + Схг + Dr — 0,
+ В2у + C2z + D2 = 0.
544 ] § 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ
81
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы,
эти прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были
параллельны; 4) совпадали.
543. Установить, какие из следующих пар прямых скре-
щиваются, параллельны, пересекаются или совпадают; если
прямые параллельны, то написать уравнение плоскости, про-
ходящей через них; если прямые пересекаются, то написать
уравнение содержащей их плоскости и найти их общую точку.
1) х 4~ г — 1 = 0,1 х-2у + 3 = 0, 1
3x+j/-z+13 = Q; J _у4-2г—8 = 0; J
2)2х + 3у = 0, 1 г-4 = 0,1
х + г —8 = 0;/ 2х 4-Зг - 7 = 0; /
3) х + у + z — 1 = 0, 1 2х 4~ Зу 4~ 6г — 6 = 0, 1
y + 4z =0; J Зх + 4у + 7г =0; /
4) зх_|_ у~ 2г- 6 = 0,1 22х- 9у + 25г - 37 = 0, 1
41х- 19у + 52г — 68 = 0; J 19х - 10у 4-27г - 31 =0. J
544*. Даны две прямые:
AjX -|- В±у -|- C^z D1—-0, | А3х 4- В3у 4“ С3г 4~ D% = 0, 1
А%х 4“ ВъУ 4~ С^г + — 6; J А^х 4~ В&У C^z 4- = 0. j
С помощью рангов г и R матриц
Mi в± Cf \ /Л1 Bi С1
1А2 В2 С2 1 и ( В2 С2 d2\
1 713 В3 с3 Лз В3 с3 D3
М4 в4 Ct. / \а4 Bi Ci Dj
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы прямые: 1) скрещивались; 2) пересекались; 3) были
параллельны; 4) совпадали.
§ 3. Взаимное расположение трех плоскостей.
Пучок плоскостей. Связка плоскостей
А л е к с а н д р о в, гл. X, § 5.
Моденов, гл. VI, §§ 82 — 84.
Постников, гл. 3, § 2, п. 3; гл. 4, § 2, пп. 1, 2.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается аффинной,
82
ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ
[ 545
545. Определить взаимное расположение трех плоскостей
в каждом из следующих случаев:
1) 2х-4у + 5г-21 = 0, х-Зг+18 = 0,
6х + У + г — 30 — 0;
2) х4-2у-Зг = 0, Зх + 6у-9г+10 = 0,
2х + 4у — 6г — 1 = 0;
3) зх_j/ + 2z+ 1 =0, 7х + 2у + г = 0,
1 Ьх + 8у — z — 2 = 0;
4) 5л: — 2д/4~ 4 — 0, Зх4-г-5^0,
8х-2д/ + г + 7 = 0;
5) бх + 2д/+12г-3-:0, 5у-7г~10 = 0,
Зл-+д/ + 6г+12 = 0.
546*. Даны три плоскости:
+ #1У 4” Ci? ~Ь = о,
А2х 4" В%у 4“ О2г 4" Т?2 — 0,
Д3х 4“ ВзУ + C,z 4- D3 = 0.
Пусть г и R — ранги матриц:
Mi В\. Ci\ / ^i Bt Cl ОЛ
Л2 В2 С2 и в^= Л2 В2 с2 ©2 .
Мз в3 са) Из В3 D3)
Найти необходимые и достаточные условия ДЛЯ того, чтобы:
1) три плоскости имели единственную общую точку;
2) три плоскости были попарно различны и имели един-
ственную общую прямую;
3) плоскости попарно пересекались и линия пересечения
каждых двух плоскостей была параллельна третьей плоско-
сти (т. е. чтобы плоскости образовывали «призму»);
4) две плоскости были параллельны, а третья плоскость
их пересекала;
5) три плоскости были попарно параллельны;
6) две плоскости совпадали, а третья их пересекала;
7) две плоскости совпадали, а третья плоскость была им
параллельна;
8) три плоскости совпадали,
555 ]
§ 3. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ
83
547. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку (—3, 1, 0) и через прямую x-]-2y — zA~4 = 0,
Зх—y-^2z — 1=0.
548. Через линию пересечения плоскостей 6х —у + г = 0,
5x-\-3z— 10 = 0 провести плоскость, параллельную оси Ох.
549. Составить уравнение плоскости, проходящей через
линию пересечения двух плоскостей 2х — г = 0, x-j-y — z-j~
, е а « х— 1 у —2 г —3
4~*5 = 0 и параллельной прямой -у— = —р = —•
550. Даны уравнения граней тетраэдра х 4- 2у — 3z — 6 = 0,
2у + 5г — 4 = 0, Зх 4- z 4- 1 = 0, х~у2у = 0. Написать урав-
нение плоскости, проходящей через линию пересечения пер-
вых двух его граней и параллельную линии пересечения
третьей и четвертой грани.
551. Составить уравнение плоскости, проходящей через
линию пересечения плоскостей х + 2у 4- 3z — 4 = 0, 3x4-
4~ г— 5 = 0 и отсекающей на осях Оу и Oz равные отрезки.
552*. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку (2, 3, 1) и пересекающей прямые
х 4- у = о,
х—_y + ^ + 4 = 0
х 4- Зу — 1 = 0,
и
у + z — 2 = 0.
553*. Показать, что три плоскости х-^-2у —-z — 4 = 0,
Зх — 2_у4-3г — 6 = 0, 4у —3z4-3 = 0 образуют призму, и
написать уравнение плоскости, проходящей через линию пере-
сечения первых двух граней призмы и параллельной ее
третьей грани.
554*. При каком необходимом и достаточном условии
четыре плоскости Akx-]-Bky ~]-Ckz-{~ Dk~0, Л = 1, 2, 3, 4,
образуют тетраэдр?
555*. Даны четыре плоскости Акх-]-Bkyy-CkzA-Ok — 0,
Л=1, 2, 3, 4. С помощью рангов г и R матриц
Mi В± Ct\ [Av Вх Ci
I А 2 В2 С2 \ / А 2 В2 С2 \
\ A3 В3 С3 I I А3 В3 С3 D3 I
уДд В^ С±/ \Д< В^ С4
выразить условия, необходимые и достаточные для того,
чтобы эти четыре плоскости принадлежали: 1) одной связке;
2) одной собственной связке; 3) одной несобственной связке.
84
•ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ
[ 556
§ 4. Расположение точек относительно плоскости
Александров, гл. X, § 7.
Моденов, гл. VI, § 85.
Постников, гл. 3, § 2, п. 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается аффинной.
556. Определить положение точек А~ (2, 5, 1), В — (2, 1, 0),
С = (0, 0, 1), D = (0, 1, —9), Е~ (—1, —3, 0) относительно
плоскости 2х 4-2у 4- z + 2 = 0.
557. Даны две плоскости 2х -1- z = 0, Зг —5 —0
и точки Д = (2, 1, 1), £ = (1, 0, 3), С = (0, 0, 1), D =
= (—1, 5, 1), £=(1, 4, —3). Установить, какие из точек В, С,
D и Е лежат в одном двугранном угле с точкой А, какие
в смежных с ним углах и какие в угле, к нему вертикальном.
558. Даны две параллельные плоскости Зх-|-4у + 2г —
— 10 = 0, Зх-|-4_у-|-2г-|-5 = 0 и точки А = (1, 1, 1),
В = (2, 0, 0), С = (5, 6, 1), D — (—4,0, 1). Определить поло-
жение данных точек относительно данных плоскостей.
559. Даны две точки А = (—3, 1, 5) и В — (5, 4, 2) и
плоскость 2х — 4у 14 = 0. Установить, пересекает ли
данная плоскость отрезок АВ, его продолжение за точку А
или за точку В?
560*. Даны две точки Л11 = (х1, уь гх), ТИ2 = (х2, у2, г2)
и плоскость Ах 4- By A~Cz D = 0. Найти условия, необхо-
димые и достаточные для того, чтобы данная плоскость
пересекала: 1) прямую MtM2; 2) отрезок МХМ2 в его внут-
ренней точке; 3) продолжение отрезка М1М2 за точку 7ИХ;
4) продолжение отрезка МгМ2 за точку М2.
561*. Даны две точки 7Их = (хх, ylf гх), ТИ2 = (х2, у2, z2)
и плоскость АхА-Зу 4-Сг 4-^ = 0, причем Ахх4-ДУх4-
4" Ezi 4~ D =£= Ах2 4“ Ву2 4~ Cz2 4- D 0.
В каком отношении точка 714 пересечения прямой Д4Х7И2
с данной плоскостью делит направленный отрезок Л41Л12^
562. Даны две параллельные плоскости Ах4-Ду4~
+ Cz+D = 0, Ax + By+Cz + E = 0 (D^E) и точка
7И = (х0,_у0, zo)- Через точку М проводится произвольная прямая,
пересекающая данные плоскости соответственно в точках Р
TJ « РМ
и Q. Найти отношение '
PQ
570 ] § 5. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
85
563*. При каком необходимом и достаточном условии
точка (х0, j/0> го) лежит между двумя параллельными пло-
скостями Ах-\-Ву -|-Сг + /) = 0, Ax-]-By-[-Cz^E=0.
564*. Найти условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы точка (х0, у0> г0) лежала внутри тетраэдра, образо-
ванного плоскостями
Aix + Biy + CiZ + Di^O, i=l, 2, 3, 4.
565*. Грани тетраэдра заданы уравнениями Atx Bty -\-
+ CizA-Di = $, i=\, 2, 3, 4. Найти условие, необходимое
и достаточное для того, чтобы точка (х0, yQ, z0) и вершина
тетраэдра, противолежащая грани Atx 4~ Bty 4- Ctz 4~ = 0,
лежали по разные стороны от этой грани.
' 566*. Найти направляющие векторы ребер трехгранного
угла, образованного плоскостями
А±х + В±у + C±z + D1 = 0,
А2х В2У 4- с2г 4- d2 ~ о,
Л3а: 4- В3 у 4~ С3г 4~ D3 = 0
и содержащего внутри себя точку (х0, yQ, г0).
§ 5. Перпендикулярность прямых и плоскостей
Александров, гл. V, § 10; гл. X, §§ 8, 9.
Моденов, гл. VI, §§ 88, 89.
Постников, гл. 3, § 2, п. 5; § 3, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.
567. Написать уравнение плоскости, зная, что точка
(2, 6, —4) служит основанием перпендикуляра, опущенного
из начала координат на эту плоскость.
568. Даны две точки: Д = (3,—2, 1), В = (6, 0, 5). Соста-
вить уравнение плоскости, проходящей через точку В и
перпендикулярной к прямой АВ.
569. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точки (1, 2, 3) и (4, 5, 7) и перпендикулярной к плоскости
х — у + 2г-—4 = 0.
570. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной
к плоскости х + Зу + Зг—10 = 0 и проходящей через линию
пересечения данной плоскости с плоскостью Оху.
86 ГЛ. IV, ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ [ 571
571. В пучке, определяемом плоскостями 2х-}-у — Зг 4~
+ 2 = 0 и 5х + бу — 4г + 3 = 0, найти две перпендикулярные
друг к другу плоскости, из которых одна проходит через точку
(4, -3, 1).
572. В пучке, определяемом плоскостями Зх-j-y — 2г —
— 6 = 0 и х — 2у 4- 5г — 1 = 0, найти плоскости, перпендику-
лярные к этим плоскостям.
573. Написать уравнение плоскости, проходящей через пря-
Х~ Хо у — Уо 2 — 20
мую —~ ~ и перпендикулярной к плоскости
Ax + By + Cz + D=^0.
574. Написать параметрические уравнения перпендикуляра,
опущенного из точки (х0, у0, г0) на плоскость Ах 4- By 4~
+ Сг 4-Z) = 0.
575. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку (xlf уь гх) и перпендикулярной к прямой
x = xQ-}-at, у =у0z — г04~сt-
576*. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из
, \ x~xQ у—Ун z~2q
точки (хх, у1} гг) на прямую —
577. Написать уравнения и найти длину d перпендикуляра,
опущенного из точки. (—3, 13, 7) на прямую
х— 1 _ у—2 _ 2—3
3 ~ —4 “ 1 *
578. Найти ортогональную проекцию точки (1, 3, 5) на
прямую 2xA~y-\~z~~ 1 Зх4-^4"2г —3 = 0.
579*’ Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку (хх, уь 2}) и перпендикулярной к прямой
А^х 4“ 4~ === 0, 4- В % у 4~ С2г 4- /92 = 0.
580. Найти ортогональную проекцию точки (1, 2, —3) на
плоскость 6х—_у4"3г —41=0.
581. Найти основание перпендикуляра, опущенного из
/п а х— 1 у —2 Z —3
точки (9, о, 4) на прямую —- = .
582. Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относи-
тельно плоскости 2х — Зу4*5г — 68 = 0.
583. Найти точку, симметричную точке (1, 2, 3) относи-
тельно прямой
х—8 _ у — 11 __ 2—4
"Т" ~з~ — ТТЛ
590 ]
§ 6. УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ и плоскостями
87
584. Составить уравнения проекции прямой х~ 3 4-б£,_у =
= — 1 + t, <? = 4 4--/ на плоскость 2х — 2у 4- 3z — 5 = 0.
585*. 1) Написать уравнения общего перпендикуляра к
двум прямым:
х—1 __у —2 _ 2—3 х—1_ У __z4-l
“8 ~2~~ ~ "=2~ ~ “Г"
и найти расстояние d между этими прямыми;
2) найти точки пересечения общего перпендикуляра
к данным прямым с этими прямыми.
586. Провести через точку пересечения плоскости х 4~
+ 1 = 0 с прямой у=1, 2 4-1 = 0 прямую, лежащую
в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой.
587. Даны три плоскости: 2х 4- Ъу — 42 4* б = 0, 2х — z 4-
4-3 = 0, x-j~y — 2 = 0. Через линию пересечения двух пер-
вых плоскостей провести плоскость так, чтобы линия ее пере-
сечения с третьей плоскостью была перпендикулярна к линии
пересечения первой и второй плоскостей.
588*. Даны две плоскости:
2д:4-Зу4-424-6 = 0, ( (1)
2х — у 4- z —• 6 = 0. (2)
Найти плоскость (3) так, чтобы плоскость (2) делила попо-
лам двугранные углы между плоскостями (1) и (3).
589*. К непересекающимся диагоналям граней куба, имею-
щих общее ребро, провести общий перпендикуляр. В каком
отношении точки пересечения диагоналей с их общим перпенди-
куляром делят эти диагонали?
§ 6. Углы между прямыми и между плоскостями.
Угол между прямой и плоскостью
Александров, гл. V, § 10; гл. X, § 9.
Моденов, гл. VI, §§ 88 — 90.
Постников, гл. 3, § 2, п. 5; § 3, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
590. Через ось Oz провести плоскость, образующую с
плоскостью 2х4-J/ — ]/52 — 7 = 0 угол ~.
88
ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ
[ 591
591. Через точку (1, 2, 3) провести плоскость, перпен-
дикулярную к плоскости 5х — 2у + 5г — 10 = О и образующую
с плоскостью х — 4у — 8г + 12 = 0 угол у.
592. Через линию пересечения плоскостей х + 5у + z — 0
и х — г+ 4 = 0 провести плоскость, образующую угол
с плоскостью х — 4_у —- 8г + 12 = 0.
593. Написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую
л+7 у— 6 _ z
+Г" ~ Т
и образующей угол ™ с. прямой х—_у + г = 0, х^у +
+ 2г_0.
594*. Найти тот угол между плоскостями 8х + 4д/ + г +
+ 1 =0, 2х — 2у + г + 1 =0, в котором лежит точка (1, 1,1).
595*. Найти необходимые и достаточные условия для того,
чтобы точка (х0, j/0, г0) лежала в остром угле, образуемом
двумя пересекающимися и не взаимно перпендикулярными
плоскостями
А^х + Вгу + Cxz + D-± = 0,
А2х “Ь В2у + С2г + Z?2 === 0.
596*. Найти необходимые и достаточные условия для того,
чтобы все три внутренних угла призмы, образованной пло-
скостями
&kx Bky-\-Ckz Dk = Q, k=l, 2, 3,
были острыми.
597. Найти косинусы углов между прямыми
Зх +^у — г + 1 — 0,
Зх—_у + г = 0
х — у + 1 — 0,
2х + 2у-5г+1=0.
ГЛО тт Х У+1 2—1
598. Через прямую у = = “q— провести такую
плоскость, чтобы острый угол между ее линиями пересечения
с плоскостями Oxz и Oyz был равен
599. Найти угол между прямой x-j-y — г = 0, 2х — Зу/+
+ z = 0 и плоскостью Зх + 5у — 4г + 2 == 0,
608 ]
§ 7. РАССТОЯНИЯ
89
600*. Показать, что три плоскости 11x4- 10у + 2г = 0,
Зх4~4у = 0, Юл:11^ + ^ + 6 = 0 образуют призму, и найти
ее внутренний двугранный угол, образованный первой и вто-
рой плоскостями.
601*. Зная направляющие векторы ребер трехгранного
угла {1, —3, 4}, {6, —7, 2}, {2, 5, —36}, найти направляю-
щие косинусы луча, проходящего внутри этого трехгранного
угла и образующего с его гранями равные углы.
602*. Трехгранный угол задан плоскостями х — у — 4г 4-
4- 13 = 0, Зх4~_У — 4г4-7 = 0, Зх —бу— 4г 4-19 = 0 и его
внутренней точкой (1, 3, 5). Найти направляющие косинусы
луча, выходящего из вершины этого трехгранного угла и
образующего с его ребрами равные между собой острые
углы. Установить, проходит ли этот луч внутри или вне трех-
гранного угла.
§ 7. Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между двумя прямыми
Александров, гл. X, §§ 8, 10.
Моденов, гл. VI, §§ 86, 87, 93, 94.
Постников, гл. 3, § 2, п. 5; § 3, п. 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
603. Даны вершины тетраэдра А = (0, 0, 2), 2? = (3, 0, 5),
С = (1, 1, 0) и £) = (4, 1, 2). Вычислить длину высоты, опу-
щенной из вершины D на грань АВС,
604. Составить уравнение плоскости, параллельной пло-
скости 2х4\У — 4г4-5 = 0 и отстоящей от точки (1, 2, 0)
на расстояние ]/21.
605. Написать уравнение плоскости, отсекающей на осях
координат отрезки, пропорциональные числам 1, 2, 3, и от-
стоящей от точки (3, б, 7) на расстояние 4.
606. Найта расстояние d между двумя плоскостями:
Ах4-Ду4-Сг4-П1 = 0, Ал:4-5у4-Сг4-П2 = 0.
607. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоско-
сти Ах 4- By -\-Cz-\- D = 0 и отстоящих от нее на расстояние d,
608. Составить уравнения биссекторных плоскостей дву-
гранных углов между двумя плоскостями:
7х4~_у —6 = 0, Зх +6j/— 4г 4~ 1 — 0.
90
ГЛ. IV. плоскость И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ
[ 609
609*. Составить уравнение биссекторной плоскости того
двугранного угла между двумя плоскостями х — z — 5 = 0,
Зх + бу — 4г + 1 = 0, в котором лежит начало координат.
610*. Написать уравнение биссекторной плоскости ост-
рого двугранного угла, образованного плоскостью 2х — 3_у 4~
+ 6г — 6 = 0 с плоскостью Oyz.
611*. Внутри треугольника, высекаемого на плоскости
Оху плоскостями х^-^у 4-8г 4-8 = 0, x~2y-±-2z’j-2 = 0,
Зх4-4у 4~ 12 = 0, найти точку, равноудаленную от этих пло-
скостей.
612. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр,
огранйченный плоскостями координат и плоскостью
Их—- 10у — 2г —57 = 0.
613*. Доказать, что три плоскости х — 2y^2z-\-3 = 0
2х4-2у 4-г — 6 = 0, 5х 4~ 14у — 2г — 21=0 образуют призму.
Составить уравнения оси круглого цилиндра, вписанного
в эту призму, и найти его радиус г.
614*. Грани тетраэдра заданы уравнениями 8х4~4у +
4-г— 16 = 0, 2х — 2у 4-г 4-5 = 0, x-\-y-]-z-]-6 = 0) 4x4-
4-Зу = 0. Написать уравнение плоскости, делящей пополам
внутренний двугранный угол между первой и второй плоско-
стями.
615*. Найти центр и радиус шара, вписанного в тетраэдр
с вершинами (1, 2, 3), (—2, 8, 9), (5, 0, 7), (3, 4, 2).
616*. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку (1, 0, 0), отстоящей от оси Oz на расстояние и
2
образующей с осью Oz угол arccos-y.
617. Найти расстояние от точки (1, 3, 5) до прямой
2х 4- у 4- г — 1 = 0,
Зх4->4-2г-3 = 0.
618. Найти расстояние от точки (1, 2, 5) до прямой
х x = t, у = 1 — 2t, ~ z = 3 4-t.
619. Написать уравнения и найти длину h высоты тре-
угольника, образованного линиями пересечения плоскости
9x4- 12j/4~ 20г — 60 = 0 с плоскостями координат, проведен-
ной из вершины, лежащей на оси Oz.
631 ] § 8. ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
91
620. Найти расстояние между двумя прямыми:
1)
2)
x = ?>-\-t, у = 1 — t,
и
х = — t, y = 2-}-3t,
х 4- 2у — z + 1 = 0, 1
> и
2х — г — 4 = 0 J
z^2-\-2t
х 4.у 4- z — 9 = 0,
2х — у — z = 0.
621. Найти расстояние между двумя параллельными пря-
мыми:
х—2 у4-1 z х~7 у —1 г —3
3 4 2 И “3“ ~ ~4~ = ~2~•
622. Найти расстояние между диагональю куба и непере-
секающей ее диагональю грани, если ребро куба равно 1.
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости
Постников, гл. 3, § 1, п. 2; § 2, пп. 1, 5; § 3, п. 3.
623. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
7И0 = (г0) и коллинеарной вектору а.
624. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку 7И0 = (г0) и компланарной векторам а и Ь.
625. Составить параметрическое уравнение плоскости,
проходящей через точку 7140 = (г0) и прямую г = гх4-«6 не
содержащую точки 7140.
626. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку 7И0 = (г0) и перпендикулярной к вектору п.
627*. Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку 7И0 = (г0) и перпендикулярной к прямой пересечения
двух плоскостей (г, n^ = Dlf (г, щ) = О2.
628*. Найти точку пересечения прямой г = г04~а/ с пло-
скостью r = r1-\- bu-^-cv.
629*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы две прямые r = rx4-axZ, г = г2 + а2£: 0 скре-
щивались; 2) были компланарны; 3) пересекались; 4) были
параллельны; 5) совпадали.
630*. Найти ортогональную проекцию точки 7И0 = (г0)
на прямую г = гх4-аЛ
631*. Найти точку, симметричную точке Л40 = (г0) отно-
сительно прямой r = r1-\-at.
92
ГЛ. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ
[ 632
632*. Найти ортогональную проекцию точки 7И0==(г0)
на плоскость (г, ri)-\-D = 0.
633*. Найти точку, симметричную точке 7И0 = (г0) отно-
сительно плоскости (г, п)4-£) —0.
634*. Найти ортогональную проекцию точки 7И0 = (г0)
на плоскость r = r±-]-ua-\-vb,
635*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три плоскости (г, 1Ц) 4- Dk = 0, k= 1, 2, 3,
имели единственную общую точку.
636*. Найти радиус-вектор г точки пересечения трех
плоскостей (г, = А=1, 2, 3.
637*. Дана прямая r = r0-\- at и плоскость (г, n)-J-D = 0.
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
прямая: 1) пересекала плоскость; 2) была параллельна ей;
3) лежала в плоскости.
638. Через прямую r = rQ-^-at провести плоскость, пер-
пендикулярную к плоскости (г, п)4-£»=0.
639. Через прямую r = r1-^-a1t провести плоскость, кол-
линеарную прямой г = г2-|-а2/, при условии, что [ах, а2] #= 0.
640*. Написать уравнения общего перпендикуляра к двум
прямым r = r1-Ya1ti r = r2-\-a2t при условии, что [аь а2] =^0.
641*. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного
из точки 7И0 —(г0) на прямую г = r1-\-at.
642*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три плоскости (г, nk)-\-Dk = 0, /г—1, 2, 3,
образовывали призму.
643*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы три плоскости (г, и^) + ^ = 0, k=l, 2, 3,
имели единственную общую прямую.
644*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы четыре плоскости (г, пЛ)-|-£^ = 0, Л—1, 2, 3, 4,
образовывали тетраэдр.
645*. Вершины треугольника М±, М2, М3 находятся
в точках — 7И2 = (г2), Л4з = (гз)- Найти условия, не-
обходимые и достаточные для того, чтобы прямая r = r()-\-at
пересекала плоскость треугольника в его внутренней точке.
646*. Даны две плоскости (г, 0, (г, n2) + Z?2 = 0.
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
эти плоскости: 1) пересекались; 2) были параллельны; 3) сов-
падали.
647*. Найти расстояние от яючки /Ч0 = (г0) до плоскости
(г, n)-|-D = 0.
655 1
§ 9. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
93
648*. Найти расстояние от точки 7И0 = (г0) до прямой
r=r1Jrat.
649*. Найти расстояние d ме'жду двумя прямыми г = 4- я/,
г = г2 + ^2^ при условии, что:
1) а2]=^=0 (прямые скрещиваются или пересекаются);
2) [а*, я2] = 0 (прямые параллельны или совпадают).
650*. Составить уравнения прямой, лежащей в плоскости
(г, ri) + D = 0, пересекающей прямую r — r0-\-at и перпен-
дикулярной к этой прямой, при условии, что (а, п)=А=0.
651*. Доказать, что:
1) уравнение всякой прямой с направляющим вектором а
может быть записано в виде [а, г] = Ь, где (ау Ъ) = 0;
2) уравнение [аУ г] = Ь при условии а=/=0, (а, 6)=0
определяет прямую с направляющим вектором ау проходящую
через точку с радиусом-вектором г0
а]
(а, а)'
§ 9. Метрические задачи на прямую и плоскость
в аффинных координатах
652*. Найти расстояние d от точки (х0У yG) до плоскости
Ах-\-Ву -\-Cz-[-D = 0y зная метрические коэффициенты gy
базиса е1У е2у е3.
653*. Найти углы между двумя плоскостями,
А±х 4~ Вгу —{— C^z = 0,
Д2-^ 4" в2у НН 4" D2=о,
зная метрические коэффициенты g^ базиса е1У е2У е3.
654*. Найти необходимое и достаточное условие перпен-
дикулярности двух плоскостей,
AjAt 4~ В1У 4~ C^z 4“ D± = о,
А2х -|- В%у -j- C2z D2 = 0,
зная метрические коэффициенты базиса е1У е2у е3.
655*. Найти угол ф, образуемый прямой
с плоскостью
= У-Уо = —2р
а b с
Ах 4~ By -|- Cz 4~ D = 0,
зная метрические коэффициенты gtj базиса е1у е2у е3.
94 гл. IV. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ в ПРОСТРАНСТВЕ [ 656
656*. Найти необходимое й достаточное условие перпен-
дикулярности прямой
x—xQ _ V—Уо = г — г0
а Ъ с
и плоскости Ах + + = зная метрические коэф-
фициенты gij базиса е2,
657*. Найти объем v ориентированного тетраэдра ABCD,
заданного своими вершинами:
A = (xi, уь zx), В = (Л'2> у2, га),
• С = (х3, уз, г3), D = (х4, yit z4),
зная метрические коэффициенты gy базиса. elf е2,
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
§ 1. Преобразование аффинных координат на пло-
скости и в пространстве
Александров, гл. III, § 2; гл. VIII, § 1, пп. 1, 2.
Моденов, гл. VII, § 96 — 98.
Постников, гл. 1, § 3, п. 7; гл. 2, § 1, п. 2.
7. Преобразование аффинных координат на плоскости
658. Написать формулы перехода от одной системы
координат к другой, если началом первой системы является
вершина А параллелограмма ABCD, а базисом — векторы AD,
АВ\ началом второй системы является вершина С, а базисом —
векторы СВ, CD.
659. Даны две системы координат: Оху и О'х'у'. Отно-
сительно первой системы начало второй системы находится
в точке О' —(—4, 2), ось О'х' пересекает ось Ох в точке
А = (2, 0), а ось О'у' пересекает ось Оу в точке В—(/д, 8).
Принимая за базисные векторы второй системы векторы
О'А и О'В, выразить координаты произвольной точки отно-
сительно первой системы через ее координаты во второй
системе.
660. Даны две системы координат: Оху и О'х'у'. Коор-
динаты х и у произвольной точки относительно первой
системы выражаются через ее координаты х' и у' относи-
тельно второй системы следующими формулами:
х = 2х'—-5у'-|-3,
у = — х' + 2у' — 2.
Найти координаты начала второй системы и единичных век-
торов ее осей относительно первой системы.
661. Дан параллелограмм ОАСВ. Рассмотрим две системы
координат, принимая за начало обеих систем вершину парал-
лелограмма О, за единичные векторы осей Ох и Оу первой
96
ГЛ. V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ 662
системы соответственно стороны параллелограмма ОА и ОВ,
а за единичные векторы осей Ох' и Оу' второй системы
соответственно векторы ОК и 0L (К и L — середины сторон
АС и ВС). Найти координаты вершин параллелограмма во
второй системе.
662. В треугольнике ОАВ проведены медианы AD и BE,
пересекающиеся в точке О'. Выразить координаты х и у
произвольной точки относительно системы с началом в точке
О и базисными векторами ОА и ОВ через ее координаты х',
у' в системе с началом О' и базисными векторами О'А
и О'В. ___________________________________
663. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше осно-
вания ВС; О —точка пересечения ее боковых сторон, О' —
точка пересечения диагоналей. Выразить координаты х и у
произвольной точки относительно системы с началом в точке
О и базисом ОВ, ОС через ее координаты в системе с нача-
лом О' и базисом О'В, О'С.
664*. Найти формулы перехода от аффинной системы коор-
динат Оху, у которой | | = | е21 = 1, е2 = со, к такой
прямоугольной системе Ох'у', положительными направле-
ниями осей которой являются биссектрисы первого и второго
координатных углов аффинной системы, а длины базисных
векторов также равны 1.
665*. Найти формулы перехода от одной аффинной
системы координат Оху с координатным углом со к другой
аффинной системе координат Ох'у', если одноименные оси
этих систем взаимно перпендикулярны, а разноименные обра-
зуют острые углы, причем | | == | е21 = | | = | е2 | = 1.
666*. Базисы еъ е2 и е\ е2 двух аффинных систем
координат с общим началом связаны соотношениями ek) =
= 6*, т. е. (ер е1) = (е2, е2) = 1, (ер е2) = (е* е1) = 0. Найти
формулы преобразования координат, если
I е1 | = | ^2 |, 2Ь £2 = (0.
667*. Относительно аффинной системы координат даны
уравнения двух пересекающихся прямых Ар;-}- Bty + С’1 = 0,
А2х + В2у + С2 = 0 и точка Е=(х0, у0), не лежащая ни на
одной из этих прямых. Принимая эти прямые соответственно
за ось ординат и за ось абсцисс, а точку В за единичную
674 ] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АФФИННЫХ КООРДИНАТ 97
точку новой системы координат О'х'у', найти выражения
новых координат х', у' произвольной точки через ее старые
координаты х и у.
668*. Написать формулы преобразования координат, при-
нимая за новые оси О'х' и О'у' прямые 2x4-^ — 4 = 0
и х — у 4-2 = 0, а за единичную точку — точку (3, 7).
669. Написать уравнение прямой х— у — 5 = 0 в системе
координат, осями которой служат прямые
2х— у-}-7 = 0 (ось O'j'), x4-j —4 = 0 (ось О'х'),
а единичной точкой — точка (0, 0).
670*. Через точку Р = (—3, —5) провести прямую,
отрезок которой между прямыми 2x4-— 15 = 0,
4х — бу — 12 = 0 в точке Р делился бы пополам.
671*. Дана точка (0, 2) пересечения медиан треугольника
и уравнения двух его сторон 5х —4у4~15 = 0, 4х 4-^ — 9 =
= 0. Найти уравнение третьей стороны.
672*. Даны уравнения 4x4-5j!—0, х —3j' = 0 медиан
треугольника и его вершина (2, — 5). Составить уравнения
сторон треугольника.
2. Преобразование аффинных координат
в пространстве
673. Даны две системы координат Oxyz и O'x'y'z'. По
отношению к первой системе начало второй ” находится
в точке О' —(2, 1, 3), а базисные векторы второй системы
суть ^ = {2, 4, 1}, вз = {0, 4, 4}, ез = {1, 1, 0}.
1) Написать выражения координат точек относительно
первой системы через их координаты во второй системе.
2) Выразить координаты точек относительно второй си-
стемы через их координаты в первой системе.
3) Найти координаты начала О и координаты базисных
векторов е2, е3 первой системы относительно второй.
674. Координаты х, у, z точек в системе Oxyz выража-
ются через координаты х', у', z' в системе O'x'y'z' соот-
ношениями
х =— 2х' — у' — z' — 1,
У~ — у'-г',
z= х'Зу'z 4-1.
1) Выразить координаты х', у', z' через координаты х,у, z,
4 П. С. Моденов, А. С. Пархоменко
98 ГЛ. V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ [ 675
2) Найти координаты начала О' и координаты базисных
векторов, ej, е2, второй системы относительно первой.
3) Найти координаты начала О и координаты базисных
векторов elf е2, е3 первой системы относительно второй.
675. Написать формулы преобразования координат, при-
нимая за начало первой системы вершину параллелепипеда
и за базис •— три ребра, выходящие из этой вершины; за
начало второй системы -- противоположную вершину и за
базис — три ребра, соответственно параллельные и направлен-
ные противоположно векторам первого базиса.
676. Найти координаты вершин тетраэдра ОАВС в систе-
ме координат с началом в вершине О, базисными векторами
которой являются медианы OD, ОВ, OF граней ВОС, СОА,
АОВ.
677. Найти координаты вершин параллелепипеда
ABCDА'В'С'D' в системе координат, началом которой служит
вершина А, а базисными векторами —- направленные отрезки,
соединяющие вершину А с центрами граней ВСС'В', DCC'D',
A'B'C'D'.
678. Найти выражения прямоугольных координат х, у, z
произвольной точки М через ее аффинные координаты х',
у', z', если начала обеих систем совпадают, положительное
направление оси Ох' есть биссектриса угла между положи-
тельными направлениями осей Ох и Оу, положительное
направление оси Оу' — биссектриса угла между положитель-
ными направлениями осей Оу и Oz, ось Oz' перпендику-
лярна к осям Ох' и Оу' и ее положительное направление
выбрано так, чтобы обе системы были одинаково ориенти-
рованы; базисные векторы е\, е2, е3 аффинной системы
таковы, что । е\ | = | | = | е31 == 1.
679. Выразить аффинные координаты х, у, z произволь-
ной точки М через ее прямоугольные координаты х', у',
z', если начала обеих систем совпадают, базисные векторы
аффинной системы имеют длину 1 и углы между ними равны
оси Ох и Ох' обеих систем совпадают, ось Оу' лежит
О
в плоскости Оху и угол между осями Оу и Оу' равен
положительные лучи осей Oz и Oz' лежат по одну сторону
от плоскости Оху.
680*. Даны две системы координат Ох1х2х3 и Ох[х2х3
с общим началом О и одинаковыми по длине базисными век-
683 ] § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
99
торами по всем осям обеих систем. Косинусы углов между
осями первой системы суть соответственно
cos x10x2 = (n12, cos 2. х20х3 = ы23, cos 2 х30хг = ^31.
Косинусы углов между осями первой и второй систем даны
таблицей
Ох\ Ох2 Ох'
Охг «И «12 «13
Ох2 «21 «22 «23
Ох3 «31 «32 «33
Написать формулы, связывающие координаты хь х2, х3
и x'lf x2i х3 одного и того же вектора в обеих системах.
681*. По отношению к аффинной системе координат
Oxyz координатные плоскости новой системы O'x'y'z'
заданы уравнениями
х 4-1 = 0 (O'y'z'),
2х—j = 0 (O'z'x'),
ъ x-]-2y-{-3z — 6 = 0 (О'х'у'),
а единичная точка Е' новой системы имеет в старой системе
координаты 1, 3, 5. Выразить новые координаты произволь-
ной точки 714 через ее старые координаты.
682*. Относительно системы координат Oxyz плоскость
О'х'у' задана уравнением 2x-}-3y~ 6z~y6 = 0, а плоскости
O'y'z' и O'x'z' совпадают соответственно с плоскостями
Oyz и Oxz. Написать выражения новых координат произ-
вольной точки 714 через ее старые координаты, зная, что
точка А в обеих системах имеет одни и те же координаты 2, 4, 6.
§ 2. Преобразование прямоугольных координат
на плоскости и в пространстве
7. Преобразование прямоугольных координат
на плоскости
Александров, гл. VIII, § 3, п. 1.
Моденов, гл. VII, § 99.
683. Написать формулы преобразования прямоугольных
координат, если начало новой системы находится в точке
О’= (—4, 2), угол от положительного направления оси Ох
4*
100
ГЛ. V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[684
до положительного направления оси О' х' равен и обе
о
системы одинаково ориентированы.
684. Написать формулы преобразования прямоуголь-
ных координат, если начало новой системы находится в
точке О' = (—3, —2), угол от оси Ох до оси Ох' равен
/ 4\ .
— arccosf—- -g-l и обе системы имеют противоположную ори-
ен ганию.
685. В системе Оху дана точка (6, — 2); найти ее коор-
динаты в системе О'х'у', получающейся из системы Оху
переносом начала в точку О' = (3, —4) и поворотом на
12
угол — arccoSjg.
686. Даны две прямоугольные системы координат Оху
и О'х'у'. Начало второй системы находится в точке О' =
= (2, 3). За положительное направление оси О'х' принимается
направление вектора О'А, где А = (6, 0) —точка пересечения
осей Ох и О'х'; за положительное направление оси О'у'
принимается направление вектора ОВ, где В—-точка пересе-
чения осей Оу и О'у'. Выразить координаты произвольной
точки относительно первой системы через ее координаты во
второй системе.
687. За начало первой прямоугольной системы координат
Оху принимается вершина О прямоугольного треугольника
АОВ, а за положительные направления осей Ох и Оу — наг
правления катетов О А и ОВ, причем | О A j = 3, | О В 1.
За начало второй системы О' х'у' принимается основание О'
перпендикуляра, опущенного из точки О на гипотенузу АВ,
за положительное направление оси О'х' — направление О'О,
а положительное направление оси О'у' выбирается так,
чтобы обе системы имели одинаковую ориентацию. Выразить
координаты произвольной точки относительно первой системы
через ее координаты во второй системе.
688*. Относительно прямоугольной системы координат
Оху даны две взаимно перпендикулярные прямые:
AjX 4~ В^у Ci—- 0, А^х 4~ В%у 4~ С% = 0.
Принимая эти прямые соответственно за оси О'у' и О'х', а
за положительные направления осей О'х' и О'у' векторы
{Ах, BJ и {А2, В2}, найти выражения новых крординат х',
у' произвольной точки М через ее старые координаты х и у.
691 ] § 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ
101
2. Преобразование прямоугольных координат
в пространстве
Александров, гл. VIII, § 3, п. 2.
Моденов, гл. VII, § 100.
689*. Написать формулы преобразования прямоугольных
координат, если обе системы имеют общее начало, а коси-
нусы углов между осями координат даны таблицей:
699. Даны две прямоугольные системы координат Oxyz
и Ox'y'z' с общим началом О, Ось Ох' второй системы
преходит в первом октанте и образует с осями Ох и Оу
углы, равные ~, ось Оу' лежит в плоскости Оху и обра-
зует с положительным направлением оси Оу острый угол;
ось Oz' направлена так, что обе системы одинаково ориен-
тированы. Выразить координаты х, yf z произвольной точки
относительно первой системы через ее координаты х', у', z'
во второй.
691. Даны две прямоугольные системы координат Oxyz
и O'x'y'z'. Начало второй системы находится в точке О' =
= (2, 1, 2); ось О'х' проходит через точку О, а ось О'у'
пересекает ось Оу в точке А. За положительное направле-
ние оси О'х' принято направление О'О, за положительное
направление оси О 'у' — направление вектора О'А; положи-
тельное направление оси O'z' выбрано так, чтобы обе
системы были одинаково ориентированы. Выразить коорди-
наты х, у, z произвольной точки относительно первой систе-
мы через ее координаты х',у', z' во второй.
102
ГЛ. V. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
[ 692
692. Найти формулы перехода от одной прямоугольной
системы координат Oxyz к другой, Ох'у' z', если
(Ox, Ox') = arccos (Ox, Оу') = arccos f —
(Ох, Ог')<-~, (Оу, Ox') = arccos (—(Оу, Оу')>~,
причем обе системы имеют противоположную ориентацию.
693*. Найти формулы преобразования прямоугольных
координат, если начала обеих систем различны, а концы
соответствующих единичных векторов совпадают.
694*. Даны три плоскости Ахх -ф- Вху -J- Сгг Dr — 0,
А%х -j- В2у 4~ О22^ “j” О2 ==: 0? A3-V -ф- В3у -ф- C3z -ф- = 0, каждые
две из которых перпендикулярны друг к другу. Принимая
эти плоскости за координатные плоскости О'у' z', О' z'x',
О' х'у' новой системы координат, а за положительные направ-
ления осей Ox', Oy'-t Oz' соответственно направления векторов
{Др Вь Сф}, {Д2, В2, С2}, {А3, В3, С3}, найти выражения новых
координат х', у', z' произвольной точки пространства через
ее старые координаты х, у, z.
695*. Относительно прямоугольной системы координат
даны уравнения координатных плоскостей новой системы*
х Д- 2у Д- 5z Д- 1 = 0 (O'y'z'),
2х— y-j-2 =0 (О'z'x'),
ху-2у— г —3 = 0 (О'х'у').
Проверить, что эти плоскости попарно перпендикулярны,
и написать выражения новых прямоугольных координат про-
извольной точки М через ее старые координаты при усло-
вии, что старое начало О имеет в новой системе положи-
тельные координаты.
696*. Относительно прямоугольной системы координат
даны координатные плоскости
x+j' + ^-l=0 (O'y'z’),
2х —у — z 4- 1 ~0 (О' z' х'),
y — z^2 =0 (О'х'у')
новой системы О' х'у' z'. Проверить, что эти плоскости по-
парно перпендикулярны, и написать выражения новых пря-
моугольных координат произвольной точки NI через ее ста-
рые координаты, при условии, что точка, имеющая в старой
системе координаты — 1, —1, — 1, будет в новой системе
иметь положительные координаты.
ГЛАВА VI
ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Окружность
Постников, гл. 4, § 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
697. Составить уравнение окружности с центром в точке
(а, 0). (а=И=0), касающейся оси Оу,
698. Составить уравнение окружности радиуса г, касаю-
щейся осей координат.
699. Составить уравнение окружности, для которой точки
= у^ и М2 = (х2, у2) являются концами ее диаметра.
700. Найти координаты центра С и радиус г каждой из
следующих окружностей:
1) х2+_у2 + х=0;
2) х2+_у2+Зу = 0;
3) х2+у2 + 2х-4у = 0;
4) зх2+ Зу2-6х + 4у- 1=0.
701. Центр окружности находится в точке (я, Ь), а ра-
диус окружности равен г. Составить параметрические урав-
нения этой окружности, принимая за параметр t угол от
положительного направления оси Ох до радиуса СМ, где
М — произвольная точка окружности.
702. Охарактеризовать неравенствами следующие множе-
ства точек:
1) множество всех внутренних точек окружности
(х — а)2 + (у — Ъ)2 = г2;
2) множество всех внешних точек этой окружности;
3) множество всех точек плоскости, лежащих внутри
кольца, образованного окружностями
(х — а)2 + (у — b)2 = rf, (х — а)2 + (у/ — Ь)2= г2.
104
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 703
703. Охарактеризовать геометрически множество точек
плоскости, координаты которых удовлетворяют условиям:
1) (.V-3)2 + 0;-3)2 <8, Х>у-
2) х2 + у2 + х + у У> 0, у >> 2х;
3) х2-\-у2-2х<0,
704*. Дана окружность (х — а)2 Ь)2 = г2 и прямая,
пересекающая эту окружность, но не проходящая через ее
центр. Найти условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы точка (х, у) лежала на большей из двух дуг данной
окружности, на которые ее рассекает данная прямая.
705. При каком необходимом и достаточном условии
уравнение
Ax2 + Ay2 + 2Dx^-2Ey + F = 0
определяет действительную окружность. Предполагая это
условие выполненным, найти центр этой окружности и ее
радиус.
706. Составить уравнение окружности, проходящей через
три точки (х19 j/i), (х2, у2), (аг3, Уз), не лежащие на одной
прямой.
707. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки j'i) и М2 = (х2, у2) и через начало координат
при условии, что прямая не проходит через начало
координат. ___
708*. Найти квадрат длины отрезка М0А касательной,
проведенной из точки M0 = (xQ, yQ), внешней по отношению
к окружности + Д-с = 0, где А —точка ка-
сания.
709. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки (1, 1), (0, 2) и касающейся окружности
(х-5)2 + (у/-5)2=16.
710. Составить уравнение окружности, ‘касающейся оси
Ох в начале координат и касающейся окружности
(лг — 6)2 + (j/ — 13)2^=25.
711. Составить уравнение окружности, проходящей через
точки (Xp V+), (х2, у2), зная, что ее центр лежит на прямой
Ах -р Е>у О = 0.
718 1
§ 1. ОКРУЖНОСТЬ
105
712*. Найти необходимое и достаточное условие того,
что прямая Ах-\- By Ц-С = 0: 1) пересекает окружность
(x-d)2-\-(y — Ь)2 = г2; 2) не пересекает эту окружность;
3) касается этой окружности.
713. Составить уравнение касательной к окружности
(х — а)2-[-(у ~Ь)2=^г2 в точке (х0, j0), лежащей на этой
окружности.
714. Составить уравнения касательных к окружности
(х — я)2 + (.У — #)2 = г2, параллельных прямой
Ах + Ву + С=^0,
715*. Составить уравнение окружности с центром в точке
(х0, _Уо) и пересекающей ортогонально окружность х2Ц-д/2~г2
при условии, что точка (jt0, j>0) лежит вне данной окруж-
ности.
716*. Степенью точки М относительно окружности с цент-
ром С и радиусом г называется число а = \СМ |'2 —г2. Найти
степень точки (х0, у0) относительно окружности, заданной
уравнением х2А-у2А-^ахА-%Ьу-\-с — 0.
717*. Найти геометрическое место точек, для каждой из
которых степени относительно двух неконцентрических окруж-
ностей
х2 J2 а^х i^y f 1=== о,
х2 -|-у* 4- а2х 4- Ь2у 4~ с2 == 0
равны между собой.
718*. 1) Доказать, что геометрическое место точек, сте-
пени которых относительно двух неконцентрических окруж-
ностей равны между собой, есть прямая. Эга прямая называ-
ется радикальной осью двух окружностей.
2) Доказать, что если окружности пересекаются, то их
радикальная ось есть прямая, проходящая через точки пере-
сечения этих двух окружностей; если окружности касаются,
то их радикальной осью является общая касательная к этим
двум окружностям в их общей точке.
3) Если окружности не пересекаются, то их радикальная
ось не пересекается ни с одной из окружностей.
4) Если окружности лежат одна вне другой, то радикаль-
ная ось делит пополам отрезок каждой из четырех общих
касательных к этим двум окружностям, ограниченный точками
касания.
106
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 719
719*. Даны три окружности, центры которых не лежат
на одной прямой. Доказать, что три радикальные оси данных
окружностей, взятых попарно, пересекаются в одной точке.
Эта точка называется радикальным центром трех окружностей.
720. Составить уравнение окружности, центр которой
лежит на прямой х4-2у4~2 = 0 и которая пересекает орто-
гонально каждую из двух окружностей х2-{-у2 — 6х = 0,
х2_^у2_^8х = 0,
721. Составить уравнение окружности, пересекающей
ортогонально три окружности:
х2 +_у2 4- х + 2у == 0,
х24-У4-2х4-2у4~3 = 0,
х2 д- у2 Зх 4- у —1=0.
722. Найти условие, необходимое и достаточное для того,
чтобы две действительные и пересекающиеся окружности
х2 ~Уу2 4- 2алх 4- у 4- сл = 0,
х2 4- у2 4- 2я2аг 4~ ^Ь^У 4~
были ортогональны.
.723. Составить уравнение окружности, проходящей через
точку (1, —2) и точки пересечения прямой х — 7у4"^ = 0
с окружностью х24-д/2 —2х4~4у —20 = 0.
724*. Окружность С задана уравнением х2-\-у2 = г2. Дана
точка 7И0 = (х0, д/0), лежащая вне этой окружности. Из точки
Л40 к окружности проведены две касательные Л107'1 и М0Т2
(Тг и Т2 — точки прикосновения). Составить уравнение пря-
мой Т\Т2.
725*. Составить уравнения касательных к окружности
х2-\-у2 = г2, проведенных к ней из внешней точки (х0, j/0).
726. Дана окружность радиуса г и ее диаметр АВ. В точ-
ке В к данной окружности проведена касательная t. Найти
радиус окружности, которая касается прямой t и проходит
через Д, зная, что центр искомой окружности лежит на дан-
ной окружности.
727*. Дано уравнение семейства окружностей
Ср = х2 4~j/2 — 2р (х — а) = 0, (1)
где а ф 0 — фиксированное число, а р — параметр.
1) Найти все действительные значения параметра р, для
каждого из которых уравнение (1) является уравнением дей-
ствительной окружности; найти ее центр и радиус.
728 ]
§ 1. ОКРУЖНОСТЬ
107
2) Доказать, что все окружности Ср имеют общую ради-
кальную ось, и найти ее уравнение.
3) Доказать, что через каждую точку (х0, _у0) плоскости,
не лежащую на радикальной оси окружностей Ср и отличную
от точек О = (0, 0) и А = (2а, 0), проходит окружность Ср и
притом только одна. Найти для этой окружности значение
параметра р.
4) Доказать, что если ^>2zz, то точка А —(2а, 0) лежит
внутри окружности Ср, а начало координат О — вне ее. Если
же р < 0, то наоборот.
5) Доказать, что степень О' любой точки М = (а, b) ради-
кальной оси относительно любой окружности Ср не зависит
ог р и равна квадрату длины отрезка ОМ — АМ. Какой гео-
метрический смысл этого результата?
6) Доказать, что если или 2^</71<'р2 или p2<tPi<Z®,
то окружность СР1 вложена внутрь окружности СР2.
7) Доказать, что если к любой окружности, проходящей
через точки О и А, в любой ее точке не лежащей на
радикальной оси, провести касательную TP (Р — точка пере-
сечения касательной с осью Ох\ то окружность с центром Р
и радиусом РТ есть окружность Ср. Каков геометрический
смысл этого результата?
8) Доказать, что если 7И —любая точка окружности Ср,
то отношение ) О7И| ’. | AM \ ~k не зависит от М. Найти выра-
жение k через параметр р.
9) Доказать, что любая окружность Ср пересекает ось Ох
в точках D и F, гармонически сопряженных относительно
точек О и А.
10) Во что переходят окружности Ср и окружности, про-
ходящие Нерез точки О и А при инверсии (О, | О А |2).
728*. Пусть nj и &2 —левые части уравнений неконцент-
рических окружностей:
«I = (X — aj2 + Су - ^)2 - rj = о,
w2=(Л- — а2)2 4- (у — 62)2 — = 0.
1) Доказать, что уравнение + A2?z2 — 0, где М и %2 —
числа, не равные нулю одновременно, определяет окружность,
если 4-Х2#=0, и прямую, если Хх + Х2 = 0. Уравнение
—0 называется уравнением пучка окружностей,
определяемого двумя данными окружностями и± = 0, гг2 = 0.
108
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
( 729
2) Найти центр С окружности пучка Ц-Л2гг2 == О
(Хх -|- Х2 0)-
3) Доказать, что центры всех окружностей пучка лежат
на одной прямой.
4) Найти уравнение прямой Z, входящей в пучок окруж-
ностей Л ±и! + Л2И2 = 0.
5) Доказать, что прямая Z, принадлежащая пучку A1zz1 4-
+ X2w2“0> является радикальной осью двух любых окруж-
ностей этого пучка.
6) Доказать, что если две окружности пучка пересекаются
в точках А и В, то любая окружность пучка проходит
через точки А и В, и обратно: любая окружность, проходя-
щая через точки А и В, принадлежит этому пучку. Такой
пучок называется эллиптическим, а точки А и В называются
базисными точками эллиптического пучка.
7) Доказать, что если две окружности пучка касаются
в точке А, то любые две окружности пучка касаются друг
друга в этой точке. Такой пучок называется параболическим.
8) Доказать, что если две окружности пучка не пере-
секаются, то не пересекаются и никакие две окружности
пучка. Такой пучок называется гиперболическим.
9) Доказать, что пучок окружностей является эллипти-
ческим тогда и только тогда, когда он не содержит ни одной
нулевой окружности.
Пучок является параболическим тогда и только тогда, когда
он содержит только одну нулевую окружность.
Пучок окружностей является гиперболическим тогда и
только тогда, когда он содержит две нулевые окружности.
Нулевые окружности гиперболического пучка называются его
предельными точками или точками Понселе.
§ 2. Эллипс, гипербола, парабола *)
Александров, гл. VI; гл. VIII, § 1, п. 3.
Моденов, гл. VIII, §§ 102-109, 112-117, 120-122, 125.
Постников, гл. 5, § 1.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
729. Составить уравнение линии второго порядка, оси
которой совпадают с осями координат, зная, что она про-
ходит через точки (2, 2), (3, 1).
*) См. также задачи 315—324.
740 ]
§ 2. ЭЛЛИПС, ГИПЕРБОЛА, ПАРАБОЛА
109
730. Написать уравнение эллипса, описанного около рав-
ностороннего треугольника, две вершины которого находятся
в точках (а, 0) и (— а, 0) и совпадают с вершинами эллипса,
принадлежащими одной оси.
731. Написать уравнение гиперболы, проходящей через
точку (1, 2), асимптотами которой служат прямые
У^±-2-х.
732. Доказать, что длина отрезка, соединяющего центр
эллипса с произвольной его точкой, заключена между длинами
полуосей этого эллипса.
733*. Доказать, что если О А и ОВ — отрезки взаимно
перпендикулярных прямых, соединяющих центр эллипса О
л о 1 1
с двумя его точками А и Ь, то д_ есть величина по-
? | ОА |2 | ОВ |2
стоянная.
734. Найти длину стороны равностороннего треугольника,
вписанного в параболу у2 — 2рх так, что одна из вершин
треугольника совпадает с вершиной параболы.
735. Написать уравнение эллипса, пересекающего ось Ох
в точках (1, 0) и (9, 0) и касающегося оси Оу в точке (0, 3),
зная, что его оси параллельны осям координат.
736. Написать уравнение эллипса, оси которого парал-
лельны осям координат, касающегося осей Ох и Оу соответ-
ственно в точках (5, 0) и (0, 3).
737. Составить уравнение параболы, зная, что вершина
ее имеет координаты (а, Ь), параметр равен р и направление
оси симметрии совпадает: 1) с положительным направлением
оси Ох; 2) с отрицательным направлением оси Ох; 3) с по-
ложительным направлением оси Оу; 4) с отрицательным на-
правлением оси Оу,
738. Написать уравнение гиперболы, проходящей через
точку (1, 0), асимптотами которой являются прямые х = 0,
_v=l.
739*. Написать уравнение равносторонней гиперболы, для
которой ось Ох служит асимптотой, а точка (1, 1) — вершиной.
740. Вычислить длины сторон равнобедренного треуголь-
ника АВС, вписанного в равностороннюю гиперболу с полу-
осями, равными а, зная, что вершина А совпадает с вершиной
л 2л
гиперболы и что угол при этой вершине равен -у-.
по
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 741
741. Написать уравнение эллипса с вершинами (0, 6) и
(О, —2), зная, что на оси Ох этот эллипс высекает хорду
длины 6.
742. Написать уравнение линии второго порядка, для ко-
торой ось Ох является осью симметрии, ось Оу—касатель-
ной в вершине, зная, что линия проходит через две точки
(2, 3) и (6, —3).
743. Доказать, что произведение расстояний любой точки
гиперболы до двух асимптот одно и то же для всех точек
гиперболы.
744*. Найти геометрическое место центров окружностей,
отсекающих на осях Ох и Оу хорды, соответственно равные
2а и 2Ь.
745*. Две противоположные вершины параллелограмма на-
ходятся на гиперболе, а стороны параллелограмма парал-
лельны асимптотам гиперболы. Доказать, что прямая, соеди-
няющая две другие противоположные вершины параллело-
грамма, проходит через центр гиперболы.
746*. Найти наибольший радиус круга, лежащего внутри
параболы у2 = 2рх и касающегося параболы в ее вершине.
747*. Доказать, что четыре точки пересечения двух пара-
бол, оси которых взаимно перпендикулярны, лежат на одной
окружности.
748*. Через фиксированную точку Ло оси параболы про-
водятся всевозможные хорды. Доказать, что произведение
расстояний от концов хорды до оси параболы не зависит
от направления хорды.
749. Написать уравнение параболы, вершина которой на-
ходится в точке (2, 6), а ось параллельна оси Оу, зная,
что на оси Ох эта парабола высекает хорду длины 6.
750. Написать уравнение равносторонней гиперболы, одна
из вершин которой находится в точке (2, 2), действительная
ось параллельна оси Оу при условии, что на оси Ох гипер-
бола высекает хорду длины 8.
751*. Написать уравнение эллипса, для которого прямые
1 — 0 и х—_у4-1 = 0 суть соответственно большая
и малая оси и длины полуосей которого а = 2, Ь=Л.
752*. Написать уравнение параболы, осью которой слу-
жит прямая х-Д 1 = 0 и которая проходит через точки
(0, 0), (0, 1).
753*. Написать уравнение гиперболы, зная ее ось
2х—_у 4“ 2 = 0, асимптоту у = 0 и точку (1, 1).
764 J § 3. ФОКУСЫ И ДИРЕКТРИСЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
111
754*. Написать уравнение гиперболы, зная, что ее асимп-
тоты параллельны осям координат и что гипербола проходит
через точки (0, 0), (2, 1), (1, 2).
755. Найти геометрическое место точек, произведение
расстояний которых до двух противоположных сторон пря-
моугольника равно произведению их расстояний до двух дру-
гих противоположных сторон его.
756*. Найти геометрическое место оснований перпенди-
куляров, опущенных из центра эллипса на его хорды, соеди-
няющие концы перпендикулярных диаметров.
757*. Найти геометрическое место вершин равнобедрен-
ных треугольников, боковые стороны которых проходят че-
рез фиксированные точки Р и Q, а основания параллельны
фиксирванной прямой d при условии, что прямые PQ и d
не параллельны.
758. Доказать, что если две линии второго порядка, оси
которых параллельны, пересекаются в четырех действитель-
ных точках, то эти точки лежат на одной окружности.
§ 3. Фокусы и директрисы линий второго порядка.
Уравнение линии второго порядка
в полярных координатах
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
1. Фокусы, директрисы, эксцентриситет
759. Найти фокусы Fb F2 и соответствующие им дирек-
трисы следующих линий:
^Т + Сб^1: 2) ^-2У + 8 = О; 3)^ = 4^.-
760. Найти фокус и директрису параболы
Зх2+ 12Л7-Д- 16у--12 = 0.
761. Найти фокус F и директрису d параболы j/ = 6zx2.
762. Найти фокусы и директрисы равносторонней гипер-
болы 2ху = й2.
763. Написагь уравнения эллипса и гиперболы с фоку-
сами (7, 0) и ( — 7, 0), проходящих через точку ( — 2, 12).
764. Написать уравнение линии второго порядка, зная ее
фокус (2, 0), соответствующую ему директрису х--8 и
112
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 765
эксцентриситет Найти второй фокус и вторую директ-
рису линии.
765. Написать уравнение линии второго порядка, фокус
которой находится в точке (2, 0), соответствующая ему дирек-
триса имеет ура внение х = 5, зная, что линия проходит через
точку (10, 6). Найти второй фокус и вторую директрису
этой линии.
766. Написать уравнение линии второго порядка, фокус
которой находится в точке (2, 0), соответствующая ему
директриса имеет уравнение х = 6> зная, что линия прохо-
дит через точку ( — 4, Я),
767. Найти длину хорды линии второго порядка, прохо-
дящей через ее фокус и перпендикулярной к фокальной оси:
1) эллипса —— 1, ау>Ь\
J а2 1 ^2 ’
2) гиперболы 1;
3) параболы у2 = 2рх.
768. Найти отношение, в котором центр линии второго
порядка делит отрезок ее фокальной оси, заключенный между
фокусом и соответствующей директрисой.
769. Вычислить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
770. Пусть две гиперболы имеют общие асимптоты. Дока-
зать, что:
1) если эти гиперболы лежат в одной и той же паре
вертикальных углов, образованных их асимптотами, то их
эксцентриситеты равны между собой;
2) если эти гиперболы лежат в разных парах вертикаль-
ных углов, образованных их асимптотами, то произведение
их эксцентриситетов больше или равно 2, причем это про-
изведение равно 2 только для равносторонних гипербол.
771. Определить эксцентриситет эллипса, если расстояние
между фокусами есть среднее арифметическое длин осей.
772. Найти эксцентриситет эллипса, зная, что стороны
вписанного в него квадрата проходят через фокусы эллипса.
773. Найти эксцентриситет эллипса, зная, что в него
можно вписать равносторонний треугольник, одна из вершин
которого совпадает с вершиной эллипса, принадлежащей
фокальной оси, а противолежащая ей сторона проходит через
фокус эллипса.
783 ] § 3. ФОКУСЫ И ДИРЕКТРИСЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
113
774. Зная эксцентриситет е эллипса, найти эксцентриситет е'
гиперболы, имеющей с этим эллипсом общие фоказьные
хорды, т. е. хорды, проходящие через фокусы и перпенди-
кулярные к фокальной оси.
775. Дан эллипс + Написать уравнение гипер-
болы, имеющей с этим эллипсом общие фокальные хорды.
776. Дана равносторонняя гипербола х2 — у2 = а2. Напи-
сать уравнение эллипса, имеющего с этой гиперболой общие
фокальные хорды.
777. Дана парабола у2~с1рх, Написать уравнение пара-
болы с параметром р', имеющей общий фокус с данной пара-
болой, при условии, что оси обеих парабол имеют противо-
положные направления.
3
778. Дана парабола j = у х2.* Написать уравнение дру-
гой параболы, имеющей с данной параболой общую фокаль-
ную хорду, т. е. хорду, проходящую через фокус параболы
и перпендикулярную к ее оси.
779. 1) Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы
х2 у2________________________.
а2 — Р ”
заключенного между ее центром и директрисой.
2) Найти расстояние от фокуса этой гиперболы до ее
асимптоты.
3) Доказать, что основание перпендикуляра, опущенного
из фокуса гиперболы на ее асимптоту, лежит на директрисе,
соответствующей этому фокусу.
780. Доказать, что расстояние от любой точки Л4 ги-
перболы до фокуса F равно отрезку прямой, проходящей че-
рез эту точку параллельно асимптоте, заключенному между
точкой М и директрисой, соответствующей фокусу F.
781. Написать уравнение гиперболы, зная четыре точки
(± 4; ± 2) пересечения ее директрис и асимптот.
782. Написать уравнение линии второго порядка, центр
которой находится в точке (1, 0), а одной из директрис служит
прямая х = 2, зная, что линия проходит через точку (5, 6).
783*. Написать уравнение гиперболы, зная ее фокус
(—2, 0), уравнение х — 7 директрисы, соответствующей дру-
4- 4
тому фокусу, и угол между асимптотами arctgy, содержа-
щий фокус гиперболы»
114
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 784
784*. Написать уравнение линии второго порядка, вер-
шина которой находится в начале координат, ближайший
к ней фокус в точке (2, 0), а одна из директрис кривой пе-
ресекает ее фокальную ось в точке (12, 0).
785*. Написать уравнение равносторонней гиперболы,
зная ее фокус (1, 1) и асимптоту х-}~у = 0.
786. Написать уравнение равносторонней гиперболы, зная
ее фокус (2, 0) и асимптоту х=1.
787*. Составить уравнение эллипса, фокусы которого
имеют координаты (1, 0), (0, 1) и большая ось равна 2.
788*. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой
имеют координаты (1, 0) и (0, 1) и асимптоты параллельны
осям координат.
789*. Найти радиус наибольшей окружности, лежащей
внутри линии второго порядка и касающейся этой линии в ее
вершине, принадлежащей фокальной оси.
790. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых от данной точки и данной прямой одна и та же для
всех точек этого геометрического места.
791. Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся данной окружности и непересекающей ее прямой.
792. Найти геометрическое место центров окружностей,
касающихся двух окружностей:
х2_|_у _р2х-3 = 0,
x2+j/2- 1 Ох-39 = 0.
793. Найти геометрическое место центров окружностей,
проходящих через точку (4, 0) и касающихся окружности
х2+У + 8х-84 = 0.
794*. Две вершины треугольника закреплены в фокусах
гиперболы, а третья перемещается по ее ветви. Какие линии
описывают точки касания окружности, вписанной в этот тре-
угольник, с его сторонами?
795*. Две вершины треугольника закреплены в фокусах
гиперболЪт, а третья перемещается по ее ветви. Какую линию
описывает при этом центр окружности, вписанной в тре-
угольник?
796. Составить уравнение гиперболы, зная один из ее
фокусов (— 2, 2) и асимптоты 2х — у ф- 1 ~ 0, х ф- с2у — 7 = 0.
805 ] § 4. ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
115
2. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы
в полярных координатах
797. Составить уравнение гиперболы в полярных коор-
динатах, если дано ее каноническое уравнение 144"~25=^
798. Составить каноническое уравнение гиперболы, если
9
дано ее уравнение в полярных координатах р = 4 Z.~5cos <р •
799. Составить уравнение параболы у2 = 8х в полярных
координатах.
800. Составить каноническое уравнение параболы, опре-
м 6
деляемой уравнением P^yzicoscp •
801. Через фокус параболы проведена хорда, образующая
с ее осью угол Найти отношение, в котором фокус делит
эту хорду.
802*. Через фокус параболы проводятся всевозможные
хорды. На каждой из них от фокуса в направлении более
удаленного конца хорды откладывается отрезок, равный раз-
ности отрезков, на которые фокус делит хорду. Найти гео-
метрическое место концов этих отрезков.
803*. Доказать, что сумма обратных величин отрезков,
на которые фокус линии второго порядка делит проходящую
через него хорду, есть величина постоянная.
804*. Две вершины треугольника закреплены в точках А
и В, а третья вершина С перемещается так, что угол при
вершине А остается все время вдвое больше угла при вер-
шине С. Найти линию, описываемую вершиной С.
§ 4. Определение типа и расположения линии
второго порядка по ее общему уравнению.
Применение инвариантов
Александров, гл. XVI, §§ 1—4; гл. XVII, § II.
Моденов, гл. XI, §§ 141 — 144, 150.
Постников, гл. 6, § 1, пп. 1—3, 5, 8.
Во всех задачах этого параграфа система координат явля-
ется прямоугольной.
805. С помощью переноса осей координат установить,
какая линия определяется каждым из следующих уравнений,
и найти ее расположение относительно данной системы
416
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 806
координат:
1) 9_v2 j. 16 v2 - 54л 4- 64у + 1 = 0;
2) 4л2—j’2— 16л— 6_у-}-3 —0;
3) 3,у3-12л--6у-|-11=0;
4) 25х2 + 9V2 — 100л + 54_у — 44 = 0;
5) 4л2__у2_ 16x4-6j4-23 = 0;
6) Зл2+ 12л 4- 16у- 12 = 0;
7) 9л2-4>2 4-36л- 16у 4-20 = 0;
8) л2 4- * ~ в = 0;
9) £^=1-
а2^ b '
10) л2 у2 2л 2У_у
a2 b2 а b ’
П) л2 , у2 2л Чу
+ - + у °'
806*. Линия второго порядка определяется уравнением
х2-2_у + Х(_у2-2х) = 0.
Определить тип линии при изменении параметра X от
— оо до + оо и найти ее расположение относительно дан-
ной системы координат.
807. Определить тип линии, написать ее каноническое
уравнение и найти каноническую систему координат:
1) 5х2 + 4ху + 8у2 - 32х - 56_у + 80 = 0;
2) 5х2 + 12х_у—22х — 12у- 19 = 0;
3) х2 — 4ху + 4у2 + 4х — Зу — 7 = 0;
4) х2 — бху + 4 у2 + х + 2у — 2 = 0;
5) 4х2 — 12ху+9у2-2х + Зу-2 = 0;
6) 9x2-4xy + 6v2 + 16х-8>'-2 = 0;
7) 8х2 + бху — 26х — 12у + 11 = 0;
8) х2 — 2ху + у2 — 10х — бу + 25 = 0;
9) 2х2-5ху- 12у2-х + 26у~ 10 = 0;
10) 4х2 - 4ху + у2 - 6х + Зу - 4 = 0;
11) 2х2 + 4ху + 5у2-6х-8у-~ 1=0;
12) х2- 12xj/-4>'2+12x + 8j/ + 5 = 0;
8151 § 4. ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
117
13) 9х2 + 24ху + 1бу 2 - 230х + 11 Оу - 475 = 0;
14) Зх2 + ху — 2у2 — 5х + оу — 2 = 0;
15) 4х2 — 12ху4*9у2-20х4-30у4-16==0;
16) 5х2 4~ Оху + 5у2 — 6х — 1 Оу — 3 = 0;
17) 12ху Ц- Чу2 — 12х — 22у — 19 = 0;
18) 4х2-4ху4-у2-Зх + 4у-7 = 0;
19) 4х2 + 1 (эху + 1 5у 2 ~ 8х — 22у — 5 = 0;
20) 4x24-4xj+>2+ 16х4-8у4- 15 = 0.
808*. Линия второго порядка определяется уравнением
х2 + 2аху Ц- У2 — 1-
Определить тип линии при изменении параметра а от
— оо до 4- оо . и найти ее расположение относительно дан-
ной системы координат.
809*. Найти фокусы и соответствующие им директрисы
линий второго порядка:
1) 6ху-8у24-12х-26у-11=0;
2) х2 + 4Х7 + 4j/2 4- 8х 4- бу 4- 2 = 0.
810. Доказать, что если /1 = 0 то 72<0-
811*. Пользуясь инвариантами /ь/2,/3, найти условия,
необходимые и достаточные для того, чтобы линия второго
порядка была равносторонней гиперболой, и написать ее
каноническое уравнение.
812*. С помощью инвариантов выразить ус-
ловие, необходимое и достаточное для того, чтобы ветви
гиперболы лежали в острых углах, образованных ее асим-
птотами.
813*. С помощью инвариантов 1Ь /2, /3 выразить условия,
необходимые и достаточные для того, чтобы линия вто-
рого порядка была парой взаимно перпендикулярных
прямых.
814*. Доказать, что всякая линия второго порядка, про-
ходящая через четыре точки пересечения двух равносторон-
них гипербол, есть равносторонняя гипербола или пара вза-
имно перпендикулярных прямых.
815*. Выразить через инварианты Д, /2,/3 необходимое
и достаточное условие того, чтобы общее уравнение линии
118
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО порядка
[ 816
второго порядка определяло действительный эллипс. Выра-
зить через инварианты его площадь s.
816*. Общее уравнение F (х, у) = 0 второй степени
определяет линию второго порядка, распадающуюся на две
параллельные прямые. Найти условие, необходимое и доста-
точное для того, чтобы точка (х0, у/0) лежала между этими
прямыми.
817*. Линия второго порядка, заданная уравнением
—0 второй степени, распадается на пару пересе-
кающихся и не взаимно перпендикулярных прямых. Найти
необходимое и достаточное условие того, что данная точка
7И0 — (х0, у о) лежит в остром угле, образованном этими
прямыми.
818*. Выразить через инварианты необходимое
и достаточное условие того, чтобы общее уравнение линии
второго порядка определяло окружность.
819*. Доказать: для того, чтобы уравнение второй сте-
пени с двумя неизвестными определяло окружность (действи-
тельную, нулевую или мнимую), необходимо и достаточно,
чтобы в этом уравнении коэффициенты при квадратах коор-
динат были равны, а коэффициент при произведении коорди-
нат был равен нулю.
820*. Доказать, что линия второго порядка Зх2 — 2ху-|-
-ф у/2-ф — 9 — 0 есть эллипс, и написать уравнение эллипса
с теми же осями, полуоси которого вдвое больше, чем у
данного.
821*. Доказать: для того, чтобы две гиперболы имели
одни и те же асимптоты, необходимо и достаточно, чтобы
в уравнениях этих гипербол все коэффициенты, кроме, быть
может, свободных членов, были пропорциональны.
822*. Доказать: для того, чтобы две параболы имели
один и тот же параметр, одну и ту же ось и одно и то же
направление оси в сторону вогнутости, необходимо и дос-
таточно, чтобы в их уравнениях все коэффициенты, кроме,
быть может, свободных членов, были пропорциональны.
823*. Общие уравнения двух гипербол имеют такой вид
аих2 + %а12ху ф- а22у2 ф- 2агх -ф Ъа2у ф- а = 0,
+ 2^12-ЧУ + ^22ф2 + + b = 0.
При каком необходимом и достаточном условии они будут
лежать в разных вертикальных углах, образованных их
общими асимптотами?
834 ]
§ 5. касательные к линиям второго порядка
119
824*. Общее уравнение F(x,y) = 0 второй степени опре-
деляет гиперболу. С помощью инвариантов написать уравне-
ние линии, распадающейся на пару ее асимптот.
825*. Доказать, что все ромбы, вписанные в один и
тот же эллипс, описаны около одной и той же окруж-
ности.
826*. Доказать, что линия второго порядка, проходящая
через все вершины треугольника и точку пересечения его
высот, есть равносторонняя гипербола, если треугольник
не прямоугольный.
827*. Доказать, что если две равносторонние гиперболы
пересекаются в четырех точках, то каждая из этих точек
есть точка пёресечения высот треугольника, образованного
тремя другими точками.
§ 5. Касательные к линиям второго порядка
Александров, гл. XVII, §4.
Моденов, гл. VIII, §§ ПО, 118, 123; гл., XI, § 147.
828. Составить уравнения касательных к эллипсу
х2 _i_^2 == 1
32 * 18
проведенных из точки (12, —3).
829. Написать уравнения касательных к гиперболе
х2 — ~ = 1, проведенных из точки (1, 4).
830. - Написать уравнения касательных к параболе2 ~ 4х,
‘ / 1 8\
проведенных из точки (— 1, L
831. Дано уравнение касательной х — 3^ —9 = 0 к пара-
боле у2 = 2рх. Составить уравнение параболы.
832. Найти кратчайшее расстояние параболы у2 — 64jv от
прямой 4х -f- Зу -|- 46 = 0.
833. Написать уравнения касательных к эллипсу
д-2 у2
„ _|_-L = 1, параллельных прямой jv-J-j/— 1 = 0.
834*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы к гиперболе = 1 можно было провести
касательные, параллельные прямой y = kx.
120
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 835
835. Найти касательную к параболе j/2 = 2/?x, парал-
лельную прямой y = kx,
836. Написать уравнение касательной к параболе у2 = 2рх,
отсекающей на осях координат равные отрезки.
837. Найти геометрическое место середин отрезков каса-
тельных к параболе у2 = 2рх, заключенных между осями
координат.
838*. Написать уравнения касательных к эллипсу
Зх2 + 8у2 = 45, расстояния которых от центра эллипса
равны 3.
839. Написать уравнения касательной к гиперболе ху — С
в точке (xG,y0}, лежащей на гиперболе.
840. Найти угол между касательными к двум равносто-
ронним гиперболам в их общей точке, если оси одной
гиперболы служат асимптотами другой.
841*. Доказать, что отрезок касательной к гиперболе,
заключенный между ее асимптотами, делится точкой касания
пополам.
842*. Доказать, что все треугольники, образованные
асимптотами гиперболы и произвольной касательной к ней,
имеют одну и ту же площадь s. Выразить эту площадь
через полуоси гиперболы.
843. Гипербола, оси которой совпадают с осями коорди-
нат, касается прямой х — у — 2 — 0 в точке М == (4, 2).
Составить уравнение этой гиперболы.
844. Составить уравнение гиперболы, зная уравнения ее
асимптот у = ± и уравнение одной из ее касательных..
— 6_у — 8 — 0.
845*. Найти условия, необходимые и достаточные для
г х *2 .У2 1 / \
того, чтобы к гиперболе £2 = 1 из точки (x0,j/0):
1) можно было провести две касательные;
2) можно было провести одну касательную;
3) нельзя было провести ни одной касательной.
846*. При каком необходимом и достаточном условии
касательные, проведенные из точки (x0,j0) к гиперболе
%2 v2
-- — = 1, касаются различных ее ветвей.
847*. Написать уравнение касательной к гиперболе, про-
веденной из точки (х0, j'o), лежащей на ее асимптоте
у^~х и отличной от центра гиперболы.
858 ] § 5. КАСАТЕЛЬНЫЕ К ЛИНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА
121
848*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы прямая Ах + By 4" С 0 касалась:
1 \ х2 । У2 1
1) эллипса — + —=!;
X2 у2 1
2) гиперболы — - — = 1;
3) параболы у2 = 2рх;
4) гиперболы xy=^k.
849.. Эллипс, имеющий фокусы в точках (— 3, 0), (3, 0),
касается прямой х+у — 5 = 0. Составить уравнение эллипса.
,850*. Дан эллипс ~2 + и пРямая Аг + Ду4-С = 0'.
Найти условия, необходимые и достаточные для того, чтобы
прямая пересекала эллипс, касалась его, проходила вне
эллипса.
851*. Найти общие касательные к двум эллипсам:
у2 »/2 у2 п2
и — 4-~=1
5 -I- 4 и 4 5
852*. Определить общие касательные к параболеу2 = 4х
и к эллипсу g- + "2’=1-
853*. Найти геометрическое место точек, из которых
можно провести взаимно перпендикулярные касательные:
1) к эллипсу -- + = 1; 2) к гиперболе - g- = 1;
3) к параболе у2~2рх.
854*. Эллипс при движении по плоскости касается двух
взаимно перпендикулярных прямых. Какую линию описывает
центр эллипса?
855*. Найти геометрическое место точек, из которых
к действительной нераспадающейся линии второго порядка
можно провести равные касательные.
856*. Доказать, что вершины ромба, описанного около
эллипса, лежат на его осях.
857. Найти уравнения сторон квадрата, описанного около
эллипса
858*. Написать уравнение параболы, касающейся оси Ох
в точке (3, 0), а оси Оу в точке (0, 2).
122
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 859
859*. Написать уравнение гиперболы, проходящей через
точку (1, 1), касающейся оси Ох в точке (3, 0) и имеющей
ось Оу своей асимптотой.
860*. Написать уравнение гиперболы, имеющей асимпто-
тами прямые х—1=0, 2х—j/+l=0 и касающейся прямой
4л: -|-д/ + 5 = 0.
861*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы прямая Дл*4-Ду + С = 0 касалась нераспадаю-
щейся линии второго порядка, заданной общим уравнением
ЯцЛГ^ 4~ —2й^Л" 2^?2 VH“ ~— 0.
862*. Найти геометрическое место точек, произведение
расстояний которых до боковых сторон равнобедренного тре-
угольника равно квадрату расстояния до его основания.
863*. Доказать, что произведение расстояний от фокуса
линии второго порядка до двух параллельных касательных
к ней равно квадрату малой полуоси в случае эллипса и
квадрату мнимой полуоси в случае гиперболы.
864*. Доказать, что произведение расстояний от фоку-
сов линии второго порядка до любой касательной к ней
равно квадрату малой полуоси в случае эллипса и квад-
рату мнимой полуоси в случае гиперболы.
865*. Доказать, что:
1) нормаль к эллипсу в произвольной его точке делит
пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой
точки и проходящими через фокусы эллипса;
2) касательная к гиперболе в произвольной ее точке делит
пополам угол, образованный лучами, выходящими из этой
точки и проходящими через фокуса гиперболы;
3) нормаль к параболе делит пополам угол, образован-
ный лучом, выходящим из этой точки и проходящим через
фокус параболы, и лучом диаметра параболы, выходящим из
этой точки и направленным в сторону вогнутости параболы.
866*. Найти геометрическое место точек, симметричных
фокусу линии второго порядка относительно касательных
к этой линии.
867*. Найти геометрическое место проекций фокуса ли-
нии второго порядка на всевозможные касательные к ней.
868*. Доказать, что:
1) касательные в точках пересечения софокусных эллипса
и гиперболы взаимно перпендикулярны;
875 ]
§ 6. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ
123
2) касательные в точках пересечения парабол с общим
фокусом и противоположно направленными осями взаимно
перпендикулярны.
869*. Доказать, что прямая, соединяющая точки прикос-
новения касательных к линии второго порядка, проведенных
из произвольной точки ее директрисы, проходит через фо-
кус, соответствующий этой директрисе.
870*. На эллипсе
^4-^=1
с2 I
(а >6)
найти точку, нормаль в которой находится на наибольшем
расстоянии б от центра эллипса. Найти это расстояние.
871*. Доказать, что прямая, соединяющая фокус F па-
раболы с точкой пересечения касательных к параболе в
двух произвольных ее точках и М2, делит пополам
угол
872*. Найти множество точек, каждая из которых явля-
ется проекцией фокуса эллипса на все прямые, которые:
1) касаются эллипса;
2) пересекают эллипс;
3) не имеют с эллипсом общих точек.
873*. Найти множество точек, являющихся проекциями
фокуса гиперболы на все прямые, которые:
1) касаются гиперболы;
2) пересекают гиперболу;
3) не имеют с гиперболой общих точек.
874*. Найти множество точек, каждая из которых является
проекцией фокуса параболы на все прямые, которые:
1) касаются параболы;
2) пересекают параболу;
3) не имеют с параболой общих точек.
§ 6. Центр, диаметры, асимптоты линий
второго порядка
Александров, гл. XVII, §§ 1, 3, 5 — 9, 11.
Моденов, гл. VIII, §§ 144—146, 148, 159.
Постников, гл. 6, § 1, пп. 4 — 8.
875. Найти асимптоты следующих гипербол:
1) Зх2 + 7ху + 4у2 + 5х + 2у-6 = 0;
2) 2х2 + 6ху-12х-18у + 5==0.
124
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО порядка
[ 876
876. Найти соотношения, связывающие угловые коэффи-
циенты k± и k2 двух сопряженных диаметров:
1ч х2 । У2, 1
1) эллипса — 4-—
д;2 tp
2) гиперболы —-р"—ч
3) гиперболы ху~С.
877. Написать уравнение диаметра эллипса
у2 fi2
£_д_ = 1
16^ 12
проходящего через середину хорды, отсекаемой эллипсом на
прямой Зх 4~ 2у —- 6 = 0.
878. Написать уравнения двух сопряженных диаметров
ч
гиперболы ч один из которых проходит через
1О 12
точку (2, 1).
879. Составить уравнение такой хорды эллипса
х*_ , У2 1
25 16
которая точкой (2, 1) делится пополам.
880. Дана линия второго порядка
5Х2 + 4ху 4-8j/2-32x-56y 4-80 = 0.
Найти сопряженные диаметры этой линии, один из кото-
рых параллелен оси ординат.
881 *. Даны две линии второго порядка:
Зх2 4- бху — у2 — 18х — 1 Оу = 0,
9х2 4- бху 4->2 - 18х - 1 Оу = 0.
Найти общий диаметр этих двух линий и направления
тех хорд каждой из данных линий, которым сопряжен этот
диаметр.
882*. Найти диаметры, сопряженные одновременно отно-
сительно двух линий:
х2 4- ~ У2 = Ъ
х2 — Юху 4-4у2= 1.
883*. В эллипс х2 4-4у2 = 25 вписан параллелограмм,
одной из сторон которого является прямая х4-2у — 7 = 0.
Найти остальные его стороны.
894 ]
§ 6. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ
125
884*. Доказать, что прямые, соединяющие точки касания
противоположных сторон параллелограмма, описанного около
центральной действительной нераспадающейся линии второго
порядка, являются ее диаметрами. Когда эти диаметры будут
сопряженными?
885*. Показать, что если кривая второго порядка каса-
ется одной из сторон описанного около нее параллелограмма
в середине этой стороны, то остальных трех сторон парал-
лелограмма она касается также в их серединах; кривая в этом
случае есть эллипс.
886*. Доказать, что диагонали параллелограмма, все вер-
шины которого принадлежат центральной нераспадающейся
линии второго порядка (^вписанный параллелограмм»), явля-
ются ее диаметрами. Когда эти диаметры будут сопряженными?
887*. Доказать, что две касательные к эллипсу или
к "гиперболе параллельны тогда и только тогда, когда точки
касания принадлежат одному диаметру.
888. В эллипс вписан ромб так, что все четыре вершины
ромба совпадают с вершинами эллипса. Доказать, что диаметры
эллипса, параллельные сторонам ромба, равны между собой.
889*. Доказать, что диагонали параллелограмма, описан-
ного рколо центральной нераспадающейся линии второго
порядка, являются ее сопряженными диаметрами.
890*. Зная конец (хр уг) диаметра эллипса
*2 । £1^1
с2 Ь2 ’
найти концы диаметра, ему сопряженного.
891*. Около линии второго порядка, заданной уравнением
2х2 — 4ху +>’2 — 2х 4- бу — 3 = 0, описан параллелограмм,
одна из вершин которого находится в точке А = (3, 4). Найги
остальные его вершины.
892*. Написать уравнение эллипса, зная его центр С —(2, 1)
и концы двух сопряженных диаметров А = (5, 1), £ = (0, 3).
893*. Доказать, что если О — точка нераспадающейся
линии второго порядка, ось Ох — проходящий через эту точку
диаметр, а ось Оу — касательная к линии в точке О, то
в этой системе координат уравнение линии имеет вид
япх2 + а22у2 + = 0«
894*. Написать уравнение параболы, проходящей через
точку (0, 1), для которой прямая х — 2j> —0 служит диаметром,
126
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 895
а прямая х = 0 — касательной в точке пересечения этого
диаметра с параболой.
895*. Составить уравнение параболы, зная, что ёе диа-
метры параллельны прямой = и что она проходит
через точки (0, 0) и (0, 1).
896*. Дан треугольник АВС:
А = (4, 2), В = (8, 2), С = (4, 5).
Написать уравнение параболы, описанной около этого тре-
угольника так, чтобы медиана AD, проведенная из вершины Л,
была ее диаметром.
897*. Три вершины параллелограмма находятся в точках
О = (0, 0), А = (4, 0), В = (2, 2); А и В — противоположные
вершины. Написать уравнение эллипса, вписанного в этот
параллелограмм и касающегося стороны О А в ее середине.
898*. Написать уравнение эллипса, зная, что центр его
находится в точке С = (2, 1) и что прямые у — 2 = 0 и
х— j = 0 служат касательными в концах двух сопряженных
диаметров этого эллипса.
899*. Даны вершины треугольника АВС: А = (6, 0),
Д = (0, 4), С = (6, 4). Написать уравнение линии второго
порядка, описанной около этого треугольника, зная, что ее
центр находится в точке 714 = (4, 3).
900*. Найти геометрическое место середин хорд гипер-
болы, высекаемых на прямых, проходящих через точку, лежа-
щую на асимптоте гиперболы.
901*. Зная угловые коэффициенты Л1=1, Л2 = 2 асимптот
гиперболы и угловой коэффициент /? = 0 ее диаметра, найти
угловой коэффициент k' диаметра,' ему сопряженного.
902*. Найти асимптоты гиперболы, для которой оси коор-
динат образуют одну пару сопряженных диаметров, а прямые
х —у = 0их—• 4у = 0 —• другую пару сопряженных диаметров.
903*. Написать уравнение эллипса, принимая за оси коор-
динат его сопряженные диаметры, а за единичную точку
системы координат — одну из вершин параллелограмма, опи-
санного около эллипса, стороны которого параллельны этим
сопряженным диаметрам.
904*. Написать уравнение гиперболы, принимая за оси
координат ее сопряженные диаметры, а за единичную точку —
любую из вершин параллелограмма, стороны которого парал-
лельны взятым диаметрам, причем две из них касаются
гиперболы, а диагоналями служат асимптоты гиперболы.
914 ]
§ 6. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ
127
905*. Написать уравнение параболы, принимая за начало
координат точку О, лежащую на параболе, за ось Ох — про-
ходящий через точку О диаметр, за ось Оу — касательную
к параболе в точке О, а за единичную точку Е системы —
любую точку параболы.
906*. Написать уравнение гиперболы, принимая за оси
координат ее асимптоты, а за единичную точку системы
координат — произвольную точку, лежащую на гиперболе.
907*. Доказать, что в общем уравнении линии второго по-
рядка
яих2 Д- 2а12ху + а22у2 + -ф 2а2у -ф а = 0
коэффициент я12 —0 тогда и только тогда, когда середины хорд
линии, параллельных одной из осей координат, лежат на пря-
мой, параллельной другой оси координат.
908*. Доказать, что точка пересечения касательных к линии
второго порядка в концах какой-либо ее хорды лежит на
диаметре, сопряженном с направлением этой хорды.
909*. Пусть О —центр эллипса, А и В —концы его
сопряженных диаметров, С — середина хорды АВ, /И —точка
—* ОС
пересечения луча ОС с эллипсом. Найти отношение
910*. Доказать, что произведение длин отрезков М1Р1 и
ТИ2Р2, отсекаемых произвольной касательной /ДР2 к эллипсу или
гиперболе от двух фиксированных параллельных касательных
ЛД/Д и ТИ2Р2 к рассматриваемой линии (М± и ТИ2 — точки ка-
сания), одно и то же для всех касательных к кривой.
911*. Доказать, что произведение длин отрезков МРг и МР2
касательной Р1МР2 к эллипсу или гиперболе в фиксирован-
ной точке М, где Рг и Р2 — точки, в которых рассматри-
ваемая касательная пересекается с двумя произвольными па-
раллельными касательными к линии, постоянно.
912*. Найти геометрическое место точек М пересечения
прямых, проходящих через две данные точки А и В плоско-
сти, при условии, что AM и ВМ параллельны двум сопря-
женным диаметрам эллипса или Гиперболы.
913*. Найти геометрическое место центров гипербол, про-
ходящих через две фиксированные точки А и В и имеющих
данные асимптотические направления.
914*. Найти множество точек, которые могут служить
центрами эллипсов, описанных около данного треугольника.
12d
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 915
915*. Найги угловые коэффициенты и длину d двух рав-
х2 . у2 1
ных сопряженных диаметров эллипса ф- = 1.
916. Найти наименьший острый угол между сопряженными
диаметрами эллипса с полуосями а и Ь, а>Ъ.
917. Доказать, что асимптоты равносторонней гиперболы
являются биссектрисами углов между любыми двумя ее соп-
ряженными диаметрами.
918*. Доказать, что стороны прямоугольника, все вершины
которого принадлежат действительной центральной нераспа-
дающейся линии второго порядка («вписанный прямоугольник»),
параллельны ее осям.
919*. Доказать, что все параллелограммы, сторонами ко-
торых являются половины сопряженных диаметров эллипса,
имеют одну и ту же площадь.
920*. Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных
полудиаметров эллипса одна и та же для каждой пары диа-
метров.
921*. Доказать, что гипербола
у2 _ £2 j
а2 Ь2
может быть задана следующими параметрическими уравнениями:
922*. Доказать, что если
— параметрические уравнения гиперболы
х2 у2___________________________,
а2~~Ь2~ ’
то параметрические уравнения гиперболы
х2_________________________у2_____.
52 ~ 'ь2 “ 9
сопряженной с данной, можно записать в виде
926 ]
§ 6. ЦЕНТР, ДИАМЕТРЫ, АСИМПТОТЫ
129
923*. Доказать, что если диаметр гиперболы
х2 у2____।
а2 ~ Ь2 “
пересекает эту гиперболу в точке (хь у^, то сопряженный
ему диаметр пересекает гиперболу
X2 у2 ___ .
a2~'b2~~ ’
сопряженную с данной, в точках
(аУ1 ЬХ1\ !аУу ЬхЛ
\ b ’ а ) \ b ’ a j
924*. Пусть и ТИ2 — точки пересечения двух сопря-
женных диаметров с сопряженными гиперболами (с общим
центром О). Доказать, что:
1) площадь параллелограмма со сторонами ОМг и ОМ2
одна и та же для любой пары сопряженных диаметров;
2) разность квадратов | ОМ± |2 — | ОМ212 одна и та же
для любой пары сопряженных диаметров.
925*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы две центральные линии второго порядка
ПцЛГ2 -j- 2&12.ry #22.у2 4~ — О,
Z>ii-V2 4" 2/?12ху 4~Ь22у2 -\~b-0
имели одни и те же оси симметрии. Система координат
прямоугольная.
926*. Доказать, что если общее уравнение линии второго
порядка относительно аффинной системы координат
#н-^2 4” 2бХ12л*у 4- &22.У2 4~ 2й2д/ -|- а — О
является уравнением параболы, то вектор {Ль Л2}, где Лх
и А2 являются алгебраическими дополнениями элементов аг
и а2 в определителе
^11 #12 а1
#21 #22 #2 ,
аг а2 а
коллинеарен диаметрам параболы и направлен в сторону ее
вогнутости.
б п. С. Моденов, А. С. Пархоменко
130
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 927
§ 7. Метрические задачи на линии второго порядка
в аффинных координатах
Моденов, Дополнение II, пп. 3, 4.
927*. 1) Составить уравнение окружности с центром
в начале координат и радиусом г, зная метрические коэф-
фициенты gu, g12, g22 базиса elf е2.
2) Рассмотреть частный случай
1 l^il = | ^21 = С ех, е2 = со.
928*. 1) Найти необходимое и достаточное условие того,
чтобы общее уравнение линии второго порядка
ЯцХ2 4- 2а 12ху + а22 у2 + 2а±х + 2а2у + а = О
в аффинной системе координат с метрическими коэффици-
ентами gn, g12, g22 определяло окружность (действительную,
нулевую или мнимую).
2) Рассмотреть частный случай
|ei| = |e2| = l, еь е3=(о.
929*. 1) Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы общее уравнение линии второго порядка
6znx2 4- 2аХ2ху 4- а22у2 4- 2а±х 4- 2а2у 4- а = О
в аффинной системе координат с метрическими коэффици-
ентами gu, gX2, g22 являлось уравнением действительной
окружности.
2) Найти ее центр С и радиус г.
930*. Найти длины а и b действительной и мнимой
полуоси гиперболы ху—1 и угловые коэффициенты Лх
и k2 ее действительной и мнимой оси, если |ех| = |е2| —1,
вХ, #2 = (0.
931*. Дан многочлен
tzxxx2 4~ 2а12ху 4- а22у2 4- 26zx.v 4“ 2#2j/ 4“ #
и невырожденная квадратичная форма
Й1Л-2 + 2gl2*y + g22>2-
032 ] § 7. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ 131
Доказать, что следующие функции коэффициентов
4
#11 #12 #21 #22
£11 £12 £21 £22
а11 #12 а1
а21 #22 #2
j аг а2 а
3 I £11 £12 I ’
I £21 £22 I
I аи £12 I I I £11 #12 I
J — I 6/21 £22 ' £21 #22 I
1 I £11 £12 I
I £21 £22 I
являются инвариантами невырожденного линейного неодно-
родного преобразования
х = Спх' 4" С12у' +
У = с 21х' + С 22у' + С2-
932*. Относительно аффинной системы координат с мет-
рическими коэффициентами gllf g12, g22 ее базиса централь-
ная линия второго порядка задана общим уравнением
#ii-^2 + 2#12х_у + #22.У2 + %aix + %а2у + # — О-
Доказать, что:
1) существует прямоугольная система координат О'х'у',
в которой приведенное уравнение этой линии имеет вид
Х1Х'24-^23//24"'й' = ^ (см. задачу 931),
*2
где Лх и Х2 —корни характеристического уравнения
I #11 — ^£tl #12 — ^£12 I _ Q.
I #21 — ^£21 #22 — ^£22 I ’
2) координаты х, у направляющих векторов е[ и е2 осей
О'х' и О'у' определяются из системы уравнений
(#11 — ^/£11)х + (#12 “ ^/£12)4' —
(#21 — ^*£21) Х + (#22 ^’£22) У —
(Z=l, 2).
5*
132
ГЛ. VI. ЛИНИИ ВТОРОГО порядка
[ 933
933*. Относительно аффинной системы координат с мет-
рическими коэффициентами £n, g12, g22 ее базиса парабола
задана общим уравнением
ЯцХ2 —{- 2й|2АГу “I- #22-У^ 4“ “I- ^#2_У —cl = 0.
Доказать, чко:
1) параметр р этой параболы определяется соотношением
р=у/Г— (см. задачу 931);
2) вектор {Лх, А2} оси параболы направлен в сторону
вогнутости параболы (см. задачу 926);
3) ось параболы определяется уравнением
а (апх #12У + #i) + Р (#21-^ 4~ а22У + #2) =
где вектор {а, |3} определяется из условия перпендикуляр-
ности его к вектору {а12, —яп} или {а22, — #12}. При этом
надо использовать условие перпендикулярности двух векто-
ров в аффинной системе координат с метрическими коэффи-
циентами gix, g12, g22 ее базиса.
934*. Установить, какая линия определяется каждым из
следующих уравнений в аффинной системе координат с задан-
ными метрическими коэффициентами £n, g'12, g22. Написать
каноническое уравнение линии и найти ее расположение.
1) x2 + 2xj + 3y34-8x-4y4-9 = 0,
£11 = £12 = h £22 =
2) 20х2+ 124xy4-221j/2-36x- 12бу4-9 = 0,
£п = 4, £12 = 6, £22 = 25;
3) 2ху — 4л 4- с2у 4- 1 = 0, £п = 4, £i2=1, £22=^
4) х2 - Зху + у2 4- 5 = 0, gu=l, g12=~ g22=l;
5) х2 — 4ху 4- 4у2 — 4х — 4у = 0, gn = 1,
__ 1 —1
£12 — 2 ’ ^22— 1#
935*. 1) Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы линия второго порядка
йцХ2 4~ 2я12ху 4“ #22_У2 = 1 >
заданная в аффинной системе координат с метрическими
коэффициентами gi^ gi^ £22» была эллипсом.
940 ] § 7. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ
133
2) Найти длины а и b большой и малой полуосей эллипса
и угловые коэффициенты kx и k2 его большой и малой осей.
936*. 1) Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы линия второго порядка
ацХ2 + + а22у2 = 1,
заданная в аффинной системе координат с метрическими
коэффициентами gu, g12, была гиперболой
2) Найти длины а и b действительной и мнимой полу-
осей гиперболы и угловые коэффициенты kr и k2 ее дейст-
вительной и мнимой осей.
3) При каком необходимом и достаточном условии гипер-
бола будет равносторонней? Чему равны ее полуоси?
937*. 1) Найти параметр р и вершину О' параболы
y2 = 2qx, 7>0, заданной относительно аффинной системы
координат с метрическими коэффициентами gu, g12, g22.
2) Рассмотреть частный случай
I I = I ^21 = !> ^i> е2 = (д.
938*. Найти длины а и b большой и малой полуосей
эллипса и угловые коэффициенты kr и k2 его большой
и малой осей, если эллипс задан уравнением х2+>у2=1
относительно аффинной системы координат, при условии, что
I 1 = 1 ^21 = h е2=со.
939*. Найти длины а и b действительной и мнимой полу-
осей гиперболы и угловые коэффициенты k± и k2 ее дейст-
вительной и мнимой осей, если гипербола задана уравнением
х2— у2—1 относительно аффинной системы координат, при
условии, что
| е1 | = I е2 | = h ^1, ^2 = ®-
940*. Написать уравнение пары главных осей централь-
ной линии второго порядка
апх2 + + О-22У2 = а,
заданной относительно аффинной системы координат с мет-
рическими коэффициентами gn, g12, g22.
ГЛАВА VII
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Сфера
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
941. Определить координаты центра и найти радиус
каждой из следующих сфер:
1) х2+.У2 + + — 6г = 0;
2) x2+y2 + z2 + 8x=0;
3) х2+^24-г2-2х + 4у-6г~22 = 0;
4) x2+j/2 + ^2 — 6г — 7 = 0.
942*. При каком необходимом и достаточном условии
уравнение
^цХ2 + а22у2 + а33г2 + 2а23_уг + 2а31гх + 2а12ху ф-
-j— 2й^д7 —2t72-y 2$3г —1~ tz = 0
является уравнением сферы (действительной, нулевой или
мнимой)?
943*. При каком необходимохМ и достаточном условии
уравнение
Ах2 + Ay2 + Az2 + 2Вх -\-2Cy + %Dz + E=^
определяет: 1) действительную сферу; найти в этом случае
ее центр и радиус г; 2) нулевую сферу; 3) мнимую сферу.
944. Составить уравнение сферы радиуса г, которая
касается: 1) трех координатных плоскостей; 2) трех коор-
динатных осей.
945. Найти центр и радиус окружности
х2 Ц- z2 — 12х + 4у — 6z + 24 = 0,
2х ф- 2у ф- z ф- 1 = 0.
946*. Дано уравнение сферы S: x2-\-y2-\-z2 — R2 и урав-
нение плоскости л: АхД-Ву ф-Сгф-D —0.
952 ]
§ 1. СФЕРА
135
1) При каком необходимом и достаточном условии пло-
скость л пересекает сферу S? Предполагая это условие
выполненным, найти центр и радиус р окружности К, по
которой пересекаются сфера 5 и плоскость л.
2) При каком необходимом и достаточном условии пло-
скость л касается сферы S? Предполагая это условие выпол-
ненным, найти точку касания.
3) При каком необходимом и достаточном условии сфера
S и плоскость л не имеют ни одной общей точки?
947. Составить уравнение плоскости, касающейся сферы
(х _ а)2 + (j/ - b)2 + (z - c)2 — R2
в данной на ней точке (х0, у0, г0).
948. Дана сфера л2+д/2 + ^2 + 6^ + 8у +1 ==0 и пло-
скость 2х —у 4“ z ~ 1=0- Найти плоскость, касательную
к данной сфере, параллельную данной плоскости и располо-
женную так, чтобы центр сферы находился между данной
ц искомой плоскостями.
949. Составить уравнения плоскостей, касающихся сферы
(X _ а)2 + (у _ Ьу + _ f)2 _ £2
и параллельных плоскости
А.х 4“ By 4“ Bz 4“ D = 0.
950*. Написать уравнения плоскостей, проходящих через
прямую
х— 13 _ у + 1 __ 2
—1 “ 1 “4
и касающихся сферы
х2 4-у/2 4“ z2 — 2а; — 4у — 6z — 67 = 0.
951*. Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку (5, 2, 0) и касающейся сфер
х2+у2 + г2_ 12лг-2_у4-2г4-37 = 0,
Д724-У 4-г2- 10^-8^4-32 = 0.
952*. Составить уравнение сферы, проходящей через
окружность
х2+>2 = 11,
и касающейся плоскости
х 4-> 4“ — 5 = о.
136
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 953
953*. Составить уравнение сферы, проходящей через
окружность
x2+j/2 + ^2 + 2tzx + 2&y + 2^ + d = 0,
Ax + By + Cz + D = 0
и через точку (х0, у0, г0), не лежащую на плоскости
Ax + By + Cz + D = 0.
954*. Составить уравнение сферы, проходящей через
окружность
х2 + у2 + z2 + — 4у 4- 4^ — 40 = 0,
2х Ц- 2j/ — г 4- 4 = 0
и через начало координат.
955*. При каком необходимом и достаточном условии
плоскость Ax-\-By-\-Cz-\-D = ® пересекает большой круг
сферы х2 -]-у2 + = К2, лежащий в плоскости Оху.
956. Плоскость, заданная уравнением АхBy-\-CzD~
— 0, пересекает сферу x24-J24~ ^2 = Я2, но не проходит
через ее центр. При каком необходимом и достаточном условии
точка (xQ, у0, z0) лежит внутри шарового сегмента, ограни-
ченного сферой и плоскостью и не содержащего центр сферы?
957*. Доказать, что если точка Й4 = (х0, j/0, z0) лежит
вне сферы
х2 4->2 4~ -г2 4~ ^ах + 4- 4-^ = 0,
то квадрат длины отрезка касательной, заключенного между
точкой М и точкой касания, равен
Х1+>о + 4“ 4~ %Ьу0 4- 4“ d.
958*. Степенью точки 714 относительно сферы с центром С
и радиусом R называется число о = |С7И|2 — R2. Найти сте^
пень точки 714 = (х0, у0, z0) относительно сферы
х2 4- у2 4- ^2 + %ах + %Ьу 4- 4- d — 0.
959*. Найти геометрическое место точек, для каждой из
которых степени относительно двух неконцентрических сфер
х2 у2 г2 й1Х fr^y с 1Z = о,
X2 у. у 2 г2 а2х b2y c2Z 0
равны между собой.
960*. Радикальной плоскостью двух неконцентрических
сфер называется плоскость, являющаяся геометрическим
968 ]
§ 1. СФЕРА
137
местом точек, степени каждой из которых относительно этих
сфер равны между собой.
1) Даны три сферы, центры которых не лежат на одной
прямой. Доказать, что три радикальные плоскости этих сфер,
взятых попарно, проходят через одну прямую. Эта прямая
называется радикальной осью трех данных сфер.
2) Даны четыре сферы, центры которых не лежат
в одной плоскости. Доказать, что шесть радикальных пло-
скостей этих сфер, взятых попарно, проходят через одну
точку и что через ту же точку проходят четыре радикаль-
ные оси этих сфер, взятых по три. Эта точка называется
радикальным центром четырех рассматриваемых сфер.
961*. Найти геометрическое место центров сфер, пере-
секающих ортогонально две данные неконцентрические сферы.
962*. Найти геометрическое место центров сфер, пересе-
кающих ортогонально три сферы, не имеющих ни одной
общей точки, если их центры не лежат на одной прямой.
963*. Составить уравнение сферы, ортогональной четы-
рем сферам:
х2 4- г2 = 9,
(х + б)2 + (у - 1 )2 + (г + 2)2 = 53,
(Х+ 1)2+>2 + (г+3)2^39,
х2 + + 1 )2 + _ 2)2 = 10.
964. Даны уравнения двух действительных пересекаю-
щихся сфер
х2 +у2 + z2 + + 2схг 4-^=0,
х2 +_у2 + z2 + 2я2х + <2Ь2у + 2с2г 4- d2 = 0.
При каком необходимом и достаточном условии две такие
сферы ортогональны?
965*. Точка 7И0 = (х0, у0, z0) лежит вне сферы (х-а)24-
(у -- b)2 + (z — с)2 = R2. Составить уравнение плоскости,
содержащей окружность, вдоль которой конус с верши-
ной 7И0, описанный около данной сферы, касается этой сферы.
966. Написать уравнение сферы с центром в точке (г0)
и радиусом Я
967*. При"каком необходимом и достаточном условии
плоскость (г, ri) — D и сфера (г — r0, г — r0) = R2: 1) пересе-
каются, 2) касаются, 3) не имеют ни одной общей точки?
968*. Сфера S задана уравнением (г — r0, r — r0) — R2\
прямая Л задана уравнением г = г14-^« При каком необхо-
138 гл. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 969
димом и достаточном условии прямая Л пересекает сферу 5*,
касается сферы S, не имеет со сферой S ни одной общей точки?
969*. Плоскость (г, п) = Ь пересекает сферу
(г-Го, r-r0) = R2.
Найти радиус-вектор гх центра С и радиус р окружности
сечения.
970*. При каком необходимом и достаточном условии
уравнение (г, r)-]-2(a, r)4~Z? = 0 является уравнением дей-
ствительной сферы? Предполагая это условие выполненным,
найти центр С и радиус R сферы.
971*. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ = Ь,
ОС —с. Найти радиус-вектор г центра сферы, касающейся
плоскости ОАВ в точке О и проходящей через точку С.
972*. Даны радиусы-векторы гх, г2, г3 точек Mlt ТИ2, 7И3,
не лежащих в одной плоскости с началом О радиусов-век-
торов. Найти радиус-вектор г центра сферы, проходящей
через точки О, /Их, Л12, 7143.
973*. Даны три некомпланарных вектора ОА = а, ОВ = Ь,
ОС==с. Найти радиус-вектор г центра сферы, которая ка-
сается прямой ОС в точке О и проходит через точки А и В.
974*. Начало О радиусов-векторов служит центром окруж-
ности радиуса р, плоскость которой перпендикулярна к еди-
ничному вектору п. Найти радиус-вектор г—ОС центра С
сферы, которая проходит через данную окружность и точку А,
заданную радиусом-вектором ОА = а, при условии, что
(«, n)^L0.
§ 2. Цилиндры и конусы второго порядка *)
Александров, гл. XVIII, §§ 2, 3.
Моденов, гл. IX, §§ 131, 135.
Постников, гл. 5, § 3, пп. 7, 8.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.
975*. Написать уравнение круглого цилиндра радиуса г,
осью которого является прямая
X—у0 = Z—Zq
а b с '
) См. также задачи 345 — 348,
984 ]
§ 2. ЦИЛИНДРЫ И КОНУСЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
139
976. Написать уравнение круглого цилиндра, проходя-
щего через точку (1, —2, 1), осью которого служит прямая
х __ у— 1 _ г + 3
Т “ ~~
977*. Составить уравнение цилиндра, описанного вокруг
сферы х2 +у2 + г2 = г2, зная направляющий вектор {а, Ь, с}
образующих цилиндра.
978. Составить уравнение цилиндра, образующие кото-
рого касаются сферы х2 4-у2 + z2 — 1 и составляют равные
углы с осями координат.
979*. Написать уравнение цилиндра, направляющей кото-
рого служит окружность x2+j2=l, г —0, а образующие
составляют с осями координат равные углы.
980*. Направляющей цилиндра служит окружность х2 +
+ у2 = г2, г = 0, его образующие параллельны вектору
{0, р, у}. Написать уравнение этого цилиндра и привести
его к каноническому виду, пользуясь преобразованием прямо-
угольных координат.
981*. Написать уравнение параболического цилиндра
2
с параметром р=^, зная вершину О' = (2, 1, —1) пара-
о
болы, получающейся при пересечении цилиндра плоскостью,
перпендикулярной к его образующим, направляющий век-
, Г 2 2 1) «
тор -о"> оси этой параболы и направляющий
I о о о J
, (212]
вектор е2 = <-х-, —х-, —„ > касательной в ее вершине.
( О О од
982. Доказать, что линия пересечения двух параболиче-
ских цилиндров
= г2==1 — х
лежит на круговом цилиндре. Каково уравнение этого ци-
линдра?
983*. Написать уравнение круглого конуса, вершина ко-
торого находится в точке (х0, у0, г0), ось параллельна
вектору {а, Ь, с}, а образующие составляют с осью угол ф.
984*. Составить уравнение поверхности круглого конуса,
вершина которого находится в точке (1, 2, 3), направляющий
вектор оси {2, 2, —1}, а угол образующих конуса с его осью
л
равен
ИО гл. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ 985
985*. Написать уравнение круглого конуса, касающегося
плоскостей Oxz и Oyz по прямым Ох и Оу.
986*. Составить уравнение поверхности круглого конуса
при условии, что все три оси координат служат образующими
конуса, а ось конуса проходит в первом и седьмом октантах;
составить также каноническое уравнение этого конуса.
987*. Составить уравнение поверхности круглого конуса,
касающегося трех плоскостей координат, зная, что ось его
проходит в первом и седьмом октантах; составить также кано-
ническое уравнение этого конуса.
988*: Написать уравнение круглого конуса, для которого
оси Ох и Оу являются образующими, а ось Oz составляет
с осью конуса, проходящей в первом и седьмом октантах,
угол Написать также каноническое уравнение этого ко-
нуса.
989*. Написать уравнение конуса с вершиной в точке
(О, 0, с), описанного около сферы x2-^y2-^z2 = r2 (с>г).
990*. Найти острый угол между образующими конуса
х2-]-у2 — z2 = 0, по которым его пересекает плоскость
5х+10у-11г=0.
991*. Написать уравнение конуса с вершиной (2, 3, 6),
зная, что плоскость Оху пересекает его по эллйпсу, Оси
которого параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс ка-
сается этих осей координат.
992*. Написать уравнение конуса, вершина которого
находится в точке (0, 0, а), а направляющей служит гипер-
бола <2ху = а2, z = 0. Пользуясь преобразованием прямо-
угольных координат, привести полученное уравнение конуса
к каноническому виду.
993*. Написать уравнение конуса, вершина которого
находится в точке (0, 0, р), а направляющей служит пара-
бола у2 = 2рх, z — 0. Пользуясь преобразованием прямо-
угольных координат, привести полученное уравнение к кано-
ническому виду.
994*. Написать уравнение конуса с вершиной в начале
координат, направляющей которого служит эллипс
а2 -г bz т С2 а -г ь 1“ с —
995*. Написать уравнение конуса, проходящего через
прямые у~±х, г = 0 и точку (1,2, 3), для которого ось Oz
является осью симметрии.
1003 ] § 3. ЭЛЛИПСОИДЫ, ГИПЕРБОЛОИДЫ, ПАРАБОЛОИДЫ 141
§ 3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды *)
Александров, гл. XVIII, §§ 4, 5.
Моденов, гл. IX, §§ 128-130, 132-134.
Постников, гл. 5, § 3, пп. 1 — 3, 5, 6.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.
996*. Написать уравнение параболоида вращения с пара-
метром р = 6, вершина которого находится в первом октанте,
зная, что плоскость Оху пересекает параболоид по окруж-
ности с радиусом 3, касающейся обеих осей Ох и Оу.
997*. Написать уравнение параболоида вращения с пара-
метром Р = у, вершиной (1, 0, —1) и направляющим век-
(21 2)
тором оси вращения у, —g-J.
998*. Написать уравнение параболоида вращения с пара-
метром р, с вершиной в точке О' =(xQ, yQ, г0) и направ-
ляющим вектором оси и —{а, Ь, с}.
999*. Эллипс с полуосями а и b, а>Ь, с центром
в точке О' =(xQ, j/0, г0) и направляющим вектором большой
оси # = {а, р, у} вращается около своей большой оси. На-
писать уравнение полученного эллипсоида вращения.
1000*. В плоскости Oxz дана парабола x2~2pz, у = 0.
По ней перемещается вершина другой параболы с парамет-
ром q, плоскость которой остается все время параллельной
плоскости Oyz, а ось — параллельной оси Oz. Составить
уравнение поверхности, описываемой подвижной параболой.
1001*. Установить, пересекает ли плоскость
2х_|_2_у 4- г-3 = 0
эллипсоид
-v2+y + |=l-
1002*. По какой линии плоскость х + у — z + 3 = 0 пе-
ресекает двуполостный гиперболоид х2 -ф у2 — z2 = —4?
1003. Определить вид и расположение линии пересечения
гиперболоида
х2 . у2 г2___1
"9 + 8" ” 2 “ 1
и плоскости х = 9.
) См. также задачи 349 — 352.
142
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 1004
1004. По какой линии плоскость х=а пересекает одно-
полостный гиперболоид
«2 1 ^2 С2
1005*. Написать уравнение плоскости, проходящей через
ось Ох и пересекающей однополостный гиперболоид
X2 . У2 Z2 |
а2 Ь2 с2
по паре прямых. Найти эти прямые.
1006. Написать уравнение плоскости, параллельной пло-
скости Oyz и пересекающей однополостный гиперболоид
по гиперболе, действительная полуось которой равна 1.
1007*. Доказать, что проекция эллипса, получающегося
при пересечении плоскостью параболоида вращения, на пло-
скость, перпендикулярную к оси параболоида, есть окруж-
ность.
1008*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы плоскость z = ах + by + с пересекала параболоид
вращения x2-\-y2 = ‘2pz (д>0) по действительному эллипсу.
1009*. По какой линии пересекаются гиперболический
параболоид
У^_ <>„
9 4 “ z
и плоскость
2х + Зу-6 = 0?
2^
1010. Даны однополостный гиперболоид ~ = 1,
у 2 «2 д-2
конус —+ 4^-------г = 0 и двуполостный гиперболоид -g +
CL и С CL
•и 2 2%
+ - = —1. В каком отношении находятся соответст-
вующие полуоси эллипсов, получающихся в сечении однопо-
лостного гиперболоида и конуса плоскостями, касательными
к двуполостному гиперболоиду в его вершинах?
1011*. Доказать, что если и и -и —полуоси эллипса, полу-
чающегося при пересечении эллипсоида
1019 J § 3. ЭЛЛИПСОИДЫ, ГИПЕРБОЛОИДЫ, ПАРАБОЛОИДЫ
143
плоскостью, проходящей через его центр, то
с.
1012. Написать уравнение эллипсоида с вершинами (0, 0, 6)
и (0, 0, —2), зная, что плоскость Оху пересекает его по
окружности радиуса 3.
1013. Написать уравнение двуполостного гиперболоида
с вершинами (0, 0, ± 6), зная, что плоскости Oxz и Oyz
являются его плоскостями симметрии и пересекают его по
гиперболам, асимптоты которых образуют с осью Oz углы,
соответственно равные ~ и у.
1014. Написать уравнение эллиптического параболоида
с вершиной (2, 3, 6) и осью, параллельной оси Oz, зная, что
плоскость Оху пересекает его по эллипсу, оси которого
параллельны осям Ох и Оу, причем эллипс касается этих
осей координат.
1015. Написать уравнение гиперболического параболоида,
проходящего через гиперболу
зная, что его плоскости симметрии совпадают с двумя пло-
скостями координат Oxz и Oyz и что третья координатная
плоскость пересекает его по паре прямых.
1016. Написать уравнение эллиптического параболоида,
зная, что плоскости
х ~ а, у~Ь
пересекают его по параболам с вершинами (а, 0, с) и (0, Ь, с),
плоскость Оху касается параболоида в его вершине, а пло-
скости Oxz и Oyz являются его плоскостями симметрии.
1017. Написать уравнения гиперболического параболоида,
проходящего через точку (10, 6, 11), зная, что плоскости
Oxz и Oyz являются его плоскостями симметрии, а пло-
скость Оху пересекает его по паре прямых, углы между
которыми, содержащие ось Ох, равны -у.
1018*. Составить уравнение эллипсоида, оси которого
совпадают с осями координат, если известно, что он прохо-
дит через окружность x2-j-y2-j~z2 = 9, z = x и точку (3, 1, 1).
1019*. Написать уравнение однополостного гиперболоида
q равными полуосями, проходящего через прямые =
144
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО порядка
[ 1020
г = 0 и через точку (1, 2, 3), для которого ось Oz является
осью симметрии.
1020*. Написать уравнение гиперболического параболоида^
проходящего через прямые у = ±х, z — О и через точку
(1, 2, 3), для которого ось Oz является осью симметрии.
1021*. Доказать, что прямые, по которым плоскость Оху
пересекает гиперболический параболоид
x2—y2 = 2pz,
являются его осями симметрии.
1022. Написать уравнение поверхности второго порядка,
проходящей через три окружности
x2-]-y2—lf z — 0;
x2-\-y2 = 9t г=1;
х2-\-у2 — 25, z = 2,
и привести полученное уравнение к каноническому виду.
1023*. Составить уравнение поверхности второго порядка,
зная, что она пересекает плоскость Оху по окружности
x2~i~y2 — 12jv— 18у 4-32 = 0, z = 0, а плоскости Oxz и
Oyz — по параболам, оси которых параллельны положитель-
ному направлению оси Oz, причем параметр параболы, лежа-
щей в плоскости Oxz, равен 1.
1024*. Найти геометрическое место точек, отношение
расстояний которых до двух скрещивающихся прямых есть
одно и то же число k.
1025*. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и А'В'.
Определить вид поверхности, состоящей из прямых ССГ, сое-
диняющих точки С и С прямых АВ и А'С, для которых
АС ТС
АВ АЛВ' ‘
1026*. Написать уравнение поверхности второго порядка,
пересекающей плоскость Оху по параболе,плоскости Oxz
и Oyz по окружностям радиуса г, касающимся положитель-
ных полуосей координат. Пользуясь преобразованием прямо-
угольных координат, привести полученное уравнение к кано-
ническому виду.
1027. Дан эллипсоид
1
а2 Ь2 с2
1032 ] § 3. ЭЛЛИПСОИДЫ, ГИПЕРБОЛОИДЫ, ПАРАБОЛОИДЫ 145
И ПЛОСКОСТЬ
Написать уравнение эллипсоида, проходящего через линию
пересечения данного эллипсоида и плоскости, оси которого
были бы параллельны осям данного эллипсоида и имели бы
длину, вдвое большую, чем оси данного эллипсоида.
1028. Доказать, что если плоскость
Ах —J- By Cz D = 0
пересекает эллипсоид
fl2 । £2 « С2
то уравнение
у2 -»»2
~ + ^ + ^-^-HAx + By + Cz-\-D')=O
при всех значениях 1 определяет эллипсоид, оси которого
параллельны осям данного эллипсоида и проходят через
линию пересечения данного эллипсоида и плоскости.
1029. Найти геометрическое место фокусов гипербол,
получающихся при пересечении гиперболического параболоида
Р я
плоскостями, параллельными плоскости Оху.
1030*. Доказать, что параболоид вращения и круглый
цилиндр, оси которых параллельны, пересекаются по эллипсу,
большая ось которого лежит в плоскости, проходящей через
оси данных поверхностей, а малая ось перпендикулярна
к этой плоскости.
1031*. По какой линии пересекаются однополостный
гиперболоид
и сфера x2+j2 + ^2=a2?
1032*. Найти линию пересечения поверхностей
х2 — z2 = а2, х2 —у2 = 2az,
146
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 1033
1033*. Доказать, что эллиптический параболоид +
V2
4-^-=2£ и сфера x2-j-y2-j-z2 = 50z пересекаются по двум
окружностям. Найти центры и радиусы этих окружностей.
1034*. Доказать, что линия пересечения параболического
цилиндра z2 = x-^y с эллиптическим параболоидом враще-
ния х24-_у2 = г лежит на сфере.
1035*. По какой линии пересекаются эллиптический пара-
болоид
v2 ч»2
р q г у
и сфера
X2 у2 _|_ z2 = <2pZ?
1036. По какой линии пересекаются два эллипсоида
£1_1_ 1
fl2 I £2 1 C2 ’ f)2 1 a2 । C2 ’ •
где a^>b?
1037*. Написать уравнение эллипсоида с полуосями 4,
2, 1, для которого плоскости х + у + z — 1 = 0, х —у —
— 2£ = 0, х—_у + 1=0 служат плоскостями симметрии, при-
чем большая ось эллипсоида лежит на линии пересечения
первой и второй плоскостей, средняя ось лежит на линии
пересечения первой и третьей плоскостей, малая ось лежит
на линии пересечения второй и третьей плоскостей.
1038*. Составить уравнение поверхности второго порядка,
проходящей через точки (0, 0, 0), (1, 1, —1), (0, 0, 1), для
которой плоскости
х + у + z = 0, 2х — у — z — О, у — £4-1=0
являются плоскостями симметрии. Написать каноническое
уравнение этой поверхности.
1039*. Составить уравнение поверхности второго порядка,
для которой плоскости
х + У + z = 0, 2х — у — £ — 2 = 0, у — £4-1=0
являются плоскостями симметрии и которая проходит через
точки (1, 0, 0), (0, —1, 0), (1, 1, —1).
1040*. Написать уравнения поверхности, состоящей из
прямых, по которым пересекаются взаимно перпендикулярные
плоскости, проходящие через две данные прямые,
1045 ] § 4. ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ
147
§ 4. Определение типа и расположения поверхности
второго порядка по ее общему уравнению.
Применение инвариантов
Александров, гл. XIX, § 5; гл. XX, §§ 6, 7,
Моденов, гл. XII, § 166; Дополнение II, п. 5.
Во всех задачах этого параграфа, где нет указания на
характер системы координат, координатная система предпо-
лагается прямоугольной.
1041. Определить вид поверхности и ее расположение
относительно начальной системы координат, пользуясь пре-
образованием левой части ее уравнения:
1) х2 + 2-Чу +>2 — + 2г — 1=0;
2) Зх2 + 3у+3^2-6х + 4у- 1 — 0;
3) Зх2 + Зу2-6х + 4у-1=0;
4) 3x2-\-3y2 — 3z2 — 6x-\-4y-\-4z-}-3 = 0;
5) 4х2+у2-4ху-36== 0.
1042. Определить вид и расположение поверхности, поль-
зуясь переносом системы координат:
1) х2 + 4у2 + 9г2 - 6х + Зу - 36г = 0;
2) 4х2-_у2-г2 + 32х- 12^ + 44 = 0;
3) zx2~y* + 3z2-\3x+Wy+ 12^4-14 = 0;
4) 6y2 + 6z2 + 6x + 6y + 30z- 11=0.
1043*. Определить вид поверхности и ее расположение
относительно системы координат, пользуясь поворотом системы
координат вокруг одной из ее осей: 1) z2 — 2xy, 2) z = xy;
3) z2=3x + 4y; 4) г2=3х2 + 4ху; 5) z2 = x2 + 2ху +j/2+ 1.
1044*. Определить вид поверхности второго порядка и
ее расположение относительно исходной системы координат,
пользуясь переносом и поворотом системы координат вокруг
одной из ее осей:
1) x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy + 4z = 0;
2) х2 + 2х + Зу + 4г + 5 = 0;
3) ? = х2 + 2ху+у2+1.
1045. Доказать, что каждая из следующих поверхностей
является поверхностью вращения, определить ее вид,
148
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 1046
написать каноническое уравнение и найти расположение
поверхности относительно исходной системы координат:
1) х2 — 2у2 4-г2 4-4х_у — 4_уг — 8zx — 14х —
— 4у+ 14г 4- 18 = 0;
2) 5х2 + 8у2 4- 5г2 — 4ху -|- 4_уг -f- 8zx — бх 4- бу -|-
4-6^4-10 = 0;
3) 2уг -J- 2zx 4" 2ху 4“ 2х 4" 2у 4“ 2г ~|— 1 === 0;
4) Зх2 3_у2 4* Зг2 4- 2х_у — 2хг — 2_уг — 2х — 2_у —
-2г-1=0;
5) 2х24-6у24-2г24-8хг-4х-8у4-3 = 0;
6) 5х2 4- 2у2 4- 5г2 — 4ху — 4_уг — 2гх 4-10х — 4_у 4-
4-2г 4-4 = 0;
7) х2 4~_У2 4- •г2 — ХУ —yz — zx — 1 = 0;
8) 4х_у 4* 4^г 4- 4гх 4- 4х 4- 4у 4- 4г 4- 3=0.
1046. Определить вид каждой из следующих поверхно-
стей, написать ее каноническое уравнение и найти канони-
ческую систему координат:
1) 4х2 4-.У2 4* 4г2 — 4х_у 4- 4уг — 8гх —
- 28х 4-2у 4-16г 4-45 = 0;
2) 2х24-5_у24-2г2-2х_у-4хг4-2_уг4-
4-2х-Ю^-2г-1=0;
3) 7х24-7_у24-16г2—Юх_у — 8_уг —
— 8гх— 16х— 16_у —8г 4-72 = 0;
4) 4х2 4- 4_у2 — 8г2 — 1 Оху 4- 4_уг 4-
4- 4гх — 1бх — 1 бу 4* Юг — 2 = 0;
5) 2х2-7у2-4г24-4х_у4-20_уг —
- 16гх-|-60х- 12_у 4-12г — 90 = 0;
6) 7х24-6у24~бг2 — 4ху — 4уг —
— бх - 24у 4- 18г 4- 30 = 0;
7) 2х24-2у2-5г24-2х_у-2х-4_у-4г4-2 = 0;
8) 2x2 + 2y2-]-3z2 + 4xy + 2yz-{-
4- 2zx - 4х 4- бу — 2г 4- 3 = 0;
9) х2 4- бу2 4- z2 4- ^ху 4- 2_уг 4- бгх — 2х 4- бу 4- 2г = 0;
10) х2 — 2_у24-г24-4х_у4"4уг—10гх4-
4-.2х4-4_у-Юг-1=0;
11) 2х2 4-J2 4" 2г2 — 2ху 4“ 2_уг 4-4х 4-4г = 0.
1048 J § 4. ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ
149
1047*. С помощью инвариантов
/1 = ап 4- 022 4“ я33,
J 011 012
2 I 021 022
022
032
023
033
011 012 013
4 = 021 022 023
031 032 033
h-
0ц
021
031
01
0ц
031
012
022
032'
«2
и достаточные
013
033 I
013
023
033
03
для
01
02
03
а
того, чтобы
найти условия, необходимые
поверхность второго порядка, заданная общим уравнением
апх2 4" а22У2 4~ 0зз^2 + 2а12ху + ^023^^ 4" 4-
-j- 2«iX —J- 2«2>у 4~ ^dgZ 4~ 0===
была: 1) эллипсоидом; 2) мнимым эллипсоидом; 3) мнимым
конусом; 4) однополостнььм гиперболоидом; 5) двуполостным
гиперболоидом; 6) конусом; 7) эллиптическим параболоидом;
8) гиперболическим параболоидам.
1048*. Доказать, что: 1) следующие функции:
0Ц 013
0Ц
012
73 --- 021 °22
01
02
022 023 02
01
02 4~ ^32 033 03 4- 031 033
а
02 03 0
«1 (
азз аз
0з
03
01
03
а
0 I
коэффициентов многочлена второй степени с тремя перемен-
ными
0цАг2 4" 022^2 *4“ 0зз^2 4“ “h 2«31гх 4-
4~ 2«1Х 4~ 4“ ^d^z 4~ d
являются инвариантами однородного ортогонального преоб-
разования переменных;
2) 7з является инвариантом неоднородного ортогональ-
ного преобразования переменных, если
h—
0ц
021
031
01
012
022
032
«2
013
023
0зз
0з
аг
а2
0з
а
— о,
0Ц
7.3= 021
031
012
022
032
013
023
033
= 0;
3) 1* является
преобразования переменных, если /3 = 74 = 0 и
«22 «23 I (J Z* = 0
«32 «33 I
инвариантом неоднородного ортогонального
72 —
0ц «12
021 022
0ц «1з
031 0зз
150
Гл. vii. Поверхности второго порядка
[ 1049
Функции 7з и 7* называются семиинвариантами многочлена
второй степени с тремя переменными относительно ортого-
нального преобразования переменных.
1049*. С помощью инвариантов 1Ь 72, 73, /4, 7*, I* найти
условия, необходимые и достаточные для того, чтобы поверх-
ность второго порядка, заданная общим уравнением, была:
1) эллиптическим цилиндром; 2) мнимым эллиптическим цилинд-
ром; 3) парой мнимых пересекающихся плоскостей; 4) гипер-
болическим цилиндром; 5) парой действительных пересекаю-
щихся плоскостей; 6) параболическим цилиндром; 7) парой
действительных параллельных плоскостей; 8) парой мнимых
параллельных плоскостей; 9) парой совпадающих плоскостей.
1050*. Доказать, что если /3 = 74==0, то приведенное
уравнение поверхности второго порядка имеет вид
1) Х1а'2 + Х2жу'2 + “ = 0, если 72=^= 0;
72
здесь и Х2 —отличные от нуля корни характеристического
уравнения;
2) 4х'2±2 если = 1^0;
3) Л№+'Д = 0, если /2 = 0, /я* = 0, 7,^=0.
1051. Доказать, что следующие уравнения определяют
поверхности, распадающиеся на пару плоскостей, и найти
эти плоскости:
1) у2 + 2ху + 4xz + 2д/г — 4а — 2_у = 0;
2) х2 + 4_у2 + 9г2 — 4ху Ц- 6xz — 1‘2yz —
— х + 2у — 3z — 6 = 0;
3) 3X2_.4y2 + 3z2 + 4xy+ 10xz —
- 4yz + 6a - 20y - 14z - 24 == 0;
4) 4a2 + 9y2 + z2 — 12xy — 6yz +
4za + 4 a — 6_y -j- 2г — 5 = 0.
Система координат аффинная.
1052. Определить вид поверхности, пользуясь приведе-
нием левой части ее уравнения к сумме квадратов:
1) 4х2 + 6у2+ 4z2 + 4xz - 8у - 4z + 3 = 0;
2) а2 + 5у2 + z2 + 2ау + бАг + 2yz — 2а + Qy — 10? = 0;
1058 ] § 4. ТИП ^РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ
151
3) х2 + у2 — Зг2 — 2ху — Gxz — 6yz -ф 2х -ф 2у + 4г = 0;
4) х2 — 2у2 + + ^ХУ — $>xz —
— 4yz — 14х — 4y-j- 14г+ 16 = 0;
5) 2х2 + у2 + 2г2 - 2ху - 2yz + х - 4у - Зг + 2 = 0;
6) х2 — 2у2 + г2 + 4ху — 1 Oxz -ф 4yz + х + у — г = 0;
7) 2х2 + у2 + 2г2 — 2ху — 2yz + 4х — 2у = 0;
8) х2 — 2у2 + г2 + 4ху — 10xz-{-4yz +
+ 2х + 4у-Юг- 1=0;
9) х2 -\-у2 + 4г2 + 2ху + 4лтг + 4yz — 6г + 1 = 0;
10) 4ху-\-2х-}-4у — 6г — 3 = 0;
11) ХУ + xz + yz + 2х + 2у — 2г = 0.
Система координат аффинная.
1053*. Найти наибольший угол ф между образующими
конуса г2 + ^ХУ + ^xz + 2уг = 0, а также углы а, Р, у,
которые составляет его ось с осями координат.
1054. Выразить с помощью инвариантов условия, необ-
ходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение
второй степени определяло параболоид вращения, и найти7
его параметр.
1055*. С помощью инвариантов выразить условия, необ-
ходимые и достаточные для того, чтобы общее уравнение
второй степени определяло гиперболический параболоид
с равными параметрами главных сечений, и найти эти параметры.
1056*. 1) С помощью инвариантов найти условие, необ-
ходимое и достаточное для того, чтобы общее уравнение
второй степени с тремя неизвестными определяло однополо-
стный или двуполостный гиперболоиды с равными полуосями.
2) Пользуясь инвариантами, написать канонические урав-
нения этих гиперболоидов.
1057*. При каком необходимом и достаточном условии
два гиперболоида имеют общий асимптотический конус?
1058*. Дана поверхность второго порядка
х2 + У2 + z2 + 2аху 4- 2axz Ц- 2ayz = 1.
1) Доказать, что при всех значениях параметра а эта
поверхность является поверхностью вращения; найти направ-
ляющий вектор ее оси вращения.
2) Для каких значений параметра а поверхность будет
эллипсоидом?
152
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 1059
1059*. Доказать, что если общее уравнение второй сте-
пени F (х, у, г) = 0 определяет гиперболоид (однополостный
или двуполостный), то уравнение F (х, у, z)=~ опреде-
1 '3
ляет его асимптотический конус.
1060*. Определить k так, чтобы поверхность х2 3 — 2ху+
4-&?2 = o была конусом вращения, и найти ось вращения.
1061*. Доказать, что для того, чтобы в конус второго
порядка можно было вписать трехгранный угол, ребра кото-
рого попарно перпендикулярны, необходимо и достаточно;
чтобы /1 = 0. Доказать также, что в этом случае всякая
плоскость, проходящая через вершину конуса и перпенди-
кулярная к любой его образующей, пересекает конус по
двум взаимно перпендикулярным прямым.
1062*. Пусть уравнение второй степени F (х, у, г) = 0
определяет гиперболоид. Найти условия, необходимые и
достаточные для того, чтобы точка (х0, у0, г0) лежала
в области, ограниченной гиперболоидом и его асимптотиче-
ским конусом.
1063*. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы точка (х0, у0) г0) лежала внутри эллиптического
цилиндра, определяемого уравнением второй степени
F (х, у, г) = 0.
1064*. Составить уравнение конуса второго порядка,
пересекающего плоскость Oyz по окружности у2-}- z2 = 2ry,
х = 0, а плоскость Oxz по параболе z2~2px, д/ = 0.
1065*. Составить уравнение конуса второго порядка, на
котором лежат окружности
у2 + z2 — 2Ьу = 0,
x24-z2 — 2ах = 0,
х = 0;
у=0.
1066*. 1) Составить уравнение поверхности второго
порядка, пересекающей координатные плоскости по гиперболам
а2 п Ь2 п с2 п
yz = у, х = 0; xz = у, у = 0; ху = у, г = 0.
2) Определить вид этой поверхности.
3) Привести ее уравнение к каноническому виду при
a=b==c= 1.
1067*. 1) Составить уравнение поверхности второго
порядка, пересекающей плоскость Оху по паре прямых,
а плоскости Oxz и Oyz по окружностям радиуса г, касаю-
1070] § 4. ТИП И РАСПОЛОЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ. ИНВАРИАНТЫ
153
щимся оси Oz в начале координат и расположенным в поло-
жительных полуплоскостях.
2) Привести полученное уравнение к каноническому виду.
1068*. Составить уравнение параболоида, проходящего через
две прямые х = 0, z = % иу = 0, z = —2 и через две точки
(0, 1, —1) и (1, —1, 0).
1069*. Найти геометрическое место оснований перпенди-
куляров, опущенных из центра эллипсоида на плоскости, про-
ходящие через концы трех попарно перпендикулярных диа-
метров эллипсоида.
1070*. 1) Дан многочлен
аих2 + а22_у2 + «зз-г2 + 2а23_1^ + 2a31zx +
4" 2flj2A^V -|- 2(ZjX -|- 2а3г -]~ а
и невырожденная квадратичная форма
£n*2 4- 4- &з22 4- 2&3J2 4- 25з1гх + 2g12xy.
Доказать, что следующие функции коэффициентов данного
многочлена и квадратичной формы:
«11 «12 «13 «1
«21 «22 «23 а2
«31 «32 «33 «3
«1 «2 «3 а
£11 §12 §13
§21 §22 §23
§31 §32 §33
«11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33
£п £12 £13 £21 £22 £23 £з1 §32 §33
1 (Tq со to м ь- н» н» О Q to to tO £ tp £ WWW + 0 a w to M CTQ (7$ (7Q to to to . + 1 «11 «12 £13 «21 «22 £23 «31 «32 £33
/2 7. —- £11 £12 «13 £21 £22 «23 £31 £32 «33 + £11 £12 £13 £21 £22 £23 £31 £32 £33 £11 «12 £13 £21 «22 £23 £31 «32 £33 + «11 £12 £13 «21 £22 £23 «31 £32 £33
£11 £12 £13 £21 £22 £23 £31 £32 £зз
— являются инвариантами невырожденного неоднородного
линейного преобразования переменных х, у, z.
154
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 1070
2) Функции
г*____
Аз —
£11 012 013 01 0ц £12 013 01 0ц 012 £13 01
£21 022 023 02 4- 021 £22 023 02 4- 021 022 £23 02
£31 032 033 0з । 031 £32 033 0з 031 032 £зз 03
0 02 0з а 01 0 03 а 01 02 0 а
£п £12 £13
£21 £22 £гз
£31 £32 £зз
4*=
£11 £12 013 01 0ц £12 £13 01 £11 012 £13 01
£21 £22 023 02 4- 021 £22 £23 02 4- £21 022 £гз 02
£з! £32 °33 0з 031 £зг £зз 0з 1 £31 032 £зз 0з
0 0 03 а 01 0 0 а 0 02 0 а
£21
£з1
£12 £13
£22 £23
£32 £зз
являются инвариантами невырожденного однородного линей-
ного преобразования переменных х, у, z.
3) Если /4 =/3 = 0, то /3 является инвариантом невырож-
денного неоднородного линейного преобразования перемен-
ных х, у, z. Если /3 = /4_ — = то является инвариан-
том невырожденного неоднородного линейного преобразова-
ния переменных х, yf z.
4) Приведенные уравнения поверхностей второго порядка,
заданных общим уравнением
0цА'2 а22У2 4“ «ЗЗ^2 4~ ^^12^У 4~ 4“
4“ 2(24Л7 4- 2^2_у 4” 4~ & == О
относительно аффинной системы координат с метрическими
коэффициентами g^, записываются в следующем виде:
XpV 2 + ^2_У 4~ \зг' 4—= если /3 =4 0;
+ ± 2 А г'=0, если 4 = 0, 4=/=0;
Х1х,2 + Х2д/'2 + Д = 0. если 4=0, 4 = 0, 4 ф 0;
± 2 j/” — -Лу' = 0, если
4 = 0, 4=0, 4 = 0, 4*#=0;
+ если 4 = 0, 4 = 0, 4 = 0, /3=0, 4у= 0,
1074 ]
§ 5. касательная ПЛОСКОСТЬ
155
где Х2, Л3-—отличные от нуля корни характеристического
уравнения
аи — я12 — Ag12 «хз — Ag 13
«21 — Xg21 «22 — Xg22 «23— Ag23 ==0.
#31 — ЧУ31 #32 — ^Й32 #33 — ^£33
§ 5. Касательная плоскость. Прямолинейные
образующие
Александров, гл. XVIII, § 6; гл. XIX, §§ 3, 4.
Моденов, гл. XI, § 136, гл. XII, §§ 160, 161.
Постников, гл. 5, § 3, пп. 4, 5.
1071. Составить уравнение касательной плоскости к каж-
дой из следующих поверхностей в лежащей на поверхности
точке (-Vo, у0, г0):
у2 2) + У'2 Ь2 -I-*
у2 3)-^ + yL ь2 -s—~>•
у2 4)4 + У2 q ==2г;
5) — - 7 Р _у*_ q = 2г;
х'2 6)^+ у2 b'2 2*2 — (при условии, что точка (х0, у0, z0)
совпадает с вершиной конуса).
1072. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы нераспадающаяся поверхность второго порядка
ЯцХ2 4” #22 У2 “Ь ^ЗЗ^2 4“ 2«23.y^ + 4“ 1
4" 2(212*^)/ 4“ ^#1*^ 4- ^С^У 4“ ^CL^Z 4" CL = О
касалась плоскости Оху в начале координат.
1073*. Доказать, что касательная плоскость к поверхности
второго порядка пересекает поверхность по паре прямых (дей-
ствительных, мнимых или совпадающих).
1074*. Доказать, что любая плоскость, проходящая через
прямолинейную образующую однополостного гиперболоида или
гиперболического параболоида (не параллельная особому
направлению), касается поверхности.
156
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 1075
1075. Написать уравнение касательной плоскости к эллип-
соиду
проходящей через точку (12, —3, —1) и параллельной оси Oz.
1076. Написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую
х—2 _ у —3 __ г — 2
2 “ ~0~"
и касающейся эллипсоида
16 12 4
1077. Составить уравнение плоскости, проходящей через
прямую
х— 15 у г— 11
~0~ у
и касающейся гиперболического параболоида
1078. Составить уравнение касательной плоскости к по-
верхности
2х2 5j/2 -р 2г2 — 2ху 4- 6yz — 4х —у — 2г = 0,
проходящей через прямую
4х — 5_у=0, г—1=0.
1079. Найти касательную плоскость к поверхности
4х2 4- бу2 4~ 4г2 4~ 4хг — 8у — 4г 4~ 3 = 0,
параллельную плоскости х -|~ 2_у -J- 2 = 0.
1080. Найти касательную плоскость к двуполостному ги-
перболоиду
X2 . у2 Z2 ___
^2 "Г р — С2 —— >
отсекающую на осях Ох и Оу отрезки, соответственно рав-
ные а и bt
1087 ]
§ 5. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
157
1081. Найти касательную плоскость к однополостному
X2 V2 Z2
гиперболоиду ^2+g2 отсекающую на осях Ох и
Оу отрезки, соответственно равные а и Ь, и найти прямые,
по которым эта плоскость пересекает гиперболоид*
1082. Написать уравнение касательной плоскости к эллип-
тическому параболоиду
х2 V2
— -|- ~ = 2г, отсекающей- на осях Ох
и Оу отрезки, соответственно равные р и q.
1083*. Дан гиперболический параболоид
х2 у2 __
~2 8~ =
и плоскость
2 х Зу — z = 0.
Написать уравнение плоскости, параллельной данной и пере-
секающей параболоид по паре прямых; найти эти прямые.
1084. Найти точку пересечения прямолинейных образую-
щих однополостного гиперболоида
x2-j-y2 —-z2 = 1,
по которым его пересекает плоскость, параллельная плоско-
сти х-}-д/ —г = 0, и определить угол между этими образую-
щими.
1085. Найти точку пересечения прямолинейных образую-
щих гиперболического параболоида
х2—у2 = 2г,
по. которым его пересекает плоскость, параллельная плоско-
сти + 1 =0, и определить угол между этими обра-
зующими.
1086. Найти угол <р между прямолинейными образующими
однополостного гиперболоида
^+y-7J = i.
проходящими через точку (1, 4, 8), беря на этих образую-
щих лучи, направленные от данной точки к горловому
эллипсу.
1087*. Дан однополостный гиперболоид
х2 . у2 z2 1
_ +________ l
158
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
( 1088
Через его образующую
х—2 у г
“О” ~ 3 4
и точку (0, 3, 0) проведена плоскость. Найти вторую пря-
мую линии пересечения этой плоскости с гиперболоидом.
1088*. Доказать, что ортогональные проекции прямоли-
нейных образующих однополостного гиперболоида
х2 . у2 __ 22__।
и гиперболического параболоида
X2 v* Л
— — — = 2г
Р Я
на плоскости координат касаются сечений этих поверхно-
стей координатными плоскостями (для гиперболического пара-
болоида рассматриваются только проекции на плоскости Oyz и
Oxz).
1089. Найти прямолинейные образующие поверхности
х2 + у2 + z2 4- 2ху — 2xz — yz 4- 4х 4- Зу — 5г 4~ 4 = 0,
проходящие через точку (—1, —1, 1).
1090*. Дан гиперболический параболоид
16 "9 “ z'
Через его образующую
X _ у________Z
~4~ “ ~3~ ~ “(Г
и точку (1, 1, 1) проведена плоскость. Найти вторую пря-
мую линии пересечения параболоида с этой плоскостью.
1091*. Доказать, что если уравнение
апх2 + а22 у2 + aS3z2 + Za^yz + 2 aslzx + 1а12ху +
4" 2(72_У 4“ ^CL^Z CL = 0
определяет параболоид, то уравнение
Ъа^х + 2a2j/ + + cl — 0
является уравнением касательной плоскости к этому
параболоиду.
1092. Доказать, что направляющие векторы прямолиней-
ных образующих поверхности второго порядка, проходящих
1100 ]
§ 5. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ
159
через точку 714, принадлежат конусу асимптотических направ-
лений и касательной плоскости к поверхности в точке М
1093*. 1) Найти координаты направляющих векторов
прямолинейных образующих однополостного гиперболоида
I У2 г2 ____I
проходящих через точку (х0, у0, г0) гиперболоида.
2) Рассмотреть частный случай, когда точка принадлежала
горловому эллипсу поверхности.
1094. Найти направляющие векторы прямолинейных обра-
зующих гиперболического параболоида ——^- = 2z, прохо-
дящих через точку (л:0, j0, z0) этого параболоида.
1095*. Найти геометрическое место точек, лежащих на
гиперболическом параболоиде
х2 у2 о
------ = 2z,
р----я
через каждую из которых проходят две взаимно перпенди-
кулярные образующие.
1096*. Доказать, что нормали к невырожденной линей-
чатой поверхности второго порядка, проведенные в точках
прямолинейной образующей, составляют гиперболический
параболоид.
1097*. Доказать, что конус, образующие которого парал-
лельны нормалям к поверхности второго порядка в точках
ее плоского сечения, есть конус второго порядка.
1098*. Написать уравнение поверхности, состоящей из
прямых, пересекающих три прямые:
x=^f y = z; у =—1, г = 2х; у=1, z =—2х.
1099*. При каком необходимом и достаточном условии
плоскость
Ах + Ву + С^ + О = 0
касается невырожденной поверхности второго порядка
апх2 + а22у2 + а33г2 + 2a23jz + 2а31гх + 2а12ху +
—1~ 2а±х 2dc^y 2й3г -j— cl = 0?
1100*. Доказать, что любая плоскость пересекает одно-
полостный гиперболоид, гиперболический параболоид и конус
второго порядка.
160
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО порядка
[ 1101
1101*. При каком необходимом и достаточном условии
плоскость
Лх + Ду + Сг + Д = 0
пересекает каждую из следующих поверхностей:
П — j £ _i_ — — 1-
а2 + £2 + С2 ~ Ь
у2 -4(2 2>2
3) /+ / = 2’ (р>0’ 9>0)-
1102*. При каком необходимом и достаточном условии
плоскость
Ax-j-By-j-Cz-j-D — 0
касается каждой
х2 . у2
О а2~~Г Ь2
2) — 4- -Л-
> а2 Ь2
3) х2 । _
°' а2 ' Ь2
4) xL + yL=2z;
’ р q
г2 V2
5) х-----^- = 2г.
’ р q
из следующих поверхностей:
28 1;
с2
С2
* 1:
с2
1103*. Доказать, что плоскость, касательная к асимпто-
тическому конусу центральной поверхности второго порядка,
пересекает поверхность по параллельным прямым, симмет-
ричным относительно прямой, по которой происходит каса-
ние плоскости с конусом.
§ 6. Центр. Диаметральные плоскости; плоскости
симметрии и оси симметрии
Алекса н д р о в, гл. XIX, § 5; гл. XX, §§ 1—4, 6.
Моденов, гл. XII, §§ 155, 156, 159, 163—165. "
1104. Написать уравнение поверхности второго порядка,
проходящей через точку (0, 0, 1), имеющей центр в точке
(0, 0, —1) и пересекающей плоскость Оху по линии
Зх2 — 4ху — 3 = 0, z = 0.
1110 ] § 6. ЦЕНТР. ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ 161
1105. Дан однополостный гиперболоид
х2 . у2 г2___________________«
Т + 9 ~ Тб“
и плоскость
6x + 4j-3^- 12 = 0.
Определить направление хорд, которым сопряжена диамет-
ральная плоскость, параллельная данной плоскости.
1106. Написать уравнение диаметральной плоскости гипер-
болического параболоида
проходящей через прямую
х=у, ^=1,
и найти направление тех хорд, которым сопряжена эта
плоскость.
1107. Дан эллиптический параболоид. ✓
и две точки (3. 0, 5) и (0, 4, 7). Написать уравнение диа-
метральной плоскости параболоида, проходящей через дан-
ные точки, и определить направление сопряженных ей хорд.
1108*. Дан параболоид вращения
x2-}-j/2 —2/лг
и круглый цилиндр
(х — а)24-г2 = г2.
Написать уравнение плоскости, которая была бы диаметраль-
ной плоскостью как для параболоида, так и для цилиндра-
1109*. Написать уравнение плоскости, пересекающей
однополостный гиперболоид
х2 , у2 г2____,
т + ’з’-'Т
по линии, центр которой находится в точке (6, 6, 5).
1110*. Доказать, что если три некомпланарные хорды
поверхности второго порядка проходят через одну точку и
делятся в ней пополам, то эта точка является центром
поверхности.
6 п. С. Моденов, А. С. Пархоменко
162
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО порядка
[ 1111
1111*. Доказать, что есл^р за ось Oz принять произволь-
ную прямую, не имеющую асимптотического направления
поверхности второго порядка, а за плоскость Оху — диамет-
ральную плоскость, сопряженную направлению этой прямой, то
в уравнении поверхности будут отсутствовать члены с произ-
ведениями координат xz и yz.
1112*. Доказать, что плоскость пересекает эллиптичес-
кий или гиперболический параболоид по линии второго
порядка, имеющей единственный центр тогда и только тогда,
когда плоскость сечения не параллельна особому направ-
лению.
1113*. Доказать, что плоское сечение центральной поверх-
ности второго порядка имеет единственный центр тогда и
только тогда, когда плоскость, проходящая через центр
поверхности и параллельная плоскости сечения, пересекает
асимптотический конус поверхности по двум различным пря-
мым (действительным или мнимым).
1114. Доказать, что касательные плоскости к поверхности
второго порядка в концах ее диаметра параллельны между
собой.
1115*. Как запишется уравнение однополостного гиперболой
ида, если за начало координат принять точку поверхности,
за оси Ох и Оу — проходящие через нее прямолинейные
образующие, а за ось Oz — проходящий через нее диаметр.
1116*. Доказать, что каждая плоскость, параллельная
особому направлению эллиптического или гиперболического
параболоида, является диаметральной плоскостью, сопряжен-
ной к однозначно определенному неособому направлению.
1117*. Доказать, что диаметральные плоскости, сопря-
женные к неособым направлениям, параллельны тогда и
только тогда, когда плоскость, параллельная этим направле-
ниям, параллельна особому направлению.
1118*. Доказать, что диаметральная плоскость, сопря-
женная неасимптотическому направлению, пересекает асим-
птотический конус поверхности по двум различным обра-
зующим.
1119*. Написать уравнение гиперболического парабо-
лоида, принимая за начало координат произвольную точку О
поверхности, за оси Ох и Оу — прямолинейные образующие,
проходящие через эту точку, за ось Oz — проходящий через
нее диаметр, а за единичную точку Е — произвольную точку
поверхности, отличную от точки О.
1125]
§ 6. ЦЕНТР. ДИАМЕТРАЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
163
I 1120*. Написать уравнение конуса второго порядка, при-
I нимая за оси Ох и Оу его образующие, за ось Oz — пря-
I мую, сопряженную плоскости, проходящей через эти обра-
Г зующие, а за единичную точку Е — произвольную точку
f конуса, отличную от его вершины.
f 1121*. Как запишется уравнение поверхности второго
> порядка, если за начало координат принять точку О поверх-
> ности, за ось Oz — проходящий через эту точку диаметр,
а за оси Ох и Оу —прямые, лежащие в касательной пло-
4 скости и имеющие сопряженные направления относительно
данной поверхности?
1122*. Написать уравнение конуса второго порядка, при-
нимая за начало координат его вершину, а за оси коорди-
нат—три прямые, имеющие попарно сопряженные направ-
ления.
1123*. Написать уравнение эллипсоида, принимая за
начало координат его центр, за оси координат — попарно
сопряженные диаметры, а за единичные точки осей коорди-
нат—точки пересечения этих диаметров с эллипсоидом.
1124*. Две плоскости, из которых каждая параллельна
направлению, сопряженному другой относительно поверх-
ности второго порядка, называются сопряженными относи-
тельно этой поверхности. Найти необходимое и достаточное
условие того, что две плоскости
А^х 4~ Bty -j- C±z 4~ £?£ = 0,
Д2х 4" В2у 4- C%z 4~ D% = 0
сопряжены относительно поверхности второго порядка
ЛцХ2 + 6Z22^2 + <W2 + Za^yz + 2а31гл; + Ъа^ху +
2atx 2а2жУ 4- 2#3,г 4- я = 0.
1125. Найти угол между единичным вектором и —{а, р, у}
и диаметральной плоскостью поверхности второго порядка
#цХ2 4- 6Z22j/2 + а33г2 4- 2я23_Уz 4- 2^31^х 4” ^а^ху 4-
4- 2« ^х 4“ 2б72^у 4- 2^z3^ 4~ я =5 о?
сопряженной направлению вектора и.
6*
164
ГЛ, VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[1126
1126*. Доказать, что если р' и —параметры парабол,
получаемых в сечении эллиптического параболоида
у 2 4/2
7 + 7=^ (р>°> <?>°)
двумя его сопряженными диаметральными плоскостями, то
p'+q’=p+q-
1127*. Доказать, что если р' и ^' — параметры парабол,
получаемых в сечении гиперболического параболоида
двумя сопряженными диаметрами, то
p'-q'=p-q-
1128*. Доказать, что плоскости симметрии поверхности
второго порядка, перпендикулярные к хордам неасимптоти-
ческого направления, могут быть заданы уравнением
CZ (Лх + #i) 4~ Р (^У + ^2) 4“ Т (Л^ + ^з)~
где {а, Р, у}—вектор, имеющий главное направление, соот-
ветствующее корню К характеристического уравнения.
§ 7. Плоские сечения поверхностей второго порядка
Моденов, Дополнение III.
1129*. Составить уравнения плоскостей, проходящих
через точку (а, 0, 0) и пересекающих однополостный гипер-
j^2 ч/2 ^2
болоид ——— =1 по двум параллельным прямым.
ИЗО. Найти линию пересечения однополостного гипер-
болоида х24-_У2~-£2—1 и плоскости Зх4~4у — 5г = 0.
1131. Доказать, что плоскость
пересекает гиперболический параболоид
7-7=^ (р>0,?>0)
по прямой, и составить ее уравнения.
1139]
§ 7. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ
165
асимптотический
гиперболоид рас-
асимптотическому
плоскости, пересекающей
1,
ar-bb,
1132*. По какой линии касательная плоскость к одно-
полостному гиперболоиду рассекает его
конус?
1133*. По какой линии однополостный
секается ’ касательной плоскостью к его
конусу?
1134*. Плоскость л пересекает конус
х2 . у2 г2 п .
^ + Ь2— 0> a'-J
по гиперболам. В каких границах может изменяться эксцен-
триситет гиперболы?
1135*. Написать уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и пересекающей по окружности эллипти-
ческий цилиндр
a2 r Z?2
1136*. Составить уравнение
гиперболический цилиндр
х2 у2
dz &
по равносторонней гиперболе и проходящей: 1) через ось Ох;
2) через ось Оу. Найти полуоси этих гипербол.
1137*. Составить уравнение плоскости, пересекающей
гиперболический параболоид ~ — ~ = 2zf /?>0, по
равносторонней гиперболе и проходящей: 1) через \зсь Ох;
2) через ось Оу. Найти полуоси этих гипербол.
1138*,. В каждом из следующих случаев определить вид
линии пересечения поверхности с плоскостью и определить
расположение линии относительно исходной системы коор-
динат:
1) х2-^у2 — г2 = 0, х — z -[-1=0;
2)^+£ + ^,,.+г+ф_о;
3) х22у2z24ху — 2xz —
— 4yz 4- 2х 6z = 0, х — z = 0.
1139*. Определить вид линии, по которой плоскость
+ 1 = 0 пересекает параболический цилиндр у2=2л*.
166
ГЛ. VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[ 1140
Написать каноническое уравнение этой линии и найти кано-
ническую систему координат.
1140*. Определить вид линии пересечения конуса х2 +
+ j/2 —г2 = 0 с плоскостью 4х~ Зу —- 5г+ 4 = 0. Написать
каноническое уравнение этой линии и найти каноническую
систему координат.
1141*. Определить вид линии пересечения однополостного
гиперболоида х2-\-у2 — г2=1 и плоскости 2х + + z —
—1=0. Написать каноническое уравнение этой линии и
найти каноническую систему координат.
1142*. Найти фокусы эллипса, получающегося при пере-
сечении цилиндра х2-\-у2=36 плоскостью Зх + 4у +12г = 0.
1143*. Найти все значения параметра k, для каждого из
которых плоскость пучка
2x+y-\-2-]-k(y + z) = 0
пересекает конус
х2+з?2 — г2 = 0
по эллипсу.
1144*. Через прямую Ъх — Ъу — г провести плоскость,
пересекающую гиперболический параболоид 4х2—д/2 + г = 0
по равносторонней гиперболе.
1145*. Какого типа линии получаются при пересечении
двуполостного гиперболоида и плоскости, если плоскость
пересекает: 1) одну полость гиперболоида; 2) обе полости
гиперболоида.
1146*. Пусть плоскость л не проходит через вершину
конуса второго порядка. Доказать, что плоскость л пересе-
кает конус по эллипсу, если плоскость л', проходящая через
вершину конуса и параллельная плоскости л, имеет с кону-
сом только одну общую точку (вершину конуса); плоскость л
пересекает конус по параболе, если плоскость л' и конус
имеют единственную общую прямую (касается конуса вдоль
этой прямой); плоскость л пересекает конус по гипер-
боле, если плоскость л' пересекает конус по паре различ-
ных прямых.
1147*. По линиям какого типа может пересекать плоскость
каждую из следующих поверхностей: 1) эллипсоид; 2) одно-
полостный гиперболоид; 3) двуполостный гиперболоид; 4) ко-
нус; 5) эллиптический параболоид; 6) гиперболический пара-
болоид.
1150]
§ 7. ПЛОСКИЕ СЕЧЕНИЯ
167
1148>Я. Найти необходимый и достаточный признак типа
линий пересечения плоскости
Ax + By + Cz + D = V
с каждой из следующих поверхностей:
г- 22
1) — 4-<- 4- — = 1-
' с?г Ь2' с* 9
2)
3)
4)
X2 . J/2 __ Z2
а2 * 62 с2
х2 .у2 _ г2____
S2 ' Ь2
— — = 0-
С2 Т £2 С2 ’
1
5)7 + 7=22> Р>°, ?>°;
6)7~7=2г’ р>°’ ч>°-
1149*. Найти все плоскости, пересекающие по окруж-
ности каждую из следующих поверхностей:
1) _j_ Д _|_ Д— 1 д2 ' Ь2 ~Г С2 ’ >ь^ >с;
2) х2 jv2 г2 j а2 ' Ь2 с2 ’ а >ь-,
3) х2 . у2 Z2 । ^2 + ^2 — ^2 —— > а >Ь;
4) 1 —л а2 + 62 с2 U’ >Ь;
5) у2 - + - = 2z, р ц PZ >0;
6) д_-У21 а2 “Г” Ь2 ’ >.ь.
1150*. Точка поверхности второго порядка называется
омбилической, если касательная плоскость к поверхности
в этой точке параллельна плоскостям круговых сечений.
Найти омбилические точки каждой из следующих поверх-
ностей:
1) _1_ Т2 _1_ £2 = 1
7 а2 г Ь2 ' с2
7 а2 Ь2 с2
3) Д ^_Д = 2г,
' ₽ г <?
а > b > с;
а^>Ь\
\
Р>д>о.
— 1
168 ГЛ; VII. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА {1151
1151*. Найти радиус кругового сечения эллипсоида
%2 . у2 , z2 .
а2 Ь2 с2 —
и однополостного гиперболоида
плоскостью, проходящей через центр поверхности.
1152*. 1) Найти необходимое и достаточное условие того,
что плоскость
Ax + By + C^ + D^=0 (1)
пересекает поверхность второго порядка
Ян*2 + а22У2 + Язз^2 + 2^23^ + 2a3i^x + 2а12ху +
-|- Ц- 2б72-у "4“ а = 0 (2)
по центральной линии. j
2) Определить координаты центра линии пересечения по-
верхности (2) с плоскостью (1). ;
ГЛАВА VIII
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Аффинные преобразования
Александров, гл.-XI, §§ 1—5; гл. XVII, § 12.
Моденов, гл. XIV, §§ 171-179, 186.
Постников, гл. 7, § 1, пп 1 — 3; § 2, п. 2.
1. Аффинные преобразования плоскости
1153. Написать формулы поворота плоскости на угол <р:
1) вокруг начала координат; 2) вокруг точки (х0, j/0). Система
координат прямоугольная.
1154. Написать формулы преобразования гомотетии пло-
скости с коэффициентом k: 1) с центром в начале коорди-
нат; 2) с, центром в точке (х0, j/0). Система координат
аффинная.
1155. Найти аффинное преобразование, переводящее вер-
шины прямоугольного треугольника О = (0, 0), Л = (1, 0),
£? = (0, 1) соответственно в вершины равностороннего тре-
угольника __
О = (0, 0), д = (1, 0), Я'Ц1, £з).
Система координат прямоугольная.
1156. Найти аффинное преобразование, переводящее точку
(6, -—2) в точку (1, 1), а векторы {2, 1} и {—1, 2} — соот-
ветственно в векторы {4, 2} и {— 3, 6}. Система координат
аффинная.
1157. Определить аффинное преобразование, которое
точки Лх = (1, 0), Л2 = (0, 2), Л3 = (—3, 0) переводит соот-
ветственно в точки Л^ = (2, 3), А%~(—1,4), Л3 = (—2,-1).
Система координат аффинная.
1158. Найти аффинное преобразование, обратное преоб-
разованию
х' = 2jr + Зу — 7, у' = Зх + 5у — 9.
Система координат аффинная.
170 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1159
1159. Даны два аффинных преобразования:
А: х' = 2х-\-у — 5, у’ ~3х —у + 7;
В\ х' — х — J4-4, у' =—х-\-2уА-5.
Найти преобразования АВ и ВА. Система координат аф-
финная.
1160. Дано аффинное преобразование х' = 3х + 4у—12,
у' — 4х — Зу-|-6. На прямой 1х — 2у — 24 = 0 найти такую
точку, которая при этом преобразовании переходит в точку,
лежащую на этой прямой. Система координат аффинная.
1161. Дано аффинное преобразование х' = 2х-\-у — 2У
у'~ х-у — 1 и точка Д = (1, 1). Найти прямую, проходя-
щую через точку А, которая при этом преобразовании пере-
ходит в прямую, также проходящую через точку А. Система
координат аффинная.
1162. Дано аффинное преобразование х' ~ 1 Ох -|- 1 lyt
у' = 10х-|-9у. Найти вектор, который при этом преобразо-
вании переходит в вектор, ему ортогональный. Система
координат прямоугольная.
1163*. Найти неподвижную точку аффинного преобразо-
вания, переводящего точки А, В, С соответственно в точки
В, С, А.
1164. Найти преобразование подобия, являющееся произ-
ведением поворота на угол вокруг точки (1, 1) и гомоте-
тии с центром в этой точке и коэффициентом 3. Система
координат прямоугольная.
1165*. Найти преобразование подобия с неподвижной
точкой (2, 1), переводящее точку (2, — 9) в точку (—2,-2).
Система координат прямоугольная.
1166*. Найти аффинное преобразование, являющееся
произведением симметрии относительно прямой х Ц- Зу — 5 = 0
и гомотетии с центром в точке (2, 1) на этой прямой и коэф-
фициентом 3. Система координат прямоугольная.
1167. Найти формулы аффинного преобразования, являю-
щегося произведением поворота вокруг точки (2, 1) на угол
4
— arccosy и растяжения с центром (1, 2) и коэффициен-
том 5. Найти неподвижную точку этого преобразования.
Система координат прямоугольная.
1168*. Найти аффинное преобразование, являющееся
сжатием к прямой 2х + у — 2 = 0 с коэффициентом сжатия,
равным 3. Система координат прямоугольная.
1175] § 1. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 171
1169*. Найти аффинное преобразование, являющееся про-
изведением сжатия к прямой
— 2 = 0
с коэффициентом ~ и сжатия к прямой х — у — 0 с коэф-
фициентом 2. Система координат прямоугольная.
1170*. Найти аффинное преобразование, являющееся про-
изведением сжатия к прямой
х+у— 1=0
с коэффициентом у и симметрии относительно этой прямой.
Система координат прямоугольная.
1171*. Выяснить геометрический смысл аффинного пре-
образования, переводящего вершины треугольника АВС
в середины противолежащих им сторон.
1172*. Доказать, что преобразование
х' = Зх + 4у 6,
у =4х-Зу-12
является преобразованием подобия, меняющим ориентацию.
Представить это преобразование в виде произведения сим-
метрии относительно прямой и гомотетии, центр которой
лежит на этой прямой.
1173*. Доказать, что преобразование
х' = Зх — 4у -|- 10,
у' =Ах -\-Зу — 10
является преобразованием подобия, сохраняющим ориентацию.
Представить это преобразование в виде произведения гомо-
тетии и поворота вокруг центра гомотетии.
1174*. Выяснить геометрический смысл аффинного пре-
образования:
1) х' = ах — by, у' —Ьх-\-ау;
2) х' ~ах-\-Ьу, у' —Ьх — ау.
Система координат прямоугольная.
1175. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые
аффинного преобразования
х' = 7х — у + 1, у' =4х + 2у4-4.
Система координат аффинная.
172 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [1176
1176. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые
аффинного преобразования
, 13 , 4 8
Х =5Х+5-у-5‘>
, 4,7 4
•У — 5 X + ”5 У 5 •
Система координат аффинная.
1177*. Как запишется аффинное преобразование xf ~х +
+ у' =4x-j-3y, если за новые оси аффинной системы
координат принять инвариантные прямые? Система координат
аффинная.
1178*. Доказать, что если аффинное преобразование обла-
дает единственной инвариантной точкой, то всякая инвари-
антная прямая проходит через эту точку.
1179. Найти такое аффинное преобразование, для кото-
рого все точки оси Ох являются инвариантными, а точка
А = (2, 6) переходит в точку А' = (— 1, —4). Система коор-
динат аффинная.
1180*. Определить такое аффинное преобразование, при
котором каждая точка прямой х4-2у—1=0 является инва-
риантной и точка (1, 2) переходит в точку (2, 2). Система
координат аффинная.
1181*. Определить аффинное преобразование, при кото-
ром прямые х + у х —у 4-2 = 0 переходят в себя,
а точка (1, 1) —в точку (2, 1). Система координат аффинная.
1182*. Найти такое аффинное преобразование, при кото-
ром прямые — бу — 7 = 0 и Зх — 4у = 0 переходят соот-
ветственно в прямые 2х4-\У — 4 = 0 и х— 4- 1 = 0, а точка
(6, 4) —в точку (2, 1). Система координат аффинная.
1183. Дано аффинное преобразование
х'=~х, У' = ^У-
Найти такие прямые, которые этим преобразованием изомет-
рически отображаются на свои образы. Система координат
прямоугольная.
1184. Относительно прямоугольной системы координат
дано аффинное преобразование
xr =k±x, y'=k2y, 1 > Л2>> 0.
Найти такие прямые, которые этим преобразованием изомет-
рически отображаются на свои образы.
f 191 ]
§ 1. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
173
1185. Дано аффинное преобразование х' — kx, уг ~~ у.
Найти такие прямые, которые этим преобразованием изомет-
рически отображаются на свои образы. Система координат
прямоугольная.
1186*. Доказать, что если kr и ^ — коэффициенты сжа-
тия аффинного преобразования, а —- произвольный вектор
и а' —его образ при данном преобразовании, то
1187*. Относительно прямоугольной системы координат
дано аффинное преобразование хг = 1х -\-у. у' =— бх-ф-бу
Найти два таких взаимно перпендикулярных вектора, кото-
рые при этом преобразовании переходят во взаимно перпен-
дикулярные векторы.
1188*. Определить площадь параллелограмма, стороны
которого относительно прямоугольной системы координат
определяются уравнениями
Ax + ^y + C = 0, Ax + By + D^=Qt
А'хВ'у-\-С'— О, А'х-\-В'у-\~В'~®.
1189*. Через точку Р = (1б, 6) провести прямую, отсе-
кающую от прямых бх—-2у — 6 = 0, 2х-±-5у — 2 = 0 тре-
угольник, площадь которого равна 29. Система координат
прямоугольная.
1190. Через точку Р=(—3, —5) провести прямую, отре-
зок которой между прямыми 2х-|-3_у — 15 = 0, 4х — 5у —
— 12 = 0 в точке Р делится пополам. Система координат
аффинная.
1191*. Дано аффинное преобразование
х' == ЯцХ -ф- #12.У Н" уГ ^21-^ Н" а22У + ^2*
Найти его каноническую запись в зависимости от корней
и Л2 характеристического уравнения
а П12 1 I ~~ “ а12а21 — 0
#21 #22— Л I
и ранга г матрицы
#11 — а12 У
k #21 #22 — К
в случае кратного корня Z. Рассмотреть следующие случаи:
174 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1192
1) корни Zx и Z2 действительные различные, не равные 1;
2) корни Zx и Z2 комплексные сопряженные:
Z1>2 = a±pz, Р#0;
3) Z —кратный корень, не равный 1, и г = 0;
4) Z-—кратный корень, не равный 1, и г==1;
5) Zj Х2 — 1;
6) Z=l—-кратный корень и г = 0;
7) Z=l—кратный корень и г=1.
2. Ас/зфинные преобразования пространства
1192. Найти аффинное преобразование, при котором
точ^и O=s=(0, 0, 0), £1==(1, 0, 0) и Е2 = (0, 1, 0) остаются
неподвижными, а точка Е3 = (®, 0, 1) переходит в точку Е =
— (1, 1, 1). Система координат аффинная.
1193. Вершины тетраэдра ABCD находятся в точках
А = (0, 0, 0), £ = (1, 0, 0), С = (0, 1, 0), D = (0, 0, 1). Найти
аффинное преобразование, оставляющее вершину А на месте
и переводящее середины ребер АВ, AC, AD в середины
противоположных им ребер. Система координат аффинная.
1194. Вершины тетраэдра ABCD находятся в точках
Д = (0, 0, 0), В = (\, 0, 0), С = (0, 1, 0), Г> = (0, 0, 1). Найти
аффинное преобразование, переводящее вершины А, В, С, D
соответственно в вершины В, С, D, А. Найти инвариантные
точки, инвариантные прямые и инвариантные плоскости этого
преобразования. Система координат аффинная.
1195*. Выяснить геометрический смысл аффинного пре-
образования, переводящего вершины тетраэдра в центры
тяжесги противолежащих им граней.
1196*. Выяснить геометрический смысл аффинного пре-
образования
х' = Зх — 4у,
у' = 4х-1-Зу,
z' = 5z.
Система координат прямоугольная.
1197*. Доказать, что если аффинное преобразование обла-
дает единственной неподвижной точкой, то все прямые и пло-
скости, инвариантные относительно этого преобразования,
проходят через эту неподвижную точку.
1205 ]
§ 1. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
175
1198*. Доказать, что через всякую неподвижную точку
аффинного преобразования проходит инвариантная плоскость,
параллельная каждой инвариантной плоскости этого аффинного
преобразования.
1199*. Найти инвариантные точки, прямые и плоскости
аффинного преобразования
хг = 2х -ф^у 1»
у' — 2у + ^ + 2,
г' = 2г + 3.
Система координат аффинная.
1200*. Найти инвариантные точки, прямые и плоскости
аффинного преобразования
х' = 3х —4у4-6, у = 4х + 3у —8, г' =—2гЦ-9.
Система координат аффинная.
1201*. Дано аффинное преобразование
х' = х4-у/,
y'^y-Yz,
z' = z-\-1.
Установить, обладает ли это преобразование инвариантной
точкой, инвариантной прямой или инвариантной плоскостью.
Система Координат аффинная.
1202*. Найти инвариантные точки, инвариантные прямые
и инвариантные плоскости аффинного преобразования
х' — 6х — 2у — Зг,
у' — — 2х 4~ Зу — 6г + 6,
z' =— Зх — бу — 2г Ц-12.
1203*. Найти аффинное преобразование, являющееся сжа-
тием к плоскости 2х — 2_у-ф-г — 2 — 0 с коэффициентом
сжатия у. Система координат прямоугольная.
1204*. Доказать, что при подобном преобразовании пло-
скости или пространства с коэффициентом подобия k 1
существует неподвижная точка и притом только одна.
1205. Написать формулы аффинного преобразования
пространства, переводящего репер с начальной точкой
176 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1206
А^=(х0, у0, z0) и базисными векторами ai={#n, я21> «31},
«2 = {«12, «22» «зг}> ^3 = {«13» «23> «зз} в репер с началь-
ной точкой А' — (х^ у^ 2д) и базисными векторами Ьг =
— {^11> ^21> ^31}> Ь2— {^12, Ь22) &32}, Ь3 = {Ь19) /?23> ^зз}*
§ 2. Аффинные преобразования линий второго порядка
Александров, гл. XVI, § 5.
Моденов, гл. XIV, §§ 187, 188.
1206. Найти геометрическое место точек пересечения
касательных к эллипсу, проходящих через концы его сопря-
женных диаметров.
1207. Найти геометрическое место середин хорд эллипса,
соединяющих концы сопряженных диаметров.
1208. Определить коэффициент гомотетии двух гомоте-
тичных эллипсов с общим центром, если треугольник, впи-
санный в первый эллипс, является описанным около второго
эллипса.
1209. Доказать, что центр тяжести треугольника, вписан-
ного в один эллипс и описанного около другого, гомотетич-
ного первому, с тем же центром, есть центр эллипса.
1210. Определить геометрическое место середин хорд
эллипса, отсекающих от него сегменты постоянной площади.
1211. Доказать, что прямые, соединяющие концы сопря-
женных диаметров эллипса, касаются эллипса, гомотетичного
данному. Найти коэффициент гомотетии.
1212*. Доказать, что отрезки ММг и ММ2 касательных,
проведенных из какой-либо точки 714 к эллипсу и М2—>
точки касания), относятся между собой как диаметры, кото-
рым они параллельны.
1213*. Доказать, что длины хорд, стягивающих дуги,
заключенные между двумя параллельными секущими к эллипсу,
относятся друг к другу как диаметры эллипса, параллельные
этим хордам.
1214. Около эллипса описан четырехугольник. Доказать,
что сумма площадей двух треугольников, имеющих общей
вершиной центр эллипса, а основаниями соответственно две
противоположные стороны четырехугольника, равна сумме
площадей двух других таких же треугольников.
1215. Пусть А, А'— концы одной пары сопряженных
диаметров эллипса, а В, В' — концы другой пары сопряжен-
1225]
§ 2. АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНИЙ
177
ных диаметров. Доказать, что среди прямых АВ, А'В', АВ'
и А'В есть две параллельные.
1216. Доказать, что два сопряженных диаметра эллипса
делят его на четыре равновеликие части.
1217. Доказать, что если Д40 = (х0, >'о) — произвольная
точка плоскости и Р —точка пересечения луча ОМ с эллип-
х2 , V2 . чХ2 , у2 /ОМ\2
1218*. Найти аффинное преобразование, которое перево-
дит в себя эллипс
а2 -г 62
1219*. Найти аффинное преобразование, сохраняющее ори-
ентацию, при котором эллипс
а2 Ь2
переходит в тот же эллипс и точка (а, 0) переходит в точку
(0, Ь).
1220*. Найти те аффинные преобразования, при которых
гипербола ху~с переходит в себя.
1221*. Найти все аффинные преобразования, переводящие
X2 V2
гиперболу ^—^-=1 в себя. Доказать, что определитель
этих преобразований равен ± 1. Показать, что все эти пре-
образования образуют группу.
1222*. Определить аффинное преобразование, при кото-
ром гипербола х2 — переходит в ту же гиперболу,
причем точка (1, 0) переходит в точку (У 2, 1).
1223*. I) Найти общий вид аффинных преобразований,
при которых парабола у2 — 2рх переходит в ту же параболу.
2) Найти все аффинные унимодулярные преобразования,
при которых парабола у2 = 2рх переходит в ту же параболу.
1224*. Доказать, что существует и притом только одно
аффинное преобразование, переводящее параболу в себя, при
котором две произвольные точки параболы переходят в две
точки, также лежащие на этой параболе.
1225*. Определить такое аффинное преобразование пара-
болы у2 — 2х в себя, которое переводит точки (2, 2) и 1 j
_? з\
2 ’ V
соответственно в точки (8, 4) и
178 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 122'6
1226*. Определить геометрическое место середин хорд
параболы у2 = 2рх, отсекающих сегменты параболы постоян-
ной площади.
1227*. Доказать, что:
1) при всяком аффинном преобразовании существует рав-
носторонняя гипербола, образом которой является равносто-
ронняя гипербола;
2) если аффинное преобразование переводит некоторую
окружность в окружность, то это преобразование является
подобием.
§ 3. Изометрические преобразования
Александров, гл. XI, § 6 — 8; гл. XXV, §§ 3, 4.
Моденов, гл. XIV, §§ 180—183.
П о ст н и к о в, гл. 7, § 1, п. 5; § 2, п. I, пп. 3, 4.
Во всех задачах этого параграфа система координат
предполагается прямоугольной.
1. Изометрические преобразования плоскости
1228. Написать формулы поворота ориентированной пло-
скости на угол <р вокруг точки (х0, yG).
1229. Найти неподвижную точку изометрического преоб-
разования плоскости
х' = х cos <р — у sin <р + 'х0,
у’ = х sin <р +> cos <р -фУо> <Р 2 Ал.
1230*. Написать формулы изометрического преобразования
плоскости, являющегося произведением симметрии относительно
прямой, проходящей через точку (а;0, j/0) с направляющим
вектором a = {cos(p, sin ср}, и переноса вдоль этой прямой
на вектор, имеющий направление вектора а и длину d.
1231*. Дано изометрическое преобразование
х’ = х-\- xG,
У’ = — У+Уо,
меняющее ориентацию плоскости. Найти ось симметрии и век-
тор переноса вдоль оси симметрии.
1239]
§ 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
179
1232*. Дано изометрическое преобразование
х' = х cos ф + у sin ф, у' = х sin ф — у cos ф,
меняющее ориентацию плоскости. Доказать, что это преоб-
разование является симметрией относительно прямой, и напи-
сать уравнение оси симметрии.
1233*. Дано изометрическое преобразование
х' = X COS ф Sin ф + х0,
у' ~ X sin ф — у COS ф + у0.
Найти ось симметрии и вектор переноса, коллинеарный оси
симметрии. Найти канонический вид данного преобразования.
1234*. Дано изометрическое преобразование
Г 4 3 I Д
о о
, 3 4 ю
у =-тх-Ту-12.
Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии.
Найти канонический вид данного преобразования.
1235. Найти изометрическое преобразование, при котором
каждая точка переходит в точку, симметричную ей относи-
тельно прямой
х у — 5 = 0.
1236. Найти изометрическое преобразование плоскости,
являющееся симметрией относительно прямой
2х + J — 2 = 0.
1237*. Найти изометрическое преобразование, при кото-
ром каждая точка переходит в точку, симметричную ей отно-
сительно прямой Ах-}- By 4-С = 0.
1238. Найти изометрическое преобразование, сохраняющее
ориентацию и переводящее точку (1, 0) в точку (0, 0), а точ-
ку (0, 0) в точку (0, 1). Найги угол поворота ф и непод-
вижную точку этого преобразования.
1239*. Найти изометрическое преобразование, меняющее
ориентацию и переводящее точку (1, 0) в точку (0, 0), а
точку (0, 0) в точку (0, 1). Найти ось симметрии и вектор
переноса вдоль оси симметрии.
ISO гл. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1240
2. Изометрические преобразования пространства
1240*. Пусть
Х' = а11Х 4" «12^ + «13^ +
j/= «2iX + «22^ 4“ «23г 4~ (О
Z' = «31х + «32 у + «33 * + Ьъ
.— изометрическое преобразование;
(«и «12 «13^
«21 «22 «23
«31 «32 «33
— ортогональная матрица этого преобразования и det А— 4~ Ь’
Ъ = Ш, ^з} ~ вектор переноса. Доказать, что:
/1 0 0\
1) Если А = £‘= 0 1 0 иб^О, то преобразование (1)
\0 0 1/
является переносом на вектор Ь. Его канонический вид
~~ л-'* = х*4"а> z'*~z\
где а = | Ь |.
2) Если А Е, то преобразование (1) является произве-
дением поворота вокруг оси и переноса вдоль этой оси.
Угол <р поворота определяется из соотношения
«11 -J-«02 “Е «ЧЧ 1
COS ф — ——------
О < ф л.
2
Координаты направляющего вектора 6Z —{«г, «2, «3} оси вра-
щения определяются из системы уравнений
и неравенства
(«11 — 0 а1 4" «12«2 4" «13«3 —
«21«1 + («22 — 0 а2 4" «23«3 — О,
«31«1 4" «32«2 4“ («33 — 1) «з = О
1 «11
О «21
О «31
«1
«2
«3
>о,
(2)
(3)
если векторы ei = {l, 0, 0} и а~{аь а2, «3} не коллинеарны
и ф л. Если векторы ег и а коллинеарны, то следует
воспользоваться неравенством
0 «12
1 «22
о «32
«1
«2
«3
>о.
1241 ] § 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 181
Канонический вид преобразования:
х' * = х* cos <р — у* sin ф,
у '* — х* sin <р +>* cos ср,
Z'*—Z*
где
r I а I
Вектор г — {с£, с2, с3} переноса вдоль оси вращения опре-
деляется равенством
Координаты точек, лежащих на оси вращения, удовлетворяют
системе уравнений
(йи —-1) х + «12у + я13.г + Ьг — с х = О,
«21А 4~ (^22 — 1 )У 4~ ^23^ + ^2 — С2 = 0, ‘
^31^ 4“ а32.У 4“ (й33 О Z 4~/;3 f3 = о* -
1241*. Пусть
jv' = + а12у 4~ я13г
J// = tZ21JC 4“ а22У 4~ a23Z 4~^2> С1)
г' = а31х + а32у 4- a33z + b3
— изометрическое преобразование;
(а11 а12 а13\
«21 С22 «23 I
^31 я32 «зз/
— ортогональная матрица этого преобразования и det А = — 1;
f)z=z^bly b2, &3} —вектор переноса. Доказать, что:
1) Если след матрицы Д ап 4- а22 4- «зз А Ь то преобра-
зование (1) является произведением симметрии относительно
плоскости и поворота вокруг оси, перпендикулярной к пло-
скости симметрии. Угол ср поворота определяется из соотно-
шения
cos ф = «и + ^.+Дзз+.l., о < <р л.
182 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1241
Координаты направляющего вектора а~{а{, а2, а3} оси
вращения определяются из системы уравнений
(#11 + 1)«1 + «12«2 + #13#3~^>
«21 #1 + («22 + 1) а2 + «23#3 ~
«31#1 + «32«2 + (#33 + 1) «3= О
(2)
и неравенства
1 011 01
0 Я21 °, >о,
о 031 а3
если векторы ^ = {1, 0, 0} и a = {«i, «2, «з} не коллине-
арны и ф + л. Если векторы и а коллинеарны, то следует
воспользоваться неравенством
0 О12 «1
1 О22 О2 >0.
0 с32 а3
Канонический вид преобразования:
= cos ср— у* sin ф,
у'* = х* sin ф + _у* cos ф,
zf* ~— z*.
Плоскость симметрии и ось вращения проходят через един-
ственную неподвижную точку данного преобразования, опре-
деляемую из системы уравнений
(#и — 1) х + «12<у + «13^ + Ьх = О,
+ («22— + #23^ + ^2=
#31* + а32У + (#33 — 1) £ + #3 — 0.
2) Если след матрицы А, #ц + «22 + #зз ~ Ь то преоб-
разование (1) является произведением симметрии относительно
плоскости и переноса, определяемого вектором d={db d2, d3},
компланарным этой плоскости. Векторе? находится из равенства
1242 ]
§ 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
183
где координаты аь а2, а3 вектора а определяются из системы (2).
Канонический вид преобразования:
х'* =—х*>
у'* =у* + ₽, где (3 = | d |,
Плоскость симметрии определяется любым из следующих трех
уравнений:
(#11 — 1) Х + #12^ + #13* 4-^1 — (/1 = 0,
#21^* 4“ (#22 — 1) У 4~ #23* + /}2 — ^2 ~ 0,
#31* + #32_У + (#33 — О Z 4” ^з — (/з = 0.
1242*. Выяснить геометрический смысл и найти канони-
ческий вид следующих изометрических преобразований про-
странства:
1ч , 16 , 12 , 15 . Q , 12 , 9 20 .
Х ~25Х + 15-У 25 Z + 3’ У ~~25Х~^25У 25 Z 4’
2, = — 4x + 4-V + 5;
2) = + 1, v' = y х-^-у + 3, z' = — г+2;
3) х =ух+3 .у + уг+1, у --^x—^y-^z-2,
, 2.5 И ,
z —15^+15^“ 152-’
лч , 11 , 2 , 10 , „ , 2 , 14 5 , .
4) х — 15X+15>' + “15Z + 7’ У — 1515-У 15г-1“4’
z'=—4 х+4 у+4 z+6;
сч , 2 . 2 . 1 , , , 11 , 10 . 2 , о
5)х—3x+3y+3z+l,y— 15д:+15_у+15г + 2,
, 2 , 5 14 , о.
Z 15 Х + 15 У 15 Z + 3’
б) х’ = ~-х + -^у+У у'=^-х-~у-2, г'=г + 3;
7)х' =~х-~у-^^ + 7, у’ =—^-x + yy-yz+14,
3 6 2 „
z ^= — 1-x-1-y--Tz-7-,
184 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1242
_ , 4 1 8 , . . 7 4
8) g-х—9-J—9 .г+14, у = — -^х-^у +
, 4 , „ , 4 8 I -
+ э-г + 2, г
9) х'= —~х + -^-у + ~ z-1, у' = ~ х-.-^-у +
+ уг—14, z' =y.r + yj + yz + 7;
10) = j/ + 6, у = — У- 12, z ==г;
И) x' = ^x + ^y + ^z-14,y'=^x + ^-y-^z-2,
’ , 4 .8 ,1 . -
z ==~ 9~х + дУ+ 9Z + 5’
12) x' = ^-x + ~y + ^z-4, у' = ~х + Ад/-±г+2,
, 4 8 1 ,
z ~~ 9 х 9 У 9 Z А 4’
, 11,2 , 10 , „ , 2 ,14 5 . .
^x'^x + ^y+r5z + 2, у =^x + -y-^z + 4
9 1 2
2'==Тх“'з-г-+г + 6;
14)+=4л-+у^+уг4-2+2, у'=~гх+-4 у-
-]/"'82+1’ 2'=-]/'4x+]/'v+42;
15) х = — У-у z~ W> У-----)5х + 15У ~
~"i5z~4, z>==~ 15х — Is-*7Ayg2 — 2;
16)+=— Ах-----^y-]/'^-z-2, У=— |х-
- ту+]/~4г-2’ Z'^Vix~]^iy~ 2 z>
17)х'=г+1, у'=х, z' =_v;
18) х'— — г+1, у’=х, z' —у.
12151]
§ 3. ИЗОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
185
1243*. Выяснить геометрический смысл и найти канони-
ческий вид следующего изометрического преобразования про-
странства:
х' = х cos ф + у sin ф,
у' = х sin ф — у cos ф,
z' = — z-j-c.
1244*. Найти матрицу преобразования симметрии относи-
тельно прямой с направляющим вектором {2, 2, 1}, проходя-
щей через начало координат.
1245*. Найти матрицу преобразования поворота ориенти-
рованного пространства на угол вокруг оси с направляю-
щим вектором {2, 2, 1}, проходящей через начало координат.
1246*. Найти матрицу преобразования поворота ориенти-
л
рованного пространства на угол -д- вокруг оси с направляю-
щим вектором {1, 1, 0}, проходящей через начало координат.
1247. Найти матрицу преобразования симметрии простран-
ства относительно плоскости
2х — 2у -f- z = 0.
1248*. Найти изометрическое преобразование, являющееся
~ л
произведением поворота на угол у и переноса вдоль оси
вращения на вектор с координатой —9 по отношению к оси
вращения, зная, что ось вращения проходит через точку
(0, 0, 9) и имеет направляющий вектор {2, 2, 1}.
1249*. Найти изометрическое преобразование, являющееся
произведением симметрии относительно плоскости 2х—- у —
— 5^4-15 = 0 и переноса, определяемого вектором {4, 3, 1},
компланарным этой плоскости.
1250*. Найти изометрическое преобразование, являющееся
7
произведением поворота на угол arccos вокруг оси с на-
правляющим вектором {1, 1, —7}, проходящей через точку
/10 2 5 \
— —-о- , И симметрии относительно плоскости, про-
\ о о о /
ходящей через ту же точку и перпендикулярной к оси вра-
щения.
1251. Найти изометрическое преобразование, оставляющее
неподвижными три точки (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).
186 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1252
1252*. Найти изометрическое преобразование, переводя-
щее точки (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) соответственно в
точки (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1): 1) сохраняющее ориентацию
пространства; 2) изменяющее ориентацию пространства. Найти
канонический вид этих преобразований.
1253*. Даны два вектора:
а = {8, 4, 1}, £ = {6, —6, 3}.
Найти матрицу преобразования поворота пространства вокруг
оси, перпендикулярной к векторам а и Ь, переводящего
вектор а в вектор Ь.
1254*. В ориентированном пространстве даны два век-
тора, а и е, причем вектор е перпендикулярен к вектору а
и равен по длине 1. Найти вектор а', получающийся .из
вектора а при повороте пространства на угол <р вокруг
оси с направляющим вектором е.
1255*. Написать формулы преобразования поворота ориен-
тированного пространства на угол <р вокруг оси с единич-
ным направляющим вектором е, проходящей через точку О.
§ 4. Инверсии
Постников, гл. 7, § 3.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается прямоугольной.
1. Инверсии плоскости
1256. Пусть О — фиксированная точка плоскости и от —
фиксированное действительное число, отличное от нуля.
Инверсией с полюсом О и степенью о называется преобра-
зование множества всех точек плоскости, за исключением
точки О, при котором каждой точке /14, отличной от О, ста-
вится в соответствие точка /14', лежащая на прямой O/I4, для
которой ОМ • ОМ' ~<э. Инверсия с полюсом О и степенью о
обозначается через (О, о).
Написать формулы, связывающие координаты х, у точки
/14 с координатами х', у' точки /14', являющейся образом
точки /14 при инверсии (О, о) в прямоугольной системе коор-
динат с началом в точке О.
5 1264 1 § 4. ИНВЕРСИИ 187
1257. Составить уравнение образа окружности
' ^2+У + 2^ + 2^у + с = 0
при инверсии, полюсом которой является начало координат,
а степень равна а.
1258*. Доказать, что центр окружности С, не проходящей
через полюс О инверсии (О, а), переходит в центр ее образа
С' тогда и только тогда, когда окружность С' совпадает
с окружностью С.
1259*. Окружность С, заданная уравнением
х2 ^ах + 2Ьу + с = О,
не проходит через начало координат. Пусть С' —образ этой
окружности при инверсии (О, а).
1) Найти центр и радиус окружности С'.
2) Показать, что полюс инверсии и центры окружностей
С и С' лежат на одной прямой.
1269» Составить уравнение образа прямой
при инверсии (О, а), где О —начало координат.
1261*. Доказать, что всякая окружность, проходящая
через две соответствующие друг другу точки при инверсии
(О, о), инвариантна относительно этой инверсии.
1262*. Окружность С проходит через полюс инверсии
(О, о). Ее образ С' при этой инверсии — прямая, перпенди-
кулярная к прямой, проходящей через точку О и центр
окружности С. Доказать, что на множестве всех точек окруж-
ности С, за исключением точки О, данная инверсия совпа-
дает с перспективным отображением окружности С на прямую
С' с центром перспективы О.
1263*. Доказать, что при инверсии сохраняются углы
между двумя пересекающимися окружностями (в частности,
между окружностью и прямой и между двумя прямыми).
1264. Окружность С задана уравнением'
х2+у2-}-2ах + 2Ьу=0.
При инверсии (О, а) с полюсом в начале координат эта
окружность переходит в прямую С'.
1) Найти расстояние d от начала координат до прямой С'.
2) Найти вектор, нормальный к прямой С'.
188 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1265
3) Доказать, что прямая, проходящая через начало коор-
динат О и через центр окружности С, перпендикулярна
к прямой С'.
1265*. Пусть С' —прямая, являющаяся образом окруж-
ности С
х2 +_у2 + ‘2 ах + 2#у = О
при инверсии (О, о) с полюсом в начале координат. При
каком условии прямая С' касается окружности С?
1266. Пусть А' и £?' —образы точек А и В при инвер-
сии (О, о). Выразить длину отрезка А'В' через длины отрез-
ков АВ, ОА, ОВ и о.
1267*. Доказать, что если полюс О инверсии (О, о)
лежит вне окружности С, то множество точек, лежащих
внутри окружности С, отображается при инверсии (О, О') на
множество точек, лежащих внутри окружности С', являю-
щейся образом С; множество точек, лежащих вне окружности
С, отображается на множество точек, лежащих вне окруж-
ности С'.
Если же полюс О инверсии лежит внутри окружности
С, то множество точек, лежащих внутри окружности С,
отображается на множество точек, лежащих вне окруж-
ности С', а множество точек, лежащих вне окружности С,
отображается на множество точек, лежащих внутри окруж-
ности С'.
1268. Рассмотрим инверсию (О, г2). Доказать, что каж-
дая точка окружности с центром О и радиусом г (окруж-
ность инверсии) является неподвижной при инверсии (О, г2).
Каждая точка, лежащая внутри этой окружности, переходит
в точку, лежащую вне окружности (и наоборот).
1269*. Доказать, что:
1) любая окружность, ортогональная к окружности с цент-
ром О и радиусом г, при инверсии (О, г2) переходит в себя;
2) любая окружность, отличная о г окружности инверсии
и переходящая в себя при инверсии (О, г2), ортогональна
окружности инверсии.
1270*. При каком условии окружность С пересекает
свой образ С' при инверсии (О, г2)?
1271*. Пусть С — окружность, не проходящая через
полюс О инверсии (О, о), М — произвольная точка этой
окружности, a N— вторая точка пересечения прямой ОМ
с окружностью С. Доказать, что образ ЛГ точки М при
1279 ]
§ 4. ИНВЕРСИИ
189
инверсии (О, а) совпадает с образом N' точки AZ при гомо-
тетии с центром О и коэффициентом Л = где х — степень
точки О относительно окружности С.
1272*. Прямая Ах-\-Ву— не проходящая через
начало координат О (С 0), делит плоскость на две обла-
сти. Как преобразуются эти области при инверсии с полюсом
О и степенью инверсии о > 0.
1273*. Найти образ множества точек, заданных неравен-
ствами при инверсии, полюсом которой явля-
ется начало координат, а степень равна 1.
1274*. Множество точек плоскости задано неравенствами
(полоса). Найти образ этого множества при
инверсии (О, 1), где О —начало координат.
1275*. Доказать, что при инверсии окружность, отличная
от окружности инверсии, переходит в себя тогда и только
тогда, когда она проходит через две различные точки М и
ЛГ, соответствующие друг другу при этой инверсии.
1276. Найти образ эллипса, гиперболы, параболы, задан-
ных полярным уравнением
Р=г-£—,
r 1-—есоэф
при инверсии (F, о), где Д —фокус данной линии.
1277. Найти образ при инверсии (О, 1):
1) циссоиды Диоклеса, определяемой уравнением р = ;
2) области р > ——.
7 ‘ cos ф
1278*. 1) Доказать, что если окружность инверсии при-
надлежит гиперболическому пучку окружностей, то инверсия
относительно этой окружности переводит каждую из ос-
тальных окружностей пучка в другую окружность того же
пучка, причем предельные точки этого пучка переходят друг
в друга.
2) Доказать, что если окружность инверсии принадлежит
эллиптическому пучку окружностей, то базисные точки этого
пучка неподвижны, а любая другая окружность этого пучка
переходит в окружность того же пучка.
1279*. Пусть Сх и С2 —две неконцентрические окружно-
сти без общих точек, М— произвольная точка их радикальной
190 гл. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1280
оси, МР — касательная к любой из этих окружностей
(Р —точка касания), А и В — точки пересечения линии цент-
ров данных окружностей с окружностью с центром в точке
714 и радиусом | МР |. Доказать, что:
1) при инверсии (Д, | АВ |2) окружности Сх и С2 перей-
дут в концентрические окружности С[ и С2;
2) если окружности Сх и С2 лежат одна вне другой, то
множество точек, внешних по отношению к обеим окружно-
стям, перейдет в множество внутренних точек кольца, огра-
ниченного окружностями С[ и С2.
2. Инверсии пространства
1280. Пусть О — фиксированная точка пространства и
су — фиксированное действительное число, отличное от нуля.
Инверсией с полюсом О и степенью сг называется преобра-
зование множества всех точек пространства, за исключением
точки О, при котором каждой точке 714, отличной от О,
ставится в сооответствие точка 714', лежащая на прямой 0714,
для которой 0714 • 0714'= а. Инверсия пространства с полю-
сом О и степенью а обозначается через (О, or). Написать
формулы, связывающие координаты х, у, z точки М с коор-
динатами х', у', zf точки 714', являющейся образом точки /14
при инверсии (О, а) в прямоугольной системе координат
с началом координат в точке О.
1281. Составить уравнение образа S' сферы 5
х22 + z2 + 2ах + %by A-^cz-^-d — Q
при инверсии, полюсом которой является начало координат,
а степень равна а.
1282. Составить уравнение образа плоскости
АхА-Ву A-CzA-D = ®
при инверсии (О, а) (О —начало координат).
1283*. Доказать, что если сфера S не проходит че-
рез точку О, aS' — ее образ при инверсии с полюсом
О, то точка О лежит на одной прямой с центрами сфер
S и S'.
1284*. Доказать, что при инверсии пространства всякая
окружность, не проходящая через полюс инверсии, переходит
в окружность, а всякая окружность, проходящая через полюс
инверсии, — в прямую.
1289 ]
§ 4. ИНВЕРСИИ
191
1285*. Найти центр и радиус образа окружности
х2 -J- j2 -J- z2 — z = О,
X _[_ у _j_ % — 1 = О
при инверсии (О, 1), где О —начало координат.
1286*. Пусть S—сфера с диаметром d\ О и Р — две ее
диаметрально противоположные точки; л — касательная пло-
скость к сфере в точке Р.
Доказать, что:
1) при инверсии (О, d2) сфера 5 перейдет в плос-
кость л;
2) проекция 7И' произвольной точки М, лежащей на
сфере S, из точки О на плоскость л совпадает с образом
точки М при инверсии (О, d2) (перспективное отображение
сферы S на плоскость л с центром перспективы О назы-
вается стереографической проекцией},
3) окружность, лежащая на сфере 5 и не проходящая
через точку О, проектируется из точки О на плоскость л
в окружность.
1287*. Пусть О и Р — диаметрально противоположные
точки сферы S? л — касательная плоскость к сфере S в точ-
ке Р, Z — произвольная окружность, лежащая на сфере S и не
проходящая через точку О, %' — проекция окружности Л из
точки О на плоскость л. Доказать, что:
1) если окружность К не является окружностью большого
круга и К —конус, касающийся сферы S по окружности Л,
то центром окружности А/ является проекция вершины ко-
нуса К из точки О на плоскость л;
2) если Л — окружность большого круга, то центр окруж-
ности А' есть пересечение прямой, проходящей через точку О
и перпендикулярной к плоскости окружности X, с плоско-
стью л.
1288*. Доказать, что угол между касательными к сфере
в произвольной ее точке 714 равен углу между их проекциями
из точки О, отличной от 714, на плоскость л, касающуюся
сферы в точке, диаметрально противоположной точке О.
1289*. Пусть S—сфера, О и Р — ее диаметрально про-
тивоположные точки, л — плоскость, касательная к сфере S
в точке Р. Рассмотрим два семейства окружностей, лежащих
на сфере S’. Первое семейство получается при пересече-
нии сферы 5* параллельными плоскостями, перпендикуляр-
192 ГЛ. VIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА [ 1289 <
ними к плоскости л; пусть А и В — точки касания двух <
плоскостей этого семейства со сферой Второе семей- 1
ство окружностей Сц получается при пересечении сферы 5
плоскостями, проходящими через диаметр АВ. Обозначим j
через и Сц семейства окружностей, являющихся про-
екциями окружностей семейств Ск и Си из точки О на пло- 1
скость л.
Доказать, что:
1) окружности семейства образуют гиперболический
пучок, предельными точками которого являются проекции А'
и В' точек А и В на плоскость л из точки О; ’
2) окружности семейства Сц образуют эллиптический пу- {
чок с базисными точками А' и В'. ?
3) каждая окружность семейства ортогональна каждой !
окружности семейства Сц. Ч
ГЛАВА IX
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Проективная прямая
Александров, гл. XXI, §§ 7, 8, пп. 1—4.
1. Проективные координаты на проективной прямой
1290*. На прямой введена аффинная система координат.
Принимая несобственную точку этой прямой и начало коор-
динат за базисные точки Аг и А2 проективной системы коор-
динат на проективно-аффинной прямой, а единичную точку Е
аффинной системы координат —за единичную точку проек-
тивной системы координат, найти проективные координаты
Xi: х2 собственной точки, имеющей аффинную координату х.
Проективные координаты в такой системе координат назы-
ваются однородными координатами.
1291*. На прямой введена аффинная система координат.
Принимая несобственную точку этой прямой и начало аффин-
ной системы координат за базисные точки А2 и Ах проектив-
ной системы координат на проективно-аффинной прямой, а еди-
ничную точку Е аффинной системы координат — за единичную
точку проективной системы координат, найти проективные
координаты лу: х2 собственной точки, имеющей аффинную
координату х.
1292*. На проективно-аффинной прямой в проективной
системе координат АгА2Е' точка Е является несобственной.
Найти проективные координаты:
1) середины отрезка AtA2;
2) точки, делящей отрезок А]А2 в отношении X.
1293. На проективной прямой введены две системы коор-
динат А]А2Е и А{А2Е'. Зная координаты базисных точек А{ —
= (<2ц • ^21), ^2 = (^12 • а22) и единичной точки Е' = (Ь1: Ь2)
проективной системы А[А2Е' относительно системы A±A2E,
найти:
1) проективные координаты х[:х2 точки 714 в системе
А[А2Е', зная ее координаты х1:х2 в системе .АХА2Е\
7 П. С. Моденов, А. С. Пархоменко
194
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
( 1294
2) проективные координаты х±: х2 точки М в системе
Л1Л2Д зная ее координаты х[: х2 в системе А^А'^Е'.
1294*. На проективно-аффинной прямой введена проек-
тивная система координат с собственными базисными точ-
ками А2 и собственной единичной точкой Е. В аффинной
системе координат на этой прямой точки Д1? Д2, Е имеют
соответственно координаты аь а2, Ь.
1) Найти проективные координаты хг:х2 собственной
точки /14, имеющей аффинную координату х.
2) Найти аффинную координату х собственной точки М,
имеющей проективные координаты х1:х2.
1295. На прямой заданы , четыре точки своими аффинными
координатами:
Д = (Х1), В = (х2), С = (xs), D = (х4).
Найти ангармоническое отношение (ABCD).
1296*. Доказать, что если две прямые, не проходящие
через точку О, пересекают четыре прямые пучка с центром О
соответственно в точках Д, В, С, D и Д', В', С', D', то
ангармоническое отношение (ABCD) равно ангармоническому
отношению (А’ В'С D').
1297*. Найти ангармоническое отношение (ABCD) четы-
рех точек,
А = (аг:а2), B = (br:b2), D = (d1:d2),
заданных на проективной прямой своими проективными коор-
динатами.
1298. Найти ангармоническое отношение (Д1Д2ЕЛ4), где
Д1-(1:0), Д2 = (0:1), Е=Ц1:1), х2).
1299. На плоскости введена аффинная система координат
Оху с единичной точкой Е. Пусть М = (хг, х2) —- произволь-
ная точка плоскости, не лежащая на оси Оу. Найти ангармо-
ническое отношение (Ох, Оу, ОЕ, ОМ).
1300. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум
сторонам АВ и АС треугольника АВС и медиане, выходящей
из вершины А.
1301. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум
сторонам угла и его биссектрисе.
1302. Найти прямую, четвертую гармоническую к двум
катетам и высоте, опушенной из вершины прямого угла на
гипотенузу (неравнобедренного) прямоугольного треугольника.
1310]
§ 1. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ
195
1303*. Доказать, что любая пара сопряженных диаметров
гиперболы гармонически разделяется ее асимптотами.
1304*. На проективной прямой заданы четыре точки Л,
В, С, D. Доказать, что на этой прямой имеется две точки Р
и Q, гармонически разделяющие как пару Л, В, так и пару С,
D, тогда и только тогда, когда пара С, D не разделяет
пару Л, В.
2. Проективные преобразования проективной прямой
1305*. Доказать, что если при некотором проективном
преобразовании проективной прямой, имеются три инвариант-
ные точки, то это преобразование является тождественным
преобразованием.
1306*. Доказать, что ангармоническое отношение (ABCD)
четырех точек, лежащих на проективной прямой, не меняется
при проективном преобразовании.
1307*. Найти проективное преобразование проективной
прямой, при котором точки (1:0), (0:1), (1:1) переходят
соответственно в точки (аг: а2), (Ь1: Ь2), (сг: с2).
1308. Найти проективное преобразование проективной
прямой, которое точку (1:0) переводит в точку (0: 1), точку
(0:1)-— в точку (1 :0), если точка (1:1) инвариантна при этом
преобразовании.
1309*. Найти инвариантные точки следующих проектив-
ных преобразований проективной прямой:
1) X-Vj== -Vj —J— 2jc2, 2) = 2a?i —jc2, 3) = — jc2,
2) 1—' •^'2'
1310*. При каком необходимом и достаточном условии
проективное преобразование проективной прямой
= a^jc J —J— a12x2i hx 2 === а2^х j —j— a22x 2.
1) не имеет инвариантных точек (эллиптическое преобра-
зование);
2) имеет две инвариантные точки (гиперболическое пре-
образование);
3) имеет только одну инвариантную точку (параболическое
преобразование);
4) является тождественным преобразованием?
у*
196
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1311
1311*. 1) Доказать, что эллиптическое и параболическое
проективные преобразования проективной прямой не меняют
ее ориентации.
2) При каком необходимом и достаточном условии гипер-
болическое проективное преобразование проективной прямой
меняет ее ориентацию?
1312*. Установить тип проективного преобразования про-
ективной прямой в каждом из
1) ^Х^^^^Х^—Зд?2,
== 3 —|—
3) X-Vj = 4д?2,
= 4Xi + бх2;
следующих случаев:
2) 7,х'х =—1хъ
У'чХ 2 ——7 X 2 j
4) \хх = х^ —j— x2f
hx 2 — X j X 2,
5) 1х[ = xt + 2а72,
Ха72=== —|— 5д72*
1313. Найти инвариантные
ных преобразований:
1) Ххх = 2xi — За72,
Х/Х2 === Зд7^ 8х2,
3) hxx = х^ —х2,
2 — А71 ' - X2,
точки следующих проектив-
2) A-Vj == бЛд —|— 4д?2,
hx2 === 4д?2 ~|~ ^-^2»
4) ZxJ = хг + %х2,
\х2 — 1X1 —|— 5a?2.
1314*. 1) Какой вид примут формулы
XXj — ^11-^1 Ч" ^12-^2»
= #21-^1 Ч~ ^22*^2,
определяющие гиперболическое преобразование проективной
прямой, если его инвариантные точки принять за базисные
точки Ai= (1:0), Д2 = (0:1) проективной системы коор-
динат?
2) При каком необходимом и достаточном условии рас-
сматриваемое гиперболическое преобразование сохраняет
ориентацию проективной прямой?
3) Какой геометрический смысл имеет гиперболическое
преобразование, если проективная прямая интерпретируется
как собственный пучок прямых на аффинной плоскости?
1315*. 1) Какой вид примут формулы
Т^Х2 —- ^21'^"1 Ч~ ^22^*2»
1321 ]
§ 1. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ
197
определяющие параболическое проективное преобразование
проективной прямой, если его инвариантную точку принять
за базисную точку Дх = (1:0) проективной системы коор-
динат?
2) Как интерпретируется это преобразование в собствен-
ном пучке прямых аффинной плоскости?
1316*. Какой вид примут формулы
A/Xj = #ХХХХ -|- 6ZX2X2,
Ах2 = #21X1 -j- #22-^2>
определяющие параболическое проективное преобразование
проективной прямой, если его инвариантную точку принять
за базисную точку Дх^=(1 :0) проективной системы координат,
а за единичную точку Е принять образ базисной точки
Д2 = (0; 1) при этом преобразовании?
1317*. При каком необходимом и достаточном условии
проективное преобразование проективной прямой, переводящее
точки (1:0), (0:1), (1:1) соответственно в точки (#х: #2)>
(pi *• (ci*• ^2), сохраняет ориентацию этой прямой.
1318*. На проективной прямой заданы три попарно раз-
личные точки Д, В, С. Доказать, что проективное преобра-
зование, переводящее точки Д, В, С соответственно в точки
В, С, Д, является эллиптическим.
1319*. Доказать, что гиперболическое преобразование
проективной прямой с инвариантными точками Дх и Д2 со-
храняет ориентацию проективной прямой тогда и только
тогда, когда ангармоническое отношение (А1А2ЕЕ')^> где
Е — произвольная точка проективной прямой, отличная от
точек Дх и Д2, а В' —ее образ при этом гиперболическом
преобразовании.
1320*. Пусть Дх — инвариантная точка проективного пре-
образования проективной прямой, Д2 — произвольная точка
этой прямой, А2 — образ точки Д2, а Д2 —образ точки А'%
при рассматриваемом проективном преобразовании. Доказать,
что преобразование будет параболическим тогда и только
тогда, когда точки Дх и Д2 гармонически разделяют пару
точек Д2, А%.
1321*. Проективное преобразование л называется цикли-
ческим, если существует натуральное число п, для которого пп
есть тождественное преобразование. Наименьшее натуральное
число п, удовлетворяющее этому условию, называется
периодом преобразования. Пусть Д, В, С, D — гармони-
198
ГЛ IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1322
ческая четверка точек. Доказать, что проективное преобразо-
вание, при котором точки А, В, С переходят соответственно
в точки В, С, D, является циклическим, и найти период этого
преобразования.
1322*. Сколько существует параболических проективных
преобразований проективной прямой, при которых точки А
и В переходят в точки А' и В'?
1323*. Доказать, что существует и притом только одно
параболическое проективное преобразование проективной пря-
мой с заданной инвариантной точкой А, при котором данная
точка 714 переходит в данную точку 714'.
3. Инволюции на проективной прямой
1324*. Какой вид имеют формулы проективного преоб-
разования А:
Х-Vi = &цХ1
Хх2 “ ^21*^1 4“ ^22*^2
проективной прямой, если это преобразование является инво-
люционным, т. е. если А2 — Е, где Е — тождественное преоб-
разование.
1325*. При каком необходимом и достаточном условии
инволюционное преобразование проективной прямой
Ххj = (7цХJ Д- (112X2» 2 :==: Я21Х1 ^22*^2
1) имеет две инвариантные точки (гиперболическая инво-
люция);
2) не имеет инвариантных точек (эллиптическая инволюция);
3) имеет одну инвариантную точку?
1326*. Доказать, что эллиптическая инволюция сохраняет
ориентацию проективной прямой, а гиперболическая инволю-
ция меняет ориентацию проективной прямой на противопо-
ложную.
1327*. Доказать, что всякое периодическое гиперболиче-
ское преобразование проективной прямой является инволю-
цией (иначе: имеет период 2).
1328*. 1) Как запишется гиперболическая инволюция
проективной прямой, если инвариантные точки этой инволюции
принять за базисные точки проективной системы координат?
2) Каков будет образ единичной точки Е — (1 : 1) при
этой инволюции?
1336 ]
§ 1. ПРОЕКТИВНАЯ ПРЯМАЯ
199
1329*. Как запишется в аффинных координатах гипербо-
лическая инволюция множества собственных точек проективно-
аффинной прямой, для которой инвариантными точками явля-
ются начало координат и несобственная точка?
1330*. Каков геометрический смысл гиперболической инво-
люции в случае, если проективная прямая интерпретируется
как пучок прямых аффинной плоскости?
1331*. 1) Как запишется в аффинных координатах инво-
люционное преобразование множества всех собственных точек
проективно-аффинной прямой, переводящее начало координат О
аффинной системы координат в несобственную точку оо этой
аффинной прямой?
2) При каком необходимом и достаточном условии эта
инволюция будет эллиптической?
3) При каком необходимом и достаточном условии эта
инволюция будет гиперболической? Найти в этом случае ее
инвариантные точки.
1332*. Доказать, что:
1) каковы бы ни были пары то чек Аь А2 и А{, А'2
проективной прямой, существует инволюция, переводящая
точки Ар А2 соответственно в точки AJ, А2;
2) если, кроме того, А2 Ф A'i или Ах Ф А2, то такая
инволюция единственная;
3) если пары точек Аь А2 и AJ, А2 разделяют друг
друга, то инволюция гиперболическая; если пары точек Alf А2
и Ар А2 не разделяют друг друга, то инволюция эллиптическая.
4) Найти формулы инволюционного преобразования,
переводящего точки А1 = (1 :0) и А2 = (0:1) в точки А[ =
= : а2) и А2 = (/?г : Ь2) в случае, если аг ф 0 (А* ф А2) или
Ь2 Ф 0 (А2 ф ад.
1333*. Найти все инволюционные преобразования проек-
тивной прямой, которые точку (1:0) переводят в точку (0: 1).
Какие из этих инволюций будут эллиптическими и какие
гиперболическими?
1334*. На проективной прямой I задана гиперболическая
инволюция двумя парами соответствующих точек А, А' и
В, В'. Доказать, что (АА'ВВ')>0.
1335*. На проективной прямой I задана эллиптическая
инволюция двумя парами соответствующих точек А, А'
и В, В'. Доказать, что (АА'ВВ') <; 0.
1336*. Доказать, что проективное преобразование проек-
тивной прямой, при котором точки А, В, С переходят
200
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1337
в точки Д', В', С', будет инволюционным тогда и только
тогда, когда
(АВСС')^(В'А'СС').
1337*. Доказать, что если А и В — инвариантные точки
гиперболической инволюции, то соответствующие друг другу
точки М и М' гармонически разделяют пару точек Д, В,
Обратно: если на проективной прямой зафиксировать две
произвольные точки Д, В и считать соответствующими друг
другу точки М и 714', гармонически разделяющие пару Д, В,
то такое соответствие является гиперболической инволюцией
с инвариантными точками А и В.
1338*. Пусть прямая Z, не проходящая через вершину
полного четырехугольника PQRS, пересекает его противо-
положные стороны PQ и RS в точках А и Д', противопо-
ложные стороны PR и QS в точках В и В' и противопо-
ложные стороны PS и RQ в точках С и С'. Доказать, что
проективное преобразование прямой Z, при котором точки
Д, В, С переходят в точки Д', В', С, являются инволюцией.
1339*. Пусть прямая Z является собственной прямой про-
ективно-евклидовой плоскости; А и В — собственные точки,
лежащие на прямой Z. Доказать, что гиперболический пучок
окружностей с предельными точками А и В устанавливает
на прямой Z гиперболическую инволюцию, соответствующими
точками которой являются точки М и М' пересечения окруж-
ности рассматриваемого пучка с прямой Z. Доказать, что А
и В — инвариантные точки при этой инволюции.
1340*. Пусть прямая Z является собственной прямой
проективно-евклидовой плоскости; А и 2? — собственные
точки, симметричные относительно прямой Z. Доказать, что
эллиптический пучок окружностей с базисными точками А
и В устанавливает на прямой Z эллиптическую инволюцию,
соответствующими точками которой являются точки пересе-
чения окружности, проходящей через точки А и Ву с прямой Z.
1341*. Пусть прямая Z является собственной прямой
проективно-евклидовой плоскости. Доказать, что если Д, Д'
и В, В' — соответствующие друг другу точки при эллипти-
ческой инволюции на прямой Z, то окружности с диамет-
рами ДД' и ВВ' пересекаются в точках Р и Р'; прямая РР'
пересекает прямую Z в точке О, лежащей между соответ-
ствующими друг другу точками М и М', и | 0714 (• | 0714' | =
= const.
1346 ]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
201
1342*. Собственная прямая I лежит на проективно-евкли-
довой плоскости. Пусть Г — гиперболическая инволюция на
прямой I. Доказать, что если А, А' и В, В' — пары соответ-
ствующих друг другу точек при инволюции Г, а О —точка
пересечения с прямой I радикальной оси X окружностей
с диаметрами АА' и ВВ', то точки М и М', соответ-
ствующие друг другу при инволюции, лежат по одну сто-
рону от прямой X и | ОМ | • | ОМ' | = const. Доказать, что
инвариантные точки при инволюции Г являются точками
пересечения прямой I с окружностью, центром которой
является точка О, а радиус равен | О2И| • | ОМ' |.
1343*. Доказать, что если интерпретировать проективную
прямую как собственный пучок прямых аффинной плоскости
с центром О, то эллиптическая инволюция будет инволюцией
сопряженных диаметров некоторого эллипса с центром О,
а гиперболическая инволюция будет инволюцией сопряжен-
ных диаметров некоторой гиперболы с центром О. Дока-
зать, что асимптоты гиперболы будут инвариантными «точ-
ками» при рассматриваемой гиперболической инволюции.
1344*. Проективная прямая интерпретируется как соб-
ственный пучок прямых аффинной плоскости с центром
в начале аффинной, системы координат. Дано инволюционное
преобразование
=== а^Х^, ^Х<% = ^22*^2*
Составить уравнение семейства линий второго порядка, для
которых данное преобразование является инволюцией сопря-
женных диаметров.
1345*. Доказать, что всякое проективное преобразование
проективной прямой можно представить как произведение
двух инволкщий.
§ 2. Проективная плоскость
Александров, гл. XXI, §§ 1—5; § 8, пп. 5, 6.
Моденов, гл. XV, §§ 191—193, 202.
Постников, гл. 9, § 1, пп. 1, 2, 4—6; Дополнение.
7. Проективные координаты на проективной плоскости
1346*. На проективно-аффинной плоскости введена аффин-
ная система координат Оху и проективная система коорди-
нат АгА2А3Е, в которой точками Д2> являются соот-
ветственно несобственная точка оси Ох, несобственная точка
202
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1347
оси Оу и начало О аффинной системы координат Оху. Еди-
ничная точка Е проективной системы координат совпадает
с единичной точкой Е аффинной системы координат Оху.
Пусть х1: х2 *. х3 — проективные (однородные) координаты,
а х, у — аффинные координаты собственной точки 7И в ука-
занных системах. Найти выражения х и у через xlf х2, х3.
1347. Сторонами Д2Д3, А3АЬ ДХД2 базисного треуголь-
ника проективной системы координат на проективно-аффин-
ной плоскости являются прямые, заданные относительно
аффинной системы координат уравнениями
х — 4 = 0, у — 3 = 0, Зхф-4у — 12 = 0.
Единичной точкой Е проективной системы координат AjA2A2E
является точка Е=(3, 2). Найти:
1) проективные координаты точки 7И, аффинные коорди-
наты которой 1, 1;
2) аффинные координаты точки N, проективные коорди-
наты которой 4 : 3 : — 6;
3) проективные координаты несобственной точки R оси Ох;
4) однородные координаты точки Р, проективные коор-
динаты которой 5:5: — 7.
1348. Какая особенность в расположении двух прямых
соответствует тому факту, что два коэффициента уравне-
ния одной прямой пропорциональны соответствующим коэф-
фициентам уравнения другой прямой?
1349*. При каком условии две прямые
wxXi 4" и2х2 Ц- и3х3 = 0,
V1X1 + ^2^2 + г,3Х3 = 0
1) пересекаются; 2) совпадают; 3) предполагая, что данные
прямые пересекаются, найти координаты точки их пересе-
чения.
1350. Найти координаты точки пересечения прямой
1хх — 2х2 + 4х3 = 0 с прямой, проходящей через точки
А = (3:1: 5) и 5 = (—2:0:7).
1351. Записать параметрические уравнения прямой, про-
ходящей через две точки А = (ах: а2: я3) и В (Ь1: Ь2: Ь3).
1352. Даны две точки Д=(3:0:—1) и В=(—1:3:0)
своими однородными координатами.
1) Написать уравнение прямой, проходящей через эти
две точки.
1356]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
203
2) Написать параметрические уравнения этой прямой.
3) Найти значения параметров, соответствующих несобст-
венной точке этой прямой, и координаты этой несобственной
точки.
1353, На проективной плоскости введены две системы
координат Д1Д2Д3£‘ и А^А^А^Е'. Зная координаты базисных
точек
Д' = (ап: &21: я31), Д2 — (я12 • а2%: ^зг), А* = (^13 ’• ^23: ^зз)
и единичной точки E'=={b1 :b2:b3) проективной системы
Д^Д2Д3Е' относительно системы Д1Д2Д3Ё, найти:
1) проективные координаты х\: х2: х3 точки в системе
А\А2А'зЕ', зная ее координаты хх\ х2:х3 в системе Д1Д2Д3^;
2) проективные координаты хх : х2 : х3 точки в системе
• ДИг^зД зная ее координаты х[\х'2:х'з в системе А[А2А^ЕГ.
1354. Относительно проективной системы координат
Д1Д2Д3В на проективной плоскости даны координаты базис-
ных точек
Д1' = (4:1:1), Д'^(4:4:1), Д' = (0:4:1)
и координаты единичной точки Е' = (2:1:1) новой проек-
тивной системы координат. Найти выражения координат про-
извольной точки (хг: х2: х3) в первой системе через коор-
динаты х[: х2: х3 той же точки во второй системе.
1355. Относительно проективной системы координат
Д1Д2Д3Е заданы уравнения сторон Д2Д3, Д3Д£, А[А2 базис-
ного треугольника Д^Д2Д3 и координаты единичной точки Е'\
aixi “Ь ^1-^2 4“ £],х3= 0 (Д2Д3),
^2-^1 4“ 4“ С2-^3" 0 (АА)>
«3^14-^2 4- с3-^3“ 0 (АА)>
В'= (^1.^2
Выразить координаты х[: х2: х3 произвольной точки проек-
тивной плоскости в системе А[А2АзЕ' через ее координаты
хг: х2: х3 в системе А^А^АзЕ.
1356*. На проективно-аффинной плоскости введена про-
ективная система координат: за стороны Д2Д3, ДзА> АА
базисного треугольника AtA2A3 приняты собственные прямые
Агх -ф- В±у Сг = 0, А2х В2у 4~ С2 = 0,
Д3х 4" В3у 4- с3 = о,
а за единичную точку принята собственная точка Е = (х0, j/0).
204
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1357
1) Каковы будут проективные координаты уг :у2 :Уз соб-
ственной точки М = (х, у)?
2) Найти проективные координаты у± :у2 ‘Уз несобст-
венной точки, однородные координаты которой х± : х2: 0.
3) Написать уравнение несобственной прямой в проек-
тивных координатах.
1357. На проективно-аффинной плоскости сторонами
АгА2, Д2Д3, А3Аг базисного треугольника проективной системы
координат служат соответственно прямая ^ = 2, ось Оу
и ось Ох, а единичной точкой —точка Е = (1, 1). Найти
в этой системе центр пучка прямых, параллельных оси Оу.
1358. Вершины базисного треугольника и. единичная
точка проективной системы координат на проективно-аффин-
ной плоскости имеют следующие аффинные координаты:
А=(1, 1), Л = (-1, 1). Л3 = (0, 0), е=(о,
Найти в этой системе координат уравнения осей координат
и уравнение несобственной прямой.
1359. На проективно-аффинной плоскости относительно
аффинной системы координат даны четыре точки: Ai — (1, 2),
А2 — (—1, 2), Д3=(2, 3), Е—(—3, 4). Найти проективные
координаты точки (— 2, 0) относительно проективной
системы координат АХА2А3Е.
1360*. Найти условие, необходимое и достаточное для
того, чтобы:
1) три точки : х2: х3), (j/i :у2 : у3), (z1\z2'.z3) лежали
на одной прямой; 2) три прямые [иг : и2 : и3], : v2: г3],
[w1:w2:,w3] проходили через одну точку.
1361. 1) Составить уравнение пучка прямых, центром
которого является вершина ^ = (1:0:0) базисного треуголь-
ника Д1Д2Д3.
2) Найти точку пересечения произвольной прямой этого
пучка с базисной прямой Л2Д3.
1362*. На сторонах Д2Д3, A3Alf AtA2 базисного треуголь-
ника АгА2А3 взяты точки М1 = (0: х2: х3), М2 = (хг : 0 : х3),
Л43=(х1:х2:0). Доказать, что прямые А^М^ А2М2, А3М3
пересекаются в точке М = (хх: х2: х3).
1363. Относительно проективной системы координат
А±А2А3Е дана точка М~(х1:х2:х3).
Найти точки Мь М2, М3 пересечения прямых АгМ, А2М,
А3М со сторонами базисного треугольника А1А2А3.
1369]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
205
1364? Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей
через одну из базисных точек Лх = (1:0:0), Д2 = (0:1:0),
Л8=(0:0:1)?
1365. Найти точки пересечения прямой + +
_[_#3х3 = 0 со сторонами A1A2f А2А3, А3А± базисного тре-
угольника AxA2A3.
1366*. Относительно проективной системы координат
Дана точка М = (Xt: х2 : х3). Пусть Е3 и М3 — точки
пересечения прямых А3Е и А3М с прямой АгА2. Найти про-
ективные координаты точки М3 на прямой АгА2 в системе
координат АгА2Е3.
1367. Пусть Elf Е2у /^ — соответственно точки пересече-
ния прямых АХЕ, А2Е, А3Е со сторонами А2А3, А3АХ, АгА2
базисного треугольника ДХА2А3 проективной системы коор-
динат А1А2А3Е. Найти координаты прямых: 1) А±Е, А2Е,
А3Е; 2) Е±Е2, E2E3j E3E±.
1368*. Проективная система координат на проективной
плоскости задана базисными прямыми ах = [1:0:0], а2 =
= [0:1:0], <23==[0:0:1] и единичной прямой £ = [1:1:1].
1) Найти координаты точек Fb F2, F3 пересечения еди-
ничной прямой е с базисными прямыми аъ а2, а3.
2) Найти координаты прямых ArFlf A2F2i A3F9, где Ах,
Д2, А3 —вершины базисного треугольника.
1369*. Доказать, что если на проективно-евклидовой
плоскости введена проективная система координат А±А2А3ЕУ
где все точки Ах, Д2, Ag, Е собственные, то:
1) проективные координаты хх:х2:х3 собственной точки
М пропорциональны отношениям расстояний dlf d2, d3 от точки
М до сторон А2А3, А3Аь АхА2 базисного треугольника к рас-
стояниям elf е2, е3 от единичной точки Е до тех же сторон:
Хх2=|\- >.х3 = ^
£Х ^2
(трилинейные координаты точки);
2) проективные координаты собственной пря-
мой т пропорциональны отношениям расстояний S1? S2, S3
от вершин Ах, Д2, А3 базисного треугольника до прямой т
к расстояниям еь е2, 83 от тех же вершин до единичной
прямой £ = [1 :1: 1]:
1 ех ’ 2 е2 3 £з
(трилинейные координаты прямой).
206
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1370
1370*. На проективно-евклидовой плоскости треугольник
АВС с вершинами в собственных точках принят за базисный
треугольник проективной системы координат. За единичную
точку принимается центр Е окружности, вписанной в тре-
угольник АВС. Найти трилинейные координаты: 1) точки
пересечения медиан треугольника АВС; 2) центра окруж-
ности, описанной вокруг треугольника АВС; 3) точки пере-
сечения высот треугольника АВС.
1371*. Написать уравнение несобственной прямой про-
ективно-евклидовой плоскости, принимая за вершины базис-
ного треугольника АВС собственные точки, а за единичную
точку:
1) точку пересечения медиан треугольника АВС;
2) центр окружности, вписанной в треугольник АВС;
3) центр окружности, описанной вокруг треугольника АВС;
4) точку пересечения высот треугольника АВС.
1372*. На проективной плоскости заданы два треуголь-
ника ЛХЛ2Л3 и BJ^B^ расположенные так, что прямые
А2В3, А±ВЪ А3В2 проходят через одну точку и прямые АгВ3>
Л2В2, Л3Вх также проходят через одну точку. Доказать, что
тогда прямые ArB2i Л3В3, А2ВХ проходят через одну
точку.
1373*. На проективной плоскости даны два треугольника
ЛХЛ2Л3 и ВгВ2В3. Доказать, что:
1) если прямые Лх^х, А2В2, А3В3 проходят через одну
точку, то точки пересечения пар прямых ЛХЛ2 и ВгВ2, Л2Л3
и В2В3, Л3ЛХ и В3ВХ лежат на одной прямой;
2) если точки пересечения пар прямых ЛХЛ2 и BXZ?2,
Л2Л3 и В2В3) Л3ЛХ и В3ВГ лежат на одной прямой, то пря-
мые АГВЬ А2В2, А3В3 проходят через одну точку (теорема
Дезарга).
1374*. Два треугольника ЛХЛ2Л3 и B-J^B^ лежащие на
проективной плоскости, называются гомологичными, если
прямые АГВЪ А2В2, А3В3 проходят через одну точку, назы-
ваемую центром гомологии. В этом случае точки пересечения
пар прямых ЛХЛ2 и ВХВ2, Л2Л3 и В2В3, Л3ЛХ и В3В± лежат
на одной прямой (см. предыдущую задачу), называемой осью
гомологии.
Доказать, что если три треугольника попарно гомологичны
и имеют один и тот же центр гомологии, то оси гомологии
трех пар этих треугольников проходят через одну точку.
1379 ]
§ 2. ПРОЕКТИВНАЯ ПЛОСКОСТЬ
207
1375*. 1) На проективной плоскости даны две различные
прямые а и Ь. На прямой а взяты точки 1, 3, 5; на прямой b
взяты точки 2, 4, 6. Доказать, что точки пересечения пря-
мых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 лежат на одной прямой.
2) На проективной плоскости даны две точки А и В.
Через точку А проведены три прямые 1, 3, 5; через точку В
проведены три прямые 2, 4, 6. Доказать, что прямые, про-
ходящие через точки 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61, проходят
через одну точку (теорема Паппа).
2. Ангармоническое отношение. Гармонизм
1376*. Найти ангармоническое отношение:
1) (ABCD) четырех точек проективной плоскости, лежа-
щих на одной прямой:
А = (х1: х2:х3),
В=(У1 -у2 :ys),
С = ((axj + Pji): (ах2 + Р_у2): (ах3 Ц- Р_у3)),
D = ((Xxj 4- pj/j): (Хх2 + цу2): (Кх3 + pj3));
2) (abed) четырех прямых проективной плоскости, про-
ходящих через одну точку:
а = [Mi •’ lh : мз]>
с = [(аг?14- : (оиг2 4- Рг>2): (ож3 4- Рг»3)],
d=Г(Алх 4- ртх): (Хн2 4- рт2): (Хи3 4- |w3)].
1377. Ha проективной плоскости заданы три точки, лежа-
щие на одной прямой,
A=-(a1\a2\a^)i
С = ((аа± + р&г): (сш2 + $Ь2): (сш3 + ₽£3)).
Найти координаты точки D, лежащей на прямой АВ, зная,
что ангармоническое отношение (ABCD) равно X.
1378. На проективной плоскости заданы четыре точки
А = (1:1:2), В = (3: —1:2), С == (11: —1:10), £> = (3:4:10).
Доказать, что эти точки лежат на одной прямой, и найти
ангармоническое отношение (ABCD).
1379. На проективной плоскости заданы четыре прямые
а = [0:1:— 1], ih = [l:2:—1], с = [1:1:0], rf = [4:9:—5].
208
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1380
Доказать, что они проходят через одну точку, и найти ангар-
моническое отношение (abed),
1380. На проективной плоскости заданы три точки А =
= (1:2:3), В = (—3:2:4), С = (—2:4:7). Доказать, что
эти точки лежат на одной прямой, и найти точку £), гармо-
нически сопряженную с точкой С относительно пары
точек А, В,
1381*. Относительно проективной системы координат
АХА2А3Е задана точка М = (х°г: х2: х3), не лежащая ни на
одной из прямых А3АХ и А3А2. Составить уравнение прямой
А3Л4 и уравнение прямой Z, гармонически сопряженной с этой
прямой относительно пары прямых А3АЬ А3А2.
1382*. На плоскости введена проективная система коор-
динат AiA2A3E. Пусть М ~(х1:х2: х3) — точка плоскости,
не лежащая ни на одной из сторон базисного треугольника.
Обозначим через Е3 и М3 точки пересечения прямых А3Е и
А3М с прямой АХА2. Найти ангармоническое отношение
(АХА2Р37143).
1383*. На проективной плоскости введена проективная
система координат AiA2A3E. Пусть М —(хх: х2: х3) — точка,
не лежащая ни на одной из сторон базисного треугольника
АХА2А3. Обозначим через /Их, М2, М3 точки пересечения пря-
мых АХ7И, А2М, А3М со сторонами А2А3, А3АХ, АХА2 базис-
ного треугольника; пусть 7VX~ точка, гармонически сопряжен-
ная с точкой 7ИХ относительно точек А2, А3; N2 — точка, гар-
монически сопряженная с точкой ТИ2 относительно точек А3,
Ах; N3 — точка, гармонически сопряженная с точкой /И3 отно-
сительно точек Ах, Л2. Доказать, что точки N2,
N3 лежат на одной прямой, и найти координаты этой
прямой.
1384*. Полным четырехугольником называется совокуп-
ность четырех точек Р, Q, R, S, из которых никакие три
не лежат на одной прямой. Сторонами полного четырехуголь-
ника PQRS называются шесть прямых QR, PS, RP, QS, PQ
и RS. Стороны, не проходящие через одну и ту же вершину,
называются противоположными: QR и PS, RP и QS, PQ и
ДО. Точки А, В, С пересечения пар противоположных сторон
называются диагональными точками, а треугольник АВС
называется диагональным. Доказать, что:
1) точки Ах, Вх, Сх пересечения сторон ВС. СА, АВ диа-
гонального треугольника со сторонами QP, ДО, PQ лежат
на одной прямой;
1388 ]
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
209
2) стороны и PQ пересекают сторону АВ диагональ-
ного треугольника в точках М и N, гармонически сопряжен-
ных относительно пары точек А, В.
1385*. Полным четырехсторонником называется совокуп-
ность четырех прямых р, q, г, s, из которых никакие три
не проходят через одну точку. Вершинами полного четырех-
сторонника называются шесть точек пересечения его сторон:
q и г, р и s, г и р, q и $, р и q, г и $. Вершины, не лежа-
щие на одной и той же стороне четырехсторонника, назы-
ваются противоположными. Прямые а, Ь, с, соединяющие
противоположные вершины, называются диагональными пря-
мыми. Доказать, что:
1) прямые а1У Ьь с1У проходящие через вершины диаго-
нального треугольника и соответственно через вершины,
в которых пересекаются стороны q и г, г и ру р и qy про-
ходят через одну точку;
2) вершины, в которых пересекаются прямые s и г, р и
q, гармонически разделяются точками, в которых стороны а
и b пересекаются с прямой, соединяющей эти вершины.
1386. Найти диагональные точки четырехугольника, вер-
шины которого
(1:1:1), (1:1:-1), (1: —1:1), (-1:1:1).
1387*. Доказать, что шесть сторон четырехугольника
пересекают три стороны его диагонального треугольника
в шести вершинах четырехсторонника с тем же самым диа-
гональным треугольником.
§ 3. Проективные преобразования проективной
плоскости
1. Коллинеации
Александров, гл. XXI, § 6.
Моденов, гл. XV, §§ 194—196.
Постников, гл. 7, § 1, п. 4.
1388*. На проективно-аффинной плоскости задано в од-
нородных координатах проективное преобразование
— 2j^2 "ф" Зх3,
= 2xi -J“ х2 + 2лд,
= 4хг — 2х2 +
210
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1389
Найти несобственные точки, которые при этом преобразова-
нии переходят в несобственные точки.
1389*. Найти проективное преобразование множества
всех собственных точек (х, у) проективно-аффинной пло-
скости, образами (х', у') которых являются собственные
точки, если точка (0, 0) — инвариантная точка этого проек-
тивного преобразования, а прямые
х + У + 2 = 0, х —у ~ 4~0f х — 4уф-3 = 0
переходят соответственно в прямые
х' + ЗУ + 2 = 0, x'-3y'+4 = 0 х' + 2у'-3 = 0.
1390. Найти проективное преобразование проективно-аф-
финной плоскости, переводящее начало аффинной системы
координат в точку (—7, 4), несобственную точку оси Ох —
/1 3\ .
в точку (у, -g-1, несобственную точку оси Оу — в точку
(I 5 \
---o’» тгл а точкУ (L О —в несобственную точку прямой
о У /
л:= °-
1391. Найти образ прямой [zzx: zz2: ^з] при проективном
преобразовании, для которого стороны базисного треуголь-
ника AiA2A3 инвариантны, а точка (аг : а2: а3), не лежащая
ни на одной из сторон базисного треугольника, переходит
в тоику (а[: а2: также не лежащую ни на одной из сто-
рон базисного треугольника.
1392. Дано проективное преобразование:
Xjv {= atlx 14“ £12^2 + з,
4“ ^22*^2 4“ ^23*^3,
ХАГз = ^31-^! + #32-^2 4“ ^ЗЗ-^З-
Найти координаты: 1) образа прямой 2) прообраза
точки (х{: х2: х'^у, 3) прообраза прямой [и{: и2: и3].
1393. Дано проективное преобразование множества пря-
мых проективной плоскости:
= а11и1 + а12и2 4- Й13М3,
= #21^1 4“ #22ZZ2 4“ ^23#з,
Ku3 — aslu1 -ф а32и2 4~ ^33zz3-
Найти: 1) образ точки (хг: х2 : х3); 2) прообраз прямой
[и[: и2: и3]\ 3) прообраз точки (х{: х2: х3).
1402 j
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
211
1394*. Найти все проективные преобразования, при кото-
рых базисные точки Аъ А2, А3 инвариантны. Какой геометри-
ческий смысл имеют эти преобразования в случае, если
проективная плоскость реализована связкой прямых и плоско-
стей трехмерного аффинного пространства?
1395. Найти проективное преобразование, при котором
базисные точки Дь Д2, А3 переходят соответственно в точки
Д2) А3) Alf а единичная точка Е инвариантна.
1396. Найти проективное преобразование, при котором
вершины базисного треугольника Аг = (1 : 0 : 0), А2 == (0 :1 : 0),
А3== (0:0:1) переходят соответственно в точки Ег = (0:1 :1),
Z?2 = (1 :0 :1), Е3 = (1:1:0), а единичная точка Е инвари-
антна.
1397. Найти все проективные преобразования, при ко-
торых вершины базисного треугольника А1~ (1:0:0),
А2 = (0:1:0), А3 = (0:0 :1) переходят соответственно в точки
Дх = (0:1 :1), Е2-(1:0: 1), £3 = (1:1 : 0).
1398. Найти проективное преобразование проективной
плоскости, при котором базисные точки Аь Д2, А3 проектив-
ной системы координат инвариантны, а единичная точка Е
переходит в точку Е' = (ег: е2: е3).
1399*. 1) Найти проективные преобразования проективно-
аффинной плоскости, при которых все точки несобственной
прямой х3 —0 инвариантны.
2) Какое преобразование на множестве собственных точек
проективно-аффинной плоскости порождает это проективное
преобразование?
1400*. 1) Найти все проективные преобразования проектив-
но-аффинной плоскости в системе однородных координат, при
которых несобственная прямая х3 = 0 инвариантна.
2) Как преобразуется при этом множество собственных
точек плоскости?
1401. Найти проективное преобразование проективной
плоскости, при котором образами точек Л1 = (1:0:0),
А2 =(0: 1: 0), А3 = (0 : 0 : 1), Е=(1: 1 : 1) являются точки
А = (ап : а21: я31), А2 ~ (а12: а22 : а32),
Д3 == (я13: #23 : #33), Е = (Z?x: b2 : £3).
1402. Как запишется проективное преобразование проек-
тивной плоскости, если точка Д1 = (1:0:0) является инва-
риантной точкой, прямая Д2Д3 является инвариантной прямой,
212
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1403
причем точка Д3 = (0:0:1) является образом точки А2=
= (0:1:0)?
1403*. Проективное преобразование проективной пло-
скости называется гиперболической гомологией, если оно имеет
прямую инвариантных точек (ось гомологии) и инвариантную
точку (центр гомологии), не лежащую на этой прямой.
1) Как запишется гиперболическая гомология с центром
д1==(1:0:0) и осью Д2Л3, Д2 = (0: 1:0), Д3 = (0:0: 1)?
2) Как преобразуются собственные точки проективно-аф-
финной плоскости при гиперболической гомологии, если
= (1 :0 :0)—несобственная точка проективно-аффинной плос-
кости, лежащая на оси Ох аффинной системы координат Оху,
а ось А2А3 гомологии совпадает с осью Оу?
3) Как преобразуются собственные точки проективно-аф-
финной плоскости, если в качестве центра гомологии принять
начало координат аффинной системы координат Оху, а в каче-
стве оси гомологии —- несобственную прямую?
1404*. 1) Доказать, что гиперболическая гомология одно-
значно определяется заданием ее оси, центра, точки М, отлич-
ной от центра, не лежащей на оси гомологии и ее образа М',
лежащего на прямой, соединяющей центр гомологии с точ-
кой М, причем ЛГ отличен от центра гомологии и не лежит
на ее оси.
2) Найти гиперболическую гомологию с центром Дх =
= (1 : 0 : 0), осью Д2Д3, Л2 = (0: 1 :0), Д3 = (0:0:1), при ко-
торой точка В=(1 :1 :1) переходит в Е' = (а: 1:1) (а =/= 1).
1405*. Гиперболическая гомология называется гармониче-
ской, если точка М и ее образ М' при этой гомологии гармо-
нически разделяют пару точек А± и Р, где Аг — центр гомологии,
а Р —точка пересечения прямой А^М с осью гомологии Д2Д3.
1) Доказать, что гармоническая гомология является инво-
люционным преобразованием. Обратно: если гиперболическая
гомология является инволюционным преобразованием, то она
является гармонической.
2) Записать гармоническую гомологию, принимая ее
центр Дх за вершину (1:0:0) базисного треугольника, а ось
гомологии за сторону Л2Л3 базисного треугольника проектив-
ной системы координат на проективной плоскости.
3) Как преобразуются собственные точки при гармони-
ческой гомологии проективно-аффинной плоскости, если ее
центр Дх = (1 : 0: 0) —- несобственная точка оси Ох, а ось
гомологии — ось Оу аффинной системы координат Оху?
1412]
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
213
4) Как преобразуются собственные точки проективно-аф-
финной плоскости при гармонической гомологии, если ее цент-
ром является начало координат аффинной системы координат
Оху, а ее осью — несобственная прямая?
1406*. Какой геометрический смысл имеет гармоническая
гомология, если проективная плоскость реализована как связ-
ка прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства?
1407*. Доказать, что всякое инволюционное преобразова-
ние проективной плоскости является гармонической гомологией
или тождественным преобразованием.
1408*. Доказать, что произведение трех гармонических
гомологий, центры которых совпадают с вершинами, а оси — со
сторонами треугольника, есть тождественное преобразование.
Д409*. Проективное преобразование проективной плоскости
называется параболической гомологией, если оно имеет прямую
инвариантных точек (ось гомологии) и пучок инвариантных
прямых, центр которого (центр гомологии) лежит на прямой
•инвариантных точек.
1) Как запишется параболическая гомология с центром
^ = (1:0:0) и осью АХА2, Д2 = (0:1:0)?
2) Как запишется параболическая гомология с центром .
Д1== (1:0:0), осью А±А2, А2 = (0:1:0), при которой точка
£=(1: 1 :1) переходит в точку Е' : 1: 1) (Л =/= 1)?
3) Как преобразуются собственные точки проективно-аф-
финной плоскости, если центр гомологии есть несобственная
точка оси Ох аффинной системы координат Оху, а ось гомо-
логии — несобственная прямая?
1410*. Какой геометрический смысл имеет параболическая
гомология, если проективная плоскость реализована как связка
прямых и плоскостей трехмерного аффинного пространства?
1411*. 1) Доказать, что произведение двух гармонических
гомологий есть параболическая гомология.
2) Обратно: всякая параболическая гомология может быть
представлена как произведение двух гармонических гомологий.
1412*. Доказать, что проективное преобразование
X-Vj — ЛцЛ?! 4“ ^12-^2 + ^13-^3,
X-Vg = ^21*^1 + ^22-^2 + Я23АГ3,
Хх3 — £31Aa 4-
^32-^2 ~h аззхз>
при котором инвариантными точками являются все точки пря-
мой х3 = 0 и только эти точки, является параболической го-
мологией. Найти ее центр.
214
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Г 1413
1413*. Доказать, что произведение гиперболической гомо-
логии на параболическую гомологию с той же осью есть гипер-
болическая гомология.
1414*. Дано проективное преобразование
Пусть
kxx — «Ц^1 4" «12-^2 4” «13*^3»
kX2 — «21*^1 4“ «22-**2 4" «23-^3>
kX3 == С1$]Х 1 Д- 2 4“ «33-^3*
Х(^) =
«и~^
«21
«31
«12 «13
«22 — «23
«32 «83 —
— характеристический полином матрицы
/ ап «12 «13
А = I «21 «22 «23
\«31 «32 «33
этого преобразования.
Доказать, что:
1) координаты х1:х2:х3 инвариантных точек этого пре-
образования определяются из системы уравнений
(«11 — A) Xi 4“ «12^*2 4“ «13-^3 ==
«21-^1 4” («22— М -^2 4“ «23-^3 — ‘
«31-^1 4“ «32-^2 4~ («33—Х)Л*з=0, >
где Л — корень характеристического полинома;
2) координаты : zz2: zz3 инвариантных прямых
из системы
(«И — Л) til 4" «21«2 4" «31«3 =
«12 «1 4~ («22 — «2 4" «32«3 =
«13«1 4" «23«2 4“ («33 — «3 — ,
(О
находятся
(О
где X —корень того же характеристического полинома;
3) если А — простой корень характеристического поли-
нома, то соответствующие ему инвариантные точка и прямая,
определяемые из систем (1) и (2), не инцидентны.
141*5*. Дано проективное преобразование
кхг — ацХ1 -]- «12-^2 4" «1з-*з>
kx2 = «21*^1 4- «22*^2 4- «23^3’
kx3 — «3i~Vi 4“ «32-^2 4” «33-^3*
1417]
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
215
Пусть
ац — 'к
«21
«31
х(Ь)=
«12 «13
«22— «23
«32 «33 —
. — характеристический полином матрицы
«12
«22
«32
«13
«23
«33 >
преобразования в зависи-
<hi
Л = I a21
\«31
этого преобразования.
Найти канонический вид этого
мости от корней Ар А2, А3 характеристического полинома и
ранга матрицы А — КЕ, если А —кратный корень характери-
стического полинома.
Рассмотреть следующие случаи:
1) Ах, А2, А3 — действительные и простые корни;
2) Ах — действительный корень, А2 и А3 — комплексные
сопряженные корни: A2>3 = az±zpz (« и р — действительные
числа и Р =^= 0);
z3) Ах = А2 = s У= Е
4)
5)
6)
7)
Rg(A-S£) = 2;
Rg(A - s£) = l;
Rg(A —sE) = 2;
Rg(A —s£)=l;
Rg(A-sE) = 0.
'3’
^1 ^2 ^3>
— X2 -— A3 —- <$,
Aj —— A<2 1 A3 •$,
A^ :=: A3 s,
1416*. Найти инвариантные точки и инвариантные прямые
проективного преобразования, заданного в канонической си-
стеме координат, в зависимости от канонического вида этого
преобразования (см. предыдущую задачу).
2. Корреляции. Поляритет
Александров, гл. XXII, § 5.
1417*. Корреляцией называется отображение множества
всех точек проективной плоскости на множество всех пря-
мых проективной плоскости, определяемое соотношениями
А«1 = «ЦХ 1 + «12Х 2 + «13х з,
Х«2 «21Х1 “Ь «22Х2 “Ь «23Х3>
Х«з = «31х! + «32Х2 4“ «33Х3>
«11 «12
«21 «22
«31 «32
«13
«23
«33
=^= о,
(П
216
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1418
где (хх: х2: х3) — произвольная точка, а [пх: и2: «3] — соот-
ветствующая ей прямая проективной плоскости. Доказать, что:
1) если три точки А, В, С лежат на одной прямой, то
соответствующие им прямые а, Ь, с при корреляции (1) про-
ходят через одну точку;
2) если три прямые а, Ь, с проходят через одну точку,
то они соответствуют трем точкам А, В, С, лежащим на одной
прямой.
1418*. Доказать, что если точки А, В, С лежат на одной
прямой [хд: v2: х>3], то при корреляции
XzZi — 4“ #12-^2 “Ь #13-^3>
^#2 ~ #21-^1 4“ #22-^2 + #23“^3>
Xw3 = Я31Х1 4" #32-^2 + #33-^3
им соответствуют три прямые а, Ь, с, проходящие через
одну точку (j/x:у2 :у3) такую, что
— апУ1 + #21 .Уг + #з1.Уз,
= #12 У1 + #22^2 + #32_Уз>
^3 = «13 J1 4“ #23^2 + аЗзУЗ'
1419*. Доказать, что существует и притом только одна
корреляция, при которой четырем точкам, из которых никакие
три не лежат на одной прямой, соответствуют четыре прямые,
из которых никакие три не проходят через одну точку.
1420*. Даны две корреляции Л4 и К2. Пусть 714 —про-'
извольная точка проективной плоскости, т — ее образ при
корреляции 714' — прообраз т при корреляции /С2. Дока-
зать, что соответствие, при котором точке 7И соответствует
точка 7И', является проективным преобразованием.
1421. Найти корреляцию проективной плоскости, при ко-
торой точкам А1 = (1:0:0), А2 = (0:1:0), А3 = (0:0:1),
£ — (1:1:1) ставятся в соответствие прямые ах = [1:0:1],
472 = [О : 1 : —3], «з = [0:1:5], е = [1:1:2].
1422. Дана корреляция
Xz/i = 2xi, ^#2 = Зх2, Х«з = —5х3.
На прямой Xi4~x2 — 2х3 = 0 найти точку, для которой пря-
мая, являющаяся ее образом при данной корреляции, прохо-
дит через эту точку.
1423. Найти корреляцию, при которой точкам (1:0:0),
(0:1:0), (0:0:1), (1:1:1) ставятся в соответствие прямые
[1:0:0], [0; 1:0], [0:0; 1], [1: 1 :1].
1429 ]
§ 3. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
217
1424*. Корреляция
+ #12 + й13х3,
Ли2==п21х1 +
^22-^2 4“ й23-^3»
hll% = ^3i-Vx 4~ £32-V2 4“ ^33^3
называется поляритетом П, если матрица
(аП а12 с1з\
^21 а22 а23 I
#31 #32 а33*
является симметрической.
Доказать, что:
1) если прямая а является образом точки А при поляри-
тете П и В — произвольная точка, лежащая на прямой а, то
прямая Ь, являющаяся образом точки В при этом поляритете,
проходит через точку А;
2) если при корреляции произвольной точке А соответ-
ствует прямая а и любой точке В, лежащей на прямой а, соот-
ветствует прямая Ь, проходящая через точку Д то эта кор-
реляция есть поляритет.
Если прямая а соответствует точке А при поляритете П, то
а называется полярой точки Д а точка А — полюсом пря-
мой а. Точки А и В, из которых каждая лежит на поляре дру-
гой, называются сопряженными точками. Прямые а и Ь, из
которых каждая проходит через полюс другой, называются,
сопряженными прямыми.
1425*. Доказать, что всякая корреляция, при которой
вершинам некоторого треугольника АВС соответствуют его
противоположные стороны, есть поляритет. Треугольник
АВС, для которого каждая сторона является полярой проти-
воположной вершины при некотором поляритете, называется
автополярным треугольником для этого поляритета.
1426. Как запишется поляритет, если базисный треугольник
ЛХД2Л3 является автополярным для этого поляритета?
1427*. Доказать, что поляритет однозначно определяется
заданием автополярного треугольника, точкой М и прямой т,
являющейся образом точки М
1428*. Доказать, что если точки А и В лежат на своих
полярах, то прямая АВ не проходит через свой полюс.
1429*. Доказать, что на прямой не может быть более
двух точек, лежащих на своих полярах.
218 гл. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ [ 1430
1430*. Доказать, что:
1) если при поляритете П вершинам треугольника АВС
соответствуют стороны В'С',С'Л', А'В' треугольника А' В'С',
отличного от треугольника АВС, то прямые АА', ВВ' и СС'
проходят через одну точку О (теорема Шаля);
2) если у двух различных треугольников АВС и А'В'С'
прямые АА', ВВ', СС' проходят через одну точку О, то
существует поляритет, при котором вершинам А, В, С тре-
угольника АВС соответствуют стороны В'С', С'А', А'В'
треугольника А'В'С' (теорема Штаудта).
1431*. Доказать, что поляритет на любой прямой, не про-
ходящей через ее полюс, порождает инволюцию сопряженных
точек.
1432*. Если при поляритете П ни одна точка не лежит
на своей поляре, то поляритет П называется эллиптическим.
Если при поляритете П существует точка, лежащая на своей
поляре, то поляритет П называется гиперболическим. Три
прямые Л2Л3, не проходящие через одну точку,
делят проективную плоскость на четыре области. Пусть поляри-
тет П задан автополярным треугольником А]А2А3 и образом е
точки В. Доказать, что если точка В лежит в той области, в ко-
торой нет точек прямой е, то поляритет П будет эллиптиче-
ским; если прямая е содержит точки той области, в которой
лежит точка В, то поляритет будет гиперболическим.
1433*. Дан поляритет
Zz/j — 4- ZZ12-V2 + #13-V3,
A/Z2 “ ^21-^* 1 Ч~ ^22*^2 4“ ^23 3>
Xzz3 = а31 х! 4~ #32.v 2 з-
При каком необходимом и достаточном условии: 1) точка
(ад: х2: х3) лежит на своей поляре; 2) поляритет является
эллиптическим; 3) поляритет является гиперболическим.
1434. Дан поляритет
Kill = ЯцХ1 4~ й12Л*2 4~ #13-^3>
Kll% = ^21-^*1 + ^22-^2 4“ ^23*^3’
Ки3 — a3iX i 4- #32-V 2 4“ а33х 3.
При каком необходимохм и достаточном условии прямая
[zzx: и2: zz3] проходит через свой полюс?
1435*. Доказать, что если две пары противоположных
вершин четырехсторонника сопряжены при некотором поля-
1441]
§ 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
219
ритете, то и третья пара противоположных вершин будет
также сопряжена при этом поляритете (теорема Гессе).
1436*. В четырехугольнике ЛХЛ2Л3Л4 вершины Дх и А3,
а также А2 и Л4, сопряжены при некотором поляритете. До-
казать, что точка А5 пересечения прямых ДХЛ2, и точ-
ка Л6 пересечения прямых ЛХЛ4 и А2А3 полярно сопряжены
при том же поляритете (теорема Гессе).
1437*. Доказать, что корреляция, переводящая четыре вер-
шины пятиугольника в соответствующие противоположные сто-
роны, есть поляритет, при которой и пятой вершине соответст-
вует противолежащая ей сторона.
1438. 1) Найти уравнение геометрического места точек,
лежащих на своих образах (прямых) при корреляции
X?iX---“Ь” ^12*^2 “Ь” ^13~Гз>
X/Z2 — #21Л1 “h а22-Х2 Ц- &23-^3>
Xw3 = ^31*^1 4“ ^32-^2 + ^33-^3*
2) Какой вид примет это уравнение в случае, если дан-
ная корреляция является поляритетом?
§ 4. Линии второго порядка на проективной плоскости
Александров, гл. XXII, §§ 1—3, 8.
Моденов, гл. XV, §§ 203—211.
Постников, гл. 6, § 2, пп. 1—3, 8.
7. Линии второго порядка
1439*. Написать уравнение линии второго порядка на
проективно-аффинной плоскости, касающейся оси Ох в точ-
ке (3, 0), оси Оу в точке (0, 2) и несобственной прямой.
1440. На проективно-аффинной плоскости введена аффин-
ная система координат Оху. Как запишется уравнение эллип-
са х2-|-у2=1 в проективной системе координат ЛХЛ2Л3Д,
если за стороны Л2Л3, А3АХ, ЛХЛ2 базисного треугольника
принять соответственно прямые jz-f-1 = 0, у — 1 =0, х = 0,
а за единичную точку Е — точку (1, 0)?
1441. Как запишется уравнение параболы у2 — 4х, лежа-
щей на проективно-аффинной плоскости, в проективной си-
стеме координат ЛХЛ2Л3Д если
Лх=(1, 0), Л2 = (—1, 2), Л3 = (—1, —2), Е = (0, 0)?
220
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1442
1442. На проективно-евклидовой плоскости относительно
прямоугольной системы координат задана окружность х2 +
1. Как запишется уравнение этой окружности в про-
ективной системе координат А^^зД если
Л1==(1, 0), Д2 = (0, 1), А3 = (—1, 0), £ = (0, —1)?
1443. Составить уравнения линий второго порядка, зная,
что они проходят через вершины базисного треугольника
Л!Л2Лз проективной системы координат.
1444. Пользуясь приведением квадратичной формы к сумме
квадратов, определить проективный класс следующих линий
второго порядка:
—|— 4х% — Х3 —2д72А73 “I- &Х3Х-± 4" 3A7jA72 =
2) jt2at3 4~ х3х^ 4~ xtx2 = 0;
3) 4xf + 1 5х2 — 5x1 ~* 22х2хз — 8х3Х! 4-16хгх2 = 0;
4) 2xf —4“ 7a73 4~ 4аг2А73 -j- 6х3х^ — 4х-^х2 == б*
5) 4xf + Х1 + 34х| — 6х2х3 — 1 ^х3хг + ^xix2 = 0; <
6) 4" Х2 -|- 4дГд —4Л72А73 4jT3A7i -|- 2х^х2 = 0.
1445*. Относительно проективной системы координат даны
четыре прямые:
(71 = ИцХ1 4“ И12-^2 4“ ^13*^3 ~ 0 (4)>
U2 = ^21-^1 4“ U22x2 4“ ^23Х3 ~ 0 (4)>
^3 = «31*1 4“ «32*2 4" 1133Х3 — (4)»
(74 = «41*1 4“ U^2X2 4" «43*3 ~ 0 (4)»
из которых никакие три не проходят через одну точку, и
точка М0 = (х1: х2: х3), не лежащая ни на одной из этих пря-
мых. Составить уравнение линии второго порядка, проходящей
через четыре точки пересечения прямых и /2, 4 и Z3, Zg
и Z4, Z4 и Zj и через точку 7И0.
1446. Составить уравнение линии второго порядка, про-
ходящей через пять точек:
Д = (0:0: 1), £ = (0:1:1), С=(1:0: 1),
D=:(2:—5:1), Е = (—5:2:1).
1447*. Доказать: для того, чтобы через пять точек про-
ективной плоскости можно было провести единственную линию
второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы никакие
четыре из этих точек не лежали на одной прямой.
1452 ]
§ 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
221
1448*. 1) Составить уравнение линии второго порядка,
касающейся сторон ЛхЛ3 и Д2Д3 базисного треугольника
Д]Д2Д3 в точках Alf А2 и проходящей через единичную
точку Е проективной системы координат.
2) К какому аффинному классу будет относиться эта ли-
ния, если Дх и Д2 ~~ несобственные точки проективно-аффин-
ной плоскости?
3) К какому аффинному классу будет относиться эта ли-
ния, если и Л3 - несобственные точки проективно-аффин-
ной плоскости?
1449*. Доказать, что если уравнение
F a^xf ^22*^2 4~ азз^з 2^23-v2jv3 -|-
4~ — б
является уравнением действительной овальной линии С вто-
рого порядка, то условие
#11 #12 #13
#21 й22 ^23
#31 #32 °33
F(xb х2, х3)> '0
необходимо и достаточно для того, чтобы точка Л'1=(х1:х2:хв)
была внутренней точкой линии С.
1450, При каком необходимом и достаточном условии
точка : а2: я3) является внешней точкой линии xl 4~ х% —
-4=0?
1451*. Дана действительная овальная линия С второго
порядка:
^11*^1 4“ ^22-^2 4“ ^33^-3 4" ^а23-^2^3 4“ ^31^3^1 4“ 2^12Х1Х2 ~ б
и прямая
4"' ^2^2 4“ «3*3 — б»
При каком необходимом и достаточном условии эта прямая:
1) пересекает линию С; 2) касается линии С; 3) не пересе-
кает линию С.
1452*. Пусть АВС и Д'5'С'—два треугольника, лежа-
щие на проективной плоскости и такие, что прямые ДД',
ВВ', СС' проходят через одну точку. Доказать, что шесть
точек пересечения прямых АВ и А'С', АВ и В'С', АС и
Д' В', АС и В'С', ВС и С'Д', ВС и А' В' лежат на одной
и той же линии второго порядка.
222
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1453
1453*. В действительную овальную линию второго по-
рядка вписан шестиугольник 123456. Доказать, что точки
пересечения пар прямых 12 и 45, 23 и 56, 34 и 61 лежат
на одной прямой (теорема Паскаля).
1454*. Пусть Аь А2, А3, Д4, Д5 —пять произвольных то-
чек, лежащих на действительной нераспадающейся линии С вто-
рого порядка. Доказать, что если /—касательная к линии С
второго порядка в точке Аь то три точки пересечения
прямых I и А3А4, А4А2 и Д4Д5, Д2Д3 и ^1^5 лежат на одной
прямой.
1455*. Пусть А2, А3, А4 — произвольные точки, ле-
жащие на действительной нераспадающейся линии С второго
порядка; 12, 13, /4 — касательные к этой линии соответст-
венно в точках Аь Д2, Д3, А4. Доказать, что четыре точки
пересечения прямых А4А2 и Д3Д4, Д2Д3 и 4 и 4> 4 и 4
лежат на одной прямой.
1456*. Пусть Alf А2, Д3 —три произвольные точки дей-
ствительной нераспадающейся линии второго порядка, а
4, 4, 4 — касательные к этой линии, проведенные к ней в
этих точках. Доказать, что три точки пересечения прямых
Д2Д3 и 4> АЛ и 4> А А и 4 лежат на одной прямой.
1457*. Около действительной нераспадающейся линии вто-
рого порядка описан шестиугольник Д1Д2Д3Д4Д5Д6. Дока-
зать, что прямые Д^Д4, Д2Д5> АА проходят через одну
точку (теорема Брианшона).
1458*. Доказать, что если — произвольный
пятиугольник, описанный около действительной нераспада-
ющейся линии второго порядка, и Д6 — точка касания прямой
Д4Дб с этой линией, то прямые ДХД4, Д2Дб, Д3Д6 проходят
через одну точку.
1459*. Пусть Дх, Д2, Д3, Д4 — произвольный" четырех-
угольник, описанный около действительной нераспадаюшейся
линии С второго порядка, а Д5, Д6, Д7, Д8 —точки касания
сторон ДХД2, Д2Д3, А3А4, Д4Дх с линией С. Доказать, что че-
тыре прямые ДХД3, Д2Д4, А5А7, А6А8 проходят через одну точку.
1460*. Доказать, что если треугольник ДХД2Д3 описан
около действительной нераспадающейся линии С второго по-
рядка, а Д4, Д5, Д6 — точки касания сторон А4А2, Д2Д3, Д3ДХ
с линией С, то прямые А^Аь, Д2Д6, ДзА проходят через
одну точку.
1461*. Пусть S — семейство нераспадающихся линий вто-
рого порядка, каждая из которых касается четырех прямых
1467]
§ 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
223
«1, я2> ^з> аь- Доказать, что прямые, проходящие через точки
касания линий 5 со сторонами аь а2 и а3, проходят через
одну точку.
1462*. Доказать, что если каждые две из трех линий
второго порядка пересекаются в четырех точках, причем все
они имеют общую хорду, то три другие их общие хорды
проходят через одну точку (теорема Штурма).
1463*. Два пучка прямых с центрами Sx и 52 находятся
в проективном соответствии, если между ними установлено
взаимно однозначное соответствие, при котором четырем лю-
бым прямым пучка образующим гармоническую четверку,
соответствуют четыре прямых пучка <?2, также образующих
гармоническую четверку.
Доказать, что точки пересечения прямых, соответствую-
щих друг другу при проективном соответствии пучков и 52,
лежат на одной и той же линии второго порядка, проходя-
щей через точки и 52, и обратно: если на линии L вто-
рого порядка взять две точки и S2 и поставить в соот-
ветствие прямой пучка &х прямую Z2 пучка S2, которая
пересекается с прямой /х в точке 7И, лежащей на линии L,
то такое соответствие двух пучков будет проективным.
1464*. Найти геометрическое место точек пересечения
соответствующих прямых двух проективных пучков Л7г==ЛХ2,
x2 = kx3.
1465*. Даны четыре точки, из которых никакие три не
лежат на одной прямой, и прямая Z, не проходящая ни через
одну из этих точек. Рассмотрим семейство линий второго
порядка, каждая из которых проходит через четыре данные
точки. Доказать, что если М и ЛГ —точки пересечения
прямой I с произвольной линией семейства, то эти точки
соответствуют друг' другу при некоторой инволюции на
прямой /.
1466*. Рассмотрим семейство линий второго порядка,
касающихся двух данных прямых в фиксированных точках.
Доказать, что пары точек пересечения этих линий с
третьей фиксированной прямой Z соответствуют друг другу
при некоторой инволюции на прямой X.
1467*. На проективно-аффинной плоскости введена аффин-
ная система координат Оху. Найти в однородных координа-
тах, а для собственных точек линий и в аффинных коорди-
натах, проективное преобразование плоскости, которое пере-
водит:
224
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1468
1) эллипс х2+_у2=1 в гиперболу х2—у2=1, дополнен-
ную несобственными точками ее асимптот;
2) гиперболу х2-—у2==1, дополненную несобственными
точками ее асимптот, в параболу у = х2, дополненную несоб-
ственной точкой ее диаметров;
3) эллипс -г2+_у2=1 в параболу у~х2, дополненную
несобственной точкой ее диаметров;
4) пару пересекающихся прямых х2— у2 — 0, дополнен-
ную их несобственными точками, в пару параллельных пря-
мых х2~ 1— 0, дополненную их несобственной точкой.
1468*. На проективно-евклидовой плоскости относительно
прямоугольной системы координат Оху задана гипербола
*2 __ 3’2_ i
а2 Ь2
1) Найти проективное преобразование в однородных коор-
динатах, при котором эта гипербола инвариантна, а касатель-
ные в вершинах гиперболы переходят в ее асимптоты.
2) Как в декартовых координатах х, у преобразуются
собственные точки этой гиперболы при этом проективном
преобразовании?
1469. Доказать, что действительная нераспадающаяся ли-
ния второго порядка инвариантна при гармонической гомо-
логии, центр которой является полюсом ее оси.
1470*. Составить уравнение семейства линий второго поряд-
ка, инвариантных при гармонической гомологии 'кх'1 = — хх,
Хх2 = х2, кх% = х3 с осью Л2А3 = [1 :0:0] и центром А1~
= (1:0:0).
1471*. Найти проективное преобразование, при котором
точка Дх = (1:0:0) инвариантна, а точка М линии
аи-^1 + + a33xl = 0
переходит во вторую точку ЛГ пересечения прямой AM
с этой линией.
1472*. Доказать, что если при проективном преобразова-
нии действительной овальной линии второго порядка в себя
три точки этой линии инвариантны, то все точки этой линии
инвариантны.
2. Полюсы и поляры
1473. Найти поляру точки (1, 0) относительно линии
Зх2 - бху + 5_у2 - 4х - бу + 10 = 0.
1482 ]
§ 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
225
1474. Найти полюс прямой Зх — j/4-6 = 0 относительно
линии второго порядка
х2 — 2ху 4-у2 4- 2х — 6_у = 0.
1475. Составить уравнение прямой, проходящей через
точку (2, 1), полярно сопряженную прямой 4х — у-[-30 = 0
относительно линии
х2 —бху-[-9у2 —12х-\-A4y— 7 = 0.
1476. На прямой х — 5_у4-18^=0 найти точку, полярно
сопряженную с точкой (—5, 4) относительно линии
2ху — 6х 4~ 4у — 1 = 0.
1477. Составить уравнение линии второго порядка, для
которой ось Оу является полярой точки (5, 0), ось Ох —
полярой точки (0, 3) и которая проходит через точки (1, 2),
1478.
ходящей
условии,
1479.
сительно
Составить уравнение линии второго порядка, про-
через точки А
что точка
Доказать,
эллипса
= (1, 1), Z? = (l, —1), О = (0, 0) при
(3, 1) является полюсом прямой АВ.
что поляры любой точки плоскости отно-
и гиперболы
л2
а2
^=1
fc2
... л2 у2_______________.
а2~Р'~
симметричны относительно оси Ох.
1480. Доказать, что поляра любой точки асимптоты ги-
перболы, отличная от ее центра, параллельна этой асимп-
тоте.
1481. 1) Доказать, что поляра центра нераспадающейся
линии второго порядка, лежащей на проективно-аффинной
плоскости, есть несобственная прямая.
2) Доказать, что полюс диаметра нераспадающейся линии
второго порядка есть несобственная точка хорд, которым
сопряжен этот диаметр.
1482*. На проективно-аффинной плоскости задана дей-
ствительная овальная линия второго порядка. Доказать, что
если из внешней собственной точки этой линии провести
к ней касательные, то прямая, соединяющая эту точку с
8 П. С. Моденов, А. С. Пархоменко
226
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1483
серединой хорды, граничными точками которой являются точ-
ки касания, будет диаметром линии, сопряженным направле-
нию хорды.
1483*. Доказать, что центр нераспадающейся линии вто-
рого порядка лежит вне треугольника, являющегося автопо-
лярным по отношению к этой линии.
1484. Доказать, что директриса линии второго порядка
является полярой соответствующего ей фокуса.
1485*. Доказать, что если две прямые проходят через
фокус линии второго порядка, то необходимым и достаточ-
ным условием полярной сопряженности этих прямых является
их перпендикулярность.
1486. Доказать, что если из каждой точки прямой, пер-
пендикулярной к оси линии второго порядка, опустить пер-
пендикуляр на поляру этой точки, то все такие перпендику-
ляры проходят через одну и ту же точку, лежащую на оси
линии.
1487*. Доказать, что если треугольник АВС является
автополярным для окружности, то точка пересечения высот
треугольника АВС совпадает с центром этой окружности.
1488*. Пусть С—-действительная овальная линия второго
порядка на проективно-евклидовой плоскости, a F — ее фокус.
Доказать, что при поляритете относительно окружности
с центром F множество всех касательных к линии С пре-
образуется в множество точек окружности с центром F.
1489*. Найти геометрическое место полюсов М хорд па-
раболы, которые видны из фокуса под прямым углом.
1490*. 1) Доказать, что для всякого поляритета геомет-
рическое место точек, инцидентных своим полярам, есть не-
распадающаяся линия второго порядка (действительная или
мнимая).
2) Доказать, что для всякой линии второго порядка су-
ществует поляритет, при котором геометрическим местом
точек, инцидентных своим полярам, является эта линия.
1491*. Пусть на проективной плоскости дана нераспа-
дающаяся линия второго порядка
ацХ% 4~ ^22-^2 4“ й33-^3 + 4“ 4“ 2&12'%'1'%'2 “
и точка Жо = (xi: х%: л^з). Найти геометрическое место точек,
гармонически сопряженных с точкой Мо относительно то-
чек А и В, в которых произвольная прямая, проходящая
через точку Л/о, пересекает данную линию.
1500]
§ 4. ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
227
1492*. Пусть С —линия второго порядка, являющаяся
геометрическим местом точек, инцидентных соответствующим
им прямым при поляритете П. Доказать, что если точка 714
лежит на линии С, то при поляритете П ей соответствует
касательная к линии С в точке М.
1493*. Пусть А — произвольная точка, лежащая на нерас-
падающейся линии С второго порядка, а В — полюс любой
прямой, проходящей через точку А. Доказать, что прямая АВ
является касательной к линии С в точке А.
1494*. Доказать, что если 714 — точка, внешняя по отно-
шению к действительной нераспадающейся линии второго
порядка, то ее поляра проходит через точки прикосновения
касательных, проведенных к данной линии из точки 714.
1495*. Доказать, что если 714 — внешняя точка для дей-
ствительной нераспадающейся линии второго порядка, то лю-
бая пара полярно сопряженных прямых, проходящих через
точку 714, гармонически разделяет пару касательных к этой
линии, проведенных к ней из точки 7И.
1496. Написать уравнение линии второго порядка, прохо-
дящей через вершины Alf А2, А3 базисного треугольника,
зная, что единичная точка £ = (1:1:1) проективной системы
координат является полюсом единичной прямой ^ = [1:1:1].
1497*. Доказать, что если в нераспадающуюся линию
второго порядка вписан треугольник, то прямая, полярно
сопряженная с одной из его сторон, пересекает две другие
стороны в полярно сопряженных точках.
1498*. Пусть точки А и В полярно сопряжены относи-
тельно нераспадающейся линии второго порядка. Пусть пря-
мая, проходящая через точку В, пересекает эту линию в точ-
ках Р и Q, а АР и AQ пересекают линию вторично в точ-
ках R и S. Доказать, что точки R, S и В лежат на одной
прямой.
1499*. На проективной плоскости введена проективная
система координат ATA2A3E. Пусть Е± и £2 —точки пересе-
чения прямых АгЕ и А2Е со сторонами А2А3 и A3At. Соста-
вить уравнение линии С второго порядка, для которой базис-
ный треугольник AXA2^3 будет автополярным, а полярой
единичной точки Е будет прямая £х£2. Какие из точек Аь
Д2, А3 являются внутренними точками линии С, а какие
внешними?
1500. При каком необходимом и достаточном условии
две точки (хг: х2: -V3) и СУ1:Л:Л) полярно сопряжены
8*
228
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1501
относительно нераспадающейся линии второго порядка
4“ #22-V| 4“ ^33*^3 4“ 2а23Л"2Л"3 4“ ^^31Х3Х1 4“ ^12*^1*^2 =
1501. При каком необходимом и достаточном условии
две прямые [wx: и2: z/3] и : v2:т?3] полярно сопряжены отно-
сительно нераспадающейся линии второго порядка
4“ ^22*^2 4- аЗЗХ1 4“ ^а23Х2Х3 4“ ^а31Х3Х1 4” 2^Х2ХХХ2 =
1502. Найти координаты полюса прямой
игхх + и2х2 + w3jv3 = 0
относительно нераспадающейся линии второго порядка
4- а22Х2 4“ аЗЗХ3 4- ^а23Х2Х3 4“ ^а31Х3Х1 4~ ^<Е.2Х1Х2~ 0*
1503*. Доказать, что если в овальную линию второго
порядка вписать треугольник и в его вершинах провести
касательные к этой линии, то точка пересечения прямых,
соединяющих вершины описанного треугольника с точками
касания противоположных сторон, есть полюс прямой, на
которой лежат три точки пересечения сторон вписанного тре-
угольника с касательными в противоположных вершинах.
1504*. Доказать, что если АхА2А3 — автополярный тре-
угольник для действительной овальной линии второго порядка,
то одна из его вершин является внутренней точкой этой
линии, а две другие — внешними.
1505*. Доказать, что уравнение линии второго порядка
относительно проективной системы координат АГА2А^Е имеет
вид xf-]-xl — х1 = 0 тогда и только тогда, когда треуголь-
ник АхА2А3 автополярный, точка А3 внутренняя, а точки At
и А2 — внешние для этой линии и единичная точка Е совпа-
дает с одной из четырех точек, в которых пересекаются ка-
сательные к линии, проведенные из точек Ах и А2.
1506*. Написать уравнение овальной линии второго по-
рядка, касающейся двух сторон АХА3 и А2А3 базисного тре-
угольника АХА2А3 в вершинах Ах = (1:0:0) и А2 = (0:1:0),
зная, что единичная точка £'=(1:1:1) является полюсом
единичной прямой ^ = [1:1:1] относительно этой линии.
1507*. Треугольник АВС описан около овальной линии
второго порядка. Доказать, что если точка М полярно со-
пряжена с точкой А относительно этой линии, то прямые МВ
и МС также полярно сопряжены относительно той же
линии.
1515 1
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
229
1508*. Пусть А и —полярно сопряженные точки отно-
сительно нераспадающейся линии С второго порядка. Пусть
прямая, пересекающая линию С в точках Р и Q, полярно
сопряжена с прямой АВ. Доказать, что прямые AQ и ВР
пересекаются в точке, лежащей на линии С.
1509. Относительно проективной системы координат
задана нераспадающаяся линия второго порядка:
4“ ^22*^2 4“ Й33Х3 4“ 2^23^72X3 4“ 2й31Х3Х1 4“ 2(7J2А* 1 А*2 = 0.
При каком необходимом и достаточном условии треугольник с
вершинами (Хх: х2: а*3 ), (j?i :_у2 :j3), (^i*. г2: ^3) является
автополярным относительно данной линии?
1510*. Доказать, что если два треугольника являются
автополярными при данном поляритете, то шесть их вершин
лежат на одной и той же линии второго порядка.
1511*. Доказать, что любые два треугольника, вписанные
в действительную нераспадающуюся линию второго порядка,
являются автополярными при некотором поляритете.
1512*. Доказать, что если в нераспадающуюся линию
второго порядка вписан шестиугольник АВСА'В'С' так,
что прямые АА', В В', СС проходят через одну точку, то эта
точка является полюсом прямой, на которой лежат точки пере-
сечения соответственных сторон треугольников АВС и А' В'С'.
1513*. Доказать, что если полный четырехугольник впи-
сан в нераспадающуюся линию второго порядка, то его диаго-
нальный треугольник является автополярным для рассматри-
ваемой линии.
1514*. Доказать, что шесть вершин двух автополярных
треугольников относительно линии второго порядка принад-
лежат некоторой линии второго порядка.
§ 5. Проективное пространство
1. Проективные координаты в проективном
. пространстве. Гармонизм
Александров, гл. XXIII, § 1; § 2, пп. 1, 2.
Моденов, гл. XV, §§ 197 — 200.
Постников, гл. 4, § 2, пп. 1 — 4.
1515*. В проективно-аффинном пространстве введена
аффинная система координат Oxyz и проективная система
координат A1A2^3^4^> где Аь -А2, ^з ~ несобственные точки
осей Ох, Оу, Oz; А4 совпадает с точкой О и Е —точка,
230
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1516
имеющая в аффинной системе координат Oxyz координаты
1, 1, 1. Выразить аффинные координаты х. у, z собственной
точки 7И через ее проективные координаты хх: х2: х3: х4
(однородные координаты).
1516. В проективно-аффинном пространстве заданы своими
однородными координатами две точки:
А~(Л :0:~ 1 :2),
£ = (1 : _ 1 :0: — 2).
Найти несобственную точку прямой АВ.
1517. В проективно-аффинном пространстве заданы две
плоскости своими однородными координатами [2:—1:0:1]
и [6:0:1: —3]. Найти несобственную точку прямой, по ко-
торой пересекаются эти плоскости.
1518*. В проективнО-аффинном пространстве введена
проективная система координат ЛгД2Л3А4Е, где все точки
Alf А2, A3f А4, Е собственные. Относительно аффинной си-
стемы координат с началом координат Д4, осями A4Alf А4А2,
А4А3 и единичной точкой Е строится точка ТИ4=(Хх, х2, х3).
Относительно аффинной системы координат с началом коор-
динат Аь осями А4А2, А4А3) АлА4 и единичной точкой
Е строится точка М4==(х2, х3, х4). Относительно аффинной
системы координат с началом координат А2, осями А2АЬ
А2А3, А2^4 и единичной точкой Е строится точка М2 =
= (х4, х3, х4). Относительно аффинной системы координат
с началом координат в точке А3, осями А3Ах, Д3Д2, Д3^4 и
единичной точкой Е строится точка Л/13^(х1, х2, х4). Дока-
зать, что прямые А4М19 Д2Л12, А3М3, А4М4 проходят через
одну точку 7И, и найти ее проективные координаты.
1519*. В проективно-аффинном пространстве введена
аффинная система координат, относительно которой заданы
уравнения граней базисного тетраэдра А4А2А3А4.
А4х -ф В-^у Ц- C4z D4 = 0 (Д2Д3Д4),
Д2х 4~ В2у 4~ С2z 4~ О2 = 0 (/^хАзА4),
А3х 4~ В3у 4~ C3z 4~ D3 = 0 (А4А2А4),
A^ + B.y + C^ + D^O (А4А2А3)
и единичная точка £ = (л'о, yQ, г0) проективной системы коор-
динат AxA2A3A4£.
Найти проективные координаты точки М, если даны ее
аффинные координаты х, у, г.
1522]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
231
1520*. Доказать, что если в проективно-евклидовом про-
странстве введена проективная система координат Д^АзАД
где все точки Аь А2, А3, А4, Е — собственные, то проектив-
ные координаты %!: х2 ’ х3: х4 собственной точки М пропор-
циональны отношениям расстояний dv d2, d3, d± от точки М
до граней А2А3А4, А-^А^ АХА2А4, А3А2А3 базисного тетраэдра
к расстояниям elf е2, е3, е4 от единичной точки Е до тех же
граней:
XxL—~f Х^2=--,
^1 е*
(тетраэдрические координаты точки).
1521*. В проективно-аффинном пространстве введена про-
ективная система координат А1А2А3А4Е, где все точки
Аь А2, А3, А4, Е — собственные. Доказать, что проективные
координаты и1\и2: и3: $4 собственной плоскости и1х1 ф- и2х2 ф-
ф- и3х3 ф- $4х4 = 0 пропорциональны отношениям расстояний
61, 62’ б3, 64 от вершин А4, А2, А3, А4 базисного тетраэдра
AiA2A3A4 до рассматриваемой плоскости к расстояниям 83, е2,
83, е4 от вершин Аь А2, А3, А4 до единичной плоскости
е=[1 :1 :1: 1J:
— --, \и2— —,
ei е2
Z$3= —, Л$4— --
d е3 ’ 4 S4
(тетраэдрические координаты плоскости).
1522*. Относительно проективной системы координат
АгА2А3А^Е в проективном пространстве задан новый базис-
ный тетраэдр AJA2A3Ai и новая единичная точка
А = (аГ1: $21: #31 •’ #41)»
А2 = ($12 ’ $22 : #32 : #42)’
А3 = ($13: $23: $33: $43),
А4 ~ ($14: $24: $34: $44),
£ — (&i: Ь2: Ь3: &4).
’ 1) Выразить старые координаты х1‘.х2'.х3\х^ произволь-
ной точки М проективного пространства через ее новые
координаты x'i: х2: х3: х[.
2) - Выразить х{: х2: х3: х[ через Xi: х2: х3 : х4.
232
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1523
1523. Составить уравнения прямой, проходящей через
точку (2:0:1:—3) и пересекающей две прямые: одну,
проходящую через точки (1 :—1:0:4) и (—2:0:—4:3),
и другую, заданную двумя плоскостями [2:5: —3:0] и
[3:—2:2: 1].
1524. Составить параметрические уравнения прямой, лежа-
щей в плоскости х4 — 2х3 4- Зх4 = 0 и пересекающей две пря-
мые, из которых одна задана двумя точками А — (2 : 3 : 0 : — 4),
В —(0: 3 : — 4 : 0), а другая —двумя плоскостями и ==
= [2:0:-3:0], г> = [1 : 5 : 4 : 3].
1525. Относительно проективной системы координат
Д1Д2ДзА4£ в проективном пространстве плоскость л задана
уравнением
а1х1 + а2 х2 Ц- а3х3 Ц- а4х4 = 0.
Как расположена эта плоскость относительно базисного тет-
раэдра A!A2A3A4, если: 1) ^ = 0; 2) а1 = а2 = 0; 3) а4 =
= а2 = а3 = 0?
1526*. Относительно проективной системы координат
А4А2А3А4Е в проективном пространстве заданы две пло-
скости а и Р:
tZjXj ^2-^*2 Л3Х3 4" ^4*^4 ~ б (СС),
^1*^1 4" ^2-^2 4" ^3-^*3 4" Ь4х4 = 0 (|3).
Доказать, что:
1) плоскости аир совпадают тогда и только тогда,
когда соответствующие коэффициенты уравнений этих пло-
скостей пропорциональны:
а4 = kblt а2 — kb2, а3 = kb3, а4 == kb4, k 0;
2) плоскости а и р пересекаются по прямой, лежащей
в плоскости х4 = 0, тогда и только тогда, когда существует
число k ф 0 такое, что
а4 = kblt а2 — kb2, а3 — kb3, а4 ф kb4.
3) плоскости аир пересекаются по прямой, пересекаю-
щей ребро х3 = 0, х4 = 0 базисного тетраэдра, тогда и
только тогда, когда существует число k 0 такое, что
ar — kblt а2 — kb2 и а3 ф kb3 или я4 kb4.
1527*. Относительно проективной системы координат
Д1Д2^з^4^ в проективном пространстве заданы две точки
Д = (а1:а2:«3:а4) и В = (Ь1 : Ь2: Ь3: Ь4).
1530 ]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
233
Доказать, что:
1) эти точки совпадают тогда и только тогда, когда
существует число k Ф- 0 такое, что
= kb2, я3 = kb3, = kb4,
2) прямая АВ проходит через вершину Д4 = (0: 0:0:1)
базисного тетраэдра Д1Д2^зА тогда и только тогда, когда
существует число k 0 такое, что
— kbb а2 = kb2, а3 — kb3> а4 kb4,
3) прямая АВ пересекается с ребром Ax42 базисного
тетраэдра Д1Д2Д3Д4 тогда и только тогда, когда существует
число k 0 такое, что
av ~ kb4, а2 = kb2 и п3 kb3 или я4 kb4.
152в. При каком необходимом и достаточном условии
две прямые в проективном пространстве имеют общую точку,
если:
1) одна прямая проходит через точки А — (ах : а2: а3: п4),
B=^(b1:b2'.b3\b^y а другая —через точки C = (q : с2: с3 : с4)
и D==(d1:d2:d3:d4);
2) одна прямая является линией пересечения двух пло-
скостей
и = [иг: и2: и3: я4], v = : v2: v3: <и4],
а другая — линией пересечения двух плоскостей
w = [г^: w2: w3: пу4], р = [р4: р2: р3: р4];
3) одна прямая проходит через точки А — (а4: а2: а3: я4),
B^(b1\b2\b3\b^y а другая является линией пересечения двух
плоскостей и = [и4: и2: и3: u4], v = [их: v2: v3: v4]?
1529. Относительно проективной системы координат
A4A2A3A4E в проективном пространстве задана точка М =
= Oi: х2: х3: х4). Найти точки Mh /=1, 2, 3, 4, пересечения
прямых AiM с гранями, противоположными вершинам At.
1539*. Относительно проективной системы координат
А-^АзА^Е в проективном пространстве задана точка М =
= (ах : а2 : %3: а4). Пусть М4 = Од: х2: х3: 0) — точка, в кото-
рой прямая А4М пересекает грань Д1Л2Л3. Доказать, что
х1:х2:*з_“Г1Роективные координаты точки М4 на проектив-
ной плоскости ДХА2Д3 в проективной системе координат
А4А2А3Е4у где Е4 —точка пересечения прямой А4Е с пло-
скостью Л1Л2Л3.
234
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1531
1531*. Относительно проективной системы координат
ЛХЛ2Л3Л4^ в проективном пространстве задана точка 7И =
= (х4: х2: х3: л*4). Пусть Л112 = (х4: х2: 0 : 0) — точка пересе-
чения плоскости Л3Л4Л1 с ребром А]А2, а Е12 — точка пере-
сечения плоскости Л3Л4£ с той же прямой А4А2. Доказать,
что хг: х2 — проективные координаты точки в проектив-
ной системе координат на прямой АХЛ2 с базисными точка-
ми А1} А2 и единичной точкой Е12.
1532*. Найти ангармоническое отношение (ABCD) че-
тырех точек, лежащих в проективном пространстве на од-
ной прямой:
А = (х4: х2: х3: х4),
В = (У1:у-2-Уз-У1),
С=((ах, + Pj’x): (ах2 +|3у2): (ах3 + 0_у3): (ах4 + £j4)),
D = ((Ах, + цЛ): (Ах2 + pj/2): (Ax3 + fxy3): (Лх4 + pj'4)).
1533*. В проективном пространстве введена проективная
система координат Л1Л2Л3Л4Е.
1) Найти точки Eb Z--1, 2, 3, 4, в которых прямые AtE
пересекают противоположные грани базисного тетраэдра
А^А^А^ и точки Fiy Z=l, 2, 3, 4, гармонически сопряжен-
ные с точками Ei относительно точек At и Е.
2) Найти точки Ду, в которых плоскости AiAjE пересе-
кают ребра, противоположные ребру Л£Лу, и точки Ду, гар-
монически сопряженные с точками Ду относительно верщин
ребра, противоположного ребру Л/Лу.
3) Найти точки G1234, G1324, О1423, гармонически сопря-
женные с точкой Е относительно точек Д2, Д4; Д3, Д4;
е23.
1534*. Пусть Е — произвольная точка проективного про-
странства, не лежащая ни на одной из граней тетраэдра
A1A2AsA4. Обозначим через Л/у плоскость, проходящую через
ребро Л/Лу и точку Е. Пусть тгу—• плоскость, которая про-
ходит через ребро Лх-Лу и которая гармонически сопряжена
с плоскостью Л/у относительно граней тетраэдра, проходя-
щих через ребро Лг-Л7-. Доказать, что три прямые, по кото-
рым пересекаются плоскости т12, т34: т13, т24; т23, т14, и шесть
точек, в которых плоскости т12, т13, т14, т23, т24, т34 пересе-
каются соответственно с ребрами Л3Л4, Л2Л4, Л2Л3, ЛХЛ4,
ЛХЛ3, Л3Л2, лежат в одной плоскости. Составить уравнение
этой плоскости, принимая тетраэдр ЛХЛ2Л3Л4 за базисный,
а точку Е ~~ за единичную точку.
1539 ] § 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО 235
1535*. Плоскость л, не проходящая ни через одну из
вершин тетраэдра Д4Д2Д3Д4, пересекает ребра Д/Ду- в точ-
ках Му. На каждом ребре Д/Ду берется точка Р/у, гармони-
чески сопряженная с точкой Му относительно точек Д/, Ду.
Доказать, что прямые Р12Рз4> Аз^24> ^14^23 проходят через
одну точку Q и что через ту же точку Q проходят шесть
плоскостей: Р12^3^4> ^>14^2^3> ^23^1^4’ ^24^1^3»
Р34Д1Д2-
1536*. Прямая I пересекает грани Д2Д3Д4, Д4Д3Д4, Д4Д2Д4,
Д4Д2Д3 тетраэдра Д1Д2Д3Д4 соответственно в точках Лф, М2,
М3, М4. Пусть Л/ — плоскость, проходящая через вершину Д/
и данную прямую. Доказать, что ангармоническое отношение
(М]М2М3М4) равно ангармоническому отношению (л1л2л3л4).
1537*. Доказать, что если четыре вершины одного тет-
раэдра принадлежат четырем граням второго, а три вершины
второго —трем граням первого, то и четвертая вершина вто-
рого тетраэдра принадлежит четвертой грани первого тет-
раэдра (теорема Мёбиуса).
1538*. Доказать, что если а1? а2у а3 и Ъ1У Ь2> Ь3 — две
тройки попарно скрещивающихся прямых и каждая прямая at
пересекает каждую прямую bj, то любая прямая, пересекаю-
щая прямые а1У а2У а3, будет пересекать и прямые Ь1У Ь2, Ь3
(теорема Галуччи).
2. Коллинеации
Александров, гл. XXIII, § 2, п. 3.
Моденов, гл. XV, § 201.
1539. В проективно-аффинном пространстве введена
аффинная система координат Oxyz. Дано проективное преоб-
разование в однородных координатах
Кх। = ПцХ^ -ф ^42Х2 ~F" ^13*^3 4" #14-^4’
кх2 — а2]Х1 -ф а22Х2 -ф #23-^3 *Ф ^24-^4»
— а31х4 -ф «32Х2 + и33х3 -ф я34х4,
Хх4 = U41X± -ф ^42^*2 ~Ф ^43-^*3 ~Ф ^44-^4*
1) Найти в аффинных координатах формулы, по которым
преобразуются собственные точки пространства, не лежащие
на плоскости
a41’v 1 4~ й42-^*2 “К Я43Хз -ф а44х4 — 0.
236
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1540
2) Найти прообраз несобственной плоскости при этом
преобразовании.
3) Найти образ несобственной плоскости при этом преоб-
разовании.
1540. В проективном пространстве введена проективная
система координат AiA2A3A4£. Найти проективное преобра-
зование, которое переводит плоскости
а 11-^1 4~ ^12-^2 4~ ^13-^3 4~ ^14-V4 = О,
#21*V1 4“ ^22-^2 4“ ^23*^3 4“ #24-^4 “
«31^1 4“ ^32-^2 4“ а33-^3 4“ ^34^4 =
#41-V1. 4- ^42^2 4“ Яаз-Х'з 4~ ^44^4= 0,
из которых никакие три не проходят через одну прямую,
соответственно в плоскости А2А3А4, Л1Д3Л4, А^г-^з,
а точку (Z?!: b2: b3: /;4) — в единичную точку £=(1 :1 :1:1).
1541. Найти проективное преобразование, которое пере-
водит точки А1 = (1 : 0 : 0 : 0), Л2 = (0: 1 :0 : 0), А3 — (0:0:1:0),
Л4 = (0 : 0 : 0 :1), £ = (1:1: 1:1) соответственно в точки
А = (аи ’• #21 • аз1 • а<п)> — (я12 : а22 : я32 : а42), А3 —
— (я13 : я23: а33: &43), Д4 = (#i4: я24 : я34 ’. ^44), Е' — (b1: b2: b3 : Z?4)
при условии, что никакие четыре из точек А[, А2, А3, Д4, £'
не принадлежат одной плоскости.
1542. Найти все проективные преобразования, при кото-
рых вершины базисного тетраэдра А1А2А3А4 проективной
системы координат Д1А2Л3Д4£ являются инвариантными
точками.
1543. Найти общий вид проективвых преобразований
проективного пространства, при которых ребра А4А2 и А3А4
базисного тетраэдра инвариантны.
1544. Найти общий вид проективных преобразований
проективного пространства, при которых инвариантны все
точки ребер A4A2 и Д3Д4 базисного тетраэдра А4А2А3А4.
1545. Найти общий вид проективных преобразований про-
ективного пространства, при которых ребра базисного тетра-
эдра А4А2А3А4 переходят в ребра, им противоположные.
1546. Найти общий вид проективных преобразований про-
ективного пространства, при которых вершины Аь Д2, А3,
А4 базисного тетраэдра переходят в точки, лежащие на про-
тивоположных гранях.
1547. Прямые Ах£, А2£, А3Е, A4Ef соединяющие вершины
базисного тетраэдра А4А2А3А4 с единичной точкой £, пере-
1553]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
237
секают Противоположные этим вершинам грани Л2Л3Л4,
ЛХЛ3Л4, AjA2A4, ЛхЛ2Л3 соответственно в точках Еъ Е2, В3,
Е4. Найти проективное преобразование, при котором точки
Аь Л2, Д3, А4 переходят соответственно в точки Еь Е2, Е3,
Е4, а точка Е инвариантна.
1548*. 1) В проективном пространстве введена проектив-
ная система координат А4А2А3А4Е. Найти проективное пре-
образование, имеющее только две инвариантные точки Аг =
= (1: 0:0:0), А2~ (0:0:1:0) и только одну инвариантную
прямую Л3Л4.
2) Какие проективные преобразования порождает рас-
сматриваемое преобразование на прямых А1А2 и А3А4?
При каком условии эти преобразования будут инволюци-
онными?
1549*. 1) Проективное преобразование не имеет инвари-
антных точек и плоскостей, но имеет две скрещивающиеся
инвариантные прямые. Как запишется это преобразование
в координатах; если ребра А4А2 и Л3Л4 базисного тетраэдра
Л1Л2Л3Л4 расположить на инвариантных прямых?
2) Какие преобразования порождает рассматриваемое про-
ективное преобразование на прямых А1А2 и Л3Л4?
1550*. В пространстве введена проективная система коор-
динат А±А2А3А4Е.
1) Найти проективное преобразование Р, при котором
точки Лъ Л2 и все точки прямой Л3Л4 инвариантны.
2) Какое проективное преобразование порождается преоб-
разованием Р в плоскости ЛХЛ3Л4?
3) Какое проективное преобразование порождает преоб-
разование Р на ребрах тетраэдра Л1Л2Л3Л4?
1551*. В пространстве введена проективная система коор-
динат Л1Л2Л3Л4Е.
1) Найти проективное преобразование, при котором точки
Лх, Л2, Л3 и прямая Л3Л4 инвариантны.
2) Какие проективные преобразования порождаются этим
преобразованием на прямой Л3Л4?
1552*. В проективном пространстве введена проективная
система координат Л1Л2Л3Л4Е. Какое проективное преобра-
зование порождается в плоскости АгА2А3 проективным пре-
образованием, оставляющим инвариантными все точки прямых
А4А2 и Л3Л4?
1553*. В проективном пространстве введена проективная
система координат Л1Л2Л3Л4Е.
238
ГЛ. 1XS ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1554
Найти проективное преобразование, при котором все
точки плоскости ДХЛ2Л3 инвариантны и ребро ДХД4 является
инвариантной прямой.
1554. В пространстве введена проективная система коорди-
нат АгА2А3А4Е. Найти проективное преобразование, при
котором точки Дь Д2 и плоскости Д1Д2Д3, Д-|Д2Д4 будут инва-
риантны.
1555*. В пространстве введена проективная система
координат Д1Д2Д3А4Е.
1) Найти проективное преобразование, при котором
точки Аь А2, А3, А4 переходят соответственно в точки Д2,
Др Д4, Д3 и точка Е~в точку (1 1 :1 1).
2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости и
инвариантные прямые этого преобразования.
3) Какие проективные преобразования порождаются этим
преобразованием на прямых ДХД2 и Д3Д4?
1556*. В пространстве введена проективная система
координат А1А2А3А4Е.
1) Найти проективное преобразование, при котором все
точки плоскости ДХД2Д3 и точка Д4 инвариантны, а единич-
ная точка Е переходит в точку (1 :1 :1 :Л), k ф 1.
2) Найти инвариантные плоскости и инвариантные пря-
мые этого преобразования.
3) При каком необходимом и достаточном условии это
преобразование будет инволюционным?
4) Какие проективные преобразования порождаются рас-
сматриваемым преобразованием в плоскостях, проходящих
через прямую Д4£?
1557*. В пространстве введена проективная система
координат Д1Д2Д3Д4£.
1) Найти проективное преобразование, при котором точки
Дь Д2, Д3, Д4 переходят соответственно в точки Д2, Дх, Д4, Д3
и точка Е инвариантна.
2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости и
инвариантные прямые этого преобразования.
3) Какие проективные преобразования порождаются этим
преобразованием на прямых ДХД2 и Д3Д4?
1558*. В пространстве введена проективная система
координат АгА2А3А4Е.
1) Найти проективное преобразование, при котором
точки Аь Д2, Д3, Д4 переходят соответственно в точки Д2,
Д3, Д4, Дг и точка Е инвариантна.
1560 ]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
239
2) Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости и
инвариантные прямые этого преобразования.
3) Какие проективные преобразования порождаются рас-
сматриваемым преобразованием на его инвариантных прямых?
1559*. -Пусть п и ос —две различные плоскости, а О и
Ог — две различные точки, не лежащие на плоскостях л и а.
Пусть 7И — произвольная точка плоскости л, Р — точка пере-
сечения прямой ОМ с плоскостью а, М' — точка пересечения
прямой О'Р с плоскостью л. Доказать, что преобразование,
при котором точке М ставится в соответствие точка М’,
является гиперболической гомологией, осью которой является
прямая пересечения плоскостей л и ос, а центром — точка
пересечения прямой ООГ с*плоскостью л.
1560*. Дано проективное преобразование:
kX\ = «цЛ'1 Д- &12-^2 Д’ «13X3 Д- «14X4,
kX% = «21X1 + ^22-^2 Д~ #23X3 Д' «24X4,
. Лхз==й31х1 Д- «32х2Д- «33X3 Д- #34х4,
kx^ = #44X4 Д- «42Х2 "4“ «43X3 Д~ «44X4.
Пусть
(711—X а12 я13 а1]г
хлч «21 «22— «23 «24
X (Д) п
«31 «32 «33— Л «34
аИ а42 а43 «44—
— характеристический полином матрицы
/«ii «12 «13 «14\
А= а22 ^23 azi I
* «31 «32 а33 «34 I
\«41 «42 «43 «44/
этого преобразования. Доказать, что:
1) координаты х1:х2:х3':х4 инвариантных точек этого
преобразования определяются из системы уравнений
(«11 ~~ М Xi Д’ «12Х2 + «13X3 Д- «14X4 = 0,
Й21Х1 Д- («22 — Х2 Д- «23X3 Д’ «24X4 ~ 0,
#31X1Д- «32X2 Д- («зз — х3 Д~ «34X4 — 0,
#41X1 Д' «42X2 Д” «43X3 Д- («44 х4 = 0,
где % — корень характеристического полинома:
240
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1561
2) координаты ut: п2: и3: zz4 инвариантных плоскостей
находятся из системы
(#11 — М + а31и3 4" #41^4 = О,
# 12#1 + (#22 ~ М #2 4“ #32#3 4“ #42#4 =
# 13#1 + #23#2 + (#33 “ #3 4" #43#4 = °,
# 14#1 + «24^2 + #34#3 4“ (#44 ~ #4 = °, ,
где Л— корень того же характеристического полинома;
3) если X —простой корень характеристического поли-
нома, то соответствующие ему инвариантная точка и пло-
скость, определяемые из систем (1) и (2), не инцидентны.
1561*. Дано проективное преобразование:
kx[ — а11Х1 + #12*^2 4" #13*^3 4" #14**4>
kx2 — #21*^1 4- #22^2 4" #23*^3 4“ #24*^4>
kx3 = а31хг -}- #з2х2 4- #ззхз -f- #34х4,
ftX4 —- ^41х4 Д- #42Х2 4" #43-^3 4“ #44*^4’
Пусть
#и— А, п12 #13 #14
__ #21 #22 — #23 #24
#31 #32 #33 #34
#41 #42 #43 #41 —
— характеристический полином матрицы
/#п #12 #13 #14\
А — [ #21 #22 #23 #24 )
#31 41 #32 #33 #34 1
#42 #43 a^J
этого преобразования.
Найти‘канонический вид этого преобразования в зависи-
мости от корней Х2, Л3, Z4 характеристического полинома
и ранга матрицы А — КЕ в случае, если X — кратный корень
характеристического полинома.
Рассмотреть следующие случаи:
1) Z1? Х2, Х3, ^ — действительные и простые корни;
2) Хр Z2 — действительные и различные корни; Л3, Z4 —
комплексные сопряженные корни: Z3)4~a±pz, Р 0;
3) Х2, Х3, ^ — комплексные простые корни: X1>2^=a±pz,
Р 0; Х3>4 у ± б/, б Ф 0;
4) Xi и ^ — действительные и простые корни, Z3 = Z4 —s,
Rg (Д-5Д)-3;
1563 ]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
241
5) Xi и Х2 — действительные и простые корни, Х3 — X4~s,
Rg(A-sE) = 2;
6) Xi = Х2 = 5 — действительные корни, Х3, Х4 — комплекс-
ные сопряженные корни: Х3>4 = а ± PZ, р Ф 0, Rg (А — sE) = 3;
7) Xi = X2 = s — действительные корни, Х3, ^ — комплекс-
ные сопряженные корни: Х3>4 = а ± PZ, Р =А= 0, Rg (А — sE) = 2;
8) Хъ Х2, Х3, Х4 — действительные корни, Хх — Х2 = $ у= Х3 =
- Х4 = Л Rg(А- sE) = 3, Rg(А - tE) = 3;
9) Xf, Х2, Х3, Х4 — действительные корни, Хх — Х2 = s =^= Х3 =
= Х4 = Л Rg(A-sE) = 3, Rg(A-/E) = 2;
10) Х1Л Х2, Х3, Х4 — действительные корни, Хх — Х2 —
^X3==X4 = Z, Rg(A-$E)=-Rg(A-^) = 2;
11) Xi, Х2, Х3, Х4 — комплексные корни, Хх —Х2 = $ =
= а + Р/, X3 = X4==f = a —р/, Р ¥= 0, Rg(A — sE)=
= Rg(A-^) = 3;
12) Хх, Х2, Х3, Х4 — комплексные корни, Х1 = Х2=$ =
= a-j-pZ, Х3=Х4 = ^ = а —PZ, Рт^О, Rg(A — sE) =
= Rg(A-tE) = 2;
13) Xi = X2 = X3 = 5^=X4, Rg(A-sE) = 3;
14) Xx==X2 = X3-=s^=X4, RgG4-sE) = 2;
15) Xx==X2==X3==s#=X4, Rg(A —sE)~1;
16) Xx = X2 = X3 —X4 = s, Rg(A — sE) = 3’f
17) Xi = X2- X3-=X4 — s, Rg(A-sE) = 2;
18) Xx = X2 = X3^X4 = s, Rg(A —sE)=l;
19) Xi = X2 = X3^=X4 = s, Rg(A —sE) = 0.
1562*. Найти инвариантные точки, инвариантные плоскости
и инвариантные прямые проективного преобразования, задан-
ного в канонической системе координат А1А2А3А4Б в зави-
симости от канонического вида этого преобразования
(см. задачу 1561).
3. Корреляции. Поляритет
1563. Корреляцией или коррелятивным преобразованием
проективного пространства называется отображение множества
всех точек пространства на множество всех его плоскостей,
определяемое соотношениями:
Х^х — и1ГХх 4“ д12Х2 + Д13Х3 + ^14^4’
Xw2 = ^21-^1 + #22-^2 4“ #23*^3 + ^24-^4»
XfZ3 = й31Хх 4“ #32*^2 + й33*^3 4“ ^34-^4»
Xw4 = £4x-^l 4- fl42*^2 4" Я4з-^з 4~ ^44*^4’
а11 а12 #13
«21 ^22 а23
#31 #32 #33
#41 #42 #43
#14
#24
#34
#44
Ф 0,
242
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1564
где л*х: х2: xs: х4 — координаты произвольной точки прост-
ранства, a z/x: и2 : zz3: zz4 — координаты плоскости, соответст-
вующей этой точке.
Доказать, что при корреляции:
1) четырем точкам, лежащим в одной плоскости, соответ-
ствуют четыре плоскости, проходящие через одну точку;
2) четыре плоскости, проходящие через одну точку, соответ-
ствуют четырем точкам, лежащим в одной плоскости;
3) трем точкам, лежащим на одной прямой, соответствуют
три плоскости, проходящие через одну прямую;
4) три плоскости, проходящие через одну прямую, соответ-
ствуют трем точкам, лежащим на одной прямой.
1564* Доказать, что если множеству точек плоскости
[Рх : р2: 7'з• ПРИ корреляции
Zz/1 ~ аг1Хг + й12Л*2 4“ йдз-^з 4~ а 14^4»
ZZZ2 = ^21*^1 4" ^22-^2 + ^23^*3 4“ ^24^4»
Xz/3 = 6Z31A*x а32Л*2 4" ^33*^3 4“ g34X4,
Xzz4 = а41Л*14~ я42х2 4" я43х3 -|- а44л*4
соответствует связка плоскостей с центром :у2:у3:у4), то
— а XX Jx + а21_У2 4" а31Уз 4" G41J'4,
Xv2 = #Х2У1 + а22У2 4- ^32^3 4" Я42.У4’
Хг3 = а13у14- # 23J2 4" аззУз 4“ я4з_У4,
^4 = «14^1 4- а24.У2 4- «34^3 4- ^44^4-
1565. Найти корреляцию проективного пространства, при
которой каждой точке (х±: х2: х3: х4) соответствует плоскость
[zzx: zz2: zz3 : zz4], проходящая через эту точку.
1566*. Корреляция
ZzZx = 4" а12-^2 4" #13X3 4" й14*^4»
Xzz2 — #2ХЛ Х 4“ а22^2 4“ ^23-^3 4“ ^24^4’
Xzz3 = а31х х + ^32^'2 + а33х3 4~ Я34А74,
XzZ4 = ZZ4x-^*x 4~ ^42-^2 4~ ^43~^*3 4~ ^44*^*4
1568 ]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
243
называется поляритетом П, если матрица
/ ап а12 #13 а14
I #21 #22 #23 #24
У #31 #32 #33 #34
\#41 #42 #43 #44'
является симметричной. Доказать, что:
1) если плоскость а является образом точки А при поля-
ритете П и В — точка, лежащая в плоскости а, то точке В
соответствует плоскость р, проходящая через точку А;
2) если при корреляции произвольной точке А соответствует
плоскость а и любой точке В, лежащей в плоскости а,
соответствует плоскость Р, проходящая через точку А, то
эта корреляция есть поляритет.
Если точке А при поляритете соответствует плоскость а,
то точка А называется полюсом плоскости а при поляритете П,
а плоскость а называется полярной плоскостью точки А (при
поляритете П).
1567*. Доказать, что если при корреляции каждой вер-
шине тетраэдра A1A2A3A4 соответствует противолежащая ей
грань, то такая корреляция является поляритетом.
1568*. Точки А и В называются полярно сопряженными
при поляритете П, если каждая из этих точек лежит на по-
лярной плоскости другой точки.
Плоскости аир называются полярно сопряженными
при поляритете П, если каждая из этих плоскостей прохо-
дит через полюс другой плоскости.
Дан поляритет проективного пространства:
-J- #12-^2 + #13-^3 + #14Х4’
AWg === #21-^1 + #22-^2 4“ #23-^3 4~ #24-^4’
= #31ЛТ 4~ #32-^2 4“ #33-^3 4- #34ЛЪ
= #41-^1 4“ #42-^2 4“ #43*^*3 4“ #44^4’
При каком необходимом и достаточном условии будут по-
лярно сопряжены:
1) две точки : х2: х3: х4) и (j/i: у2: Уз -У Ж
2) две плоскости [wx: и2: и3: и4\ и ['u1:'u2:ti3:'u4]?
244
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
( 1569
4. Поверхности второго порядка в проективном
пространстве
Александров, гл. XXIII, §§ 4 — 8.
Моденов, гл. XV, §§ 212 — 217.
1569*. В проективно-аффинном пространстве введена
аффинная система координат Oxyz.
Какими несобственными точками надо дополнить:
1) двуполостный гиперболоид
= —1-
fl2 ' £2 с2 ’
2) эллиптический параболоид
— + = р>0> q>0
р я Г 4
для получения овальной поверхности второго порядка?
Какими несобственными точками надо дополнить:
3) однополостный гиперболоид
— 4- 2 Г
fl2 ' р С2 — ’
4) гиперболический параболоид
^--^2г, /»0, #>0,
р q 4
для получения тороидальной поверхности второго порядка?
Какими несобственными точками надо дополнить*
5) конус
6) эллиптический цилиндр
i
а2 * Ь2 »
7) гиперболический цилиндр
х2 __ У^_ = 1.
а2 Ь2 ’
8) параболический цилиндр
у2=^2рх
1572 ]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
245
для получения действительного конуса второго порядка
в проективно-аффинном пространстве?
1570*. Найти в однородных координатах проективное
преобразование проективно-аффинного пространства, при ко-
тором
1) двуполостный гиперболоид
X2 -±-у2 — z2 =— 1
и
2) эллиптический параболоид -
2z = x2-j-y2,
дополненные несобственными точками до овальных поверх-
ностей второго порядка, преобразуются в эллипсоид
х2ф-_у2ф-г2 = 1-
Как преобразуются при этих преобразованиях собственные
точки проективно-аффинного пространства?
1571*. Найти в однородных координатах проективное пре-
образование проективно-аффинного пространства, при котором
однополостный гиперболоид
Х2ф-_у2 _2!2===^
дополненный несобственными точками до тороидальной по-
верхности второго порядка, переходит в гиперболический па-
раболоид
2z = x2 —у2,
дополненный несобственными точками до тороидальной поверх-
ности второго порядка. Как преобразуются при этом преоб-
разовании собственные точки проективно-аффинного прост-
ранства?
1572. Определить проективный класс следующих поверх-
ностей второго порядка:
1) х\ ф- 2х2 ф- Зх| ф- 2х4 ф- 2ххх2 ф- 2ххх3 ф- 2ххх4 ф-
ф- 4х2 х3 ф- 4х2х4 6х3х4 — 0;
2) xf ф- 2х| Ф~ — Зх4 ф- 2ххх2 ф~ 2ххх3 ф- 2ххх4 ф-
ф- 4х3х4 ф- 4х2х4 = 0;
3) х\ ф- 2х| Ф“ Ф“ -^4 Ф~ 2ххх2 ф- 2ххХ3 ф- 2ххх4 ф~
ф— 4х2х3 ф~ 4х2х4 ф— 2х3х4 = 0j
4) 2х| — Зх| — х4 — ххх2 —• ххх3 — Зх2х3 ф- 4х2х4 = 0.
246
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ-ГЕОМЕТРИЯ
[1573
1573*. При каком необходимом и достаточном условии
поверхность второго порядка, заданная общим уравнением
относительно проективной системы координат:
+ #22-Ц + ^33-^3 4“ ^44-^4 4~ 2«12^1-^2 4" 2#1з#1Л’з 4"
4“ 2a44XiX4 -f“ 2^23X2X3 4“ 26724^2-^4 4“ 26Z34JV3JV4 = О,
является действительной овальной поверхностью второго
порядка?
1574. Доказать, что любая плоскость проективного про-
странства пересекает поверхность второго порядка по линии
второго порядка.
1575*. Относительно проективной системы координат в про*
ективном пространстве задана поверхность второго порядка
общим уравнением:
а11х1 4" а22Х1 4- ^33-^3 4- а44Х4 4“
4~ 26z12x1x2 4~ 2#13х1Л'з 4" 2а14Х]Х4 4“
4- 2«2з^2^з 4- 2а24х2х4 4- 2я84х3х4 = 0.
При каком необходимом и достаточном условии плоскость
4- и2Х2 4- «3-*3 4- 114Х4 == 0
пересекает эту поверхность по паре прямых (действительных
или мнимых, различных или совпадающих)?
1576*. Уравнение поверхности второго порядка в проек-
тивном пространстве является или уравнением действительной
невырождающейся поверхности второго порядка, или уравне-
нием действительного конуса второго порядка. Составить урав-
нение касательной плоскости к этой поверхности в данной
на ней точке Af0 = (x?: х2: : х4) (в случае конуса точка
отлична от вершины конуса).
1577*. Доказать, что касательная плоскость к поверхно-
сти второго порядка пересекает ее по линии второго поряд-
ка, распадающейся на пару прямых (действительных или мни-
мых, различных или совпадающих).
1578*. Доказать, что:
1) касательная плоскость к действительной овальной по-
верхности второго порядка пересекает эту поверхность по
паре мнимых пересекающихся прямых, действительной точкой
пересечения которых является точка касания;
1583]
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
247
2) касательная плоскость к тороидальной поверхности вто-
рого порядка пересекает ее по двум действительным прямым,
пересекающимся в точке касания;
3) касательная плоскость к действительному конусу второ-
го порядка в точке, отличной от его вершины, пересекает
конус по двум совпадающим прямым;
4) касательные плоскости к тороидальной поверхности
второго порядка в двух различных точках одной и той же
прямолинейной образующей различны;
5) касательные плоскости в двух различных точках
одной и той же образующей конуса второго порядка сов-
падают.
1579*. Относительно проективной системы координат
AXA?A3A4F в проективном пространстве задана действитель-
ная невырождающаяся поверхность S второго порядка:
F(XX, х2, Х3, = 4“ й22-^2 4“ й33^3 й44-^4 “Ь
4“ 2ttX2XxX2 ^^13^*1“^3 4~ 4~ ^^23^2~^3
4“ #24-^2-Х’4 4” ^^34*^3*^*4 ==::
1) Составить уравнение конуса с вершиной 7И0 =
= (xj: х?2: х%: х$), описанного около данной поверхности.
2) Доказать, что линия касания конуса К с поверхностью 5
плоская, и составить уравнение той плоскости, в которой
она расположена.
1580. Составить уравнение семейства поверхностей вто-
рого порядка, касающихся двух граней хг = 0, х2 = 0 бази-
сного тетраэдра АхА2А3А4 в точках А3 = (0: 0: 1 : 0), А4 =
= (0:0:0: 1).
1581*. Доказать, что два конуса, описанные около поверх-
ности второго порядка, пересекаются по двум плоским линиям
второго порядка.
1582*. 1) Составить уравнение поверхности второго по-
рядка, если известно, что ребра ДХА3, АхА4, ДД, ДД
базисного тетраэдра и единичная точка проективной системы
координат лежат на его поверхности.
2) Составить уравнения двух серий прямолинейных обра-
зующих этой поверхности.
1583*. Составить уравнение пучка поверхностей второго
порядка, касающихся поверхности F = 0 по линии пересече-
ния этой поверхности с гранью А2А3А4 базисного тетраэдра
ДДДД.
248
ГЛ. IX. ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
[ 1584
1584. Составить уравнение пучка поверхностей второго
порядка, проходящих через линию пересечения поверхности
второго порядка F = 0 с гранями х1 = 0, х2 = 0.
1585*. Доказать, что если в пространстве заданы 7 точек,
из которых никакие 3 не лежат на одной прямой и никакие 4
не лежат в одной плоскости, то существует 8-я точка, обла-
дающая тем свойством, что любая поверхность второго
порядка, проходящая через данные 7 точек, проходит и через
эту 8-ю точку.
1586. Найти координаты полюса плоскости п1а*14-?/2^2 +
+ zz3x3м4х4 = 0 относительно невырождающейся поверх-
ности второго порядка
а11Х1 + ^22*^2 + аЗЗХ1 4“ а44Х4 + 2а12Х|Х2 + ^а13х1х3 Д-
4- 2а14х4х4 4- 2п23х2х3 4- 2zz24x2x4 Д- ^^з-1хзх^=
1587. Найти координаты полюса плоскости и1х14- и2х2 +
4- и3х3 Д- илх± — 0 относительно каждой из поверхностей:
1) Х1Д-Х2Д-Л3 — х|=^=0; 2) xf Д-х\ — 2х3х4=0.
1588. Поверхность второго порядка задана уравнением
а11Х1 + а22Х2 Д“ a33X3 Д" а41Х4 Д" 2di2XlX2 Д" 2tZ13X1X3 4"
4~ 2<744Х4Х4 4- 2(723Х2Х3 4“ 2б?24Х2Х4 4- 2а34х3х4 = 0.
При каком необходимом и достаточном условии относительно
этой поверхности будут полярно сопряжены:
1) две точки (xt: х2: х3: х4) и (уг :у2 :у3 : j4);
2) две плоскости [zz4: и2: и3 : zz4] и : v2: v3:1/4].
1589*. В проективной системе координат A^AqA^E
задано уравнение поверхности 5 второго порядка
Xj Д-Х|Д-Х| —Х4 = 0. *
1) Доказать, что тетраэдр АХА2А3А4 автополярный относи-
тельно этой поверхности.
2) Доказать, что точка А4 является внутренней точкой
поверхности 5, а точки А4, А2, А3 — внешними точками.
1590*. В проективной системе координат АГА2А3А^Е
задано уравнение поверхности второго порядка
х| 4“ х2 — Х3 “ Х4 = 0.
1) Доказать, что тетраэдр А4А2А3А4 автополярный.
2) Доказать, что точки Ах и А2 лежат по одну сторону
от этой поверхности, а Точки А3 и А4 — по другую ее
сторону.
1594 I
§ 5. ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
249
1591*. Относительно проективной системы координат
Д1Д2Д3Д4Е в проективном пространстве задано уравнение
поверхности второго порядка xf 4-х|4-Лз — х\ = 0.
1) Составить уравнения шести касательных плоскостей
аь <z2; Pi, ₽2; У‘2 к поверхности в точках ее пересечения
с ребрами базисного тетраэдра.
2) Какие из этих плоскостей проходят через единичную
точку проективной системы координат?
3) Найти координаты восьми точек Mif в каждой из кото-
рых пересекаются касательные плоскости az, Pz, yk (I, j, Л= 1, 2).
1592*. Относительно проективной системы координат
Д1Д2Д3Д4£ в проективном пространстве задано уравнение
тороидальной поверхности 5* второго порядка
х] + Х1Х1 ~~ х4 = 0-
1) Составить уравнения восьми касательных плоскостей
аь а2; рь Р2; ух, у2; 6Ь б2 к поверхности S в точках ее
пересечения с ребрами базисного тетраэдра.
2) Какие из этих плоскостей проходят через единичную
точку проективной системы координат?
3) Доказать, что любые четыре плоскости а, р, у, 6 про-
ходят через одну точку, и найти восемь точек пересечения
всех таких четверок плоскостей.
1593. 1) Составить уравнения касательных плоскостей
ах, а2; Pi, Рг‘, Vi, 72 к поверхности
xi + Х1 + Х1 ~~ х4 ==
проведенных к ней через ребра А]А2, А2А3, А3А4 базисного
тетраэдра АгА2А3А4 проективной системы координат
Найти точки касания.
2) Найти точки пересечения касательных плоскостей а,
Р, у (взятых по одной из каждой пары аь а2; рь р2; уь у2).
1594*. 1) Составить уравнения касательных плоскостей
к поверхности
xj + х\ — Х1 — Х4 = 0,
проведенных к ней через ребра Л1Д3, А2А3, А4А4,^ А2А^
базисного тетраэдра Д1Д2Д3Д4 проективной системы коорди-
нат Д1Д2Д3Д4£'. Найти точки касания.
2) Найти точки пересечения этих касательных плоскостей.
ГЛАВА X
МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Векторные пространства
Александров, гл. XII, §§ 1—5.
Гельфанд, гл. I, § 1.
Ефимов и Розендорн, гл. I.
Во всех задачах этого параграфа базис произвольный.
1595. Даны три вектора ах — {2, 3, 4, 5}, а2^{—3, 6,
— 6, —4}, = {—3, 3, —6, —5}. Установить, будут ли
эти векторы линейно зависимы.
1596. Даны четыре вектора яд —{1, 2, 3, 4}, —{4, 3,
2, 1}, = {— 1, 1, 3, 5}, а4 = {0, 1, 2, 3}. Показать, что
эти векторы линейно зависимы, найти максимальную подсис-
тему линейно независимых векторов и выразить остальные
векторы системы через векторы этой подсистемы.
1597. Даны четыре вектора: ^ — {l, 2, 3, 4}, о2 = {4, 3,
2, 1}, = {—1, 0, 1, 2}, «4“{1, 1, 1, 2}. Показать, что эти
векторы линейно зависимы, найти максимальную подсистему
линейно независимых векторов и выразить остальные векторы
системы через векторы этой подсистемы.
1598. Даны пять векторов: Пх = {2, — 1, 3, 5}, а2 = {4, — 3,
1, 3}, а3 — {3, — 2, 3, 4}, {4, — 1, 15, 17}, а5== {7, —6,
— 7, 0}. Найти линейно независимую подсистему этой сис-
темы векторов и выразить остальные векторы системы через
векторы этой подсистемы.
1599. Даны два вектора: а1 = {4, 4, 6, 8}, а2 = {1, 2, 3, 4}.
Дополнить эту систему до базиса всего пространства базис-
ными векторами ^ = {1, 0, 0, 0}, е2~{0, 1, 0, 0}, ^3=={0, 0,
1, 0}, £4-~{0, 0, 0, 1} и выразить через векторы нового
базиса не вошедшие в него векторы старого базиса.
1600. Векторы аь а2,.ап линейно независимы. Будут ли
линейно зависимыми векторы
bi — + • • • “Ь ап> b2 = cii + п3 4* • • 4~ .
..., Ьп^ 0x4-02-}-...
1608]
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
251
1601. В пространстве V даны два подпространства: \\
с базисом-^ — {l, 0, 0, 0}, а2 = {2, 1, 0, 0} и V2 с базисом
^ = {3, 2, 1, 0}, #3 = {4, 3, 2, 1}. Показать, что простран-
ство V есть прямая сумма подпространств Vj и V2, и предста-
вить вектор х = {1, 2, 3, 5} в виде суммы двух векторов
у и z, из которых первый принадлежит Vv а второй У2.
1602*. Найти базис суммы и пересечения подпространств
А и В векторного пространства V, имеющих соответственно
базисы аъ ..., ар и Ьь ..., bq.
1603. Найти базис суммы и пересечения подпространств
и V2, имеющих соответственно базисы — 1, 0, 0},
«2-{о, 1, 1, о}, язН0’ °> И и °, °}> ^2=
= {0, 2, 1, 1}, 2, 1, 2}.
1604. Найти базис суммы и пересечения подпространств
и У2, имеющих соответственно базисы ах = {1, 2, 0, 1}, а2 =
= {1, 1, 1, 0} и &! = {!, 0, 1, 0}, &2 = {1, 3, 0, 1’.
1605. Найти базис суммы и пересечения подпространств
четырехмерного пространства, одно из которых задано своим
базисом «! = {!, 2, 0, 1}, а2 = {1, 1, 1, 0}, а другое — систе-
мой уравнений
За*^ — аг2 — За*з 0, а*2 — За*| 0.
1606*. В черырехмерном пространстве даны две системы
векторов. У векторов первой системы две координаты
равны Д- 1, а две Другие — 1. У векторов второй системы
две последние координаты равны Д-1- Найти базис суммы
и пересечения линейных оболочек этих систем векторов.
1607. Подпространство 14 четырехмерного пространства
V задано своим базисом аХ”{1, 1, 1, 1}, а2^ {0, 1, 1, 1},
а подпространство V2 — системой уравнений
агх Д- 2д:2 —]— 4л*з — Зх4 = 0, 1
Зхх Д- 5jc2 Д- 6X3 — 4a*^ = 0. J
Доказать, что V= ф V2, и представить вектор x = {1, 2, 3, 4}
в виде суммы двух векторов у и z так, что у е Vb
z GE У2, и найти это представление.
1608. Дана прямая ^ — 8/, х2 = 4/, х3 — 3t, х4 =—3f и
гиперплоскость 2хх — 2х2 — х3 Д- х4 — 0. Представить вектор
Х={1, 2, 3, 4} в виде суммы двух векторов у и z так,
чтобы вектор у принадлежал данной прямой, а вектор z —
данной гиперплоскости.
252
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1609
1609*. Доказать, что если = а1п}, ..., ak =
= ..., 6z^} —базис подпространства Vo векторного
пространства V и
сп ••• aik
aki ••• &kk
Ф о,
то подпространство Vo совпадает с пространством решений
следующей системы n — k независимых уравнений:
.. /г+1 =о, fZlj .. .. Clikalk^2 = 0,..., f/ц .. •• alkaln — 0.
• akkak /г+1 akl •• CLkkakk\-2 ^ki '• akkakn
• xk xk-tl xi .. • xk Xk+2 X! .. . xk xn
1610*. Доказать, что две линейно независимые системы
векторов
= •••? {^kii •••> ^/гп}г
&i — {^ii, • • • > ^in}, • • •, bk — {bki> • • • > ^kn}
определяют одно и то же Л-мерное подпространство тогда и
только тогда, когда все детерминанты &-го порядка, состав-
ленные из столбцов матрицы
ап ••• а1П
А = ......................
'akl • • • tym
пропорциональны детерминантам матрицы
/би ... Ь1п\
В=А............>
••• bknl
составленным из столбцов с теми же номерами.
§ 2. Точечные аффинные пространства
Александров, гл. XIV, §§ I—4.
Ефимов и Розендорн, гл. Ill, §§ 1—3, 7.
Во всех задачах этого параграфа система координат пред-
полагается аффинной.
1611. Доказать, что если AB=--CDf то:
1) ДС = Ж
2) четыре точки Л, Ву С, D лежат или на одной прямой,
или в одной (двумерной) плоскости.
1618]
§ 2. ТОЧЕЧНЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
253
1612. Найти параметрические и общие уравнения плос-
кости, проходящей через три точки (—1, 1, 0, 1, 5), (2, —1,
3, 4, 0), (1, 2, 7, 6, 1).
* 1613. Найти параметрические уравнения плоскости по об-
щим ее уравнениям
5хх —1~ 6х2 — 2х3 4~ 7X4 4~ 4х§ — 3 = 0,1
2хх ~}~ Зх2 — X3 4~ 4х4 4“ 2Xg — 6 :== 9*/
1614. Даны две прямые: первая прямая определяется точ-
кой (1, 0, —2, 1) и вектором {1, 2, —1, —3}, а вторая —
точкой (0, 1, 1, —1) и вектором {2, 3, —2, —4}. Найти плос-
кость минимальной размерности, содержащую обе прямые.
1615. Написать параметрические и общие уравнения
плоскости минимальной размерности, проходящей через две
прямые
х^ = 1 4~ t,' х% = 2 -j- Z, х3 = 3 —j— t, х4 = 4 4~1
и
хг = 0, х2 — л*3 1 = 0, х4 — 3 = 0.
1616. Определить взаимное расположение прямой
хх 4~ 2х2 4“ Зх3 Д* х4 — 3 — 0,
хх —|— 4х2 4~ 5х3 4~ 2х4 — 2 = 0,
2хх 4- 9х2 + 8х3 4- Зх4 — 7 = 0
и гиперплоскости
5хх 4- 7х2 4- 9х3 + 2*4 — 20 = 0,
лежащих в четырехмерном пространстве.
1617. В четырехмерном пространстве дана плоскость
5Xi4~ 9х34~ 2х4 — 20 = 0, х2 = 0 и прямая
хх 4- 4х2 4~ 5х3 4~ 2х4 — 2 = 0,
хх 4” 2х2 4~ Зх3 4- х4 —3 = 0,
2хх 4- 9х2 4~ Sx3 4- Зх4 — 7 = 0.
Определить взаимное расположение прямой и плоскости.
1618*. Дана прямая хх=14-Л х2=24-2^, x3 = 34-3Z,
х4 = 4 4- 4£ и плоскость хх 4- хг 4" 1 = 9, х3 — х4 — 1 = 0.
Показать, что прямая и плоскость не пересекаются, и написать
254
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1619
данную плоскость.
Доказать, что если плоскость лх имеет размер-
плоскость л2 — размерность s, то существует пло-
размерность которой не превосходит r-4-s-|-l
содержит плоскости лх и л2. В частности, дока-
уравнение плоскости минимальной размерности, проходящей 1
через данную плоскость параллельно данной прямой.
1619*. Дана прямая 1 х2 = 2 x3 = 3-|-4f, j
хл = 4 4- Ы и плоскость л*! — х2 = о, х3 — х4 — 1=0. Показать, 1
что прямая и плоскость не пересекаются, и написать уравне- |
ния параллельных гиперплоскостей, проходящих через данную
прямую и
1620*.
ность г, а
скость л,
и которая
зать, что две прямые содержатся в плоскости, размерность -I
которой меньше или равна 3, прямая и двумерная плоскость — ;
в плоскости, размерность которой меньше или равна 4; две |
двумерные плоскости —в плоскости, размерность которой I
меньше или равна 5. 1
1621. В каждом из следующих случаев установить вза- i
имное расположение плоскостей а и р, если плоскость а |
определяется точкой А и векторами аь а2, а плоскость Р~- |
точкой В и векторами blf b2: |
1) А = (0, 0, 0, О, 0), сх={1, 0, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1,0, 0, 0}, |
В = (0, 0, 0, 0, 1), &! = {0, 0, 1, 0, 0}, &2 = {0, 0, 0, 1, 0}; }
2) А = (0,'0, 0, 0, 0), а1=={1, 0, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1, 0, 0, 0}, |
В = (1, 1, 1, 1, 0), &1 = {0, 0, 1, 0, 0}, 62 = {0, 0, 0, 1,0}; ;
3) А = (0, 0, 0, 0, 0), С1 = {1, 0, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1, 0, 0, 0}, ]
5 = (0, 0, 0, 1, 0), &i=={0, 0, 1, 0, 0}, &2 = {1, 1, 1, 0, 0}; J
4) А=(0, О, 0, 0, 0), = {1, 0, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1, 0, 0, 0}, j
B = (Q, 1, 1, 0,.0), &i={0, 0, 1, 0, 0}, &2={1, 1, 1, 0, 0}; j
5) А = (0, 0, 0, 0, 0), «! = {!, 0, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1, 0, 0, 0}, i
В = (0, 0, 1, 0, 0), &! = {1, 1, 0, 0, 0}, 62 = {1,—1,0,0,0}; }
6) А —(О, 0, 0, 0, 0), а1 = {1, О, 0, 0, 0}, а2 = {0, 1, 0, 0, 0}, "
В=(2, 1, 0, 0, 0), &,= {!, 1, 0, 0, 0}, &2={1, —1,0,0,0}. j
1622*. В пятимерном пространстве плоскость а опреде-
ляется точкой А и векторами а4 и а2, плоскость р — точкой
В и векторами Ь4 и Ь2. Как связано взаимное расположение
плоскостей аи^с линейной зависимостью между векто-
рами аь а2, blf b2, АВ?
1628]
§ 2. ТОЧЕЧНЫЕ АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
255
1623*. В пятимерном пространстве двумерные плоскости
определяются системами уравнений
5
£>^ + */ = 0, /==1,2,3;
1^=1
5
У, atfXi + b^O, J=4:, 5, 6.
i==l
Определить взаимное расположение этих плоскостей с по-
мощью рангов г и R матриц
/«и а12 «13 «14 «1б\
«21 «22 «23 «24 «25
А = «31 «32 «33 «34 «35
«41 «42 «43 «44 «45
«51 «52 «53 «54 «55 .
\«61 «62 «63 «64 «65/
/«п
«21
«31
«41
«51
\«61
«12 «13 «14 «15 М
«22 «23 «24 «25 ^2
«32 «33 «34 «35 ^3
«42 «43 «44 «45 &4
«52 «53 «54 «55 *5
«62 «63 «64 «65 &б/
1624*. Пусть плоскость определяется точкой
и подпространством Vlf а плоскость л2-~ точкой Л2 и под-
пространством У2. Доказать, что плоскости и л2 пересе-
каются тогда и только тогда, когда вектор A^2 принадле-
жит сумме подпространств + V2.
1625*. Доказать, что если плоскость а не имеет общих
точек с гиперплоскостью л, то ос и л параллельны.
1626*. Для того чтобы две плоскости Л! и л2, не имею-
щие общих точек, были параллельны, необходимо и доста-
точно, чтобы обе они содержались в плоскости л размер-
ности г + 1, где г — наибольшая из размерностей плоскостей
и л2.
1627*. Доказать, что через две непересекающиеся пло-
скости можно провести параллельные гиперплоскости.
1628*. Пусть Л1 и л2 — непересекающиеся плоскости
конечномерного пространства. Найти плоскость л минималь-
ной размерности, содержащую плоскость лх и параллельную
плоскости л2.
256
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1629
1629. Доказать, что диагонали Л-мерного параллелепипеда
пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
1630*. 1) Найти отношение, в котором гиперплоскость
л, проходящая через концы п ребер //-мерного параллелепи-
педа, выходящих из одной вершины О, делит диагональ OD
параллелепипеда, выходящую из той же вершины.
2) Доказать, что точка пересечения гиперплоскости л
и прямой OD является центром (п — 1)-мерного симплекса,
получающегося при пересечении гиперплоскости л с (//-!)-
мерными гранями параллелепипеда, содержащими вершину О.
1631*. Доказать, что если через концы п ребер //-мер-
ного параллелепипеда, выходящих из одной вершины О, про-
вести (//— 1)-мерную плоскость л, а затем через все вершины
параллелепипеда провести (//— 1)-мерные плоскости, парал-
лельные плоскости л, то эти плоскости вместе с л разобьют
диагональ параллелепипеда, выходящую из вершины О, на п
равных частей.
1632*. 1) Доказать, что все прямые, соединяющие центры
граней симплекса с центрами противоположных им граней,
проходят через одну точку — центр симплекса.
2) Найти отношение, в котором центр симплекса делит
направленный отрезок с началом в центре ^-мерной грани
и концом в центре противоположной (// — k~ 1)-мерной грани.
§ 3. Евклидовы пространства
Александров, гл. XXIV.
Гельфанд, гл. I, §§ 2, 3.
Ефимов и Розендорн, гл. VIII, §§ 11—-13.
/. Векторные евклидовы пространства
Во всех задачах этого параграфа базис предполагается
ортонормальным.
1633. Относительно ортонормального базиса даны три
вектора: {1, 2, 2, 1}, {1, 1, -5, 3}, {3, 2, 8, -7}. Найти
ортонормальный базис подпространства, натянутого на эти
векторы, и дополнить его до ортонормального базиса всего
пространства.
1634. Относительно ортонормального базиса пятимерного
пространства дана гиперплоскость хг — х2 — 2л~3 ф- х4 = 0.
Найти новый ортонормальный базис, первые четыре век-
тора которого лежали бы в данной гиперплоскости.
1643 ] § 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 257
1635. Дана гиперплоскость 2хх — 2х2 — х3-^х4=0 и век-
тор х = {2, 0, 4, 6}. Представить вектор х в виде суммы
двух векторов у и z так, чтобы вектор у лежал в данной
гиперплоскости, а вектор z был к ней ортогонален.
1636. Пусть V'— подпространство евклидова простран-
ства И, хь х2 — векторы из V и хг— + x2=y2 + z2,
причем векторы у2 принадлежат И, a z19 z2 ортогональны
к V'. Доказать, что еоли х2 — х1 принадлежит V', то zr = z2.
1637*. Доказать, что если А и Z? — подпространства
евклидова пространства, причем r = dim А < dim B = s, то
в В содержится подпространство С, ортогональное к А,
такое, что dim С s — г *).
1638*. Доказать, что если А и В — подпространства
евклидова пространства одинаковой (конечной) размерности
и в В содержится ненулевой вектор, ортогональный к А,
то и А содержит вектор, ортогональный к В.
1639. Пусть V'— подпространство евклидова простран-
ства V, х — вектор, не принадлежащий V', у — его ортого-
нальная проекция на V'. Доказать: для того чтобы вектор я,
принадлежащий V', был ортогонален к вектору х, необходимо
и достаточно, чтобы он был ортогонален к вектору у.
1640. Найти ортогональную проекцию вектора {4, — 1,
— 3, 4} на подпространство, заданное своим базисом {1, 1,
1, 1}, {1, 2, 2, -1}.
1641. Найти ортогональную проекцию вектора {7, —4,
— 1, 2} на подпространство, заданное системой уравнений
2xi “Ь Хз-j-Зхд = 0,
у Зх1 + 2х2 + 2х3 + Х4 = 0.
1642. Найти ортогональную проекцию у вектора х евкли-
дова пространства V на подпространство V', заданное своим
базисом Ьь .bs, если базис Ьь bs: 1) ортонормаль-
ный; 2) произвольный.
1643*. Пусть V'— подпространство евклидова простран-
ства V и х —вектор, не принадлежащий V'.
1) Доказать, что из всех векторов подпространства Vr
наименьший угол ф с вектором х образует вектор у, являю-
щийся ортогональной проекцией вектора х на подпростран-
ство V'. *
♦) Символом dim А обозначается размерность пространства А.
9 п. С. Моденов, А. С. Пархоменко
258
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1644
2) Найтй угол ср, образуемый вектором х с его ортого-
нальной проекцией у на подпространство V'.
1644. Найти угол между вектором {2, 2, 1, 1} и подпро-
странством, заданным своим базисом {3, 4, — 4, — II,
{О, 1,- 1, 2}.
1645. Найти* угол между прямой
xt = х2, х3 = Х4, Х2 = 2х3
и плоскостью
3-Vj — 2х2 —*^*2 —Н Х3 — Д
1646*. 1) Доказать, что все векторы подпространства
с базисом {1, 1, 1, 1}, {1, — 1, 1, —1} образуют с подпро-
странством, натянутым на векторы е1=={1, 0, 0, 0}, е2 =
= {0, 1, 0, 0}, один и тот же угол.
2) Найти этот угол.
1647*. Найти угол между подпространствами А и В
евклидова пространства.
1648*. Найти угол, образуемый с подпространством, натя-
нутым на векторы ^ — {1, 0, 0, 0}, е2 = {0, 1, 0, 0}, подпро-
странствами, натянутыми на векторы аъ а2, в каждом из
следующих случаев:
1) аг={2, 3, 1, 6}, й2 = {3, 2, -6, -1};
2) «, = {1, 2, 1, 2}, й2 = {2, 1, -2, -1};
3) = 1, 1, 1}, й3={1, 1, 3, -5};
4) 01 = {1, 0, 2, 2}, а2 = {0, 1, 1, -1};
5) С1={1, 1, 1, И, «2 = {1, -1, 7, -7}.
1649*. Найти угол между подпространствами четырехмер-
ного евклидова пространства, одно из которых натянуто на
векторы {1, 1, 1, 1}, {1, — 1, 1, —1}, а другое —на векторы
{2, 2, 1, 0}, {1, -2, 2, 0}.
1650*. Пусть л и л' — ^-мерные подпространства евкли-
дова пространства, пересечение которых есть 0; аь ak —
ненулевые попарно ортогональные векторы подпространства
л; a'k — их ортогональные проекции на подпростран-
ство. л', также попарно ортогональные друг <другу. До-
казать, что если векторы аь ...,ak образуют с подпро-
странством л' равные углы, то и все векторы подпростран-
ства л образуют с л' один и тот же угол.
1661 ]
§ 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
259
1651. В евклидовом пространстве даны два подпростран-
ства А и В размерности Л, пересечение которых есть О,
имеющие ортонормальные базисы аь ..., ak\ Ьь ...,
соответственно. В подпространстве А найти такой орто-
гональный базис, ортогональные проекции векторов кото-
рого на подпространство В образуют ортогональную си-
стему.
2. Точечные евклидовы пространства
1652*. Доказать, что если А, В, С —три точки евклидова
пространства и р (А, В), р (В, С), р (С, А) — расстояния между
ними, то р (А, С) р (А, В) + р (В, С), причем равенство
достигается тогда и только тогда, когда векторы АВ и ВС
коллинеарны и одинаково направлены.
1653. Найти длину диагонали «-мерного куба с ребром а,
1654. Найти отношение ортогональной проекции ребра
«-мерного куба на его диагональ к диагонали куба.
1655*. Четырехмерный куб задан неравенствами — 1
Z=l, 2, 3, 4. Найти диагонали этого куба, пер-
пендикулярные к его диагонали х4 — х2 = х3 — х4, и опреде-
лить углы между ними.
1656*. Найти число диагоналей «-мерного куба, перпен-
дикулярных к одной и той же его диагонали.
1657. Найти угол между диагональю четырехмерного
куба и его одномерной, двумерной и трехмерной гранями.
1658. Найти угол между диагональю «-мерного куба
и его ^-мерной гранью.
1659. 1) Доказать, что гиперплоскость, проведенная через
концы « ребер «-мерного куба, выходящих из одной его
вершины, перпендикулярна к диагонали куба, выходящей из
той же вершины.
2) Найти расстояние от вершины куба до этой гиперпло-
скости, если ребро куба 'равно а.
1660*. Доказать, что из всякой точки пространства, не
принадлежащей плоскости, можно опустить на эту плоскость
перпендикуляр и притом только один. Длина этого перпен-
дикуляра меньше длины каждого отрезка, соединяющего
данную точку с произвольной точкой плоскости.
1661*. Доказать, что если две плоскости не имеют общих
точек, то существует прямая, являющаяся общим перпенди-
куляром к обеим плоскостям. Если плоскости абсолютно
9*
260
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1662
скрещиваются *), то такая прямая единственна. Длина общего
перпендикуляра меньше длины каждого отрезка, концы кото-
рого находятся в данных плоскостях.
1662. Найти длину и основание перпендикуляра, опущен-
ного из точки М — (5, 1, 0, 8) на плоскость, проходящую
через три точки:
Д=(1, 2, 3, 4), В = (2, 3, 4, 5), С = (2, 2, 3, 7).
1663. Найти длину и основание перпендикуляра, опущен-
ного из точки Л1 = (4, 2, —5, 1) на плоскость, заданную
системой уравнений
2a*j — 2х2 "4“ 2х^ = 9,
<2х1 — 4л-2 + 2х3 + Зл-4 = 12.
1664*. Плоскость проходит через три точки Д = (1, 1, 1, 1),
В — (2, 2, 0, 0), С = (1, 2, 0, 1), а прямая —через две точки:
D = (l, 1, 1, 2), £ = (1, 1, 2, 1). Определить взаимное рас-
положение прямой и плоскости, написать уравнения и найти
длину их общего перпендикуляра.
1665*. Плоскость проходит через три точки: А = (1, 1, 1, 1),
В = (3, 0, 1, 1), С = (1, 1,—1,2), а прямая —через две точки:
£) = (4, 2, 1, 6), Е~(0, 4, 5, 4). Определить взаимное распо-
ложение прямой и плоскости и найти расстояние между ними.
1666*. Даны две плоскости: первая плоскость проходит
через точки Д1 = (4, 5, 3, 2), В1 — (5, 7, 5, 4), С£ = (6, 3, 4, 4),
а вторая—через точки Д2 = (1,—2,1,—3), —(3, —2, 3, —2),
С2 = (2, —4, 1, —4). Определить взаимное расположение этих
плоскостей и найти расстояние между ними.
1667*. Найти кратчайшее расстояние между двумерной
гранью единичного четырехмерного куба и его диагональю,
не пересекающей эту грань.
1668. Найти расстояние от точки (л:?, x„) az-мер -
ного евклидова пространства до гиперплоскости
tZiXi + ... + anXfi b = 0.
1669. Найти расстояние-Л от начала координат до гипер-
плоскости, отсекающей на осях прямоугольной системы коор-
динат отрезки alf ..., ап.
*) Две плоскости называются абсолютно скрещивающимися, если
они не имеют общих точек, и не существует двух параллельных
прямых, принадлежащих соответственно этим плоскостям.
1676 ]
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
261
1670. Найти расстояние от точки (Ьь п-мер-
ного евклидова пространства до прямой = +...
...» = ап
1671*. Векторы а2,..., ап-ъ ап> отложенные от одной
точки, служат ребрами «-мерного параллелепипеда. Найти
высоту этого параллелепипеда, принимая за его основание
(п— 1)-мерный параллелепипед, построенный на векторах
G'li ^2» • • • > ^п-1*
1672*. Доказать, что прямая, соединяющая центры двух
противоположных граней правильного симплекса, перпенди-
кулярна к этим граням.
1673*. Найти расстояние h между ^-мерной гранью
правильного симплекса с ребром 1 и противоположной ей
(п — k — 1)-мерной гранью.
1674*. Найти угол между двумерными гранями Л0Д1Д2
и Л0Л3Л4 правильного четырехмерного симплекса А0АгА2А3А^.
1675. Написать формулы преобразования прямоугольных
координат четырехмерного пространства, зная, что начала
координат обеих систем различны, а концы соответствующих
базисных векторов реперов этих систем совпадают.
§ 4. Линейные операторы
7. Линейные операторы в произвольном
векторном пространстве
Александров, гл. XII, § 6; гл. XXV, § 1.
Г е л ьф а н д, гл. II, §§ 9, 11.
Ефимов и Розендорн, гл. VII, §§ 1, 3 — 7.
1676*. Доказать, что если/—линейное отображение прост-
ранства X на пространство У, то следующие условия попарно
эквивалентны:
1) отображение / взаимно однозначно;
2) ядро отображения / равно 0.
Если пространство X конечномерно, то каждому из
этих условий эквивалентно следующее:
3) размерность образа пространства X равна размер-
ности самого пространства X.
Если, кроме того, размерность пространства X равна
размерности пространства У, то каждому из предыдущих
условий эквивалентно условие:
4) / есть отображение X на Е
262
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1677
1677. Доказать, что конечномерное пространство является
суммой образа и ядра линейного оператора тогда и только
тогда, когда их пересечение есть 0.
1678. Доказать, что если А —обратимый оператор, то
всякое подпространство, инвариантное относительно А, инва-
риантно и относительно А 3.
1679. Пусть х является собственным вектором опера-
тора А, соответствующим собственному значению Z, и соб-
ственным вектором оператора В, соответствующим собствен-
ному значению р. Доказать, что х является собственным
вектором:
1) операторов А-Ц-/? и АВ, соответствующим собствен-
ным значениям ЛЦ-р и Zp;
2) оператора аА, где а —любое число, соответствующим
собственному значению аЛ;
3) оператора Ат, где т — натуральное число или 0,
соответствующим собственному значению
4) оператора Д(А), где F — многочлен, соответствующим
собственному значению F (X).
1680*. Доказать, что если все векторы линейного прост-
ранства являются собственными векторами линейного опера-
тора А, то все эти векторы соответствуют одному и тому
же собственному значению а и линейный оператор имеет
вид Ах — ах (гомотетия).
1681*. Найти матрицу С линейного оператора, перево^
дящего линейно независимые векторы
а1— {а1Ъ • • • > а1п}>
^пп
соответственно в векторы
— \Ь11У Ь1п},
---{^П1’ •••> ^пп}*
1682. Найти линейный оператор, переводящий векторы
^={2, 3, 5, 0}, я2 = {°, 2> °Ь
«з = {1> 0, 0, 0}, 0, 0, 1}
1689 ]
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
263
соответственно в векторы
= 1, 1, 0}, &2 = {1, 1, -1, 0},
63 = {2, 1, 2, 0}, Ь^ = {0, о, 0, 2}.
1683. Найти линейный оператор, собственными значени-
ями которого являются числа 2, —3, 5, —1, а соответству-
ющие им собственные векторы суть {1, 1, 1, 0}, {2, 2, 1, 0},
{1, о, —1, 0}, {0, 0, 0, 1}.
1684. Найти базисы собственных подпространств линей-
ных операторов, заданных в базисе ех={1, 0, 0, 0}, е2 =
= {0, 1, 0, 0}, е3 = {0, Ч °}> ^4 = {0, °, °, Ч "следу-
ющими матрицами:
/2 1 0 0\ /2 0 0 0 /2 0 0 0. о о\
/ 0 2 1 0 1 0 2 1 1 \ 2
!> 0 0 2 17 2) | 0 0 2 1 I |; 0 0 2 1 •>
\о 0 0 2/ ко 0 0 2/ \о 0 0 2/
/2 0 0 0\
Л \ / 0 2 0 О'
4) ! о 0 2 ° 1 •
\о 0 0 2/
1685*. Доказать, что если операторы А и В пере-
становочны, то всякое собственное подпространство опе-
ратора А является инвариантным подпространством для
оператора В.
1686*. Если сумма собственных подпространств опера-
тора А совпадает со всем пространством и каждое собствен-
ное подпространство оператора А является инвариантным
для оператора В, то А и В перестановочны.
1687. Если линейный оператор А перестановочен со
всеми линейными операторами, то А — КЕ.
1688*. Доказать, что если собственное подпространство
14 оператора А, соответствующее собственному значению Z,
одномерно и оператор В перестановочен с А, то содер-
жится в собственном подпространстве Уц ’оператора В, соот-
ветствующем собственному значению р оператора В.
1689. Доказать, что если собственные значения опера-
тора А, заданного в л-мерном пространстве, попарно раз-
личны и оператор В перестановочен с А, то В имеет п
линейно независимых собственных векторов.
264
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1690
подпространства оператора,
1690. Найти инвариантные
заданного матрицей /0 -1 1
/ 1 0 0
1 0 0 0
\о 0 1
0\
1 \
-1 Г
о/
1691*. 1) Доказать, что если линейный оператор, заданный
в л-мерном пространстве, обладает одномерным инвариант-
ным подпространством, то он обладает инвариантными под-
пространствами всех размерностей от 2 до п — 1.
2) Из существования (п — 1)-мерного инвариантного под-
пространства следует существование одномерного инвари-
антного подпространства.
1692*. Доказать, что если все характеристические числа
матрицы линейного оператора принадлежат полю, над кото-
рым построено линейное пространство, то каждое инва-
риантное подпространство содержит по крайней мере одно
одномерное инвариантное подпространство.
1693*. Доказать, что если л-мерное пространство V обла-
дает базисом, состоящим из собственных векторов линейного
оператора А, то и всякое его инвариантное подпространство
обладает базисом, состоящим из собственных векторов этого
оператора.
1694*. Найти все инвариантные подпространства линей-
ного оператора А, заданного в n-мерном пространстве V,
имеющего п попарно различных собственных значений. Опре-
делить число всех инвариантных подпространств.
1695*. Пусть V= Vj. ф V2 — представление простран-
ства V в виде прямой суммы подпространств Vx и V2. Опе-
ратор А, заданный на пространстве V, называется симмет-
рией относительно подпространства Vt в направлении V2,
если каждому вектору x=y-]-z, у е Vlf z е V2, ставится
в соответствие вектор х'=у — z. Доказать, что: 1) опера-
тор А линейный; 2) для того, чтобы линейный оператор А был
инволюционным, необходимо и достаточно, чтобы он был
симметрией относительно в направлении V2.
1696*. Пусть V—Ухф V2 — представление пространства
V в виде прямой суммы подпространств V± и V2. Опера-
тор А, заданный на пространстве V, называется проектиро-
ванием пространства V на подпространство параллельно
V2, если каждому вектору x—y + z, у е Vb z& V2, ста-
вится в соответствие вектор у.
1704 ]
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
265
1) Доказать, что оператор А линейный.
2) Для того чтобы линейный оператор был идемпотентным
(т. е. А2— А), необходимо и достаточно, чтобы он был про-
ектированием пространства V на подпространство V± парал-
лельно V2.
1697. Доказать, что если Xf, х2, .xk — собственные
векторы линейного оператора Д, соответствующие попарно
различным собственным значениям, и аъ а2, ..., ak — числа,
не равные нулю, то вектор <у==а1х1 + а2х2 + . ^~Vakxk не
является собственным вектором оператора А.
1698*. Найти матрицу линейного оператора, заданного
в четырехмерном пространстве, имеющего ровно три одно-
мерных инвариантных подпространства, базисами которых слу-
жат векторы ^ = {1, 0, 0, 0}, £2={0, 1, 0, 0}, е3 — {0, 0, 1, 0},
соответствующие собственным значениям 1, 2, 3.
1699*. Найти все инвариантные подпространства линей-
ного оператора Ji = «x1-]-x2, У2 = ах2 + • ••, У п-1 —
= + уп = ахп, заданного в базисе ..., еп.
1700*. Пусть А — линейный оператор, заданный в век-
торном пространстве V; Н — гиперплоскость, все векторы
которой являются инвариантными по отношению к опера-
тору Д; х—-вектор, не принадлежащий //, Ах — его образ,
который можно представить в виде Дх = Хх+.У, где у е Н.
Показать, что для всякого хфН число X не зависит от
вектора х.
1701*. Доказать, что если аннулирующий многочлен опе-
ратора А имеет степень k, то любой вектор пространства
принадлежит инвариантному относительно А подпространству,
размерность которого не больше Л.
1702. Если оператор Д2 имеет собственный вектор с не-
отрицательным собственным значением, то оператор А имеет
собственный вектор.
1703*. Если все характеристические числа линейного
оператора принадлежат полю, над которым построено линей-
ное пространство, и оператор имеет только одно одномерное
инвариантное подпространство, то все пространство не может
быть представлено в виде прямой суммы инвариантных под-
пространств, каждое из которых отлично от нулевого под-
пространства.
1704*. Показать, что если А и 73— линейные операторы,
то всякое отличное от нуля собственное значение оператора
АВ является собственным значением оператора ВА.
266
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1705
1705. Доказать, что если линейный оператор, заданный
в n-мерном пространстве, обладает единственным характеристи-
ческим числом а и единственным одномерным инвариантным
подпространством с базисом то существует базис, в котором
матрица этого оператора имеет вид
а 1 0 ... 0 О
0 ос 1 ... 0 0
0 0 0 ... а 1
0 0 0 ... 0 ос,
(«жорданова клетка*).
2. Линейные операторы в евклидовом векторном
пространстве
Александров, гл. XXV, §§ 2, 5, 6.
Гельфанд, гл. II, § 16, пп. 1, 2, 5.
Ефимов и Р о з е н д о р н, гл. IX, §§ 1—3, 7, 8, 11.
1706. Найти матрицу преобразования, являющегося орто-
гональным проектированием четырехмерного пространства на
плоскость
-р Л*2 "4“ А*з А*4 = 0.
1707. Найти матрицу преобразования ортогонального про-
ектирования четырехмерного пространства на двумерное под-
пространство
—|— Л*2 ~J- АГ3 = 0, Х^ = 0.
1708. Найти матрицу преобразования симметрии четырех-
мерного пространства относительно прямой = х2 — х3 — х4.
1709. Найти матрицу преобразования симметрии четырех-
мерного пространства относительно двумерного подпростран-
ства
Х^ “4" а*2 —- 0, х3 —|— х^ = 0.
1710*. Доказать, что:
1) для того чтобы линейный оператор переводил каждый
вектор пространства в вектор, ему ортогональный, необхо-
димо и достаточно, чтобы этот оператор был кососимметри-
ческим;
2) в трехмерном пространстве линейный оператор, пере-
водящий каждый вектор в вектор, ему ортогональный, яв-
1718 ]
§ 4, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
267
ляется векторным умножением постоянного вектора а на про-
извольный вектор;
3) в случае двумерного пространства линейный оператор,
переводящий каждый вектор в вектор, ему ортогональный, *
является произведением поворота всех векторов пространства
в одном направлении на угол л/2 и гомотетии.
1711. Доказать, что если А — самосопряженный оператор,
заданный в евклидовом пространстве V, то V представляется в
виде прямой суммы ядра и области значений этого оператора.
1712. Доказать: для того, чтобы произведение двух само-
сопряженных операторов было самосопряженным оператором, -
необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были переста-
новочны.
1713. Доказать: для того, чтобы оператор симметрии
евклидова пространства V относительно подпространства
в направлении подпространства V2 был самосопряженным,
необходимо и достаточно, чтобы подпространства V\ и V2
были ортогональны.
1714*. Доказать: для того, чтобы оператор проектирова-
ния пространства V на подпространство Уг в направлении
подпространства У2 был самосопряженным, необходимо и до-
статочно, чтобы подпространства Ух и У2 были ортогональны.
1715. Пусть А — линейный оператор, заданный в евкли-
довом пространстве V, и А* - оператор, ему сопряженный.
Доказать, что:
1) если е — собственный вектор оператора А* А их —
вектор, ортогональный к е, то векторы Ае и Дх ортогональны;
2) если для каждого вектора х, ортогонального к век-
тору е, векторы Ае и Ах ортогональны, то вектор е является
собственным вектором оператора А*А.
1716*. Доказать: для того, чтобы линейный оператор Д,
заданный в конечномерном евклидовом пространстве, перево-
дил ортогональный базис пространства в ортогональную си-
стему векторов, необходимо и достаточно, чтобы векторы
этого базиса были собственными векторами оператора Д*Д,
где Д* — оператор, сопряженный к Д.
1717*. Доказать, что отображение евклидова простран-
ства на себя, при котором сохраняется скалярное произведе-
ние каждых двух векторов, является линейным.
1718*. Доказать, что отображение евклидова пространства
на себя-, сохраняющее модуль разности каждых двух векто-
ров, является линейным.
268
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1719
3. Изометрические преобразования в точечном
евклидовом пространстве
1719. Пусть Е —евклидово пространство; О —точка про-
странства Е; V —- соответствующее пространству Е векторное
пространство; у — Ах b — изометрическое преобразование
пространства Е; 14 — собственное подпространство простран-
ства V, соответствующее собственному значению -Ц-1 опера-
тора Л, определенного на пространстве V; У2 — ортогональ-
ное дополнение подпространства Vx; b = Ь± + Ь2 — представ-
ление вектора b в виде суммы векторов е 1Д и Ь2 е V2.
Доказать, что в плоскости л2, определяемой точкой О и под-
пространством V2, найдется точка О' такая, что исходное
преобразование будет иметь вид y,=Ax,-\-bli гдеЬу — ъек-
тор, являющийся ортогональной проекцией вектора Ъ на под-
пространство Их.
1720. Доказать: для того, чтобы изометрическое преобра-
зование у = Лх-|~ Ъ точечного евклидова пространства Е имело
инвариантную точку, необходимо и достаточно, чтобы вектор
переноса b был ортогонален к собственному векторному под-
пространству Vb соответствующему собственному значению
4-1 оператора А.
1721. Доказать, что всякое изометрическое преобразова-
ние точечного евклидова пространства обладает либо инва-
риантной точкой, либо инвариантной прямой.
§ 5. Линейные, билинейные и квадратичные функции
7. Линейные функции
Александров, гл. XIII, § 1.
Г е л ь ф а н д, гл. I, § 4, п. 1.
Ефимов и Розендорн, гл. IV, §1.
1722. Доказать, что:
1) если х~{х1, хп]—вектор //-мерного линейного
пространства, то функция f (x) = x1 есть линейная функция
вектора х;
2) всякую линейную функцию Z(x), заданную в //-мерном
пространстве, надлежащим выбором базиса можно привести
к виду Z(x) = x1, где Хр —первая координата вектора х =
~ • • • >
1727|§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 269
1723*. Доказать, что:
1) ядро ненулевой линейной функции есть подпростран-
ство коразмерности 1;
2) всякое подпространство коразмерности 1 является яд-
ром ненулевой линейной функции (говорят, что подпростран-
ство имеет коразмерность 1, если все пространство предста-
вимо в виде прямой суммы этого подпространства и подпро-
странства размерности 1).
1724*. Доказать, что две ненулевые линейные функции
Lx (х) и Г2 (*) имеют одно и то же ядро тогда и только
тогда, когда
L2(x) = ZLx(x).
1725*. Доказать, что если произведение двух линейных
функций, заданных на векторном пространстве, тождественно
равно нулю, то по крайней мере одна из этих функций тож-
дественно равна нулю.
2. Билинейные функции
Александров, гл. XIII, §§ 2—5.
Гельфанд, гл. I, § 4, пп. 2—4.
Ефимов и Р о з е н д о р н, гл. IV, §§ 2, 3.
1726*. Доказать: для того, чтобы билинейная функция,
заданная в конечномерном пространстве, представлялась в ви-
де произведения двух линейных функций, необходимо и до-
статочно, чтобы ранг матрицы этой билинейной функции был
равен 1.
1727*. Доказать, что:
1) всякую несимметрическую билинейную форму ранга 1
надлежащим выбором базиса можно привести к виду
b(x, ^) = x1j/2,
где Хх —первая координата вектора х, а у2 — вторая ко-
ордината вектора у;
2) всякую симметрическую билинейную форму ранга 1
надлежащим выбором базиса можно привести к виду Ь (х, у)=
= ± хх_ух, где хх — первая координата вектора х, a yi — пер-
вая координата вектора у.
1728*. Доказать, что если Ь(х, у) — билинейная функция,
определенная на пространстве V и невырожденная на его ко-
270 ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ 1728
нечномерном подпространстве 1Д, то V есть прямая сумма
подпространств Уг и V2, где V2 — множество векторов у
подпространства V, обладающих тем свойством, что b (х, у) —0
для всякого вектора х е V\.
1729. Найти условие, необходимое и достаточное для то-
го, чтобы билинейная функция b (х, у) обращалась в нуль
при у = х для всякого вектора.
1730. Доказать, что ненулевой симметрической билиней-
ной функции соответствует ненулевая квадратичная функция.,
1731*. Доказать, что если b (х, у) — ненулевая билиней-
ная функция, обладающая тем свойством, что для любых век-
торов х, у, удовлетворяющих условию Ь(х, у) = 0, выпол-
няется равенство Ь(у, х) = 0, то функция Z?(x, у) является
или симметрической или кососимметрической.
1732*. В четырехмерном пространстве дана кососиммет-
рическая билинейная форма
- х2у4 + х4у3 - х3у4 + Х4у4 - х4у4 + X2J3 - X3J-2 +
+ ^2 Л - Х4^2 + х3 у4 - х4_у3.
Найти канонический вид этой формы и ее канонический
базис.
1733*. Доказать, что, какова бы ни была билинейная функ-
ция, заданная в пространстве конечной размерности, сущест-
вует базис, в котором матрица билинейной формы этой функ-
ции обладает тем свойством, что ее элементы, не лежащие
на главной диагонали и симметричные относительно этой
диагонали, имеют противоположные знаки.
3. Квадратичные функции
Александров, гл. XIII, §§ 3—5; гл. XXV, § 7.
Гельфанд, гл. I, § 4, п. 5; §§ 5, 7; гл. II, § 16, пп. 3, 4.
Ефимов и Р о з е н д о р н, гл. IV, §§ 4—7, 9; гл. IX, §§ 4, 5.
1734*. Пусть Q (х) — квадратичная функция, заданная
в вещественном векторном пространстве, причем
Q(x)>0 при х = а и Q(x)<0 при х — Ь.
Доказать, что:
1) векторы а и b линейно независимы;
2) в двумерном пространстве с базисом а, Ь существуют
два вектора х1У х2, для которых Q (хД = Q (х2) = 0;
1739 ] § 5. ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕ, КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 271
3) векторы хь х2 линейно независимы;
4) векторы хь х2 не принадлежат ядру билинейной функ-
ции, соответствующей данной квадратичной функции Q (х).
1735*. Пусть Q(x) — квадратичная функция и Q(d) = 0
для вектора а, не принадлежащего ядру соответствующей
ей билинейной функции. Доказать, что функция Q (х) прини-
мает все значения из поля, над которым построено линейное
пространство.
1736*. Доказать: для того, чтобы квадратичная функция,
заданная на вещественном векторном пространстве, была зна-
копостоянной, необходимо и достаточно, чтобы множество ее
нулей содержалось в ядре соответствующей билинейной
функции.
1737. Найти условия, необходимые и достаточные для
п п
того, чтобы квадратичная форма У]ах/+2 ^xtxj была
i, /=i
положительно определенной.
1738*. Доказать, что:
1) для того чтобы ненулевая квадратичная функция, за-
данная в конечномерном пространстве над произвольным по-
лем, распадалась в произведение двух линейных функций,
необходимо, чтобы ранг квадратичной формы, сооветствую-
щей этой* функции, был равен 1 или 2;
2) в случае поля комплексных чисел равенство ранга
квадратичной функции 1 или 2 является достаточным усло-
вием ее распадения в произведение двух линейных функций;
3) для распадения квадратичной функции, заданной в про-
странстве над полем вещественных чисел, в произведение
двух линейных функций, необходимо и достаточно, чтобы
ранг этой квадратичной функции был равен 1 или 2, а индек-
сы инерции в случае функции ранга 2 были равны 1.
1739*. Доказать, что:
1) для существования базиса, в котором квадратичная
форма, заданная в конечномерном векторном вещественном
пространстве, не содержит членов с квадратами координат,
необходимо и достаточно, чтобы оба индекса инерции этой
квадратичной формы были отличны от нуля;
2) для существования ортонормального базиса, в котором
квадратичная форма, заданная в конечномерном евклидовом
векторном пространстве, не содержит членов с квадратами
координат, необходимо и достаточно, чтобы в каком-нибудь
272
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1740
ортонормальном базисе след матрицы этой квадратичной
формы был равен нулю.
1740*. Доказать, что если квадратичная функция, задан-
ная в zz-мерном пространстве, тождественно обращается в нуль
на подпространстве размерности , то ядро соответст-
вующей ей билинейной функции имеет размерность больше
нуля.
1741*. Доказать, что если р и (/ — индексы инерции невы-
рожденной квадратичной функции, заданной в вещественном
//-мерном пространстве, то существует линейное подпрост-
ранство, размерность которого равна меньшему из индексов
инерции, на котором квадратичная функция тождественно
обращается в нуль, и не существует подпространства боль-
шей размерности, обладающего этим же свойством.
1742. Для каждой из следующих квадратичных форм, за-
данных относительно ортонормального базиса, найти такой
ортонормальный базис, в котором эта квадратичная форма
имеет канонический вид; найти канонический вид формы
в этом базисе:
1) 4ххх2 + 4ххх3 4- 4ххх4 + 4х2х3 + 4х2х4 4- 4х3х4 -J- Зх|;
2) 2х^Х2 4~ 2х^Х3 — 2х^х4 — 2х2х3 —2х2х4 —|— 2х3Х4;
3) 2хгх2 — 6x4X3 ~ 6x2X4 4- 2х3х4;
4) 5х[ 4- 6х2 4- 6x14" 6x1 — 16x4X2 + 2x4X3 4- 6ххх4 4~
4- бх2х3 4- 2х2х4 — 10х3х4.
§ 6. Поверхности второго порядка
Александров, гл. XXV, § 8.
Ефимов и Розендорн, гл. XI.
/. Поверхности второго порядка в точечном
аффинном пространстве
1743. Пусть Q(x) — квадратичная функция векторного
аргумента х, L (х) — линейная функция, с — число. Доказать,
что функция
Q(x) + 2L(x)4-^
при преобразовании переноса х-=х'4~х0 принимает вид
Q 00 = 2 [В (х0, х ) 4- Ь (х')] 4- Q (*0) + 2L (х0) 4" G
1747 1 § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 273
где В(х, у) — симметрическая билинейная функция, соответ-
ствующая квадратичной форме Q(x),
1744*. Пусть О —фиксированная точка аффинного про-
странства, х — ОМ — радиус-вектор произвольной точки М
с началом в точке О. Поверхностью4 второго порядка на-
зывается совокупность точек точечного аффинного простран-
ства, радиусы-векторы которых удовлетворяют векторному
уравнению
Q(x) + 2L(x) + c = 0,
где Q (х) — квадратичная функция, L (х) — линейная функция,
с —число. Точка О' называется центром (непустой) поверх-
ности второго порядка, если для каждой точки М поверхно-
сти точка Мь симметричная точке М относительно точки О';
также принадлежит этой поверхности. Доказать, что точка О'
с радиусом-вектором ОО'== х0 является центром поверхности
второго порядка тогда и только тогда, когда преобразова-
нием переноса х==х'4-х0 уравнение поверхности приводится
к виду
Q(x') + c'==O,
где с = L (х0) + с.
1745. Пусть
Q(x) + 2L(x) + c = 0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффин-
ном пространстве; х = х0 + ^ — прямая. Найти значения пара-
метра t, которым соответствуют точки пересечения прямой и
поверхности.
1746*. Пусть
Q(x)4-2L(x) + c = 0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффин-
ном пространстве и и — вектор неасимптотического направ-
ления, т. е. Q (и) Ф 0. Доказать, что середины хорд поверх-
ности, параллельных вектору иу лежат в одной гиперплоскости.
Эта гиперплоскость называется диаметральной гиперпло-
скостью, сопряженной направлению, определяемому вектором к.
Написать уравнение этой гиперплоскости.
1747*. Пусть
Q(x) + 2L(x) + c-0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном аффин-
ном пространстве, х0—радиус-вектор точки 7140, принадлежащей
274
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА .
[ 1748
этой поверхности и не являющейся ее центром. Написать
уравнение касательной плоскости к данной поверхности
в точке 7И0.
1748*. Доказать, что:
1) если одна и та же поверхность второго порядка, за-
данная двумя уравнениями
F(x)-Q(x) + 2L(x) + c = 0,
F* (X) = Q* (X) + 2L* (х) + с* = О,
обладает тем свойством, что существует прямая, пересекающая
эту поверхность ровно в двух различных точках, то сущест-
вует число Z =?£ 0, для которого
при этом утверждение верно также в том случае, когда
поверхность является двойной гиперплоскостью;
2) если F = 0 и F* = 0 — уравнения одной и той же
поверхности второго порядка (удовлетворяющей одному из
условий в 1)), заданной в n-мерном аффинном пространстве,
то соответствующие коэффициенты многочленов F и F* про-
порциональны.
1749*. Доказать, что если в n-мерном точечном аффинном
пространстве ввести аффинную систему координат с началом
в точке О и базисом elf ..., еп, то уравнение
Q(x)4-2L(x) + c = 0
поверхности второго порядка примет вид
Я/уХ/Ху 2 bjXi -ф- с = О,
i, / = 1 I=1
где хь..., хп — координаты радиуса-вектора х~ОМ точки М
поверхности, а^ = В(еь ej), bi = L(ei\ причем В(х, у)—
симметрическая билинейная функция, соответствующая квад-
ратичной функции Q (х).
1750*. Пусть
4~ 2 biXi 4~ с = 0
г, / == 1 i = 1
— уравнение поверхности второго порядка, заданной в ^-мер-
ном точечном аффинном пространстве.
1751 ]
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
275
Доказать, что:
1) координаты xj, х°п
югся из системы уравнений
центра поверхности определя-
п
У! —О, Z=i, 2, ...,п;
7=1
2) для того, чтобы поверхность второго порядка имела
центр (не обязательно единственный), необходимо и достаточно,
чтобы ранги матриц
/Иц • • • а1п\ ’ • а1п ^1\
А — I..............1 и В = ......................\
W/11 • • • аПП! \ ап1 • • • аНП bn I
\ ... bn с /
отличались не более, чем на 1;
3) если начало системы координат, не меняя ее базиса,
перенести в центр О' = (х°ь ..., х°п) поверхности второго
порядка, то ее уравнение примет вид
п
, ciijXiX j + с = О,
«,7=1
где
п
с'= ^Ь^ + с;
4) для того, чтобы поверхность второго порядка имела
единственный центр, необходимо и достаточно, чтобы опреде-
литель 6 матрицы А был отличен от нуля; в этом случае
поверхность называется центральной;
5) если начало системы координат, не меняя ее базиса,
перенести в центр поверхности, то в том случае, когда этот
центр единственный, уравнение поверхности примет вид
п
2 atjXix'j-^- у==0,
t, / = 1
где 6 и Д — определители матриц А и В соответственно.
1751*. Доказать, что уравнение поверхности второго
порядка, заданной в действительном и-мерном точечном аффин-
ном пространстве, переходом к новой системе координат
(и, возможно, умножением обеих частей уравнения на — 1)
может быть приведено к одной из следующих нормальных форм:
276
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1752
(I) XJ + ...+ х\ — — ... — х} = 1, O^k^r^n.
При k = r = n поверхность называется действительным (л — 1)-
мерным эллипсоидом; при k — 0, г — п — мнимым (п— 1)-мерным
эллипсоидом; при 0 <; k < г = п поверхность называется (п — 1)-
мерным гиперболоидом; при г < п —- цилиндром над соответ-
ствующей (г — 1)-мерной поверхностью.
(II) + . . . +х! — — ... —О,
, г+ 1
при г четном, — при г нечетном.
При k<Zr — n поверхность называется действительным
(п — 1)-мерным конусом; при Л = г — п — мнимым (л —- 1)-мерным
конусом; при г •< п — цилиндром над (г—1)-мерным конусом
или конической поверхностью.
(Ill) ^ + ... + x|-xl+1~...~^ = 2xr+1, 1^г^л-1;
^^2 ПРИ г четном> — ПРИ г нечетн°м. При г — п — 1
поверхность называется (л — 1)-мерным параболоидом; при
г <С л — 1 — цилиндром над соответствующим (г — 1)-мерным
параболоидом.
Во всех случаях (I), (II), (III) г —ранг квадратичной формы,
входящей в состав многочлена левой части уравнения по-
верхности.
1752*. Найти максимальную размерность плоскости, содер-
жащейся в поверхности второго порядка, заданной в л-мерном
точечном аффинном пространстве, если эта поверхность:
(I) конус х|4-.. .4-х| — —... —Хд==0, 1^Л^л;
(II) гиперболоид Д71+...4-Х1—+ ... —Хд= 1, 1^
л;
(III) параболоид xf 4-7. . + х| — —... — i — ^xni
1 /г л — 1.
1753*. Доказать, что две (непустые) поверхности второго
порядка, заданные в действительном л-мерном точечном
аффинном пространстве, аффинно эквивалентны тогда и только
тогда, когда они приводятся к одной и той же нормальной
форме с соответственно одинаковыми г и k,
1754*. Поверхность второго порядка, заданная уравнением
2 aijXiXj~V^ Л ^z*z 4~'С = 0
z, i—i z=i
в л-мерном точечном аффинном пространстве, называется
цилиндрической, если в некоторой системе координат она
1755 ]
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
277
может быть записана уравнением с неполным числом пере-
менных.
Доказать: для того, чтобы поверхность второго порядка
была цилиндрической, необходимо и достаточно, чтобы были
равны нулю как детерминант
Яц . . . а1п Ь±
ant • • • CLnn bn
bi ... bn c
многочлена, стоящего в левой
части ее уравнения, так и де-
терминант
aii
а1п
6 =
««1
апп
квадратичной формы этого многочлена.
1755*. Поверхность второго порядка задана уравнением
п п
Р= У aijxiXj- + ‘2 = 0
i, j==l i—\
в //-мерном точечном аффинном пространстве. Доказать, что:
1) эта поверхность является конической тогда и только
тогда, когда в некоторой системе координат ее уравнение не
содержит ни членов первой степени относительно координат,
ни свободного члена; в этом случае начало координат назы-
вается вершиной конической поверхности;
2) для того чтобы поверхность была конической, необхо-
димо и достаточно, чтобы ранг г матрицы
1а11 • • • а1п\
А = 1..............
\ат . . . апп]
квадратичной формы
п
У aijXiXj
i,i=\
был равен рангу 7? матрицы
................. ]
ап1 • • • апп °П I
bl . . . Ьп с)
многочлена Р, стоящего в левой части уравнения поверхности;
278
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1756
3) поверхность является конусом второго порядка тогда
и только тогда, когда в некоторой аффинной системе ко-
ординат многочлен Р, стоящий в левой части ее уравнения, яв-
ляется квадратичной формой ранга //;
4) для того чтобы поверхность второго порядка была
конусом, необходимо и достаточно, чтобы
6 =
Я11
=#о,
ап . . . aln bi
апп
ат • • • апп
bi ... bn с
= 0;
5) конус имеет единственную вершину, являющуюся его
единственным центром;
6) если конус содержит точку /14, отличную от его вер-
шины О, те все точки прямой ОМ принадлежат этому конусу.
1756^. Поверхность второго порядка задана уравнением
п п
У, aijxiXj + 2 У biXi + с = О
i, j — 1 i = 1
в действительном //-мерном точечном аффинном пространстве.
Доказать, что:
1) поверхность является параболоидом, если в некоторой
аффинной системе координат ее уравнение имеет вид
Л—1
CLiiXiXf Д- ^ЬпХп = 0;
i, / = 1
2) для того чтобы поверхность второго порядка была
параболоидом, необходимо и достаточно, чтобы
6 =
ан
. . . П1/г
• • • апп
= 0,
2. Поверхности второго порядка в точечном
евклидовом пространстве
1757*. Доказать, что:
1) квадратичную функцию Q(x), заданную в векторном
евклидовом пространстве, можно представить в виде
<Э(х) = (Дх, X),
где А — самосопряженный оператор;
1760]
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
279
2) линейную функцию L (х), заданную в векторном евкли-
довом пространстве, можно представить в виде
Д(Х)=-(&, X),
где 6 —вектор.
1758*. Пусть
Q(x) + 2L(x) + c==(Ax, х) + 2(д, х) + с = 0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном евкли-
довом пространстве. Доказать: для того, чтобы эта
поверхность имела центр О', необходимо и достаточно, чтобы
вектор b принадлежал области значений оператора А.
1759*. Пусть
(Ах, Х) + 2(&, х) + с = 0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном евкли-
довом пространстве, не имеющей центра. Доказать, что сущест-
вует вектор х0 такой, что в результате переноса х = х' 4-Х0
уравнение поверхности приводится к виду
(Ах/ х') + 2(&", х') = 0,
где Ь" — вектор, ортогональный к области значений оператора А.
1760*. Доказать, что если в и-мерном точечном евклидо-
вом пространстве задано уравнение
п п
atjXiXj-Y'l 2^xz + c = 0
/=1 i=i
поверхности второго порядка в прямоугольных координатах,
то существует прямоугольная система координат с началом
в точке О' ~(Xi, ..., xQn) и ортонормальным базисом е'ь ..., е'п,
в которой уравнение поверхности представляется в одной из
следующих форм:
(I) XtXi'2 + ...4-ZrXr2 + f'=0, 1 если R —
(И) X1x1'24-... + Zrxp4-2|iix^+i = 0, 1, если
R — г — 2, где г—-ранг матрицы
/ап
А==1 • •
\ап1
. . .
• • • апп)
280
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1761
a R — ранг матрицы
1761*. Доказать, что уравнение поверхности второго
порядка, заданной в евклидовом «-мерном точечном про-
странстве относительно прямоугольной системы координат,
п п
У aijXiXj + 2 У bixi + c = 0,
i, j ~ 1 i ~ 1
переходом к новой прямоугольной системе координат и умно-
жением обеих частей уравнения на некоторое число может
быть приведено к одной из следующих канонических форм:
xl-ri
ak-\-\
---£-=1,
а;
При k — r — n поверхность является действительным («—!)-
мерным эллипсоидом; при Л = 0, г = п — мнимым («-^-мер-
ным эллипсоидом; при 0 <; k <; г = п — (п— 1)-мерным гипер-
болоидом; при г < п — цилиндром над соответствующей (г — 1)-
мерной поверхностью второго порядка.
у2
Х*+1
Х1
(II)
Й1 ak ak+l
Г и г +
-у при г четном, —~
4
при г нечетном.
0,
1 г ^п;
При k<Zr = n поверхность является действительным
(«—1)-мерным конусом; при k — г — п — мнимым («-^-мер-
ным конусом, при г < п — цилиндром над (г — 1)-мерным
конусом.
X-
(Ш)
Pi
x'k _ х£ + 1
Pk Pk+l
Хг
--= 2x^1
Pr r + 1
г=1, 2,
г— 1
2“
2
при г нечетном.
При г — п— 1 поверхность является (« — 1)-мерным пара-
болоидом, при г <«—1 — цилиндром над соответствующим
(г—1)-мерным параболоидом.
1765 ]
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
281
1762*. Доказать, что:
1) две поверхности второго порядка, заданные в //-мер-
ном точечном евклидовом пространстве, изометричны тогда
и только тогда, когда они имеют одно и то же каноническое
уравнение (см. задачу 1761) с одними и теми же значениями
параметров и pt в случаях (I) и (III) соответственно и
с пропорциональными значениями параметров at в случае (II);
2) две поверхности второго порядка, заданные в //-мер-
ном евклидовом пространстве, подобны тогда и только тогда,
когда они имеют одно и то же каноническое уравнение
с пропорциональными значениями параметров #z и pt соот-
ветственно.
1763. Для каждой из следующих поверхностей второго
порядка, заданных в четырехмерном точечном евклидовом
пространстве относительно прямоугольной системы коорди-
нат, найти ее каноническое уравнение и каноническую систему
координат:
1) 2ххх2 + 2^X3 — 2ххх4 — 2х2х3 + 2х2х4 + 2х3х4 —
— 2х2 — 4х3 — 6х4 + 5 — 0;
2) Зх| + %xl + %xl + ^xl ~ 2ххх2 — 2xiX3 — 2х4х4 —
— 2х2х3 — 2х2х4 — 2х3х4 = 0;
3) 4х^х2 -j- 4xjX3 4xxx4 -j- 4x2x3 -j- 4x2x4 -|~ 4x3x4 ~j~
+ 3xI4-14x4+U=0.
1764*. Пусть
(Дх, x)4-2(&, x) + c = 0
— уравнение поверхности второго порядка в точечном евкли-
довом пространстве. Найти гиперплоскости симметрии этой
поверхности, перпендикулярные к ее кордам.
1765*. Пусть
i, j = l /=1
— многочлен второй степени от п переменных хь ..., хд;
п
Xi— У, tijX’j-^-ti, /=1, 2, п,
282
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ 1765
— преобразование со переменных xlf ..., хп с ортогональ-
ной матрицей
Р' = У, a'ijX'iX'j + 2 у b'tx'i + с’
1.1 = 1 f = i
— многочлен, получающийся из многочлена Р в результате
преобразования со.
1) Доказать, что следующие функции от коэффициентов
а^-, с многочлена Р являются инвариантами преобразо-
вания со:
#ii ... а1п Ьх
ап1 • • • апп Ьп
Ьх ... Ьп с
Доказать, что инвариантами являются также суммы
1п_2, ..., /3, /2» Л диагональных миноров определителя 1п
соответственно порядков /7—1, п — 2, 3, 2, 1.
2) Доказать, что суммы Кп, Кп-ъ • ••> К2 диагональ-
ных миноров определителя Кп+Ь содержащих с, соответ-
ственно порядка п, п-~1, ..., 3, 2, являются инвариантами
любого однородного преобразования у:
п
Xi = X 1=^, 2, ...,
/=1
с ортогональной матрицей
Кп> Кп-ъ .К3, К2 называются семиинвариантами.
3) Доказать, что если существует линейное невырожден-
ное однородное преобразование, при которОхМ многочлен Р
преобразуется в многочлен Р' от п — 1 переменных х'ь х2,...
..., -Ги-i, то Кп является инвариантом и неоднородного орто-
гонального преобразования переменных х2, ..., хп. Если
существует линейное невырожденное однородное преобразо-
вание переменных xlf х2, ..., хп, при которОхМ многочлен Р
1765 ]
§ 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
283
преобразуется в многочлен Р' от п— 2 переменных х'ь
х2, ..., то Kn-i и Кп являются инвариантами любого
неоднородного ортогонального преобразования переменных
хь х2, ..., хп ит. д.; наконец, если Существует линейное
невырожденное однородное преобразование переменных
jq, хПУ при котором многочлен Р преобразуется в мно-
гочлен Р', содержащий только одну переменную x'lf то все
семиинварианты Кп1, ..., К3, К2 будут инвариантами
и любого неоднородного ортогонального преобразования со.
4) Всякий многочлен
Р -—; j j I 4“
i, j — 1 i — 1
ортогональным преобразованием переменных xlf..., хп может
быть преобразован к одной из следующих канонических форм:
(I) У г=1, 2, и;
1= 1
(in у w+2^+i^+i, r=--i, 2,.... и-1,
1=1
где г — ранг квадратичной формы
Q — 4
i, j = 1
причем Xi, ..., Хг —отличные от нуля корни характеристи-
ческого полинома
ф(^)==
Щ1 — X ... а1п
ап1 • • • апп-----X
Доказать следующие необходимые и достаточные признаки
этих канонических форм:
(I) = /г=#0, Кг+2 = 0;
0D ~ = 7Г^= 0, I{r+2=^=Q.
5) Доказать, что к-анонические формы многочлена Р вто-
рой степени от п переменных могут быть записаны в виде
(1) V г=1, 2, п-
1 = 1 г
284
ГЛ. X. МНОГОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
J 1766
(II) 2 W + 2]/'--^-x;+i г=1, 2, .... п-1,
i= 1 Г
где г — ранг определителя 1П) а ..., — отличные от
нуля корни характеристического полинома <р (Z).
6) Доказать, что если ф (Z) — характеристический полином
квадратичной формы Q, входящей в левую часть уравнения
поверхности второго порядка, заданной относительно прямо-
угольной системы координат, то
I' =(, (0), j = 1, 2, ..., п.
1 (п —/)! Y
7) Доказать, что если
Ш) =
— А, а12 ... а1п Ьг
^21 ^22 —
ап2 • • • апп
Ь± Ь2 ... ьп с
то
( 1\n + l- j
1766*. Поверхность второго порядка задана в и-мерном
точечном евклидовом пространстве уравнением
п п
У, 2 biXi+c=o
i, j — \ t = l
относительно аффинной системы координат, базис которой
имеет метрические коэффициенты = е7). Доказать, что:
1) приведенные уравнения поверхности имеют вид
г
(I) У A.jXi2 + = О в случае I„ = ...=^+1 = 0,
4#=0; К“*2 = О;
Г ______
(II) + 2 = 0 в случае
i = l Г
... = Ir+1 = 0y 1г ¥= 0; ^г+2¥=°} г=1, 2, ...,/7—1; здесь
г — ранг квадратичной формы, входящей в состав левой
части уравнения поверхности, Z—отличные от нуля корни
1766 J § 6. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 285
характеристического уравнения
ф(^) =
— ^Sii • • • ат — ^ёт
аП1--^ёп1 ••• аПП ^ёпп
= 0,
a Is и Ks+i вычисляются по формулам
'’=7Т^Г'р<“”(0)' s“112....
s=1-2....."
где
„.. „ а11~^ёй ••• а1п — ^ё1п
ёп ••• ёт
я rr 1 Ф (^) ап± — Igni ••• апп — ^ёпп Ьп ’
ёт * • • ёпп, h hr
2) если (^ — матрица, обратная для матрицы (gZ/), то,
вводя коэффициенты
п
ai= У
а= 1
S §а,к,
а== 1
можно предыдущие формулы (см. 1)) переписать так:
Is = (~1}\7 <p(n~s)(0), s=l, 2, .... п,
где
а* —к ...
s=1>2..."•
a\ — X .. .. a" b,
o\ • .. bn
&1 bn c
Ф
3) координаты (е^, е/2> •••> ем)> п, базис-
ного вектора е[ канонической системы координат находятся
из системы
(ай — ^/gn) E/i +... + (tfin — ^ln) sin —
(anl ~Ь • • • 4~ 'hignn)
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1,лв = ^1 вс=!ЦА со=^( ол=-^.
2.Л^^, ЙС=^±|, CD^, ZM=-^>.
1 Л 1 -j— Л 1 Л 1 -j- Л
4.ж_2®±^. я--гм+ж, е?--2Дг+:т°..
5.0.8. гс-,4Л- .
о о
9. Точка пересечения медиан треугольника. 10. Точка пересече-
ния прямых, соединяющих середины противоположных сторон четы-
рехугольника. 13. М — точка, в которой пересекаются семь прямых:
три прямые, проходящие через середины противоположных ребер
тетраэдра; и четыре прямые, проходящие через вершины тетраэдра
и точки пересечения медиан противоположных граней. 14. |х| :| j|: \z\ =
= sin а : sin [3 : sin у.
15. 1) I x I : | у j : I z | — sin 2A : sin 2B : sin 2C;
/ В C
2) ; x |: I у | : | z | = cos -g-: cos — : cos -g-;
3) | x I : у I : I z | = sin A : sin В : sin C.
2jt
16. Если все углы треугольника меньше t то точка М
О
2л
существует и /. ВМС-- L СМ А = L АМВ--~-. Если один из уг-
О
2л
лов треугольника АВС больше -у, то такой точки нет. 17. Указа-
ние. Повернуть плоскость многоугольника вокруг ' его центра на
центральный угол многоугольника. 18. Указан и и. См. предыду-
дурачу. W 20B+WC-0A^
21. . 22. б’М = г^ + 7Аг.23.ЛЙ = {1) 0},
ВС={-1, 1}, CD={—2, 1}, £>£ = {—1. 0}, £F={1, —1}, FA =
= {2, —1}. 24. ЛВ = {0, 1}, ВС = {Х, 0}, СО={1-Х, — 1}, DA =
= {_], 0}, ЛС=={Х, 1}, — 1}. 25. A'B;=_{1JO, 0}, /'£>'* =
= {0, 1, 0}, А'А = {0, о, —1}, Я'С = {1, 1, —1}, А'В={1, о, —1},
Л'О = {0, 1, —1), Л'С'-{1, 1, 0}. 26. 1) ЛВ = {—1, 1, 0}, ВС =
58 J
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
287
= {0, -1, 1}, СЛ = {1, 0, -1}; 2) »£ = {- 4 . 2 - г}: 3) D7? =
= {—у, g , -j|,27. а = 2, Р = 3, у = 5. 28. 1) Векторы а, Ь, с
линейно независимы; 2) векторы а, Ь. с линейно зависимы и с ~
1 2
= Q q векторы а, Ь, с линейно зависимы, но вектор с не
Л о
может быть представлен как линейная комбинация векторов а и Ь,
так как векторы а и b коллинеарны между собой, а вектор с им не
коллинеарен. 30. {—96, —30, 0}. 31. {—4, 10, 3}. 32. = — г2 + г3.
33. г4 = гг— г2 + г3, r' = rj — гг + г2, Гз = г;-Г1 + г3, rj = r;— r2+r3.
34. Г = Ц±^, г=£1+г?. 35. г = Ц±^±£з. 36. Указание.
1 -f- Л 2 о
Вектор ОМ коллинеарен вектору OD, а вектор AM компланарен век-
торам АВ и АС-
37. Ж- П^С| + Ж|ЛД| а^СЛ+КВ
|ЛВ|+|ЛС| а2 + 62
39. г = " • Указание. Применить теорему о бис-
сектрисе внутреннего угла треугольника.
40 г rsCtg B + r2ctg С .
40- ' ctgB + ctgC 4L r4-n + A(r3-r2),
_n+v3 V2
- 1+X ’ 1-X
42. У к а з а н и e. Ввести радиусы-векторы вершин тетраэдра.
+^r2 + ...-4-/nnrn ля ,z n
43. г — —44. Указание. Ввести
mi + nh + • • • + тп
радиусы-векторы точек Alf А2, , Ап и найти радиус-вектор точки М.
45. Л =(0, 0), В = (1, 0), С =
(L¥)’D=(1, £=(0,
. 46. л =(—4, 0), £> = (4, 0), с=(1, 3), B = (—1, 3),
, S = (0, 4); 47. 1) (-x, - j/); 2) (x, - y); 3) (- x, y);
4) (y,' x); 5) (—y, —x). 48. Л=(0, 0), B = (l, 0), C = (0, 1), D =
= (—2, 2), £ = (—3, 2), Г = (—2, 1)д 49. Л=(0,^0), B = (0, 1), C =
= f-L 1\ D = (l, 0), M
M =
= (у, 1), D = (l, 0), Л1 = (1, A), s = (o, Aj. 50. С = (5, 3),
£> = (2, 5). 51. £> = (1, —2). 52. Л4 = (12, —11). 53. 1) (—х, —у, — г);
2) (х, у, —г); 3) (—х, —у, г). 54. 1) (х, 0, 0); 2) (0, у, z). 55. dv =
= V{/2+г2, dy = T z2+x2, 56. (—6, —4, 3). 57. A =
= (0, 0, 0), B = (l, 0, 0), C = (l, 1, 0), D = (0, 1, 0), Л' = (0, 0, 1),
’ 3
для грани СОА;
В' = (1, 0, 1), С' = (1, 1, 1), D'
АОВ-, (О, 1
для грани
для грани ВОС;
288
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
| 59
\ 3 ’ У» У/ для грани 59- М = (—11, 2, —1). 60. 5. 61. (2, 2),
(—12, —12), (6, —6), (—4, 4). 62. М = (2, 1), г = 5. 63. В = (2, 5),
D = (16, 3). 64. Д4 = (2, 10). 65. А4Х = (1, —1), rx= 1; Л42 = (5, —5).
г2 = 5. 66. (15, ±12), г=15. 67. Мх = 1—6, гх = ~; =
= (-|, ^=4-. 68. (3. 3, 1), Я = 3. 69. (^=, (4=,
\2 ’ 8/ 8 ±2 /2 ) \lz 2
°. 4А (°> -4, 4=Y 70. 7И = (4, —4, 2). 71.--------Y 0, -L.
V2] \ /2 |<2/ /5’ V 5
72. 73. {4 П2, 4, 4}. 74. Четыре вектора {±4, ±3, 0}.
__ . 6 .2 -9 cos а
75. фх = arcsin ту, ф2 = arcsin , Фз = arcsin тт. 76. cos а,——-,
11’ 11’ т 11 sm у ’
cos рх = -?--- , cosyx = 0. 77. Указание. Если А, В, С —точки
r sin у
пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Oz, а Р — основание перпен-
дикуляра, опущенного из точки' О на плоскость А ВС, то направляю-
щие косинусы луча ОР суть cosa = -^-, cosp=-y, cosy =
_ f 2 1 1 )
I /6’ /6’ /б/
cos ax + cos a2
79. cos a—________________________________________________________- f
У 2 (1 + cos ax cos cz2 + cos px cos 02 -f- cos yx cos y2)
_ cos px + cos p2
cos p = - ----------------------- ,
У 2 (1 + cos ax cos cz2 + cos px cos p2 + cos yx cos y2)
cos yx + cos y2
cos у = ----------- —z------------------ —..... ——.
У 2 (1 + cos ax cos a2 + cos px cos p2 + cos yx cos y2)
2 4 1
80. 1) -T; 2) (—8); 3) (-2); 4) 81. 82. -7Л Ука-
u У .A
з а н и e. Ввести на прямой А В систему координат и обозначить
координаты точек А и В соответственно через хх и х2. 83. — х.
О'АВ . , ВС 1 ВА 1+1 СВ 1
84. —= —1—А, -=г = — ---!—, -т=т- ------
ВС СА X AC X ВА 1 + Л
СА X о
~ — 1—х”* казаки е. Выбрать систему координат 'так,
/г л /пх п /lx or PR (1+М)(У —
чтобы А = (0), В = (1). 85. =--------— Указание.
Р& (1 + Х) (И —v) *
Принять точку А за начало координат, а точку В за единичную
точку. 86. Х + fyw 87< d = / 8 \ g0 в = (0 _7)
RB 1+p + v + Xv \Z)
91. (~3, 3), (7, 5), (—3, —3). 92. С=(Ю, 9), £> = (4, —4). 93. 4-
128 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
289
94. Xo=fr+*.+*s. ,у0=Л95. D = (8, —18), Л4 =
о о \ о о у
S=(t’T^96- В = (~3’ у)- 97. %=—2. 98. Л = (160,—131), В =
= (—225, 184). 99. 100. — 101. М=(0,5), г=3/ 5. 102. Л1=
л, О
= (—2, 1). 103. £> = (11, 7), Л4 = ^5, 5 = (5, 13). 104.
( 2 25\ ( 3 \
“7 > Тл ) • 106в (*> ~о ) * Указание. Проверить, что точка
/ 14 у \ Z у »
пересечения диагоналей АС и BD является внутренней точкой для
каждого из этих отрезков. 108. 0г-, j.Указание. Центр тяже-
сти однородной четырехугольной пластинки лежит на прямой, про-
ходящей через точки пересечения медиан треугольника, на которые
четырехугольник разбивается его диагональю. 109. С = (4, —35, —2).
НО, —-1_, 111, Пересекает ось Ог и не пересекает осей Ох и Оу,
„ / 3 5 ,,\ /31 14 2 \
112. Пересекаются в точке ( —тр -g-» )’ \3’ "3 » Ту’
M==(4’ з,т)’s=(7,8> 9)- ,,4< в=(1’°)’ с=(^3. £,=
= ^2, £ = (/3, у), F=(l, Н5. I) |ЛВ| = /3;
2) |С£| = Ю; 3) |£?|=5. 116. (1, -•у). П7. 1) В = ^5, ;
2) С=(б, 118. А = [2, В = (з, g), С=(1,
0 = ^5, £ = (б, 119. 5=1. 120. Л = (1, /3), £ = (-!, 1),
с=(0, 5), £>=(ЦД -А). 121. л=(/2, ^),в=(г, -5-),
С=(5, 0), £> = (10, —arccos (—-^j. 122. (2+5/3, 8). 123. Мг =
= (б]Л2,— ~1г\- 124. А : г = 9, ф = — arccos (-
\ 4у \ о У \/5у
1 Ззт / 1 \
6 — arcsin-g-; В: <р =---j-, 0 = arcsin(—g-j; С: г = 5, <р =
л 3 ~ г-= л / 1 \
==—х-, 6 = arcsin-^~; D: г = У 3, Ф = —6 = arcsin(—
О 4 \ |/ 3 у
Е: г=1, ф=-^, 6 = 0. 125. r = 2, ф = arccos 6 = —^-.
126. . 127. s = г arccos [cos (<р2 — Ф1) cos 6г cos 62 +
+ sin Ox sin 62]. 128. А: г=5, <р = —arccos-|-, z=5; В: г = ]/г2,
10 П. С. Моденов, А, С, Пархоменко
290
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 129
<р = —-j-, г =—1; С: г—6, <р = л, г=8. 129. =
г==_1£Д 130. cosa = -^S^-. 131. — —. 132. —19. 133. 0.
2 ]/г*+г2 2
__ XIX 3
135-lCDl2=i+x a2+r+xfc2-(iWc2- 136- ^а- Указа‘
н и е. Ввести прямоугольную систему координат, приняв за начало
координат вершину А треугольника и за базисный вектор оси абсцисс
вектор~ДВ. 137. 1) 2пг2; 2) п2г2. Указание. См. задачу 17.
139. Указание. См. задачу 138. 140. Указание. Ввести радиусы-
векторы точек Я, В, С, D. 141. х = а, у~Ь—
г (а, а) (а, а)
142 г Ъ)а-(а, Ъ)Ь
' (a. a)(b, b)-(a, Ь)2 '
143.
144.
(а, Ь)
1(а, а)
а (а, Ь) (а, с)
b (b, b) (Ь, с)
с (с, Ь) (с, с)
(а, а) (а, Ь) (а, с)
(Ь, а) (Ъ, Ъ) (Ъ, с)
(с, а) (с, Ь) (г, с)
а.
.ле (а, п)
145. & = а—т---------!-п.
(п, п)
146. d = У а2 + Ь2 + с2 + 2bc cos а + 2са cos р + 2ab cos у,
cosZgQX = a+feCO3J+CC°-P, cosZPOB-°COSY+b,+cCOSa
а ’ а ’
„„о , nnr a cos р+6 cos а+с
cos Z, DOC -----------g-------*.
7 8 9
147. 5; arccosjQ, arccosjg, arccosj^. 148. {—6, 6, —3}.
{5 11 4 1
,---—1. 152. А =
у 2 У 2 У 2J
21Л 2 —* 5 / 2 \
= arccos—-—. B = arccos—С— arccost----------7=]. 153. d— 15,
з 3/3 \ гМ
25 зт
Z ВДС' = arccosgy. 154. (pi = ф2 = <р3 == • 155. af^{—y, х}.
156. &2={—2, —4}. 157. &' = {4, —1}. 158. Пары (а, Ь) и (а, Ь')
имеют противоположную ориентацию. 159. Пары лучей одинаково
ориентированы.
160. х' = х cos2 ф + у sin ф cos ф, •
у' — х cos ф sin ф4- у sin2 ф.
161. х=dt cos ф1 + d2 cos ф2, у — dv sin фх + d2 sin ф2.
162. x=dr созф1 + ^2 cos (ф1 + ф2),|
У == dj_ sin фх + d2 sin (фх + ф2).
163. x'— л cos ф—у sin ф, t/' = * sin ф+#созф.
186 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
291
165. Di = (-5, 7), С! = (0, 9)
или О2 = (—1, —3), С2 = (4, — 1).' 166. <7=(4, 3), D = (—2, 5). Ука-
зание. Если М — середина диагонали АВ, то вершины С и D мы
получим, повернув вектор МВ один раз на угол + л/2, другой раз
на угол —167. С=(9, 2). 168. С —
/ , , . 2л (ft— 1) . . . 2л (ft— 1)
= (х0 + (Xi — х0) cos —~~------(й. — t/о) sin-------, уо + (Xi — х0) X
\ 2n(ft —1) , , . 2n(ft-l)
X sin —+ (й - у о) cos --------------
= (_5, 0). 171. -------X|XV+1
169. Ak~
п
= 2, 3,
п. 170. С =
п
(l + X)(l + H)(l+v)- точку А
за начало координат, а пару векторов АВ, АС за базис. 172.
—————- (см. предыдущую задачу). 173. 2 cos Л cos В cos С.
(ЬА-с)(с + а)(а + о)
Треугольники PQR и АВС имеют одинаковую ориентацию, если тре-
угольник АВС остроугольный, и противоположную, если этот тре-
угольник тупоугольный. J74. г/2/?, где г и R— соответственно ра-
диусы вписанной и описанной окружностей. Указание. | AR | =
= | AQ | = р — а, | BR | = | ВР |==р—6, | CQ | = | СР \=р—с, где р —
полупериметр треугольника АВС. Отсюда находим отношения, в ко-
торых точки Р, Q, R делят стороны треугольника АВС. Далее вос-
i-7i ж е abc
пользоваться результатом задачи 171 и применить формулы 5=-^-,
„ ..... (12 2i „ fl —I-}-]/ 5*—1—/ 51
S — pr. 175. c —{3 , 3 , gj• 176- c —12 , 4’4/
177. d = /o,---L, -LV 178. d=J--L-, JL, --^Ц.
1 V 2 / 2j I /38 /38’ /38)
. «ГТ «ГТ . ( 5 1
179. —. —. —. 180. ,----—. 0>- луч проходит вне трех-
2 4 4 1/26 /26^__J __ _ ~
гранного угла. 181. Тройки лучей О А, ОВ, ОС и OD, ОЕ, OF
имеют одинаковую ориентацию. 182. Тройки лучей одинаково ориен-
{6 1 8 fl
—----------=,-----т=>. 184. d = J----—,
5/5 /5 5/5J I 3/2’
1 4 ) (о_ 2 о 1+/2
—— ,——у. 185. cosa =-------7=,cosB = — - cos у —
3/2 3/2J /10’ /10 ’
I COS pf COS I COS Yi cos al I
COS 62 cos v2 o cos у2 cos a2
186. cos a =1---. cos В =---------------,
sin ф ’ sin (p ’
I COS COS px I
cos a2 cos p2
= -----, где ф—-угол между данными лучами,
1—/2
/Тб
cosy =
sin ф =
I cos рх cos ух I COS р2 COS уа I и I COS Ух COS ОСх I I cos у3 cos a2 I rl I COS «X COS px |2 I cos a2 cos p2 j
10*
292
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 187
187. (p = arcsin—. 188. —gy. Указание. Принять за
начало координат вершину D, а за базис упорядоченную тройку век-
торов DA, DB, DC. 189. 9. 190. 48.
191. а&с + 2 cos a cos р cos у —cos2 a — cos2 р — cos2 у. 192. Два
решения: 1) а = & = г = 0; 2) | а | = | b | = | с |= 1, векторы а, Ь, с
попарно ортогональны. 197. d = | а | [#, с] + | b | [г, «] + | с | [a, &J,
если (а, Ь, с) > 0; d~ — | а | [#, с] — | Ъ | [с, а] — | с | [а, &], если
(а, Ь, с) < 0.
198. S
I (а, Ь, п) | ,
=1 — - = mod
I'M
xi yt zx
*2 У2 %2
АВС
V А*+В*+&'
r199. & = acos(p4-
4- [/г, а] sin (р. 203. Равенство имеет место тогда и только тогда,
когда выполнено по крайней мере одно из двух условий: 1) вектор Ъ
перпендикулярен к векторам а и г; 2) векторы а и с коллинеарны.
ПЛ4 а d+Pk» «]+?[«» Ь] п
204. х = —------- ' - -г—Ц——---—. Указание. Разложить век-
(а, о, с)
тор х по базису [&, г], [с, а], [а, Ь]. 205. 1) (а, &) = 0; 2) х =
=----+Хд, где X принимает все действительные значения.
2“- Д'-([». d+(i°’.«i+ig, w (|t-d+lG ’»
Указание. Ввести ортонормированный базис. 209. х —~-2^
210. Если (а19 b2) + (a2t #х)=Л0, то решений нет. Если же (ах, Ь2) +
+ (а2, &i) = 0, то X—211. Если а4 > 4 (62 + ра2), то задача
("1, о2)
имеет два решения: х=КаА- , ^ = (1 — 1) g—j , где Х =
ci2 ± Ка4—4 (&2 + ра2) .
-------------- ———Если а4 = 4 (&2+pg2), то одно решение:
а [а, Ь] г
~2 —* Если а то реше-
“ 2а2
а , [а, Ь]
у
ний нет.
212. 1) cos А
cos a —cos b cos с
sin b sin с
п cos b — cos a cos с
COS В =------:----7-------
sin a sin с
cos с—cos а cos &
COS С ------7----7--7----
sm a sm b
225 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
293
.Указание. .Если* elf е2, е3—единичные векторы лучей оЯ, ОВ,
ОС, то
д _ (tei, е1)(еъ e3)—(elt e3)(elt е2)
C0S I ten е2] 11 ten е3] | sin b sin с
cos а—cos b cos с ov cos А 4- cos Bcos С
=------ — ------• 2) cos а ==-----т—Б-т—~,
sin b sm с sin В sm С ’
cos В 4- cos С cos A cos С 4-cos A cos В
COS Ь ----- 77—: *---, COS С =----; 7—7 =----.
sm С sm Л * sm A sm В
Указание. Пользуясь формулами для cos Л, cos В, cos С, вычис-
лить cos А + cos В cos С и sin В sin С и поделить один результат на
другой. Иначе: рассмотреть трехгранный угол, ребра которого имеют
направления tei» ^1> 1#2> £3], tes, ^dl его плоские углы будут л —Л,
л—5, л —С. 213. |t?i|=Vgii. | е21 = Kgi. [cosш=g12//gng-22.
S = Fgllg22 —gl2~ 214- <fl’ fe)=gllXl^ + gl2 (x^ + x^+g^yi.
215. I a I = Кgux2 + Zgiixy+g^y2.
_ gllXlX2~^gl2 tel^2 + X2Л) +^22^15^2
216. COS CD = r ...... .. — _-y . ; ,
V gllxl + 2^12^1^1 + g22yf V gnxl + 2g12x2у2 + g22yl
gll^ + feV
217. cos a = y——г ' ----- ,
V gii r gn*2 2g’12xj’ ^g22y2
cos ft __________#21* +g22.y___________
/g22 KgllX2 -H 2gl2*g + g22J'2'
218 cos gtlylX2 4~gl2 (rlJl2~l~-y2j,l)~Hg22j,l jV2
Vgllxi + ^ё12х1У1 + 822Уi l^giix2 + 2gi2X2y2 -ЬёягУг
sin (^15'2- ^25’1) I' g
VS11X1 + 2gl2x15,l +g225'l Vgux2 + 2gl2X2y2-j-g22yl
____________(X1J>2 —^2,У1) Kg__________
guxA + gl2 (Х1У2~1~ Х2У1) -rg225'15,2 ’
где g=|^U 8„12 Inglis™-Sit-
I S21 8221
oln „___________8пХ±812У_______
C0 Ф VghVgi^+^g^y+g^y2’
Vgu VguX2 + 2g12*5’ +g225'2
гдс ^"-““-«5-
220. |a| = 30. 221. & = — 4}' 222, 2 ^- 2231 1^1=6,
I AC [ = 4, Д=4. 224. а = ^+2/ел. 225.1^1=2, R2| = h ^2 =
О О
294
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 226
2л , 1/10 . . 3/2 /2'
= -у. 226. 1^1 = —^—, |е2| =—-—f co = arccos/- —
227. | А'В' |=1, | ~A7Cf |=5, cosA' = y.
228. 1) | a | = /x2 + 2xy cos co +y2\
2) cosa =_______*1*2 + (*1^2 + *2.У1) COS CO +by2___f
Z*f + 2x1y1 cos co +y2 /x2 + 2x2y2 COS co +y2
3) S = (У1У2 — x^i) sin co;
4) cosa* =________*i*2 + (*^2 + *2-У1>cos ш +^2_______
Vx2 + 2x^1 cos co +y2 /x2 + 2x2y2 cos co +y2
sin a* ==_____________(х^г —x2^) sin co____________
/x2 + 2xjуг cos co + yf /x2 + 2x2y2 cos co + yl
x+y COS co_____
/x2 + 2xy cos co +y2 ’
______X COS CO + ___
/x2 + 2xy cos co+y2
x+jv cos co
/x2+2xy cos co +y2 9
у sin co , у sin co
smqp = — tgcp =---------.
у X2 + 2xy COS CO +y2 X +y cos co
229.
230.
cos a
cos P
COS ф
231. 1) g11 = y, g12 =— g22 = ^, гДе
8„12\=811822-eh;
I §21 §22 I
2) ei={8^ 3) =
le2|=/y:
4) cos6 =--Д==. 232. x’yi + x2^.
V §11§22
14 . ( 1 COSCO) 9 f COSCO I )
233. 1) e1 = <-: 9 ,--r-^— >, e2 = <-r-7—, 9 >;
(sin2co’ sin2coj’ ( sin2co’ sin2cop
2) Ie11 = Ie2|=-Д-; 3) w' = n-w.
/ I III sm2(o»
, f £12 sin Ф sin Cpl
234. 1) ^^Jcoscp —ё12 — ^, TI,
I V§ y§ )
r_\ g22sinq> , g!2 sin Ф) 2 [ gia gin
Vs ,со8ф+ Vs
>z __ (_ §22 §12 1
2 I I'g’ГеГ
242 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
295
, , . , ( £12 sin ср gvi sin epi ,
235. a'=xe[-[-ye2, где — 1 cos ср — , 61 =
I Vg Vg )
= /— ^22 S*n V cos cp -f- ff12-?irc . Указание. См. задачу 234.
I Ki Kg /
oQfi n o’ . fsin(<a-<p) sin <p) ( sin <p sin (<о + ф)|.
1 / sin co ’ sin co/ ’ 2 ( sin co * sin co / ’
2) = cosw, И. '• cosco}. 237.
□111 UJ bill UJ
|ег| = Кёй> I ^з I = Ki^> cos co12=-^==, cosoi23 = -7^=> cos<o31 =
V £11£22 V g22g33
gsi
V gisgxi
V = Kg> где g=
£u £12 £13
£21 £22 £23
£31 £32 £33
238. (a, b)=g1Ax1y1 +
+ £22^2 + £зз^3 + £12 (*Ь>2 + ^У1) + £23 W + x3y*) +g3X (x3y' +
x'y^—gafixayfi (по а и p производится суммирование от 1 до 3).
239. | а | =
= К£п (^F+gsa W+g33 (х8)2+2§12х1х24- 2&23хЗД+2^х1.
240. cos<p=|^’ где (a, b) =gapx<3>₽=g11x1>>1+g-S!2xy +
+ ёззх3уя+£12 (Ку 2+яЬ11)+gss (*2у?+Ку2) + gsi (Ку1+^у3).
|a l=Kga₽x“x₽ =
=Vgu (Ю2+£22 W+gss (x8)8 + 2^12xiK + 2g23x2x8+2g31x8x*,
l«’l = l/ga₽yay₽ =
= Vgu (y1)2+g22 (У2)2+£зз(У3)2 + 2£12У1У2+2^23у2у?+2й15'У.
ОЛ 1 „О n g11*1 + £12%2 + £13x3
241. cosa!=------;7—;----------
V £111 a I
г. &1*1 + £22*2 + g23^3
COS CXj —
/g22|«l
£ 31*1 + £з2*2 + £зз*3
COS CZ3 —
КЯзз । a ।
где | a I = Vgu (xi)8+g22 (K)8+g33 (x8)8 + 2g12xix8+2йзхМ+2£31х8х».
242.
v=Kg
X1 X2 X3
У1 У2 У3
Z1 22 Z3
где g =
£11 £12 £13
£21 £22 £23 *
£31 £32 £зз
296
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 243
243. COS<P1=X1+X2COS^+X8COS(013>
I # I
X1 COS С021 + X2 + Z3 COS G>23
cos <р2 - ——j|^| -.
X1 COS (031 + X2 COS С032 + X3
cos<ps— |в|
где | а | = ________________________________________
= К (я1)2 + (*2)2 + (*3)2 + 2*1*2 C0S W12 + 2*2*3 cos W23 + 2*3*1 COS C031.
244. x1
V = у*
z1
X2 X3
y* y%
z2 z3
Kg> где g =
1 COS C012
COS C02i 1
COS CO3i cos (032
COS C013
cos co23
1
= 1 + 2 COS (012 COS (023 COS (031 — cos2 (012 — COS2 Ct)23 — cos2 C031.
245. j Ьь1 x=diT , У — d ^2 Q ’ J Ьй3 -dTi’ где
1 cos co12 COS C013 cos фх cos co12 cos co13
Q = COS (O21 1 cos C023 , Qx — cos <p2 1 cos co23
COS CD31 COS (0д2 1 COS ф3 cos C032 1
1 COS qpi COS C013 1 COS (012 COS ф!
fig = COS C02l COS ф2 COS (023 , Q3 = COS C02i 1 COS ф2
COS C031 COS <p3 1 COS C031 COS (032 COS ф3
246. ( , [g2. g3] c2_- fo. gt] e3^ (^1, e2]
(^1, ^2» *з) 1 (el> ^2, ^з) ’ (еЪ ез)
247. хЬ,1 + *2_У2 + *3Уз-
248. /g11 g12 g13\ f£n £12 £i3v
(£21 £22 £23 1 — 1 £21 £22 £23 j
'£3^ £32 £33^ ^£31 £32 £33/
249. Xr^gnxi + gv^ + guX3, x2 = g21xl + g22x2+g23x3, x3 = g31xl +
+ £з2*2+£зз*3 (Короче: Xi^giaxa, где x/ = (x, £?/)). 250.
-=1^31 = 1^^ e^e2=e2^e3 = e3f e^arccos 251. ^1 = {g11,
£12» £is}» C2={g2b £22, £гз}, £з={£з1, £32, £зз}-
1/g л 1/Л£
252. cos бх -=-------........-- , cos 02 ==---—=====,
g23| Яп Н
V |§32 £зз I Г |£31 £зз|
ГЪзТФ11 f12l’
F I £21 £22 I
271 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
297
253. cos 0!
= _Кй_
sin со23 ’
cos 02
sin со31
cos 03
---------, где
sin (01а ’
1 COS 0)12 COS (013
Q —
COS (021
COS 0)31
1
COS 032
cos C023
1
255. ?1 =
X2 X3
У2 У3
Kg,
Z2 =
g=
§11
§21
§31
§12
§22
§32
X»
У3
§13
§23
§33
X1
У1
Kg, *3 =
x \Г
, , V 8’ где
у1 УЧ
, gi/=te, e/)
259. Д^-=Л. 261. Хо+.%. 268. К 269. Ко =
MAt Хо 1+* >+*
= 1 , Xi = . / , , Ха — < . 3 |_ч—. 270. х=Хохо+Х1х1 4-
1 -j- Л -|~ Л|1 1-|“ Л-j-Лр,
+ ^2Х2, У — ^оУо + ^1^1 + ^ъУр
а х у 1 Х1 У1 1 Ч Уч 1 — - ХО Уо 1 X у 1 Х2 Уч 1 Хп —- Хо Уо 1 Х1 У1 1 х у 1
Ао — “ *о Уо 1 Xi У1 1 *2 УЧ 1 , Л1 ХО Уо 1 X,. Л 1 Х2 Уч 1 J /v2 Хо Уо 1 Х1 я 1 Хч Уч 1
271. Х0=^(Л0х+В0> + С0), Х1 = -^(Л1х+В1> + С1),
Х2 = (Агх+В2у + Са),
Ао
В О С0
Вх С.
где А = At
а с0, clt с2— соответственно алгебраические
А 2 В2 С2
дополнения элементов Со, Clf С2 в определителе А. Указание.
На основании предыдущей задачи Х0==С (40х + В0.у+ С0). Константа
С определяется из следующего условия: для вершины Ло будет
л ^0 ^0
Хо=1; аффинные координаты вершины Ао будут х0 = —-t у0 = ~~1
Со Со
где а0, 60, с0 —алгебраические дополнения элементов Ло, Q в опре-
делителе А. Значит,
1=с(л0^ + вЛ + фс|.
\ с0 с0 / с0
298
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 272
Отсюда С = ~ и, значит,
Хо = (Лох + Воу + Со).
Аналогично выводятся две другие формулы.
1
1
1
272.
х0 Уо
*1 .У1
х2 У%
1 Хз Уз
1 X! У!
1 х2 у2
1 Хо Уо
1 Хз Уз
1 х2 у2
Хо Уо
Х1 У1
Хз Уз
<0.
1
1
1
274. 44^.
276- Хо=-^
Указание. Ввести барицентрическую
нимая треугольник А0А1А2 за
1+/г ’
— , ^1 ="
-с ’ с
sin 2Л
систему координат, при-
базисный.
275. Х0 = Х1 = Л2=1.
1 —г* к о
6 . с
X A L г » п I А
277' sin 2Л + sin 2В + sin 2С ’
._______________sin 2В___________
1 — sin 2Л + sin 2 В + sin 2С ’
. ______________sin 2С___________
2~ sin 2Л + sin 2В + sin 2С
^=X(l-ctgBctgC), li = -l(l-ctgCctg4),
X, = X (1 - ctg A ctg В). 278. Io = ctg В ctg С,
X1==ctg С ctg Л, X2 = ctg Л ctgB.
Указание. Если |ы0, р*, р2 —барицентрические координаты
центра О окружности, описанной около треугольника ЛВС, a G —
точка пересечения его медиан, то OG : GH= 1; 2 (теорема Эйлера),
откуда Хо = 1 — 2ц0» Хг = 1 — 2цъ Х2 = 1 — 2|i2.
284. - 1) Х0>0, Хг>0, Х2>0, Х3>0; 2) Хо < 0; 3) Хо = О;
4) Хо=О, %!=(); 5) Хо= 1, 11 = 12=Х3 = 0. 285. 1.
Х2 4~ ^3 +
1 -j- k 1 1 -j- k
288. Xo = -^' (Лох-[-B(hy-p Coz + £\)),
Xi = -~ (Лхх+Вх^ + CiZ + Dj),
^2 — (Л 2x + B2y + C2z + D2),
X3 = (A3x4- B3y + C3z + D3),
300 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
299
где
Aq Bq Cq Dq
Л1 Br CY Di
Л2 B2 C2 D2
-^3 C3 D3
a d0, dlf d2, d3— алгебраические дополнения элементов Do, Dlt D2,
D3 в определителе A.
289. 40
— Ai
A3
Do
Bl
83
Do
Di
D3
(Л 2x + B2y + С2г + D.2) =
4o
A
л2
Bq Cq
Bl C±
B2 C2
(A 3x+B3y + C3z+D3).
Указание. Если принять тетраэдр А0А1А2А3 за базисный тетраэдр
барицентрической системы координат в пространстве, то уравнение
искомой плоскости в барицентрических координатах будет иметь вид
Х2 = Х3. 290. Указание. Принять тетраэдр Ло^Иг^з за базисный.
Пусть р—- радиус вписанной сферы, а И —объем тетраэдра А0А1А2А3-
Тогда барицентрические координаты центра О сферы будут:
3 pS*__________________3 pSf_____________ Si
V 1 , . . . ч so “Ь si “F s2 4" 5з 9
у (pso + PS1 + PS2 + Р5з)
1 = 0, 1, 2, 3.
291. Окружность с центром в середине отрезка АВ и радиусом, рав-
ным У а2—с2- 292. Две прямые, перпендикулярные к прямой АВ и
а2 ___
находящиеся на расстоянии — от середины отрезка АВ. 293. Прямая,
на которой лежит гипотенуза треугольника. 294. Окружность, впи-
санная в треугольник. 295. Окружность с центром в вершине парал-
лелограмма A BCD и радиусом, равным У\ AC |2 + j ВС |2 — | АВ |2,
действительная, когда угол при вершине С острый, нулевая, когда
угол С прямой, и мнимая, когда этот угол тупой. 296. Окружность
с центром в точке пересечения медиан треугольника АВС и радиусом,
равным 4-]/за2 —(| ДВ|2 + |ВС|2 + |СД |2). 297. Две прямые, соеди-
о
няющие середины противоположных сторон-прямоугольника. Указа-
ние. Принять за оси координат средние линии прямоугольника.
298. Окружность с центром в точке, лежащей на прямой АВ и деля-
щей направленный отрезок АВ в отношении—-/?2; радиус окружности
.______
г = - I АВ |. 299. Окружность, проходящая через* точку О
I 1 ~~к I ,
с центром на луче ОВ и радиусом, равным ——300. Прямая,
перпендикулярная к линии центров данных окружностей. Если окруж-
300
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 301
ности пересекаются — прямая, проходящая через точки пересечения
данных окружностей, за исключением точек этой прямой, лежащих
внутри окружностей. Если окружности касаются — касательная в их
общей точке. Во всех трех случаях прямая называется радикальной
осью двух окружностей. 301. Прямая, перпендикулярная к прямой ОА
----------------------^-2
и пересекающая луч О А в точке, находящейся на расстоянии —
от точки О. 302. Два луча прямой х = — 1, у 3 и х=— 1, у — 3.
303. Дуга окружности
.1
Прлшшс. у -— » У -— —2
19
-g-. 304. Четыре
(IV
\з)
прямые: у = ± 2х, у= ± х в системе координат, осями которой
служат данные прямые. 305. Контур квадрата, образованного пря-
мыми х-\-у ±3 = 0, х—у ±3 = 0. 306. Диагонали квадрата и опи-
санная около него окружность. 307. Две стороны квадрата, средней
линией которого служит отрезок перпендикулярной прямой, парал-
лельные этой средней линии, и продолжения диагоналей этого квад-
рата. 308. Если принять средние линии прямоугольника за оси коор-
динат, причем большую из них за ось абсцисс, то искомое геометри-
ческое место будет состоять из двух отрезков — а^х^а, у = ± а
„ . о.п а
и четырех лучей х^а, ..........
Л
"2
2
л
т-
л
cos ф *
310. г = 2а cos ф,
311. Две равные
а
окружности радиусов касающиеся
ВС в точке О. 312. Окружность, про-
ходящая через точку О, центр кото-
рой лежит на луче О А и радиус ра-
вен . Указание. Применить
полярные координаты. 313. Две полу-
окружности радиуса а ]/¥ , центры
Q и С2 которых являются концами
диаметра, перпендикулярного к ОА.
Эти полуокружности расположены в
полуплоскостях, определяемых пря-
мыми АСг и ДС2, не содержащих точ-
ку О (рис. 1). Указание. Приме-
нить полярные координаты. 314.Окруж-
ность, проходящая через точку Л,
центр которой находится на луче
ABt а радиус равен . Указа-
ние. Применить полярные координаты. 315. Эллипс. Указание.
Если принять за начало прямоугольной системы координат
середину отрезка а за ось абсцисс прямую ЛЛь то урав-
329 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
301
п2
некие эллипса будет иметь канонический вид —5- + ~-=1, где
а4 о*
у2 у2
Ь2 = а2—с2 (рис. 2). 316. Эллипс —- —То=Ь 317. Эллипс
vr а2 / 1 — л V
\нта)
31». Эллипс J+g-!. 3,9. В ллл.пс 1.
\t)
X2 V2
320. Эллипс Указание. Составить параметрические
уравнения линии, выбирая в качестве параметра угол, образуемый
лучом О А с осью Ох (рис. 3).
321. Гипербола. Указание.
Если принять за начало прямо-
угольной системы координат
Рис. 3.
Рис. 2.
середину отрезка а за ось абсцисс прямую F^, то уравнение гипер-
X2 V2
болы будет иметь канонический вид — — = 1, где Ь2 = с2 — а2 (рис. 4).
322. Эллипс, если е < 1; гипербола, если е > 1. Указание. Если
принять за начало прямоугольной системы координат точку О, деля-
щую в отношении — е2 отрезок FD перпендикуляра, опущенного из
точки F на прямую J, а за ось Ох этот перпендикуляр, то получим
канонические уравнения кривых. 323. Парабола. Указание. Если
принять за начало прямоугольной системы координат середину О
отрезка FD перпендикуляра, опущенного из точки F на прямую dt
а за положительное направление оси Ох —направление OF, то урав-
нение параболы будет иметь канонический вид у2 — 2рх (рис. 5).
324. Гипербола ~ — ^-=1. 325. Спираль Архимеда г==-~(р (рис. 6).
326. Лемниската Бернулли (х2 +у2)2 = 2с2 (х2 — у2), г=сУ 2 cos 2ф
(рис. 7). 327. Лемниската Бернулли (x2+.y2)2==2sxy, г —1/s sin 2ф
(рис. 8). Указание. См. предыдущую задачу. 328. Циссоида Дио-
2а sin2 ф л _ _ л 9 х3 , л QOQ
(рис. 9). 329. Кон-
302
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 329
Рис. 8.
334 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
303
хоида Никомеда г==—~— ±Ь или (х2+у2) (х—а)2 — 62х2 = 0(рис. 10).
COS ф
330. Улитка Паскаля г — a cos ф + Ь, (хв +з>2—ах)2 = Ь2 (х2У У2) (рис. 11).
331. Улитка Паскаля г = b + a cos ф, (х2+у>2 —ах)2==62 (х2+з>2). Ука-
зание. Принять за начало
координат данную неподвижную точку,
Рис. 11.
а за положительное направление оси направление луча, идущего из
данной точки в центр окружности. 332. Кардиоида (частный случай
улитки Паскаля) г == 4аcos2-—, (х2+^2 — 2ах)2 = 4а2(х2-\-у2) (рис. 12).
333. Строфоида г ==-^^-± a tg ф, (рис. 13). 334. г =
304
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 334
Рис. 14.
Рис. 15.
334 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
305
Рис. 17.
Рис. 18.
Рис. 19.
Рис. 20.
306
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 335
= a sin 2<р, (х2 +у2)3 — 4а2х2у2. 335. Астроида х •= a cos3 t, у = a sin3 /;
2 2 2
x3-j-_y3=fl3 (рис. 14). 336. Верзьера Марии Аньези x = acos2(p,
о3
y = atg(p; х =где а—длина диаметра окружности (рис. 15).
У -г
337. Циклоида х=а (t— sin /), у = а (1 -cos t) (рис. 16). Параметр/
принимает все действительные значения. 338. Эпициклоида х=(7? + НХ
Xcos t—г cos - /, у = (R + г) sin t — г sin -—- t (рис. 17). 339. Гипо-
f Д)__г г р___г
циклоида .х = (R — г) cos t+г cos —— t, у = (R — г) sin t—r sin -— t
(рис. 18). 341. Эвольвента окружности x—r (cos/^-/ sin t),y — r (sin t —
— /cos/) (рис. 19). 342. 1) x = 0, _y = 0,
z = 0; 2) x=a, y — b, z=c; 3) x±y — 0.
343. —xcosa+y cos p + zcosy—p = 0.
Указание. Выразить с помощью
скалярного произведения числовое зна-
чение проекции вектора ОМ на ось ОР,
где М — произвольная точка плоскости,
а Р — основание перпендикуляра, опущен-
ного на эту плоскость из начала коорди-
нат О. 344. 1) х2 +у2 + z2 = R2\ 2) (х - а)2 -|-
Рис. 22.
Рис. 21.
/ г \2
+ (y — b)2+(z—c)2=R2. 345. х2-\-у2=--г2. 346. х2+у2— (yl (z—Л)2=0.
347. х2+у2 — tg2<pz2 = 0. 348. у2 + z2 = (kx+b)2 (конус вращения, если
k Ф 0; круглый цилиндр, если ^ = 0, b ф 0). 349. z = a (x2-f-y2) (пара-
у2 _1_ 2*2
болоид вращения) (рис. 20). 350. 1) — -[- == 1 (вытянутый эллип-
х2 z2 у2 * о
соид вращения, рис. 21); 2) —-----(сжатый эллипсоид вра-
X2 у2 “I- z2
щения, рис. 22). 351. 1) —=1 (двуполостный гиперболоид
X2 -I- Z2 у2
вращения, рис. 23); 2) —-------(однополостный гиперболоид
вращения, рис. 24). 352. y2 + z2 = 2px (параболоид вращения).
Рис. 27. Рис. 28.
308
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 353
(рис. 29).
353. (х2+>2 + г«+а2—62)2 = 4а2(х2+д>2) (тор, рис. 25). 354./+г2=
=J/(x)]2. 355. f(x, ± /у2+г2)=.О. 356. Однополостный гиперболоид
вращения * = 1 (рис. 26). 357. x2+_y2=[f (г)]2 + [g (г)]2.
Л Л
358. x = r cos ucosv, у = r cos и sin vt z = r sin w, —
—n^vcn. 359. x=(a^b cos u) cos у, у = (a + bcosu) sin v, z = bsinu;
— л<н^л, —л<у^л. 360. x = (a+ucosp)cos2t>, y = (a-\-ucosv) X
X sin 2v, z = u sin v, 0^u^b<a,
0<у<2л (лист Мёбиуса, рис. 27).
361. х = г cos со/, у — г sin со/, г = &/,
— оо < / < + оо (винтовая линия,
рис.28). 362. х = г cos2 ф, у = г cos ф sin ф,
г = гяпф, 0^ф<2л (рис. 29).
363. 1)3х—>4-4 = 0; 2)5х4-> — 13 = 0;
3) х —3 = 0; “ ' ~ ‘ ~
5) Зх-2у = 0;
364. fe=-|;
365. х — 3 — 2/, у
— 5 = 0. 366
у —у]^ (1 — /) +y2t. 367.5х 4- 7> — 11 =0.
368. 7х+д>+18 = 0. 369. jf = O, =
= 2/3, 5> = /3x+5/3, у =
= _/Зх+5 /3 . 370. х-2у-4=0.
371.2x4-5^+ 10 = 0.372. Зх+Зу-6 =
= 0, 3r+8v+ 12 = 0. 373. ^4 3
МК
4) х+2у + 7 = 0;
6) 5х-3^-15 = 0.
о = —1,
= — 2+3/; Зж+2_у —
Х=Х! (1 —/) + х2/,
2 ’
ВМ 16 л, „
—- = —. Указание. Принять
ML 9
начало координат вершину А, а за
зис — векторы AD и ~АВ. 374. Прямая jf= —*4-----------%
375. Отрезок прямой, соединяющий середину основания и середину
высоты треугольника. Указание. Принять за оси координат осно-
вание и высоту треугольника. 376. Отрезок прямой, соединяющей се-
редины диагоналей. Указание. Принять за оси координат диагона-
ли четырехугольника. 377. х + у—12 = 0. Вершины (0,0), (4,8),
(2, 10). 378. 5х-Зу-1=0. 379. 16x4- 13у —68 = 0, 17x4-11^-106 = 0.
380. 1) ...... 9 ------j—— ; 2) 4". Указание.
(1 4-Х4-^н) (14-H4-Hv) 0 4_'V4~'VW
Ввести систему координат с началом координат в точке А и базис-
ными векторами ~АВ и ~АС. 381. 1) Да4-Вд=#0; 2) Да4-Вд = 0,
Дхо4-Вуо4-С=#О; 3) Да4-В£ = 0, Дх9 +ДУо4-С = О.
..................................|у=0;
Уг-Ух Ьх |
382. 1) | ах j
Ьг I
= 0,
за
ба-
^1+^2
= 0; 2) I **
I a-i b,
x2 — x, at
Уг-Ух bi
2 I
= 0.
I ^2
a\ ьг
#2 ^2
413 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
309
383. 1)— 3) Прямые параллельны. 384. х—Зу~ 7 = 0; 2x4-
4-5у —3 = 0. 385. 5х+3у— 1 = 0. 386. х— 2 = 0, х— 3y-f-13 = 0.
387. Зх-5у4-9 = 0, х-_у + 3 = 0, х—Зу4~11=0. 388. х4-у-'=0.
389. 5х—7у--3=0, х+^ + 3 = 0, 7х-5у-9 = 0. 391. х-у/-7 = 0,
х — 2у = 0. 392, AiX~$-J3iy — (2Д^Х0 4-2В1еУо4“^1)~^» А2х-\~В2у
— (2Л2хо4-2В2<Уо+С2) = 0. 393. х+2у —3 = 0, 2х—у —6 = 0, х +
А~2у—-23 = 0, 2х— у 4-14 = 0. Указание. Найти точки, симметрич-
ные точкам Р и Q относительно точки М. 394. 5х— 12у -|-36 = 0 (ВС),
9^4- 12у4-20=0 (CD). 395. 5х— 12у—6=0 (AD), 5х—12у4-36=0 (ВС),
9x-f-12у 4-20 = 0 (CD).
396. Четыре числа
в I’Ht в’РНл1 М’Д= S
I Д3 £?3 I I I I I ^Дд
должны быть отличны от нуля.
Al £1
397.
[ Д2 ^2 I
Мз В31
Д2 ^2 ^2 = 0
Аз ^з ^з
I А3 ^з I I А1
I Xi В} I ’ j А2
и хотя бы один из определителей
I
^2 |
отличен от нуля. 398. 1) Прямые
образуют треугольник; 2) прямые имеют одну общую точку; 3) пер-
вая и третья прямые параллельны, вторая их пересекает; 4) прямые
попарно параллельна. 400. 1) Zpv = 1, 1 4~ 0; 2) Xp/v=l,
]_|_%_|_Х^ = 0. Указание. Ввести систему координат, принимая
за начало координат точку А, а за базис векторы АВ, АС-
401. (А1Х + В1У + Сх) | £ | = (А2х + В2у + С2) | ^ |.
402. (Л1х4-В1у4~С1) (Д2Л3 + В%Вз) — (А2х 4* В2у 4~ С2) C4p434~BjB3).
Sgn I Аз В3 1 Ml Й1 1
^Al 4-В*
I А2 В2 I
403. Sgn | Лэ Bs |
V Al+ В1
(Агх 4- В}у 4- Cj) =
(Л2х-|-
4-B2y4-Q- 404. Q^LBMC, R^LCMD, S(=£DMA,
Т е L ВМС. 405. Точки Л, В и С лежат в полосе, точки D и F при-
надлежат одной внешней области, точка Е — другой_внешней области.
406. Прямая пересекает продолжение отрезка АВ за точку В.
407. Л = —А.*1 р^1 S. 408. Точка М принадлежит как отрезку
А х2 4~ ВУъ + С
АВ, так и отрезку CD. 409. Числа Лх04-Ву04-С и Дхо4-#Уо + £)
имеют противоположные знаки. 410. С <D <Е или С > D > Е.
411. Прямая пересекает стороны АВ и ВС и продолжение стороны
СА за точку А. 412. Точка М лежит на продолжении стороны ВС
за вершину В. Точка N лежит в области, ограниченной стороной
АВ и продолжениями сторон С А и СВ за точки А и В. Точка Р
лежит в области, ограниченной продолжениями сторон АВ И СВ
за вершину В. 413. Числа Лхх0 4" #i.Vo + Сь A2xQ 4- B2yQ 4- С2,
310
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 414
Л3х0 + B3yQ 4- Сз должны иметь соответственно или такие же знаки,
и I А2 В2 | с I А3 В3 I £ I Ах I
как числа 6,= | £ £ |, 62 = | £ £ 63 = | |, или
. противоположные знаки. 414. На первой прямой вектор { — Вх, Лх},
IA В
* р1 —одного знака, и {Вь
Я2 Ь2
— Ах}, если эти числа имеют противоположные знаки. На второй
I Л В I
прямой вектор {—В2, Л2}, если числа AxxQ + BxyQ + Сх и |^2 ^2 I
имеют одинаковые знаки, и вектор {В2, — Л2}, если знаки этих
чисел противоположны. 415. Прямая параллельна стороне ВС и пере-
секает продолжения сторон АВ и АС за точку А. 416. Зх — 4у + 12 =.
= 0. 417. С = (2, 4). 418. 39х —9у —4 = 0. 419. х — + 2 = 0.
420. С = (-^, 421. Л1 = (—у, у У 422. Зх-2у + 8 = 0,
2х + Зу — 56 = 0, Зх - 2у - 10 = 0. 423. (2, — 7). 424. М' = (2, 3).
425. Зх— 2у+11=0, 2х+у-9 = 0, х + 4у — 1 = 0. 426. 21х —
— 13у — 185 = 0, 23х — 9у - 185 = 0. 427. 4х — у — 5 = 0. 428. Осно-
вания: х + Чу — 8 = 0, х + Чу — 58 = 0; боковые стороны: Зх — 4у —
— 24 = 0, 4х + Зу+18 = 0. 429. х + Зу + 12 = 0, Зх — у — 4 = 0,
Зх — у + 16 = 0. 431. arctg -g~, arctg 3, arctg 7. 432. 5x — 12jy 4- 62 =
= 0, x — 2 = 0. 433. Основание 2x — 3y + 7 = 0; боковые стороны:
14x + 5y + 23 = 0, 10x4-11^ — 95 = 0. 434. 8x4-9y — 33 = 0.
435. x = 2. 436. x- 5y + 23 = 0. 437. C = ^6,-^-j. 438. 1) 7x-y +
+ 30 = 0; 2) x + ly — 10 = 0; 3) x—3y + 10 = 0. 439.3x +y + 16 = 0.
440. C = (—1, —4). 441. CAi. x + 3 = 0, CBi- 2x— lly + 28 = 0;
CA2: 3x—4y +17 = 0, CB2: 2x +y + .4 = 0. 442. (2, — 4). 443. x + 3y—
— 13 = 0. 444. Mi = (4, 0), M2 = (— 1, 5). 446. — 447. cos ф =
Л]Л2 + вхв2
= ± при этом берется знак плюс, если числа
уа^ + в? VAI + ВГ •
ЛтХо + BxyQ + Ci и Л2х0 + В2<у0 + С2 противоположных знаков,
и знак минус, если эти числа одного знака. 448. cos ф12 =
h Л1Л2-[- ВХВ2
-± VAf + В1 vai+вг
при этом
берется знак плюс, если числа
61 =
I ^2
I А3
В2
Вз
и 62 =
I Аз
I Ах
Вз I
Bi I
имеют противоположные знаки,
и знак минус, если эти числа одного знака.
449. (ЛхЛа + В1Д) И1 f1 I \A.2 f2 I <0. 450.5х + 12у + 64 = 0,
| Аз &з I I А3 п3 I
5х+12у —66 = 0. 451. 11. 452. х + Чу— 10 = 0, 7х — j> + 30 = 0.
453. 5х — 12у + 46 = 0, 5х — 12д» — 32 = 0. 454. у + 1 = 0, Зх + 4у —
— 17 = 0. 455. 4х + Зу 4- 3 = 0, у + 1 = 0. 456. Зх + 4у — 64 = 0,
Зх + 4у — 14 = 0, 4х—З.У — 2 = 0, 4х — 3j> 4-48 = 0. 457. Два реше-
ния: 2х— 11у — 23 = 0, 2х — llj — 73 = 0. 458. Зх— у—10 = 0.
483 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
311
459.
s£n И 1*0 + ^1^0 + £i)
V А*+:В1
(Лхх + У + Q) —
Sgn 02*0 + ^2^0 + ^2)
VAI + BI
(А2х + В2у + С2).
460. Зх+у — 14 = 0, х — Зу + 32 = 0, Зх+ у + 11 = 0, х —Зу—
^-18 = 0. 461. (3, 2). 462. (О, 1). 463. (—1, 4). 464. Сх = (—2, 4),
Г1 = /2 ; С2 = (-3, 1), г2 = 2 V2 . 465. С = г =
466. С = (—2, —6), г = 2-рг2‘. 467. х — у = О, 1х — 56^4-25 = 0,
77x4-21^ — 50 = 0. 468. 11x4-3^4-10 = 0. 469. 4х — 4у 4-5 = 0.
.—л AiX + BYy + А2х + В2у + С2 л
470. - 1 !_—1 = t . z . J . z<--1 причем берется знак
VAi + Bl VAl + Bj
плюс, если Л1Л2 + В1В2<0, и знак минус, если Л1Л2 + В1В2>0.
471. АВ: х + 2у — 3 = 0, CD: х + 2у — 23 = 0; BLCY: 2х —у — 6 = 0,
Л х7\: 2х — у 14 = 0; В2С2: 2х + У — 18 = 0, Л 2D2: 2х -J-у + 2 = 0.
472. Два решения: I. ЛХВХ: Зх + 5у — 57 = О, BYCY: 5х — Зу + 37 = О,
С^: Зх + 5у — 9 = 0; РХЛХ: 5х — Зу — 11 = 0; II. А2В2: 9х — у —•
— 27 = О, В2С2: х + 9у — 31 =0, C2D2: 9х — у -j- 21 =0, D2A2: х +
иду —79 = 0. 473. Два решения: I. ЛХВХ: 7х+у — 15 = 0, В^:
х_7у + 7 = 0, С^: 7х+у-26 = 0, DYAr: х- 1у — 4 = 0; II.
Л 2В2: х — Зу + 1=0, В2С2: Зх + у — 1=0, C2D2: х — Зу + 12 = 0,
D2A2: Зх + у + 10 = 0. 474. Окружность, построенная на заключенном
между данными прямыми отрезке прямой, перпендикулярной к ним,
как на диаметре, причем исключаются концы диаметра окружности.
475. Пусть Р, Q, Я — точки пересечения биссектрис внутренних углов
при вершинах Л, В и С со сторонами ВС, СЛ, АВ. Искомое геометри-
ческое место состоит из отрезка PQ и лучей прямых PR и QR с началь-
ными точками Р и Q, не содержащих точки R. Указание. Принять
за оси координат катеты треугольника. 476. х — 1у + 32 = 0, х —
—У + 2 = 0.
477. Лх Вх Сх
mod Л2 В 2 С2
.__________Аз В3 С3_________
mod I Аа\ Вв\ |КЛ|+ВГ
478. tg«= - гдея = + М 479. tg а = , jj1 Ю-.
g + lg21 fe|- 14-fecosto
gii + £12 (^i + ^2) + £22^1^2
481 t_______________(^2 — ^1) sin co
ё Ф 1 + (fel + k2) cos co + krk2 •
482. AiA2g22 — g\2 (Л1В2 + Л2Вх) + = 0.
483. 1 + (/гх + k2) cos co + kxk2 = 0,
312
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 484
484.
1) COS ф —
£ii £12 А
£21 £22 8t
А 2 В2 О
gii £12 Лх
£21 £22
Вг О
£11 £12 ^2
£21 £22 8 2
А2 В2 о
sin ср =
| Al 8t I-. Г £ц £12
I Л2 В2 I г £21 £22
£и £12 Лх
£21 £22 81
А± Bi О
£н £12 А2
£21 £22 82
А2 В2 О
U Ф
Mi ^11 л Г £п £12
I Л2 #2 I г £21 £22
£п £12 ^1
£21 £22 8^
А 2 В2 О
2) cos ср______М 2 — (^1^2 4~ A 28j) cos со 8±В2__
Ф”КЛ?-2Л1В1 cosco-f-Bf VА2-2А2В2 сжа + В2 9
. (Л^а —Л2ВХ) sin со___________
V АI — 2AtBj cos со + 81 V Л| — 2Л2В2 cos со + В|
, ________(ЛгВ2 —Л2В1) sin со____
А}А2 — (Л ХВ2 -}- Л2ВХ) cos ф -|- 8ГВ2
485. (Л cos со — В) (х—хп) + (Л — В cosco) (у—_уо) = 0. 486. 1) £цх+
+ £12^ + С = 0; 2) £21Х+£22:у + С = 0; 3) x+^cosco + C==0, xcosco +
—0, где С принимает все действительные значения.
487 d~ \ Ах^А-8у^-\~^\УS_ Мхо + ^о+^ I
KguB2-2^5 + ^2 ]^g^+2g^AB+g^ ’
Где £^—-метрические коэффициенты базиса е1, е2, взаимного с бази-
сом е19 е2.
ляя и- М*ь+ВУо + С| sin со
К Л 2 — 2Л В cos со + В2
489. d = 3. 490. 1) x\fg^ ± = 2) х ±у = 0. 491. 1) х=1;
_у = 2; г = 3; 2) у = 2, 2 = 3; 2 = 3, х = 4; х=1, ^ = 2; 3) Зу —2г = 0;
Зх-г = 0; 2х-а» = 0; 4) у = . 492. 1) х=1. ^ = 2; у = 2,
г = 3; г = 3, х=1; 2) Зу —2г = 0, х=1; Зх—г = 0, у = 2; 2х—у = 0,
г = 3; 3) х=1; у = 2\ г = 3. 493. {О, 0, 1}. 494. 1) Зх+2^ —6 = 0,
г = 0; 2) 3x4-2^ —6 = 0. 495. х=0, г = 3. 496. 1) х±у = 0; 2) х —
— V = 0, г=0. 497. Х~Х° = ^г-го^ 408_ х = 0.
а с ’ b с '
537 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
313
У—Уь 2~го. 0 X —Хо 2—£о. 2==0 X — XQ ^ y—yQ
b с ’ у 1 а с * ’а b '
499. (---Х1^. (А 500. x=l+4t,y = —2t, z=t. 501. 4х+
\ z2— ?i z2— ?i /
-f-3z —0, у + 2? + 9 = 0. 502. х = 2 — 5^ + 2у, jy = 3-|-6n — v, z —
~—54-4w; 4* + 8у — lz — 67 = 0. 503. х — 4у — ?+ 16 = 0. 504. 1) x~
1 9
= —13, у — 13, z — — 9; 2) u==—^-,y = -g-. 505. 1) x — —6, у —
— —4, z~— 3; 2) u-\-v —1=0, w = 0, y = 0; 3) 39zz + 9o—-1=0.
506. 1. 507. 14x—10y +33г —70 = 0. 508. x-\-y —2z+3 = 0. 509. ~ .
510. Два решения: Зх— г —0, x—z = 0. 511. Два решения: 27х +
+ 11у + г — 65=0, 29х—13у+11г —45 = 0. 512. Семь плоскостей:
х—г — 6 = 0, x-j-y— 10=0, х+2у—г —8=0, 2х-)-у — г— 14 = 0,
х—у— г — 2 = 0, 2х+у+г —16 = 0, 5х+у — 2г —28=0. 513? 18х—
—11у + 3г —47=0. 514. х —Зу —Зг+11=0. 515. 2у —г+2 = 0, )
х—7у+3г—17=0. /
516. 5х+у-8г+17 = 0, | 517. х=3+/, y = 2-t, z=l-t.
12х4-9у-16г+18=0. J
518. = 519. у —2г = 0. 520. у-2г + 4 = 0, )
1 □ —1 >
Зх+4з>—z—10=0.)
521. 4^+33/ —24 = 0. 522. Плоскость, параллельная данным пря-
мым, проходящая через точку, делящую в «данном отношении один
из указанных отрезков. 523. У Казани е. Принять за начало коор-
динат вершину D тетраэдра ABCD, а за базис —векторы DA, DB,
DC. 524. 1) Л=В = 0, С #= 0, D #= 0; 2) по крайней мере одно из
чисел А или В отлично от нуля; 3) A —B = D = 0, С#=0. 525. 1) С#=
#= 0; 2) С = 0, D #= 0; 3) С=П=0. 526. 1) с=#0; 2) с = 0, zo=^0;
3) с = 0, 2о = О. 527. 1) А1В2-~А2В1^=0; 2) AtB2~А2ВГ = ^ и по
крайней мере одно из чисел AaD2 — Л2Их или В^2~ B2D^ отлично от
нуля; 3) ЛХВ2—Л2Вх=0, ЛХО2—Л2Пх = 0, В^2 — B2D1 = 0. 528. 1) ау0—
— Ьхо=^=0; 2) ау0—6х0 = 0 и по крайней мере одно из чисел а или b
отлично от нуля; 3) а = Ь = 0, с #= 0 и по крайней мере одно из чи-
сел х0 или ;у0 отлично от нуля; 4) а = Ь = 0, с =А=0, хо=_уо = О.
529. 1) СХП2 —С2ПХ#= 0; 2) C1D2-~C2D1 = 0 и по крайней мере одно
из чисел В^Со—В2СГ или ЛХС2—Л2СХ отлично от нуля; 3) ВХС2 —
— В2Сх = 0, ЛхС2-Л2Сх = 0, CxD2-C2Dx#=0; 4) ВхС2-В2Сх = 0,
ЛХС2—Л2Сх = 0, СХП2 —С2Пх = 0. 530. 1) Пересекаются; 2) парал-
лельны; 3) совпадают. 531. 1) r~R — 2\ 2) r=l, R = 2; 3) г — /?=!.
532. 1) Пересекаются; 2) параллельны; 3) совпадают. 533. 1) г = 3;
2) г = 2, Л = 3; 3) r — R — 2. 534. 1) Прямая и плоскость пересе-
каются в точке (0, 0, —2); 2) прямая параллельна плоскости; 3) пря-
мая лежит в плоскости; 4) прямая и плоскость пересекаются в точке
(2, 3, 1). 535. 1) аА+ЬВ+сС=А0; 2) аА-\-ЬВ+сС=0, Ах0 + Ву0 +
-f-С?о-I-И #= 0; 3) uA -j- bВ -f-cC = 0, Axq By$ Cz$ -f- D = 0.
536. 1) r = 3; 2) r = 2, R — fy 3) r = R — 2. 537. 1) Прямая и пло-
скость пересекаются в точке (2, 4, 6); 2) прямая параллельна пло-
314
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 538
скости; 3) прямая лежит в плоскости. 538. 1) г = 3; 2) г = 2, /? = 3;
3) r = R — 2. 539. 1) Пересекаются в точке (—3, 5, —5) и лежат
в плоскости 9х+10у — 7z —58 = 0; 2) скрещиваются; 3) параллельны
и лежат в плоскости 5х — 22у-}~ 19z-j-9 = 0; 4) совпадают. 540. 1) А> =
= 3; 2) r = R = 2; 3) г = 1, /? = 2; 4) г = 7?=1. 541. 1) Совпадают;
2) параллельны и лежат в плоскости 12х— 3y + 8z = 0; 3) скрещи-
ваются; 4) пересекаются в точке (10, —1, 0) и лежат в плоскости
х—7у + 3г—17 = 0. 542. 1) (Д1Хо + ВхФУо4-С12о + /)1)(бхД2 + /7В2+сС2)—
— (^2*о4~^2.Уо4~£'2гоЧ”^2) (fl<4i + Z?Bi+cCi) #= 0; 2) (Д1Хо4~ В4уц +
4~ Cizo + ^i) (яД2 + 6В2+сС2)— (^2хо~]~ В2Уо~]- C2Zq-\- D2) + bBi +
+ сСх)== 0 и по крайней мере одно из чисел цД1 + ^В1 + сС1 или
аА2 + ЬВ2-\-сС2 отлично от нуля; 3) <1Д1 + /?В1+сС1 = 0, aA2-j-
+ bB2-]-cC2 — Q и по крайней мере одно из чисел Д1Хо4-Я1.Уо+
4-С^о + П! или Л2х0 + В2у + С2г0 + П2 отлично от Нуля; 4) аА44-
+ ЬВГ= 0, аА2-рЬВ24~сС2 = 0, A4XqЛ-^х.Уо+—9»
Л2Хо + В2^о + С2го+^2 = 0. 543. 1) Пересекаются в точке (—3, 0, 4)
и лежат в плоскости 2х— уА~6г— 18 = 0; 2) скрещиваются; 3) парал-
лельны и лежат в плоскости 18x-j-25y — 46z — 18=0; 4) совпадают.
544. 1) г = 3, /? = 4; 2) г = /? = 3; 3) г = 2, 7? = 3; 4) r = R = 2.
545. 1) Три плоскости пересекаются в точке (3, 5, 7); 2) три пло-
скости попарно параллельны; 3) три плоскости проходят через одну
прямую; 4) плоскости попарно пересекаются и линия пересечения
каждых двух плоскостей параллельна третьей плоскости; 5) первая
и третья плоскости параллельны; вторая плоскость их пересекает.
546. 1) г = 3; 2) r = R = 2 и никакие две строки матрицы А не про-
порциональны; 3) г = 2, /? = 3 и никакие две строки матрицы А не
пропорциональны; 4) г = 2, 7? = 3 и две строки матрицы А пропор-
циональны; 5) г=1, /? = 2 и никакие две строки матрицы В не про-
порциональны; 6) г — R — 2 и две строки матрицы В пропорциональны;
7) r=l, R = 2 и две строки матрицы В не пропорциональны; 8) г =
= Я=1. 547. 20х+19у — 5? + 41 =0. 548. 5jr + 13z — 60 = 0. 549. Зх+
+ 5у — 4z + 25 = 0. 550. 16x + 50y-3z-132 = 0. 551. 2x-2y — 2z —
— 1 = 0. 552. х —9y + 5z + 20=0, x-2y-5z + 9 = 0. 553. 4^ — 32 —
554.
Аз
a4
^1 Bx C4 D4
A2 B2 C2 D2
A3 ^3 C3 &s
A4 В 4 C4 D4
b4
B.
C3
C4
Cl
#=o,
A2
A3
Ai
B2
b3
Br
A2 B2
Д3 B3
a4 b4
c2
Сз
Ci
u2
Cs
c4
л2
л4
^1
£>2
в,
Bi
Ь2
c4
Ci
¥= 0.
555. 1) /?<4; 2) r = R; 3) r<R<4. 556. Точки Д, В, С
лежат по одну сторону от данной плоскости; точки D и Е — по дру-
гую сторону. 557. Точки А и В лежат внутри одного угла; точки
С и D лежат в вертикальных углах, смежных с углом, содержащим
точку Д; точка Е лежит в угле, вертикальном к углу, содержащему
точку Д. 558. Точки А и В лежат между данными плоскостями, точки
С и D лежат в разных внешних областях. 559. Плоскость пересекает
продолжение отрезка АВ за точку Д. 560. 1) Ах4 + Ву4 + Czx + D у=
572 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
315
Л Х2 “I- Ву2 ~Н "4“ D\ 2) числа Ах^ 4~ Ву± 4~ Cz±4~ D и /4^2 4- Ву2 4~
4- Cz2 + D имеют противоположные знаки; 3) Ахг + Вуг + C*i +
4“ D <с Ах2 -J- Ву2 4" Dz2 4~ D\ 4) Axi 4" Byt 4~ Cz± 4- D > Лх2 4~
+ Ву2 4- 4~ £>•
561 МгМ Лхг 4~ Byi 4~ 4~ D
ММ2 Ах2 4~ Ву2 4- Cz2 4~ D
кдо _____Лх°+ By о 4“ С?о 4“ D
PQ D — E
563. Числа Axq 4~ Ву$ 4“ 6?Zq 4“ D и Axq 4~ ДУо4~ 6?Zq 4“ В имеют
противоположные знаки. 564. (Л/Х 4~ В^у 4- Qz 4- D^ сЦ > 0, i — 1, 2,
3, 4, где di — алгебраическое дополнение элемента в определителе
Вг С\ Dt
А 2 В2 С2 D2
В3 С3 D3
Лд В^ С±
565. (Л/Хо 4- В^уь 4- CiZq 4- Di) di < 0, где di — алгебраическое
дополнение элемента Dt в определителе
Л1 51 Di
Д = Л2 Аз В2 С2 В3 С3 D, D3 •
А, В^ Сд Di
566. Векторы
1 В2 С2 1 1 С2 Л2 1 I А 2 В2
Р1=={ 1 В3 С3 1 > 1 С3 А3 1 1 А3 В3
1 В3 С3 1 I С3 Л3 1 | А3 В3
Р2=^ { 1 В, с, 1 1 Cl А 1 > 1 А. В,
\ В, С, I I Q лх 1 А в.
Рз={ 1 В2 С2 1 1 С2 А 2 1 а2 в2
направлены по ребрам трехгранного угла, если все четыре числа
ui = А]Х0 4- В±yG 4- С±г0 4- Dt, Ai Si Ci
^2 “ ^2х0 4“ ^2^0 4“ D2Zq 4- D2i Д== Л2 в2 с2
w3 = Л 3х0 4~ В3у$ 4- C$Zq 4~ D3, A3 53 С3
имеют один и тот же знак. Если же какое-нибудь из чисел
— Л/Хо4~ £/_Уо4~ CjA) 4- D^ /=1, 2, 3,
имеет знак, противоположный знаку числа Д, то вместо вектора р
следует взять вектор — р/.
567. 2х 4- бу - 4z - 56 = 0. 568. Зх 4- 2у 4- 4z - 38 = 0. 569. 5х -
— у — 3z 4- 6 — 0. 570. х 4- Зу — 2z — 10 = 0. Указание. Восполь-
зоваться уравнением пучка плоскостей. 571. Зх 4- 4,у — г 4- 1 = 0 и
х __ 2д> — 5z 4-3 — 0. 572. 41х— 19у 4-52г - 68 = 0, ЗЗх 4-4 у - 5г-
- 63 = 0.
316
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 573
573.
х — х0 а А
У~Уо b В
2 — 20 С С
= 0.
574. х = Xq 4“ At> у — Д’о -j- Bt) z = 2q —j— Ct.
575. а(х — х1) + Ь(.у—у1) + с(г — г1)=О.
576.
x — x0 xt — xg a
y-y0 у1~~Уо b
z — zB zt—zB c
= 0,
a (x — x0) + b (y - yB) + c (z — zB) = 0.
577. х + З^У ]2 = L__Li d = 7. 578. (—2, 1, 4).
2. о o
579.
x — Xi Ai A2
У—У1 #2
2 — 2i Ci C2
= 0.
580. (7, 1, 0). 581. 2, 3^. 582. (7, —7. 18). 583. (9, 2. 11).
\ b b j
584 . 5x — 13y — 12г+20 = 0, 2x—2y + 3z —5 = 0. 585. 1) d = 3K2J
/ 1 4 17\ / 2 1 7 \
5x - 11у + 4г+5 = 0, x+y-l=0; 2)(~y,y, y). (y. y. ~yj-
586. x+y + z—1=0, x—1=0. 587. 24x+21y —33z + 50=0.
588. 4x — 14y —7г — 48 = 0. Указание. Найти точку, симметрич-
ную точке (—3, 0, 0), лежащей в первой плоскости, относительно
второй плоскости, и воспользоваться уравнением пучка плоскостей,
определяемого данными плоскостями. 589. 2. 590. Два решения:
х + Зу = 0, Зх — у = 0. 591. Два решения: хЦ-20у + 7г — 62 = 0, х —
— г-}-2 = 0. 592. Два решения: х4~20у4-7г—12 = 0, х — г 4-4 = 0.
Указание. Воспользоваться уравнением пучка плоскостей.
593. Два решения: 2x4-у 4-?4-8 = 0, 14х-[-13у—11г4-20 = 0. Ука-
зание. Рассмотреть пучок плоскостей, осью которого является дан-
ная прямая. 594. arccos^—. 595. (AiA2+BiB2-\-CiC<^ X
Х(Л1Х04- £1Уо + ^i^o4~^i) 02xo4~^2J,o4“ C22q-\-D^ <Z. 0. 596. (Л2Д34-
4“ 4~ 4~ 4~ ^8^1) 4“ ^1^2 ~F CiC2) <с 0.
9
597. ± —598. Два решения: х-]-у-\-2 — 0, x-j-y — г4-2 = 0.
‘ 2 у 33
Указание. Рассмотреть пучок плоскостей, осью которого является
1 / 73\ 15
данная прямая. 599. arcsin---—600. arccos ( — 601.
10^19 \ 75/ К779
23 5 Епп 5 3 10 _
-----= ------=. 602.------. ~т= . Луч проходит вне трех-
]/ 779 К 779 К134 Г 134 Г 134
гранного угла. 603. ^ва Решения: 2*+_у—4z-J-17 = 0,
2х+у — 4г —25 = 0. 605. Два решения: 6x+3y + 2z — 75 = 0, бх 4-
+ 3y + 2z—19 = 0. 606. d= 607. Ax+By + Cz ±
j/42+B2 + C2
647 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
317
± d/Xa + Ba + C* 2 = 0. 608. 4х—4_у + 4г—7 = 0, l0x+6j/—4г-5 =0.
609. 8х + 5у —9г —24 = 0. 610. Зх— у+2г — 2=0.
»" (-т.-т. °)-
\ о ’ О /
(3 3 3 \ 3
у, — у, — 2")> радиус равен -%.
3
у 1 2 ? 1
613. =~ = 4-, г = 4. 614. 14х-2у+4г-1=0.
—Z 1 Z о
615. Центр (2, 3, 4), радиус равен 1. 616. Четыре прямых:
X — 1 у 2
±Т^Т~^±2-
617. /14. 618. j/~^. 619. 9x4-12^ + 202 - 60 = 0, 4х-3^ = 0;
й=5.
620. 1) -Иг; 2) -И. 621. 3. 622. Д=. 623. г=г0 + аЛ
/110 /102 |/б
624. r = r0-\-ua-\-vb или (г —г0, а, Ь) — 0. 625. r = r0+и (П. — Л)) +
+ va или (r —r0, Г1—г0, а) = 0. 626. (г—г0, п) = 0. 627. (г—г0,
nlt Иа) = О или г=г0+ып1 + и/г2. 628. г0+«' ---•
629. 1) (r2—rt, alt а2)?£0; 2) (r2—П> Oi. a2) = 0; 3) (r2—гг, alt a2)=
= 0, [alf a2]+0; 4) [alt a2]=0, fr2—r1( a]^=0; 5) [aj, a2]=0,
(r2-rlt a]=0. 630./•1 + (r°~r^’a-a. 631. 2rt-r0+2 a) a.
632. r0-^J^+2n. 633. Г0-2(Г°’ 634‘ ro +
(XX, Tl) (XX, tl)
636. - P1t”a’ M +Pa ["3. »il +O3 [»1. «2] 637 p ( я)^0
(П1, n2t n3)
2) (а, /г) = 0, (r0, /z) + D#=0; 3) (a, n) = 0, (r0, n)-\-D = 0.
638. (r —r0, a, n) = 0. 639. (r—rb alt a2) = Q> 640. — alt
[«i, a2]) = °> (^—/*2» «2, [«ь a2]) = °- 641. (r—r0» a) = 0,
(r—r0> '‘i ~ro, «) = 0. 642. (nlt n2, n3) = Q, [п1ч n2]=A0, [n2, n3] #=
#= 0, \n3, Hj] 0, [n2l n3] + D2 [n3t nJ + &з 141^ и2] 0.
643. (Hj, и2, «з) = 0, D} [n2, и3]+Р2[^з» ^2] “® 110
крайней мере один из векторов [п2, и3], [и3, «i], [nlf /г2] отличен
от нуля. 644. (иь и2, п3)т^0, (Hi, и4, п3)т^0, (и2, п3, и4)т^0,
(и?, и4, И4)#:О, — Di(n2, п3, n4) + D2(nb п3, п4) — D3(nlt n2t /г4) +
+ D4(nlt n2t п3)^=0. 645. Числа (r4—г0, г2~~r0, а), (г2—r0, r3—г0, а),
(г3—г0, ^1 — ^*0» а) одного знака. 646. 1) [п4, и2] ф 0; 2) [пъ и2] = 0,
D^-D-At^O; 3) [И1> «21=0, D^-D^^O. 647. ! (Г°’, ”},+ .
318
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 648
648. I аН. 649. 1) d= Ifo fi’ gi’ g2)l; 2) d =
I a | | [ab <z2] |
=J ка-П, Од] | . 650. (r> „)+D = 0> (r_r<)) a> [a> w]) = o.
I al I
651. 1) Указание. Если прямая проходит через точку (г0), то
^ = [г0, а].
_____________I ^*о4~ ДУо+^оЧ-^ I______________
У giiA2+g22B2+g33C2 + ^g23BC + ^g31CA +2g^AB
I ЛхоЧ-ДуоЧ-СгрЧ-^ I
£11 £12 £13 A
£21 £22 £23 В
£з! £32 £зз С
А В С О
Указание. Нормальный вектор к плоскости п = Ае1-]-Be2 +
+ Се3, где е1, е2, е3 — базис, взаимный с базисом elt е2, е3, a giJ ==
X
== (е1, е3). 653. созф= ± — > где
^g^A^+g^B^+^C^+g12 GM2+A2B±)+g23 (BiC2+B2Ci) +
+£31 (C^2 + ^x),
g = fgiU j++g®C? + 2g23B1C1+2Й!ПС1Л1+2g>M1Bl,
v=VgiM i+g22Bi + + 2g23B2c2+2ез1СаЛ 2+2giM2Ba,
ИЛИ
£11 £12 £13
£21 £22 £23
£з1 £32 £зз
А2 В% С2
£11 £12 £13 ^1
£21 £22 £23 Bi
£з1 £32 £зз С±
/41 В-± Ci О
^1
Bi
Cl
о________________
£11 £12 £1з А 2
£2! £22 £23 В2
£з1 £32 £зз С%
Ап В% С2 О
654. + g22BiB2 + g33CiC2 +g23 (BiC2 + B2C!)+g31 (AtC2 +
+ Л2С1)+^12(Л1В2+Л2^1) — О или
£и £12 £1з ^i
£21 £22 £23 Bi
£31 £32 £зз Ci
А2 В2 С2 о
674 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
319
л-- . | аА -|~ЬВ “}~ сС |
655. ф — arcsin--где
IР | = V'£ца2 ~Ь £22^+£ззС2 + 2^23Ьс + 2g31ca + 2g12ab>
j п | = Vg^+g^+g^+2g^BC+2g^CA+2^AB.
656. (gna + g12b + gi3c): (g21a + g22b + g23p): (g&a + g32b + g33c) —
= А: В :C или (gnX + g12B + g^C): (g^A + g™B + g^C): (g^A +
+ ^B+g^C) = a\b'.c,
657. l/==
gn £12 £13
£21 £22 £23
£31 £32 £33
* 1 yx zr 1
x2 У2 22 1
* 3 Уз 23 1
• ^4 У 4 24 1
658. x=—x'-J-l, y =—y' + l. 659. x = 6x'+4y'—4, y —
— — 2x'-\-6y'-{-2. 660. O' = (3, — 2), ^ = {2, -1}, e' = {-5, 2}.
/4 9\ /9 9 \ /2 4 \
Ml. 0_(0, 0). 4-(y, _y), C_(T, f), S-(-y, 3).
2 1112 1 1
662. x=y x’—3-У +y, _V = — -у x'+ 3-У+3- • 663. X=yX'-
2 , . 2 2 , , 1 , , 2 , co ,
— -3У '+-3 , У = — у x +3-З’ +-3- 664- * =(*+.y)cosy, .У =
/ I \ ° CCK —x'cosco+y
= (— x4-y) sm . 665. x—-----;--—
K 1 •Л/ 2 sm co
x' —y' COS (0
±----
sm co
, x' —y' cos co
666. X' — X-j-y cos CO, jy =XCOSC0 4~.y или X—-F-g-, у =
— ~~ x' cos ° ~l~^z
~~ sin2 co
yi _ ^i^ + ^i^ + ^i v/ A2x-^B2y-t-^2
+ Boy 4-Cj ’ ^2-*о4"^2.Уо4"£2
668. , з>'=2х-.^—-. 669. 14x'+4y-3 = 0.
670. 142x— 183y — 489 = 0. Указание. Принять данные прямые за
новые оси координат, а данную точку Р — за единичную точку новой
системы координат. 671. х — 5^ + 3 = 0. Указание. Принять за
новые оси координат данные стороны треугольника, а за единичную
точку —точку пересечения его медиан. 672. Зх + ^у— 17 = 0, бх—у —
— 17 = 0, 9х+7у +17 = 0. Указание. Принять медианы треуголь-
ника за новые оси координат, а данную вершину —за единичную
точку. 673. 1) х = 2х' + г' + 2, у = 4х' + 4у' + г' +1, z = x' + 4y' + 3;
2) х' = -х+у-г+4, у'=-^х—^-у+^-г-^-, г' = 3х-2у +
+ 2Z-10; 3) 0 = ^4,-1, -io), ^=|-1, 1, з|, е2=|1,
-1, -2}, е,={-1, 1 2}. 674. 1)х' = -1х+1у-1
320
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 675
, 1,1,1 1 1 5 1 1
У =4-^+тУ+-2-г- 4 , z' = -Tx- Ту-1-г + т; 2)0'^
0, 1), ₽; = {-2, 0, 1}, ₽' = {- 1, - 1, 3}, е' = {- 1, - 1, 1};
_А _А А^ _/_А 1 _Ll —J1 1 51
2’ 4’4/’₽1 — j 2’4’ 4J’*2 3 (2 ’ 4 ’“ 4f’
^3=|o>-2 ’ — y}. 675. x= — x' + l, y = — У+1, z = — z'4-1.
676. O=(0, 0, 0), Л = (—1, 1, 1), B = (l, -1, 1), C = (l, 1, -1).
= (-l,
3) O=f
677. Л-(0. 0. 0,. --L, -1), -1),
C=(l, 1, -1), A' = (- A, -A, A), B' = (l, - 1, 1), D'.= (- 1,1,1),
C' =
\2 ’
У’ л
2 ’
z'
_1_\
2 /
2 — -— -j--
/2 /3 ’
679. x=x'
678. x=-^ + ^= +
/2 /3’ /2 /2 /3’
>'___z'______2_ ,__z'_____3_
/3 /б ’У~уз y ~/6 ’ г~/б г'‘
Z =
680. Х1 + 0)12X2 + 0)13*3 — all*i + a12*2 + Ct 13*8, CO-J!*! + *2 + 0)23*3 ~
= a21x[ + a22*2 + cc23*3» 0)31*1 + w32*2 + *3 — a3i*i + «32*2 + азз*з» гДе
z»q< t Qi t x-j-2y-]-32—6
681. x' = —g—, y' = — 2x+y, z’=—.
3 1
682. x' = x, y'=yt z' = —у (2x + 3y —6z+6). 683. x — — -^-x' —
— ^~y' — 4,y=~x'—~y' + 2. 684. x=— Ax' — уУ —3, y =
3 4 4 3
= —£- x'+'E'?' —2. 685. (2, 3). 686. x = -=- xf—=- yf + 2f у =
□ «Э Du
____lx>_ly' + 3. 687. x=--'AЗJ', 1 j, = ~3xL Z J- 9
5 5 /10 10»У /10 Ю
688. x' = Л»* + Д17 + С1 у = 689. x=- -A x' -
2, ,2, 2,14,1, 2 1,2
+yZ,^ = -lgx _-y'--z', 2 = -x'-y>'+yz'.
1 , 1 , 1 , 1,1 1
“ K-1'~VV v- y~T,:+i7s’y-T‘-
= -A x' + -A z'.
V 2 И 2
691. x=——x' +-A z'+ 2, y=—5-x'4-2_LAy'4-
3 3/2 /2 3 з У
2 11 1
+ 1, z=--x'---— y' — —z' + 2. 692. x == — xf —
3 3/2 /2 3
712 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
321
2 , , 2 , 2,2,1
-уУ + уг', У=—^х - З у -у г
1 2 2
693. х =
2 , 2,1
---X'--у' Н-2
3 3 3
А%Х 4" 4“ 4” ^2
У УА1+В1+С1
2 1 2
z=---x'+Tj' + -5 г'.
ООО
2 , , 1 , 2 , , 2
' 3 Х + 3 3 г + 3 ’
694. х' = Л.1?+В1-У+С1г+Р1
/ЛЦ-ВЦ-С|
4.
£
3 •
zt Л Зх 4~ В3у 4~ Сзг 4~ Дз
^Al + B'i+Cl
мч v' *+2у + 5г4-1 2х— у + 2 — х-2у + г+3
Кзо > Кб ’ Кб
„„„ , — х— у—г 4-1 , 2х—у—z-j-l , у—г-1-2
Кз Кб К2
697. х2+у2—2ах — 0. 698. Четыре окружности х2+_у2 ± 2гх ±
±2гу=0. 699. х2+у2—(х!+х2) х—(у1А-у2)у+х1хг+У1У2 = ()-
700. 1) С-1-рО} ,_2; 2) С- 0, -А , 3) С„
(2 \ 4
1, ““'у)» Г== 3 * 7°1* x==4Z4-rc°s/,
V=^ + rsin/. 702. 1) (х—а)2+(у—Ъ)2<г2; 2) (х — а)2 + (у — Ь)2 >
>г2; 3) r2<(x-a)2 + (y-b)2<rl.
703. 1) Множество всех внутренних точек полукруга, ограничен-
ного окружностью (х — 3)24-(jy — 3)2 = 8 и ее диаметром, лежащим
на прямой у~х, содержащихся в той полуплоскости, образованной
прямой j/==x, в которой лежит точка (5, 0); 2) множество всех точек
большего из двух сегментов, на которые данная прямая разбивает
данный круг. 704. (х—а)2 + (у — Ь)2 = г21 (Аа-[-ВЬ + С) (Ах-[-Ву +
+ С)>0. 705. D2+E2-AF>0,
706. Х2+_У2 X У 1
xi+yl Х1 У1 1
х%+у1 Х2 У2 1
xl+yl х3 Уз 1
707.
Х2 +V2
Х1+У1
*14-31
х у
xi У1
*2 У2
= 0.
708. х|+з1 + аХо4-6Уо4-с- 709. Два решения: (х—1)2 + (>> —2)2 =
= 1, (х—4)2 + (з>—5)2 = 25. 710. Две окружности: x2 + (j/ — 5)2 = 25,
x2+yf 2Х1 2yt 1
2х2 2у2 1
С -А —В 0
=0.
712 и l^a+B6 + C| <r. 2 Ma+gb + CK f.
Кл2+в2 ’ Кя2+в2
| Да+Bb+C | г
КД2 + 52
11 п. С. Моденов, А. С. Пархоменко
322
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 713
713. (х0 — о) (х—£) + СУо — ь) (у — Ь)~г2. 714. А (х — л) +
+ В (у-b) ± г ]/Л2 + В2 = 0. 715. x2A-y2~^x-2yGy~[-r2 = 0.
716. o = + 717. Прямая (^ — «1)х+02 — ^1)^ +
+ ^2 —сх = 0. 720. (x — 4)2-|-(_y4-3)2 = 1. Указание. Центр иско-
мой окружности лежит на пересечении данной прямой с радикаль-
ной осью двух данных окружностей. 721. (*+3)24-(у4~7)2 = 41.
Указание. Центр искомой окружности является радикальным
центром трех данных окружностей. 722. 2а1а2-]-2Ь1Ь2==с1-{-с2.
723. х2А~У2 — х—Зу—10 = 0. Указание. Рассмотреть уравнение
пучка окружностей
х2+^2-2х + 4^-20 + р(х-7.у+10) = 0.
724. х(}х +уоу = г2. У к а з а н и е. Пусть Т\ = (хх, _ух) и Т2 = (х2, j2) —
точки прикосновения касательных к окружности, проведенных из
точки (х0, _у0). Уравнения касательных в точках Ti — (х^ yi), t = l, 2,
таковы: Х[Х-\-у1у = г2. Этим уравнением удовлетворяют координаты
точки Л40, т. е. Х/%04-_у^0 = г2. Отсюда следует, что точки касания
лежат на прямой х^х+УоУ = г2. 725. (гх0 ± ру0) % + (гу0 Т рх0) у —
= Г^+^). где р = Кх§+^-А 726. г(Й5 -1). 727. (рис. 30).
Рис. 30.
1) Или р > 2а,
3) п — + -У у
Р 2(х0 —а)’
или р<0, С = (р, 0), г — YР {р — 2а). 2) х — а.
Это значение р при ограничениях, наложенных на
точку (х0, _у0) в условии, или отрицательно, или больше 2а. 4) Если
р > 2а, то g (2а, 0) — 2a (2a — p)<z0,G(0,0) — 2pa^>0, а если р < 0,
759 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
323
то о (2а, 0) > О, (У (0, 0) < 0. 5) с = а2 — Ь2 = \ ОМ |2=| AM |2; отрезки
касательных, проведенных из любой точки радикальной оси ко всем
окружностям Ср, равны между собой. Иначе: любая окружность,
проходящая через точки О и А, пересекает все окружности Ср орто-
гонально. 6) Если 2а < < р2, то окружности СР] и Ср^ не имеют
ни одной общей точки (их уравнения несовместны); при этом точка А
лежит внутри обеих окружностей и радиус окружности Ср- больше
радиуса окружности СР1. Для р2 < рх < 0 рассуждения аналогичны.
7) Для построения окружности Ср строим точку Р = (р, 0) и проводим
из точки Р касательную РТ к любой окружности, проходящей через
точки О и А. Окружность Ср имеет центром точку Р и радиус РТ
касания). 8) k = ~^/~
(Т -—точка
9) Необходимое и достаточ-
ное условие того, что точки D = (хъ 0) и F = (х2, 0) гармонически сопря-
жены относительно точек 0 = (0, 0) и А = (2а, 0), имеет вид а (хг + %2) =
= хгх2. Абсциссы X! и х2 точек D и F пересечения окружности Ср
с осью Ох определяется из уравнения х2 —2рх+2ра = 0. 10) В кон-
центрические окружности с центром Айв диаметры этих окруж-
ностей. 728. 2) (Хх (^i + Z?i), Х2 (^2~Ь 4) (^2 — й1) x-j-2 (^2 — bi) у -р
+ al + b‘i — r2l — al — b?. + r?, = 0 729. 3х2+5>2=32. 730. * у’ =
= а2. 731. х2 — 4j/2-pi5 = 0. 733. Указание. Ввести полярные
координаты, принимая за полюс центр эллипса, а за полярную ось —
ось эллипса. 734. 4р \/ 3. 735. Окружность (х—5)2 + (jy — 3)2 = 25.
736. E^ + OL_^=1. 737. 1) (у-Ь)* = 2р (х-а); 2) (у-Ь)* =
= — 2р (х—а); 3) (х— а)2 = 2р (у — Ь)\ 4) (х—а)2 = ~ 2р (у — Ь).
738. ху — x-f- 1=0. 739. Два решения: ху=1, ху — 2хД- 1 =0.
740. | АВ| = |ЛС| = 2а, | ВС |=2а /З-. 741. + (3>~~2)- = 1.
12 1о
(х_4)2 у2
742. -—+ J2= 1 ’ Указание. Уравнение искомой линии
может быть представлено в виде y2 = 2px-[-qx2. 744. Равносторонняя
гипербола х2—у2 = а2 — Ь2 при a=£b; пара прямых у~±х при а = Ь.
745. Указание. Принять за оси координат асимптоты гиперболы.
746. р. 747. Указание. Принять оси парабол за оси координат.
749. 2х2 — 8х-\-Зу— 10 = 0. 750. х2—у2 — 4хД- 10у — 12 = 0. 751. 5х2 +
+ 6гу + 5у2 —6х—10у — 3 = 0. Указание. Принять оси эллипса
за оси новой прямоугольной системы координат. 752. х2 +
+ 2ху-Н>2 + 5х—jy = O. 753. 4ху+ 3y2 + 4jy — 11 =0. 754. Зху — 2х —
— 2^ = 0. 755. Окружность и равносторонняя гипербола, описанные
около прямоугольника, если стороны прямоугольника не равны
между собой. Указание. Принять за оси координат прямые,
соединяющие середины противоположных сторон прямоугольника.
756. Окружность. 757. Равносторонняя гипербола, проходящая через
точки Р и Q с центром в середине отрезка PQ, одна из асимптот
которой параллельна прямой d. 759. 1) /\ = (0, —4), df. у = —5;
9
А2 = (0, 4), d3:^ = 5; 2) Ах = (0, -6), d1:y = - А3 = (0, 6),
V
11”
324
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 760
d2:y = ^ 3) d:y=- 1. 76О.Д = (-2,
761. d:y = —~. 762. F1 = (a, a), dp x-\-y—a = 0;
_y2 412 _y2 -<12
F2==(_o>_a), d2:x+y+a=0-, 763. ^ + ^=1, y-^ = l.
j^2 V2
764. Jg + yg—l- Второй фокус (—2, 0), вторая директриса х=—8.
765. Зх2—у2— 36x4-96 = 0. Второй фокус (10, 0), вторая директриса
9А2 9А2
х = 7. 766. у2 + 8х—32 = 0. 767. 1) 2) 3) 2р. 768. — е2,
где е—эксцентриситет линии. 769.
773.
6=1-4=. 774. е' = —. 775.
lz3 е
V2. 771. е=~. 772. е = —5„ -- .
о 2
^-^=1. 776. ^ + Л = 1.
9 3 4«2 2О2
777. у2 — — 2р' 778. j = _
3 2
j х2 + у. 779. 1) а. 2) Ь.
X2 V2 V2 X2
781. Два решения: =-<-=1; ^--—=1. 782. Два
<*-!>> У ,.<« Л . “(>-* .
4 12“ 11 13 “ 156“'• 783’ —20 5"~Ь
решения:
784. Два
решения: д— + у=1; — + 785- Два решения:
(х4~ О2” (У— 1)2 = 2; (у 4- I)2 —(х— 1)2 = 2. 786. Два решения:
(х-1)(^+1)= Ь (х-1)Су-1) = - 787. Зх2 + 2ху + 3у*~4х-
— 4у = 0. 788. 8ху—4х—4у 4-3 = 0. 789. Половина хорды кривой,
проходящей через ее фокус и перпендикулярной к фокальной оси.
Указание. Приняв за начало координат вершину кривой, а за
ось абсцисс—ее фокальную ось, представить уравнение кривой
в виде y2 = 2px-\-qx2. 790. Парабола. 791. Две параболы с общим
фокусом в центре данной окружности и директрисами, параллельными
данной прямой. В случае внешнего касания постоянной и переменной
окружности параметр параболы равен а 4- г. В случае внутреннего
касания параметр равен а—г, где г —радиус окружности, а —рас-
стояние от ее центра до данной прямой. Указание. Найти дирек-
(х___________________________2)2 V2
трису кривой. 792. Эллипс v -- 4~%-= * и все точки оси Ох.
Ло У
Указание. Воспользоваться фокальным свойством линии второго
х2 у2
порядка. 793. Эллипс 4- -6- = 1. 794. Окружности с центрами в фоку-
ZD У
сах гиперболы. 795. Открытый отрезок касательной в вершине рассматри-
ваемой ветви гиперболы, заключенный между ее асимптотами. 796. 4х24~
2 <5 х2 v2
+6v-4y^+ I8j.-39-0.7S7,р- 798.
4
799. р =!------. 800. у2 = 12х. 801. 3. Указание. Воспользоваться
г 1 — cos ф
полярным уравнением параболы, 802. Парабола, получающаяся из данной
807 |
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
325
параболы переносом на вектор, идущий из вершины данной параболы в ее
фокус. Указание. Воспользоваться полярным уравнением параболы.
803. Указание. Воспользоваться уравнением линии второго порядка
в полярных координатах, принимая за полюс фокус линии. 804. Ветвь
гиперболы с параметром р — | АВ | и эксцентриситетом е = 2, фокальной
осью которой является прямая АВ, а фокусом, лежащим внутри этой
ветви, точка А. Указание. Ввести полярные координаты и воспользо-
ваться полярным уравнением линии второго порядка. 805. 1) Эллипс; боль-
шая полуось равна 4, малая полуось равна 3, центр (3, —2), направляющий
вектор большой оси {1, 0};2) гипербола; действительная полуось равна 1,
мнимая полуось равна 2, центр (2, —3), направляющий вектор дейст-
вительной оси { 1, 0}; 3) парабола; параметр равен 2, вершина
/2 \
i Q , 1 , направляющий вектор оси в сторону вогнутости {1, 0};
\ о /
4) эллипс; большая полуось равна 5, малая полуось равна 3, центр
(2, —3), направляющий вектор большой оси {0, 1}; 5) гипербола;
действительная полуось равна 4, мнимая полуось равна 2, центр
(2, 3), направляющий вектор действительной оси {0, 1}; 6) парабола;
8 Л
параметр равен вершина
' о
в сторону вогнутости {0, — 1}; 7) пересекающиеся прямые 3x4-2/ +
4-10 = 0, Зх—2j/4-2 = 0; 8) параллельные прямые х=2, х =—3;
а2
9) парабола с параметром Р = 2р веРшина (®» направляющий век-
тор оси в сторону вогнутости {0, —1}; 10) гипербола, действительная
полуось равна а, мнимая полуось равна Ь, центр (а, Ь), направля-
ющий вектор действительной оси {1, 0}; 11) эллипс; полуоси а )Л2,
b | 2; центр (— а, — Ь), оси параллельны осям координат. 806. При
к% 4“ 1
—, деистви-
Л
тельная ось которой параллельна оси Ох; при к ——1 —две пересе-
кающиеся прямые х—у = 0, х+_у + 2 = 0; при —1 < к < 0 — гипер-
4-1 « »
4—, действительная ось которой парал-
А
лельна оси Оу; при А = 0парабола х2 = 2у; при А >0—-эллипс
/ 1 \2 А3 4- 1 _
(х — А)24-А1_у—=—*— (при к = 1 — окружность (х—I)2 4-
направляющий вектор оси
/ 1'2
1 —гипербола (х— X)2-}-X — yj
/ 1 \2
бола (х—X)2 + (У — у]
д А / *
+ 1)2 = 2). 807. 1) Эллипс О’ = (2, 3), е[ =
Г 2 1 ) ( 1 2 х'2 у'2
= w "W ‘Н/Т W (рис-31): 2) гипербола т-т =
= 1, О' = (1, 1), ^=(-4=, +Д е'2 = [--^=, 4М (рис. 32);
1/13 /13) I /13 / 13J
2 1 ( 2 1 \
3) парабола у'2 = -—х', О'=(3, 2), =+----—------—L е'=
/5 I /5 /5/ “
fl 2
~ 1 Т73’---7=4 (рис. 33); 4) пересекающиеся прямые х—у — 1=0,
326
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 807
х—4у4-2 = 0; 5) параллельные прямые 2х—3j>4-1=0, 2х—Зу — 2 =
= 0; 6) эллипс ^-+^=1, О' = (-4, =
2 1 \ 5’ 5/ 1 |j/5’ J<5J
Рис. 33.
^'=(—,2_, 1 V, 7) гипербола °' = (2> ~е[ =
I 5 J 5J 1 у
( 3 1 ) , ( 3 11 , ,г 1лГ^-
= <-^=, , е.. — <--—т—у; 8) парабола у s=4['2x',
Ц 10 У10) I Г 10 |/ 10J
О' = (2, 1), е;=|рг=,-^=|, = 9) пересекающиеся пря-
833 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
327
мне 2%4-3j7 —5 = 0, х—4у 4-2 = 0; 10) параллельные прямые 2х —у/+
+ 1=0, 2х — у — 4 = 0; 11) эллипс ^+^=1, О' = (~, 4, е\ =
За 35 \ о 3 /
6~ 36
С 2 г* 1. 2
- w "W '1"W W 12) "”рв“а Т"1 °'"
8 5
= (0,1), е[=4-Д=, —4=1, е2 = /--4=1; 13) парабола_у'г=10х';
lj/13 J/13J I /13/13/
(4 3 ] ( 3 4 )
О' = (—1, 2), = ' — у к е' = |—, —Ь 14) пересекающиеся
прямые x-f-y — 2 = 0, Зх — 2у>4-1=0; 15) параллельные прямые 2х—
— Зу —2 = 0, 2х—Зу/ —8 = 0; 16) эллипс ^- + —- = 1, О' = (0, 1),
Г1 1 Г111 /2/2
е{— [—?=,-т=> е' = /-т=, ——17) гипербола1, О' —
1 1/2 /2/’ 2 1/2 V& F . 4 9
(2 3 y ( 3 2 ’Y
— (1, 1), #[ = <{-—- —I ^2 = <-7=» -7=>; IS) парабола
IK 13 /13/’ I /13 /13/ и
,2 1 , П/ ZO Q\ r ( 1 2) (2 1 )
y' =-r=x', O' = (2, 3), e,—}-t=,-7=1, e2 — {-^,-7=1;
/5 1 /5 /б/ (/5 /б/’
19) пересекающиеся прямые 2x4-5y-j- 1 = 0, 2x4~3y/ —5 = 0; 20) парал-
лельные прямые 2x-j-y 4-3 = 0, 2x4->4-5 = 0. 808. При —oo <
<a< — 1 —гипербола (1 — a) x'24~(l + a)y/'2 = t действительная
ось которой имеет угловой коэффициент, равный —1; при а =
= —1— две параллельные прямые х—у/± 1=0; при —1 < a < 1—
эллипс (1 — а) х'г~Р(1+ а)у'2— 1, большая ось которого имеет угло-
вой коэффициент, равный —1 (при a = 0 —окружность х2 4-у/2 = 1);
при а=1—две параллельные прямые х-\~у ± 1=0; при а>1 —
гипербола (1 — а) х'2 4- (14-а) У'2 = 1» действительная ось которой
имеет угловой коэффициент, равный 1. 809. 1) /4 = (—2, 1), dr:
/ 1 Q \
х-Зу/-4 = 0; F2 = (0, -5), d2: x-3y-6 = 0; 2) -,
\ О 1 иу
_2
4х-2у-3 = 0. 811. Л = 0, 73#=0; х2-_у2 = | /3| | /2| 2. 812. /г13<0.
3
813. /1 = 0, /а = 0. 815. /2>0, Л/3<0, s=n|/3|/2 2.816. ItF(ха,у0)<
<0. 817. liF(x0, у0)<0- 818. 4 = 412, 41з<Ъ- 819. Указание.
При доказательстве необходимости условия воспользоваться резуль-
татом предыдущей задачи. 820. 6х2 — 4ху 4- 2у>2 4- 12х — 99 = 0.
«и
«21
«1
«12
«22
_ «2
з а н и е. Принять
823.
«1
«2
а
за
«11
«21
«1
ОСИ
«12 «1
«22 «2
«2 Ь
координат диагонали ромба и выразить
< 0. 824. F (х, у) = . 825. У к а -
*2
через инварианты расстояния от начала координат до сторон ромба.
828. Зх4-4у — 24 = 0, Зх —28у— 120 = 0. 829. х=1, 5х-2у4~3 = 0.
830. х —Зу + 9 = 0, 9х4-3у4~1—0. 831. у2 = 4х. 832. 2. 833. х+у ±
328
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 834
±5 = 0. 834. |fe| >—. 835.^ = Лх+^. 836. %+^+4 = 0- 837. у2 = .
С1 Лк Л
= —~х. 838. ± Зх ± 4у4-15 = 0. 839. _у0х4-х0_у = 2С. 840. у.
841. Указание. Принять за оси координат асимптоты гиперболы.
у2 д»2 у2 у2 4i2
842. s = ab. 843. 844. ^-^=1. 845. 1) 0 =?*=-"-<?< 1;
о 4 4
X2 V2
2) при выполнении одного из двух условий: 2') — —- = 0, хо_уо^О;
2") ~ — р~ = 1; 3) при выполнении одного из условий: 3') — р-> И
3-) „_Л_0. 846. |-Й<0. 847. + +
-^-° = 0. 848. 1) «2Л2 + 62В2 = С2; 2) а2Л2 —62В2 = С2; 3) рВ2 = 2ЛС;
х2 V2
4) 4ЛВ^ = С2. 849. + 850. а2Л2 + 62В2 > С2, а2Л2 + &2В2 =
= С2, а2Л2 + &2В2<С2. 851. х±^± 3 = 0. 852. х±2у + 4 = 0.
853. 1) Окружность х2 +jp2 = а2 + 62; 2) при а> b—окружность х2 +_у2 =
= а2 —62, за исключением четырех точек ее пересечения с асимпто-
тами гиперболы; при а — Ь — пустое множество; при a<Zb — мнимая
окружность; 3) прямая х=— —директриса параболы. 854. х2+у2=
= я2 + 62. 855. Точки осей симметрии, лежащие вне кривой. 857. х±
±JV±3 = 0. 858. 4х2— 12ху + 9у2 — 24х —36у + 36 = 0. 859. х2 —4х^—
— 6х+9 = 0. 860. 2х2 — ху — х+у + 5 = 0.
861.
«И «12 «1
«21 «22 «2
«1 tZ2 «
А
В
С
А В С 0
862. Окружность и гипербола, касающиеся боковых сторон тре-
угольника в концах его основания. 866. Если кривая — эллипс, то
окружность с центром в другом его фокусе и радиусом, равным
большой оси эллипса; если кривая—-гипербола, то окружность
с центром в другом фокусе и радиусом, равным действительной
оси; если кривая —парабола, то ее директриса. Указание.
Пусть Ft и А2 —фокусы эллипса, Л40 —точка эллипса, a F'2 — точка,
симметричная фокусу F2 относительно касательной к эллипсу
точке Мо. Тогда точки F'2, Мо и Ft лежат на одной прямой. 867. Если
кривая — эллипс, то окружность, построенная на его большой оси
как на диаметре; если кривая — гипербола, то окружность, постро-
енная на ее действительной оси как на диаметре; если кривая —па-
рабола, то касательная в ее вершине. 870. Четыре точки:
(+ а . г Уь
\ У а + b У а + /?у
Ь — а — Ь.
Указание. Воспользоваться параметрическими уравнениями эл-
липса. 871. Пусть Рг и Р2 — проекции фокуса F на касательные tr
и t2 к параболе в точках Мг и М2, точки Рг и Р2 лежат на каса-
891 J
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
329
тельной к параболе в ее вершине; так как L РРГМ — L FP2M — -^t
то точки F, Ply Р2, М лежат на одной окружности (с диаметром FM).
Значит, Z P1P2F = Z P^MF (как углы, опирающиеся на одну и ту
же дугу). Обозначая через а и р острые углы, образованные каса-
тельными к параболе в точках Мг и М2 с ее'осью FА (а < Р), имеем
2 M±FA — 2р, z. M2FA = 2a, поэтому £ MlFM2 — 2fi — 2a, а из тре-
угольника MM]F имеем Z MM-^F — n — р, следовательно, L MkFM2 =
= р — а. 872. 1) Окружность С, построенная на большей оси эллипса
как на диаметре; 2) множество внутренних точек окружности С;
3) множество точек, внешних по отношению к окружности С.
873. 1) Окружность С, построенная на действительной оси гиперболы
как на диаметре; 2) множество точек, внешних по отношению к ок-
ружности С; 3) множество внутренних точек окружности С. 874. 1) Ка-
сательная к параболе в ее вершине; 2) открытая полуплоскость, опреде-
ляемая касательной в вершине параболы, в которой расположена парабо-
ла; 3) открытая полуплоскость, определяемая касательной в вершине
параболы, не содержащая точек параболы. 875. 1) 3x-|-4j>+14 = 0,
1 h2 h2
х+зг-3 = 0; 2) x = 3, y = -~x+ 1.876. W3 = -£-;
’1 13
3) ^ + ^2 = 0. 877. y = 878. = ~ x, y = x. 879. 32x + %>y —
— 89 = 0. 880. x=2, x-|-4y — 14 = 0. 881. Общий диаметр: Зх-}~У —
— 7 = 0; угловые коэффициенты хорд первой и второй кривой, со-
пряженных этому диаметру: —1, k2 — —6. 882. _у = 3х, у~2х.
883. х — 2у — 1=0, х-|-2у + 7 = 0, х — 2_у-|-1=0. 884. Диаметры,
соединяющие точки касания противоположных сторон описанного
параллелограмма, будут сопряженными диаметрами только в том слу-
чае, когда кривая является эллипсом и по крайней мере одна из
точек касания является серединой стороны параллелограмма (в этом
случае точки касания всех сторон параллелограмма являются их се-
рединами). Диагонали параллелограмма, вписанного в эллипс, будут
сопряженными диаметрами, когда отношение сторон параллелограмма
к параллельным им диаметрам одно и то* же для обеих сторон; диа-
гонали параллелограмма, «вписанного в гиперболу», будут сопря-
женными диаметрами, если отношение стороны параллелограмма
к параллельному ей диаметру, пересекающему гиперболу, равно от-
ношению другой стороны параллелограмма к параллельному ей диа-
метру, пересекающему сопряженную гиперболу. Указание. Точка
пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон
параллелограмма, совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
889. Указание. Принять за начало координат центр линии, а за
базис — векторы, идущие из центра в точки касания пересекающихся
- CL Ь
сторон параллелограмма. 890. х2 = + — у2 = ± — хр Указание.
Пусть x = acosf, _y = /;sin/ — параметрические уравнения эллипса.
Тогда если tv— значение параметра, соответствующее точке (хь yj,
то /2 = /х ±— — значения параметра, соответствующие концам сопря-
/ 1 \ / 7 \
женного диаметра. 891. В = (2, С —(2, 0), £> = /3,
330
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 892
892. 4х2 + 8ху? + 13у2 — 24х—42у> + 9 = 0. Указание. Написать
уравнение эллипса в системе координат с началом в точке С и базис-
ными векторами С А и СВ. 894. х2 — 4хуА-4у2 — 4х — 4^ = 0. 895. х2 +
+ 2ху+у2 + 5х —у = 0. 896. 9х2 — 24ху+16у2—60х— 1бу + 256 = 0.
Указание. Прямая, проходящая через точку А и параллельная
прямой ВС, является касательной к искомой параболе. 897. х2 —2ху +
+ 5у2— 4х— 4_у + 4 = 0. 898. х2 —2xj^ + 2v2 —2х+1 =0. 899.х2 + 2х_у +
+ 2у2—14х—20у+ 48 = 0. 900. Прямая, параллельная другой асимп-
тоте гиперболы, проходящая через середину отрезка, заключенного
между данной точкой и центром гиперболы, причем из этой прямой
надо исключить точки отрезка, один конец которого лежит на асимп-
тоте, а другой является точкой касания касательной к гиперболе,
проведенной из данной точки. Указание. Принять за оси координат
асимптоты гиперболы и выбрать базис так, чтобы в этой системе
координат гипербола имела уравнение ху=1, а данная точка —коор-
4 1
динаты 0,1. 901. = 902. х. 903. х2+.у2= 1. 904. х2 —
о 2
— = 905. у2 — х. 906. ху=1. 909. 910. У к а з а н и е. При-
нять за ось абсцисс диаметр М.ХМ2, а за ось ординат диаметр, парал-
лельный касательным в точках и М2. 911. Указание. Принять
за ось абсцисс диаметр, проходящий через точку М, а за ось орди-
нат—диаметр, параллельный касательной к линии в точке М.
912. Эллипс или гипербола. 913. Прямая ОС (за исключением
точек О и С), являющаяся диагональю параллелограмма АОВС, сто-
роны которого имеют данные асимптотические направления. У к а -
з а н и е. Принять за начало координат точку О, а за базис —
векторы О А и ОВ. 914. Множество центров состоит из внутренних
точек треугольника, сторонами которого являются средние линии
данного треугольника, а также из внутренних точек углов, верти-
кальных к углам треугольника, образованного средними линиями.
Указание. Принять за начало координат одну из вершин тре-
угольника, а за базисные векторы —стороны, выходящие из этой
вершины. 915. d = 2 1Л2я2 + 2Ь2, k—±~. 916. arctg , где с =
= |Л12 — Ь2. 919. Указание. Взять уравнения эллипса в пара-
метрической форме: x = acos/, y — bs\nt. 924. Указание. Вос-
пользоваться параметрическими уравнениями сопряженных гипербол
925. ^J^^n^22. 927. 1) gu^2 + 2M + g22^-r2; 2) х2 +
«12 «12
+ 2ху cos со ~Ру2 — г2.
929. 1)
£11 £12 £22
928. 1) ^ = ^ = ^2.
£11 £12 £22
2) йц = CZ22 == “
cos со
и число
«п
«21
«1
«12 «1
«22 «2
а2 а
936 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
331
имеет знак, противоположный знаку коэффициента аи (или а22У,
2) координаты центра находятся из системы уравнений
«цх+«12.У H~0i = 0, |
a21x+a22^ + a2 = 0; J
радиус г—1/~— ^4, где 6 = |011 ^12|. 930. a = 2cos~ fc —
Г «116 I «21 «22 I 2 ’
= 2 sin “ , ^i=l, k2 = — 1. 934. 1) Окружность с центром (—7, 3)
,2
X
9
,2
и радиусом 5; 2) эллипс центр О'=
2
7
, угловой
/2 /2
коэффициент большей оси k = —~ ; 3) гипербола -------------^-=1;
центр О' = (— 1, 2), угловой коэффициент действительной оси k = 2;
.2 .2
х' у'
4) гипербола -гг---р== 1, центр совпадает с началом координат, угло-
вой коэффициент действительной оси k~l; 5) парабола у,2~х' |z3 J
( 1 5\
вершина (—"12/ ’ напРавляющии вектоР оси в сторону вогну-
гости {2, 1}. 935. 1) ац>0, |011 °’I 2 I > 0; 2) а = ~, Ь=~,
I «21 «22 I J/V ИХз
где Xi~меньший, а больший корень характеристического урав-
нения
I «11 — ^£11 «12 — ^£12 I _ Q.
I «21 — ^£21 «22 — ^22 I
«11 — ^1£11 £ «11 — ^2gll
«12 — ^1£12 ’ «12 — ^£12
936. 1) I ai1 °121 < 0; 2) a —-—L, b = — JL_rr, где — положитель-
I «21 «22 l У Xx V — X2
ный корень, a X2— отрицательный корень характеристического урав-
нения
I «И ^£11 ^12 ~ ^£12 I _ q.
‘ I «21 ~ ^21 «22 “^22 I
k = — GU — k —— •
«12 — 12 ’ «12 “ W12 ’
3)
I «11 ^12 I I I Sfll 012
I 021 S22 I I &1 022
=0;
gii £12
£21 £22
«11 «12
«21 «22
332
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 937
937’ 1>Р = ‘?Й> °MS^- 2) р = g sin со, О'=
&11 \ *11 б 11 /
= ( — cos2 со, ~q cos со). 938. Если со < —, то а —У 2cos-^-,
\ £ ] л л
£ = V 2 sin k± = 1, k2 = — 1; если со > то а = V 2 sin
b = V 2 cos , ^ = — 1, /?2= 1. 939. a = b = Ksin со — равносто-
л i 1 / л . w \
ронняя гипербола; если со<-^, то kr = ctg ( -j- + L k2 =
. [ Л . CO \ Л
= g ( T + 2/’ если “>"2 . T0
940. |ацх+а12у giix+g^l 0
|a21x+a22y feW + fevI
941. 1) (6, — 2, 3), r = 7; 2) (-4, 0, 0), r = 4; 3) (1, — 2, 3),
r==6; 4) (0, 0, 3), r=4. 942. czn = c22 = a33 #= 0, a12 = a23=a31 = 0.
У Казани e. При доказательстве необходимости условия заметить,
что сечения сферы координатными плоскостями будут окружностями
(действительными, нулевыми или мнимыми). 943. 1) В24-С24-52 —
- АЕ > 0,
(В С D \ /В2 + С2 + £)2-ЛЕ
\ А ’ А ’ А )’ Г~ | А | ’
2) В2+С2 + О2 —Л£ = 0; 3) В2 + С2 + £>2 — АЕ < 0.
944. 1) Восемь сфер: х2+у2 + г2 ± 2г х ± 2гу ± 2гг + 2г2==0;
2) восемь сфер: х2-Цу2 + ?2 ± У 2 гх ± V7 2 ry ± V2 rz + 0.
/10 14 5\
( з , — у, з ), радиус равен
(Л2 + В* + С2) Я2 — D2 > 0,
945. Центр
946. 1)
3.
AD BD CD \
Л2+В2 + С2’ Л2 + £2 + С2’ Л2 + B2^-C2/,
_ / (Л2 + В2 + С2) /?2 - D2.
~ /Л2 + В2 + С2
2) (Л2 + В2 + С2) 7?2 — D2 = 0; точка касания --g—,-------g—,
ГР2 \
3) (Л2 + В2 + С2)7?2-Е>2<0. 947. (х0-а) (х-х0) +
+ (Уо~Ь) (у—у^ + (г0—с) (z-zQ) = 0 или (х0 —fl) (х—а) + (yQ—b) X
X(y — b) + (z0 — c)(z — c) — R2. 948. 2х—v + z-p 14 = 0. 949. Л(х — а) +
+ В (у-b) + C(z-c) ± R |<Л2 + В2 + С2 = 0. 950. 8х+4_у + г -
— 100 = 0, 2х — 2y-{-z — 28 = 0. Указание. Рассмотреть пучок
плоскостей, осью которого является данная прямая. 951. Два реше-
983 J
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
333
ния: x+2y-}-2z — 9 = 0, у — 2 = 0. 952. Два решения: х24-у24-
+ (z+l)2=12, x2+5/2+(z + 4)2 = 27. 953. (Лх04-Ву04-Сг04-£>) X
X (х2 + у2 + z2 + 2ах+ 2by + 2cz+d) — (Ах+Ву + Cz+&) (*о +Уо +
+ zg + 2ах04-2fry0 + 2cz0 4- d) = 0. Указание. Искомое уравнение
можно представить в виде x2A-y2A-z2A-2ax-[-2by-^2cz-^dA-k(AxA‘
+ By + Cz + D) = 0- 954. x2 + ^2+z2+22x+ 16у — 6z=0.
D2
955. < ^2- 956. При условии выполнения неравенств xg +
+ Jl + 4-tf2<°> D(Ax0 + ByQ+CzQ + D)cO. 958. x2+yl + zl +
4-2flx0 + 2^04-2cz0+rf. 959. Плоскость (a^-a^x-^^ — b^y + t^ —
— С1) г_|_^2—_^! = 0. 961. Если две данные сферы не пересекаются,
то искомое геометрическое место есть радикальная плоскость данных
сфер. Если две данные сферы пересекаются, то искомое геометриче-
ское место есть множество всех точек радикальной плоскости данных
сфер за вычетом всех точек круга, ограниченного окружностью, по
которой пересекаются эти сферы. 962. Радикальная ось данных сфер.
963. (х— 1)2 + (у — 4)2 + (z— З)2 = 17. Указание. Центр иско-
мой сферы является радикальным центром четырех данных
сфер. 964. 2£Z]£Zo -j- 2b\b<^4~ 2с^С2 = d± 4~ d2. 965. (Xq—а) (х—а) 4~
+ (Уо-b) (y—b) + (z0—c) (z—c) = R2. 966. (r-r0. r-r0) = ^2’
967. 1) ((г0, я)-Р)2<Я2(я, »); 2) ((г0> л)-£>)2 = 7?2(я, л);
3) ((Го, п) — D)2 > R2 (п, п).
968. (a, a).R2—([a, гг—r0], [a, r1—ro])>0, (a, a)R2 —
([а, Г!-г0]. [а, и—ro])=O, (a, a)R2-([a, t\ —г0], [а, Н-Го]) <0.
qfiq г r
969. п-ГоЧ- (и> я) п,
Г (п, п)
970. (a, a) — D>0, ОС = —а, R = V(a, a)-D-
079 г <Г1’ Г1)1Г2. Г3] + (Г2, Г2)[Г8, Г1] + (Г3. /"sJkl. Г2]
У7Д 2 (rlt r2, r3)
q7o r_(«- °) d + (*. b) [с, a] p2-(n. я)
973- r- 2 (a. b, F) • 4‘ 2(«. я) "•
975. Ijy—jy0 z —г0|2 , I z—z0 x—x0 I2 , I x—x0 y— y0 I2
I b с I +| с a I +| a b | ~
= r2 (a24~b2+c2). Указание. Воспользоваться формулой расстоя-
ния от точки до прямой.
976. 8х2+5у2+5z2 — 4ху + 8уг+4zx + 16х + 14у + 22z — 39 = 0.
977. Ь г|2 г х |2 1 х УР^ (а2_|_62+с2).
978. 2х2 + 2^2 + 2г2 — 2ху — 2xz — 2yz—3 = 0. 979. x2+y2 + 2z2 —
— 2xz — 2yz —1=0. 980. у2х2 + (yy — (3z)2 = y2r2; каноническое урав-
нение y2x'2 + (y2 + P2) y,2 — y2‘r2. 981. 4x2+_y2+4z2—Axy—8xzA-4yz—
— 28x-j-2y 4- 16z 4-45 = 0. Указание. Написать каноническое
уравнение цилиндра в системе О', е'^ и перейти к исходной
системе координат. 982. у?24-г2=1. 983. [а (х—х0)4-6 у^ + с\г~
- г0)]2 = (а2 4- Ь2 4- с2) [(х - х0)2 (у-у0)2 4- (г - г0)2] cos2 ф. Указа-
ние. Воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами
334
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 984
и и SA4, где Л4 = (х, у, г) —произвольная точка поверхности конуса.
984. 11 %2 + 11у2 + 23г2 — 32ху + 16хг + 16yz — 6х - 60у — 186г + 342 = 0.
985. z2=±2xy. 986. xy-J-yz-j-zx — O; каноническое уравнение х'2 +
4~у2 —2г,2 = 0. 987. x2-j-y2-j~z2~ 2ху — 2xz~ 2уг = 0; каноническое
уравнение x'2-j~y'2 — ~ z'2 — 0. 988. г2 + 2ху2 2 хг + 2 2yz ~
— 0; каноническое уравнение х'2-]-у'2 — Зг'2 = 0. 989. х2-\--у2 —
"°- arccosii- 991-
(g_g\2
— -—- = 0. 992. 2xy — (z~а)2\ каноническое уравнение х'2—у'2—
оО
— г'2 = 0. 993. у2 + 2х (г—р) = 0; каноническое уравнение x'2-j-y'2 —
— г'2=0. 994. ayz + bzx+сху=0., 995. Зх2 — Зу2 + z2 — 0. 996. х2 +
+ у2-6х — 6у + 12г + 9 = 0. 997. 5х2 + 8у2 + 5г2-4ху + 8xz + 4yz —
— 6x+6y-]-6z+10 = 0. Указание. В каноническом уравнении
параболоида вращения х'2+у'2 = 2рг' выражение x'2-j-y'2 есть
квадрат расстояния произвольной точки параболоида до оси О'г',
а | г'| — расстояние той же точки до плоскости О'х'у'.
998. |у—у0 г —z0|2 Iz —г0 х —х0|2 |х —х0 у— у0 |2
I b с I +| с а I +| а 6 | =
= 2р У а2+Ь2+с2 [а (х—х0) + Ь (у —у0) +c(z — z0)].
999. [а (х—х0) + Р (у — у0)+Т (г — z0)]2 +
.1 Г г—го|2 I \г~ го X —х0|2 |х —х0 у— Уо pl
Н I 0 Т I "Г I V а I +1 « Р I J ‘
х2 у2 х2 у2
1000. = 2г или---------------= 2г в зависимости от того,
Р Я Р q
имеют ли оси неподвижной и подвижной параболы одинаковое или
противоположное направление. 1001. Пересекает. Указание.
Написать параметрические уравнения плоскости в виде х = щ у — и,
z = — 2и — 2у-|-3, подставить полученные выражения для х, у, г
в уравнение эллипсоида и определить вид линии пересечения по ее
уравнению в координатах и и и. 1002. По гиперболе. См. указание
к предыдущей задаче. 1003. Гипербола, действительная полуось кото-
рой равна 4, мнимая полуось равна 8. Центр в точке (9, 0, 0), дейст-
вительная ось параллельна оси Oz. 1004. По двум прямым х —а,
4-+ — = 0; х — а, -------— — 0. 1005. Две плоскости + — =0.
b 1 с b с Ь ~ с
V 2
Четыре прямые х= ± а, ^-±—~ = 0. 1006. Четыре плоскости х~
3 — —
= ± у V з, х=± 3/2. 1008. р (а2+Ь2) + 2с > 0.
1009. Прямая 2x4-3jy— 6 = 0,
2х—3jy— 12 = 0.
1010. V 2.
,о12-,о'3-
X2 у2 Z2 _
12 + 108” 36““
1040 1
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
335
1014. (£J^ + £L-^ = _2(2-6). 1015. J-4j_±=0.
Т 4
’016. J+g_A = 0. 1017. X~-^ = 2Z.
у2 ч»2 2*2
1018. to + tt + qA^^ I0*9* -^ва Решения: хI 2 — у2 + г2 — 2г = 0;
12 У оО
~5
х2_у2_ гг_|_42 = о. 1020. х2 — у2 + г = 0. 1022. х2-\-у2 — 4г2 — 4г —
— 1=0; каноническое уравнение х,2-\-у'2 — 4г'2 = 0. 1023. х2+Х~
— 12х — 18у — 2г+ 32 = 0. 1024. Однополостный гиперболоид при
/г+1, гиперболический параболоид при /г=1. Указание. При-
нять за начало координат середину О общего перпендикуляра к дан-
ным прямым, за ось Oz — этот общий перпендикуляр, а за оси Ох
и Оу —прямые, лежащие в плоскости, параллельной данным прямым,
и являющиеся биссектрисами углов между проекциями данных пря-
мых на эту плоскость. 1025. Гиперболический параболоид. 1026. х2 +
+ y'2 + z2 — 2ху — 2г х — 2гу — 2гг + г2 = 0; каноническое уравнение
х'2 г г'2
---+------— = 2у'. 1027. Два эллипсоида:
/ г / 2
Г 2
(х ± а)2 (у ± Ь)2 (z±c)2 .
4а2 ‘г’ 462 4с2
1029. Две параболы (без вершин): _у = 0, х2 = 2 z, z + 0;
х = 0, у2 =—2(р + <7)г, г + 0. 1031. Две окружности радиуса а.
1032. Четыре прямые х = ± —гЬД , у = ± * ЮЗЗ. Q —
= (0, —12, 9), rt=15; С2 = (0, 12, 9), гг= 15. 1035. По двум окруж-
1036. По двум
ностям, лежащим в плоскостях г
эллипсам.
1037. <«->+’> + Ука.
oZ а о
х'2 у'2 г'2
зание. В каноническом уравнении ~jg~ + +—h-y=l величины
I х' I» 1X1’ I z' | —расстояния от точки эллипсоида до третьей, второй
и первой плоскостей. 1038. Однополостный гиперболоид
4х2—у2 —г2 — Юху — Юхг—у+ ? = 0.
Каноническое уравнение 12х'2—18у'2 +2г'2= 1. Указание. Если
принять плоскости симметрии за координатные плоскости, то уравне-
ние поверхности можно записать в виде Лх'2 + Ду'2+Сг'2 + £) = 0,
где | х' |, |у |, | г' | —расстояния от точки поверхности до плоскостей
симметрии. 1039. Две плоскости x-j-y-j-z ± 1=0. 1040. Круглый
цилиндр, если прямые параллельны; конус второго порядка, если
прямые пересекаются и не перпендикулярны; однополостный гипер-
болоид, если прямые скрещиваются и не перпендикулярны; пара
336
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1041
взаимно перпендикулярных плоскостей, если прямые пересекаются
или скрещиваются под прямым углом. 1041. 1) Пара пересекающихся
плоскостей x+^y-f-г— 1 = 0, х-{-у — ?+1=0; 2) сфера (х—1)2 +
f2 \2 16 / 2 \2 If»
З’+'з] +г2 = -д ', 3) круглый цилиндр (х—1)2+^+у) =у;
/ 2 \2 / 2 \2
4) круглый конус (х— 1)2+ LV + y ) =0; 5) паРа паРал“
х'2 V'2
лельных плоскостей 2х—у ± 6 = 0. 1042. 1) Эллипсоид -тх- + 4к-4-
49 49
~4~
z2
+ ^9=1; центр (3, —1, 2), большая, средняя и малая оси соответ-
3_\
2 Г
9
ственно параллельны осям Ох, Оу, Oz; 2) однополостный гиперболоид
^'2 у'2 2'2
вращения -------jg---—= —1; центр (—4, 0, —6), ось вращения
у'2
параллельна оси Ох; 3) круглый конус х'2 ——f- z'2 = 0; вершина
(3, 5, —2), ось вращения параллельна оси Оу; 4) параболоид вра-
5 /1 Q \ -
щения; Р — ^^’ вершина
оси вращения {—1, 0, 0}. 1043. 1) Круговой конус —х'2+у'2 +
2'2 = 0; угол между осью и образующими конуса равен верши-
на (0, 0, 0), направляющий вектор оси
направляющий вектор
( 1 1 л
конуса 01*
1/2 /2 /’
2) гиперболический параболоид х'2—-у'2 = 2г'; р = ^=1, вершина
(0, 0; 0), направляющие векторы канонической системы координат
О'х'у'z': 0
У 1/2 /2
_L о1
/2 /2 J
, ^з = {0, 0, 1};
5
3) параболический цилиндр z'2 = 5x'; О' = (0, 0, 0), р=^у направ-
ляющие векторы канонической системы координат Ox'y’z'-. е{ =
= пр ^2 = |—р, у, ^з = {^>А 4) круговой конус
4x'2+y'2 + z'2 = 0; угол между осью конуса и его образующими
равен arctg2, вершина конуса (0, 0, 0), направляющий вектор оси
г 2 1 1
конуса -ру, J ’ 5) гипеРболический Цилиндр z'2 — 2х'2=1;
действительная полуось равна 1, мнимая полуось равна центр
V
гиперболы, являющейся направляющей цилиндра, (0, 0, 0), направ-
ляющий вектор действительной оси гиперболы |—I—
U 2
направляющий вектор образующих цилиндра |------------
1
| 2’
1045]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
337
4
25
и имеет направляющий вектор
_ 12 __
“ 25 ’
16 \
25); напРав“
_Xl
5 ’ 5 Г
"S’}’ 3) паРа"
4 2
1044. 1) Круговой цилиндр х'2+г'2 = -^- с радиусом• ось цилиндра
«бЭ О
/ 2
проходит через точку (0,0, ——
\ о
( 2 1 )
I—W J ’ параболический цилиндр х'2 —5у' = 0; пара-
метр параболы х'2 —5у = 0, г' = 0, являющейся направляющей ци-
5 ( .
линдра, равен-g-, вершина параболы!—1,
ляющий вектор оси параболы в сторону вогнутости |0, —
( 4
направляющий вектор образующих цилиндра 40, — —-
I о о
болический цилиндр г' = 2х'2; параметр параболы г' = 2х'2, j' = 0
равен -у, вершина параболы (0, 0, 1), направляющий вектор оси
параболы в сторону вогнутости {0, 0, 1}, направляющий вектор обра-
зующих цилиндра
болоид вращения
. 1045. 1) Однополостный гипер-
х'2
yfi z'^ .
2 "и 2^
3 3 3
2 2
3~’ ~3 ’
2 1
; 2) параболоид вращения x'2+j/'2 = -~-г'; £ = — вершина
о 3
А -X
3’3’
/2 г'2
центр О' = (1, 1, —1), направляющий вектор оси вращения
3J ’
О' = (1, 0, —-1), направляющий вектор оси вращения
х'2 t у‘
"Г
2
1 \
-g-1, направляющий вектор
эллипсоид вращения x'2+j?'2 +
3) двуполостным
центр °' = (—
- 1 1
. |/ з ’ V з ’
гиперболоид вращения —р
”2
_1_
2 *
X—1:
4
оси враще-
£2
4
центр О' = (1, 1, 1), направляющий вектор оси вращения J-
НИЯ
—5—, —ХД; 5) двуполостный гиперболоид вращения
У о У о )
X А
3 ’ 3 ’ 3/’
г'2
----j- =—1; центр 0' = ^—
Т
Х'2
= 1,
1
Гз’
у'2
6 6
направляющий вектор оси
338
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1046
1
/2
у z „ 2
ния центров —j— = = у; 7) круглый цилиндр х'2+у/2 = ^;
линия центров х—у — г\ 8) круговой конус х'2+у72 —2z'2 = 0; вер-
шина О'—
( 1
вращения
о,
А; 6) круглый цилиндр х'2+у/'2 = -?-
J 6
ли-
п
— направляющий вектор оси враще-
1046. 1) Параболический цилиндр
1 1 11
з ’ з ’ зр ₽s~u
21 „ х'2
Tj ’ эллиптический цилиндр —
= 1; О' = (0, 1, 0),
1
‘ 2. __ 1
“2"’ ~ 2"’
ния
4 2
= 3< р= з, О' = (2, 1,
__2Д e' = U
Зр 3 13 ’ 3
у/'2 =
__ 1
“"У ’
2
Гб’
Ж0’
+ £!_ = 2г'; О' = (2, 2, 1), е[=( 1
’з
1 __ 4___, __ (2_
3/2 ’ 3 1/2Г 3 (3 ’
лоид х'2— y'2 = 2z'; О' = (0,
fl 1 4 1
—3) эллиптический параболоид
|/ Л)
1
__/_
3/2 ’
1з/2 ’ 3 /2 ’
параболоид
х'2
2
_________/
i.W - /2
и ,
4) гиперболический парабо-
о, «?;=<
_/А 2
11 ’ ”з’
/^- = 2г'; О' = (1, 2, 3), е{ — \ —
2l ^=J_1 _1
3Р ез I 3 ’ 3 ’
2
7’
0,
f 1________/
1/2 ’ ~ /2
3 } ’ 5) гипеРб°лический
2 JL 2^1
3’ 3’ 3J’
1 1 х'2
— уг; 6) эллипсоид -2~+
е:
1 2
1;
nz /1 О lx л ( 1 2 2) , f 2 1
° ”( ’ ’ е1“13 ’ 3 ’ 3J ’ е2“{з ’ 3 ’
21
3J ’
3
Л I2
^з-{з ,
__ 2 J
3’ 3
•}; 7) двуполостный гиперболоид
х'2
4
0, 1,
Гб 25
о| ^' = {0, 0,
“ 1/2 J/2 / 1
Х “ I У*____ГУ — ( 1
4 2
5
2\ , f 1 1 д
5/ 1/2 /2’ /’
1}; 8) эллиптический параболоид
19 1\ , ( 1 1
— -ГГ-,
40 2/ 1/6 /6
1061 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
339
2 ) , ( 1 1 1 ) , ( 1 1 л! о\
/б/ 1|/3 /3 /31 1/2 /2 /
х'2 у'2 2'2 / 1 2 ’ 2\
полостный гиперболоид —j 1- -----------г— = 1 \О' — ( —~, — х , -Q ,
1 1 1 \ О О и I
3 6 2
, ( 1_____1_ 1 ) f ( 1 2 1 ) , f 1
1 1”/1Р — /з’ /зг s 1~/ё’Тб’ /б/
—’ гиперболический цилиндр х'2—у»'2 = А. = (—1’
I 1 1 е, г I
/з’ /з/ е* t/б’
, ( 1 „ 1 ) , ( 1
/=1—7-=-, °.----7^}, ^2=<—7-,
1/2 /2/ 1/3
2 1 'i %'2 у'2
——, —-—у; 11) эллиптический цилиндр -4-^—=1, О'=
/6/61’ 2 ±
3
= (—2. —2. °), ^1 = 1—т", °, ~тА, е« =(—7~, —7~> —Т-1, ^3 =
\|/2 /2 / 1|/3 /3 |/3j
1 2 1
/6 ’ /6 ’ /6
1047. 1) Z2>0, /1/3>0, /4<0; 2) /2>0,
Z1Z8>0, /4>0; 3) /2>0, /1/8>0, Z4 = 0; 4) Z2=g0 или Z/gsSO и
Z4>0; 5) /2^0 или /^з'СО и Z4 < 0; 6) Z2<0 или ZtZ3<;0,
Z4 = 0; 7) 73 = 0, /4<0; 8) /3 = 0, /4 > 0. Указание. Воспользо-
ваться правилом знаков Декарта о числе положительных корней
алгебраического уравнения. 1049. 1) Z4 = Z3 = 0, Z2>0, ZxZf < 0;
2) 74 = /з==0, Z2>0, Z1Zf>0; 3) Z4 = Z3 = Z* = 0, J2 > 0; 4) Z4 =
= Z3 = 0, Z2<0, Z*^0; 5) Z4 = Z3 = Z* = 0, Z2 < 0; 6) Z4 = Z3 = Z2 = O,
Z*^=0; 7) Z4 = Z3-Z2-Z^0, Z*<0; 8) Z4 = Z3-Z2 = Z(? = 0, Z*>0;
9) Z4-Z3 = Z2-Z*=:Zf = 0. 1051. 1) 2x+.y = 0, ^А-2г-2 = 0; 2) x —
— 2y + 3z + 2 = 0,’ x — 2y + 3z — 3 = 0; 3)_ x + 2y + 3z + 4 = 0, 3x —
— 2y>-|-z —6 = 0; 4) 2x—-3_y-|-zA-1 ± 1^6 = 0. 1052. 1) Эллипсоид;
2) однополостный гиперболоид; 3) двуполостный гиперболоид; 4) ко-
нус; 5) эллиптический параболоид; 6) гиперболический параболоид;
7) эллиптический цилиндр; 8) гиперболический цилиндр; 9) парабо-
лический цилиндр; 10) гиперболический параболоид; 11) однополост-
ный гиперболоид. 1053. ф = -^ , а = р=4у, ? = -?-. Ю54. Z3 = 0,
4г о 4г
/4у=0, Z? = 4/2; р = £=4. Ю55. Z1 = Z3 = 0, Z4 > 0; р = 9=-121.
*2 Z2
1056. 1) Z2 = —Z|, Z3 = —Z*, Z4^=0; 2) x2+^2-z2 = -^. 1057. Bee
соответствующие' коэффициенты их уравнений, кроме, может быть,
свободных членов, пропорциональны. 1058. 1) {1, 1, 1}; 2)--
<а< 1. 1060. Два конуса: 2х2 —4х_у + (1 ± /5)г2 = 0; оси враще-
НИЯ (1 ±/5)х-2у = 0, z = 0. 1061. У к а з а н и е. Принять за на-
чало координат вершину конуса, за ось Oz — его образующую
и рассмотреть линию пересечения конуса с плоскостью Оху.
340
• ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1062
1062. Число F (х0, yQ, z0) должно быть заключено между 0 и .
'з
1063. /jF (х0, у0, z0) < 0. 1064. _у2 + г2+у- ху — 2рх — 2гу = 0. Ука-
зание. Для конической поверхности /4 = 0.
/>2 /т2
1065. x2+y2+z2+ - ху — 2ах — 2Ьу = 0.
1066. 1)~ 1- 2) Двуполостный гиперболоид.
3) Каноническое уравнение при a = b — c—l: x'2-j-j>'2 —2г'2=—1.
1067. 1) Эллиптический цилиндр x2+y24-z2 + 2xy — 2г х—2гу = 0.
2) 2x'24-z'2 = r2. 1068. г24-3хг — у? + 6х+2у — 4 = 0 и z2—2xy +
+ 2xz— j^4-4x4-2y — 4 = 0. 1069. Сфера. 1070. Указание. 1) Для
доказательства инвариантности /3 и /4 воспользоваться формулой,
дающей преобразование определителя квадратичной формы при линей-
ном преобразовании переменных. Для доказательства инвариантности
/2 и /х рассмотреть функцию Ц)=^а11х2-\-а22у2 + а33г2 + 2а23уг +
+ 2я31гх 4" 2а12ху — X (£ц*2 + +£ззг2 + 2g23yz + 2g31zx + 2g12xy) и
использовать для этой квадратичной формы ф уже доказанную инва-
риантность /3 при линейном преобразовании переменных. 2) Рассмот-
реть функцию ф = aux2 + а22у2 + а33г2 + 2а23 yz + 2a31zx + 2а12ху +
+ 2ttlx+2а2у + 2a3z+а — X (£ц*2 + g22y2 + g33& + 2g23yz + 2g31zx +
+ 2gr12xy) и использовать инвариантность Ц.
3) Если /3 = /4 = 0, то существует система координат, относительно
которой уравнение поверхности не содержит г. В такой системе
координат
I*—ёзз
^11 а±2
#21 #22 #2
#4 #2 #
£п £12 £13
£21 £22 £23
£31 £32 £зз
эта функция не меняется при преобразовании вида х=х'4-*о» У~
г = г'4~2'о-
1Л71 । У(]У । _1. о\ х0х । УуУ 1
1071‘ Ь2 + с2 ~ } а2 + '~Ь2 с2 ” ’
3) = 4) ^+^ = г +
а2 Ь2 с1 р q
е. Х0Х уоу . fix Х^Х уоу Z0Z _ _
5)Т“Т“ + о> +
1072. at = а2 — а = в, а3 Ф 0. 1073. Указание. Принять точку О
касания за начало координат, а касательную плоскость в точке О —
за плоскость Оху. 1075. 3x4-4# — 24 = 0, Зх—28#—120 = 0. 1076. Два
решения: г = 2, х4-2# = 8. 1077. Два решения: 2х —# —2z —8 = 0,
14х —3# — 6г— 144 = 0. 1078. 4х —5# —2г4-2 = 0. 1079. Два решения:
х + 2(/-2 = 0, х+2(/ = 0. 1080.4-4-у ± = 1081- Два реше-
1123]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
341
X
а
z
с
х —4 j/ + 24 z + 32
1Ч х . у г . у г t
ния: 1)--к-т—— = 1; х = а, ; у — Ь}
’ а b с b с *
, Z . у 2 , х
Н--=1; х — а, ~г —--------; у = Ь, — — -
1 с Ь с а
— у(у + 7)г=1- >083. 2х+3(/-г + 32 = 0;
х —4 Z/ + 24 г + 32 1ПОЛ _
--- _ — — —L—. Ю84. Точки
— 1 2 4
равен —. 1085. Точка пересечения
1086. cos<p=||. 1087.
т 00
х-1-1 У+1
1 -1
н и е. Данная
= /;2)£ + | +
с а b
1082. — + ~ —
р q
1 2 8 ’
(1, 1, 1"), (—1, — 1, — 1), угол
(-1,-1, 0), угол равен
_ ____ 1089
1 ~ 0 _ 2 • 1 - -1 - 0 ’
z—1 Л Л х-J—48 у —J- 36 2
= —г—. 1090. —= • а- = —кт. 1091. Указа-
1 4 — 3 — 24
плоскость пересекает параболоид по двум прямым.
1093. 1)
*0?0 + Уо
ас ~ b
*5 Уо
а2 Ь2
Уо?(у — *о
Ьс а
Ар У о
а2 ТЬ*
с
Ь_
а
1094. Ш [Vp,-Vq, > + М
I Vр V q) I h П>
1095. Гипербола, получающаяся при пересечении параболоида
q — p , х У с\
плоскостью z = " а- , когда р ф q\ пара прямых -± = 0, z —
2 I Р V q
— 0, когда p — q. 1096. Указание. Принять за ось 02 системы
координат образующую линейчатой поверхности. 1098. 4х2 + ^2 —z2== 1.
1099.
а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
а^ а^ а^
АВС
а± А
Оз В
Оз с
a D
D 0
1101. 1) оМ2+&2В2 + с2С2>О2; 2) а2Л2+й2В2 —^С2 > —D2;
3) рЛ2 + <?В2 > 2CD. 1102. 1) aM2 + 62B24-c2C2=D2; 2) а2Л24-/?2В2 —
—с2С2 = О2; 3) oM2+fc2B2—с2С2 =—D2; 4) pA2 + qB2 = 2CD; 5) рА2—
— qB2 = 2CD. 1104. Зх2—4xp+z2+2z—3=0; однополостный гипербо-
,2 /2 /2
лоид-^- + ^- + -^- = 1. 1105. {2, 3, 4}. 1106. х-у = о, {2, 3,0}-
1107. 4х+3р—12 = 0, {16, 27,6}. 1108. х=а. 1109. Зх+2р—г —25 = 0.
1115. 1) cz33z2 + 2а12х^ + 2a3z = 0, а33#=0, а12 0, а3 =#= 0. Указа-
ние. Из условия принадлежности осей Ох, Оу поверхности следует,
что а11=а1 — а2~ а22 = а=0; так как диаметр Ог сопряжен с плоскостью
Оху, то а13 = а23 = 0. 1119. г~ху. 1120. z2 — xy. 1121. апх2 + а22у2 +
+ n33z2 + 2a3z==0. 1122. aux2 + а22у2 + а33г2 = 0. 1123. x2+{/2 + z2 = l.
342
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[1124
1124.
1125.
аИ а12
^21'^' ^22
а31 а32
А 2 ^2
а13 ^1
^23 Bl
азз Ci
с2 о
0.
йцОс2 + #22р + дзз?2 ~Н 2^23$? "И ЗАзгуа -|~ 2ц12оф
Ф = arccos —------------ ~.
V (^Н^+^Р+^зТ)2^ (Я21&4~Я22р4~Я2зУ)2+(<731а4-Яз2Р + Яз2Т)2
1129. — ± I ^O. ИЗО. Две параллельные прямые:
4х — 31/-[-1 = 0, 4х—Зу—1 — 0,
Злг-[-4# —5z = 0; J Зх + 4# — 5z = 0. J
1131.
~—^+о==о,
J' р V q
D + 2z = 0.
1132.
1134.
\Ур у я! )
По гиперболе. 1133. По двум параллельным прямым.
1 < е -~-а ^ с , 1135. cy±bz = O, где с—]/а2 — Ь2.
1) Если а>Ь, то bz ± Va2 — b2 г/ = 0; полуоси равны а;
Ь, то таких плоскостей нет. Указание. Повернуть систе-
1136.
если а <
му координат вокруг оси Ох. 2) Если а<Ь> то аг ± КЬ2 — сС2 х = 0;
полуоси гиперболы равны Ь\ если а>Ь, то таких плоскостей нет.
1137. 1) Если р > qt то у Vp — q ± z f^q =0; полуоси гипербол рав-
ны У pq; если р q, то таких плоскостей нет. 2) Если р <q, то
± zVР =0; полуоси гипербол равны Vpq’, если p~^q, то
таких плоскостей нет. 1138. 1) Парабола, параметр р — ~вершина
сторону вогну-
1
и , центр
|/5
вектор оси параболы, направленный в
1 2
2) Эллипс с полуосями —-
==), направляющий вектор большей оси {0, 1, 0}, на-
J_,°, _J_J. 3) Парабола,
вершина (0, 0, 0), вектор оси параболы, направ-
1
7=, 0,
Г 2
/6 0>
\ Кб 3
правляющий вектор меньшей оси
1
параметр jd==—
ленный в сторону вогнутости, 0, j7g
нутъ систему координат вокруг оси Оу на угол ~ . 1139. Парабола
тости,
—Указание. Повер-
1147 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
343
,2 3 , / 1 1 П\ , ( 1 л 11,
У - ]/2 Х' “(в ’ 2’’ 8)’ {^2’ ’ “ W’
fl 2 11
= < —— .--—, Указание. Ввести в данной плоскости
1Кб Кб Кб/
прямоугольную систему координат с началом в точке (0, 0, 1) и бази-
( 1 1 nl f 1 1 2 )
сом J--—, , Оу ,----— L написать параметриче-
I К2 К2 / 1Кб Кб Кб/
ские уравнения данной плоскости, подставить выражения для х, yt z
через и и v в уравнение цилиндра у2 — 2х и исследовать полученное
.мп П л ,2 4К2 , / 8 6 2\ ,
уравнение. 1140. Парабола у =—=—х, О'= —--- — 1 =
о \ 2/D о у
f 4 3 1 1 , 13 4
= <——,-------—, ——у, — -р-, ОУ. Указание. Ввести
15 V2 5J/2 J/2J 15’ 5 J
в данной плоскости прямоугольную систему координат с началом
/ 1 А АХ X I 1 2 2) f 16 13 I )
в точке (— 1, 0, 0) и базисом 4—, — тг,-тгг, <-~ ,--—, —
13’ 3 ’ 3) ’ (15 ^2 15 J/2 3J/2J
написать параметрические уравнения данной плоскости, подставить
выражения для х, у, z через и, v в уравнение конуса и исследовать
х'2 у'2 /2 2
полученное уравнение. 1141. Гипербола -g-|^-==1, \ 7~’ 7’
Т 49
1 \ , f 1 1 П1 , ( 1 1 4 )
7/’ 1 \|/2’. |/2 ’ /’ 13J/2’ ЗК2’ ЗК2/‘
„„„ /18 24 25\ / 18 24 25\ ,1JIO L 5
,142’ \13’ 13’ 26/’ \ 13’ 13’ 26 j" 1,43‘ k < 2’ Указа"
н и е. Рассмотреть проекцию линии пересечения конуса и плоскости
пучка на плоскость Oyz. 1144. Две плоскости: х — у + (—2 ± Vl) X
X (2х—z)=0. Указание. Рассмотреть пучок плоскостей х—у-\-
+ k (2х —z) = 0, проходящих через данную прямую. Ввести в плоскости
пучка прямоугольную систему координат с базисом
1 1 2 )
Кб ’ Кб ’ Кб/
fe-2 -5,4-2 244-2
.Кб К542 + 444-2’ Кб Кб4а4-44 4-2 ’ Кб Кбй24-^ + 2
затем записать параметрические уравнения плоскости пучка, подста-
вить полученные выражения х, у, z через и и v в уравнение пара-
болоида и воспользоваться условием 11 — 0. 1145. 1) Эллипс; мнимый
эллипс; точка (пара мнимых пересекающихся прямых); парабола;
2) гипербола. 1147. 1) Эллипс, мнимый эллипс, точка (пара мнимых
пересекающихся прямых); 2) эллипс, гипербола, пара пересекающихся
прямых, парабола, две параллельные прямые; 3) эллипс, мнимый
эллипс, точка (пара мнимых пересекающихся прямых), гипербола, пара-
бола, пара мнимых параллельных прямых; 4) эллипс, гипербола, пара-
бола, пара пересекающихся прямых, прямая («двойная»), точка (пара
мнимых пересекающихся прямых); 5) эллипс, мнимый эллипс, точка
344
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1148
(пара мнимых пересекающихся прямых), парабола; 6) гипербола,
пара пересекающихся прямых, парабола, одна прямая. 1148. 1) Эллипс,
если «2Л2 + /?2В2+с2С2 — £2>0; точка, если «2Д24-/?2В24-#2С2—£>2=0;
мнимый эллипс, если я2Л2 + 62В2 + с2С2—-D2 < 0; 2) эллипс, если
#2Д24-/?2В2 — с2С2 < 0; гипербола, если а2А2А-Ь2В2 —с2С2 > 0, а2А2А~
А~Ь2В2 — с2С2— D2^0; две пересекающиеся прямые, если #2Д24-
A~b2B2 — c2C2 — D2 = 0t парабола, если а2А2А-Ь2В2 —с2С2=0,
D =4= 0; две параллельные прямые, если а2А2А~Ь2В2 —с2С2 = 0, £) = 0;
3) эллйцс, если а2А2А~Ь2В2 — с2С2 < 0, а2А2А~Ь2В2 — с2С2 + ^2 > 0;
мнимый эллипс, если а2А2А~Ь2В2—c2C2<0, a2A2A‘b2B2 — c2C2 + Z?2<0;
пара мнимых пересекающихся прямых, если a2A2A~b2B2 — c2C2-f-D2 = 0,
Dy=0; гипербола, если а2А2А~Ь2В2 — с2С2 > 0; парабола, если а2А2А~
+ b2B2 — c2C2 = 0y пара мнимых параллельных прямых, если
a2A2-^b2B2 — c2C2 = 0, D — 0; 4) эллипс, если а2А2А~Ь2В2 — с2С2 < 0,
D =£ 0; гипербола, если а2А2А~Ь2В2 — с2С2 > 0, 2)^=0; парабола, если
а2А2А~Ь2В2 — с2С2 — 0, D^=0; две пересекающиеся прямые, если
а2А2А-Ь2В2 — с2С2 > 0, D = 0; прямая («двойная»), если а2А2А-Ь2В2—
— с2С2^у D=Q; пара мнимых пересекающихся прямых, если л2Д2-|-
А~Ь2В2— с2С2 < 0, D =# 0; 5) эллипс, если рА2 + qB2 — 2DC >0, С 0;
пара мнимых пересекающихся прямых, если рД24~<7В3—2£>С=0, 0;
мнимый эллипс, если рА2А~уВ2 — 2DC < 0, С =А= 0; парабола, если
С = 0; 6) гипербола, если рА2 — qB2 — 2DC =# 0, С =/= 0; две пересе-
кающиеся прямые, если рА2 — qB2 — 2DC = 0, С^0; парабола, если
рА2 — ^В2#=0, С = 0; одна прямая, если рА2 — ^В2 = 0, С = 0.
1149. 1) сУа2 — Ь2х± а Уb2 — с2 z А~ D — ®у где | D | < ас J/#2 с2;
2) с У а2 — Ь2у±ьУ а2 4-с2 = где D— любое действительное
число; 3) с У а2 — Ь2 у A~b а2А~с2 zA-P = ®, где | D | > Ьс |/ b2 -f-c2;
4) с У a2 — b2y ± b У а2 А-& zA-D = 0y где D — любое действительное
число, отличное от
{/ + г + О = 0, где£><^;
6) |/#2 — ^2 у ± аг + £) = 0, где D — любое действительное число.
/ -- Г а2 И2 Г h2 г2\
1150. 1) Четыре точки ( ± а 1/ ——2, 0, ± с 1/ ~2__ J; 2) четыре
/ -« Г($— _ Гq2 _L /______________
точки ^0, + b у ± с У Ь^+Т2Л3) Две Т0ЧКИ\°> ± К9 (Р -q),
,I5I.
1152. 1)
«и
#21
#31
А
#12 #13
#22 ^23
#32 а33
В С
А
В
С
о
у=о.
2) Координаты
уравнений
Ху уу z центра линии сечения определяются из системы
апх 4“ ai2& 4* #1з2 4- ai= ,
#21-^ 4- #221/ 4- #23^ 4“ #-2 ~ >
а31Х 4- #32^/ 4- #332 4- #3 =
Ax + ByA-CzA-D = 0.
1174 J
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
345
1153. 1) х' = х cos ф—у sin ф, у' — х sin ф + у cos ф; 2) х' = хсозф—
— у sin ф + [х0 (1 — cos ф) -|- Уп sin ф], у' = х sin ф + у cos ф + [— х0 sin ф+
+ Уо (1 —cosф)]. 1154. 1) x' — kx, y'—ky, 2) х' = kx-^x0(i—k), у' —
— ky+y0(l—k). 1155. х' = х+±у, у' — ~ y. 1156.x' = yx —
2 2 14
— -^y —13, y’=— у *+y У+^- И57- x' — x—y+1, y' = x+y+2.
1158. x'=5x — 3// + 8, {/' = —3x+2y—3. 1159. x'=—x+2y-8,
y' = 4x — 3y+24(AB); x' = x+8, y' = 4x—5y+14 (BA). 1160. (4, 2).
1161. 2x-h*/ —3 = 0. 1162. Два решения: {3, —2}, {3, —5}. 1163. Точка
пересечения медиан треугольника АВС. Указание. Ввести систему
координат с началом в точке А и базисом АВ и АС. 1164. х' =
=— 3^ + 4, у' = 3х—2. 1165. Два преобразования:
У— I *+^+4:
3 2 11 2 3 1
*'=—10x+5’-v+5 ’ у>=5 *+1б-У-1б-
,12 9 , , 9 12 , _
1166. х' = ух—у_У — 1, У =— у*—У-У + 7-
1167. х' = 4х+3у — 5, у' =—Зх+4у— 1; неподвижная точка
(4. ')•
ass.
11ЙО , 5 3,1, 3,5,1
1169. х'.= у х—т.у+ 2 . 4 х+4У + '2-
,1 3,3, 3,1 3
1170. х' = ух-у>> + у, У = —4 л:+у> + у.
1171. Гомотетия с центром в точке пересечения медиан треуголь-
ника и коэффициентом гомотетии —. Указание. Ввести систему
координат с началом в точке А и базисом АВ и АС. 1172. Произве-
дение симметрии относительно прямой х —2у —5 = 0 и гомотетии
с центром (1, —2) и коэффициентом 5. 1173. Произведение гомотетии
с центром (1,3) и коэффициентом 5 и поворота вокруг этой точки на
3
угол arccos 1174. 1) Произведение поворота вокруг начала коор-
о
„ а . b
динат на угол ф такой, что cos ф = -^—==, sin ф= , и гомо-
у a2A~b2 у а2-\-Ь2
тетии с коэффициентом k — ]fa2A~b2 и с центром в начале координат;
2) произведение симметрии относительно прямой, проходящей через
начало координат и имеющей угловой коэффициент 2 * И
гомотетии с коэффициентом ]/а2 + Ь2 и центром в начале координат.
346
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1175
1175. Инвариантная точка —2 j; инвариантные прямые 2х—
— 2у —3 = 0, 4х—у = 0. 1176. Инвариантными точками являются все
точки прямой 2x-j-y —2 = 0 и только эти точки. Инвариантные пря-
мые: прямая 2х-4~у — 2 = 0 и все прямые, перпендикулярные к ней.
1177. х'* =—х*, у* = 5у*. 1179. х' = х—туУ, У ——у У- И80. х' =
5 , ! 1 , 11С1 ,17 12 1
= ^Х+^У—£,У=У- 1,8‘- Х=Т2Х-12У+^’У =-12Х +
, 17 1 <.ео , 2 , 2 , 10 , 11 , 14 , 13
+ 12^—з- 1182- х —-зх+-зу+-з< у —'з^+^-у+т-
1183. 13х±16у = 0. 1184. ^kj— 1 х± /1—^ = 0. 1185. y=±kx.
1187. {1, 3} и {3, —1}. 1188. s = Указание.
j Ad — Ad |
Рассмотреть аффинное преобразование х' = Ах-}-By + С, у' = А'хА-
-}-В'у-}-С'. 1189. Два решения: х— 12j/-}-57 = 0, 8х —9у —66 = 0.
Указание. Рассмотреть аффинное преобразование, переводящее
данные прямые в оси координат. 1190. 142х—183у —489 = 0. Ука-
зание. Рассмотреть аффинное преобразование, переводящее дан-
ные прямые в оси координат, а данную точку — в единичную точку.
1191. 1) х'* = к1х*) у'* = Х2У; 2) х'^ = &х* —[Зу*, у'* = (3х* + ссу*.
В случае, когда исходная система координат прямоугольная, это
преобразование является преобразованием подобия с центром в непод-
вижной точке данного преобразования, представляющее собой произ-
ведение гомотетии с центром в неподвижной точке и коэффициентом
/г=|Лх2 + Р2 на поворот вокруг той же точки на угол ф такой, что
соэф = ^ t sin ф = -|-; 3) х'* = Лх*, У* = \у*— гомотетия с центром
в неподвижной точке данного преобразования и коэффициентом X —
= 4) х'* = Хх* +У, у* = Лу*; 5) х'* = Хх*, у'*=у*-]-Ь-,
6) х'* = х* + а, у'*~у* — перенос; 7) х'* = х*+у*, у'* =у* -}-b.
1192. х' = х + г, y'—y-j-z, z' = z. 1193. x'=y + z, у' = ? + х, z'—x+y.
1194. x' = —x—у — г+1, у —x, z'—y\ инвариантная точка
1 1 1
i i \ x--т У----r 2----г
1 1 \ 4-44
Y j; инвариантная прямая —j— =±-- ~ ; инвариант-
ная плоскость 2x+2z—1=0. 1195. Гомотетия с центром в точке
пересечения прямых, соединяющих вершины тетраэдра с центрами
тяжести противолежащих им граней, и коэффициентом---У к а -
О
з а н и е. Ввести систему координат с началом в вершине тетраэдра и
базисом, составленным из ребер тетраэдра, выходящих из этой вер-
шины. 1196. Произведение гомотетии с центром в начале координат
и коэффициентом 5 на поворот вокруг оси Oz на угол arccos .
1197. Указание. Предположив противное, рассмотреть аффинное
преобразование относительно системы координат, началом которой
1205 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
347
является неподвижная точка и в которой инвариантная плоскость
имеет уравнение х=1. 1199. Инвариантная точка (—2, 1, —3); инва-
риантная прямая у=1, z — —3; инвариантная плоскость z ——3.
1200. Инвариантная точка (1, 2, 3); инвариантная прямая х=1,
у = 2; инвариантная плоскость 2 = 3. 1201. Не обладает ни инвариант-
ной точкой, ни инвариантной прямой, ни инвариантной плоскостью.
__1
1202. Инвариантная точка (1, 1, 1); инвариантные прямые: —j— =
— У и все прямые, лежащие в плоскости x+2jy + 3z—6 = 0
и проходящие через точку (1, 1, 1); инвариантные плоскости: x-f-2y-j~
, „ z? л х—1 У~ 1 z—\
+ 3z — 6 = 0 и все плоскости пучка с осью —-— = <—— = —-—.
1 2 о
7 2 12
1203. х' = -9Х+-9 У— 9-2+9-.
,271 2
у ~ 9 9 9 2 9 ’
, 1 , 1 , 17 , 1
г- 9 х+ 9 У+18*+ 9 •
1204. Указание. Подобное преобразование пространства может
быть записано в виде
х' = k (с±1х++ Из2) + *о>
У' —k (c2i*+с22у + с23г) +jy0,
z' = k (£3ix + c32J’ -J~ £зз2) ~F го,
где (cik) — ортогональная матрица. Определитель, составленный из
коэффициентов при неизвестных той линейной системы уравнений,
из которой определяются координаты неподвижной точки, может быть
записан в виде
1
С11 С12 с13
f31 £32 £33 —
и при k #= 1 этот определитель отличен от нуля.
1205. х' = £цХ £i2JV £13^ ~h £1,
у' = c21x + c22y + c23z + c2,
г'=c31x+c32 у + £33z+c3,
/£11 £12 £1з\
где матрица C = lc21 c22 c23 определяется из соотношения С—BA,
\£з1 £32 £33/
Mil #12 #]з\ Mil &12 &1з\
Л = { #21 #22 #23 1 , В = 1 Ь21 Ь22 Ь23 I J
W31 #32 #3з/ \^31 ^32 ^33/
348
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1206
с2, с3 определяются соотношениями:
С1 = Х0 — (С11Х0 + С12 Уь + с1зго)»
с2 —Уо — (садхо + с22.Уо + ^23го)>
С3 ~Z0 — (С31*0 + С32 У 0 + С33го) •
1206. Эллипс, гомотетичный данному, с коэффициентом гомоте-
тии У2, с центром гомотетии, совпадающим с центром эллипса.
Указание. Преобразовать аффинно эллипс в окружность и свести
задачу к случаю окружности. 1207. Эллипс, гомотетичный данному,
с коэффициентом гомотетии —и центром гомотетии, совпадающим
V *
с центром эллипса (см. указание к предыдущей задаче). 1208. —.
1210. Эллипс. 1211. —. 1218. х' = хсозф— — j/sintp, у'= xsin ф4-
у 2 b а
, , а . , b
4- у cos ф и х = х cos ф + -у у sm ф, у — — х sin ф —у cos ф. Указа-
ние. Искомое преобразование можно рассматривать как произведение
х у
трех преобразований СВЛ, где Л: x1 = ~^-t у±= — , В: х2 = х1созф —
— У! sin ф, y2~Xi sin ф+j^i cos ф (или х2 = cos ф sin ф, у2~
— Xi sin ф—cos ф), С: х3=ах2, у3 = Ьу2. 1219. х' — — ~у, У' — ~ х.
1220. x' = kx, у' = ~у и x' = ky, у' = -~—х, где k — любое действи-
тельное число, отличное от нуля.
1221.
у_44 (^’+4)'+ 4 (1+4>
Указание. Искомое преобразование может быть представлено как
х у
произведение трех преобразований: преобразования а: х* = у—
X V
у* = -- 1 переводящего данную гиперболу в гиперболу х*_у* = 1;
преобразования р: х'* — Хх*, ул = -^-у* или х'* = Ху*, ^'* = ~х*,
л л
переводящего гиперболу х^у* = 1 в себя; преобразования а-1:
х' = “ (х'* у\= — -q" (х'* —-у'*), переводящего гиперболу
1239 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
349
х'*у'*~\ снова в данную гиперболу. 1222. х'==х 1^2+^, у = хф-
ф-у|/Л2 и x' = xj/2—у, у' = х—уУ 2. 1223. 1) х' = ^-(2рх—2цуф-р,2),
у = Х(.у — ц), где X и р, —любые числа, причем X =# 0. 2) х' —
= (2рх—2цу + р2), —|jl, где р —любое число. 1225. х' = хф-
2р
ф-2.уф-2, у'=у + 2. 1226. Парабола у2 = 2р (х—а) («—расстояние от
вершины параболы до хорды, перпендикулярной к оси параболы и
отсекающей от параболы сегмент данной площади). Указание.
Рассмотреть унимодулярное аффинное преобразование, переводящее
произвольную хорду, отсекающую сегмент данной площади, в хорду,
перпендикулярную к оси параболы.
1228. x' = xcos ф—у sin фф-х0 (1 — cos ф)+у0 sin ф,
у' = х sin ф+у cos ф —х0 sin фф->0 (1 — cos ф).
1229. х=ф^х0— Л ctg ф
1230.
1 ( , ф .
•V = -2 r°ctg 2+з,°
x' = xcos 2фф-_у sin 2фф-х0 (1 — cos 2ф)—sin 2фф-б/cos ф,
у' = х sin 2ф —у cos 2ф—х0 sin 2ф ф-^0 (1 ф- cos 2ф) ф- d sin ф.
1231. Ось симметрии у — f вектор переноса {х0, 0}.
х0 Уо
ф Ф У~ 2~
1232. х sin — у cos — 0. 1233. Ось симметрии ----=-------—;
cos_2_ sfa_|_
вектор переноса
|ф [*0 (1 + cos ф) +^о sin ф], Ф [х0 sin <р4*5’о (1 — cos ф)]|;
канонический вид
,* * . I <р , • ф I
X’ = х* + х0 cos +.у0 sm ,
у’ =~у*.
1234. Вектор переноса вдоль оси симметрии {9, —3}. Уравнение
оси симметрии хф-Зуф-15 = 0. Каноническая запись преобразования
х'* = —X*, у*=5»* + 3/10. 1235. х' =—>4-5, У=—Х4-5.
3 4 8 4 3 4
1236. х' = -ух—5~^ + у, y = _yx+yjV+-5 •
г а л Ах-\-Ву-^~С z nd Ax-j- By ф- С
1237. х' = х-2Д—Х-2^-, у’^у-2В .
1238. х'=.у,у' =—х-[-1; ф = —; неподвижная точка
1239. х' = ~-у, у' — — хф-1;' уравнение оси симметрии у — —хф--^
350
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1242
{---у}* 12^2‘ 1) Поворот
(4 ~ ‘
направляющим вектором /—
(
, ПР0'
вектор переноса >цоль оси симметрии
л
на угол -у вокруг оси с
ходящей через точку (3, —4, 0); канонический вид х'* =— у*, у1
= x*,z'* = z*; 2) поворот на угол л вокруг оси с направляющим век-
f 3 1
тором j/jg’ Оу» пР0Х0ДяЩей через точку (—5, 0, 1); канони-
ческий вид х'* =—х*, у'* =—у*, z'*— z\ 3) поворот на угол
(29\ ( 7 3
----j вокруг оси с направляющим вектором -т=.
30/ < 1/59’ /59’
, проходящей через точку (5, 1, 0); канонический вид х'*==
29 * /59 ,* /59 * 29 *
= — 30 "зо“.У ’ У ="зо"х зо-У% 2 = **; 4) произведе-
2
ние поворота на угол arccosи переноса вдоль оси вращения на
о
вектор, координата которого на оси вращения равна 3 /5; ось про-
ходит через точку (10, 0, —2) и имеет направляющий вектор |-у=,
IV 5 ’
2 о/ « ,* 2 /5 * /5 2
р--, иу, канонический вид х' =-$-х ~ ~£*У * У ~~з~х ‘ "з-У »
г'* = г* 4-3/5; 5) произведение симметрии относительно плоскости,
2 “
3 ’ 3
7
, и поворота на угол arccos —
5 \
и перпендикулярной -
о /
л, /10
проходящей через точку Л1= f — э -
( 1 1 7
к вектору а = {~—~ ---
1/51 ’ /51 /51
вокруг оси, проходящей через точку М с направляющим вектором а;
« * У 51 * /51 * I 7 . *
канонический вид х' = ]qx-----1б~^ ’ У ^ТсГ Х 16^ ’ 2 ~
— — z*\ 6) произведение симметрии относительно плоскости 2х — 4у —
— 5 = 0 и переноса, определяемого вектором {0, 0, 3}, компланар-
ным плоскости симметрии; канонический вид х'* =—х*, у'*=у*,
2'*==z*4-3; 7) произведение симметрии относительно плоскости х-\~
4- 2у 4-Зг—-7 = 0 и переноса, определяемого вектором {6, 12, —10},
компланарным этой плоскости; канонический вид х'* =—х*, у'* =
= у*4-2 /70, z'* = z*; 8) произведение симметрии относительно пло-
/ 3 \
скости, проходящей через точку 714= (9,—3,—j и перпендикулярной
/ 2 2 1{ л
к вектору а = \—Q , —-Q-, —«-> и поворота на угол --- вокруг
( о о о J 2
оси, проходящей через точку А4, с направляющим вектором а; кано-
нический вид х'* = — у*, у'^ = х*, z'^ = —z*; 9) произведение пово-
рота на угол л вокруг оси, проходящей через точку (0, 0, 14) с на-
1242 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
351
правляющим вектором
J____1______2 3 )
I i/W К И’ |/14Г
и переноса вдоль этой оси, определяемого вектором {—1, — 2, —3};
канонический вид
х'* = —х*, у'* = — у*, г'* — г* + К14;
10) произведение симметрии относительно плоскости х + + 15 = 0 и пе-
реноса на вектор {9, —3, 0}, компланарный этой плоскости; канонический
видх'* = — х*, у'*=у* + 3 )А10, г'* = г*; 11) произведение поворота
л
на угол -g- и переноса вдоль оси вращения на вектор, координата
которого на оси вращения равна —9; ось вращения проходит через
{2 2 1)
, -к-, -Q-?; канони-
□ о О J
ческий вид х'* — — у*, у'* — х*, z'* = z* —9; 12) произведение сим-
метрии относительно плоскости, проходящей через точку М = (9, 9, 9)
( 2 2 3 1
и перпендикулярной к вектору а = |—yjfj’ й пово-
8
рота на угол arccos вокруг оси с направляющим вектором а, про*
8 1/"Г7
ходящей через точку М\ канонический вид х'* = х* —- —д— у* ,
у'* = z'* = —г*; 13) произведение симметрии отно-
сительно плоскости 2х—у — 5г +15 = 0 и переноса, определяемого
вектором {4, 3, 1}, компланарным этой плоскости; канонический вид
х'* = —х*, у'* =у* + К26, z'* = z*; 14) произведение поворота на
л ( 1 1
угол— вокруг оси с направляющим вектором 0\, прохо-
3 \ г 2 у' 2 J
s дящей через начало координат, и переноса вдоль этой оси, опреде-
1 1/3
ляемого вектором {2, 2, 0}; канонический вид х'^ — -^х*---2 ^* ’
у'* = t^x* + у у*, z'* = z* + 2j/2; 15) симметрия относительно
плоскости 5х + 2у+ ? + 30 = 0; канонический вид х'* = — х*, у'*=у*,
2'* = г*; 16) произведение симметрии относительно плоскости, про-
ходящей через точку М = (— 1, —1, 0) и перпендикулярной к
вектору
a=J—4- — + о|,
I К2 К2’ /
и поворота на угол — вокруг оси, проходящей через точку М с
352
ответы и Указания
[ 1243
х'*
вектор, координата которого на
£
ния проходит через точку
направляющим вектором а\ канонический вид
1 * КЗ * ,* /3 . 1 * *
2х—2~У ' У ==~2~Х~2У ’г =-2*;
, 2л
17) произведение поворота на угол -у и переноса вдоль оси вращения на
о
1
оси вращения равна ; ось враще-
, 0j и имеет направляющий вектор
; канонический вид
/* 1 * 3 * "V I*/* * I •
* ’ К =-Гх ’ z =г +/§’
18) произведение симметрии относительно плоскости, проходя-
пл I 1 1 1 \
щей через точку М == (-у, у, ~2J И пеРпенДикУляРнои к вектору
fl 11) л
а=1—---------— и поворота на угол — вокруг оси, прохо-
ц/ 3 ]/ 3 У 3J 3
дящей через точку М с направляющим вектором а; канонический вид
% 1 * Кз * •%. Кз * . 1 * *
х' ~-2Х 2~У = 2~~Х +~2У 1 2 =~^ ’
1243. Поворот на угол л вокруг оси с направляющим вектором |cos~,
; канонический вид
sin “, oj>, проходящей через точку
/ = х*,/ = -;*, г'* = —2*.
1244.
1252 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
353
1248. х'=-^x+yy + yz- 14, 1249. х'= j|x+_y+j°z + 2,
, 7 , 4 4 о , 2 , 14 5 , л
У = 9-х+-9^-уг-2' У =Т5х+15^-Т5г + 4’
, 4 , 8 , 1 , к ,2 1 2,.
г =- 9 *+д^+-9г+5- г'= дх—з^-д-г + б.
2 2 1
1250. х' = vx+vjr4-—г+1,
ООО
, 11 , 10 , 2 . „
У ~ 15х+15л’+15г + 2,
г'= jgx+jg^-^z + 3.
1251. Тождественное преобразование х' = х, у'—у, z* — z и сим-
метрия относительно плоскости, проходящей через три данные точки:
1 2 2.2
х ~ з х—'3 у з г+ з ’
, 2,1 2,2
у =—зх+-з^“Уг+У’
2 2,1,2
2 ~ 3 Х 3 v+ 3 г+ 3 •
1252. 1) Изометрическое преобразование, сохраняющее ориента-
/li/х 2л
цию: x'==z+l, y' — xt z'—y — произведение поворота на угол —
f 1 i 1 )
вокруг оси с направляющим вектором , проходящей
/2 1
через точку (у, -у, 0L
с координатой каноническая запись преобразования
и переноса вдоль этой оси на вектор
х'*
1 * /3 *
2 Х 2 У ’
,* /3 1 *
У = Х 2" У '
2'* = г* + ..1-.
^/3’
2) преобразование, меняющее ориентацию: х' = — г+ 1, у' = х> zf —
л
— ^—’Произведение поворота на угол вокруг оси с направляющим
О
, проходящей через неподвижную точку
fl 1 1 1
вектором ---—Л
1/3 рз J/3J
12 П. С. Моденов, Л. С. Пархоменко
354
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1253
/ 1 1 1 \ 1
\Т ’ 2 ’ Т / ’ И симхметРии относительно плоскости х —у 4- z — у = 0;
канонический вид преобразования
-- X* — V*
х 2 2 3 ’
,* /3 * , 1
У =-2~ х +~2 У '
z'* = —z*.
1253.
/ ~
27
_ 25
27
2
\ 27
23
27
К)
27
10
27
1254. a' = acosф+[е, a] sin ф. Если а = {х, у, г}, а' = {х', y't
г'}, е — {«> Р, ?}, то
х' = х cos ф + (Р? — ТУ) sin Ф,
у' — у cos ф + (ух — аг) sin ф,
г' = г cos ф+(ау — рх) sin ф.
1255. г' = гсо8ф+[е, r] sin ф + tf (е, г)(1 —созф), где г = ОЛ1 —
радиус-вектор произвольной точки пространства, г' = ОМ' — радиус-
вектор ее образа. Если г={х, у, г}., г' = {х', у', г'}, е = {а, р, у},
ТО Х' = [С08ф + а2 (1—С08ф)]Х-]-[—Т^Пф + аРО — СО8ф)]<у + [Р8Шф +
+ ау (1 — cos ф)] г, у’ — [у sin ф + ар (1 — cos ф)] х+ [cos ф + Р2 (1 —
— cos ф)] у + [— a sin ф + Ру (1—cos ф)] г, г' = [— р sin ф + ау (1 —
— cos ф)] х+[а sin ф+Ру (1— cosф)]у + [cos ф + у2 (1 — cos<р)] г.
1256. х'
х
OX f оу
Х2 + >-2’ У '“х2+^2’
ох' ____________ оу'
.2 . 2 > У ,2 . ?2
х' +у' х' +у'
1257. Окружность с (х2+у2) + 2аох + 2/?оу + о2 = 0, если данная
окружность не проходит через начало координат; прямая 2ах + 2Ьу +
4-о== 0, если данная окружность проходит через начало координат.
1259. 1) Центр радиус r' = | ~ + — с-
1260. Окружность С (х24-у2) 4-Лох4-^оу== 0, проходящая через
начало координат, если данная прямая не проходит через начало
координат; сама прямая Лх4~Ду = 0, если данная прямая проходит
через начало координат. 1263. Пусть М — точка пересечения двух
окружностей Q и С2, а М'— образ этой точки при инверсии (О, о).
Рассмотрим две окружности Ki и ^2» каждая из которых проходит
через точки М и АГ, причем окружность касается окружности Сх
в точке Мг а окружность К2 касается окружности С2 в той же точке
1281 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
355
М. При инверсии (О, а) окружности Кг и К2 инвариантны, а окруж-
ности Сг и С2 перейдут в окружности С{ и CJ, проходящие через
точку М' и касающиеся в этой точке М.' .соответственно окружностей
= И К2( = К0. 1264. 1) d = —2) «={а, Ь}.
2 у а2 + Ь2
1265. 4 (а2+&2) = I а |. 1266. | АЧЗ’ 1 == | ст | If f 1267. У к а-
1 |ол |-|овГ
з а н и е. Примем полюс О за начало координат. Если полюс О лежит
вне окружности С : х2-]-у2+2ах-{-2Ьу -|-г = 0, то с> 0; если же О
ох'
лежит внутри окружности С, то с<0. При инверсии х — —z----------=
ау'
у =—» —левая часть уравнения окружности С принимает вид
х +У
,2 , /2 । / I , । °
с (х/2 + JV/2) + 2пах'4-2frqy'4-о2 Х с Х с У с
(х'2 + у'2)2 (х'2+у'2)2
Для точек, лежащих вне окружности С, х24~:У2 + 2ах-\-2by + с > 0;
значит, х'2+у2 + 2+2~У+ ~> 0 (так какс>0). 1270. При
условии, что С пересекает окружность инверсии. 1271. Указание.
ОМ • ОМ' = о, OM-ON — и: перемножить почленно два
ON х ’
последних соотношения и сравнить результат с первым соотношением.
1272. Данная прямая при инверсии (О, о) переходит в некоторую
окружность С, проходящую через полюс инверсии. Та полуплоскость
от данной прямой, где лежит полюс О, переходит в множество всех
точек, лежащих вне окружности С; точки другой полуплоскости отоб-
ражаются во внутренние точки окружности С. 1273. Общая часть
внутренних точек окруж'ностей [х — -i-j 4-^2 == , х2 4- (^у —“ ~4~ •
1274. Область, состоящая из точек, лежащих вне окружности
(х— 1)24-.У2= 1, но внутри окружности (х — 2)2+^2 = 4 (серп). 1276. р' =
= (1— е cos ф)--улитка Паскаля в случае эллипса и гиперболы;
Р
кардиоида р' = — (1—coscp) в случае параболы. 1277. 1) Парабола
у2=х; 2) множество всех внешних точек этой параболы.
1280. х' =x2_|_JV2 + z2> У ===х24->24-а2’ 2 ==x24-^24-z2’
ах' __ оу' __ az'
х'24-у24-г'2’ х'24-<у'24-г'2’ x'24-^'24-z'2’
1281. Сфера
d (х2 4-у* 4- z2) 4- 2aax 4- ^bay + 2caz 4- a2 — 0,
если данная сфера S не проходит через полюс инверсии (d=/=0).
12*
356
.ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1282
Если данная сфера проходит через начало координат, то S' — пло-
скость 2ах + 2ЬуЧ-2сг + а = 0. 1282. Сфера D (х2 +jy2 + 22) + Д ох +
+ Boy + Coz — 0,1 проходящая через начало координат, если данная
плоскость не проходит через начало координат; сама плоскость
Ах-^Ву + Сг = 0, если данная плоскость проходит через начало
координат. 1284. Указание. Рассмотреть две сферы, пересекаю-
щиеся по данной окружности. 1285. Центр 9 —, 1^, радиус
щиеся по данной окружности. 1285. Центр
1287. Указание. Принять за начало координат точку О, а за еди-
ницу масштаба —диаметр сферы S. Тогда уравнения окружности к
будут х2 +.У2+z2 — z = О, хох +уоу + ^г0 — Уj z —у=о, где (х0, у0.
20) — вершина конуса. Произвести инверсию (О, 1). 1288. Указа-
ние. При инверсии сохраняется касание окружностей и углы между
пересекающимися окружностями. 1289. Указание. Ввести прямо-
угольную систему координат, принимая за начало координат точку О,
за базисный вектор оси Oz —вектор ОР, а за направление оси Оу —
направление диаметра АВ. Тогда уравнение сферы S будет x2+jy2 +
_}_22__2 = 0; уравнения плоскостей, содержащих окружности семей-
ства Q, будут _у = Х, где а уравнения плоскостей, содер-
жащих окружности семейства Си, будут цх+2г = 1 (ц принимает все
действительные значения). Далее воспользоваться инверсией (О, 1).
Уравнения семейств С? и C'k будут
х2 +У2- 2Лх+1 = 0,
2=1;
О
х2А~У2-— 2jix— 1 = 0,
2=1.
(ЧЭ
1290. х1:х2=х. 1291. х1:х2==1:х. 1292. 1) 1:—1; 2) 1:—X.
Указание. В пучке прямых, реализующих проективную прямую,
единичная прямая (1:1) должна быть параллельна проективно-аф
финной прямой.
1293. 1)
кх[
Xj #12
#22
а12
Ь2 ^22
Хх2
#11 Х1
#21 Х2
#11 ^1
#21 Ь2
2) XXj — ЯцР1Х[ + #12р2Х2 >
Хх2 — #21Р1^1 ~Н #22Р2^2 »
где Pi и р2 определяются из системы уравнений
#11Р1 + #12р2 — ^1»
#21Р1 + #22Р2 ~ ^2’
1294. 1) Хх!=4—Ьх2 = -?—^
b — а^ л Ь — ах
1313 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
357
уравнений
С1Р1 + °2р2~ Ь,
Р1 + Р2 — 1-
Указание. Перейти к однородным координатам и воспользоваться
результатом предыдущей задачи. 1295. (ABCD) = ~—— : ———.
%2 — -^3 -^2 — -^4
1296. Указание. Если принять точку О за начало аффинной
системы координат Оху, то
аг а2
d± d2
(ABCD)
а2
ci с2
C1 c2
b2
di d2
bl b2
где A — (ai, a2), B = (bi, b2), C=(ci, c2), D = (dlt d2); координаты
точек A', В', C, Df пропорциональны координатам точек А, В, C, D,
1297. (ABCD)
a2
ci£2
ax a2
dj d2
C1 C2
bl b2
d\ d2
bi b2
1298. Xi: x2. 1299. xx: x2. 1300. Прямая, проходящая через
точку А параллельно ВС. 1301. Биссектриса смежного угла. 1302. Пря-
мая, соединяющая вершину О прямого угла с серединой отрезка
гипотенузы, отсекаемого на ней биссектрисами внутреннего и внеш-
него угла при вершине О. 1305. Указание. Принять две инва-
риантные точки за базисные, а третью инвариантную точку за еди-
ничную. 1307. Хх^р^^ + рг^А, кх2 = Pifl2Xi + р262х2, гДе Pi и Рг
определяются из системы уравнений:
РА + Р2^1 = Q,
РА + Рг^г — 6^-
1308. Кх[ = х2, Xx^Xi. 1309. 1) (1 : —1) и (1 :2); 2) (1:0);
3) инвариантных точек нет. 1310. 1) (аи — а22)2-j-4a12a21 < 0;
2) (&ii — #22)2+4#i2#2i > 0; 3) (йхх—о22)3 + 4nX2^2i — 0; 4) = а22 =# 0,
^2=021 = 0.
1311. 2) I Oil ^12 а!
< 0. 1312. 1) Параболическое преобразование;
2) тождественное преобразование; 3) гиперболическое преобразование,
сохраняющее ориентацию; 4) гиперболическое преобразование, меняю-
щее ориентацию; 5) эллиптическое преобразование. 1313. 1) (1 : —1);
2) (1:1) и (1:-1); 3) (1 : - (1 + V 2)) и (1: (К 2- 1)); 4) инва-
358
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1314
риантных точек нет. 1314. 1) \х{ — кхъ 'кх'2 — х2; 2) & > 0; 3) сжатие
к оси Ох2 с коэффициентом k, 0=^^¥= 1, по направлению оси Охг.
1315. I) \х{-~^х1~\-кх2, 'кх2~х2\ 2) сдвиг по направлению оси Ох.
1316. — x1-j~x2i кх2 = х2.
1317. pr qllq afllai М>()
I b2 c2 11 c2 a2 11 a2 b2\
1318. Указание. Принять точки А и В за базисные, а С—
за единичную точку проективной системы координат. 1321. Цикличе-
ское преобразование с периодом 4. 1322. Ни одного, если (А В'В Д') < 0;
два, если (АВ'ВА')>®- Указание. Положить Л ==(1:0), В =
= (0:1), Л' = (1 : 1). 1323. Указание. Положить А =(1 : 0), М =
— (0:1), М' = (I : 1). 1324. кх{ = апХ!+а12х2, = a2ixi — апх2.
1325. 1) ah> 0; 2) +а12а2х < 0; 3) таких инволюционных
преобразований нет. 1328. 1) Хх[ = хг, кх2 =—х2; 2) Е' — (1 :—1).
1329. х' = — х. 1330. Симметрия относительно одной инвариантной
прямой в направлении другой. 1331. 1) х' = ~. 2) При k < б.
3) При k > 0; инвариантные точки имеют координаты ± k.
1332. 4) Если А2=£А{ (^#=0), то = — b2x± + Ьгх2, \х2—
— если д; о), то \х\ — а1х1 — ~^х2, Хх2 =
“ 02
= a2*i—ахх2. 1333. Хх[ = 6х2, Х%2 = х1, где к — любое действительное
число, отличное от нуля; если k > 0, то инволюция гиперболическая,
если k < 0, то эллиптическая. 1337. Указание. Принять точки А
и В за базисные точки проективной системы координат. 1344. а21х2 —
— 2апяу — а12у2 = С. Если эти линии эллиптического типа, то инво-
люция эллиптическая, если линии гиперболического типа, то инво-
люция гиперболическая. 1345. Указание. Пусть Л' —образ Л,
а Л"—образ Л' при данном преобразовании П. Рассмотрим инволю-
цию /, для которой точка Л' инвариантна, а точка Л переходит в Л".
Тогда произведение /П преобразует Л в Л', а Л' в Л, т. е. является
инволюцией. 1346. х = , у = ^~. 1347. 1) Л4 = (3 : 2 : —1); 2) N =
= (12, 9); 3) /? = (5 : 0 : — 3); 4) /> = (1:1:0). 1348. Прямые пересе-
каются на одной из сторон базисного треугольника Л1Л2Л3. 1349.
1) Ранг матрицы
Ul u2
A v2
«з\
равен двум; 2) ранг матрицы М равен 1;
3)
a2
v2 V3
1350. (120 : 14 :—203). 1351. Xjq = аа± + р&ь U2 = aa2+pfr2, =
= сш3 -f“ Р&з- 1352. 1) ЗХ| -|-х2 -|-9%з = 0; 2) Xx^ = 3cz—р, Хх2 = 3р,
Хх3 = —а; 3) а = 0, р= 1; несобственная точка (—1 : 3 : 0).
1365 1
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
359
1353.
1\ 1/ X1 a12 a13 x2 a22 ^23 X3 Яз2 a33 _ Axz — - an X1 a13 a2i x2 a23 a31 хз a33 - 7r' — fl'll flli2 Xi fll2i fl22 X2 #31 #32 x3
l) hXt — bi ai2 ai3 Z?2 ^22 ^23 b3 #32 a33 au bi a±3 O21 b2 a23 a31 b3 a33 , лл3 an ai2 bi a21 a22 b2 a3i a32 b3
2) Ахх = + а12р2*2 + ^хзРз^з»
Ах2 = ^2iPixi 4“ ^ггРг^з + а2зРзхз>
Ахз = G31pix[ + а32р2х£ + аззРзхз*
где рг, р2, рз определяются из системы
Я11Р1 + aliP2 + «1зРз — ^1»
°21Р1 4~ а2%Р2 Н“ С23р3 ~ ^2’
«31Р1 + а32Р2 + СЗЗРЗ = &3-
1354. Axi = 8x[ — 4х',
Хх2 = 2х{ — 4х'+4xJ,
Ах3 = 2х; —х'4-х'.
1355 Ах' = aiX1 ^1Л2 С1*3 Хх' = °2%1 + ^2*2 С2%8
1 а1^1 + ^2 + С1е3 ’ 2 G2el + ^2е2 4“ с2е3 ’
Q3*l + b3X2 + С3Х3
азе1 + b3e2+с3е3
1356. 1) Аух
*Уз
2) Аух
Ау3
Д хх 4~ ^1_У 4~
ЛхХо + ^.Уо + Сх *
Д3х + В3_у 4~^з .
Л зхо + В3у0 + £з
Д1X14-^1-^2
Д1Хо4-£1.Уо4“С1 ’
Лз*14-В8*2 .
зхо + ^з_Уо 4~ £з
л _. А2х-\~ В2у -]-С2
2 А 2х0 4“ B2yQ 4- С2 ’
л _ ^2*Г4~#2*2
*2 Д2хо4-^зЗ'о + С,2 ’
3)
Л1
Л2
Аз
Вг
В2
И Л 4- ВгУо 4~ Ci) У1
(А2х0 4- В2у0 4~ С2) у 2
(А3х0 4- В3.Уо 4~ Сз) Уз
= 0.
1357. (0: 1 : —1). 1358. хх4-х2 = 0 (ось Ох); х1 — х2 — 0 (ось Оу);
Xi4-*24~2х3 = 0 (несобственная прямая). 1359. (15:—4:24).
1360. 1)
Xi х2
.У1 У2
г/ г2
*з
Уз
^з
= 0;
2)
U1 и2 и3
, 1’1 v2 v3
w2 w3
= 0.
1361. 1) iz2x2.4“ ^зхз — 9; 2) (0 : — x3 : x2) • 1363. A/Ix = (0 : x2 : x3),
1\42z==z{Xi : 0 : x3), •Л4з = (Х1: x2 : 0). 1364. u2x2~\~u3x3==l^> W3X34~^1X1 == 0,
Uixi 4~ ^2X2 ~ 0* 1365. {u2 : — wx : 0), (0 : u3 : —1/2), {u3: 0 : — tzi).
360
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1366
1366. хх:х2. 1367. 1) [0:1: —1], [1:0:— 1], [1 : — 1 ; 0J; 2) [1 : 1 : — 1],
[—1:1:1], [1 :—1 : 1]. 1368. 1) F1==(0 : 1 : —1), F2 ===== (1 : 0 : —1),
В3 = (1:—1:0); 2) Л^ == [0 : 1 : 1], ЛаВа = [1 : 0 : 1], Л3В3 = [1 : 1 : 0].
1370. 1) > где Ь, с — длины сторон треугольника ЛВС;
2) (cos А : cos В : cos С); 3) (—!—г : —.
' \ cos A cos В cos С J
1371. 1) Xi + x2+r3 = 0; 2) ахг + Ьх2 + сх3 = 0; 3) Х1 sin 2Л + х2 sin 2В +
+ x3sin2C = 0; 4) xt созЛ + х2 cosB-f-x3cosC=0. 1373. Указание.
1) Ввести проективную систему координат АгА2А3Е; 2) ввести проек-
тивную систему координат а±а2а3е, где п1 = Л2Л3, п2 = А3А±. п3 = Л1Л2.
1376. 1) 2) Указание. 1) Ввести на проективной пря-
мой АВ проективную систему координат, принимая точки Л и В за
базисные. В такой системе координат С = (а:(3), D = (X:p,). 2) Вве-
сти проективную систему координат в пучке прямых, определяемом
прямыми а и Ь, принимая прямые а и b за базисные. В этой системе
координат с — [а : PL б/ = [^:р]. 1377. D = ((Хаах + P^i) : +
+ Р&2): (Хааз + РО- 1378. (ДВСТ>) = —9. 1379. (afccd) = — у.
1380. D = (4:0:— 1). 1381. А3М-. Д — Д =0; /; Д + Д =0.
' ' ° vO уО 1 vO 1 v0
1382. x±: x2.
1383. Г— : — : —1. 1384. Указание. Принять точки В,
L x2 x3 J
Q, В за базисные точки (1:0: 0), (0:1: 0), .(0:0 : 1) проективной
системы координат, а точку В —за единичную. 1386. (1:0:0),
(0:1: 0), (0:0:1). 1388. Точка (1:2:0) переходит в точку (—3: 4:0).
__ —15% + 43у
5х—9у+ 16
»— 7х — 3у
У ~~ 5х — 9у + 16 ’
1389. х'
1390. Xxj == 2хх Зх?— 7х3,
Хх? = Зхх — 5х2 + 4х3,
Хх' == 8хх — 9х2 —р х3.
1391. XuJ —-~rUx, —“7"u3-
1392. 1) XUj = ЛхХих-т-ЛХ2и2-}-Лхзи3,
= Л2Х^х-{-Л22и2-}-Л2з^3,
'ku^ — Л31их + A 32u2 + A 33u3y
гце Ац — алгебраическое дополнение элемента ay в матрице (ay);
2) Ххх = Лихх + Л21Ха + Л31Хз,
Хх2 = А 12х{ -р А 22х'2 -р* А 32х'^,
кх3==A i3x{ + А 23х'2 -р А 33Хд;
3) ’kujL = aiiu[-^a2iu2 “Ь^зг^з»
Xu2 = #12^1 4“ ^22^2 4“ ^32^3»
Xu3 = ai3u[ 4- ^23^2 4- G33u'i’
1409 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
361
1393. 1) Хх[— А цХх 4“ Л12х2 4" А 1з^з»
XXg = А21Х1 + А 22X2 + Л 23X3,
Ххз = А зх*! + Л32х2 + А 33х3,
где А у — алгебраическое дополнение элемента ац в матрице (а^);
2) ки^" Аци{ + Л 21^2 4“^ З1^з >
Zw2 = А 12^1 -(- А 22и2 4“ Л 32W ' ,
ки3 = А13и{ 4“ Л 23^2 4- А33и';
3) Ххх = ацхJ+n21Xg + П31Х3,
А»Х2 = 0i2Xj 4~ ^22-^2 4~ ^32-^3»
кх3 = О13Х{ 4" ^23^2 4- аЗЗХ3'
1394. Х^ = ХхХ1, %х2=Х2х2, Ххз = Х3х3. В связке это три сжатия
с коэффициентами Хх, 12, Х3 к плоскостям Л2Л3, Л3ЛХ, ЛХЛ2 связки
по направлению прямых Alt -Л2, Л3. 1395. Хх' = х3, Хх2 = хх, Xxg = x2.
1396. XxJ = х24-х3, кх2 = Хз4-хь Ххз = х14-х2.
1397. кх[ = 'к^Хч 4~ к3х3,
Хх' = Xxxi+Я3Х3,
кх& = XxXi 4~ ^2^2*
1398. кх'^ — е^, кх^-е^х^ кх3 — е3х3.
1399. 1) кх[ = ах14-Рх3, кх2 = ах2 + Т*з> Хх' = х3. 2) При 1 —
гомотетия с центром (~ и коэффициентом а; при а=1 —
\ 1 — ОС 1 —~ ОС ]
перенос.
1400. 1) кх{ = ацХ14“ ^12^2 4“ ^13-^3»
кх£ = CI21X1 4- 0,22X2 4“ ^23-^3»
кх3 = х31
z2) xf = 01.1X4- ^12^4-^13» ^' = ^21^4-^22^4-^23 (аффинное преобра-
зование); (х, у) — координаты собственной точки М, а х', У —коор-
динаты ее образа в аффинной системе координат Оху, соответствую-
щей данной однородной системе.
1401. кх[ — 011Р1Х1 4“ ^12Р2-^2 4“ ^хзРз-^з»
кх'2 — «21Р1Л1 4“ ^22Р2Х2 4~ Я23Р3Х3,
кх3 = 031Р1Х14“ ^32р2Х2 4~ ЙЗЗРЗХ3»
где рх, р2, Рз определяются из системы
^iiPi 4- ^1гР2 4- ^1зРз = ^1»
^21Р1 4" Й22Р2 4“ й2зРз = ^2 > ’
«31Р1 4“ й32р2 4- ^ЗЗРЗ = Ь3. 4
1402. Хх^СцХх, кх'2 = 023X3, кх3 = 0^X2 +а33х3.
1403. 1Д kx[ = kxt, кх2 = х2, Ххз = х3; 2) х' = ^х, уг-=у (сжатие
к оси Оу с коэффициентом" k по направлению оси Ох); 3) x' — kx,
y' = ky (гомотетия). *1404. 2) кх{ — ахъ kx2^=x2t кх3 — х3. 1405. 2) кх{ —
= — xlt кх2 = х2, кх^=х3; 3) х' = — х, у'=у (симметрия относи-
тельно оси" Оу по направлению оси Ох); 4) х' = —х, у' = — у.
1406. Симметрия относительно плоскости л связки по направлению
прямой связки, пересекающей плоскость л. 1409. 1) Хх^ = хх4-0Хз,
362
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1410
Хх2 = х2, Хх' = х3, а^О; 2) 'kx[ = x1 + (k— 1)л3, Хх2 = х2, Хх3 = х3;
3) х' = х + а, у' = у (перенос). 1410. Сдвиг относительно плоскости
связки по направлению прямой связки, лежащей в этой плоскости.
1411. Указание. 2) Пусть параболическая гомология задана
осью о, центром О (лежащим на оси о) и парой соответственных
точек М, М'. Пусть О± — точка, гармонически сопряженная с точ-
кой О относительно пары точек /И, М'. Тогда гармонические гомо-
логии с центрами О и О± и осью о являются искомыми, так как для
первой гомологии точка М инвариантна, а вторая гомология пере-
водит эту точку в М'. 1412. (ахз : а2з • 0). 1415. l)£xJ = Xxxx, /гх2 = Х2х2,
&х3 = Х3х3; 2) kx[ = K1x1, kx'2 — ax2— £х3, . £х3 = рх2 + ах3; 3) kx{—
— sxr + х2, kx2 = sx2, kx3 — X3x3; 4) kx{ — sxlf kx2 — sx2, kx3 = X3x3;
5) kx'l=sx1 + x2t kx'2 — SX2 + x3, kx3 = sx3, 6) kx{ — sxx + x2, kx2 — sx2,
kx'3 = sx3; 7) kx[ = xlt kx2 = x2, /?x3 = x3. 1416. 1) Инвариантные точки:
Лх, Л2, Л3, инвариантные прямые: Л2Л3, А3АЪ ЛХЛ2; 2) инвариант-
ная точка Лх; инвариантная прямая Л2Л3; 3) инвариантные точки
Лх и Л3, инвариантные прямые ЛХЛ3 и ЛХЛ2; 4) инвариантные точки:
А3 и все точки прямой ЛХЛ2, инвариантные прямые: прямая ЛХЛ2 и
пучок прямых с центром Л3 (гиперболическая гомология); 5) инва-
риантная точка Аъ инвариантная прямая ЛХЛ2; 6) инвариантные
точки: все точки прямой Л2Л3, инвариантные прямые: пучок прямых
с центром Л2 (параболическая гомология); 7) тождественное преобра-
зование. 1419. У казание. Принять данные четыре точки за базис-
ные точки Лх = (1:0:0), Л2=(0: 1 : 0), Л3 = (0 : 0: 1) и единичную
точку £ = (1:1 : 1) проективной системы координат. 1421. ku1 = 2xlt
Х«2 = х2 + х3/ Хг/3 = 2хх — Зх2 + 5х3. 1422. (1:1:1) и (7:3:5).
1423. ки1 = х1, ки2 = х2, Xt/3 = x3. 1426. ku1 = k1xlt hu2=k2x2, hu3 =
= k3x3. 1430. Указание. 1) Принять треугольник АВС за базис-
ный треугольник проективной системы координат; 2) принять тре-
угольник АВС за базисный треугольник, а точку О —за единичную
точку проективной системы координат. ЦЗЗ. 1) <р = я1Хх| + #22*2 +
+ аззхз + 2я23х2х3 + 2а31х3хх + 2а12ххх2 = 0; 2) ср — положительно опреде-
ленная квадратичная форма; 3) ср—неопределенная квадратичная форма.
1434.
#и
#21
#31
#1
#12 #13 #1
#22 #23 #2
#32 #33 #3
U2 U3 0
ИЛИ
Л ц#1 + Л 22ul + Л 33и| + 2Л х2#1#2 + 2Л 2з#2#з + 2Л 31^3г/х = 0,
где Л у — алгебраическое дополнение элемента а# в определителе
#11 #12 #13
#21 #22 #23
#31 #32 #33
1436. Указание. Приписать точкам Л/ координаты 0 : 1 : ± 1,
±1:0:1, 1 : ±1 : 0. 1438. 1) аХ1х| + с^2х1 + #зз*з"Ь (#23 4~ #32) хъхз
+ (#3i + #1з) х1хз Н- (#12 #21) xi*2 — 0; 2) nxxxf -f- а22х2 + а33х3 + 2а23х2х3 +
4- 2а31х3хх + 2а12ххх2 = 0. 1439. 4х| — 12ххх2+9х| — 24ххх3—3j6x2x3 -|-
+ 36х| = 0. 1440. ххх2 —х| = 0. 1441. 2xf —xi — x| = 0. —
— ххх3 — х2х3 = 0. 1443. #23х2х3 + а31х3хх-|-с7Х2Ххх2 = 0. 1444. 1) Дейст-
1471 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
363
вительная нераспадающаяся линия; 2) действительная нераспадаю-
щаяся линия; 3) две действительные прямые; 4) действительная не-
распадающаяся линия; 5) пара мнимых прямых; 6) две совпадающие
прямые. 1445. — р^=°, гяе Ui = иПхл + + мй4> 1 =
= 1, 2, 3, 4. 1446. 5х2 ~f~ 16ххх2 5x2— 5ххХз— бх2Хз = 0. У к а з а н и е.
Составить уравнения прямых АВ’. Гх = 0; CD: F2 = Q', AC: F3 = 0;
BD: F4 = 0. Записать искомое уравнение в виде F1/’2 + &F3F4 = 0 и
потребовать, чтобы эта линия прошла , через точку Е. 1448. 1) ххх2—
— х2 = 0; 2) гипербола; 3) парабола. 1450. «2 + «| — «|<0.
«ХХ «Х2 «Х3 «1
«21 а22 а23 ^2
«31 ^32 «зз «з
«2 и3 0
1451.
<0; 2) Д —0;
3) А > 0.
1464. ххх3 = х|. 1467. 1) Хх;«=х3, Хх2 = х2, XxJ = xx; для собственных
точек (х, у) эллипса х2+у2=1, отличных от точек (0, ±1), х' =
у' — точки (0, 1) и (0, —1) преобразуются в несобствен-
ные точки (1:1:0) и (1 :—1:0) асимптот х2—у2 = 0 гиперболы
х2 — >2=1; 2) AxJ = x3, Хх' = хх — х2, Хх^ = хх + х2; x' = ^-j~y, у' =
= “j~; несобственная точка (1 :—1 : 0) асимптоты гиперболы х2 —
— у2 =1 переходит в несобственную точку (0: 1 :0) параболы у = х2;
вторая несобственная точка (1:1:0) гиперболы переходит в начало
координат О, принадлежащее параболе _у = х2; 3) Хх£ = хх, Хх2 =
— — х2 + х3, Ххз = х2 + х3; все собственные точки эллипса х2+>2=1,
X
кроме точки (0, —1), преобразуются по формулам х' = , у' =
= j ; точка (0, —1) переходит в несобственную точку параболы
3> = х2, однородные координаты которой (0:1:0); 4) Кх[ — хъ Zx2 =
= хз,
точки
Xxg = x2; все точки данных пересекающихся прямых, кроме
, X , 1
их пересечения, преобразуются по формулам х' = —, j'==—
(0, 0) пересечения данных прямых переходит в несобственную
(0:1: 0), присоединенную к паре параллельных прямых х2 —
точка
точку
— 1=6.
1468. 1) Хх£ = ± ab (хх ch /+«х3 sh /),
Хх2 = ±1 b2 (хх sh t + «х3 ch /),
Хх' = «х2*
с любым набором знаков +, —; 2) собственные точки данной гипер-
болы, отличные от ее вершин, преобразуются по формулам х' =
b Ь2
== ± ~ (xch Z+«sh 0, у' = ±2 — (xsh Z + «ch 0; вершины (± «, 0)
гиперболы переходят в несобственные точки (а: ± Ъ : 0) ее асимптот.
1470. «цх| + «22х| + «33х| + 2а23х2х3 = 0. 1471. Хх' = — хъ Ъх^ = х2,
Ххз = х3 (гармоническая гомология с осью Л2Л3 и центром Лх).
364
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
( 1473
1473. х—6у + 8 = 0. 1474. (—3, 1). 1475. 1476. (—28, —2).
1477. 7х2 + 2ху —бх—10у + 15 = 0. 1478. 2х2 — ху+у2 — Зх+у = 0.
1482. Указание. Диаметр линии второго порядка есть поляра не-
собственной точки сопряженных ему хорд. 1488. Указание. Про-
екции фокуса F на касательные к линии С лежат на окружности,
если С—эллипс или гипербола, и на - прямой, если С —парабола.
1489. Указание. Принимая за начало координат фокус F па-
раболы, можно записать ее уравнение в виде у2 — 2рх — р2 = 0. По-
ляра точки Р = (Х, Y) имеет уравнение рХ—уY + рх+р2 = 0. Отсюда
рх —yY
Х + р
и, значит, следующее уравнение будет следствием
двух предыдущих (уравнения параболы и уравнения поляры точки
относительно параболы):
у2 + 2х
или
px—yY
* + р
(Р^УХ)1=о
(Х+р)2 “
(2РХ + р2) х2 - 2xyXY + [(X + р)2 - У2] уг=0.
Р
Но это уравнение однородное относительно х и у и, значит, оно яв-
ляется уравнением двух прямых, проходящих через начало коорди-
нат и точки пересечения параболы с полярой. Условие ортогональ-
ности этих прямых
(X + p)2-Y2 + 2pX + p2=X)
или
(Х + 2р)2-У2==2р2
— уравнение равносторонней гиперболы. 1491. Прямая [«х: и2 : w3J,
координаты которой
X«i = «цх° + «12х§ + «13х°,
Х&2 ~ «21-^1 4" «22-^2 4“ «23^3 >
Х«з = «31Х? 4- «32*2 + «33*3
(поляра точки Л40). 1496. х2х3 4~ *з*1 + *1*2 = 0- 1499. xf 4-*1 ~ *з = Ф
Ль Л2—внешние точки, А3 — внутренняя точка. 1500. ,yi(«iiXi4-
4~ а12х2 + «13*3) 4- У2 («21*1 + «22*2 4~ «2з*з) 4“ Уз (a3ixi + «32*2 4~ «зз*з) =
= *1 (а11У1 + «12^2 + «13^з) + *2 (а21У1 4“ а22У2~)~а2зУз)~ЬХ3 («315,14~«323/24"
4~ аззУз) а11х1Уг 4- а22х2у2 4- С1ззхзУз + «23 (*2>’з 4“ *зУ2) + «31 (хзУх +
4“ *1Уз) 4~ «12 (*1^2 + *2 У1) — 0-
1501. «11 «21 «12 «22 «13 «23 и2 = 0
«31 «32 «33 «3
^1 ^2 ^3 0
или
Л 11^1^1 4- ^-22^2^2 ~h ^33и3^3 4-^23 (W2y3 4“ ^З^г) 4“
4-^31 (W3yl + ^1^з) 4-^12 (И1у2 + W2^1) ~
где А у— алгебраическое дополнение элемента в определителе
а11 а12 а13
°21 а22 а23
а31 а32 G33
1522 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
365
1502. Xxi = ^ii«i4-^12«2 4"^13«3,
= 21«1 4" 22«2 4" ^4 23«3,
Хх3 = А 31«i + А 32^2 4“ A 33U3,
где Aij—алгебраическое дополнение элемента ау в определителе
или
«1
Ххг = и2
«3
«12 013
«22 «23 >
«32 а33
а11 «12 «13
а21 а22 «23 t
«31 а32 а33
кх2 =
aii ui а13
021 «2 «23 »
031 03 03з
«И 012
021 «22
«31 032
01
«2 •
«3
Хх3 —
1506. 2х1Х2 + х| = 0. 1509. 011X1^14~ «22^2^2 4“ аззхзУз 4~ «23 (х2Уз~^ хзУ2) 4"
4“ «31 (ХзУ1 + Х1 Уз) 4- «12 (Х1У2 4" X2JV1) = «11У121 4“ «22>’2Z2 4“ аЗзУзгЗ 4“
+ «23 (У2?3 + Узг2) 4- «31 (Узг1 4" ,У1гз) 4- «12 (У1г2 + ДГ2г1) ~ 0, allZlXl 4"
+ d22Z2X2 4- a33Z3X3 + «23 (Z2X3 4“ ^З^г) 4" «31 (*3*1 4* г1Хз) 4“ «12 (Z1X24~z2Xl) — ^‘
1511. Указание. Треугольники АВС и PQR, вписанные в линию
второго порядка, автополярны при поляритете, для которого тре-
угольник АВС автополярный, а точка Р переходит в прямую QR.
1515. х=Х1, У = —, z = ^. 1516. (—2:1:1: 0), 1517. (1 : 2 : 6 : 0).
Х4 Х4 Х4
1518. М = (%1: х2 : х3 : х4).
I ci о а у _ Л1Х4-^1У4~^1г4-^1 1 у _ Л2х+В2у 4-^4~^2
1 41Х() + В1Уо4-С’12'о4-^1’ 2 +
п __ ^3*4~^З.У4-£зг4-£>3 п __ Л4Х4-В4У 4~^4г4~^4
3 ^з^о 4" ^зУо4*^зго4~ D3 ’ 4 ^4^0 4- В^уп 4- C4Z0 4“ Di
1522.
1) ZXt = «uPlXj + «12p2*2 4~ «13P3X3 4“ «14Р4*4,
ЛХ2 = «21Р1*1 4- «22Р2Х2 4~ «23РЗ*3 4“ «24Р4*4»
^Х3 = «31Р1Х{ + П32Р2Х2 4“ «ЗЗрЗХ3 4~ «34Р4Х4>
Хх4 = «41Р1Х{ 4- «42Р2Х2 4- «43РЗХ3 4" «44Р4Х4>
где pi, р2, Рз» р4 определяются из системы уравнений
«иР1 + «12Р2 4- «1зРз 4- «14Р4 = ^1,
«21Р1 4- «22р2 + «2зРз 4- «24Р4 == ^2, ,
«31Р14- «32Р2 4~ «ззРз 4~ «34Р4 — ^3,
«41Р1 4* «42?2 4“ «43РЗ 4“ «44р4 = ^4 •
2) 1 у' _ х£ «12 «13 «14 Х2 «22 «23 «24 Х3 «32 «33 «34 Х4 «42 «43 «44 — у' — _ «И Х1 «13 «14 «21 Х2 «23 «24 «31 Хз а33 «34 «41 Х4 04з 044
bi «12 «13 «14 &2 «22 «23 «24 Ьз «32 «33 «34 a,i2 du , лх2 — «11 bl «13 «14 «21 Ь2 «23 «24 «31 Ь3 «зз «34 «41 Ь4 04з 044
366
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1523
#11 a12 Xj Я14 #11 #12 #13 X1
#21 #22 *2 #24 #21 #22 #23 X2
#31 #32 *3 #34 #31 #32 #33 X3
— — #41 #42 *4 #44 — X — #41 #42 #43 x4
Лл3 — #11 #12 ^1 #14 #11 #12 #13
#21 #22 Ь2 fl24 #21 #22 #23 Ь2
#31 #32 b3 a34 #31 #32 #33 b3
#41 #42 ^4 #44 #41 #42 #43 Ь^
1523. 3x4 + Hx2+ 2x4 = 0,
7xt + 27x2 — 17x3 — x4 = 0. }
Указание. Первое уравнение есть уравнение плоскости, про-
ходящей через три данные точки. Второе уравнение есть уравнение
проходящей через данную точку плоскости пучка, осью которого яв-
ляется прямая пересечения данных плоскостей. 1524. Хх1==8а4~45р,
Лх2 = 27а —36(3, Хх3 =—20а+ 30(3, Хх4 =—16а+ 5(3. У Казани е.
Найти точки пересечения данной плоскости с данными прямыми.
1525. 1) Плоскость л проходит через вершину Л1 = (1 : 0 :0 :0); 2) пло-
скость л проходит через ребро 3) плоскость л совпадает с
гранью А^Аз.
1528. 1)
#1
bi
#2 #3 at 2) #1 #2 #3 w4
^2 Ьз bt = 0; t’l ^2 t’3 V4
#3 Ct Wi ш2 ш3
rf2 ^3 dt Pl P2 Рз P4
= 0;
3) (#1#1 + #2#2 + a3U3 + #4#4) (^1у1 + b2V2 + b3V3 + 64У4) —
= (bi#i + b2u2 + b3u3 + 64w4) (0]Vi + a2v2 + a3v3 + a4y4).
1529. Mt== (0: x2: x3: x4), M2 = (x! : 0 : x3 : x4), M3^(xr: x2 : 0 :x4),
Mii=(x1-.x2-.xa-.0). 1532. (Л5С£>) = ^. 1533. 1) £1=(0: 1 : 1: 1),
£2=(1: 0: 1:1), £3=(1 : 1 : 0: 1), £4 = (1:1: 1 : 0); F1 = (—1 : 1: 1 :1),
F2 = (l:-1:1:1), F3 = (l : 1:-1:1), F4 = (l : 1 : 1: —1); 2) £12=
= (1 : 1 : 0: 0), £13=(1 :0: 1 : 0), £14 = (1 : 0: 0: 1), £^ = (0: 1:1:0),
£24 = (0; 1 :0: 1), £34 = (0 : 0 : 1 : 1); £12 = (1 :-1 : 0 : 0), F13 =
= (1:0:-1:0), f14=(l : 0 : 0 :-1), F23 = (0 : 1 : -1 : 0), F24 =
= (0:l:0:-l),F34 = (0:0: 1:-1); 3) G1234 = (l : 1 :-l:-1), G1324 =
= (1: -I : 1: -1), G1423=(l: -1 :- 1 : 1). 1534. x1 + xa+x3+x4=0.
1539 x' — G11X 12132 °14
g41X “Ь #42.У “b #4?Z + a44 ’
/ #21* + а22У + #23? + #24
G41X + (Z42 + G43Z + flf44 ’
tz.3ix+tz32^ + o,33z-^a34 .
Z =---------:---------;------;----!
#41* + #42-У + #43Z + a44
2) a41Xi + tz42x2 + a43x3 + <z44x4 = 0;
1542 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
367
3) #11 #12 #13 *1
#21 #22 #23 *2 = 0.
#31 #32 #33 *3
#41 #42 #43 *4
^Х'
1540 Хх' = ail%1 +6712X2+°1зХз 6714X4
1 an^l + #12^2 + #13^3 + #14^4
#21*1 Ч~ #22*2 Ч~ #23*3 4~ #24*4
#21^1 + #22^2 + #23^3 + #24^4
XX' ~ g31X1 + 032X2 ^33*3 + #34*4
4 #31^1 + #32^2 + #33^3 + #34^4
___ #41*1 4~ #42*2 + #43*3 Ч~ #44*4
4__#41^1 + #42^2 + #43^3 + #44^4
1541. Хх J = «nPiXi + #12P2*2 + #13P3*3 + #14Р4*4 »
ZXg = #21P1*1 + #22P2*2 4“ #23p3*3 + #24P4*4>
XX3 = flgiPiX! + #32p2x2 + #ЗзРз*3 + #34P4*4>
Xx£ 5= #41P1*1 + #42P2*2 + #43P3*3 + #44Р4*4»
где рь р2, pg, р4 определяются из системы уравнений
#11Р1 + #12Р2 + #1зРз + #14Р4 = ’
#21Р1 + #22Р2 + #2зРз + #24Р4 = ^2»
#31Р1 + #32Р2 + #ЗЗРз + #34Р4 — ^3>
#41Р1 + #42Р2 + #4зРз+#44Р4—^4-
Обратно: кос образа (х{: Xg X/*i — - )рдинаты прообр; >: Хз :х') выражаю *1 #12 #13 #14 *2 #22 #23 #24 *3 #32 #33 #34 Х4 а42 #43 #44 аза (xt: х2 : тся соотношс 7 V _ х3 :х4) через кос униями: #11 *1 #13 #14 #21 *2 #23 #24 #31 *3 #33 #34 #41 *4 #43 #44 зрдинаты
7 Yn — - ^1 #12 #13 #14 /?2 #22 #23 #24 63 а32 а33 а34 ^4 #42 #43 #44 #11 #12 *1 #14 #21 #22 *2 #24 #31 #32 *3 #34 #41 #42 *4 #44 > ЛЛ2 — Y „ #11 &1 #13 #14 #21 ^2 #23 #24 #31 ^3 #33 #34 #41 ^4 #43 #44 #11 #12 #13 *1 #21 #22 #23 *2 #31 #32 #33 *3 #41 #42 #43 *4 *
1542. кх[ #11 #12 ^1 #14 #21 #22 ^2 #24 #31 #32 ^3 #34 #41 #42 ^4 #44 ==: ^Т*1> ^*2 ==: ^2*g> । rv-A'^ 1 ‘ Х*з = А/3Х3, ( #11 #12 #13 ^1 #21 #22 #23 ^2 - #31 #32 #33 ^3 #41 #42 #43 ^4 \х\ — Х4х4.
368
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1543
1543. Хх' — ацЛ?! + а12х2, Хх', = а21хх + а22х2,
Хх' = #33х3 + я34х4, кх[ = я43х3 + я44х4.
1544. XxJ = axx, Хх» = ах2, Хх' = х3, кх4 — х4.
1545. XxJ = tZXgXg-J-6ZX4X4, XXg = tZ2gXg ~}~ П!24Х4,
Xx' = 03XXX -J- 6Zg2x2, Xx4 — tz4xxx -j- tz42x2.
1546. XxJ = tZx2X2 -}- 6ZXgX3 -J- ^14 X4, XXg = 6Z2XXX ~Ь* ^23^3 ~F ^24X4*
kx3 = 6Z3XXX -J- #g2X2 -J- 6Z34X4, Xx^ — 6Z4XXj -J- tZ42X2 -J- 6Z4gX3.
1547. XxJ = x2 + x3 + x4, Xx2 = xx -J- x3 -j- x4,
kx3 = XX -j- X2 -J- X4, Xx4 = Xx -J” x2 4“ Xg•
1548. 1) kx{ = йцХ^, XXg = 6Z22X2, Xx3 = d33X3 -j- O34X4, kx^ = 6Z43Xg -p
+ a44x4, где (a3g —a44)2 + 4a34a43 < 0. 2) На прямой ЛХЛ2 это преоб-
разование порождает гиперболическое преобразование, которое будет
инволюционным в случае Яц + а22 = 0. На прямой Л3Л4 это преобра-
зование порождает эллиптическое преобразование; оно будет инволю-
ционным в случае а33 + «44 = 0. 1549. 1) XxJ = ахххх + ах2х2, Xx^a^xj +
+ а22х2, кх' = а33х3 + а34х4, кх' = л43х3 + а44х4, где (ап — а22)2 +
+ 4я12я2Х < 0, (а33 — а44)2+ 4я34я43 < 0. 2) Эллиптические преобразо-
вания. 1550. 1) Хх{ = ахххх, кх2 = а22х2, кх3 — х3, кх4 = х4. 2) Гипербо-
лическая гомология с центром А4 и осью Л3Л4. 3) На ребре Л3Л4 —
тождественное преобразование. На остальных ребрах —гиперболиче-
ское проективное преобразование. 1551. 1) kxi = anxlf кх'2 = а22х2,
кх3 = а33х3 + а34х4, XxJ = tz44x4. 2) Гиперболическое преобразование,
если а33 а44; параболическое преобразование, если а33 — а44, 1552.
Гиперболическая гомология с центром Л3 и осью ЛХЛ2. 1553. кх[.=
— хх + ах4, кх2 = х2, кх', — х3, кх{ — рх4.
1554. кх{ = Ct±±Xi + #ХЗХ3 + 6ZX4X4, кх2 = С122Х2 ~Г ^23-^3 4“ ^24Х4,
Ххз = а33хд, кх4 — а44х4. 1555. 1) кх[ = х2, кх2 —— х19 кх' — х4,
кх' =—Хд. 2) Инвариантных точек и плоскостей нет; инвари-
антные прямые ЛХЛ2 и Л3Л4. 3) Эллиптические инволюции. 1556.
1) кх{ = х4, кх2 = х2, кх',=х3, kx4 = kx4 (гиперболическая гомология
проективного пространства). 2) Инвариантными плоскостями являются
плоскость AjA2A3 и связка плоскостей с центром А4. Инвариантными
прямыми являются все прямые, лежащие в плоскости А4А2А3, и все
прямые связки с центром А4. 3) При условии k =—1 (гармоническая
гомология пространства). 4) Гиперболические гомологии с центром А4,
осью которых являются прямые пересечения плоскости Л^зЛд
с плоскостью, проходящей через прямую А4Е. При k ——1 эти гомо-
логии будут гармоническими. 1557. 1) кх[ = х2, kx2 = xlt кх'3 — х4,
кх4 = х3. 2) Две прямые инвариантных точек: хх —х2 = 0, х3~х4 = 0 (/J;
Xi+x2 = 0, х3 + х4 = 0 (Z2). Инвариантные плоскости образуют два
пучка плоскостей с осями 14 и /2. Инвариантные прямые: 14 и 12 и все
прямые, пересекающие обе эти прямые (линейная конгруэнция).
3) Гиперболические инволюции с инвариантными точками: {1:1:0:0),
(1 :—1:0:0) на прямой А4А2 и (0 : 0 : 1 : 1) и (0:0:1:—1) на
прямой А3А4. 1558. 1) кх[ = х4, kx2 — xlf Лх3 = х2, кх4 = х3. 2) Инва-
риантные точки Е~ (1 : 1 : 1 : 1) и Е',= (1 :—1 : 1 : —1). Инвариант-
ные плоскости е = [1 : 1 : 1 : 1] и е' = [1 : —1 : 1 : —1]. Инвариантные
прямые ЕЕ' и ее'. 3) Гиперболическая инволюция на прямой ЕЕ',
эллиптическая инволюция на прямой ее\
1562 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
369
1561. 1) =Хгх1, ^Х2=Х2х2, &Хз=Х3х3, ^x' = Z4x4; '
2) kx2 = Х2х2, == ах3 — Р%4, kx4 = рх3 + «х4;
3) kx[^ax4 — р%2, kx2 = рх4 + ах2, kx3 = yx3 — 6х4, kx4 — 6х3 + ух41
v 4) kx[ = \xlt kx2 = 'k2x2, ЬСз = 5Х3 + *4> kx4—SX4;
5) kx[ = 'k1xlt ^2=Z2x2, kx3 = sx3, kx^ — sx4\
6) kx[ = sx4 + x^ kx2 — sx2, &X3 —ocx3 —fx4, kx4 = Px3 + ocx4;
7) kx[ — sx4> kx2 — sx2, kx3==ax3—fix4, kx4 = P%3 + ccx4;
8) kx'i — sXi + x^ kx2=sx2, kx3 = tx3~]-x4i kx4 = tx4,
9) ^x[==sx1 + x2, kx2 = sx2f kx's = tx3, kx4 — tx4,
10) kx{ = sxlt kx'2 = sx2, kx3 — tx3, kx4 = tx4;
11) kx{ = ax± — fU2 + X3, kx2 = Pxx + OC-^2 + Xb kx3 — aX3 ~ P*4,
kx4 = P%3 + ax4;
12) kx{ = ax3 — P%2, kx2 = ^x1+ax2i kx3 == ax3 — Px4, Z?x' = px3 +
+ W,
13) kx[ — sx4-j-x2, kx2 = sx2-j-x3, .kx'=sx3, kx4=h4x4;
14) kx'l = sx1~i~x2, kx2 = sx2, kx3=sx3, bc4 = X4x4;
15) kx[ = sxlt kx2=sx2, kx3 — sx3, /?x4==X4x4;
16) kx{~sx4 + x2, kx2=^sx2-[-x3, kx'3 — SX3-\~xb kx4 — SX4‘
17) a) kx'l = sx1A~x2, kx2 = sx2A~x3t kx'3 = sx3, kx4 — sx4, 6) kx{~
= sx1+x2, kx2 = sx2, kx'3 = sx3 + x4, kx' = sx4;
18) kx{ — s^i + ^2, kx2 = sx2, kx3 — sx3, kx4=sx4;
19) kx[ = sx4t kx2 = sx2, kx3 — sx3, kx'4 — sx4.
1562. 1) Инвариантные точки: Аъ A2, A3, A4; инвариантные
плоскости: Л2Л3Л4, ЛХЛ3Л4, Л2Л3Л4, А4А2А3; инвариантные прямые:
Xp42, АгА3, А]А4, А2А3, А2А4, А3А4; 2) инвариантные точки Аъ Л2;
инвариантные плоскости: А2А3А4, А4А3А4; инвариантные прямые:
А^2, ^3^4’, 3) инвариантных точек и плоскостей нет; инвариантные
прямые: А4А2 и А3А4; 4) инвариантные точки: Аъ Л2, Л3; инвари-
антные плоскости: Л2Л3Л4, A4A3A4l А4А2А3; инвариантные прямые:
Лр42, Л2Л3, A3Alf А3А4; 5) инвариантные точки: Аъ А2 и все точки
прямой Л3Л4; инвариантные - плоскости: Л1Л3Л4, Л2Л3А4 и все пло-
скости пучка с осью А]А2; инвариантные прямые: А4А2, А3А4
и любые прямые двух пучков с центрами А4 и Л2, лежащих соответ-
ственно в плоскостях А4А3А4, А2А3А4; 6) инвариантная точка А4;
инвариантная плоскость инвариантные прямые: Л4Л2 и Л3Л4;
7) инвариантные точки: все точки прямой Л4Л2; инвариантные пло-
скости: все плоскости пучка с осью Л3Л4; инвариантные прямые:
А4А2 и Л3Л4; 8) инвариантные точки: Alt Л3; инвариантные пло-
скости: Л4Л2Л3, ЛгЛ3Л4; инвариантная прямая ЛгЛ3; 9) инвариант-
ные точки: Л4 и все точки прямой Л3Л4; инвариантные плоскости:
Л4Л3Л4 и все плоскости пучка с осью АгА2; инвариантные прямые:
ЛхЛ2, Л3Л4 и любая прямая пучка с центром А4 в плоскости
А]А3А4; 10) инвариантные точки: все точки прямых Л1Л2 и Л3Л4;
инвариантные плоскости: все плоскости двух пучков с осями ЛХЛ2
и Л3Л4; инвариантные прямые: Л4Л2, Л3Л4 и все прямые, пересекаю-
щие прямые А4А2 и Л3Л4 (линейная конгруэнция); 11) инвариантных
Точек и инвариантных плоскостей - нет; инвариантная прямая Л4Ло;
370
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1565
12) инвариантных точек и инвариантных плоскостей нет; инвариант-
ные прямые: ЛХЛ2 и А3А4; 13) инвариантные точки: А4 и А2; инва-
риантные плоскости: ЛХЛ2Л4 и ЛХЛ2Л3; инвариантные прямые: А4А2
и А]А4; 14) инвариантные точки: Alt Л3, Л4 и все точки' прямой
Л2Л3; инвариантные плоскости: ЛХЛ3Л4, ЛХЛ2Л4, ЛХЛ2Л3; инвариант-
ные прямые: ЛХЛ4 и все прямые двух пучков с центрами Лх и Л2,
лежащих соответственно в плоскостях ЛХЛ2Л3 и Л4Л2Л3; 15) инва-
риантные точки: Л4 и все точки плоскости ЛХЛ2Л3; инвариантные
плоскости: ЛХЛ2Л3 и все плоскости связки с центром Л4; инвари-
антные прямые: все прямые плоскости ЛХЛ2Л3 и все прямые связки
прямых с центром Л4; 16) инвариантная точка Лх; инвариантная
плоскость ЛХЛ2Л3; инвариантная прямая ЛХЛ2; 17) а) инвариантные
точки: Лх и все точки прямой Л3Л4; инвариантные плоскости: ЛХЛ3Л4
и все плоскости пучка с осью ЛХЛ2; инвариантные прямые: Л3Л4
и все прямые пучка с центром Лх, лежащего в плоскости ЛХЛ3Л4;
б) инвариантные точки: все точки прямой ЛХЛ3; инвариантные плос-
кости: все плоскости пучка с осью Л2Л4; инвариантные прямые:
ЛдЛ3 и Л2Л4; 18) инвариантные точки: Лх и все точки плоско-
сти Л2Л3Л4; инвариантные плоскости: Л2Л3Л4 и все плоскости связки
с центром Лх; инвариантные прямые: все прямые, лежащие в пло-
скости Л2Л3Л4, и все прямые связки прямых с центром Лх; 19) тожде-
ственное преобразование.
1565. Х0х = 0Х2х2 -J- йхзх3 -J- 014*4,
ки2 = — 0Х2*1 4“ 023*3 4” 024*4,
Хи3 — — #13*Х — 023*2 4~ йзЛ,
Хи4 = — 014*1 — 024*2 — 034*3 •
1568. 1) _УХ (йХХХХ + й12х2 + й13х3 + 0Х4*4) + У2 (а21Х1 4" 022*2 4~ 023*3 4“
4- 024*1) 4" Уз (031*1 4“ 032*2 4" 033*3 4" 034*4) 4"У1 (041*1 4" 042*2 4" 043*3 4"
+ 044*4) = Ф
2) 0ц 012 013 014 01
021 022 023 024 02
031 032 033 034 03 = 0.
041 042 043 044 04
*>1 V2 ^3 04 0
1569. 1) Двуполостный гиперболоид дополняется несобственными
д;2 V2
точками всех образующих его асимптотического конуса + р- —
Z2
----- = 0, т. е. точками (хх : х2 : х3 : х4) несобственной овальной линии
второго порядка
у- у2 у2
д»2 у2
2) эллиптический параболоид = 2z дополняется одной
несобственной точкой (0 ; 0 ; 1 : 0) его диаметров;
1571 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
371
3) однополостный гиперболоид дополняется несобственными точ-
^2 у2
ками всех образующих его асимптотического конуса ““
г2
---__=0, т. е. точками (хх : х2 : х3 : х±) несобственной овальной линии
с2
второго порядка =°, xt=0;
х2 у2
4) гиперболический параболоид ——~
несобственными точками пары плоскостей
X2 х2
пары несобственных прямых —-------- = 0,
Р Я
= 2? дополняется всеми
х2 у2 л
-----— = 0, т. е.
Р Я
Х4 = 0;
точками
X2 V2 Z2
5) конус + ~---------г = ° дополняется
а2 о2 с2
несобственными
х2 х2
несобственной овальной линии второго порядка ~
х4 — 0;
точками
с2
0,
-м2
6) эллиптический цилиндр ~ + ~ — 1 дополняется одной несоб-
ственной точкой (0 : 0 : 1 : 0) его образующих;
X2 у2
7) гиперболический цилиндр ——<^=1 дополняется всеми
д^2 о2
несобственными точками пары плоскостей — — ~ = 0, т. е. точками
а2 Ь2
д«2 д-2
пары несобственных прямых ~ 0, х4 = 0;
8) параболический цилиндр у2 = 2рх дополняется всеми несобст-
венными точками его диаметральных плоскостей у = Ь, г. е. точками
несобственной прямой х2 = 0, х4 = 0.
1570. 1) Хх[ = хь Ххо —х2, Ххз = х4, Хх4 = х3; собственные точки,
~ * г х , У
не лежащие в плоскости Оху, преобразуются так: х' = —, у'=^9>
г' — — • собственные точки (х, у, 0), лежащие в плоскости Оху, пере-
z ’
ходят в несобственные точки (х:у : 1 :0); 2) Хх[ = хь Xxg = x2, Кх'3 ~
= ~ Хз t — х3 + х4; собственные точки, не лежащие в плоскости
х у 1 —z
г+1 —0, преобразуются так: = У' = р^, 2 ;
собственные точки (х, у, — 1), лежащие в плоскости 2^1=0, переходят
в несобственные точки (х :у : 1 : 0). 1571. %х[ = хъ \х'2 — х3, Ххд = х2 +
+ х4, Хх4=у (“"х2+*4)- Преобразование собственных точек:
372
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1572
. 2Х f , n j+v 14 тт -
= jу' = 1—— , z ~ 2 р-1572. 1) Действительная
овальная поверхность второго порядка; 2) действительная невырожда-
ющаяся линейчатая поверхность второго порядка; 3) действительный
конус второго порядка; 4) пара плоскостей 2хх —3x2+x4 = 0, х4 +
+ *2 + *3 — *4 ™ О-
1573. «п «12 «13 «14
«21 «22 «23 «24 < о.
«31 «32 «33 «34
«41 «42 «43 «44 1
1575. «и «12 «13 «14 и4
«21 «22 «23 «24 и2
«31 «32 «33 «34 «3 = 0.
«41 «42 «43 «44 и4
«2 «3 и4 0
1576. (anx? + а12х° + a13xg + а14х?) + (а21*? + а22х2 + +
+ «24*3) х2 4- (а31х? + а32х? + «зз*° + а34х$ х3 + («41*? + «42*$ + «43*§ +
+ а44х1>) х4 —0.
1579. F (хъ х2, х3, x4)-F(xft х$, x$, x%)~P2 = 0f где Р = («ц*? +
+ «12*2 + «13*8 + «14*?) *1 + («21^1 + «22*2°+ «23*3 + «24*?) *2 + («31*1 +
+ «32*2 + «33*3 + 034*$) *3 + («41*1 + «42*2 + «43*3 + «44*?) *4- 2) P = 0
или подробнее: (апх? + а12х§ + a13x« + a14x?) x4 + +a^xl + +
+ «24*?) *2 + («31*1 + «32*2 + «33*3 + «34*?) *з+ («41*1 + «42*2 + «43*3 +
+ «44*?) *4 = 0. Плоскость P = 0 является полярой точки Мо относи-
тельно данной поверхности. 1580. anxfа22х% -j-2a12x1x2-l-2a13x1x3 +
+ 2«24х2х4 = 0. 1581. Указание. Отнести поверхность к автополяр-
ному тетраэдру Л1Д2Л3Л4, две вершины которого = (1 : 0 : 0 : 0),
Л2 = (0 : 1 : 0 : 0) совпадают с вершинами конусов, описанных около
поверхности. Пусть ^xf + Х2х| + X3xf + Х4х| = 0 — уравнение данной
поверхности. Ур авнения конусов: X2xf + Х3х| + X4xj = 0, Ххх| + Х3х| +
+ Х4*? = 0. 1582. 1) х^ —х3х4 = 0; 2) x1 = wx3, ux2 = x4; xi = yx4,
vx2 = x3. 1583. F — kxf — 0. 1584. F — kX]X2 — 0.
1586. XxT = a11n1 + 6Z12w2 + a13w3 4- a14w4,
Xx2 = a21u4 -j-«22«2 + «23«з+n24«4,
Xx3 == a31u4 4- a32u2 + a33u3 -j- a34rz4,
Xx4 = а41т/г -j- a42u2 -j- a43w3 + a44iz4,
где (a^) — матрица, обратная для матрицы или
и4 «12 «13 (Цд «и «1 «13 «14
и2 «22 «23 а24: , 1х2== «21 и2 «23 «24
«3 «32 «33 «34 «31 и3 «33 «34
04 «42 «43 «44 «41 «43 «44
«11 «12 «1 «14 «И «12 «13 «1
Хх3 = «21 «22 и2 «24 t Хх4 = «21 «22 «23 «2
«31 «32 и3 «34 «31 «32 «33 «3
«41 «42 и4 «44 «41 «42 «43
1592 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
373
1587. 1) («1: «2 : из — 2) (01: «2 -”«з • «4)*
1588. 1) .У1 (0Ц*1 + 012*2 + а13Х3 + а14Х4) +
+^2 (021*1 + 022*2 + °23*3 + С24*4) +
+^3 (а31х1 + 032*2 + 033*3 + 034*4) +
+J4 (041*1 + 042*2 + 043*3 + fl44*4) s
= *1 (011^1 + 012^2 + 013^3 + 014^4) +
+ *2 (0213^1 + 022^2 + 023Уз + fl24^4) +
+ *3 (031.У1 + 032JV2 + аззУз + 034.У4) +
+ *4 (041.У1 + 042JV2 + 043Уз + а44У^ =
011*1 У1 + 022*2^2 + аЗЗХзУз + 044*4^4 +
+ 012 (*13>2 + *2-У 1) + 013 (*1.УЗ + *3-У1) + 014 (*1У4 + *4У1) +
+ 023 (*2^3 + *3^2) + 024 (*2^4 + *4^г) + G34 (*3^4 + *4.Уз) = Ф
ИЛИ
2)
0Ц 012 013 014 01
021 022 023 024 02
031 032 033 034 0з
041 042 043 044 и4
^1 V2 V3 V4 0
У1 (Лн^! + Л12^2 + +з03 + +404) + У2 (^2101 + -^2202 + ^2303 + -^24М4) +
+ ^3 И3101 + ^3202+-^3303 + ^3404) + V4 (^41U1 + ^42W2 + ^4303 + A44U4) =
— 01И1Л + ^12^2 + ^13^3 + ^14^4) + 0£ И 21^1 + ^22^2 + ^23У3 + ^24^) +
+ 03 ИзЛ + ^32^2 + АззУз + ^34^4) + 04 (^41^1 + ^42^2 + +13^3 + ^44^)
= A u U1V1 + A22U2V2 + A33u3v3 + A44U4V4 + А12 (&1^2 + M2vt) +
+ А13 («1^3 + 03^1) + А14 (^1^4 + W4V1) + Л23 (W2V3 + W3v2) +
+ 7124 (02^4 + 04^2) + 7134 (03^4 + 04из) = О,
где A ij — алгебраическое дополнение элемента ац в определителе
0Ц 012 013 014
021 022 023 024
031 032 033 034
041 042 043 044
1591. 1) Ребро ЛХЛ4 пересекает поверхность S в точках (1:0:0:1)
и (1:0:0: —1), уравнения касательных плоскостей аь ос2 к поверх-
ности S в этих точках: — х4 = 0, Xi + x4 = 0; ребро А2А4 пересекает
поверхность S в точках (0 : 1 : 0 : 1) и (0 : 1 : 0 : — 1), уравнения каса-
тельных плоскостей рх и р2 к поверхности S в этих точках: х2—*4 = 0,
х24-х4 = 0; ребро А3А4 пересекает поверхность S в точках (0 :0 : 1 : 1)
и (0:0:1: —1), уравнения касательных плоскостей и у2 к поверх-
ности S в этих точках: х3 — *4 = 0, х3 + х4 = 0. 2) Через единичную
точку Е проходят плоскости ОС1, pi, ух, т. е. плоскости х4 — х4 — 0,
х2—%4==0, х3 — %4 = 0. 3) {±1 : ±1 : ±1 : ± 1) с любым набором зна-
ков + и —. 1592. 1) Ребро А4А4 пересекает поверхность S в точках
(1 : 0 : 0 : 1) и (1 : 0 : 0 : —1), уравнения касательных плоскостей oti, а2
к поверхности S в этих точках: х4—х4 = 0, Xi + x4 = 0; ребро АгА3
374
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1593
пересекает поверхность S в точках (1 : 0 : 1 : 0) и (1 : 0 : —1:0), урав-
нения касательных плоскостей рь р2 к поверхности S в этих точках:
х1—х3 = 0, х1 + х3 = 0; ребро Л2Л3 пересекает поверхность S в точках
(0: 1 : 1 : 0) и (0:1: —1 : 0), уравнения касательных плоскостей у2
к поверхности S в этих точках: х2~х3 = 0, x2-f-x3 = 0; ребро Л2Л4
пересекает поверхность S в точках (0 : 1 : 0: 1) и (0 : 1 : 0 : —1), урав-
нения касательных плоскостей 6Ь 62 к поверхности S в этих точках:
х2 — х4 — 0, х2 + х4 = 0. 2) Через единичную точку Е проходят четыре
плоскости ах, рь 6Ь т. е. х1-— х3 = 0, — х4 = 0, х2 —х3 = 0,
х2—х4 = 0. 3) (±1 : ±1 : ±1 : ±1) с любым набором знаков .
1593. 1) Уравнения касательных плоскостей аь а2, проходящих через
ребро АгА2 : х3 — х4 = 0, х34~х4 = 0, точки касания (0 : 0 : 1 : I) и
(0:0: 1 :—1); уравнения касательных плоскостей рь р2, проходящих
через ребро Л2Л3: х1 — х4 = 0, хх + х4 = 0, точки касания (0 : 0 : 1 : 1)
и (0:0: 1 : —1); уравнения касательных плоскостей у2, проходя-
щих через ребро A3At: х2 — х4 = 0, х2 + х4 = 0, точки касания (0: 1:0:1)
и (0:1:0: —1). 2) Плоскости а, р, у (по одной плоскости из каждой
пары аь а2; рь р2; ух, у2) пересекаются в восьми точках (± 1: ± 1: ± Г: ± 1)
с любым набором знаков +, —. 1594. 1) Уравнения касательных
плоскостей аъ а2, проходящих через ребро А]А3: х2 — х4 = 0, x2-j-x4==0t
точки касания (0 : 1 : 0 : 1) и (0 : 1 : 0 : — 1); уравнения касательных
плоскостей рь р2, проходящих через ребро 71^44; х2 — х3 = 0, х2 + х3= 0,
точки касания (0 : 1 : 1 : 0) и (0 : 1 : —1:0); уравнения касательных
плоскостей у2, проходящих через ребро Л2Лз: хх —х4 = 0, хх + х4 = 0,
точки касания (1 : 0 : 0 : 1) и (1 : 0 : 0 : —1); уравнения касательных
плоскостей 6Ь 62, проходящих через ребро Л2Л4: хх —х3 = 0, х1 + х3 = 0,
точки касания (1 : 0 : 1 : 0) и (1:0: —1:0). 2) Плоскости сс, р, у, 6
(по одной плоскости из каждой пары af, а2; рь р2; у1э у2\ дь 62) пересе-
каются в восьми точках (± 1 : ±1 : ±1 : ±1) с любым набором зна-
ков +, —. 1595. Векторы alt а2, а3 линейно зависимы: Заг — 5а2 +
7 3
+ 7а3 = 0. 1596. Векторы аъ а2 линейно независимы, а3 — rdi—rdi
о о ’
4 1
я4 = -=- аг —г- «2- Указание. Воспользоваться методом Гаусса,
о □
3 2
1597. Векторы аъ а2, аА линейно независимы, а3 = -?-а1—^-а2.
о о
1598. Векторы аъ а2, а3 линейно независимы, а4 = 2а± — За2 + 4а3,
я5 = а1 + 5а2 —5я3. 1599. Новый базис: а19 a2l е2, е3\
1113
+ а*~~2 ег~~~4 ез- ,600- Векторы Ьъ Ь2, ..., Ьп ли-
нейно независимы. 1601. ^ = {2, 1, 0, 0}, z = {—1, 1, 3, 5}. 1602. Ба-
зис суммы мы получим, присоединяя к системе векторов аъ ...', ар
последовательно те из векторов системы Ьъ ..., bQ, которые не яв-
ляются линейными комбинациями прежде взятых векторов. Пусть
ах, ..., ар, bie ..., bt —базис суммы подпространств А и В. Если
r = q, то V есть прямая сумма подпространств А и В. Предположим,
что г < qf и пусть — те из векторов Ьъ ..., Ьо, кото-
71 ‘q-r 4
рые не вошли в базис суммы подпространств А и В. Тогда bt- =
Jk
1621 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
375
= а*а1 + ... + а^ар + Р^(х + ... + Р^&^, k=\, .... q—r, что можно
переписать в виде
а1 Я1+• • • + араР = bik - Р* Ь1г-...- р^ bir = ck,
6=1, 2, q — r. Векторы Cq_r составляют базис пересе-
чения подпространств А и В. 1603. Базис суммы: а2, а3,
базис пересечения: — — {1, 2, 2, 1}, с2 =
-- 2а1+2а3==&1 + #3=={2, 2, 2, 2}. 1604. Базис суммы: аъ а2,
базис пересечения: г = а1 + а2 = /71 +^2 = {2, 3, 1, 1}. 1605. Базис
суммы: Л1 = {1, 2, 0, 1}, а2={\, 1, 1, 0}, bt= {1, 0, 1, 0}; базис
пересечения: + 3, 1, 1}. 1.606. Базис суммы: =
= {!, 1, __1, —1}, а2={1, —1, 1, —1}, а3={1, —1, -1, 1}, ^ =
= {0, 0, 1, 1}; базис пересечения:
1 1 1 3 Л . (Л 1 1 П
^1 — 2 4 4 — 2 ’ 2 ’ 2 J ’
^2 = ® 1 + 4" а2 + =----2~^1+^з = ---2 }*
Указание b2—{®, I, 1, 1}, #3={1, 0, 1, 1}.
1607» ^-{5, 0, 0, 0}, 2 = {—4, 2, 3, 4}.
1608. у = {-4, -2, 1}, г = {5- 4, |].
1610. Указание. Необходимость условия следует из существо-
вания невырожденной квадратной матрицы С порядка k такой,
что В = СЛ. Достаточность условий вытекает из того, что под-
пространство с базисом а1У ..., может быть задано систе-
мой п_k линейно независимых уравнений, левые части которых
суть миноры матрицы
аи • • • ал п
\ akl • • • akn I
\Х1 ... хп /
получающиеся окаймлением отличного от нуля минора матрицы А.
1612. х4 =—1 +3/х + 2/2, х2 = 1 —2/^ —/2» Хз=3/14-7/2, х4 = 1 3/4-|-5/2,
х5 — 5 — 5/х — 4/2; 17х1-|-15x2-7x3-j-2 = 0, 1 Зхх-f-9х2 — 7х44- 11 = 0,
13х1+2х2+7х5-24=0. 1613. xt=—9+/а, х2 = 8+у t3,
x3=tlf x± — t2, x5 — t3. 1614. Зхх — 4x24-x3 — 2x44-l=0. 1615. Пара-
метрические уравнения: Xj = /2, x2=24-/1, x3 = 3 + /1, x4 = 34~/2; об-
щие уравнения: x4—x4 + 3 = 0, x2—x3+l=0- 1616. Прямая принад-
лежит гиперплоскости. 1617. Прямая параллельна плоскости.
1618. Xi-|-х24“Зх3 — Зх44-2=0. 1619. zYj — х2 — х34~х4 = 0, х^ — х2 —
~х34-х4+1 = 0. 1621. 1) Плоскости а и р абсолютно скрещиваются,
т. е. не имеют общих точек и нет прямых, параллельных обеим
376
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1622
плоскостям; плоскостью минимальной размерности, содержащей а и
Р, является все (5-мерное) пространство; 2) плоскости а и Р имеют
единственную общую точку (1, 1, 0, 0, 0); плоскость минимальной
размерности, содержащая обе плоскости аир, определяется точкой А
и векторами аъ а2, blt b2 и имеет размерность 4; 3) плоскости а
и Р не имеют общих точек и не параллельны; они параллельны пря-
мым с направляющим вектором a1-\-a2 — b2 — b1=={it 1, 0, 0, 0} и
лежат в четырехмерной плоскости, определяемой точкой А и векторами
«1, а2, Ьъ АВ; 4) плоскости аир пересекаются и лежат в трех-
мерной плоскости, определяемой точкой А и векторами alt а2, Ь±;
5) плоскости аир параллельны и лежат в трехмерной плоскости,
определяемой точкой А и векторами а19 а2, АВ; 6) плоскости аир
совпадают. 1622. 1) Если векторы alf а2, blt b2, АВ линейно неза-
висимы, то плоскости абсолютно скрещиваются, т. е. они не имеют
общих точек и нет прямых, параллельных одновременно обеим плос-
костям; минимальная размерность плоскости, содержащей обе данные
плоскости, равна 5; 2) если векторы а1? а2, blt b2 линейно незави-
симы, а вектор АВ является их линейной комбинацией, то плоскости
имеют единственную общую точку; минимальная размерность пло-
скости, содержащей обе данные плоскости, равна 4; 3) если векторы
«1, «2» bi, b2 линейно зависимы, но какие-нибудь три из них ли-
нейно независимы и вектор Л В не является их линейной комбина-
цией, то плоскости не имеют общих точек и непараллельны, но су-
ществуют прямые, параллельные обеим плоскостям; 4) если векторы
аь «2, Ьъ Ь2 линейно зависимы, но какие-нибудь три из них линейно
независимы и вектор АВ является их линейной комбинацией, то пло-
скости пересекаются по прямой и существует трехмерная плоскость,
содержащая обе данные плоскости; 5) если каждые три из четырех
векторов аъ а2, br, b2 линейно зависимы, но вектор АВ не является
их линейной комбинацией, то плоскости параллельны и существует
плоскость размерности 3, содержащая обе плоскости; 6) если каждые
три из четырех векторов аъ а2, Ь2 линейно зависимы и вектор
АВ является их линейной комбинацией, то плоскости совпадают.
1623. 1) При /? = 6 плоскости не имеют общих точек и нет прямых,
параллельных обеим плоскостям (плоскости абсолютно скрещиваются);
2) при г — R = 5 плоскости имеют единственную общую точку; 3) при
г = 4, /? = 5 плоскости не имеют общих точек и не параллельны, но
существуют прямые, параллельные обеим плоскостям; 4) при г = 7? = 4
плоскости имеют общую прямую и лежат в трехмерной плоскости;
5) при r = 3, R = 4 плоскости параллельны и лежат в трехмерной
плоскости; 6) при r = R — 3 плоскости совпадают. 1628. Если пло-
скости лг и л2 параллельны, то л совпадает с лх; если же плоскости
лг и л2 скрещиваются и плоскость лх определяется точкой Лг и под-
пространством Их, а плоскость л2 — точкой А2 и подпространством V2,
л определяется точкой А1 и подпространством Vi+V2.
1632. 2)
то плоскость
1630. 1) —.
п
1 2 * 2
1 )
VT6J ’
1633. /-=, — —
*+1 U 10 I 10 к 10
2 3 3 2-1 J 2_________1 1 2 |
7^’ 7^’ ~7^’ I7w’ -7To’ "рб’ —Tro/’
1647 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
377
( 3 1/26’ _-L, -L, -АД. 1634. (4-, -U, 0, o, o), (4-. /26 / 26 /26/ 1/2 У 2 f 11'3
_L ’ о, о! /--L, -tL, 4=, °). {°> °> °> °- *}>
/3 /3 / I /42 / 42 /42 /42 /
( 1 1/7 ’ 1 2 1 „I (4 6 23 271 7=, ~r=, °>- 1635. > = < r , -г, г/ z = /7 /7 /7’ J 15’5’5’5)’
= И 6 3 31 164() j, _ь 5} 1641 5> _5> _2> _,}
15’ о 1 о о J
s
1642. 1) у=2(/, x)bt\ 2) y=i]i&i+--- + nA. гДе *Ь ••.4s
i=l
определяются из системы уравнений
(&1, ^2) Лг 4~ • • • 4“ (^1» &s) 'Hs — (^1> х)>
(&2» ^1) Л14- (^2, ^2) Л2 4~ • • • 4~ (^2» ^$)л$=:(^2> •*)»
(bs> &i)Tli4-(&$, ^2)'П2 4~---4-(^$, bs) i]s — (bsi х).
1643. 2) ф = arccos -Ш. 1644. 4-- 1645. 4г- 1646. 2) -£-.
' т IXI 3 3 4
1647. Решение. Пусть А и В —два подпространства евклидова
пространства, пересечение которых есть подпространство С. Если
С =# 0, то углом между подпространствами А и В называется угол
между подпространствами А' и В', лежащими соответственно в
А и В и являющимися ортогональными дополнениями к С. Если
пересечение подпространств А и В есть нуль-вектор, то углом между
А и В называется наименьший угол между вектором одного подпро-
странства и его ортогональной проекцией на другое. Пусть А
и В—подпространства евклидова пространства, пересечение которых
есть 0; alt ..., аг и Ьъ ..., bs — их ортонормальные базисы. Пусть
х=gi«i + ... + lrar ~~ вектор подпространства А, у = + ...
... —ортогональная проекция вектора х на подпространство В.
Тогда
*]! = (/> x) = (blt 0011+...+(&i, аг)|г,
*ls = (/, x) = (bs, ajgi-l- +(/. ar)Zr-
Полагая а;/ = (аг, bj), t = l, 2, ..., г, / = 1, 2.s, будем иметь
1Ъ. = а1151+ ••• +ап/.
t]s = «isgi + ... +tXrs/,
I J|2=T)’+ ... +ig= (au^+ ... +arl5r)2+ -
-+(«1A+-+“rA)2=‘?W-
378
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
1 1648
Если ф —угол между вектором х подпространства А и его ортого-
IУ I
нальной проекцией у на подпространство В, то cos ф = . При
| х | = 1 имеем cos ф = | у | (х). Но max q (х) при |х| = 1 есть
наибольшее характеристическое число матрицы квадратичной функ-
ции q (х). Пусть max^(x)=Z0; тогда угол между подпространствами а
и В равен arccos/Хо- ^^48* D — > 2) arccos 3) arccos-^-*
4 К10 3 '
1 л 2
4) arccosу; 5) 1649. arccos-^-. 1651. Пусть А — матрица,
где = dj), Л* —матрица, транспонированная к матрице А;
тогда искомые векторы — собственные векторы оператора с матри-
цей А * А. 1653. а п . 1654. ~. 1655. х1 — х2 — — х3 — — х4, х± ==
= —х2 = х3 =—х4, Xi — —х2 =— х3 —х4; 1656. При нечетном п
перпендикулярных диагоналей нет; при n — 2k искомое число равно
= 1657. f, -J, |. 1658. arccos 1659. 2)
1662. /14; (2, 1, 2, 9). 1663. 5; (2, —2, —3, 2). 1664. Плоскость и
прямая абсолютно скрещиваются, уравнения общего перпендикуляра
Xi=l + /, х2=1 + ^, x3 = -g- + /, x4 = -g- + Z; длина общего перпенди-
куляра равна 1665. Прямая параллельна плоскости; расстояние
между ними равно-5. 1666. Плоскости не имеют общих точек и парал-
лельны одному и тому же направлению, определяемому вектором
А^ВХ = С^В2 = {Г, 2, 2, 2}; расстояние между ними равно 3. 1667.
|“Л°+-+аЛ+ь|
10ОО. - 1 ........
/а|+...+^
166. —=4+—
Л2 а| о|
_1^
1670.
/(i>i-Oi)2+-+(&„-«л)2
[^1 (^1 — °1)+ ... (^п~~Ои)]а
1671.
(Ль Л1) («1. «л)
(а„, ai) ... (а„, ап)
(аъ аг) ... (оь an_i)
(an-i, fli) ••• (Ол-ь «л-i)
1673. Л /2(п-^+1)'
1674. arccos “х-.
о
1705 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
379
1675. Xj £ Xi g 2 Хз 2 2 ’
1 /, 1 , 1 , i,i
х2 2 2 Хз 2 Хз 2 2 ’
1 , 1,1, 1,1
хз— 2 Xl 2 Х'2~^ 2 Хз 2 Х*~^ 2 *
1 , 1 , 1л 1 Л 1
Х4 2 xi 2 X,i 2 Х '3 2 Xi 2 *
1680. У к а з а н и е. Если размерность пространства больше I,
взять два линейно независимых вектора и применить оператор А как
к этим векторам, так и к их сумме. 1681. С—ВА~\ где А и В — мат-
рицы, столбцы которых состоят из координат векторов аъ ..., ап и
Ъъ ... , Ьп соответственно. 1682. х{ = 2х± — 11 х2+6х3, х'2 = х±—7х2 +
+ 4х3, x'8 = 2x1 — x2t х4' = 2х4.
1683. х' = 15хг — 23х2 + Юх3, х'2 = 10хх — 18х2 + Юх3, хз = %xi ~
—7х2+7х3, x'i=—х4. 1684. 1) ег; 2) elt е2; 3) е2, е3; 4) еъ е2, е3, е4.
1690. Подпространство с базисом е1 = {1, 0, 0, 0}, £2={0, 1, 0, 0}.
1692. Указание. Если k — размерность инвариантного подпро-
странства, выбрать первые k базисных векторов, принадлежащих этому
подпространству. 1694. Если е15 е2, ..., еп — базис пространства И,
состоящий из собственных векторов оператора А, то инвариантными
подпространствам будут нулевое подпространство, все пространство
и каждое подпространство, базисом которого является любая под-
система множества векторов elt е2, ..., еп. Число инвариантных под-
пространств равно 2П.
1698. /1 0 0 0\
/ 0 2 0 0 \
100311
\0 0 0 3/
1699. Если elt е2, ..., еп — базис пространства, то инвариантными
подпространствами будут линейные оболочки систем базисных векто-
ров ef, elt е2, ..., ; elt е2, ..., еп. 1701. Указание. Векторы х,
Ах, ..., Akx линейно зависимы. 1702. Указание. Если А, —р2 —
собственное значение оператора Л2, то Л2—АЕ = (Л + рЕ) (Л — рЕ).
1703. Указание. Если все характеристические числа линейного
оператора принадлежат основному полю, то каждое инвариантное под-
пространство содержит одномерное инвариантное подпространство.
1704. Указание. Пусть х—собственный вектор оператора АВ,
соответствующий собственному значению А 0. Тогда вектор 5х#=0
будет собственным вектором оператора ВА с тем же собственным зна-
чением А. 1705. Указание. Первый вектор ef, ^ — прообраз век-
тора при преобразовании (Л—еп_1 = (А~аЕ) еп,..., е2 =
= (Л —аЕ)п~2 еп.
380
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1706
1706.
1708.
/31 1
4 4 4
1 _1
4 4 4
1 1 3
~ Т “ ~4 4
1 1 1
к 4 4 4
/ 1 1 1
2 2 2
J _ 1 1
2' 2 2
1 £
2 2 2
111
\ 2 2 2
_ 1\
'4
1
“Т
1
“Т
3
1707.
3
£
3
J_
3
0
-и
1
3
2
3
о
о
о
о/
Ц 1709. / 0 —1 О 0\
2 1 / _1 О О 0 \
II \ ° 0 0 ~1 '
2 | \ о 0 —1 О/
1 I
2 I
JJ
2/
2
3
1
1721. Указание. Пустьу = Ах+Ь — изометрическое преобра-
зование точечного евклидова пространства Е, А — изометрическое пре-
образование векторного пространства V, соответствующего точечному
пространству Е, V — Vx+ ^—представление пространства V в виде
ортогональной суммы собственного подпространства Vlf соответствую-
щего собственному значению + 1, и его ортогонального дополнения 1/2.
Вектор = —представление вектора переноса в виде суммы
векторов bi и Ь2, принадлежащих соответственно подпространствам Vt
и 1/2. Если преобразование у=Ах+& не имеет неподвижной точки,
то оно обладает инвариантной прямой с направляющим вектором bi,
проходящей через неподвижную точку преобразования у = АхА~^2-
1729. Функция b (х, у) должна быть кососимметрической. 1732. х[у'2 —
-х'2у[ + х'у'.-х^ {1, О, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {1, -1, 0, 0},
{1, —1, 0, 1}. 1733. Указание. Представить билинейную функцию
в виде суммы симметрической и кососимметрической билинейных
функций и перейти к базису, в котором симметрическая функция
имеет канонический вид. 1737. а > 0, a — b>0, 1) b > 0.
1742. 1) J-L -4=. °> °), °У. (-Д=»
1/2 /2’ J 1/6 /6 /6 J 1/21
2 , 3 | И 1 _1 2 | _2xf_2x:47xf;
]/21 /21 ’ /21/’ 1/7 /7’ /7 1/7}
{у, —у, у, — 2“| > 24Ч-4х'2-2х^-4х;-;
1763 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
381
Г 1 1 1 1 1 J 1_____1 J __ 1 I J 1 __ 1 _ 1 П
4) (2’ 2’ 2 ’ 2/ 12 ’ 2’2"’ 2J’12’ 2’ 2’2)’
{у, 4- ~4’ 2xf + 8x'2+12xf-4xf.
1745. Искомые значения параметра t находятся из уравнения
Q(u)t2-j-2[B (и, x0) + L(u)] t+c'=O, где с'= Q (х0) + 2L (х0)+с,
а В (х, у) — симметрическая билинейная функция, соответствующая
квадратичной функции Q (х). 1746. В (и, х) + £ (я) = 0, где В (х, у) —
симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной
функции Q(x). 1747. В (х0, x)4-L (х)-(-Л (хо) + с = О, где В (х, у)—
симметрическая билинейная функция, соответствующая квадратичной
функции Q(x). 1752. (I) min (£, n — k)\ (II) min (6— 1, n — k)\
(III) min (6, n — k — 1). 1759. Указание. Вектор b не принадле-
жит области значений оператора А и может быть представлен в виде
суммы & = £' + &", где Ь', а следовательно, и — Ь', принадлежат
области значений оператора Л, а Ь" =£ 0 — вектор, ортогональный
к этому подпространству. Следовательно, существует вектор xj такой,
что Лх^+ &' = (). Вектор х% определяется из соотношения Л2х^ +
4-Л& = 0; тогда Ь' =— Лх^, b" = b~b' = b-^Ах%. Искомый вектор
х0 может быть представлен в виде х^ + &'7, где t определяется соот-
ношением:
(Ь + Ь", х*) + с
2(Ь", Ь") *
1760. Указание. Ль..., отличные от нуля собственные значения
оператора Л с учетом их кратности; e'v ..., е' —ортонормальная система
собственных векторов этого оператора. (I) Если R~г <4 1, то ...
..., е'п — векторы, дополняющие систему e'v..., до ортонормального ба-
зиса. Координаты xj, ..., х° находятся из уравнений для определения
центра. Свободный член преобразованного уравнения с' ==61xJ + -«-
... + Ьпх^ + с. (II) Если R — г = 2, то вектор b = {blt ..., bn} пред-
ставляется в виде b = b'A-b", где Ь' приналежит области значений
оператора с матрицей Л, а Ь" Ф 0 принадлежит ядру этого опера-
Ь"
тора; тогда jjl = | b" | и e' + 1 = j-^q. Векторы е' + 2, ..., е'п находятся
как векторы, дополняющие систему e'v ..., е'п е'г_уХ до ортонормаль-
ного базиса. Радиус-вектор х0 начала О' определяется следующим
образом: х0 = х* + ^*, где х* находится из уравнения Л2х^+Л& = 0,
a t определяется из равенства
(b + b\ х?)+с
2 (Г, Ь"). ’
1761. См. предыдущую задачу.
у2 -у 2 <|л2 у*2
1763. + = 2> 3>’
-^,0,ol, -г., -т=>°Ь
1У2 1/^2 / 1/6 /6 /6 J
, ( 1_______1_____I______зд ,_/L
^”12^3’ 2/3’" 2/3’ 2J/z3/^”(2,
J_ _ 1 J1
2* Y’ 2/’
382 .
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
[ 1764
2) *i+xf+x| = 9, О' = (1, 2, 3, 4),
1 _1 _11 _1 1 _11
—12 ’ 2* 2’ 2)’ 2 12’ 2’2’ 2J
<1 1 _ £ _Ц ,_Н 1 1 И
е’“12’ 2’ 2’ 2f’ е*~ 12’ 2’ 2 ’ 2 Г’
Г?
, f 1 • 1 n nl , ( 1 » 2 „1
е‘'“{/2’ /2’ ’ }’ е* 1£б’ Гб’ /б’ }’
, г 2 2 2 3 ) '_J_L _1 1 _ J2!
*’1/21’ Г21’ /21’ Г2Т/’ е4-1Г7’ Vl' VT Г7£
1764. (Хх + &, а) = 0, где X—отличное от нуля собственное значение
оператора А, а « — соответствующий ему собственный вектор. Ука-
зание. Воспользоваться уравнением диаметральной плоскости.
1765. 1) Указание. При преобразовании со квадратичная форма Q
многочлена Р преобразуется так же, как и при соответствующем
однородном ортогональном преобразовании у. Инвариантность 1Ъ ..., 1п
следует из инвариантности коэффициентов характеристического поли-
нома ср (AJ квадратичной формы Q относительно ортогонального пре-
образования у. Далее:
— ^п+1*
2) Указание. Рассмотрим многочлен
/? = P-2i(x| + ... + 4) =
= 2 аух1х/+2 S biXi+C~X(x'i + - + xn)-
i=l
п
При однородном ортогональном преобразовании
/=1
i=l, 2, п, многочлен R перейдет в многочлен
K' = P'-K(xf+. ••+<) =
п п
= S aijxix'i+2 S Ь'^+с—Х(х'2 + --- + *'2).
i,/ = 1 i=l
1765 ]
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
383
Далее, воспользовавшись инвариантностью дискриминанта Кп+х для
многочлена 7? при ортогональном преобразовании, получим:
• 01П К
ап\ '"апп ^п
Ь[ ...Ь'п с
ап — X... а1п Ьх
ап1 • • • апп — Ьп
bl ...Ьп с
Остается приравнять коэффициенты при X при одинаковых степенях X
в левой и в правой частях этого тождества относительно X. 3) Ука-
зание. Пусть при некотором однородном ортогональном преобразо-
вании а многочлен Р преобразуется в многочлен Р*, не содержащий
п — 1 п,— 1
переменной х*: Р* == У] afjXfxJ-[-2 У] b*xf-{-c. Пусть при про-
i,/=1 1 = 1
извольном неоднородном ортогональном преобразовании со многочлен
Р перейдет в многочлен Р'. Обозначим через Кп семиинвариант мно-
гочлена Р, а через К'п — семиинвариант многочлена Р'. Семиинвари-
ант Кп многочлена Р*, который будет равен семиинварианту Кп для
многочлена Р, имеет вид
11
ал-1,1 • • ' ап— 1, п — 1 ^-1
/>* ...Ь* 1 • • • ип — 1 с
так как остальные п—1 слагаемых, входящие в выражение для Кт
равны нулю. Рассмотрим ортогональное преобразование соа-1. Пред-
ставим его в виде произведения однородного ортогонального преобра-
зования р на перенос т: <оа-1 = Рт; отсюда со = рта. При преобразо-
вании а многочлен Р переходит в многочлен Р*, не содержащий х*,
а семиинвариант "Кп переходит в равный ему семиинвариант Кп- При
переносе т многочлен Р* перейдет в многочлен Р**, также не содер-
жащий последнюю переменную Хп*, а семиинвариант Кп перейдет
в равный ему семиинвариант Кп -
и11
i\n — i\n =
«*-1, 1 Ьп*-\
b** с*
*) Это обстоятельство является следствием более общего утвер-
ждения, доказанного выше, а именно: Кп+х есть инвариант неодно-
родного ортогонального преобразования; мы применяем это положе-
ние для преобразования переноса т переменных х*, ..., л:*_р х*
многочлена Р*, не содержащего х*; К* играет роль определителя KnVi,
но для евклидова пространства размерности и—1.
384
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
( 1765
Наконец, при преобразовании р многочлен Р** перейдет в много-
член Р', в который переходит многочлен Р при преобразовании со = рта.
А так как /<** есть семиинвариант многочлена Р**, рассматриваемого
как функция от п переменных х^*, х*^_рХ**, а р — однородное
ортогональное преобразование, то значение семиинварианта /С**,
вычисленного для многочлена Р**, будет равно значению семиинва-
рианта /С', вычисленному для многочлена Р', т. е. К** — К'п. Итак,
= К'п.Остальные утверждения этого пункта доказываются аналогично:
надо рассмотреть однородное ортогональное преобразование а, пере-
водящее многочлен Р в многочлен Р*, содержащий лишь переменные
xj:, х^, ..., х*, и заметить, что для преобразованного многочлена Р*ь
семиинвариант равен одному определителю:
аИ - Ь1
^+1 а*! ... а*. 6*
Ь* ... b* с
(а не сумме нескольких определителей).